Skript - lutzsperling.de · Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc I Prof. Dr.-Ing. habil

Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg

Institut für MechanikLehrstuhl Schwingungslehre und Technische Dynamik

Skript

Schwingungslehrezur Vorlesung

I

März 2003

Erarbeitet von Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperlingunter Mitwirkung von Dr.-Ing. Barbara Schmidt

und Dr.-Ing. Henner Duckstein

Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik

Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc I Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling

Inhaltsverzeichnis Seite

1 Der lineare Schwinger mit einem Freiheitsgrad ............................................................................................... 1

1.1 Kinematik der Schwingungen ....................................................................................................................................... 1

1.1.1 Harmonische Schwingung ............................................................................................................................................... 1

1.2.1 Überlagerung zweier frequenzgleicher harmonischer Schwingungen ............................................. 2

1.1.3 Darstellung der harmonischen Schwingung in der Phasenebene......................................................... 3

1.1.4 Periodische Schwingungen.............................................................................................................................................. 6

1.1.5 Fastperiodische Schwingungen .................................................................................................................................... 7

1.1.6 Fastharmonische Schwingung....................................................................................................................................... 9

1.1.7 Zufallsschwingungen (Stochastik) .......................................................................................................................... 11

1.2 Mechanisches Modell, näherungsweise Berücksichtigung der Federmasse ............................. 12

1.2.1 Allgemeines zur Modellierung .................................................................................................................................. 12

1.2.2 Näherungsweise Berücksichtigung der Federmasse bei der Abschätzung der niedrigsten Eigenfrequenz mittels des 1-Freiheitsgrad-Modells .............................................. 12

1.3 Freie ungedämpfte Schwingungen.......................................................................................................................... 16

1.4 Freie gedämpfte Schwingungen................................................................................................................................ 20

1.5 Erzwungene Schwingungen......................................................................................................................................... 25

1.5.1 Arten der Erregung............................................................................................................................................................. 25

1.5.2 Erzwungene Schwingungen bei Krafterregung ............................................................................................. 26

1.5.2.1 Bewegungsgleichung........................................................................................................................................................ 26

1.5.2.2 Stationäre Lösung unter Vernachlässigung der Dämpfung................................................................... 26

1.5.2.3 Resonanzerregter ungedämpfter Schwinger..................................................................................................... 28

1.5.2.4 Stationäre Lösung unter Berücksichtigung der Dämpfung.................................................................... 29

1.5.2.5 Federkrafterregung ............................................................................................................................................................. 36

1.5.3 Erzwungene Schwingungen bei Unwuchterregung .................................................................................... 37

1.5.4 Erzwungene Schwingungen bei Stützenerregung ........................................................................................ 40

1.5.5 Erzwungene Schwingungen bei Dämpferkrafterregung.......................................................................... 42

1.5.6 Zusammenstellung zur harmonischen Zwangserregung des linearen Schwingers mit einem Freiheitsgrad........................................................................................ 45

1.5.7 Zur Schwingungsisolierung von Maschinen und Geräten...................................................................... 47

1.6 Ortskurven bei harmonischer Erregung ............................................................................................................. 50

1.6.1 Ortskurve (Ortskurve des reduzierten Ausschlags)..................................................................................... 50

1.6.2 Inverse Ortskurve (Ortskurve der reduzierten Erregung) ....................................................................... 51

1.6.3 Ortskurve in Polarkoordinaten ................................................................................................................................... 53

1.7 Energie- und Leistungsberechnungen................................................................................................................... 56

1.7.1 Freie ungedämpfte Schwingungen.......................................................................................................................... 56

1.7.2 Freie gedämpfte Schwingungen................................................................................................................................ 58

1.7.3 Stationäre erzwungene Schwingungen bei Krafterregung..................................................................... 60

1.8 Erzwungene Schwingungen bei nichtperiodischer Erregung .............................................................. 67

1.8.1 Lösung mittels der Stoßfunktion .............................................................................................................................. 67

1.8.2 Lösung mittels der Sprungfunktion ........................................................................................................................ 72


Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc II Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling

Seite

2 Schwingungen in linearen Systemen mit mehreren Freiheitsgraden.............................................. 76

2.1 Definitheit von Formen und Matrizen .................................................................................................................. 76

2.2 Methoden zur Aufstellung der Bewegungsgleichungen.......................................................................... 77

2.2.1 Lagrangesche Bewegungsgleichungen 2.Art................................................................................................... 77

2.2.2 Kraftgrößenmethode.......................................................................................................................................................... 80

2.2.3 Deformationsmethode ...................................................................................................................................................... 83

2.3 Freie ungedämpfte Schwingungen.......................................................................................................................... 90

2.3.1 Das allgemeine Eigenwertproblem......................................................................................................................... 90

2.3.2 Modalmatrix, Spektralmatrix, Hauptachsentransformation .................................................................. 94

2.3.3 Energiebeziehungen und Rayleigh-Quotient ................................................................................................... 96

2.3.4 Das spezielle Eigenwertproblem .............................................................................................................................. 99

2.3.4.1 Überführung eines allgemeinen Eigenwertproblems in ein spezielles.......................................... 99

2.3.4.2 SPEP mit symmetrischer Matrix ........................................................................................................................... 101

2.3.4.3 SPEP mit unsymmetrischer Matrix ..................................................................................................................... 102

2.3.5 Ausgewählte Methoden zur numerischen Lösung von Eigenwertproblemen....................... 102

2.3.5.1 Direktes Lösungsverfahren........................................................................................................................................ 102

2.3.5.2 Vektoriteration nach von Mises ............................................................................................................................. 103

2.3.5.3 Weitere Verfahren............................................................................................................................................................ 105

2.3.6 Abschätzung von Eigenfrequenzen ..................................................................................................................... 106

2.3.6.1 Abschätzung mittels Matrixnormen.................................................................................................................... 106

2.3.6.2 Abschätzung der 1.Eigenfrequenz nach Dunkerley, Neuber und Southwell ......................... 108

2.4 Freie gedämpfte Schwingungen............................................................................................................................. 114

2.4.1 Zum Eigenwertproblem bei beliebiger Dämpfungsmatrix ................................................................. 114

2.4.2 Proportionale Dämpfung (Rayleighdämpfung)........................................................................................... 117

2.5 Erzwungene Schwingungen bei periodischer Erregung ....................................................................... 121

2.5.1 Direkte Lösungsmethode ............................................................................................................................................ 121

2.5.1.1 Ungedämpfte Systeme .................................................................................................................................................. 121

2.5.1.2 Gedämpfte Systeme ........................................................................................................................................................ 126

2.5.2 Modale Methode der Entwicklung nach Eigenschwingungsformen ........................................... 133

Literatur ................................................................................................................................................................................... 138


Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc 1 Prof. Dr.-Ing. habil. Lutz Sperling

1 Der lineare Schwinger mit einem Freiheitsgrad

1.1 Kinematik der Schwingungen

1.1.1 Harmonische Schwingung

Reelle Darstellung

Eine harmonische Schwingung läßt sich allgemein wie folgt darstellen:

( ) .sincossin 21 CCAq(t) +=+= ϕ

Dabei haben die Parameter folgende Bedeutung:

A : Amplitude,

: Kreisfrequenz

T2= : Periodendauer (Schwingungsdauer)

Tf

2

1 == : Frequenz

ϕ+ : Phase (Phasenwinkel)

ϕ : Nullphase (Nullphasenwinkel).

Wegen

( ) AAA sincos cossin sin ϕϕϕ +=+

bestehen zwischen den Paaren der Integrationskonstanten ϕA, und 21 C,C die Beziehungen

ϕsin1 AC = , ϕcos2 AC =

bzw.

22

21 CCA += ,

2

1arctanC

C=ϕ .

Da ϕ nach der letzten Beziehung nicht eindeutig ist, d.h., da mit einem Nullphasenwinkel ϕ auch ϕ + π dieser Gleichung genügt, macht man das Ergebnis für ϕ eindeutig mittels des Vorzeichens einer der beiden Ausdrücke

A

C1arcsin=ϕ , A

C2arccos=ϕ .



Komplexe Darstellung (Zeigerbild)

Zur komplexen Darstellung der harmonischen Schwingung betrachtet man den mit der Winkelgeschwindigkeit umlaufenden „Zeiger“ (t)q in der komplexen Zahlenebene:

( ) titiiti eAeAeAetq === + ωϕϕ)( .

Zeigerbild für harmonische Schwingung

Damit wird die komlexe Amplitude

ϕiAeA =

eingeführt. Dann gilt:

,)(Im)( tqtq =

.ReIm

,)0(

21 AC,AC

tqAA,Aq

==

====

1.1.2 Überlagerung zweier frequenzgleicher harmonischer Schwingungen

Für die resultierende Schwingung

( ) 21sin)()()()( 21 ,k,Atq,tqtqtq kkk =+=+= ϕ

sollen Amplitude und Phase bestimmt werden. Aus

( )21

2121

2121 ,)()()(ϕϕϕ

ωω

iii

titi

eAeAAAAeA

eAAtqtqeAtq

+=+==

+=+==

A

Im

ReC2

C1

q

A

t+

t



bzw.

2211

2211

sinsinsin

,coscoscos

ϕϕϕϕϕϕ

AAA

AAA

+=+=

folgt:

( ) ( )22211

22211 ϕϕϕϕ sinAsinAcosAcosAA +++= ,

( ),cos2 122122

21 ϕϕ −++= AAAAA

.coscos

sinsinarctan

2211

2211

ϕϕϕϕϕ

AA

AA

++=

ϕ kann wieder eindeutig gemacht werden mittels des Vorzeichens von

A

AA 2211 sinsinarcsin

ϕϕϕ += .

Ergebnis der Überlagerung: Eine harmonische Schwingung mit gleicher Frequenz

Zeigerbild für Überlagerung zweier frequenzgleicher harmonischer Schwingungen

Aus dem Zeigerbild können die algebraischen Ergebnisse für A (Kosinussatz) und ϕ unmittelbar entnommen werden.

1.1.3 Darstellung der harmonischen Schwingung in der Phasenebene

Unter der Darstellung in der Phasenebene versteht man den Graphen der Funktion )(qqq = mit t als Parameter, d.h., )()( tqq,tqq == werden als Parameterdarstellung der Funktion )(qq aufgefaßt:

Im

Re

A

A2

A2 2sin

A2 2cos

A1

A1 1sin

A1 1cos

2

1



q

q

A

-A

-A

A

Phasenkurve allgemein

Harmonische Schwingung:

Aus

( )( )ϕ

ϕ+=

+=tq

Atq

cos)(

,sin)(

folgt die Ellipsengleichung

122

=

+

q

A

q .

Phasenkurve

Phasenkurve einer harmonischen Schwingung

q

q

t0

t1

t2

t t t0 1 2< <



Durch entsprechende Normierung der Geschwindigkeit wird die Phasenkurve zu einem Kreis:

Normierte Phasenkurve einer harmonischen Schwingung

Bei der Darstellung in der Phasenebene geht zwar der zeitliche Verlauf verloren; sie läßt jedoch wichtige Rückschlüsse auf den Charakter der Schwingung zu.

Allgemeine Eigenschaften von Phasenkurven

Durchlauf in der oberen Halbebene von links nach rechts, in der unteren von rechts nach links,

Schnitt der q-Achse im Extremwert für q mit vertikaler Tangente,

keine anderen Punkte mit vertikaler Tangente,

Ausnahme: singulärer Punkt (Gleichgewichtslage), auf q-Achse, vertikale Tangente nicht notwendig (Beginn, Ende oder Knick der Phasenkurve).

Phasenporträt:

Als Phasenporträt bezeichnet man die Schar von Phasenkurven infolge Variierung der Amplitude (z.B. über die Anfangsbedingungen).

Für harmonische Schwingungen erhält man so eine Schar konzentrischer Ellipsen bzw. Kreise.

Als Grenzfall der Phasenkurve ist eine Gleichgewichtslage ein singulärer Punkt.

Als verschiedene Typen von singulären Punkten unterscheidet man Wirbel-, Strudel-, Knoten- und Sattelpunkte.

Im vorliegenden Fall ist der singuläre Punkt )00( == q,q ein Wirbelpunkt.

-A

-A

A

A

q

q



Phasenporträt für harmonische Schwingungen

1.1.4 Periodische Schwingungen

Es wird jetzt die Überlagerung zweier harmonischer Schwingungen mit rationalem Frequenzverhältnis betrachtet:

( ) ,21sin)()()()( 21 ,k,tAtq,tqtqtq kkkk =+=+= ϕ

d.teilerfrem2

1

1

2 p,q,q

p

T

T ==

Dann ist q(t) periodisch mit der Periodendauer

21 qTpTT ==

bzw. mit der Grundkreisfrequenz

qp21 == .

Eine Verallgemeinerung ist die Überlagerung beliebig vieler harmonischer Funktionen mit rationalen Frequenzverhältnissen.

Das Ergebnis ist eine periodische Funktion.

Umkehrung:

Jede (stückweise stetige und monotone) periodische Funktion q(t) läßt sich in eine Fourierreihe nach harmonischen Funktionen entwickeln:

q

q



( )

( ) ( )[ ]∑

∑∞

=

∞

=

++=

++=

1210

10

sincos

sin)(

kkk

kkk

tkCtkCA

tkAAtq

ωω

ϕ

mit

k

k

k

kkkkk A

C

C

C,CCA 1

2

122

21 arcsinarctan ==+= ϕ .

Aus den Orthogonalitätsbedingungen

∫ ∫

≠=

==kjfür

kjfürdxkxjxdxkxjx

2

0

2

0,0

,sinsincoscos

∫ =dxkxjx2

0

0sincos

erhält man die Fourierkoeffizienten

dttktqT

Cdt,tktqT

Cdt,tqT

AT

k

T T

k ∫∫ ∫ ===0

2

0 0

10 )sin()(2

)cos()(2

)(1 ωω

mit

T2= .

1.1.5 Fastperiodische Schwingungen

Fastperiodische Schwingungen können beliebig genau durch periodische angenähert werden, wie z.B. die Überlagerung zweier harmonischer Schwingungen mit irrationalem Frequenzverhältnis:

,tqtqtq )()()( 21 += 21)(sin)( ,k,tAtq kkkk =+= ϕ .

Das Frequenzverhältnis kann durch die rationale Zahl q

p mit hinreichend großen p, q beliebig

genau angenähert werden:

q

p

T

T ≈=2

1

1

2 .

Nach der Zeit T = pT1 = qT2 erfolgt eine fast genaue Wiederholung des Schwingungszustandes.



Beispiel: Schwebung

Eine Schwebung entsteht z.B. durch Überlagerung zweier harmonischer Schwingungen mit geringer Frequenzdifferenz:

t,AtAq 2211 sinsin += 2121 +<<− .

Aus

( ) ( )ttAA

ttAA

tq 2121

2121 sinsin

2sinsin

2)( +

++−

−=

folgt mittels der Identität

2sin

2cos2sinsin

+−=+

die Darstellung

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

sin2

cos2

cos2

sin)( 212121

212121

ttAA

ttAAtq

+−++

+−−= .

Mit

der mittleren Frequenz 2

21m

+= ,

der Differenzfrequenz 2

21d

−=

und den veränderlichen Koeffizienten

( ) ( ) tAACt,AAtC d*

d* cossin)( 212211

+=−=

erhält man die Darstellung

ttCttCtq m*

m* sin)(cos)()( 21 +=

bzw.

[ ])(sin)()( tttAtq *m

* ϕ+=

mit

,tAAAAtCtCtA d*** 2cos2)()()( 21

22

21

22

21 ++=+=

)(

)(arcsintanarctan)( 1

21

21

tA

tCt

AA

AAt

*

*

d* =

+−

=ϕ .



Wegen md << sind )()( 21 tC,tC ** bzw. )()( t,tA ** ϕ im Vergleich zur Schwingung mit m

langsam veränderlich.

3

3−

q t( )

A t( )

A t( )−

100 t

Schwebung

Die Funktion )(tA* bestimmt die Einhüllende des Kurvenverlaufs.

Aus der Formel für *A folgt:

21*

21 AAAAA +≤≤− .

1.1.6 Fastharmonische Schwingung

Von einer fastharmonischen Schwingung spricht man, wenn die Parameter einer harmonischen Schwingung durch langsam veränderliche Parameter A=A(t), ω = ω(t) und/oder ϕ = ϕ(t) ersetzt werden.

[ ]))(sin)()( (ttttAtq ϕ+= .

Dabei wird der folgende Ausdruck als augenblickliche Kreisfrequenz bezeichnet:

[ ]))( (tttdt

da ϕ+= .

Demzufolge ist eine phasenveränderliche Schwingung auch frequenzveränderlich.

Beispiele für amplitudenveränderliche Schwingung:

Abklingende Schwingung: 0)( >= − ,AetA

q(t)

t



tq t( )

d

d

ω 1

q t( )

q t( )

A t( )

A t( )−

t

Abklingende Schwingung: a) Zeitlicher Verlauf b) Phasenkurve

In diesem Fall ist der singuläre Punkt )q,(q 00 == ein (stabiler) Strudelpunkt.

Angefachte Schwingung: 0)( >= h,AetA ht

In diesem Fall ist der singuläre Punkt )q,(q 00 == ein (instabiler) Strudelpunkt.

Amplituden- oder frequenzmodulierte Schwingungen:

Von modulierten Schwingungen spricht man, wenn A(t) oder ω(t) nichtmonoton veränderlich sind (Funktechnik).

Überkritisch gedämpfte „Schwingung“:

Es sei

00)( 212121 <<+= ,,eCeCtq tt .

Daraus folgt

( ) 0max)( 21221121 >−=+= cc,,,eCeCtq tt ,

( ) ( )

( ) ( ) ceCeC

eCeC

e

e

eCeC

eCeC

q(t)

(t)qtctc

tctc

tct

ct

tt

tt

tt−=

++=

++= ++

++

∞→∞→∞→ 21

21

21

21

21

2211

21

2211 limlimlim

.

q(t)

t q

q ω



Phasenkurven für überkritische Dämpfung

In diesem Fall ist der singuläre Punkt )q,(q 00 == ein (stabiler) Knotenpunkt.

Wegen der unendlich langen Zeit bis zum Erreichen des Knotenpunktes schneiden die Phasen-kurven die Abszisse hier nicht vertikal!

1.1.7 Zufallsschwingungen (Stochastik)

Zufallsschwingungen sind nur noch statistisch beschreibbar.

Hier sei lediglich das Beispiel einer Realisierung skizziert:

Realisierung eines stochastischen Prozesses

q t ( )

t

q

q

q cq = -



1.2 Mechanisches Modell, näherungsweise Berücksichtigung der Federmasse

1.2.1 Allgemeines zur Modellierung

Voraussetzung:

Mechanisches System mit einem Freiheitsgrad mit einem Trägheitsglied (starrer Körper), einem linear-elastischen Federglied und einem geschwindigkeitsproportionalen (viskosen) Dämpfungsglied

Problem der Modellierung:

Diese Glieder sind Idealisierungen, die niemals exakt zutreffen.

Streng genommen ist jedes System ein Kontinuum, d.h. ein System mit „verteilten Parametern“, so daß es eine unbegrenzte Anzahl von Eigenfrequenzen hat; i.d.R. interessiert jedoch nur eine bestimmte Anzahl der niedrigsten Eigenfrequenzen

Ein starrer Körper ist eine gute Näherung, falls die Frequenzen der Schwingungen klein sind im Vergleich zur kleinsten Eigenfrequenz des Körpers.

Eine masselose elastische Feder ist eine gute Näherung, falls ihre Eigenmasse klein ist im Vergleich zu der des starren Körpers.

1.2.2 Näherungsweise Berücksichtigung der Federmasse bei der Abschätzung der niedrigsten Eigenfrequenz mittels des 1-Freiheitsgrad-Modells:

Die näherungsweise Berücksichtigung der Federmasse wird in folgenden Schritten vorgenommen:

Ersetzen der Schwingungsform für die niedrigste Eigenfrequenz durch die Form der statischen Auslenkung infolge einer Einzelkraft (eines Einzelmomentes ) entsprechend der Wirkung des Trägheitsgliedes.

Bestimmung einer Ersatzmasse durch entsprechende Berücksichtigung einer mitschwingenden Federmasse.

Zug-Druck-Stab

Massebehafteter Zug-Druck-Stab mit Einzelmasse

Aus der statischen Verformung

)()()()( tql

zz,tw,tq

l

zz,tw ==

zl

dz

dmSt

w z,t ( )

q t w l,t ( )= ( )

m



erhält man mit der Stabmasse Stm und der Elementmasse StSt ml

dzdm =

die kinetische Energie:

∫+=)(m

St

St

dmwqmT 22

2

1

2

1 ∫ =+=

1

0

222

2

1

2

1

l

z,qdmqm St ,

2

2

1qmT Ers =

mit der Ersatzmasse

∫+=1

0

2dmmm StErs

.3

1StErs mmm +=

Torsionsstab

Massebehafteter Torsions-Stab mit Einzeldrehmasse Analog dem Zug-Druck-Stab erhält man hier

das Ersatzmassenträgheitsmoment:

StErs JJJ3

1+=

mit dem Massenträgheitsmoment des Stabes mit Kreis- oder Kreisringquerschnitt

pppSt

St IlIA

I

A

mJ === .

Biegebalken

Massebehafteter Biegebalken mit Punktmasse

l

Jc I Ad p , ,

z

ya

l

q t( )v z,t( )



Aus der statischen Verformung

,tqav

zvz,tv

St

St )()(

)()( = vSt(z) – statische Biegelinie unter Einzelkraft bei z = a

erhält man mit dem Massendifferential BB ml

dzdm =

die kinetische Energie

21

02

2222

)

)

2

1

2

1

2

1

2

1qd

(v

(vmqmdmvqmT

)(mBB

B

∫ ∫+=+= ,

l)(zv(v,l

a,

l

zSt ==== ) .

Aus

2

2

1qmT Ers =

erhält man schließlich die Ersatzmasse

d(v

(vmmm BErs ∫

+=1

0

2

)

).

Speziell für a = l/2 gilt:

2

10

3

413

)

) 2 ≤≤

−= ,

(v

(v,

∫ =

−

2

1

0

2

35

17

3

4132 d .

Damit folgt die Ersatzmasse:

BErs mmm35

17+= .

Fehlerabschätzung für Grenzfall m = 0: Der exakte Wert beträgt

EI

lex

2

= .



Für den Schätzwert mittels der Ersatzmasse ergibt sich

m,l

EIc,

m

cErsB

Ers

B

35

17483

==≈ ,

EI

l,

EI

l 22

19419

1

17

4835 =⋅≈ .

Damit beträgt der relative Fehler + 0,00723.



1.3 Freie ungedämpfte Schwingungen

Sind bei einem ungedämpften mechanischen System mit einem Freiheitsgrad die eingeprägten Kräfte (bzw. Momente) linear vom Ausschlag abhängig (man spricht in diesem Falle von linearen Rückstellkräften bzw. –momenten), dann läßt sich die Bewegungsgleichung immer in der Form

02 =+ qq

darstellen mit q als der verallgemeinerten Bewegungskoordinate. Das gilt, wie im folgenden ausgeführt wird, auch, wenn zusätzlich noch konstante Kräfte (bzw. Momente) vorhanden sind.

Die Bewegungsgleichung ist eine Differentialgleichung 2. Ordnung und hat die allgemeine Lösung

( ) ( ) ( )CCtq sincos 21 +=

bzw.

( ) ( )ϕ+= Atq sin

mit den beiden Integrationskonstanten C1 und C2 bzw. A und ϕ, was durch Einsetzen leicht zu beweisen ist (siehe auch Abschnitt 1.1.1).

Die Konstanten C1 und C2 bzw. A und ϕ sind mit Hilfe von zwei Anfangsbedingungen zu bestimmen.

ω ist die Kreisfrequenz der freien ungedämpften Schwingungen.

Sie ist eine nur von den Systemparametern des Schwingers abhängige Konstante und wird deshalb

Eigenkreisfrequenz

des ungedämpften Schwingers genannt.

Die Eigenkreisfrequenz ω des Schwingers kann unmittelbar aus der Bewegungsdifferential-gleichung entnommen werden.

Aus ω erhält man

die Eigenfrequenz des Schwingers

f2

=

und die Periodendauer (auch: Schwingungsdauer) der Eigenschwingungen

T2= .



m

c cy=mg+cq

mg

qyst y

my=mq.. ..

Beispiel : Reibungsfreier horizontaler Feder-Masse-Schwinger

Mit der Masse m und der Federsteifigkeit c erhält man für die Bewegungskoordinate x, deren Null-Lage durch den völlig entspannten Zustand der Feder bestimmt sei, die Bewegungsgleichung

0=+ cqqm

bzw.

02 =+ qq

mit der Eigenkreisfrequenz

m

c= .

Reibungsfreier horizontaler Feder-Masse-Schwinger

Damit findet man mittels der obigen Formeln auch f und T .

Der Einfluß von Gewichtskräften

Wird der einfache Feder-Masse-Schwinger vertikal im Gravitationsfeld der Erde angeordnet, so kann die Rechnung entweder mit einer für die entspannte Feder verschwindenden Koordinate y oder mit einer für die statische Gleichgewichtslage verschwindenden Koordinate q ausgeführt werden. Mit der statischen Auslenkung

c

mgyst =

gilt zwischen beiden der Zusammenhang

qc

mgqyy st +=+= , cqmgcy += , qy = .

Vertikaler Feder-Masse-Schwinger im Gravitationsfeld

So erhält man die beiden Bewegungsgleichungen

mgcyym =+ ,

0=+ cqqm .

Die erste, inhomogene Gleichung hat die Partikulärlösung

c

mgyp = ,

c

m

µ = 0

q

mg

mq..

FN

cq



so daß durch die allgemeinen Lösungen beider Gleichungen der oben angegebene Zusammen-hang zwischen den Koordinaten bestätigt wird.

Man erkennt: Ist die Bewegungskoordinate auf die statische Gleichgewichtslage bezogen, so gleichen sich Gewichtskraft und statischer Federkraftanteil stets aus und so können deshalb beide unberücksichtigt bleiben.

I.a. gilt das jedoch nur, wenn die Gleichgewichtsbedingungen zwischen Gewichtskraft und statischem Federkraftanteil am ausgelenkten und am nichtausgelenkten System überein-stimmen. Bei ebenen Drehbewegungen eines starren Körpers ist diese Voraussetzung z.B. erfüllt, wenn alle Schwerpunkte und alle Federangriffspunkte im statischen Gleichge-wichtszustand in Höhe des Lagers liegen:

m1 m2

c

Schwinger mit ständigem Gleichgewicht zwischen Gewichtskräften und statischem Federkraftanteil

Anderenfalls müssen Gewichtskräfte und statische Federkräfte berücksichtigt werden, weil sie für den ausgelenkten Zustand zusätzliche Momente hervorrufen:

m

mg mg

c FstFst

a aa 2hϕ

hsin hϕ ϕ~~

Schwinger, bei dem Gewichtskraft und statischer Federkraftanteil im ausgelenkten Zustand ein Moment bilden

Für die skizzierte homogene Rechteckscheibe ist

mgFst =

der statische Federkraftanteil.

Die Bewegungsgleichung lautet hier

( ) 02 =++ ϕϕ mghcaJ A , ( )22

3

4ha

mJ A +=

mit der Eigenkreisfrequenz

( )( )22

2

4

3

ham

mghca

++= .

A



Die Eigenfrequenz dieses vertikalen Schwingers ist also größer als diejenige des gleichen Schwingers bei horizontaler Anordnung.

Es sei noch gezeigt, wie die Eigenfrequenz des vertikalen Feder-Masse-Schwingers aus der gemessenen statischen Auslenkung ermittelt werden kann:

sty

gg

mg

c

m

c ===2 ,

sty

gf

2

1

2== .



1.4 Freie gedämpfte Schwingungen

Jede freie Schwingung klingt mit der Zeit infolge Umsetzung von mechanischer Energie in Wärmeenergie ab. Die einfachste mathematische Behandlung gestattet die geschwindigkeits-proportionale (viskose) Dämpfung, die praktisch in guter Näherung in einem Flüssigkeits-dämpfer realisiert ist. Die Dämpfungskraft wird durch den Widerstand eines in einem Zylinder, der mit einer Newtonschen Flüssigkeit gefüllt ist, bewegten Körpers (Kolben) hervorgerufen.

Für jedes geschwindigkeitsproportional gedämpfte mechanische System mit linearer Rückstellkraft und mit einem Freiheitsgrad läßt sich die Bewegungsgleichung in der Form

02 20 =++ qqq bzw. 02 2

00 =++ qqDq

darstellen.

In diesen Gleichungen bedeutet

0 die Eigenkreisfrequenz der ungedämpften Schwingungen,

auch: Kennkreisfrequenz,

die Abklingkonstante und

0

D = den Dämpfungsgrad (auch: Lehrsches Dämpfungsmaß).

Aus der zweiten Gleichung ist unmittelbar zu erkennen, daß der Dämpfungsgrad D ein dimensionloser Dämpfungskennwert ist, was ihn für vergleichende Betrachtungen besonders geeignet macht. Die Abklingkonstante δ hat dementsprechend die gleiche Dimension wie ω0, d.h., sie wird in s-1 gemessen.

Beispiel

Es wird wieder der horizontale Feder-Masse-Schwinger von Abschnitt 1.3 betrachtet, jedoch erweitert um einen Flüssigkeitsdämpfer mit der Dämpfungskonstanten b, welche die physika-lische Dimension Kraft/Geschwindigkeit hat.

Horizontaler reibungsfreier Feder-Masse-Schwinger mit Flüssigkeitsdämper

Beispiel für die physikalische Einheit:

[ ]s

kg

m

Nsb == .

c

m

µ = 0

qb mg

mq..

FN

bq.

cq



Die Dämpfungswerte sind im konkreten Fall nicht ohne weiteres bekannt. Häufig werden Erfahrungswerte oder aus dem gemessenen Schwingungsverhalten ermittelte Werte benutzt.

Für den betrachteten Schwinger ergibt sich die Bewegungsgleichung

0=++ cqqbqm .

Daraus folgt:

m

c=0 , m

b

2= ,

cm

bD

2= .

Lösung der Bewegungsgleichung

Mit dem Lösungsansatz

( ) WCetq =

erhält man die charakteristische Gleichung

02 20

2 =++ ,

als deren Lösung sich die charakteristischen Exponenten

20

221, −±−= bzw. ( )12

021 −±−= DD,

ergeben.

Die Art der Lösung q(t) ist offensichtlich davon abhängig, ob der Dämpfungsgrad D größer als, gleich oder kleiner als 1 ist. Im folgenden soll nur der für die Schwingungslehre interessanteste Fall der sog. unterkritischen Dämpfung, d.h. der Fall D < 1 behandelt werden.

Unterkritische Dämpfung ( 01,D << ):

Die charakteristischen Exponenten 21, sind komplexwertig:

iDi, ±−=±−= 021 .

Dabei bedeutet:

1−=i die imaginäre Einheit,

20

220 1 D−=−= die Eigenkreisfrequenz der gedämpften Schwingungen.

Mit diesen komplexen charakteristischen Exponenten erhält man entsprechend dem Lösungs-ansatz für die Bewegungsgleichung die Lösung

( ) ( )tititt eCeCeeCeCtq ωω −− +=+= 212121 .



Mit Hilfe der Eulerschen Formel

iei sincos +=

folgt

( ) ( ) ( )[ ]iCiCetq W sincossincos 21 −++= − .

Mit den neuen, reellen Integrationskonstanten

211 CCC += , ( )212 CCiC −=

findet man schließlich die allgemeine Lösung in der Gestalt

( ) ( )CCetq W sincos 21 += −

bzw.

( ) ( )ϕ+= − Aetq W sin .

Im Vergleich zur Lösung für den ungedämpften Schwinger ist die harmonische Funktion jetzt mit der Funktion ( )−exp multipliziert, so daß die Schwingungen innerhalb der Enveloppe

(Einhüllenden) ( )−± exp verlaufen.

Obwohl die Schwingung nicht mehr periodisch ist, spricht man also wegen des harmonischen multiplikativen Anteils der Lösung noch von einer Eigenkreisfrequenz.

Die Eigenkreisfrequenz ω ist nach Beziehung (19) kleiner als die Eigenkreisfrequenz der ungedämpften Schwingungen, d.h., die Periodendauer als Zeitdauer zwischen zwei aufeinanderfolgenden gleichsinnigen Nulldurchgängen ist größer.

Für kleine Dämpfung ( 0<< bzw. 1<<D ) ist ω nur wenig kleiner als 0 , so daß zur

Bestimmung der Eigenkreisfrequenz die Dämpfung näherungsweise unberücksichtigt bleiben kann. Dann ist die Amplitude Ae W− nur langsam veränderlich, und man spricht von einer fastharmonischen Schwingung.

Bestimmung der Integrationskonstanten

Am Beispiel der zweiten Gestalt für die Lösung, d. h. der Darstellung mittels Amplitude und Nullphase, soll die Bestimmung der Integrationskonstanten aus den beiden Anfangsbedingungen

( ) 00 qtq == , ( ) 00 vtq ==

demonstriert werden.

Unter Berücksichtigung der zeitlichen Ableitung der Lösung,

( ) ( ) ( )[ ]ϕϕ +−+= − Aetq W sincos ,



erhält man die folgenden beiden Bestimmungsgleichungen für A und ϕ :

0sin qA =ϕ , ( ) 0sincos vA =− ϕϕ .

Nach Einsetzen der ersten in die zweite folgt

( )00

1cos vA +=ϕ .

Aus dieser und der ersten Gleichung findet man dann leicht

( )2002

20

1vqA ++= ,

00

0arctanv

+

=ϕ .

Das logarithmische Dekrement

Unter dem logarithmischen Dekrement der Schwingungen versteht man den natürlichen Logarithmus des Verhältnisses zweier aufeinanderfolgender maximaler oder minimaler Werte der schwingenden Größe bei abklingenden freien Schwingungen:

( )( )Ttq

tq

+=

0

0ln mit T2

= .

Es ist zu erkennen, daß 0t bei viskoser Dämpfung auch ein beliebiger Zeitpunkt sein kann.

Allerdings lassen sich Extremwerte besser messen. Außerdem gilt auch

( )( )NTtq

tq

N +=

0

0ln1

;

denn nach Einsetzen der Lösung wird dieser Ausdruck von N unabhängig:

( )( )[ ] ( )

NNTt

N

expln1

exp

expln

1

0

0 =+−

−= ,

= .

Ersetzt man und T durch den Dämpfungsgrad D, so folgt

212

D

D

−= ,

( ) 222D

+= .

Das logarithmische Dekrement kann leicht mit Hilfe eines sog. Ausschwingversuches gemessen werden.



Beispiel

Für den oben behandelten horizontalen Feder-Dämpfer-Masse-Schwinger sei gegeben:

s,T 61= , kgm 10= , ( )

( ) 420

=+ Ttx

tx o .

Zu bestimmen seien die Federsteifigkeit c und die Dämpfungskonstante b.

Man erhält:

693104ln2

1,== ,

( )10970

2 22,D =

+= ,

192732 −== s,T

,

1

20 95131

−=−

= s,D

,

m

N,mc 11562

0 == ,

s

kg,mcDb 66482 == oder

s

kg,

s

kg

,T

m b

Tmb 6648

6124ln1022

,2 =⋅

⋅⋅==⇒== δδ .



1.5 Erzwungene Schwingungen

1.5.1 Arten der Erregung

Um die erzwungenen Schwingungen, die hier allein behandelt werden sollen, richtig einordnen zu können, sollte man auch die anderen Grundarten der Erregung von Schwingungen kennen.

Die bisher betrachteten freien Schwingungen sind dadurch charakterisiert, daß keine Energiezufuhr von außen erfolgt und die Bewegungsgleichung die Zeit t nicht explizit enthält.

Auch bei den sog. selbsterregten Schwingungen enthält die Differentialgleichung die Zeit t nicht explizit. Die Schwingungen werden in diesem Falle durch Energiezufuhr von einer nichtschwingenden Energiequelle erregt, welche durch die Bewegung des Systems selbst geregelt wird. Man könnte sich das durch Betrachtung einer „negativen Dämpfung“, die dann eine Anfachung darstellt, klarmachen. Bei einem linearen Glied dieser Art würden die Amplituden mit wachsender Zeit unendlich groß werden. Deshalb sind die Differentialgleichungen selbsterregter Schwingungen, die stationäre periodische Lösungen zulassen, immer nichtlinear. Ein wichtiges technisches Beispiel sind die Schwingungen in Gleitlagern. Auch die mit Hilfe von Streich- oder Blasinstrumenten erzeugten Töne sind das Resultat selbsterregter Schwingungen.

Enthält die Bewegungsgleichung die Zeit t explizit, so spricht man von Fremderregung. Hier unterscheidet man zwischen Parameter- und Störungserregung. Bei der Parametererregung werden die Schwingungen durch eine vom Zustand des Systems unabhängige zeitliche Änderung eines oder mehrerer seiner Parameter, wie z.B. der Steifigkeit, erregt. Mathematisch ist die Parametererregung mit Differentialgleichungen mit veränderlichen Parametern verbunden; typischerweise liegen dynamische Stabilitätsprobleme vor.

Die Störungserregung, welche erzwungene Schwingungen hervorruft, entspricht einem zeitabhängigen, von den Schwingungskoordinaten unabhängigen Störglied. Im einfachsten Falle hat man es dann mit einer linearen Bewegungsgleichung mit konstanten Koeffizienten und einem zeitabhängigen Störglied auf der rechten Seite zu tun.

Im folgenden sollen solche linearen erzwungenen Schwingungen untersucht werden.

Man kann die Schwingungen auch nach dem zeitlichen Verlauf der Erregung unterscheiden. Besonders einfach ist die sog. harmonische Erregung, eine Erregung in Form von cos- oder sin-Funktionen, zu behandeln. Die folgenden Ausführungen sind auf solche harmonischen Erregungen beschränkt. Bei linearen Differentialgleichungen gilt das Superpositionsprinzip, d.h., bei gleichzeitigem Vorhandensein mehrerer Erregungen können diese einzeln behandelt und die Lösungen aufaddiert werden. Da nun jede periodische Funktion in eine Fourierreihe, also in eine Reihe von Harmonischen, entwickelt werden kann, ist mit der Kenntnis der Lösung für harmonische Erregung auch der Aufbau der Lösungen für beliebige periodische Erregung bekannt.

Hier kann man nochmals verschiedene Arten der Erregung unterscheiden je nach der Art der Abhängigkeit des Störgliedes von der Frequenz. Ist die Erregung frequenzunabhängig, so soll sie Krafterregung heißen. Bei Wegkoordinaten erfolgt dann eine Erregung durch eine Kraft mit konstanter Amplitude, bei Winkelkoordinaten durch ein entsprechendes Moment. Erfolgt die Erregung durch einen Unwuchtrotor mit konstanter Winkelgeschwindigkeit, so ist die



Kraftamplitude dem Quadrat der Erregerfrequenz proportional. Auch bei sogenannter Stützenerregung kann eine Abhängigkeit der Erregung von der Erregerfrequenz auftreten.

1.5.2 Erzwungene Schwingungen bei Krafterregung

1.5.2.1 Bewegungsgleichung

Der gedämpfte Schwinger von Abschnitt 1.4 werde durch eine harmonisch veränderliche Kraft mit der konstanten Amplitude F erregt:

( ) tFtF Ωsinˆ= .

Damit erhält man für das skizzierte System die Bewegungsgleichung

( ) tFtFcqqbqm Ω==++ sinˆ

bzw.

tqqqDq Ω=++ sinˆ2 020

200 ωωω

Der gedämpfte horizontale Feder- Masse-Schwinger unter harmonischer Krafterregung

mit (siehe Abschnitt 1.4)

m

c =20 ,

cm

bD

2=

und der statischen Auslenkung infolge einer konstanten Kraft der Größe F

c

Fq

ˆˆ0 = .

1.5.2.2 Stationäre Lösung unter Vernachlässigung der Dämpfung

Bei Vernachlässigung der Dämpfung vereinfacht sich die Bewegungsgleichung zu

qqq sinˆ020

20 =+ .

Die allgemeine Lösung dieser inhomogenen Differentialgleichung ist die Summe der allgemeinen Lösung qh der homogenen Gleichung und einer partikulären Lösung qp der inhomogenen Gleichung:

ph qqq += .

Die Lösung der homogenen Gleichung wird auch bei sehr kleiner Dämpfung nach hinreichend langer Zeit auf vernachlässigbar kleine Ausschläge abgeklungen sein, so daß dann in sehr guter

q

mF(t)

F(t)

mg

cq

FN

µ=0

b

c

mqbq



Näherung gilt:

qqq p sinˆ== , qq sinˆ2−= .

Diese verbleibende stationäre Schwingung wird auch als reine Zwangsschwingung bezeichnet. Die Vernachlässigung der Dämpfung bezieht sich also ausschließlich auf die Bestimmung dieser reinen Zwangsschwingung. Nach Einsetzen des Lösungsansatzes in die Bewegungsgleichung folgt

( ) qq sinˆsinˆ 020

20

2 =+−

bzw.

0220

20 ˆˆ qq

−= .

Nach Einführen des sog. Abstimmungsverhältnisses (auch einfach Abstimmung genannt)

0

=

kann man die Amplitude q in den dimensionslosen Frequenzgang H0 überführen:

.q

qH

20

0 1

1ˆ

ˆ

−==

Ist die Erregerfrequenz im Vergleich zur Eigenfre-quenz des Schwingers sehr groß, d.h., gilt 1>> , so hat die Feder näherungs-weise keine Wirkung, und es gilt

200

1HH −=≈ ∞ .

Dimensionsloser Frequenzgang und Vergrößerungsfunktion für den ungedämpften Schwinger

Schließlich wird noch der Betrag von 0H , auch als Vergrößerungsfunktion bezeichnet,

dargestellt:

.1

1200 HV

−==

2

-2

-4

00,5 1 2,5

1H V, V0

H0

H V0 0,

H0 00

η



Der Frequenzgang 0H bzw. seine graphische Darstellung lassen folgende Fallunterscheidung in

Abhängigkeit von der Größe der Abstimmung zu:

( )01 == : Resonanz

Formal ergibt sich ±∞=0H (Polstelle), d.h., es existiert keine stationäre Lösung

der Form qq sinˆ= .

( )01 << : Unterkritische Erregung, der Schwinger ist hoch abgestimmt; 0H ist positiv,

d.h., Erregung und Schwingung verlaufen gleichphasig.

( )01 >> : Überkritische Erregung, der Schwinger ist tief abgestimmt; 0H ist negativ, d.h.,

Erregung und Schwingung verlaufen gegenphasig.

1.5.2.3 Resonanzerregter ungedämpfter Schwinger

Mit 0= folgt aus der Bewegungsgleichung die inhomogene Differentialgleichung

tqqq 0020

20 sinˆ=+

mit der Lösung

( ) pph qtAqqq ++=+= ϕ0sin .

Da jede harmonische Funktion mit der Kreisfrequenz 0 eine Lösung der homogenen Gleichung

ist, muß die partikuläre Lösung eine andere Gestalt haben. Mittels der Methode der Variation der Konstanten oder durch Probieren findet man

ttqqp 000 cosˆ2

1−= mit ( )tttqqp 00000 sincosˆ2

1 −−= ,

+= tttqqp 000

200 cos

2

1sinˆ .

Einsetzen in die Bewegungsgleichung bestätigt die Richtigkeit:

tqqq pp 0020

20 sinˆ=+ .

Die Gesamtlösung

( ) ( ) ttqtAtq 0000 cosˆ2

1sin −+= ϕ

nimmt nach Anpassung an die Anfangsbedingungen

( ) 00 ==tq , ( ) 00 ==tq



die graphisch dargestellte Gestalt

( ) ( )tttxtq 0000 cossinˆ2

1 −=

an. Theoretisch wird die Schwingung im Rahmen der als Enveloppen (Einhüllenden) eingezeichneten Geraden mit wachsender Zeit immer weiter anwachsen. Praktisch wird nach einer gewissen Zeitdauer das Modell seine Gültigkeit verlieren, sei es durch Zerstörung des mechanischen Systems, sei es durch die vorhandene kleine Dämpfung, sei es durch zunächst vernachlässigte Nichtlinearitäten oder aus anderen Gründen.

94.247

94.247751

q x( )

e x( )

e x( )

30 π.0 x0 15.71 31.42 47.12 62.83 78.54 94.25

100

50

0

50

100

Schwingungsverlauf bei Resonanzerregung des ungedämpften Schwingers

1.5.2.4 Stationäre Lösung unter Berücksichtigung der Dämpfung

Wir gehen nun von der vollständigen Bewegungsgleichung aus, d.h., es gilt

( )tqqqDq 020

2002 =++

mit

qq sinˆ00 = .

Wieder gilt

ph qqq += , ( )ϕ+= − Aeq W

h sin .

Für die nach hinreichend langer Zeit allein verbleibende reine Zwangsschwingung muß wegen des Dämpfungsgliedes im Vergleich zu Abschnitt 1.5.2.3 der allgemeinere Ansatz

Enveloppe

0 10π 20π 30π

ω0t

100

50

0

-50

-100

2ˆ

)(

0xtq



( )qqqqq p +=+== sinˆcosˆsinˆ 21

verwendet werden.

Zur Bestimmung der konkreten Gestalt der Lösung wird der letzte, von Amplitude q und Nullphase abhängige Ausdruck gewählt. Die Ermittlung der noch unbestimmten Konstanten q und läßt sich etwas effektiver und eleganter durch Übergang zur Rechnung im Komplexen

gestalten. Dazu interpretieren wir die Erregerfunktion ( )tq0 als Imaginärteil einer komplexen

Funktion (t)q0 , lösen die Differentialgleichung im Komplexen und finden schließlich die

eigentliche Lösung ( )tq als Imaginärteil der komplexen Lösung ( )tq :

000 Imsinˆ qqq == , i(qeqq ti sincosˆˆ 000 +== Ω ,

( ) qqq Imsinˆ =+= , ( ) titiiWi eqeeqeqq ΩΩ ~ˆˆ === + ,

ieqq ˆ~ = .

(Oft wird auch eine cos-Erregung angenommen und bei der komplexen Rechnung der Realteil verfolgt.)

Aus der komplexen Differentialgleichung

020

2002 qqqDq =++

erhält man nach Einsetzen:

( ) 020

200

2 ˆ2~ qDiq =++− .

Führt man wieder einen jetzt komplexen dimensionslosen Frequenzgang

01 ˆ

~

q

qH =

ein, so folgt

( ) 121 21 =+− DiH

bzw. nach Multiplikation mit Di21 2 −−

( ) ( ).

21

21222

2

1D

DiH

+−−−=

Vergrößerungsfunktion

Aus der Darstellung des Frequenzganges

( )iVeVHiHH i sincosImRe 11111 +==+=



mit Re und Im als Real- und Imaginärteil erhält man als seinen Betrag

( ) ( )21

211 ImRe HHV +=

jetzt die Vergrößerungsfunktion

( ).

41

12222

1

DV

+−=

0 0.5 1 1.5 20

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

1

D = 0

D = 0.05

V1(η)

D = 0.1

D = 0.2

D = 0.7071

η

Vergrößerungsfunktion 1V

Es ist von Interesse, spezielle − Werte in Resonanznähe zu vergleichen:

1. 1= , 0=

Für kleine Dämpfung kann man diesen Wert wie beim ungedämpften Schwinger als Resonanzstelle betrachten, und man erhält für die Vergrößerungsfunktion

( )D

V2

111 == .

2. res= , 0res=

Streng genommen definiert man als Resonanzstelle den -Wert für das Maximum der Vergrößerungsfunktion:

η

V1(η)



Aus dem Differentialquotienten

( )( )[ ]2

32222

221

41

814

2

1

D

DV

+−

+−−−=∂∂

erhält man die notwendige Bedingung zur Bestimmung von res

01 =∂∂

= res

V

bzw.

021 22 =−− Dres

mit der positiven Lösung

221 Dres −= .

Diese Lösung ist offensichtlich nur unter der Bedingung2

2≤D reell. Dann läßt sich auch

zeigen, daß die zweite Ableitung negativ ist, und man erhält

( )2max11

12

1

DDVV res

−=== .

3. 21 Dd −== , 200 1 Dd −===

Man erkennt, daß die Resonanzfrequenz nicht mit der Eigenfrequenz des gedämpften Schwingers übereinstimmt. Für eine mit dieser übereinstimmende Erregerfrequenz erhält man

( )2

1

43

12

1

DD

V d

−== .

Unter der Voraussetzung 2

20 << D gilt offenbar

1<< dres und ( ) ( ) ( )1111 =>=>= VVV dres .

Nacheilwinkel

Aus dem Lösungsansatz folgt für den mit der Darstellung des Frequenzganges mittels Real- und Imaginärteil eingeführten Nullphasenwinkel unmittelbar

21

2arctan

D

−−= .



Wegen des negativen Vorzeichens ist es üblich, statt dessen den sog. Nacheilwinkel

−=1

zu verwenden, für den gilt

.1

2arctan

21

D

−=

Da die arctan-Funktion im Intervall ( ), 20 nicht eindeutig ist, betrachten wir noch den aus der

obigen Darstellung von 1H und 1V folgenden Ausdruck

( ) ( )0

21

2sin

2221 >

+−=

D

D,

woraus man

≤≤ 10

erhält.

Der Name Nacheilwinkel wird plausibel, wenn man die Erregung ( )tq0 und die Schwingung

( )tq in der komplexen Ebene als Projektionen der rotierenden Zeiger ( )tq0 und ( )tq auf die

imaginäre Achse interpretiert (siehe Skizze).

Aus der Gleichung für 1 folgt

( ) 001 == gleichphasige Schwingung,

( )2

11 == näherungsweise Resonanz,

( )=∞→ 1lim gegenphasige Schwingung.

Zeigerbild zur Veranschaulichung des Nacheilwinkels

Im

Re

q(t)

q (t)0

q = q e0 0

i tΩ

q = qei( t-Ω ψ)ψ1

Ω ψt- 1Ωt



0 0.5 1 1.5 20

45

90

135

180

90

D = 0

D = 0.2

ψ1(η)

D = 0.1D = 0.7071

D = 0.05

η

Nacheilwinkel ψ1 [Grad]

Darstellung der Lösung

Mit der Vergrößerungsfunktion und dem Nacheilwinkel wird die reine Zwangsschwingung wie folgt dargestellt

( ) ( )1011 sinˆsinˆ qVqq −=−= .

Für Einschwingvorgänge (und ebenso für Übergangsschwingungen nach Störungen oder Parameteränderungen) ist die Gesamtlösung

( ) ( )1sinˆsin qAeq W −++= − ϕ

heranzuziehen. Einige damit berechnete typische Einschwingvorgänge sind im folgenden graphisch dargestellt. Das Abklingen der Lösung der homogenen Gleichung ist daran anschaulich gut zu erkennen.

η

ψ1(η)



00242030ˆ

,4061

,993991

,012021

,100101

1

120

0

1

10

1

,mm,,q

,mm,,A

s,D

,D,s,

s,s:

=====−=

===

==<<

−

−

−−

ϕ

117330ˆ

,4061

,92891

,12021

,101001

1

120

0

1

10

1

,mm,,q

,mm,,A

s,D

,D,s,

s,s:

=====−=

===

==>>

−

−

−−

ϕ

Typische Einschwingvorgänge des gedämpften Schwingers

0 1 2 3 42

1

0

1

2

tx(

t)

0 1 2 3 42

1

0

1

2

t

x(t)

0 1 2 3 42

1

0

1

2

t

x(t)

1100

,ω

η Ω

1100

ω

η Ω

A=1,6mm

A=3,2mm

q(t)

q(

t)

261ˆ

) ,2,3(

,261

,92891

,12021

,10101

1

120

0

1

10

1

mm,,q

tgestrichelmmA

mm,,A

s,D

,D,s,

s,s:

===

===−=

===

===

−

−

−−

ϕ q(t)

t

t

t

gestrichelt)



1.5.2.5 Federkrafterregung

Ergänzt man das bisher betrachtete System anstelle der direkten Krafterregung durch eine weitere Feder mit der Steifigkeit sc , deren anderes Ende eine

vorgeschriebene harmonische Bewegung ( )ts ausführt, so erhält man die Bewegungsgleichung

Federkrafterregung

( )[ ] 01 =−+++ tsqcqcqbqm s

bzw.

( ) sctsccqqbqm ss sinˆ==++

mit

sccc += 1 .

Mit der Beziehung

sc

cq s ˆˆ0 =

läßt sich die Bewegungsgleichung in die Gestalt

qqqDq sinˆ2 020

200 =++

überführen, die mit der Gleichung für die Krafterregung identisch ist, und es lassen sich alle weiteren Ausführungen für die Krafterregung auf den vorliegenden Fall übertragen.

Es sei noch darauf aufmerksam gemacht, daß die Ergebnisse prinzipiell gültig bleiben, wenn die Feder mit der Steifigkeit 1c entfernt wird. Dabei kann die Feder mit der Steifigkeit sc auch die

Bedeutung einer Stützfeder, z. B. zur Abstützung auf einem schwingenden Fundament, haben. Entscheidend ist, daß über den Dämpfer keine Schwingungen eingeleitet werden. Anderenfalls ergeben sich andere Ergebnisse für die Vergrößerungsfunktion und den Nacheilwinkel (siehe Abschnitte 1.5.4 und 1.5.5).

q

m

µ=0

b

c1

cs

s(t)=s tsinΩ



1.5.3 Erzwungene Schwingungen bei Unwuchterregung

Es werde ein vertikal angeordneter Einmassen-schwinger mit den Parametern m , b und c durch einen Vibrator in Gestalt eines Unwuchtrotors erregt.

Der Unwuchtrotor sei auf die einfachste Weise modelliert als Massenpunkt der Masse 1m , der mittels eines masselosen Stabes der Länge ε (Exzentrizität) um die Achse durch O mit der konstanten Winkelge-schwindigkeit Ω rotiert. Der Antrieb des Vibrators wird also als so leistungsstark vorausgesetzt, daß die Rückwirkung der Schwingungen auf die Rotation vernachlässigt werden kann (d.h., das System wird als rheonom vorausgesetzt).

Zunächst soll mittels der Lagrangeschen Bewegungs-gleichungen 2. Art die Bewegungsgleichung Unwuchterregter Schwinger

( )eyQ

y

U

y

T

y

T

dt

d =∂∂+

∂∂−

∂∂

für die Koordinate y hergeleitet werden, die ihren Ursprung bei völlig entspannter Feder hat.

Bezeichnet ν1 den Betrag der Geschwindigkeit des Massenpunktes m1, so folgt für die kinetische Energie des gesamten Systems

211

20 2

1

2

1vmymT += .

Mit

yyyy

xx

cossin

sincos

11

11

+=+=−==

folgt

22221 cos2 yyv ++=

sowie

2211

2

2

1cos

2

1mymymT ++=

mit der Gesamtmasse

10 mmm += .

y

y1

x1

q

Ωt

ε

m0

m1

O

µ=0

yst

bc



Für die potentielle Energie des gesamten Systems folgt

gmmgycygymgymcyU sin2

1

2

11

2110

2 ++=++= .

Mit der zur Koordinate y gehörigen nichtkonservativen verallgemeinerten Kraft

( ) ybQ ey −=

und mit

mymy

Tcos1+=

∂∂

erhält man nach der oben angegebenen Vorschrift nach Lagrange

ybmgcymym −=++− sin21

bzw. nach der Koordinatentransformation

c

mgqyqy st −=−= , qy = , qy =

mit q als der von der statischen Ruhelage aus gemessenen Koordinate und yst als der statischen Durchsenkung infolge des Gesamtgewichtes die endgültige Bewegungsgleichung

mcqqbqm sin21=++ .

Bemerkenswert ist hierbei, daß im ersten Glied die Gesamtmasse auftritt und daß sich wie im Abschnitt 1.3 (siehe die Ausführungen zum Einfluß von Gewichtskräften) bei dem Koordinaten-ursprung in der statischen Ruhelage Gesamtgewichtskräfte (einschließlich jener der Unwucht-masse) und statischer Federkraftanteil wieder jederzeit ausgleichen.

Nach Division durch m erhält man

qqqDq sinˆ2 022

00 =++

mit den üblichen Größen ω0 und D und der Abkürzung

.ˆ 10 m

mq =

Eine zur Krafterregung analoge Entwicklung liefert die Gleichung

( ) 022

002 ˆ2~ qDiq =++−

und für den dimensionslosen komplexen Frequenzgang

02 ˆ

~

q

qH =



die Gleichung

( ) 222 21 DiH =+−

sowie nach Multiplikation mit Di21 2 −− das Ergebnis

( ) .41

21 2

2222

22

12D

DiHH

+−−−==

Daraus ergibt sich die Vergrößerungsfunktion

( ) 2222

22

12

41 DVV

+−==

und der Nacheilwinkel

.1

2arctan

212

D

−==

Der Nacheilwinkel ψ2 stimmt also mit dem Nacheilwinkel ψ1 für Krafterregung überein.

6

0

V 2 η 0,( )

V 2 η 0.1,( )

V 2 η 0.25,( )

V 2 η 0.5,( )

V 2 η 0.707,( )

V 2 η 2,( )

30 η0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0

2

4

6

Vergrößerungsfunktion 2V

Der Faktor η2 in der Funktion V2 bringt die Abhängigkeit der Größe der erregenden Zentrifugalkraft von der Erregerfrequenz zum Ausdruck. Im Unterschied zu V1 gilt daher unabhängig von der Größe des Dämpfungsgrades V2(η = 0) = 0. Die asymptotische Eigenschaft der Kurven 1lim 2 =

∞→V entspricht bei vernachlässigbaren Kräften in Feder und Dämpfer der

Gültigkeit des Impulserhaltungssatzes.

V2

D = 0

D = 0,1

D = 0,25

D = 0,5

D = 22

1

D = 2

η



Die Lösung der Bewegungsgleichung ist schließlich darstellbar in der Form

( ) ( )2sinˆ qtq −= , 02 ˆˆ qVq = .

1.5.4 Erzwungene Schwingungen bei Stützenerregung

Die Stütze soll nun eine vorgeschriebene Bewegung ausführen und die Schwingungen über Feder und Dämpfer auf die Masse m übertragen. Sie kann z.B. als schwingendes Fundament interpretiert werden. Das Modell kann aber auch als eine einfache Idealisierung eines durch Fahrbahnunebenheiten erregten Fahrzeuges dienen.

Aus der Bewegungsgleichung

( ) ( ) 0=−+−+ sqcsqbqm

für die von der statischen Ruhelage aus gemessene Koordinate q Stützenerregter Schwinger folgt nach Einsetzen der als harmonisch veränderlich angenommenen Stützenerregung

( ) sts sinˆ=

die Gleichung

( )bcscqqbqm cossinˆ +=++

bzw.

( ).cos2sinˆ2 20

200 DsqqDq +=++

Wegen

,Imsin tie = ( )tiie ΩImcos =

liefert eine zur Krafterregung analoge Entwicklung die Beziehung

( ) ( )DisDiq 21ˆ2~ 20

200

2 +=++−

und für den dimensionslosen komplexen Frequenzgang

s

qH

ˆ

~3 =

die Gleichung

( ) DiDiH 2121 23 +=+−

sowie nach Multiplikation mit Di21 2 −− das Ergebnis

m

Oµ=0

q

bc

s(t) s t= sinΩ



( ) ( ) .41

24121

2222

3222

13D

DiDDiHH

+−−+−=+=

Daraus ergibt sich die Vergrößerungsfunktion

( ) 2222

2222

13

41

4141

D

DDVV

+−

+=+=

und der Nacheilwinkel

( ), D

D ≤≤−−

= 322

3

3 0411

2arctan .

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

2

4

1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

1.5

3

1

D = 0 D = 0,1 D = 0,25 D = 0,5 D = 0,707 D = 2

Vergrößerungsfunktion V3

Nacheilwinkel ψ3

D = 0.1

D = 0.25

D = 0.5

D = 0.707

D = 2

V3

η π π/2 0

ψ3

η

D = 0



Alle Kurven der Kurvenschar V3 für verschiedene Dämpfungsgrade schneiden sich, wie die

Gleichung für V3 zeigt und die graphische Darstellung bestätigt, im Punkte ( )12 3 == V, . Der

Nacheilwinkel ψ3 geht im Unterschied zu ψ1 = ψ2 mit wachsendem η nicht asymptotisch gegen π, sondern, wie die Gleichung für ψ3 zeigt und die graphische Darstellung andeutet, gegen π/2.

Stützenerregung bezüglich Relativkoordinate

Interessant ist ein Vergleich der Ergebnisse mit denen, die man für eine Darstellung mittels der Relativkoordinate

sqr −=

erhält. Nach Einsetzen in die oben angegebene ursprüngliche Bewegungsgleichung erhält man

smsmcrrbrm sinˆ 2=−=++

Jetzt ist die Erregung wie bei Unwuchterregung proportional zu Ω 2! Dementsprechend ergibt sich analog Abschnitt 1.5.3

2ˆ

~H

s

r = .

Die Vergrößerungsfunktion für die Bewegung relativ zum Fundament ist V2.

1.5.5 Erzwungene Schwingungen bei Dämpferkrafterregung

Ersetzt man bei dem im Abschnitt 1.5.2.5 betrachteten System die zusätzliche Feder durch einen zusätzlichen Dämpfer mit der Dämpfungs-konstanten bs, dessen anderes Ende wieder eine vorgeschriebene Bewegung s(t) ausführt, so erhält man die Bewegungsgleichung

[ ] .(t)sqbcqqbqm s 01 =−+++ Dämpferkrafterregung

Daraus folgt nach Einsetzen der wieder als harmonisch veränderlich angenommenen Wegerregung

( ) sts sinˆ=

die Gleichung

tsb(t)sbcqqbqm ss cosˆ==++

mit

.1 sbbb +=

q

m

µ=0

b

c1

bs

s(t)=s tsinΩ



Nach Einführung der Abkürzung

sb

bq s ˆˆ0 =

und Division durch m folgt daraus

.cos2ˆcos2ˆ2 02000

200 tDqtDqqqDq ==++

Beachtet man beim Übergang zur komplexen Darstellung wieder die Beziehungen

( )tiiti iet,eqq,eqq Imcosˆ~~ === ,

so erhält man

( ) DiqDiq 2ˆ2~0

20

200

2 =++−

und nach Division durch 20

( ) .2ˆ21~0

2 DiqDiq =+−

Damit folgt schließlich der komplexe Frequenzgang

Di

Di

q

qH D 21

2ˆ

~2

0 +−== ,

( ) ( )( ) ( )

,21

1222

222

22

1D

DiDHDiH D

+−−+==

die entsprechende Vergrößerungsfunktion

( ) 22221

41

22

D

DVDHV DD

+−===

und die Beziehung für den entsprechenden Nacheilwinkel

.22

cot2

1tan 1

2

,D DD ≤≤−−=−−=



0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

11

0

V D η 0,( )

V D η 0.1,( )

V D η 0.25,( )

V D η 0.5,( )

V D η 0.707,( )

V D η 2,( )

30 η

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

1

0

1

1.57

1.57−

ψ D η 0,( )

ψ D η 0.1,( )

ψ D η 0.25,( )

ψ D η 0.5,( )

ψ D η 0.707,( )

ψ D η 2,( )

30 η

Die Indizierung der Vergrößerungsfunktionen ist in der Literatur nicht einheitlich. So wird z. B. die Vergrößerungsfunktion für Dämpferkrafterregung in [5] als V2 bezeichnet. Um die im Fach Technische Mechanik eingebürgerten Bezeichnungen beizubehalten, wurde hier der Index D eingeführt. Es sei bemerkt, daß der Nacheilwinkel in [5] nicht gegen die Wegerregung s(t), sondern gegen ihre Ableitung ( )ts definiert ist, so daß er mit ψ1 identisch wird.

Es sei auch darauf aufmerksam gemacht, daß die Ergebnisse prinzipiell gültig bleiben, wenn der Dämpfer mit der Konstanten d1 entfernt wird. Entscheidend ist, daß über die Feder keine Schwingungen eingeleitet werden. Anderenfalls erhält man für die Vergrößerungsfunktion und den Nacheilwinkel wieder die Ergebnisse nach Abschnitt 1.5.4.

Die Vergrößerungsfunktion VD kann man aus V3 entnehmen, indem man unter der Wurzel im Zähler den die Federkrafterregung repräsentierenden Term 1 entfernt, wodurch sich allerdings

VD

η

ψD

η

π 2

π 2

Vergrößerungsfunktion VD

Nacheilwinkel ψD

D = 2

D = 0,707

D = 0,5

D = 0,25

D = 0,1

D = 0,1

D = 0,25

D = 0,5

D = 0,707

D = 2



die Verläufe völlig verändern. Ebenso geht V1 aus V3 durch Entfernen des anderen Terms 4D2η 2 hervor (siehe Abschnitt 1.5.2.5).

1.5.6 Zusammenstellung zur harmonischen Zwangserregung des linearen Schwingers mit einem Freiheitsgrad

Bezeichnungen

m Masse c Federsteifigkeit b Dämpfungskonstante

m

c=0 Kennkreisfrequenz

20

220 1 D−=−= Eigenkreisfrequenz

m

b

2= Abklingkonstante

cm

b

c

b

m

bD

2220

00

==== Dämpfungsgrad

Ω Erregerkreisfrequenz

0

= Abstimmung(sverhältnis)

Kraft- oder Federkrafterregung:

Bewegungsgleichung tqqqDq sinˆ2 020

200 =++

Krafterregung: Bezugsgröße c

Fq

ˆˆ0 =

Federkrafterregung: Bezugsgröße scc

cq

s

s ˆˆ1

0 +=

Komplexer Frequenzgang ( ) ( )1

1222

2

121

21 ieVD

DiH −=

+−−−=

Vergrößerungsfunktion ( ) 2222

1

41

1

DV

+−=

Nacheilwinkel ,D ≤≤

−= 121 0

1

2arctan

Reine Zwangsschwingung ( )101 sinˆ tqVq(t) −=



Unwuchterregung oder Stützenerregung (bezüglich Relativkoordinate) Bewegungsgleichung tqqqDq sinˆ2 0

2200 =++

Unwuchterregung: Bezugsgröße m

mq 1

0ˆ =

Stützenerregung: Bezugsgröße sq ˆˆ0 =

Komplexer Frequenzgang ( ) ( )2

22

222

22

1221

21 ieVD

DiHH −=

+−−−==


22

1241 D

VV+−

==

Nacheilwinkel ,D ≤≤

−== 2212 0

1

2arctan


Stützenerregung (bezüglich Absolutkoordinate) Bewegungsgleichung ( )tDtqqqDq cos2sinˆ2 0

20

200 +=++

Bezugsgröße sq ˆˆ0 =

Komplexer Frequenzgang ( ) ( ) ( )3

3222

3222

1321

24121 ieV

D

DiDiDHH −=

+−−+−=+=

Vergrößerungsfunktion ( )( ) 2222

2222

13

41

4141

D

DDVV

+−

+=+=

Nacheilwinkel ( ) ,D

D ≤≤−−

= 322

3

3 0411

2arctan


Dämpferkrafterregung

Bewegungsgleichung tDqqqDq cos2ˆ2 0

20

200 =++

Bezugsgröße sbb

bq

s

s ˆˆ1

0 +=



Komplexer Frequenzgang ( ) ( )

( ) ( )3

222

22

121

1222 i

DD eVD

DiDDiHH −=

+−−+==


1

41

22

D

DDVVD

+−==

Nacheilwinkel ,D DD 2

2

1arctan

2

≤≤−−=

Reine Zwangsschwingung ( )DD tqVq(t) −= sinˆ0

1.5.7 Zur Schwingungsisolierung von Maschinen und Geräten

Die folgende treffende Erläuterung der wesentlichen Begriffe ist aus [8] entnommen:

„Es wird zwischen aktiver und passiver Schwingungsisolierung unterschieden. Statt Isolierung spricht man auch von Isolation, Entstörung oder Abschirmung.

Bei der aktiven Schwingungsisolierung geht es darum, die von einer Maschine oder sonstigen Quelle ausgehenden Kräfte so zu mildern, daß sie sich nicht mehr störend auf das Umfeld der Maschine auswirken. Von Haus aus wird man eine möglichst schwingungsarme Maschine anstreben (z.B. durch gute Auswuchtung oder durch guten Massenausgleich der bewegten Teile); diesbezüglich gibt es Grenzen des Machbaren.

Bei der passiven Schwingungsisolierung versucht man, die von außen, d.h. über das Fundament oder die Unterkonstruktion eindringenden Schwingungen (Erschütterungen, Stöße) so abzuschirmen, daß sie sich nicht mehr störend auswirken, z.B. auf die Funktion eines Meßgerätes, einer Werkzeugmaschine oder auf die Befindlichkeit und Gesundheit der hier tätigen Menschen....

Man erreicht die Isolierung durch zusätzliche Massen, Federn und/oder Dämpfer, die in gezielter Weise auf die Störfrequenzen abgestimmt werden. Man spricht von Isolierelementen. Für jede Aufgabenstellung gibt es i.a. eine optimale Lösung.“

Zur aktiven Schwingungsentstörung bei Krafterregung

Für die Krafterregung (Abschnitt 1.5.2.5) berechnet sich die über Feder und Dämpfer nach außen übertragene Fundamentkraft zu

+=+= qDqcqbcqFf

0

12

ω.

Damit folgt

( )qDicF, eFF fti

ff~21

~~ +== .

m

Oµ=0

q

bc

F(t)

Fundament



Mit

110ˆˆ~ HFHqcqc ==

erhält man

( ) 121ˆ~HDiFFf += .

Damit folgt die Fundamentkraft dem Frequenzgang

( ) 31 21ˆ

~HDiH

F

FH f

f =+== .

Es gilt also

( )33 sinˆ FVFf += ,

d.h., die Fundamentkraft folgt interessanterweise derselben Vergrößerungsfunktion V3 wie die Schwingung infolge Stützenkrafterregung (siehe Abschnitt 1.5.4).

Eine besonders gute Schwingungsisolierung wird demzufolge bei sehr kleinen Werten von V3 erzielt.

Ist der Schwinger hoch abgestimmt (η < 1), so gilt V3 > 1; d.h., je mehr sich η von unten dem Wert 1 nähert, umso wichtiger ist eine möglichst große Dämpfung.

Ist der Schwinger tief abgestimmt ( 2> ), so erreicht man dagegen mit einer möglichst kleinen Dämpfung die beste Isolierung. Dann hat man jedoch große Probleme bei der Resonanzdurchfahrt. Man muß deshalb den für die spezielle Aufgabe möglichst optimalen Kompromiß zu finden suchen.

Zur aktiven Schwingungsentstörung bei Unwuchterregung

Wie im Falle der Krafterregung gilt für die Fundamentkraft

+=+= qDqcqbcqFf

0

12 .

( )qDicF, eFF fti

ff~21

~~ +== .

Mit der Erregerkraftamplitude für Unwuchterregung (siehe Abschnitt 1.5.3)

21

ˆ mF =

folgt:

2222012

120

ˆ1ˆ~ HFHmH

m

cmHqcqc ==== ,

( ) 3122ˆ21ˆ21ˆ~

HFHDiFHDi

FFf =+=+= .



Der Frequenzgang der auf die Fliehkraft bezogenen Fundamentkraft ergibt sich also zu

3ˆ

~H

F

FH f

f ==

wie bei Krafterregung.

Für 2> ist also wieder eine kleine Dämpfung günstig. Hierbei muß aber beachtet werden, daß die Erregerkraftamplitude mit η 2 wächst. Bei Bezug auf eine konstante Vergleichskraft müßte V3 also noch mit η 2 multipliziert werden, so daß die Vergrößerungsfunktion mit η stark anwächst! Das bekräftigt die Aussage über die Bedeutung kleiner Dämpfung im überkritischen Frequenzbereich.

Zur passiven Schwingungsentstörung

Bei Relativdämpfung liegt genau der Fall des Abschnitts 1.5.4 vor, d.h., wieder ist die Vergrößerungsfunktion V3 maßgebend. Die Interpretation kann unmittelbar vom Fall der aktiven Schwingungsentstörung bei Krafterregung übernommen werden.

Eine Absolutdämpfung (bei vernachlässigbarer Relativdämpfung) entspricht dagegen der Federkrafterregung nach Abschnitt 1.5.2.5. Daher ist die Vergrößerungsfunktion V1 maßgebend. Daraus folgt, daß in jedem Falle eine große Absolutdämpfung günstig ist.



1.6 Ortskurven bei harmonischer Erregung (Beschränkung auf Krafterregung)

1.6.1 Ortskurve (Ortskurve des reduzierten Ausschlags)

Unter der Ortskurve versteht man die Darstellung des Imaginärteils über dem Realteil des Frequenzganges. Die Beziehungen

( ) ( ),

21

1Re

222

2

1D

H+−

−=

( ) ( )222121

2Im

D

DH

+−−=

können also als Parameterdarstellung der Ortskurve mit dem Parameter η aufgefaßt werden. Daraus kann man die folgende explizite Darstellung der Ortskurve gewinnen:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )0

4

ImReImReImRe

2

21

12

12

1

221

21 =−+−+

D

HHHHHH .

Die Ortskurven sind kreisähnliche Kurven, die mit abnehmender Dämpfung größer werden.

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 610

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

Re(H)

Im(H

)

0

η = 2 η = 0

η = 1.15

D = 0.7071 ψη = 0.9

η = 1.1

IH(η)ID = 0.2

η = 1.05D = 0.1

η = 0.95

D = 0.05

η = 1

Ortskurve des reduzierten Ausschlages Ortskurve (des reduzierten Ausschlags)

Im(H1)

Re(H1)

1

|H1(η)|



Wichtige Eigenschaften der Ortskurven:

.messung)(Dämpfungs2

11Im

,01Re

,0Im,00Im

,0Re,10Re

1

1

11

11

D)(H

)(H

)(H)(H

)(H)(H

−==

===∞→===∞→==

Der Phasenwinkel ψ1 und die Bogenlänge sind in der Umgebung von η = 1 am stärksten veränderlich. Der Betrag des Zeigers ist

11 VH = .

1.6.2 Inverse Ortskurve (Ortskurve der reduzierten Erregung)

Unter der inversen Ortskurve versteht man die Ortskurve von 1

1

H. Aus

DiH

211 2

1

+−= , 2

1

11

ReH

−=

, D

H2

1Im

1

=

erhält man als explizite Darstellung der inversen Ortskurve die Parabel

2

2

1

1 4

1Im

11

ReD

H

H

−=

und

=

1

11

1Re

1Im

tan

H

H.

Die Öffnung der Parabel wächst mit der Dämpfung. Der Betrag des Zeigers ist

11

11

VH= .



3

0

Im y η D,( )( )

360 Re y η D,( )( ) 35+

Aufbau der inversen Ortskurve (Ortskurve der reduzierten Erregung)

3 2 1 0 10

1

2

3

4

Re(1/H)

Im(1

/H)

Inverse Ortskurve des reduzierten Ausschlage s Inverse Ortskurven (Ortskurven der reduzierten Erregung) für einige Dämpfungsgrade

Bestimmung des Maximums der Vergrößerungsfunktion V1max und der zugehörigen Abstimmung max: Mit

=

=

11

1Im,

1Re

Hv

Hu:

gilt für den Fußpunkt des Lotes vom Koordinatenursprung auf die Parabel:

v

u

du

dv −= .

0 36

3

v

u

2Dη

-η²

ηmax

ψ1

1 V1

Im(H1)

Re(H1)

D=0,7071

D=0,2

D=0,1

D=0,05

1/V1(η=1,5)



Damit und aus

Dv,u,D

vu 21

41 2

2

2

=−=−=

folgt:

,4

212 du

dv

D

v

du

du −=

=

max

2max

max

22

2

1

2

22

maxmaxDv

u

D

D

v

D

du

dv −−=−=−=−= , ,12 2max

2D −=

2max 21 D−= .

1.6.3 Ortskurve in Polarkoordinaten

Die Ortskurve in Polarkoordinaten ist besonders gut geeignet für die experimentelle Bestimmung der Parameter eines Schwingers. Aus

( )

( ) ( )( ) 2

12

222

2

11111

2121

21

sincos1

VDiD

Di

iVeVH i

−−=+−−−=

−== −

folgt

F

qbq

cm

bVD

cF

mc ˆ

ˆˆ

222sin ˆ11 ===

bzw.

1sin1

ˆˆ

bF

q = .

Das ist eine Kreisgleichung in den Polarkoordinaten 1ˆˆ

ˆ undF

qr = mit dem Durchmesser

b

1 .



Ortskurve in Polarkoordinaten (kreisförmige Ortskurve)

Bei der experimentellen Bestimmung der Parameter des Schwingers ist das Ziel die Bestimmung

von m, b, c aus den Meßgrößen 1ˆ,q bei gegebenem F . Im allgemeinen genügen 3 Messungen zur Konstruktion des Kreises. Die Bestimmung der Parameter erfolgt in folgenden Schritten: 1. Dämpfungskonstante b:

2max

1

ˆ

ˆ

ˆˆ

1

q

F

F

qb

=

=

= ,

2. Masse m

21 1

2tan

D

−= ,

,14

31

4

,cot1cot

,01cot2

21

21

122

1

12

DD,DD

DD

D

++=

=++−=

=

++−=

=−+

D244

311 =

=−

= ,

m

bD ==

=−

= 011 2

44

3.

.

443

11

=−

=

= bm

P

ψ1

ψ1

1b

Fq

ˆˆ

Ω



3. Federsteifigkeit c:

m

c

=

==

= 2

12

1

1 ,

.21

2

== mc

Bemerkungen: 1. Die experimentelle Bestimmung ist besonders wichtig, wenn ein komplizierteres

Schwingungssystem auf das Modell des Einfreiheitsgradschwingers abgebildet werden soll. 2. Falls eine Phasenwinkelmessung nicht möglich ist, können alternativ die folgenden Werte

bestimmt werden:

max1 ˆ

ˆ

2

=

F

qbei ,

max11 ˆ

ˆ

2

2

4

3

4

=

=

F

qbeiund .



q

m

b

c µ=0

F(t)=F sin tΩ

1.7 Energie- und Leistungsberechnungen

Die folgenden Energie- und Leistungsberechnungen gewähren ergänzende Einblicke in das Verhalten des linearen Schwingers mit einem Freiheitsgrad.

Die Betrachtungen sollen auf die exemplarische Behandlung der Kraft-erregung beschränkt werden.

Schwinger mit Krafterregung

1.7.1 Freie ungedämpfte Schwingungen

Nach Abschnitt 1.3 gilt:

( )m

ctAtq

cqqm

=+=

=+

200 ,sin)(

,0

ωϕω

Energien in Abhängigkeit vom Ausschlag q

Wegen

( )22

0

0 ,cos

qAq

tAq

−=

+=

ω

ϕωω

gilt für die kinetische Energie:

( )

( ).2

1

,2

1

22

2220

qAcT

qAmT

−=

−= ω

Die Potentielle Energie ist:

.2

1 2cqU =

Damit erhält man die gesamte mechanische Energie

.konst2

1 2 ==+= cAUTW

Das entspricht dem Energieerhaltungssatz, der gilt, weil das System als konservativ voraus-gesetzt wurde.



WW

U

Tq

0 A

Energien in Abhängigkeit vom Ausschlag q

Energien in Abhängigkeit von der Zeit

In Abhängigkeit von der Zeit t lassen sich die Energien wie folgt darstellen:

( )

( ).sin2

1

,cos2

1

022

022

ϕω

ϕω

+=

+=

tcAU

tcAT

Die folgende Umformung verdeutlicht die Kreisfrequenz dieser Verläufe:

( )( )[ ]

( )( )[ ].2cos14

1

,2cos14

1

02

02

ϕω

ϕω

+−=

++=

tcAU

tcAT

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 1,57 3,14 4,71 6,28

Energien in Abhängigkeit von der Zeit t

Leistung

Die Berücksichtigung der Massenbeschleunigungskraft

qmFM −=

0 π/2 π 3/2 π ϕω +t0

W W

U

T



neben der Federkraft

cqFF −=

ermöglicht in allen Fällen eine Leistungsbilanz mit verschwindender Summe aller Leistungen P. Hier gilt:

.

,

dt

dUqcqqFP

dt

dTqqmqFP

FF

MM

−=−==

−=−==

Wegen

0=+ cqqm

folgt

.,0 UTWdt

dWPP FM +==−=+

Diese Beziehung bringt das Wechselspiel der “inneren Leistungen“ zum Ausdruck.

1.7.2 Freie gedämpfte Schwingungen


( ) .1,sin)(

,02

022

0 DtAetq

cqqbqm

t −=−=+=

=++− ωδωωϕωδ

Energien in Abhängigkeit von der Zeit

Mittels Differentiation erhält man

( ) ( )[ ]( ).eA(t)q

,eA(t)qW

W

++=+++−=

−

−

ϕϕϕ

cos

cossin

0

Aus Additionstheorem und Koeffizientenvergleich folgt:

D,D 002

00 sin1cos −=−=−−== .

Dabei gilt für den Dämpfungswinkel Θ (Phasendifferenz zwischen q und q ):

.D

D,DD,

2

2

1tan1cossin

−=−==



Damit erhält man die Kinetische Energie:

( )

( )( )[ ],ecA

ecAT

W

W

+++=

++=

−

−

ϕ

ϕ

2cos14

1

cos2

1

22

222

die Potentielle Energie:

( )

( )( )[ ]ϕω

ϕω

δ

δ

+−=

+=

−

−

tecA

tecAU

t

t

2cos14

1

sin2

1

22

222

und die gesamte mechanische Energie:

( )( )[ ]ecAUTW W ′+++=+= − ϕ2cos12

1 22

mit

.D

D,D,DD

222 1

tan2cos12sin−−=′−=′−=′

Die von der Dämpfungskraft während der Periodendauer ωπ2=T geleistete Arbeit beträgt

( ) ( )( )( ) .01

,2

0

00

<−==

=−+==− T

DT

DT

ettWW

ttWTttWWδ

Damit ergibt sich das Logarithmische Dekrement der Energie

.

,eT)W(t

)W(t

e

7e

22

1lnln

20

0

==

=+

= −

Leistung

Mit der Leistung der Dämpfungskraft FD = -b q ,

2qbqFP DD −== ,

ergibt sich die Leistungsbilanz

UTWqbdt

dWPPP DFM +==−−=++ ,02



mit dem Energiegradienten

2qbdt

dW−= .

Es gilt auch:

( )∫+

−=Tt

tDT dttq

T

bW

0

0

2 .

1.7.3 Stationäre erzwungene Schwingungen bei Krafterregung


( ) ( )1sinˆ ψΩ −= tqtq , ( )1cosˆ ψΩΩ −= tqq

mit

( ) 22221001

41

1;

ˆˆ;ˆˆ

ηη DV

c

FqqVq

+−=== ,

πψηηψηψηψ ≤≤

−=−== 1211

2111 0;

1

2tan;)1(cos;2sin

DVVD .

Energien

Mit der kinetischen Energie

2220

21

2222 cosˆ2

1

2

1cmm),t(qmqmT ==−== ,

[ ]))t((qcT 122 2cos1ˆ

4

1 −+=

und der potentiellen Energie

[ ]))t((qcU

)t(qccqU

12

1222

2cos1ˆ4

1

,sinˆ2

1

2

1

−−=

−==

erhält man die gesamte mechanische Energie

[ ].2cos11ˆ4

11

222 ))(()(qcUTW −−−+=+=



Sie ist periodisch mit der Kreisfrequenz Ω2 , die Amplitude wächst mit 21 η− , und es gilt

( ) konstW ==1η .

Leistung

„Innere Leistungen“:

Innere Leistungen sind die Leistungen der Massenbeschleunigungs- und der Federkraft

( ) ( )( )122 2sin1ˆ

2

1tqc

dt

dWPP FM −−−=−=+

und die Leistung der Dämpfungskraft

[ ]))t((qbqbPD 1222 2cos1ˆ

2

1 −+−=−= .

Mit

121

1 sinˆˆ1

cosˆˆˆ Fqb,FVFqc =−

==

(siehe auch Abschnitt 1.6.3, Ortskurve in Polarkoordinaten) folgt:

,2sincosˆˆ2

111 ))t((qFPP FM −−=+

[ ].2cos1sinˆˆ2

111 ))t((qFPD −+−=

„Äußere“ Leistung der Erregerkraft:

Eine äußere Leistung ist die Leistung der Erregerkraft

)t(qtFqFPE 1cosˆsinˆ −== .

Mit der Zwischenrechnung

( )( )

( ) 11

11

12

11

2sinsin2

1

sin2cos1cos2sin2

1

sinsincoscossincossin

t

tt

tttt

−+=

−+=

+=−



PM+PF

-2

folgt

( )[ ].2sinsinˆˆ2

111 tqFPE −+=

Wegen

( ) ( )( ) 1111111 sin))(2cos(cos))(2sin(2sin2sin ψψψψψψψ −+−=+−=− t

folgt unmittelbar die Bestätigung der Leistungsbilanz:

.0=+++ DFME PPPP

0 1.57 3.14 4.71 6.28 7.85 9.422

1

0

1

2

PE t( )

PMF t( )

PD t( )

t

Leistungen von Erregerkraft ( EP ), Massenbeschleunigungs- und Federkraft ( FM PP + ) und

Dämpfungskraft ( DP ) bezogen auf 2/ˆˆˆ ΩqFPS = für 1.0,95.0 == Dη

Hinweis:

Es ist interessant, daß auch folgende Beziehung gilt:

[ ]ttqFPPP DFM 2cos1sin2sincosˆˆ2

111 −+−=++ .

Dabei sind die beiden Bestandteile im Vergleich zu FM PP + und DP nur phasenverschoben.

Der erste Bestandteil entspricht der in [Karl Klotter: Technische Schwingungslehre, Bd. 1,

PE

PD

P

Pˆ

0 π 2π 3π Ω t



Springer-Verlag Berlin/Göttingen/Heidelberg 1951] definierten Blindleistung als der in der komplexen Ebene vorgenommenen Projektion der Kraft auf die Geschwindigkeit. Vermutlich hat Klotter damals die Phasenverschiebung zwischen Zeit und Geschwindigkeit vergessen zu beachten. In späteren Ausgaben ist diese Betrachtung nicht mehr enthalten.

Weitere Interpretation von EP :

Für die Leistung der Erregerkraft ist auch folgende Darstellung nützlich:

)t(PPP SWE 12sinˆ −+= .

Der konstante Anteil wird als Wirkleistung bezeichnet:

∫ ====T

01EmEW

2T,qF

2

1PdtP

T

1P sinˆˆ , Index m : Mittelwert.

Die Amplitude des mittelwertfreien, harmonischen Anteils heißt Scheinleistung:

qF2

1PS ˆˆˆ = .

Nach [5] sei noch die Blindleistung eingeführt:

)(PP SBl 12sinˆ −= .

Diese Definition entspricht nicht dem entsprechenden Begriff in der Elektrotechnik. Die Begriffsdefinition in der Mechanik ist in der Literatur nicht einheitlich, siehe die Zusammenstellung am Ende dieses Abschnitts.

Dann gilt auch:

PE = PW + PBl .

Weiter gilt:

.PPP, P, PPP WEmDmFmMmSW ==−=+= 0sinˆ1

Während die Wirkleistung allein durch den Dämpfer bedingt ist, wird der harmonische Anteil durch alle 3 „inneren“ Leistungsanteile ( PM, PF,PD) bestimmt.



PE=PW+PBl

SP

SP

1.89

1.2−

P W t( )

P Bl t( )

P W t( ) P Bl t( )+

9.4247780 t

Leistung der Erregerkraft als Summe von Wirk- und Blindleistung bezogen auf die

Scheinleistung SP für 1.0,95.0 == Dη

Schwingungstechnische Schlußfolgerungen

Es folgt eine Diskussion des Einflusses von Ω und b bzw. von η und D bei im übrigen konstanten Parametern:

Mittels Einsetzens von 11001 2sinˆˆ VD,qVq η=== folgt

.VDqFP

,qFP

W

S

21

200

100

2ˆˆ2

1

ˆˆ2

1ˆ

=

=

Diesen Leistungsanteilen entsprechen die Vergrößerungsfunktionen

( )

2222

22

12

0

22221

0

41

22

41

ˆ

D)(

DVD

P

PV

,D

P

PV

WW

SS

+−===

+−===

mit 000 qF2

1P ˆˆ= .

PW

PBl

Ω t

SP

Pˆ

2

1

0

-1

0 π 2π 3π



Wichtige Eigenschaften der Vergrößerungsfunktionen:

. ( ) ,V)(V WS 000 ====

,0limlim ==∞→∞→

WS VV

. ( ) D

2222S

W V4D1

2D

V

V =+−

=

(siehe Abschnitt 1.5).

Resonanzbetrieb 1=η :

Im Resonanzfall folgt

1=== maxS

W

1S

W

V

V

V

V.

Das wird dadurch bestätigt, daß

SSW PP P, ,: ˆsinˆ1sin2

1 111 =====

gilt, und entspricht der maximalen Wirkleistung bezüglich der Scheinleistung

4D

11)(V1)(V SW ==== .

Kleine Dämpfung erfordert also eine große Leistung (siehe Abschnitt 1.5).

. Sonderfall D = 0:

In diesem Fall gilt:

.)1,0(DV ,0)0(DV ,0)0(DV SSW ∞→==≠=== η

Der Resonanzbetrieb des ungedämpften Schwingers erfordert also eine unbegrenzt wachsende Scheinleistung bei unbegrenzt wachsendem Ausschlag.



Zusammenstellung zu verschiedenen Definitionen der Begriffe Blind- und Scheinleistung bei harmonischer Erregung des linearen Einfreiheitsgradschwingers

Es sei: qF2

1PS ˆˆˆ = .

Dann wird in der Literatur einheitlich die Wirkleistung definiert zu

1sinˆ ψSW PP = .

Hinsichtlich der Begriffe Schein- (PS) und Blindleistung (PBl) findet man z.B. die Definitionen:

Klotter (1951): - 1cos2sinˆ ψtPP SBl =

Klotter [2]: - -

Magnus/Popp [5]: - )2sin(ˆ1ψ−= tPP SBl

Wittenburg [4]: SS PP ˆ= -

Hagedorn/Otterbein [3]: SS PP ˆ= 22 ˆSWBl PPP −=

Fischer/Stephan [1]: SS PP ˆ= SWBl PPP ˆ−=

Gewählte Definition: SS PP ˆ= )2sin(ˆ1ψ−= tPP SBl



1.8 Erzwungene Schwingungen bei nichtperiodischer Erregung

Vorbemerkungen:

Periodische Erregung:

Eine allgemeine periodische Erregung soll mittels Fourierreihe und Superpositionsprinzip auf eine harmonische Erregung zurückgeführt werden (siehe auch Abschnitt 1.5.1). Dabei ist die Filterwirkung des Schwingers zu beachten, nämlich der größte Einfluß der Harmonischen, deren Frequenz sich in Resonanznähe befindet.

Nichtperiodische Erregung:

Das allgemeine mathematische Verfahren der Variation der Konstanten (siehe Mathematik) soll hier nicht behandelt werden.

Es werden jedoch weitere grundlegende Verfahren von prinzipieller Bedeutung erläutert.

1.8.1 Lösung mittels der Stoßfunktion

Gegeben sei die Bewegungsgleichung

)(tFcqqbqm =++

mit

)()( tItF = .

Wichtige Eigenschaften der Diracschen Deltafunktion (Stoßfunktion) ( )..δ :

Die Diracsche Deltafunktion ist definiert durch

=∞

=sonst.

xfürx

0

0)( , ( ) ( )xx −= .

Für ihre Intensität gilt:

∫∞

∞−

= 1)( dxx .

Sie besitzt die wichtige Filtereigenschaft:

)()()( xfdyyxyf =−∫∞

∞−

(Voraussetzung: ( )yf stetig für xy = ).



-0 +0t

Im δ(t)

Für eine Maßstabsänderung bei x mit konst.a = , 0>a gilt:

)(1

)( xa

ax = .

Diese Beziehung ist besonders auch für Dimensionsbetrachtungen geeignet.

Die Diracsche Deltafunktion ist keine gewöhnliche Funktion, sie gehört mathematisch zu den sog. Distributionen.

Die Intensität des beliebigen unendlich kurzzeitigen Stoßes F(t) beträgt:

[ ] ZeitKraftIkonst.,I ×== .

Nach Division der Bewegungsgleichung durch m erhält man mit den Abkürzungen nach Abschnitt 1. 4

)(2 20 t

m

Iqqq =++ .

Es gelten die Anfangsbedingungen

,q,q 0)0(0)0( =−=−

d.h., der Schwinger soll vor dem Stoß in Ruhe sein.

Das Problem soll in eine andere, aber gleichwertige Aufgabe überführt werden. Auf m bezogene Erregerfunktion

Für t ≥ + 0 gilt die Differentialgleichung

.qqq 02 20 =++

Der Stoß wird jetzt über geänderte Anfangsbedingungen erfaßt.

Aus der Stetigkeit folgt:

1. 0)0( =+q .

Die Integration der ursprünglichen Differentialgleichung,

∫∫+

−

+

−

+

−

+

−==++

0

0

0

0

20

0

0

0

02

m

I

m

Iqdtq

liefert

2. m

Iq ==+ 0)0( .



Damit erhält man die Lösung (siehe Abschnitt 1.4)

( ) 220sin)( ,eAtq −=+= − ϕ ,

( ) ( )[ ]ϕϕ +++−= − eAtq cossin)( .

Aus den Anfangsbedingungen folgt:

[ ] .m

IvA

,A

==+−

=

0cossin

0sin

ϕϕ

ϕ

Gewählt sei der Wert 0=ϕ . (Der andere mögliche Wert πϕ = führt infolge Änderung des Vorzeichens von A zur gleichen Lösung.)

Damit folgt

m

IvA == 0 ,

em

Ie

vq(t) WW sinsin0 −− == .

Systemantwort für Einheitsstoß:

Die Systemantwort auf einen Einheitsstoß heißt Stoßübergangsfunktion oder Gewichtsfunktion:

[ ]ZeitxKraft

Längeq,

I

tqtq StSt == )()( ,

.sin1

)( em

tq W

St−=

Dimensionslose Stoßübergangsfunktion in Abhängigkeit von der dimensionslosen Zeit

0 3.14 6.28 9.42 12.571

0.5

0

0.5

10.858

0.626−

q st t( )

4 π⋅0 t

qSt mω

ω0 t

D = 0,1

0 π 2π 3π 4π



F(t)

ttk tk+1∆t

Die Antwort auf einen Einheitsstoß zur Zeit t = ist damit

.)(sin1

)( )( tem

tq tSt −=− −−

Bestimmung der Lösung für eine beliebige Erregung F(t) durch Superposition der Lösungen für eine Folge von Einzelstößen:

Annäherung der Erregungsfunktion durch endlich viele Stöße

Die Rechtecke gehen beim Grenzübergang in D i r a c –Stöße über.

Dementsprechend lautet der Lösungssatz

( ) ( )∑=

+<≤−≈n

kkkkkStkk tttqItq

11)(

mit der Intensität des k-ten Stoßes

tFtI kkk )()( = .

Damit folgt:

( ) ( )∑=

−≈n

kkStk tqFtq

1

)( .

Der Grenzübergang im Sinne der Definition des Riemannschen Integrals liefert schließlich:

.)()()(0

dtqFtq St

t

−= ∫ (1)

Diese Gleichung ist auch mittels der Variation der Konstanten herleitbar.



Voraussetzung für die Gültigkeit der Lösung ist, daß sich der Schwinger zur Zeit t = 0 in Ruhe befindet.

Zur Befriedigung allgemeiner Anfangsbedingungen ist die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung hinzuzufügen.

Umformung der Beziehung (1):

Mittels der Variablensubstitution

( ) ( ) 00 ====−=−= tst,sds,dts

folgt aus Beziehung (1):

∫ −−=0

tSt(s)dsqs)F(tq(t) .

Nach der Umbenennung s → τ erhält man das mit Beziehung (1) gleichwertige Ergebnis

.)()()(t

0∫ −= dtFqtq St (2)

Wegen 00)( <≡ tfürtF und ( ) ∞=−∞=s gilt auch:

( ) ( ) .)()()(0

dtFqdtqFtq StSt

t

−=−= ∫∫∞

∞− (3)

Schließlich gilt das Kausalitätsprinzip:

0für0)(für0)( <=<=− q,ttq StSt .

Daher ist auch die folgende Darstellung möglich:

( ) .)()()()( dtFqdtqFtq StSt ∫∫∞

∞−

∞

∞−

−=−= τ (4)

Es ist nützlich, sich die Gleichwertigkeit von (1) und (2) mit (3) sowie mit (4) zu vergegen-wärtigen.

Die Integrale in (4) heißen Faltungsintegrale und werden symbolisch wie folgt dargestellt:

)()()()()( tFtqtqtFtq StSt ∗=∗= .

(Manchmal wird dieser Begriff auch für die Darstellungen (1) – (3) verwendet).



1.8.2 Lösung mittels der Sprungfunktion

Gegeben sei wieder die Bewegungsgleichung

)(tFcqqbqm =++ .

Es sei jetzt (Sprungfunktion):

>≤

=.tfürF

,tfürtF

0

00)(

0

Für t > 0 gilt dann:

0Fcqqbqm =++ ,

bzw.

m

Fqqq 02

02 =++

mit den Anfangsbedingungen

.tq,tq 0)0(0)0( ====

Aus der allgemeinen Lösung (siehe auch Abschnitt 1.4)

( )c

FeAtq W 0sin)( ++= − ϕ

folgt:

( ) ( )[ ]ϕϕ +++−= − eAtq cossin)( .

Die Anfangsbedingungen liefern

0)cossin(0sin 0 =+−=+ ϕϕϕ A,c

FA ,

D

D

D

D 2

0

20 11

tan−=−==ϕ .

21sin D−=ϕ ,

+ ϕϕ

2tan1

tan, D=ϕcos ,

+ ϕ2tan1

1,

2

0

1 Dc

FA

−−= , ( ) .sin

11)(

20

+

−−=

−ϕ

D

e

c

Ftq



Für den im Abschnitt 1.7.2 eingeführten Dämpfungswinkel Θ gilt:

ϕϕ sincoscossin == , ,

( ) ( ) −=+=+=+ coscoscossinsinsincoscossinsin ϕϕϕ .

Damit ist auch folgende Darstellung möglich:

( ) .cos1

1)(2

0

−

−−=

−

D

e

c

Ftq

Systemantwort für Einheitssprung:

Die Systemantwort auf einen Einheitssprung ist die Sprungübergangsfunktion, in der Regelungstechnik einfach Übergangsfunktion genannt,

[ ]Kraft

Längeq,

F

tqq SpSp ==

0

)(,

( ) .D

e

ctq

Sp

−

−−=

−cos

11

1)(

2

0 3.14 6.28 9.42 12.570.5

0

0.5

1

1.5

21.729

1.681− 105−×

q Sp t( )

4 π⋅0 t

Dimensionslose Sprungübergangsfunktion in Abhängigkeit von der dimensionslosen Zeit

Damit folgt die Antwort auf einen Einheitssprung zur Zeit t =

( )( ) .tD

e

ctq

t

Sp

−−

−−=−

−−cos

11

1)(

2

)(

cqSp D = 0,1

0 π 2π 3π 4π

ω0 t



F(t)

t

F(0)

tk tk+1∆t

Bestimmung der Lösung für eine beliebige Erregung F(t) durch Superposition der Lösungen für eine Folge von Einzelsprüngen:

Annäherung der Erregungsfunktion durch endlich viele Sprünge

Zur Bestimmung der Lösung für eine beliebige Erregung dient der Lösungsansatz

( ) ( )∑=

−+≈n

kkSpkkSp tq tqFtq

1

)()0()(

mit dem k-ten Einzelsprung

1)(

)( +=

≤≤= k’kk

ttkk ttt

dt

tdFt

’k

.

Dabei wird die Existenz des Differential-Quotienten vorausgesetzt.

Damit folgt:

τtqd

dFtqFtq kSp

n

kSp

’k

)()(

)()0()(1

−+≈==

∑ .

Nach dem Grenzübergang im Sinne des Riemannschen Integrals erhält man:

.)()(

)()0()(0

dtqd

dFtqFtq Sp

t

Sp −+= ∫ (5)

Voraussetzung für die Gültigkeit der Lösung ist, daß sich der Schwinger zur Zeit t = 0 in Ruhe befindet.

Zur Befriedigung allgemeiner Anfangsbedingungen ist wieder die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung hinzuzufügen.

Im Sonderfall F(0)=0 heißt Beziehung (5) Duhamelsches Integral:

.dtqd

dFtq

t

Sp∫ −=0

)()(

)( (6)



Zusammenhang zwischen den Formeln (1) und (6):

Partielle Integration der Gleichung (6) liefert

dd

tdqFtqFtq

tSpt

Sp ∫−

−−=0

0

)()()()()(

bzw. wegen F(0) = 0

dd

tdqFtq

tSp∫

−−=

0

)()()( .

Der Vergleich mit Beziehung (1) liefert den Zusammenhang

.d

tdqtq Sp

St

)()(

−−=−

Diese Beziehung kann wie folgt bestätigt werden:

( )[ ] ( )[ ] ttD

e

cd

tdq tSp −−+−−

−=

−− −−sincos

1

1)(

2

)(

)(cossin)(sincos)(sinsin)(coscos1

12

)(

ttttD

e

c

t

−−−+−+−−

=−−

Wegen

2200 1cossin1 DD,,DD, −==−==

folgt:

0cossin0sincos , =+=− ,

mcDc

11

1

1 20

2

0 ==−

und damit

)()(sin1)( )( tqte

md

tdqSt

tSp −=−=−

− −− .

Wegen der Verwandtschaft und der engen Zusammenhänge zwischen den Beziehungen (1) und (6) wird auch die Beziehung (1) öfter als Duhamelsches Integral bezeichnet.



2 Schwingungen in linearen Systemen mit mehreren Freiheitsgraden

2.1 Definitheit von Formen und Matrizen

Betrachtet wird eine reelle quadratische Form in den nxx ,...,1 mit symmetrischen Koeffizienten

jiij aa = , ,...,ni,j 1= :

∑=

==n

i,jjiij

T xxa12

1

2

1xAx ,

[ ] T

nnn

nT

n

aa

a....aa

,...xx AAx =

==

1

11211

1

Diese quadratische Form heißt:

(eigentlich) positiv definit, wenn 0> für jedes x ≠ 0,

positiv semidefinit, wenn 0≥Φ für jedes x und wenn Werte x ≠ 0 mit Φ = 0 existieren.

Entsprechend sind negativ definit und negativ semidefinit definiert. Eine quadratische Form, die keine der genannten Eigenschaften besitzt, heißt indefinit.

Mit Φ heißt auch ihre Matrix A positiv definit, positiv semidefinit etc.

Für eigentlich definite Formen gilt:

A ist regulär, ( ) 0det ≠A .

Für semidefinite Formen gilt:

A ist singulär, ( ) 0det =A .

Schreibweise:

A > 0 bedeutet: A ist (eigentlich) positiv definit;

A ≥ 0 bedeutet: A ist positiv semidefinit.

Eine notwendige und hinreichende Bedingung für positive Definitheit von Matrizen ist, daß sämtliche Hauptabschnittsdeterminanten positiv sind (auch: Satz von Sylvester):

0,0,0

33

131211

2221

121111 >

⋅⋅⋅⋅⋅>>

a

aaa

aa

aaa , ...

Ist keine der Hauptabschnittsdeterminanten negativ, so ist die Matrix mindestens positiv semi-definit. Dabei dürfen mit A auch beliebig viele Hauptabschnittsdeterminanten verschwinden.



2.2 Methoden zur Aufstellung der Bewegungsgleichungen

2.2.1 Lagrangesche Bewegungsgleichungen 2.Art

Einschränkende Voraussetzung: Das System sei holonom und skleronom.

Vorläufige Annahmen: Das System sei konservativ und habe eine stabile statische Gleich-gewichtslage. Diese sei Ursprung (Null-Lage) der verallgemeinerten Bewegungskoordinaten

[ ]T

fqq ...1=q .

Die Anzahl der Freiheitsgrade sei f .

Dann kann die Vorschrift zur Aufstellung der Lagrangeschen Bewegungsgleichungen 2. Art wie folgt formuliert werden:

fkQq

T

q

T

dt

d ek

kk

,...,1,)( ==∂∂−

∂∂

mit den verallgemeinerten eingeprägten Kräften

vkonservatiˆ, )()()( =∂∂−== k

k

kk

ek q

UQQ .

Mit der Lagrangeschen Funktion

UTL −= ,

erhält man für die Lagrangeschen Bewegungsgleichungen die alternative Gestalt

fkq

L

q

L

dt

d

kk,...,1,0 ==

∂∂−

∂∂

.

Für die betrachteten Systeme läßt sich die kinetische Energie als quadratische Form in den verallgemeinerten Geschwindigkeiten

( ) ( ) ( ) ji

f

jiij

T qqmT ∑=

==1,2

121

, qqqMqqq

mit einer zeitunabhängigen symmetrischen, positiv definiten Massenmatrix

( ) ( ) 0qMqM >= T

darstellen.



Die Linearisierung der Bewegungsgleichungen in der Umgebung der Gleichgewichtslage entspricht der Beschränkung auf die ersten Glieder der Maclaurinschen Reihe der Elemente der Massenmatrix

( ) ( ) ( )...q

q

mmm k

k

ijf

1kijij +

∂∂

+===

∑0q

q0q ,

d. h. auf die von q unabhängigen Glieder:

( ) ( )0q ijij mm ≈ .

Damit folgt:

.konstM = , qMq T

21

T = .

Unter den genannten Voraussetzungen und Annahmen gilt für die potentielle Energie U

0qU

i=

∂∂

=0q

, ( ) MinimumU == 0q = 0

als Bedingung für die Stabilität der statischen Ruhelage nach Lagrange/Dirichlet. Daraus folgt: Die Glieder nullter und erster Ordnung in q verschwinden.

Der Linearisierung der Bewegungsgleichungen in der Umgebung der Gleichgewichtslage entspricht die Beschränkung auf die Glieder 2. Ordnung (d. h. die Vernachlässigung der Glieder ab 3. Ordnung):

∑=

==f

ji,jiij

T qqkU12

121

qKq

mit der Steifigkeitsmatrix

0KK >= T .

Die Symmetrie der Steifigkeitsmatrix folgt aus dem Satz von Maxwell-Betti.

Da die Null-Lage der Koordinaten als die stabile statische Gleichgewichtslage vorausgesetzt wurde, wird für einen beliebigen Verschiebungszustand potentielle Energie gespeichert, was die positive Definitheit bestätigt.

Verallgemeinerung:

Die am Beginn des Abschnitts formulierten vorläufigen Annahmen sollen im folgenden nicht mehr als gegeben vorausgesetzt werden. Der Ursprung (die Null-Lage) der verallgemeinerten Koordinaten wird also nicht mehr als stabile statische Gleichgewichtslage vorausgesetzt, und es werden auch nichtkonservative Kräfte zugelassen. Es wird jedoch noch die Verwendung von Absolutkoordinaten vorausgesetzt.



Diese Verallgemeinerung läßt folgende Eigenschaften des Systems zu:

1. 0K =det

Die Steifigkeitsmatrix ist singulär, was z.B. für ungefesselte Schwingerketten, allgemeiner für Systeme mit möglichen Starrkörperverschiebungen, zutrifft. Damit gilt nur noch

0K ≥ .

Die statische Gleichgewichtslage bei Vorhandensein konservativer Lagerkräfte, die bei einer kleinen Verschiebung eine Abnahme der potentiellen Energie bewirken, ist instabil. Dann ist die Steifigkeitsmatrix indefinit. Das trifft z. B. für das sogenannte „Überkopfpendel“ zu.

2. Dämpfungs- und Erregerkräfte:

Es sei außerdem die folgende allgemeinere Zusammensetzung der verallgemeinerten Kräfte zugelassen:

( ) ( ) )()()()()( tQQQQ Ek

Dk

kk

ek ++= qq

Erregerkräfte dissipative Kräfte konservative Kräfte

Lineare viskose Dämpfungskräfte lassen sich mittels der Dissipationsfunktion

( ) ,2

1qDqq TF =

in der Form

( )k

(D)k q

FQ

∂∂−=q

darstellen. Dabei ist D die konstante symmetrische Dämpfungsmatrix:

.TDD =

Damit erhält man die folgende allgemeinere Lagrangesche Vorschrift zur Aufstellung der Bewegungsgleichungen:

( )tQq

F

q

L

q

L

dt

d (E)k

kkk=

∂∂+

∂∂−

∂∂

.

Allgemeiner Hinweis zur Ausführung der Differentiationen nach kk qbzw.q in der Matrizendarstellung:

Für die quadratische Form

xAxT

2

1=Φ



seien A eine symmetrische quadratische Matrix sowie ZiA die i-te Zeile und damit ( )TZ

iA die

i-te Spalte von A . Dann gilt

( ) xAAxxA Zk

TZk

TZk

kx=+=

∂∂

21

21

.

Dementsprechend erhält man nach der Lagrangeschen Vorschrift:

[ ] T(E)f

(E)(E)(E) ....QQ(t)(t), 1==++ QQKqqDqM .

Hinweis:

Bei Verwendung von Relativkoordinaten können auch gyroskopische Glieder qG mit der schiefsymmetrischen Matrix

GG −=T

auftreten:

( ) )()( tEQKqqGDqM =+++ .

2.2.2 Kraftgrößenmethode

Diese Methode ist besonders geeignet für ungedämpfte Tragwerke mit konzentrierten Massen und relativ einfacher Struktur, vor allem, wenn die elastischen Elemente nicht konzentriert sind.

Beispiel: Systeme aus masselosen Balken und starren Körpern und/oder Massenpunkten

Die Methode ist ingenieurmäßig anschaulich und hat enge Beziehung zum Verfahren von Castigliano.

Demonstration des Verfahrens anhand eines Beispiels (nach [1])

Masseloser Balken mit zwei Massenpunkten

Es sei ein masseloser Balken mit 2 Massenpunkten betrachtet, der ebene Biegeschwingungen mit 2 Freiheitsgraden ausführt.

Entsprechend dem d’Alembertsches Prinzip gilt:

q2

a a a

q1

m1

m2

F1

F2

EI, masselos

m = m m =m1 22 ,



[ ]Tf1...qq=+−= qQqMQ ,*

mit den Verschiebungs- und/oder Winkelkoordinaten q , den zugehörigen verallgemeinerten Kräften (Kräften und/oder Momenten) Q und der Massenmatrix M .

Für das behandelte Beispiel gilt:

+

−=

+

−=

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1*2

*1

F

F

q

q

1

2m

F

F

q

q

m

m

Q

Q

0

0

0

0

Dem d’Alembertschen Prinzip entsprechende statische Betrachtung:

Mit der (statischen) Nachgiebigkeitsmatrix, der Matrix der Verschiebungseinflußzahlen (Verschiebungen und/oder Verdrehungen),

THH =

erhält man die Verschiebungen

*QHq = .

Nach Einsetzen von *Q ergeben sich die Bewegungsgleichungen

.QHqqMH =+ (1)

Die neue „Massenmatrix“ HM ist i. a. unsymmetrisch, die zugehörige „Steifigkeitsmatrix“ ist die Einheitsmatrix.

Die Gestalt der Bewegungsgleichungen ist gut geeignet zur Bestimmung der kleinsten Eigenfrequenzen mittels der Methode der reziproken Vektoriteration (siehe Abschnitt 2.3.5.2).

Für das behandelte Beispiel ergeben sich die Nachgiebigkeitsmatrix

=

=

87

78

18EI

ahh

hh 3

2221

1211H

und unter der einschränkenden Annahme 0,0 21 == FF die Bewegungsgleichungen

=

+

0

0

814

716

18 2

1

2

13

q

q

q

q

EI

ma

.

Mittels Multiplikation von links mit K = H-1 können die Bewegungsgleichungen umgeformt werden in die Gestalt, die der analytischen Methode nach Lagrange entspricht:

.QKqqM =+ (2)

Für das Beispiel folgt so:



=

−

−+

0

0

87

78

5

610

02

2

13

2

1

q

q

a

EI

q

qm

.

Diese Möglichkeit der Umformung ist mit dem Nachteil verbunden, daß die Nachgiebig-keitsmatrix invertiert werden muß.

Weitere Möglichkeiten zur Transformation der Bewegungsgleichungen in eine Gestalt mit symmetrischen Matrizen, jedoch ohne die Notwendigkeit der Inversion der Nachgiebig-keitsmatrix:

a) Cholesky-Zerlegung der Massenmatrix

Mittels der Cholesky-Zerlegung der Massenmatrix

RRM T= ,

wo R eine obere Dreiecksmatrix ist, und der Koordinatentransformation

uRq 1−=

ergeben sich nach Multiplikation von (2) von links mit ( ) 1−TR die Bewegungsgleichungen

QuKu ′=′+ (3)

mit

( ) ( ) QRQKRRK111

,−−− =′=′ TT .

Diese Transformation hat hinsichtlich einiger Lösungsverfahren den Vorteil, daß die neue „Massenmatrix“ die Einheitsmatrix ist.

Für das ausgewählte Beispiel ergibt sich:

=

−

−+

=

0

0

856

10

02

2

1

227

227

32

1

u

u4

ma

EIu

u;m

R .

b) Inversion der Massenmatrix

Mit der Koordinatentransformation

vMq 1−= folgt aus (1): .1 QHvMvH =+ − (4)

Für das Beispiel erhält man auf diesem Wege:

=

+

0

0

20

01

287

78

18 2

1

2

13

v

v

m

1

v

v

EI

a.



2.2.3 Deformationsmethode

Die Deformationsmethode dient der Erfassung des Einflusses verteilter Massen. Ihre Anwendung soll hier exemplarisch beschränkt werden auf Systeme aus massebehafteten Balken und evtl. starren Körpern und/oder Massenpunkten.

Die Methode ist besonders geeignet für hochgradig statisch unbestimmte Tragwerke und für komplizierte Strukturen.

Sie basiert auf einer Diskretisierung mittels Zerlegung in schwingungsfähige Elemente.

Mehrparametrige Verformungsansätze i.d.R. in Verschiebungen und Verdrehungen an den sog. Knoten (ausgezeichneten Punkten) der Elemente liefern Elementmassenmatrizen eM und

Elementsteifigkeitsmatrizen eK .

Die Deformationsmethode ist die Grundlage der Finite-Elemente-Methode (FEM). Die Güte der Ergebnisse ist wesentlich von der Feinheit der Diskretisierung abhängig.

Ziel ist die Aufstellung der Bewegungsgleichungen

QKqqM =+

in den sogenannten „globalen“ Koordinaten q.

Bei Beschränkung auf Balkenmodelle bei ebener Bewegung soll die Deformationsmethode hier lediglich nach [1] in einer für einfache Aufgaben und Rechnung von Hand geeigneten Form dargestellt werden.

Elementmatrizen

In der Ebene verformtes Balkenelement

In der Ebene verformtes Balkenelement

Es wird ein Balkemelement mit folgenden Parametern betrachtet:

l - Länge,

A - Flächeninhalt des Querschnitts,

I - Flächenträgheitsmoment des Querschnitts,

E - Elastizitätsmodul,

ρ - Dichte.

lu2

v2

v1u1

χ1

χ2

Knoten 2Knoten 1



Dem Element sind die Elementkoordinaten oder „lokalen Koordinaten“

[ ]T

222111e vuvu=q

zugeordnet.

Bei der Systemberechnung sollen alle Größen eines Elementes mit der Nummer i mit dem Index ( )i gekennzeichnet werden.

Die Verschiebungen und Verdrehungen für x, lx <<0 , sind durch die Elementkoordinaten nicht eindeutig bestimmt. Es werden deshalb Ansatzfunktionen verwendet. Durch diese wird die Güte der Ergebnisse ebenfalls wesentlich beeinflußt. Die Ansatzfunktionen seien hier auf die Verschiebungen beschränkt. Es sei ein linearer Ansatz für ( )xu und ein Ansatz 3. Grades für

( )xv verwendet, so daß hier für den statischen Fall exakte Ansatzfunktionen erhalten werden.

Es sei

( ) eTu xxu qg=)(

mit

[ ]0000 22211211 xaaxaa(x)Tu ++=g .

Die Randbedingungen

[ ][ ]001000

000001

==

==

l)(x

0)(xTu

Tu

g

g

liefern 4 Gleichungen für aij, i,j = 1,2.

Nach ihrer Auswertung folgt:

( ) [ ]00001lx

lxT

u x −=g .

Außerdem sei

eTv (x)v(x) qg=

mit

++++++

++++++

=

344

2434241

334

2333231

324

2232221

314

2131211

0

0

xbxbxbb

xbxbxbb

xbxbxbb

xbxbxbb

(x)vg .



Die Randbedingungen

[ ][ ][ ][ ]100000)(

,010000)(

,000100)(

,000010)(

==′

==

==′

==

lx

lx

0x

0x

Tv

Tv

Tv

Tv

g

g

g

g

liefern in diesem Falle 16 Gleichungen für bij, i,j = 1,2,3,4.

Nach ihrer Auswertung folgt:

+−−+−+−=

2

32

2

22

3

3

3022310)(l

x

l

x

l

x2

l

x

l

x

l

xx

l

x

l

xx

3

3

2

3

2

2Tvg .

Die Steifigkeitsmatrix kann z.B. mittels der Beziehung für die potentielle Energie

eeTeU qKq

21=

definiert werden.

Aus dem Koeffizientenvergleich mit dem Ausdruck

[ ]

[ ] eTv

Tu

l

vuTe

lll

dxEI

EA

dxv

u

EI

EAvudxvEIdxuEAU

qg

gggq

′′′

′′′=

′′′

′′′=′′+′=

∫

∫∫∫

0

00

2

0

2

0

0

21

0

0

21

21

21

folgt die Elementsteifigkeitsmatrix

[ ] ( )( ) dx

0

0(x)(x)

Tv

Tu

l

0

vue

′′′

′′′= ∫ x

x

EI

EA

g

gggK

mit

[ ]0010011

)( −=′l

xTug ,

[ ]xlxll

(x)g lx

lxT

v 62126064126012

+−−+−+−=′′ .



Es folgt:

3l

EIe =K

−

−−−

−

−

−

22

22

460260

61206120

0000

260460

61206120

0000

llll

ll

I

Al

I

Al

llll

ll

I

Al

I

Al

22

22

.

Zur Definition der Massenmatrix sei gesetzt

==

)(

)()(,)(

)(

)(

x

xxx

xv

xuTv

Tu

eeeg

gGqG .

Die Massenmatrix kann z.B. mittels der Beziehung für die kinetische Energie

eeTeT qMq

2

1=

definiert werden.

Aus dem Koeffizientenvergleich mit dem Ausdruck

[ ] [ ]

e

l

eTe

Te

l

0

l

0

22

dxxx

dxxv

xuxvxudxxvxuT

qGGq

∫

∫∫

=

=+=

0

)()(21

)(

)()()(

2

1)()(

2

1

folgt die Elementmassenmatrix

∫=l

eTee dxxx

0

)()( GGM ,

−−−−

−−

=

22

22

42203130

22156013540

001400070

31304220

13540221560

007000140

420

llll

ll

llll

ll

eM .



Starrer Körper bei ebener Bewegung

Starrer Körper bei ebener Bewegung

Es wird ein starrer Körper mit folgenden Parametern betrachtet:

M – Masse,

J – Massenträgheitsmoment bezüglich der Achse senkrecht zur Zeichenebene durch den Massenmittelpunkt S.

Für die Elementkoordinaten

[ ]T

vue =q

ergibt sich die Elementmassenmatrix

=

J00

0m0

00m

eM .

Berechnungsablauf

- Berechnung der Elementmatrizen,

- Zusammenbau aller Elemente zum Gesamtsystem,

- Einarbeitung der Randbedingungen,

- Lösung des Gleichungssystems, Berechnen der Knotenverschiebungen )(teq ,

- Berechnung der Knotenkräfte (t)eQ aus (t)eq .

Sv

u

m,Jχ



Beispiel (nach [1]):

Das System bestehe aus zwei biegesteif verbundenen Balken mit einem Massenpunkt am Ende. Es soll nur die Biegearbeit berücksichtigt werden.

System aus zwei biegesteif verbundenen Balken mit einem Massenpunkt

Die Numerierung bedeutet: 1 = 1. Balkenelement; 2 = 2. Balkenelement; 3 = Massenpunkt.

Die Lösung gestaltet sich besonders einfach, weil nur Verschiebungen in 2 zueinander senk-rechten Richtungen auftreten.

Das System hat entsprechend den globalen Koordinaten

[ ]T

4321 qqqq=q

vier Freiheitsgrade.

Unter Beachtung der Randbedingungen findet man die Beziehungen zwischen lokalen und globalen Koordinaten

[ ][ ][ ] .

,0

,0000

4313

214312

211

T

T

T

qqq

qqqqq

qq

)(e

)(e

)(e

−=

−−=

=

q

q

q

Bildung der Gesamtmassenmatrix M :

Entsprechend der Beziehung

ji

f

i,jij qqmT ∑

=

=12

1

b

F=Fsin tΩ

3

q3

q4

q1 q2

a

1

ρA, EI

ρA,EI

2



müssen alle entsprechenden Elemente eijm für feste Werte ji, aus den Ausdrücken

(k)e

(k)e

(k)e

TqMq

2

1

aufsummiert werden, z.B.

0105

1

,00210

11

,000

3333

23344

2246

216

15612

312

224

21213

+=+=

++−=−−=

++=−−−=

mmm

mmmm

mmmm

)(e

)(e

)(e

)(e

)(e

)(e

)(e

)(e

usw. Der Wert 0 in der letzten Zeile bedeutet das für einen Massenpunkt verschwindende Massenträgheitsmoment.

Damit folgt:

M

( )( )

+−−+

−++

=

3105

1

221011

3513

3140

124201333

1051

221011

32

3513 00

mhsymmetrisc

ba

mba

,

( )

+

−

=

b

bb

bbba

aa

hsymmetriscEI

4

612

2611

612

23

2

23

4

00

K ,

und es resultiert schließlich das System der Bewegungsgleichungen

[ ]T

tF(t) 000sinˆ−==+ QKqqM .



2.3 Freie ungedämpfte Schwingungen

2.3.1 Das allgemeine Eigenwertproblem

Ausgangspunkt seien die Bewegungsgleichungen

[ ]T

f...qq1, ==+ q0KqqM .

Das Einsetzen des Lösungsansatzes

tiW ee qqq ˆˆ(t) == , .konstˆ =q

liefert das Allgemeine Eigenwertproblem (AEP)

( ) ( ) 0qKM0qKM =+−=+ ˆ.bzwˆ 22 .

Nichttriviale Lösungen für q existieren nur bei Erfüllung der charakteristischen Gleichung des AEP

( ) 02 =+ KMdet .

Diese algebraische Gleichung f-ten Grades in λ² mit sämtlich reellen Koeffizienten hat genau f reelle oder konjugiert komplexe Wurzeln λ², vorausgesetzt, daß eine mehrfache Wurzel bei Vielfachheit m m-fach gezählt wird.

Jeder Lösungswert λ heiße Eigenwert des AEP.

Achtung: Öfter wird auch λ² (oder auch ω²) als Eigenwert bezeichnet, dann wird gern auch anstelle von λ² nur λ geschrieben! Hier soll, wenn λ² gemeint ist, von „Wurzel der charakteristischen Gleichung“ die Rede sein.

Im vorliegenden Abschnitt gelte durchgehend die Voraussetzung

TT KK0MM =>= , .

Dann sind alle Wurzeln der charakteristischen Gleichung reell.

Gilt außerdem 0K > , so sind alle Wurzeln negativ.

Beweis:

( ) 0ˆˆ 2 =+ qKMq λT

Das Auflösen dieser Beziehung nach 2λ− liefert den sogenannten Rayleigh-Quotienten

[ ]qMqqKq

qˆˆˆˆ

ˆ22T

T

R ===− ωλ .



Dieser Ausdruck ist positiv, weil Zähler und Nenner quadratische Formen sind mit positiv definiten Matrizen K und M.

Gilt nur K ≥ 0, so existieren neben negativen Wurzeln auch Wurzeln und damit Eigenwertpaare vom Wert 0.

K sei im folgenden als mindestens positiv semidefinit (K ≥ 0) vorausgesetzt. Dann gilt für die f Wurzeln der charakteristischen Gleichung:

0... 21 ≤≤≤≤ − λλλ 2

1f2f .

Für die Eigenkreisfrequenz ,kω fk ,...,1= , gilt dann:

02 ≥−= 2kk λω .

Die Eigenwerte sind Paare rein imaginärer Werte (einschließlich eventueller Werte 0)

f1,...,k,i,i kkfkk =−== + .

Zu dem k-ten Eigenwertpaar (also zur k-ten Eigenkreisfrequenz) gehört die k-te Eigenschwingungsform, der k-te Eigenvektor

[ ]T

fkk q...q ˆˆˆ 1k =q ,

für die bzw. den gilt:

( ) 0qKM =+− k2k ˆ .

Alle kq , k = 1,..., f , sind reell.

Der Fall einfacher Wurzeln (alle Eigenkreisfrequenzen sind unterschiedlich)

Zu jedem 22kk ωλ −= gibt es genau einen, bis auf einen beliebigen Faktor eindeutigen,

Eigenvektor kq .

Orthogonalität hinsichtlich der Massen- und der Steifigkeitsmatrix:

Aus

( ) 0ˆˆ 2 =+− iiTk qKMq ω

folgt wegen TT KK,MM == nach Transponieren und Vorzeichenumkehr

( ) 0ˆˆ 2 =+−− kiTi qKMq ω . (1)



Die Addition von

( ) 0ˆˆ 2 =+− kkTi qKMq ω (2)

liefert

( ) 0ˆˆ22 =− kTiki qMqω .

Wegen der Ungleichheit der Eigenfrequenzen folgt die

verallgemeinerte Orthogonalitätsbedingung 0ˆˆ =kTi qMq .

Nach Multiplikation von (1) mit 2kω und von (2) mit 2

iω folgt ebenso die

verallgemeinerte Orthogonaltitätsbedingung 0ˆˆ =kTi qKq .

Die Eigenvektoren erfüllen jedoch nicht die gewöhnliche Orthogonalitätsbedingung hinsichtlich der Einheitsmatrix!

Der Fall mehrfacher Wurzeln

Die Wurzel 2k habe die Vielfachheit m .

Dazu existieren m linear unabhängige Eigenvektoren. Die Menge dieser Eigenvektoren ist jedoch nicht eindeutig, weil Linearkombinationen von Eigenvektoren wieder Eigenvektoren sind. Die Eigenvektoren erfüllen i.a. nicht die verallgemeinerten Orthogonalitätsbedingungen. Sie lassen sich jedoch durch geeignete Linearkombinationen orthogonalisieren (Orthogona-lisierungsverfahren von Gram-Schmidt).

Im folgenden soll immer vorausgesetzt werden, daß die Eigenvektoren orthogonalisiert sind.

Dann bilden die f verallgemeinert orthogonalen Eigenvektoren eine vollständige Vektorbasis im f-dimensionalen Vektorraum, und es gilt der Entwicklungssatz:

Jeder beliebige Vektor des f-dimensionalen Vektorraumes läßt sich als Linearkombination der irgendwie normierten Eigenvektoren darstellen.

Lösung im Zeitbereich und Befriedigung der Anfangsbedingungen

Es sei jetzt die positive Definitheit der Steifigkeitsmatrix vorausgesetzt: 0K > .

Die Überlagerung aller Teillösungen mit je 2 Integrationskonstanten liefert

[ ] k

f

1k

tik

tik

kk eDeCt) qq ˆ( ∑=

−+= .

kq sei beliebig normiert (siehe Abschnitt 2.3.2), ( )tq sei reell.



Es werden deshalb die i. a. komplexen Integrationskonstanten kk D,C ersetzt durch die reellen

( )kkkkkk DCiD,DCC −=+= .

Unter Beachtung der Eulerformel folgt dann

[ ] k

f

1kkkkk tDtCt) qq ˆsincos( ∑

=+= (3)

bzw.

( )∑=

+=f

1kkkkk tA(t) qq ˆsin ϕ (4)

mit

k

k

k

kk

2k

2kk A

C

D

C,DCA arcsinarctan ==+= ϕ .

Diese Lösung wird als grenzstabil (d.h. nicht asymptotisch stabil) bezeichnet.

Bemerkung:

Gilt nur 0K ≥ , so existieren auch Nullwurzeln. Für die einer einfachen Nullwurzel 2lω = 0

entsprechende Teillösung lq gilt dann

( ) .ˆ

,2

llll

lll

tDC(t) qq

0qq

+==−=

Die Lösung ist instabil!

Unter der nun wieder vorausgesetzten Bedingung 0K > mögen folgende Anfangsbedingungen gelten:

( ) ( ) 00 0,0 qqqq ==== tt

(bei 0q gehöre der Punkt zum Formelzeichen!).

Die Auswertung soll nur für die Lösungsform (3) ausgeführt werden. Einsetzen in (3) liefert:

∑∑==

==f

1iiii

f

1iii DC 00 ˆ,ˆ qqqq ω .

Diese Beziehungen können als Darstellung der Vektoren 00 ,qq im Sinne des Entwicklungs-

satzes interpretiert werden.



Linksmultiplikation mit MqTkˆ und Berücksichtigung der Orthogonalität ergeben

0ˆˆˆ MqqqMq Tkk

TkkC = , 0ˆˆˆ qMqqMq T

kkTkkk D =ω

und für die Konstanten

.ˆˆ

ˆ1D,

ˆˆ

ˆC

kTk

0Tk

kk

Tk

0Tk

k qMqqMq

qMqMqq

k

==

Schlußfolgerung

Das ungedämpfte System führt genau dann harmonische Schwingungen mit einer Eigenkreis-frequenz lω aus, wenn die Anfangsvektoren 0q und 0q zum Eigenvektor lq proportional sind:

llll qqqq ˆ,ˆ 00 βα == ;

denn dann folgt wegen der Orthogonalität 0,0 == kk DC für lk ≠ .

2.3.2 Modalmatrix, Spektralmatrix, Hauptachsentransformation

Es gelte im folgenden die Voraussetzung 0KK0MM >=>= TT , .

Die zeitlich veränderlichen Koeffizienten von kq in der Lösung (3) oder (4) (siehe Abschnitt

2.3.1) werden eingeführt als

Hauptkoordinaten = Normalkoordinaten = modale Koordinaten

( )kkkkkkkk tAtDtCz ϕ+=+= sinsincos .

Damit erhält man als Darstellung der Gesamtlösung:

∑=

==f

1kkkz zQqq ˆ (5)

mit dem Vektor der Hauptkoordinaten [ ]T

f...zz1=z und der Modalmatrix [ ]fqqQ ˆ...ˆ1= .

Die Modalmatrix ist wegen der Unabhängigkeit der Eigenvektoren stets regulär!

Die Transformation (5) von q nach z heißt Hauptachsentransformation.

Aus der Gleichung für zk folgt unmittelbar: Die Hauptkoordinaten zk genügen den entkoppelten Differentialgleichungen

f1,...,k,0(t)z(t)z k2kk ==+ ,



bzw.

0z =+ (6)

mit der Sprektralmatrix

( )

==

2

22

21

f

2k

0

0

diag ω .

Herleitung der entkoppelten aus den ursprünglichen Bewegungsgleichungen

Mittels Einsetzen von (5) in 0KqqM =+ und Linksmultiplikation mit TQ erhält man:

0zKQQzMQQ =+ TT ,

0zKzM =+ 00 (7)

mit der modalen Massenmatrix

MQQM T=0

und der modalen Steifigkeitsmatrix

KQQK T=0 ,

die beide wegen der Orthogonalität der Eigenvektoren Diagonalgestalt haben.

Ihre Diagonalelemente fkcm kk ,...,1,, 00 = heißen modale Massen und modale Steifigkeiten.

Aus dem Eigenwertproblem

kkk qMqK ˆˆ 2= , fk ,...,1=

bzw.

MQKQ =

folgt durch Linksmultiplikation mit QT:

MQQKQQ TT =

bzw.

MK 00 = .

Deshalb überführt die Linksmultiplikation mit 10−M die entkoppelten Gleichungen (7) in (6).



Normierung der Eigenvektoren und der Modalmatrix

Es gibt verschiedene Möglichkeiten der Normierung der kq , wie z. B.

• Betragsgrößtes Element = 1,

• Betrag des Vektors 1...21 =++ 2

fkk qq .

Für das AEP ist eine zweckmäßige und häufig gewählte Normierung die Normierung auf die Massenmatrix

EMQQ =00T .

Aus Q = Q0 folgt dann:

.

,

0

0

K

EM

==

2.3.3 Energiebeziehungen und Rayleigh-Quotient

Die Bewegungsgleichungen

0KqqM =+

liefern nach Linksmultiplikation mit Tq den Energie-Erhaltungssatz

( ) ( ) 0=+=+ UTdt

dT KqqMq

mit den Energien

KqqqMq TT UT2

1,

2

1 == .

Einsetzen der Hauptachsentransformation q = Q z liefert:

,2

1

2

1

,2

1

2

1

0

0

zKzzKQQz

zMzzMQQz

TTT

TTT

U

T

==

==

( )∑=

+=+f

1k

2k0k

2k0k zczm

2

1UT

und erklärt die Aufteilung der Gesamt-Energie auf die einzelnen Moden.



Wie anfangs des Abschnittes 2.3.1 wird wieder der Rayleigh-Quotient eingeführt:

[ ] .ˆˆ

ˆˆˆR

,ˆˆ ˆ

kTk

kTk2

k2k

k2kk

Tk

qMqqKq

q

qMqKq

==

=⋅

ω

ω

Der mit einem Eigenvektor gebildete Rayleigh-Quotient ist gleich dem Quadrat der zugehörigen Eigenkreisfrequenz.

Es ist auch folgende Deutung möglich:

[ ][ ]k

*max

kmaxk T

U

qqˆˆ2 =ω .

Dabei bedeuten bezüglich einer Periode maxU die maximale potentielle Energie und *maxT die

maximale, mit den Verschiebungen gebildete kinetische Energie.

Für einen beliebigen Vektor q~ gilt die Schrankenbeziehung (Einschließungssatz)

[ ] 221 ~~

~~~

fT

T

R ω≤=≤qMqqKq

q .

Beweis:

Nach dem Entwicklungssatz gilt

∑=

=f

kkka

1

ˆ~ qq .

Die Eigenvektoren seien mit der Massenmatrix normiert:

1ˆˆ,ˆˆ == kTk

2kk

Tk qMqqKq ω .

Dann folgt wegen der Orthogonalität

[ ]∑

∑

∑

∑

=

=

=

= ==f

1kk

f

kkk

f

kk

Tkk

f

1kk

Tkk

a

a

a

a

R2

1

22

1

2

2

ˆˆ

ˆˆ~

qMq

qKq

q .

Mit

( ) ( )22221

221

2kffkk −−=−+=



folgt

[ ]( ) ( )

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=−

−=−

+= f

kk

f

kkfk

ff

kk

f

kkk

a

a

a

aR

1

2

1

222

2

1

2

1

21

22

21

~ ωq

mit positiven Brüchen wegen 222

21 ... fωωω ≤≤≤ , was zu beweisen war.

Insbesondere ist es oft möglich, mit einer geeigneten Schätzung 1ˆ~ qq ≈ eine gute obere Schranke für 1ω zu erhalten.

Der Sachverhalt

[ ]q~21 RMin=

heißt auch Rayleighsches Prinzip.

Wählt man q~ so, daß es zu 1q orthogonal ist,

,0ˆ~1 =qMq

so folgt analog unmittelbar

[ ]q~22 RMin=ω

usw.

Außerdem gilt der Rayleighsche Satz (Beweis siehe z. B. [3], Bd. 1, S. 246):

Werden die Koordinaten q einer zusätzlichen (holonomen) Zwangsbedingung

∑=

=f

1kkk 0qb

so unterworfen, daß die triviale Gleichgewichtslage 0q = nicht verändert wird, und bezeichnet man die f-1 Eigenkreisfrequenzen des geänderten Systems mit

11 −f,..., ,

so gilt

22

21

21 ωωω ≤≤ .

Einfache Beispiele sind Zwangsbedingungen der Form

0≡kq oder lk qq ≡ .



2.3.4 Das spezielle Eigenwertproblem

2.3.4.1 Überführung eines allgemeinen Eigenwertproblems (AEP) in ein spezielles (SPEP)

Das spezielle Eigenwertproblem (SPEP) ist dadurch bestimmt, daß die mit dem Eigen-wert(quadrat) multiplizierte Matrix eine Einheitsmatrix ist.

Überführung in ein SPEP mit unsymmetrischer Matrix

Beispiel 1:

( ) 0qMK =− ˆ2ω

Mittels Multiplikation von links mit 1−M erhält man das SPEP

( ) 0qEK =−′ ˆ2ωu (SPU)

mit der unsymmetrischen Matrix

KMK 1’ −=u .

Beispiel 2:

Nach der Kraftgrößenmethode (siehe Abschnitt 2.2.2, Gleichung (1)) erhält man die homogene Gleichung

,0qqMH =+

aus der sich mittels des Lösungsansatzes

tie ωqq ˆ=

das AEP

( ) 0qEHM =+− ˆ2ω

ergibt. Der Übergang zum inversen Eigenwertproblem durch Einführen des inversen Eigenwertes

2

1ω

µ =

liefert das SPEP

( ) 0qEH =−′ ˆµu

mit der unsymmetrischen Matrix

HMH =′u .



Überführung in ein SPEP mit symmetrischer Matrix

Nach Abschnitt 2.2.2 wird Gebrauch gemacht von der Cholesky-Zerlegung der Massenmatrix

RRM T=

und der Koordinaten-Transformation

uqRuqR ˆˆ, == .

Beispiel 1

Das AEP

( ) ( ) ( ) 0uRKRqRRKqMK =−=−=− − ˆˆˆ 2122 TT ωωω

liefert nach Linksmultiplikation mit ( ) 1−TR das SPEP

( ) 0uEK =−′ ˆ2ωs (SPS)

mit der symmetrischen Matrix

( ) 11 −−=′ RKRK Ts

Bemerkung: Es gilt TT )()( 11 −− = RR , K und ’sK sind kongruent, die Symmetrie bleibt

erhalten.

Beispiel 2:

Aus dem nach der Kraftgrößenmethode erhaltenen SPEP mit unsymmetrischer Matrix (siehe oben)

( ) ( ) 0uRHRqRRRRHqEMH =−=−=− −− ˆˆˆ)( 11 µµµ TT

erhält man durch Linksmultiplikation mit der Matrix R das SPEP

( ) 0uEH =−′ ˆµs

mit der symmetrischen Matrix

Ts RHRH =′ .



2.3.4.2 SPEP mit symmetrischer Matrix

Die Aussagen von Abschnitt 2.3.1. können sinngemäß übernommen werden.

Insbesondere gilt für das SPEP mit symmetrischer Matrix z.B. in der Form (SPS) ([1], S. 222):

Sämtliche f Werte 2ω sind reell.

Für 0K >′s sind sämtliche f Werte 2ω positiv.

Für 0K ≥′s existieren für 2ω auch Starrkörperbewegungen beschreibende Nullwurzeln.

Hat sK′ den Defekt (Rangabfall) d, so tritt eine d-fache Wurzel 02 =ω auf.

Es existieren genau f linear unabhängige Eigenvektoren f,...,k,k 1ˆ =u .

Für unterschiedliche Wurzeln 22ki ≠ erfüllen die Eigenvektoren die gewöhnliche

Orthogonalitätsbedingung 0ˆˆ =kTi uu .

Für mehrfache Wurzeln 2kω sind die zugehörigen Eigenvektoren orthogonalisierbar.

Normiert man die Eigenvektoren gemäß

,1ˆˆ =kTk uu

so gilt für die entsprechende Modalmatrix [ ]fuuQ ˆ...ˆ 1=′ :

1. −′=′=′′ QQEQQ TT bzw .

Dann folgt auch

==′′′−

2fω

ω0

0211 QKQ (Ähnlichkeits-Transformation).

Der Rayleigh-Quotient lautet jetzt

[ ]k

Tk

kTk

kRuu

uKuu

ˆˆ

ˆˆˆ

′=

bzw. bei der oben angenommenen Normierung

[ ] kTkkR uKuu ˆˆˆ ′= .

Wie beim AEP gilt der Einschließungsansatz.

Schätzt man 21ω mit einem geschätzten ,ˆ~

1uu ≈ so ist der Fehler für 21ω um eine Größen-

ordnung kleiner als für .ˆ 1u



2.3.4.3 SPEP mit unsymmetrischer Matrix

Der Aufgabe

( ) 0qEK =−′ ˆ2ωu (SPU)

wird die Eigenwertaufgabe der transponierten Matrix

( ) 0pEK =−′ ˆ2ωTu

zugeordnet. Wegen

( ) TT 0EKp =−′ 2uˆ ω

heißen die Eigenvektoren p von TuK′ auch Linkseigenvektoren von uK′ , und wegen

( ) ( )EKEK 22 detdet ωω −′=−′ Tuu

stimmen die Wurzeln 2kω für beide Eigenwertaufgaben überein.

Rechts- und Linkseigenvektoren stimmen nur für symmetrische Matrix K′ überein.

Biorthogonalität der Eigenvektoren:

Aus der Addition der Gleichungen

( )( ) 0ˆˆ

0,ˆˆ2 =−′

=−′−

ikuTk

i2iu

Tk

qEKp

qEKp

ωω

folgt unmittelbar

( ) 0ˆˆ22 =− iTkki qpωω .

Für 22i kωω ≠ sind die zugehörigen Links- und Rechtseigenvektoren zueinander orthogonal:

0ˆˆ =iTk qp .

2.3.5 Ausgewählte Methoden zur numerischen Lösung von Eigenwertproblemen

2.3.5.1 Direktes Lösungsverfahren

Das direkte Lösungsverfahren dient der Berechnung der Eigenfrequenzen aus den Nullstellen der charakteristischen Gleichung

( ) 0det 2 =+− KMω



sowie der Eigenvektoren aus dem homogenen Gleichungssystem

( ) 0qKM =+− k2k ˆω , fk ,...1= .

Bequem in der Anwendung ist es nur für 4≤f .

Für eine größere Anzahl von Freiheitsgraden hat es folgende Nachteile:

• Das Aufstellen und Lösen der charakteristischen Gleichung ist sehr aufwendig.

• Es ist empfindlich gegen numerische Ungenauigkeiten.

2.3.5.2 Vektoriteration nach von Mises

Die Vektoriteration nach von Mises dient der Bestimmung des betragsgrößten Eigenwertes und des zugehörigen Eigenvektors für das AEP mit symmetrischen, positiv definiten Matrizen:

( ) 0KK0MM0qKM >=>==+− TT2 ,,ˆω .

Nach Übergang zum SPEP

qqK ˆˆ 2ω=′u , KMK 1−=′u

lautet nach Wahl eines beliebigen Startvektors 0f,q als Ausgangspunkt der allgemeine i-te

Iterationsschritt:

1.bzw −− =′= if,if,1if,uif, KqMqqKq .

Mit der Darstellung

∑=

=f

1kkkf, C qq ˆ0

nach dem Entwicklungssatz folgt

.ˆ

,ˆˆ1

∑

∑ ∑

=

= =

=

=′=

f

1kk

2ikkif,

f

1k

f

1kk

2kkkukf,

C

CC

qq

qqKq

ω

ω

Es sei

2f

21f ωωωω <≤≤≤ −...2

221

mit dem größten (dominanten) Eigenwert 2fω .



Dann gilt für eine hinreichend hohe Iterationsstufe n:

∑ ∑=

−

=

+

==

f

1kffk

21f

1k f

kk

2nfk

2nkknf, ˆˆˆ qqqq CCC

n

ω

mit

,ˆˆ

,1

21

1

2

ffk

nf

k f

kk

n

f

k

CC

:1f1,...,k

qq <<

−=<<

∑−

=

ωω

d. h.

1nf,fff2n

fn,f C −≈≈ qqq 2ωˆ

bzw.

( ) nf,f,jn-f,,jnf,

jn,f,2f 0qf;1,...,j

q

qqq ≈≠=≈

−

ˆ,, 11

.

Wegen der mit der Anzahl der Iterationen schnell anwachsenden Zahlenwerte ist vor jeder Iteration eine Normierung zweckmäßig.

1, −nfq sei im folgenden als normiert vorausgesetzt. nf,q darf dann nicht auch normiert werden!

Da die Quotienten im Ergebnis für 2fω für unterschiedliche Werte j nicht exakt

übereinstimmen werden, kann man ihren Mittelwert als 2fω nehmen.

Eine bessere Näherung liefert der Rayleighsche Quotient

[ ]f

Tf

fTf2

ffRqMq

qKqq

ˆˆ

ˆˆˆ == ω mit nf,f qq ≈ˆ .

Wegen

1nf,nf, −= KqMq

folgt

[ ] 2f

1nf,T

nf,

nf,T

nf,nf,f R ωω ≤=≈

−Kqq

Kqqq2 .



Bestimmung des betragskleinsten Eigenwertes aus dem inversen Eigenwertproblem

Typischerweise interessiert bei Schwingungsaufgaben der betragskleinste Eigenwert.

Deshalb bietet sich als Modifikation des Verfahrens die folgende inverse oder reziproke Vektoriteration an:

( ) 0KKMM0qKM >===+− TT ,,ˆ2ω ,

( )2

1,ˆ

ωµµ ==− 0qKM

Die Multiplikation von links mit 1−K liefert

( ) MKM0qEM 1uu ,ˆ −=′=−′

Analog dem Vorgehen bei der direkten Vektoriteration gelangt man jetzt mit einem Startvektor

0,1q zur Iterationsvorschrift:

111 −′= ,iu,i qMq bzw. 111 −= ,i,i MqKq .

So erhält man nach n Iterationen das Ergebnis:

n,n,n 111,111 ˆ, qqqq ≈≈ −µ ,

[ ]21111

11

11

1112

11

11R

,n-T,n

,nT,n

,nT,n

,nT,n

,n ≤==′≈=Mqq

Mqq

Kqq

Mqqq .

Theoretische Voraussetzung für das Funktionieren der direkten Vektoriteration ist, daß qf,0 nicht orthogonal zu fq , für das Funktionieren der reziproken Vektoriteration, daß q1,0 nicht

orthogonal zu 1q ist. Wegen numerischer Abweichungen bei der Iteration ist Konvergenz jedoch auch in diesen Fällen möglich.

2.3.5.3 Weitere Verfahren

Weitere Modifizierungen der Vektoriteration ermöglichen die Bestimmung weiterer Eigenwerte entweder nacheinander oder gleichzeitig. Das sogenannte „Absieben“ des bereits bekannten Anteils ermöglicht z. B. die Ermittlung des zweitgrößten oder –kleinsten Eigenwertes oder die Simultaniteration mehrerer Eigenwerte.

Schließlich sei noch auf die folgenden, generell nur rechentechnisch realisierbaren Verfahren hingewiesen:

• Verfahren von Jacobi zur Ermittlung aller Eigenwerte mittels einer großen Anzahl von Orthogonaltransformationen;

• Subspace-Iteration nach McCormick/Noe unter Nutzung der Verfahren von von Mises und Jacobi.



2.3.6 Abschätzung von Eigenfrequenzen

2.3.6.1 Abschätzung mittels Matrixnormen

Die 4 Fälle des SPEP mit unsymmetrischer oder symmetrischer Matrix von Abschnitt 2.3.4

( ) ( )( ) ( ) 0uEH0uEK

0qEH0qEK

=−′=−′=−′=−′

ˆ,ˆ

,ˆ,ˆ

s2

s

2u

µωµω u

sollen alle gleichzeitig durch die Schreibweise

( ) 0xEA =−λ

erfaßt werden. (λ hat hier eine andere Bedeutung als im Abschnitt 2.3.1!)

Unter einer Norm eines Spaltenvektors x oder einer quadratischen Matrix A versteht man ein gewisses Größenmaß x oder A in Form einer reellen positiven Zahl.

Sinnvolle Forderungen für die Definition einer Norm (siehe z. B. R. Zurmühl, Matrizen und ihre technischen Anwendungen, Springer-Verlag Berlin ... 1964 und folgende) enthält die folgende Übersicht:

Vektornorm x

a) 0>x

und = 0 nur für x = 0

b) xx cc =

für beliebigen skalaren Faktor c

c) yxyx +≤+

Dreiecksungleichung

Matrixnorm A

a) A > 0

und = 0 nur für A = 0

b) AA cc =

für beliebigen skalaren Faktor c

c) BABA +≤+

d) BAAB ⋅≤

(multiplikative Norm!)

Die Eigenschaft d) schließt aus, daß mit A auch Ac mit einer beliebigen positiven

Konstanten c eine Norm ist!



Entsprechende gebräuchliche Normen

( )ix=x und ( )ika=A seien reell.

Vektornormen:

1. ixmax=x

2. ∑= ixx

3. xxxx T== Euklidische Norm

Matrixnormen:

1. ( ) ikafM max== AA Gesamtnorm

2. ( ) ∑==k

iki

aZ maxAA Zeilennorm

3. ( ) ∑==i

ikk

aS maxAA Spaltennorm

4. ( ) ( ) ∑===ki

kiT aSpN

,

2,AAAA Euklidische Norm

Wählt man eine zu einer Vektornorm passende (verträgliche) Matrixnorm, so daß

xAAx ≤

gilt, so folgt aus

xAxAx ≤= λ

wegen 0≠x die Schranke

A≤λ

bei beliebiger multiplikativer Matrixnorm A .

Aus A=maxλ gewinnt man je nach Art des SPEP

• eine Schätzung für maxmax λω =

• oder eine Schätzung für maxmax λµ = , aus der man die wichtigere Schätzung

max

1min λω =

gewinnt.



Verbesserung der Abschätzung des größten Eigenwertes der −× ff Matrix A mittels der Euklidischen Norm durch Spektralverschiebung

(Beweis siehe R. Zurmühl, Matrizen und ihre technischen Anwendungen, siehe oben).

Erzeugt man die neue Matrix

EAA s−=′ mit )(ASpf

1s = ∑

==

f

iif 1

1 λ

so gilt mit ihrer Euklidischen Norm

( )AAA ′′=′ TSp)(N

für ihren Eigenwert λ′ die Beziehung

( )A′−≤′ Nf

f 1λ .

Für den Eigenwert λ von A erhält man auf diesem Wege die verbesserte Abschätzung

s+′≤ λλ .

2.3.6.2 Abschätzung der 1.Eigenfrequenz nach Dunkerley, Neuber und Southwell

Abschätzung der 1. Eigenfrequenz nach Dunkerley:

Das Verfahren von Dunkerley basiert auf der Extremaleigenschaft des Rayleigh-Quotienten

qKq

qMq~~

~~121

T

T

≥ω

.

Nach Zerlegung der Massenmatrix in beliebige s Anteile ( )rM ,

∑=

=s

r

r

1

)(MM ,

folgt:

∑=

≤=s

r(r)T(r)

(r)(r)T(r)

T

T

Max1 11

11~2

1~~~~1

Kqq

qMqqKqqMq

qω

mit )(1rq als 1. Eigenvektor des Systems mit ( )rM und K.



Daraus folgt unmittelbar die Dunkerleysche Formel:

∑=

≤s

rr

1)(

121

2

11

ωω

mit )(1

rω als 1. Eigenkreisfrequenz des Systems mit M(r) und K .

Das Erstarrungsverfahren nach Neuber

Für Schwingungssysteme in Gestalt linear-elastischer Fachwerke einschließlich des z. B. in [2], 2. Band, ausführlich behandelten Sonderfalles der elastischen Ketten hat H. Neuber eine Reihe von Sätzen über Frequenzschranken hergeleitet (siehe z. B. H. Neuber, Technische Mechanik, Dritter Teil Kinetik, Springer-Verlag Berlin ... 1974).

Hier soll eine dieser Schranken ohne Beweis mitgeteilt werden. Dazu bilde man aus dem ursprünglichen System alle möglichen s Ersatzsysteme, r = 1,..., s, mit einem Schwingungs-freiheitsgrad, indem alle Federn bis auf eine unendlich steif, also starr gemacht werden. Dabei muß natürlich vorausgesetzt werden, daß die Ersatzsysteme noch schwingfähig sind, das ursprüngliche System muß also bei sämtlich starren Federn ein Mechanismus oder ein statisch bestimmtes System sein; eine unverzweigte Schwingerkette darf z. B. nur ungefesselt oder einseitig gefesselt sein. Die entsprechenden einfachen Steifigkeitsmatrizen seien wieder mit K(r) bezeichnet. Dann gilt

∑=

≤=s

rrrTr

rTr

T

T

Max1

)(1

)()(1

)(1

)(1

~21

~~~~1

qKq

MqqqKqqMq

qω

mit ( )r1q als dem Eigenvektor des Schwingungsfreiheitsgrades des r-ten Ersatzsystems, d. h., von

möglichen Freiheitsgraden, die Starrkörperbewegungen entsprechen, ist abzusehen. Dann erhält man die Abschätzung

∑=

≤s

rr

1)(

121

2

11

ωω.

Abschätzung der 1. Eigenfrequenz nach Southwell

Dieses Verfahren ist komplementär zu dem von Dunkerley. Ausgangspunkt ist hier die folgende Extremaleigenschaft des Rayleighquotienten:

qMqqKq~~~~

21 T

T

≤ω .

Nach Zerlegung der Steifigkeitsmatrix in beliebige s Anteile ( )rK ,

∑=

=s

1r

r)(KK ,



folgt:

∑=

≥=s

rrrTr

rTr

T

T

Min1

)(1

)()(1

)(1

)(1

~21 ~~

~~

qMq

KqqqMqqKq

qω .

Daraus folgt unmittelbar die Southwellsche Formel

∑=

≥s

r

r

1

)(1

21

2

ωω

mit ( )21

rω und ( )r1q als 1. Eigenkreisfrequenz und 1. Eigenvektor des Systems mit M und ( )rK .

Demonstrations-Beispiele

Alle Formeln liefern untere Schranken für die erste Eigenkreisfrequenz. Die Formeln nach Dunkerley und Southwell gelten allgemein, sogar auch bei kontinuierlichen Schwingern. Da die Anwendung auf Schwingerketten besonders einfach und anschaulich ist, seien die folgenden Beispiele auf diesen Fall beschränkt. Hierbei ist zu empfehlen, besonders einfache Teilsysteme mit maximal zwei Freiheitsgraden anzustreben.

Die ausgewählten Beispiele haben lediglich demonstrativen Charakter und sind der Übersicht-lichkeit halber sehr einfach. Dadurch werden die Fehler der Abschätzungen relativ groß. Die Nützlichkeit dieser Abschätzungen kommt natürlich erst bei komplizierteren Systemen zum Tragen.

Beispiel nach Dunkerley und Southwell

Beidseitig gefesselte Schwingerkette

Aus der Eigenwertgleichung

02

22

2

=+−=−−−− 2242 3c4cmm

mcc

cmc

ωω

erhält man

m

c=21ω ,

m

c32

2 =ω .

Die uns interessierende 1. Eigenkreisfrequenz hat also den genauen Wert

m

c=1ω .

c m c m c



c = cers

c = cers

mc

cm

1

2

Dunkerley:

Teilsysteme nach Dunkerley

Mit den Eigenkreisfrequenzquadraten ( )m

c

2321

1 =ω und ( )m

c

2322

1 =ω für die beiden Teilsysteme

liefert die Dunkerleysche Formel die Näherung

m

c

m

c

c

m

3c

2m

3c

2m866,0,

4

3,

3

411

212

1

≥≥=+≤ ωωω

.

Southwell:

Teilsysteme nach Southwell

Für das erste Teilsystem erhält man aus der Eigenwertgleichung

( ) ( ) 024 =+− 2112 c3cmm

das erste Eigenkreisfrequenzquadrat

( )m

c382,0

25321

1 =−=ω .

Für die niedrigste „Eigenkreisfrequenz“ des zweiten Teilsystems gilt

( ) 022

1 =ω .

Damit liefert die Southwellsche Formel

m

c

m

c618,0,382,0 1

21 ≥≥ ωω .

Das Southwellsche Verfahren ist für dieses Beispiel offensichtlich ungeeignet, die Schätzung kaum brauchbar.

c m c m

m m c

1

2



Beispiel nach Dunkerley und Neuber

Einseitig gefesselte Schwingerkette

Da die Schwingerkette nur einseitig gefesselt ist, ist auch das Erstarrungsverfahren nach Neuber anwendbar.


02

2

2

=+−=−−−− 2242 c3cmmmcc

cmc

ωω

erhält man

m

c

2

5322,1

±=ω , m

c382,02

1 =ω , m

c618,22

2 =ω .

Die uns interessierende 1. Eigenkreisfrequenz hat also den Wert

m

c618,01 =ω .

Dunkerley:

Teilsysteme nach Dunkerley

Neuber:

Teilsysteme nach Neuber

Für beide Verfahren ergeben sich gleichermaßen die Eigenkreisfrequenzquadrate der Teilsyste-

me ( )m

c=211ω und ( )

2m

c=221ω und damit die Abschätzung

,1

21 c

3m

c

2m

c

m =+≤ω

3m

c≥21ω ,

m

c577,01 ≥ω .

Der Fehler der Abschätzung für 1ω beträgt nach beiden Verfahren -6,6 %.

c m c m

cm

c cm

cm

c 2m



Beispiel nach Southwell

Verzweigte Schwingerkette

Um ein „auseinanerfallendes“ Teilsystem wie bei dem obigen „Beispiel nach Dunkerley und Southwell“ zu vermeiden, wird eine verzweigte Schwingerkette gewählt.


042

2

2

=+−=−−−−

2242 ccm2

9m

mc2

5c

cmc

ωω

erhält man

,219,121 m

c=ω m

c281,32

2 =ω .

Die uns interessierende 1. Eigenkreisfrequenz hat also den Wert

m

c,10411 = .

Teilsysteme nach Southwell

Mit den Eigenkreisfrequenzquadraten für die beiden Teilsysteme

( )2m

c=211ω und ( )

m

c

m

c382,0

25322

1 =−=ω

liefert die Southwellsche Formel:

m

c

m

c882,0

253

212

1 =

−+≥ω , m

c939,01 ≥ω .

Der Fehler der Abschätzung für 1ω beträgt -14,9 %.

c cc

mm

c2

c

c

c

cm

m

m

m

c2



2.4 Freie gedämpfte Schwingungen

2.4.1 Zum Eigenwertproblem bei beliebiger Dämpfungsmatrix

Wir gehen aus von den Bewegungsgleichungen

0KqqDqM =++ , [ ]Tfqq ...1=q .

Mittels des Lösungsansatzes

( ) teˆt λqq = , konstq =ˆ .

erhalten wir das allgemeine Eigenwertproblem

( ) 0qKDM =++ ˆ2 λλ (1)

mit der charakteristischen Gleichung

( ) 02 =++ KDM λλdet .

Das ist eine algebraische Gleichung 2f-ten Grades in λ mit sämtlich reellen Koeffizienten. Daher hat sie genau 2f reelle oder konjugiert komplexe Wurzeln λ, vorausgesetzt, daß eine mehrfache Wurzel mit der Vielfachheit m m-fach gezählt wird.

Das gilt allgemein für beliebige reelle Matrizen, also z. B. auch für den Fall

( ) 0KqqGDqM =+++ mit TDD = , TGG −= .

Wie bereits im Abschnitt 2.2.1 erwähnt, enthält qG keine Dämpfungsglieder, sondern gyrosko-pische Glieder. Außerdem kann die symmetrische Matrix D im allgemeinen auch eine An-fachung verursachen.

Da hier entsprechend der Überschrift aber Schwingungssysteme mit Dämpfung betrachtet wer-den sollen, setzen wir hier und im weiteren folgendes voraus:

0MM >= T , 0DD ≥= T , 0G = , 0KK ≥= T . (2)

Damit gilt folgende Leistungsbilanz:

( ) ( ) 02 =++=++ FUTdt

dT KqqDqMq ,

mit der Dissipationsfunktion

qDq TF21= .



Daraus folgt

( ) 02 ≤−=+ FUTdt

d,

d.h., die Gesamtenergie nimmt entsprechend einer Schwingungsdämpfung monoton ab.

Die komplexen und die reellen Eigenwerte sollen nun wie folgt dargestellt werden:

kkk iωδλ +−= , kksk iωδλ −−=+ , fs,...,k ≤= 1 ,

kk δλ −= , f,...,sk 212 += .

Wegen der Voraussetzung (2) folgt aus dem Eigenwertproblem (1) nach Multiplikation von links mit dem konjugiert transponierten Vektor *q :

02 =++ qKqqDqqMq ˆˆˆˆˆˆ *** λλ ,

( ) ( )( )qMq2

qKqqMqqDqqDqˆˆ

ˆˆˆˆ4ˆˆˆˆ*

**2**

2,1

−−=

λ

mit

0>qMq ˆˆ * , 0≥qDq ˆˆ * , 0≥qKq ˆˆ * .

Das bedeutet, daß die Realteile von 1λ und 2λ nicht positiv sind:

0≥kδ , s,...,k 1= , 0≥kδ , f,...,sk 212 += .

Durchdringende Dämpfung

Gilt

0>kδ , s,...,k 1= , 0>kδ , f,...,sk 212 += ,

so wird die Dämpfung als durchdringend bezeichnet. Ist die Dämpfung durchdringend, so ist das System asymptotisch stabil, d. h. Störungen klingen mit wachsender Zeit ab und gehen asymp-totisch gegen Null.

Nach dem Charakter der Bewegung kann man folgende Fälle unterscheiden:

Schwach gedämpftes System:

fs = , d. h. 0≠kω , f,...,k 1= .

Das System führt oszillierende Bewegungen aus.



Stark gedämpftes System:

0<−= kk δλ , f,...,k 21= .

Das System führt Kriechbewegungen aus.

Mischform.

Verschwindender Realteil

Die zu einem Eigenwert kλ mit 0=kδ , ( )sk ,...,1∈ , gehörende Lösung ist grenzstabil, d. h., sie

bleibt mit wachsender Zeit stets beschränkt, falls die Wurzel einfach bzw. ihre Vielfachheit gleich dem Rangabfall der charakteristischen Matrix ist. Anderenfalls ist sie instabil.

Eigenvektoren

Zu jedem Eigenwert kλ läßt sich aus dem Gleichungssystem

( ) 0qKDM =++ kkk ˆ2 λλ

ein Eigenvektor kq bestimmen, sofern alle Eigenvektoren linear unabhängig sind. Das ist der

Fall, wenn alle Eigenwerte einfach sind oder wenn ihre Vielfachheit jeweils gleich dem Rangabfall der charakteristischen Matrix ist.

Dann können wir den f2 Eigenwerten kλ f2 Eigenvektoren zuordnen, die wie im ungedämpf-

ten Fall nur bis auf einen gemeinsamen Faktor aller Elemente eindeutig sind.

Es gilt:

Die zu den konjugiert komplexen Eigenwerten gehörenden Eigenvektoren sind ebenfalls konjugiert komplex.

Die zu den reellen Eigenwerten gehörenden Eigenvektoren sind ebenfalls reell.

Die Eigenvektoren sind aber nicht mehr orthogonal hinsichtlich der Massen- und der Steifigkeitsmatrix und demzufolge auch nicht hinsichtlich der Dämpfungsmatrix.

Gilt aber für ein k 0=kδ , ist die Dämpfung also nicht durchdringend, so folgt aus

kk iωλ = , ksk iωλ −=+ :

( ) 0qKDM =++− kkk i ˆ2 ωω ,

( ) 0qKDM =+−− kkk i ˆ2 ωω ,

woraus folgt

( ) 0qKM =+− kk ˆ2ω , 0qD =kˆ ;

d.h., kq ist Eigenvektor des ungedämpften Systems und genügt den bekannten Orthogonalitäts-

bedingungen.



Allgemeine Lösung eines schwachgedämpften Systems

Entsprechend

kkk iωδλ +−= , kkfk iωδλ −−=+ , f,...,k 1= ,

setzen wir

kkk îˆˆ vuq += , kkfk îˆˆ vuq −=+ .

Mit komplexen Integrationskonstanten kk D,C lautet der k-te Lösungsanteil dann

( ) ( ) ( )kkt

kkkt

kk îêDîêCt fkk vuvuq −++= +λλ .

Führen wir wie beim Schwinger mit einem Freiheitsgrad die reellen Integrationskonstanten

kkk DCC += , ( )kkk DCiD −=

ein, so nimmt der k-te Lösungsanteil folgende Form an:

( ) ( ) ( )[ ]tCDtDCet kkkkkkkkkkt

kk ωωδ sinˆˆcosˆˆ vuvuq −++= − .

Für die Gesamtlösung gilt dann

( ) ( )ttf

kk∑

=

=1

qq .

Da ku und kv nicht proportional zueinander sind, haben alle Koordinaten einer Eigenschwin-

gung im Unterschied zu den ungedämpften Schwingungen i. a. eine andere Phasenlage, so daß sie auch die Nullage zu verschiedenen Zeitpunkten passieren.

2.4.2 Proportionale Dämpfung (Rayleighdämpfung)

Beim ungedämpften Schwingungssystem stellen die Eigenvektoren kq entsprechend der

Hauptachsentransformation die einzige Basis dar, mit der M und K diagonalisiert werden können.

Die Frage der vollständigen Entkopplung des gedämpften Systems, d. h. der simultanen Diagonalisierung aller 3 Matrizen KDM ,, , ist daher gleichbedeutend mit der Frage der Diagonalisierung der Dämpfungsmatrix D mit der gleichen Basis.

Die Antwort (auf den Beweis sei hier verzichtet) lautet:

Notwendig und hinreichend für die Möglichkeit der vollständigen Entkopplung des gedämpften Systems ist die Gültigkeit der sogenannten Vertauschbarkeitsbedingung

DKMKDM 11 −− = .



Für sämtlich symmetrische Matrizen KDM ,, läßt sich diese Bedingung auch wie folgt schreiben:

( )TKDMKDM 11 −− = .

Diese Bedingung wird z. B. erfüllt durch eine Dämpfungsmatrix der Gestalt

( )∑=

−−=f

k

k

k1

11KMMD α .

(Die Darstellbarkeit von D in dieser Form ist jedoch nicht notwendig.)

Am häufigsten verwendet man nach der sog. Bequemlichkeitshypothese nur die ersten beiden Glieder dieser Summe. Damit erhält man die sog. proportionale Dämpfung oder Rayleigh-Dämpfung

KMD 21 αα += oder KMDωβωα += .

In der letzten Formel ist ω eine beliebige Bezugsfrequenz, so daß α und β dimensionslos sind.

Diskussion

Der globale Dämpfungsansatz der Proportional-Dämpfung spielt besonders in der Strukturdynamik eine große Rolle. Zur Festlegung der Koeffizienten α und β sind folgende Erfahrungen von Bedeutung:

Steifigkeitsproportionale Dämpfung

a) Bei dem Ansatz

0=α , .konst=β

werden die höheren Eigenformen stärker gedämpft. Dadurch werden jedoch die Dämpfungseigenschaften vieler Werkstoffe nicht richtig beschrieben.

b) Für Stahl und andere Metalle sowie für Stahlbeton wird die Werkstoffdämpfung nach Versuchen bei harmonischer Zwangserregung mit der Kreisfrequenz zutreffend beschrieben durch einen Ansatz der Form

0=α , 0= ,

wodurch sich für alle Eigenformen der gleiche Dämpfungsgrad ergibt. Diese Aussage ist näherungsweise auf Eigenschwingungen mit entsprechendem kω anstelle über-

tragbar.



Masseproportionale Dämpfung

Der Ansatz

.konst=α , 0=β

ist zutreffend für äußere Dämpfung, z. B. bei Schwingungen eines elastischen Modells in einem zähen Medium.

Anders ist die Situation, wenn man im Maschinenbau bewußt Bauelemente mit Dämpfungs-eigenschaften einsetzt, wie z. B. Gummi-Federn, -Kupplungen und –Reifen. Hier wird man in der Regel die Dämpfungsmatrix nicht diagonalisieren können. Häufig kommt man dann jedoch auch bei Vernachlässigung der Koppelglieder zu brauchbaren Ergebnissen (siehe auch [6], S. 229 ff, [7], S. 387 – 389).

Hauptachsentransformation für Proportionaldämpfung (Rayleighdämpfung)

Aus den Bewegungsgleichungen

0KqqDqM =++

erhält man nach Multiplikation von links mit der Matrix TQ sowie mit

Qzq =

die entkoppelten Gleichungen

0KQzQzDQQzMQQ =++ TTT

mit der modalen Dämpfungsmatrix

DQQD T=0

in Gestalt einer Diagonalmatrix.

Wird die Modalmatrix wieder wie beim ungedämpften System auf die Massenmatrix normiert, so erhält man als modale Dämpfungen, also als die Hauptdiagonalelemente von 0D , die

doppelten modalen Abklingkonstanten kδ2 .

Daher haben die entkoppelten Gleichungen die Gestalt

02 20 =++ kkkkk zzz ωδ , f,...,k 1=

mit

+==

2

00 2

1ω

ωβαωωδ kkkk D .

Dabei bedeuten 0kω die k-te Kennkreisfrequenz und kD den k-ten modalen Dämpfungsgrad.



Lösung im Zeitbereich und Befriedigung der Anfangsbedingungen

Mit der k-ten Eigenkreisfrequenze der gedämpften Schwingungen

220 kkk δωω −=

lassen sich die Teillösungen wie folgt zur Gesamtlösung superponieren:

Fall a) 0≠α , 00 =kω , f,...,sk 1+= :

( ) ( ) k

f

sk

t

kkkkkkk

s

k

t êDCˆtsinDtcosCet k qqq ∑∑+=

−

=

−

+++=

1

2

1

ωαδ ωω ,

Fall b) 0=α , 00 =kω , f,...,sk 1+= :

( ) ( ) ( ) k

f

skkkkkkkk

s

k

t ˆtDCˆtsinDtcosCet k qqq ∑∑+==

− +++=11

ωωδ .

Mittels Linksmultiplikation mit Mqkˆ erhält man aus den vorgegebenen Anfangsbedingungen

( ) 00 qq ==t , ( ) 00 qq ==t

unter Beachtung der Orthogonalität die folgenden Ergebnisse für die Integrationskonstanten:

für sk ≤ :

kT

k

Tk

k ˆˆ

ˆC

qMq

Mqq 0= , [ ]

kT

k

okT

k

kk ˆˆ

ˆD

qMq

qqMq δω

+= 01

,

für sk > , 0≠α , 00 =kω (Fall a)):

kT

k

Tk

k ˆˆ

ˆ

CqMq

qqMq

+

=00

2

ωα,

kT

k

Tk

k ˆˆ

ˆD

qMq

qMq 02

ωα−= ,

für sk > , 0=α , 00 =kω 0=kδ (Fall b)):

kT

k

Tk

k ˆˆ

ˆC

qMq

Mqq 0= , k

Tk

Tk

k ˆˆ

ˆD

qMq

qMq 0= .



2.5 Erzwungene Schwingungen bei periodischer Erregung

2.5.1 Direkte Lösungsmethode

2.5.1.1 Ungedämpfte Systeme

Es gelten die Bewegungsgleichungen

)(tQKqqM =+

mit [ ] [ ]TT

)()()t(,q 1f1 t...QtQ...q f== Qq .

Der Fall einer allgemeinen periodischen Erregung kann mittels Entwicklung der Erregung in eine Fourierreihe und Superposition der Lösungen für die einzelnen Harmonischen auf den Fall einer harmonischen Erregung zurückgeführt werden.

Deshalb wird die weitere Betrachtung auf den Fall einer harmonischen Erregung mit der Erregerkreisfrequenz Ω. Beschränkt.

Die einzelnen Erregungen können noch zueinander phasenverschoben sein. Auf Grund der Umformung

( )

++=+=+=

2QQQQQtQ icisicisiii sinˆsinˆcosˆsinˆsinˆ)(

kann die Gesamtlösung auch in diesem Falle aus Lösungen von Gleichungssystemen der Gestalt

tsinFKqqM =+

mittels Phasenverschiebung um π/2 und Superposition zusammengesetzt werden.

Zur Bestimmung der stationären Ω -frequenten Lösung dient der Lösungsansatz:

tt sin)( uq = .

Einsetzen liefert

( ) FuKM ˆ2 =+− bzw. FHu ˆ=

mit der reellen Frequenzgangmatrix

( ) ( ) .1

2−

+−= KMH

Sie wird in Verallgemeinerung der statischen Nachgiebigkeitsmatrix, Abschnitt 2.2.2, auch als dynamische Nachgiebigkeitsmatrix bezeichnet und ist die Inverse der dynamischen Steifigkeitsmatrix

( ) KMS +−= 2 .



Setzt man

( ) ( )KM +−= 2det∆

und folgt ( )k∆ aus ∆ durch Ersetzen der k-ten Spalte durch F , so gilt bekanntlich nach der

Cramerschen Regel für die einzelnen Elemente von u

( ) ( )( )u k

k ∆∆= . (1)

Für das folgende ist wesentlich, daß die charakteristische Gleichung nach Abschnitt 2.3.1 wie folgt geschrieben werden kann:

( ) ,0=ω∆

d. h., für Ω = ωj , j ∈ (1, ..., f ), verschwindet in (1) der Nenner.

Es sind folgende Fälle zu unterscheiden:

a) ( ) 0=Ω∆ , ( ) 0≠∆k ,

Übereinstimmung der Erregerkreisfrequenz mit einer der Eigenkreisfrequenzen: jωΩ = ,

Polstelle im Frequenzgang uk (Ω).

Dieser Fall heißt Resonanz (siehe auch Abschnitt 1.5).

Die Resonanzerscheinungen sind typischerweise nicht auf eine Koordinate beschränkt.

b) ∆ (Ω) = 0, jωΩ = ,

( ) 0=Ω∆k für alle k, so daß ( )( ) ∞<

→k

j ∆∆

ωΩlim .

Das ist der Fall, wenn der Kraftvektor F orthogonal zum Eigenvektor jq ist:

0ˆˆ =jT qF (denn dann gilt: ( ) 0ˆˆˆ ==+− FquKMq T

j2j

Tj ).

Dieser Fall heißt Scheinresonanz.

Trotz Erregung mit einer Eigenfrequenz bleiben die Ausschläge endlich; die Freqenzgänge weisen keine Polstellen auf.

c) ( ) 0≠∆ ,

( ) 0=k∆ für ein bestimmtes k.

Es liegt eine Schwingungstilgung für die k-te verallgemeinerte Koordinate vor. Es wird keine der k-ten Koordinate entsprechende stationäre Schwingungsbewegung erregt.



Beispiel:

Einseitig gefesselte ungedämpfte Schwingerkette mit harmonischer Zwangserregung

Für die harmonische Zwangserregung gelte

tFtF,tFtF sinˆ)(sinˆ)( 2211 == .

Damit folgen die inhomogenen Bewegungsgleichungen

tsinFKqqM =+

mit

=

−

−=

==

=

2

1

2

1

F

Fcmm

q

qˆ

ˆˆ,

22

25,

10

01, FKEMq


( ) 06722

25 2242

2

2

=+−=+−−

−+−= ccmm

cmc

ccm∆

ergeben sich die Eigenkreisfrequenzquadrate

m

c,

m

c 622

21 == ,

und man erhält damit die auf die Massenmatrix normierten Eigenvektoren

−

=

=

1

2

5

1ˆ,

2

1

5

1ˆ 21

mmqq .

Symbolische Darstellung der Eigenschwingungsformen

3cm

2cm

q1 q2

F (t)1 F (t)2

q1,1

q1,2

q2,1

q2,2

mq 5ˆ

mq 5ˆ

1

1

2

2

1. Eigenschwingungsform

2. Eigenschwingungsform

Knoten



Bestimmung der Frequenzgänge

Mittels des Ansatzes

sinuq = , ( ) FuKM ˆ2 =+−

erhält man die Frequenzgänge, d.h. die stationären Amplituden in Abhängigkeit von Ω:

( )( )u k

k = , ( )cmc

ccm

22

252

2

+−−−+−

= .

Mit der Bezugskreisfrequenz m

c= und dem Abstimmungsverhältnis ω

η = folgt:

( ) ( )( )6122

25 222

2

22 −−=

+−−−+−

= cc .

sowie

( )[ ]212

22

12

2

11

ˆ2ˆ22ˆ

2ˆ

2ˆ2ˆ

FFcF

Fc

cmF

cF +−−=+−

−=+−

−= ,

( )[ ],FFcF

Fc

Fc

Fcm2

21

2

12

2

12

2ˆ5ˆ2

ˆ2

ˆ5ˆ2

ˆ5 −−=−

+−=−

+−=

d.h.

( )( )( )61

ˆ2ˆ2122

212

1−−+−−=

ηηη FF

cu ,

( )( )( )61

ˆ5ˆ2122

22

12

−−−−=

ηηη FF

cu .

Zur numerischen Auswertung werden die dimensionslosen Größen sf und su eingeführt:

sF fF 0ˆ = , sc

Fuu 0= .

Damit folgt ( )( )( ) ( ) ( )

( )( ) .61

52 ,

61

22)(

22

22

1222

212

1−−

−−=−−+−−=

ηηηη

ηηηη ss

sss

s

ffu

ffu



Die folgenden Bilder zeigen die Frequenzgänge ( )1ηsu und ( )2ηsu für verschiedene Spaltenvek-

toren der dimensionslosen Amplituden der Erregerkräfte sf . Nullstellen weisen jeweils auf

Tilgungseffekte hin.

0 1 2 33

1.5

0

1.5

33

3−

0u s η( )1

u s η( )2

30

2 6

η

Amplitudenverlauf bei Krafterregung an der Masse 1

0 1 2 33

1.5

0

1.5

33

3−

0u s η( )1

u s η( )2

30

1 6

η

Amplitudenverlauf bei Krafterregung orthogonal zum ersten Eigenvektor

0 1 2 33

1.5

0

1.5

33

3−

0u s η( )1

u s η( )2

30

2 7

η

Amplitudenverlauf bei Krafterregung durch 121 == ss ff

0 1 2 33

1.5

0

1.5

33

3−

0u s η( )1

u s η( )2

30

5 6

η

Amplitudenverlauf bei Krafterregung an der Masse 2

0 1 2 33

1.5

0

1.5

33

3−

0u s η( )1

u s η( )2

30

1 6

η

Amplitudenverlauf bei Krafterregung orthogonal zum zweiten Eigenvektor

0 1 2 33

1.5

0

1.5

33

3−

0u s η( )1

u s η( )2

30

3 6

η

Amplitudenverlauf bei Krafterregung durch 121 =−= ss ff

−

=5,0

1sf

=

0

1sf

=

1

0sf

=

1

5,0sf

=

1

1sf

−

=1

1sf



2.5.1.2 Gedämpfte Systeme

Mit der gleichen Begründung wie im Abschnitt 2.5.1.1 wird die Betrachtung auf den folgenden Fall beschränkt:

tsinFKqqDqM =++ .

Gesucht seien stationäre Schwingungen im Sinne der −Ω frequenten Partikulärlösung. Dementsprechend wird folgender Lösungsansatz verwendet:

( ) t cossin vuq += .

Mittels Einsetzen und Koeffizientenvergleich für sin Ωt und cos Ωt folgt:

=

−−−

0

Fv

u

MKD

DMK2

2 ˆ.

Das System ist eindeutig auflösbar nach u und v, wenn MK 2Ω− und/oder D regulär sind.

Dann ist eine der folgenden Darstellungen möglich (durch entsprechendes Auflösen der 2. Matri-zen-Gleichung):

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] .ˆ

ˆ

2212

1222

FvDMKDMK

,FuDMKDMK

−=−−−

=−+−−

−

Diskussion:

• MK 2− ist singulär, wenn Ω mit einer Eigenkreisfrequenz ( )fkk ,...,1,0 ∈ω des

ungedämpften Systems übereinstimmt.

• D ist singulär, wenn die Dämpfung nicht vollständig ist.

Komplexe Rechnung

Häufig ist wie beim Schwinger mit einem Freiheitsgrad die Rechnung im Komplexen bequemer.

Dazu wird die Erregung tΩsinF zu der komplexen Erregung

( ) tietit FFF ˆsincosˆ =+=

ergänzt.

Die eigentliche Schwingung ist dann wieder der Imaginärteil der komplexen Lösung:

,ˆ~,~)( tikk

ti keuuet == uq

( ) ( )kkkkk tutuq ψβ −=+= sinˆsinˆ .

Hier ist kψ der Nacheilwinkel der verallgemeinerten Koordinate qk.



Aus der komplexen Differentialgleichung

tiˆ eFFqKqDqM ==++

erhält man dann nach Einsetzen des Lösungsansatzes die Gleichung

( ) FuKDM ˆ~2 =++− i

mit der jetzt komplexen dynamischen Steifigkeitsmatrix

KDMS ++−= i2)( .

Der Vektor der komplexen Amplituden ergibt sich zu

FHu ˆ)(~ ⋅=

mit der komplexen Frequenzgangmatrix (dynamischen Nachgiebigkeitsmatrix)

( ) 121 )()(−− ++−== KDMSH i .

In Vorbereitung der Lösung für ein Beispiel sollen nun mit Hilfe von Bezugsgrößen dimensionslose Matrizen eingeführt werden.

Mit

pFCKBDAM 0ˆ,,, Fcbm ====

folgt:

tFcbm sin0pCqqBqA =++

bzw. in komplexer Form und nach Division durch c:

tiec

FDpqCqBqA 0

020

21 =++ ωω

mit 0

D2m

b

m

c ==== ηωδδω ,,,

0

20 .

Nach Einsetzen des Lösungsansatzes

tikk

ti keuueu ˆ~~ ==q

folgt analog der dimensionsbehafteten Rechnung

( ) puCBAc

Fi2D 0=++− ~2 ηη .



Mit

( )CBA ++−=+= i2DdetiSR 2η∆

und der aus ∆ mittels Ersetzens der k-ten Spalte durch die rechte Seite folgenden Determinante

kkk isr +=

erhält man

iSR

isru kkk

k ++==~ ,

SsRr

SrRs,

SR

sru

kk

kkk

kkk +

−=++= tanˆ

22

22

.

Beispiel:

Einseitig gefesselte Schwingerkette mit harmonischer Zwangserregung und Relativdämpfung

Mit den Erregerkräften

tpFtFtF

tpFtFtF

sinsinˆ)(

,sinsinˆ)(

2022

1011

==

==

erhält man nach Aufstellung der Bewegungsgleichungen:

−

−=

−

−=

==

22

25,

11

11,

10

01CBEA ,

0

22

0

11

2

1ˆˆ

F

Fp,

F

Fp,

p

p==

=p .

Zunächst wird untersucht, ob die Dämpfungsmatrix diagonalisierbar ist.

Da A, B und C symmetrisch sind, lautet die Vertauschbarkeitsbedingung (siehe Abschnitt 2.4.2) hier:

( )TCBACBA 11 −− =

3c

m

2c

m

q1 q2

F (t)1 F (t)2

b



bzw. wegen A = E :

( )TBCBC = .

Wegen

( )TBCBC ≠

−

−=

47

47

können die Gleichungen nicht modal entkoppelt werden.

Zur numerischen Auswertung des Beispiels werden entsprechend

2,1,,ˆˆ =−== kqc

Fu kkk

0k β

die dimensionslosen Amplituden kq und die Nacheilwinkel kψ eingeführt.

Die folgenden Bilder zeigen die dimensionslosen Amplituden kq und die Nacheilwinkel kψ für

verschiedene Spaltenvektoren der dimensionslosen Amplituden der Erregerkräfte p .

Bei der Interpretation der Bilder ist folgendes zu beachten:

• Bei einem großen Wert für D (siehe den Fall 3=D ) erfolgt jeweils eine Annäherung an den Schwinger mit einem Freiheitsgrad, der bei starrer Verbindung der beiden Massen-punkte aus dem System entsteht.

• Im dritten Fall ( 0201ˆ,2ˆ FFFF −== ) liegt an der ersten Resonanzstelle Scheinresonanz vor.



0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

1

2

3

4

5

66

0

0.333

q 0 η( )1

q 01 η( )1

q 04 η( )1

q 3 η( )1

30

1 2.4495

η

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0

2

3.5

0.5−

π−

π

arg q 0 η( )1( )arg q 01 η( )1( )−

arg q 04 η( )1( )−

arg q 3 η( )1( )−

3.0

1 2.4495

η

Amplituden- und Phasenfrequenzgang für 1q für verschiedene Dämpfungsgrade

bei 0ˆ,ˆ201 == FFF

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

1

2

3

4

5

66

0

0.333

q 0 η( )2

q 01 η( )2

q 04 η( )2

q 3 η( )2

30

1 2.4495

η

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0

2

4

66.5

0.5−

π−

π

φ 20 η( )

φ 201 η( )

φ 204 η( )

φ 23 η( )

3.0

1 2.4495

η


bei 0ˆ,ˆ201 == FFF

D = 0

D = 0,1

D = 0,4

D = 3

1q 2q

η η

ψ1 ψ2

η

η



0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

1

2

3

4

5

6

7

88

0

0.333

q 0 η( )1

q 01 η( )1

q 04 η( )1

q 3 η( )1

30

1 2.4495

η

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0

2

3.5

0.5−

π−

π

arg q 0 η( )1( )arg q 01 η( )1( )−

arg q 04 η( )1( )−

arg q 3 η( )1( )−

3.0

1 2.4495

η


bei 021ˆˆ FFF ==

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

1

2

3

4

5

6

7

88

0

0.333

q 0 η( )2

q 01 η( )2

q 04 η( )2

q 3 η( )2

30

1 2.4495

η

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0

2

4

66.5

0.5−

π−

π

φ 20 η( )

φ 201 η( )

φ 204 η( )

φ 23 η( )

3.0

1 2.4495

η


bei 021ˆˆ FFF ==

D = 0

D = 0,1

D = 0,4

D = 3

1q 2q

η η

η

η

ψ1 ψ2



0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

1

2

3

4

5

66

0

0.333

q 0 η( )1

q 01 η( )1

q 04 η( )1

q 3 η( )1

30

1 2.4495

η

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0

2

3.5

0.5−

π−

π

arg q 0 η( )1( )arg q 01 η( )1( )−

arg q 04 η( )1( )−

arg q 3 η( )1( )−

3.0

1 2.4495

η


bei 0201ˆ,2ˆ FFFF −==

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

1

2

3

4

5

66

0

0.333

q 0 η( )2

q 01 η( )2

q 04 η( )2

q 3 η( )2

30

1 2.4495

η

0 0.5 1 1.5 2 2.5 34

2

0

2

4

66.5

3.142−

π−

πφ 20 η( )

φ 201 η( )

φ 204 η( )

φ 23 η( )

3.0

1 2.4495

η


bei 0201ˆ,2ˆ FFFF −==

D = 0

D = 0,1

D = 0,4

D = 3

1q 2q

η η

η

η

ψ1 ψ2



2.5.2 Modale Methode der Entwicklung nach Eigenschwingungsformen

Ausgangspunkt ist wie im vorigen Abschnitt das Gleichungssystem

sinFKqqDqM =++ .

Wie im Abschnitt 2.4.2 wird eine Hauptachsentransformation und eine Multiplikation von links mit der Transponierten der auf die Massenmatrix normierten Modalmatrix vorgenommen:

Qzq = ,

TTTT sinFQKQzQzDqQzMQQ =++ .

Dabei gilt:

EMQQ =T , ( )20k

T diagKQQ == .

Hinsichtlich der Dämpfung wird wieder proportionale Dämpfung oder Vernachlässigung der Nichthauptdiagonalglieder vorausgesetzt.

Dann gilt allgemein:

( )kT δ2diagDQQ = .

Bei Proportionaldämpfung gilt darüber hinaus speziell:

( ) EdiagDQQωβωαδ +== k

T 2 .

Neben der modalen Abklingkonstanten kδ wird noch der modale Dämpfungsgrad

0k

kkD

ωδ=

eingeführt. Damit erhält man die entkoppelten Bewegungsgleichungen

Zzzz kkkkkk sinˆ2 20 =++

mit den modalen Erregerkraftamplituden der einzelnen Hauptkoordinaten

Fq ˆˆZ Tkk = .

Die einzelnen Gleichungen können nun wie beim harmonisch erregten Schwinger mit einem Freiheitsgrad gelöst werden.



Bei Beschränkung auf die eingeschwungene Ω -freqente Lösung ergibt sich:

( ) ( )kkk ztz −= sinˆ , f,...,k 1= ,

kkk Vzz 0= , 20

20

0

k

Tk

k

kk

ˆˆZz

ωωFq== ,

( ) 2222 41

1

kkk

k

DV

ηη +−= , 21

2tan

k

kkk

D

−= .

Im Hinblick auf eine Rückrechnung in die Originalkoordinaten q im Matrizenkalkül empfiehlt sich die Zerlegung in den sin - und den cos -Anteil.

Mit den vom Schwinger mit einem Freiheitsgrad übernommenen Beziehungen

( ) kkk ttt sincoscossinsin −=− ,

( ) kkk V21cos −= , kkkk VD2sin =

folgt

( ) ( )( ) 2222

2

20 41

cos2sin1ˆˆ

kkk

kkk

k

Tk

kD

tDttz

ηηηη

ω +−

−−= Fq

bzw.

( ) tgtgtz Tkk

Tkkk cosˆˆsinˆˆ 21 FqFq −=

mit

( )[ ] ( ) 222220

220

222220

2

1

441

1

D

g

kk

k

kkkk

kk

+−

−=+−

−= ,

( )[ ] ( ) 222220

222220

2

4

2

41

2

D

Dg

kk

k

kkkk

kkk

+−=

+−= .

Mit Hilfe der Hauptachsenrücktransformation

Qzqq == ∑=

f

kkk

ˆz1



erhält man schließlich

( ) ∑=

−=f

k

Tkkk

Tkkk tgtgt

121 cosˆˆˆsinˆˆˆ FqqFqqq

oder

( ) t cs cosˆsinˆ qqq −=

mit

FQQGq ˆˆ Ts 1= , FQQGq ˆˆ T

c 2=

( )kg11 diagG = , ( )kg22 diagG = .

Die modale Methode ist – entsprechend vereinfacht – auch im ungedämpften Falle anwendbar, bringt dort aber keine Vorteile.

Näherung

Bei schwachgedämpften Systemen überwiegt in der Nähe einer Eigenkreisfrequenz jω bei

hinreichendem Abstand von den benachbarten Eigenkreisfrequenzen 1−jω und 1+jω der Einfluß

der j -ten Hauptkoordinate jz . Daher kann man für diesen speziellen Frequenzbereich mit der

folgenden wesentlich einfacheren Näherung rechnen:

( ) ( ) ( ) ( )j

j

jTjjjj

Tjjjj t

Vtgtgtzt ψΩ

ωΩΩ −=−== sinˆˆˆcossinˆˆˆˆ

20

21 FqqFqqqq .

Beispiel:

(siehe auch Abschnitte 2.5.1.1, 2.5.1.2)

Einseitig gefesselte Schwingerkette mit harmonischer Zwangserregung und Absolutdämpfung

Mit den Erregerkräften

tFtF,tFtF sinˆ)(sinˆ)( 2211 ==

3c

m

2c

m

q (t)1 q (t)2

F (t)1 F (t)2

b b



erhält man die Bewegungsgleichungen

tsinFKqqDqM =++

mit

=

−

−=

=

=

2

1

F

Fcbm

ˆ

ˆˆ,

22

25,

10

01,

10

01FKDM .

Wegen MDm

b= liegt Rayleigh-Dämpfung vor. Vom Eigenwertproblem des ungedämpften

Systems sind bekannt:

−

=

===

1

2

5

1ˆ

2

1

5

1ˆ6 21

220

210

m,

m,

m

c,

m

cqq .

Mit der Modalmatrix

−

=12

21

m5

1Q

ergeben sich die Matrix der modalen Massen

===

10

010 EMQQM T ,

die Matrix der modalen Steifigkeiten

=

==

60

01

0

0220

210

0 m

cT

ωω

KQQK

und die Matrix der modalen Dämpfungen

=

==

10

01

20

02

2

10 m

bT

δδ

DQQD .

Daraus folgt

2m

b

m

c

m

c ==== 21220

210 ,6, δδωω ,

6cm2

bD,

cm2

bD 21 == .

Hier zeigt sich der für massenproportionale Dämpfung typische Sachverhalt kleinerer Dämpfungsgrade für höhere Moden.



Mit den Modalen Erregerkraftamplituden

[ ] ( ) ( )21221

2

11

ˆˆ25

1ˆ und ˆ2ˆ5

1ˆ

ˆ21

5

1ˆ FFm

Z FFmF

F

mZ −=+=

= ,

ergibt sich das System der entkoppelten Differentialgleichungen:

21sinˆ)()(2)( 20 ,kt,Ztztztz kkkkkk ==++ .

Hierbei ist die folgende physikalische Dimension von kz zu bedenken: [ ] MasseLängezk ⋅= .

Es folgt die Lösung

( )kkk tztz −= sinˆ)(

mit

( ) ( ).FFm

c

Zz, FF

m

c

Zz, Vzz kkok 212

20

220212

10

110

ˆˆ256

1ˆˆˆ2ˆ

5

1ˆˆˆˆ −==+===

Für Vk und ψk gelten die in der allgemeinen Theorie dieses Abschnittes angegebenen Formeln.

Mit

22

2222

2

222

2

m

b

m

c

m

b

g,

m

b

m

c

m

c

g

+

−

=

+

−

−= 2111 ,

22

222

22

22

222

2

12

mb

m6c

mb

g,

mb

m6c

m6c

g

+

−

=+

−

−=

ergeben sich danach die Gesamtlösungen

( )( )

( )( ).cossinˆ2ˆ25

1)(

,cossinˆ2ˆ5

1)(

2212212

2111211

tgtgFFm

tz

tgtgFFm

tz

−−=

−+=

Schließlich erhält man damit die Lösung in den ursprünglichen Koordinaten

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ].tztzm

(t)q

,tztzm

(t)q

212

211

225

1

25

1

+=

+=



Literatur:

[1] Fischer, U.; Stephan, W.: Mechanische Schwingungen, Fachbuchverlag Leipzig-Köln 1993

[2] Klotter, K.: Technische Schwingungslehre, Erster Band: Einfache Schwinger, Teil A: Lineare Schwingungen, Springer-Verlag Berlin ... 1988

Zweiter Band: Schwinger mit mehreren Freiheitsgraden (Mehrläufige Schwinger), Springer-Verlag Berlin ... 1962

[3] Hagedorn, P., Otterbein, S.: Technische Schwingungslehre, Lineare Schwingungen diskreter mechanischer Systeme, Springer-Verlag Berlin ... 1987

Hagedorn, P.: Technische Schwingungslehre, Band 2, Lineare Schwingungen kontinuierlicher mechanischer Systeme, Springer-Verlag Berlin ... 1989

[4] Wittenburg, J.: Schwingungslehre, Lineare Schwingungen, Theorie und Anwendungen, Springer-Verlag Berlin ... 1996

[5] Magnus, K.; Popp, K.: Schwíngungen, Teubner Studienbücher Mechanik, B. G. Teubner Stuttgart 1997

[6] Gasch, R.; Knothe, K.: Strukturdynamik,

Band 1: Diskrete Systeme, Springer-Verlag Berlin ... 1987

Band 2: Kontinua und ihre Diskretisierung, Springer-Verlag Berlin ... 1989

[7] Holzweißig, F., Dresig, H.: Lehrbuch der Maschinendynamik, Fachbuchverlag Leipzig-Köln 1995

[8] Petersen, C.: Dynamik der Baukonstruktionen, Vieweg 1996

[9] Waller, H.; Schmidt, R.: Schwingungslehre für Ingenieure, Theorie, Simulation, Anwendungen, B.I. Wissenschaftsverlag Mannheim ... 1989

[10] Irretier, H.: Grundlagen der Schwingungstechnik 1 und 2, Vieweg 2000 und 2001

[11] Stephan, W.; Postl, R.: Schwingungen elastischer Kontinua, B. G. Teubner Stuttgart 1995

Documents

Skript - lutzsperling.de · Lehrstuhl Schwingungslehre Institut für Mechanik Schwingungslehre I und Technische Dynamik Du_Schwingungslehre_I_03.03.doc I Prof. Dr.-Ing. habil