Skript zum Thema Wellen im zweistündigen Physikkurs der ...za3832/Physik/Js2/Skript Wellen.pdf · Skript zum Thema WELLEN J. Hirsch Skript WELLEN, nur zum internen Gebrauch am St

Skript zum Thema WELLEN

J. Hirsch

Skript WELLEN, nur zum internen Gebrauch am St. Paulusheim für den zweistündigen Physikkurs mit Schwerpunkt Astrophysik 1

Skript zum Thema Wellen

im zweistündigen Physikkurs der Kursstufe

mit Schwerpunkt Astrophysik


J. Hirsch


Inhaltsverzeichnis

I MECHANISCHE WELLEN 3

I.1 Einführung 3

I.2 Unterscheidung von Wellen 4

I.3 Querwellen 5 I.3.1 Kenngrößen 5

I.3.2 Einschub: Gleichung einer fortschreitenden Welle 6

I.3.3 Energietransport 7

I.3.4 Überlagerung von Wellen / Interferenz 7

I.3.5 Reflexion 10

I.3.6 Beugung 13

I.3.7 Brechung 14

I.3.8 Stehende Wellen 15

I.4 Längswellen (Schall) 18 I.4.1 Kenngrößen 19

I.4.2 Einschub: Schallgeschwindigkeit 19

I.4.3 Einschub: Schalldruck, Schallintensität und Dezibel 20

I.4.4 Reflexion 21

I.4.5 Interferenz und stehende Wellen 22

I.4.6 Brechung 23

I.4.7 Beugung 24

I.4.8 Doppler-Effekt 24

II ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN 26

II.1.1 Entstehung 26

II.1.2 Eigenschaften von EM–Wellen, Wellenmodell 29

II.1.3 EM–Spektrum 30

II.1.4 Einschub: Informationsübertragung 30

II.1.5 Lichtgeschwindigkeit (Messung) 32

II.1.5.1 Zahnradmethode von Armand Fizeau (1849) 32

II.1.5.2 Drehspiegelmethode von Jean Bernard Léon Foucault (1850) 33

II.1.5.3 Variante für jedermann: 33

II.1.6 Fermatsches Prinzip, Brechung, Reflexion 34

II.1.7 Einschub: Beweis des Fermatschen Prinzips 35

II.1.8 Beugung am Einzelspalt 36

II.1.9 Interferenz am Doppelspalt 40

II.1.10 Polarisation 41


J. Hirsch


I Mechanische Wellen

I.1 Einführung

Die wohl bekannteste Welle im Alltag ist die Wasserwelle. Diese stellt in der Physik jedoch nur einen ganz spezifischen Fall des Phänomens Welle dar. Dennoch eignet sich die Wasserwelle in vielen Aspekten äußerst gut, um Wellen im Allgemeinen zu kennzeichnen und zu beschreiben.

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Arun_image30.jpg

Autor M.arunprasad auf Wikimedia Commons

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:2006-01-14_Surface_waves-2.jpg#metadata

Autor Rainer Zenz auf Wikimedia Commons

Eine Wasserwelle entsteht, wenn z.B. ein Stein ins Wasser fällt oder bei einem in ein gefülltes Becken tropfenden Wasserhahn. Dabei wird der Gleichgewichtszustand (glatte Oberfläche) gestört und die Wasserwellen breiten sich vom „Störpunkt“ kreisförmig aus. Diese konzentrischen Kreise nennt man Wellenfronten.

Auch ein gespanntes Seil kann eine Störung erfahren, indem man das Seil z.B. an einem Ende kurzzeitig auslenkt. Danach „wandert“ diese Störung als Welle bzw. Wellenberg längs des Seils (siehe Bild rechts).

Die Richtung, in die sich die Störung ausbreitet, heißt Ausbreitungsrichtung der Welle (im Bild durch einen Pfeil gekennzeichnet).

Wellen können nur in geeigneten Medien entstehen und sich darin ausbreiten. Grundvoraussetzung sind dabei in irgendeiner Form gekoppelte (Nachbar–)Teilchen, wobei die Stärke der Kopplung dafür zunächst einmal keine Rolle spielt. Wird ein Teilchen nach oben ausgelenkt, so zieht dieses durch die enge Kopplung sein Nachbarteilchen mit sich nach oben und dieses wiederum sein Nachbarteilchen etc. Die einzelnen schwingenden Teilchen werden dabei Oszillatoren genannt.


J. Hirsch


Bei einer Seilwelle wird jedoch auch deutlich, dass sich die einzelnen Seilstücke nicht nach rechts bewegen, sondern nur eine vertikale Bewegung haben.

Auch beim Wasser besteht zwischen den benachbarten Wasserteilchen (Oszillatoren) eine Kopplung, welche in Modellen häufig durch Federn zwischen den Teilchen dargestellt wird:

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:A_Diagram_of_Phononic_Crystal_Structure.png

Autor H2g2bob auf Wikimedia Commons

Eine Welle ist die räumliche und zeitliche Ausbreitung einer Störung und ist periodisch bezüglich Raum und Zeit. Lässt sich das räumliche Muster der Welle zu jedem beliebigen Zeitpunkt durch eine Sinusfunktion beschreiben, handelt es sich um eine harmonische Welle.

I.2 Unterscheidung von Wellen

Mechanische Wellen können in zwei Klassen unterteilt werden. Unterscheidungs-kriterium ist hierbei die Lage die Schwingungsrichtung der einzelnen Oszillatoren zur Ausbreitungsrichtung der Welle.

Schwingen die Oszillatoren quer zur Ausbreitungsrichtung der Welle (linke Seite im Bild unten), so liegt eine Transversalwelle bzw. Quer– oder Scherwelle vor. Beispiele sind Wasserwellen (besser: Oberflächenwellen), Seilwellen oder die „Laola-Welle“.

Schwingen die einzelnen Oszillatoren längs zur Ausbreitungsrichtung der Welle (rechte Seite im Bild unten), so liegt eine Longitudinalwelle bzw. Längswelle vor. Diese kann auch als eine Druckwelle aufgefasst werden und ein typisches Beispiel hierfür ist die Ausbreitung von Schall in gasförmigen, flüssigen oder festen Stoffen.

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Longitudinalwelle_Transversalwelle.png

Autor Raphael Frey auf Wikimedia Commons


J. Hirsch


Vorkommen der beiden Wellenarten:

Longitudinalwelle Transversalwelle

In Gasen: X (Schall in Luft)

--

In Festkörpern: X (Schall in Eisen)

X (seismische Wellen)

In Flüssigkeiten: X (Schall im Wasser)

(X)

An Grenzfläche Flüssigkeit–Gas: -- X

(Oberflächenwellen)

Im Folgenden werden die beiden Wellenarten genauer beschrieben und bestimmte Phänomene betrachtet. Da bei manchen Phänomenen nur geringe Unterschiede zwischen den Wellenarten existieren, wird an entsprechender Stelle darauf verwiesen.

I.3 Querwellen

I.3.1 Kenngrößen

Eine mechanische harmonische Querwelle wird durch verschiedene Größen beschrieben.

Elongation y : Momentane Auslenkung eines Oszillators aus der Ruhelage.

Amplitude maxy : Maximale Auslenkung eines Oszillators aus der Ruhelage und damit die Höhe der Wellenberge bzw. Tiefe der Wellentäler.

Schnelle : Auslenkgeschwindigkeit eines Oszillators.

Wellenlänge λ : Abstand zweier benachbarter Punkte derselben Elongation und Schnelle. Somit auch der Abstand zweier benachbarter Wellenberge bzw. Wellentäler.

Frequenz f : Frequenz der einzelnen Oszillatoren um ihre Ruhelage und somit Anzahl der Schwingungen eines Oszillators um seine Ruhelage pro Sekunde.

Periodendauer T : Zeit eines Oszillators, bis er alle Phasen seiner Schwingung durchlaufen hat (= Zeit für eine Schwingung).

1T

f= .


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Ausbreitungs-geschwindigkeit c :

Da eine Welle in der Zeit, in der ein Oszillator eine komplette Schwingung ausführt, genau um eine Wellenlänge weiter läuft, ergibt sich für die Ausbreitungsgeschwindigkeit c

c fT

λ λ= = ⋅ .

[Hinweis: Diese Gleichung gilt für alle Wellenarten]

I.3.2 Einschub: Gleichung einer fortschreitenden Welle

Für die zeitliche Abhängigkeit der Elongation (Auslenkung) eines einzelnen harmonischen Oszillators gilt generell:

max max

2( ) sin( ) sin( )y t y t y t

T

πω= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ .

Möchte man zudem die räumliche Abhängigkeit der Auslenkung eines Oszillators ins Spiel bringen (ein vom Erreger weiter entfernter Oszillator wird von der Welle ja später erfasst als ein näher gelegener Oszillator), muss man den Zeitpunkt

xt

betrachten, zu welchem ein Oszillator in einer Entfernung x vom Erreger von der Welle erfasst wird:

x

x x xt T

c fλ λ= = = ⋅

⋅

Damit ergibt sich für diesen Oszillator:

max

max

max

2( , ) sin ( )

2sin ( )

sin 2

xy x t y t t

T

xy t T

T

t xy

T

π

πλ

πλ

= ⋅ ⋅ −

= ⋅ ⋅ − ⋅

= ⋅ −

x

y

c


J. Hirsch


http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Interference_of

_sine_waves.JPG Autor Brews ohare auf Wikimedia Commons

I.3.3 Energietransport

Wird an einem Seilende eine Störung erzeugt, z.B. durch Auslenkung des Seilendes nach oben, so läuft die Welle bekanntermaßen am Seil entlang. Dabei wird wie erwähnt keine Materie transportiert, da die einzelnen Oszillatoren (Seilstücke) an Ort und Stelle bleiben und sich nur nach oben und unten bewegen. (Würde dabei Materie, d.h. jedes einzelne Seilstück transportiert werden, so würde sich ja das ganze Seil in diese Richtung bewegen!)

Wird ein Oszillator zum Schwingen angeregt, so „nimmt“ er durch die Kopplung mit dem benachbarten Oszillator diesen mit sich, er „zieht“ ihn gewissermaßen hinter sich nach oben bzw. unten. Jeder Oszillator verrichtet damit Arbeit an seinem nächsten Nachbarn und überträgt damit Energie auf diesen.

Fortschreitende Wellen übertragen Energie, ohne dass dabei Materie in Ausbreitungsrichtung transportiert wird.

I.3.4 Überlagerung von Wellen / Interferenz

Wie bei der Überlagerung verschiedener Bewegungen (schiefer Wurf) gilt auch bei der Überlagerung zweier oder mehrerer Wellen das Superpositionsprinzip. Treffen beispielsweise zwei Wasserwellen aufeinander, so überlagern sich diese Wellen am gemeinsamen Treffpunkt, gehen aber danach jeweils in die vorherige Richtung weiter, als ob sie sich nie begegnet wären.

Superpositionsprinzip:

Treffen sich an einem bestimmten Ort eines Mediums zwei oder mehrere Wellen, so addieren sich an diesem Ort die Elongationen der Oszillatoren, d.h. die einzelnen Auslenkungen der Schwingungen.

Dabei müssen die Wellen weder dieselbe Frequenz noch dieselbe Amplitude besitzen.

Überlagern sich zwei oder mehr Wellen gleicher Frequenz, so spricht man von Interferenz.

Besitzen die Wellen zudem noch dieselbe Amplitude, so können zwei ganz bestimmte Effekte auftreten:


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Trifft bei der Überlagerung ein Wellenberg genau auf einen anderen Wellenberg und ein Wellental genau auf anderes Wellental, so verstärken sich die Auslenkungen maximal. Diesen Fall nennt man konstruktive Interferenz.

Treffen jedoch bei der Überlagerung von Wellen die Wellenberge der einen Welle auf die Wellentäler der anderen Welle, so schwächen sich die Auslenkungen gegenseitig ab bis hin zur völligen kurzzeitigen Auslöschung. Diesen Fall nennt man destruktive Interferenz.

Konstruktive Interferenz Destruktive Interferenz

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Interference_of_two_waves.svg

Autor Quibik auf Wikimedia Commons

Wichtig für das Phänomen Interferenz ist der sogenannte Gangunterschied s∆ der beiden Wellen, d.h. die Größe der gegenseitigen Verschiebung der Sinuskurven.

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Phase_shift.gif

Autor Fffred auf Wikimedia Commons

Konstruktive Interferenz entsteht bei einem ganzzahligen Vielfachen der Wellenlänge als Gangunterschied:

, 0,1,2,3,...s k kλ∆ = ⋅ =

Destruktive Interferenz entsteht, wenn der Gangunterschied zweier überlagerter Wellen genau ein ungerades Vielfaches der halben Wellenlänge beträgt:

1( ) , 0,1,2,3,...

2s k kλ∆ = + ⋅ =

s∆


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Auch bei der Überlagerung zweier kreisförmiger Wasserwellensysteme entsteht Interferenz. Das typische Interferenzmuster zeigt in der Originalaufnahme hellere und dunklere Bereiche, die für Maxima bzw. Minima der Auslenkung (also Wellenberge und Wellentäler) stehen.

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Two-point-

interference-ripple-tank.JPG Copyright Armedblowfish

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Interferenz.jpg Autor Dr. Schorsch auf Wikimedia Commons

Auch im simulierten Interferenzbild zweier punktförmiger Erreger (Kreuze) mit phasengleicher Frequenz erkennt man das Interferenzmuster. Dabei sind die Maxima beider Wellen durch rote bzw. grüne Kreise dargestellt.

An den Stellen, an denen sich zwei dieser Kreise schneiden, verstärken sich die Wellenberge (konstruktive Interferenz, sehr helle Punkte), in den Mitten zwischen zwei Kreisen befinden sich die konstruktiv verstärkten Wellentäler (dunkle Flecken). Daneben finden sich auch noch Stellen destruktiver Interferenz.

Sind die beiden Erreger nicht ein Vielfaches der Wellenlänge vonein-ander entfernt, so kann man im Inter-ferenzbild deutlich hyperbelförmige Strukturen dauerhafter Auslöschung (destruktive Interferenz) und maximaler Verstärkung (konstruktive Interferenz) erkennen.

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Interf.png

Autor AndreaPersephone auf Wikimedia Commons


J. Hirsch


I.3.5 Reflexion und Prinzip von Huygens

Mechanische Wellen, die an einen „Rand“ treffen, werden dort reflektiert. So werden eine Wasserwelle, die an den Beckenrand trifft, oder eine Welle auf einem Seil am anderen Ende zurückgeworfen. Entscheidend für die Reflexion ist jedoch die Art des Endes, an dem die Welle zurückgeworfen wird.

Bei der Reflexion einer Seilwelle ist von Bedeutung, ob das Seilende, an dem die Reflexion stattfindet, fest – im Sinne von festgebunden – oder lose ist und somit mitschwingen kann.

Erreicht im obigen Bild die Störung das feste Ende, so übt das Seil eine nach oben gerichtete Kraft auf die Wand aus. Die Wand übt nach dem Newtonschen Wechselwirkungsgesetz („actio = reactio“) eine nach unten gerichtete gleich große Kraft auf das Seil aus. Dadurch wird an der Befestigung eine nach unten gerichtete Störung des Seils erzeugt, die dann als Wellental zurückläuft.

Festes Ende:

Ein Berg wird als Tal und ein Tal als Berg reflektiert.

Loses Ende:

Ein Berg wird als Berg und ein Tal wird als Tal reflektiert.


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Befestigt man das Seilende an einem Ring, der sich an einer Stange (reibungsfrei) auf und ab bewegen kann, so wird dieser Ring durch die Störung (den Wellenberg) im Bild oben nach oben gezogen, wodurch das Seil gespannt und gedehnt wird (doppelte Amplitude). Das anschließende Zusammenziehen des Seils verursacht wiederum eine Bewegung des Rings nach unten, und das Resultat ist ein Wellen-berg, welcher sich entgegen der ursprünglichen Ausbreitungsrichtung ausbreitet.

Auch eine Wasserwelle kann an einem Hindernis reflektiert werden, wie z.B. die Wasserwellen in der Badewanne am Wannenrand. Dabei trifft allerdings nicht eine einzelne Welle auf dieses Hindernis, sondern eine ganze Wellenfront.

Nach dem Holländer Christiaan Huygens (1629–1695) lässt sich jeder Punkt einer Welle als Ausgangspunkt einer Elementarwelle (Welle die sich von diesem Punkt kreisförmig ausbreitet) auffassen. Durch die Überlagerung dieser Elementarwellen entstehen die erwähnten Wellenfronten (als sogenannte Einhüllende; s. Bild).

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:HuygensDiffraction.jpg

Autor Yoyokits auf Wikimedia Commons

Den Ablauf der Reflexion einer Wellenfront an einem Hindernis zeigen die beiden folgenden Bilder. Trifft eine Wellenfront an einem Punkt schräg auf ein Hindernis, so geht von diesem Punkt eine kreisförmige Elementarwelle aus (Huygens). Da sich die Wellenfront weiter in dieselbe Richtung bewegt, wandert dieser Punkt mit der Zeit im Bild nach rechts. Die bisherigen Elementarwellen haben sich nun allerdings auch weiter ausgedehnt (Kreise in den Bildern werden größer). Am Ende läuft die Wellen-front unter demselben Winkel gegenüber dem Einfallslot wieder vom Hindernis weg.

Bei der Reflexion einer Welle an einer Grenzfläche gilt:

Einfallswinkel α = Ausfallswinkel β


J. Hirsch


http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Reflexion_im_Wellenmodell.png

Autor Herbertweidner auf Wikimedia Commons

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Reflexion-im-Wellenmodell.png

Autor D-blume auf Wikimedia Commons

Das nachfolgende Bild zeigt eine Originalaufnahme der Reflexion einer Wellenfront an einer Grenzfläche, die am oberen Bildrand als hellblauer Streifen zu erkennen ist.

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Straight-reflection-ripple-tank.jpg

Copyright Armedblowfish


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I.3.6 Beugung

Trifft eine Wellenfront auf ein breites Hindernis, so erhält man dahinter keinen scharf begrenzten „Schatten-raum“. Die Wellen breiten sich von der seitlichen Begrenzung des Hindernisses startend in den Bereich hinter dem Hindernis aus.

Erklärung dafür ist wiederum das Huygens’sche Prinzip, welches besagt, dass sich von der Kante des Hinder-nisses aus Elementarwellen in den Schattenraum ausbreiten.

Dieses Phänomen ist als Beugung bekannt.

Im nachfolgenden Bild sind die Elementarwellen, die sich von den Kanten der Öffnung in den linken Raum ausbreiten, als Halbkreise zu sehen. Diese Elementarwellen erfassen – wie man sieht – auch den Bereich direkt hinten den Hindernissen.

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Water_diffraction.jpg

Autor Lorenzarius auf Wikimedia Commons


J. Hirsch


I.3.7 Brechung

Laufen Wasserwellen schräg in ein Gebiet mit abnehmender Tiefe ein, so werden sie gebrochen. Dabei werden die Wellennormalen (Senkrechte zur Wellenfront), die im Einfallswinkel α gegenüber dem Einfallslot ankommen, im flacheren Gebiet zum Einfallslot hin gebrochen. So führt bei einem langsam ansteigenden Strand die aufgrund einer schrittweisen Verringerung der Tiefe vorhandene, permanente Brechung dazu, dass sich Wellenfronten immer mehr parallel zur Uferlinie ausrichten. Deshalb laufen auch die Wellen an einem flachen Strand direkt auf uns zu.

Ein weiteres Phänomen ist die Veränderung der Wellenlänge und der Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle: Je flacher das Wasser ist, desto kleiner wird die Wellenlänge und desto langsamer breitet sich die Welle aus.

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Refraction-ripple-tank.JPG

Copyright Armedblowfish

Da die Frequenz der Welle konstant bleibt, muss sich nach c fλ= ⋅ die Ausbreitungs-

geschwindigkeit der Welle um denselben Faktor ändern wie die Wellenlänge.

Somit laufen Wasserwellen mit größerer Wellen-länge schneller als Wasserwellen mit kleinerer Wellenlänge. Dies nennt man Dispersion.

Die Dispersion ist vor allem deutlich bei Wasserwellen zu sehen, die auf den Strand zulaufen. Sie werden langsam abgebremst und

Einfallslot

Wellennormale

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Wellen-

Brechung.png Autor Stefan-Xp auf Wikimedia Commons


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kinetische Energie wird in potenzielle Energie umgewandelt, wodurch die Wellenberge höher werden und schließlich „brechen“.

Für die Brechung von Wellen gilt für den Brechungsindex n:

1 1

2 2

sin

sin

cn

c

λαβ λ

= = = .

Die Brechung ist eine von der Wassertiefe abhängige Änderung der Wellenlaufrichtung.

I.3.8 Stehende Wellen

Stehende Wellen sind ein Phänomen bzw. Erscheinungsbild, welches auftritt, wenn zwei Wellen gleicher Amplitude und gleicher Frequenz, jedoch entgegen gesetzter Laufrichtung interferieren.

Erinnerung:

Lenkt man ein gespanntes Seil an einem Ende aus, so breitet sich die Störung z.B. als Wellenberg längs des Seils aus. Am anderen Ende wird der Wellenberg reflektiert und läuft als Wellenberg oder als Wellental wieder zurück. Die Art der Reflexion hängt davon ab, ob dieses Ende lose oder fest ist (siehe I.3.5).

Erzeugt man nun auf der einen Seite eines Seils regelmäßige Störungen, so breitet sich eine harmonische Welle längs des Seils aus, die durch eine Sinusfunktion beschrieben werden kann. Am festen bzw. losen Ende wird die Welle reflektiert und läuft der ursprünglichen Welle entgegen und interferiert mit dieser. Bei einer bestimmten (Anregungs–)Frequenz überlagern sich die Wellen so, dass an bestimmten Stellen des Seils Schwingungsknoten (Punkte, die sich nicht auf und ab bewegen) und Schwingungsbäuche entstehen.

In den folgenden Einzelbildern einer Animation zweier entgegengesetzt laufender Wellen kann man sieben Schwingungsknoten und sechs Schwingungsbäuche erkennen. Da das Seil in der Animation an beiden Enden fest eingespannt ist, kann an diesen festen Enden nur ein Schwingungsknoten liegen, da sich die Endpunkte des Seils nicht vertikal bewegen können. Der Abstand zwischen zwei benachbarten

Bäuchen bzw. Knoten beträgt jeweils 2λ .

Wären die beiden Seilenden lose, so würden an den Enden Schwingungsbäuche entstehen, zudem würden Knoten und Bäuche ihre Positionen gegenüber zwei festen Enden vertauschen.

www.worldlingo.com/ma/dewiki/de/Wasserwelle


J. Hirsch


Ausschnitte einer Animation (erst linke Spalte nach unten und danach rechte Spalte):

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Stehende_Welle.gif?uselang=de

Autor me auf Wikimedia Commons


J. Hirsch


http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Longitudinal

_mode_v2.svg Autor Twisp auf Wikimedia Commons

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Overtones_closed_pipe.png

Autor LucasVB auf Wikimedia Commons

Eine stehende Welle kann bei zwei festen oder bei zwei losen Enden nur dann entstehen, wenn die Länge L des Seils ein ganzzahliges

Vielfaches von 2λ beträgt, d.h. wenn gilt:

2kL k

λ= ⋅ mit 1,2,3,...k =

Damit erhält man k Bäuche und 1k + Knoten bei zwei festen Enden bzw. 1k + Bäuche und k Knoten bei zwei losen Enden.

Bei einer vorgegebenen Länge L des Seils kann nur dann eine stehende Welle entstehen, wenn

2k

L

kλ = mit 1,2,3,...k = .

Für 1k = erhält man die sogenannte Grundschwingung oder Grundwelle, d.h. die stehende Welle mit der größtmöglichen Wellenlänge. Für 2k ≥ entstehen die Oberwellen.

Bei einem festen und einem losen Ende, d.h. bei zwei verschiedenartigen Reflexionen können sich ebenfalls stehende Wellen ausbilden.

Dabei ist allerdings zu beachten, dass nun in die vorgegebene Länge L des Seils ungerade

Vielfache von 4λ passen müssen, d.h.

( )2 14

kL kλ= − ⋅ mit 1,2,3,...k =

bzw.

4

2 1k

L

kλ =

− mit 1,2,3,...k = .

Grundvoraussetzung stehender Wellen ist u.a. dieselbe Frequenz der beiden Wellen. Damit sich die Grundwelle bei zwei gleichartigen Reflexionen ausbilden kann, muss mit c fλ= ⋅ und den obigen Bedingungen gelten:

2 2k

k

c c k cf

L L

k

λ⋅= = = bzw. 1k

f k f= ⋅ .


J. Hirsch


http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Sound-

icon.svg Autor Palosirkka auf Wikimedia Commons

Bei zwei verschiedenen Enden ergibt sich entsprechend

( )2 1

4 42 1

k

k

k cc cf

L L

k

λ− ⋅

= = =

−

bzw. ( ) 12 1kf k f= − ⋅ .

Die für das Entstehen von stehenden Wellen möglichen Frequenzen nennt man Eigenfrequenzen.

I.4 Längswellen (Schall)

Der geläufigste Vertreter einer Längswelle ist der Schall. Schall breitet sich in der Luft durch Verdichtungen und Verdünnungen aus, die in Ausbreitungsrichtung „schwingen“. Diese Eigenschaft ist selbst in Icons oder Lautsprechersymbolen verarbeitet (Bild rechts) und war im Prinzip schon lange Zeit verstanden – wie die beiden folgenden Bilder um 1880 zeigen.

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:PSM_V21_D214_Simple_sound_waves.jpg

Autor Ineuw auf Wikimedia Commons

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:PSM_V13_D058_Sound_waves_1.jpg

Autor Ineuw auf Wikimedia Commons


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http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Lattice_wave.svg

Autor FlorianMarquardt auf Wikimedia Commons

I.4.1 Kenngrößen

Longitudinalwellen lassen sich durch dieselben Kenngrößen charakterisieren wie die Querwellen im vorherigen Abschnitt. Hier nur die wichtigsten Größen:

Die Amplitude entspricht der maximalen Auslenkung eines Oszillators (z.B. eines Luftteilchens) aus der Ruhelage. Sie ist verantwortlich für die Lautstärke des Tons.

Die Wellenlänge λ gibt den Abstand zweier benachbarter Verdichtungen (entspricht den Wellenbergen) bzw. zweier benachbarter Verdünnungen („Wellentäler“) an. Sie ist verantwortlich für die Höhe des Tons; ein höherer Ton hat eine höhere Frequenz.

Die Frequenz f gibt die Anzahl der

Schwingungen eines Oszillators um seine Ruhelage pro Sekunde an, wobei die Schwingung in Ausbreitungsrichtung der Welle stattfindet.

Die Periodendauer T entspricht der Zeit, bis ein Oszillator alle Phasen seiner Schwingung durchlaufen hat (= Zeit für eine Schwingung).

Die Ausbreitungsgeschwindigkeit c ist analog zu den Querwellen abhängig von Frequenz und Wellenlänge.

Es gelten somit dieselben Gleichungen wie bei den Querwellen:

1T

f= c f

T

λ λ= = ⋅ .

I.4.2 Einschub: Schallgeschwindigkeit

Die Schallgeschwindigkeit in einem idealen Gas hängt u.a. von der Dichte und dem Druck bzw. von der Temperatur und der molaren Masse des Gases ab. Mit den entsprechenden Daten für Luft erhält man die folgende von der Temperatur T (in K) bzw. ϑ (in °C) abhängige Schallgeschwindigkeit in Luft:

Luft

m m / C20,063 331,5 1

s K s 273,15

Tc

ϑ °

≈ = + .

Mit guter Näherung lässt sich die Schallgeschwindigkeit auch errechnen mit:

Luft

m(331,5 0,6 / C)

s°c ϑ≈ + .

Generell gilt: Je stärker die Kopplung zwischen den Teilchen ist, desto größer ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit. In Festkörpern breitet sich somit der Schall schneller aus als in der Luft.


J. Hirsch


Einige Schallgeschwindigkeiten (Quelle: Wikipedia):

Medium Schallgeschwindigkeit longitudinal in m/s

Schallgeschwindigkeit transversal in m/s

Helium 981 Kohlendioxid 266 Wasser 1484 Meerwasser ≈ 1500 Glas 5300 Plexiglas 2670 Beton ≈3700 – 3800 2240 Buchenholz 3300 Aluminium 5100 3130 Gold 2000 1280 Kupfer 4700 2260 Stahl 5920 3255 Eisen 5170

Die Tabelle verdeutlicht, dass sich Schall in manchen Medien auch als Transversal-welle ausbreiten kann. Dies erfolgt dann aufgrund der Elastizität des Stoffes als Scherwelle, d.h. ist gewissermaßen ein „Verbiegen“ des Kristallgitters des Stoffes.

I.4.3 Einschub: Schalldruck, Schallintensität und Dezibel

Da der Schall sich in Form von Verdichtungen und Verdünnungen ausbreitet und die Luftteilchen in Ausbreitungsrichtung schwingen, entstehen beim Auftreffen des Schalls auf eine Oberfläche Druckschwankungen. Diese Druckschwankungen werden als Schalldruck bezeichnet und können z.B. das Trommelfell im Ohr in Bewegungen setzen, d.h. zum Schwingen anregen.

Für den Druck gilt allgemein: F

pA

= .

Der Gesamtdruck auf ein Trommelfell wäre demnach die Summe aus Luftdruck und Schalldruck:

0ges Schallp p p= + .

Da unser Trommelfell für den irdischen Luftdruck ausgelegt ist, d.h. der innere Druck im Ohr diesen Luftdruck wieder ausgleicht, spielt für die effektive Kraft auf das Trommelfell somit nur der Schalldruck eine Rolle. Ist der Schalldruck zu hoch, so führt dies zu einer höheren Kraft auf das Trommelfell und zu starken Schmerzen.

Da Schallwellen – wie jede andere Welle – Energie transportieren, definiert man die Schallintensität als Energiemenge, die pro Zeitintervall durch eine Fläche A tritt.

[ ] 21

E P WI I

t A A m= = =

⋅.


J. Hirsch


Der Mensch kann Schallwellen mit einer großen Intensitätsbandbreite wahrnehmen, die leicht von der Frequenz des Tones abhängt. Für 1f kHz= gilt:

120 max2 2

10 1W W

I bis Im m

−≈ ≈ .

Der Schallintensitätspegel wird in „Dezibel (dB)“ angegeben und errechnet sich aus

0

10 logI

IL dB

I

= ⋅

.

Diese große Bandbreite verdanken wir der physiologische Beschaffenheit und Arbeitsweise unseres Gehirns. So führt eine Verdopplung der Schallquellen subjektiv nicht zu einer Verdopplung der Lautstärke, sondern erst eine Zunahme der Schallquellen um den Faktor 10. Dieses empirisch gefundene Gesetz heißt Weber-Fechner’sche Gesetz. Die empfundene Lautstärke L wird in der Einheit „phon“ angegeben und ergibt sich aus der objektiv messbaren Schallintensität I :

0

10 logN

IL phon

I

= ⋅

.

Eine Erhöhung der Schallintensität um 10dB bzw. der empfundenen Lautstärke um 10 phon entspricht einer subjektiven Verdoppelung der Lautstärke.

I.4.4 Reflexion

Treffen Schallwellen auf eine Grenzfläche zweier unterschiedlicher Medien, so werden sie reflektiert. Die bekannteste Reflexion ist das Echo, d.h. das Reflektieren des Schalls an einer (Berg–)Wand. Da sich die Wellenlänge des Schalls bei der Reflexion an einem Hindernis nicht ändert, gilt:

Einfallswinkel = Ausfallswinkel

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Wechselwirkung_Ultraschall_Probe_3.gif

Autor Rainer Ziel auf Wikimedia Commons

Eine Anwendung der Reflexion von Schallwellen ist das Echolot zur Bestimmung von Wassertiefen oder zum Orten von Fischschwärmen unter Wasser. Fledermäuse und Delfine benutzen dieses System zur Verortung ihrer Position und zum Aufspüren von Hindernissen. Allerdings benutzen diese Tiere Ultraschall, der für das menschliche Gehör außerhalb des Hörbereichs liegt. Auch Ultraschalluntersuchungen in der Medizin basieren auf der Reflexion von Schallwellen und können mit bildgebenden Verfahren inzwischen sogar dreidimensionale Bilder erzeugen.


J. Hirsch


http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Embryo_at_12_weeks.JPG

Autor X.Compagnion auf Wikimedia Commons

I.4.5 Interferenz und stehende Wellen

Analog zu den Querwellen können sich auch Longitudinalwellen überlagern und interferieren. Die unter bestimmten Bedingungen resultierenden stehenden (Schall–) Wellen finden vor allem bei Musikinstrumenten ihre Anwendung und die entsteh-enden Töne bzw. Klänge sind für die einzelnen Musikinstrumente charakteristisch.

Bei der Gitarre oder Geige werden fest eingespannt Saiten angezupft bzw. ange-rissen. Dadurch breitet sich eine Welle zu den Saitenenden aus, wird dort reflektiert und überlagert sich mit der inzwischen durch Zupfen oder Streichen neu erzeugten Welle. Da sich die Wellen mit Schallgeschwindigkeit ausbreiten, hat sich auf der Saite schon nach wenigen Millisekunden eine stehende Welle gebildet. Da die Saiten zu beiden Enden fest eingespannt sind, bilden sich nur stehende Wellen aus, wenn die Saitenlänge L ein ganzzahliges Vielfaches der halben Wellenlänge ist:

2kL k

λ= ⋅ bzw. 2

k

L

kλ = mit 1,2,3,...k =

Somit lässt sich erklären, warum Musikinstrumente einen Grundton (für 1k = ) und mehrere Obertöne (für 1k > ) haben.

In einer Trompete oder eine Flöte schwingt beim Anblasen dagegen die Luftsäule im Instrument. Das zu beiden Seiten offene Flötenrohr wirkt dabei nur als Resonator und schwingt nicht selbst. Dabei dienen die Löcher zur Veränderung der Rohrlänge und damit natürlich zur Änderung der Wellenlänge und Frequenz des Tones.

Im Bild rechts sind die schwingenden Luftsäulen (stehenden Wellen) in einer beidseitig offenen Flöte dargestellt. Die dunklen Streifen entsprechen den Schwingungsknoten, die Bäuche sind bei den hellen Bereichen.


J. Hirsch


Der Grundton (oben) hat eine doppelt so große Wellenlänge wie der erste Oberton. Der erste Oberton besitzt damit die doppelte Frequenz des Grundtons und ist höher.

Der zweite Oberton ( 3k = ) hat eine dreimal höhere Frequenz als der Grundton, der dritte Oberton eine viermal höhere Frequenz etc.

Ist nur eine Seite eines Rohres offen, so spricht man von einer „gedackten“ bzw. „gedeckten“ Röhre, wie sie z.B. in einer Orgel verwendet wird. Vergleicht man eine offene Pfeife mit einer gedackten Pfeife gleicher Rohrlänge, so ist der Grundton der gedackten Pfeife eine Oktave tiefer, da er die halbe Frequenz des Grundtons aus der offenen Pfeife besitzt.

I.4.6 Brechung

Wie jede Wellenart können auch Longitudinalwellen beim Übergang von einem Medium in ein anderes Medium gebrochen werden. Nach der Brechungsregel

1 1

2 2

sin

sin

cn

c

λαβ λ

= = =

bedeutet dies, dass der Winkel zum Einfallslot in dem Medium mit der kleineren Schallgeschwindigkeit ebenfalls kleiner ist als im zweiten Medium. Brechung erfolgt zum Beispiel beim Übergang von Schallwellen in ein anderes Gas oder aufgrund der Temperaturabhängigkeit der Schallgeschwindigkeit (siehe I.4.2) auch beim Übergang in Luftschichten mit anderer Temperatur.

Es gibt eine Bauernregel, die besagt, dass Regen kommt, wenn man den Schall der Kirchenglocken besonders klar und laut hören kann. Die Erklärung dafür ist simpel:

Normalerweise befinden sich in Bodennähe die wärmeren Luftschichten und in steigender Höhe nimmt die Temperatur der Luftschichten ab. Damit würde der Schall einer Quelle (Kirchenglocke) permanent so gebrochen werden, dass er sich vom Erdboden entfernt (Bild b). Bei einer sogenannten Inversionswetterlage (Bild a) sind die Temperaturunterschiede genau umgekehrt (invers), wodurch der Schall zum Boden hin gebrochen wird und sich dadurch über große Distanzen ausbreiten kann. Da Inversionswetterlagen häufig Regen bedeuten, macht die Bauernregel Sinn…

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Outdoor_Sound_Refraction.png

Autor Yggmcgill auf Wikimedia Commons


J. Hirsch


I.4.7 Beugung

Das Phänomen der Beugung lässt sich völlig analog zu den besprochenen Wasserwellen beschreiben. Das Huygens’sche Prinzip findet auch hier seine Anwendung. Allerdings ist die „Stärke“ der Beugung von der Frequenz des Tones abhängig: Je niedriger die Frequenz ist, desto stärker werden die Schallwellen „um die Ecke“ gebeugt. Im Alltag kann man diese Eigenschaft dadurch erkennen, dass Musik aus einem Zimmer in einem anderen Zimmer deutlich tiefer und dumpfer klingt. Vor allem die Bässe lassen sich in den anderen Zimmern sehr gut hören, was in Wohnungen oftmals der Anlass für Ärger ist.

I.4.8 Doppler-Effekt

Bis zu diesem Zeitpunkt haben wir die Schallquelle bzw. den Empfänger immer als ruhend angenommen. Bewegt sich jedoch einer der beiden bzw. sogar beide, kann der Empfänger eine Frequenzverschiebung des Tons wahrnehmen. Dieser nach Christian Doppler benannte Effekt ist z.B. bei einem vorbeifahrenden Krankenwagen mit Martinshorn hörbar: Nähert sich der Krankenwagen unserem Standort, so scheint der Ton immer höher zu werden, entfernt er sich von uns, so nimmt die Tonhöhe ab.

In den folgenden Fällen gehen wir davon aus, dass die Geschwindigkeit v der Quelle bzw. des Empfängers deutlich unterhalb der Schallgeschwindigkeit liegt ( v c≪ ).

Sind Quelle und Empfänger in Ruhe, so vergeht beim Empfänger zwischen dem Eintreffen zweier benachbarter Wellenberge die Zeit

1

Tf c

λ= = . (1)

Ruhender Sender / Bewegter Empfänger

Falls sich der Empfänger mit der Geschwindigkeit v auf den Sender zu bewegt, dann treffen die Wellenberge mit der effektiven Geschwindigkeit c v+ am Empfänger ein. D.h. zwischen dem Einlaufen zweier benachbarter Wellen-berge vergeht eine kürzere Zeitspanne:

1

''

Tf c v

λ= =+

. (2)

Ein Umformen der Gleichungen (1) und (2) nach λ und Gleichsetzen liefert

'

c c v

f f

+= bzw. ' 1v

f fc

= ⋅ +

.

Beachte:

Entfernt sich der Empfänger vom Sender, dann ist seine Geschwindigkeit v negativ!


J. Hirsch


Bewegter Sender / Ruhender Empfänger

Die Wellenfront breitet sich während der Schwingungszeit T um c Tλ = ⋅ aus. Da sich jedoch der Sender in derselben Zeit um die Strecke a v T= ⋅ auf den Empfänger zu bewegt hat, haben für den Empfänger zwei benachbarte Wellenberge einen kleineren Abstand 'λ :

( )'c v

a c T v T c v Tf

λ λ −= − = ⋅ − ⋅ = − ⋅ = .

Bei der Bewegung der Signalquelle wird also das Wellenfeld deformiert. Da die Schallgeschwindigkeit c der Wellen konstant bleibt und die neue Wellenlänge 'λ beträgt, ergibt sich die Frequenz

''

cf

λ= .

Umformen nach 'λ und Einsetzen in die obige Gleichung ergibt

'1

ff

v

c

=−

.

Beachte:

Entfernt sich ein Sender vom ruhenden Empfänger, dann ist 0v < !


J. Hirsch


II Elektromagnetische Wellen

Elektromagnetische Wellen werden in vielfältiger Weise im Alltag benutzt, z.B. Radiowellen zum Übertragen von Rundfunksignalen, Mikrowellen bei Mobiltelefonen und WLAN, Röntgenstrahlen in der Medizin etc.

Auch das sichtbare Licht gehört zu den elektromagnetischen Wellen. Bisher hatten wir Licht als Teilchen, d.h. als Photonen interpretiert. Diese bewegen sich geradlinig durch den Raum und haben je nach Farbe des Lichts unterschiedliche Energien. Bei der Strahlenoptik (Sammellinsen, Zerstreuungslinsen, Reflexion …) reicht dieses Modell völlig aus, bei manchen Phänomenen kommt es allerdings schnell an seine Grenzen. Ein weiteres Modell beschreibt Licht als (elektromagnetische) Welle und kann die Lücke der mit dem Teilchenmodell nicht erklärbaren Phänomene schließen.

Im Folgenden soll es um den Wellencharakter Licht bzw. elektromagnetischer Strahlung im Allgemeinen gehen.

II.1.1 Entstehung

Ähnlich wie bei mechanischen Wellen muss auch bei der Entstehung von elektro-magnetischen Wellen etwas schwingen. In diesem Fall sind es jedoch Elektronen, die in einem Leiter in Längsrichtung schwingen.

In der Elektrodynamik gibt es eine besondere Schaltung aus einer Spule (Speicher für magnetische Energie) und einem Kondensator (Speicher für elektrische Energie), die Schwingkreis genannt wird (Bild A). Ist der Kondensator geladen und wird mit der Spule verbunden, so entlädt sich der Kondensator nicht in üblicher Weise, sondern es entsteht eine Wechselspannung. Diese periodische Änderung von Spannung und damit von der Stromstärke bezeichnet man als elektromagnetische Schwingung.

Die Spannung am geladenen Kondensator ist zunächst maximal, die Stromstärke im Kreis null. Beim Entladen des Kondensators fließt Strom und es entsteht in der Spule ein Magnetfeld, während die Ladung und die Spannung am Kondensator abnehmen. Das entstehende Magnetfeld der Spule sorgt aufgrund der Selbstinduktion dafür, dass der Strom nach dem vollständigen Entladen des Kondensators in gleicher Richtung weiterbesteht und der Kondenstor sich mit entgegen gesetzter Polarität wieder auflädt. Danach wiederholt sich der Vorgang in entgegen gesetzter Richtung, bis der ohmsche Widerstand des Stromkreises die Schwingung zum Erliegen bringt.

A

B

C

D

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Dipolentstehung.gif

Autor Averse auf Wikimedia Commons


J. Hirsch


Wird dieser Schwingkreis geöffnet, d.h. werden die Kondensatorplatten wie in den Bildern B, C und D geöffnet, so entsteht ein Dipol, die Quelle einer elektromagnetischen Welle (Bild rechts).

An der Abfolge der einzelnen Schritte hat sich gegen-über dem geschlossenen Schwingkreis nichts verändert:

Ist am oberen Ende des Dipols eine Elektronenüber-schuss, so entsteht aufgrund des Elektronenmangels der Unterseite ein elektrisches Feld (blaue Linien im Bild rechts). Durch das Fließen der Elektronen nach unten steigen die Stromstärke und somit das magnetische Feld um den Leiter, das elektrische Feld wird aufgrund des Ladungsausgleichs schwächer. Ist der Elektronen-überschuss letztendlich am anderen Ende des Dipols, so existiert wieder ausschließlich das elektrische Feld, jedoch mit umgekehrter Feldrichtung.

Das Besondere an diesem Vorgang ist die Abkopplung und freie räumliche Aus-breitung von elektrischen Feldbereichen aus geschlossenen Feldlinien. Obwohl die Elektronen niemals den gesamten Weg von oben nach unten zurücklegen, sondern mit kleiner Amplitude um ihre „Ruhelage“ schwingen, kann man zur Vereinfachung einen Dipol betrachten, in dem „positive und negative Ladung schwingt“.

Nach einer Viertelperiode ( 4Tt = ) hat die elektrische Feldstärke ihren Maximalwert.

Bis zum Zeitpunkt 2Tt = wird das E–Feld jedoch nicht abgebaut, sondern die

Feldlinienenden wandern mit den Ladungen in die Mitte des Dipols und werden abgeschnürt (Mitte des obigen Bildes). Nach jeder weiteren halben Periode löst sich ein weiteres Feldlinienpaket ab, wobei zwei aufeinander folgende Feldlinienpakete unterschiedliche Feldlinienrichtungen haben.


J. Hirsch


Zudem breiten sich um den Dipol herum magnetische Feldlinien in konzentrischen Kreisen aus, die gegenüber dem E–Feld um eine Viertelperiode versetzt ihr Maximum erreichen und ebenfalls in jeder halben Periode ihre Feldlinienrichtung ändern.

Nach mehreren Perioden sieht das Nahfeld eines Dipols wie folgt aus:

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Felder_um_Dipol.jpg

Autor Averse auf Wikimedia Commons

Bringt man einen zweiten identischen Dipol in die Nähe des Sendedipols, so werden durch die abgestrahlten Wellen die Elektronen im Empfängerdipol ebenfalls zum Schwingen angeregt und es fließt in diesem Strom. Ideal sind dabei eine parallele Ausrichtung der beiden Dipole und eine gemeinsame Mittelebene senkrecht zu den Dipolen. Bei steigender gegenseitiger Verkippung wird die empfangene Signalstärke (und damit die Stromstärke im Empfängerdipol) geringer, bei Orthogonalität der beiden Dipole sogar null.

Fazit:

Finden in einem Dipol (hochfrequente) elektromagnetische Schwingungen statt, so strahlt dieser elektromagnetische Wellen ab.

Die elektrischen Feldlinien und die magnetischen Feldlinien stehen stets senkrecht zueinander und die beiden Felder erreichen immer um eine Viertelperiode versetzt ihre Maximalwerte. Während sich die magnetischen Feldlinien als konzentrische Kreise um den Dipol herum ausbreiten, koppeln sich elektrische Feldbereiche gänzlich vom Dipol ab.


J. Hirsch


II.1.2 Eigenschaften von EM–Wellen, Wellenmodell

Elektromagnetische Wellen können analog zu den mechanischen Wellen durch ihre Wellenlänge, Frequenz, Ausbreitungsgeschwindigkeit und Amplitude beschrieben werden. Elektromagnetische Wellen brauchen für die Ausbreitung im Gegensatz zu den mechanischen Wellen jedoch kein Medium und breiten sich im Vakuum mit Lichtgeschwindigkeit aus, d.h. es gilt:

8299792458 3 10m m

c fs s

λ= ⋅ = ≈ ⋅ .

Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ergibt sich zudem aus der elektrischen und magnetischen Feldkonstanten zu

0 0

1c

ε µ=

⋅.

In Materie ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit kleiner als im Vakuum, da

0 0

1M

r r r

cc

ε ε µ µ ε= ≈

⋅ ⋅ ⋅,

wobei die Dielektrizitätszahl r

ε eine materialabhängige Größe ist die angibt, um

welchen Faktor sich das elektrische Feld in diesem Material gegenüber dem Vakuum abschwächt.

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Electromagnetic_wave.png

Autor P.wormer auf Wikimedia Commons

Kurz zurück zum Dipol:

Die Abstrahlung eines Dipols ist am effizientesten, wenn sich in ihm sozusagen eine stehende Welle ausbildet. Man spricht in diesem Zusammenhang von Resonanz (Übereinstimmung) von Anregungsschwingung und Eigenschwingung. Analog zu

den mechanischen Wellen bildet sich (bei zwei festen Enden) für 2l λ= die erste

stehende Welle aus. Für ein optimales Senden bzw. Empfangen einer bestimmten Frequenz muss der Dipol eine ganz bestimmte Länge haben:

2

c cf

lλ= = (Eigenfrequenz eines Dipols der Länge l ).


J. Hirsch


II.1.3 EM–Spektrum

Elektromagnetische Wellen haben einen sehr breiten Wellenlängenbereich bzw. Frequenzbereich. Das elektromagnetische Spektrum zeigt diese unterschiedlichen Bereiche geordnet nach Wellenlänge bzw. Frequenz, wobei es keine scharfen Grenzlinien zwischen den Bereichen gibt, die Übergänge sind fließend.

Im Bild unten liegen zwischen den kleinsten und größten Wellenlängen 2210 Größen-ordnungen, wobei der für das menschliche Auge wahrnehmbare Bereich darin nur ein winziger Ausschnitt ist. Es kommen also weit mehr Informationen mit der elektro-magnetischen Strahlung zu uns, als wir mit unseren Augen verarbeiten können.

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Electromagnetic_spectrum_c.svg

Autor Horst Frank / Phrood / Anony auf Wikimedia Commons

Alle weiteren Informationen können dem Bild entnommen werden.

II.1.4 Einschub: Informationsübertragung

Frühere Informationsübertragungen beschränkten sich auf Rauchzeichen oder später auf Lichtsignale. Bei Letzterem gibt es jedoch zunächst nur die Zustände „aus“ und „an“, was den Informationsgehalt deutlich einschränkt. Mit n Lampen erreicht man dann schon 2n verschiedene Zustände bzw. Zeichen. Diese Verfahren zählen zu der optischen Telegraphie.

Hauptvertreter der elektrischen Telegraphie war der Morse-Apparat, mit dem Nachrichten auch über größere Strecken per Morse-Alphabet übermittelt werden konnten. Nachteil war jedoch die notwendige Verdrahtung der einzelnen Stationen.

Seit Heinrich Hertz in Karlsruhe mit dem ersten hertzschen Oszillator die elektromagnetischen Wellen entdeckt hat, ist die Entwicklung in der drahtlosen Über-tragung von Informationen rasant fortgeschritten. Die Verbreitung der Information erfolgt nicht nur mit Lichtgeschwindigkeit, sondern auch ohne Medium.

Für die Informationsübertragung mit elektromagnetischen Wellen benötigt man einen Sendedipol und einen Empfangsdipol (Antenne). Diese sollten für die optimale Qualität dieselben Eigenfrequenzen und damit dieselbe Länge haben. Zudem ist eine identische Ausrichtung der Antennen sinnvoll.

Kommt die elektromagnetische Welle an der Antenne an, so werden die Elektronen


J. Hirsch


in der Antenne zum Schwingen angeregt und es stellt sich genau derselbe Zustand wie im Sende-Dipol ein. Da in der Antenne jetzt Strom fließt, kann ein ange-schlossenes Lämpchen leuchten, mehr aber auch nicht. Durch An– und Abschalten des Sendedipols entstehen Zeichen, die lang und kurz sein können, je nachdem wie lange der Sendedipol eingeschaltet wird (Morse-Alphabet).

Die heutige Technik benutzt die elektromagnetische Welle als Trägerwelle und kodiert in diese Trägerwelle die zu übermittelnde Information. Dabei gibt es zwei mögliche Verfahren, die Frequenzmodulation und die Amplitudenmodulation.

Der Unterschied besteht darin, dass bei der Frequenzmodulation (FM) die Frequenz der Trägerwelle und bei der Amplitudenmodulation (AM) die Amplitude der Trägerwelle entsprechend dem Signal (Information) verändert (moduliert) wird. Dies könnte zum Beispiel folgendermaßen aussehen:

Frequenzmodulation Amplitudenmodulation

http://commons.wikimedia.org/wiki/ File:Frequency_Modulation.svg

Autor Gvf auf Wikimedia Commons

http://commons.wikimedia.org/wiki/ File:Amplitude-modulation.png

Autor Gvf auf Wikimedia Commons

Ein Vergleich der beiden Modulationen ist im Bild rechts dargestellt, in dem dasselbe Signal einmal über eine Amplituden-modulation und einmal über eine Frequenz-modulation in die Trägerwelle eingearbeitet wurde. Da der Empfänger genaue Kenntnis über die Frequenz und die Amplitude der originalen Trägerwelle hat, kann er daraus das kodierte Signal rekonstruieren.

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Amfm3-en-de.gif Autor Berserkerus auf Wikimedia Commons


J. Hirsch


http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Zahnradmethode_Fizeau.jpg

Autor Moneo auf Wikimedia Commons

Die FM ist weniger anfällig gegenüber Störungen und ermöglicht gegenüber der AM eine qualitativ gute, störungsarme Übertragung von Hörfunkprogrammen und (ehemals) Fernsehtönen, da bei der AM das Signal auch durch bestimmte Filter nicht komplett vom Rauschen getrennt werden kann. Die FM erfolgt bei Ultra Kurzwellen (UKW), die AM bei Mittelwellen (MW), Kurzwellen (KW) und Langwellen (LW)

II.1.5 Lichtgeschwindigkeit (Messung)

Im Folgenden wird auf drei Methoden der Lichtgeschwindigkeitsmessung eingegangen.

II.1.5.1 Zahnradmethode von Armand Fizeau (1849)

Bei dieser Methode wird das Licht einer Lichtquelle (L) zu einem halbdurchlässigen Spiegel (S1) geleitet. Dieser sorgt dafür, dass das Licht durch eine Lücke des sich drehenden Zahnrads (Z) zum zweiten Spiegel (S2) gelangt. Das Licht trifft senkrecht auf S2, wird direkt zurückgeworfen und kommt wieder durch das Zahnrad zurück zum Beobachter.

Die Drehzahl n des Zahnrades wird zunächst so lange erhöht, bis das von S2 reflektierte Licht nicht mehr auf dieselbe Lücke zwischen zwei Zähnen trifft, sondern auf den nächsten Zacken. Die Drehzahl des Zahnrades wird danach weiter erhöht, bis das Licht wieder durch die nächste Lücke geht.

Hat das Zahnrad z Zähne, dann beträgt die Zeit, bis ein Zahn an die Stelle der vorhergehenden Lücke tritt

1t

zn∆ = .

Die Lichtgeschwindigkeit ergibt sich dann mit

sc

t

∆=∆

.

Fizeau erhielt auf seiner 8,6 km langen Strecke einen Wert von 315000kms

≈ . Die

Ungenauigkeiten resultierten hier vor allem aus der Messungenauigkeit der Drehzahl.


J. Hirsch


II.1.5.2 Drehspiegelmethode von Jean Bernard Léon Foucault (1850)

Foucault griff für die Messung der Lichtgeschwindigkeit eine Methode von Dominique Francois Arago zurück. Das Licht einer Lichtquelle trifft zunächst auf einen drehbaren Spiegel und wird so auf einen weiteren Spiegel gelenkt, dass es direkt wieder zum Drehspiegel zurück geworfen wird. In der Zwischenzeit hat sich der Drehspiegel jedoch mit der Winkelgeschwindigkeit ω um den Winkel α gedreht, so dass der Lichtstrahl in Bezug zu seiner ursprünglichen Richtung um eine Strecke x versetzt zur Lichtquelle am Schirm auftrifft.

Grundlegende Beziehungen sind:

a) Winkelgeschwindigkeit Drehspiegel:

2 ft

αω π∆= = ⋅∆

b) Im Dreieck D-P-Drehspiegel gilt:

( )tan 2x

dα =

c) Für kleine Winkel im Bogenmaß gilt:

tan2

x

dα α α≈ ⇒ ≈

Damit ergibt sich für die für einen Drehwinkel α benötigte Zeit t∆ :

2 2 2

xt

f f d

απ π∆∆ = =

⋅ ⋅ ⋅ .

Die Lichtgeschwindigkeit ist demnach

2 2 2 2 2 8

2 2

s s s f d s f dc

xt x x

f d

π π

π

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = =∆

⋅ ⋅

.

Das Ergebnis Foucaults lag bei beeindruckenden 298000kms

.

II.1.5.3 Variante für jedermann:

Die Lichtgeschwindigkeit kann man auch mit einem Schokoriegel bzw. einer Tafel Schokolade und einer Mikrowelle messen. Legt man die Tafel Schokolade in die Mikrowelle (sie darf sich dabei nicht drehen!), bilden sich nach 30–40 Sekunden einzelne Schmelzpunkte, sogenannte Hotspots. Da sich in der Mikrowelle stehende Wellen bilden, liegen diese Hotspots an den Bäuchen der stehenden Wellen und somit eine halbe Wellenlänge auseinander. Misst man diese Entfernung 2x λ= und

kennt die Frequenz, mit der die Mikrowelle arbeitet (steht auf der Rückseite oder in der Bedienungsanleitung), so kann man damit die Lichtgeschwindigkeit berechnen:

2c f x fλ= ⋅ = ⋅ .

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Drehspiegelmethode.png

Autor Stefan-Xp auf Wikimedia Commons


J. Hirsch


II.1.6 Fermatsches Prinzip, Brechung, Reflexion

Pierre de Fermat hat im 17. Jahrhundert schon die These vertreten, dass Licht sich mit einer endlichen Geschwindigkeit ausbreitet. Zudem postulierte er, dass das Licht immer den schnellsten Weg vom Sender zum Empfänger nimmt.

Anschaulich lässt sich dies mit einem Rettungsschwimmer (R) vergleichen, der im Wasser einen Ertrinkenden (E) erspäht. Der Rettungsschwimmer kann am Strand mit einer bestimmten Geschwindigkeit 1c laufen, im Wasser hat er jedoch eine kleinere

Geschwindigkeit 2c .

Der Weg � würde schon aus anschaulichen Gründen ungeeignet sein, da er zwar sehr schnell im Wasser ist, aber beim Schwimmen nur langsam voran kommt. Nimmt er den kürzesten Weg �, so muss er jedoch ebenfalls relativ früh ins Wasser und verliert beim Schwimmen immer noch zu viel Zeit. Die kürzeste Zeit bis zum Erreichen des Ertrinkenden braucht der Rettungsschwimmer bei Weg �, eine optimale „Mischung“ aus Laufen am Strand und Schwimmen im Wasser.

Dieses Fermatsche Prinzip spielt sowohl bei der Reflexion als auch bei der Brechung von Licht bzw. von elektromagnetischen Wellen im Allgemeinen eine entscheidende Rolle.

Beim Übergang eines Lichtstrahls (einer elektromagnetischen Welle) in ein anderes Medium ähnelt die Situation dem Vergleich mit dem Rettungsschwimmer. Der kürzeste Weg ist meist nicht der schnellste Weg, dieser wiederum ergibt sich nach einigen mathematischen Überlegungen zu

1 2

2 1

sin

sin

c n

c n

αβ

= = ,

wobei 1 2,n n die sogenannten Brechzahlen der beiden Medien sind.

�

� E

� � � �

R


J. Hirsch


Ein Beobachter B sieht im Spiegel das Objekt A (Bild unten) und damit das virtuelle Bild A’. Die Lichtstrahlen könnten jedoch auf unterschiedlichem Weg von A nach B gelangen. Der schnellste und in diesem Fall auch kürzeste Weg ist jedoch anhand der Reflexion des Lichtes in Punkt P2. Dies bedeutet, dass Einfallswinkel und Reflexionswinkel (gegenüber dem Einfallslot gemessen) gleich groß sind.

II.1.7 Einschub: Beweis des Fermatschen Prinzips

2 22 2 2

2 22 22

2

2 2

2 21 1 1

2 21 11

1

1 1

( )

( )

( )

( )

s x x y

x x yst

c c

s x x y

x x yst

c c

= − +

− += =

= − +

− += =

Das Licht benötigt somit für die Strecken 1s und 2s die Zeit ( )t x , die von der Lage

des Punktes P abhängt:

2 2 2 21 1 2 2

1 2

1 1

( ) ( )( )

x x y x x yt x t t

c c

− + − += + = +

Mit der Differenzialrechnung wird nun das Minimum der Funktion berechnet:


J. Hirsch


( ) ( ) ( )1 1

2 2 2 22 21 1 1 2 2 2

1 2

1 2

2 2 2 21 1 1 2 2 2

1 2

2 2 2 21 1 1 2 2 2

1 1 1 1'( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( )

2 2

'( ) 0( ) ( )

( ) ( )

t x x x y x x x x y x xc c

x x x xt x

c x x y c x x y

x x x x

c x x y c x x y

− −= ⋅ − + ⋅ ⋅ − + ⋅ − + ⋅ − ⋅ −

− −= − =⋅ − + ⋅ − +

− −⇒ =

⋅ − + ⋅ − +

Somit ergibt sich nach einigen Umformungen:

( )( )

( )( )

( )

( )

12 2

1 2 2 1 21 1

2 222 2 12 1 1

2

( ) sin

sin( )

x x

x x x x y x x sc s

x xc x x sx x x x y

s

αβ

−− ⋅ − + − ⋅

= = = =−− ⋅− ⋅ − +

. q.e.d.

II.1.8 Beugung am Einzelspalt

Genau wie Wasserwellen oder Schallwellen erfahren auch die elektromagnetischen Wellen eine Beugung an der Kante eines Hindernisses und breiten sich in dessen Schattenraum aus.

Beim Licht ist der Schatten hinter einer Kante jedoch nicht scharf begrenzt, sondern es entstehen helle und dunkle Lichtstreifen.

Grund für unterschiedliche Helligkeiten am Schirm oder an der Wand sind die konstruktive und destruktive Interferenz der nach dem Huygens’schen Prinzip ausgelösten Elementarwellen.

Je kleiner die Objekte sind, desto deutlicher wird diese Erscheinung.

Tritt monochromatisches Licht, z.B. Laserlicht mit einer ganz bestimmten Wellenlänge auf einen engen Spalt, so ergibt sich auf einem mehrere Meter entfernten Schirm das nachfolgende Muster.

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Single_slit_double_slit.jpg

Autor Moneo auf Wikimedia Commons

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Difrakce_sterbina_mala.png

Autor Pajs auf Wikimedia Commons


J. Hirsch


Im Beugungsbild sind deutlich abwechselnd dunkle Lücken und hellere Flecken mit nach außen abnehmender Helligkeit zu erkennen. Die am Schirm auftretende Intensitätsverteilung kann demnach durch folgende Grafik beschrieben werden.

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Single_slit_intensity_distribution.png

Autor Stw auf Wikimedia Commons

Erklärung der Minima:

Die Minima entstehen immer an den Stellen des Schirms, an denen die Wellen einen Gangunterschied von einem Vielfachen der halben Wellenlänge haben (vergleiche Interferenz bei mechanischen Wellen).

Stellt man sich den Spalt mit Breite b in zwei Teile zerlegt vor, so verlassen auch zwei „Strahlenbündel“ den Spalt. Unter einem bestimmten Winkel ϕ zur Mittel-

senkrechten des Spalts kann man dann das erste Minimum beobachten.

Dabei gilt: sins

bϕ ∆= .

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Beugung_am_Einzelspalt_%28Schema%29.svg

Autor Cepheiden auf Wikimedia Commons

Die beiden Strahlenbündel interferieren destruktiv, d.h. löschen sich aus, wenn zwischen dem ersten Einzelstrahl des oberen Bündels und dem ersten Einzelstrahl

des unteren Bündels ein Gangunterschied von 2λ besteht. Somit besteht zwischen


J. Hirsch


dem n–ten Einzelstrahl des oberen Bündels und dem n–ten Einzelstrahl des unteren

Bündels jeweils ein Gangunterschied von 2λ und die beiden Strahlenbündel löschen

sich komplett aus (�1. Minimum).

Für das erste Minimum ist s λ∆ = und es gilt:

sinb

λϕ = .

Für das zweite Minimum wird der Spalt virtuell in vier Abschnitte geteilt, so dass vier Einzelbündel den Spalt verlassen. Bei destruktiver Interferenz des ersten und zweiten Bündels sowie des dritten und vierten Bündels entsteht wieder ein Minimum, das zweite Minimum auf dem Schirm. Somit kann man folgern, dass zwischen zwei aufeinender folgenden Bündeln jeweils ein

Gangunterschied von 2λ existieren muss,

d.h. für das zweite Minimum gilt:

4 22sins

b b b

λ λϕ⋅∆= = = .

Zerlegt man gedanklich den Spalt in noch mehr Abschnitte, so ergibt sich für das n–te Minimum:

sin ; 1, 2,3,4,...n n nb

λϕ = ⋅ =

Die Entfernung nx des n–ten Minimums von der Mittelsenkrechten auf dem Schirm in

der Entfernung l ist demnach

tann nx l ϕ= ⋅ .

Erklärung der Maxima:

Für das Entstehen der Maxima stellt man sich den Spalt in eine ungerade Anzahl von Teilen zerlegt vor. Ein Maximum entsteht immer dann, wenn zwei benachbarte Teil-

bündel einen Gangunterschied von 2λ haben und sich auslöschen. So bleibt immer

ein einziges Teilbündel übrig, welches mit steigender Anzahl von Teilzerlegungen immer dünner wird und damit ein weniger ausgeprägtes Maximum hervorbringt.

Zwischen dem obersten und dem untersten Einzelstrahl muss der Gangunterschied

insgesamt ein ungerades Vielfaches von 2λ sein, d.h.

0 1 2

1 3 5sin sin sin

2 2 2b b b

λ λ λϕ ϕ ϕ= ⋅ = ⋅ = ⋅ …

1

sin2n

nb

λϕ ⇒ = + ⋅

.


J. Hirsch


Der Abstand des n–ten Maximums von der Mittelsenkrechten beträgt dann analog zu den Minima

tann nx l ϕ= ⋅ .

Vereinfachende Überlegung:

Da die Spaltbreite b sehr viel kleiner als die Entfernung des Schirms l ist (b l≪ ), sind die betrachteten Winkel sehr klein. Für kleine Winkel gilt jedoch näherungsweise

tan sinϕ ϕ≈ .

Minima: nx

nb l

λ⋅ ≈

Maxima: 1

2nx

nb l

λ + ⋅ ≈

Die Lage der Minima und Maxima hängt zum einen von der Breite des Spalts ab, zum anderen aber auch von der Wellenlänge des Lichts (der elektromagnetischen Welle). Je größer die Wellenlänge ist, desto größer ist der Abstand der Minima bzw. Maxima. Demnach wird rotes Licht stärker gebeugt als gelbes Licht und dieses wiederum stärker als blaues Licht (siehe Bild unten).

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Diffraction_sunlight_-_color_channels.jpg

Autor Pieter Kuiper auf Wikimedia Commons


J. Hirsch


II.1.9 Interferenz am Doppelspalt

Fällt monochromatisches Licht, d.h. Licht einer ganz bestimmten Wellen-länge) auf einen Doppelspalt, so ähnelt das auf einem Schirm entstehende Interferenzmuster dem Beugungsbild beim Einzelspalt. Die einzelnen Beugungsscheibchen sind allerdings zusätzlich von dunklen Streifen durchzogen.

Treffen die Wellenfronten einer ebenen Welle parallel auf den Doppelspalt, so entstehen an den beiden Spalten Elementarwellen, die in Phase sind, d.h. zu gleichen Zeitpunkten entstehen an den beiden Spalten gleiche Elementarwellen.

Für die Helligkeit an einem Punkt auf dem Schirm in der Entfernung x von der Mittelsenkrechten ist der Gangunterschied s∆ der ankommenden Wellen ausschlag-gebend. Beträgt der Gangunterschied ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge, so liegt konstruktive Interferenz vor, bei einem ungeraden Vielfachen der halben Wellenlänge erfolgt destruktive Interferenz.

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Doppelspalt_schematisch.png

Autor Peter Suppenhuhn auf Wikimedia Commons

Minima: 1

sin ; tan ; 1,2,3, 4,...2

n n nn x l nd

λϕ ϕ = − ⋅ = ⋅ =

Maxima: sin ; tan ; 0,1,2,3,4,...n n n

n x l nd

λϕ ϕ= ⋅ = ⋅ =

Das Maximum nullter Ordnung ( 0n = ) liegt auf der Mittelsenkrechten, da der Weg von den beiden Spalten aus dorthin gleich lang ist und somit konstruktive Interferenz bei einem Gangunterschied 0s∆ = vorliegt.

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Single_slit_double_slit.jpg

Autor Jordgette auf Wikimedia Commons


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Vereinfachende Überlegung:

Da der Spaltabstand d sehr viel kleiner als die Entfernung des Schirms l ist ( d l≪ ), sind die beiden von den einzelnen Spalten ausgehenden „Strahlen“ in Wirklichkeit fast parallel und damit 'ϕ ϕ≈ . Da es sich um sehr kleine Winkel handelt, gilt auch tan sin sin 'ϕ ϕ ϕ≈ ≈ .

sin ' sin tanx

s d d d dl

ϕ ϕ ϕ∆ = ⋅ ≈ ⋅ ≈ ⋅ = ⋅ .

Minima: 1

2n

xn

d l

λ − ⋅ =

Maxima: nx

nd l

λ⋅ =

Wie beim Einzelspalt hängt die Lage der Maxima bzw. Minima von zwei Größen ab, von dem Abstand der beiden Spalte und von der Wellenlänge. Je kleiner der Spaltabstand und je größer die Wellenlänge des Lichts ist, desto größer ist der Abstand zwischen den Maxima bzw. Minima, d.h. je breiter ist das Interferenzbild.

II.1.10 Polarisation

Elektromagnetische Wellen sind Querwellen, da die Schwingungsrichtungen der Vektoren des E–Felds senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Welle stehen.

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Electromagnetic_wave.png

Autor P.wormer auf Wikimedia Commons

Ist die Schwingungsrichtung – besser: die Schwingungsebene – bei Querwellen ein-deutig festgelegt, so ist die Welle polarisiert. Die Polarisationsrichtung einer elektro-magnetischen Welle wird durch die Schwingungsebene der elektrischen Feldstärke festgelegt, den sogenannten Schwingungsvektor. Natürliches Licht (Sonnenlicht) ist unpolarisiert, d.h. alle Polarisations-richtungen kommen gleich häufig vor.

Trifft unpolarisiertes Licht auf ein Gitter aus Metallstäben, so kommt nur der Anteil des Lichts durch das Gitter hindurch, welcher einen Schwingungsvektor senkrecht zu den Metallstäben besitzt. Das Licht dadurch wird polarisiert.

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Wire-grid-polarizer.svg

Autor Bob Mellish / Fffred auf Wikimedia Commons


J. Hirsch


Ein Gitter aus Metallstäben ist ein sogenannter Polarisationsfilter und hat eine Transmissionsrichtung (lat. transmittere = hinüberschicken, überqueren), die senkrecht zu den Gitterstäben liegt, welche in Bildern oftmals als „Spalt“ dargestellt wird (siehe Bild unten).

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Polarisation.svg

Autor Wjh31 auf Wikimedia Commons

In der obigen Anordnung ist noch ein weiterer Effekt zu erkennen: Sind zwei Polarisationsfilter mit zueinander senkrechten Transmissionsrichtungen hintereinander angeordnet, dann wird das Licht durch den ersten Filter so polarisiert, dass es den zweiten nicht mehr passieren kann.

Derselbe Effekt kann bei zwei übereinander liegenden Polarisationsfolien mit senkrechten Transmissions-richtungen beobachtet werden: Im Überlappungs-bereich kommt nur Licht durch, wenn die beiden Transmissionsrichtungen nicht senkrecht stehen, ansonsten entsteht ein dunkler Bereich (Bilder rechts).

Folgende Bilderserie ist einer Animation entnommen, bei der ein Polarisationsfilter vor einem Computer-Flachbildschirm gedreht wird. Dabei wird die Lage der Transmissionsrichtung verändert und man sieht, dass der Filter immer weniger Licht durchlässt.

Dies ist eine typische Vorgehensweise, wenn untersucht werden soll, ob von einer Lichtquelle polarisiertes Licht ausgeht oder nicht. In diesem Fall kann man definitiv sagen, dass Flachbildschirme polarisiertes Licht erzeugen.

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Animation_polariseur.gif

Autor Fffred auf Wikimedia Commons

http://commons.wikimedia.org/wiki/

File:Polarizer_sheet_parallel.jpg

http://commons.wikimedia.org/wiki/

File:Polarizer_sheet_perpendicular.jpg Autor NielsB auf Wikimedia Commons

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Skript zum Thema Wellen im zweistündigen Physikkurs der ...za3832/Physik/Js2/Skript Wellen.pdf · Skript zum Thema WELLEN J. Hirsch Skript WELLEN, nur zum internen Gebrauch am St