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Skriptum zur Vorlesung KapitalmarkttheorieStudiengang:
MSc in Business Administration
Professor Dr. Jochen WilhelmLehrstuhl fur Betriebswirtschaftslehre mit Schwerpunkt Finanzierung
Universitat Passau
Wintersemester 2010/2011
i
ii
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis iii
I Portfolio-Theorie 1
1 Begriffsabgrenzungen 3
2 Einfuhrung in das individuelle Entscheidungsverhalten bei Risiko 52.1 Voruberlegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Hedging, Diversifikation und kumulative Verbindung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 Risikoallokationsmoglichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4 Das Grundmodell der Entscheidungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.5 Erwartungswert–Varianz – Entscheidungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.6 Risikoaversion und Nachfrage nach riskanten Investitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.6.1 Wann wird uberhaupt riskant investiert? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.6.2 Wieviel wird riskant investiert? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.6.3 Die Tobin-Separation bei Erwartungsnutzenmaximierung (in welcher Form wird riskant investiert?) . . . . . . . 27
3 Effiziente Wertpapierportfolios 313.1 Verallgemeinert effiziente Portfolio–Entscheidungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2 Die Zulassigkeit von Hedge–Portfolios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.3 Die Linie effizienter Wertpapierportfolios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3.1 Der Fall nicht–trivialer Hedge–Portfolios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.3.2 Der Fall ohne Hedge–Portfolios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.4 Das SHARPE–Modell (”Marktmodell“) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
iii
4 Effiziente Portfolios und herrschendes Preissystem 53
4.1 Konsequenzen der notwendigen Bedingung fur Effizienz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2 Die Konstruktion und Bedeutung so genannter Zero–Beta–Portfolios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.3 Die Verhaltnisse bei Existenz der sicheren Anlage oder Hedge–Portfolios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.4 Die Renditeformulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.5 Systematische und unsystematische Risikokomponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.6 Die Messung von systematischem und unsystematischem Risiko bei Existenz von Hedge–Portfolios oder risikofreienAnlagemoglichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
II Preissysteme und Marktgleichgewicht 67
5 Die Struktur von Bewertungssystemen fur riskante Wertpapiere 69
5.1 Arbitrage–orientierte Kapitalmarkttheorie bei Unsicherheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.2 Zustandsabhangige Diskontierungsfaktoren und Grenznutzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.3 Pseudowahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.4 Das Capital Asset Pricing Model (CAPM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6 Varianten des Capital Asset Pricing Model 83
6.1 Das Kapitalmarktmodell ohne risikofreie Anlage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.2 Das Kapitalmarktmodell mit nicht–marktfahigem Einkommen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.2.1 Das Individualkalkul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.2.2 Das Marktgleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.3 Das Kapitalmarktmodell mit segmentierten Markten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.3.1 Das Individualkalkul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.3.2 Das Marktgleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
7 Probleme der empirischen Uberprufung des CAPM 95
8 Die Arbitrage–Pricing–Theory (APT) 97
8.1 Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
8.2 Kritische Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
iv
III Derivate 103
Notationsvereinbarung 105
9 Einfuhrung in Terminologie und Bewertung von Festgeschaften 109
10 Einfuhrung in die dynamische Arbitragetheorie: Zeit- und Zustands–diskrete Preisprozesse 11710.1 Der Binomialfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
10.1.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12110.1.2 Konsequenzen fur arbitragefreie Markte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12510.1.3 Die Berucksichtigung von Wahrscheinlichkeiten: Die Martingal–Eigenschaft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12710.1.4 Die Berechnung des Preisfunktionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
10.2 Der allgemeine diskrete Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13110.2.1 Der allgemeine Fall ohne Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13110.2.2 Der allgemeine Fall mit Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
11 Die Bewertung von Festgeschaften 16711.1 Allgemeine Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16711.2 Die besonderen Verhaltnisse im Devisenhandel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17011.3 Zinstiteltermingeschafte (Financial Futures, Interest Rate Futures) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
11.3.1 Kontrakte uber Diskontpapiere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17511.3.2 Kontrakte uber coupontragende Anleihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
12 Festgeschafte: Erganzende Aspekte 17912.1 Hedging mit Zinstiteltermingeschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
12.1.1 Diskontpapiere als Underlying . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17912.1.2 Coupon-Anleihen als Underlying . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
12.2 Zum Verhaltnis von Forward– und Futures–Kontrakten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18712.3 Swaps und Floating Rate Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
13 Spezielle Derivate: Optionen 19513.1 Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19513.2 Die Bewertung von Optionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
13.2.1 Modellfreie Arbitragerestriktionen fur (Aktien–) Optionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19613.2.2 Bewertung von Derivaten im Binomialmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20813.2.3 Bewertung von Derivaten im Polynomialmodell (Mehrere Underlyings) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
v
14 Die Abwicklung und Erfullung von Termingeschaften 21514.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21514.2 Differenzsysteme bei Interest Rate Futures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
IV Anhange 221
A Fur die Kapitalmarkttheorie wichtige Eigenschaften der Normalverteilung 223
B Einige Notationsvereinbarungen 229
C Verzeichnis einiger standig verwendeten Bezeichnungen 231
D Differentiation der Varianz 233
E Anmerkungen zur Risikoaversion und speziell zu HARA-Nutzenfunktionen 235E.1 Die Differentialgleichung der absoluten Risikoaversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235E.2 Zur Frage der (Verteilungs-bedingten) Tobin-Separation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237E.3 Zur Frage der (Nutzenfunktions-bedingten) Tobin-Separation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
F Martingalmaße 245F.1 Durch Martingale erzeugte Wahrscheinlichkeitsmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245F.2 Erwartungswerte und bedingte Erwartungswerte auf der Grundlage solcher Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . 247F.3 Arbitragefreie Preispfade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
Literaturverzeichnis 259
vi
Teil I
Portfolio-Theorie
1
Kapitel 1
Begriffsabgrenzungen
Bei jeder Vermogensubertragung, die den Austausch von Vermogen gegen das Versprechen zukunftiger Ruckubertragungen vonVermogen und u. U. unter Vereinbarung weiterer Rechte zum Gegenstand hat, liegt eine Finanzmarkttransaktion vor. Sind dasVersprechen und die ubrigen Rechte verbrieft, liegt eine Transaktion am Finanztitelmarkt vor.
Man unterscheidet die Primarmarktfunktion (Emissionsmarkt) und die Sekundarmarktfunktion (Zirkulationsmarkt)von Finanzmarkten. Die Primarmarktfunktion fuhrt anlagebereite Mittel auf der einen Seite und verwendungsbereite, investitionsbereiteWirtschaftssubjekte auf der anderen Seite zusammen. Die Sekundarmarktfunktion erlaubt den Wechsel der Anspruchsberechtigten,ohne die Verwendung (die Investition) der Mittel zu storen. Primarmarkt– und Sekundarmarktfunktion werden unterstutzt durchdie Tatigkeit der Finanzintermediare (Transformation des Mittelangebotes unter Fristigkeits- und Risikogesichtspunkten in einenachfrageentsprechende Form) und der Arbitrageure (Ausgleich von temporaren Preisunterschieden fur homogene Gegenstande vonFinanzmarkttransaktionen).
Finanzmarkte zerfallen in viele Segmente, die nach
– raumlichen Gesichtspunkten (national, international)
– zeitlichen Gesichtspunkten (Zeitzonen)
– Handelsobjekten
gegliedert werden konnen.Die Handelsobjekte konnen sich unterscheiden
– bezuglich der Wahrung, auf die sie lauten (DM, Dollar, EURO)
– bezuglich ihrer Abtretbarkeit und Fungibilitat (Personalkredit, Aktie ... )
3
– bezuglich ihrer Rechtsform (Eigen–, Fremdkapital; besichert, unbesichert )
– bezuglich ihrer Bindungsdauer (kurz–, mittel–, langfristig)
– bezuglich ihrer Anspruchsfixierung (fest, bedingt, mit Wahlrecht).
Als Kapitalmarkt bezeichnet man ublicherweise jenes Segment, das sich durch verbriefte, abtretbare, fungible Finanztitel langerBindungsdauer auszeichnet. Als Geldmarkt bezeichnet man ublicherweise jenes Segment, das sich durch abtretbare, fungible, feste(unbedingte) Anspruche kurzer Bindungsdauer auszeichnet (konventionelle Grenze: 1 Jahr).
Gegenstand der Kapitalmarkttheorie sind Finanzmarkte, auf denen Finanzmarkttransaktionen mit Objekten stattfinden, dieabtretbar und fungibel sind (unabhangig von ihrer Bindungsdauer); Objekte, die Wahlrechte offerieren, erfahren gewohnlich eineSonderbehandlung in der Theorie, der Standardfall sind sie nicht; sie sind Gegenstand der Optionspreistheorie; Titel mit Wahlrechtenund Titel, deren Wert funktional mit dem Wert anderer Titel verknupft ist – so genannte Derivate – werden auf theoretischer Ebeneeinheitlich behandelt. Diese inzwischen einheitliche Theorie enthalt die Optionspreistheorie (i.e.S.) als Spezialfall (wir geben hier nureine kurze Einfuhrung).
4
Kapitel 2
Einfuhrung in das individuelle Entscheidungsverhaltenbei Risiko
Literatur: Arrow [1]; Bamberg u. a. [2]; Cass u. Stiglitz [8]; Feller [9]; Feller [10]; [12]; Losq u. Chateau [20];Pratt [25]; [32]; Schneeweiß [34]; Tobin [38]; Wilhelm [41]
2.1 Voruberlegungen
Kapitalmarkttheorie befasst sich mit der Preisbildung fur Finanztitel. Die Leistungen, auf die der Inhaber eines Finanztitels Anspruchhat, sind in der Regel in Hohe und zeitlicher Struktur nicht vollkommen sicher. Daruber hinaus ist unsicher, wie diese Leistungen inZukunft bewertet werden. Daraus folgt, dass die zukunftige Preisentwicklung fur Finanztitel in aller Regel unsicher ist. Nur inAusnahmefallen wird man das Entscheidungskonzept, das zur Modellierung des Anlageverhaltens bei Sicherheit entwickelt wurde, beiUnsicherheit wirklich sinnvoll anwenden konnen.
Beispiel 1 Betrachten wir zwei Wertpaiere mit unsicheren Renditen R1 und R2, die heute zu den Preisen P 10 und P 2
0 notieren.Die Preise (zuzuglich eventueller Ausschuttungen), wir sprechen oft von Endwert oder Payoff, am Periodenende betragen daherP 1
1 = (1 +R1) · P 10 und P 2
1 = (1 +R2) · P 20 . Zur Charakterisierung der Unsicherheit mag man Erwartungswerte und Varianzen
bzw.Standarabweichungen heranziehen
5
Rendite PayoffE (R1) E (P 1
1 ) = (1 + E (R1)) · P 10
E (R2) E (P 21 ) = (1 + E (R2)) · P 2
0
var (R1) var (P 11 ) = var (R1) · P 12
0
var (R2) var (P 21 ) = var (R2) · P 22
0
std (R1) std (P 11 ) = std (R1) · P 1
0
std (R2) std (P 21 ) = std (R2) · P 2
0
Kombiniert man die beiden Wertpapiere mit x1 Stuck vom ersten und x2 Stuck vom zweiten, so verbraucht man ein Budet von w0 =
x1 · P 10 + x2 · P 2
0 , aus dem man einen Payoff von w1 = x1 · P 11 + x2 · P 2
1 erzielt; dabei hat man den Bruchteil α =x1·P 1
0
w0des Budgets
in das erste Wertpapier und den Bruchteil 1 − α =x2·P 2
0
w0in das zweite Wertpapier investiert. Die erzielte Rendite ergibt sich zu
w1
w0= α · R1 + (1− α) · R2. Die erwartete Rendite betragt daher E
(w1
w0
)= α · E (R1) + (1− α) · E (R2), verhalt sich also analog zu
Renditen bei Sicherheit. Die Varianz der Rendite hingegen errechnet sich zu var(w1
w0
)= α2 · var (R1) + 2 · α · (1− α) · cov (R1, R2) +
(1− α)2 · var (R2). Die Formel fur die Varianz zeigt, dass unter Berucksichtigung des Risikos ein spezifischer Effekt auftritt, der auseiner Art Interaktion der beiden Wertpapiere entsteht. In der Statistik verwendet man fur diese Interaktion gerne die aus der Kovarianzabgeleitete Korrelation
corr (R1, R2) =cov (R1, R2)
std (R1) · std (R2)
die Werte zwischen −1 und +1 annehmen kann. Die Abbildung 2.1 zeigt die Abhangigkeit der Varianz der Gesamtrendite von derKorrelation bei konstanten Wertpapieranteilen; sie ist naturlich linear. Abbildung 2.2 zeigt dagegen den Verlauf der Gesamtrendite beikonstanter Korrelation in Abhangigkeit von den Wertpapieranteilen; sie ist U-formig, es gibt also ein Minimum. Diese Beobachtung istAusgangspunkt der nachfolgenden Uberlegungen zur Risikopolitik.
2.2 Hedging, Diversifikation und kumulative Verbindung
Bei der nachfolgenden betrachtung steht nicht der Gedanke im Vordergrund, das Risiko durch eine geeignete Zusammensetzung derGesamtposition durch Nutzung bei Variabilitat der (beiden) Einzelpositionen zu beeinflussen, sondern das Risiko einer Einzelpositiondurch Hinzufugen einer weiteren, erganzenden Position in eine angemessene Gesamtposition einzubinden. Bei einer solchen Zusam-menfuhrung unsicherer Positionen zu einer Gesamtposition unterscheidet man (qualitativ) drei Grundformen
– kumulative Verbindung
6
0 1−1 Korrelation
V arianz
Abbildung 2.1: Die Varianz in Abhangigkeit von der Korrelation
0 1 α
V arianz
Abbildung 2.2: Varianz in Abhangigkeit vom Anteil α des ersten Wertpapiers
7
– Diversifikation
– Hedging
Sind x und y zwei unsichere Positionen, so betrachten wir Varianz und Standardabweichung der zusammengesetzten Position x+y.Es gilt:
var(x+ y) = var(x) + 2cov(x, y) + var(y)
= var(x) + 2√
var(x)√
var(y) corr(x, y) + var(y)
Recht ublich ist die folgende abkurzende Schreibweise:
σx =√
var(x) = std (x) etc.
Also (corr(x, y) ist der Korrelationskoeffizient) gilt:
σ2x+y = σ2
x + 2σx σycorr(x, y) + σ2y
= σ2x +
+2σx σy
−2σx σy
+ σ2
y +
−2(1− corr(x, y))σx σy
+2(1 + corr(x, y))σx σy
Also:
σ2x+y = (σx + σy)
2 − 2(1− corr(x, y))σx · σy fur corr(x, y) > 0 (2.1)
σ2x+y = σ2
x + σ2y fur corr(x, y) = 0 (2.2)
σ2x+y = (σx − σy)2 + 2(1 + corr(x, y))σx · σy fur corr(x, y) < 0 (2.3)
Definition 1 1. Kumulative Verbindung liegt vor, wenn corr(x, y) = +1 gilt; dann hat man
σx+y = σx + σy
die Standardabweichungen addieren sich.
8
2. Hedging liegt vor (genauer: ist moglich), wenn corr(x, y) = −1 gilt; dann hat man
σx+y = |σx − σy|
Die Standardabweichung von x + y ist absolut gleich der Differenz der Standardabweichungen. Diese Standardabweichung wirdgleich null, wenn man x mit dem Vielfachen σ
x/σy
von y kombiniert: Die Position
x+ αy
mit α = σxσy
ist risikofrei, wenn corr(x, y) = −1 gilt:
σ2x+αy = (σx − σαy)2 + 2(1 + corr(x, αy))σx σαy
Nun gilt:σαy =
√var(αy) =
√α2var(y) = |α|
√var(y) = |α|σy
und
corr(x, αy) =cov(x, αy)
σx σαy=
α cov(x, y)
|α|σx σy=
α
|α|corr(x, y) (2.4)
Also gilt mit α = σxσy
:
σ2x+αy = 0
Hedging eliminiert somit das Risiko.
3. Diversifikation liegt vor bei |corr(x, y)| < 1; dann wird das Gesamtrisiko (hier operationalisiert durch die Standardabweichung)unter die Summe der Einzelrisiken gesenkt!
Selbst wenn Hedging im strengen Sinne nicht moglich ist, kann auch schon bei Korrelationskoeffizienten dicht bei −1 erheblicheRisikoreduktion erreicht werden: Bei gegebenem Korrelationskoeffizienten ρ =corr(x, y) wird wie folgt das Risikominimum erreichtdurch Variation von α (
”risikominimaler Hedge“,
”optimaler Hedge”; vgl. noch einmal Abbildung 2.2):
σ2 = σ2x + 2σx σαycorr(x, α y) + σ2
αy → min!
Es giltσ2 = σ2
x + 2α ρσx σy + α2 σ2y (2.5)
unddσ2
dα= 2 ρ σx σy + 2ασ2
y = 0
9
0 1−1 Korrelation
V arianz
Abbildung 2.3: Die optimal gehedgte Standardabweichung in Abhangigkeit von der Korrelation
d.h.
α = −ρ σxσy
(2.6)
Im Falle vollstandigen Hedgings (ρ = −1) stimmt dieses Ergebnis mit unserer vorigen Uberlegung uberein. In der Interpretationist x die abzusichernde Position, y das Hedge–Instrument; α ist die Anzahl der
”Hedge-Kontrakte“, die man zur Risikominimierung
erwerben muss. Sind x und y negativ korreliert (ρ < 0), so ist α > 0, d.h. man kauft Hedge–Kontrakte. Sind dagegen x und y positivkorreliert (ρ > 0), so ist α < 0, d.h. zur Absicherung sind Leerverkaufe des Hedge–Kontraktes notwendig.
Setzt man (9.5) in (2.5) ein, so erhalt manσ2 = σ2
x(1− ρ2) (2.7)
als Varianz der optimal gehedgten Gesamtposition. Die Abbildung 2.3 zeigt die Standardabweichung einer optimal gehedgtenGesamtposition in Abhangigkeit von der Korrelation.
10
Zustand 1
Zustand 2
P1
x
y
Abbildung 2.4: Darstellung von Finanztitel-Payoffs im Zustandsraum
2.3 Risikoallokationsmoglichkeiten
An Markten, an denen risiko– (und chancen–) behaftete Titel gehandelt werden, existieren in der Regel mehr als zwei Anlagemoglichkeiten.Die Uberlegungen des voranstehenden Abschnitts bedurfen daher der Verallgemeinerung. Wir bezeichnen mit
P i1 (i = 1, . . . , n)
allgemein den Ruckfluss pro Stuck, den eine Anlageform i am Periodenende liefert, wenn man es uber die betrachtete Periode [0, 1]halt. P i
1 wird als Zufallsgroße modelliert. Mit
P1
bezeichnen wir den Vektor, der aus diesen n Zufallsgroßen besteht, er ist ein Zufallsvektor. Man kann sich diese Großen bei endlichvielen Zustanden wieder selbst als Vektoren vorstellen:
x ist der Wert, den die Zufallsgroße (der Ruckstrom) P1 bei Realisation von Zustand 1, y der Wert, den die Zufallsgroße (derRuckstrom) P1 bei Realisation von Zustand 2 annimmt (mehr als zwei Zustande sind konzeptionell kein, nur grafisch ein Problem).
11
Zustand 1
Zustand 2
P1
x
y
Abbildung 2.5: Risikoallokationsmoglichkeiten bei einer Anlageform
Mit nur einer Anlageform lassen sich nur eine beschrankte Anzahl von (risikobehafteten) Ruckstromen realisieren: Man kann nurmehr oder weniger in diese eine Anlageform investieren; das fuhrt, geometrisch interpretiert, zu veranderten Positionen auf einem festenStrahl, siehe Abbildung 2.5, Seite 12.
Hat man eine zweite Anlageform zur Verfugung, erlaubt die Moglichkeit der Portfoliobildung eine Ausweitung des Risikoalloka-tionspotentials; mathematisch gesehen ist die Portfoliobildung eine Linearkombination von Vektoren, siehe Abbildung 2.6, Seite 13.
12
Zustand 1
Zustand 2
P1
P1
Abbildung 2.6: Risikoallokationsmoglichkeiten bei zwei Anlageformen und Leerverkaufsverbot
13
Der eingefarbte Bereich zeigt die Risikoallokationsmoglichkeiten durch Portfolio–Bildung ohne Leerverkaufe. Sind Leerverkaufezugelassen, erweitert sich das Gebiet der Risikoallokationsmoglichkeiten auf die ganze Ebene. Das ist Konsequenz der Tatsache, dasswir zwei Anlageformen bei zwei moglichen Zustanden betrachten. Betrachten wir dagegen n Anlageformen bei m Zustanden, sind dieRisikoallokationsmoglichkeiten durch einen hochstens n–dimensionalen Unterraum des m–dimensionalen Zustandsraumes zu beschrei-ben. Wenn also zwei Anlageformen bei drei moglichen Zustanden gegeben sind, sind die Risikoallokationsmoglichkeiten auf jener Ebene(oder Gerade) zu suchen, die von den Ortsvektoren der beiden Anlageformen aufgespannt wird.
In diesem Zusammenhang ist das folgende mathematische Konzept nutzlich und wichtig fur die Ordnung der Verhaltnisse (wirgeben die Definition in unserem Kontext):
Definition 2 Eine Anzahl n von Anlageformen heißt stochastisch linear abhangig, wenn es eine (nichttriviale) Linearkombinationvon ihnen gibt, deren Ruckstrom (fast) sicher ist.
Fur unseren Fall: P 11 , . . . , P
n1 sind stochastisch linear abhangig, wenn es x1, . . . , xn gibt mit
n∑i=1
P i1 · xi = sicher
oder in vektorieller Schreibweise:xT · P1 = sicher
undx 6= 0
Wir sehen jetzt, dass stochastisch linear abhangige Anlageformen Hedging in einem etwas erweiterten Sinn erlauben: Geschicktkombiniert, d.h. in den richtigen Stuckzahlen, ist der Ruckfluss der entsprechenden Gesamtposition sicher.
Subsumieren wir den Spezialfall des voranstehenden Abschnitts unter unsere erweiterte Konzeption:
n = 2 corr(P 11 , P
21 ) = 1
Wir konstruieren die Linearkombination x1P11 + x2P
21 und berechnen deren Varianz:
var(x1P11 + x2P
21 )
= x21 · var(P 1
1 ) + x22 · var(P 2
1 ) + 2x1x2 cov(P 11 , P
21 )
Nun gilt nach Annahme:
1 = corr(P 11 , P
21 ) =
cov(P 11 , P
21 )
std(P 11 ) std(P 2
1 )
14
und daher
var(x1P11 + x2P
21 ) = x2
1var(P 11 ) + x2
2var(P 21 )
+2x1 x2 corr(P 11 , P
21 ) · std(P 1
1 )std(P 21 )
= x21var(P 1
1 ) + 2 std(P 11 )std(P 2
1 )x1x2 + x22var(P 2
1 )
= (x1std(P 11 ) + x2std(P 2
1 ))2
Fur x1, x2 ergibt sich als Bedingung fur Hedging:
x1std(P 11 ) + x2std(P 2
1 ) = 0
bzw.x1
x2
= − std(P 21 )
std(P 11 )
oderx2
x1
= − std(P 11 )
std(P 21 )
Da die Risikoallokationsmoglichkeiten bei mehreren Anlageformen aus der Moglichkeit der Portfoliobildung resultieren, kommtes offensichtlich fur das Ausmaß an Risikoallokationspotential nicht auf die schiere Anzahl von Anlageformen, sondern auf die maximaleAnzahl der stochastisch linear unabhangigen unter ihnen an.
Fugt man namlich einer gewissen Anzahl n∗ von stochastisch linear unabhangigen Anlageformen eine weitere hinzu und ist dasSystem dann stochastisch linear abhangig, so gilt
n∗∑i=1
P i1 · xi + P n∗+1
1 · xn∗+1 = sicher ,
wobei xn∗+1 6= 0 sein muss, da sonst schon die n∗ Anlageformen stochastisch linear abhangig gewesen waren. Folglich gilt
P n∗+11 = sicher −
n∗∑i=1
P i1
xixn∗+1
,
d.h. diese Anlageform fugt kein neues Risikoallokationspotential hinzu, allenfalls die Moglichkeit, risikofrei zu investieren, wenn sienicht schon zuvor (jenseits der Anlagemoglichkeiten P 1
1 , . . . , Pn∗1 ) gegeben war.
Fur die stochastische lineare Unabhangigkeit der Großen P 11 , . . . , P
n1 gibt es ein griffiges Kriterium, wenn die Varianzen und Kova-
rianzen alle existieren:
15
Kriterium 1 P 11 , . . . , P
n1 sind stochastisch linear abhangig genau dann, wenn die Kovarianzmatrix (siehe Anhang)
COV(P1, P1)
singular ist, dabei ist die Kovarianzmatrix durch
COV(P1, P1) = E(P1 − E(P1)) · (P1 − E(P1))T (2.8)
definiert.
Beweis:
1 Wenn xT · P1 = sicher ist mit x 6= 0 , gilt
0 = var(xT · P1) = cov(xT · P1 , xT · P1) = xT · COV(P1, P1) · x
Daher ist die Kovarianzmatrix singular.
2 Ist die Kovarianzmatrix singular, so gibt es ein y 6= 0 mit
n∑j=1
cov(P i1, P
j1 )yj = 0 fur alle i .
Wir betrachtenn∑j=1
P j1 · yj. Die Varianz dieser Große ist
cov
(n∑i=1
P i1 yi ,
n∑j=1
P j1 yj
)=
n∑i=1
yi ·
n∑j=1
cov(P i1, P
j1 )yj
= 0 ,
da die Kovarianzmatrix singular ist. Deshalb ist yT · P1 sicher und P1 stochastisch linear abhangig.
Die Risikoallokationsmoglicheiten einer Menge P 11 , . . . , P
n1 von Anlagemoglichkeiten werden daher schon durch eine Maximalzahl
von stochastisch linear unabhangigen dieser Anlagemoglichkeiten vollstandig beschrieben. Die Kovarianzmatrix dieser Untermengevon Anlagemoglichkeiten ist dann nicht–singular. Wenn also n∗ die maximale Zahl stochastisch linear unabhangiger Anlagemoglichkeitenist, so gilt Folgendes:
P1 = A · (P ∗1 − E(P ∗1 )) + E(P1) (2.9)
mit: P ∗1 als Vektor der n∗ stochastisch linear unabhangiggen Anlagemoglichkeiten und A als einer geeigneten (n× n∗)-Matrix.
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Beispiel 2 3 Zustande mit den Wahrscheinlichkeiten (1/4 , 1/2 , 1/4). Die Payoffs lauten
Zustand 1 Zustand 2 Zustand 3
P 11 110 100 90P 2
1 90 100 110P 3
1 105 100 90P 4
1 90 100 105
Bereinigt man die Payoffs um ihre Erwartungswerte, ergibt sich:
Zustand 1 Zustand 2 Zustand 3
P 11 − E(P 1
1 ) 10 0 −10P 2
1 − E(P 21 ) −10 0 10
P 31 − E(P 3
1 ) 6.25 1.25 −8.75P 4
1 − E(P 41 ) −8, 75 1.25 6.25
Offenbar gibt es in diesem Beispiel zwei stochastisch linear unabhangige Anlagen (z.B. P 11 und P 3
1 ). Man wahlt z.B. P 1∗1 = P 1
1 undP 2∗
1 = P 31 und setzt die Matrix
A =
1 0−1 00 1−1, 5 1
an. Man uberzeugt sich bezuglich P1 = A · P ∗1 − E(P ∗1 )+ E(P1) z.B. durch:
P 31 − E(P 3
1 ) = a31 · (P 1∗1 − E(P 1∗
1 )) + a32 · (P 2∗1 − E(P 2∗
1 ))
= a31 · (P 11 − E(P 1
1 )) + a32 · (P 31 − E(P 3
1 ))
= P 31 − E(P 3
1 )
oder
P 41 − E(P 4
1 ) = a41 · (P 1∗1 − E(P 1∗
1 )) + a42 · (P 2∗1 − E(P 2∗
1 ))
= a41 · (P 11 − E(P 1
1 )) + a42 · (P 31 − E(P 3
1 ))
= P 41 − E(P 4
1 ) ,
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wie es die Tabelle ausweist. Die Risikoallokationsmoglichkeiten werden schon durchdie beiden Payoffs P 11 und P 3
1 vollstandig”
auf-gespannt”. Wenn man die Anordnung der Anlagemoglichkeiten andert, kann man erreichen, dass die Matrix A im unteren Teil zurEinheitsmatrix wird.
2.4 Das Grundmodell der Entscheidungstheorie
Das Grundmodell der Entscheidungstheorie geht von einer Menge A von Alternativen (Aktionen, Aktivitaten) aus, von denen eineunter unsicheren Umweltbedingungen ergriffen werden muss. Die Unsicherheit der Umwelt wird durch eine Menge Ω von moglichenUmweltzustanden (Elementarereignissen,
”states of the world”) reprasentiert. Alternativen a ∈ A und Umweltzustande ω ∈ Ω treffen
zusammen: (a, ω) und losen entscheidungsrelevante Ergebnisse e(a, ω) aus. Im hier betrachteten Kontext ist e eine Ergebnisfunktion
e : AxΩ → R2
die den Handlungsalternativen als’Ergebnisse‘ die moglichen Konsumauszahlungen:
e(a, ω) = (c0(a) , c1(a, ω)) (2.10)
zuordnet. Die Konsumauszahlungen in t = 0 (bzw. t = 1) hangen von der ergriffenen Aktion a und dem eintretenden Umweltzustandω ab.
Ein Dominanz– bzw. Effizienzkonzept, das jenes bei Sicherheit verallgemeinert, kann nun wie folgt gegeben werden:
Definition 3 Eine Aktion a1 dominiert eine Aktion a2, wenn gilt:
c0(a2) ≤ c0(a1) (2.11)
und
c1(a2, ω) ≤ c1(a1, ω) (2.12)
und
c0(a2) < c0(a1) (2.13)
oder
c1(a2, ω) < c1(a1, ω) mit einer Wahrscheinlichkeit großer als null. (2.14)
Die logische Struktur ist die, dass a1 die Aktion a2 dominiert, wenn gilt: (9.7) ∧ (9.8) ∧ (9.9) ∨ (9.10).
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Fur diesen Fall kann man die oben eingefuhrte Ordnungsrelation verallgemeinern und c(a2, ·) < c(a1, ·) schreiben, wenn man
c(a, ·) :=
(c0(a)c1(a, ·)
)notiert.
Definition 4 Entsprechend ist eine Aktion effizient, wenn es keine sie dominierende (zulassige) Aktion gibt.
Dieser Effizienzbegriff wird hier allerdings nicht weiter verfolgt; er spielt aber unter Unsicherheit die gleiche Rolle in der praferenzunabhangigenArbitrage–Theorie wie der entsprechende Begriff bei Sicherheit.
Gibt man eine Wahrscheinlichkeit π auf den Umweltzustanden vor, so gilt das folgende
Theorem 1 (Bernoulli-Prinzip) Sind bestimmte Rationalitatspostulate erfullt (die hier nicht formuliert werden), dann gibt es eineFunktion u (die von Neumann–Morgenstern–Nutzenfunktion), so dass das Entscheidungsverhalten des betrachteten Wirtschafts-subjektes durch die Anweisung
Wahle a∗ ∈ arg maxEπ(u(c(a, ·))) | a ∈ Areprasentiert wird; d.h. jeder Anleger verhalt sich so, als ob er den Erwartungswert seines Nutzens maximieren wurde.
Im Folgenden wird angenommen, dass der Nutzen u nur vom Vermogen am Periodenende abhange und nicht vomKonsum am Periodenbeginn: Das Wahlproblem zwischen Konsum und Investition wird als gelost vorausgesetzt.
Definition 5 (Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion) Man beachte folgenden definitorischen Zusammenhang: Man kann zurAktion a ∈ A die zugehorige Verteilungsfunktion
Fa(x) = πω ∈ Ω | c1(a, ω) ≤ x
definieren. 1− Fa(x) beschreibt die Wahrscheinlichkeit, mit der der Konsum c1 bei Ergreifen der Aktion a den Wert x uberschreitet.
Dann gilt fur den Nutzenerwartungswert:
Eπ(u(c1(a, ·))) =
∫Ω
u(c1(a, ω))dπ(ω) =
∞∫−∞
u(x)dFa(x)
Definition 6 Risikoaversion liegt vor, wenn stets gilt
Eπ(u(c1(a, ·))) < u(Eπ(c1(a, ·)))
d.h. wenn es stets vorgezogen wird, den Erwartungswert einer (nicht–trivialen) Verteilung sicher statt der Verteilung selbst zu erhalten.
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Satz 2 Hinreichend fur Risikoaversion ist, wenn die Nutzenfunktion u streng konkav ist, d.h. wenn fur alle x, y
12u(x) + 1
2u(y) < u
(x+ y
2
)gilt.
Beweis: Wegen der Jensen’ schen Ungleichung gilt dann
Eπ(u(c1(a, ·))) =
∞∫−∞
u(x)dFa(a) < u
∞∫
−∞
xdFa(x)
= u(Eπ(c1(a, ·)))
Satz 3 Eine Nutzenfunktion u ist streng konkav, wenn fur die zweite Ableitung u′′< 0 gilt.
Axiom 1 (Stochastische Dominanz) Als minimales Rationalitatspostulat gilt, dass, wenn a1 die Aktion a2 dominiert (c1(a1, ·) >c1(a2, ·) (siehe (9.7) bis (9.10)), gelten muss:
Eπ(u(c1(a1, ·))) > Eπ(u(c1(a2, ·)))
Aus diesem Axiom folgt, dass die Nutzenfunktion u monoton steigend sein muss, d.h. dass fur die erste Ableitung u′ > 0 geltenmuss.
Definition 7 Als absolute Risikoaversion bezeichnet man den Ausdruck:
RA(x) = − u′′(x)
u′(x)(2.15)
Satz 4 Die absolute Risikoaversion ist eine bei risikoaversem Verhalten positive Große.
Auf Bedeutung der absoluten Risikoaversion fur die praferenzabhangige Kapitalmarkttheorie wird noch eingegangen.
Definition 8 Als relative Risikoaversion wird der Ausdruck
RR(x) = x ·RA(x) (2.16)
bezeichnet.
20
2.5 Erwartungswert–Varianz – Entscheidungen
Die Reduktion des Bernoulli–Prinzips auf ein (µ, σ)–Prinzip d.h. auf ein Entscheidungsprinzip, das nur vom Erwartungswert und derVarianz der Entscheidungsergebnisse abhangt, kann auf zweierlei Weise erfolgen; durch Approximation (bzw. Spezifikation) derNutzenfunktion oder durch Approximation (bzw. Spezifikation) der Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Zur Approximation der Nutzenfunktion entwickeln wir u in einer Taylor–Reihe: u(x) werde um den Punkt y entwickelt. Dabeiergibt sich:
u(x) =∞∑j=0
dju(y)
dxj· (x− y)j
j!(2.17)
In (2.17) ersetzt man x = c1(a, ·) und y = µ(a) := E[c1(a, ·)] und bildet den Erwartungswert. Dann gilt wegen E[(c1(a, ·) −µ(a))2] =var[c1(a, ·)]:
E(u(c1(a, ·))) = u(µ(a)) +1
2u′′(µ(a)) · var(c1(a, ·))
+∞∑j=3
dju(µ(a))
dxjE(c1(a, ·)− µ(a))j
j!(2.18)
In erster Naherung zeigt sich aus (2.18), dass der erwartete Nutzen mit dem Erwartungswert µ(a) steigt (erster Summand derrechten Seite von (2.18): u ist monoton steigend) und mit der Varianz sinkt (zweiter Summand der rechten Seite von (2.18): die zweiteAbleitung von u ist wegen der Risikoaversion negativ). Der restliche Summenterm enthalt hohere Ableitungen der Nutzenfunktionund hohere zentrale Momente der Verteilung; uber ihren Einfluss lasst sich a priori nichts sagen.
Spezifiziert man eine quadratische Nutzenfunktion, so geht mit u = x− α2· x2(α > 0) die Gleichung (2.18) uber in
E(u(c1(a, ·))) =[µ(a)− α
2µ(a)2
]− α
2σ2(a) , (2.19)
wobei σ2(a) die Varianz var(c1(a, ·)) abkurzt. Gegen die quadratische Nutzenfunktion ist auch hier einzuwenden, dass sie in hoherenBereichen (namlich bei x > α−1) zu negativem Grenznutzen u′ = 1 − α · x fuhrt und damit das oben genannte minimale Rationa-litatspostulat der stochastischen Dominanz verletzt. Fur µ(a) > α−1 ist dann auch das Prinzip (2.19) in µ(a) nicht mehr monotonsteigend!
Die zweite Moglichkeit, aus dem Bernoulli–Prinzip ein (µ, σ)–Prinzip abzuleiten, besteht in einer geeigneten Spezifikation derVerteilung von c1(a, ·). Wir betrachten eine Klasse von Entscheidungsproblemen A, fur die gemeinsam ist, dass die VerteilungsfunktionFa(x) fur alle a ∈ A von der Gestalt
Fa(x) = G(x, µ(a), σ(a))
21
mit einer fest gewahlten Funktion G ist; hierbei sei
µ(a) = E(c1(a, ·))
und
σ(a) =√
var(c1(a, ·))
Als Sonderfall wird gewohnlich
G(x, µ, σ) =1√2πσ
x∫−∞
e−12( z−µσ )
2
dz
betrachtet (”Normalverteilung“); dieser Fall ist zwar fur die Kapitalmarkttheorie von besonderer Bedeutung, jedoch nicht der einzig
mogliche.
Unter der Voraussetzung, dass mit einer solchen Funktion G jede Verteilungsfunktion fur die Ergebnisse der relevanten Klasse vonEntscheidungsproblemen beschrieben werden kann, gilt
E(u(c1(a, ·))) =
∞∫−∞
u(x)dG(x, µ(a), σ(a)) (2.20)
Dieser Ausdruck ist nur von den Praferenzen u und den Verteilungsparametern µ(a) und σ(a) abhangig, d.h. es liegt ein (durch Gspezifiziertes) (µ, σ)–Prinzip vor.
∂
∂µ(a)E(u(c1(a, ·))) =
∞∫−∞
u(x)∂g
∂µdx
bzw.
∂
∂σ(a)E(u(c1(a, ·))) =
∞∫−∞
u(x)∂g
∂σdx
mit der Dichtefunktion
g(x, µ, σ) =∂
∂xG(x, µ, σ)
Beispiel 3 (Gleichverteilung) Gleichverteilung auf dem Intervall [α, β]. α und β sind Funktionen der ergriffenen Aktion a: α(a); β(a).
22
Es gilt
µ(a) = E(c1(a, ·)) =β (a) + α(a)
2
und
σ2(a) = var(c1(a, ·)) = 112
(β(a)− α(a))2
bzw.
σ(a) =1√12
(β(a)− α(a))
Die Klasse der Gleichverteilungen ist also durch µ und σ charakterisierbar, da sich α(a) und β(a) wie folgt durch µ und σ berechnenlassen. Es gilt
α(a) = µ(a)−√
3 σ(a)
β(a) = µ(a) +√
3 σ(a)
Fur den Erwartungsnutzen gilt:
E(u(c1(a, ·))) =1√
12 σ(a)
µ(a)+√
3 σ(a)∫µ(a)−
√3 σ(a)
u(x)dx ,
d.h. es ist+√
3 σ(a)∫−√
3 σ(a)
u(y + µ(a))dy
zu maximieren. Fur das Beispiel einer exponentiellen Nutzenfunktion u(x) = −e−αx ergibt sich daher der Maximand
−+√
3 σ(a)∫−√
3 σ(a)
e−α(y+µ(a))dy =1
αe−α·µ(a) ·
e−α
√3σ − eα
√3σ
=2
αe−α·µ(a)sinh(−α
√3σ)
Dabei steht”sinh“ fur den
”Sinus hyperbolicus“, der durch sinh (x) = 1
2(ex − e−x) fur alle x ∈ R definiert ist.
23
2.6 Risikoaversion und Nachfrage nach riskanten Investitionen
2.6.1 Wann wird uberhaupt riskant investiert?
In diesem Abschnitt wird der Frage nachgegangen, ob bei Risikoaversion uberhaupt eine Nachfrage nach riskanten Investitionenentwickelt wird, wenn eine risikofreie Anlageform ebenfalls moglich ist; die Antwort ist: Ja.
Sei rf der Zinssatz fur risikofreie Anlagen. P0 sei der heutige Preis eines Wertpapiers, dessen (unsicherer) Wert am PeriodenendeP1 sei. w0 sei das verfugbare Budget, w1 das Vermogen am Periodenende.
Man hatBudgetbedingung w0 = h0 + xP0
Vermogen am Periodenende w1 = h0(1 + rf ) + xP(2.21)
h0 ist dabei der Betrag, der risikofrei investiert wird, x die Anzahl von Wertpapieren, die erworben werden. Setzt man die ersteGleichung von (2.21) in die zweite ein, folgt
w1 = w0(1 + rf ) + xP1 − (1 + rf )P0 (2.22)
Der Ausdruck in der geschweiften Klammer ist die (realisierte) Risikopramie, die das Wertpapier bietet.Das Anlageproblem besteht in
maxx
E(u(w1))
mit der Optimalitatsbedingung:
E(u′(w1)P1 − (1 + rf )P0) = 0 (2.23)
oder
E(u′(w1) · P1) = (1 + rf )P0 · E(u′(w1))
Nach der Definition gilt fur die Kovarianz von y und z: cov(y, z) = E(y · z)−E(y) ·E(z) bzw. E(y · z) = E(y) ·E(z)+cov(y, z). Alsofolgt:
E(u′(w1))E(P1) + cov(u′(w1), P1) = (1 + rf )P0 · E(u′(w1)) (2.24)
Wegen u′ > 0 kann man durchdividieren und findet:
E(P1) +1
E(u′(w1))cov(u′(w1), P1) = (1 + rf )P0 (2.25)
Satz 5 Eine von null verschiedene (erwartete) Risikopramie lost eine Nachfrage nach unsicheren Investitionenaus.
24
Beweis: Angenommen, es wurde keine Nachfrage nach dem unsicheren Wertpapier entwickelt (x = 0 im Optimum), dann warew1 sicher und daher u′(w1) sicher; daher ware der Kovarianzterm gleich null. Daher impliziert das Ausbleiben von Nachfrage nachunsicheren Investitionen eine (erwartete) Risikopramie von null:
x = 0 =⇒ E(P1)− (1 + rf )P0 = 0 (2.26)
Damit ist die Proposition bewiesen
2.6.2 Wieviel wird riskant investiert?
Wir spezifizieren (2.25) unter der Annahme einer Normalverteilung fur P1. Dann ist w1 ebenfalls (und zwar gemeinsam mit P1)normalverteilt. Der Korrelationskoeffizient von P1 und w1 entspricht dem Vorzeichen von x. Die Anwendung der Formel (A.3, sieheAnhang) auf Formel (2.25) ergibt:
E(P1) +E(u′′(w1))
E(u′(w1))cov(w1, P1) = (1 + rf )P0 .
Setzt man w1 gemaß (2.21) ein, erhalt man:
− E(u′′(w1))
E(u′(w1))var(P1) · x = E(P1)− (1 + rf )P0 (2.27)
(2.27) bestatigt noch einmal die Proposition im vorigen Abschnitt.Wir setzen
RA(w1) = −E(u′′(w1))
E(u′(w1))
Da wir Risikoaversion unterstellt haben, ist RA(w1) positiv und kann in etwa als durchschnittliche absolute Risikoaversionverstanden werden. Fur das Nachfragevolumen nach dem riskanten Anlagetitel (bzw. Investitionsvolumen) ergibt sich daher:
x =E(P1)− (1 + rf )P0
RA(w1)var(P1)(2.28)
Zusammenfassung 1 Die Nachfrage nach der riskanten Investition ist proportional zum Verhaltnis von (erwarteter)Risikopramie zum Risiko der Investition. Der Proportionalitatsfaktor ist der Kehrwert der durchschnittlichenabsoluten Risikoaversion (man spricht auch von Risikotoleranz): Je hoher die Risikoaversion ist, desto geringer istdie Nachfrage nach risikanten Investitionen. Das Risiko wirkt negativ, die Risikopramie positiv auf die Nachfrage.Bei positiver Risikopramie entwickelt sich stets positive Nachfrage.
25
Die durchschnittliche absolute Risikoaversion RA(w1) ist eine Funktion des Anfangsvermogens w0. Man kann steigende, konstanteund fallende absolute Risikoaversion unterscheiden; fur jeden Fall sei ein Beispiel genannt:
u quadratisch: RA(x) = 1a−1−x steigende absolute Risikoaversion
u exponentiell: RA(x) = a konstante absolute Risikoaversion
u logarithmisch: RA(x) = 1a+x
sinkende absolute Risikoaversion
Mit (2.28) zusammen erkennt man, dass die Nachfrage nach unsicheren Investitionen mit dem Anfangsvermogen
steigtkonstant bleibtfallt
,wenn die Risikoaversion
sinktkonstant bleibtsteigt
Das ist der zweite theoretische Einwand gegen die quadratische Nutzenfunktion, dass bei ihr der riskant angelegte Betrag mitwachsendem Vermogen sinkt. Unter diesem Aspekt gelten die exponentielle und die logarithmische Nutzenfunktion als plausibler.
Die drei oben genannten Nutzenfunktionen gehoren zu einer allgemeinen Klasse von Nutzenfunktionen mit gemeinsamen Eigen-schaften: der so genannten HARA–Klasse (hyperbolic absolute risk aversion): Diese Klasse ist durch die Differentialgleichung
RA(x) =1
b− cx(2.29)
gekennzeichnet.
Wegen
RA(x) = −u′′(x)
u′(x)= −[log(u′(x))]′
gilt allgemein:
u(x) =
x∫e−
z∫RA(v)dvdz
d.h. in unserem Fall:z∫RA(v)dv =
z∫1
b− c · vdv =
z−z0b
fur c = 0
−1c[log(b− c · z)− log(b− c · z0)] sonst
26
d.h.
u(x) =
x∫ e−z−z0b
e1c
[log(b−c·z)−log(b−c·z0)]
dz
=
−b(e−
x−z0b − e−
x0−z0b
)fur c = 0
x∫ (b−c·zb−c·z0
)1/c
dz fur c 6= 0
Folglich hat man
u(x) =
b(e−
x0−z0b − e−
x−z0b
)fur c = 0
(b+ z0)[log(b+ x)− log(b+ x0)
]fur c = −1
− 11+c
(b−c·x)1+cc −(b−c·x0)
1+cc
(b−c·z0)1/csonst
Die sogenannten Standardformen1 aller HARA–Nutzenfunktionen ergeben sich durch x0 = 0 und z0 = 0 zu
u(x) =
b(1− e−xb
)fur c = 0
b[log(b+ x)− log(b)
]fur c = −1
− 11+c
(b−c·x)1+cc −b
1+cc
b1/csonst
Der Fall der logarithmischen Nutzenfunktion im eigentlichen Sinne (u (x) = log (x)) besitzt keine Standardform. Der Parameter 1b
ist in allen Fallen die Risikoaversion im Nullpunkt; fur die logarithmische Nutzenfunktion (b −→ 0) ist diese Risikoaversion unendlichgroß. Die quadratische Nutzenfunktion ergibt sich im Fall c = 1.
2.6.3 Die Tobin-Separation bei Erwartungsnutzenmaximierung (in welcher Form wird riskantinvestiert?)
Wir betrachten einen Anleger, der den Gesamtbetrag Y investiv verwenden will. Seine Entscheidungsparameter sind A, der Betrag,der riskant investiert werden soll, und x, das Portfolio riskanter Titel mit den Renditen (Vektor!) R (xi ist der Anteil der Investition
1Bei der Standardform werden der Nutzen im Nullpunkt auf 0 und die Steigung (der Grenznutzen) auf 1 normiert.
27
in Titel i an der Gesamtinvestition in riskanten Titeln). Das Endvermogen des Anlegers ist dann durch
w1 = (Y − A) · (1 + rf ) + A · xT · (1 +R) (2.30)
gegeben. Die Budgetrestriktion lautet
xT · 1 = 1
Das Praferenzfunktional eines Erwartungsnutzenmaximierers lautet daher
ψ(A, x) := Eu(w1) = Eu[Y + (Y − A) · rf + A · xT ·R]
Der ubliche Lagrangeansatz liefert die beiden Optimalitatsbedingungen
∂ψ
∂A= 0
und∂ψ
∂x− λ · 1T = 0
d.h.
Eu′(w∗1)[x∗T ·R− rf ] = 0 (2.31)
und
A · Eu′(w∗1) ·RT − λ · 1T = 0 , (2.32)
wobei mit w∗1 das (unsichere) Endvermogen bzw. mit x∗ das Portfolio riskanter Anlagen im Optimum bezeichnet wird. Multipliziertman (2.32) mit dem Portfolio x∗ durch und beachtet die Budgetrestriktion, so erhalt man einen Ausdruck fur den Lagrangefaktor λ:
λ = A · Eu′(w∗1) · x∗T ·R (2.33)
Wegen (2.31) folgt daher
λ = rf · Eu′(w∗1) · A
Mithin wird aus (2.32)
A · Eu′(w∗1) ·R − A · rf · Eu′(w∗1) · 1 = 0 (2.34)
Wird uberhaupt riskant investiert, so gilt notwendig (wegen A 6= 0):
Eu′(w∗1)[R− rf · 1] = 0 (2.35)
28
Tobin-Separation bedeutet, dass das Portfolio x∗ unbeeinflusst vom Anfangsvermogen Y ist, dass also die Strukturder riskanten Anlagen unabhangig vom Anfangsvermogen ist. Das erfordert, dass (2.35) gultig bleiben muss mit gleich bleibendemPortfolio x∗ bei variierendem Y , d.h.
d
dYEu′(w∗1)[R− rf · 1] = 0 (2.36)
Nun gilt aberd
dYEu′(w∗1)[R− rf · 1] = E
u′′(w∗1) ·
[(1 + rf ) + (x∗T ·R− rf )
dA
dY
][R− rf · 1]
d.h.
E
u′′(w∗1)
[(1 + rf ) + (x∗T ·R− rf )
dA
dY
][R− rf · 1]
= 0 (2.37)
Aus (2.35) und (2.37) folgt (streng nur bei vollstandigem Markt; man beachte, dass R−rf ·1 den Raum der moglichen Risikopramienaufspannt; die Gleichungen (2.35) und (2.37) definieren jeweils ein lineares Funktional auf diesem Raum, die beiden Funktionale stimmenauf diesem Raum uberein, daher sind die erzeugenden Vektoren (die Normalen auf der jeweiligen Hyperebene) parallel, d.h. proportional), mithin gilt:
u′(w∗1) = c · u′′(w∗1)
[(1 + rf ) + (x∗T ·R− rf )
dA
dY
](2.38)
mit einem nicht naher bestimmten Proportionalitatsfaktor c.Aus (2.30) folgt
x∗T ·R− rf =w∗1 − (1 + rf )Y
A
und daher
u′′(w∗1)
u′(w∗1)=
1
c· 1
(1 + rf ) +w∗
1−(1+rf )Y
A· dAdY
=1
c· A
(1 + rf )(A− Y dA
dY
)+ dA
dYw∗1
(2.39)
bzw.
− u′′(w∗1)
u′(w∗1)=
1
c· A
(1 + rf )(Y dAdY− A
)− dA
dYw∗1
(2.40)
Diese Beziehung muss fur jeden Wert (jede Realisation) von w∗1 gelten, daher ist (2.40) genau die Differentialgleichung, die dieHARA–Nutzenfunktion charakterisiert (vgl. Gleichung (2.29)).
29
Zusammenfassung 2 Die Tobin-Separation impliziert, dass die Nutzenfunktion der HARA–Klasse angehort.
Beispiel 4 (Konstante relative Risikoaversion) Wenn der Anteil riskanter Anlagen am Gesamtbudget konstant ist, dann gilt
0 =d
dY
(A
Y
)=Y · dA
dY− A
Y 2,d.h.
dA
dY=A
Y
Aus (2.40) folgt dann
− u′′(w∗1)
u′(w∗1)= −1
c· AAYw∗1
= −1
c· Yw∗1
(2.41)
bzw.
− u′′(w∗1)
u′(w∗1)w∗1 = − Y
cgilt ja wieder fur alle w∗1! (2.42)
Das ist der Fall konstanter relativer Risikoaversion.
Beispiel 5 (Konstante absolute Risikoaversion) Wenn der absolute Betrag, der riskant investiert wird, konstant bleibt, gilt:
dA
dY= 0
und daher
− u′′(w∗1)
u′(w∗1)= − 1
c(1 + rf )(2.43)
Das ist der Fall konstanter absoluter Risikoaversion.
30
Kapitel 3
Effiziente Wertpapierportfolios
Literatur: Markowitz [21]; Roll [27]; Sharpe [36]; Tobin [38]; Steiner u. Uhlir [37]; [43]
3.1 Verallgemeinert effiziente Portfolio–Entscheidungen
Bisher sind wir davon ausgegangen, dass Mittel auf eine sichere und eine unsichere Anlagemoglichkeit aufzuteilensind. Wir wollen diese Einschrankung aufheben und eine beliebige Anzahl von Anlageformen zulassen, gleichob sicher oder nicht. Eine Sonderrolle gestehen wir der risikofreien Anlage insofern jetzt nicht mehr zu; eswird sich aber zeigen, dass die Situation sehr davon beeinflusst wird, ob eine risikofreie Anlagemoglichkeitbesteht oder nicht. Auf der anderen Seite beschranken wir uns auf Entscheidungen nach dem (µ, σ)–Prinzip,bzw. auf die Gestaltung effizienter Wertpapierportfolios. Anfangsvermogen (verstanden als Budget-Bedingung)und Endvermogen (Payoff) ergeben sich zu
w0 = xT · P0 (3.1)
w1 = xT · P1 (3.2)
31
wobei die Indizes den Periodenbezug andeuten und x das Portfolio in Stuckzahlen reprasentiert. Der Erwar-tungswert des Endvermogens w1 betragt
E(w1) = xT · E(P1)
Bildet man die Ableitungen nach x unter Berucksichtigung der Budgetbedingung, so erhalt man den Vektorder marginalen Beitrage der einzelnen Anlageform zum Erwartungswert der Gesamtposition; er betragt
d
dx(E(w1)− λ0 · xT · P0) = E(P T
1 )− λ0 PT0
mit dem Lagrangefaktor λ0, der gleich 0 ist, wenn die Budgetbedingung nicht bindet.
Folgerung 1 Der marginale Beitrag einer Anlageform zum Erwartungswert der Gesamtposition entspricht demanlagespezifischen Erwartungswert, vermindert um die Belastung der Budgetbedingung durch Investition in geradediese Anlageform; von dieser Differenz sprechen wir als der erwarteten Risikopramie.
Genauso bestimmt man den marginalen Beitrag der einzelnen Anlageformen zum Risiko (gemessen an derVarianz) der Gesamtposition:
var(w1) = var(xT · P1)
= xT · COV(P1, P1) · x
Der marginale Risikobeitrag der Anlage ist daher durch
d
dx(xTCOV(P1, P1)x− λ∗0 · xT · P0) = 2xTCOV(P1, P1)− λ∗0 · P T
0 (3.3)
gegeben. Entwickelt man (3.3) weiter, so findet man (siehe Anhang)
2xTCOV(P1, P1) = 2 COV(xT · P1, P1) = 2 COV(w1, P1) (3.4)
Folgerung 2 Der marginale Risikobeitrag einer Anlageform wird, wenn man von der Budget–Restriktion absieht,bestimmt durch ihre Kovarianz mit dem gesamten Endvermogen xT ·P1 des Portfolios (der Gesamtposition), wirdalso nicht allein durch das isolierte Risiko der betreffenden Anlageform bestimmt; ist z.B. die Anlageform 0risikofrei, leistet sie ausweislich (3.4) (naturlich) auch keinen Beitrag zum Gesamtrisiko.
32
Unterstellt man ein (µ, σ)–Entscheidungsprinzip, so lasst sich das Anlageproblem wie folgt formulieren:
f
(E(w1),
1
2var(w1)
)→ max!
mit einer geeigneten Funktion f(y, z), die in y monoton steigend und in z monoton fallend (Risikoaversion) seinsoll:
∂f
∂y> 0;
∂f
∂z< 0
Wegen dieser Monotonieanforderung kann man als notwendige Bedingung fur das Optimum auch die (µ, σ)–Effizienz fordern:
Definition 9 Ein Portfolio x heißt (µ, σ)–effizient, wenn gilt
(ai) xT · P0 = w0
(aii) Fur alle x mit xT · P0 = w0 folgt aus der Ungleichung(E(w1(x))−var(w1(x))
)≤(
E(w1(x))−var(w1(x))
)die Gleichund
(E(w1(x))−var(w1(x))
)=
(E(w1(x))−var(w1(x))
)Lemma 1 Das Portfolio x ist (µ, σ)–effizient genau dann, wenn die folgenden drei Bedingungen erfullt sind:
(bi) xT · P0 = w0
(bii) E(w1(x)) = maxE(w1(x))|x ∈ Rn , xT · P0 = w0 und var(w1(x)) ≤var(w1(x))
(biii) var(w1(x)) = minvar(w1(x))|x ∈ Rn , xT · P0 = w0 und E(w1(x)) ≥ E(w1(x))
33
Beweis: Das folgt aus dem Maximumprinzip der Effizienz.Wir verallgemeinern noch etwas und fuhren die (µ, σ, w0)–Effizienz ein:
Definition 10 Ein Portfolio x heißt (µ, σ, w0)–effizient, wenn die folgende Bedingung erfullt ist: Fur allex ∈ Rn folgt aus der Ungleichung E(w1(x))
−var(w1(x))−xT · P0
≤
E(w1(x))−var(w1(x))−xT · P0
die Gleichung E(w1(x))−var(w1(x))−xT · P0
=
E(w1(x))−var(w1(x))−xT · P0
Lemma 2 Ein Portfolio x ist (µ, σ, w0)–effizient, wenn die folgenden drei Bedingungen erfullt sind:
(ci) E(w1(x)) = maxE(w1(x)) |x ∈ Rn, xT · P0 ≤ xT · P0 ,var(w1(x) ≤var(w1(x))
(cii) var(w1(x) = minvar(w1(x)) |x ∈ Rn, xT · P0 ≤ xT · P0 ,E(w1(x) ≥ E(w1(x))
(ciii) xT · P0 = minxT · P0 |x ∈ Rn, E(w1(x) ≥ E(w1(x)) ,var(w1(x)) ≤var(w1(x))
Die folgende Annahme bildet die Grundlage der Portfolio-basierten Kapitalmarkttheorie
Annahme 1 (Effizienzpostulat) Der Markt ist so beschaffen, dass es ein (µ, σ, w0)–effizientes Portfolio gibt,dessen Varianz, Erwartungswert und Anfangsvermogen jeweils strikt großer als 0 sind.
Aus dem Effizienzpostulat folgt nun, dass jedes der drei soeben formulierten Optimierungsprobleme (ci),(cii) und (ciii) eine Optimallosung besitzen muss. Wir bestimmen Losungsbedingungen fur die Probleme (ci),(cii) und (ciii); das (µ, σ, w0)–effiziente Portfolio muss alle drei Bedingungssysteme erfullen und die Nebenbe-dingungen werden im Optimum als Gleichungen erfullt. Zur Herleitung von notwendigen Bedingungen fur dieOptimallosungen wird die Kuhn–Tucker–Theorie benutzt; hier kurz die wesentlichen Ergebnisse
34
Sei f(x) eine differenzierbare Funktion
f : Rn → R .
Sei weiter g(x) eine (Vektor–)Funktion
g : Rn → Rm
Es sei die Aufgabe gestelltmaxf(x) |x ∈ Rn , g(x) ≤ 0
Dann erfullt eine Optimallosung die Bedingungen
∂L
∂xi= 0 fur i = 1, . . . , n
g(x) ≤ 0
λT · g = 0
λ ≥ 0
fur die LagrangefunktionL = f(x)− λT · g(x)
Wir formulieren entsprechend (wir setzen C :=COV(P1, P1) als Abkurzung fur die Kovarianzmatrix):
(ci) L = xT · E(P1)− µ0(xT · P0 − w0)− 1
2 µ2(xT Cx− σ2)
(cii) L = −12 x
T Cx− λ0(xT · P0 − w0)− λ1(w
∗1 − xT · E(P1))
35
(ciii) L = −xT · P0 − ν1(w∗1 − xT · E(P1))− 1
2 ν2(xT Cx− σ2)
Die relevanten Bedingungen lauten (man beachte, dass die Nebenbedingungen im Optimum jeweils als Glei-chungen erfullt sein mussen):
(ci) E(P1)− µo P0 − µ2Cx = 0 (3.5)
µ0, µ2 ≥ 0
xT P0 = w0
xT Cx = σ2
(cii) −Cx− λ0 P0 + λ1 · E(P1) = 0 (3.6)
λ0, λ1 ≥ 0
xT P0 = w0
xT · E(P1) = w∗1
(ciii) −P0 + ν1 · E(P1)− ν2Cx = 0 (3.7)
ν1, ν2 ≥ 0
xT · E(P1) = w∗1xT Cx = σ2
Aus der Anforderung, dass das effiziente Portfolio eine positive Varianz aufweisen muss, folgt C · x 6= 0 unddaher (
λ0
λ1
)6= 0
Wenn wir C · x aus (3.6) in (3.5) einsetzen, ergibt sich
E(P1)− µ0 P0 − µ2(−λ0P0 + λ1 · E(P1)) = 0
36
bzw.
E(P1)(1− µ2λ1)− P0(µ0 − µ2λ0) = 0
Ist daher λ1 = 0, so sind E(P1) und P0 linear abhangig.
Wenn wir aber C · x aus (3.6) in (3.7) einsetzen, folgt
−P0 + ν1 · E(P1) + ν2(λ0 P0 − λ1 · E(P1)) = 0
bzw.
(1− ν2λ0)P0 = (ν1 − ν2λ1) · E(P1)
Ist daher λ0 = 0, so sind P0 und E(P1) linear abhangig.
Folglich gibt es nur zwei Falle:
Fall 1: P0 und E(P1) sind linear unabhangig und λ0 6= 0 und λ1 6= 0
oder
Fall 2: P0 und E(P1) sind linear abhangig und λ0 = 0 oder λ1 = 0 .
Aus der Anforderung w∗1 > 0 und w0 > 0 folgt, dass P0 6= 0 und E(P1) 6= 0 gilt. Folglich haben in Fall 2alle Wertpapiere dieselbe erwartete Rendite E(P1i)
/P0i. Diesen Fall schließen wir im Folgenden als uninteressant
aus. Daher ergeben sich aus (cii) die folgenden, im Weiteren weiterverwendeten Optimalitatsbedingungen:
C · x+ λ0 P0 − λ1 · E(P1) = 0 (3.8)
xT P0 = w0 (3.9)
xT · E(P1) = w∗1 (3.10)
λ0 > 0 und λ1 > 0 (3.11)
Multiplizieren wir (3.8) von links mit dem optimalen Portfolio, so ergibt sich
xT · C · x = −λ0 xT · P0 + λ1 x
T · E(P1)
37
Unter Berucksichtigung der Nebenbedingungen (3.9) und (3.10) folgt:
var(w1) = −λ0 · w0 + λ1 · w∗1 = (−λ0, λ1) ·(w0
w∗1
)(3.12)
An dieser Stelle greifen wir auf die Ausfuhrungen zu den Risikoallokationsmoglichkeiten von Abschnitt 2.3,S. 11, zuruck. Wir wahlen unter den n + 1 Anlageformen P 0
1 , . . . , Pn1 eine Maximalzahl stochastisch linear un-
abhangiger aus; den Zufallsvektor dieser Ruckstrome bezeichnen wir mit P ∗1 und konnen nun ansetzen:
P1 − E(P1) = A · (P ∗1 − E(P ∗1 )) (3.13)
mit einer geeigneten Matrix A. Entsprechend bezeichnen wir mit P ∗0 den Vektor der Preise dieser ausgewahltenAnlageformen, deren Ruckstrome durch P ∗1 gegeben sind. Wir konnen daher (3.8) schreiben:
COV(AP ∗1 , AP∗1 )x+ λ0 P0 − λ1E(P1) = 0 (3.14)
Wir ordnen die Anlageformen so an, dass die ausgewahlten stochastisch linear unabhangigen Großen die letztenPlatze einnehmen. Dann hat die Matrix A die folgende Gestalt:
A =
A
1 · · · 0... . . . ...0 · · · 1
(3.15)
Die untere Einheitsmatrix ist von der Dimension dim(P ∗1 ).
Wenn wir noch P1 bzw. P0 als Bezeichnungen fur die nicht zu P ∗1 gehorenden, also abhangigen Anlageformen
38
einfuhren, dann gilt offenbar
P1 =
(P1
P ∗1
)P0 =
(P0
P ∗1
)P1 = E(P1) + A
(P ∗1 − E(P ∗1 )
)P1 = E(P1) + A
(P ∗1 − E(P ∗1 )
)Auch den Portfolio–Vektor zerlegen wir in entsprechender Weise
x =
(x
x∗
).
Das Gleichungssystem von (3.14) lasst sich auf Grund seiner besonderen Struktur in zwei Teilsysteme zerlegen:
ACOV(P ∗1 , P∗1 )AT · x+ λ0 P0 − λ1 E(P1) = 0 (3.16)
undCOV(P ∗1 , P
∗1 )AT · x+ λ0 P
∗0 − λ1 E(P ∗1 ) = 0 (3.17)
Nach Voraussetzung istC∗ := COV(P ∗1 , P
∗1 )
invertierbar, so dass man aus (3.17) ausrechnen kann:
AT · x = −λ0C∗−1P ∗0 + λ1C
∗−1E(P ∗1 ) (3.18)
(3.16) kann man umformenA C∗AT · x = λ1 E(P1)− λ0 P0,
so dass durch Einsetzen von (3.18) folgt:
Aλ1 · E(P ∗1 )− λ0 P∗0 = λ1 E(P1)− λ0 P0 (3.19)
39
Folgerung 3 Die erwarteten Risikopramien der abhangigen Anlageformen ergeben sich durch entsprechende li-neare Transformation der erwarteten Risikopramien der unabhangigen Anlageformen; die zu verwendende Trans-formation ist dieselbe, mit der die unabhangigen Ruckstrome in die abhangigen transformiert werden.
Fur das Portfolio–Problem (3.14) existiert in der Form von (3.16) und (3.17) immer eine Losung, sie istallerdings nicht eindeutig. Samtliche Losungen gewinnt man durch die partikulare Losung der inhomogenenGleichung (3.18), die sich zu in der Gestalt
(0x∗
)mit
x∗ = −λ0C∗−1P ∗0 + λ1C
∗−1E(P ∗1 ) (3.20)
ermitteln lasst, und durch die Gesamtheit der Losungen des homogenen Gleichungssystems
AT · y = 0 (3.21)
Die Losungsgesamtheit ist daher durch
(0
x∗
)+ y mit x∗ aus (3.20) und y aus (3.21) zu charakterisieren.
Betrachten wir den Ruckstrom eines Portfolios, das einer solchen Losung entspricht, so erhalten wir
xT · P1 =
(0
x∗
)TP1 + yT P1
= x∗T P ∗1 + yT(
E(P1) + A(P ∗1 − E(P ∗1 )
))= x∗T P ∗1 + yT · E(P1)
d.h.xT · P1 = x∗T · P ∗1 + yT · E(P1) (3.22)
Diese Uberlegungen lassen sich zusammenfassen:
Zusammenfassung 3 • Der Ruckstrom eines effizienten Portfolios hat eine sichere Komponente, die alleinvom Portfolio y stammt und eine unsichere Komponente, die allein vom (Teil–) Portfolio x∗ stammt.
40
• Die Risikostruktur des Ruckstromes ist eindeutig bestimmt.
• Die Ergebnisse von Portfolios y mit AT · y = 0 sind im Ergebnis sicher, wir bezeichnen sie als Hedge–Portfolios.
Multiplizieren wir (3.14) mit einem Hedge–Portfolio yT unter Beachtung von AT ·y = 0 als Spaltenvektor undyT · A = 0 als Zeilenvektor durch, erhalten wir
−λ0 yT · P0 + λ1 y
T · E(P1) = 0
bzw.
(−λ0, λ1) ·(
yT · P0
yT · E(P1)
)= 0 (3.23)
fur alle Hedge-Portfolios. Diese Beziehung wird uns noch beschaftigen.Unter Verwendung von (3.20) lasst sich (3.22) wie folgt weiterentwickeln:
xT · P1 = yT · E(P1)− λ0 P∗T0 · C∗−1 P ∗1 + λ1 E(P ∗1 )T · C∗−1 P ∗1 (3.24)
(3.24) ist das Two–Funds–Theorem:
Theorem 6 (Two-funds-Theorem) Jedes (µ, σ, w0)–effiziente Endvermogen resultiert aus einem Hedge–Portfoliound zwei Fonds, die jeweils aus stochastisch linear unabhangigen Anlageformen bestehen, der eine Fonds ist
y1 = C∗−1E(P ∗1 )
der anderey0 = C∗−1P ∗0
Definition 11 Die beiden Fonds y0 und y1 bezeichnen wir als Separations–Fonds.
Eine noch weitergehende Separationsmoglichkeit, die Tobin-Separation, hangt mit der Existenz von Hedge–Portfolios zusammen; dazu weiter unten mehr.
41
Untersuchen wir noch die Struktur von Hedge–Portfolios y naher; wegen AT · y = 0 und der Zerlegung (3.15)
A =
A
1 · · · 0... . . . ...0 · · · 1
und
y =
(y
y∗
)folgt AT · y = AT · y + y∗ = 0, d.h. y∗ = −AT · y. Alle Hedge–Portfolios sind daher durch(
y
−AT · y
)mit beliebigem Vektor y zu finden: Man kann die Risikowirkungen eines in den abhangigen Wertpapieren belie-bigen Portfolios y durch ein geeignetes Portfolio AT · y in den unabhangigen Wertpapieren ausgleichen:
yT · P1 = (yT ,−yT · A) · P1 = yT · P1 − yT · A · P ∗1
= yT · (P1 − A · P ∗1 )
Der Ausdruck P1 − A · P ∗1 ergibt wegen (3.13) die sichere Große
P1 − A · P ∗1 = E(P1)− A · E(P ∗1 )
3.2 Die Zulassigkeit von Hedge–Portfolios
In diesem Abschnitt werden wir sehen, dass das Effizienzpostulat die Zulassigkeit von Hedge–Portfolios be-schrankt; diese Tatsache wird durch die Gleichungen (3.12) und (3.23) in Zusammenhang mit der Forderungnach (µ, σ, w0)–Effizienz bewirkt.
42
Fall 1 (1) Es existieren Hedge–Portfolios mit yT · P0 6= 0 und yT · E(P1) 6= 0. Dann folgt aus (3.23)
λ0 = λ1 ·yT · E(P1)
yT · P0(3.25)
und
λ1 = λ0 ·yT · P0
yT · E(P1)(3.26)
Wegen λ0 > 0 und λ1 > 0 folgt sofortyT · E(P1)
yT · P0=
λ0
λ1> 0 (3.27)
Der Ausdruck auf der linken Seite entspricht 1+ erwartete Rendite des Hedge–Portfolios.
Fall 2 (2) Es existieren Hedge–Portfolios mit yT ·P0 = 0 und yT ·E(P1) 6= 0. O.B.d.A. sei yT ·E(P1) > 0. Wegen
E(w1) = x∗T · E(P ∗1 ) + yT · E(P1)
lasst sich nun der Anteil yT ·E(P1) beliebig steigern (durch Ubergang auf αy (α > 1)), ohne die Varianzbedingungoder die Budget–Bedingung zu verletzen; folglich besitzt das Problem (ci) keine Optimallosung im Widerspruchzur Annahme.
Fall 3 (3) Es existieren Hedge–Portfolios mit yT · P0 6= 0 und yT · E(P1) = 0. O.B.d.A. sei yT · P0 < 0. Wegen
xT · P0 = x∗T · P ∗0 + yT · P0
lasst sich xT · P0 beliebig klein machen, ohne die Varianz– und die Erwartungswertbedingung zu verletzen, d.h.das Problem (ciii) besitzt keine Optimallosung im Widerspruch zur Annahme.
Damit ist gezeigt:
Satz 7 Hedge–Portfolios mit einem Preis von null haben auch einen Ruckfluss (Payoff) von null, Hedge–Portfolios mit einem Ruckfluss von null haben auch einen Preis von null, die Falle 2 und 3 sind ausgeschlossen.
43
Daraus folgt noch etwas fur den Fall 1; unterstellt, es existierten im Fall 1 zwei Hedge–Portfolios y und y.Wir wahlen
α =yT · P0
yT · P0
Dann ist
0 = α yT · P0 − yT · P0 = (α · yT − yT ) · P0
Folglich ist α y − y ein Hedge–Portfolio mit einem Preis von null. Wie wir soeben gesehen haben folgt dann
(α · yT − yT ) · E(P1) = 0
d.h.
α · yT · E(P1) = yT · E(P1)
und folglich
yT · P0
yT · P0· yT · E(P1) = yT · E(P1)
bzw.yT · E(P1)
yT · P0=
yT · E(P1)
yT · P0
Damit haben wir bewiesen
Satz 8 Die Renditen aller Hedge–Portfolios stimmen uberein.
Satz 9 Wegen (3.27) ist die Rendite der Hedge–Portfolios daher zwingend großer als -1.
Zusammenfassung 4 Es konnen nur Hedge–Portfolios existieren mit wohldefinierter identischer Rendite, dieaußerdem großer ist als -1, oder aber triviale Hedge–Portfolios mit Ruckstrom und Preis jeweils gleich null.
44
3.3 Die Linie effizienter Wertpapierportfolios
3.3.1 Der Fall nicht–trivialer Hedge–Portfolios
Wir wollen nun die Existenz nicht–trivialer Hedge–Portfolios unterstellen und deren Rendite mit rf bezeichnen.Mit der Beziehung 1 + rf = λ0
λ1folgt dann aus (3.12)
var(w1) = λ1(w∗1 − (1 + rf) · w0) (3.28)
und aus (3.20) wird
x∗ = λ1(C∗−1 · E(P ∗1 )− (1 + rf)C
∗−1 · P ∗0 ) (3.29)
(3.29) kennzeichnet die spezielle, (µ, σ)-basierte, Tobin–Separation: Der riskante Teil eines effizienten Portfoliosist proportional zum Tobin-Fonds
C∗−1E(P ∗1 )− (1 + rf)P∗0
Die Bestimmung des Proportionalfaktors λ1 macht die Verwendung der zwei Nebenbedingungen des Optimie-rungsproblems (cii) erforderlich:
w0 = xT · P0 = x∗T · P ∗0 + yT · P0
w∗1 = xT · E(P1) = x∗T · E(P ∗1 ) + yT · E(P1)
Einsetzen von (3.29) fuhrt auf
w0 = λ1
[C∗−1E(P ∗1 )− (1 + rf)P
∗0 ]T·P ∗0 + yT · P0
w∗1 = λ1
[C∗−1E(P ∗1 )− (1 + rf)P
∗0 ]T·E(P ∗1 ) + (1 + rf)y
T · P0
45
d.h.
w∗1 = λ1
[C∗−1E(P ∗1 )− (1 + rf)P
∗0 ]T·E(P ∗1 )
+(1 + rf)
w0 − λ1
[C∗−1E(P ∗1 )− (1 + rf)P
∗0 ]T·P ∗0
bzw.
λ1 =w∗1 − (1 + rf)w0
[C∗−1 E(P ∗1 )− (1 + rf)P ∗0 ]T · (E(P ∗1 )− (1 + rf)P ∗0 )
, (3.30)
so dass schließlich
var(w1) =(w∗1 − (1 + rf)w0)
2
[E(P ∗1 )− (1 + rf)P ∗0 ]T · C∗−1 [E(P ∗1 )− (1 + rf)P ∗0 ](3.31)
gilt. Fur die Standardabweichung folgt daher eine lineare Beziehung zu Erwartungswert und Anfangsvermogen
std(w1) =w∗1 − (1 + rf)w0√
[E(P ∗1 )− (1 + rf)P ∗0 ]T · C∗−1 [E(P ∗1 )− (1 + rf)P ∗0 ](3.32)
Satz 10 Die Standardabweichung des effizienten Endvermogens ist proportional zur erwarteten Risikopramie;der Proportionalitatsfaktor ist der Kehrwert der Standardabweichung des Tobin–Fonds.
Abbildung 3.1 zeigt den Verlauf graphisch.
3.3.2 Der Fall ohne Hedge–Portfolios
Existieren nur triviale Hedge-Portfolios (also Hedge-Portfolios y mit yT · P0 = yT · E(P1) = 0), dann stellt sichdie Lage wie folgt dar: Gleichung (3.16) ist leer, die gesamte Optimalitatsbedingung konzentriert sich auf (3.17)
46
Standardabweichung σ
Erw
artu
ngs
wer
tµ
Abbildung 3.1: (µ, σ)–effizienter Rand einer Portfoliomenge, wenn Hedge-Portfolios existieren, mit markiertem
”Minimum–Variance–Portfolio“ und ebenfalls markiertem
”Tangentialportfolio“
47
bzw. auf (3.20). Mit den beiden Nebenbedingungen (3.9) und (3.10) ergibt sich
w0 = x∗T · P0 = −λ0[C∗−1 P ∗0 ]T · P0 + λ1[C
∗−1 E(P ∗1 )]T · P0
w∗1 = x∗T · P1 = −λ0[C∗−1 P ∗0 ]T · E(P1) + λ1[C
∗−1 E(P ∗1 )]T · E(P1)
oder (da (3.16) leer ist, was heißt, dass x∗ = x ist)
(w0
w∗1
)=
P T0 C
−1 P0 E(P1)T C−1 P0
P T0 C
−1 E(P1) E(P1)T C−1 E(P1)
· (−λ0
λ1
)(3.33)
Das Effizienzpostulat fordert nun, dass die Gleichung (3.33) losbar ist (mit λ0 ≥ 0 und λ1 ≥ 0). Wir schreibendie Losung aus (
−λ0
λ1
)= B−1
(w0
w∗1
)mit λ0 > 0 , λ1 > 0; (3.34)
mit (3.12) ergibt sich
var(w1) = (w0, w∗1) ·B−1
(w0
w∗1
)fur alle Kombinationen (w0, w
∗1) (w0 > 0 , w∗1 > 0), fur die (3.34) losbar ist. Die zugehorigen effizienten Portfolios
ergeben sich mit (3.34) aus (3.20).
Grafisch lassen sich die Verhaltnisse wie in der Abbildung 3.2 veranschaulichen.
3.4 Das SHARPE–Modell (”Marktmodell“)
Literatur: Sharpe [35]
Die Modellvariante von SHARPE geht von der Vorstellung aus, dass alle Wertpapiere mit einem Marktfaktor
48
Standardabweichung σ
Erw
artu
ngs
wer
tµ
Abbildung 3.2: (µ, σ)–effizienter Rand einer Portfoliomenge mit markiertem”Minimum–Variance–Portfolio“
M korreliert sind und ihr Risiko in dieser Korrelation im Wesentlichen zum Ausdruck kommt.
P i1 = E(P i
1) + βi ·M + εi
mit
E(εi) = 0, cov(M, εi) = 0 und cov(εi, εj) = 0 fur i 6= j .
Vektoriell schreiben wir das Modell wie folgt auf:
P1 = E(P1) + β ·M + ε
Zunachst prufen wir, ob unter diesen Bedingungen Hedge-Portfolios existieren. Sei also y ein solches Hedge-Portfolio mit yT · P1 = yT · E(P1). Das fuhrt auf
(yT · β) ·M + yT · ε = 0
49
insbesondere
0 = var(
(yT · β) ·M + yT · ε)
= var(M) · (yT · β)2 +n∑i=1
var(εi) · y2i
Folglich muss bei var(M) > 0 gelten
yT · β = 0 ∧ [var(εi) 6= 0 =⇒ yi = 0]
zusammengenommen ergibt sich: Ein Hedge-Portfolio ist durch die Bedingungen
yi = 0 fur alle Wertpapiere mit var(εi) 6= 0
undn∑j=1
var(εj)=0
βj · yj = 0
charakterisiert. In Hedge-Portfolios erscheinen daher nur Wertpapiere i, bei denen der”Storterm” εi gleich null
ist. Daruber hinaus muss es mindestens zwei solcher Wertpapiere geben. Zur Vereinfachung der Uberlegungenwollen wir diesen Fall ausschließen.
Die Kovarianzmatrix C wird dann zu:
COV(P1, P1) = COV(β ·M + ε, β ·M + ε)
= β · COV(M,M) · βT + COV(ε, ε)
= var(M) · β · βT + COV(ε, ε)
Die Matrix COV(ε, ε) ist dabei eine Diagonalmatrix.
50
Statt der n(n+1)2 Kovarianzen sind also nur n β–Werte und die n Varianzwerte der Storgroßen zu ermitteln,
um effiziente Portfolios nach Gleichung (3.20) in Verbindung mit (3.30) bzw. (3.34) zu ermitteln. Denn es gilt:
var(P i1) = β2
i · var(M) + var(εi).
Fur eine Wurdigung im Rahmen des Capital Asset Pricing Model muss festgehalten werden, dass die durchεi reprasentierten Risiken nicht diversifizierbar sind: Dazu musste fur ein (effizientes) Portfolio
0 = var
(n∑i=1
εi · xi
)=
n∑i=1
var(εi) · x2i
gelten, woraus wieder folgt:var(εi) = 0 oder xi = 0,
d.h., ist εi 6= 0, so kann das betreffende Papier nicht in einem voll diversifizierten Portfolio enthalten sein(xi = 0). Unter Aspekten der Risikozerlegung ist daher dieser Modellansatz wenig weiter fuhrend, motiviert warer zu seiner Entstehungszeit durch die Datenbeschaffungs- und Rechnerkapazitatsprobleme.
51
52
Kapitel 4
Effiziente Portfolios und herrschendes Preissystem
Literatur: Wilhelm [43]
4.1 Konsequenzen der notwendigen Bedingung fur Effizienz
Es besteht ein wichtiger Zusammenhang zwischen der Existenz eines effizienten Portfolios und der Struktur desPreissystems fur den Kapitalmarkt. Existiert ein (µ, σ, w0)–effizientes Portfolio x, dann ist fur x die Bedingung(3.8), namlich in der Form
C x = λ1E(P1)− λ0 · P0 (4.1)
mit (λ0
λ1
) 0
erfullt.
Wir konnen (4.1) nach P0 auflosen und erhalten
P0 =λ1
λ0
E(P1)−
1
λ1C ·x
(4.2)
53
Wir schreiben wx := xT · P1 fur das Endvermogen (den Payoff) des effizienten Portfolios x und notieren (4.2) inder Form
P0 =λ1
λ0
E(P1)−
1
λ1COV(P1, wx)
(4.3)
(4.3) macht eine Aussage uber das Preissystem am Kapitalmarkt: Es lasst sich mit Hilfe des effizienten Portfoliosx
”erklaren“:
Folgerung 4 Der Preis eines jeden Wertpapiers steht bezuglich seines Erwartungswertes und seiner Kovarianzmit dem effizienten Portfolio in einer linearen Beziehung ab.
Wenn wir (4.3) in Verbindung mit (3.13) (d.h. gemaß (3.14)) notieren, so konnen wir eine Aussage uber diePreise der
”abhangigen“ Wertpapiere gewinnen:(
P0
P ∗0
)=λ1
λ0
(E(P1)
E(P ∗1 )
)− 1
λ1A · COV(P ∗1 , P
∗1 ) · AT · x
(4.4)
Zerlegen wir das System (4.4) in seine beiden Teilsysteme, so erhalten wir
P0 =λ1
λ0
E(P1)−
1
λ1A · COV(P ∗1 , P
∗1 ) · AT · x
(4.5)
und
P ∗0 =λ1
λ0
E(P ∗1 )− 1
λ1COV(P ∗1 , P
∗1 ) · AT · x
(4.6)
Aus (4.6) gewinnt man1
λ1COV(P ∗1 , P
∗1 ) · AT · x = E(P ∗1 )− λ0
λ1P ∗0 , (4.7)
was man in (4.5) einsetzen kann:
P0 =λ1
λ0
E(P1)− A · E(P ∗1 ) +
λ0
λ1A · P ∗0
54
oder
P0 = A · P ∗0 +λ1
λ0
E(P1)− A · E(P ∗1 )
(4.8)
(4.8) ist im Wesentlichen die Grundlage der praferenzfreien Optionspreistheorie:
Folgerung 5 Die”
abhangigen” Wertpapiere lassen sich als Portfolios der unabhangigen Wertpapiere darstellen,daher sind ihre Preise auch (gemaß (4.8)) mit den Preisen der unabhangigen Wertpapiere verknupft. Existierennicht–triviale Hedge–Portfolios, so wissen wir aus (3.27), dass
λ0
λ1= 1 + rf (4.9)
gilt, wobei rf die Rendite von Hedge–Portfolios ist. Dann schreibt sich (4.8)
P0 = A · P ∗0 +1
1 + rf
E(P1)− A · E(P ∗1 )
(4.10)
Der Differenzterm in (4.10) ist genau jener sichere Betrag (siehe (3.13)), um den sich der Ruckstrom P1 derabhangigen Papiere von seinem Duplikat A ·P ∗1 unterscheidet; zum Zwecke der kompletten Duplikation ist daherA · P ∗1 durch das Ergebnis eines Hedge–Portfolios zu erganzen, dessen Kosten sich in dem zweiten Term derrechten Seite von (4.10) wiederfinden.
4.2 Die Konstruktion und Bedeutung so genannter Zero–Beta–Portfolios
Unter einem Zero–Beta–Portfolio versteht man ein Portfolio, dessen Endvermogen keine Korrelation (Kovarianz)mit dem Endvermogen des effizienten Portfolio aufweist; wenn es Hedge-Portfolios gibt, sind sie jedenfalls auch
55
Zero-Beta-Portfolios Sei z ein beliebiges Zero-Beta-Portfolio. Dann gilt unter Verwendung von (4.3):
zT · P0 =λ1
λ0
zT · E(P1)−
1
λ1zT · COV(P1, wx)
=λ1
λ0
zT · E(P1)−
1
λ1cov(zT · P1, wx)
=λ1
λ0zT · E(P1) (4.11)
d.h.
zT · P0 =λ1
λ0zT · E(P1) fur jedes Zero–Beta–Portfolio z (4.12)
Fur Zero-Beta-Portfolios, die einen Kapitaleinsatz erfordern, d.h. fur die zT ·P0 6= 0 gilt, kann man schreiben
λ0
λ1=zT · E(P1)
zT · P0(4.13)
Offensichtlich gilt daher:
Satz 11 Die erwarteten Renditen aller Zero–Beta–Portfolios stimmen uberein und sind gleich λ0
λ1− 1.
Wir bezeichnen diese erwartete Rendite mit rz = λ0
λ1− 1. Dann schreibt sich (4.3):
P0 =1
1 + rz
E(P1)−
1
λ1COV(P1, wx)
(4.14)
oder fur ein einzelnes Papier i:
P i0 =
1
1 + rz
E(P i
1)− 1
λ1cov(P i
1, wx)
(4.15)
Folgerung 6 Der Preis fur ein Wertpapier hangt ab
56
• von der Rendite fur Zero–Beta–Portfolios
• vom Erwartungswert des Endvermogens des Papiers
• von seiner Kovarianz mit dem effizienten Portfolio.
Offen ist die noch Frage, ob (nichttriviale) Zero–Beta–Portfolios existieren. Zur Konstruktion verfahren wirwie folgt:
Analog zu (3.21) setzen wir fur z an:
z =
(0
x∗
)+ y
mit
x∗ = a · C∗−1 · P ∗0 + C∗−1 · E(P ∗1 )
= a · y0 + y1
und
AT · y = 0
57
und fordern zur Bestimmung von y und a die Zero–Beta–Eigenschaft fur z
0 = zT · COV(P1, wx)
= zT · COV(P1, xT · P1)
= zT · COV(P1, P1) · x
= zT · C · x
= zTλ1 · E(P1)− λ0 · P0
= (0, x∗T )λ1 · E(P1)− λ0 · P0+ yTλ1 · E(P1)− λ0 · P0
= (0, x∗T )λ1 · E(P1)− λ0 · P0+ λ1 yT · E(P1)− λ0 y
T · P0
Wegen (3.23) ist der zweite Summand null. Es folgt daher
0 = (0, x∗T )λ1 · E(P1)− λ0 · P0
bzw.
0 = λ1 x∗T · E(P ∗1 )− λ0 x
∗T · P ∗0
= λ1 · a yT0 + yT1 E(P ∗1 )− λ0a yT0 + yT1 P ∗0
= a · λ1 yT0 · E(P ∗1 )− λ0 y
T0 · P ∗0 + λ1 y
T1 · E(P ∗1 )− λ0 y
T1 · P ∗0
= a · λ1 yT0 · C∗ · y1 − λ0 y
T0 · C∗ · y0+ λ1 y
T1 · C∗ · y1 − λ0 y
T1 · C∗ · y0
= a · yT0 · C∗λ1 y1 − λ0 y0+ yT1 · C∗λ1 y1 − λ0 y0
58
Fur a ergibt sich die Bedingung
a = −yT1 · C∗λ1 y1 − λ0 y0yT0 · C∗λ1 y1 − λ0 y0
(4.16)
Der Zahler in (4.16) entspricht der Kovarianz des Portfolios y1 mit dem effizienten Portfolio, der Nenner derKovarianz des Portfolios y0 mit dem effizienten Portfolio. Nun ist aber wegen der Definition von y1 und y0 sogar
a = −E(P ∗1 )T · λ1 y1 − λ0 y0P ∗T0 · λ1 y1 − λ0 y0
, (4.17)
so dass a durch die erwartete Rendite des effizienten Portfolios bestimmt wird. Man hat also ein a gefundenderart, dass
z =
(0
x∗
)+ y mit x∗ = a y0 + y1 und AT y = 0
ein Zero–Beta–Portfolio ist. Dabei ist a unabhangig davon, ob es ein Hedge–Portfolio y 6= 0 gibt oder nicht. Esmuss lediglich sichergestellt sein, dass der Nenner in (4.17) ungleich null ist. Das ist aber klar, da der Nennerder Preis eines effizienten Portfolios ist. Man hat als Ergebnis:
Satz 12 Es gibt stets ein nichttriviales Zero–Beta–Portfolio.
Nach der Konkretisierung der Zero–Beta–Portfolios verbleibt in der Preisgleichung (4.14) der Parameter 1λ1
als zu spezifizierende Große. Wir multiplizieren (4.14) mit dem effizienten Portfolio x und erhalten
xT · P0 =1
1 + rz
xT · E(P1)−
1
λ1· var(wx)
=1
1 + rz
E(wx)−
1
λ1· var(wx)
,
woraus1
λ1=
E(wx)− (1 + rz) · w0x
var(wx)(4.18)
59
folgt, wenn man mit w0x den Marktwert der effizienten Gesamtposition x bezeichnet. Der Zahler von (4.18)
ist so etwas wie die erwartete Risikopramie des effizienten Portfolios; 1λ1
bezeichnet daher das Verhaltnis vonerwarteter Risikopramie zu Risiko, das das effiziente Portfolio aufweist. Dieser Ausdruck wird im Marktkontextals Marktpreis des Risikos bezeichnet. Abschließend ergibt sich daher
P0 =1
1 + rz
E(P1)−
E(wx)− (1 + rz) · w0x
var(wx)· COV(P1, wx)
(4.19)
Satz 13 Der Marktpreis eines Wertpapiers ist gleich seinem diskontierten Sicherheitsaquivalent; diskontiert wirdmit der erwarteten Rendite fur Zero–Beta–Portfolios, das Sicherheitsaquivalent ergibt sich durch einen Risikoab-schlag vom Erwartungswert, der Risikoabschlag ergibt sich aus der Kovarianz des Wertpapiers mit dem effizientenPortfolio durch Bewertung mit dem Marktpreis des Risikos.
4.3 Die Verhaltnisse bei Existenz der sicheren Anlage oder Hedge–Portfolios
Im Fall, dass eine risikofreie Anlageform existiert oder durch ein Hedge-Portfolio synthetisiert werden kann, gilt
λ1
λ0=
1
1 + rf
Aus (4.13) wird
1 + rz =zT · E(P1)
zT · P0= 1 + rf (4.20)
Existieren also Hedge–Portfolios oder risikofreie Anlageformen, so ist die erwartete Rendite von Zero–Beta–Portfolios naturlich identisch mit der Rendite fur risikofreie Investments und daher gilt als Preisgleichung
P0 =1
1 + rf
E(P1)−
E(wx)− (1 + rf) · w0x
var(wx)COV(P1, wx)
(4.21)
60
4.4 Die Renditeformulierung
Gleichung (4.19) stellt die heutigen Preise von Wertpapieren mit ihren zukunftigen Auspragungen in Beziehung.Dieser Zusammenhang kann auch in der Form einer Aussage uber die Renditen der Wertpapiere gebrachtwerden. Bezeichnen wir mit
Ri =P i
1
P i0
− 1 (4.22)
die Rendite des i–ten Wertpapiers (nur fur Wertpapiere mit Preisen P i0 6= 0 definiert), so lasst sich die i–te Zeile
des Systems (4.19) wie folgt schreiben:
P i0 =
1
1 + rz
P i
0(1 + E(Ri))−E(wx)− (1 + rz) · w0
x
var(wx)· P i
0 · cov(Ri, wx)
Division durch P i
0 ergibt
1 + rz = 1 + E(Ri)−E(wx)− (1 + rz) · w0
x
var(wx)· cov(Ri, wx) (4.23)
Wie folgt entwickelt man weiter:
E(wx)− (1 + rz) · w0x
var(wx)· cov(Ri, wx)
=
E(wx)−(1+rz)·w0x
w0x
var(wx)w0x
· cov(Ri, wx)
=E(Rx)− rzvar(Rx) · w0
x
· cov(Ri, wx)
=E(Rx)− rz
var(Rx)· cov(Ri, Rx),
61
wobei
Rx =wxw0x
− 1
die Rendite der effizienten Gesamtposition ist. Insgesamt ergibt sich daher aus (4.23):
E(Ri)− rz =E(Rx)− rz
var(Rx)· cov(Ri, Rx) (4.24)
Es ist ublich, den Ausdruck
βi,x :=cov(Ri, Rx)
var(Rx)(4.25)
einzufuhren und als”Beta“ des Wertpapiers zu bezeichnen; dann kann man die grundlegende Rendite–Risiko–
Beziehung (relativ zum effizienten Portfolio x) wie folgt aufschreiben:
E(Ri)− rz = [E(Rx)− rz] · βi,x (4.26)
In dieser Renditedarstellung wird die Preisbeziehung (4.19) uberwiegend in der Literatur angegeben. DieBeziehung (4.21) schreibt sich entsprechend
E(Ri)− rf = [E(Rx)− rf ] · βi,x (4.27)
4.5 Systematische und unsystematische Risikokomponenten
In diesem Abschnitt geht es um die Risikozerlegung eines beliebiges unsicheres Endvermogen (Payoff) v, dasdurch Portfolio–Bildung erzielt werden kann. Fur ein beliebiges av lasst sich unter Verwendung des Payoffs deseffizienten Portfolios immer schreiben
v = E(v) + av(wx − E(wx)) + hv (4.28)
mit hv = v − E(v)− av(wx − E(wx)). Es gilt E(hv) = 0.
62
Wahlt man
av =cov(v, wx)
var(wx),
so zeigt sich, dass
cov(hv, wx) = cov(v, wx)− av cov(wx, wx)
= cov(v, wx)−cov(v, wx)
var(wx)· var(wx) = 0 (4.29)
gilt (hv ist”Zero–Beta“).
Satz 14 Die Darstellung eines unsicheren Endvermogens v in der Form
v = E(v) + av(wx − E(wx)) + hv (4.30)
mit der AnforderungE(hv) = cov(wx, hv) = 0
ist eindeutig.
Beweis: Sei v = E(v) + a(wx − E(wx)) + h eine zweite Darstellung dieser Art, dann gilt (durch Subtraktion):
0 = (av − a)(wx − E(wx)) + (hv − h) (4.31)
Durch Varianzbildung von (4.31) findet man (man beachte, dass nach Voraussetzung cov(hv, wx) =cov(h,wx) = 0gilt):
0 = (av − a)2var(wx) + var(hv − h) (4.32)
Folglich gilt av = a (da var(wx) 6= 0 gilt) und wegen (4.31) auch hv = h, d.h. die Darstellung (4.30) ist in derTat eindeutig. Insbesondere kann man rechnen:
cov(v, wx) = av · var(wx)
63
und daher
av =cov(v, wx)
var(wx)
An diese Darstellung knupft sich das Folgende: Spezifiziert man (4.30) fur ein bestimmtes Wertpapier, soerhalt man
P i1 = E(P i
1) + ai(wx − E(wx)) + hi (4.33)
Diese Darstellung erinnert an das Sharpe-Modell; im Unterschied zu jenem wird hier aber nicht die Unkorreliert-heit der hi vorausgesetzt oder gefolgert.
Setzt man P i1 in (4.19) ein, so findet man:
P i0 =
1
1 + rz
E(P i
1)− E(wx)− (1 + rz) · w0x
var(wx)· aivar(wx)
=1
1 + rz
E(P i
1)− [E(wx)− (1 + rz) · w0x] · ai
(4.34)
Folgerung 7 Der Preis eines Wertpapiers hangt nicht von dem Bestandteil hi in (4.33) ab; dieser Bestandteilwird als unsystematisch bezeichnet. Wesentlich fur den Preis ist vielmehr der Koeffizient ai, der das syste-matische Risiko des Papiers misst.
Die unsystematische Komponente konnen wir daruber hinaus noch mit Diversifikationsmoglichkeiten in Ver-bindung bringen. Wenn x das effiziente Portfolio mit dem Endvermogen wx ist, dann folgt aus (4.33)
wx = xT · P1 = xT · E(P1) + (xT · a) · (wx − E(wx)) + xT · h
Bestimmt man nun die Varianz, so ergibt sich
var(wx) = (xT · a)2 var(wx) + var(xT · h)
64
Daraus ergibt sich
xT · a =1
var(wx)· xT · COV(P1, wx)
=1
var(wx)· cov(xT · P1, wx)
=1
var(wx)· var(wx) = 1
und dahervar(xT · h) = 0.
Das heißt:
Folgerung 8 Der unsystematische Teil hv einer unsicheren Endvermogensposition kann wegdiversifiziert wer-den; es entspricht unserer Intuition, dass er daher auch keinen Preiseinfluss haben kann.
4.6 Die Messung von systematischem und unsystematischem Risiko bei Existenz
von Hedge–Portfolios oder risikofreien Anlagemoglichkeiten
Fur das Folgende unterstellen wir die Existenz von Hedge–Portfolios. Jedes durch Portfoliobildung realisierbare(unsichere) Periodenendvermogen v kann dann nach Gleichung (4.30) in eindeutiger Weise wie folgt geschriebenwerden:
v = E(v) +cov(v, wx)
σ(wx)· wx − E(wx)
σ(wx)+ hv,
wobei wx wieder das Endvermogen des ausgewahlten effizienten Portfolios x ist. Bildet man in (4.30) die Varianzvon v, so findet man die folgende Zerlegung des Gesamtrisikos einer Vermogensposition:
var(v) =
[cov(v, wx)
σ(wx)
]2
+ var(hv)
65
Der Ausdruck cov(v,wx)σ(wx) ist daher ein Maß fur das systematische Risiko einer Vermogensposition, wahrend
σ(hv) = std(hv) das unsystematische Risiko misst. Ausweislich fruherer Uberlegungen kann das unsystema-tische Risiko durch Diversifikation beseitigt werden.
Betrachten wir abschließend die Renditeformulierung: (4.30) schreibt sich ausfuhrlicher fur ein Papier i.
P i1 = E(P i
1) +cov(P i
1, wx)
var(wx)(wx − E(wx)) + hi (4.35)
Division der Gleichung (4.35) durch P i0 fuhrt auf:
1 +Ri = E(Ri) + 1 +cov(Ri, wx)
var(wx)(wx − E(wx)) +
hiP i
0
(4.36)
bzw.
Ri − E(Ri) =cov(Ri, Rx)
var(Rx)· (Rx − E(Rx)) + hi, (4.37)
wobei hi = hi
/P i
0 gesetzt wurde. Es zeigt sich, dass in dieser Formulierung der Koeffizient des systematischen
Terms gerade der Beta–Faktor des Papiers ist:
Ri − E(Ri) = βi(Rx − E(Rx)) + hi (4.38)
Folgerung 9 Die Rendite eines jeden Papiers lasst sich auf einen gemeinsamen systematischen Faktor (dieRendite des effizienten Portfolios) und jeweils einen individuellen unsystematischen Faktor zuruckfuhren, dermit dem gemeinsamen Faktor nicht korreliert und diversifizierbar ist.
An dieser Stelle kann noch einmal an das SHARPE-Modell erinnert werden: Die Darstellung
P i1 = E(P i
1) + βi ·M + εi
mit cov(M, εi) = 0 und cov(εi, εj) = 0 erzwingt nach dem, was wir jetzt wissen, dass M nicht Endwert eineseffizienten Portfolios sein kann. Denn sonst konnte man die εi wegdiversifizieren, was, wie wir gesehen haben,nicht moglich ist.
66
Teil II
Preissysteme und Marktgleichgewicht
67
Kapitel 5
Die Struktur von Bewertungssystemen fur riskanteWertpapiere
Literatur: Franke u. Hax [14]; Lintner [17]; Lintner [18]; Mossin [23]; Sharpe [36]; Steiner u. Uhlir [37]; Wilhelm[41]
5.1 Arbitrage–orientierte Kapitalmarkttheorie bei Unsicherheit
Der Ruckgriff auf Gleichung (4.19) erlaubt folgende Schreibweise fur den Marktpreis eines Wertpapiers: Wegen
cov(P i1, wx) = E(P i
1 · wx)− E(P i1)E(wx) = E(P i
1(wx − E(wx)))
gilt:
P i0 = E
P i
1 ·1
1 + rz
[1− E(wx)− (1 + rz) · w0
x
var(wx)(wx − E(wx))
](5.1)
Die Große
q =1
1 + rz
[1− E(wx)− (1 + rz) · w0
x
var(wx)(wx − E(wx))
](5.2)
kann als zustandsabhangiger Diskontierungsfaktor interpretiert werden.
69
Bemerkung 1 Sei s ein beliebiger Zustand, dann bewertet der Diskontierungsfaktor q(s) fur diesen ZustandZahlungen, die im Zustand s anfallen; ist s ein Zustand, in dem das effiziente Portfoliovermogen wx(s) hoher alssein Erwartungswert E(wx) ausfallt, so liegt q(s) unter dem Diskontierungsfaktor 1
1+rzfur Zero–Beta–Zahlungen;
liegt das effiziente Portfolioendvermogen unter seinem Erwartungswert, so bewertet q(s) Zahlungen in s hoherals Zero–Beta–Zahlungen. Es gilt insgesamt:
E(q) =1
1 + rz(5.3)
undP i
0 = E(q · P i1)
der Preis eines Wertpapiers ist gleich seinem erwarteten Barwert, wenn zur Diskontierung der zustandsabhangigeDiskontierungsfaktor q herangezogen wird.
Wir fragen uns, wie allgemein dieses Ergebnis ist.
Annahmenkatalog Die bisher (explizit oder implizit) gemachten Annahmen waren die folgenden:
(i) Jedes Wertpapier i hat nur einen Preis je Einheit: P i0
(ii) Das Vielfache xi des Wertpapiers i hat den Preis xiPi0
(iii) Das Portfolio x = (x1, . . . , xn) hat den Preis∑i
xiPi0
(iv) Die Eigenschaft (i) bis (iii) gelten auch bezogen auf den Zeitpunkt 1.
Die Eigenschaften (i) bis (iv) lassen sich ohne Schwierigkeiten als Arbitragefreiheitsannahmen ansehen:sie garantieren, dass bestimmte Formen der Erzielung risikofreier Gewinne durch Arbitrage unmoglich sind.
Spezifisch die Risikoproblematik betreffend, war als weitere Annahme hinzugekommen (vgl. Kapitel 4.1):
(v) Es gibt Werte fur w0 und w∗1, so dass es Losungenx, λ0, λ1 fur das System
70
C x = λ1 · E(P1)− λ0 · P0 (5.4)
mitλ1, λ0 > 0 (5.5)
undxT · P0 = w0 > 0 (5.6)
undxT · E(P1) = w∗1 > 0 (5.7)
gibt.
(vi) Weiter wurde angenommen, dass E(P1) und P0 nicht linear abhangig sind.
Um zu verdeutlichen, inwieweit die Bedingungen (5.4) . . . (5.7) ebenfalls Arbitragemoglichkeiten ausschließen,unterstellen wir die Existenz zweier Portfolios z und z mit demselben Payoff am Periodenende:
zT · P1 = zT · P1
bzw.(z − z)T · P1 = 0 (5.8)
Offensichtlich ist z − z ein Hedge–Portfolio. Nun haben wir in Abschnitt 3.2 gezeigt, dass ein Hedge–Portfoliomit Ruckstrom 0 nur ein triviales–Portfolio sein kann, d.h. dass
(z − z)T · P0 = 0 (5.9)
gelten muss; daraus folgt sofortzT · P0 = zT · P0 (5.10)
Diese Eigenschaft des Preissystems, dass aus (5.8) die Tatsache (5.10) folgt, bezeichnet man als
Satz 15 (Law of One Price (LOP)) Okonomisch identische Guter haben nur einen Preis.
71
Schon weiter oben hatten wir als Konsequenz von (5.4) . . . (5.7) die Feststellung machen konnen, dass im Falleder Existenz von Hedge–Portfolios oder risikofreien Investitionsmoglichkeiten alle diese Anlageformen dieselbeRendite aufweisen mussen, ein Sonderfall des allgemeinen LOP.
Wir wollen uns nun klarmachen, dass das LOP als Ausgangspunkt ausreicht (ohne (5.4) . . . (5.7) zu fordern),die Preisstruktur (5.3) herbeizufuhren. Dabei wenden wir dieselbe Technik an, wie bei der Konstruktion derZinsstruktur aus Bond–Preisen. Wir postulieren etwas allgemeiner als das LOP:
Forderung 1 (Arbitragefreiheit) Es gelte die folgende Implikation
Aus zT · P1 ≥ 0 folgt zT · P0 ≥ 0 (5.11)
Gilt die Arbitragefreiheit, so besitzt das folgende lineare Programm eine optimale Losung (wir beschrankenuns auf den Fall eines endlichen Zustandsraumes):
zT · P0 −→ min! (5.12)
u. d. NB
zT · P1 ≥ 0 (5.13)
Es existiert namlich eine zulassige Losung (z = 0) und die Zielfunktion (5.12) ist wegen (5.11) nach unten (aufpositive Werte) beschrankt. Wenn wir (5.13) etwas instruktiver unter Verwendung der Zustande s = 1, . . . , Sschreiben, erhalten wir
zT · P1(1) ≥ 0...
zT · P1(s) ≥ 0
Die Dualitatstheorie sichert nun die Existenz nicht–negativer Großen π(1), . . . , π(S) mit∑s
π(s) · P i1(s) = P i
0 (5.14)
72
Wir bewerten mit Hilfe von (5.14) ein Hedge–Portfolio y, d.h. ein Portfolio mit
AT · y = 0
Es giltyT · P1 = yT · E(P1) + yT · A · (P ∗1 − E(P ∗1 )) = yT · E(P1),
da fur ein Hedge–Portfolio AT y = 0 und daher auch yT A = 0 gilt. Bewerten wir beide Seiten mit den Großenπ(1), . . . , π(S), so ergibt sich ∑
s
π(s)(yT · P1(s)) =
(∑s
π(s)
)· yT · E(P1)
bzw. wegen ∑s
π(s)(yT · P1(s)) =∑s
[π(s)
∑i
P i1(s) · yi
]
=∑i
[yi ·∑s
π(s) · P i1(s)
]
=∑i
yi · P i0 = yT · P0
abschließend ∑s
π(s) =yT · P0
yT · E(P1)(5.15)
Die Summe der Großen π(1), . . . , π(S) ist der Kehrwert von (1+) Rendite von Hedge–Portfolios. Die Preisdar-stellung (5.3) erreicht man nun wie folgt; wir bezeichnen mit µ(s) die Wahrscheinlichkeit dafur, dass der Zustands eintritt und definieren weiter den stochastischen Diskontierungsfaktor durch:
q(s) =π(s)
µ(s)(5.16)
73
Setzt man (5.16) in (5.14) ein, so erhalt man
P i0 =
∑s
µ(s) · q(s) · P i1(s)
= E(q · P i1) (5.17)
in voller Analogie zu (5.3).Die Eigenschaft (5.15) ubertragt sich wie folgt:
E(q) =yT · P0
yT · E(P1)(5.18)
Die Gleichung (5.17) kann man in Umkehrung der Vorgehensweise von (5.1) und (5.2) auch wie folgt schreiben:
P0 = E(q · P1) = E(q) · E(P1) + COV(P1, q)
= E(q) ·
E(P1) + COV
(P1,
q
E(q)
)(5.19)
In Analogie zu fruher konnen wir von Zero–Beta–Portfolios reden, wenn sie keine Kovarianz mit dem Diskontie-rungsfaktor q aufweisen
cov(zT · P1, q) = 0
Fur Portfolios dieser Art gilt offenbar
zT · P0 = E(q) · zT · E(P1)
bzw.
E(q) =zT · P0
zT · E(P1)(5.20)
Alle Zero–Beta–Portfolios haben dieselbe erwartete Rendite; wir konnen daher (mit einiger Vorsicht) schreiben:
E(q) =1
1 + rz(5.21)
74
Wenn wir q selbst als Wert einer Vermogensposition auffassen durfen und
COV(P1, q) = −E(q) · E(P1) + P0 , (5.22)
betrachten, so zeigt sich, dass, falls q durch ein Portfolio erzeugt (dupliziert) werden kann, dieses Portfoliooffensichtlich die Bedingungen (5.4) . . . (5.7) fur effiziente Portfolios erfullt; man spricht auch von
”Pricing
Portfolios”.
Zusammenfassung 5 Der Zugang uber die Existenzbedingung fur effiziente Portfolios ist in wei-ten Teilen aquivalent mit dem Zugang uber die Arbitragefreiheitsbedingung.
5.2 Zustandsabhangige Diskontierungsfaktoren und Grenznutzen
In diesem Abschnitt wollen wir versuchen, vom stochastischen Diskontierungsfaktor gewissermaßen zuruck eineBeziehung zum Entscheidungsverhalten von Investoren herzustellen. Betrachten wir dazu das Portfolio–Problemaus der Sicht eines Bernoulli–Nutzen–Maximierers bei gegebenem auszuschopfenden Bugdet; sei w1 = zT ·P1 derzu optimierende Payoff, die Aufgabe lautet
E(u(zT · P1) −→ max!
u. d. NBzT · P0 = w0
Notwendig ist fur das optimale Portfolio
Eu′(zT · P1) · P1 − λ0 · P0 = 0 (5.23)
undzT · P0 = w0 (5.24)
Multiplikation von (5.23) mit z und Verwenden der Budgetbedingung (5.24) ergeben:
λ0 =E(u′(zT · P1)(z
T · P1))
w0= E(u′(zT · P1)(1 +Rz)) (5.25)
75
mit der Rendite Rz fur das Portfolio z.Fur risikoaverse und monoton steigende Nutzenfunktionen ist λ0 positiv, wenn E(Rz) ≥ −1 gilt: die positiven
Auspragungen von 1 + Rz werden vermoge u′(zT · P1) hoher gewichtet als die negativen. Davon gehen wir aus.Fur den Preisvektor erhalt man dann:
P0 = E
u′(zT · P1)
E(u′(zT · P1)(1 +Rz))· P1
(5.26)
Der Vergleich mit (5.3) und (5.17) zeigt, dass jene Beziehungen hier anwendbar sind; die Wahl
q =u′(zT · P1)
Eu′(zT · P1)(1 +Rz)(5.27)
fuhrt also auf einen korrekten stochastischen Diskontierungsfaktor.
Folgerung 10 Die zustandsbezogenen Auspragungen des Diskontierungsfaktors konnen als (normierte) Gleich-gewichtsgrenznutzen der Anleger fur die betreffenden Zustande interpretiert werden.
Es giltq > 0 ,
weil die Nutzenfunktionen (streng) monoton steigend sind. Falls ein Hedge–Portfolio y existiert, folgt aus (5.23)durch Multiplikation mit y
E(u′(zT · P1) · yT · P0)− λo · yT · P0 = 0
und daher wegen yT · P1 = yT · E(P1)
E(u′(zT · P1)) · yT · E(P1) = λ0 · yT · P0
d.h.λ0 = (1 + rf) · E(u′(zT · P1)) (5.28)
und folglich
q =1
1 + rf· u′(zT · P1)
E(u′(zT · P1))(5.29)
76
5.3 Pseudowahrscheinlichkeiten
Die Darstellung (5.14) der Arbitragefreiheit lasst auch eine andere Umformung als (5.16) zu, wenn wir an
P0 =∑s
π(s) · P1(s) (5.30)
erinnern und die Existenz von Hedge–Portfolios annehmen; dann kann man auch
µ∗(s) := π(s) · (1 + rf) (5.31)
ansetzen und findet
P0 =1
1 + rf·∑s
µ∗(s) · P1(s) (5.32)
sowie ∑s
µ∗(s) = (1 + rf) ·∑s
π(s) = 1 (5.33)
Die µ∗(s) lassen sich als Wahrscheinlichkeiten interpretieren, man spricht von Pseudowahrscheinlichkei-ten. Mit dieser Pseudowahrscheinlichkeit wird die Gleichung (5.32) zu einer risikoneutralen Bewertungsglei-chung. Pseudowahrscheinlichkeiten µ∗ und empirische Wahrscheinlichkeiten µ hangen uber den stochastischenDiskontierungsfaktor q wie folgt zusammen:
q(s) =π(s)
µ(s)=
1
1 + rf· µ∗(s)
µ(s)
d.h.
µ∗(s) = (1 + rf) · µ(s) · q(s) (5.34)
Gibt es, annahmegemaß, ein Hedge–Portfolio y, so folgt aus (5.23) durch Multiplikation mit y (unter Berucksichtigungder Tatsache, dass yTP1 sicher ist):
E(u′(zT · P1)) · yT · P1 = λ0 · yT · P0
77
d.h.λ0 = (1 + rf) · E(u′(zT · P1)) (5.35)
Daher folgt fur die Pseudowahrscheinlichkeiten gemaß (5.34) und (5.27):
µ∗(·) = µ(·) u′(zT · P1)
Eu′(zT · P1)(5.36)
Folgerung 11 Die Pseudowahrscheinlichkeit ergibt sich aus der empirischen Wahrscheinlichkeit durch Multi-plikation mit dem normierten Grenznutzen der Optimalposition.
Liegt kein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum vor, so ist die Definition (5.36) fur die Pseudowahrscheinlichkeitwie folgt zu modifizieren:
µ∗(A) =
∫A
u′(zT · P1(ω))
Eu′(zT · P1)· dµ(ω) (5.37)
Wenn das Wahrscheinlichkeitsmaß durch eine Verteilungsfunktion F (x) fur die Preise P1 gegeben ist, dannkann man die risikoneutrale Verteilungsfunktion F ∗(x) auch durch
F ∗(x) =
x∫· · ·∫
−∞
u′(zT · ξ)Eu′(zT · P1)
dF (ξ) (5.38)
angeben.
5.4 Das Capital Asset Pricing Model (CAPM)
Das Capital Asset Pricing Model beruht auf den Annahmen (i) bis (iv) und den Annahmen,
(v) dass alle Investoren effiziente Portfolios realisieren wollen,
(vi) dass alle Investoren die gleichen Erwartungen haben,
78
(vii) dass der Kapitalmarkt im Gleichgewicht ist.
Wir betrachten das Praferenzfunktional
f(E(w1),1
2var(w1))→ max !
unter der Nebenbedingungenw1 = xT · P1
und (Budget)xT · P0 = w0
mit f1 = ∂1f > 0 und f2 = ∂2f < 0 (Risikoaversion).Als notwendige Bedingung ergibt sich:
f1 · E(P1) + f2 · C · x− λ0 · P0 = 0 (5.39)
Man dividiert durch f2, setzt f = −f1
/f2 = −dvar
dE , λ0 = λ0
f1und erhalt:
C · x = fE(P1)− λ0 · P0 (5.40)
In der Standardform des CAPM wird die Existenz einer sicheren Anlage bzw. eines Hedge–Portfolios y unterstellt;Multiplikation von (5.40) mit y ergibt
0 = yTC x = fyT · E(P1)− λ0 · yT · P0
d.h.
λ0 =yT · E(P1)
yT · P0= 1 + rf ,
so dass (5.40) zuC · x = fE(P1)− (1 + rf) · P0 (5.41)
wird.
79
Die Annahmen (v) bis (vii) implizieren, dass man, wenn (5.40) uber alle Anleger summiert wird, erhalt:
C · xM = fM · E(P1)− (1 + rf)P0, (5.42)
wobei xM das Marktportfolio ist, d.h. das Portfolio aller ausstehenden Wertpapiere; fM ist die Summe aller
individuellen Parameter f . Da f reziprok zu einem Maß fur die individuelle Risikoaversion ist, ist 1/fM
ein Maß
fur die durchschnittliche Risikoaversion des Marktes. Lost man (5.42) nach P0 auf, ergibt sich
P0 =1
1 + rf
E(P1)−
1
fMC · xM
(5.43)
(5.42) bzw. (5.43) zeigen, dass die Annahmen (v) bis (vii) implizieren, dass (5.4) . . . (5.7) eine Losung hat,d.h. (v) bis (vii) haben Arbitragefreiheitsimplikationen.
Aus (5.41) und (5.42) zusammen folgt:
C · x =f
fMC · xM bzw. C ·
(x− f
fMxM
)= 0 (5.44)
Folgerung 12 Das Endvermogen individueller Portfolios ist vollstandig mit dem des Marktport-folios korreliert; ist die Kovarianzmatrix nicht singular, ist jedes individuelle Portfolio einVielfaches des Marktportfolios; der Proportionalitatsfaktor, und damit die individuelle Nach-frage, orientiert sich an dem Verhaltnis der durchschnittlichen Risikoaversion des Marktes zurindividuellen Risikoaversion.
Falls C singular ist, gilt C = A · C∗AT und aus (5.44) wird
A · C∗AT ·(x− f
fMxM
)= 0 (5.45)
Betrachtet man im System (5.45) nur die Zeilen der unabhangigen Wertpapiere, so folgt
C∗AT ·(x− f
fMxM
)= 0 (5.46)
80
und daher
AT ·(x− f
fMxM
)= 0 , (5.47)
d.h.
Folgerung 13 Das individuelle Portfolio und das f¯fM
–fache des Marktportfolios unterscheiden sich nur um einHedge–Portfolio.
Man findet, wie fruher,1
fM=
E(wM)− (1 + rf)w0M
var(wM),
wenn wM das Endvermogen (Payoff) des Marktportfolios ist. D.h.
P0 =1
1 + rf
E(P1)−
E(wM)− (1 + rf)w0M
var(wM)COV(P1, wM)
(5.48)
Entsprechend in der Renditeformulierung:
E(Ri)− rf = βi[(RM)− rf ] (5.49)
mit dem Betafaktor
βi =cov(Ri, RM)
var(RM)
Grafisch im (E(Ri), βi)–Diagramm siehe Abbildung 5.1.Wertpapier 1 ist theoretisch unterbewertet (hat eine zu hohe erwartete Rendite angesichts des systematischen
Risikos), Wertpapier 2 ist theoretisch uberbewertet, Wertpapier 3 ist theoretisch korrekt bewertet. Die jewei-lige Einschatzung hangt von der korrekten Bestimmung des Marktportfolios ab; davon hangt die Steigung derGeraden ab, wovon wiederum die individuelle Position der Wertpapiere in der Grafik abhangt.
81
β
erwartete Rendite
rf
Steigung=Uberschussrendite des Marktportfolios
o WP1: unterbewertet
o WP2: uberbewertet
o WP3: korrekt bewertet
Abbildung 5.1: Erwartete Rendite und Beta innerhalb und außerhalb eines CAPM-Gleichgewichtes
82
Kapitel 6
Varianten des Capital Asset Pricing Model
Literatur: Black [3]; Brennan [6]; [7]; Lintner [19]; Mayers [22]; Rubinstein [33]
Vorbemerkung In diesem Kapitel unterstellen wir zur Vereinfachung der Darstellung, dass die riskanten Ti-tel stochastisch linear unabhangig sind. Das impliziert, wie uns jetzt bekannt ist, dass die betreffendenKovarianzmatrices nicht singular und daher invertierbar sind.
6.1 Das Kapitalmarktmodell ohne risikofreie Anlage
Das Kapitalmarktmodell von Black unterscheidet sich vom Standardmodell dadurch, dass nicht von der Exis-tenz einer risikofreien Anlagemoglichkeit bzw. von Hedge–Portfolios ausgegangen wird. Folglich ist C mit C∗
identisch und invertierbar. Aus (3.8) bis (3.11) folgt
x = λ1C−1 · E(P1)− λ0 · C−1 · P0,
(λ0
λ1
) 0 (6.1)
Durch Aggregation uber alle Anleger und Gleichgewichtsannahme folgt:
xM = λM1 · C−1 · E(P1)− λM0 · C−1 · P0 (6.2)
83
mit λM1 =∑λ1 und λM0 =
∑λ0. Wir konstruieren nun ein Zero–Beta–Portfolio in Bezug auf das
Marktportfolio aus den beiden Separationsfonds y0 = C−1 · P0 und y1 = C−1 · E(P1), indem wir yβ = y1 − αy0
ansetzen; um α zu bestimmen, fordern wir die Zero-Beta-Eigenschaft
0 = cov(yTβ · P1 , xTM · P1)
= yTβ COV(P1, P1)xM
= yTβ · C · xM
= xTM · E(P1)− αxTM · P0
d. h. fur α ergibt sich der Wert
α =xTM · E(P1)
xTM · P0= 1 + E(RM)
mit der Rendite RM des Marktportfolios, d. h. unser Zero–Beta–Portfolio errechnet sich zu:
yβ = y1 − (1 + E(RM)) · y0 (6.3)
Schreibt man (6.2) als Preisgleichung um, erhalt man
P0 =λM1λM0
E(P1)−1
λM0C · xM
d. h.
P0 =λM1λM0
E(P1)−
1
λM1C · xM
(6.4)
Mit der erwarteten Rendite rz des (bzw. jedes) Zero–Beta–Portfolios ergibt sich
P0 =1
1 + rz
E(P1)−
1
λM1C · xM
(6.5)
84
bzw. (analog zu fruher, (4.19))
P0 =1
1 + rz
E(P1)−
E(wM)− (1 + rz) · w0M
var(wM)· C · xM
(6.6)
Mit Hilfe der erwarteten Rendite der Zero–Beta–Portfolios lasst sich das Marktportfolio wie folgt umschreiben:
xM = λM1
(y1 − (1 + rz) · y0
)Wir haben daher den Zusammenhang yβ
1λM1xM
=
y1 −(
1 + E(RM))y0
y1 − (1 + rz) y0
, (6.7)
der eine sehr einfache Beziehung zwischen Markt– und Zero–Beta–Portfolio einerseits und den beiden Tobin–Fonds andererseits herstellt. Naturlich konnen beide
”Fonds-Paare“ als Marktfonds die Risikoallokationserfor-
dernisse aller (µ, σ)–effizienten Anlagestrategien in gleicher Weise befriedigen.
Zusammenfassung 6 Es ist in diesem Modell nicht langer nur das Marktportfolio, das alle Anleger anteils-weise realisieren wollen (sofern sie uberhaupt effiziente Portfolios realisieren wollen), sondern eine individuellbestimmte Kombination des Marktportfolios mit dem Zero–Beta–Portfolio yβ. Die Struktur derGleichgewichtspreise ist dagegen im Wesentlichen identisch mit der im herkommlichen CAPM.
6.2 Das Kapitalmarktmodell mit nicht–marktfahigem Einkommen
6.2.1 Das Individualkalkul
Im nachfolgenden Modell wird berucksichtigt, dass Anleger Einkommen nicht nur aus marktfahigen Quellen(Wertpapieren etc.) beziehen, sondern auch aus Quellen, deren Marktfahigkeit eingeschrankt oder gar nichtgegeben ist, sei es aus rechtlichen oder faktischen Grunden, oder sei es wegen vorab entsprechend getroffener
85
Anlegerentscheidungen. Quellen dieser Art sind z.B. Grundbesitz, GmbH–Anteile oder KG–Anteile, die aus recht-lichen und wirtschaftlichen Grunden nur schwer ubertragbar sind oder wegen unternehmerischer Zielsetzungennicht zur Disposition gestellt werden; daneben steht als vielleicht wichtigste Quelle das Arbeitseinkommen. DasModell ist insoweit von besonderer Bedeutung, als es deutlich macht, welche grundsatzlichen Probleme eineempirische Uberprufung des CAPM aufwirft.
Neben den schon eingefuhrten Bezeichnungen soll h das nicht–marktfahige Einkommen des betrachtetenInvestors am Periodenende bezeichnen. Zur Vereinfachung der Diskussion unterstellen wir die Existenz einerrisikofreien Anlage ohne die Moglichkeit von Hedge–Portfolios im engeren Sinne. Damit ergibt sich das gesamteVermogen am Periodenende w1 zu
w1 = xT · P1 + h+ (1 + rf)(w0 − xT · P0) (6.8)
mit der Varianz
var(w1) = xT · C · x+ 2 · xT · COV(P1, h) + var(h) (6.9)
Den Vektor der Kovarianzen der marktfahigen Titel mit dem nicht–marktfahigen Einkommen kurzen wir durch
Ch = COV(P1, h) (6.10)
ab.
Im betrachteten Modell hat man zwei Effizienzbegriffe zu unterscheiden
– individuell effiziente Portfolios, die das nicht–marktfahige Einkommen des betrachteten Anlegers berucksichtigenund
– im Universum der marktfahigen Titel effiziente Portfolios.
Die letzteren, die marktfahig–effizienten Portfolios, sind wie im CAPM durch die Tobin-Separation
x = C−1 · E(P1)− (1 + rf) · C−1 · P0 (6.11)
gegeben.
86
Zur Vorbereitung der Konstruktion der indviduell effizienten Portfolios x nehmen wir eine lineare Regres-sion vor, im Rahmen derer wir das nicht–marktfahige Einkommen h so gut wie moglich durch die Preise dermarktfahigen Titel
”erklaren”:1
h = E(h) + βTh · (P1 − E(P1)) + ε (6.12)
mit E(ε) = 0 und COV(P1, ε) = 0. Durch Minimierung der Varianz von ε, der nicht durch die marktfahigenWertpapiere erklarten Varianz, erhalt man die folgende Bedingung fur βh:
var(ε) = var(h− βTh · P1
)→ min !
⇒ d
dβh
[var(h)− 2 cov
(h, βTh · P1
)+βTh · C · βh
]=
d
dβh
[−2 COV(h, P1)βh + βTh · C · βh
]= −2 COV(h, P1) + 2 βTh · C = 0 (6.13)
d.h. βh errechnet sich zuβh = C−1 COV(P1, h) = C−1 · Ch (6.14)
Daher gilth = E(h) + CT
h · C−1 · (P1 − E(P1)) + ε mit COV(P1, ε) = 0 (6.15)
Wir substituieren im Payoff w1 am Periodenende und erhalten
w1 = xT · P1 + E(h) + CTh · C−1 · (P1 − E(P1)) + ε+ (1 + rf)(w0 − xT · P0)
=(xT + CT
h · C−1 ·)P1 +
E(h)− CT
h · C−1 · E(P1)
+(1 + rf) · (w0 − xT · P0) + ε
(6.16)
1Vgl. die Beziehung zum optimalen Hedging weiter oben sowie zur Zerlegung in systematische und unsystematische Risiken.
87
mit dem Erwartungswert
E(w1) = xT · E(P1) + E(h) + (1 + rf) · (w0 − xT · P0)
und der Varianz
var(w1) =(xT + CT
h · C−1)·C ·
(x+ C−1 · Ch
)+var(ε)
Das individuell effiziente Portfolio ergibt sich aus dem Lagrange–Ansatz
L = 12var(w1) + λ (w1 − E(w1))
Nach Ableiten und Nullsetzen erhalt man die Bedingung
C · x+ Ch − λ
E(P1)− (1 + rf) · P0
= 0 (6.17)
und daher
x = λC−1 ·
E(P1)− (1 + rf) · P0
−C−1 · Ch
bzw., unter Verwendung des unter den marktfahigen Titeln effizienten Portfolios x:
x = λ · x− C−1 · Ch . (6.18)
Folgerung 14 Im Modell mit nicht–marktfahigem Einkommen ist jedes individuell effiziente Portfolio eineKombination des kollektiven marktfahig–effizienten Portfolios mit einem individuell strukturierten Korrektur-Portfolio.
Die Wirkung der beiden Teilportfolios lasst sich am besten erkennen, wenn man die gesamte Endvermogensposition
88
in einer Situation betrachtet, in der ein individuell effizientes Portfolio realisiert wird. Es ergibt sich aus (6.16)
w1 =[
(λ · x− C−1 · Ch)T + CTh · C−1
]·P1
+
E(h)− CTh · C−1 E(P1)
+(1 + rf)
w0 − (λ · x− C−1 · Ch)T · P0
+ε
= λ · xT · P1 + (1 + rf) · (w0 − λ · xT · P0)
−CTh · C−1 ·
E(P1)− (1 + rf) · P0
+E(h) + ε (6.19)
Folgerung 15 Das Endvermogen einer effizienten Position besteht unter Risikoaspekten aus zwei Risiken: demsystematischen Marktrisiko einer effizienten Marktposition (xT ·P1) und einem systematischen personlichen Risikoε, das mit dem Marktrisiko unkorreliert ist und sich ergibt, in dem mit Hilfe des Korrekturportfolios C−1 · Chaus dem nicht–marktfahigen Einkommen das gesamte Marktrisiko herausgehedgt worden ist. Die
”Kosten“ des
Hedging schlagen sich in der Einbuße der Risikopramie auf das Korrekturportfolio CTh ·C−1E(P1)−(1+rf) ·P0
gegenuber der Risikopramie auf das marktfahig effiziente Portfolio nieder.
Wir konnen noch zwei Sonderfalle betrachten:
Fall 4 Ch = 0, d. h. keine Korrelation zwischen marktfahigen und nicht–marktfahigen Titeln: Das Korrektur-portfolio kann entfallen, da es keine Effizienzsteigerung bringt.
Fall 5 ε = 0, d. h. das nicht–marktfahige Einkommen kann ganz gehedgt werden: Die Gesamtposition enthaltnur systematisches Marktrisiko, es entstehen aber Hedge–Kosten.
6.2.2 Das Marktgleichgewicht
Kommen wir zu den Gleichgewichtspreisen: Man aggregiert (6.17) und nutzt die Bedingung fur das Markt-gleichgewicht (Ubereinstimmung von Angebot und Nachfrage) aus:
C · xM + ChM − λME(P1)− (1 + rf) · P0 = 0 (6.20)
89
Es gilt also im Marktgleichgewicht:
P0 =1
1 + rf
E(P1)− λ−1
M · COV(P1, wM + hM), (6.21)
wobei hM das gesamte nicht–marktfahige Einkommen in der Wirtschaft ist.Aus (6.20) leitet man in der gewohnten Vorgehensweise einen Ausdruck fur λ−1
M ab:
λ−1M =
E(wM)− (1 + rf)w0M
var(wM) + cov(wM , hM)(6.22)
Dieser Ausdruck fur den Marktpreis des Risikos unterscheidet sich von dem des CAPM. Analogie erreicht man,wenn man gemaß (6.21) auch dem nicht–marktfahigen Einkommen Marktwerte hypothetisch zuordnet:
h0M =
1
1 + rf
E(hM)− λ−1
M · cov(hM , wM + hM)
(6.23)
und
w0M =
1
1 + rf
E(wM)− λ−1
M · cov(wM , wM + hM)
(6.24)
Die Summe von (6.23) und (6.24) ergibt
w0M + h0
M =1
1 + rf
E(wM + hM)− λ−1
M · var(wM + hM)
(6.25)
und daher
λ−1M =
E(wM + hM)− (1 + rf)(w0M + h0
M)
var(wM + hM)(6.26)
Eine wichtige Schlussfolgerung ergibt sich aus diesem Modell fur die empirische Uberprufung des CAPM:Wir hatten gesehen, dass das CAPM auf der theoretischen Ebene durch den Satz
”Das Marktportfolio ist
effizient“ charakterisiert ist.. Dieser theoretisch”richtige” muss empirisch uberpruft werden, um das Modell zu
testen. Die hier betrachtete Modellvariante zeigt, dass uber das ohnehin schon schwer zugangliche Portfolio allermarktfahigen Titel hinaus prinzipiell auch noch samtliche nicht–marktfahigen Einkommensarten einzubeziehensind. Das macht eine empirische Uberprufung praktisch unmoglich.
90
6.3 Das Kapitalmarktmodell mit segmentierten Markten
6.3.1 Das Individualkalkul
Es gibt an realen Finanztitelmarkten eine Fulle institutioneller Gegebenheiten, die bestimmte Anleger von be-stimmten Anlageformen rechtlich oder faktisch ausschließen; die Anlagevorschriften fur Versicherungsgesellschaf-ten und ihre
”Anlagementalitat“ sind nur ein Beispiel, ein weiteres ist die internationale Finanzmarktsituation
bei nicht vollig integrierten nationalen Marktsegmenten. Das folgende Modell behandelt eine solche Situation inbesonders reiner Form: es werden zwei Anlegergruppen A und B sowie drei Marktsegmente, von denen zwei denAnlegergruppen jeweils exklusiv zugeordnet sind, wahren das dritte Segment ⊕ beiden Gruppen zuganglich ist.Gruppe A (bzw. B) agiert im jeweils eigenen Segment und im gemeinsamen Segment ⊕.
Es variiere i uber i ∈ A,B; dann bezeichne xi die Anlage von Mitgliedern der Gruppe i am eigenen Marktund yi die Anlage von Gruppeangehorigen i am Markt ⊕. Ferner bezeichne P i
0 und P i die Preise der Anlagen zuden Zeitpunkten 0 und 1 auf dem Markt sowie P⊕0 , P
⊕ die entsprechenden Preise auf dem gemeinsamen Markt⊕. Schließlich bezeichne ri den risikolosen Zinssatz der Gruppe i am eigenen Markt. Damit ergibt sich fur dasEndvermogen eines Anlegers der Gruppe i ∈ A,B wie folgt:
wi1 = xTi · (P i − (1 + ri)P
i0) + yTi · (P⊕ − (1 + ri)P
⊕0 ) + (1 + ri) · wi
0 (6.27)
Unterschiedliche risikolose Zinssatze rA und rB konnen nur angenommen werden, wenn auf dem gemeinsamenMarkt keine risikolose Anlagealternative besteht.
Mit den Bezeichnungen
Ci = COV(P i, P i), C⊕ = COV(P⊕, P⊕) und Ci⊕ = COV(P i, P⊕) = CT⊕i
gilt
var(wi1) = var
(xTi · P i
)+2 cov
(xTi P
i, yTi P⊕)
+var(yTi P
⊕)
= xTi Ci xi + 2xTi Ci⊕ yi + yTi C⊕ yi
91
Die Dimension der Matrix Ci⊕ betreffend wird auf den Anhang verwiesen. Man beachte insbesondere, dass
Ci⊕ = COV(P i, P⊕) = COV(P⊕, P i)T = CT⊕i
gilt.
Bei einem angestrebten Erwartungswert in Hohe von wi∗1 minimiert man nach dem Lagrange–Ansatz den
Ausdruck1
2· var(wi
1)− λi(
E(wi1)− wi∗
1
)und erhalt als Optimalitatsbedingungen
∂
∂ xi
(1
2· var(wi
1)− λi(E(wi1)− wi∗
1 ))
= 0
⇒ Cixi + Ci⊕yi = λiE(P i)− (1 + ri)Pi0 (6.28)
sowie∂
∂ yi
(12 · var(wi
1)− λi(E(wi1)− wi∗
1 ))
= 0
⇒ CTi⊕xi + C⊕yi = λiE(P⊕)− (1 + ri)P
⊕0 (6.29)
Die Gleichungssysteme (6.28) und (6.29) erlauben die Bestimmung der individuellen Portfoliozusammensetzung.Zur Bestimmung der Gleichgewichtspreise ist die Kenntnis dieser Portfolios nicht erforderlich.
6.3.2 Das Marktgleichgewicht
Gleichgewicht in (6.29) ergibt:
CTi⊕x
Mi + C⊕y
Mi = λMi E(P⊕)− (1 + ri)P
⊕0 , (6.30)
wobei xMi das Marktportfolio im Marktsegment i ist, wahrend yMi die aggregierte Nachfrage von Anlegernder Gruppe i nach Titeln im Marktsegment ⊕ ist. Die Gleichgewichtspreise im Marktsegment ⊕ erhalt
92
man, wenn man (6.30) uber die beiden Segmente i = A,B aufsummiert und Marktgleichgewicht im Segment ⊕unterstellt; man findet:
COV(P⊕, PA) · xMA + COV(P⊕, PB) · xMB + COV(P⊕, P⊕) · (yMA + yMB )
= (λMA + λMB ) E(P⊕)−(λMA (1 + rA) + λMB (1 + rB)
)P⊕0 (6.31)
was man nach den Gleichgewichtspreisen des gemeinsamen Marktes auflosen lasst:
P⊕0 =λMA + λMB
λMA (1 + rA) + λMB (1 + rB)·
E(P⊕)− 1
λMA + λMB· COV
(P⊕, (xMA )T PA︸ ︷︷ ︸
wMA
+ (xMB )T PB︸ ︷︷ ︸wMB
+ (yMA + yMB )T P⊕︸ ︷︷ ︸wM⊕
)(6.32)
Der Marktpreis der Titel im Segment ⊕ wird also wesentlich durch die Summe der Endvermogen allerdrei Marktsegmente wM
A +wMB +wM
⊕ bestimmt; es zeigt sich ein enger Zusammenhang mit dem Modell desKapitalmarktes unter Berucksichtigung nicht–marktfahiger Einkommen: die Anlagen an den gruppenspezifischenMarkten wirken in Bezug auf den Markt ⊕ wie nicht–marktfahiges Einkommen.
Um die Marktpreise in den gruppenspezifischen Segmenten zu bestimmen, ermittelt man yMi aus (6.30):
yMi = λMiC−1⊕ · E(P⊕)− (1 + ri) · C−1
⊕ · P⊕0− C−1
⊕ · CTi⊕ · xMi (i = A,B) (6.33)
Der Vergleich von (6.33) mit (6.18) spricht fur sich! Aggregiert man (6.28) und lost nach P i0 auf, so erhalt man:
P i0 =
1
1 + ri
E(P i)− 1
λMi
[Ci · xMi + Ci⊕ · yMi
](6.34)
93
Man setzt (6.33) ein und findet:
P i0 =
1
1 + ri
E(P i)− 1
λMi
[Ci · xMi − Ci⊕ · C−1
⊕ · CTi⊕ · xMi
+ λMi Ci⊕ ·(C−1⊕ · E(P⊕)− (1 + ri) · C−1
⊕ · P⊕0)]
=1
1 + ri
E(P i)− 1
λMiCOV
[P i, (xMi )T · P i︸ ︷︷ ︸
wiM
− (xMi )T · Ci⊕ · C−1⊕︸ ︷︷ ︸
[1]
·P⊕
+λMi
(C−1⊕ · E(P⊕)− (1 + ri)C
−1⊕ · P⊕0
)T︸ ︷︷ ︸[2]
·P⊕]
(6.35)
Folgerung 16 Der Term −[1]P⊕ + λMi [2]P⊕ gibt den Risikobewertungseinfluss wieder, den der gemeinsameMarkt ⊕ auf die Preise der beiden Gruppensegmente hat. Dieser Einfluss ist unmittelbar durch [2] gegeben, einPortfolio, das im Markt ⊕ marktgangig–effizient ist. Term [1] gibt die Reaktion von Markt (Korrekturportfolio) iauf das dadurch induzierte Kovarianzrisiko wieder (im Sinne des Modells von Mayers). Da andererseits Term[2] ausweislich von (6.32) von Gegebenheiten in den Markten A und B abhangt, zeigt sich eine wechselseitigeBewertungsinterdependenz aller drei Marktsegmente. Fur die Bewertung auf einem Marktsegment kommt esdaher nicht allein auf die Kovarianz mit dem Endvermogen des betreffenden Marktsegmentes an, sondern auchauf die Kovarianz mit dem Korrekturportfolio und dem effizienten Portfolio im Marktsegment ⊕.
94
Kapitel 7
Probleme der empirischen Uberprufung des CAPM
Literatur: Black u. a. [4]; Roll [27]; Roll [28]; Steiner u. Uhlir [37]
Wie in vorstehender Analyse verdeutlicht wurde, ist die Gultigkeit des CAPM logisch aquivalent mit derHypothese:
”Das Marktportfolio ist effizient“. Jeder Versuch, diese Hypothese empirisch zu testen, ist im Prinzip
nach dem folgenden Muster aufzubauen. Es muss eine Stichprobe von Wertpapieren erhoben werden, es mussdas Marktportfolio empirisch identifiziert werden und auf Grund der erhobenen Daten muss gepruft werden, obdas erhobene Marktportfolio (µ, σ)–effizient ist. Dabei ergibt sich eine Reihe von Schwierigkeiten:
1. Ex post vs. ex ante
Da eine Stichprobe nur Aussagen uber realisierte Preise bzw. Renditen zulasst, kann eine ex–post–Effizienzvorliegen, ohne dass ex–ante–Effizienz (aus Sicht der Anleger) vorgelegen hat. Es wird also gleichzeitig eineHypothese uber die Rationalitat von Erwartungen mit getestet.
2. Anzahl der Wertpapiere
Auf Grund der naturgemaß beschrankten Moglichkeit, Wertpapierdaten in die Untersuchung einzubauen,kann Effizienz (in der Stichprobe) vorliegen, sie konnte aber verloren gehen, wenn weitere Wertpapiere ein-bezogen wurden.
95
3. Spezifikation des Marktportfolios
Diese Schwierigkeit korrespondiert mit der unter 2 genannten: Wenn man im Test nicht das”wahre“ Markt-
portfolio verwendet, kann man von der (Nicht-)Effizienz des im Test verwendeten Portfolios nicht aufdie (Nicht-)Effizienz des
”wahren“ Marktportfolios schließen. Die praktische Unmoglichkeit, das
”wahre“
Marktportfolio zu spezifizieren, liegt aber auf der Hand (insbesondere, wenn man die Modelle mit nicht–marktfahigem Einkommen einbezieht).
In Folge der genannten Argumente gilt das CAPM vielen Forschern als im Prinzip empirisch gehaltlos.
96
Kapitel 8
Die Arbitrage–Pricing–Theory (APT)
Literatur: Franke [13]; Roll u. Ross [29]; Ross [30]; Ross [31]; Sharpe [35]; Wilhelm [39]; Wilhelm [40]; Wilhelm[43]
8.1 Darstellung
Die APT ist als allgemeinere Alternative zum CAPM entwickelt worden. Die zentrale Aussage des CAPM,dass das Risiko eines Wertpapiers durch den Beta–Faktor in Bezug auf das Marktportfolio charakterisiert wird,wird als zu eng empfunden; die Schwierigkeiten, einen verlasslichen Test des CAPM zu konstruieren, kommenals Argument hinzu. Der Ausgangspunkt der APT ist die Annahme, dass einige wenige Marktfaktoren denPreisprozess von Wertpapieren bestimmen. Der Ansatz ist dem von SHARPE ahnlich, verwendet aber mehr alsnur einen Marktfaktor:
P1 = E(P1) +B ·∆ + ε (8.1)
Es sei N die Anzahl der Wertpapiere und K die Anzahl der Marktfaktoren; dann ist
∆ ein K–Vektor von Zufallsvariablen: der Vektor der Marktfaktoren
ε ein N–Vektor von Stortermen
B eine (N×K)–Matrix von Zahlen, die den Einfluss des k–ten Faktors auf das n–te Wertpapier kennzeichnen.
97
Es werden die folgenden Annahmen getroffen:
E(ε) = 0 (8.2)
COV(∆, ε) = 0 (8.3)
Die Analyse des Sharpe–Modells hat gezeigt, dass beide Annahmen unproblematisch, d.h. immer erfullbarsind, keinen empirischen Gehalt haben.
Definition 12 Wir bezeichnen als Arbitrage–Portfolio ein Portfolio z mit z 6= 0 und dem sicheren Endwertvon null:
zT · P1 = 0 (8.4)
Ist x die Ausgangsposition eines beliebigen Anlegers, so andert die zusatzliche Realisation eines Arbitrage-Portfolios z den Endwert nicht:
(x+ z)T · P1 = xT · P1 + zT · P1 = xT · P1 (8.5)
Der Ruckfluss eines Arbitrage–Portfolios kann unter Verwendung der Faktorstruktur (8.1) wie folgt geschriebenwerden
0 = zT · P1 = zT · E(P1) + zT ·B ·∆ + zT · ε
Die folgende Arbitrage–Freiheitsbedingung wird gefordert:
Forderung 2 (Arbitrage-Freiheit) Ein Arbitrage–Portfolio darf keine zusatzlichen Konsummoglichkeiten imZeitpunkt 0 bieten, d.h. weder etwas kosten noch etwas
”einbringen“, d.h.
zT · E(P1) = 0 und var(zT · P1) = 0 implizieren zT · P0 = 0 (8.6)
Nun aber fur jedes Portfolio bei dieser Faktorstruktur
var(zT · P1) = zTCOV(B ·∆, B ·∆)z + zT · COV(ε, ε) · z
98
d.h. ein Arbitrage-Portfolio kann – da beide Summanden der rechten Seite nicht negativ sind – durch
var(zT · P1) = 0⇐⇒ zTCOV(B ·∆, B ·∆)z = zTCOV(ε, ε)z = 0
charakterisiert werden. Weiter gilt (wieder fur jedes, also auch fur ein Arbitrage-Portfolio)
zT · COV(B ·∆, B ·∆) · z = zT ·B · COV(∆,∆) ·BT · z
O. B. d. A. kann manCOV(∆,∆)
als nicht–singular unterstellen (sonst ware wenigstens ein Faktor uberflussig). Dann folgt:
var(zT · P1) = 0⇐⇒[BT · z = 0 ∧ var(zT · ε) = 0
]Annahme 2 (der APT) (a) Arbitrage–Freiheit im Sinne von (8.6)
(b) BT · z = 0 impliziert stets var(zT · ε) = 0
Ist diese Annahme erfullt, so folgt aus (a) und (b) zusammen:[zT · E(P1) = 0∧BT · z = 0
]=⇒ zT · P0 = 0 (8.7)
Die Bedeutung der Annahme (b) ist die folgende: Es wird postuliert, dass jedes Portfolio z, das keinerlei
”Marktrisiko“ aufweist (Kovarianzen mit den
”Marktfaktoren“ ∆), auch vollstandig diversifiziert ist, d.h. kein
Nicht–”Marktrisiko“ enthalt. Diese Annahme ist aus Grunden, die weiter unten erlautert werden, nicht zu recht-
fertigen. Zunachst aber sollen die Konsequenzen hergeleitet werden.Bezeichnen wir mit B1, . . . , BK die Spalten von B; dann ist (8.7) auch in der Form
zT · E(P1) = 0 , BT1 · z = 0, . . . , BT
K · z = 0⇒ zT · P0 = 0 (8.8)
zu schreiben. Aus (8.8) folgt (lineare Algebra: P0 liegt in dem von E(P1), B1, . . . , BK erzeugten Untervektorraum),dass es Zahlen λ0, λ1, . . . , λK gibt, so dass gilt:
P0 = λ0E(P1) + λ1B1 + . . .+ λKBK (8.9)
99
oder in Matrixform
P0 = λ0E(P1) +B · λ (8.10)
Bei Existenz einer risikofreien Anlage folgt sofort:
λ0 =1
1 + rf
P0 =1
1 + rfE(P1) +B · λ (8.11)
Zur Interpretation von B nutzt man (8.1) und (8.3) und rechnet:
COV(P1,∆) = B · COV(∆,∆)
d.h.
B = COV(P1,∆) · COV(∆,∆)−1 (8.12)
O. B. d. A. hatten wir COV(∆,∆) als Diagonalmatrix angenommen, wobei in der Hauptdiagonale die Vari-anzen der Faktoren stehen. Man interpretiert dann ∆ als kunstlichen Satz unabhangiger Wertpapiere. Damitist die Matrix B das komplette Analogon zu den Betafaktoren im CAPM. Die λ–Komponenten sind dabei dieMarktpreise fur die verschiedenen Risikotypen. Die inkriminierte Annahme (b) bedeutet daher: Eine Anlage ohneMarktrisiko (BT · z = 0) besitzt auch kein individuelles Risiko, oder anders ausgedruckt: außer der risikofreienAnlage gibt es kein weiteres Zero–Beta–Portfolio.
8.2 Kritische Analyse
Die empirische Flexibilitat des APT scheint es dem CAPM uberlegen zu machen; insbesondere erfordert eskeine Spezifikation des Marktportfolios. Die theoretische Herleitung ist indessen dubios: Die oben formuliertezusatzliche Annahme besagt:
BT · z = 0⇒ var(zT · ε) = 0
100
bzw.BT · z = 0⇒ zT · COV(ε, ε) · z = 0 (8.13)
Daraus folgt, dass die Kovarianzstruktur der Storterme in bestimmter systematischer Weise mit den”systema-
tischen Risiken “ der Wertpapiere zusammen hangen muss. Insbesondere durfen die Storterme nicht unabhangigvoneinander sein (sonst wurde (8.13) z = 0 implizieren).
Wir wollen einmal prufen, welche Auswirkung die Annahme (8.13) bei Gultigkeit des CAPM hatte. In diesemFall ist ∆ eindimensional und gleich dem Wert des Marktportfolios. Setzen wir diesen Wert gleich wM , so gilt:
P1 = E(P1) + (wM − E(wM))β + ε
Annahme (8.13) besagt dann:βT · z = 0⇒ var(zT · ε) = 0
Wenn es zwei Papiere i und j mit demselben Betafaktor β∗, aber nicht vollstandig korrelierten unsystema-tischen Risiken var(εi − εj) 6= 0 gibt, ist diese Annahme also schon verletzt. Zum Nachweis betrachten wir einPortfolio z mit zi = 1 und zj = −1. Alle anderen Komponenten in z sind null. Dann gilt:
P i1 = E
(P i
1
)+ β∗(wM − E(wM)) + εi
P j1 = E
(P j
1
)+ β∗(wM − E(wM)) + εj
P i1 − P
j1 = E
(P i
1
)− E
(P j
1
)+ εi − εj
Es folgtβT · z = β∗ − β∗ = 0
abervar(zT · ε) = var(εi − εj) 6= 0 .
101
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Teil III
Derivate
103
Notationsvereinbarung
Die verwendete Notation wird in den meisten Fallen dort eingefuhrt, wo sie erstmals verwendet wird. EinigeSymbole werden aber so haufig (und fast immer in gleicher Bedeutung) benutzt, dass es zweckmaßig erscheint,
sie zusammengefasst aufzufuhren:
t, τ, θ, T Zeitindizes; T ist meist der ModellhorizontT Transposition von Vektoren und Matricesp Preis eines Marktobjektes, verwendet mit
Zeitindex oder Zeitindicespt Spotpreis im Zeitpunkt tpt,T Terminpreis, vereinbart im Zeitpunkt t
fur Lieferung im Zeitpunkt Tr Zinssatz, verwendet mit Zeitindex
oder Zeitargument(en)rt Momentan-Spotzinssatz (in zeitstetigen Modellen)
im Zeitpunkt trt Spotzinssatz fur eine Periode (in zeitdikreten Modellen)
im Zeitpunkt tr (t, τ) Spotzinssatz im Zeitpunkt t fur Periode [t, τ ]f (t, τ, T ) Terminzinssatz im Zeitpunkt t fur die Periode [τ, T ]B (t, τ) Preis eines Zero-Bonds im Zeitpunkt t mit Falligkeit in τ
r (t, τ) = − log(B(t,τ))τ−t
rt =
limt→τ
r (t, τ)
− log (B (t, t+ 1))
f (t, τ, T ) =log( B(t,τ)
B(t,T ))T−τ
f (t, τ) =
limT→τ
f (t, τ, T )
log(
B(t,τ)B(t,τ+1)
) Momentan-Terminzinssatz im Zeitpunkt tfur die
”Periode” [τ, τ + dτ ]
(Ω,A, µ) WahrscheinlichkeitsraumA<k> k-te Spalte der Matrix AA<k> k-te Zeile der Matrix A
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Kapitel 9
Einfuhrung in Terminologie und Bewertung vonFestgeschaften
Die Markte, an denen Transaktionen mit sofortigem Vollzug vereinbart werden, bezeichnet man als Kas-samarkte (bei Waren auch Lokomarkte) (im Englischen spot markets oder actuals markets); entsprechendspricht man vom Kassageschaft oder auch vom Comptant-Geschaft (vorzugsweise in der Schweiz). Ist dieErfullung des Geschaftes zeitlich hinausgeschoben, spricht man von Termingeschaften bzw. Terminmarkten(im Englischen von forward markets oder futures markets, wobei auf eine Unterscheidung zwischen beidennoch eingegangen wird). Die Borsenusancen bestimmen, wann die Erfullung stattzufinden hat.
Die einfachen Zeitgeschafte (Festgeschafte) werden heute gewohnlich als Geschafte”fix“ abgeschlossen:
Beide Teile mussen an dem im Vertrag festgesetzten Tag (oder im festgesetzten Zeitraum etwa Monat) erfullen.Andere Formen waren:
– Geschaft”fix und taglich“: Der Kaufer muss spatestens am Ende der vereinbarten Frist abnehmen; er kann
fruher Lieferung nach Kundigung (Erklarung der Abnahmebereitschaft) von dem Zeitpunkt ab verlangen,von dem ab das Geschaft
”taglich“ ist (Kauferwahlrecht).
– Geschafte”mit Ankundigung fix und taglich“: Der Verkaufer muss spatestens am Ende der vereinbarten
Frist liefern; er kann fruhere Lieferung ankundigen (Erklarung der Lieferbereitschaft) und liefern von demZeitpunkt ab, von dem ab das Geschaft
”taglich“ ist (Verkauferwahlrecht).
109
Termingeschafte, wie die hier geschilderten und die folgenden, werden ublicherweise nur uber usancegemaßeMengen, Stuckzahlen und Qualitaten und uber usancegemaße Zeitraume bzw. auf usancegemaße Zeitpunkteabgeschlossen.
Im Warengeschaft sind die Lieferqualitaten und Lieferorte standardisiert (siehe weiter unten: Differenzsyste-me).
Definition 13 Bei einem Festgeschaft”
fix“ wird vereinbart, dass der Kaufer eine bestimmte Menge des zuGrunde liegenden Handelsobjektes zu einem fest vereinbarten Preis (Terminpreis) an einem fest vereinbartenZeitpunkt abnimmt und der Verkaufer sie liefert.
Von theoretischem Interesse ist stets der Marktwert solcher Kontrakte zu unterschiedlichen Zeitpunkten.Wir bezeichnen (hier und im Folgenden) mit
ptden Kassa-(Loko-)Preis des zu Grunde liegenden Handelsobjektes (Underlying)im Zeitpunkt t je (usancegemaßer) Einheit
pt,Tden Terminpreis, der im Zeitpunkt t fur Erfullung im Zeitpunkt T vereinbart wird(t ≤ T ) je (usancegemaßer) Einheit
Mτ(t, T )den Marktpreis des betrachteten Kontraktes im Zeitpunkt τ , wenn der Kontraktim Zeitpunkt t zur Erfullung im Zeitpunkt T abgeschlossen wurde (t ≤ τ ≤ T )
Es gilt bei allen FestgeschaftenMτ(τ, T ) = 0 (9.1)
undMT (t, T ) = pT − pt,T (9.2)
(9.1) bringt zum Ausdruck, dass bei Abschluss eines Festgeschaftes kein Vertragspartner Anlass hat, Geld zuverlangen oder zu zahlen: der Terminpreis ist ein Gleichgewichtspreis im Vertragsverhaltnis.
(9.2) ist eine theoretische Beziehung, die aus Arbitrageuberlegungen folgt: Der Kontraktwert entspricht beiFalligkeit dem Wert des Handelsobjektes (das dem Kaufer geliefert wird) abzuglich des vereinbarten Preises (der
110
vom Kaufer zu zahlen ist); ware der Kontraktwert hoher, konnte man (als Kontraktbesitzer) einen risikofreienGewinn gegenuber der Kontrakterfullung machen, indem man den Kontrakt verkauft (Einzahlung MT (t, T )) undstattdessen die Ware direkt zum Kassakurs erwirbt (Auszahlung pT ); die folgende Situation ergabe sich:
a) Kontrakterfullung −pt,Tb1) Kontraktverkauf MT > pT − pt,Tb2) Warenkauf −pTb) Summe b1) und b2) MT − pT > (pT − pt,T )− pT = −pt,T
Die Schlussposition im zweiten Fall b) ist gunstiger als die im ersten Fall (in beiden Fallen besitzt manzusatzlich die physische Position
”long”).
Gilt dagegen MT (t, T ) < pT − pt,T , so wird ein potentieller Kaufer der Ware, der pT zu zahlen hat (Fall c)),besser den Kontrakt kaufen und zum Terminpreis pt,T die Ware erwerben (Fall d)):
c) Warenkauf auf dem −pTKassamarkt
d) Warenkauf uber −MT (t, T )− pt,TTermintransaktion
Wegen MT (t, T ) < pT − pt,T gilt −MT (t, T ) > pt,T − pT und daher −MT (t, T )− pt,T > pt,T − pT − pt,T = −pT ,d.h. die Schlussposition im Fall d) ist gunstiger als im Fall c). Funktioniert die Arbitrage, so muss gelten
MT (t, T ) = pT − pt,T
An diesem Beispiel wird bereits deutlich, dass Arbitragebeziehungen zwischen den Terminmarktenund den Kassamarkten bestehen; diese Beziehungen sind fundamental fur die theoretische Be-handlung von Termingeschaften.
Man beachte, dass in (9.2) der Kontraktwert MT (t, T ) im Zeitpunkt der Falligkeit des Termingeschaftes eineFunktion des Kassapreises ist (der im Allgemeinen unsicher ist). Dieser funktionale Zusammenhang soll als cha-rakteristische Funktion bezeichnet werden. Der Terminkontrakt ist damit ein bedingter Titel (ein
”Derivat”,
”derivative (asset)”); seine Unsicherheitsstruktur ist eine bedingte, bedingt durch die des zu Grunde liegenden
111
Spotpreis pT
Pay
-offM
(T,τ
)
pτ,T
Abbildung 9.1: Charakteristische Funktion eines Festgeschaftes
Marktobjektes, des sogenannten Underlying. Die folgende Abbildung ?? zeigt grafisch die charakteristischeFunktion eines Festgeschaftes. Wie man sieht, ist das Risiko eines Verlustes ebenso wie die Chance einesGewinns bei dieser Kontraktart unbegrenzt, soweit man die Bedingung pT ≥ 0 (Preise konnen nicht negativwerden) außer Acht lasst.
Festgeschafte auf Finanztitel betreffen vor allem Aktien, Devisen (vor allem im Interbankengeschaft), An-leihen und Indizes (z.B. Aktienindizes).
Im Warentermingeschaft ist das Festgeschaft (”fix”) vorherrschend. Die Eigenschaft
”fix” ist hier aller-
dings durch eine Reihe von Wahlmoglichkeiten (Optionen) des Verkaufers aufgeweicht. Warenterminkontrakte
112
sind standardisiert in Hinsicht auf
– Qualitatsgrad der Ware
– Menge
– Erfullungsort
– Erfullungszeit
(Zwei Kakao-Kontrakte zur Lieferung im Dezember in London sind vollig austauschbar, d.h. die Voraussetzungder Fungibilitat, die fur den Borsenhandel erforderlich ist, ist in hohem Maße gegeben). Was aber ware die Folge,wenn Lieferort, Liefertermin und Qualitat vollstandig determiniert waren?
Die Fixierung auf einen Liefertag, auf eine Lieferqualitat bzw. die Fixierung auf einen Lieferort wurdedie fur die Lieferung effektiv verfugbare Menge physischen Materials erheblich beschranken. Unter diesenUmstanden ist ein sog.
”Corner” (im alten deutschen Borsenjargon eine
”Schwanze”) bedeutend wahrscheinlicher.
Der Corner besteht darin, dass hohe Erfullungsverpflichtungen auf einen Markt in physischer Ware treffen,der monopolistisch beherrscht wird: Ein potenter Marktteilnehmer A kauft wesentliche Teile des physischenMaterials auf und kauft zugleich per Termin große Mengen. Im Erfullungszeitpunkt mussen sich diejenigen, die
”leer” verkauft haben (
”gefixt” haben), d.h. per Termin verkauft haben, ohne Ware zu besitzen, am Kassamarkt
eindecken; der Kassamarkt wird jedoch vollig beherrscht von A; A kann nahezu beliebige Kassapreise durchsetzenund
”quetscht” so den Markt aus (sog.
”squeeze“) (historische Beispiele: ein Corner am Hamburger Kaffeemarkt
1889 trug mit zur Beschleunigung der Borsenreform in Deutschland bei; Ende der siebziger Jahre versuchten dieBruder Hunt (texanische Olfamilie) einen Corner im Silbermarkt aufzubauen; sie hatten jedoch ihre Kapitalkraftuberschatzt, der Silberpreis brockelte ab und sie mussten ihre Position unter gewaltigen Verlusten auflosen, dadie Banken die Silberbestande nicht mehr in der erwarteten Weise als Sicherheit akzeptierten). Je hoher c.p.das Volumen an lieferbarer physischer Ware, desto geringer ist die Gefahr eines Corners. Es ist daher ublich,die Kontrakte mit einer Reihe von Wahlrechten zu versehen; da diese Wahlrechte prazise umrissen sind undihre Auswirkungen im Vorhinein antizipiert werden konnen, bilden sie keinen Widerspruch zur Fungibilitat derKontrakte. Allerdings erschweren sie die Arbitrage zwischen Kassa- und Terminmarkt: die Beziehung (9.2) giltan solchen Terminmarkten nur approximativ (Problem des so genannten
”cheapest to deliver” (CTD)).
113
Beispiele: Die New Yorker Palladium– bzw. Platinkontrakte erlauben Lieferung im Stadtgebiet von New Yorkin konzessionierten Lagerhausern innerhalb eines 50 Meilen Radius; Lieferung durch Ubergabe des Lagerscheins.Der Nickelkontrakt erlaubt Lieferung in New York und Chicago. Die beiden Londoner Zinnkontrakte (
”high
grade” und”standard”) lassen Lieferung in konzessionierten Lagerhausern in 13 Stadten (neben englischen auch
Rotterdam, Hamburg und Antwerpen) zu. In Qualitatsgraden kann etwa bei dem Chicagoer Weizenkontrakt in25 verschiedenen Graden gewahlt werden.
Daneben gibt es allerdings auch Kontrakte, bei denen Ort, Qualitat oder Liefertag fixiert sind. In vielen Fallenhat die gewahlte Option keine weitere Konsequenz fur den Verkaufer. Oft ist jedoch mit der Wahl von Qualitatoder Lieferort ein Preisauf– oder –abschlag verbunden, dessen Berechnung im Vorhinein festliegt (Borsenusance).Bei der Lieferung im Rahmen des Chicagoer Lebend–Rind–Kontraktes kann man statt des Standard–LieferortesChicago auch Omaha (Preisabzug 75 Cent pro Hundert Gewichtseinheiten) oder Kansas City (Preisabzug 1Dollar pro Hundert Gewichtseinheiten) wahlen. Bei dem Preisausgleich (
”difference system”) im Rahmen von
Qualitatswahlmoglichkeiten unterscheidet man zwei Verfahren des Preisausgleichs
– commercial difference system
– fixed difference system,
wovon das erste das ublichere ist. Bei dem ersten System regulieren sich die Preisdifferenzen bei Lieferung mitden bei Lieferung herrschenden Kassa(–Loko)–Preisdifferenzen der gewahlten Qualitat von der Standardqualitat.Das andere System setzt die Differenzen vorher fest und passt sie nur von Zeit zu Zeit den Marktverhaltnissenan (der Chicagoer Weizenkontrakt kennt 8 Grade ohne Pramie, 11 mit Pramie und 6 mit Abschlag). Das Systemwar an der Hamburger Kaffeeborse ublich mit jahrlicher Anpassung. Auch fur Termingeschafte in manchenFinanztiteln sind Lieferoptionen mit Differenzsystemen ublich, ja u. U. sogar zwingend (s. Abschnitt 14.2).
Der Vorteil der Lieferoptionen, namlich Corner zu vermeiden, geht einher mit der Neigung, Terminkontraktenicht zur Erfullung kommen zu lassen, sondern vorzeitig durch ein Gegengeschaft glattzustellen; man hat ja alsKaufer mit unerwunschten Lieferorten oder Lieferqualitaten zu rechnen. Terminkontrakte sind in der Regelnicht die geeigneten Instrumente, tatsachlich physische Ware anzuschaffen; Erfullung findet nur inder Großenordnung von 1% bis 5% der Kontrakte statt.
114
Hat man in t = 0 per Termin T gekauft, so entsteht in T die effektive Position (vgl. (9.2))
MKT (0, T ) = pT − p0,T (9.3)
Schließt man im Zeitpunkt τ ein Gegengeschaft ab (man verkauft per Termin T ), so folgt fur denselbenZeitpunkt:
MVT (τ, T ) = pτ,T − pT (9.4)
Es ergibt sich eine Nettoposition von
MKT (0, T ) +MV
T (τ, T ) = pT − p0,T + pτ,T − pT
= pτ,T − p0,T (9.5)
Diese Position ist aus Sicht des Zeitpunktes τ , in dem das Gegengeschaft abgeschlossen wurde, sicher:man hat sich, wie man sagt,
”glatt gestellt”.
Der Wert in τ ist folglich:
MKτ (0, T ) +MV
τ (τ, T ) = (pτ,T − p0,T )e−(T−τ)·r(τ,T ) , (9.6)
wobei r (τ, T ) der Spotzinssatz in τ fur die Restlaufzeit T − τ ist, d.h. es gilt
e−(T−τ)r(τ,T ) = 1 + r (τ, T ) · (T − τ) fur unterjahrige Zinsrechnung (9.7)
und
e−(T−τ)r(τ,T ) = (1 + r (τ, T ))T−τ fur Zinseszinsrechnung (9.8)
wobei r (τ, T ) der im Zeitpunkt τ gultige usancegemaße Zinssatz pro gewahlter Zeiteinheit ist. Da der Marktwerteines Festgeschaftes bei Abschluss gleich null ist (Mt(t, T ) = 0), haben wir mit (9.6) eine allgemeine Formel furden Marktwert eines Festgeschaftskontraktes wahrend der Laufzeit gefunden:
MKτ (0, T ) = (pτ,T − p0,T )e−(T−τ)·r(τ,T ) , (9.9)
115
woraus noch
MKτ (0, T ) = pτ,T − p0,T −
(1− e−(T−τ)·r(τ,T )
)[pτ,T − p0,T ]
= pτ,T − p0,T − e−(T−τ)·r(τ,T )(e(T−τ)·r(τ,T ) − 1
)[pτ,T − p0,T ] (9.10)
folgt. Gemaß (9.10) ergibt sich daher der Marktwert eines Festgeschafts aus der Differenz der Terminpreise zumBetrachtungs- und Begrundungszeitpunkt unter Abzug des Barwertes der Zinsen auf diese Differenz, die bis zumErfullungszeitpunkt anfallen wurden.
Bei den modernen Futuresborsen mit Liquidationskassen bzw. Clearinghausern (siehe dazu spater!) wird(9.10) ohne den Zinsterm tatsachlich im Zeitpunkt τ realisiert, die Lieferverpflichtung aus (9.4) wird gegenden Lieferanspruch (9.3) im Sinne von (9.5) ausgebucht. Ist eine solche Clearingstelle nicht eingeschaltet, somuss man bis zum Zeitpunkt T abwarten, um seine Lieferverpflichtung gegenuber dem einen Kontraktpartnerim Rahmen der Abnahmeverpflichtung gegenuber dem anderen Kontraktpartner zu erfullen; erst in T realisiertman den Erfolg (9.5). Dabei ergibt sich dann ein Erfullungsrisiko; von Erfullungsrisiken wollen wir im Rahmendieser Vorlesung durchgehend absehen.
116
Kapitel 10
Einfuhrung in die dynamische Arbitragetheorie: Zeit-und Zustands–diskrete Preisprozesse
Wir legen eine diskrete Menge von Zeitpunkten t ∈ 0, . . . , T zu Grunde, zu denen wir Preise beobachten.Außerdem geben wir uns eine Anzahl K von Wertpapieren ohne begrenzte Laufzeit und fur jede Teilperiode[t, t + 1] eine risikofreie Anlage mit dem Ruckfluss Rt = B (t, t+ 1)−1 pro in t eingesetzte Geldeinheit vor. DiePreise der K Wertpapiere notieren wir als Spaltenvektoren Pt und eventuelle Ausschuttungen als SpaltenvektorenDt. Ist (Ω,A, µ) der zu Grunde liegende Wahrscheinlichkeitsraum, so gehort zu jedem Zeitpunkt t eine σ–Subalgebra At ⊂ A, die die Informationen widerspiegelt, die man im Zeitpunkt t prinzipiell haben kann. Es gelteAt ⊂ At+1 und A0 = ∅,Ω. Preise Pt und Dividenden Dt sind jeweils bezuglich At messbar.
Eine Portfolio–Strategie
(x0
x
)besteht aus einer Folge
(x0t
xt
), wobei x0
t eine reelle Zufallsvariable und xt
ein reeller Zufallsvektor ist; x0t und xt sind annahmegemaß bezuglich At messbar; x0
T = 0 und xT = 0 durchSetzung.
117
Der durch die Portfolio–Strategie
(x0
x
)ausgeloste Zahlungsprozess lasst sich beschreiben durch
c0
(x0
x
)= −x0
0 − xT0 · P0 (10.1)
ct
(x0
x
)= xTt−1(Pt +Dt) +Rt−1 · x0
t−1 − xTt · Pt − x0t (10.2)
darstellen.Wir bezeichnen mit X die Menge der der gemachten Definition entsprechenden Portfolio–Strategien und
stellen zunachst fest, dass X ein linearer Raum (oder auch Vektorraum) ist, wenn Addition und Multiplikationmit Skalaren jeweils komponentenweise erfolgt.
Die durch die Ausfuhrung aller moglichen Portfolio–Strategien ausgelosten Zahlungsstrome konnen wir nunin der folgenden Menge zusammenfassen
C =
(c0
c
)∣∣∣∣∣c0 = c0
(x0
x
)aus (10.1), c =
(c1...cT
),mit
ct = ct
(x0
x
)aus (10.2), t = 1, . . . , T ,
(x0
x
)∈ X
(10.3)
Die Menge C ist offensichtlich ebenfalls ein linearer Raum. Wenn wir mit Zt die At–messbaren Zufallsvariablenauf Ω, also die Zufallsvariablen auf (Ω,At, µ) bezeichnen, ist C ein Unterraum von
Z = Z0 × Z1 × . . .× ZT (10.4)
Zwei Bedingungen sind jeweils hinreichend, um C endlich–dimensional zu machen:
Bedingung 1 Der Wahrscheinlichkeitsraum ist endlich, zu jedem Zeitpunkt konnen also nur endlich vieleZustande eintreten (Zeit– und Zustands–diskreter Fall)
118
Bedingung 2 x0 = x1 = . . . = xT−1 und x00 = x0
1 = . . . x0T−1, d. h. die Portfolio–Strategie sieht Handel nur in
t = 0 und t = T vor.
Wir definieren nun Arbitrage–Freiheit, wenn C endlich–dimensional ist.
Definition 14 Ist die Zahlungsstrommenge endlich–dimensional, so heißt der Markt arbitragefrei; wenn aus(c0
c
)∈ C und
(c0
c
)≥ 0 (10.5)
stets folgt
(c0
c
)= 0, d. h. c0 = 0 und c = 0.
Definition 15 Eine Strategie
(x0
x
)∈ X heißt Hedge–Strategie, wenn
(x0
x
)6= 0 und
(c0
(x0
x
)c(x0
x
) ) = 0
gilt.
Neben dem Auszahlungsprozess kann man auch den Vermogensprozess einer Portfolio–Strategie betrachten.
Definition 16 Der Prozess
(w0
w
)∈ Z heißt der Vermogensprozess der Portfolio–Strategie
(x0
x
), wenn gilt
w0 = 0 (10.6)
wt = xTt−1 · (Pt +Dt) +Rt−1 · x0t−1 (10.7)
Wir folgern nun:
119
Satz 16 Der Vermogensprozess einer Hedge–Strategie ist bei Arbitrage–Freiheit konstant gleich null.
Beweis: Sei
(x0
x
)eine Hedge–Strategie. Sei A ⊂ At ein Ereignis, in dem wt > 0 ist. Dann wandelt man die
Hedge–Strategie wie folgt ab:
x0τ(ω) = x0
τ(ω)xτ(ω) = xτ(ω)
fur alle τ und ω /∈ A
x0τ(ω) = 0xτ(ω) = 0
fur alle τ ≥ t und ω ∈ A
x0τ(ω) = x0
τ(ω)xτ(ω) = xτ(ω)
fur alle τ < t
Diese Strategie widerspricht der Arbitrage–Freiheit; es gilt namlich
ct
(x0
x
)= xTt−1 · (Pt +Dt) +Rt−1 · x0
t−1 − xTt · Pt − x0t
= wt > 0 fur ω ∈ A .
In allen anderen Fallen ist der Zahlungsstrom gleich null. Damit ist die Proposition bewiesen.
Existiert daher eine Hedge–Strategie
(x0
x
)bei Arbitrage–Freiheit, so gilt wegen ct = wt − xTt · Pt − x0
t sowie
ct = wt = 0 immer simultan das SystemxTt · Pt + x0
t = 0 (10.8)
undxTt · (Pt+1 +Dt+1) +Rt · x0
t = 0 (10.9)
Die simultan geltenden Beziehungen (10.8) und (10.9) sind der Kern der Theorie der arbitragefreienBewertung. Sie erlauben
120
— die Ermittlung von Hedging–Strategien
— die Arbitrage–freie Bewertung von duplizierbaren konkreten Wertpapieren ( z. B. Derivaten)
— die Arbitrage–freie Bewertung von duplizierbaren abstrakten Wertpapieren (z. B.”primitiven“ Wertpa-
pieren bzw. Arrow–Debreu–Zertifikaten)
10.1 Der Binomialfall
10.1.1 Grundlagen
Wir wollen die Verhaltnisse und Vorgehensweise am so genannten Binomialfall verdeutlichen. Im Binomialfallkann, ausgehend vom in t − 1 erreichten Zustand, jeweils eine von zwei moglichen Zustandsanderungen zumZustand in t eintreten. Das kann man wie folgt formulieren: S ist eine Menge, die aus zwei Elementen besteht
S =
(1
0
),
(0
1
)(10.10)
Nun modellieren wirΩ = S × . . .× S︸ ︷︷ ︸
T–mal
A ist die Menge aller Untermengen von Ω, die so genannte Potenzmenge A = ℘(Ω). Obwohl die Wahrschein-lichkeit im endlichen Fall weitgehend bedeutungslos ist, geben wir hier zwei denkbare spezielle Versionen an. Dieeine lautet
µω =1
2T(10.11)
fur alle ω ∈ Ω. Alternativ dazu ist z. B. moglich: Sei p + q = 1 und p, q ≥ 0. Dann definieren wir mit ω =
(ω1, . . . , ωT ) (ωt ∈ S, t = 1, . . . , T ) die Summe
(u
d
)=
T∑t=1
ωt und setzen
µω = pu · qd
121
Diese Festsetzung ist mit der oben vorgenommenen identisch, wenn p = q = 1/2 gilt. Die Wahrscheinlichkeitenfur Untermengen A ∈ A ermitteln wir uber die Summation der Wahrscheinlichkeiten der Elemente von A.
Wir kommen nun zum Aufbau der σ–Subalgebren At. Wir definieren
At(ω1, . . . , ωt) =ω ∈ Ω|ω1 = ω1, . . . , ωt = ωt , ωτ ∈ S fur τ > t
das sind so viele Teilmengen von Ω wie es Elemente (ω1, . . . , ωt) ∈ S × . . .× S︸ ︷︷ ︸
t–mal
gibt; diese Mengen haben wech-
selseitig leeren Durchschnitt. At nimmt nun diese Mengen als Elemente und alle moglichen Zusammenfassungendieser Elemente zu Mengen solcher Elemente auf. Die genaueste Information, die man bis zum Zeitpunkt t erlangthaben kann, ist die zu wissen, in welcher der Teilmengen At(ω1, . . . , ωt) man sich befindet.
Eine recht einfache Moglichkeit, sich nummerisch Ubersicht zu verschaffen, besteht in der Ausnutzung derbinaren Darstellung von naturlichen Zahlen. Um die Verallgemeinerung schon vorzubereiten, definieren wir e1
und e2 als die beiden Einheitsvektoren im R2. Dann gilt S = e1, e2. Man findet
eT2 · e1 = 0eT2 · e2 = 1
Die Folge
e1, e1, e2, e1
kann man dann durcheT2 · e1 , e
T2 · e1 , e
T2 · e2 , e
T2 · e1
= 0 0 1 0
kodieren; allgemein
ω1, . . . , ωT 7−→ eT2 · ω1, . . . , eT2 · ωT
Die Folge 0 0 1 0 kann man als die (in umgekehrter Reihenfolge) notierte Binardarstellung der Zahl 4 verstehen.So wird Ω aquivalent durch
Ω = 0, 1, . . . , 2T − 1
122
darstellbar.(ω1, . . . , ωT ) 7−→ eT2 · ω1 + (eT2 · ω2) · 2 + (eT2 · ω3) · 22 + . . .+ (eT2 · ωT ) · 2T−1
(Man verifiziere durch Bildung der geometrischen Reihe, dass auf diese Weise tatsachlich maximal die Zahl2T − 1 dargestellt werden kann.) Wann gehoren zwei Zahlen a, b ∈ Ω zu derselben Menge At(ω1, . . . , ωt), d. h.sind die betreffenden Elementarereignisse bis t nicht unterscheidbar? Antwort: Ihre Differenz (wir substrahierendie kleinere von der großeren) ist von der Gestalt(
eT2 · ωt+1
)·2t + . . .+
(eT2 · ωT
)·2T−1
und daher durch 2t teilbar. Man kann also zwei Elementarereignisse fruhestens dann nach t unterscheiden,wenn ihre Differenz durch 2t teilbar ist. Man kann sie genau in t + 1 unterscheiden, wenn ihre Differenz durch2t aber nicht durch 2t+1 teilbar ist.Zufallsvariablen auf (Ω,A, µ) konnen daher als (Zeilen–)Vektoren im R2T
verstanden werden: ZT = R2T . Die Messbarkeitsanforderungen fur die Zufallsvariablen in Zt beinhalten diefolgende Eigenschaft:
z ∈ Zt ; ω, ω ∈ Ω ; ω − ω durch 2t teilbar ⇒ z(ω) = z(ω)
Beobachtet man ein Elementarereignis bis zum Zeitpunkt t, so ist das aquivalent mit der Beobachtung einerZahl i ∈ 0, . . . , 2t − 1; die nachste Zahl im Zeitpunkt t+ 1 lautet dann entweder
i+ 0 = i oder i+ 2t (10.12)
Daher kann man allgemein die Menge der Zufallsvariablen Zt, die messbar bezuglich At sind, durch
Zt = R2t
reprasentieren. Daher gilt
Z = R× R2 × R4 × . . .× R2T = R1+2+...+2T
= R2T+1−1 (10.13)
Der lineare Unterraum C aus der Definition (10.3) kann nun als Unterraum von Z = R2T+1−1 aufgefasst werden.Wir betrachten in diesem Zusammenhang die Menge E aller Einheitsvektoren in R2T+1−1 Diese Einheitsvektoren
123
lassen sich zweckmaßiger Weise so gruppieren, dass erkennbar wird, welches Ereignis in welchem Zeitpunkt siereprasentieren. Wie schon gesagt, ist zum Zeitpunkt t eine Zahl i ∈ 0, . . . , 2t − 1 bekannt. Den betreffendenEinheitsvektor in Z bezeichnen wir mit et,i. In der nachfolgenden Grafik ist der Fall T = 3 realisiert:
Ein Vektor aus Z hat 15 Komponenten; die erste Komponente bezieht sich auf den Zeitpunkt t = 0; die zweiteund dritte Komponente auf den Zeitpunkt t = 1, die vierte bis siebte Komponente auf den Zeitpunkt t = 2 unddie achte bis funfzehnte Komponente auf den Zeitpunkt t = 3. Der Einheitsvektor e2,2 bezieht sich auf den inder Grafik schwarz gefullten Knoten und hat die Gestalt:(
0︸︷︷︸t = 0
; 0, 0︸︷︷︸t = 1
; 0, 1, 0, 0︸ ︷︷ ︸t = 2
; 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0︸ ︷︷ ︸t = 3
)Der Baum in Abbildung 10.1 wird dabei spaltenweise durchlaufen und als zusammengesetzter Zeilenvektor
mit der eins genau am schwarz gefullten Knoten notiert (vgl. Abbildung 10.2, S. 164).Interpretieren wir diese Einheitsvektoren als Zahlungsstrom, so handelt es sich um den Ruckstrom eines so
genannten”primitiven Wertpapiers“ (
”Arrow–Debreu–Zertifikats“), das im Ereignis i im Zeitpunkt t den
Betrag 1 garantiert und in allen ubrigen Ereignis–/Zustands–Kombination den Betrag 0 ausschuttet. Naturlichlasst sich jetzt jeder Zahlungsstrom in C als Linearkombination solcher Arrow–Debreu–Zertifikate darstellen.Wir zeigen nun den folgenden zentralen
Satz 17 (Existenzsatz fur Arrow–Debreu–Preise) Wenn im geschilderten Binomialfall der Markt arbi-tragefrei ist, gibt es ein positives lineares Funktional π auf Z, dessen Einschrankung π
∣∣C
auf C gleich 0 ist undden Arrow–Debreu–Zertifikaten positive Preise zuweist: π (et,i) > 0.
Beweis: Ist der Markt Arbitrage–frei, so giltet,i /∈ C
fur alle (zulassigen) Kombinationen von t und i. Dasselbe gilt fur alle Konvexkombinationen dieser Einheitsvek-toren. Die Menge dieser Konvexkombinationen ist ein so genanntes Simplex
S =
x ∈ R2T+1−1
∣∣∣∣∣x =∑t,i
αti · eti , αti ≥ 0 und∑t,i
αti = 1
124
Ein Simplex (s. die Abbildung 10.3) ist kompakt und konvex und es gilt S∩C = ∅. Daher gibt es (Trennungssatz!)ein stetiges lineares Funktional π auf Z mit π
∣∣C
= 0 und π∣∣S> 0. Damit ist der Satz bewiesen.
Bemerkung 2 Ohne Beschrankung der Allgemeinheit kann man π(e0,0) = 1 annehmen.
Bemerkung 3 Es ist offensichtlich, dass die Gultigkeit des Existenzsatzes nicht an die Binomialstruktur ge-bunden ist, im Rahmen derer wir ihn bewiesen haben. Vielmehr gilt der Satz ohne Weiteres fur jede zeit- undzustandsdiskrete Struktur. Mit etwas mehr Auswand lasst sich das Ergebnis auch auf zeitdiskrete, aber zustands-kontinuierliche Verhaltnisse ubertragen. Wir werden im Folgenden gelegentlich von einer solchen Version Ge-brauch machen, ohne das noch einmal zu problematisieren.
10.1.2 Konsequenzen fur arbitragefreie Markte
Aus dem Existenzsatz fur Arrow–Debreu–Preise lassen sich jetzt wichtige Konsequenzen fur die arbitragefreieEntwicklung von Preisen in der Zeit ziehen. Die Technik besteht immer darin, spezielle Portfolio–Strategien zuuntersuchen und die Eigenschaft π
∣∣C
= 0 auszunutzen.Betrachten wir einen festen Zeitpunkt t und einen dazu passenden Zustand i. Dann formulieren wir folgende
Portfolio–Strategiexτ(n) = 0 ,wenn τ 6= t oder i 6= nxt(i) = ej (Einheitsvektor in RK)x0τ = 0 fur alle τ
(10.14)
Diese Strategie legt fest, im Zeitpunkt t bei Erreichen des Zustandes i (und nur dann) ein Stuck von Wertpapierj zu kaufen und in der Folgeperiode zu verkaufen, risikofrei wird uberhaupt nicht investiert. Der zugehorigeZahlungsstrom aus C kann wie folgt angegeben werden
−P jt (i) · et,i +
(P jt+1(i) +Dj
t+1(i))· et+1,i
+(P jt+1(i+ 2t) +Dj
t+1(i+ 2t))· et+1,i+2t (10.15)
125
Der negative erste Term entspricht der Auszahlung von P jt (i) als Kaufpreis im Zeitpunkt t, wenn der Zustand i
eingetreten ist. Die nachfolgende Summe stellt die Erlose in den beiden unterschiedlichen Folgezustanden in derFolgeperiode dar. Unter dem linearen Funktional π muss dieser Strom den Wert 0 ergeben, so dass folgt
P jt (i) · π(et,i) =
(P jt+1(i) +Dj
t+1(i))· π(et+1,i)
+(P jt+1(i+ 2t) +Dj
t+1(i+ 2t))· π(et+1,i+2t) (10.16)
was man auch
P jt (i) =
1
π(et,i)·[(P jt+1(i) +Dj
t+1(i))· π(et+1,i)
+(P jt+1(i+ 2t) +Dj
t+1(i+ 2t))· π(et+1,i+2t)
](10.17)
schreiben kann.Eine entsprechende Strategie in der risikofreien Anlage fuhrt auf
π(et,i) = Rt(i)[π(et+1,i) + π(et+1,i+2t)
](10.18)
bzw.1
Rt(i)=
1
π(et,i)·[π(et+1,i) + π(et+1,i+2t)
](10.19)
Halt man schließlich das Wertpapier j uber zwei statt nur uber eine Periode, so ergibt sich analog:
P jt (i) · π(et,i) = Dj
t+1(i) · π(et+1,i) +Djt+1(i+ 2t) · π(et+1,i+2t)
+[(P jt+2(i) +Dj
t+2(i))· π(et+2,i) +
(P jt+2(i+ 2t) +Dj
t+2(i+ 2t))· π(et+2,i+2t)
+(P jt+2(i+ 2t+1) +Dj
t+2(i+ 2t+1))· π(et+2,i+2t+1)
+(P jt+2(i+ 2t + 2t+1) +Dj
t+2(i+ 2t + 2t+1))· π(et+2,i+2t+2t+1)
](10.20)
126
(10.17) und (10.20) sind offensichtliche Verallgemeinerungen der bekannten Diskontierungsformeln.
10.1.3 Die Berucksichtigung von Wahrscheinlichkeiten: Die Martingal–Eigenschaft
Wir bezeichnen mit µt(i) die Wahrscheinlichkeit dafur, dass im Zeitpunkt t der Zustand i ∈ 0, . . . , 2t − 1eintreten wird. µt(i) ist dann auch die Wahrscheinlichkeit dafur, dass das primitive Wertpapier et,i zur Auszahlungkommen wird. Wir definieren nun formal
Qt(i) =1
µt(i)· π(et,i) (10.21)
Dann kann man (10.16) wie folgt umschreiben:
µt(i) ·Qt(i) · P jt (i) = µt+1(i) ·Qt+1(i) ·
(P jt+1(i) +Dj
t+1(i))
+µt+1(i+ 2t) ·Qt+1(i+ 2t) ·(P jt+1(i+ 2t) +Dj
t+1(i+ 2t))
(10.22)
Nun kann man nach dem Theorem von Bayes mit bedingten Wahrscheinlichkeiten
µt+1(i) = µt(i) · µt(i|i) (10.23)
undµt+1(i+ 2t) = µt(i) · µt(i+ 2t|i) (10.24)
schreiben. µt(i|i) ist dabei die Wahrscheinlichkeit, dass in t + 1 das Ereignis i nach i in t beobachtet wird;µt(i+ 2t|i) ist die Wahrscheinlichkeit, dass in t+ 1 das Ereignis i+ 2t nach i in t beobachtet wird. (10.22) kanndann wie folgt notiert werden
Qt(i) · P jt (i) = µt(i|i) ·Qt+1(i) ·
(P jt+1(i) +Dj
t+1(i))
+µt(i+ 2t|i) ·Qt+1(i+ 2t) ·(P jt+1(i+ 2t) +Dj
t+1(i+ 2t))
(10.25)
127
Die rechte Seite von (10.25) ist offensichtlich ein bedingter Erwartungswert.
Unterstellt man ein Wertpapier ohne Ausschuttungen, so folgt
Qt(i) · P jt (i) = µt(i|i) ·Qt+1(i) · P j
t+1(i) + µt(i+ 2t|i) ·Qt+1(i+ 2t) · P jt+1(i+ 2t) (10.26)
(10.26) lasst sich dahingehend verallgemeinern, dass der Prozess Qt · P jt ein Martingal darstellt. Wir fassen
zusammen:
Ergebnis 10.1.1 Martingaleigenschaft von Arbitrage–freien Preisprozessen. Ist der Markt arbitra-gefrei und liegt ein Wertpapier ohne Ausschuttung vor, so gibt es einen positiven Prozess Qt, sodass das ProduktQt · P j
t ein Martingal darstellt. Der Prozess Qt kann fur alle betrachteten Prozesse gleich gewahlt werden.
Die hier entwickelte Version der Arrow-Debreu-Preise unter Einbeziehung von Wahrscheinlichkeiten lasst sichallgemeiner wie folgt formulieren (vgl. die entsprechende Verallgemeinerung in Bemerkung 3): Das positive lineareFunktional besitzt die folgende Darstellung
π (c0, c1, . . . , cT ) = E
(T∑t=0
Qt · ct
)=
T∑t=0
E (Qt · ct) (10.27)
mit positiven Zufallsvariablen Qt |t = 0, . . . , T , wovon o.B.d.A. Q0 = 1 angenommen werden darf.
Definition 17 Die in (10.27) zum Einsatz kommenden Zufallsvariablen Qt |t = 0, . . . , T bezeichnen wir alsstochastische Diskontierungsfaktoren.
10.1.4 Die Berechnung des Preisfunktionals
Gleichung (10.17) und (10.19) erlauben nun die Angabe eines Algoritmus zur Berechnung des Preisfunktionals,indem die Großen
πt(i|i) :=π(et+1,i)
π(et,i)(10.28)
128
und
πt(i+ 2t|i) :=π(et+1,i+2t)
π(et,i)(10.29)
berechnet werden.Aus den linken Seiten von (10.28) und (10.29) (fur alle t = 1, . . . , T und 0 ≤ i ≤ 2t − 1) konnen namlich
mit dem Anfangswert π(e0,0) = 1 alle π(et,i) prokursiv berechnet werden. Nun konnen wir (10.16) mit Hilfe von(10.28) und (10.29) auch wie folgt notieren
P jt (i) =
(P jt+1(i) +Dj
t+1(i))·πt(i|i) +
(P jt+1(i+ 2t) +Dj
t+1(i+ 2t))·πt(i+ 2t|i) (10.30)
Ein zweites Wertpapier mit dem Index k ergibt (10.30) mit k an Stelle von j. Zusammengefasst ergibt sich(P jt (i)
P kt (i)
)=
(P jt+1(i) +Dj
t+1(i) P jt+1(i+ 2t) +Dj
t+1(i+ 2t)P kt+1(i) +Dk
t+1(i) P kt+1(i+ 2t) +Dk
t+1(i+ 2t)
)·(
πt(i|i)πt(i+ 2t|i)
)(10.31)
Offensichtlich ist (10.31) ein Gleichungssystem in zwei Variablen, dessen positive Losung auf Grund der Arbitrage–Freiheitsannahme existieren muss. Auf der Hand liegt ebenfalls, dass diese Losung nur von den Renditen derbeiden Papiere uber die Periode [t, t+ 1] , nicht aber vom absoluten Preis–Niveau abhangt. Wenn die Zeilen derMatrix in (10.31) linear unabhangig sind, ist die Losung eindeutig bestimmt und lautet:
(πt(i|i)
πt(i+ 2t|i)
)=
P jt+1(i) +Dj
t+1(i)
P jt (i)
P jt+1(i+ 2t) +Dj
t+1(i+ 2t)
P jt (i)
P kt+1(i) +Dk
t+1(i)
P kt (i)
P kt+1(i+ 2t) +Dk
t+1(i+ 2t)
P kt (i)
−1
·(
11
)(10.32)
Statt eines zweiten Wertpapiers kann man auch die risikofreie Anlage, und damit die Gleichung (10.19)verwenden. Dann lautet die Losungsformel, wenn die Inverse der betreffenden Matrix existiert:
(πt(i|i)
πt(i+ 2t|i)
)=
Pjt+1(i) +Dj
t+1(i)
P jt (i)
P jt+1(i+ 2t) +Dj
t+1(i+ 2t)
P jt (i)
Rt(i) Rt(i)
−1
·(
11
)(10.33)
129
Kurzen wir vorubergehend wie folgt ab:
ujt(i) =P jt+1(i) +Dj
t+1(i)
P jt (i)
(10.34)
und
djt(i) =P jt+1(i+ 2t) +Dj
t+1(i+ 2t)
P jt (i)
(10.35)
so lasst sich die Losung von (10.33) folgendermaßen explizit angeben
(πt(i|i)
πt(i+ 2t|i)
)=
1
Rt(i)
Rt(i)− djt(i)ujt(i)− d
jt(i)
ujt(i)−Rt(i)
ujt(i)− djt(i)
(10.36)
Wenn die Voraussetzung zutrifft, dass die Matrix in (10.31) bzw. in (10.33) fur alle t = 0, . . . , T und allei ∈ 0, . . . , 2t − 1 invertierbar ist, sagt man, der Markt sei dynamisch vollstandig. Die dynamischeVollstandigkeit des Marktes bedeutet auch, dass der Zahlungsstrom eines jeden Arrow–Debreu–Zertifikates durcheine geeignete Portfolio–Strategie duplizierbar ist (Ubungsaufgabe!). Die Bedeutung der Anforderung, dass diejeweilige Matrix invertierbar sei, wollen wir kurz diskutieren; die Invertierbarkeit der Matrix in (10.33) ist genaudann gegeben, wenn (Determinante 6= 0)
ujt(i) ·Rt(i)− djt(i) ·Rt(i) 6= 0
bzw. (Rt(i) > 0 vorausgesetzt)
ujt(i) 6= djt(i)
Diese Bedingung ist erfullt, wenn das betrachtete Wertpapier tatsachlich riskant, d.h. nicht sicher ist.
130
Was passiert, wenn die Bedingung nicht erfullt ist? Sei β =ujt(i)
ukt (i)=djt(i)
dkt (i). Wir bilden ein Portfolio aus den
beiden Wertpapieren, seine Rendite ist
α(ujt(i) , d
jt(i))+(1− α)
(ukt (i) , d
kt (i))
=(αujt(i) + (1− α)ukt (i) , α d
jt(i) + (1− α)dkt (i)
)=(ukt (i)
(αβ + (1− α)
), dkt (i)
(αβ + (1− α)
)=(αβ + (1− α)
)·(ukt (i) , d
kt (i))
Alle Portfolios bieten also strukturell dieselbe Rendite wie das Wertpapier k (bzw. j), die Risikoallokationsmoglichkeitensind eingeschrankt.
10.2 Der allgemeine diskrete Fall
10.2.1 Der allgemeine Fall ohne Wahrscheinlichkeiten
Das Binomialmodell lasst sich ohne großere konzeptionelle Schwierigkeiten verallgemeinern, wenn man statt je-weils zweier Folgezustande eine feste Zahl k ≥ 2 von Folgezustanden zulasst. An die Stelle von Binardarstellungennaturlicher Zahlen treten k–adische Zahlendarstellungen; fur k = 3 ergibt sich zum Beispiel die Zahl n = 11 ineiner auf 4 Stellen ausgelegten Darstellung zu
1 3 9 27
n = 11 2 0 1 0
30 31 32 33
Der Stichprobenraum Ω kann daher durch
Ω = 0, 1, . . . , kT − 1
131
wiedergegeben werden:
(ω1, . . . , ωT ) 7→T−1∑t=0
ωt+1 · kt
Die Konstruktion der σ–Algebren und die Menge der Zufallsvariablen auf Ω erfolgt vollig analog zum Binomialfall;auch die Konsequenzen der Arbitrage–Freiheit sind unmittelbar einsichtig. Die Arrow–Debreu–Papiere sind hierdurch Einheitsvektoren der Gestalt
et,i mit 0 ≤ i ≤ kt − 1
gegeben. Die auf die Kombination (t, i) (mit 0 ≤ i ≤ kt − 1) moglicherweise folgenden Zustande sind durch
et+1,i , et+1,i+kt , et+1,i+2·kt , . . . , et+1,i+(k−1)·kt (10.37)
charakterisiert; auf (t, i) folgen also jeweils wieder k Folgezustande.
Die Arbitrage–Freiheits–Beziehungen (10.16) lauten hier:
P jt (i) · π(et,i) =
k−1∑τ=0
(P jt+1(i+ τ · kt) +Dj
t+1(i+ τ · kt))· π(et+1,i+τ ·kt
)(10.38)
Speziell gilt fur die risikofreie Rendite die zu (10.19) analoge Beziehung:
π(et,i)
Rt(i)=
k−1∑τ=0
π(et+1,i+τ ·kt) (10.39)
Die Berechnung des Preisfunktionals erfolgt hier ebenfalls analog zu (10.32), wenn k Wertpapiere mit derenPreis– und Ausschuttungsprozessen gegeben sind πt(i|i)
...πt(i+ (k − 1) · kt)
= A−1 ·
1...1
(10.40)
132
wobei A =(Ajτ |j = 1, . . . , k ; τ = 0, . . . , k − 1
)Ajτ =
P jt+1(i+ τ · kt) +Dj
t+1(i+ τ · kt)P jt (i)
(10.41)
gilt. Eine der Zeilen in A kann durch den Zeilenvektor(Rt(i), . . . , Rt(i)
)ersetzt werden, was der Gleichung (10.39) entspricht. Es liegt ein arbitragefreies Modell vor, wenn die linke Seitevon (10.40) lauter positive Komponenten hat.
10.2.2 Der allgemeine Fall mit Wahrscheinlichkeiten
Will man empirische Wahrscheinlichkeiten der beteiligten Preisprozesse bei der Modellierung berucksichtigen, soerweist sich ein von der Vorgehensweise, wie sie bei der Darstellung des Binomialfalles und des allgemeinen diskre-ten Falles bisher verwendet wurde, abweichendes Vorgehen als uberlegen: Die Modellierung der Zustandsfolgenals Abfolgen von identisch verteilten Polynomialvariablen.
Zustandsdiskrete Vektorvariable mit vorgegebenen Momenten
Eine Polynomialvariable V ist eine zufallige Vektorgroße (der Dimension K), die mit Wahrscheinlichkeit ηk denk–ten Einheitsvektor ek (im RK) als Realisation hat (vgl. Richter [26]). Polynomialvariable sind ein geeigneterAusgangspunkt fur die Modellierung zeit– und zustandsdiskreter Zufallsprozesse.
Einfache Uberlegungen zeigen fur Erwartungswerte und Kovarianzstruktur
E(V ) = η =
η1...ηK
(10.42)
COV(V, V ) = E(V · V T )− E(V ) · E(V )T
= diag(η)− η · ηT (10.43)
133
Eine beliebige n–dimensionale Zufallsvariable mit diskreten Zustanden lasst sich mit Hilfe einer (n × K)–Matrix A auf folgende Weise aus der Polynomialvariablen V gewinnen:
Z := A · V (10.44)
Dabei giltE(Z) = A · E(V ) = A · η (10.45)
und
COV(Z,Z) = COV(A · V,A · V )
= A · COV(V, V ) · AT (10.46)
Gibt man µ = E(Z) und C = COV(Z,Z) und η als Modellvorgaben vor, so muss A die Bedingungen
A · η = µ (10.47)
A · COV(V, V ) · AT = C (10.48)
erfullen.A ist durch diese Angaben nicht eindeutig bestimmt. Eine Version von A kann aber durch die folgende
Vorgehensweise ermittelt werden. Wegen der offensichtlichen Eigenschaft
1T · V = 1 (10.49)
sind die Komponenten von V stochastisch linear abhangig, sodass die Kovarianzmatrix CV = COV(V, V ) singularist. Aus (10.49) kann man nun z. B.
VK = 1− 1T · V (10.50)
d.h. die K–te Komponente von V gewinnen, wobei wir
V =
V1...
VK−1
134
setzen.Wir spalten die Matrix A auf in A = (A| a), wobei A aus A durch Streichen der letzten Spalte entsteht und
der Spaltenvektor a diese letzte Spalte aufnimmt. Dann gilt offenbar
Z = A · V = A · V + VK · a
bzw. unter Verwendung von (10.50)
Z = A · V + a · (1− 1T · V )
=(A− a · 1T
)︸ ︷︷ ︸B
·V + a (10.51)
wobei B aus A entsteht, indem man von jeder Spalte in A die Spalte a subtrahiert.Nach diesen Vorbereitungen verfahrt man nun wie folgt: Im Schritt 1 ermittelt man B; wegen
E(Z) = a+B · E(V ) (10.52)
kann man dann a = µ−B · η (ηT = (η1, . . . , ηK−1)) in Schritt 2 ermitteln und schließlich A aus B und a gewinnen,indem (Schritt 3) zu jeder Spalte von B die Spalte a addiert wird und schließlich (Schritt 4) die Spalte a alsK–te Spalte angefugt wird.
Der Schritt 1 benutzt die Beziehung
C = COV(Z,Z) = COV(B · V , B · V )
= B · COV(V , V ) ·BT (10.53)
Als symmetrische Matrizen besitzen die Kovarianzmatrizen COV(V , V ) und C = COV(Z,Z) eine sogenannteSpektral–Zerlegung, d.h. es gibt eine Darstellung
C = ΓC · ΛC · ΓTC , (10.54)
wobei ΛC eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten von C auf der Hauptdiagonalen darstellt und ΓC eineorthogonale Matrix ist, deren Spalten eine orthonormale Basis von Eigenvektoren bilden (vgl. Wilhelm [44], S.88 ff.). Entsprechend gilt
COV(V , V ) = ΓV · ΛV · ΓTV , (10.55)
135
wobei sich die Invertierbarkeit von COV(V , V ) in ausschließlich positiven Eigenwerten widerspiegelt.Mit (10.53) gilt dann
ΓC · ΛC · ΓTC = B · ΓV · ΛV · ΓTV ·BT
bzw. bei komponentenweiser Interpretation der Wurzel(ΓC · Λ1/2
C
)·(
ΓC · Λ1/2C
)T=(B · ΓV · Λ
1/2
V
)·(B · ΓV · Λ
1/2
V
)TDaher muss B so bestimmt werden, dass
B · ΓV · Λ1/2
V= ΓC · Λ1/2
C (10.56)
gilt, d.h. man wahltB = ΓC · Λ1/2
C · Λ−1/2
V· Γ−1
V(10.57)
(Λ1/2
Vund ΓV sind im Gegensatz zu C invertierbar).1
Besonders einfach liegen die Verhaltnisse, wenn wir
ηk =1
K(10.58)
fur k = 1, . . . , K annehmen durfen. Dann gilt
E(V ) =1
K· 1 (10.59)
und
COV(V, V ) =1
K2·
K–Spalten︷ ︸︸ ︷K − 1 −1. . .
−1 K − 1
K–Zeilen (10.60)
1Eine geringfugig andere Vorgehensweise nimmt statt der Kovarianzmatrix C die Korrelationsmatrix K zum Ausgangspunkt. Mit dem Vektor σ der Stan-dardabweichungen gilt C = diag (σ) ·K · diag (σ). Wenn man jetzt die Spektralzerlegung von K ermittelt, lasst sich anschließend eine geeignete Reproduktionder Kovarianzmatrix durch Polynomialvariable angeben. Die Spektralzerlegung der Korrelationsmatrix ist Grundlage der Faktorenanalyse (Hauptkomponen-tenanalyse).
136
Streicht man in (10.60) die letzte Zeile und die letzte Spalte, so erhalt man COV(V , V ) . Betrachten wir
COV(V , V ) =1
K·
1− 1K − 1
K. . .
− 1K 1− 1
K
so stellen wir zunachst fest, dass
COV(V , V )−1 = K ·
2 1. . .
1 2
gilt. Fur die Matrix
D :=
2 1. . .
1 2
gilt: Die Eigenwerte sind K und 1. Wie man leicht sieht, ist der zu dem Eigenwert K gehorende Eigenvektor der(K − 1)–dimensionale Einsvektor.
Die restlichen Eigenvektoren, die alle zum Eigenwert 1 gehoren, lassen sich mit (i = 2, . . . , K − 1)
x2 =
−110...0
x3 =
−1/2−1/2
100
x4 =
−1/3−1/3−1/3
10
angeben, d.h.
x2 =
−110...
xi =
− 1i−1
10
Zeilen 1, . . . , i− 1Zeile isonst
∣∣∣∣∣∣ i = 3, . . . , K − 1
137
Man normiert noch
x1 =1√
K − 1· 1 , x2 =
1√2
−110...
xi =
√i− 1
i·
− 1i−1
10
Zeilen 1, . . . , i− 1Zeile isonst
Aus diesen Angaben lassen sich nun Λ−1/2
Vund Γ−1
Vunschwer berechnen.
Eine andere Moglichkeit, aus (10.53) ein geeignetes Polynomialmodell fur die Kovarianzmatrix C zu konstru-ieren besteht in der Verwendung der Cholesky-Zerlegung. Fur eine symmetrische positiv definite Matrix C
ergibt sich eine ZerlegungC = M ·MT
mit einer linken unteren Dreiecksmatrix M , die sich wie folgt ergibt:
Algorithmus 1 Sei dim (M) = n+ 1; dann rechnet man
m00 =√c00
mk0 =ck0
m00(k = 1, . . . , n)
(k = 1, . . . , n) :
mkj =1
mjj
(ckj −
j−1∑s=0
mks ·mjs
)(j = 0, . . . , k − 1)
mkk =
√√√√ckk −k−1∑s=0
(mks)2
Der Algorithmus ist z.B. in Mathcad implementiert.
138
Zerlegt man entsprechend auch COV(V , V
)= H ·HT , so kann man aus M = B ·H die Matrix B = H−1 ·M
bestimmen.
Stochastischer Diskontierungsfaktor
Interpretiert man Z als Vektor der Ruckflusse von n Wertpapieren und bezeichnet mit P den Vektor ihrer Preise(fur diese Voruberlegungen gehen wir auf ein Zwei-Zeitpunkte-Modell zuruck), so muss bei Arbitrage–Freiheiteine positive Zufallsvariable der Gestalt
Q = qT · V (10.61)
(q ∈ RK+ ) existieren (vgl. (10.27)), so dassP = E(Q · Z) (10.62)
gilt. Die Alternative”Kassenhaltung” erfordert
E(Q) ≤ 1 (10.63)
denn aus (10.62) folgt E(Q) = E(Q ·1), d.h. E(Q) ist der Marktpreis einer sicheren Geldeinheit; dieser Marktpreiskann nicht uber dem
”Preis” fur Kassenhaltung liegen.
Wir definieren r durch die Gleichung1
1 + r= E(Q) (10.64)
r ist dann der Zinssatz fur eine risikofreie Anlagemoglichkeit (explizit gegeben oder synthetisiert).Mit dem Ansatz Q = qT · V erhalt man die folgende Bedingung fur Q
P = E(qT · V · Z)
= E(qT · V ) · µ+ COV(Z, qT · V )
=1
1 + r· µ+ COV(A · V, qT · V )
=1
1 + r· µ+ A · COV(V, V ) · q
139
Der stochastische Diskontierungsfaktor muss daher die folgende Gleichung erfullen
A · COV(V, V ) · q = P − 1
1 + r· µ (10.65)
Die Matrix A ·COV(V, V ) hat hochstens den Rang K−1, so dass q bei gegebenem r in (10.65) nicht eindeutigbestimmt ist. Sei q∗ eine partikulare Losung von (10.65), dann ist die allgemeine Losung durch q∗ + q gegeben,wobei q alle Losungen des homogenen Systems A · COV(V, V ) · q = 0 durchlauft.
Mit1
1 + r= E(qT · Z) = qT · η
muss der auszuwahlende Diskontierungsfaktor q = q∗ + q also die Bedingung
q∗T · η + qT · η =1
1 + r
d.h.
qT · η =1
1 + r− q∗T · η (10.66)
erfullen; besitzt die Matrix A ·COV(V, V ) den hochstmoglichen Rang K − 1, so ist die Losungsmenge eindimen-sional und q ist durch (10.66) eindeutig bestimmt.
(10.65) und (10.66) sind fur eine praktische Bestimmung von q weniger geeignet (siehe unten (10.111) fureinen direkteren Zugang). Es ergibt sich aber ein Zusammenhang zum Effizienzgedanken. Wir diskutieren daherdie Beziehung zu effizienten Portfolios und damit zum CAPM.
Ein Portfolio x hat den RuckflussxT · A · V (10.67)
Ein (µ, σ, w0)–effizientes Portfolio erfullt die Bedingung (siehe Teil I)
COV(Z, xT · Z) = λ0 P + λ1 · E(Z) , λ0, λ1 > 0 (10.68)
Sei y so gewahlt, dass var(yT · Z) = 0 gilt, folgt
0 = COV
(yT · Z︸ ︷︷ ︸
sicher
, xT · Z)
= yT · COV(Z, xT · Z) = λ0 yT P + λ1 y
T · E(Z)
140
und daher
− λ0
λ1=yT · E(Z)
yT P(10.69)
Folglich ist
− λ0
λ1= 1 + r (10.70)
Fur effiziente Portfolios gilt daher nach (10.68) und (10.70)
COV(Z, xT Z) = COV(Z,Z)x = C · x = λ1E(Z)− (1 + r)P (10.71)
Man kann nun x dergestalt zu x normieren, dass λ1 = 11+r gilt. Aus (10.71) wird dann die Beziehung
COV(Z, xT · Z) =1
1 + rE(Z)− P
Schreibt man (10.65) in der Form
COV
(AV︸︷︷︸Z
, qT · V)
= P − 1
1 + rE(Z) ,
so wird (10.65) also erfullt, wenn man
− qT V = xT Z = xT A · V (10.72)
setzt, d.h. durchqT = −xT · A
oderq = −AT · x (10.73)
wobei x die Bedingung
Cx =1
1 + rE(Z)− P = −
P − 1
1 + rµ
(10.74)
141
erfullt.Eine geeignete Version von q kann also durch den Ruckfluss eines effizienten Portfolios erzeugt werden.
Ubrigens weist (10.74) aus, dass das effiziente Portfolio ohne Bezug auf die darstellende Matrix A allein schonunter Verwendung der Kovarianzmatrix bestimmt werden kann. Erst die nachfolgend dargestellte Umsetzung inden stochastischen Diskontierungsfaktor macht die konkrete Darstellung der Ruckflusse Z durch A · V erforder-lich. Wollen nun alle Marktteilnehmer, wie im CAPM angenommen, effiziente Portfolios realisieren, so erfullenalle individuellen Nachfrageportfolios xI die Bedingung (10.71), Aggregation und die GleichgewichtsannahmexM =
∑I
xI fur das Marktportfolio xM fuhren auf
COV(Z, xTM · Z) =
(∑I
λ1I
)· E(Z)− (1 + r)P
=
[(1 + r) ·
∑I
λ1I
] 1
1 + rµ− P
(10.75)
d.h.
q = −
1
1 + r· 1∑
I
λ1I
AT · xM (10.76)
Mit
qT · η =1
1 + rfolgt
− 1
1 + r· 1∑
I
λ1I(AT · xM)T · η =
1
1 + r
bzw.1∑
I
λ1I= − 1
(AT · xM)T · η
142
bzw. mit (10.76)
q =1
1 + r
1
ηT · AT · xM· AT · xM (10.77)
(10.77) stellt die CAPM–Version des stochastischen Diskontierungsfaktors im Polynomialmodell dar. (10.77)und (10.76) weisen aus, dass das CAPM zur
”Erklarung“ des Diskontierungsfaktors auf einen exogen gegebenen
Zinssatz r risikofreier Anlagen angewiesen ist.
Eine andere Moglichkeit sei noch kurz skizziert, die an (10.68) anknupft; Aggregieren und Gleichgewichtsfor-derung fuhren auf
COV(Z, xTM · Z) = P ·∑I
λ0I + E(Z) ·∑I
λ1I (10.78)
Die Transformation
COV(Z, xTM · Z) = E(Z · (xTM · Z)
)−E(Z) · E(xTM · Z) (10.79)
ergibt
E(Z · (xTM · Z)
)−E(Z) · E(xTM · Z) = P ·
∑I
λ0I + E(Z) ·∑I
λ1I (10.80)
oder
P =1∑
I
λ0I· E
Z ·
(xTM · Z − E(xTM · Z)−
∑I
λ1I
)(10.81)
= E
Z · 1∑
I
λ0I·(xTM · Z − E(xTM · Z)
)−
∑I
λ1I∑I
λ0I
(10.82)
Mit
xTM · P =1∑
I
λ0I· E
(xTM · Z)2 − (xTM · Z)E(xTM · Z)− xTM · Z ·∑I
λ1I
(10.83)
143
kommt man zu
xTM · P =1∑
I
λ0I
var(xTM · Z)− E(xTM · Z) ·
∑I
λ1I
(10.84)
und
E(xTM · Z) ·∑I
λ1I∑I
λ0I+ xTM · P
var(xTM · Z)=
1∑I
λ0I(10.85)
Ein”Zero–Beta“–Portfolio y erfullt cov(yT · Z, xTM · Z) = 0 und daher mit (10.68)
0 = yT · P ·∑I
λ0I + yT · E(Z) ·∑I
λ1I (10.86)
woraus
−
∑I
λ1I∑I
λ0I=
yT · PyT · E(Z)
(10.87)
folgt. Definiert man durch1
1 + rβ=
yT · PyT · E(Z)
(10.88)
die erwartete Rendite rβ von Zero–Beta–Portfolios, so hat man∑I
λ1I∑I
λ0I= − 1
1 + rβ(10.89)
und mit (10.85)
1∑I
λ0I=
−E(xTM ·Z)1+rβ
+ xTM · Pvar(xTM · Z)
(10.90)
144
und kann mit (10.82) und der Beziehung P = E(Q · Z)
Q =1
1 + rβ
1− E(xTM · Z)− (1 + rβ) · xTM · P
var(xTM · Z)
(xTM · Z − E(xTM · Z)
)(10.91)
setzen, woraus sich q leicht ermitteln lasst. In (10.91) kommt eine Bestimmung des Diskontierungsfaktors relativzum Preis des Marktportfolios und zur Rendite von Zero–Portfolios zum Ausdruck.
Derivate
Als Derivat bezeichnen wir einen Finanztitel, dessen Ruckfluss als Funktion h der Realisation anderer Titelbestimmt ist; der Ruckfluss D des Derivates ergibt sich wie folgt als Funktion:
D = h(Z)
= h(A · V ) (10.92)
bezeichnen wir mit
dk = h(A · ek) und d =
d1...dK
so kann man auch
D = dT · V (10.93)
schreiben. Der arbitragefreie Preis fur den Titel mit dem Ruckfluss D muss durch
PD = E(Q · h(Z)) (10.94)
145
bzw.
PD = E(qT · V · dT · V )
=1
1 + r· E(dT · V ) + COV(qT · V, dT · V )
=1
1 + r· E(dT · V ) + qT · COV(V, V ) · d (10.95)
ermittelt werden konnen.Unterstellen wir, dass A invertierbar ist (oder Rang K besitzt), dann folgt aus (10.65)
COV(V, V ) · q = A−1
P − 1
1 + r· µ
(10.96)
Zusammen mit (10.95) ergibt sich
PD =1
1 + r· E(dT · V ) +
P − 1
1 + r· µT· A−1T · d
= P T · A−1T · d+1
1 + r
E(dT · V )− µT · A−1T · d
(10.97)
In (10.97) ergibt sich der Preis des Derivates als gewichtete Summe der Preise P der dem Derivat unterliegendenTitel und der Große 1
1+r , dem Preis fur die risikofreie Zahlung 1. Betrachten wir die Gewichte A−1T ·d als Portfoliound bestimmen dessen Ruckfluss, so ergibt sich
(A−1T · d)T · Z = dT · A−1 · Z = dT · A−1 · A · V = dT · V
Das Portfolio A−1T ·d dupliziert mithin exakt den Ruckstrom des Derivates; folglich muss in (10.97) der Diffe-renzterm in der geschweiften Klammer verschwinden, wird dort doch vom Erwartungswert des Zahlungsstromsdes Derivates der Erwartungswert des Zahlungsstroms des Duplikationsportfolios substrahiert; es gilt daher
PD = P T · [A−1T · d] = [A−1 · P ]T · d (10.98)
146
Der Preis des Derivates ist gleich dem Preis des Duplikationsportfolios, kann aber auch unmittelbar aus demRuckstrom des Derivates abgeleitet werden, indem man
ψ = A−1 · P
als Vektor (ψ ∈ RK) von Zustandspreisen auffasst, die aus der Marktbewertung der ubrigen Wertpapiere folgen;dann liest man (10.98) so:
PD = ψT · d (10.99)
Entwicklung von Preisprozessen und Diskontierungs- faktoren im Zeitablauf
Um das Modell zu dynamisieren, gehen wir von einer Folge (zeitlich) stochastisch unabhangiger Polynomialva-riablen V 1, V 2, V 3 . . . aus und verwenden als Zeitindex meist t oder τ . Die zeitliche Entwicklung des Preises einesWertpapiers kann dann sehr allgemein durch
Pt+1(V1, . . . , V t+1) = Pt(V
1, . . . , V t) · ρTt+1(V1, . . . , V t)T · V t+1 (10.100)
mit dem Vektor ρt+1(V1, . . . , V t) beschrieben werden. Dieser Vektor enthalt die Renditen (plus 1), die das
Wertpapier beim Ubergang von t nach t + 1 in den verschiedenen Zustanden aufweist. Dieser Vektor ist imZeitpunkt t, aber im Allgemeinen nicht fruher bekannt. Allgemein gilt daher
Pτ(V1, . . . , V τ) = P0 ·
τ∏θ=1
[ρθ(V1, . . . , V θ−1)T · V θ] (10.101)
Fur jede Teilperiode liegen damit die Verhaltnisse der vorausgegangenen Abschnitte vor. Die Daten fur dieBerechnung des Diskontierungsfaktors nach (10.65) liegen damit ebenfalls jeweils zu Beginn einer Teilperiodevor, so dass wir berechtigt sind,
Qt+1 = qt+1(V1, . . . , V t)T · V t+1 (10.102)
anzunehmen, wobei qt+1 analog zu (10.65) bestimmt wird.Wenn man nun (10.62) analog auf (10.100) anwendet, ergibt sich
Pt(V1, . . . , V t) = Et(
Qt+1
Qt· Pt+1(V
1, . . . , V t+1)) (10.103)
147
wobei Et die bedingte Erwartung E(·|V 1, . . . , V t) bezeichnet. Wir definieren nun eine(V 1, . . . , V t
)-messbare
Vektorzufallsvariable q∗t(V 1, . . . , V t
)durch
q∗t(V 1, . . . , V t
)k
=qt+1(V
1, . . . , V t)T · ekQt
(10.104)
=qt+1(V
1, . . . , V t)T · ekqt(V 1, . . . , V t−1)T · V t
Dann gilt offenbar
Pt(V1, . . . , V t) = Et
(q∗t(V 1, . . . , V t
)T · V t+1)· Pt+1(V
1, . . . , V t+1)
(10.105)
Rekursiv ergibt sich aus (10.103)
Pt(V1, . . . , V t) = Et(
τ−1∏θ=t
(q∗θ(V 1, . . . , V θ
)T · V θ+1)· Pτ(V 1, . . . , V τ)) (10.106)
Aus (10.105) ergibt sich die allgemeine Beziehung
1 = Et
((q∗t(V 1, . . . , V t
)T · V t+1)·(ρt+1(V
1, . . . , V t)T · V t+1) )
(10.107)
d.h.q∗t(V 1, . . . , V t
)T · Et(Vt+1 · (V t+1)T ) · ρt+1(V
1, . . . , V t) = 1 (10.108)
bzw. wegen der (zeitlichen) Unabhangigkeit der Polynomialvariablen
q∗t(V 1, . . . , V t
)T · E(V · V T ) · ρt+1(V1, . . . , V t) = 1 (10.109)
fur jede Periode. Stellt man die fur nur ein Wertpapier konzipierte Gleichung (10.109) fur mehrere Wertpa-piere auf, so ergibt sich eine zu (10.65) alternative Moglichkeit der Bestimmung des stochastischen Diskontie-rungsfaktors; fasst man die Renditevektoren ρt+1 der einzelnen Wertpapiere in einer Matrix Rt+1 spaltenweisezusammen, so schreibt sich das System, das aus (10.109) entsteht
q∗t(V 1, . . . , V t
)T · E(V · V T ) ·Rt+1(V1, . . . , V t) = 1T (10.110)
148
bzw.
Rt+1(V1, . . . , V t)T · diag(η) · q∗t
(V 1, . . . , V t
)= 1 (10.111)
(10.111) bietet die Moglichkeit, den Diskontierungsfaktor aus einem linearen Gleichungssystem zu bestimmen;die Losung ist eindeutig, wenn Rt+1(V
1, . . . , V t) den Rang K hat. Insbesondere bringt uns die Invertierbarkeits-annahme bezuglich A, die letztlich zu (10.98) fuhrte, analog zu
q∗t(V 1, . . . , V t
)= diag(η)−1
[Rt+1(V
1, . . . , V t)T]−1 · 1 (10.112)
Bei gegebenem Diskontierungsfaktor wird durch (10.103) dem Preis– bzw. Renditeprozess eines jeden Wert-papiers eine Restriktion auferlegt; man sieht
1 = Et(Qt+1
Qt· ρt+1)
d.h.
1 = Et(Qt+1
Qt) · Et(ρt+1) + covt(
Qt+1
Qt, ρt+1)
Fur die bedingt erwartete Rendite muss daher gelten
Et(ρt+1) =1
Et(Qt+1
Qt)− covt
(Qt+1
E(Qt+1), ρt+1
)(10.113)
Verwendet man wie vereinbart die Zinsschreibweise 1(1+r(t,τ))
τ−t = Et(QτQt
), so erhalt man
Et(ρt+1) = (1 + rt)− covt((1 + r (0, t)t) ·Qt+1, ρt+1
), (10.114)
eine Beziehung, die fur die Rendite eines jeden Wertpapiers gelten muss. Umstellen und Division durch dieStandard–Abweichung der Rendite ergibt
Et(ρt+1)− (1 + rt)
stdt(ρt+1)= −
cov((1 + r (0, t)t) ·Qt+1, ρt+1
)stdt(ρt+1)
(10.115)
149
Die Definition der Korrelation fuhrt schließlich zu
Et(ρt+1)− (1 + rt)
stdt(ρt+1)= −corrt
(Qt+1, ρt+1
)· stdt
((1 + r (0, t)t) ·Qt+1
)(10.116)
Ein Derivat, dessen Rendite dt+1 sich aus Sicht von t als Linearkombination von ρt+1 und einer sicheren Anlagedarstellen lasst, d.h.
dt+1 = α ρt+1 + β ,
fur geeignete Zahlen α und β, weist die gleiche Korrelation mit (1 + r (0, t)t) · Qt+1 auf wie ρt+1. Folglich mussunter diesen Umstanden gelten
Et(dt+1)− (1 + rt)
std(dt+1)=
Et(ρt+1)− (1 + rt)
std(rt+1)(10.117)
d.h. die”Marktpreise“ der Risiken stimmen uberein.
Dynamische Bewertung von Derivaten
Es stehen nun zwei Methoden der dynamischen Bewertung von Derivaten zur Verfugung; sie beruhen auf denBeziehungen (10.103), konkretisiert durch (10.98), und (10.106), konkretisiert durch (10.62) und (10.65).
Im ersten Fall wird der Wert durch Rekursion bestimmt (rekursives Verfahren), im zweiten Fall durchdie Berechnung eines Erwartungswertes in einem Schritt (Ein–Schritt–Verfahren). Die benotigten Informa-tionen sind in beiden Fallen die gleichen. Fur welches Verfahren man sich entscheidet, ist also eine Frage der(technischen) Zweckmaßigkeit.
Betrachten wir zunachst – im rekursiven Verfahren – (10.103) in Verbindung mit (10.98); wir bezeichnen denPreis des Derivates durchgangig mit Dt = dTt (V 1, . . . , V t−1) · Vt. Dann gilt
Dt(V1, . . . , V t) = Et(
Qt+1
Qt·Dt+1(V
1, . . . , V t+1))
= Et(Qt+1
Qt· dt+1(V
1, . . . , V t)T · Vt+1) (10.118)
150
Da im Zeitpunkt t die Realisation V 1, . . . , V t bekannt ist, kann (10.118) bei gegebener Realisation vonV 1, . . . , V t−1 fur die K moglichen Realisationen von V t ausgewertet werden:
dt,k(V1, . . . , V t−1) = Dt(V
1, . . . , V t−1, ek) (10.119)
In (10.118) kann man (10.104) verwenden und findet
Dt(V1, . . . , V t) = q∗t (V
1, . . . , V t)T · Et(Vt+1 · V Tt+1) · dt+1(V
1, . . . , V t)
d.h.
Dt(V1, . . . , V t) = q∗t (V
1, . . . , V t)T · diag(η) · dt+1(V1, . . . , V t) (10.120)
Insgesamt hat man mit (10.120), (10.119) und (10.111) ein rekursives System, das die Preisentwicklung desDerivates komplett beschreibt; es ist nur noch eine Randbedingung vom Typ
Dτ(V1, . . . , V t) = h(Pτ(V
1, . . . , V τ))
= dτ(V1, . . . , V τ−1)T · V τ (10.121)
fur einen bestimmten Zeitpunkt τ erforderlich.
Bemerkung 4 Derivate, deren Wertbestimmung letztlich nur aus der charakteristischen Funktion zu einemfesten Zeitpunkt bewerkstelligt wird (z.B. durch allein in diesem Zeitpunkt erlaubte Ausubung eines Wahl-rechtes) bezeichnet man als
”Europaisch”; die bisherigen Ausfuhrungen haben sich insofern auf diese spezielle
Klasse bezogen.
Unmittelbar mit dieser Randbedingung und Gleichung (10.106) lasst sich die Preisentwicklung alternativ imEin–Schritt–Verfahren ermitteln:
Dt(V1, . . . , V t) = Et(
τ−1∏θ=t
(q∗θ(V 1, . . . , V θ
)T · V θ+1)· h(Pτ(V
1, . . . , V τ)) (10.122)
151
ermittelt den Preis des Derivates unter Verwendung von (10.112) als erwarteten stochastisch diskontierten, gemaßder Randbedingung gegebenen Wert. Wahrend das Ein-Schritt-Verfahren ganz offensichtlich auf Europaische De-rivate zugeschnitten ist, kann das rekursive Verfahren durch eine sehr einfache Modifikation auf andere Derivateanwendbar gemacht werden, wenn in bestimmten (oder auch allen) Zeit-Zustands-Kombinationen entschiedenwerden kann, dass Derivat weiter zu halten oder unter Nutzung eines Wahlrechtes das Engagement gegen Verein-nahmung der Zahlung eines in dieser Zeit-Zustands-Kombination bekannten Betrags Lt
(V 1, . . . , V t
)zu beenden.
Das rekursive Verfahren (10.120) lautet dann
Dt(V1, . . . , V t) = max
q∗t (V
1, . . . , V t)T · diag(η) · dt+1(V1, . . . , V t), Lt
(V 1, . . . , V t
)(10.123)
wobei die Randbedingung (10.121) beibehalten wird. Gilt Lt(V 1, . . . , V t
)= h (Pt), spricht man von
”Amerika-
nischen” Derivaten.
Das multiplikative Modell
Der Zeit–diskrete Fall Wir spezifizieren nun (10.100) fur einen Spezialfall, der besonders einfach zu handhabenist und in der Literatur eine Rolle spielt. In dieser Variante hangt ρt+1(V
1, . . . , V t)T nicht von (V 1, . . . , V t) ab.Wenn man nun annimmt, die Renditen (plus Eins) ρt+1 seien stets positiv, dann kann man
αt+1,k = log ρt+1,k (10.124)
setzen; die Großen αt+1,k fassen wir fur mehrere Wertpapiere simultan zur Matrix At+1 zusammen, sodass(αjt+1,1 · · · αjt+1,K
)= At+1
<j> die j−te Zeile der Matrix At+1 ist. Man uberzeugt sich, dass
ρTt+1 · V t+1 = eαTt+1·V t+1
(10.125)
gilt, denn wir habenρTt+1 · ek = ρt+1,k = eαt+1,k = eα
Tt+1·ek fur alle k = 1, . . . , K.
Entsprechend uberzeugt man sich, dass eine Losung q∗t von (10.112) ebenfalls nicht von (V 1, . . . , V t) abhangt;da auch q∗t positiv sein muss (Arbitrage–Freiheit!), kann man auch
q∗Tt · V t+1 = esTt+1·V t+1
(10.126)
152
ansetzen, wobeist+1,k = log q∗t,k (10.127)
gelten muss. Damit schreibt sich der Vektor der Wertpapierprozesse (10.101)
Pτ(V1, . . . , V τ) = P0 · e
τ∑θ=1
Aθ·V θ, (10.128)
wobei die Exponentiation komponentenweise zu verstehen ist. Das Ein–Schritt-Verfahren der dynamischen Derivate-Bewertung ergibt:
Dt(V1, . . . , V t) = Et
(e
τ∑θ=1
sTθ ·V θ · h(Pτ)
)(10.129)
wahrend das rekursive Verfahren aus (10.119), (10.120) und (10.121) ubernommen werden kann.Mit der Annahme, dass αt = α nicht von der Zeit abhangt, folgt, dass auch st = s nicht von der Zeit abhangt,
woraus sich der Standard–Fall mit
Pτ(V1, . . . , V τ) = P0 · e
A·τ∑θ=1
V θ
(10.130)
und daher
Dt(V1, . . . , V t) = Et
(esT ·
τ∑θ=t+1
V θ
· h(P0 · eA·
τ∑θ=1
V θ
)
)(10.131)
ergibt, in dem sowohl der Wertpapierpreisprozess als auch der Preis–Prozess des Derivates nur von der Summeder Polynomialvariablen abhangen, wodurch eine erhebliche Reduktion des Rechenaufwandes folgt. Dadurchvereinfacht sich auch das rekursive Verfahren entsprechend. Als Implikation der Annahme ist allerdings zubemerken, dass der Zinssatz fur kurzfristig risikofreie Anlagen zwingend nicht–stochastisch, ja sogar zeitlichkonstant wird.
Zur Vervollstandigung des Modells ermitteln wir abschließend noch die Wahrscheinlichkeitsverteilung der
Summeτ∑θ=1
V θ; dazu greifen wir auf das Konzept der erzeugenden Funktion (Wilhelm [44]) zuruck. Ist Y
eine beliebige (K–dimensionale) Vektor–Zufallsvariable, so wird die erzeugende Funktion von Y durch
φY (x) = E(xY1
1 · . . . · xYKK
)(10.132)
153
definiert. Wenn Y nur naturliche Zahlen als Werte aufweist (Y (ω) ∈ NK fur alle Ereignisse ω), so gilt
φY (x) =∑
n1,...,nK∈N
wn1,...,nK · xn11 . . . xnKK (10.133)
Man uberzeugt sich nun leicht, dass
wn1,...,nK =1
n1! . . . nK !
∂n1
∂xn11
. . .∂nK
∂xnKKφY (0) (10.134)
gilt. Diese Beziehung ermoglicht es, aus der erzeugenden Funktion die Wahrscheinlichkeiten zuruckzugewinnen.
Eine wichtige Eigenschaft von erzeugenden Funktionen allgemein ist
φY+Z(x) = φY (x) · φZ(x) (10.135)
wenn Y und Z unabhangig sind; diese Eigenschaft folgt sofort aus der Definition der Unabhangigkeit von zu-fallsvariablen.
Wir kommen nun zur Anwendung auf unser Problem: Die erzeugende Funktion der Polynomialvariablen V
ist offensichtlich durch
φV (x) = η1 x1 + . . .+ ηK · xK (10.136)
gegeben; Formel (10.134) ist anwendbar und liefert die Wahrscheinlichkeiten ηK zuruck.
Nach Formel (10.135) ist die erzeugende Funktion der Summe Y =τ∑θ=1
V θ durch
φY (x) = (φV (x))τ =(η1 x1 + . . .+ ηK xK
)τ(10.137)
gegeben. Um nun die Wahrscheinlichkeiten zu gewinnen, wird Gleichung (10.134) angewendet
wn1,..., nK =τ !
n1! . . . nK !ηn1
1 . . . ηnKK (10.138)
wobei τ = n1 + . . .+ nK sein muss, da zu jedem Zeitpunkt ein Einheitsvektor realisiert und hinzuaddiert wird.
154
Mit (10.130), (10.131) und (10.138) ist das Problem der Derivate–Bewertung im Fall multiplikativer Polyno-mialverteilung vollstandig gelost:
Dt(V1, . . . , V t) =
∑n1 , . . . , nK ∈ N
n1 + . . .+ nK = τ − t
(τ − t)!n1! . . . nK !
(es1 · η1)n1 . . . (esK · ηK)nK · h
P0 · e
K∑k=1
A<1>k ·nk...
K∑k=1
A<m>k ·nk
(10.139)
Der Grenzubergang zur multinomialen Log–Normal–Verteilung In diesem Abschnitt betrachten wir einen Grenzubergangfur (10.130) bzw. (10.131), wenn die Anzahl der Realisationen zunimmt, die Veranderung pro Realisation aberentsprechend abnimmt. Wir legen einen Zeitpunkt t fest und teilen das Intervall [0, t] in n Teilintervalle der
Lange ∆ =t
n. Jedem Intervallendpunkt ordnen wir eine Polynomialvariable V n zu. Statt (10.130) schreiben wir
dann
Pt = P0 · eαT ·
n∑i=1
V i
(10.140)
155
Wir wissen, dass V iK = 1−
K−1∑j=1
V ij gilt, d.h.
αT · V i =K−1∑j=1
αj · V ij + αK −
K−1∑j=1
V ij
= αK +K−1∑j=1
(αj − αK) · V ij
sodass (10.140) auch wie folgt geschrieben werden kann
Pt = P0 · ebT ·
n∑i=1
V i+n·αK
mit V wie in (10.50) und b =
(α1 − αK...αK−1 − αK
). Schließlich bereinigen wir noch um die Erwartungswerte der
Polynomialvariablen und erhalten
Pt = P0 · ebT ·
n∑i=1
(V i−η)+nαK+bT ·η)(10.141)
Wir setzen nun b = β ·√
∆ und αK + bT · η = ∆ · µ an, d.h. αK = ∆ · µ− βT · η ·√
∆. Einsetzen in (10.141)ergibt
Pt = P0 · e√
∆·βT ·n∑i=1
(V i−η)+n·∆·µ(10.142)
Man setzt n ·∆ = t und√
∆ =
√t√n
ein und erhalt
Pt = P0 · e√t·βT ·
[1√n
n∑i=1
(V i−η)
]+µ·t
(10.143)
Nach dem zentralen Grenzwertsatz konvergiert der Ausdruck in eckigen Klammern im Exponenten gegen einemultinomiale Normalverteilung mit Erwartungswert null und Kovarianzstruktur COV(V , V ).
156
Bezeichnen wir mit g =
(g1...gK−1
)einen Vektor von gemeinsam normalverteilten Variablen mit Erwartungswert
null und Kovarianzstruktur COV(g, g) = COV(V , V ), so kann man im Grenzubergang (10.143) durch
Pt = P0 · e√t·βT ·g+µ·t (10.144)
ersetzen.Entsprechend kann man den Diskontierungsfaktor mit
Qt = e√t·qT ·g+µ·t (10.145)
fur noch naher zu bestimmende Großen q und µ ansetzen. Nun muss fur den Diskontierungsfaktor gelten (Ab-bildung der herrschenden Zinsstruktur!):
e−t·r(0,t) = E(Qt) = eµ·t+12 t·var(qT ·g) (10.146)
woraus
Qt = e√t·βT ·g− 1
2 t·var(qT ·g)−t·r(0,t)
= e−t·r(0,t) · e√t·qT ·g− 1
2 t·var(qT ·g) (10.147)
folgt.Weiter muss fur jeden Gleichgewichtspreis
P0 = E(Pt ·Qt) = P0 · Ee√t·βT ·g+µ·t−t·r(0,t)+
√t·qT ·g− 1
2 t·var(qT ·g)
= Po · e−t·r(0,t) · Ee√t(βT+qT )·g+µ·t− 1
2 t·var(qT ·g)
d.h.
et·r(0,t) = etµ− 1
2 var(qT ·g)· e
12 t·var
[(βT+gT )·g
]= et
µ− 1
2 var(qT ·g)· e
12 t[
var(βT ·g)+2 cov(βT ·g,qT ·g)+var(qT ·g)]
157
gelten. Daher gilt allgemein
et·r(0,t) = et·µ+ 12 t·var(βT ·g)+t·cov(βT ·g,qT ·g)
oder
µ+1
2var(βT · g)− r (0, t) = −cov(βT · g, qT · g) (10.148)
Derivate–Bewertung im allgemeinen log–normalen Fall
Zur Bewertung von Derivaten im allgemeinen log–normalen Fall, den wir in 10.2.2 entwickelt haben, greifen wirauf das Ein–Schritt–Verfahren unter Verwendung von (10.147) und (10.148) zuruck.
D0 = E(Qt · h(Pt)) (10.149)
wobei Pt auch ein Vektor von Preisen sein kann. Es gilt daher
D0 = e−t·r(0,t) · Ee√t·qT ·g− 1
2 t·var(qT ·g) · h(P0 · et·µ+
√t·B·g
)(10.150)
wobei µ ein m−Vektor und B eine (m× (K − 1))−Matrix ist, m ist die Anzahl der Argumente der charakteris-tischen Funktion h, d.h. die Anzahl der Underlyings; der Ausdruck et·µ+
√t·B·g ist komponentenweise zu verstehen.
Wir setzen weiter g = H ·G an; hier sind G ein (K − 1)−Vektor von unabhangigen Gaußschen Einheitsvariablenund H eine Matrix mit H ·HT = COV (g, g) = COV(V , V ).
Es sei nun zur Abkurzung
x =√t · qT · g − 1
2t · var(qT · g)
und
y = t · µ+√t ·B · g
gesetzt, d.h. D0 = e−t·r(0,t) · E(ex · h(P0 · ey)
).
158
Dann sind x und y gemeinsam normal verteilt und es gilt (vgl. Feller [10], S. 83–87)
E(x|y) = E(x) + COV(x, y)COV (y, y)−1 (y − E(y))
= −1
2t · qT ·H ·HT · q +
√t ·(qT ·H ·HT ·BT
)·(B ·H ·HT ·BT
)−1 ·B ·H ·G (10.151)
und
var(x|y) = var(x)− COV (x, y) · COV (y, y)−1 · COV (y, x)
= t·qT ·H ·HT · q −
(qT ·H ·HT ·BT
)·(B ·H ·HT ·BT
)−1 ·(B ·H ·HT · q
)(10.152)
Wir haben es also mit
E(eE(x|y)+ 1
2 var(x|y) · h(P0 · ey))
159
zu tun.Dann gilt mit y = σ ·G+m, wobei G standard normal–verteilt ist:
E(eE(x)+ 1
2 var(x|y)+√t·COV(x,y)COV(y,y)
−1(B·H·G) · h(P0 · et·µ+
√t·B·H·G)
)
=
∞∫−∞
· · ·∞∫
−∞︸ ︷︷ ︸(K−1)−fach
eE(x)+ 12 var(x|y)+
√t·COV(x,y)COV(y,y)
−1(B·H·z) · h
(P0 · et·µ · e
√t·B·H·z
)· n (z) · dz
= eE(x)+ 12 var(x)︸ ︷︷ ︸
=1
∞∫−∞
· · ·∞∫
−∞︸ ︷︷ ︸(K−1)−fach
eCOV(x,y)·COV(y,y)−1· (√t·B·H·z− 1
2 COV(y,x)) · h(P0 · et·µ · e
√t·B·H·z
)· n (z) · dz
=
∞∫−∞
· · ·∞∫
−∞︸ ︷︷ ︸(K−1)−fach
eCOV(x,y)·COV(y,y)−1· (√t·B·H·z− 1
2 COV(y,x)) · h(P0 · et·µ · e
√t·B·H·z
)· n (z) · dz
wobei n (z) die multivariate Dichtefunktion von (K − 1) unabhangigen Gaußschen Einheitsvariablen ist; außer-dem gelten die Beziehungen
COV (x, y) = t · qT ·H ·HT ·BT
COV (y, y) = t ·B ·H ·HT ·BT (10.153)
Daher gilt fur (10.150)
D0 = e−t·r(0,t) ·∞∫
−∞
· · ·∞∫
−∞︸ ︷︷ ︸(K−1)−fach
eCOV(x,y)·COV(y,y)−1· (√t·B·H·z− 1
2 COV(y,x)) · h(P0 · et·µ · e
√t·B·H·z
)· n (z) · dz (10.154)
160
Man kann die Formel noch weiter entwickeln, wenn man annimmt, dass H ·B invertierbar ist. Dann gilt namlich
COV (x, y) · COV (y, y)−1 ·(√
t ·B ·H)
=√t · qT ·H
und
COV (x, y) · COV (y, y)−1 · COV (y, x) = t · qT ·H ·HT · q
womit aus (10.154)
D0 = e−t·r(0,t) ·∞∫
−∞
· · ·∞∫
−∞︸ ︷︷ ︸(K−1)−fach
h(P0 · et·µ · e
√t·B·H·z
)· n(z −√t ·HT · q
)· dz (10.155)
= e−t·r(0,t) ·∞∫
−∞
· · ·∞∫
−∞︸ ︷︷ ︸(K−1)−fach
h(P0 · et·(µ+B·H·HT ·q) · e
√t·B·H·z
)· n (z) · dz (10.156)
folgt (man erinnere sich: n (z) = 1√2π
ne−12zT ·z und nehme im zweiten Schritt eine Variablentransformation vor).
Bezieht man schließlich die vektorielle (d.h. auf mehrere Wertpapiere simultan bezogene) Version von (10.93),d.h.
µ+1
2
var(B<1> · g)...
var(B<K> · g)
− r (0, t) · 1 = −B ·H ·HT · q
161
mit ein, finden wir abschließend
D0 = e−t·r(0,t) ·∞∫
−∞
· · ·∞∫
−∞︸ ︷︷ ︸(K−1)−fach
h
P0 · e
t·
r(0,t)·1− 12
var (B<1> ·g)
...var (B<K> ·g)
· e√t·B·H·z
· n (z) · dz (10.157)
Mit (10.157) liegt eine allgemeine Bewertungsformel fur (Europaische) Derivate im log–normalen Kontext vor,die auch die Berucksichtigung mehrerer Underlyings erlaubt. Bemerkenswert an der Formel ist, dass der Wertdes Derivates nicht von der Drift µ der jeweiligen Underlyings abhangt.
162
h
QQQQQQQQQQ
1h
0h
PPPPPPPPP
PPPPPPPPP
3h
1h
2x
0h
(((((((
((
hhhhhhhhh
(((((((
((
hhhhhhhhh
(((((((
((
hhhhhhhhh
((((((((
(
hhhhhhhhh
hhhhhhhh
Ω
7
3
5
1
6
2
4
0
t = 0 t = 1 t = 2 t = 3
Abbildung 10.1: Ereignisbaum
163
h
QQQQQQQQQQ
h
h
PPPPPPPPP
PPPPPPPPP
h
h
x
h
(((((((
((
hhhhhhhhh
(((((((
((
hhhhhhhhh
((((((((
(
hhhhhhhhh
((((((((
(
hhhhhhhhh
hhhhhhhh
6SSSSSSSSSSSSSSw
6BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBN
6BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBN
6
Abbildung 10.2: ubergang vom Baum zum Zeilenvektor
164
1
1
1
x
y
z
Abbildung 10.3: Blick von schrag oben auf ein Simplex im drei-dimensionalen Raum
165
166
Kapitel 11
Die Bewertung von Festgeschaften
11.1 Allgemeine Darstellung
Die Bewertung von Festgeschaften, d.h. die theoretische Ermittlung des Marktwertes von Terminpositionen (imengeren Sinne) beruht im Wesentlichen – wir haben das oben schon provisorisch entwickelt – auf den zuvor dar-gestellten Arbitragezusammenhangen. Betrachten wir zunachst die Zahlungscharakteristik eines Terminverkaufs,sie werde mit cTVτ (τ = t, . . . , T ) bezeichnet. Sie ergibt sich zu (der Terminverkauf werde im Zeitpunkt t perTermin T kontrahiert):
cTVτ =
0 fur τ = t, . . . , T − 1
pt,T − pT fur τ = T(11.1)
Wir betrachten hier nur lagerfahige Guter als Underlyings; fur nicht lagerfahige Guter besteht der hierabzuleitende Zusammenhang nicht. Die Zahlungscharakteristik, die mit dem Kauf und der Bestandhaltung deszu Grunde liegenden Handelsobjektes verbunden ist, sei durch cKt (t = τ, . . . , T ) gegeben (man spricht auch von
167
einer”physischen Long–Position“):
cKτ =
−pt fur τ = t
−dτ fur τ = t+ 1, . . . , T − 1
pT − dT fur τ = T ,
wobei dt die (am jeweiligen Periodenende anfallenden) Zahlungen sind, die mit der Bestandhaltung verbundensind: Lagerkosten, Versicherung, Schwund etc. (positiv), aber auch Zinsertrage, Dividenden, Bezugsrechte etc.(negativ).
Wir wenden nun unser positives lineares Funktional π gemaß Satz 17 auf beide Strome an; da cTV ∈ C ebensogilt wie cK ∈ C, folgt:
π(cTV)
= π (0, · · · , 0, pt,T − pT ) = 0π(cTV)
= π (−pt,−dt+1, · · · ,−dT−1, pT − dT ) = 0
Die Linearitat des Funktionals fuhrt zu
pt,T · π (0, · · · , 0, 1) = π (0, · · · , 0, pT )pt · π (1, 0, · · · , 0, 0) = −π (0, dt+1, · · · , dT−1, dT ) + π (0, · · · , 0, pT )
(11.2)
woraus manpt,T · π (0, · · · , 0, 1) = pt · π (1, 0, · · · , 0, 0) + π (0, dt+1, · · · , dT−1, dT )
und schließlich
pt,T = pt ·π (1, 0, · · · , 0, 0)
π (0, · · · , 0, 1)+π (0, dt+1, · · · , dT−1, dT )
π (0, · · · , 0, 1)(11.3)
Wir hatten o.B.d.A. π (1, 0, · · · , 0, 0) = 1 gesetzt. Zu klaren ist, welche Bedeutung ein Ausdruck der Ge-stalt π (0, dt+1, · · · , dT−1, dT ) hat. Wurde der Strom (dt+1, · · · , dT−1, dT ) im Zeitpunkt t am Markt zum Preis pgehandelt, so wurde
π (−p, dt+1, · · · , dT−1, dT ) = 0
und daherp = π (0, dt+1, · · · , dT−1, dT )
168
gelten. Daher ist π (0, dt+1, · · · , dT−1, dT ) der (hypothetische arbitragefreie) Marktpreis des Stroms (dt+1, · · · , dT−1, dT )im Zeitpunkt t; entsprechend ist dann
π (0, · · · , 0, 1) = e−(T−t)·r(t,T )
sodass fur den Terminpreis (englisch forward price) gilt
pt,T = (pt + π (0, dt+1, · · · , dT−1, dT )) · e(T−t)·r(t,T ) (11.4)
Ergebnis 11.1.1 Der Terminpreis (forward price) ist gleich dem aufgezinsten Kassapreis, wenn das Bestandhal-ten des Underlying moglich ist, aber keine Zahlungen auslost, weder Bestandhaltekosten noch Bestandhalteertrage.Fallen solche Zahlungen an, ist der Kassapreis um den Barwert (hypothetischen Marktwert) der (Ein-)Zahlungenzu kurzen.
Aus (11.4) gewinnt man durch Differenzbildung
pt − pt,T = −[pτ
(e(T−t)·r(t,T ) − 1
)+ π (0, dt+1, · · · , dT−1, dT ) · e(T−t)·r(t,T )
](11.5)
Die linke Seite in (11.5) wird als Basis bezeichnet, die Basis ist die Differenz zwischen Kassapreis undTerminpreis.
Bemerkung 5 Bei Warentermingeschaften wird die Basis gewohnlich umgekehrt (als Differenz von Termin-preis und Kassapreis) definiert; da wir aber vor allem Finanztiteltermingeschafte im Auge haben, folgen wirhier der Definition der Praxis dieses Geschaftstyps. Die negative rechte Seite von (11.5) besteht aus den Zin-sen auf den Kassapreis (Opportunitatskosten der Bestandhaltung) und den aufgezinsten (pagatorischen)Lagerkosten; diese Summe wird als
”Contango”oder
”Cost of carry” bezeichnet. Nach (11.5) wird also die
Basis durch den Contango erklart. Bei lagerfahigen Gutern ist daher im Normalfall mit einer negativenBasis zu rechnen. Bei zinstragenden Papieren als Grundlage von Termingeschaften hangt das Vorzeichen derBasis wesentlich von der Zinsstruktur ab. Allerdings sind die Verhaltnisse dort etwas verwickelter (vgl. dazuKapitel noch einzusetzen).
169
11.2 Die besonderen Verhaltnisse im Devisenhandel
Literatur: Fischer-Erlach [11]
Der weit uberwiegende Teil von Transaktionen im Devisenhandel findet im Interbankenmarkt, teilweise durchVermittlung von Maklern zwischen den etwa 40 weltweit aktiven Handlerbanken statt. Zur Verbreiterung desMarktes werden alle Devisen (im Interbankenverkehr: = Sichtguthaben bei auslandischen Kreditinstituten) fastausschließlich gegen den US–Dollar gehandelt; sogenannte
”cross–rates“ (z.B. e gegen Yen) erfordern zwei Trans-
aktionen (sind entsprechend teurer, da zweimal die Brief/Geldspanne anfallt); es gibt allerdings auch kleinereauf cross–rates spezialisierte Banken.
Im Devisengeschaft sind grundsatzlich zwei Notierungen moglich:
– die Mengennotierung: Wieviel Fremdwahrungseinheiten (FWE) fur eine Heimatwahrungseinheit (HWE)?
– die Preisnotierung: Wieviel HWE fur eine FWE?
Im Pfund–Sterling–Raum ist die Mengennotierung ublich, ansonsten die Preisnotierung.
Der einfache Terminkauf bzw. –verkauf wird im Devisengeschaft als Outright–Geschaft bezeichnet; dasOutright–Geschaft ist gewohnlich auf den Verkehr der Banken mit ihrer Nichtbankenkundschaft beschrankt.Das unter Banken ubliche Termingeschaft ist das Swap–Geschaft. Das Swap–Geschaft besteht aus zwei ge-genlaufigen Geschaften (einer short– und einer long–position) mit unterschiedlichen Laufzeiten; das ublichsteGeschaft ist eine Kassa–Termin–Kombination. Kassa– und Termingeschafte sind zwei Tage nach dem im Vertragspezifizierten Tag usancegemaß zu erfullen (
”anzuschaffen“).
Wie allgemein bei lagerfahigen Gutern gibt es auch bei Devisenterminpositionen korrespierende physischen Po-sitionen. Wir bezeichnen mit r den Zinssatz in der Heimatwahrung und mit λ den Zinssatz in der Fremdwahrung(beide mit Bezug auf die passende Laufzeit). Der Outright–Terminverkauf hat die weiter oben (11.1) ange-gebene Zahlungscharakteristik, wobei pT (bzw. pt,T ) der (Termin–) Wechselkurs in der Preisnotierung ist. DerOutright–Terminkauf ist durch
cTKτ = −cTVτ (11.6)
gegeben. Wir betrachten nun ein Geldmarktgeschaft.
170
Geldmarktgeschaft 1:
Kredit in Hohe von pt HWE, Tausch in eine FWEFremdwahrungsanlage zu λ (t, T ), Tausch in HWE
Es resultiert die folgende Zahlungscharakteristik:
cG1τ =
0 fur τ = t, . . . , T − 1
pTe(T−t)·λ(t,T )︸ ︷︷ ︸
Erlos aus der Fremdwahrungsanlage
− pte(T−t)·r(t,T )︸ ︷︷ ︸
Kreditruckzahlung
fur τ = T (11.7)
Zwar ist es fur die Herleitung des Folgenden nicht erdorderlich, doch betrachten wir ein zweites Geldmarkt-geschaft, das dieselben Informationen liefert:
Geldmarktgeschaft 2:
Fremdwahrungskredit in Hohe von einer FWE, Tausch in HWEAnlage im HWE–Bereich
Es resultiert die folgende Zahlungscharakteristik:
cG2τ =
0 fur t = τ, . . . , T − 1
pte(T−t)·r(t,T )︸ ︷︷ ︸
Erlos aus der HWE-Anlage
− pTe(T−t)·λ(t,T )︸ ︷︷ ︸
”Anschaffung” der Kreditruckfuhrung
fur τ = T (11.8)
Durch Anwendung von (3) auf die Zahlungscharakteristik (11.7) findet man
π(
0, . . . , 0, pte(T−t)·r(t,T )
)= π
(0, . . . , 0, pTe
(T−t)·λ(t,T ))
und daherpte
(T−t)·r(t,T ) · π (0, . . . , 0, 1) = e(T−t)·λ(t,T ) · π (0, . . . , 0, pT )
171
bzw.
π (0, . . . , 0, pT ) = e−(T−t)·λ(t,T ) · pt (11.9)
Zusammen mit (11.2) folgt dann
e−(T−t)·λ(t,T ) · pt = π (0, . . . , 0, 1) · pt,T
bzw.
pt,T = e(T−t)·(r(t,T )−λ(t,T )) · pt (11.10)
und
pt − pt,T =
1− e(T−t)·r(t,T )−λ(t,T )· pt (11.11)
In logarithmischer Schreibweise haben wir
log
(pt,Tpt
)= (T − t) · r (t, T )− λ (t, T ) (11.12)
Die linke Seite von (11.11) ist der sogenannte Swap-Satz (er entspricht der Basis im sonstigen Termin-geschaft). Der Swapsatz wird nach (11.11) aus der Zinsdifferenz in beiden Wahrungen erklart. Gleichung (11.11)ist die sogenannte Zinsparitatentheorie (Keynes). Liegt der Terminkurs unter dem Kassakurs, spricht manvom Deport (pos. Basis), liegt er daruber, spricht man vom Report (neg. Basis).
Bei der sogenannten Terminkursarbitrage oder dem Arbitrage–Hedging werden im Zeitpunkt 0 zweigegenlaufige Terminpositionen kombiniert, wobei die kurzere Seite nach Erfullung neu kontrahiert werden muss:
Swapgeschaft 1:
cs1τ =
HWE FWE0 0 fur τ 6= t, T
p0,t −1 fur τ = t Terminverkauf per t (Erlos)−p0,T 1 fur τ = T Terminkauf per T
172
Swapgeschaft 2:
cs2τ =
HWE FWE0 0 fur τ 6= t, T
−pt 1 fur τ = t Kassakauf zur Deckung von s1pt,T −1 fur τ = T Terminverkauf per T
Ein Blick auf die Zeitachse (Abbildung 11.1) verdeutlicht den Ablauf:
Fuhrt man beide Geschafte zusammen, zeigt sich, dass die FWE-Positionen sich ausgleichen, dass also cs1 +cs2 eine realisierbare Zahlungsstromcharakteristik ist. Nun gilt wieder bei Anwendung des positiven linearenFunktionals π
(cs1 + cs2
)= 0 und daher
0 = π (0, . . . , 0, p0,t − pt, 0 . . . , 0, pt,T − p0,T )=⇒ π (0, . . . , 0, p0,t, 0 . . . , 0,−p0,T ) + π (0, . . . , 0,−pt, 0 . . . , 0, pt,T ) = 0
bzw.
π(
0, . . . , 0, p0,t − p0,T · e−(T−t)·r(t,T ), 0 . . . , 0, 0)
+ π(
0, . . . , 0, pt,T · e−(T−t)·r(t,T ) − pt, 0 . . . , 0, 0)
und daher
π(
0, . . . , 0,p0,t − p0,T · e−(T−t)·r(t,T )
+pt,T · e−(T−t)·r(t,T ) − pt
, 0 . . . , 0, 0
)= 0
d.h. die Positionp0,t − p0,T · e−(T−t)·r(t,T )
+pt,T · e−(T−t)·r(t,T ) − pt
= p0,t − p0,T︸ ︷︷ ︸
Swapsatz in der Ausgangslage
− pt − pt,T︸ ︷︷ ︸Swapsatz beim Anschlussgeschaft
+ p0,T − pt,T(
1− e−(T−t)·r(t,T ))
︸ ︷︷ ︸Zinsen auf Realisationserfolg in t
hat im Zeitpunkt 0 einen Marktwert von 0; sie ist allerdings nicht sicher, sondern spekulativ, der Begriff”Ter-
minkursarbitrage” ist daher eher irrefuhrend: Terminkursarbitrage spekuliert auf eine gunstige Veranderung derSwapsatze.
173
0 τ T
s2
s1
Abbildung 11.1: Die zeitlichen Verhaltnisse bei einer Terminkursarbitrage
174
11.3 Zinstiteltermingeschafte (Financial Futures, Interest Rate Futures)
Literatur: Hull [15]Es gibt zwei Hauptformen von Zinstiteltermingeschaften: Termingeschafte auf Lieferung von Diskont-
papieren (d.h. Papieren, die nur eine Zahlung versprechen) und Lieferung von langerfristigen coupontra-genden Anleihen. Beispiele fur den ersten Typ sind T–Bills, d.h. US–Schatzwechsel mit einer Restlaufzeitvon 90 Tagen, oder CD’s, d.h. Certificates of Deposits, verbriefte Termineinlagen bei Banken uber ahnlicheLaufzeiten. Beispiele fur den zweiten Typ sind T–Bonds, langfristige US–Staatsanleihen bzw. Bundesanleihen(10–jahrig).
11.3.1 Kontrakte uber Diskontpapiere
Das zu Grunde liegende Papier verspreche die Zahlung Z mit einer Restlaufzeit von n Tagen (z.B. Z = 1 Mio $,n = 90 Tage). Der Terminpreis ergibt sich zu (keine Zinszahlungen, d.h. d = 0 !)
pτ,T = e(T−τ)·r(τ,T ) · pτ , (11.13)
wobeipτ = Z · e−(T+n−τ)·r(τ,T+n) (11.14)
gilt. Insgesamt ergibt sich daher
pτ,T = Z · e(T−τ)·r(τ,T ) · e−(T+n−τ)·r(τ,T+n)
= Z · e−[n·r(τ,T+n)+(T−τ)r(τ,T+n)−r(τ,T )] (11.15)
bzw.pτ,TZ
= e−[n·r(τ,T+n)+(T−τ)r(τ,T+n)−r(τ,T )] (11.16)
Der Terminpreis fur nominal eine GE als Diskontpapier fur die Periode [T, T + n] (Laufzeit des Papiers: n), zuliefern bzw. abzunehmen im Zeitpunkt T betragt daher im Zeitpunkt τ :
e−[n·r(τ,T+n)+(T−τ)r(τ,T+n)−r(τ,T )] (11.17)
175
Fur diese Periode”sichert“ man sich daher den Zinssatz
f (τ, T, T + n) = r(τ, T + n) +T − τnr(τ, T + n)− r(τ, T ) (11.18)
Dieser Zinssatz ist,wie wir wissen, identisch mit dem impliziten Terminzinssatz der betreffenden Periode (vgl.Wilhelm [45] und ). Bei normaler Zinsstruktur liegt er uber dem Zinssatz fur die langere Laufzeit T + n − τ ,bei inverser Zinsstruktur liegt er unter diesem Satz.
Als Basis bezeichnet man auch hier die Differenz des Preises des Kassainstrumentes und des Terminpreises.Das Kassainstrument ist indessen hier ein Zero–Bond der betreffenden vereinbartenLaufzeit n des Underlying.Dessen Preis heute betragt
p∗τ = Z · e−n·r(τ,τ+n) , (11.19)
die Basis belauft sich infolgedessen auf
p∗τ − pτ,T = Ze−n·r(τ,τ+n) − e−n·f(τ,T,T+n)
= Z · e−n·r(τ,τ+n)
1− en[r(τ,τ+n)−f(τ,T,T+n)]
(11.20)
Das Vorzeichen der Basis sgn (p∗τ − pτ,T ) entspricht daher dem des Ausdrucks
f (τ, T, T + n)− r(τ, τ + n) . (11.21)
d.h.
sgn (p∗τ − pτ,T ) = sgn (f (τ, T, T + n)− r(τ, τ + n))
Ergebnis 11.3.1 Die Basis ist also— positiv bei normaler Zinsstruktur ((11.21) > 0)— null bei flacher Zinsstruktur ((11.21) = 0)— negativ bei inverser Zinsstruktur ((11.21) < 0) .
176
11.3.2 Kontrakte uber coupontragende Anleihen
Kontrakte uber coupontragende Anleihen werden hier nur fur den praktisch relevanten Fall hypothetischerAnleihen behandelt. Die zu Grunde liegende (hypothetische) Anleihe habe eine Laufzeit von n Jahren; c sei derCoupon, der jahrlich nachschussig gezahlt wird; die Tilgung erfolge am Ende der Laufzeit zu 100% (d.h. derTilgungsbetrag am Ende der Laufzeit ist gleich eins).
Bei Emission im Zeitpunkt t hat eine solche Anleihe den Preis:
pt = c ·n∑τ=1
e−τ ·r(t,t+τ) + 1 · e−n·r(t,t+n) , (11.22)
In den Zinssatzen r(t, t+ n) spiegelt sich die im Zeitpunkt t gultige Fristigkeitsstruktur der Zinssatze.Der okonomische Wert
E(Qt · pt)eines Anspruchs auf pt Geldeinheiten gemaß (11.22) im Zeitpunkt t, bewertet im Zeitpunkt 0, kann wie folgtermittelt werden (vgl. dazu 10.27). Man betrachtet dazu den folgenden Strom
0 1 2 . . . t t+ 1 t+ 2 . . . t+ n
0 0 0 0 c c 1 + c
Dieser Strom hat heute (Zeitpunkt 0) den Wert
p0 = c
n∑τ=1
e−(t+τ)·r(0,t+τ) + 1 · e−(t+n)·r(0,t+n) (11.23)
Naturlich muss nun EQt · pt = p0 gelten.Neben der Diskontierung uber den zusatzlichen Zeitraum [0, t] tritt in dieser Wertformel im Vergleich zu
(11.22) die unterschiedliche Zinsstruktur zum Zeitpunkt 0 und zum Zeitpunkt t in Bezug auf den Zeitraum[t, t+ n] zutage. Fur den Terminpreis ergibt sich daher nach der schon gewohnten Formel:
p0,T = eT ·r(0,T ) ·
e−(T+n)·r(0,T+n) + c
n∑τ=1
e−(T+τ)·r(0,T+τ)
(11.24)
177
Im Vergleich dazu ist der aktuelle Preis einer solchen Anleihe als Kassainstrument durch
p0 = e−n·r(0,n) + cn∑τ=1
e−τ ·r(0,τ)
gegeben. Es kommt bei der Ermittlung des Vorzeichens der Basis auf die Exponenten in beiden Ausdrucken an.Fur den Exponenten des Terminpreises haben wir:
T · r(0, T )− (T + τ) · r(0, T + τ)
= [r(0, T )− r(0, T + τ)]T − r(0, T + τ) · τ
= T · r(0, T )− r(0, T + τ) − τ · r(0, T + τ)
= −τ [r(0, T + τ) +T
τr(0, T + τ)− r(0, T )]
Der Ausdruck in der eckigen Klammer ist wieder der implizite Terminzinssatz fur die Periode [T, T + τ ] ausder Sicht von Zeitpunkt 0:
f (0, T, T + τ)
Fur den Exponenten des Kassapreises haben wir zum Vergleich:
−τ · r(0, τ)
Es gilt daher r(0, τ) und f (0, T, T + τ) zu vergleichen, d.h. der Spotzinssatz fur die Laufzeit τ und der jeweiligeTerminzins fur die gleiche Laufzeit, beginnend bei Falligkeit des Termingeschaftes. Fur T → 0 kann man dieEntwicklung der Basis im Zeitablauf ablesen.
Also gilt auch hier:– Basis gleich null, wenn Spotzinssatz = Terminzinssatz (
”flache“ Zinsstruktur)
– pos. Basis, wenn Spotzinssatz < Terminzinssatz (”normale“ Zinsstruktur)
– neg. Basis, wenn Spotzinssatz > Terminzinssatz (”inverse“ Zinsstruktur)
178
Kapitel 12
Festgeschafte: Erganzende Aspekte
12.1 Hedging mit Zinstiteltermingeschaften
12.1.1 Diskontpapiere als Underlying
Der Erfolg eines Termingeschaftes (als Festgeschaft, forward–Geschaft) wird durch den Kontraktwert im Liqui-dationszeitpunkt bestimmt. Der Kontraktwert im Liquidationszeitpunkt τ mit t ≤ τ ≤ T ist durch die folgendeFormel gegeben (Kauf!):
Mτ(t, T ) = E(QT
Qτ· (pT − pt,T )
∣∣V1, . . . , Vτ)
= E(QT
Qτ· pT
∣∣V1, . . . , Vτ)− pt,T e−(T−τ)·r(τ,T )
Auf der anderen Seite gilt
E(QT
Qτ· (pT − pτ,T )
∣∣V1, . . . , Vτ) = 0
d.h.
E(QT
Qτ· pT |V1, . . . , Vτ) = pτ,T e
−(T−τ)·r(τ,T )
179
d.h.Mτ(t, T ) = [pτ,T − pt,T ] e−(T−τ)·r(τ,T )
Die Randbedingungen Mτ(τ, T ) = 0 und MT (τ, T ) = pT,T − pτ,T sind erfullt. Arbitragefreiheit verlangt
pT = pT,T .
Betrachten wir Diskontpapiere als zu Grunde liegendes Handelsobjekt, so gilt (siehe Gleichung (11.15) )
Mτ(t, T ) = [pτ,T − pt,T ] e−(T−τ)·r(τ,T )
mit
pτ,T = Z · e−n·f(τ,T,T+n)
und
pt,T = Z · e−n·f(t,T,T+n)
mit den Terminzinssatzen
f (t, T, T + n) = r(t, T + n) +T − tnr(t, T + n)− r(t, T )
bzw. τ an Stelle von t .Legt man einmal als entscheidende Determinante des Kontraktwertes die Differenz der Terminpreise pτ,T −
pt,T zu Grunde, so ist diese Differenz durch den Unterschied der beiden Terminzinssatze f (t, T, T + n) undf (τ, T, T + n) bestimmt (dabei verzichtet man auf den Einfluss der Abzinsung dieser Differenz). Er beeinflusstmaßgeblich den Kontraktwert zum Liquidationszeitpunkt t.
Hat man nun im Zeitpunkt t eine Position in Diskontpapieren mit der Falligkeit T ∗, so ist deren Wert imZeitablauf im jeweiligen Zeitpunkt τ durch (Nominalbetrag Y ):
Y e−(T ∗−τ)·r(τ,T ∗)
gegeben. Bei gegebenem Realisationszeitpunkt τ ergibt sich als stochastische Gesamterfolgskomponente (beiTerminverkauf!) in Hohe von
Y e−(T ∗−τ)·r(τ,T ∗) − Ze−n·f(τ,T,T+n) − e−n·f(t,T,T+n)
180
Die Varianz dieses Ausdruckes ist durch
Y 2var(e−(T ∗−τ)·r(τ,T ∗)
)− 2Y Z cov
(e−(T ∗−τ)·r(τ,T ∗), e−n·f(τ,T,T+n) − e−n·f(t,T,T+n)
)+Z2var
(e−n·f(t,T,T+n) − e−n·f(τ,T,T+n)
)gegeben. Nun ist f (t, T, T + n) aus Sicht von τ sicher. Kann man als Hedging–Ziel
”Varianzminimierung“ un-
terstellen, so gilt daher fur das Varianzminimum (Entscheidungsvariable: Z):
Z = Ycov
(e−(T ∗−τ)r(τ,T ∗), e−n·f(τ,T,T+n)
)var(e−n·f(τ,T,T+n)
)Wenn man fur Diskontpapiere eine flache Zinsstruktur unterstellen darf, so gilt r(τ, T ∗) = f (τ, T, T + n)= rτ
und daher fur die optimale Anzahl von Terminkontrakten:
Z = Y ·cov
(e−(T ∗−τ)·rτ , e−n·rτ
)var (e−n·rτ )
Es gilt also Z = Y nur, wenn n = T ∗ − τ , d.h. wenn bei Positionsauflosung die Restlaufzeit der physischenPosition mit der Laufzeit des dem Terminkontrakt zu Grunde liegenden Instruments ubereinstimmt. In diesemFall erreicht man auch eine vollstandige Absicherung: die Gesamtvarianz wird gleich null. Auf die Verwandschaftdes Koeffizienten von Y mit dem β–Regressionskoeffizienten wird hier nur nachrichtlich hingewiesen.
Mit Einfuhrung des Korrelationskoeffizienten
corr(a, b) =cov(a, b)√
var(a) var(b)
und der Standardabweichungstd(a) =
√var(a)
ergibt sichcov(a, b)
var(b)=
std(a)
std(b)corr(a, b)
181
und daher
Z = Y ·std(e−(T ∗−τ)·rτ
)std (e−n·rτ )
· corr(e−(T ∗−τ)·rτ , e−n·rτ
)Wir approximieren linear:
e−(T ∗−τ)rτ =∞∑ν=0
(−(T ∗ − τ)rτ)ν
ν !∼= 1− (T ∗ − τ)rτ .
Dann gilt
std(e−(T ∗−τ)·rτ
)∼= std(rτ)(T
∗ − τ)
und
corr(e−(T ∗−τ)·rτ , e−n·rτ
)∼= corr((T ∗ − τ) · rτ , n · rτ) = 1
Insgesamt gilt daher naherungsweise:
Z = Y · T∗ − τn
, Z → 0 fur t→ T ∗
d.h. die Anzahl der Kontrakte muss zur Anzahl der zu sichernden Positionen sich verhalten wie die bei Liqui-dation gegebene Restlaufzeit der zu sichernden Position zur Laufzeit des den Kontrakten zu Grunde liegendenInstruments.
12.1.2 Coupon-Anleihen als Underlying
Bei der Problematik des Hedging mit Coupon–Anleihen gehen wir von einer festen Position mit den Zah-lungsstromen
Zθ (θ = 1, . . . , T ∗)
aus. Diese Position soll durch ein Termingeschaft auf eine hypothetische Anleihe mit dem Coupon c und derLaufzeit n abgesichert werden.
182
Der Wert der zu Grunde liegenden Position, ermittelt durch Auf- und Abzinsen, im (zukunftigen) Zeitpunktτ ist:
pτ(Z) =τ∑θ=1
Zθe(τ−θ)·r(τ,θ) +
T ∗∑θ=τ+1
Zθe−(θ−τ)·r(τ,θ)
r (τ, •) sind die jeweiligen Spotzinssatze; sie sind aus der Sicht des Zeitpunktes 0 unsicher, daher ist pτ(Z) eineZufallsgroße.
Der Wert des Terminkontraktes (Verkauf) betragt:
Mτ(0, T ) = [p0,T − pτ,T ] · e−(T−τ)·r(τ,T )
Fur die beiden Terminpreise haben wir die Ausdrucke:
p0,T = eT ·r(0,T )
e−(T+n)·r(0,T+n) + c ·
n∑θ=1
e−(T+θ)·r(0,T+θ)
= e−n·f(0,T,T+n) + c ·n∑τ=1
e−θ·f(0,T,T+θ)
und
pτ,T = e(T−τ)·r(τ,T )
e−(T−τ+n)·r(τ,T+n) + c ·
n∑θ=1
e−(T−τ+θ)·r(τ,T+θ)
= e−n·f(τ,T,T+n) + c ·n∑θ=1
e−θ·f(τ,T,T+θ)
Wir betrachten wiederum nur die Differenz in den Terminpreisen als wesentliche Risikokomponente (auf dieBerucksichtigung der Abzinsung verzichtend)
p0,T − pτ,T = p0,T −
e−n·f(τ,T,T+n) + c ·
n∑θ=1
e−θ·f(τ,T,T+θ)
,
183
wobei p0,T aus Sicht des Realisationszeitpunktes τ deterministisch ist. Der Wert der physischen Position mussnoch etwas umgeformt werden; es gilt bei Anderung des Summationsindexes in der zweiten Summe:
pτ(Z) =τ∑θ=1
Zθe(τ−θ)·r(θ,τ) +
T ∗−τ∑θ=1
Zτ+θ e−θ·r(τ,τ+θ)
Der stochastische Teil der Gesamtposition (physische Position + Termin–Position) ergibt sich (approximativ,Vernachlassigung des Abzinsungseffektes) zu:
Hτ := pτ(Z)− pτ,T
=τ∑θ=1
Zθ e(τ−θ)·r(θ,τ) +
T ∗−τ∑θ=1
Zτ+θ e−θ·r(τ,τ+θ)
−
e−n·f(τ,T,T+n) + c ·
n∑θ=1
e−θ·f(τ,T,T+θ)
Zur Vereinfachung unterstellen wir erstens eine jeweils flache Zinsstrukturkurve; dann gilt:
Hτ =τ∑θ=1
Zθ e(τ−θ)·rθ +
T ∗−τ∑θ=1
Zτ+θe−θ·rτ −
e−n·rτ + c ·
n∑θ=1
e−θ·rτ
Stochastisch ist in diesem Ausdruck nur der Zinsverlauf r1, . . . rt ; wenn wir den Diskontierungsfaktor wiederlinear approximieren, so erhalten wir
Hτ∼=
τ∑θ=1
Zθ (1 + (τ − θ) · rθ) +T ∗−τ∑θ=1
Zτ+θ (1− θ · rτ)−
1− n · rτ + c ·
n∑θ=1
(1− θ · rτ)
Hedgt man mit der Anzahl α von Kontrakten, so ergibt sich entsprechend:
184
Hτ(α) =τ∑θ=1
Zθ (1 + (τ − θ) · rτ) +T ∗−τ∑θ=1
Zτ+θ (1− θ · rθ)
−α
1− n · rτ + c ·
n∑θ=1
(1− θ · rτ)
=
[T ∗∑θ=1
Zθ − α(1 + n · c)
]+
τ∑θ=1
Zθ(τ − θ)rθ − rτT ∗−τ∑θ=1
θ · Zτ+θ
+α
n · rτ + c · rτ ·
n∑θ=1
θ
Es gilt fur die Varianz:
var(Hτ(α)) = var
τ∑θ=1
Zθ · (τ − θ)rθ + rτ
[ (n+ c ·
n∑θ=1︸︷︷︸
=n·(n+1)2
θ
)α−
T ∗−τ∑θ=1
θ · Zτ+θ
]
Fur das Varianzminimum gilt folglich:
α · n2
cn+ 1
2+ 1
2
var(rτ)
= n
cn+ 1
2+ 1
[ T ∗−τ∑θ=1
Zτ+θ · θ · var(rτ)−t∑
θ=1
Zθ(τ − θ)cov(rθ, rτ)
]
185
d.h.
α =1
nc n+1
2 + 1 [T ∗−τ∑
θ=1
Zτ+θ · θ −τ∑θ=1
Zθ(τ − θ)cov(rθ, rτ)
var(rτ)
]bzw.
α =1
nc n+1
2 + 1 [
T ∗−τ∑θ=1
Zτ+θ · θ −τ∑θ=1
Zθ(τ − θ)corr(rθ, rτ)std(rθ)
std(rτ)
]
In dieser Gleichung beschreibt α die optimale Anzahl von Hedgingkontrakten. Sieht man einmal von denKorrelationen mit den Zinssatzen vor τ ab (das korrespondiert mit einem Ausschluss des Wiederanlagerisikosder physischen Position vor Terminkontraktrealisation), so kommt es wesentlich auf das Verhaltnis der Summeder mit den Zeitpunkten gewichteten Zahlungen der physischen Position zur entsprechenden Summe fur dasTermininstrument an. Setzt man im Ubrigen den Coupon c = 0, so reproduziert man als Spezialfall das Ergebnisder Hedging–Operation fur Diskontpapiere.
Handelt es sich bei der physischen Position ebenfalls um eine endfallige Coupon–Anleihe mit dem Coupon cund sollen die Korrelationen mit Zinssatzen vor Falligkeit unbeachtet bleiben, so gilt fur die optimale Anzahlvon Hedgingkontrakten:
α =(T ∗ − t)c T ∗−τ+1
2 + 1nc n+1
2 + 1
Fur den Fall c = c = 0 gewinnt man das Ergebnis fur Diskontpapiere noch einmal:
α =T ∗ − tn
Das Problem der Korrelationen mit Zinssatzen fruherer Perioden tritt auf, weil man versucht, mit einemInstrument mehrere Risiken zu hedgen. Eine flexiblere Politik wurde z.B. fur die Coupons vor Falligkeit kurzerlaufende Kontrakte uber Diskontpapiere einbeziehen. Damit wurde man den Schritt vom isolierten Hedging wegzu einer optimalen Portfolio–Strategie vollziehen.
186
Ein anderer Ansatz aus der Literatur besteht in der sogenannten”Preis–Sensitivitats–Strategie“. Hier unter-
sucht man in Anlehnung an Duration-Techniken:
Hτ =τ∑θ=1
Zθ e(τ−θ)·r +
T ∗−τ∑θ=1
Zτ+θe−θ·r − α ·
e−n·r + c ·
n∑θ=1
e−θ·r
und fordertdHτ(α)
dr!
=0 ! Dann gilt
0 =τ∑θ=1
Zθ · (τ − θ) · e(τ−θ)·r −T ∗−τ∑θ=1
Zτ+θ · θ · e−θ·r + α ·
n · e−n·r + c ·
n∑θ=1
θ · e−θ·r
d.h.
α =
∑T ∗−τθ=1 Zτ+θ · θ · e−θ·r −
∑τθ=1 Zθ · (τ − θ) · e(τ−θ)·r
n · e−n·r + c ·∑n
θ=1 θ · e−θ·r
Hier ist die Verwandschaft zur Duration–Technik offenkundig. Fur die endfallige Coupon–Anleihe ergibt sich(keine Zahlung vor Falligkeit des Kontraktes!):
α =c ·∑T ∗−τ
θ=1 θ · e−θ·r + (T ∗ − τ) · e−(T ∗−τ)r
n · e−n·r + c ·∑n
θ=1 θ · e−θ·r
also bis auf die Zinseffekte dasselbe Ergebnis wie bei Betrachtung der Varianz.
12.2 Zum Verhaltnis von Forward– und Futures–Kontrakten
An den weltweit bestehenden Terminmarkten sind im Festgeschaft zwei institutionell unterschiedliche Kontrakt-formen anzutreffen: die Forward–Kontrakte als Individualkontrakte und Futures–Kontrakte als borsenmaßiggehandelte Kontrakte. Neben dem hoheren Grad der Standardisierung unterscheiden sich Futures– von Forward–Kontrakten durch das System der taglichen Abrechnung (
’daily settlement‘,
”marking to the market”) mit dem
187
Clearinghaus, mit dem, rechtlich gesehen, der Futures–Kontrakt abgeschlossen wird. Dem entsprechend mussman zwischen dem Futures–Preis und dem Forward–Preis theoretisch unterscheiden.
Bezeichnen wir hier mit pτ,T den Futures–Preis fur einen Kontrakt, der im Zeitpunkt τ zur Lieferung inT abgeschlossen wird, so ergeben sich im Wege des
’daily settlement‘ die folgenden Zahlungsstrome fur einen
Terminkaufer: Borsentaglich wird dem Terminkaufer die Differenz zwischen Tagesabschlusskurs des laufendenTages pτ,T und Tagesschlusskurs des vorigen Tages pτ−1,T gutgeschrieben (bzw. belastet), wahrend der Kontraktzum neuen Futures–Preis pτ,T erneuert wird. Im Zeitablauf ergeben sich die folgenden Zahlungen, wenn wahrenddes Borsentages t < T zum Kurs pt−,T kontrahiert wurde:
Zum Ende des Borsentages erfolgt die Gutschrift/Belastungt pt,T− pt−,Tt+ 1 pt+1,T − pt,Tt+ 2 pt+2,T − pt+1,T...
...T pT,T − pT−1,T
Die Summe aller Gutschriften belauft sich auf
pT,T − pt−,T
und, da aus Arbitragegrunden (theoretisch) pT,T = pT gelten muss, ergibt sich als Summe aller Zahlungen ausdem Futures–Kontrakt
pT − pt−,T
wie fur einen Forward–Kontrakt. Der Unterschied liegt allein in den zwischenzeitlichen Zahlungen in den Zeit-punkten t, . . . , T − 1, bzw. in der Verteilung der Gesamtzahlung auf die Laufzeit des Kontraktes. Das hatAuswirkungen fur den theoretischen Futures–Preis, da diese Zahlungen verzinslich angelegt (bzw. refinanziert)werden (konnen):
188
Fur den Wert des Kontraktes im Zeitpunkt T − 1 gilt:
E
(QT
QT−1· (pT,T − pT−1,T ) |V1, . . . , VT−1
)= 0 ,
da pT−1,T als im Arbitrage–Gleichgewicht befindlich angenommen wird; pT−1,T ist aus der Sicht des ZeitpunktesT − 1 nicht stochastisch:
E
(QT
QT−1· (pT,T − pT−1,T ) |V1, . . . , VT−1
)
= E
(QT
QT−1· pT,T )|V1, . . . , VT−1
)− erT−1 · pT−1,T = 0
d.h.
pT−1,T = erT−1 · E(QT
QT−1· pT,T )|V1, . . . , VT−1
)= E
(QT
QT−1· erT−1 · pT,T )|V1, . . . , VT−1
)(12.1)
Der Kontraktwert aus Sicht des Zeitpunktes T − 2 ist nun gleich dem Wert der in T − 1 erwarteten Zahlung
pT−1,T − pT−2,T
da der Kontrakt selbst in T − 1 erneuert wird (zu pT−1,T ) und daher dort einen Wert von null hat; d.h. es gilt:
E
(QT−1
QT−2· (pT−1,T − pT−2,T ) |V1, . . . , VT−2
)= 0
und daher
pT−2,T = E
(QT−1
QT−2· erT−2 · pT−1,T |V1, . . . , VT−2
)189
unter Benutzung von (12.1) folgt:
pT−2,T = E
(QT−1
QT−2· QT
QT−1· erT−2+rT−1 · pT,T |V1, . . . , VT−2
)Durch Rekursion findet man
pt,T = E
(QT
Qt· ert+rt+1+...+rT−1 · pT,T |V1, . . . , Vt
)und daher
pt,T = E
(QT
Qt·
(pT · e
T−1∑τ=t
rτ
) ∣∣∣V1, . . . , Vt
)
Ergebnis 12.2.1 Der Futures–Preis ist gleich dem Wert eines hypothetischen Marktobjektes, dasman durch folgende Strategie erzeugt: Lege den bei Falligkeit des auf Termin gehandelten Objek-tes geltenden Kassakurs jeweils fur eine Periode zum herrschenden Zinssatz an (vom Zeitpunktdes Vertragsabschlusses an) und erneuere diese Anlage zum jeweils dann herrschenden Zins biszum Liefertermin !
Man erkennt sofort die Richtigkeit des folgenden Satzes:
Satz 18 Fur ein lagerfahiges Gut (ohne Lagerkosten) fallen Forward–Preise und Futures–Preise zusammen,wenn der Zinsverlauf deterministisch ist.
Eine empirisch verwendbare Auswertung der Formel fur den Futures–Preis erfordert die Spezifikation einerspeziellen Preistheorie fur Finanztitelmarkte: es werden in jedem Fall die Korrelationen der kurzfristigen Zinssatzeuntereinander und mit dem zukunftigen Kassakurs des per Termin gehandelten Objektes eine Rolle spielen.Empirische Untersuchungen haben bisher allerdings keinen signifikanten Unterschied zwischen Forward–und Futures–Preisen feststellen konnen, dort, wo beide Kontraktarten zugleich zu beobachten sind.
190
12.3 Swaps und Floating Rate Notes
Swaps sind Vereinbarungen, bei denen Zahlungsverpflichtungen unterschiedlicher Struktur oder Wahrung ausge-tauscht werden. Man unterscheidet Zinsswaps und Wahrungsswaps sowie kombinierte Zins–/Wahrungs–Swaps.
Beim typischen Zinsswaps werden fixe und variable Zinsverpflichtungen ausgetauscht. Sei rt ein Referenzzins-satz fur die Periode [t, t + 1] (z.B. LIBOR Drei–Monatssatz; zeitdiskretes Modell!). Eine variable Verzinsungkann z.B. die Form
zt = a rt−1 + b (t = 1, . . . , T )
annehmen (in der Praxis a = 1 und b > 0). Die entsprechende fixe Verzinsung sei i. Im Arbitrage-Gleichgewichtmuss gelten ( bei fairem Tausch muss der Marktwert der Zinszahlungen gleich sein):
T∑t=1
E (Qt · i) =T∑t=1
E (Qt · zt)
bzw.
i ·T∑t=1
e−t·r(0,t) = a
T∑t=1
E (Qt · rt−1) + b ·T∑t=1
e−t·r(0,t)
bzw.
(i− b)T∑t=1
e−t·r(0,t) = a ·T∑t=1
E (Qt · rt−1)
Es sei ρ(T ) der Zinssatz, der fur eine risikofreie Coupon–Anleihe mit Laufzeit T geboten werden muss. Dannentspricht i− ρ0(T ) einer Bonitatsrisikopramie. Diese Pramie ist schuldnerbezogen: Es werde die folgende Kon-stellation von Konditionen fur die beiden potentiellen Vertragspartner unterstellt:
Schuldner Zins fix Konditionen Zins variabel
A iA aA , bAB iB aB , bB
191
Geht der Schuldner A die fixe Verpflichtung iA ein und tauscht mit B, der die variable Verpflichtung zBt =aB rt−1+bB eingeht, so ergibt sich aus Sicht von A der Nettoauszahlungsstrom gegenuber einem eigenen variablenKontrakt
A : aB rt−1 + bB − aA rt−1 − bA
= (aB − aA)rt−1 + (bB − bA)
und aus Sicht von B der Nettoauszahlungsstrom gegenuber
B : iA − iB
Sehen A und B im Innenverhaltnis die Strome als bonitatsrisikofrei an, so ist der Wert aus Sicht von A
vA = −
(aB − aA) ·
T∑t=1
E (Qt · rt−1) + (bB − bA) ·T∑t=1
e−t·r(0,t)
,
der Wert aus Sicht von B
vB = −
(iA − iB) ·
T∑t=1
e−t·r(0,t)
= −
((iA − ρ0(T ))− (iB − ρ(T ))) ·
T∑t=1
e−t·r(0,t)
Ein fur beide Seiten positiv gestaltbares Arrangement liegt vor, wenn vA + vB > 0 gilt:
(aA − aB) ·T∑t=1
E (Qt · rt−1) + (bA − [iA − ρ(T )])− (bB − [iB − ρ0(T )]) ·T∑t=1
e−t·r(0,t) > 0
Diese Situation ist gegeben, wenn A eine hohere Bonitatsdifferenz im zinsvariablen gegenuber dem zinsfestenMarkt aufweist als B. Ein Erfolg des Swaps (von Arbitragen abgesehen) ergibt sich also nur, wenn zwei Partner im
192
Innenverhaltnis sich weniger riskant einschatzen als der Markt insgesamt. Bei durch den Markt wahrgenommenerRisikofreiheit auf beiden Seiten muss vA + vB = 0 gelten.
Die anderen Swap–Arten behandelt man entsprechend.
Auch bei fehlenden Bonitatsunterschieden kann der Swap als Spekulations– oder Risikomanagementinstru-ment angesehen werden. Sein Kontraktwert im Zeitablauf ist durch
T∑τ≥t
E
(Qτ
Qt· i |V1, . . . , Vt
)−
T∑τ≥t
E
(Qτ
Qt· zτ |V1, . . . , Vt
)
= (i− b) ·T∑τ≥t
e−(τ−t)r(t,τ) − a ·T∑τ≥t
E
(Qτ
Qt· rt−1 |V1, . . . , Vt
)gegeben. Der erste Term wird durch die im Bewertungszeitpunkt t geltende Zinsstruktur bestimmt (neben i undb), der zweite Term entspricht dem Wert einer Floating–Rate–Note mit Restlaufzeit T abzuglich
e−(T−t)r(t,T ) ,
dem Wert der Anleihentilgung.
Eine Floating–Rate–Note lasst sich wie folgt bewerten: Aus Sicht von T − 1 ist der Strom
1 + rT−1
im Zeitpunkt T zu bewerten; nach Definition gilt aber
E
(QT
QT−1· (1 + rT−1) |V1, . . . , VT−1
)= 1
Aus Sicht von T − 2 ist daher die Summe
E
(QT
QT−1· (1 + rT−1) |V1, . . . , VT−1
)+ rT−2 = 1 + rT−2
193
im Zeitpunkt T − 1 zu bewerten:
E
(QT−1
QT−2·(QT
QT−1· (1 + rT−1) + rT−2
)|V1, . . . , VT−2
)= 1 usw.
Zwischen den Zinsterminen wird eine Floating–Note dagegen wie ein Diskontpapier bewertet:
(1 + rt−1) · e−(t−τ)·r(τ,t) fur t− 1 ≤ τ < t
Der Wert des Swaps im Zeitpunkt τ mit t− 1 ≤ τ < t ist daher durch
(i− b) ·∑θ≥τ
e−(θ−τ)r(τ,θ) − a
(1 + rt−1)e−(t−τ)·r(τ,t) − e−(T−τ)·r(τ,T )
gegeben, er ist (neben dem Festzins i und der Marge b uber rt−1 ) vollstandig durch die in τ herrschendeZinsstruktur bestimmt.
Ein reversed floater lasst sich synthetisieren:
CouponAnleihe+ZeroBond ./. Floater
194
Kapitel 13
Spezielle Derivate: Optionen
13.1 Vorbemerkungen
Es gibt zwei Formen von Optionen: die Kaufoption (”Call Option“) und die Verkaufoption (
”Put Option“).
Die Kaufoption verbrieft das Recht, eine spezifizierte Stuckzahl eines Marktobjektes (”Optionspapiere“ im
Falle von Wertpapieren) innerhalb eines spezifizierten Zeitraumes (”Erklarungsfrist“) zu einem spezifizierten
Preis (”Basispreis“) von dem
”Stillhalter“ zu erwerben. Wird dieses Recht nicht spatestens am Ende der
Erklarungsfrist (englisch: expiration date) ausgeubt, so verfallt es. Das Recht wird gegen Zahlung eines Preises(”Optionspreis“) an den Stillhalter erworben bzw. u.U. weiter veraußert. Die englischen Termini: Basispreis =
striking price oder exercise price; eine Kaufoption erwerben = to buy a call option; Stillhalter einer Kaufoptionwerden (= Stillhalter mit Stucken) = to write a call option.
Die Verkaufoption verbrieft das Recht, eine spezifizierte Stuckzahl eines Marktobjektes (”Optionspapiere“
im Falle von Wertpapieren) innerhalb eines spezifizierten Zeitraumes (”Erklarungsfrist“) zu einem spezifizier-
ten Preis (”Basispreis“) an den
”Stillhalter“ zu verkaufen. Wird dieses Recht nicht spatestens am Ende der
Erklarungsfrist (englisch: expiration date) ausgeubt, so verfallt es. Das Recht wird gegen Zahlung eines Preises(”Optionspreis“) an den Stillhalter erworben bzw. u.U. weiterveraußert. Die englischen Termini: Basispreis =
striking price oder exercise price; eine Verkaufoption erwerben = to buy a put option; Stillhalter einer Verkauf-option werden (= Stillhalter mit Geld) = to write a put option. Die hier geschilderte Variante, bei der das Recht,
195
die Option auszuuben, wahrend der gesamten Erklarungsfrist gegeben ist, bezeichnet man als AmerikanischeOptionen; Optionen, bei denen dieses Recht nur am Ende der Laufzeit wahrgenommen werden darf, werdendagegen als europaische Optionen bezeichnet. Institutionell kann zwischen Optionen unterschieden werden,die wahrend ihrer Laufzeit ubertragbar, und damit handelbar, sind (traded oder listed options), und solchen,fur die das nicht gilt. Die Handelbarkeit kann aus rechtlichen oder konstruktiven Grunden behindert sein. Han-delbarkeit mit laufender Preisfeststellung fur denselben Kontrakt setzt eine bedeutende Standardisierung derOptionskontrakte voraus. Unter solchen Umstanden werden Optionen als Wertpapiere an borsenahnlichen Ein-richtungen regelmaßig wahrend der gesamten Erklarungsfrist gehandelt. Dieser Zustand ist an den modernenOptionsborsen verwirklicht; in der historischen Entwicklung ist das allerdings ein zeitbedurftiger Prozess gewe-sen, wie die Geschichte des deutschen Optionshandels von 1970 bis heute zeigt. Daruber hinaus gibt es in einigenMarktsegmenten einen regen Optionshandel im OTC (over the counter) Verkehr. Diese Optionen sind i.a. nichthandelbar.
13.2 Die Bewertung von Optionen
13.2.1 Modellfreie Arbitragerestriktionen fur (Aktien–) Optionen
Es sei St der Aktienkurs im Zeitpunkt t, X der Basispreis der Option, T der Verfalltag (Ende der Erklarungsfrist).Mit
c(t, T,X)
wird der Preis der Kaufoption im Zeitpunkt t bezeichnet; mit
p(t, T,X)
wird der Preis der Verkaufoption im Zeitpunkt t bezeichnet.Es gilt offensichtlich aus Grunden der Rationalitat (
”mehr ist besser”)
c(T, T,X) = maxST −X, 0 (13.1)
p(T, T,X) = maxX − ST , 0 (13.2)
196
Straddle
Call
Strangle
Put
Abbildung 13.1: Charakteristische Funktionen einiger Optionstypen (1)
197
Die folgenden Kombinationen gelten als ublich:
Strangle/Straddle
Put+Call
maxXp − ST , 0+ maxST −Xc, 0
Xp ≤ Xc (Straddle Xp = Xc)
Vertical Bullspread
Call1 − Call2
maxST −X1, 0 −maxST −X2, 0
= maxST −X1, 0+ minX2 − ST , 0
X1 ≤ X2
Vertical Bearspread
Call2 − Call1 = − (Call1 − Call2)
= − Bullspread
Timespread mit Calls
− Callkurzer + Calllanger
−maxST −X, 0+ c(T, T + τ,X)
198
CondorBullspread+Bearspread=Bullspread−Bullspread
Synthetischer Terminkauf
Call−Put
maxST −X, 0 −maxX − ST , 0 =
maxST −X, 0+ minST −X, 0 = ST −X.
Backspread (Calls)
−2 Calls + 3 Calls
−2 maxST −X1, 0+ 3 maxST −X2, 0
= 2 minX1 − ST , 0+ 3 maxST −X2, 0
X1 ≤ X2
Backspread (Puts)
3 Puts − 2 Puts
3 maxX1 − ST , 0 − 2 maxX2 − ST , 0
= 3 maxX1 − ST , 0+ 2 minST −X2, 0
X1 ≤ X2
199
Ratio–Spread (Calls)
Call − 2 Calls
X1 ≤ X2
Ratio–Spread (Puts)
−3 Puts + 2 Puts
X1 ≤ X2
Conversion und Reversal nutzen Abweichungen von der Put–Call–Parity aus; der folgende Zusammenhangkonstituiert die so genannte Put–Call–Parity:
– Strategie 1: Der Kauf einer Aktie im Zeitpunkt τ , verbunden mit dem Kauf einer Verkaufoption fuhrt zurAuszahlung in τ in Hohe von
p(τ, T,X) + Sτ
und bei Ausubung in T zu der Einzahlung
ST + maxX − ST , 0 = maxX,ST (13.3)
– Strategie 2: Die risikofreie Anlage in Hohe von X · e−(T−τ)r(τ,T ) und der Kauf einer Kaufoption fuhren inτ zur Auszahlung
c(τ, T,X) +X · e−(T−τ)r(τ,T )
und bei Ausubung in T zur Einzahlung
X + maxST −X, 0 = maxST , X (13.4)
Folglich konnen wir beweisen:
200
Condor 1
Vertical Bullspread
Condor 2
Vertical Bearspread
Abbildung 13.2: Charakteristische Funktionen einiger Optionstypen (2)
201
Ratio–Spread (Puts)
Backspread (Puts)
Ratio–Spread (Calls)
Backspread (Calls)
Abbildung 13.3: Charakteristische Funktionen einiger Optionstypen (3)
202
Satz 19 (Put-Call-Parity): Sind die Optionen europaisch (nur in T auszuuben) und zahlt die Aktie wahrend derErklarungsfrist mit Sicherheit keine Dividende, so gilt (aus Arbitragegrunden)
Sτ + p(τ, T,X) = X e−(T−τ)r(τ,T ) + c(τ, T,X) (13.5)
Beweis: Strategie 1 fuhrt zu folgenden Zahlungen: u1τ = − (p(τ, T,X) + Sτ) , u1
T = maxX,ST, u1t = 0
sonst. Strategie 2 lost die folgenden Zahlungen aus: u2τ = −
(c(τ, T,X) +X · e−(T−τ)r(τ,T )
), u2
T = maxX,ST,u2t = 0. Fur beide Strome gilt wegen der Arbitragefreiheit π
(u1)
= 0 bzw. π(u2)
= 0. Daraus folgt un-mittelbar (p(τ, T,X) + Sτ) · π (1, 0, · · · , 0) = π (0, 0, · · · , 0,maxX,ST) und
(c(τ, T,X) +X · e−(T−τ)r(τ,T )
)·
π (1, 0, · · · , 0) = π (0, 0, · · · , 0,maxX,ST) und folglich die Behauptung 13.5.
Bemerkung 6 Sind Dividendenzahlungen moglich, so ist Sτ um den Wert der Dividenden zu kurzen.
Da die heute ublichen Optionen vom amerikanischen Typ sind, kann die entwickelte Paritat in der Realitatgestort sein, ohne dass eine Arbitragemoglichkeit besteht. Die folgenden Dominanzargumente erlautern das naher.
Definition 18 (Dominanz): Seien zwei zeitstrukturierte Zahlungsstrome u(uτ , τ = 0, 1, . . . , T ) und v(vτ , τ =0, . . . , T ) gegeben. Dann dominiert u den Strom v, wenn gilt
u > v
mit positiver Wahrscheinlichkeit (d.h. u ≥ v und
probu 6= v 6= 0 ).
gilt.
Satz 20 (Dominanzprinzip) Eine Dominanzsituation u > v kann fur zwei am Markt darstellbare Strome nieeintreten.
Beweis: Am Markt darstellbare Strome u, v haben die Eigenschaft π (u) = 0 und π (v) = 0. Da das Funktionalπ positiv, d.h. monoton ist ist die Relation u > v unmoglich.
203
Korollar 1 Fur einen am Markt darstellbaren Strom u kann niemals u > 0 gelten.
Beweis: Der Strom 0 ist am Markt darstellbar.Aus dem Dominanzprinzip laßt sich ableiten:
Satz 21 Es gilt:Sτ ≥ c(τ, T,X) ≥ maxSτ −X, 0 ≥ 0 fur alle τ . (13.6)
Beweis: a) Annahme: c(τ, T,X) > Sτ . Dann wird man Stillhalter und erwirbt eine Aktie. Das fuhrt zu
uτ = c(τ, T,X)− Sτ > 0
ut = St −maxSt −X, 0
= St + minX − St, 0
= minX,St ≥ 0 ,
wenn in t ausgeubt wird. In allen anderen Fallen ist der Strom gleich null. Fur u gilt u > 0, im Widerspruchzum Dominanzprinzip.b) Annahme: c(τ, T,X) < 0 . Kauf der Option fuhrt auf
u0 = −c(τ, T,X) > 0
undut = max0, Sτ −X ≥ 0 ,
wenn in t ausgeubt wird. Wieder gilt u > 0 im Widerspruch zum Dominanzprinzip.c) Annahme: c(τ, T,X) < Sτ −X . Man kauft die Kaufoption und ubt sofort aus:
uτ = −c(τ, T,X) + maxSτ −X, 0 > 0 .
Wieder gilt u > 0 im Widerspruch zum Dominanzprinzip.Wichtig fur die Bewertungstheorie von Optionen ist der folgende Satz:
204
Satz 22 Eine amerikanische Kaufoption auf eine Aktie, die wahrend der Erklarungsfrist sicher keine Dividendenzahlt, wird nicht vorzeitig ausgeubt.
Beweis: Fur τ = 0, . . . , T sei jeweils Ωτ das Ereignis, in dem genau in τ ausgeubt wird. Dann erhalt man denStrom
uτ |Ωτ = maxSτ |Ωτ −X, 0
uτ(ω) = 0 fur ω 6∈ Ωτ
Denselben Strom (bis auf uT ) erzeugt man, indem man in Ωτ jeweils die Aktie verkauft und den Betrag X zumZinssatz r (τ, T ) anlegt (verbleibender Nettostrom in τ ist dann Sτ −X). In T hat man fur diese Strategie denStrom
uT (ω) =
maxST −X, 0 fur ω /∈ Ωτ
maxST −X, 0 − ST +X e(T−τ)·r(τ,T ) fur ω ∈ ωτ
Fur ω ∈ Ωτ(τ < T ) gilt also
maxST −X, 0 − ST +X · e(T−τ)·r(τ,T ) = max−X,−ST+X · e(T−τ)·r(τ,T )
= maxX(eT−τ)·r(τ,T ) − 1
), X e(T−τ)·r(τ,T ) − ST
≥ X
(e(T−τ)r(τ,T ) − 1
)> 0
fur positive Zinssatze. Damit ist eine dominante Strategie gefunden: Es wird fruhestens in T ausgeubt.Wunscht man in τ < T eine Einzahlung, so ist es gunstiger, das Recht zu verkaufen:
Satz 23 Es gilt:c(τ, T,X) ≥ Sτ − e−(T−τ)·r(τ,T )X (13.7)
Beweis: Da die Option nicht vor T ausgeubt wird, ist der relevante Strom
maxST −X, 0 .
205
Nun giltmaxST −X, 0+X = maxST , X ≥ ST
und daherc(τ, T,X) +X · e−(T−τ)·r(τ,T ) ≥ Sτ .
Satz 24 Es kann sinnvoll sein, eine amerikanische Verkaufsoption vorzeitig auszuuben.
Beweis: Sei τ der Zeitpunkt und Ωτ das Ereignis, in dem ausgeubt werden soll. Der resultierende Zahlungsstromist
uτ(ω) =
X − Sτ fur ω ∈ Ωτ
0 sonst
uT (ω) =
0 fur ω ∈ Ωτ
maxX − ST , 0 sonst(13.8)
Legt man den Betrag X − Sτ in τ an, so erhalt man
uτ(ω) = 0
(13.9)
uT (ω) =
(X − Sτ) e(T−τ)·r(τ,T ) fur ω ∈ Ωτ
maxX − ST , 0 sonst
Die Verkaufoption durchzuhalten erzeugt den Strom:
vτ = 0 fur τ < T
(13.10)
vT = maxX − ST , 0
206
-
6
S
c
????????????????????????
••••••••••••••••••••••••
X6
X · e−(T−τ)·r(τ,T )
• • • • • • • • c = S c = maxS −X · e−(T−τ)·r(τ,T ), 0: Innerer Wert? ? ? ? ? ? ? ? c = maxS −X, 0
Optionspreis: Innerer Wert plus Zeitwert
HHHHH
HHHHH
HHHHH Unzulassiger Bereich fur Optionspreis
HHHHHH
HHHH
HH
HHHH
HHH
HHHH
HHH
HHHH
HH
HHHHHH
HHHHHH
HHHHH
HHHHH
HHHHHHHHHHHHHHHHH
HHHH
HH HHHH
HHHH
HH
HHHH
HHH
HHHH
HHH
HHHH
HH
HHHH
HHHH
HHH
HHH
HHH HHH
HH HHHH HHHH HHH HHHHHHHHHH
Abbildung 13.4: Arbitragebander fur Kaufoptionen
207
Im Falle, dass(X − Sτ(ω)) e(T−τ)·r(τ,T ) > maxX − ST (ω), 0 ∀ω ∈ Ωτ
gilt, ist Ausuben in Ωτ vorteilhaft. Das ist sicher dann der Fall, wenn X ·(1− e−(T−τ)·r(τ,T )
)> Sτ(ω) gilt. Diese
Situation ist bei hohem Zinssatz und niedrigem Aktienkurs denkbar.
13.2.2 Bewertung von Derivaten im Binomialmodell
Der allgemeine zeitinvariante Ansatz
Fur die Problemstellung greifen wir auf den (zeitinvarianten) multiplikativ–polynomialverteilten Prozess (10.128)fur den Aktienkurs zuruck und schreiben
ST = St · eαT ·
n∑θ=1
V θ
(13.11)
mit T−t = n·h, wobei h die Lange des diskreten Zeitintervalls ist. Entsprechend gilt fur den Diskontierungsfaktor
QT
Qt= e
sT ·n∑θ=1
V θ
(13.12)
Der Binomialfall ergibt sich durch K = 2, d.h.
V θ =
(10
)mit Wahrscheinlichkeit 1
2
(01
)mit Wahrscheinlichkeit 1
2
Die Wahrscheinlichkeit fur
[n∑θ=1
V θ
]1
= m ergibt sich aus (10.138) zu
wm =n!
m! (n−m)!
(1
2
)m·(
1
2
)n−m=
(1
2
)nn!
m! (n−m)!
208
Bezeichnen wir mit u = eα1 und d = eα2, mit qu = es1 und qd = es2, dann lasst sich der Wert des Derivats imZeitpunkt t zu
Dt = E
(esT ·
n∑θ=1
V θ
· h
(St · e
αT ·n∑θ=1
V θ))
(13.13)
= E
(n∏θ=1
[(qu qd
)· V θ
]· h
(St ·
n∏θ=1
[(u d
)· V θ
]))(13.14)
=
(1
2
)n n∑m=0
[n!
m! (n−m)!· (qu)m (qd)
n−m · h(St · umdn−m
)]
angeben. Verwenden wir nun noch die Angaben (10.112) zur Berechnung des stochastischen Diskontierungsfaktors
q∗t(V 1, . . . , V t
)= diag(η)−1
[Rt+1(V
1, . . . , V t)T]−1 · 1
mit derSpezifikation (quqd
)=
(2 00 2
)(u der er
)−1(11
)findet man (
quqd
)= e−r
2
u− d
(er − du− er
)Einsetzen in (13.13) ergibt
Dt = e−r·nn∑
m=0
[n!
m! (n−m)!·(er − du− d
)m(u− er
u− d
)n−m· h(St · umdn−m
)](13.15)
209
Bewertung einer Kaufoption
Die Spezfikation der charakteristischen Funktion fur die Kaufoption durch h (x) = max x−B, 0 lasst (13.15)zu
Dt = e−r·nn∑
m=m∗
[n!
m! (n−m)!·(er − du− d
)m(u− er
u− d
)n−m·(St · umdn−m −B
)]
mit
m∗ = floor
log(
BSt·dn
)ud
wobei floor (x) die kleinste ganze Zahl großer oder gleich x ist. Entwickelt man die Formel weiter, so kann man
Dt = St ·n∑
m=m∗
n!
m! (n−m)!·(
(1− e−r · d) · uu− d
u
)︸ ︷︷ ︸
wS
m((e−r · u− 1) · d
u− d
)︸ ︷︷ ︸
1−wS
n−m
− (13.16)
e−r·n ·B ·n∑
m=m∗
n!
m! (n−m)!·(er − du− d
)︸ ︷︷ ︸
wB
m(u− er
u− d
)︸ ︷︷ ︸
1−wB
n−m
schreiben. Man uberzeugt sich, dass wS und wB bei Arbitragefreiheit tatsachlich die Eigenschaften von Wahr-scheinlichkeiten haben, sodass (13.16) zwei Terme (jeweils in den eckigen Klammern) der Binomialverteilungmit Erfolgswahrscheinlichkeit wS bzw. mit Erfolgswahrscheinlichkeit wB aufweist. Diese Funktionen sind in jederheutigen Kalkulationssoftware implementiert.
210
Bewertung der Kaufoption im lognormalen Grenzfall: Die Black-Scholes-Formel
Spezifizieren wir (10.157) fur K = 2, so finden wir
D0 = e−t·r(0,t) ·∞∫
−∞
h(P0 · et·(r(0,t)−
12 σ
2) · e√t·σ·z)· n (z) · dz
wobei σ2 = var (β · g) gesetzt wurde. Fur die Kaufoption gilt h (x) = max x−X, 0 mit dem Basispreis X. Furdie Ungleichung
P0 · et·(r(0,t)−12 σ
2) · e√t·σ·z −X ≥ 0
finden wir als Grenze
z∗ =log(P0·et·r(0,t)
X
)√t · σ
+1
2σ2
und daher fur den Wert der Kaufoption
D0 = e−t·r(0,t) ·∞∫z∗
(P0 · et·(r(0,t)−
12 σ
2) · e√t·σ·z −X
)· n (z) · dz
= P0
∞∫z∗e−
12 σ
2·t+√t·σ·z · n (z) · dz − e−t·r(0,t) ·X
∞∫z∗n (z) · dz
= P01√2π
∞∫z∗e−
12 σ
2·t+√t·σ·z− 1
2 z2 · dz − e−t·r(0,t) ·X
∞∫z∗n (z) · dz
= P01√2π
∞∫z∗e−
12 (z−
√t·σ)
2
· dz − e−t·r(0,t) ·X∞∫z∗n (z) · dz
= P0
∞∫z∗−√t·σn (z) · dz − e−t·r(0,t) ·X
∞∫z∗n (z) · dz
womit die beruhmte Black-Scholes-Formel (Black u. Scholes [5]) abgeleitet ist:
D0 = P0 ·N(√
t · σ − z∗)− e−t·r(0,t) ·X ·N (−z∗) (13.17)
211
13.2.3 Bewertung von Derivaten im Polynomialmodell (Mehrere Underlyings)
Zeitdiskreter Fall
Das Polynomialmodell wollen wir fur den Fall K = 3 (Trinomialmodell, zwei Wertpapiere) exemplarisch spezifi-zieren; wir setzen als Kovarianzmatrix fur die beiden rikanten Wertpapiere
C =
(σ2
1 σ12
σ12 σ22
)
mit dem Korrelationskoeffizenten ρ = σ12
σ1·σ2an. Mit Hilfe der Cholesky-Zerlegung ergibt sich die Matrix B zu
B =
(3√2σ1 0
√6
2 σ1 +√
6σ2ρ√
6σ2
√1− ρ2
)
Setzen wir als Erwartungswerte µ an, folgt fur die Matrix A:
A =
3√2σ1 0 3 · µ1 − 3√
2σ1
√6
2 σ1 +√
6σ2ρ√
6σ2
√1− ρ2 3 · µ2 −
√6
2 σ1 −√
6σ2
(ρ−
√1− ρ2
)r r r
212
In der Vorlesung wird dieses Beispiel naher ausgefuhrt. Insbesondere rechnen wir ein nummerisches Beispiel mitMathcad. Die Bewertungsformel lautet:
Dt (V 1 , . . . , V t ) =∑
n1 , n2 , n3 ∈ Nn1 +n2 +n3 = τ − t
(τ − t)!n1!n2!n3!
(es1 · η1)n1 (es2 · η2)
n2 (es3 · η3)n3 · · · ·
· · · · h
P 1,0
P 2,0
1
· e
K∑k=1
α1k ·nkK∑k=1
α2k ·nk
r· (τ − t)
︸ ︷︷ ︸Operationen komponentenweise
Durch Spezifikation von h und Berechnung des Erwartungswertes gewinnt man dann eine Formel fur ein bivariatesDerivat, wenn die Großen s bestimmt worden sind.
Eine andere Zerlegung konnen wir mit Hilfe der in Abschnitt 10.2.2 entwickelten Methode gewinnen: Ubereine Zerlegung der Korrelationsmatrix kann man
C = G ·GT
G =1√2
(σ1 00 σ2
)·(
1 1−1 1
)·( √
1− |ρ| 0
0√
1 + |ρ|
)gewinnen und
COV(V , V
)=
1
2·(
1 −11 1
)·
(13 0
0√
13
)·
((1 −11 1
)·
(13 0
0√
13
))T
zerlegen. Daraus lasst sich jetzt unschwer die Matrix A bestimmen. Im weiteren verfahrt man wie oben.
213
Der lognormale Fall im Grenzubergang
Der bivariate Fall ergibt sich fur n = K − 1 = 2. Die Formel (10.157) lautet dann
D0 = e−t·r(0,t) ·∞∫
−∞
∞∫−∞
h
(P1,0 · e
t·(r(0,t)·1− 12 σ
21)+√t·[σ1
√1−ρ2·z1+σ1ρ·z2
]P2,0 · et·(r(0,t)·1−
12 σ
22)+√t·σ2·z2
)· n (z) · dz (13.18)
mit der Korrelation ρ. Auch hier rechnen wir ein Beispiel mit Mathcad. Wir werden durch geeignete Spezifikationdes zeitdiskreten Modells dieses als Approximation zum zeitstetigen untersuchen.
Als Derivate konnten die Kaufoption mit stochastischem Basispreis und die Option, ein Wertpapier gegen einzweites zu tauschen, dienen.
214
Kapitel 14
Die Abwicklung und Erfullung von Termingeschaften
14.1 Allgemeines
Borsenmaßig abgewickelte Termingeschafte sind in aller Regel auf wenige feststehende Termine bezogen. ImZeitraum zwischen dem ersten Abschluss eines Termingeschaftes auf diesen Termin und diesem Zeitpunkt selbstmacht die lebhafte Preisentwicklung, die informationszuflussbedingte Bestatigung oder Anderung von Preiser-wartungen bei professionellen Borsenbesuchern eine Vielzahl von gleichen oder entgegengesetzten oder andersgearteten Termingeschaften uber dasselbe Marktobjekt mit wechselnden Geschaftspartnern wahrscheinlich. Dar-aus ergeben sich am betreffenden Termin eine Fulle von Abnahme– oder Lieferverpflichtungen bzw. –rechtengegenuber einer Vielzahl von Kontraktpartnern. Zugleich ergibt sich im Gegenzug das Problem der entsprechen-den Erlostransfers. Die beiden Grundprobleme der Abwicklung von Termingeschaften sind daher die
– Erfullung und die
– Liquidation
am vereinbarten Termin. Die Erfullung betrifft die Lieferung des gehandelten Marktobjektes, die Liquidationden betragsmaßigen Ausgleich der Erlose.
Da die effektive Lieferung und die effektive Zahlung zeitbedurftige Vorgange sind, muss mit Vorratshaltungin Ware und mit Transaktionskassenhaltung aller Teilnehmer gerechnet werden. Mit wachsender Zahl der not-
215
wendigen Transaktionen wachst diese Vorratshaltung und mit ihr die zurechenbaren Kosten. Abwicklungen undErfullungssysteme sind darauf gerichtet, diese Kosten zu senken.
Bei dem heute gegebenen Stand der elektronischen Datenverarbeitung sind die technischen Probleme der Ab-wicklung in Zeiten normaler Geschaftstatigkeit als gelost zu betrachten. Wir brauchen uns damit hier nicht mehrim Einzelnen auseinanderzusetzen. Eine wichtige Rolle spielen bei Termingeschaften die folgenden Einrichtungen:
Liquidationskassen und Clearinghauser
Die zentrale Erfullung und Liquidation ist der Aufgabenbereich besonderer Einrichtungen, die sich im Borsentermingeschaftherausgebildet haben. In ihrer strengsten Form haben sie sich im Warentermingeschaft entwickelt. Die erste sogenannte Warenliquidationskasse oder, wie sie im Englischen heißen, das erste Clearinghaus hat sich 1882in Le Havre bei der Einfuhrung des Kaffee–Termingeschaftes etabliert.
Grundsatzlich konnen solche Kassen vier Funktionen ubernehmen
(1) Uberwachung, Dokumentation(2) Organisation der Erfullung(3) Organisation der Liquidation(4) Garantie in Form
(a) Liefer– und Zahlungsgarantie(b) Selbsteintritt als Kontraktpartner
Gleich die historisch erste Kasse erfullte alle vier Aufgaben. Heute sind samtliche Futures–Borsen von der Form(1), (2), (3), (4b). Die deutschen Liquidationskassen im Optionshandel sind nur vom Typ (1), (4a). Die Funktion(4) ermoglicht eine bonitatsmaßige Standardisierung der Kontrakte. Um die Garntiefunktion sicherstellenzu konnen, werden Sicherheiten verlangt. Die Funktion (4b) erleichtert die Abrechnung, da Ketten oder Ringegar nicht erst entstehen und Glattstellungsoperationen zum unmittelbaren Kontoausgleich fuhren. Eine weitereVereinfachung betrifft die Liquidation, die durch die tagliche Kontofeststellung (siehe oben: Futures–Kontrakte)bewerkstelligt wird.
Gegenstand der Erfullung
216
Bei Termingeschaften wird im Vorhinein ein Preis vertraglich festgelegt. Was in manchen Kontraktarten nichtdefinitiv fixiert wird, ist der Handelsgegenstand: In diesen Kontraktarten bestehen fest umrissene Wahlrechteder Lieferung bezuglich
– Zeitpunkt der Lieferung
– Qualitat der gelieferten Objekte
– Ort der Auslieferung.
Zum Ausgleich werden die vereinbarten Preise durch so genannte Differenzkurse an die vom Lieferverpflichtetengewahlten Spezifikationen angepasst. Man unterscheidet (siehe Lieferung 3)
– commercial difference systems und
– fixed difference systems.
Von Interesse sind hier Differenzsysteme fur Termingeschafte in festverzinslichen Wertpapieren (”interest rate
futures“), die einen wichtigen Anteil an den so genannten”financial futures“ ausmachen. Um einen moglichst
breiten Markt der physischen Ware zu haben und um reprasentative Zinsgroßen als wesentliche Preiseinfluss-großen heranzuziehen, hat man zwei Moglichkeiten: Man wahlt als Lieferpapier ein Papier, das in stets gleicherstandardisierter Form zu den Lieferzeitpunkten verfugbar ist (Beispiel: T–Bill–Futures), oder man wahlt als Lie-fereinheit eine hypothetische Konstruktion, in die nach festen Regeln eines Differenzsystems reale Lieferpapiereumgerechnet werden; diesen Weg geht man, wenn kein vollstandig standardisierbares Papier mit breiten Marktexistiert (Beispiele: T–Bond–Futures). Beispiele fur Kontraktspezifikationen entnimmt man den Aufstellungenin einem gesonderten Umdruck.
14.2 Differenzsysteme bei Interest Rate Futures
Literatur: Kilcollin [16]Was die Lieferung von T–Bills und anderen kurzfristigen Kontrakten betrifft, so ergeben sich normalerweise
keine Probleme, da solche Instrumente bei Lieferung stets”frisch“ zur Verfugung stehen.
217
Bei der Lieferung langfristiger Papiere entsteht das Problem, dass Papiere mit endlicher Restlaufzeit durchZeitablauf ihren Charakter (Laufzeit) andern, zugleich aber nicht stets neue Papiere der in Terminkontraktenspezifizierten Art am Markt begeben werden. Die Kontrakte werden daher auf hypothetische Papiere abge-schlossen, wobei dann der Kreis der lieferbaren realen Papiere vorher spezifiziert wird und ein Differenzsysteminstalliert wird, mit dem man bei Wahl eines zulassigen Lieferpapiers aus dem vereinbarten Futures–Preis dentatsachlich ausmachenden Liquidationsbetrag ermittelt.
Bei den Interest Rate Futures unterscheidet man zwei Differenzsysteme:
– yield maintenance pricing
– factor pricing
Zur Erlauterung seien die folgenden Symbole eingefuhrt:
P (c, t, r) Barwert einer Anleihe mit Coupon c, Restlaufzeit t und zur Dis-kontierung verwendetem Zinssatz r. Es gilt P (c, t, r) = qt+c·q
t+1−1q−1
mit q = 11+r bei Ruckzahlung zu 100%.
P (cf , tf , rf) Futures-Preis: cf , tf sind die pari–Qualitatsparameter; rf ist deraus dem Futures–Preis und den Großen cf , tf sich ergebende inter-ne Zinsfuß; rf ist also der implizit vereinbarte interne (Futures–)Zinsfuß; rf ist Losung der Gleichung
P0,T = P (cf , tf , x) in x.
P (c, t, rs) Spot–Preis der Anleihe mit Coupon c, Restlaufzeit t; rs ist derinterne Zinsfuß, die aktuelle Marktverzinsung fur Papiere mit denQualitatsmerkmalen c und t. rs ist Losung der Gleichung
P0 = P (c, t, x) in x.
Jedes Differenzsystem spezifiziert nun (explizit oder implizit) einen Umrechnungsfaktor, mit dem aus demnotierten Futures–Preis (fur die pari–Qualitat) der ausmachende Betrag ermittelt wird, wenn eine bestimmte
218
Qualitat (c, t) zur Lieferung kommt. Der Futures–Preis wird multipliziert mit
P (c, t, x)
P (cf , tf , x),
wobei x der fur das Differenzsystem typische Zinsfuß ist. Bei Lieferung der Qualitat (c, t) ist der ausmachendeBetrag daher durch
P (cf , tf , rf) · P (c, t, x)
P (cf , tf , x)
gegeben. Der Nettobetrag des Lieferanten ist also gleich
P (cf , tf , rf) · P (c, t, x)
P (cf , tf , x)− P (c, t, rs) (14.1)
Unter den zulassigen Qualitaten wird der Lieferant jene wahlen, die den Ausdruck (14.1) maximiert. Dadie im Lieferzeitpunkt vorherrschende Marktrate rs vor diesem Zeitpunkt nicht mit Sicherheit bekannt ist, kannnicht mit Sicherheit die Lieferqualitat vorhergesehen werden; darin liegt eine zusatzliche Unsicherheit bei InterestRate Futures.
Beim yield maintenance pricing wird x = rf gewahlt, d.h. es kommen Papiere zu einem Preis zur Lieferung,so dass das gelieferte Papier aus Sicht des Abnehmers eine interne Verzinsung aufweist, die jener entspricht, diebeim Kontraktabschluss implizit vereinbart worden ist. Der ausmachende Betrag lautet
P (cf , tf , rf) · P (c, t, rf)
P (cf , tf , rf)= P (c, t, rf)
Beim factor pricing wird x gleich dem Coupon der pari–Qualitat gesetzt; der ausmachende Betrag lautet
P (cf , tf , rf) · P (c, t, cf)
P (cf , tf , cf)(14.2)
Der Bruch im Ausdruck (14.2) ist bei dieser Form tabellarisch nach Coupons und Restlaufzeiten der lieferbarenQualitaten aufgelistet. Der Bruch in (14.2) stellt einen Ausgleich dafur dar, dass die Coupon– und Laufzeitstruk-tur (c, t) der Lieferqualitat von der der pari–Qualitat abweicht; der Nenner dieses Bruches bringt zum Ausdruck,
219
dass selbst bei der pari–Qualitat durch die Couponstruktur der Nominalzinssatz cf von der internen Verzinsungabweichen kann (wenn die Ruckzahlung nicht zu 100% erfolgt); damit ist P (cf , tf , cf) 6= 1 . Der Bruch in (14.2)stellt also ein Maß fur das relativ starkere Abweichen der Lieferqualitat vom Nominalzins cf dar gegenuber derAbweichung der pari–Qualitat von diesem Nominalzins.
Factor pricing und yield maintenance pricing stimmen uberein, wenn der implizit vereinbarte Futures–Zinsgleich dem Nominalzins der pari–Qualitat ist.
220
Teil IV
Anhange
221
Anhang A
Fur die Kapitalmarkttheorie wichtige Eigenschaften derNormalverteilung
Wegen der großen Bedeutung fur alle Zweige der Kapitalmarkttheorie seien hier einige Eigenschaften im Zusam-menhang mit der Normalverteilung zusammengefasst:
Dichtefunktion der Standardnormalverteilung
n(x) =1√2πe−
12x
2
Standardnormalverteilungsfunktion
N(x) =
x∫−∞
n(z)dz
Gauß’sche Einheitsvariable ist eine Zufallsvariable g, deren Verteilungsfunktion eine Standardnormalver-teilung ist.
Eine normalverteilte Variable ist eine Variable X = αg+β, die als affin lineare Funktion einer Gauß’schenEinheitsvariable geschrieben werden kann.
223
Die momenterzeugende Funktion (siehe”Das aktuelle mathematische Stichwort“ ) einer Gauß’schen Ein-
heitsvariable lautet
ϕg(λ) = E(eλg) =
=1√2π
∞∫−∞
eλxe−12x
2
dx
=1√2π
∞∫−∞
e12λ
2− 12λ
2+λx− 12x
2
dx
=1√2πe
12λ
2
∞∫∞
e−12 (x−λ)2
dx
= e12λ
2
Die momenterzeugende Funktion einer affin linearen Funktion αX + β ergibt sich zu
ϕαX+β(λ) = E(eλβ+λαX
)= eλβ · ϕX(αλ) .
Daher ist die momenterzeugende Funktion einer normalverteilten Variablen durch (man wahle Y =αg + β)
ϕY (λ) = eλβ · ϕg(αλ)
= eλβ · e12α
2λ2
= eλ(β+ 12λα
2)
gegeben.
224
Wenn manσ2 := var(Y ) = α2 und µ := E(Y ) = β
beachtet, erhalt manϕY (λ) = eλ(µ+ 1
2λσ2)
Hieraus folgen zwei wichtige Tatbestande: Fur λ = 1 gilt
ϕY (1) = E(eY ) = eE(Y )+ 12var(Y ) (A.1)
fur jede normalverteilte Zufallsvariable Y.
Fur die so genannte exponentielle Nutzenfunktion gilt
u(x) = − 1
αe−αx ,
so dass
E(u(Y )) = − 1
αϕY (−α)
= − 1
αe−α(E(Y )− 1
2α var(Y ))
d.h.
E(u(Y )) = u(E(Y )− 1
2α var(Y )) (A.2)
fur normalverteilte Y gilt; damit ist eine besonders einfache Form des (µ, σ)–Prinzips gefunden, da u monotonsteigend ist und das Funktional u(E(Y )− 1
2 αvar(Y )) folglich durch E(Y )− 12 αvar(Y ) bei Optimierungsaufgaben
ersetzt werden kann.Die multivariate Normalverteilung ist die Verteilungsfunktion eines Vektors von speziellen Zufallsvaria-
blen. Ein solcher Vektor X =
(X1...Xm
)heißt gemeinsam (multivariat) normalverteilt, wenn
X = A · g + b gilt,
225
mit einer (m × n)–Matrix A, einem m–Vektor b und einem n–Vektor g von unabhangigen Gauß’schen Ein-heitsvariablen. Es gilt
E(X) = AE(g) + b = b
undCOV(X,X) = COV(A · g, A · g) = A · COV(g, g) · AT = A · AT
Sind die Zufallsvariable Y und der Zufallsvektor X gemeinsam normalverteilt, so gilt fur den bedingtenErwartungswert (vgl. [10], S. 86)
E(Y |X) = E(Y ) + COV(Y,X)COV(X,X)−1X − E(X)
Besonders haufig wird folgendes Resultat angewendet: Sind X, Y zwei gemeinsam normalverteilte Zufallsva-riablen, dann gilt (unter wenig einschrankenden Bedingungen):
cov(u(X), Y ) = E(u′(X)) · cov(X, Y ) (A.3)
fur eine (fast) beliebige Funktion u.
Beweis:
cov(u(X), Y ) = Eu(X)(Y − E(Y ))
= Eu(X)E(Y − E(Y ) |X)
= E
u(X)
cov(X, Y )
var(X)(X − E(X))
=cov(X, Y )
var(X)Eu(X) · (X − E(X))
Nun gilt
E(u(X)(X − E(X))) =
∞∫−∞
u(σx+ µ) · σ · x · n(x)dx
226
Wegen −n′(x) = x · n(x) folgt durch partielle Integration
E(u(X)(X − E(X)) = −σ∞∫
−∞
u(σx+ µ)n′(x)dx
= −σ
u(σx+ µ)n(x)
∣∣∣∣∣∞
−∞
−σ∞∫
−∞
u′(σx+ µ)n(x)dx
= σ2E(u′(X)) .
Insgesamt gilt also
cov(u(X), Y ) =cov(X, Y )
var(X)· σ2E(u′(X)) = E(u′(X))cov(X, Y ) .
Dieses Resultat kann man auf den Fall eines Zufallsvektors X verallgemeinern; dann gilt
cov(u(X), Y ) = E(
(grad u)(X))T·COV(X, Y )
mit dem Gradienten von u:
grad u =
∂u∂x1...∂u∂xn
227
228
Anhang B
Einige Notationsvereinbarungen
Durchgangig wird von der folgenden Notation Gebrauch gemacht:Sind X und Y skalare Zufallsgroßen, schreiben wir fur die Kovarianz dieser Großen cov(X, Y ), sie ist definiert
durch:
cov(X, Y ) = E(X − E(X)) · (Y − E(Y ))
= EX · (Y − E(Y )) = E(X − E(X)) · Y
Ist X ein n–dimensionaler Zufalls(–Spalten)–Vektor und Y ein m–dimensionaler Zufalls (–Spalten)–Vektor,so wird die Kovarianzmatrix durch Großschreibweise
COV(X, Y ) = E(X − E(X)) · (Y − E(Y ))T
charakterisiert. Das Element cij dieser Matrix ist durch
cij = cov(Xi, Yj)
gegeben, so dass COV(X, Y ) eine (n ×m)–Matrix ist. Speziell ist COV(X, Y ) ein n–Spaltenvektor bei m = 1(d.h. Y ist eine skalare Zufallsvariable) und ein m–Zeilenvektor bei n = 1 (d.h. X ist eine skalare Zufallsvariable).
Fur eine (k × n)–Matrix A gilt:COV(A ·X, Y ) = A · COV(X, Y )
229
Fur eine (k ×m)– Matrix B gilt:
COV(X,B · Y ) = COV(X, Y ) ·BT
Speziell fur einen n–Spaltenvektor a gilt:
COV(aT ·X, Y ) = aT · COV(X, Y )
und fur einen m–Spaltenvektor b gilt:
COV(X, bT · Y ) = COV(X, Y ) · b
230
Anhang C
Verzeichnis einiger standig verwendeten Bezeichnungen
max ... maximales Element in der Menge ...
arg max z (a) | a ∈ A das (ein) Element von A, bei dem die Funktion z ihr Maximum annimmt
min ... entsprechend max ...E (·) Erwartungswert der durch · angedeuteten Zufallsvariable
–vektors, –matrix
E (· | ·) bedingter Erwartungswert
cov (· , ·) Kovarianz zweier (skalarer) Zufallsvaiablen
COV (·, ·) Kovarianzmatrix zweier Vektorzufallsvariablen
var (·) Varianz einer (skalaren) Zufallsvariablen
std (·) Standardabweichung einer (skalaren) Zufallsvariablen
231
232
Anhang D
Differentiation der Varianz
Sei w eine Zufallsvariable, die von einem Parameter x abhangt, so dass
dw
dx
fur (fast) jede Realisation von w existiert. Dann gilt
d var(w)
dx= 2 cov
(dw
dx, w
)
Beweis: Die Definition der Varianz lautet
var(w) = E
(w − E(w))2
233
Die Ableitung nach x ergibt
d
dxvar(w) = E
d
dx(w − E(w))2
= E
2(w − E(w))
d
dx(w − E(w))
= 2 E
(w − E(w)) ·
(dwdx− d
dxE(w)
)= 2 E
(w − E(w)) ·
(dwdx− E
(dwdx
))= 2 cov
(w,
dw
dx
)= 2 cov
( dwdx
,w)
234
Anhang E
Anmerkungen zur Risikoaversion und speziell zuHARA-Nutzenfunktionen
E.1 Die Differentialgleichung der absoluten Risikoaversion
Ist die absolute Risikoaversion als Funktion des Vermogens durch a(x) gegeben, so erfullt die Nutzenfunktionu(x) die Differentialgleichung
u′′
u′= −a
Die Losung
u (x) =
x∫x0
e−
z∫x0
a(t)dt
dz
ist eindeutig, wenn u′ (x) > 0 im offenen Intervall J gilt (dann istu′′
u′= (log (u′))′) und wenn fur festes x0 ∈
Jgefordert wird: u (x0) = 0;u′ (x0) = 1 (sog. Standardform). Das Vermogen ist stets als das Gesamtvermogendes Entscheiders zu interpretieren.
235
In vielen Fallen ist nur der Grenznutzen von Bedeutung, der sich wie folgt ergibt:
u′ (x) = e−
x∫x0
a(t)dt
Hat man zwei Risikoaversionsfunktionen a (x) , a (x)mit den zugehorigen Nutzenfunktionen u (x) , u (x) und zweireelle Zahlen α, β ∈ R, dann gehort zu der Risikoaversionsfunktion α · a (x) + β · a (x)als Grenznutzenfunk-tion (u′)α · (u′)β Nun zu den HARA-Nutzenfunktionen: Sie sind durch hyperbolische absolute Risikoaversiongekennzeichnet:
HARA:
a (x) =1
α · x+ β;α · x+ β > 0, x ∈ J
⇒ u′ (x) = e−1β (x−x0);α = 0
⇒ u (x) =∞∑ν=1
(x− x0)ν
(−β)ν−1 · ν!=
x− x0 fur β →∞
β ·
e−1
β(x−x0)
− 1
fur 0 < β <∞ α = 0
α · x+ β > 0, α 6= 0, x ∈ J
⇒ u′ (x) =
(β + α · xβ + α · x0
)− 1α
⇒ u (x) =
(β + x0) · [log (β + x)− log (β + x0)] fur α = 1
β + α · x0
α− 1·
( β + α · xβ + α · x0
)α− 1
α − 1
fur α 6= 1, α 6= 0
Besondere Falle:
236
a (x) =1
2 · x;α = 2, β = 0⇒ u (x) = 2 · (
√x0 · x− x0)
a (x) =1
β − x;α = −1⇒ u (x) =
β − x0
2
[1−
(β − xβ − x0
)2]
a (x) =2
x;α =
1
2, β = 0⇒ u (x) = x0 ·
(1− x0
x
)a (x) =
1
x+ β;α = 1, x+ β > 0⇒ u (x) = (β + x0) · [log (β + x)− log (β + x0)]
E.2 Zur Frage der (Verteilungs-bedingten) Tobin-Separation
Fur eine normal verteilte Zufallsvariable und die konkave Nutzenfunktion u kann man definieren
U(µ, σ2
):= E (u (X)) =
1√2π · σ2
∞∫−∞
u (x) · e− 1
2
(x− µ)
σ2
2
=1√2π
∞∫−∞
u(√
σ2 · v + µ)· e−
12v
2 · dv
237
Fur die partiellen Ableitungen gilt (mit der Setzung h = σ2):
∂U
∂µ=
1√2π
∞∫−∞
u′(√
h · v + µ)· e−
1
2v2
· dv > 0 wegen u′ > 0
∂U
∂h=
12h− 1
2
√2π
∞∫−∞
v · u′(√
h · v + µ)· e−
1
2v2
· dv
=12h− 1
2
√2π
∞∫
0
v · u′(µ+√h · v
)· e−
1
2v2
· dv −∞∫
0
v · u′(µ−√h · v
)· e−
1
2v2
· dv
=
12h− 1
2
√2π
∞∫
0
v ·(u′(µ+√h · v
)− u′
(µ−√h · v
))· e−
1
2v2
· dv
< 0 wegen u′′ < 0
Mit diesem Praferenzfunktional berechnet man nun das Portfolio-Problem und findet die Tobin-Separation:
w1 = (1 + rf) · w0 + xT · (Z − (1 + rf)P )
U (E (w1) , var (w1))→ max!
∂U
∂µ· [E (Z)− (1 + rf) · P ] + 2
∂U
∂h[COV (Z,Z) · x] = 0
238
x = −
∂U
∂µ
2∂U
∂h
COV (Z,Z)−1 · [E (Z)− (1 + rf) · P ]
Alle optimalen Portfolios besitzen dieselbe Struktur:
xi · PixT · P
=γi · [E (Z)− (1 + rf) · P ]
[E (Z)− (1 + rf) · P ]T · COV (Z,Z)−1 · P;
γi i-te Zeile von COV (Z,Z)−1
ist der wertmaßige Anteil von Papier i am gesamten riskanten Investment, dieser Anteil hangt nur von dengemeinsamen Erwartungen aller ab.
E.3 Zur Frage der (Nutzenfunktions-bedingten) Tobin-Separation
Hier gilt folgende
Satz 25 Wenn die Nutzenfunktion der HARA-Klasse angehort, gilt die Tobin-Separation.
Beweis: Zum Beweis betrachtet man das Portfolio-Problem wie oben gegeben:
w1 = (1 + rf) · w0 + xT · (Z − (1 + rf)P )
= (1 + rf) · w0 + xT · diag (P ) · diag (P )−1 · (Z − (1 + rf)P )
= (1 + rf) · w0 + xT · diag (P ) · (R− rf · 1)
= (1 + rf) · w0 + A ·[
1
AxT · diag (P )
]· (R− rf · 1)
239
wobei A der riskant investierte Betrag ist und ξT :=1
AxT · diag (P ) den Vektor der prozentualen Portfolio-
Investments in die einzelnen Wertpapiere bezeichnet. Das Portfolio-Problem kann jetzt wie folgt formuliertwerden:
E (u (w1))→ max!
w1 = (1 + rf) · w0 + A · ξT · (R− rf · 1)
1 = ξT · 1ξ ∈ Rn, A ∈ R
Die notwendigen Optimalitatsbedingungen lauten:
ξT · E (u′ (w1) · (R− rf · 1)) = 0
A · E (u′ (w1) · (R− rf · 1))− λ · 1 = 0
mit dem Lagrange-Faktor λ. Multiplikation der zweiten Gleichung mit ξT zeigt unter Verwendung der erstenGleichung, dass der Lagrange-Faktor gleich null sein muss; daher bleibt
E (u′ (w1) · (R− rf · 1)) = 0
wenn uberhaupt riskant investiert wird (A 6= 0).
Fall a: Exponentielle Nutzenfunktion. Wir setzen ein: u′ (x) = c1 · e−1βx;α = 0, c1 = e
1
βx0
> 0 und finden
E
(exp
(−1
β· w1
)· (R− rf · 1)
)= 0
d.h.
exp
(−1
β· w0 · (1 + rf)
)E
(exp
(−1
β· A · ξT · (R− rf · 1)
)· (R− rf · 1)
)= 0
⇒ E
(exp
(−1
β· A · ξT · (R− rf · 1)
)· (R− rf · 1)
)= 0
240
Die Losungen A und ξ sind offenbar vom Anfangsvermogen unabhangig; eine Variation der Risikoaversion wirddurch eine Anpassung im riskant investierten Betrag A ausgeglichen, ohne die Portfoliostruktur zu andern.Fall b: Die ubrigen HARA-Nutzenfunktionen
Wir setzen ein: u′ (x) =
(β + α · xβ + α · x0
)− 1α
und finden nach Vereinfachen
E
(w1 +β
α
)−1
β · (R− rf · 1)
= 0
d.h.
E
((1 + rf) · w0 + A · ξT · (R− rf · 1) +β
α
)−1
β · (R− rf · 1)
= 0
⇒(w0 +
β
α · (1 + rf)
)1
β · E
(1 + rf) +
A
w0 +β
α · (1 + rf)
· ξT · (R− rf · 1)
−
1
β
· (R− rf · 1)
= 0
⇒ E
(1 + rf) +
A
w0 +β
α · (1 + rf)
· ξT · (R− rf · 1)
−
1
β
· (R− rf · 1)
= 0
Auf ein geandertes Anfangsvermogen oder geanderte Risikoaversionsparameter kann man offenbar mit einer An-passung von A reagieren, ohne dass sich das Portfolio riskanter Wertpapiere andert.Die Umkehrung gilt bei vollstandigen Markten:
241
Wenn die Tobin-Separation auf einem vollstandigen Markt gilt, ist die Nutzenfunktion der HARA-Klasse an-gehorig.Fasst man die Optimalitatsbedingung als Definitionsgleichung fur eine Funktion A = A (w0) bei Gultigkeit der
Tobin-Separationdξ
dw0= 0 auf und differenziert nach w0, so erhalt man
E
(u′′ (w1) ·
((1 + rf) +
dA
dw0· ξT · (R− rf · 1)
)(R− rf · 1)
)= 0
Nun beachtet man
w1 = (1 + rf) · w0 + A · ξT · (R− rf · 1)
⇒ ξT · (R− rf · 1) =w1 − (1 + rf) · w0
A
so dass als notwendige Optimalitatsbedingung
E
(u′′ (w1) ·
((1 + rf) +
dA
dw0· w1 − (1 + rf) · w0
A
)(R− rf · 1)
)= 0 (A.1)
⇒ (A.2)
E
(u′′ (w1) ·
((1 + rf) ·
[1− dA
dw0· w0
A
]+dA
dw0· 1
A· w1
)(R− rf · 1)
)= 0 (A.3)
verbleibt. Ist der Markt vollstandig (die Risikopramien
R− rf · 1
spannen den ganzen Raum Zufallsvariablen auf), folgt aus (A.1) und (A.3)
u′ (w1) = c · u′′ (w1) ·(
(1 + rf) +dA
dw0· w1 − (1 + rf) · w0
A
)242
mit einer beliebigen Konstanten c; Gleichung muss fur jede Realisation von w1 gelten. Definiert man jetztunter Bezug auf die Parameter der HARA-Nutzenfunktionen
α =dA
dw0· 1
A
β = (1 + rf) ·[1− dA
dw0· w0
A
]so wird deutlich, dass die Bedingung nun zu
u′ (w1) = c · u′′ (w1) · (β + α · w1)
wird, d.h. zur Differentialgleichung, die die HARA-Nutzenfunktionen charakterisiert. Damit ist der Satz bewiesen.
243
244
Anhang F
Martingalmaße
F.1 Durch Martingale erzeugte Wahrscheinlichkeitsmaße
Zu Grunde liegt ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,A, µ) mit der Familie von σ–Algebren At ⊂ A|t ∈ [0, T ] undAt ⊂ Aτ fur t ≤ τ . Sei X ein Martingal, passend zu dieser Familie. Dann gilt nach Definition
E(Xτ |At) = Xt
fur alle t ≤ τ . Sei Xτ weiterhin positiv, d. h. µXτ ≤ 0 = 0. O.B.d.A. sei E(XT ) = 1. Dann gilt
E(Xt) = 1
fur alle t ∈ [0, T ], dennE(Xt) = E
E(XT |At)
= E(XT ) = 1
Wir definieren fur alle A ∈ A das folgende Maß:
µX(A) := E(XT · 1A) ,
wobei
1A
(ω) =
1 fur ω ∈ A0 fur ω /∈ A
die Indikatorvariable des Ereignisses A ∈ A ist.
245
Satz 26 µX ist eine Wahrscheinlichkeit auf (Ω,A) und fur A ∈ At gilt
µX(A) = E(Xt · 1A)
Beweis: Zunachst zeigen wir, dass µX eine Wahrscheinlichkeit ist: Wegen 0 ≤ XT · 1A ≤ XT fast sicher, folgt
0 ≤ E(XT · 1A) ≤ E(XT ) = 1
bzw.
0 ≤ µX(A) ≤ 1
Seien A,B ∈ A mit A ∩B = ∅ gegeben. Dann gilt offenbar 1A∪B = 1
A+ 1
Bund daher
µX(A ∪B) = E(XT · 1A∪B
)= E
(XT · 1A
)+E(XT · 1B
)[2ex] = µX(A) + µX(B)
Da 1Ω
= 1 gilt, folgt µX(Ω) = E(XT ) = 1.Wir betrachten schließlich eine Folge von wechselseitig disjunkten Ereignissen An|n ∈ N und definieren
Yn = XT ·n∑i=0
1Ai
sowie A =∞⋃n=0
An
Die Folge der Zufallsvariablen Yn ist offenbar monoton steigend, denn es gilt
Yn = Yn−1 +XT · 1AnNun gilt nach dem gerade Bewiesenen (auf endliche Summen unmittelbar erweiterbar):
E(Yn) =n∑i=0
µX(Ai)
Yn konvergiert (monoton wachsend) gegen XT · 1 A, denn fur ω ∈ A gibt es genau ein n∗ mit ω ∈ An∗, so dass
Yn∗(ω) = XT (ω) und Yi(ω) = XT (ω) fur alle i ≥ n∗ gilt; fur ω /∈ A gilt, dass ω /∈ An fur alle n ist, d. h. Yn(ω) = 0
246
fur alle n, d. h. Yn(ω) → 0 fur ω /∈ A. Die monotone Stetigkeit des Erwartungswertes (vgl. Neveu [24], S. 55)impliziert nun
E(Yn)→ E(XT · 1 A
)d.h.
∞∑i=0
µX(Ai) = µX(A) = µX
( ∞⋃n=0
An
)Es bleibt zu beweisen, dass A ∈ At die Eigenschaft µX(A) = E(Xt · 1A) impliziert. Wir wissen
µX(A) = E(XT · 1A
)= E
(E(XT · 1A
∣∣At))Da A ∈ At gilt, ist 1
Amessbar bezuglich At, woraus
E(XT · 1A|At
)= 1
A· E(XT |At
)= 1
A·Xt
folgt. Damit ist alles gezeigt.
Bemerkung 7 Ist XT strikt positiv, d. h. µXT > 0 = 1, so folgt, dass µX und µ aquivalent sind, d. h.µX(A) = 0 genau wenn µ(A) = 0 gilt.
F.2 Erwartungswerte und bedingte Erwartungswerte auf der Grundlage solcher
Wahrscheinlichkeiten
Fur eine Zufallsvariable Z auf (Ω,A, µ) kann man den Erwartungswert bezuglich µX wie folgt angeben:
EµX(Z) = E(XT · Z)
Beweis: Man uberlegt sich den Beweis wie folgt: EµX ist eine positive Linearform mit EµX(1) = E(XT ) = 1.
247
Weiter sei Zn eine monoton gegen 0 fallende Folge von Zufallsvariablen, dann gilt
EµX(Zn) = E(XT · Zn)→ 0
mit XT · Zn ≥ XT · Zn+1 fur alle n und
XT (ω) · Zn(ω)→ 0 fur alle ω ,
woraus E(XT · Zn)→ 0 folgt; daher ist EµX der Erwartungswert bezuglich µX (vgl. Neveu [24], S. 55), denn derErwartungswert ist die einzige Linearform mit diesen Eigenschaften.Betrachten wir schließlich den bedingten Erwartungswert
Vt := EµX(Z|At)
Wir wollen zeigen, dass
Vt = E
(XT
Xt· Z|At
)gilt. Damit Vt der bedingte Erwartungswert ist, muss gelten
EµX
(1A· Vt)= EµX
(1A· Z)
fur alle A ∈ At
d. h.
E(1A·XT · Vt
)= E
(1A·XT · Z
)= E
(1A· E(XT · Z|At)
)Vt muss als bedingte ErwartungAt–messbar sein, d. h. E
(1A·XT ·Vτ
)= E
(E(1A·XT · Vt|At
))= E
(1A· Vt · E(XT |At)
)=
E(1A· Vt · Xt
). Durch Vergleich stellt man fest, dass Vt = E
(XT
Xt· Z|At
)die Bedingung erfullt. Damit ist der
Beweis erbracht.
248
F.3 Arbitragefreie Preispfade
Arbitragefreie Preispfade Pt von Wertpapieren ohne Ausschuttungen haben die Eigenschaft, dass es einen posi-tiven Prozess Qt gibt, so dass Qt · Pt ein Martingal darstellt (Q0 = 1). Der Prozess
Xt = Qt ·PtP0
ist daher ein Martingal mit E(XT ) = E(Xt) = 1 fur alle t ∈ [0, T ]. Ist Pt uberall (fast sicher) positiv, dann erfulltXt die Voraussetzungen von Abschnitt 1
µ∗(A) = E
(1A·QT ·
PTP0
)erzeugt eine Wahrscheinlichkeit auf (Ω,A).
Fur A ∈ At gilt
µ∗(A) = E
(1 A ·QT ·
PTP0
)
= E
(1 A · E
(QT ·
PTP0
∣∣∣At))
= E
(1 A ·Qt ·
PtP0
)Der Erwartungswert von Z unter dieser Wahrscheinlichkeit ist durch
E∗(Z) = E
(QT ·
PTP0· Z)
249
gegeben, der unter At bedingte Erwartungswert betragt
E∗(Z|At) = E
(QT · PTP0
/Qt · PtP0
· Z∣∣At)
= E
(QT
Qt· PTPt· Z∣∣At)
Ist Z bezuglich Aτ messbar (mit τ > t), dann gilt
E
(QT
Qt· PTPt· Z∣∣At) = E
E
(QT
Qt· PTPt· Z∣∣Aτ) ∣∣∣∣At
= E
Z
Qt · Pt· E(QT · PT |Aτ)
∣∣∣∣At
= E
Z
Qt · Pt·Qτ · Pτ
∣∣∣∣At
= E
Qτ · PτQt · Pt
· Z∣∣∣∣At
d. h.
E∗(Z|At) = E
Qτ · PτQt · Pt
· Z∣∣∣∣At ,
wenn Z bezuglich Aτ messbar ist.
Man benutzt diese Eigenschaften zur Definition von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf der Basis eines bestimmtenPreisprozesses. Das betreffende Wertpapier wird als
”Numeraire“ bezeichnet, weil andere Preise in Einheiten
dieses Referenzpapiers”notiert“ werden.
250
a) Erster Spezialfall: Das Forward–Maß
Als”Numeraire“ betrachten wir hier den in T falligen Zero–Bond mit dem Preisprozess
Pt = e−(T−t)·r(t,T ) PT = 1
wobei ρt,T der in t geltende Spotzinssatz fur die Falligkeit T ist.
Das Maß lautet
µ∗(A) = E
(1A·QT ·
1
e−T ·r(0,T )
)= E
(1A·QT · eT ·r(0,T )
)bzw. fur A ∈ At:
µ∗(A) = E
(1A·Qt ·
e−(T−t)·r(t,T )
e−T ·r(0,T )
)= E
(1A·Qt · eT ·ρ0,T−(T−t)·r(t,T )
)
Wir betrachten nun einen arbitragefreien Preisprozess Pt und untersuchen den Prozess
Zτ = Pτ · e(T−τ)·r(t,T ) .
Zτ beschreibt die Anzahl von Stucken des Zero–Bonds, die man erwerben kann, wenn man ein Stuck desdem Prozess Pt unterliegenden Wertpapiers verkauft.
251
Der bedingte Erwartungswert errechnet sich wie folgt:
E∗(Zτ | At) = E
(Qτ · e−(T−τ)·r(τ,T )
Qt · e−(T−t)·r(t,T )· Pτ · e(T−τ)·r(τ,T )
∣∣∣∣At)
= E
(Qτ
Qt· 1
e−(T−t)·r(t,T )· Pτ∣∣∣∣At)
= e(T−t)·r(t,T ) · E(Qτ
Qt· Pτ∣∣∣∣At)
= e(T−t)·r(t,T ) · Pt
= Zt
Es gilt also Zt = E∗(Zτ |At), d. h. Zt ist unter dem Maß µ∗ ein Martingal: Der aufgezinste Kassapreis einesjeden Wertpapiers ist unter dem Maß µ∗ ein Martingal. Da der aufgezinste Kassapreis im Arbitragegleichge-wicht dem Forward–Preis entspricht (), bezeichnet man µ∗ als
”Forward–Maß“ und kann formulieren: Unter
dem Forward–Maß ist der Forward–Preis ein Martingal.
b) Zweiter Spezialfall: Das Futures–Maß
Als”Numeraire“ wird hier das in T fallige Geldmarktkonto gewahlt, das in t = 0 mit einer GE Startinves-
tition beginnt; der zugehorige Preisprozess entwickelt sich gemaß
Pτ = e
τ∫0
rs·dsP0 = 1
mit
Qτ · Pτ = E
QT · eT∫0
rs·ds∣∣∣∣Aτ
252
Das zugehorige Maß lautet (A ∈ A)
µ∗(A) = E
1A·QT · e
T∫0
rs·ds
Fur A ∈ At gilt
µ∗(A) = E
1 A ·QT · eT∫0
rs·ds
= E
1 A · E
QT · eT∫0
rs·ds∣∣∣At
= E
(1 A · e
t∫0
rs·ds· E
(QT · e
T∫t
rs·ds∣∣∣At))
= E
(1 A ·Qt · e
t∫0
rs·ds)
Wir betrachten nun einen Arbitrage–freien Preisprozess Pt und untersuchen den Prozess
Zt = E
(QT
Qt· PT · e
T∫t
rs·ds∣∣∣∣At)
Zt ist der Futures–Preis fur den in T falligen Futures–Kontrakt auf Pt. Wir interessieren uns wieder fur den
253
bedingten Erwartungswert unter dem oben definierten Maß µ∗
E∗(Zτ |At) = E
Qτ
Qt· e
τ∫0
rs·ds
e
t∫0
rs· ds· E
(QT
Qτ· PT · e
T∫τ
rs·ds∣∣Aτ)∣∣∣∣At
= E
(QT
Qt· PT · e
T∫t
rs·ds∣∣∣∣At)
= Zt
D. h. dass unter dem Maß µ∗ der Prozess Zt wieder ein Martingal wird. Nun ist Zt gleich dem Futures–Preis(), daher wird µ∗ in diesem Fall als
”Futures–Maß“ bezeichnet.
c) Der allgemeine Fall
Als”Numeraire“ betrachten wir einen beliebigen positiven Prozess Pt und betrachten zum Prozess Pt die
Variable
Zt = E
(QT
Qt· PT ·
PTPt
∣∣∣∣At)Zt ist der Marktwert fur einen Anspruch, der den Ruckstrom PT , nachtraglich im Zeitpunkt t in dasNumeraire angelegt, verspricht. Wir untersuchen den entsprechenden bedingten Erwartungswert:
E∗(Zτ |At
)= E
Qτ · PτQt · Pt
· Zτ∣∣∣∣At
= E
Qτ · PτQt · Pt
· E[QT
Qτ· PT ·
PTPτ
∣∣∣∣Aτ] ∣∣∣∣At
= E
QT
Qt· PT ·
PTPt
∣∣∣∣At = Zt
254
d.h. Zt ist unter dem entsprechenden Maß ein Martingal.
d) Rekonstruktion der Spezialfalle
Im Forward–Fall ist
Zt = Pt · e(T−t)·r(t,T )
= E
(QT
Qt· PT · e(T−t)·r(t,T )
∣∣∣∣At)Der Marktpreis fur den Ruckstrom PT , wenn er im Zeitpunkt t in einen im T falligen Zero–Bond angelegtwurde.
Im Futures–Fall ist
Zt = E
(QT
Qt· PT · e
T∫t
rs·ds∣∣∣∣At)
der Marktpreis fur den Ruckstrom PT , wenn er im Zeitpunkt t in ein Geldmarktkonto eingezahlt wurde, i.e.der Futures–Preis.
Allgemein gilt daher mit dem betreffenden Wahrscheinlichkeitsmaß
Zt = E∗(ZT |At)
und
ET =
PT fur das Forward-MaßPT fur das Futures-MaßPT fur das allgemeine Numeraire-Maß
Wir interessieren uns noch fur den Sonderfall, in dem der Forward–Fall mit konstantem deterministischenZinssatz ρ kombiniert ist:
255
Zt = Pt · e(T−t)·r
mit
Zt = E∗(Pτ · e(T−τ)·r∣∣At)
d.h.
Pt · e(T−t)·r = E∗(Pτ · e(T−τ)·r∣∣At)
bzw.
Pt · e−t·r = E∗(Pτ · e−τ ·r
∣∣At)die abgezinsten Preise bilden unter dem Forward–Maß ein Martingal. Dieser Fall wird meist fur Optionspreisebetrachtet, wenn variierende Zinssatze als weniger bedeutend angesehen werden konnen. Formt man denAusdruck um, so erhalt man
Pt = e−(τ−t)·r · E∗(Pτ∣∣At)
die”risikoneutrale“ Bewertung.
Fur den allgemeinen Forward–Fall ergibt sich eine analoge Beziehung:
Pt = e−(T−t)·r(t,T ) · E∗(Pτ · e(T−τ)·r(τ,T )
∣∣At)bzw. mit dem Terminzinssatz f (t, τ, T )
Pt = e−(τ−t)·r(t,τ) · E∗(Pτ · e(T−τ)·(r(t,T )−f(t,τ,T ))
∣∣At)woraus fur τ = T wieder eine risikoneutrale Bewertungsformel wird
Pt = e−(T−t)·r(t,T ) · E∗(PT∣∣At)
256
Schließlich betrachten wir unter dem Futures–Maß den Ausdruck
E∗
(PT · e
−T∫t
rs·ds∣∣At)
= E
QT · eT∫0
rs·ds
Qt · et∫
0
rs·ds· PT · e
−T∫t
rs·ds∣∣∣At
= E
(QT
Qt· PT
∣∣∣At)= Pt
Unter dem Futures–Maß ist der Preis eines Wertpapiers gleich dem Erwartungswert des entlang des Pfadesder Momentanspotzinssatze diskontierten Endwerts. Uber die zeitdiskrete Periode gilt die (lokal) risikoneutraleBewertung
Pt = E∗(e−∆·ρs,s+∆ · Pt+∆
∣∣∣At)= e−∆·ρs,s+∆ · E∗
(Pt+∆
∣∣At)
257
258
Literaturverzeichnis
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