Skript Fluid

7/22/2019 Skript Fluid

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Skript zur VorlesungFluidmechanik

Prof. Dr.-Ing. Peter R. Hakenesch

Version 1.7


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Inhalt

1 Einleitung ........................................................................................................................ 11.1 Allgemeines .............................................................................................................. 11.2 Historische Entwicklung ............................................................................................ 21.3 CFD als Entwurfswerkzeug ...................................................................................... 21.4 Strmungssimulation in Windkanlen....................................................................... 51.5 Gliederung der Fluidmechanik .................................................................................. 61.6 Begriffsdefinitionen ................................................................................................... 6

1.6.1 Fluid .................................................................................................................. 61.6.2 Stationre und instationre Strmung, quaistationre Strmung ..................... 71.6.3 Stromlinie und Bahnkurve ................................................................................. 71.6.4 Stromfaden und Stromrhre ............................................................................. 81.6.5 Ideale und Reale Fluide .................................................................................... 8

1.7 Klassifizierung von Strmungen ............................................................................... 91.7.1 Einteilung von Strmungen als Funktion der Reibung ...................................... 9

1.7.2 Einteilung von Strmungen als Funktion der Kompressibilitt ........................ 101.7.3 Einteilung von Strmungen als Funktion der Machzahl .................................. 111.7.4 Zusammenfassung der einzelnen Geschwindigkeitsbereiche ........................ 17

1.8 Einteilung der Fluide nach Flieverhalten .............................................................. 17

2 Hydrostatik .................................................................................................................... 182.1 Grundlagen ............................................................................................................. 18

2.1.1 Physikalische Eigenschaften der Flssigkeiten und Gase ............................. 182.1.2 Kompressibilitt von Gasen und Flssigkeiten ............................................... 192.1.3 Druckeinheiten ................................................................................................ 202.1.4 Hydrostatischer Druck .................................................................................... 202.1.5 Hydrostatisches (Pascal'sches) Paradoxon .................................................... 21

2.1.6 Verbundene Gefe (kommunizierende Rhren) ........................................... 222.1.7 Saugwirkung ................................................................................................... 242.1.8 Statischer Auftrieb (Prinzip des Archimedes) ................................................. 262.1.9 Oberflchenspannung und Kapillarwirkung .................................................... 282.1.10 Viskositt ........................................................................................................ 34

2.2 Druckmessung ........................................................................................................ 372.2.1 Druckbegriffe .................................................................................................. 372.2.2 Druckmessung in einem Kessel mittels U-Rohr Manometer .......................... 382.2.3 Bercksichtigung des hydrostatischen Drucks in einem Kessel ..................... 392.2.4 Differenzdruckmessung .................................................................................. 392.2.5 Bercksichtigung des Temperatureinflusses .................................................. 402.2.6 Bercksichtigung der Luftfeuchte ................................................................... 40

2.2.7 Drucksonden ................................................................................................... 412.2.8 Schrgrohrmanometer .................................................................................... 41

2.3 Druckkrfte auf Begrenzungsflchen ..................................................................... 432.3.1 Druckkraft auf eine ebene, horizontale Flche ............................................... 432.3.2 Druckkraft auf eine geneigte Flche ............................................................... 432.3.3 Druckkrfte auf gekrmmte Begrenzungsflchen ........................................... 452.3.3.1 Einfach gekrmmte (abwickelbare) Flchen ................................................... 452.3.3.2 Beliebig gekrmmte (nicht abwickelbare) Flchen ......................................... 472.3.4 Stabilitt .......................................................................................................... 482.3.4.1 Stabilitt schwebender Krper ........................................................................ 482.3.4.2 Stabilitt schwimmender Krper ..................................................................... 49

2.4 Fluide unter Beschleunigung .................................................................................. 512.4.1 Niveauflchen ................................................................................................. 512.4.2 Gleichfrmig horizontal beschleunigter Behlter ............................................ 512.4.3 Rotierende Flssigkeiten ................................................................................ 51


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3 Aerostat ik ...................................................................................................................... 563.1 Atmosphre der Erde ............................................................................................. 56

3.1.1 Die Erdatmosphre als Wrmekraftmaschine ................................................ 563.1.2 Aufbau der Erdatmosphre ............................................................................. 57

3.2 Abhngigkeit des Luftdrucks von der Hhe ............................................................ 593.2.1 Luftdruck ......................................................................................................... 593.2.2 Krftegleichgewicht an einem Volumenelement ............................................. 59

3.3 Internationale Standardatmosphre (ISA) .............................................................. 623.3.1 Temperaturverteilung der Standardatmosphre ............................................. 623.3.2 Definitionen der Hhe ..................................................................................... 65

4 Strmung von Fluiden ................................................................................................. 694.1 Grundbegriffe .......................................................................................................... 69

4.1.1 Allgemeine Beschreibung des Strmungsfeldes ............................................ 694.1.2 Stationre und instationre Strmungen ........................................................ 694.1.3 Bahnlinie und Stromlinie ................................................................................. 70

4.1.4 Stromrhre, Stromfaden, Stromflche ............................................................ 714.2 Kontinuittsgleichung ............................................................................................. 724.3 Energieerhaltungssatz ............................................................................................ 73

4.3.1 Satz von Bernoulli ........................................................................................... 734.3.2 Euler-Gleichung .............................................................................................. 794.3.3 Verlustfreie Rohrstrmung - Anwendung der Bernoulli-Gleichung ................. 814.3.4 Ausflu aus Gefen und Behltern - verlustfrei ............................................ 834.3.5 Ausflu aus Gefen und Behltern unter berdruck - verlustfrei ................. 834.3.6 Ausflu aus Behltern mit scharfkantigen ffnungen .................................... 854.3.7 Ausflu aus Behltern in ruhendes Wasser ................................................... 854.3.8 Ausstrmen von Gasen aus Behltern in die Atmosphre ............................. 864.3.9 Verlustbehaftetes Ausflieen aus einem Behlter .......................................... 87

4.4 Strmung mit Energietransport ............................................................................... 904.4.1 Strmungen unter Bercksichtigung von Arbeit und Verlusten ...................... 904.4.2 Turbine ............................................................................................................ 934.4.3 Pumpe und Geblse ....................................................................................... 94

4.5 Modellgesetze ........................................................................................................ 954.5.1 Simulationsproblematik ................................................................................... 954.5.2 Kennzahlen ..................................................................................................... 954.5.3 Reynoldszahl .................................................................................................. 97

4.6 Grenzschichttheorie ................................................................................................ 984.6.1 Grenzschicht ................................................................................................... 984.6.2 Verdrngungsdicke *der Grenzschicht......................................................... 994.6.3 Grenzschicht an der lngs angestrmten ebenen Platte .............................. 100

4.6.4 Transition ...................................................................................................... 1024.7 Widerstand von Krpern ....................................................................................... 105

4.7.1 Formen des Widerstands .............................................................................. 1054.7.2 Reibungswiderstand ..................................................................................... 1064.7.3 Druckwiderstand ........................................................................................... 1094.7.4 Induzierter Widerstand .................................................................................. 1174.7.5 Interferenzwiderstand ................................................................................... 1214.7.6 Gesamtwiderstand ........................................................................................ 121

4.8 Kugelumstrmung ................................................................................................ 1234.8.1 Ideale reibungsfreie Umstrmung der Kugel (Potentialstrmung) ................ 1234.8.2 Reibungsbehaftete Umstrmung der Kugel .................................................. 123

4.9 Zylinderumstrmung ............................................................................................. 1284.9.1 Ideale reibungsfreie Strmung (Potentialstrmung) ..................................... 1284.9.2 Reibungsbehaftete Umstrmung eines Zylinders ......................................... 128


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4.10 Rohrstrmung ....................................................................................................... 1304.10.1 Laminare Rohrstrmung ............................................................................... 1304.10.2 Turbulente Rohrstrmung ............................................................................. 1304.10.3 Rohrreibungswiderstand ............................................................................... 1314.10.4 Rohrreibungszahl ....................................................................................... 132

4.11 Widerstandsbeiwert fr zustzliche Einbauten in Rohren .................................... 1354.11.1 Widerstand infolge von Ablsung ................................................................. 1354.11.2 Querschnittserweiterung (Diffusor) ............................................................... 1364.11.3 Querschnittsverengung (Dse) ..................................................................... 1394.11.4 Durchflumessung mit genormten Drosselgerten (DIN EN ISO 5167) ....... 1414.11.5 Krmmer - Richtungsnderung ..................................................................... 1424.11.6 Eintrittsverluste ............................................................................................. 1434.11.7 Verlustziffern von Formstcken und Einbauten (Zusammenfassung) ....... 144

5 Impulssatz ................................................................................................................... 1485.1 Newtonsche Axiome ............................................................................................ 148

5.2 Stromrhre und Stromfaden ................................................................................. 1495.3 Impuls ................................................................................................................... 1495.4 Stationre Fadenstrmung durch einen raumfesten Kontrollraum ....................... 1505.5 Krfte auf ein Fluid im Kontrollraum ..................................................................... 1515.6 Unterscheidung von drei Klassen von Anwendungsfllen .................................... 1525.7 Impulsssatz fr mehrere Ein- und Austrittsflchen ............................................... 1535.8 Anwendungsprinzip des Impulssatzes.................................................................. 154

6 Drallsatz....................................................................................................................... 1586.1 Drallerhaltung bzw. Drehimpulserhaltung ............................................................. 1586.2 Anwendung des Drallsatzes auf Strmungsmaschinen ....................................... 164


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Abbi ldungsverzeichnis

Abb. 1-1: Zum Vergleich Massenpunktdynamik Fluidmechanik ..................................................... 1Abb. 1-2: CFD als Bindeglied zwischen Experiment und Theorie ...................................................... 2Abb. 1-3: Eulerrechnung zur cpVerteilung an einer F20 (M= 0.95, = 8), [ 1] ............................ 3

Abb. 1-4: Darstellung der Isobaren (cp-Verteilung), [ 1] ..................................................................... 4Abb. 1-5: NASA Ames 80 x 120 ft Niedergeschwindigkeitswindkanal ............................................... 5Abb. 1-6: Eurofighter-Modell (Mastab 1:15), TWT CALSPAN Buffalo NY, USA ............................. 6Abb. 1-7: Gliederung der Fluidmechanik ............................................................................................ 6Abb. 1-8: Verformung eines Fluids zu unterschiedlichen Zeitpunkten t0, t1und t2............................. 7Abb. 1-9: Stromlinie und Bahnkurve, [ 13] .......................................................................................... 7Abb. 1-10: Stromfaden und Stromrhre ............................................................................................... 8Abb. 1-11: Geschwindigkeitsprofile in reibungsfreier und reibungsbehafteter Strmung .................... 9Abb. 1-12: Reibungsbehaftete Grenzschicht, reibungsfreie Auenstrmung .................................... 10Abb. 1-13: Strmungsablsung bei Kugel und Zylinder ..................................................................... 10Abb. 1-14: Verdichtungsste und kritische Machzahl an einem Profil, [ 5], [ 8] ............................... 12Abb. 1-15: Widerstandsanstieg bei berschreiten der kritischen Machzahl, [ 2] ............................... 12Abb. 1-16: Schlierenaufnahme eines Projektils: Ernst Mach 1888, [ 14] ........................................... 13

Abb. 1-17: Machscher Kegel in einer berschallstrmung, [ 5], [ 8] ................................................. 13Abb. 1-18: Verdichtungssto an einer Rampe bei M= 36 ................................................................ 14Abb. 1-19: Modell des Raumtransporters Snger mit Oberstufe Horus, H2K DLR Kln ................... 14Abb. 1-20: Space Shuttle (Rockwell) und chemische Reaktion beim Wiedereintritt, [ 9] ................... 14Abb. 1-21: Staupunkttemperaturen und chemische Reaktionen von Luft, [ 3] ................................... 15Abb. 1-22: Verhalten von Luft im Vergleich zu dem Verhalten des idealen Gases: .......................... 15Abb. 1-23: Stromlinien und Mach-Linien als Funktion der Machzahl ................................................. 17Abb. 1-24: Unterscheidung von Fluiden nach Flieverhalten ............................................................ 17Abb. 2-1: Zustandsdiagramm eines generischen Stoffes ................................................................. 18Abb. 2-2: Krftebilanz an einer Flssigkeitssule ............................................................................ 20Abb. 2-3: Pascalsches Paradoxon ................................................................................................... 21Abb. 2-4: Kommunizierende Gefe ................................................................................................ 22Abb. 2-5: Hydraulische Presse ......................................................................................................... 23Abb. 2-6: Saugpumpe ....................................................................................................................... 24Abb. 2-7: Dampfdruckkurve HDa= f(T)von Wasser ......................................................................... 25Abb. 2-8: Archimedes (285 212 BC) .............................................................................................. 26Abb. 2-9: Statischer Auftrieb ............................................................................................................. 27Abb. 2-10: Grenzflchenkrfte ............................................................................................................ 29Abb. 2-11: Benetzungsformen als Funktion des Randwinkels ........................................................... 29Abb. 2-12: Krmmungsdruck .............................................................................................................. 30Abb. 2-13: Kapillarwirkung .................................................................................................................. 31

Abb. 2-14: Mittler Kapillarsteighhen z ............................................................................................. 32Abb. 2-15: Stalagmometer .................................................................................................................. 32Abb. 2-16: Kapillarmethode ................................................................................................................ 33Abb. 2-17: Ringmethode ..................................................................................................................... 34

Abb. 2-18: Plattenzugversuch ............................................................................................................ 35Abb. 2-19: Reibungsverhalten verschiedener Fluide ......................................................................... 35Abb. 2-20: Druckdefinitionen .............................................................................................................. 37Abb. 2-21: U-Rohr Manometer ........................................................................................................... 38Abb. 2-22: Hydrostatischer Druck in einem Kessel ............................................................................ 39Abb. 2-23: Differenzdruckmessung .................................................................................................... 39Abb. 2-24: Drucksonden ..................................................................................................................... 41Abb. 2-25: Schrgrohrmanometer ...................................................................................................... 41Abb. 2-26: Druckkrfte auf Begrenzungsflchen, [ 10] ....................................................................... 43Abb. 2-27: Druckkrfte auf abwickelbare Flchen, [ 10] ..................................................................... 45Abb. 2-28: Aufdruckkraft auf einen eingetauchten Krper, [ 10] ........................................................ 47Abb. 2-29: Druckkrfte auf beliebig gekrmmte Flchen, [ 10] .......................................................... 47Abb. 2-30: Stabilitt eines schwebenden Krpers .............................................................................. 48

Abb. 2-31: Schwimmender Krper - Ausgangslage ........................................................................... 49Abb. 2-32: Schwimmender Krper - Auslenkung aus der Gleichgewichtslage .................................. 49Abb. 2-33: Stabilitt unterschiedlicher Schiffstypen in Abhngigkeit von Beladung, [ 10] ................. 50Abb. 2-34: Horizontal beschleunigter Behlter ................................................................................... 51


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Abb. 2-35: Rotierender Behlter mit Flssigkeit ................................................................................. 51Abb. 2-36: Rotierender Behlter mit Flssigkeit ................................................................................. 53Abb. 2-37: Rotierender Behlter mit Deckel ....................................................................................... 54Abb. 3-1: Aufbau der Erdatmosphre, [ 11] ...................................................................................... 57Abb. 3-2: Krftebilanz am Fluidelement ........................................................................................... 59

Abb. 3-3: Temperaturverteilung der Standardatmosphre ............................................................... 62Abb. 3-4: Temperaturabhngigkeit der dynamischen Viskositt ...................................................... 64Abb. 3-5: Geometrische Hhe, Hhenlinien ..................................................................................... 65Abb. 3-6: Barometrischer Hhenmesser .......................................................................................... 66Abb. 3-7: Hhenmessereinstellungen .............................................................................................. 67Abb. 3-8: Flugflchen ........................................................................................................................ 67Abb. 4-1: Zustandsgren in einer Strmung .................................................................................. 69Abb. 4-2: Instationre Strmung ....................................................................................................... 69Abb. 4-3: Wasserkanalaufnahme von NACA 64A015, = 0 [ 14] .................................................. 70Abb. 4-4: Stromlinien eines Strmungsfeldes .................................................................................. 70Abb. 4-5: Stromlinie und Bahnlinie, [ 13] .......................................................................................... 71Abb. 4-6: Stromrhre, Stromfaden und Stromflche, [ 13] ............................................................... 71Abb. 4-7: Stromrhre - Kontinuittsgleichung .................................................................................. 72

Abb. 4-8: Strmungsproze mit Austausch von Wrme und Arbeit ................................................. 73Abb. 4-9: Zusammensetzung der Energieanteile in einem offenen System .................................... 77Abb. 4-10: Krftebilanz an einem Fluidelement in Strmungsrichtung .............................................. 79Abb. 4-11: Venturi Rohr ...................................................................................................................... 81Abb. 4-12: Ausflu aus einem Behlter .............................................................................................. 83Abb. 4-13: Ausflu aus einem Behlter unter berdruck ................................................................... 83Abb. 4-14: Ausflu aus scharfkantiger ffnung ................................................................................. 85Abb. 4-15: Ausflu in ein ruhendes Fluid ........................................................................................... 85Abb. 4-16: Ausstrmen von Gasen in die Atmosphre ...................................................................... 86Abb. 4-17: a) scharfkantige ffnung b) BORDA-Mndung .............................................................. 87Abb. 4-18: Strmung durch ein Venturi-Rohr ..................................................................................... 88Abb. 4-19: Zusammensetzung der Energieanteile in einem offenen System mit Reibung ................ 92Abb. 4-20: Wasserkraftwerk, Turbinenbetrieb .................................................................................... 93

Abb. 4-21: Wasserkraftwerk, Pumpbetrieb ......................................................................................... 94Abb. 4-22: Massestrom durch eine Stromrhre ................................................................................. 99Abb. 4-23: Verdrngungsdicke der Grenzschicht ............................................................................... 99Abb. 4-24: Grenzschicht an der lngs angestrmten ebenen Platte ................................................ 100Abb. 4-25: Voll ausgebildete turbulente Grenzschicht an einer ebenen Platte, [ 14] ....................... 101Abb. 4-26: Laminares und turbulentes Geschwindigkeitsprofil ........................................................ 101Abb. 4-27: Zackenband am Hhenruder eines Segelflugzeugs (ASH25) zur Transitionsfixierung . 103Abb. 4-28: Transsitionsfixierung durch dots an einem Hochgeschwindigkeitswindkanalmodell ...... 103Abb. 4-29: Erzwingung von Transition an Rumpfspitze und Vorderkanten eines Modells .............. 104Abb. 4-30: Erzwingung von Transition durch dots am Seitenleitwerk eines Modells ..................... 104Abb. 4-31: Resultierende Krfte an einem angestrmte Profil ......................................................... 105Abb. 4-32: Resultierende Auftriebskraft in einer ebenen Potentialstrmung ................................... 105Abb. 4-33: Scher- oder Schubspannung bzw. Tangentialspannung ............................................ 106

Abb. 4-34: Parallele Schicht- bzw. Scherstrmung (Couette-Strmung) ......................................... 106Abb. 4-35: Rautiefe k........................................................................................................................ 108Abb. 4-36: Reibungswiderstand der ebenen Platte .......................................................................... 109Abb. 4-37: Potentialstrmung um eine ebene Platte ........................................................................ 109Abb. 4-38: Potentialstrmung um eine ebene Platte ........................................................................ 110Abb. 4-39: Grenzschichtablsung mit Rckstrmgebiet .................................................................. 111Abb. 4-40: Stromlinienverlauf bei reibungsfreier Strmung und reibungsbehafteter Strmung ....... 112Abb. 4-41: Kriechende Strmung, laminar, c= 1 mm/s, turbulente Strmung, Re = 2000 [ 14] ... 112Abb. 4-42: Karman'sche Wirbelstrae .............................................................................................. 113Abb. 4-43: Bestimmung des Druckwiderstands eines Krpers aus dem Impulsverlust ................... 113Abb. 4-44: Nachlaufrechen ............................................................................................................... 114Abb. 4-45: Ebene Platte, laminare Ablsung, = 2.5, Re= 104, [ 14] ........................................... 114Abb. 4-46: Ebene Platte, turbulente Ablsung, = 2.5,Re= 5104, [ 14] ....................................... 114Abb. 4-47: Zylinder, laminare (oben) und turbulente (unten) Ablsung, [ 14] .................................. 114Abb. 4-48: Kugel- oder Zylinderumstrmung mit prinzipiellem Stromlinien- und Druckverlauf ........ 115Abb. 4-49: Verzgerung der Ablsung durch Spaltklappen bei Hochauftriebssystemen ................ 116


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Abb. 4-50: Entstehung der freien Wirbel am Tragflgel endlicher Spannweite ................................ 118Abb. 4-51: Einflu der Streckung auf den induzierten Widerstand CWi........................................ 119Abb. 4-52: Freie Wirbel am Tragflgel endlicher Spannweite .......................................................... 119Abb. 4-53: Wirbelschleppe eine Boeing 747 .................................................................................... 120Abb. 4-54: Widerstandsreduzierung im Formationsflug ................................................................... 120

Abb. 4-55: Strmung am Einzelrohr und am fluchtenden Rohrbndel ............................................. 121Abb. 4-56: Reduzierung des aerodynamischen Widerstands bei LKW-Kolonnen, [ 7] .................... 121Abb. 4-57: Reibungsfreie Kugelumstrmung ................................................................................... 123Abb. 4-58: Reibungsbehaftete Kugelumstrmung ........................................................................... 124Abb. 4-59: Widerstandstandsbeiwert einer laminar umstrmten Kugel ........................................... 124Abb. 4-60: Widerstandsbeiwert der Kugel bei unter- und berkritischer Anstrmung ..................... 125Abb. 4-61: Einflu einer erzwungenen Transition auf den Widerstand ............................................ 126Abb. 4-62: Einflu der Rauhigkeit auf den Widerstand .................................................................... 127Abb. 4-63: Widerstandsbeiwerte von Kugel und Zylinder ................................................................ 128Abb. 4-64: Laminares Geschwindigkeitsprofil einer Rohrstrmung ................................................. 130Abb. 4-65: turbulentes Geschwindigkeitsprofil einer Rohrstrmung ................................................ 130Abb. 4-66: Druckverlust infolge Rohrreibung.................................................................................... 131Abb. 4-67: Moody-Diagramm: Rohrreibungszahl als Funktion der Rauhigkeit und Reynoldszahl .. 134

Abb. 4-68: Offenes Gerinne .............................................................................................................. 135Abb. 4-69: Stufendiffusor .................................................................................................................. 136Abb. 4-70: Konischer Diffusor ........................................................................................................... 138Abb. 4-71: Diffusorwirkungsgrad als Funktion des ffnungswinkels ............................................ 139Abb. 4-72: Stufendse ...................................................................................................................... 139Abb. 4-73: Stromlinienverlauf in einer Blende .................................................................................. 140Abb. 4-74: Konstruktive Ausfhrungen unterschiedlicher Drosselgerte ......................................... 141Abb. 4-75: Rohreinlaufstrmung: Geschwindigkeitsprofil (a) und Druckabfall (b) ............................ 143Abb. 5-1: Sir Isaac Newton: 'Philosophiae Naturalis Principia Matheamtica'................................. 148Abb. 5-2: Stromrhre und Stromfaden ........................................................................................... 149Abb. 5-3: StromrhreAM.ohne Auendruckpa............................................................................... 151Abb. 5-4: StromrhreAM.mit Auendruckpa.................................................................................. 151Abb. 5-5: Rohrkrmmer .................................................................................................................. 154

Abb. 6-1: Starrer Krper ................................................................................................................. 158Abb. 6-2: Starrer Krper in Rotation ............................................................................................... 159Abb. 6-3: Pirouetteneffekt ............................................................................................................... 161Abb. 6-4: Aufschwung am Reck ..................................................................................................... 161Abb. 6-5: Versuch: Drehimpulserhaltung (Physikalisches Institut Universitt Dortmund) .............. 162Abb. 6-6: Versuch: Drehimpuls als Vektor (Physikalisches Institut Universitt Dortmund) ............ 162Abb. 6-7: Tornados ber Festland und Meer ................................................................................. 163Abb. 6-8: Schaufelkanal.................................................................................................................. 164Abb. 6-9: Laufrad eines Verdichters ............................................................................................... 165


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Tabellenverzeichnis

Tab. 2-1: Druckeinheiten ................................................................................................................. 20Tab. 2-2: Dampfdruckkurve HDa= f(T)von Wasser ........................................................................ 26Tab. 2-3: Randwinkel fr unterschiedliche Materialpaarungen ....................................................... 31

Tab. 2-4: Kapillarspannungen ......................................................................................................... 32Tab. 2-5: Dichte von Quecksilber als Funktion der Temperatur ..................................................... 40Tab. 3-1: Chemische Zusammensetzung der Erdatmosphre ....................................................... 56Tab. 3-2: Sttigungsdruck von Luft ................................................................................................. 58Tab. 3-3: Temperaturgradienten fr unterschiedliche Hhenbereiche ........................................... 63Tab. 3-4: Hhenbereiche mit konstanter Temperatur ..................................................................... 63Tab. 3-5: Anfangswerte und Temperaturgradienten nach ISA ....................................................... 63Tab. 3-6: Werte der Standard-Atmosphre (ISA) fr h = 0 (MSL) .................................................. 64Tab. 4-1: Energie und Leistungsgren .......................................................................................... 74Tab. 4-2: Unterschiedliche Schreibweisen der Bernoulli-Gleichung ............................................... 78Tab. 4-3: DIN 1952: Werte fr Blenden und Venturirohre ............................................................... 87Tab. 4-4: Dimensionen der Basisgren ........................................................................................ 95Tab. 4-5: Dimensionen der abgeleiteten Gren ............................................................................ 96Tab. 4-6: Kennzahlen auf der Basis von Massenkrften ................................................................ 97Tab. 4-7: Korrekturfaktoren fr laminare Anlaufstrecke ................................................................ 107Tab. 4-8: Zulssige Rauhigkeiten fr hydraulisch glatte Oberflchen .......................................... 108Tab. 4-9: Formwiderstand rotationssymmetrischer Krper ........................................................... 116Tab. 4-10: Formwiderstand ebener Platten ..................................................................................... 116Tab. 4-11: Formwiderstand rotationssymmetrischer Krper ........................................................... 117Tab. 4-12: Korrekturfaktoren fr dreidimensional umstrmte Zylinder ........................................... 129Tab. 4-13: Durchflukoeffizient Cund Expansionszahl ............................................................... 142


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Nomenklatur

Lateinische BezeichnungenA [m] Flchea [m/s] Beschleunigunga [m/s] Schallgeschwindigkeitc [m/s] Geschwindigkeitcp [-] Druckbeiwertcp [J/kgK] spez. Wrme bei konst. Druckcv [J/kgK] spez. Wrme bei konst. Volumen

D [1/s] SchergeflleF [N] Kraft, SchubFr [-] Froude-ZahlEc [-] Eckert-ZahlEu [-] Euler-ZahlFo [-] Fourier-Zahl

g [m/s] GravitationskonstanteH [m] Hhe, Frderhheh [m] Hhe

H [J] Enthalpieh [J/kg] spez. Enthalpie

I [m4] FlchentrgheitsmomentI [Ns] ImpulsI [N] ImpulsstromKn [-] Knudsen-Zahlk [m] Rauhigkeit

L [Nms] Drall

L

[Nm] Drallstroml [m] LngeM [-] MachzahlM [-] MetazentrumM [Nm] Momentm [kg] Massem [kg/s] Massestromn [-] Lastvielfachesn [-] Polytropenexponent

P [W] LeistungPe [-] Pclet-ZahlPr [-] Prandtl-Zahl

p [Pa] DruckQ [J] Wrmeq [J/kg] spez. Wrme

Q [J/m] Wrmestrom

q [W/m] spez. Wrmestrom

R [J/kgK] spez. Gaskonstante (Luft:RLuft= 287 J/kgK)Re [-] Reynoldzahlr [m] RadiusS [-] StrouhalzahlS [J/K] Entropie

s [J/K kg] spez. Entropie

T [K] TemperaturT [s] UmlaufzeitTu [-] Turbulenzgrad


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ix

___________________________________________________________________

t [s] ZeitT [s] UmlaufzeitU [J] innere EnergieU [m] Umfangu [J/kg] spez. innere Energieu, v, w [m/s] Geschwindigkeiten inx, y, z-RichtungV [m] VolumenV [m/s] Geschwindigkeitv [m/kg] spezifisches VolumenW [N] WiderstandW [J] Arbeitw [J/kg] spez. ArbeitWe [-] Weber-ZahlY [m/s] spez. Frderarbeit

x, y, z [m] Ortskoordinaten

Griechische Bezeichnungen [rad, Grad] AnstellwinkelK [-] Kontraktionszahll [rad, Grad] Schiebewinkel [m/kgs] Gravitationskonstante, Erde= 6.6710

-11 [m] Grenzschichtdicke [-] Expansionszahl [-] Wirkungsgrad [%] Relative Luftfeuchte [-] Verustziffer

[-] Isentropenexponent [-] Kraftmastabsfaktor [m] mittlere freie Weglnge [W/mK] Wrmeleitfhigkeit [-] Lngenmastabsfaktor [-] Rohrreibungszahl [-] Ausflukoeffizient [Pas] dynamische Viskositt [m/s] kinematischen Viskositt [-] Zeitmastabsfaktor [-] Kreiszahl

[-] Druckverhltnis [kg/m] Dichte [W/mK4] Stefan-Boltzmann-Konstante, =5.669710-8 [N/m] Kapillarspannung [Pa] Schubspannung [rad] Winkelgeschwindigkeit [-] Verlustbeiwert


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x

___________________________________________________________________

Indizes Gre auf die ungestrte Strmung bezogen0 Gre auf Meeresniveau bezogen0 Totalgre

Diss dissipiertd Dampf

F Fluidf feuchtK KrperM ModellO Original

p DruckR ReibungS Flchenschwerpunkt

s isentrope Zustandsnderungt Totalgre

trockenV VerlustW Wand

Symbole Nabla-Operator Laplace-Operator proportional


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Fluidmechanik Einleitung 1___________________________________________________________________

1 Einleitung

1.1 Allgemeines

Fluidmechanik ist die Wissenschaft von den Gesetzen der Bewegung und des

Krftegleichgewichtes der ruhenden und bewegten Flssigkeiten (Hydrodynamik) und Gase(Thermodynamik, Gasdynamik, Aerodynamik). Sie ist ein Teilgebiet der TechnischenMechanik und somit Teil der angewandten Physik. Die genaue Bezeichnung dieserWissenschaft lautet Mechanik flssiger Krper oder Fluidmechanik, wobei unter demBegriff "flssiger Krper" dnnflssige, tropfbare Flssigkeiten und Gase zu verstehen sind.Da im Deutschen ein Oberbegriff fr tropfbare Flssigkeiten und Gase fehlt, hat man dafrnach DIN 5492 den Begriff "Fluid" bzw. Fluide vorgeschlagen. Im Englischen wird dieBezeichnung "fluid" als Oberbegriff fr Flssigkeiten und Gase, also ein nichtfestesKontinuum, verwendet. Der Begriff "Strmungsmechanik ", wird aus historischen Grndensehr hufig parallel verwendet, umfat jedoch streng genommen nicht die Wissenschaft vonden Gesetzmigkeiten ruhender Flssigkeiten und Gase, d.h. der Hydrostatik bzw.Aerostat ik .

Verglichen mit der Massenpunktdynamik, die oft schon gute Einblicke in reale Vorgnge gibt,ist die Strmungslehre wesentlich komplexer. Das Momentanbild einer Planetenbewegunglt sich z.B. durch die Koordinaten des Schwerpunktes S, dessen Geschwindigkeit w undBeschleunigung adarstellen oder durch das 3. Gesetz von Kepler:

Gl. 1-1: 231822

3

1036.3.4

smconstm

T

r S

Das Momentanbild der Umstrmung eines Krpers hingegen erfordert die Kenntnis derGeschwindigkeiten und Drcke nicht eines einzigen Massepunktes, sondern theoretischunendlich vieler Punkte im Raum, aus denen das Druck- und Geschwindigkeitsfeld bestimmt

wird.

Abb. 1-1: Zum Vergleich Massenpunktdynamik Fluidmechanik

Das Versuchswesen nimmt in der Fluidmechanik eine weit wichtigere Rolle ein als in derFestkrpermechanik. In der Fluidmechanik stehen meist nicht so sehr die bewegten Teilchenals vielmehr die ruhenden oder gleichfrmig bewegten umstrmten Krper im Mittelpunkt desInteresses, z.B. Landfahrzeuge oder Luftfahrzeuge. Allerdings gewinnen numerische, alsocomputergesttzte Verfahren (CFD computational fluid dynamics) zunehmend anBedeutung. Simulation im Windkanal wird mehr und mehr durch Computer-Simulationenergnzt.


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1.2 Historische Entwicklung

Bis zum 17. Jahrhundert war die Strmungsmechanik durch eine ausschlielichexperimentelle Arbeitsweise gekennzeichnet. Im 17.- 18. Jahrhundert setzte die Entwicklung

der theoretischen Strmungsmechanik ein und erst seit ca. 1960, mit der Verfgbarkeit derersten leistungsfhigen elektronischen Rechner begann die Entwicklung der numerischenStrmungsmechanik. Die drei Elemente Experiment, Theorie und CFD sind jedoch nicht alsisolierte, getrennt einzusetzende Werkzeuge zu verstehen, sondern als sich gegenseitigergnzende Verfahren. Wobei jedes einzelne Verfahren unterschiedliche Strken undSchwchen aufweist. Somit kann CFD als Bindeglied zwischen theoretischen undexperimentellen Verfahren eingestuft werden.

Abb. 1-2: CFD als Bindeglied zwischen Experiment und Theorie

Das Hauptaugenmerk fr viele Anwendungen liegt in der Regel in der Ermittlung derDruckverteilung an der Oberflche des umstrmten Krpers und den daraus resultierendenKrften und Momenten auf den Krper. Diese sind erforderlich zur Bestimmung derAuslegungslasten fr die Struktur und der Bestimmung der aerodynamischen Parameter,z.B. Auftrieb und Widerstand.

Die Bedeutung der Fluidmechanik zeigt sich z.B. in der Vorausberechnung der Antriebsleistung fr Fahrzeuge mit erheblichem Strmungs-

widerstand (z.B. Auto, Schiff, Flugzeug) Auslegung von Pumpen- und Kompressorleistungen fr in Rohrleitungen transportierte

Fluide im Maschinenbau und in der Verfahrenstechnik Bereitstellung der Grundlagen fr den Entwurf von Gleitlagern, Strmungsmaschinen

(Kreiselpumpen, Ventilatoren, Kompressoren, Dampf-, Gas- und Wasserturbinen)

Dazu ist es jedoch hufig erforderlich das gesamte, den Krper beeinflussende Strmungs-feld zu kennen. Hier bieten sich neben einer reinen theoretischen Analyse oder einfachenHandbuchmethoden, unterschiedliche Vorgehensweisen an. Entweder die Durchfhrung vonModellversuchen im Wind- oder Wasserkanal oder eine numerische Analyse mit Hilfe vonCFD-Methoden. Die Durchfhrung von Flug- oder Fahrversuchen ist naturgem erst inspteren Phasen des Entwicklungsprozesses mglich.

1.3 CFD als Entwurfswerkzeug

Seit ca. 1970 wird CFD erfolgreich zur Berechnung zweidimensionaler Strmungen, z.B. beiProfilen eingesetzt. Als effizientes Entwurfswerkzeug zur Berechnung dreidimensionalerStrmungen entwickelte sich CFD seit ca. 1990. In Abb. 1-3 ist die Druckverteilung an derOberflche eines Flugzeugs in Form von Isobaren, d.h. Linien gleichen Drucks, dargestellt.

Experiment Theorie

CFD


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Abb. 1-3: Eulerrechnung zur cpVerteilung an einer F20 (M= 0.95, = 8), [ 1]

blicherweise wird hierbei nicht der statische Druck an der Wand pW, sondern diedimensionslose Form des Druckbeiwerts cpverwendet.

Gl. 1-2:2

2

c

ppc Wp

Durch CFD-Verfahren lassen sich nicht nur die Strmungsverhltnisse an der Oberflchedes Krpers bestimmen, sondern es erfolgt eine Berechnung des gesamten Strmungs-

feldes in der Umgebung des Krpers. Somit lassen sich auch Wirbelstrukturen im Nahfelddes umstrmten Krpers darstellen. Fr die Flgelschnitte a-f sind in Abb. 1-4 Vergleichezwischen den Ergebnissen aus numerischer Berechnung und experimentellen Ergebnissenaus dem Windekanal aufgetragen.


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Abb. 1-4: Darstellung der Isobaren (cp-Verteilung), [ 1]


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1.4 Strmungssimulation in Windkanlen

Bei der Entwicklung von Fluggerten ist man bereits in einer sehr frhen Phase desEntwurfsprozesses auf eine mglichst genaue mathematische Beschreibung des

aerodynamischen und flugmechanischen Verhaltens des Flugzeugs angewiesen. Dies isterforderlich sowohl zur berprfung der projektierten Flugleistungen als auch zur Auslegungdes Flugreglers. Trotz der zunehmenden Bedeutung von numerischen Entwurfswerkzeugen(CFD), stellt der experimentelle Ansatz, d.h. die Erstellung eines aerodynamischen Modellsauf der Basis von Windkanaldaten, noch das grundlegende Entwurfswerkzeug dar. In derRegel ist es jedoch nicht mglich ein Flugzeug ber seinen gesamten Geschwindig-keitsbereich in Originalgre unter echten Flugbedingungen zu testen. Lediglich im Nieder-geschwindigkeitsbereich existieren einige Versuchsanlagen, die ber eine entsprechendgroe Mestrecke verfgen um Flugzeuge im Originalmastab untersuchen zu knnen, z.B.NASA AMES 80 x 120 ft Niedergeschwindigkeitswindkanal mit einer maximalen Strmungs-geschwindigkeit von 100 kts bzw. 51 m/s oder NASA AMES 40 x 80 ft mit einer maximalenStrmungsgeschwindigkeit von 300 kts bzw. 153 m/s.

Abb. 1-5: NASA Ames 80 x 120 ft Niedergeschwindigkeitswindkanal

Aufgrund des mit der Geschwindigkeit quadratisch zunehmenden Energiebedarfs zurAufrechterhaltung einer kontinuierlichen Umstrmung des zu untersuchenden Krpers,werden Windkanaluntersuchungen daher hufig an geometrisch hnlichen, jedochmastblich verkleinerten Modellen durchgefhrt. Dabei spielt es prinzipiell keine Rolle ob

das Modell sich durch die ruhende Luft bewegt oder ob ein Fluid sich um ein ruhendesModell bewegt.

Der erforderliche Energieaufwand zur Simulation einer transsonischen Strmung (0.8


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Abb. 1-6: Eurofighter-Modell (Mastab 1:15), TWT CALSPAN Buffalo NY, USA

1.5 Gliederung der Fluidmechanik

Abb. 1-7: Gliederung der Fluidmechanik

(Rheologie: Wissenschaft der nicht-NEWTONschen Fluide z.B. Zahnpasta, flssiger Beton)

1.6 Begriffsdefinitionen

1.6.1 Fluid

Im Gegensatz zum Festkrper verformt sich ein Fluid unter dem Einflu einer Schub-spannung stndig weiter.

Rheologie Fluidmechanik

H dromechanik Mechanik der Gase

Hydro-statik

Hydro-dynamik

Hydrau-lik

Aerostatik Aero-dynamik

Gas-dynamik

inkom ressibel kom ressibel

transsonisch berschall


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Abb. 1-8: Verformung eines Fluids zu unterschiedlichen Zeitpunkten t0, t1und t2

Weitere Annahme: Kontinuumshypothese, d.h. Masse ist stetig ber das Volumen

verteilt

1.6.2 Stationre und instationre Strmung, quaistationre Strmung

Zustandsgren im Strmungsfeld (Geschwindigkeit, Druck, Dichte, Temperatur) bleibenber den betrachteten Zeitraum konstant (stationr) oder knnen sich zeitlich ndern(instationr). In Abhngigkeit von dem Beobachtungssystem knnen instationre Systemein stationre Systeme berfhrt werden, die Verwendung eines mit dem Krper mitbewegtesBeobachtungssystem nimmt die Strmung als stationr war, z.B. flugzeugfestesKoordinatensystem. Sehr langsam ablaufende Vernderungen werden als quasistationrbezeichnet.

1.6.3 Stromlin ie und Bahnkurve

Abb. 1-9: Stromlinie und Bahnkurve, [ 13]

Die Bahnkurve beschreibt die Flugbahn, d.h. die Ortskurve auf der sich ein einziges

Fluidteilchen bewegt. Optisch lt sich die Bahnkurve z.B. durch die (farbliche) Markierung


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des zu beobachteten Teilchens und die Beobachtung ber einen lngeren Zeitraum t-2< t Dampfdruck, d.h. DaabsS pp , Die maximale, theoretische Ansaughhe ergibt sich bei DaabsS pp ,

Gl. 2-29: DabDabDab

thS HHg

p

g

p

g

ppH

,

Die tatschliche SaughheHSliegt jedoch immer etwas unter der theoretisch maximalenHheHS,thd.h. thSS HH ,


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Fluidmechanik Hydrostatik - Grundlagen 26___________________________________________________________________

b. 2-3: Berechnung der Ansaughhe einer Pumpe

TemperaturT[C]

Dichte[kg/m]

DampfdruckpDa[bar]

DampfdruckhheHDa[mWS]

0 999.8 0.006 0.065 1000.0 0.009 0.09

10 999.6 0.012 0.1220 998.2 0.024 0.2430 995.6 0.042 0.4340 992.2 0.074 0.7550 988.0 0.123 1.2560 983.2 0.198 2.0270 977.7 0.311 3.1780 971.3 0.473 4.8290 965.3 0.700 7.14

100 958.3 1.013 10.33

Tab. 2-2: DampfdruckkurveHDa= f(T)von Wasser

Temperatur T= 20CLuftdruck pb1 bar = 10

5Pa

_________________________________________________________________________

2.1.8 Statischer Auft rieb (Prinzip des Archimedes)

Erstes dokumentiertes historisches Beispiel fr ein zerstrungsfreies Prfverfahren:berprfung des Goldanteils in der Krone des Knig Hieron IIvon Syrakus

Abb. 2-8: Archimedes (285 212 BC)

Die scheinbare Gewichtsreduzierung eines in ein Fluid eingetauchten Krpers wird alsstatischer Auftrieb bezeichnet. Die Ursache besteht in der Druckdifferenz an Ober- undUnterseite des eingetauchten Krpers.

?


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Abb. 2-9: Statischer Auftrieb

Die Krftebilanz in horizontaler Richtung ergibt Null, da die Drcke in gleicher Tiefe identischsind. Die Krftebilanz in vertikaler Richtung auf die Projektionsflche dAeines zylindrischen

Elements ergibtGl. 2-30: dAgzpdF F 101 (Oberseite)

Gl. 2-31: dAgzpdF F 202 (Unterseite)

Die Auftriebskraftkraft dFAlautet

Gl. 2-32: dAgzzdFdFdF FA 1212

Die Gewichtskraft des Krpers dFKlautet

Gl. 2-33: dAgzzdF KK 12

Der archimedische Auftrieb ergibt sich aus der Integration der Krfte dFAber das gesamteKrpervolumen VF

Gl. 2-34: FFV

FFA VgdVgFF

Resultierende Gesamtkraft= Gewicht des verdrngten Fluids - Gewicht des Krpers

Gl. 2-35: KFdV

K

dV

FKA dmdmgdAzzgdAzzgdFdFdF

KF

1212

Die Integration der Krfte dFber das gesamte Krpervolumen Vergibt

Gl. 2-36: 0!

KFKKFF

V

KK

V

FF mmgVVgdVdVgFKF


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b. 2-4: Um wieviel steigt der Meeresspiegel, wenn das arktische Eis abtaut?

geg.: 3920 mkgEis

31025 mkgMeerwasser

_________________________________________________________________________

2.1.9 Oberflchenspannung und Kapillarwirkung

2.1.9.1 Teilchenkrfte

Teilchenkrfte bilden den Sammelbegriff fr Masseanziehungskrfte bei Moleklen undAtomen. Festkrper bilden eine Gitterstruktur mit sehr groen Molekularkrften. Fluideweisen im Gegensatz zu Festkrpern keine Gitterstruktur auf, wodurch die Molekularkrftedeutlich geringer sind als bei Festkrpern. Dies fhrt zu einer leichteren Verschiebbarkeit derTeilchen innerhalb von Fluiden im Vergleich zu Festkrpern. Teilchenkrfte bestimmen dieForm der freien Oberflche eines Fluids. Unterschieden wird zwischen Kohsionskften ,

d.h. Krfte zwischen gleichartigen Teilchen in der gleichen Phase und Adhsionskrften,d.h. Krfte zwischen verschiedenartigen Teilchen in unterschiedlichen Phasen.

2.1.9.2 Begriffsdefinitionen

Adhsion: Wirkung zwischen fester/fester und fester/flssiger PhaseAdsorption: Wirkung zwischen fester/gasfrmiger Phase; es erfolgt eine Anlagerung von

Gasen oder Dmpfen an der Oberflche fester Krper

Absorption: Aufnahme von Gasen oder Dmpfen in Flssigkeiten oder FeststoffenMit dem Begriff der Absorption eng verbunden ist das Henry-Gesetz1, welches besagt:Die in Flssigkeiten gelste Gasmenge nimmt mit steigendem Druck und/oder sinkenderTemperatur zu.Dieser Zusammenhang lt sich hufig bei lang anhaltenden Hochtemperaturperioden imSommer an Gewssern beobachten, wenn infolge der ansteigenden Wassertemperatur derSauerstoffgehalt im Wasser abnimmt und dadurch ein Fischsterben ausgelst wird.

1engl. Physiker u. Chemiker (1774 - 1836)


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2.1.9.3 Grenzflchenspannung

Randwinkel Kohsion(Wasser/Glas)

Randwinkel >90: Kohsion > Adhsion(Quecksilber/Glas)

Abb. 2-10: Grenzflchenkrfte

Teilchenkrfte treten an den Trennflchen verschiedener Stoffe oder Phasen in Erscheinungund bilden sog. Grenzflchenkrfte. Molekle in der Grenzschicht erfahren durchKohsionskrfte eine resultierende Kraft F nach innen und die Grenzflche wirkt wie einednne Membran (Bsp. Wasserlufer; Eigengewicht ist kleiner als die Oberflchenspannung)Benetzungsformen- Gas/Gas: Keine Grenzflchen infolge Durchmischung, keine Grenzflchenkrfte- Gas/Flssigkeit: Kohsionskrfte der Flssigkeit sind dominierend, Kapillarspannung

- Gas/Festkrper: Festkrper bestimmt alleine durch seine Form die Grenzflche- Flssigkeit/Festkrper:

(1) Kohsion > Adhsion (Randwinkel >90) nichtbenetzendes Fluid(hydrophob), zusammengezogene, kugelfrmige Oberflche

(2) Kohsion < Adhsion (Randwinkel


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Oberflchenspannung der Fluide bestimmt. Zur Bestimmung der Tropfengre knnenunterschiedliche Verfahren, wie z.B. Stalagmometer, Kapillar- oder Ringmethode verwendetwerden.

2.1.9.4 Kapillaritt

Grenzflchenspannung bzw. Kapillarspannung Die intermolekularen Anziehungskrfte heben sich,mit Ausnahme einer dnnen Schicht (


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Kapillarwirkung

Abb. 2-13: Kapillarwirkung

Kapillaraszension (z.B. Wasser im Glasrohr)Die Steighhe eines Fluids in einem Rohr ergibt sich aus Krftegleichgewicht zwischenAdhsionskrften und dem Gewicht der angehobenen Flssigkeit.

Kapillardepression(z.B. Quecksilber im Glasrohr)Der abgesenkte Spiegel ergibt sich aus Krftegleichgewicht zwischen Adhsionskrften unddem Gewicht der abgesenkten Flssigkeit

Tab. 2-3: Randwinkel fr unterschiedliche Materialpaarungen

Der Zusammenhang zwischen Randwinkel und Krmmungsradius ergibt sich aus

Gl. 2-42:W

K

Rr

cos

Anhebung bzw. AbsenkungzK

ergibt sich aus dem KrmmungsdruckpK

Gl. 2-43: gzp FKK

Anhebung bzw. AbsenkungzK

Gl. 2-44:gDrg

zF

W

KF

K

cos42 D= Rohrdurchmesser

Gewichtskraft = Kapillarkraft

Gl. 2-45:

DgzD

F4

2

mittlere Anhebung bzw. Absenkung

Stoffpaarung Randwinkel W[grd]Wasser oder thylalkohol/Glas 0Alkohol/Plexiglas < 10Wasser/Plexiglas 80

Quecksilber/Glas 140Wasser/Lotusblatt 160


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Gl. 2-46:gD

zF

4

Fluide (T= 20C) [N/m]Luft - Quecksilber

WasserEthanolEthyletherl

0.4700.0730.0250.0160.028

Wasser - QuecksilberlEthanol

0.3800.0200.002

Tab. 2-4: Kapillarspannungen

Abb. 2-14: Mittler Kapillarsteighhen

2.1.9.5 Bestimmung der Oberflchenspannung

Tropfenmethode (Stalagmometer)

Fliet eine Flssigkeit langsam aus einer Kapillare bilden sich bei konstanter TemperaturTropfen gleicher Gre. Die Oberflchenspannung ist der Dichte der Flssigkeit direktund der Anzahlzder Tropfen umgekehrt proportional.

Ein Stalagmometer besitzt zwischen zwei Eichmarken ein bestimmtes Volumen. DieKalibrierung des Gerts erfolgt anhand einer Flssigkeit mit bekannter Oberflchenspannung(z. B. Wasser).

Abb. 2-15: Stalagmometer

_________________________________________________________________________


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b. 2-5: Bestimmung der Oberflchenspannung von 2-Methylpropanol

Aus einem Stalagmometer flossen bei T= 20C n= 405Tropfen 2-Methylpropanol aus. DieDichte der Flssigkeit betrug = 0.9477 g/cm3. Wie gro ist ihre Oberflchenspannung ,wenn mit dem gleichen Gert n(H2O) = 137Tropfen Wasser von 20Cgezhlt wurden?

_________________________________________________________________________

Kapillarmethode

Fr eine Glaskapillare mit dem Radius r, in dereine Flssigkeit aufsteigt gilt:Gewichtskraft der Flssigkeitssule = Tragkraftdurch die Oberflchenspannung

Abb. 2-16: Kapillarmethode

Gl. 2-47: rghr 22

Gl. 2-48: 12

mNghr

_________________________________________________________________________

b. 2-6: Bestimmung der Oberflchenspannung von Wasser bei 18C

Berechnung des Radius rder Kapillare mittels einer eingewogenen Quecksilbersulegeg.: T = 18 [C] (Temperatur)

mHg = 1.297 [g] (Einwaage an Quecksilber in der Kapillare)lHg = 5.40 [cm] (Fadenlnge des Quecksilbers in der Kapillare)Hg = 13.595 [g/cm

3] = 13.95103[kg/m] (Dichte)hH2O = 19.85 [mm] (Mittelwert fr die Hhe der Wassersule)

_________________________________________________________________________

Ring- oder BgelmethodeEin Aluminiumring mit einer scharfen Schneide wird ber drei Fden an einem Kraftmesserbefestigt. Beim Herausziehen aus dem Fluid hebt die Schneide eine dnne ringfrmigeFlssigkeitsschicht aus der Wasseroberflche.


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MewerteF1 = Gewichtskraft des Ringes in LuftF2 = Gewichtskraft vor dem Abreien

r = Radius des RingesOberflchenspannung

Gl. 2-49: 22

12

r

FF

Abb. 2-17: Ringmethode

Der Faktor 2 in Gl. 2-49 im Nenner ergibt sich aus der Kapillarspannung an denBerhrungslinien oben am Ringrand/Flssigkeit und unten an Flssigkeit/Flssigkeit.

_________________________________________________________________________

b. 2-7: Bestimmung der Oberflchenspannung von H2O mittels Ringmethode

T = 25 [C]m = 4.910 [g] (Masse des Ringes)

F2 = 7.51210-2

[N] (Zugkraft vor dem Abreien)d = 60 [mm] (Durchmesser des Ringes)

_________________________________________________________________________

2.1.10 Viskositt

Defin ition nach DIN 1342Eigenschaft fliefhigen Systems bei der Verformung eine mechanische Spannungaufzunehmen, die von der Verformungsgeschwindigkeit abhngt, bzw. Schub- oderTangentialspannung ist die Ursache fr die im Fluid hervorgerufene Verformungs-geschwindigkeit. Viskositt ist eine Stoffgre und stellt ein Ma fr die Verschiebbarkeit derFluidteilchen gegeneinander dar.

Newton'sches FluidreibungsgesetzHerleitung ber Plattenzugversuch: Zwischen ruhender und bewegter Wandflche bildet sichein Geschwindigkeitsgeflle, das bei kleinen Schichtdicken linearisiert werden kann.

Gl. 2-50:dz

dcAF x


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Tangentialspannung (auch: Scher- oder Schubspannung)

Abb. 2-18: Plattenzugversuch

Die ScherkraftFbezogen auf die PlattenflcheAergibt Tangentialspannung

Gl. 2-51: dzdcAF x

Der Gradient dzdcD x wird auch als Schergeflle bezeichnet.

Reibungsverhalten verschiedener Fluide

Abb. 2-19: Reibungsverhalten verschiedener Fluide

Newton'sche FluideBezeichnung fr alle Fluide, die sich entsprechend dem Newton'schen Fluidreibungsgesetzverhalten, d.h. einen konstanten Proportionalittsfaktor (= dyanamische Viskositt) auf-weisen.

Fluide mit dilatantem (= dehnbarem) VerhaltenDie Scherspannung, d.h. Viskositt steigt progressiv mit wachsendem Schergeschwindig-keitsgeflle, z.B. bei Klebstoffen oder nassem Sand. Bei geringen Schergeschwindigkeiten

wirkt das Wasser im Sand als Gleitmittel, bei einer Erhhung der Geschwindigkeit reit derWasserschmierfilm ab und Sand reibt gegen Sand, wodurch die Scherspannung ansteigt.


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Pseudoplastisches (strukturviskoses) VerhaltenDie Scherspannung steigt degressiv mit wachsender Schergeschwindigkeit, z.B. inSchmelzen, Dispersionen mit lnglichen Partikeln, die zuerst ineinander verhakt sind undsich mit zunehmender Scherbewegung ausrichten, wodurch der Widerstand nachlt.

Plastisches Verhalten (Bingham-Fluide)Bis zum Erreichen eines Schwellwertes entspricht das Verhalten dem eines Festkrpers, beiberschreiten der charakteristischen Scherspannung beginnt der Stoff, hnlich einemNewton'schen Fluid zu flieen, z.B. Honig, Wachs, Teer, Fette


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Fluidmechanik Hydrostatik - Druckmessung 37___________________________________________________________________

2.2 Druckmessung

2.2.1 Druckbegriffe

Abb. 2-20: Druckdefinitionen

Die Zustandsgre Druck ist immer auf ein Referenzniveau bzw. auf einen Referenzdruckbezogen. In Abhngigkeit von dem verwendeten Bezugsniveau lassen sich unterschiedlicheDrcke definieren.

Absolutdruck pabsgegenber Vakuum

Gl. 2-52:

0

Vakuumabs ppp

Relativdruckprel, d.h. Druck gegenber dem Luftdruckp0, berdruckoder Unterdruck

Gl. 2-53: ghppp ffabsrelG 0,

berdruck(hf> 0), Flssigkeitssule wird im Manometer nach oben gedrcktUnterdruck(hf< 0), Flssigkeitssule wird im Manometer nach unten gedrckt

Differenzdruck p, Differenz zwischen zwei Drckenp1undp2

Gl. 2-54: 21 ppp


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2.2.2 Druckmessung in einem Kessel mit tels U-Rohr Manometer

Bestimmung des KesseldruckspGin der Hhe derAnschlustelle

Krftegleichgewicht im Rohr:

Gl. 2-55: ghpghp ffgGG 0

Gl. 2-56: ghghpp gGffG 0

bei fG gilt

Gl. 2-57: ghpp ffG 0

Abb. 2-21: U-Rohr Manometer

Die Meergebnisses werden nur geringfgig durch die Kapillaritt im Rohr beeinflut, sofernder Rohrdurchmesser des Manometers entsprechend gro gewhlt wird.

_________________________________________________________________________

b. 2-8: Einflu der Kapillaritt in einem Quecksilber U-Rohr Manometer

D = 6 [mm] (Rohrinnendurchmesser)W = 140 [grd] (Randwinkel Hg/Glas)T = 20 [C] (Temperatur)Hg/H20 = 0.380 [N/m] (Grenzflchenspannung)Hg/Luft = 0.470 [N/m] (Grenzflchenspannung)

_________________________________________________________________________


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2.2.3 Bercksichtigung des hydrostatischen Drucks in einem Kessel

Die nderung des hydrostatischen Drucks istin der Regel bei Gasen ber die Behlterhhevernachlssigbar. Der Druck im Kessel kannnherungsweise ber die Hhe als konstantangenommen werden. Dies gilt jedoch nichtfr Flssigkeiten.

Abb. 2-22: Hydrostatischer Druck in einem Kessel

Druck im Kessel auf der Hhe hx

Gl. 2-58: gxpp fLx

Druckgleichgewicht im Manometer bei h2Gl. 2-59: ghpgyp Hgfx 0

Gl. 2-60: gyghpp fHgx 0

2.2.4 Differenzdruckmessung

Die Druckdifferenz 21 ppp ergibt sich aus derDruckgleichgewicht bei A-A

Gl. 2-61: hghgphgp Hgff 2211

Gl. 2-62: hghhgpp Hgf 1221

Gl. 2-63: hgp fHg

Abb. 2-23: Differenzdruckmessung

f

Hg


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Bei geringen Geschwindigkeiten (M < 0.3) kann bei Gasen die Dichte gegenber derFlssigkeit im Manometer vernachlssigt werden, d.h. Gl. 2-63 vereinfacht sich zu:

Gl. 2-64: hgp Hg

Hierbei wird implizit die Annahme getroffen, da im Rohr eine quasi-eindimensionaleStrmung vorliegt, d.h. die Strmungsparameter ndern sich hauptschlich in und nicht querzur Strmungsrichtung. Es git somit: 21 ,pppWand

2.2.5 Bercksichtigung des Temperatureinflusses

Die temperaturbedingte Volumennderung der Flssigkeit im Manometer, z.B. Quecksilberist bei Druckmessungen zu bercksichtigen.

T[C] 0 10 20 30[kg/m] 13595 13570 13546 13521

Tab. 2-5: Dichte von Quecksilber als Funktion der Temperatur

Lnge der Quecksilbersule bei T= 0C

Gl. 2-65: TLL T 4

0 1081.11

LT[mm Hg]Lnge bei Raumtemperatur T[C]

Nherungsbeziehung zur Temperaturkorrektur der Quecksilbersule

Gl. 2-66:8

0

TLL T

2.2.6 Bercksichtigung der Luftfeuchte

Ab einer relativen Luftfeuchte von > 50% ist der Einflu der Feuchte auf die spezifischeGaskonstanteR, die in die Berechnung der Luftdichte eingeht zu bercksichtigen, d.h. derWert der spezifischen Gaskonstante von trockener Luft Rt ist entsprechend Gl. 2-68 zukorrigieren, wobei Rfdie um die relative Luftfeuchte korrigierte spezifische Gaskonstantevon Luft darstellt.

Gl. 2-67:TR

p

f

Gl. 2-68:

p

p

R

R

p

p

RR

d

d

td

tf

3773.01

05.287

11

mit KkgJRt 05.287 spez. Gaskonstante von trockener Luft

KkgJRd 461 spez. Gaskonstante von Wasserdampf relative Luftfeuchte

dp Sttigungsdampfdruck von Wasser in Luft

p Luftdruck


53/180


Der Sttigungsdampfdruck von Wasser in Luft pd kann fr die vorliegende Temperatur Tentweder einer Dampftafel entnommen oder ber die Magnus2-Formel berechnet werden.

Gl. 2-69: Paep TT

d

2.2415043.17

213.611 , T[C] Lufttemperatur

2.2.7 Drucksonden

Abb. 2-24: Drucksonden

Wanddruckmessung Statische Drucksonde Pitot-Sonde, Prandtl-Rohr

statischKWand ppp ppstatisch ppstatisch

ghpp FWand ghpp Fstatisch dynttotalPitot ppppp

Bei inkompressiblen Strmungen lt sich aus dem dynamischen Druck pdyn, d.h. derDifferenz aus Totaldruckptund statischem Druckp

Gl. 2-70: 2

2cqppp tdyn

die Strmungsgeschwindigkeit cbestimmen

Gl. 2-71: hgppc Ft

2

2

2.2.8 Schrgrohrmanometer

Weiterentwicklung des U-Rohr Manometers,Neigung des Meschenkels fhrt zu einerAufweitung der Skala, entsprechendsin,magebend ist lediglich die Differenz hin denSpiegelhhen.

Gl. 2-72: glghpp MM sin21

Abb. 2-25: Schrgrohrmanometer

2H. G, Magnus (1802-1870), dt. Physiker und Chemiker


54/180


b. 2-9: Geschwindigkeitsmessung mittels Schrgrohrmanometer und Prandtl-Rohr

geg.: l = 100 [mm] (Lnge der aufgestiegenen Meflssigkeit)M = 800 [kg/m](Dichte der Meflssigkeit, Alkohol)

= 30 [grd] (Neigungswinkel des Manometers)

Tageswerte im Laborp = ..720 [mm Hg] (Luftdruck)T = 24 [C] (Lufttemperatur) = ....70 [%] (relative Feuchte)

Berechnen Sie fr diese Bedingungen die Strmungsgeschwindigkeit in der Mestrecke desWindkanals, wenn die Druckdifferenz am Manometer ausp1(Gesamtdruck) und p2(statischer Druck) bestimmt wird._________________________________________________________________________


55/180

Fluidmechanik Hydrostatik Druckkrfte auf Begrenzungsflchen 43___________________________________________________________________

2.3 Druckkrfte auf Begrenzungsf lchen

Abb. 2-26: Druckkrfte auf Begrenzungsflchen, [ 10]

Betrachtet wird im Folgenden ein Behlter, der bis zur HheHmit einem Fluid der Dichte gefllt ist und an dessen Oberflchen und Auenseiten der Umgebungsdruckpoherrscht.

2.3.1 Druckkraft auf eine ebene, horizontale Flche

Die Druckkraft auf die Bodenplatte ergibt sich aus der Bilanz aus hydrostatischem Druck undUmgebungsdruck.

Gl. 2-73: AHgFFF aiB

2.3.2 Druckkraft auf eine geneigte Flche

Hydrostatische Kraft dFauf ein Flchenelement dAin der Tiefe h, mit cosyh

Gl. 2-74: dAygdApygpdAphphdFh

coscos 000

Gl. 2-75: A

dAygF cos

SchwerpunktsabstandySder FlcheAbezogen auf diex-Achse

Gl. 2-76: A

S dAyA

y1

Resultierende Druckkraft auf die geneigte FlcheA

Gl. 2-77: AygF S cos

Mit der Tiefe hSdes Flchenschwerpunkts S

Gl. 2-78: SS yh cos

Gl. 2-79: AphpAhgAygF SSS 0cos


56/180


Die resultierende Kraft auf die Flche Aergibt sich aus dem hydrostatischen Druck der imFlchenschwerpunkt Sherrscht

Gl. 2-80: SS hgphp 0

DruckpunktDMit Ausnahme einer horizontalen, ebenen Flche verteilt sich der Druck nicht konstant berdie Flche A. Dies hat zur Folge, da der Kraftangriffspunkt oder Druckpunkt, nicht imFlchenschwerpunkt liegt. Die Druckpunktkoordinate yD ergibt sich aus dem Momenten-gleichgewicht bezglich derx-Achse.

Gl. 2-81:

xI

AA dFA

D dAygdAygydFyyF 2coscos

Ix: Flchentrgheitsmoment der FlcheAin Bezug auf diex-Achse

Der AbstandyDdes DruckpunktesDvon der Flssigkeitsoberflche ergibt sich ausGl. 2-77eingestetzt in Gl. 2-81.

Gl. 2-82: xDS IgyAyg coscos

Mit dem Steinerschern Satz AyII SSxx 2 , wobei ISx dasFlchentrgheitsmoment der

Flche A in Bezug auf eine Achse durch den Flchenschwerpunkt S, parallel zur x-Achsebeschreibt, ergibt sich fr die KoordinateyDdes DruckpunktesD

Gl. 2-83: SS

Sx

S

SSxD y

Ay

I

Ay

AyIy

2

Abstand ezwischen Flchenschwerpunkt Sund DruckpunktDder FlcheA(iny-Richtung)

Gl. 2-84: 0

Ay

Iyye

S

SxSD

Druckpunkt liegt immer tiefer als der Schwerpunkt

Momentengleichgewicht bezglichy-Achse liefert DruckpunktkoordinatexD

Gl. 2-85:

Ay

IxdAyxgdAygxdFxxF

S

xyD

I

AA dFA

D

xy

coscos

Ixy: Zentrifugalmoment der FlcheAin Bezug aufx,y-System

Hat die belastete FlcheAeine Symmetrieachse parallel zury-Richtung, so liegt derDruckpunktDauf dieser Symmetrieachse im Abstand eunter dem Schwerpunkt S

Sonderfall: Senkrechte ebene Flche hy ,0 Kraft auf die senkrechte Wand

Gl. 2-86: AhgF S

Abstand Druckpunkt zu Flchenschwerpunkt


57/180


Gl. 2-87:Ah

Ihhe

S

SxSD

Al lgemein gil t:

Druckkrfte auf geneigte oder senkrechte Flchen sind unabhngig vom absolutenFlssigkeitsvolumen, lediglich die Fllhhe ist magebend (vgl. hydrostatisches Paradoxon).

_________________________________________________________________________

b. 2-10: Kraft auf eine Absperrklappe

geg.:hS1 = 5 [m]

D = 1 [m] = 30 [grd]

= 103

[kg/m]H = 7 [m]B = 10 [m]

ges.1. KraftF1auf die Absperrklappe?2. Lage des Kraftangriffspunktes vonF1?3. Drehmoment der Klappe bezglichx-x?4. Klappenlagerung beix-xodery-y?5. KraftF2auf die linke Wand?6. Lage des Kraftangriffspunktes vonF2?

_________________________________________________________________________

2.3.3 Druckkrfte auf gekrmmte Begrenzungsf lchen

2.3.3.1 Einfach gekrmmte (abwickelbare) Flchen

Abb. 2-27: Druckkrfte auf abwickelbare Flchen, [ 10]


58/180


Hydrostatische Kraft dFam Element dA

Gl. 2-88: dAhgdF

Gl. 2-89: xx dAhgdAhgdF sin

Gl. 2-90: hh dAhgdAhgdF cos

Die Druckbelastung ergibt sich aus der Projektion des belasteten Flchenelements senkrechtzur betrachteten Kraftrichtung.

Horizontale KraftkomponenteFxfr die durch die Kurve 1-2-3-4 beschriebene Flche

Gl. 2-91:

xSxxSxA

xx AphpAhgdAhgFx

0

hSx: Abstand des Flchenschwerpunktes Sxder ProjektionsflcheAxzur Oberflche

Die ProjektionflcheAxergibt sich aus der Projektion von 1-2 zu 1'-2', horizontale Druckkrftevon 2-3 heben sich gegen 3-4 auf und liefern keinen Beitrag. Das MomentengleichgewichtanAxergibt den AngriffspunktDxder KraftFx:

Gl. 2-92:xSx

SySxDxx

Ah

Ihhe

ISy: Axiales Flchentrgheitsmoment der FlcheAxbezglich einer zury-Achse parallelenAchse durch den Schwerpunkt Sxder ProjektionsflcheAx

Vertikale Kraftkomponente Fh fr die durch die Kurve 1-2-3-4 beschriebene Flcheentspricht der Gewichtskraft des ber der Kurve 1-2-3-4 befindlichen (realen oder fiktiven)Fluidvolumens, unabhngig davon ob sich in dem Volumen Verdrngungskrper (Kurve 5-6-7-8) befinden oder nicht, ergibt sich die vertikale KraftkomponenteFhzu

Gl. 2-93:

VgdAhgFhA

hh

Da die Gewichtskraft des Fluidvolumens V im Masseschwerpunkt SF angreift, verluft dievertikale KraftkomponenteFhdurch den Schwerpunkt SFdes oberhalb der bedrckten Flcheliegenden Volumens.

Die GesamtkraftFergibt sich aus horizontaler und vertikaler KomponenteFx, undFh

Gl. 2-94:h

xFhx FFFFFarctan,22


59/180


Aufdruckkraft Fh'

Abb. 2-28: Aufdruckkraft auf einen eingetauchten Krper, [ 10]

Das Flchenelement dA'wird in der Tiefe hdurch die Druckkraft dF'belastet. Die vertikaleKomponente dFh'ergibt sich aus der Hhe der Flssigkeitssule ber der belasteten FlchedAh'

Gl. 2-95: VdgAdhgFddF

hdA

h

coscos

Die Aufdruckkraft Fh' senkrecht nach oben ergibt sich aus der Gewichtskraft des fiktivenVolumens V' ber der belasteten Flche 9-10. Die Wirkungslinie verluft durch den

Masseschwerpunkt SF'.

Gl. 2-96: VgFh

2.3.3.2 Beliebig gekrmmte (nicht abwickelbare) Flchen

Abb. 2-29: Druckkrfte auf beliebig gekrmmte Flchen, [ 10]


60/180


Die Druckbelastung einer beliebig gekrmmten Flche lt sich durch Projektion dergekrmmten Flchen in die h-y-Ebene bzw. h-x-Ebene auf ein ebenes Problem zurckfhrenund die Projektionsflchen werden analog zu einer senkrechten Wand behandelt.

Horizontale KraftkomponentenF

x,F

yDie Kraft auf die senkrechte Wand ergibt sich aus dem hydrostatischen Druck im Flchen-schwerpunkt multipliziert mit der ProjektionsflcheAxbzw.Ay.

Gl. 2-97: xSxx AhgF und ySyy AhgF

Gl. 2-98:

x

A

x

Sx A

dAh

h x

und

y

A

y

SyA

dAh

h y

Gl. 2-99:xSx

Syx

Ah

Ie

und

ySy

Sxy Ah

Ie

Gl. 2-100xSx

yhDx

Ah

Iy

und

ySy

xhDy Ah

Iy

Vertikale KraftkomponenteFhKraft ergibt sich aus dem realen oder fiktiven Fluidvolumen Vzwischen der Flche und derFluidoberflche. Wirkungslinie der GewichtskraftFhverluft durch den Masseschwerpunkt SFdes Volumens V

Gl. 2-101: VgFh

2.3.4 Stabilitt

2.3.4.1 Stabili tt schwebender Krper

FG>FA: AbtauchenFG=FA: SchwimmenFG


61/180


2.3.4.2 Stabili tt schwimmender Krper

Ausgangslage

FG Gewichtskraft des Krpers, greift imKrperschwerpunkt SKanFA Gewichtskraft des verdrngten Fluids,

greift im Schwerpunkt SFdesverdrngten Fluids an

Abb. 2-31: Schwimmender Krper - Ausgangslage

Auslenkung aus der Gleichgewichts lage

Abb. 2-32: Schwimmender Krper - Auslenkung aus der Gleichgewichtslage

Wird der schwimmende Krper aus der Gleichgewichtslage ausgelenkt, so verbleibt derKrperschwerpunkt SK auf seiner Position. Das Volumen des verdrngten Fluids VF bleibtgleich, ndert aber seine Form, wodurch sich der Schwerpunkt des verdrngten Volumensvon SFauf SF'verschiebt. Die in den beiden Schwerpunkten angreifenden Krfte FAund FGliegen nun nicht mehr auf der gleichen Wirkungslinie. In dem in Abb. 2-32 skizziertenBeispiel bildet sich ein aufrichtendes Moment.

Der Schnittpunkt von Schwimmachse und Auftriebskraft FA wird als Metazentrum Mbezeichnet. Die sog. metazentrische Hhe hM beschreibt den Abstand des Metazentrums

von dem Krperschwerpunkt SK

Gl. 2-102: eV

Ih

F

M 0

WobeiI0das Trgheitsmoment der Schwimmflche darstellt.

StabilittsbedingungEin eigenstabiles Verhalten, d.h. ein selbstndiges Zurckkehren in die Ausgangslage nacheiner Auslenkung infolge einer Strung, z.B. Welle, wird durch die metazentrische Hhe hMdefiniert.stabil: 0,0 ahm , indifferent: 0mh , instabil: 0,0 ahm


62/180


Stabilittsverhalten verschiedener Schiffstypen

Abb. 2-33: Stabilitt unterschiedlicher Schiffstypen in Abhngigkeit von Beladung, [ 10]

Aufrichtender Hebelarm aber Krngungswinkel

1 Seenotrettungskreuzer, 23m2 Seenotrettungsboot, 8.3m3 Patrouillenboot, 38m4 Motoryacht

4a 100% Vorrte4b 25% Vorrte

5 Containerschiff, 1100 Container zu 14t6 Gorch Fock

6a unter Segel, 100% Vorrte, 70 Mann in den Rahen, 200 an Deck6b Rumpf ohne Aufbauten

_________________________________________________________________________

b. 2-11: Stabilitt eines Schiffsrumpfes

Der eingetauchte Bereich entspricht einerzylindrischen Halbellipse mit derGesamtlnge L

Gesucht ist die maximale Lage des

Krperschwerpunkts ber derWasseroberflche bis Instabilitt eintritt

_________________________________________________________________________


63/180

Fluidmechanik Hydrostatik Fluide unter Beschleunigung 51___________________________________________________________________

2.4 Fluide unter Beschleunigung

2.4.1 Niveauflchen

Die Verbindungsflche aller Punkte mit gleichem Druck in einem Fluid wird als Niveauflche(Isobarenflche) bezeichnet. Niveauflchen bilden sich immer senkrecht zu den vorliegendenMassekrften (Gravitation, Trgheit). Freie Oberflchen von Flssigkeiten werden durch denUmgebungsdruck belastet und bilden ebenfalls Niveauflchen, d.h. an jeder freien Ober-flche eines Fluids herrscht immer ein Druckgleichgewicht zwischen dem Druck an derOberflche des Fluids und dem Umgebungsdruck. Wirkt als einzige Kraft nur die Gravitationauf das Fluid, so stellt sich als Niveauflche eine horizontale Ebene, bzw. Kugelflche(Ozean) ein. Zustzliche Trgheitskrfte bewirken eine Verschiebung der Niveauflche.

2.4.2 Gleichfrmig horizontal beschleunigter Behlter

Abb. 2-34: Horizontal beschleunigter Behlter

Der Spiegel der freien Oberflche steht immer senkrecht zum resultierenden Beschleu-nigungsvektor. Der Neigungswinkel des Flssigkeitsspiegels gegenber der Horizontalenergibt sich aus dem Verhltnis der Trgheitskrfte zur Gewichtskraft.

Gl. 2-103:g

a

gdm

adm

aftGewichtskr

raftTrgheitsk

tan

2.4.3 Rotierende Flssigkeiten

Abb. 2-35: Rotierender Behlter mit Flssigkeit


64/180


Rotiert ein Gef mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um seine Hochachse, so sinkt derSpiegel zur Mitte hin ab. Die resultierende Kraft am Element dm ergibt sich ausZentrifugalbeschleunigung dFTund Erdbeschleunigung dFG

Gl. 2-104:2 rdmdFT

Gl. 2-105: gdmdFG

Der Winkel der Tangente an die Oberflche berechnet sich aus dem Verhltnis derBeschleunigungskrfte

Gl. 2-106: rggdm

rdm

dF

dF

dr

dz

G

T

22

tan

Die Parabelform der Oberflche ergibt sich aus der Abhngigkeit der Zentrifugalbeschleunig-ung vom Rotationsradius r.

Bestimmung der Form der freien Oberflchez = z(r)Aus

Gl. 2-107: rgdr

dz

2

tan

folgt

Gl. 2-108: drrg

dz 2

Die Integration vonzminbiszmax

Gl. 2-109:

r

zrr

z

z

drrg

dzminmin

2

ergibt fr eine Rotation um die Symmetrieachse mit 0min zr

Gl. 2-110: 22

min2

rg

zrz

Die maximale Steighhezmaxam Rand, d.h. bei Rzr max ergibt sich aus Gl. 2-110

Gl. 2-111:22

minmax2

Rg

zz

Das Volumen eines Rotationsparaboloids entspricht dem halben Volumen des einhllendenZylinders, d.h.

Gl. 2-112: ZylinderParaboloidRot VV 2

1.

und damit lt sich Gl. 2-111auch schreiben als

Gl. 2-113: 22

min0minmax

2

2 R

g

zzzz


65/180


Mit

Gl. 2-114:2

2

0min4

Rg

zz

ergibt sich aus Gl. 2-110die Form der freien Oberflche bei einer Rotation um dieSymmetrieachse

Gl. 2-115 :

2

1

2

2

22

0R

rR

gzrz

Druck auf den Behlterboden

Abb. 2-36: Rotierender Behlter mit Flssigkeit

Der Druck auf den Behlterboden ergibt sich zu

Gl. 2-116:

rz

R

rR

gzgprzgprp

2

1

2

2

22

000

Die parabolische Druckzunahme nach auen ist insbesondere fr radial durchstrmteStrmungsmaschinen von Bedeutung, z.B. bei Radialverdichtern.

Druck im Inneren des BehltersDie Druckzunahme in der Ebene A-A zwischen 1 und 2 betrgt (Abb. 2-36)

Gl. 2-117: 1212 zzgpp

mit

Gl. 2-118: min2

1

2

1

2

zr

g

z

, min2

2

2

2

2

zr

g

z

folgt


66/180


Gl. 2-119: 21222

122

rrpp

Mit der Umfangsgeschwindigkeit ru folgt

Gl. 2-120: 2122122

uupp

Rotierende Flssigkeit mit Deckel3

Abb. 2-37: Rotierender Behlter mit Deckel

Das Krftegleichgewicht in vertikaler Richtung wird in jedem Punkt der Ebene A-A durch diedarber liegende Flssigkeitssule hergestellt, d.h. der Deckel ersetzt in der Krftebilanz dasFluidvolumen VA. Die KraftFDauf Deckel entspricht somit dem Gewicht des Volumens VA.

Gl. 2-121: AD VggmF

Das Volumen VReines Rotationskrpers, der durch die Rotation einer Kurve r(z)um diez-Achse entsteht, wird beschrieben durch

Gl. 2-122: dzzrV

z

zR

2

1

2

mitz1und

Gl. 2-123: 2

1

2

22

0max2 R

gzRrzzz

folgt aus Gl. 2-115

Gl. 2-124: 2022

2

12Rzz

gzr

3Es ist zu beachten, da der Deckel mit einer Belftung versehen sein mu, d.h. der Luftdruckunterhalb und oberhalb des Deckels mu gleich sein

z1

z2

p0

p0


67/180


und somit fr das Rotationsvolumen VRum diez-Achse

Gl. 2-125:

2

1

2

1

2

1

02

22

2

2

02

2 2

2

1

2

12 z

z

z

z

z

z

R zzg

Rzg

dzRzzg

dzzrV

Gl. 2-126:

10222

12202

22

22

2

2

12

2

1zz

gRz

gzz

gRz

gVR

Die Berechnung des fiktiven Volumens VAergibt sich somit zu

Gl. 2-127: RRZylinderA VzzRVVV 122

_________________________________________________________________________

b. 2-12: Zentrifuge

D = 32 [cm] (Innendurchmesser)z0 = 8 [cm] (Fllhhe)

Bei welcher Drehzahl nerreicht der Flssigkeits-spiegel den Behlterboden?

Wie hoch steigt die Flssigkeit in diesem Fall an derWand des Behlters?

_________________________________________________________________________

b. 2-13: Zentrifuge mit belftetem Kolben

In eine mit der Drehzahl n= 1 [s-1] rotierendeZentrifuge wird ein reibungsfrei dichtender Kolben Kgesetzt. Der Kolben besitzt in

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