Skript zur Vorlesung - TU Dresden · Für viele abgeleitete SI-Einheiten wurden besondere Namen und Einheitenzeichen festgelegt, z.B. Newton (N) für die Einheit der Kraft und Volt

1 Goldberg, Physik 1 für Hydrowissenschaftler und Berufspädagogen WS 2003/2004

Skript zur Vorlesung

PHYSIK 1

für Studiengänge

Berufspädagogik, Hydrologie, Abfallwirtschaft und Altlasten

(Prof. Dr. rer. nat. habil. Rolf Goldberg, WS 2003/2004)


Inhaltsverzeichnis Physik 1 Literatur 4 1 Einführung 5

1.1 Physik, physikalischer Erkenntnisprozess und Technik ......................................... 5 1.2 Physikalische Größen, ihre Messung und Darstellung ........................................... 6 1.3 Physikalische Gleichungen ...................................................................................... 9 2 Mechanik 10 2.1 Kinematik der Punktmasse 10 2.1.1 Geradlinige Bewegung ............................................................................................ 10 2.1.2 Bewegung in einer Ebene ........................................................................................ 15

2.2 Dynamik der Punktmasse 21 2.2.1 Kraftbegriff ............................................................................................................. 21 2.2.2 Newtonsche Axiome ............................................................................................... 22 2.2.3 Spezielle Kräfte ....................................................................................................... 25 2.2.4 Radialkraft ............................................................................................................... 32 2.3 Arbeit, Energie und Leistung 32 2.3.1 Arbeit, Leistung ...................................................................................................... 32 2.3.2 Verschiebungs- und Beschleunigungsarbeit ........................................................... 34 2.3.3 Potentielle und kinetische Energie .......................................................................... 34 2.3.4 Gesetz von der Erhaltung der Energie (Mechanischer Energiesatz) ...................... 36 2.4 Dynamik von Systemen von Punktmassen 38 2.4.1 Impulserhaltung (Impulssatz) .................................................................................. 39 2.4.2 Bewegung des Massenmittelpunktes ....................................................................... 40 2.4.3 Stoßvorgänge ........................................................................................................... 42 2.4.4 Raketenantrieb .......................................................................................................... 45 2.5 Mechanik des starren Körpers 47 2.5.1 Bewegungsmöglichkeiten eines starren Körpers – Freiheitsgrade .......................... 48 2.5.2 Kräfte und Drehmomente am starren Körper ......................................................... 50 2.5.3 Potentielle Energie und Massenmittelpunkt des starren Körpers ........................... 55 2.5.4 Kinetische Energie und Trägheitsmoment .............................................................. 57 2.5.5 Bewegungsgleichung für den rotierenden starren Körper ...................................... 59 2.5.6 Rollbewegung ......................................................................................................... 61 2.5.7 Drehschwingung und Pendelschwingung ............................................................... 63 2.5.8 Drehimpuls, Drehimpulserhaltung, Kreisel ............................................................ 64 2.6 Mechanik deformierbarer Körper 67 2.6.1 Verformung fester Körper ....................................................................................... 67 2.6.2 Ruhende Flüssigkeiten und Gase ............................................................................ 70 2.6.3 Strömung der idealen Flüssigkeit ............................................................................ 72 2.6.4 Strömung realer Flüssigkeiten ................................................................................. 75


2.7 Beschleunigtes Bezugssystem 79 2.7.1 Bewegungsgleichung im bewegten Bezugssystem ................................................. 79 2.7.2 Trägheitskraft bei geradlinig beschleunigtem Bezugssystem ................................. 80 2.7.3 Zentrifugalkraft, Corioliskraft ................................................................................. 82 3 Thermodynamik 85 3.1 Temperatur und Wärmemenge 85 3.1.1 Temperatur, thermische Ausdehnung fester, flüssiger und gasförmiger Körper .... 85 3.1.2 Wärmemenge und spezifische Wärmekapazität ...................................................... 91 3.1.3 Wärmemenge und Phasenumwandlung .................................................................. 94 3.2 Wärmeübertragung 96 3.2.1 Mechanismen der Wärmeübertragung .................................................................... 96 3.2.2 Wärmeleitung .......................................................................................................... 97 3.2.3 Wärmeübergang, Wärmedurchgang ....................................................................... 99 3.3 Zustandsänderungen des idealen Gases 101 3.3.1 Thermische Zustandsgleichung des idealen Gases ................................................ 101 3.3.2 Zustandsänderungen ...............................................................................................104 3.3.3 Ausdehnungsarbeit .................................................................................................106 Fortsetzung Thermodynamik in Physik 2, SS 2004


Physiklehrbücher zum Gebrauch neben der Vorlesung (Auswahl, weitere möglich) W.Demtröder: Experimentalphysik, Bd. 1: Mechanik und Wärme, Berlin 2003,

Bd. 2: Elektrizität und Optik, Berlin 2002.

P.Dobrinski; G.Krakau; A.Vogel: Physik für Ingenieure, Stuttgart 2003. Chr.Gerthsen; H.Vogel: Physik, Berlin 1999. Chr.Gerthsen; D.Meschede: Physik; Berlin 2003. D.Halliday; R.Resnick; J.Walker: Physik, Weinheim 2003. E.Hering; R.Martin; M.Stohrer: Physik für Ingenieure, Berlin 2002. F.Kuypers: Physik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Bd.1 (Mechanik und Thermo-

dynamik) Weinheim 2002, Bd.2 (Elektrizität, Optik und Wellen) Weinheim 2003. H.Niedrig: Physik, Berlin 1992. H.J.Paus: Physik in Experimenten und Beispielen, München 2002. R.Pitka; S.Bohrmann; H.Stöcker; G.Terlecki: Physik - Der Grundkurs, Frankfurt a.M. 2001. A.Recknagel: Physik (4 Bände: Mechanik / Schwingungen und Wellen, Wärmelehre /

Elektrizität und Magnetismus / Optik), Leipzig 1990. H.A.Schneider; H.Zimmer: Physik für Ingenieure (2 Bände: Band 1 Mechanik, Wärmelehre,

Elektrizität und Magnetismus / Band 2 Optik und Struktur der Materie), Leipzig 1991.

H.Stroppe: Physik für Studenten der Natur- und Technikwissenschaften, Leipzig 2003. H.A.Stuart; G.Klages: Kurzes Lehrbuch der Physik, Berlin 2003. P.A.Tipler: Physik, Heidelberg 2000. __________________________________________________________________________ W.Stolz: Starthilfe Physik, Stuttgart 2001. P.Müller u.a.: Übungsbuch Physik, Leipzig 2003. (früher unter dem Titel „Physik – Verstehen durch Üben“)


1 Einführung

1.1 Physik, physikalischer Erkenntnisprozess und Technik Kennzeichen der Physik:

- Beschäftigung mit unbelebter Natur - Zwischen beobachteten Erscheinungen werden quantitative Beziehungen in der Spra-

che der Mathematik hergestellt ( „exakte Naturwissenschaft“) →- Allgemeingültigkeit der Formeln/Ergebnisse (Wiederholbarkeit, Unabhängigkeit vom

Ort der Beobachtung, vom speziellen Untersuchungsobjekt oder vom Beobachter; Ausdehnung des Gültigkeitsbereichs einer Formel über den ursprünglichen Beobach-tungsbereich hinaus)

- Nutzbarkeit der physikalischen Formeln, der physikalischen Geräte, der physikali-schen Modelle und der physikalischen Denkweise z.B. in Biologie, Medizin, Sozial-wissenschaften sowie in der Technik

Physikalischer Erkenntnisprozess: 2 Hypothesen 1 3

Aus mehreren einzelnen Experimenten allgemeine Regel ableiten Induktion (Verallgemeinerung)

Ermittlung der Zusammenhänge zwischen physikalischen Größen Experiment (Messung) Überprüfung der Theorie-Aussagen

Formulierung physikalischer Gesetze ⇓System gesetzmäßiger Zusammenhänge Theorie

Anwendung von Aussagen der Theorie auf konkrete Probleme Ableitung von Vorhersagen aus der Theorie Deduktion

4

- Beobachten der Natur (Beispiele: Blitz und Donner, Fallen von Körpern verschiedener Dichte)

- Durchführen von Experimenten, so konstruiert, dass störende Einflüsse möglichst ausgeschaltet sind. Einbeziehen moderner physikalisch-technischer Lösungsmöglich-keiten (z.B. Vakuum, Luftkissenbahn, Wärmeisolation)

- Einsatz von Messgeräten zur quantitativen Bestimmung physikalischer Größen („Komme gleich wieder“, „Heute ist schönes Wetter“ sind keine physikalischen Aussagen)

- Einführung wohldefinierter Begriffe (z.B. Geschwindigkeit, Beschleunigung, Kraft, Temperatur) unter Nutzung von Begriffen aus der Umgangssprache in Form von mathematischen Beziehungen

Bsp.: Durchschnittsgeschwindigkeit ts

vD ∆v

∆=≡ Strich über dem Formelzeichen: mittlerer Wert

(Momentan)Geschwindigkeit dttds

ts

tt

)(lim)( =v∆∆

=→∆ 0

Differentialquotient ds nach dt


- Formulieren von Zusammenhängen zwischen physikalischen Größen in mathemati-scher Form; Nutzung von Gleichungen, Vektoren, mathematischen Operationen

Bsp.: Integration. Aus dttds

t)()( =v wird der Weg als Funktion der Zeit gewonnen:

∫=′

′′=t

tt

tdtvts0

)()( t′ Integrationsvariable (Strich ´ zur Unterschei- dung von der oberen Integrationsgrenze t )

- Feststellen der Grenzen der Gültigkeit gefundener Beziehungen - Physikalische Theorie bringt Ordnung in die vielen Beobachtungen, deutet die vorhan-

denen Experimente und regt zu neuen, noch nicht durchgeführten Experimenten an. Vorhersage bisher nicht bekannter Vorgänge (z.B. elektromagnetische Wellen aus den Maxwellschen Gleichungen)

- Anwendung der physikalischen Ergebnisse oder Methoden auf technische Probleme, daraus neue physikalische Fragestellungen

- Untersuchungen als Grundlagenforschung oder Zweckforschung/Angewandte For-schung

- Nach Klärung der grundlegenden Probleme Übergang zur technischen Nutzung; Herausbildung neuer Technikbereiche (Elektrotechnik, technische Mechanik, technische Optik, Hydrowissenschaften, Kerntechnik, Mikroelektronik, ...)

1.2 Physikalische Größen, ihre Messung und Darstellung

Faktoren, die bei physikalischen Erscheinungen mitwirken, heißen physikalische Größen. Sie sind messbar, ihr Einfluss auf andere Größen lässt sich quantitativ bestimmen. Für Messung zwei Schritte nötig:

a) Größe gleicher Art als Vergleichsgröße wählen (z.B. bei Messung eines Abstandes eine Vergleichslänge). Eine solche allgemein anerkannte Vergleichsgröße heißt Maßeinheit (oder nur Einheit). Bsp.: Länge 1 Meter (1 m). Definition: Das Meter ist die Strecke, die das Licht im Vakuum in der Zeit 1/299792458 s zurücklegt.

b) Durch Vergleich der zu messenden Größe mit der Maßeinheit ist Zahl festzulegen, wie oft die Maßeinheit in der zu messenden Größe enthalten ist: Maßzahl, Zahlenwert.

Bsp.: Länge L einer Schraube (Messgröße). Messgerät Messschieber (Hersteller von Messgeräten sind an die jeweiligen gesetzlichen Definitionen gebunden).

924,=L mm ( Maßzahl 24 ; Maßeinheit mm) 9,

Mathematisch sind Maßzahl und Einheit als Faktoren des Produktes Messgröße zu behandeln. Wenn Messgröße durch Symbol A dargestellt wird, dann bedeuten [A] = Maßeinheit von A (in eckigen Klammern), A= Maßzahl von A (in geschweiften Klammern) und es gilt ; der Multiplikationspunkt wird i. Allg. weggelassen. [ ]AAA ⋅=

Bsp. 1: t ss 5400609019090 =⋅=⋅= minmin= Bsp. 2: Verhältnis zweier Längen

r rb

=αRadius

längeKreisbogen= („Bogenmaß“)

α
b


b = 5 mm, r = 1 m 3, 2, m21m1035 3

,, −⋅

=α „Kürzen“ der Einheiten 1m:

33

1044211035 −

−

⋅=⋅

=α ,,

, (nicht 4 ; Stellenzahlen etwa gleich bei 3104166667 −⋅,

Ausgangsmaßzahlen und Ergebniszahlenwert).

(Bei einer physikalischen Messung ist 5 mm zu unterscheiden von z.B. 5 mm.) 3, 300, Die Größe α heißt Winkel und ist „dimensionslos“, d.h. ihre Maßeinheit ist 1. Für solche di-mensionslosen Verhältnisse wurden oft spezielle Maßeinheitsnamen eingeführt, z.B. für Winkel Radiant (Kurzform rad ) für Winkel α , [ ] ==α 1 1 rad Steradiant (sr) für Raumwinkel Ω , [Ω] = 1 = 1 sr Multiplikationen, Divisionen, Additionen, Potenzen von Größen erfassen stets Maßzahl und Einheit. Bsp.: Rechteck mit Seitenlängen →== m,,m, 0251 21 ll

Rechteckfläche A = . 2030251 m,m,m, =⋅ Bei graphischen Darstellungen quantitativer Zusammenhänge werden die Maßzahlen an die jeweilige Achse geschrieben:

Das außerdem anzugebende Symbol für die Messgröße muss durch die Maßeinheit dividiert werden, um die -1 0 1 2 3 4 5 6 7 dimensionslose Maßzahl zu erhalten; also hier

=tZeiteinhei

Zeitst (auch zulässig: t in s)

Bei Darstellung qualitativer Zusammenhänge nur die Messgrößen-Symbole an die Diagramm-Achsen schreiben, keine Maßeinheiten, keine Maßzahlen: x Darstellung einer gleichförmigen Bewegung t

t/s

Für folgende Basisgrößen (Grundgrößen) sind die Einheiten (Basis- oder Grundeinheiten) international gesetzlich festgelegt (SI-Einheiten auf der Basis des Internationalen Einheiten-systems SI, Weiterentwicklung des sogenannten metrischen Systems): Größe Symbol Einheit Abkürzung Zeit t Sekunde s Länge l Meter m Masse m Kilogramm kg Temperatur T Kelvin K Stoffmenge n Mol mol Elektrische Stromstärke I Ampere A Lichtstärke Φ Candela cd (gesprochen kandela)


Viel häufiger als mit Grundgrößen haben wir mit abgeleiteten Größen zu tun: Das sind Potenzprodukte von Grundgrößen. Beispiele: Volumen (Quader) V = Länge1 * Länge2 * Länge3 [V] = 1 m3

Geschwindigkeit v = dtds =

tZeitelemenentLängenelem [v] = 1

m/s Stromstärke von Wasser in einem Fluss

I = ==Zeit

VolumenZeit

eWassermeng ""tV [I] = s

3m1

(für den Nenner des Bruches genauer: Zeit, in der die Wassermenge geflossen ist) Für viele abgeleitete SI-Einheiten wurden besondere Namen und Einheitenzeichen festgelegt, z.B. Newton (N) für die Einheit der Kraft und Volt (V) für die der elektrischen Spannung. Addition oder Subtraktion unterschiedlicher Größen, z.B. Addition einer Stromstärke und einer Zeit, ergibt keinen physikalischen Sinn und tritt deshalb nie auf. Bei Größen, die sehr groß oder sehr klein gegenüber der definierten Maßeinheit sind, kann man Vorsätze für die Maßeinheiten zur Bezeichnung von Zehnerpotenzen verwenden:

Exa E 1018 Dezi d 10-1

Peta P 1015 Zenti c 10-2 Tera T 1012 Milli m 10-3 Giga G 109 Mikro µ 10-6 Mega M 106 Nano n 10-9 Kilo k 103 Pico p 10-12 Hekto h 102 Femto f 10-15 Deka da 101 Atto a 10-18

Bsp.: 1/1000 m = 0 m = 10001, -3 m = 1 Millimeter = 1 mm Bei der Maßeinheit der Masse werden diese Vorsätze vor die Maßeinheit Gramm gesetzt. Prinzipielles Problem beim Messen physikalischer Größen: Der Zahlenwert, den man durch Vergleich mit dem Maßstab erhält, ist fehlerbehaftet. Ursachen:

- Maßstab/Messgerät ist ungenau (z.B. Teilungsfehler bis zu 0 mm und längenabhängiger Fehler von 5 bei üblichem Stahlmaßstab): Systematischer Fehler, systematische Messabweichung

05,l⋅⋅ −510

- Durch zufällige Einflüsse liefert jede neue Messung leicht unterschiedlichen Messwert

(„Messgegenstand“/Messgröße kann sich ändern, z.B. Stablänge durch Tempera-turschwankungen, Geschwindigkeit eines Testwagens; der Ablesende legt den Anfang des Längenmaßstabs nur auf 1,0± mm genau an den Anfang der Messstrecke, der Ablesende ist sich unsicher beim Schätzen der Bruchteile von Skalenwerten): Zufälliger Fehler, zufällige Messabweichung


Relativer Fehler: (absoluter) Fehler, geteilt durch den Messwert. Der relative Fehler ist dimensionslos. Beispiel: Abschätzung des relativen Fehlers der Zeit bei hohem Aufwand („Atomuhren“ haben heute eine Zeitunsicherheit von 1 s für eine Messzeit von 3 Millionen Jahren)

tt∆ 14

66 101s86400365103s1

a103s1 −⋅=

⋅⋅⋅=

⋅≤ ( Zeichen für 1 Jahr, lat. annus) a

Der abgeschätzte Fehler stellt immer eine Abschätzung nach oben dar (deshalb Zeichen ≤ ).

1.3 Physikalische Gleichungen Zusammenhänge zwischen physikalischen Größen werden in Form von Gleichungen geschrieben. In die physikalische Gleichung ist jede physikalische Größe als Produkt aus Maßzahl (Zahlenwert) und Maßeinheit einzusetzen: Man spricht deshalb von einer Größengleichung. Bsp.: Wie lange würde man mit der Stromstärke des Amazonas brauchen, um die Bleilochtalsperre zu füllen?

Die Stromstärke des Amazonas sei I = sm1023

5⋅,1 ,

das Talsperrenvolumen V = 0 3km215,

( )h

sh

sss

smm

IV

ttV

I 50360011081108121

101521021102150 33

3

35

33,,,

,,

/,,

=⋅⋅=⋅=⋅⋅

=⋅

⋅==→=

( Zeichen für Zeiteinheit „eine Stunde“: 1 h)

- Größengleichungen können gleichzeitig sowohl Grundgrößen als auch abgeleitete Größen enthalten.

- Nach dem Auswerten der Größengleichung muss auf der rechten Seite der Gleichung die Maßeinheit stehen, die zur links stehenden Größe gehört (im obigen Beispiel be-rechnen wir eine Zeit, [t] = s (oder h)). Man spricht bei dieser Überprüfung von „Einheitenkontrolle“ oder „Dimensionskontrolle“.

- Die Größengleichung bleibt richtig für beliebig gewählte Einheiten der enthaltenen Größen.

Keine „Zahlenwert-Gleichungen“ verwenden. Bsp.: Verbrauch eines PKW an Benzin in Litern für eine Fahrstrecke s in km; der Ver-

brauch liege bei 5 l pro 100 km (l Zeichen für Volumenmaßeinheit Liter). Fehlerhafte Angabe: V = s/20 , V in Litern, s in Kilometern (links Volumen, rechts Länge Gleichheitszeichen falsch) →

Mögliche Darstellung bei diesem Beispiel als zugeschnittene Größengleichung

ms

l⋅= 00,V oder 20

s=V km

l⋅

k5l km

(würde z.B. s =
500 m eingesetzt, erhielte man richtig V = 0,025 l = 25 cm3 ).


2 Mechanik

Mechanik befasst sich mit der Bewegung von Körpern unter dem Einfluss von Kräften. Mechanische Probleme auch in anderen Teilgebieten der Physik (z.B. Fernsehbildröhre: Ablenkung kleiner elektrisch geladener Teilchen mit Hilfe von Kräften, die von magnetischen Feldern ausgeübt werden; Druck eines Gases wird erklärt durch Stöße der bewegten Gasmoleküle auf die Wände). Zahlreiche physikalische Begriffe wurden zunächst in der Mechanik entwickelt und sind dort am anschaulichsten: Energie, Impuls, Kraft, ... Deshalb Beginn mit der Mechanik.

2.1 Kinematik der Punktmasse Punktmasse oder Massenpunkt: Körper mit endlicher Menge Substanz und mit endlichem Volumen, aber Beschreibung seiner Lage, seiner Bewegung als Punkt durch 3 Koordinaten im Raum ausreichend genau. Bewegung der Erde um die Sonne: Gute Beschreibung durch zwei Punktmassen (Sonne und Erde). Dagegen bei Erklärung der spezifischen Wärmekapazität von Gasen durch die thermische Bewegung der Moleküle: Punktmassenbeschreibung liefert bei Molekülen (obwohl diese sehr klein sind) i. Allg. falsches Ergebnis. Kinematik: Lehre von der Bewegung; Untersuchung des Zusammenhanges zwischen den Bahnkurven und deren Krümmungen mit den Geschwindigkeiten und Beschleunigungen der Massenpunkte ohne Betrachtung der Ursachen der Bewegung. (technische Kinematik, Getriebelehre: Maschinenwesen) → 2.1.1 Geradlinige Bewegung Bewegung auf gerader Bahn; x-Achse eines Koordinatensystems in diese Bahn legen. Gleichförmige geradlinige Bewegung: In gleichen Zeiten werden gleiche Strecken zurückgelegt. D.h.: Der zurückgelegte Weg wächst linear mit der verfließenden Zeit. Ort-Zeit-Kurve: Gerade x x x2 x1 a) b) x1 x2 t1 t2 t t1 t2 t Die Gerade kann (bei unveränderter Teilung der Achsen) steiler oder flacher verlaufen: in gleichem Zeitintervall wird ein längerer oder kürzerer Weg zurückgelegt. Also: Massenpunkt bewegt sich schneller oder langsamer. Der Anstieg kann positiv oder negativ sein: Massenpunkt bewegt sich in positiver oder negativer x-Richtung.


Auf diesen Betrachtungen baut auf die Definition der Geschwindigkeit v als Maß für die „Schnelligkeit“ des Massenpunktes

xvv ≡ (Index x: Geschwindigkeit auf x-Achse) :

tx

ttxx

x ∆∆

=−−

=12

12v

(2.1) (t1, x1) und (t2, x2) sind Punkte auf der Geraden; ∆ (großes) Delta: übliche Bezeich-nung für eine Differenz.

Maßeinheit der Geschwindigkeit: [ ] [ ][ ] =∆∆

=tx

v 1smsm −⋅= (oder km/h, µm/min, ...)

Wenn die Geschwindigkeit v eine Konstante ist (d.h. sich nicht mit der Zeit ändert), spricht man von geradlinig gleichförmiger Bewegung. Wird die Zeitspanne verdoppelt, verdoppelt sich auch die Wegstrecke

x

t∆x∆ ; der Quotient Geschwindigkeit (der Anstieg der

Kurve) bleibt wie vorausgesetzt konstant. Wenn t 12 t> und x , dann v (Bild a). 12 x> 0>x

Wenn t 12 t> und , dann 12 xx < 0<xv (Bild b), d.h. v hat negatives Vorzeichen, Körper bewegt sich in negativer x-Richtung.

x

Für einen beliebigen Punkt (t,x) statt (t2,x2) auf der Geraden ergibt sich

1

1ttxx

x −−

=v (t, x Variable; t1, x1 feste Werte )

oder x ( ) ( ) 11 xttvtx x +−⋅== (2.2) Diese Funktion beschreibt die Bewegung des Massenpunktes, der sich zur Zeit t am Ort 1t=

1xx = befindet und der sich mit der konstanten Geschwindigkeit v bewegt. Die Ortskoordinate x ist eine lineare Funktion der Zeit t. In grafischen Fahrplänen sind die Ort-Zeit-Kurven meist stückweise gerade (Geschwindigkeit wird für gewisse Zeitabschnitte als konstant angenommen).

x

Im allgemeinen Fall wird die Geschwindigkeit v x nicht konstant sein. Dann spricht man von ungleichförmig geradliniger Bewegung. Die Ort-Zeit-Kurve ist keine Gerade mehr. x )1(

2x )1(

1x )1(

1t

Px
Tangente in Punkt P
)1(
Allgemeine Gestalt P 2P ( )txx =
)1(

1P t

Pt)1(

2t


)()(

)()()()(

11

12

11

1211

tt

xxvv xx −

−== heißt dann Durchschnittsgeschwindigkeit für den

In dem obigen Diagramm ist der Anstieg der Geraden durch die Punkte P1 und P2 größer als der Anstieg der Tangente im Punkt P.

Zeitraum t .)()( 12

11 tt ≤≤

Rücken die beiden Punkte P1 und P2 näher an den Punkt P, so werden sich der Anstieg der Verbindungsgeraden und die berechnete Durchschnittsgeschwindigkeit xv i. Allg. ändern. Bei weiterem Zusammenrücken von P1 und P2 in Richtung P ändert sich aber die Durchschnittsgeschwindigkeit immer weniger. Schließlich ergibt sich für den Punkt P(t ) PP x,

PP tt

ttttx dt

dxtx

ttxx

v=

→∆→=

∆∆

=−−

=012

1221

limlim,

(2.3) Wir bezeichnen v als Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t am Ort x . Die Geschwindigkeit der ungleichförmig geradlinigen Bewegung für einen vorgegebenen Zeitpunkt ist der

x P P

Differentialquotient der Ortskoordinate nach der Zeit (erste Ableitung nach der Zeit) an diesem Punkt. Mit x wird ( )tx= (gesprochen: x-Punkt) (2.4) ( ) ≡

(Diese Abkürzung dtdA

≡&A wird nur bei Differentiation nach der Zeit benutzt.)

( )x

dttdx

tvx &=

Die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit vx(t) kann (ebenso wie der Ort als Funktion der Zeit) grafisch dargestellt werden: vx a) vx b) vx,2

vx,1 t t t1 t2

Analog zur Definition der Geschwindigkeit anhand der Ort-Zeit-Kurve führen wir ein

12

12

tt

vva xxx −

−= ,, und nennen diesen Ausdruck Durchschnittsbeschleunigung

sowie xdtxd

dtdx

dtd

vdttdv

xx

x &&& ≡=

=== 2

2)(a (Momentan-)Beschleunigung

(2.5) (x&& lies x-zwei-Punkt)


Die Beschleunigung ist der zweite Differentialquotient der Ortskoordinate nach der Zeit (zweite Ableitung nach der Zeit).

Maßeinheit der Beschleunigung [ ] =a 2sm1 .

In Bild a) ist die Beschleunigung konstant (vx wächst linear mit der Zeit t). Dann spricht man von gleichförmig (auch gleichmäßig) beschleunigter geradliniger Bewegung. Für die Bewegung ( )tx in diesem speziellen Fall (a .constx = ) ergibt die zweimalige Integration der Gl. 2.5 (x ) über die Zeit xa=&&

(mit , , xdtx &&& =∫ ∫ ⋅= tadta xx ∫ ⋅⋅=⋅ 221 tadtta xx )

( ) ( ) 0,xxx vtatvtx +⋅==& (2.6)

( ) 221

00 tatvxtx xx ⋅⋅+⋅+= , (2.7)

0,xv und sind Integrationskonstanten. 0xSetzt man in den beiden Gleichungen 2.6 und 2.7 für die Zeit 0=t , erhält man v , ist also die Geschwindigkeit zur Zeit t , ( ) 00 ,xx v= 0,xv 0=und , ist der Ort des Massenpunktes zur Zeit t . ( ) 00 xx = 0x 0=

Die Richtigkeit der Integration wird bestätigt durch zweimalige Differentiation von x nach der Zeit:

( )t

tavtavx xxxx ⋅+=⋅⋅⋅++= 021

0 20 ,,& xax =&& Beschleunigung positiv (Bild a) oder negativ (Bild b) möglich; Ort als Funktion der Zeit: x x

a) b) t t t=0 t=0 v >xv 000 >≡ xx &, 00,

a 0>x 0<xa
(Bewegungsumkehr möglich)
Spezialfall von Gl. 2.7: x und 000 == ,xv& 00 =x 22 ta

x x=→

(2.8) ax tx ⋅=& (2.9) Aus Gl. 2.9 folgt xax&t = ; setzen wir das in Gl.2.8 ein, ergibt sich für den Zusammen-hang zwischen Geschwindigkeit und Ort bei konstanter Beschleunigung


(und dem Spezialfall vx = 0 für x = 0) x

x

x av

ax

x 2222

==&

(2.10) xaxx ⋅⋅2v = (2.11) Auch hier sollte man sich überzeugen, dass bei x=0 - wie vorausgesetzt - v gilt. 0=x

Wir werden zwei Spezialfälle für geradlinige ungleichförmige Bewegungen im Experiment betrachten:

Freier Fall, Geschwindigkeit v als Funktion der Fallhöhe h. Ist die Beschleunigung a konstant ? Versuch : Kugel fällt aus Höhe h in Messstrecke ∆h; Zeit ∆t für das Durchlaufen dieser

Messstrecke wird mittels Lichtschranken gemessen, daraus Geschwindigkeit v

Aus Gl.2.10 a

vh

⋅= 2

2, daraus folgt consta

h=⋅= 2

2v ; th

∆∆

=v

(damit wird eigentlich die Durchschnittsgeschwindigkeit gemessen; diese stimmt aber im Rahmen unserer Messgenauigkeit völlig mit der Geschwindigkeit in der Mitte der Messstrecke überein) h ∆h

h / cm ∆t / ms mscm

th

∆∆ 2

2

sm

hv

Ergebnis: Die Beschleunigung beim freien Fall ist eine Konstante. Aus Praktikumsmessungen: a Fallbeschleunigung im Physik-Gebäude TUD28119

smg ,=≡

Versuch (qualitativ):

Fallhöhe und Fallzeit; aus Gl. 2.8 22 tg

⋅=h folgt: h wächst quadratisch mit t.

Wird eine Schnur fallengelassen, an der Kugeln im Abstand von 1, 4, 9, 16, 25, ... Längeneinheiten vom Boden aus angebracht sind, schlagen die Kugeln in konstanten Zeitabständen auf den Boden.

Lineare harmonische Schwingung Es gibt viele Körper, die ihre Bewegung periodisch wiederholen (Bsp.: Pendel einer Uhr, Umlauf der Erde um die Sonne, rotierende Welle einer Maschine). Einfachste Form: Bewegung eines Massenpunktes auf einer Geraden gemäß Beziehung

( ) ( )α+ω⋅=

α+π⋅= tx

Tt

xtx mm coscos 2

(2.12) x Auslenkung, Elongation T Schwingungsdauer xm maximale Auslenkung = Amplitude α Nullphasenwinkel


Andere zugehörige gleichberechtigte Schreibweisen, Größen:

β+π⋅=

Tt

xx m 2sin

f Frequenz , T1

=f [f] = 1/s = 1 Hertz = 1 Hz

fT

⋅π=π

=ω 22 Kreisfrequenz

(2.13)

Die Bewegung wiederholt sich nach einer Zeit von einer Schwingungsdauer T:

( ) ( )00000 2222 tx

Tt

xTt

xTTt

xTtx mmm =

α+π⋅=

α+π+π⋅=

α+

+π⋅=+ coscoscos

Durch Differentiation von ( ) ( )α+ω⋅= txt m cosx nach der Zeit ergeben sich Setzt man im Ausdruck für die Beschleunigung anstelle von ( )α+ω⋅ txm cos wieder x ein, ergibt sich

( )txx ⋅ω−= 2&& oder

x cosGeschwindigkeit

und Beschleunigung . ( )α+ω⋅⋅ω−= txx m sin&

( )α+ω⋅⋅ω−= txm2&&

02 =⋅ω+ xx&& 02 >ω

Diese Beziehung ist eine lineare DiffereBesteht zwischen Ort und Beschleunigunauf der x-Achse eine harmonische Schwi Versuch Federschwinger, Wasserst

Wasserstrahl

Zeitachse Schließlich noch Zusammensetzen von G

Bewegung eines Körpers (z.B. Ameise) band, das sich mit Geschwindigkeit v1 bRuhender Beobachter neben dem Laufba v = v1 + v2 , also die Summe (oder Differenz) der b

, dann stellt der ruhende Beoba12 vv −= Folgerung: Geschwindigkeiten setzen sic

(2.14)

ntialgleichung und heißt Schwingungsgleichung. g eine solche Beziehung, dann beschreibt der Körper ngung mit der Kreisfrequenz ω.

rahl, bewegtes Fließpapier

Sinuskurve

Spur des Wasserstrahls

Verschiebung des Fließpapiers

nrichtung

eschwindigkeiten auf einer Geraden:

mit (Relativ-)Geschwindigkeit v2 auf einem Lauf-ewegt:

nd misst für die Geschwindigkeit des Körpers

eiden Geschwindigkeitsbeträge. Gilt beispielsweise chter die Geschwindigkeit v = 0 fest.

h zusammen, ohne sich gegenseitig zu stören.


2.1.2 Bewegung in einer Ebene (auch „ebene Bewegung“ genannt)

Diese ungestörte Zusammensetzung der Geschwindigkeiten gilt auch, wenn beide Geschwindigkeiten nicht mehr die gleiche oder entgegengesetzte Richtung haben. Versuch 1: Gleichförmige Bewegung einer Person (hält Kreide an Wandtafel) auf Wagen in x-Richtung und gleichförmige Bewegung der Tafel in y-Richtung ergibt wieder gleichförmige resultierende Bewegung: Gerader Kreidestrich auf Tafel (oder: Schräge Bahn von Regentropfen auf seitlichen Fahrzeugscheiben.) Versuch 2: Zwei Kugeln beginnen gleichzeitig zu fallen. Kugel 1 fällt frei, Kugel 2 bekommt zusätzlich horizontale Anfangsgeschwindigkeit: Beide Kugeln sind gleichzeitig am Boden. Geschwindigkeiten beeinflussen sich gegenseitig nicht und werden nach dem Parallelogrammsatz zusammengefügt. Führt zur Geschwindigkeit als Vektor. v v2

rr

r resultierende Geschwindigkeit (resultierender Vektor) v vr

r21 vvr

rrr += v (Pfeil über dem Formelzeichen kennzeichnet einen Vektor) 1

r

Bisher geradlinige Bewegung. Jetzt krummlinige Bewegung in der Ebene (Beschreibung in der x-y-Ebene eines kartesischen Koordinatensystems): Bahn nicht mehr gerade, sondern gekrümmt (Beispiel: Bewegung auf kurvenreicher Straße in der Ebene oder auf gerader Straße über Bergkuppe bzw. durch Senke). y s P0 ist Ort der Punktmasse zur Zeit t=t0 Weglänge = Bahnlänge s jetzt längs der gekrümmten Bahn zu messen; positive Richtung für s in Pfeilrich- P0 tung definiert. x Bahnlänge s als Funktion der Zeit sei bekannt: ( )tss = Dann ist der Betrag der Geschwindigkeit

dtds

ts

vt

=∆∆

==→∆ 0

limrv

(2.15) Bei der krummlinigen Bewegung ist der Betrag der Geschwindigkeit gleich dem Betrag des Differentialquotienten der Bahnlänge nach der Zeit. Außerdem aber auch Richtung des Geschwindigkeitsvektors notwendig zur richtigen Be-schreibung der Bewegung in der Ebene. Definition: Richtung der Geschwindigkeit stimmt je-weils mit der Richtung der Bahntangente überein. Günstiger ist die sofortige vektorielle Darstellung; wir erhalten gleichzeitig Betrag und Richtung der Geschwindigkeit. Beschreibung der Bahn mit dem „Ortsvektor“ (Vektor rr vom Koordinatenursprung zum gewählten Bahnpunkt):


Bahn r

r∆ 12 rrr

rrr−=∆ rr

rdtrd

tr

t

&rvr ==

∆∆

=→∆ 0

lim (2.16)

1rr

2rr

(bei 0→∆t liegt rr

∆ genau in der Bahn- Koordinaten- tangentenrichtung) ursprung Entsprechend definiert man den Vektor der Beschleunigung:

rvdtvd

tv

t

&&r&rarr

r===

∆∆

=→∆ 0

lim

(2.17) Diese Definitionen für Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektor gelten nicht nur für die Bewegung in einer Ebene, sondern allgemein für jede Bewegung im dreidimensionalen Raum. Häufig benötigt man eine Koordinatendarstellung der krummlinigen Bewegung. Sehr oft wird dabei das kartesische Koordinatensystem benutzt:

zyx ezeyexrrrrr

⋅+⋅+⋅= (2.18)

(e Einheitsvektor in x-Richtung, x

r 1=xer , ... )

Bei der Bewegung in einer x-y-Ebene ist z=const ; meist wird z= 0 gewählt. Wenn x jeweils bekannt, dann ist auch ( ) ( ) ( )tztyt ,, ( )trr

rr= bekannt (nach Gl. 2.18).

Da die Einheitsvektoren nicht von Zeit abhängig, erhält man für die Geschwindigkeit sofort r zyx ezeyex

r&

r&

r&&r ⋅+⋅+⋅=

(2.19) (und nach erneuter Differentiation den Beschleunigungsvektor).

Komponenten Ort ( )tx ( )ty z ( )t Geschwindigkeit v vxx &= yy &= v zz &=

Beschleunigung a xvxx &&& == yva yy &&& == zva zz &&& == Der Geschwindigkeitsvektor v hat in jedem Augenblick die Richtung der Bahntangente. Sein Betrag ergibt sich (da die drei Achsen senkrecht aufeinander stehen) aus

( )tr

22222222 rzyxvvvv zyx&r&&& =++=++= zu ( )222 zyx &&& ++=v

(2.20) Der Beschleunigungsvektor hat den Betrag


222 zyxar &&&&&&&&r ++== (Gesamtbeschleunigung)

(2.21) Man kann den Beschleunigungsvektor auch anders zerlegen: Die Komponente des Beschleu-nigungsvektors in Bahnrichtung nennt man Bahnbeschleunigung oder Tangentialbeschleu-nigung as

r , die Komponente senkrecht zur Bahnrichtung Normalbeschleunigung a . n

r

Ändert sich die Richtung der Geschwindigkeit (krummlinige Bewegung), dann tritt immer eine Normalbeschleunigung auf; die Bahnbeschleunigung ist nur dann von null verschieden, wenn sich der Betrag der Geschwindigkeit ändert. Beweis unter Nutzung des Skalarproduktes von Vektoren (a 0=⋅b

rr, wenn a b

rr⊥ - lies: a

r senkrecht auf ) : b

r

Wenn der Geschwindigkeitsbetrag bei einer beliebigen krummlinigen Bewegung zeitlich konstant ist, gilt

( ) cconstzyxr ==++= 2222&&&&r

und nach dem Differenzieren nach der Zeit : ( ) 022==⋅⋅= c

dtd

rrrdtd &&r&r&r

oder etwas umständlicher Differentiation in Komponentenschreibweise

[ ] [ ] 022222 ==⋅⋅=++⋅=++ cdtd

rrzzyyxxzyxdtd &&r&r&&&&&&&&&&&& ,

d.h. r&

r (Geschwindigkeit) und r&&

r (Beschleunigung) stehen in diesem Fall senkrecht aufeinander.

Interpretation unserer Ergebnisse zur krummlinigen Bewegung: Jede solche Bewegung lässt sich auf drei (in der Ebene: auf zwei) geradlinige Bewegungen zurückführen, die längs der drei (in der Ebene: der zwei) Koordinatenachsen erfolgen und sich ungestört überlagern. Die


Geschwindigkeiten und Beschleunigungen dieser drei (zwei) geradlinigen Bewegungen sind die Koordinaten des Geschwindigkeits- bzw. des Beschleunigungsvektors in Bezug auf das Achsensystem. Betrachtung zweier Spezialfälle für krummlinige Bewegungen in einer Ebene:

a) Kreisbewegung Statt kartesischer Koordinaten ebene Polarkoordinaten

benutzen: r und ϕ Kreisgleichung:

ϕ⋅= cosrx Probe:

r s

P

ϕ

y

ϕ& nennt man Winke

Die Bahnlänge s b

Da r = const. (Kre

Die Bewegung aufkonstant), wenn Wi

Die gleichförmige linearen Schwingunrechtwinkligen karteund gilt t⋅ω=ϕ (2.24) Zusammenhang zwiWenn der Körper zbeim Winkel = 2ϕAus ϕ (erft⋅ω=

Winkelgeschwindig

Mit der Umlauffrequ

lges

egin

is) u

demnkel

Bewgensiscfür dx

scheur Z

(=πüllt

π2keit

enz

ϕ⋅= sinry ( ) 222222 rryx =ϕ+ϕ⋅=+ sincos x

chw

nt b

nd

Kges

egu glhenies

( )t

n eit 36die

=

ω

od

P
Drehwinkel ϕ ändert sich mit der Zeit t : ( )tϕ=ϕ
0

Differentiation nach der Zeit ergibt ω≡ϕ≡ϕ

&dtd (2.22)

indigkeit und führt dafür das Symbol ω ein. [ ]ss

rad 1==ω

ei Punkt P0. Aus der Definition des ebenen Winkels folgt

ϕ⋅=rs

damit 0=r& , gilt ω⋅=ϕ⋅== rrv &&s . (2.23)

reis heißt gleichförmig (die Bahngeschwindigkeit v ist chwindigkeit

s&=ω konstant. Dann folgt aus Gl. 2.22

t⋅ω=ϕ

ng auf dem Kreis kann aus zwei (unabhängigen) harmonischen eicher Frequenz zusammengesetzt werden, die in Richtung der Koordinatenachsen verlaufen. Wegen ϕ⋅=ϕ⋅= sin,cos ryrx e beiden Schwingungen

( )tr ω⋅= cos ( ) ( )trty ω⋅= sin

ω und Umlaufdauer (Umlaufzeit) T : t bei 0= 0=ϕ startet, ist er nach einem Umlauf zur Zeit T

)°0 : Anfangsbedingungen) ergibt sich nach einem Umlauf

T⋅ω oder Tπ

=ω2 (vgl. mit Gl. 2.13).

und Kreisfrequenz ω der beiden Schwingungen stimmen überein.

er Drehfrequenz T1

f kann man auch schreiben = fπ=ω 2(wie bei Gl. 2.13).


Bei der gleichförmigen Kreisbewegung ist der Geschwindigkeitsbetrag (die Bahngeschwin-digkeit) definitionsgemäß konstant. Aber: Richtung der Geschwindigkeit ändert sich ständig, der Geschwindigkeitsvektor liegt immer in Tangentenrichtung. Daraus folgt: v

r∆ v 1

rϕ∆

v 2v

r1

r

B A ϕ∆

Bewegt sich die Punktmasse von A nach B, entsteht Differenz zwischen den beiden Vektoren v und v , obwohl sie betragsmäßig gleich sind:

1r

2r

12 vvvrrr −=∆

Daraus folgt eine Beschleunigung

tv

at ∆

∆=

→∆

rr

0lim

Wenn die Drehwinkeldifferenz ϕ∆ sehr klein ist ( 1<<ϕ∆ ), liest man aus dem Vektordreieck bei B

die Beziehung ab ϕ∆⋅=∆ vv

r (mit 21 vvvrr == )

Nach Division mit ergibt sich t∆t

vtv

∆ϕ∆

⋅=∆∆ r und nach dem Grenzübergang ∆ 0→t

schließlich rv

rvv2

2 =⋅ω=ω⋅=ϕ⋅= &a als Betrag der Beschleunigung,

(2.25) wobei die oben angegebenen Beziehungen ω=ϕ& und ω⋅=rv (Gln. 2.22 und 2.23) benutzt wurden. Richtung der Beschleunigung: Nach obiger Skizze steht Vektor v

r∆ bei sehr kleinem ϕ∆ senkrecht auf den Geschwindigkeitsvektoren v1

r und v2r , und da diese in Tangentenrich-

tung liegen, haben vr∆ und damit die Beschleunigung die Richtung zum Kreismittelpunkt:

Deshalb Bezeichnung Radialbeschleunigung (heißt auch Normalbeschleunigung oder Zentripetalbeschleunigung). Führt man als positive Richtung des Radiusvektors (wie üblich) die Richtung ein, die vom Kreismittelpunkt wegweist, ergibt sich ein negatives Vorzeichen für die radiale Komponente

der Beschleunigung: rrv

ar2

2ω−=−=

(2.26) Bei ungleichförmiger Bewegung auf dem Kreis tritt zusätzlich eine Tangential-beschleunigung (Bahnbeschleunigung) auf:

ω⋅=ϕ⋅=== &&&&&&

rrsdtsd

sa

(2.27) Die Radialbeschleunigung behält ihren Wert a . Betrag der Gesamtbeschleunigung ergibt sich (weil Radial- und Tangentialbeschleunigungen senkrecht aufeinander stehen) aus

r

22rs aa +=a

(2.28)


Alle Einrichtungen, die über längere Zeit eine bestimmte Beschleunigung erzeugen sollen, nutzen die Radialbeschleunigung (z.B. Test von Geräten, von Versuchspersonen für Raketen-starts). Bsp.: Erzeugen der zehnfachen Fallbeschleunigung, Bewegung auf Kreis mit Radius r

22 988910 smsmar == ,* r = 5 m

Gl. 2.26: smrar /22=⋅=v , 144 −=== sr

a

rv r ,ω , Umlaufzeit s412 ,=

ωπ

=T

b) Wurfbewegung z

0 In xIn zeine Die

0

zmax

α

Wurf schräg nach oben: Körper startet bei x=0, z=0 zur Zeit t=0 mit den Komponenten der Anfangsgeschwindigkeit x >0 ( ) ( ) 00 00 zx vzv == && ,

Um

(tz

(2.2(Ba

ode

(2.3

α S

Wu

x xw/2 xw

-Richtung: Gleichförmig geradlinige Bewegung mit der Geschwindigkeit v . 0x

-Richtung: Addition einer gleichförmig geradlinigen Bewegung (aufwärts, v ) und r freien Fallbewegung mit der Beschleunigung -g .

00 >z

se drei Bewegungen überlagern sich ungestört. „Parameterdarstellung“ der Bahnkurve ( ) tvtx x ⋅= 0

( ) 20 2t

gtvtz z −⋅= Parameter: Zeit t

Bahnkurve z zu erhalten, Elimination der Zeit: ( )x ( )0xvtx

=t , wird in Gleichung für

eingesetzt: ) ( ) 2

200

02 xvg

xvv

xzzxx

z ⋅−⋅==

9) hn ist eine Parabel , „Wurfparabel“, da x quadratisch (und linear) enthalten ist)

r ( ) 222

02 xv

gxxz ⋅

α⋅⋅−α⋅=

costan

0)

tartwinkel, 0

0

x

z

v

v=αtan , v Betrag der Anfangsgeschwindigkeit, 0

20

200 zx vv +=v

rfweite xw lässt sich aus Gl. 2.30 durch Auflösen nach x bei z=0 ( 0≠x ) berechnen,

⋅

α⋅⋅−α⋅= x

vg

x 2202 cos

tan0 αα

=αcossintan


( )

g

v

g

vxw

α⋅=

α⋅α⋅⋅=

22 20

20 sincossin

(2.31) (maximale Wurfweite demnach bei °=π

=α 454 , wenn Starthöhe und Auftreffhöhe

gleich), die Maximalhöhe (Steighöhe) z der Punktmasse als Extremwert von z . Aus max ( )x

0=max

)(

xdxxdz folgt x und daraus 2/max wx= ( ) α⋅== 2

20

2 sinmaxmax g

vxzz (2.32)

Für (Wurf vertikal nach oben) bewegt sich die Punktmasse auf einer Geraden; es

ergibt sich die Steighöhe

°=α 90

g

v

220=maxz , wie sie auch aus Gl. 2.10 folgt (nach dem Erreichen der Maxi-

Versuch: Wasserstrahl durchläuft je nach Neigung der Austrittsdüse verschiedene Parabeln. v

Markierung der Parabel durch kleine Kugeln an Fäden quadratisch wachsender malhöhe folgt ein freier Fall; am Boden hat der Körper wieder den Geschwindigkeitsbetrag ). 0

Länge

2.2 Dynamik der Punktmasse

Bisher (Kinematik) wurde nur der Bewegungsablauf untersucht; jetzt Frage nach Ursache der Bewegungen: Kräfte (dýnamis (griechisch) = Kraft Dynamik). → 2.2.1 Kraftbegriff Umgangssprache: Muskelkraft Eingesetzt zum Halten (Gewicht, Feder gespannt halten) : statische Wirkung zum Bewegen (Wagen ziehen, Stein wegschieben): dynamische Wirkung Kraft hat Richtung (Ziehen eines Wagens in entgegengesetzter Richtung durch 2 Personen) Kraft hat Betrag (große oder kleine Kräfte sind einzusetzen)


Auf diesen Erfahrungen baut physikalische Kraftdefinition auf. Wir ziehen an Schraubenfeder: sie wird gedehnt. Wir hängen Körper an diese Feder: sie wird gedehnt. ⇒ Jeder Körper übt eine Kraft aus, die vertikal nach unten wirkt, die an der Feder zieht: „Gewicht“ („Gewichtskraft“) Wir halten einen Körper in Ruhe auf unserer Hand: dazu ist Kraft von Hand und Arm nötig (wenn wir die Hand wegnehmen, fällt der Körper nach unten). Wir hängen den Körper an die Schraubenfeder oder legen ihn auf diese Feder: diese übt eine Kraft aus, um den Körper ruhig zu halten. Erklärungsmöglichkeit: In der Feder wird durch die Geometrieänderung (Dehnen oder Stauchen) Kraft geweckt, die die ursprüngliche Länge wieder herstellen will. „Elastische Kraft“ durch Deformation. Versuch Verbiegung Tischplatte (Benutzung von Spiegel und langem Lichtzeiger) Wir hatten formuliert: „Körper übt Gewichtskraft aus“ . Kann auch passiv ausgedrückt werden: „Jeder Körper wird vertikal zur Erdoberfläche (Richtung zum Erdmittelpunkt) gezogen mit der Schwerkraft“. Es liegt nahe anzunehmen, dass die Schwerkraft nicht nur dann wirkt, wenn der Körper an der Feder hängt oder von uns gehalten wird, sondern auch dann, wenn er frei fällt oder schief geworfen wird. Weitere Kräfte, deren Wirkung man spürt: Reibungskraft, magnetische Kraft, ... Möglichkeit der Definition der Kraft: Gewichtskraft ist der Menge einer einheitlichen Substanz proportional. ⇒ Maßeinheit: Gewicht eines Normalkilogramms (eines definierten Körpers, der für

alle Messenden in der Welt verbindlich ist) an einem vorgegebenen Ort. Zwei Kräfte sind gleich, wenn sie „gleiche Ergebnisse“ liefern. Zwei Kräfte sind betragsmäßig gleich, die einander entgegen wirkend keine Bewegung

erzielen (Tauziehen zweier gleich starker Mannschaften). Versuch : Dehnung einer Schraubenfeder, wirkende Kraft ist proportional zur Verlängerung

der Feder

Aus diesem Versuch mögliches Messgerät für Kraft, Federkraftmesser, Federdynamometer. zk ∆⋅=F (2.33) k Federkonstante , F Symbol für physikalische Größe Kraft Kraft kann bei bekannter Federkonstante aus der Dehnung z∆ berechnet werden.

Frr

+

2Fr

rF

1r

Kraft ist ein Vektor. Zusammenfügen und Zerlegen von Kräften geschieht nach dem Parallelogrammsatz. Versuch: Körper bleibt unter dem Einfluss dreier Kräfte in Ruhe

0321 =++ FFFrrr

132 FFFrrr

−=+ (Seilkräfte lassen sich ohne Betragsänderung mit einer Umlenkrolle in beliebige andere Richtung lenken) Vergleich der Seileinstellung mit dem Kräfteparallelogramm.

F
32
3
F


2.2.2 Newtonsche Axiome Zusammenhang zwischen Kraft und Bewegung in mehreren Teilschritten gewinnen:

a) Trägheitsgesetz (oder Newtonsches Trägheitsprinzip) Körper beharrt dann und nur dann in Ruhe oder in gleichförmig geradliniger Bewegung, wenn keine Kraft auf ihn wirkt.

Daraus folgt : Wenn eine Kraft wirkt, bewegt sich Körper beschleunigt.

Und umgekehrt: Bewegt sich ein Körper beschleunigt, muss eine Kraft wirken.

Versuche (Verringerung der „Reibungskraft“, die die quantitative Prüfung des Trägheitsprin- zips erschwert, durch Einsatz einer Luftkissenbahn)

b) Reaktions- oder Gegenwirkungsprinzip Versuch: 2 Personen auf je einem Wagen halten gemeinsam eine Stange; „A zieht, B hält

nur fest“, anschließend Wechsel: „B zieht, A hält nur fest“. Kein Unterschied.

Wird auf einen Körper aus der Umgebung eine Kraft ausgeübt, dann wirkt der Körper auf die Umgebung zurück mit einer Kraft, die den gleichen Betrag, aber die entgegengesetzte Richtung hat.

Kraft = Gegenkraft actio = reactio Ein an einem Seil hängender Körper zieht mit einer bestimmten Kraft nach unten (Gewichts-kraft). Mit einer gleich großen Kraft zieht die Aufhängung des Seils nach oben. Ergebnis: Körper bewegt sich nicht, Summe der beiden Kräfte ist null Ein Körper wird auf den Tisch gestellt, drückt nach unten. Der Tisch wird verformt; wenn die Verformung ihren Endwert erreicht hat, wirkt der Tisch mit gleicher Kraft nach oben. Welche der beiden Kräfte wir Kraft, welche Gegenkraft nennen, ist i. Allg. gleichgültig. Manchmal unterscheiden wir zwischen eingeprägter Kraft (z.B. Gewichtskraft des Körpers) und Reaktionskraft oder Zwangskraft (z.B. Gegenwirkung des Seiles bzw. der Seilaufhängung oder des Tisches), um den Vorgang besser beschreiben zu können.

c) Newtonsches Grundgesetz der Mechanik

Kraft und Beschleunigung sind einander proportional. Proportionalitätsfaktor: Masse des Körpers („träge Masse“)

amF

rr⋅=

(2.33) Fr

Vektorsumme aller Kräfte auf Körper der Masse m , ar Beschleunigung des Körpers


Überprüfung dieser Gleichung: Feste (massearme) Rolle, die sich reibungsarm drehen kann, Seil, befestigte Massestücke („feste Rolle“ : Umlenkrolle mit räumlich festgehaltener Achse)

m′

Resultierende Kraft: gmF ⋅′= (g ist die in Kap. 2.1.1 bereits kennen gelernte Fallbeschleunigung); wenn

0=′m , dann bewegen sich die Massestücke nicht . Resultierende bewegte Masse: mMm ′+⋅= 2 Vorteil dieser Anordnung („Atwoodsche Fallmaschine“):M bzw. m und m′ lassen sich unabhängig voneinanderwählen.

M M z Bei 0>′m bewegt sich rechtes Seilstück (und befestigte Körper) beschleunigt nach unten. Beginn der Bewegung bei t = 0 und z = 0 ohne Anfangsgeschwindigkeit. Mit Gl. 2.8 folgt dann:

( )mMtgm

tmF

ta′+⋅

⋅⋅′=⋅⋅=⋅= 22

22

212

21z

(2.35) Versuch: Messung der Zeit t für eine gegebene Fallstrecke z bei unterschiedlichen

Massenkombinationen M und m’. Prüfung der Konstanz von

22

2g

tmzmM

=⋅′

⋅′+ )(

Alle Experimente bei technisch genutzten Geschwindigkeiten haben die Gleichung 2.34 bestätigt. Setzen wir für die Beschleunigung die Zusammenhänge entsprechend Gl. 2.5 ein, ergibt sich schließlich

Newtonsches

(2.34a) Diese Gleichung wird heute Die Kraft 1 Newton (ZeBeschleunigung 1 m/s2 in

Die Maßeinheit der MasseNormkörper (Masse-Prototydefiniert. Alle anderen Grunkonstanten zurückgeführt; aMasse einer vorgegebenen Z Was kann man aus der BeweIst die Kraft in der Form

dd

rmdtr

mdtv

mamF &&r&rr

rr⋅=⋅=⋅=⋅=

Grundgesetz oder Bewegungsgleichung

auch benutzt, um die Maßeinheit der Kraft zu definieren: ichen: N) beschleunigt einen Körper der Masse 1 kg mit der ihrer Wirkungsrichtung.

22 smkg1sm1kg1N −⋅⋅=⋅=1

( 1 kg) wird immer noch durch einen kreiszylindrischen p) aus Platin-Iridium, Durchmesser und Höhe etwa 39 mm, deinheiten werden bereits auf atomare Eigenschaften und Natur-n einer entsprechenden Massedefinition (z.B. Definition der

ahl von Silizium-Atomen) wird gearbeitet.

gungsgleichung gewinnen? r .constF =


oder ( )tFFrr

= bekannt, kann die Bahngleichung der Punktmasse ( )trr

rr= durch zweimalige Integration

über die Zeit gewonnen werden. Für die allgemeine Form der Kraft F ( trrF ,, & )rrrr= ist die

Lösung einer „Differentialgleichung“ nötig. Ist F bekannt, liefert die erste Integration über die Zeit ( )t

r

( ) ( ) ( ) 000

vmtvmtdtdtvd

mtdtFt

t

t

t

rrrr

⋅−⋅=′′′

⋅=′′ ∫∫

(2.36) Für die in dieser Gleichung enthaltenen Größenkombinationen werden spezielle Namen ein-geführt:

( )∫ dttFr

Kraftstoß Definitionen

pvmrr =⋅ Impuls

Die durch Integration des Newtonschen Grundgesetzes gefundene Gleichung 2.36 sagt also:

Ein Kraftstoß erzeugt eine gleich große Impulsänderung. Stellen Sie sich einen ruhenden Fußball vor, dem Sie mit einem Fußstoß = Kraftstoß eine Geschwindigkeit geben wollen. Entscheidend ist nicht die kurzzeitig wirkende Kraft, sondern das Zeitintegral über die Kraft

. Die mittlere Richtung der Kraft F( )∫ dttFr

bestimmt die Richtung der Ballbewegung bzw. der Geschwindigkeit. Einer Stahlkugel gleicher Größe würden Sie mit dem gleichen Kraftstoß eine viel kleinere Geschwindigkeit erteilen: Die Masse der Stahlkugel ist erheblich größer als die eines Balles. Die große Bedeutung der beiden Begriffe Impuls und Kraftstoß werden wir erst später erkennen (Kap. 2.4). 2.2.3 Spezielle Kräfte Eines der Newtonschen Axiome war actio = reactio, Kraft = Gegenkraft. Zu jeder Kraft, die an Körper angreift, gibt es eine gleich große entgegengesetzt gerichtete Kraft, die an einem zweiten Körper angreift. Alle Kräfte ohne Ausnahme treten paarweise auf. Zwei Betrachtungsmöglichkeiten (Begriffsbildung): - Beide Körper, an denen die beiden Kräfte angreifen, werden gemeinsam als ein

System betrachtet, z.B. die beiden Wagen mit den beiden Personen und der Verbindungsstange. Dann bezeichnet man die beiden Kräfte als innere Kräfte des Systems. Ihre Summe ist immer null.


- Betrachtet man nur einen der beiden Körper (in dem betrachteten System befindet sich also nur dieser Körper) und dessen Bewegung, dann nennt man die Kraft, die auf diesen Körper wirkt, äußere Kraft (von außen kommende Kraft).

Beispiele für äußere Kräfte (auch „eingeprägte Kräfte“ genannt):

a) Gewichtskraft r

gmFGr

⋅= konstant, wenn Masse konstant und Ort auf der Erde wenig geändert (Fallbeschleunigung gr ist auf der Erdoberfläche geringfügig ortsabhängig; insbeson-dere wegen der Erdabplattung und der Zentrifugalkräfte infolge der Erdrotation (siehe Kap. 2.7.3) ist die Fallbeschleunigung am Äquator um etwa 0,5 % geringer als in der Nähe der Pole. Entfernt man sich um 1 km von der Erdoberfläche, so wird die Fallbe-schleunigung um etwa 0,03 % kleiner. Der Einfluss der Stellung von Mond und Sonne zur Erde auf g ist vorhanden, aber noch viel kleiner.)

b) Ortsabhängige Federkraft ( )rFFrr

=

rdie Koordinate z des Endes der Feder betrachtet.

ist die Lage des Federendes. Bei einer lotrecht hängenden Schraubenfeder wird z.B.r

An diese Schraubenfeder hängen wir einen Körper mit Masse m. Schraubenfeder besitzt Federkonstante k. ( zkF ∆⋅=F

r nach Gl. 2.33)

k z

z∆ 0=z 0=z

m Definition: positive

Marke

0<z

z-Richtung nach oben Gleichgewichtslage (Ruhelage, Null-Lage) bei angehängtem Massestück Zusätzliche Auslenkung (z.B. durch Ziehen an dieser Masse) Gleichgewichtslage: Am Körper wirken zwei Kräfte (Gewichtskraft und Federkraft), die als Summe null ergeben. Dadurch ist der Körper in Ruhe (Gleichgewicht). 0=+ FG FF

F FmgG −= zkF ∆⋅−= 0=∆⋅−− zkmg kmg

z −=∆

Gewichtskraft negativ, Federkraft positiv ( 0<∆z ),


zeigt nach unten zeigt nach oben Diese beiden Kräfte brauchen im Folgenden nicht berücksichtigt zu werden, da sie sich gerade aufheben (kompensieren). Koordinatensystem so gelegt, dass Körper in Ruhelage, wenn Marke bei 000 === zyx ,, Jetzt zusätzliche Auslenkung des Körpers aus dieser Ruhelage lotrecht nach unten (Marke danach also bei z ), dadurch wirkt zusätzliche Federkraft: 0<

0==⋅−= yxz FFzkF Index F für Federkraft weggelassen (z ) 00 >→< zF

Dann Loslassen des Körpers (evtl. mit Anfangsgeschwindigkeit 00 ≠zv ): Auf den Massenpunkt mit der Masse m wirkt die Federkraft F (noch einmal zur Erinne-rung: Gewichtskraft wird kompensiert durch die Federkraft

z

FF , die in der Ruhelage wirkt). Dadurch erhält der Körper gemäß Bewegungsgleichung eine Beschleunigung a :zz &&=


zz Fam =⋅

zkzm ⋅−=⋅ && 0=⋅+ zmk

z&& .

Setzen wir nun noch mk = , ergibt sich schließlich: 2ω

(2.37)

+ 02 =⋅ω zz&&

(In den beiden anderen Koordinatenrichtungibt es auch keine Auslenkungen x oder 00 →=→= xxm &&&

00 →=→= yym &&&

Die eingerahmte DifferentialglLösung ist eine harmonische Differentiation von z(t) nach

( )t

mz Amplitude

α Nullphasenwinke

km

T π=2 Schwingungsdau

Große Masse, weiche Feder liefe

Versuch: Federschwinger;

zgm

zF

k∆

⋅=

∆∆

=

Dann Messung der Schwingun

schwingenden Masse muss die FExper

(m+mF)/kg 10 T

=Fm

c) Gravitation (Massenanziehu

2rMm

GF⋅

⋅= G=

m und M sind die Massen

Gravitation ist Ursache der m

gen wirken keine Kräfte und treten keine Anfangsgeschwindigkeiten auf. Dadurch : y

0=x

) 0=y

eichung kennen wir bereits aus Gl. 2.14, Kap. 2.1.1; die Schwingung (Gl. 2.12; Überprüfung durch zweimalige t)

( )α+ω⋅= tzm cos
z
mk

T=

π=ω2 Kreisfrequenz, Eigenschaft des

l schwingungsfähigen Systems

er (T und ω unabhängig von der Amplitude z !) m

rn große Schwingungsdauer T und kleine Kreisfrequenz ω .

zunächst Bestimmung der Federkonstanten k

m = 25 g = 0,025 kg g = 9,81 ms-2

=∆z k =

gsdauer, Vergleich mit km

π=2T (ohne Beweis: bei der

edermasse m zu einem Drittel berücksichtigt werden) F

iment Rechnung

Exp/s TExp/s TRechn/s

ng) Zwei Massenpunkte ziehen sich an mit der Kraft

Gravitationskonstante (2.38) 23111 smkg106736 −−−⋅,

der beiden Massenpunkte, r ist deren Abstand.

Gewichtskraft. m Masse eines Körpers auf Erdoberfläche,


ME ME Masse der Erde (Ohne Beweis: Kugel mit kugelsymmetrischer Massenverteilung wirkt so, als ob alle Masse im Kugelmittelpunkt vereint sei) Kraft zwischen Erde und Körper: Mit R = Erdradius ergibt sich

gmRMG

mRMm

G EE ⋅=⋅

⋅≡⋅

⋅= 22F , also Fallbeschleunigung 2RMG E⋅

=g (2.39)

Vergleich mit Gewichtskraft Wenn Gravitationskonstante G bekannt, dann lässt sich aus Gl. 2.39 die Masse der Erde berechnen:

( )kg

mskgm

sm

GR

gME24

311

226

2

210061076

104689 ⋅=⋅

⋅⋅⋅⋅=⋅= − ,

,,,

Heute mehrere Messmöglichkeiten für G ; Effekt im Laboratorium immer sehr klein! Beispiel:

Zusatzmasse bei Stellung 1 (weniger als 1 mg fürangegebenes Beispiel), um Gleichgewicht wie bei Stellung 2der verschiebbaren Masse einzustellen

Waage Verschiebbare Masse Testmasse 1 kg Bewegte Masse 13 t = 13000 kg Stellung 1

Ausgleichs- gewicht

Testmasse Verschiebbare Masse durch Umpumpen von Quecksilber verwirklicht

Stellung 2 d) Reibungskräfte zwischen zwei festen Körpern

Zu unterscheiden: Haftreibung und Gleitreibung

Haftreibung: Körper ruht auf Unterlage Versuch: rRF F

r

F n

r

Erst wenn die aufgewandte Kraft größer wird als F (maximale Haftreibungskraft), rutscht der Körper.

H

Auf den oberen Körper üben wir wachsende Kraft Fr

parallel zur Unterlage aus. Trotzdem bleibt er zunächst in Ruhe. Ist nur so zu erklären, dass eine genau gleich große, entge-gengesetzt gerichtete Haftreibungskraft F

r zwischen deR n

beiden Festkörpern auftritt.

Erfahrung: F proportional zu F , FH n nHR FF ⋅µ=≤ 0 (2.40)

nF Normalkraft zwischen den beiden Körpern

0µ Haftreibungszahl, Haftreibungskoeffizient ( abhängig von der Art und Beschaffenheit der Oberflächen der beiden Körper) 0µ


Überraschenderweise ist F nicht von Größe der Berührungsfläche abhängig. H

Stoffpaar 0µ (Haftreibung) µ (Gleitreibung) trockengeschmiert trocken geschmiert Stahl / Stahl 0,15 0,12...0,11 0,09...0.03 0,009 Gummi auf Asphalt 0,9 0,85 0,45 (nass) Hanfseil auf Stahl 0,7...0,8 Klettverschluss >1 Anwendungsbeispiel für Haftreibungskraft: Schiffstau liegt in mehreren Windungen um einen Poller. An einem Seilende hält der Matrose das Seil mit der Kraft F0. Mit welcher Kraft kann am anderen Seilende gezogen werden, ohne dass das Seil rutscht? Der Pollerradius sei R. F d F

l

R Damit erg

Wenn an ken, ohne

Gehen w

zulässige

Bei n W

Die Krafdurchaus

Haftreibrutschen - P - M

(

M

Wie kan

α

ibt sich eine maxima

einem Seilstückende dass das Seilstück ru

dF

ir von dem sehr klei

Gesamtkraft ergi1F

FF

F

=

0

110 lnln

indungen ist die Seillä

( )2

0

1 0= π⋅µ ne

F

F

t F ist also vielfachein großes Schiff fest

1

Versuchung ist auch für, dann keine Vorw

KW auf Glatteis

aximale Zugkrakeine Laufachsen

it dieser Kraft k

n man a vergrmax

Wir betrachten zunächst sehr kleines Seilstück d , an dem die betragsmäßig gleichen Kräfte F angreifen. Dann resultiert daraus eine kleine

α⋅= dRl

Normalkraft in Richtung auf die Pollerachse
d
Rd

FdFdFnl

⋅=α⋅=

le Haftreibungskraft für dieses Seilstück von ld

RdF

dFdF nR

l⋅µ=⋅µ= 00 .

mit der Kraft F gehalten wird, kann am anderen Ende die Kraft F + dFR wir-tscht. Die zulässige Zugkraft wächst gemäß

ldRF

0µ= oder ldRF

dF 0µ= .

nen Seilstück zur endlichen Seillänge über, müssen wir integrieren; die

bt sich (bei Beachtung von

ld l

∫ = FFdF ln und ) über ∫ = lld

Rl⋅µ

= 0 zu ReFFl⋅µ

⋅=0

01 .

nge, die auf dem Poller liegt und reibt, nR ⋅π= 2l und damit wird 63 1041111 ⋅== , , wenn 7500 ,=µ und n=3 ist.

größer als die Kraft ; ein einzelner Mensch kann mit diesem Hilfsmittel halten.

0F

: 213 Seilwindungen um Rundstab

das Rollen von Rädern entscheidend: Wenn angetriebene Räder ärtsbewegung.

ft einer Lokomotive der Masse m, die nur angetriebene Achsen ) hat:

0µ⋅⋅= gmFmax ann der gesamte Zug (Masse M ) höchstens beschleunigt werden.

Mgm 0a

µ⋅⋅=max

ößern ?


Zugmasse M verringern (Einschränkung der Transportleistung), Lokomotivmasse m erhöhen (kritisch wegen Belastung von Gleisanlagen und Brücken), alle Räder der einzelnen Wagen antreiben, µ erhöhen (Zahnradbahn). 0

Reibungswinkel : Eine Kraft greife schräg an Körper an, der auf Unterlage liegt. α

r F K Ft

r

F n

r

Der zulässige Größtwewinkel.

r

Reibungskegel: KegeAuflagefläche, Reibunhalb dieses Reibungske

F r

Reibungs- Rα kegel Neben der Haftreibung Versuch: (Fortsetzung Kraft etwas kleiner alsKörper leicht anstoßendie Kraft einen Betrag

F(2.42)

übersteigt. (F ist wieder die Normn

Die Gleitreibungskraftden Richtungssinn so, d Bei kleinen Relativgesc

µ ist immer kleine Gleitreibung ist verantw

Diese Kraft Fr

kann beliebig groß sein, ohne dass sich der Körper Kbewegt, so lange 0µ<αtan , (2.41) denn (aus Kräftezerlegung) α⋅= cosFFn α⋅= sinFtF , d.h. keine Bewegung, wenn

α⋅>α⋅⋅µ=⋅µ= sincos FFFF nH 00 , also α>α⋅µ sincos0
F
rt für den Winkel α nach Gl. 2.41, 0µ= arctanR , heißt Reibungs-α

l mit Spitze im Angriffspunkt der Kraft, Kegelachse senkrecht zur gswinkel als halber Kegelöffnungswinkel. Liegt der Kraftvektor inner-gels, bleibt der Körper bei beliebigem Betrag der Kraft in Ruhe.

Beispiel: Wegrutschen einer Leiter, vor allem bei Belastung, möglich, wenn sie zu flach angelehnt ist (außerhalb des Reibungskegels liegt). Leiter aber auch nicht zu steil stellen, da dann beim Besteigen Umkippen möglich.

gibt es die Gleitreibung: Körper bewegt sich gegenüber Unterlage.

)

maximale Haftreibungskraft einstellen. Körper bleibt in Ruhe. Jetzt (in Kraftrichtung). Ergebnis: Körper läuft beschleunigt weiter, wenn

nGl F⋅µ= (Gleitreibungskraft)

µ Gleitreibungszahl, Gleitreibungskoeffizient alkraft, die zwischen Körper und Unterlage wirkt)

hat die Richtung der Relativgeschwindigkeit der beiden Körper und ass die Bewegung gehemmt wird.

hwindigkeiten ist µ unabhängig von der Relativgeschwindigkeit.

r als µ , beide sind „dimensionslos“ (Maßeinheit 1). 0

ortlich für „Energieverluste“ in Maschinen.


Freihandversuch zum Wechselspiel zwischen Haft- und Gleitreibung: Stab auf zwei Fingern der linken und rechten Hand. Finger langsam nach innen schieben. Auf Finger A, der näher am „Schwerpunkt“ des Stabes liegt, wirkt größere Normalkraft. Deshalb gleitet Finger B so lange, bis nAnB FF ⋅µ>⋅ 0µ . Dann gleitet A, bis sich die Beziehung zwischen den maximalen Reibungskräften wieder umkehrt. Die beiden Finger treffen sich unter dem Schwerpunkt. e) Zwangskräfte Körper mit Masse m wird auf horizontale Unterlage gelegt. Warum bewegt er sich nach dem Auflegen nicht unter dem Einfluss der Gewichtskraft gmF ⋅= ? Beobachtung nicht ganz richtig: Der Körper bewegt sich so lange, bis die Deformation der Unterlage gerade die Kraft erzeugt, die genau so groß wie die Gewichtskraft ist, nur mit umgekehrter Richtung (Erinnern an Versuch Tischverbiegung). Dann liegt der Körper ruhig, weil die Summe der auf ihn wirkenden Kräfte null ist. Die von der Unterlage erzeugte Kraft heißt Zwangskraft (sie erzwingt eine bestimmte Lage oder eine bestimmte Bahn, z.B. bei einer Schiene). F Z

r

Zwangskraft

Ebene („schiefe Ebene“) ohne Reibung: r

rFr

rZerlegung der Gewichtskraft F in Nor- r r

F

malkraft Fn und Tangentialkraft F . t

Nur F kann die Unterlage deformieren Fn t

r

n

r

(„elastische Kraft wecken“) Fnr

Dadurch Zwangskraft Z betragsmäßig gleich F

r

Anwendung auf Bewegung auf geneigter Ebene(„schiefe Ebene“) ohne Reibung: Zerlegung der Gewichtskraft F in Normalkraft n

und Tangentialkraft t (Kräfteparallelogramm,Richtungen Normale und Tangente vorgegeben). Nur F kann die Unterlage deformieren und dadurch„elastische Kraft wecken“. Diese Zwangskraft istdeshalb betragsmäßig gleich der Normalkraft, beidekompensieren sich. Der Körper bewegt sich nicht(mehr) in Normalenrichtung. Normalkraft, beide kompensieren sich. F

r

α

Für die Bewegung des Körpers längs der schiefen Ebene ist nur noch die Tangentialkraft

α⋅⋅=α⋅= sinsin gmFFt (auch „Hangabtriebskraft“ genannt) (2.43)

wirksam. Mit dieser Kraft wird der Körper mit seiner Masse m beschleunigt: amFt ⋅= → smgm &&⋅=α⋅⋅ sin (s Beschleunigung in Bahnrichtung)

&&

Integration: 22 t

gs ⋅

α⋅=

sin (unabhängig von m)

(2.44) Versuch: Kugel rollt auf schiefer Ebene , konstante Länge s, Änderung des Anstellwinkels durch Änderung von h

sh

=αsin

h s Messung der Rollzeit t für konstante Strecke s


α constgs

th =⋅

=⋅2

2 2 (aus Gl. 2.44)

Versuch: Schiefe Ebene und Reibung; aufgelegter Körper in Ruhe. Neigungswinkel wird erhöht. Körper kann erst dann rutschen, wenn

α

gHaftreibunt FF ≥ oder α⋅⋅µ≥α⋅ cossin mgmg 0 , d.h. ab (wieder Reibungswinkel; Messmethode für Reibungskoeffizienten). 0µ=αRtan Andere äußere Kräfte sind beispielsweise Kräfte auf ferromagnetische Körper in der Nähe eines Magneten, Kräfte auf elektrische Ladungen im elektrischen Feld oder Kräfte auf bewegte elektrische Ladungen im magnetischen Feld (Kapitel 4 in Physik 2). 2.2.4 Radialkraft Aus Kap. 2.1.2 bekannt: Ein Körper auf einer Kreisbahn erfährt eine Beschleunigung in

Richtung Kreismittelpunkt, Radialbeschleunigung (Gl. 2.26) rrv

r ⋅ω−=−= 22

a .

Aus Newtonschem Grundgesetz folgt: Für diese Beschleunigung ist Kraft F r notwendig

rmrv

mam rr ⋅ω⋅−=⋅−=⋅= 22

F

(2.45) Für dieses Produkt aus Masse des Körpers und Radialbeschleunigung Name: Radialkraft. Radialkraft kann (muss) durch irgendeine äußere Kraft oder/und Zwangskraft erzeugt werden. Versuch: Kugel auf Kreisbahn, Radius und Masse variiert. Messung der Radialkraft mit Schraubenfeder. Ändern der Umlaufdauer T, bei Erreichen eines bestimmten Radius und damit Federausdehnung ( .F ) Aufleuchten eines Lämpchens. constr =

Überprüfen, dass .constrm

T=

⋅

2 (mit Gl. 2.45:

rmT

Fr

Tm

rr ⋅

=π

⇒⋅

π

⋅=222 42

F )

Andere Beispiele für Erzeugung von Radialkräften: Gravitation: Planetenbewegung um die Sonne, Mondbahn um Erde (Bewegungen um gemein-samen Schwerpunkt; es sind keine Kreis-, sondern Ellipsenbahnen) Zwangskraft einer Schiene: Looping-Bahn (Schleifenbahn) Reibungskraft: PKW in einer Kurve ohne Fahrbahnneigung Seilkraft: Hammerwerfen (während der Drehphase) Wenn die Radialkraft plötzlich verschwindet (und andere Kräfte vernachlässigbar sind), läuft der Körper auf einer geraden Bahn in Richtung der vorhandenen Geschwindigkeit weiter (Loslassen des Hammerseiles, Glatteis in einer Kurve). 2.3 Arbeit, Energie und Leistung Umgangssprachlich ist Arbeit mit Kraftaufwand und Dauer bzw. Wegstrecke des Kraftauf-wandes verbunden. Für Physik zu „diffus“, physikalisch eindeutige Definition nötig.


2.3.1 Arbeit , Leistung Bewegt sich Körper unter Einfluss einer Kraft F

r , so verrichtet diese Kraft auf dem Weg von

F

r

Fα s

r s

2s 1s r

r2rr

1rr

Fr

Kraft, rd vektorielles Wegelemenr Körpers, F Komponente dα⋅ cos= Fs Tangentenrichtung), Winkel zwischen Krα Wenn , dann wirkt 0=α Kraft in BahnrichtWenn (= 90°), dann 2/π=α Kraft senkrec

rWenn Fs der Bahnrichtung entgegengesArbeit negativ . Wenn ich einen Körper unbewegt halte, verres Mühe macht (ds ). 0= Die in einem Zeitelement dt verrichtete (Zeitelement, nennt man (mechanische) Leistu

dtdW

=P

(2.47) Die Leistung ist wie die Arbeit ein Skalar. Da rdFdW

rr⋅= , ergibt sich für die (mechan

Fdtrd

FdtdW r

Prr

⋅=⋅==

(2.48) Wirkt eine Kraft senkrecht zur Bahn (und damGleichung erwartungsgemäß auch keine Leis Maßeinheiten: Arbeit [ ]W = 1 =−22 smkg Nm Leistung [ ]P = s

Nm1 = Watt =

1 (WattseWs1J= Gedankenversuch:

KiVV V

d=

1s nach s eine (mechanische) Arbeit 2 W am Körper:

∫∫ ==2

1

2

1 ss

r

r

dsFrdFW

r

r

rr

(2.46) Arbeit ist ein Skalar, kein Vektor (Arbeit hat keine Richtung, aber Vorzeichen, das abhängig ist von der Richtung der Kraft gegenüber der

s

t, rdsr Wegelement auf der Bahn des

er Kraft Fr

in Wegrichtung (Bahnrichtung,
aft- und Bahnrichtung
ung: FFs ==Fr

. ht zur Bahn, 0=sF , keine Arbeit verrichtet.

etzt weist ( π<α<π 2/ ), wird die verrichtete

ichte ich keine (mechanische) Arbeit, auch wenn

mechanische) Arbeit dW , dividiert durch dieses ng P :

(Differentialquotient)

ische) Leistung auch

vr

it zur Geschwindigkeit), dann wird nach dieser tung erbracht ( 0=⋅vF

rr ).

= Joule = J ( Aussprache dschuhl )

1 W

kunde)

örper mit der Masse m, Gewichtskraft mg, soll n 10 s auf den Tisch gehoben werden. ersuch 1: Körper rührt sich nicht ersuch 2: Körper wird nur bis zur halben

Tischhöhe gehoben ersuch 3: Körper wird in 15 s auf den Tisch

h b


Woran hat es bei den verschiedenen Versuchen gefehlt: an Arbeit, an Leistung oder an Kraft? Menschliche Arbeit: Besteigen eines 2000 m hohen Berges (ab Höhe 0 m), Mensch mit Masse 75 kg.

=⋅⋅= hgmW kWh40Ws1051m2000sm89kg75 62 ,,/. ≈⋅=⋅⋅ Bei üblichen Elektrizitätstarifen wäre der Wert dieser Arbeit etwa 5 Cent. Zwei Erkenntnisse aus diesem Beispiel:

- Hoher erreichter Stand der Technik, hier speziell der Energieerzeugung und Energie-versorgung,

- Hohe Wertigkeit der menschlichen Arbeit.

2.3.2 Verschiebungs- und Beschleunigungsarbeit Überlegung a: Körper stehe unter dem Einfluss einer Kraft F

r (Bsp.: Massenanziehung

durch die Erdmasse). Er soll eschleunigungsfrei verschoben werden. Um das zu erreichen, muss eine zusätzliche Kraft F

r so auf den Körper ausgeübt werden, dass die Summe der beiden Kräfte null ergibt

(denn sonst gebe es Beschleunigung; nur zu Beginn und Ende der Verschiebung jeweils vernachlässigbarer Kraftstoß nötig):

b′

0=′+FFrr

F Frr

−=′ Durch diese Kraft F , die während der Verschiebung wirken muss, wird am Körper Arbeit verrichtet – Verschiebungsarbeit

′r

W ′ r

W WrdFrdFr

r

r

r

−=−=′=′ ∫∫2

1

2

1

r

rr

rrrr

(2.49) (beispielsweise beim sehr langsamen Hochheben eines Körpers auf einen Tisch). Überlegung b: Auf den Körper wirke eine (resultierende) Kraft F

r. r

Dann wird Körper beschleunigt gemäß amFr

⋅= . Damit verbunden ist eine am Körper verrichtete Arbeit – Beschleunigungsarbeit.

( )

( )

vddtrd

mrddtvd

mrdamrdFrv

rvv

r

rr

r

r

r

r

rW

rr

rrrrr

rr

rrr

r

rr

r

r

r

r∫∫∫∫

==

====2

1

2

1

2

1

2

1

(2.50)


21

22

2222

2

1

2

1

vm

vm

vm

vdvmv

v

v

v

−=== ∫r

r

r

r

rrrW

(2.51) 2.3.3 Potentielle und kinetische Energie Lässt sich die Verschiebungsarbeit durch Umkehr der Bewegung (wieder „infinitesimal“ langsam) zurückgewinnen oder in Beschleunigungsarbeit umsetzen, dann liegt Schluss-folgerung nahe: Die Arbeit war zwischendurch gespeichert. Für die gespeicherte Verschiebungsarbeit W ′ wird ein spezieller Name eingeführt: Zuwachs an potentieller Energie (auch: Zuwachs an „Energie der Lage“). pE∆ Eine Kraft, bei der die Verschiebungsarbeit diese Eigenschaft besitzt, heißt Potentialkraft (auch „konservative Kraft“ ). Für eine solche Kraft gilt WEp ′=∆

( ) ( ) ∫−=−2

1

12

r

rpp rdFrErE

r

r

rrrr

(2.52) Der Wert des Integrals ist für Potentialkräfte unabhängig vom Weg zwischen r und r1

r2r

(Angedeuteter Beweis: Wenn die Kraft sich aus einem Potential ableiten lässt, F Agrad=r

, steht unter dem Integral ein totales Differential; dadurch wird das Integral wegunabhängig, nur Anfangs- und Endpunkt bestimmen den Wert des Integrals) Der Nullpunkt der potentiellen Energie ist willkürlich; physikalisch bedeutsam sind nur Differenzen der potentiellen Energie. Ist der Nullpunkt festgelegt, ist die potentielle Energie eine reine Funktion des Ortes:

( )rEE pp

r=

Zu einer speziellen Potentialkraft ( )rF

rr gehört eine spezielle Ortsfunktion E ( )rp

r für die potentielle Energie, die bis auf einen konstanten Summanden festliegt. Beispiele Nullpunkt Kraft ( )rEp

r für potentielle Energie a) Gewichtskraft mgFz −= mgzEp = bei z = 0

b) Federkraft kxFx −= 22xk

Ep = bei x = 0

c) Gravitationskraft 221

rmm

Gr ⋅−=F rmm

GEp21⋅−= bei ∞→r

221

r

mmGFr ⋅+=′

022

1111 2

0

2

0rrr

drr

r

r

r

r

+−=−=∫ , letzter Summand geht gegen null für r ∞→0

r z 0 x '

rF'zF 2m


F rr 2r=

gm ⋅− kx− F 'x

1m a) b) r = 0 c) Reibungskräfte sind beispielsweise keine Potentialkräfte: Mechanische Verschiebungsarbeit gegen Reibungskraft lässt sich nicht rückgewinnen.

Nach dem Verrichten der Beschleunigungsarbeit hat sich die Größe 22vm verändert. Diesen

Ausdruck nennt man kinetische Energie (Bewegungsenergie, früher auch Wucht):

22vm

EE kink =≡ ( ) ( ) ( ) gungBeschleunikk Wvvm

vEvE =−⋅=− 21

2212 2

(2.53) Kinetische Energie hängt nicht von der Richtung der Geschwindigkeit ab, nur vom Betrag. Eine negative Beschleunigungsarbeit verringert die kinetische Energie (Körper gebremst). Für beide Energiearten gilt: Energie kennzeichnet das in einem Körper oder einem System von Körpern enthaltene Arbeitsvermögen. 2.3.4 Gesetz von der Erhaltung der (mechanischen) Energie – (Mechanischer) Energiesatz Kinetische und potentielle Energie können bei einem Bewegungsvorgang in Zusammenhang stehen: Eine Potentialkraft wirke in einem kleinen Zeitelement auf einen Körper und verrichte Beschleunigungsarbeit dW . Dadurch nimmt die kinetische Energie des Körpers zu um dE : k

dW kdE= . Die von der Potentialkraft verrichtete Arbeit führt andererseits zur Abnahme der potentiellen Energie des Körpers um genau den Betrag der Beschleunigungsarbeit, denn die Integrale in den Gln. 2.50 und 2.52 unterscheiden sich nur um das Vorzeichen:

pdEdW =' , dW pdEdWdW −=→−='

(Beispiel: Frei fallender Körper - Zunahme an kinetischer Energie, Abnahme der potentiellen Energie) Beide Beziehungen zusammen liefern dE 0=+ pk dE

( ) 0=+ pk EEd (Beispiel des frei fallenden Körpers: Zunahme der kinetischen Energie entspricht genau der Abnahme der potentiellen Energie) Die Integration liefert E =+ constE pk


und mit , = Gesamtenergie , gilt : (2.54)

gpk EEE =+ gE

Mechanische Gesamtenergie ist zeitlich konstant bei Bewegung einer Punktmasse unter dem Einfluss einer Potentialkraft. (Satz/Gesetz von der Erhaltung der mechanischen Energie; häufig kurz Energiesatz genannt). Energieerhaltung gilt unabhängig von spezieller Bahn des Körpers. Kräfte, die senkrecht auf der Bahn des Körpers stehen, verrichten keine Arbeit an dem Körper und ändern dadurch auch nicht die Energiebilanz. Versuche zum Energiesatz:

• Energiesatz für Gewichtskraft Unabhängigkeit von der Bahn des Körpers

222

211 22 v

mmgzv

mmgz +=+ für frei fallende Kugel an den Orten z und z 1 2

re z Ar z1 We z2 gle z∆ (zs∆ 21 z− )

Me un

oder für Kugel an Faden (Fadenkraft steht senk-recht auf der Bahn, verrichtet also an Kugelkeine Arbeit, dadurch Energiesatz nichtgeändert). Wenn Startgeschwindigkeit in beiden Fällengleich (v1 = 0) und durchfallene Höhe gleich(z 21 z− ), dann ist Geschwindigkeit in denMessstrecken z∆ und s∆ gleich groß unab-hängig von den durchlaufenen Strecken:

( )212 2 zzgv −⋅= Wenn , dann muss demnach auch sz ∆=∆ sz tt ∆=∆ sein. Messung mit Lichtschranke, die um 90° gedreht werden kann.

• Faden eines Pendels stößt an Querstift In den beiden Umkehrpunkten des Pendels ist

021 == vv . Da die Gesamtenergie konstant ist,muss die potentielle Energie in beiden Umkehr-punkten gleich sein:

21 mgzmgz = oder z 21 z= Die Umkehrpunkte müssen also in gleicher Höheliegen.

z 2z 1


• Schleifenbahn (looping)

Kugel startet bei A mit Geschwindig-keit 0=v Wie hoch muss Punkt A mindestens liegen, damit Kugel in keinem Punkt der Schleifenbahn herabfällt ?

A z zA

Kreis mit H Radius r P

0

z r

φ

Wenn rv

mFG rr

2⋅=<

r

(= R

geringe Deformation der Bahnwie G wirkt, bis die Summe

Wenn rv

mFG rr

2⋅== , dan

Wenn rv

mFG rr

2⋅=> , d.h

Damit also die Kugel in der Sc

(2.55) Aus dem Energiesatz folgt

0 mgmgzA =+

(2.56) Aus den Gln. 2.55 und 2.56 er

g

und damit z ( zzA )−⋅≤ 2 od

Da z maximal r werdenvon z in Höhe des Kreism0=

(2.57) sein, damit Kugel auch im Gip Realität: Kugel fällt bei dieser

G
Kräfte im Punkt P (Höhe z): Gewichtskraft mgG = hat Kompo-nente , die in Richtung Kreis-mittelpunkt zielt:
rG

G

rz

mgmgGr ⋅=ϕ⋅=− sin

adialkraft) ist, dann erzeugt die Schleifenbahn durch eine

eine zusätzliche Zwangskraft F , die in gleicher Richtung

Z

Zr FG + gerade gleich der notwendigen Radialkraft ist.

n bringt G allein die Radialkraft auf. r

. wenn v zu klein ist, löst sich die Kugel von der Bahn. 2

hleifenbahn bleibt, muss gelten

rv

mrz

mgGr

2≤⋅=

22vm

z + ( )zzgv A −⋅= 22

gibt sich ( )r

zzgrv

rz A −⋅

=≤⋅22

er zzz

A ⋅=+≥ 23

2z

kann (im Punkt H der Schleifenbahn; beachten Sie die Lage ittelpunktes), muss also die Starthöhe

rA 23

≥z

felpunkt der Schleifenbahn nicht herabfällt.

Starthöhe herunter.


Ursachen: Rollende Kugel verhält sich nicht wie Punktmasse (Rotationsenergie der Kugel, Kap. 2.5.6); außerdem Rollreibung und Reibungswiderstand der Luft.

• Stahlkugel fällt auf gehärtete Stahlplatte Erweiterung des Energiesatzes (ohne Experimente): Energiesatz gilt auch, wenn mehrere verschiedene Potentialkräfte gleichzeitig auf den Körper einwirken, z.B. Gewichtskraft und Federkraft:

22221

211 22 kk Ez

kmgzEz

kmgz ++=++

(2.58) Energiebegriff muss in weiteren Kapiteln ausgedehnt werden, z.B.

• Energie der Drehung • Reibung, Dämpfung, Wärmeenergie • elektrische Energie

Maßeinheit der Energie ist [ ] E JJoulemN 111 === (wie bei der Arbeit). 2.4 Dynamik von Systemen von Punktmassen Bisher wurde immer eine einzelne Punktmasse betrachtet. Jetzt: Mehrere Punktmassen, zwischen denen Wechselwirkungen bestehen; die Gesamtheit dieser Punktmassen nennen wir System. Innere Kräfte: Entstehen innerhalb des Systems, wirken nur zwischen den Punktmassen des

Systems Äußere Kräfte: Ursprung außerhalb des Systems.


In Kap. 2.2.2, Gl. 2.36, eingeführt (für einzelne Punktmasse):

Impuls vmprr

⋅= m Masse des Körpers r v Geschwindigkeit des Körpers

Kraftstoß ∫ ( )2

1

t

t

dttFr

Fr

Kraft, die auf den Körper wirkt

Zusammenhang: Impulsänderung = Kraftstoß ( )∫=−2

1

12

t

t

dttFpprrr

Jetzt Anwendung auf mehrere Punktmassen. 2.4.1 Impulserhaltung (Impulssatz) Versuch: Luftkissenbahn, 2 Körper, gespannte Feder zwischen den beiden Körpern wird

gelöst Bei dieser Anordnung wirken nur innere Kräfte (Schwerkraft als äußere Kraft wird durch Zwangskraft von Schiene und Luftströmung kompensiert).

Für N Punktmassen (Körper), die ein abgeschlossenes System bilden, zwischen denen also nur innere Kräfte wirken können, gilt für die Summe aller auftretenden Kräfte

∑∑= =

=N

i

N

kikF

1 10r

Auf jeden einzelnen Kör

von null verschieden ist.

1

∑=

N

j

Die Kraft Fj

r beschleunig

Also gilt auch ∑=

N

j

(2.59) Integration jedes einzel en Summn

dtdt

vdm

N

j

jj =∑ ∫

=1

r

Die Konstante ergibt sichjjj vmprr

⋅= ist der ImpPunktmassen des System

Impulssatz erhalten:

(2.60)

Summe aller Impulse pr

wenn das System abgesoder Der Gesamtimpuls 0p

r

Bewegungen der Punktm

Gegenwirkungsprinzip; zu jeder Kraft vom Körper k auf Körper iwirkt eine gleich große Kraft in entgegengesetzter Richtung vomKörper i auf Körper k, so dass sich jeweils zwei Kräfte zu nullergänzen, 0=+FF

rr.

per j wirken mehrere Einzelkräfte, deren Summe F i. Allg.

Die Summe aller dieser Kräfte F

∑≠=

=N

jii

ijj F1

rr

j

r ist aber wieder null:

kiik

0=jFr

t nach Newton den Körper j gemäß F jjj am ⋅=r

.

∑=

=⋅=N

j

jjjj dt

vdmam

1 10

rr

anden über die Zeit ergibt

.constppvmN

jj

N

jjj =≡≡⋅ ∑∑

==0

11

rrr

aus der Integration über die Null auf der rechten Seite der Gl. 2.59. uls der Punktmasse j . 0p

r nennen wir den Gesamtimpuls aller s. Damit haben wir den

∑∑==

===N

jjj

N

jj pconstvmp

10

1

rrr

j in einem System mit mehreren Punktmassen ist konstant, jm

chlossen ist.

in einem abgeschlossenen System bleibt bei irgendwelchenassen erhalten.


Versuch (Impulserhaltung, Fortsetzung): Quantitative Auswertung 002211 ==+ pvmvm

rrr (zu Beginn ruhen beide Körper, also Gesamtimpuls null) Fall 1: Ergebnis: v21 mm = 21 v

rr −= rrFall 2: Ergebnis: 21 2 mm ⋅= 22

11 vv −=

Impuls und Kraftstoß sind Vektoren. Versuch (qualitativ): Aufspringen auf einen Wagen, der sich nur auf einer Geraden bewegen

kann. Nur Impulskomponente in Geradenrichtung ist für die Bewegung von Wagen + Person wirksam.

1pr

pr 2 3pr 2.4.2 Bewegung des Massenmittelpunktes

(Massenmittelpunkt = Schwerpunkt) Impulssatz für (zunächst) 2 Punktmassen (mit v0

r haben wir nur eine neue Integrations- ( ) 02102211 vmmpvmvm

rrrr ⋅+≡=⋅+⋅ konstante statt 0pr eingeführt; sie hat die Maß-

einheit einer Geschwindigkeit) Betrachtung der x-Komponenten der Impulse:

0212211 xvmmxmxm ⋅+=⋅+⋅ )(&& ( xv ist die x-Komponente von v0 0r )

oder 021

2211xvmm

xmxm=

+⋅+⋅ &&

.

(2.61) Integration über die Zeit auf beiden Seiten der Gleichung 2.61 ergibt

0021

2211 xtvmm

xmxmx +⋅=

+⋅+⋅ (2.62)

Die linke Seite der Gl. 2.62 nennen wir x-Koordinate x des Massenmittelpunktes M

21

2211mm

xmxmxM +

⋅+⋅= (2.63) mm > 1m 12

x x 1 M 2x (x liegt näher an der größeren Masse) M

Entsprechend gilt


21

2211mm

ymymyM +

⋅+⋅= und

21

2211mm

zmzmM +

z⋅+⋅

=

(2.63a) Der Punkt (x ) gibt die Lage des Massenmittelpunktes (Schwerpunktes) des Punktmassensystems an. In

MMM zy ,,Vektorschreibweise für N Punktmassen berechnet sich die

Schwerpunktlage aus Masse und Ort der einzelnen Massenpunkte nach

∑

∑

=

==+++

+⋅+⋅+⋅=

N

jj

N

jjj

M

m

rm

mmmrmrmrm

1

1

321

332211

r

K

Krrr

rr

(2.64) Für die drei Massenmittelpunktskoordinaten ergibt sich entsprechend Gl. 2.62 nun:

0

1

000

00

00

00

rtm

prtvr

ztvz

ytvy

xtvx

N

jj

M

zM

yM

xMr

rrrr

+⋅=+⋅=

+⋅=+⋅=+⋅=

∑=

.v const=0r und .constp =0

r

Wirken nur innere Kräfte, so bewegt sich der Massenmittelpunkt mit konGeschwindigkeit v0

r (Integrationskonstante) auf einer Geraden. Wenn der Gesamtimpuls verschwindet ( 00 =v

r ), dann bleibt der Massenmittelpunkt in Versuch: Schwingendes Pendel auf Wagen

Gesamtimpulskomponente in horizontaler Richtung bleibtnull, Massenmittelpunkt von Wagen und Pendel bewegt sichin dieser Richtung nicht, Wagen fährt jeweils inGegenrichtung zur Pendelbewegung.

Versuch: Luftkissenbahn, zwei Körper (Massen m1 und m2 ) durch elastische Feder bunden. Körper schwingen so, dass ihr gemeinsamer Massenmittelpunkt S in Ruhe S 1m 2m 2211 smsm = 1s 2s

Wirken auf die Punktmassen auch noch äußere Kräfte, dann bewegt sich der Massepunkt so, als sei er eine Punktmasse, in der die gesamte Masse m aller wirPunktmassen vereinigt ist und an der die Summe F

r aller auf die einzelnen Punkt

wirkenden äußeren Kräftesummen angreift.

∑∑==

=⋅

N

j

aM

N

jj Frm

11

)(r&&r Frm M

r&&r =⋅

(2.66)

äußere Kraft

(2.65)

stanter

Ruhe.

ver-

bleibt

nmittel-klichen massen


Begründung: Mit lautet Gl. 2.64 m , und nach zweimaliger Differentiation nach der

Zeit ergibt sich .

mmN

jj =∑

=1

m ⋅

j

N

jjM rmrrr

⋅=⋅ ∑=1

FFjrr

=1

rmrN

j

N

jjjM&&r&&r =⋅= ∑∑

==1

Versuch: Massenmittelpunkt auf Wurfparabel 2.4.3 Stoßvorgänge Zwei bewegte Körper wirken kurzzeitig aufeinander ein. Das nennt man Stoß . Dabei wirken nur innere Kräfte. Betrachtung der Körper als Punktmassen (vor und nach Stoß). Damit sind nur „gerade Stöße“ möglich: Bewegung der Punktmassen auf ursprünglicher Verbindungs-geraden. Verbindungsgerade Körper mit möglichen Geschwindigkeitsvektoren

(Bei Kugeln auch „schiefer Stoß“ möglich: außerdem bei Kugeln auch zusätzliche Drehbewegungen zu betrachten, Billard-Spiel, Fuß-ball, „Effet“) Während des Zusammenpralls werden beide Körper verformt (eingedrückt). Grenzfälle: Deformation geht vollständig zurück: Vollkommen elastischer Stoß

Deformation bleibt vollständig erhalten: Vollkommen unelastischer Stoß 2.4.3.1 Elastischer gerader Stoß Die Geschwindigkeiten vor dem elastischen Stoß sind bekannt, die nach dem Stoß gesucht. Es gelten sowohl Impulserhaltungssatz als auch Energieerhaltungssatz.

Zustand vor dem Stoß nach dem Stoß 21 mm , v ' , vv21 v

rr , '21rr

Impuls ''22112211 vmvmvmvm ⋅+⋅=⋅+⋅ v

(die vier Vektoren liegen alle auf einer Geraden)

'' ,,, 2121 vvv sind die vorzeichen-

behafteten Komponenten der vier Geschwindigkeitsvektoren in Rich-tung der Verbindungsgeraden

22

221

122

221

12222

'' vm

vm

vm

+=vm

+

Kinetische Energie

Umordnen innerhalb der Gleichungen für Impuls und Energie

( ) ( )222111 vvmvvm −⋅=−⋅ '' Impuls (2.67)

( ) ( )22222

21

211 vvmvvm −⋅=−⋅ '' Energie

(2.68)


Wegen ( abababa +=−− )/()( 22 b≠ ) ergibt sich nach Division von Gl. 2.68 durch Gl. 2.67 (die Division wäre eine unzulässige Operation, wenn in Gl. 2.67 noch Vektoren stehen würden)

v Zwei lineare Gleichungen für ''2211 vvv +=+

Gl. 2.67 bleibt: zwei Unbekannte (v und v )

''22112211 vmvmvmvm ⋅+⋅=⋅+⋅ '

1'2

Lösung: ( )21

221211

2mm

vmvmmv

+⋅+⋅−

=' (2.69)

( )21

112122

2mm

vmvmm+

v⋅+⋅−

=' (2.70)

Anwendung dieser Formeln auf einige Spezialfälle:

a) Massen gleich, m 21 m= 22

221 2

2v

mvm

v =⋅

='

„Geschwindigkeitstausch“ der beiFalls speziell v (Massenpunkt 2 ruht vor dem Stoin Ruhe und Massenpunkt 2 bewegt sich mit Geschwind

02 =

Versuch: Luftkissenbahn b) Sehr leichter Massenpunkt stößt auf schweren, ruhen

oder 21 mm << 02

1 →mm 02 =v,

Division von Zähler und Nenner der Gleichungen

1

2

1

12

1

11

1v

mm

vmm

v −≈+

−

=' Leichte stoGeschwind(wird „refl

1212

11

2

1

2

1

2 21

2vvv

mm

v

mmmm

v <<⇒⋅≈⋅+

= ''

Bsp.: Kleine Stahlkugel fällt auf Stahlplatte; Kugel sprinStahlplatte bleibt ruhig liegen. Versuch: Luftkissenbahn c) Schwerer Körper stößt auf ruhenden leichten Körper Division von Zähler und Nenner mit 1m

(Formeln sind „symmetrisch“ bzgl. der Körper 1 und 2: Tauscht man in der ersten Gleichung überall die Indices 1 und 2, entsteht die zweite Gleichung. Liegt daran,dass in dem betrachte-ten Stoßproblem die Nummerierung der Körper wegen ihrer Gleichberechtigung auch ohne

it t ht d kö t )

12 vv ='

den Punktmassen ß), ist nach dem Stoß Massenpunkt 1 igkeit v . 1

den Massenpunkt:

2.69 und 2.70 mit ergibt 2m

ßende Punktmasse behält igkeit, kehrt aber Richtung umektiert“)

Große Masse bleibt nahezu in Ruhe

gt etwa auf Ausgangshöhe zurück,

: m 0221 =>> vm ,


1

1

2

11

2

11

1v

mm

vmm

≈+

⋅

−

='v 1

1

2

12 2

12

v

mmv

v ⋅≈+

='

Beide Körper bewegen sich nach dem Stoß in Richtung der ankommenden Punktmasse. Stoßender schwerer Körper behält nahezu seine vorherige Geschwindigkeit, leichter gestoßener Körper erhält etwa die doppelte Geschwindigkeit des stoßenden Körpers. d) Massenverhältnis wie bei Fall c), aber v 0102 vvv −== ,

Nach dem Stoß v 01 v−='0002 32 vvvv ⋅−=⋅−−='

Versuch: 2 Bälle (schwerer Ball unten, leichter Ball oben) fallen etwa aus gleicher Höhe; leichter Ball wird am bereits am Boden reflektierten schweren Ball reflektiert.

Weiterer Versuch (qualitativ): Kugel-Stoßreihe

Energie und Impuls wandern von Kugel zu Kugel 1 Kugel stößt / 2 Kugeln stoßen / 5 Kugeln stoßen 2.4.3.2 Unelastischer gerader Stoß Beim unelastischen Stoß bleibt Verformung vollständig erhalten, beide Körper bewegen sich nach dem Stoß mit der gleichen Geschwindigkeit gemeinsam weiter: v . Mechanische Energie bleibt nicht erhalten, Energiesatz ist demnach nicht anzuwenden.

''' vv == 21

Impulserhaltung gilt weiter, da nur innere Kräfte wirken:

m '' vmvmvmv ⋅+⋅=⋅+⋅ 212211

21

2211mmvmvm

+v

+='

(2.71) Versuch: Luftkissenbahn, an einem Körper ist Knetmasse befestigt Ist die kinetische Energie vor dem geraden unelastischen Stoß tatsächlich größer als nachher? Kinetische Energie vorher nachher

22

221

122 vm

vm

+ ( )( )21

222112

121

22 mmvmvm

vmm

+⋅+

=+ '

Differenz der kinetischen Energien ∆ vor und nach dem Stoß: kE

−+=∆⋅ 222

2112 vmvmEk

( )( )21

22211

mmvmvm

++

Multiplikation mit (m1+m2 ), Auswerten der Produkte und Zusammenfassen liefert ( ) ( ) ( ) 022 2

21212221

212121 >−⋅⋅=+−⋅⋅=∆⋅+⋅ vvmmvvvvmmEmm k

(2.72) Es geht kinetische Energie „verloren“ („Verlustenergie“, Umwandlung in Wärme, ebenfalls eine Energieform). Anwendung des unelastischen Stoßes: Stoßpendel („ballistisches Pendel“) zur Messung einer Geschossgeschwindigkeit v ; Geschoss bleibt in Pendelkörper stecken. 1

Pendelkörper Masse , ruht vor dem Stoß (v )2m 02 =

21

11mmvm

v+

=' ⇒ 'vmmm

v ⋅+

=1

211


l m1 , v1 xm Pendelkörper beginnt nach dem Stoß zu schwingen, Amplitude x der Schwingung wird gemessen. Anfangsgeschwindigkeit

m

( )0x&='v und Amplitude x hängen zusammen gemäß

m

Txm

π⋅=2'v , also mxm

mv

T⋅

m π⋅

+=

1

11

22 (2.73)

(zur Erinnerung: x xtxm ω⋅= sin txm ω⋅ω⋅= cos& ( )T

xxx mm

π⋅=ω⋅=20& ).

Versuch: Armbrust, Holzbrett („bifilar“ aufgehängt [mit 2 Fäden], um Querschwingungen einzuschränken), gesucht Geschwindigkeit v des Armbrustbolzens 1 m1 = (Bolzenmasse) m2 = (Brett) T = (Schwingungsdauer)

=mx =1v 2.4.4 Raketenantrieb Ein Körper fliege mit der Geschwindigkeit v kräftefrei. Er stößt (mit Hilfe innerer Kräfte) eine kleine Masse dm mit der Geschwindigkeit v von sich weg (Index T: Treibstoff). Die Rakete erhält eine um d höhere Geschwindigkeit. Der Gesamtimpuls bleibt erhalten, da nur innere Kräfte wirken; die Impulsänderungen müssen sich also zu null addieren.

T T

vr

Körpermasse im Moment der Wegstoßens: m Impulsänderungen: 0=⋅+⋅ TT vdmvdm

rr

Die weggeschleuderte Masse dm verringert diT

(2.74)

Tvdmvdmrr ⋅=⋅

0<dm : Also zeigen d und vvr

T

r in en„Rückstoß“ gebräuchlich.

Schubkraft (Newtonsche Bewegungsgleichung u

Rakete stößt längere Zeit Masse aus: Integration

Tvmdm

dv ⋅−= (dv

∫∫ −=m

mT

v

v mdm

vdv00

Lösung: v

Für den Impuls selbst gilt )()()( vvdmvdvmvdmm TTT

rrrrr+⋅++⋅=⋅+

vor und nach dem Ausstoßen der Masse Tdm

e Körpermasse: dmdmT =−

tgegengesetzte Richtungen: Deshalb Begriff

nd Gl. 2.74): TS vdtdm

dtvd

mr

Frr

⋅=⋅=

über alle Masseänderungen notwendig

v, sind Beträge, also größer als null) T

⋅−=

00 m

mvv T ln−


00 vmm

vT +

⋅= lnv

(2.75) Wenn aller Treibstoff (Masse mT ) verbraucht ist, hat die Rakete Endgeschwindigkeit v .

(Startmasse besteht aus mB

TL mmm +=0 L (Leermasse und Nutzmasse der Rakete) plus Treibstoffmasse mT)

0vmmm

vvL

TLTB +

+⋅= ln Brennschlussgeschwindigkeit

(2.76) Beispiel:

00 =v sm

vT31002 ⋅= , m LT m⋅=6 Bv s

km93,=

Diese Geschwindigkeit vB reicht nicht aus, um Satelliten in Erdumlaufbahn zu bringen (auch ohne Reibung und bei Ausnutzung der Drehung der Erde, d.h. 500 ,≈v ): skm /Die Radialkraft für die Satellitenkreisbahn wird von der Gewichtskraft des Satelliten aufge-bracht,

mgR

=2mv ,

also R ≥ 6370 km (Erdradius) je nach Flughöhe Rgv ⋅=2

skm

Rgv 97,=⋅= „erste kosmische Geschwindigkeit“

(2.77) v in km/s

a) b)

LT mm ⋅=6

Brenndauer 60 s

sm

vT31002 ⋅= ,

4

3

1
0
2

0 10 20 30 40 50 60 70 t/s Geschwindigkeit einer Rakete in Abhängigkeit von der Zeit a) kräftefrei, b) bei vertikalem Flug nach oben im Schwerefeld der Erde (g = const.) Höhere Geschwindigkeiten sind zu erreichen durch mehrstufige Raketen: Für die zweite Raketenstufe (und weitere) ist Startgeschwindigkeit v . 00 >


(Verhältnis LT mm aus Stabilitätsgründen begrenzt; höhere Treibstoffaustrittsgeschwindigkeit

: Maximum heute bei etwa Tv sm

T3103⋅=v , begrenzt u.a. durch maximale Brennkammer-

temperaturen; Zukunft evtl. Ionenstrahltriebwerke). Abschließende Bemerkung zu den Überlegungen des Kapitels 2.4: Wieso Impulssatz allgemeiner gültig als Energiesatz? Impulssatz gilt bei Abwesenheit von äußeren Kräften immer, also für alle inneren Kräfte, Energiesatz nur für Potentialkräfte.

2.5 Mechanik des starren Körpers Bisher Punktmassen betrachtet, Bewegung vollständig durch ( )tir

r beschrieben. Versuchskörper zur Darstellung der Massenpunkte waren z.B. Kugeln, die sich auch drehen können; Drehung bisher nicht erfasst. Neues Modell: Starrer Körper, aus vielen Punktmassen zusammengesetzt, alle Punktmassenabstände bleiben bei Bewegung konstant (starr, Form des starren Körpers bleibt erhalten). Wichtiger mathematischer Begriff für dieses Kapitel: r

Vektorprodukt bacrr

×= Ergebnis ist ein Vektor (zu unterscheiden vom Skalarprodukt, z.B. bei Arbeit ∫ ∫ ⋅α⋅== dsFrdF s cosW

rr,

Ergebnis Skalar). Eigenschaften von c

r:

Richtung: cr

steht senkrecht sowohl auf ar

als auch auf br

„Rechte-Hand-Regel“: Wenn Daumen der rechten Hand in Richtung a

r, Zeigefinger in

Richtung r

, dann Mittelfinger in Richtung cbr

r rrr

.Betrag von c : ( )bababac

rr,sin⋅⋅=×= (Sinus des Winkels zwischen a

r und b

r)

cr

Fläche des von ar

und br

aufgespannten Parallelogramms

br

Komponenten im kartesischen Koordinatensystem

zzyyxx aeaeaearrrr

++= ar

rr

...+= xxbeb


zyx eeerrr

,, Einheitsvektoren in x-, y-, z-Richtung Komponenten von mit Hilfe der „Determinantendarstellung“: bac

rrr×=

( )( )( )xyyxz

zxxzy

yzzyx

y

y

y

x

x

x

zyx

zyx

zyx

babaebabae

babae

bae

bae

bbbaaaeee

−⋅+−⋅+

−⋅=

r

r

rrrrrr

Speziell gilt

• 0=× aarr

weil ( ) 0,sin =aarr

oder aus Komponentendarstellung ( ) K

r0=−⋅ yzzyx aaaae

Das Vektorprodukt zweier Vektoren, die parallel zueinander verlaufen, verschwindet. • Wenn ba

rr⊥ (Vektoren stehen senkrecht aufeinander) , dann baba ⋅=×

rr

• a (also Reihenfolge wichtig!) abb

rrrr×−=×

2.5.1 Bewegungsmöglichkeiten eines starren Körpers - Freiheitsgrade Punktmasse auf einer Geraden (x-Achse): Lage durch x-Koordinate eindeutig festgelegt, d.h. eine Koordinate kann frei gewählt werden, dann ist die Massenpunktlage festgelegt. Man sagt deshalb: Eine Punktmasse auf vorgegebener Geraden besitzt einen Freiheitsgrad.

Punktmasse in der Ebene (x-y-Ebene): Lage durch 2 Koordinaten festgelegt

2 Freiheitsgrade für Punktmasse in der Ebene.

Punktmasse im Raum: 3 Freiheitsgrade (z.B. Vorgabe von x, y, z) . Bei starrem Körper kann man einen beliebigen Punkt markieren; dieser Punkt hat im Raum wie die Punktmasse 3 Freiheitsgrade der Verschiebung (Translation) [ ≡ 3 Koordinaten zur Beschreibung nötig] Translation eines starren Körpers: Alle Punkte des starren Körpers vollführen die gleiche (kongruente) Bahn Aber: Starrer Körper hat drei weitere Freiheitsgrade, und zwar der Drehung (Rotation). Versuche: Lage eines Trichters mit Henkel im Raum Quader


(Nichtstarre Körper haben weitere Freiheitsgrade) Die neuen Freiheitsgrade der Drehung werden uns im Folgenden beschäftigen. Ist Beschreibung des Zusammenwirkens von Drehungen durch Vektoren möglich ?

- Endliche Drehungen um verschiedene Achsen sind nicht als Vektoren zu addieren!

Bsp. Bleistift liege in x-Richtung Drehung A um z-Achse, Drehung um 90° Drehung B um y-Achse, Drehung um 90° z z y y x x Erst Drehung A, dann B Erst Drehung B, dann A Bei Vektoren müsste Kommutativgesetz erfüllt sein: a abb

rrrr+=+

unterschiedliche Endlage

Bei endlichen Drehungen Ergebnis im Allgemeinen nicht unabhängig von Reihenfolge.


Drehung 1 ändert die Lage der Drehachse 2 (bei körpereigenen Drehachsen, d.h. diese Dreh-achsen werden mit dem Körper mitbewegt). Drehungen können im Allgemeinen nicht wie Vektoren addiert werden.

- Aber: Winkelgeschwindigkeiten und Winkelbeschleunigungen können als Vektoren dargestellt und vektoriell addiert werden.

Winkelgeschwindigkeit ωr :

Betrag dtdϕ

=ω=ωr (für Geschwindigkeit gilt

dtdx

x =v )

Richtung von ω

r : Richtung der Drehachse so, dass Daumen der rechten Hand in -Richtung ω

rωr

ω anzeigen r

Fortschreiten eine

-Richtung weist, wenn die restlichen Finger den Drehsinnanzeigen (oder: Bei Drehung im vorliegenden Drehsinn und Fortschreiten in positiver ω

r -Richtung beschreibt Körperpunkt eine Rechtsschraube).

Winkelbeschleunigung ω : Erfasst &r Änderung des Betrages der Winkelgeschwindigkeit und von deren Richtung in einem Zeitelement (für Beschleunigung gilt

dtdvx

x =a )

Zwei Spezialfälle: Änderung nur des Betrages oder nur der Richtung von ω 1r

2ωr 2ω

r dtω&

r 21 ω=ω

rr

1ωr

dtω&r

1ωr

Bsp. für allgemeinen Fall: Elektromotor mit waagerechter Achse steht auf Drehscheibe mit

vertikaler Achse. Wie bewegt sich ein beliebiger Punkt des rotierenden Motorläufers? Betrachtung der Drehbewegungen in einer sehr kurzen Zeit; Behauptung:

r Punkt hat sich um Achse gedreht, die die Richtung von 21 ω+ω=ω

rrr (2.78) hat, mit der Winkelgeschwindigkeit ω

r .

2ω ωr

1ωr Diese Achse heißt momentane Drehachse; sie kann nach Ablauf des Zeitelements anders

liegen (sie muss weder im Raum noch im Körper fest liegen)

In unserem Beispiel Motor auf Drehscheibe: Momentane Drehachse läuft auf Kegelmantel (Kegel mit vertikaler Achse).

Mathematischer Beweis für die angegebene Addition der Winkelgeschwindigkeiten für unser Beispiel:

y 2ω

r y0 P 0

1ωr

x0 x z

Schritt 1: Betrachtung eines Punktes , der auf dieser momentanen Drehachse liegen soll. Für seine Koordinaten x0 und y0 muss dann gelten

0P

2

1

0

0

ωω

=y

x oder x 1020 ω=ω y

(die Drehscheibenachse liege in y-Richtung, die Motorachse momen-tan in x-Richtung) Bewegung dieses Punktes infolge 0P 1ω

r im Zeitelement dt nur in positiver z-Richtung: Mit rv ⋅ω= (Gl. 2.23) dtydz ⋅ω⋅+= 101


Bewegung von P infolge 0 2ω

r : Nur in negativer z-Richtung, dz dtx ⋅ω⋅−= 202 .

Also Gesamtverschiebung (wegen x ) 1020 ω=ω y 021 =+dzdz . Summe der Verschiebungen null, folglich bewegt sich P nicht. Die Drehachse hat demnach die angegebene Richtung, denn nur Punkte auf der Drehachse bewegen sich nicht.

0

Schritt 2: Für den Betrag der resultierenden Winkelgeschwindigkeit muss gelten: 22

21 ωωω +=

Punkt auf der z-Achse betrachten (es genügt, die Gültigkeit für 1P einen einzigen Punkt außerhalb der momentanen Dreh-achse zu zeigen): ( )100 z,,Verschiebungen durch die beiden Winkelgeschwindigkeiten 1ω

r und 2ωr nacheinander vorstellen:

dtzdx ⋅ω⋅= 21 dtzdy ⋅ω⋅= 11 dtzdtzdydxds ⋅ω⋅=⋅ω+ω⋅=+= 1

22

211

22 )()( Verschiebung erfolgt so, wie gemäß Formel 2

221 ωωω += bei Drehung um momentane Drehachse mitω

r zu erwarten.

Zusammenhang zwischen Winkelgeschwindigkeit ω

r und Lineargeschwindigkeit vr eines markierten Punktes P des starren Körpers: Punkt O auf der Drehachse wählen, Vektor rr von O nach dem Punkt P . Dann gilt (2.79)

v rrrr ×ω=

Drehachse

ωr vr Vektor vr zeigt ⊗ Pin Papierebene hinein rr O

ÜEW W

D 2.5.2 Kräfte und Drehmomente am st Welche Wirkungen haben mehrere Krfen? Mehrere Fälle zu unterscheiden: • Zwei (oder mehr) Kräfte, die an ein

einer resultierenden Kraft vektoriell r F 2 F F1

r r

r und F liegen immer in e1Fr

2 iner Ebene •

B A

berprüfung für zwei Spezialfälle, für die sich dasrgebnis sofor anschaulich finden lässt: tenn ω⋅=

rrcr , d.h. P auf der Drehachse, dann

0=ω×ω⋅=rrr

cv enn ω⊥

rrr , d.h. P im Abstand r

r=r von der

rehachse, dann rvv ⋅ω==r

arren Körper

äfte, die gleichzeitig an einem starren Körper angrei-

em Punkt des starren Körpers angreifen, lassen sich zu zusammensetzen (wie bei den Punktmassen).

Spezialfall

F1r

F 2r

F 0=r

Behauptung: Kraft F

r , die im Punkt A angreift, kann auf der

Geraden g (Geradenrichtung = Kraftrichtung)beliebig verschoben werden. Die Kraft kann z.B. imPunkt B angreifen, ohne dass sich die Wirkung auf
den starren Körper ändert. Die Gerade, auf der das möglich ist, heißtWirkungslinie der Kraft.


Fr

g = „Wirkungslinie“ der Kraft B )(BF−

r

)(F B+

r

A r )(AF g Übrig bleibt Kraft F )( B

+

r statt F )( Ar

; die Kraft wurde längs Wirkungslinie verschoben, ohne dass sich die Wirkung der Kraft für den starren Körper geändert hat.

Beweis: In Punkt B auf g zwei zusätzliche entgegen-gesetzt gleiche Kräfte, ( ) ( ) 0=+ −+

BB FFrr

, anbringen.Kann keine Auswirkung auf starren Körper haben (dazusätzliche Kraft null). Wenn )( BF−

)( AF =rr

, dann

können F )( Arund F )( B

−

r am starren Körper keine Wirkung

erzielen (sie ziehen in entgegengesetzter Richtung mitgleichem Betrag an „starrer Stange“) und können deshalbweggelassen werden.

Versuch: Verschiebung der Kraft in ihrer Wirkungslinie

Rad bleibt im Gleichgewicht • Zusammensetzung von 2 Kräften, die in einer Ebene liegen und an unterschiedlichen

Punkten am starren Körper angreifen, zu einer Gesamtkraft:

21 FFFrrr

+= F 1

r

F F

r2r

Wirkungslinie

• Zusammensetzen von 2 parallelen K

D F

r

A C B 'F

r− 1l 2l

1F

r 2F

r A

r

Anschließend Verschiebung der beidkungslinien bis zum gemeinsamen Sch

VektorsummeFr

kann nach Verschieben von F un1r

d

2Fr

auf ihren Wirkungslinien bis zu deren Schnitt-punkt gebildet werden, und diese Gesamtkraft kannihrerseits wieder auf der Wirkungslinie verschobenwerden.

räften F 21 Frr

, (kein Schnittpunkt der Wirkungslinien):

'Fr

2Fr

so auf Wirkungslinie verschieben, dassStrecke AB senkrecht auf Kräften F1

rund

2Fr

steht. Addition von 'F

r− zu F , 1

r

'Fr

+ zu F 2r

(hinzugefügte Kräfte ohne Wirkung am star-ren Körper, da Summe null) r
F F
en

B

n resultierenden Kräfte FA

r und F längs ihrer Wir-

ittpunkt D, Addition ergibt Kraft F (B

r

r1Fr

und F2r

).


Lage der Wirkungslinie der resultierenden Kraft Fr

: teilt die Strecke AB=+= 21 lll so,

dass 2211 FF ⋅=⋅ ll (folgt aus 1l

CD='

1F

F und 2

2l

CDFF

=' )

Versuch • Zwei parallele, entgegengesetzt gleiche Kräfte wirken auf starren Körper: Es gibt keine

Möglichkeit, sie nach den besprochenen Methoden zu einer Kraft zusammenzufassen. Zwei solche Kräfte nennt man Kräftepaar. 2F

r 21 FF

rr=

1Fr

Allerdings kann daraus durch Hinzufügen zweier Kräfte, die zusammen null ergeben, 033 =−+ )( FF

rr,

ein anderes gleichwertiges Kräftepaar F1′

r und F2′

r gewonnen werden (da eine Kraft 0 hin-

zugefügt wird, muss dieses neue Kräftepaar dem ursprünglichen gleichwertig sein).

2Fr

′2Fr

− 3Fr

l 3Fr

′1Fr

1Fr

l′

Dieses Produkt kann also zur Moment

r des Kräftepaars gM

Betrag: l⋅1F Richtung: Senkrecht auf de

Kräftepaar versucht, KMomentvektor parallepositiver Richtung de (Darstellungsmöglichkeit mit d(2.80)

21 rrrr

− ist dabei der Vektor z Versuch: Moment ist unab

W E

l

l′F

Welche Eigenschaft des Kräftepaares bleibt bei dieser Um-formung konstant?

Es gilt ll ′⋅=⋅ '11 FF

(folgt direkt aus der Gleichheit der Winkelα zwischen F1r

und F '1r

sowie und l l′ ,

l

l′==α 'cos

1

1FF

)

Produkt aus Betrag einer der Kräfte des Kräftepaars und dem Abstand zwischen den Wirkungslinien ist konstant.

(f W

′

==α1

1Fcos )

P

A P

Charakterisierung des Kräftepaares genutzt werden und wird enannt. Es ist eine Vektorgröße mit den Eigenschaften

r Ebene, in der das Kräftepaar liegt.

örper um eine Achse zu drehen, die dem l ist. Der Drehsinn und Fortschreiten in s Moments gibt Rechtsschraube.

em Vektorprodukt ( ) ( ) 212121 FrrFrrMrrrrrrr

×−=×−= ,

wischen den Angriffspunkten der Kräfte F und F ) 1r

2r

hängig von der Lage einer vorhandenen Drehachse


• Beliebig viele an verschiedenen Punkten eines starren Körpers angreifende Kräfte („Kraft-system“) lassen sich stets zu einer Einzelkraft und einem Kräftepaar zusammenfassen, wobei die Einzelkraft an einem beliebig vorgegebenen Punkt P angreifen soll; das verbleibende Kräftepaar (Vektorsumme M

r aller Kräftepaarmomente) hängt von dem

gewählten Bezugspunkt P ab.

Wir zeigen die Gültigkeit dieser Behauptung für zwei beliebig am Körper angreifende Kräfte und F . Die beiden Kräfte müssen 1F

r2r

nicht (wie in der folgenden Skizze) in einer gemeinsamen Ebene liegen. r 2F

F ′2

r

P ′1Fr

1Fr

′− 1Fr

′− 2Fr

(Vektorsumme der Zusatzkräfte in P verschwindet).

Einzelkraft: Zusammenfassen von ′+′21 FFrr

( =F 21 Frr

+ ), greift an P an.

Wahl des beliebig liegenden Punktes P; an diesem

Punkt lassen wir zwei zusätzliche Kräfte F und ′−

mit der Richtung von F und dem Betrag

sowie zwei entsprechende Kräfte parallel zu Fr

angreifen

1r

1Fr

11 FFrr

=′

2

′1r

Dann bleiben zwei Kräftepaare (F1r

und ′− 1Fr

sowie F2r

und ′− 2Fr

) übrig, deren Mo- mente wir zu einem Gesamtmoment addieren. • Starrer Körper besitze vorgegebenen Drehpunkt D, Kraft F

r greife an Punkt A des

starren Körpers an:

Einführen des Drehmomentes FrMrrr

×= (2.81) α F

r r

r Ortsvektor vom Drehpunkt D zum A Angriffspunkt A der Kraft

r a r

Mr

⊗ ( ⊗ Vektor zeigt in die Papierebene hinein, D Vektor zeigt aus der Papierebene heraus)

Betrag des Drehmoments: α⋅⋅= sinFrM (Betrag des Vektorproduktes) ar =α⋅ sin kürzester Abstand der Wirkungslinie von F

r vom Drehpunkt D

⇒ aFM ⋅=

(Zusammenhang zwischen Moment eines Kräftepaares und Drehmoment einer Kraft Fr

bezüglich eines festen Drehpunktes: Am Drehpunkt D muss eine Kraft

r wirken, sonst

würde sich D zusammen mit dem starren Körper bewegen; FF−r

und Fr

− bilden ein Kräftepaar.) • Starrer Körper besitze vorgegebene feste Drehachse, die durch den bisherigen Drehpunkt

laufen soll. Infolge dieser festen Drehachse kann sich ein Punkt des Körpers nur in einer Ebene senkrecht zu dieser Achse drehen:

Wirkung einer im Punkt A angreifenden Kraft Fr

hängt von der Vektorkomponente AMrr des Drehmomentes FrM

r×= in Drehachsenrichtung ab:

(2.81a) F Betrag der senkrecht zur Drehachse stehenden l⋅= nA FM n


Kraftkomponente, l Abstand zwischen Wirkungslinie der Kraft und Drehachse

Versuch Gleichgewicht am starren Körper Wann ruht ein starrer Körper (oder bewegt sich gleichförmig geradlinig bei konstanter Dreh-frequenz)? Es müssen die Summe aller Kräfte und die Summe aller Kräftepaare verschwinden. Nur dann ist der Körper im Gleichgewicht. Gleichwertige Forderung: Vektorsumme aller Kräfte und Vektorsumme aller Drehmomente, bezogen auf jeden beliebig gewählten Drehpunkt, müssen gleichzeitig verschwinden, damit am starren Körper Gleichgewicht herrscht:

für gewählten Drehpunkt

(2.82)

01

=∑=

N

kkFr

∑=

=L

kkM

10r

r r F F1 2 Bsp.: l 1l 2l

A1 A2 G

r= gm

r⋅

Balken auf zwei Stützen, Balkenmasse m mg = G Gewicht (greift im Massenmittelpunkt an) Als Kräfte treten auf:

21 Fr

zwei Zwangskräfte (F ) von den Stützenund die Gewichtskraft (G

r)

r,

Gleichgewicht: Summe aller Kräfte null 021 =−+ GFF oder F GF =+ 21

Drehmoment um Auflage A1 gleich null 00 121 =⋅−⋅+⋅ ll GFF l

l12 ⋅=⇒ GF

Drehmoment um Auflage A2 gleich null 021 =⋅−⋅ ll GF l

l21 ⋅=⇒ GF

Probe: GGFF =+

⋅=+l

ll 2121

l

Ein Gleichgewicht kann stabil, indifferent oder labil sein. Stabil: Starrer Körper kehrt bei kleinen Auslenkungen aus der Gleichgewichtslage in diese zurück.

(Die hier berechneten Auflagekräfte in Abhängigkeit von und l erklären den Ausgang des Freihandversuchs von S.30)

1 2


Indifferentes Gleichgewicht: Nach Auslenken aus der Gleichgewichtslage befindet sich der starre Körper wieder in einer Gleichgewichtslage. l l Stab und Belastung symmetrisch zur Drehachse A m m a b

Auch bei Versuch „Kraftverschiebung auf Wirkungslinie“ (S.51)wird Gleichgewicht labil, wenn Angriffspunkt der Kraft auf rechterSeite oberhalb der Mittellinie liegt. Scheibe entfernt sich nachAuslenkung weiter aus der Gleichgewichts-lage (in Bild b für eineAuslenkung entgegen Uhrzeigerrichtung gezeigt: ResultierendesDreh-moment dreht Scheibe weiter entgegen Uhrzeiger-richtung).

Labil: Nach einer kleinen Auslenkung von der labilen Gleichgewichtslage entfernt sich der starre Körper weiter von der Gleichgewichtslage.

Allgemeinere Gleichgewichtsbedingung in Kap. 2.5.3 . Bestimmung des Massenmittelpunkts eines Körpers: Aufhängen des Körpers an mindestens 2 (3) Punkten; Gleichgewicht stabil, wenn Massen-mittelpunkt unter Aufhängepunkt Lotrechte Linie jeweils ab Aufhängepunkt ziehen; in der Höhe des Schnittpunkts liegt der Massenmittelpunkt (Versuch). Ausbalancieren auf Schneide: Massenmittelpunkt liegt über der Schneide. Anwendung von Kräftepaar/ Drehmoment: Standfestigkeit Welche Kraft nötig, um Körper umzukippen? (Körper soll nicht rutschen) r h F F

r greife waagerecht in Höhe an h

Körper beginnt zu kippen,

b

G

Wenn Körper ankippt rücktreibende DrehmoHohe Standfestigkeit (Körper niedrig (damit 2.5.3 Potentielle Energ

0
wenn F
und Kippmoment F h⋅ konsment α⋅⋅ cos0bG mit wachs

große notwendige Kraft zum Kist Kraftangriffshöhe h begre

ie und Massenmittelpunkt de

A

h⋅

tanenip

nzt

s st

Labiles Gleichgewicht

G 0b⋅> oder hb

G 0⋅>F

t bleibt, kippt Körper weiter (weil das dem Winkel α abnimmt ). pen): Hohes Gewicht, breite Auflage, ). Sumo-Ringer.

arren Körpers


Einzelne Punktmasse im Schwerefeld (z-Richtung nach oben): Für potentielle Energie gilt (zgmEp ⋅⋅= 0=pE für 0=z )

Mehrere Punktmassen als System im Schwerefeld (Fallbeschleunigung g ist für alle Mas-sen gleich und kann deshalb vor die Summe gezogen werden):

= ∑=

⋅⋅=N

iiip zmgE

1MN

kk

N

iiiN

iiiN

kk

zgmm

zmgmzm

m

m⋅⋅=

⋅⋅⋅=⋅⋅⋅

∑

∑∑

∑=

=

=

= 1

1

1

1

g

Dabei ist die Gesamtmasse aller Punktmassen ∑=

=N

kkmm

1

(Multiplikation mit 1)

und ∑

∑

=

==N

kk

N

iii

M

m

zmz

1

1 die z-Koordinate des Schwerpunkts.

Diese Zusammensetzung der Gesamtenergie gilt auch für den starren Körper der Masse m. Die Massen werden durch kleine Massenelemente dm des starren Körpers ersetzt und die Summen durch Integrale. Berechnung der potentiellen Energie eines starren Körpers im Schwerefeld: Gesamte Masse m im Schwerpunkt (Massenmittelpunkt) vereinigt gedacht, dessen Höhenkoordinate z aus

km

M

∫= dmm ∫ ⋅= dmzm

zM

1

(2.83) berechnet wird (Addition aller kleiner Massenelemente dm in den verschiedenen Höhen z, Summe geht in Integral über die Massenelemente des starren Körpers über). Auch beim starren Körper ergibt sich also Mp zgmE ⋅⋅= . (2.84) Die potentielle Energie des starren Körpers ist gleich der Lageenergie der im Massenmittelpunkt (=Schwerpunkt) vereinigten (vereinigt gedachten) Gesamtmasse.

Falls der starre Körper aus Teilen mit unterschiedlicher Dichte dVdm

=ρ (Massenelement,

geteilt durch zugehöriges Volumenelement) besteht, d.h. ( ) ( )zyxr ,,ρ=ρ=ρ

r gilt, ist der Ausdruck für z zu ersetzen durch M

( )∫∫∫ ⋅ρ⋅⋅= dzdydxzyxzm

zM ,,1 ,

(2.85) wobei die Integrale über das gesamte Volumen V des Körpers zu erstrecken sind. Berechnung des Schwerpunkt-Vektors (alle drei Koordinaten erfasst):

( )dVrrm

rM ⋅ρ⋅= ∫∫∫rrr 1

(2.85a) Gleichgewicht eines starren Körpers und potentielle Energie


Starrer Körper befindet sich im Gleichgewicht, wenn seine potentielle Energie Extremwert annimmt (gilt auch in einem beliebigen System von Körpern). Betrachtung hier nur eindimensional, Koordinate sei x (starrer Körper habe nur einen Freiheitsgrad [kann Frei-heitsgrad der Translation oder Rotation sein]; die anderen 5 Koordinaten werden festgehalten):

Gleichgewichtsbedingung 0=dx

dEp bei x Gx= (Extremwertbedingung)

(2.86)

Stabilitätsbedingung 2

2

dx

Ed p

000

<=>

indifferen

(2.87)

labilt

stabil

=(zweite Ableitung nach x für Gxx )

Bei stabilem Gleichgewicht kehrt das System nach einer kleinen Störung des Gleichgewichts von selbst in die Gleichgewichtslage zurück, bei einem labilen Gleichgewicht reicht eine kleine Störung (Auslenkung), um diese Gleichgewichtslage zu verlassen.


Beispiel (siehe auch Kap. 2.5.2): Kugel auf Unterlage, drei verschiedene angenommene Ab-hängigkeiten , Gleichgewicht jeweils bei ( )xEp 0=Gx .

( ) 2xbaEp ⋅+= cEp = 2xedEp ⋅−= 0>eundb

022

2>⋅= b

dx

Ed p 02

2=

dx

Ed p 022

2<⋅−= e

dx

Ed p stabiles G. indifferentes G. labiles Gleichgewicht E hat Minimum hat Maximum p pE Einfügung: Angegebene Kriterien für das

Gsw d

Anderes Beispiel für Gleichgewizusammen aus der potentiellenSchraubenfeder.

x 0 xG m

Stabilitätskriterium: 2

dx

d

Körper hängt an Feder immer indieser Gleichgewichtslage kehrt edurch Reibung die Schwingungse Versuch aus Kap. 2.5.2, Bestimwichtszustand an tiefster Stelle u 2.5.4 Kinetische Energie und T Schwerpunkt sei in Ruhe; trotzdeRotationsenergie. Wie kann man

Zunächst starren Körper zerlegen

∑=

∆=

N

ikE

1Für ein Massenelement kennen wund Winkelgeschwindigkeit ω

r

rv

rrr ×ω=

Beispiel liegt die Kugel im stabilen Gleichgewicht, bei stärkeren Aus- lenkungen würde sie jedoch in ein labiles Gleichgewicht kommen

leichgewicht gelten jeweils für kleine Auslenkungen. Im nebenstehenden Bei-piel liegt die Kugel im stabilen Gleichgewicht; bei stärkeren Auslenkungenürde sie jedoch in ein labiles Gleichgewicht kommen und möglicherweise denargestellten Auflagebereich verlassen.

cht: Starrer Körper an Feder; potentielle Energie setzt sich Energie im Schwerefeld und aus der der gespannten

Federkonstante k

E

22xk

mgxp +=

Gleichgewichtsbedingung

kxmgx

dEp += 0=+ Gkxmg kmg

G −=x d

002 >+= kEp , also Gleichgewicht stabil

einem stabilen Gleichgewicht; nach einer Auslenkung aus r wieder zu dieser zurück (er schwingt um diese Lage, bis nergie null geworden ist).

mung des Schwerpunktes: Schwerpunkt liegt im Gleichge-nter Aufhängepunkt.

rägheitsmoment

m kann starrer Körper kinetische Energie besitzen: diese berechnen?

in N kleine Massenelemente mit den Massen : im∆

⋅ ii v

m 22 (Summe aller einzelnen kinetischen Energien der Massenelemente)

ir den Zusammenhang zwischen Lineargeschwindigkeit vr (Gl. 2.79):


ωr r v

r

P v ω v ω

r

r

0

Bezeichnen wir mit r den Abstand desPunktes P von der Drehachse, gilt

r⋅= ii r⋅= ( ist für alle Punkte des rotierendeω nstarren Körpers gleich).

Vektor vr weistin Papierebene hinein

Damit ergibt sich für die kinetische Energie bei der Rotation

∑ ⋅∆⋅ω

=i

iik rmE 22

2

und nach dem Übergang von Summation zu Integration

∫ ⋅ω

≡⋅ω

= Ak JdmrE 222

22

.

(2.88)

∫= dmrJ A2

(2.89) heißt Trägheitsmoment des starren Körpers um die Achse A (manchmal auch Massenträgheitsmoment). Maßeinheit des Trägheitsmoments: [ ] 21 mkgJ A =

2222 ϕ⋅=ω= &AA

k

JJE Kinetische Energie bei Drehung um Achse A

Berechnung von Trägheitsmomenten: Beispiel 1: Dünnwandiger Hohlzylinder, Radius R, Masse m Trägheitsmoment für Drehung um die Kreiszylinderachse gesucht

∫= dmrJ A2 . Alle Massenelemente dm liegen in gleichem Abstand R von der

Achse, deshalb kann r = R als Konstante vor das Integral gezogen werden.

∫ ⋅== mRdmRJ A22 (Das Integral über alle Massenelemente ist die Gesamt-

masse des Hohlzylinders) Beispiel 2: Kreisscheibe (Vollzylinder) homogener Dichte, Radius R,

d Dicke der Scheibe, ρ Dichte des Scheibenmaterials

∫=

π⋅=R

rA rrJ

0

2 2

ρ⋅⋅ddr

Massenelement in Hohlzylinderform, alle Punkte dieses dünnwandigen Hohlzylinders haben gleichen

r R

Abstand von der Symmetrieachse = Drehachse. Vor das Integral können alle Konstanten gezogen werden; dann ergibt sich

2242224

0

3 Rm

Rddrrd

R

A ⋅=⋅ρ=⋅πρ=πρ= ∫J 2

2 RdR ⋅⋅π

m (Masse der Kreissc

heibe)

dr


Beispiel 3: Sehr dünner Stab, Dichte ρ , Querfläche A, Länge lDrehung um Achse quer zum Stab durch Stabmitte (= Drehung um Schwerpunkt S)

121283222232

0

22

2

2 lll

lll

l

⋅=⋅ρ=⋅

ρ=⋅⋅ρ⋅=⋅⋅ρ= ∫∫−

mAAdxxAdxxASA

)(J

Stab-Gesamtmasse m Beispiel 4: Stab wie bei Beispiel 3, aber Drehung um Stabende

32

0

2 ll

⋅=⋅⋅ρ= ∫ mdxxAJ EA

)(

Differenz zwischen den Trägheitsmomenten der Beispiele 3 und 4

2222

4123 smmmmJJ SA

EA ⋅=⋅=⋅−⋅=−

lll)()(

2l

=s ist der Abstand der Achse im Beispiel 4 von der Achse durch den Schwerpunkt

(=Achse durch Stabmitte) in Beispiel 3. Diese Differenz tritt immer auf:

(2.90)

SA

r

Mrr

A

r

1r 2r

r

A

SJ Trägheitsmoment für eine gegebene Drehachse durch den Massenmittelpunkt

AJ Trägheitsmoment für eine Achse parallel zu dieser Drehachse Abstand der beiden Achsen s

m Masse des starren Körpers Aus dem Satz von Steiner folgt auch: Für alle parallelen Achsen ist Trägheitsmoment dann am kleinsten, wenn Achse durch Schwerpunkt geht ( 0=s ). 2.5.5 Bewegungsgleichung für den rotierenden starren Körper Starrer Körper rotiere mit Winkelgeschwindigkeit ω=ϕ& um Achse A, die im Körper und im Raum festliegt (Achse gelagert). sF ds r P A ϕd Die Kraft Fs

r und der Ortsvektor rr

Blick in Achsenrichtung: Punkt P hat den Abstand r von der Achse und legt bei Drehung des Körpers um Winkel d den Weg ϕ

ϕ⋅= drds zurück. Eine Kraft F in Wegrichtung verrichtet dabei Arbeit an diesem Massenpunkt

s

ϕ⋅⋅=⋅= drFdsFdW .

J

Satz von Steiner 2smJ ⋅( J +=

In nebenstehender Skizze bedeuten S Achse durch Massenmittelpunkt, A beliebige dazuparallele Achse. Die Trägheitsmomente bezüglich dieser beiden Achsen berechnen sich zu

∫= dmrS21r

und ( )[ ] ( ) ( )∫ ∫∫ ∫ −+−⋅+=−+== dmrrdmrrrdmrdmrrrdmr AmAMAMA2

121

21

22 2J

rrrrrrrrrr

Wegen ∫= dmrmM

rr 1r ( Gl. 2.85a) und ∫⋅= dm

mrMM

1rrr folgt ( ) ∫∫ ==− 011

1dmrm

dmrrm M

rrr

und schließlich mit allgemein gültig der ) 22 srr AM =−rr

∫

stehen senkrecht aufeinander.

ss

r

rS

r


Für F war Begriff Drehmoment (um Achse A) eingeführt worden ( Kompo-nente in Achsenrichtung, Gl. 2.81a). Damit gilt

rs ⋅ AM AM

Die zugeführte Arbeit wird zur Erhöhung der kinetischen Energie führen. Wir setzen beide Änderungen gleich: MMdW AA ⋅ϕ⋅=⋅=

dtJJ

ddEdtMdW AAkA ϕϕ⋅=

ϕ⋅==⋅ϕ⋅= &&&&& 222

2 ( ϕ⋅ϕ⋅ϕ

&&&& 22

dt=

d )

Durch Vergleich entnehmen wir daraus

(Drehbewegung um feste Achse A)

= Bewegungsgleichung(Analogon zur Newtons

Für =ω≡ω

=ϕ

≡ϕ &&&dtd

dtd

2

2

geführt worden. Für . ergibwenn zur Zeit t = 0 die

constM A =

Versuch: Bestätigung

0A

A

JJ

Aus Gl. (2.91) folgt dire

die Zeit, in der die Arbeit verricLeistung = Produkt aus Drehmo

Anwendung: Messung e 2r

F F

1

2

AA MJ =ϕ⋅ &&

dtd (2.91)ϕ &

(2.92)

für Rotation um feste Achse (oder Grundgesetz der Rotation) chen Bewegungsgleichung für Punktmasse auf gerader Linie:

Fxm =⋅ ) &&

α war bereits (S.49) die Bezeichnung Winkelbeschleunigung ein-

t sich nach zweimaliger Integration der Gleichung 2.92 über die Zeit, Anfangsbedingungen 00 =ω und 00 =ϕ gelten,

22t

JM

A

A ⋅=ϕ

dieser Formel; .. constt

JconstM A

A =ϕ⋅

→= 2

πϕ 2/

t/s ⋅0A

A

JJ

22

tπϕ /

kt ϕ⋅== &AMPdtdW . P ist die Leistung (= Arbeit, dividiert durch

htet wird), die das Drehmoment am starren Körper aufbringt. mentenkomponente in Achsrichtung und Winkelgeschwin-digkeit.

iner Motorleistung mit Bremsband auf Riemenscheibe, Radius r

frFFrFFP ⋅π⋅⋅−=ω⋅⋅−= 21212 )()(

1

Messung der Kraftdifferenz und der Umlauffre-quenz (fälschlich oft„Drehzahl“ genannt; eine Zahl sollte aber die Maßeinheit 1 haben) Ändert man F , stellt sich eine neue Umlauf- frequenz f des Motors und eine neue Kraft F ein.2


2.5.6 Rollbewegung Versuch: Abrollen von Hohlzylinder und Vollzylinder auf schiefer Ebene. Vergleich der Rollzeiten und damit der Beschleunigungen. Ein Schwungrad (Schwungscheibe) rotiert um seine Symmetrieachse, d.h. um feste Achse durch den Schwerpunkt. Gibt es eine feste Achse, um die sich der rollende Zylinder dreht? Bei einem rollenden Rad (oder rollenden Zylinder) bewegt sich die Symmetrieachse, sie liegt nicht im Raum fest. Aber: Im Berührungspunkt bewegen sich Boden und Rad nicht gegeneinander (wenn „reines Rollen“; Gegenteil: „Räder drehen durch“, Rad rutscht). Man bezeichnet deshalb die Achse durch Berührungspunkt Rad-Boden parallel zur Symmetrieachse des Rades als momentane Drehachse. Diese Achse liegt einen Moment fest. Momentane Drehachse ändert zwar ständig Lage im Körper; wegen Rotationssymmetrie des Rades bleibt aber Trägheitsmoment J bezüglich dieser momentanen Drehachse stets gleich. A

Zusammenhang zwischen Rollbewegung s(t) (Bewe- gung des Schwerpunktes) und Drehbewegung : )(tϕ F s ϕ⋅= dRds ( A Auflagepunkt ) A ϕ⋅= && Rs ϕ⋅= &&&& Rs

J AA M=ϕ⋅ && AA MRs

J =⋅&&

AA

A

JFR

JMR

s⋅

=⋅

=2

&&

(2.93) Anwendung auf das Abrollen auf der schiefen Ebene (Erklärung des Versuchsergebnisses):

α⋅⋅= singmF J (Steiner) 2RmJSA ⋅+= A αsin⋅⋅gm

α Beide Ausdrücke in Gl. 2.93 einsetzen:

α⋅⋅⋅+

⋅= sing

RmJRm

S2

2&&s = α⋅⋅

+sing

mR

JS21

1

Für Hohlzylinder 2RmJS ⋅= α⋅=⇒ sings 2

1&& Für Vollzylinder α⋅=⇒= singsmRJS 3

2221 && (also höhere Beschleunigung

dφ R

R

als für Hohlzylinder) Für Kugel α⋅⋅=⇒= singsmRJS 7

5252 &&


Für reibungsfrei gleitende Punktmasse galt α⋅= sing&&s : Rotierender starrer Körper bewegt sich immer mit geringerer Beschleunigung auf schiefer Ebene als Punktmasse. Des-halb musste die Kugel bei der Schleifenbahn (Kap. 2.3.4) auch von einem höheren Punkt aus starten als die betrachtete Punktmasse, damit sie die gesamte Schleife durchlaufen konnte. Da die Beschleunigung des Massenmittelpunkts des starren Körpers durch die Summe aller äußeren Kräfte hervorgerufen wird und die Hangabtriebskraft beim rollenden Zylinder die gleiche ist wie bei massegleicher Punktmasse: Es muss zusätzliche Kraft entgegen der Hangabtriebskraft wirken: Das ist die Reibungskraft F . Sie sorgt dafür, dass Kugel oder Zylinder rollen. Die Körper rutschen / gleiten erst bei großen Winkeln

R

α , wenn die notwendige Haftreibungskraft nicht mehr aufgebracht werden kann. Versuch: Richtigkeit der angenommenen Lage der (momentanen) Drehachse: „Folgsame Garnrolle“, Ziehen an aufgewickeltem Band in zwei unterschiedlichen Richtungen 1 und 2 1 positive Drehrichtung 2 s Fall 1: Garnrolle rollt weg 00 >> sM A &&

Fall 2: 00 << sM A && Garnrolle rollt auf ziehen- den Beobachter zu

A Schlussfolgerung: Drehachse liegt tatsächlich bei A

Läge die Drehachse bei B, müsste sich die Rolle in beiden Fällen in der als positiv bezeichneten Richtung drehen

B

Kinetische Energie beim Rollen: Kann verstanden werden

(a) als Rotationsenergie (kinetische Energie der Rotation) beim Rollen um die momentane Drehachse oder

(b) als Summe aus der Rotationsenergie um eine dazu parallele Achse durch den Schwer- punkt und der kinetischen Energie der im Schwerpunkt vereinigt gedachten Masse ( )Svs ≡&

222

22

2

22

22222 SSSAA

k vmJ

RsRmJ

RsJJ

+ϕ=⋅⋅+

=⋅=ϕ= &&&

&E .

a b

Wenn der Massenmittelpunkt ruht ( 0=Sv , keine äußeren Kräfte) , kann der starre Körper immer noch um eine Achse durch den Massenmittelpunkt rotieren (Formulierung b). Was geschieht, wenn beim Rollen J SA J≈ ? Versuch: Kugel läuft auf schiefer Ebene abwärts, die durch zwei Stäbe gebildet wird, deren Abstand nahezu gleich dem Kugeldurchmesser ist. Dadurch liegt die momentane Drehachse nahe bei der Achse durch den Schwerpunkt. Beobachtung der Bahnbeschleunigung

Potentielle Energie der Kugel wird beimAbwärtsrollen zum großen Teil in Rota-tionsenergieund nicht in Translations-energie umgewandelt.


Potentielle Energie der Kugel wird beim Abwärtsrollen zum großen Teil

Momentane Drehachse 2.5.7 Drehschwingung und Pendelschwingung Anwendung der Bewegungsgleichung der Rotation auf Körper mit fester Achse A; Trägheitsmoment J des Körpers bezüglich dieser Achse. An der Achse ist das eine Ende einer Spiralfeder (Schneckenfeder) befestigt, das andere an einem festen Punkt des Rahmens. Anordnung heißt „Drillachse“ (mit Drehtisch). Um den Drehtisch langsam um den Winkel

A

ϕ zu drehen, ist ein Drehmoment (2.94)

ϕ⋅=DM A'

notwendig ( D heißt Richtmoment der Spiralfeder). Die Feder erzeugt demnach ein rücktrei-bendes Drehmoment ϕ⋅−= DM A . (2.94a) Versuch (zunächst qualitativ): Nach einer Winkelauslenkung schwingt die Drillachse. Drehtisch mit Körper Drillachse

Quantitativ: Bewegungsgleichung J ϕ⋅−=ϕ⋅ DA &&

(2.95)

Gl. 2.95 ist wieder eine Schwingungsgleichung. Lösung bekannt: ( ) ( )β+ω⋅ϕ=ϕ tt m cos Drehschwingung

0=ϕ⋅+ϕAJD

&&

mit AJD

=ω oder Schwingungsdauer

(2.96) DJ

T A⋅π= 2

Trägheitsmoment der Drillachse einschließlich Drehtisch J und Richtmoment der Feder D können aus der Schwingungsdauer dieser Anordnung und der Schwingungsdauer nach Auflegen eines Körpers mit bekanntem (berechenbarem) Trägheitsmoment bestimmt werden (zwei Gleichungen für zwei Unbekannte). Das unbekannte Trägheitsmoment J eines beliebigen aufgelegten Körpers bezüglich der Drehachse des Tisches folgt dann aus der zugehörigen Schwingungsdauer T gemäß

D

A

DA JTD

−⋅Jπ

= 224

Versuche (quantitativ) Weitere Anwendung der Bewegungsgleichung der Rotation: Physikalisches Pendel (auch physisches Pendel genannt). Wir betrachten starren Körper, der unter dem Einfluss der Schwerkraft um eine horizontale Achse A außerhalb des Schwerpunktes S schwingen kann. A Abstand von A bis S: s

Abstand von A bis S: s Zur Ruhelage rücktreibendes Drehmoment

⇒ (2.97)

Für diese “Differentialgleichung” kann (wegen des )keine Lösung mit üblichen einfachen Funktionen ange-geben werden Für kleine Pendelausschläge gilt jedoch

sgmMA ⋅⋅⋅−= ϕsin

A

=ϕ⋅+ϕ⋅ sinmgs&&φ s

ϕsin

J A

sgmM ⋅ϕ⋅⋅−= sin

0


0sin =⋅+⋅ ϕϕ mgsJA &&

Sϕ⋅sinmg

Für kleineergibt sich

Die Lösun

(2.98) (Wenn Acergibt sich Für das soan einem

(2.99) 2.5.8 Dr Die Bewe

Wenn die

(2.100) Wir führeDrehachse (2.101) Der Drehidie Winke

(2.(gilt bei freie Mit dieser

Für diese “Differentialgleichung” kann (wegen des ϕsin ) keine Lösung mit üblichen einfachen Funktio- gm ⋅ nen angegeben werden. Für kleine Pendelausschläge

(z.B. °≈< 7,103,0ϕ ) gilt jedoch

Winkel ( 1<<ϕ ) können wir deshalb in Gl. 2.97 ϕsin durch ersetzen. Dann wieder die bekannte Schwingungsgleichung in der Form

ϕ

0=ϕ⋅+ϕAJ

mgs&&

g ist eine Schwingung mit der Schwingungsdauer

mgsJ Aπ= 2T .

hse durch den Schwerpunkt geht, existiert kein rücktreibendes Moment, folglich auch keine Schwingung; aus der Formel 2.98 folgt für s .) ∞→→ T0

genannte mathematische Pendel (Punktmasse m im Abstand l von der Drehachse masselosen, starren Faden) ergibt sich aus der Gl. 2.98 mit

J und 2l⋅= mA l=s

gl

π= 2T

ehimpuls, Drehimpulserhaltung, Kreisel

gungsgleichung der Rotation (Gl. 2.92) lautete

dtd

JJM AAA

ϕ⋅=ϕ⋅=&

&&

Achse festliegt und das Trägheitsmoment konstant ist, kann man auch schreiben

( )dtJd

M AA

ϕ⋅=

&

n eine neue physikalische Größe ein: Den Drehimpuls bezüglich der festen A (früher auch Drall genannt)

ω⋅=ϕ⋅= AAA JJL &

mpuls ist ein Vektor; bei Drehung um eine feste Achse hat er dieselbe Richtung wie lgeschwindigkeit

ω⋅=rr

AA JL 101a) r Drehung nur für die sogenannten Hauptträgheitsachsen, z.B. Symmetrieachsen).

Definition gilt (siehe Gl. 2.100)


AA

A LdtLd

M &rr

r== .

(2.102)

Wirkt kein Drehmoment einer äußeren Kraft, ist also 0=AM , dann ist L : constA =r

Der Drehimpuls bleibt dann also nach Betrag und Richtung zeitlich konstant. Das gilt auch für ein System aus mehreren starren Körpern.

constJLN

kkA

N

kA kk

=ω⋅= ∑∑== 11

rr , wenn ∑ =0

jAMr

(2.103)

Gesetz von der Erhaltung des Drehimpulses, Drehimpulssatz Versuche:

Wenn das resultierende äußere Drehmoment gleich null ist, dann bleibt derGesamtdrehimpuls des Systems konstant.

• Rad in kardanischem Gestell dreht sich schnell, Gestell wird bewegt: Drehachse bleibt

raumfest • Drehscheibe; Drehimpuls als Vektor. Erhaltungssatz für die vertikale Komponente des

Drehimpulses bei verschwindendem und bei endlichem Gesamtdrehimpuls

• Drehimpulssatz gilt auch bei Verändern des Trägheitsmomentes (Pirouette) Drehimpulssatz gibt Auskunft über Winkelgeschwindigkeit bei konstantem oder sich ändern-dem Trägheitsmoment. Keine Aussage über Drehwinkel!

Versuch: Person auf Drehscheibe kann sich aus der Ruhe heraus ohne äußere Einwirkungen (also nur innere Kräfte wirken) um beliebige Winkel drehen.

Anwendung der Gleichung dtLd

Mr

r= : Kreisel

Ein (physikalischer) Kreisel ist ein (rasch) rotierender starrer Körper, dessen Rotationsachse beliebige Richtung im Raum annehmen kann. Versuch: Fahrradfelge mit Bleieinlage (JA groß), schnelle Rotation ( ω groß), wird auf einer Seite der Nabe bei horizontaler Radachse aufgehängt. Was geschieht? Aufhängung Felge

Kräftepaar F und erzeugt Drehmoment

( ist die Kraft, die das Seil auf die Nabe ausübt; siehat gleichen Betrag wie Gewicht des Rades)

zeigt in Zeichenebene hinein (steht senkrecht auf DrehimpulsL

r).

r

r= dtMLd ⋅=⇒

rr

dtLd

M

Mr

AFr

gmr

mgsM =A

r


AF L

r

mg s Blick von oben auf diese Anordnung:

ϕd dtMdL ⋅= L

Damit folgt ω⋅

⋅=ω=

ϕ2Rsg

dtd

z zω Winkelgeschwindigkeit in vertikaler Richtung

ω⋅⋅

=⋅

==ϕSJdtmgs

LdtM

LdL

d

Nahezu die gesamte Masse des Rades liegt in der Felge mit Radius R, d.h. 2RmJS ⋅≈

ω Winkelgeschwindigkeit des Rades Betrag des Drehimpulses L bleibt erhalten, aber Richtung ändert sich: Der Kreisel weicht seitlich aus (in Richtung des Drehmomentes und damit

r

senkrecht zur wirkenden Kraft). Man nennt diese Bewegung Präzession (lat. praecedere vorangehen [Präzedenzfall]). Anwendung des Kreisels: Kreiselkompass Schnelllaufender Kreisel mit horizontaler Achse in einem Gehäuse, das sich um vertikale Achse drehen kann, stellt sich von allein in Nord-Süd-Richtung ein, wobei der Drehimpuls-vektor nach Norden zeigt. Versuch: „Gyroskop“ (Modell eines Kreiselkompasses) Erklärung für das Einstellen des Kreiselkompasses: Zur Vereinfachung Kreisel am Äquator betrachtet. L

r zeigt im Beispiel zunächst nach Westen.

Blick von einem Punkt über dem Nordpol auf die Erde und den Kompass N S LL

r r

d dtML ⋅=rr

Äquator

M

Äquator

Kreisel wandert auf dem Äquator mit der Erdumdrehung, dadurch Drehmoment M

r auf

Kreisel ausgeübt. Neue Drehimpulsrichtung aus Vektoraddition von Lr

und d dtL M ⋅=rr

. Kreisel weicht ebenso aus, Kreiselachse kippt langsam nach Norden. Wenn schließlich Drehimpuls nach Norden zeigt, liegen Drehimpuls und Drehmoment parallel, es gibt keine weitere Richtungsänderung. In sich bewegendem Fahrzeug hat Kreiselkompass i. Allg. eine Missweichung; diese wird rechnerisch korrigiert. Gegenüberstellung einiger Begriffe und Gesetze für Translation (in x-Richtung) und Rotation (um Achse A)


Formale Ähnlichkeit zwischen Größen bei Translation (geradliniger Bewegung) und Rotation

Translation Rotation ) Ort, Weg (txx = )(tϕϕ = Winkel, Drehwinkel Geschwindigkeit xv x &= ϕω &= Winkelgeschwindigkeit

xva xx &&& == Beschleunigung ϕωα &&& == Winkelbeschleunigung

.constax = : .const=α :

002

2)( xtvtatx x

x +⋅+⋅= 002

2)( ϕωαϕ +⋅+⋅= ttt

(Anfangsbedingungen v )0(),0( 00 xxv xx == )0(),0( 00 ϕϕωω == ) Masse (Massen)Trägheitsmoment m AJ Kraft Drehmoment xF AM Bewegungsgleichung xx amF ⋅= α⋅= AA JM

Translation Rotation 2

2 xk vmE ⋅= kinetische Energie 2

2ω⋅= A

kJE Rotationsenergie

∫= dxFW x Arbeit ∫= ϕdMAW

xx vFP ⋅= Leistung ω⋅= AMP

xx vmp ⋅= Impuls ω⋅= AA JL Drehimpuls

∫=− dtFpp xxx 0 Kraftstoß ∫=− dtMLL AAA 0 Drehstoß

Impulssatz .0 constpF xx =⇔= .0 constLM AA =⇔= Drehimpulssatz

xkFx ⋅−= Federkraft ϕ⋅−= DMA Torsionsmoment k Federkonstante Richtmoment D

2

2xkEp = pot. Energie der Feder 2

2ϕD

p =E pot. Energie bei der Torsion

Schwingungsdauer

kmT π2= bei Federschwingung

DJT Aπ2= bei Torsionsschwingung

2.6 Mechanik deformierbarer Körper


2.6.1 Verformung fester Körper Bisher starren Körper betrachtet, bei Krafteinwirkung blieb Form unverändert. Tatsächlich kann Körper aber verformt werden. Entscheidend für die Größe der Verformungen sind die wirkenden (mechanischen) Spannungen:

Spannung AF

=σFlächeKraft

= (σ sigma)

(2.104)

[ ] Pa1Pascal1mN1 2 =≡=σ

Normalkomponente F (liegt parallel zur Flächennormale, n

rDa jede Kraft F , die auf eine Körperoberfläche A einwirkt, in eine r

r r

d.h. steht senkrecht auf der Fläche) r (liegt parallel zur Flächennorm

und eine Tangentialkomponente Ft (liegt in der Tangentialfläche) d.h. steht senkrecht auf der FlächFr

(liegt in der Tangentialfläche) zerlegt werden kann, unterscheidet man

Normalspannung AFn=σ

und Tangentialspannung (auch Schubspannung genannt) AFt=τ

Unterhalb von materialspezifischen (möglicherweise von der Vorbehandlungabhängigen) Grenzen der Spannungen geht die Verformung nach Wegfall der d

r

Normalkomponente ale, e)

und eine Tangentialkomponente

nFtFr

t

F

(τ

des eform

nF

M

A

tau) .

aterials ierenden


Kraft vollständig zurück: Der Körper verhält sich elastisch. Liegen die Spannungen oberhalb der Elastizitätsgrenze, so nimmt der Körper seine ursprüngliche Form nach Wegfall der Belastung nicht wieder an: Man spricht dann von unelastischem oder plastischem Verhalten. Bei kleinen Verformungen (innerhalb des elastischen Bereichs, bis zur Proportionalitäts-grenze) gilt das Hookesche Gesetz:

Die Verformungen sind den Spannungen proportional.

Wir unterscheiden drei einfache Fälle kleiner Verformungen, für die jeweils das Hookesche Gesetz gilt, und betrachten dazu einen Quader mit den Seiten a, b und c .

Fn

Fn

a b

c

Wirken auf die Grund- und Deckfläche (Flächen ba⋅

), wie in der Skizze gezeigt, jeweils betragsmäßig gleicheNormalkräfte Fn , aber mit entgegengesetzter Richtung,dann spricht man von Dehnung (haben die Kräfte jeweilsumgekehrte Richtungen, von Stauchung).

Es gilt Eba

FEc

c n σ=

⋅⋅=

∆ 1

selbst σ nennt man in diesem Falle auch Zugspannung.

(2.105) Die Längenänderung ist proportional zur Länge c

cc∆ ist die relative Längenänderung,

E ist der materialabhängige Elastizitätsmodul. Maßeinheit

Beispiele: Stahl E , Blei 1 211102 mN /⋅= 210108 mN /, ⋅Da die Summe der beiden Kräfte null ist, bewegt sich der Körper als Ganzes nicht. Auch die Stauchung seiner Volum b freie Ende eine Querkraft lenkung

FJE F

⋅⋅

⋅=δ3

31 l

Biegung eines Stabes lässt sich auf Dehnung undenelemente zurückführen. Wirkt

ei einem einseitig eingespannten geraden Stab auf dasF, dann ergibt sich für die Aus-

des Stabendes (als „Biegungspfeil“ bezeichnet)δ

Dabei sind l die freie Stablänge und E der Elastizitätsmodul des axiale Flächenmoment (auch Flächenträgheitsmoment genannt), daStabquerschnitts berechnen lässt, für gängige Balkenquerschnitentnommen werden kann. In dem gebogenen Stab gibt es eine Schicht, die weder gedehnt noch gestaucht ist. Sie heißt Bei der Dehnung (Längenvergrößerung von c) tritt gleichzeitig einkürzung von a und b) auf:

cc

bb

aa ∆

⋅µ−=∆

=∆

(2.106) Der Proportionalitätsfaktor µ wird Poisson-Zahl (oder Querko [ ] 1=µ (dimensionslos)

[ ] =E Pa1mN1 2 =

l

δ

Fr

Stabmaterials. J ist s sich aus der Gestalt te jedoch aus Tabel

F

deshalb „neutrale Faser“.

e Querkontraktion (V

ntraktionszahl) genan

das des len

er-

nt.

Versuch


Da sich für die relative Volumenänderung des Quaders bei kleinen Änderungen der Seiten

cc

bb

aa

VV ∆

+∆

+∆

=∆ ( cbaV ⋅⋅= )

schreiben lässt und daraus mit Gl. 2.106

( )µ−⋅∆

=∆ 21

cc

VV

wird, muss 21<µ<0 sein, denn bei einer Dehnung ( 0>∆c ) muss auch das Volumen größer werden, also 1 sein. 02 >µ⋅− Die zweite Verformungsart nennt man Kompression. Auf alle sechs Flächen des Quaders wirke die gleiche Normalspannung p (Kräfte jeweils auf das Quaderinnere gerichtet). Dann verringert sich das Volumen V des Körpers gemäß

Kp

VV

−=∆ ,

wobei die mechanische Spannung p für diese Verformung i. Allg. als Druck bezeichnet wird. ist der Kompressionsmodul. Wieder ist die Verformung der mechanischen Spannung

proportional. K

b

Die dritte Art der Verformung heißt Scherung. Vier Tangentialkräfte greifen paarweise an gegenüberliegendenFlächen an und bilden zwei Kräftepaare, deren Wirkung sichgerade aufhebt (

a ba ⋅= ,

Dann verformt sich der rechteckige Querschnitt in ein Parallelogrammproportional zur (Schub-)Spannung ist, wenn diese hinreichend klein Gesetz):

Gτ

=γ

Der Proportionalitätsfaktor G ist wiederum eine Materialkonstante oder Torsionsmodul. Schneidet man einen Körper mit einer Schere, dann wirkt eine so starke Scherabgeschert wird. Der Schubmodul G macht sich bemerkbar, wenn man einen Stab, der an einem Ende festgum seine Längsachse verdreht (verdrillt). Für den Drehwinkel ϕ am Ende eines kreiszylin

und der Länge l ergibt sich

AMGr⋅

π=ϕ 4

2 l ,

AM ist das verformende Drehmoment. Bemerkenswert ist, dass der Potenz des Radius von Stab oder Draht umgekehrt proportional ist.

γ

bFaF ab ⋅=⋅

gt

), so dass der Quader in Ruhe

bleibt. Damit folc

Fc

F ba

⋅d.h. die Schubspannungen (oder Scherspannun-gen) sind auf den vier Flächen gleich. τ

r

aFr

−

Versuch

(damit lässt sich das Rider Drahtgeometrie ber

aFr

r

i

e

bF

ce

F−

, wobei der Winkel γ st (wieder Hookesches

und heißt Schubmodul

spannung, dass der Körper

halten wird, am anderen Ende drischen Stabes vom Radius r

Drehwinkel der vierten

b

htmoment D von Gl. 2.94 auschnen)


Bei isotropen Stoffen (Stoffe, die in allen Raumrichtungen gleiche Eigenschaften aufweisen) sind die Materialeigenschaften bereits durch zwei der vier elastischen Materialkonstanten bestimmt. Es gelten z. B. die Zusammenhänge

( )µ−⋅= 213

EK und ( )µ+⋅

= 12E

G .

Lässt man die mechanischen Spannungen über die Proportionalitäts- und die Elastizitätsgrenzen hinaus wachsen, treten weitere Verformungseffekte auf (z.B. das Fließen von Material), und schließlich kann der Körper zerstört werden (z.B. zerreißen, zerbrechen).

Versuche: Zerreißen eines Drahtes Kerbwirkung 2.6.2 Ruhende Flüssigkeiten und Gase Anders als bei festen Körpern lassen sich die Moleküle oder Atome von Flüssigkeiten und Gasen nahezu beliebig gegeneinander verschieben. Gase oder Flüssigkeiten passen sich in ihrer Gestalt der Form des Gefäßes an, Gase füllen das gegebene Volumen völlig aus.

AdrF

r

Fdr

Wird das Gefäß mit einem leicht beweglichen Kol-ben mit der Fläche A abgeschlossen, auf den senk-recht eine Kraft wirkt, dann wird im Gefäß einF

AF

p = erzeugt. Druck Der Druck wirkt im Gas

oder in der Flüssigkeit nicht nur in der ursprüngli-chen Kraftrichtung, sondern allseitig in gleicher
Stärke. Für ein beliebiges Flächenelement dA eines Körpers in dem MediuDruck p die Druckkraft d AdpF
rr⋅= , wobei dA

r die Richtung der Fläche

Innere des Körpers hat. Der Druck ist eine skalare Größe. Versuch. Anwendung der allseitigen Wirkung des Druckes: Hydraulische Presse, hydrauKleine Kraft auf Kolben mit kleiner Fläche kann über einen zweiten Kolb

Fläche große Kraft hervorrufen: 1

22

2

2

1

1AA

FAF

AF

p =⇒==

Die Oberfläche einer Flüssigkeit stellt sich immer senkrecht zur dort wirkenSteht die Flüssigkeit nur unter dem Einfluss der Schwerkraft, liegt der Flüswaagerecht. Geht man von der Oberfläche in die Tiefe z<0, z

dann entsteht durch die Gewichtskraft G der Flüssigkeits-säule über der Fläche A ein Druck

gzzgA

gzA

Agm

AG

p ρ−=ρ=⋅⋅⋅ρ

=⋅

== ,

wobei die als konstant betrachtete Dichte der Flüssig-keit ist. Dieser Druck wird Schweredruck oder hydrostatische

ρ

rDruck genannt. Er wächst linear mit der Flüssigkeitstiefe.

Versuch: Hydrostatisches Paradoxon; Form des Gefä-ßes hat keinen Einfluss auf den Schweredruck bzw.die Bodendruckkraft bei jeweils gleicher Fläche. Para

Fdoxon: wirklich oder scheinbar widersinnige Behauptung, Erscheinung

z

F

m erznnorm

lischeen m

1F⋅

den Ksigkei

eugt der alen ins

r Heber. it großer

raft ein. tsspiegel

0

A

F


Der Schweredruck tritt auch in Gasen auf. Gasdichte allerdings erheblich kleiner als Dichte von Flüssigkeiten und außerdem druckabhängig (und damit höhenabhängig). Wenn Temperatur des Gases (und damit Dichte 0ρ ) und Fallbeschleunigung g im betrachteten Höhenbereich konstant, ergibt sich für den Druck als Funktion der Höhe z die sogenannte barometrische Höhenformel:

F

00

0p

gz

eppρ

−

⋅= (2.107) mit Druck des Gases in der Höhe 0p 0=z (z.B. Höhe des Meeresspiegels oder Starthöhe einer Bergbesteigung). Misst man nahezu gleichzeitig den Luftdruck in zwei verschiedenen Höhen, kann mittels dieser Gleichung die Höhendifferenz z 01 z− gewonnen werden:

⋅

⋅ρ=−

1

0

0

001 p

p

g

pzz ln ( m

g

p 3

0

0 1008 ⋅≈ρ

, bei 0 °C )

Heute werden genauere und bequemere Methoden bevorzugt, z.B. über GPS-Messungen mit Hilfe von Satelliten. Zur Größe des mittleren Luftdruckes in Höhe des Meeresspiegels: Eine Bleischicht der Dicke 91 cm (oder eine Wasserschicht von 10 m) erzeugt auf ihrer Unterlage einen ebenso großen Druck, d.h. der Gesamtdruck (Luftdruck plus Druck der Schicht) auf die Unterlage wird nur verdoppelt. Mit Hilfe des Schweredruckes kann der Luftdruck gem

werden. Verwendet m

in ein

ten (am

dann die Anordnung in die skizzierte Lage, entsteht bei

ausreichend

ein Raum

L

Quecksilbersäulen der L

hgp HgL ρ=

(Quecksilber-Barometer, ρ Dichte des Quecksilbers ). Hg

Auf einen in eine Flüssigkeit eingetauchten Körper wirken nach den Erkenntnissenvorliegenden Kapitels von allen Seiten Druckkräfte, die durch den Schweredruck nacTiefe zunehmen. Alle diese Kräfte lassen sich durch eine Kraft ersetzen. Diese Kraft Auftriebskraft und ist ebenso groß wie das Gewicht der verdrängten Flüssigkeitsm (2.108)

m ⋅=⋅ρ=

essenan als Flüssigkeit Quecksilber, das man

U-förmiges Rohr so einfüllt, dass es zunächst den rech- Ende geschlossenen) Rohrteil völlig füllt, und dreht

er Länge des Rohres oberhalb des Quecksilbers, in dem der Druck nahezu null ist („Torricellische

eere“). Dann ergibt sich aus der Höhendifferenz der beidenuftdruck

0≈p

ghp Hgρ=

(Archimedisches Prinzip). Sie wirkt vertikal nach oben undgreift am Massenmittelpunkt der verdrängten Flüssigkeit an. Für einen zylindrischen Körper lässt sich diese Behauptungbesonders einfach beweisen: Seitendruckkräfte kompensieren sich. Differenz der Kräfte aufBoden- und Deckfläche (jeweils Fläche ) ergibt Auftriebskraft

1Fr

2Fr

A( ) ( )

ggV

AhhgAghghFFF

Fl

A

⋅⋅−⋅ρ=⋅ρ−ρ=−= 121212

des h der heißt enge

h

h1h2


Die Auftriebskraft kann natürlich nur entstehen, wenn tatsächlich die Kraft F2 wirkt. Auch der Boden des Körpers muss dazu vollständig von der Flüssigkeit umgeben sein. Wenn die Auftriebskraft des vollständig eingetauchten Körpers größer als dessen Gewicht ist, dann schwimmt er nach dem Loslassen; ist die Auftriebskraft gerade gleich der Gewichtskraft, schwebt der Körper. Versuche

Ob ein Körper (z.B. ein Schiff) stabil schwimmt (d.h. nach einer Kippung wieder in die Ausgangslage zurückkehrt), hängt ab von dem Kräftepaar aus dem Gewicht des Körpers, das

der Gleichgewichtslage wird eine Gerade durch die Punmarkiert. In der gedrehten Stellung des Körpers liegFlüssigkeit bei S3. Durch diesen Punkt wird „das Lot gefAuftriebskraft). Das Lot und die markierte Gerade schnedas Metazentrum über dem Körperschwerpunkt, ist die Ses unterhalb, ist die Schwimmlage labil (Beispiel b).

S1SS1

M

2

a)

Versuch: Schwimmendes Holzbrett Die Auftriebskraft tritt auch bei Körpern in Gasen auf. ALuftschiff. In beiden Fällen ist die Dichte des Füllgasesder Umgebungsluft. Bei ausreichender Größe des BallonGewicht von Ballon plus Nutzlast, der Ballon steigLuftdichte kleiner; sind Auftrieb und Gewicht gleich, so Bei genauen Wägungen muss wegen des Auftriebs in Lauf Vakuum“) angebracht werden, wenn Wägestücke uaufweisen. Infolge der unterschiedlichen Dichte besitzeKörper bei gleicher Masse nämlich unterschiedlichAuftriebskräfte unterschiedlich. Die gleicharmige Balkedie Kräfte auf beiden Waagschalen gleich groß sind: VgmgVgm MLMKLK ⋅ρ−⋅=⋅⋅ρ−⋅

KK Vm , sind Masse bzw. Volumen des zu wägenden KöWägestücke (meist aus Messing). ρ ist die Luftdichtewägenden Körpers

L

( )

−⋅ρ+=−⋅ρ+= KLMMKLMK VmVVmm

Beispiel: Wägung von Wasser (Dichte 1,0 g/cm³) mit Messingwäg(Dichte 1,2 mg/cm³): Masse würde ohne Berücksichtigung der Korre 2.6.3 Strömung der idealen Flüssigkeit

kte S1 und S2 gelegt ut der Schwerpunkt dällt“ (vertikale Linie iiden sich im Metazenchwimmlage stabil (B

2

S1 1 S

b)

nwendungen sind Heiß (heiße Luft, Helium) s ist die Auftriebskraftt. Mit wachsender Hschwebt der Ballon.

uft eine Wägekorrektund Wägegut unterschin Wägestücke und de Volumina, und dnwaage ist im Gleich

g⋅ rpers, entsprechend . Daraus folgt für die

m

ρM

Mm .

estücken (Dichte =Mρ 8ktur um etwa m zu1000/K

nd er vn Rtrumeisp

S3

3

lufkle grööhe

r (edlier zamigew

MaM V,

,4 g kle

M

im Körperschwerpunkt S1 angreift, und derAuftriebskraft während der Kippung desKörpers, die im Schwerpunkt der verdrängtenFlüssigkeit (S2 bzw. S3, siehe nebenstehendeSkizzen) angreift. Liegt S1 tiefer als S2 , ist die Schwimmlageimmer stabil. Bei Schiffen liegt S1 aber i.Allg.über S2. Dann konstruiert man das sogenannteMetazentrum und betrachtet dessen Lage: In

S
S
amer

ich ie

tbaineße

„Rchu t ic

ssM

/cmin

Körper drängten tung der M. Liegt l a); liegt

llon und r als die r als das

wird die

eduktion e Dichte wägende sind die ht, wenn

für die e des zu

³) in Luft bestimmt.


Zur formelmäßigen Beschreibung von bewegten Flüssigkeiten oder Gasen wird häufig das Modell der idealen Flüssigkeit herangezogen. In dieser Flüssigkeit treten keine Reibungskräfte auf und sie ist inkompressibel (lässt sich nicht zusammendrücken). Um die Strömung einer Flüssigkeit sichtbar zu machen, versetzt man sie mit geeigneten klei-nen Teilchen (z.B. Aluminiumpulver). Fotografiert man bei kurzer Belichtungszeit die Bewe-gung dieser Teilchen, erzeugt jedes einen kurzen Strich. Länge und Richtung dieser Striche zeigen uns die Geschwindigkeit kleiner Volumenelemente der Flüssigkeit. Die Striche kann man zu Linien zusammenfügen, die man Stromlinien nennt. Hat man nur wenige Teilchen in der Flüssigkeit und fotografiert über längere Zeit, sieht man die Bahnlinien einzelner Flüssigkeitsteilchen. Ändert sich das Strömungsbild nicht mit der Zeit, dann stimmen Bahn- und Stromlinien überein. Man spricht dann von einer stationären Strömung. Verschiedene

Stromlinien, die durch den Rand einer kleinen Fläche laufen,bilden im gesamten Flüssigkeitsraum einen Schlauch, durchdessen Wand keine Flüssigkeit hindurchtritt. Man nennt diesenSchlauch Stromröhre. Das materielle Rohr, in dem eineFlüssigkeit strömt, bildet ebenfalls eine Stromröhre.

11 vA ,2v,2A

An dem einen Ende des Stromröhrenabschnitts sei die Querschnittsfläche , die Geschwin-digkeit , am anderen Ende entsprechend A . Dann fließt im Zeitelement dt das Volumenelement

1A

1v 22 v,dtvA ⋅⋅ 11 in die Stromröhre hinein und A dtv ⋅⋅ 22 auf der anderen

Seite heraus. Diese beiden Volumina sind gleich, da sich die ideale Flüssigkeit voraussetzungsgemäß nicht zusammendrücken lässt (und da keine Flüssigkeit in dem Stromröhrenstück sich ansammeln oder verschwinden kann, weil die Strömung stationär sein soll). Damit gilt 2211 vAvA = . (2.109) Diese Beziehung heißt Kontinuitätsgleichung. Produkt aus Querschnitt und Strömungsge-

schwindigkeit (dieses Produkt ist gleich der Stromstärke dtdV

=I ) ist in einer Stromröhre

einer inkompressiblen Flüssigkeit konstant. Wo Stromlinien eng zusammenrücken, ist die Querschnittsfläche der Stromröhre klein und damit wird die Strömungsgeschwindigkeit hoch.

Versuch Da in der idealen Flüssigkeit keine Reibungskräfte wirken, muss die mechanische Energie eines Flüssigkeitsteilchens längs einer Stromröhre erhalten bleiben. Der Energiesatz wird für die strömende Flüssigkeit in Form der Bernoullischen Gleichung geschrieben:

constvgzp =ρ

+ρ+ 22

(2.110) (wobei p der Druck in der strömenden Flüssigkeit, ρ deren Dichte, z die Höhe über einem willkürlich gewählten Niveau z und v die Geschwindigkeit der Flüssigkeit an dem betrachteten Ort der Stromröhre ist) oder für die Orte 1 und 2

0=

2222

2111 22 vgzpvgzp

ρ+ρ+=

ρ+ρ+ (2.110a)

z

1zdtv1

1p1A

dVAm Ort 1 (Indices 1) läuft im Zeitelement dt das Volumenelement

dtvA ⋅⋅= 11 in die Stromröhre hinein, am Ort 2 das gleiche Vo-lumen dtvAdV ⋅⋅= 22 (Kontinuitätsgleichung) heraus. Die Ver-schiebungsarbeit beim Verschieben der Endflächen gegen dieDruckkräfte berechnet sich zu dVpdtvApdsFWd s 11111 −=⋅−=′=′ bzw. dVpdtvApWd 22222 =⋅=′ .


genden Stromröhrenstück nichts, also muss die Energie dieses Teils auch nicht betrachtet werden. Folglich kann man so rechnen, als ob sich das Volumen dV direkt vom Ort 1 zum Ort 2 bewegt habe. Dabei ändert sich die potentielle Energie im Schwerefeld um

Strömungs-richtung

2p

2A

dtv 2 2z

( ) ( )12 zzgdVdE Sp −⋅⋅⋅= ρ

und die kinetische Energie um

( )21

222

vvdVdEk −⋅⋅=ρ .

Die Summe der Änderungen aller Energien muss null ergeben: ( ) ( ) 0=++ k

Sp

pp dEdEdE

Daraus folgt nach Einsetzen der gefundenen Ausdrücke und Division mit dV die Gl. 2.110a . Liegen die Orte 1 und 2 in gleicher Höhe oder ist der Schweredruck zu vernachlässigen (häufig bei Gasströmungen), vereinfacht sich die Bernoullische Gleichung zu

constpvp ==ρ

+ 02

2

(2.111)

Man nennt den Gesamtdruck, und für 0p2

2vρ führt man die Bezeichnung Staudruck oder

dynamischer Druck ein (dieser Term rührt zwar her von der kinetischen Energie eines Volu-menelements, dividiert durch dieses Volumen, hat aber die Dimension eines Druckes). Zur Unterscheidung von den anderen Drücken nennt man p den statischen Druck. Versuche:

• Hydrodynamisches Paradoxon • Ball im Luftstrahl • Unterdruck in einer Einschnürung von Stromröhre oder Rohr

Wie lassen sich und 0pp, 22vρ messen? Mit der statischen Verschiebung von Flüssigkeits-

säulen wird immer der statische Druck bestimmt. Strömungs- richtung Strömungs- richtung

Gestaltet man den Messkopf so, dass dieGeschwindigkeit der Flüssigkeit durch dasMessgerät nicht geändert wird, erhält man denunverfälschten statischen Druck in derStrömung gegenüber dem Umgebungsdruck.Dazu wird ein relativ dünnes Rohr mitabgerundetem Kopf und mit seitlichen Löchernoder Schlitzen parallel zu den Stromlinien derStrömung gehalten; dieses Gerät heißtDrucksonde.

Baut man den Kopf so, dass sich an der Druck-messstelle die Strömungsgeschwindigkeit nulleinstellt („Staupunkt“), ansonsten die Strömungaber möglichst wenig verändert wird, dann er-gibt sich aus der Bernoullischen Gleichung

0pp = ,

Öffnung außer-halb der Strö-mung

Staupunkt

Öffnung außer-halb der Strö-mung


d.h. man misst den Gesamtdruck. Dieses Messgerät heißt Pitot-Rohr. Kombiniert man die beiden Messgeräte Drucksonde und Pitot-Rohr in einem Messkopf und misst die Druckdifferenz, dann ergibt sich nach Gl. 2.111 der Staudruck oder bei Kenntnis der Dichte die Geschwindigkeit der strömenden Flüssigkeit (Gerät heißt Prandtlsches Staurohr).

z

2221 2vgzpgzp LL

ρ+ρ+=ρ+ ( ist der Luftdruck, der bei z und z gleich ist) Lp 1 2

oder ( )212 2 zzg −=v . Die Geschwindigkeit des Wassers (beim Austritt in waagerechter Richtung) ist gerade so groß, als ob es die Höhe z -z frei durchfallen habe. Eine Stahlkugel, die aus der Höhe z auf eine unter 45° geneigte Platte bei z fällt und dort elastisch reflektiert wird, beschreibt die gleiche Bahn wie der Wasserstrahl (Schattenwurf).

1 2 1

2

Während bei Flüssigkeiten die vorausgesetzte Inkompressibilität sehr gut erfüllt ist, gilt das für Gase zunächst nicht (stellen Sie sich eine Luftpumpe vor; siehe auch Kap. 3.3.1). Aber auch bei strömenden Gasen sind die Volumenänderungen häufig zu vernachlässigen, da die Druckänderungen gering sind. Beispiel: Luft (Dichte 1,2 kg/m3) ändere ihre Geschwindigkeit in einer Strömung zwischen etwa 0 und 100 km/h ( ≈ 30 m/s), der Gesamtdruck sei 105 Pa. Bei Gültigkeit der Bernoullischen Gleichung ändert sich der Staudruck um maximal

=ρ 22v ( ) Pa105sm302

mkg21 223

⋅≈⋅ //,

Ist der Gesamtdruck konstant, ändert sich der statische Druck für dieses Beispiel folglich nur um etwa 0,5%. Die relative Volumenänderung liegt in gleicher Größenordnung (Kap.3.3). Die Erkenntnisse für ideale Flüssigkeiten lassen sich also auch auf Gase übertragen; erst bei Geschwindigkeiten nahe der Schallgeschwindigkeit (etwa 340 m/s) dürfen die abgeleiteten Formeln nicht mehr für Luftströmungen genutzt werden. 2.6.4 Strömung realer Flüssigkeiten Von den beiden Voraussetzungen für eine ideale Flüssigkeit ist die Inkompressibilität auch bei realen Flüssigkeiten sehr gut erfüllt, die Reibungsfreiheit jedoch nicht. Die Reibung muss bei den meisten Strömungen berücksichtigt werden.

Zur quantitativen Demonstration der Bernoulli-schen Gleichung dient der nebenstehend skiz-zierte Versuch: Aus einem ausreichend großenGefäß (der Flüssigkeitsspiegel bei 1z bleibtkonstant, d.h. 01 =v ) fließt Wasser aus einerseitlichen Öffnung in der Höhe 2z mit der Ge-schwindigkeit 2v . Die Gl. 2.110a lautet dann

1z

2z

Stahlkugel

Platte

Gleitet eine Flüssigkeit schichtweise mit unter-schiedlichen Geschwindigkeiten in den einzelnenSchichten aneinander vorbei („laminare Strömung“,Schichtenströmung), dann entsteht eine ReibungskraftRF zwischen den Schichten, die die Relativbewegung

dh

h

dvv +

v

RFA


der Schichten zu hemmen versucht. Man nennt diese Erscheinung innere Reibung. Die Reibungskraft zwischen zwei Flüssigkeitsschichten mit der Berührungsfläche A gehorcht häufig dem Reibungsgesetz von Newton:

dhdv

AR ⋅⋅η=F ( η eta )

(2.112)

oder dhdv

AFR ⋅η==τ (Schubspannung infolge der inneren

Reibung).

dhdv ist das Geschwindigkeitsgefälle quer zur Strömungsrichtung (dv kann man sich

vorstellen als Geschwindigkeitsdifferenz zwischen zwei Schichten der Dicke dh). heißt dynamische Viskosität oder dynamische Zähigkeit. Sie ist eine Materialeigenschaft. Mit wachsender Temperatur nimmt die dynamische Zähigkeit bei Flüssigkeiten deutlich ab, bei Gasen wächst sie. Vom Druck ist sie bei Flüssigkeiten und Gasen nahezu unabhängig.

η

Besonders große Geschwindigkeitsgefälle treten in der Nähe von festen Körpern in Strömungen auf, da an deren Wänden die Flüssigkeit haftet und die Geschwindigkeit der Oberfläche annimmt (Relativgeschwindigkeit null), in kleiner Entfernung von der Wand aber bereits eine hohe Strömungsgeschwindigkeit herrschen kann. Auch bei geringer dynamischer Viskosität kann durch das große Geschwindigkeitsgefälle die Reibungskraft groß werden. Für Rohrleitungen muss die innere Reibung deshalb berücksichtigt werden. Ist das Rohr kreiszylindrisch mit Innenradius r, ergibt sich für den Flüssigkeitsstrom I bei geringen Strömungsgeschwindigkeiten, wenn l die Rohrlänge und die Druckdifferenz ist,

21 pp −

( )

lη−π

=== 821

4 pprtV

dtdV

I Gesetz von Hagen und Poiseuille (2.113)

wenn die Rohrlänge und die Druckdifferenz l 21 pp −

leitunn grei ung einen Zy

l herau π p r ′

p

Aus dieser Beziehung können wir entnehmen ( )rdr

ppdv ⋅′⋅

⋅η⋅−

=l221 ′ .

Ab g dieser Formel: Ma ft aus der Ström linder vom Radius r

Strömungsrichtung

Rohrwand 1

r

2

sprich: poasöij

′ und derLänge s. Die Differenz der beiden Kräfte auf die Deckflä-chen dieses Zylinders beträgt ( )21

2 ppr −⋅′⋅ . Sie ist im stationärenStrömungszustand gerade gleich der in der Zylindermantelflächewirkenden Reibungskraft RF . Also gilt mit Gl. 2.112

( )2122 ppr

rddv

rFR −⋅′⋅π=′

⋅⋅′π⋅η= l .

Integrieren wir zwischen ρ (einem beliebigen Radius in der Strömung) und r und nutzen unsere Kenntnis, dass die Geschwindigkeit an der Rohrwand ( rr =′ ) null ist, erhalten wir für die Geschwindigkeit als Funktion von ρ

( ) ( ) ( )l⋅η⋅

ρ−⋅−=ρ 4

2221 rpp

v .

Wir finden ein rotationsparaboloidförmiges Geschwindigkeitsprofil (und an der Rohrwand - wie vorausgesetzt -

). 0=vDurch eine kleine Ringfläche dA zwischen den Radien ρρπ= d2 ρ und ρρ d+ fließt in der Zeit t das kleine Volumen

( ) ( ) ρ⋅ρ⋅ρ−⋅η

⋅−⋅π=⋅⋅= dr

tpptdAvdV 2221

2 l.


Das Volumen, das in der Zeit t durch den gesamten Rohrquerschnitt fließt, erhalten wir schließlich nach Integration über ρ zwischen den Grenzen 0 und r. Es ergibt sich Gl. 2.113 .

Auffällig im Gesetz von Hagen und Poiseuille ist, dass bei konstantem Druckgefälle l

21 pp −

der Volumenstrom proportional zur vierten Potenz des Radius ist (Radiusverdopplung führt zum 16-fachen Volumenstrom bei gleicher Druckdifferenz; Beispiel: Erhöhung des Blut-stromes im menschlichen Körper durch Erweiterung der Kapillaren statt durch Erhöhung des Druckes). Ein weiteres Beispiel für laminare Strömung findet man bei der langsamen Bewegung einer kleinen Kugel in einer Flüssigkeit (oder einem Gas). Dabei wird die Bewegung der Flüssigkeit nur in einem engen Gebiet um die Kugel durch die Relativbewegung beeinflusst. Aus Rechnung (und Experiment) folgt für die Reibungskraft bei der langsamen Bewegung einer Kugel mit dem Radius r und der Geschwindigkeit v in einer unendlich ausgedehnten Flüssigkeit (Ausdehnung groß gegen den Radius der Kugel) F vrR ηπ=6 (Stokessches Gesetz). (2.114) Fällt die Kugel (Dichte ρ ) in einer ruhenden Flüssigkeit der Dichte K Fρ , dann stellt sich nach kurzer Zeit eine konstante Fallgeschwindigkeit v ein; bei dieser Geschwindigkeit ist die Differenz zwischen Gewichts- und Auftriebskraft gleich der Stokesschen Reibungskraft:

( )vr

rg FK ηπ=π⋅ρ−ρ⋅ 634 3

oder ( )η⋅

⋅⋅ρ−ρ⋅= 92 2rgFKv .

Mit dieser Formel lässt sich erklären, dass sich in Flüssigkeiten aufgeschlämmte Stoffe oft nur sehr langsam absetzen. Für feine, näherungsweise kugelförmige Teilchen (Radius beispielsweise mr µ≈ 10,

sPa ⋅) mit einer Dichte von 2,5 g/cm³ ergibt sich in Wasser von 20°C

( ) eine Absetzgeschwindigkeit von 3 = 0,1 mm/h . η 1001 3⋅= −, sm10 2 /µ⋅ −

Bei geringer Relativgeschwindigkeit v zwischen einem Körper und der Flüssigkeit ist die Reibungskraft proportional zu v (z.B. Stokessches Gesetz; auch aus dem Hagen-

Poiseuilleschen Gesetz folgt mit der mittleren Strömungsgeschwindigkeit v 2rI

π= für die

auf die Rohrwand übertragene Reibungskraft ( ) vlπηpprR =−⋅π= 8212F ). Bei

Strömungsgeschwindigkeiten v, wie sie in der Technik i. Allg. benötigt werden bzw. wie sie dort auftreten, findet man für die Reibungskraft (meist wird in der Technik die Bezeichnung Strömungswiderstand benutzt) eine quadratische Abhängigkeit von der Geschwindigkeit,

AvcR ⋅⋅Fρ

⋅= 22 ,

(2.115) wobei ρ die Flüssigkeitsdichte ist und A die Querschnittsfläche des Körpers, die er der Strömung entgegenstellt („Stirnfläche“, „Projektionsfläche“). Der dimensionslose Faktor c heißt Widerstandsbeiwert (manchmal auch geschrieben) und berücksichtigt die geometrische Form des Körpers. Der wesentliche Unterschied im Strömungsverlauf gegenüber der bisher betrachteten laminaren Strömung besteht im Ablösen von Wirbeln

wc


(unregelmäßig verknäulte Flüssigkeitsbewegung). Man spricht dann von turbulenter Strömung.

Versuch Der Widerstandsbeiwert wird im Strömungs- oder Windkanal ermittelt. Der sogenannte Stromlinienkörper (ein tropfenähnlicher Körper, der mit seinem abgerundeten Teil der Strömung entgegengestellt wird) hat den kleinsten Widerstandsbeiwert (c , Wirbel nahezu vermieden). Für eine nach vorn offene Halbkugel (Öffnung gegen die Strömung) ergibt sich c . Bei

0560,=

51,≈ Fahrzeugen versucht man, den Widerstandsbeiwert gering zu halten. Bei früheren Fallschirmen nutzte man dagegen den hohen Wert der vorn offenen Halbkugel.


Um die mit dem seitlichen Wegströmen der unter dem Fallschirm komprimierten Luft verbundene Gefahr des Wegkippens zu verringern, befand sich eine kleine Hilfsöffnung in der Mitte des Schirms, durch die die komprimierte Luft langsam abströmte.

Versuch

Wind

Bei der Windgeschwindigkeitsmessung mit demsogenannten Schalenkreuzanemometer werden dieunterschiedlichen Widerstandsbeiwerte der nach vornund der nach hinten offenen Halbkugeln ausgenutzt,so dass sich das Schalenkreuz im Wind dreht. DieWindgeschwindigkeit lässt sich aus der Drehfrequenzberechnen.
Die Bestimmung des Widerstandsbeiwertes für Fahrzeuge oder Flugzeuge ist mit sehr hohen Kosten verbunden, wenn diese Messungen an den Fahrzeugen in natürlicher Größe durchgeführt werden (sowohl wegen der Größe des Strömungskanals als auch wegen des Modellbaus). Kann man die Messungen auch an verkleinerten geometrisch ähnlichen Nachbildungen durchführen und trotzdem die gleichen Widerstandsbeiwerte erhalten? Die Versuchsbedingungen müssen dazu so gewählt werden, dass die Strömungsbilder bei der Strömung um Original und Modell geometrisch ähnlich sind. Es lässt sich zeigen, dass dies dann der Fall ist, wenn die
Reynoldssche Zahl η

ρ=

vlRe

(2.116) in beiden Fällen gleich ist. Man nennt diese Forderung nach Gleichheit Ähnlichkeits-bedingung. sind dabei Dichte, Geschwindigkeit und dynamische Viskosität des jeweils strömenden Mediums, l ist eine charakteristische Länge des umströmten Körpers.

ηρ ,,v

Will man beispielsweise für eine Kugel vom Durchmesser m011 ,=l (als charakteristische Länge der Kugel wurde also der Durchmesser gewählt) den Widerstandsbeiwert in einer Luftströmung von bestimmen, kann man die Messung stattdessen mit einer Kugel vom Durchmesser in einer Wasserströmung mit der Geschwindigkeit

durchführen. Mit den Tabellenwerten (für

11 sm10v −⋅=

02 ,=l m11

2 sm66v −⋅= , =ϑ 20°C und p ) Pa1001 5⋅= ,125

1

1 sm10511 −− ⋅⋅=ρη , für Luft und 126

2

2 sm10001 −− ⋅⋅=ρη , für Wasser

gilt nämlich 5

126

11

2125

1

1 1066sm10001sm66m1001

sm10511sm10m01

⋅=⋅⋅

⋅⋅⋅==

⋅⋅⋅⋅

= −−

−−

−−

−

,,

,,Re,

,Re .

Die hier berechneten Werte der Reynoldsschen Zahl zeigen aber nicht nur, dass die beiden Strömungen zu gleichen Widerstandsbeiwerten führen, sondern enthalten zusätzlich die Information, dass es sich in beiden Fällen wohl um eine turbulente Strömung handelt. Liegt

nämlich Re über der sogenannten kritischen Reynoldsschen Zahl, ist die laminare Strömung nicht mehr stabil und schlägt bei kleinen Störungen (z.B. durch Erschütterungen der Flüssigkeit oder Oberflächenrauigkeit der Kugel) in die turbulente Strömung um. Für die Strömung um eine Kugel wurde experimentell gefunden, dass die kritische Reynoldssche


Zahl bei liegt (charakteristische Länge: Kugeldurchmesser, Strömung in großer Entfernung von der Kugel bleibt laminar); der soeben berechnete Wert liegt darüber.

5104 ⋅≈kritRe

=

Bei der Umströmung einer Kugel treten bereits ab 10,Re ≈ hinter der Kugel kleine Wirbel auf. Dadurch wird die

Reibungskraft größer als die Stokessche Reibungskraft:

⋅+⋅ Re

1631vrη= 6FR π für kleine . Der Strömungscharakter

bleibt aber zunächst laminar. Erst bei viel größeren Reynoldsschen Zahlen wird die Grenzschicht an der Kugel turbulent; bei

Re

kritRe sinkt der Widerstandsbeiwert c von etwa 0,5 auf 0,17. Für die Strömung im Rohr ergibt sich die kritische Reynoldssche Zahl zu (charakteristische Länge: Rohrdurchmesser , Geschwindigkeit: mittlere Geschwindigkeit

des strömenden Mediums

2300≈kritRe

0d

20

4dt

VAI

π⋅==v ). Für die turbulente Strömung in einem Rohr

gelten die Aussagen des Hagen-Poiseuilleschen Gesetzes nicht mehr. Beim Übergang von der laminaren zur turbulenten Strömung im Rohr wächst der Widerstandsbeiwert zunächst. Sein weiterer Verlauf hängt von der Rauigkeit der Rohrwand ab. Gilt für die Bewegung eines Körpers mit der Geschwindigkeit v in einer Flüssigkeit oder einem Gas der Strömungswiderstand (Reibungskraft) gemäß Gl. 2.115, dann ist eine Leistung

32 vAcvFR ⋅Pρ

⋅⋅=⋅

(2.117) aufzubringen, um den Körper mit dieser Geschwindigkeit zu bewegen.

P~v3 : Verdopplung der Geschwindigkeit (bei näherungsweise konstantem Widerstandsbeiwert) erfordert achtfache Leistung. Bei hohen Geschwindigkeiten eines Kraftfahrzeuges wird die Leistung zum großen Teil zur Überwindung der Luftreibung benötigt. Deshalb wird versucht, durch die Formgebung einen möglichst kleinen Widerstandsbeiwert zu erhalten. 2.7 Beschleunigtes Bezugssystem 2.7.1 Bewegungsgleichung im bewegten Bezugssystem Bisher Beschreibung der Bewegung von Massenpunkten oder starren Körpern in einem Koordinatensystem (Bezugssystem), das sich nicht bewegen soll. Ein solches Koordinatensystem wurde z.B. an Hörsaalboden und –wänden befestigt. Der Hörsaal bewegt sich aber mit der Erde (Drehung um Erdachse, Bewegung um Sonne); gibt es dadurch Änderungen an den Ergebnissen der Mechanik? Im Koordinatensystem x, y, z gelte die Newtonsche Bewegungsgleichung Masse mal Beschleunigung gleich Kraft. Ein zweites Koordinatensystem x’, y’, z’ bewege sich gleichförmig geradlinig gegenüber dem ersten mit der Geschwindigkeit ur (Geschwindigkeitskomponenten

). Ein markierter Punkt ( zyx uuu ,, zyx ,, ) im ersten System hat im zweiten System die Koordinaten


tuxx x ⋅−=′ tuyy y ⋅−=′ z tuz z ⋅−=′ (wir haben angesetzt, dass zur Zeit t = 0 beide Koordinatensysteme an gleicher Stelle liegen). Zweimalige Differentiation dieser Beziehungen nach der Zeit ergibt:

xx &&&& =′ yy &&&& =′ z z&&&& =′

Für die Beschleunigungen ergeben sich in beiden Systemen die gleichen Werte. Befindet sich in dem betrachteten Punkt ein Körper der Masse m und wirkt im System 1 eine Kraft F

r mit den Komponenten F , so muss dort gelten zyx FF ,,

xFxm =&& yFym =&& zFzm =&& .

Im System 2 ergeben sich mit der gleichen Kraft die Beschleunigungen aus den Formeln xFxm =′&& yFym =′&& zFzm =′&& . Es gibt keinen Unterschied in den mechanischen Bewegungsgleichungen für zwei Koordinatensysteme, die sich relativ zueinander mit konstanter Geschwindigkeit bewegen (Relativitätsprinzip der Newtonschen Mechanik). Speziell für F 0=

r ergibt sich in beiden Koordinatensystemen, dass der Körper ruht oder sich

gleichförmig geradlinig bewegt (das entspricht der Aussage des Trägheitsgesetzes; Trägheit = lat. inertia; man spricht bei solchen Systemen deshalb von Inertialsystemen). Beispiel: Wagen bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit u gegenüber „ruhendem Beobachter A“. Mitbewegter Beobachter B lässt Stein fallen. In seinem Bezugssystem sieht B, dass der Stein infolge der Schwerkraft geradlinig vertikal nach unten fällt. Beobachter A sieht, dass der Stein infolge seiner horizontalen Geschwindigkeit u unter dem Einfluss der Schwerkraft eine Wurfparabel beschreibt. A B

x

′z ur

Beide Beobachter benötigen außer der Schwerkder von ihnen beobachteten Bewegung.

z

x’

raft keine zusätzliche Kraft zur Beschreibung


2.7.2 Trägheitskraft bei geradlinig beschleunigtem Bezugssystem Jetzt bewege sich das zweite Koordinatensystem x’, y’, z’ beschleunigt gegenüber dem ersten, das ein Inertialsystem x, y, z sein soll; die Beschleunigung u erfolge in Richtung der x-Achse. Dann gelten für die Beschreibung von Beschleunigungen aus dem System 1 im System 2 folgende Beziehungen:

&&

uxx &&&&&& −=′ yy &&&& =′ z z&&&& =′

(wenn sich im System 1 ein Körper in x-Richtung gleichmäßig beschleunigt bewegt und das System 2 gerade die gleiche Beschleunigung gegenüber dem System 1 erfährt, bemerkt ein Beobachter im System 2 gar keine Beschleunigung des Körpers; man erlebt diesen Effekt manchmal bei Sportübertragungen im Fernsehen, wenn die Kamera mit dem beschleuni-genden Läufer beschleunigt mitfährt). Gilt wieder im Inertialsystem (System 1) xFxm =&& yFym =&& zFzm =&& , so ergibt sich für die Bewegungsgleichungen im System 2 (durch Multiplikation der Beschleunigungen im „gestrichenen System“ mit der Masse m )

umFxm x &&&& ⋅−=′ yFym =′&& zFzm =′&& . Die Bewegungsgleichung im System 2 erfordert für die x-Komponente neben der Kraft

eine zusätzliche Kraft xF umF xT &&⋅−=, . (2.118) Sie wirkt entgegen der Beschleunigungsrichtung von System 2 und wird Trägheitskraft (auch Scheinkraft oder Pseudokraft) genannt. Sie wird nur von einem mitbeschleunigten Beobachter wahrgenommen. Die Bewegungsgleichung für den allgemeinen Fall lautet im System 2 TFFrm

rr&&r +=′⋅ . (2.119) Die Kraft auf einen Körper in einem mit der Besc leunigung ah r beschleunigten Bezugssystem ist gleich der Summe aus eingeprägten Kräften ( F

r) und Trägheitskraft ( F ). amT

r⋅−=

Beispiel: Beschleunigter Wagen, Beschleunigung ar in horizontaler Richtung gegen Inertialsystem. Kugel reibungsfrei auf Tisch mit horizontaler Tischplatte. Kugel ruht zu Beginn. Beschreibung der Bewegung der Kugel

durch Beobachter A, der im durch Beobachter B, der im System 2 Inertialsystem ruht: mitbeschleunigt wird

Auf Kugel wirkt keine Kraft, deshalb Auf Kugel wirkt eine Kraft, denn sie wird bleibt sie in Ruhe. Der Wagen samt Tisch beschleunigt. Die Beschleunigung beträgt (ohne Kugel) fährt beschleunigt davon. a

r− , es wirkt also eine Trägheitskraft


F amT

rr⋅−=

Versuche:

• (Schwerelosigkeit im freien Fall) Experimentator springt mit Massenstück an Schrau-benfeder von einem Tisch. Feder wird während des Sprunges entlastet.

• Kraft zwischen fallenden Körpern: Papier, das zwischen den ruhenden Körpern festgeklemmt ist, lässt sich zwischen den fallenden Körpern herausziehen.

• Klotz auf Fahrzeug, das auf schiefer Ebene steht (Fall a) oder abwärts rollt (Fall b)

Rotation der Räder vernachlässigt a: Klotz fällt um (Schwerpunkt liegt so, dass Körper um Kan- te A gekippt wird) b: Trägheitskraft kompensiert die Kraftkomponente , Klotz ruht deshalb im beschleunigten System

FT

r .sin constga =⋅= β

A

m gr

β Der Körper bleibt im beschleunigten Bezugssystem in Ruhe (oder gleichförmig geradliniger Bewegung), wenn die Summe aus eingeprägten Kräften und der Trägheitskraft null ist. Um ruhig stehen bleiben zu können, wenn der Bus oder die Straßenbahn plötzlich bremst, muss ich mich fest-halten (eine Gegenkraft zur Trägheitskraft erzeugen). 2.7.3 Zentrifugalkraft, Corioliskraft Bisher wurde das zweite Bezugssystem nur (gleichförmig oder beschleunigt) geradlinig gegen das erste System (Inertialsystem) bewegt. Jetzt Beschreibung von Bewegungen in rotierendem Bezugssystem, z.B. durch Personen auf Karussell oder im Auto in einer Kurve. Wir betrachten zur Vereinfachung nur Drehungen bei fester Achse und mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω . Versuch: Drehstuhl, Pendel (aus Stange und Kugel) bei ruhendem Drehstuhl über Nullmarke. Federwaage an Kugel entspannt.

Dann Drehung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ωr

r

βsinmg

F Beobachter auf dem Drehstuhl muss an Federwaage ziehen, damit Pendel über der Nullmarke bleibt


ωr Wieder unterscheidet sich die Beschreibung der Bewegung und deren Ursache für einen Beobachter, der im Inertialsystem ruht, und für einen Beobachter, der sich im rotierenden System befindet: Beschreibung durch äußeren (ruhenden) Beschreibung durch mitrotierenden Beobachter Beobachter Kugel läuft auf Kreisbahn (Radius r) mit Winkelgeschwindigkeit ; dazu ist Ra- ωdialkraft

rr

rmFr

rr⋅ω−= 2

notwendig, die vom mitrotierenden Beob- achter über die Feder auf die Kugel ausge- übt wird. Versuche zur Zentrifugalkraft

- Sägen mit Papier - Rotierender Gummischlauch, rotierend

- Rotierender Teller

Körper, die sich um eine Achse schnell drehenkönnen zerrissen werden. In einer Zentrifugaufgeschwemmt sind (z.B. Fetttröpfchen in wäunter dem Einfluss der Schwerkraft. Beides lämit der Zentrifugalkraft einfach erklären. Im Begriff Zentrifugalkraft zu verwenden, ist falscder Körper (oder ein Teil des Körpers) tangen Im Versuch mit Pendel und Federwaage ruhte ein Körper (Masse m) in einem rotierenden Bder Geschwindigkeit vr , dann tritt neben der Zdie Corioliskraft (Coriolis) ω×⋅=

rrrvmC 2F

(2.121) Die Corioliskraft steht senkrecht sowohl auf der Winkelgeschwindigkeit des rotierenden Be Versuch: Berußte Kugel läuft auf Drehtisch außen über Papier und schreibt dabei ihre Bahn

Dreht sich derman von obenCorioliskraft wrechts: Ablen

radial nach außenFli

Damit die Kugel in meinem System ruht,muss ich über die Federwaage eine Kraft

)( rmFF2ω−=

meinem SystemZentrifugalkraft

eine (Trägheits)Kraft, die ichnenne und die mit deZF

ausüben. Also wirkt in

mBetrag (2.120)

rmFZ ⋅ω⋅= 2

zieht. Diese Kraft wird auchehkraft genannt (lat fugere fliehen)

.

e Kette

(Schwungräder, Autoreie wirken auf Teilchen, ssriger Lösung = Milch) vsst sich im mitrotierendenruhenden System anstellh. Sobald die Radialkraft

tial, nicht radial nach auße

der Körper im rotierendenezugssystem (Winkelgescentrifugalkraft eine weite

der Geschwindigkeit des zugssystems (Vektorprod

mit einer Anfangsgeschw auf.

Drehtisch gegen den Uhr draufschaut: irkt, in Bewegungsrichtu

kung der Kugel nach rech

fen, Schleifscheiben), die in Flüssigkeiten iel größere Kräfte als Beobachtungssystem e der Radialkraft den wegfällt, bewegt sich n.

System. Bewegt sich hwindigkeit ) mit ω

r

re Trägheitskraft auf:

Körpers als auch auf ukt).

indigkeit radial nach

zeigersinn, wenn

ng gesehen, nach ts


vr

r ωr CF Die Corioliskraft zeigt sich deutlich bei den Luftbewegungen auf der rotierenden Erde in ein Tief hinein bzw. aus einem Hoch heraus: Tief (Zone geringen Luftdrucks): Luft strömt in Richtung auf das Zentrum des Tiefs. Durch die Corioliskraft wird die Luft auf der Nordhalbkugel der Erde nach rechts abgelenkt. An jedem Punkt der Luftbahn wird dadurch von der Richtung auf das Tief zu nach rechts abgewichen. Die Luftmassen strömen auf einer gekrümmten Bahn auf der rechten Seite um das Tief herum.

Diese Strömung ist an den Wolkenforma-tionen beiWettersatellitenaufnahmen gut zu sehen (der genaueVerlauf hängt von den Druckverhältnissen und denReibungs-kräften ab). Bei einem Hoch strömt die Luft radialnach außen und wird auf der Nordhalb-kugel ebenfalls nach rechts abgelenkt.

T T -

Resultieren-de Luftbe-wegung

Bewegung der Luftdirekt inRichtung

f d
FoucnahewirdUhrz1,2der E Vers Der Trägder WinKörpDrehkonsmussBeobMath
Corioliskraft

H

aultsches Pendel: Körper mit großer Masse an langem Draht schwingt viele Stunden mit zu konstanter Amplitude. Auf die bewegte Pendelmasse wirkt die Corioliskraft. Dadurch die „Schwingungsebene“ langsam gedreht (auf der Nordhalbkugel von oben gesehen in eigerrichtung). In Dresden dauert die volle Drehung der Schwingungsebene (um 360°) 8 Tage (=d bei der geographischen Breite ϕsin/* °=ϕ 051, ). Quantitativer Nachweis rddrehung.

uch: Pendel auf Drehscheibe Beobachtung der Schwingungsebene vom ruhenden System aus Aufzeichnung der Pendelbahn im rotierenden System

ruhende Beobachter erklärt die beobachtete Bewegung im rotierenden System ohne die heitskraft „Corioliskraft“. Aus seiner Überlegung folgt z.B. die Berechnung des Betrages

Coriolis-Kraft für Spezialfall, dass Geschwindigkeitsvektor senkrecht zum kelgeschwindigkeitsvektor steht: er mit Masse m auf Drehtisch, der mit Winkelgeschwindigkeit ω rotiert. Abstand r von achse. Drehimpuls L . Es wirken ω⋅⋅= 2rm keine äußeren Kräfte, folglich ist Drehimpuls tant. Wenn sich der Körper reibungsfrei radial nach außen bewegt, wird r größer und ω kleiner werden. Der Körper bleibt also gegenüber einem (auf dem Drehtisch sitzenden) achter zurück. Dieser mitrotierende Beobachter deutet das als Wirkung einer Kraft.

ematisch: 0222

=⋅⋅ω⋅+ω

⋅⋅=ω

=dtdr

rmdtd

rmdtmrd

dt)(dL

( 0≠r )dtdr

mdtd

rm ⋅ω⋅−=ω

⋅⋅ 2

ardtd

r =α⋅=ω

⋅ vmFam ⋅ω⋅−==⋅ 2


α Winkelbeschleunigung, a Beschleunigung ω⋅⋅= vmFC 2 Versuch: Teekrümel auf dem Boden eines Teeglases

in rotierendem Tee (erreicht durch Rühren) und in rotierender Tasse


3 Thermodynamik ( = Wärmelehre) „Wärmeenergie ist mechanische Energie der ungeordneten Molekülbewegung“. Also Wärmelehre eigentlich Teil der Mechanik; trotzdem als separater Teil der Physik behandelt: Viele Vorgänge phänomenologisch einfacher zu behandeln als bei statistischer Betrachtung der Bewegung der riesigen Zahl von Molekülen im untersuchten System. 3.1 Temperatur und Wärmemenge Zwei Grundbegriffe neu gegenüber Mechanik: Warum geht ein Stück Eis in unserer Hand in Wasser über, aber Eisen schmilzt nicht? Bei Eis ist Schmelztemperatur überschritten. Warum bleibt das Eis in einem Dewar-Gefäß (=Thermosflasche) viel länger erhalten als in unserer Hand? Zum Schmelzen ist eine Wärmemenge nötig, die in dem Gefäß anscheinend viel weniger zur Verfügung steht als in unserer Hand. 3.1.1 Temperatur, thermische Ausdehnung fester, flüssiger und gasförmiger Körper Temperaturbegriff: Ausgangspunkt ist unser Wärmesinn, Gegenstand ist warm oder kalt. Ord-nung nach steigender Temperatur möglich (Temperaturunterschiede werden erkannt), ist aber subjektive Empfindung, Täuschungen möglich: Beispiel 1: Linke Hand in Wasser von ca. 10°C, rechte Hand in Wasser von ca. 30°C. Dann beide Hände in Wasser von 20°C : Linke Hand meldet „warm“, rechte Hand „kalt“. Beispiel 2: Ein Stück Metall und ein Stück Polystyrolschaum liegen längere Zeit neben-einander im Zimmer. Erfahrungssatz der Physik sagt, dass zwei Körper, die sich berühren, nach hinreichend langer Zeit die gleiche Temperatur aufweisen, wenn sie von der Umgebung nicht beeinflusst werden (= thermometrisches Grundgesetz, Wärmegleichgewicht). Fasst man beide Körper kräftig an, fühlt man: Metall ist kalt, Polystyrolschaum ist warm (Erklärung: unterschiedliche Wärmeleitung, siehe Kap.3.2.2; Wärmemengen, die von der Hand geliefert werden, fließen bei Metall rasch weg, wärmen aber die Polystyroloberfläche schnell auf [Handtemperatur etwa 32°C]). Physikalische Definition der Temperatur nötig (ebenso war es bei Kraft und Arbeit in der Mechanik). Zunächst Zusammenstellung von physikalischen Auswirkungen der Temperatur: Mechanische Wirkungen: Volumenänderung

Versuche

• Kugel passt nur in kaltem Zustand durch Ring.

• Flüssigkeit erhöht beim Erwärmen ihr Volumen (läuft über).


• Luftgefüllte Flasche, Aufsatzrohr taucht in Wasser: Gasblasen perlen beim Erwärmen

der Flasche aus dem Rohr. Ergebnis: Im Allgemeinen vergrößert sich das Volumen (von festen, flüssigen und gasförmigen Körpern) beim Erwärmen.

• Erweichen von Materialien mit wachsender Temperatur (z.B. Seger-Kegel, zur Temperaturmessung in Öfen der Keramikindustrie benutzt: Kegelspitze kippt um und berührt bei einer definierten Temperatur die Aufstellfläche)

Elektrische Wirkungen:

Versuche: • Zwei Kupferdrähte werden mit den beiden Enden eines Konstantandrahtes (eine Legie-

rung aus Kupfer, Nickel und Mangan) verlötet. Konstantan: Material mit nahezu konstantem spezifischen elektrischen Widerstand

Galvanometer Cu Cu

warm Konstantan kalt Anordnung heißt Thermoelement (z. B. zum Messe

• Elektrischer Widerstand ändert sich, wenn s Optische Wirkungen:

• Farbänderungen von Substanzen bei TemTemperaturverteilung an Maschinen, Motore

• Lichtemission bei hohen Temperaturen (Rotg

Temperaturdefinition muss übe Einfach zu messen: Widerstandsänderung, aber sta Sehr gebräuchlich: Ausdehnung von Flüssigkeiten(Flüssigkeitsthermometer, z.B. mit Quecksilberfixpunkte, z.B. Eispunkt = Gefrierpunkt des Wassevon , Druckeinheit Pascal 1bei Normaldruck. Markierung des Standes der Fraturen mit 0°C und 100°C, dann Teilung des Abjeder Teilungsabschnitt wurde 1 Grad Celsius ( 1

Pa10013251 5⋅, Pa

Auch diese Temperaturangaben sind materialabheiner wie beschrieben geteilten Skala eines Qangeschlossenen Alkoholthermometers; bei letzter Besonders klarer Zusammenhang zwischen TempeErfahrung aus vielen Experimenten: Ein gegebDruck (besonders bei kleinen Drücken) bei glei

E e der Lötstellen wird erwärmt: Es Eineinfließt ein elektrischer Strom („thermo- fließt ein elektrischer Effekt“). Der Strom wächst

mit der Temperaturdifferenz zwischen den mLötstellen.

der Lötstellen wird erwärmt: Eselektrischer Strom („thermo-

elektrischer Effekt“). Der Strom wächstit der Temperaturdifferenz zwischen den

Lötstellen.

n von Temperaturdifferenzen benutzt).

ich die Temperatur ändert.

peraturänderungen (z.B. Darstellung der n)

lut, helles Gelb, Weißglut); Glühlampe

r Messvorschrift erfolgen. rk materialabhängig.

aus einem Vorratsgefäß in eine Kapillare gefüllt). Definition zweier Temperatur-rs bei vorgegebenem Druck (Normaldruck

)) und Siedepunkt des Wassers lüssigkeitssäule bei diesen beiden Tempe-standes in 100 gleiche Teile: Celsius-Skala, °C) genannt.

2mN1 −⋅=

ängig (zu erkennen z.B. beim Vergleich uecksilberthermometers und eines daran em ist Teilung deutlich ungleichförmig).

ratur und Volumenausdehnung von Gasen; enes Gasvolumen wächst bei konstantem cher Temperaturerhöhung um die gleiche


Volumendifferenz (nahezu) unabhängig von der Gasart. Um völlig unabhängig von Material-eigenschaften zu werden, Definition des „idealen Gases“: Volumen des idealen Gases mit konstanter Masse wächst bei konstantem Druck streng linear mit der Temperatur. Experimentell verhält sich Helium-Gas (bei Drücken bis zu etwa normalem Luftdruck) fast wie ein ideales Gas. Massenpunkt war auch eine Konstruktion, die nur bedingt zu verwirklichen ist, mit der aber die Formulierung der Gesetze der Mechanik vereinfacht wurde. V V100

0 ϑ °0 °100

V0

C C-273,15°C

Diese extrapolierte Temperatur wird als NullpunkThermodynamische Temperaturskala (auch „Kelv Als zweiten Fixpunkt nutzt man den sogenannten Temperatur, bei der Wasser in einem abgeschlosgasförmig nebeneinander existieren kann) und setz

KelvinTTripel 16273, ==

fest. Der Tripelpunkt von Wasser liegt etwa 0,0reproduzierbar. Die Temperatur T ist eine neue Basisgröße des Inden Basisgrößen Länge, Masse, Zeit der Mechanials weitere Basiseinheit des SI: 1 Kelvin (1 K) ist der 273,16te Teil derTripelpunktes von Wasser. [ ] =T K1Der Nullpunkt der Celsiusskala wird jetzt definitDamit gilt ϑ+=ϑ+= 015273 TK,T (3.1) 015273 TTKT −=−=ϑ , , Differenzen von Celsius-Temperaturen sollten in K

Mit dieser thermodynamischen Temperaturskala gals Funktion der Temperatur T definitionsgemäß

( +⋅=

ϑ+⋅=

ϑ+⋅=⋅= 6311 0

00

0

00

0

0 VT

VT

TVT

T

V,V

wobei V0 das Volumen bei T oder 0 ϑ = 0°Cnungskoeffizient (auch kubischer Ausdehnungsko

Bei der Messung des Volumens für ver-schiedene Gase unter geringem, aber kon-stanten Druck ergab sich immer der glei-che lineare Zusammenhang: Bei der Extrapolation der Geraden durchdie Messpunkte bei 0°C und 100°C lagSchnittpunkt mit der Achse V = 0 immerbei Temperatur

C°−=ϑ 15273,

t einer neuen Temperaturskala eingeführt: in-Temperatur“, „absolute Temperatur“).

Tripelpunkt von Wasser (das ist die einzige senen Gefäß gleichzeitig fest, flüssig und t dessen Temperatur auf

K16273,

1 K über dem Eispunkt und ist sehr genau

ternationalen Einheitensystems (kommt zu k hinzu). Definition der Temperatureinheit

thermodynamischen Temperatur des

ionsgemäß auf T0 K15273,= festgelegt.

Angabe in Grad Celsius (°C) elvin angegeben werden (1°C = 1 K).

ilt für das Volumen V eines idealen Gases der lineare Zusammenhang

) ( ϑ⋅γ+⋅=ϑ⋅⋅ −− 110610 013 VK ), (3.2)

ist. Die Größe γ heißt Volumenausdeh-effizient).


Als Ergebnis der Volumenänderung mit der Temperatur für die Gase Helium He und Wasser-stoff H2 (bei Extrapolation auf den Gas-Druck null) ergibt sich der gleiche Wert für γ , wie er aus obiger Definition für das ideale Gas folgt: (3.3)

100366100 −=γ K,

Für reale Gase bei hohen Drücken ergeben sich zum Teil deutliche Abweichungen des Volumenausdehnungskoeffizienten von dem des idealen Gases, und das Volumen wächst auch nicht streng linear mit der Temperatur. Bei Flüssigkeiten wird wie bei Gasen die Änderung des Volumens als Funktion der Temperatur gemessen. Für viele Flüssigkeiten kann die Funktion durch eine Gerade angenä-hert werden: ( )ϑ⋅γ+⋅= 10VV (3.4)

oder ϑ⋅γ=∆

=−

00

0VV

VVV .

In der Tabelle auf S. 89 sind Volumenausdehnungskoeffizienten für einige Flüssigkeiten angegeben. Als Bezugstemperatur ist dort allerdings nicht C°=ϑ 0 , sondern gewählt worden (diese Temperatur liegt näher an der normalen Raumtemperatur). Die Gl. 3.4 erhält dann die Gestalt

C°=ϑ 18

( )[ ]CV C °V −ϑ⋅γ+⋅= ° 18118 . Die Abweichungen von der Linearität sind bei Flüssigkeiten deutlich größer als bei Gasen. Bei Wasser tritt nahe 4 sogar ein C° Minimum des Volumens auf (Dichtemaximum, Dichteanomalie). V/dm3

C°ϑ / 1,

0 5 10 15

1,0015

1,0010

1,0005

0000

Wasser,

kgm 1= Volumen als Funktion der Temperatur

Bei festen Stoffen ist es üblich, die Änderung der Länge in Abhängigkeit von der Temperatur anzugeben. Die Größe α heißt linearer Ausdehnungskoeffizient oder Längenausdehnungs-koeffizient.


ϑ⋅α⋅=−=∆ 00 llll (3.5) oder ( )ϑ⋅α+⋅= 10ll Abmessung bzw. Länge bei 0°C 0l

• Versuch: Längenausdehnung eines Stabes

~ l Doppelte Länge → doppelte Verlängerung l∆ 0

~ ϑ gute Näherung für viele Stoffe l∆α stoffabhängig (Materialkonstante in gewissem Temperaturbereich)

Bessere Beschreibung / bessere Anpassung an experimentelle Ergebnisse : Quadratischen Term hinzufügen ( )2210 1 ϑ⋅α+ϑ⋅α+⋅= ll (3.6) Nicht alle Stoffe dehnen sich isotrop (nach allen Raumrichtungen gleich) aus. Beispiel Zinkeinkristall: In einer Richtung über viermal größere Ausdehnung als in den dazu senkrechten Richtungen.

Mittlerer linearer Ausdehnungs- Volumenausdehnungs-

koeffizient einiger fester Stoffe koeffizient einiger flüssiger Stoffe

(α ⋅ zwischen 0 °C und 100 °C) (γ ⋅ bei 18 °C) 16 /10 −K 16 /10 −K Aluminium 23 Ethylalkohol 1100 Blei 29 Ethylether 1620 Reineisen 12 Quecksilber 181,5 Grauguss (Mittelwert) 9 Wasser 184,3 Kupfer 14 Glycerin 490 Nickel 12 Platin 9,0 Zink (Einkristall, hexagonal)

c-Achse 64 V ))18(1(18 CV C °−⋅+⋅= ° ϑγ a- und b-Achse 14

Jenaer Glas 16III 8,1 Jenaer Geräteglas 3,3 ________________________ Invar (65% Fe, 35% Ni) 2 Quarzglas 0,4 Ideales Gas 3661 Beispiel für die nichtlineare Ausdehnung einer Flüssig-

keit: Quecksilber (gültig zwischen 0°C und 100°C bei Normaldruck)

( )22914

0 108710818211 ϑ⋅⋅+ϑ⋅⋅+⋅= −−−− KKV ,,V 2α z 2 2−

wischen 9101 −−⋅ K(Platin) und 8103 −⋅ K (Zinn)

Für reine Metalle liegen die Werte von 1α zwischen 16105 −−⋅ K (Molybdän,

Wolfram) und 15103 −−⋅ K (Zink, Blei, Kadmium), die Werte von


Einige Auswirkungen und Anwendungen der Längen- und Volumenausdehnung: • Es können große mechanische Spannungen entstehen. Bsp.: Bei Schienen der Eisenbahn

bestand am Schienenstoß früher mehrere Millimeter Abstand bei niedrigen Temperaturen, bei hohen Temperaturen Abstand null. Heute Schienen verschweißt; der Gefahr des Ausknickens muss durch ausreichende Befestigung der Schienen entgegengewirkt werden.

Beispiel für die notwendige Kraft, um eine Wärmeausdehnung zu verhindern, und Vergleich mit der sogenannten Knicklast:

Rundstab aus Stahl, Länge =0l 10 m, Querschnitt A = 100 cm2, , 15101 −−⋅≈α K

Enden festgehalten (eingespannt), dann Temperaturerhöhung um 30 K. Wären die Stabenden frei, würde sich der Stab ausdehnen gemäß

0l

l∆ = 1 ⋅ 10-5 K-1 ⋅ 30 K = 3 ⋅ 10-4 (bei m100 =l ist ) . mm3=∆l

Um diese Verlängerung zu verhindern, wird (nach dem Hookeschen Gesetz, Gl. 2.105) eine mechanische Spannung

σ = E ⋅0l

l∆ = 60 MPa (Elastizitätsmodul von Stahl E = 2 ⋅ 105 MPa)

benötigt. Die notwendige Kraft für diese Spannung ergibt sich zu

F = σ ⋅ A = 6 ⋅ 105 N .

Mit dieser Kraft müsste man auf die Stabenden drücken, damit der Stab nicht länger wird. Dann knickt der Stab aber aus. Eulerscher Grenzwert (sogenannte Knicklast) überschritten:

( )

FNr

EE <⋅=π

⋅⋅π

= 520

220 10614 ,l

F

Versuch zur Demonstration der großen Kräfte: Stift aus Gusseisen, Durchmesser etwa 1 cm

Stift verhindert zunächst, dass sich der Bolzen zusammenzieht; Kraft so groß, dass Stift zerbrochen wird

•

V A

mFlügel-

utter
heißer Bolzen (rotglühend) kühlt sich ab
Bimetallstreifen: Zwei Metallstreifen mit unterschiedlichen Ausdehnungskoeffizienten werden verschweißt, gemeinsam erwärmt: Es entsteht Längenunterschied, dadurch Krüm-

mung nach der Seite des Materials mit dem kleineren α.

ersuch - Bimetallstreifen krümmt sich - Regelkreis für Gasbrenner

nwendung : Bimetallthermometer in Gasthermen, in elektrischen Sicherungsautomaten


• Zerspringen von (dickwandigen) Glasgefäßen beim Eingießen heißer Flüssigkeiten infolge großer lokaler mechanischer Spannungen (am Auftreffort der heißen Flüssigkeit dehnt sich das Glas aus, an Nachbarorten bleibt es noch kalt). Bei Jenaer Glas kein Zer-

springen, da sehr geringer Ausdehnungskoeffizient; noch besser: Quarzglas. Versuch Form des Sicherheitsglases: Glas mit hohen inneren mechanischen Spannungen zerkrümelt beim Zerbrechen, keine gefährlichen Splitter. Versuch: Glasträne • Aufschrumpfen von Ringen, Radreifen • Eisen und Beton haben gleiches α : Eisenbeton möglich • Füllflüssigkeiten für Thermometer (Quecksilber, Alkohol, Toluen, Pentan) • Dichtemaximum des Wassers bei 4°C (Dichteanomalie, siehe Diagramm S.88)

Bedeutung für Natur: Gewässer (ausreichender Tiefe) frieren nicht bis zum Grund zu, da das Wasser von 4°C infolge der höchsten Dichte auf den Gewässerboden sinkt.

Der Volumenausdehnungskoeffizient γ bei festen Körpern lässt sich aus dem Längenaus-dehnungskoeffizienten α berechnen: Es galt für die Änderung der Länge ( )ϑ⋅α+⋅= 10ll . Für das Volumen eines Würfels gilt damit ( ) ( )3322

033

03 3311 ϑ⋅α+ϑ⋅α⋅+ϑ⋅α⋅+⋅=ϑ⋅α+⋅== VllV .

Da im Allgemeinen ϑ⋅α

103⋅

<< 1 ( ) , kann man die Glieder 3 und weglassen. Übrig bleibt

215 10100010 −−− <ϑ⋅α<ϑ≈α ,, KK

( ) 63 10−<ϑ⋅α( ) 42 −<ϑ⋅α⋅ V = Vo (1 + 3 α ⋅ ϑ ) = Vo ⋅ (1 + ϑ⋅γ ), also γ = 3 α . (3.7) Der Volumenausdehnungskoeffizient (oder kubische Ausdehnungskoeffizient) ist gleich dem Dreifachen des linearen Ausdehnungskoeffizienten. (Bei einigen Einkristallen, z.B. Zink, anisotrope Ausdehnung; deshalb gilt Gl. 3.7 nicht; für Zink: ac ααγ ⋅+= 2 ) Ausnahmen bzgl. Volumenvergrößerung bei Temperaturerhöhung: Wasser (0 ); auch einige feste Stoffe

CC °° 4...verkürzen sich bei Erwärmung (zumindest in gewissem Temperatur-

bereich). Versuch: Gummischlauch verkürzt sich bei Erwärmen mittels Bunsenbrenner 3.1.2 Wärmemenge und spezifische Wärmekapazität Gedankenversuch:

Badewanne halb voll, 1 Tasse heißes Wasser dazu: Erwärmung kaum nachzuweisen. 3 Eimer heißes Wasser dazu: erhebliche Temperaturerhöhung.


Erklärung: Dem heißen Wasser wird eine „Wärmemenge“ zugeschrieben, die an das kühle Badewasser abgegeben wird. „Wärmemenge“ hat Ähnlichkeit mit „Stoffmenge“, sie kann zusammengefügt oder geteilt werden. Aber: Suche nach einem „Wärmestoff“ in den Körpern war erfolglos (Wir wissen heute: Erwärmung erhöht die ungeordnete Bewegung der Bausteine des Körpers). Physikalische Definition der Wärmemenge über Mischung von kaltem und warmem Wasser. Dazu wird ein Kalorimeter benutzt: Gegen Wärmeaustausch mit der Umgebung gut geschütz-tes Gefäß. Nennen wir

1m , Masse und Temperatur des Wassers im Gefäß (Kalorimeter), 1ϑ

2m , entsprechende Daten des Wassers, das hinzugefügt wird ( > ϑ ) 2ϑ 2ϑ 1und nach Durchmischung der beiden Wassermassen → Mischtemperatur ϑ , dann ergibt sich experimentell die Beziehung

M

( ) ( ) ( )MM mmw ϑ−ϑ⋅=ϑ−ϑ⋅+ 2211 Die Größe w hängt nicht von den Massen und Temperaturen des Wassers ab, sondern von Stoffart und Masse des Kalorimetergefäßes sowie von Rührer und Thermometer. Deutung dieser Gleichung mit Hilfe von Wärmemengen Q : i

Das zugefügte warme Wasser der Masse und der Temperatur 2m 2ϑ gibt die Wärmemenge Q ( )Mmc ϑ−ϑ⋅⋅= 222 an das Kalorimeter und die Wassermasse ab. Der Faktor c ist ein Proportionalitätsfaktor, er heißt spezifische Wärmekapazität (hier: des Wassers).

1m

Das Wasser mit der Masse nimmt eine Wärmemenge 1m ( )111 ϑ−ϑ⋅⋅= MmcQ auf, das Kalorimetergefäß eine Wärmemenge ( ) ( )11 ϑ−ϑ⋅=ϑ−ϑ⋅⋅= MKMKKK CmcQ wobei die Kalorimetergefäßmasse und c die (möglicherweise von der des Wassers abweichende) spezifische Wärmekapazität des Kalorimetergefäßmaterials ist. Die Tempera-turen des Kalorimetergefäßes und des darin enthaltenen Wassers sollen zu jedem Zeitpunkt übereinstimmen (z.B. durch Rühren des Wassers).

Km K

Setzt man die aufgenommenen und zugeführten Wärmemengen zu einer Gleichung zusammen, ergibt sich Q 21 QQK =+

( ) ( ) ( )MMK mcmcC ϑ−ϑ⋅⋅=ϑ−ϑ⋅⋅+ 2211 , (3.8) was mit C der experimentell gefundenen Gleichung entspricht. w stellt sich damit als eine Wassermasse dar, die dem Kalorimetergefäß einschließlich Rührer und Thermometer bzgl. der Wärmebilanz gleichwertig ist.

wcK ⋅=

Diese Überlegungen sind allgemein gültig: Um einen Körper der Masse m von der Temperatur T1 auf T2 zu erwärmen, muss die Wärmemenge


Q (3.9) ( 12 TTmc −⋅⋅= )

zugeführt werden. Der Proportionalitätsfaktor c = spezifische Wärmekapazität ist stoff-abhängig; diese spezifische Wärmekapazität kann nach Gl. 3.9 aus zugeführter Wärme und Temperaturerhöhung (bei bekannter Masse) bestimmt werden:

( )12 TTmQ

−⋅=c

(Adjektiv „spezifisch“ bei einer Größe in der Wärmelehre: dividiert durch Masse. Deshalb auch: ) Das Produkt cmC ⋅= heißt Wärmekapazität (also ist C K Wärmekapazität des Kalorimeters). Die Wärmemenge Q ist eine Energieform. (Beim Reiben der beiden Hände aneinander verrichtet man mechanische Arbeit und erzeugt Wärme; elektrischer Tauchsieder erzeugt aus elektrischer Energie Wärmemenge). Kann man die in Wärme umgesetzte mechanische oder elektrische Energie oder Arbeit messen und einer bekannten Wassermasse zuführen, deren Temperaturzuwachs gemessen wird, ergibt sich für die spezifische Wärmekapazität von Wasser bei 15 °C

Kkg

kJOH ⋅

= 18542

,c .

(3.10) Spezifische Wärmekapazitäten anderer Stoffe können mit dem Mischungskalorimeter durch Vergleich mit der spezifischen Wärmekapazität des Wassers bestimmt werden.

Versuch (qualitativ): Spezifische Wärmekapazitäten verschiedener Stoffe unterscheiden sich. Vergleich von Kupfer und Wasser. 2 Bechergläser mit 100 ml Wasser der gleichen

Temperatur, a) 100 g Kupfer von 90°C dazu, b) 100 ml (entspricht 100 g) Wasser von 90°C dazu, Vergleich der Mischungstemperaturen.

Aufbau und Benutzung eines Mischungskalorimeters Thermometer Motor mit Rührer Deckel

Wasser

Innengefäß

Außengefäß

Distanzstücke Beispiel für Nutzung des Mischungskalorimeterseines festen Körpers. Körper der Masse m und d

Vom wassergefüllten Kaaufgenommene Wärme

Deckel und Dist

Wärmeleitung (Kap. 3.2.2)

anzstücke aus Material, das geringe

besitzt.

Wärmekapazität des KC

: Messung der spezifischen Wärmekapazität er Temperatur T2 in Kalorimeter bringen, in

lorimeter vom festen Körper ans Kalori- meter abgegebene Wärme


dem sich Wasser (Masse ) mit der Temperatur TOHm 2 1 befindet. Mischungstemperatur TM bestimmen (wenn sich alle Temperaturunterschiede im Kalorimeter ausgeglichen haben). Wärmebilanzgleichung )()()( MMKOHOH TTcmTTCcm −⋅⋅=−⋅+⋅ 2122

Auflösen nach c: M

MKOHOH

TTTT

m

Ccmc

−−

⋅+⋅

=2

122

Soll die spezifische Wärmekapazität einer Flüssigkeit gemessen werden: Statt Wasser diese Flüssigkeit in Kalorimeter, festen Körper mit bekannter Wärmekapazität einbringen. Spezifische Wärmekapazitäten für einige feste Elemente

Element Kkg

Jc⋅

Relative Atommasse rAKmol

J⋅

∗c (1 ))( gAmol r=

Li 3386 6,94 23,5 (1 ) gmol 94,6=Be 1756 9,02 15,8 C (Diamant) 502 12,01 6,0 Mg 1003 24,32 24,4 Si 710 28,06 19,9 K 752 39,10 29,4 Fe 460 55,85 25,7 Cu 383 63,54 24,3 Ag 234 107,88 25,2 W 134 183,92 24,6 Pb 130 207,21 26,9 (1 ) gmol 21,207=(Werte c für 20°C) Für alle schweren Elemente ist c∗ , die „molare Wärmekapazität“, in grober Näherung eine Konstante (während sich die Werte der spezifischen Wärmekapazität c deutlich unterschei-den): Diese Feststellung heißt Regel von Dulong und Petit

KmolJ

c⋅

=∗ 924, (gilt um so besser, je höher die Temperatur ist). (3.11)

Erklärung auf atomphysikalischer Basis möglich: Im Kristallgitter von Festkörpern haben die Atome 3 Freiheitsgrade der potentiellen Energie und 3 Freiheitsgrade der kinetischen Schwingungsenergie. Für jedes Atom gehört zu jedem

Freiheitsgrad im zeitlichen Mittel eine Energie von Tk2

, also pro Atom 3kT ( k ist die BOLTZMANN-Konstante,

, T ist die thermodynamische Temperatur). Da in einem Mol Teilchen vorhanden

sind (AVOGADRO-Konstante), ergibt sich eine Energie pro Mol von

KJk /10381,1 23−⋅= 2310022,6 ⋅=AN

TKJ

⋅= 9,24T⋅NkE A⋅= 3 , woraus der genannte

Wert für die molare Wärmekapazität folgt. Bei Flüssigkeiten z. T. höhere molare Wärmekapazitäten als bei festen Stoffen. Besonders hoch für Wasser (Gl. 3.10):

Kmol

JKkg

kJOH ⋅

=⋅

= 397518542

,,c ( 01518,=rM )

Wärmekapazität, geteilt durch „Stoffmenge“

Wärmekapazität, ge-teilt durch Masse


Auswirkung: Klimatologischer Wärmespeicher Wasser („Seeklima“). 3.1.3 Wärmemenge und Phasenumwandlung Wir brauchten Wärmemenge, um Temperatur eines Körpers zu erhöhen. Aber auch bei konstanter Temperatur kann Wärme benötigt oder frei werden: Einheitliche Substanz (z.B. Metall) wird geschmo

Vers Umgdie TWärmbetra Zwe

•

•

(3.12

Beis

Für W

T

T

t

S

uch: Erstarren von Woodschem Metall (Schme

ekehrter Vorgang: Eis in Wasser. Dem Systememperatur solange konstant 0°C, bis das Eie wird als Schmelzwärme gebraucht; Schm

gsmäßig gleich). Erst dann erwärmt sich das W

i Schlussfolgerungen: Phasenumwandlungen

fest ↔ flüssig flüssig ↔ gasförmig fest → gasförmig („sublimieren“erfolgen bei konstanter Temperatur. (Phasenumwandlungen sind auch im festeKristallstruktur).

Bei Phasenumwandlungen wird UmwandUmwandlungswärme ist proportional zur Ma

Q ~ m oder qQ ⋅=)

Den Proportionalitätsfaktor q nennt man

Maßeinheit [q] = kgJ

piele: Spezifische Schmelzwärme q , spezifisf

asser gilt (jeweils unter Normaldruck)

lzen, anschließend Temperaturmessung während des Abkühlens. Temperatur bleibt einige Zeit konstant auf Erstarrungstemperatur Erklärung: Beim „Phasenübergang“ von „flüssig“ in „fest“ wird die Erstarrungswärme frei. Die Tem-peratur bleibt solange konstant, bis die Flüssigkeit vollständig erstarrt ist. Dann kühlt sich der Körper weiter ab.

fT .

lzpunkt bei etwa 65°C)

wird Wärme zugeführt. Trotzdem bleibt s vollständig geschmolzen ist (zugeführte

elzwärme und Erstarrungswärme sind asser. Frühere Anwendung: Nullpunkt Celsius-Skala.

Änderungen des Aggregatzustands )

n Zustand möglich, z.B. Änderung der

lungswärme frei oder verbraucht. Die sse der Substanz

m

spezifische Umwandlungwärme.

che Verdampfungswärme q d

kgkJ

qf 332=

kgkJ

d 2253=q ( Td = 373,15 K)


Bemerkenswert ist der sehr hohe Wert der spezifischen Verdampfungswärme. Der größte Teil der Verdampfungswärme wird zum Ablösen der Moleküle aus dem Flüssigkeitsverband benötigt, etwa 7,5% aber (bei unserem Beispiel für Wasser) als „Ausdehnungsarbeit“ (siehe Kap. 3.3.3) des Wasserdampfes gegen den Luftdruck. Die spezifische Umwandlungswärme kann mit Hilfe des Kalorimeters gemessen werden. Dazu muss die Umwandlungswärme in die Wärmebilanz einbezogen werden. Beispiel: Spezifische Schmelzwärme des Eises q . fE

Eis (Masse mE) der Temperatur ϑ < 0°C wird in Kalorimeter gebracht, in dem sich Wasser (Masse m

E

1, Temperatur ) befindet. Wärmekapazität des Kalorimeters C1ϑ K. Spezifische Wärmekapazität des Eises c , spezifische Schmelzwärme q , ϑ . E fE Cf °=ϑ= 00

Messung der Mischungstemperatur (Voraussetzung: Mϑ 0ϑ>ϑM , Eis vollständig geschmol-zen. Dazu müssen m1 und ϑ ausreichend groß sein.) 1 Vom Eis aufgenommene Wärmemenge = Vom Kalorimeter abgegebene Wärmemenge

( ) ( ) ( ) ( )MKOHMOHEfEEEEE Ccmcmqmcm ϑ−ϑ⋅+⋅=ϑ−ϑ⋅⋅+⋅+ϑ−ϑ⋅⋅ 1100 22

Erwä

b srmen des Eises

is Schmelzpunkt Eis chmelzen

Erwärmen des Schmelzwassersbis zur Mischungstemperatur

Abkühlen des Kalorimeters mit Wasser m1 bis Mischungstemperatur

( ) ( 0011

22 ϑ−ϑ⋅−ϑ−ϑ⋅− )ϑ−ϑ⋅+⋅

= MOHEEE

MKOHfE cc

m

Ccm )()(q

Bei Phasenumwandlungen treten i. Allg. auch Volumenänderungen auf. Sehr groß bei Über-gang flüssig ↔ gasförmig. Sehr wichtig für Natur: Beim Erstarren von Wasser wächst das Volumen (Eis hat kleinere Dichte als Wasser).

- Sprengwirkung (Wasser in Felsspalten); Versuch - Eis schwimmt auf dem Wasser (auch dadurch also kein direktes Absenken der

Wassertemperatur 4 °C am Gewässergrund) 3.2 Wärmeübertragung Ausbreitung der Wärme, Transport von Wärmemengen im Raum. Bsp.: Tasse heißer Kaffee wird hingestellt, nach einiger Zeit ist der Kaffee kalt. Physikalische Ursachen? 3.2.1 Mechanismen der Wärmeübertragung Wichtige neue physikalische Größe zur quantitativen Beschreibung des Wärmetransportes

Wärmemenge pro Zeit = Wärmestrom dtdQ

=&Q .

Drei verschiedene Mechanismen zu unterscheiden, durch die Wärme von einem Ort zu einem zweiten transportiert werden kann:

• Wärmestrahlung: Vor heißem Ofen oder vor Infrarotstrahler wird die zugewandte Körperseite warm, die abge-wandte bleibt kalt. Falls Hindernis zwischen Wärmequelle und „Meßgerät“: Wärme kommt nicht an. Wärmestrahlung ist langwelliges Licht (elektromagnetische Wellen), kein Medium zur Übertragung benötigt. Bsp.: Sonne → Vakuum → Erde.


Wärmestrom bei Wärmestrahlung Q ~ & ( ) ATT ⋅− 4

241

Dabei bedeuten T Temperatur des „Senders“, des „Strahlers“, 1 T Temperatur des „Empfängers“, 2 A Fläche von Sender bzw. Empfänger.

Sowohl „Sender“ ( T ) als auch „Empfänger“ ( T ) senden durch Strahlung Wärmemenge ab und erhalten Wärme durch Strahlung:

1 2

Bsp.: T = 700K, T = 300K (700 K)1 24 - (300 K)4 = (694 K)4 ,

30300700

≈

4

Ergebnis nahezu so, als ob nur der Sender bei 700K strahlen würde (wegen der 4.Potenz bei der Temperatur).

• Konvektion (= Wärmeströmung): Substanz bewegt sich und transportiert dabei Wärmemenge. Versuch: Abbildung von Schlieren in der Luft oberhalb einer Flamme. Aufsteigende heiße Luft und Flammengase transportieren Wärme. Großer Wärmestrom durch Konvektion

Golfstrom Föhn (warmer Wind) Warmwasserheizung Kühlturm (warme Luft mit geringer Dichte strömt nach oben)

Verringerung des Wärmetransports infolge Konvektion: Gas oder Flüssigkeit an der Bewe-gung hindern.

Federbett Verringerung der Möglichkeiten für das Strömen der Luft, Kleidung z.B. durch viele kleine Lufträume oder engen Abstand zwischen Doppelfenster den Scheiben. Ruhende Luft ist sehr schlechter Wärmeleiter.

Wärmestrom bei Konvektion Tcdtdm

Q ∆⋅⋅=&

Massenstrom Temperaturdifferenz des strömenden von Ort 1 nach 2 Mediums zwischen 1 und 2

• Wärmeleitung: Medium nötig, aber ruhend. Wärme „fließt“ durch den Körper Bsp.: Umrühren einer mit metallischem Löffel Griff wird warm heißen Suppe mit Holzlöffel Griff bleibt kalt Daraus folgt: Es gibt gute und schlechte Wärmeleiter → 3.2.2 Transport großer Wärmemengen pro Zeit (= großer Wärmestrom) am besten mit Konvektion.


Wärmemenge fließt von allein immer von warm zu kalt (siehe dazu auch Kap.3.5). 3.2.2 Wärmeleitung Wärmeisolation

Kör T Fläche A

l

Durch zwei gleiche nebeneinanderliegende Körper der Fläche A fließe jeweils Q , . Da man diese Körper auch folgt Q

&

Q&⋅2 &insgesamt also Q&⋅2 an diese Körper auch zu einem . Da mzusamm Q ~ Wärmestrom proportional zur Querschnittsfläche Q & A &Q& T∆ ~ A Wärm

2Q&

2/T∆ 2/T∆ ∆ T∆ 2 l Damit gilt bei konstanter Temperaturdifferenz und konstantem Querschnitt

21 TT , Temperaturreservoire, „Wärmebäder“, 21 TT > Experimentelle Erfahrung: Q& ~ 21 TTT −=∆ (3.13) Wärmestrom proportional zur (kleinen) Temperaturdifferenz

Wie hängt Q& von Fläche A und Länge l ab? Dazu zwei Gedankenversuche“:

Zwei Stäbe desselben Materials gleicher Länge lund gleichen Querschnitts A wie bisher liegen hin-tereinander. Die Temperaturdifferenz über beideStäbe zusammen sei wieder T∆ . Dann beträgt dieTemperaturdifferenz zwischen den einzelnen Stab-enden 2T . Also kann auch nur noch der halbe

Wärmestrom 2Q& fließen.

1 2Tper

enschieben kann, folgt estrom proportional zur Querschnittsfläche (3.14)

~Q&l

1 Wärmestrom umgekehrt proportional zur Länge des Wärmeleiters

(3.15) (aus dieser Überlegung folgt auch, dass längs eines homogenen Stabes konstanten Quer-schnitts bei seitlicher Wärmeisolation die Temperatur linear von T auf T (T ) fällt). 1 2 21 T>Zusammenfassung der drei Beziehungen 3.13, 3.14, 3.15.:

~Q&l

TA

∆⋅ oder

l& T

AQ∆

⋅⋅λ=

(3.16) Proportionalitätsfaktor λ heißt Wärmeleitfähigkeit (auch thermische Leitfähigkeit), ist materialabhängig (oft auch temperaturabhängig).

[ λ ] = mKs

J⋅⋅

= mK

W⋅

λ für Metalle hoch, für Holz oder Keramik viel kleiner, sehr klein z.B. für Styropor, Poly-styrolschaum (hauptsächlich wegen der sehr kleinen Wärmeleitfähigkeit der ruhenden Luft in den Poren). Versuche:


heißes Glas • Öl ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° Blei

pfer

° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° Eisen ° ° ° ° ° ° ° ° KuMaterialien: Paraffinüberzug wird z.T. ° ° ° °

Unterschiede in der Wärmeleitfähigkeitfester Körper, dadurch unterschiedlicheErwärmung der Stäbe aus verschiedenen

geschmolzen, in das Paraffin eingelager-te Bleikügelchen fallen ab.

• Richtungsabhängigkeit der Wärmeleitung

Bei einigen Kristallen; auch bei Holz längs der Faserrichtung besser als quer dazu. • Geringes Wärmeleitvermögen bei Flüssigkeiten Heizung Becherglas m Eisstück, festgeklemmt deshalb kann W

it Wasser und Eisstück. Keine Konvektion (Wasser mit hoher Dichte unten, mit kleinerer Dichte oben),

asser oben sieden, ohne dass das Eis unten rasch schmilzt.

• Schlechtes Wärmeleitvermögen von Gasen Leidenfrostsches Phänomen: Wärmeisolierende Gasschicht aus verdampfender Flüssigkeit.

- Wassertropfen auf sehr heißer Kochplatte verdampft nicht sofort, sondern „tanzt“

- Heiße Metallkugel in Flüssigkeit getaucht • Unterschiedliche Wärmeleitung für verschiedene Gase Helligkeit von stromdurchflossenen Heizdrähten beobachten. Teil der Heizleistung wird als Wärmestrom abgeführt; Unterschied, ob - alle Heizdrähte in Luft - dieselben Heizdrähte in unterschiedlichen Gasen, in Vakuum • Großer Wärmestrom auch bei schlechtem Wärmeleiter, wenn Fläche A groß und

insbesondere Länge klein: l Erhitzen von Wasser bis zum Sieden in Papiergefäß mit dem Bunsenbrenner; da Wasser- temperatur max. 100°C, wird Entflammungstemperatur des Papiers nicht erreicht.


Wärmeleitfähigkeit λ für einige Stoffe (bei 20°C)

Stoff )/( mKW ⋅

λ

Stoff )/( mKW ⋅λ

Glas 0,7 ... 1,4 Normalbeton 2,1

Blei 35 Holz ⊥ Faser 0,11 ... 0,20

Eisen (rein) 81 Polystyrol-Hartschaum 0,025 ... 0,040

Hochlegierte Stähle 14 ... 27 Wasser 0,599

Kupfer 399 Luft 0,025

Silber 427 Wasserstoff 0,19

Für den stationären Fall der Wärmeleitung ( T∆ zeitlich konstant) gilt tQ

=&Q = const. und

damit

tTA

Q ⋅∆⋅⋅λ=l

(3.16a)

Ebene Flächen: T ändert sich linear zwischen den Endflächen, ( ) xTT

Tx ⋅−

+=l

121T

Abstand der Flächen l Temperatur T bei 1 0=x , T bei 2 l=x (Probe durch Einsetzen)

Zylinderrohrwand (langes Rohr): T-Abfall logarithmisch, ( ) ( )ia

a

ii TT

r

rr

Tr −⋅

+=ln

lnT

(Probe durch Einsetzen)
(ohne Beweis) ir
Wärmestrom: ( ia

i

a

TT

r

r

LQ −⋅

)⋅λ⋅π

=ln

2&

r Radius; T Temperatur und Radius Innenwand, T für Außenwand, L Rohrlänge ii r, aa r, 3.2.3 Wärmeübergang, Wärmedurchgang Fließt ein Wärmestrom durch zwei mit der Fläche A unmittelbar aneinander grenzende Kör-per, verbleibt an der Übergangsstelle eine Temperaturdifferenz (Temperatursprung) ∆ , die Tproportional zum Wärmestrom ist: T

(3.17) TAQ ∆⋅⋅α=& ∆ T

α Wärmeübergangskoeffizient


[ ] 2mKW⋅

=α Ort

Dieser Wärmeübergangskoeffizient ist abhängig von den Azenden Körper, Beschaffenheit der Grenzflächen, bei FlüStrömungsgeschwindigkeit und vom Strömungstyp (laminar, Phasenänderungen an der Grenzfläche (z.B. KondensationTropfen). Im Allgemeinen sind α und ∆ nur durch Versuche zu erhTDie α - Werte reichen über mehrere Größenordnungen:

=α 2mKW⋅

1 bis 25

mKW101⋅

⋅

Bei praktischen Anordnungen wirken Wärmeleitung und Wäspricht dann von Wärmedurchgang, z.B. beim WärmetranspoWir betrachten eine Anordnung mit planparallelen Schichwieder proportional zur Querschnittsfläche A und zur Tempäußeren Flächen des Schichtsystems sein. Q TAk ∆⋅⋅=& (3.18) Die als Proportionalitätsfaktor eingeführte Größe k heißt WSchichtsystems. Bei Kühlungsaufgaben ist man an einem aufgaben an einem kleinen Wärmedurchgangskoeffizienten iDicke der Schichten, den Wärmeleitfähigkeiten il iλkoeffizienten α aufgrund folgender Überlegungen berechnej

1α 2α 3α 4α

Wärmeisolation 1λ 2λ 3λ gen nach

T

Q& ist auf deeinzelnen (Wärme kanSchichten hreicht = sta Auflösen a

l l l 1 2 3

Erster Wärmeübergang: A

QTa ⋅α

=∆1

&

Erste Schicht: A

QTb ⋅λ

⋅=∆

1

1l& (Wärmele

Zweiter Wärmeübergang: A

QTc ⋅α

=∆2

& usw.

Die Summe aller Temperaturdifferenzen muss T∆ ergebenmen aus den Wärmeleitungs- und den Wärmeübergangsanteile

1 2 T∆

Temperaturd T∆

Grenzfläche
ggregatzuständen der angren-
ssigkeiten und Gasen von der turbulent) sowie von möglichen von Dämpfen in Form von

alten (Tabellen).

rmeübergang gemeinsam: Man rt durch mehrere Schichten: ten. Der Wärmestrom Q wird eraturdifferenz ∆ der beiden

&

T

ärmedurchgangskoeffizient des großen, bei Wärmedämmungs-nteressiert. Er lässt sich aus der und den Wärmeübergangs-

n:

, Addition aller auftretende

m Weg von bis für jede1T 2T nWärmetransportschritt gleichn seitlich nicht wegfließen; alleaben ihre Endtemperatur er-tionärer Fall).

ller Wärmetransportgleichun-

itung)

. Die Summe setzt sich zusam-n:

Ti nifferenzen zur Gesamtdifferenz

21 TT −=


∑ ∑∑∑

α+

λ⋅=

⋅α+

⋅λ⋅

=∆j j ji i

i

ji i

i

AQ

AQ

AQ

T1l&&l&

Durch Vergleich mit der eingangs aufgestellten Beziehung 3.18 ergibt sich

∑∑ α+

λ=

j ji i

i

k11 l = K

ll+

λ+

α+

λ+

α 2

2

21

1

1

11

(3.19)

Bsp.: Durch Kesselsteinschicht (Dicke 0,3 mm; mKW020⋅

= ,λ ) wird ein k0 2mKW40⋅

= (ohne

Kesselstein) auf =1k 2mKW25⋅

verringert, bei Dicke mm1 =l auf k2 2mKW13⋅

= . Der

Wärmestrom würde dadurch im letzten Beispiel auf 31 abnehmen. 3.3 Zustandsänderungen des idealen Gases Ideales Gas: gedachtes Gas, dessen Moleküle kein Eigenvolumen haben und zwischen denen keine Anziehungs- oder Abstoßungskräfte herrschen. Einatomige Gase, wie z.B. Helium oder atomarer Wasserstoff, aber auch molekularer Wasserstoff H2 verhalten sich (besonders bei geringen Drücken, bei denen die Gasteilchen große Abstände und damit geringe Wechselwirkungen haben ) nahezu wie ein ideales Gas. 3.3.1 Thermische Zustandsgleichung des idealen Gases Gibt es eine Beziehung zwischen den „Zustandsgrößen“ Druck p , Volumen V und Tempe-ratur T ? Experimentell wurde für Helium bei geringem Druck gefunden

0

00T

Vpconst

TVp

==⋅

(3.20) für eine gegebene Menge Gas (Masse des Gases konstant). Sonderfälle: Gay-Lussacsche Gesetze

=p konstant TVp ~:0= ( ϑ⋅γ+⋅=

ϑ+⋅=⋅= 11 0

00

0

0 VT

VTTV

V )

(3.21)

=V konstant TpV ~:0= ( ϑ⋅β+⋅=

ϑ+⋅=⋅= 11 0

00

0

0 pT

pTT

pp )

(3.22)

Der Koeffizient bei der Temperatur ϑ ist für das ideale Gas in beiden Fällen gleich groß:

13

010661031 −−⋅==β=γ K

T, .


Versuch: Vergleich des „Spannungskoeffizienten“ β für zwei reale Gase (Luft und Erd-

gas).

Die Unterschiede der experimentell ermittelten Koeffizienten β und γ für reale Gase gegenüber dem Wert für das ideale Gas sind für Drücke bis Normaldruck klein (Diagramme auf Seite 102); gilt für nahezu alle Gase, deren Kondensationstemperatur ausreichend weit von unseren Messtemperaturen entfernt liegt. Die Unterschiede verschwinden für sehr kleinen Gasdruck. Mittlerer Volumenausdehnungskoeffizient von Gasen bei konstantem Druck p

KV

VV

1000

0100⋅

−=γ ( )CVV °= 00 V ( )CV °= 100100

1

310−

⋅K

γ

(bei Norm

Mittler

3

3

3,670

3,675 N2

,665

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4

1

aldruck 1 relative Abweichung gegen Wert für ideales Gas bei Stickstoff untPa51001325⋅,

er Spannungskoeffizient von Gasen bei konstantem Volumen

Kp

pp

1000

0100⋅

−=β ( )Cpp °= 00 p =100

1

310−

⋅K

β

i

HH

,660

N2

Pap50

er 0,3% )

( )Cp °100

dealesGas

2 e


3

3

3

3,675

Weitere

p

Vervoll Gl. 3.20

Setzen w

und füh

,670

,660

,665

H

H

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4

r Spezialfall von Gl. 3.20 : constT =

constVpVp =⋅=⋅ 00 Boylesches Gesetz, auch (3.23) Boyle-Mariottesches Gese

V

wachsendeTemperatur

Druck p des id

Hyperbeln

Funktion des Volu

im pfür verschiedene T

ständigung der thermischen Zustandsgleichung:

kann folgendermaßen umgestellt werden:

TT

VpVp ⋅⋅⋅=⋅0

001 .

ir 0

0 ρ=m

V ( 0ρ Dichte des Gases bei Normalbeding

ren für

RT

p ′=ρ 00

0 ein, ergibt sich

⋅ TmRVp '=

2
idealesGas
e

Pap5

0

10

tz genannt

ealen Gases alsens : m V

−−V Diagrammemperaturen

ungen)

(3.24)


Thermische Zustandsgleichung des idealen Gases

Aus Experimenten ist bekannt, dass bei Normaldruck ( )Pap 5

0 10013251 ⋅= , und Normaltemperatur T K152730 ,= die Masse rMm = kg ( M relative Molekülmasse) eines (idealen) Gases ein Volumen V einnimmt.

r

3m41422,=

Daraus ergibt sich KkgM

kJR

r ⋅= 31458,'

(3.25)

'R heißt massenbezogene Gaskonstante und hängt von der relativen Molekülmasse des betrachteten Gases ab.

rM

Führt man die sogenannte Stoffmenge ν ( ny) ein, wobei diese mit der Masse m zusammenhängt gemäß

kmolkgMm

r

⋅=ν (Kilomol; Basiseinheit Mol),

ergibt sich die Zustandsgleichung für das ideale Gas in der Form TRVp ⋅⋅ν=⋅ .

KkmolkJ

R⋅

= 31458, heißt universelle oder molare Gaskonstante.

Definition der Stoffmenge: In der Stoffmenge kmol1=ν sind genau so viele Teilchen enthalten wie in 12,00000 kg 12 C(Kohlenstoffisotop der Massenzahl 12); Messungen liefern als Teilchenzahl 6,022142 pro Kilomol. 2610⋅ Weitere Form der thermischen Zustandsgleichung : TRp ⋅′⋅= ρ ( ρ Dichte des Gases) Beispiel Luft:

35 00202941015273100132510500029 mkgTRp

CKTPapMr /),,()(,,,, ±=⋅′

=ρ→°==⋅=±=

Tabellenwert bei den angegebenen Bedingungen: ; im Rahmen der Unsicherheit der berechneten Luftdichte (infolge der Unsicherheit von M

329291 mkgLuft /,=ρ

r) stimmen beide Werte überein. 3.3.2 Zustandsänderungen Zustand eines Gases (idealen Gases) der konstanten Masse m ist nach Gl. 3.24 durch zwei der drei Zustandsgrößen Vp, und T vollständig beschrieben. Bei einer Zustandsänderung müssen sich mindestens zwei der drei Zustandsgrößen ändern (blieben zwei Zustandsgrößen konstant, ließe sich die dritte daraus berechnen und wäre ebenfalls konstant, also fände keine Zustandsänderung statt). Voraussetzung für alle weiteren Überlegungen: Während der Zustandsänderung - keine chemische Reaktion, also z. B. nicht H + H → H2 , - keine Phasenänderung, z.B. Kondensation. Weitere Bedingung: Die thermische Zustandsgleichung setzt voraus, dass im gesamten Gasvolumen Druck und Temperatur dieselben Werte besitzen: Gas muss im Gleichgewicht sein. Bei jeder Zustandsänderung muss aber das Gleichgewicht zunächst verlassen werden: Beispiele


- Temperaturerhöhung durch Wärmezufuhr von außen → Gasmenge erwärmt sich über Konvektion und Wärmeleitung, d.h. zunächst Temperaturunterschiede im Gas.

- Volumenverkleinerung durch bewegten Kolben → zunächst wird Gas in der Nähe des Kolbens bewegt, Ausbildung von Strömungen.

Während des Nichtgleichgewichts gilt die thermische Zustandsgleichung nicht (lässt sie sich nicht anwenden). Unter welchen Umständen kann man trotzdem in der Zustandsgleichung enthaltene Zusammenhänge bei Zustandsänderungen verwenden? Zustandsänderungen müssen so langsam erfolgen, dass das Gas immer (im Rahmen von gestatteten Abweichungen) Gleichgewichtszustände durchläuft. Geht nur, wenn z. B. - die Temperaturunterschiede zwischen äußerer Wärmequelle und Gas sehr klein sind, - die Kolbenbewegung sehr langsam erfolgt, d.h. die resultierende Kraft auf den Kolben sehr klein ist. Solche Zustandsänderungen heißen quasistatisch. Dann dürfen während der Zustands-änderung die aus der Zustandsgleichung folgenden Beziehungen zwischen Vp, und T benutzt werden. Die Zustandsgrößen werden zu Zustandsvariablen. Einwand: Bei technischen Vorgängen kann nicht „unendlich lange“ gewartet werden. Richtig. Trotzdem lassen sich aus quasistatischen Vorgängen wichtige Erkenntnisse für technische Prozesse ziehen. Grafische Darstellung von Zustandsänderungen z. B. im p-V-Diagramm (Gasmasse voraus-setzungsgemäß konstant): Kurve zwischen Zuständen 1 und 2

stelle quasistatischen Vorgang dar, dervon 1 nach 2 verläuft. Zu jedem Punkt der Kurve muss dieTemperatur den aus der Zustands-gleichung folgenden Wert annehmen.

p 1 ° 2 ° V Einige Zustandsänderungen werden mit besonderen Namen gekennzeichnet:

- = const. : 1cp = =TV const. isobarer Vorgang, Isobare

- = const. : 2cV = =Tp const. isochorer Vorgang, Isochore

- = const. : 3cT = 3cVp ′=⋅ = const. isothermer Vorgang, Isotherme - = const. (n Polytropenexponent) nVp ⋅ polytroper Vorgang

Spezialfälle davon

V

p

c

cn =κ= = const. κ⋅Vp adiabatischer Vorgang, Adiabate

(3.26)


( (= kappa) Adiabatenexponent (κ κ > 1), c und c spezifische Wärmekapazitäten des Gases bei konstantem Druck bzw. bei konstantem Volumen; siehe dazu Kap. 3.4 )

p V

1=n : Isotherme 0=n : Isobare

( ∞→n : Isochore) Darstellung der verschiedenen Zustandsänderungen in einem −−Vp Diagramm p

1 2

e

e

2

Von gleichem Zustand 1

22

Wichtige Gruppe von ZustandsänderungRückkehr zum Ausgangszustand (um pche Zustandsänderung heißt Kreisprozes

p

• •

V Versuch: Kreisprozess 3.3.3 Ausdehnungsarbeit p A Feder Kolben sam nach außen, so verrichtet das Gas di dW pdsF ⋅=⋅=(3.27)

Isobar
zu verschiedenen End-zuständen 2 Auf jeder Kurve ist dieGasmasse konstant. Adiabate verläuft injedem Punkt p,V steiler Isotherme
Adiabate

Isochor

als Isotherme.
V
en (insbesondere für die Technik): eriodisch ablaufende Vorgänge zu ermöglichen). Sol-s.

Kreisprozess bei grafischer Darstellung: Geschlossene Kurve, z.B. im

−−Vp Diagramm Wichtig: Umlaufrichtung

Gas werde quasistatisch ausgedehnt (z.B. währendeiner Erwärmung). Das Gas wirkt mit der Kraft

Kolben; dieser Kraft wirkt eine Kraft ApF ⋅=

dF entgegds lang-

F −leiner ist,

die Strecke

auf den, die

nur infinitesimal (sehr wenig) k en.Bewegt sich der Kolben ume Arbeit

dVpdsA ⋅=⋅


( Volumenzuwachs). Mit dieser Arbeit wird z. B. die Federenergie erhöht. Die erhaltene Formel für die Arbeit gilt für beliebige Formen der Volumenänderung:

dVdsA =⋅

Gas gibt Arbeit nach außen ab (ddVpdW ⋅= 0>W ), wenn dV > 0 Wenn dV < 0 → dW < 0 , dem Gas wird Arbeit zugeführt. Bei quasistatischem Übergang von Zustand 1 zu Zustand 2 wird vom Gas die Arbeit V (3.28)

∫W ( )=2

1V

dVVp

an die Umgebung abgegeben ( beispielsweise wird damit die Feder gespannt).

Im −−Vp Diagramm entspricht das Integral der Fläche unter der Kurve ∫ ⋅2

1

V

V

dVp ( )Vp :

p 1VBei Kreisprozessen stellt die u p

1 → 2 V2 > V1: Expansion

1

2

W>0

Ausdehnungsarbeit für speziel Isobare: p = const.

(3.29)

2

1

pdVpWV

V

V

V

== ∫∫

Wenn p = const. sein soll uerhöht werden.

Isotherme: T = const.

.

V 2V

mschlossene Fläche die vom Gas abgegebene Arbeit dar.

V

W > 0 Ablauf in umgekehrter Richtung: Umbenennen (Vertauschen) der Zustände 1 und 2, 1 → 2 V2 < V1: Kompression W < 0

Umlauf im Uhrzeigersinn (eingezeichnete Pfeilrichtung) W > 0 , Umlauf gegen Uhrzeigersinn: W < 0 .

le Vorgänge:

( ) ( 1212

2

2

TTRmVVpdV −⋅′⋅=−⋅= )

nd V2 > V1, muss gemäß Zustandsgleichung die Temperatur

VTRm

p⋅′⋅

= = ( )Vp (also p eine Funktion von V )


( )1

22

1

2

1VV

TRmVdV

TRmdVVpWV

V

V

V

ln⋅⋅′⋅=⋅′⋅== ∫∫

(3.30)

Volumen wächst isotherm von V1 auf V2 , dabei wird vom Gas (positive) Arbeit verrichtet.

Sind nicht die Volumina, sondern die Drücke für die Zustände 1 und 2 gegeben ( und ),

wird man

1p 2p

1

2VV ersetzen durch

2

1

1

2pp

VV

= , denn bei Isotherme gilt 2211 VpVp ⋅=⋅

Also gilt bei der Isotherme für die Ausdehnungsarbeit auch

2

1pp

TRmW ln⋅⋅′⋅=

(3.31) Isochore: = const, , folglich Ausdehnungsarbeit V 0=dV 0=W

Adiabate: , auflösen nach p: κκκ ⋅=⋅==⋅ 2211 VpVpconstVp . ( ) κκ ⋅=V

VpVp1

11

( )2

1

2

11

1 V

V

V

V

pW −κ= ∫2

1

1111 11V

V VVp

VdV

VpdVV κκ

κ ⋅+κ−

⋅== ∫

( ) ( )21221112

11

1111

1111 TT

RmVpVp

VV

VpW −⋅

−κ′

=⋅−⋅⋅−κ

=

−⋅

−κ= −κ−κ

κ

(3.32)Im letzten Schritt wurde die Zustandsgleichung TRmpV ′= genutzt, die selbstverständlich auch bei der Adiabate weiter gilt.

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Skript zur Vorlesung - TU Dresden · Für viele abgeleitete SI-Einheiten wurden besondere Namen und Einheitenzeichen festgelegt, z.B. Newton (N) für die Einheit der Kraft und Volt