Skript Math Grundlagen

Mathematische Grundlagen

fur die Informatik

Kurt-Ulrich WittHochschule Bonn-Rhein-Sieg

Fachbereich Informatikb-it Applied Science Institute

Grantham-Allee 2053757 Sankt [email protected]

HochschuleBonn-Rhein-Sieg

Fachbereich Informatik

b-it Applied Science Institute

c© Kurt-Ulrich Witt

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K.-U.W. Sankt Augustin, 27. November 2011

Inhaltsverzeichnis

Vorwort ix

Kleiner Griechisch-Kurs fur Informatikerinnen und Informatiker xiii

I Mengen und Logik 1

1 Definition und Darstellung von Mengen 51.1 Ein Mengenbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Darstellung von Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Bezeichner fur Zahlenmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4 Russellsche Antinomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Aussagenlogik 132.1 Alphabet der Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2 Syntax aussagenlogischer Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3 Semantik aussagenlogischer Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3.1 Interpretation aussagenlogischer Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3.2 Wahrheitstafeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3.3 Aussagenlogische Operationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3.4 Erfullbarkeit aussagenlogischer Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.4 Logische Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.5 Kalkule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.6 Aussagenlogische Aquivalenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.7 Normalformen und aussagenlogische Basen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.8 Resolutionskalkul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.9 Hornlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3 Pradikatenlogik 453.1 Alphabet der Pradikatenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.2 Syntax pradikatenlogischer Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.3 Semantik der Pradikatenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

i

ii INHALTSVERZEICHNIS

4 Beweismethoden 534.1 Direkter Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.2 Indirekter Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.3 Beweis durch Widerspruch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.4 Ringschluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5 Operationen auf Mengen 595.1 Teilmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.2 Potenzmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.3 Verknupfung von Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.4 Elementare Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

6 Boolesche Algebra 676.1 Definitionen und grundlegende Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.2 Isomorphie Boolescher Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

7 Zusammenfassung und Ubungen 737.1 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737.2 Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

II Relationen und Funktionen 79

8 Relationen 838.1 Kartesisches Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 838.2 Relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 848.3 Ordnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 878.4 Aquivalenzrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 898.5 Umkehrrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 918.6 Komposition von Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 928.7 Reflexiv-transitive Hullen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

9 Funktionen 959.1 Begriff der Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 959.2 Eigenschaften von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 969.3 Pradikate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97


III Induktion und Rekursion 103

11 Die Menge der naturlichen Zahlen 10711.1 Einfuhrung der Menge der naturlichen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10711.2 Rechenregeln in N0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

INHALTSVERZEICHNIS iii

11.3 Der Begriff der Abzahlbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11311.4 Aufzahlbare und entscheidbare Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

12 Vollstandige Induktion 115

13 Rekursion 11913.1 Rekursive Definition arithmetischer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11913.2 Fibonacci-Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12213.3 Ackermannfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12413.4 Verallgemeinertes Rekursionsschema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12713.5 Alphabete, Worter, Sprachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

14 Berechenbare Funktionen 13314.1 Primitiv-rekursive Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13414.2 µ-Rekursion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13914.3 Berechenbarkeit, Churchsche These . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14214.4 utm- und smn-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14414.5 Aufzahlbare und entscheidbare Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148


IV Zahlenmengen 155

16 Die Menge der ganzen Zahlen 15916.1 Konstruktion der ganzen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15916.2 Rechenregeln in Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16216.3 Abzahlbarkeit von Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

17 Die Menge der rationalen Zahlen 16517.1 Konstruktion der rationalen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16517.2 Rechenregeln in Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16717.3 Abzahlbarkeit von Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

18 Reelle und komplexe Zahlen 17118.1 Uberabzahlbarkeit von R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17118.2 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173


Literaturhinweise 183

Index 184

iv INHALTSVERZEICHNIS

Abbildungsverzeichnis

2.1 Entscheidungsverfahren fur die Erfullbarkeit von Hornformeln. . . . . . . . . . . . . 40

14.1 Primitive Rekursion als Zahlschleife. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13614.2 µ-Rekursion als Wiederholungsschleife. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13914.3 Berechnung der Funktion sub durch µ-Rekursion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14014.4 Berechnung der Funktion √ durch µ-Rekursion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14114.5 Berechnung der Logarithmus-Funktion durch µ-Rekursion. . . . . . . . . . . . . . . . 141

v

vi ABBILDUNGSVERZEICHNIS

Tabellenverzeichnis

1 Griechisches Alphabet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii

2.1 Aussagenlogische Aquivalenzen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

14.1 Definition der Bijektion ρ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

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viii TABELLENVERZEICHNIS

Vorwort

Liebe Studierende,

herzlich willkommen zum Modul Mathematische Grundlagen fur die Informatik!

Bevor der eigentliche Studientext dieses Moduls beginnt, mochte ich zunachst ein paar Worte zurBedeutung mathematischer Grundlagen fur die Informatik verlieren, und ich mochte Sie dadurchfur die intensive Beschaftigung mit den Inhalten dieses Moduls motivieren.

Warum beeintrachtigen Kratzer auf einer DVD nicht deren Wiedergabequalitat? Wie konnenSpeicherung und Ubertragung von Daten fehlertolerant gestaltet werden? Wie funktionieren offent-liche Verschlusselungsverfahren? Wie hoch ist deren Sicherheit und worin ist diese begrundet? Wiekonnen Daten optimal komprimiert werden? Wie konnen Transport- und Zuordnungsprobleme op-timal gelost werden? Wie konnen durch Zufalligkeiten bestimmte Bediensysteme beschrieben, ana-lysiert und moglichst effizient gestaltet werden?

Diese und viele andere Problemstellungen mussen zufriedenstellend beantwortet werden konnen,um Informations- und Kommunikationstechnologien qualitatsgerecht zu gestalten. Informatikerin-nen und Informatiker mussen in der Lage sein, diese Technologien erfolgreich einzusetzen und wei-terzuentwickeln. Dazu ist die Kenntnis und das Verstandnis von Grundlagen erforderlich, auf denendiese Technologien basieren.

Viele wesentliche Grundlagen liefert die Mathematik. Die Mathematik-Kurse geben Einfuhrun-gen in wichtige mathematische Grundlagen der Informatik, die fur die Losung obiger und weitererProblemstellungen von Bedeutung sind. Dabei sind diese Grundlagen weitestgehend unabhangigvon konkreten Technologien. Das heißt, dass deren Kenntnis auch eine gute Grundlage fur dasVerstandnis zukunftiger technologischer Entwicklungen darstellt, die bei Informations- und Kom-munikationssystemen, wie wir es alltaglich erleben, schnell voranschreiten.

Neben der Vermittlung mathematischer Grundlagen verfolgen die Mathematik-Kurse aber nochein weiteres Ziel: Die Auseinandersetzung mit den Inhalten dieser Kurse starkt Ihre Problemlose-kompetenz. Sie schult Ihre Fahigkeiten, abstrakt und logisch zu denken, sich klar und praziseauszudrucken, neue Probleme anzugehen und gewissenhaft zu losen und zu wissen, wenn Sie einProblem noch nicht vollstandig gelost haben. Auch diese Fahigkeiten sind unabhangig von aktuellenTechnologien und stellen ein zeitinvariantes Rustzeug fur Ihren weiteren Werdegang dar.

Ich weiß sehr wohl, dass viele von Ihnen – aus welchen Grunden auch immer – eine Scheu, javielleicht sogar Angst oder gar ”einen Horror“ vor Mathematik haben, und froh sind, nach derSchule nichts mehr mit diesem Fach zu tun gehabt zu haben. Ich will und kann diese Vorbehaltean dieser Stelle nicht zerstreuen, sondern ich will Sie einfach ermutigen und Ihnen sagen: MachenSie sich frei von bedruckenden Gedanken, packen Sie den Stoff an, indem Sie ihn Schritt fur Schritt

ix

x Vorwort

gewissenhaft und reflektierend erarbeiten. Leider mussen oft, um interessante Einsichten zu gewin-nen, muhsam kleinere Details erarbeitet werden. Die Bewaltigung des Stoffes verlangt Disziplin undgroße Anstrengungen von Ihnen. Geben Sie niemals auf! Versuchen Sie immer wieder, den Stoff zuverstehen, die Ubungsaufgaben zu bewaltigen, Zusammenhange zu erkennen. Dadurch wird es Ihnenmit Fortschreiten des Stoffes immer leichter fallen, sich diesen zu erarbeiten. Zum Verstehen undzum Losen notwendige Ideen werden Ihnen schneller einfallen. Durch die unablassige Beschaftigungmit dem Stoff werden Sie kreativ werden. Kreativitat ist eine der wichtigsten Eigenschaften, dieInformatikerinnen und Informatiker besitzen mussen – wie wollen Sie sonst zu Ideen fur die Losungvon Problemen kommen. Je mehr Sie dieses an schwierigen, abstrakten Inhalten tun, umso besserwerden Sie dabei. Ich verspreche Ihnen: Wenn Sie die Mathematik-Kurse erfolgreich absolviert ha-ben, werden Sie sich sehr gut fuhlen, weil Sie eine schwierige Aufgabe, die viel Arbeit, Konzentrationund Geduld erfordert, bewaltigt haben, und Sie werden sehr stolz auf sich sein.

Das Studium der Mathematik-Kurse setzt die Kenntnis grundlegender Begriffe der Logik undderen Eigenschaften sowie elementarer mathematischer Begriffe wie Menge, Relation und Funktion,Induktion und Rekursion voraus, und zwar in einem Umfang und einer Tiefe, wie diese Begriffe indiesem Modul vorgestellt werden. Mit dieser Vorkenntnis sind Sie in der Lage, die in den weiterenMathematik-Modulen verwendeten mathematischen Notationen zu verstehen und anzuwenden, undSie werden auf das dort praktizierte mathematische Denken und Arbeiten vorbereitet.

Die Mathematik-Module umfassen neben den Mathematischen Grundlagen fur die Informatikdie Module

• Analysis und Numerik im 2. Semester

• Stochastik und Statistik im 3. Semester

• Graphentheorie im 3. Semester

• Algebraische Grundlagen fur die Informatik im 5. Semester

Gleichermaßen liefert dieses Modul Grundlagen fur das Modul Theoretische Informatik im 1. Se-mester.

Zum Schluss mochte ich Ihnen noch ein paar Hinweise zum Studium selbst geben:

• Der Stoff ist in Kapitel und diese sind in Abschnitte eingeteilt. Diese sind durchaus von unter-schiedlichem Umfang und unterschiedlicher Schwierigkeit. Ein Kapitel stellt in der Regel einenAspekt in sich geschlossen dar. Ich empfehle Ihnen, ein Kapitel ”abschnittsweise“ durchzuar-beiten, d.h. sich jeweils einen Abschnitt vorzunehmen und komplett durchzuarbeiten. FassenSie, nachdem Sie einen Abschnitt durchgearbeitet haben, diesen zusammen: Schreiben Sie auf,was Sie gelernt haben. Verfahren Sie mit Kapiteln genauso.

• Arbeiten Sie mit Bleistift und Papier: Markieren Sie sich wichtige Begriffe und vollziehen SieDefinitionen, Satze und Beweise sowie insbesondere Beispiele selbststandig nach und zwarnicht nur im Kopf, sondern auch auf dem Papier.

• Arbeiten Sie in Gruppen: Stellen Sie sich gegenseitig Fragen, erklaren Sie sich gegenseitig –auch dies mit Bleistift und Papier – die Inhalte. Was Sie erklaren konnen, das verstehen Sieauch!

Vorwort xi

• Versuchen Sie (gemeinsam) die Ubungsaufgaben zu losen. Geben Sie nicht zu fruh auf, undschauen Sie nicht zu fruh in die Losungen.

Falls Sie eine Aufgabe nicht losen konnen, uberlegen Sie, warum Sie das nicht konnen, undwiederholen Sie den entsprechenden Stoff.

• Im Text sind zu wesentlichen Themen jeweils Lernziele angegeben, die Sie durch das Studiumder Abschnitte und Kapitel erreicht haben sollten. Falls das nicht der Fall ist, wiederholen Sieden entsprechenden Stoff.

• Scheuen Sie sich nicht: Nehmen Sie die angebotenen Hilfen (Beratung, Tutorien) in Anspruch.Hieruber werden Sie gesondert informiert.

• Nehmen Sie weitere Literatur zur Hand. In den Kursen gibt es jeweils einschlagige bibliogra-phische Hinweise. Andere Arten der Darstellung sowie weitere Beispiele und Aufgaben helfenbeim Verstandnis des Stoffes.

Nun wunsche ich Ihnen viel Erfolg beim Studium dieses Moduls, und ich hoffe, dass Sie trotzaller Muhen und Schwierigkeiten bei Ihren Fortschritten auch ein wenig Freude empfinden, Freudeuber Ihren Erkenntnisgewinn, Freude uber den Zuwachs Ihrer Kompetenz, Freude daruber, dassSie einen schwierigen Stoff bewaltigen.

xii Vorwort

Kleiner Griechisch-Kurs furInformatikerinnen undInformatiker

In der Informatik, insbesondere in der Theoretischen Informatik, sowie in der Mathematik mussenvielen Dingen, wie z.B. Variablen, Mengen, Relationen, Funktionen, Vektoren, Matrizen, Gruppen,Ringen, Korpern, . . . Namen gegeben werden, damit man daruber reden und schreiben kann. Da esziemlich ungeeignet ist, dafur menschliche Namen oder Tiernamen zu vergeben, wie z.B. Angela,Christian, Heike oder Kurt bzw. Hasso, Fenja, Bello oder Lassie nimmt man in aller Regel einzelneBuchstaben dafur. Da aber fur die vielen, vielen Dinge, die zu bezeichnen sind, die 26 Buchstaben,bzw. bei Verwendung von kleinen und großen Buchstaben, die 52 Buchstaben des deutschen Al-phabetes nicht ausreichen, werden Buchstaben des alten deutschen Alphabetes (Sutterlin), ja sogarhebraische Buchstaben, insbesondere aber griechische Buchstaben verwendet. Man sagt:

Mathematiker sind Menschen, die zehn Alphabete beherrschen, aber keine Sprache.

Da ich in meinen Lehrveranstaltungen außer deutschen Buchstaben hauptsachlich noch griechischeverwende, liste ich die kleinen und großen griechischen Buchstaben mit ihren Namen und ihrenSymbolen zum Kennenlernen in der Tabelle 1 auf.

Goethe soll gesagt haben:

Die Mathematiker sind eine Art Franzosen: redet man mit ihnen, so ubersetzen sie esin ihre Sprache, und dann ist es alsobald ganz etwas anderes.

alpha α A iota ι I rho ρ, % Pbeta β B kappa κ I sigma σ, ς Σgamma γ Γ lambda λ Λ tau τ Tdelta δ ∆ mu µ M ypsilon υ Yepsilon ε, ε E nu ν N phi ϕ, φ Φzeta ζ Z xi ξ Ξ chi χ Xeta η H omikron o O psi ψ Ψtheta ϑ, θ Θ pi π, $ Π omega ω Ω

Tabelle 1: Griechisches Alphabet.

xiii

xiv Griechisch-Kurs

Um zu prufen, ob das zutrifft, und als kleine Ubung zum Einpragen der Symbole und derenNamen finden Sie im Folgenden einen Brief, den eine Studienanfangerin nach dem Besuch derersten Vorlesungen an ihren Freund geschrieben hat.

Lieber ϕlipp,

gestern habe ich schon telefonisch oologisch geschildert, was iχn den ersten beiden Wochen beimeinem Mathe-Prof erlebt habe. Heute mocht ich nun Dir ein paar Worte schreiben. Der Prof istschon ein bisschen alter, aber noch nicht βgt, kaum seξ. Als Erstes fragte er uns, ob wir in der SchuleGrieχsch gelernt hatten. Alle waren verwundert uber die Frage, und nur einer hat sich gemeldet.Daraufhin hat er gesagt: ”Immer dasselbe. Wenn Sie Grieχsch gelernt hatten, dann konnte ich jetztgleich richtig loslegen und µsste Ihnen nicht erst die grieχschen Buchstaben erklaren, die brauchenwir namlich.“ Er erklarte dann, dass man in der Mathematik mit τsenden von Begriffen rummachtund nur ein Idιllen einen richtigen Namen geben wurde wie z.B. Mη oder πtter oder Stuψ. Sondernφl νtzlicher ware es, Buchstaben zu benutzen. Da es aber so φle Begriffe gibt, dass die Buchstabendes deutschen αbetes nicht ausreichen, µsse man andere Sprachen zur Hilfe nehmen. Besondersemσche man von den grieχschen Buchstaben Gebrauch.

Nachste Woche haben wir kein Mathe, da ist der Prof auf einer Maθgung im hohen Norden undanschließend auf einer Nordκrty. Wir sollen die Zeit nutzen und uns die grieχschen Buchstabeneinpragen, hat er uns nachdrucklich mit eρbenem Zeigefinger aufgegeben. Da habe ich gedacht,schreib’ ϕlipp einen Brief und verwende dabei gleich deine Kenntnisse.

Ob es Tωl ist, wenn wir am Samstag etwas spater zu seiner Limωparty kommen? Ich mussja lernen. Ich wurde ja lieber Pεgdrinks mit Mηxa trinken als den ganzen Abend Limo. Naja, sobrauchen wir wenigstens kein Taξ. Seine Nuδschen sind ja immer meγechtig. Atζdelt ihn deswegenja auch immer. Ob auch Saλ ist, der studiert doch auch Mathe, den µsste ich mal etwas fragen.Hoffentlich kommt µriam nicht, diese Bιnte kann einen ganz doσchen mit ihrer grunen ϕlosoφ.

Ubrigens, alle meine Radιsten sind kapput, werde sie ausτschen µssen. Hast Du eigentlich denTυoch gefunden, den Du letzten Samstag vergeblich im Web gesucht hast? Was willst Du eigentlichmit einem Silo? Naja, kannst es mir ja am Samstag erzahlen.

Bis dann, liebe Gruße

Deine πψ

Teil I

Mengen und Logik

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Ausgangspunkt unserer ersten Uberlegungen soll der Begriff Menge sein. Bei welchen Gelegen-heiten verwenden Sie diesen Begriff? Denken Sie einen Moment nach, bilden Sie zwei, drei Satzemit diesem Begriff! Mir fallen spontan Satze ein, wie ”Letztes Wochenende, auf dem Altstadtfest,da war eine Menge los, und wir haben eine Menge Bier getrunken.“, ”Von Popmusik versteht sieeine Menge.“, ”Bis Du mit Deiner Ausbildung fertig bist, wird noch eine Menge Wasser den Rheinrunterlaufen.“, ”Eine große Menschenmenge versammelte sich auf dem Marienplatz und wartete aufdie Ankunft des neuen Deutschen Meisters.“

In welchem Sinn wird in diesen Satzen der Begriff ”Menge“ verwendet? Doch eher um auszu-drucken, dass man nicht genau weiß, wie groß etwas ist oder wie viel von irgendetwas vorhandenist. Genaueres kann oder will man nicht angeben; jedenfalls mochte man mitteilen, dass es sich umviel oder Großes handelt.

In der Mathematik und in der Informatik wird der Begriff Menge im Gegensatz zum umgangs-sprachlichen Gebrauch in einem prazisem Sinn benutzt. Er dient dazu, Objekte zu einer neuen Ein-heit zusammenzufassen, so dass diese Einheit als Ganzes betrachtet und weiterverwendet werdenkann. Typische Beispiele in der Informatik sind Dateien und Datenbanken. Eine Kundendatenbankenthalt etwa die fur ein Unternehmen wichtigen Daten ihrer Kunden. Anfragen und Auswertun-gen einer Datenbank liefern als Ergebnis wieder Mengen. Um festzustellen, welche Kunden ihreRechnungen bis zum Ende des letzten Quartals noch nicht bezahlt haben, mussen moglicherweisedie Kundendatei mit der Bestelldatei und der Rechnungsdatei geeignet verknupft werden, um diefur das Versenden von Mahnungen notwendige Menge von Daten zu finden. Die Eigenschaften derErgebnismenge mussen in einer formalen Sprache prazise beschrieben werden, damit das Daten-banksystem die gewunschte Ergebnismenge bestimmen kann. Solche Sprachen benutzen in allerRegel logische Ausdrucke.

So werden wir zunachst den Begriff der Menge prazisieren und kennen lernen, wie Mengen fest-gelegt werden konnen. Fur formale Beschreibungen von Mengen eignen sich logische Ausdrucke.Deshalb werden wir uns mit der Aussagenlogik und mit der Pradikatenlogik beschaftigen. Dabeiwerden wir sehen, wie formale Sprachen festgelegt werden konnen. Formale Sprachen sind ein we-sentliches Werkzeug in der Informatik. Informatikerinnen und Informatiker mussen diese Werkzeugenicht nur geeignet anwenden konnen, sondern Sie mussen auch in der Lage sein, formale Sprachenselbst zu schaffen, und zwar so, dass Problemstellungen und Losungsverfahren damit so beschriebenwerden konnen, dass Sie mithilfe von Rechnersystemen gelost bzw. ausgefuhrt werden konnen. Wirwerden anhand der Aussagenlogik an einem einfachen Beispiel sehen, wie die Konstruktion einerformalen Sprache im Prinzip erfolgen kann.

Des Weiteren benutzen wir die logische Ausdrucke, um Beziehungen zwischen Mengen undOperationen auf Mengen zu definieren sowie Eigenschaften dieser Beziehungen und Operationen zuzeigen. Das ist z.B. wichtig fur den oben bereits erwahnten Anwendungsbereich der Datenbanken.Hier mussen Mengen in Beziehung gesetzt und miteinander verknupft werden. Ein Datenbanksystemmuss mit Mengen rechnen konnen. Genau wie uns beim Rechnen mit Zahlen ”nach Adam Riese“bestimmte Eigenschaften helfen, wie z.B. das Ausklammern von gemeinsamen Faktoren, gibt esauch fur das Rechnen mit Mengen Gesetze, die das Datenbanksystem benutzt, um korrekt undeffizient Ergebnismengen zu berechnen.

Durch Abstraktion gelangen wir am Schluss dieses Teils zu der Rechenstruktur einer BooleschenAlgebra. Wir werden sehen, dass die vorher betrachtete Aussagenlogik und die ebenfalls vorher

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betrachteten Teilmengen einer Menge mit logischen Verknupfungen bzw. mit Mengenverknupfungenals Rechenoperationen spezielle Prototypen solcher Algebren sind.

Abstraktion ist eines der Problemlose-Hilfsmittel in der Mathematik und in der Informatik. Soist man in aller Regel nicht an der Losung eines sehr speziellen Problems interessiert, sondern an Me-thoden, Verfahren und Werkzeugen, die in moglichst vielen Anwendungsbereichen zur Losung vonProblemen eingesetzt werden konnen. Mit einem Datenbankmanagementsystem sollten Datenban-ken nicht nur in einem Anwendungsbereich, sondern bei unterschiedlichen Anwendungen realisiertwerden konnen – unabhangig von der der Art der Daten. Das Suchen von Elementen in Mengen,die Verknupfung von Mengen und die Darstellung von Mengen muss unabhangig von den konkretenElementen einer Menge gelost werden. Ein Sortieralgorithmus sollte unabhangig sein vom Typ derWerte nach denen sortiert werden soll. Er sollte eine Menge von Daten korrekt und effizient sortierenunabhangig davon, ob es sich z.B. um Kundennamen, Datumsangaben oder Rechnungsnummernhandelt.

Kapitel 1

Definition und Darstellung vonMengen

In diesem Kapitel wollen wir den Begriff der Menge in einer fur die weiteren Betrachtungen hinrei-chenden Art und Weise prazisieren. Wir lernen, wie Mengen dargestellt und beschrieben werden, wirvereinbaren Bezeichner fur gangige Zahlenmengen, und wir werden sehen, dass unser Mengenbegriffzu Schwierigkeiten fuhren kann.

Nach dem Durcharbeiten dieses Kapitels sollten Sie Lernziele

• den Cantorschen Begriff der Menge verstehen,

• die Darstellungen von Mengen sowie die Bezeichner fur die gangigen Zahlenmengen kennen,

• die Russelsche Antinomie erklaren konnen.

1.1 Ein Mengenbegriff

Ausgangspunkt unserer Erklarung des Begriffes Menge soll die folgende Festlegung sein:1

Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Dinge unserer MengeElementAnschauung oder unseres Denkens, welche Elemente der Menge genannt werden, zu

einem Ganzen.

Diese Festlegung ist mehr eine informelle Vereinbarung, denn eine prazise mathematische Defini-tion. Sie setzt ein einheitliches Verstandnis der darin verwendeten Begriffe voraus, und sie wirdzu den schon angekundigten Schwierigkeiten fuhren. Eine axiomatische, ”mathematisch saubere“Einfuhrung des Mengenbegriffs, welche diese Schwierigkeiten vermeidet, ware aber im Hinblick dar-auf, wie wir diesen verwenden wollen, viel zu aufwandig. Immerhin haben zu Beginn des letztenJahrhunderts eine Reihe von hervorragenden Logikern und Mathematikern viele Anstrengungenunternommen und geraume Zeit dafur benotigt, um zu einer formal zufrieden stellenden Fundie-rung dieses Begriffes zu gelangen. Fur die gangigen Betrachtungen in Mathematik und Informatik

1Diese Festlegung geht auf Georg Cantor (1845 - 1918) zuruck, der als Begrunder der Mengenlehre gilt und derwichtige Beitrage zur

”modernen“ Mathematik geliefert hat.

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6 KAPITEL 1. DEFINITION UND DARSTELLUNG VON MENGEN

reicht das Verstandnis dieses Begriffes, welches wir mithilfe der folgenden weiteren Festlegungenbekommen werden, vollkommen aus.

Die Notation einer Menge, also ”die Zusammenfassung von Dingen zu einem Ganzen“, erfolgtin der Art

. . .

Die Elemente der Menge werden durch die Mengenklammern und zu einem Ganzen zusammen-gefasst. ”. . .“ legt eindeutig fest, welche Dinge Elemente der Menge sind. Um auf Mengen Bezugnehmen zu konnen, geben wir diesen in aller Regel einen Namen. Dazu verwenden wir zumeist großeBuchstaben. Die Namensgebung erfolgt mithilfe eines Gleichheitszeichens:

M = . . .

Ist ein Ding a Element einer Menge M , dann schreiben wir a ∈M . Ist ein Ding a kein Element einerElement

Menge, dann schreiben wir a /∈ M . Wenn wir ausdrucken wollen, dass mehrere Elemente zu einerMenge gehoren, dann schreiben wir das auch, indem wir diese Elemente durch Kommata getrenntauflisten und dafur die Zugehorigkeit angeben. So schreiben wir z.B. anstelle von a ∈ M , b ∈ M ,c ∈ M kurzer a, b, c ∈ M . Entsprechend schreiben wir a, b, c /∈ M , anstelle von a /∈ M , b /∈ M ,c /∈M , falls a, b und c keine Elemente der Menge M sind.

Anschaulich kann man sich Mengen als Behalter, z.B. als Schachteln oder als Sacke, vorstellen.Der Behalter wird durch die Mengenklammern dargestellt. Genau wie Schachteln weitere Schachtelnenthalten konnen, kann eine Menge weitere Mengen enthalten, und diese Mengen konnen wiederumMengen enthalten. Und genau wie eine Schachtel leer sein kann, kann auch eine Menge leer sein.Aus der Art der oben vereinbarten Mengennotation folgt, dass die leere Menge durch dargestelltLeere Menge

wird. Die leere Menge wird auch durch das Symbol ∅ dargestellt. Ist die Menge M leer, so notierenwir M = ∅ oder M = . Offensichtlich gilt a /∈ ∅ fur jedes Ding a.

Beispiel 1.1. a) Die MengeA = 1, 2, 3, 4, 5

enthalt als Elemente die Zahlen 1, 2, 3, 4 und 5. Es gilt also z.B. 2, 5 ∈ A sowie 0, 6, 13 /∈ A.

b) Die MengeB = 1, 2, 3, 4, 5, 6

enthalt drei Elemente: die Zahlen 1 und 2 sowie die Menge 3, 4, 5, 6 , die selbst vier Elementeenthalt, namlich die Zahlen 3, 4, 5 und 6. Machen Sie sich dies an der Schachtel-Metapher klar:Die Schachtel B enthalt die Elemente 1, 2 sowie eine weitere Schachtel, die die Elemente 3, 4,5 und 6 enthalt. B kann in diese Schachtel nicht ”hineinschauen“. Deutlich wird das, wenn wirder inneren Schachtel einen Namen geben, etwa C = 3, 4, 5, 6 . Dann ergibt sich die DarstellungB = 1, 2, C , woraus man unmittelbar sieht, das B drei und nicht sechs Elemente enthalt. Es giltC ∈ B, d.h. 3, 4, 5, 6 ∈ 1, 2, 3, 4, 5, 6 . Die Schachtel C ist ein Element der Schachtel B, undes gilt 3 ∈ C, aber 3 /∈ B.

c) Die Gleichung x2 = −1 besitzt in der Menge der reellen Zahlen keine Losung, d.h. ihre Losungs-menge L = x | x ist reelle Zahl und x2 = −1 ist leer: L = ∅.

d) Die MengeD =

1.1. EIN MENGENBEGRIFF 7

enthalt genau ein Element, namlich die leere Menge. Somit ist die Menge D selbst nicht leer. Auchdies kann man sich mit der Schachtel-Metapher veranschaulichen. Die Schachtel D ist nicht leer,denn sie enthalt ein Element, namlich die leere Schachtel. Es gilt ∈ D. Wenn wir E = setzen,dann ist D = E, wodurch auch in der mathematischen Notation deutlich wird, dass D nicht dieleere Menge ist. 2

Ubung 1.1. Sei M eine Menge sowie A = 3, 4, 5, 6 und B = 5, 6 . Setzen Sie ∈ oder /∈korrekt ein:

(1) ∅ . . . ∅,

(2) ∅ . . . ∅,

(3) M . . . 1, 2 ,M ,

(4) 1 . . . 1, 2 ,M ,

(5) 3 . . . A,

(6) 4 . . . A,

(7) 5, 6 . . . A,

(8) B . . . A,

(9) B . . . A,

(10) 6 . . . A,

(11) 6 . . . B. 2

Ubung 1.2. Bestimmen Sie, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind und begrunden Sie IhreAntworten!

(1) ∅ ∈ ∅,

(2) ∅ ∈ ∅,

(3) a, b ∈ a, b, c, a, b ,

(4) a, b, c ∈ a, b, c, a, b ,

(5) a, b ∈ a, b ,

(6) a ∈ a, b, a, b . 2


1.2 Darstellung von Mengen

Unsere Festlegung des Mengenbegriffs besagt, dass die Elemente einer Menge bestimmt sein mussen.Dazu verwenden wir zwei Arten der Darstellung von Mengen: die aufzahlende und die beschreibendeDarstellung. Bei der aufzahlenden Darstellung werden die Elemente der Menge explizit angegeben.In dieser Art und Weise haben wir bereits die Mengen im Beispiel 12.1 sowie in den Ubungen 1.1und 1.2 dargestellt.

Beispiel 1.2. Wir geben einige weitere Beispiele fur die aufzahlende Darstellung von Mengen an:

A = 2, 3, 5, 7, 11 B = 1, 2, . . . , 50 C = 1, 2, . . . D = 43, 44, . . .

Die Menge A enthalt funf Elemente, namlich die Primzahlen kleiner gleich 11. Bei den drei anderenAufzahlendeDarstellungvon Mengen

Mengen wird ein Problem der aufzahlenden Darstellung von Mengen offensichtlich. Falls sie vieleElemente enthalten oder falls sie unendlich viele Elemente enthalten, ist ihre komplette Aufzahlungaufwandig bzw. unmoglich. In diesen Fallen helfen wir uns mit der ”. . .“-Schreibweise. Dabei mussdurch die explizit angegebenen Elemente eindeutig klar sein, fur welche Elemente ”. . .“ steht. In Bsind offensichtlich die ganzen Zahlen von 1 bis 50 gemeint, in C die naturlichen Zahlen ohne dieNull und in D die naturlichen Zahlen großer gleich 43. 2

Bei der Menge E = 3, 5, 7, . . . konnte nicht klar sein, welche Menge gemeint ist: die Mengeder positiven ungeraden Zahlen großer gleich 3 oder die Menge der Primzahlen großer gleich 3. Dieexplizite Aufzahlung eines weiteren Elementes konnte Aufklarung bringen: 9 im ersten Fall bzw. 11im zweiten Fall.

Die allgemeine Form der aufzahlenden Darstellung von Mengen ist also

M = a1, a2, . . . , an

fur endliche Mengen sowieM = a1, a2, . . .

fur unendliche Mengen.

Ubung 1.3. Geben Sie folgende Mengen in aufzahlender Form an:

(1) M1 = Menge aller nicht negativen ganzen Zahlen, die Kubikzahlen von ganzen Zahlen undkleiner als 100 sind.

(2) M2 = Menge aller ganzen Zahlen zwischen 10 und 50, die durch 3 aber nicht durch 4 teilbarsind.

(3) M3 = Menge aller Mengen, die man aus den drei Elementen a, b und c bilden kann. 2

Erfullt die Menge F = 3, 4, 5, 3, 6 unsere Festlegung des Mengenbegriffs? Nein, denn Ihre Ele-Multimenge

mente sind nicht wohlunterschieden, da 3 mehr als einmal vorkommt. Wohlunterschieden bedeutet,dass jedes Element nur einmal in der Menge vorkommen darf. In der Informatik gibt es durchaus

1.2. DARSTELLUNG VON MENGEN 9

Anwendungen, in denen Mengen ein Element auch mehrfach enthalten konnen sollten. Man sprichtdann von Multimengen oder Bags. Die Menge

M = 1, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5

ist ein Beispiel einer Multimenge. Durch unterschiedliche Kenntlichmachung gleicher Elemente –etwa durch fortlaufende Indizierung oder durch Angabe der Haufigkeit – kann man diese unter-scheidbar machen und so Multimengen durch Mengen darstellen. Nach Indizierung sieht die MengeM wie folgt aus

M = 11, 12, 21, 31, 32, 33, 34, 41, 51, 52, 53

sowie bei Angabe der Haufigkeit

M = 1(2), , 2(1), 3(4), 4(1), 5(3)

Die spater folgenden Definitionen zu Teilmengen und Operationen auf Mengen konnen mithilfesolcher Kennzeichnungen auf Multimengen ubertragen werden.

Wir betrachten im Folgenden in aller Regel keine Multimengen, sondern Mengen, die jedes Ele-ment genau einmal enthalten. Dabei sei beispielhaft auf eine Problematik hingewiesen, die entstehenkann, falls die Elemente Variablen sind und keine ”konkreten“ Elemente (Konstanten). Sind etwaa, b, c und d Variable fur ganze Zahlen, und bilden wir damit die Menge M = a, b, c, d , dannhangt der Inhalt dieser Menge von der Belegung der Variablen ab. Haben z.B. a und c beide denWert 5 und b den Wert 1 und d den Wert 2, dann ist M = 1, 2, 5 , d.h. M enthalt in diesemFall drei Elemente. Fur den Fall, dass alle Variablen denselben Wert haben, enthalt M genau einElement.

Bei der beschreibenden Darstellung werden die Elemente nicht explizit aufgezahlt, sondern es BeschreibendeDarstellungvon Mengen

wird eine sie definierende Eigenschaft angegeben. Die allgemeine Form ist

M = x | p(x) (1.1)

Dabei ist x ein Platzhalter (eine Variable) fur die Elemente der Menge, und p(x) ist eine furx informal oder formal angegebene Eigenschaft. Genau die Dinge, die die Eigenschaft erfullen,sind Elemente der Menge. Auf Moglichkeiten die definierende Eigenschaft formal durch Pradikateanzugeben, gehen wir im Kapitel 3 ein.

Beispiel 1.3. Beispiele fur die beschreibende Darstellung von Mengen sind:

A = x | x ist eine Primzahl kleiner gleich 11 G = x | x ist eine positive ganze Zahl und x+ x = 10 H = (x, y) | x und y sind positive ganze Zahlen und x+ y = 6 T64 = y | y ist ein positiver Teiler von 64 S = st | st studiert Informatik in Sankt Augustin

Dabei haben wir die Eigenschaften, welche die Elemente festlegen sollen, ”halbformal“ ausgedruckt,d.h. umgangssprachlich unter Verwendung von mathematischen Ausdrucken. In aufzahlender Dar-


stellung gilt offensichtlich:

A = 2, 3, 5, 7, 11 G = 5 H = (0, 6), (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1), (6, 0) T64 = 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64

2

Ubung 1.4. Geben Sie folgende Mengen in beschreibender Form an:

(1) M1 = 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 ,

(2) M2 = 4, 9, 25, 49, 121 ,

(3) M3 = 1, 8, 27, 64 ,

(4) M4 = 1, 3, 5, 7, . . . . 2

Enthalt eine Menge M endlich viele Elemente, etwa m Stuck, dann schreiben wir |M | = m undKardinalitateiner Menge nennen M eine endliche Menge. |M | heißt die Kardinalitat von M . Nicht endliche Mengen heißen

unendlich, und wir notieren |M | =∞. Es gilt also z.B. |A| = 5, |B| = 50, |D| =∞ fur die MengenA, B und D aus Beispiel 1.2 auf Seite 8 sowie |G| = 1, |H| = |T64| = 7 fur die Mengen G und Haus Beispiel 1.3. Offensichtlich gilt |∅| = 0.

1.3 Bezeichner fur Zahlenmengen

Gangige Zahlenmengen besitzen feste Bezeichner. Wir listen diese im Folgenden auf und verwendensie so fortan.

N = 1, 2, 3, . . . naturliche ZahlenN0 = 0, 1, 2, 3, . . . naturliche Zahlen mit 0Nk = k, k + 1, k + 2, . . . naturliche Zahlen ab k, k ∈ N0

Nu,o = u, u+ 1, u+ 2, . . . , o naturliche Zahlen zwischen u und o,

u, o ∈ N0

Beispiele fur die zwei letzten Notationen sind

N17 = 17, 18, 19, . . . N35,53 = 35, 36, . . . , 53

1.4. RUSSELLSCHE ANTINOMIE 11

Des Weiteren gilt Nu,o = ∅, falls u großer als o ist.

Z = . . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . . ganze ZahlenG+ = 0, 2, 4, . . . nicht negative gerade ZahlenG− = −2,−4, . . . negative gerade ZahlenG = −4,−2, 0, 2, 4, . . . gerade ZahlenU+ = 1, 3, 5, . . . positive ungerade ZahlenU− = −1,−3,−5 . . . negative ungerade ZahlenU = −5,−3,−1, 1, 3, 5, . . . ungerade ZahlenP = 2, 3, 5, 7, 11, . . . PrimzahlenQ =

pq | p ∈ Z und q ∈ N

rationale Zahlen (Bruche)

Q+ rationale Zahlen großer gleich 0Q− rationale Zahlen kleiner 0R reelle ZahlenR+ reelle Zahlen großer gleich 0R− reelle Zahlen kleiner 0C = a+ bi | a, b ∈ R und i2 = −1 komplexe Zahlen

Wie setzen an dieser Stelle die angegebenen Zahlenmengen in dem Sinne als bekannt voraus,als dass man sie aus der Schule und dem taglichen Leben kennt. Im Teil IV geben wir formaleDefinitionen fur die Mengen der naturlichen, ganzen und rationalen Zahlen an und betrachteneinige ihrer wesentlichen Eigenschaften.

1.4 Russellsche Antinomie

Unsere Festlegung des Mengenbegriffs lasst es zu, dass Mengen Elemente von Mengen sein konnen(siehe z.B. Beispiel 12.1 und Ubungen 1.1 und 1.2 auf den Seiten 7 und 7). Kann eine Menge sichauch selbst enthalten? In aller Regel fallen uns nur Beispiele von Mengen ein, die sich nicht selbstenthalten, wie z.B. die Menge D aller rechtwinkligen Dreiecke in der Ebene. Offensichtlich ist Dkein Element von D, denn die Menge D ist kein rechtwinkliges Dreieck. Betrachten wir nun dieMenge D′ aller Elemente, die keine rechtwinkligen Dreiecke sind. Da die Menge D′ offensichtlichkein rechtwinkliges Dreieck ist, muss sie selbst zur Menge D′ gehoren, denn diese enthalt ja alleElemente, die keine rechtwinkligen Dreiecke sind.

Nun betrachten wir die Menge M , welche alle Mengen enthalt. M ist selbst eine Menge, al-so muss M sich selbst enthalten, denn M enthalt ja alle Mengen. Unsere auf der CantorschenDefinition basierende Festlegung des Mengenbegriffs lasst diese Mengenbildungen zu und fuhrt zukeinen Schwierigkeiten, insbesondere ist die in der Festlegung geforderte Bestimmtheit der Elementegegeben.

Nun betrachten wir die Menge M ′ aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten, formal

M ′ = A | A /∈ A

und stellen die Frage, ob M ′ sich selbst enthalt: M ′ ∈M ′? Gemaß der Cantorschen Mengendefintionmuss bestimmt werden konnen, ob eine Ding zu einer Menge gehort oder nicht. Fur die Frage, obM ′ ∈ M ′ gilt, muss also entweder die Antwort ”ja“ oder die Antwort ”nein“ zutreffen, und dierichtige Antwort muss anhand der beschreibenden Eigenschaft entschieden werden konnen.


Bevor wir diese Frage beantworten, betrachten wir als Vorbereitung darauf das folgende Para-doxon:

Sei S die Schlange, die all diejenigen Schlangen in den Schwanz beißt, die sich nichtselbst in den Schwanz beißen. Frage: Beißt S sich selbst in den Schwanz?

Es gibt zwei Moglichkeiten: S beißt sich selbst in den Schwanz oder nicht.Nehmen wir an, S beiße sich in den Schwanz. Dann gehort sie zu den Schlangen, die sich selber

in den Schwanz beißen und die deshalb nicht von S in den Schwanz gebissen werden. Dies bedeutetaber, dass S nicht von S gebissen wird, also beißt S sich nicht selbst in den Schwanz.

Nehmen wir an, S beiße sich nicht in den Schwanz. Dann gehort sie zu den Schlangen, die sichnicht selber in den Schwanz beißen. Diese werden aber gerade von S gebissen, also beißt S sichselbst in den Schwanz.

In beiden moglichen Fallen fuhrt die jeweilige Annahme zu einem Widerspruch, d.h. die Fragekann nicht beantwortet werden. Es liegt ein sogenanntes Paradoxon vor.

Kehren wir zur Frage ”M′ ∈M ′?“ zuruck und gehen zu deren Beantwortung wie beim Schlangen-

Paradoxon vor: Nehmen wir an, dass M ′ ∈M ′ gelte. Dann gehort M ′ zu den Mengen, die sich nichtselbst enthalten. Daraus folgt aber M ′ /∈M ′.

Nehmen wir an, dass M ′ /∈M ′ gelte. Dann enthalt M ′ sich nicht selbst, d.h. M ′ gehort zu denMengen, die sich nicht selbst enthalten. Daraus folgt aber M ′ ∈M ′.

Wir stellen also fest, dass auch diese Frage nicht beantwortet werden kann. Dieses Paradoxon istbekannt als Russelsche Antinomie.2 Es zeigt die Unzulanglichkeit der Cantorschen Mengendefiniti-on. Eine Mengendefinition sollte in jedem Fall die eindeutige Beantwortung der Frage ermoglichen,ob ein Ding in einer Menge enthalten ist oder nicht. Die axiomatische Mengenlehre vermeidet An-tinomien. Hierauf gehen wir, wie eingangs des Kapitels bereits angemerkt, nicht ein, da fur unsereZwecke im Folgenden die Cantorsche Mengendefinition ausreicht, Widerspruche treten nicht auf.

2Benannt nach Bertrand Russell (1872 - 1970), britischer Logiker, Philosoph, Schriftsteller und Pazifist. Er liefertewesentliche Beitrage zur Logik und Philosophie. Mit Abert Einstein initiierte er die Pugwash-Bewegung, mit Jean-Paul Sartre das Vietnam-Tribunal, das erste sogenannte Russelsche Tribunal. 1950 erhielt er den Nobelpreis furLiteratur.

Kapitel 2

Aussagenlogik

Aussagen- und Pradikatenlogik sind von grundlegender Bedeutung in der Informatik. Programm-und Prozessablaufe sind in aller Regel abhangig vom Erfullt- oder Unerfulltsein von miteinan-der verknupften Bedingungen. So ist z.B. die Steuerung eines Uberdruckventils eines Heizkesselsabhangig von seiner aktuellen Stellung, der Temperatur und des Drucks. Bei einer Datenbankab-frage mussen der erwarteten Antwort entsprechende Bedingungen formuliert werden wie z.B.: ”AlleKunden, die bis zum Ende des letzten Quartals ihre Rechnungen noch nicht bezahlt haben undkeine Stammkunden sind, mussen eine Zahlungserinnerung bekommen.“

Wir werden, wie im Abschnitt 1.2 angekundigt, Pradikate verwenden, um darstellende Beschrei-bungen von Mengen zu formulieren (siehe (1.1) auf Seite 9). Außerdem benutzen wir Pradikate,um im Kapitel 5 Teilmengenbeziehungen und Mengenverknupfungen zu definieren und deren Ei-genschaften zu beweisen.

Wir beginnen in diesem Kapitel mit der Aussagenlogik und behandeln im nachsten Kapiteleinfuhrend die Pradikatenlogik. Wir wollen die Aussagenlogik – moglicherweise anders, als Sie diesebisher kennen gelernt haben – als eine Sprache betrachten. Sprachen, etwa formale Sprachen, wieProgrammier- oder Dialogsprachen in der Informatik, oder naturliche Sprachen, wie die deutscheoder die englische Sprache, oder kunstlerische Sprachen, wie die Poesie oder die Musik, werdenfestgelegt durch

• ein Alphabet, welches ein endlicher Zeichenvorrat ist, aus dem die Worter und Satze einerSprache zusammengesetzt sind,

• die Syntax, die festlegt, welche mit den Elementen des Alphabets gebildete Zeichenketten alsWorter oder Satze zur Sprache gehoren,

• die Semantik, welche den Wortern und Satzen der Sprache eine Bedeutung zuordnet.

Nach Durcharbeiten dieses Kapitels sollten Sie Lernziele

• den syntaktischen Aufbau aussagenlogischer Formeln kennen,

• den Wahrheitswert aussagenlogischer Formeln sowohl mit dem Interpretationsoperator alsauch mithilfe von Wahrheitstafeln berechnen konnen,

13

14 KAPITEL 2. AUSSAGENLOGIK

• aussagenlogische Grundbegriffe wie Erfullbarkeit, Modell, logische Folgerung, logische Aquiva-lenz, Kalkul, Normalformen und logische Basen sowie Widerspruchsfreiheit und Vollstandig-keit von Kalkulen erlautern konnen,

• den Resolutionskalkul erklaren und anwenden konnen.

2.1 Alphabet der Aussagenlogik

Das Alphabet der Aussagenlogik besteht aus zwei Mengen:

• aus der Menge der aussagenlogischen OperatorsymboleAussagen-logischeOperator-symbole

O = 0, 1,¬,∧,∨, (, )

• sowie aus der Menge x, | zur Generierung der aussagenlogischen Variablen. Die Menge VAussagen-logischeVariablen

der aussagenlogischen Variablen kann wie folgt rekursiv definiert werden:

(1) x ist eine Variable: x ∈ V .

(2) Falls α ein Variable ist, dann auch α|, d.h., ist α ∈ V , dann ist auch α| ∈ V .

Mithilfe dieser Regeln ergibt sich:

V = x, x|, x||, x|||, . . .

Wenn wir die Anzahl der Striche als Index notieren, dann ist

V = x0, x1, x2, x3, . . .

Wir werden in aller Regel nicht konkrete Elemente aus V , also indizierte x, in den aussa-genlogischen Formeln verwenden, sondern dazu Variablenbezeichner benutzen, die bei Bedarfmit konkreten Elementen aus V belegt werden konnen. Als Variablenbezeichner verwendenwir kleine Buchstaben vom Ende des deutschen Alphabetes, z.B. p, q, r, v, y und z, beiBedarf auch indiziert. Mit der Aussage v ∈ V ist dann gemeint, dass v anstelle irgendeineraussagenlogischen Variable xi ∈ V steht (v ist Platzhalter fur xi).

2.2 Syntax aussagenlogischer Formeln

Die Sprache A der Aussagenlogik, deren Elemente – ihre Worter – aussagenlogische Formeln heißen,Aussagen-logischeFormeln

ist durch folgende Syntax-Regeln festgelegt:

(i) Die Operatorsymbole 0, 1 ∈ O, die so genannten aussagenlogischen Konstantenbezeichner,Aussagen-logischeKonstanten-bezeichner

sind Worter in A: 0, 1 ∈ A.

(ii) Jede aussagenlogische Variable ist auch eine aussagenlogische Formel: Fur jedes v ∈ V istv ∈ A.

2.3. SEMANTIK AUSSAGENLOGISCHER FORMELN 15

(iii) Als Variablenbezeichner fur aussagenlogische Formeln verwenden wir kleine Buchstaben vomAnfang des griechischen Alphabetes: α, β, γ – bei Bedarf auch indiziert, z.B. α1, α2, . . .

Aus bereits vorhandenen aussagenlogischen Formeln werden mithilfe der Operator- und derKlammersymbole neue Formeln gebildet: Sind α, β ∈ A, dann sind auch (α∧β), (α∨β),¬α ∈A.1

(iv) Genau die gemaß den Regeln (i) - (iii) bildbaren Zeichenketten gehoren zu A.

Konstanten und Variablen heißen auch atomare Formeln. Die unter Verwendung von Regel (iii) AtomareFormelngebildeten Formeln heißen zusammengesetzt. Die Formeln der Gestalt v sowie die der Gestalt ¬vZusammengesetzteFormeln

mit v ∈ V heißen Literale. Literale sind also Variable sowie mit dem Operator ¬ versehene Variable.

LiteraleBeispiel 2.1. Es gilt:

a) (p ∧ q) ∈ A.

b) (((p ∨ (q ∧ r)) ∧ ¬(q ∨ ¬r)) ∨ 0) ∈ A.

c) p(¬q ∨ r) /∈ A.

Wir zeigen, dass b) gilt:

(1) 0, p, q, r ∈ A gemaß Regel (i) bzw. Regel (ii).

(2) Gemaß (1) und Regel (iii) ist ¬r ∈ A.

(3) Gemaß (1) und Regel (iii) ist (q ∧ r) ∈ A.

(4) Gemaß (1,2) und Regel (iii) ist (q ∨ ¬r) ∈ A.

(5) Gemaß (4) und Regel (iii) ist ¬(q ∨ ¬r) ∈ A.

(6) Gemaß (1,3) und Regel (iii) ist (p ∨ (q ∧ r)) ∈ A.

(7) Gemaß (4,6) und Regel (iii) ist ((p ∨ (q ∧ r)) ∧ ¬(q ∧ ¬r)) ∈ A.

(8) Gemaß (1,7) und Regel (iii) ist (((p ∨ (q ∧ r)) ∧ ¬(q ∧ ¬r)) ∨ 0) ∈ A.

Durch schrittweises Anwenden der Regeln (i) - (iii) haben wir die aussagenlogische Formel (((p ∨(q ∧ r)) ∧ ¬(q ∧ ¬r)) ∨ 0) konstruiert.

Diese Formel enthalt die vier Literale p, q, r sowie ¬r. 2

Wir werden im Folgenden, falls dadurch keine Missverstandnisse auftreten, die außeren Klam-mern einer Aussage weglassen. Wir schreiben also p∧ q anstelle von (p∧ q) und ((p∨ (q∧ r))∧¬(q∨¬r)) ∨ 0 anstelle von (((p ∨ (q ∧ r)) ∧ ¬(q ∨ ¬r)) ∨ 0).


2.3 Semantik aussagenlogischer Formeln

Die Bedeutung von aussagenlogischen Formeln wollen wir durch die Werte 0 fur ”falsch“ und 1fur ”wahr“ angeben. Die Menge dieser beiden aussagenlogischen Konstanten bzw. Wahrheitswertebezeichnen wir mit B. Dabei legen wir auf B = 0, 1 eine Ordnung fest: 0 sei kleiner als 1, d.h. Aussagenlogische

KonstantenWahrheitswerte

das Maximum der beiden Wahrheitswerte ist 1, was wir durch max 0, 1 = 1 ausdrucken, dassMinimum ist 0, d.h. min 0, 1 = 0. Außerdem legen wir als Operationen auf B fest: 1−1 = 0 sowie1− 0 = 1.

Fur diese Operationen gelten die beiden folgenden Beziehungen:

minx, y = 1−max 1− x, 1− y (2.1)maxx, y = 1− min 1− x, 1− y (2.2)

Wir konnen also eine der beiden Operationen min bzw. max durch die jeweils andere und die ”−“-Operation ausdrucken, wir konnten also auf min oder auf max verzichten. Aus schreibtechnischenGrunden und der besseren Lesbarkeit wegen werden wir aber beide Operationen verwenden.

Wir konnen (B,max ,min,−) als eine abstrakte Maschine auffassen, die die Werte 0 und 1 zurAbstrakteMaschine Verfugung stellt und darauf die Operationen max , min und ”−“ ausfuhren kann. Wir benotigen

jetzt noch eine Vorschrift, die festlegt, wie eine aussagenlogische Formel – abhangig von Eingaben– von dieser Maschine berechnet wird.

Ubung 2.1. Beweisen Sie die Beziehungen (2.1) und (2.2)! 2

2.3.1 Interpretation aussagenlogischer Formeln

Wir haben die Syntax der aussagenlogischen Formeln induktiv definiert: Die atomaren Formelnwerden als gegeben angenommen und mit diesen und bereits konstruierten Formeln werden mithilfevon Operatoren und Klammern neue Formeln konstruiert. Induktion ist eine KonstruktionmethodeInduktion

mit fundamentaler Bedeutung in der Informatik, insbesondere beim Entwurf von Datenstrukturenund Algorithmen sowie in der Programmierung. Wir werden im Teil III noch ausfuhrlicher aufInduktion eingehen.

Es ist nun ”naturlich“ die Semantik aussagenlogischer Formeln rekursiv entlang der induktivenDefinition ihrer Syntax zu definieren. Zunachst muss den atomaren Formeln, also den Konstantenbe-zeichnern und Variablen einer Formel ein Wahrheitswert zugewiesen werden und daraus wird dannder Wahrheitswert der gesamten Formel entsprechend ihres induktiven Aufbaus rekursiv berechnet.Die Zuweisung von Wahrheitswerten zu Variablen einer Formel γ ∈ A geschieht mit einer BelegungBelegung

I (”Eingabe“), und die Berechnung des Wahrheitswertes von γ geschieht durch die InterpretationInterpretation

I∗Sei γ ∈ A eine aussagenlogische Formel, dann sei Vγ die Menge der Variablen in γ. Jeder

Variablen v in γ, also jedem v ∈ Vγ , wird genau ein Wahrheitswert zugewiesen. Formal: I : Vγ → Bmit I(v) ∈ B. Fur jede Variable v ∈ Vγ gibt es zwei mogliche Belegungen: I(v) = 0 oder I(v) = 1.Ist n die Anzahl der Variablen in γ, also |Vγ | = n, dann gibt es 2n mogliche Belegungen I : Vγ → B.Diese fassen wir in der Menge

Iγ = BVγ = I | I : Vγ → B 1Anstelle von ¬α ist auch die Notation α ublich.


zusammen.Mit einer gewahlten Belegung I ∈ Iγ wird die Interpretation I∗(γ) der aussagenlogischen Formel

γ ∈ A gemaß den folgenden Regeln berechnet (dabei erfolgt die Festlegung der Regeln rekursiventsprechend der induktiven Definitionen (i) - (iii) der Syntax der aussagenlogischen Formeln imvorigen Abschnitt):

(i) I∗(0) = 0 und I∗(1) = 1: Die Konstantenbezeichner werden unabhangig von der gegebenenFormel durch fest zugewiesene Wahrheitswerte interpretiert.

(ii) I∗(v) = I(v), fur ein I ∈ Iγ : Die Variablen der Formel γ werden durch die gewahlte BelegungI interpretiert.

(iii) Die Interpretation zusammengesetzter Formeln wird gemaß folgender Regeln berechnet:Ist γ = α ∧ β mit α, β ∈ A, dann ist

I∗(γ) = I∗(α ∧ β) = min I∗(α), I∗(β)

Ist γ = α ∨ β mit α, β ∈ A, dann ist

I∗(γ) = I∗(α ∨ β) = max I∗(α), I∗(β)

Ist γ = ¬α mit α ∈ A, dann ist

I∗(γ) = I∗(¬α) = 1− I∗(α)

Beispiel 2.2. Wir betrachten die Formel

γ = ((p ∨ (q ∧ r)) ∧ ¬(q ∨ ¬r)) ∨ 0

aus Beispiel 2.1 (Seite 15). Es ist Vγ = p, q, r . Wir wahlen die Belegung I(p) = 1, I(q) = 0 sowieI(r) = 1. Mit dieser Belegung ergibt sich gemaß den obigen Regeln folgende Interpretation:

I∗(γ) = I∗(((p ∨ (q ∧ r)) ∧ ¬(q ∨ ¬r)) ∨ 0)= maxI∗((p ∨ (q ∧ r)) ∧ ¬(q ∨ ¬r)), I∗(0)= maxminI∗(p ∨ (q ∧ r)), I∗(¬(q ∨ ¬r)), 0)= maxminmaxI∗(p), I∗(q ∧ r), 1− I∗(q ∨ ¬r), 0= maxminmaxI(p),minI∗(q), I∗(r), 1−maxI∗(q), I∗(¬r), 0= maxminmax1,minI(q), I(r), 1−maxI(q), 1− I∗(r), 0= maxminmax1,min0, 1, 1−max0, 1− I(r), 0= maxminmax1,min0, 1, 1−max0, 1− 1, 0= maxminmax1, 0, 1− 0, 0= maxmin1, 1, 0= max1, 0= 1

Fur die gewahlte Belegung I ist der Wert der aussagenlogischen Formel also 1. Berechnen Sie denWert fur weitere der insgesamt 23 = 8 moglichen Belegungen! 2


Wir werden im Folgenden, da wir die Operatoren 0 und 1 fest mit den Werten 0 bzw. 1 belegthaben, außerlich nicht mehr zwischen den Operatoren und ihren Werten unterscheiden und 0 anstellevon 0 bzw. 1 anstelle von 1 schreiben.

Wir konnen das Tripel (A,B, I∗) auch als eine Programmiersprache auffassen: Jedes α ∈ A istProgrammier-sprache ein Programm, B enthalt die moglichen Eingaben fur die Variablen sowie die moglichen Ausgaben,

die eine Interpretation in Abhangigkeit der Eingaben berechnen kann. I legt eine konkrete Eingabefest, und I∗ ist der Interpreter, der jedes Programm bei gegebener Eingabe ausfuhrt. Die Maschine,auf der dieser Interpreter ausgefuhrt werden kann, benotigt als Maschinenbefehle max, min sowie1− 0 und 1− 1, mit diesen konnen alle aussagenlogischen Formeln berechnet werden.

Am obigen Beispiel sieht man, dass die Berechnung einer Interpretation noch effizienter gestaltetwerden kann. Im Beispiel werden ”stur“ die Regeln schrittweise von links nach rechts ausgefuhrt. Istman z.B. bei einem Ausdruck der Form min I∗(α), 0 angekommen, so kann man diesen wegen derDefinition von min sofort durch 0 ersetzen, ohne dass I∗(α) noch ausgerechnet werden muss. Ins-besondere, wenn α noch ein komplexer Ausdruck ist, wird dadurch viel Zeit bei der Berechnung derInterpretation eingespart. Uberlegen Sie sich weitere Moglichkeiten zur Effizienzsteigerung bei derAuswertung! Wir werden an dieser Stelle nicht weiter darauf eingehen. Ein Gebiet der Informatik,welches sich mit solchen Fragestellungen beschaftigt ist der Compilerbau.

2.3.2 Wahrheitstafeln

Die Semantik aussagenlogischer Formeln und der Wert einer aussagenlogischen Formel kann auchmithilfe sogenannter Wahrheitstafeln festgelegt bzw. berechnet werden. Seien α, β ∈ A zwei aussa-genlogische Formeln. Die folgenden Tabellen legen jeweils fur alle moglichen Werte dieser beidenFormeln die Werte ihrer Verknupfungen mit den Operationen ¬, ∧ und ∨ fest:

α ¬α1 00 1

α β α ∧ β1 1 11 0 00 1 00 0 0

α β α ∨ β1 1 11 0 10 1 10 0 0

Jede Zeile legt den Wert fur genau eine Belegung fest.

Wir sehen, dass die Verknupfung zweier Formeln mit ∧ genau dann 1 ergibt, wenn beide For-meln den Wert 1 besitzen. Diese Verknupfung heißt Und-Verknupfung oder Konjunktion. Die Ver-Konjunktion

knupfung zweier Formeln mit ∨ ergibt genau dann 0, wenn beide Formeln den Wert 0 besitzen.Diese Verknupfung heißt Oder-Verknupfung oder Disjunktion. Die Verknupfung ¬ heißt Negation.Disjunktion

Negation

Beispiel 2.3. Die Wahrheitstafel der Formel

γ = ((p ∨ (q ∧ r)) ∧ ¬(q ∨ ¬r)) ∨ 0


aus Beispiel 2.1 (Seite 15) ist:

(p ∨ (q ∧ r)) ((p ∨ (q ∧ r))p q r 0 ¬r q ∧ r q ∨ ¬r ¬(q ∨ ¬r) p ∨ (q ∧ r) ∧¬(q ∨ ¬r) ∧¬(q ∨ ¬r)) ∨ 01 1 1 0 0 1 1 0 1 0 01 1 0 0 1 0 1 0 1 0 01 0 1 0 0 0 0 1 1 1 11 0 0 0 1 0 1 0 1 0 00 1 1 0 0 1 1 0 1 0 00 1 0 0 1 0 1 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0

Anstelle der Auswertung einer aussagenlogischen Formel durch I∗ konnen also auch die Wahr-heitstabellen zu ihrer Berechnung verwendet werden. Dabei enthalt jede Zeile gerade die Berech-nung fur genau eine Belegung I der Variablen. So entspricht die dritte Zeile der obigen Tabelle derBelegung und der Berechung der Formel γ im Beispiel 2.2 auf Seite 17. 2

Wenn eine aussagenlogische Formel n Variable enthalt, dann gibt es 2n mogliche Belegungen,d.h. die Wahrheitstabelle fur eine Formel mit n Variablen enthalt 2n Zeilen.

2.3.3 Aussagenlogische Operationen

Neben den bereits bekannten aussagenlogischen Operationen Negation, Konjunktion und Disjunk-tion fuhren wir noch drei weitere Operationen ein: die Subjunktion, die Bijunktion und das exklusiveOder. Seien α, β ∈ A aussagenlogische Formeln, dann sind auch die Subjunktion α→ β (in Worten Subjunktion

”wenn α, dann β“ oder ”aus α folgt β“), die Bijunktion α ↔ β (in Worten ”α genau dann, wenn Bijunktion

β“) sowie das exklusive Oder (α⊕ β) (in Worten ”entweder α oder β“) aussagenlogische Formeln. ExklusivesOderWir geben ihre Semantik in den folgenden Wahrheitstafeln an:

α β α→ β1 1 11 0 00 1 10 0 1

α β α↔ β1 1 11 0 00 1 00 0 1

α β α⊕ β1 1 01 0 10 1 10 0 0

Rechnen Sie nach, dass die folgenden Folgerungen korrekt sind.

Folgerung 2.1. a) Fur jede Belegung I der Variablen in den aussagenlogischen Formeln α, β ∈ Agilt:

I∗(α→ β) = I∗(¬α ∨ β) (2.3)I∗(α↔ β) = I∗((α→ β) ∧ (β → α)) (2.4)I∗(α⊕ β) = I∗((α ∧ ¬β) ∨ (¬α ∧ β)) (2.5)

Die Operationen Subjunktion, Bijunktion und exklusives Oder erweitern also die semantischenMoglichkeiten von A nicht, denn sie konnen mithilfe der bereits bekannten Operationen Negation,Konjunktion und Disjunktion ausgedruckt werden. Sie stellen syntaktische Hilfsmittel dar, umgegebenenfalls Ausdrucke kurzer darzustellen.


b) Wir kennen nun sechs verschiedene aussagenlogische Verknupfungen. Wie viele zweistellige ver-schiedene aussagenlogische Verknupfungen gibt es? Jede Wahrheitstafel fur zweistellige Verknupfun-gen besteht aus vier Zeilen, welche die vier moglichen Belegungen von zwei Variablen darstellen.Jede Belegung fuhrt zu einem Ergebnis, welches jeweils 0 oder 1 ist. Damit gibt es 24 = 16 moglicheErgebnisse uberhaupt, und damit gibt es genau sechzehn verschiedene zweistellige aussagenlogi-sche Verknupfungen. In a) haben wir bereits gesehen, dass wir mithilfe der Negation zweistelligeOperationen durch andere zweistellige Operationen ausdrucken konnen. Im Kapitel 2.7 werden wiruns mit der Frage beschaftigen, wie viele und welche zweistelligen Operationen ausreichen, um allesechzehn zweistelligen Operationen darstellen zu konnen. 2

Ubung 2.2. Zeigen Sie, dass fur jede Belegung I der aussagenlogischen Formeln α, β ∈ A

I∗(α ∧ ¬β) = I∗(¬(α→ β)) (2.6)

gilt! 2

Es gilt

I∗(α ∧ ¬β) = min I∗(α), 1− I∗(β) = 1−max 1− I∗(α), I∗(β) wegen (2.1)= 1− I∗(¬α ∨ β)= 1− I∗(α→ β) wegen (2.3)= I∗(¬(α→ β))

2.3.4 Erfullbarkeit aussagenlogischer Formeln

Fur die folgenden Definitionen, die Begriffe fur wichtige Eigenschaften aussagenlogischer Formelnfestlegen, erweitern wir Belegungen von einzelnen Formeln auf Formelmengen. Sei F eine endlicheMenge von Formeln aus A, dann sei VF die Menge der Variablen, die entsteht, wenn alle Variablenaller Formeln in F zu einer Menge zusammengefasst werden. Die Belegung I : VF → B ordnet dannjeder Variablen v ∈ VF eine Belegung I(v) ∈ B zu. Wir verallgemeinern entsprechend Iγ zu

IF = BVF = I | I : VF → B

und nennen I ∈ IF dann eine Belegung von F .

Beispiel 2.4. Fur die Formelmenge F1 = p ∨ q, q ∧ ¬r, (p ∧ q) ∨ (q → r) gilt VF1 = p, q, r .Wahlt man etwa die Belegung I(p) = I(q) = 1 und I(r) = 0, dann besitzen alle drei Formeln inF1 den Wert 1. 2

Definition 2.1. Sei α ∈ A eine aussagenlogische Formel und F eine endliche Menge aussagenlogi-scher Formeln aus A.

a) α heißt erfullbar genau dann, wenn eine Belegung I von α existiert mit I∗(α) = 1.Erfullbarkeit

b) α heißt Tautologie oder allgemeingultig (auch gultig) genau dann, wenn fur jede Belegung I vonTautologie

α gilt I∗(α) = 1.

c) α heißt Kontradiktion oder widerspruchsvoll (auch unerfullbar) genau dann, wenn fur jede Bele-Kontradiktion

gung I von α gilt I∗(α) = 0.

d) F heißt erfullbar genau dann, wenn es eine Belegung I von F gibt, so dass I∗(γ) = 1 fur alleModell

γ ∈ F ist. I heißt ein Modell fur F . Gibt es zu F kein Modell, dann heißt F unerfullbar. 2Unerfullbar-keit

2.4. LOGISCHE FOLGERUNG 21

Beispiel 2.5. a) Die Formeln p ∧ q und (p ∧ q) ∨ (q → r) sowie die Formel aus Beispiel 2.4 sinderfullbar aber keine Tautologien.

b) Die Formeln p ∨ ¬p und (p→ q)↔ (¬p ∨ q) sind Tautologien.

c) Die Formel p ∧ ¬p ist eine Kontradiktion.

d) Die Menge F1 = p ∨ q, q ∧ ¬r, (p ∧ q) ∨ (q → r) ist erfullbar, denn sie besitzt, wie bereits inBeispiel 2.4 festgestellt, das Modell I(p) = I(q) = 1, I(r) = 0.

e) Die Menge F2 = p, p→ q,¬q ist unerfullbar, denn sie besitzt kein Modell, da fur eine BelegungI, fur die jede Formel in F2 den Wert 1 haben soll, I(p) = 1 und I(q) = 0 sein muss. Fur dieseBelegung ist aber I(p→ q) = 0. Es gibt also keine Belegung, die F2 erfullt. 2

Folgerung 2.2. a) Eine Formel ist genau dann erfullbar, wenn in der Ergebnisspalte ihrer Wahr-heitstafel mindestens eine 1 vorkommt.

b) Eine Formel ist genau dann allgemeingultig, wenn in der Ergebnisspalte ihrer Wahrheitstafelnur Einsen vorkommen.

c) Eine Formel ist genau dann widerspruchsvoll, wenn in der Ergebnisspalte ihrer Wahrheitstafelnur Nullen vorkommen. 2

2.4 Logische Folgerung

Fur das Beweisen von mathematischen Behauptungen ist der logische Folgerungsbegriff elementar.Diesen legt die folgende Definition fest.

Definition 2.2. Sei α ∈ A eine aussagenlogische Formel und F eine endliche Menge aussagenlo- LogischeFolgerunggischer Formeln aus A. α heißt logische Folgerung von F genau dann, wenn I∗(α) = 1 fur jedes

Modell I von F ist. Wir schreiben F |= α und sprechen ”aus F folgt α (logisch)“. 2

Beispiel 2.6. a) Fur F = p, q gilt F |= p ∧ q, denn fur jedes Modell I von F muss geltenI(p) = 1 und I(q) = 1, damit ist aber auch I∗(p ∧ q) = 1.

b) Fur F = p→ q, q → r gilt F |= p→ r, denn F besitzt die folgenden vier Modelle

(1) I(p) = 1 I(q) = 1 I(r) = 1(2) I(p) = 0 I(q) = 1 I(r) = 1(3) I(p) = 0 I(q) = 0 I(r) = 1(4) I(p) = 0 I(q) = 0 I(r) = 0

und fur alle diese Modelle gilt jeweils I∗(p→ r) = 1. Aus den Formeln p→ q und q → r folgt alsologisch die Formel p→ r. 2

Folgerung 2.3. Es sei F eine endliche Menge von aussagenlogischen Formeln und α, β ∈ A mitF |= α und F |= β. Dann gilt F |= α ∨ β.

Beweis Sei I ′ ein Model von F , welches α erfullt, d.h. es gilt I ′∗(α) = 1, und es sei I ′′ einModel von F , welches β erfullt, d.h. es gilt I ′′∗(β) = 1, dann gilt sowohl I ′∗(α ∨ β) = 1 als auchI ′′∗(α ∨ β) = 1, d.h. alle Modelle von F erfullen α ∨ β. 2


Der folgende Satz macht eine Aussage uber den Zusammenhang von Allgemeingultigkeit undUnerfullbarkeit von Formeln. Diese Aussage ist wichtig fur die Programmierung von automatischenBeweisern, welche die Gultigkeit von Formeln nachweisen sollen.

Satz 2.1. a) Eine Formel α ∈ A ist allgemeingultig genau dann, wenn ¬α unerfullbar ist.

b) Sei F = α1, α2, . . . , αn eine Menge aussagenlogischer Formeln und β ∈ A. Dann gilt F |= βgenau dann, wenn α1, α2, . . . , αn,¬β unerfullbar ist.

Beweis a) α ist allgemeingultig genau dann, wenn I∗(α) = 1 fur jede Belegung I der Variablenvon α gilt. I∗(α) = 1 gilt genau dann, wenn I∗(¬α) = 1−I∗(α) = 0 gilt. Fur jede Belegung I vonα ist I∗(¬α) = 0 genau dann, wenn ¬α unerfullbar ist. Damit haben wir die Behauptung gezeigt.

b) Wir beweisen die Behauptung in zwei Schritten, indem wir zeigen:

(i) Wenn F |= β gilt, dann ist α1, α2, . . . , αn,¬β unerfullbar.

(ii) Wenn α1, α2, . . . , αn,¬β unerfullbar ist, dann gilt F |= β.

Zu (i): Sei I ein Modell fur F , d.h. I∗(αi) = 1 fur alle i. Da F |= β gilt, ist I∗(β) = 1 fur I, d.h.I∗(¬β) = 0 fur I. Somit gibt es also keine Belegung I, fur die I∗(αi) = 1 fur alle i und I∗(¬β) = 1ist. Daraus folgt, dass α1, α2, . . . , αn,¬β unerfullbar ist.

Zu (ii): Sei I ein Modell fur F , d.h. I∗(αi) = 1 fur alle i. Da α1, α2, . . . , αn,¬β unerfullbar ist,kann I kein Modell fur ¬β sein, d.h. es gilt I∗(¬β) = 0 und damit gilt I∗(β) = 1 fur die BelegungI. Hieraus folgt, dass jedes Modell von F auch ein Modell von β ist, d.h. F |= β gilt. 2

Die Aussage a) des Satzes ist ein Spezialfall der Aussage b), wir brauchen nur F = ∅ zu wahlen.

Der Satz gibt im Ubrigen eine Beweismethode an: Um zu zeigen, dass die Behauptung β ausden Voraussetzungen F logisch folgt, kann man zeigen, dass die Negation der Behauptung mit denVoraussetzungen unvereinbar ist.

Folgerung 2.4. a) α ∈ A ist allgemeingultig genau dann, wenn ∅ |= α gilt.2

b) Ist F eine unerfullbare Menge von Formeln, dann gilt F |= α fur jede Formel α ∈ A. Diesbedeutet, dass man aus jeder unerfullbaren Formelmenge jede beliebige Formel folgern kann.

Beweis a) Fur F = ∅ besagt Satz 2.1 b), dass ∅ |= α genau dann gilt, wenn ¬α unerfullbar ist.Nach Satz 2.1 a) ist ¬α unerullbar genau dann, wenn α allgemeingultig ist. Insgesamt folgt: ∅ |= αgilt genau dann, wenn α allgemeingultig ist – was zu zeigen war.

b) Sei F = α2, . . . , αn unerfullbar, d.h. F besitzt kein Modell I. Wir betrachten nun fur einα ∈ A zwei Falle: (i) α ist allgemeingultig und (ii) α ist nicht allgemeingultig.

(i) Sei α ∈ A allgemeingultig, d.h. gemaß Satz 2.1 a) ist ¬α unerfullbar. Es folgt, dass α1, . . . , αn,¬α unerfullbar ist, woraus mit Satz 2.1 b) F |= α folgt.

(ii) Sei nun α nicht allgemeingultig, d.h. ¬α ist erfullbar, d.h. es gibt Modelle I fur ¬α. Diesesind aber keine Modelle fur F , da F unerfullbar ist. Es folgt, dass α1, . . . , αn,¬α unerfullbar ist.Daraus folgt mit Satz 2.1 b) F |= α.

Fur beide Falle kann also die Behauptung gezeigt werden. 2

Der nachste Satz gibt weitere Beweismethoden an: die Deduktion und die Modus ponens-Regel.2Anstelle von ∅ |= α schreibt man auch |= α.

2.4. LOGISCHE FOLGERUNG 23

Satz 2.2. a) Fur jede Menge F = α1, α2, . . . , αn aussagenlogischer Formeln und fur alle Formelnβ, γ ∈ A gilt

α1, α2, . . . , αn, β |= γ genau dann, wenn F |= (β → γ)

gilt. Deduktionstheorem

b) Fur alle Formeln α, β ∈ A gilt α, α→ β |= β. Modusponens-RegelBeweis a) Es gilt:

α1, . . . , αn |= β → γ genau dann, wenn α1, . . . , αn,¬(β → γ) unerfullbar (wegen Satz 2.1 b)

genau dann, wenn α1, . . . , αn, β ∧ ¬γ unerfullbar (wegen Ubung 2.2)genau dann, wenn α1, . . . , αn, β,¬γ unerfullbargenau dann, wenn α1, . . . , αn, β |= γ (wegen Satz 2.1 b)

b) Es gilt:

α, α→ β |= β genau dann, wenn α, α→ β,¬β unerfullbar (wegen Satz 2.1 b)

Da wegen Beispiel 2.5 e) α, α→ β,¬β unerfullbar ist, ist die Behauptung gezeigt. 2

Definition 2.3. Gilt fur aussagenlogische Formeln α1, α2, . . . , αn und β, dass die Subjunktion(α1 ∧ α2 ∧ . . . ∧ αn) → β eine Tautologie ist, dann heißt diese Subjunktion Implikation, und wirschreiben (α1 ∧ α2 ∧ . . . ∧ αn)⇒ β und sprechen ”α1, α2, . . . , αn implizieren β“. 2 Implikation

Beispiel 2.7. Es seien α, β, γ ∈ A. Rechnen Sie nach, dass die folgenden Implikationen gelten:

a) Abschwachung der Nachbedingung: α⇒ (α ∨ β). Abschwachungder Nachbe-dingungb) Verscharfung der Vorbedingung: (α ∧ β)⇒ α.Verscharfungder Vorbe-dingung

c) Kettenschluss: (α→ β) ∧ (β → γ)⇒ (α→ γ). 2

KettenschlussDer folgende Satz besagt, dass die logische Folgerung und die Implikation in dem Sinne aquiva-

lente Folgerungsbegriffe sind, als dass die logische Folgerung

α1, α2, . . . , αn |= β

auch nachgewiesen werden kann, indem man zeigt, dass die Implikation

(α1 ∧ α2 ∧ . . . ∧ αn)⇒ β

gilt, und umgekehrt.

Satz 2.3. Fur die aussagenlogischen Formeln α1, α2, . . . , αn und β gilt

α1, α2, . . . , αn |= β genau dann, wenn (α1 ∧ α2 ∧ . . . ∧ αn)⇒ β

gilt.

Beweis Wir setzen F = α1, α2, . . . , αn und zeigen:

(i) Wenn F |= β gilt, dann gilt auch (α1 ∧ α2 ∧ . . . ∧ αn)⇒ β.


(ii) Wenn (α1 ∧ α2 ∧ . . . ∧ αn)⇒ β gilt, dann auch F |= β.

Zu (i): Fur alle Modelle I von F ist I∗(αi) = 1 fur 1 ≤ i ≤ k. Fur diese Modelle muss, da F |= βvorausgesetzt ist, I∗(β) = 1 sein. Fur diese Belegungen ist die Subjunktion (α1∧α2∧ . . .∧αn)→ βimmer wahr. Fur Belegungen von F , die keine Modelle sind, ist I∗(αi) = 0 fur mindestens ein i.Dann gilt I∗(α1∧α2∧ . . .∧αn) = 0 und damit ist die Subjunktion (α1∧α2∧ . . .∧αn)→ β ebenfallswahr und zwar unabhangig vom Wert von β. Die Subjunktion (α1 ∧ α2 ∧ . . . ∧ αn)→ β ist also injedem Falle wahr und damit eine Implikation, was zu zeigen war.

Zu (ii): (α1 ∧ α2 ∧ . . . ∧ αn) → β ist eine Tautologie genau dann, wenn entweder alle αi und βden Wert 1 haben oder mindestens ein αi den Wert 0 hat. Hieraus folgt, dass in beiden Fallen dieFormelmenge α1, α2, . . . , αn,¬β unerfullbar ist. Gemaß Satz 2.1 b) folgt daraus, dass F |= βgilt, was zu zeigen war. 2

2.5 Kalkule

Die beiden bisher vorgestellten Folgerungsbegriffe, logische Folgerung (Definition 2.2) und Impli-kation (Definition 2.3), sind semantische Folgerungsbegriffe. Das soll heißen, dass in beiden Fallendie Werte der beteiligten Formeln berechnet werden mussen um zu entscheiden, ob die gegebenenFormeln eine logische Folgerung bzw. eine Implikation bilden. Es ist also notwendig, die Interpreta-tionen der beteiligten Formeln bzw. die Wahrheitstafel der betreffenden Subjunktion zu betrachten.

Wir wollen nun eine andere Moglichkeit der Folgerung, die syntaktische Folgerung, betrachten.Syntaktische Folgerung heißt, dass eine Folgerung vorgenommen wird, ohne die Semantik der betei-ligten Formeln, sei es durch Interpretationen oder sei es durch die Wahrheitstafel, zu berechnen. DieFolgerung geschieht, indem in einer Formel Teilformeln durch andere Formeln ersetzt werden. DieErsetzung von Formeln geschieht dabei mithilfe sogenannter Ableitungsregeln, auch Inferenzregelngenannt.

Definition 2.4. a) Seien α1, α2, . . . , αn und β ausagenlogische Formeln, fur die die ImplikationAbleitungsregelInferenzregel (α1 ∧ α2 ∧ . . . ∧ αn)⇒ β gilt. Dann heißt

α1, α2, . . . , αnβ

Ableitungs- oder Inferenzregel.

b) Sei γ eine aussagenlogische Formel, F = α1, α2, . . . , αn eine Menge aussagenlogischer Formeln,β1, β2, . . . , βk irgendeine Auswahl von Formeln aus F und γ1, γ2, . . . , γm, die Menge der nichtausgewahlten Formeln aus F sowie β1,β2,...,βk

γ eine Inferenzregel, dann heißt γ1, γ2, . . . , γm, γ ableitbar aus F , und wir schreiben F ` γ1, γ2, . . . , γm, γ.

c) Eine aussagenlogische Formel γ ist ableitbar aus einer Menge F von aussagenlogischen Formeln,LogischeAbleitung falls es Mengen aussagenlogischer Formeln F1, F2, . . ., Fr, r ≥ 0, gibt mit:

F ` F1 ` F2 ` . . . ` Fr ` γ

Wir notieren dann F ` γ und sagen, dass γ logisch aus F ableitbar ist. 2

2.5. KALKULE 25

Beispiel 2.8. Es seien α, β, γ ∈ A. a) - d) sind Beispiele fur Ableitungsregeln. e) ist ein Beispielfur eine logische Ableitung mithilfe der Regeln a) und b).

a) Modus ponens-Regel: α, α→ββ (siehe auch Satz 2.2 b).Modus po-

nens

b) Modus tollens-Regel: α→β,¬β¬α . Modus tol-

lens

c) Reductio ad absurdum-Regel: (γ∨α)→β, (γ∨α)→¬β¬α . Reductio ad

absurdum

d) Kettenschluss: α→β,β→γα→γ (siehe auch Beispiel 2.7 c auf Seite 23). Kettenschluss

e) Es gilt

α→ β,¬β,¬α→ γ ` ¬α,¬α→ γ ` γ

und damit

α→ β,¬β,¬α→ γ ` γ

Die erste Ableitung erfolgt mithilfe der Modus tollen-Regel, die zweite mithilfe der Modus ponens-Regel. 2

Die logische Ableitung geschieht also, indem eine Menge von aussagenlogischen Formeln auf-grund von Inferenzregeln oder bereits durchgefuhrten logischen Ableitungen verandert wird. Dabeiwird die Semantik der Formeln bei keinem Ableitungschritt betrachtet. Die korrekte Semantikwird nur – einmalig – fur die benutzten Inferenzregeln vorausgesetzt (Definition 2.4 a). Solchesyntaktischen Ableitungssysteme werden auch Kalkule genannt. Kalkule sind gut geeignet fur die Logischer

KalkulProgrammierung von logischen Schlussfolgerungsmechanismen auf Rechnern. Dabei sollte ein aus-sagenlogischer Kalkul den folgenden beiden Qualitatskriterien mindestens genugen:

• Widerspruchsfreiheit (auch Korrektheit): Jede mit dem Kalkul ableitbare Formel ist eine lo- Widerspruchs-freiheitKorrektheit

gische Folgerung. Ist also F eine Menge aussagenlogischer Formeln, α eine aussagenlogischeFormel und gilt F ` α, dann folgt, dass auch F |= α gilt. Der Kalkul kann also keine Folge-rungen produzieren, die semantisch nicht korrekt sind.

Mit Folgerung 2.4 (siehe Seite 22) gilt fur einen widerspruchsfreien Kalkul: Alle ableitbarenFormeln sind allgemeingultig, d.h., gilt ` α, dann gilt auch |= α.

• Vollstandigkeit: Jede logische Folgerung ist auch mit dem Kalkul ableitbar. Ist also F eine Vollstandig-keitMenge aussagenlogischer Formeln, α eine aussagenlogische Formel und gilt F |= α, dann folgt,

dass auch F ` α gilt. Der Kalkul kann also alle logischen Folgerungen syntaktisch ableiten.

Mit Folgerung 2.4 gilt fur einen vollstandigen Kalkul: Alle allgemeingultigen Formeln sindableitbar, d.h., gilt |= α, dann gilt auch ` α.

Fur einen widerspruchsfreien und vollstandigen aussagenlogischen Kalkul gilt also F ` α genaudann, wenn F |= α gilt, bzw. ` α gilt genau dann, wenn |= α gilt.

In Abschnitt 2.8 stellen wir einen widerspruchsfreien und vollstandigen Kalkul fur die Aussa-genlogik vor.


2.6 Aussagenlogische Aquivalenzen

Interessant fur ”das Rechnen“ mit aussagenlogischen Formeln ist, in ihnen Teilformeln durch gleich-wertige Teilformeln ersetzen zu konnen, um ”kalkulmaßig“ – also rein syntaktisch – Formeln ingleichwertige Formeln transformieren zu konnen. Dazu mussen wir zunachst die Gleichwertigkeitoder Aquivalenz von aussagenlogischen Formeln definieren.

Definition 2.5. Zwei aussagenlogische Formeln α, β ∈ A heißen logisch aquivalent, falls fur jedeAussagenlogischeAquivalenz Belegung I von α und β gilt: I∗(α) = I∗(β). Schreibweise: α ≡ β. 2

Beispiel 2.9. Aus Folgerung 2.1 a) (Seite 19) folgt unmittelbar, dass fur α, β ∈ A folgende Aqui-valenzen gelten:

α→ β ≡ ¬α ∨ βα↔ β ≡ (α→ β) ∧ (β → α)α⊕ β ≡ (α ∧ ¬β) ∨ (¬α ∧ β)

Der folgende Satz listet wichtige aussagenlogische Aquivalenzen auf.

Satz 2.4. Es seien α, β, γ ∈ A aussagenlogische Formeln. Dann gelten die auf Seite 27 in Tabelle2.4 aufgelisteten Aquivalenzen:

Ubung 2.3. Beweisen Sie die im Satz 2.4 aufgelisteten logischen Aquivalenzen! 2

Definition 2.6. Gilt fur aussagenlogische Formeln α und β, dass die Bijunktion α ↔ β eineAquivalenz

Tautologie ist, dann heißt diese Bijunktion eine Aquivalenz, und wir schreiben α⇔ β. 2

Dass die logische Aquivalenz (siehe Definition 2.5) und die Aquivalenz (Definition 2.6) gleich-bedeutend sind, besagt der folgende Satz (vergleiche auch Satz 2.3 auf Seite 23).

Satz 2.5. Seien α, β ∈ A aussagenlogische Formeln, dann gilt

α ≡ β genau dann, wenn α⇔ β gilt, und genau dann, wenn |= α⇔ β gilt

Ubung 2.4. Beweisen Sie Satz 2.5! 2

Satz 2.6. a) Seien α, β ∈ A mit α ≡ β, und sei γ ∈ A eine aussagenlogische Formel, die α alsTeilformel enthalt. γ′ sei eine Formel, die aus γ entsteht, indem α durch β ersetzt wird. Dann gilt:γ ≡ γ′.

b) Eine aussagenlogische Formel α ∈ A ist allgemeingultig genau dann, wenn α ≡ 1 (oder α ⇔ 1)gilt. 2


Der Satz 2.6 bildet zusammen mit den in Satz 2.4 (Tabelle 2.4) aufgelisteten Aquivalenzendie Moglichkeit, die Aquivalenz von aussagenlogischen Formeln bzw. die Allgemeingultigkeit vonaussagenlogischen Formeln rein syntaktisch durch Ersetzen von Teilformeln durch aquivalente nach-zuweisen.

2.6. AUSSAGENLOGISCHE AQUIVALENZEN 27

¬α ≡ α→ 0 (Einfuhrung der Negation)

¬¬α ≡ α (Doppelte Negation)

α ∨ α ≡ α (Idempotenz)α ∧ α ≡ α

α ∨ β ≡ β ∨ α (Kommutativitat)α ∧ β ≡ β ∧ α

α ∨ (β ∨ γ) ≡ (α ∨ β) ∨ γ (Assoziativitat)α ∧ (β ∧ γ) ≡ (α ∧ β) ∧ γ

α ∨ (β ∧ γ) ≡ (α ∨ β) ∧ (α ∨ γ) (Distributivitat)α ∧ (β ∨ γ) ≡ (α ∧ β) ∨ (α ∧ γ)

α ∨ (α ∧ β) ≡ α (Absorption)α ∧ (α ∨ β) ≡ α

¬(α ∨ β) ≡ ¬α ∧ ¬β (De Morgansche Regeln)¬(α ∧ β) ≡ ¬α ∨ ¬β

1 ∨ α ≡ 1 (Tautologieregeln)1 ∧ α ≡ α¬α ∨ α ≡ 1

0 ∨ α ≡ α (Unerfullbarkeitsregeln)0 ∧ α ≡ 0¬α ∧ α ≡ 0

Tabelle 2.1: Aussagenlogische Aquivalenzen.


Beispiel 2.10. Seien α, β, γ ∈ A. Wir zeigen rein syntaktisch, dass die aussagenlogische Formel(α→ β) ∨ (β → γ) allgemeingultig ist:

(α→ β) ∨ (β → γ)⇔ (¬α ∨ β) ∨ (¬β ∨ γ) (gemaß Definition derSubjunktion)

⇔ ¬α ∨ (β ∨ ¬β) ∨ γ (wegen der Assoziativitat derDisjunktion)

⇔ ¬α ∨ 1 ∨ γ (wegen der Tautologieregel)⇔ (¬α ∨ γ) ∨ 1 (wegen Kommutativitat und

Assoziativitat)⇔ 1 (wegen der Tautologieregel)

2.7 Normalformen und aussagenlogische Basen

Wir kennen bisher folgende funf zweistellige Verknupfungen: Disjunktion ∨, Konjunktion ∧, Sub-junktion →, Bijunktion ↔ und Exklusives Oder ⊕. Fur die weiteren Betrachtungen fuhren wir furα, β ∈ A noch zwei weitere Verknupfungen ein: α ↑ β (NAND) und α ↓ β (NOR) definiert durchNAND

NOR

α β α ↑ β1 1 01 0 10 1 10 0 1

bzw.

α β α ↓ β1 1 01 0 00 1 00 0 1

Folgerung 2.5. Fur aussagenlogische Formeln α, β ∈ A gilt:

a) α ↑ β ⇔ ¬(α ∧ β).

b) α ↓ β ⇔ ¬(α ∨ β). 2

Ubung 2.6. Beweisen Sie die Aussagen in Folgerung 2.5! 2

In Folgerung 2.1 b) (Seite 19) haben wir bereits uberlegt, wie viele zweistellige Verknupfungenes geben kann. Der folgende Satz verallgemeinert diese Aussage und beantwortet die Frage, wieviele n-stellige Verknupfungen es prinzipiell geben kann.

Satz 2.7. Es gibt 22n n-stellige aussagenlogische Verknupfungen.

Beweis Eine Wahrheitstafel besitzt fur n aussagenlogische Variablen 2n Zeilen, da jede Variabledie Werte 0 oder 1 annehmen kann. Jede dieser 2n Zeilen kann als Ergebnis (in der letzten Spalte)ebenfalls die Werte 0 oder 1 haben. Das bedeutet, dass es genau 22n verschiedene Ergebnisspaltengibt. Also gibt es prinzipiell 22n verschiedene n-stellige aussagenlogische Verknupfungen. 2

Folgerung 2.6. Als Spezialfall gilt fur n = 2, dass es, wie wir bereits in Folgerung 2.1 b) festgestellthaben, 222

= 16 verschiedene zweistellige aussagenlogische Verknupfungen gibt. 2

2.7. NORMALFORMEN UND AUSSAGENLOGISCHE BASEN 29

Wir gehen nun auf die bereits in Folgerung 2.1 b) gestellte Frage ein, ob man tatsachlich 16verschiedene zweistellige Operationen braucht oder ob man einige Operationen mithilfe andereraquivalent darstellen kann. Nicht nur theoretisch, sondern auch aus praktischen Grunden ist dieseFragestellung von Interesse. So ist z.B. im Hinblick auf den Entwurf logischer Schaltungen dieFrage nach einer minimalen Anzahl logischer Grundbausteine interessant, mit der alle logischenSchaltungen realisierbar sind.

Beispiel 2.11. a) Es seien α, β ∈ A aussagenlogische Formeln. Aus Folgerung 2.1 a) (Seite 19)kennen wir folgende Aquivalenzen:

(α→ β)⇔ (¬α ∨ β)(α↔ β)⇔ ((α→ β) ∧ (β → α))

⇔ ((¬α ∨ β) ∧ (¬β ∨ α))(α⊕ β)⇔ ((α ∧ ¬β) ∨ (¬α ∧ β))

Subjunktion, Bijunktion und exklusives Oder sind also durch Negation, Disjunktion und Konjunk-tion darstellbar.

b) Mithilfe der Doppelten Negation und der De Morganschen Regeln (siehe Satz 2.4 bzw. Tabelle2.4, Seite 27) gelten die folgenden Aquivalenzen:

α ∧ β ⇔ ¬¬(α ∧ β)⇔ ¬(¬α ∨ ¬β) (2.7)α ∨ β ⇔ ¬¬(α ∨ β)⇔ ¬(¬α ∧ ¬β) (2.8)

Die Konjunktion lasst sich also durch Negation und Disjunktion, die Disjunktion durch Negationund Konjunktion darstellen.

c) Mithilfe von Idempotenz (siehe Satz 2.4) und Folgerung 2.5 b) (Seite 28) gilt

¬α⇔ ¬(α ∨ α)⇔ α ↓ α (2.9)

Die Negation lasst sich also durch NOR ausdrucken.

d) Mithilfe von Aquivalenz (2.7), Folgerung 2.5 b) und der Aquivalenz (2.9) gilt

α ∧ β ⇔ ¬(¬α ∨ ¬β)⇔ ¬α ↓ ¬β ⇔ (α ↓ α) ↓ (β ↓ β)

Die Konjunktion lasst sich also alleine durch NOR ausdrucken.

Ubung 2.7. Zeigen Sie:

a) Die Negation lasst sich alleine durch NAND ausdrucken.

b) Die Konjunktion lasst sich alleine durch NAND ausdrucken.

c) Die Disjunktion lasst sich alleine durch NOR ausdrucken.

d) Die Disjunktion lasst sich alleine durch NAND ausdrucken. 2

Definition 2.7. Eine Menge O aussagenlogischer Verknupfungen heißt aussagenlogische Basis, AussagenlogischeBasisfalls sich jede aussagenlogische Formel aquivalent in eine aussagenlogische Formel transformieren

lasst, welche nur Verknupfungen aus O enthalt. 2

Auf die oben gestellten Fragen gibt nun der folgende Satz eine Antwort.


Satz 2.8. Die folgenden Mengen aussagenlogischer Verknupfungen bilden aussagenlogische Basen:3

Boolesche Basis ¬,∨,∧De Morgan-Basis ¬,∨ und ¬,∧Frege-Basis ¬,→NOR-Basis ↓NAND-Basis ↑


Definition 2.8. a) Eine aussagenlogische Formel α ∈ A ist in disjunktiver Normaform (DNF),DisjunktiveNormalform falls gilt: α = α1 ∨ . . .∨αn mit αi = pi1 ∧ . . .∧ piki , 1 ≤ i ≤ n, wobei alle pij , 1 ≤ j ≤ ki, 1 ≤ i ≤ n,

Literale sind.

b) Eine aussagenlogische Formel α ∈ A ist in konjunktiver Normaform (KNF), falls gilt α =KonjunktiveNormalform α1 ∧ . . .∧αn mit αi = pi1 ∨ . . .∨ piki , 1 ≤ i ≤ n, wobei alle pij , 1 ≤ j ≤ ki, 1 ≤ i ≤ n, Literale sind.

2

Beispiel 2.12. Die Formel

α = (p ∧ q ∧ ¬r) ∨ (¬p ∧ ¬q) ∨ (p ∧ q ∧ r) ∨ (¬q ∧ ¬r)

ist ein Beispiel fur eine Formel in disjunktiver Normalform. Die Formel

β = (¬p ∨ q ∨ r) ∧ (¬p ∨ ¬q) ∧ (¬p ∨ q ∨ ¬r)

ist ein Beispiel fur eine Formel in konjunktiver Normalform. 2

Eine Formel in disjunktiver Normalform ist also eine Disjunktion von Konjunktionen von Lite-ralen, eine Formel in konjunktiver Normalform entsprechend eine Konjunktion von Disjunktionenvon Literalen.

Satz 2.9. a) Jede aussagenlogische Formel lasst sich in eine aquivalente aussagenlogische Formelin disjunktiver Normalform transformieren.

b) Jede aussagenlogische Formel lasst sich in eine aquivalente aussagenlogische Formel in konjunk-tiver Normalform transformieren. 2


Satz 2.10. Ersetzt man in einer aussagenlogischen Formel α ∈ A, in der nur die Operatoren ¬,Dualitats-prinzipder Aussa-genlogik

∨ und ∧ vorkommen, jedes Vorkommen von ∧ durch ∨, jedes Vorkommen von ∨ durch ∧, jedesVorkommen von 0 durch 1, jedes Vorkommen von 1 durch 0 sowie jedes Vorkommen eines Literalsdurch seine Negation, dann gilt fur die so entstehende Formel β: α⇔ ¬β.


3Die Frege-Basis ist benannt nach dem Mathematiker, Logiker und Philosoph Gottlob Frege (1848 - 1925). Dieserlieferte bedeutende Betrage zur mathematischen Grundlagenforschung und beeinflusste durch seine sprachanalyti-schen Untersuchungen Philosophie und Linguistik. Frege gilt als Begrunder der modernen Logik. In seiner Arbeit

”Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens“ stellte er als Erster einen

leistungsfahigen Kalkul fur die Pradikatenlogik vor.Die Boolesche Basis ist nach George Boole und die De Morgan-Basis ist nach Augustus de Morgan benannt, zu

beiden werden in Kapitel 6 bzw. in Kapitel 5 noch Angaben gemacht.

2.8. RESOLUTIONSKALKUL 31

Folgerung 2.7. Sei α ∈ A eine aussagenlogische Formel, dnf(α) ihre disjunktive und knf(α) ihrekonjunktive Normalform, dann gilt

dnf(α)⇔ ¬knf(¬α) sowie knf(α)⇔ ¬dnf(¬α)

Ubung 2.11. Beweisen Sie Folgerung 2.7! 2

2.8 Resolutionskalkul

Im Abschnitt 2.5 haben wir grundlegende Begriffe fur Kalkule und wesentliche Eigenschaften vonKalkulen kennen gelernt. Wir wollen nun kurz auf den Resolutionskalkul eingehen, der in der Logi-schen Programmierung und in der Kunstlichen Intelligenz eine wichtige Rolle spielt. Der Resoluti-onskalkul ist ein widerspruchsfreier und vollstandiger Kalkul, mit dem die (Un-) Erfullbarkeit einerMenge von Klauseln nachgewiesen werden kann.

Definition 2.9. Sei Klausel

α = (p11 ∨ . . . ∨ p1k1) ∧ . . . ∧ (pn1 ∨ . . . ∨ pnkn)

die in konjunktiver Normalform gegebene aussagenlogische Formel α ∈ A. Dann heißen die Mengenpi1, . . . , piki, 1 ≤ i ≤ n, der jeweils disjunktiv verknupften Literale die Klauseln von α, und dieMenge ihrer Klauseln Klauselmenge

Mα = p11, . . . , p1k1 , . . . , pn1, . . . , pnkn

heißt Klauselmenge von α. 2

Beispiel 2.13. Fur die Formel β aus Beispiel 2.12 (Seite 30) gilt:

Mβ = ¬p, q, r , ¬p,¬q , ¬p, q,¬r

Satz 2.11. Seien α1 und α2 zwei aquivalente aussagenlogische KNF-Formeln mit Vα1 = Vα2 . Danngilt Mα1 = Mα2 . 2

Beispiel 2.14. Die folgenden drei Formeln sind aquivalent

α1 = (p ∨ p) ∧ (q ∨ ¬r)α2 = (¬r ∨ q) ∧ pα3 = p ∧ (q ∨ ¬r ∨ q)

und es gilt Mα1 = Mα2 = Mα3 = p, q,¬r . 2

Eine Klauselmenge abstrahiert von aquivalenten Umformungen mit Kommutativitats-, Assozia-tivitats- und Dsitributivitatsregeln.

Da es sich bei der Klauselmenge einer Formel also nur um eine andere Darstellung dieser For-mel handelt, konnen die Begriffe Belegung, Interpretation, Ableitungsregel, (Un-) Erfullbarkeit,Folgerung und Aquivalenz auf Klauselmengen entsprechend ubertragen werden.

In Vorbereitung auf die folgenden Uberlegungen betrachten wir folgendes Beispiel.


Beispiel 2.15. Es seiα = (p ∨ q ∨ ¬r) ∧ (r ∨ ¬s)

Es ist alsoMα = p, q,¬r , r,¬s

Ist α bzw. Mα erfullbar? Mα ist erfullbar genau dann, wenn beide Klauseln K1 = p, q,¬r undK2 = r,¬s erfullbar sind. Beide Klauseln sind erfullbar genau dann, wenn I(p) = 1 oder I(q) = 1und jedem Fall I(s) = 0 gesetzt wird. Die Belegung des Literals r ist fur die Erfullbarkeit von K1

und K2 unerheblich, da r in K1 und die Negation ¬r in K2 auftritt. r und ¬r ”neutralisieren“ sichquasi hinsichtlich der Erfullbarkeit von Mα. Aus unserer Uberlegung folgt, dass Mα genau dannerfullbar ist, wenn die Klauselmenge

M ′α = p, q,¬r , r,¬s , p, q,¬s

erfullbar ist, es ist also Mα ≡M ′α. 2

Diese beispielhafte Uberlegung ist die Grundlage fur folgende Ableitungsregel, auf welcher derResolutionskalkul basiert.

Definition 2.10. Die Resolution erfolgt mithilfe der AbleitungregelResolution

p1 ∨ . . . ∨ pm ∨ r, q1 ∨ . . . ∨ qn ∨ ¬rp1 ∨ . . . ∨ pm ∨ q1 ∨ . . . ∨ qn

oder in ”Klauselnotation“ p1, . . . , pm, r , q1, . . . , qn,¬r

p1, . . . , pm, q1, . . . , qn

Aus schreibtechnischen Grunden fuhren wir eine neue Schreibweise ein: Fur die Klauselmengen

K1 = p1, . . . , pm, r und K2 = q1, . . . , qn,¬r

istResolvente

K = p1, . . . , pm, q1, . . . , qn

eine Resolvente von K1 und K2. Schreibweise: K = R(K1,K2). 2

Beispiel 2.16. a) Es seien K1 = p, q,¬r und K2 = r,¬s die beiden Klauseln aus Beispiel2.15 (Seite 32), dann ist R(K1,K2) = p, q,¬s die einzige Resolvente von K1 und K2.

b) Es sei K1 = p,¬q, r und K2 = q,¬r , dann sind R(K1,K2) = p, r,¬r sowie R(K2,K1) = p, q,¬q mogliche Resolventen von K1 und K2.

c) Die Resolvente von K1 = p und K2 = ¬p ist leer: R(K1,K2) = ∅. 2

Bemerkung 2.1. Zu beachten ist, dass die Definition 2.10 immer nur das Resolvieren genau einesLiterals zulasst. Zwei Klauseln konnen also mehrere verschiedene Resolventen haben (siehe Beispiel2.16 b). 2


Satz 2.12. Sei α ∈ A in konjunktiver Normalform, K1,K2 ∈ Mα seien Klauseln von α undResolutionslemma

K = R(K1,K2) eine Resolvente von K1 und K2. Dann gilt Mα ≡Mα ∪ K. Dabei ist Mα ∪ Kdie Menge von Klauseln bestehend aus allen Klauseln von Mα und der Klausel K.

Beweis Es seiK1 = p1, . . . , pm, r ,K2 = q1, . . . , qn,¬r sowieK = R(K1,K2) = p1, . . . , pm, q1, . . . , qn Es ist offensichtlich, dass, wenn I ein Modell fur Mα ∪ K ist, dann ist I auch ein Modell fur

Mα.Ist umgekehrt I ein Modell fur Mα, dann ist I auch ein Modell fur jede Klausel in Mα, also

auch fur die Klauseln K1 und K2. Wir betrachten zwei Falle: (1) I(r) = 1 sowie (2) I(r) = 0.Zu (1), I(r) = 1: Dann ist I(¬r) = 0 und da I Modell fur K2 ist, muss I ein Modell fur

q1, . . . , qn sein, und damit ist I ein Modell fur K = p1, . . . , pm, q1, . . . , qn .Zu (2), I(r) = 0: Dann muss, da I Modell fur K1 ist, I auch ein Modell fur p1, . . . , pm sein,

und damit ist I ein Modell fur K = p1, . . . , pm, q1, . . . , qn .In jedem Fall ist also ein Modell I von Mα auch ein Modell fur K und damit fur Mα ∪ K .2

Wir definieren nun die fortgesetzte Anwendung des Resolutionsoperators R auf eine Klausel-menge.

Definition 2.11. Sei Mα die Klauselmenge einer aussagenlogischen Formel α ∈ A in konjunktiverNormalform. Dann gilt

R(Mα) = Mα ∪ R(K1,K2) | K1,K2 ∈Mα

Dabei bedeutet Mα ∪ R(K1,K2) | K1,K2 ∈ Mα , dass zur Klauselmenge Mα alle moglichenResolventen von allen mogichen Paaren von Klauseln aus Mα hinzugefugt werden. Wir wenden nunden Operator R wiederholt auf Mα an:

R0(Mα) = Mα

Rn+1(Mα) = R(Rn(Mα)), n ≥ 0

R(Mα) bedeutet also die Anwendung des Operators R auf alle Paare von Klauseln aus Mα, undfur k ∈ N0 bedeutet Rk(Mα), dass der R Operator k-mal angewendet wird, zunachst auf Mα, dannauf das Ergebnis dieser Anwendung, dann auf dessen Ergebnis usw.:

Rk(Mα) = R(R(. . . R︸︷︷︸k-mal

(Mα) . . .))

Aus dem Resolutionslemma (Satz 2.12, Seite 33) folgt unmittelbar

Folgerung 2.8. Sei Mα die Klauselmenge einer aussagenlogischen Formel α ∈ A in konjunktiverNormalform. Dann gilt

a) Mα ≡ Ri(Mα) fur alle i ≥ 0,

b) Ri(Mα) ≡ Rj(Mα) fur alle i, j ≥ 0. 2

Beispiel 2.17. Wir betrachten die Formel

α = (¬r ∨ p ∨ q) ∧ (p ∨ q ∨ r) ∧ (¬q ∨ p)


Es ist also Mα = p, q,¬r , p, q, r , p,¬q . Es gilt:

R(Mα) = p, q,¬r , p, q, r , p,¬q , p, q , p,¬r , p, r R2(Mα) = R(R(Mα))

= p, q,¬r , p, q, r , p,¬q , p, q , p,¬r , p, r , p R3(Mα) = R(R2(Mα))

= p, q,¬r , p, q, r , p,¬q , p, q , p,¬r , p, r , p

Es ist also R3(Mα) = R2(Mα) und damit Rl(Mα) = R2(Mα) fur alle l ≥ 2. Nach zweimaligemAnwenden des Operators wird die Klauselmenge stationar, d.h. verandert sich nicht mehr. 2

Dass die fortgesetzte Anwendung des Operators R auf eine Klauselmenge nach endlich vielenSchritten stationar wird, d.h. keine neuen Klauseln mehr produziert, ist einsichtig, denn bei jederAnwendung von R kommen hochstens Klauseln hinzu, die ein Literal weniger enthalten. Da esnur endlich viele Klauseln und in jeder Klausel nur endlich viele Literale gibt, muss dieser Prozessstoppen. Es gilt der folgende Satz.

Satz 2.13. Sei Mα Klauselmenge einer aussagenlogischen Formel α ∈ A in konjunktiver Normal-form. Dann gibt es ein t ∈ N0, so dass Rt(Mα) = Rl(Mα) ist fur alle l ≥ t. 2

Die Klauselmenge Rt(Mα), fur die Rt(Mα) = Rl(Mα) fur alle l ≥ t gilt, bezeichnen wir mitR∗(Mα).

Beispiel 2.18. Im obigen Beispiel 2.17 gilt: R∗(Mα) = R2(Mα). 2

Aus dem Satz 2.13 und dem Resolutionslemma, Satz 2.12 (Seite 33), folgt unmittelbar

Folgerung 2.9. Sei Mα Klauselmenge einer aussagenlogischen Formel α ∈ A in konjunktiverNormalform, dann ist

a) Mα ≡ R∗(Mα),

b) Mα (un-) erfullbar genau dann, wenn R∗(Mα) (un-) erfullbar ist. 2

Als Vorbereitung auf den nachsten Satz betrachten wir folgendes Beispiel.

Beispiel 2.19. Fur die Formel

α = (p ∨ q ∨ ¬r) ∧ ¬p ∧ (p ∨ q ∨ r) ∧ (p ∨ ¬q)

mit der KlauselmengeMα = p, q,¬r , ¬p , p, q, r , p,¬q

gilt:

R(Mα) = p, q,¬r , ¬p , p, q, r , p,¬q , q,¬r , p, q , p,¬r , q, r , ¬q , p, r

R2(Mα) = R(R(Mα))= p, q,¬r , ¬p , p, q, r , p,¬q , q,¬r , p, q , p,¬r , q, r , ¬q , p, r q , ¬r , r , p


Diese Klauselmenge enthalt die beiden Klauseln r und ¬r – im Ubrigen auch noch p und ¬p sowieq und ¬q –, d.h. die entsprechende Formel hat die Gestalt

α′ = . . . ∧ ¬p ∧ . . . ∧ ¬q ∧ . . . ∧ q ∧ ¬r ∧ r ∧ p

Alleine wegen der Teilformel r ∧ ¬r und ebenso wegen der Teilformeln p ∧ ¬p und ¬q ∧ q ist dieFormel α′ und damit die Klauselmenge R2(Mα) unerfullbar, denn r und ¬r sind widerspruchlich(siehe Satz 2.4 bzw. Tabelle 2.4 auf Seite 27). Werden r und ¬r resolviert, dann entsteht die leereMenge: R( r , ¬r ) = ∅, gleiches gilt fur p und ¬p sowie fur q und ¬q. Es folgt ∅ ∈ R3(Mα). 2

Aus dem Beispiel konnen wir ableiten, dass Rk(Mα) fur ein k ≥ 1 erstmalig die leere Klauselenthalt, falls in Rk−1(Mα) eine Klausel genau aus einem Literal besteht und eine weitere Klauselgenau aus dessen Negation. Damit ist Rk−1(Mα) eine unerfullbare Klauselmenge. Wegen Folgerung2.9 b) (Seite 34) ist damit auch Mα und damit α unerfullbar.

Im folgenden Satz fassen wir dieses Ergebnis zusammen, und wir zeigen im Beweis des Satzes,dass der Resolutionskalkul hinsichtlich des Nachweises der Unerfullbarkeit einer aussagenlogischenFormel korrekt und vollstandig ist (siehe Abschnitt 2.5).

Satz 2.14. Sei Mα die Klauselmenge der aussagenlogischen Formel α ∈ A in konjunktiver Nor- Resolutionssatzder Aussa-genlogik

malform. Dann gilt: Mα (und damit α) ist unerfullbar genau dann, wenn ∅ ∈ R∗(Mα) ist.

Beweis Wir zeigen zuerst die Korrektheit, d.h., ist ∅ ∈ R∗(Mα), dann ist Mα unerfullbar, womitgezeigt ist, dass der Resolutionskalkul keine erfullbare Formel als unerfullbar ermittelt. Sei also∅ ∈ R∗(Mα). Wie wir oben im Anschluss an Beispiel 2.19 uberlegt haben, kann die leere Klauselnur durch Resolution zweier Klauseln K1 = l und K2 = ¬l , wobei l ein Literal ist, entstehen.Gemaß Folgerung 2.8 auf Seite 33 gilt Mα ≡ Ri(Mα) ≡ Rj(Mα) fur alle i, j ≥ 0. Ist also ∅ ∈R∗(Mα), dann muss es ein k ≥ 1 geben mit ∅ ∈ Rk(Mα) und K1,K2 ∈ Rk−1(Mα). Da es keineBelegung gibt, die sowohlK1 als auchK2 erfullt, ist Rk−1(Mα) unerfullbar und damit, da Rk(Mα) ≡Mα ist, ist auch Mα unerfullbar.

Wir zeigen nun die Vollstandigkeit, d.h., ist α unerfullbar, dann ist ∅ ∈ R∗(Mα), womit gezeigtist, dass alle unerfullbaren Formeln durch den Resolutionskalkul auch als solche erkannt werden.Wir zeigen die Behauptung mithilfe einer so genannten vollstandigen Induktion uber die Anzahln der atomaren Formeln in einer Klauselmenge. Vollstandige Induktion bedeutet, dass man dieBehauptung zunachst fur einen Anfangswert fur n zeigt, dann annimmt, dass die Behauptung furn gilt, und schließlich mithilfe dieser Annahme zeigt, dass die Behauptung dann auch fur n+ 1 gilt.Auf vollstandige Induktion gehen wir im Teil III noch ausfuhrlich ein.

Sei also n = 1, d.h. α enthalt genau eine Variable p. Da Mα unerfullbar ist, mussen in Mα dieKlauseln p und ¬p vorkommen. Diese resolvieren zur leeren Klausel, also ist ∅ ∈ R∗(Mα). Wirnehmen nun an, dass fur jede unerfullbare Klauselmenge Mα mit n atomaren Formeln p1, . . . , pngilt, dass ∅ ∈ R∗(Mα) ist. Sei nun Mβ eine Klauselmenge mit den atomaren Formeln p1, . . . , pn+1.Wir bilden aus Mβ zwei Klauselmengen M ′β und M ′′β wie folgt: M ′β entsteht aus Mβ durch Streichenjedes Vorkommens von pn+1 in einer Klausel sowie durch Streichen aller Klauseln, in denen ¬pn+1

vorkommt. M ′β ist somit aquivalent zu der Klauselmenge, die entsteht, wenn man in Mβ die atomareFormel pn+1 fest mit 0 belegt. M ′′β entsteht aus Mβ in analoger Weise, nur mit vertauschten Rollenvon pn+1 und ¬pn+1. M ′β und M ′′β mussen notwendigerweise unerfullbar sein. Denn, wenn wirannehmen, dass M ′β erfullbar ist, dann gibt es eine erfullende Belegung I : p1, . . . , pn → 0, 1 .Dann ist I ′ mit

I ′(x) =

I(x), falls x ∈ p1, . . . , pn 0, falls x = pn+1


ein Modell fur Mβ , was aber einen Widerspruch zur Unerfullbarkeit von Mβ bedeutet. In analogerWeise fuhrt die Annahme, dass M ′′β erfullbar ist, ebenfalls zu diesem Widerspruch. M ′β und M ′′β sindalso unerfullbare Klauselmengen mit n atomaren Formeln. Wegen der Induktionsannahme, dass furjede unerfullbare Klauselmenge Mα mit n atomaren Formeln ∅ ∈ R∗(Mα) gilt, ist also ∅ ∈ R∗(M ′β)und ∅ ∈ R∗(M ′′β ).

Aus ∅ ∈ R∗(M ′β) folgt, dass es Klauseln K1, . . . ,Kr gibt mit Kr = ∅, und es ist Ki ∈ M ′β oderKi ist Resolvent zweier Klauseln Ka undKb mit a, b < i und 1 ≤ i ≤ r. Gleichermaßen muss es einesolche Folge K ′1, . . . ,K

′s fur M ′′β geben.

Einige Klauseln Ki sind aus Klauseln in Mβ durch Streichen von pn+1 entstanden. Wir machendieses Streichen ruckgangig, Ki ∪ pn+1 , und berucksichtigen pn+1 beim Resolvieren. Aus derFolge K1, . . . ,Kr entsteht dann eine neue Folge, und es folgt, dass ∅ ∈ R∗(Mβ) oder dass pn+1 ∈R∗(Mβ) ist. Analog folgt durch Wiedereinfugen von ¬pn+1 in die Klauseln von K ′1, . . . ,K

′s, aus

denen wir dieses Literal gestrichen haben, dass ∅ ∈ R∗(Mβ) oder dass ¬pn+1 ∈ R∗(Mβ) ist. Ist∅ ∈ R∗(Mβ), dann ist nichts mehr zu zeigen. Ist pn+1 ∈ R∗(Mβ) und ¬pn+1 ∈ R∗(Mβ), danngilt nach dem nachsten Resolutionsschritt ∅ ∈ R∗(Mβ). Damit haben wir insgesamt die Behauptunggezeigt. 2

Der Resolutionssatz ist die Grundlage fur das Resolutionsverfahren: Gegeben sei eine FormelResolutions-verfahren α ∈ A in KNF.

1. Bilde die Klauselmenge Mα zu α.

2. Wende den Resolutionsoperator R fortgesetzt auf Mα an, bis ein t erreicht ist, so dassRl(Mα) = Rt(Mα) fur l ≥ t, d.h. bestimme R∗(Mα). Solch ein t existiert gemaß Satz 2.13(Seite 34).

3. Falls ∅ ∈ R∗(Mα) ist, dann ist α unerfullbar, sonst erfullbar.

Das Verfahren muss nicht immer so lange ausgefuhrt werden, bis die erneute Anwendung des R-Operators keine neue Klauseln mehr erzeugt. Der Operator braucht nicht mehr angewendet zuwerden, falls die leere Klausel ∅ bereits erzeugt wurde. Zu diesem Zeitpunkt steht bereits fest, dassα unerfullbar ist.

Definition 2.12. Eine Deduktion der leeren Klausel aus einer Klauselmenge Mα, α ∈ A in KNF,Deduktionderleeren Klau-sel

ist eine Folge K1,K2, . . . ,Kt von Klauseln, so dass gilt:

(1) Kt ist die leere Klausel und

(2) Ki, 1 ≤ i ≤ t, ist entweder eine Klausel aus Mα oder eine Resolvente von Klauseln Kr, Ks

mit r, s ≤ i. 2

Aus dem Resolutionssatz 2.14 (Seite 35) folgt unmittelbar

Folgerung 2.10. Eine Formel α ∈ A in KNF ist unerfullbar genau dann, wenn eine Deduktionder leeren Klausel aus Mα moglich ist. 2

Beispiel 2.20. Wir betrachten die Formel (siehe auch Beispiel 2.19, Seite 34)

α = (¬r ∨ p ∨ q) ∧ ¬p ∧ (p ∨ q ∨ r) ∧ (¬q ∨ p)


Es ist also Mα = p, q,¬r , ¬p , p, q, r , p,¬q . Es gilt:

K1 = p, q,¬r (Klausel aus Mα)K2 = p, q, r (Klausel aus Mα)K3 = p, q (Resolvent von K1 und K2)K4 = p,¬q (Klausel aus Mα)K5 = p (Resolvent von K3 und K4)K6 = ¬p (Klausel aus Mα)K7 = ∅ (Resolvent von K5 und K6)

Die Klauselfolge K1, . . . ,K7 erfullt die Bedingungen von Definition 2.12. Es existiert also eineDeduktion der leeren Klausel aus Mα, α ist somit gemaß Folgerung 2.10 unerfullbar. 2

Eine Deduktion kann mithilfe eines Resolutionsgraphen dargestellt werden. Im Folgenden ist der Resolutionsgraph

Resolutionsgraph fur die Deduktion in Beispiel 2.20 gezeichnet.

p, q,¬r

-

p, q, r

p, q

-

p,¬q

p

-

¬p

∅

Ubung 2.12. Seiα = (p ∨ ¬q ∨ r) ∧ (q ∨ r) ∧ (¬p ∨ r) ∧ (q ∨ ¬r) ∧ ¬r

(1) Geben Sie Mα an!

(2) Berechnen Sie R∗(Mα)!

(3) Ist α erfullbar?

(4) Falls α unerfullbar ist, dann geben Sie eine Deduktion fur die leere Klausel an und zeichnenSie den entsprechenden Resolutionsgraphen! 2


2.9 Hornlogik

Trotz aller Kalkule bleibt das Erfullbarkeitproblem der Aussagenlogik, auch SAT -Problem4 genannt,Erfullbar-keitsproblemder Aus-sagenlogik

d.h. das Problem zu entscheiden, ob eine aussagenlogische Formel erfullbar ist oder nicht, gemaßdem derzeitigen Stand der Erkenntnis ein schwieriges Problem. Nach diesem Erkenntnisstand gibtes kein Entscheidungsverfahren, welches im Allgemeinen fur eine aussagenlogische Formel mit nVariablen in weniger als 2n Schritten feststellt, ob die Formel erfullbar ist oder nicht.

Manche praktische Anwendungen erfordern allerdings gar nicht, dass die gesamte Sprache Ader aussagenlogischen Formeln zur Verfugung steht, sondern kommen mit einer Untermenge davonaus. Solche Anwendungen sind z.B. die Logikprogrammierung sowie deduktive Datenbanken. EineLogik-

program-mierung

DeduktiveDatenbanken

solche Datenbank besteht aus Fakten und Schlussregeln, mit denen aus den Fakten darin vorhan-denes Wissen abgeleitet werden kann. Betrachten wir als Beispiel ein Autobahnnetz, welches dieGroßstadte eines Landes miteinander verbindet. Als Fakten konnte die Datenbank Aussagen uberdie unmittelbare Verbindung von zwei Stadten durch (mindestens) eine Autobahnstrecke enthal-ten. Die Aussage c(A,B) soll z.B. bedeuten, dass von der Stadt A nach der Stadt B eine direkteAutobahnverbindung existiert. Die Datenbank enthalt neben diesem extensionalen Wissen auchintensionales Wissen, namlich z.B. dass, wenn B von A direkt uber eine Autobahn erreicht wer-den kann, B auch direkt von A uber eine Autobahn erreicht werden kann oder dass es, wennn(A,B) und n(B,C)5 gilt, eine (indirekte) Verbindung von A nach C gibt; das Wissen uber allemoglichen Erreichbarkeiten von Großstadten untereinander uber Autobahnen steckt in der Daten-bank. Dies konnte man durch Schlussfolgerungsregeln beschreiben. So beschreibt die Subjunktionn(x, y) → n(y, x) die Symmetrie der Relation n, und die Subjunktionen n(x, y) → e(x, y) unde(x, y), e(y, z) → e(x, z)6 beschreiben deren Transitivitat und damit alle moglichen Erreichbarkei-ten in dem Autobahnnetz.

Logische Formeln α ∈ A, die in diesen Anwendungen von Bedeutung sind, haben die folgendenFormen:

• α = p ∈ V : α ist eine (atomare) Aussage, die ein Faktum beschreibt. α ist aquivalent zurFormel 1→ p. In deduktiven Datenbanken bilden diese Fakten das extensionale Wissen.

• α = p ∨ ¬q1 ∨ . . . ∨ ¬qk, p, qi ∈ V , 1 ≤ i ≤ k. Die Formel α ist aquivalent zu der Formel(q1 ∧ . . . ∧ qk) → p. α ist also eine Schlussfolgerung, die beschreibt, dass von den Faktenq1, . . . , qk auf die Aussage p geschlossen werden kann. Diese Schlussfolgerungen stellen dasintensionale Wissen der Datenbank bereit.

• α = ¬q1 ∨ . . . ∨ ¬qk, qi ∈ V , 1 ≤ i ≤ k. α ist aquivalent zu der Formel 0 ∨ ¬q1 ∨ . . . ∨ ¬qkund damit zu (q1 ∧ . . . ∧ qk) → 0. α beschreibt also, dass nicht alle Aussagen qi, 1 ≤ i ≤ k,zutreffen.

Wie wir sehen, lassen sich alle diese aussagenlogischen Formeln als Subjunktionen darstellen:

1→ p

(q1 ∧ . . . ∧ qk)→ p

(q1 ∧ . . . ∧ qk)→ 0

4SAT steht fur Satisfiability.5n(X,Y ) steht fur die Aussage

”Es gibt eine direkte Autobanhstrecke von X nach Y “.

6e(x, y) steht fur”y ist von x im Autobahnnetz erreichbar“.

2.9. HORNLOGIK 39

Die folgende Definition fasst diese Falle zusammen und zeichnet dadurch eine Untermenge vonA aus.

Definition 2.13. Eine aussagenlogische Formel α ∈ A in konjunktiver Normalform heißt Hornfor-mel7 genau dann, wenn jede Klausel hochstens eine nicht negierte Varaible enthalt. Solche Klauseln Hornformel

Hornklauselwerden Hornklauseln genannt. Mit H bezeichnen wir die Menge aller Hornformeln in A. 2

Beispiel 2.21. a) Die Formel

α = (p ∨ ¬q) ∧ (¬p ∨ ¬q ∨ ¬r ∨ s) ∧ (¬q ∨ ¬r) ∧ ¬p ∧ r

ist eine Hornformel, in Klauselform

α = p,¬q , ¬p,¬q,¬r, s , ¬q,¬r , ¬p , r

und als Subjunktionen

α = (q → p) ∧ ((p ∧ q ∧ r)→ p) ∧ ((q ∧ r)→ 0) ∧ (p→ 0) ∧ (1→ r)

Die Formel (¬p ∨ ¬q ∨ s) ∧ (p ∨ ¬q ∨ ¬r ∨ q) ist keine Hornformel, da in der zweiten Klausel zweinicht negierte Variablen vorkommen. 2

Das Erfullbarkeitsproblem fur Hornformeln, HORNSAT , ist deutlich effizienter losbar als dasErfullbarkeitsproblem SAT im Allgemeinen. Wahrend, wie eingangs des Kapitels erwahnt, beimderzeitigen Kenntnisstand die Erfullbarkeit einer Formel α ∈ A im Allgemeinen exponentiellenAufwand abhangig von der Anzahl der Variablen in α erfordert, gibt es Verfahren, mit denen dieErfullbarkeit von Hornformeln β ∈ H in polynomieller Zeit gepruft werden kann (etwa in derGroßenordnung m · n, wenn m die Anzahl der Klauseln und n die Anzahl der Literale in β sind).

Das Schema eines Verfahrens, mit dem gepruft werden kann, ob eine Formel α ∈ H erfullbarist, ist in Abbildung 2.1 gegeben.

Beispiel 2.22. Gegeben sei die Hornformel

α = p ∧ (¬p ∨ q) ∧ (¬p ∨ ¬q ∨ r) ∧ (¬s ∨ ¬p) ∧ (¬t ∨ s)

Wir wandeln die Klauseln um in Subjunktionen:

1→ p (2.10)p→ q

p ∧ q → r

s ∧ p→ 0t→ s

7Die Hornlogik ist benannt nach Alfred Horn (1918 – 2001), einem amerikanischen Mathematiker, der dieseVariante der Aussagenlogik einfuhrte. Die Hornlogik bildet die Grundlage fur das logische Programmieren und logischeProgrammiersprachen, wie z.B. die Sprache Prolog (

”Programming in Logic“).


(1) Enthalt α eine Teilformel 1→ p, dann markiere alle Vorkommen von p in α.

(2) Fuhre die folgenden Schritte so lange aus, bis diese nicht mehr anwendbar sind:

(i) Ist (q1 ∧ · · · ∧ qk)→ p eine Teilformel von α und alle qi, 1 ≤ i ≤ k, sind bereits markiertund p ist nicht markiert, dann markiere jedes Vorkommen von p in α.

(ii) Ist (q1 ∧ · · · ∧ qk)→ 0 eine Teilformel von α und alle qi, 1 ≤ i ≤ k, sind bereits markiert,dann stoppe das Verfahren – die Formel α ist unerfullbar.

(3) Stoppe das Verfahren – die Formel α ist erfullbar, und die Belegung I(q) = 1 fur alle mar-kierten Variablen q und I(p) = 0 fur alle unmarkierten Variablen p in α ist ein Modell furα.

Abbildung 2.1: Entscheidungsverfahren fur die Erfullbarkeit von Hornformeln.

Wegen der Klausel (2.10) erhalten wir mit Verfahrensschritt (1) folgende roten Markierungen:

1→ p

p→ q (2.11)p ∧ q → r

s ∧ p→ 0t→ s

Anwendung von Verfahrensschritt (2i) fuhrt wegen der Klausel (2.11) zu folgenden blauen Markie-rungen:

1→ p

p→ q

p ∧ q → r (2.12)s ∧ p→ 0

t→ s

Anwendung von Verfahrensschritt (2i) fuhrt wegen der Klausel (2.12) zu folgender grunen Markie-rung:

1→ p

p→ q

p ∧ q → r

s ∧ p→ 0t→ s

Es ist kein Verfahrensschritt mehr anwendbar, die Formel ist erfullbar, und die Belegung I(p) =I(q) = I(r) = 1 sowie I(s) = I(t) = 0 ist ein Modell fur α. 2

2.9. HORNLOGIK 41

Ubung 2.13. Testen Sie mit dem vorgestellten Verfahren die Erfullbarkeit der folgenden Hornfor-meln:

(1) α = (r ∨ ¬p ∨ ¬q) ∧ (¬s ∨ t) ∧ (¬p ∨ ¬t) ∧ p ∧ (¬p ∨ q)

(2) β = p ∧ (¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ r ∨ ¬s) ∧ (¬p ∨ ¬r) ∧ s 2

Zu (1): Umwandlung der Klauseln in Subjunktionen:

p ∧ q → r

s→ t

p ∧ t→ 01→ p (2.13)p→ q

Wegen der Klausel (2.13) erhalten wir mit Verfahrensschritt (1) folgende roten Markierungen:

p ∧ q → r

s→ t

p ∧ t→ 01→ p

p→ q (2.14)

Anwendung von Verfahrensschritt (2i) fuhrt wegen der Klausel (2.14) zur folgenden blauen Mar-kierung:

p ∧ q → r (2.15)s→ t

p ∧ t→ 01→ p

p→ q

Anwendung von Verfahrensschritt (2i) fuhrt wegen der Klausel (2.15) zur folgenden grunen Mar-kierung:

p ∧ q → r

s→ t

p ∧ t→ 01→ p

p→ q

Es ist kein Verfahrensschritt mehr anwendbar, die Formel ist erfullbar, und die Belegung I(p) =I(q) = I(r) = 1 sowie I(s) = I(t) = 0 ist ein Modell fur α.


Zu (2): Umwandlung der Klauseln in Subjunktionen:

1→ p (2.16)p→ q

q ∧ s→ r

p ∧ r → 01→ s (2.17)

Wegen der Klauseln (2.16) und (2.17) erhalten wir mit Verfahrensschritt (1) folgende roten Mar-kierungen:

1→ p

p→ q (2.18)q ∧ s→ r

p ∧ r → 01→ s

Anwendung von Verfahrensschritt (2i) fuhrt wegen der Klausel (2.18) zur folgenden blauen Mar-kierung:

1→ p

p→ q

q ∧ s→ r (2.19)p ∧ r → 0

1→ s

Anwendung von Verfahrensschritt (2i) fuhrt wegen der Klausel (2.19) zur folgenden grunen Mar-kierung:

1→ p

p→ q

q ∧ s→ r

p ∧ r → 0 (2.20)1→ s

Wegen Klausel (2.20) besagt Verfahrensschritt (2ii), dass die Formel β unerfullbar ist.

Satz 2.15. Das in Abbildung 2.1 angegebene Verfahren entscheidet in korrekter Weise, ob eineFormel α ∈ H erfullbar ist oder nicht. Werden die dabei markierten Variablen mit 1 belegt, dannstellt diese Belegung ein Modell fur α dar. 2

Folgerung 2.11. Enthalt eine Formel α ∈ H keine Klausel der Art (¬q1 ∨ . . .∨¬qk)8, k ≥ 1, dannist α erfullbar. 2

Im Unterschied zu aussagenlogischen Formeln besitzen Hornformeln eindeutige kleinste Modelle.I ∈ Iα ist ein kleinstes Modell fur eine Formel α, falls fur jede Variable v ∈ Vα und jedes weitereKleinstes

Modell Modell I ′ ∈ Iα gilt: Ist I ′∗(v) = 1, dann ist auch I∗(v) = 1.8Als Subjunktion geschrieben: q1 ∧ . . . ∧ qk → 0.

2.9. HORNLOGIK 43

Beispiel 2.23. a) Die Formel p ∨ q ist keine Hornformel. Sie besitzt zwei kleinste Modelle: I1 mitI1(p) = 1 und I1(q) = 0 sowie I2 mit I2(p) = 0 und I2(q) = 1.

b) Die in Beispiel 2.22 und Ubung 2.13 (1) gefundenen Modelle sind kleinste Modelle, denn min-destens die Variablen p, q und r (in beiden Fallen auch nicht mehr) mussen mit 1 belegt werden.

c) Betrachten wir die Hornformel mit den folgenden Klauseln:

1→ s r → s r → t s→ q q ∧ t→ p

Dann ist I(s) = I(q) = 1 das kleinste Modell. 2


Kapitel 3

Pradikatenlogik

Die Aussagenlogik ermoglicht die Verknupfung von elementaren und zusammengesetzten Aussagenzu neuen zusammengesetzten Aussagen. Die Belegung der Variablen mit einem Wahrheitswert er-laubt die Berechnung des Wahrheitswertes der gesamten Aussage. Die Aussagenlogik ist allerdingszu arm, um z.B. zu beschreiben, dass die Addition naturlicher Zahlen kommutativ ist: ”Fur allenaturlichen Zahlen x und y gilt x+y = y+x“. x und y sind hier keine aussagenlogischen Variablen,die als Werte die Wahrheitswerte 0 und 1 annehmen konnen, sondern Variable fur andere Wertewie z.B. Zahlenwerte. Operationssymbole wie + drucken keine logische Verknupfung aus, und dasSymbol = druckt eine Relation aus. Außerdem haben wir – umgangssprachlich – noch ausgedruckt,dass die Beziehung fur alle x und y gelten sollen.

Wir erweitern nun die Sprache der Aussagenlogik so, dass wir solche und weitere Eigenschaftenausdrucken konnen. Diese neue Sprache heißt Pradikatenlogik (erster Stufe). Wir gehen dabei ingleicher Weise wie bei der Definition der Aussagenlogik vor, indem wir nacheinander das Alphabet,die Syntax und schließlich die Semantik der Pradikatenlogik festlegen. Dabei werden wir nichtganz so streng formal vorgehen, wie wir das bei der Aussagenlogik getan haben. Mithilfe vonpradikatenlogischen Notationen werden wir dann in der Folge beschreibende Darstellungen vonMengen angeben. Ein Grund fur die Beschaftigung mit Aussagen- und Pradikatenlogik ist, in derbeschreibenden Darstellung M = x | p(x) einer Menge M die Eigenschaft p, welche festlegt, obein x zu M gehort oder nicht, moglichst prazise anzugeben.


• den syntaktischen Aufbau der Pradikatenlogik erster Stufe kennen,

• wissen, wie die Semantik pradikatenlogischer Formeln berechnet werden kann.

3.1 Alphabet der Pradikatenlogik

Das Alphabet der Pradikatenlogik besteht aus

• Symbolen fur Individuenvariablen, dafur verwenden wir in der Regel kleine Buchstaben vomEnde des deutschen Alphabetes: x, y, z, x1, x2, . . .

• Symbolen fur Individuenkonstanten, dafur verwenden wir in der Regel kleine Buchstaben vomAnfang des deutschen Alphabetes: a, b, c, a1, a2, . . ..

45

46 KAPITEL 3. PRADIKATENLOGIK

• k-stellige Funktionssymbole, die wir in der Regel mit fk, gk, hk, fk1 , fk2 , . . . notieren. Dabei ist

k ∈ N0.

• k-stellige Pradikatensymbole, die wir in der Regel mit P k, Qk, Rk, P k1 , Pk2 , . . . notieren. Dabei

ist k ∈ N0.

• den Symbolen ¬,∧,∨ fur logische Junktoren.

• den Quantorsymbolen ∀ (Allquantor, gesprochen ”fur alle“) und ∃ (Existenzquantor, gespro-chen ”es existiert“).

• den Klammersymbolen ( und ).

3.2 Syntax pradikatenlogischer Formeln

Definition 3.1. Die Menge der pradikatenlogischen Terme ist gegeben durch:Pradikaten-logischeTerme (1) Jede Individuenvariable und jede Individuenkonstante ist ein Term.

(2) Sind t1, . . . , tn pradikatenlogische Terme und ist fn ein n-stelliges Funktionssymbol, dann istfn(t1, . . . , tn) ein pradikatenlogischer Term.

(3) Genau die mit den Regeln (1) und (2) bildbaren Zeichenketten sind pradikatenlogische Terme.2

Beispiel 3.1. Die Individuenvariable x und die Individuenkonstante b sind Terme ebenso wief2(x, b), f2(x, f2(b, x)) und g3(x, f2(b, b), h4(x, y, a, z)). 2

Definition 3.2. Die Menge der atomaren Formeln ist gegeben durch:AtomareFormeln

(1) Sind t1, . . . , tn pradikatenlogische Terme und ist Pn ein n-stelliges Pradikatensymbol, dannist Pn(t1, . . . , tn) eine atomare Formel.

(2) Genau die Zeichenketten, die mit der Regel (1) gebildet werden konnen, sind atomare Formeln.2

Beispiel 3.2. Die Zeichenketten

P 2(a, b), P 2(a, f2(a, b)), R4(x, y, g2(f2(x, a), z)), Q2(f2(x, y), f2(y, x))

sind atomare Formeln. 2

Definition 3.3. Die Menge der pradikatenlogischen Formeln ist gegeben durch:Pradikaten-logischeFormeln (1) Jede atomare Formel ist eine pradikatenlogische Formel.

(2) Sind α und β pradikatenlogische Formeln, dann auch ¬α, (α ∧ β) sowie (α ∨ β).

(3) Ist α eine pradikatenlogische Formel, dann auch (∀xα) sowie (∃xα).

(4) Genau die mit den Regeln (1) - (3) bildbaren Zeichenketten sind pradikatenlogische Formeln.2

3.2. SYNTAX PRADIKATENLOGISCHER FORMELN 47

Beispiel 3.3. Die Zeichenketten

(∀x (¬P 1(x)))

(∀x (P 2(a, f2(a, b)) ∧Q3(x, a, c))

(∀x(∃y (P 3(x, y, z))))

(∀x(∀y Q2(f2(x, y), f2(y, x))))

sind pradikatenlogische Formeln. 2

Variablen, die sich im Wirkungsbereich eines Quantors befinden, heißen gebunden, nicht gebun- Gebundene,freieVariable

dene Variablen heißen frei. So sind in der Formel

(∀x(∃y (P 3(x, y, z))))

die Variablen x und y gebunden, z ist frei.

Eine Formel heißt geschlossen, falls sie keine freie Variable enthalt. Die Formel (∀x(∀y Q2(f2(x, y), f2(y, x))))GeschlosseneFormelist ein Beispiel fur eine geschlossene Formel. Geschlossene Formeln sind Aussagen, die wahr oder

falsch sein konnen.Gebundene Variablen konnen beliebig umbenannt werden, solange die Umbennung nicht zu einer

freien Variablen fuhrt. So kann in der Formel

(∃x (P 2(f2(x, y), z)))

die Variable x in q umbenannt werden: (∃q (P 2(f2(q, y), z))). Eine Umbennung in z ist nicht erlaubt,denn die Formel bekommt dadurch eine andere Bedeutung: (∃z (P 2(f2(z, y), z))).

Wie in der Aussagenlogik fuhren wir zwei weitere logische Verknupfungen ein: Seien α und βzwei Formeln, dann schreiben wir (α→ β) fur (¬α ∨ β) sowie (α↔ β) fur ((α→ β) ∧ (β → α)).

Sofern Bindungen von Quantoren und Junktoren eindeutig sind, wollen wir entsprechende Klam-mern weglassen. Wenn man zudem festlegt, dass die Quantoren die hochste Prioritat besitzen, dass¬ hohere Prioritat als ∧, ∧ hohere Prioritat als ∨ und ∨ hohere Prioritat als→ und↔ hat, konnenweitere entsprechende Klammern weggelassen werden. Mit diesen Vereinbarungen kann z.B. anstelleder

Formel (∀x ((¬P 1(x)) ∨Q1(x))) die Formel ∀x (¬P 1(x) ∨Q1(x))

und anstelle von(∀x(∀y (¬P 2(x, y)) ∨ (Q2(y, z) ∧ (¬R2(x, z)))))

kann∀x(∀y ¬P 2(x, y) ∨Q2(y, z) ∧ ¬R2(x, z))

geschrieben werden. 2

Die Aussagenlogik kann als ”Spezialfall“ der Pradikatenlogik aufgefasst werden: Wenn man inder Pradikatenlogik keine Individuenvariablen zulasst, wodurch die Quantoren uberflussig werden,und außerdem keine Individuenkonstanten, keine Funktionssymbole und nur 0-stellige Pradikatezulasst, erhalt man genau die Aussagenlogik. Die 0-stelligen Pradikatensymbole ubernehmen dabeidie Rolle der aussagenlogischen Variablen.


3.3 Semantik der Pradikatenlogik

Um die Bedeutung einer pradikatenlogischen Formel zu bestimmen, mussen zunachst Belegungenvorgenommen werden:

• Es muss eine Grundmenge (auch Universum genannt) ausgewahlt werden. Mit ihren Elemen-GrundmengeUniversum ten mussen Individuenkonstanten und freie Individuenvariablen belegt werden.

• Jedem k-stelligen Funktionssymbol muss eine k-stellige Funktion uber der Grundmenge zu-geordnet werden, und

• jedem k-stelligen Pradikatensymbol muss eine k-stellige Relation uber der Grundmenge zu-geordnet werden.

Beispiel 3.4. a) Wahlen wir als Grundmenge N0 und ordnen wir dem Funktionssymbol f2 dieAddition + sowie dem Pradikatensymbol die Gleichheitsrelation = zu, dann interpretieren wir diegeschlossene Formel

∀x∀y (Q2(f2(x, y), f2(y, x))) durch ∀x∀y (= (+(x, y),+(y, x)))

Schreiben wir Gleichheits- und Additionssymbol wie ublich infix, d.h. zwischen die Operanden,dann erhalten wir die Formel

∀x∀y x+ y = y + x

die das Kommutativgesetz der Addition in der Menge der naturlichen Zahlen ausdruckt.

b) Betrachten wir die Formel ∃x∀y R2(f2(a, x), y)) und ordnen dem Pradikatensymbol R2 die Re-lation < zu, dem Funktionssymbol f2 die Multiplikation und der Individuenkonstante die Zahl 5,dann erhalten wir die Formel ∃x∀y 5x < y.

Wahlen wir als Grundmenge N, dann ist diese Formel nicht wahr, denn z.B. zu y = 1 gibt eskeine naturliche Zahl x, so dass 5x < 1 ist. Wahlen wir als Grundmenge N0 oder Z, dann ist dieseFormel wahr. 2

Wenn die Grundmenge U ausgewahlt wurde und Belegungen I der Individuenkonstanten, derfreien Individuenvariablen, der Funktionssymbole sowie der Pradikatensymbole vorgenommen sind,geschieht die Berechnung I∗ des Wahrheitswertes analog zur Interpretation aussagenlogischer For-meln:

(i) Fur einen pradikatenlogischen Term fk(t1, . . . , tk) gilt

I∗(fk(t1, . . . , tk)) = I(fk)(I∗(t1), . . . , I∗(tk))

Die Belegung I(fk) des Funktionssymbols fk wird auf das Ergebnis der Interpretationen derTerme t1, . . . , tk angewendet.

(ii) Fur eine atomare Formel Pm(t1, . . . , tm) gilt

I∗(Pm(t1, . . . , tm)) =

1, ((I∗(t1), . . . , I∗(tm)) ∈ I(Pm)0, sonst

Falls die Interpretationen der Terme in der Relation stehen, die sich durch die Belegung I(Pm)des Pradikatensymbols ergibt, liefert die Interpretation der atomaren Formel den Wahrheits-wert 1, sonst den Wahrheitswert 0.

3.3. SEMANTIK DER PRADIKATENLOGIK 49

(iii) Nachdem die Interpretation der atomaren Bestandteile von pradikatenlogischen Formeln fest-gelegt ist, erfolgt nun die Berechnung zusammengesetzter Formeln. Seien α und β pradika-tenlogische Formeln, dann gilt:

(1) I∗(¬α) = 1− I∗(α).

(2) I∗(α ∧ β) = minI∗(α), I∗(β).(3) I∗(α ∨ β) = maxI∗(α), I∗(β).(4)

I∗(∃xα) =

1, falls ein a ∈ U existiert mit I∗x,a(α) = 10, sonst

(5)

I∗(∀xα) =

1, falls fur alle a′ ∈ U gilt I∗x,a(α) = 10, sonst

Dabei gilt

I∗x,a(y) =

I(y), y 6= x

a, sonst

I∗x,a(α) fur a ∈ U bedeutet also, dass jedes Vorkommen von x in α mit dem Wert a aus derGrundmenge U belegt wird.

Wir werden in den folgenden Kapiteln pradikatenlogische Formeln benutzen, um mathematischeSachverhalte zu beschreiben. Dabei werden wir die Formeln ”pragmatisch“ verwenden, d.h. wirwerden in der Regel nicht mit Individuenkonstanten, Funktions- und Pradikatensymbolen arbeiten,sondern in den Formeln direkt konkrete Belegungen, d.h. Werte und Funktionen bzw. Relationennotieren. Ebenso liegt in der Regel durch den gegbenen Kontext fest, welche Grundmenge jeweilsvorliegt. Oft werden wir die Grundmenge auch in der Formel selbst angeben. Im Ubrigen werdendie Formulierungen in Definitionen, Satzen usw. selten rein formal sein, sondern aus formalen undinformalen Teilen bestehen.

Als Beispiel fur unsere Sprech- und Schreibweise sei der Satz uber die Division mit Rest ganzerZahlen hier aufgefuhrt:

∀a ∈ Z und ∀b ∈ N ∃q ∈ Z und ∃r ∈ N0, so dass gilt: a = bq + r mit 0 ≤ r < b.

Ausschließlich in Worten: Zu jeder ganzen Zahl a und zu jeder naturlichen Zahl b un-gleich Null existieren zwei ganze Zahlen q und r, so dass a bei Division durch b denganzzahligen Quotienten q ergibt mit einem positiven Rest r, der kleiner als der Divisorb ist.

Anstelle von ∀x ∈M fur eine Menge M schreiben wir im Folgenden auch x ∈M .

Insbesondere konnen wir nun darstellende Beschreibungen von Mengen praziser als bisher ange-ben. Im Abschnitt 1.2 haben wir die allgemeine Form der beschreibenden Darstellung angegeben:M = x | p(x) . x ist ein Platzhalter – eine Variable – fur die Elemente von M , und p ist einPradikat. Alle Elemente einer Grundmenge, die das Pradikat wahr machen, gehoren zu M .


Beispiel 3.5. Wir geben fur die in Beispiel 1.3 auf Seite 9 ”halbformal“ dargestellten Mengenformale Beschreibungen an:

A = x | x ∈ P ∧ x ≤ 11 G = x | x ∈ N0 ∧ 2x = 10 H = (x, y) | x ∈ N0 ∧ y ∈ N0 ∧ x+ y = 6 T64 = y | (y ≥ 0) ∧ (∃q ∈ N(k · q = 64))

Da die formalen Beschreibungen zumeist aus konjunktiv verknupften Teilformeln bestehen, lasstman das Symbol ∧ weg und schreibt an dessen Stelle ein Komma. So stellt man H wie folgt dar

H = (x, y) | x ∈ N0, y ∈ N0, x+ y = 6

oder noch kurzerH = (x, y) | x, y ∈ N0, x+ y = 6

In der ”alltaglichen Praxis“ werden beschreibende Mengendarstellungen in der Regel in einer Mi-schung von informalen und formalen Beschreibungen angegeben, wie z.B.

A = x | x prim, x ≤ 11

Maßstab fur die Art und Weise der Beschreibung einer Menge M ist, dass aus der Beschreibung –moglicherweise zudem mithilfe des Kontextes – klar wird, welche Elemente zu M gehoren. 2

Man kann die Begriffe Erfullbarkeit, Modell, Tautologie, Kontradiktion, Implikation (syntakti-sche und semantische Folgerungsbegriffe) und Aquivalenz nun auch fur pradikatenlogische Formelnanalog zu aussagenlogischen Formeln einfuhren.

Viele Ergebnisse, die wir fur die Aussagenlogik in Kapitel 2 betrachtet haben, gelten analogauch fur die Pradikatenlogik, insbesondere auch die Aquivalenzen aus Satz 2.4 bzw. Tabelle 2.4 aufSeite 27. Daruber hinaus gelten in der Pradikatenlogik noch folgende Aquivalenzen.

∀x∀y α⇔ ∀y∀xα∃x∃y α⇔ ∃y∃xα

∀xα ∧ ∀xβ ⇔ ∀x (α ∧ β)∃xα ∧ ∃xβ ⇔ ∃x (α ∧ β)

∀xα⇔ ¬∃¬α∃xα⇔ ¬∀¬α

Im Gegensatz zur Aussagenlogik ist die Erfullbarkeit der Pradikatenlogik nicht entscheidbar,sofern sie die Arithmetik naturlicher Zahlen umfasst. Mithilfe einer Wahrheitstafel oder mithilfedes Resolutionskalkuls kann z.B. festgestellt werden, ob eine aussagenlogische Formel erfullbar istoder nicht. Man kann hingegen beweisen, dass es fur die Pradikatenlogik keinen Algorithmus gebenkann, der fur jede beliebige pradikatenlogische Formel feststellt, ob diese erfullbar ist oder nicht.

Neben der Aussagenlogik und der Pradikatenlogik 1. Stufe gibt es weitere Logiken, die nicht nurvon theoretischem sondern auch von praktischem Interesse sind.

3.3. SEMANTIK DER PRADIKATENLOGIK 51

In der Pradikatenlogik 2. Stufe ist es unter anderem auch erlaubt, uber Mengen, Funktionenund Pradikaten zu quantifizieren. In der Pradikatenlogik 1. Stufe darf nur uber Individuenvariablenquantifiziert werden.

Bei der Informations- und Wissensverarbeitung oder der Konzipierung und Implementierungverteilter Prozesse finden Logiken wie modale, nichtmonotone, temporale, mehrwertige oder Fuzzy-Logiken Anwendung.

In modalen Logiken gibt es neben Quantoren und ”klassischen“ Junktoren Operatoren wie [ ]und 3 mit folgender Bedeutung: Fur eine Formel α bedeutet [α], dass α notwendigerweise wahrist, und 3α bedeutet, dass α moglicherweise gilt. Mit diesen Operatoren kann man z.B. zeitlichesPlanen beschreiben: [α] modelliert, dass α immer gilt oder dass α sicheres Wissen beschreibt. 3αmodelliert, dass α manchmal gilt oder dass α Meinungen beschreibt.

”Klassische“ Logiken wie die Aussagenlogik und die Pradikatenlogiken sind monoton. Das bedeu-tet, wenn fur Klauselmengen A, B und C gilt, dass alle Klauseln von A auch zu B gehoren und A ` Cgilt, dass dann auch B ` C gilt. Konklusionen gelten also weiter, wenn man zu den Pramissen Klau-seln hinzufugt. Bei realen Problemen gibt es aber oft Ausnahmen, welche diese Monotonie zerstoren.So trifft die Aussage ”alle Vogel fliegen“, die etwa durch die Formel ∀x (Vogel(x) → Fliegen(x)),beschrieben werden kann, zwar auf fast alle Vogel zu, aber es gibt Vogelarten wie Strauße und Pin-guine, die nicht fliegen konnen. Um solche Anwendungen adaquat modellieren zu konnen, mussennicht monotone Schlussfolgerungen moglich sein.

Mehrwertige Logiken lassen mehr als zwei Wahrheitswerte und Verknupfungen dafur zu, undin der Fuzzy-Logik werden Wahrheitswerte durch (stetige) Funktionen beschrieben, die den Zu-gehorigkeitsgrad eines Elementes zu einer Menge festlegen.


Kapitel 4

Beweismethoden

Wie bereits erwahnt benutzen wir die Pradikatenlogik, um Begriffe mathematisch zu definieren,Eigenschaften dafur zu formulieren und diese zu beweisen, d.h. deren Gultigkeit herzuleiten. Indiesem Kapitel stellen wir gangige Beweisverfahren vor.

Die meisten mathematischen Satze (Theoreme; Hilfssatze, Lemmata; Folgerungen, Korrollare) MathematischerSatzTheorem

haben die Form:α⇒ β

Dabei sind α und β Formeln. α heißt Voraussetzung (Vorbedingung, Hypothese) und β Behauptung Voraussetzung

Behauptung(Nachbedingung, Folgerung) des Satzes. Satze, die Aquivalenzen behaupten (α⇔ β) sind aquivalentzu Folgerungen in beide Richtungen (α⇒ β∧β ⇒ α), so dass wir uns auf Folgerungen beschrankenkonnen.

Zu zeigen, dass α⇒ β gilt, bedeutet zu zeigen, dass α→ β eine Tautologie ist, d.h. dass α→ βimmer wahr ist. Wir geben im Folgenden vier Verfahren an, die dazu verwendet werden konnen:

1. direkter Beweis,

2. indirekter Beweis,

3. Widerspruchsbeweis,

4. Beweis durch Ringschluss.

Eine weitere sehr wichtige Beweismethode, das Prinzip der vollstandigen Induktion, mit demgezeigt werden kann, dass ein Pradikat P (n) wahr wird fur alle naturlichen Zahlen n ∈ N0 wird inKapitel 12 behandelt.


• die oben aufgelisteten Beweismethoden erklaren und anwenden konnen.

4.1 Direkter Beweis

Ein direkter Beweis eines Theorems α⇒ β ist eine Folge von Aussagen

γ1, γ2, . . . , γn = β

53

54 KAPITEL 4. BEWEISMETHODEN

wobei fur jedes imit 1 ≤ i ≤ n gilt: γi = α oder γi ist eine (bereits bewiesene) bekannte Aussage oderγj1∧γj2∧. . .∧γjr ⇒ γi mit j1, j2, . . . , jr < i. Bei den Zwischenschritten konnen also Kombinationenvon vorher – im Beweis selbst oder im Rahmen anderer Beweise – etablierten Aussagen verwendetwerden.

Beispiel 4.1. Wir wollen den Satz ”Ist eine naturliche Zahl durch 2 und durch 3 teilbar, dannist sie auch durch 6 teilbar“ direkt beweisen. Zunachst formalisieren wir diesen umgangssprachlichformulierten Satz:

x

2∈ N0 ∧

x

3∈ N0 ⇒

x

6∈ N0

Dabei istα =

(x2∈ N0 ∧

x

3∈ N0

)die Voraussetzung und

β =(x

6∈ N0

)die Behauptung. Wir betrachten nun die folgenden Aussagen:

γ1 = (∃y ∈ N0 (x = 2y) ∧ ∃z ∈ N0 (x = 3z))γ2 = (∃y, z ∈ N0 (2y = 3z))γ3 = (∃k ∈ N0 (z = 2k))γ4 = ∃z, k ∈ N0 (x = 3z ∧ z = 2k)γ5 = ∃k ∈ N0 (x = 2 · 3 · k))γ6 = ∃k ∈ N0 (x = 6k))

Die beiden Folgerungen: α⇒ γ1 und γ1 ⇒ γ2 gelten offensichtlich. Da 2y = 3z, muss 3z und damitz eine gerade Zahl sein, also gilt: γ2 ⇒ γ3. Die Folgerungen γ3 ⇒ γ4, γ4 ⇒ γ5 und γ5 ⇒ γ6 sindoffensichtlich. Insgesamt erhalten wir:

α⇒ γ1 ⇒ γ2 ⇒ γ3 ⇒ γ4 ⇒ γ5 ⇒ γ6 ⇒ β

und damit α⇒ β, was zu beweisen war (w.z.b.w.).1 2

4.2 Indirekter Beweis

Dem indirekten Beweis liegt die folgende Aquivalenz zugrunde:

(α⇒ β)⇔ (¬β ⇒ ¬α)

Manchmal ist es tatsachlich einfacher, bequemer oder schneller, die rechte anstelle der linken Fol-gerung zu beweisen.

1Auch: qed fur quod erat demonstrandum.

4.3. BEWEIS DURCH WIDERSPRUCH 55

Beispiel 4.2. Als Beispiel wollen wir eine weitere Teilbarkeitsregel beweisen: Wenn die letztenbeiden Ziffern einer naturlichen Zahl z als Zahl betrachtet durch 4 teilbar sind, dann ist auch dieZahl z durch 4 teilbar. Wir formalisieren:

α = (x ∈ N0,99) ∧(x

4∈ N0

)∧ (y ∈ N0)

β = (x ∈ N0,99) ∧ (y ∈ N0) ∧(

100y + x

4∈ N0

)

Anstelle α⇒ β direkt zu beweisen, beweisen wir ¬β ⇒ ¬α. Es ist:

¬β = (x /∈ N0,99) ∨ (y /∈ N0) ∨(

100y + x

4/∈ N0

)¬α = (x /∈ N0,99) ∨

(x4/∈ N0

)∨ (y /∈ N0)

Da sowohl x /∈ N0,99 als auch y /∈ N0 mit falsch zu bewerten sind, wird in beiden Disjunktionen derWahrheitswert durch den jeweils verbleibenden Teilausdruck bestimmt (siehe Satz 2.4 bzw. Tabelle2.4 auf Seite 27, Unerfullbarkeitsregeln), d.h. wir mussen nur noch

100y + x

4/∈ N0 ⇒

x

4/∈ N0

beweisen. Dies tun wir direkt:

100y + x

4/∈ N0 ⇒

100y4

+x

4/∈ N0

⇒ 25y +x

4/∈ N0

⇒ x

4/∈ N0

Da jede Zahl z ∈ N0 sich darstellen lasst als z = 100y + x mit y ∈ N0 und x ∈ N0,99, ist dieBehauptung bewiesen. 2

4.3 Beweis durch Widerspruch

Dem Widerspruchsbeweis liegt die Aquivalenz

(α→ β)⇔ ((α ∧ ¬β)→ ¬α) (4.1)

zugrunde. Um diesen Beweis zu fuhren, nehmen wir also sowohl die Voraussetzung α als auch dieNegation der Folgerung β, also ¬β, als wahr an und versuchen, daraus einen Widerspruch zu α zufolgern.

Beispiel 4.3. Ein ”klassisches“ Beispiel fur einen Widerspruchsbeweis ist zu zeigen, dass√

2 keinerationale Zahl ist. Genauer lautet diese Aussage: Wenn p und q teilerfremde naturliche Zahlen sind,


dann ist√

2 6= pq . Es seien also:

α =(∀k ∈ N2

(pk/∈ N0 ∨

q

k/∈ N0

))(p und q sind teilerfremd) (4.2)

β =(√

2 6= p

q

)(√

2 ist nicht rational)

Wir nehmen nun an, dass es teilerfremde Zahlen p und q gibt mit√

2 = pq , d.h. wir nehmen an,

dass α ∧ ¬β gilt.Aus√

2 = pq folgt, dass 2 = p2

q2 ist. Daraus folgt, dass p2 = 2q2 gilt, und daraus, dass 2 ein Teilervon p2 ist, und daraus, dass 2 ein Teiler von p ist. Hieraus folgt, dass 2 · 2 ein Teiler von p · p = p2

und damit 4 ein Teiler von 2q2 ist. Hieraus folgt, dass 2 ein Teiler von q2 und damit ein Teiler von qist. Aus diesen Schlussfolgerungen folgt, dass 2 ein Teiler von p und von q ist, womit p und q nichtteilerfremd sind, d.h.:

∃k ∈ N2

(pk∈ N0 ∧

q

k∈ N0

)(4.3)

Diese Aussage ist gleich ¬α, also ein Widerspruch zu α (vergleiche (4.2) und (4.3)).Damit haben wir (α∧¬β)⇒ ¬α gezeigt, und damit ist wegen der Aquivalenz (4.1) die Folgerung

α⇒ β bewiesen. 2

Varianten von Widerspruchsbeweisen basieren auf den Aquivalenzen:

(α→ β)⇔ ((α ∧ ¬β)→ β)(α→ β)⇔ ((α ∧ ¬β)→ (γ ∧ ¬γ))(α→ β)⇔ ((α ∧ ¬β)→ 0)

4.4 Ringschluss

Um die Aquivalenz der Formeln α1, . . . , αk, d.h.

α1 ⇔ α2 ⇔ . . .⇔ αk, k ≥ 2

zu beweisen, kann man anstelle der 2(k− 1) Folgerungen αi ⇒ αi+1 und αi+1 ⇒ αi, 1 ≤ i ≤ k− 1,die k − 1 Folgerungen αi ⇒ αi+1, 1 ≤ i ≤ k − 1, und die Folgerung αk ⇒ α1 zeigen. Insgesamt istzum Beweis der Aquivalenz der Formeln αi, 1 ≤ i ≤ k, die Folge der k Implikationen

α1 ⇒ α2 ⇒ . . .⇒ αk ⇒ α1

zu zeigen.

Satz 4.1. Zeigen Sie: Sind α1, . . . , αk, k ≥ 2, pradikatenlogische Formeln, dann ist

α1 ⇔ α2 ⇔ . . .⇔ αk (4.4)

aquivalent zu

α1 ⇒ α2 ⇒ . . .⇒ αk ⇒ α1 (4.5)

4.4. RINGSCHLUSS 57

Beweis Aus Beispiel 2.7 c) auf Seite 23 folgt:

(α⇒ β ⇒ γ)⇒ (α⇒ γ) (4.6)

Wir zeigen zunachst, dass (4.5) aus (4.4) folgt. Aus (4.4) folgt, dass

αk ⇒ αk−1 ⇒ . . .⇒ α2 ⇒ α1 (4.7)

und dass

α1 ⇒ α2 ⇒ . . .⇒ αk−1 ⇒ αk (4.8)

gilt. Aus (4.6) und (4.7) folgt, dass αk ⇒ α1 gilt. Hieraus folgt mit (4.8), dass (4.5) gilt. Damit istgezeigt, dass (4.5) aus (4.4) folgt.

Jetzt zeigen wir, dass (4.4) aus (4.5) folgt. Aus (4.5) und (4.6) folgt α1 ⇒ αi, 1 ≤ i ≤ k, undαj ⇒ α1, 1 ≤ j ≤ k, sowie αi ⇒ αj , 1 ≤ i, j ≤ k − 1, i ≤ j. Es folgt, dass αj ⇒ α1 ⇒ αi fur1 ≤ i, j ≤ k mit i ≤ j gilt. Es folgt, dass

αk ⇒ αk−1 ⇒ . . .⇒ α2 ⇒ α1

gilt. Mit der Voraussetzung (4.5) folgt hieraus die Behauptung (4.4). 2

Ubung 4.1. Beweisen Sie, dass fur a, b ∈ R+ gilt

a+ b

2≥√a · b

(das arithmetische Mittel von zwei positiven Zahlen ist großer gleich deren geometrischem Mittel)!2

Ubung 4.2. Beweisen Sie die Behauptung aus obiger Ubung 4.1 durch Widerspruchsbeweis! 2


Kapitel 5

Operationen auf Mengen

Wir kehren nun zu Mengen zuruck und benutzen pradikatenlogische Formeln, um Teilmengenbe-ziehungen zwischen Mengen sowie Verknupfungen von Mengen zu definieren. Dabei benutzen beiwir folgende formale Schreibweise bei der Definition von neuen Begriffen:

α :⇔ β

Dabei ist β eine Formel, in der bereits definierte Begriffe und Symbole verwendet werden, um denneuen Begriff oder das neue Symbol oder die neue Schreibweise α prazise festzulegen.

In vielen Anwendungsbereichen mussen Datenmengen miteinander verknupft werden. Hat manz.B. eine Datenbasis, in der die Kunden pro Tag festgehalten werden und mochte man daraus eineAuflistung aller Kunden einer Woche haben, dann mussen die Tagesmengen vereinigt werden. Odermochte man wissen, welche Kunden an allen Tagen Bestellungen aufgegeben haben, dann mussendie gemeinsamen Elemente der Tagesmengen bestimmt werden.

In diesem Kapitel definieren wir mithilfe logischer Ausdrucke elementare Mengenoperationenund betrachten ihre grundlegenden Eigenschaften.


• den Teilmengenbegriff und dessen grundlegende Eigenschaften kennen,

• wissen, wie die Potenzmenge einer Menge gebildet wird,

• fur einfache Beispiele Element- bzw. Teilmengenbeziehungen entscheiden konnen,

• die Definitionen fur Vereinigung, Durchschnitt, Differenz und Komplement von Mengen ken-nen,

• die grundlegenden Eigenschaften dieser Operationen kennen und beweisen konnen,

• diese Operationen anwenden konnen.

59

60 KAPITEL 5. OPERATIONEN AUF MENGEN

5.1 Teilmengen

Definition 5.1. a) Eine Menge A ist Teilmenge einer Menge B, falls jedes Element von A auch Teilmenge

Element von B ist. Wir schreiben: A ⊆ B. Formal lautet die Definition:

A ⊆ B :⇔ x ∈ A⇒ x ∈ B (5.1)

Ein synonymer Begriff fur Teilmenge ist Untermenge. Entsprechend nennt man, wenn A ⊆ B gilt,UntermengeObermenge B Obermenge von A.

b) Zwei Mengen A und B sind gleich, wenn jede Teilmenge der anderen ist:GleichheitvonMengen A = B :⇔ A ⊆ B ∧B ⊆ A (5.2)

Sind die Mengen A und B nicht gleich, gilt also ¬(A = B), dann schreiben wir A 6= B.

c) Eine Menge A ist eine echte Teilmenge einer Menge B, falls A Teilmenge von B ist, aber nichtEchte Teil-menge gleich B ist:

A ⊂ B :⇔ A ⊆ B ∧A 6= B (5.3)

2

Beispiel 5.1. Es gilt:

a) 2, 3, 4, 7 ⊆ 1, 2, 3, 4, 7, 13 .b) 1, 2, 3 = 3, 2, 1 sowie 1, 2, 3 ⊆ 3, 2, 1 , aber 1, 2, 3, 4 6⊂ 3, 2, 4, 1 .c) 2, 3, 4, 7 ⊂ 1, 2, 3, 4, 7, 13 . 2

Folgerung 5.1. a) Fur jede Menge A gilt ∅ ⊆ A, d.h. die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge.

b) Fur jede Menge A gilt A ⊆ A, d.h. jede Menge ist Teilmenge von sich selbst.

c) Seien A, B und C Mengen, dann gilt: A ⊆ B ∧B ⊆ C ⇒ A ⊆ C.

Beweis a) Nach Definition 5.1 ist zu zeigen: x ∈ ∅ ⇒ x ∈ A, d.h. wir mussen zeigen, dass dieSubjunktion x ∈ ∅ → x ∈ A immer wahr ist.

Das Pradikat x ∈ ∅ ist immer falsch, und das Pradikat x ∈ A kann wahr oder falsch sein.Folgende Wahrheitstafel zeigt die beiden moglichen Belegungen fur die Subjunktion:

x ∈ ∅ x ∈ A x ∈ ∅ → x ∈ A0 1 10 0 1

x ∈ ∅ → x ∈ A ist also immer wahr, d.h. es gilt x ∈ ∅ ⇒ x ∈ A und damit die Behauptung ∅ ⊆ A.

Der Beweis fur b) folgt analog (siehe folgende Ubung 5.1).

c) Wir setzen α = (x ∈ A), β = (x ∈ B) sowie γ = (x ∈ C). Aus Beispiel 2.7 c) (Seite 23) wissenwir, dass (α⇒ β) ∧ (β ⇒ γ)⇒ (α⇒ γ) gilt (Kettenschluss). Damit konnen wir folgern

A ⊆ B ∧B ⊆ C ⇒ ((x ∈ A)⇒ (x ∈ B)) ∧ ((x ∈ B)⇒ (x ∈ C))⇒ (α⇒ β) ∧ (β ⇒ γ)⇒ (α⇒ γ)⇒ ((x ∈ A)⇒ (x ∈ C))⇒ A ⊆ C

5.2. POTENZMENGEN 61

womit die Behauptung gezeigt ist. 2

Ubung 5.1. Beweisen Sie Folgerung 5.1 b)! 2

5.2 Potenzmengen

Definition 5.2. Sei M eine Menge. Dann heißt P(M) = A | A ⊆M , die Menge aller Teilmengen Potenzmenge

von M , die Potenzmenge von M . Es gilt also: A ∈ P(M) :⇔ A ⊆M . Anstelle von P(M) schreibenwir auch 2M . 2

Beispiel 5.2. Sei M = a, b, c , dann gilt

P(M) = ∅, a, b, c, a, b , a, c , b, c , a, b, c

Aus Folgerung 5.1 a) und b) folgt unmittelbar

Folgerung 5.2. Sei M eine Menge, dann gilt ∅ ∈ P(M) sowie M ∈ P(M). 2

Satz 5.1. Sei M eine Menge mit m Elementen, |M | = m, dann hat P(M) 2m Elemente: |P(M)| =2|M |.

Beweis Siehe Beispiel 12.1 c) auf Seite 115. 2

Mit F(M) bezeichnen wir die Menge der endlichen Teilmengen von M . Fur endliche Mengen Mgilt F(M) = P(M), fur unendliche Mengen M gilt F(M) ⊂ P(M). Es gilt z.B. G+ ∈ P(Z), aberG+ /∈ F(Z).

Ubung 5.2. Bestimmen Sie P(∅) sowie P(P(∅))! 2

Ubung 5.3. Bestimmen Sie die einzige Menge M , fur die M ∈ P(M) gilt! 2

5.3 Verknupfung von Mengen

Definition 5.3. Es seien A und B zwei Mengen.

a) Die Menge A ∪ B = x | x ∈ A ∨ x ∈ B , welche alle Elemente von A und B enthalt, heißt Vereinigung

Vereinigung von A und B.

b) Die Menge A ∩ B = x | x ∈ A ∧ x ∈ B , welche alle gemeinsamen Elemente von A und B Durchschnitt,Schnittmengeenthalt, heißt Durchschnitt (auch Schnittmenge) von A und B.

c) Gilt A ∩B = ∅, dann heißen A und B disjunkt (auch elementfremd). Disjunktheit

d) Die Menge A−B = x | x ∈ A∧x /∈ B , welche alle Elemente von A enthalt, die nicht Element Differenz

von B sind, heißt Differenz von A und B.

e) Die Menge AB = (A−B) ∪ (B −A), welche alle Elemente von A enthalt, die nicht Element SymmetrischeDifferenzvon B sind, und alle Elemente von B enthalt, die nicht Element von A sind, heißt symmetrische

Differenz von A und B.

f) Falls A ⊆ B ist, dann heißt CBA = B −A das Komplement von A bezuglich B. Falls die Menge Komplement

B aus dem Zusammenhang heraus klar ist, schreibt man anstelle von CBA auch A. 2


Beispiel 5.3. Es sei A = 1, 2, 3, 4 und B = 3, 4, 5 . Dann gilt:

a) A ∪B = 1, 2, 3, 4, 5

b) A ∩B = 3, 4

c) A−B = 1, 2

d) AB = 1, 2, 5

e) CN0G = U 2

Fur die Vereinigung bzw. fur den Durchschnitt von n Mengen A1, A2, . . ., An, n ≥ 0, fuhrenwir noch folgende Schreibweisen ein:

A1 ∪A2 ∪ . . . ∪An =n⋃i=1

Ai

A1 ∩A2 ∩ . . . ∩An =n⋂i=1

Ai

Diese Schreibweise kann man noch verallgemeinern fur den Fall, dass die Indizes nicht die Zahlen1, 2, . . ., n sind, sondern Elemente einer – moglicherweise unendlichen – Indexmenge I:⋃

i∈IAi bzw.

⋂i∈I

Ai

Betrachten wir hierzu ein Beispiel: Sei

tag = mo, di,mi, do, fr, sa

eine Indexmenge, und sei Kt die Menge der Kunden, die am Tag t kaufen, dann bezeichnet⋃t∈tag

Kt

die Menge der Kunden an allen Tagen, und ⋂t∈tag

Kt

bezeichnet die Menge der Kunden, die jeden Tag gekauft haben.

5.4 Elementare Eigenschaften

Im Folgenden werden die elementaren Eigenschaften der oben eingefuhrten Mengenoperationenaufgelistet. Eine Reihe dieser Eigenschaften gelten, weil entsprechende Eigenschaften fur die dieOperationen definierenden logischen Veknupfungen gelten (vergleiche Satz 2.4 bzw. Tabelle 2.4 aufSeite 27).

Satz 5.2. Fur alle Mengen A, B und C gelten die folgenden Gesetze:

5.4. ELEMENTARE EIGENSCHAFTEN 63

(1) Die Operationen Vereinigung, Durchschnitt und symmetrische Differenz sind kommutativ:

A ∪B = B ∪AA ∩B = B ∩AAB = B A

(2) Falls A ⊆ B ist, dann gilt:

A ∪B = B

A ∩B = A

A−B = ∅AB = B −A

(3) Vereinigung und Durchschnitt sind idempotente Verknupfungen:

A ∪A = A

A ∩A = A

(4) Aus den Eigenschaften (1) - (3) folgt:

A ∪ ∅ = A

A ∩ ∅ = ∅A−A = ∅∅ −A = ∅A− ∅ = A

(5) Fur Vereinigung, Durchschnitt und Mengendifferenz gilt:

A ⊆ A ∪BB ⊆ A ∪B

A ∩B ⊆ AA ∩B ⊆ BA−B ⊆ A

(6) Fur die symmetrische Differenz gilt:

AB = (A ∪B)− (A ∩B)

(7) Vereinigung und Durchschnitt sind assoziative Operationen:

A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ CA ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∩ C


(8) Vereinigung und Durchschnitt sind distributiv:

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C)(A ∩B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C)(A ∩B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)

(9) Es gelten die De Morganschen Regeln:1

A ∪B = A ∩BA ∩B = A ∪B

(10) Es gelten die Absorptionsgesetze:

A ∪ (B ∩A) = A

A ∩ (B ∪A) = A

(11) Doppelte Komplementbildung: A = A

Beweis Bei allen Eigenschaften – bis auf (5) – sind Gleichheiten von Mengen zu zeigen. GemaßDefinition 5.1 b) auf Seite 60 sind zwei Mengen gleich, wenn jede Teilmenge der anderen ist. Mitdieser Methode zeigen wir die erste Gleichheit von (9), alle anderen Beweise sind Gegenstand vonUbung 5.4. Fast alle Gleichheiten lassen sich auf die Aquivalenz der Pradikate zuruckfuhren, mithilfederer die Mengenoperationen definiert sind (siehe Definition 5.3 auf Seite 61).

Um A ∪B = A ∩B zu zeigen, mussen wir also

A ∪B ⊆ A ∩B und A ∩B ⊆ A ∪B

zeigen.A ∪B ⊆ A∩B gilt, falls die Implikation x ∈ A ∪B ⇒ x ∈ A∩B gultig ist, was wir im Folgenden

zeigen:

x ∈ A ∪B ⇒ x /∈ A ∪B (gemaß Definiton des Komplements)⇒ ¬(x ∈ A ∪B) (gemaß Definition von /∈)⇒ ¬(x ∈ A ∨ x ∈ B) (gemaß Definition der Vereinigung)⇒ x /∈ A ∧ x /∈ B (gemaß De Morganscher Regeln fur

Konjunktion und Disjunktion, Tabelle 2.4,Seite 27)

⇒ x ∈ A ∧ x ∈ B (gemaß Definiton des Komplements)

⇒ x ∈ A ∩B (gemaß Definition des Durchschnitts)

Der Beweis von A ∩B ⊆ A ∪B geschieht durch Umkehrung dieser Implikationen. 2

1Benannt nach Augustus De Morgan (1806 - 1871), britischer Mathematiker und Logiker. De Morgan leisteteBeitrage zur Algebra und zur mathematischen Logik und begrundete neben George Boole eine Algebra der Logik.

5.4. ELEMENTARE EIGENSCHAFTEN 65


Folgerung 5.3. a) Fur zwei endliche Mengen A und B gilt:

|A ∪B| = |A|+ |B| − |A ∩B|

b) Sind A und B endlich und disjunkt, dann gilt |A ∪B| = |A|+ |B|. 2

Definition 5.4. Sei A eine nicht leere Menge, I eine Indexmenge und Ai ⊆ A, i ∈ I, eine Familie PartitionUberdeckungZerlegung

von nicht leeren Teilmengen von A. Dann heißt Aii∈I eine Partition von A genau dann, wenngilt:

(1) Ai ∩Aj = ∅ fur i, j ∈ I mit i 6= j,

(2)⋃i∈I Ai = A.

Eine Partition zerlegt also eine Menge vollstandig in disjunkte Teilmengen. Man sagt auch, dass dieMenge A von Aii∈I (vollstandig und disjunkt) uberdeckt wird. 2

Beispiel 5.4. a) Die Mengen G+ und U+ bilden eine Partition von N0.

b) Sei Σ = a, b, . . . , z die Menge der Kleinbuchstaben des deutschen Alphabets. SeienWa,Wb, . . . ,Wz

die Menge der Worter der deutschen Sprache, die mit a, mit b usw. oder mit z beginnen. Dannbilden diese Mengen eine Partition der Menge D aller deutschen klein geschriebenen Worter, dennes gilt:

⋃α∈ΣWα = D und Wα ∩Wβ = ∅ fur α 6= β, α, β ∈ Σ. 2


Kapitel 6

Boolesche Algebra

Wenn wir Satz 2.4 (Seite 26) und Satz 5.2 (Seite 62) vergleichen, bemerken wir, dass sowohl furVerknupfungen der Logik als auch fur Mengenverknupfungen gleiche Eigenschaften gelten. Wirwollen von den konkreten Operanden, aussagen- oder pradikatenlogische Formeln bzw. Mengen ab-strahieren und Verknupfungsstrukturen betrachten, die Elemente einer Menge mit drei Operatorenverknupfen und dabei bestimmten Rechenregeln genugen. Wir lernen damit eine erste abstrakte Re-chenstruktur kennen, von der wir bereits Beispiele, namlich aussagenlogische Formeln und Mengen,betrachtet haben.


• den Begriff der Booleschen Algebra und dessen grundlegende Eigenschaften kennen,

• den Begriff des Isomorphie Boolescher Algebren erklaren konnen,

• wissen, dass die Boolesche Algebra der Wahrheitswerte ein Reprasentant fur alle minimalenBooleschen Algebren ist,

• wissen, dass die Booleschen Algebren der Potenzmengen von endlichen Mengen Reprasentan-ten fur endliche Boolesche Algebren sind.

6.1 Definitionen und grundlegende Eigenschaften

Definition 6.1. Eine Boolesche Algebra1 A = (A, 0, 1,⊕,⊗,′ ) ist gegeben durch eine Menge A mit BoolescheAlgebrazwei ausgezeichneten Elementen 0 (sogenanntes Nullelement) und 1 (sogenanntes Einselement) ausNullelement

EinselementA sowie den zweistelligen Operatoren ⊕ und ⊗, die angewendet auf zwei Elemente aus A wiederein Element aus A ergeben, und den einstelligen Operator ′, der angewendet auf ein Element ausA wieder ein Element aus A liefert. Die Operatoren und beliebigen Elementen x, y, z ∈ A mussendabei folgenden Gesetzen genugen:

1Der britische Mathematiker und Logiker George Boole (1815 - 1864) gilt als Begrunder der mathematischen Logik.Durch Formalisierung des mathematischen Denkens (

”An investigation of the laws of thought“ ist eine beruhmte

Schrift von Boole zu diesem Thema) entwickelte er eine Algebra der Logik, d.h. eine Logik, mit der man”rechnen“

kann (siehe Kapitel 2 uber Aussagenlogik).

67

68 KAPITEL 6. BOOLESCHE ALGEBRA

(i) Kommutativitat fur ⊕ und ⊗:

x⊕ y = y ⊕ xx⊗ y = y ⊗ x

(ii) Assoziativitat fur ⊕ und ⊗:

x⊕ (y ⊕ z) = (x⊕ y)⊕ zx⊗ (y ⊗ z) = (x⊗ y)⊗ z

(iii) Absorption:

x⊕ (y ⊗ x) = x

x⊗ (y ⊕ x) = x

(iv) Distributivitat:

x⊕ (y ⊗ z) = (x⊕ y)⊗ (x⊕ z)x⊗ (y ⊕ z) = (x⊗ y)⊕ (x⊗ z)

(v) Eigenschaften von 0 und 1:

x⊕ 0 = x x⊗ 0 = 0x⊕ 1 = 1 x⊗ 1 = x

(vi) Eigenschaften von ′:

x⊕ x′ = 1 x⊗ x′ = 0

2

Die nachste Folgerung gibt zwei Boolesche Algebren an, die wir schon kennen.

Folgerung 6.1. a) Sei M irgendeine Menge, dann bildet

PM = (P(M), ∅,M,∪,∩, CM )

eine Boolesche Algebra.

b) B = ( 0, 1 , 0, 1,∨,∧,¬) mit

1 ∨ 1 = 1 1 ∨ 0 = 1 0 ∨ 1 = 1 0 ∨ 0 = 0 ¬1 = 01 ∧ 1 = 1 1 ∧ 0 = 0 0 ∧ 1 = 0 0 ∧ 0 = 0 ¬0 = 1

bildet ebenfalls eine Boolesche Algebra. 2

PM ist die Boolesche Algebra aller Teilmengen einer gegebenen Menge M . Die Operation ⊕ist die Vereinigung, die Operation ⊗ ist der Durchschnitt und die Operation ′ ist das Komplementbezuglich M . Das Nullelement ist die leere Menge und das Einselement ist die Menge M selbst.

6.1. DEFINITIONEN UND GRUNDLEGENDE EIGENSCHAFTEN 69

Die Mengenverknupfungen genugen den Bedingungen (i) - (vi) der Definition 6.1 fur eine BoolescheAlgebra (siehe Satz 5.2, Seite 62).

B ist die Boolesche Algebra der Wahrheitswerte in der Aussagenlogik. Die Operation ⊕ ist dieDisjunktion, die Operation ⊗ ist die Konjunktion und die Operation ′ ist die Negation. Das Null-element ist der Wahrheitswert 0 (”falsch“) und das Einselement ist der Wahrheitswert 1 (”wahr“).Die Junktoren genugen den Bedingungen (i) - (vi) der Definition 6.1 fur eine Boolesche Algebra(siehe Satz 2.4 bzw. Tabelle 2.4, Seite 27).

Fur Boolesche Algebren allgemein gelten naturlich alle Eigenschaften, die wir fur die speziellenBooleschen Algebren B und PM fur eine Menge M bereits gezeigt haben (siehe Satze 2.4 und 5.2).Ebenso gilt fur jede Boolesche Algebra das Dualitatsprinzip, das wir in Satz 2.10 (Seite 30) fur dieAussagenlogik bereits formuliert haben.

Satz 6.1. Ist eine Eigenschaft einer Booleschen Algebra A gultig, dann ist auch ihre duale Eigen-schaft in A gultig. Die duale Eigenschaft erhalt man, indem man jedes Vorkommen von ⊕ durch⊗, jedes ⊗ durch ⊕, jedes Vorkommen von 0 durch 1 und jede 1 durch 0 ersetzt. 2

Uber die im Satz 2.4 bzw. im Satz 5.2 formulierten Eigenschaften hinaus gelten fur alle Boole-schen Algebren noch die im folgenden Satz aufgefuhrten fundamentalen Eigenschaften.

Satz 6.2. Sei A = (A, 0, 1,⊕,⊗,′ ) eine Boolesche Algebra. Dann sind durch die definierendenEigenschaften in Definition 6.1

a) das Null- und das Einselement sowie

b) a′ fur jedes a ∈ A eindeutig bestimmt.

Beweis a) Wir nehmen an, es gabe außer 0 noch das davon verschiedene Nullelement z. z mussdie Eigenschaft (v) aus Definition 6.1 erfullen. Es gilt also a ⊗ z = z fur alle a ∈ A, d.h. dieseGleichung gilt auch fur a = 0:

0⊗ z = z (6.1)

Andererseits gilt a⊗ 0 = 0 fur alle a ∈ A, also auch fur a = z, d.h.

z ⊗ 0 = 0 (6.2)

Aus den Gleichungen (6.1) und (6.2) und mit der Kommutativitat von ⊗ folgt

z = 0⊗ z = z ⊗ 0 = 0

und damit z = 0.Der Beweis der Eindeutigkeit des Einselements erfolgt analog durch Dualisierung des obigen

Beweises der Eindeutigkeit des Nullelementes.

b) Wir nehmen an, es gabe zu x ∈ A außer x′ noch ein Element cx mit den Eigenschaften (vi) ausDefinition 6.1. Es gilt also:

x⊕ cx = 1 (6.3)x⊗ cx = 0 (6.4)


Es folgt:

x′ = x′ ⊕ 0 (wegen Eigenschaft (v) von Definition 6.1)= x′ ⊕ (x⊗ cx) (wegen (6.4))= (x′ ⊕ x)⊗ (x′ ⊕ cx) (wegen Eigenschaft (iv) von Definition 6.1)= 1⊗ (x′ ⊕ cx) (wegen Eigenschaft (vi) von Definition 6.1)= x′ ⊕ cx (wegen Eigenschaft (v) von Definition 6.1)

Es gilt also

x′ = x′ ⊕ cx (6.5)

Dual zur Herleitung dieser Gleichung lasst sich mit

x′ = x′ ⊗ 1 (wegen Eigenschaft (v) von Definition 6.1)= x′ ⊗ (x⊕ cx) (wegen (6.3))= (x′ ⊗ x)⊕ (x′ ⊗ cx) (wegen Eigenschaft (iv) von Definition 6.1)= 0⊕ (x′ ⊗ cx) (wegen Eigenschaft (vi) von Definition 6.1)= x′ ⊗ cx (wegen Eigenschaft (v) von Definition 6.1)

die Gleichung

x′ = x′ ⊗ cx (6.6)

herleiten. Mit diesen Ergebnissen folgt nun:

x′ = x′ ⊗ cx (wegen (6.6))= (x′ ⊕ cx)⊗ cx (wegen (6.5))= cx ⊗ (x′ ⊕ cx) (wegen Eigenschaft (i) von Definition 6.1)= cx wegen Eigenschaft (iii) von Definition 6.1)

Damit haben wir ausgerechnet, dass x′ = cx gilt. 2

6.2 Isomorphie Boolescher Algebren

B ist im Ubrigen im folgenden Sinn die kleinste Boolesche Algebra: Jede Boolesche Algebra mitzwei Elementen ist strukturgleich zu B. Das bedeutet, dass es zum einen keine Boolesche Algebramit nur einem Element geben kann, und zum anderen gibt es fur jede andere Boolesche AlgebraB′ = (a, b, a, b,⊕,⊗,′ ) mit zwei Elementen eine eineindeutige Zuordnung ϕ : a, b → 0, 1 , sodass fur alle x, y ∈ a, b giltIsomor-

phismus

ϕ(x⊕ y) = ϕ(x) ∨ ϕ(y)ϕ(x⊗ y) = ϕ(x) ∧ ϕ(y)

ϕ(x′) = ¬ϕ(x)

6.2. ISOMORPHIE BOOLESCHER ALGEBREN 71

Bis auf die Umbenennung ϕ der Elemente von B′ und der entsprechenden Umbenennung der Ope-ratoren sind also alle zweielementigen Booleschen Algebren identisch zu B. Diese Art der Struktur-gleichheit nennt man Isomorphismus.

So wie die Boolesche Algebra der Wahrheitswerte B ein ”Prototyp“ fur alle minimalen Boole-schen Algebren ist, ist die Boolesche Algebra

Pn = (P(N1,n),∪,∩, CN1,n)

der Teilmengen der Menge N1,n = 1, . . . , n , n ≥ 1, ein Protoyp fur alle endlichen BooleschenAlgebren. Dies besagt der folgenden Satz, den wir ohne Beweis angeben.

Satz 6.3. Zu jeder endlichen Booleschen Algebra X = (X, 0, 1,⊕,⊗,′ ) gibt es eine Zahl n ∈ N, sodass X und Pn isomorph zueinander sind, d.h. es gibt eine eineindeutige Zuordnung (”Umbennung“)ϕ : P(N1,n)→ X, so dass fur alle A,B ∈ P(N1,n) gilt

ϕ(A ∪B) = ϕ(A)⊕ ϕ(B)ϕ(A ∩B) = ϕ(A)⊗ ϕ(B)ϕ(CN1,nA) = (ϕ(A))′

2

Folgerung 6.2. a) Die Anzahl der Elemente einer endlichen Booleschen Algebra ist immer 2n furein n ≥ 1.

b) Je zwei endliche, isomorphe Boolesche Algebren haben in jedem Fall dieselbe Anzahl von Ele-menten. 2


Kapitel 7

Zusammenfassung und Ubungen

7.1 Zusammenfassung

Mengen sind ein grundlegendes, wesentliches Hilfsmittel in der Mathematik und in der Informatik,um Dinge zusammenzufassen und dieser Zusammenfassung einen Namen zu geben. Die Dinge, diezu einer Menge zusammengefasst werden, heißen Elemente der Menge. Mengen konnen auf zweiArten dargestellt werden: aufzahlend oder beschreibend. Bei der aufzahlenden Darstellung werdendie Elemente der Menge explizit angegeben. Dies ist bei Mengen mit vielen Elementen und erstrecht bei unendlichen Mengen unmoglich. Man hilft sich dann durch die ”Punktchennotation“, beider einige Elemente angegeben werden. Aus den angegebenen Elementen und Informationen ausdem Zusammenhang muss bestimmt werden konnen, ob ein Ding Element der Menge ist oder nicht.

Bei der beschreibenden Darstellung werden die Eigenschaften, die die Elemente einer Mengehaben, durch ein Pradikat angegeben. Pradikate werden in der Regel durch ”halbformale“ Ausdruckeangegeben, die neben logischen (Teil-) Ausdrucken auch naturliche Sprachkomponenten enthalten.

Die ”klassische“ Cantorsche Mengendefinition kann zu Paradoxien fuhren, was durch die Rus-selsche Antinomie deutlich wird.

Die Sprache der Aussagenlogik besteht aus aussagenlogischen Ausdrucken (Formeln). Derensyntaktischer Aufbau kann durch rekursiv definierte Regeln festgelegt werden. Die Bedeutung derAusdrucke in Abhangigkeit einer Belegung ihrer Variablen kann durch einen Interpreter festgelegtwerden, der die belegten Formeln mithilfe einer abstrakten Maschine ausrechnet.

Die Bedeutung von aussagenlogischen Verknupfungen kann auch mithilfe von Wahrheitstafelnfestgelegt werden.

Formeln bzw. Formelmengen heißen erfullbar, wenn sie mindestens eine wahre Interpretationbesitzen. Solche Interpretationen heißen Modelle fur die Formeln bzw. Formelmengen.

Fur das Beweisen von Behauptungen in Mathematik und Informatik sowie fur das Ableiten vonWissen aus Wissensbasen (Expertensysteme, Wissensmanagementsysteme) sind Schlussfolgerungs-mechanismen von Bedeutung. Eine Formel kann aus einer Formelmenge logisch gefolgert werden,wenn alle Modelle der Formelmenge auch Modelle der Formel sind.

Durch Implikationen, das sind immer wahre Subjunktionen, ist ein weiterer semantischer Fol-gerungsbegriff gegeben. Die logische Folgerung und die Implikation sind semantische Folgerungsbe-griffe, weil die Folgerung auf Interpretationen bzw. auf Wahrheitstafeln beruht, d.h. die Belegungen

73

74 KAPITEL 7. ZUSAMMENFASSUNG UND UBUNGEN

der Formelmengen und Formeln werden betrachtet.Bei syntaktischen Folgerungsbegriffen wird fur moglichst wenige (und ”kleine“) Schlussfolge-

rungen deren Gultigkeit gezeigt. Die Ableitung von Formeln aus Formelmengen geschieht dann,in dem Regeln eines Kalkuls angewendet werden. Der Kalkul beschreibt, welche Formeln in einerFormelmenge durch welche Formeln ersetzt werden konnen und zwar rein als Texte (”syntaktisch“),d.h. ohne dass Interpretationen oder Wahrheitstafeln berechnet werden mussen.

Wichtigste Anforderungen an einen Kalkul sind Korrektheit und Vollstandigkeit. Korrektheitfordert, dass jede aus einer Formelmenge mit dem Kalkul ableitbare Formel auch eine logische Fol-gerung dieser Formelmenge ist. Vollstandigkeit bedeutet, dass jede logisch ableitbare Formel auchmit dem Kalkul abgeleitet werden kann. Ein korrekter und vollstandiger Kalkul ist der Resoluti-onskalkul.

Es gibt 22n n-stellige logische Verknupfungen, d.h. 16 zweistellige. Zwei Formeln bzw. Formel-mengen heißen aquivalent, wenn alle ihre Interpretationen (bei identischen Belegungen gemeinsamerVariablen) denselben Wert haben. Man kann Formeln in aquivalente Formeln transformieren, dienur Verknupfungen einer aussagenlogischen Basis enthalten. Aussagenlogische Basen fur zweistelli-ge Verknupfungen, mit deren Operationen jeweils alle anderen Verknupfungen ausgedruckt werdenkonnen, sind z.B. die Boolesche Basis ¬,∨,∧, die De Morgan-Basen ¬,∨ und ¬,∧, dieFrege-Basis ¬,→, die NOR-Basis ↓ und die NAND-Basis ↑ . So lasst sich jede Formel indisjunktiver Normalform (Disjunktion von Konjunktionen) und in konjunktiver Normalform (Kon-junktion von Disjunktionen) darstellen.

Aussagenlogische Ausdrucke bestehen aus Konstanten und Variablen, die mit aussagenlogischenOperationen miteinander verknupft werden konnen. Damit konnen aber nur sehr einfache Pradi-kate formuliert werden. Um auch Aussagen uber Mengen und Beziehungen zwischen Elementenvon Mengen auszudrucken, benotigt man weitere sprachliche Mittel wie weitere Konstanten sowieQuantoren, Funktionen und Relationen. Pradikatenlogische Ausdrucke werden – zusammen mitnaturlichsprachlichen Formulierungen – verwendet, um beschreibende Darstellungen von Mengenanzugeben; so z.B. auch fur die Definition der Teilmengenbeziehung und der Mengenverknupfun-gen. Eigenschaften dieser Begriffe ergeben sich dann aus den entsprechenden Eigenschaften derdefinierenden Pradikate.

Eine mathematische Behauptung α ⇒ β mit der Voraussetzung α und der Behauptung β isteine logische Schlussfolgerung, die bewiesen, d.h. deren Gultigkeit gezeigt werden muss. Aufgrundvon lgischen Aquivalenzen kann der direkte Beweis von α⇒ β auch mit anderen Methoden gezeigtwerden wie indirekter Beweis und Widerspruchsbeweis. Eine Aquivalenz von mehreren Formelnkann durch einen Ringschluss gezeigt werden.

Da die Verknupfungen von Mengen mithilfe von logischen Pradikaten definiert werden, ist esnicht verwunderlich, dass logische Verknupfungen von Aussagen und Verknupfungen von Teilmen-gen einer Menge analoge Eigenschaften erfullen, wie z.B. Kommutativitat, Assoziativitat und Dis-tributivitat sowie die Existenz von ausgezeichneten Elementen wie die Menge selbst und die leereMenge bzw. die logische 1 und die logische 0. Es stellt sich heraus, dass die Rechenstruktur derPotenzmenge einer Menge mit den Mengenverknupfungen Vereinigung, Durchschnitt und Komple-ment quasi dieselbe ist wie aussagenlogischen Formeln, welche mit der Booleschen Basis gebildetwerden. Eine Abstraktion fur solche Rechenstrukturen stellt die Boolesche Algebra dar. Die Po-tenzmenge einer n-elementigen Menge ist z.B. ein Prototyp fur eine endliche Boolesche Algebra.Daraus folgt, dass endliche Boolesche Algebren immer genau 2n Elemente besitzen.

7.2. UBUNGEN 75

7.2 Ubungen

1. Geben Sie folgende Mengen in beschreibender Form an:

(1) M1 = 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 ,(2) M2 = 4, 9, 25, 49, 121, . . . ,(3) M3 = 1, 8, 27, 64 ,(4) U = 1, 3, 5, 7, . . . ,(5) G− = −2,−4,−6, . . . .

2. Geben Sie folgende Mengen in aufzahlender Form an:

(1) die Menge M1 aller ganzen Zahlen, die Kubikzahlen von ganzen Zahlen und kleiner als100 sind,

(2) die Menge M2 aller ganzen Zahlen zwischen 10 und 50, die durch 3 aber nicht durch 4teilbar sind,

(3) die Menge M3 = x |x =√y und 0 ≤ y ≤ 100 und x ∈ N ,

(4) die Menge M4 = x | 24x ∈ N0 ,

(5) die Menge M5 = x |x = 2 und x = 4 ,(6) die Menge M6 = x |x = 2 oder x ∈ 1, 2, 3 .

3. Seien K und M irgendwelche Mengen sowie A = 3, 4, 5, 6 und B = 5, 6 .

(1) Setzen Sie eines oder mehrere der Symbole ∈, /∈,⊆, 6⊆ richtig ein: (a) M . . .M , (b)∅ . . . 0 , (c) K . . . 1, 2 , K , (d) 1 . . . 1, 2 ,K .

(2) Welche der folgenden Aussagen sind wahr: (a) 3, 4 ⊆ A, (b) ∅ ∈ A, (c) ∅ ⊆ A, (d)B ⊆ A, (e) B ∈ A, (f) 6 ∈ A, (g) 6 ⊆ A?

4. Beweisen Sie Folgerung 2.1 auf Seite 19!

5. Zeigen Sie die Allgemeingultigkeit der Formel (α→ β)→ (¬β → ¬α) fur α, β ∈ A!

6. Zeigen Sie, dass die Bauernregel ”Wenn der Hahn kraht auf dem Mist, dann andert sich dasWetter oder es bleibt, wie es ist eine Tautologie ist!

7. Beweisen Sie Beispiel 2.5 a- c) auf Seite 21!

8. Beweisen Sie Beispiel 2.7 a - c) auf Seite 23!

9. Beweisen Sie Satz 2.4, d.h. die in Tabelle 2.4 auf Seite 27 aufgelisteten Aquivalenzen!

10. Beweisen Sie Satz 2.5 auf Seite 26!


12. Zeigen Sie, dass ↓ eine aussagenlogische Basis bildet!

13. Zeigen Sie, dass ↑ eine aussagenlogische Basis bildet!


14. Prufen Sie mit Hilfe der Resolutionsmethode, ob die aussagenlogische Formel

α = (((p→ q) ∧ (q → r) ∧ (r → p) ∧ (p ∨ q ∨ r))→ (p ∧ q ∧ r))

erfullbar ist oder nicht!

15. Berechnen Sie R∗(Mα) fur α = (p ∨ ¬β) ∧ (¬p ∨ β)!

16. Prasident I weiß:

(i) ”Wenn Professor W eine Vorlesung halt, dann kommen viele Studierende, falls keinschones Wetter ist.“

(ii) ”Wenn Professor W eine Vorlesung halt, dann ist schlechtes Wetter.“

(iii) I vermutet, dass die Aussage ”Wenn Professor W eine Vorlesung halt, dann kommenviele Studierende.“ zutrifft.

Konnen Sie bestatigen, dass die Vermutung von Prasident I zutrifft?

Gehen Sie wie folgt vor:

0) Benutzen Sie die Variablen P , S und W fur die Aussagen

– P : ”Professor W halt eine Vorlesung.“– S: ”Viele Studierende kommen.“– W : ”Es ist schones Wetter.“

a) Formulieren Sie die Aussagen (i) - (iii) durch geeignete aussagenlogische Verknupfungendieser Variablen!

b) Transformieren Sie diese Verknupfungen in Disjunktionen!

c) Geben Sie eine Klauselmenge an, die die Vermutung von Prasident I beschreibt!

d) Wenden Sie das Resolutionsverfahren an und beantworten Sie mithilfe des Ergebnissesdie Frage, ob die Vermutung von Prasident I zutrifft.

17. Ist die Formel

α = (((p→ q) ∧ (q → r) ∧ (r → p) ∧ (p ∨ q ∨ r) ∧ (¬p ∨ ¬q ∨ ¬r))

erfullbar?

18. Beweisen Sie: a, b ∈ R+ ⇒ (a+b)2

4 ≥ a · b!

19. Beweisen Sie: a, b ∈ R+ ⇒ a+b2 ≥

√ab!

20. Beweisen Sie durch direkten sowie durch Widerspruchsbeweis, dass das Produkt zweier unge-rader Zahlen wieder ungerade ist: x, y ∈ U+ ⇒ xy ∈ U+!

21. Beweisen Sie: Fur jede Menge A gilt: A ⊆ A (siehe Folgerung 1.8)!

22. Bestimmen Sie P(∅) sowie P(P(∅))!

7.2. UBUNGEN 77

23. Fur welche Mengen M gilt M ∈ P(M) und M ⊆ P(M)?


25. Zeigen Sie, dass die Mengendifferenz im Allgemeinen keine kommutative Verknupfung ist! Furwelche Mengen A und B gilt A−B = B −A?



Teil II

Relationen und Funktionen

79

81

Relationen und Funktionen als spezielle Relationen spielen in der Informatik eine sehr wich-tige Rolle. Relationen setzen Werte aus verschiedenen Mengen in Beziehung. Betrachten wir zurEinfuhrung eine kleine relationale Datenbank. Diese soll Daten uber Studierende und uber Profes-sorinnen und Professoren enthalten.

Fur die Datenbank sollen bei den Studierenden die Merkmale Matrikelnummer, Name, Wohnortund Studienfach, und fur die Professorinnen und Professoren sollen die Merkmale Name, Fachbe-reich, Raum und Telefonnummer gespeichert werden. Außerdem soll festgehalten werden, welcheStudierende bei welchen Professorinnen oder Professoren in welchem Semester welche Vorlesungmit welchen Prufungsergebnissen gehort haben.

Diese Anwendung konnen wir durch drei Beziehungen modellieren:

1. Die Relation Studis setzt fur jeden Studierenden die entsprechenden Werte der oben genanntenMerkmale in Beziehung. Wir konnen diese wie folgt als Tabelle darstellen:

Studis Matr Name Wohnort Studienfach123456 Schmitz Bonn Informatik790123 Muller Berlin Mathematik456789 Meier Dresden Mathematik...

......

...

2. Die Relation Profs setzt fur jede Professorin und jeden Professor die entsprechenden Werteihrer oben genannten Merkmale in Beziehung. Folgende Tabelle zeigt mogliche Daten:

Profs Name Fachbereich Raum TelefonEinstein Physik C 123 4567Noether Mathematik A 890 1234Codd Informatik B 567 8901...

......

...

3. Die Relation hort bei setzt Studierende und Professorinnen oder Professoren mit entspre-chenden Werten der oben dafur genannten Merkmale in Beziehung. Folgende Tabelle zeigtmogliche Daten:

hort bei Studi Prof Semester Vorlesung Ergebnis123456 Codd WS 00/01 Datenbanken 2,0790123 Noether SS 00 Verbandstheorie 1,0456789 Einstein WS00/01 Math. Physik I 3,0...

......

......

Den Merkmalen sind Wertebereiche zugeordnet, und eine Relation setzt Kombinationen von Wertenden Merkmalen entsprechender Wertebereiche in Beziehung. Im Beispiel ist dem Merkmal Matr alsWertebereich die Menge sechsstelliger Ziffernfolgen zugeordnet, Name, Wohnort und Studienfachsind jeweils Zeichenketten als Werte zugeordnet. Die Relation Studis setzt Kombinationen vonWerten dieser Wertebereiche in Beziehung, jede Zeile der obigen Tabelle Studis ist eine solcheKombination. Tabellen sind eine Moglichkeit zur Darstellung von Relationen.

82

Fur die beiden anderen Tabellen bzw. Relationen gilt Entsprechendes. Zur Tabelle hort bei seibemerkt, dass Werte des Merkmals Studi Werte sind, die als Werte des Merkmals Matr in der TabelleStudis vorkommen und dass Werte des Merkmals Prof Werte sind, die als Werte des Merkmals Namein der Tabelle Profs vorkommen. Bedingung dafur ist, dass Matr ein identifizierendes Merkmalsfur Studis und Name ein identifizierendes Merkmals fur Profs ist. Matr und Name heißen auchSchlusselmerkmale fur Studis bzw. fur Profs. Studi und Prof heißen Fremdschlussel in hort bei.

Der Entwurf, die Implementierung und die Anwendung relationaler Datenbanksysteme basierenauf soliden mathematischen Grundlagen. Relationale Datenbanksystem-Technologien sind heutzu-tage die weltweit am verbreitesten eingesetzten Technologien zur Speicherung und Verwaltung vonDaten.

Funktionen sind eindeutige Relationen in dem Sinne, dass ein Element einer Menge mit hochstenseinem Element einer anderen Menge in Beziehung stehen darf. Funktionale Beziehungen treten beivielen Phanomenen in Natur- und Ingenieurwissenschaften auf, sie sind ein wichtiges Hilfsmittel zuderen Modellierung und Analyse.

In diesem Teil II fuhren wir die Begriffe Relation und Funktion sowie ihre grundlegenden Ei-genschaften ein. Sie sind elementare und wesentliche Begriffe in vielen Modulen der Informatik-Studiengange.

Kapitel 8

Relationen

Relationen sind ein wichtiges Hilfsmittel um Beziehungen zwischen Elementen von Mengen aus-zudrucken. So kann man, wie z.B. in der Einleitung von Teil II angedeutet, den Entwurf und dieImplementierung von Datenbanken mithilfe von Relationen realisieren. Weitere Beispiele fur dieVerwendung des Relationsbegriffs in der Informatik sind: das Ableiten von Formelmengen mithilfevon Kalkulen (siehe Kapitel 2.5 und 2.8), die Ableitung von Wortern mithilfe von Grammatiken,die Konfigurationsubergange von Automaten beim Abarbeiten von Worten, die Ausfuhrung vonProgrammen auf (abstrakten) Maschinen.

In diesem Kapıtel werden grundlegende Begriffe und Eigenschaften fur Relationen vorgestellt.Nach dem Durcharbeiten des Kapitels sollten Sie Lernziele

• die Begriffe kartesisches Produkt und Relation kennen sowie die Eigenschaften Reflexivitat,Symmetrie, Antisymmetrie und Transitivitat erklaren konnen,

• den Begriff der Ordnung kennen und nachweisen konnen, ob eine Relation eine Ordnung ist,

• erklaren konnen, was totale und was dichte Ordnung bedeutet,

• den Begriff der Aquivalenzrelation kennen und nachweisen konnen, ob eine Relation eine Aqui-valenzrelation ist, und gegebenenfalls die Aquivalenzklassen der Relation bestimmen konnen,

• wissen, was der Begriff Partitionierung bedeutet und dessen Zusammenhang zu Aquivalenz-relationen verstehen,

• die Begriffe Umkehrrelation und Komposition von Relationen kennen,

• wissen, was die reflexiv-transitive bzw. die transitive Hulle einer Relation ist.

8.1 Kartesisches Produkt

Zunachst definieren wir als weitere Mengenverknupfung das kartesische Produkt.

Definition 8.1. Fur n Mengen A1, . . . , An, n ≥ 0, heißt die Menge

A1 × . . .×An = (x1, . . . , xn) | xi ∈ Ai, 1 ≤ i ≤ n

83

84 KAPITEL 8. RELATIONEN

n-stelliges kartesisches Produkt von A1, . . . , An. Anstelle von A1 × . . . × An schreiben wir auch KartesischesProdukt×ni=1Ai.

Falls Ai = ∅ fur mindestens ein i, 1 ≤ i ≤ n, ist, dann ist ×ni=1Ai = ∅.(x1, . . . , xn) heißt n-Tupel, fur n = 2 sprechen wir von Paaren, fur n = 3 von Tripeln und furn-Tupel

Paar, TripelQuadrupelQuintupel

n = 4 oder n = 5 auch von Quadrupeln bzw. von Quintupeln.xi, 1 ≤ i ≤ n, heißt die i-te Komponente von (x1, . . . , xn). 2

i-te Kompo-nente

Tupel entsprechen den Zeilen in den Tabellen in der Einleitung zu Teil II, welche die Relationenunserer ”Hochschuldatenbank“ darstellen.

Beispiel 8.1. Fur die Mengen A = 1, 2 , B = a, b, c und C = 2, 3 ist

A×B = (1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)

und

A×B × C = (1, a, 2), (1, a, 3), (1, b, 2), (1, b, 3), (1, c, 2), (1, c, 3),(2, a, 2), (2, a, 3), (2, b, 2), (2, b, 3), (2, c, 2), (2, c, 3)

Folgerung 8.1. Ist |Ai| = mi, 1 ≤ i ≤ n, n ≥ 0, dann gilt

|A1 × . . .×An| = m1 · . . . ·mn

2

Sind alle Ai identisch, d.h. Ai = Ai+1, 1 ≤ i ≤ n− 1, n ≥ 1, dann heißt

A1 × . . .×An = A× . . .×A︸︷︷︸n−mal

n-faches kartesisches Produkt von A. Abkurzend benutzen wir dafur auch die Potenzschreibweise:An. Es gilt dann A1 = A. Das n-fache kartesische Produkt von A konnen wir auch wie folgt rekursivdefinieren:

A1 = A

An+1 = An ×A, n ≥ 1

Ist |A| = m, dann ist |An| = mn.1

8.2 Relation

Ein n-stelliges kartesisches Produkt setzt alle Elemente der zugrunde liegenden Mengen miteinanderin Beziehung. Sollen nur bestimmte Elemente der zugrunde liegenden Mengen in Beziehung gesetztwerden, wie etwa bei der ”Hochschul-Datenbank“ in der Einleitung von Teil II, dann sprechen wirvon Relationen.

Jede Teilmenge R ⊆ A1 × . . .×An heißt n-stellige Relation uber A1, . . . , An. 2

1Nku bedeutet gemaß den Vereinbarungen von Kapitel 1.3 uber die Notation von Zahlenmemgen die Menge der

naturlichen Zahlen von u bis k. Nach der hier getroffenen Vereinbarung kann damit auch das k-fache kartesicheProdukt der Menge Nu der naturlichen Zahlen großer gleich u gemeint sein. Im Folgenden wird jeweils aus demZusammenhang klar, welche dieser beiden Bedeutungen fur Nk

u gemeint ist.

8.2. RELATION 85

Beispiel 8.2. Es sei A = −3,−2,−1, 0, 1, 2, 3 .

a) Fur die Relation R1 = (x, y) ∈ A×A | x · y > 2 gilt

R1 = (−3,−3), (−3,−2), (−3,−1), (−2,−3), (−2,−2), (−1,−3),(1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)

b) Fur die Relation R2 = (x, y, z) ∈ A3 |x+ y = z gilt

R2 = (−3, 0,−3), (−3, 1,−2), (−3, 2,−1), (−3.3, 0),(−2,−1,−3), . . . , (−2, 3, 1),(−1,−2,−3), . . . , (−1, 3, 2),(0,−3,−3), . . . , (0, 3, 3),(1,−3,−2), . . . , (1, 2, 3),(2,−3,−1), . . . , (2, 1, 3),(3,−3, 0), . . . , (3, 0, 3)

2

Endliche zweistellige Relationen R ⊆ A×B lassen sich auch als Boolesche Matrizen darstellen:Die Zeilen werden mit den Elementen aus A gekennzeichnet, die Spalten mit den Elementen aus B.Ist A = a1, . . . , am und B = b1, . . . , bn, dann tragen wir am Kreuzungspunkt der Zeile i undder Spalte j genau dann eine 1 ein, falls (ai, bj) ∈ R ist, ansonsten tragen wir dort 0 ein.

Die Relation R1 aus dem obigen Beispiel kann also durch folgende Matrix dargestellt werden:

x\y −3 −2 −1 0 1 2 3−3 1 1 1 0 0 0 0−2 1 1 0 0 0 0 0−1 1 0 0 0 0 0 0−0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 12 0 0 0 0 0 1 13 0 0 0 0 1 1 1

Bei zweistelligen Relationen R ⊆ A × B wollen wir die Tatsache, dass ein Paar (x, y) ∈ A × Bzu R gehort (”in der Beziehung R steht“) ausdrucken, indem wir die normale Elementschreibweise(x, y) ∈ R, die Prafixschreibweise R(x, y) oder die Infixschreibweise xRy verwenden.

Bei einer zweistelligen RelationR ⊆ A×B nennen wirA die Ausgangsmenge undB die Zielmenge Ausgngsmenge

Zielmengevon R. Ist A = B, dann heißt A die Grundmenge von R.GrundmengeIst R = ∅, dann heißt R Nullrelation. Ist R = A× B, dann heißt R vollstandig. Ist R ⊆ A× ANullrelation

VollstandigeRelation

mit R = (x, x) | x ∈ A , dann ist R die identische Relation uber A, diese wird in der Regel mit

IdentischeRelation

idA bezeichnet.

Im Folgenden betrachten wir Eigenschaften zweistelliger Relationen uber einer Grundmenge A.Dabei kann A selbst strukturiert sein, etwa ein kartesisches Produkt A = A1 × . . .×Ak sein.

Definition 8.2. Sei R ⊆ A×A eine zweistellige Relation uber der Grundmenge A. Dann heißt R

a) reflexiv genau dann, wenn xRx fur alle x ∈ A gilt. Bei einer reflexiven Relation muss also jedes Reflexivitat


Element der Grundmenge mit sich selber in Relation stehen.

b) irreflexiv genau dann, wenn R nicht reflexiv ist. Irreflexivitat

c) symmetrisch genau dann, wenn gilt: xRy ⇒ yRx. Eine Relation ist symmetrisch, wenn gilt:Symmetrie

Steht x mit y in Relation, dann muss auch y mit x in der Relation stehen.

d) asymmetrisch genau dann, wenn gilt: Ist xRy, dann ¬yRx.Asymmetrie

e) antisymmetrisch genau dann, wenn gilt: xRy∧yRx⇒ x = y. Eine Relation ist antisymmetrisch,Anti-symmetrie wenn gilt: Steht x mit y in Relation und y mit x, dann muss notwenidgerweise x = y sein.

f) transitiv genau dann, wenn gilt: xRy∧yRz ⇒ xRz. Eine Relation ist transitiv, wenn gilt: StehenTransitivitat

x mit y und y mit z in Relation, dann steht auch ist x mit z in Relation.

g) linkseindeutig oder injektiv genau dann, wenn gilt: Ist x1Ry1, x2Ry2 und x1 6= x2, dann mussInjektivitat

y1 6= y2 gelten.

h) rechtseindeutig genau dann, wenn gilt: Ist x1Ry1, x2Ry2 und y1 6= y2, dann muss x1 6= x2Rechts-eindeutigeRelation

gelten. Rechtseindeutige Relationen werden in der Regel Funktionen genannt. Funktionen werden

Funktionim Allgemeinen mit den Buchstaben f , g und h bezeichnet, und anstelle f ⊆ A×A wird f : A→ Ageschrieben sowie anstelle von xfy wird f(x) = y notiert.

i) linkstotal oder total genau dann, wenn gilt: Fur alle x ∈ A existiert ein y ∈ A mit xRy.TotaleRelation

k) rechtstotal oder surjektiv genau dann, wenn gilt: Fur alle y ∈ A existiert ein x ∈ A mit xRy.Surjektivitat

l) bijektiv genau dann, wenn R total, injektiv, rechtseindeutig und surjektiv ist. Eine Bijektion istBijektivitat

eine eineindeutige Zuordnung zwischen den Elementen von Ausgangs- und Zielmenge.

Die Definitionen g) – l) gelten analog auch fur Relationen R ⊆ A×B, d.h. fur Relationen, bei denenAusgangs- und Zielmenge verschieden sind. 2

Ubung 8.1. Sei R ⊆ A×A. Zeigen Sie das Folgendes gilt:

(1) R ist antisymmetrisch genau dann, wenn gilt: Ist xRy und x 6= y, dann gilt ¬yRx.

(2) R ist injektiv genau dann, wenn gilt: Ist x1Ry und x2Ry, dann ist x1 = x2, d.h. verschiedeneElemente der Ausgangsmenge konnen nicht mit demselben Element der Zielmenge in Relationstehen.

(3) R ist rechtseindeutig genau dann, wenn gilt: Ist xRy1 und xRy2, dann ist y1 = y2. Ein Elementder Ausgangsmenge kann hochstens mit einem Element der Zielmenge in Relation stehen. 2

Beispiel 8.3. Wir definieren die Relation ≤⊆ N0 × N0 durch

x ≤ y genau dann, wenn es ein c ∈ N0 gibt, so dass x+ c = y

Es gilt z.B. 3 ≤ 5, denn es gibt ein c = 2, so dass 3 + 2 = 5.

≤ ist eine reflexive Relation, denn fur jedes x ∈ N0 gibt es c = 0, so dass x+ 0 = x ist, d.h. fur allex ∈ N0 gilt x ≤ x.

≤ ist nicht symmetrisch, denn es gilt z.B. 3 ≤ 5, aber nicht 5 ≤ 3.

≤ ist antisymmetrisch: Sei x ≤ y und y ≤ x, d.h. es gibt ein cx ∈ N0 mit x+ cx = y, und es gibt eincy ∈ N0 mit y + cy = x. Aus den beiden Gleichungen folgt x+ cx + cy = x und daraus cx + cy = 0.

8.3. ORDNUNGEN 87

Da cx, cy ∈ N0, kann cx + cy = 0 nur gelten, wenn cx = cy = 0 gilt. Das bedeutet aber, dass x = yist.

≤ ist transitiv: Sei x ≤ y und y ≤ z. Wir mussen zeigen, dass dann auch x ≤ z gilt. Da x ≤ y ist,gibt es ein cx ∈ N0 mit x + cx = y, und da y ≤ z ist, gibt es ein cy ∈ N0 mit y + cy = z. Hierausfolgt unmittelbar, dass es ein cz = cx + cy gibt mit x+ cz = z, d.h. es gilt x ≤ z. 2

Ubung 8.2. Sei D die Menge der Worter der deutschen Sprache. Die Relation α ⊆ D × D seidefiniert durch: xαy genau dann, wenn x und y denselben Anfangsbuchstaben haben. UberlegenSie, dass α eine reflexive, symmetrische und transitive Relation ist! 2

8.3 Ordnungen

Definition 8.3. Eine Relation R ⊆ A × A heißt Ordnung uber A genau dann, wenn R reflexiv, Ordnung

antisymmetrisch und transitiv ist. 2

Beispiel 8.4. a) Die Relation ≤ aus dem Beispiel 8.3 ist eine Ordnung uber N0.

b) Sei M = a, b, c und S ⊆ P(M)× P(M) definiert durch

xSy genau dann, wenn x ⊆ y

Die Teilmenge x ⊆ M steht also in Relation S zur Teilmenge y ⊆ M , falls x eine Teilmenge vonyist.

S ist eine Ordnung uber P(M), denn S ist reflexiv, antisymmetrisch und transitiv:

S ist reflexiv, denn jede Menge ist Teilmenge von sich selbst (siehe Folgerung 5.1 b) auf Seite 60),und damit gilt x ⊆ x fur jedes x ∈ P(M) und damit xSx fur jedes x ∈ P(M).

S ist antisymmetrisch: Gilt xSy und ySx, d.h. x ⊆ y und y ⊆ x, dann gilt (siehe Definition 5.1 b)auf Seite 60) x = y.

S ist transitiv: Sei xSy und ySz, dann muss auch xSz gelten. xSy bedeutet x ⊆ y und ySz bedeutety ⊆ z. Hieraus folgt (siehe Folgerung 5.1 c) auf Seite 60), dass x ⊆ z und damit xSz. 2

Ist R eine partielle Ordnung uber A, dann schreibt man dafur auch (A,R) und nennt A einegeordnete Menge. Fur unsere bisherigen Beispiele 8.3 und 8.4 b) konnen wir also schreiben: (N0,≤) Geordnete

Mengebzw. (P( a, b, c ), S) oder fur Letzteres auch (P( a, b, c ),⊆)

Definition 8.4. Sei (A,R) eine Ordnung und x, y ∈ A.

a) Gilt xRy oder yRx, dann heißen x und y vergleichbar. Gilt ¬xRy und ¬yRx, dann heißen x undy unvergleichbar.

b) Sei B ⊆ A, B 6= ∅. x ∈ B heißt minimales Element von B, falls xRy fur alle y ∈ B gilt. x ∈ B MinimalesElementheißt maximales Element von B, falls yRx fur alle y ∈ B gilt.MaximalesElementc) K ⊆ A, K 6= ∅, heißt Kette genau dann, wenn fur alle x, y ∈ K gilt, dass x und y vergleichbarKettesind.

d) (A,R) heißt totale Ordnung oder auch lineare Ordnung (A,R) genau dann, wenn A eine Kette TotaleOrdnungbildet.

e) Eine totale Ordnung (A,R) heißt Wohlordnung genau dann, wenn falls jede Teilmenge K ∈ A, Wohlordnung

K 6= ∅, ein minimales Element besitzt. 2


Beispiel 8.5. a) Die Ordnung (N0,≤) ist total, denn fur zwei naturliche Zahlen x und y gilt x ≤ yoder y ≤ x. Diese Ordnung ist zudem eine Wohlordnung.

b) Wenn wir die Ordnung aus Beispiel 8.3 auf ganze Zahlen erweitern, dann bildet (Z,≤) eine totaleOrdnung, aber keine Wohlordnung, denn die Teilmenge der geraden Zahlen besitzt kein minimalesElement. Wenn wir die ganzen Zahlen aber anders ordnen, z.B. in der Reihenfolge

0, 1,−1, 2,−2, . . .

dann liegt eine Wohlordnung vor. Um diese formal zu beschreiben, verwenden wird die Bijektionϕ : Z→ N0 definiert durch

ϕ(x) =

2x, falls x ≥ 0−(2x+ 1), falls x < 0

(8.1)

und definierten die Relation ≤ Z× Z damit wie folgt:

x ≤ϕ y genau dann, wenn ϕ(x) ≤ ϕ(y)

Die Bijektion ϕ nimmt also eine eineindeutige Umbennenung der ganzen Zahlen durch naturlicheZahlen vor und ubertragt quasi die Relation ≤ von den naturlichen Zahlen auf die ganzen Zahlen.Damit bildet (Z,≤ϕ) eine Wohlordnung.

c) Die Ordnung (P( a, b, c ),⊆) ist nicht total, denn es gibt Teilmengen von a, b, c , die nicht inBeziehung zueinander stehen. Es gilt z.B. weder a, b ⊆ b, c noch b, c ⊆ a, b . 2

Ubung 8.3. (1) Uberlegen Sie, fur welche Mengen M die Ordnung (P(M),⊆) total ist!

(2) Beweisen Sie, dass die in (8.1) definierte Relation tatsachlich eine Bijektion ist! 2

Da die ≤-Relation auf allen Zahlenmengen eine totale Ordnung festlegt, gilt sie als Prototypfur totale Ordnungen. Deshalb benutzt man das Symbol ≤ auch allgemein als Symbol fur totaleOrdnungen. Wird also (A,≤) fur irgendeine Menge A notiert, soll dies bedeuten, dass eine totalgeordnete Menge A vorliegt. Wenn wir im Folgenden von Ordnungen oder geordneten Mengensprechen, sind totale Ordnungen bzw. total geordnete Mengen gemeint.

Definition 8.5. Sei (A,≤) eine Ordnung. A heißt dicht bezuglich ≤ genau dann, wenn fur alleDichteMenge x, y ∈ A mit x 6= y und x ≤ y ein z ∈ A existiert mit z 6= x, z 6= y und x ≤ z ≤ y. 2

Eine geordnete Menge ist also dicht, falls zwischen zwei Elementen dieser Menge immer nochein drittes liegt.

Beispiel 8.6. a) (N0,≤) und (Z,≤) sind nicht dicht, denn zwischen zwei benachbarten naturlichen(ganzen) Zahlen x und y = x+ 1 liegt keine weitere naturliche (ganze) Zahl.

b) Die Menge der rationalen Zahlen (Bruche) (Q,≤) ist dicht. Betrachten wir z.B. a, b ∈ Q mita ≤ b und a 6= b, dann ist auch

1. a+b2 ∈ Q,

2. a 6= a+b2 und b 6= a+b

2 und

8.4. AQUIVALENZRELATIONEN 89

3. a = a+a2 ≤ a+b

2 ≤b+b

2 = b.

Zwischen zwei rationalen Zahlen a und b existiert also immer eine weitere rationale Zahl, z.B. dieZahl a+b

2 . 2

Ubung 8.4. Uberlegen Sie, dass in einer dichten Menge A zwischen zwei verschiedenen Elementena, b ∈ A unendlich von a und b verschiedene Elemente liegen!

8.4 Aquivalenzrelationen

Definition 8.6. Eine Relation R ⊆ A × A heißt Aquivalenzrelation uber A genau dann, wenn R Aquivalenz-relationreflexiv, symmetrisch und transitiv ist. 2

Beispiel 8.7. a) Die Relation α in Ubung 8.2 ist eine Aquivalenzrelation.

b) Die Relation ≡3⊆ Z× Z sei definiert durch

x ≡3 y genau dann, wennx− y

3∈ Z

Die zwei ganzen Zahlen x und y stehen in der Relation ≡3 genau dann, wenn die Differenz x − ydurch 3 teilbar ist. Diese Relation ist eine Aquivalenzrelation, denn sie ist reflexiv, symmetrischund transitiv:

≡3 ist reflexiv: Fur alle x ∈ Z gilt x−x3 = 0 ∈ Z, also gilt x ≡3 x fur alle x ∈ Z und damit ist ≡3

reflexiv.

≡3 ist symmetrisch, denn es gilt:

x ≡3 y ⇒ x− y3∈ Z⇒ (−1) · x− y

3∈ Z⇒ y − x

3∈ Z⇒ y ≡3 x

≡3 ist transitiv, denn es gilt:

x ≡3 y ∧ y ≡3 z ⇒ x− y3∈ Z ∧ y − z

3∈ Z

⇒ x− y3

+y − z

3∈ Z

⇒ x− z3∈ Z

⇒ x ≡3 z

2

Definition 8.7. Sei R ⊆ A×A eine Aquivalenzrelation und x ∈ A. Dann heißt die Menge Aquivalenz-klasseReprasen-tantIndex

[x]R = y ∈ A | xRy

aller Elemente von A, mit denen x in der Beziehung R steht, Aquivalenzklasse von R. x heißtReprasentant der Aquivalenzklasse [x]R. Die Anzahl der Aquivalenzklassen von R heißt der Indexvon R. 2


Beispiel 8.8. a) Fur die Aquivalenzrelation α aus Ubung 8.2 gilt z.B.

[Boot]α = Boot,Buch,Ball, Badesalz, boxen, . . .

[Boot]α enthalt Worter, die mit B oder b beginnen: Alle diese Worter haben denselben Anfangsbuch-staben (abgesehen von Groß- und Kleinschreibung). Offensichtlich kann jedes Element von [Boot]αals Reprasentant dieser Aquivalenzklasse gewahlt werden, denn es gilt z.B. [Boot]α = [boxen]α.

Die Aquivalenzklassen von α werden durch die Anfangsbuchstaben bestimmt. Es gibt somit 26Aquivalenzklassen, der Index von α ist also 26.

b) Fur die Aquivalenzrelation ≡3 aus Beispiel 8.7 b) gilt:

[0]≡3= 0, 3,−3, 6,−6, . . . = x | x = 3y, y ∈ Z

[1]≡3= 1,−2, 4,−5, 7,−8, . . . = x | x = 3y + 1, y ∈ Z

[2]≡3= 2,−1, 5,−4, 8,−7, . . . = x | x = 3y + 2, y ∈ Z

[0]≡3enthalt die durch 3 teilbaren ganzen Zahlen, [1]≡3

enthalt die ganzen Zahlen, die bei Divisiondurch 3 den Rest 1 lassen, und [2]≡3

enthalt die ganzen Zahlen, die bei Division durch 3 den Rest2 lassen. Weitere Aquivalenzklassen gibt es nicht, denn bei Division durch 3 konnen nur drei Resteauftreten. Der Index von ≡3 ist also 3.

Auch in diesem Beispiel sieht man sofort, dass jedes Element einer Aquivalenzklasse als ihrReprasentant gewahlt werden kann.

Die Aquivalenzklassen von ≡3 heißen auch Restklassen modulo 3 von Z. 2Restklasse

Die Elemente einer Aquivalenzklasse sind aquivalent zueinander, d.h. sie sind durch die ”Brille“(den ”Filter“) der Aquivalenzrelation betrachtet ununterscheidbar. Die Relation α projiziert alleWorter der deutschen Sprachen nur auf den Anfangsbuchstaben. So gesehen gibt es nur 26 Worter.

Die Relation ≡3 betrachtet fur alle Zahlen nur die Reste, die bei Division durch 3 bleiben, alleZahlen mit demselben Rest werden zusammengefasst. So betrachtet gibt es nur 3 Zahlen: [0]≡3

, [1]≡3

und [2]≡3, die man jetzt der einfacheren Notation wegen auch wieder mit 0, 1 bzw. 2 bezeichnen

konnte.

Satz 8.1. Sei R ⊆ A×A eine Aquivalenzrelation. Dann gilt:

a) Fur alle x ∈ A ist [x]R 6= ∅, d.h. Aquivalenzklassen sind niemals leer.

b) Fur alle y ∈ [x]R gilt [x]R = [y]R, d.h. jede Aquivalenzklasse ist unabhangig von ihrem Re-prasentanten.

c) Falls (x, y) /∈ R, dann ist [x]R ∩ [y]R = ∅, d.h. die Aquivalenzklassen nicht in Relation stehenderReprasentanten sind disjunkt.

d) A =⋃x∈A [x]R, d.h. die Aquivalenzklassen bilden eine Uberdeckung von A.

Beweis: a) Wegen der Reflexivitat von R gilt xRx fur alle x ∈ A und damit x ∈ [x]R fur allex ∈ A.

8.5. UMKEHRRELATIONEN 91

b) Sei z ∈ [x]R, d.h. es ist xRz. Nach Voraussetzung ist y ∈ [x]R, also xRy, und damit, da R alsAuivalenzrelation symmetrisch ist, gilt auch yRx. Da R transitiv ist, folgt, da yRx und xRz gilt,dass auch yRz gilt, d.h. es gilt z ∈ [y]R. Wir haben gezeigt, dass gilt: z ∈ [x]R ⇒ z ∈ [y]R unddamit [x]R ⊆ [y]R.

Sei z ∈ [y]R, d.h. es ist yRz. Nach Voraussetzung ist y ∈ [x]R, also xRy. Da R transitiv ist, folgtxRz, d.h. es gilt z ∈ [x]R. Wir haben gezeigt, dass gilt: z ∈ [y]R ⇒ z ∈ [x]R und damit [y]R ⊆ [x]R.

Insgesamt folgt die Behauptung [x]R = [y]R.

c) Wir nehmen an, dass [x]R ∩ [y]R 6= ∅. Es gibt also mindestens ein z ∈ [x]R ∩ [y]R, d.h. es istz ∈ [x]R und z ∈ [y]R. Es folgt, dass xRz und yRz, und wegen Symmetrie von R gilt xRz und zRy,und wegen Transitivitat gilt dann xRy. Dies ist ein Widerspruch zur Voraussetzung (x, y) /∈ R,womit unsere Annahme falsch ist.

d) Sei z ∈ A, dann ist z ∈ [z]R und damit z ∈⋃x∈A [x]R. Also ist A ⊆

⋃x∈A [x]R.

Sei z ∈⋃x∈A [x]R. Dann gibt es ein x ∈ A mit z ∈ [x]R. Da [x]R ⊆ A fur jedes x ∈ A, folgt,

dass z ∈ A. Also gilt⋃x∈A [x]R ⊆ A

Insgesamt haben wir gezeigt: A =⋃x∈A [x]R. 2

Die Aussagen c) und d) des Satzes besagen, dass eine Aquivalenzrelation R uber der GrundmengeA eine Partition (siehe Definition 5.4 auf Seite 65) dieser Menge in die Aquivalenzklassen von Rinduziert. Die nachste Folgerung bsagt in ihren Aussagen a) und b), dass Aquivalenzrelationen undPartitionen aquivalente Zerlegungskonzepte sind.

Folgerung 8.2. a) Jede Aquivalenzrelation R ⊆ A×A legt eine Partition von A fest.

b) Jede Partition von A definiert eine Aquivalenzrelation auf A.

c) Die identische Relation idA ⊆ A × A definiert durch x idA y genau dann, wenn x = y, legt IdentischeRelationdie ”feinste“ Partition von A fest, denn jedes Element bildet genau eine Aquivalenzklasse: Es istFeinstePartiton

[x]R = x fur alle x ∈ A.

d) Die Relation R = A × A legt die ”grobste“ Partition auf A fest, denn es gibt genau eine GrobstePartitonAquivalenzklasse: Es ist [x]R = A fur alle x ∈ A. 2


Beispiel 8.9. a) Die Relation α aus Beispiel 5.4 b) auf Seite 65 partitioniert die Menge D derWorter der deutschen Sprache in 26 disjunkte Wortermengen nach dem ersten Buchstaben, wie esin der Regel in Worterbuchern vorzufinden ist (siehe auch Beispiel 8.8 a) auf Seite 90).

b) Die Aquivalenzklassen [0]≡3, [1]≡3

und [2]≡3der Relation ≡3 (siehe auch Beispiele 8.7 b) auf

Seite 89 bzw. 8.8 b) auf Seite 90) sind disjunkt, und sie uberdecken die Grundmenge Z:

Z = [0]≡3∪ [1]≡3

∪ [2]≡3

2

8.5 Umkehrrelationen

Definition 8.8. Seien A und B zwei Mengen. Fur die Relation R ⊆ A × B heißt die Relation Umkehrrelation


R−1 ⊆ B ×A definiert durchyR−1x genau dann, wenn xRy

die Umkehrrelation zu R. 2

Folgerung 8.3. a) Die Umkehrrelation R−1 zu einer Relation R ⊆ A × B enthalt genau die

”umgedrehten“ Paare von R:

R−1 = (y, x) ∈ B ×A | (x, y) ∈ R

b) IstR eine Aquivalenzrelation uber der Grundmenge A, dann ist auchR−1 eine Aquivalenzrelationuber A. 2

c) Ist R ⊆ A×A eine Aquivalenzrelation, dann gilt R = R−1.

Ubung 8.6. Beweisen Sie diese Folgerungen! 2

8.6 Komposition von Relationen

Definition 8.9. Seien A, B und C Mengen sowie R1 ⊆ A×B und R2 ⊆ B ×C Relationen. DannKomposition

heißt die Relation R2 R1 ⊆ A× C definiert durch

R2 R1 = (x, z) ∈ A× C | ∃y ∈ B : xR1y ∧ yR2z

die Komposition von R1 und R2. 2

Beispiel 8.10. Es seien die Relationen R1, R2 ⊆ N × N definiert durch xR1y genau dann, wenny = 2x, sowie xR2y genau dann, wenn y = 3x, gegeben. Es gilt also

R1 = (1, 2), (2, 4), (3, 6), . . . R2 = (1, 3), (2, 6), (3, 9), . . .

Die Komposition von R1 und R2 ergibt

R2 R1 = (1, 6), (2, 12), (3, 18), . . .

d.h. xR2 R1y genau dann, wenn y = 6x. Es gilt namlich aR2 R1b genau dann, wenn es ein c gibtmit aR1c und cR2b, d.h. wenn es ein c gibt mit c = 2a bzw. mit b = 3c, und hieraus folgt, dassb = 6a ist. 2

Der folgende Satz begrundet die Berechtigung des Begriffes ”Umkehrrelation“.

Satz 8.2. Seien A und B Mengen und R ⊆ A×B. Dann gilt

R−1 R = idA

R R−1 = idB


Der folgende Satz besagt, wie die Umkehrung einer Kompositon von Relationen berechnet wird.

8.7. REFLEXIV-TRANSITIVE HULLEN 93

Satz 8.3. Seien A, B und C Mengen sowie R ⊆ A×B und S ⊆ B × C. Dann gilt:

(S R)−1 = R−1 S−1


8.7 Reflexiv-transitive Hullen

Wir betrachten jetzt fortgesetzte Kompositionen einer Relation R ⊆ A×A.

Definition 8.10. Sei A eine Menge und R ⊆ A×A eine zweistellige Relation uber A. Fur R setzenwir fest:

(i) R0 = idA = (x, x) |x ∈ A

(ii) R1 = R

(iii) Rn = Rn−1 R, n ≥ 1

(iv) R∗ = R0 ∪R1 ∪R2 ∪ . . . =⋃i≥0R

i

(v) R+ = R∗ −R0

R∗ heißt die reflexiv-transitive Hulle von R, und R+ ist die transitive Hulle von R. 2 Reflexiv-transitiveHulle

TransitiveHulle

Beispiel 8.11. Sei R ⊆ N× N definiert durch: xRy genau dann, wenn y = 2x. Es gilt

(i) R0 = (1, 1), (2, 2), (3, 3), . . . = (x, y) | x = y

(ii) R1 = R = (1, 2), (2, 4), (3, 6), . . . = (x, y) | y = 2x

(iii) Fortgesetzte Komposition von R:

R2 = R R = (1, 4), (2, 8), (3, 12), . . . = (x, y) | y = 4x R3 = R2 R = (1, 8), (2, 16), (3, 24), . . . = (x, y) | y = 8x R4 = R3 R = (1, 16), (2, 32), (3, 48), . . . = (x, y) | y = 16x

......

...

Fur n ∈ N0 ergibt sich:

Rn = Rn−1 R = (1, 2n · 1), (2, 2n · 2), (3, 2n · 3), . . . = (x, y) | y = 2nx

(iv) R∗ = (x, y) | y = 2nx, n ∈ N0

(v) R+ = (x, y) | y = 2nx, n ∈ N 2


Kapitel 9

Funktionen

In diesem Kapitel betrachten wir Relationen R ⊆ A × B, bei denen einem Element aus der Aus-gangsmenge A hochstens ein Element aus der Zielmenge B zugeordnet sein darf. Solche Relationenwerden Funktionen genannt.

Nach dem Durcharbeiten des Kapitels sollten Sie Lernziele

• feststellen konnen, ob eine Relation eine Funktion ist,

• Definitions- und Wertebereiche von Funktionen bestimmen konnen,

• feststellen konnen, ob eine Funktion total, injektiv, surjektiv, bijektiv ist,

• den Begriff Pradikat erklaren konnen.

9.1 Begriff der Funktion

Definition 9.1. Seien A und B Mengen. Die Relation R ⊆ A × B heißt Funktion, falls R recht- RechtseindeutigeRelationFunktion

seindeutig ist, d.h. falls gilt:xRy1 ∧ xRy2 ⇒ y1 = y2

In einer rechtseindeutigen Relation darf ein x aus der Ausgangsmenge A also hochstens mit einemy der Zielmenge B in Relation stehen. 2

Beispiel 9.1. a) Die Relation R ⊆ N× N definiert durch xRy genau dann, wenn yx ∈ N ist keine

Funktion. Es gilt z.B. 2R4 und 2R6, R ist also nicht rechtseindeutig.

b) Die Relation sqr ⊆ N× N definiert durch x sqr y genau dann, wenn y = x2, ist rechtseindeutig.Die Umkehrrelation sqr−1 ist ebenfalls rechtseindeutig.

c) Die Relation sqr ⊆ Z × Z definiert durch x sqr y genau dann, wenn y = x2, ist rechtseindeutig.Die Umkehrrelation sqr−1 ist in diesem Fall nicht rechtseindeutig, denn es gilt z.B. 4 sqr−1 2 und4 sqr−1 − 2, aber 2 6= −2. 2

An diesen Beispielen konnen wir sehen, dass die Rechtseindeutigkeit einer Relation nicht alleinevon der Vorschrift abhangt, die festlegt, welche Objekte in Beziehung stehen, sondern auch von derWahl der Ausgangs- oder der Zielmenge. Aus diesem Grund fuhren wir den Begriff der Abbildungein, der außer der Funktionsvorschrift die Wahl der Mengen mit einbezieht.

95

96 KAPITEL 9. FUNKTIONEN

Definition 9.2. Seien A und B Mengen. Eine Abbildung φ = (A,B, f) besteht aus den beidenAbbildung

Mengen A und B sowie aus der Funktion f .Bei Funktionen schreiben wir in der Regel nicht f ⊆ A×B wie bei Relationen, sondern f : A→

B, und anstelle von xfy oder von (x, y) ∈ f wie bei Relationen, notieren wir in der Regel y = f(x).2

Beispiel 9.2. Durch die Festlegung ist nun geklart, dass φ1 = (N,N, sqrt) mit y = sqrt(x) =√x

eine Abbildung ist, da √ auf N rechtseindeutig ist, wahrend φ2 = (Z,Z, sqrt) mit x sqrt y genaudann, wenn y2 = x, keine Abbildung ist. 2

Nachdem wir den Unterschied zwischen den Begriffen Abbildung und Funktion geklart haben,werden wir im Folgenden beide Begriffe – wie durchaus in der Literatur ublich – synonym verwenden.

9.2 Eigenschaften von Funktionen

Fur Abbildungen f : A→ B legen wir jetzt noch ein paar Begriffe und Schreibweisen fest:

Definition 9.3. Es sei f : A→ B eine Funktion.

(1) A heißt Ausgangsmenge von f , und B heißt Zielmenge von fAusgangsmengeZielmenge

(2) D(f) = x ∈ A | ∃y ∈ B : y = f(x) , die Menge aller Elemente der Ausgangsmenge, fur dieDefinitionsbereichArgument f tatsachlich definiert ist, heißt Definitionsbereich von f . Die Elemente von D(f) heißen die

Argumente von f .

(3) W (f) = y ∈ B | ∃x ∈ A : y = f(x) , die Menge aller Elemente der Zielmenge, denenWertebereichWert tatsachlich Argumente von f zugeordnet werden, heißt Wertebereich von f . Die Elemente von

W (f) heißen Werte von f .

(4) f heißt total, falls f fur jedes Element der Ausgangsmenge definiert ist, d.h. falls D(f) = ATotale Funk-tion ist.

(5) f heißt surjektiv, falls jedes Element der Zielmenge als Wert von f vorkommt, d.h. fallsSurjektiveFunktion W (f) = B ist.

(6) f heißt linkseindeutig oder injektiv, falls jeder Wert von f nur ein Argument hat, d.h. fallsLinkseindeutige,injektiveFunktion

gilt: f(x1) = y ∧ f(x2) = y ⇒ x1 = x2.

(7) f heißt bijektiv oder eineindeutig, falls f total, injektiv und surjektiv ist. 2Eineindeutige,bijektiveFunktion Ubung 9.1. Zeigen Sie, dass eine Funktion f : A → B injektiv ist genau dann, wenn gilt: x1 6=

x2 ⇒ f(x1) 6= f(x2). 2

Der folgende Satz beantwortet die Frage, unter welcher Voraussetzung die Umkehrrelation f−1Umkehrfunktion

einer Funktion f ebenfalls eine Funktion ist.

Satz 9.1. a) Sei f : A → B eine Funktion, dann ist f−1 : B → A eine Funktion, falls f injektivist.

b) Ist die Funktion f : A→ B bijektiv, dann ist auch f−1 : B → A bijektiv. 2

9.3. PRADIKATE 97

Ubung 9.2. Beweisen Sie Satz 9.1!. 2

n-stellige Funktionen, sind Funktionen, bei denen die Ausgangsmenge ein n-stelliges kartesischesProdukt ist. Funktionen dieser Art heißen auch n-stellige Operationen, Operatoren oder Verknupfun-n-stellige

Operation gen. Sie haben die Gestaltf : A1 × . . .×An → B, n ≥ 0

In f(x1, . . . , xn) = y heißen die xi ∈ Ai, 1 ≤ i ≤ n, Operanden von f . Die Begriffe der Definition Operand

9.3 werden analog auf n-stellige Operatoren ubertragen.

0-stellige Funktionen entsprechen Konstanten. Betrachten wir z.B. die 0-stellige Funktion f :→ N KonstanteFunktiondefiniert durch f() = 17, dann konnen wir diese Funktion mit der Zahl 17 identifizieren, d.h. wir

hatten f auch 17 nennen konnen: 17 :→ N definiert durch 17() = 17.

Bei Rechenstrukturen, wie z.B. bei Booleschen Algebren (siehe 6.1 auf Seite 67) treten uberwie-gend ein- oder zweistellige Operationen auf, bei denen zudem alle Ausgangsmengen und die Ziel-menge identisch sind, d.h. es handelt sich um Funktionen der Art f : A→ A bzw. f : A×A→ A.Beispiele sind arithmetische Operationen wie +, −, · usw., die Zahlen miteinander verknupfen undderen Ergebnis wieder eine Zahl ist, oder aussagenlogische Junktoren wie ¬, ∨ und ∧, die Wahrheits-werte zu Wahrheitswerten verknupfen, oder die Mengenverknupfungen ∪, ∩ und C, die Teilmengeneiner Menge zu Teilmengen dieser Menge verknupfen.

Bei den Notationen ein- oder zweistelliger Verknupfungen der Art f : A → A bzw. der Artf : A×A→ A unterscheidet man generell drei Schreibweisen:

1. Infixschreibweise: Der Operator steht zwischen den Operanden: xfy = z, z.B. x + y = z bei Infixschreibweise

arithmetischen Verknupfungen von Zahlen.

2. Prafixschreibweise: Der Operator steht vor dem Argument: fx = y, z.B. beim Logarithmus Prafix-schreibweiselog x = y.

3. Postfixschreibweise: Der Operator steht hinter dem Argument: xf = y, z.B. x! = 1 · 2 · . . . · x Postfixschreibweise

(sprich: ”x Fakultat“).

Daruber hinaus gibt es noch Schreibweisen, die nicht unmittelbar einer dieser drei aufgelistetenzugeordnet werden konnen, wie z.B. f(x, y) = x

y , f(x, y) = xy oder f(x) =√x.

Wie Relationen konnen Funktionen komponiert werden. Fur die n-fache Komposition einerFunktion f mit sich selbst schreiben wir wie bei Relationen fn und es gilt auch hier f0 = id.

9.3 Pradikate

n-stellige Funktionen Pradikat

f : A1 × . . . An → B, n ≥ 0

mit der Zielmenge B = 0, 1 heißen auch Pradikate.

Beispiel 9.3. a) Die Funktion d : N× N× N→ B definiert durch

d(x, y, z) =

1, x+ y = z

0, sonst

98 KAPITEL 9. FUNKTIONEN

ist ein Pradikat, welches testet, ob die Summe von x und y gleich z ist.

b) Fur das dreistellige Pradikat ∆ : N0 × N0 × N0 → B definiert durch

∆(x, y, z) =

1, falls x, y, z Seitenlangen eines Dreiecks sein konnen0, sonst

gilt z.B. ∆(3, 4, 5) = 1 und ∆(3, 1, 1) = 0. 2

Es sind prinzipiell zwei 0-stellige Pradikate moglich:

true : → 0, 1 mit true() = 1

sowiefalse : → 0, 1 mit false() = 0

welche als Wahrheitswerte interpretiert werden konnen. Die Festlegung der Funktionen true undfalse konnte naturlich auch umgekehrt erfolgen, was aber unublich ist.

Im Kapitel 2.3 haben wir true mit 1 und false mit 0 benannt.

Jedes total definierte n-stellige Pradikat f : A1× . . . An → B, n ≥ 1, legt eine n-stellige RelationRf ⊆ A1 × . . . An wie folgt fest:

Rf = (x1, . . . , xn) ∈ A1 × . . . An | f(x1, . . . , xn) = 1

Auf diese Weise erfolgt in Kapitel 3.3 die Interpretation von Pradikatensymbolen. Einem n-stelligenPradikatensymbol Pn wird als Bedeutung eine n-stellige Relation RPn zugeordnet, I∗(Pn) = RPn ,und es gilt

I∗(Pn)(x1 . . . , xn) =

1, falls (I∗(x1), . . . , I∗(xn)) ∈ RPn0, sonst

Rf = (x1, . . . , xn) ∈ A1 × . . . An | f(x1, . . . , xn) = 1 heißt auch die Losungsmenge von f . DabeiLosungsmen-geeines Pradi-kats

schreiben wir anstelle von f(x1, . . . , xn) = 1 nur f(x1, . . . , xn) um auszudrucken, dass das Pradikatf auf das Argument (x1, . . . , xn) zutrifft. Bei der beschreibenden Darstellung von Mengen habenwir das bisher auch so praktiziert: M = (x1, . . . , xn | P (x1, . . . , xn) (siehe Festlegung (1.1) aufSeite 9 in Kapitel 1.2). Es gilt M = RP .

Kapitel 10


10.1 Zusammenfassung

Relationen setzen Elemente von Mengen in Beziehung. Wichtige Eigenschaften von Relationensind Refexivitat, Symmetrie, Antisymmetrie und Transitivitat. Mithilfe von reflexiven, antisymme-trischen und transitiven Relationen werden Mengen geordnet. Geordnete Mengen M werden imAllgemeinen mit (M,≤) bezeichnet. Gilt fur a, b ∈M a ≤ b oder b ≤ a, dann heißt diese Ordnungtotal. Gibt es zu a, b ∈ M mit a ≤ b und a 6= b ein c ∈ M mit a 6= c, b 6= c und a ≤ c ≤ b, dannheißt die Ordnung dicht.

Relationen, die reflexiv, symmetrisch und transitiv sind, heißen Aquivalenzrelationen. Eine Aqui-valenzrelation partitioniert die Grundmenge vollstandig in disjunkte Aquivalenzklassen. Die Anzahlder Klassen heißt Index der Relation. Die Identitat auf einer Grundmenge A induziert die feinstePartition von A, das kartesische Produkt A×A legt die grobste Partition von A fest. Durch die ”Bril-le“ einer Aquivalenzrelation betrachtet sind die Elemente einer Aquivalenzklasse ununterscheidbar– jedes Element einer Klasse kann als ihr Reprasentant gewahlt werden.

Werden alle durch eine Relation R (reflexiv und) transitiv in Beziehung stehenden Elemente zueiner Relation zusammengefasst, entsteht die so genannte (reflexiv-) transitive Hulle (R∗) R+ vonR.

Bei rechtseindeutigen Relationen steht ein Element der Ausgangsmenge mit hochstens einemElement der Zielmenge in Beziehung. Solche Beziehungen werden funktional genannt. Der Defini-tionsbereich einer Funktion enthalt alle Elemente der Ausgangsmenge, denen die Funktion einenWert zuweist. Diese Elemente heißen auch Argumente der Funktion. Der Wertebereich einer Funk-tion enthalt alle Elemente der Zielmenge, die tatsachlich als Werte der Funktion auftreten, d.h. zudenen es mindestens ein Argument gibt.

Ist der Definitionsbereich gleich der Ausgangsmenge, ist also die Funktion auf allen Elementender Ausgangsmenge definiert, dann heißt die Funktion total. Wenn alle Elemente der Zielmengeals Werte auftreten, d.h. wenn der Wertebereich gleich der Zielmenge ist, dann heißt die Funktionsurjektiv.

Ist die Funktion linkseindeutig, d.h. hat jeder Wert der Funktion genau ein Argument, dann heißtsie injektiv. Die Umkehrrelation einer linkseindeutigen, also injektiven Funktion ist rechtseindeutig,also wieder eine Funktion.

Funktionen, die total, surjektiv und injektiv sind, heißen eineindeutig oder bijektiv.

99


Pradikate sind Funktionen, welche den Argumenten boolesche Werte zuweisen. Sie werden z.B.fur die beschreibende Darstellung von Mengen verwendet.

10.2 Ubungen

1. Sei A = B = x ∈ Z | −3 ≤ x ≤ 3 . Geben Sie die folgenden Relationen uber A × B inaufzahlender Form an:

(1) R1 = (x, y) | y < 2x+ 2 (2) R2 = (x, y) | y < x+ 1 (3) R3 = (x, y) | 2x+ y > 1 ∪ (x, y) | x = y (4) R4 = (x, y) | 2x+ y > 1 ∩ (x, y) | x = y (5) R5 = (x, y) | 3− x2 ≤ y ∩ (x, y) | x2 ≥ y + 3

Welche der Relationen sind Funktionen?

2. Sei D die Menge der Worter der deutschen Sprache. Die Relation α ⊆ D × D sei definiertdurch: xα y genau dann, wenn x und y denselben Anfangsbuchstaben haben. Zeigen Sie, dassα eine reflexive, symmetrische und transitive Relation ist!

3. Sei die Relation suc ⊆ N0 × N0 definiert durch: (x, y) ∈ suc genau dann, wenn y = x+ 1. Istsuc eine Ordnung? Ist suc eine Aquivalenzrelation? Beweisen Sie Ihre Anworten!

4. Sei A eine endliche Menge. Die Relation R sei uber der Grundmenge A definiert durch:R = A×A. Ist R eine Ordnung? Ist R eine Aquivalenzrelation? Beweisen Sie Ihre Aussagen!Falls R eine Aquivalenzrelation ist, dann geben Sie ihre Aquivalenzklassen an!

5. Sei A eine endliche Menge. Die identische Relation idA uber der Grundmenge A ist defi-niert durch: idA = (x, x) | x ∈ A . Ist idA eine Ordnung? Ist idA eine Aquivalenzrelation?Beweisen Sie Ihre Aussagen! Falls idA eine Aquivalenzrelation ist, dann geben Sie ihre Aqui-valenzklassen an!

6. Uberlegen Sie, fur welche Mengen M die Ordnung (P(M),⊆) total ist!

7. Es sei m ∈ N. Zeigen Sie, dass die Relation ≡m⊆ Z× Z definiert durch

x ≡m y genau dann, wennx− ym∈ Z

eine Aquivalenzrelation ist! Geben Sie die Aquivalenzklassen und den Index von ≡m an!

8. Beweisen Sie Folgerung 8.2 a) und b) auf Seite 91!




10.2. UBUNGEN 101

12. Aus den drei Eigenschaften surjektiv, injektiv und total kann man sechs Kombinationen bil-den. Geben Sie Funktionen an, die jeweils genau eine solche Kombination von Eigenschaftenerfullt!

13. Zeigen Sie, dass eine Funktion f : A→ B injektiv ist genau dann, wenn gilt: x 6= y ⇒ f(x) 6=f(y)!


15. Geben Sie fur die Funktion

f : R→ R definiert durch f(x) =1x

D(f) und W (f) an! Ist f total, surjektiv, injektiv? Geben Sie f−1 an! Ist f−1 eine Funktion?

16. Geben Sie fur die Funktion

f : R→ R definiert durch f(x) =1x2

D(f) und W (f) an! Ist f total, surjektiv, injektiv? Geben Sie f−1 an! Ist f−1 eine Funktion?


Teil III

Induktion und Rekursion

103

105

Induktion und Rekursion sind elementare Prinzipien zum Einen fur die Definition von Begriffenund zum Anderen fur das Losen von Problemen. Wir haben bereits in Teil I dieses Prinzip mehrfachbei Definitionen angewendet, etwa bei der Definition der Menge V der aussagenlogischen Variablenund bei der Festlegung der Syntax der aussagenlogischen Formeln in Kapitel 2.2, und die Definiti-on der Semantik dieser Formeln folgt deren rekursiver Definition (siehe Kapitel 2.3). Wir werdenin diesem Teil weitere fur die Informatik wichtige Begriffe mithilfe von rekursiven Definitioneneinfuhren.

Rekursion ist aber auch eine sehr wichtige (und ”elegante“) Problemlosemethode. Deren grund-legendes Prinzip ist, dass die Losung eines Problems auf die Losung einfacherer, kleinerer Problemezuruck gefuhrt wird. Hierzu werden wir in diesem Teil grundlegende Ansatze kennen lernen undBeispiele dazu betrachten.

Beginnen werden wir mit Vollstandiger Induktion, einer Beweismethode, mit der gezeigt werdenkann, dass ein Pradikat auf die Menge der naturlichen Zahlen zutrifft.

106

Kapitel 11

Die Menge der naturlichen Zahlen

”Die naturlichen Zahlen sind von Gott gegeben, alles andere hat der Mensch gemacht“. DieseAußerung wird Ernst Eduard Kummer zugeschrieben.1 Diese Position werden wir auch einnehmen.In diesem Kapitel fuhren wir die Menge der naturlichen Zahlen und das Rechnen mit ihnen quasials gegeben ein und deuten dabei nur an, wie diese auch axiomatisch eingefuhrt werden konnten.Mit den Problematiken, die dabei auftreten konnen, wollen wir uns aber nicht weiter ”belasten“,weil das fur die folgenden Betrachtungen keine Rolle spielt.

So betrachten wir also zunachst die naturlichen Zahlen als gegeben und listen die bekanntenRechenregeln fur naturliche Zahlen auf. Naturliche Zahlen sind die Zahlen, die naturgemaß zumZahlen verwendet werden. So liegt es also nahe, die Menge der naturlichen Zahlen als Referenzmengefur die Abzahlbarkeit von Mengen zu betrachten.


• die axiomatische Einfuhrung der Menge der naturlichen Zahlen verstehen,

• die Rechenregeln fur naturliche Zahlen kennen,

• das Summationssymbol kennen und anwenden konnen,

• den Begriff der Abzahlbarkeit verstehen und anwenden konnen.

11.1 Einfuhrung der Menge der naturlichen Zahlen

Man kann Zahlen, und so sind diese vielleicht auch in der Menschheitsgeschichte entstanden, alsAbstraktionen von Mengen mit derselben Anzahl von Elementen betrachten. Sieben Apfel, siebenBirnen, sieben Ziegen bilden Mengen mit 7 Elementen, welches man z.B. durch sieben Kerben ineinem Holzstab oder sieben Striche im Sand oder durch die Symbole 7 oder VII notieren kann.

1Ernst Eduard Kummer (1810 - 1893) lieferte fundamentale Beitrage zu vielen Gebieten der Mathematik, insbe-sondere zur Zahlentheorie und zur Funktionentheorie. Zusammen mit Leopold Kronecker (1823 - 1891, fundamentaleBeitrae zur Algebra, Zahlentheorie, Analysis und Funktionentheorie) und Karl Weierstraß (1812 - 1897, fundamentaleBeitrage zur Analysis und Funktionentheoriemachte, zur Theorie elliptischer Funktionen, zur Differentialgeometrieund zur Variationsrechnung) machte er Berlin zum Ende des 19. Jahrhunderts zu einem Weltzentrum der Mathema-tik.

107

108 KAPITEL 11. DIE MENGE DER NATURLICHEN ZAHLEN

Was braucht man nun ”wirklich“ zum Zahlen? Nun, wir brauchen eine unendliche Menge, derenElemente zum Zahlen verwendet werden konnen (Strichfolgen, Zahlensymbole, . . .). Dann brauchenwir eine Zahl, bei der das Zahlen beginnt, eine ”kleinste“ Zahl, und wir mussen festlegen, dassverschiedene Zahlensymbole auch verschiedene Anzahlen angeben.

Diese grundlegenden Eigenschaften des Zahlens wollen wir mathematisch mithilfe einer Zahl-Zahlstruktur

struktur festlegen:(S, 0, s)

Dabei sei S eine nicht leere Menge, 0 ∈ S ein ausgezeichnetes Element, welches wir Null nennen,sowie s : S → S eine Funktion, die wir Nachfolgerfunktion nennen. Die Zahlstruktur soll dabeifolgende Axiome erfullen:

(P1) Fur alle x ∈ S gilt: s(x) 6= 0, d.h. 0 kann kein Nachfolger einer Zahl sein. Damit wird 0quasi als kleinste Zahl festgelegt.

(P2) s ist injektiv, d.h. fur alle x, y ∈ S gilt: Ist x 6= y, dann ist auch s(x) 6= s(y), verschiedeneZahlen haben verschiedene Nachfolger. Das bedeutet allgemeiner, dass verschiedene Zahlenauch verschiedene Anzahlen bedeuten.

(P3) Fur jede Teilmenge M von S gilt: Ist 0 ∈ M und folgt daraus, dass x ∈ M ist, auch, dassInduktionsaxiom

s(x) ∈M ist, dann gilt M = S. Dieses ist das sogenannte Induktionsaxiom.

Diese Axiome gehen auf Dirichlet2 und Peano3 zuruck. Deswegen wird (S, 0, s) auch Dedekindtripel,DedekindtripelPeano-Axiome

und die Axiome P1 - 3 gehoren auch zu den Peano-Axiomen zur Definition der Menge der naturlichenZahlen.

Folgende konkrete Strukturen erfullen diese Axiome, sind also Beispiele fur Zahlstrukturen:

Beispiel 11.1. a) (S1, 01, s1) mit S1 = ε, |, ||, |||, . . . , , 01 = ε, die leere Strichfolge, und s1(x) = x|.

b) (S2, 02, s2) mit S2 = ∅, ∅, ∅, ∅, ∅, ∅, ∅, ∅, . . . mit 02 = ∅ und s2(x) = x∪x.2

Wir wollen zwei Peano-Strukturen (S1, 01, s1) und (S2, 02, s2) strukturgleich oder isomorph nen-Isomorphie

nen, falls es eine bijektive Abbildungϕ : S1 → S2

gibt, fur die

ϕ(s1(x)) = s2(ϕ(x)) fur alle x ∈ S1 (11.1)

gilt. Die Abbildung ϕ ordnet also jedem Element der einen genau ein Element der anderen Strukturzu, und diese Zuordnung ist vertraglich mit den Nachfolgerfunktionen in beiden Strukturen. Dasbedeutet, dass, wenn x ∈ S1 dem Element y ∈ S2 zugeordnet wird, dann werden auch ihre Nach-folger s1(x) ∈ S1 und s2(y) ∈ S2 einander zugeordnet. Sind S1 und S2 isomorph, so schreiben wir:(S1, 01, s1) ∼= (S2, 02, s2).

2Johann Peter Gustav Lejeune-Dirichlet (1805 - 1859), deutscher Mathematiker, lieferte zu vielen Gebieten derMathematik (Theorie algebraischer Zahlen, Randwertprobleme, Variationsrechnung, geometrische Funktionentheorie,Theorie unendlicher Reihen, Fourier-Reihen) fundamentale Beitrage.

3Giuseppe Peano (1858 - 1932), italienischer Mathematiker und Logiker, beschaftigte sich mit axiomatischeAnsatzen zur Beschreibung von Mengen und Strukturen.

11.1. EINFUHRUNG DER MENGE DER NATURLICHEN ZAHLEN 109

Beispiel 11.2. Wir zeigen, dass die beiden Zahlstrukturen aus Beispiel 11.1 isomorph sind. Dazulegen wir die Abbildung ϕ : S1 → S2 wie folgt rekursiv fest:

ϕ(ε) = ∅ϕ(x|) = ϕ(x) ∪ ϕ(x)

Wir berechnen mithilfe dieser rekursiven Definition z.B. ϕ(|||) schrittweise:

ϕ(|) = ϕ(ε) ∪ ϕ(ε)= ∅ ∪ ∅= ∅

ϕ(||) = ϕ(|) ∪ ϕ(|)= ∅ ∪ ∅= ∅, ∅

ϕ(|||) = ϕ(||) ∪ ϕ(||)= ∅, ∅ ∪ ∅, ∅= ∅, ∅, ∅, ∅

Diese Abbildung ϕ ist bijektiv und sie erfullt die Bedingung (11.1):

ϕ(s1(x)) = ϕ(x|) = ϕ(x) ∪ ϕ(x) = s2(ϕ(x))

Es gilt also: (S1, ε, s1) ∼= (S2, ∅, s2). 2

Durch Verallgemeinerung der Uberlegungen in obigem Beispiel kann man beweisen, dass alleZahlstrukturen isomorph zueinander sind: Zu je zwei Strukturen, die die Peano-Axiome erfullen,lasst sich eine bijektive Abbildung finden, die die Bedingung (11.1) erfullt. Außerdem gilt, dassdiese Abbildung in jedem Fall die beiden Nullen einander zuordnet.

Satz 11.1. Fur alle Zahlstrukturen (S1, 01, s1) und (S2, 02, s2) gilt

(S1, 01, s1) ∼= (S2, 02, s2)

und fur alle Isomorphismen ϕ zwischen diesen Strukturen gilt

ϕ(01) = 022

Ubung 11.1. Zeigen Sie, dass fur zwei isomorphe Zahlstrukturen (S1, 01, s1) und (S2, 02, s2) undfur einen Isomorphismus ϕ zwischen diesen Strukturen ϕ(01) = 02 gelten muss! 2

Gemaß Satz 11.1 sind also alle Zahlstrukturen bis auf die Benennung ihrer Elemente identisch.Wir konnen fur den taglichen Gebrauch also irgendeine Zahlstruktur auswahlen. Da die Notationder Elemente der Zahlstrukturen in Beispiel 11.1 in Bezug auf ihr Hinschreiben, ihr Lesen oder inBezug auf das Rechnen mit ihnen sehr umstandlich ist, stellt sich die Frage nach geeigneten Zahlen-symbolen. Im Verlaufe der Geschichte hat es hier unterschiedliche Entwicklungen gegeben, wie z.B.die romischen Zahlen oder die arabischen Zahlen. Die arabischen Zahlen haben sich durchgesetzt,weil sie auf einem Stellenwertsystem basieren, woraus sich eine systematische Notation ergibt sowieeinfache Verfahren zur Durchfuhrung von Rechenoperationen.


Wenn wir nun von der Struktur (S1, ε, s1) im Beispiel 11.1 ausgehen und fur eine Folge von Die MengedernaturlichenZahlen

n Strichen das arabische Zahlensymbol fur n und den Nachfolger s(n) von n mit n + 1 notieren,erhalten wir die Menge der uns bekannten naturlichen Zahlen

N0 = 0, 1, 2, 3, . . .

als weitere Zahlstruktur (N0, 0, s). Da man gelegentlich Aussagen uber alle naturlichen Zahlen ohnedie Null machen mochte, fuhren wir N als Symbol fur diese Menge ein:

N = N0 − 0 = 1, 2, 3, . . .

Mithilfe der Nachfolgerfunktion s lassen sich nun die elementaren arithmetischen OperationenAddition undMultiplikationnaturlicherZahlen

fur naturliche Zahlen, Addition und Multiplikation, rekursiv definieren (siehe auch Kapitel 13 und14).

(1) Wir fuhren die Addition zweier Zahlen x und y auf die y-fache Addition der 1 zu x zuruck:add : N0 × N0 → N0 definiert durch

add(x, 0) = x

add(x, s(y)) = s(add(x, y))

Mit dieser Berechnungsvorschrift ergibt sich z.B.

add(2, 3) = add(2, s(2)) = s(add(2, 2)) = s(add(2, s(1)))= s(s(add(2, 1))) = s(s(add(2, s(0))))= s(s(s(add(2, 0)))) = s(s(s(2))) = s(s(3)) = s(4)= 5

(2) Mithilfe der Addition konnen wir nun die Multiplikation mult : N0 × N0 → N0 definieren:

mult(x, 0) = 0mult(x, s(y)) = add(mult(x, y), x)

Die Multiplikation von x und y wird hier durch y-fache Addition von x mit sich selbst be-rechnet.

(3) Analog konnen wir nun die Potenzfunktion mithilfe der Multiplikation definieren: exp : N0 ×N0 → N0 mit

exp(x, 0) = 1exp(x, s(y)) = mult(exp(x, y), x)

Die Potenzierung von x mit y wird hier durch y-fache Multiplikation von x mit sich selbstberechnet.

In analoger Art und Weise konnen weitere arithmetische Operationen definiert werden, die letzt-endlich immer auf der Addition und damit auf der Addition der 1, d.h. auf der Nachfolgerfunktions – also auf dem Zahlen – basieren. Und zu diesem Zweck, namlich zum Zahlen, haben wir dienaturlichen Zahlen ja gerade eingefuhrt.

11.2. RECHENREGELN IN N0 111

Ubung 11.2. a) Berechnen Sie mult(2, 3)!

b) Berechnen Sie exp(2, 3)! 2

Im Folgenden schreiben wir x+y anstelle von add(x, y) und x ·y oder xy anstelle von mult(x, y)sowie xy fur exp(x, y).

Die naturlichen Zahlen sind abgeschlossen bezuglich der Addition und Multiplikation. Das be- Abgeschlos-senheit vonAddition undMultiplika-tion

deutet, dass die Summe bzw. das Produkt zweier naturlicher Zahlen wieder eine naturliche Zahlist. Die naturlichen Zahlen sind nicht abgeschlossen gegenuber Subtraktion und Division, denn dieDifferenz bzw. der Quotient zweier naturlicher Zahlen muss keine naturliche Zahl sein.

11.2 Rechenregeln in N0

Mithilfe vollstandiger Induktion und bereits bewiesener Eigenschaften kann man beweisen, dass furbeliebige Zahlen x, y, z ∈ N0 folgende bekannte Rechenregeln gelten:

(A1) Assoziativgesetz der Addition: (x + y) + z = x + (y + z), d.h. bei der Addition von mehr Rechenregeln

als zwei Zahlen kommt es nicht auf die Reihenfolge der Ausfuhrung dieser Operation an.Deshalb konnen die Klammern auch weggelassen werden: x+ y + z.

(A2) Kommutativgesetz der Addition: x + y = y + x, d.h. das Ergebnis einer Addition ist un-abhangig von der Reihenfolge der Operanden.

(A3) Neutrales Element der Addition: x+ 0 = 0 + x = x, d.h. die Addition mit 0 verandert denanderen Operanden nicht.

(M1) Assoziativgesetz der Multiplikation: (xy)z = x(yz).

(M2) Kommutativgesetz der Multiplikation: xy = yx.

(M3) Neutrales Element der Multiplikation: x·1 = 1·x = x, d.h. die Multiplikation mit 1 verandertden anderen Operanden nicht.

(D1) Distributivgesetz 1: x(y + z) = xy + xz.

(D2) Distributivgesetz 2: (x+ y)z = xz + yz.

In gewissem Rahmen sind auch die Umkehroperationen Subtraktion und Division zur Addition bzw.zur Multiplikation fur naturliche Zahlen definiert:

• Subtraktion: Gilt x + y = z, dann gilt x = z − y. x heißt dann auch die Differenz von z undy. Mithilfe des Kommutativgesetzes (A2) kann man im Ubrigen sofort ableiten, dass auchy = z − x gelten muss.

• Division: Gilt xy = z, dann gilt x = z : y. x heißt dann auch der Quotient von z und y.Anstelle von z : y notieren wir auch z/y oder z

y .

Die Relation ≤⊆ N0 × N0 definiert durch x ≤ y genau dann, wenn eine Zahl d ∈ N0 existiert mitx + d = y legt auf N0 eine totale Ordnung fest (siehe Kapitel 8.3). Fur diese Ordnung gelten diebeiden folgenden Vertraglichkeitsregeln, auch Monotonieregeln genannt:


(O1) sind x, y, z ∈ N0 und ist x ≤ y, dann gilt auch x+ z ≤ y + z, Monotonieregeln

(O2) sind x, y, z ∈ N0 und ist x ≤ y, dann gilt auch xz ≤ yz.

Anstelle von x ≤ y schreiben wir auch y ≥ x.

Zur Notation der Summe von mehreren Summanden x1, x2, . . . , xn verwendet man oft auch dasSummations-symbol Summationssymbol

∑:

x1 + x2 + . . .+ xn =n∑i=1

xi

Lauft der Summationsindex i nicht zwischen den Grenzen 1 und n, sondern zwischen u und o mitu, o ∈ N0 und u ≤ o, dann notieren wir

xu + xu+1 + . . .+ xo =o∑i=u

xi

u heißt untere und o heißt obere Index- oder Summationsgrenze. Fur den Fall u > o legen wir∑oi=u xi = 0 fest.

Analog wird fur die Multiplikation mehrerer Faktoren xu, xu+1, . . . xoMultiplikations-symbol

xu · xu+1 · . . . · xo =o∏i=u

xi

geschrieben. Fur den Fall u > o legen wir∏oi=u xi = 0 fest.

Sowohl bei der Addition als auch bei der Multiplikation kann die Anzahl der Summanden bzw.die Anzahl der Faktoren unendlich sein, d.h. es kann o = ∞ sein. Man spricht dann von einerunendlichen Summe bzw. von einem unendlichen Produkt.

Aus den Distributivgesetzen lasst sich das folgende verallgemeinerte Distributivgesetz ableiten:VerallgemeinertesDistributiv-gesetz (

m∑i=1

xi

) n∑j=1

yj

= (x1 + x2 + . . .+ xm)(y1 + y2 + . . .+ yn)

= x1y1 + x1y2 + . . .+ x1yn

+ x2y1 + x2y2 + . . .+ x2yn...+ xmy1 + xmy2 + . . .+ xmyn

=m∑i=1

n∑j=1

xiyj

Wegen der Kommutativitat der Addition gilt naturlich

m∑i=1

n∑j=1

xiyj =n∑j=1

m∑i=1

xiyj

11.3. DER BEGRIFF DER ABZAHLBARKEIT 113

11.3 Der Begriff der Abzahlbarkeit

Die Menge der naturlichen Zahlen ist ja gerade zum Abzahlen geschaffen worden. Insofern erscheintes als ”naturlich“ diese Menge als Referenzmenge fur abzahlbare Mengen zu wahlen. Wir wolleneine Menge abzahlbar nennen, falls ihre Elemente eindeutig mit naturlichen Zahlen nummeriertwerden konnen.

Definition 11.1. Eine Menge M heißt abzahlbar genau dann, wenn sie endlich ist oder wenn Abzahlbar-keites eine bijektive (d.h. totale, injektive und surjektive) Abbildung f : M → N0 gibt, d.h. jedem

Element m ∈ M kann eineindeutig eine naturliche Zahl f(m) zugeordnet werden. Ist f(m) = i,dann schreiben wir auch mi. Die Elemente aus M besitzen eine eindeutige Nummer, konnen alsoabgezahlt werden: m0,m1,m2, . . .

Eine unendliche abzahlbare Menge M kann als gleichmachtig zur Menge der naturlichen Zah-len verstanden werden, denn jedem Element aus M kann genau eine naturliche Zahl und jeder Gleichmachtig-

keitnaturlichen Zahl kann genau ein Element aus M zugeordnet werden.

Ist eine Menge nicht abzahlbar, dann nennen wir sie uberabzahlbar. 2 Uberabzahl-barkeit

Folgerung 11.1. Fur den Begriff der Abzahlbarkeit gelten einsichtigerweise die folgenden Eigen-schaften:

a) Jede Teilmenge einer abzahlbaren Menge ist abzahlbar.

b) Jede Obermenge einer nicht abzahlbaren Menge ist nicht abzahlbar. 2

Beispiel 11.3. a) Die Menge der positiven geraden Zahlen G+ = n | n = 2k, k ∈ N0 istabzahlbar, da G+ eine Teilmenge von N0 ist. Eine mogliche Abzahlung ist z.B. f : G+ → N0

definiert durch f(2k) = k fur k ∈ N0. f ist eine bijektive Abbildung, welche die geraden Zahlen inihrer naturlichen Reihenfolge abzahlt: 0, 2, 4, . . .

b) Die Potenzmenge P(N) der Menge der naturlichen Zahlen ist uberabzahlbar. Wir zeigen dies Uberabzahl-barkeit derPotenzmengevon NNN

durch einen Widerspruchsbeweis.

Wir nehmen also an, dass P(N) abzahlbar ist, d.h. es gibt eine bijektive Abbildung f : P(N)→N0, die P(N) abzahlt. M0,M1,M2 . . . sei die durch f festgelegte Abzahlung von P(N). N0 istabzahlbar, und x0, x1, x2 . . . sei eine solche Abzahlung. Mit den beiden Abzahlungen konnen wirfolgende Matrix betrachten:

x0 x1 x2 . . . xj . . .M0 b00 b01 b02 . . . b0j . . .M1 b10 b11 b12 . . . b1j . . .M2 b20 b21 b22 . . . b2j . . .

......

......

......

......

......

......

......

Mi bi0 bi1 bi2 . . . bij . . ....

......

......

......


Dabei sei

bij =

1, falls xj ∈Mi

0, falls xj /∈Mi

Wir definieren mithilfe der Diagonalen dieser Matrix die Menge D wie folgt:Diagonalisierung

xk ∈ D genau dann, wenn bkk = 0 ist (11.2)

xk ist also in D enthalten, falls xk nicht in Mk enthalten ist, und xk ist nicht in D enthalten, fallsxk in Mk enthalten ist. Die Menge D ist also so konstruiert, dass sie sich mindestens in einemElement, was durch die Diagonale der Matrix bestimmt wird, von jeder Menge Mi unterscheidet.Das fuhrt nun gerade im Folgenden zum Widerspruch.

Zunachst stellen wir fest, dass D eine Menge naturlicher Zahlen ist, d.h. es muss D ∈ P(N) sein.Das bedeutet aber, dass D in der Abzahlung M0,M1,M2, . . . von P(N) vorkommen muss. Damitmuss es eine Nummer s geben mit f(s) = D, d.h. mit D = Ms. Fur die Zahl s gibt es nun zweiFalle: xs ∈Ms oder xs /∈Ms.

(1) Sei xs ∈ Ms, dann gilt bss = 1 und damit wegen (11.2) xs /∈ D, woraus wegen D = Ms folgtxs /∈Ms.

(2) Sei xs /∈ Ms, dann gilt bss = 0 und damit wegen (11.2) xs ∈ D, woraus wegen D = Ms folgtxs ∈Ms.

In beiden Fallen erhalten wir also einen Widerspruch, d.h. wir konnen herleiten, dass xs ∈ D giltgenau dann, wenn xs /∈ D gilt, was offensichtlich einen Widerspruch darstellt. Unsere Annahmemuss also falsch sein. Damit haben wir bewiesen, dass P(N) uberabzahlbar ist. 2

11.4 Aufzahlbare und entscheidbare Mengen

Im Kapitel 14 haben wir den Begriff der Berechenbarkeit fur Funktionen f : Nk0 → N0 einfuhrendbetrachtet. Wir werden diesen Begriff nun auf Mengen ubertragen, wobei in diesen Zusammen-hang von Entscheidbarkeit von Mengen gesprochen wird. Wir werden unterschiedliche Grade vonEntscheidbarkeit kennenlernen, und wir werden Zusammenhange zur Abzahlbarkeit von Mengenherstellen, wobei wir dabei von berechenbaren Abzahlungen, sogenannten Aufzahlungen ausgehenwerden. Des Weiteren werden wir nicht berechenbare Funktionen und nicht entscheidbare Mengenkennenlernen.

Nach dem Durcharbeiten dieses Kapitels sollten SieLernziele

• x

Kapitel 12

Vollstandige Induktion


• das Prinzip der Vollstandigen Induktion verstehen,

• Behauptungen mithilfe Vollstandiger Induktion beweisen konnen.

Vollstandige Induktion ist eine Methode, mit der bewiesen werden kann, dass ein Pradikat aufdie Menge der naturlichen Zahlen zutrifft, d.h. dass ein Pradikat P : N0 → B die LosungsmengeRP = N0 besitzt, d.h. dass P von allen naturlichen Zahlen erfullt wird (siehe 9.3). Die Menge dernaturlichen Zahlen wird in Kapitel 11.1 eingefuhrt. Grundlage fur die Vollstandige Induktion istdabei das Axiom P3 (siehe Seite 108).

Ein Beweis mit vollstandiger Induktion genugt dementsprechend folgendem Schema:

• Induktionsanfang: Zeige, dass P (0) gilt, d.h. dass 0 ∈ RP gilt. Induktionsanfang

• Induktionsschritt: Zeige: ∀n ∈ N0 : P (n) ⇒ P (n + 1). Dabei heißt P (n) Induktionsannahme Induktionsschritt

Induktionsannahmeoder Induktionsvoraussetzung und P (n+ 1) Induktionsbehauptung.Induktions-behauptungHaben wir fur ein Pradikat P : N0 → B Induktionsanfang und Induktionsschritt gezeigt, dann

wissen wir, dass P (n) fur alle n ∈ N0 gilt, d.h. dass

RP = n ∈ N0 | P (n) = N0

gilt: Das Pradikat P trifft auf alle naturlichen Zahlen zu.

Bemerkung 12.1. Veranschaulichen kann man diese Methode an folgendem Problem: Wann binich in der Lage, eine (unendliche) Leiter hinauf zu steigen. Nun, ich werde es schaffen, wenn ich inder Lage bin, die folgenden beiden Schritte zu tun: Ich muss die erste Sprosse besteigen konnen (dasentspricht dem Induktionsanfang), und wenn ich auf irgendeiner Stufe stehe (Induktionsannahme),dann muss ich auf die nachste Sprosse steigen konnen (Induktionsschritt). 2

Beispiel 12.1. a) Zeige: ∀n ∈ N0 :∑ni=0 i = n(n+1)

2 . Das Pradikat

P (n) =n∑i=0

i =n(n+ 1)

2(12.1)

115

116 KAPITEL 12. VOLLSTANDIGE INDUKTION

behauptet also, dass sich∑ni=0 i, die Summe der Zahlen von 0 bis n, fur jede naturliche Zahl n

durch den Ausdruck n(n+1)2 berechnen lasst.

Wir beweisen die Behauptung mit vollstandiger Induktion gemaß dem obigen Schema:

Induktionsanfang: Zeige, dass P (0) gilt. Es ist

0∑i=0

i = 0 =0(0 + 1)

2

also gilt P (0).

Induktionsschritt: Zeige unter der Annahme, dass P (n) gilt, auch P (n + 1) gilt. In unserem Fallmussen wir also zeigen, dass

P (n+ 1) =n+1∑i=0

i =(n+ 1)(n+ 2)

2

gilt unter der Vorraussetzung, dass

P (n) =n∑i=0

i =n(n+ 1)

2

gilt.Die Summe der Zahlen von 0 bis n+ 1 ist gleich der Summe der Zahlen von 1 bis n plus n+ 1,

d.h. es ist

n+1∑i=0

i =n∑i=0

i+ (n+ 1) (12.2)

Es gilt nun:

n+1∑i=0

i =n∑i=0

i+ (n+ 1) wegen (12.2)

=n(n+ 1)

2+ (n+ 1) wegen der Induktionsannahme

=n(n+ 1) + 2(n+ 1)

2

=(n+ 1)(n+ 2)

2

Damit haben wir den Induktionsschritt durchgefuhrt.Insgesamt haben wir also gezeigt, dass unser Pradikat (12.1) fur alle naturlichen Zahlen erfullt

ist.

b) Zeige, dass fur jede naturliche Zahl n die Zahl (2n+ 1)2 bei Division durch 8 den Rest 1 lasst.Zunachst formulieren wir diese Behauptung als Pradikat:

P (n) = ∀n ∈ N0 ∃q ∈ N0 : (2n+ 1)2 = 8q + 1 (12.3)

117

Wir beweisen diese Behauptung durch vollstandige Induktion:

Induktionsanfang: Zeige, dass P (0) gilt, d.h. zeige, dass eine naturliche Zahl q existiert, so dass(2 · 0 + 1)2 = 8q + 1 ist. Da fur q = 0 diese Gleichung erfullt ist, gilt P (0).

Induktionsschritt: Zeige unter der Annahme, dass P (n) gilt, auch P (n + 1) gilt. In unserem Fallmussen wir also zeigen, dass

P (n+ 1) = ∃q′ ∈ N0 : (2(n+ 1) + 1)2 = 8q′ + 1

gilt unter der Voraussetzung, dass

P (n) = ∃q ∈ N0 : (2n+ 1)2 = 8q + 1 (12.4)

gilt.Dazu uberlegen wir wie folgt:

∃q′ ∈ N0 : (2(n+ 1) + 1)2 = 8q′ + 1⇔ ∃q′ ∈ N0 : (2n+ 3)2 = 8q′ + 1⇔ ∃q′ ∈ N0 : 4n2 + 12n+ 9 = 8q′ + 1⇔ ∃q′ ∈ N0 : (4n2 + 4n+ 1) + (8n+ 8) = 8q′ + 1⇔ ∃q′ ∈ N0 : (2n+ 1)2 + 8(n+ 1) = 8q′ + 1 (12.5)

Nach der Induktionsvoraussetzung (12.4) gibt es ein q, so dass (2n + 1)2 = 8q + 1 gilt. Mit (12.5)erhalten wir daraus:

∃q, q′ ∈ N0 : 8q + 1 + 8(n+ 1) = 8q′ + 1⇔ ∃q, q′ ∈ N0 : 8(q + n+ 1) + 1 = 8q′ + 1

Damit haben wir gezeigt, dass es mit der Induktionsvoraussetzung (12.4) zu jedem n ∈ N0 einq′ = q+n+1 gibt mit (2(n+1)+1)2 = 8q′+1. Damit haben wir den Induktionsschritt durchgefuhrt.

Insgesamt haben wir also gezeigt, dass unser Pradikat (12.3) fur alle naturlichen Zahlen erfulltist.

c) In Satz 5.1 auf Seite 61 haben wir behauptet, dass, wenn eine Menge M m Elemente hat, diePotenzmenge P(M) von M 2m Elemente hat. Wir formalisieren diese Behauptung als Pradikat:

P (m) = ∀m ∈ N0 : |M | = m⇒ |P(M)| = 2m

Induktionsanfang: Zeige P (0). Sei also m = 0, d.h. M = ∅ und damit P(M) = ∅ , woraus folgt:|P(M)| = 1. Da 20 = 1, gilt also die Behauptung fur m = 0.

Induktionsschritt: Zeige, dass |M | = m + 1 ⇒ |P(M)| = 2m+1 gilt, unter der Voraussetzung, dass|P(M)| = 2m gilt fur |M | = m.

Sei M = a1, a2, . . . , am, am+1 sowie M ′ = b1, b2, . . . , bm, bi ∈ M , 1 ≤ i ≤ m, und a =M −M ′. Nach Induktionsvoraussetzung ist |P(M ′)| = 2m.

Sei etwa P(M ′) = D1, D2, . . . , D2m. Alle Dj ∈ P(M ′), 1 ≤ j ≤ 2m, sind auch Elementevon P(M). Es fehlen noch die Elemente Dj ∪ a, 1 ≤ j ≤ 2m. Insgesamt enthalt P(M) also2m + 2m = 2 · 2m = 2m+1 Elemente. Damit ist der Induktionsschritt gezeigt.

118 KAPITEL 12. VOLLSTANDIGE INDUKTION

d) Sei x ∈ R, x > −1, x 6= 0, dann gilt: ∀n ∈ N2 : (1 + x)n > 1 + nx.1

Wir beweisen diese Behauptung mit vollstandiger Induktion:

Induktionsanfang: Zeige P (2). Fur n = 2 gilt

(1 + x)2 = 1 + 2x+ x2

> 1 + 2x, da x2 > 0

Induktionsschritt: Zeige, dass (1 + x)n+1 > 1 + (n+ 1)x gilt, unter Voraussetzung, dass (1 + x)n >1 + nx gilt, fur x ∈ R, x > −1, x 6= 0. Es gilt:

(1 + x)n+1 = (1 + x)n(1 + x)> (1 + nx)(1 + x) (nach Induktionsvoraussetzung)

= 1 + x+ nx+ nx2

> 1 + nx+ x (da nx2 > x)= 1 + (n+ 1)x

e) Als letztes Beispiel wollen wir das Pradikat

P (n) = ∀n ∈ N7 : 2n2 + 1 < 2n

beweisen.

Induktionsanfang: Zeige P (7). Es gilt 2 · 72 + 1 = 99 und 27 = 128, und damit P (7).

Induktionsschritt: Wir nehmen an, dass P (n) = 2n2 + 1 < 2n gilt, und zeigen, dass dann auchP (n+ 1) = 2(n+ 1)2 + 1 < 2n+1 gilt.

Es ist

2(n+ 1)2 + 1 = 2(n2 + 2n+ 1) + 1

= 2n2 + 1 + 4n+ 2< 2n + 4n+ 2 (wegen der Induktionsannahme)< 2n + 2n (da 4n+ 2 < 2n fur n ≥ 7)

= 2n+1

2

Bei den beiden letzten Beispielen ist der Induktionsanfang nicht P (0), sondern P (2) bzw. P (7).Fur kleinere Werte von n gilt die Behauptung namlich nicht. Dies ist aber unerheblich und keinprinzipieller Verstoß gegen das Prinzip der Vollstandigen Induktion, denn wir konnen jedes PradikatP (n), fur welches der Induktionsanfang P (c) fur ein c ∈ N0 gilt, transformieren in ein PradikatP ‘(n), indem jedes Vorkommen von n durch n+ c ersetzt wird.

In Beispiel d) ware die transformierte Behauptung also P ′(n) = (1 + x)n+2 > 1 + (n+ 2)x, undin Beispiel e) ware die transformierte Behauptung P ′(n) = 2(n+ 7)2 + 1 < 2n+7.

1Diese Ungleichung wird als Bernoullische Ungleichung bezeichnet, benannt nach Jakob Bernoulli (1654 - 1705),einer der Mitglieder der beruhmten schweizerischen Gelehrtenfamilie Bernoulli (niederlandischer Herkunft), die im17. und 18. Jahrhundert als Mathematiker, Physiker, Mediziner und Theologen hervorragende Beitrage zu diesenWissenschaften geliefert haben.

Kapitel 13

Rekursion

Die induktive Definition der Menge der naturlichen Zahlen ermoglicht induktive bzw. rekursiveDefinitionen von Funktionen und Relationen uber dieser Menge. Die Grundidee der rekursivenDefinition ist: Der Funktionswert f(n+1) einer Funktion f : N0 → N0 ergibt sich durch Verknupfungbereits vorher berechneter Werte f(n), f(n− 1), . . . Falls außerdem die Funktionswerte von f furhinreichend viele Startargumente bekannt sind, kann jeder Funktionswert von f berechnet werden.


• das Prinzip der rekursiven Definition von Funktionen verstehen,

• rekursive Definitionen fur Funktionen angeben konnen.

13.1 Rekursive Definition arithmetischer Funktionen

Betrachten wir als erstes Beispiel die Funktion

sum : N0 → N0

definiert durch

sum(n) = 0 + 1 + 2 + . . .+ n (13.1)

sum(n) berechnet die Summe der ersten n Zahlen. Aus Beispiel 12.1 a) wissen wir, dass sum(n) =n(n+1)

2 gilt. sum lasst sich aber auch anders berechnen. Dazu betrachten wir (13.1) etwas genauer:

sum(n) = 0 + 1 + 2 + . . .+ (n− 1) + n

= 0 + 1 + 2 + . . .+ (n− 1)︸︷︷︸=sum(n−1)

+n

= sum(n− 1) + n

Die Summe der ersten n Zahlen lasst sich also berechnen, indem man die Summe der ersten n− 1Zahlen berechnet und dazu die Zahl n addiert.

119

120 KAPITEL 13. REKURSION

Falls man nun noch als Rekursionsanfang sum(0) = 0 festlegt, lasst sich sum(x) fur jedes x ∈ N0

mithilfe folgender rekursiver Definition berechnen:

sum(n) =

0, n = 0 (Rekursionsanfang)sum(n− 1) + n, n ≥ 1 (Rekursionsschritt)

Es gilt z.B.

sum(3) = sum(2) + 3 (Rekursionsschritt)= sum(1) + 2 + 3 (Rekursionsschritt)= sum(0) + 1 + 2 + 3 (Rekursionsschritt)= 0 + 1 + 2 + 3 (Rekursionsanfang)= 6

In analoger Weise lasst sich die Fakultatsfunktion

! : N0 → N0

die das Produkt der ersten n Zahlen festlegt

n! = 1 · 2 · . . . · n

rekursiv definieren:

n! =

1, n = 0 (Rekursionsanfang)(n− 1)! · n, n ≥ 1 (Rekursionsschritt)

Ubung 13.1. Berechnen Sie nach dieser Vorschrift 3! (Fakultat von 3)! 2

Wir wollen nun einige Beispiele rekursiver Definitionen von mehrstelligen Funktionen betrachten.Dabei setzen wir die Sukzessorfunktion

suc : N0 → N0

definiert durchsuc(n) = n+ 1

fur alle n ∈ N0, voraus.

(1) Wir fuhren die Addition zweier Zahlen x und y auf die y-fache Addition der 1 zu x zuruck:

add : N0 × N0 → N0

definiert durch

add(x, 0) = x

add(x, suc(y)) = suc(add(x, y))

13.1. REKURSIVE DEFINITION ARITHMETISCHER FUNKTIONEN 121

Mit dieser Berechnungsvorschrift ergibt sich z.B.

add(2, 3) = add(2, suc(2))= suc(add(2, 2))= suc(add(2, suc(1)))= suc(suc(add(2, 1)))= suc(suc(add(2, suc(0))))= suc(suc(suc(add(2, 0))))= suc(suc(suc(2)))= suc(suc(3))= suc(4)= 5

(2) Mithilfe der Addition konnen wir nun die Multiplikation definieren:

mult : N0 × N0 → N0

mit

mult(x, 0) = 0 (13.2)mult(x, suc(y)) = add(mult(x, y), x) (13.3)

Die Multiplikation von x und y wird hier durch y-fache Addition von x mit sich selbst be-rechnet.

Ubung 13.2. Berechnen Sie mit dieser Vorschrift z.B. mult(2, 3)! 2

(3) Analog konnen wir nun die Potenzfunktion mithilfe der Multiplikation definieren:

exp : N0 × N0 → N0

mit

exp(x, 0) = 1exp(x, suc(y)) = mult(exp(x, y), x)

Die Potenzierung von x mit y wird hier durch y-fache Multiplikation von x mit sich selbstberechnet.

Ubung 13.3. Berechnen Sie mit dieser Vorschrift z.B. exp(2, 3)!

Die hier beispielhaft durchgefuhrte Definition von rekursiv festgelegten Funktionen ist einegrundsatzliche Vorgehensweise in der funktionalen Programmierung. Ausgehend von einigen ge-gebenen Funktionen, wie z.B. in unserem Fall die Fallunterscheidung und die Sukzessorfunktion,werden schrittweise neue Funktionen definiert, mithilfe derer weitere Funktionen definiert werdenkonnen.


Ein Ansatz, den Begriff der Berechenbarkeit formal, d.h. mathematisch, zu prazisieren, beruhtebenfalls auf dieser Vorgehensweise. Man geht von ganz wenigen, ”einfachen“ Funktionen aus, dieper se als berechenbar angesehen werden. Mit weiteren Funktionen werden dann aus diesen so ge-nannten Grundfunktionen weitere Funktionen zusammengesetzt. Alle Funktionen, die sich auf dieseWeise darstellen lassen, gelten dann in diesem Berechenbarkeitskonzept als berechenbar. Hieraufgehen wir in Kapitel 14 noch naher ein.

13.2 Fibonacci-Zahlen

In diesem Kapitel wollen wir die Fibonacci-Folge betrachten. Diese taucht interessanterweise auf dieeine oder andere Art bei vielen Phanomenen in Mathematik, Informatik und Naturwissenschaftenaber auch in Bereichen der Kunst auf. Wir betrachten die Fibonacci-Folge hier nur als weiteresBeispiel einer rekursiv definierten Funktion, und wir werden nur ein paar wenige ihrer Eigenschaftenbetrachten.

Die Folge wird in der Regel auf das beruhmte ”Kaninchenproblem“ zuruckgefuhrt. Dieses Pro-blem wird im Liber Abbaci von dem wohl großten europaischen Mathematiker vor der Renaissance,Leonardo Pisano (Leonardo von Pisa, genannt Leornado Fibonacci, als Abkurzung von Filius Bo-naccii, 1170 - 1240) als Ubungsaufgabe gestellt:

Die Vermehrung von Kaninchenpaaren geschehe wie folgt: Am Anfang gebe es kein Paar,nach dem ersten Monat sei ein Paar – durch wen auch immer geschaffen – da. JedesKaninchenpaar ist nach dem zweiten Monat seiner Existenz geschlechtsreif, und jedesKaninchenpaar bringe von da an jeden Monat ein weiteres Paar zur Welt. Frage: Wieviele Kaninchenpaare Fn gibt es nach n Monaten?

Zum Zeitpunkt 0 gibt es kein Paar, also ist F0 = 0. Nach einem Monat gibt es ein Paar P1, alsoist F1 = 1. Nach zwei Monaten ist dieses Paar geschlechtsreif geworden, wir nennen es P g1 , und esist F2 = 1. Nach drei Monaten hat P g1 ein neues Paar P2 gezeugt, so dass F3 = 2 ist. Nach vierMonaten hat P g1 ein weiteres Paar P3 gezeugt, und P2 ist geschlechtsreif geworden, was wir mit P g2notieren. Es ist F4 = 3. Nach funf Monaten haben P g1 und P g2 je ein Paar, P4 und P5, gezeugt, undP3 ist geschlechtsreif geworden, was wir wieder entsprechend kennzeichnen: P g3 . Es ist F5 = 5.

Ubung 13.4. Uberlegen Sie selbst in dieser Art weiter! Sie werden herausfinden, dass F6 = 8 undF7 = 13 ist. 2

Gibt es eine Gesetzmaßigkeit, mit der sich Fn fur jedes n ∈ N0 berechnen lasst? Im n-ten Monatgibt es alle Paare, die es auch im vorhergehenden Monat n − 1 gegeben hat, sowie so viele Paare,wie es im Monat n−2 gegeben hat, denn diese sind im Monat n alle geschlechtsreif und bekommenje ein Paar Nachwuchs. Aus dieser Uberlegung ergibt sich die folgende rekursive Definition fur dieFibonacci-Funktion

F : N0 × N0 → N0

die fur jeden Monat n die Anzahl der Kaninchenpaare Fn angibt:1

F0 = 0, F1 = 1, Fn = Fn−1 + Fn−2, n ≥ 2 (13.4)

1Es ist ublich bei der Fibonacci-Funktion die eher bei Folgen ubliche Schreibweise Fn anstelle der Funktions-schreibweise F (n) zu verwenden.

13.2. FIBONACCI-ZAHLEN 123

Es gilt also z.B.F2 = F1 + F0 = 1 + 0 = 1F3 = F2 + F1 = 1 + 1 = 2F4 = F3 + F2 = 2 + 1 = 3F5 = F4 + F3 = 3 + 2 = 5F6 = F5 + F4 = 5 + 3 = 8F7 = F6 + F5 = 8 + 5 = 13F8 = F7 + F6 = 13 + 8 = 21F9 = F8 + F7 = 21 + 13 = 34F10 = F9 + F8 = 34 + 21 = 55

Mithilfe analytischer Methoden aus der Theorie der Differenzengleichungen, auf die wir imRahmen dieses Buches nicht eingehen, kann man einen geschlossenen Ausdruck zur Berechnungvon Fn herleiten:

Fn =1√5

(φn − φ′n) (13.5)

Dabei istφ = 1

2 (1 +√

5) = 1, 6180339 . . .φ′ = 1

2 (1−√

5) = −0, 6180339 . . .

Es gilt sogar:2

Fn = round(

1√5φn)

Die Anzahl der Kaninchenpaare Fn wachst also exponentiell in der Anzahl der Monate n.

Die Zahl φ stellt den Goldenen Schnitt dar. Ein geometrisches Verhaltnis von Großen in Kunst- GoldenerSchnittoder Bauwerken galt von alters her (bei Euklid; in der Renaissance ”gottliche Proportion“) als

asthetisch, falls es durch diese Zahl ausgedruckt werden konnte.3

Die Fibonacci-Zahlen konnen auch durch fortgesetzte Multiplikation der Matrix(F0 F1

F1 F2

)=(

0 11 1

)berechnet werden. Dazu erklaren wir zunachst, wie zwei 2 × 2-Matrizen miteinander multipliziertwerden: (

a bc d

)·(e fg h

)=

(ae+ bg af + bhce+ dg cf + dh

)(13.6)

Es gilt nun fur alle n ≥ 1(Fn−1 FnFn Fn+1

)=(F0 F1

F1 F2

)n=(

0 11 1

)n2round ist die bekannte Rundungsfunktion.3Eine Strecke AB wird durch einen Teilpunkt C gemaß dem Goldenen Schnitt geteilt, falls gilt

|AC||CB| =

|CB||AB| . Dabei

bedeutet |XY | die Lange der Strecke XY . Wenn man |AC| = 1 und |CB| = x setzt, dann wird das Streckenverhaltnisdurch 1

x= x

1+x, umgeformt durch x2 − x− 1 = 0 ausgedruckt. Losen wir diese Gleichung auf, dann erhalten wir als

Losungen φ und φ′.


Wir beweisen dies durch vollstandige Induktion uber n:

Induktionsanfang: Fur n = 1 gilt:(F1−1 F1

F1 F1+1

)=(F0 F1

F1 F2

)1

=(

0 11 1

)Induktionsschritt: Es gilt(

0 11 1

)n+1

=(

0 11 1

)n·(

0 11 1

)=(Fn−1 FnFn Fn+1

)·(

0 11 1

)wegen Induktionsvoraussetzung

=(

Fn Fn−1 + FnFn+1 Fn + Fn+1

)wegen (13.6)

=(

Fn Fn+1

Fn+1 Fn+

)wegen (13.4)

13.3 Ackermannfunktion

Als weitere Beispiele zu rekursiv definierten Funktionen betrachten wir die Ackermannfunktion undVarianten davon. Die Ackermannfunktion ist von großer Bedeutung in der Berechenbarkeitstheorie(siehe Kapitel 14.3). Sie ist eine Funktion, die mit Zahlschleifen nicht berechnet werden kann, weilsie schneller als alle Funktionen wachst, die mit Zahlschleifen berechnet werden konnen. EinenEindruck dieses Wachstums geben die folgenden Betrachtungen.

Definition 13.1. Die Ackermannfunktion A : N0 × N0 → N0 ist definiert durchAckermann-funktion

A(x, y) =

y + 1, x = 0A(x− 1, 1), x 6= 0 ∧ y = 0A(x− 1, A(x, y − 1)), sonst

2

Ubung 13.5. Berechnen Sie, um einen ersten Eindruck von dieser Funktion zu bekommen, A(3, 3)!2

Folgerung 13.1. Fur alle n ≥ 0 gilt:

a) A(1, n) = n+ 2,

b) A(2, n) = 2n+ 3,

c) A(3, n) = 2n+3 − 3,

d) A(4, n) = 22...2︸︷︷︸

n+3 Zweien

−3. 2

13.3. ACKERMANNFUNKTION 125


Wir definieren nun die Familie Ai i≥0 von Funktionen Ai : N0 → N0 rekursiv wie folgt:

A0(x) =

1, x = 02, x = 1x+ 2, sonst

An+1(x) = Axn(1)= An(An(. . . An︸︷︷︸

x-mal

(1) . . .))

Und mithilfe dieser Funktionen legen wir die Funktion

ack : N0 → N0

fest:

ack(x) = Ax(x) (13.7)

Gemaß diesen Definitionen gilt nun:

ack(0) = A0(0) = 1

ack(1) = A1(1) = A10(1) = 2

ack(2) = A2(2) = A21(1) = A1(A1(1)) = A1(2)

= A20(1) = A0(A0(1)) = A0(2) = 2 + 2 = 4

ack(3) = A3(3) = A32(1) = A2(A2(A2(1))) = A2(A2(2)) = A2(4)

= A41(1) = A1(A1(A1(A1(1)))) = A1(A1(A1(2))) = A1(A1(4))

= A1(A1(4)) = A1(A40(1)) = A1(A0(A0(A0(A0(1)))))

= A1(A0(A0(A0(2)))) = A1(A0(A0(4))) = A1(A0(6))= A1(8) = . . .

...= 16

Zur Berechnung von ack(4) bestimmen wir zunachst (1) A2(x) und dann (2) A3(x).

Zu (1): Es gilt:

A2(x) = 2x fur alle x ∈ N0 (13.8)

Wir beweisen dies mit vollstandiger Induktion:

Induktionsanfang: Es gilt: A2(0) = A01(1) = 1 = 20. Fur x = 0 stimmt also die Behauptung.


Induktionsschritt: Es gilt

A2(x+ 1) = Ax+11 (1)

= A1(Ax1(1))= A1(A2(x))= A1(2x) nach Induktionsvoraussetzung

= A2x

0 (1)= A0(A0(. . . A0(A0︸︷︷︸

2x-mal

(1)) . . .))

= A0(A0(. . . A0︸︷︷︸(2x−1)-mal

(2) . . .))

= 2 + 2 + . . .+ 2︸︷︷︸2x-mal

= 2 · 2x = 2x+1

womit der Induktionsschritt vollzogen ist.

Zu (2): Die x-mal iterierte Zweierpotenz ist die Funktion iter2 : N0 → N0 definiert durch

iter2(0) = 1

iter2(n+ 1) = 2iter2(n), n ≥ 1

Es gilt also z.B.

iter2(1) = 2iter2(0) = 21 = 2 = 2 (13.9)

iter2(2) = 2iter2(1) = 22 = 22 = 4 (13.10)

iter2(3) = 2iter2(2) = 24 = 222= 16 (13.11)

iter2(4) = 2iter2(3) = 216 = 2222

= 65 536 (13.12)

iter2(5) = 2iter2(4) = 265 536 = 22222

= . . . (13.13)

Man erkennt, dass iter2(x) die x-mal iterierte 2er-Potenz ist.

Wir beweisen nun mit vollstandiger Induktion, dass gilt

A3(x) = iter2(x) (13.14)

Induktionsanfang: Es gilt: A3(0) = A02(1) = 1 = iter2(0). Fur x = 0 stimmt also die Behauptung.

Induktionsschritt: Es gilt

A3(x+ 1) = Ax+12 (1)

= A2(Ax2(1))= A2(A3(x))= A2(iter2(x)) nach Induktionsvoraussetzung

= 2iter2(x) wegen (13.8)= iter2(x+ 1) wegen der Definition von iter2

13.4. VERALLGEMEINERTES REKURSIONSSCHEMA 127

womit der Induktionsschritt vollzogen ist.

Nun konnen wir ack(4) berechnen:

ack(4) = A4(4)

= A43(1)

= A33(A3(1))

= A33(2) wegen (13.14) und (13.9)

= A23(A3(2))

= A23(4)) wegen (13.14) und (13.10)

= A3(A3(4))= A3(65536) wegen (13.14) und (13.12)= iter2(65536)

= 222...2

65536-mal iterierte Zweierpotenz

Man schatzt die Anzahl der Atome im ”bekannten“ Universum auf etwa 2350, im Vergleich zu ack(4)eine sehr kleine Zahl. Die Ackermannfunktion hat ein immenses Wachstumsverhalten. Man kann so-gar zeigen, dass die Ackermannfunktion starker wachst als Funktionen, die mit Zahlschleifen berech-net werden konnen. Bei Zahlschleifen liegt die Anzahl der Schleifendurchlaufe vor Ausfuhrung derSchleife fest, d.h. die Schleifenbedingung kann – im Unterschied zu Bedingungsschleifen – wahrendder Schleifenausfuhrung nicht verandert werden.

13.4 Verallgemeinertes Rekursionsschema

Wir haben schon im Kapitel 2 rekursive Definitionen benutzt. So haben wir im Abschnitt 2.2die Syntax der Aussagenlogik definiert, indem wir zunachst – als Rekursionsanfang – atomareFormeln festgelegt haben und anschließend – im Rekursionsschritt – beschrieben, wie aus bereitsgegebenen Formeln neue gebildet werden konnen. In der Definition 8.10 auf Seite 93 haben wir dien-fache Komposition einer Relation R mit sich selbst rekursiv definiert: Zunachst haben wir alsRekursionsanfang R = id festgelegt und im Rekursionsschritt, wie Rn aus Rn−1 berechnet wird.

Tatsachlich sind rekursive Definition und vollstandige Induktion nicht auf auf naturlichen Zahlendefinierte Funktionen beschrankt. Insbesondere in der Informatik sind viele wichtige Datenstruk-turen, wie z.B. Listen und Baume, rekursive Strukturen, auf denen Operationen wie Einfugen,Loschen und Suchen von Elementen entsprechend als rekursive Prozeduren programmiert werdenkonnen. Rekursion ist ein allgmeines Problemloseprinzip, welches in vielen Fallen zu ”eleganten“Losungen fuhrt.

Zum Abschluss des Kapitels betrachten wir ein verallgemeinertes Induktionsprinzip fur Pradi- VerallgemeinertesRekursionsschemakate uber induktiv definierte Mengen: Sei M eine induktiv definierte Menge und P : M → B ein

totales Pradikat. Falls gilt:

• Induktionsanfang: Gilt P (x) fur alle explizit angegebenen Elemente von M und

• Induktionsschritt: gilt ur alle x1, . . . , xk ∈M und fur jedes daraus nach den Definitionsregelnvon M erzeugbare y ∈M : P (x1), . . . , P (xk)⇒ P (y),


dann gilt fur alle x ∈M : P (x).Haben wir fur ein Pradikat P : M → B Induktionsanfang und Induktionsschritt gezeigt, dann

wissen wir, dass P fur alle Elemente von M zutrifft.

Beispiel 13.1. Im Abschnitt 2.2 haben wir die Menge A der aussagenlogischen Formeln induk-tiv definiert. Wir beweisen nun das Pradikat P uber dieser Menge, welches besagt, dass in jederaussagenlogischen Formel, die Anzahl der offnenden Klammern gleich der Anzahl der schließendenKlammern ist.

Wir formalisieren zunachst dieses Pradikat. Fur eine Formel α ∈ A bezeichne α( die Anzahlder offnenden und α) die Anzahl der schließenden Klammern in α. Unser Pradikat lautet damit:P (α) = α( = α).

Mit dem verallgemeinerten Induktionsschema zeigen wir nun, dass fur alle α ∈ A gilt P (α).

Induktionsanfang: Die explizit angegebenen Elemente von A sind die aussagenlogischen Konstanten0 und 1 sowie die aussagenlogischen Variablen v ∈ V . Diese atomaren Formeln enthalten keineKlammern, d.h. es gilt

0( = 0 = 0)

1( = 0 = 1)

v( = 0 = v), fur alle v ∈ V

Somit gilt P (0) und P (1) sowie P (v) fur alle v ∈ V . Damit ist der Induktionsanfang fur unserPradikat P gezeigt.

Induktionsschritt: Fur gegebene Formeln α, β ∈ A konnen aufgrund der Definitionsregeln von A dieFormeln (1) γ1 = (α ∧ β, (2) γ2 = α ∨ β sowie (3) γ3 = ¬α gebildet werden.

Nach Induktionsvoraussetzung gelten P (α) und P (β), d.h. α( = α) bzw. β( = β). Wir zeigennun, dass auch P (γi), d.h. γi( = γi), fur i = 1, 2, 3, gilt:

Zu (1): Es gilt

γ1( = α( + β( + 1= α) + β) + 1 wegen Induktionsvoraussetzung= γ1)

Zu (2): Der Beweis fur diesen Fall ist identisch zum Fall (1).

Zu (3): Dieser Fall gilt offensichtlich, denn bei der Negation einer Formel kommen keine weiterenKlammern hinzu.

Damit ist auch der Induktionsschritt fur alle Falle gezeigt, und damit gilt gemaß dem verallge-meinerten Induktionsprinzip: fur alle α ∈ A: P (α). 2

Ubung 13.7. Fur die aussagenlogischen Formeln gilt nicht nur, dass die Anzahl der offnendengleich der Anzahl der schließenden Klammern ist, sondern auch dass in jedem Prafix einer Formeldie Anzahl der schließenden Klammern nicht großer als die Anzahl der offnenden Klammern ist.Beweisen Sie diese Aussage! 2

13.5. ALPHABETE, WORTER, SPRACHEN 129

13.5 Alphabete, Worter, Sprachen

In Kapitel 2 haben wir bereits Sprachen kennen gelernt: die Sprache der Aussagenlogik und dieSprache der Pradikatenlogik. Daher kennen wir anhand dieser Beispiele schon die Begriffe Alphabet,Wort und Sprache. In diesem Abschnitt gehen wir allgemein auf diese Begriffe ein, zum Einen, umdiese kennen zu lernen, und zum Anderen, weil wir dabei rekursive Definitionen benutzen und somitden Umgang mit Rekursion weiter uben konnen.

Die Symbole, aus denen Worter bestehen, fassen wir in einer Menge, dem Alphabet, zusammen. AlphabetSymbolBuchstabe

Dabei wollen wir nur endliche Alphabete zulassen. Ihre Elemente heißen Symbole oder Buchstaben.Zur allgemeinen Bezeichnung von Alphabeten wird zumeist das Symbol Σ benutzt.

Falls wir kein konkretes, sondern allgemein ein Alphabet Σ betrachten, dann benennen wir dessenBuchstaben in der Regel mit a, b, c oder mit a1, a2, . . . , an: Σ = a1, a2, . . . , an , n ≥ 0. Dabei solldurch die Reihenfolge der Aufzahlung der Buchstaben auf Σ eine (alphabetische) Ordnung festgelegt Alphabetische

Ordnungsein: ai < ai+1, 1 ≤ i ≤ n− 1.

Die endlich langen Zeichenfolgen, die uber einem Alphabet Σ gebildet werden konnen, heißenWorter uber Σ. Worter entstehen, indem Symbole oder bereits erzeugte Worter aneinandergereiht Worter

(miteinander verkettet, verklebt, konkateniert) werden. Σ∗, die Menge aller Worter, die uber demAlphabet Σ gebildet werden kann, ist wie folgt definiert:

(1) Jeder Buchstabe a ∈ Σ ist auch ein Wort uber Σ, d.h. a ∈ Σ∗.

(2) Werden bereits existierende Worter hintereinandergeschrieben (konkateniert), entstehen neue Konkatenation

Worter, d.h. sind v, w ∈ Σ∗, dann ist auch ihre Verkettung (Konkatenation) vw ∈ Σ∗.

(3) ε, das leere Wort, ist ein Wort uber (jedem Alphabet) Σ, d.h. ε ∈ Σ∗. ε ist ein definiertes Leeres Wort

Wort ohne ”Ausdehnung“. Es hat die Eigenschaft: εw = wε = w fur alle w ∈ Σ∗.

Mit Σ+ bezeichnen wir die Menge aller Worter uber Σ ohne das leere Wort, d.h. Σ+ = Σ∗ − ε.

Wenn wir im Folgenden ein Wort w buchstabenweise notieren, w = w1 . . . wn, n ≥ 0, sind diewi Buchstaben, also wi ∈ Σ, 1 ≤ i ≤ n. n = 0 bedeutet, dass w das leere Wort ist: w = ε.

Beispiel 13.2. a) Sei Σ = a, b , dann ist

Σ∗ = ε, a, b, aa, ab, ba, bb, aaa, aab, aba, abb, baa, bab, bba, bbb, . . .

b) Sei Σ = ∅, dann gilt Σ∗ = ε . 2

Ist w = v v . . . v︸︷︷︸n−mal

dann schreiben wir abkurzend w = vn. vn heißt die n-te Potenz von v. Es ist

v0 = ε. In Beispiel 13.2 a) konnen wir Σ∗ also auch wie folgt schreiben:

Σ∗ = ε, a, b, a2, ab, ba, b2, a3, a2b, aba, ab2, ba2, bab, b2a, b3, . . .

Die n-te Potenz des Wortes v ∈ Σ∗ kann auch rekursiv definiert werden:

v0 = ε

vn+1 = vnv, n ≥ 0


Ist w ∈ Σ∗ ein Wort der Form w = xyz mit x, y, z ∈ Σ∗, dann heißt x Prafix, y Infix und z PrafixInfixPostfix, Suf-fix

Postfix oder Suffix von w.

Die Lange eines Wortes kann durch die Funktion l : Σ∗ → N0 definiert durchWortlange

l(ε) = 0l(wa) = l(w) + 1, fur w ∈ Σ∗, a ∈ Σ

berechnet werden, die einem Wort uber Σ die Anzahl seiner Buchstaben als Lange zuordnet: Dasleere Wort hat die Lange 0. Die Lange eines Wortes, das mindestens einen Buchstaben a sowie ein– moglicherweise leeres – Prafix w enthalt, wird berechnet, indem zur Lange des Prafixes eine 1addiert wird.

Die Lange des Wortes aba uber Σ = a, b berechnet sich also rekursiv mit der Funktion l wiefolgt:

l(aba) = l(ab) + 1 = l(a) + 1 + 1 = l(ε) + 1 + 1 + 1 = 0 + 1 + 1 + 1 = 3

Eine andere gangige Notation fur die Lange l(w) eines Wortes w ist |w|.

Auf Σ∗ definieren wir eine lexikografische Ordnung ≺⊆ Σ∗ × Σ∗ wie folgt: Sei v = v1 . . . vm,LexikografischeOrdnung vi ∈ Σ, 1 ≤ i ≤ m, und w = w1 . . . wn, wj ∈ Σ, 1 ≤ j ≤ n, dann gilt v ≺ w genau dann,

(1) wenn m < n (d.h. |v| < |w|) oder

(2) wenn m = n ist und es ein k, 1 ≤ k < m, gibt, so dass v1 . . . vk = w1 . . . wk sowie vk+1 < wk+1

gilt.

≺ ordnet Worter also zunachst nach der Lange und innerhalb gleicher Langen alphabetisch, d.h.wie durch die Ordnung auf Σ vorgegeben. Ist etwa Σ = a, b (d.h. a < b), dann gilt z.B.

• bb ≺ aaa wegen (1),

• baab ≺ baba wegen (2).

Sei Σ ein Alphabet, dann heißt jede Menge L ⊆ Σ∗ eine (formale) Sprache uber Σ.FormaleSprache Sprachen sind also Mengen von Wortern und konnen somit mit den ublichen Mengenoperatio-

nen wie Vereinigung, Durchschnitt und Differenz miteinander verknupft werden. Wir wollen furSprachen eine weitere Verknupfung einfuhren, die Konkatenation: Seien L1 und L2 zwei SprachenKonkatenation

von Sprachen uber Σ, dann ist die Konkatenation L1 L2 von L1 und L2 definiert durch

L1 L2 = vw | v ∈ L1, w ∈ L2

Es werden also alle Worter aus L1 mit allen Wortern aus L2 konkateniert. Gelegentlich lassen wirwie bei der Konkatenation von Wortern auch bei der Konkatenation von Sprachen das Konkaten-ationssymbol weg, d.h. an Stelle von L1 L2 schreiben wir L1L2.

Beispiel 13.3. Seien L1 = ε, ab, abb und L2 = b, ba zwei Sprachen uber a, b , dann ist

L1 L2 = b, ba, abb, abba, abbb, abbba

sowieL2 L1 = b, bab, babb, ba, baab, baabb

13.5. ALPHABETE, WORTER, SPRACHEN 131

Folgerung 13.2. Fur zwei Sprachen L1, L2 ⊆ Σ∗ gilt: Falls ε ∈ L1, dann ist L2 ⊆ L1 L2, bzw.umgekehrt, falls ε ∈ L2, dann ist L1 ⊆ L1 L2. 2


Sei L eine Sprache uber Σ, dann ist die n-te Potenz von L definiert durch:

L0 = ε Ln+1 = Ln L, n ≥ 0

Beispiel 13.4. Sei L = a, ab , dann ist

L0 = ε L1 = L0 L

= ε a, ab = a, ab = L

L2 = L1 L= a, ab a, ab = a2, a2b, aba, (ab)2

L3 = L2 L= a2, a2b, aba, (ab)2 a, ab = a3, a3b, a2ba, a2bab, aba2, aba2b, (ab)2a, (ab)3 ...

2

Das Kleene-Stern-Produkt L∗ einer Sprache L ist die Vereinigung aller ihrer Potenzen Ln, n ≥ 0: Kleene-Stern-ProduktL∗ =

⋃n≥0

Ln = L0 ∪ L1 ∪ L2 ∪ L3 ∪ . . .

Das Kleene-Stern-Produkt von L ohne das leere Wort notieren wir mit L+ bezeichnet, d.h. L+ =L∗ − L0.


Kapitel 14

Berechenbare Funktionen

Im vorigen Kapitel 13 haben wir an vielen Beispielen gesehen, dass Rekursion ein sehr geeignetesMittel zur Losung von Problemen ist. Im Allgemeinen kann man ein Problem π = (F,A, fπ) Problem

Problemspezifikationformalisieren, indem man die Menge der moglichen Fragen F, die Menge der moglichen Antworten Asowie die Spezifikation fπ : F→ A angibt, die jeder Frage x ∈ F, die richtige Antwort fπ(x) = y ∈ A– soweit existierend – zuordnet. So kann man z.B. die Addition beschreiben durch

add = (N0 × N0,N0, fadd)

mitfadd(x, y) = x+ y

Gesucht ist nun ein Algorithmus, der dieses Problem lost, d.h. zu gegebenen zwei naturlichen Zahlenderen Summe berechnet.

Berechnungsverfahren sind von alters her bekannt, sie wurden erfunden und angewendet, umProbleme des taglichen Lebens oder in Naturwissenschaften und Technik zu losen, ohne dass uber-haupt festgelegt worden ware, was denn ein Berechnungsverfahren, ein Algorithmus uberhaupt ist.Zu Beginn des letzten Jahrhunderts tauchte dann die Frage danach auf, was uberhaupt berechenbarist. Ein solche Frage kann naturlich nicht beantwortet werden, wenn man den Begriff Algorithmusnicht formal prazisiert. So wurde Ende der zwanziger Jahre und in den dreißiger Jahren des vorigenJahrhunderts mit unterschiedlichen Ansatzen versucht, den Begriff der Berechenbarkeit mathema-tisch zu prazisieren. Dabei betrachtete man Probleme auf naturlichen Zahlen, d.h. Probleme derArt

π = (Nk0 ,N0, fπ), k ≥ 0Einer dieser Ansatze geht davon aus, dass es einige wenige, sehr einfache Funktionen gibt, die manper se als berechenbar ansieht. Aus diesen Funktionen konnen dann mit rekursiven Konzepten neueFunktion konstruiert werden, die dann ebenfalls als berechenbar angesehen werden. Weil deshalbdieser Ansatz zum Thema Rekursion passt, wollen wir in diesem Kapitel einfuhrend darauf eingehen.


• das Konzept der primitiv-rekursiven und der µ-rekursiven Funktionen zur Definition vonBerechenbarkeit verstehen und erklaren konnen,

• in der Lage sein fur einfache arithmetische Funktionen primitiv-rekursive oder notigenfallsµ-rekursive Funktionen anzugeben.

133

134 KAPITEL 14. BERECHENBARE FUNKTIONEN

14.1 Primitiv-rekursive Funktionen

Folgende Funktionen werden als berechenbar angesehen:

Nullfunktion

Fur k ≥ 0 sind die k-stelligen Nullfunktionen

Ok : Nk0 → N0

definiert durchOk(x1, . . . , xk) = 0

berechenbar.

Projektion

Fur k ≥ 1 sind die k-stelligen Projektionen

πki : Nk0 → N0, 1 ≤ i ≤ k

definiert durchπki (x1, . . . , xk) = xi

berechenbar.

Nachfolgerfunktion

Die Nachfolgerfunktionν : N0 → N0

definiert durchν(x) = x+ 1

ist berechenbar.

Aus diesen Grundfunktionen konnen wie folgt weitere Funktionen zusammengesetzt werden:

Komposition

Fur m ∈ N und k ∈ N0 ist die Komposition einer berechenbaren Funktion

g : Nm0 → N0

mit berechenbaren Funktionenh1, . . . , hm : Nk0 → N0

definiert durch die FunktionC [g;h1, . . . , hm] : Nk0 → N0

mitC [g;h1, . . . , hm] (x1, . . . , xk) = g(h1(x1, . . . , xk), . . . , hm(x1, . . . , xk))

14.1. PRIMITIV-REKURSIVE FUNKTIONEN 135

berechenbar.

Der Komposition von Funktionen entspricht der Sequenz von Anweisungen in Programmen:yi = hi(x1, . . . , xk), 1 ≤ i ≤ m, sind die Ergebnisse der Anweisungen hi, die dann in die Anweisungg einfließen, um y = g(y1, . . . , ym) zu berechnen:

y1 = h1(x1, . . . , xk)y2 = h2(x1, . . . , xk)

...ym = hm(x1, . . . , xk)y = g(y1, . . . , ym)

Etwas abstrakter ausgedruckt konnen die hi als Unterprogramme aufgefasst werden, die vomProgramm g aufgerufen werden.

Primitive Rekursion

Fur k ∈ N0 ist die primitive Rekursion der Funktionen

g : Nk0 → N0

undh : Nk+2

0 → N0

definiert durch die FunktionPRK [g, h] : Nk+1

0 → N0

mit

PRK [g, h] (x1, . . . , xk, 0) = g(x1, . . . , xk)

PRK [g, h] (x1, . . . , xk, ν(y)) = h(x1, . . . , xk, y,PRK [g, h] (x1, . . . , xk, y))

Sei y = 2 = ν(1), dann gilt

PRK [g, h] (x1, . . . , xk, ν(1))= h(x1, . . . , xk, 1,PRK [g, h] (x1, . . . , xk, 1))= h(x1, . . . , xk, 1,PRK [g, h] (x1, . . . , xk, ν(0)))= h(x1, . . . , xk, 1, h(x1, . . . , xk, 0,PRK [g, h] (x1, . . . , xk, 0)))= h(x1, . . . , xk, 1, h(x1, . . . , xk, 0, g(x1, . . . , xk)))

Dieses Rekursionsschema ist eine abstrakte, mathematische Beschreibung dessen, was eine Zahl-schleife in prozeduralen Programmiersprachen bewirkt. Ist

f = PRK [g, h]

dann bewirkt der Aufruf f(x1, . . . , xk, y) Folgendes: y wird als Zahlvariable betrachtet. Am Schlei-fenanfang (y = 0) findet mithilfe von g eine Initialisierung statt. Deren Ergebnis geht in die erste


f := g(x1, . . . , xk);for i := 0 to y − 1 do

f := h(x1, . . . , xk, i, f)endfor

Abbildung 14.1: Primitive Rekursion als Zahlschleife.

Schleifenrunde ein. In jeder Schleifenrunde wird dann mit dem, was in der vorherigen Runde be-rechnet wurde, mit dem Zahler y und den Schleifenvariablen x1, . . . , xk das Ergebnis dieser Rundeberechnet. Die Schleife wird y-mal durchlaufen.

In einer prozeduralen Programmiersprache konnte die Schleife f(x1, . . . , xk, y) wie in Abbildung14.1 dargestellt aussehen.

Definition 14.1. Die Menge PR der primitiv-rekursiven Funktionen ist die kleinste Menge vonFunktionen von Nk0 → N0, k ≥ 0, die alle Nullfunktionen, alle Projektionen und die Nachfolger-funktion enthalt und die unter Komposition und primitiver Rekursion abgeschlossen ist. 2

Beispiel 14.1. a) Die Konstante 1 : N00 → N0 definiert durch 1() = 1 ist eine primitiv-rekursive

Funktion, denn es gilt

1 = C[ν;O0

](14.1)

mit1() = C

[ν;O0

]() = ν(O0()) = ν(0) = 1

b) Jede Konstante c : N00 → N0 definiert durch c() = c ist eine primitiv-rekursive Funktion, denn

es gilt

c = C [ν; C [ν; . . . ; C [ν;︸︷︷︸c−mal

O0 ] . . .]] (14.2)

mitc() = C [ν; C [ν; . . . ; C [ν;︸︷︷︸

c−mal

O0 ] . . .]] () = νc(O0()) = νc(0) = c

c) Die Identitat id : N0 → N0 definiert durch id(x) = x ist primitiv-rekursiv, denn es gilt

id = π11

mitid(x) = π1

1(x) = x

d) Die Addition add : N0 × N0 → N0 definiert durch add(x, y) = x+ y ist primitiv-rekursiv, dennes gilt

add = PRK[π1

1 , C[ν;π3

3

]](14.3)

14.1. PRIMITIV-REKURSIVE FUNKTIONEN 137

Es gilt z.B.

add(3, 2) = PRK[π1

1 , C[ν, π3

3

]](3, 2)

= C[ν;π3

3

](3, 1,PRK

[π1

1 , C[ν;π3

3

]](3, 1))

= ν(π33(3, 1,PRK

[π1

1 , C[ν;π3

3

]](3, 1)))

= ν(PRK[π1

1 , C[ν;π3

3

]](3, 1))

= ν(C[ν;π3

3

](3, 0,PRK

[π1

1 , C[ν;π3

3

]](3, 0)))

= ν(ν(π33(3, 0,PRK

[π1

1 , C[ν;π3

3

]](3, 0)))

= ν(ν(PRK[π1

1 , C[ν;π3

3

]](3, 0)))

= ν(ν(π11(3, 0)))

= ν(ν((3))= ν(4)= 5

e) Die Multiplikation mult : N0 × N0 → N0 definiert durch mult(x, y) = x · y ist primitiv-rekursiv,denn es gilt

mult = PRK[O1, C

[add ;π3

1 , π33

]](14.4)

f) Die Quadrierung sqr : N0 → N0 definiert durch sqr(x) = x2 ist primitiv-rekursiv, denn es gilt

sqr = C[mult ;π1

1 , π11

](14.5)

g) Die Vorgangerfunktion pre : N0 → N0 definiert durch

pre(x) =

0, x = 0x− 1, x ≥ 1

ist primitiv-rekursiv, denn es gilt:

pre = PRK[O0, π2

1

](14.6)

h) Die Subtraktion minus : N0 × N0 → N0 definiertt durch

minus(x, y) =

x− y, x ≥ y0, x < y


minus = PRK[id , C

[pre;π3

3

]](14.7)

i) Die Potenzfunktion exp : N0 × N0 → N0 definiert durch

exp(b, x) = bx



exp = PRK[1, C

[mult ;π3

1 , π33

]](14.8)

j) Die Signumfunktion sign : N0 → N0 definiert durch

sign(x) =

1, x > 00, x = 0

ist primitiv-rekursiv, denn es gilt

sign = C[minus;π1

1 , pre]

(14.9)

oder in ”ublicher“ Notationsign(x) = x− pre(x)

k) Der Test auf Gleichheit equal : N0 × N0 → N0 definiert durch

equal(x, y) =

1, x = y

0, x 6= y

ist primitiv-rekursiv, denn es gilt

equal = C[minus; 1, C

[sign; C

[add ; C

[minus;π2

1 , π22

], C[minus;π2

2 , π21

]]]](14.10)

oder in ublicher Notation

equal(x, y) = 1− sign((x− y) + (y − x))

2

Ubung 14.1. a) Berechnen Sie mit dem Schema (14.4) mult(3, 2)!

b) Berechnen Sie mit dem Schema (14.6) pre(3)!

c) Berechnen Sie mit dem Schema (14.7) minus(5, 2)!

d) Berechnen Sie mit dem Schema (14.8) exp(2, 3)! 2

Ubung 14.2. a) Geben Sie eine primitv-rekursive Funktion an, die die Funktion sum : N0 → N0

definiert durch

sum(n) =n∑i=0

i

berechnet!

b) Geben Sie eine primitv-rekursive Funktion an, die die Funktion ! : N0 → N0 definiert durch

n! =

1, n = 0n(n− 1)!, n ≥ 1

berechnet! 2

14.2. µ-REKURSION 139

read(x1, . . . , xk);y := 0;while f(x1, . . . , xk, y) 6= 0 do

y := y + 1endwhile;write(y)

Abbildung 14.2: µ-Rekursion als Wiederholungsschleife.

14.2 µµµ-Rekursion

Die Grundfunktionen, Nullfunktionen, Projektionen und Nachfolgerfunktion, sind totale Funktio-nen. Die Komposition und die primitive Rekursion erhalten diese Eigenschaft, d.h. jedes Elementvon PR ist eine totale Funktion. Es gibt aber Funktionen, die wir sicherlich als berechenbar ansehen,die aber nicht total definiert sind. Beispiele sind die Wurzelfunktionen und die Logarithmen. DieQuadratwurzel etwa ist nur auf Quadratzahlen definiert und der Logarithmus zur Basis zwei nur furZweierpotenzen. Diese nur partiell definierten Funktionen konnen also nicht primitiv-rekursiv sein.Wir benotigen also noch ein weiteres Konzept, mit denen auch nicht totale Funktionen berechnetwerden konnen.

Definition 14.2. Sei f : Nk+10 → N0, dann ist die Funktion µ [f ] : Nk0 → N0 definiert durch µµµ-Rekursion

µ [f ] (x1, . . . , xk) =min z | (x1, . . . , xn, y) ∈ Def (f) fur y ≤ z und f(x1, . . . , xk, z) = 0

Das Ergebnis der µ-Rekursion auf f ist also das kleinste z mit f(x1, . . . , xk, z) = 0 unter derVoraussetzung, dass f(x1, . . . , xk, y) fur y ≤ z definiert ist. 2

Die µ-Rekursion kann als mathematische Abstraktion von Wiederholungsschleifen (While-Schleifen)in prozeduralen Programmiersprachen betrachtet werden. y ist die Schleifenvariable, die mit Nullbeginnend hoch gezahlt wird, und in jedem Schleifendurchlauf wird gepruft, ob f(x1, . . . , xk, y) = 0ist. Falls das zutrifft, ist z = y, die Anzahl der Schleifendurchlaufe, das Ergebnis der Schleife. Fallsdie Bedingung nicht erreicht wird, dann terminiert die Schleife nicht, d.h. µ [f ] (x1, . . . , xk ist nichtdefiniert.

In einer prozeduralen Programmiersprache konnte die Schleife µ [f ] (x1, . . . , xk) wie in Abbildung14.2 dargestellt aussehen.

Definition 14.3. Die Klasse µR der µ-rekursiven Fuktionen ist die kleinste Menge von Funktionenf : Nk0 → N0, k ≥ 0, die alle Grundfunktionen (Nullfunktionen, Projektionen, Nachfolgerfunktion)enthalt und die unter Komposition, primitver Rekursion und Anwendung des µ-Operators abge-schlossen ist. 2

Beispiel 14.2. a) Die Funktion sub : N0 × N0 → N0 definiert durch

sub(x, y) =

x− y, x ≥ y⊥, x < y

ist µ-rekursiv. Dazu betrachten wir folgende Funktion f : N0 × N0 × N0 → N0 definiert durch

f(x, y, d) = sign(x− y)(x− (y + d)) + sign(y − x)


read(x, y);d := 0;while sign(x− y)(x− (y + d)) + sign(y − x) 6= 0 do

d := d+ 1endwhile;write(d)

Abbildung 14.3: Berechnung der Funktion sub durch µ-Rekursion.

dabei soll ”−“ die Funktion minus aus Beispiel 14.1 h) darstellen. Die Funktionen sign, minus, addund mult sind primitiv-rekursiv (siehe Beispiel 14.1), also ist auch die Funktion f primitiv-rekursiv.Es z.B.

f = Chadd; C

hmult; C

hsign; C

hminus;π

31 , π

32

ii, C

hminus;π

31 , C

hadd;π

32 , π

33

iii, C

hsign; C

hminus;π

32 , π

33

iiiWir betrachten drei Falle: x = y, x > y und x < y.

Ist x = y, dann ist f(x, y, d) = 0 fur alle d ∈ N0.Ist x > y, dann ist sign(x− y) = 1, sign(y − x) = 0 und (x− (y + d)) > 0 fur d < x− y, d.h. es

ist f(x, y, d) = 1 fur d < x− y und f(x, y, , x− y) = 0.Ist x < y, dann ist sign(x− y) = 0 und sign(y− x) = 1 fur alle d ∈ N0, d.h. es ist f(x, y, d) = 1

fur alle d ∈ N0.Aus diesen Uberlegungen folgt, dass

sub = µ [f ] (14.11)

ist.Betrachten wir das Muster von Abbildung 14.2, dann wird sub von dem in Abbildung 14.3

dargestellten Programm berechnet. Falls x ≥ y ist, dann wird d so lange hoch gezahlt, bis d = x−yist, und d wird ausgegeben. Ist x < y, dann terminiert die Schleife nicht, d.h. fur die Eingabe (x, y)erfolgt keine Ausgabe.

b) Die Funktion √ : N0 → N0 definiert durch

√x =

y, falls x = y2

⊥, sonst

ist µ-rekursiv. Dazu setzen wir f(x, y) = x y2, dabei sei ”“ eine Darstellung fur die Funktionsub. f ist eine µ-rekursive Funktion, denn es gilt

f = C[sub;π2

1 , C[sqr ;π2

2

]]Wir konnen nun zu gegebenem x die Quadratwurzel berechnen, indem wir y beginnend bei

Null hoch zahlen und dabei testen, ob x = y2 ist. Falls das erreicht wird, ist y =√x, ansonsten

terminiert das Verfahren nicht. Es gilt

√ = µ [f ] = µ[C[sub;π2

1 , C[sqr ;π2

2

]]](14.12)

Abbildung 14.4 zeigt eine Implementierung dieses Verfahrens.

14.2. µ-REKURSION 141

read(x);y := 0;while x y2 6= 0 do


Abbildung 14.4: Berechnung der Funktion √ durch µ-Rekursion.

read(b, x);y := 0;while x exp(b, y) 6= 0 do


Abbildung 14.5: Berechnung der Logarithmus-Funktion durch µ-Rekursion.

c) Die Funktion log : N0 × N0 → N0 definiert durch

log(b, x) =

y, falls by = x

⊥, sonst

ist µ-rekursiv. Dazu setzen wir f(b, x, y) = x exp(b, y) (siehe Beispiel 14.1 i). f ist µ-rekursiv,denn es gilt

f = C[sub;π3

2 , C[exp;π3

1 , π33

]]Wir konnen nun zu gegebenem b und x den Logarithmus von x zur Basis b berechnen, indem

wir y beginnend bei Null hoch zahlen und dabei testen, ob by = x ist. Falls das erreicht wird, isty = logb x, ansonsten terminiert das Verfahren nicht. Es gilt

log = µ [f ] = µ[C[sub;π3

2 , C[exp;π3

1 , π33

]]](14.13)

Abbildung 14.5 zeigt eine Implementierung dieses Verfahrens. 2

Ubung 14.3. Geben Sie eine µ-rekursive Funktion an, welche die Funktion

div : N0 × N0 → N0

definiert durch

div(a, b) =

q, falls b 6= 0 und q, r ∈ N0 existieren mit a = bq + r

und 0 ≤ r < b

⊥, sonst

berechnet! 2


mod : N0 × N0 → N0


definiert durch

mod(a, b) =

r, falls b 6= 0 und q, r ∈ N0 existieren mit a = bq + r

und 0 ≤ r < b

⊥, sonst

berechnet! 2


√ : N0 × N0 → N0

definiert durchn√x =

y, falls x = yn

⊥, sonst

berechnet! 2

14.3 Berechenbarkeit, Churchsche These

Die µ-rekursiven Funktionen sind ein Konzept, um den Begriff der Berechenbarkeit von Funktionenf : Nk0 → N0 mathematisch zu prazisieren.1 Daneben gibt es eine Reihe weiterer Konzepte, wie z.B.Turingmaschinen, Universelle Registermaschinen, Goto-Programme, While-Programme, Markov-Algorithmen, λ-Kalkul. Obwohl diese Konzepte teilweise auf sehr unterschiedlichen Ansatzen ba-sieren, kann gezeigt werden, dass sie alle dieselbe Klasse von Funktionen f | f : Nk0 → N0, k ≥ 0 als berechenbar festlegen. Diese Aquivalenz der Berechenbarkeitskonzepte ist die Begrundung furdie Churchsche These.2

Churchsche These Die Klasse µR der µ-rekursiven Funktionen ist genau die Klasse der imChurchscheThese intuitiven Sinne berechenbaren Funktionen. 2

Wir bezeichnen mitPartiell be-rechenbareFunktion P = f | f : Nk0 → N0, k ≥ 0, f ist im intuitiven Sinn berechenbar

die Klasse der partiell berechenbaren Funktionen. Die Churchsche These besagt, dass µR = P ist.

Zu Beginn von Kapitel 14.2 haben wir bereits festgestellt, dass PR, die Klasse der primitiv-rekursiven Funktionen, eine echte Teilklasse von P ist: PR ⊂ P.

Des Weiteren haben wir dort uberlegt, dass alle primitiv-rekursiven Funktionen total sind. Wennwir mit R die Klasse der total berechenbaren Funktionen bezeichnen, dann gilt also PR ⊆ R. DieFrage ist, ob auch die Umkehrung gilt, d.h., ob alle total berechenbaren Funktionen auch primitiv-rekursiv sind. In den ersten Jahren der Berechenbarkeitstheorie gab es Vermutungen in diese Rich-tung. Doch F.W. Ackermann3 konnte 1926 (veroffentlicht 1928) eine Funktion angeben, die totalAckermannfunktion

1Dieser Ansatz geht auf Stephen C. Kleene (1909 – 1998) zuruck, einem amerikanischen Mathematiker und Logiker,der fundamentale Beitrage zur Logik und zur Theoretischen Informatik geliefert hat.

2Diese These wurde vorgeschlagen und begrundet von Alonzo Church (1903 – 1995), amerikanischer Mathematikerund Logiker, der, wie sein Schuler Kleene, wesentliche Beitrage zur mathematischen Logik und Berechenbarkeits-theorie geleistet hat. Auf Church geht auch das Berechenbarkeitskonzept des λ-Kalkuls zuruck.

14.3. BERECHENBARKEIT, CHURCHSCHE THESE 143

berechenbar, aber nicht primitiv-rekursiv ist. Ackermanns Idee war, eine Folge stark anwachsenderFunktionen ϕi(a, b), i ≥ 0, rekursiv wie folgt festzulegen:

b+ 1, a+ b, a · b, ab, . . . (14.14)

Diese Folge hat die Eigenschaft, dass bei jedem Glied die Operation des vorherigen Gliedes (b− 1)-mal auf a angewandt wird. So bedeutet a+ b, dass (b− 1)-mal 1 zu a+ 1 addiert wird:

a+ b = a+ 1 +1 + 1 + . . .+ 1︸︷︷︸(b−1)-mal

a · b bedeutet, dass (b− 1)-mal a zu a addiert wird:

a · b = a+a+ a+ . . .+ a︸︷︷︸(b−1)-mal

Und ab bedeutet, dass (b− 1)-mal a mit a multipliziert wird:

ab = a ·a · a · . . . · a︸︷︷︸(b−1)-mal

Fur das nachste Folgenglied gibt es keine gangige mathematische Notation. Deshalb ist in (14.14)an der Stelle . . . angegeben. Dieses Folgendglied ergibt sich, indem (b − 1)-mal a mit sich selbstfortgesetzt potenziert wird:

aa···a

Ackermann beschrieb diese Folge mit der Funktion ϕ : N0×N0×N0 → N0, deren drittes Argumentdie entsprechende Nummer des Gliedes in der Folge (14.14) angibt, d.h. ϕ(a, b, i) = ϕi(a, b):

ϕ(a, b, 0) = b+ 1ϕ(a, b, 1) = a+ b

ϕ(a, b, 2) = a · bϕ(a, b, 3) = ab

ϕ/a, b, 4) = . . .

Rozsa Peter4konnte 1955 eine vereinfachte Definition der Ackermannfunktion ϕ angeben. IhreDefinition dieser Funktion ist die, die wir bereits aus Definiton 13.1 auf Seite 124 kennen. DieseDefinition kommt ohne informelle Beschreibung der fortgesetzten Definition der Folgenglieder bzw.ohne Einfuhrung neuer mathematischer Operationen zu deren formalen Beschreibung aus.

Es kann nun zum einen gezeigt werden, dass die in Kapitel 13.3 auf der Basis der Ackermann-funktion definierte Funktion ack (siehe Gleichung (13.7)auf Seite 125) total berechenbar ist, undzum anderen, dass diese Funktion starker wachst, als alle primitiv-rekursiven Funktionen.

3Friedrich Wilhelm Ackermann (1896 - 1962) lieferte wichtige Beitrage zu mathematischen Grundlagen, zur ma-thematischen Logik und zur Rekursionstheorie.

4Die ungarische Mathematikerin Rozsa Peter (1905 - 1977) lieferte wesentliche Beitrage zur Theoreie der rekursivenFunktionen.


Satz 14.1. Zu jeder primitv-rekursiven Funktion f : N0 → N0 existiert ein xf ∈ N0, so dassack(x) > f(x) fur alle x ≥ xf ist. 2

Folgerung 14.1. a) Es ist ack ∈ R− PR.

b) Es gilt PR ⊂ R sowie

c) PR ⊂ R ⊂ P. 2

Wir werden in Kapitel 14.5 noch sehen, dass P ⊂ f | f : Nk0 → N0, k ≥ 0 ist, d.h. es gibtFunktionen, die nicht berechenbar sind, und wir werden auch ein Beispiel einer solchen Funktionangeben.

14.4 utm- und smn-Theorem

Das Berechenbarkeitskonzept der µ-rekursiven Funktionen erfullt (wie auch die anderen erwahntenAnforderungenanBerechenbarkeits-

konzepte

Konzepte) zwei wesentliche Anforderungen, die man sowohl aus theoretischer als auch aus prakti-scher Sicht an solche Konzepte stellen kann:

(1) die Existenz einer berechenbaren universellen Funktion und

(2) die Moglichkeit der Parametrisierung.

Um diese beiden Anforderungen zu beschreiben und zu analysieren, nehmen wir eine Nummerierungder Menge P der partiell berechenbaren Funktionen vor. Wenn wir uns noch einmal die Beispiele inden Kapiteln 14.1 und 14.2 ansehen, konnen wir feststellen, dass µ-rekursive Funktionen syntaktischbetrachtet Zeichenketten sind, die aus Symbolen fur die Namen der Grundfunktionen, aus Symbolenfur die Komposition, die primitive Rekursion und die µ-Rekursion sowie aus eckigen Klammernbestehen, außerdem kommen Kommata und das Semikolon vor.

Fur die folgenden Betrachtungen wollen wir die Exponenten bzw. Indizes bei den NullfunktionenOk, k ≥ 0, und den Projektionen πki , 1 ≤ i ≤ k, k ≥ 1, mithilfe der ”Bierdeckelnotation“ codieren,indem wir folgende Darstellungen vornehmen:

Ok −→ O|k, k ≥ 0

πki −→ π|k#|i, 1 ≤ i ≤ k, k ≥ 1

Es wird also z.B. O3 durch O||| und π52 durch π|||||#|| codiert.

Mit diesen Darstellungen der Nullfunktionen und der Projektionen konnen wir nun µ-rekursiveFunktionen syntaktisch als Worter uber dem folgenden 12-elementigen Alphabet auffassen:

Σ = |,#,O, π, ν, C,PRK, µ, [, ] , ; , ,

Mit diesem Alphabet haben wir also eine Codierung

σ : µR → Σ+

festgelegt. Fur die im Beispiel 14.1 d) programmierte Funktion

add = PRK[π1

1 , C[ν;π3

3

]]

14.4. UTM- UND SMN-THEOREM 145

ρ(|) = 1 ρ(π) = 4 ρ(PRK) = 7 ρ( ]) = 10ρ(#) = 2 ρ(ν) = 5 ρ(µ) = 8 ρ(; ) = 11ρ(O) = 3 ρ(C) = 6 ρ([ ) = 9 ρ(,) = 12

Tabelle 14.1: Definition der Bijektion ρ.

gilt z.B.σ(add) = PRK [π|#|, C [ν;π|||#|||]]

Jetzt gehen wir noch einen Schritt weiter und ordnen den Buchstaben dieses Alphabetes in deraufgezahlten Reihenfolge die Zahlen 1, 2, . . . , 12 zu, d.h. wir verwenden z.B. die Bijektion

ρ : Σ→ 1, 2, . . . , 12

definiert durch die Tabelle 14.4. Daraus ergibt sich folgendermaßen eine Nummerierung der Worteruber Σ: Es sei pi ∈ P die i-te Primzahl, dann sei die Abbildung

g : Σ+ → N

definiert durchg(x1 . . . xn) = p

ρ(x1)1 · . . . · pρ(xn)

n

Betrachten wir als Beispiel (siehe Beispiel 14.1 c) die Funktion

id = π11

Es giltσ(id) = π|#|

undg(π|#|) = 24 · 31 · 52 · 71 = 8 400

d.h. der Funktion id wird die Nummer 8 400 zugeordnet. Betrachten wir als weiteres Beispiel (sieheBeispiel 14.1 b) die Funktion

1 = C[ν;O0

]Es gilt

σ(1) = C[ν;O0

]und

g(C[ν;O0

])= 26 · 39 · 55 · 711 · 113 · 1310

= 1 428 273 264 576 872 238 279 737 182 200 000

d.h. der Funktion 1 wird die Nummer 1 428 273 264 576 872 238 279 737 182 200 000 zugeordnet.Man sieht, dass durch die Funktion

τ : µR → N

definiert durchτ = g ρ


den µ-rekursiven Funktionen sehr große Zahlen zugeordnet werden konnen.Die Funktion τ ist injektiv und damit umkehrbar. Zu einer Zahl n ∈ N, die die Nummer einer

µ-rekursiven Funktion f ist, kann f = τ−1(n) berechnet werden. n muss in seine Primfaktorenzerlegt werden, diese werden der Große nach geordnet und gleiche Faktoren werden zu Potenzenzusammengefasst. Diese sogenannte kanonische Faktorisierung naturlicher Zahlen ist eindeutig. Be-trachten wir als Beispiel die Zahl

172 821 065 013 801 540 831 848 199 046 200 000

Ihre kanonische Faktorisierung ist

26 · 39 · 55 · 711 · 115 · 1310

woraus mithilfe der Tabelle 14.4 die µ-rekursive Funktion

C [ν; ν]

ergibt.Die Funktion τ ist nicht surjektiv, d.h. ihre Umkehrung τ−1 ist nicht total, d.h. es gibt Zahlen

n ∈ N, die nicht Nummer einer µ-rekursiven Funktion sind, wie z.B. die Zahl 30 oder alle Primzahlengroßer als 5. 30 hat die Faktorisierung 21 · 31 · 51, woraus sich gemaß Tabelle 14.4 die Zeichenkette||| ergibt, die keine µ-rekursive Funktion darstellt.

Wir konnen die Funktion τ−1 aber zu einer surjektiven Funktion erganzen, indem wir allen Zah-len, die nicht Nummer einer µ-rekursiven Funktion sind, irgendeiner µ-rekursive Funktion zuordnen.Als solche Funktion konnen wir z.B.

ω : N0 → N0

definiert durchω(n) =⊥

wahlen. Es gilt D(ω) = ∅, ω ist die ”nirgends definierte Funktion“. ω ist µ-rekursiv, denn fur

f = C[add ; C

[ν;π2

2

], π2

1

]gilt5

ω = µ [f ]

Jetzt konnen wir folgende total definierte Umkehrung der Funktion τ−1 definieren:

h : N→ µR

mit

h(i) =

f, falls i ∈W (τ) und τ(f) = i

ω, sonst

Die Funktion τ stellt im Ubrigen eine sogenannte Godelisierung dar. Darauf gehen wir im KapitelGodelisie-rung 14.5 noch naher ein.

5In ublicher Notation ist f(x, y) = ν(y) + x.

14.4. UTM- UND SMN-THEOREM 147

Mithilfe der obigen Uberlegungen bekommen wir eine Nummerierung

ϕ : N0 → P

der partiell berechenbaren Funktionen:

ϕ(i) = f genau dann, wenn h(i) die Funktion f berechnet

Es ist also ϕ(i) = f genau dann, wenn f von der µ-rekursiven Funktion berechnet wird, die durchdie Nummer i codiert ist.

Im Folgenden schreiben wir, falls ϕ(i) = f und f eine k-stellige Funktion f : Nk0 → N0 ist, ϕi = fanstelle von ϕ(i) = f , um ”doppelte Argumente“zu vermeiden: ϕi(x1, . . . , xk) = f(x1, . . . , xk)anstelle von ϕ(i)(x1, . . . , xk) = f(x1, . . . , xk).

Die Nummerierung (N0,P, ϕ) kann als Programmiersprache aufgefasst werden: Jedes i ∈ N0 NummerierungProgrammier-

sprache

stellt ein Programm (genauer naturlich eine µ-rekursive Funktion) dar, und ϕ ordnet jedem Pro-gramm (genauer der µ-rekursiven Funktion mit der Nummer) i seine Bedeutung ϕi = f zu, namlichdie Funktion, die von diesem Programm (von dieser µ-rekursiven Funktion) berechnet wird.6

Der folgende Satz, das so genannte utm-Theorem besagt, dass die Nummerierung (N0,P, ϕ) dieAnforderung (1) von Seite 144 erfullt.

Satz 14.2. Es sei (N0,P, ϕ) eine Nummerierung. Dann gibt es eine berechenbare Funktion uϕ ∈ P utm-Theoremmit

uϕ(i, x) = ϕi(x)

2

uϕ heißt universelle Funktion von (N0,P, ϕ). Da uϕ ∈ P ist, gibt es eine µ-rekursive Funktion, UniverselleFunktiondie uϕ berechent, d.h. es gibt eine µ-rekursive Funktion Uϕ ∈ µR, die alle µ-rekursiven Funktionen

f ∈ µR berechnet: Uϕ(f, x) = f(x).

Die universelle Funktion kann also alle berechenbaren Funktionen berechnen. Das entspricht demKonzept des universellen Rechners (genauer: eines universellen Programms), der alle Programmeausfuhren kann. Wenn man sich vorstellt, dass ein Berechenbarkeitskonzept, keine universelle Funk-tion ermoglicht, bedeutet dies, dass man fur jedes Programm einen eigenen Rechner bauen musste,um dieses auszufuhren. Das ware wahrscheinlich sehr muhsam, und die entsprechende Technologiehatte sicher nicht den Erfolg gehabt, die unsere bekannte IT-Technologie hat, die ganz wesentlichauf der Existenz universeller Maschinen beruht.

Anforderung (2) (siehe Seite 144), die Moglichkeit der Parametrisierung, bedeutet, dass Pro-gramme Eingaben enthalten, die als Daten oder als Programme interpretiert werden konnen. Be-trachten wir etwa die Multiplikationsfunktion mult : N0×N0 → N0 definiert durch mult(x, y) = x ·y(siehe (13.3) auf Seite 121 sowie Beispiel 14.1 e) auf Seite 136). Dann konnen fur x und y Zahleneingesetzt werden, aber es konnen auch Funktionen eingesetzt werden, wie z.B. x = (a + b)2 undy = (c − d). Damit ergibt sich die neue Funktion m : N4

0 → N0 definiert durch m(a, b, c, d) =

6Nachdem man sich den Unterschied zwischen der µ-rekursiven Funktion f ∈ µR mit der Nummer i (es ist alsoτ(f) = i) und der Funktion f ′ ∈ P, die von f berechnet wird (es ist also ϕi = f ′), klar gemacht hat, unterscheidet manim ublichen Sprachgebrauch nicht mehr zwischen f und f ′ und spricht von der

”i-ten berechenbaren Funktion“oder

vom”i-ten Programm“oder von der

”Funktion mit der Nummer i.“


mult((a+ b)2, (c−d)) = (a+ b)2(c−d) bzw. m(a, b, c, d) = mult(sqr(add(a, b)),minus(c, d)). DurchFunktionen als aktuelle Parameter wird also aus

mult = PRK[O1, C

[add ;π3

1 , π33

]]die neue Funktion

m = C[mult ; C

[sqr ; C

[add ;π4

1 , π42

]], C[minus;π4

3 , π44

]]generiert.

Das allgemeine Prinzip dieser Moglichkeit zur Parametrisierung beschreibt der folgende Satz,das so genannte smn-Theorem.

Satz 14.3. Es sei (N0,P, ϕ) eine Nummerierung. Dann gibt es fur alle i ∈ N0 sowie fur allesmn-Theorem (x1, . . . , xm) ∈ Nm0 und (y1, . . . , yn) ∈ Nn0 eine total berechenbare Funktion s : Nm+1

0 → N0, so dass

ϕi(x1, . . . , xm, y1, . . . , yn) = ϕs(i,x1,...,xm)(y1, . . . , yn)

gilt. 2

Die Parameter x1, . . . , xm konnen als Programme interpretiert werden. Die Funktion s generiertaus dem Progamm i und den Programmen x1, . . . , xm das Programm s(i, x1, . . . , xm). Wichtig ist,dass dieser Generator allgemein existiert, d.h. fur alle i und alle (x1, . . . , xm).

Angewendet auf unser obiges Beispiel ware i die Codierung der µ-rekursiven Funktion fur mult ,x1 die Codierung der µ-rekursiven Funktion fur C [sqr ; add ], x2 die Codierung der µ-rekursivenFunktion fur minus, y1 = a, y2 = b, y3 = c und y4 = d. Die Funktion s wurde dann aus denCodierungen von mult , C [sqr ; add ] und minus die Codierung von m generieren.

14.5 Aufzahlbare und entscheidbare Mengen

Im Kapitel 14 haben wir den Begriff der Berechenbarkeit fur Funktionen f : Nk0 → N0 einfuhrendbetrachtet. Wir werden diesen Begriff nun auf Mengen ubertragen, wobei in diesen Zusammen-hang von Entscheidbarkeit von Mengen gesprochen wird. Wir werden unterschiedliche Grade vonEntscheidbarkeit kennenlernen, und wir werden Zusammenhange zur Abzahlbarkeit von Mengenherstellen, wobei wir dabei von berechenbaren Abzahlungen, sogenannten Aufzahlungen ausgehenwerden. Des Weiteren werden wir nicht berechenbare Funktionen und nicht entscheidbare Mengenkennenlernen.

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Kapitel 15



Induktion und Rekursion sind elementare Prinzipien sowohl fur die Definition von Mengen, Rela-tionen, Funktionen und Strukturen als auch fur das Losen von Problemen.

Die Vollstandige Induktion ist eine Methode, mit der man beweisen kann, dass ein Pradikat P aufdie Menge aller naturlichen Zahlen großer gleich einer Zahl n0 zutrifft (zumeist ist n0 = 0 oder n0 =1). Ein Beweis mit Vollstandiger Induktion besteht aus zwei Schritten, aus dem Induktionsanfangund dem Induktionsschritt. Mit dem Induktionsanfang wird gezeigt, dass P (n0) gilt. MIt demInduktionsschritt wird gezeigt, dass unter der Annahme, dass P (n) (die Induktionsannahme) gilt,auch P (n+ 1) (die Induktionsbehauptung) gilt.

Mit einem verallgemeinerten Rekursionsschema fur eine Menge M werden zunachst Elemen-te von M explizit festgelegt (Rekursionsanfang). Dann wird ein Pradikat angegeben, welches be-schreibt, wie aus bereits vorhandenen Elementen von M deren weitere Elemente bestimmt werdenkonnen (Rekursionschritt).

Ein Beispiel fur eine rekursiv definierte Menge, ist die Menge der aussagenlogischen AusdruckeA in Kapitel 2. Aussagenlogische Konstanten und Variablen werden als gegebene aussagenlogi-sche Ausdrucke angesehen (Rekursionsanfang), und aus gegebenen sowie bereits konstruierten Aus-drucken werden durch Verknupfung mit Operatorsymbolen weitere Ausdrucke gebildet (Rekursion-schritt).

Dass eine Eigenschaft P auf alle Elemente einer mit einem solchen Rekursionsschema definiertenMenge zutrifft, kann nun durch verallgemeinerte Induktion gezeigt werden. Im Induktionsanfangwird gezeigt, dass P auf die explizit angegebenen Elemente zutrifft. Im Induktionsschritt wirdgezeigt, dass unter der Voraussetzung, dass P auf Elemente von M zutrifft, P auch auf die gemaßdem Rekursionsschema aus diesen Elementen konstruierbaren Elemente zutrifft. Dann gilt, dass Pauf alle Elemente der Menge zutrifft.

Ein Beispiel ist die Eigenschaft der aussagenlogischen Ausdrucke, dass in ihnen die Anzahlder offnenden Klammern gleich der Anzahl der schließenden Klammern ist. Im Induktionsanfangzeigt man, dass die Eigenschaft auf alle explizit gegebenen Ausdrucke (Konstanten und Variablen)zutrifft. Im Induktionsschritt zeigt man, dass, wenn zwei Ausdrucke diese Eigenschaft besitzen, auchdie gemaß dem Rekursionsschema aus diesen beiden Ausdrucken konstruierbaren Ausdrucke diese

149


Eigenschaft besitzen.

Die Fibonacci-Folge und die Ackermannfunktion sind bekannte und bedeutende Beispiele furrekursiv definierte Funktionen. Die Fibonacci-Folge hat nicht nur einen historisch unterhaltsamenUrsprung (Wachstum von Kaninchen-Populationen), sondern mit ihr und Varianten von ihr konnenPhanomene in vielen Bereichen von Mathematik, Informatik und Naturwissenschaften beschriebenund analysiert werden, und nicht zuletzt besteht ein enger Zusammenhang zum Goldenen Schnitt,einem Proportionalverhaltnis, welches in der Asthetik eine große Rolle spielt.

Die Ackermannfunktion ist wegen ihres enormen Wachstumsverhaltens von großer Bedeutung.Sie ist ein Beispiel fur eine total berechenbare Funktion, die nicht mit Zahlschleifen berrechnetwerden kann, denn man kann zeigen, dass sie schneller als alle primtiv-rekursiven Funktionen wachst.

Mithilfe eines verallgemeinerten Rekursionsschemas kann auch der Begriff der Berechenbarkeiteiner Funktion f : Nk0 → N0 definiert werden. Als berechenbar werden sehr einfache, elementareFunktionen (Grundfunktionen) angesehen wie die Nullfunktion, die Projektionen und die Nach-folgerfunktion. Mithilfe von Operatoren wie Komposition, primitive Rekursion und µ-Rekursionwerden aus berechenbaren Funktionen neue berechenbare Funktionen konstruiert. Eine Funktionf : Nk0 → N0 wird als partiell berechenbar bezeichnet, falls es eine µ-rekursive Funktion gibt, die fberechnet.

Neben den µ-rekursiven Funktionen gibt es weitere, davon und untereinander verschiedeneAnsatze, den Begriff der Berechenbarkeit zu definieren (z.B. Turingmaschinen, Universelle Regi-stermaschinen, Goto-Programme, While-Programme, Markov-Algorithmen, λ-Kalkul). Man kannzeigen, dass alle diese Konzepte aquivalent sind, d.h. sie beschreiben alle dieselbe Klasse von Funk-tionen, namlich die Klasse P der partiell berechenbaren Funktion. Dies ist die Begrundung furdie Churchsche These, die besagt, dass P mit der Klasse der Funktionen ubereinstimmt, die manintuitiv als berechenbar ansieht.

Die Klasse PR der primitiv-rekursiven Funktionen besteht aus den Funktionen, die sich ausden Grundfunktionen und der Anwendung von Komposition und primitver Rekursion ergibt. DieseFunktionen sind alle total definiert. Es gibt Funktionen, wie die Ackermannfunktion, die total bere-chenbar sind, aber nicht primitv-rekursiv. Wenn R die Klasse der total berechenbaren Funktionenist, dann gilt: PR ⊂ R ⊂ P.

Die µ-rekursiven Funktionen erfullen zwei wesentliche Anforderungen, die an Berechenbarkeits-konzepte sinnvollerweise gestellt werden konnen: die Existenz einer berechenbaren universellenFunktion und die Moglichkeit der Parametrisierung.

Eine berechenbare universelle Funktionen kann alle anderen berechenbaren Funktionen berech-nen, sie ist die Grundlage fur die Existenz universeller Rechner, welche alle Programme ausfuhrenkonnen.

Die Parametrisierung erlaubt effektives Programmieren, d.h. Programme konnen nicht nur Da-ten als Eingaben haben, sondern auch Programme, wodurch neue Programme entstehen. In derKonsequenz besteht prinzipiell bei Eingaben kein Unterschied zwischen Daten und Programme.

15.2 Ubungen

1. Beweisen Sie mithilfe vollstandiger Induktion folgende Pradikate:

(1) ∀n ∈ N:∑ni=1 2(i− 1) = n2,

15.2. UBUNGEN 151

(2) Sei q ∈ R, q 6= 1, dann gilt ∀n ∈ N0:∑ni=0 q

i = 1−qn+1

1−q ,

(3) Sei x, y ∈ Z, dann gilt ∀n ∈ N0: xn−ynx−y ∈ Z.

2. Zeigen Sie, dass fur die Folge der Fibonacci-Zahlen folgende Gleichungen gelten:

(1) ∀n ∈ N: F1 + F3 + . . .+ F2n−1 = F2n,

(2) ∀n ∈ N0: F0 + F2 + . . .+ F2n = F2n+1 − 1,

(3) ∀n ∈ N: 1 + F1 + F2 + . . .+ Fn = Fn+2,

(4) ∀n ∈ N: Fn+1Fn−1 − F 2n = (−1)n.

3. Gilt ∀ ∈ N0: n2 − n+ 41 ∈ P?

4. Die Fermat-Zahlen sind fur n ≥ 0 definiert durch An = 22n +1. Zeigen Sie, dass fur alle n ≥ 1gilt: A0 ·A1 · . . . ·An−1 = An − 2.

5. Bei der Fibonacci-Folge werden die Kaninchen als unsterblich vorausgesetzt. Eine unrealis-tische Annahme, die Mathematikerinnen und Mathematiker im Ubrigen (oft) machen, um zueleganten Losungen oder Theorien zu gelangen. Informatikerinnen und Informatiker mussenrealistischer sein und sollten von der Sterblichkeit der Kaninchenpaare ausgehen.

Nehmen wir – um uberhaupt zu ersten Losungsansatzen zu kommen wieder vereinfachend –an, dass alle Kaninchen nach jeweils k Monaten sterben. Wie lautet nun eine Rekursionglei-chung fur die Anzahl der Paare Fn nach n Monaten? Fur welche k konnen Sie analog zurDefinition (13.4) auf Seite 122 eine geschlossene Formel zur Berechnung von Fn angeben?Welches Wachstum hat Fn fur diese k?

6. Beweisen Sie die Folgerungen 13.1 (Seite 124)!

7. Die Menge A der arithmetischen Ausdrucke uber N0 kann induktiv wie folgt definiert werden:

(i) a ∈ N0 ⇒ a ∈ A: Jede naturliche Zahl a ist ein arithmetischer Ausdruck.

(ii) x, y ∈ A ⇒ (x+y), (x ·y) ∈ A: Sind x und y arithmetische Ausdrucke, dann auch (x+y)und (x · y).

(iii) Genau die gemaß den Regeln (i) und (ii) bildbaren Ausdrucke gehoren zu A.

Beweisen Sie: In jedem Ausdruck von A ist die Anzahl von Zahlen aus N0 um 1 hoher als dieAnzahl der Operatorsymbole + oder ·.

8. Die Relation R ⊆ N0 × N0 sei induktiv definiert durch:

(i) Es ist (0, 0) ∈ R und (1, 1) ∈ R.

(ii) (x, y) ∈ R⇒ (x, y + 2) ∈ R ∧ (x+ 2, y) ∈ R.

Beweisen Sie: ∀(x, y) ∈ N0 × N0: m− n ∈ G.

9. Definieren Sie die n-te Potenz von Wortern rekursiv!

10. Geben Sie eine rekursive Definition fur eine Funktion an, welche alle Worter uber einemgegebenen Alphabet Σ spiegelt!


11. Geben Sie eine rekursive Definition der Funktion anz : Σ∗ × Σ → N0 an, so dass anz (w, a)angibt, wie oft der Buchstabe a im Wort w vorkommt.


13. Geben Sie eine primitv-rekursive Funktion an, die die Funktion sum : N0 → N0 definiertdurch

sum(n) =n∑i=0

i

berechnet!

14. Geben Sie eine primitv-rekursive Funktion an, die die Funktion ! : N0 → N0 definiert durch

n! =

1, n = 0n(n− 1)!, n ≥ 1

berechnet!

15. Geben Sie eine µ-rekursive Funktion an, welche die Funktion div : N0 × N0 → N0 definiertdurch

div(a, b) =

q, falls b 6= 0 und q, r ∈ N0 existieren mit a = bq + r

und 0 ≤ r < b

⊥, sonst

berechnet!

16. Geben Sie eine µ-rekursive Funktion an, welche die Funktion mod : N0 × N0 → N0 definiertdurch

mod(a, b) =

r, falls b 6= 0 und q, r ∈ N0 existieren mit a = bq + r

und 0 ≤ r < b

⊥, sonst

berechnet!

17. Geben Sie eine µ-rekursive Funktion an, welche die Funktion√ : N0 × N0 → N0

definiert durchn√x =

y, falls x = yn

⊥, sonst

berechnet!

18. Geben Sie eine µ-rekursive Funktion an, welche die Funktion geq : N0 × N0 → N0 definiertdurch

geq(x, y) =

1, falls x ≥ y0, sonst

berechnet! Geben Sie µ-rekursive Funktionen fur die analog definierten Funktionen ≤, > und< an!

15.2. UBUNGEN 153

19. Geben Sie eine µ-rekursive Funktion an, welche die Funktion max : N0 × N0 → N0 definiertdurch

max (x, y) =

x, falls x ≥ yy, sonst

berechnet!

20. Geben Sie eine µ-rekursive Funktion an, welche die Funktion min : N0 × N0 → N0 definiertdurch

min(x, y) =

x, falls x ≤ yy, sonst

berechnet!

21. Geben Sie eine µ-rekursive Funktion an, welche die Funktion () : N0 × N0 → N0 definiertdurch (

n

k

)=

n!

k!·(n−k)! , n ≥ k⊥, sonst

berechnet!


Teil IV

Zahlenmengen

155

157

In den vorhergehenden Kapitelnn werden Zahlen und Zahlenmengen bereits verwendet, insbe-sondere in vielen Beispielen, ohne dass diese vorher definiert werden. Da diese Zahlen und Zah-lenmengen sowie arithmetische Operationen darauf wie Addition und Multiplikation den meistenvertraut sein durften, konnten wir sie dort ohne Weiteres als Beispiele verwenden.

Trotzdem wollen wir in diesem Teil noch etwas detaillierter auf die Zahlenmengen N (naturlicheZahlen), Z (ganze Zahlen), Q (rationale Zahlen) sowie R (reelle Zahlen)und C (komplexe Zahlen)eingehen, indem wir diese schrittweise aufeinander aufbauend einfuhren und ihre elementaren Eigen-schaften betrachten. Dies soll zur Wiederholung und Bewusstmachung der ublicherweise unbewusstverwendeten Eigenschaften und Rechenregeln von bzw. mit Zahlen dienen.

Bei all diesen Betrachtungen verwenden wir als Hilfsmittel zur Definition von neuen Begrif-fen und bei der Untersuchung derer Eigenschaften Konzepte und Methoden aus Teil I: Mengen,Relationen und Funktionen sowie Notationen der Logik.

158

Kapitel 16

Die Menge der ganzen Zahlen

Wir haben im vorigen Kapitel gesehen, dass die Subtraktion x − y in N0 nur dann moglich ist,falls x ≥ y ist. Wir werden nun eine neue Zahlenmenge einfuhren, in der wir sowohl die Menge dernaturlichen Zahlen und das in dieser Menge mogliche Rechnen ”wiederfinden“ werden, in der wiraber auch die Subtraktion ohne Einschrankung durchfuhren konnen. Des Weiteren werden wir dieRechenregeln fur diese neuen Zahlen auflisten und uns mit der Frage nach der Abzahlbarkeit derneuen Zahlenmenge beschaftigen.


• verstehen, wie die ganzen Zahlen und das Rechnen mit diesen mithilfe einer geeigneten Aqui-valenzrelation auf den naturlichen Zahlen eingefuhrt werden konnen,

• die Rechenregeln fur ganze Zahlen kennen,

• die Abzahlbarkeit der Menge der ganzen Zahlen beweisen konnen.

16.1 Konstruktion der ganzen Zahlen

Wir werden die Menge der ganzen Zahlen Z mithilfe einer Aquivalenzrelation uber Paaren vonnaturlichen Zahlen konstruieren.

Die Relation Z ⊆ (N× N)× (N× N) sei definiert durch:

(a, b)Z (c, d) genau dann, wenn a+ d = b+ c (16.1)

gilt. Die Relation Z verwendet nur bekannte Begriffe: naturliche Zahlen bzw. Paare von naturlichenZahlen sowie die Addition von naturlichen Zahlen.

Wir zeigen nun, dass Z eine Aquivalenzrelation ist:

Z ist reflexiv: Fur alle (a, b) ∈ N × N gilt a + b = b + a, woraus mit (16.1) folgt, dass fur alle(a, b) ∈ N× N gilt: (a, b)Z (a, b).

Z ist symmetrisch: Sei (a, b)Z (c, d), d.h. a + d = b + c. Mit den bekannten Rechenregeln folgtdaraus, dass c+ b = d+ a gilt, und hieraus mit (16.1), dass (c, d)Z (a, b) gilt.

159

160 KAPITEL 16. DIE MENGE DER GANZEN ZAHLEN

Z ist transititv: Sei (a, b)Z (c, d) und (c, d)Z (e, f), d.h. es ist a + d = b + c und c + f = d + e.Hieraus folgt, dass (a+ d) + (c+ f) = (b+ c) + (d+ e) ist, und daraus folgt, dass a+ f = b+ e ist.Mit (16.1) folgt (a, b)Z (e, f).

Wir wollen nun die Aquivalenzklassen von Z bestimmen. Es gilt beispielsweise

[(7, 3)]Z = (7, 3), (5, 1), (6, 2), (8, 4), . . . [(2, 2)]Z = (2, 2), (1, 1), (3, 3), (4, 4), . . . [(1, 3)]Z = (2, 4), (3, 5), (4, 6), (5, 7), . . .

Wir wollen als Reprasentant jeder Aquivalenzklasse das Paar wahlen, welches die Zahl 1 mindestensKonstruktionvon ZZZ in einer Komponente enthalt. Dann gilt allgemein fur a, b ∈ N mit a, b ≥ 2:

[(a, 1)]Z = (c, d) | c = d+ (a− 1) (16.2)[(1, 1)]Z = (x, x) |x ∈ N (16.3)[(1, b)]Z = (c, d) | c+ (b− 1) = d (16.4)

was sich leicht mithilfe von (16.1) nachrechnen lasst.

Auf der Menge (N × N)/Z der Aquivalenzklassen fuhren wir Rechenoperationen, namlich dieRechenoperationenfur ganzeZahlen

Addition ⊕, die Subtraktion sowie die Multiplikation , ein:

[(a, b)]Z ⊕ [(c, d)]Z = [(a+ c, b+ d)]Z (16.5)[(a, b)]Z [(c, d)]Z = [(a+ d, b+ c)]Z (16.6)[(a, b)]Z [(c, d)]Z = [(ac+ bd, bc+ ad)]Z (16.7)

Es sei darauf hingewiesen, dass diese Rechenoperationen ausschließlich mit naturlichen Zahlen undden dafur vollstandig definierten Operationen Addition + und Multiplikation · definiert sind.

Bevor wir die neu definierten Rechenoperationen weiter betrachten, wollen wir zur Vereinfachungden Aquivalenzklassen Namen geben. Da a, b ∈ N mit a, b ≥ 2 ist, gilt a−1, b−1 ∈ N. Damit fuhrenwir folgende Bezeichnungen ein:

a− 1 = [(a, 1)]Z0 = [(1, 1)]Z (16.8)

b− 1 = [(1, b)]Z

Es ist also z.B. 4 = [(5, 1)]Z und 2 = [(1, 3)]Z .

Wir wollen nun diese Bezeichner fur die Aquivalenzklassen ganze Zahlen nennen und die Mengeder ganzen Zahlen mit Z bezeichnen. Es ist also

Z = . . . , 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, . . .

Wir haben mithilfe der naturlichen Zahlen, mit den auf diesen vollstandig definierten Operatio-nen + und · und mit der Aquivalenzrelation Z die Zahlenmenge Z mit vollstandig auf ihr definierten

16.1. KONSTRUKTION DER GANZEN ZAHLEN 161

Operationen ⊕, und geschaffen. In dieser neuen Rechenstruktur wollen wir ein paar Beispielerechnen:

[(7, 3)]Z ⊕ [(9, 2)]Z = [(16, 5)]Z bzw. 4 ⊕ 7 = 11[(7, 3)]Z [(9, 2)]Z = [(9, 12)]Z bzw. 4 7 = 3[(7, 3)]Z ⊕ [(3, 7)]Z = [(10, 10)]Z bzw. 4 ⊕ 4 = 0[(7, 3)]Z [(9, 2)]Z = [(69, 41)]Z bzw. 4 7 = 28[(7, 3)]Z [(3, 7)]Z = [(42, 58)]Z bzw. 4 4 = 16

Nun, spatestens an diesen Beispielen bemerken wir, dass es sich um die uns bekannten ganzen Zahlenund fur diese definierte Rechenoperationen Addition, Subtraktion und Multiplikation handelt. Wennwir x anstelle von x,−x anstelle von x notieren und diese Zahlen positive ganze Zahlen bzw. negativeganze Zahlen nennen, und außerdem + fur ⊕, − fur sowie · fur schreiben, benutzen wir die unsaus der Schule vertrauten Schreibweisen und Bezeichnungen fur das Rechnen mit ganzen Zahlen.

Wir konnen zudem feststellen, dass die naturlichen Zahlen den positiven Zahlen entsprechen Abgeschlos-senheit vonAddition,Multiplikati-on undSubtraktion

und dass wir den Zahlenraum der naturlichen Zahlen um die 0 und die negativen ganzen Zahlenerweitert haben. In diesem Zahlenraum ist nun – im Gegensatz zu den naturlichen Zahlen – dieSubtraktion uneingeschrankt ausfuhrbar.

Dass die ganzen Zahlen eine Erweiterung der naturlichen Zahlen darstellen, d.h. dass die positi- ZZZ als Erwei-terungvon N0N0N0

ven ganzen Zahlen mit der auf ihnen definierten Addition und Multiplikation den naturlichen Zahlenmit ihrer Addition und Multiplikation entsprechen, also – mathematisch gesprochen – die Struktur-gleichheit dieser beiden Rechenstrukturen, kann wieder mithilfe eines Isomorphismus beschriebenwerden. Dazu sei

Z+ = [(a, 1)]Z | a ∈ N, a ≥ 1

die Menge der positiven ganzen Zahlen einschließlich der Null (dargestellt in der ursprunglichenNotation (16.8) als Aquivalenzklassen, um sie von der Notation der naturlichen Zahlen zu unter-scheiden). Dann gelten fur die Abbildung

ϕ : Z+ → N0

definiert durch

ϕ([(a, 1)]Z) = a− 1 (16.9)

die Eigenschaften: ϕ ist bijektiv und genugt den Strukturgleichungen

ϕ ([(a, 1)]Z ⊕ [(b, 1)]Z) = ϕ ([(a, 1)]Z) + ϕ ([(b, 1)]Z) (16.10)

sowie

ϕ ([(a, 1)]Z ⊗ [(b, 1)]Z) = ϕ ([(a, 1)]Z) · ϕ ([(b, 1)]Z) (16.11)

Ubung 16.1. Beweisen Sie, dass die oben definierte Abbildung ϕ bijektiv ist und dass sie dieStrukturgleichungen (16.10) und (16.11) erfullt! 2

Ein Isomorphismus kann als eineindeutige Umbenennung der Elemente einer Rechenstruktur Isomorphismus

mit Elementen einer anderen Rechenstruktur aufgefasst werden, wobei diese Umbenennung mit denRechenoperationen vertraglich sein muss. Diese Vertraglichkeit wird durch die Strukturgleichungen


fur die einzelnen Operationen beschrieben. Bis auf die Benennung der Elemente handelt es sichquasi um dieselben Rechenstrukturen.

In unserem Beispiel werden die positiven ganzen Zahlen, d.h. die Aquivalenzklassen [a, 1]Z vonZ mit a ≥ 1 eineindeutig den naturlichen Zahlen a − 1 zugeordnet, so dass die Umbenennung derSumme (des Produktes) von zwei ganzen Zahlen gleich der Summe (Produkte) der Umbenennungen,d.h. gleich der Summe (dem Produkt) der entsprechenden naturlichen Zahlen, ist.

16.2 Rechenregeln in ZNeben den Regeln A1, A2, A3, M1, M2 und M3 (siehe Abschnitt 11.2), die in Z ebenfalls gelten,gilt fur x, y ∈ Z noch:

(A4) Additives Inverses: x + y = 0. Dabei gilt y = −x, und −x heißt die zu x bezuglich derAdditivesInverses Addition inverse oder die zu x negative Zahl.1

Die Definition der Relation ≤ kann ebenfalls ubernommen werden: ≤⊆ Z × Z definiert durchx ≤ y genau dann, wenn ∃ d ∈ N0 : x+ d = y definiert eine totale Ordnung auf Z.

Fur diese Ordnung gilt ebenfalls die Regel O1, wahrend bei der Regel O2 unterschieden werdenMonotonieregeln

muss, ob der Faktor positiv oder negativ ist:

(O2+) ∀x, y, z ∈ Z mit x ≤ y und z ≥ 1 gilt xz ≤ yz,

(O2−) ∀x, y, z ∈ Z mit x ≤ y und z ≤ −1 gilt xz ≥ yz.

Eine oft verwendete Funktion fur ganze Zahlen ist der AbsolutbetragAbsolutbetrag

| | : Z→ N0

definiert durch

|x| =

x, falls x ≥ 0−x, falls x < 0

Fur den Absolutbetrag gelten die folgenden Regeln:

(ABS1) Dreiecksungleichung: ∀x, y ∈ Z : |x+ y| ≤ |x|+ |y|,Dreiecks-ungleichung

(ABS2) ∀x, y ∈ Z : |x− y| ≤ |x|+ |y|,

(ABS3) ∀x, y ∈ Z : ||x| − |y|| ≤ |x| − |y|,

(ABS4) ∀x, y ∈ Z : |xy| = |x||y|.

1Formal betrachtet hat das Vorzeichen”−“ von x eine andere Bedeutung als der Operator

”−“ in einer Subtraktion

a− b zweier ganzer Zahlen a und b. Dies haben wir bei Einfuhrung der ganzen Zahlen durch die Notationen x bzw. auch ganz bewusst unterschieden. Es gilt allerdings a + (−b) = a − b oder genauer a ⊕ b = a b, weswegen wirbeim Rechnen nicht zwischen dem Operator − und dem Vorzeichen − streng unterscheiden mussen.

16.3. ABZAHLBARKEIT VON Z 163

16.3 Abzahlbarkeit von ZWir wollen nun die Abzahlbarkeit von Z untersuchen, d.h. die Frage beantworten, ob Z gleichmachtigzu N ist.

Dazu betrachten wir die Abbildung f : Z→ N0 definiert durch

f(z) =

0, falls z = 02z, falls z > 0−(2z + 1), falls z < 0

f ist eine bijektive Abbildung, die den positiven ganzen Zahlen die geraden Zahlen und den negativenganzen Zahlen die ungeraden Zahlen zuordnet. Die durch f definierte Abzahlung zahlt Z wie folgtab:

0,−1, 1,−2, 2,−3, 3, . . .


Kapitel 17

Die Menge der rationalen Zahlen

Wir haben im vorigen Kapitel die Rechenstruktur N erweitert zur Rechenstruktur Z, in der auch dieSubtraktion uneingeschrankt ausfuhrbar ist. Die beschrankte Ausfuhrung der Division bleibt aberweiterhin bestehen: Die Division x : y fur zwei Zahlen x ∈ Z und y ∈ Z − 0 ist nur ausfuhrbar,falls es ein z ∈ Z gibt mit x = yz. So existiert etwa der Quotient 4 : 3 in Z nicht, da es keine ganzeZahl z gibt mit 4 = 3z. Das heißt: Nicht alle Gleichungen der Art ax = b mit a, b ∈ Z mit a 6= 0sind in Z losbar (sondern nur solche, bei denen a ein Teiler von b ist).

In diesem Kapitel werden wir eine neue Zahlenmenge, die Menge Q der rationalen Zahlen,einfuhren, in der wir zum einen solche Gleichungen losen konnen und in der wir zum anderen dieMenge der ganzen Zahlen und das in dieser Menge mogliche Rechnen erhalten, insofern Z zu Qerweitern.

Auch fur Q werden wir weitere Rechenregeln auflisten und uns mit der Frage nach der Abzahl-barkeit dieser Zahlenmenge beschaftigen.


• verstehen, wie die rationalen Zahlen und das Rechnen mit diesen mithilfe einer geeignetenAquivalenzrelation auf den ganzen Zahlen eingefuhrt werden konnen,

• die Rechenregeln fur rationale Zahlen kennen,

• die Abzahlbarkeit der Menge der rationalen Zahlen beweisen konnen.

17.1 Konstruktion der rationalen Zahlen

Analog zur Menge der ganzen Zahlen konstruieren wir die rationalen Zahlen ebenfalls mithilfe einerAquivalenzrelation: Die Relation

Q ⊆ (Z× (Z− 0)× (Z× Z− 0)

sei definiert durch:

(a, b)Q (c, d) genau dann, wenn ad = bc (17.1)

165

166 KAPITEL 17. DIE MENGE DER RATIONALEN ZAHLEN

Die Relation Q verwendet nur bekannte Begriffe: ganze Zahlen bzw. Paare von ganzen Zahlen sowiedie Multiplikation von ganzen Zahlen.

Der Beweis, dass Q eine Aquivalenzrelation ist, erfolgt analog dem Beweis im vorigen Kapitel,der zeigt, dass die Relation Z eine Aquivalenzrelation ist:

Q ist reflexiv: Fur alle (a, b) ∈ Z × Z − 0 gilt ab = ba, woraus mit (17.1) folgt, dass fur alle(a, b) ∈ Z× Z− 0 gilt: (a, b)Q (a, b).

Q ist symmetrisch: Sei (a, b)Q (c, d), d.h. ad = bc. Mit den bekannten Rechenregeln folgt daraus,dass cb = da gilt, und hieraus mit (17.1), dass (c, d)Q (a, b) gilt.

Q ist transitiv: Sei (a, b)Q (c, d) und (c, d)Q (e, f), d.h. es ist ad = bc und cf = de. Hieraus folgt,dass adf = bcf = bde ist, und daraus folgt, da d 6= 0 ist, dass af = be ist. Mit (17.1) folgt(a, b)Q (e, f).

Die Aquivalenzklassen von Q sind fur x, y ∈ Z mit y 6= 0 gegeben durch:Konstruktionvon QQQ

[(x, y)]Q = (qx, qy) | q ∈ Z− 0 (17.2)

Auf der Menge Q = (Z×Z−0)/Q der Aquivalenzklassen von Q, die wir Menge der rationalenRechenope-rationen furrationaleZahlen

Zahlen nennen wollen, fuhren wir Rechenoperationen ein:1

• Addition und Subtraktion: [(a, b)]Q ± [(c, d)]Q = [(ad± bc, bd)]Q

• Multiplikation: [(a, b)]Q · [(c, d)]Q = [(ac, bd)]Q

• Division: [(a, b)]Q : [(c, d)]Q = [(ad, bc)]Q

Diese (neuen) Rechenoperationen sind ausschließlich mit ganzen Zahlen und den dafur vollstandigdefinierten Operationen Addition, Subtraktion und Multiplikation definiert. Dabei stellen die Aqui-valenzklassen [(x, y)]Q mit y = 1 genau die ganzen Zahlen dar. Auch hier kann man mithilfe einesIsomorphismus zeigen, dass die rationalen Zahlen als Erweiterung der ganzen Zahlen betrachtetwerden konnen.

Fur die neuen Zahlen [(a, b)]Q mit a 6= 0 gilt wegen (17.2):

[(a, b)]Q · [(b, a)]Q = [(ab, ba)]Q = [(ab · 1, ab · 1)]Q = [(1, 1)]Q

[(b, a)]Q heißt das (multiplikative) Inverse zu [(a, b)]Q.

Weiterhin gilt fur alle Zahlen [(a, b)]Q, [(c, d)]Q ∈ Q mit c 6= 0:

([(a, b)]Q · [(c, d)]Q) : [(c, d)]Q = [(ac, bd)]Q : [(c, d)]Q= [(acd, bdc)]Q= [(cda, cdb)]Q= [(a, b)]Q

In der Einleitung dieses Kapitels haben wir das Ziel formuliert, die ganzen Zahlen so zu erweitern,dass Gleichungen der Art ax = b fur a 6= 0 losbar sind. Der folgende Satz besagt, dass dies in derMenge Q der rationalen Zahlen moglich ist.

17.2. RECHENREGELN IN Q 167

Losung vonax = bax = bax = b in QQQ Satz 17.1. Fur alle Zahlen [(a, b)]Q, [(c, d)]Q ∈ Q mit a 6= 0 gibt es genau eine Zahl [(x, y)]Q ∈ Q

mit [(a, b)]Q · [(x, y)]Q = [(c, d)]Q.

Beweis Wir setzen x = bc und y = ad, dann gilt wegen (17.2):

[(a, b)]Q · [(bc, ad)]Q = [(abc, abd)]Q = [(c, d)]Q

Somit ist die Gleichung [(a, b)]Q · [(x, y)]Q = [(c, d)]Q fur gegebene rationale Zahlen [(a, b)]Q und[(c, d)]Q mit a 6= 0 losbar.

Wir mussen noch die Eindeutigkeit der Losung x = bc und y = ad zeigen. Wir nehmen an, esgebe eine weitere Losung [(x′, y′)]Q. Es muss dann gelten

[(a, b)]Q · [(x, y)]Q = [(a, b)]Q · [(bc, ad)]Q = [(abc, abd)]Q = [(c, d)]Q

sowie[(a, b)]Q · [(x′, y′)]Q = [(ax′, by′)]Q = [(c, d)]Q

Es folgt, dass[(abc, abd)]Q = [(ax′, by′)]Q

sein muss und damit x′ = bc und y′ = ad, womit die Eindeutigkeit gezeigt ist. 2

In der uns vertrauten Notation werden rationale Zahlen nicht als Paare [(a, b)]Q, sondern als BrucheZahlerNenner

Bruche ab dargestellt. Dabei heißt a der Zahler und b der Nenner des Bruches a

b .

17.2 Rechenregeln in QDie Rechenregeln A1 - 4 und M1 - 3 aus Z gelten analog auch in Q. Zudem gilt wegen Satz 17.1die Rechenregel

(M4) Multiplikatives Inverses: Zu jeder rationalen Zahl x 6= 0 existiert eine rationale Zahl y mit MultiplikativesInversesxy = 1. Wir nennen x−1 = y das (multiplikative) Inverse von x.

Aus Satz 17.1 folgt zudem fur x = ab mit a 6= 0: x−1 = b

a .

Fur den Absolutbetrag gilt neben den Regeln ABS1 - 4 noch die Regel

(ABS5) |ab | =|a||b| .

Die Relation ≤⊆ Q×Q definiert durch

a

b≤ c

dgenau dann, wenn es

x

ygibt mit x ≥ 0, y ≥ 1 und

a

b+x

y=c

d

legt eine totale Ordnung auf Q fest. Fur diese Ordnung gelten die Regeln O1, O2+ und O2−.

Bezuglich dieser Ordnung ist die Menge der rationalen Zahlen im Gegensatz zur Menge der Dichtheitvon QQQganzen Zahlen und damit auch im Gegensatz zur Menge der naturlichen Zahlen dicht, d.h. zwischen

1Dabei benutzen wir jetzt sofort die ublichen Notationen und nicht erst aus formalen Grunden, wie im vorigenKapitel bei der Einfuhrung der ganzen Zahlen, neue Symbole.


zwei verschiedenen rationalen Zahlen a und c mit a ≤ c existiert immer eine von a und c verschiedenerationale Zahl b mit a ≤ b ≤ c. Fur gegebene a und c braucht man nur b = a+c

2 zu wahlen, denn esgilt:

a =a+ a

2≤ a+ c

2≤ c+ c

2= c (17.3)

Ubung 17.1. Uberlegen Sie, dass sogar gilt: Zwischen zwei verschiedenen rationalen Zahlen gibtes immer unendlich viele davon verschiedene rationale Zahlen. 2

17.3 Abzahlbarkeit von QGerade in Anbetracht dieser Tatsache stellt sich nun die Frage, ob Q abzahlbar ist. Denken Sie,bevor Sie weiter lesen, einen Moment uber diese Frage nach!

Zu welchem Schluss sind Sie gekommen? Erstaunlicherweise lasst sich die Menge der rationalenZahlen trotz ihrer Dichtheit abzahlen.

Satz 17.2. Q ist abzahlbar.

Beweis Wir betrachten zunachst nur eine Teilmenge von Q, namlich die positiven Bruche großer0: Q+ = pq | p, q ≥ 1 . Die folgende Matrix veranschaulicht eine Abzahlung von Q+.

1 2 3 4 . . . q . . .1 1 2 4 7

2 3 5 8

3 6 9

4 10...

p...

Wir uberlegen uns nun eine bijektive Abbildung f : N × N → N, die diese Matrix darstellt.Dabei benutzen wir, dass fur alle n ∈ N gilt (siehe Beispiel 12.1 auf Seite 115):

n∑i=1

i =n(n+ 1)

2(17.4)

In der ersten Spalte der Matrix stehen die Nummern der Paare (p, 1), p ≥ 1.2 Diese ergebensich – unter Verwendung von (17.4) – durch

f(p, 1) =p∑i=1

i =p(p+ 1)

2(17.5)

2Diese Paare entsprechen den Bruchen p1

= p, also den positiven ganzen Zahlen großer 0.

17.3. ABZAHLBARKEIT VON Q 169

Fur q ≥ 2 gilt, dass sich die Nummer an der Stelle (p, q) in der Matrix ergibt, indem man dieNummer an der Stelle (p+ 1, q−1) (eine Zeile weiter und eine Spalte vorher) um 1 vermindert. Furf gilt also

f(p, q) = f(p+ 1, q − 1)− 1, q ≥ 2

Daraus ergibt sich

f(p, q) = f(p+ 1, q − 1)− 1= f(p+ 2, q − 2)− 2...

= f(p+ q − 1, 1)− (q − 1), q ≥ 2

Mit (17.5) folgt hieraus

f(p, q) =p+q−1∑i=1

i− (q − 1)

=(p+ q − 1)(p+ q)

2− (q − 1)

f ist bijektiv und stellt somit eine Abzahlung von N × N dar. Die Abbildung f heißt im Ubrigen CantorschePaarungsfunktionCantorsche Paarungsfunktion.

Mit der Funktion g(−p, q) = −f(p, q) erhalt man eine Abzahlung der negativen Bruche durchdie negativen ganzen Zahlen. Wenn wir jetzt noch der rationalen 0 die Nummer 0 zuweisen, habenwir insgesamt eine Abzahlung aller Bruche durch ganze Zahlen erhalten. Da die Menge der ganzenZahlen abzahlbar ist, folgt, dass auch die Menge der Bruche abzahlbar ist. 2

Uberlegen Sie bitte noch folgenden Aspekt: Die Funktion f zahlt nicht nur alle Elemente vonQ ab, sondern sogar alle Bruche. Das bedeutet, dass nicht nur jeder Bruch a

b eine eineindeutigeNummer bekommt, sondern auch alle Elemente qa

qb , q ∈ Z − 0, der Aquivalenzklasse [(a, b)]Q(siehe (17.2) auf Seite 166), und jede dieser Aquivalenzklassen enthalt selbst schon unendlich vieleElemente.


Kapitel 18

Reelle und komplexe Zahlen

In Q lassen sich langst noch nicht alle Aufgabenstellungen mit praktischem Bezug losen. So istz.B. die Gleichung x2 = 2 in Q nicht losbar, d.h. dass es keine rationale Zahl a mit a2 = 2 gibt(siehe Beispiel 4.3 auf Seite 55). Allerdings stoßen wir schon bei den rationalen Zahlen an dieGrenzen derzeitiger Rechnersysteme. Kein Intervall von Q kann (wegen der Dichtheit) vollstandigin Rechnern dargestellt werden. Da außerdem die Konstruktion der reellen Zahlen auf der Basisder bis jetzt vorgestellten Zahlenmengen mathematische Konzepte erfordert, die außerhalb derin dieser Lehreinheit vorgestellten mathematischen Grundlagen der Informatik liegen, werden wirdarauf nicht weiter eingehen. Wir sehen die reellen Zahlen als gegeben an und betrachten nur eineeinzige Frage, namlich die nach der Abzahlbarkeit von R.

In vielen Anwendungen spielen die komplexen Zahlen eine wichtige Rolle. Wir fuhren diese alsPaare von reellen Zahlen ein, die bestimmten Rechenregeln genugen.


• den Beweis der Uberabzahlbarkeit der reellen Zahlen verstehen und nachvollziehen konnen,

• die Definition komplexer Zahlen nachvollziehen konnen und die Rechenregeln fur komplexeZahlen kennen,

• die Polarkoordinatendarstellung von komplexen Zahlen sowie das Multiplizieren und Dividie-ren mit diesen Darstellungen verstehen.

18.1 Uberabzahlbarkeit von RZur Untersuchung dieser Frage betrachten wir R als eine Menge von Ziffernfolgen der folgendenArt:

R = g, d1d2d3 . . . | g ∈ Z, di ∈ 0, 1, 2, . . . , 9 , i ≥ 1 (18.1)

R enthalt alle unendlichen Dezimalzahlfolgen mit ganzzahligem Anteil: g ∈ Z ist der ganzzahligeAnteil, und d1d2d3 . . ., di ∈ 0, 1, 2, . . . , 9 , i ≥ 1, ist die unendliche Folge von Dezimalstellen. Ohneweitere Begrundung halten wir fest, dass jede reelle Zahl so dargestellt werden kann. Dabei sind dierationalen Zahlen genau diejenigen, die als periodische Dezimalbruche darstellbar sind. Beispiele

171

172 KAPITEL 18. REELLE UND KOMPLEXE ZAHLEN

sind etwa der Bruch 12 , der als endlicher Dezimalbruch 0, 5 und dieser als periodischer Dezimalbruch

0, 49 . . . = 0, 49,1 bzw. der Bruch 17 , der als periodischer Dezimalbruch 0, 142857 dargestellt werden

kann. Die reellen Zahlen, die nicht rational sind, sind genau die, die als aperiodische Dezimalbruchedarstellbar sind. Somit gehen wir im Folgenden von der Festlegung (18.1) aus.

Satz 18.1. R ist uberabzahlbar.

Beweis Wir zeigen, dass die Menge der reellen Zahlen im offenen Intervall zwischen 0 und 1, dasist die Menge I = x ∈ R | 0 < x < 1 , uberabzahlbar ist, woraus die Uberabzahlbarkeit von Rfolgt.

Jedes x ∈ I lasst sich als unendlicher Dezimalbruch schreiben:

x = 0, x1x2x3 . . .

wobei die xi die Dezimalziffern von x sind, also xi ∈ 0, 1, . . . , 9 fur alle i. Wir nehmen an, dassI abzahlbar ist. Dann lassen sich alle Elemente von I abzahlen, etwa wie folgt:

x1 = 0, x11x12x13 . . .

x2 = 0, x21x22x23 . . . (18.2)x3 = 0, x31x32x33 . . .

......

...

Mithilfe dieser Tabelle konstruieren wir den folgenden unendlichen Dezimalbruch

a = 0, a1a2a3 . . .

mit

ai =

1, falls xii 6= 12, falls xii = 1 , fur alle i ≥ 1 (18.3)

Die i-te Ziffer von a ist also 1, falls die i-te Ziffer der Zahl xi in der obigen Abzahlung ungleich 1 ist.Diagonalisierung

Ist diese gleich 1, dann ist die i-te Ziffer von a gleich 2. a besteht also aus einer Folge von Einsen undZweien, die durch die ”Diagonale“ xii, i ≥ 1, der Abzahlung (18.2) bestimmt ist. Damit ist die Zahla so konstruiert, dass sie sich von allen Zahlen xi mindestens in der i-ten Dezimalziffer unterscheidet,was die Grundlage fur den Widerspruch ist, den wir im Folgenden noch formal herleiten werden.Man nennt diese Art der Konstruktion Diagonalisierung.2

Da a ∈ I ist, muss a in der obigen Abzahlung (18.2) von I vorkommen, d.h. es muss ein k gebenmit a = xk. Betrachten wir die k-te Ziffer ak dieser Zahl. Nach Definition (18.3) von a gibt es zweiFalle: ak = 1 oder ak = 2.

(1) Sei ak = 1, dann ist wegen der Definition von a: xkk 6= 1. Damit ist aber a 6= xk.

1Die Periode, d.h. die sich unendlich oft wiederholenden endlich vielen Dezimalstellen werden durch einen Uber-strich gekennzeichnet.

2Das Konzept der Diagonalisierung geht auf Georg Cantor zuruck. Dieses Konzept haben wir bereits im Beispiel11.3 b) verwendet um zu zeigen, dass die Potenzmenge von N uberabzahlbar ist. Cantor hat im Vergleich zu Satz18.1 eine umfassendere Behauptung gezeigt: Zu jeder unendlichen Folge von unendlichen Dezimalzahlen existiertmindestens eine weitere unendliche Dezimalzahl, die in dieser Folge nicht vorkommt.

18.2. KOMPLEXE ZAHLEN 173

(2) Sei ak = 2, dann ist wegen der Definition von a: xkk = 1, also ungleich 2. Damit ist auch hiera 6= xk.

Wir erhalten also in beiden Fallen einen Widerspruch: Fur jedes k gilt, dass ak 6= xkk und damita 6= xk ist. Unsere Annahme, dass I abzahlbar ist, ist also falsch. 2

Wahrend die Menge der ganzen Zahlen und, wie wir gesehen haben, sogar die Menge der ra-tionalen Zahlen gleichmachtig zur Menge der naturlichen Zahlen sind, stellt die Menge der reellenZahlen eine neue Qualitat in Bezug auf ihre Machtigkeit im Vergleich zu den anderen Zahlenmen-gen dar. Man kann im Ubrigen zeigen, dass die Menge der reellen Zahlen und die Potenzmenge derMenge der naturlichen Zahlen gleichmachtig sind.

Ubung 18.1. Uberlegen Sie, wie man eine Bijektion zwischen diesen beiden Mengen definierenkonnte! 2

Die Menge der reellen Zahlen erfullt alle bisher aufgelisteten Regeln A1 - 4, M1 - 4, D1 - 2,ABS1 - 5 sowie O1, O2+ und O2−.

18.2 Komplexe Zahlen

In R konnen wir nun Gleichungen der Art x2 = a mit a ≥ 0 losen: Die Losungen x = ±√a sind reelle

Zahlen. Die Gleichungen x2 = −a mit a > 0 besitzen allerdings keine Losungen in der Menge R,denn es gibt keine reelle Zahl b mit der Eigenschaft b2 = −a. Um Gleichungen dieser Art zu losen,fuhrt man die sogenannte imaginare Zahl i ein, und zwar durch die sie definierende Eigenschaft Imaginare

Zahli2 = −1. Mit dieser Zahl und der Menge der reellen Zahlen definieren wir die Menge der komplexenZahlen als

C = a+ bi | a, b ∈ R

Anstelle von a+bi notiert man auch a+ib. Re(z) = a heißt Realteil und Im(z) = b heißt Imaginarteil Realteil

Imaginarteilder komplexen Zahl z = a+ bi. z = a− bi heißt die zu z konjugierte komplexe Zahl.Konjugierte

Die obige Gleichung x2 = −a mit a ∈ R und a > 0 besitzt in C die Losung c = i√a. Es

gilt Re(c) = 0 und Im(c) =√a. Allgemein gilt der sogenannte Fundamentalsatz der Algebra, den

wir ohne Beweis angeben, da dieser mathematische Kenntnisse verlangt, die nicht innerhalb diesesKurses behandelt werden.

Fundamentalsatz der Algebra Jede Gleichung

anxn + an−1x

n−1 + . . . a1x+ a0 = 0

mit ai ∈ C, 0 ≤ i ≤ n, besitzt eine Losung in C. 2

Wir konnen komplexe Zahlen a+ ib als Paare (a, b) reeller Zahlen betrachten, dabei sei (a, b) =(a,−b) die Konjugierte zu (a, b). Die Paare (a, 0) entsprechen genau den reellen Zahlen.

Auf Paaren definieren wir eine Addition und eine Multiplikation wie folgt: Rechenoperationenfur komplexeZahlen(a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d) (18.4)

(a, b) · (c, d) = (ac− bd, bc+ ad) (18.5)


Das Rechnen in der neuen Menge C wird also mit den Elementen der bekannten Menge R und dendort bekannten Rechenoperationen eingefuhrt. Wir gehen hier also genauso wie in den vorherigenKapiteln vor, in denen wir mit bekannten Zahlen und darauf definierten Rechenoperationen neueZahlen und neue Rechenoperationen eingefuhrt haben.

Verifizieren Sie, dass die beiden Definitionen (18.4) und (18.5) auf den Paaren (a, 0) genau derAddition bzw. der Multiplikation reeller Zahlen entspricht. Die Rechenstruktur der reellen Zahlenist also ein Teil der Rechenstruktur der komplexen Zahlen. Insofern kann C als Erweiterung von Raufgefasst werden.

Die Addition zweier komplexer Zahlen ist also durch die Addition der beiden Real- sowie derbeiden Imaginarteile festgelegt. Wir wollen die Definition der Multiplikation verifizieren: Es gilt

(a+ bi) · (c+ di) = ac+ adi+ cbi+ bdi2 = (ac− bd) + (bc+ ad)i

womit Real- und Imaginarteil des Produktes gleich dem Ergebnispaar der Definition (18.5) sind.

Rechnen Sie nun nach, dass die Addition und die Multiplikation komplexer Zahlen die Rechen-Rechenregelnfur CCC regeln A1 - 2, M1 - 2 und D1 - 2 erfullen!

Rechnen Sie auch nach, dass (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) gilt, was der definierenden Eigenschafti2 = −1 der imaginaren Zahl entspricht. Rechnen Sie des Weiteren nach, dass

(a, b) · (a, b) = (a2 + b2, 0) (18.6)

gilt sowie dass fur z, z1, z2 ∈ C die folgenden Beziehungen gelten:

z = z (18.7)z1 + z2 = z1 + z2 (18.8)z1 · z2 = z1 · z2 (18.9)(z1

z2

)=z1

z2(18.10)

Ubung 18.2. Uberlegen Sie sich, welche komplexen Zahlen das neutrale Element der Additionbzw. das neutrale Element der Multiplikation sind, und bestimmen Sie das additive Inverse sowiedas multiplikative Inverse zu einer komplexen Zahl z! 2

Nun, das neutrale Element der Addition (x, y) muss die BedingungNeutraleElemente

(a, b) + (x, y) = (a, b)

erfullen. Aus der Definition (18.4) folgt unmittelbar, dass nur (x, y) = (0, 0)3 diese Bedingungerfullt.

Das neutrale Element (x, y) der Multiplikation muss die Bedingung

(a, b) · (x, y) = (a, b)

3(0, 0) entspricht der 0 in R.


erfullen. Ausrechnen gemaß (18.5) ergibt das Gleichungssystem

ax− by = b

bx− ay = a

Fur (a, b) 6= (0, 0) ergeben sich die Losungen x = 1 und y = 0. (1, 0)4 ist also das neutrale Elementder Multiplikation in C.

Fur das additive Inverse (x, y) zur Zahl (a, b) muss gelten: (a, b) + (x, y) = (0, 0). Aus (18.4) AdditivesInversesfolgt unmittelbar, dass x = −a und y = −b sein muss. Es gilt also: −(a, b) = (−a,−b).

Nun wollen wir noch das multiplikative Inverse (x, y) zur Zahl (a, b) 6= (0, 0) bestimmen. Es MultiplikativesInversemuss gelten: (a, b) · (x, y) = (1, 0). Wir erhalten das Gleichungssystem

ax− by = 1bx− ay = 0

Multiplikation der ersten Gleichung mit a und der zweiten Gleichung mit b und anschließendeAddition der beiden Gleichungen liefert die Gleichung (a2 + b2)x = a woraus

x =a

a2 + b2

folgt. Durch Einsetzen dieses Wertes in die zweite Gleichung erhalten wir

y =−b

a2 + b2

Wir haben also berechnet, dass

(a, b)−1 =(

a

a2 + b2,−b

a2 + b2

)das multiplikative Inverse von (a, b) 6= (0, 0) ist.

Ubung 18.3. Rechnen Sie zur Probe nach, dass (a, b) · (a, b)−1 = (1, 0) gilt! 2

Wir wollen jetzt noch den komplexen Zahlen einen reellen Wert zuweisen. Dabei gehen wir voneiner geometrischen Vorstellung aus: Wir betrachten die komplexen Zahlen (x, y) als Punkte imzweidimensionalen kartesischen Koordinatensystem. Wir ordnen der Zahl z = (x, y) als Betrag |z|den (euklidischen) Abstand des Punktes (x, y) vom Ursprung (0, 0) zu. ”Nach Pythagoras“ ergibtsich Betrag |z|

einerkomplexenZahl

|z| =√x2 + y2 (18.11)

Ubung 18.4. Rechnen Sie nach, dass fur z, z1, z2 ∈ C folgende Beziehungen gelten:

|z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2||z1 · z2| ≤ |z1| · |z2||z|2 = z · z


2

Man kann Punkte (x, y) und damit komplexe Zahlen z = x + iy im zweidimensionalen Raumauch durch Polarkoordinaten darstellen, namlich durch den Abstand r = |z| dieses Punktes vom Polarkoordinaten

Ursprung (0, 0) und durch den Winkel α zwischen der x-Achse und der Strecke vom Ursprung zumPunkt (x, y). Die Polarkoordinaten der komplexen Zahl z = x + iy sind also gegeben durch dasPaar (r, α). r heißt – wie schon bekannt – der Betrag, und der Winkel α heißt Argument von z.Argument

einerkomplexenZahl

Da fur jeden Winkel α fur k ≥ 0 die Punkte (r, α+ 2kπ) identisch sind, schrankt man den Winkelα ein auf das Intervall −π < α ≤ π. Damit ist die Darstellung (r, α) der Zahl z eindeutig. DiesesArgument α einer komplexen Zahl z heißt dann ihr Hauptargument.Hauptargument

einer kom-plexen Zahl

Mithilfe des Hauptargumentes α und der Winkelfunktionen cos und sin konnen wir Real- undImaginarteil einer komplexen Zahl z = x+ iy ausdrucken, denn es gilt

cosα =x

rund sinα =

y

r

und damitRe(z) = x = r · cosα bzw. Im(z) = y = r · sinα

Damit erhalten wir als weitere Darstellung der komplexen Zahl z = x+ iy:

z = r(cosα+ i sinα)

mitr =

√x2 + y2

und

α =

+ arccos xr , y ≥ 0− arccos xr , y < 0

Wir wollen komplexe Zahlen mithilfe ihrer Polarkoordinatendarstellungen multiplizieren und divi-dieren. Fur

z1 = r1(cosα1 + i sinα1) und z2 = r2(cosα2 + i sinα2)

gilt mithilfe der Additionsgesetze der Winkelfunktionen:

z1z2 = r1r2(cosα1 cosα2 − sinα1 sinα2 + i (cosα1 sinα2 + sinα1 cosα2))= r1r2(cos(α1 + α2) + i sin(α1 + α2))

Analog erhalt man fur z2 6= 0:

z1

z2=r1

r2(cos(α1 − α2) + i sin(α1 − α2))

Aus der Formel fur die Multiplikation folgt unmittelbar eine Formel fur die Potenzierung einerkomplexen Zahl z = r(cosα+ i sinα):

zn = rn(cos(nα) + i sin(nα))

Hieraus konnen wir eine Formel fur die n-te Wurzel einer komplexen Zahl z herleiten. Dazu seiWurzelnkomplexerZahlen

4(1, 0) entspricht der 1 in R.


z = r(cosα+ i sinα) und y = ρ(cosβ + i sinβ)

mit yn = z, d.h. mitr(cosα+ i sinα) = ρn(cos(nβ) + i sin(nβ))

Daraus folgt, dass ρ = n√r sowie cosα = cos(nβ) und sinα = sin(nβ) sein mussen. Dabei konnen

sich die Winkel α und nβ nur um Vielfache von 2π unterscheiden. Es gilt also

β =α

n+

2kπn

fur k ∈ Z

Damit ergibt sich insgesamt

n√z = n

√r

(cos(α

n+

2kπn

)+ i sin

(α

n+

2kπn

)), k ∈ Z

Ubung 18.5. Uberlegen Sie, was dies geometrisch bedeutet! Wo befinden sich die n-ten Wurzelnin der komplexen Ebene? 2

Geometrisch bedeutet dies, dass die n-ten Wurzeln einer komplexen Zahl z auf einem Kreisum den Ursprung mit dem Radius n

√r mit dem Abstand 2π

n liegen. Es reicht also eine Wurzel zubestimmen, die anderen ergeben sich durch n− 1 Drehungen dieses Punktes um 2π

n .

Die n-ten Wurzeln der komplexen Zahl z = 1 heißen Einheitswurzeln. Sie liegen auf dem Ein- Einheitswurzeln

heitskreis und haben die Polarkoordinaten (1, cos 2kπn ), k ∈ Z.


Kapitel 19



Naturliche Zahlen sind ein Beispiel fur eine Zahlstruktur. Zahlstrukturen werden durch die Peano-Axiome festgelegt: Eine Zahlstruktur enthalt ein kleinstes Element, mit dem das Zahlen beginnt,und verschiedene Elemente stehen fur verschiedene Anzahlen. Das Induktionsaxiom legt zudem fest,wie gezeigt wird, dass eine Eigenschaft, die fur eine Teilmenge der naturlichen Zahlen zutrifft, aufalle naturlichen Zahlen zutrifft.

Aufgrund der rekursiven Struktur der naturlichen Zahlen lassen sich alle arithmetischen Opera-tionen jeweils rekursiv und schrittweise aufeinander aufbauend festlegen, und mithilfe vollstandigerInduktion lassen sich die bekannten arithmetischen Rechenregeln nachweisen.

Die naturlichen Zahlen sind abgeschlossen gegenuber Addition und Multiplikation, d.h. die Ad-dition bzw. die Multiplikation zweier naturlicher Zahlen ist wieder eine naturliche Zahl. Subtraktionund Division hingegen sind nur eingeschrankt moglich, ihr Ergebnis muss keine naturliche Zahl sein.

Die Menge der naturlichen Zahlen ist die Referenzmenge fur die Abzahlbarkeit von Mengen. JedeMenge, die bijektiv auf die Menge der naturlichen Zahlen abgebildet werden kann, ist abzahlbar.Die Elemente einer abzahlbaren Menge konnen eineindeutig nummeriert werden. Mithilfe einerDiagonalisierung kann gezeigt werden, dass eine Menge nicht abzahlbar sein kann.

Die ganzen Zahlen konnen mithilfe einer Aquivalenzrelation uber Paare von naturlichen Zahleneingefuhrt werden. Die in der Menge der ganzen Zahlen abgeschlossenen Operationen Addition,Subtraktion und Multiplikation werden als Verknupfungen der entsprechenden Aquivalenzklasseneingefuhrt. Dabei werden diese Operationen – auch die Subtraktion – alleine durch die Additionund die Multiplikation naturlicher Zahlen definiert. Die Addition und die Multiplikation auf denpositiven ganzen Zahlen stimmt dabei mit der Addition und der Multiplikation der entsprechendennaturlichen Zahlen uberein. Insofern konnen die ganzen Zahlen als Erweiterung der naturlichenZahlen betrachtet werden, in der nun auch die Subtraktion abgeschlossen ist. Diese Erweiterungkann mithilfe des Isomorphiebegriffs mathematisch beschrieben werden.

Die Menge der ganzen Zahlen ist abzahlbar.

Die rationalen Zahlen konnen mithilfe einer Aquivalenzrelation uber Paare von ganzen Zahleneingefuhrt werden. Die in der Menge der rationalen Zahlen abgeschlossenen Operationen Addition,Subtraktion, Multiplikation und Division werden als Verknupfungen der entsprechenden Aquiva-

179


lenzklassen eingefuhrt. Dabei werden diese Operationen – auch die Division – alleine durch Addition,Subtraktion und Multiplikation ganzer Zahlen definiert. Addition, Subtraktion und Multiplikationauf den rationalen Zahlen mit Nenner 1 stimmen dabei mit Addition, Subtraktion und Multi-plikation der entsprechenden ganzen Zahlen uberein. Insofern konnen die rationalen Zahlen alsErweiterung der ganzen Zahlen betrachtet werden, in der nun auch die Division abgeschlossen ist.Diese Erweiterung kann mithilfe des Isomorphiebegriffs mathematisch beschrieben werden.

Die Menge der rationalen Zahlen ist dicht, d.h. zwischen zwei verschiedenen Zahlen liegt immereine weitere von diesen verschiedene Zahl, und damit liegen zwischen zwei verschiedenen rationalenZahlen unendlich viele weitere rationale Zahlen.

Trotz dieser Eigenschaft ist die Menge der rationalen Zahlen abzahlbar.

Die Menge Q der rationalen Zahlen ist genau die Menge, die sich durch periodische Dezimal-bruche darstellen lasst. Zusammen mit den Zahlen, die sich als aperiodische Dezimalbruche darstel-len lassen, entsteht die Menge R der reellen Zahlen. R enthalt also alle unendlichen Dezimalbruche.R ist uberabzahlbar.

Die Erweiterung der reellen Zahlen um die imaginare Zahl i als Losung der Gleichung x2 = −1fuhrt zur Menge der reellen Zahlen C = a + bi | a, b ∈ R . Eine komplexe Zahl z = a + bi lasstsich als Punkt (a, b) im zweidimensionalen kartesischen Raum R× R interpretieren. Daraus ergibtsich eine weitere Darstellung komplexer Zahlen, die fur viele Anwendungen von Bedeutung ist: dieDarstellung in Polarkoordinaten (r, α). Denn es ist z = r(cosα+ i sinα) mit r = |z| =

√a2 + b2 der

Abstand des Punktes (a, b) vom Ursprung (0, 0), und α ist der Winkel zwischen der x-Achse undder Strecke vom Ursprung zum Punkt (a, b).

19.2 Ubungen

1. Beweisen Sie, dass die Relation ≤⊆ N0 × N0 definiert durch

x ≤ y genau dann, wenn ∃d ∈ N0 : x+ d = y

eine totale Ordnung auf N0 festlegt!

2. Untersuchen Sie, ob Differenz und Division kommutative oder assoziative Operationen sind!

3. Es sei die Menge A abzahlbar, B eine weitere Menge und g : B → A eine bijektive Abbildung.Zeigen Sie, dass dann auch B abzahlbar ist!

4. Zeigen Sie: Eine Menge M ist genau dann abzahlbar, wenn es eine Teilmenge N ⊆ N0 undeine bijektive Funktion f : M → N gibt.

5. Sei Σ ein nicht leeres Alphabet. Zeigen Sie, dass Σ∗ abzahlbar ist!

6. Sei Σ ein nicht leeres Alphabet. Zeigen Sie, dass P(Σ∗), die Menge aller Sprachen uber Σ,uberabzahlbar ist!

7. Verifizieren Sie, dass die beiden Definitionen (18.4) und (18.5) auf den Paaren (a, 0) genauder Addition bzw. der Multiplikation reeller Zahlen entspricht!

8. Rechnen Sie nach, dass die Addition und die Multiplikation komplexer Zahlen die Rechenre-geln A1 - 2, M1 - 2 und D1 - 2 erfullen!

19.2. UBUNGEN 181

9. Rechnen Sie nach, dass fur die komplexen Zahlen (1, 0) und (−1, 0) gilt: (0, 1)·(0, 1) = (−1, 0).

10. Rechnen Sie, dass fur die komplexe Zahl (a, b) gilt: (a, b) · (a, b) = (a2 + b2, 0).

11. Zeigen Sie, dass fur z, z1, z2 ∈ C die folgenden Beziehungen gelten:

(1) z = z,

(2) z1 + z2 = z1 + z2,

(3) z1 · z2 = z1 · z2,

(4)(z1z2

)= z1

z2.


Literaturhinweise

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[6] Beutelspacher, A.: Survival-Kit Mathematik; Vieweg, Wiesbaden 2011

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[16] Waismann, E.: Einfuhrung in das mathematische Denken; Wissenschaftliche Buchgesell-schaft, Darmstadt, 1996

183

Index

Abbildung, 88Abgeschlossenheit, 103, 153Ableitung

logische, 24Ableitungsregel, 24Abschwachung einer Nachbedingung, 23Absolutbetrag, siehe Betrag ganzer ZahlenAbsorption, 27Abzahlbarkeit, 105, 163

von Q, 160von Z, 155

Ackermannfunktion, 116, 134Addition

ganzer Zahlen, 152komplexer Zahlen, 165naturlicher Zahlen, 102

Aquivalenzaussagenlogische, 26

Aquivalenzklasse, 82Aquivalenzrelation, 82Allgemeingultigkeit, 20Alphabet, 13, 121Antinomie

Russellsche, 11Argument

komplexer Zahlen, 168Assoziativgesetz

der Addition, 103der Multiplikation, 103

Assoziativitat, 27Ausdruck

arithmetischer, 143aussagenlogischer, siehe aussagenlogische For-

melAusgangsmenge

einer Funktion, 88einer Relation, 79

Aussagenlogik, 13

Bag, siehe MultimengeBasis

aussagenlogische, 29Boolesche, 30De Morgan-, 30Frege-, 30NAND-, 30NOR-, 30

Belegung, 16, 20Berechenbarkeitskonzepte, 136Bernoullische Ungleichung, 110Betrag

ganzer Zahlen, 154komplexer Zahlen, 167, 168

Beweisdirekter, 47durch Ringschluss, 50durch Widerspruch, 49indirekter, 48

Beweismethode, 22, 47Bijunktion, 19Boolesche Algebra, 61Bruche, 159Buchstabe, 121

Churchsche These, 134

De Morgansche Regeln, 27Dedekindtripel, 100Deduktion, 36Deduktionstheorem, 23Definitionsbereich, 88Diagonalisierung, 106, 164Dichtheit von Q, 159Differenz, 55

naturlicher Zahlen, 103

184

INDEX 185

symmetrische, 55Disjunktion, 18Distributivgesetz, 103

verallgemeinertes, 104Distributivitat, 27Doppelte Negation, 27Dreiecksungleichung, 154Dualitatsprinzip

Boolescher Algebren, 63der Aussagenlogik, 30

Durchschnitt, 55

Einheitswurzeln, 169Einselement, 61Element, 6Erfullbarkeit, 20Exklusives Oder, 19

Fibonacci-Folge, 114Folgerung

logische, 21semantische, 24syntaktische, 24

Formelatomare, 15, 40aussagenlogische, 14geschlossene, 41pradikatenlogische, 40zusammengesetzte, 15

Fundamentalsatz der Algebra, 165Funktion, 87

bijektive, 88eineindeutig, siehe bijektive Funktioninjektive, 88konstante, 89linkseindeutige, siehe injektive Funktionµ-rekursive, 131partiell berechenbare, 134primitiv-rekursive, 126surjektive, 88totale, 88universelle, siehe Universelle Funktion

Godelisierung, 138Ganze Zahlen, 151Gleichmachtigkeit, 105Goldener Schnitt, 115

Grundmenge, 42einer Relation, 79

Hullereflexiv-transitive, 86transitive, 86

Hauptargumentkomplexer Zahlen, 168

Idempotenz, 27Imaginare Zahl, 165Imaginarteil, 165Implikation, 23Index

einer Aquivalenzrelation, 82Induktion, 16

vollstandige, 107Induktionsanfang, 107, 119Induktionsannahme, 107Induktionsaxiom, 100Induktionsbehauptung, 107Induktionsschritt, 107, 119Induktionsvoraussetzung, siehe Induktionsannah-

meInferenzregel, 24Infix, 122Interpretation, 16Interpreter, 18Inverses

additives, 154, 167multiplikatives, 158, 159, 167

Isomorphie, 100Isomorphismus, 65, 153

Kalkullogischer, 25Resolutions-, 31

Kardinalitat, siehe MengeKettenschluss, 23, 25Klausel, 31Klauselmenge, 31Kleene-Stern-Produkt, 123Kommutativgesetz

der Addition, 103der Multiplikation, 103

Kommutativitat, 27Komplement

186 INDEX

einer Menge, 55Komplexe Zahlen, 165Komponente, 78Komposition

von Funktionen, 126von Relationen, 85

Konjugiert komplexe Zahlen, 165Konjunktion, 18Konkatenation, 121

von Sprachen, 122von Wortern, 121

Konstanteaussagenlogische, 16

Konstantenbezeichneraussagenlogischer, 14

Kontradiktion, 20Korrektheit, 25

Losungsmengeeines Pradikats, 90

Literal, 15

Maschineabstrakte, 16

Mathematischer Satz, 47Menge

abzahlbare, 105aufzahlende Darstellung einer, 8beschreibende Darstellung einer, 9Definition der, 5dichte, 81endliche, 10geordnete, 81Kardinalitat einer, 10leere, 6uberabzahlbare, 105unendliche, 10

Mengendisjunkte, 55elementfremde, 55

MengendefinitionCantorsche, 5

Mengengleichheit, 54Modell, 20Modus ponens-Regel, 23, 25Modus tollens-Regel, 25Monotonieregeln, 103, 154

Multimenge, 8Multiplikation

ganzer Zahlen, 152komplexer Zahlen, 165naturlicher Zahlen, 102

Multiplikationssymbol, 104

NAND, 28Nachfolgerfunktion, 100, 126Negation, 18, 27Nenner, 159Neutrales Element

der Addition, 103, 166der Multiplikation, 103, 166

NOR, 28Normalform

aussagenlogische, 28disjunktive, 30konjunktive, 30

Null, 100Nullelement, 61Nullfunktion, 126Nullrelation, 79Nummerierung

der partiell berechenbaren Funktionen, 139

Obermenge, 54Oder-Verknupfung, siehe DisjunktionOperanden, 89Operationen, 89Operatoren, 89Ordnung

alphabetische, 121lexikographische, 122partielle, 81totale, 81

Paar, 78Paarungsfunktion, 161Paradoxon, 12Partition, 59

feinste, 84grobste, 84

Peano-Axiome, 100Polarkoordinaten, 168Postfix, 122Potenz

INDEX 187

von Sprachen, 123von Wortern, 121

Potenzmenge, 55Pradikat, 89Pradikatenlogik, 39Prafix, 122Problem, 125Problemspezifikation, 125Produkt

kartesisches, 78Programmiersprache, 18, 139Programmierung

funktionale, 113Projektion, 126

Quadrupel, 78Quintupel, 78

Rationale Zahlen, 157Realteil, 165Rechenregeln

fur ganze Zahlen, 154fur komplexe Zahlen, 166fur naturliche Zahlen, 103fur rationale Zahlen, 159

Reductio ad absurdum-Regel, 25Reelle Zahlen, 163Rekursion, 111

µ-, 131primitive, 127

Rekursionschemaverallgemeinertes, 119

Relationantisymmetrische, 80asymmetrische, 80bijektive, 80identische, 79, 84injektive, 80irreflexive, 80linkseindeutige, 80linkstotale, 80n-stellige, 78rechtseindeutige, 80, 87rechtstotale, 80reflexive, 80surjektive, 80symmetrische, 80

totale, 80transitive, 80vollstandige, 79

Reprasentanteiner Aquivalenzklasse, 82

Resolution, 32Resolutionsgraph, 37Resolutionslemma, 33Resolutionssatz

der Aussagenlogik, 35Resolutionsverfahren, 36Resolvente, 32Restklasse, 83

Schnittmenge, 55Semantik, 13

der Aussagenlogik, 16der Pradikatenlogik, 42

smn-Theorem, 140Sprache, 13

formale, 13, 122Subjunktion, 19Subtraktion

ganzer Zahlen, 152naturlicher Zahlen, 103

Suffix, 122Summationssymbol, 104Symbol, 121Syntax, 13

der Aussagenlogik, 14der Pradikatenlogik, 40

Tautologie, 20Tautologieregeln, 27Teilmenge, 54

echte, 54Term

pradikatenlogischer, 40Theorem, siehe Mathematischer SatzTripel, 78Tupel, 78

Uberabzahlbarkeit, 105der Potenzmenge von N, 105von R, 163

Uberdeckungdisjunkte, siehe Partition

188 INDEX

Umkehrfunktion, 88Umkehrrelation, 85Und-Verknupfung, siehe KonjunktionUnerfullbarkeit, 20Unerfullbarkeitsregeln, 27Universelle Fuktion, 139Universum, siehe GrundmengeUntermenge, 54utm-Theorem, 139

Variableaussagenlogische, 14freie, 41gebundene, 41

Vereinigung, 55Verscharfung einer Vorbedingung, 23Vollstandigkeit, 25

Wahrheitstafel, 18Wahrheitswerte, 16Wertebereich, 88Widerspruch, 20Widerspruchsfreiheit, 25Worter, 121Wort

leeres, 121Wortlange, 122Wurzel

komplexer Zahlen, 168

Zahler, 159Zahlstruktur, 100Zahlen

ganze, 151imaginare, 165komplexe, 165konjugiert komplexe, 165naturliche, 99rationale, 157reelle, 163

Zahlenmengen, 10, 149Zerlegung

disjunkte, siehe PartitionZielmenge

einer Funktion, 88einer Relation, 79

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