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 Skript zur Vorlesung Fluidmechanik Prof. Dr.-Ing. Peter R. Hakene sch Version 1.7

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Skript zur VorlesungFluidmechanik

Prof. Dr.-Ing. Peter R. Hakenesch

Version 1.7

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Inhalt

1  Einleitung ........................................................................................................................ 1 1.1 Allgemeines .............................................................................................................. 11.2 Historische Entwicklung ............................................................................................ 21.3 CFD als Entwurfswerkzeug ...................................................................................... 21.4 Strömungssimulation in Windkanälen....................................................................... 51.5 Gliederung der Fluidmechanik .................................................................................. 61.6 Begriffsdefinitionen ................................................................................................... 6

1.6.1 Fluid .................................................................................................................. 61.6.2 Stationäre und instationäre Strömung, quaistationäre Strömung ..................... 71.6.3 Stromlinie und Bahnkurve ................................................................................. 71.6.4 Stromfaden und Stromröhre ............................................................................. 81.6.5 Ideale und Reale Fluide .................................................................................... 8

1.7 Klassifizierung von Strömungen ............................................................................... 91.7.1 Einteilung von Strömungen als Funktion der Reibung ...................................... 9

1.7.2 Einteilung von Strömungen als Funktion der Kompressibilität ........................ 101.7.3 Einteilung von Strömungen als Funktion der Machzahl .................................. 111.7.4 Zusammenfassung der einzelnen Geschwindigkeitsbereiche ........................ 17

1.8 Einteilung der Fluide nach Fließverhalten .............................................................. 17

2  Hydrostatik .................................................................................................................... 18 2.1 Grundlagen ............................................................................................................. 18

2.1.1 Physikalische Eigenschaften der Flüssigkeiten und Gase ............................. 182.1.2 Kompressibilität von Gasen und Flüssigkeiten ............................................... 192.1.3 Druckeinheiten ................................................................................................ 202.1.4 Hydrostatischer Druck .................................................................................... 202.1.5 Hydrostatisches (Pascal'sches) Paradoxon .................................................... 21

2.1.6 Verbundene Gefäße (kommunizierende Röhren) ........................................... 222.1.7 Saugwirkung ................................................................................................... 242.1.8 Statischer Auftrieb (Prinzip des Archimedes) ................................................. 262.1.9 Oberflächenspannung und Kapillarwirkung .................................................... 282.1.10 Viskosität ........................................................................................................ 34

2.2 Druckmessung ........................................................................................................ 372.2.1 Druckbegriffe .................................................................................................. 372.2.2 Druckmessung in einem Kessel mittels U-Rohr Manometer .......................... 382.2.3 Berücksichtigung des hydrostatischen Drucks in einem Kessel ..................... 392.2.4 Differenzdruckmessung .................................................................................. 392.2.5 Berücksichtigung des Temperatureinflusses .................................................. 402.2.6 Berücksichtigung der Luftfeuchte ................................................................... 40

2.2.7 Drucksonden ................................................................................................... 412.2.8 Schrägrohrmanometer .................................................................................... 41

2.3 Druckkräfte auf Begrenzungsflächen ..................................................................... 432.3.1 Druckkraft auf eine ebene, horizontale Fläche ............................................... 432.3.2 Druckkraft auf eine geneigte Fläche ............................................................... 432.3.3 Druckkräfte auf gekrümmte Begrenzungsflächen ........................................... 452.3.3.1 Einfach gekrümmte (abwickelbare) Flächen ................................................... 452.3.3.2 Beliebig gekrümmte (nicht abwickelbare) Flächen ......................................... 472.3.4 Stabilität .......................................................................................................... 482.3.4.1 Stabilität schwebender Körper ........................................................................ 482.3.4.2 Stabilität schwimmender Körper ..................................................................... 49

2.4 Fluide unter Beschleunigung .................................................................................. 512.4.1 Niveauflächen ................................................................................................. 512.4.2 Gleichförmig horizontal beschleunigter Behälter ............................................ 512.4.3 Rotierende Flüssigkeiten ................................................................................ 51

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3   Aerostat ik ...................................................................................................................... 56 3.1 Atmosphäre der Erde ............................................................................................. 56

3.1.1 Die Erdatmosphäre als Wärmekraftmaschine ................................................ 563.1.2 Aufbau der Erdatmosphäre ............................................................................. 57

3.2 Abhängigkeit des Luftdrucks von der Höhe ............................................................ 593.2.1 Luftdruck ......................................................................................................... 593.2.2 Kräftegleichgewicht an einem Volumenelement ............................................. 59

3.3 Internationale Standardatmosphäre (ISA) .............................................................. 623.3.1 Temperaturverteilung der Standardatmosphäre ............................................. 623.3.2 Definitionen der Höhe ..................................................................................... 65

4  Strömung von Fluiden ................................................................................................. 69 4.1 Grundbegriffe .......................................................................................................... 69

4.1.1 Allgemeine Beschreibung des Strömungsfeldes ............................................ 694.1.2 Stationäre und instationäre Strömungen ........................................................ 694.1.3 Bahnlinie und Stromlinie ................................................................................. 70

4.1.4 Stromröhre, Stromfaden, Stromfläche ............................................................ 714.2 Kontinuitätsgleichung ............................................................................................. 724.3 Energieerhaltungssatz ............................................................................................ 73

4.3.1 Satz von Bernoulli ........................................................................................... 734.3.2 Euler-Gleichung .............................................................................................. 794.3.3 Verlustfreie Rohrströmung - Anwendung der Bernoulli-Gleichung ................. 814.3.4 Ausfluß aus Gefäßen und Behältern - verlustfrei ............................................ 834.3.5 Ausfluß aus Gefäßen und Behältern unter Überdruck - verlustfrei ................. 834.3.6 Ausfluß aus Behältern mit scharfkantigen Öffnungen .................................... 854.3.7 Ausfluß aus Behältern in ruhendes Wasser ................................................... 854.3.8 Ausströmen von Gasen aus Behältern in die Atmosphäre ............................. 864.3.9 Verlustbehaftetes Ausfließen aus einem Behälter .......................................... 87

4.4 Strömung mit Energietransport ............................................................................... 904.4.1 Strömungen unter Berücksichtigung von Arbeit und Verlusten ...................... 904.4.2 Turbine ............................................................................................................ 934.4.3 Pumpe und Gebläse ....................................................................................... 94

4.5 Modellgesetze ........................................................................................................ 954.5.1 Simulationsproblematik ................................................................................... 954.5.2 Kennzahlen ..................................................................................................... 954.5.3 Reynoldszahl .................................................................................................. 97

4.6 Grenzschichttheorie ................................................................................................ 984.6.1 Grenzschicht ................................................................................................... 984.6.2 Verdrängungsdicke  *  der Grenzschicht......................................................... 994.6.3 Grenzschicht an der längs angeströmten ebenen Platte .............................. 100

4.6.4 Transition ...................................................................................................... 1024.7 Widerstand von Körpern ....................................................................................... 105

4.7.1 Formen des Widerstands .............................................................................. 1054.7.2 Reibungswiderstand ..................................................................................... 1064.7.3 Druckwiderstand ........................................................................................... 1094.7.4 Induzierter Widerstand .................................................................................. 1174.7.5 Interferenzwiderstand ................................................................................... 1214.7.6 Gesamtwiderstand ........................................................................................ 121

4.8 Kugelumströmung ................................................................................................ 1234.8.1 Ideale reibungsfreie Umströmung der Kugel (Potentialströmung) ................ 1234.8.2 Reibungsbehaftete Umströmung der Kugel .................................................. 123

4.9 Zylinderumströmung ............................................................................................. 1284.9.1 Ideale reibungsfreie Strömung (Potentialströmung) ..................................... 1284.9.2 Reibungsbehaftete Umströmung eines Zylinders ......................................... 128

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4.10 Rohrströmung ....................................................................................................... 1304.10.1 Laminare Rohrströmung ............................................................................... 1304.10.2 Turbulente Rohrströmung ............................................................................. 1304.10.3 Rohrreibungswiderstand ............................................................................... 1314.10.4 Rohrreibungszahl   ....................................................................................... 132

4.11 Widerstandsbeiwert für zusätzliche Einbauten in Rohren .................................... 1354.11.1 Widerstand infolge von Ablösung ................................................................. 1354.11.2 Querschnittserweiterung (Diffusor) ............................................................... 1364.11.3 Querschnittsverengung (Düse) ..................................................................... 1394.11.4 Durchflußmessung mit genormten Drosselgeräten (DIN EN ISO 5167) ....... 1414.11.5 Krümmer - Richtungsänderung ..................................................................... 1424.11.6 Eintrittsverluste ............................................................................................. 1434.11.7 Verlustziffern  von Formstücken und Einbauten (Zusammenfassung) ....... 144

5  Impulssatz ................................................................................................................... 148 5.1 Newton’sche Axiome ............................................................................................ 148

5.2 Stromröhre und Stromfaden ................................................................................. 1495.3 Impuls ................................................................................................................... 1495.4 Stationäre Fadenströmung durch einen raumfesten Kontrollraum ....................... 1505.5 Kräfte auf ein Fluid im Kontrollraum ..................................................................... 1515.6 Unterscheidung von drei Klassen von Anwendungsfällen .................................... 1525.7 Impulsssatz für mehrere Ein- und Austrittsflächen ............................................... 1535.8 Anwendungsprinzip des Impulssatzes.................................................................. 154

6  Drallsatz....................................................................................................................... 158 6.1 Drallerhaltung bzw. Drehimpulserhaltung ............................................................. 1586.2 Anwendung des Drallsatzes auf Strömungsmaschinen ....................................... 164

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 Abbi ldungsverzeichnis

Abb. 1-1: Zum Vergleich Massenpunktdynamik – Fluidmechanik ..................................................... 1Abb. 1-2: CFD als Bindeglied zwischen Experiment und Theorie ...................................................... 2Abb. 1-3: Eulerrechnung zur c  p –Verteilung an einer F20 (M   = 0.95,   = 8°), [ 1] ............................ 3

Abb. 1-4: Darstellung der Isobaren (c  p-Verteilung), [ 1] ..................................................................... 4Abb. 1-5: NASA Ames 80 x 120 ft Niedergeschwindigkeitswindkanal ............................................... 5Abb. 1-6: Eurofighter-Modell (Maßstab 1:15), TWT CALSPAN Buffalo NY, USA ............................. 6Abb. 1-7: Gliederung der Fluidmechanik ............................................................................................ 6Abb. 1-8: Verformung eines Fluids zu unterschiedlichen Zeitpunkten t 0 , t 1 und t 2  ............................. 7Abb. 1-9: Stromlinie und Bahnkurve, [ 13] .......................................................................................... 7Abb. 1-10: Stromfaden und Stromröhre ............................................................................................... 8Abb. 1-11: Geschwindigkeitsprofile in reibungsfreier und reibungsbehafteter Strömung .................... 9Abb. 1-12: Reibungsbehaftete Grenzschicht, reibungsfreie Außenströmung .................................... 10Abb. 1-13: Strömungsablösung bei Kugel und Zylinder ..................................................................... 10Abb. 1-14: Verdichtungsstöße und kritische Machzahl an einem Profil, [ 5], [ 8] ............................... 12Abb. 1-15: Widerstandsanstieg bei Überschreiten der kritischen Machzahl, [ 2] ............................... 12Abb. 1-16: Schlierenaufnahme eines Projektils: Ernst Mach 1888, [ 14] ........................................... 13

Abb. 1-17: Mach’scher Kegel in einer Überschallströmung, [ 5], [ 8] ................................................. 13Abb. 1-18: Verdichtungsstoß an einer Rampe bei M   = 36 ................................................................ 14Abb. 1-19: Modell des Raumtransporters Sänger mit Oberstufe Horus, H2K DLR Köln ................... 14Abb. 1-20: Space Shuttle (Rockwell) und chemische Reaktion beim Wiedereintritt, [ 9] ................... 14Abb. 1-21: Staupunkttemperaturen und chemische Reaktionen von Luft, [ 3] ................................... 15Abb. 1-22: Verhalten von Luft im Vergleich zu dem Verhalten des idealen Gases: .......................... 15Abb. 1-23: Stromlinien und Mach-Linien als Funktion der Machzahl ................................................. 17Abb. 1-24: Unterscheidung von Fluiden nach Fließverhalten ............................................................ 17Abb. 2-1: Zustandsdiagramm eines generischen Stoffes ................................................................. 18Abb. 2-2: Kräftebilanz an einer Flüssigkeitssäule ............................................................................ 20Abb. 2-3: Pascal’sches Paradoxon ................................................................................................... 21Abb. 2-4: Kommunizierende Gefäße ................................................................................................ 22Abb. 2-5: Hydraulische Presse ......................................................................................................... 23Abb. 2-6: Saugpumpe ....................................................................................................................... 24Abb. 2-7: Dampfdruckkurve H Da = f(T) von Wasser ......................................................................... 25Abb. 2-8: Archimedes (285 – 212 BC) .............................................................................................. 26Abb. 2-9: Statischer Auftrieb ............................................................................................................. 27Abb. 2-10: Grenzflächenkräfte ............................................................................................................ 29Abb. 2-11: Benetzungsformen als Funktion des Randwinkels ........................................................... 29Abb. 2-12: Krümmungsdruck .............................................................................................................. 30Abb. 2-13: Kapillarwirkung .................................................................................................................. 31

Abb. 2-14: Mittler Kapillarsteighöhen  z  ............................................................................................. 32Abb. 2-15: Stalagmometer .................................................................................................................. 32Abb. 2-16: Kapillarmethode ................................................................................................................ 33Abb. 2-17: Ringmethode ..................................................................................................................... 34

Abb. 2-18: Plattenzugversuch ............................................................................................................ 35Abb. 2-19: Reibungsverhalten verschiedener Fluide ......................................................................... 35Abb. 2-20: Druckdefinitionen .............................................................................................................. 37Abb. 2-21: U-Rohr Manometer ........................................................................................................... 38Abb. 2-22: Hydrostatischer Druck in einem Kessel ............................................................................ 39Abb. 2-23: Differenzdruckmessung .................................................................................................... 39Abb. 2-24: Drucksonden ..................................................................................................................... 41Abb. 2-25: Schrägrohrmanometer ...................................................................................................... 41Abb. 2-26: Druckkräfte auf Begrenzungsflächen, [ 10] ....................................................................... 43Abb. 2-27: Druckkräfte auf abwickelbare Flächen, [ 10] ..................................................................... 45Abb. 2-28: Aufdruckkraft auf einen eingetauchten Körper, [ 10] ........................................................ 47Abb. 2-29: Druckkräfte auf beliebig gekrümmte Flächen, [ 10] .......................................................... 47Abb. 2-30: Stabilität eines schwebenden Körpers .............................................................................. 48

Abb. 2-31: Schwimmender Körper - Ausgangslage ........................................................................... 49Abb. 2-32: Schwimmender Körper - Auslenkung aus der Gleichgewichtslage .................................. 49Abb. 2-33: Stabilität unterschiedlicher Schiffstypen in Abhängigkeit von Beladung, [ 10] ................. 50Abb. 2-34: Horizontal beschleunigter Behälter ................................................................................... 51

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Abb. 2-35: Rotierender Behälter mit Flüssigkeit ................................................................................. 51Abb. 2-36: Rotierender Behälter mit Flüssigkeit ................................................................................. 53Abb. 2-37: Rotierender Behälter mit Deckel ....................................................................................... 54Abb. 3-1: Aufbau der Erdatmosphäre, [ 11] ...................................................................................... 57Abb. 3-2: Kräftebilanz am Fluidelement ........................................................................................... 59

Abb. 3-3: Temperaturverteilung der Standardatmosphäre ............................................................... 62Abb. 3-4: Temperaturabhängigkeit der dynamischen Viskosität ...................................................... 64Abb. 3-5: Geometrische Höhe, Höhenlinien ..................................................................................... 65Abb. 3-6: Barometrischer Höhenmesser .......................................................................................... 66Abb. 3-7: Höhenmessereinstellungen .............................................................................................. 67Abb. 3-8: Flugflächen ........................................................................................................................ 67Abb. 4-1: Zustandsgrößen in einer Strömung .................................................................................. 69Abb. 4-2: Instationäre Strömung ....................................................................................................... 69Abb. 4-3: Wasserkanalaufnahme von NACA 64A015,  = 0° [ 14] .................................................. 70Abb. 4-4: Stromlinien eines Strömungsfeldes .................................................................................. 70Abb. 4-5: Stromlinie und Bahnlinie, [ 13] .......................................................................................... 71Abb. 4-6: Stromröhre, Stromfaden und Stromfläche, [ 13] ............................................................... 71Abb. 4-7: Stromröhre - Kontinuitätsgleichung .................................................................................. 72

Abb. 4-8: Strömungsprozeß mit Austausch von Wärme und Arbeit ................................................. 73Abb. 4-9: Zusammensetzung der Energieanteile in einem offenen System .................................... 77Abb. 4-10: Kräftebilanz an einem Fluidelement in Strömungsrichtung .............................................. 79Abb. 4-11: Venturi Rohr ...................................................................................................................... 81Abb. 4-12: Ausfluß aus einem Behälter .............................................................................................. 83Abb. 4-13: Ausfluß aus einem Behälter unter Überdruck ................................................................... 83Abb. 4-14: Ausfluß aus scharfkantiger Öffnung ................................................................................. 85Abb. 4-15: Ausfluß in ein ruhendes Fluid ........................................................................................... 85Abb. 4-16: Ausströmen von Gasen in die Atmosphäre ...................................................................... 86Abb. 4-17: a) scharfkantige Öffnung b) BORDA-Mündung .............................................................. 87Abb. 4-18: Strömung durch ein Venturi-Rohr ..................................................................................... 88Abb. 4-19: Zusammensetzung der Energieanteile in einem offenen System mit Reibung ................ 92Abb. 4-20: Wasserkraftwerk, Turbinenbetrieb .................................................................................... 93

Abb. 4-21: Wasserkraftwerk, Pumpbetrieb ......................................................................................... 94Abb. 4-22: Massestrom durch eine Stromröhre ................................................................................. 99Abb. 4-23: Verdrängungsdicke der Grenzschicht ............................................................................... 99Abb. 4-24: Grenzschicht an der längs angeströmten ebenen Platte ................................................ 100Abb. 4-25: Voll ausgebildete turbulente Grenzschicht an einer ebenen Platte, [ 14] ....................... 101Abb. 4-26: Laminares und turbulentes Geschwindigkeitsprofil ........................................................ 101Abb. 4-27: Zackenband am Höhenruder eines Segelflugzeugs (ASH25) zur Transitionsfixierung . 103Abb. 4-28: Transsitionsfixierung durch dots an einem Hochgeschwindigkeitswindkanalmodell ...... 103Abb. 4-29: Erzwingung von Transition an Rumpfspitze und Vorderkanten eines Modells .............. 104Abb. 4-30: Erzwingung von Transition durch ’dots’ am Seitenleitwerk eines Modells ..................... 104Abb. 4-31: Resultierende Kräfte an einem angeströmte Profil ......................................................... 105Abb. 4-32: Resultierende Auftriebskraft in einer ebenen Potentialströmung ................................... 105Abb. 4-33: Scher- oder Schubspannung    bzw. Tangentialspannung ............................................ 106

Abb. 4-34: Parallele Schicht- bzw. Scherströmung (Couette-Strömung) ......................................... 106Abb. 4-35: Rautiefe k  ........................................................................................................................ 108Abb. 4-36: Reibungswiderstand der ebenen Platte .......................................................................... 109Abb. 4-37: Potentialströmung um eine ebene Platte ........................................................................ 109Abb. 4-38: Potentialströmung um eine ebene Platte ........................................................................ 110Abb. 4-39: Grenzschichtablösung mit Rückströmgebiet .................................................................. 111Abb. 4-40: Stromlinienverlauf bei reibungsfreier Strömung und reibungsbehafteter Strömung ....... 112Abb. 4-41: Kriechende Strömung, laminar, c   = 1 mm/s, turbulente Strömung, Re = 2000 [ 14] ... 112Abb. 4-42: Karman'sche Wirbelstraße .............................................................................................. 113Abb. 4-43: Bestimmung des Druckwiderstands eines Körpers aus dem Impulsverlust ................... 113Abb. 4-44: Nachlaufrechen ............................................................................................................... 114Abb. 4-45: Ebene Platte, laminare Ablösung,   = 2.5°, Re = 104, [ 14] ........................................... 114Abb. 4-46: Ebene Platte, turbulente Ablösung,   = 2.5°,Re = 5104, [ 14] ....................................... 114Abb. 4-47: Zylinder, laminare (oben) und turbulente (unten) Ablösung, [ 14] .................................. 114Abb. 4-48: Kugel- oder Zylinderumströmung mit prinzipiellem Stromlinien- und Druckverlauf ........ 115Abb. 4-49: Verzögerung der Ablösung durch Spaltklappen bei Hochauftriebssystemen ................ 116

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Abb. 4-50: Entstehung der freien Wirbel am Tragflügel endlicher Spannweite ................................ 118Abb. 4-51: Einfluß der Streckung  auf den induzierten Widerstand C Wi  ........................................ 119Abb. 4-52: Freie Wirbel am Tragflügel endlicher Spannweite .......................................................... 119Abb. 4-53: Wirbelschleppe eine Boeing 747 .................................................................................... 120Abb. 4-54: Widerstandsreduzierung im Formationsflug ................................................................... 120

Abb. 4-55: Strömung am Einzelrohr und am fluchtenden Rohrbündel ............................................. 121Abb. 4-56: Reduzierung des aerodynamischen Widerstands bei LKW-Kolonnen, [ 7] .................... 121Abb. 4-57: Reibungsfreie Kugelumströmung ................................................................................... 123Abb. 4-58: Reibungsbehaftete Kugelumströmung ........................................................................... 124Abb. 4-59: Widerstandstandsbeiwert einer laminar umströmten Kugel ........................................... 124Abb. 4-60: Widerstandsbeiwert der Kugel bei unter- und überkritischer Anströmung ..................... 125Abb. 4-61: Einfluß einer erzwungenen Transition auf den Widerstand ............................................ 126Abb. 4-62: Einfluß der Rauhigkeit auf den Widerstand .................................................................... 127Abb. 4-63: Widerstandsbeiwerte von Kugel und Zylinder ................................................................ 128Abb. 4-64: Laminares Geschwindigkeitsprofil einer Rohrströmung ................................................. 130Abb. 4-65: turbulentes Geschwindigkeitsprofil einer Rohrströmung ................................................ 130Abb. 4-66: Druckverlust infolge Rohrreibung.................................................................................... 131Abb. 4-67: Moody-Diagramm: Rohrreibungszahl als Funktion der Rauhigkeit und Reynoldszahl .. 134

Abb. 4-68: Offenes Gerinne .............................................................................................................. 135Abb. 4-69: Stufendiffusor .................................................................................................................. 136Abb. 4-70: Konischer Diffusor ........................................................................................................... 138Abb. 4-71: Diffusorwirkungsgrad als Funktion des Öffnungswinkels   ............................................ 139Abb. 4-72: Stufendüse ...................................................................................................................... 139Abb. 4-73: Stromlinienverlauf in einer Blende .................................................................................. 140Abb. 4-74: Konstruktive Ausführungen unterschiedlicher Drosselgeräte ......................................... 141Abb. 4-75: Rohreinlaufströmung: Geschwindigkeitsprofil (a) und Druckabfall (b) ............................ 143Abb. 5-1: Sir Isaac Newton: 'Philosophiae Naturalis Principia Matheamtica'  ................................. 148Abb. 5-2: Stromröhre und Stromfaden ........................................................................................... 149Abb. 5-3: Stromröhre AM .ohne Außendruck pa ............................................................................... 151Abb. 5-4: Stromröhre AM .mit Außendruck pa .................................................................................. 151Abb. 5-5: Rohrkrümmer .................................................................................................................. 154

Abb. 6-1: Starrer Körper ................................................................................................................. 158Abb. 6-2: Starrer Körper in Rotation ............................................................................................... 159Abb. 6-3: Pirouetteneffekt ............................................................................................................... 161Abb. 6-4: Aufschwung am Reck ..................................................................................................... 161Abb. 6-5: Versuch: Drehimpulserhaltung (Physikalisches Institut Universität Dortmund) .............. 162Abb. 6-6: Versuch: Drehimpuls als Vektor (Physikalisches Institut Universität Dortmund) ............ 162Abb. 6-7: Tornados über Festland und Meer ................................................................................. 163Abb. 6-8: Schaufelkanal.................................................................................................................. 164Abb. 6-9: Laufrad eines Verdichters ............................................................................................... 165

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Tabellenverzeichnis

Tab. 2-1: Druckeinheiten ................................................................................................................. 20Tab. 2-2: Dampfdruckkurve H Da = f(T) von Wasser ........................................................................ 26Tab. 2-3: Randwinkel für unterschiedliche Materialpaarungen ....................................................... 31

Tab. 2-4: Kapillarspannungen ......................................................................................................... 32Tab. 2-5: Dichte von Quecksilber als Funktion der Temperatur ..................................................... 40Tab. 3-1: Chemische Zusammensetzung der Erdatmosphäre ....................................................... 56Tab. 3-2: Sättigungsdruck von Luft ................................................................................................. 58Tab. 3-3: Temperaturgradienten für unterschiedliche Höhenbereiche ........................................... 63Tab. 3-4: Höhenbereiche mit konstanter Temperatur ..................................................................... 63Tab. 3-5: Anfangswerte und Temperaturgradienten nach ISA ....................................................... 63Tab. 3-6: Werte der Standard-Atmosphäre (ISA) für h = 0 (MSL) .................................................. 64Tab. 4-1: Energie und Leistungsgrößen .......................................................................................... 74Tab. 4-2: Unterschiedliche Schreibweisen der Bernoulli-Gleichung ............................................... 78Tab. 4-3: DIN 1952: Werte für Blenden und Venturirohre ............................................................... 87Tab. 4-4: Dimensionen der Basisgrößen ........................................................................................ 95Tab. 4-5: Dimensionen der abgeleiteten Größen ............................................................................ 96Tab. 4-6: Kennzahlen auf der Basis von Massenkräften ................................................................ 97Tab. 4-7: Korrekturfaktoren für laminare Anlaufstrecke ................................................................ 107Tab. 4-8: Zulässige Rauhigkeiten für hydraulisch glatte Oberflächen .......................................... 108Tab. 4-9: Formwiderstand rotationssymmetrischer Körper ........................................................... 116Tab. 4-10: Formwiderstand ebener Platten ..................................................................................... 116Tab. 4-11: Formwiderstand rotationssymmetrischer Körper ........................................................... 117Tab. 4-12: Korrekturfaktoren für dreidimensional umströmte Zylinder ........................................... 129Tab. 4-13: Durchflußkoeffizient C  und Expansionszahl   ............................................................... 142

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viii

 ___________________________________________________________________

Nomenklatur

Lateinische Bezeichnungen A  [m²] Flächea  [m/s²] Beschleunigunga  [m/s] Schallgeschwindigkeitc  [m/s] Geschwindigkeitc p  [-] Druckbeiwertc p  [J/kgK] spez. Wärme bei konst. Druckcv  [J/kgK] spez. Wärme bei konst. Volumen

 D [1/s] Schergefälle F   [N] Kraft, Schub Fr   [-] Froude-Zahl Ec  [-] Eckert-Zahl Eu  [-] Euler-Zahl Fo  [-] Fourier-Zahl

 g [m/s²] Gravitationskonstante H   [m] Höhe, Förderhöheh  [m] Höhe

 H   [J] Enthalpieh  [J/kg] spez. Enthalpie

 I   [m4] Flächenträgheitsmoment I   [Ns] Impuls

 I    [N] Impulsstrom Kn  [-] Knudsen-Zahlk   [m] Rauhigkeit

 L  [Nms] Drall

 L

  [Nm] Drallstroml   [m] Länge M   [-] Machzahl M   [-] Metazentrum M   [Nm] Momentm  [kg] Massem   [kg/s] Massestromn  [-] Lastvielfachesn  [-] Polytropenexponent

 P   [W] Leistung Pe  [-] Péclet-Zahl Pr [-] Prandtl-Zahl

 p  [Pa] DruckQ  [J] Wärmeq  [J/kg] spez. Wärme

Q   [J/m²] Wärmestrom

q   [W/m²] spez. Wärmestrom

 R  [J/kgK] spez. Gaskonstante (Luft: R Luft  = 287 J/kgK ) Re  [-] Reynoldzahlr   [m] RadiusS   [-] StrouhalzahlS   [J/K] Entropie

 s  [J/K kg] spez. Entropie

T   [K] TemperaturT   [s] UmlaufzeitTu  [-] Turbulenzgrad

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ix

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t   [s] ZeitT   [s] UmlaufzeitU   [J] innere EnergieU   [m] Umfangu  [J/kg] spez. innere Energieu, v, w  [m/s] Geschwindigkeiten in x, y, z-RichtungV   [m³] VolumenV   [m/s] Geschwindigkeitv  [m³/kg] spezifisches VolumenW   [N] WiderstandW   [J] Arbeitw  [J/kg] spez. ArbeitWe  [-] Weber-ZahlY   [m²/s²] spez. Förderarbeit

 x, y, z  [m] Ortskoordinaten

Griechische Bezeichnungen   [rad, Grad] Anstellwinkel  K   [-] Kontraktionszahll    [rad, Grad] Schiebewinkel   [m³/kgs²] Gravitationskonstante,  Erde = 6.6710-11    [m] Grenzschichtdicke   [-] Expansionszahl   [-] Wirkungsgrad   [%] Relative Luftfeuchte   [-] Verustziffer

   [-] Isentropenexponent   [-] Kraftmaßstabsfaktor   [m] mittlere freie Weglänge   [W/mK] Wärmeleitfähigkeit   [-] Längenmaßstabsfaktor   [-] Rohrreibungszahl   [-] Ausflußkoeffizient   [Pas] dynamische Viskosität   [m²/s] kinematischen Viskosität   [-] Zeitmaßstabsfaktor   [-] Kreiszahl

   [-] Druckverhältnis    [kg/m³] Dichte   [W/m²K4] Stefan-Boltzmann-Konstante,   = 5.669710-8    [N/m] Kapillarspannung   [Pa] Schubspannung   [rad] Winkelgeschwindigkeit   [-] Verlustbeiwert

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x

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Indizes  Größe auf die ungestörte Strömung bezogen0  Größe auf Meeresniveau bezogen0  Totalgröße

 Diss  dissipiertd   Dampf

 F Fluid f   feucht K   Körper M   ModellO  Original

 p  Druck R  ReibungS Flächenschwerpunkt

 s  isentrope Zustandsänderungt   Totalgröße

trockenV   VerlustW   Wand

Symbole  Nabla-Operator  Laplace-Operator  proportional

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Fluidmechanik Einleitung 1 ___________________________________________________________________

1 Einleitung

1.1 Allgemeines

Fluidmechanik  ist die Wissenschaft von den Gesetzen der Bewegung und des

Kräftegleichgewichtes der ruhenden und bewegten Flüssigkeiten (Hydrodynamik) und Gase(Thermodynamik, Gasdynamik, Aerodynamik). Sie ist ein Teilgebiet der TechnischenMechanik und somit Teil der angewandten Physik. Die genaue Bezeichnung dieserWissenschaft lautet Mechanik flüssiger Körper   oder Fluidmechanik, wobei unter demBegriff "flüssiger Körper" dünnflüssige, tropfbare Flüssigkeiten und Gase zu verstehen sind.Da im Deutschen ein Oberbegriff für tropfbare Flüssigkeiten und Gase fehlt, hat man dafürnach DIN 5492 den Begriff "Fluid" bzw. “Fluide“ vorgeschlagen. Im Englischen wird dieBezeichnung "fluid"  als Oberbegriff für Flüssigkeiten und Gase, also ein nichtfestesKontinuum, verwendet. Der Begriff "Strömungsmechanik ", wird aus historischen Gründensehr häufig parallel verwendet, umfaßt jedoch streng genommen nicht die Wissenschaft vonden Gesetzmäßigkeiten ruhender Flüssigkeiten und Gase, d.h. der Hydrostatik   bzw. Aerostat ik .

Verglichen mit der Massenpunktdynamik, die oft schon gute Einblicke in reale Vorgänge gibt,ist die Strömungslehre wesentlich komplexer. Das Momentanbild einer Planetenbewegungläßt sich z.B. durch die Koordinaten des Schwerpunktes S , dessen Geschwindigkeit w  undBeschleunigung a darstellen oder durch das 3. Gesetz von Kepler:

Gl. 1-1: 2318

22

3

1036.3.4

 smconst m

r    S 

 

  

Das Momentanbild der Umströmung eines Körpers hingegen erfordert die Kenntnis derGeschwindigkeiten und Drücke nicht eines einzigen Massepunktes, sondern theoretischunendlich vieler Punkte im Raum, aus denen das Druck- und Geschwindigkeitsfeld bestimmt

wird.

Abb. 1-1: Zum Vergleich Massenpunktdynamik – Fluidmechanik

Das Versuchswesen nimmt in der Fluidmechanik eine weit wichtigere Rolle ein als in derFestkörpermechanik. In der Fluidmechanik stehen meist nicht so sehr die bewegten Teilchenals vielmehr die ruhenden oder gleichförmig bewegten umströmten Körper im Mittelpunkt desInteresses, z.B. Landfahrzeuge oder Luftfahrzeuge. Allerdings gewinnen numerische, alsocomputergestützte Verfahren (CFD computational fluid dynamics) zunehmend anBedeutung. Simulation im Windkanal wird mehr und mehr durch Computer-Simulationenergänzt.

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Fluidmechanik Einleitung 2 ___________________________________________________________________

1.2 Historische Entwicklung

Bis zum 17. Jahrhundert war die Strömungsmechanik durch eine ausschließlichexperimentelle Arbeitsweise gekennzeichnet. Im 17.- 18. Jahrhundert setzte die Entwicklung

der theoretischen Strömungsmechanik ein und erst seit ca. 1960, mit der Verfügbarkeit derersten leistungsfähigen elektronischen Rechner begann die Entwicklung der numerischenStrömungsmechanik. Die drei Elemente Experiment, Theorie und CFD sind jedoch nicht alsisolierte, getrennt einzusetzende Werkzeuge zu verstehen, sondern als sich gegenseitigergänzende Verfahren. Wobei jedes einzelne Verfahren unterschiedliche Stärken undSchwächen aufweist. Somit kann CFD als Bindeglied zwischen theoretischen undexperimentellen Verfahren eingestuft werden.

Abb. 1-2: CFD als Bindeglied zwischen Experiment und Theorie

Das Hauptaugenmerk für viele Anwendungen liegt in der Regel in der Ermittlung derDruckverteilung an der Oberfläche des umströmten Körpers und den daraus resultierendenKräften und Momenten auf den Körper. Diese sind erforderlich zur Bestimmung derAuslegungslasten für die Struktur und der Bestimmung der aerodynamischen Parameter,z.B. Auftrieb und Widerstand.

Die Bedeutung der Fluidmechanik zeigt sich z.B. in der  Vorausberechnung der Antriebsleistung für Fahrzeuge mit erheblichem Strömungs-

widerstand (z.B. Auto, Schiff, Flugzeug)  Auslegung von Pumpen- und Kompressorleistungen für in Rohrleitungen transportierte

Fluide im Maschinenbau und in der Verfahrenstechnik  Bereitstellung der Grundlagen für den Entwurf von Gleitlagern, Strömungsmaschinen

(Kreiselpumpen, Ventilatoren, Kompressoren, Dampf-, Gas- und Wasserturbinen)

Dazu ist es jedoch häufig erforderlich das gesamte, den Körper beeinflussende Strömungs-feld zu kennen. Hier bieten sich neben einer reinen theoretischen Analyse oder einfachenHandbuchmethoden, unterschiedliche Vorgehensweisen an. Entweder die Durchführung vonModellversuchen im Wind- oder Wasserkanal oder eine numerische Analyse mit Hilfe vonCFD-Methoden. Die Durchführung von Flug- oder Fahrversuchen ist naturgemäß erst inspäteren Phasen des Entwicklungsprozesses möglich.

1.3 CFD als Entwurfswerkzeug

Seit ca. 1970 wird CFD erfolgreich zur Berechnung zweidimensionaler Strömungen, z.B. beiProfilen eingesetzt. Als effizientes Entwurfswerkzeug zur Berechnung dreidimensionalerStrömungen entwickelte sich CFD seit ca. 1990. In Abb. 1-3 ist die Druckverteilung an derOberfläche eines Flugzeugs in Form von Isobaren, d.h. Linien gleichen Drucks, dargestellt.

Experiment Theorie

CFD 

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Fluidmechanik Einleitung 3 ___________________________________________________________________

Abb. 1-3: Eulerrechnung zur c  p –Verteilung an einer F20 ( M   = 0.95,   = 8°), [ 1]

Üblicherweise wird hierbei nicht der statische Druck an der Wand  pW , sondern diedimensionslose Form des Druckbeiwerts c p verwendet.

Gl. 1-2:2

c

 p pc   W 

 p    

Durch CFD-Verfahren lassen sich nicht nur die Strömungsverhältnisse an der Oberflächedes Körpers bestimmen, sondern es erfolgt eine Berechnung des gesamten Strömungs-

feldes in der Umgebung des Körpers. Somit lassen sich auch Wirbelstrukturen im Nahfelddes umströmten Körpers darstellen. Für die Flügelschnitte a-f sind in Abb. 1-4 Vergleichezwischen den Ergebnissen aus numerischer Berechnung und experimentellen Ergebnissenaus dem Windekanal aufgetragen.

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Fluidmechanik Einleitung 4 ___________________________________________________________________

Abb. 1-4: Darstellung der Isobaren (c  p-Verteilung), [ 1]

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Fluidmechanik Einleitung 5 ___________________________________________________________________

1.4 Strömungssimulation in Windkanälen

Bei der Entwicklung von Fluggeräten ist man bereits in einer sehr frühen Phase desEntwurfsprozesses auf eine möglichst genaue mathematische Beschreibung des

aerodynamischen und flugmechanischen Verhaltens des Flugzeugs angewiesen. Dies isterforderlich sowohl zur Überprüfung der projektierten Flugleistungen als auch zur Auslegungdes Flugreglers. Trotz der zunehmenden Bedeutung von numerischen Entwurfswerkzeugen(CFD), stellt der experimentelle Ansatz, d.h. die Erstellung eines aerodynamischen Modellsauf der Basis von Windkanaldaten, noch das grundlegende Entwurfswerkzeug dar. In derRegel ist es jedoch nicht möglich ein Flugzeug über seinen gesamten Geschwindig-keitsbereich in Originalgröße unter echten Flugbedingungen zu testen. Lediglich im Nieder-geschwindigkeitsbereich existieren einige Versuchsanlagen, die über eine entsprechendgroße Meßstrecke verfügen um Flugzeuge im Originalmaßstab untersuchen zu können, z.B.NASA AMES 80 x 120 ft Niedergeschwindigkeitswindkanal mit einer maximalen Strömungs-geschwindigkeit von 100 kts bzw. 51 m/s oder NASA AMES 40 x 80 ft mit einer maximalenStrömungsgeschwindigkeit von 300 kts bzw. 153 m/s.

Abb. 1-5: NASA Ames 80 x 120 ft Niedergeschwindigkeitswindkanal

Aufgrund des mit der Geschwindigkeit quadratisch zunehmenden Energiebedarfs zurAufrechterhaltung einer kontinuierlichen Umströmung des zu untersuchenden Körpers,werden Windkanaluntersuchungen daher häufig an geometrisch ähnlichen, jedochmaßstäblich verkleinerten Modellen durchgeführt. Dabei spielt es prinzipiell keine Rolle ob

das Modell sich durch die ruhende Luft bewegt oder ob ein Fluid sich um ein ruhendesModell bewegt.

Der erforderliche Energieaufwand zur Simulation einer transsonischen Strömung (0.8 < M   <1.2) wird an dem in Abb. 1-6 dargestellten Windkanalmodell eines Kampfflugzeugs imMaßstab 1:15 deutlich. Die während des Versuchs kontinuierlich durchströmte Meßstreckedes Windkanals beträgt 2.4m x 2.4m. Zur Gewährleistung dieser Versuchsbedingungen ist jedoch ein Leistungsbedarf von 70 MW  abzudecken. Allein aus Kostengründen sindVersuchsanlagen, die die Simulation von Strömungsfeldern um Luftfahrzeuge inOriginalgröße ermöglichen würden, in diesem Geschwindigkeitsbereich kaum zu realisieren.

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Fluidmechanik Einleitung 6 ___________________________________________________________________

Abb. 1-6: Eurofighter-Modell (Maßstab 1:15), TWT CALSPAN Buffalo NY, USA

1.5 Gliederung der Fluidmechanik

Abb. 1-7: Gliederung der Fluidmechanik

(Rheologie: Wissenschaft der nicht-NEWTONschen Fluide z.B. Zahnpasta, flüssiger Beton)

1.6 Begriffsdefinitionen

1.6.1 Fluid

Im Gegensatz zum Festkörper verformt sich ein Fluid unter dem Einfluß einer Schub-spannung ständig weiter.

Rheologie Fluidmechanik

H dromechanik Mechanik der Gase

Hydro-statik

Hydro-dynamik

Hydrau-lik

Aerostatik Aero-dynamik

Gas-dynamik

inkom ressibel kom ressibel

transsonisch Überschall

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Fluidmechanik Einleitung 7 ___________________________________________________________________

Abb. 1-8: Verformung eines Fluids zu unterschiedlichen Zeitpunkten t 0 , t 1 und t 2  

Weitere Annahme: Kontinuumshypothese, d.h. Masse ist stetig über das Volumen

verteilt

1.6.2 Stationäre und instationäre Strömung, quaistationäre Strömung

Zustandsgrößen im Strömungsfeld (Geschwindigkeit, Druck, Dichte, Temperatur) bleibenüber den betrachteten Zeitraum konstant (stationär ) oder können sich zeitlich ändern(instationär ). In Abhängigkeit von dem Beobachtungssystem können instationäre Systemein stationäre Systeme überführt werden, die Verwendung eines mit dem Körper mitbewegtesBeobachtungssystem nimmt die Strömung als stationär war, z.B. flugzeugfestesKoordinatensystem. Sehr langsam ablaufende Veränderungen werden als quasistationärbezeichnet.

1.6.3 Stromlin ie und Bahnkurve

Abb. 1-9: Stromlinie und Bahnkurve, [ 13]

Die Bahnkurve  beschreibt die Flugbahn, d.h. die Ortskurve auf der sich ein einziges

Fluidteilchen bewegt. Optisch läßt sich die Bahnkurve z.B. durch die (farbliche) Markierung

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Fluidmechanik Einleitung 8 ___________________________________________________________________

des zu beobachteten Teilchens und die Beobachtung über einen längeren Zeitraum t -2 < t <t 2 vermessen.

Die Stromlinie  stellt eine Momentaufnahme des gesamten Strömungsfeldes dar. Optisch

läßt sich die Stromlinie durch die (farbliche) Markierung mehrerer Teilchen und dieBeobachtung über einen sehr kurzen Zeitraum vermessen, z.B. durch die photographischeAufnahme des Strömungsfeldes mit einem einzigen Photo, jedoch einer Belichtungszeit, dieso gewählt wird, daß alle Teilchen einen sehr kurzen, aber dennoch sichtbaren Weg zurück-legen. Dieser zurückgelegte Weg erscheint aufgrund der endlichen Belichtungszeit als Strichauf der Aufnahme, der wiederum dem Geschwindigkeitsvektor der markierten Teilchenentspricht.Die Stromlinie ist somit die Kurve in einem Strömungsfeld, die zu einem bestimmtenZeitpunkt t 0  mit der Richtung der Geschwindigkeitsvektoren übereinstimmt, d.h. dieGeschwindigkeitsvektoren der zu einer Stromlinie gehörenden Fluidteilchen bilden dieTangenten der Stromlinie.

1.6.4 Stromfaden und Stromröhre

Abb. 1-10: Stromfaden und Stromröhre

Stromfaden:  Gesamtheit aller Stromlinien, die durch die Fläche A1 verlaufenStromröhre:  Gesamtheit aller Stromlinien, die durch eine geschlossene Kurve K  verlaufen

1.6.5 Ideale und Reale Fluide

Ein Ideales Fluid wird durch zwei Eigenschaften gekennzeichnet:- Inkompressibilität , d.h. die Dichte    ist an jeder Stelle gleich- Reibungsfreiheit, d.h. es erfolgt keine Umwandlung mechanischer Energie durch Reibung

in Wärme (vgl. auch Potentialströmung)

Bei realen Fluiden  treten infolge der Reibung Schubspannungen    in Strömungsrichtungauf, es erfolgt eine Umwandlung mechanischer Energie in Wärme, d.h. es wird Reibungs-

arbeit verrichtet. Dies führt zur Ausbildung einer sog. Grenzschicht in Wandnähe festerKörper und Ablösungen der Grenzschicht im Nachlaufbereich.

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Fluidmechanik Einleitung 9 ___________________________________________________________________

1.7 Klassifizierung von Strömungen

Strömungen lassen sich nach unterschiedlichen Kriterien klassifizieren- Unterscheidung entsprechend der Körpergeometrie, d.h. in zwei- oder dreidimensionale

Strömungen

- Unterscheidung nach der Stärke des Kompressibilitätseinflusses d.h. entsprechend derAnström-Machzahl- Reibungseffekte (Viskosität).

1.7.1 Einteilung von Strömungen als Funktion der Reibung

Ein wesentliches Merkmal von realen Strömungen besteht darin, daß infolge der freienBewegung der Moleküle Masse, Impuls und Energie von einem Ort zu einem anderen Ort imFluid transportiert werden können. Diese Molekularbewegung ist die physikalische Ursachefür die sog. Transportvorgänge, d.h. Massestrom, Reibung und Wärmeübertragung. Reale,mit Reibungseffekten behaftete Strömungen werden als reibungsbehaftet oder   viskosbezeichnet. Strömungen, bei denen der Einfluß der Transportphänomene als gering

betrachtet werden kann, werden als reibungsfrei bezeichnet.

Die Unterschiede zwischen reibungsfreier und reibungsbehafteter Strömung lassen sich amBeispiel unterschiedlicher Geschwindigkeitsprofile in der Grenzschicht darstellen

Reibungsfreie StrömungDie Geschwindigkeit entspricht auch direkt an der Wand noch der Geschwindigkeit der freienAnströmung V   

Reibungsbehaftete StrömungDie Geschwindigkeit nimmt an der Wand den Wert Null an (Haftungsbedingung).

Abb. 1-11: Geschwindigkeitsprofile in reibungsfreier und reibungsbehafteter Strömung

Für praktische Anwendungen läßt sich für viele Bereiche das Strömungsfeld in einenreibungsbehafteten Anteil in der Nähe der Körperoberfläche (Grenzschicht) und in einenreibungsfreien Anteil außerhalb der Grenzschicht aufteilen. Für schlanke Körper oder Profile,die bei kleinen Anstellwinkeln angeströmt werden, lassen sich durch diese VereinfachungStromlinien und Druckverteilungen relativ gut berechnen.

 c   c 

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Fluidmechanik Einleitung 10 ___________________________________________________________________

Abb. 1-12: Reibungsbehaftete Grenzschicht, reibungsfreie Außenströmung

 Ablösung bei reibungsbehafteter Strömung

Wird der Anstellwinkel des in Abb. 1-12 skizzierten Profils erhöht, so kann bei Überschreiteneines Grenzwinkels die Strömung der Kontur nicht mehr weiter folgen und die Grenzschichtlöst an der Oberseite des Profils ab und es bildet sich hinter der Ablösestelle ein Ablöse-oder Totwassergebiet. Solch ein abgelöstes Strömungsgebiet läßt sich nicht mehr alsreibungsfreie Strömung vereinfachen. Eine ähnliche Situation liegt z.B. hinter einem querangeströmten Zylinder vor.

Abb. 1-13: Strömungsablösung bei Kugel und Zylinder

1.7.2 Einteilung von Strömungen als Funktion der Kompressibilität

Strömungen für die die Dichte als konstant angenommen werden kann, z.B. Flüssigkeiten,werden als inkompressibel   bezeichnet, Strömungen mit einer veränderlichen Dichte, z.B.Gase, werden als kompressibel   bezeichnet. Die Annahme einer konstanten Dichte fürFlüssigkeiten stellt lediglich eine (gute) Näherung dar, dies führt jedoch zu einer starken

Vereinfachung in der Berechnung der Strömungsparameter. Obwohl Luft in der Realität einkompressibles Fluid darstellt, kann ohne nennenswerten Fehler bei kleinerenGeschwindigkeiten, d.h. bis ca.  M   = 0.3 die Annahme     = const. getroffen werden. InBodennähe ( H  = 0) entspricht dies einer Fluggeschwindigkeit von ca. c = 100 [m/s] bzw. 360[km/h], also dem Geschwindigkeitsbereich von Segelflugzeugen oder kleineren einmotorigenSportflugzeugen.

Unter der Annahme der Inkompressibilität können die Strömungsbedingungen entlang einerStromlinie somit mittels der Bernoulli-Gleichung ermittelt werden.

Gl. 1-3: .

2

1 2 const c p        

reibungsbehafteteGrenzschicht 

reibungsfreie Außenströmung 

Strömungsablösung

Strömungsablösung 

Totwassergebiet  

Strömungsablösung 

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Fluidmechanik Einleitung 11 ___________________________________________________________________

Für kompressible Strömungen liefert diese einfache Gleichung jedoch keine brauchbarenErgebnisse mehr.

Definition der Kompressibilität

Wird der Druck p

  an einem Volumenelementv  um den Betrag

dperhöht, so wird dasVolumenelement v um den Betrag dv komprimiert. Die Kompressibilität    wird beschrieben

durch

Gl. 1-4:dp

dv

1   

Die Kompressibilität   stellt eine Stoffgröße dar und beträgt z.B. für Wasser  T  = 510-10 [m²/N]und für Luft  T  = 510-5 [m²/N] bei p = 1 [bar]. Mit dem spezifischen Volumen v 

Gl. 1-5:  

1

m

V v  

ergibt sich für die Kompressibilität   

Gl. 1-6:dp

d   

     

d.h. eine Änderung des Drucks dp  bewirkt in Abhängigkeit von der Größe derKompressibilität   eine Änderung der Dichte d    

Gl. 1-7: dpd             

Als Unterscheidungskriterium zwischen kompressibler und inkompressibler Strömung ist esüblich eine relative Dichteänderung von 05.0    d   anzusetzen.

1.7.3 Einteilung von Strömungen als Funktion der Machzahl

Stromlinien kennzeichnen die Tangenten an die lokalen Geschwindigkeitsvektoren imStrömungsfeld. Jedem Punkt in dem Strömungsfeld können die Größen Druck p, Temperatur  T , Dichte     und Geschwindigkeit  V  zugeordnet werden. Zusätzlich kann jedem Punkt nochdie lokale Schallgeschwindigkeit c zugeordnet werden. Somit ergibt sich analog zur Definitionder Machzahl M    der freien Anströmung

Gl. 1-8:

 

a

c M   

die Definition der lokalen Machzahl M  im Strömungsfeld

Gl. 1-9:a

c M    

UnterschallströmungDie reine Unterschallströmung ist dadurch gekennzeichnet, daß im gesamten Strömungsfeldfür die lokale Machzahl  M   1 gilt. Ein wichtiges Kriterium der reinen Unterschallströmungbesteht darin, daß sich Druckänderungen auch entgegen der Strömungsrichtung ausbreitenkönnen.

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Fluidmechanik Einleitung 12 ___________________________________________________________________

Transsonische StrömungBei einem transsonischen Strömungsfeld können Unterschall- ( M  < 1) und lokaleÜberschallströmung ( M   1) im betrachteten Strömungsgebiet gleichzeitig auftreten, z.B.infolge von Übergeschwindigkeiten am Tragflügel bei einer freien Anströmmachzahl von

 M    1. Die Grenze für das erste Auftreten von Überschallgebieten ist abhängig von denverwendeten Profilen und liegt bei heute üblichen Transsonikprofilen bei ca.  M   = 0.8, kann jedoch bei entsprechend dicken Profilen bereits bei M   = 0.65 liegen.

Während die Beschleunigung vom Unterschall zum Überschall in einem stetigen Prozeßverläuft, erfolgt die Verzögerung vom Überschall zurück zum Unterschall in einem unstetigenProzeß, gekennzeichnet durch einen Verdichtungsstoß.Kennzeichen eines transsonischen Strömungsgebiets ist somit das gleichzeitige Vorliegenvon Unterschall- als auch Überschallgebieten, z.B. hinter einem abgelösten Stoß an derProfilnase. Generell wird der Machzahlbereich 0.8    M      1.2 als Transsonikbereichbezeichnet.

Abb. 1-14: Verdichtungsstöße und kritische Machzahl an einem Profil, [ 5], [ 8]

Bedeutung der kr itischen Machzahl als kennzeichnende Größe der Kompressibi litätInfolge des lokalen Auftretens von Überschallgebieten bilden sich lokale Verdichtungsstöße,die stromabwärts zu stoß-induzierten Ablösungen, verbunden mit einer starken Zunahmedes Druck- bzw. Formwiderstands führen.

Abb. 1-15: Widerstandsanstieg bei Überschreiten der kritischen Machzahl, [ 2]

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Fluidmechanik Einleitung 13 ___________________________________________________________________

Abb. 1-16: Schlierenaufnahme eines Projektils: Ernst Mach 1888, [ 14]

ÜberschallströmungDas Kennzeichen der reinen Überschallströmung besteht darin, daß im gesamtenStrömungsfeld für die lokale Machzahl  M   1 gilt. Ein weiteres wichtiges Kriterium der reinenÜberschallströmung besteht darin, daß sich Druckänderungen nicht mehr entgegen derStrömungsrichtung, sondern nur noch stromabwärts auswirken können.

Abb. 1-17: Mach’scher Kegel in einer Überschallströmung, [ 5], [ 8]

HyperschallströmungAuch für den Übergang von der Überschall- zur Hyperschallströmung existiert keine scharfdefinierte Grenze. Eingebürgert hat sich eine Machzahl der freien Anströmung von M    4.5 -5. Charakteristische Eigenschaften einer Hyperschallströmung sind die eng an derKörperoberfläche anliegen Stöße und die infolge der starken Temperaturerhöhung hinterdem Verdichtungsstoß auftretenden chemischen Prozesse, d.h. Dissoziation mit spätererRekombination sowie die Bildung von Plasma. In diesem Geschwindigkeitsbereich läßt sichdie Annahme, Luft als ideales Gas zu betrachten, nicht länger aufrecht erhalten.

 M 

1sin    

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Fluidmechanik Einleitung 14 ___________________________________________________________________

Abb. 1-18: Verdichtungsstoß an einer Rampe bei M   = 36 

Abb. 1-19: Modell des Raumtransporters Sänger mit Oberstufe Horus, H2K DLR Köln

Bedingt durch das hohe Temperaturniveau treten in Hyperschallströmungen zwei Gruppenvon chemisch-physikalischen Phänomen auf. Zum einen werden mit zunehmenderTemperatur die inneren Freiheitsgrade der Moleküle angeregt, Dissoziations- undIonisationseffekte treten auf und zum anderen kommt es zu chemischen Wechselwirkungenzwischen der Grenzschicht und der Oberfläche des Flugkörpers. Die Katalyzität derOberfläche bildet bei wiederverwendbaren Systemen, z.B. Space Shuttle, eine schwer zuquantifizierende Größe, da sich die Katalyzität des Thermalschutzsystems mit zunehmenderAnzahl der Flüge erhöht.

Abb. 1-20: Space Shuttle (Rockwell) und chemische Reaktion beim Wiedereintritt, [ 9]

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Fluidmechanik Einleitung 15 ___________________________________________________________________

Die Abweichung des Verhaltens von Luft vom dem Verhalten eines idealen Gases, das sichim chemischen Gleichgewicht befindet ist in Abb. 1-21 dargestellt. Berechnet wurden dieStaupunkttemperaturen bei unterschiedlichen Wiedereintrittsgeschwindigkeiten in einer Höhevon H  = 52 km. 

Abb. 1-21: Staupunkttemperaturen und chemische Reaktionen von Luft, [ 3]

Abb. 1-22: Verhalten von Luft im Vergleich zu dem Verhalten des idealen Gases:

ideales Gas:

T  Rv p    

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Fluidmechanik Einleitung 16 ___________________________________________________________________

Strömung verdünnter GaseAlle bisherigen Betrachtungen gingen von der Strömung als Kontinuum aus. Insbesondere ingroßer Höhe, d.h. ab ca. 70 km, läßt sich diese Annahme nicht länger aufrechterhalten. DieStrömung stellt sich als freie Molekülströmung dar, die dadurch gekennzeichnet ist, daßaufgrund der geringen Dichte fast keine Kollisionen mehr zwischen den einzelnen Molekülenstattfinden.

Kontinuumströmung Bei einer Kontinuumsströmung sind noch genügend Molekülkollisionen möglich um allechemischen Reaktionen nach einem Verdichtungsstoß wieder in ein Gleichgewicht zubringen. Sinkt die Anzahl der Kollisionen unter eine kritische Grenze, so befindet sich dieStrömung in einem chemischen Nicht-Gleichgewicht. Zur Unterscheidung derunterschiedlichen Strömungsbereiche bei der Betrachtung verdünnter Gase, läßt sich dieKnudsen-Zahl Kn einführen, die das Verhältnis der mittleren freien Weglänge   der Molekülezu einer charakteristischen Länge l ref  des umströmten Körpers beschreibt. Die mittlere freieWeglänge    ergibt sich zu

Gl. 1-10:T k 

m

2

 

  

    

und die Knudsenzahl Kn 

Gl. 1-11:ref l 

 Kn    

   

In Abhängigkeit von der Knudsen-Zahl lassen sich bei verdünnten Gasen drei unter-schiedliche Strömungsbereiche unterscheiden:

- Kn   10-2

 :Es liegt eine Kontinuumsströmung vor.

- 10-2   Kn   5:Die Strömung beginnt vom Kontinuumsverhalten abzuweichen, d.h. Stoßwellenweisen eine endliche Dicke auf und in der Grenzschicht kommt es zuGleitströmungen, d.h. ähnlich wie im theoretisch reibungsfreien Fall, wird an derWand die Geschwindigkeit in der Grenzschicht nicht zu Null. Stoßwelle undGrenzschicht fallen zusammen und bilden einen viskosen 'shock layer'.

- Kn   5:Es liegt eine freie Molekülströmung, es kommt kaum noch zu Molekülkollisionen,

Stoßwellen und Grenzschichten sind nicht mehr eindeutig definiert.

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Fluidmechanik Einleitung 17 ___________________________________________________________________

1.7.4 Zusammenfassung der einzelnen Geschwindigkeitsbereiche

Abb. 1-23: Stromlinien und Mach-Linien als Funktion der Machzahl

1.8 Einteilung der Fluide nach Fließverhalten

´

Unterschall

Transsonikbereich

Transsonikbereich

Überschall

Hyperschall

.const dz

dc   .const 

dz

dc

dzdc  

c  

c   Das Ziehen einer Platte mit konstanter Geschwindigkeit c 

über ein Fluid in einem konstanten Abstand  z  zur Wanderfordert eine Zugkraft  F , die ein Maß für dieVerschiebbarkeit der Fluidteilchen gegeneinander dar-

stellt. Der Proportionalitätsfaktor    wird als dynamsicheViskosität bezeichnet.

Scherspannung

Gl. 1-12: dz

dc    

Scherkraft

Gl. 1-13:dz

dc A F         

Abb. 1-24: Unterscheidung von Fluiden nachFließverhalten

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Fluidmechanik Hydrostatik - Grundlagen 18 ___________________________________________________________________

2 Hydrostatik

2.1 Grundlagen

2.1.1 Physikalische Eigenschaften der Flüssigkeiten und Gase

Zustandsgrößen beschreiben den thermodynamischen Zustand eines Stoffes, z.B. durchDruck  p, Temperatur T   und Dichte     bzw. spez. Volumen   1v . Thermodynamische

Zustandsgrößen für Reinstoffe, (z.B. H2O) können in Abhängigkeit von zwei Zustandsgrößenbeschrieben werden, z.B. durch T  pvv , , v pT T  ,  und T v p p , .

Im thermodynamischen Gleichgewicht können nicht beliebig viele Phasen gleichzeitigvorliegen. Für Fluide (Flüssigkeiten und Gase) sind zwei Zustandgrößen zur Bestimmungdes Gleichgewichtszustands entsprechend der Gibbs'sche Phasenregel ausreichend

Gl. 2-1:  P  K  f    2  

 f   Anzahl der Freiheitsgrade

 K   Anzahl der Systemkomponenten P   Anzahl der Phasen

Zustandsgrößen sind über Zustandsgleichungen miteinander gekoppelt, z.B. über dieZustandsgleichung des idealen Gases (ideale Gasgleichung)

Gl. 2-2: T  Rv p    

bzw. über die kalorischen Zustandsgleichungen

Gl. 2-3:.const  p

 pdT 

dhc

 

Gl. 2-4:.const v

vdT duc

 

Abb. 2-1: Zustandsdiagramm eines generischen Stoffes

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Fluidmechanik Hydrostatik - Grundlagen 19 ___________________________________________________________________

2.1.2 Kompressibilität von Gasen und Flüssigkeiten

Generell ist die Dichte ist eine Funktion von Druck und Temperatur, d.h. es gilt T  p,     ,

dies gilt für alle Stoffe, d.h. Gase als auch Flüssigkeiten und Festkörper.

Definition der KompressibilitätBetrachtet man ein kleines Volumenelement v, so wirkt an allen Seiten der Druck  p. Wird derDruck  p  um den Betrag dp erhöht, so wird das Volumenelement v  um den Betrag dv komprimiert. Die Kompressibilität    wird beschrieben durch

Gl. 2-5:dp

dv

1   

In Abhängigkeit von der bei der Kompression über die Systemgrenze übertragenWärmemenge ändert sich jedoch die Gastemperatur. Unter der Annahme einer Kompressionbei konstanter Temperatur, läßt sich die isotherme Kompressibilität  definieren als

Gl. 2-6:T 

T  pv

v     

   1   

Nimmt man jedoch einen Kompressionsprozeß an, bei dem keine Wärme über dieSystemgrenze übertragen wird (adiabate Zustandsänderung) und bei dem Reibungseffektevernachlässigt werden (isentrope Zustandsänderung), so läßt sich die isentropeKompressibilität  definieren als

Gl. 2-7: s

 s p

v

v    

  

 

1

   

Die Kompressibilität   stellt eine Stoffgröße dar und beträgt z.B. für Wasser  T  = 510-10 [m²/N]

und für Luft  T  = 510-5 [m²/N] bei p = 1 [bar]. Mit der Definition des spezifischen Volumens v 

Gl. 2-8:  

1v  

ergibt sich für die Kompressibilität

Gl. 2-9:dp

d   

     

d.h. eine Änderung des Drucks dp  bewirkt in Abhängigkeit von der Größe derKompressibilität   eine Änderung der Dichte d    

Gl. 2-10: dpd             

Als Unterscheidungskriterium zwischen kompressibler und inkompressibler Strömung ist esüblich eine relative Dichteänderung von 05.0    d   anzusetzen.

Strömungen, für die die Dichte als konstant angenommen werden kann, z.B. Flüssigkeiten,werden als inkompressibel bezeichnet und bilden den Schwerpunkt der VorlesungFluidmechanik  bzw. technische Strömungsmechanik. Strömungen mit einerveränderlichen Dichte, z.B. Gase, werden als kompressibel bezeichnet und werden hiernicht eingehend behandelt. Eine ausführliche Diskussion dichteveränderlicher Fluide findetsich jedoch in der Vorlesung Aerodynamik, unter dem Kapitel Gasdynamik. Wie später nochgezeigt wird, führt die Annahme einer konstanten Dichte zu einer starken Vereinfachung inder Berechnung der Strömungsparameter.

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Fluidmechanik Hydrostatik - Grundlagen 20 ___________________________________________________________________

Vereinfachung für GaseObwohl Luft in der Realität ein kompressibles Fluid darstellt, kann ohne nennenswertenFehler bei kleineren Geschwindigkeiten, d.h. bis ca.  M   = 0.3  die Annahme    = const. getroffen werden. In Bodennähe ( H = 0,  p = 1013 hPa) entspricht dies einer Strömungs-

geschwindigkeit bzw. Fluggeschwindigkeit von ca. c = 100 [m/s] bzw. 360 [km/h], also demGeschwindigkeitsbereich von schnellen Landfahrzeugen, Segelflugzeugen oder kleinereneinmotorigen Sportflugzeugen. Unter der Annahme einer konstanten Dichte können dieStrömungsbedingungen entlang einer Stromlinie somit mittels der Bernoulli-Gleichungermittelt werden:

Gl. 2-11: .2

1 2 const c p        

Für kompressible Strömungen liefert diese einfache Gleichung jedoch keine brauchbarenErgebnisse mehr

2.1.3 DruckeinheitenGenerell sind für Drücke die Einheit Pa zu verwenden, insbesondere in der Meteorologie ist jedoch die Einheit hPa = 100 Pa üblich, da dies der älteren Bezeichnung mbar  entspricht.

Einheit Multiplikationsfaktor SI - EinheitPa = N/m² 1 PahPa = mbar 10 PaMPa 10 Pabar 105 Paatm 1.01325105 Pamm Wassersäule = mm WS 9.80665 Pamm Quecksilber = mm Hg = Torr(760 mmHg = 1 atm)

133.32 Pa

psi = lb/in² (1 in = 25.4 mm) 6894.757 Papsf = lb/ft² (1 ft = 12 in = 0.3048 m) 47.88 = 6894.757/144 Pa

Tab. 2-1: Druckeinheiten

2.1.4 Hydrostatischer Druck

Druck ist eine ungerichtete Größe, d.h. Druckfeld stellt ein Skalarfeld dar, im Gegensatz zueinem Vektorfeld, z.B. Geschwindigkeitsfeld. Die resultierende Druckkraft wirkt immersenkrecht auf die Oberfläche.

Abb. 2-2: Kräftebilanz an einer Flüssigkeitssäule

F G  

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Fluidmechanik Hydrostatik - Grundlagen 21 ___________________________________________________________________

Für das Kräftegleichgewicht an einer Flüssigkeitssäule in z-Richtung gilt:

Gl. 2-12: 0,,     u DGo D   F  F  F   

Gl. 2-13: 00     A p g  Ah A p      

Gl. 2-14: 00     p g h p      

Für den statischen Druck p in der Tiefe h folgt für    = const.:

Gl. 2-15:  g h p p      0  

Dies ist das sog. hydrostatische bzw. fluidstatische Grundgesetz 

 _________________________________________________________________________

Üb. 2-1: Berechnung des Drucks am Boden in einem nach oben offenen, mit Wasser

gefüllten Behälters

geg.: T   = 12 [°C]  (Wassertemperaturh  = 10 [m]  (Füllhöhe)

 p0  = 1 [bar]  (Luftdruck)   H2O(T =12°C)  = 999.45 [kg/m³]

 _________________________________________________________________________

2.1.5 Hydros tatisches (Pascal'sches) Paradoxon

Gemäß dem fluidstatischen Grundgesetz  g h p p      0  bestimmt sich der Druck über dieHöhe h der darüber befindlichen Flüssigkeitssäule

  Kraft auf den Boden eines Gefäßes wird ausschließlich von der Höhe der darüberbefindlichen Flüssigkeitssäule und nicht von der Form des Gefäßes bestimmt

  Gleiche Grundfläche A bedeutet gleiche Kraft F , d.h.  A p F     

Abb. 2-3: Pascal’sches Paradoxon

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Fluidmechanik Hydrostatik - Grundlagen 22 ___________________________________________________________________

2.1.6 Verbundene Gefäße (kommunizierende Röhren)

Für ein System aus verbundenen Gefäßen oder Röhren folgt aus der Gleichgewichts-bedingung der Kräfte in z-Richtung:

  Ist das System mit einer Flüssigkeit gleicher Dichte befüllt, so befinden sich dieOberflächen auf gleicher Höhe  Ist das System mit zwei sich nicht mischenden Flüssigkeiten unterschiedlicher Dichte

gefüllt, so ergeben sich unterschiedliche Spiegelhöhen z1 und z2 

Abb. 2-4: Kommunizierende Gefäße

Die Druckbilanz auf der linken Seite (1-1) ergibt

Gl. 2-16:  g h g h p p   b   20111        

Für die rechte Seite (2-2) folgt

Gl. 2-17:  g h g h p p   b   20222        

wegen 21   p p    folgt daraus

Gl. 2-18:  g h g h p g h g h p   bb   20222011            

Gl. 2-19:2

1

1

2

  

  

h

Für ein System, das mit einer Flüssigkeit gleicher Dichte befüllt ist, d.h. 21         folgt daraus

Gl. 2-20:21

  hh    

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Fluidmechanik Hydrostatik - Grundlagen 23 ___________________________________________________________________

Aus dem Prinzip der kommunizierenden Gefäße läßt sich das Arbeitsprinzip einerhydraulischen Presse ableiten

Abb. 2-5: Hydraulische Presse

Die Kräftebilanz am Kolben (1) ergibt

Gl. 2-21: 11011   F  A p A p      1

101

 A

 F  p p    

Die Kräftebilanz am Kolben (2) ergibt

Gl. 2-22: 22022   F  A p A p      2

202  A

 F  p p    

mit dem hydrostatisches Grundgesetz   h g  z z g  p p         2112  folgt

Gl. 2-23: h g  A

 F  p

 A

 F  p      

1

1

02

2

0

 

Gl. 2-24: h g  A

 F 

 A

 F     

1

1

2

2  

Aufgrund der hohen Drücke in Hydrauliksystemen kann der hydrostatische Druckanteilh g       in der Regel vernachlässigt werden.

 _________________________________________________________________________

Üb. 2-2: Hydraulische Presse mit reibungs- und gewichtsfreien Kolben

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Fluidmechanik Hydrostatik - Grundlagen 24 ___________________________________________________________________

1. Welche Kraft F 1 ist am Kolben (1) aufzuwenden, um die Masse m = 2000 kg mit demKolben (2) anzuheben?

2. Wie groß ist der Druck p2 am Boden des Kolben (2)3. Wie groß ist der Fehler bei Anwendung der Näherungslösung?

 _________________________________________________________________________

2.1.7 Saugwirkung

Das Arbeitsprinzip einer Saugpumpe leitet sich aus dem fluidstatischen Grundgesetz g h p p      0 und dem Prinzip kommunizierender Röhren ab

Abb. 2-6: Saugpumpe

Druckbilanz in der Ansaugstrecke (1-1)

Gl. 2-25:   g h H  p p   S absS       ,1  

Druckbilanz für die offene Seite (2-2)

Gl. 2-26:  g h p p   b      2  

wegen21

  p p    folgt

Gl. 2-27: bS absS    p g  H  p      ,  

Daraus ergibt sich für die Ansaughöhe

Gl. 2-28: g 

 p

 g 

 p p H    uS absS b

    

,, 

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Fluidmechanik Hydrostatik - Grundlagen 25 ___________________________________________________________________

Maximale AnsaughöheDie maximale Absaughöhe wird begrenzt durch den Dampfdruck der angesaugtenFlüssigkeit. Bei Unterschreiten des temperaturabhängigen Dampfdrucks geht dieangesaugte Flüssigkeit von der flüssigen in die gasförmige Phase über. Der erzielbare

Saugdruck p

S,abs, der die maximale Ansaughöhe definiert, wird also begrenzt von demDampfdruck p Da der Flüssigkeit und dem herrschenden Luftdruck pb .

Abb. 2-7: Dampfdruckkurve H  Da = f(T) von Wasser

Die Bedingung zur Erzielung der maximalen Ansaughöhe lautet:

Saugdruck > Dampfdruck, d.h.  DaabsS    p p   ,  Die maximale, theoretische Ansaughöhe ergibt sich bei  DaabsS    p p   ,  

Gl. 2-29:  Dab Dab Dab

thS    H  H  g 

 p

 g 

 p

 g 

 p p H   

      

,  

Die tatsächliche Saughöhe H S  liegt jedoch immer etwas unter der theoretisch maximalenHöhe H S,th d.h. thS S    H  H  ,  

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Fluidmechanik Hydrostatik - Grundlagen 26 ___________________________________________________________________

Üb. 2-3: Berechnung der Ansaughöhe einer Pumpe

Temperatur T  [°C]

Dichte   [kg/m³]

Dampfdruck p Da [bar]

Dampfdruckhöhe H  Da [mWS]

0 999.8 0.006 0.065 1000.0 0.009 0.09

10 999.6 0.012 0.1220 998.2 0.024 0.2430 995.6 0.042 0.4340 992.2 0.074 0.7550 988.0 0.123 1.2560 983.2 0.198 2.0270 977.7 0.311 3.1780 971.3 0.473 4.8290 965.3 0.700 7.14

100 958.3 1.013 10.33

Tab. 2-2: Dampfdruckkurve H  Da = f(T) von Wasser

Temperatur T  = 20°C Luftdruck  pb  1 bar = 105 Pa

 _________________________________________________________________________

2.1.8 Statischer Auft rieb (Prinzip des Archimedes)

Erstes dokumentiertes historisches Beispiel für ein zerstörungsfreies Prüfverfahren:Überprüfung des Goldanteils in der Krone des König Hieron II von Syrakus

Abb. 2-8: Archimedes (285 – 212 BC)

Die scheinbare Gewichtsreduzierung eines in ein Fluid eingetauchten Körpers wird alsstatischer Auftrieb bezeichnet. Die Ursache besteht in der Druckdifferenz an Ober- undUnterseite des eingetauchten Körpers.

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Fluidmechanik Hydrostatik - Grundlagen 27 ___________________________________________________________________

Abb. 2-9: Statischer Auftrieb

Die Kräftebilanz in horizontaler Richtung ergibt Null, da die Drücke in gleicher Tiefe identischsind. Die Kräftebilanz in vertikaler Richtung auf die Projektionsfläche dA eines zylindrischen

Elements ergibtGl. 2-30:  dA g  z pdF    F       101   (Oberseite)

Gl. 2-31:  dA g  z pdF    F       202   (Unterseite)

Die Auftriebskraftkraft dF  A lautet

Gl. 2-32:   dA g  z zdF dF dF    F  A      1212  

Die Gewichtskraft des Körpers dF  K  lautet

Gl. 2-33:   dA g  z zdF    K  K       12  

Der archimedische Auftrieb ergibt sich aus der Integration der Kräfte dF  A über das gesamteKörpervolumen V  F  

Gl. 2-34:  F  F 

 F  F  A   V  g dV  g  F  F 

       

Resultierende Gesamtkraft = Gewicht des verdrängten Fluids - Gewicht des Körpers

Gl. 2-35:  K  F 

dV 

 K 

dV 

 F  K  A   dmdm g dA z z g dA z z g dF dF dF 

 K  F 

1212        

Die Integration der Kräfte dF  über das gesamte Körpervolumen V  ergibt

Gl. 2-36: 0!

  K  F  K  K  F  F 

 K  K 

 F  F    mm g V V  g dV dV  g  F  K  F 

          

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Fluidmechanik Hydrostatik - Grundlagen 28 ___________________________________________________________________

Üb. 2-4: Um wieviel steigt der Meeresspiegel, wenn das arktische Eis abtaut?

geg.: 3920   mkg  Eis     

31025   mkg  Meerwasser      

 _________________________________________________________________________

2.1.9 Oberflächenspannung und Kapillarwirkung

2.1.9.1 Teilchenkräfte

Teilchenkräfte bilden den Sammelbegriff für Masseanziehungskräfte bei Molekülen undAtomen. Festkörper bilden eine Gitterstruktur mit sehr großen Molekularkräften. Fluideweisen im Gegensatz zu Festkörpern keine Gitterstruktur auf, wodurch die Molekularkräftedeutlich geringer sind als bei Festkörpern. Dies führt zu einer leichteren Verschiebbarkeit derTeilchen innerhalb von Fluiden im Vergleich zu Festkörpern. Teilchenkräfte bestimmen dieForm der freien Oberfläche eines Fluids. Unterschieden wird zwischen Kohäsionskäften ,

d.h. Kräfte zwischen gleichartigen Teilchen in der gleichen Phase und  Adhäsionskräften,d.h. Kräfte zwischen verschiedenartigen Teilchen in unterschiedlichen Phasen.

2.1.9.2 Begriffsdefinitionen

 Adhäsion:   Wirkung zwischen fester/fester und fester/flüssiger Phase Adsorption:  Wirkung zwischen fester/gasförmiger Phase; es erfolgt eine Anlagerung von

Gasen oder Dämpfen an der Oberfläche fester Körper

 Absorption: Aufnahme von Gasen oder Dämpfen in Flüssigkeiten oder FeststoffenMit dem Begriff der Absorption eng verbunden ist das Henry-Gesetz1 , welches besagt:Die in Flüssigkeiten gelöste Gasmenge nimmt mit steigendem Druck und/oder sinkenderTemperatur zu.Dieser Zusammenhang läßt sich häufig bei lang anhaltenden Hochtemperaturperioden imSommer an Gewässern beobachten, wenn infolge der ansteigenden Wassertemperatur derSauerstoffgehalt im Wasser abnimmt und dadurch ein Fischsterben ausgelöst wird.

1 engl. Physiker u. Chemiker (1774 - 1836) 

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Fluidmechanik Hydrostatik - Grundlagen 29 ___________________________________________________________________

2.1.9.3 Grenzflächenspannung

Randwinkel <90°: Adhäsion > Kohäsion(Wasser/Glas)

Randwinkel >90°: Kohäsion > Adhäsion(Quecksilber/Glas)

Abb. 2-10: Grenzflächenkräfte

Teilchenkräfte treten an den Trennflächen verschiedener Stoffe oder Phasen in Erscheinungund bilden sog. Grenzflächenkräfte. Moleküle in der Grenzschicht erfahren durchKohäsionskräfte eine resultierende Kraft  F   nach innen und die Grenzfläche wirkt wie einedünne Membran (Bsp. Wasserläufer; Eigengewicht ist kleiner als die Oberflächenspannung)Benetzungsformen- Gas/Gas: Keine Grenzflächen infolge Durchmischung, keine Grenzflächenkräfte- Gas/Flüssigkeit: Kohäsionskräfte der Flüssigkeit sind dominierend, Kapillarspannung 

- Gas/Festkörper: Festkörper bestimmt alleine durch seine Form die Grenzfläche- Flüssigkeit/Festkörper:

(1) Kohäsion > Adhäsion (Randwinkel >90°)   nichtbenetzendes Fluid(hydrophob), zusammengezogene, kugelförmige Oberfläche

(2) Kohäsion < Adhäsion (Randwinkel <90°)   benetzendes Fluid (hydrophil ) - Flüssigkeit/Flüssigkeit: Verhalten ähnlich dem von Gasen, keine Grenzflächen

Abb. 2-11: Benetzungsformen als Funktion des Randwinkels

Oberflächenaktive SubstanzenDie Oberflächenspannung kann durch unterschiedliche Faktoren beeinflußt werden, wieetwa Verunreinigungen oder waschaktive Substanzen, die zu einer starken Reduzierung derOberflächenspannung führen. Ebenso bilden Alkohole und Fettsäuren durch hydrophile(COOH-Gruppe) und hydrophobe (CH3-Gruppe) Anteile eine monomolekulare Schichtzwischen Wasser- und Luftmolekülen welche die Oberflächenspannung reduziert.

Tropfengröße und DosierungInsbesondere bei medizinischen Anwendungen wird häufig eine mittlere Tröpfchengröße zurDosierung von Medikamenten verwendet. Die Tropfengröße selbst wird durch Dichte und

H O Hg

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Fluidmechanik Hydrostatik - Grundlagen 30 ___________________________________________________________________

Oberflächenspannung der Fluide bestimmt. Zur Bestimmung der Tropfengröße könnenunterschiedliche Verfahren, wie z.B. Stalagmometer, Kapillar- oder Ringmethode verwendetwerden.

2.1.9.4 Kapillarität

Grenzflächenspannung bzw. Kapillarspannung  Die intermolekularen Anziehungskräfte heben sich,mit Ausnahme einer dünnen Schicht (<10-9 m) an derfreien Oberfläche, im Inneren des Fluids auf. Darausresultiert ein Spannungszustand an der Oberflächeund die freie Oberfläche versucht einen Minimalwertanzunehmen um den Spannungszustand zu

minimieren.

Der Krümmungsdruck  p K  wird definiert durch

Gl. 2-37:  

  

 

21

11

 K  K 

 K r r dA

dF  p      

Gl. 2-38:  

  

 

21

11

 K  K 

 K r r 

 p      

Abb. 2-12: Krümmungsdruck

Einfluß der Oberflächenform auf den Krümmungsdruck p K  Ebene Oberfläche: 21   K  K    r r   

Gl. 2-39: 0 K  p  

Kugelkalottenförmige Oberfläche:  K  K  K    r r r    21  

Gl. 2-40: K 

 K r 

 p   

2

 

Zylinderförmige Oberfläche: 21 ,  K  K  zyl  K    r r r r   

Gl. 2-41: K 

 K r 

 p     

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Fluidmechanik Hydrostatik - Grundlagen 31 ___________________________________________________________________

Kapillarwirkung

Abb. 2-13: Kapillarwirkung

Kapillaraszension (z.B. Wasser im Glasrohr)Die Steighöhe eines Fluids in einem Rohr ergibt sich aus Kräftegleichgewicht zwischenAdhäsionskräften und dem Gewicht der angehobenen Flüssigkeit.

Kapillardepression (z.B. Quecksilber im Glasrohr)Der abgesenkte Spiegel ergibt sich aus Kräftegleichgewicht zwischen Adhäsionskräften unddem Gewicht der abgesenkten Flüssigkeit

Tab. 2-3: Randwinkel für unterschiedliche Materialpaarungen

Der Zusammenhang zwischen Randwinkel und Krümmungsradius ergibt sich aus

Gl. 2-42:W 

 K 

 Rr 

 cos  

Anhebung bzw. Absenkung z K 

 ergibt sich aus dem Krümmungsdruck p K 

 

Gl. 2-43:  g  z p   F  K  K         

Anhebung bzw. Absenkung z K  

Gl. 2-44: g  Dr  g 

 z F 

 K  F 

 K 

  

  

  

  cos42   D = Rohrdurchmesser

Gewichtskraft = Kapillarkraft

Gl. 2-45:      

 D g  z D

 F 4

2

 

mittlere Anhebung bzw. Absenkung

Stoffpaarung Randwinkel W  [grd]Wasser oder Äthylalkohol/Glas 0Alkohol/Plexiglas < 10Wasser/Plexiglas   80

Quecksilber/Glas  140Wasser/Lotusblatt  160

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Fluidmechanik Hydrostatik - Grundlagen 32 ___________________________________________________________________

Gl. 2-46: g  D

 z F  

  

 4 

Fluide (T  = 20°C)  [N/m] Luft - Quecksilber

WasserEthanolEthyletherÖl

0.4700.0730.0250.0160.028

Wasser - QuecksilberÖlEthanol

0.3800.0200.002

Tab. 2-4: Kapillarspannungen

Abb. 2-14: Mittler Kapillarsteighöhen

2.1.9.5 Bestimmung der Oberflächenspannung

Tropfenmethode (Stalagmometer)

Fließt eine Flüssigkeit langsam aus einer Kapillare bilden sich bei konstanter TemperaturTropfen gleicher Größe. Die Oberflächenspannung    ist der Dichte    der Flüssigkeit direktund der Anzahl z der Tropfen umgekehrt proportional.

Ein Stalagmometer besitzt zwischen zwei Eichmarken ein bestimmtes Volumen. DieKalibrierung des Geräts erfolgt anhand einer Flüssigkeit mit bekannter Oberflächenspannung(z. B. Wasser).

Abb. 2-15: Stalagmometer

 _________________________________________________________________________

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Fluidmechanik Hydrostatik - Grundlagen 33 ___________________________________________________________________

Üb. 2-5: Bestimmung der Oberflächenspannung von 2-Methylpropanol

Aus einem Stalagmometer flossen bei T  = 20°C n = 405 Tropfen 2-Methylpropanol aus. DieDichte der Flüssigkeit betrug  ρ = 0.9477 g/cm

3. Wie groß ist ihre Oberflächenspannung  ,wenn mit dem gleichen Gerät n(H2O) = 137 Tropfen Wasser von 20°C gezählt wurden?

 _________________________________________________________________________

Kapillarmethode

Für eine Glaskapillare mit dem Radius r , in dereine Flüssigkeit aufsteigt gilt:Gewichtskraft der Flüssigkeitssäule = Tragkraftdurch die Oberflächenspannung

Abb. 2-16: Kapillarmethode

Gl. 2-47:           r  g hr  22

 

Gl. 2-48: 1

2

  m N  g hr     

   

 _________________________________________________________________________

Üb. 2-6: Bestimmung der Oberflächenspannung von Wasser bei 18°C

Berechnung des Radius r  der Kapillare mittels einer eingewogenen Quecksilbersäulegeg.: T   = 18 [°C] (Temperatur)

m Hg   = 1.297 [g] (Einwaage an Quecksilber in der Kapillare)l  Hg   = 5.40 [cm] (Fadenlänge des Quecksilbers in der Kapillare)   Hg   = 13.595 [g/cm3] = 13.95103 [kg/m³] (Dichte)

h H2O  = 19.85 [mm] (Mittelwert für die Höhe der Wassersäule)

 _________________________________________________________________________

Ring- oder BügelmethodeEin Aluminiumring mit einer scharfen Schneide wird über drei Fäden an einem Kraftmesserbefestigt. Beim Herausziehen aus dem Fluid hebt die Schneide eine dünne ringförmigeFlüssigkeitsschicht aus der Wasseroberfläche.

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Fluidmechanik Hydrostatik - Grundlagen 34 ___________________________________________________________________

Meßwerte F 1  = Gewichtskraft des Ringes in Luft F 2  = Gewichtskraft vor dem Abreißen

r   = Radius des RingesOberflächenspannung σ  

Gl. 2-49: 22

12

 

 r 

 F  F  

Abb. 2-17: Ringmethode

Der Faktor 2 in Gl. 2-49 im Nenner ergibt sich aus der Kapillarspannung an denBerührungslinien oben am Ringrand/Flüssigkeit und unten an Flüssigkeit/Flüssigkeit.

 _________________________________________________________________________

Üb. 2-7: Bestimmung der Oberflächenspannung von H2O mittels Ringmethode

T   = 25 [°C]

m  = 4.910 [g]  (Masse des Ringes) F 2  = 7.51210

-2 [N]  (Zugkraft vor dem Abreißen)

d   = 60 [mm]  (Durchmesser des Ringes)

 _________________________________________________________________________

2.1.10 Viskosität

Defin ition nach DIN 1342Eigenschaft fließfähigen Systems bei der Verformung eine mechanische Spannungaufzunehmen, die von der Verformungsgeschwindigkeit abhängt, bzw. Schub- oderTangentialspannung ist die Ursache für die im Fluid hervorgerufene Verformungs-geschwindigkeit. Viskosität ist eine Stoffgröße und stellt ein Maß für die Verschiebbarkeit derFluidteilchen gegeneinander dar.

Newton'sches FluidreibungsgesetzHerleitung über Plattenzugversuch: Zwischen ruhender und bewegter Wandfläche bildet sichein Geschwindigkeitsgefälle, das bei kleinen Schichtdicken linearisiert werden kann.

Gl. 2-50:dz

dc A F    x   

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Fluidmechanik Hydrostatik - Grundlagen 35 ___________________________________________________________________

Tangentialspannung (auch: Scher- oder Schubspannung)

Abb. 2-18: Plattenzugversuch

Die Scherkraft F  bezogen auf die Plattenfläche A ergibt Tangentialspannung   

Gl. 2-51: dzdc A F    x       

Der Gradient dzdc D   x  wird auch als Schergefälle bezeichnet.

Reibungsverhalten verschiedener Fluide

Abb. 2-19: Reibungsverhalten verschiedener Fluide

Newton'sche FluideBezeichnung für alle Fluide, die sich entsprechend dem Newton'schen Fluidreibungsgesetzverhalten, d.h. einen konstanten Proportionalitätsfaktor    (= dyanamische Viskosität) auf-weisen.

Fluide mit dilatantem (= dehnbarem) VerhaltenDie Scherspannung, d.h. Viskosität steigt progressiv mit wachsendem Schergeschwindig-keitsgefälle, z.B. bei Klebstoffen oder nassem Sand. Bei geringen Schergeschwindigkeiten

wirkt das Wasser im Sand als Gleitmittel, bei einer Erhöhung der Geschwindigkeit reißt derWasserschmierfilm ab und Sand reibt gegen Sand, wodurch die Scherspannung ansteigt.

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Fluidmechanik Hydrostatik - Grundlagen 36 ___________________________________________________________________

Pseudoplastisches (strukturviskoses) VerhaltenDie Scherspannung steigt degressiv mit wachsender Schergeschwindigkeit, z.B. inSchmelzen, Dispersionen mit länglichen Partikeln, die zuerst ineinander verhakt sind undsich mit zunehmender Scherbewegung ausrichten, wodurch der Widerstand nachläßt.

Plastisches Verhalten (Bingham-Fluide)Bis zum Erreichen eines Schwellwertes entspricht das Verhalten dem eines Festkörpers, beiÜberschreiten der charakteristischen Scherspannung beginnt der Stoff, ähnlich einemNewton'schen Fluid zu fließen, z.B. Honig, Wachs, Teer, Fette

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Fluidmechanik Hydrostatik - Druckmessung 37 ___________________________________________________________________

2.2 Druckmessung

2.2.1 Druckbegriffe

Abb. 2-20: Druckdefinitionen

Die Zustandsgröße Druck ist immer auf ein Referenzniveau bzw. auf einen Referenzdruckbezogen. In Abhängigkeit von dem verwendeten Bezugsniveau lassen sich unterschiedlicheDrücke definieren.

 Absolutdruck  p abs gegenüber Vakuum

Gl. 2-52:

0

  Vakuumabs   p p p  

Relativdruck p rel , d.h. Druck gegenüber dem Luftdruck p0 , Überdruck oder Unterdruck 

Gl. 2-53:  g h p p p   f  f absrel G      0,  

Überdruck (h f  > 0), Flüssigkeitssäule wird im Manometer nach oben gedrücktUnterdruck (h f  < 0), Flüssigkeitssäule wird im Manometer nach unten gedrückt

Differenzdruck  p, Differenz zwischen zwei Drücken p1 und p2 

Gl. 2-54: 21   p p p    

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Fluidmechanik Hydrostatik - Druckmessung 38 ___________________________________________________________________

2.2.2 Druckmessung in einem Kessel mit tels U-Rohr Manometer

Bestimmung des Kesseldrucks pG in der Höhe derAnschlußstelle

Kräftegleichgewicht im Rohr:

Gl. 2-55:  g h p g h p   f  f  g GG         0  

Gl. 2-56:  g h g h p p   g G f  f G        0  

bei  f G         gilt

Gl. 2-57:  g h p p   f  f G      0  

Abb. 2-21: U-Rohr Manometer

Die Meßergebnisses werden nur geringfügig durch die Kapillarität im Rohr beeinflußt, sofernder Rohrdurchmesser des Manometers entsprechend groß gewählt wird.

 _________________________________________________________________________

Üb. 2-8: Einfluß der Kapillarität in einem Quecksilber U-Rohr Manometer

 D  = 6 [mm]  (Rohrinnendurchmesser) W   = 140 [grd]  (Randwinkel Hg/Glas)T   = 20 [°C]  (Temperatur)  Hg/H20  = 0.380 [N/m]  (Grenzflächenspannung)  Hg/Luft   = 0.470 [N/m]  (Grenzflächenspannung)

 _________________________________________________________________________

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Fluidmechanik Hydrostatik - Druckmessung 39 ___________________________________________________________________

2.2.3 Berücksichtigung des hydrostatischen Drucks in einem Kessel

Die Änderung des hydrostatischen Drucks istin der Regel bei Gasen über die Behälterhöhevernachlässigbar. Der Druck im Kessel kannnäherungsweise über die Höhe als konstantangenommen werden. Dies gilt jedoch nichtfür Flüssigkeiten.

Abb. 2-22: Hydrostatischer Druck in einem Kessel

Druck im Kessel auf der Höhe h x 

Gl. 2-58:  g  x p p   f  L x        

Druckgleichgewicht im Manometer bei h2 Gl. 2-59:  g h p g  y p   Hg  f  x         0  

Gl. 2-60:  g  y g h p p   f  Hg  x        0  

2.2.4 Differenzdruckmessung

Die Druckdifferenz 21   p p p   ergibt sich aus der

Druckgleichgewicht bei A-A

Gl. 2-61: h g h g  ph g  p   Hg  f  f            2211  

Gl. 2-62:   h g hh g  p p   Hg  f          1221  

Gl. 2-63: h g  p   f  Hg           

Abb. 2-23: Differenzdruckmessung

 f

 Hg

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Fluidmechanik Hydrostatik - Druckmessung 40 ___________________________________________________________________

Bei geringen Geschwindigkeiten ( M   < 0.3) kann bei Gasen die Dichte gegenüber derFlüssigkeit im Manometer vernachlässigt werden, d.h. Gl. 2-63 vereinfacht sich zu:

Gl. 2-64: h g  p   Hg         

Hierbei wird implizit die Annahme getroffen, daß im Rohr eine quasi-eindimensionaleStrömung vorliegt, d.h. die Strömungsparameter ändern sich hauptsächlich in und nicht querzur Strömungsrichtung. Es git somit: 21 , p p pWand    

2.2.5 Berücksichtigung des Temperatureinflusses

Die temperaturbedingte Volumenänderung der Flüssigkeit im Manometer, z.B. Quecksilberist bei Druckmessungen zu berücksichtigen.

T  [°C] 0 10 20 30

   [kg/m³] 13595 13570 13546 13521

Tab. 2-5: Dichte von Quecksilber als Funktion der Temperatur

Länge der Quecksilbersäule bei T  = 0°C 

Gl. 2-65: T  L L   T      4

0 1081.11  

 LT  [mm Hg]Länge bei Raumtemperatur T  [°C]

Näherungsbeziehung zur Temperaturkorrektur der Quecksilbersäule

Gl. 2-66:8

0

T  L L   T    

2.2.6 Berücksichtigung der Luftfeuchte

Ab einer relativen Luftfeuchte von    > 50%  ist der Einfluß der Feuchte auf die spezifischeGaskonstante R, die in die Berechnung der Luftdichte    eingeht zu berücksichtigen, d.h. derWert der spezifischen Gaskonstante von trockener Luft  Rt   ist entsprechend Gl. 2-68  zukorrigieren, wobei  R f  die um die relative Luftfeuchte   korrigierte spezifische Gaskonstantevon Luft darstellt.

Gl. 2-67:T  R

 p

 f       

Gl. 2-68:

 p

 p

 R

 R

 p

 p

 R R

t d 

t  f 

 

  

 

   3773.01

05.287

11

 

mit  K kg  J  Rt    05.287   spez. Gaskonstante von trockener Luft

 K kg  J  Rd    461   spez. Gaskonstante von Wasserdampf

   relative Luftfeuchte

d  p   Sättigungsdampfdruck von Wasser in Luft

 p   Luftdruck

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Fluidmechanik Hydrostatik - Druckmessung 41 ___________________________________________________________________

Der Sättigungsdampfdruck von Wasser in Luft  pd   kann für die vorliegende Temperatur T  entweder einer Dampftafel entnommen oder über die Magnus2-Formel berechnet werden.

Gl. 2-69:  Pae p   T 

 

  

 

2.241

5043.17

213.611 , T  [°C]  Lufttemperatur

2.2.7 Drucksonden

Abb. 2-24: Drucksonden

Wanddruckmessung Statische Drucksonde Pitot-Sonde, Prandtl-Rohr

 statisch K Wand    p p p      p p statisch     p p statisch   

 g h p p   F Wand             g h p p   F  statisch           dynt total  Pitot    p p p p p    

Bei inkompressiblen Strömungen läßt sich aus dem dynamischen Druck  pdyn, d.h. derDifferenz aus Totaldruck pt  und statischem Druck p 

Gl. 2-70: 2

2cq p p p   t dyn        

die Strömungsgeschwindigkeit c bestimmen

Gl. 2-71:   h g  p pc   F t   

  

  

  2

2.2.8 Schrägrohrmanometer

Weiterentwicklung des U-Rohr Manometers,Neigung des Meßschenkels führt zu einerAufweitung der Skala, entsprechend sin ,maßgebend ist lediglich die Differenz h in denSpiegelhöhen.

Gl. 2-72:  g l  g h p p   M  M            sin21  

Abb. 2-25: Schrägrohrmanometer

2 H. G, Magnus (1802-1870), dt. Physiker und Chemiker

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Fluidmechanik Hydrostatik - Druckmessung 42 ___________________________________________________________________

Üb. 2-9: Geschwindigkeitsmessung mittels Schrägrohrmanometer und Prandtl-Rohr

geg.: l   = 100 [mm]  (Länge der aufgestiegenen Meßflüssigkeit)   M   = 800 [kg/m³] (Dichte der Meßflüssigkeit, Alkohol)

   = 30 [grd]  (Neigungswinkel des Manometers)

Tageswerte im Labor p  = ..720 [mm Hg] (Luftdruck)T   = 24 [°C]  (Lufttemperatur)   = ....70 [%]  (relative Feuchte)

Berechnen Sie für diese Bedingungen die Strömungsgeschwindigkeit in der Meßstrecke desWindkanals, wenn die Druckdifferenz am Manometer aus p1 (Gesamtdruck) und  p2 (statischer Druck) bestimmt wird. _________________________________________________________________________

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Fluidmechanik Hydrostatik – Druckkräfte auf Begrenzungsflächen 43 ___________________________________________________________________

2.3 Druckkräfte auf Begrenzungsf lächen

Abb. 2-26: Druckkräfte auf Begrenzungsflächen, [ 10]

Betrachtet wird im Folgenden ein Behälter, der bis zur Höhe H  mit einem Fluid der Dichte    gefüllt ist und an dessen Oberflächen und Außenseiten der Umgebungsdruck po herrscht.

2.3.1 Druckkraft auf eine ebene, horizontale Fläche

Die Druckkraft auf die Bodenplatte ergibt sich aus der Bilanz aus hydrostatischem Druck undUmgebungsdruck.

Gl. 2-73:  A H  g  F  F  F    ai B        

2.3.2 Druckkraft auf eine geneigte Fläche

Hydrostatische Kraft dF  auf ein Flächenelement dA in der Tiefe h, mit  cos yh  

Gl. 2-74:   dA y g dA p y g  pdA ph phdF h

 

 

 

 

       coscos 000  

Gl. 2-75:    A

dA y g  F        cos  

Schwerpunktsabstand yS  der Fläche A bezogen auf die x-Achse

Gl. 2-76:    A

S    dA y A

 y1

 

Resultierende Druckkraft auf die geneigte Fläche A 

Gl. 2-77:  A y g  F    S         cos  

Mit der Tiefe hS  des Flächenschwerpunkts S  

Gl. 2-78: S S    yh      cos  

Gl. 2-79:  A ph p Ah g  A y g  F    S S S    0cos         

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Fluidmechanik Hydrostatik – Druckkräfte auf Begrenzungsflächen 44 ___________________________________________________________________

Die resultierende Kraft auf die Fläche  A ergibt sich aus dem hydrostatischen Druck der imFlächenschwerpunkt S  herrscht

Gl. 2-80:   S S    h g  ph p      0  

Druckpunkt D Mit Ausnahme einer horizontalen, ebenen Fläche verteilt sich der Druck nicht konstant überdie Fläche  A. Dies hat zur Folge, daß der Kraftangriffspunkt oder Druckpunkt, nicht imFlächenschwerpunkt liegt. Die Druckpunktkoordinate  y D  ergibt sich aus dem Momenten-gleichgewicht bezüglich der x-Achse.

Gl. 2-81:

     

 x I 

 A A dF  A

 D   dA y g dA y g  ydF  y y F    2coscos           

 I  x: Flächenträgheitsmoment der Fläche A in Bezug auf die x-Achse

Der Abstand y D des Druckpunktes D von der Flüssigkeitsoberfläche ergibt sich aus Gl. 2-77eingestetzt in Gl. 2-81.

Gl. 2-82:  x DS    I  g  y A y g             coscos  

Mit dem Steinerschern Satz  A y I  I   S Sx x  2

, wobei  I Sx  dasFlächenträgheitsmoment der

Fläche  A  in Bezug auf eine Achse durch den Flächenschwerpunkt S , parallel zur  x-Achsebeschreibt, ergibt sich für die Koordinate y D des Druckpunktes D 

Gl. 2-83: S 

Sx

S Sx D   y

 A y

 I 

 A y

 A y I  y  

2

 

Abstand e zwischen Flächenschwerpunkt S  und Druckpunkt D der Fläche A (in y-Richtung)

Gl. 2-84: 0

 A y

 I  y ye

SxS  D  

  Druckpunkt liegt immer tiefer als der Schwerpunkt

Momentengleichgewicht bezüglich y-Achse liefert Druckpunktkoordinate x D 

Gl. 2-85:

  A y

 I  xdA y x g dA y g  xdF  x x F 

 xy D

 I 

 A A dF  A

 D

 xy

               coscos  

 I  xy: Zentrifugalmoment der Fläche A in Bezug auf x,y-System

Hat die belastete Fläche A eine Symmetrieachse parallel zur y-Richtung, so liegt derDruckpunkt D auf dieser Symmetrieachse im Abstand e unter dem Schwerpunkt S  

Sonderfall: Senkrechte ebene Fläche   h y ,0   

Kraft auf die senkrechte Wand

Gl. 2-86:  Ah g  F    S      

Abstand Druckpunkt zu Flächenschwerpunkt

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Fluidmechanik Hydrostatik – Druckkräfte auf Begrenzungsflächen 45 ___________________________________________________________________

Gl. 2-87: Ah

 I hhe

SxS  D  

 Al lgemein gil t:

Druckkräfte auf geneigte oder senkrechte Flächen sind unabhängig vom absolutenFlüssigkeitsvolumen, lediglich die Füllhöhe ist maßgebend (vgl. hydrostatisches Paradoxon).

 _________________________________________________________________________

Üb. 2-10: Kraft auf eine Absperrklappe

geg.: hS1  = 5 [m]

 D  = 1 [m]

   = 30 [grd]

    = 103

  [kg/m³] H   = 7 [m]

 B  = 10 [m]

ges.1. Kraft F 1 auf die Absperrklappe?2. Lage des Kraftangriffspunktes von F 1?3. Drehmoment der Klappe bezüglich x-x?4. Klappenlagerung bei x-x oder y-y?5. Kraft F 2 auf die linke Wand?6. Lage des Kraftangriffspunktes von F 2?

 _________________________________________________________________________

2.3.3 Druckkräfte auf gekrümmte Begrenzungsf lächen

2.3.3.1 Einfach gekrümmte (abwickelbare) Flächen

Abb. 2-27: Druckkräfte auf abwickelbare Flächen, [ 10]

Page 58: Skript Fluid

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Fluidmechanik Hydrostatik – Druckkräfte auf Begrenzungsflächen 46 ___________________________________________________________________

Hydrostatische Kraft dF  am Element dA 

Gl. 2-88: dAh g dF        

Gl. 2-89:  x x   dAh g dAh g dF           sin  

Gl. 2-90: hh   dAh g dAh g dF           cos  

Die Druckbelastung ergibt sich aus der Projektion des belasteten Flächenelements senkrechtzur betrachteten Kraftrichtung.

Horizontale Kraftkomponente F x für die durch die Kurve 1-2-3-4 beschriebene Fläche

Gl. 2-91:

  xSx xSx

 A

 x x   A ph p Ah g dAh g  F  x

0      

hSx: Abstand des Flächenschwerpunktes S  x der Projektionsfläche A x zur Oberfläche

Die Projektionfläche A x ergibt sich aus der Projektion von 1-2 zu 1'-2', horizontale Druckkräftevon 2-3 heben sich gegen 3-4 auf und liefern keinen Beitrag. Das Momentengleichgewichtan A x ergibt den Angriffspunkt D x der Kraft F  x :

Gl. 2-92: xSx

SySx Dx x

 Ah

 I hhe

 

 I Sy: Axiales Flächenträgheitsmoment der Fläche A x bezüglich einer zur y-Achse parallelenAchse durch den Schwerpunkt S  x der Projektionsfläche A x 

Vertikale Kraftkomponente  F h  für die durch die Kurve 1-2-3-4 beschriebene Flächeentspricht der Gewichtskraft des über der Kurve 1-2-3-4 befindlichen (realen oder fiktiven)Fluidvolumens, unabhängig davon ob sich in dem Volumen Verdrängungskörper (Kurve 5-6-7-8) befinden oder nicht, ergibt sich die vertikale Kraftkomponente F h zu

Gl. 2-93:

V  g dAh g  F h A

hh          

Da die Gewichtskraft des Fluidvolumens V   im Masseschwerpunkt S  F   angreift, verläuft dievertikale Kraftkomponente F h durch den Schwerpunkt S  F  des oberhalb der bedrückten Flächeliegenden Volumens.

Die Gesamtkraft F ergibt sich aus horizontaler und vertikaler Komponente F  x, und F h 

Gl. 2-94:h

 x F h x  F  F  F  F  F  arctan,22      

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Fluidmechanik Hydrostatik – Druckkräfte auf Begrenzungsflächen 47 ___________________________________________________________________

 Aufdruckkraft  F h' 

Abb. 2-28: Aufdruckkraft auf einen eingetauchten Körper, [ 10]

Das Flächenelement dA'  wird in der Tiefe h durch die Druckkraft dF'  belastet. Die vertikaleKomponente dF h'  ergibt sich aus der Höhe der Flüssigkeitssäule über der belasteten FlächedAh'  

Gl. 2-95: V d  g  Ad h g  F d dF 

hdA

h  

       coscos  

Die Aufdruckkraft  F h'   senkrecht nach oben ergibt sich aus der Gewichtskraft des fiktivenVolumens V'   über der belasteten Fläche 9-10. Die Wirkungslinie verläuft durch den

Masseschwerpunkt S  F ' .

Gl. 2-96: V  g  F h       

2.3.3.2 Beliebig gekrümmte (nicht abwickelbare) Flächen

Abb. 2-29: Druckkräfte auf beliebig gekrümmte Flächen, [ 10]

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Fluidmechanik Hydrostatik – Druckkräfte auf Begrenzungsflächen 48 ___________________________________________________________________

Die Druckbelastung einer beliebig gekrümmten Fläche läßt sich durch Projektion dergekrümmten Flächen in die h-y-Ebene bzw. h-x-Ebene auf ein ebenes Problem zurückführenund die Projektionsflächen werden analog zu einer senkrechten Wand behandelt.

Horizontale Kraftkomponenten F

 x, F

 y Die Kraft auf die senkrechte Wand ergibt sich aus dem hydrostatischen Druck im Flächen-schwerpunkt multipliziert mit der Projektionsfläche A x bzw. A y.

Gl. 2-97:  xSx x   Ah g  F        und  ySy y   Ah g  F        

Gl. 2-98:

 x

 A

 x

Sx  A

dAh

h   x

 

  und

 y

 A

 y

Sy A

dAh

h   y

 

 

Gl. 2-99: xSx

Sy x

 Ah

 I e

  und

 ySy

Sx y  Ah

 I e

 

Gl. 2-100 xSx

 yh Dx

 Ah

 I  y

  und

 ySy

 xh Dy  Ah

 I  y

 

Vertikale Kraftkomponente F h Kraft ergibt sich aus dem realen oder fiktiven Fluidvolumen V  zwischen der Fläche und derFluidoberfläche. Wirkungslinie der Gewichtskraft F h verläuft durch den Masseschwerpunkt S  F  des Volumens V  

Gl. 2-101: V  g  F h       

2.3.4 Stabilität

2.3.4.1 Stabili tät schwebender Körper

 F G > F  A:  Abtauchen F G = F  A:  Schwimmen F G < F  A:  Auftauchen

S  K   Masseschwerpunkt des KörpersS  F   Masseschwerpunkt des verdrängten Fluids

Abb. 2-30: Stabilität eines schwebenden Körpers

Die Linie, die durch den Masseschwerpunkt des Körpers S  K   und durch den Masseschwer-punkt des verdrängten Fluids S  F   führt, wird als Schwimmachse bezeichnet. Ein stabiles

Gleichgewicht erfordert, daß S  K  unterhalb von S  F  liegt.

Page 61: Skript Fluid

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Fluidmechanik Hydrostatik – Druckkräfte auf Begrenzungsflächen 49 ___________________________________________________________________

2.3.4.2 Stabili tät schwimmender Körper

 Ausgangslage

 F G  Gewichtskraft des Körpers, greift imKörperschwerpunkt S  K  an F  A  Gewichtskraft des verdrängten Fluids,

greift im Schwerpunkt S  F  desverdrängten Fluids an

Abb. 2-31: Schwimmender Körper - Ausgangslage

 Auslenkung aus der Gleichgewichts lage

Abb. 2-32: Schwimmender Körper - Auslenkung aus der Gleichgewichtslage

Wird der schwimmende Körper aus der Gleichgewichtslage ausgelenkt, so verbleibt derKörperschwerpunkt S  K   auf seiner Position. Das Volumen des verdrängten Fluids V  F   bleibtgleich, ändert aber seine Form, wodurch sich der Schwerpunkt des verdrängten Volumensvon S  F  auf S  F '  verschiebt. Die in den beiden Schwerpunkten angreifenden Kräfte  F  A und  F G liegen nun nicht mehr auf der gleichen Wirkungslinie. In dem in Abb. 2-32 skizziertenBeispiel bildet sich ein aufrichtendes Moment.

Der Schnittpunkt von Schwimmachse und Auftriebskraft  F  A  wird als Metazentrum  M  bezeichnet. Die sog. metazentrische Höhe h M   beschreibt den Abstand des Metazentrums

von dem Körperschwerpunkt S  K  

Gl. 2-102: eV 

 I h

 F 

 M    0  

Wobei I 0 das Trägheitsmoment der Schwimmfläche darstellt.

StabilitätsbedingungEin eigenstabiles Verhalten, d.h. ein selbständiges Zurückkehren in die Ausgangslage nacheiner Auslenkung infolge einer Störung, z.B. Welle, wird durch die metazentrische Höhe h M  definiert.stabil: 0,0     ahm , indifferent: 0mh , instabil: 0,0     ahm  

Page 62: Skript Fluid

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Fluidmechanik Hydrostatik – Druckkräfte auf Begrenzungsflächen 50 ___________________________________________________________________

Stabilitätsverhalten verschiedener Schiffstypen

Abb. 2-33: Stabilität unterschiedlicher Schiffstypen in Abhängigkeit von Beladung, [ 10]

Aufrichtender Hebelarm a über Krängungswinkel   

1 Seenotrettungskreuzer, 23m2 Seenotrettungsboot, 8.3m3 Patrouillenboot, 38m4 Motoryacht

4a 100% Vorräte4b 25% Vorräte

5 Containerschiff, 1100 Container zu 14t6 Gorch Fock

6a unter Segel, 100% Vorräte, 70 Mann in den Rahen, 200 an Deck6b Rumpf ohne Aufbauten

 _________________________________________________________________________

Üb. 2-11: Stabilität eines Schiffsrumpfes

Der eingetauchte Bereich entspricht einerzylindrischen Halbellipse mit derGesamtlänge  L 

Gesucht ist die maximale Lage des

Körperschwerpunkts über derWasseroberfläche bis Instabilität eintritt

 _________________________________________________________________________

Page 63: Skript Fluid

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Fluidmechanik Hydrostatik – Fluide unter Beschleunigung 51 ___________________________________________________________________

2.4 Fluide unter Beschleunigung

2.4.1 Niveauflächen

Die Verbindungsfläche aller Punkte mit gleichem Druck in einem Fluid wird als Niveaufläche(Isobarenfläche) bezeichnet. Niveauflächen bilden sich immer senkrecht zu den vorliegendenMassekräften (Gravitation, Trägheit). Freie Oberflächen von Flüssigkeiten werden durch denUmgebungsdruck belastet und bilden ebenfalls Niveauflächen, d.h. an jeder freien Ober-fläche eines Fluids herrscht immer ein Druckgleichgewicht zwischen dem Druck an derOberfläche des Fluids und dem Umgebungsdruck. Wirkt als einzige Kraft nur die Gravitationauf das Fluid, so stellt sich als Niveaufläche eine horizontale Ebene, bzw. Kugelfläche(Ozean) ein. Zusätzliche Trägheitskräfte bewirken eine Verschiebung der Niveaufläche.

2.4.2 Gleichförmig horizontal beschleunigter Behälter

Abb. 2-34: Horizontal beschleunigter Behälter

Der Spiegel der freien Oberfläche steht immer senkrecht zum resultierenden Beschleu-nigungsvektor. Der Neigungswinkel    des Flüssigkeitsspiegels gegenüber der Horizontalenergibt sich aus dem Verhältnis der Trägheitskräfte zur Gewichtskraft.

Gl. 2-103: g 

a

 g dm

adm

aft Gewichtskr 

raft Trägheitsk 

 tan  

2.4.3 Rotierende Flüssigkeiten

Abb. 2-35: Rotierender Behälter mit Flüssigkeit

Page 64: Skript Fluid

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Fluidmechanik Hydrostatik – Fluide unter Beschleunigung 52 ___________________________________________________________________

Rotiert ein Gefäß mit konstanter Winkelgeschwindigkeit   um seine Hochachse, so sinkt derSpiegel zur Mitte hin ab. Die resultierende Kraft am Element dm  ergibt sich ausZentrifugalbeschleunigung dF T  und Erdbeschleunigung dF G 

Gl. 2-104:2    r dmdF T   

Gl. 2-105:  g dmdF G    

Der Winkel der Tangente an die Oberfläche berechnet sich aus dem Verhältnis derBeschleunigungskräfte

Gl. 2-106: r  g  g dm

r dm

dF 

dF 

dr 

dz

G

22

tan    

   

Die Parabelform der Oberfläche ergibt sich aus der Abhängigkeit der Zentrifugalbeschleunig-ung vom Rotationsradius r .

Bestimmung der Form der freien Oberfläche z = z(r) Aus

Gl. 2-107: r  g dr 

dz

2

tan   

   

folgt

Gl. 2-108: dr r  g 

dz   2

  

Die Integration von zmin bis zmax 

Gl. 2-109:

 zr r 

 z

 z

dr r  g 

dzminmin

2  

ergibt für eine Rotation um die Symmetrieachse mit 0min    zr   

Gl. 2-110: 22

min2

r  g 

 zr  z  

   

 

Die maximale Steighöhe zmax am Rand, d.h. bei   R zr    max  ergibt sich aus Gl. 2-110 

Gl. 2-111:22

minmax2

 R g 

 z z  

     

Das Volumen eines Rotationsparaboloids entspricht dem halben Volumen des einhüllendenZylinders, d.h.

Gl. 2-112:  Zylinder  Paraboloid  Rot    V V    2

1.  

und damit läßt sich Gl. 2-111 auch schreiben als

Gl. 2-113: 22

min0minmax

2

2   R

 g 

 z z z z  

   

 

Page 65: Skript Fluid

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Fluidmechanik Hydrostatik – Fluide unter Beschleunigung 53 ___________________________________________________________________

Mit

Gl. 2-114: 2

2

0min4

 R g 

 z z  

   

 

ergibt sich aus Gl. 2-110 die Form der freien Oberfläche bei einer Rotation um dieSymmetrieachse

Gl. 2-115 :

 

  

 

2

1

2

2

22

0 R

r  R

 g  zr  z   

 

Druck auf den Behälterboden

Abb. 2-36: Rotierender Behälter mit Flüssigkeit

Der Druck auf den Behälterboden ergibt sich zu

Gl. 2-116:

       

r  z

 R

r  R

 g  z g  pr  z g  pr  p

 

 

 

 

 

  

 

2

1

2

2

22

000

       

Die parabolische Druckzunahme nach außen ist insbesondere für radial durchströmteStrömungsmaschinen von Bedeutung, z.B. bei Radialverdichtern.

Druck im Inneren des BehältersDie Druckzunahme in der Ebene A-A zwischen 1 und 2 beträgt (Abb. 2-36)

Gl. 2-117: 1212   z z g  p p        

mit

Gl. 2-118: min

2

1

2

1

2

 zr 

 g 

 z  

  

 , min

2

2

2

2

2

 zr 

 g 

 z  

  

 

folgt

Page 66: Skript Fluid

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Fluidmechanik Hydrostatik – Fluide unter Beschleunigung 54 ___________________________________________________________________

Gl. 2-119: 2

1

2

2

2

122

r r  p p          

Mit der Umfangsgeschwindigkeit r u  folgt

Gl. 2-120: 2

1

2

2122

uu p p      

 

Rotierende Flüssigkeit mit Deckel3 

Abb. 2-37: Rotierender Behälter mit Deckel

Das Kräftegleichgewicht in vertikaler Richtung wird in jedem Punkt der Ebene A-A durch diedarüber liegende Flüssigkeitssäule hergestellt, d.h. der Deckel ersetzt in der Kräftebilanz dasFluidvolumen V  A . Die Kraft F  D auf Deckel entspricht somit dem Gewicht des Volumens V  A .

Gl. 2-121:  A D   V  g  g m F         

Das Volumen V  R eines Rotationskörpers, der durch die Rotation einer Kurve r(z) um die z-Achse entsteht, wird beschrieben durch

Gl. 2-122: dz zr V 

 z

 z R

 

2

1

2

   

mit z1 und

Gl. 2-123: 2

1

2

22

0max2  

  R g 

 z Rr  z z z   

 

folgt aus Gl. 2-115 

Gl. 2-124: 2

02

2

2

12 R z z

 g  zr   

 

 

3 Es ist zu beachten, daß der Deckel mit einer Belüftung versehen sein muß, d.h. der Luftdruckunterhalb und oberhalb des Deckels muß gleich sein

z1 

z2 

 p0 

 p0 

Page 67: Skript Fluid

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Fluidmechanik Hydrostatik – Fluide unter Beschleunigung 55 ___________________________________________________________________

und somit für das Rotationsvolumen V  R um die z-Achse

Gl. 2-125: 

2

1

2

1

2

1

02

22

2

2

02

2 2

2

1

2

12  z

 z

 z

 z

 z

 z

 R   z z g 

 R z g 

dz R z z g 

dz zr V 

 

  

 

          

Gl. 2-126:

 

  

 

 

  

 

102

22

12202

22

22

2

2

12

2

1 z z

 g  R z

 g  z z

 g  R z

 g V  R

       

Die Berechnung des fiktiven Volumens V  A ergibt sich somit zu

Gl. 2-127:   R R Zylinder  A   V  z z RV V V    12

2   

 _________________________________________________________________________

Üb. 2-12: Zentrifuge

 D  = 32 [cm]  (Innendurchmesser) z0  = 8 [cm]  (Füllhöhe)

Bei welcher Drehzahl n erreicht der Flüssigkeits-spiegel den Behälterboden?

Wie hoch steigt die Flüssigkeit in diesem Fall an derWand des Behälters?

 _________________________________________________________________________

Üb. 2-13: Zentrifuge mit belüftetem Kolben

In eine mit der Drehzahl n = 1 [s-1] rotierendeZentrifuge wird ein reibungsfrei dichtender Kolben  K  gesetzt. Der Kolben besitzt in der Mitte eineBelüftungsbohrung, d.h. an der Oberseite und an dernicht benetzten Unterseite des Kolbens herrscht dergleiche Luftdruck p  .

Berechnen Sie die Masse m K  des Kolbens, wenndieser auf einer Höhe z1 = 1,0 [m] von der rotierendenFlüssigkeit getragen wird.

Behälterradius:  R  = 1,0 [m]Füllstand bei  = 0:  z0  = 0,2 [m]Dichte der Flüssigkeit:    FL  = 10³ [kg/m³]

Umgebungsluftdruck:  p   = 105

 [Pa]

r

 R

 z

 K

 p  

 p  

 z

Page 68: Skript Fluid

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Fluidmechanik Aerostatik – Atmosphäre der Erde 56 ___________________________________________________________________

3 Aerostatik

3.1 Atmosphäre der Erde

3.1.1 Die Erdatmosphäre als Wärmekraftmaschine

Die Atmosphäre der Erde ist in ein ständigen Veränderungen unterworfenes dynamischesSystem, eine Art Wärmemaschine [ 11], der auf der sonnenzugewandten Seite durchAbsorption von Sonnenstrahlung Wärme zugeführt und auf der sonnenabgewandten SeiteWärme durch Abstrahlung entzogen wird. Infolge der Erdrotation ändern sich dieStrahlungsverhältnisse auf der Erdoberfläche permanent. Eine weitere Komplikation derVerhältnisse, im Vergleich zu einer einfachen Wärmekraftmaschine im thermodynamischenSinn, ergibt sich aus der asymmetrischen Verteilung von Meer und Landmassen auf derErdoberfläche, da diese auch unterschiedliche Absorptions- und Emissionseigenschaftenaufweisen.

Zusammensetzung der Luft

Die Atmosphäre selbst besteht aus einer Mischung unterschiedlicher Gase, derenZusammensetzung jedoch über die Höhe relativ konstant bleibt. Hauptbestandteil bildet mitca. 78% Stickstoff, gefolgt von ca. 21% Sauerstoff, weitere Komponenten bildenWasserdampf, Kohlendioxid, Ozon und in sehr geringen Mengen Edelgase wie z.B. Argonund Neon, vgl. Tab. 3-1. Die chemische Zusammensetzung von Luft ist bis in sehr großeHöhen nahezu konstant, während Druck und Temperatur eine Höhenabhängigkeitaufweisen.

Tab. 3-1: Chemische Zusammensetzung der Erdatmosphäre

Gas Volumenprozent Temperatur [°C] Wasserdampf [g/m³]Stickstoff  N 2  78.09 -20 1.0

Sauerstoff O2  20.95 -10 2.3

Argon  Ar 0.93 0 4.9

Kohlendioxid CO2  0.03 (schwankt) 10 9.3Neon  Ne 0.0018 20 17.2

Helium  He 0.0005 30 30

Krypton  Kr 0.0001

Wasserstoff  H 2  0.00005

Xenon  Xe 0.000008

Ozon O3  0.00001 (schwankt)

Page 69: Skript Fluid

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Fluidmechanik Aerostatik – Atmosphäre der Erde 57 ___________________________________________________________________

3.1.2 Aufbau der Erdatmosphäre

Abb. 3-1: Aufbau der Erdatmosphäre, [ 11]

Eine feste Grenze existiert in der Höhe nicht; stattdessen erfolgt ein kontinuierlicherÜbergang in den interplanetarischen Raum. Die untersten und im Sinne der Flugzeug-aerodynamik interessantesten Schichten, bilden die Troposphäre und Stratosphäre. DerÜbergang zwischen diesen beiden Schichten erfolgt vergleichsweise diskontinuierlich unddie Trennungsschicht (Tropopause) liegt in unseren Breiten bei ca. 10 km Höhe und in denTropen bei ca. 17 – 18 km. Veränderungen in der Atmosphäre, also das Wettergeschehen,spielen sich vorwiegend in der untersten Schicht, der Troposphäre ab. In der Troposphäreselbst spielt der Bereich in Bodennähe, die so genannte Reibungsschicht bis in 500 – 1000 m über dem Boden eine besondere Rolle, da hier die Atmosphäre von den Verhältnissen ander Erdoberfläche beeinflußt wird. Die Höhe der Tropopause ist nicht nur eine Funktion desgeographischen Breitengrades, sondern unterliegt auch jahreszeitlichen Schwankungen.

Der für das Wettergeschehen relevante Anteil der Atmosphäre bildet im Vergleich zumErddurchmesser nur eine hauchdünne Schale, d.h. alle Hauptströmungen der Luft erfolgenhorizontal. Vertikalbewegungen können demgegenüber nur eine vergleichsweise geringeGeschwindigkeit aufweisen, haben jedoch eine besondere Relevanz bei Vorgängen, wieWolkenbildung und Niederschlag in seinen unterschiedlichen Formen.Die größten Höhenunterschiede der Tropopause treten entlang der Bänder maximalerWindgeschwindigkeiten ( jet streams) auf. Oberhalb der Tropopause befindet sich bis zueiner Höhe von ca. 50 km  die Stratosphäre. Nahm bis zum Erreichen der Tropopause dieLufttemperatur noch mit ca. 6.5 K/1000m ab, so stellt sich in der Stratosphäre anfangs eineisotherme Schicht ein um anschließend ab einer Höhe von ca. 20 km wieder anzusteigen.Der Temperaturanstieg innerhalb der oberen Stratosphäre ist auf die starke Absorption desUV-Anteils im Sonnenlicht durch Ozon zurückzuführen. Der Ozongehalt erreicht in derStratosphäre in einer Höhe zwischen 20 - 25 km sein Maximum.

Page 70: Skript Fluid

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Fluidmechanik Aerostatik – Atmosphäre der Erde 58 ___________________________________________________________________

Die Obergrenze der Stratosphäre wird durch die Stratopause gebildet. Das nun folgendeHöhenband von 50 - 80 km, die Mesosphäre ist durch einen negativen Temperaturgradientenmit zunehmender Höhe gekennzeichnet und der Luftdruck hat sich auf 1 - 0.01 HPa reduziert.Nach der Mesosphäre folgt die Ionosphäre oder Thermosphäre bis in ca. 800 km Höhe, die

infolge von ionisierten Schichten (E-Schichten oder Heaviside-Schichten) Radiowellenreflektieren und dadurch Überreichweiten erzeuge können. Oberhalb von 800 km  erreichtman die Exosphäre, die den Übergang von der Atmosphäre zum interplanetaren Raumbildet. Von besonderem Interesse in dieser Schicht ist der so genannte Van-Allen-Strahlengürtel , der den Hauptteil der kosmischen Strahlung (Gamma-Strahlung) abschirmt.Bemannte Raumfahrtmissionen außerhalb dieses Schutzgürtels, also auch bereits kurzeMissionen zu Mond oder Mars, beinhalten dadurch ein immenses Risiko der gesundheit-lichen Schädigung infolge hoher Strahlungsbelastung.

Einfluß der LuftfeuchtigkeitDer Wasserdampfanteil in der Atmosphäre ist abhängig von Lufttemperatur und der relativenFeuchte. Insbesondere die spez. Gaskonstante R unterliegt einem Feuchteeinfluß

Gl. 3-1:

 p

 p R

 RS 

 Luft trockene Luft  feuchte

 377.01

 

Tab. 3-2: Sättigungsdruck von Luft

T  [°] 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60

 pS  [Pa] 611 872 1227 1704 2337 3166 4241 5622 7375 9582 12340 15740 19920

Page 71: Skript Fluid

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Fluidmechanik Aerostatik – Abhängigkeit des Luftdrucks von der Höhe 59 ___________________________________________________________________

3.2 Abhängigkeit des Luftdrucks von der Höhe

3.2.1 Luftdruck

Bei inkompressiblen Fluiden (    = const.) wie z.B. Wasser, kann von einer linearen Druck-änderung in Abhängigkeit von der Höhe bzw. Tiefe ausgegangen werden. Bei kompressiblenFluiden (   ≠  const.) z.B. Luft, trifft diese lineare Abhängigkeit nicht mehr zu. Hier änderdertsich der Druck exponentiell mit derHöhe.

Der Luftdruck  p [Pa = N/m²] entspricht einer Kraft F , die eine Fläche von A = 1 [m²] durch diedarüber befindliche Luftsäule der Höhe h erfährt

Gl. 3-2: h g  A

 g h A

 A

 g V 

 A

 g m

 A

 F  p  

   

     

wobei z der vom Boden nach oben gerichtet in Koordinatenrichtung entspricht

Gl. 3-3  z g h g  p          

3.2.2 Kräftegleichgewicht an einem Volumenelement

Das Kräftegleichgewicht in  z-Richtung an einem Volumen-element der Dicke dz lautet

Gl. 3-4: 02,1,     G p p   F  F  F   

Gl. 3-5: 0   g dmdAdp pdA p  mit der Masse dzdAdm       folgt

Gl. 3-6: 0   g dzdAdAdp pdA p      

Gl. 3-7: 0   g dzdAdAdp      

Gl. 3-8: dz g dp        

Abb. 3-2: Kräftebilanz am Fluidelement

Dieser Gleichung wird als hydrostatische Grundgleichung bezeichnet und gilt für kompressibleals auch für inkompressible Fluide.

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Fluidmechanik Aerostatik – Abhängigkeit des Luftdrucks von der Höhe 60 ___________________________________________________________________

Polytrope (allgemeine) ZustandsänderungUnter der Annahme einer polytropen Zustandsänderung

Gl. 3-9: .const v p   n , mit  

1v   und n = Polytropenexponent

lautet die Abhängigkeit des Drucks von der Dichte

Gl. 3-10:

n

 p

 p 

  

 

00    

   

bzw. für die Dicht gilt

Gl. 3-11:n

 p

 p1

0

0

11 

  

 

     

wobei der Exponent die Art der Zustandsänderung beschreibt:n = 1:  Isotherme Zustandsänderungn =  : Adiabate Zustandsänderung (  Luft  = 1.4)

Gl. 3-12:0

00

T  R

 p

      

0

0

0

1

 p

T  R

   

Einsetzen der Zustandsgleichung des idealen Gases (Gl. 3-12) in Gl. 3-11 ergibt

Gl. 3-13:n

 p p

T  R

 p

 p

 p

T  Rnn

n

11

0

0

1

0

0

01

 

  

 

   

Aus der hydrostatischen Grundgleichung (Gl. 3-8) folgt

Gl. 3-14:dp

 g dz 

  

Daraus folgt die lineare Differentialgleichung

Gl. 3-15: n

 p p

T  R

dp

 g dznn 11

0

0

 

bzw.

Gl. 3-16: dp p p g 

T  Rdz   nnn  

1

11

0

0

 

Gl. 3-17:  

 p

 pn

 p

 pn

nn

 z

 z   p

dpk 

 p

dp

 p g 

T  Rdz

000

111

0

0

 

In Abhängigkeit davon ob es sich um eine isotherme (n = 1) oder nicht-isotherme (n    1)Temperaturschichtung in der Atmosphäre handelt, muß das Integral in Gl. 3-17unterschiedlich ausgewertet werden.

Page 73: Skript Fluid

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Fluidmechanik Aerostatik – Abhängigkeit des Luftdrucks von der Höhe 61 ___________________________________________________________________

Nicht-isotherme Temperaturschichtung ( n  1) 

Gl. 3-18:

 p

 p

n

n p

 p   n

 pn

nk 

 p

dpk 

00

1

1 1

 

Gl. 3-19:

 

  n

nn

n p

 p   n

 p pn

nk 

 p

dpk 

1

0

1

1 10

 

Ersetzen der Konstanten k  

Gl. 3-20:

 

  n

nn

n

nn  p p

n

n

 p g 

T  R z z

1

0

1

1

0

00

Gl. 3-21:

  

  

11

1

0

00

n

n

 p p

nn

 g T  R z z  

Gl. 3-22: 1

0

00

11

  n

n

 z zT  R

 g 

n

n

 p

 p 

Gl. 3-23:0

0

0

11

 z z

 R

 g 

n

n

T   

 

Gl. 3-24:  R

 g 

n

n

dz

dT 

1

 

Gl. 3-25:1

1

0

0

0

1

    n

 z z

dz

dT 

  

   

Isotherme Temperaturschichtung ( n = 1) 

Gl. 3-26: 01 ln

00 p

 p

k  p

dp

k  p

dp

 p

 p

 p

 p   n  

Gl. 3-27: 0

0

0

 z zT  R

 g 

e p

 p  

 

Gl. 3-28: 0

0

0

 z zT  R

 g 

e

  

   

Page 74: Skript Fluid

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Fluidmechanik Internationale Standardatmosphäre 62 ___________________________________________________________________

3.3 Internationale Standardatmosphäre (ISA)

Die Normatmosphäre (DIN 5450 bzw. seit 1975 DIN ISO 2535) basiert auf jahreszeitlich undgeographisch gemittelten Meßwerten für Druck, Dichte und Temperatur und dient alsNormierungssystem zur Auslegung und Vergleich von Flugleistungen. Berücksichtig werdenunterschiedlichen Temperaturgradienten für unterschiedliche Höhenbereiche.

3.3.1 Temperaturverteilung der Standardatmosphäre

288,15

0

216,65

11

216,65

20

228,65

32

270,65

47

270,65

52

252,65

61

180,65

79

180,65

88

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

170 190 210 230 250 270 290 310T [K]

   H

   [   k  m   ]

 

Abb. 3-3: Temperaturverteilung der Standardatmosphäre

Page 75: Skript Fluid

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Fluidmechanik Internationale Standardatmosphäre 63 ___________________________________________________________________

Höhenbereiche mit linear veränderlicher Temperatur

Höhe [km] Temperaturgradient [K/km]-5 < H < 11 -6.5

20 < H < 32 +1.0

32 < H < 47 +2.8

52 < H < 61 -2.0

61 < H < 79 -4.0

Tab. 3-3: Temperaturgradienten für unterschiedliche Höhenbereiche

Gl. 3-29:  A Ah   hhaT T     

Gl. 3-30: Ra

 g 

 A

h Ah T 

T  p p

 

  

 

0

 

Gl. 3-31:

 

  

 

10

 Ra

 g 

 A

h Ah T 

T       

Höhenbereiche mit isothermer Schichtung

Höhe [km]11 < H < 20

47 < H < 52

79 < H < 88

Tab. 3-4: Höhenbereiche mit konstanter Temperatur

Gl. 3-32: .const T T    Ah    

Gl. 3-33:  A

h

hhT  R

 g 

 Ah   e p p

 

  

 

0

 

Gl. 3-34:  A

h

hhT  R

 g 

 Ah   e

 

  

 

0

      

Die höhenabhängige Berechnung von Druck, Dichte und Temperatur erfolgt mit den in Tab.3-5 angegebenen Temperaturgradienten a und Anfangswerten () A nach ISA.

h [m] h A [m] T  A [K] a [K/m]  p A [Pa]     [kg/m³]

-5103 - 11103  0 288.15 -6.510-3  101325 1.2250

11103 - 20103  11103  216.65 0.0 22632 0.3639

20103 - 3210

3  2010

3  216.65 +1.010

-3  5475 0.0880

32103 - 47103  32103  228.65 +2.810-3  868 0.0132

47103 - 5210

3  4710

3  270.65 0.0 111 0.0014

52103 - 6110

3  5210

3  270.65 -2.010

-3  59 0.0008

61103

 - 79103

  61103

  252.65 -4.010-3

  18 0.00027910

3 - 8810

3  7910

3  180.65 0.0 1 1.910

-5 

Tab. 3-5: Anfangswerte und Temperaturgradienten nach ISA

Page 76: Skript Fluid

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Fluidmechanik Internationale Standardatmosphäre 64 ___________________________________________________________________

Höheh [m]

TemperaturT  [K]

Temperaturgradienta [K/m]

Druck p [Pa]

Dichte   [kg/m³]

Schallgeschwindigkeitc [m/s]

0 288.15 -6.510-3  101325 1.2250 340

Tab. 3-6: Werte der Standard-Atmosphäre (ISA) für h = 0 (MSL)

Ausgehend von der Temperaturverteilung in der Atmosphäre lassen sich folgende Parameterberechnen:

SchallgeschwindigkeitDie höhen- bzw. temperaturabhängige Schallgeschwindigkeit a  kann für ideale Gase alsreine Temperaturfunktion beschrieben werden

Gl. 3-35: T  Ra        

mit der spezifischen Gaskonstante R ( R Luft  = 287.05 [J/kgK]

Gl. 3-36: v p   cc R    

und dem Isentropenexponent (  Luft  = 1.4)

Gl. 3-37:v

 p

c

c   

Machzahl

Gl. 3-38:

a

c M     

Wärmeleitfähigkeit

Gl. 3-39:

 K m

12

5.13

104.245

10648151.2   

ViskositätDie dynamische Viskosität    [Pas] von Luft läßt sich näherungsweise nach derSutherlandformel  als Funktion der Temperatur berechnen.

Abb. 3-4: Temperaturabhängigkeit der dynamischen Viskosität

Page 77: Skript Fluid

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Fluidmechanik Internationale Standardatmosphäre 65 ___________________________________________________________________

dynamische Viskosität   

Gl. 3-40:  s PaT 

 

4.11010458.1

5.16

   

kinematische Viskosität   

Gl. 3-41:

 s

m2

  

    

Reynoldszahl

Gl. 3-42: 

  

 

  ref ref    l cl c

Re  

3.3.2 Definit ionen der Höhe

Die umgangssprachliche Bezeichnung Höhe, also der Abstand eines Punktes zum Boden,erfordert im Sinne der Fluidmechanik eine genauere Beschreibung. Unterschieden werdensechs Definitionen- geometrische Höhe- absolute Höhe- geopotentielle Höhe- Druckhöhe- Temperaturhöhe

- DichtehöheGeometrische Höhe hG Abstand eines Punktes über dem Meeresspiegel, z.B. Höhenangaben in Landkarten

Abb. 3-5: Geometrische Höhe, Höhenlinien

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Fluidmechanik Internationale Standardatmosphäre 66 ___________________________________________________________________

 Absolute Höhe h a Abstand eines Punktes zum Erdmittelpunkt, r  = Erdradius (Mittlerer Äquatorradius r  E  = 6378[km])

Gl. 3-43: r hh   Ga    

Geopotentielle Höhe h Die quadratische Änderung der Gravitation mit dem Abstand zum Erdmittelpunkt

Gl. 3-44:

2

0

2

0  

  

 

 

  

 

Ga   hr 

r  g 

h

r  g  g   

wird bei der geopotentiellen Höhe h berücksichtigt

Gl. 3-45: G

G

hhr 

r h  

 

 

 

 

 

DruckhöheEinfache Höhenmesser in Flugzeugen arbeiten in der Regel als barometrischeHöhenmesser, d.h. es wird der statische Luftdruck außerhalb des Flugzeugs gemessen unddaraus eine Höhe ermittelt. Die Druckhöhe beschreibt somit die Zuordnung eines Luftdrucks

 p(h) zu einer Höhe h.

Abb. 3-6: Barometrischer Höhenmesser

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Fluidmechanik Internationale Standardatmosphäre 67 ___________________________________________________________________

Abb. 3-7: Höhenmessereinstellungen

Die Druckhöhe entspricht in der Regel nicht der geometrischen Höhe, wird jedoch zurStaffelung des Flugverkehrs nach so genannten Flugflächen FL (flight levels) verwendet.

Gl. 3-46:  ft  FL H  100  

z.B. FL120 entspricht einer geometrischen Höhe von 12000ft = 3658 [m], sofern der realeLuftdruck auf Meeresniveau bezogen  p0 = 1013.25 [hPa] beträgt. Alle Höhenangaben werdenbei diesem Verfahren auf den Standarddruck auf Meeresniveau (QNH) von  p0 = 1013.25 [hPa] 

bezogen. Da in der Regel der Luftdruck nicht dem Standarddruck entspricht, gibt dieseHöhenmessereinstellung eine von der geometrischen Höhe abweichende Flughöhe an. DieFlugzeuge bewegen sich dadurch auf Flächen konstanten Drucks, nicht auf einer konstantengeometrischen Höhe. Dies hat jedoch den Vorteil, daß eine gleichbleibende relativeHöhenstaffelung des Flugverkehrs gewährleistet wird.

Abb. 3-8: Flugflächen

Vom Hoch ins Tief - das geht schief

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Fluidmechanik Internationale Standardatmosphäre 68 ___________________________________________________________________

TemperaturhöheZusätzlich zum statischen Druck wird die statische Temperatur außerhalb des Flugzeugsgemessen. Bis zu einer Höhe von 11 km läßt sich dieser gemessenen Temperatur über dieStandardatmosphäre ebenfalls eindeutig eine Höhe zuordnen. Das wäre die so genannte

Temperaturhöhe 

DichtehöheDie Dichtehöhe ergibt sich über die Zustandsgleichung des idealen Gases aus dengemessenen Werten für Druck und Temperatur. Die Dichthöhe  wird insbesondere zurBerechnung der Flugleistungen, insbesondere der Startstrecke verwendet.

Näherungsformel zur Berechnung der Dichtehöhe

Gl. 3-47:    ][1203025.1013 ,   ft T T QNH hh   ISAhh Dichte    

mith  [ft]  = Platzhöhe (1 ft = 0.3048 m)QNH [hPa]  = Luftdruck bezogen auf MSLT h  = aktuelle Temperatur am PlatzT h,ISA  = Temperatur am Platz bei ISA-Bedingungen

 _________________________________________________________________________

Üb. 3-1: Gasballon mit Heliumfüllung

geg.:

 D Ballon  = 6 [m] R He  = 2078 [J/kgK]m Hülle = 20 [kg]m Korb  = 10 [kg]

Die Hülle des Ballons ist vollständig flexibel

1.  Berechnen Sie die Nutzlast, die der Ballon beieinem Start auf der Höhe h = 0 unter ISA-Bedingungenheben kann

2.  Welchen Durchmesser hat der Ballon in einerHöhe h = 12 km unter ISA-Bedingungen

 _________________________________________________________________________

Üb. 3-2: Auslegung einer Druckkabine

Die Druckkabine eines Flugzeugs soll für einen konstanten Kabineninnendruck ausgelegtwerden, der einer Höhe von h = 2400 m entspricht. Die maximale Flughöhe beträgt FL400.

Welcher Differenzdruck  p lastet auf der Kabine

a) Bei ISA-Bedingungen?b) Bei einem Luftdruck auf MSL von p0 = 1000 hPa und einer Temperatur auf MSLvon T 0 = 35°C?

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Fluidmechanik Strömung von Fluiden - Grundbegriffe 69 ___________________________________________________________________

c, p, T,    

A

A

4 Strömung von Fluiden

4.1 Grundbegriffe

4.1.1 Allgemeine Beschreibung des Strömungsfeldes

Ein Strömungsfeld läßt sich allgemein beschreiben durch das Geschwindigkeitsfeld t  z y xcc ,,,

, welches ein Vektorfeld darstellt und durch die skalaren Größen Druck

t  z y x p p ,,, , Dichte t  z y x ,,,       und Temperatur t  z y xT T  ,,, . Zur Lösung des

Gleichungssystems existieren 6 Gleichungen:- Drei Bewegungsgleichungen (drei Komponenten)- Kontinuitätsgleichung- Energiesatz- Thermische ZustandsgleichungBei idealen Flüssigkeiten existiert keine Temperaturabhängigkeit der Zustandsgrößen. Fürideale Gase müssen aus dem Wertetripel T  p ,,   lediglich immer nur zwei bekannt sein.

4.1.2 Stationäre und instationäre Strömungen

Strömungen lassen sich in Abhängigkeit von dem zeitlichen Verhalten der ZustandsgrößenV , p, T  und    in stationäre und instationäre Strömung unterteilen.

stationär

Gl. 4-1: 0dt 

dt 

dT 

dt 

dp

dt 

dc     

quasistationär

Gl. 4-2: 0dt 

dt 

dT 

dt 

dp

dt 

dc     

Instationär

Gl. 4-3: 0,0,0,0   dt 

dt 

dT 

dt 

dp

dt 

dc     

Abb. 4-1: Zustandsgrößen in einer Strömung

Eine kontinuierliche Rohrströmung bei der keine zeitliche

Änderung des Massestroms oder der Temperatur vorliegtentspricht einer stationären Strömung. Eine instationäreStrömung würde z.B. bei dem Ausfluß einer Flüssigkeit auseinem Behälter entsprechen. Der Massestrom m   und dieAusflußgeschwindigkeit V  ändern sich in Abhängigkeit von demFüllstand h entsprechend der Torricelli'schen Ausflußgleichung.Die dabei erreichte Ausflußgeschwindigkeit c  entspricht derGeschwindigkeit, die in Fluidelement bei einem freien Fall ausder gleichen Höhe h erreichen würde.

Gl. 4-4: h g c   2  

Abb. 4-2: Instationäre Strömung

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Fluidmechanik Strömung von Fluiden - Grundbegriffe 70 ___________________________________________________________________

4.1.3 Bahnlinie und Stromlinie

Eine Bahnlinie beschreibt die Kurve, die ein Fluidelement zu unterschiedlichen Zeitpunkten(   nt t t t  ,....,, 10 ) durchläuft. Die Sichtbarmachung erfolgt z.B. durch Zugabe von Schwebe-

teilchen in die Strömung und mittels einer photographischen Aufnahme bei der innerhalb der

Belichtungszeit die Teilchen das betrachtete Strömungsfeld vollständig durchqueren. DieBahnlinie entspricht also der Ortskurve (Flugbahn) eines Teilchens.

Abb. 4-3: Wasserkanalaufnahme von NACA 64A015,  = 0° [ 14]

Eine Stromlinie stellt die Tangentenkurve an die Geschwindigkeitsvektoren eines Strömungs-feldes dar. Die Sichtbarmachung erfolgt z.B. durch Zugabe von Schwebeteilchen in dieStrömung und mittels einer photographischen Aufnahme bei einer Belichtungszeit, die sogewählt wird, daß dabei die Teilchen in dem betrachteten Strömungsfeld nur eine kurzeStrecke zurücklegen (Momentaufnahme). Das Strömungsfeld läßt sich durch eineKurvenschar veranschaulichen, die in jedem Punkt den zughörigen Geschwindigkeitsvektor

tangieren.

Abb. 4-4: Stromlinien eines Strömungsfeldes

Der Abstand zwischen zwei Stromlinien kann beliebig dicht, ähnlich der Staffelung vonHöhenlinien in einer Wanderkarte, zueinander definiert werden. Über die Stromlinien hinwegkann kein Masseaustausch stattfinden, d.h. zwischen zwei Stromlinien liegt immer einkonstanter Massestrom vor. Aufgrund der Bedingung eines konstanten Massestromszwischen den Stromlinien führt (bei Unterschallströmungen) eine Stromlinienverdichtung,also eine Querschnittsverengung, zu einer Strömungsbeschleunigung und eine Stromlinien-erweiterung bewirkt eine Strömungsverzögerung. Stromlinien können keine Unstetigkeits-stelle (Knick) oder Überschneidungen aufweisen. Dies gilt für alle Arten von Iso-Linien, also

z.B. Isobaren oder Isochoren. Überschneidungen von Iso-Linien in einem Strömungsfeldwürde bedeuten, daß man einem Fluidteilchen zum gleichen Zeitpunkt am gleichen Ort z.B.mehrere unterschiedliche Geschwindigkeiten oder Drücke zuordnen könnte.

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Fluidmechanik Strömung von Fluiden - Grundbegriffe 71 ___________________________________________________________________

Bei stationären Strömungen fallen Bahnkurven und Stromlinien zusammen.

Abb. 4-5: Stromlinie und Bahnlinie, [ 13]

4.1.4 Stromröhre, Stromfaden, Stromfläche

Die Zusammenfassung aller Stromlinien, die durch eine geschlossene Kurve  A  im Raumtreten, wird als Stromröhre bezeichnet. Bei der Annahme einer eindimensionalen Strömunginnerhalb der Stromröhre, d.h. die Strömungsgrößen ändern sich nur in Strömungsrichtungund verhalten sich quer zu Strömungsrichtung konstant, können die Strömungsgrößen aufeiner einzigen Stromlinie konzentriert angenommen werden. Diese repräsentative Stromlinieentspricht einer Stromröhre mit infinitesimalem Querschnitt dA  und wird als Stromfadenbezeichnet. Die umhüllende Mantelfläche der Stromröhre wird als Stromfläche bezeichnet,wobei der Massestrom nur durch Ein- bzw. Ausrittsfläche A1 und A2 stattfindet.

Abb. 4-6: Stromröhre, Stromfaden und Stromfläche, [ 13]

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Fluidmechanik Strömung von Fluiden - Kontinuitätsgleichung 72 ___________________________________________________________________

4.2 Kontinuitätsgleichung

Wird eine Stromröhre von einem Fluid mit einermittleren Geschwindigkeit c  im Querschnitt  A durchströmt, so bildet das Volumenelement dV ,welches um die Strecke ds  bewegt wird, den

VolumenstromV  . Bei kleinen Querschnitts-änderungen in Strömungsrichtung kann dieQuerschnittsänderung dA  im Vergleich zurVerschiebung ds  in Strömungsrichtungvernachlässigt werden, d.h. 0dA s .

Abb. 4-7: Stromröhre - Kontinuitätsgleichung

Volumenstrom  

Gl. 4-5:   ds AdA sds A s Ad dV     

Gl. 4-6: c Adt 

ds A

dt 

dV V     

MassestromDer Massestrom dt dmm   ergibt sich aus

Gl. 4-7:

dt 

dV 

dt 

d V 

dt 

V d 

dt 

dm

   

     

Gl. 4-8: V V m            

Für stationäre Strömungen, d.h. 0    vereinfacht sich Gl. 4-8 zu

Gl. 4-9:  AcV m            

MasseerhaltungssatzDa bei stationären Strömungen die Masse im betrachteten Kontrollvolumens konstant bleibtund innerhalb der Stromröhre der Massestrom nur durch die Ein- bzw. Ausrittsfläche  A1 und

 A2 möglich ist, muß in jedem beliebigen Querschnitt Ai der Stromröhre gelten

Gl. 4-10: .22211121   const  Ac Acmm          

Differenzieren von Gl. 4-10 ergibt die differentielle Form der Kontinuitätsgleichung

Gl. 4-11: .const  Acm       

Gl. 4-12: 0   Acd md       

Page 85: Skript Fluid

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Fluidmechanik Strömung von Fluiden - Kontinuitätsgleichung 73 ___________________________________________________________________

Gl. 4-13: Ac

dc AdAcd  Ac

  

      1

0  

Gl. 4-14: 0 c

dc

 A

dAd 

  

  

 

 _________________________________________________________________________

Üb. 4-1: Rohrverzweigung eines Abwasserrohrs

geg.: D1  = D2 = 100 [mm]

1V    = 42.4 [m³/h] 

32 :V V      = 2:1

c3  = c1 

ges.: D3  Durchmesser Abzweigungsrohrc2  Geschwindigkeit im Querschnitt 2 

 _________________________________________________________________________

4.3 Energieerhaltungssatz

4.3.1 Satz von Bernoull i

Der Energieerhaltungssatz läßt sich aus der thermodynamischen Betrachtung eines offenen,durchströmten Systems am Beispiel eines Strömungsprozesses mit Austausch von Wärmeund Arbeit herleiten. Betrachtet werden hierbei lediglich die Energie- und Massenströme, diedie Systemgrenze überschreiten, sowie die Änderungen der Energie im Inneren desSystems. Eine Kenntnis der technischen Abläufe innerhalb der Systemgrenzen ist nichterforderlich.

Abb. 4-8: Strömungsprozeß mit Austausch von Wärme und Arbeit

Luft

Zapfluft EnteisungKerosinZapfluft Kabinendruck

 Abgas

Systemgrenze

 zum   abab  qm   ,

 zu B   qm   ,  1 Lm

el w

ab L   qm   ;2  

Page 86: Skript Fluid

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Fluidmechanik Strömung von Fluiden - Energieerhaltungssatz 74 ___________________________________________________________________

Die Energiebilanz über die Systemgrenze ergibt den ersten Hauptsatz der Thermodynamikfür offene stationär durchströmte Systeme

Gl. 4-15:  

 

 

 

  12

2

1

2

21212122

1 z z g cchhm P Q    

bzw. bezogen auf die Masse des strömenden Mediums, d.h. den Massestrom m  

Gl. 4-16:              

 gienSystemener nergienTransporte

t    z z g cchhwq 12

2

1

2

21212,122

1  

Wärme Q12 und Arbeit W 12 stellen dabei die sog. Transportenergien dar, d.h. Energien, dieüber die Systemgrenze transportiert werden. Enthalpie  H , sowie die kinetische undpotentielle Energien  E kin  und  E  pot   stellen Systemenergien dar, d.h. Energien, die sichinnerhalb der Systemgrenze ändern. Bei reibungsbehafteten, also allen in der Realität

ablaufenden Prozessen ist noch die Dissipationsenergie E  Diss als zusätzliche Transportgrößezu berücksichtigen.

In der Regel werden die Energieterme auf die Systemmasse m  und Energieströme undLeistungen auf den Massestrom m  bezogen und als spezifische Größen bezeichnet.

TransportgrößenWärme  J Q12  

spez. Wärme

kg 

 J 

m

Qq 12

12

 Wärmestrom

 s

 J Q12

 

spez. Wärme

kg 

 J 

m

Qq

12

12

 Arbeit  J W 12  

spez. Arbeit

kg 

 J 

m

W w 12

12

Leistung

W  s

 J  P 

 

spez. Arbeit

kg 

 J 

m

 P w

1212

 Dissipationsenergie  J  E  Diss  

spez. diss. Energie

kg 

 J 

m

 E e   diss

diss

Systemgrößenkinetische Energie

 J cc

m

 E kin

2

1

2

212, 2  

spez. kin. Energie

kg 

 J 

m

 E 

e  kin

kin

12,

12,

potentielle Energie  J  z z g m E  pot  1212,   spez. pot. Energie

kg 

 J 

m

 E e   pot 

 pot 12,

12,

Enthalpie  J V  pU  H     spez. Enthalpie

kg 

 J 

m

 H h

 innere Energie  J T cmU    v 

 spez. innere Energie

kg 

 J 

m

U u

 Druckenergie  J V  p  

spez. Druckenergie

kg 

 J 

m

V  p

v p

Tab. 4-1: Energie und Leistungsgrößen

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Fluidmechanik Strömung von Fluiden - Energieerhaltungssatz 75 ___________________________________________________________________

Enthalpie: Summe aus innerer Energie U  und Druckenergie p V  

Gl. 4-17: V  pU  H     

bzw. spez. Enthalpie h 

Gl. 4-18: v pum

 H h    

Kalorische Zustandsgleichungen zur Beschreibung der inneren Energie und Enthalpie

Gl. 4-19: dvv

udT 

udu

c

v

v

  

  

  

  

 

spez. isochore Wärmekapazität cv 

Gl. 4-20: vT cT 

uc   v

vv ,

  

  

 

Gl. 4-21: dp p

hdT 

hdh

c

 p

 p

 

  

 

 

  

 

 

spez. isobare Wärmekapazität c p 

Gl. 4-22:  pT c

hc   p

 p

 p , 

  

 

 

Innere Energie und Enthalpie fester und flüssiger PhasenFür inkompressible Fluide, d.h.    = const. bzw. v = const. gilt

Gl. 4-23:   cdT 

duT cT c   v p    

Änderung der spez. inneren Energie u 

Gl. 4-24: 1212   T T cT uT u    

Änderung der spez. Enthalpie h 

Gl. 4-25: 112121122 ,,   v p pT T c pT h pT h    

Innere Energie und Enthalpie idealer Gase

Gl. 4-26: T cdT 

duc   vv    

Gl. 4-27:  dT T cdu   v    

Gl. 4-28:   1

2

12

v   dT T cuu  

Page 88: Skript Fluid

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Fluidmechanik Strömung von Fluiden - Energieerhaltungssatz 76 ___________________________________________________________________

Gl. 4-29: T cdT 

dhc   p p    

Gl. 4-30:  dT T cdh   p    

Gl. 4-31:   1

2

12

 p   dT T chh  

Da die Temperaturabhängigkeit bei den spezifischen Wärmen c p und cv  gleich ist, entfällt dieTemperaturabhängigkeit bei der Berechnung der spezifischen Gaskonstante  R  aus derDifferenz der beiden spezifischen Wärmen, d.h. bei idealen Gasen ist  R keine Funktion derTemperatur.

Gl. 4-32:   RT cT c   v p    

Innere Energie und Enthalpie bei konstanten Werten für  c p und cv 

Gl. 4-33: 1212   T T cuu   v    

Gl. 4-34: 1212   T T chh   p    

Erster Hauptsatz der Thermodynamik für ein offenes System 

Gl. 4-35:            gienSystemener 

 pot kin

nergienTransporte

 Disst    heeewq 1212,12,12,12    

Gl. 4-36:  

ie Druckenerg  spezu

v

ee

 Disst    p pvT T c z z g ccewq

 pot kin

.

121212

2

1

2

212,12

1212,

12,

2

1  

Gl. 4-37:  

 Enthalpie spezee

 Disst    hh z z g ccewq

 pot kin

.

1212

2

1

2

212,12

12,

12,

2

1  

Bernoulli-GleichungJe nach Anwendungsfall kann die Bernoulli-Gleichung durch Berücksichtigung einzelnerTerme aus dem ersten Hauptsatz hergeleitet werden. Mögliche Vereinfachungen können inder Vernachlässigung folgender Terme bestehen

- kein Wärmefluß über die Systemgrenze, (adiabates System): q12 = 0- keine technische Arbeit über die Systemgrenze: wt,12  = 0- keine Reibung an der Systemgrenze, (reibungsfreies System): ediss  = 0- konstante Temperatur im System, (isothermes System): T 1  = T 2 - kein Höhenunterschied zwischen Zustand (1) und (2):  z1  = z2 

Zusätzliche weitere Vereinfachungen gelten für ein stationär durchströmtes System, d.h..const m  und ein inkompressibles Fluid, d.h. .const 

    und führen den ersten Hauptsatz in

den Satz von Bernoulli  über.

Page 89: Skript Fluid

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Fluidmechanik Strömung von Fluiden - Energieerhaltungssatz 77 ___________________________________________________________________

Gl. 4-38:   1212

2

1

2

22

10   p pv z z g cc    

Allgemein gilt: Die Energie längs eines Stromfadens ist konstant

Unterschiedlichen Schreibweisen der Bernoulli-Gleichung

Energieform

Gl. 4-39:  

.2

2

const  E V  p z g mc

m gieGesamtener 

 ges

ie Druckenerg  Energiee potentiell  Energiekinetische

 

Division von Gl. 4-39 durch V  ergibt die Druckform

Gl. 4-40: .2

2 const V 

 E  p z g c   ges    

   

Division von Gl. 4-40 durch    g  ergibt die Höhenform

Gl. 4-41: .2

2

const  g 

 p z

 g 

c

    

Zusammensetzung der Energieanteile in einem offenen, durchströmten System(reibungsfrei), ohne Zu- bzw. Abfuhr von Arbeit oder Wärme

Abb. 4-9: Zusammensetzung der Energieanteile in einem offenen System

Page 90: Skript Fluid

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Fluidmechanik Strömung von Fluiden - Energieerhaltungssatz 78 ___________________________________________________________________

Zusammenfassung - Darstellungsformen der Bernoulli -Gleichung

dynamischerAnteil

potentiellerAnteil

statischerAnteil

Gesamtenergie,-druck bzw. -höhe

spezifischeEnergiegleichung

2

2c

 h g   

  

 p

 .const e ges   

2

2

 s

m

kg 

m N 

Druckgleichung

2

2c  

    h g     

 p   .const  p ges   

 Pam

 N 2

Höhengleichung

 g 

c2

2

 h    g  p

    .const h ges   

m  

Tab. 4-2: Unterschiedliche Schreibweisen der Bernoulli-Gleichung

 _________________________________________________________________________

Üb. 4-2: Stationär durchströmte Gasturbine

Ein- und Austrittsebene der Turbine liegen aufgleiche Höhe

Isentrope Expansion von 14049 [m³/h] Heißgasvon bar  p 9.181   auf bar  p 02.12   

Turbineneintrittsquerschnitt 2

1 01942.0   m A    

Turbinenaustrittsquerschnitt 2

2 4306.0   m A    

Turbineneintrittstemperatur C T    9801  

spez. Gaskonstante  K kg  J  R   1.287  

Isentropenexponent 34.1   

spez. Wärmekapazitäten c p, cv = const.

ges.: spez. technische Arbeit wt,12 Wellenleistung P  

T 1 , p1 ,1 , A1

1 (2)

1m  2m

 P, wt,12

T 2 , p2 , z2 , A2

Page 91: Skript Fluid

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Fluidmechanik Strömung von Fluiden - Energieerhaltungssatz 79 ___________________________________________________________________

Üb. 4-3: Stationär durchströmte Wasserturbine/Pumpe eines Speicherkraftwerks

geg.:

- Wasserdurchfluß  smV  3

12 60  

- adiabate Strömung (q12 = 0)- keine Temperaturänderung des Wassers

ges.:1. Strömungsgeschwindigkeiten in der Rohrleitung

2. Wellenleistung der Turbine bzw. Pumpe3. Befindet sich das Kraftwerk im Turbinenbetrieb oder im Pumpbetrieb?

 _________________________________________________________________________

4.3.2 Euler-Gleichung

Eine weitere Möglichkeit zur Herleitung der Bernoulli-Gleichung ergibt sich aus einerKräftebilanz an einem Volumenelement des Stromfadens unter folgenden Annahmen:

- keine Berücksichtigung der thermischenEnergie

- keine Berücksichtigung der innerenEnergie

- keine Reibung

Abb. 4-10: Kräftebilanz an einem Fluidelement in Strömungsrichtung

Druck Rohrdurchmesser Höhe über MSL p1 = 9 bar d 1 = 4.4 m h1 = 2200 m

 p2 = 48 bar d 2 = 3.5 m h2 = 1830 m

c

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Fluidmechanik Strömung von Fluiden - Energieerhaltungssatz 80 ___________________________________________________________________

Kräftebilanz in Stromrichtung

Gl. 4-42:dt 

dcdmadmdF dF dF    pm    

Am Fluidelement angreifende Gewichtskraft in Strömungsrichtung

Gl. 4-43:ds

dz g dmdF dF    g m      cos  

mit

Gl. 4-44:ds

dz cos  

Druckkraft dF  p 

Gl. 4-45:   S S S  p   dAdpdAdp pdA pdF     

Masse des Elements dm 

Gl. 4-46: dsdAdm   S      

Flächenelement

Gl. 4-47:ds

dmdAS 

  

 

Gl. 4-48:dm

ds

ds

dmdp

ds

dz g dm

dt 

dcdmdF   

  

 

Gl. 4-49:  1   dpdz g 

dt dcds  

mit

Gl. 4-50: cdt 

ds  

Gl. 4-51:     dpdz g dcc  

Gl. 4-52:   

  

.1

2

1 2 const  p z g c  

Druckform der Bernoulli-Gleichung

Gl. 4-53: .2

2 const  p z g c       

 

Page 93: Skript Fluid

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Fluidmechanik Strömung von Fluiden - Energieerhaltungssatz 81 ___________________________________________________________________

4.3.3 Verlust freie Rohrströmung - Anwendung der Bernoulli -Gleichung

Venturi-RohrMessung des Volumenstroms V   in Leitungenmit Hilfe von Druckmeßstellen an derZuströmseite (1) und im engsten Querschnitt (2).Die Querschnittsverengung bewirkt eineErhöhung der Geschwindigkeit, d.h. 12   cc    

 Annahmen- Reibungsfreie Strömung, d.h. e Diss = 0 - Eindimensionale Strömung, d.h. keineÄnderung der Strömungsgrößen über den

Querschnitt- Horizontale Anordnung , z(1) = z(2), d.h. e pot  = 0- Inkompressible Strömung, d.h. es gilt

.21   const           

Abb. 4-11: Venturi Rohr

Ausgehend von der Druckform der Bernoulli-Gleichung

Gl. 4-54: .2

2 const  p z g c        

 

folgt aufgrund der horizontalen Versuchsanordnung, d.h.  z(1) = z(2), daß die potentielleEnergie verschwindet, d.h. e pot  = 0 und die Bernoulligleichung vereinfacht sich zu

Gl. 4-55: .2

2 const  pc     

 

bzw.

Gl. 4-56: 2

2

21

2

122

 pc pc        

 

Volumenstrom V   

Gl. 4-57: .const c AV     

bzw.

Gl. 4-58: 2211   c Ac AV     

Statischen Druckdifferenz aus der Manometermessung

Gl. 4-59 h g  p p   Fl       12  

Geschwindigkeit im Querschnitt (1)

Gl. 4-60 2211   c Ac A    

c  c2

Page 94: Skript Fluid

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Fluidmechanik Strömung von Fluiden - Energieerhaltungssatz 82 ___________________________________________________________________

bzw.

Gl. 4-61:1

221  A

 Acc    

eingesetzt in die vereinfachte Bernoulli-Gleichung

Gl. 4-62:  

     2

222

2

21

2

1

22

2    

  

    pc p

 A

 Ac  

Gl. 4-63:   

212

2

2

2

1

22

2    

  

    p pc

 A

 Ac  

Gl. 4-64:   

21 12

2

1

22

2  

 

 

 

    p p

 A

 Ac  

Gl. 4-65:

 

  

 

2

1

2

212

1

2

 A

 A

 p pc

  

 

ergibt sich der Volumenstrom V   unter der Annahme einer verlustfreien Strömung

Gl. 4-66:

22

1

2

2122

1

2 A

 A A

 p p AcV   

  

  

  

 

 _________________________________________________________________________

Üb. 4-4: Venturi-Rohr, verlustfreie Strömung

geg.:  d 1  = 150 [mm]

d 2  = 100 [mm]   Luft = 1.225 [kg/m³]

 p1 - p2 = 250 [mmWS]

ges.:  Volumenstrom V   

 _________________________________________________________________________

Page 95: Skript Fluid

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Fluidmechanik Strömung von Fluiden - Energieerhaltungssatz 83 ___________________________________________________________________

4.3.4 Ausfluß aus Gefäßen und Behältern - verlustf rei

Aus der Energieform der Bernoulli-Gleichung für den Stromfaden von (1) nach (2)

Gl. 4-67:    

22

2

211

2

1

22 ph g c ph g c  

ergibt sich mit den Bezugsgrößen p0  Atmosphärendruckh2 = 0  Bezugshöhe

und den Annahmen 21   A A  , 21   cc    und

021   p p p    für die Bernoulli-Gleichung

Gl. 4-68:2

2

21

ch g     

und die Ausflußgeschwindigkeit c2 Gl. 4-69: 12 2   h g c    

Abb. 4-12: Ausfluß aus einem Behälter

4.3.5 Ausfluß aus Gefäßen und Behältern unter Überdruck - verlustf rei

Aus der Energieform der Bernoulli-Gleichung

Gl. 4-70:     

22

221

1

21

22 ph g c ph g c  

folgt mit 011   p p p  ü    (Überdruck gegen Atmosphäre)

und den Annahmen 21   A A  , 21   cc    und 02   p p    

Gl. 4-71:2

2

211

c ph g    Ü 

   

und die Ausflußgeschwindigkeit c2 

Gl. 4-72:   Ü 

 ph g c 112 22    

Abb. 4-13: Ausfluß aus einem Behälter unter Überdruck

Page 96: Skript Fluid

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Fluidmechanik Strömung von Fluiden - Energieerhaltungssatz 84 ___________________________________________________________________

Üb. 4-5: Ausfluß aus einem Behälter unter Überdruck - verlustfrei

geg.: P 1Ü   = 1 [bar]

h1 = 2 [m]

d 2 = 2 [cm]

   H2O = 1000 [kg/m³]

ges.: c2,  V   

 _________________________________________________________________________

Üb. 4-6: Ausfluß aus einem Benzinschlauch unter Überdruck - verlustfrei

geg.: P 1Ü   = = 4 [bar]

h2 = 0.2 [m]

d 1 = 10 [mm]

d 2 = 2 [mm]   Benzin = 780 [kg/m³]

ges.:c2  Ausströmgeschwindigkeit

 _________________________________________________________________________

c 2

c 2

Page 97: Skript Fluid

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Fluidmechanik Strömung von Fluiden - Energieerhaltungssatz 85 ___________________________________________________________________

4.3.6 Ausfluß aus Behältern mit scharfkantigen Öffnungen

Alle bisherigen Betrachtungen gingen immer von einem Ausfluß durch gerundete Düsen aus,d.h. der Strahlquerschnitt  A str   entspricht dem Düsen- oder Lochquerschnitt  A L. Bei dem

Ausfluß durch eine scharfkantige Bohrung wäre die Strömung infolge der Umlenkunggezwungen die Kante (Radius r  = 0) mit einer theoretisch unendlich großen Geschwindigkeit(c2 = ) zu umströmen. Da die Strahlgeschwindigkeit c2  in der Ausströmöffnung nicht ganzerreicht wird, muß sich der Strahlquerschnitt verringern um die Forderung nach einemkonstanten Massestrom noch zu erfüllen. Das Flächenverhältnis von Lochbohrung zuStrahlquerschnitt wird als Kontraktionszahl   bezeichnet.

Kontraktionszahl  

Gl. 4-73: 1 L

Str 

 A

 A   

Näherungswert für lange Spalte (ebene Strömung) undrunde Ausströmöffnungen:

Gl. 4-74: 611.02

 

    

Abb. 4-14: Ausfluß aus scharfkantiger Öffnung

Für gut ausgerundete Ausströmöffnungen gilt für die Kontraktionszahl 1   

4.3.7 Ausfluß aus Behältern in ruhendes Wasser

Beim Ausströmen von Fluiden in ein ruhendes Fluid stellt sich die gleiche Strahlkontraktionwie beim Ausströmen in die freie Atmosphäre ein. Der scharf umrissene Strahl vermischtsich jedoch nach kurzer Entfernung mit dem ruhenden Fluid und die kinetische Energie wirddurch Reibung in Wärme umgewandelt. Aufgrund des reibungsbehafteten Durchmischung-vorgangs nach dem Ausströmen ist die Bernoulli-Gleichung nur zwischen den Punkten (1)und (2) erfüllt, nicht jedoch von (2) nach (3).

Energieform der Bernoulli-Gleichung (1) - (2)

Gl. 4-75:

    22

2

211

0

2

1

22

 ph g 

c ph g 

c

 

hydrostatischer Druck im Austrittsquerschnitt

Gl. 4-76: 232   hh g  p       

Austrittsgeschwindigkeit

Gl. 4-77: 312 2   hh g c    

Abb. 4-15: Ausfluß in ein ruhendes Fluid

Die Berechnung des Volumenstroms V   erfolgt mittels der Kontraktionszahl   

Page 98: Skript Fluid

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Fluidmechanik Strömung von Fluiden - Energieerhaltungssatz 86 ___________________________________________________________________

4.3.8 Ausst römen von Gasen aus Behältern in die Atmosphäre

Beim Ausströmen von Gasen in die freie Atmosphäre stellt sich wie bei Flüssigkeiten eineStrahlkontraktion ein. Kurz nach dem Ausströmen erfolgt eine turbulente Durchmischung mitder Umgebung. Am Strahlrand wird dem Strahl der Umgebungsdruck p0 aufgeprägt.

Abb. 4-16: Ausströmen von Gasen in die Atmosphäre

Da der Strahlrand eine Niveaufläche darstellt, d.h. der Druck am Rand des Fluids entsprichtimmer dem Umgebungsdruck, kann in Abhängigkeit von dem Umgebungsdruck dieStrömung entweder über- oder unterexpandieren. Die maximale Aufweitung des Strahls stelltsich beim Ausströmen bei verschwindendem Umgebungsdruck ein, d.h. beim Ausströmengegen Vakuum.

 _________________________________________________________________________

Üb. 4-7: Auslegung eines Belüftungssystems

Belüftungsrohr mit scharfkantigen Ausblaslöchern

geg.:

 s

mV 

3

7.0   Luftstrom

mmd  10   Bohrungsdurchmesser

 Pa pÜ  1100   Überdruck im Rohr

32.1

m

kg  Luft      Luftdichte

6.0    Kontraktionszahl

 s

mc zu 10   Zuströmgeschwindigkeit

ges.:- Durchmesser des Rohres

- Anzahl der Bohrungen im Belüftungsrohr

 _________________________________________________________________________

Page 99: Skript Fluid

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Fluidmechanik Strömung von Fluiden - Energieerhaltungssatz 87 ___________________________________________________________________

4.3.9 Verlustbehaftetes Ausfließen aus einem Behälter

Der theoretisch verlustfreie Ausströmvorgang läßt sich durch die Torricelli’sche Ausfluß-

gleichung h g c   th   2,2  beschreiben. Unter realen Bedingungen ist dieser Vorgang jedoch

reibungsbedingt Verlusten unterworfen, d.h. die Ausströmgeschwindigkeit c2 im Austrittsquer-schnitt wird immer kleiner sein, als die theoretische Geschwindigkeit c2,th . Die reale Austritts-geschwindigkeit entspricht der Geschwindigkeit, die sich aus der dem um eine (fiktive)Verlusthöhe hV  verminderte Höhe des Pegelstands h ergibt.

Gl. 4-78: V hh g c   22  

Die Abminderung der Geschwindigkeit läßt sich durch eine Verlustziffer  beschreiben

Gl. 4-79: h g c   22      

Der sich einstellende Volumenstrom V   ergibt sich mit der Kontraktionszahl   zu

Gl. 4-80: 12

*

2  A A

 A A

 L

Str    

Gl. 4-81: thc Ac AV ,22          

Kontraktionszahl   und Verlustziffer   lassen sich zu dem Ausf lußkoeff izient  zusammen-fassen

Gl. 4-82:     

Der Volumenstrom kann nun berechnet werden mittels

Gl. 4-83: h g  Ac AV    th   2,2       

Technische Ausführungen zur Gewährleistung von verlustminimiertem Ausfließen unterdefinierten Bedingungen stellen scharfkantige Öffnungen oder sog. BORDA-Mündungen dar.

Abb. 4-17: a) scharfkantige Öffnung b) BORDA-Mündung

Tab. 4-3: DIN 1952: Werte für Blenden und Venturirohre

Öffnung Verlustziffer   Kontraktionszahl  Ausflußkoeffizient   

scharfkantig 0.97 0.61 - 0.64 0.59 - 0.62gerundet 0.97 - 0.99 1 0.97 - 0.99

Page 100: Skript Fluid

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Fluidmechanik Strömung von Fluiden - Energieerhaltungssatz 88 ___________________________________________________________________

Verlustbehaftete Strömung durch ein Venturi -Rohr

Abb. 4-18: Strömung durch ein Venturi-Rohr

Nach Erweiterung der Höhenform der Bernoulli-Gleichung um die Verlusthöhe hV,12 und mitden folgenden Annahmen:

- Niveau im Behälter bleibt konstant   01 c  

- Keine Verrichtung von Arbeit   0 H    (Förderhöhe, Pumpe)

lautet die verlustbehaftete Bernoulli-Gleichung (Höhengleichung) von (1)  (2)

Gl. 4-84:

12,22

2

2

0

1

0

2

1

22  V 

 B B h g 

 ph z

 g 

c H 

 g 

 p z

 g 

c

 

     

und Kürzen des Terms g 

 p B

   auf beiden Seiten folgt aus Gl. 4-84

Gl. 4-85: 12,22

2

21

2  V hh z

 g 

c z  

 

Mit

Gl. 4-86:  g 

ch z zh   V 

2

2

212,212  

und der Kontinuitätsgleichung (2)  (3)

Gl. 4-87 3322   Ac Ac      2

332  A

 Acc    

lautet die verlustbehaftete Bernoulli-Gleichung (Höhengleichung) von (1)  (3)

Gl. 4-88: 13,

2

31

2  V h

 g 

c z  

    13,1

2

3 2 V h z g c    

Einsetzen von c3

2

 in Kontinuitätsgleichung ergibt

z1 

z2 

Page 101: Skript Fluid

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Fluidmechanik Strömung von Fluiden - Energieerhaltungssatz 89 ___________________________________________________________________

Gl. 4-89: 2

2

313,1

2

2 2  

  

 

 A

 Ah z g c   V   

einsetzen von c22 in Gl. 4-86 

Gl. 4-90:  g 

ch z zh   V 

2

2

212,212  

ergibt

Gl. 4-91:

 g 

 A

 Ah z g 

h z zhV 

 

  

 

2

2

2

2

313,1

12,212  

Gl. 4-92:  

2

2

3

13,112,212  

 

 

 

 A

 A

h zh z zh   V V   

Ob sich im Querschnitt(2) ein Unterdruck (h2 < 0) oder ein Überdruck (h2 > 0) gegenüber demUmgebungsdruck p B einstellt, ist ausschließlich eine Funktion des Querschnittsverhältnisses

23  A A .

Page 102: Skript Fluid

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Fluidmechanik Strömung mit Energietransport 90 ___________________________________________________________________

4.4 Strömung mit Energietransport

4.4.1 Strömungen unter Berücksichtigung von Arbeit und Verlusten

Sind in dem System Baugruppen enthalten, die Energieformen ändern, z.B. durch Zu- oderAbfuhr von Arbeit (Pumpe, Turbine) oder Wärme (Brennkammer) so sind dieentsprechenden Terme im 1. Hauptsatz zu berücksichtigen

- - wt12  spez. Arbeit- - q12  spez. Wärme

Bei einer realen, reibungsbehafteten Strömung muß die dissipierte Energie durch einVerlustglied berücksichtigt werden

- e Diss  spez. dissipierte Energie- eV   spez. Verluste- hV   spez. Verlusthöhe-  pV   Druckverlust

Die Energieform der Bernoulli-Gleichung

Gl. 4-93:  

.2

2

const  E V  p z g mc

m

 gieGesamtener 

 ges

ie Druckenerg  Energiee potentiell  Energiekinetische

 

Gl. 4-94: .2

2

const e p

 z g c

 ges   

 

Gl. 4-95:

    

22

2

21

1

2

1

2

1

2

1   p z g c

 p z g c    

ist um die technische Arbeit wt12 und Verlustterme eV  zu erweitern

Gl. 4-96: V t    e p

 z g c p

 z g cw       

22

2

21

1

2

1122

1

2

Gl. 4-97:     V t    ev p p z z g ccw   1212

2

1

2

2122

Verluste können durch eine Verlustziffer   erfaßt werden

Gl. 4-98:

2

2

1

2

2   cce

   

und lassen sich unterteilen in Verluste durch Reibung eVR und Verluste infolge von EinbauteneVE  

Gl. 4-99: VE VRV    eee    

Verlusthöhe

Gl. 4-100:

 g 

cchV 

2

2

1

2

2   

Page 103: Skript Fluid

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Fluidmechanik Strömung mit Energietransport 91 ___________________________________________________________________

Druckverlust infolge Reibung

Gl. 4-101:

2

2

1

2

2   cc pV 

      

Spez. Förderarbeit (Pumpen) Y  bzw. w t Die einem Fluid pro kg Flüssigkeit zugeführte mechanische Arbeit wird bei Pumpen als spez.Förderarbeit Y bezeichnet.

Y   [Nm/kg = m²/s²]

Totaldruckänderung infolge ArbeitZusammen mit der Dichte des Fluids berechnet sich die Totaldruckänderung t  p   im Fluid

aus der Förderarbeit Y  

Gl. 4-102:      Y  pt    [Pa]

Förderhöhe H  

Gl. 4-103: g 

Y  H     [m]

Hydraulische Leistung P h 

 P h  [W]

Gl. 4-104:  H  g V Y V Y m P h            

Pumpenwirkungsgrad  P

 und Turbinenwirkungsgrad T  

Der Pumpenwirkungsgrad ergibt sich aus der an der Welle zugeführte mechanische Leistung P W   und der hydraulischen Leistung P h,   P  < 1 

Gl. 4-105:W 

h P 

 P 

 P    

Bei der Berechnung des Turbinenwirkungsgrads T     steht die hydraulische Leistung im

Nenner,  T  < 1 

Gl. 4-106:h

W T 

 P 

 P    

Die Zusammensetzung der einzelnen Energieanteile bei Zu- bzw. Abfuhr von Arbeit oderWärme unter Berücksichtigung der Reibungsverluste ist in Abb. 4-19 dargestellt.

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Fluidmechanik Strömung mit Energietransport 92 ___________________________________________________________________

Abb. 4-19: Zusammensetzung der Energieanteile in einem offenen System mit Reibung

Zusammenfassung - Strömungen unter Berücks ichtigung von Arbeit und Verlusten

Spezische Energiegleichung

Gl. 4-107:      

V  p p z g 

cY 

 p z g 

c   2

2

2

211

2

1

22 

Höhengleichung

Gl. 4-108: V h g 

 p z

 g 

c H 

 g 

 p z

 g 

c

     2

2

2

211

2

1

22 

Druckgleichung  (Gase, Ventilatoren: 0   h g     )

Gl. 4-109: V t    p p z g c p p z g c   22

2

211

2

1

2

1

2

1          

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Fluidmechanik Strömung mit Energietransport 93 ___________________________________________________________________

4.4.2 Turbine

Energie wird über die Systemgrenze abgeführt,

d.h 012,   t W   

Mit den Annahmen für eine Turbine- konstanter Umgebungsdruck:  p1 = p2 - keine Strömungsgeschwindigkeit an Ober- und

Unterwasserspiegel: c1 = c2 = 0 - konstante Temperatur: T 1 = T 2 - keine Wärmezu- oder abfuhr: Q12 = 0 

vereinfacht sich der Energieerhaltungssatz fürein offenes System mit Zu- bzw. Abfuhr vonArbeit

Abb. 4-20: Wasserkraftwerk, Turbinenbetrieb

Der erste Hauptsatz für stationär durchströmte Systeme

Gl. 4-110:

               

      ie Druckenerg u

v

ee

 Disst    p pvmT T cm z z g mccm E W Q

 pot kin

121212

2

1

2

212,12

1212,

12,

2

1  

vereinfacht sich mit den oben getroffenen Annahmen zu

Gl. 4-111: 112,   H  g m E W    Disst     

bzw.

Gl. 4-112: 12,112,112,   V V t    h H  g mh g m H  g mW     

Die Nutzfallhöhe  H  Nutz  ergibt sich aus der um die Verlusthöhe hV,12  verminderteHöhendifferenz H 1 

Gl. 4-113: 12,1   V  Nutz   h H  H     

Aus der Nutzfallhöhe ergibt sich die  technische Arbeit W  t,12, die die Turbine bereit stellenkann

Gl. 4-114:  Nutzt    H  g mW    12,  

Theoretische Leistung  P th der Turbine

Gl. 4-115:  Nutz Nutz Nutzt 

th   H  g V  H  g mt 

 H  g m

W  P   

   12,

 

(1)

(2)

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Fluidmechanik Strömung mit Energietransport 94 ___________________________________________________________________

Die Wellenleistung PWelle der Turbine hängt von dem Gesamtwirkungsgrad  Turbine ab,

Gl. 4-116:  NutzTurbine NutzTurbinethTurbineWelle   H  g V  H  g m P  P              

der sich wiederum in einen hydraulischen und einen mechanischen Wirkungsgrad aufteilenläßt.

Gl. 4-117:  Nutzmechhydr Welle   H  g V  P            ..  

4.4.3 Pumpe und Gebläse

Bei Pumpen oder Gebläsen wird demSystem Energie über die Systemgrenzezugeführt, d.h. die übertragenetechnische Arbeit ist positiv, 0t W   

Entsprechend den Annahmen, die für dieTurbine getroffen wurden, vereinfachtsich der Energieerhaltungssatz zu:

Gl. 4-118:

212,   H  g m E W    Disst     

Abb. 4-21: Wasserkraftwerk, Pumpbetrieb

Allerdings ist in diesem Fall zu beachten, daß sich die erforderliche Arbeit zur Überwindungder Höhendifferenz H 2 um die Reibungsverluste E  Diss erhöht.

Förderhöhe H  Nutz 

Gl. 4-119: 12,2   V  Nutz   h H  H     

Gl. 4-120:  Nutzt    H  g mW    12,  

Theoretische hydraulische Pumpenleistung P th 

Gl. 4-121:  Nutz Nutzt 

th   H  g V  H  g mt 

W  P       

12, 

Wellenleistung der Pumpe P Welle 

Gl. 4-122:..   mechhydr 

 Nutz

 Pumpe

 Nutz

 Pumpe

thWelle

 H  g V  H  g V  P  P 

  

  

 

  

   

 

 

(2)

(1)

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Fluidmechanik Modellgesetze 95 ___________________________________________________________________

4.5 Modellgesetze

4.5.1 Simulationsproblematik

Im Rahmen technischer Entwicklungen ist es häufig erforderlich, Aussagen bezüglich desVerhaltens des Endprodukts bereits in einem frühen Entwicklungsstadium zu erhalten.Insbesondere bei Flugzeugentwicklungen sind zur Validierung der im Vorentwurfprognostizierten Flugleistungen und zur Auslegung des Flugreglers bereits in derVorentwurfsphase Informationen bezüglich des Flugverhaltens erforderlich. In der RegelJahre bevor der erste Prototyp abheben wird. Neben theoretischen Verfahren,Handbuchmethoden und CFD-Simulation stellt die Strömungssimulation im Windkanal diewichtigste Methode zur Datengewinnung dar.

Mit zunehmender Strömungsgeschwindigkeit steigt entsprechend

Gl. 4-1232

2

1cm E kin    

der erforderliche Energieaufwand zur Aufrechterhaltung einer kontinuierlichen Strömung an.Dies bedingt, daß mit zunehmender Strömungsgeschwindigkeit bzw. Machzahl, dieQuerschnitte der Meßstrecken immer kleiner werden und im höheren Machzahlbereich keinekontinuierliche Strömung mehr aufrecht erhalten werden kann und auch die Meßzeitenimmer kürzer werden, d.h. bis zu einer Größenordnung von ca. 1 Millisekunde. Daherwerden in der Regel im Experiment maßstäblich verkleinerte Modelle der Originalausführungverwendet.

Versuche mit Modellen in Originalgröße lassen sich in der Regel nur im Niedergeschwindig-keitsbereich ( M    < 0.4) durchführen. Geeignete Versuchsanlagen die Versuche in einer

solchen Größenordnung ermöglichen, existieren z.B. bei NASA Ames oder bei TSAGI beiMoskau.

4.5.2 Kennzahlen

Zur Übertragung der im Experiment gewonnenen Ergebnisse auf die Großausführungmüssen beide Strömungsfelder mechanisch ähnlich sein, dies erfordert eine Ähnlichkeithinsichtlich

- Geometrie- Zeit und- Kraft

Mit den Indizes 'O' für Original und 'M' für Modell gilt für diese drei Basisgrößen:

Geometrie M  L L    0  

   = Längenmaßstab 

2   = Flächenmaßstab 

3  = Volumenmaßstab   M  L

 L0 

Zeit M t t    0  

  = Zeitmaßstab

 M t 

t 0

Kraft M  F  F     0  

  = Kräftemaßstab

 M  F 

 F 0 

Tab. 4-4: Dimensionen der Basisgrößen

Daraus ergeben sich die Maßstäbe für die abgeleiteten Größen wie Geschwindigkeit v,Beschleunigung a, und die Massenkräfte.

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Fluidmechanik Modellgesetze 96 ___________________________________________________________________

Geschwindigkeit

   

 M 

 M 

O

O

 M 

O

 L

 L

c

Beschleunigung

2

   

 

 M 

O

 M 

O

 M 

 M 

O

O

 M 

O

t c

c

ct 

c

a

Masse 

  

   

  

  

 M 

O

 M  M 

OO

 M 

O

v

v

m

m 3

Massenkraft 

 M  M 

OO

 M 

O

am

am

 F 

 F  

Tab. 4-5: Dimensionen der abgeleiteten Größen

Die Bedingung für dynamische Ähnlichkeit (Bertrand'sche Bedingungsgleichung) lautet

Gl. 4-124:2

    

   

Liegen im wesentlichen nur Massekräfte vor, so sind die Maßstäbe  ,   und    frei wählbar.Die zusätzliche Berücksichtigung der Schwerkraft stellt eine zweite Bedingung dar underfordert

Gl. 4-125:     

1

1

 M 

O

 M  M 

OO

 M  M 

OOm

m

 g m

 g m

am

am       

zusätzlich gilt

Gl. 4-126:21

1

   

 M 

O

 M 

O

 g 

 g 

a

a    2   

Aufgrund der Proportionalität zwischen Masse, Gewicht und Volumen gilt

Gl. 4-127: 36        63        

Dies bedeutet, daß nur ein einziger Maßstab frei gewählt werden kann, während alleanderen festgelegt sind. Soll zusätzlich noch eine dritte Bedingung, z.B. Ähnlichkeit derReibungskräfte erfüllt werden, so sind die Schubspannungen zwischen Körperoberflächeund Fluid zu berücksichtigen

Gl. 4-1282

 

 

 

 M 

 M 

O

O

 M 

O

 A

 F  A

 F 

   2     

Diese Forderung kann aber wegen 63        nicht erfüllt werden

Allgemein gilt:Modellgesetze lassen sich gleichzeitig nur für zwei Arten von Kräften erfüllen

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Fluidmechanik Modellgesetze 97 ___________________________________________________________________

In der Fluidmechanik ergeben sich daraus fünf Modellgesetze, die neben den Massenkräftennoch folgende Kräfte berücksichtigen:

Reibungskräfte Reynolds-Zahl  Re 

  

 

  Lc LcRe

 Gewichtskräfte Froude-Zahl  Fr

 g  L

c Fr 

2

 

Druckkräfte Euler-Zahl  Eu 2c

 p Eu

  

 

Periodendauer Strouhal-Zahl Srv

d  f 

t c

 LSr 

 

 

Kompressibilität Mach-Zahl  MSchall 

Strömung 

c

c M    

Tab. 4-6: Kennzahlen auf der Basis von Massenkräften

   [m²/s]  = kinematische Viskosität   [Pas]  = dynamische Viskosität

4.5.3 Reynoldszahl

Zur Abbildung reibungsbehafteter (viskoser) Effekte in einer Strömung, z.B. Reibungs-widerstand, Grenzschichten, Ablöseerscheinungen usw. ist es erforderlich die Reynoldszahl

korrekt zu duplizieren. Dies erfordert die Abbildung des Verhältnisses der Reibungskräftezwischen Fluid und Körperoberfläche zu den Trägheitskräften des strömenden Fluids.

Gl. 4-129:t af  Reibungskr 

raft Trägheitsk  Lc Lc

 

  

 Re  

Trägheitskraft

Gl. 4-130: aV am F Tr         

Für die Anteile der Trägheitskraft, d.h. Volumen V  und Beschleunigung a gilt

Gl. 4-131: 3 LV    

Gl. 4-132:2t 

 La   

eingesetzt in die Trägheitskraft F Tr   Gl. 4-130 folgt

Gl. 4-133:2

22

2

3

 L L

 L L F Tr           

Mit der Abhängigkeit der Geschwindigkeit c 

Gl. 4-134:t 

 Lc   

folgt für die Trägheitskraft F Tr  

Gl. 4-135: 22 c L F Tr         

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Fluidmechanik Modellgesetze 98 ___________________________________________________________________

bzw.

Gl. 4-136: 22 c Lk  F Tr         

Reibungskraft

Gl. 4-137:dy

dc A A F  R         

Die Anteile der Reibungskraft verhalten sich entsprechend proportional

Gl. 4-138:2 L A  

Gl. 4-139:  Ldy   

eingesetzt in Gl. 4-137 folgt für die Reibungskraft F  R 

Gl. 4-140: c L L

c L F  R       

2

 

bzw.

Gl. 4-141: c LC  F  R        

Reynolds-Zahl

Gl. 4-142:  

  

 

     c L

k c L

c LC 

c Lk 

 F 

 F 

 R

Tr   

22

Re    

Gl. 4-143: .Re   const c Lc L M 

 M  M 

O

OO   

 

4.6 Grenzschichttheorie

Einer der Kernpunkte der auf Prandtl4 zurückgehenden Grenzschichttheorie beinhaltet dieAufteilung des Strömungsgebietes in einen wandnahen Bereich, der sogenanntenGrenzschicht, die aufgrund der reibungsbehafteten (viskosen) Fluidbewegung einen starkenGeschwindigkeitsgradienten aufweist und einen äußeren Bereich, der Außenströmung, inder eine nahezu reibungsfreie Strömung vorliegt.

4.6.1 Grenzschicht

Als Grenzschicht wird das Übergangsgebiet zwischen Körperoberfläche (c  = 0) und freierAnströmung  (c = c )  bezeichnet, wobei die Dicke   der Grenzschicht definiert wird als derAbstand von der Körperoberfläche, an der die Strömung den Wert   cc 99.0  erreicht hat.

Im Gegensatz zur Geschwindigkeit c bleibt der Druck  p  in der Grenzschicht senkrecht zurOberfläche nahezu konstant, d.h. der statische Druck der freien Außenströmung p  wird derGrenzschicht aufgeprägt.

4 Ludwig Prandtl, dt. Physiker, Göttingen (1875 - 1953)

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Fluidmechanik Grenzschichttheorie 99 ___________________________________________________________________

4.6.2 Verdrängungsdicke * der Grenzschicht

Da über Stromlinien kein Masse- und Energietransport

erfolgen kann, bewirkt das Prinzip der Masseerhaltung,daß eine Strömungsverzögerung eine Stromlinien-erweiterung erzeugt und ebenso eineStrömungsbeschleunigung zu einer Stromlinien-verengung führt. Infolge der Geschwindigkeits-verringerung innerhalb der Grenzschicht müssen dieStromlinien in der Grenzschicht weiter auseinanderliegen als in der Außenströmung. Die darausresultierende Verdrängungsdicke der Grenzschicht läßtsich über den Masseerhaltungssatz berechnen. DerMassestrom durch die Stromröhre ist nur durch die Ein-bzw. Ausrittsfläche A1 und A2 möglich.

Abb. 4-22: Massestrom durch eine Stromröhre

Somit muß in jedem beliebigen Querschnitt Ai der Stromröhre gelten

Gl. 4-144: .22211121   const  Ac Acmm          

Die Verdrängungswirkung bzw. Versperrungseffekt der Grenzschicht kann als Aufdickungder Wand um die Verdrängungsdicke  *  der Grenzschicht interpretiert werden.

Gl. 4-145:

dy

c

 yc

 

 

 

 

0

* 1   

Für eine vollständig laminare Grenzschicht gilt

Gl. 4-146:   

   

3

173.1*

c

 x  (laminar)

und für die vollständig turbulente Grenzschicht beträgt die Verdrängungsdicke  *  

Gl. 4-147:   

   

8

1Re01738.0

861.0*

c x   (turbulent)

Abb. 4-23: Verdrängungsdicke der Grenzschicht

c  c 

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Fluidmechanik Grenzschichttheorie 100 ___________________________________________________________________

4.6.3 Grenzschicht an der längs angeströmten ebenen Platte

Die grundlegenden Eigenschaften einer Grenzschicht lassen sich an der Entwicklung derStrömung an einer ebenen Platte herleiten.

Abb. 4-24: Grenzschicht an der längs angeströmten ebenen Platte

Laminare GrenzschichtDer Staupunkt S  befindet sich an der Vorderkante der Platte an deren Auftreffen die Stau-punktstromlinie in eine laminare Anlaufstromlinie über und unter der Platte verzweigt. Mit

zunehmendem Abstand x zum Staupunkt erfolgt eine Zunahme der laminaren Grenzschicht-dicke entsprechend

Gl. 4-148:

c

 x x

 x

lam

   5

Re5   d.h.  xlam    

Mit wachsender Lauflänge destabilisiert sich die Strömung und schlägt am Umschlagpunkt(Transitionspunkt) von einer gleichmäßigen laminaren zu einer turbulenten Strömung um.Dieser Umschlag erfolgt bei einer sog. kritischen Reynoldszahl  Rkrit   = 3 - 510

5, kann ingünstigen Fällen aber auch erst bei Rkrit  = 310

6 erfolgen.

Laminare UnterschichtIn direkter Wandnähe bildet sich jedoch auch bei turbulenter Grenzschicht aufgrund dergeringen Geschwindigkeiten infolge der Haftungsbedingung an der Wand eine laminare(viskose) Unterschicht mit einer Stärke von 0.02 - 0.05 turb aus. Die Strömungsverhältnisse imInneren der viskosen Unterschicht werden von Reibungskräften dominiert und die Dicke derlaminaren Unterschicht  U  beträgt

Gl. 4-149:7.0

'Re77    x

lam

 

  

 Re x'   = Re-Zahl gebildet mit der Lauflänge der turbulenten Grenzschicht

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Fluidmechanik Grenzschichttheorie 101 ___________________________________________________________________

Turbulente Grenzschicht Bei voll ausgebildeter Turbulenz werden permanent Fluidteilchen in Drehbewegung versetzt,während andere gleichzeitig wieder abgebremst werden. Die Zufuhr von Energie infolge desImpulsaustauschs mit der Außenströmung bewirkt, daß die turbulente Grenzschicht einhöheres kinetisches Energieniveau aufweist als eine laminare Grenzschicht. Aufgrund derpermanenten Durchmischung wird der Parallelbewegung der Strömung noch einezusätzliche unregelmäßige Quergeschwindigkeit zur Hauptströmungsrichtung überlagert.

Abb. 4-25: Voll ausgebildete turbulente Grenzschicht an einer ebenen Platte, [ 14]

Aufgrund der permanenten Durchmischung stellt sich bei einer turbulenten Grenzschichteine völlig andere Geschwindigkeitsverteilung ein als bei einer laminaren Grenzschicht. Der

Mittelwert der Geschwindigkeit verteilt sich gleichmäßiger über den Querschnitt und hatsomit einen stärkeren Geschwindigkeitsanstieg dzdc x  als im laminaren Fall. Aufgrund des

steileren Geschwindigkeitsgradienten stellt sich wegen dzdc x     eine höhere Schub-

spannung    und somit ein erhöhter Reibungswiderstand ein. Infolge der besserenDurchmischung ergibt sich ein erhöhter Wärmeübergang als im Vergleich zur laminarenStrömung. Das höhere kinetische Energieniveau der turbulenten Grenzschicht bewirkt aucheine Verzögerung der Ablösung. Die Dicke der turbulenten Grenzschicht  turb einschließlichlaminarer Unterschicht beträgt

Gl. 4-150:2.0

5Re37.0

Re

137.0

 

  x

 x

turb   x x   

 Re x'   = Re-Zahl gebildet mit der Lauflänge x'  der turbulenten Grenzschicht

Abb. 4-26: Laminares und turbulentes Geschwindigkeitsprofil

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Fluidmechanik Grenzschichttheorie 102 ___________________________________________________________________

Üb. 4-8: Längs angeströmte ebene Platte

geg.:  ][50   hkmc   , ][101.15 26  sm Luft   , 5

103krit  R  

ges.: Lage des UmschlagpunktsDicke der Grenzschicht am Umschlagpunkt

 _________________________________________________________________________

4.6.4 Transition

Als Transition wird der Umschlag von einer laminaren zu einer turbulenten Strömungbezeichnet. Dieser Vorgang, der sich infolge hoher Reynoldszahlen von alleine einstellenkann (natürliche Transition) oder aber an Stolperstellen erzwungen werden kann

(erzwungene Transition) stellt ein Stabilitätsproblem der Strömung dar, welches die Lösungder Grenzschicht-Differentialgleichung erfordert. Eine analytische Lösung gestaltet sichschwierig. Aber auch für numerische Verfahren stellt die Modellierung von Turbulenz undAblösung ein Problem dar. Lediglich die experimentelle Simulation bei korrekter Reynolds-zahl, z.B. unter kryogenen Versuchsbedingungen, liefert eine korrekte Abbildung derGrenzschicht, der Turbulenz und des Ablöseverhaltens.

Einflußfaktoren der Transition sind- Geometrie des umströmten Körpers: Schlankheitsgrad, Zuspitzung- Turbulenzniveau in der Zuströmung- Reynoldszahl

Generell wird eine laminare Grenzschicht als unterkritisch und eine vollständig turbulenteGrenzschicht als überkritisch bezeichnet. Bei scharfkantigen Körpern wirkt die Schneide alsStolperstelle, an der Querströmungen erzeugt werden, die zur Turbulenz führen.

Erzwungene Transition bei WindkanalversuchenAufgrund des Modellmaßstabs werden Versuche häufig mit einer niedrigeren Reynoldszahldurchgeführt als die, die sich bei der Originalausführung ergibt. Diese Re-Zahl ist in derRegel so gering, daß hierbei keine natürliche Transition erfolgt. Die geometrische Verteilungvon laminarer Strömung und turbulenter Strömung auf der Körperoberfläche bestimmt jedochmaßgeblich den Reibungswiderstand und das Ablöseverhalten. Um diese geometrische

Verteilung im Versuch abzubilden, wird an einer empirisch ermittelten Stelle, z.B. 5% derProfiltiefe, der Umschlag von laminarer zu turbulenter Grenzschicht durch Stolperstellen,sogenannten Transitionslinien erzwungen.

Möglichkeiten zur TransitionsfixierungIm Niedergeschwindigkeitsbereich finden in der Windkanalversuchstechnik als auch imSegelflugbereich Zackenbänder, die quer zur Anströmung aufgeklebt werden, Verwendung.Im Hochgeschwindigkeitsbereich wurde früher Karborund, ein Metallpulver, welches auf denTransitionslinien aufgeklebt wurde verwendet. Nachteilig waren hier insbesondere dieschlechte Reproduzierbarkeit sowie die Verunreinigung der Strömung im Windkanal durchabgelöste Karborundteilchen, was bei Windkanälen mit einem geschlossenen Kreislauf zum’Sandstrahlen’ des Modells führte. Einen wesentlich höheren Grad an Reproduzierbarkeit

weisen aufgeklebte Zylinder (dots) auf.

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Fluidmechanik Grenzschichttheorie 103 ___________________________________________________________________

Abb. 4-27: Zackenband am Höhenruder eines Segelflugzeugs (ASH25) zur Transitionsfixierung

Abb. 4-28: Transsitionsfixierung durch dots an einem Hochgeschwindigkeitswindkanalmodell

XR XTDisc

height h

Disc

diameter d

Disc

spacing xLocat ion[mm] [mm] [mm] [mm] [mm]

Wing 23.0 4.2Canard 4.6 1.5

Fin 10.0 3.0Nose 38.0 n/aIntake 12.7 n/a

Tip pod 12.7 n/a

0.102 1.090 2.54

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Fluidmechanik Grenzschichttheorie 104 ___________________________________________________________________

Abb. 4-29: Erzwingung von Transition durch ’dots’ an Rumpfspitze und Vorderkanten eines Modells

Abb. 4-30: Erzwingung von Transition durch ’dots’ am Seitenleitwerk eines Modells

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Fluidmechanik Widerstand von Körpern 105 ___________________________________________________________________

4.7 Widerstand von Körpern

4.7.1 Formen des Widerstands

In realen, reibungsbehafteten Strömungen erfährt jeder Körper infolge der Druckverteilungan seiner Oberfläche eine resultierende Kraft R, die vektoriell in zwei Komponenten aufgeteiltwerden kann,

- eine Komponente tangential zur Strömungsrichtung V    (= Widerstand W ) und- eine Komponente senkrecht zur Strömungsrichtung V    (= Auftrieb A)

Die resultierende Kraft  R  infolge derAnströmung eines Tragflügelprofils läßt sichz.B. aufteilen in einen Auftrieb  A  und einenWiderstand W , bzw. eine Normalkraft  N   undeine Tangentialkraft T  

Abb. 4-31: Resultierende Kräfte an einem angeströmte Profil

In einer theoretisch reibungsfreien, zweidimensionalen Strömung (Potentialströmung)erzeugt das gleiche Profil zwar ebenfalls einen Auftrieb A, jedoch keinen Widerstand W  (Abb.

4-32), d.h. die Integration der Druckverteilung um das Profil ergibt eine resultierende Kraft  A (= Auftrieb), die senkrecht auf der Anströmrichtung V   steht, jedoch keine Kraft tangential zur

Strömungsrichtung, die dem Widerstand W   in Abb. 4-31  entsprechen würde(d’Alembert’sches Pardoxon).

Abb. 4-32: Resultierende Auftriebskraft in einer ebenen Potentialströmung

Reibung, wie sie in jeder realen Strömung auftritt, ist somit die physikalische Ursache für dasEntstehen von Widerstand.

Der Gesamtwiderstand eines umströmten Körpers läßt sich in einzelne Anteile zerlegen- Reibungswiderstand (bespülte Oberfläche)- Druck- oder Formwiderstand (Ablösung)

- Induzierter Widerstand (Druckausgleich, auch bei reibungsfreier Strömung)- Interferenzwiderstand (Gegenseitige Beeinflussung von Baugruppen)- Wellenwiderstand (Totaldruckverluste infolge von Stößen)- Restwiderstand (Antennen, Anbauten, Bauungenauigkeiten, ...)

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Fluidmechanik Widerstand von Körpern 106 ___________________________________________________________________

4.7.2 Reibungswiderstand

Infolge der Rauhigkeit an der Körperoberfläche werden die Fluidteilchen an der Oberflächeauf die Geschwindigkeit Null abgebremst (Haftungsbedingung). Ausgehend von derGeschwindigkeit Null an der Körperoberfläche wächst mit zunehmendem Abstand von der

Wand die Geschwindigkeit bis zum Wert der freien Anströmung c  an. Es bildet sich dadurchein Geschwindigkeitsgradient in der Strömung senkrecht zur Oberfläche, der sich durch dasAuftreten einer Schubspannung   manifestiert. Die Stärke der Schubspannung läßt sich übereinen Plattenzugversuch ermitteln.

Gl. 4-151:dz

dc

 A

 F    x       

Der Proportionalitätsfaktor entspricht der dynamischen Viskosität   [Pas]. Der Geschwindig-keitsgradient dzdc x  wird als Schergefälle D bezeichnet.

Gl. 4-152:

dz

dc D   x  

Abb. 4-33: Scher- oder Schubspannung    bzw. Tangentialspannung

Für parallele Schichtströmungen läßt sich für dünne Schichten die nicht-lineareGeschwindigkeitsverteilung in der Scherschicht linearisieren. 

Abb. 4-34: Parallele Schicht- bzw. Scherströmung (Couette5-Strömung)

5 Maurice Frédéric Alfred Couette, frz. Forscher (1858 - 1943)

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Fluidmechanik Widerstand von Körpern 107 ___________________________________________________________________

ReibungswiderstandsbeiwertDer Reibungswiderstand eines umströmten Körpers berechnet sich aus der Größe seinerbespülten Oberfläche O  und dem Reibungsbeiwert c R, der sich aus der hydraulischen

Beschaffenheit der Oberfläche ergibt sowie dem Staudruck 22  c   .

Gl. 4-153: 2

2cOcW    R R  

    

Für eine ebene Platte an der eine laminare Grenzschicht anliegt gilt für den dimensionslosenReibungsbeiwert c R 

Gl. 4-154:Re

328.1 Rc  

wobei die Reynoldszahl mit der Länge der Platte berechnet wird.

Der Reibungsbeiwert bei vollständig turbulenter Grenzschicht der ebenen Platte, d.h. von der

Plattenvorderkante liegt eine turbulente Grenzschicht an, beträgt

Gl. 4-155:5 Re

074.0 Rc  

Für größere Reynoldszahlen, d.h. ab Re > 107, muß die Beziehung nach Prandtl-Schlichting

verwendet werden

Gl. 4-156: 58.2

Relog

455.0 Rc  

In vielen Fällen liegt erst nach einer laminaren Anlaufstrecke eine turbulente Grenzschicht

vor. Die Berücksichtigung der laminaren Anlaufstrecke erfolgt mit Hilfe der Korrekturfaktorennach Prandtl mit

Gl. 4-157:ReRe

074.05

 Ac R    

oder

Gl. 4-158: ReRelog

455.058.2

 Ac R    

 Rekrit   3105 5105  10 3106

 A 1050 1700 3300 8700Tab. 4-7: Korrekturfaktoren für laminare Anlaufstrecke

Bei Berücksichtigung der laminaren Anlaufstrecke wird die Reynoldszahl auf die gesamtePlattenlänge bezogen. Die Korrektur erfordert die Berechnung des Umschlagpunktes(Transitionspunkt) von laminarer zu turbulenter Grenzschicht.

Einfluß der Rauhigkeit auf den ReibungswiderstandBei einer laminaren Grenzschicht hat die Oberflächenrauhigkeit kaum einen Einfluß auf denReibungswiderstand, da Vertiefungen aufgefüllt werden und das Fluid darüber hinwegströmt.

Die Rauhigkeit hat jedoch einen starken Einfluß auf die Transition, d.h. der Umschlag vonlaminarer zu turbulenter Grenzschicht erfolgt bei einer rauhen Wand deutlich früher als beieiner glatten Wand.

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Fluidmechanik Widerstand von Körpern 108 ___________________________________________________________________

Hydraulisch glatte Oberfläche

Als hydraulisch glatt wird eine Oberfläche definiert,deren maximale Rautiefe k   ist kleiner als die

laminare Unterschicht und die Unebenheiten in derUnterschicht verschwinden. Die relative Rauhigkeitk/l   entspricht der Rauhigkeit k   bezogen aufPlattenlänge l  

Abb. 4-35: Rautiefe k  

Im Experiment können unterschiedliche Rauhigkeiten durch Sand unterschiedlicher Körnungsimuliert werden, der sog. Sandrauhigkeit k S .

Gl. 4-159:

5.2

log62.189.1

 

 

 

 

 R

l c   für

62 1010   S k 

l  

Strömungsbelastete Bauteile, wie z.B. Turbinenschaufeln sollten aus Gründen der Wider-standsminimierung die Forderung nach einer hydraulisch glatten Oberfläche erfüllen. Diezulässige relative Sandrauhigkeit hängt von der Reynoldszahl ab, z.B.

Re = 106    k S  /l  = 10

-4 Re = 10

8    k S  /l  = 10-6 

d.h. mit zunehmender Re-Zahl steigen die Anforderungen an die Oberflächengüte. DieBedingung für hydraulisch glatte Oberfläche können als Funktion der Re-Zahl definiertwerden.

Gl. 4-160: 100Re     

  

 zulässig l 

k  

oder

Gl. 4-161:  

  

 

ck  zulässig 

 100  

Objekt Geschwindigkeit [km/h] [m/s] kin. Viskosität [m²/s]   k S,zulässig  [mm]Schiff 50

20145.5

1.010-6

1.010-60.0070.020

Flugzeug( H  = 0) 

600200150

1675642

15.110-6

15.110-6

15.110-6

0.0100.0250.035

Flugzeug( H  = 10 km) 

600 167 35.310-6  0.020

Gebläse 1550

15.110-6

15.110-60.1000.030

Wasserturbine 410

1.010-6

1.010-6 0.0250.010

Gasturbine 300-700 40-6010-6  0.005 - 0.020Dampfturbine 100

2001.510-6

1610-6 0.00150.008

Tab. 4-8: Zulässige Rauhigkeiten für hydraulisch glatte Oberflächen

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Fluidmechanik Widerstand von Körpern 109 ___________________________________________________________________

Abb. 4-36: Reibungswiderstand der ebenen Platte

4.7.3 Druckwiderstand

Ideale reibungsfreie StrömungIn einer Potentialströmung, d.h. einer reibungsfreien idealen Strömung folgen die Stromliniender Kontur und zusätzlich zu dem vorderen Staupunkt bildet sich stromabwärts auf derRückseite der Platte ein zweiter Staupunkt. Die Gesamtenergie entlang jeder Stromlinie istkonstant und somit ist auch die Bernoulli-Gleichung entlang jeder Stromlinie erfüllt. DieseUmströmung verursacht eine symmetrische Druckverteilung auf der Zuströmseite wie auf derAbströmseite und es kann keine Druckdifferenz zwischen Vorder- und Rückseite entstehen.Da auf beiden Seiten der Platte der gleiche Druck herrscht bildet sich auch keinDruckwiderstand.

Abb. 4-37: Potentialströmung um eine ebene Platte

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Fluidmechanik Widerstand von Körpern 110 ___________________________________________________________________

Potentialströmungen können in der Natur nicht vorkommen, bilden jedoch aufgrund dereinfachen mathematischen Zugänglichkeit eine Möglichkeit Strömungsfelder näherungs-weise schnell zu erfassen. Dabei ist jedoch zu beachten, daß diese Näherungslösungen nurangewendet werden können auf Strömungen, die lediglich kleinen Richtungsänderungenunterworfen sind. Sobald größere Krümmungen überwunden werden müssen und dieStrömung zur Ablösung von der Kontur neigt, verlieren Potentialverfahren ihre Gültigkeit.

Reale reibungsbehaftete StrömungBei der realen, reibungsbehafteten Strömung um eine ebene Platte verliert die Strömunginfolge Reibung auf der Zuströmseite an kinetischer Energie und kann den Druckanstieg ander Plattenrückseite nicht mehr überwinden und bewegt sich in Richtung des geringstenDruckanstiegs. Diese Strömungsablösung erzeugt ein Nachlaufgebiet (Totwasser) auf derRückseite der Platte. Der Gesamtdruck im Nachlaufgebiet entspricht ungefähr dem derAußenströmung, jedoch ist die Geschwindigkeit höher wodurch sich ein geringerer statischerDruck als in der Außenströmung einstellt. Dieses Unterdruckgebiet an der Rückseite bildeteine Kraft entgegen der Fortbewegungsrichtung der Platte, den sog. Druck- oder Formwider-

stand W  D.

Abb. 4-38: Potentialströmung um eine ebene Platte

Die Entstehung des Druck- oder Formwiderstand W  D kann auch durch eine Energiebilanz amGesamtsystem begründet werden. Infolge der Bewegung der Platte durch ein Strömungs-feld, welches sich zum Zeitpunkt t  = t 1  in Ruhe befindet, wird das Fluid zum Zeitpunkt t  = t 2 aus der Ruhe in eine rotatorische Bewegung beschleunigt. Zur Beschleunigung einer Massemuß immer Arbeit verrichtet werden. Diese Arbeit bzw. Energie muß zusätzlich zur Vortriebs-leistung des durch das Strömungsfeld bewegten Körpers, in diesem Fall die ebene Platte,verrichtet werden und schlägt sich somit negativ als Widerstand in der Bilanz nieder.

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Fluidmechanik Widerstand von Körpern 111 ___________________________________________________________________

Prinzip der StrömungsablösungAblösung tritt immer dann auf, wenn die Strömung einen Druckanstieg in Strömungsrichtungnicht mehr überwinden kann, z.B. bewirken große Richtungsänderungen eine Aufweitung derStromlinien und somit eine Reduzierung der Geschwindigkeit c, wodurch sich der statische

Druck p entsprechend der Bernoulli-Gleichung (Druckform)

Gl. 4-162: .2

2 const  pc pt      

 

erhöht.

Das Prinzip der Strömungsablösung läßt sich an dem in Abb. 4-39 skizzierten Strömungs-verlauf über eine stark gekrümmt Oberfläche erläutern.

Abb. 4-39: Grenzschichtablösung mit Rückströmgebiet

Bereich B Die Strömungsbeschleunigung infolge des reduzierten Strömungsquerschnitts, erkennbar ander Verengung der Stromlinien, wirkt der reibungsbedingten Verzögerung der Strömunginnerhalb der Grenzschicht entgegen und bewirkt, daß die beschleunigte Strömung nichtablöst. Bei maximaler Strömungsgeschwindigkeit wird im Punkt G  das Druckminimumerreicht.

Bereich V  Die Verzögerung der Außenströmung, erkennbar an der Aufweitung der Stromlinien, führt zueinem Druckanstieg. Da das Fluid aber bereits in der Grenzschicht verzögert wird muß zurBewältigung des Massestroms die Grenzschichtdicke weiter zunehmen. Die Geschwindig-keitsverringerung bewirkt aber auch eine Verringerung der kinetischen Energie, wodurch dieStrömung anfälliger gegenüber Störungen wird. Der zunehmende Druck bewirkt, daß Fluid-teilchen an der Wand zum Stillstand kommen und nicht in das Gebiet mit höherem Druckvordringen. Im Punkt A weicht die Strömung in Richtung des geringsten Drucks aus und löst

sich von der Wand ab.

Nach der Ablösung strömen im Wandbereich Fluidteilchen dem Druckgradienten folgendentgegen der Hauptströmungsrichtung und bilden ein Rückströmgebiet, welches die Außen-

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Fluidmechanik Widerstand von Körpern 112 ___________________________________________________________________

strömung von Körperoberfläche abdrängt. Die Unstetigkeitsfläche zwischen Grenzschichtund Außenströmung löst sich aufgrund der Labilität in Einzelwirbel auf. Diese Wirbel-erzeugung bedeutet eine Beschleunigung ruhender Masse in eine Drehbewegung wozuArbeit verrichtet werden muß , die sich als Druck- oder Formwiderstand in der Bilanz nieder-schlägt.

Aufgrund des höheren kinetischen Energieniveaus der turbulente Grenzschicht im Vergleichzur laminaren Grenzschicht, neigt eine turbulente Grenzschicht weniger zur Ablösung als dielaminare Grenzschicht. Zu beachten ist, daß entsprechend der Bernoulli-Gleichung eineErhöhung der Strömungsgeschwindigkeit immer mit einer Abnahme des statischen Druckseinhergeht und umgekehrt eine statische Druckerhöhung immer an eine Strömungs-verzögerung gekoppelt ist, Abb. 4-39.

Abb. 4-40: Stromlinienverlauf bei reibungsfreier Strömung und reibungsbehafteter Strömung

Abb. 4-41: Kriechende Strömung, laminar, c  = 1 mm/s, turbulente Strömung, Re = 2000 [ 14]

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Fluidmechanik Widerstand von Körpern 113 ___________________________________________________________________

Karman'sche Wirbelst raße6 In Abhängigkeit von Strömungsgeschwindigkeit und Körpergeometrie können bei querangeströmten Körpern alternierend links- und rechtsdrehende Wirbel an der Rückseiteablösen. Sofern der Wirbelabstand h  von der Strömungsachse zum Wirbelabstand  L  in

Strömungsrichtung das Verhältnis 28.0 Lh  bildet, sind solche Wirbelstraßen sehr stabil.Bei quer angeströmten Antennen oder Drähten kann dies zur Bildung eines Pfeiftons führen.Abhilfe schaffen hier Drähte, die spiralförmig um die Antenne gewunden werden, bzw.Metallwendeln, die zur Vermeidung von Resonanzfrequenzen um Kamine angebrachtwerden können.

Abb. 4-42: Karman'sche Wirbelstraße

NachlaufdelleDie Beschleunigung eines ruhenden Fluids in eine Rotationsbewegung, z.B. zur Erzeugungeiner Wirbelstraße, erfordert die Verrichtung von Arbeit. Dieser Energieaufwand macht sichin einem Geschwindigkeits- bzw. Impulsverlust stromabwärts bemerkbar und wird alsNachlaufdelle bezeichnet. Aus der Vermessung des Geschwindigkeitsfelds (Impulsverlust)stromabwärts eines Körpers mit einem Nachlaufrechen kann auf den Druckwiderstand desKörpers geschlossen werden.

Abb. 4-43: Bestimmung des Druckwiderstands eines Körpers aus dem Impulsverlust

6 Todor Kármán, ungarischer Physiker, 1881 - 1963 

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Fluidmechanik Widerstand von Körpern 114 ___________________________________________________________________

Druckwiderstand

Gl. 4-163: dS qqW S 

 D      

Abb. 4-44: Nachlaufrechen

Laminare und turbulente Ablösung

Abb. 4-45: Ebene Platte, laminare Ablösung,   = 2.5°, Re = 104, [ 14]

Abb. 4-46: Ebene Platte, turbulente Ablösung,   = 2.5°,Re = 5104, [ 14]

Abb. 4-47: Zylinder, laminare (oben) und turbulente (unten) Ablösung, [ 14]

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Fluidmechanik Widerstand von Körpern 115 ___________________________________________________________________

Bestimmende Größe für den Druckwiderstand ist die Größe und Form des abgelöstenTotwassergebiets, d.h. konstruktive Maßnahmen zur Verringerung des Druckwiderstandszielen immer auf eine Verkleinerung des Totwassergebiets. Dies ist entweder durch dieZufuhr von kinetischer Energie in die Grenzschicht oder durch das Erzwingen einerTransition von laminarer zu turbulenter Grenzschicht möglich. Eine turbulente Grenzschichtverursacht zwar einen höheren Reibungswiderstand, hat aber aufgrund der größerenkinetischen Energie eine geringere Neigung zur Ablösung als im laminaren Fall. Zusätzlichmit der Verkleinerung des Totwassergebiets und somit einer Verringerung desDruckwiderstands behalten Ruder und Klappen ihre Wirksamkeit, die andernfalls beiabgelöster Strömung verloren geht.

Widerstandsreduzierung durchVerkleinerung des Ablösegebiets

Laminare Grenzschicht(unterkritisch),Ablösewinkel α ≈ 70 bis 80° 

Turbulente Grenzschicht nachStolperdraht (überkritisch),Ablösewinkel α ≈ 110 bis 120° 

Abb. 4-48: Kugel- oder Zylinderumströmung mit prinzipiellem Stromlinien- und Druckverlauf

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Fluidmechanik Widerstand von Körpern 116 ___________________________________________________________________

Abb. 4-49: Verzögerung der Ablösung durch Spaltklappen bei Hochauftriebssystemen

Druck- bzw. Formwiderstand einfacher Körper

Tab. 4-9: Formwiderstand rotationssymmetrischer Körper

Tab. 4-10: Formwiderstand ebener Platten

Rechteckige Platte

b/h 1 2 4 10 18  

cW   1.10 1.15 1.19 1.29 1.4 2.01

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Fluidmechanik Widerstand von Körpern 117 ___________________________________________________________________

Tab. 4-11: Formwiderstand rotationssymmetrischer Körper

4.7.4 Induzierter Widerstand

In einer theoretisch reibungsfreien, zweidimensionalen Strömung um einen Körper (z.B.Profil) ergibt die Integration der Druckkräfte eine resultierende Kraft  A  (= Auftrieb), diesenkrecht auf der Anströmrichtung V    steht, jedoch keine Kraft tangential zur Strömungs-richtung, d.h. einen Widerstand W  (d'Alembert'sches Paradoxon).

Betrachtet man jedoch einen Körper, der dreidimensional umströmt wird, z.B. einenTragflügel, so stellt sich aufgrund der Druckunterschiede von Ober- zu Unterseite am Randdes Flügels eine Ausgleichströmung quer zur Anströmrichtung ein und es bilden sich anbeiden Flügelenden je ein Randwirbel. Die Erzeugung dieser Wirbel erfordert die Verrichtungvon Arbeit, da eine Luftmasse aus der Ruhe in eine Drehbewegung beschleunigt wurde, die jedoch zu dem Vortrieb des Flugzeugs keinerlei Beitrag leistet. Die verrichtete Arbeit schlägtsich somit negativ in der Bilanz als induzierter Widerstand nieder.

Ein dreidimensionaler Körper erfährt somit auch in einer theoretisch reibungsfreien Strömungeinen Widerstand.

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Fluidmechanik Widerstand von Körpern 118 ___________________________________________________________________

Abb. 4-50: Entstehung der freien Wirbel am Tragflügel endlicher Spannweite

Bestimmungsgrößen des induzierten Widerstands am Beispiel des Tragflügels

Der Beiwert des induzierten Widerstands C Wi berechnet sich entsprechend

Gl. 4-164:

 

2

 AWi

C eC   

mite  = Formfaktor, bei idealer, sog. 'elliptischer' Auftriebsverteilung gilt e = 1   = Streckung, Verhältnis von Spannweite b zur Flügelfläche S  

Gl. 4-165:S 

b2

 

Der Auftriebsbeiwert ergibt sich aus dem Staudruck2

2 c    und der Flügelfläche S  zu

:Gl. 4-166S c

 AC  A

2

2   

Eine Minimierung des induzierten Widerstands läßt sich somit durch eine Minimierung desAuftriebs oder eine Maximierung der Flügelstreckung erreichen.

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Fluidmechanik Widerstand von Körpern 119 ___________________________________________________________________

Abb. 4-51: Einfluß der Streckung  auf den induzierten Widerstand C Wi  

Bei Verkehrsflugzeugen liegt der Auftriebsbeiwert im Reiseflug bei ca. C  A,Reiseflug   1.0 und beiStart oder Landung aufgrund der deutlich niedrigeren Start- bzw. Landegeschwindigkeit imVergleich zur Reisefluggeschwindigkeit in einer Größenordnung ca. C  A,Start/Landung   5 – 6. Dader Auftriebsbeiwert quadratisch in den induzierten Widerstand und somit die Stärke der

erzeugten Wirbelschleppen eingeht, stellen insbesondere Start und Landung dieFlugabschnitte dar, in denen Wirbelschleppen mit maximaler Stärke erzeugt werden. Dies istbei der zeitlichen und räumlichen Staffelung des an- und abfliegenden Verkehrs anFlughäfen zu beachten.

Abb. 4-52: Freie Wirbel am Tragflügel endlicher Spannweite

 

Segelflugzeuge 15 - 30Sportflugzeuge 6 – 10Verkehrsflugzeuge 6 - 20Kampflugzeuge 2 - 5

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Fluidmechanik Widerstand von Körpern 120 ___________________________________________________________________

Abb. 4-53: Wirbelschleppe eine Boeing 747

Die durch den Wirbel induzierte Beschleunigung des Strömungsfeldes läßt sich aber auchzur Reichweitenerhöhung bei engen Formationsflügen ausnutzen. Der Tragflügel der Folge-maschine erfährt durch den induzierten Wirbel der Führungsmaschine eine zusätzlicheAnströmgeschwindigkeit, die seinen effektiven Anstellwinkel erhöht und somit seinenGesamtwiderstand verringert. Dieses Verfahren ist allerdings in der Vogelwelt schon langebekannt und läßt sich insbesondere bei der V-Formation von Zugvögeln gut beobachten.

Abb. 4-54: Widerstandsreduzierung im Formationsflug

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Fluidmechanik Widerstand von Körpern 121 ___________________________________________________________________

4.7.5 Interferenzwiderstand

Die Kombination von Baugruppen führt in der Regel immer zu einer Veränderung derStrömungsverhältnisse des Gesamtsystems, d.h. der Gesamtwiderstand ist häufig größer alsdie Summe der Einzelwiderstände. Eine Verringerung ist jedoch ebenfalls möglich und

basiert auf der Verkleinerung des Ablösegebiets durch geeignete Vorkörper, z.B. beimWindschattenfahren im Radsport, bei Autorennen oder bei Kolonnenfahrten von LKWs.

Abb. 4-55: Strömung am Einzelrohr und am fluchtenden Rohrbündel

Die Reduzierung des aerodynamischen Widerstands cW,aero  ist in Abhängigkeit von demFahrzeugabstand a in Abb. 4-56 dargestellt.

Abb. 4-56: Reduzierung des aerodynamischen Widerstands bei LKW-Kolonnen, [ 7]

4.7.6 Gesamtwiderstand

Der Gesamtwiderstand eines umströmten Körpers setzt sich zusammen aus der Summe derEinzelwiderstände:

Gl. 4-167: t ind  D R ges   W W W W W W  Resint   

Unter dem Restwiderstand W rest  werden alle Zusatzwiderstände zusammengefaßt, die durch

Anbauteile oder innere Durchströmung entstehen wie z.B. Radverkleidung, Streben, Spiegel,Kühlluft, Innenbelüftung, Zierleisten etc. Bei Triebwerken tritt zusätzlich noch ein Einlauf-widerstand (spillage drag ) auf.

Links: Großes Ablösegebiet verursacht hohenWiderstand

Rechts: Widerstandskörper mit Platte:geringerer Gesamtwiderstand

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Fluidmechanik Widerstand von Körpern 122 ___________________________________________________________________

Bei bekanntem Widerstandsbeiwert C w  und der Referenzfläche S   ergibt sich der Gesamt-widerstand zu

Gl. 4-168: S cC S qC W    W W      2

2

   

Mit steigender Geschwindigkeit erfolgt eine quadratische Widerstandszunahme

C w - WertBei dem C w  – Wert handelt es sich um einen dimensionslosen Beiwert, der von derGeometrie des umströmten Körpers abhängt und alle Widerstandsanteile berücksichtigt, d.h.er beschreibt die 'aerodynamische Güte' des Entwurfs.

Gl. 4-169:

S c

S q

W C W 

2

2

   

Zur Bestimmung des Beiwerts kann die Bezugsfläche S  prinzipiell frei gewählt werden, sofernbei der Umrechnung in Absolutwerte wieder die identische Fläche, bzw. bei Modell-versuchen, die dem Maßstab entsprechend skalierte Fläche verwendet wird. Üblich ist dieVerwendung der projizierten Stirnfläche (Automobilbau) oder die projizierte Flügelfläche(Flugzeugbau). Die alleinige Angabe des C w  - Wert (KFZ-Werbung) erlaubt noch keinenRückschluß auf den Anteil des aerodynamischen Widerstands am Gesamtwiderstand unddamit den Treibstoffverbrauch; hier ist zusätzlich noch die dazugehörige Bezugsfläche Serforderlich.

 _________________________________________________________________________

Üb. 4-9: Windlast auf einen Kamin

Ein Kamin mit einer Höhe  H  = 100 m hat am Boden einen Durchmesser d 1 = 6 m und an derSpitze einen Durchmesser d 2 = 0.5 m. Der Durchmesser ändert sich linear mit der Höhe. DieWindgeschwindigkeit beträgt c   = 1.6 m/s. Bei einer Dichte von    = 1.234 kg/m³ beträgt diekinematische Zähigkeit der Luft   = 1510

-6 m²/s.

Der Widerstandsbeiwert des Kamins kann im unterkritischen Bereich ( Red   < 3.5105) mit

cw,unter  = 1.2 und im überkritischen Bereich mit cw,über  = 0.4 abgeschätzt werden.

Wie hoch ist unter diesen Bedingungen die resultierende Kraft auf den Kamin?

 _________________________________________________________________________

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Fluidmechanik Kugelumströmung 123 ___________________________________________________________________

4.8 Kugelumströmung

4.8.1 Ideale reibungsfreie Umströmung der Kugel (Potentialströmung)

Bei geringen Geschwindigkeiten und somit sehr kleinen Re-Zahlen stellt sich auch bei realenStrömungen eine Stromlinienverteilung ein, die näherungsweise der der idealen Potential-strömung entspricht. solche Strömungen werden als kriechende Strömungen bezeichnet undkönnen z.B. bei dem Fließverhalten von flüssigem Beton, Zahnpasta oder Lavaströmenbeobachtet werden.

Unter der Annahme einer idealen, reibungsfreien Strömung berechnen sich Geschwindigkeit,Druck und Druckbeiwert als Funktion des Umfangswinkels   

Geschwindigkeit auf der Oberfläche cS  

Gl. 4-170:      sin23   ccS   

Druckverteilung pS  

Gl. 4-171:

   

 

  

 

2

21

2   c

cc p p   S 

      

Abb. 4-57: Reibungsfreie Kugelumströmung

Druckbeiwert c p 

Gl. 4-172:    

 

  

  

2

2

2

sin4

911

2

 

  

 

c

c

c

 p pc   S S 

 p  

4.8.2 Reibungsbehaftete Umströmung der Kugel

In einer realen, reibungsbehafteten Strömung stellt sich in Abhängigkeit von der Struktur derGrenzschicht ein unterschiedlich großes Ablösegebiet auf der strömungsabgewandten Seite

der Kugel ein (vgl. Kap. 4.7.3 Druckwiderstand).

laminare GrenzschichtAblösung bei   ≈ 70° - 80° 

turbulente Grenzschicht

Ablösung bei   ≈ 110° - 120° 

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Fluidmechanik Kugelumströmung 124 ___________________________________________________________________

Abb. 4-58: Reibungsbehaftete Kugelumströmung

Die Strömungsverhältnisse an einer Kugel werden maßgeblich vom Zustand der Grenz-schicht dominiert. In Abhängigkeit davon ob es ich um eine unterkritische (laminare) odereine überkritische (turbulente) Grenzschicht handelt, verschiebt sich die Position der

Ablösestelle auf der Kugeloberfläche (vgl. Abb. 4-58). Die Lage der Ablösestelle wiederumdefiniert die Größe des sich daraus ergebenden Totwassergebiets stromabwärts der Kugel,welches wiederum die strömungsphysikalische Ursache für den Druck- bzw. Formwiderstanddarstellt.

Bei kleinen Reynoldszahlen ( 5107.1Re   ), d.h. fast vollständig laminarer Umströmung, läßt

sich der Widerstandsbeiwert cW   der Kugel über unterschiedliche Näherungsformelnabschätzen, wobei die Reynoldszahl mit dem Kugeldurchmesser D berechnet wird.

Gl. 4-173:Re

24W c  

Gl. 4-174: 4.0Re

4

Re

24W c  

Gl. 4-175: 23.0Re

5.6

Re

5.21W c  

Abb. 4-59: Widerstandstandsbeiwert einer laminar umströmten Kugel

Der Umschlag von einer laminaren zu einer turbulenten Grenzschicht erfolgt nicht bei einerbestimmten Re-Zahl, sondern in einem Übergangsbereich (kritischer Bereich), sofern dieTransition nicht über eine Transitionsfixierung erzwungen wird.

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Fluidmechanik Kugelumströmung 125 ___________________________________________________________________

Abb. 4-60: Widerstandsbeiwert der Kugel bei unter- und überkritischer Anströmung

Bei realen Strömungen wird ein Körper nur selten einer vollständig laminaren Strömungbegegnen. Lediglich bei sehr kleinen Reynoldszahlen, Flügen in großen Höhen in derStratosphäre oder in einem Laminarwindkanal (Eiffelkanal) wäre dies z.B. möglich. DerVerlauf des Widerstandsbeiwerts einer Kugel bei vollständig laminarer Anströmungentspricht der rechten Kurve in Abb. 4-60. Die linke Kurve beschreibt den Verlauf desWiderstandsbeiwertes für den Fall, daß die Strömung bereits vor dem Auftreffen auf dieKugel vollständig turbulent ist. Der signifikant geringere Kugelwiderstand bei vollständigturbulenter Anströmung im Vergleich zur laminaren Anströmung ergibt sich aufgrund derlänger anliegenden turbulenten Grenzschicht und dem dadurch kleineren Ablösegebiet aufder stromabgewandten Seite der Kugel (vgl. Abb. 4-58). Der höhere Reibungswiderstand der

turbulenten im Vergleich zur laminaren Grenzschicht wirkt sich deutlich geringer auf denGesamtwiderstand aus, als der höhere Druckwiderstand infolge eines größeren Ablöse-gebiets.

Bei 5107.1Re   bleibt die Strömung trotz 'Stolperdraht' laminar und läßt sich nicht in den

turbulenten Zustand zwingen. In dem Übergangsbereich von 55 1005.485.3Re107.1    

wird die kritische Reynoldszahl bei der eine natürliche, also Re-Zahlabhängige Transitionstattfindet, per Definition festgelegt auf die Reynoldszahl, bei der der Widerstandsbeiwertden Wert 3.0W c  erreicht, d.h.

Gl. 4-176: 3.0ReRe     W krit    c .

Ab einer Reynoldszahl von 5105Re     erfolgt mit zunehmender Reynoldzahl wieder ein

Anstieg des Widerstands. Die Größe des Ablösegebiets verändert sich nicht mehr, d.h. derDruckwiderstand bleibt konstant, der Reibungswiderstand erhöht sich jedoch als Funktionder Reynoldszahl und wird zur dominierenden Größe.

Einfluß einer erzwungenen Transit ion durch StolperdrahtDie deutliche Reduzierung des Widerstands einer Kugel durch eine erzwungene Transitionist in Abb. 4-61 skizziert.

laminare Anströmung

turbulente

Anströmung

 

d c Re  

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Fluidmechanik Kugelumströmung 126 ___________________________________________________________________

Abb. 4-61: Einfluß einer erzwungenen Transition auf den Widerstand

Turbulenzfaktor TF Natürliche, d.h. nicht erzwungene Transition ist eine Funktion der Turbulenz der Zuströmung,die sich durch den Turbulenzfaktor TF   beschreiben läßt. Dabei wird die kritische Re-Zahl

einer theoretisch laminaren Zuströmung mit 51005.4Re   krit    ins Verhältnis gesetzt mit der

Reynoldszahl, bei welcher der Widerstandsbeiwert der Kugel den Wert 3.0W c  erreicht.

Gl. 4-177:

3.0Re

1005.4

Re

Re 5

W krit krit 

krit 

c Zuströmung 

laminar TF   

Würde der Körper eine vollständig laminare Zuströmung erfahren, so ergibt dies einen

Turbulenzfaktor von 1TF  . Bei einer vollständig turbulenten Zuströmung ergibt sich einTurbulenzfaktor von 4.2TF  .

Der Druckbeiwert an der Rückseite der Kugel (= Basisdruck) bei kritischer Re-Zahl ergibtsich zu

Gl. 4-178: 22.0

2

3.02

c

 p pcc   pW    

 

Insbesondere bei Windkanalmessungen ist der Turbulenzfaktor zur Bestimmung der realen

Reynoldszahl erforderlich. Die mittels der Beziehung

Gl. 4-179: 

ref 

 Messung 

l c    

Re  

für die Versuchsbedingungen berechnete Reynoldszahl geht von einer vollständig laminarenAnströmung aus und ist noch um den Turbulenzfaktor TF   zu korrigieren, um das in derStrömung vorliegende Turbulentniveau zu berücksichtigen.

Gl. 4-180:  Messung eff    TF  ReRe    

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Fluidmechanik Kugelumströmung 127 ___________________________________________________________________

Turbulenzgrad Tu Der Turbulenzgrad einer Strömung wird durch die Überlagerung der Strömungsge-schwindigkeit c  der freien Anströmung mit Störgeschwindigkeiten wvu ,,  in Richtung der

drei Koordinatenachsen  z y,,  beschrieben.

Gl. 4-181: 222

3

11wvu

cTu  

 

Diese Störgeschwindigkeiten lassen sich zu einer mittleren Störgeschwindigkeit, odermittleren Quergeschwindigkeit c  zusammenfassen

Gl. 4-182: 222

3

1wvuc    

und für den Turbulenzgrad gilt

Gl. 4-183:

c

cTu  

Einfluß der Rauhigkeit auf den WiderstandIm unterkritischen Bereich hat eine größere Rauhigkeit die Wirkung eines Stolperdrahts zurTransitionserzwingung und wirkt sich so insgesamt widerstandsverringernd aus, wohingegenim überkritischen Bereich eine größere Rauhigkeit eine Vergrößerung des Widerstandsbewirkt.Mit zunehmender Rauhigkeit treten drei unterschiedliche Effekte auf

- Die Widerstandsreduzierung infolge der Transition wird immer geringer

- Die plötzliche Widerstandsreduzierung nach der Transition erfolgt bei immerkleineren Reynoldszahlen- Der Widerstand bei turbulenter Grenzschicht steigt immer weiter an

Abb. 4-62: Einfluß der Rauhigkeit auf den Widerstand

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Fluidmechanik Zylinderumströmung 128 ___________________________________________________________________

4.9 Zylinderumströmung

4.9.1 Ideale reibungsfreie Strömung (Potentialströmung)

Unter der Annahme einer idealen, reibungsfreien Strömung und eines unendlichen langenZylinders, d.h. es liegt eine zweidimensionale Strömung vor, ergibt sich für dieGeschwindigkeit und die Druckverteilung an der Oberfläche des Zylinders als Funktion desUmfangwinkels   

Geschwindigkeit an der Oberfläche

Gl. 4-184:    sin2     ccS   

Druckverteilung an der Oberfläche

Gl. 4-185:      2sin41    pc  

4.9.2 Reibungsbehaftete Umströmung eines Zylinders

Die Strömungsverhältnisse an einem quer angeströmten Zylinder gleichen denen an einerKugel. Die Umfangswinkel an denen sich die Strömung ablöst betragen für eine laminareGrenzschicht (unterkritisch) ca.   ≈ 80° und bei einer turbulenten Grenzschicht (überkritisch),ca.    ≈  140°. Im Nachlauf des Zylinders können sich Wirbelsysteme mit alternierenderDrehrichtung bilden (Karman'sche Wirbelstraße, Abb. 4-42).

Allgemein gilt für quer angeströmte Körper mit großem Dickenverhältnis und deutlichenUnterschieden im Widerstand bei unterkritischer und überkritischer Strömung, daß sich diekritische Reynolds-Zahl mit zunehmender Rauhigkeit zu kleineren Werten verschiebt.

Abb. 4-63: Widerstandsbeiwerte von Kugel und Zylinder

Der in Abb. 4-63 skizzierte Verlauf des Zylinderwiderstands als Funktion der Reynoldszahlbezieht sich auf einen theoretisch unendlich langen Zylinder, d.h. es liegt eine zwei-dimensionale Strömung vor. Für quer angeströmte Zylinder oder Prismen lassen sich die die

cW -Werte der zweidimensionaler Anströmung durch einen Korrekturfaktor  K   entsprechendTab. 4-12 auf eine dreidimensionale Umströmung anpassen.

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Fluidmechanik Zylinderumströmung 129 ___________________________________________________________________

Gl. 4-186:

 

 

 

 

 

 

 

  D

hc K 

 D

hc   W W   

Tab. 4-12: Korrekturfaktoren für dreidimensional umströmte Zylinder

 _________________________________________________________________________

4-10: Aerodynamischer Widerstand eines Kamins

geg.:c   = 40 [m/s]  Windgeschwindigkeit

 D  = 0.25 [m]  Kamindurchmesser H   = 8 [m]  KaminhöheT   = 20 [°C]  Lufttemperatur

 p  = 1020 [hPa] Luftdruck

ges.:Resultierende Kraft F  auf den Kamin _________________________________________________________________________

Höhe/Durchmesser h/D  Korrekturfaktor

0 < h/D  4  K   0.6

4 < h/D  8  K   0.7

8 < h/D  40  K   0.8

40 < h/D     K   1.0

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Fluidmechanik Rohrströmung 130 ___________________________________________________________________

4.10 Rohrströmung

4.10.1 Laminare Rohrströmung

Bei Re-Zahlen  Re  < 2320  bildet sich nach einer Anlaufstrecke von ca. Re06.0     d l    einevollständig laminare Strömung, die aufgrund der inneren Reibung ein parabolischesGeschwindigkeitsprofil aufweist. Unter den Annahmen einer stationären, inkompressiblenund horizontalen Strömung ergibt sich folgende Geschwindigkeitsverteilung

Gl. 4-187:

 

  

 2

max 1 R

r cr c  

und eine mittlere Strömungsgeschwindigkeit

Gl. 4-188: max21 ccm    

Abb. 4-64: Laminares Geschwindigkeitsprofil einer Rohrströmung

4.10.2 Turbulente Rohrströmung

Bei Re-Zahlen  Re  > 2320  bildet sich nach einer Anlaufstrecke von ca. d l    10   eine

vollständig turbulente Strömung. Der Hauptströmungsrichtung werden Schwankungs-bewegungen in Längs- und Querrichtung überlagert wodurch die Reibungsverluste erhöhtwerden.

Geschwindigkeitsverteilung

Gl. 4-189: nk 

 R

r cr c

 

  

  1max

 

k, n = f (Re-Zahl, Rauhigkeit) 

21    k   6

1

11

1 n  

Für ein glattes Rohr, Re = 45000 gilt k  = 2, n = 1/7 

Mittlere Strömungsgeschwindigkeit bei k  = 2, n = 1/7 

Gl. 4-190: max875.0   ccm    

Abb. 4-65: turbulentes Geschwindigkeitsprofil einer Rohrströmung

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Fluidmechanik Rohrströmung 131 ___________________________________________________________________

4.10.3 Rohrreibungswiderstand

Turbulente Rohrströmung liegt vor unter der Bedingung

Gl. 4-191: 2320Re  

  

     d cd c, d  = Rohrinnendurchmesser

Der Reibungswiderstand an der Rohrwand beträgt

Gl. 4-192:   Flächebenetzte

 Druck dyn

 f    Ld ccOW         

 

.

2

Aufgrund der Kontinuitätsbedingung .const  Acm        muß bei konstantem

Rohrquerschnitt  A  auch die mittlere Strömungsgeschwindigkeit cm  konstant bleiben, d.h.Verluste können sich nur in Form von Druckverlusten bemerkbar machen. DieAufrechterhaltung der Strömung erfordert ein Druckgefälle  p oder ein natürliches Gefälle mitder Neigung hV,12 /L, wobei hV12 der Druckverlusthöhe und L der Rohrlänge entspricht.

Abb. 4-66: Druckverlust infolge Rohrreibung

Kräftebilanz in Strömungsrichtung

Gl. 4-193: 21   F W  F     

Gl. 4-194: 2211   A pW  A p    

mit der Kreisfläche

Gl. 4-195:4

2

21

d  A A A 

   

 

Gl. 4-196:   Ld ccW  p p A   f          2

212

 

lautet der Druckverlust  p 

Gl. 4-197:2

24   c

 Lc p   f       

 

Mit der Rohrreibungszahl   

Gl. 4-198:  f c4   

c

 A

V c

 

Page 144: Skript Fluid

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Fluidmechanik Rohrströmung 132 ___________________________________________________________________

ergibt sich für den Druckverlust  p 

Gl. 4-199:2

2c

 L p  

      

Der Druckverlust  p  läßt sich auch in eine Verlusthöhe h umrechnen. Zusammen mit demhydrostatischen Druck

Gl. 4-200: h g  p       

ergibt sich die Druckverlusthöhe hV  

Gl. 4-201: g 

c

 Lhh   V 

2

2

   

Mit dem Verlustbeiwert  

Gl. 4-202:d 

 L    

lautet die Verlusthöhe hV  

Gl. 4-203: g 

chV 

2

2

   

oder der Druckverlust  p 

Gl. 4-204:  2

2c p  

      

Dies gilt für laminare als auch für turbulente Strömung.

4.10.4 Rohrreibungszahl  

Bei Rohrströmungen ergeben sich aufgrund der unterschiedlichen Oberflächenbeschaffen-heit der Innenwand, d.h.

- hydraulisch glatt- Übergang zwischen glatt und rauh- vollständig rauh

unterschiedliche Werte für die Rohrreibunsgzahl

Hydraulisch g latte RohreDie Bedingung für hydraulisch glatt ist erfüllt, wenn die Dicke der laminaren Unterschicht  U  in der Grenzschicht größer ist als die absolute Rauhigkeit k  

Gl. 4-205:4

U k       absolute Rauhigkeit

Gl. 4-206: 

Re

8

k   relative Rauhigkeit

Gl. 4-207: 

 

Re

8.32   d U    Dicke der laminaren Unterschicht  U  

Bis zum Erreichen der kritischen Re-Zahl Rekrit  = 2320 gilt für die Rohrreibungszahl   

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Fluidmechanik Rohrströmung 133 ___________________________________________________________________

Gl. 4-208:Re

64    (Hagen-Poiseuille)

Bei Re-Zahlen größer als Rekrit 

 gilt die empirische Beziehung nach Nikuradse

Gl. 4-209: 8.0Relog21

    

 

oder

Gl. 4-210:  

  

 

51.2Relog2

1    

  

Vereinfachungen nach Blasius für 2300 < Re < 105 

Gl. 4-211:4 Re3164.0   

oder nach Nikuradse für 2300 < Re < 106 

Gl. 4-212: 237.0Re

221.00032.0      

Bei hydraulisch glatten Rohren ist die Rohrreibungszahl ausschließlich eine Funktion der Re-Zahl.

Vollständig rauhe RohreDie Bedingung für eine vollständig rauhe Oberfläche lautet

Gl. 4-213: 

Re

200

k  

Rohrreibungszahl   nach Nikuradse

Gl. 4-214: 14.1log21

  

  

  

oder

Gl. 4-215:   

  

d 71.3log2

1

  

Vereinfachung nach Moody

Gl. 4-216: 315.00055.0d 

k    

Bei vollständig rauhen Rohren ist die Rohrreibungszahl ausschließlich eine Funktion der

Rauhigkeit.

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Fluidmechanik Rohrströmung 134 ___________________________________________________________________

Übergangsgebiet zwischen glatt und rauhDie Bedingung für das Übergangsgebiet zwischen glatter und rauher Oberfläche lautet

Gl. 4-217: 200Re8      d 

k  

Rohrreibungszahl   nach Colebrook

Gl. 4-218:  

  

 

   Re

51.2

71.3log2

1

k  

Vereinfachung

Gl. 4-219:

3

6

Re

102000010055.0

k    

Im Übergangsgebiet ist die Rohrreibungszahl eine Funktion der Re-Zahl und der Rauhigkeit

Abb. 4-67: Moody-Diagramm: Rohrreibungszahl als Funktion der Rauhigkeit und Reynoldszahl

Page 147: Skript Fluid

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Fluidmechanik Widerstandswert für zusätzliche Einbauten in Rohren 135 ___________________________________________________________________

Hydraulischer Durchmesser d  hydr Zur Berechnung der Rohrreibungszahl bei Rohren mit nicht kreisförmigem Querschnitt wirdein hydraulischer Ersatzdurchmesser d hydr   aus der Rohrquerschnittsfläche  A  und dembenetzten Umfang U  berechet.

Gl. 4-220:U  Ad hydr    4  

Bei Strömungen in offenen Gerinnen tritt aufgrund des konstanten Umgebungsdrucks keinDruckverlust  pV , sondern nur eine Verlusthöhe hV   auf, die mit dem hydraulischenDurchmesser des Gerinnes berechnet wird.

Gl. 4-221: g 

c

 L

 g 

ch

hydr 

22

2

.

2

    

Abb. 4-68: Offenes Gerinne

4.11 Widerstandsbeiwert für zusätzliche Einbauten in Rohren

4.11.1 Widerstand infolge von Ablösung

Neben dem Reibungswiderstand tritt bei Rohrströmungen noch ein zusätzlicher Widerstanddurch Ablösungen und Verwirbelungen auf infolge von

- Einbauten, Armaturen, Ventilen, Blenden und Drosselklappen- Richtungsänderungen, Krümmern- Querschnittsveränderungen, stetig und unstetig- Rohrein- und -auslauf

Die Berücksichtigung dieser Verluste erfolgt durch den Verlustbeiwert   

Gl. 4-222:2

12

2  m

c

 p

  

   

Druckverlust 12V  p  mit der mittleren Strömungsgeschwindigkeit im Rohr cm 

Gl. 4-223:2

122

  mV    c p         

Verlusthöhe 12V h  mit der mittleren Strömungsgeschwindigkeit im Rohr cm 

Gl. 4-224: g 

ch   m

V  2

2

12      

Die theoretische Erfassung der Verluste infolge von Rohreinbauten nur in Ausnahmefällenmöglich. Zur Bestimmung des Verlustbeiwertes   bieten sich unterschiedliche Verfahren an

- Empirische Bestimmung der Verlustbeiwerte- Nachrechnung des Druckverlustes infolge von Einbauten aus der Summe der

einzelnen Teilverluste in den einzelnen Abschnitten. Dazu ist jedoch eineGeschwindigkeitsmessung in den einzelnen Abschnitten erforderlich

Page 148: Skript Fluid

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Fluidmechanik Widerstandswert für zusätzliche Einbauten in Rohren 136 ___________________________________________________________________

Mit dem Verlustbeiwert   

Gl. 4-225:d 

 L    

ergibt sich für den Druckverlust in einem System, bestehend aus i-Rohrstücken und k -Einbauten

Gl. 4-226:

 

k k mk 

iim

i

iim   cc

 Lc p

2

,

2

,

2

22  

       

d.h. der Druckverlust setzt sich aus dem Anteil infolge der Rohrreibung und dem Anteilinfolge zusätzlicher Einbauten zusammen.

4.11.2 Querschnittserweiterung (Diffusor)

Während eine Düse zur Strömungsbeschleunigung eingesetzt wird, hat ein Diffusor dieumgekehrte Aufgabe. Ein Diffusor wird in Rohrleitungssystemen verwendet um dieStrömungsgeschwindigkeit zu reduzieren, d.h. die kinetische Energie zu verringern undgleichzeitig den Druck zu erhöhen (Druckrückgewinn). Anwendungen finden sich z.B. ingeschlossenen Windkanälen um nach einer Überschallmeßstrecke die Strömung zuverzögern.

StufendiffusorDie unstetige Querschnittserweiterungbewirkt einen strahlartigen Strömungs-eintritt in das größere Volumen. Die

Länge der Mischstrecke kann mitGl. 4-227: 210   D L M     

abgeschätzt werden. Der Massestromberechnet sich mit der mittlerenGeschwindigkeit im Querschnitt 1  oder 2 zu

Gl. 4-228: 22,11,   Ac Acm   mm          

Abb. 4-69: Stufendiffusor

Die am Diffusor angreifenden Kräfte ergeben sich aus den Druckkräften zuGl. 4-229: 111,   A p F  p     und 222,   A p F  p    

Gl. 4-230: 121,   A A p F   xW     

Die Druckänderung im Stufendiffusor berechnet sich aus der mittleren Geschwindigkeit cm,2 im Querschnitt 2 und den Formfaktoren   und    

Gl. 4-231: 2,1,1

2

2,221   mmm   ccc p p            

    Formfaktor der energiestromgemittelten Geschwindigkeit     Formfaktor der impulsstromgemittelten Geschwindigkeit

(vgl.: Rohreinlaufströmung, Impulssatz)

Page 149: Skript Fluid

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Fluidmechanik Widerstandswert für zusätzliche Einbauten in Rohren 137 ___________________________________________________________________

Auflösung des Energiesatzes nach dem Verlustglied 12V  p  ergibt

Gl. 4-232:

 

 

 

 

2

1,

2

2,

21

2

1,21122 m

mmV 

c

cc p p p     

   

Einsetzen der Druckänderung 21   p p    liefert

Gl. 4-233:  

  

 

2

1,

2

2,

21

2

1,2,1,1

2

2,2122 m

mmmmmV 

c

ccccc p     

          

Gl. 4-234:  

  

 

2

1,

2

2,

21

1,

2,

12

1,

2

2,

2

2

1,12 222

m

m

m

m

m

mmV 

c

c

c

c

c

cc p         

   

mit

Gl. 4-235:2

1

1,

2,

 A

 A

c

c

m

m  

folgt für die Verlustzahl   

Verlustzahl  des Stufendiffusors

Gl. 4-236: 2

2

2

122

2

111

2

1,

12 22

2

 A

 A

 A

 A

c

 p

m

          

   

bei vollständig turbulenter Strömung gilt 1,   ii       und somit für die Verlustzahl   

Gl. 4-237:

2

2

1

2

1,

12 1

2

 

  

 

 A

 A

c

 p

m

     

Wirkungsgrad des Stufendiffusors St Der Wirkungsgrad des Diffusors berechnet sich aus dem Verhältnis des realenDruckanstiegs bezogen auf den Druckanstieg, der sich bei einer isentropen Zustands-änderung, d.h. einer verlustfreien Druckerhöhung mit 012    V  p   ergeben würde, (isentrop:

Index s).

Gl. 4-238:

1

22

2,2

2

1,1

2

2,22,1,1

12

12

1

22

 A

 Acc

ccc

 p p

 p p

mm

mmm

 s

St 

  

       

Druckerhöhung im StufendiffusorBei bekanntem Wirkungsgrad läßt sich die Druckerhöhung im Diffusor aus demQuerschnittsverhältnis 21   A A   und der mittleren Geschwindigkeit cm,1  im Querschnitt 1 

berechnen.

Gl. 4-239:

 

  

 

 

  

 

2

2

12

1,

2

2

121

2

1,12 122   A

 Ac

 A

 Ac p p   mSt mSt 

     

   

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Fluidmechanik Widerstandswert für zusätzliche Einbauten in Rohren 138 ___________________________________________________________________

Konischer Diffusor

Im Gegensatz zum Stufendiffusor weist derkonische Diffusor eine stetige Querschnitts-erweiterung auf. Auch hier besteht die

Aufgabe in einem Druckrückgewinnung auskinetischer Energie

Der optimale Öffnungswinkel    ist eineFunktion des Rohrquerschnitts und beträgtfür Kreisquerschnitt 4opt    und für Recht-

eckquerschnitte 5opt   . Die Formfaktoren

 i,   i werden zu Eins gesetzt.

Abb. 4-70: Konischer Diffusor

Verlustzahl  Diff  Die Verlustzahl des Diffusors bezogen auf die Zuströmgeschwindigkeit c1 beträgt

Gl. 4-240:2

1

12

2c

 pV  Diff 

  

   

Diffusorwirkungsgrad  Diff  Analog zum Stufendiffusor berechnet sich der Wirkungsgrad aus dem Verhältnis des realen

Druckanstiegs im Diffusor bezogen auf den isentropen, d.h. d.h. verlustfreien Druckänderungmit 012    V  p , (isentrop: Index s)

Gl. 4-241:

2

1

2

2

2

1

2

2

2

2

2

1

12

2

2

2

1

12

12

1

1

2

2

c

c

c

c

cc

 pcc

 p p

 p p  Diff V 

 s

 Diff 

 

  

  

   

mit der Kontinuitätsgleichung und der Definition für die Verlustzahl   Diff  folgt

Gl. 4-242: 2

2

11

1

 

  

 

 A

 A

 Diff 

 Diff 

 

   

oder

Gl. 4-243:

 

  

 

2

2

111 A

 A Diff  Diff        

Druckerhöhung im konischen Diffusor

Gl. 4-244:

 

  

 

2

2

12

112 12   A

 Ac p p   Diff 

     

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Fluidmechanik Widerstandswert für zusätzliche Einbauten in Rohren 139 ___________________________________________________________________

Diffusorwirkungsgrad als Funktion des Öffnungswinkels

  Diff   Konischer Diffusor St   Stufendiffusor   Öffnungswinkel

Abb. 4-71: Diffusorwirkungsgrad als Funktion des Öffnungswinkels   

4.11.3 Querschnit tsverengung (Düse)

Bei Strömungen mit Unterschallgeschwindigkeit bewirkt eine Querschnittsverengung immereine Erhöhung der Geschwindigkeit und eine Absenkung des statischen Drucks (vgl.

Druckform der Bernoulli-Gleichung: .2 2 const c p      )

StufendüseDie unstetige Querschnittsverengung (1  2*) einerStufendüse bewirkt eine Strahlkontraktion auf A2*,gefolgt von einer Strahlaufweitung auf A2 (2*  2) 

Die Kontraktionszahl  K  

Gl. 4-245:

2

*

2

 A

 A K     

Abb. 4-72: Stufendüse

läßt sich bestimmen durch die Regressionsformel

Gl. 4-246:

3

1

2

2

1

2

1

2 511.0261.0133.0614.0  

  

 

 

  

 

 A

 A

 A

 A

 A

 A K    

Die Verlustzahl  infolge Kontraktion und Aufweitung ergibt sich aus der Kontraktionszahl zu

Gl. 4-247:   

   

 K 

 K 

 

   15.1  

Totwassergebiet

Page 152: Skript Fluid

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Fluidmechanik Widerstandswert für zusätzliche Einbauten in Rohren 140 ___________________________________________________________________

Blende Blenden werden eingesetzt zur Messung von Volumenströmen und zur Druckminderung.

Abb. 4-73: Stromlinienverlauf in einer Blende

Unter der Annahme einer reibungsfreien Durchströmung lautet die Bernoulli-Gleichung

Gl. 4-248: 2

,2

*

2

2

11 *22

  sc pc p        

 

Aus der Kontinuitätsgleichung ergibt sich de Volumenstrom

Gl. 4-249:*

2,211 * Ac AcV    s    

mit 2

*

2   A A K     folgt aus dem Volumenstrom

Gl. 4-250:1

2,21 *

 A Acc   K  s        

eingesetzt in Bernoulli-Gleichung ergibt sich für die verlustfreie Geschwindigkeit c2,s*  imQuerschnitt 2* 

Gl. 4-251:   

 

*

21

2

1

22

,2

2

1

1*

  p p

 A

 Ac

 K 

 s

 

  

 

 

Die Reibungsverluste können durch die Verlustziffer   berücksichtigt werden, d.h. durch dasVerhältnis von realer zu reibungsfreier Fließgeschwindigkeit.

Gl. 4-252:*

,2

*

2

 sc

c   

Der Volumenstrom im Querschnitt (2) lautet

Gl. 4-253:*

2,2

*

2222 **   Ac Ac AcV    s          K  scc      *,22  

Gl. 4-254:   

 

  

 

*

212

2

1

22

22

2

1

 p p A

 A A

 AcV 

ahl  Durchflußz

 K 

 K   

  

  

   

 

Page 153: Skript Fluid

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Fluidmechanik Widerstandswert für zusätzliche Einbauten in Rohren 141 ___________________________________________________________________

bzw. mit dem Wirkdruck  pW   und der Durchflußzahl   

Gl. 4-255:  

    W  p AV  

22

 

Der Druckverlust  pV,13 zwischen Querschnitt 1 und 3 berechnet sich über die Verlustziffer   

Gl. 4-256:2

31313,2

c p p pV       

   

Für Flächenverhältnisse 95.005.0 12     A A  läßt sich die Verlustziffer approximieren durch

Gl. 4-257:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

1

2

4

1

2

3

1

2

2

1

2

1

2 833.140634.353829.349798.1698557.4794941.8exp A

 A

 A

 A

 A

 A

 A

 A

 A

 A 

 

4.11.4 Durchflußmessung mit genormten Drosselgeräten (DIN EN ISO 5167)

Zur Durchflußmessung existieren Drosselsysteme. Meßgrößen sind unabhängig von derkonstruktiven Ausführung die statischen Drücke vor und an bzw. hinter dem engstenQuerschnitt. Zusätzlich ist die Kenntnis der Querschnitte bzw. Durchmesser erforderlich.

Blende Düse Venturidüse

Abb. 4-74: Konstruktive Ausführungen unterschiedlicher Drosselgeräte

Zur Berechnung des Volumenstroms ist die Durchflußzahl  , die Expansionszahl   und der

sog. Wirkdruck W  p  erforderlich.

Gl. 4-258:  

      W  p

d V  

4

2

1  

Massestrom

Gl. 4-259: 11  V m         

Wirkdruck W  p  

Gl. 4-260 21   p p pW     

Der Einfluß der Kompressibilität, z.B. bei Gasen wird durch die Expansionszahl   berücksichtigt, für inkompressible Fluide gilt 1  .

Page 154: Skript Fluid

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Fluidmechanik Widerstandswert für zusätzliche Einbauten in Rohren 142 ___________________________________________________________________

Die Durchflußzahl   wurde empirisch aus Kalibrierversuchen mit Drosselgeräten bestimmt

Gl. 4-261:

41

Re,

  

   

  DC 

 

Der Durchflußkoeffizient  DC  Re,     ist wiederum eine Funktion des Verhältnisses  Dd    ,

d.h. des Durchmessers d   am engsten Querschnitt der Drosselstelle bezogen auf denRohrdurchmesser.Die Reynoldszahl wird auf den Rohrdurchmesser D bezogen,   Dc D   1Re .

Mit dem Druckverhältnis

Gl. 4-262:1

2

 p

 p   

und dem Faktor

Gl. 4-263:

8.0

Re

19000 

  

   

 D

 A   

 

können Durchflußkoeffizient C   und Expansionszahl    näherungsweise aus Tab. 4-13bestimmt werden. Der Faktor v p   cc   stellt den Isentropenfaktor des Gases dar, z.B. gilt

für Luft: 4.1 Luft    

Drosselgerät Durchflußkoeffizient C   Expansionszahl   Blende mitEckdruckent-

nahme mm D 12.71  

3.0

65.3

7.06

82

Re

100063.00188.0

Re

10000521.0

216.00261.05961.0

 

  

   

  

    

 D

 D

 A   

  

  

    

    

  

      

1

84 193.0256.0351.0

1

Düse

15.1

615.42

1.4

Re

100033.000175.0

2262.099.0

 

  

 

 D

    

  

 

 

   

  

 

      

 

 

 

1

1

1

1

1

1

2

4

4

2

 

Venturidüse 5.4196.09858.0       wie Düse

Tab. 4-13: Durchflußkoeffizient C  und Expansionszahl   

4.11.5 Krümmer - Richtungsänderung

Verluste durch den Einbau von Krümmern lassen sich aufteilen in Reibungsverluste undVerluste infolge Ablösung, Tabellen berücksichtigen in der Regel nur den Verlust infolge derAblösung. Reibungsverluste werden durch Ergänzung der Rohrlänge um die gestreckteKrümmerlänge erfaßt

Gl. 4-264:

180

    r l  Krümmer   

r = Radius,   = Winkel des Rohrbogens

Page 155: Skript Fluid

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Fluidmechanik Widerstandswert für zusätzliche Einbauten in Rohren 143 ___________________________________________________________________

Einbauelemente können zur Verlustberechnung durch gerade Rohrstücke ersetzt werden

Gl. 4-265: 2

Re2

cd 

 L p p p   Einbauibung  ges  

 

  

     

    

mit der zusätzlichen Rohrlänge

Gl. 4-266: d  L    

  

folgt für den Druckverlust

Gl. 4-267: 2

2c

 L L p ges  

 

  

       

   

4.11.6 Eintrittsverluste

Abb. 4-75: Rohreinlaufströmung: Geschwindigkeitsprofil (a) und Druckabfall (b)

Die Ausbildung des Geschwindigkeitsprofils in der Einlaufstrecke  s L erfordert das Verrichtenvon Dissipationsarbeit bzw. Dissipationsenergie j sL, beschrieben durch die Verlustzahl   sL 

Gl. 4-268:2

2  m

 sL sL

c

 j

  

     

turbulent 

laminar  sL

018.0

333.0   

Der Druckverlust für ein gerades Rohrstück der Länge L ergibt sich zu

Gl. 4-269:2

1212,2

  m sLV    c D

 L j p    

  

 

   

      

Page 156: Skript Fluid

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Fluidmechanik Widerstandswert für zusätzliche Einbauten in Rohren 144 ___________________________________________________________________

4.11.7 Verlustziffern von Formstücken und Einbauten (Zusammenfassung)

Querschnittserweiterung - unstetig (Stufendiffusor)

1     2

2

11  

  

 

 A

 A   

12111            

2

2

2

122

2

111 22

 A

 A

 A

 A            

Querschnittserweiterung - stetig (konischer Diffusor)

 

  

 

2

2

111 A

 A Diff  Diff        

Querschnittsverengung - unstetig (Stufendüse)

3

1

2

2

1

2

1

2 511.0261.0133.0614.0  

  

 

 

  

 

 A

 A

 A

 A

 A

 A K  

   

  

  

 K 

 K 

 

  

15.1  

Querschnittsverengung - unstetig (Blende)

Für 95.005.01

2  A

 A gilt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

  

 

5

1

2

4

1

2

3

1

2

2

1

2

1

2

833.140634.353

829.349798.169

8557.4794941.8

exp

 A

 A

 A

 A

 A

 A

 A

 A

 A

 A

 

 

Page 157: Skript Fluid

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Fluidmechanik Widerstandswert für zusätzliche Einbauten in Rohren 145 ___________________________________________________________________

Querschnittsverengung - stetig (Konturdüse)

075.00      

Querschnittsverengung - stetig (konische Düse)

2

21      

  m  

mittlere Rohrreibungszahl

 

  

 

 

  

 

 

  

 

  

  

  

  

5.1

1

2

0.1

1

2

5.0

1

2

5.0

1

2

1

1tan8

 A

 A

 A

 A

 A

 A

 A Am

   

 

Richtungsänderung - Rohrbogen, glatt, 5102Re    

3...2

 

 

 

 

opt 

 K 

 D

r  

Rohrbögen mit Leitblechen15.0   

Rohrbögen mit profilierten Leitblechen05.0   

Page 158: Skript Fluid

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Fluidmechanik Widerstandswert für zusätzliche Einbauten in Rohren 146 ___________________________________________________________________

Richtungsänderung - Segment-Krümmer

Richtungsänderung – Rohrknie

Verzweigungen - Stromvereinigung

321   A A A    

321   V V V     

Verzweigungen – Stromtrennung

321   A A A    

321   V V V     

r  K  /D 2 x 45° 3 x 30° 4 x 22.5°

1 0.44 0.42 0.402 0.31 0.27 0.24

3 0.35 0.19 0.185

3.25 0.18

4 0.40 0.22 0.19

5 0.45 0.26 0.21

6 0.55 0.29 0.23

3

1

    = 45°

 23   13   = 90°  23   13 

0.0 0.04 -0.92 0.04 -1.200.2 0.17 -0.38 0.17 -0.400.4 0.19 0 0.30 0.080.6 0.09 0.22 0.41 0.470.8 -0.17 0.37 0.51 0.721.0 -0.54 0.37 0.60 0.91

3

1

    = 45°

 32   31   = 90°  32   31 

0.0 0.04 0.90 0.04 0.950.2 -0.06 0.68 -0.08 0.880.4 -0.04 0.50 -0.05 0.89

0.6 0.07 0.38 0.07 0.950.8 0.20 0.35 0.21 1.101.0 0.33 0.48 0.35 1.28

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Fluidmechanik Widerstandswert für zusätzliche Einbauten in Rohren 147 ___________________________________________________________________

Stromtrennung

 _________________________________________________________________________Üb. 4-11: Rohrströmung

Ein Behälter wird über eine Pumpe mit einem

Volumenstrom V   versorgt. Das Wasserverläßt den Behälter über ein gekrümmtesAbflußrohr mit einer Gesamtlänge l  und einermittleren Rauhigkeit k  in die freie Umgebung.Der Wasserspiegel im Behälter bleibtkonstant.

geg.:

 smV  33106.3   , D = 0.0276 [m], l  = 2 [m],

a = 1 [m], H  = 6 [m], p0 = 1 [bar], k  = 10-6

 [m],

  E  = 0.05,   A = 0.05,   K  = 0.14,   = 110-6

 [m²/s],

   = 1000 [kg/m³]

ges.:Das Lüftungsventil ist geöffnet1.  Austrittsgeschwindigkeit c2 2.  Kann die Rohrwand als hydraulisch glatt oder vollständig rauh betrachtet werden?3.  Wie hoch ist der Wasserspiegel h im Inneren des Behälters?

Bei Überschreiten der Pegelhöhe h schließt das Lüftungsventil und bleibt geschlossen. Der

neue Volumenstrom beträgt V V    2  und die neue Pegelhöhe h’  bleibt wieder konstant.

4.  Neue Austrittsgeschwindigkeit c2’  5.  Kann die Rohrwand immer noch als hydraulisch glatt betrachtet werden?6.  Luftdruck im Behälter als Funktion des Pegelstandes bei isothermer Kompression7.  Wie hoch ist der Wasserspiegel h’  im Inneren des Behälters?

 _________________________________________________________________________

Page 160: Skript Fluid

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Fluidmechanik Impulssatz 148 ___________________________________________________________________

5 Impulssatz

5.1 Newton’sche Axiome

Sir Isaac Newton

04.01.1643 - 31.03.1727(gregorianischer Kalender 7)

bzw.

25.12.1642 - 20.03.1727(julianischer Kalender 8)

Abb. 5-1: Sir Isaac Newton: 'Philosophiae Naturalis Principia Matheamtica'

Newton formulierte seine drei Axiome 1687 in der 'Philosophiae Naturalis PrincipiaMatheamtica'  (Mathematische Grundlagen der Naturphilosophie). Das erste Axiom gilt nur inInertialsystemen und wurde bereits 1638 von Galileo Galilei aufgestellt. Das zweite Axiom

beschreibt das Grundgesetz der Dynamik und das dritte Axiom das Prinzip dermechanischen Wechselwirkung.

Erstes newton'sches Axiom: Das Trägheitsprinzip (lex prima)Ein Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen Translation, solange dieSumme aller auf ihn einwirkenden Kräfte Null ist

Zweites newton'sches Axiom: Das Akt ionspr inzip (lex secunda)Die Änderung der Bewegung einer Masse ist der Einwirkung der bewegenden Kraftproportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene

Kraft wirkt

Drittes newton'sches Axiom: Das Reaktionsprinzip (lex tertia)Kräfte treten immer paarweise auf. Übt ein Körper  A auf einen anderen Körper  B eine Kraftaus (actio), so wirkt eine gleichgroße, aber entgegengerichtete Kraft von Körper B auf Körper

 A (reactio)

7 eingeführt 1583 durch Papst Gregor XIII8 wurde aufgrund der Abspaltung der anglikanischen Kirche 1534 unter Heinrich VIII zu dieser Zeitnoch in England verwendet

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Fluidmechanik Impulssatz 149 ___________________________________________________________________

5.2 Stromröhre und Stromfaden

Den Axiomen Newtons liegt das Prinzip des Stromfadens zugrunde, d.h. Stromlinien werdenzu einer Stromröhre (vgl. Kapitel 1.6.4) zusammengefaßt. Masse- und Energietransport kann

lediglich entlang der Stromlinie erfolgen, senkrecht zur Stromlinie sind keine Transportvor-gänge möglich. Masse- und Energietransport ist somit nur über die Ein- und Austrittsflächen A1 und  A2 zulässig. Werden die Querschnittsflächen  A1 und  A2 infinitesimal klein, so bleibendie Zustandsgrößen der Strömung c, p,    , T   konstant. Alle durch die infinitesimalenQuerschnittsflächen dA1 und dA2 verlaufenden Stromlinien werden zu einem repräsentativenStromfaden zusammengefaßt (eindimensionale Stromfadentheorie).

Abb. 5-2: Stromröhre und Stromfaden

5.3 Impuls

Die bei Strömungsvorgängen auftretenden Kräfte lassen sich durch den Impulssatz, der aufdem Newton'schen Grundgesetz der Dynamik beruht berechnen.

Gl. 5-1: dt 

cmd 

dt 

cd mam F 

 

Der Impuls  I 

  eines Körpers beschreibt das Produkt aus seiner Masse m  und seinerGeschwindigkeit c

 

Gl. 5-2: cm I  

 

Da es sich bei der Geschwindigkeit c

 um einen Vektor handelt, stellt auch der Impuls einevektorielle Größe dar, der eine Richtung und eine Geschwindigkeit aufweist. Die Änderung

des Impulses (bei konstanter Masse) kann nur durch eine Geschwindigkeitsänderungerfolgen und entspricht einer Kraftwirkung

Gl. 5-3:

dt 

 I d 

dt 

cmd  F 

 

Page 162: Skript Fluid

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Fluidmechanik Impulssatz 150 ___________________________________________________________________

5.4 Stationäre Fadenströmung durch einen raumfesten Kontrollraum

Eintrittsebene (1) Austrittsebene (2)

111   cdm I d  

  222   cdm I d  

 

Die Impulsänderung dI  des Gesamtsystems in einem durchströmten ortsfesten Kontrollrauminfolge Zu- und Abstrom der Massenelemente dm1 und dm2 kann beschrieben werden durchdie Differenz zwischen dem Impuls in der Eintrittsebene (1) zum Zeitpunkt t   = t 1 und demImpuls in der Austrittsebene (2) zum Zeitpunkt t  = t 1 = t 1 + dt .

Gl. 5-4:

12

102012

t  I t  I 

 I d  I  I d  I t  I t  I  I d     

0 I 

  = Gesamtimpuls aller Massenelemente im Kontrollraum

Im Inneren des Kontrollraums befinden sich an den Stellen  I   und  II   zur Zeit t 1  und t 2 unterschiedliche Massenelemente dm, die sich jedoch bei Vorliegen einer stationärenStrömung mit der gleichen Geschwindigkeit bewegen. Dadurch bleibt der Gesamtimpuls 0 I 

 

unverändert.

Kontinuitätsgleichung

Gl. 5-5: dmdmdm   21   bzw. .const  Acmdt 

dm      

Zeitliche Impulsänderung im System

Gl. 5-6: 121212

ccmccdt 

dm

dt 

 I d  I d 

dt 

 I d   

 

Impulsstrom

Gl. 5-7:  N cm I dt 

 I d   

 

Impulssatz für stationäre Fadenströmung

Gl. 5-8: 1212   ccm I  I  F  

 

Die Summe aller auf das Fluid im Kontrollraum wirkenden Kräfte ist gleich demaustretendem Impulsstrom abzüglich des eintretenden Impulsstroms.

Page 163: Skript Fluid

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Fluidmechanik Impulssatz 151 ___________________________________________________________________

5.5 Kräfte auf ein Fluid im Kontrollraum

Bei der Berechnung der Kräfte auf ein Fluid in einem Kontrollraum ist zu unerschieden obder Kontrollraum, d.h. die Stromröhre  A M   mit dem Außendruck  pa  beaufschlagt wird (z.B.freigeschnittenes Rohrstück) oder nicht (z.B. Ausströmen aus einem Rohr ins Freie).

Freie oder körpergebundene Stromröhre A M .ohne Außendruck  p a 

Abb. 5-3: Stromröhre A M .ohne Außendruck pa 

21 ,  p p   F  F 

  Druckkräfte auf die Ein- und Austrittsflächen A1, A2 

G F 

  Gewichtskraft des Fluids im Kontrollraum

W  F 

  Von der Stromröhre auf das Fluid ausgeübte Kraft infolge Druck- oder Reibung

S  F 

  Stützkraft, von einem festen Körper innerhalb der Stromröhre auf das Fluid

 K  F 

  Körperkräfte = Reaktionskräfte des Fluids, von innen auf die Stromröhre  Ki F 

 oder Einbauten  KS  F 

, W  Ki   F  F 

, S  KS    F  F 

,  KS  Ki K    F  F  F 

 

Körpergebundene Stromröhre A M  ,die mit dem Außendruck  p a beaufschlagt wird

Abb. 5-4: Stromröhre A M .mit Außendruck pa 

21,  p p   F  F   

  Druckkräfte auf die Ein- und Austrittsflächen A1, A2 

a F 

  Druckkraft infolge des Außendrucks pa auf die Stromröhre, ungleich Null, da sie

nur auf die Mantelfläche und nicht die gesamte Oberfläche wirkt

 H  F 

  Haltekraft der körpergebundenen Stromröhre,  K  H    F  F 

 

 K  F 

  Körperkraft des Fluids von innen auf die Stromröhre unter Berücksichtigung des

Außendrucks

Page 164: Skript Fluid

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Fluidmechanik Impulssatz 152 ___________________________________________________________________

Der Impulssatz unter Berücksichtigung aller Teilkräfte lautet allgemein

Gl. 5-9: 1212   ccm I  I  F  

 

Für eine freie oder körpergebundene Stromröhre  A M , die nicht mit einem Außendruck  pa beaufschlagt wird

Gl. 5-10:   GS W  p p   F  F  F  F  F ccm I  I  F 

211212  

bzw. für eine freie oder körpergebundene Stromröhre  A M , die mit einem Außendruck  pa beaufschlagt wird

Gl. 5-11:   GS W  p p   F  F  F  F  F ccm I  I  F 

  211212  

5.6 Unterscheidung von drei Klassen von Anwendungsfällen

(1) Stromröhre ist eine freie Kontrollfläche: Zu bestimmen ist die Reaktionskraft

 KS  F 

 auf einen umströmten Körper innerhalb der Stromröhre oder der Körper

ist Teil der Stromröhre

(2) Stromröhre ist teilweise oder vollständig eine körpergebundene Kontrollfläche.Zu bestimmen ist die Reaktionskraft auf die Innenseite des körpergebundenenTeils der Stromröhre und auf evtl. Einbauten

(3) Stromröhre ist teilweise oder vollständig eine körpergebundene Kontrollfläche,die mit einem Außendruck pa beaufschlagt wird: Zu bestimmen ist die

Reaktionskraft  K  F 

 auf die Stromröhre und auf evtl. Einbauten unter

Berücksichtigung der Außendruckkraft a F 

 

(1) Stromröhre ist eine freie Kontrollfläche

Zu bestimmen ist die Reaktionskraft  KS  F 

 auf einen umströmten Körper innerhalb der Strom-

röhre oder der Körper ist Teil der Stromröhre

Gl. 5-12:   GW  p pS  KS  K    F  F  F  F ccm F  F  F 

2112  

Herrscht auf der Stromröhre und in den Ein- und Austrittsflächen A1 und A2 konstanter Druck,z.B. Umgebungsdruck (Freistrahl), so gilt

Gl. 5-13: 021     W  p p   F  F  F 

 

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Fluidmechanik Impulssatz 153 ___________________________________________________________________

(2) Stromröhre ist teilweise oder volls tändig eine körpergebundene Kontrollfläche

Zu bestimmen ist die Reaktionskraft auf die Innenseite des körpergebundenen Teils derStromröhre und auf evtl. Einbauten

Gl. 5-14:     G p pS W  KS  Ki K    F  F  F ccm F  F  F  F  F  2112  

(3) Stromröhre ist teilweise oder volls tändig eine körpergebundene Kontrollfl äche,die mit einem Außendruck  p a beaufschlagt wird

Zu bestimmen ist die Reaktionskraft  K  F 

 auf die Stromröhre und auf evtl. Einbauten unter

Berücksichtigung der Außendruckkraft a F 

 

Gl. 5-15:     G p paS W a KS  Ki K 

  F  F  F ccm F  F  F  F  F  F  F 

  2112

 

Gl. 5-16:   iai pi   A p p F   

  Differenzdruckkraft zum Außendruck pa 

Gl. 5-17:  K  H    F  F 

  Haltekraft

5.7 Impulsssatz für mehrere Ein- und Austr itts flächen

Sind in einem Kontrollraum mehrere Ein- und/oder Austrittsflächen vorhanden, so ergibt sichdie Gesamtkraft aus der Summe der Änderungen der Austrittsimpulse abzüglich der Summe

der Eintrittsimpulse zuzüglich der Druckkräfte und der Gewichtskraft des Fluids.

Gl. 5-18:      

mn

k G pk 

m

 jritt  E  j

n

i Austritt i K    F  F cmcm F 

11int

1

 

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Fluidmechanik Impulssatz 154 ___________________________________________________________________

5.8 Anwendungsprinzip des Impulssatzes

Das Prinzip zur Berechnung von Kräften an durchströmten Bauteilen soll anhand des in Abb.5-5 skizzierten Rohrkrümmers verdeutlicht werden. Es handelt sich hierbei um eine körper-

gebundene Stromröhre unter Berücksichtigung eines Außendrucks pa .

Abb. 5-5: Rohrkrümmer

 Ablauf zur Berechnung der Körperkraft  F K  bzw. der Haltekraft F H  = - F K  1. Skizze des Bauteils2. Kontrollraum, strichpunktierte Linie3. Ein- und Austrittsfläche kennzeichnen (1), (2)

4. Koordinatensystem festlegen5. Winkeldefinition mathematisch positiv definieren (linksdrehend = positiv)

6. Geschwindigkeiten ic

, Druckkräfte  pi F 

, Impulsströme i I   und Gewichtskraft G F 

 

einzeichnen7. Berechnung von ic

, i p , i    und im  in Ein- und Austrittsflächen (1), (2) mittels

Kontinuitäts-, Energie- und thermischer Zustandsgleichung8. Berechnung der Beträge für

- Impulsströme ii   cm I     

- Druckkräfte   iai pi   A p p F      bzw. ii pi   A p F     

- Gewichtskraft  g V  F   Fluid ums KontrollraG

       

9. Berechnung der Komponenten der Körperkraft  K  F 

 (   H  F 

 bzw. Haltekraft)

Gl. 5-19: 

  GG p p p K  K  Kx   F  F  F ccm F  F           coscoscoscoscoscos 22111122      

Gl. 5-20: 

  GG p p p K  K  Ky   F  F  F ccm F  F           sinsinsinsinsinsin 22111122      

Körperkraft  H  K    F  F 

 

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Fluidmechanik Impulssatz 155 ___________________________________________________________________

Gl. 5-21:22

 Ky Kx K    F  F  F     

Gl. 5-22:

 

 

 

 

 Kx

 Ky K 

 F 

 F arctan   

 _________________________________________________________________________

Üb. 5-1: Rohrkrümmer mit Leitblechen

geg.: mm D 3001   

mm D 2002   

mm z z 40012    

3024.0   mV     (Krümmervolumen)

 grad 901    

 grad 452    

 s

mV 

3

35.0   (Wasser, C t    O H    122

)

345.999

2 m

kg O H     

bar  p 3.11   (Druck in Eintrittsebene)

bar  pa 0.1   (Außendruck)ges.:

1.  K  F 

  Körperkraft auf den Krümmer mit Einbauten unter Berücksichtigung des

Außendrucks  pa ?

2.  H  F 

  Haltekraft an den Flanschen?

3.

 K  F 

  Körperkraft des Fluids auf Einbauten und innere Krümmerwand ohne

Außendruck?

Der Krümmer wird reibungsfrei durchströmt, d.h. F W  = 0  _________________________________________________________________________

Page 168: Skript Fluid

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Fluidmechanik Impulssatz 156 ___________________________________________________________________

Üb. 5-2: Ebene angeströmte Platte 

geg.:Platte wird unter dem Neigungswinkel   

angeströmt.Potentielle Energien, Reibungskräfte undMassenkräfte können vernachlässigt werden 0G F   

ges.:1.  Strahlkraft auf die Platte bei 90   

(formelmäßig)2.  Strahlkraft auf die Platte, wenn diesemit u < c1 in Strahlrichtung bewegt wird

 _________________________________________________________________________Üb. 5-3: Dampfturbinenschaufel

geg.: mm DG 9501   

mm D N  5301   

mm DG 10202   

mm D N  4952   

 smca 1501   

(Axialgeschwindigkeitskomponente)  smca 1652   3

1 127.0   mkg     

bar  p 1836.01   

bar  p 14.02   

ges.: Axialschub ax F   auf Rotor und Schaufel

im Bereich der Endschaufel

 _________________________________________________________________________

Üb. 5-4: Windkraftturbine

ges.:1.  Maximale ideale Turbinenleistung P Turb, max 2.  Schubkraft auf den Rotor F  Kx 

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Fluidmechanik Impulssatz 157 ___________________________________________________________________

Üb. 5-5: Turboluftstrahltr iebwerk

geg.:

 s

kg m L 77   Luftmassestrom

 skg m B 13.4   Brennstoffmassestrom

 s

mc 9852   Strahlaustrittsgeschwindigkeit

km H  15   Flughöhe

0.2 M    Flugmachzahl

ges.:1.  Schubgleichung für ein Einkreis-TL-Triebwerk2. Schub in der Flughöhe km H  15 , angepaßte Düse d.h. p2 = pa 

 _________________________________________________________________________Üb. 5-6: Raketentr iebwerk

ges.:Schubgleichung für ein Raketen-Triebwerk

 _________________________________________________________________________

Page 170: Skript Fluid

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Fluidmechanik Drallsatz 158 ___________________________________________________________________

6 Drallsatz

6.1 Drallerhaltung bzw. Drehimpulserhaltung

Der lineare Impuls  I 

 eines Massepunktes ist definiert durch seine Masse m und seine

Geschwindigkeit c  

Gl. 6-1: cm I  

 

Für diese punktförmige Masse m ergibt sich mit dem Ortsvektor r 

 der Drall oder Drehimpuls 

 L

 zu

Gl. 6-2:   I r cr m L

 

Da der Drehimpuls u.a. eine Funktion des Ortvektors r 

 ist, besteht immer eine Abhängigkeitdes Dralls von seinem Bezugspunkt.

Analog zur zeitlichen Änderung des Impulses  I 

 bei der sich eine Kraft  F 

 ergibt

Gl. 6-3:dt 

 I d  F 

 

ergibt sich für die zeitliche Änderung des Dralls  L

 ein Moment

 

Gl. 6-4:dt 

 Ld  M 

 

d.h. die Summe aller auf die Masse wirkenden Momente bewirkt eine zeitliche Änderung desDralls.

Starrer Körper

Ein starrer Körper kann als ein Systemeinzelner Massepunkte mi  betrachtet werden,deren räumlicher Abstand sij zueinander zeitlichkonstant bleibt

Gl. 6-5: .const  sr r    ij ji  

 

bzw.

Gl. 6-6: 0dt 

dsij  

Abb. 6-1: Starrer Körper

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Fluidmechanik Drallsatz 159 ___________________________________________________________________

Starrer Körper in Rotation

Die Beschreibung des Bewegungszustandes eines starren Körpers im ruhendenIntertialsystem erfolgt durch den Gesamtdrehimpuls

Gesamtdrehimpuls des starren Körpers

Gl. 6-7:

 N 

iii   I r  L

1

 

mit cm I  

  folgt

Gl. 6-8:

 N 

iiii   cr m L

1

 

Rotiert der Körper mit

 um eine feste Achse, z.B.

die z-Achse (Abb. 6-2), so gilt für die Geschwindigkeitic

 des Massepunktes mi 

Gl. 6-9: ii   r c   

Abb. 6-2: Starrer Körper in Rotation

Gesamtdrehimpuls des starren Körpers

Gl. 6-10:

 N 

iiii

 N 

iiii   r r mcr m L

11

   

Für eine Rotation um die z-Achse gilt bei einer symmetrischen Masseverteilung

Gl. 6-11:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

0

0

0

i

i

i

i

i

i   x

 y

 z

 y

 x

r     

 

 

 

 

  

 

Gl. 6-12:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

220 ii

ii

ii

i

i

i

i

i

ii

 y x

 z y

 z x

 x

 y

 z

 y

 x

r r 

 

 

 

 

 

  

 

Mit dem senkrechten Abstand ,ir 

  des Masseelements mi  zur Drehachse gilt für den

Drehimpuls für den gesamten Körper

Gl. 6-13:  

 

  

   

 N 

iii   r m L

1

,  

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Fluidmechanik Drallsatz 160 ___________________________________________________________________

Massenträgheitsmoment des starren Körpers

Der Ausdruck in Gl. 6-13

Gl. 6-14:

 N 

iii   r m J  1,  

bezeichnet das Massenträgheitsmoment des starren Körpers um seine Drehachse

Der Drehimpuls lautet unter Verwendung des Masseträgheitsmoment J  

Gl. 6-15:    

 

  

   

  J r m L

 J oment Trägheitsm

 N 

iii

1

,  

Bei homogener Massenverteilung gilt für das Massenträgheitsmoment

Gl. 6-16:

  V m

dV r dmr  J  22    

 Analogie zwischen Impuls und Drehimpuls

Aus der Ableitung des Drehimpulses

Gl. 6-17:  I r  L

 

nach der Zeit

Gl. 6-18:  I r  I r dt 

 Ld   

 

folgt wegen

Gl. 6-19:  I r r mcm I 

 

daß Impuls- und Geschwindigkeitsvektor parallel gerichtet sind, d.h.

Gl. 6-20: 0

 I r   

und es gilt

Gl. 6-21:

 I r  I r  I r dt 

 Ld   

0

 

Wegen des 2. Newton'schen Axioms gilt

Gl. 6-22:  I  F    

und somit ergibt sich aus der zeitlichen Änderung des Drehimpulses ein Drehmoment

Gl. 6-23:  M  F r  I r dt 

 Ld   

 

bzw. ein Drehmoment bewirkt eine zeitliche Änderung des Drehimpulses

Page 173: Skript Fluid

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Fluidmechanik Drallsatz 161 ___________________________________________________________________

Gl. 6-24:  F  I dt 

 I d   

  (Impulsstrom = Kraft)

und

Gl. 6-25:  M  Ldt  Ld   

  (Drallstrom = Moment)

Aus der Beziehung  M dt 

 Ld   

 folgt, daß der Gesamtdrehimpuls des Systems konstant bleibt,

solange keine äußeren Momente auf das System wirken, d.h.

Gl. 6-26 00   dt 

 Ld  M 

  bzw. .const  L

 

Drehimpulserhaltung bedeutet, daß gilt

Gl. 6-27: .const  J  L        

Eine Veränderung des Trägheitsmoments  J   bewirkt somit eine Änderung der Dreh-geschwindigkeit  . Dieser Effekt läßt sich in den unterschiedlichsten Anwendungenbeobachten, z.B. beim Eiskunstlauf (Pirouette). Das Anziehen der Arme an die Körperhoch-achse (= Rotationsachse) bewirkt eine Verkleinerung des Masseträgheitsmoments um dieDrehachse. Die Forderung nach einem konstanten Gesamtdrehimpuls führt zu einerErhöhung der Drehrate.

Gl. 6-28: .2211   const  J  J       

Gl. 6-29: 1212       J  J   

Abb. 6-3: Pirouetteneffekt

Ähnlich verhält sich ein Reckturner, der beim Schwungaufnehmen (Position 1) seinenKörperschwerpunkt durch das Strecken der Beine möglichst weit von der Drehachse(=Reckstange) entfernt und beim Aufschwung durch Anheben der Beine den Schwerpunkt-abstand zur Drehachse reduziert. Da das Masseträgheitsmoment direkt vom Abstand desKörperschwerpunkts zur Drehachse abhängt, hat der Turner in Position (2) ein geringeres

Masseträgheitsmoment in Bezug auf die Reckstange und somit aufgrund derDrehimpulserhaltung eine erhöhte Drehrate, die ihn in einer beschleunigten Bewegung umdie Reckstange führt.

.2211   const  J  J     

1212     J  J   

Abb. 6-4: Aufschwung am Reck

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Fluidmechanik Drallsatz 162 ___________________________________________________________________

Der Versuch zur Drehimpulserhaltung (Pirouetteneffekt) läßt sich auch leicht mit Hilfe einesdrehbaren Bürostuhls und zwei Gewichten nachvollziehen.

Abb. 6-5: Versuch: Drehimpulserhaltung (Physikalisches Institut Universität Dortmund)

Verkleinerung des Trägheitsmoments durch Heranziehen der Gewichte an die Rotations-achse bewirkt eine Erhöhung der Drehrate der Versuchsperson.

Daß es sich beim Drehimpuls um eine vektorielle Größe handelt läßt sich mit dem in Abb.6-6 dargestellten Versuch mit einem rotierenden Rad nachweisen.

Abb. 6-6: Versuch: Drehimpuls als Vektor (Physikalisches Institut Universität Dortmund)

In Abb. 6-6a wird mittels des Schwungrads ein Drehimpuls erzeugt, die Versuchspersonbleibt in Ruhe. Bei senkrechter Lagerung des Rades, Abb. 6-6b beginnt die Versuchspersonsich um die Hochachse zu drehen, der Gesamtdrehimpuls L z bleibt nach wie vor gleich Null.

Einfluß der Drehimpulserhaltung bei Wetterphänomenen - TornadoVoraussetzung für die Entstehung eines Tornados, z.B. im Mittelwesten der USA, ist dasZusammentreffen trocken-kalter Luftmassen aus Kanada mit feucht-warmen Luftmassen ausdem Golf von Mexiko. Die kalte Luft schiebt sich trotz ihrer größeren Dichte über die warmeLuftmasse und es bildet sich eine instabile Schichtung mit großem vertikalemTemperaturunterschied. Kalte Luft hat eine wesentlich geringere Fähigkeit Feuchtigkeitaufzunehmen als warme Luft und es kommt zur Kondensation des in der Luft enthaltenenWasserdampfes, was zur Bildung von Wolken mit starkem Niederschlag führt. Durch dieKondensation wird zusätzliche Wärme (Verdampfungsenthalpie) freigesetzt, wodurch es zurAusbildung einer nach oben gerichteten Luftbewegung kommt.

Am Boden bildet die horizontal nachströmende Luft aufgrund der Corioliskraft einenLinkswirbel (Nordhalbkugel) mit einem Durchmesser von lediglich 10-20 Metern. Die großeRotationsgeschwindigkeit im Wirbelkern ergibt sich aufgrund der Drehimpulserhaltung.

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Fluidmechanik Drallsatz 163 ___________________________________________________________________

Infolge der hohen Drehgeschwindigkeiten erzeugen die dadurch auftretenden Zentrifugal-kräfte hohe Unterdrücke im Zentrum des Wirbels ( p  50-100 hPa). Die oben liegende Kaltluftwird jetzt infolge des Unterdrucks im Wirbelkern und ihrer größeren Dichte als die untenliegende Warmluft, ähnlich einem Abflußrohr, nach unten gesaugt. Um diesen Wirbel

kondensiert die feucht-warmen Luft und es kommt zur Ausbildung des charakteristischendunklen Rüssels des Tornados. Die destruktive Wirkung eines Tornados ergibt sich insbe-sondere infolge des starken Druckgefälles von 50–100 hPa und den hohen Windgeschwindig-keiten von bis zu 400 km/h.

Abb. 6-7: Tornados über Festland und Meer

 _________________________________________________________________________

Üb. 6-1: Versuch zur Drehimpulserhaltung - Tornado in der Wasserflasche

Wasser in der oberen Flasche wird durch eine Anfangsbeschleunigungin eine Rotation mit einer Umfangsgeschwindigkeit r r  f c      2  

versetzt.

geg.:Flasche:

 R  40 [mm]  = Anfangsradiusr     4 [mm]  = Wirbelinnendruchmesser

 f 1   1 [s-1

]  = Anfangsdrehfrequenz

ges.:Rotationsfrequenz f 2 im Inneren des Tornados im Flaschenhals

 _________________________________________________________________________

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Fluidmechanik Drallsatz 164 ___________________________________________________________________

6.2 Anwendung des Drallsatzes auf Strömungsmaschinen

Die Differenz zwischen aus- und eintretendem Drallstrom in einen Kontrollraum entsprichtder Summer aller im Kontrollraum auf das Fluid wirkenden Momente

Gl. 6-30:     M cr cr m L L 112212  

Gl. 6-31: cr mdt 

 Ld  L M 

 

 

Der Drallstrom entspricht der Drehenergie der Fluidmasse um einen Bezugspunkt.

 Anwendung des Dral lsatzes auf einen mit m  durchströmten Schaufelkanal

Summe aller Momente um O 

Gl. 6-32: GS W  A A   M  M  M  M  M  M  21  

Moment infolge von

2,1 A M 

  Druckkräften im Ein- und Austritt

W  M 

  Wandkräften

S  M 

  Stützkräfte an Einbauten

G M 

  Gewichtskräften

Abb. 6-8: Schaufelkanal

mit

nc   Projektion der Geschwindigkeit in die dargestellte Ebene

uc   Umfangskomponente der Geschwindigkeit senkrecht auf dem Radius r  

Gesucht werden die Drehmomente um eine Bezugsachse durch den Bezugspunkt O.Beiträge werden hierzu lediglich von Geschwindigkeitskomponenten geliefert, die in einerEbene normal zur Bezugsachse und senkrecht auf dem Radius stehen, d.h. dieUmfangskomponente uc  der Geschwindigkeit c.

Unter Vernachlässigung der Gewichtskraft und der Momente im Ein- und Austritt lautet dasresultierende Moment zur Bezugsachse, welches auf das Fluid ausgeübt wird

Gl. 6-33:    

  M cr cr m M  M  M  M  M  M  M  M    uuS W GS W  A A  

1122

00

2

0

1   

Das Reaktionsmoment des Fluids  K  M  auf die körpergebundene Fläche der Stromröhre

beträgt

Gl. 6-34: 1122   uu K    cr cr m M  M       

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Fluidmechanik Drallsatz 165 ___________________________________________________________________

Unter der Annahme einer idealen, reibungsfreien Strömung werden die Momente infolgeReibung an der Wand zu Null, d.h. 0W  M  . Befinden sich keine Einbauten, z.B.

Umlenkschaufeln im Strömungskanal, so verschwinden auch die Momente infolge derStützkräfte, d.h. 0S  M   und Gl. 6-33 vereinfacht sich wegen 0 M  zu

Gl. 6-35: 01122     uu   cr cr m     1122   uu   cr cr      bzw.2

112 r 

r cc   uu    

Dies entspricht der Gleichung des Potentialwirbels für Ringräume ohne Schaufeln oder fürBehälter und Kanäle.

 Anwendung des Dral lsatzes auf das Laufrad einer Strömungsmaschine (Verdichter)

2,1

 A   Ein- und Austrittsebene

2,1 aaT    Tangentialebenen zu 2,1 A  

2,1c   Absolutgeschwindigkeiten

2,1 uuc   Umfangsgeschwindigkeiten

Gl. 6-36: 2,12,12,1 cos cc   uu  

2,1w   Relativgeschwindigkeiten

2,1 mmc   Gemittelte Geschwindigkeiten

2,1W     Neigungswinkel der Tangentialebenen

Für Axialmaschinen gilt:02,1W    

Für Radialmaschine gilt:902,1W    

und

11   ccn   ,22   ccn    

Abb. 6-9: Laufrad eines Verdichters

Moment auf das Fluid im Kontrollraum

Gl. 6-37: 1122   umum   cr cr m M     

Übertragene Leistung P12 vom Laufrad auf das FluidMit dem mittleren Radius r m bzw. dem mittleren Durchmesser der Stromfläche

Gl. 6-38:2

mm

 Dr     bzw.

2

22

 N Gm

 D D D

   

und der Umfangsgeschwindigkeit u und der Drehzahl n Gl. 6-39: n Dr u         bzw. n Dr u   mmm        

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Fluidmechanik Drallsatz 166 ___________________________________________________________________

ergibt sich für die auf das mit   rotierende Laufrad übertragene Leistung P 12 

Gl. 6-40: 112212   umum   cr cr m M  P     

Gl. 6-41: 112212   umum   cucum P     

Spezifische technische Arbeit w t12 Die Leistung P 12 bezogen auf den Massestrom m  ergibt die spez. technische Arbeit wt12 

Gl. 6-42: 11221212

umumt    cucuwm

 P 

 

Momente, die von feststehenden Leiträdern auf das Fluid ausgeübt werden

Das Leitrad steht fest, d.h. es gilt   = 0 und an den Leiträdern wird keine Leistung mit demFluid ausgetauscht, d.h. 01212     t w P  . Das Leitrad nimmt das Reaktionsmoment  M  M  K     

auf, welches sich durch Ersetzen der Umfangsgeschwindigkeiten 2,1 uuc  in Gl. 6-37 durch die

Absolutgeschwindigkeiten 2,1c  am Ein- und Austritt des Leitrades berechnen läßt.

Gl. 6-43: 1122   cr cr m M    mm     (Moment auf das Verdichtergehäuse)

 _________________________________________________________________________

Üb. 6-2: Laufrad einer Kreiselpumpe

geg.:  smc 15.101  

 smc 05.262   

801   Winkel zu 1uc  

6.222    Winkel zu 2uc  1min2950   n  

mm D N  701  

mm DG 901   mm D N  1742   

mm DG 1802   

mml  5.42   Schaufelaustrittslänge

ges.:(1) Massestrom m  durch die Pumpe(2) Drehmoment M  und innere Leistungsübertragung P 12 vom Rotor auf das Fluid

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Fluidmechanik Drallsatz 167 ___________________________________________________________________

(3) Spezifische technische Arbeit wt12 und geleistete spezifische Strömungsarbeit  yt amFluid bei einem Gesamtwirkungsgrad von  t  = 0.7 

Page 180: Skript Fluid

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Fluidmechanik Literatur 168 ___________________________________________________________________

Literatur

[ 1] Anderson, J. D.: 'Computational Fluid Dynamics' , McGraw-Hill Book Company,1995

[ 2] Anderson, J. D.: 'Fundamentals of Aerodynamics' , McGraw-Hill Book Company,1985

[ 3] Anderson, J. D.: 'Hypersonic and High Temperatue Gas Dynamics' , McGraw-Hill BookCompany,1989

[ 4] Böswirth, L.: ’Technische Strömungslehre’ , 7. Aufl., Vieweg, Wiesbaden 2007

[ 5] Dubs, F.: 'Hochgeschwindigkeits-Aerodynamik' , Birkhäuser Verlag Basel, Stuttgart 1966

[ 6] Herwig, H.: ’Strömungsmechanik’ , Springer Berlin, Heidelberg 2002

[ 7] Hucho, W.H.: ’Aerodynamik des Automobils’ , 5. Auflage, Vieweg, Wiesbaden 2005

[ 8] Hünecke, K.: 'Modern Combat Aircraft Design' , Naval Institute Press, Annapolis, Maryland 1987

[ 9] Koppenwallner, G. 'Fundamentals of Hypersonics: Aerodynamics and Heat Transfer' , VKI ShortCourse Hypersonic Short Course Aerothermodynamics, Von Kármán Institute for Fluid Dynamics,

Rhode Saint Genese, Belgium, LS 1984-01, 1984[ 10] Kümmel, W.: ’Technische Strömungsmechanik’ , 3. Aufl., Teubner Wiebaden 2007

[ 11] Liljequist G. H.: ‘  Allgemeine Meteorologie’ , Vieweg Verlag Braunschweig, 1974

[ 12] Sigloch, H.: ’Technische Fluidmechanik’ , VDI Verlag Düsseldorf 1996

[ 13] Truckenbrodt, E.: 'Lehrbuch der angewandten Fluidmechanik' , Springer-Verlag, 1983