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Skriptum zur Vorlesung Mathematische Logik Klaus Gloede Mathematisches Institut der Universit¨ at Heidelberg Wintersemester 2006/07

Skriptum zur Vorlesung Mathematische Logik · phischen) Logik, aber - methodisch - ermoglicht diese Beschr¨ ankung es an-¨ dererseits, sie selbst als (ii) eine formale mathematischen

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Skriptum zur VorlesungMathematische Logik

Klaus GloedeMathematisches Institut der Universitat Heidelberg

Wintersemester 2006/07

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INHALTSVERZEICHNIS i

Inhaltsverzeichnis

I Collegium Logicum 1

1 Die Aussagenlogik 41.1 Syntax der Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Definition der aussagenlogischen Formeln . . . . . . . . . 51.1.2 Induktion und Rekursion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.3 Beweis durch Induktion uber den Formelaufbau . . . . . . 81.1.4 Definition durch Rekursion uber den Formelaufbau . . . . 9

1.2 Semantik der Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.1 Wahrheitsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.2 Interpretation von aussagenlogischen Formeln . . . . . . . 111.2.3 Definition der wichtigsten semantischen Begriffe . . . . . 121.2.4 Einige wichtige allgemeingultige Formeln . . . . . . . . . 141.2.5 Einige wichtige Aquivalenzen . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.6 Boolesche Gesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.7 Einsetzungsregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.8 Ersetzungsregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3 Normalformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3.1 Entscheidungsverfahren fur Boolesche Normalformen . . 191.3.2 Boolescher Reprasentationssatz . . . . . . . . . . . . . . 201.3.3 Das Dualitatsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.4 Der semantische Folgerungsbegriff: Erfullbarkeit . . . . . . . . . 231.4.1 Zusammenhang zwischen Folgerung und Erfullbarkeit . . 24

1.5 Der syntaktische Folgerungsbegriff: Beweisbarkeit . . . . . . . . 251.5.1 Axiomensysteme und Beweise . . . . . . . . . . . . . . . 251.5.2 Korrektheit und Vollstandigkeit . . . . . . . . . . . . . . 261.5.3 Einige Axiomensysteme der Aussagenlogik . . . . . . . . 27

1.6 Vollstandigkeit und Kompaktheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

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INHALTSVERZEICHNIS ii

1.6.1 Verallgemeinerte Expansion . . . . . . . . . . . . . . . . 311.6.2 Lemma uber die Negation . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.6.3 Tautologiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.6.4 Deduktionstheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.6.5 Widerspruchsfreiheit und Vollstandigkeit von Theorien . . 331.6.6 Lemma uber Beweisbarkeit und Konsistenz . . . . . . . . 341.6.7 Vervollstandigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.6.8 Verallgemeinerter Vollstandigkeitssatz . . . . . . . . . . . 351.6.9 Kompaktheitssatz der Aussagenlogik . . . . . . . . . . . 36

2 Strukturen und formale Sprachen 372.1 Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.1.1 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.1.2 Mehrsortige Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.1.3 Symbole fur formale Sprachen . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.2 Unterstrukturen und Morphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.2.1 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.2.2 Satz uber Unterstrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.2.3 Homomorphes Bild, Identifizierung . . . . . . . . . . . . 44

2.3 Terme einer Sprache . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.3.1 Interpretation von Termen . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.3.2 Spracherweiterung durch Namen . . . . . . . . . . . . . . 462.3.3 Erzeugte Unterstrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.4 Formeln einer Sprache . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.4.1 Beweis durch Induktion uber den Formelaufbau . . . . . . 492.4.2 Freie und gebundene Variable . . . . . . . . . . . . . . . 502.4.3 Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3 Modelle und Theorien 533.1 Das Wahrheitspradikat: Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.1.1 Satz uber neue Konstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.2 Axiome und Theorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.3 Der Kompaktheitssatz und einige Folgerungen . . . . . . . . . . . 57

3.3.1 Kompaktheitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.3.2 Satz uber die Existenz unendlicher Modelle . . . . . . . . 58

3.4 Diagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.4.1 Diagrammlemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

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3.4.2 Universelle Theorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.4.3 Modellerweiterungssatz von Keisler . . . . . . . . . . . . 613.4.4 Erhaltungssatz fur universelle Formeln . . . . . . . . . . 623.4.5 Satz von Łos-Tarski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.5 Einige mathematische Theorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.5.1 Ordnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.5.2 Gruppen- und Korpertheorie . . . . . . . . . . . . . . . . 643.5.3 Axiomatisierbarkeit: Elementare Klassen . . . . . . . . . 653.5.4 Zahlentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.5.5 Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4 Gesetze der Pradikatenlogik 704.1 Ein Axiomensystem fur die Pradikatenlogik . . . . . . . . . . . . 70

4.1.1 Axiomensystem von Shoenfield . . . . . . . . . . . . . . 714.1.2 Definition eines Beweises . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.2 Der Tautologiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.3 Substitution und universeller Abschluß . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.3.1 Hintere Generalisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.3.2 Satz uber die Generalisierung . . . . . . . . . . . . . . . 764.3.3 Substitutionsregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.3.4 Substitutionssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.3.5 Abschlußsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.4 Ersetzung und Umbenennung, Gleichheit . . . . . . . . . . . . . 794.4.1 Ersetzungstheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.4.2 Eigenschaften des Gleichheitspradikates . . . . . . . . . . 80

4.5 Pranexe Normalformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.5.1 Umformungen mit der Negation . . . . . . . . . . . . . . 824.5.2 Umformungen mit Konjunktion und Disjunktion . . . . . 824.5.3 Umformungen mit der Implikation . . . . . . . . . . . . . 834.5.4 Das Dualitatsprinzip fur die Pradikatenlogik . . . . . . . . 85

4.6 Das Deduktionstheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.7 Erweiterungen von Theorien, Widerspruchsfreiheit . . . . . . . . 89

4.7.1 Erweiterungen und Expansionen . . . . . . . . . . . . . . 894.7.2 Satz uber rein sprachliche Erweiterungen von Theorien . . 914.7.3 Widerspruchsfrei/widerspruchsvoll . . . . . . . . . . . . 934.7.4 Beweisbarkeit und Widerspruchsfreiheit . . . . . . . . . . 94

4.8 Termmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

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4.8.1 Kanonische Struktur einer Theorie, Termstruktur . . . . . 954.8.2 Satz uber Termmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.9 Vervollstandigung von Theorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.9.1 Satz von Lindenbaum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.10 Henkin-Theorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994.11 Der Godelsche Vollstandigkeitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.11.1 Vollstandigkeit der Pradikatenlogik / Modellexistenz-Satz 1024.11.2 Satz von Lowenheim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044.11.3 Kompaktheitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

II Mengenlehre 106

5 Grundlagen der Mengenlehre 1075.1 Ordinalzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5.1.1 Ordnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085.1.2 Definition der Ordinalzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.1.3 Satz: Charakterisierung von Ordinalzahlen . . . . . . . . 1125.1.4 Die Ordnung der Ordinalzahlen . . . . . . . . . . . . . . 112

5.2 Mengen und Klassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1145.2.1 Komprehensionsaxiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1155.2.2 Auswege aus den Antinomien . . . . . . . . . . . . . . . 1165.2.3 Die mengentheoretische Sprache mit Klassentermen . . . 1175.2.4 Uberblick uber verschiedene Axiomensysteme . . . . . . 120

5.3 Extensionalitat und Aussonderung . . . . . . . . . . . . . . . . . 1225.4 Relationen und Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1245.5 Vereinigung und Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

5.5.1 Vereinigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1275.5.2 Potenzmenge und allgemeines Produkt . . . . . . . . . . 130

5.6 Uberblick uber die ZF-Axiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

6 Mengen von Mengen von . . . 1356.1 Induktion und Rekursion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

6.1.1 Ordnungen auf Klassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1356.1.2 Minimumsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1366.1.3 Induktionsprinzip fur Wohlordnungen . . . . . . . . . . . 1376.1.4 Segmente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1386.1.5 Rekursionssatz fur Wohlordnungen . . . . . . . . . . . . 138

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6.1.6 Reprasentationssatz fur Wohlordnungen . . . . . . . . . . 1416.1.7 Transfinite Rekursion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

6.2 Die von-Neumannsche Hierarchie . . . . . . . . . . . . . . . . . 1446.3 Die Rolle des Unendlichkeitsaxioms . . . . . . . . . . . . . . . . 145

6.3.1 PA in mengentheoretischer Sprache . . . . . . . . . . . . 1466.3.2 Die Theorie der endlichen Mengen . . . . . . . . . . . . . 1486.3.3 Anwendungen der numerischen Rekursion . . . . . . . . 148

7 Das Auswahlaxiom 1517.1 Zermelos Axiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

7.1.1 Mengentheoretisch aquivalente Formen . . . . . . . . . . 1517.1.2 Der Zermelosche Wohlordnungssatz . . . . . . . . . . . . 1527.1.3 Maximumsprinzipien von Zorn und Hausdorff . . . . . . 153

7.2 Anwendungen des Auswahlaxioms . . . . . . . . . . . . . . . . . 1567.2.1 Jeder Vektorraum besitzt eine Basis. . . . . . . . . . . . . 1567.2.2 Der Satz von Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . 1567.2.3 Nicht-meßbare Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1567.2.4 Aquivalenz verschiedener Stetigkeitsdefinitionen . . . . . 1587.2.5 Satz von Tychonoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1587.2.6 Boolesches Primidealtheorem . . . . . . . . . . . . . . . 158

8 Machtigkeiten und Kardinalzahlen 1618.1 Endliche und abzahlbare Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1618.2 Abzahlbare Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1638.3 Uberabzahlbare Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1658.4 Machtigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

8.4.1 Satz von Cantor-Schroder-Bernstein . . . . . . . . . . . . 1668.4.2 Vergleichbarkeitssatz von Hartogs . . . . . . . . . . . . . 1678.4.3 Satz von Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

8.5 Kardinalzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1688.5.1 Operationen auf den Kardinalzahlen . . . . . . . . . . . . 1698.5.2 Satz von Hessenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1708.5.3 Satz von Bernstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

III Grundlagen der Modelltheorie 172

9 Hin und her: Vollstandigkeit und elementare Aquivalenz 173

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9.1 Elementare Aquivalenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1739.2 Die Theorie der dichten linearen Ordnung . . . . . . . . . . . . . 1759.3 Kategorizitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

10 Auf und ab: Elementare Substrukturen 18010.1 Elementare Substrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18010.2 Diagrammlemma (Fortsetzung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18110.3 Kriterium von Tarski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18110.4 Satz von Lowenheim-Skolem-Tarski (abwarts) . . . . . . . . . . . 18210.5 Satz von Lowenheim-Skolem-Tarski (aufwarts) . . . . . . . . . . 18310.6 Test von Vaught . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

11 Vereinigungen, Durchschnitte und Ketten 18511.1 Satz uber Ketten von Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18611.2 Satz von Chang- Łos-Szusko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

12 Produkte und Ultraprodukte 18912.1 Direktes Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19012.2 Filter und Ultrafilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19112.3 Ultrafiltersatz, Boolesches Primidealtheorem . . . . . . . . . . . 19212.4 Reduziertes Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19212.5 Satz von Łos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19312.6 Kompaktheitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

13 Modellvollstandigkeit 19813.1 Robinsonscher Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

IV Unvollstandigkeit und Unentscheidbarkeit 202

14 Berechenbare Funktionen 20514.1 Turing-Maschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20514.2 URM-berechenbare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20714.3 Churchsche These . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20814.4 Aufzahlbarkeitssatze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20914.5 Primitiv-rekursive Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20914.6 Rekursive und partiell-rekursive Funktionen . . . . . . . . . . . . 21214.7 Partielle Entscheidbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

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15 Definierbarkeit berechenbarer Funktionen 21515.1 Eine endlich-axiomatisierbare Teiltheorie von PA . . . . . . . . . 21515.2 Arithmetische Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21715.3 Enderweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21815.4 Erhaltungseigenschaften unter Enderweiterungen . . . . . . . . . 22015.5 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22015.6 Godels Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22215.7 Definierbarkeitssatz fur rekursive Funktionen . . . . . . . . . . . 22315.8 Reprasentierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

16 Die Godelschen Satze 22716.1 Godel-Nummern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22716.2 Diagonalisierungslemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22816.3 Satz von Godel-Rosser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22916.4 Erster Godelscher Unvollstandigkeitssatz . . . . . . . . . . . . . 23016.5 Kombinatorische Prinzipien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23116.6 Zweiter Godelscher Unvollstandigkeitssatz . . . . . . . . . . . . 23316.7 Wahrheit ist nicht arithmetisch definierbar . . . . . . . . . . . . . 23416.8 Unentscheidbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

17 Literatur 238

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Teil I

Collegium Logicum

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Mein teurer Freund, ich rat´ Euch drumZuerst Collegium Logicum.Da wird der Geist Euch wohl dressiertIn spanische Stiefeln eingeschnurt,Daß er bedachtiger so fortanHinschleiche die Gedankenbahn.

J. W. v. Goethe: Faust I

Alle Menschen sind sterblich, Sokrates ist ein Mensch,also ist Sokrates sterblich.

So lautet ein bekanntes Beispiel eines logischen Schlusses. Dabei sagt die Lo-gik nichts aus uber die Gultigkeit der Einzelaussagen, insbesondere behauptet sienicht die Sterblichkeit von Sokrates, sondern die Wahrheit dieser Aussage unterAnnahme, daß die beiden vorangehenden Aussagen (die Pramissen) wahr sind.Nach dem gleichen Muster konnte man auch folgern:

Alle Tappel haben einen Deppel, Knobbel ist ein Tappel,also hat Knobbel einen Deppel.

Bereits ARISTOTELES (384 - 322 v. Chr.) hat in seiner Syllogistik damit begon-nen, derartige Schlußweisen zu formalisieren und alle moglichen Schlusse syste-matisch auf ihre Gultigkeit zu untersuchen1. Auch erste Ansatze einer Aussagen-logik finden sich bei ARISTOTELES ; sie wird vor allem in der Stoa und in derScholastik weiterentwickelt. Den obigen Schluß konnen wir in moderner Symbo-lik in der Form

∀X(M(X)→ T (X)),M(S)

also: T (S)

1I. Susan Russinoff hat 1999 darauf hingewiesen, daß die endgultige Klassifizierung der Syllo-gismen erst 1883 von einer Schulerin des amerikanischen Logikers C.S. Peirce dargestellt wurde:Christine Ladd-Franklin. Bereits 1882 hatte sie alle Voraussetzungen fur eine Promotion an derJohn Hopkins University erfullt; da sie aber damals als Frau nicht zugelassen wurde, erhielt sieihren Ph.D.-Grad erst 1926, und ihre Arbeit blieb uber hundert Jahre unbeachtet.

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schreiben. Daraus wird deutlich, daß der Schluß ganz allgemein und allein auf-grund seiner Form gilt - die Untersuchung derartiger Schlußweisen ist Gegen-stand der Mathematischen Logik (auch Formale Logik, Symbolische Logik oderMetamathematik, von Philosophen auch Moderne Logik oder Logistik genannt).

Die Mathematische Logik ist

(i) eine Logik fur die Mathematik; sie untersucht Ausdrucksmoglichkeiten informalen Sprachen und Schlußweisen, wie sie in der Mathematik insbeson-dere fur axiomatische Theorien gebrauchlich sind. Das bedeutet - thematisch- naturlich eine starke Einschrankung gegenuber der allgemeinen (philoso-phischen) Logik, aber - methodisch - ermoglicht diese Beschrankung es an-dererseits, sie selbst als

(ii) eine formale mathematischen Theorie zu entwickeln. Dadurch kann die Ma-thematische Logik (als Metatheorie) uber die Mathematische Logik selbst(und zwar nun als formale mathematische Theorie) Aussagen machen. Die-se sind moglicherweise ruckbezuglich und damit haufig widerspruchsvoll(z. B.: Antinomie des Lugners); in diesem Fall jedoch kann man sie nach K.GODEL benutzen, um die Grenzen ihrer eigenen Methode aufzeigen (etwain Form der GODELschen Unvollstandigkeitssatze).

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Kapitel 1

Die Aussagenlogik

Die Aussagenlogik untersucht die Verknupfungen “nicht”, “und”, “oder”, “wenn. . . dann” und “genau dann, wenn”. Diese Operationen kommen auch in der Um-gangssprache vor, allerdings moglicherweise mit zusatzlichen Aspekten, die uberden Gebrauch in der Mathematik hinausgehen und hier naturlich unberucksich-tigt bleiben sollen. Aufgrund dieser Einschrankung wird die Aussagenlogik (AL)zu einem einfachen Kalkul (dem Aussagenkalkul) der beiden Wahrheitswerte Wund F ; mathematisch gesehen handelt es sich um eine sehr einfache Theorie -die Algebra der zwei Werte 0 und 1. Wir wollen sie hier trotzdem ausfuhrlicherbehandeln, denn

• die AL ist Grundlage der Computerlogik mit zahlreichen Anwendungen (et-wa auf die Untersuchung von Schaltungen) und

• sie ist Bestandteil fast jeder weiteren Logik, insbesondere der spater ein-zufuhrenden Pradikatenlogik (PL).

• Grundlegende Begriffsbildungen, die besonders fur die PL wichtig werden,konnen hier in einer einfachen Situation vorbereitet werden.

Beginnen werden wir mit dem Aufbau einer formalen Sprache: Aus einer vor-gegebenen Liste von Zeichen oder

• Symbolen (entsprechend dem Alphabet einer naturlichen Sprache) werdennach bestimmten formalen Gesetzen Zeichenreihen gebildet und als

• Formeln (entsprechend den Wortern einer naturlichen Sprache) ausgezeich-net; die Bedeutung der Formeln wird dann durch

• Interpretationen (Modelle) festgelegt.

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1.1. SYNTAX DER AUSSAGENLOGIK 5

1.1 Syntax der Aussagenlogik

Mit Hilfe der Symbole

¬ (nicht), ∧ (und), ∨ (oder),→ (wenn . . . dann),↔ (genau dann . . . wenn)

und den Aussagenvariablen (fur aussagenlogisch nicht weiter zerlegbare Grund-aussagen) definieren wir den Begriff einer aussagenlogischen Formel, abgekurzta. F., wie folgt:

1.1.1 Definition der aussagenlogischen Formeln

(F1) A0,A1,A2, . . . sind a. F., und zwar Aussagenvariable.

(F2) Ist ϕ eine a. F., so auch ¬ϕ .

(F3) Sind ϕ und ψ a. F., so auch (ϕ ∧ψ), (ϕ ∨ψ), (ϕ → ψ) und (ϕ ↔ ψ).

(F4) Das sind alle a. F.

Aussagenlogische Formeln werden wir wie oben mit kleinen griechischen Buch-staben ϕ,ψ,χ, . . . bezeichnen, Aussagenvariable auch mit A,B,C, . . .

Achtung: Formeln sind formale endliche Zeichenreihen; ihre Bedeutung habenwir zwar oben bereits in Klammern angegeben, aber davon werden (und durfen)wir zunachst keinen Gebrauch machen!

Beispiele fur aussagenlogische Formeln sind:

A, ¬A, ¬¬¬B, (((¬¬A∨B)∧¬A)→ (A∧¬C)),

wahrend A¬, B∨), A∧¬C keine aussagenlogischen Formeln sind!

Klammerregeln

Klammern dienen der eindeutigen Darstellbarkeit von Formeln, konnen zur bes-seren Lesbarkeit jedoch in einigen Fallen eingespart werden:

• Außere Klammern konnen fortgelassen werden: Schreibe

A∧¬C statt (A∧¬C).

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1.1. SYNTAX DER AUSSAGENLOGIK 6

• ∧ und ∨ “binden starker” als→ und↔: schreibe

B∧¬A→ A∨¬C statt ((B∧¬A)→ (A∨¬C)).

Dagegen werden wir ∧ und ∨ gleichberechtigt behandeln, d. h. bei

(¬¬A∨B)∧¬A sowie (A∨B)∧C bzw. A∨ (B∧C).

kann man keine weiteren Klammern einsparen.

• Fur ∧ und ∨ benutzen wir die assoziative Schreibweise:

A∨B∨C steht fur (A∨ (B∨C)) und A∧B∧C fur (A∧ (B∧C)).

Die andere mogliche Klammerung fuhrt formal zu einer anderen, inhaltlichjedoch aquivalenten Formel. Rechtsklammerung werden wir spater auchwahlen bei

• A→ B→C fur A→ (B→C),

welches jedoch nicht aquivalent zu (A→ B)→ C ist! Gelegentlich findet manweitere Vereinbarungen uber das Fortlassen von Klammern; ganzlich entbehrlichsind sie bei der polnischen Notation: Hier schreibt man etwa

Nϕ fur ¬ϕ , Aϕψ fur ϕ ∨ψ , Kϕψ fur ϕ ∧ψ ,

so daß ¬(p∨q)∧ (p∧¬¬q) in polnischer Notation KNApqK pNNq geschrie-ben wird.

1.1.2 Induktion und Rekursion

Eine explizite Definition des Begriffs “a. F.” wurde diesen auf bereits bekanntezuruckfuhren und von der Form sein

ϕ ist a.F. :⇐⇒ . . .,

wobei rechts eine Eigenschaft von ϕ steht (das Definiens), in welcher das Defi-niendum, namlich a. F., selbst nicht vorkommt. Dagegen ist die Definition 1.1.1rekursiv, indem zwar auf der rechten Seite auch das zu Definierende vorkommt,aber zuruckgefuhrt auf kurzere Ausdrucke.

Eine rekursive Definition hat den Vorzug, daß sie in der Regel zugleich einVerfahren enthalt, in endlich vielen Schritten “effektiv” nachzuprufen, ob der vor-gelegte Ausdruck der Definitionsanforderung genugt oder nicht. Man sagt in die-sem Fall auch: Das Pradikat

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1.1. SYNTAX DER AUSSAGENLOGIK 7

z1 . . .zn ist eine aussagenlogische Formel

ist entscheidbar, d. h. es gibt ein “mechanisches” Verfahren, das - angewandt aufeine vorgegebene endliche Zeichenreihe z1 . . .zn - nach endlich-vielen Schrittenfeststellt, ob z1 . . .zn eine aussagenlogische Formel ist oder nicht. Eine Prazisie-rung der Begriffe “entscheidbar”, “effektives” Verfahren werden wir spater vor-nehmen. Ein weiterer Vorteil einer rekursiven Definition liegt darin, daß man eineAussage uber den neuen Begriff beweisen kann, indem man sie

(1) zunachst fur den Anfangsfall und dann

(2) fur die aufbauenden Falle nachweist,

also vom einfachen Fall zum komplizierten ubergeht - man spricht dann von einemBeweisverfahren durch Induktion. Dieses Prinzip ist bekannt aus der Theorie dernaturlichen Zahlen:

Induktionsprinzip fur die naturlichen Zahlen

Es sei E eine Eigenschaft mit

(i) E(0), Induktionsanfang(ii) falls E(n), so auch E(n′). Induktionsschluß

Dann gilt E(n) fur alle naturlichen Zahlen n.

Dabei besteht der Induktionsschluß aus der Induktionsvoraussetzung E(n) undder Induktionsbehauptung E(n′).

Wenn man die gewohnliche Ordnung auf den naturlichen Zahlen benutzt, kannman das Induktionsprinzip auch in der folgenden Form anwenden:

(Starkes) Induktionsprinzip fur die naturlichen Zahlen

Es sei E eine Eigenschaft mit

(ii’) falls E(m) fur alle m < n, so auch E(n). Induktionsschluß

Dann gilt E(n) fur alle naturlichen Zahlen n.

Diese beiden Induktionsprinzipien sind untereinander und mit dem Minimum-sprinzip aquivalent:

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1.1. SYNTAX DER AUSSAGENLOGIK 8

Minimumsprinzip fur die naturlichen Zahlen

Falls es eine naturliche Zahl m mit der Eigenschaft E(m) gibt,so gibt es eine kleinste derartige Zahl.

Aussagen uber alle Formeln kann man durch Induktion beweisen, indem manein Komplexitatsmaß einfuhrt, d. h. eine Funktion k, die allen Formeln eine naturli-che Zahl zuordnet, so daß

k(ϕ) < k(¬ϕ), k(ϕ),k(ψ) < k(ϕ ∗ψ),

z. B.: lz(ϕ) = Anzahl der logischen Verknupfungen ¬,∧,∨,→,↔ in ϕ ,l(ϕ) = Anzahl aller Zeichen in ϕ (Lange von ϕ).

Besonders nutzlich ist dafur die Rangfunktion, rekursiv definiert durch

ρ(Ai) = 0,

ρ(¬ϕ) = ρ(ϕ)+1,

ρ(ϕ ∗ψ) = max(ρ(ϕ),ρ(ψ))+1, wobei ∗= ∧,∨,→,↔ .

1.1.3 Beweis durch Induktion uber den Formelaufbau

Es sei E eine Eigenschaft mit

(i) E(A) gilt fur alle Ausagenvariablen A,

(ii) gilt E(ϕ), so auch E(¬ϕ), und

(iii) gelten E(ϕ) und E(ψ), so auch E(ϕ ∗ψ) fur ∗= ∧, ∨,→ und ↔ .

Dann gilt E(ϕ) fur alle a. F. ϕ .

Legt man ein Komplexitatsmaß k zugrunde, so kann man die drei Bedingungen(i) - (iii) ersetzen durch eine einzige:

(ii’) Gilt E(ψ) fur alle ψ mit k(ψ) < k(ϕ), so auch E(ϕ).

Die Rangfunktion haben wir oben durch Rekursion definiert; damit dies zu-lassig ist, benotigen wir die

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1.1. SYNTAX DER AUSSAGENLOGIK 9

Eindeutige Lesbarkeit von Formeln

Es sei ϕ eine a. F. Dann ist ϕ entweder eine Aussagenvariable oder laßt sich aufgenau eine Weise in der Form

¬ψ,(ψ ∧χ), (ψ ∨χ), (ψ → χ) oder (ψ ↔ χ)

schreiben.Zum Beweis benutze man das folgende (technische) Lemma:

Lemma

Es sei ϕ eine a. F., w eine endliche Zeichenreihe. Dann gilt:Falls die Zeichenreihe ϕw eine a. F. ist, so ist w leer, also ϕw = ϕ .

Dieses Lemma - zugleich ein gutes Beispiel fur eine syntaktische Aussage!- beweist man am besten durch Induktion uber die Anzahl l(ϕw) der Zeichen inϕw.

Neben der rekursiven Definition eines Pradikats (wie im Falle des Formelbe-griffs) haben wir im Falle der Rangfunktion eine rekursive Definition einer Funk-tion. Auch derartige Funktionen haben ihr Vorbild in der Zahlentheorie, wo manetwa die Funktion n! rekursiv definiert durch

0! = 1,(n+1)! = n!(n+1).

Diese Definition liefert nur deshalb eine Funktion, weil fur eine Zahl n 6= 0 derVorganger m von n (mit m′ = n) eindeutig bestimmt ist. Die entsprechende Vor-aussetzung fur den Formelbegriff haben wir gerade mit der eindeutigen Lesbarkeitder Formeln bewiesen.

1.1.4 Definition durch Rekursion uber den Formelaufbau

Zu gegebenen Funktionen g0, . . . ,g5 (geeigneter Stellenzahl) laßt sich eine Funk-tion g auf der Menge der a. F. definieren durch:

g(A) = g0(A)

g(¬ϕ) = g1(g(ϕ))

g(ϕ ∧ψ) = g2(g(ϕ),g(ψ))

g(ϕ ∨ψ) = g3(g(ϕ),g(ψ))

g(ϕ → ψ) = g4(g(ϕ),g(ψ))

g(ϕ ↔ ψ) = g5(g(ϕ),g(ψ))

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1.2. SEMANTIK DER AUSSAGENLOGIK 10

1.2 Semantik der Aussagenlogik

Die Bedeutung der aussagenlogischen Verknupfungen wird ublicherweise durchdie Wahrheitstafeln festgelegt - die aussagenlogischen Verknupfungen werden da-durch zu Funktionen auf den Wahrheitswerten

• W (“wahr”), manchmal auch mit 1 oder V bezeichnet, und

• F (“falsch”), manchmal auch mit 0 oder Λ bezeichnet.

(Wir behandeln hier die 2-wertige Logik, nehmen also an, daß es genau zweiWahrheitswerte gibt, namlich W und F.)

1.2.1 Wahrheitsfunktionen

1-stellige Wahrheitsfunktionen

W id ¬ F

W W W F FF W F W F

Unter den vier 1-stelligen gibt es nur eine nicht-triviale Wahrheitsfunktion,die die Wahrheitswerte vertauscht und der Negation entspricht. Es gibt 222

= 162-stellige Wahrheitsfunktionen; lassen wir die trivialen weg, so erhalten wir:

2-stellige (nichttriviale) Wahrheitsfunktionen

∧ ∨ → ← ∇ ↔ a ` ↓ ↑W W W W W W F W F F F FW F F W F W W F W F F WF W F W W F W F F W F WF F F F W W F W F F W W

Neben den bereits eingefuhrten tritt hier noch das entweder-oder ∇ auf, dasweder-noch ↓ (“nor”, PEIRCE) sowie ↑ (“nand”, SHEFFER´s stroke).

Weiterhin gibt es bereits 223= 256 3-stellige Wahrheitsfunktionen, allgemein

22nn-stellige Wahrheitsfunktionen, auf die wir spater noch zuruckkommen wer-

den.

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1.2. SEMANTIK DER AUSSAGENLOGIK 11

Wir wollen nun jeder aussagenlogischen Formel ϕ(A1, . . . ,An) in den Aussa-genvariablen A1, . . . ,An den Wahrheitswert zuordnen, der sich durch Auswertunggemaß den Wahrheitstafeln ergibt. Dieser Wert hangt ab

(1) von den Wahrheitswerten, die die Aussagenvariablen erhalten, sowie davon,

(2) wie ϕ aus den Aussagenvariablen mit Hilfe der aussagenlogischen Ver-knupfungen zusammengesetzt ist:

1.2.2 Interpretation von aussagenlogischen Formeln

ϕ sei eine aussagenlogische Formel, V sei eine beliebige (u. U. unendliche) Mengevon Aussagenvariablen. Man bezeichnet mit

f: V→ W,F Belegung von V (mit Wahrheitswerten),B(V) := f | f : V −→ W,F Menge der Belegungen von V.V (ϕ) Menge der Aussagenvariablen in ϕ

F(V) := ϕ|V (ϕ)⊆V Menge der Formeln mit Variablen in V.

Es sei nun ϕ eine aussagenlogische Formel mit Variablen in V, f : V −→ W,Feine Belegung mit V (ϕ)⊆V . Dann definieren wir

f(ϕ) als Wahrheitswert (oder: Interpretation) von ϕ unter der Belegung f

durch Rekursion uber den Aufbau von ϕ wie folgt:

f (ϕ) = f (A), f alls ϕ = A eine Aussagenvariable ist,

f (¬ϕ) = ¬ f (ϕ),

f (ϕ ∗ψ) = f (ϕ)∗ f (ψ).

Dabei steht * fur die 2-stelligen Operationen. Zu beachten ist, daß auf der lin-ken Seite innerhalb der Klammern die Symbole fur die aussagenlogischen Ver-knupfungen, auf der rechten Seite aber die zugeordneten Operationen stehen, dieman aus den Wahrheitstafeln entnimmt (und die wir dort der Einfachheit halberauch mit den entsprechenden Symbolen bezeichnet haben).

Beispiel

Es sei ϕ = ¬(A↔C)∧¬D, also V (ϕ) = A,C,D. Ferner sei V = A,B,C,D,und f : V −→ W,F sei definiert durch

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1.2. SEMANTIK DER AUSSAGENLOGIK 12

f (A) = W, f (B) = W, f (C) = F, f (D) = W.

Dann erhalt man durch sukzessive Berechnung (entsprechend der rekursiven De-finition):

A B C D A↔C ¬(A↔C) D ¬D ϕ

f W W F W F W W F F

f (ϕ) hangt hier naturlich nicht von f (B) ab, da B nicht in ϕ vorkommt. Allgemeingilt:

Satz

f (ϕ) hangt nur von f V (ϕ) (und naturlich von ϕ) ab, d. h. sind f und g zweiBelegungen, die (mindestens) auf V (ϕ) definiert sind und dort ubereinstimmen, soist f (ϕ) = g(ϕ).

Beweis: durch Induktion uber den Formelaufbau von ϕ .

1.2.3 Definition der wichtigsten semantischen Begriffe

Es seien ϕ,ψ ∈ F(V ).

ag[ϕ] :⇐⇒ f ur alle f ∈ B(V ) gilt: f (ϕ) = W ϕ ist allgemeingultigkd[ϕ] :⇐⇒ f ur alle f ∈ B(V ) gilt: f (ϕ) = F ϕ ist kontradiktorischer f b[ϕ] :⇐⇒ esgibt ein f ∈ B(V ) mit: f (ϕ) = W ϕ ist erfullbar

ϕ aqψ :⇐⇒ f ur alle f ∈ B(V ) gilt: f (ϕ) = f (ψ) ϕ ist aquivalent zu ψ

ϕ impl ψ :⇐⇒ f ur alle f ∈ B(V ) gilt: f (ϕ) = W ⇒ f (ψ) = W⇐⇒ ag[ϕ → ψ] ϕ impliziert ψ

Einfache Beispiele

ag[A∨¬A], kd[A∧¬A], er f b[A], er f b[¬A], aber A (und auch ¬A) sind wederallgemeingultig noch kontradiktorisch.

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1.2. SEMANTIK DER AUSSAGENLOGIK 13

Es gilt offenbar:

ag[ϕ] ⇐⇒ kd[¬ϕ]

er f b[ϕ] ⇐⇒ nicht kd[ϕ]

ag[¬ϕ] =⇒ nicht ag[ϕ] (aber die Umkehrung gilt i. a. nicht)

ag[ϕ ∧ψ] ⇐⇒ ag[ϕ] und ag[ψ]

er f b[ϕ ∨ψ] ⇐⇒ er f b[ϕ] oder er f b[ψ]

ag[ϕ] oder ag[ψ] =⇒ ag[ϕ ∨ψ] (i. a. ohne Umkehrung!)

er f b[ϕ ∧ψ] =⇒ er f b[ϕ] und er f b[ψ] (i. a. ohne Umkehrung!)

Bemerkung

Die hier eingefuhrten Pradikate sind entscheidbar. Ein Entscheidungsverfahrenliefert (unmittelbar nach Definition) die Wahrheitstafelmethode; dieses Verfahrenbesitzt jedoch exponentielle Komplexitat: Hat ϕ n Variable, so hat B(V (ϕ)) bereits2n Elemente! Fur jedes einzelne f ∈ B(V (ϕ)) muß man f (ϕ) berechnen, wobeidie Komplexitat dieser Berechnung abhangig ist von der Anzahl der logischenSymbole in ϕ .

Damit laßt sich die Aussagenlogik kalkulmaßig behandeln - man spricht da-her auch vom Aussagenkalkul. Dagegen wird sich spater zeigen, daß die Allge-meingultigkeit einer pradikatenlogischen Aussage sich i. a. nicht mehr entschei-den laßt; trotzdem spricht man (aus Grunden, die spater im Rahmen einer Axio-matisierung deutlicher werden) auch vom Pradikatenkalkul.

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1.2. SEMANTIK DER AUSSAGENLOGIK 14

1.2.4 Einige wichtige allgemeingultige Formeln

A∨¬A tertium non daturA→ A Selbstimplikation¬(A∧¬A) Gesetz vom Widerspruch¬(A↔¬A) Gesetz vom Widerspruch¬A→ (A→ B) regula falsi

A∧ (A→ B)→ B modus ponens (als Gesetz)¬B∧ (A→ B)→¬A modus tollens (als Gesetz)

A→ A∨B (hintere) AbschwachungA∧B→ A (vordere) Abschwachung

(A→ B)∧ (B→C)→ (A→C) Kettenschluß(A∨B)∧ (A→C)∧ (B→C)→C Gesetz der Fallunterscheidung

((A→ B)→ A)→ A Formel von Peirce

Einige dieser allgemeingultigen Formeln ergeben gultige Implikationen, wiez. B.

A impl A ,A impl B und B impl C =⇒ A impl C ,

A impl B und B impl A =⇒ A aq B .

1.2.5 Einige wichtige Aquivalenzen

¬¬ A aq A Gesetz der doppelten VerneinungA→ B aq ¬B→¬A Kontraposition¬(A→ B) aq (A∧¬B)¬(A∨B) aq (¬A∧¬B) de MORGANsches Gesetz¬(A∧B) aq (¬A∨¬B) de MORGANsches Gesetz

A→ (B→C) aq A∧B→C Importation / ExportationA→ B∨C aq (A→ B)∨ (A→C) Distrib. der Implikation “von rechts”A→ B∧C aq (A→ B)∧ (A→C) Distrib. der Implikation “von rechts”A∨B→C aq (A→C)∧ (B→C)A∧B→C aq (A→C)∨ (B→C)

Zu beachten ist der Wechsel von ∨ zu ∧ (und umgekehrt) in den beiden letztenFormeln!

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1.2. SEMANTIK DER AUSSAGENLOGIK 15

1.2.6 Boolesche Gesetze

A∩B = B∩A KommutativgesetzeA∪B = B∪A

A∩ (B∩C) = (A∩B)∩C AssoziativgesetzeA∪ (B∪C) = (A∪B)∪C

A∩A = A IdempotenzgesetzeA∪A = A

A∩ (B∪C) = (A∩B)∪ (A∩C) DistributivgesetzeA∪ (B∩C) = (A∪B)∩ (A∪C)

A∩ (B∪A) = A AbsorptionsgesetzeA∪ (B∩A) = A

A∪−A = V, A∩−A = /0 Komplementgesetze− −A = A

− /0 = V, −V = /0−(A∩B) =−A∪−B de MORGANsche Gesetze−(A∪B) =−A∩−B

Dieses sind die Gesetze einer BOOLEschen Algebra, und zwar in mengen-theoretischer Form ausgedruckt. Die entsprechenden aussagenlogischen Gesetzeerhalt man, wenn man folgende Ersetzungen vornimmt:

mengentheoretisch aussagenlogisch= aq− ¬∩ ∧∪ ∨/0 A∧¬AV A∨¬A

Die obigen Gesetze haben wir fur Aussagenvariable aufgeschrieben; sie geltenaber allgemeiner fur a. F. anstelle der Aussagenvariablen. Diese Tatsache ergibtsich aus der

1.2.7 Einsetzungsregel

ϕ(A)ϕ[ψ/A]

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1.2. SEMANTIK DER AUSSAGENLOGIK 16

Damit ist gemeint: Wenn der obere Teil allgemeingultig ist, so auch der untere.Dabei schreiben wir auch ϕ(A), um anzudeuten, daß die Aussagenvariable A inϕ(A) vorkommt, und mit

ϕ[ψ/A]

bezeichnen wir die Formel, die aus ϕ wie folgt hervorgeht: Setze in ϕ an allenStellen, an denen die Aussagenvariable A vorkommt, die Formel ψ ein.

Beispiel

Es ist ag[A∨¬A] und damit auch ag[ϕ ∨¬ϕ] fur jede Formel ϕ .

1.2.8 Ersetzungsregel

ϕ ↔ ψ

χ ↔ χ(ψ/ϕ)

Dabei bezeichnetχ(ψ/ϕ)

die Formel, die aus der Formel χ wie folgt hervorgeht: Ersetze in χ an einigen(moglicherweise allen) Stellen die Formel ϕ durch die Formel ψ .

Beispiel

Es ist ag[¬¬ A ↔ A], nach der Einsetzungsregel also auch ag[¬¬ ϕ ↔ ϕ],und somit erhalt man aus einer Formel χ eine aquivalente Formel, indem man aneinigen (oder allen Stellen) ¬¬ ϕ durch ϕ ersetzt.

Beweis der Einsetzungsregel:Es sei ϕ∗ := ϕ[ψ/A] mit V (ϕ) = A,A1, . . . ,An und V (ψ) = B1, . . . ,Bm,

somit: V (ϕ∗) = A1, . . . ,An,B1, . . . ,Bm.Fur eine beliebige Belegung g : V (ϕ∗) −→ W,F ist zu zeigen: g(ϕ∗) =W .

Dazu definiere man eine Belegung f : V (ϕ) −→ W,F durch

f (A) = g(ψ), f (Ai) = g(Ai)

und zeige: g(ϕ∗) = f (ϕ), also = W , da ag[ϕ].

Beweis der Ersetzungsregel:Es sei χ∗ := χ(ψ/ϕ) und f : V (χ)∪V (χ∗) −→ W,F eine beliebige Bele-

gung. Zeige: f (χ) = f (χ∗) durch Induktion uber den Formelaufbau von χ .

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1.3. NORMALFORMEN 17

1.3 Normalformen

In diesem Abschnitt werden wir uns mit aussagenlogischen Formeln beschafti-gen, die nur die Operationen ¬,∨,∧ enthalten und BOOLEsche Formeln genanntwerden.

Boolesche Umformung

Zu jeder aussagenlogischen Formel ϕ gibt es eine aquivalente BOOLEsche Formelϕb, die dieselben Aussagenvariablen wie ϕ enthalt:

ϕ aq ϕb, wobei V (ϕ) = V (ϕb).

Beweis: Eliminiere die Symbole → und ↔ durch Umformungen zu aquiva-lenten Formeln; d. h. ersetze in ϕ jede Teilformel der Form

ψ → χ durch die aquivalente Formel ¬ψ ∨χ ,ψ ↔ χ durch die aquivalente Formel (¬ψ ∨χ) ∧ (¬χ ∨ψ).

Bemerkung

Indem man die entsprechenden Aquivalenzen benutzt, kann man auch noch ∨durch ¬ und ∧ (bzw. ∧ durch ¬ und ∨) ausdrucken und erreichen, daß ϕb nurnoch ¬ und ∧ (bzw. ¬ und ∨) enthalt, was im Hinblick auf manche Anwendun-gen (z. B. Dualitatssatz) aber nicht immer erwunscht ist. Tatsachlich kann maneine aussagenlogische Formel in eine aquivalente umformen, die nur noch eineaussagenlogische Operation (namlich ↓ bzw. ↑) enthalt.

Endliche Konjunktionen und Disjunktionen

ϕ1∧ϕ2∧ϕ3 := ϕ1∧ (ϕ2∧ϕ3), allgemein:∧i=1,...,n ϕi = ϕ1 fur n = 1,∧i=1,...,n ϕi = ϕ1 ∧

∧i=2,...,n ϕi fur n > 1,

und analog definiert man die endlichen Disjunktionen∨

i=1,...,n ϕi.

Eine Formel ist in konjunktiver Normalform (KNF) gdw sie eine Konjunktionvon Disjunktionen ist, wobei die einzelnen Disjunktionsglieder kein ∧ und kein ∨mehr enthalten, d. h. wenn sie von der folgenden speziellen Form ist∧

i=1,...,n∨

j=1,...,miϕi j,

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1.3. NORMALFORMEN 18

wobei jedes ϕi j eine Aussagenvariable oder eine negierte Aussagenvariable ist,in disjunktiver Normalform (DNF) gdw sie von der Form∨

i=1,...,n∧

j=1,...,miϕi j

ist, wobei wiederum jedes ϕi j eine Aussagenvariable oder eine negierte Aussagen-variable ist. (Insbesondere sind A∨¬B sowie A∧¬B in konjunktiver und zugleichin disjunktiver Normalform.)

Satz (Boolesche Normalform)

Zu jeder aussagenlogischen Formel ϕ gibt es aquivalente Formeln ϕk bzw. ϕd inkonjunktiver bzw. disjunktiver Normalform, die dieselben Aussagenvariablen wieϕ enthalten:

ϕ aq ϕk aq ϕ

d, wobei

V (ϕ) = V (ϕk) = V (ϕd), ϕk in KNF,ϕd in DNF.

Beweis: Eine disjunktive NF laßt sich aus ϕ mittels folgender Umformungenkonstruieren:

(1) ϕ aq ϕb fur eine BOOLEsche Formel ϕb.

(2) ϕb aq ϕn fur eine Formel ϕn, wobei in ϕn ein Negationszeichen hochstensvor Aussagenvariablen vorkommt; dazu benutze man folgende Aquivalen-zen:

¬¬ψ aq ψ ,¬(ψ ∨χ) aq ¬ψ ∧¬χ, ¬(ψ ∧χ) aq ¬ψ ∨¬χ (De Morgan).

(3) eliminiere in ϕn ∧ “vor” ∨ mittels der Distributivgesetze:

ψ ∧ (χ ∨δ ) aq (ψ ∧χ)∨ (ψ ∧δ )

(ψ ∨χ)∧δ aq (ψ ∧δ )∨ (χ ∧δ )

Als Ergebnis erhalt man eine disjunktive NF ϕd , welche zu ϕ aquivalent ist.Die im 2. Schritt erhaltene Formel ϕn, in welcher das Negationszeichen hochstensvor Aussagenvariablen vorkommt, nennt man auch eine Negationsnormalformvon ϕ . Um eine konjunktive NF zu erhalten, bilde man zuerst wieder eine Nega-tionsnormalform und wende im 3. Schritt die dualen Distributivgesetze an (ver-tausche ∧ mit ∨). (Der Beweis liefert ein effektives Verfahren, um ϕ zu eineraquivalenten konjunktiven bzw. disjunktiven Normalform umzuformen.)

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1.3. NORMALFORMEN 19

1.3.1 Entscheidungsverfahren fur Boolesche Normalformen

(i) ϕ sei in KNF. Dann gilt:ag[ϕ ]⇔ in jedem Konjunktionsglied von ϕ kommt mindestens eine Aussa-genvariable zusammen mit ihrer Negation vor.

(ii) ϕ sei in DNF. Dann gilt:kd[ϕ ]⇔ in jedem Disjunktionsglied von ϕ kommt mindestens eine Aussa-genvariable zusammen mit ihrer Negation vor.

Beispiel

(A∨D∨¬A)∧ (¬B∨A∨A∨B)∧ (¬A∨B∨¬B∨A∨C)

ist allgemeingultig, nicht aber (¬A∨B∨A)∧ (¬B∨A∨A∨D).

Beweis von (i): Es ist

ag[∧

i=1,...,n∨

j ϕi j] ⇐⇒ fur alle i = 1, ...,n : ag[∨

j ϕi j].

Gibt es zu jedem i ein j und ein k, so daß ϕi j = A und ϕik = ¬A fur eineAussagenvariable A ist, so ist fur jedes i

∨j ϕi j allgemeingultig, also gilt “⇐”.

Zum Beweis der Umkehrung sei ϕ =∧

i=1,...,n∨

j ϕi j in KNF, aber in (minde-stens) einem Konjunktionsglied, etwa ϕi =

∨j ϕi j, komme keine Aussagenvariable

mit ihrer Negation vor. Dann konnen wir eine Belegung f : V (ϕ)−→ W,F de-finieren mit

f (A) =

W, falls A in ϕi negiert vorkommt,

F, falls A in ϕi unnegiert vorkommt,

beliebig, etwa W , falls A in ϕi nicht vorkommt.

Dann wird f (ϕi) = F und damit auch f (ϕ) = F , also ist ϕ nicht allgemeingultig.

Hiermit erhalt man ein weiteres Verfahren, die Allgemeingultigkeit einer aus-sagenlogischen Formel ϕ zu testen: Forme ϕ in eine KNF um und prufe nach,ob die Bedingung von 1.3.1 (i) erfullt ist. Auch dieses Entscheidungsverfahren istvon exponentieller Komplexitat wegen der Notwendigkeit, bei der Umformungin eine KNF das Distributivgesetz anzuwenden. Dabei werden aus Konjunktionenvon Disjunktionen wesentlich langere Disjunktionen von Konjunktionen (und um-gekehrt): Das allgemeine Distributivgesetz lautet:

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1.3. NORMALFORMEN 20

∧i=1,...,n

∨j=1,...,mi

ϕi j aq∨

f∈P∧

i=1,...,n ϕi f (i),

wobei P = f | f : 1, . . . ,n −→N mit 1≤ f (i)≤mi f ur alle i = 1, . . . ,n. Fallsalle mi = 2 sind, so hat P die Anzahl 2n.

Der folgende Satz besagt, daß sich jede n-stellige Wahrheitsfunktion mittelsder BOOLEschen Operationen ¬,∨,∧ darstellen laßt, und aus dem Beweis ergibtsich zugleich eine Darstellung in disjunktiver bzw. konjunktiver Normalform:

1.3.2 Boolescher Reprasentationssatz

Es sei G eine beliebige n-stellige Wahrheitsfunktion, also G : B(V ) −→ W,F,wobei V die Menge der Aussagenvariablen A1, . . . ,An ist.

Dann existiert eine BOOLEsche Formel ϕ in diesen Ausagenvariablen, d. h.mit V (ϕ) = V , deren Auswertung nach den Wahrheitstafeln gerade die FunktionG ergibt:

G(g) = g(ϕ) fur alle g ∈ B(V ).

Beweis: Wir definieren zunachst fur jedes f ∈ B(V ) eine Formel ϕ f , die genaubei der Belegung f wahr wird (was wir unten mit (*) zeigen werden):

ϕ f = A f (A1)1 ∧ . . .∧A f (An)

n , wobei AWi = Ai, AF

i = ¬Ai .

Es sei M := f ∈ B(V ) | G( f ) = W. Dann ist

ϕ :=∨

f∈M ϕ f

eine BOOLEsche Formel (in disjunktiver NF), die die Behauptung erfullt, weil siegerade fur alle f ∈M wahr und sonst falsch wird:

g(ϕ) = W ⇐⇒ g(ϕ f ) = W fur ein f ∈ M(*) ⇐⇒ f = g fur ein f ∈M

⇐⇒ g ∈M⇐⇒ G(g) = W.

Zum Beweis von (*) beachte, daß fur alle i = 1, . . . ,n:

g(ϕ f ) = W =⇒ g(A f (Ai)i ) = W

=⇒ [ f (Ai) = W =⇒ g(Ai) = W ] und=⇒ [ f (Ai) = F =⇒ g(Ai) = F ], also f = g,

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1.3. NORMALFORMEN 21

und offenbar gilt auch umgekehrt f (ϕ f ) = W .Was passiert, wenn die Funktion G uberall den Wert F annimmt? Dann ist

die Menge M leer und die zugehorige Formel ϕ eine Disjunktion uber eine leereIndexmenge, und eine solche Disjunktion erklart man als “falsch”. Da wir hierfurkeine Konstante in der aussagenlogischen Sprache haben, benutzen wir dafur (wieauch im Satz von BOOLE) die Formel A0 ∧¬A0, ahnlich erklart man die Kon-junktion uber eine leere Indexmenge fur stets “wahr” (und kann sie mit A0∨¬A0

gleichsetzen).Ein alternativer Beweis (welcher zugleich eine konjunktive NF liefert) geht

aus von der Menge N := f ∈ B(V ) | G( f ) = F.

Folgerungen

aus dem obigen Satz (bzw. aus dem Beweis) ergeben sich fur

• die Schaltalgebra ,

• den Ubergang von einer DNF zu einer aquivalenten KNF,

• die Existenz nur endlich-vieler Formeln ϕ mit Variablen A1, . . . ,An, dienicht miteinander aquivalent sind (dagegen gibt es stets unendlich viele zu-einander aquivalente Formeln).

1.3.3 Das Dualitatsprinzip

Im folgenden betrachten wir nur BOOLEsche Formeln! Wir definieren drei syn-taktische Operationen fur BOOLEsche Formeln:

D(ϕ) : vertausche ∨ mit ∧ in ϕ : duale Formel zu ϕ,

N(ϕ) : setze vor jede Aussagenvariable in ϕ ein ¬-Zeichen,

N∗(ϕ) : setze vor jede Aussagenvariable in ϕ ein ¬-Zeichen, falls dort

keines steht, sonst streiche es!

Beispiele

D(¬(¬A∨B)∧¬C) = ¬(¬A∧B)∨¬CN(¬(¬A∨B)∧¬C) = ¬(¬¬A∨¬B)∧¬¬CN∗(¬(¬A∨B)∧¬C) = ¬(A∨¬B)∧C

DN∗(¬(¬A∨B)∧¬C) = ¬(A∧¬B)∨C

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1.3. NORMALFORMEN 22

DN∗(A) = ¬ADN∗(A∧B) = ¬A∨¬B aq ¬(A∧B)DN∗(A∨B) = ¬A∧¬B aq ¬(A∨B)

Offensichtlich sind N(ϕ) und N∗(ϕ) miteinander aquivalent, und die letztendrei Formeln kann man verallgemeinern zum Teil a) von

Satz

a) ¬ϕ aq D(N∗(ϕ)) Bildung der Negationb) ϕ aq ψ ⇐⇒ Dϕ aq Dψ Dualitatssatz

und b) leicht aus a) folgern, was wir hier nicht ausfuhren. Naturlich kann maneine Aussage negieren, indem man einfach das Negationszeichen davorschreibt;Teil a) des obigen Satzes gibt eine sinnvollere Darstellung, in welcher das Nega-tionszeichen “nach innen” verschoben wird (obwohl man in praktischen Fallenes nicht gleich bis vor die atomaren Teilformeln verschieben wird). Der Dualitats-satz erklart u. a., weshalb die BOOLEschen Gesetze stets in jeweils doppelter Formauftreten.

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1.4. DER SEMANTISCHE FOLGERUNGSBEGRIFF: ERFULLBARKEIT 23

1.4 Der semantische Folgerungsbegriff: Erfullbarkeit

Eine Formel ist allgemeingultig, wenn sie uneingeschrankt den Wert W erhalt.Diesen Begriff werden wir jetzt relativieren zum Folgerungsbegriff:

Aussagenlogische Folgerungen

ϕ sei eine Formel, T eine (moglicherweise unendliche) Menge von Formeln, Veine Menge von Aussagenvariablen mit T⊆ F(V ), ϕ ∈ F(V ), und schließlich seif : V −→ W,F eine Belegung der Variablen in V .

f |= ϕ : ⇐⇒ f (ϕ) = W f erfullt ϕ

f |= T : ⇐⇒ fur alle ψ ∈ T : f |= ψ f erfullt T

erfb[ϕ] : ⇐⇒ es gibt ein f mit f |= ϕ ϕ ist erfullbarerfb[T] : ⇐⇒ es gibt ein f mit f |= T T ist erfullbarT |= ϕ : ⇐⇒ fur alle f : falls f |= T, so f |= ϕ ϕ folgt aus T

T |= ϕ besagt also: alle Belegungen f , die T erfullen, erfullen auch ϕ ,oder vereinfacht:

ϕ ist immer dann wahr, wenn alle Formeln in T wahr sind.

Falls T endlich ist, schreiben wir auch

ϕ1, . . . ,ϕn |= ϕ fur ϕ1, . . . ,ϕn |= ϕ ,

und aus /0 |= ϕ wird naturlich |= ϕ , so daß

|= ϕ ⇐⇒ ag[ϕ] .

Beispiele

(a) ϕ |= ϕ , (b) ϕ |= ϕ ∨ψ , (c) ϕ,ψ |= ϕ ∧ψ , (d) ϕ → ψ ∧δ ,δ →¬ψ |= ¬ϕ ,aber: A 6|= A∧B.

Im Falle der Ersetzungsregel gilt: ϕ ↔ ψ |= χ ↔ χ(ϕ/ψ);im Falle der Einsetzungsregel gilt jedoch i. a. nicht: ϕ(A) |= ϕ[ψ/A]!

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1.4. DER SEMANTISCHE FOLGERUNGSBEGRIFF: ERFULLBARKEIT 24

Satz

ϕ1, . . . ,ϕn |= ϕ ⇐⇒ |= ϕ1∧ . . .∧ϕn→ ϕ

Der Folgerungsbegriff fur endliche Formelmengen laßt sich somit zuruckfuh-ren auf den Begriff der Allgemeingultigkeit, der allgemeine Folgerungsbegriffaber auch auf den Erfullbarkeitsbegriff: Als Verallgemeinerung von

ag[ϕ] ⇐⇒ nicht erfb[¬ϕ]

erhalten wir den

1.4.1 Zusammenhang zwischen Folgerung und Erfullbarkeit

T |= ϕ ⇐⇒ nicht erfb[T∪¬ϕ]T 6|= ϕ ⇐⇒ erfb[T∪¬ϕ]

Lemma

erfb[T] ⇐⇒ es existiert kein ϕ mit T |= ϕ und T |= ¬ϕ

⇐⇒ es existiert ein ϕ mit T 6|= ϕ

Bemerkungen

1. Ist T endlich, so ist entscheidbar, ob T |= ϕ oder T 6|= ϕ . Es ist aber moglich,daß weder T |= ϕ noch T |=¬ϕ gilt (wenn T namlich zu wenig Informationuber die Variablen in ϕ enthalt, z. B. A 6|= B und A 6|= ¬B fur zwei verschie-dene Variable A und B)! Denn es gilt zwar

T |= ¬ϕ =⇒ T 6|= ϕ (fur erfullbares T), aber nicht umgekehrt!

2. Ist T endlich, so gibt es eine effektive Aufzahlung der Folgerungsmengeϕ | T |= ϕ.

3. Allgemeiner: Gibt es eine effektive Aufzahlung von T, so gibt es auch eineeffektive Aufzahlung der Folgerungsmenge ϕ | T |= ϕ.

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1.5. DER SYNTAKTISCHE FOLGERUNGSBEGRIFF: BEWEISBARKEIT 25

1.5 Der syntaktische Folgerungsbegriff: Beweisbarkeit

1.5.1 Axiomensysteme und Beweise

Ein (formales) Axiomensystem A wird bestimmt durch

1. die Sprache von A, gegeben durch eine (i. a. abzahlbare) Menge von Sym-bolen, dem Alphabet der Sprache von A,

z. B. A0,A1, . . . ,¬,∨,∧,→,↔,(,) im Falle der Aussagenlogik,

2. eine Menge von Formeln als bestimmte endliche Folgen von Symbolen,z. B. den aussagenlogischen Formeln,

3. eine Menge von Axiomen, wobei jedes Axiom eine Formel ist,

z. B. ϕ ∨¬ϕ, ϕ →¬¬ϕ ,

4. eine Menge von Regeln der Formϕ

ψoder

ϕ, ψ

δ,

z. B.ϕ

¬¬ϕ, modus ponens:

ϕ, ϕ → ψ

ψ.

Es sei nun A ein Axiomensystem, ϕ eine Formel, T eine Menge von For-meln (der Sprache von A). Ein (A-)Beweis von ϕ aus T ist eine endliche Folge(ϕ1, . . . ,ϕn) von Formeln, so daß

(B1) ϕn = ϕ ,

(B2) fur jedes m≤ n gilt:

(1) ϕm ist Axiom von A oder

(2) ϕm ist Formel aus T oder

(3) es gibt ein i < m, so daß ϕm aus ϕi hervorgeht durch Anwendung einerRegel von A oder

(4) es gibt i, j < m, so daß ϕm aus ϕi und ϕ j hervorgeht durch Anwendungeiner Regel von A mit 2 Pramissen.

Wir schreiben (analog zum semantischen Folgerungsbegriff):

T `A ϕ :⇐⇒ es gibt einen A-Beweis von ϕ aus T ϕ ist aus T beweisbar,`A ϕ :⇐⇒ /0 ` ϕ ϕ ist (in A ) beweisbar.

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1.5. DER SYNTAKTISCHE FOLGERUNGSBEGRIFF: BEWEISBARKEIT 26

Statt T `A ϕ werden wir auch kurz T ` ϕ schreiben, wenn das Axiomensystemaus dem Zusammenhang bekannt (oder unwesentlich) ist, statt “ϕ ist aus T be-weisbar” auch “ϕ folgt aus T” oder “ϕ ist aus T ableitbar” sagen.

1.5.2 Korrektheit und Vollstandigkeit

A korrekt : ⇐⇒ fur alle ϕ: `A ϕ ⇒ |= ϕ ,A korrekt bzgl. Folgerungen : ⇐⇒ fur alle ϕ,T: T `A ϕ ⇒ T |= ϕ ,A (syntaktisch) widerspruchsfrei :⇐⇒ es gibt ein ϕ mit 6`A ϕ ,A (semantisch) vollstandig :⇐⇒ fur alle ϕ: |= ϕ ⇒`A ϕ .A vollstandig bzgl. Folgerungen :⇐⇒ fur alle ϕ,T: T |= ϕ ⇒ T `A ϕ .

In einem korrekten Axiomensystem sind alle beweisbaren Aussagen allge-meingultig, fur ein vollstandiges Axiomensystem gilt die Umkehrung. Vollstan-digkeit und Korrektheit zusammen besagen also, daß genau die allgemeingultigenAussagen beweisbar sind.

• Ein korrektes Axiomensystem ist widerspruchsfrei: die Aussagenvariable Aist nicht allgemeingultig, kann dann also auch nicht beweisbar sein.

• In einem widerspruchsvollen (d. h. nicht widerspruchsfreien) Axiomensy-stem ist alles beweisbar;

• ein widerspruchsfreies Axiomensystem (mit modus ponens als Regel) ent-halt keinen Widerspruch in dem Sinne, daß keine Formel und zugleich auchihre Negation beweisbar ist:

Bemerkung

Enthalt A den modus ponens als Regel und gilt

`A ϕ → (¬ϕ → ψ) oder `A ¬ϕ → (ϕ → ψ), so:

A widerspruchsfrei ⇐⇒ es gibt keine Formel ϕ mit `A ϕ und `A ¬ϕ .

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1.5. DER SYNTAKTISCHE FOLGERUNGSBEGRIFF: BEWEISBARKEIT 27

Satz

T und S seien Formelmengen, ϕ eine Formel.

1. Ist ϕ ∈ T oder ϕ Axiom von A, so gilt T `A ϕ .

2. (Endlichkeitssatz fur `)

Falls T `A ϕ , so existiert ein endliches T0 ⊆ T mit T0 `A ϕ .

3. (Transitivitat von `) Falls T `A ϕ und S `A ψ fur jedes ψ ∈T, so S `A ϕ .

4. A enthalte den modus ponens als Regel. Dann gilt:T `A ϕ und T `A ϕ → ψ =⇒ T `A ψ. .

1.5.3 Einige Axiomensysteme der Aussagenlogik

Es gibt zahlreiche Beispielen fur Axiomensysteme der Aussagenlogik mit unter-schiedlichen Vorzugen und Nachteilen, wir erwahnen nur die folgenden:

(a) Hilbert-Bernays

• Sprache: A,B,C, . . . ,¬,∨,∧,→,↔,(,)

• Axiome:

1. A→ (B→ A)(A→ (A→ B))→ (A→ B)(A→ B)→ ((B→C)→ (A→C))

2. A∧B→ AA∧B→ B(A→ B)→ ((A→C)→ (A→ B∧C))

3. A→ A∨BB→ A∨B(A→C)→ ((B→C)→ (A∨B→C))

4. (A↔ B)→ (A→ B)(A↔ B)→ (B→ A)(A→ B)→ ((B→ A)→ (A↔ B)) (bis hier: Positive Logik)

5. (A→ B)→ (¬B→¬A) (bis hier: Minimalkalkul)A→¬¬A (bis hier: Intuitionistische Logik)¬¬A→ A (klassische Logik)

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1.5. DER SYNTAKTISCHE FOLGERUNGSBEGRIFF: BEWEISBARKEIT 28

• Regeln:

Einsetzungsregel:ϕ(A)

ϕ[ψ/A]und modus ponens:

ϕ, ϕ → ψ

ψ

Interessant ist hier die Gruppierung der Axiome nach den einzelnen aussagen-logischen Operationen, zudem ist die Anordnung der letzten Axiome so gewahlt,daß man durch Weglassen verschiedene Teilsysteme der Aussagenlogik erhalt, diesich durch ihre jeweiligen Anforderungen an die Negation unterscheiden.

(b) Shoenfield

• Sprache: A,B,C, . . . ,¬,∨,(,)Die ubrigen aussagenlogischen Operationen werden wie ublich definiert,endliche Folgen von Disjunktionen und Implikationen werden durch Klam-merung von rechts definiert:

ϕ1→ ϕ2 . . .→ ϕn : ↔ ϕ1→ (ϕ2→ (. . .ϕn)),

ϕ1∨ϕ2 . . .∨ϕn : ↔ ϕ1∨ (ϕ2∨ (. . .ϕn)).

• Axiome: ¬ϕ ∨ϕ (tertium non datur)

• Regeln:

Expansion:ψ

ϕ ∨ψAssoziativitat:

ϕ ∨ (ψ ∨δ )(ϕ ∨ψ)∨δ

Kurzung:ϕ ∨ϕ

ϕSchnitt:

ϕ ∨ψ,¬ϕ ∨δ

ψ ∨δ

Die Axiome sind hier als Formelschemata aufgeschrieben, so daß keine Einset-zungsregel erforderlich ist.

(c) Nicod

Dieses Axiomensystem kommt allein mit einer aussagenlogischen Verknupfungaus, namlich mit ↑ (wobei A ↑ B bedeutet: nicht A oder nicht B), außerdem wirdauch nur nur ein Axiomenschema und nur eine Regel benotigt:

(α ↑ (β ↑ γ)) ↑ [δ ↑ (δ ↑ δ )] ↑ [(ε ↑ β ) ↑ ((α ↑ ε) ↑ (α ↑ ε))]α,α ↑ (β ↑ γ)

γ

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1.6. VOLLSTANDIGKEIT UND KOMPAKTHEIT 29

Das ist wohl das allerkurzeste (wenn auch nicht besonders intuitive) Axio-mensystem. Hat ein Axiomensystem wenig Grundsymbole und/oder wenig Axio-me und Regeln, so laßt sich seine Korrektheit i. a. sehr schnell zeigen, dagegenwerden Beweise in einem solchen System sehr lang und umstandlich, und dieVollstandigkeit ist dann entsprechend muhsam zu zeigen.

Alle diese Axiomensysteme sind korrekt, widerspruchsfrei und vollstandig, je-doch nicht bezuglich Folgerungen, wenn sie die Einsetzungsregel enthalten. Umdiese Regel zu vermeiden, muß man die Axiome (wie in den letzten beiden Axio-mensystemen) als Formelschemata schreiben!

Die Korrektheit beweist man in allen Fallen durch Induktion uber die Langeeines Beweises, d. h. man zeigt

• die Axiome sind allgemeingultig und

• sind die Pramissen einer Regel allgemeingultig, so auch die Konklusion.

Gilt außerdem:

• aus der (den) Pramisse(n) einer Regel folgt die Konklusion,

so sind die Axiomensysteme auch korrekt bzgl. Folgerungen; modus ponens unddie ubrigen betrachteten Regeln - außer der Einsetzungsregel! - erfullen diese Be-dingung. So kann man leicht nachweisen, daß das Axiomensystem von SHOEN-FIELD korrekt bezuglich Folgerungen ist.

1.6 Vollstandigkeit und Kompaktheit

Die Vollstandigkeit eines Axiomensystems ist i. a. schwieriger als seine Korrekt-heit zu beweisen, und wie es auch kein irgendwie “kanonisches” Axiomensystemfur die Aussagenlogik gibt, so gibt es auch keine Standardmethode zum Nach-weis der Vollstandigkeit, vielmehr muß man die Beweismethode dem Charakterdes jeweiligen Axiomensystems anpassen. Hier wollen wir als Beispiel das Axio-mensystem von SHOENFIELD behandeln. Der Beweisbegriff ` bezieht sich alsoauf dieses System; die Ergebnisse gelten jedoch (mit moglicherweise anderen Be-weisen) auch fur andere vollstandige Axiomensysteme der Aussagenlogik!

Kommutativitat

ϕ ∨ψ ` ψ ∨ϕ

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1.6. VOLLSTANDIGKEIT UND KOMPAKTHEIT 30

Beweis: Aus der Voraussetzung ϕ∨ψ und dem Axiom ¬ϕ∨ϕ erhalt man mittelsder Schnittregel: ψ ∨ϕ .

Das bedeutet also, daß manϕ ∨ψ

ψ ∨ϕ

als Regel hinzunehmen kann (man sagt auch, daß diese Regel ableitbar sei).

Modus Ponens

ϕ,ϕ → ψ ` ψ

d. h. auch der modus ponensϕ,ϕ → ψ

ψ

ist eine ableitbare Regel.

Beweis: Aus

ϕ (Voraussetzung)ψ ∨ϕ (Expansion) erhalten wir mit Komm. und der Vor. ¬ϕ ∨ψ

ϕ ∨ψ, ¬ϕ ∨ψ

ψ ∨ψ(Schnitt)

ψ (Kurzung)

Die Kommutativregel, Expansionsregel und die Assoziativregel lassen sichverallgemeinern, wobei wir mit einem Spezialfall beginnen:

Lemma

Fur 1≤ i < j ≤ n gilt: ϕi∨ϕ j ` ϕ1∨ . . .∨ϕn.

Beweis durch Induktion uber n, wobei man n > 2 annehmen kann: Setze ϕ :=ϕ3∨ . . .∨ϕn. Dann ist zu zeigen: ϕi∨ϕ j ` ϕ1∨ (ϕ2∨ϕ).

Fall 1: i≥ 2. Dann gilt ϕi∨ϕ j ` ϕ2∨ϕ nach Induktionsvoraussetzung (da ϕ1 weg-gelassen wurde, handelt es sich nur noch um n−1 Formeln). Also gilt nachder Expansionsregel: ϕi∨ϕ j ` ϕ1∨ (ϕ2∨ϕ).

Fall 2: i = 1, j ≥ 3. Dann ist aus der Voraussetzung ϕi∨ϕ j beweisbar:

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1.6. VOLLSTANDIGKEIT UND KOMPAKTHEIT 31

ϕ1∨ϕ nach Ind.vor. fur die n−1 Formeln ohne ϕ2

ϕ ∨ϕ1 nach Komm.ϕ2∨ (ϕ ∨ϕ1) mit der Expansionsregel(ϕ2∨ϕ)∨ϕ1 mit der Assoziativregelϕ1∨ (ϕ2∨ϕ) nach Komm.

Fall 3: i = 1, j = 2. Dann ist aus der Voraussetzung ϕi∨ϕ j, d. h. ϕ1∨ϕ2 beweisbar:

ϕ ∨ (ϕ1∨ϕ2) mit der Expansionsregel(ϕ ∨ϕ1)∨ϕ2 mit der Assoziativregelϕ2∨ (ϕ ∨ϕ1) nach Komm.(ϕ2∨ϕ)∨ϕ1 mit der Assoziativregelϕ1∨ (ϕ2∨ϕ) nach Komm.

Mit ahnlichen kombinatorischen Uberlegungen zeigt man:

1.6.1 Verallgemeinerte Expansion

Fur n,m≥ 1, i1, . . . im ∈ 1, . . . ,n gilt: ϕi1 ∨ . . .∨ϕim ` ϕ1∨ . . .∨ϕn.

Beweis durch Induktion uber m:

Fall 1: m = 1, i1 = i. Dann gilt ϕi nach Induktionsvoraussetzung, also:

(ϕi+1∨ . . .∨ϕn)∨ϕi mit der Expansionsregelϕi∨ϕi+1∨ . . .∨ϕn nach Komm.ϕ1∨ . . .∨ϕn mit der Expansionsregel (i−1)-mal.

Fall 2: m = 2. Dieser Fall ergibt sich aus dem vorigen Lemma zusammen mitKomm.

Fall 3: m≥ 3. Setze ϕ := ϕ1∨ . . .∨ϕn. Aus der Voraussetzung

ϕi1 ∨ . . .∨ϕim folgt(ϕi1 ∨ϕi2)∨ . . .∨ϕim mit der Assoziativregel(ϕi1 ∨ϕi2)∨ϕ nach Ind.vor. fur m−1 Formeln(ϕ ∨ϕi1)∨ϕi2 mit Komm.- und Assoziativregel(ϕ ∨ϕi1)∨ϕ nach Ind.vor. fur 2 Formeln (m = 2)

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1.6. VOLLSTANDIGKEIT UND KOMPAKTHEIT 32

(ϕ ∨ϕ)∨ϕi1 mit der Komm.- und Assoziativregel(ϕ ∨ϕ)∨ϕ nach Induktionsvor. fur 2 Formeln (m = 2)

ϕ nach Assoziativregel und Fall 1.

Dabei zahlt bei der Induktionsvoraussetzung fur m−1 Formeln die Formel (ϕi1 ∨ϕi2) als eine Formel!

Mit der Kommutativregel erhalten wir hieraus auch die Umkehrung der Asso-ziativregel:

(ϕ ∨ψ)∨δ

ϕ ∨ (ψ ∨δ )

1.6.2 Lemma uber die Negation

(i) ϕ ∨ψ ` ¬¬ϕ ∨ψ

(ii) ¬¬ϕ ∨ψ ` ϕ ∨ψ

(iii) ¬ϕ ∨δ ,¬ψ ∨δ ` ¬(ϕ ∨ψ)∨δ

Den Beweis uberlassen wir als Ubungsaufgabe.Nunmehr konnen wir den (schwachen) Vollstandigkeitssatz beweisen als

1.6.3 Tautologiesatz

(i) |= ϕ =⇒` ϕ

(ii) ϕ1, . . . ,ϕn |= ϕ =⇒ ϕ1, . . . ,ϕn ` ϕ

Beweis: Zunachst zeigen wir, daß (ii) bereits aus (i) folgt: Sei ϕ1, . . . ,ϕn |= ϕ .Dann gilt |= ϕ1→ . . .→ ϕn→ ϕ , also nach (i):

` ϕ1→ . . .→ ϕn→ ϕ und also auchϕ1 ` ϕ1→ . . .→ ϕn→ ϕ , woraus mit modus ponens folgtϕ1 ` ϕ2→ . . .→ ϕn→ ϕ , ebenso:ϕ1,ϕ2 ` ϕ3→ . . .→ ϕn→ ϕ , usw. bisϕ1, . . . ,ϕn ` ϕ .

Der Beweis von (i) erfolgt durch eine raffiniert angesetzte Induktion: Wir zei-gen

|= ϕ1∨ . . .∨ϕn =⇒` ϕ1∨ . . .∨ϕn

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1.6. VOLLSTANDIGKEIT UND KOMPAKTHEIT 33

durch Induktion uber Σi=1,...,n lz(ϕi), wobei lz(ϕ) = Anzahl der logischen Zeichenin ϕ ist:

1. Fall: Jedes ϕi ist eine Aussagenvariable oder eine negierte Aussagenvaria-ble. Falls |= ϕ1 ∨ . . .∨ϕn, so muß ein ϕi = ¬ϕ j fur ein j sein. Es ist dann aberϕi∨ϕ j ein Axiom, also beweisbar, und damit nach 1.6.1 auch ` ϕ1, . . . ,ϕn.

Falls der 1. Fall nicht vorliegt, so ist mindestens ein ϕi keine Aussagenva-riable und auch keine negierte Aussagenvariable; durch Vertauschen konnen wirannehmen, daß diese Voraussetzung auf ϕ1 zutrifft.

2. Fall: ϕ1 = ψ ∨δ fur ein ψ bzw. δ . Dann folgt aus der Annahme:|= ψ ∨ (δ ∨ . . .∨ϕn), also gilt nach Induktionsvoraussetzung (hier liegt der Trickdes Beweises!) auch ` ψ ∨ (δ ∨ . . .∨ϕn) und nach der Assoziativregel dann auch` ϕ1∨ . . .∨ϕn.

3. Fall: ϕ1 =¬¬ψ fur ein ψ . Dann folgt aus der Annahme |= ψ∨ϕ2∨ . . .∨ϕn,also nach Induktionsvoraussetzung auch ` ψ ∨ ϕ2 ∨ . . .∨ ϕn, und nach Lemma1.6.2 (i) gilt dann ` ϕ1∨ . . .∨ϕn.

4. Fall: ϕ1 = ¬(ψ ∨δ ) fur ein ψ bzw. δ . Dann ist unter der Annahme

|= ¬(ψ ∨δ )∨ϕ2∨ . . .∨ϕn, auch|= ¬ψ ∨ϕ2∨ . . .∨ϕn und |= ¬δ ∨ϕ2∨ . . .∨ϕn, und somit` ¬ψ ∨ϕ2∨ . . .∨ϕn und ` ¬δ ∨ϕ2∨ . . .∨ϕn nach Ind.vor., woraus` ϕ1∨ . . .∨ϕn mit Lemma 1.6.2 (iii) folgt.

Mit Hilfe des Tautologiesatzes kann man nun beweisen:

1.6.4 Deduktionstheorem

T ` ϕ → ψ ⇐⇒ T∪ϕ ` ψ

Wir werden dieses rein syntaktische Ergebnis spater im Rahmen der Pradika-tenlogik auch rein syntaktisch beweisen.

1.6.5 Widerspruchsfreiheit und Vollstandigkeit von Theorien

Widerspruchsfreiheit (Konsistenz) und Vollstandigkeit haben wir als syntaktischeBegriffe in 1.5.2 fur Axiomensysteme definiert; der erste Begriff wird entspre-chend auf Formelmengen (spater: Theorien) ubertragen. Aufpassen muß man da-gegen bei dem Begriff der Vollstandigkeit: Dieser wird im Falle von Formelmen-gen eine andere Bedeutung haben als fur Axiomensysteme.

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1.6. VOLLSTANDIGKEIT UND KOMPAKTHEIT 34

T konsistent: ⇐⇒ es gibt ein ϕ mit T 6` ϕ

⇐⇒ es gibt kein ϕ mit T ` ϕ und T ` ¬ϕ

T vollstandig: ⇐⇒ fur alle ϕ gilt: T ` ϕ oder T ` ¬ϕ .

Somit ist eine Formelmenge

T vollstandig und konsistent ⇐⇒ fur alle ϕ gilt: entweder T ` ϕ oder T ` ¬ϕ .

Gleichbedeutend damit ist die Aussage, daß die Menge der Folgerungen aus T

C(T) := σ | T ` σ

maximal konsistent ist, d. h. C(T) ist konsistent, besitzt aber keine echte konsi-stente Erweiterung.

Eine Theorie ist inkonsistent (oder widerspruchsvoll) gdw. sie nicht konsi-stent ist; ahnlich wie im Fall der semantischen Analoga (1.4.1) hangen Beweis-barkeit und (In-)konsistenz miteinander zusammen:

1.6.6 Lemma uber Beweisbarkeit und Konsistenz

(i) T 6` ϕ ⇐⇒ T∪¬ϕ konsistent,

(ii) T ` ϕ ⇐⇒ T∪¬ϕ inkonsistent.

Beweis: Gilt T ` ϕ , so erst recht T∪¬ϕ ` ϕ und naturlich auch T∪¬ϕ `¬ϕ , also ist T∪¬ϕ inkonsistent.

Ist umgekehrt T∪¬ϕ inkonsistent, so ist alles beweisbar, insbesondere auchT∪ ¬ϕ ` ϕ und nach dem Deduktionstheorem T ` ¬ϕ → ϕ , woraus T ` ϕ

folgt. Damit haben wir (ii) gezeigt (und damit auch (i)).

Den verallgemeinerten Vollstandigkeitssatz werden wir nun in der Form

jede konsistente Theorie ist erfullbar

beweisen. Dazu werden wir in zwei Schritten zeigen:

• jede konsistente Menge T laßt sich zu einer vollstandigen Menge erweitern,

• eine vollstandige Menge ist (in kanonischer) Weise erfullbar.

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1.6. VOLLSTANDIGKEIT UND KOMPAKTHEIT 35

1.6.7 Vervollstandigung

Zu jeder konsistenten Formelmenge T gibt es eine vollstandige Erweiterung TV ⊇T.

Beweis: Es sei ϕ0, . . . ,ϕn, . . . eine Aufzahlung aller Formeln. Durch Induktionerweitern wir T, indem wir T0 = T setzen und

Tn+1 =

Tn falls Tn ` ϕn,

Tn∪¬ϕn sonst.

Nach obigem Lemma 1.6.6 (i) bleibt Tn+1 auch im “sonst”-Fall konsistent, sodaß alle Tn konsistent sind und damit auch die Vereinigung

TV :=⋃

n∈NTn

(nach dem Endlichkeitssatz fur die Beweisbarkeit, s. 1.5.2). Da die Formel ϕn oderihre Negation spatestens im (n + 1)-ten Schritt zu T hinzugefugt werden, ist TV

auch vollstandig.

1.6.8 Verallgemeinerter Vollstandigkeitssatz

(i) T |= ϕ =⇒ T ` ϕ, also

T |= ϕ ⇐⇒ T ` ϕ.

(ii) T konsistent =⇒ T hat ein Modell, also

T konsistent ⇐⇒ T hat ein Modell.

Beweis von (i) mittels (ii):

T 6` ϕ =⇒ T∪¬ϕ konsistent nach 1.6.6 (i)=⇒ T∪¬ϕ erfullbar nach (ii)=⇒ T 6|= ϕ .

(Umgekehrt kann man aus (i) auch leicht (ii) erhalten!)Beweis von (ii): Es sei T konsistent, TV eine vollstandige Erweiterung von T.

Wir definieren dann eine Belegung f von allen Aussagenvariablen durch

f (A) = W ⇐⇒ TV ` A.

Dann gilt allgemeiner fur alle Formeln ϕ:

(∗) f |= ϕ ⇐⇒ TV ` ϕ.

Diese Behauptung beweist man leicht durch Induktion uber ρ(ϕ):

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1.6. VOLLSTANDIGKEIT UND KOMPAKTHEIT 36

1. Ist ϕ eine Aussagenvariable, so gilt (*) nach Definition von f .

2. Ist ϕ = ¬ψ , so

f |= ϕ ⇐⇒ f 6|= ψ

⇐⇒ TV 6` ψ nach Ind.vor. fur ψ

⇐⇒ TV ` ¬ψ da TV vollstandig

⇐⇒ TV ` ϕ

3. Ist ϕ = ψ ∨δ , so

f |= ϕ ⇐⇒ f |= ψ oder f |= δ

⇐⇒ TV ` ψ oder TV ` δ nach Ind.vor. fur ψ,δ

⇐⇒ TV ` ϕ,

wobei sich die letzte Aquivalenz wie folgt ergibt:Gilt TV ` ψ oder TV ` δ , so auch TV ` ϕ nach der (verallgemeinerten) Ex-

pansionsregel.Sei umgekehrt TV ` ϕ vorausgesetzt. Falls weder TV `ψ noch TV ` δ , so gilt

wegen der Vollstandigkeit von TV : TV ` ¬ψ und TV ` ¬δ , also nach 1.6.2 (iii):TV ` ¬(ψ ∨δ ), d. h. TV ` ¬ϕ , und TV ware damit inkonsistent, Widerspruch!

Mit Hilfe des Endlichkeitssatzes (aus 1.5.2) erhalten wir als Korollar den

1.6.9 Kompaktheitssatz der Aussagenlogik

T ist erfullbar ⇐⇒ jedes endliche T0 ⊆ T ist erfullbar.

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37

Kapitel 2

Strukturen und formale Sprachen

Im Mittelpunkt der modernen Mathematik steht der Begriff einer Struktur. Diesekommen vor als

• relationale Strukturen:Ordnungen, Graphen, Baume . . .

• algebraische Strukturen:Gruppen, Ringe, Korper, Vektorraume . . .

• gemischte Strukturen:topologische Gruppen, angeordnete Korper, geometrische Raume . . .

Verschiedene Strukturen konnen sich in bestimmten Eigenschaften gleichen oderauch unterscheiden, prazisieren werden wir den Eigenschaftsbegriff mit Hilfe for-maler Sprachen.

Beliebige Eigenschaften kann man zusammenfassen als Axiome einer (mog-licherweise widerspruchsvollen) Theorie T . Erfullt eine Struktur M die Axiomeeiner Theorie T , sind also alle Axiome wahr in der Struktur, so nennt man M einModell dieser Theorie. Schließlich legen wir fest: Eine Aussage ist (logisch) wahrgenau dann, wenn sie in allen Strukturen wahr ist.

Formale Sprachen haben wir bereits in der Aussagenlogik kennengelernt; wirwerden sie jetzt durch zusatzliche Symbole erweitern zu den Sprachen der Pradi-katenlogik, die dadurch wesentlich ausdrucksstarker werden. Dabei konnten wirahnlich wie beim Aufbau der Aussagenlogik vorgehen, wollen hier aber zur Ab-wechslung mit einem semantischen Grundbegriff beginnen. Dafur mussen wir nunallerdings die Kenntnis einiger einfacher Begriffe und Notationen aus der Men-genlehre voraussetzen, die spater genauer begrundet werden sollen.

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2.1. STRUKTUREN 38

2.1 Strukturen

Eine Struktur A ist ein 4-Tupel

(A,(RAi |i ∈ I),( f A

j | j ∈ J),(cAk |k ∈ K)),

wobei fur jedes i ∈ I, j ∈ J,k ∈ K :

1. A 6= /0 eine nicht-leere Menge ist, der Individuenbereich (Grundbereich,Trager) der Struktur A,

2. RAi ⊆ Ani (RA

i ist eine ni-stellige Relation auf A),

3. f Aj : Am j −→ A ( f A

j ist eine m j-stellige Funktion auf A),

4. cAk ∈ A (cA

k ist ein Element (eine Konstante) von A).

Die Anzahl der Relationen, Funktionen und Konstanten sowie ihre jeweiligenStellenzahlen (die ≥ 1 sein sollen) werden im Tripel

((ni|i ∈ I),(m j| j ∈ J),K)

festgelegt, genannt Signatur oder Typ der Struktur. Die Indexmengen I,J,K wer-den meistens endlich sein, so daß man die einzelnen Relationen, Funktionen undKonstanten auch einfacher hintereinander schreibt (s. folgendes Beispiel). DenGrundbereich einer Struktur A bezeichnet man auch mit A = |A|, ebenso werdenwir den Grundbereich der Struktur B mit B bezeichnen, usw.

2.1.1 Beispiele

1. Die geordneten Gruppen (Z,<,+,0) und (Q\0,<, ·,1) haben eine 2-stellige Relation, eine 2-stellige Funktion und eine Konstante, sind alsoStrukturen vom Typ ((2),(2),0), aber nicht alle Strukturen dieses Typsmussen geordnete Gruppen sein; man erhalt auch eine Struktur (A,R, f ,c)dieses Typs durch die Festlegung

A := N, R := (n,m) | n,m ∈ N, n teilt m+3,f := (n,m,k) | n,m,k ∈ N, k = m ·n3 +1001, c := 17,

denn die Gultigkeit von Axiomen haben wir (noch) nicht verlangt!

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2.1. STRUKTUREN 39

2. Vektorraume V uber einem Korper K fallen unter den obigen Strukturbe-griff, wenn man als Grundbereich die Menge V der Vektoren wahlt, aufwelcher die Vektoraddition als 2-stellige Operation definiert ist. Der Null-vektor als neutrales Element ist eine Konstante von V, und die skalare Mul-tiplikation wird wiedergegeben durch 1-stellige Funktionen fα : V →V mitfα(v) = αv fur alle α ∈ K. Im Falle K = R oder C ist dann die IndexmengeJ uberabzahlbar (und zwar von der Machtigkeit des Kontinuums)!

2.1.2 Mehrsortige Strukturen

Die Euklidische Ebene ist ein typisches Beispiel einer mehrsortigen Struktur:In diesem Fall gibt es zusatzlich eine Menge S von Sorten, und statt eines Grund-bereiches A gibt es nun fur jede Sorte s ∈ S einen Grundbereich As, Relationenzwischen Elementen moglicherweise verschiedener Sorten, Funktionen, die aufeinzelnen Grundbereichen definiert sind und moglicherweise in andere Grundbe-reiche abbilden und schließlich Konstanten aus den einzelnen Grundbereichen. Sogibt es im Falle der Euklidischen Ebene zwei Sorten (Menge der Punkte P bzw.der Geraden G) und die Inzidenzbeziehung I zwischen Punkten und Geraden (pliegt auf g).

Alle Ergebnisse, die hier fur einsortige Strukturen dargestellt werden, lassensich (mutatis mutandis) auf mehrsortige Strukturen ubertragen; die mehrsortigenStrukturen zu behandeln, erfordert allerdings einen erheblichen formalen Auf-wand wegen der zusatzlichen Sortenindizes. Andererseits lassen sich prinzipiellalle mehrsortigen Strukturen auf einsortige zuruckfuhren, indem man die einzel-nen Grundbereiche As zu einer disjunkten Vereinigung A zusammenfaßt, fur dieAufteilung in die einzelnen Grundbereiche zusatzliche 1-stellige Pradikate Ps aufA einfuhrt und die fruheren Relationen und Funktionen in trivialer Weise auf denGrundbereich A fortsetzt. So wurde z. B. aus der 2-sortigen Euklidischen Ebenedie 1-sortige Struktur

E = (P∪G,P,G, I) mit I = (p,g) | p ∈ P,g ∈ G und p liegt auf g

Ein Vektorraum V = (V,K,+, ·,0) uber einem Korper K (mit Vektoraddition,Nullvektor und der skalaren Multiplikation · als Abbildung K×V →V ) ist eben-falls eigentlich eine 2-sortige Struktur (mit Vektoren und Skalaren als den beidenSorten). Wie wir spater sehen werden, ist es aber vorteilhaft, den Vektorraum wieim Beispiel (2) von 2.1.1 als gewohnliche 1-sortige Struktur aufzufassen, auchwenn damit die Signatur so groß wie der Korper wird.

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2.1. STRUKTUREN 40

2.1.3 Symbole fur formale Sprachen

Die Strukturen (Z,<,+,0) und (Q\0,<, ·,1) haben verschiedene Grundberei-che sowie unterschiedliche Operationen, erfullen aber beide die Gesetze einer an-geordneten Gruppe. Gibt es auch Eigenschaften, in denen sie sich unterscheiden?Um Strukturen desselben Typs hinsichtlich ihrer Eigenschaften untersuchen undvergleichen zu konnen, mussen wir die Eigenschaften in einer einheitlichen Spra-che ausdrucken. So besagt zum Beispiel die Aussage

∀x(e < x→∃y(e < y∧ y y < x))

daß es fur jedes Element x, welches großer als das neutrale Element ist, ein Ele-ment y gibt, welches ebenfalls großer als das neutralen Element ist, so daß dasProdukt von y mit y noch kleiner als x ist. Diese Aussage ist offensichtlich ineinigen, aber nicht allen Strukturen wahr (das hangt von der Interpretation derSymbole ab).

Definition

Gegeben sei eine Signatur σ = ((ni|i∈ I),(m j| j ∈ J),K). Eine (formale) SpracheL zur Signatur σ besitzt als Alphabet folgende

1. logische Zeichen:

• Variable v0,v1,v2, . . . (wir schreiben auch x,x0,x1,x2,y,z, . . .)

• aussagenlogische Verknupfungen ¬,∨

• den Existenz-Quantor ∃

• das Gleichheitszeichen = (als 2-stelliges Relationszeichen)

und dazu - festgelegt durch die Signatur -:

2. nicht-logische Zeichen:

• ni - stellige Relationszeichen Rnii (ni ≥ 1, i ∈ I),

• m j - stellige Funktionszeichen f m jj (m j ≥ 1, j ∈ J),

• Individuenkonstanten ck (k ∈ K).

Sprachen und Strukturen sind somit uber die Signatur verbunden; haben dieStruktur A und die Sprache L dieselbe Signatur, so sagen wir auch, daß A eineL-Struktur ist, bzw. daß L die Sprache der Struktur A ist.

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2.2. UNTERSTRUKTUREN UND MORPHISMEN 41

Als Symbole fur die Gruppenoperation bzw. das neutrale Element wahlt manublicherweise bzw. e; in konkreten Gruppen, wie

A = (Z,+,0) und B = (Q\0, ·,1),

stehen dann die entsprechenden Interpretationen, also in unserer Bezeichnungs-weise:

A = (Z,A,eA) und B = (Q\0,B,eB).

Syntax und Semantik

Die formalen Zeichen (Symbole) einer Sprache, ihr Aufbau zu endlichen Zeichen-reihen (als Terme und Formeln) und die Untersuchung ihrer Eigenschaften, dieallein auf ihrer formalen Gestalt beruhen, gehoren zur Syntax. Dagegen han-delt es sich beim Begriff der Struktur, sowie allgemeiner den Interpretationender formalen Symbole, um Gegenstande der Semantik. Zwischen beiden zu un-terscheiden ist besonders wichtig fur Grenzbereiche der Mathematischen Logik(GODELsche Unvollstandigkeitssatze), sollte aber trotzdem schon fruhzeitig be-achtet werden. Manchmal kann allerdings eine konsequente Wahl der Bezeich-nung zu schwerfalligen Ausdrucksweisen fuhren, so daß wir Vereinfachungentreffen werden. (Z. B. kann das Zeichen + wie oben die Addition auf den gan-zen Zahlen bezeichnen, gelegentlich aber auch die Addition auf den naturlichenbzw. reellen Zahlen, moglicherweise aber auch ein formales Symbol fur eine 2-stellige Relation - die korrekte Bedeutung wird sich dann aber meistens aus demZusammenhang ergeben.)

2.2 Unterstrukturen und Morphismen

A und B seien Strukturen derselben Sprache L mit Grundbereich A bzw. B. Dannheißt A Unterstruktur (oder Substruktur) von B, geschrieben: A⊆B , genaudann, wenn

U1 A⊆ B,

U2 RA = RB∩An fur jedes n-stellige Relationszeichen R von L,

U3 f A = f B Am fur jedes m-stellige Funktionszeichen f von L, und

U4 cA = cB fur jede Individuenkonstante c von L.

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2.2. UNTERSTRUKTUREN UND MORPHISMEN 42

Eine Abbildung h heißt Homomorphismus von A nach B, h : A−→B , ge-nau dann, wenn

H1 h : A−→ B,

H2 RA(a1, . . . ,an) =⇒ RB(h(a1), . . . ,h(an)) fur alle a1, . . . ,an ∈ A und fur je-des n-stellige Relationszeichen R von L,

H3 h( f A(a1, . . . ,am)) = f B(h(a1), . . . ,h(am)) fur alle a1, . . . ,am ∈ A und furjedes m-stellige Funktionszeichen f von L, und

H4 h(cA) = cB fur jede Individuenkonstante c von L.

Ein Homomorphismus h : A −→ B heißt eine Einbettung gdw h injektiv istund in (H2) auch die Umkehrung gilt:

H2’ RA(a1, . . . ,an) ⇐⇒ RB(h(a1), . . . ,h(an)) fur alle a1, . . . ,an ∈ A und furjedes n-stellige Relationszeichen R von L.

(Die Injektivitat von h besagt gerade, daß (H2’) auch fur die Gleichheitsrelationgilt.) Ein

• surjektiver Homomorphismus ist ein Epimorphismus,

• ein injektiver Homomorphismus ist ein Monomorphismus,

und schließlich ist

• ein Isomorphismus eine surjektive Einbettung, also eine bijektive Abbil-dung h : A←→ B, welche die Bedingungen (H1), (H2’), (H3) und (H4)erfullt.

A ist isomorph zu B, A∼= B , gdw es einen Isomorphismus h : A←→ B

gibt.

Somit ist A ⊆ B gdw die identische Abbildung iA : A→ B (mit i(a) = a furalle a ∈ A) eine Einbettung iA : A−→B ist.

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2.2. UNTERSTRUKTUREN UND MORPHISMEN 43

2.2.1 Beispiele

1. Es sei

• Z = (Z,+,0) die additive Gruppe der ganzen Zahlen,

• N = (N,+,0) die Struktur der naturlichen Zahlen, und

• G = (2n | n ∈ Z,+,0) die Struktur der geraden Zahlen.

Dann sind N,G ⊆ Z, aber (N, ·,1) 6⊆ Z. Im ubrigen ist N keine Gruppe:Unterstrukturen von Gruppen brauchen also keine Untergruppen zu sein,da diese auch unter der Inversenbildung abgeschlossen sein mussen. Fugenwir aber zur Sprache ein entsprechendes 1-stelliges Funktionszeichen furdas Inverse hinzu, so sind Unterstrukturen zugleich Untergruppen. Fernerist die Abbildung h : Z −→ G mit h(n) = 2n ein Isomorphismus von Z aufG.

2. Es sei

• A = (a,b,c,d,<A) die teilweise geordnete Struktur mit:

a <A b,b <A d,a <A c,c <A d,

• B = (1,2,3,4,<B) die geordnete Struktur mit 1 <B 2 <B 3 <B 4 :

@@

@@@I

@@

@@@I

ca

cb c c

cd

A

6

6

6

c 1

c 2

c 3

c 4

B

Dann ist die Abbildung h mit

• h(a) = 1,h(b) = 2,h(c) = 3,h(d) = 4

ein Homomorphismus h : A−→B. Da aber h(b) = 2 <B h(c) = 3, wahrendb 6<A c, ist h keine Einbettung, also trotz Bijektivitat kein Isomorphismus!

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2.2. UNTERSTRUKTUREN UND MORPHISMEN 44

3. Unterstrukturen von Vektorraumen sind Unterraume (lineare Teilraume),wenn man die Sprache der Vektorraume uber einem Korper K wie in 2.1.1mit Hilfe von einstelligen Funktionszeichen fα fur jedes α ∈ K formuliert,wobei fα fur die skalare Operation mit α steht.

Ist B Universum einer L-Struktur B und enthalt die Sprache L nur Relations-zeichen, so fuhrt jede nicht-leere Teilmenge A⊆ B wieder zu einer Unterstrukturvon B: Man schranke einfach die Relationen auf den Teilbereich A ein. Falls dieSprache jedoch auch Funktionszeichen enthalt, muß A unter den entsprechendenFunktionen von B abgeschlossen sein:

2.2.2 Satz uber Unterstrukturen

B sei eine L-Struktur, /0 6= A⊆ B. Dann ist A das Universum einer UnterstrukturA⊆B genau dann, wenn

(i) a1, . . . ,am ∈ A =⇒ f B(a1, . . . ,am) ∈ Afur alle m-stelligen Funktionszeichen f von L und

(ii) cB ∈ A fur jede Individuenkonstante c von L.

Sind die obigen Bedingungen erfullt, so ist die Unterstruktur A durch die MengeA (und naturlich die Struktur B) eindeutig bestimmt.

Ist B eine L-Struktur, /0 6= A⊆ B, so gibt es eine kleinste (bzgl. ⊆) Menge A,die A enthalt und Grundbereich einer Unterstruktur von B ist: die von A erzeugteUnterstruktur. Auf eine Beschreibung von A kommen wir nach Einfuhrung desTermbegriffes zuruck.

2.2.3 Homomorphes Bild, Identifizierung

Ist h : A−→B ein Homomorphismus, so erfullt die Menge der Bilder von h

h[A] := h(a) | a ∈ A

die Bedingungen von Satz 2.2.2, ist also Universum einer Unterstruktur h[A] vonB, das homomorphe Bild von A.

Ist h sogar eine Einbettung, so ist h ein Isomorphismus von A auf h[A]. Haufigidentifiziert man in dieser Situation A mit dem isomorphen Bild h[A], d. h. manersetzt in B die Elemente h(a) durch ihre Urbilder a fur a ∈ A, um somit A ⊆ B

zu erhalten (wahrend eigentlich statt A nur eine isomorphe Kopie hiervon Unter-struktur von B ist).

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2.3. TERME EINER SPRACHE 45

2.3 Terme einer Sprache

(T1) Jede Variable und jede Individuenkonstante von L ist ein Term von L.

(T2) Ist f ein m-stelliges Funktionszeichen von L und sind t1, . . . , tm Terme vonL, so ist auch f (t1, . . . , tm) ein Term von L.

(T3) Das sind alle Terme von L.

Wie ublich werden wir im Falle 2-stelliger Funktionszeichen (wie + ) stattf (t,s) auch t f s schreiben.

Beispiele

• Enthalt die Sprache L keine Funktionszeichen und keine Individuenkon-stanten, so sind die Variablen die einzigen L-Terme.

• Im allgemeinen Fall entstehen Terme aus Variablen und Konstanten durchwiederholte Anwendung von Funktionszeichen, z. B.

sin(x2 + z)+ eiπ 1z ,

was eigentlich schon die Interpretation eines Termes ist, denn hier mußtenstatt der Funktionen naturlich die entsprechenden Funktionszeichen stehen.

Die Interpretation eines Terms in einer Struktur A wird ein Element von Asein, abhangig davon, wie wir die Variablen im Term belegen (der Wert von x+ yhangt von der Operation + sowie von den Werten von x und y ab).

Mit t(x1, . . . ,xn) bezeichnen wir einen Term t, der (hochstens) die Variablenx1, . . . ,xn enthalt (moglicherweise weniger - diese Festlegung ist zweckmaßig, dabeim Ubergang von einem Term zu seinen Teiltermen Variablen verschwindenkonnen). Ein konstanter Term ist ein Term ohne Variable.

2.3.1 Interpretation von Termen

A sei eine L-Struktur, A = |A|, t = t(x1, . . . ,xn) ein Term der Sprache L. Fernerseien a1, . . . ,an Elemente von A. Dann ist

tA[a1, . . . ,an] (die Interpretation von t in A unter der Belegung a1, . . . ,an)

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2.3. TERME EINER SPRACHE 46

wie folgt definiert:

tA[a1, . . . ,an] = ai fur t = xi,

tA[a1, . . . ,an] = cAk fur t = ck,

tA[a1, . . . ,an] = f A(tA1 [a1, . . . ,an], . . . , tAm [a1, . . . ,an]) fur t = f (t1, . . . , tm),

wobei f ein m-stelliges Funktionszeichen der Sprache L sei.Man erhalt also tA[a1, . . . ,an], indem man im Term t die Variable xi durch das

Element ai sowie die Individuenkonstanten und Funktionszeichen in t durch ihrejeweilige Interpretation in A ersetzt und das Ergebnis in der Struktur A “auswer-tet”.

In einem Term selbst kann man fur die Variablen keine Objekte direkt einset-zen, da Terme lediglich formale Zeichenreihen sind. Die in der Interpretation vor-kommende Belegung ist auch nur eine Zuordnung (daher die Bezeichnung obenmit eckigen Klammern). Wollen wir aber diese Zuordnung in der Sprache selbstausdrucken, so ist das nur moglich mit Hilfe von Symbolen, welche Namen fur diejeweiligen Objekte darstellen, wovon man in der Modelltheorie haufig Gebrauchmacht:

2.3.2 Spracherweiterung durch Namen

Die Sprache L wird zur Sprache LA erweitert durch Hinzufugen von neuen Indi-viduenkonstanten a fur jedes Element von a ∈ A; das Symbol a wird als Namevon a bezeichnet.

Variante fur die Interpretation eines Termes

t sei konstanter Term von LA (d. h. t enthalte keine Variablen, u. U. aber Namenfur Elemente von A). Wir definieren

tA (die Interpretation von t in A)

durch Induktion uber den Aufbau eines Termes wie folgt:

aA = a,

cAk = cA

k ,

f (t1, . . . , tm)A = f A(tA1 , . . . , tAm ),

wobei f ein m-stelliges Funktionszeichen f der Sprache L ist.

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2.3. TERME EINER SPRACHE 47

Zwischen beiden Arten der Definition besteht offenbar folgender Zusammen-hang:

tA[a1, . . . ,an] = (t[a1/x1, . . . ,an/xn])A.

Dabei ist mit t[a1/x1, . . . ,an/xn] auf der rechten Seite der Term gemeint, der aus tentsteht, indem man fur i = 1, . . . ,n in t den Term ai fur die Variable xi einsetzt.

Ist B eine L-Struktur mit A ⊆ B, so bezeichnen wir mit BA die Expansionzu einer LA-Struktur, die alle Symbole von L wie in B interpretiert, jedoch diezusatzlichen neuen Konstanten a mit a. Statt AA schreiben wir haufig kurz A.

Beachte den Unterschied zwischen einer Erweiterung und einer Expansion:

• B Erweiterung von A (B ⊇ A) : A wird erweitert zu B, die Sprache bleibtunverandert,

• B Expansion von A: die Grundbereiche bleiben gleich (A = B), die Sprachewird erweitert (das gilt auch fur den allgemeinen Begriff einer Expansion).

Wir konnen nun den Begriff der erzeugten Unterstruktur neu fassen:

2.3.3 Erzeugte Unterstrukturen

B sei eine L-Struktur, A ⊆ B. Ferner sei A 6= /0 oder die Sprache enthalte we-nigstens eine Individuenkonstante. Dann gibt es eine kleinste (bzgl. ⊆) Menge A,die A enthalt und Universum einer Unterstruktur von B ist: die von A erzeugteUnterstruktur.

Man erhalt A, indem man zu A die cB fur jede Individuenkonstante c vonL hinzunimmt und unter den Funktionen f B abschließt. Alternativ gilt folgendeDarstellung:

A = tB[a1, . . . ,am] | t(v1, . . . ,vm) L-Term,a1, . . . ,am ∈ A= tBA | t konstanter L-Term von LA.

Man kann leicht sehen, daß fur Sprachen mit abzahlbar-vielen Symbolen undfur unendliches A die Erweiterung zu A die Machtigkeit nicht andert (genauereAussagen werden wird spater der Kardinalzahlbegriffs der Mengenlehre ermogli-chen, s. 8.5).

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2.4. FORMELN EINER SPRACHE 48

Beispiele

1. (Z,≤) wird als geordnete Struktur nur von Z erzeugt, dagegen wird

2. (Z,+,−, ·,0,1) als Ring bereits von der leeren Menge erzeugt, wahrend

3. (Q,+,−, ·,0,1) von keiner endlichen Menge erzeugt wird.

4. In Vektorraumen (als einsortige Strukturen wie in 2.1.1) sind die erzeugen-den Mengen genau die Mengen von Vektoren, deren endliche Linearkom-binationen alle Vektoren ergeben (wie im Sinne der Linearen Algebra).

2.4 Formeln einer Sprache

Terme bezeichnen Objekte einer Struktur, Formeln Eigenschaften. Ahnlich wieder Begriff eines Terms werden Formeln einer Sprache L (L-Formeln) durchRekursion definiert:

(F1) Die einfachsten L-Formeln (auch atomare oder Prim-Formeln genannt)sind:

• s = t fur beliebige Terme s, t und

• R(t1, . . . , tn) fur jedes n-stellige Relationszeichen von L und beliebigeL-Terme t1, . . . , tn.

(F2) Ist ϕ eine L-Formel, so auch ¬ϕ .

(F3) Sind ϕ und ψ L-Formeln, so auch (ϕ ∨ψ).

(F4) Ist ϕ eine L-Formel und x eine Variable, so ist auch ∃xϕ eine L-Formel.

(F5) Das sind alle L-Formeln.

Wiederum werden wir im Falle 2-stelliger Relationszeichen (wie = oder < )statt R(t,s) auch tRs schreiben; wahrend wir jedoch im ersten Fall (wo die Rela-tionszeichen stets vor den Argumenten stehen) auf Klammern verzichten konnen,mussen wir im zweiten Fall jedoch moglicherweise Klammern setzen, um eindeu-tige Lesbarkeit zu sichern.

Die aussagenlogischen Zeichen ∧,→ und↔ sowie den Allquantor ∀ definie-ren wir:

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2.4. FORMELN EINER SPRACHE 49

ϕ ∧ψ :⇐⇒ ¬(¬ϕ ∨¬ψ),

ϕ → ψ :⇐⇒ ¬ϕ ∨ψ,

ϕ ↔ ψ :⇐⇒ (ϕ → ψ)∧ (ψ → ϕ),

∀xϕ :⇐⇒ ¬∃x¬ϕ.

Somit stellt jede (pradikatenlogische) Sprache L eine Erweiterung der aussa-genlogischen Sprache dar, indem die Aussagenvariable der Aussagenlogik durchatomare Formeln ersetzt werden und zusatzlich als logische Symbole die Gleich-heit und die Quantoren auftreten. Formel- und Termbegriff sind wieder rekursivdefiniert, so daß man Aussagen uber alle Formeln (bzw. Terme) wiederum durchInduktion durchzufuhren kann:

2.4.1 Beweis durch Induktion uber den Formelaufbau

Es sei E eine Eigenschaft mit

(i) E(ϕ) gilt fur alle atomaren Formeln ϕ ,

(ii) gilt E(ϕ), so auch E(¬ϕ),

(iii) gelten E(ϕ) und E(ψ), so auch E(ϕ ∨ψ), und

(iv) gilt E(ϕ), so auch E(∃x ϕ).

Dann gilt E(ϕ) fur alle Formeln ϕ .

Um eine Eigenschaft fur alle Formeln nachzuweisen, muß man sie also

(1) fur alle atomaren Formeln nachweisen und dann

(2) unter der Annahme, daß die Eigenschaft bereits fur die Formel ϕ (bzw. dieFormeln ϕ und ψ) gilt, fur die Formeln ¬ϕ,(ϕ ∨ψ) und ∃x ϕ nachweisen.

(1) nennt man wieder den Induktionsanfang, (2) den Induktionsschluß, welcheraus einer Induktionsannahme und einer Induktionsbehauptung besteht. (Ahn-liches gilt fur die Beweismethode der Induktion uber den Termaufbau und auchdas Induktionsverfahren fur ein geeignetes Komplexitatsmaß, s. 1.1.3.)

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2.4. FORMELN EINER SPRACHE 50

2.4.2 Freie und gebundene Variable

Bildet man eine Formel ∃xϕ nach (F4), so heißt die in ϕ vorkommende Varia-ble gebunden (durch den Quantor ∃); ahnlich naturlich im Falle der Formel ∀xϕ .Die ubrigen Variablen heißen freie Variable, weil sie frei fur Einsetzungen sind.Wahrend es nicht sinnvoll ist, in gebundene Variable Einsetzungen vorzunehmen,kann man sie aber in eine andere geeignete Variable umbenennen, ohne die Be-deutung (die wir noch erklaren werden) zu andern.

Bei obiger Definition treten nun aber folgende Probleme auf:

• Bildet man aus zwei Formeln ϕ,ψ nach (F3) die neue Formel (ϕ ∨ψ), sokann es vorkommen, dass dieselbe Variable y in der einen Formel frei, inder anderen jedoch gebunden vorkommt:

(*) ¬x = y→∃y(x < y∧1 < x y)

• In (F4) ist nicht ausgeschlossen, daß die Variable x in ϕ bereits (in einerTeilformel) gebunden vorkommt.

Prinzipiell bereiten beide Probleme keine Schwierigkeiten; statt zwischen frei-en und gebundenen Variablen zu unterscheiden, spricht man vom freien bzw. ge-bundenen Vorkommen einer Variable in einer Formel, so daß dieselbe Variable ineiner Formel an einigen Stellen frei, an anderen jedoch auch gebunden vorkom-men kann. Lastig ist diese Freiheit der Formelbildung jedoch bei Einsetzungen,welche besondere Vorkehrungen erfordern: Will man in obiger Formel (*) einenTerm fur eine Variable einsetzen, so muß man sich auf Stellen beschranken, andenen die Variable frei vorkommt. Wichtiger ist jedoch zu beachten, daß Einset-zungen so erfolgen, daß die Formel

ϕ(t) uber den Term t dasselbe aussagtwie ϕ(x) uber die Variable x,

und dazu muß man zusatzlich darauf achten, daß beim Einsetzen eines Termst(y . . .) in eine frei vorkommende Variable x nicht durch den Term t eine Variabley in den Bindungsbereich eines Quantors gerat, z. B. wenn man (y + 1) fur x indie Formel (*) einsetzt, in welcher x uberall frei vorkommt!

Diese Probleme kann man durch die Wahl von unterschiedlichen Variablen furfreie bzw. gebundene Variable umgehen (wie in der alteren HILBERT-Schule). Wirwollen jedoch bei dem heute allgemein ublichen Gebrauch einer einzigen Sorte

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2.4. FORMELN EINER SPRACHE 51

von Variablen bleiben, andererseits aber Einsetzungen leichter handhaben und da-her folgende Vereinbarungen treffen (die man intuitiv zwecks besserer Lesbarkeitohnehin wohl beachten wurde):

• Bei der Bildung einer Formel ϕ sind gebundene Variablen so zu wahlen,daß sie nicht zugleich auch frei vorkommen.

Unter dieser Voraussetzung kann man dann wieder einfach von freien bzw. gebun-denen Variablen sprechen (anstatt von freien bzw. gebundenen Vorkommen).

Terme enthalten auf jeden Fall nur freie Variable, wahrend in Formeln sowohlfreie wie auch gebundene Variable vorkommen konnen. Da fur die Interpretati-on von Termen bzw. Formeln in einer Struktur Belegungen der freien Variablenangegeben werden mussen, schreiben wir oft

t(x1, . . . ,xn) bzw. ϕ(x1, . . . ,xn)

um anzuzeigen, daß alle im Term t vorkommenden Variable bzw. in der Formel ϕ

vorkommenden freien Variable unter den x1, . . . ,xn vorkommen.

2.4.3 Substitution

ϕ sei eine Formel, s, t Terme, x eine freie Variable. Dann entstehe

• s[t/x] aus s, indem uberall t fur x eingesetzt wird, ebenso

• ϕ[t/x] aus ϕ , indem uberall t fur x eingesetzt wird.

Dabei soll im zweiten Fall t substituierbar in ϕ sein, d. h. t soll keine Variableenthalten, die in ϕ gebunden vorkommt.

Ahnlich erklaren wir die mehrfache Substitution

s[t1/x1, ..., tn/xn] und ϕ[t1/x1, ..., tn/xn]

durch mehrfache (simultane) Ausfuhrung der jeweiligen Substitution.Wenn man aus dem Zusammenhang weiß, fur welche Variable eine Substituti-

on erfolgt (oder wenn man einfach bequemer sein will), schreibt man kurzer auchs(t) fur s[t/x] und ϕ(t) fur ϕ[t/x], und ahnlich im Falle mehrfacher Substitution.Naturlich kann man auch hintereinander substituieren: erst t1 fur x1, dann t2 fur x2,usw.; wenn dann aber mit t1 auch die Variable x2 hineinkommt, so wird auch hier(anders als bei der simultanen Substitution) anschließend der Term t2 eingesetzt!

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2.4. FORMELN EINER SPRACHE 52

Definition

t konstanter Term : ⇐⇒ t Term ohne Variable,

ϕ Satz (Aussage) : ⇐⇒ ϕ Formel ohne freie Variable.

Der Begriff Satz im Sinne der obigen Definition ist rein syntaktisch und natur-lich nicht mit dem Begriff des Satzes im Sinne eines Theorems zu verwechseln!Im Englischen unterscheidet man oft zwischen sentence und theorem; gelegent-lich nennt man Satze im Sinne der obigen Definition auch Aussagen oder abge-schlossene Formeln, um eine Verwechslung mit der Bedeutung als Theorem zuvermeiden.

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53

Kapitel 3

Modelle und Theorien

3.1 Das Wahrheitspradikat: Modelle

Nachdem wir die Interpretation von Termen in einer Struktur definiert haben, wer-den wir in ahnlicher Weise die Bedeutung einer Formel in einer Struktur erklaren.Gegeben sei

• eine L-Struktur A mit Grundbereich A = |A|,

• eine L-Formel ϕ = ϕ(x1, . . . ,xn), deren freie Variable unter x1, . . . ,xn vor-kommen,

• eine Belegung f = (a1, . . . ,an) der Variablen x1, . . . ,xn.

Dann definieren wir induktiv:1

A |= ϕ[ f ] ϕ ist wahr in A unter der Belegung f

wie folgt:

A |= (t = s)[ f ] ⇐⇒ tA[ f ] = sA[ f ]A |= R(t1, . . . , tn)[ f ] ⇐⇒ (tA1 [ f ], . . . , tAn [ f ]) ∈ RA

A |= ¬ϕ[ f ] ⇐⇒ A 6|= ϕ[ f ]A |= (ϕ ∨ψ)[ f ] ⇐⇒ A |= ϕ[ f ] oder A |= ψ[ f ]A |= ∃xiϕ[ f ] ⇐⇒ es gibt ein a ∈ A mit A |= ϕ[ f (a/xi)],

wobei f (a/xi) die Belegung f ist, allerdings mit a als Belegung von xi.

1A. Tarski: Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen, Studia Phil. 1 (1936)

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3.1. DAS WAHRHEITSPRADIKAT: MODELLE 54

Auch hier laßt sich eine alternative Definition angeben, die formal etwas ein-facher ausfallt:

Definition des Wahrheitspradikats: Variante in erweiterter Sprache LA

A sei eine L-Struktur, A = |A|, σ sei ein LA-Satz. Wir definieren induktiv

A |= σ (genauer: AA |= σ)

wie folgt:

A |= (t = s) ⇐⇒ tA = sA

A |= R(t1, . . . , tn) ⇐⇒ (tA1 , . . . , tAn ) ∈ RA

A |= ¬σ ⇐⇒ A 6|= σ

A |= (σ ∨ τ) ⇐⇒ A |= σ oder A |= τ

A |= ∃xϕ ⇐⇒ es gibt ein a ∈ A mit A |= ϕ[a/x]

Wiederum haben wir hier eine einfache Beziehung zwischen diesen beidenDefinitionen:

A |= ϕ[a1, . . . ,an] ⇐⇒ A |= ϕ[a1/x1, . . . ,an/xn].

Dabei steht auf der linken Seite eine L-Formel ϕ mit hochstens x1, . . . ,xn alsfrei vorkommenden Variablen, die mit a1, . . . ,an belegt werden, auf der rechtenSeite (bezogen auf die alternative Definition) ein LA-Satz ϕ , welcher an Stelleder x1, . . . ,xn Namen fur die a1, . . . ,an enthalt. (Wenn nicht ausdrucklich daraufhingewiesen wird, welche der beiden Definitionen gebraucht wird, muß dies ausdem Zusammenhang erschlossen werden.)

Fur eine L-Formel ϕ = ϕ(x1, . . . ,xn) sei ϕ∀ := ∀x1 . . .∀xnϕ der universelleAbschluß von ϕ . Wir definieren dann

ϕ ist wahr in A (oder: A ist Modell von ϕ)

durch

A |= ϕ :⇐⇒ A |= ∀x1 . . . ∀xnϕ

Diese Festlegung entspricht dem ublichen Gebrauch in der Mathematik:

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3.1. DAS WAHRHEITSPRADIKAT: MODELLE 55

Die Axiome einer algebraischen Theorie schreibt man oft als Formeln auf,z. B. a + b = b + a im Falle des Kommutativgesetzes der Gruppentheorie, meintdamit aber, daß es in einer Gruppe fur alle Elemente gelten soll, d. h. in der Form∀x∀y(x+ y = y+ x).

Die Wahrheit (oder Allgemeingultigkeit) einer L-Formel ϕ = ϕ(x1, . . . ,xn)wird definiert durch

|= ϕ :⇐⇒ fur alle L-Strukturen A gilt: A |= ϕ

Das bedeutet also fur eine Formel ϕ , daß sie bei allen moglichen Interpreta-tionen der nicht-logischen Zeichen und fur alle Einsetzungen in die frei vorkom-menden Variablen wahr sein muß. Ebenso definieren wir im Falle einer Menge Σ

von Formeln: A ist Modell von Σ gdw A ist Modell von allen ϕ ∈ Σ:

A |= Σ :⇐⇒ fur alle ϕ ∈ Σ : A |= ϕ .

Schließlich erklaren wir den semantischen Begriff der Folgerung: Eine For-mel ϕ folgt aus der Formelmenge Σ gdw sie in allen Modellen von Σ gilt:

Σ |= ϕ :⇐⇒ fur alle A |= Σ gilt: A |= ϕ

Endliche Folgen von Variablen x0, . . . ,xn bezeichnen wir auch mit ~x (ahnlichin anderen Fallen). Die Bedeutung der Einfuhrung neuer Konstanten zeigt sich indem folgenden

3.1.1 Satz uber neue Konstanten

Es sei Γ eine Menge von Satzen der Sprache L,ϕ(~x) eine L-Formel und ~c eineFolge von Individuenkonstanten (derselben Lange wie ~x), die in der Sprache L

nicht vorkommen. Dann gilt:

Γ |= ϕ(~c) =⇒ Γ |= ∀~x ϕ(~x).

Beweis: Sei Γ |= ϕ(~c), A |= Γ und ~a seien n beliebige Elemente von A. Wirmussen zeigen, daß A |= ϕ[~a]. Dazu sei L′ die Sprache L, erweitert um die neuenIndividuenkonstanten ~c. Wir expandieren A zu einer L′-Struktur A′, indem wircA′

i = ai setzen. Dann ist auch A′ |= Γ (da die neuen Konstanten in der Menge Γ

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3.2. AXIOME UND THEORIEN 56

nicht vorkommen!), also gilt nach Voraussetzung A′ |= ϕ(~c), d. h. A |= ϕ[~a], weilwir cA′

i = ai festgelegt haben.

Dieser Satz bedeutet also, daß eine Aussage der Form ∀~x ϕ(~x) aus einer Mengevon Satzen Γ folgt, wenn sie fur “feste, aber beliebige” Elemente folgt. Meistenswird man Γ als die Menge von Axiomen einer Theorie auffassen:

3.2 Axiome und Theorien

Eine Theorie T ist bestimmt durch

1. eine formale Sprache L, die Sprache von T, sowie

2. eine Menge Σ von Formeln der Sprache L als Axiome der Theorie.

Da man die Sprache einer Theorie meistens aus den Axiomen ablesen kann, wer-den wir in der Regel eine Theorie mit der Menge Σ ihrer Axiome gleichsetzen.

Somit erklaren wir fur eine Theorie T mit der Axiomenmenge Σ und eineFormel ϕ:

A |= T :⇐⇒ A |= Σ A ist Modell von T,

T |= ϕ :⇐⇒ fur alle A |= T : A |= ϕ ϕ folgt aus T.

T+ϕ bezeichnet die Theorie T mit ϕ als zusatzlichem Axiom.

Jeder Theorie T (oder Menge von Satzen) kann man die Klasse ihrer Modellezuordnen:

Mod(T) := A |A |= T die Modellklasse von T,

und umgekehrt jeder L-Struktur A eine Menge von Satzen, ihre Theorie:

Th(A) := σ | σ L-Satz, A |= σ die (elementare) Theorie von A.

Haufig verlangt man von Theorien, daß sie deduktiv abgeschlossen sind, zahltalso auch alle Folgerungen zur Theorie. Stattdessen werden wir Theorien alsgleich ansehen, wenn sie dieselben Folgerungen haben (also sich hochstens durchdie Wahl ihrer Axiome unterscheiden), und diese Aussage bedeutet wiederum,daß sie dieselben Modelle haben:

T = T′ : ⇐⇒ fur alle Satze σ : T |= σ ⇐⇒ T′ |= σ

⇐⇒ Mod(T) = Mod(T′).

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3.3. DER KOMPAKTHEITSSATZ UND EINIGE FOLGERUNGEN 57

Der oben eingefuhrte semantische Folgerungsbegriff hat im konkreten Fallmeistens einen schwerwiegenden Nachteil: Denn semantisch folgt etwa eine Aus-sage σ aus der Gruppentheorie, wenn sie in allen Gruppen gilt. Das kann mannun aber nicht nachweisen, indem man die Gultigkeit der Aussage in allen einzel-nen Gruppen nachpruft, schon die Wahrheit einer Formel in einer (unendlichen)Struktur ist i. a. schwierig zu uberprufen.

Der syntaktische Folgerungsbegriff: Beweise

Folgerungen aus einer mathematischen Theorie wird man versuchen, mit logi-schen Argumenten zu begrunden, indem man nach einem Beweis einer Formelϕ aus den Axiomen der Theorie sucht. Wir werden im nachsten Kapitel einenformalen Begriff eines Beweises einfuhren, der sich auf ein Axiomensystem derPradikatenlogik bezieht. Wenn T ` ϕ besagt, daß es einen Beweis von ϕ aus denAxiomen von T mit Hilfe logischer Axiome und Regeln gibt, so wird fur geeig-nete Axiomensysteme der Logik der Vollstandigkeitssatz in der folgenden Formgelten:

T |= ϕ ⇐⇒ T ` ϕ.

3.3 Der Kompaktheitssatz und einige Folgerungen

Da Beweise endlich sein mussen, kann ein Beweis einer Aussage aus den Axio-men einer Theorie auch nur von endlich-vielen Axiomen Gebrauch machen. Zu-sammen mit dem oben erwahnten Vollstandigkeitssatz folgt daraus sofort der furdie Modelltheorie zentrale

3.3.1 Kompaktheitssatz

Fur jede Theorie T und jeden Satz σ der Sprache von T gilt:

(i) T |= σ =⇒ es gibt ein endliches T0 ⊆ T mit T0 |= σ ,

(ii) jedes endliche T0 ⊆ T hat ein Modell =⇒ T hat ein Modell.

(Trivialerweise gelten naturlich auch die jeweiligen Umkehrungen.)Der Kompaktheitssatz ist aber ein rein modelltheoretischer Satz und soll spater

auch mit modelltheoretischen Methoden bewiesen werden. Hier sei schon auf ei-nige Anwendungen hingewiesen:

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3.3. DER KOMPAKTHEITSSATZ UND EINIGE FOLGERUNGEN 58

• Man kann zeigen, daß viele Theorien Modelle besitzen, an die man beider Axiomatisierung “eigentlich nicht gedacht” hat: Nicht-Standardmodelleder PEANO-Arithmetik, die unendlich-große Zahlen besitzen, oder Nicht-Archimedisch angeordnete Korper.

• Einige Klassen von Modellen lassen sich (in der Sprache der Pradikatenlo-gik erster Stufe) nicht axiomatisch erfassen.

Um hierfur ein Beispiele zu erhalten, benutzen wir

Anzahlformeln

In der Sprache der Pradikatenlogik lassen sich allein mit Hilfe der Gleichheit Satzeformulieren, die Aussagen uber die Anzahl der Elemente einer Struktur machen(explizite Angabe als Ubungsaufgabe):

A |= ∃≥n ⇐⇒ A hat mindestens n Elemente,

A |= ∃≤n ⇐⇒ A hat hochstens n Elemente,

A |= ∃n ⇐⇒ A hat genau n Elemente.

Die Menge der SatzeΣ∞ := ∃≥n|n ∈ N

hat also nur unendliche Modelle; dagegen kann man i. a. durch keine Menge vonSatzen die Endlichkeit eines Modells erzwingen:

3.3.2 Satz uber die Existenz unendlicher Modelle

T sei eine Theorie, die beliebig große endliche Modelle hat (d.h. fur jede naturli-che Zahl n hat T ein Modell mit mindestens n Elementen). Dann hat T auch einunendliches Modell.

Beweis: Nimm zur Theorie T die oben definierte Satzmenge Σ∞ hinzu und nennedie erweiterte Theorie T′. Dann gilt nach Voraussetzung uber T:

jede endliche Teilmenge von T′ hat ein Modell,

also hat nach dem Kompaktheitssatz T′ selbst ein Modell, das dann Modell von T

ist und nicht endlich sein kann.

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3.4. DIAGRAMME 59

3.4 Diagramme

Die Eigenschaften einer L-Struktur A werden durch ihre Theorie Th(A) be-schrieben. Um auch die Eigenschaften anzugeben, die einzelne Elemente von A

besitzen, gehen wir wieder zur erweiterten Sprache LA uber. A. ROBINSON hatdie (fur die Modelltheorie wichtige) Methode der Diagramme eingefuhrt: Fur eineMenge H von L-Formeln ist das H-Diagramm von A die Menge der Satze

• DH(A) := ϕ(a1, . . . ,an) | ϕ ∈ H, A |= ϕ[a1, . . . ,an], speziell

• D+(A) := DAt(A) das positive Diagramm von A

fur H = At = Menge der atomaren L-Formeln,

• D(A) := DBa(A) das quantorenfreie (oder ROBINSON-)Diagramm von A,fur H = Ba = Menge der L-Formeln, welche atomar oder Negation eineratomaren Formel sind (Basis-Formeln oder Literale),

• DL(A) = Th(AA) das elementare Diagramm von A.

Das positive Diagramm kann man sich als eine Verallgemeinerung der Grup-pentafel vorstellen; im Falle von (N, ·) enthalt es das kleine und große Einmaleins:0 ·0 = 0,0 ·1 = 0, . . . ,1 ·1 = 1, · · · ,2 ·3 = 6, aber auch 2 · (5 ·3) = 30,(1 ·2) ·6 =3 · 4, usw. (genauer immer mit n statt n geschrieben), das ROBINSON-Diagrammenthalt zusatzlich auch die Ungleichungen 1 · 4 6= 2,3 · 2 6= 5, . . . Dagegen istTh(AA), das elementare Diagramm von A, die umfangreichste Beschreibung derEigenschaften aller Elemente von A, die in der Struktur A gelten.

Offensichtlich ist AA ein Modell von D(A) und sogar von Th(AA). Es ist leichtzu sehen, daß fur A⊆B auch die Struktur BA ein Modell von D(A) ist; allgemeinwird ein Modell von D(A) eine LA-Struktur der Form (B,(h(a))a∈A) sein, wobeih(a) = aB durchaus von a verschieden sein kann. Jedoch kann man in diesem FallA mit einer Substruktur von B identifizieren:

3.4.1 Diagrammlemma

Es sei A eine L-Struktur, (B,(aB)a∈A) eine LA-Struktur und h : A−→ B definiertdurch h(a) = aB. Dann gilt:

(i) (B,(h(a))a∈A) |= D(A) ⇐⇒ h : A−→B ist eine Einbettung,

(ii) BA |= D(A) ⇐⇒ A⊆B, falls A⊆ B.

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3.4. DIAGRAMME 60

Beweis von (i): Wir schreiben kurz Bh fur (B,(h(a))a∈A) und nehmen an, daßBh |= D(A). Dann gilt fur beliebige a,b ∈ A:

a 6= b ⇐⇒ a 6= b ∈ D(A)

=⇒ Bh |= a 6= b nach Vor.

⇐⇒ h(a) 6= h(b),

also ist h injektiv. Ahnlich im Falle der Relationszeichen:

RA(a1, . . . ,an) ⇐⇒ R(a1, . . . ,an) ∈ D(A)

=⇒ Bh |= R(a1, . . . ,an) nach Vor.

⇐⇒ RB(h(a1), . . . ,h(an)).

Das gleiche Argument fur die Formel ¬R liefert die Umkehrung, also

RA(a1, . . . ,an) ⇐⇒ RB(h(a1), . . . ,h(an)),

und schließlich gilt auch fur die Funktionszeichen:

f A(a1, . . . ,am) = a ⇐⇒ f (a1, . . . ,an) = a ∈ D(A)

=⇒ Bh |= f (a1, . . . ,an) = a nach Vor.

⇐⇒ f B(h(a1), . . . ,h(an) = h(a).

Mit denselben Argumenten zeigt man auch die umgekehrte Richtung von (i).

3.4.2 Universelle Theorien

ψ ist eine ∀-Formel (oder universell): ⇐⇒ ψ = ∀x1 . . .∀xn ϕ

fur eine quantorenfreie Formel ϕ ,ψ ist eine ∃-Formel (oder existentiell): ⇐⇒ ψ = ∃x1 . . .∃xn ϕ

fur eine quantorenfreie Formel ϕ .

Fur eine Theorie T sei

T∀ := σ | T |= σ , σ ein ∀-Satz der universelle Teil von T.

Eine Theorie T heiße Substruktur-abgeschlossen gdw

A⊆B |= T =⇒A |= T.

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3.4. DIAGRAMME 61

Allgemeiner nennt man eine Formel ϕ(x1, . . . ,xn) Substruktur-persistent in T

(oder einfach T-persistent) gdwfur alle A,B |= T mit A⊆B und fur alle a1, . . . ,an ∈ A gilt:

B |= ϕ[a1, . . . ,an] =⇒A |= ϕ[a1, . . . ,an].

∀-Formeln bleiben offensichtlich gultig, wenn man den Grundbereich ein-schrankt (und entsprechend bleiben existentielle Formeln wahr unter Erweiterun-gen), sie sind also persistent. Es gilt aber auch die Umkehrung:

3.4.3 Modellerweiterungssatz von Keisler

Folgende Aussagen sind aquivalent fur eine L-Theorie T:

(i) Es existiert ein Struktur B mit A⊆B und B |= T,

(ii) A |= T∀.

Beweis von (i)⇒ (ii):Sei B mit A ⊆ B und B |= T. Dann ist auch B |= T∀, und weil ∀-Satze beim

Ubergang zu Substrukturen erhalten bleiben, ist A |= T∀.(ii)⇒ (i): Sei A |= T∀. Wir behaupten, daß

T∪D(A)

ein Modell hat: Anderenfalls gabe es nach dem Kompaktheitssatz eine endlicheTeilmenge ∆⊆D(A), so daß T∪∆ kein Modell hat. Es sei δ (a1, . . . ,an) die Kon-junktion der endlich-vielen Satze in ∆, die dann in keinem Modell von T wahrsein konnen, d. h. es gilt

T |= ¬δ (a1, . . . ,an),

und da die Konstanten ai in der Sprache von T nicht vorkommen, nach dem Satzuber neue Konstanten 3.1.1 auch

T |= ∀x1, . . . ,xn¬δ (x1, . . . ,xn),

also ∀x1, . . . ,xn¬δ (x1, . . . ,xn) ∈ T∀. Da nach Voraussetzung A |= T∀, so:

A |= ∀x1, . . . ,xn¬δ (x1, . . . ,xn), insbesondere

A |= ¬δ [a1, . . . ,an]

im Widerspruch zu ∆⊆D(A)! Somit hat also D(A)∪T ein Modell, welches nachdem Diagrammlemma 3.4.1 als Oberstruktur von A gewahlt werden kann.

Als Korollare erhalten wir:

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3.4. DIAGRAMME 62

3.4.4 Erhaltungssatz fur universelle Formeln

Die folgenden Aussagen sind fur einen Formel ϕ aquivalent:

(i) ϕ = ϕ(x1, . . . ,xn) ist T-persistent,

(ii) es gibt eine universelle Formel ψ(x1, . . . ,xn), die T-aquivalent zu ϕ ist, d. h.

T |= ϕ ↔ ψ.

Beweis von (i) ⇒ (ii): Wir nehmen zunachst an, daß ϕ ein Satz σ ist, welcherT-persistent ist. Setze

Σ := ϕ | ϕ universell,T+σ |= ϕ= (T+σ)∀.

Dann gilt(∗) T∪Σ |= σ ,

denn ist A |= T∪Σ, so existiert nach dem Modellerweiterungssatz 3.4.3 ein B mitA⊆B |= T+σ , also auch A |= σ nach (i).

Wegen (*) gibt es nach dem Kompaktheitssatz endlich-viele Satze σ1, . . . ,σk ∈Σ mit

T+σ1∧ . . .∧σk |= σ ,

und da auch umgekehrt T+σ |= σi fur alle i = 1, . . . ,k, so gilt

T |= σ ↔ σ1∧ . . .∧σk.

Die Konjunktion endlich-vieler universeller Satze ist aber aquivalent zu einemuniversellen Satz (s. im nachsten Kapitel den Abschnitt 4.5). Den allgemeinenFall einer Formel kann man auf den obigen Fall eines Satzes durch die Einfuhrungneuer Konstanten und den Ubergang zum Satz ϕ(c1, . . . ,cn) zuruckfuhren.

3.4.5 Satz von Łos-Tarski

T Substruktur-abgeschlossen ⇐⇒ Mod(T) = Mod(T∀)

⇐⇒ T hat ein Axiomensystem aus T∀-Satzen.

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3.5. EINIGE MATHEMATISCHE THEORIEN 63

3.5 Einige mathematische Theorien

3.5.1 Ordnungen

Die Theorie LO der partiellen Ordnungen (Halbordnungen) wird in einer Sprachemit einem 2-stelligen Relationszeichen < formuliert und hat folgende Axiome:

(L1) ∀x x 6< x irreflexiv(L2) ∀x∀y∀z (x < y∧ y < z→ x < z) transitiv

Jede Menge A laßt sich partiell ordnen durch x,y | x,y∈A∧x 6= y, wobei alleElemente miteinander unvergleichbar sind. Dagegen erfullen linearen Ordnungenzusatzlich das Axiom

(L3) ∀x∀y (x < y∨ x = y∨ y < x) connex

so daß alle Elemente miteinander vergleichbar sind. Da sich jede partielle Ord-nung auf einer endlichen Menge zu einer linearen Ordnung erweitern laßt, folgtmit Hilfe des Kompaktheitssatzes:

• Jede partielle Ordnung auf einer Menge laßt sich zu einer linearen Ord-nung erweitern, insbesondere:

• jede Menge besitzt eine lineare Ordnung.

Dieses Ergebnis ist keineswegs trivial, so kann man z. B. fur die Menge derreellen Funktionen zwar eine partielle Ordnung leicht angeben, nicht aber einelineare Ordnung (zumindest nicht ohne besondere Zusatzaxiome). Der Kompakt-heitssatz (und damit die Existenz linearer Ordnungen) folgt aus dem mengentheo-retischen Auswahlaxiom (siehe 7.2), welches sogar die Existenz von Wohlordnun-gen auf beliebigen Mengen nach sich zieht: Eine Wohlordnung auf einer Menge Aist eine lineare Ordnung, in welcher jede nicht-leere Teilmenge ein kleinstes Ele-ment besitzt (siehe 6.1.1). Diese Forderung ist nun nicht mehr als Eigenschaft 1.Stufe (wobei also nur uber die Elemente einer Menge quantifiziert wird) ausdruck-bar, was sich leicht mit Hilfe des Kompaktheitssatzes zeigen laßt. Dagegen lassensich dichte Ordnungen axiomatisieren; die entsprechenden Theorien werden wirgesondert in 9.2 behandeln.

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3.5. EINIGE MATHEMATISCHE THEORIEN 64

3.5.2 Gruppen- und Korpertheorie

1. Die Theorie der (ABELschen) Gruppen in der Sprache LG mit einem 2-stelligenFunktionssymbol , einem 1-stelligen Funktionssymbol −1 und der Individuen-konstanten e besitzt universelle Axiome und ist somit Substruktur-abgeschlossen.Ist dagegen TAG die Theorie der ABELschen Gruppen in der Sprache mit nur ei-nem 2-stelligen Funktionssymbol , dann ist T∀ die Theorie der kommutativenregularen Halbgruppen mit den Axiomen:

• ∀x∀y∀z x (y z) = (x y) z (assoziativ)

• ∀x∀y x y = y x (kommutativ)

• ∀x∀y∀z(x y = x z→ y = z) (Kurzungsregel)

In ahnlicher Weise ist fur die Theorie TF der Korper (in der Sprache mit+, ·,−,0,1) der universelle Teil (TF)∀ die Theorie der Integritatsbereiche.

2. Die Klasse der unendlichen Gruppen, Korper, . . . laßt sich mit Hilfe der (unend-lichen) Satzmenge Σ∞ axiomatisieren, nicht aber die Klasse der endlichen Grup-pen, der endlichen Korper, . . . (denn es gibt jeweils beliebig große endliche Grup-pen und Korper, und eine Theorie dieser Modelle muß dann nach dem Satz 3.3.2uber die Existenz unendlicher Modelle notwendig ein unendliches Modell ein-schließen). Ahnliches gilt fur die Theorie der Korper der Charakteristik 0 bzw.endlicher Charakteristik:

Satz

L sei die Sprache der Theorie der Korper, σ ein Satz dieser Sprache.Gilt σ in allen Korpern der Charakteristik 0 (bzw. in allen unendlichen Korpern),so gibt es ein p, so daß σ in allen Korpern der Charakteristik ≥ p (bzw. in allenKorpern mit mindestens p Elementen) gilt.

Beweis: Es sei TF die Theorie der Korper (F fur englisch: field). Nimmt man denSatz

χp := 1+1+ . . .+1︸ ︷︷ ︸p−mal

= 0

hinzu, welcher ausdruckt, daß die Charakteristik = p ist, so erhalt man die Theorieder Korper der Charakteristik p. Um die Theorie TF,0 der Korper der Charakteri-stik 0 zu erhalten, muß man TF erganzen um die unendlich-vielen Aussagen

¬χp | p Primzahl.

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3.5. EINIGE MATHEMATISCHE THEORIEN 65

Gilt nun σ in allen Korpern der Charakteristik 0, so TF,0 |= σ , also gibt es nachdem Kompaktheitssatz ein endliches T0⊆TF,0 mit T0 |= σ . T0 kann aber nur end-lich viele der Aussagen ¬χp enthalten, und daraus erhalten wir die Behauptung.(Ahnlich im anderen Fall mit Anzahl- statt Charakteristik-Formeln.)

Mit modelltheoretischen Methoden lassen sich noch weitere Ergebnisse uberverschiedene algebraische Theorien erzielen, insbesondere die Entscheidbarkeitder Theorie von (R,<,+,−, ·,0,1) (= Theorie der reell-abgeschlossenen Korper)und der Theorie von (C,+,−, ·,0,1) (= Theorie der algebraisch-abgeschlossenenKorper).

3.5.3 Axiomatisierbarkeit: Elementare Klassen

Ist K eine Klasse von L-Strukturen, so heißt

K elementar (EC-Klasse) : ⇐⇒ K = Mod(σ) fur einen Satz σ ,

K ∆-elementar (EC∆-Klasse) : ⇐⇒ K = Mod(Γ) fur eine Satzmenge Γ.

Eine EC-Klasse ist also eine Klasse von Strukturen, die sich durch einen einzel-nen Satz (oder durch endlich-viele Satze) axiomatisieren laßt, eine EC∆-Klasseist Durchschnitt von EC-Klassen und laßt sich mittels einer Menge von Satzenaxiomatisieren.

Beispiele

1. elementare Klassen sind:

• G | G ist Gruppe= Mod(σG),σG = Konjunktion der endlich-vielen Gruppenaxiome,

• G | G ist kommutative Gruppe,

• R | R ist Ring (kommutativ, mit 1),

• K |K ist Korper,

• K |K ist Korper der Charakteristik p (p fest; p Primzahl),

• ≤ | ≤ ist (partielle, lineare) Ordnung.

2. ∆-elementare Klassen, aber keine elementaren Klassen sind:

• G | G ist unendliche Gruppe= Mod(σG∪Σ∞),

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3.5. EINIGE MATHEMATISCHE THEORIEN 66

• K |K ist unendlicher Korper,

• K |K ist Korper der Charakteristik 0.

3. nicht einmal ∆-elementare Klassen sind:

• G | G ist endliche Gruppe,

• G | G ist Torsions-Gruppe (alle Elemente haben endliche Ordnung),

• K |K ist endlicher Korper,

• ≤ | ≤ ist Wohlordnung.

Die negativen Beispiele beruhen auf dem Kompaktheitssatz und dieser wie-derum wesentlich auf der Eigenschaft von Beweisen, endlich zu sein. Geht manzu erweiterten Logiken uber, die etwa auch unendliche Konjunktionen und Dis-junktionen zulassen, so kann man zwar wesentlich mehr ausdrucken, aber Bewei-se sind nun nicht mehr notwendig endlich, die erweiterte Logik ist nicht mehrvollstandig (bzw. nur in einem abgeschwachten Sinn), auch gelten die klassischeSatze der Modelltheorie dann hochstens noch mit Einschrankungen.

3.5.4 Zahlentheorie

Wahrend die algebraischen Theorien der Gruppen, Ringe, Korper, . . . sehr vieleModelle besitzen, untersucht die Zahlentheorie Eigenschaften eines Modells, dasman das Standardmodell der Zahlentheorie nennt:

N = (N,+, ·,′ ,0).

LPA sei die zugehorige Sprache, fur die wir auch +, ·,0 als (nicht-logische) Sym-bole wahlen, aber S fur die 1-stellige Nachfolgeroperation. Die Theorie des Stan-dardmodells, Th(N), ist die Menge der LPA-Satze, die in diesem Modell gelten- was sich zwar einfach definieren laßt, aber doch immer noch viele offene Fra-gen bereithalt. Die wichtigsten Eigenschaften des Standardmodells werden zu-sammengefaßt als

Peano-Axiome:

P1 Sx 6= 0

P2 Sx = Sy→ x = y

P3 x+0 = x

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P4 x+Sy = S(x+ y)

P5 x ·0 = 0

P6 x ·Sy = x · y+ x

sowie die unendlich-vielen Induktionsaxiome:

Ind ϕ(0) ∧ ∀x(ϕ(x)→ ϕ(Sx))→∀x ϕ(x)

Die Theorie mit diesen Axiomen nennt man PA, die Peano-Arithmetik. Ausdem Kompaktheitssatz folgt nun, daß diese Theorie Nicht-Standardmodelle be-sitzt, d. h. Modelle, die nicht isomorph zum Standardmodell sind, weil sie “unend-lich-große” Zahlen besitzen:

Satz

Es gibt ein (abzahlbares) Modell N∗ von PA, welches nicht-isomorph zu N ist.(Tatsachlich gibt es - wie wir spater zeigen werden - sogar in jeder unendlichen

Kardinalzahl ein Nicht-Standardmodell.)

Beweis: Erweitere die Sprache von PA um eine neue Konstante c fur ein “unend-lich-großes” Element und bilde die erweiterte Theorie

PA∗ := PA ∪ c 6= 0,c 6= S0,c 6= SS0, . . ..

Da es unendlich-viele naturliche Zahlen gibt, kann man endlich-viele der zu-satzlichen Aussagen im Standardmodell erfullen, indem man c als genugend großeZahl wahlt. Somit hat jede endliche Teiltheorie von PA∗ ein Modell, also gibt esnach dem Kompaktheitssatz auch ein Modell N∗ |= PA∗. Da N∗ die Axiome (P1)und (P2) erfullt, ist die Abbildung der Terme 0,S0,SS0, . . . auf ihre Interpreta-tionen in N∗ injektiv, so daß wir sie mit den “gewohnlichen” naturlichen Zahlenidentifizieren konnen. Dann hat aber N∗ noch das Element cN∗ , welches von allen“gewohnlichen” naturlichen Zahlen verschieden sein muß (da namlich N∗ auchdie neuen Axiome von PA∗ uber c erfullt).

Dasselbe Ergebnis erhalten wir auch, wenn wir die Theorie PA durch die Theo-rie des Standardmodells ersetzen; wieder gibt es ein nicht-isomorphes (abzahl-bares) Modell N∗, welches aber alle Satze erfullt, die auch im Standardmodellgelten. Ein solches Modell kann man nach A. ROBINSON benutzen, um eineNonstandard-Analyis aufzubauen, d. h. eine Theorie, in welcher alle Aussagen

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3.5. EINIGE MATHEMATISCHE THEORIEN 68

der “gewohnlichen” reellen Zahlen gelten, in denen es aber noch zusatzlich “infi-nitesimal kleine” Zahlen gibt.

Mittels Aussagen in der Sprache LPA kann man daher das Standardmodellnicht charakterisieren, offenbar ist also die Sprache der Pradikatenlogik nicht aus-drucksstark genug. Es liegt daher nahe, das Induktionsschema zu verstarken, in-dem man den Eigenschaftsbegriff erweitert, und zwar geht man uber zu einerSprache 2. Stufe, in welcher man zusatzlich die Moglichkeit hat, mittels Quan-toren 2. Stufe ∃P,∀P uber alle Teilmengen (statt nur uber die Elemente) des jewei-ligen Grundbereiches zu quantifizieren:

Peano-Axiome 2. Stufe

Die Theorie PA(2) (PEANO-Axiome 2. Stufe) besitzt folgende Axiome:

P1 ∀x Sx 6= 0

P2 ∀x∀y(Sx = Sy→ x = y)

IND ∀P[P(0)∧∀x(P(x)→ P(Sx))→∀x P(x)]

Allerdings taucht nun ein neues Problem auf: Im Gegensatz zur gewohnlichenLogik der ersten Stufe gibt es fur die Logik 2. Stufe kein vollstandiges Axiomen-system (zumindest solange nicht, wie man verlangt, daß der Begriff eines Axiomsentscheidbar ist) und auch die meisten anderen Ergebnisse lassen sich nicht aufdie erweiterte Sprache ubertragen (tatsachlich ist es ja gerade der Kompaktheits-satz, der zu Nichtstandardmodellen fuhrt). Nun gibt es aber einen Ausweg: Wirkonnen die obigen Axiome mengentheoretisch deuten und werden zeigen (6.3.1),daß im Rahmen der Mengenlehre das obige Axiomensystem genau ein Modell hatbis auf Isomorphie, die Theorie also kategorisch ist in folgendem Sinn:

Jedes Modell von PA(2) ist isomorph zum Standardmodell (N,′ ,0).

Die Mengenlehre ihrerseits werden wir in der Sprache der Logik erster Stufeaxiomatisieren, so daß diese Theorie ihrerseits nicht kategorisch ist, also nicht-isomorphe Modelle besitzt.

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3.5. EINIGE MATHEMATISCHE THEORIEN 69

3.5.5 Mengenlehre

Die Mengenlehre spielt (ahnlich wie die Zahlentheorie) in der MathematischenLogik eine besondere Rolle:

1. Als Grundlagentheorie stellt sie samtliche Objekte, die in den einzelnenmathematischen Disziplinen untersucht werden:

Zahlen, Funktionen, Operatoren, Relationen, Punkte, Raume . . .

unter dem einheitlichen Begriff der Menge dar, insbesondere haben wirmengentheoretische Begriffsbildungen bei der Einfuhrung des Strukturbe-griffes (inhaltlich) bereits benutzt. Wahrend syntaktische Begriffe auf zah-lentheoretischer Grundlage eingefuhrt werden konnen2, benotigt die Se-mantik der Pradikatenlogik bereits den allgemeinen Mengenbegriff; einegeeignete Fassung der Mengenlehre gehort somit zur Metamathematik derPradikatenlogik.

2. Außerdem ist die Mengenlehre selbst eine formale mathematische Theoriedes Unendlichen (insbesondere der transfiniten Ordinal- und Kardinalzah-len). (Eine ausfuhrlichere Darstellung folgt im Teil II.)

Beide Aspekte lassen sich nicht vollig voneinander trennen; insbesondere dasAuswahlaxiom (mit seinen vielen aquivalenten Fassungen) hat zahlreiche An-wendungen in fast allen mathematischen Gebieten (einschließlich der Mathema-tischen Logik), ist aber auch wichtig fur die Entwicklung der Theorie der transfi-niten Kardinalzahlen.

2Darauf werden wir bei der Behandlung der GODELschen Unvollstandigkeitssatze im Teil IVgenauer eingehen.

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Kapitel 4

Gesetze der Pradikatenlogik

4.1 Ein Axiomensystem fur die Pradikatenlogik

Wir haben gesehen, daß es fur den aussagenlogischen Wahrheitsbegriff, ag[ϕ],verschiedene Entscheidungsverfahren gibt und fur endliche Formelmengen T deraussagenlogische Folgerungsbegriff, T |= ϕ , entscheidbar ist, da man nur endlich-viele Belegungen der Aussagenvariablen nachzuprufen hat. Dagegen erfordert derWahrheitsbegriff |= ϕ (und ebenso der semantische Folgerungsbegriff T |= ϕ) derPradikatenlogik den Nachweis der Gultigkeit von ϕ in allen Strukturen der zu-gehorigen Sprache bzw. in allen Modellen von T, und hierzu hat man nicht nursehr viele Strukturen, sondern unter diesen i. a. auch noch unendliche Struktu-ren zu untersuchen, so daß wir in diesem Falle keine Entscheidbarkeit erwartenkonnen. Daher ist es von Bedeutung, daß es auch einen syntaktischen Beweis-begriff, T ` ϕ , gibt, welcher mit dem semantischen ubereinstimmt (verallgemei-nerter Vollstandigkeits- und Korrektheitssatz). Damit erhalten wir zwar kein Ent-scheidungsverfahren, aber immerhin die Moglichkeit, alle Folgerungen aus einerTheorie in standardisierter Weise aufzuzahlen. Außerdem zeigt ein vollstandigesAxiomensystem mit seinen Axiomen und Regeln an, auf welche grundlegendePrinzipien der Folgerungsbegriff zuruckzufuhren ist.

Beim Ubergang von der Aussagenlogik zur Pradikatenlogik kommen zu denaussagenlogischen Symbolen hinzu:

• atomare Formeln (anstelle der Aussagenvariablen),

• die Quantoren (wobei wir den ∀-Quantor mittels ∃ definieren) sowie

• die Gleichheit = (als 2-stelliges logisches Relationszeichen).

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4.1. EIN AXIOMENSYSTEM FUR DIE PRADIKATENLOGIK 71

Entsprechend werden die aussagenlogischen Axiome und Regeln erganzt um zu-satzliche Axiome und Regeln fur die neuen logischen Symbole.

4.1.1 Axiomensystem von Shoenfield

Wie im Falle der Aussagenlogik gibt es verschiedene vollstandige und korrek-te Axiomensysteme fur die Pradikatenlogik; wir wollen hier wieder ein speziel-les Axiomensystem nach SHOENFIELD behandeln, dessen aussagenlogischen Teilwir bereits in 1.5.3 (b) angegeben haben:

Axiome:

(1) aussagenlogische Axiome: ¬ϕ ∨ϕ

(2) Substitutionsaxiome: ϕ[t/x]→∃xϕ , falls t in ϕ substituierbar ist.

(3) Gleichheitsaxiome:

1. x = x

2. x1 = y1∧ . . .∧ xm = ym→ Fx1 . . .xm = Fy1 . . .ym

fur jedes m-stellige Funktionszeichen F

3. x1 = y1∧ . . .∧ xn = yn ∧ Rx1 . . .xn→ Ry1 . . .yn

fur jedes n-stellige Relationszeichen R

Das letzte Gleichheitsaxiom wird insbesondere auch fur die 2-stellige Gleichheits-relation gefordert!

Das Substitutionsaxiom besagt, daß man eine Existenzaussage nachweisenkann, indem man ein Beispiel angibt.

Regeln:

Zu den uns bereits bekannten aussagenlogischen Regeln

Expansion:ψ

ϕ ∨ψAssoziativitat:

ϕ ∨ (ψ ∨δ )(ϕ ∨ψ)∨δ

Kurzung:ϕ ∨ϕ

ϕSchnitt:

ϕ ∨ψ,¬ϕ ∨δ

ψ ∨δ

kommt eine Quantorenregel hinzu:

∃-Einfuhrung:ϕ → ψ

∃xϕ → ψ, falls x in ψ nicht frei vorkommt.

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4.1. EIN AXIOMENSYSTEM FUR DIE PRADIKATENLOGIK 72

Bemerkungen

1. Die Regel der ∃-Einfuhrung heißt auch Vordere Partikularisierung. Die an-gefugte Variablenbedingung ist notwendig, sonst wurde man aus der beweisba-ren Formel x = y→ x = y durch ∃-Einfuhrung die Formel ∃x(x = y)→ x = yund mit der beweisbaren Formel ∃x(x = y) auch die Formel x = y als beweisbarerhalten, welche aber nicht wahr ist, da sie nur in 1-elementigen Strukturen gilt.(Inhaltlich kann man auch so argumentieren: Es gilt x = 3→ x ist Primzahl, abernicht ∃x(x = 3)→ x ist Primzahl!)

2. Wo benutzt man die ∃-Einfuhrung? Nehmen wir an, daß wir in einem Beweiszu der Aussage ϕ(x)→ ψ gelangt sind. Um hieraus die Aussage ψ zu erhalten,brauchen wir - wenn ψ von der Wahl eines x nicht abhangt (formal: wenn x in ψ

nicht frei vorkommt) - nur zu versuchen, die Voraussetzung ϕ(x) fur (mindestens)ein x nachzuweisen (formal: die Aussage ∃xϕ(x) zu beweisen). Dann konnen wirnamlich mittels ∃-Einfuhrung und modus ponens tatsachlich die gewunschte Aus-sage ψ erhalten.

Den Beweisbegriff fur ein Axiomensystem der Pradikatenlogik (wie das obenangegebene System von SHOENFIELD) konnen wir wortlich vom Aussagenkalkulubernehmen:

4.1.2 Definition eines Beweises

Ein Beweis von ϕ aus T ist eine endliche Folge (ϕ1, . . . ,ϕn) von Formeln, so daß

(B1) ϕn = ϕ ,

(B2) fur jedes m≤ n gilt:

(1) ϕm ist Axiom oder

(2) ϕm ist Formel aus T oder

(3) es gibt ein i < m, so daß ϕm aus ϕi hervorgeht durch Anwendung einerRegel oder

(4) es gibt i, j < m, so daß ϕm aus ϕi und ϕ j hervorgeht durch Anwendungeiner Regel mit 2 Pramissen.

Wir schreiben wieder:

T ` ϕ :⇐⇒ es gibt einen Beweis von ϕ aus T ϕ ist aus T beweisbar,` ϕ :⇐⇒ /0 ` ϕ ϕ ist beweisbar.

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4.2. DER TAUTOLOGIESATZ 73

Bemerkung

Die Beweisbarkeit laßt sich auch rekursiv wie folgt charakterisieren:

(S1) Jedes logische Axiom und jedes Axiom von T sind aus T beweisbar.

(S2) Ist die Pramisse (bzw. sind die Pramissen) einer Regel aus T beweisbar, soauch ihre Konklusion.

Satz uber die Verallgemeinerte Korrektheit

T ` ϕ =⇒ T |= ϕ

Beweisskizze: Es sei A |= T. Zeige

(∗) T ` ϕ =⇒A |= ϕ

durch Induktion gemaß der induktiven Definition (S1), (S2):

1. ϕ ist logisches Axiom. Zeige, daß dann A |= ϕ .

2. ϕ ist Axiom von T. Dann gilt die Beh. (*) offenbar wegen A |= T.

3. ϕ ist Konklusion einer Regel, deren Pramisse(n) aus T beweisbar ist (sind).

Gehe die einzelnen Regeln durch und zeige, daß sich Gultigkeit in A von denPramissen auf die Konklusion vererbt.

4.2 Der Tautologiesatz

Hier wollen wir erlautern, in welcher Weise das Axiomensystem von SHOEN-FIELD die Aussagenlogik enthalt und “aussagenlogisch vollstandig” ist (Tautolo-giesatz):

Den Grundbestandteilen der aussagenlogischen Sprache, also den Aussagen-variablen, entsprechen in der pradikatenlogischen Sprache die atomaren Formeln(Primformeln), wahrend die aussagenlogischen Operationen hier selbst wiedervorkommen. Andererseits gibt es pradikatenlogische Formeln, die nicht atomar,aber auch aussagenlogisch nicht weiter zerlegbar sind; diese werden zusammenmit den atomaren Formeln elementar genannt:

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4.2. DER TAUTOLOGIESATZ 74

Definition einer Tautologie

ϕ elementar :⇐⇒ ϕ atomar oder beginnt mit dem Quantor ∃.B Bewertung von L :⇐⇒ B : ϕ | ϕ elementare L-Formel −→ W,F.

Die Bewertungen der elementaren Formeln treten an die Stelle der Belegun-gen f der Aussagenvariable in der Aussagenlogik; ebenso wie sich diese (mittelsder Wahrheitstafeln) fortsetzen lassen zum Wahrheitswert f (ϕ) einer aussagenlo-gischen Formel ϕ , konnen wir jede Bewertung B fortsetzen zu einer Abbildung

B : ϕ | ϕ L-Formel −→ W,F

durch die Festlegungen

B(¬ϕ) = W ⇐⇒ B(ϕ) = F,

B(ϕ ∨ψ) = W ⇐⇒ B(ϕ) = W oder B(ψ) = W.

An die Stelle der entsprechenden semantischen Begriffe der Aussagenlogiktreten nun die folgenden:

|=AL ϕ:⇐⇒ (B(ϕ) = W fur alle Bewertungen B) ϕ ist Tautologie,T |=AL ϕ: ⇐⇒ (B(ϕ) = W fur alle Bew. B, fur die B(ψ) = W fur alle ψ ∈ T)

ϕ ist tautologische Folgerung aus T.

Beispiele

Tautologien sind: ϕ∨¬ϕ, ϕ∨ψ↔ψ∨ϕ, nicht aber (obwohl wahre Aussagen):x = x, x = y→ y = x, ∃x(x = x); tatsachlich sind die letzten Formeln nicht aussa-genlogisch, sondern erst pradikatenlogisch wahr (als elementare Formeln konntensie einfach mit F belegt werden).

Tautologiesatz

(i) Falls T ` ϕ1, . . . ,ϕn und ϕ1, . . . ,ϕn |=AL ϕ , so T ` ϕ ,

(ii) falls T endlich und T |=AL ϕ , so T ` ϕ ,

(iii) falls |=AL ϕ , so ` ϕ , und somit T ` ϕ fur jede Tautologie ϕ .

Beweis: Offensichtlich folgt (i) aus (ii) , und (ii) folgt aus (iii): Sei

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4.3. SUBSTITUTION UND UNIVERSELLER ABSCHLUSS 75

T = ϕ1, . . . ,ϕn und T |=AL ϕ , alsoϕ1, . . . ,ϕn |=AL ϕ . Dann gilt auch|=AL ϕ1→ . . .→ ϕn→ ϕ , also nach (iii)` ϕ1→ . . .→ ϕn→ ϕ und daraus mit modus ponens auchϕ1, . . . ,ϕn ` ϕ.

Somit bleibt nur (iii), d.h. die einfache Vollstandigkeit des aussagenlogischenTeils, zu beweisen. Dazu geht man wie beim Beweis des Vollstandigkeitssatzesfur die Aussagenlogik vor und erhalt

|=AL ϕ =⇒|= Aϕ ,

wobei Aϕ die aussagenlogische Formel ist, die aus ϕ entsteht, indem man dieelementaren Formeln ϕ1, . . . ,ϕn durch Aussagenvariable A1, . . . ,An ersetzt. DerVollstandigkeitssatz fur die Aussagenlogik ergibt nun ` Aϕ , und aus einem aussa-genlogischen Beweis von Aϕ erhalt man einen (pradikatenlogischen) Beweis vonϕ , indem man in diesem Beweis nun umgekehrt die Aussagenvariable A1, . . . ,An

durch die elementaren Formeln ϕ1, . . . ,ϕn ersetzt. Aufgrund der Aussage (i) des Tautologiesatzes konnen wir somit aussagen-

logische Argumente (praziser: tautologische Folgerungen) in pradikatenlogischeFolgerungen ubernehmen, wovon wir im folgenden haufig stillschweigend Ge-brauch machen werden.

4.3 Substitution und universeller Abschluß

Den ∀-Quantor haben wir definiert durch

∀xϕ ↔ ¬∃x¬ϕ, somit gilt auch

∃xϕ ↔ ¬∀x¬ϕ und

¬∀xϕ ↔ ∃x¬ϕ und

¬∃xϕ ↔ ∀x¬ϕ.

Die folgenden Satze bezeichnen ableitbare Regeln bzw. beweisbare Formeln,die somit bei Beweisen verwendet werden konnen:

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4.3. SUBSTITUTION UND UNIVERSELLER ABSCHLUSS 76

4.3.1 Hintere Generalisierung

ϕ → ψ ` ϕ →∀xψ,

falls x in ϕ nicht frei vorkommt (Variablen-Bedingung).

Beweis:

(1) ϕ → ψ Voraussetzung

(2) ¬ψ →¬ϕ tautologisch aus (1)

(3) ∃x¬ψ →¬ϕ mit ∃-Einfuhrung (die Var.bedingung ist erfullt!)

(4) ϕ →¬∃x¬ψ tautologisch aus (3)

ϕ →∀xψ nach Definition des ∀-Quantors

Diese Regel laßt sich in folgendem Fall anwenden:

Zu beweisen sei die Aussage ϕ →∀xψ .Dazu setzen wir ϕ voraus und zeigen die Behauptung ∀xψ wie folgt:Sei “x beliebig” (das heißt inhaltlich: wir durfen kein x wahlen, fur dasϕ bereits eine besondere Eigenschaft festlegt - wie z. B. “x ist Primzahl”oder “x ist das großte Element”, formal haben wir die Bedingung, daß xnicht frei in ϕ vorkommt). Konnen wir damit ψ(x) beweisen, so habenwir nach der obigen Regel die Aussage ϕ →∀xψ gezeigt.

4.3.2 Satz uber die Generalisierung

ϕ ` ∀xϕ

Beweis :

(1) ϕ Voraussetzung

(2) ¬∀xϕ → ϕ tautologisch: Abschwachung von (1)

(3) ¬∀xϕ →∀xϕ mit ∀-Einfuhrung (die Var.bedingumg ist erfullt!)

(4) ∀xϕ tautologisch aus (3)

Das bedeutet also:

Um ∀xϕ(x) aus T zu beweisen, genugt es ϕ(x) (fur ein “beliebiges x”)aus T herzuleiten.

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4.3. SUBSTITUTION UND UNIVERSELLER ABSCHLUSS 77

4.3.3 Substitutionsregel

ϕ(x1, . . . ,xn) ` ϕ(t1, . . . , tn)

Beweis durch Induktion nach n:n = 1:

ϕ Voraussetzung

(1) ∀x1ϕ d.h. ¬∃x1¬ϕ Generalisierung

(2) ¬ϕ[t1/x1]→∃x1¬ϕ Substitutionsaxiom

(3) ¬∃x1¬ϕ → ϕ[t1/x1] tautologisch aus (2)

ϕ[t1/x1] aus (1) und (3) mit modus ponens

n ≥ 1: Setze ϕ ′ = ϕ[t1/x1, . . . , tn/xn] und wahle n neue Variable y1, . . . ,yn, dieweder in ϕ noch in ϕ ′ vorkommen. (Dadurch erreichen wir, daß fur die neuenVariablen die hintereinander ausgefuhrte Substitution mit der simultanen Substi-tution ubereinstimmt.)

Wenden wir nun den Fall n = 1 sukzessive an, so erhalten wir aus ϕ:

ϕ[y1/x1], ϕ[y1/x1,y2/x2], . . . ,ϕ[y1/x1, . . . ,yn/xn]

und ebenso aus dem Fall n = 1:

ϕ[y1/x1, . . . ,yn/xn][t1/y1] = ϕ[t1/x1, . . . ,yn/xn],

ϕ[t1/x1, t2/x2, . . . ,yn/xn], . . . ,ϕ[t1/x1, t2/x2 . . . , tn/xn].

Die Bedeutung ist klar: Unter der Annahme ϕ(x1, . . . ,xn) gilt diese Aussagegenerell (Generalisierung), also insbesondere fur beliebige (substituierbare) Ter-me (wobei diese wiederum neue Variable einfuhren konnen). - Als Verallgemeine-rung des Substitutionsaxioms erhalten wir (zusammen mit seiner dualen Fassung(ii)):

4.3.4 Substitutionssatz

(i) ϕ[t1/x1, . . . , tn/xn]→∃x1 . . .∃xnϕ

(ii) ∀x1 . . .∀xnϕ → ϕ[t1/x1, . . . , tn/xn]

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4.3. SUBSTITUTION UND UNIVERSELLER ABSCHLUSS 78

(In beiden Fallen sei vorausgesetzt, daß t1, . . . , tn fur x1, . . . ,xn in ϕ substituierbarsind.)

Beweis von (i): Aus den Substitutionsaxiomen folgt durch mehrfache Anwendung:

ϕ →∃xnϕ

∃xi−1 . . .∃xn→∃xi∃xi−1 . . .∃xnϕ

ϕ →∃x1 . . .∃xnϕ

und daraus folgt die Behauptung mit der Substitutionsregel.(ii) beweist man analog (oder durch Kontraposition aus (i)).

Beachte, daß die Umkehrungen von (i) und (ii), ϕ(t1, . . . , tn)→ ∀x1 . . .∀xnϕ ,nicht wahr sind! (Was fur bestimmte Objekte gilt, gilt nicht fur beliebige: quodlicet iovi...!)

Distributionsregel

ϕ → ψ ` ∃xϕ →∃xψ

ϕ → ψ ` ∀xϕ →∀xψ

Beweis:

(1) ϕ → ψ Voraussetzung

(2) ψ →∃xψ Substitutionssatz

ϕ →∃xψ tautologisch aus (1), (2)

∃xϕ →∃xψ mit ∃-Einfuhrung (die Variablenbedingung ist erfullt!)

Den zweiten Teil beweist man analog (“dual”).

Bereits fruher hatten wir fur eine Formel ϕ = ϕ(x1, . . . ,xn) mit x1, . . . ,xn alsfrei vorkommenden Variablen definiert:

∀x1 . . .∀xn ϕ der (universelle) Abschluß von ϕ.

Dieser ist immer ein Satz (d. h. eine Formel ohne frei vorkommende Variable).

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4.4. ERSETZUNG UND UMBENENNUNG, GLEICHHEIT 79

4.3.5 Abschlußsatz

Ist ϕ∀ der universelle Abschluß von ϕ , so sind beide deduktionsgleich:

T ` ϕ ⇐⇒ T ` ϕ∀.

Beweis: Benutze die Generalisierungsregel bzw. den Substitutionssatz.

Somit ist es gleichbedeutend, aus einer Theorie T eine Formel ϕ(x,y, . . .) oderihren universellen Abschluß ∀x∀yϕ(x,y, . . .) zu beweisen:

∀x∀yϕ(x,y, . . .) folgt aus T gdw ϕ(x,y, . . .) fur “beliebige” x,y aus T folgt.

4.4 Ersetzung und Umbenennung, Gleichheit

Wie in der Aussagenlogik gilt auch hier, daß der Wahrheitswert einer Formel sichnicht andert, wenn man innerhalb der Formel eine Teilformel durch eine anderemit gleichem Wahrheitswert ersetzt. Hier zeigen wir das syntaktische Gegenstuck:Ersetzt man innerhalb einer Formel ϕ eine Teilformel durch eine aquivalente,so erhalt man wiederum eine zu ϕ aquivalente Formel. (Dabei braucht man dieerwahnte Teilformel naturlich nicht uberall zu ersetzen.)

4.4.1 Ersetzungstheorem

Es gelte T ` ψi↔ ψ ′i fur i = 1, . . .n, und die Formel ϕ ′ entstehe aus ϕ , indem inϕ einige (oder alle) Teilformeln der Form ψi durch ψ ′i ersetzt werden. Dann giltauch T ` ϕ ↔ ϕ ′.

Beweis durch Induktion uber den logischen Aufbau von ϕ .

Satz (Umbenennung von gebundenen Variablen)

Falls die Variable y in ψ nicht vorkommt:

` ∃xψ ↔∃yψ[y/x]

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4.4. ERSETZUNG UND UMBENENNUNG, GLEICHHEIT 80

Beweis:

(1) ψ[y/x]→∃xψ Substitutionsaxiom

(2) ∃yψ[y/x]→∃xψ ∃-Einfuhrung in (1). Außerdem

(3) ψ →∃yψ[y/x] Substitutionsaxiom

(4) ∃xψ →∃yψ[y/x] ∃-Einfuhrung in (3)

Dabei liegt in (3) eine Anwendung des Substitutionsaxioms auf die Formel ψ[y/x]vor, wobei ψ[y/x][x/y] wieder die Formel ψ ergibt, da x nicht in ψ vorkommt.Dagegen wird in (2) nur benotigt, daß x nicht frei in ψ vorkommt.

Beispiel fur die Notwendigkeit der Variablenbedingung:

Es sei ψ = ∃y(y 6= x). Dann ist nicht allgemeingultig (und damit auch nicht be-weisbar):

∃x∃y(y 6= x)↔∃y∃y(y 6= y).

Tatsachlich ist hier ψ[y/x][x/y] = ∃y(y 6= y) 6= ψ .

Wir werden jetzt haufig der Einfachheit halber, soweit kein Mißverstandnis zubefurchten ist, ϕ(t1, . . . , tn) statt ϕ[t1/x1, . . . , tn/xn] schreiben.

Definition

Die Formel ϕ∗ entsteht aus der Formel ϕ durch Umbenennung von gebundenenVariablen gdw in ϕ Teilformeln der Form ∃xψ(x) durch ∃yψ(y) ersetzt werden(wobei y naturlich eine neue Variable ist, die in ∃xψ(x) nicht vorkommt).

Satz (Gebundene Umbenennung)

Falls ϕ∗ aus der Formel ϕ durch Umbenennung von gebundenen Variablen ent-steht, so erhalt man eine aquivalente Formel:

` ϕ ↔ ϕ∗

4.4.2 Eigenschaften des Gleichheitspradikates

Zum Schluß behandeln wir noch Aussagen uber die Gleichheit: In den Axiomenkommt an erster Stelle zwar nur die Reflexivitat der Gleichheit vor, die ubrigen

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4.4. ERSETZUNG UND UMBENENNUNG, GLEICHHEIT 81

Eigenschaften sind aber in dem dritten Schema enthalten, in welchem die RelationR auch das Gleichheitszeichen sein darf, so daß sich hier auch die Transitivitatder Gleichheit versteckt. Es fehlt fur eine Aquivalenzrelation somit nur noch dieSymmetrie:

Lemma

` s = t↔ t = sBeweis:

(1) x = x Gleichheitsaxiom

(2) x = y∧ x = x∧ x = x→ y = x Gleichheitsaxiom mit Rx1x2 als x1 = x2

(3) x = y→ y = x tautologisch aus (1), (2)

(4) s = t→ t = s Substitutionsregel aus (3), ebenso

(5) t = s→ s = t

Prinzip der Nichtunterscheidbarkeit

(i) s′ entstehe aus s durch Ersetzung einiger (oder aller) Teilterme ti durch t ′i .Dann gilt:

` t1 = t ′1∧ . . .∧ tn = t ′n→ s = s′.

(ii) ti und t ′i seien Terme, die in ϕ substituierbar seien. Dann gilt:

` t1 = t ′1∧ . . .∧ tn = t ′n→ (ϕ(t1, . . . , tn)↔ ϕ(t ′1, . . . , t′n)).

Beweis: Wegen der Substitutionsregel brauchen wir (i) und (ii) nur fur Variablexi,yi statt der Terme ti, t ′i zu beweisen. (i) beweist man durch Induktion uber denAufbau von s (mit Hilfe der Gleichheitsaxiome), (ii) ahnlich durch Induktion uberden Formelaufbau von ϕ .

Das ist das wichtigste Ergebnis uber die Gleichheit (in einfachster Form be-reits in den Gleichheitsaxiomen enthalten): Im mathematischen Gebrauch (undnicht nur hier) ist die Gleichheitsbeziehung fast niemals die reine Identitat (etwaim Sinne der syntaktischen Gleichheit), sondern stets nur eine Aquivalenzrelationund zusatzlich eine Kongruenzrelation bezuglich der Grundbegriffe der jeweiligenTheorie.

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4.5. PRANEXE NORMALFORMEN 82

4.5 Pranexe Normalformen

Wir setzen unsere Untersuchungen fort mit weiteren Gesetzen uber Quantoren,die u. a. dazu fuhren, pranexe Nomalformen zu erhalten, in welchen alle Quanto-ren am Anfang der Formel (als Prafix) stehen. In der Aussagenlogik konnten wirkonjunktive und disjunktive Normalformen z. B. fur Entscheidungsfragen benut-zen; eine entsprechende Anwendung fehlt in der Pradikatenlogik, da diese unent-scheidbar ist. Man kann aber pranexe Normalformen zur Klassifikation der Kom-pliziertheit benutzen (so wie man ein Polynom nach seinem Grad klassifizierenkann) und z. B. zeigen,

1. daß Formeln mit einem bestimmten Prafix noch entscheidbar, ab einem be-stimmten Grad der Komplexitat aber unentscheidbar sind,

2. Formeln aufgrund ihres Prafixes bestimmte modelltheoretische Eigenschaf-ten haben.

3. Die Bedeutung der Quantorenreihenfolge am Anfang tritt außerdem offenzutage, wenn man etwa Eigenschaften der Stetigkeit mit derjenigen dergleichmaßigen Stetigkeit vergleicht, oder die Existenz eines großten Ele-mentes: ∃x∀y(y < x) mit der Aussage, daß zu jedem Element ein großeresexistiert: ∀y∃x(y < x).

Aus der Definition des ∀-Quantors mittels des ∃-Quantors ergibt sich:

4.5.1 Umformungen mit der Negation

(i) ` ¬∀xϕ ↔∃x¬ϕ

(ii) ` ¬∃xϕ ↔∀x¬ϕ

4.5.2 Umformungen mit Konjunktion und Disjunktion

Falls x in ψ nicht frei vorkommt und Q den ∃- oder ∀-Quantor bezeichnet:

(i) ` Qxϕ ∨ψ ↔ Qx(ϕ ∨ψ)

(ii) ` ψ ∨Qxϕ ↔ Qx(ψ ∨ϕ)

Ahnliche Aussagen gelten, wenn auf beiden Seiten ∨ durch ∧ ersetzt wird.

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4.5. PRANEXE NORMALFORMEN 83

Beweis: Wir zeigen nur (i):

(1) ψ → ϕ ∨ψ Tautologie

(2) ϕ ∨ψ →∃x(ϕ ∨ψ) Substitutionsaxiom

(3) ψ →∃x(ϕ ∨ψ) tautologisch aus (1), (2) , ebenso

(4) ϕ → ϕ ∨ψ Tautologie

(5) ∃xϕ →∃x(ϕ ∨ψ) Distributionsregel, angewandt auf (4)

(6) ∃xϕ ∨ψ →∃x(ϕ ∨ψ). tautologisch aus (3), (5). Fur die Umkehrung:

(7) ϕ →∃xϕ Substitutionsaxiom, daraus

(8) ϕ ∨ψ →∃xϕ ∨ψ als tautologische Folgerung

(9) ∃x(ϕ ∨ψ)→∃xϕ ∨ψ mit ∃-Einfuhrung (x nicht frei in ϕ)

4.5.3 Umformungen mit der Implikation

Falls x in ψ nicht frei vorkommt:

(i) ` (∀xϕ → ψ)↔∃x(ϕ → ψ)

(ii) ` (ψ →∀xϕ)↔∀x(ψ → ϕ)

(iii) ` (∃xϕ → ψ)↔∀x(ϕ → ψ)

(iv) ` (ψ →∃xϕ)↔∃x(ψ → ϕ)

Diese Ergebnisse kann man auf die fruheren zuruckfuhren, indem man dieAquivalenz (ϕ → ψ)↔ (¬ϕ ∨ψ) benutzt. Dadurch wird zugleich auch deutlich,warum in (i) und (iii) die Quantoren wechseln: die linke Seite des → erhalt beider Umformung ein ¬-Zeichen!

Die folgenden Aquivalenzen kann man sich als eine Art Assoziativgesetz mer-ken, wenn man den ∃-Quantor als verallgemeinertes ∨, den ∀-Quantor als verall-gemeinertes ∧ auffaßt:

Lemma

(i) ` ∃x(ϕ ∨ψ)↔∃xϕ ∨∃xψ

(ii) ` ∀xϕ ∧∀xψ ↔∀x(ϕ ∧ψ)

Die folgenden Ergebnisse gelten auch ohne Variablenbedingung, dafur i. a.aber nur in jeweils einer Richtung:

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4.5. PRANEXE NORMALFORMEN 84

Lemma

` ∀xϕ →∃xϕ

` ∃x(ϕ ∧ψ)→∃xϕ ∧∃xψ

` (∀xϕ ∨∀xψ)→∀x(ϕ ∨ψ)

` (∃xϕ →∃xψ)→∃x(ϕ → ψ)

` ∀x(ϕ → ψ)→ (∀xϕ →∀xψ)

Definition (pranex)

ϕ heißt offen gdw ϕ keine Quantoren enthalt, ϕ heißt pranex gdw ϕ offen istoder von der Form

Q1 x1 . . .Qn xn ψ

mit ψ offen, Qi ein Quantor (∃ oder ∀). Dabei heißt der QuantorenblockQ1 x1 . . .Qn xn das Prafix von ϕ,ψ die Matrix von ϕ .

Satz uber die pranexe Normalform

Zu jeder Formel ϕ (ausgedruckt mit ¬,∨,∧,→,↔,∃,∀) existiert eine pranexeFormel ϕ p mit

` ϕ ↔ ϕp.

ϕ p heißt (eine) pranexe Normalform von ϕ .

Den Beweis fuhrt man durch Induktion uber den Aufbau der Formel ϕ . Wirwollen stattdessen skizzieren, wie man eine pranexe Normalform konkret erhalt:Gegeben sei eine Formel ϕ , von der wir annehmen konnen, daß sie außer denQuantoren nur die BOOLEschen Operationen ¬,∨,∧ enthalt.

(1) Mit Hilfe von 4.5.1 und den entsprechenden aussagenlogischen Umformun-gen bringe man in ϕ das ¬-Zeichen so weit nach innen, bis es hochstensvor atomaren Formeln steht; das Ergebnis ist eine aquivalente Formel ϕn

(Negations-Normalform).

(2) Bringe den in ϕn am weitesten links stehenden Quantor (u. U. nach ge-eigneter Umbenennung) an den Anfang der Formel und erstrecke seinen

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4.5. PRANEXE NORMALFORMEN 85

Wirkungsbereich auf die ganze Formel; benutze dazu die folgenden Aqui-valenzen (aus den vorhergehenden Lemmata):

∀vϕ(v)∧θ ↔∀v(ϕ(v)∧θ) falls v nicht in θ

↔∀v(ϕ(v)∧θ ′(v)) falls θ = ∀vθ′(v)

∀vϕ(v)∨θ ↔∀v(ϕ(v)∨θ) falls v nicht in θ

↔∀z(ϕ(z)∨θ) mit geeignetem z

Die Umbenennung der Variablen v in eine geeignete neue Variable z kann mannaturlich immer vornehmen; die vorhergehenden Umformungen sind - soweitmoglich - jedoch vorzuziehen, um die neue Formel nicht unnotig kompliziert zumachen.

Auf ahnliche Weise verfahre man im Falle eines ∃-Quantors. Damit erhaltenwir eine zu ϕn aquivalente Formel ϕ ′ der Form Qvδ . Bringt man dann in gleicherWeise die in δ vorkommenden Quantoren “an den Anfang”, so erhalt man alsEndergebnis eine pranexe Formel ϕ p, die zu ϕ aquivalent ist.

Bemerkung:

Wie im Falle der konjunktiven bzw. disjunktiven Normalform ist eine pranexeNormalform niemals eindeutig bestimmt (trotzdem spricht man haufig von derpranexen Normalform, da zumindest alle untereinander aquivalent sind).

4.5.4 Das Dualitatsprinzip fur die Pradikatenlogik

Wir setzen hier voraus, daß die Formeln (außer den Quantoren) wieder nur dieBOOLEschen Operationen ¬,∨,∧ enthalten. Dann definiert man in Verallgemei-nerung des aussagenlogischen Falles:

D(ϕ) : vertausche in ϕ ∨ mit ∧ und ∃ mit ∀ : duale Formel zu ϕ,

N(ϕ) : setze vor jede atomare Formel in ϕ ein ¬-Zeichen,

N∗(ϕ) : setze vor jede atomare Formel in ϕ ein ¬-Zeichen, falls dort

keines steht, sonst streiche es!

Beispiel:

Es sei ϕ = ∀x(P(x)→∃yR(y,x)), d. h. nach Elimination von→:ϕ ↔∀x(¬P(x)∨∃yR(y,x)).

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4.5. PRANEXE NORMALFORMEN 86

Dann ist

D(ϕ) = ∃x(¬P(x)∧∀yR(y,x))

N(ϕ) = ∀x(¬¬P(x)∨∃y¬R(y,x))

N∗(ϕ) = ∀x(P(x)∨∃y¬R(y,x))

DN∗(ϕ) = ∃x(P(x)∧∀y¬R(y,x))

Ahnlich wie in der Aussagenlogik erhalt man (hier in syntaktischer Form):

Satz

a) ` ¬ϕ ↔ D(N∗(ϕ)) Bildung der Negationb) ` (ϕ ↔ ψ) ⇐⇒ ` (Dϕ ↔ Dψ) Dualitatssatz

Beschrankte Quantoren

Man kann diese Ergebnisse auch auf beschrankte Quantoren erweitern: Ist

ϕ = ∀x(P(x)→ ψ(x)), d. h.

↔ ∀x(¬P(x)∨ψ(x)), so ist

¬ϕ ↔ ∃x(P(x)∧¬ψ(x)).

d. h. die beschrankten Quantoren

∀x(P(x)→ . . .) und ∃x(P(x)∧ . . .)

sind dual zueinander.Besonders haufig kommt ein derartiger Quantor in der Analysis vor als

∀ε > 0 ψ :↔∀ε (ε > 0→ ψ)

Mit Hilfe des obigen Satzes lassen sich also Aussagen der folgenden Formleicht negieren:

¬∀x∀ε > 0∃δ > 0ψ ↔ ∃x∃ε > 0∀δ > 0¬ψ.

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4.6. DAS DEDUKTIONSTHEOREM 87

4.6 Das Deduktionstheorem

Beim Beweisen steht man oft vor der folgenden Aufgabe: In einer Theorie T solleine Implikation der Form ϕ→ψ gezeigt werden. Dazu benutzt man das folgendeArgument:

“Vorausgesetzt sei ϕ . Dann . . . (hier folgt der Beweis mit den zusatzlichenAnnahmen aus T) . . . : ψ . Also haben wir T ` ϕ → ψ gezeigt.”

Das Deduktionstheorem rechtfertigt dieses Argument, falls eine wichtige Ein-schrankung beachtet wird:

Deduktionstheorem

T[σ ] sei die Theorie T mit σ als zusatzlichem Axiom und σ ein Satz. Dann gilt:

T ` σ → ψ ⇐⇒ T[σ ] ` ψ

Der Beweis von “⇒” ist trivial und macht nur vom modus ponens Gebrauch:Es gelte T ` σ → ψ , dann offensichtlich also auch T[σ ] ` σ → ψ . Da ferner

T[σ ] ` σ , so mit modus ponens T[σ ] ` ψ .Der Teil “⇐” ist interessanter und auch weniger trivial: Beim Beweis von ψ

aus T[σ ] konnte das Zusatzaxiom σ an mehreren Stellen benutzt worden sein!Wir werden zeigen, daß man aus einem Beweis von ψ aus T[σ ] (mit leichtenModifikationen) einen Beweis von σ → ψ aus T erhalt, indem man im erstenBeweis jede Beweiszeile δ durch σ → δ ersetzt, wobei das Zusatzaxiom σ in diebeweisbare Formel σ → σ ubergeht und damit entbehrlich wird. Aufpassen mußman allerdings im Falle der ∃-Einfuhrungsregel, daß die Variablenbedingung nichtverletzt wird; die Voraussetzung, daß σ ein Satz ist, wird hier benotigt (konnte hieraber auch entsprechend abgeschwacht werden).

Beweis von “⇐”: Wir zeigen

T[σ ] ` ψ =⇒ T ` σ → ψ

durch Induktion uber die Lange eines Beweises (d. h. Anzahl der Formeln im Be-weis) von ψ:

a) ψ ist Axiom von T[σ ]: dann ist entweder

(i) ψ Axiom von T und damit T ` ψ , also auch T ` σ → ψ , oder

(ii) ψ = σ und damit wegen T ` σ → σ auch T ` σ → ψ .

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4.6. DAS DEDUKTIONSTHEOREM 88

b) ψ ist logisches Axiom. Dann gilt T `ψ , also auch (als tautologische Folge-rung) T ` σ → ψ .

Damit haben wir den Induktionsanfang behandelt. Der Induktionsschluß (ψ istFolgerung mittels einer Regel) laßt sich auch in 2 Falle aufgliedern:

c) Es gibt Formeln ψ1 bzw. ψ1 und ψ2, so daß ψ aus diesen mittels eineraussagenlogischen Regel folgt (und damit tautologisch folgt), wobei T[σ ] `ψ1 und T[σ ] ` ψ2. Nach Induktionsvoraussetzung gilt ferner T ` σ → ψi

fur i = 1,2 und damit als tautologische Folgerung auch T ` σ → ψ .

d) ψ ist Folgerung aus ψ1 mittels der Regel der ∃-Einfuhrung, alsoψ1 = δ1→ δ2 und ψ = ∃xδ1→ δ2 fur Formeln δ1,δ2, wobei x in δ2 nichtfrei vorkommt. Dann:

(1) T ` σ → (δ1→ δ2) nach Induktionsvoraussetzung

(2) T ` δ1→ (σ → δ2) tautologisch (aus (1)

(3) T ` ∃xδ1→ (σ → δ2) mit ∃-Einfuhrung

(4) T ` σ → (∃xδ1→ δ2) tautologisch aus (3), also

(5) T ` σ → ψ

Dabei war die ∃-Einfuhrung in (3) erlaubt, denn x kommt nach Voraussetzung inδ2 nicht frei vor, aber auch nicht frei in σ (da nach Annahme σ ein Satz ist), alsokommt x in σ → δ2 nicht frei vor.

Korollar

T sei eine Theorie der Sprache L, γ1, . . . ,γn seien L -Satze und ψ eine L-Formel.Dann gilt:

T ` γ1∧ . . .∧ γn→ ψ ⇐⇒ T[γ1, . . . ,γn] ` ψ

Bemerkungen

1. Daß das Deduktionstheorem nicht fur beliebige Formeln gilt, zeigt das Bei-spiel ϕ = (x = y), wobei A |= ∀x∀y ϕ ⇐⇒ |A| hat genau ein Element:

Es ist T[x = y] ` ∀x∀y(x = y), aber T 6` x = y→ ∀x∀y(x = y), wenn T einModell mit mindestens zwei Elementen hat.

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4.7. ERWEITERUNGEN VON THEORIEN, WIDERSPRUCHSFREIHEIT 89

2. Aus dem Beweis ergibt sich, daß σ auch eine Formel sein kann, vorausge-setzt, daß beim Beweis von ψ aus T[σ ] die ∃-Einfuhrungsregel nicht fureine Variable benutzt wurde, die in σ frei vorkommt. Ansonsten laßt sichdas Deduktionstheorem fur eine Formel ϕ auch in der Form

T ` ϕ∀→ ψ ⇐⇒ T[ϕ] ` ψ

umformulieren, wobei ϕ∀ der universelle Abschluß von ϕ ist.

3. Falls T ` ψ , so existieren nach dem Endlichkeitssatz fur die Beweisbarkeitendlich viele ϕ1, . . . ,ϕn in T mit ϕ1, . . . ,ϕn `ψ; sind die Axiome ϕ1, . . . ,ϕn

Satze (man kann sie anderenfalls wegen des Abschlußsatzes durch ihre uni-versellen Abschlusse ersetzen), so gilt also ` ϕ1∧ . . .∧ϕn→ ψ .

Damit laßt sich die Beweisbarkeit in einer Theorie (prinzipiell) auf logische Be-weisbarkeit zuruckfuhren; ist ein konkreter Beweis von ψ aus T gegeben, so las-sen sich aus diesem Beweis die Satze ϕ1, . . . ,ϕn in T mit ϕ1∧ . . .∧ϕn ` ψ auchkonkret angeben, nicht notwendig aber, wenn man nur von der Beweisbarkeit aus-geht!

4.7 Erweiterungen von Theorien, Widerspruchsfreiheit

Theorien erweitert man oft durch Hinzunahme neuer Axiome (z. B. des Kommu-tativgesetzes zu den Gruppenaxiomen oder der Negation des Parallelenaxioms zur“Absoluten” Geometrie), manchmal wird dabei auch noch die Sprache erweitert(Gruppentheorie→ Korpertheorie→ Theorie der angeordneten Korper).

4.7.1 Erweiterungen und Expansionen

a) Eine Sprache L′ heißt Erweiterung der Sprache L (L ⊆ L′) gdw. jedes(nicht-logische) Symbol von L auch Symbol von L′ ist (also jede L-Formelauch eine L′-Formel ist).

b) Eine Theorie T′ der Sprache L′ heißt Erweiterung der Theorie T der Spra-che L (T⊆ T′) gdw

(i) L′ Erweiterung der Sprache L ist und

(ii) fur alle Formeln ϕ der Sprache L: T ` ϕ ⇒ T′ ` ϕ .

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4.7. ERWEITERUNGEN VON THEORIEN, WIDERSPRUCHSFREIHEIT 90

c) Gilt in (ii) sogar die Aquivalenz, also (zusatzlich zu (i))

(iii) fur alle Formeln ϕ der Sprache L: T ` ϕ ⇐⇒ T′ ` ϕ ,

so heißt T′ konservative Erweiterung von T.

Haufig erweitert man eine Theorie T durch Definitionen: Fuhrt man fur eineFormel ϕ(~x) ein neues Relationszeichen R ein, so bedeutet dies, daß man T zueiner Theorie T′ erweitert, die als neues Axiom erhalt:

R(~x)↔ ϕ(~x).

Ebenso bei der Einfuhrung neuer Funktionszeichen: Hier muß man zunachst nach-weisen, daß

T ` ∀~x∃!yϕ(~x,y),

worauf man durchf (~x) = y↔ ϕ(~x,y)

die Theorie T um das neue Funktionszeichen f mit obigem Axiom erweitert. Inbeiden Fallen ist die neue Theorie eine konservative Erweiterung der alten TheorieT.

d) Falls T ⊆ T′ und T′ ⊆ T , so heißt T aquivalent zu T′ (und dann wirdoft T mit T′ identifiziert, da sie sich in diesem Fall (moglicherweise) nurdurch ihre Axiomatisierung, nicht aber in ihren Konsequenzen voneinanderunterscheiden).

Insbesondere unterscheiden wir nicht zwischen einer Theorie T und ihrer Folge-rungsmenge C(T) := σ | T ` σ. Mit Hilfe des Vollstandigkeitssatzes werdenwir spater zeigen, daß Theorien genau dann aquivalent sind, wenn sie dieselbenModelle haben.

Beachte, daß aquivalente Theorien in derselben Sprache formuliert sind unddaß eine konservative Erweiterung T′ von T zwar nur dieselben Aussagen der(kleineren) Sprache von T abzuleiten gestattet, daruber hinaus jedoch moglicher-weise weitere Aussagen uber die erweiterte Sprache zulaßt.

e) Ist L⊆ L′, A eine L-Struktur und A′ eine L′-Struktur, so heißt

A′ Expansion von A : ⇐⇒ |A| = |A′| und sA = sA′ fur alle nicht-logischen Symbole s von L.

Man schreibt dann auch A = A′ L und nennt umgekehrt A auch die Ein-schrankung oder das Redukt von A′ auf die Sprache L.

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4.7. ERWEITERUNGEN VON THEORIEN, WIDERSPRUCHSFREIHEIT 91

So ist z. B. ein Korper (K,+, ·,0,1) eine Expansion der additiven Gruppe(K,+,0) des Korpers.

Eine Erweiterung einer Theorie T der Sprache L zu einer Theorie T′ der Spra-che L′ kann dadurch erfolgen, daß nur die Sprache erweitert wird, aber keineweiteren nicht-logischen Axiome hinzukommen (T′ heißt dann rein sprachlicheErweiterung von T) oder es konnen (wie beim Ubergang von der Gruppen- zurKorpertheorie) noch weitere nicht-logische Axiome hinzukommen. Wir behan-deln zunachst den ersten Fall:

4.7.2 Satz uber rein sprachliche Erweiterungen von Theorien

T und T′ seien Theorien der Sprache L bzw. L′, wobei L ⊆ L′. Haben T und T′

dieselben Axiome, so ist T′ konservative Erweiterung von T:

fur alle Formeln ϕ von L gilt: T ` ϕ ⇐⇒ T′ ` ϕ .

Vorbemerkung: Der Teil der Behauptung von links nach rechts ist trivial (da jedesAxiom von T auch Axiom von T′ ist, ist jeder Beweis von ϕ aus T auch einBeweis von ϕ aus T′), aber die Umkehrung ist keineswegs trivial, da ein Beweisvon ϕ aus T′ logische Axiome (bzw. Regeln) fur Formeln der erweiterten Sprachebenutzen kann (auch wenn die zusatzlichen Symbole der Sprache L′ in ϕ selbstnicht mehr vorkommen). Ein semantischer Beweis (mit |= statt ` ) ist jedocheinfach: ist A′ |= T′ , so ist die Einschrankung A = A′ L ein Modell von T.

Beweis des Satzes: In einer Formel ψ der (großeren) Sprache L′ streichen wirdie nicht zu L gehorigen Symbole und ersetzen sie in harmloser Weise mittelseiner Variablen y : Es sei ψy die Formel der Sprache L , die aus ψ entsteht,indem in ψ

Rt1 . . . tn (falls R nicht in L) durch y = y,

Ft1 . . . tm (falls F nicht in L) durch y,

c (falls c nicht in L) durch y ersetzt wird.

Wir zeigen nun fur alle Formeln ψ der Sprache L′:

(*) fur alle Variablen y bis auf endlich-viele Ausnahmen gilt T′ ` ψ ⇒ T ` ψy.

Da fur Formeln ψ in L offenbar ψy = ψ ist, so folgt hieraus dann die Behauptung.Die Aussage (*) beweisen wir durch Induktion uber die Lange eines Beweises vonT′ ` ψ:

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4.7. ERWEITERUNGEN VON THEORIEN, WIDERSPRUCHSFREIHEIT 92

1. ψ ist nicht-logisches Axiom von T′. Dann ist ψ auch (nicht-logisches) Axi-om von T, also T ` ψ und dann auch T ` ψy fur alle Variablen y (da hierψy = ψ).

2. ψ ist logisches Axiom von T′.

2.1 ψ = ¬θ ∨θ .Dann ist ψy = ¬θy∨θy fur jedes y und T ` ψy fur alle Variablen y.

2.2 ψ = θ [t/x]→∃xθ .Dann ist ψy = θy[t0/x]→ ∃xθy fur alle y, die in θ nicht vorkommenund fur einen Term t0 von L. Somit T ` ψy fur alle Variablen y bisauf endlich-viele.

2.3 ψ = (x = x). Dann ist ψy = (x = x).

2.4 ψ ist eines der Gleichheitsaxiome.Dann ist ψy = ψ oder von der Form θ → y = y, jedenfalls T ` ψy furalle Variablen y.

3. (Induktionsschritt):ψ ist Konklusion einer Regel mit den Pramissen ψ1 . . .ψn (n = 1,2), wobeinach Induktionsvoraussetzung T ` (ψi)y fur i ≤ n und alle Variablen y bisauf endlich-viele gilt.

3.1 Im Falle einer aussagenlogischen Regel ist ψ tautologische Folge-rung aus ψ1, . . . ,ψn, dann ist aber auch ψy tautologische Folgerungaus (ψ1)y, . . . ,(ψn)y und somit T ` ψy.

3.2 Im Falle der vorderen Partikularisierung ist n = 1 und ψ = ∃xϕ → θ

und ψ1 = ∃xϕ → θ mit x nicht frei in θ .

Dann ist ψy = ∃xϕy→ θy und (ψ1)y = ϕy→ θy mit x nicht frei in θy

fur y 6= x. Also T ` ψy fur jedes y 6= x mit T ` (ψ1)y und damit T ` ψy

fur alle y bis auf endlich-viele.

Das folgende Korollar haben wir einfacher schon in der modelltheoretischenFassung (3.1.1) erhalten:

Korollar

T sei eine Theorie der Sprache L, c eine neue Konstante, die in L nicht vorkommt.Dann gilt:

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4.7. ERWEITERUNGEN VON THEORIEN, WIDERSPRUCHSFREIHEIT 93

T ` ϕ[c/x] ⇐⇒ T ` ∀xϕ .

Hier haben wir erneut ein bekanntes Beweisprinzip (vgl. Satz uber die Gene-ralisierung) erhalten:

Um aus den Axiomen einer Theorie T eine Aussage ∀xϕ(x) zu bewie-sen, genugt es, die Aussage ϕ(c) fur eine geeignete Konstante c (ein“beliebiges, aber festes” c) herzuleiten.

Im Rahmen der Aussagenlogik hatten wir bereits fruher die Widerspruchsfrei-heit einer Aussagenmenge formuliert, entsprechend definieren wir im Falle derPradikatenlogik:

4.7.3 Widerspruchsfrei/widerspruchsvoll

T konsistent : ⇐⇒ es gibt einen Satz σ der Sprache von T mit: T 6` σ ,

T inkonsistent : ⇐⇒ fur alle Satze σ der Sprache von T gilt: T ` σ .

Diese Definition (statt konsistent sagt man auch widerspruchsfrei, statt inkon-sistent auch widerspruchsvoll) hat den Vorzug, daß sie auch fur Sprachen ohnedas ¬-Zeichen sinnvoll ist; hier ergibt sich fur unsere Sprachen die Aquivalenzmit der erwarteten Charakterisierung:

Lemma

T konsistent ⇐⇒ es gibt keinen Satz σ mit T ` σ und T ` ¬σ .

Beweis von “⇒”: Falls T ` σ und T ` ¬σ fur einen Satz σ , so nach dem Tauto-logiesatz T ` σ ∧¬σ und somit T ` ψ fur alle Satze ψ .“⇐”: Wahle fur σ den Satz ∀x(x = x); dann gilt T ` σ , also nach Vor. T 6` ¬σ ,und damit ist mindestens ein Satz aus T nicht beweisbar.

Bemerkungen

1. Ist T′ Erweiterung von T und ist T′ konsistent, so auch T.

2. Ist T′ konservative Erweiterung von T, so gilt:T konsistent gdw T′ konsistent.

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4.7. ERWEITERUNGEN VON THEORIEN, WIDERSPRUCHSFREIHEIT 94

Nimmt man zu einer Theorie T eine Menge Γ Formeln (als zusatzliche Axio-me) hinzu, so ist die entstehende Erweiterung T[Γ] widerspruchsvoll, wenn end-lich-viele der neuen Axiome einen Widerspruch zur Theorie T ergeben. Da manhier endlich-viele Axiome durch ihre Konjunktion ersetzen kann, genugt der fol-gende Satz:

4.7.4 Beweisbarkeit und Widerspruchsfreiheit

Ist ϕ∗ der universelle Abschluß von ϕ , so gilt:

T ` ϕ ⇐⇒ T[¬ϕ∗] widerspruchsvoll,T 0 ϕ ⇐⇒ T[¬ϕ∗] widerspruchsfrei.

Beweis von “⇒”: Falls T ` ϕ , so auch T ` ϕ∗ und damit erst recht T[¬ϕ∗] ` ϕ∗.Andererseits gilt aber naturlich auch T[¬ϕ∗] ` ¬ϕ∗. Somit ist T[¬ϕ∗] wider-spruchsvoll.“⇐”: Es sei T[¬ϕ∗] widerspruchsvoll. Dann ist alles beweisbar, insbesondereT[¬ϕ∗] ` ϕ∗. Nach dem Deduktionstheorem: T ` ¬ϕ∗ → ϕ∗, also T ` ϕ∗ unddamit auch T ` ϕ.

Damit kann die Beweisbarkeit eines Satzes auf die Widerspruchsfreiheit einergeeignet erweiterten Theorie zuruckgefuhrt werden:

T 0 σ ⇐⇒ T[¬σ ] ist widerspruchsfrei

Schon im Rahmen der Aussagenlogik haben wir bemerkt, daß der Begriffder Folgerung sich auf den entsprechenden Begriff der Erfullbarkeit zuruckfuhrenlaßt:

T 6|= σ ⇐⇒ T[¬σ ] ist erfullbar

Wie im Falle der Aussagenlogik konnen wir den Vollstandigkeitssatzes damitauf den Modellexistenz-Satz zuruckfuhren:

Jede widerspruchsfreie Theorie T ist erfullbar.

Tatsachlich ist diese Aussage aquivalent zum Vollstandigkeitssatz; beide stel-len einen Zusammenhang zwischen einem syntaktischen Begriff (beweisbar, wi-derspruchsfrei) und einem semantischen Begriff (folgt aus, erfullbar) her. Der Mo-dellexistenzsatz erscheint hier nur in seiner einfachsten Form; in der Modelltheo-rie werden allgemeinere Fassungen dieses Satzes behandelt, in denen aus syntak-tischen Eigenschaften einer formalen Theorie Aussagen uber semantische Eigen-schaften moglicher Modelle gemacht werden.

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4.8. TERMMODELLE 95

4.8 Termmodelle

T sei eine Theorie der Sprache L. Um ein Modell A von T zu finden, muß man we-nigstens den Individuenkonstanten der Sprache Werte zuordnen; unter gunstigenVoraussetzungen erhalt man dann durch geeignete Festlegungen der Interpretati-on der Relations- und Funktionssymbole bereits ein Modell. So findet man z. B.im Falle der Gruppentheorie (und ahnlich im Falle der Theorie der Korper) daseinfachste Modell:

Wahle ein Element e als (Interpretation des) neutrales Element(es)und setze e e = e, e−1 = e : G = (e,,−1 ,e) ist eine Gruppe!

Diesen Ansatz wollen wir weiterverfolgen:

4.8.1 Kanonische Struktur einer Theorie, Termstruktur

Die Elemente von eines Modell A einer Theorie T mussen mindestens Interpreta-tionen der konstanten Terme als Elemente enthalten. Daher definieren wir:

K := t | t konstanter (d. h. variablenfreier) L-Term.

Zusatzlich ist zu beachten ist, daß aus den Axiomen der Theorie T folgen kann,daß verschiedene Terme gleichgesetzt werden sollen (z. B. 0 + 1 = 1 +(0 · 1) inder Korpertheorie). Daher werden wir Terme identifizieren, wenn die Theorie esverlangt:

s∼ t :⇐⇒ T ` s = t fur s, t ∈ K.

Diese Relation ist (wegen der Gleichheitsaxiome!) eine Aquivalenzrelationauf K,

s := t ∈ K | s∼ t zugehorige Aquivalenzklasse.

A := s | s ∈ K Menge der Aquivalenzklassen

wird der Individuenbereich der gesuchten Struktur sein, in dem tA = t fur allet ∈ K gelten wird. Dazu legen wir die Interpretation der weiteren nicht-logischenZeichen wie folgt fest:

cA = c

FA(t1, . . . , tm) = F(t1, . . . , tm)

RA(t1, . . . , tn) ⇐⇒ T ` R(t1, . . . , tn)

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4.8. TERMMODELLE 96

Daß diese Definitionen “wohldefiniert” sind (d. h. nicht von der Wahl der Re-prasentanten der jeweiligen Aquivalenzklassen abhangen), folgt wiederum ausden Gleichheitsaxiomen (Prinzip der Nichtunterscheidbarkeit, s. 4.4.2). Damit ist(fur K 6= /0 ) nun eine L-Struktur

A = AT = (A,RA, . . .FA, . . .cA, . . .) definiert,die kanonische Struktur der Theorie T.

Eine Struktur bzw. ein Modell, dessen Elemente Interpretationen von konstantenTermen sind (wie die obige kanonische Struktur) nennt man auch eine Term-struktur bzw. ein Termmodell.

4.8.2 Satz uber Termmodelle

Fur alle atomaren Satze σ gilt:

(∗) AT |= σ ⇐⇒ T ` σ .

Beweis: Zeige zunachst durch Induktion uber den Termaufbau:

(1) tA = t fur alle t ∈ K.

(*) beweist man dann durch Induktion uber die Formellange:

(2) Ist σ = R(t1, . . . , tn), so

AT |= σ ⇐⇒ RA(tA1 , . . . , tAn ) nach Def. von |=⇐⇒ RA(t1, . . . , tn) nach(1)

⇐⇒ T ` R(t1, . . . , tn) nach Def. von RA

(3) Ist σ der Satz s = t, so

AT |= σ ⇐⇒ sA = tA nach Def. von |=⇐⇒ s = t nach (1)

⇐⇒ T ` s = t nach Def. von t

Konnten wir die Aussage (*) fur alle Satze zeigen, so ware die Struktur AT einModell von T. Im allgemeinen gilt dies aber nicht, T kann zwar widerspruchsfreisein, aber moglicherweise zu wenig Information enthalten: Um den Induktions-beweis weiterfuhren zu konnen, mußte gelten:

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4.9. VERVOLLSTANDIGUNG VON THEORIEN 97

(a) analog zu

AT |= ¬σ ⇐⇒ AT 6|= σ :

T ` ¬σ ⇐⇒ T 6` σ ,

(b) analog zu

AT |= ∃xϕ ⇐⇒ es ex. ein t ∈ K mit AT |= ϕ[t/x] :

T ` ∃xϕ ⇐⇒ es ex. ein t ∈ K mit T ` ϕ(t).

Die Eigenschaft (a) charakterisiert gerade die konsistenten und (syntaktisch)vollstandigen Theorien, dagegen erfullen Henkin-Theorien die Eigenschaft (b).Wir werden zeigen, dass man beide Eigenschaften durch eine geeignete Erweite-rung von T erhalten kann.

4.9 Vervollstandigung von Theorien

Wie im Falle der Aussagenlogik nennen wir eine Theorie T der Sprache L (syn-taktisch) vollstandig gdw

fur jeden L-Satz σ gilt: T ` σ oder T ` ¬σ .

Da T konsistent ist gdw nicht zugleich T ` σ und T ` ¬σ gelten, so ist T konsi-stent und (syntaktisch) vollstandig gdw

fur jeden L-Satz σ gilt: entweder T ` σ oder T ` ¬σ .

Der Vollstandigkeitsbegriff im semantischen Sinne (fur jeden L-Satz σ gilt:T |= σ oder T |= ¬σ ) wird mit obigem ubereinstimmen, sobald wir den Voll-standigkeitssatz bewiesen haben. Solange soll vollstandig hier im syntaktischenSinne gemeint sein (und besser durch den aquivalenten Begriff maximal kon-sistent ersetzt werden). Daneben haben wir noch den Begriff des vollstandigenAxiomensystems; dieser ist von den Begriffen der vollstandigen Theorie streng zuunterscheiden. Daher beachte man:

Der Vollstandigkeitssatz fur die Pradikatenlogik besagt nicht,daß jede Theorie vollstandig ist!

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4.9. VERVOLLSTANDIGUNG VON THEORIEN 98

Die Vollstandigkeit eines Axiomensystems fur die Logik bedeutet, daß es ge-nugend Axiome und Regeln enthalt, um alle wahren Satze zu beweisen; bezuglichder Folgerungsbeziehung besagt der Vollstandigkeitssatz, daß alle Satze, die inallen Modellen einer Theorie T gelten, aus T mit den Axiomen und Regeln desAxiomensystems beweisbar sind. Daraus folgt keineswegs, daß alle Theorien voll-standig sind, haufig sollen sie sogar unvollstandig sein, um moglichst viele Mo-delle mit sehr unterschiedlichen Eigenschaften zuzulassen (wie die algebraischeTheorien der Gruppen, Ringe oder Korper). Fur den Beweis des Vollstandigkeits-satzes der Pradikatenlogik benotigen wir allerdings den Begriff der vollstandigenTheorie und die Moglichkeit, eine beliebige konsistente Theorie zu einer maximalkonsistenten Theorie zu erweitern.

4.9.1 Satz von Lindenbaum

T sei eine konsistente Theorie der abzahlbaren Sprache L. Dann existiert einemaximal konsistente Erweiterung TV von T in derselben Sprache L.

Beweis: Da die Sprache L abzahlbar ist, existiert eine Aufzahlung (σn|n ∈ N)aller L-Satze. Setze (rekursiv)

T0 = T und Tn+1 =

Tn, falls Tn ` σn,

Tn[¬σn] sonst.

Schließlich sei TV :=⋃

n∈N Tn.

Da nach Konstruktion von Tn+1 gilt:

Tn ` σn oder Tn+1 ` ¬σn, so auchTV ` σn oder TV ` ¬σn,

und damit ist TV eine vollstandige Theorie.Zum Beweis der Konsistenz von TV zeigt man durch Induktion, daß alle Tn

konsistent sind: Ist Tn widerspruchsfrei, so auch Tn+1, wobei man im “sonst”-Fall4.7.4 benutzt). Die Widerspruchsfreiheit von TV folgt dann aus dem Endlichkeits-satz fur die Beweisbarkeit.

Bemerkungen

• Der Beweis des Satzes von LINDENBAUM zeigt, daß die Existenz einer Ver-vollstandigung von der Wahl der Aufzahlung der Satze der Sprache abhangt;

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4.10. HENKIN-THEORIEN 99

i. a. hat eine (konsistente aber selbst nicht vollstandige) Theorie sehr vieleVervollstandigungen!

• T ist konsistent und vollstandig gdw C(T) := σ | T ` σ (die Menge allerFolgerungen aus T) eine maximale konsistente Theorie ist.

• Um den Satz von LINDENBAUM fur beliebige Sprachen zu beweisen, mußman also zeigen, daß sich jede konsistente Theorie zu einer maximalen kon-sistenten Theorie erweitern laßt. Dazu benotigt man (zumindest im Falluberabzahlbarer Sprachen) das Auswahlaxiom, etwa in Form des ZORN-schen Lemmas (s. 7.2).

4.10 Henkin-Theorien

Wir behandeln jetzt Theorien, in denen der Existenzquantor in Satzen eliminiertwerden kann, und zwar durch eine Konstante als Beispiel:

Definition einer Henkin-Theorie

Eine Theorie T der Sprache L heißt Henkin-Theorie gdw fur jeden L-Satz derForm σ = ∃xϕ gilt: Es gibt einen konstanten Term t der Sprache L mit

T ` ∃xϕ → ϕ(t) und somitT ` ∃xϕ ↔ ϕ(t).

A sei L-Struktur mit Individuenbereich A. Bereits fruher haben wir die SpracheLA eingefuhrt, die zusatzliche Namen a fur jedes Element a ∈ A enthalt. In derStruktur AA wird a durch a selbst interpretiert, und mit

DL(A) = Th(AA) = σ |AA |= σ ,σ LA-Satz

haben wir das elementare Diagramm von A bezeichnet.

Beispiele

(i) Th(A) und DL(A) sind stets konsistente und vollstandige Theorien, letztereist offenbar eine HENKIN-Theorie. Als Folgerung aus dem Vollstandigkeits-satz wird sich ergeben, daß umgekehrt jede konsistente und vollstandigeTheorie von der Form Th(A) ist fur ein A.

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4.10. HENKIN-THEORIEN 100

(ii) Konkrete Beispiele sind

• die Theorie der dichten linearen Ordnung ohne Endpunkte:konsistent und vollstandig (s. 9.2), aber (in der Sprache allein mit <-Zeichen) keine HENKIN-Theorie,

• die Gruppentheorie ist konsistent, aber unvollstandig: Das Kommuta-tivgesetz ∀x∀y(x y = y x) ist weder beweisbar noch widerlegbar,aber auch die Theorie der ABELschen Gruppen ist offenbar noch un-vollstandig.

• Die PEANO-Arithmetik PA ist unvollstandig (GODELscher Unvoll-standigkeitssatz).

• Dagegen ist die Theorie des Standardmodells von PA, Th(N,′ ,0), einevollstandige HENKIN-Theorie.

Eine HENKIN-Theorie muß zu jedem Existenzsatz einen konstanten Term alsBeispiel besitzen, i. a. besitzen naturlich vorgegebene Theorien nicht genugendderartige Beispiele. Man kann jedoch durch Hinzunahme genugend vieler Kon-stanten eine Theorie zu einer HENKIN-Theorie erweitern:

Henkin-Erweiterungen

Es sei T eine Theorie der Sprache L. Wahle fur jeden L-Satz der Form σ = ∃xψ

eine neue (d. h. in der Sprache L bisher nicht vorkommende) Konstante cσ undbilde die erweiterte Sprache

L∗ := L∪cσ | σ L-Satz der Form ∃xψ,T∗ := T[Γ] mit den HENKIN-Axiomen in der Sprache L∗ :

Γ := ∃xψ(x)→ ψ(cσ ) | σ L-Satz der Form ∃xψ.

T∗ braucht aber noch keine HENKIN-Theorie zu sein, da man mit Hilfe derneuen Konstanten moglicherweise neue Existenzsatze finden kann, fur die kei-ne Beispiele in der Sprache L∗ vorhanden sind. Man muß daher diesen Prozeßunendlich oft iterieren: Setze

L0 = L , T0 = T Theorie der Sprache L

Ln+1 = L∗n, Tn+1 = T∗n Theorie der Sprache Ln+1.

Schließlich seiLH =

⋃n∈N Ln, TH =

⋃n∈N Tn die Henkin-Erweiterung der Theorie T.

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4.10. HENKIN-THEORIEN 101

Satz uber Henkin-Erweiterungen

(i) TH ist eine HENKIN-Theorie,

(ii) TH ist eine konservative Erweiterung von T,

(iii) ist die Sprache L abzahlbar, so auch die Sprache LH .

Beweis: (i) und (iii) sind klar (Abzahlbarkeit einer Sprache bedeutet, daß die Men-ge der Symbole der Sprache abzahlbar ist). Zum Beweis von (ii) sei T′ die Theorieder Sprache LH mit denselben nicht-logischen Axiomen wie T. Dann ist T′ einerein sprachliche Erweiterung von T und somit konservative Erweiterung von T.Wir zeigen nun die Behauptung, indem wir nachweisen:

(+) ist ϕ Formel der Sprache L und gilt TH ` ϕ , so auch T′ ` ϕ .

Sei also ϕ L-Formel mit TH ` ϕ . Dann gibt es endlich viele Satze der Formσi = ∃xψi(x)→ ψi(ci) mit ci = c∃xψi(i = 1, . . . ,n), so daß

T′ ` σ1∧ . . .∧σn→ ϕ .

Wir zeigen T′ ` ϕ durch Induktion nach n:Jeder Satz σi ist ein Satz der Sprache Lmi fur ein mi, wobei wir annehmen

konnen, daß m1 ≥m2, . . . ,mn. Das bedeutet dann insbesondere, daß die Konstantec1 in den Satzen σ2, . . . ,σn und damit auch in den Formeln ψ1, . . . ,ψn,ϕ nichtvorkommt. Also existiert eine Variable y, die nicht in diesen Formeln vorkommt,mit (s. Beweis von 4.7.2)

T′ ` (∃xψ1(x)→ ψ1(y))∧σ2∧ . . .∧σn→ ϕ . Dann:T′ ` (∃xψ1(x)→ ψ1(y))→ (σ2∧ . . .∧σn→ ϕ) und mit ∃-EinfuhrungT′ ` ∃y(∃xψ1(x)→ ψ1(y))→ (σ2∧ . . .∧σn→ ϕ). Nun gilt aber` ∃y(∃xψ1(x)→ ψ1(y)), und somit haben wir

T′ ` σ2∧ . . .∧σn→ ϕ.

Ahnlich (bzw. nach Ind.vor.) kann man die ubrigen Pramissen eliminieren underhalt schließlich T′ ` ϕ .

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4.11. DER GODELSCHE VOLLSTANDIGKEITSSATZ 102

4.11 Der Godelsche Vollstandigkeitssatz

Dieser Satz wurde zuerst von Kurt GODEL fur abzahlbare Sprachen bewiesen:

Godel, Kurt Die Vollstandigkeit der Axiome des logischen Funktionenkalkuls.Monatshefte Math. Phys. 37 (1930), 349-360.

und fur beliebige Sprachen 1936 von I. MALCEV. Unsere Beweismethode gehtzuruck auf

Henkin, Leon The completeness of the first-order functional calculus. Journal ofSymbolic Logic 14 (1949), 159 - 166, s.a.:

Henkin, Leon The discovery of my completeness proof. Bull. Journal of Symbo-lic Logic 2,2 (1996), 127 - 158,

Leblanc-Roeper-Than-Weaver Henkin´s completeness proof: Forty years later.Notre Dame Journal of Formal Logic 32 (1991), 212 - 232.

Die HENKINsche Methode hat den Vorzug, daß man sie vielfaltig abwandelnkann, um - in Abhangigkeit von speziellen Eigenschaften einer Theorie T - Mo-delle von T mit besonderen Eigenschaften zu erhalten. Wie schon erwahnt, laßtsich der Vollstandigkeitssatz in zwei aquivalenten Fassungen angeben:

4.11.1 Vollstandigkeit der Pradikatenlogik / Modellexistenz-Satz

(1) T |= σ =⇒ T ` σ ,

(2) T konsistent =⇒ T erfullbar.

Beweis: Wie im Falle der Aussagenlogik (siehe auch 4.7.4) folgt (1) aus (2) (dieUmkehrung ist noch einfacher zu zeigen), so daß wir nur (2) zu beweisen brau-chen.

Sei also T eine konsistente Theorie der Sprache L. Wir erweitern T zunachstzu einer HENKIN-Theorie TH in der Sprache L′ := LH und bilden dann eine Ver-vollstandigung dieser Theorie:

T⊆ TH ⊆ (TH)V = T′

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4.11. DER GODELSCHE VOLLSTANDIGKEITSSATZ 103

Da beim zweiten Schritt die Sprache nicht mehr erweitert wird, ist T′ nicht nurvollstandig und konsistent, sondern auch eine HENKIN-Theorie geblieben. Nunwahlen wir das Termmodell A′ von T′ und zeigen, daß fur alle Satze σ der SpracheL′ gilt:

(∗) A′ |= σ ⇐⇒ T′ ` σ .

Insbesondere ist dann A′ ein Modell von T und damit A := A′ L, die Ein-schrankung auf die Sprache L, ein Modell von T. Die Behauptung (*) zeigenwir durch Induktion uber den Aufbau von σ :

1. Fall: σ ist atomar. Dieser Anfangsfall ist gerade Inhalt des Satzes 4.8.2 uberTermmodelle.

2. Fall: σ = ¬ψ . Dann gilt nach Definition von |=:

A′ |= ¬ψ ⇐⇒ A′ 6|= ψ und entsprechend

T′ ` ¬ψ ⇐⇒ T′ 6` ψ,

wegen der Vollstandigkeit und Konsistenz von T′. Somit folgt die Behauptung ausder Induktionsvoraussetzung.

3. Fall: σ = ψ ∨θ . Dann gilt wieder nach der Definition von |=:

A′ |= ψ ∨θ ⇐⇒ A′ |= ψ oder A′ |= θ und entsprechend

(∗∗) T′ ` ψ ∨θ ⇐⇒ T′ ` ψ oder T′ ` θ ,

denn in (**) gilt “⇒” mittels aussagenlogischer Abschwachung. Fur den Beweisvon “⇐” nehmen wir an, daß

T′ ` ψ oder T′ ` θ nicht gilt, also

T′ 6` ψ und T′ 6` θ und somit

T′ ` ¬ψ und T′ ` ¬θ

wegen der Vollstandigkeit von T′. Dann gilt aber als tautologische Folgerung:T′ ` ¬(ψ ∨θ), und das heißt T′ 6` ψ ∨θ wegen der Konsistenz von T′.

4. Fall: σ = ∃xψ . Dann gilt wieder nach der Definition von |=:

A′ |= ∃xψ ⇐⇒ es ex. ein a ∈ |A′| mit A′ |= ψ[a].

Da A′ ein Termmodell ist, so ist jedes a ∈ |A′| von der Form a = t = tA′fur einen

konstanten Term t, also:

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4.11. DER GODELSCHE VOLLSTANDIGKEITSSATZ 104

A′ |= ∃xψ ⇐⇒ es ex. ein t ∈ K mit A′ |= ψ[t/x].

Entsprechend gilt, da T′ HENKIN-Theorie ist:

T′ ` ∃xψ ⇐⇒ es ex. ein t ∈ K mit T′ ` ψ(t).

Somit folgt die Behauptung auch in diesem Fall aus der Induktionsvorausset-zung.

Im Falle einer abzahlbaren Sprache laßt sich der Satz von LINDENBAUM unddamit auch der Vollstandigkeitssatz ohne Voraussetzung des Auswahlaxioms be-weisen. Auf diesen Fall bezieht sich als Korollar auch der

4.11.2 Satz von Lowenheim

Ist T eine konsistente Theorie in einer abzahlbaren Sprache,so besitzt T ein abzahlbares Modell.

Das Ergebnis von LOWENHEIM findet sich in der Form

Hat eine Theorie T in einer abzahlbaren Sprache L ein Modell,so auch ein abzahlbares Modell.

bereits in der Arbeit

Lowenheim, Leopold Uber Moglichkeiten im Relativkalkul. Math. Ann. 76,(1915), 447 - 470.

Verallgemeinerungen werden wir spater mit modelltheoretischen Methoden nachSKOLEM-TARSKI behandeln (10.4 und 10.5).

Aus dem Vollstandigkeitssatz folgt auch das

Korollar

(i) Sind T und T′ Theorien in derselben Sprache L, so gilt:

T⊆ T′ ⇐⇒ Mod(T)⊇Mod(T′),

T = T′ ⇐⇒ Mod(T) = Mod(T′).

(ii) Eine Theorie T ist konsistent und vollstandig gdw es eine Struktur A gibtmit T = Th(A).

Dabei meinen wir hier mit T = T′ : T aquivalent zu T′, d. h. C(T) = C(T′). Als weitere wichtige Folgerung aus dem Vollstandigkeitssatz (und dem End-

lichkeitssatz fur die Beweisbarkeit) erhalten wir erneut den

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4.11. DER GODELSCHE VOLLSTANDIGKEITSSATZ 105

4.11.3 Kompaktheitssatz

Σ sei eine Menge von Satzen, σ ein Satz. Dann gilt:

(1) T |= σ ⇒ es existiert ein endliches T0 ⊆ T mit T0 |= σ ,

(2) hat jedes endliche Σ0 ⊆ Σ ein Modell, so hat auch Σ ein Modell.

(Naturlich gelten auch die jeweiligen Umkehrungen.)

Bemerkung

Folgende Ergebnisse sind aquivalent:

(i) Der Vollstandigkeitssatz (fur beliebige Sprachen),

(ii) der Satz von LINDENBAUM (fur beliebige Sprachen),

(iii) der Kompaktheitssatz (fur beliebige Sprachen),

(iv) das BOOLEsche Primidealtheorem:

Jedes echte Ideal einer BOOLEschen Algebra laßt sich zu einem Primidealerweitern (bzw. jeder echte Filter zu einem Ultrafilter).

Alle diese Aussagen folgen aus dem Auswahlaxiom, sind aber schwacher alsdieses.

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Teil II

Mengenlehre

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Kapitel 5

Grundlagen der Mengenlehre

Quod enim dicimus aliquid esse infinitum,non aliquid in re significamus,sed impotentiam in animo nostro;tanquam si diceremus, nescire nos, an et ubiterminetur.Th. Hobbes, De cive XV 14

. . . l´homme qui n´est produit que pour l´infinite.Blaise Pascal: Preface sur le Traite du vide

5.1 Ordinalzahlen

In seinen Untersuchungen uber die Konvergenz von Fourierreihen fuhrte CANTOR

den Begriff der Ableitung A′ einer Menge A von reellen Zahlen ein: A′ besteht ausden Elementen von A, welche Haufungspunkte von Elementen von A sind. Mankann nun nach der Menge der Haufungspunkte dieser neuen Menge fragen unddamit eine Menge A′′ bilden, die Menge der Haufungspunkte der Haufungspunktevon A. Iteriert man diese Operation, so erhalt man eine eine unendlich-absteigendeFolge

A⊇ A′ ⊇ A′′ ⊇ A′′′ . . .

deren “Limes” A∞, d. h. in diesem Fall der Durchschnitt, moglicherweise wiederisolierte Punkte enthalt, so daß man wieder die Menge ihrer Haufungspunkte bil-

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5.1. ORDINALZAHLEN 108

den kann. Auf diese Weise fortgesetzt, fuhrt der Zahlprozeß uber die naturlichenZahlen hinaus ins Transfinite:

0,1,2,3, . . .∞,∞+1,∞+2,∞+3, . . .

∞+∞,∞+∞+1,∞+∞+2, . . .∞+∞+∞ . . .

Einen derartigen Zahlprozeß erhalten wir auch, wenn wir die naturlichen Zah-len umordnen und neu aufzahlen, etwa erst die Potenzen von 2, dann Potenzenvon 3, dann die Potenzen von 5 . . . :

1,2,4,8, . . .3,9,27, . . .5,25,125, . . .

aber wo bleiben etwa die Zahlen 0, 6, 10, . . . ? Offenbar gibt es verschiedeneMoglichkeiten, ins Unendliche aufzuzahlen, wie unterscheiden sich diese Mog-lichkeiten? Fuhren unterschiedliche Aufzahlungen vielleicht zu Widerspruchen?Lassen sich uberhaupt alle Mengen in irgendeiner Weise aufzahlen? Tatsachlichergeben sich Widerspruche, wenn man allzu naiv versucht, Eigenschaften vonendlichen auf unendliche Mengen zu ubertragen; trotzdem kann man aber dieTheorie der Wohlordnungen und der Ordinalzahlen einheitlich fur endliche undunendliche Mengen begrunden. Hier setzen wir zunachst einen intuitiven Men-genbegriff voraus (eine formale Begrundung werden wir spater nachliefern) underinnern an die in der Mathematik ublichen Ordnungsbegriffe:

5.1.1 Ordnungen

1. Eine (irreflexive) teilweise Ordnung auf einer Menge a ist eine 2-stelligeRelation < auf a, fur die gilt:

(a) ∀x ∈ a x 6< x irreflexiv,(b) ∀x,y,z ∈ a (x < y∧ y < z→ x < z) transitiv.

2. Eine (irreflexive) lineare Ordnung auf a ist eine teilweise Ordnung auf amit(c) ∀x,y ∈ a (x < y∨ x = y∨ y < x) vergleichbar.

Eine teilweise Ordnung nennt man manchmal auch eine partielle (oder Halb-)Ordnung, eine lineare Ordnung manchmal auch einfach Ordnung. Die zugehori-gen reflexiven Ordnungen erhalt man durch die Festlegung

a≤ b↔ a < b∨a = b,

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5.1. ORDINALZAHLEN 109

und umgekehrt kann man die obigen Begriffe auch erst axiomatisch fur die refle-xiven Varianten charakterisieren und die zugehorigen irreflexiven durch

a < b↔ a≤ b∧a 6= b

definieren.Die gewohnlichen Ordnungen auf den naturlichen, den ganzen, den rationalen

und den reellen Zahlen sind offenbar lineare Ordnungen; die Relation

f < g :↔∀x ∈ R f (x) < g(x)

auf den reellen Funktionen ist dagegen nur eine teilweise Ordnung.Die naturlichen Zahlen lassen sich der Große nach aufzahlen, aber fur die an-

deren Zahlbereiche ist dies nicht moglich; selbst wenn man noch−∞ als “kleinsteZahl” hinzunimmt, gibt es keine nachstgroßere (und bei dichten Ordnungen wieden rationalen Zahlen gibt es zu uberhaupt keiner Zahl eine nachstgroßere). Umdiese Bereiche in der Form a0,a1, . . .an,an+1 . . . aufzuzahlen, mussen wir sieneu ordnen, so daß man mit

(i) einem kleinsten Element beginnen kann,und wenn man in der Aufzahlung zu einem Element gekommen ist,

(ii) weiß, mit welchem Element man fortfahren kann, und schließlich

(iii) auch den Aufzahlungsprozeß fortsetzen kann, wenn man bereits eine un-endliche Teilfolge von Elementen aufgezahlt hat (aber noch nicht alles auf-gezahlt ist).

Diese Anforderungen kann man prazisieren und zugleich vereinheitlichen, in-dem man verlangt, daß jede nicht-leere Teilmenge (namlich der Rest der nochnicht aufgezahlten Elemente) ein kleinstes Element enthalt (welches als “nachs-tes” aufzuzahlen ist):

3. Eine Wohlordnung auf einer Menge a ist eine lineare Ordnung auf a, wel-che zusatzlich die Minimalitatsbedingung

(Min) ∀z( /0 6= z⊆ a→∃x ∈ z ∀y ∈ z y 6< x)

erfullt, welche wegen der Vergleichbarkeit (c) aquivalent ist zur Existenzeines kleinsten Elementes:

(Kl) ∀z( /0 6= z⊆ a→∃x ∈ z ∀y ∈ z x≤ y),wobei wie ublich x≤ y :↔ x < y∨ x = y.

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5.1. ORDINALZAHLEN 110

Beispiele

Jede lineare Wohlordnung auf einer endlichen Menge ist eine Wohlordnung, eben-so die gewohnliche Ordnung auf den naturlichen Zahlen. Dagegen sind die ganzenZahlen erst wohlgeordnet, wenn wir sie (etwa) in folgende Ordnung bringen:

0,1,2,3,4, . . . ,−1,−2,−3,−4, . . . oder kurzer:0,1,−1,2,−2,3,−3, . . .

Im ersten Fall werden wir von einer Ordnung vom Typ ω + ω , sprechen, imzweiten Fall vom Typ ω (und viele andere Moglichkeiten noch kennenlernen).Dabei ist das fruhere Symbol ∞ durch ω ersetzt worden, zugleich das einfach-ste (unendliche) Beispiel der jetzt einzufuhrenden Ordinalzahlen. Diese wurdenvon CANTOR als Reprasentanten (isomorpher) Wohlordnungen eingefuhrt; heutedefiniert man sie nach VON NEUMANN als Mengen, die durch die ∈-Beziehungwohlgeordnet sind und außerdem transitiv sind:

Definition

trans(a) :↔ ∀x ∈ a∀y ∈ x y ∈ a transitiv↔ ∀x ∈ a x⊆ a

Achtung: trans(a) bedeutet nicht, daß die ∈-Beziehung auf a transitiv ist!

Beispiele

/0 ist nicht transitiv, aber /0, /0, /0, /0, . . . sind transitiv und werden alsDefinition der naturlichen Zahlen 0,1,2, . . . gewahlt:

0 := /0,

a′ := a+1 := a∪a Nachfolger von a.

Beginnt man also mit 0 := /0 und wendet wiederholt die Nachfolgeroperationan, so erhalt man

1 := /0, 2 := /0, /0= 0,1, 3 := /0, /0, /0, /0= 0,1,2. . .allgemein: n′ = n∪n= 0,1,2, . . . ,n

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5.1. ORDINALZAHLEN 111

fur jede naturliche Zahl n (was wir aber erst noch definieren mussen). Diese Defi-nition hat den Vorteil hat, daß

• die <-Beziehung auf den naturlichen Zahlen mengentheoretisch besonderseinfach ist, namlich die ∈-Relation, und

• jede naturliche Zahl n genau n-viele Elemente enthalt (namlich die kleine-ren, beginnend mit 0 und endend mit n−1).

5.1.2 Definition der Ordinalzahlen

con(a) :↔ ∀x,y ∈ a(x ∈ y∨ x = y∨ y ∈ x) connex,

fund(a) :↔ ∀x⊆ a(x 6= /0→∃y ∈ x y∩ x = /0) fundiert,Ord(a) :↔ trans(a)∧ con(a)∧ fund(a) Ordinalzahl,

∈a: = x,y | x,y ∈ a∧ x ∈ y Elementbeziehung auf a.

Vereinbarung zur Fundierung

Wir werden der Einfachheit halber voraussetzen, daß alle Mengen fundiert sind.Dann gilt also insbesondere:

b 6= /0→∃y ∈ b y∩b = /0, d. h.

b 6= /0→∃y ∈ b ∀z ∈ b z 6∈ y,

was besagt, daß jede nicht-leere Menge b ein (bezuglich der ∈-Relation) minima-les Element besitzt (vgl. die Bedingung (Min) in der Definition einer Wohlord-nung). Damit werden einige ungewohnliche Mengen ausgeschlossen, insbeson-dere Mengen a, die sich selbst als Element enthalten oder mit anderen Mengeneinen endlichen ∈-Zyklus bilden. Es gilt somit:

(F∗) (a 6∈ a), ¬(b ∈ c∧ c ∈ b), ¬(d ∈ b∧b ∈ c∧ c ∈ d), . . .

Damit laßt sich die Definition der Ordinalzahlen vereinfachen (siehe (i) in fol-gendem Satz). Spater weren wir ohnehin das Fundierungsaxiom (in der Form:alle Mengen sind fundiert) voraussetzen; alle folgenden Aussagen uber Ordinal-zahlen lassen sich jedoch ohne das Fundierungsaxiom beweisen, wenn man dieursprungliche Definition zugrunde legt.

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5.1. ORDINALZAHLEN 112

5.1.3 Satz: Charakterisierung von Ordinalzahlen

(i) Ord(a)↔ trans(a)∧ con(a).

(ii) Ordinalzahlen sind transitive Mengen, die durch die ∈-Relation wohlgeord-net sind:Ord(a) :↔ trans(a)∧ ∈a ist Wohlordnung auf a.

(iii) Elemente von Ordinalzahlen sind wieder Ordinalzahlen:Ord(a)∧b ∈ a→ Ord(b).

Beweis: (i) gilt wegen unserer Vereinbarung. Fur (ii) ist nur zu zeigen:

Ord(a)→ trans(∈a).

Sei also Ord(a), sowie b,c,d ∈ a mit b ∈ c∧ c ∈ d. Beh.: b ∈ d.

Es gilt: b ∈ d∨d = b∨d ∈ b wegen con(a).Falls d = b, so hatten wir b ∈ c∧ c ∈ b im Widerspruch zu (F*)falls d ∈ b, so d ∈ b∧b ∈ c∧ c ∈ d im Widerspruch zu (F*).

Somit bleibt nur die Moglichkeit b ∈ d.Um (iii) zu zeigen, sei Ord(a)∧ b ∈ a. Dann ist wegen trans(a) : b ⊆ a und

mit ∈a auch ∈b eine Wohlordnung. Somit brauchen wir wegen (ii) nur noch zuzeigen, daß auch b transitiv ist:Sei x ∈ y ∈ b. Beh.: x ∈ b. Dazu argumentieren wir wie oben: Es sind x,b ∈ a (er-steres wegen trans(a)), also sind beide wegen con(a) miteinander vergleichbar:x ∈ b∨ x = b∨ b ∈ x, wobei die letzten beiden Moglichkeiten zu einem Wider-spruch zur Fundierung (F*) fuhren.

5.1.4 Die Ordnung der Ordinalzahlen

Ordinalzahlen werden ublicherweise mit kleinen griechischen Buchstaben be-zeichnet:

α,β ,γ, . . . ,ξ ,η ,ζ , . . . stehen fur Ordinalzahlen, ebenso die Quantoren∀ξ . . .∃ζ , . . . fur ∀x(Ord(x)→ . . .),∃y(Ord(y)∧ . . .), . . .

Ferner schreiben wirα < β fur α ∈ β ,α ≤ β fur α ∈ β ∨α = β .

Wir werden gleich zeigen, daß die Ordinalzahlen durch die ∈-Relation nicht nurgeordnet, sondern sogar wohlgeordnet ist, so daß diese Bezeichnungsweise ge-rechtfertigt ist. Der obige Satz 5.1.3 besagt also im Teil (iii) : α = ξ | ξ < α.

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5.1. ORDINALZAHLEN 113

Satz

trans(b)∧b⊆ α → Ord(b)∧ (b ∈ α ∨b = α), insbesondereβ ≤ α ↔ β ∈ α ∨β = α ↔ β ⊆ α .

Beweis: Sei trans(b)∧b ⊆ α . Dann ist auch ∈b eine Wohlordnung, also Ord(b)nach Satz 5.1.3 (ii).

Falls b 6= α , so b⊂ α , d. h. α−b 6= /0, und wir konnen wegen der Fundiertheitein minimales γ ∈α−b wahlen, von dem wir zeigen werden, daß b = γ und damitb ∈ α wie erwunscht:

Sei also γ ∈ α−b ∈-minimal, so daß insbesondere ∀x ∈ γ x ∈ b, d. h. γ ⊆ b.Es gilt dann aber auch b⊆ γ :

Sei x ∈ b. Dann x ∈ α (nach Voraussetzung) und x ∈ γ ∨ x = γ ∨ γ ∈ x wegencon(α). Aber die letzten beiden Falle konnen nicht eintreten: x = γ → γ ∈ b undγ ∈ x→ γ ∈ b (wegen trans(b)), es ist aber nach Wahl von γ : γ ∈ α−b.

Somit haben wir mengentheoretisch nicht nur eine einfache <-Beziehung aufden Ordinalzahlen (namlich die ∈-Beziehung), sondern auch eine einfache ≤-Beziehung (namlich die ⊆-Beziehung). Insbesondere gilt somit:

α ∪β = maxα,β und α ∩β = minα,β.

Es ist nun leicht zu sehen, daß 0 die kleinste Ordinalzahl ist und daß mit einerOrdinalzahl α auch α ′ wieder eine Ordinalzahl ist (und zwar die nachst große-re), so daß alle naturlichen Zahlen insbesondere Ordinalzahlen sind. Es gibt abertatsachlich unmaßig viele Ordinalzahlen:

Satz

(i) Die ∈-Beziehung ist eine Wohlordnung auf allen Ordinalzahlen.

(ii) Es gibt keine Menge aller Ordinalzahlen.(Antinomie von Burali-Forti)

Beweis von (i):

α 6∈ α nach dem Fundierungsaxiom (oder wegen f und(α))

α ∈ β ∈ γ → α ∈ γ wegen trans(γ)

α ∈ β ∨α = β ∨β ∈ α kann man wie folgt zeigen:

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5.2. MENGEN UND KLASSEN 114

Sei δ := α∩β das Minimum der beiden Ordinalzahlen. Dann ist trans(δ ) undδ ⊆ α,β , also nach nach dem vorangegegangen Satz: δ = α ∨δ ∈ α und ebensoδ = β ∨δ ∈ β , aber im Fall δ ∈ α ∧δ ∈ β erhielten wir den Widerspruch δ ∈ δ !

Somit ist die ∈-Beziehung auf den Ordinalzahlen eine lineare Ordnung. Sieist ferner eine Wohlordnung, da fur Mengen a von Ordinalzahlen die Minima-litatsbedingung /0 6= a→ ∃α ∈ a α ∩a = /0 nach unserer Vereinbarung (also demFundierungsaxiom) erfullt ist.

(ii) Angenommen, es gabe eine Menge a aller Ordinalzahlen. Nach Satz 5.1.3(iii) ist a transitiv und nach der gerade bewiesenen Aussage (i) ist die∈-Beziehungeine Wohlordnung auf a, also ist a selbst eine Ordinalzahl, somit a ∈ a nach De-finition von a als Menge aller Ordinalzahlen, aber anderseits gilt a 6∈ a fur alleOrdinalzahlen a, Widerspruch! (Man konnte auch so argumentieren: die Menge aaller Ordinalzahlen ware als Ordinalzahl die großte Ordinalzahl, dann kann abernicht a ∈ a sein!)

Die Antinomie von BURALI-FORTI (1897) war CANTOR ubrigens bereitsschon 1895 bekannt. Welche Bedeutung hat sie? Sie besagt, daß es keine großteOrdinalzahl gibt, und wir konnen sie als Aussage verstehen, daß die Gesamtheitaller Ordinalzahlen so “groß” ist, daß sie sich nicht zu einer Menge zusammen-fassen laßt. Das ware an sich harmlos, wenn man nun nicht befurchten mußte,daß vielleicht an einer anderen Stelle der Theorie ein (womoglich bisher noch garnicht entdeckter) Widerspruch versteckt ist, der sich nicht so einfach hinweginter-pretieren laßt. Wir wollen daher erst einmal innehalten, um uns den Grundlagender Mengenlehre zuzuwenden.

5.2 Mengen und Klassen

In seinem Hauptwerk1 gab CANTOR seine beruhmte Beschreibung einer Menge:

Unter einer “Menge” verstehen wir jede Zusammenfassung M vonbestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oderunseres Denkens (welche die “Elemente” von M genannt werden) zueinem Ganzen.

Man kann diese “Definition” in folgendem Sinne zu prazisieren versuchen:

1CANTOR, GEORG Beitrage zu Begrundung der transfiniten Mengenlehre.Math. Ann. 46, (1895), 481 - 512, Math. Ann. 49, (1897), 207 - 246

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5.2. MENGEN UND KLASSEN 115

Zu jeder Eigenschaft E(x) existiert die Menge M aller Objekte xmit der Eigenschaft E(x): M = x : E(x).

ZERMELOs Erklarung des Begriffes Eigenschaft als definite Eigenschaft wurdevon FRAENKEL und SKOLEM dahingehend prazisiert, daß Eigenschaften als Aus-drucke einer bestimmten formalen Sprache festzulegen sind. Fur diese Sprache,LZF , reicht es aus, die pradikatenlogische Sprache mit ∈ als 2-stelligem Sym-bol fur die Element-Beziehung zu wahlen. Die Formeln von LZF werden in die-sem Teil mengentheoretische Formeln (oder einfach: Formeln) genannt und wiefruher mit ϕ,ψ, . . . bezeichnet. Die CANTORsche Definition kann nun als Forde-rung prazisiert werden:

5.2.1 Komprehensionsaxiom

∃y∀x(x ∈ y↔ ϕ(x))wobei ϕ(x) eine beliebige Formel ist, in welcher y nicht vorkommt.

Dieses Axiom (eigentlich ein Axiomenschema, da es aus unendlich vielen Axio-men besteht) ist nun aber widerspruchsvoll: Wie wir gerade mittels der Antino-mie von BURALI-FORTI gesehen haben, fuhrt es fur die Eigenschaft Ord(x) zuWiderspruch, da es keine Menge aller Ordinalzahlen geben kann. B. RUSSELL

entdeckte einen Widerspruch, der viel elementarer zu erhalten ist:

RUSSELLsche Antinomie (1903)

Wahlt man fur ϕ(x) die Formel x 6∈ x, so liefert das Komprehensionsaxiom dieExistenz einer Menge r mit

∀x(x ∈ r↔ x 6∈ x) insbesondere gilt fur x = r :

r ∈ r↔ r 6∈ r Widerspruch!

Ahnliche Widerspruche hatte man zwar schon fruher erhalten (Antinomie der“Menge aller Mengen” von CANTOR, Antinomie der “Menge aller Ordinalzah-len” von CANTOR und BURALI-FORTI). Diese fruhen Antinomien waren jedochweniger beunruhigend, eher konnten sie positiv bewertet werden als Ausdruck derReichhaltigkeit des Mengen- und Ordinalzahlbegriffes sowie als Ausweis einerGrenze, uber die man nicht hinausgehen konnte. Dagegen war die Antinomie vonRUSSELL (die um die gleiche Zeit auch bereits ZERMELO bekannt war) beson-ders elementar und ließ sich auch umschreiben in einen Widerspruch innerhalb

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5.2. MENGEN UND KLASSEN 116

der Pradikatenlogik, wie sie FREGE in seiner Begriffsschrift (1879) zu prazisie-ren versucht hatte. Als 1903 der 2. Band seiner Grundgesetze der Arithmetik imDruck war, teilte RUSSELL ihm seine Antinomie brieflich mit, und Frege erklartedaraufhin eine der Grundlagen seiner Theorie als erschuttert.

5.2.2 Auswege aus den Antinomien

a) RUSSELLsche Typentheorie

Im Komprehensionsaxiom darf zur Vermeidung eines circulus vitiosus beider Definition der Menge y durch die Eigenschaft ϕ(x) nicht auf einen Be-reich Bezug genommen werden, dem dieses y selbst angehort. Man nimmteine Stufeneinteilung vor: x0,x1, . . . und vereinbart, daß xn ∈ xm nur erlaubtist, wenn m = n+1. Das Komprehensionsaxiom hat dann die Form

∃yn+1∀xn(xn ∈ yn+1↔ ϕ(xn)).

Da die Bildung von rn 6∈ rn nicht mehr erlaubt ist, ist die RUSSELLsche An-tinomie nicht mehr formulierbar. Dieses pradikative Komprehensionsaxi-om schrankt die Mengenbildung jedoch stark ein; die Idee eines stufenwei-sen Aufbaus der Mengenlehre laßt sich jedoch auch in der ZF-Mengenlehrewieder finden.

b) von NEUMANN, GODEL, BERNAYS: Unterscheidung zwischen Mengenund Klassen

Man laßt eine (mehr oder weniger beschrankte) Komprehension von Men-gen zu, das Ergebnis ist dann aber nicht notwendig wieder eine Menge,sondern zunachst eine Klasse x | ϕ(x). So kann man bilden:

die RUSSELLsche Klasse R = x | x 6∈ x,die Klasse aller Mengen V = x | x = x,die Klasse aller Ordinalzahlen, Kardinalzahlen, usw.

Das Auftreten von Antinomien wird nun dadurch vermieden, daß Klassennicht notwendig wieder Mengen sind; z. B. kann R in die Eigenschaft, wel-che R definiert, nur dann eingesetzt werden, wenn R eine Menge x ist, und dadiese Annahme zum Widerspruch fuhrt, kann R keine Menge sein, sondernnur eine Klasse (echte Klasse oder Unmenge). Welche Klassen zugleichauch Mengen sind, versucht man durch Axiome festzulegen, wobei man

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5.2. MENGEN UND KLASSEN 117

• einerseits moglichst viele Klassen als Mengen (und damit wieder alsElemente von Mengen und Klassen) erlauben mochte,

• andererseits aber nicht so viele, daß es zu einem Widerspruch kommt.

c) ZERMELOsches Aussonderungsaxiom

Das Komprehensionsaxiom wird eingeschrankt auf die Bildung von Teil-mengen einer bereits gegebenen Menge a:

Aussonderungsaxiom: ∃y∀x(x ∈ y↔ x ∈ a∧ϕ(x))

Versucht man erneut, die RUSSELLsche Antinomie abzuleiten, so erhaltman die Existenz einer Menge r mit

r ∈ r← r ∈ a∧ r 6∈ r, also

• es gibt keine “Menge aller Mengen” (fur a eingesetzt, erhielte manden RUSSELLschen Widerspruch),

• es gibt eine “leere” Menge (setze fur ϕ(x) ein: x 6= x und fur a irgend-eine Menge).

Das Aussonderungsaxiom ist nachweisbar widerspruchsfrei - es ist bereits wahr ineinem Modell, welches nur die leere Menge enthalt. Um es daruber hinaus anwen-den zu konnen, mussen wir die Menge a, aus welcher mittels der Eigenschaft ϕ(x)eine Teilmenge ausgesondert wird, bereits haben - weitere Axiome sind erforder-lich! Im folgenden werden wir - wie jetzt allgemein ublich - der Entwicklung derMengenlehre nach ZERMELO folgen, dabei aber auch den Klassenbegriff benut-zen, weil sich damit die Axiome von ZF leicht in der Form

bestimmte Klassen (und zwar “nicht zu große”) sind Mengen

bequem ausdrucken lassen.

5.2.3 Die mengentheoretische Sprache mit Klassentermen

Wie schon angedeutet, benotigen wir fur die ZF-Sprache nur die ∈-Beziehungals einziges nicht-logisches Pradikat. Zur Abwechslung wollen wir hier syntak-tisch zwischen freien und gebundenen Variablen unterscheiden: Als Variable furMengen benutzen wir Kleinbuchstaben, und zwar meistens

• a,b,c, . . . fur freie Variable und

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5.2. MENGEN UND KLASSEN 118

• x,y,z, . . . (u. U. mit Indizes) fur gebundene Variable.

Die damit gebildete Sprache LZF werden wir erweitern um die Hinzunahme vondefinierbaren Klassen (auch Klassenterme genannt)

x | ϕ(x),

welche in Formeln jedoch nur in der Kombination a∈ x | ϕ(x) benotigt werden,so daß Formeln wie folgt gebildet werden:

(F1) Sind a,b Mengenvariable, so sind a = b und a ∈ b Formeln (Primformeln,atomare Formeln).

(F2) Ist ϕ eine Formel, so auch ¬ϕ .

(F3) Sind ϕ und ψ Formeln, so auch (ϕ ∨ψ).

(F4) Ist ϕ(a) eine Formel, in welcher die Variable x nicht vorkommt, so auch∃xϕ(x).

(F5) Ist ϕ(a) eine Formel, in welcher die Variable x nicht vorkommt, so ist aucha ∈ x | ϕ(x) eine Formel.

(F6) Das sind alle Formeln.

Von Formeln der ZF-Sprache im engeren Sinne sprechen wir, wenn bei derBildung dieser Formeln die Bedingung (F5) nicht benutzt wurde, ansonsten vonFormeln der erweiterten ZF-Sprache.

Die logischen Symbole ∧,→,↔ sowie der ∀-Quantor werden wie fruher defi-niert. Außerdem benutzen wir beschrankte Quantoren ∀x∈ a, ∃x∈ a als Abkur-zungen:

∀x ∈ aϕ steht fur ∀x(x ∈ a→ ϕ),

∃x ∈ aϕ steht fur ∃x(x ∈ a∧ϕ).

Fur viele Untersuchungen spielen Fragen der Komplexitat von Eigenschaften ei-ne wichtige Rolle; dabei gelten beschrankte Quantoren als “einfacher” als un-beschrankte Quantoren. Wir werden daher im folgenden - soweit moglich - be-schrankte Quantoren verwenden.

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5.2. MENGEN UND KLASSEN 119

Elimination von Klassentermen

Unser erstes Axiom (fur die erweiterte ZF-Sprache) ist das folgende

CHURCHsche Schema (CS): a ∈ x | ϕ(x)↔ ϕ(a).

Es erlaubt, Klassenterme wieder zu eliminieren.Die erweiterte ZF-Sprache ist somit eigentlich nicht ausdrucksstarker, aber

es wird sich zeigen, daß sie fur mengentheoretische Uberlegungen bequemer zubenutzen ist, vor allem weil man fur jede Eigenschaft ϕ(x, . . .) die Klasse x |ϕ(x, . . .) bilden kann, wahrend man zur Bildung einer entsprechenden Mengeerst nachprufen muß, ob die Axiome dies zulassen bzw. ob man einen Wider-spruch erhalt, was sehr schwierig (oder sogar unmoglich) sein kann!

Variable fur Klassen

Schließlich noch ein weiterer Schritt: Um nicht immer uber die Klassentermex | ϕ(x, . . .) durch Angabe von Formeln sprechen zu mussen, werden neue Va-riable A,B, . . . fur Klassenterme benutzt. Damit nahern wir uns einer Sprache 2.Stufe, in welcher neben den Variablen fur Mengen (Kleinbuchstaben) auch Va-riable fur Klassen (Großbuchstaben) auftreten (vgl. die entsprechende Situationin der PEANO-Arithmetik 3.5.4). Streng genommen werden hier keine formalenKlassenvariable eingefuhrt, sondern Metavariable fur Klassenterme. Das bedeu-tet, daß eine Aussage der Form

es gibt ein A mit . . . A . . . B. . .

als Behauptung zu lesen ist, fur einen vorgegebenen Klassenterm B einen Klas-senterm A konkret (d. h. durch eine Formel) anzugeben, der die gewunschte Ei-genschaft besitzt; ebenso bedeutet eine universelle Aussage der Form

fur alle A . . . A . . .

daß sie fur alle (konkret definierbaren) Klassenterme A gilt.Es gibt nun allerdings Axiomensysteme der Mengenlehre mit freien und mog-

licherweise auch gebundenen Klassenvariable (also in einer Sprache 2. Stufe mitformalen Variablen wie den Mengenvariablen), in denen Klassen eine starkereRolle spielen:

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5.2. MENGEN UND KLASSEN 120

5.2.4 Uberblick uber verschiedene Axiomensysteme

Die Axiomensysteme der Mengenlehre unterscheiden sich weniger in dem je-weils zugelassenen Bereich von Mengen als in dem Status, den sie den Klasseneinraumen:

• ohne Klassen:das Axiomensystem ZF von ZERMELO-FRAENKEL in der (engeren) ZF-Sprache

• mit eliminierbaren Klassen (“virtuelle Klassen” (QUINE)):das Axiomensystem ZF von ZERMELO-FRAENKEL in der erweiterten ZF-Sprache (welches wir hier zugrunde legen werden)

• mit freien Klassenvariablen:das Axiomensystem von BERNAYS 1958

• mit freien und gebundenen Klassenvariablen, aber nur pradikativen Klassen:das Axiomensystem NBG (von NEUMANN-GODEL-BERNAYS)) mit demKomprehensionsaxiom in der Form

∃Y∀x(x ∈ Y ↔ ϕ(x, . . . ,A, . . .)).

Hier stehen A,B, . . . ,X ,Y, . . . fur Klassen, x,y, . . . weiterhin fur Mengen, undϕ(x, . . .) ist eine Eigenschaft von Mengen (moglicherweise mit Klassen alsParametern), in welcher aber nur uber Mengen quantifiziert werden darf -pradikative Form).

• Klassen, ernst genommen (impradikativ):das Axiomensystem QM von QUINE-MORSE mit dem Komprehensionsaxi-om wie oben, aber jetzt werden auch Formeln zugelassen, die Quantifika-tionen uber Klassen enthalten; in diesem System lassen sich mehr Aussagenuber Mengen beweisen als in NBG!

Neben der Entscheidung, welchen existentiellen Wert man den Klassen ein-raumen soll, bleibt als Hauptproblem die Frage: welche Mengen existieren - bzw.:

(i) welche Eigenschaften definieren Mengen - oder

(ii) (wenn wir ein allgemeines Komprehensionsprinzip fur Klassen zugrundelegen): welche Klassen fuhren zu Mengen?

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5.2. MENGEN UND KLASSEN 121

Grundlegend werden folgende Vorstellungen sein:

• Es gibt Mengen und Klassen; ihre Gleichheit wird durch das Extensiona-litatsprinzip bestimmt: Mengen bzw. Klassen sind identisch, wenn sie vomselben Umfang sind, d. h. dieselben Elemente enthalten.

• Elemente von Klassen und Mengen sind wieder Mengen; echte Klassen(wie die RUSSELLsche Klasse) sind dagegen niemals Elemente - weder vonMengen noch von anderen Klassen.

• Komprehensionsprinzip: Jeder Eigenschaft E(x) von Mengen x entsprichtdie Klasse x | E(x) aller Mengen x mit der Eigenschaft E(x),

• insbesondere ist jede Menge a eine Klasse (namlich: a = x | x ∈ a),

• umgekehrt ist aber nicht jede Klasse eine Menge, sondern nur diejenigenKlassen, die nicht “zu groß” sind, sind Mengen (limitation of size).

Klassen sind somit nach dem Komprehensionsprinzip (nahezu) unbeschrankt bild-bar, Mengen existieren (als spezielle Klassen) nur nach Maßgabe einzelner Axio-me.

Literatur zu diesem Kapitel

BERNAYS, P. Axiomatic Set Theory. Amsterdam 1958FELGNER, U. (Herausgeber) Mengenlehre. Darmstadt 1979FRAENKEL, A.- BAR HILLEL, Y. - LEVY, A. Foundations of Set Theory.

Amsterdam 1973FRAENKEL, A.A. Zu den Grundlagen der Cantor-Zermeloschen Mengenlehre.

Math Ann 86 (1922), 230 - 237, auch in: FELGNER [1979]SKOLEM, T. Einige Bemerkungen zur axiomatischen Begrundung der Mengen-lehre. Kongreß Helsingfors 1922 (auch in FELGNER [1979])

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5.3. EXTENSIONALITAT UND AUSSONDERUNG 122

5.3 Extensionalitat und Aussonderung

Wie bereits erwahnt, sind Mengen bestimmt allein durch ihre Elemente (wobeidie Elemente ihrerseits naturlich wieder Mengen sind). Diese Vorstellung wirdausgedruckt durch das

Extensionalitatsaxiom (Ext) ∀x(x ∈ a↔ x ∈ b)→ a = b.

Aufgrund der logischen Axiome uber die Gleichheit gilt auch die Umkehrung,also:

a = b↔∀x(x ∈ a↔ x ∈ b).

Somit konnte man im Prinzip auf die Gleichheit als logisches Grundsymbol ver-zichten und sie mittels der Elementbeziehung definieren. - Denkbar ware aucheine Definition durch

intensionale (Leibniz-)Gleichheit: ∀x(a ∈ x↔ b ∈ x)↔ a = b.

Diese Aquivalenz wird spater einfach beweisbar sein (mit Existenz der Einer-Menge).

Mengen ohne Elemente bezeichnet man auch als Urelemente; aus dem Exten-sionalitatsaxiom folgt, daß es hochstens eine solche Menge gibt, die leere Menge.Es besteht durchaus die Moglichkeit, weitere derartige Mengen als Urelementezuzulassen, fur den mengentheoretischen Aufbau der Mathematik werden sie je-doch nicht benotigt.

Die Gleichheit von Klassen bzw. Klassen und Mengen wird als Umfangs-gleichheit definiert:

A = B : ↔ ∀x(x ∈ A↔ x ∈ B),

A = b : ↔ ∀x(x ∈ A↔ x ∈ b),

a = B : ↔ ∀x(x ∈ a↔ x ∈ B),

und in ahnlicher Weise (da Elemente stets Mengen sein sollen):

A ∈ B : ↔ ∃y(y = A∧ y ∈ B),

A ∈ b : ↔ ∃y(y = A∧ y ∈ b).

Somit sind nun die Grundpradikate = und ∈ fur sowohl Mengen wie auch Klassendefiniert.

Wenn eine Klasse dieselben Elemente wie eine Menge enthalt, so sind nachunserer Definition beide gleich, und genau in diesem Fall werden wir eine Klasseeine Menge nennen:

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5.3. EXTENSIONALITAT UND AUSSONDERUNG 123

Mg(A) :↔∃x(x = A) A ist eine Menge, somit gilt alsoMg(A)↔ A ∈V, wobei

V := x | x = x Klasse aller Mengen, Allklasse, Universum.

(Klassen, die keine Mengen sind, nennt man auch echte Klassen.)Von der Element-Beziehung zu unterscheiden ist die Teilmengen-Beziehung

(Inklusion) (auch wenn man in beiden Fallen vom “Enthalten” spricht):

A⊆ B : ↔ ∀x(x ∈ A→ x ∈ B)

A⊂ B : ↔ A⊆ B ∧ A 6= B

Somit kann man die Gleichheit zweier Mengen nachweisen, indem man zeigt,daß sie wechselweise ineinander enthalten sind:

A = B ↔ A⊆ B ∧ B⊆ A.

Die Booleschen Operationen

konnen wir allein mit Hilfe der Klassenschreibweise einfuhren:

A∩B : = x | x ∈ A∧ x ∈ B DurchschnittA∪B : = x | x ∈ A∨ x ∈ B VereinigungA−B : = x | x ∈ A∧ x 6∈ B relatives Komplement−B : = x | x 6∈ B Komplement

Damit erhalten wir nun die Gesetze einer BOOLEschen Algebra, wie wir siebereits von der Aussagenlogik her kennen (s. 1.2.6). Sie gelten statt fur Klassennaturlich auch fur Mengen, allerdings fuhren nicht alle Operationen von Mengenzu Mengen (aber von Klassen zu Klassen), denn in den ublichen mengentheoreti-schen Axiomensystemen ist V (und das Komplement einer Menge) keine Menge.Bereits erwahnt haben wir das

ZERMELOsche Aussonderungsschema (AusS)

∃y∀x(x ∈ y↔ x ∈ a∧ϕ(x, . . .))

Unter Benutzung von Klassenvariablen und einfachen Definitionen erhaltenwir den

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5.4. RELATIONEN UND FUNKTIONEN 124

Satz

Das Aussonderungsschema ist aquivalent zu den folgenden Aussagen:

(i) ∃y∀x(x ∈ y↔ x ∈ a∧ x ∈ A) Aussonderungsaxiom

(ii) ∃y(y = a∩A)

(iii) a∩A ∈V , d. h. Mg(a∩A)

(iv) A⊆ a→Mg(A) Abschatzungssatz

Somit erhalten wir die Existenz folgender Mengen:

/0, a∩b, a−b,

wobei b auch eine Klasse B sein darf. Dagegen kann die Allklasse V keine Mengesein.

5.4 Relationen und Funktionen

Um Relationen und Funktionen als spezielle Klassen einzufuhren, benutzen wirgeordnete Paare: Zunachst konnen wir folgende Klassen bilden:

a,b := x | x = a∨ x = b ungeordnetes Paara := x | x = a= a,a Einerklasse von a.

Dieses sind offensichtlich sehr kleine Klassen, wir konnen also das

Paarmengenaxiom (Paar) ∃y∀x(x ∈ y↔ x = a∨ x = b), d. h. Mg(a,b)

annehmen und damit die folgenden Mengen erhalten:

a,b,a,a,a,b,a,c,e,a,e,a,a,b,a,c,e,a,e, . . . usw.

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5.4. RELATIONEN UND FUNKTIONEN 125

Geordnetes Paar (Wiener 1914, Kuratowski 1921)

(a,b) := a,a,b geordnetes Paar

Mittels geordneter Paare lassen sich auch Tripel (a,b,c) := (a,(b,c)) und all-gemeiner n-Tupel definieren. Die genaue Definition des geordneten Paares unddes n-Tupels ist hier nicht wichtig, wir benotigen nur ihre charakteristischen Ei-genschaften:

(a,b) = (c,d) ↔ a = c ∧ b = d, und allgemein:(a1, . . . ,an) = (b1, . . . ,bn)↔ ai = bi fur alle i = 1, . . . ,n.

Damit konnen wir damit 2-stellige Relationen (und ahnlich mittels n-Tupeln n-stellige Relationen) auf Klassen zuruckfuhren:

(a,b) ∈ A↔ ϕ(a,b),

entsprechend unserer fruheren Einfuhrung von Klassen als Extensionen 1-stelligerPradikate:

a ∈ A↔ ϕ(a).

Die Klasse der Paare (x,y) mit der Eigenschaft ϕ(x,y) ist

x,y | ϕ(x,y) := z | ∃x∃y(z = (x,y)∧ϕ(x,y))oder auch geschrieben (x,y) | ϕ(x,y).

Sonderfalle sind

A×B := (x,y) | x ∈ A∧ y ∈ B, cartesisches Produkt,An := (x1, . . . ,xn) | x1, . . . ,xn ∈ A. n-faches Produkt von A.

n-stellige Relationen identifizieren wir mit den n-Tupeln, die diese Relationenerfullen:

R ist n-stellige Relation auf A :↔ R⊆ An

Im Falle einer 2-stelligen Relation schreiben wir dann auch wie ublich:

aRb :↔ (a,b) ∈ R.

Funktionen sind 2-stellige Relationen von Paaren (x,y), in denen y durch xeindeutig bestimmt ist:

Fkt(F) :↔ F ⊆V ×V ∧∀x,y,z ((x,y) ∈ F ∧ (x,z) ∈ F → y = z).

Somit werden Funktionen wir mit ihren Graphen identifiziert:

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5.4. RELATIONEN UND FUNKTIONEN 126

F : A−→ B :↔ F ⊆ A×B ∧ ∀x ∈ A ∃!y ∈ B (x,y) ∈ F

Hierfur sagen wir auch: F ist Funktion von A nach B. Fur x ∈ A bezeichnet

F(x) das eindeutig bestimmte y mit (x,y) ∈ F

den Funktionswert von F an der Stelle x, und fur D⊆ A ist

F(x) | x ∈ D := F [D] := y | ∃x(x ∈ D∧ y = F(x)) das F-Bildvon D

F D := (x,F(x)) | x ∈ D die Funktion F, eingeschrankt auf D.

Im Falle von Strukturen werden wir Funktionen F mit F : An→ A betrachten;wir sagen dann auch, daß F eine n-stellige Funktion auf der Menge A ist.

Haufig definiert man eine Funktion durch Angabe ihres Wertes F(x) fur x∈ A:

F : A−→ B,

x 7→ F(x).

Unter den Funktionsbegriff fallt auch der Begriff der Familie: Fur eine Index-menge I ist

(xi)i∈I die Funktion f mit Definitionsbereich I und f (i) = xi fur alle i ∈ I.

Im Falle I = N spricht man auch von einer Folge, fur I = 0, . . . ,n−1 entsprichtdie endliche Folge einem n-Tupel.

Injektive, surjektive und bijektive Funktionen

Ist F : A−→ B, also F eine Abbildung von A nach B, so nennen wir

• A Definitionsbereich von F ,

• B Bildbereich von F , und

• W (F) := F(x) | x ∈ A Wertebereich von F .

(Bild- und Wertebereich werden oft gerade in umgekehrter Weise bezeichnet!)Der Bildbereich B ist durch F nicht eindeutig bestimmt; er braucht namlich

den Wertebereich W (F) nur zu enthalten. Ist jedoch Bildbereich = Wertebereich,so heißt F surjektiv (oder: auf B):

F : A B :↔ F : A−→ B ∧ B = F(x) | x ∈ A.

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5.5. VEREINIGUNG UND PRODUKT 127

In diesem Fall gibt es also zu jedem b ∈ B mindestens ein a ∈ A mit F(a) = b.Die Angabe des Bildbereiches B ist in diesem Fall wichtig, da jede Funktion eineAbbildung auf ihren Wertebereich ist!

Eine Funktion F : A−→ B heißt injektiv oder eineindeutig gdw es zu jedemb ∈W (F) genau ein a ∈ A mit F(a) = b gibt, welches mit a = F−1(b) als Urbildvon b bezeichnet wird:

F : A B :↔ F : A−→ B ∧ ∀x,y ∈ A (F(x) = F(y)→ x = y).

Fur eine injektive F Funktion gibt es also eine inverse Funktion F−1, und zwar ist

F−1 : W (F)−→ A fur injektives F : A−→ B.

Eine Funktion F : A−→ B heißt bijektiv gdw F injektiv und surjektiv ist:

F : A←→ B :↔ F : A B ∧ F : A B.

Fur eine bijektive Funktion F : A ←→ B ist dann die inverse Funktion (oderUmkehrfunktion) eine (ebenfalls bijektive) Abbildung

F−1 : B←→ A mit

F−1(F(a)) = a, F(F−1(b)) = b fur alle a ∈ A,b ∈ B.

5.5 Vereinigung und Produkt

5.5.1 Vereinigung

Eine einfache mengentheoretische Operation fuhrt von zwei Mengen zu ihrer Ver-einigung; wir werden gleich eine allgemeinere Mengenbildung einfuhren, namlichdie Vereinigung der Elemente einer Klasse (und dual der entsprechende Durch-schnitt):⋃

A :=⋃

x∈A x := z | ∃x ∈ A z ∈ x Vereinigung (Summe)⋂A :=

⋂x∈A x := z | ∀x ∈ A z ∈ x Durchschnitt

Die Vereinigung der Elemente einer Menge (welches stets Mengen sind) solltewieder eine Menge ergeben:

Summenaxiom (Zermelo) (Sum) Mg(⋃

a),ausgeschrieben also: ∃y∀z(z ∈ y↔∃x ∈ a z ∈ x).

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5.5. VEREINIGUNG UND PRODUKT 128

Lemma

(i)⋃a= a,

⋃a,b= a∪b

(ii)⋂a= a,

⋂a,b= a∩b

(iii)⋃

a ist das Supremum der Elemente von a bzgl. ⊆:∀x ∈ a x⊆

⋃a,∀x ∈ a x⊆ c→

⋃a⊆ c.

(iv)⋂

a ist das Infimum der Elemente von a bzgl. ⊆:∀x ∈ a

⋃a⊆ x,∀x ∈ a c⊆ x→ c⊆

⋃a.

(v)⋃

/0 = /0,⋃

V = V ,⋂/0 = V,

⋂V = /0 .

Bemerkungen

1. Aus dem Summen- und Paarmengenaxiom folgt also, daß fur je zwei Men-gen a und b die Vereinigung a∪ b wieder eine Menge ist, damit ist dannaber das absolute Komplement einer Menge −a stets eine echte Klasse!

2. Dagegen ist a∩b eine Menge nach dem Aussonderungsaxiom, allgemeinergilt nach (AusS):

A 6= /0→Mg(⋂

A), wegen⋂

/0 = V also

A 6= /0↔Mg(⋂

A).

Statt der obigen Summen und Durchschnitte kommen in der Mathematik haufi-ger Vereinigungen und Durchschnitte von Familien von Mengen vor. Zur Anglei-chung an den dort ublichen Gebrauch bezeichnen wir den Indexbereich mit I (derzunachst eine Klasse sein kann) und schreiben auch Fi fur F(i):

⋃i∈I Fi :=

⋃Fi | i ∈ I= z | ∃i ∈ I z ∈ Fi Vereinigung⋂

i∈I Fi :=⋂Fi | i ∈ I= z | ∀i ∈ I z ∈ Fi Durchschnitt

In Verallgemeinerung des ZERMELOschen Axioms besagt das Summenaxi-om von BERNAYS, daß die Vereinigung von Mengen-vielen Mengen wieder eineMenge ist:

BERNAYSsches Summenaxiom (BSum) Mg(⋃

x∈a F(x))

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5.5. VEREINIGUNG UND PRODUKT 129

Der Indexbereich I ist hier eine Menge a, jedem i∈ a ist eine Menge F(i) zuge-ordnet, die Zuordnung kann allerdings durch eine Klasse F gegeben sein! Wennman dies beachtet, kann man die BERNAYSsche Summe auch in der vertrautenForm

⋃i∈I ai und das BERNAYSsche Summenaxiom in der Form

Mg(⋃

i∈I ai) fur jede Indexmenge I

schreiben. Als Axiom wahlen statt dessen das

Ersetzungsaxiom (Ers) Mg(F(x) | x ∈ a)

von A. FRAENKEL. Es besagt, daß das Bild einer Menge a unter einer Funktion F(welche eine Klasse sein kann) wieder eine Menge ist, bzw. daß man wieder eineMenge erhalt, wenn man die Elemente x einer Menge a durch ihre FunktionswerteF(x) ersetzt. Wir konnen es auch in der folgenden Form schreiben:

Fkt(F)→Mg(F [a]) bzw.Fkt(F)∧Mg(D(F))→Mg(W (F)).

Satz

Auf der Basis der bisherigen Axiome (Ext, Null, Paar) gilt:

BERNAYSsches Summenaxiom = Summenaxiom + Ersetzungsaxiom.

Beweis: Aus (BSum) folgt (Sum), indem man fur F die Identitat (also F(x) =x) setzt, und das (Ers) ergibt sich wegen F(x) | x ∈ a =

⋃F(x) | x ∈ a.

Umgekehrt gilt: ⋃x∈a

F(x) =⋃F(x) | x ∈ a=

⋃F [a].

Satz

(i) Fkt(F)∧D(F) ∈V →W (F), F ∈V ,d. h. ist der Definitionsbereich einer Funktion eine Menge, so ist nicht nurihr Bild, sondern die Funktion selber eine Menge.

(ii) F : A B∧Mg(A)→Mg(B)

(iii) F : A B∧Mg(B)→Mg(A)

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5.5. VEREINIGUNG UND PRODUKT 130

Beweis von (i): Zu gegebener Funktion F definiere eine Funktion G durch

D(G) = D(F) und G(x) = (x,F(x)) fur x ∈ D(F).

Dann ist W (G) = G(x) | x ∈ D(F)= (x,F(x)) | x ∈ D(F)= F , also auch FMenge nach dem Ersetzungsaxiom (angewandt auf G). Die Beweise von (ii) und(iii) sind leichte Ubungsaufgaben.

Die Aussagen (ii) und (iii) werden verstandlich, wenn man “Mg(A)” inhalt-lich deutet als “A ist nicht zu groß” und beachtet, daß das Bild einer Funktion eher“kleiner” als der Definitionsbereich ist (da die Funktion moglicherweise verschie-dene Mengen auf dasselbe Objekt abbildet. (Genaueres hierzu bei der Einfuhrungdes Begriffes der Kardinalzahl!)

Satz uber das cartesische Produkt

Das Produkt zweier Mengen ist wieder eine Menge: Mg(a×b)

Beweis: Offensichtlich kann man die Menge b auf c× b abbilden, diesesist also eine Menge nach dem Ersetzungsaxiom. Somit kann man eine FunktionF : a−→V definieren durch F(x) = x×b.Hiermit gilt nun a×b =

⋃x∈a(x×b) =

⋃x∈a F(x).

5.5.2 Potenzmenge und allgemeines Produkt

P(A) := x | x⊆ A Potenzklasse von AbA := f | f : b−→ A Belegungsklasse von b nach A

Potenzmengenaxiom (Pot) Mg(P(a))

Bemerkungen

• Da Elemente von Klassen stets Mengen sind, ist P(A) nur als Klasse allerTeilmengen von A definierbar, ebenso ist bA nur fur Mengen b definierbar.

• Es ist stets /0,a ∈ P(a).

• Aufgrund der spezifischen Definition des geordneten Paares gilt:

a×b⊆ P(P(a∪b)).

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5.5. VEREINIGUNG UND PRODUKT 131

Also kann man auch mit Hilfe des Potenzmengenaxioms (und des Aus-sonderungsaxioms) zeigen, daß das Produkt von zwei Mengen wieder eineMenge ist.

• Indem man jeder Menge x⊆ a ihre charakteristische Funktion cx zuordnet,erhalt man eine Bijektion der Potenzklasse P(A) auf die Belegungsklasseb2 mit 2 := 0,1 = /0, /0. Falls a eine endliche Menge mit n Ele-menten ist, so hat also die Potenzmenge von a 2n Elemente (was auch furunendliche Mengen gilt und die Bezeichnung “Potenzmenge” erklart).

Wie im Falle der Vereinigung gibt es fur eine Menge ein einfaches und fur eineFamilie von Mengen ein allgemeines Produkt; in diesem Fall laßt es sich aber nurfur Indexmengen definieren:

Allgemeines Produkt

∏x ∈a

F(x) := f | Fkt( f )∧D( f ) = a∧∀x ∈ a f (x) ∈ F(x)

Weniger gebrauchlich ist der Sonderfall

∏a = ∏x ∈a

x := f | Fkt( f )∧D( f ) = a∧∀x ∈ a f (x) ∈ x.

Bemerkung

Es gibt einfache Bijektionen (fur a 6= b)

∏x∈a

F(x)←→ F(a), ∏x∈a,b

F(x)←→ F(a)×F(b)

usw., so daß man das allgemeine Produkt als Verallgemeinerung des endlichenProduktes auffassen kann. Benutzen wir wieder I als Indexmenge und Familienstatt Funktionen, so konnen wir das allgemeine Produkt auch in der folgendenForm schreiben:

fur Mengen I : ∏i ∈I

Fi bzw. ∏i ∈I

ai = (xi)i ∈I | ∀i ∈ I xi ∈ ai

wobei wir statt F jetzt auch eine Mengenvariable a einsetzen konnen, da nachdem Ersetzungsaxiom eine Funktion, die auf einer Menge definiert ist, selbst eineMenge ist.

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5.5. VEREINIGUNG UND PRODUKT 132

Satz

(i) ∏x ∈a F(x)⊆ P(a×⋃

x∈a F(x))

(ii) ab = ∏x ∈a F(x) mit F(x) = b konstant fur alle x ∈ a,

(iii) ab und ∏x ∈a F(x) sind Mengen.

Somit konnen wir die folgenden Mengen bilden:

/0, a, a,b, a∪b, a∩B, a−b,⋃a,

⋃x∈a

F(x), F [a], f | f : a−→ b, a×b, ∏x∈a

F(x), P(a).

Damit erhalten wir die in der Mathematik gebrauchlichen Operationen, dieMengen ergeben, soweit sie auf Mengen angewandt werden - das gilt zwar nichtfur das Komplement, aber dieses wird ohnehin in Anwendungen nur relativ zueiner vorgegebenen Grundmenge gebraucht. Es fehlt aber noch die Existenz einerunendlichen Menge (und damit der Zahlbereiche N,Z,R, . . .), und hierzu benoti-gen wir das

Unendlichkeitsaxiom (Un) ∃x( /0 ∈ x∧∀y(y ∈ x→ y∪y ∈ x))

Die kleinste derartige Menge, d. h. der Durchschnitt

N :=⋂x | /0 ∈ x∧∀y(y ∈ x→ y∪y ∈ x)

kann als Menge der naturlichen Zahlen gewahlt werden. Im Sinne der Ordinal-zahltheorie ist es eine Ordinalzahl, und zwar die kleinste unendliche Ordinalzahl,bezeichnet mit ω .

Die bisherigen Axiome legen die Gleichheit von Mengen fest Ext) oder for-dern die Existenz von Mengen, die eindeutig beschrieben werden (Paar, Summe,Potenz, Bildmenge, naturliche Zahlen). Von anderer Art ist das

Fundierungsaxiom (Fund) a 6= /0→∃x ∈ a x∩a = /0.

Dieses schrankt den Mengenbereich ein, indem es “unbequeme” Mengen aus-schließt, die man beim gewohnlichen Aufbau der Mengenlehre nicht benotigt. Wirhaben es bei der Entwicklung der Ordinalzahltheorie bereits benutzt und werdeneine weitere Anwendung spater darstellen.

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5.6. UBERBLICK UBER DIE ZF-AXIOME 133

5.6 Uberblick uber die ZF-Axiome

Extensionalitatsaxiom (Ext) ∀x(x ∈ a↔ x ∈ b)→ a = bNullmengenaxiom (Null) ∃y∀x(x 6∈ y)Paarmengenaxiom (Paar) ∃y∀x(x ∈ y↔ x = a∨ x = b)Summenaxiom (Sum) ∃y∀z(z ∈ y↔∃x ∈ a z ∈ x)Ersetzungsschema (ErsS) ∀x∀y∀z(ϕ(x,y)∧ϕ(x,z)→ y = z)

→∃u∀y(y ∈ u↔∃x ∈ aϕ(x,y))Potenzmengenaxiom (Pot) ∃y∀z(z ∈ y↔ z⊆ a)Unendlichkeitsaxiom (Un) ∃x( /0 ∈ x∧∀y(y ∈ x→ y∪y ∈ x))Fundierungsaxiom (Fund) a 6= /0→∃x ∈ a ∀y ∈ xy 6∈ a.

Unter Benutzung von Klassentermen, also Ausdrucken der Form x | ϕ(x),bezeichnet mit Großbuchstaben A,B, . . . und der Definition

Mg(A) :↔∃x(x = A) A ist Menge

lassen sich die obigen Axiome auch wie folgt kurzer und pragnanter ausdrucken(mit den ublichen Definitionen von Funktionen als Klassen geordneter Paare):

Extensionalitatsaxiom (Ext) ∀x(x ∈ a↔ x ∈ b)→ a = bNullmengenaxiom (Null) Mg( /0)Paarmengenaxiom (Paar) Mg(a,b)Summenaxiom (Sum) Mg(

⋃a)

Ersetzungsaxiom (Ers) Fkt(F)→Mg(F [a])Potenzmengenaxiom (Pot) Mg(P(a))Unendlichkeitsaxiom (Un) Mg(N)Fundierungsaxiom (Fund)) a 6= /0→∃x ∈ a x∩a = /0.

Das Aussonderungsaxiom ist ubrigens als Folge des Ersetzungsaxioms uber-flussig (wobei man - je nach Art der Formalisierung - noch das Nullmengenaxiomgebraucht):

Metatheorem

(i) Aus den Axiomen (Ext), (Null), (Paar), (Ers) folgt (Aus),

(ii) aus (Ers) folgt (AusS).

Beweis von (i): zu zeigen ist: a∩A ∈V .

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5.6. UBERBLICK UBER DIE ZF-AXIOME 134

1. Fall: a∩A = /0 : Dann gilt die Beh. wegen des Nullmengenaxioms.

2. Fall: a∩A 6= /0: Wahle ein b ∈ a∩A und definiere eine Funktion

F : a a∩A durch

F(x) =

x, falls x ∈ a∩A,

b, sonst

und wende das Ersetzungsaxiom an.

Dasselbe Argument liefert einen Beweis von (ii), benotigt aber weder das Null-mengenaxiom noch das Paarmengenaxiom:

Zu zeigen ist: ∃y∀x(x ∈ y↔ x ∈ a ϕ(x)).Definiere dazu eine Formel

ψ(x,y) :↔ (ϕ(x)∧ x = y).

Es gilt dann:ψ(x,y)∧ψ(x,z)→ y = z,

also existiert nach (ErsS) ein b mit

∀y(y ∈ b↔∃x ∈ a ψ(x,y)), d. h.∀y(y ∈ b↔∃x ∈ a (ϕ(x)∧ x = y)), also∀y(y ∈ b↔ y ∈ a∧ϕ(y))

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135

Kapitel 6

Mengen von Mengen von . . .

Wenn man eine Aussage uber alle naturlichen Zahlen beweisen will, so kann mansie nicht fur jede Zahl einzeln nachprufen, da dies unendlich-viele Schritte erfor-dern wurde. Stattdessen kann man auf das Induktionsprinzip fur die naturlichenZahlen zuruckgreifen, allgemeiner im Falle unendlicher Mengen auf eine Wohl-ordnung dieser Menge. Damit werden die Elemente der Menge in einer Weisegeordnet, daß man sie von den kleineren zu den großeren “durchlaufen” kann,was dann genauer im (transfiniten) Induktionsprinzip ausgedruckt wird. Wir wie-derholen zunachst den Begriff der Wohlordnung und erweitern ihn zugleich aufden Fall von Klassen:

6.1 Induktion und Rekursion

6.1.1 Ordnungen auf Klassen

1. Eine (irreflexive) teilweise Ordnung auf einer Klasse A ist eine 2-stelligeRelation <⊆ A×A, fur die gilt:

(a) ∀x ∈ A x 6< x irreflexiv,(b) ∀x,y,z ∈ A (x < y∧ y < z→ x < z) transitiv.

2. Eine (irreflexive) lineare Ordnung auf A ist eine teilweise Ordnung < aufA mit(c) ∀x,y ∈ A (x < y∨ x = y∨ y < x) vergleichbar.

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6.1. INDUKTION UND REKURSION 136

3. Eine Wohlordnung auf einer Klasse A ist eine lineare Ordnung < auf A,welche zusatzlich die folgenden Bedingungen erfullt:

(F1) ∀z( /0 6= z⊆ A→∃x ∈ z ∀y ∈ z y 6< x) Minimalitatsbedingung(F2) ∀y ∈ A Mg(x | x < y) Mengenbedingung

4. S(a,<) := [< a] := x | x < a <-Segment von a, Mengeder <-Vorganger von a

Bemerkungen

• Die Mengenbedingung (F2) ist nur wichtig fur echte Klassen; ist A (unddamit auch die Relation < auf A) eine Menge, so ist (F2) stets erfullt, dax | x < a ⊆ A.

• Eine Relation, die nur die Bedingungen (F1) und (F2) erfullt (also ohnenotwendig eine lineare Ordnung zu sein), heißt fundiert.

• Im Falle der ∈-Beziehung ist x | x < a = x | x ∈ a = a und somit (F2)erfullt. Ist ∈A die ∈-Beziehung auf einer Klasse A, so gilt: ∈A ist fundiert,denn ∈A erfullt auch die Bedingungen (F1) aufgrund des Fundierungs-axioms. Damit ist ∈A zwar auch irreflexiv, aber i. a. keine Wohlordnung (daweder (b) noch (c) gelten). Trotzdem kann man die wichtigsten Ergebnisseuber Wohlordnungen auf fundierte Relationen (wie ∈A) ubertragen.

• Ist < Wohlordnung auf A, so laßt sich die Minimalitatsbedingung (F1) aufKlassen verallgemeinern - als formale Bedingung mit einem Allquantoruber alle Klassen B konnen wir sie nicht aufschreiben, sondern nur als Aus-sagenschema fur alle Klassenterme B:

6.1.2 Minimumsprinzip

< sei Wohlordnung auf A. Dann hat jede nicht-leere Teilklasse von A ein <-minimales (bzw. <-kleinstes) Element:

(i) /0 6= B⊆ A→∃x ∈ B ∀y ∈ B y 6< x , d. h. (da < lineare Ordnung ist):

(ii) /0 6= B⊆ A→∃x ∈ B ∀y ∈ B x≤ y.

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6.1. INDUKTION UND REKURSION 137

Beweis: Sei b ∈ B. Falls b nicht bereits <-minimal ist, so

∃y ∈ B y < b, d. h. [< b]∩B 6= /0.

Nach der Mengenbedingung (F2) ist [< b]∩B eine Menge und hat damit nach(F1) ein <-minimales c:

(+) c ∈ [< b]∩B ∧ ∀y ∈ [< b]∩B y 6< c.Dann gilt aber auch c ∈ B ∧ ∀y ∈ B y 6< c,denn gabe es ein y ∈ B mit y < c, so ware y ∈ [< b]∩B (wegen c < b) im Wider-spruch zur Bedingung (+).

Im folgenden schreiben wir R fur die Wohlordnung < (denn wir benotigen nurdie Fundiertheit von R):

6.1.3 Induktionsprinzip fur Wohlordnungen

R sei Wohlordnung auf A. Dann gilt:

(i) ∀x ∈ A [∀y(yRx→ ϕ(y))→ ϕ(x)]→∀x ∈ Aϕ(x), bzw. mit B = x | ϕ(x):

(ii) ∀x ∈ A [S(x,R)⊆ B→ x ∈ B]→ A⊆ B.

Dieses Prinzip bedeutet, daß man eine Aussage ϕ(x) fur alle Elemente vonx ∈ A nachweisen kann, wenn man fur ein beliebiges a ∈ A zeigen kann:

Falls ∀y(yRa→ ϕ(y)) (Induktionsannahme),so gilt ϕ(a) (Induktionsschluß).

Dieses Beweisverfahren nennt man auch Beweis durch R-Induktion

Beweis von (ii): Annahme: ∀x ∈ A [S(x,R)⊆ B→ x ∈ B], aber A 6⊆ B.Dann ist A−B nicht leer und besitzt nach obigem Satz ein R-minimales Ele-

ment a:a ∈ A−B, aber ∀y ∈ A−B ¬yRa, d. h. ∀y(yRa→ y ∈ B),

also S(a,R) ⊆ B und damit nach der Voraussetzung der R-Induktion: a ∈ B, Wi-derspruch!(Tatsachlich ist die Aussage (i) von 6.1.2 logisch aquivalent zur Aussage (ii) die-ses Satzes: benutze Kontraposition, logische Umformungen und gehe von B zurKomplementklasse uber!)

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6.1. INDUKTION UND REKURSION 138

6.1.4 Segmente

Fur eine Relation R definieren wir:R-Segment(B) :↔∀x∀y(xRy∧ y ∈ B→ x ∈ B) R-SegmentIm Falle der ∈-Beziehung E gilt:

E-Segment(B)↔ trans(B).

Fur Ordnungen < sind wegen der Transitivitat die Mengen S(a,<) = x | x < aoffenbar Segmente (genannt Anfangssegmente), fur Wohlordnungen sind es dieeinzigen echten Segmente:

Lemma

(i) R sei lineare Ordnung auf A, und S,T ⊆ A seien Segmente.Dann gilt: S⊆ T ∨T ⊆ S.

(ii) Ist R Wohlordnung auf A, S ⊆ A ein echtes Segment, so S = S(a,R) fur eina ∈ A.

Beweis von (i): Sei S⊆ T falsch. Dann gibt es ein a ∈ S−T , und dieses kann keinR-großeres b ∈ T besitzen (sonst ware auch a ∈ T , da T ein Segment ist). Alsogilt fur alle b ∈ T : bRa, insbesondere T ⊆ S.Fur den Beweis von (ii) wahle man das R-kleinste Element a ∈ A−S.

6.1.5 Rekursionssatz fur Wohlordnungen

Es sei R eine Wohlordnung auf A, G : V ×V −→ V eine Funktion. Dann existiertgenau eine Funktion

F : A−→V , die durch die folgenden rekursiven Eigenschaften bestimmt ist:

F(a) = G(a,F S(a,R)).

Eine einfache Variante dieses Satzes liefert eine Funktion F mit

F(a) = G(a,F(x) | xRa).

Ferner konnen G und F weitere Stellen als Parameter enthalten, z. B.

F(a,u,v) = G(a,u,v,F(x,u,v) | xRa).

Beweis:a) Die Eindeutigkeit von F zeigt man durch R-Induktion,b) fur den Nachweis der Existenz definiert man:

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6.1. INDUKTION UND REKURSION 139

(i) h brav:↔∃s(s ist Segment∧h : s→V ∧∀x ∈ s h(x) = G(x,h S(x,R))),

(ii) h vertraglich mit g :↔∀x ∈ D(h)∩D(g) h(x) = g(x)

Durch R-Induktion zeigt man, daß je zwei brave Funktionen miteinandervertraglich sind:

(iii) h,g brav→∀x ∈ D(h)∩D(g) h(x) = g(x).(Mit Hilfe von (i) des vorigen Lemmas kann man sogar zeigen, daß fur jezwei brave h,g gilt g⊆ h∨h⊆ g.)

Die gesuchte Funktion konnen wir jetzt explizit definieren durch:

(iv) F :=⋃h | h brav .

F ist wegen (iii) eine Funktion, D(F) ist ein Segment, und F erfullt die Rekursi-onsbedingungen (da Vereinigung braver Funktionen). Es bleibt zu zeigen, daß Fauf ganz A definiert ist:

Ware B := D(F) echtes Segment von A, so B = S(a,R) fur ein a ∈ A nachobigem Lemma (ii), insbesondere B und damit F eine Menge, etwa F = f mitbravem f . Dieses f konnte man dann fortsetzen zu einem braven

h := f ∪(a,G(a, f S(a,R)))mit a ∈ D(h) = S(a,R)∪ a ein Segment, also mußte auch a ∈ D(F) = B =S(a,R) sein und somit aRa, Widerspruch!

Damit haben wir eine explizite mengentheoretische Definition einer Funktionerhalten, die durch eine rekursive Bedingung charakterisiert ist, und zwar erhaltman die Funktion als Vereinigung von “partiellen” Losungen der Rekursionsglei-chungen. Insbesondere kann man damit die Elemente einer wohlgeordneten Klas-se der Große nach aufzahlen - dabei hangt namlich die Aufzahlung eines Elemen-tes b ∈ A ab von der Aufzahlung der Vorganger von b:

Kontraktionslemma

R sei eine Wohlordnung auf A. Dann existiert genau eine Abbildung F und einetransitive Klasse B, so daß:

F ein Isomorphismus: (A,R)∼= (B,∈) ist, d. h.F : A←→ B mit

aRb↔ F(a) ∈ F(b) fur alle a,b ∈ A.

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6.1. INDUKTION UND REKURSION 140

Dabei sei das geordnete Paar von Klassen etwa definiert durch:

(A,B) := (A×0)∪ (B×1),

und wir schreiben einfach(B,∈) fur die Struktur (B,EB) mit EB := x,y | x,y ∈ B∧ x ∈ y.

Beweis: a) Eindeutigkeit:Sei F : A←→ B mit aRb↔ F(a) ∈ F(b), B transitiv. Dann gilt fur alle b ∈ A:

F(b) ∈ B→ F(b)⊆ B wegen trans(B)a ∈ F(b)→∃x(a = F(x) ∈ F(b)) nach Voraussetzunga ∈ F(b)↔∃x(a = F(x)∧ xRb), somit

(*) F(b) = F(x) | xRb.

Dadurch ist aber F eindeutig festgelegt, und B ist eindeutig als Wertebereich vonF bestimmt.

b) Existenz: Nach dem Rekursionssatz existiert (genau) ein F mit

D(F) = A und fur alle b ∈ A: F(b) = F(x) | xRb,d. h. es existiert ein

F : A B mit der Eigenschaft (*), wobei wir B := W (F) gesetzt haben.F ist injektiv: Sei F(y) = F(z), aber y 6= z. Da R eine Ordnung ist, so gilt

yRz und damit F(y) ∈ F(z) oderzRy und damit F(z) ∈ F(y),

in beiden Fallen ein Widerspruch zu F(y) = F(z) (und dem Fundierungsaxiom)!

F ist Isomorphismus: Nach Def. von F gilt: aRb→ F(a) ∈ F(b).Sei umgekehrt F(a) ∈ F(b). Dann ist F(a) = F(c) fur ein cRb, aber a = c (wegender Injektivitat), und somit auch aRb.

B ist transitiv: Sei c∈ B =W (F). Dann ist c = F(b) fur ein b∈ A, andererseitsnach Def. von F (d.h. nach (*)): c = F(b) = F(x) | xRb ⊆ B, also c⊆ B.

Da transitive Mengen, die durch die ∈-Beziehung wohlgeordnet sind, geradedie Ordinalzahlen sind, erhalten wir mit

On := x | Ord(x) als Klasse aller Ordinalzahlen:

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6.1. INDUKTION UND REKURSION 141

6.1.6 Reprasentationssatz fur Wohlordnungen

< sei eine Wohlordnung auf A.

(i) Ist A = a eine Menge, so gibt es genau eine Abbildung f und genau eineOrdinalzahl α mit

f : (a,<)∼= (α,∈).

(ii) Ist A eine echte Klasse, so gibt es genau eine Abbildung F mit

F : (A,<)∼= (On,∈).

Somit sind die Ordinalzahlen Reprasentanten von Wohlordnungen. Das ein-deutig bestimmte α mit (a,<) ∼= (a,∈) nennt man den Wohlordnungstyp von(a,<). Man erhalt ihn, wenn man die Elemente der Menge a gemaß der Wohlord-nung < aufzahlt: Ist

a = aξ | ξ < α mit a0 < a1 < .. . < aξ < aη . . . fur ξ < η < α,

so ist α der Wohlordnungstyp von a bezuglich der Wohlordnung < auf a.Im Falle einer echten Klasse gibt es nur einen Wohlordnungstyp (namlich On),

und zwar liegt das an der Mengenbedingung (F1) in der Definition 6.1.1.3.

Anwendung auf die Ordinalzahlen

Die kleinste Ordinalzahl ist 0, und fur jede Ordinalzahl α ist α +1 ebenfalls eineOrdinalzahl, und zwar eine Nachfolgerzahl. Die restlichen Typen von Ordinalzah-len sind Limeszahlen:

0 := /0 NullN f (α) : ↔∃ξ α = ξ +1 NachfolgerzahlLim(λ ) : ↔ λ 6= 0∧¬N f (λ )) Limeszahl

↔ λ 6= 0∧∀ξ < λ (ξ +1 < λ )

Lemma

(i) α = 0∨N f (α)∨Lim(α) (und es gilt genau einer der drei Falle),

(ii) trans(A)∧A⊆ On→ A ∈ On∨A = On,

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6.1. INDUKTION UND REKURSION 142

(iii) A⊆ On→∪A ∈ On ∨ ∪A = On.

(iv) Lim(λ )↔ λ > 0 ∧ λ = ∪λ .

Beweis von (ii): Ist A transitiv, so ein E-Segment von On und nach Lemma (ii) aus6.1.4 somit = On oder als echtes Segment von der Form A = x | x < α= α furein α .Zum Beweis von (iii) beachte man, daß fur A ⊆ On gilt: ∪A ist transitiv (allge-meiner ist die Vereinigung transitiver Mengen wieder transitiv), so daß man (ii)anwenden kann.

Offenbar ist (ii) eine Verallgemeinerung des Satzes aus 5.1.4. (iii) besagt, daßdas Supremum einer Klasse von Ordinalzahlen wieder eine Ordinalzahl ist oder= On ist, und zwar gilt in (ii) und (iii) jeweils der 1. Fall, wenn A beschrankt ist(d. h. ∃α A⊆ α), der 2. Fall, falls A unbeschrankt ist (also ∀α∃ξ ≥ α ξ ∈ A).

Die Existenz von Limeszahlen folgt erst aus dem Unendlichkeitsaxiom, unddamit werden wir uns im folgenden Abschnitt beschaftigen. Hier konnen wir dieExistenzfrage erst einmal offen lassen; falls es keine Limeszahl gibt, sind die Or-dinalzahlen gerade die naturlichen Zahlen, anderenfalls gehen sie daruber hinaus:Mit einer Limeszahl λ gibt es auch wieder die Nachfolgerzahlen λ +1,λ +2, . . .

(die aber keine naturlichen Zahlen mehr sind) und dann wieder deren Limes,Nachfolger, Nachfolger, . . . , Limes, . . . , usw. Somit fuhren die Ordinalzahlen uberdie naturlichen Zahlen hinaus, indem zu jeder Menge von Ordinalzahlen auch dasSupremum wieder eine Ordinalzahl ist: Es gilt

(∗) 0 = /0 ∈ On ∧ ∀α(α ∈ On→ α +1 ∈ On) ∧ ∀x(x⊆ On→∪x ∈ On),

tatsachlich ist On die kleinste Klasse mit dieser Abgeschlossenheitsbedingung.Da die Ordinalzahlen durch die ∈ -Beziehung wohlgeordnet sind, gelten die

Induktions- und Rekursionstheoreme des vorigen Abschnitts; zusatzlich kann manihnen aber wegen (*) auch eine zweite Fassung geben, die zeigt, wie diese Prinzi-pien die entsprechenden Satze uber die naturlichen Zahlen verallgemeinern:

Prinzip der transfiniten Induktion/Minumumsprinzip

(i) ∀α(α ⊆ A→ α ∈ A)→ On⊆ A(ii) ϕ(0)∧∀α((ϕ(α)→ ϕ(α +1))∧

∧∀λ (Lim(λ ) ∧ ∀ξ < λ ϕ(ξ )→ ϕ(λ ))→∀αϕ(α)(iii) ∃αϕ(α)→∃α(ϕ(α)∧∀ξ < α¬ϕ(ξ ))

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6.1. INDUKTION UND REKURSION 143

Dabei haben wir in (i) die Klassen-, in (ii) die Schema-Schreibweise benutzt. (iii)ist das hierzu aquivalente Minimumsprinzip. Im folgenden Satz beschranken wiruns auf den Fall, welcher der Induktion der Form (ii) entspricht:

6.1.7 Transfinite Rekursion

Sind G,H : On×V −→V Funktionen, a eine Menge, so existiert genau eine Funk-tion F : On−→V mit

F(0) = a

F(α +1) = G(α,F(α))

F(λ ) = H(λ ,F(ξ ) | ξ < λ) fur Lim(λ ).

(Analog fur mehrstellige Funktionen mit Parametern.) Der Rekursionssatz erlaubt es, die arithmetischen Operationen auf den Ordi-

nalzahlen so einzufuhren, daß sie die entsprechenden Operationen auf den natur-lichen Zahlen verallgemeinern (nach JACOBSTHAL 1909):

Addition, Multiplikation, Potenz

α +0 = α α ·0 = 0α +(β +1) = (α +β )+1 α · (β +1) = α ·β +α

α +λ =⋃

ξ<λ α +ξ , falls Lim(λ ) α ·λ =⋃

ξ<λ α ·ξ , falls Lim(λ )α0 = 1

α(β+1) = αβ ·ααλ =

⋃0<ξ<λ αξ , falls Lim(λ )

Die von den naturlichen Zahlen bekannten Rechengesetze gelten zum Teilauch fur die unendlichen Ordinalzahlen (+ und · sind assoziativ mit 0 bzw. 1als neutralen Elementen, alle Operationen sind schwach monoton), Addition undMultiplikation sind jedoch nicht kommutativ und verhalten sich nur hinsichtlichihres 2. Argumentes wie gewohnt. Soweit die ublichen Rechengesetze jedochnicht gelten, sind sie bereits im kleinst-moglichen Fall verletzt, z.B.:

nicht-kommutativ: 1+ω = ω 6= ω +1, 2 ·ω = ω 6= ω ·2 = ω +ω

nicht-links-distributiv: (1+1) ·ω = ω 6= 1 ·ω +1 ·ω = ω +ω

nicht-monoton im 1. Argument: 1+ω = 2+ω, 1 ·ω = 2 ·ω, 2ω = 3ω

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6.2. DIE VON-NEUMANNSCHE HIERARCHIE 144

6.2 Die von-Neumannsche Hierarchie

Durch transfinite Rekursion definieren wir eine Folge von Mengen (Vα |α ∈ On),indem wir ausgehend von der leeren Menge die Potenzmengenoperation iterieren:

V0 = /0, Vα+1 = P(Vα), Vλ =⋃

ξ<λ

Vξ fur Limeszahlen λ .

Die Mengen Vα nennt man auch VON NEUMANNsche Stufen. Das Fundie-rungsaxiom ist aquivalent damit, daß jede Menge als Element einer Stufe vor-kommt, d. h. mit der Aussage

V =⋃

α∈On

Vα .

Damit erhalt man eine Einteilung der Klasse V aller Mengen in eine Hierar-chie von Stufen, die gewisse “Ahnlichkeiten” mit V aufweisen. Genauer laßt sichdieser Zusammenhang in der Form eines

Reflexionsprinzip (Refl)∃α[a ∈Vα ∧∀x1 . . .xn ∈Vα(ϕVα (x1 . . .xn)↔ ϕ(x1 . . .xn))]

ausdrucken, wobei die Formel ϕa (die Relativierung von ϕ nach a) aus ϕ her-vorgeht, indem dort jeder Quantor Qx durch den relativierten Quantor Qx ∈ aersetzt wird. Somit besagt das Reflexionsprinzip, daß zu jeder Formel ϕ ein be-liebig großes Vα existiert, das bezuglich der Eigenschaft ϕ sich wie die AllklasseV verhalt. Man kann Reflexionsprinzipien benutzen als alternative (und wenigerpragmatische) Moglichkeit, die Theorie ZF zu axiomatisieren - bei geeigneter For-mulierung machen sie alle Mengenexistenz-Axiome (bis auf das Aussonderungs-axiom) uberflussig und sind naturlich modelltheoretisch von besonderem Interes-se.

Die Stufen Vα sind transitive Mengen mit interessanten Abschlußeigenschaf-ten:

• (Vω ,∈) ist Modell aller Axiome von ZF, bis auf das Unendlichkeitsaxiom,das hierin falsch ist (da alle Mengen in Vω endlich sind, s. unten 6.3.2).

• (Vλ ,∈) ist fur Limeszahlen λ > ω Modell aller Axiome von ZF, bis auf dasErsetzungsaxiom.

• Die Frage nach der Existenz von Ordinalzahlen α , fur die (Vα ,∈) ein Mo-dell von ZF ist, fuhrt zu den “großen Kardinalzahlen”, deren Existenz in ZFnicht beweisbar ist (“unerreichbare” Zahlen).

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6.3. DIE ROLLE DES UNENDLICHKEITSAXIOMS 145

6.3 Die Rolle des Unendlichkeitsaxioms

Wenn man moglichst schnell und einfach das Induktionsprinzip fur die naturli-chen Zahlen erhalten will, so definiert man sie als Durchschnitt aller induktivenMengen (und damit als kleinste induktive Menge):

N :=⋂x | Ind(x), wobei

Induktiv(a) :↔ /0 ∈ a∧∀y(y ∈ a→ y∪y ∈ a)).

Da der Durchschnitt uber die leere Menge jedoch keine Menge (sondern die echteKlasse aller Mengen) ist, muß man fur diesen Weg das Unendlichkeitsaxiom vor-aussetzen (welches gerade besagt, daß es eine induktive Menge gibt). Wir wollenjedoch - soweit moglich - dieses Axiom vermeiden und wahlen daher den Begriffder naturlichen Zahl als “endliche” Ordinalzahl, d. h. als Ordinalzahl unter derersten Limeszahl:

Nz(n) : ↔ Ord(n) ∧ (n = 0∨N f (n)) ∧ ∀x ∈ n(x = 0∨N f (x))

↔ Ord(n) ∧ ∀λ (Lim(λ )→ n < λ ) naturliche Zahl

Da das Unendlichkeitsaxiom (Un) auch damit gleichbedeutend ist, daß eineLimeszahl existiert, bedeutet diese Definition:

a) Gilt (Un), so ist die kleinste Limeszahl ω = Menge der naturlichen Zahlen.

b) Gilt ¬(Un), existiert also keine unendliche Menge, so sind alle Mengen end-lich und die naturlichen Zahlen bilden eine echte Klasse, die mit der KlasseOn aller Ordinalzahlen zusammenfallt.

Da somit die naturlichen Zahlen spezielle Ordinalzahlen sind, ergeben sich ausden jeweiligen Prinzipien fur die Ordinalzahlen entsprechende Aussagen uber dienaturlichen Zahlen (dabei benutzen wir wie ublich Variable n,m,k fur naturlicheZahlen):

Induktionsprinzip ∀n(∀m < n m ∈ A→ n ∈ A)→∀n n ∈ A

Induktionsschema ϕ(0)∧∀n((ϕ(n)→ ϕ(n+1))→∀n ϕ(n)

Minimumsprinzip ∃nϕ(n)→∃n(ϕ(n)∧∀m < n¬ϕ(m))

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6.3. DIE ROLLE DES UNENDLICHKEITSAXIOMS 146

Rekursion Sind G,H : N×V −→V Funktionen, a eine Menge, so existiert genaueine Funktion F : N−→V mit

F(0) = a

F(n+1) = G(n,F(n).

6.3.1 PA in mengentheoretischer Sprache

Die Theorie PA der Zahlentheorie von PEANO haben wir bereits im Rahmen derLogik (3.5.4) erwahnt und festgestellt, daß diese Theorie neben dem Standard-modell weitere Nichtstandardmodelle besitzt (als Folgerung aus dem Kompakt-heitssatz). Der Versuch der Erweiterung von PA zur Theorie PA(2) in der Spracheder 2. Stufe trifft auf die Schwierigkeit, daß die Logik 2. Stufe kein vollstandi-ges Axiomensystem besitzt (zumindest solange man verlangt, daß die Menge derAxiome entscheidbar ist). Gehen wir nun jedoch von der Mengenlehre aus, so er-halten wir zunachst die Moglichkeit, das Standardmodell zu definieren als Mengeder naturlichen Zahlen ω mit a′ = a∪a , 0 = /0 und mit den mengentheoretisch(durch Rekursion auf den naturlichen Zahlen) definierten Operationen +, · (derEinfachheit halber benutzen wir hierfur dieselben Zeichen wie fur die Symboleder Sprache von PA):

Standardmodell N = (ω,′ ,+, ·,0).

Damit dieses eine Menge ist, mussen wir naturlich das Unendlichkeitsaxiom vor-aussetzen; dann aber gilt das Induktionsschema im Standardmodell nicht nur furAussagen der Sprache von PA, sondern fur beliebige mengentheoretische For-meln, und es laßt sich in ZF beweisen, daß das Standardmodell bis auf Isomorphiedas einzige dieser (mengentheoretisch erweiterten) Axiome ist (wobei man P3-P6nicht einmal benotigt):

Kategorizitat der mengentheoretischen Peano-Axiome

Die Theorie PA(2) (PEANO-Axiome 2. Stufe) besitzt folgende Axiome:

P1 ∀x e 6= x

P2 ∀x∀y(x′ = y′→ x = y)

Ind(2) ∀X(0 ∈ X ∧∀x(x ∈ X → x′ ∈ X)→∀x x ∈ X)

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6.3. DIE ROLLE DES UNENDLICHKEITSAXIOMS 147

Die Kategorizitat dieser Theorie besagt, daß es (bis auf Isomorphie) genau einModell gibt, d. h.:

Jedes Modell von PA(2) ist isomorph zum Standardmodell (ω,′ ,0).

Beweis: Ind(2) ist ein Axiom, in welchem ∀X ein Quantor 2. Stufe ist, welcherin einem Modell (w,∗,e) ausdruckt: fur alle Teilmengen von w . . . , d. h. diesesAxiom entspricht dem mengentheoretische Induktionsprinzip.

Es sei nun also (w,∗ ,e) ein Modell von PA(2) , d.h.

(1) e 6= x∗ fur alle x ∈ w,

(2) x∗ = y∗→ x = y fur alle x,y ∈ w,

(3) e ∈ v∧∀x(x ∈ v→ x∗ ∈ v)→ w⊆ v fur alle Mengen v⊆ w.

Der gesuchte Isomorphismus ist eine Abbildung f : ω ←→ w mit

f (0) = e∧∀n ∈ ω f (n′) = f (n)∗.

Der Rekursionssatz fur die naturlichen Zahlen liefert ein (sogar eindeutig be-stimmtes) f mit dieser Eigenschaft; zu zeigen bleibt also nur noch die Bijektivitat:

f ist surjektiv: Sei v :=W ( f ) = f (n) | n ∈ω. Dann folgt aus den rekursivenBedingungen fur f :

e ∈ v ∧ ∀x(x ∈ v→ x∗ ∈ v),

also nach (3): w⊆ v und damit w = v, d.h. f ist surjektiv.f ist injektiv, d.h.

(i) m 6= n→ f (m) 6= f (n).

Zunachst zeige man durch Induktion uber m:

(ii) m 6= 0→∃n(m = n′)

und dann (i) durch Induktion uber n:

1. Sei n = 0 und n 6= m. Dann ist m 6= 0, also nach (i) m = k′ fur ein k unddamit f (0) = e 6= f (m) = f (k)∗ nach (2).

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6.3. DIE ROLLE DES UNENDLICHKEITSAXIOMS 148

2. Sei (i) bewiesen fur n (und alle m), m 6= n′. Falls m = 0, schließen wir wieoben auf f (m) 6= f (n′). Falls m 6= 0, so wieder m = k′ fur ein k. Aus m =k′ 6= n′ folgt wegen (P2) k 6= n und damit nach Induktionsvoraussetzungf (k) 6= f (n).

Hier zeigt sich besonders deutlich, daß die zahlentheoretische Sprache (1. Stu-fe) erheblich ausdrucksschwacher ist als die mengentheoretische Sprache.

6.3.2 Die Theorie der endlichen Mengen

Bezeichnet ZF f in die Theorie ZF, in welcher das Unendlichkeitsaxiom durch seineNegation ersetzt ist, so kann man sie als Theorie der endlichen Mengen auffassen;(Vω ,∈) ist “das Standardmodell” dieser Theorie. Diese ist ebenso “stark” wie diePEANO-Arithmetik PA, d. h. sie lassen sich wechselweise ineinander interpretie-ren, und damit ist insbesondere ZF ohne das Unendlichkeitsaxiom genau dannwiderspruchsfrei, wenn die PEANO-Arithmetik widerspruchsfrei ist:

• Wie oben bemerkt, kann man in ZF ohne Unendlichkeitsaxiom die naturli-chen Zahlen (als Klasse) definieren und die arithmetischen Operationen derAddition und Multiplikation auf den naturlichen Zahlen (mittels des Rekur-sionssatzes) definieren, so daß hierfur die PEANO-Axiome gelten,

• umgekehrt kann man in PA (nach ACKERMANN) endliche Mengen durchZahlen kodieren und eine entsprechende ∈-Beziehung so definieren, daßhierfur die Axiome von ZF f in gelten.

• In ZF ohne Unendlichkeitsaxiom (oder einer geeigneten Erweiterung vonPA zur Theorie 2. Stufe) kann man auch eine eingeschrankte Analysis be-treiben; um aber etwa die Gesamtheit der reellen Zahlen zur Verfugung zuhaben, benotigt man das Unendlichkeitsaxiom.

6.3.3 Anwendungen der numerischen Rekursion

Als Spezialfall des Rekursionstheorems fur die naturlichen Zahlen erhalten wirdie Moglichkeit, Funktionen zu iterieren und damit Mengen zu erhalten, die untervorgegebenen Funktionen abgeschlossen sind:

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6.3. DIE ROLLE DES UNENDLICHKEITSAXIOMS 149

Satz uber die Iteration und den Abschluß

(i) Zu jeder Funktion F und jeder Menge a gibt es eine Funktion

H : N×V −→V mit H(0,a) = a, H(n+1,a) = F(H(n,a)).

Wir nennen H auch die Iteration von G mit dem Anfangswert a undschreiben auch Fn(a) fur H(n,a).

(ii) Zu jeder Funktion F und jeder Menge a gibt es eine Obermenge b von a, dieunter F abgeschlossen ist:

∃y(a⊆ y ∧ ∀x ∈ y F(x) ∈ y)

Beweis von (ii): Zu gegebenem F und der Ausgangsmenge a definiere durch Re-kursion eine Funktion G mit den Eigenschaften

G(0) = a, G(n′) = F(x) | x ∈ G(n) und setze b :=⋃

n∈ω

G(n).

Dann ist offensichtlich a ⊆ b ∧ ∀x ∈ b F(x) ∈ b), und zwar ist b die kleinste der-artige Menge, die Hulle oder der Abschluß von a unter der Abbildung F .

Fur viele Anwendungen gut zu benutzen ist das

Hullenaxiom (HS) ∃y(a⊆ y ∧ ∀x ∈ y F(x) ∈ y).

Satz

Unter der Voraussetzung der ubrigen Axiome von ZF (einschließlich des Ausson-derungsschemas) ist das

Ersetzungsaxiom + Unendlichkeitsaxiom aquivalent zum Hullenaxiom.

Beweis: (HS) haben wir in obigem Satz in ZF gezeigt. Umgekehrt folgt aus (HS)das Unendlichkeitsaxiom (mit a = /0 und F(x) = x′) und ahnlich das Ersetzungs-axiom, indem es fur eine Funktion F und eine Menge a zunachst eine Obermengeb⊇ a mit F(x)|x ∈ b ⊆ b liefert, fur die dann aber F(x) | x ∈ a als Teilklassevon b eine Menge nach dem Aussonderungsaxiom ist.

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6.3. DIE ROLLE DES UNENDLICHKEITSAXIOMS 150

Anwendungen des Hullenaxioms

1. Ahnlich wie wir ω als (kleinste) Ordinalzahl erhalten konnen, die > 0 ist undunter ′ abgeschlossen ist, erhalten wir zu jeder Ordinahlzahl α eine (nachstgroße-re) Limeszahl λ > α , aber auch Ordinalzahlen > α , die unter arithmetischen Ope-rationen abgeschlossen sind:∀ξ ,η < γ ξ +η < γ bzw. die ε-Zahlen: ∀ξ < ε 2ξ < ε , usw.

2. Zu jeder Menge a existiert eine kleinste Obermenge b ⊇ a mit trans(b), dietransitive Hulle TC(a) von a:

TC(a) :=⋃

n∈ω

Un(a), wobei U die Iteration der

Vereinigungsmenge ist: Uo(a) = a, Un+1(a) = ∪Un(a),

also TC(a) = a∪⋃

a∪⋃⋃

a . . .

3. Eine Menge ist endlich gdw sie sich auf die Zahlen 0, . . . ,n fur eine naturli-che Zahl n abbilden laßt,

HF := x | TC(x) endlich ist die Klasse der erblich-endlichen Mengen.

Sie laßt sich auch beschreiben durch HF = Vω und ist somit eine Menge (wobeiman wesentlich das Unendlichkeitsaxiom benutzt - dagegen ist die Klasse allerendlichen Mengen stets eine echte Klasse).

4. Mit Hilfe der VON NEUMANNschen Stufenhierarchie kann man die folgendenVerstarkungen des Hullenaxioms erhalten

∀x∃yϕ(x,y, . . .)→∃α∀x ∈Vα∃y ∈Vα ϕVα (x,y, . . .), bzw.

∀x ∈ a∃yϕ(x,y, . . .)→∃u(a⊆ u∧∀x ∈ a∃y ∈ u ϕu(x,y, . . .)),

welche sich auch zur Axiomatisierung von ZF verwenden lassen (vgl. die in 6.2erwahnten Reflexionsprinzipien).

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151

Kapitel 7

Das Auswahlaxiom

7.1 Zermelos Axiom

In seiner einfachsten Form (RUSSELL 1906 bzw. ZERMELO 1904/1908) besagtdas Auswahlaxiom, daß das Produkt einer Menge nicht-leerer Mengen wiederumnicht leer ist (multiplicative axiom):

Auswahlaxiom: (AC) ∀x ∈ a x 6= /0→∏x∈a x 6= /0,

d. h. ∀x ∈ a x 6= /0→∃ f (Fkt( f )∧D( f ) = a∧∀x ∈ a f (x) ∈ x),(ein solches f heißt Auswahlfunktion fur die Menge a).

Das AC ist unabhangig von den ubrigen ZF-Axiomen:Ist ZF0(= ZF ohne Fundierungsaxiom) widerspruchsfrei, so auch

ZF0 +¬ AC (FRAENKEL 1922),ZF+ AC (GODEL 1938),ZF+¬ AC (COHEN 1963)

(zur Geschichte und Problematik des Auswahlaxioms s. das Buch vonG. MOORE: Zermelo´s axiom of choice. Springer 1982).

Das Auswahlaxiom hat zahlreiche Anwendungen in fast allen Gebieten derMathematik, besitzt aber auch verschiedene

7.1.1 Mengentheoretisch aquivalente Formen

AC2 ∀x ∈ a F(x) 6= /0→∏x∈a F(x) 6= /0

AC2´ ∀x ∈ a ∃yϕ(x,y)→∃ f (Fkt( f )∧D( f ) = a∧∀x ∈ a ϕ(x, f (x))

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7.1. ZERMELOS AXIOM 152

AC3 ∀x ∈ a x 6= /0 ∧ ∀x,y ∈ a(x 6= y→ x∩ y = /0)→∃z∀x ∈ a∃!u u ∈ z∩ x(ein solches z heißt Auswahlmenge fur die nicht-leeren, disjunkten Mengenin a; ∃!u . . . = es existiert genau ein u. . . )

AC3´ r Aquivalenzrelation auf a→∃z∀x ∈ a∃!u ∈ z(x,u) ∈ r(jede Aquivalenzrelation besitzt ein Reprasentantensystem)

AC4 Fkt( f )→∃g(Fkt(g)∧g : W ( f ) D( f )∧g⊆ f−1)(jede Funktion besitzt eine Umkehrfunktion)

AC5 Rel(r)→∃ f (Fkt( f )∧D( f ) = D(r)∧ f ⊆ r)

Der Beweis dieser Aussagen aus dem Auswahlaxiom beruht darauf, dass manin allen diesen Fallen eine Auswahl in Abhangigkeit von den Elementen einerMenge treffen muss (dabei benotigt man fur AC2´ das Fundierungsaxiom, umden Bereich der moglichen y auf eine genugend große Menge Vα einschrankenzu konnen). Umgekehrt sind die obigen Auswahlprinzipien allgemein genug, umhieraus das ursprungliche AC zu folgern.

7.1.2 Der Zermelosche Wohlordnungssatz

Das Auswahlaxiom, AC, ist aquivalent zum Wohlordnungssatz:

WO1 ∀x∃r(r ist Wohlordnung auf x), bzw.

WO2 ∀x∃ f ∃α( f : α ←→ x) , d. h. jede Menge a laßt sich aufzahlen:a = aξ | ξ < α fur ein α und eine Folge (aξ | ξ < α)

Beweis: Ist r Wohlordnung auf a, so isomorph zu ∈ auf einer Ordinalzahl α (nach6.1.6 (i)), somit WO1⇒WO2. Ist umgekehrt f : a←→ α fur eine Ordinalzahl α ,so kann man auf a eine Wohlordnung r definieren durch

xry ⇐⇒ f (x) < f (y).

Also gilt auch WO2⇒WO1.WO1⇒AC: (Ist eine Menge wohlgeordnet, so kann man aus ihren Elementen

eine Auswahl treffen, indem man das kleinste Element (bezuglich der Wohlord-nung) auswahlt.) Sei ∀x ∈ a x 6= /0. Nach WO1 gibt es eine Wohlordnung < auf⋃

a. Damit kann man eine Auswahlfunktion f definieren durch

f (x) = das kleinste (bzgl. <) y ∈ x fur x ∈ a.

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7.1. ZERMELOS AXIOM 153

AC⇒WO2: Sei a 6= /0. Nach dem Auswahlaxiom existiert eine Funktion

f : P(a)− /0 −→V mit ∀x⊆ a(x 6= /0→ f (x) ∈ x).

Damit konnen wir rekursiv eine Aufzahlung G von a definieren:

G(α) =

f (a−G(ξ ) | ξ < α), falls a−G(ξ ) | ξ < α 6= /0

a, sonst.

(i) a 6∈ G(ξ ) | ξ < α→ G α ist injektiv:

Fur γ < α ist G(γ) = f (a−G(ξ ) | ξ < γ)∈ a−G(ξ ) | ξ < γ, also G(γ) 6=G(ξ ) fur alle ξ < γ .

(ii) a ∈W (G), denn anderenfalls ware G : On −→ a nach (i) eine injektiveFunktion, und damit a keine Menge!

Sei α := µξ (G(ξ ) = a)1. Dann ist G α : α −→ a injektiv. Es bleibt zu zeigen:(iii) G α : α −→ a ist surjektiv. Ware jedoch W (G α) ⊂ a, so G(a) =

f (a−G(ξ ) | ξ < α) ∈ a im Widerspruch zur Definition von α!

7.1.3 Maximumsprinzipien von Zorn und Hausdorff

Diese Prinzipien formulieren wir am besten fur reflexive Ordnungen:Eine (reflexive) teilweise Ordnung auf A ist eine 2-stellige Relation R auf A,

fur die gilt:

(a) ∀x ∈ a xRx reflexiv,(b) ∀x,y,z ∈ a (xRy∧ yRz→ xRz) transitiv,(c) ∀x,y ∈ a (xRy∧ yRx→ x = y) antisymmetrisch.(d) K ⊆ A heißt R-Kette:↔∀x,y ∈ K (xRy∨ yRx),

d.h. je zwei Elemente aus K sind bzgl. R vergleichbar;(e) a ∈ A heißt R-obere Schranke von B⊆ A :↔∀x ∈ B xRa,

a ∈ A heißt R-maximal:↔∀x ∈ A (aRx→ a = x).

Ein maximales Element besitzt also kein echt großeres, braucht aber nicht dasgroßte Element zu sein (zumindest nicht in einer teilweisen Ordnung).

Zornsches Lemma (ZL)r sei teilweise Ordnung auf der Menge a mit der Eigenschaft(*) jede r-Kette besitzt eine r-obere Schranke.Dann hat a ein maximales Element (bzgl. r).

1Mit µξ ϕ(ξ ) bezeichnet man das kleinste ξ mit der Eigenschaft ϕ(ξ ).

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7.1. ZERMELOS AXIOM 154

Hausdorffsches Maximumsprinzip (H)r sei teilweise Ordnung auf der Menge a.Dann gibt es eine (bzgl. ⊆) maximale r-Kette k, d. h. ein k ⊆ a mit:k ist r-Kette ∧∀y ( y r-Kette ∧k ⊆ y→ k = y).

Diese beiden Aussagen sind aquivalent zum Auswahlaxiom:

Beweis von WO⇒ H:r sei partielle Ordnung auf a, a = aξ | ξ < α sei wohlgeordnet. Wir definiereneine Teilmenge bξ | ξ < α von a durch Rekursion wie folgt:

bβ =

aβ falls bξ | ξ < β∪aβ r-Kette,

a0 sonst.bξ | ξ < α ist dann eine maximale r-Kette (mit b0 = a0).

H⇒ ZL:Sei r partielle Ordnung auf a, die (*) erfullt. Nach H existiert eine maximale r-Kette k ⊆ a. Eine obere Schranke von k ist dann ein maximales Element (sonstkonnte man k echt erweitern).

ZL⇒ AC:Sei a 6= /0 und ∀x ∈ a x 6= /0. Setze

B := f | ∃y⊆ a( f : y→⋃

a∧∀x ∈ y f (x) ∈ x).

Jedes Element von B ist eine partielle Auswahlfunktion und Teilmenge von a×⋃a, damit ist auch B als Menge b ⊆ P(a×

⋃a) abschatzbar. Als teilweise Ord-

nung auf B = b wahlen wir r =⊆ -Beziehung. Fur jede r-Kette k ist dann⋃

k eineobere Schranke, und ein nach dem ZORNschen Lemma maximales Element in Bist dann eine Auswahlfunktion fur a .

Bemerkungen

• Aus obigem Beweis lasst sich ablesen, daß H sogar allgemeiner gilt: jedepartielle Ordnung r auf a besitzt fur jedes b ∈ a eine r-Kette k mit b ∈ k.

• Das ZORNsche Lemma ist offenbar trivial, wenn r eine lineare Ordnung aufa ist, weil dann a selbst schon eine Kette ist. Daher kann man Anwendungenvon ZL nur fur teilweise Ordnungen erwarten. Wie in obigem Beweis isthaufig diese Ordnung die ⊆ -Beziehung, und haufig kann man in diesemFall (*) nachweisen, indem man zeigt, daß

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7.1. ZERMELOS AXIOM 155

fur jede ⊆-Kette k ist⋃

k ∈ a.

(Dann ist⋃

k namlich eine obere Schranke.)

• Fur Anwendungen benotigt man gelegentlich nur abgeschwachte Formendes Auswahlaxioms:

Auswahlaxiom fur abzahlbare Mengen: (ACω)a abzahlbar ∧ ∀x ∈ a x 6= /0→∃ f (D( f ) = a∧∀x ∈ a f (x) ∈ x),

Axiom der abhangigen Auswahl: (DC, dependent choice)Rel(R)∧a0 ∈ a ∧ ∀x ∈ a∃y ∈ a xRy→∃ f [ f : ω −→ a ∧ f (0) = a0 ∧ ∀n < ω f (n)R f (n+1)]

Es gilt:AC→ DC, DC→ ACω (aber die Umkehrungen sind nicht beweisbar).

Das ACω wird vielfach in der Analysis benutzt (s.u.), insbesondere auch furdie Aussage, daß die Vereinigung abzahlbar-vieler abzahlbarer Mengen wieder-um abzahlbar ist. DC benotigt man z. B. fur die Aquivalenz verschiedener End-lichkeitsdefinitionen sowie zum Beweis, daß die Minimalitatsbedingung der Fun-diertheit (s. (F1) von 6.1.1.3)

(F1) ∀z( /0 6= z⊆ A→∃x ∈ z ∀y ∈ z y 6< x)

aquivalent ist zur Aussage, daß es fur < keine unendlich-absteigenden Ketten gibt:

(F11) ¬∃ f ( f : ω −→V ∧ ∀n < ω f (n+1) < f (n))

(dabei benotigt man gerade das DC, um (F11) → (F1) zu zeigen, wahrend dieumgekehrte Richtung auch ohne DC beweisbar ist).

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7.2. ANWENDUNGEN DES AUSWAHLAXIOMS 156

7.2 Anwendungen des Auswahlaxioms

7.2.1 Jeder Vektorraum besitzt eine Basis.

K sei ein Korper, V ein Vektorraum uber dem Korper K, V und K seien Men-gen (hier also V nicht die Klasse aller Mengen!). Wir wenden zum Beweis dasZORNsche Lemma an und wahlen

P := b | b Menge von linear unabhangigen Vektoren⊆V,≤=⊆ aufP.

Dann ist ≤ eine partielle Ordnung auf der Menge P, und fur jede Kette k ⊆ Pist

⋃k eine obere Schranke von k in P. Nach dem ZORNschen Lemma existiert

also ein maximales Element in P; eine maximale linear unabhangige Menge vonVektoren ist aber eine Basis.

Bemerkungen

1. A. Blass: Existence of bases implies AC, Contempory Math., Axiomatic SetTheory, AMS 31 (1983)) hat gezeigt, daß auch die Umkehrung gilt:Hat jeder Vektorraum eine Basis besitzt, so gilt das Auswahlaxiom.

2. Den Vektorraum R der reellen Zahlen kann man auch als (unendlich-dimen-sionalen) Vektorraum uber den rationalen Zahlen Q auffassen, er besitztdann also eine Basis, die man HAMEL-Basis nennt. Aus der Existenz einersolchen Basis folgt nun aber insbesondere die Existenz einer Funktion

f : R−→ R mit f (x+ y) = f (x)+ f (y) fur alle reellen x,y.

Ein solches f ist zwar Q-linear, aber nicht R-linear. Tatsachlich kann funstetig sein, und es ist sogar moglich, daß W ( f )⊆Q!

7.2.2 Der Satz von Hahn-Banach

(Formulierung und Beweis etwa bei Friedrichsdorf-Prestel, Kap. 10, pp.66ff)

7.2.3 Nicht-meßbare Mengen

Es existiert eine Menge reeller Zahlen, die nicht Lebesgue-meßbar ist. (VITALI

1905)

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7.2. ANWENDUNGEN DES AUSWAHLAXIOMS 157

Die Lebesgue-meßbaren Mengen bilden eine Teilmenge L ⊆ P(R), auf wel-cher das Lebesgue-Maß definiert ist als Abbildung

m : L−→ x | x ∈ R∧ x≥ 0∪∞,

so daß gilt:

(L1) L ist ein Mengenring, d. h. A,B ∈ L→ A∪B, A∩B, A−B ∈ L,und L enthalt die offenen und abgeschlossenen Intervalle:(a,b), [a,b] ∈ L fur alle reellen Zahlen a < b.Ferner ist m([a,b]) = b−a.

(L2) m(A∪B) = m(A)+m(B), falls A∩B = /0 Additivitat

(L3) A⊆ B→ m(A)≤ m(B) Monotonie

(L4) Ist (Ai|i < ω) eine abzahlbare Folge von Mengen ∈ L, so ist auch⋃i<ω Ai ∈ L, und falls Ai∩A j = /0 fur i 6= j, so ist

m(⋃

i<ω Ai) = ∑i<ω m(Ai). σ -Additivitat

(L5) A ∈ L ∧ r ∈ R→ A+ r = a+ r | a ∈ A ∈ Lund m(A) = m(A+ r) Translationsinvarianz

Auf den reellen Zahlen definieren wir eine Aquivalenzrelation durch

x∼ y :↔ x,y ∈ [0,1] ∧ x− y ∈Q.

Nach dem Auswahlaxiom in der Form AC3´ existiert hierzu ein Reprasentan-tensystem S, d. h.

S⊆ [0,1] ∧ ∀x ∈ [0,1] ∃!y ∈ S (x∼ y).

Setzen wir Sr := x+ r | x ∈ S= S + r, so ist R =⋃

s∈Q Sr, und es ist

Sr∩St = /0 fur r, t ∈Q, r 6= t.

Ware S Lebesgue-meßbar, also S ∈ L, so erhielte man im Falle m(S) = 0 :m(R) = 0, und im Falle m(S) > 0 : 2 = m([0,2]) = ∞, Widerspruch! Somit ist dieMenge S nicht Lebesgue-meßbar.

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7.2. ANWENDUNGEN DES AUSWAHLAXIOMS 158

7.2.4 Aquivalenz verschiedener Stetigkeitsdefinitionen

Auf den reellen Zahlen definiert man die ubliche Topologie mit Hilfe der ε-Umgebungen von x:

U(ε,x) := (x− ε,x+ ε) = y ∈ R | x− ε < y < x+ ε,

sowie(1) fur A⊆ R die abgeschlossene Hulle von A durch

x ∈ A : ↔ ∀ε > 0 U(ε,x)∩A 6= /0 bzw.

↔ x = limn<∞xn fur eine Folge(xn)n<ω mit ∀n < ω xn ∈ A.

(2) Es sei f : R−→ R, x ∈ R. Dann definiert manf stetig in x:

↔ ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀y ∈ R (|x− y|< δ → | f (x)− f (y)|< ε) bzw.

↔ f (x) = limn<∞ f (xn) fur alle Folgen (xn)n<ω mit x = limn<∞xn.

Um die Aquivalenz der jeweiligen Definitionen zu zeigen, benotigt man (injeweils einer Richtung) das Auswahlaxiom - tatsachlich genugt hier das ACω .

7.2.5 Satz von Tychonoff

Das Produkt quasi-kompakter Raume ist quasi-kompakt. (Diese Aussage ist aqui-valent zum Auswahlaxiom.)

7.2.6 Boolesches Primidealtheorem

Eine Boolesche Algebra ist ein Modell (B,∧,∨,−,0,1) der BOOLEschen Geset-ze, die wir fur die Aussagenlogik in 1.2.6 formuliert haben. Um den trivialen Fallauszuschließen, fugen wir noch /0 6=V als Axiom hinzu, so daß stets 0 6= 1 gilt unddie kleinste BOOLEschen Algebra aus zwei Elementen besteht.

Beispiele und Bemerkungen

1. Fur eine nicht-leere Menge M ist (P(M),∩,∪,−, /0,M) eine BOOLEsche Al-gebra, die Potenzmengenalgebra von M. Eine Unteralgebra davon, definiertalso auf einer Teilmenge B⊆ P(M), die /0 und M enthalt und abgeschlossenist unter den Mengenoperationen ∩,∪,−, heißt Mengenalgebra.

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7.2. ANWENDUNGEN DES AUSWAHLAXIOMS 159

2. Jede endliche BOOLEschen Algebra ist isomorph zu einer Potenzmengen-algebra und hat damit 2n Elemente fur eine naturliche Zahl n. Die Mengex ⊆ N | x endlich oder N− x endlich mit den ublichen mengentheoreti-schen Operationen ist eine abzahlbare BOOLEsche Algebra, die aber nichtzu einer Potenzmengenalgebra isomorph sein kann.

3. Es gibt zahlreiche Beispiele BOOLEscher Algebren, die keine Mengenal-gebren sind. Diese lassen sich am besten mit topologischen Hilfsmittelnbeschreiben; aber es gibt auch naturliche Beispiele aus der Logik:

Die Lindenbaum-Algebra einer Theorie T

Fur eine Theorie T der Sprache L definieren wir auf der Menge der Satze von L

eine Aqivalenzrelation durch

ϕ ∼T ψ :⇐⇒ T ` ϕ ↔ ψ,

L(T) := [σ ]T | σ L-Satz

sei die Menge der zugehorigen Aquivalenzklassen. Den aussagenlogischen Ope-rationen entsprechen dann Operationen auf L(T):

[ϕ]T∧ [ψ]T := [ϕ ∧ψ]T

und ahnlich fur die ubrigen Operationen. Damit wird L(T) zu einer BOOLEschenAlgebra mit

0 = ϕ | T ` ¬ϕ und 1 = ϕ | T ` ϕ.

Eine Theorie T ist somit vollstandig und konsistent gdw L(T) isomorph zur 2-elementigen BOOLEschen Algebra ist.

Ein Filter einer BOOLEsche Algebra (B,∧,∨,−,0,1) ist eine nichtleere Teil-menge F ⊆ B mit folgenden Eigenschaften:

(U1) x,y ∈ F ⇒ x∧ y ∈ F ,

(U2) x ∈ F, y ∈ B⇒ x∨ y ∈ F .

Ein Filter F heißt echt gdw F 6= B. Ein Primfilter ( Ultrafilter) ist ein echterFilter F mit der zusatzlichen Eigenschaft

(U) x ∈ F oder B− x ∈ F.

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7.2. ANWENDUNGEN DES AUSWAHLAXIOMS 160

Ultrafilter kann man auch als maximale echte Filter charakterisieren; sie habenaußerdem folgende Eigenschaften:

x 6∈U ⇐⇒ B− x ∈U

x ∈U und y ∈U ⇐⇒ x∧ y ∈U

x ∈U oder y ∈U ⇐⇒ x∨ y ∈ F

und stehen damit in enger Verbindung mit dem Wahrheitspradikat:

Das Boolesche Primidealtheorem (BPI) besagt:Jeder echte Filter in einer BOOLEschen Algebra laßt sich zu einem Ultrafiltererweitern, (bzw.: Jedes echte Ideal laßt sich zu einem Primideal erweitern.)

(Die Begriffe Ideal und Primideal sind die zu Filter und Ultrafilter dualenBegriffe: vertausche ∨ mit ∧.)

Das BPI folgt offensichtlich aus dem Auswahlaxiom (mittels des ZORNschenLemmas), ist aber echt schwacher.

Satz

Das BPI ist aquivalent mit folgenden Aussagen:

(i) Jede BOOLEsche Algebra besitzt einen Ultrafilter.

(ii) STONEscher Reprasentationssatz:Jede BOOLEsche Algebra ist isomorph zu einer Mengenalgebra.

(iii) Satz von TYCHONOFF fur T2-Raume

(iv) Vollstandigkeitssatz fur formale Sprachen erster Stufe

(v) Kompaktheitssatz fur formale Sprachen erster Stufe

Weitere Abschwachungen des Auswahlaxioms sind:

Ordnungserweiterungsprinzip (OE): Jede partielle Ordnung laßt sich zu einerlinearen Ordnung erweitern.

Ordnungsprinzip (OP): Jede Menge besitzt eine lineare Ordnung.

Es gilt: AC⇒ BPI⇒ OE⇒OP (ohne Umkehrungen).

Weitere Ergebnisse und eine Ubersicht findet man in dem Buch

G.H. MOORE: Zermelo´s Axiom of Choice. Springer 1982.

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161

Kapitel 8

Machtigkeiten und Kardinalzahlen

8.1 Endliche und abzahlbare Mengen

Der Grundbegriff der Theorie der Kardinalzahlen ist die Machtigkeit einer Menge.Zunachst definieren wir, wann zwei Mengen gleichmachtig sind:

a∼ b :↔∃ f ( f : a←→ b) gleichmachtig

Es gibt verschiedene Moglichkeiten, den Begriff des Endlichen zu erfassen;da man hierbei auch das Unendliche definiert, ist der Begriff keineswegs trivial,was sich auch darin zeigt, dass die verschiedenen Definitionen oft erst mit Hil-fe des Auswahlaxioms als aquivalent nachgewiesen werden konnen (s. (iv) desfolgenden Satzes).

1. Der ubliche Begriff der endlichen Menge greift auf die naturlichen Zahlenzuruck:

Eine Menge a ist endlich gdw sie mit Hilfe von naturlichen Zahlen bis zu einerZahl n abgezahlt werden kann. Da nach unserer Festlegung n = 0,1, . . . ,n− 1ist, so haben wir eine besonders einfache Definition:

a endlich : ↔ ∃n < ω (a∼ n),

a unendlich : ↔ ¬ a endlich.

Ist a endlich, so ist die naturliche Zahl n mit a ∼ n (die man durch Abzahlenbestimmt) eindeutig festgelegt und gibt die Anzahl der Elemente von a an - furunendliche Mengen braucht dies aber nicht mehr zu gelten (siehe (i) des folgendenSatzes)!

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8.1. ENDLICHE UND ABZAHLBARE MENGEN 162

2. Von WHITEHEAD-RUSSELL stammt die folgende Definition, die den Zahl-begriff vermeidet:Eine Menge u⊆ P(a) heißt induktive Familie von Teilmengen von a gdw

/0 ∈ u∧∀x ∈ u ∀y ∈ a x∪y ∈ u,

d.h. u enthalt die leere Menge und mit jeder Menge x auch die um ein Elementaus a erweiterte Menge. Definiere:

a endlich :↔∀u⊆ P(a)(u induktive Familie von Teilmengen vona→ a ∈ u).

Dieser Begriff ist aquivalent zu obiger Definition.3. Die naturlichen Zahlen sind gleichmachtig mit einer echten Teilmenge (z. B.

den geraden Zahlen). Diese paradoxe Eigenschaft wahlt DEDEKIND gerade zurCharakterisierung unendlicher Mengen:

a D-unendlich :↔∃x⊂ a(a∼ x)

Satz

(i) n∼ m ∧ n,m ∈ ω → n = m, allgemeiner:α ∼ m ∧ m ∈ ω → α = m, (jedoch: ω ∼ ω +1∼ ω +ω)

(ii) α endlich↔ α ∈ ω , insbesondere:∀n ∈ ω (n endlich) ∧ ω unendlich∀n ∈ ω ¬(n D-unendlich)∧ω D-unendlich

(iii) a D-unendlich↔∃x⊆ a(x∼ ω)

(iv) a D-unendlich→ a unendlich,a D-unendlich↔ a unendlich (mit DC !)

Beweis von (iii) (DEDEKIND 1888): Sei a D-unendlich, alsof : a←→ b ⊂ a fur ein f und ein b. Wahle a0 ∈ a− b und setze an+1 = f (an)(rekursive Definition!).Es ist dann an 6= am fur n 6= m und somit an | n < ω eine abzahlbar-unendlicheTeilmenge von a.

Ist umgekehrt an | n < ω eine abzahlbar-unendliche Teilmenge von a, wobeian 6= am fur n 6= m, so definieren wir eine Funktion g : a−→ a durch

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8.2. ABZAHLBARE MENGEN 163

g(x) =

an+1, falls x = an

x, sonst

Es ist dann g : a←→ a−a0 ⊂ a.

Eine D-unendliche Menge besitzt also eine abzahlbar-unendliche Teilmenge;falls man das Auswahlaxiom (bzw. das Axiom DC) nicht voraussetzt, kann esunendliche Mengen geben, die keine abzahlbar-unendliche Teilmenge enthalten!

Eigenschaften endlicher Mengen

(i) /0 und a sind endlich.

(ii) Sind a und b endlich, so auch a∪b, a∩b, a−b, a×b, P(a), F [a], ab.

(iii) a endlich ∧ ∀x ∈ a (x endlich)→⋃

a endlich,

(iv) a endlich ∧ b⊆ a→ b endlich.

(v) Induktionsprinzip fur endliche Mengen:

ϕ( /0)∧∀x[x endlich∧ϕ(x)→∀y(ϕ(x∪y))]→∀x(x endlich → ϕ(x)).

Diese Eigenschaften beweist man am einfachsten mit Hilfe des Endlichkeits-begriffes von WHITEHEAD-RUSSELL, zeigt dann, dass unter diesem Begriff allenaturlichen Zahlen endlich sind und somit beide Endlichkeitsdefinitionen zusam-menfallen.

8.2 Abzahlbare Mengen

Abzahlbare Mengen lassen sich mit Hilfe der naturlichen Zahlen abzahlen:

a abzahlbar:←→ a = /0 ∨ a = an | n < ω fur eine Folge (an | n < ω).

Damit sind dann auch die endlichen Mengen einbegriffen, da in der AbzahlungElemente mehrfach aufgezahlt werden konnen. Wir unterscheiden:

1. f : ω a heißt Aufzahlung von a (es ist dann a = f (n) | n < ω),

2. f : ω ↔ a heißt Aufzahlung von a ohne Wiederholungen.

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8.2. ABZAHLBARE MENGEN 164

Eine Aufzahlung ohne Wiederholungen (also eine bijektive Abbildung auf dienaturlichen Zahlen) liefert eine abzahlbar-unendliche Menge:

a abzahlbar-unendlich:←→ a∼ ω .

Eigenschaften abzahlbarer Mengen

(i) a abzahlbar↔ a endlich ∨ a abzahlbar-unendlich↔∃α ≤ ω (a∼ α),

(ii) Sind a und b abzahlbar, so auch

a∪b, a∩b, a−b, a×b, F [a],

P<ω(a) := x | x⊆ a∧ x endlich,a<ω := f | ∃n < ω f : n−→ a.

(iii) Unter der Voraussetzung des Auswahlaxioms (ACω genugt):a abzahlbar ∧ ∀x ∈ a (x abzahlbar)→

⋃a abzahlbar,

(iv) a abzahlbar ∧ b⊆ a→ b abzahlbar.

Beweis von (i): Sei zunachst a abzahlbar, also f : ω a fur ein f , wobei wir aals unendlich voraussetzen konnen. Zu zeigen ist: a ∼ ω , d. h. a ist auch ohneWiederholungen aufzahlbar:Setze a0 = f (0) und definiere (durch Rekursion) an+1 = f (k), wobei k minimal istmit f (k) 6= ai fur alle i < n+1. (Da a unendlich ist, muß ein solches k existieren.)Es ist dann n 7→ an eine Bijektion von ω auf a.

Umgekehrt sind offenbar endliche wie auch abzahlbar-unendliche Mengenabzahlbar.

Wir zeigen wir nun (iii), wobei wir annehmen konnen, daß die betrachtetenMengen nicht-leer sind: Dazu geben wir zunachst eine Paarfunktion an:

f : ω×ω ←→ ω, f (n,m) = 2n · (2m+1)−1.

Sei nun a = an | n < ω abzahlbar und ∀n ∈ ω (an abzahlbar), also∀n ∈ ω ∃g(g : ω an).Nach ACω existiert eine Folge (gn)n∈ω mit ∀n ∈ ω an = gn(m) |∈ ω, und somit⋃

a =⋃

n∈ω

an = gn(m) | m,n ∈ ω= g(n,m) | m,n ∈ ω,

wobei g : ω×ω ⋃

n∈ω an definiert ist durch g(n,m) = gn(m).

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8.3. UBERABZAHLBARE MENGEN 165

Die gewunschte Abbildung h : ω ⋃

n∈ω an erhalt man nun aus g durch Vor-schalten der Inversen f−1 der oben definierten Paarfunktion f .

(ii) beweist man ahnlich, wobei man sich leicht uberzeugt, daß man in diesemFall das abzahlbare Auswahlaxiom nicht benotigt.

8.3 Uberabzahlbare Mengen

Wahrend die Potenzmenge einer endlichen Menge auch wieder endlich ist, ist diePotenzmenge einer abzahlbar-unendlichenen Menge nicht mehr abzahlbar, alsouberabzahlbar: Ware

P(ω) = an | n ∈ ω, so ware auch

a := m ∈ ω | m 6∈ am= an fur ein n,dann aber

n ∈ an↔ n 6∈ an Widerspruch!

Wir erhalten also einen Widerspruch wie im Falle der RUSSELLschen Anti-nomie! In ahnlicher Weise kann man zeigen, daß die Menge aller zahlentheoreti-schen Funktionen und auch die Menge aller reellen Zahlen R uberabzahlbar sind.

8.4 Machtigkeiten

Obwohl wir die Machtigkeit einer Menge noch nicht erklart haben, konnten wirMengen als gleichmachtig definieren, wenn sie sich eineindeutig aufeinander ab-bilden lassen. Ebenso lassen sich Mengen hinsichtlich ihrer Große vergleichen,ohne sie vorher aufzahlen zu mussen:

a∼ b: ↔ ∃ f ( f : a←→ b) a ist gleichmachtig mit ba 4 b: ↔ ∃ f ( f : a b) a ist kleiner oder gleichmachtig mit b

↔ ∃x⊆ b (a∼ x) (a ist schmachtiger als b)a≺ b: ↔ a 4 b∧a 6∼ b a ist kleiner als b

(Genauer sollte man fur a 4 b sagen: a ist von Machtigkeit kleiner oder gleich b.)So ist z.B.

n 4 ω,n≺ ω,ω 4 ω +1,ω +1 4 ω,ω ≺ P(ω), aber ω +1 6≺ ω,ω 6≺ ω +1.

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8.4. MACHTIGKEITEN 166

Lemma

(i) a 4 a reflexiv

(ii) a 4 b ∧b 4 c→ a 4 c transitiv

(iii) a⊆ b→ a 4 b aber i. a. nicht umgekehrt!

(iv) a∼ c ∧a 4 b→ c 4 b ebenso fur ≺(v) b∼ d ∧a 4 b→ a 4 d ebenso fur ≺

Somit ist die Gleichmachtigkeit (Aquivalenz) von Mengen eine Aquivalenzre-lation und eine Kongruenzrelation bezuglich 4 und ≺; die Relation 4 ist reflexivund transitiv. Der folgende Satz besagt, daß 4 antisymmetrisch (bis auf∼) ist, wastrivial ist, wenn man das Auswahlaxiom benutzt. Als eines der wenigen Ergebnis-se der Theorie der Machtigkeiten laßt er sich aber auch ohne diese Voraussetzungbeweisen:

8.4.1 Satz von Cantor-Schroder-Bernstein

a 4 b ∧ b 4 a → a∼ b

Beweis: Wir fuhren die Behauptung zunachst auf den einfacheren Fall

(∗) a 4 b ∧ b⊆ a → a∼ b

zuruck: Nach Voraussetzung existieren Abbildungen

h : a←→ a′ ⊆ b, g : b←→ b′ ⊆ a, also

f := gh : a←→ a1 ⊆ b′ mit a1 := g[a′]∼ a′ ∼ a, d. h.

a1 ⊆ b′ ⊆ a ∧ a1 ∼ a ∧ b∼ b′, somit

a 4 b′ ∧ b′ ⊆ a ∧ b′ ∼ b.

Nach (*) gilt dann a∼ b′, also auch a∼ b, wie zu zeigen war.Zum Beweis von (*) gehen wir von einer injektiven Abbildung

f : a b⊆ a

aus und konstruieren daraus eine Abbildung

g : a↔ b

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8.4. MACHTIGKEITEN 167

wie folgt:

g(x) =

f (x), falls x ∈

⋃n∈ω f n[a−b]

x sonst.

Dabei ist f 0(y) = y, f n+1(y) = f ( f n(y)) (numerische Rekursion). Es gilt nun:

(i) g ist surjektiv, d. h. W (g) = b:Sei d ∈ b. Falls d ∈

⋃n∈ω f n[a− b], so ist d ∈ f n[a− b] fur ein n, und zwar

n > 0 wegen d ∈ b. Dann ist aber d = f ( f n−1(y)) fur ein y und damit d ∈W (g).Im anderen Fall ist aber d = g(d) und damit auch d ∈W (g).

(ii) g ist injektiv:Da f injektiv ist, so auch g auf

⋃n∈ω f n[a−b], und als identische Abbildung

ist sie auch auf dem Komplement injektiv. Ist aber einerseits x ∈⋃

n∈ω f n[a− b]und andererseits y ∈ a−

⋃n∈ω f n[a−b], so muß auch g(x) 6= g(y) sein, da g(x) ∈⋃

n∈ω f n[a−b], wahrend g(y) = y im Komplement liegt. Somit ist g eine Bijektionvon a auf b.

Der folgende Satz benotigt zum Beweis notwendig das Auswahlaxiom, da erhierzu aquivalent ist:

8.4.2 Vergleichbarkeitssatz von Hartogs

a 4 b ∨ b 4 a

Beweis: Nach dem Wohlordnungssatz gibt es Ordinalzahlen α,β mit a ∼ α undb∼ β . Da Ordinalzahlen vergleichbar sind (und zwar α ⊆ β ∨ β ⊆ α), ubertragtsich diese Beziehung in der Form a 4 b ∨ b 4 a auf die entsprechenden Mengen.

Folgerung

Jede unendliche Menge enthalt eine abzahlbar-unendliche Teilmenge (und ist da-mit D-unendlich).

Daß es zu jeder Menge eine mit großerer Machtigkeit gibt, zeigt der

8.4.3 Satz von Cantor

a≺ P(a)

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8.5. KARDINALZAHLEN 168

Beweis: Da durch x 7→ x eine injektive Funktion definiert wird, ist a 4 P(a). DieAnnahme a∼P(a) widerlegt man wie im Fall a = ω durch ein Diagonalargument:Falls f : a P(a), so setze man d := x ∈ a | x 6∈ f (x). Dann erhalt man wegender Surjektivitat von f ein b ∈ a mit d = f (b), was aber mitb ∈ f (b) = d↔ b 6∈ b zum Widerspruch fuhrt!

Alternative zum Großenvergleich

Da bei einer Abbildung Mengen moglicherweise auf dasselbe Element abgebildetwerden konnen, wird man das Bild einer Menge a als hochstens so groß wie aselbst ansehen. Man findet daher auch folgende Definition:

a 4∗ b :↔ a = /0∨∃ f ( f : b a).

Fur die Definition der Abzahlbarkeit haben wir z. B.:

a abzahlbar↔ a 4∗ ω ↔ a 4 ω,

und der obige Satz von CANTOR besagt gerade: a 64∗ P(a). Da eine injektiveFunktion eine Umkehrfunktion besitzt, so gilt stets

a 4 b→ a 4∗ b,

aber fur die Umkehrung benotigt man das Auswahlaxiom (oder zumindest eineWohlordnung von b)! Ebenso gilt zwar stets F [a] 4∗ a, aber F [a] 4 a allgemeinnur, wenn das Auswahlaxiom vorausgesetzt ist.

8.5 Kardinalzahlen

Fur die Machtigkeit einer Menge a, bezeichnet mit a, soll gelten:

a∼ b↔ a = b.

Diese Eigenschaft kann man naturlich leicht erfullen, indem man (nach FREGE-RUSSELL) a als zugehorige Aquivalenzklasse x | x ∼ a definiert, allerdings istdiese dann stets eine echte Klasse (außer fur a = /0). Die Anzahl einer endlichenMenge kann man aber auch dadurch bestimmen, daß man sie abzahlt: Ist

a = a0, . . . ,an−1mit ai 6= a j fur i 6= j,

so ist n die Anzahl der Elemente von a.Ist jedoch a eine unendliche Menge, so konnen folgende Probleme auftauchen:

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8.5. KARDINALZAHLEN 169

1. a besitzt keine Aufzahlung,

2. a besitzt Aufzahlungen verschiedener Lange.

Das erste Problem laßt sich vermeiden, indem man das Auswahlaxiom voraus-setzt: Dann laßt sich jede Menge wohlordnen:

a = aξ | ξ < α fur ein α,

aber das zweite Problem bleibt bestehen: Selbst bei injektiven Aufzahlungen istdie ”Lange” α nicht eindeutig bestimmt. Als Kardinalzahl von a wahlt man daherdas kleinstmogliche derartige α:

|a| := a := µα(a∼ α) Kardinalzahl von a

Bemerkung

Auch ohne Voraussetzung des Auswahlaxioms kann man (etwa mit Hilfe derVON-NEUMANNschen Hierarchie) Machtigkeiten definieren, die Mengen sind.In diesem Fall nennt man Kardinalzahlen die Machtigkeiten von wohlgeordnetenMengen. Allerdings laßt sich (wie wir schon bei obigen Satzen gesehen haben)ohne Auswahlaxiom keine befriedigende Theorie der Machtigkeiten aufbauen.Daher werden wir im folgenden das Auswahlaxiom stets voraussetzen und nichtzwischen Kardinalzahlen und Machtigkeiten unterscheiden.

Beispiele

|n|= n fur jede naturliche Zahl n,

|N|= |ω|= |ω +1|= |ω +2|= . . . = |ω +ω|= ω.

Tatsachlich ist jede unendliche Kardinalzahl eine Limeszahl (aber nicht umge-kehrt), die Kardinalzahlen bilden somit eine echte Teilklasse Cn der Ordinalzah-len. Cn ist trotzdem immer noch sehr groß: Das Supremum einer Menge von Kar-dinalzahlen ist wieder eine Kardinalzahl, und nach dem Satz von CANTOR gibt eskeine großte Kardinalzahl.

8.5.1 Operationen auf den Kardinalzahlen

Die arithmetischen Operationen auf den Kardinalzahlen definiert man analog zumendlichen Fall, wobei im Falle der Addition zu beachten ist, daß man als Sum-

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8.5. KARDINALZAHLEN 170

me zweier Kardinalzahlen die Vereinigung disjunkter Mengen der entsprechendenKardinalzahl wahlt:

κ⊕λ = |(κ×0)∪ (λ ×1)|κλ = |κ×λ |

κλ = |λ κ|= | f | f : λ → κ|

Endliche Ordinal- und Kardinalzahlen stimmen uberein (es sind gerade dienaturlichen Zahlen), und fur diese Falle stimmen diese Operationen mit den ent-sprechenden Operationen auf den Ordinalzahlen ebenfalls uberein. Fur unendli-che Kardinalzahlen ergeben sich aber wesentliche Unterschiede. So sind die Ope-rationen der Addition und Multiplikation auf den Kardinalzahlen (wie im Falleder naturlichen Zahlen, aber im Gegensatz zu den ordinalen Operationen) kom-mutativ, assoziativ und distributiv - wenngleich diese Gesetze trivial sind; es giltnamlich der

8.5.2 Satz von Hessenberg

Es seien κ,λ unendliche Kardinalzahlen. Dann gilt:

κ⊕λ = κλ = maxκ,λ.

(Tatsachlich braucht nur eine der beiden Zahlen unendlich zu sein, im Falle derMultiplikation darf aber naturlich keine = 0 sein.) Dieses Ergebnis laßt sich (miteinfachen Monotoniegesetzen) zuruckfuhren auf

Satz

Fur unendliche Kardinalzahlen gilt:

κκ = κ.

Damit vereinfacht sich die Bestimmung der Kardinalzahl unendlicher Mengenin vielen Fallen, insbesondere fur die Mengen:

a<ω : = f | ∃n < ω f : n→ aP<ω(a) : = x⊆ a | x endlich

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8.5. KARDINALZAHLEN 171

Satz

Fur /0 6= b 4 a, a unendlich, gilt:

(i) |a∪b|= |a×b|= |a|,

(ii) |a<ω |= |P<ω(a)|= |a|.Zur Aufzahlung der unendlichen Kardinalzahlen benutzt man seit CANTOR

den hebraischen Buchstaben ℵ (aleph):

ω = ℵ0 < ℵ1 < .. .ℵω < .. .

ℵ0 ist also die Kardinalzahl abzahlbar-unendlicher Mengen, ℵ1 die erste uberab-zahlbare Kardinalzahl. Wahrend Addition und Multiplikation unendlicher Kardi-nalzahlen trivial sind, ist schon der Wert der einfachsten Potenz unbekannt:

Die Machtigkeit der Menge R der reellen Zahlen ist 2ℵ0 (kardinale Potenz!),und da R uberabzahlbar ist, so gilt ℵ1 ≤ 2ℵ0 . Die

Cantorsche Kontinuumshypthese CH ℵ1 = 2ℵ0

ist aus den Axiomen von ZF + AC weder beweisbar (COHEN 1963) noch wider-legbar (GODEL 1938). Trotzdem gibt es einige einfache Abschatzungen:

8.5.3 Satz von Bernstein

2≤ κ ≤ℵα → 2ℵα = κℵα = ℵ

ℵα

α

β ≤ α → ℵα < 2ℵα = ℵℵα

β= ℵ

ℵα

α

Wir definieren eingeschrankte Potenzmengenoperationen:

P<λ (a) : = x | x⊆ a ∧ |x|< λ,P≤λ (a) : = x | x⊆ a ∧ |x| ≤ λ,Pλ (a) : = x | x⊆ a ∧ |x|= λ.

Korollar

Fur unendliches a,κ,λ :

(i) |P<ω(a)|= |a|,

(ii) | f | Fkt( f )∧D( f )⊆ κ ∧D( f ) endlich∧W ( f )⊆ λ|= max(κ,λ ).

(iii) |Pλ (κ)|= |P≤λ (κ)|= κλ fur λ ≤ κ , insbesondere:

(iv) |Pκ(κ)|= |P(κ)|= κκ = 2κ .

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172

Teil III

Grundlagen der Modelltheorie

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173

Kapitel 9

Hin und her: Vollstandigkeit undelementare Aquivalenz

Mathematische Theorien lassen sich grob in zwei Klassen unterteilen:

1. Theorien, die Eigenschaften eines bestimmten Modells beschreiben wol-len (z. B. die Theorie der naturlichen (reellen, komplexen) Zahlen oder dieTheorie der Euklidischen Ebene) sowie andererseits

2. Theorien, welche gemeinsame Eigenschaften vieler Modelle zusammenfas-sen, wobei sie aber durchaus zulassen, daß Modelle sich bezuglich ande-rer Eigenschaften unterscheiden (wie die meisten algebraischen Theorien:Gruppen, Ringe, Korper, Vektorraume, . . . , aber auch die Theorie topologi-scher Raume, Graphen und Ordnungen).

9.1 Elementare Aquivalenz

Die Theorie Th(A) einer Struktur A unterscheidet sich von allgemeinen Theorienwie folgt:

• Th(A) |= σ ⇐⇒ A |= σ ,

• T |= σ ⇐⇒ fur alle A |= T : A |= σ ,

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9.1. ELEMENTARE AQUIVALENZ 174

die Gultigkeit eines Satzes σ in Th(A) hangt also nur von der Gultigkeit in demeinen Modell A ab, sonst von der Gultigkeit in allen Modellen der Theorie. Somitist Th(A) semantisch vollstandig in folgendem Sinne:

T (semantisch) vollstandig :⇐⇒ fur alle L-Satze σ : T |= σ oder T |= ¬σ .

Achtung: Fur Formeln ϕ gilt i. a. nicht: A |= ϕ oder A |= ¬ϕ , denn sonst mußteder universelle Abschluß von ϕ oder der universelle Abschluß von ¬ϕ in A gelten(aber in einer nicht-kommutativen Gruppe G gilt weder ∀x∀y (x+y = y+ x) noch∀x∀y (x+y 6= y+x)). Dagegen gilt nach der Wahrheitsdefinition fur Satze σ stets

A |= σ oder A |= ¬σ .

Dagegen gilt i. a. auch nicht: T |= σ oder T |= ¬σ , denn der Satz σ konnte ineinem Modell von T gelten, in einem anderen aber nicht (wie das Kommutativge-setz im Falle der Gruppentheorie). Dagegen gilt die letzte Alternative, wenn sichje zwei Modelle von T in ihren elementaren Eigenschaften (ausgedruckt durchSatze der zugehorigen Sprache) nicht unterscheiden:

Sind A und B Strukturen derselben Sprache L, so heißen sie elementar-aqui-valent genau dann, wenn sie dieselben Satze erfullen:

A≡B :⇐⇒ fur alle L-Satze σ : A |= σ ⇐⇒ B |= σ .

Beispiele und Bemerkungen

1. (N,<)≡ (N\0,<), aber (N,<,1) 6≡ (N\0,<,1).

2. (Q,+, ·,0,1) 6≡ (R,+, ·,0,1) als Korper (2 ist in Q kein Quadrat), betrachtenwir sie jedoch als geordnete Strukturen, so gilt:(Q,<)≡ (R,<) (wird spater bewiesen), dagegen (Z,<) 6≡ (Q,<).

3. A≡B ⇐⇒ Th(A) = Th(B).

4. Eine Theorie ist vollstandig gdw je zwei ihrer Modelle elementar-aqui-valent sind.

5. Hat T uberhaupt ein Modell, so ist T vollstandig gdw T = Th(A) fur ein(oder: alle) Modelle A von T.

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9.2. DIE THEORIE DER DICHTEN LINEAREN ORDNUNG 175

6. Fur einen Isomorphismus h : A∼= B gilt:

A |= ϕ[a1, . . .an] ⇐⇒ B |= ϕ[h(a1), . . .h(an)],

d. h. ein Isomorphismus ist eine elementare Einbettung (s.u.), und somitsind isomorphe Strukturen aquivalent. Das obige Beispiel in (2) zeigt, daßdie Umkehrung aber nicht zu gelten braucht: elementar-aquivalente Struktu-ren konnen sogar verschiedene Machtigkeiten haben und lassen sich dahernicht einmal als Mengen bijektiv aufeinander abbilden.

7. Ist A endlich, so ist im Falle A≡B auch B endlich, und zwar von derselbenAnzahl (da beide dieselben Anzahlformeln erfullen). Tatsachlich kann manzeigen, daß A und B in diesem Fall sogar isomorph sind!

Die obigen Beispiele zeigen zudem, daß elementare Aquivalenz in starkemMaße von der Sprache abhangt, die man zugrunde legt. Die Relation der elemen-taren Aquivalenz ist ein wichtiger Grundbegriff der Modelltheorie, laßt sich aberi. a. schwer nachweisen, da man uber Satze einer Sprache keine Induktion fuhrenkann. (Meistens weist man diese Relation nach uber die starkere Isomorphiebezie-hung oder zeigt, daß beide Strukturen Modelle einer vollstandigen Theorie sind.)

9.2 Die Theorie der dichten linearen Ordnung

Wir wollen hier ein Musterbeispiel einer vollstandigen Theorie behandeln. Dazuwerden wir zeigen, daß je zwei abzahlbare Modelle isomorph sind; aus dem spaterfolgenden Kriterium 10.6 von VAUGHT wird sich dann ergeben, daß diese Theorievollstandig ist.

Die Theorie LO der linearen Ordnung wird in einer Sprache mit einem 2-stelligen Relationszeichen < formuliert und hat folgende Axiome:

(L1) ∀x x 6< x irreflexiv(L2) ∀x∀y∀z (x < y∧ y < z→ x < z) transitiv(L3) ∀x∀y (x < y∨ x = y∨ y < x) connex

Fur dichte Ordnungen gilt zusatzlich

(D) ∀x∀y∃z (x < y→ x < z∧ z < y) dicht

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9.2. DIE THEORIE DER DICHTEN LINEAREN ORDNUNG 176

Diese Theorie ist noch nicht vollstandig; sie wird es aber, wenn man Aussagenuber die Endpunkte hinzunimmt, etwa

(OE) ∀x∃y (x < y) ∧∀x∃y (y < x) ohne Endpunkte

DLO sei die Theorie der dichten linearen Ordnungen (Axiome: L1−L3, D);Beispiele von Modellen von DLO+OE sind (Q,<) und (R,<), ersteres ist bisauf Isomorphie das einzige abzahlbare Modell:

Isomorphiesatz von Cantor

Je zwei abzahlbare dichte lineare Ordnungen ohne Endpunkte sind isomorph.

Beweis: Es seien (A,<),(B,<′) abzahlbare dichte Ordnungen ohne Endpunkte,A = a0,a1, . . .,B = b0,b1, . . .. Wir konstruieren einen Isomorphismush : (A,<)∼= (B,<′) mit a′n 7→ b′n wie folgt:

hin: a0 7→ b0, wir setzen also a′0 := a0,b′0 := b0.

her: In der Aufzahlung B = b0,b1, . . . kommt nach b0 als nachstes Elementb1 =: b′1 an die Reihe: wir suchen in der Aufzahlung A = a0,a1, . . . einentsprechendes a′1, welches in der Ordnung < zu a′0 = a0 so liegt, wie b′1 zub′0 (da die Ordnungen keine Endpunkte haben, ist dies moglich).

...

hin: Es sei n = 2i− 1 ungerade und die Zuordnung a′0 7→ b′0, . . . ,a′n 7→ b′n be-

reits gefunden. Wir wahlen a′n+1 als das erste a in der Aufzahlung A =a0,a1, . . ., welches wir noch nicht nach B abgebildet haben (welches alsounter den a′0, . . .a

′n noch nicht vorgekommen ist) und ordnen diesem ein ent-

sprechendes b′n+1 in B zu, welches unter den bisherigen Bildern b′0, . . . ,b′n

nicht vorkommt, so daß es zu diesen in der Ordnung <′ so liegt, wie a zuden a′0, . . .a

′n, mithin

(a′0, . . . ,a′n+1,<)∼= (b′0, . . . ,b′n+1,<),

was moglich ist, da die Ordnung <′ auf B dicht und ohne Endpunkte ist.

her: Es sei n = 2i gerade und die die Zuordnungen a′0 7→ b′0, . . . ,a′n 7→ b′n be-

reits gefunden. Wir wahlen jetzt umgekehrt ein b′n+1 als das erste b in derAufzahlung B = b0,b1, . . ., fur welches wir noch kein Urbild in A ge-funden haben (welches also unter den b′0, . . .b

′n noch nicht vorgekommen

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9.2. DIE THEORIE DER DICHTEN LINEAREN ORDNUNG 177

ist) und ordnen diesem ein entsprechendes a′n+1 in A zu, welches unter denbisherigen Urbildern a′0, . . . ,a

′n nicht vorkommt, so daß es zu diesen in der

Ordnung < so liegt, wie b zu den b′0, . . . ,b′n, mithin

(a′0, . . . ,a′n+1,<)∼= (b′0, . . . ,b′n+1,<),

was moglich ist, da die Ordnung < auf A dicht und ohne Endpunkte ist.

Damit erhalten wir eine ordnungstreue bijektive Abbildung h : A←→B, die wegender ”hin”-Falle schließlich alle Elemente von A abbildet und wegen der ”her”-Falle auch alle Elemente von B als Bilder annimmt.

Bemerkungen

1. Auf ahnliche Weise kann man zeigen, daß auch zwei abzahlbare dichte li-neare Ordnungen mit erstem und letztem Element isomorph sind (indemman diese zuerst aufeinander abbildet und dann mit dem Hin- und Herver-fahren fortfahrt), ahnlich bei anderen Festlegungen uber die Endelemente.Die (zunachst unvollstandige) Theorie der dichten linearen Ordnungen hatalso 4 verschiedene Vervollstandigungen: ohne Endelemente, mit beidenEndpunkten, mit nur kleinstem und ohne großtes sowie mit großtem, aberohne kleinstes Element.

2. Die Methode des “Hin und Her” stammt von HUNTINGTON 1904; CANTOR

hat nur den “Hin”-Teil benutzt, welcher ubrigens zeigt, daß man (Q,<) injede dichte lineare Ordnung einbetten kann. (Diese Methode laßt sich in derModelltheorie sehr gut verallgemeinern.)

3. Uberabzahlbare dichte lineare Ordnungen derselben Machtigkeit brauchenjedoch nicht isomorph zu sein: Ist etwa (R,<) eine solche Ordnung, so istdie Ordnung, die man erhalt, wenn man eine Kopie der abzahlbaren Struk-tur (Q,<) anfugt, von derselben Machtigkeit, aber nicht isomorph. Es giltsogar: Nimmt man aus den rationalen Zahlen einen Punkt heraus, so ist dieverbleibende Struktur immer noch eine abzahlbare lineare Ordnung ohneEndpunkte (ahnlich, wenn man endlich-viele Punkte herausnimmt), andersjedoch im Falle von (R,<):

(Q\0,<)∼= (Q,<),

aber (R\0,<) 6∼= (R,<).

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9.3. KATEGORIZITAT 178

Die Unterschiede beruhen darauf, daß (Q,<) sehr viele “Lucken” hat, dieerst durch Hinzunahme der irrationalen Zahlen geschlossen werden; dage-gen ist (R,<) so dicht (ein Kontinuum), daß dort jede monoton aufsteigendebeschrankte Folge einen Limes hat.

9.3 Kategorizitat

Definiert man eine Theorie T als kategorisch genau dann, wenn je zwei Modellevon T isomorph sind, so sind zwar vollstandige Theorien mit einem endlichenModell kategorisch, aber - wie wir im nachsten Kapitel sehen werden - keineTheorie mit einem unendlichen Modell. Man kann dann hochstens noch danachfragen, ob Modelle derselben Machtigkeit isomorph sind:

T κ-kategorisch :⇐⇒ je zwei Modelle von T der Kardinalitat κ sind isomorph.

Nach dem Isomorphiesatz von CANTOR ist die Theorie DLO der dichten li-nearen Ordnung ohne Endpunkte ℵ0-kategorisch, woraus leicht folgt, daß sie auchvollstandig ist. Diese Folgerung werden wir im nachsten Kapitel verallgemeinern:der Test von VAUGHT 10.6 liefert mittels der Kategorizitat ein Kriterium fur dieVollstandigkeit einer Theorie.

Es gibt Theorien, die

• fur keine unendliche Kardinalzahl κ κ-kategorisch sind (z. B. die Theorieder reell-abgeschlossenen Korper),

• fur κ = ℵ0, aber fur keine uberabzahlbare Kardinalzahl κ κ-kategorischsind (z. B. die Theorie der dichten linearen Ordnung ohne Endpunkte),

• nur fur uberabzahlbare Kardinalzahl κ κ-kategorisch sind (z. B. die Theorieder algebraisch-abgeschlossenen Korper),

• fur alle unendlichen Kardinalzahlen κ κ-kategorisch sind (z.B. die Theo-rie der unendlichen Mengen in der Sprache mit = und den Konstanten cn;einzige Axiome sind die Satze cn 6= cm fur n 6= m).

Mehr Unterscheidungen gibt es nicht: Nach einem Satz von MORLEY (1965)gilt:

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9.3. KATEGORIZITAT 179

Ist eine Theorie T (in einer abzahlbaren Sprache) κ-kategorisch fur ein uber-abzahlbares κ , so ist T κ-kategorisch fur alle uberabzahlbaren κ .

(Entsprechend verallgemeinert gilt nach SHELAH dieses Ergebnis auch furTheorien in einer uberabzahlbaren Sprache.) Interessant ist außerdem das Ergeb-nis von VAUGHT, daß eine vollstandige Theorie niemals genau zwei abzahlbarenicht-isomorphe Modelle besitzen kann. Eine Reihe neuerer Arbeiten (insbeson-dere von SHELAH) beschaftigt sich mit der Frage

• wieviele nicht-isomorphe Modelle der Machtigkeit κ kann eine Theorie T

besitzen und

• wie kann man diese Modelle klassifizieren?

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180

Kapitel 10

Auf und ab: ElementareSubstrukturen

10.1 Elementare Substrukturen

A und B seien Strukturen derselben Sprache L, A⊆B. Dann heißt A elementareSubstruktur von B gdw beide bezuglich der Elemente der kleineren Strukturdieselben Eigenschaften erfullen:

A 4 B :⇐⇒ fur alle L-Formeln ϕ(v1, . . .vn) und fur alle a1, . . .an ∈ A :

A |= ϕ[a1, . . .an] ⇐⇒ B |= ϕ[a1, . . .an], d. h.

A 4 B ⇐⇒ AA ≡BA.

Ein Homomorphismus h : A −→ B heißt eine elementare Einbettung gdw furalle L-Formeln ϕ(v1, . . .vn) und fur alle a1, . . .an ∈ A gilt:

A |= ϕ[a1, . . .an] ⇐⇒ B |= ϕ[h(a1), . . .h(an)].

Indem man fur ϕ die Formeln v1 = v2 bzw. R(v1, . . .vn) wahlt, sieht man, daßin diesem Fall h tatsachlich eine Einbettung sein muß. Die obige Bedingung be-sagt also gerade, daß das Bild h[A] eine elementare Substruktur von B ist; durchIdentifizieren kann man dann also A 4 B erreichen.

Diese Begriffe kann man auch mit Hilfe des Diagramms charakterisieren; derBeweis des fruheren Diagrammlemmas 3.4.1 laßt sich namlich leicht erweitern:

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10.2. DIAGRAMMLEMMA (FORTSETZUNG) 181

10.2 Diagrammlemma (Fortsetzung)

Es sei A eine L-Struktur, (B,(aB)a∈A) eine LA-Struktur und h : A−→ B definiertdurch h(a) = aB. Dann gilt:

(i) (B,(h(a))a∈A) |= D(A) ⇐⇒ h : A−→B ist eine Einbettung,

(ii) (B,(h(a))a∈A) |= DL(A) ⇐⇒ h : A−→B ist eine elementare Einbettung.

Insbesondere gilt fur A⊆ B:

(iii) BA |= D(A) ⇐⇒ A⊆B,

(iv) BA |= DL(A) ⇐⇒ A 4 B,

(v) AA ≡BA ⇐⇒ A 4 B.

10.3 Kriterium von Tarski

Es seien A,B L-Strukturen, A⊆B. Dann sind aquivalent:

(i) A 4 B

(ii) fur alle L-Formeln ϕ(v0, . . . ,vn) und beliebige a1, . . .an ∈ A gilt:B |= ∃v0ϕ[a1, . . .an] =⇒ es gibt ein a0 ∈ A mit B |= ϕ[a0,a1, . . .an].

Der Beweis ist sehr einfach: (i)⇒ (ii) folgt unmittelbar aus der Definition einerelementaren Substruktur, wahrend man die Umkehrung durch Induktion uber denFormelaufbau beweist. Dabei sind alle Falle trivial bis auf den Fall einer Formelder Gestalt ∃voϕ , und hier liefert das Kriterium den entscheidenden Schritt vonder Existenz in der Struktur B zur Existenz in der Unterstruktur A.

Dieses Kriterium ist besonders nutzlich, weil in (ii) nur die Gultigkeit in derStruktur B vorkommt. Fur Anwendungen kann man auch oft den folgenden Satzbenutzen:

Satz

Es sei A⊆B und fur beliebige a1, . . .an ∈ A,b ∈ B existiere ein Automorphismus

j : B−→B mit j(ai) = ai und j(b) ∈ A,

welcher also die ai festlaßt und b nach A abbildet. Dann ist A 4 B.

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10.4. SATZ VON LOWENHEIM-SKOLEM-TARSKI (ABWARTS) 182

Beispiele

1. (Q,<) 4 (R,<) (wende obigen Satz an!) und somit auch (Q,<)≡ (R,<).

2. A 4 B =⇒ A = B, falls A oder B endlich sind. (Denn nach Voraussetzunggelten in A dieselben Anzahlformeln wie in B.)

Endliche Strukturen haben somit weder echte elementare Substrukturen nochechte elementare Erweiterungen, anders dagegen im Falle unendlicher Strukturen:Diese haben in jeder kleineren Machtigkeit κ (solange noch κ ≥ card(L)) eineelementare Substruktur:

10.4 Satz von Lowenheim-Skolem-Tarski (abwarts)

A sei eine L-Struktur, κ eine Kardinalzahl mit card(L) ≤ κ ≤ card(A). Dannexistiert eine Struktur B mit

B 4 A und card(B) = κ.

Zusatz: Ist A0 ⊆ A beliebig mit card(A0) ≤ κ , so kann man zusatzlich A0 ⊆ Bverlangen.

Beweis: Es sei A0 ⊆ A gegeben mit card(A0)≤ κ ≤ card(A). Indem wir A0 noti-genfalls vergroßern, konnen wir annehmen, daß card(A0) = κ ist. Falls fur Ele-mente a1, . . . ,an ∈ A0

(∗) A |= ∃v0ϕ[a1, . . . ,an]

gilt, so mussen wir ein (von ϕ und den a1, . . . ,an abhangiges) b∃v0ϕ(a1, . . . ,an) zuA0 hinzunehmen; A1 sei die Menge, die aus A0 entsteht, indem solche Beispiele(und zwar fur alle moglichen Existenzformeln und alle moglichen Belegungen mitElementen aus A0) hinzugenommen werden. Nach unseren fruheren Ergebnissenuber unendliche Kardinalzahlenbleibt card(A1) = card(A0) = κ .

Nun kann aber (*) moglicherweise fur eine Formel ϕ und neue Elementea1, . . . ,an ∈ A1 gelten, die nicht in A0 enthalten sind; wir mussen also das Ver-fahren wiederholen:

Ist Ai definiert, so erganze man es um geeignete Elemente von A, so daß gilt:

Falls fur a1, . . . ,an ∈ Ai : A |= ∃v0ϕ[a1, . . . ,an],

so existiert ein a ∈ Ai+1 mit A |= ϕ[a,a1, . . . ,an].

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10.5. SATZ VON LOWENHEIM-SKOLEM-TARSKI (AUFWARTS) 183

Wie im ersten Schritt laßt sich Ai+1 aus Ai gewinnen, ohne daß die Kardinalitatsich andert. Schließlich setzen wir

B :=⋃i∈N

Ai

und erhalten eine Menge B mit A0 ⊆ B⊆ A und card(B) = κ . Beim ersten Schrittmussen wir die Konstanten von A bereits aufgenommen haben (mit (*) fur dieFormel ∃v0(v0 = c)) und in allen weiteren Schritten unter den Funktionen vonA abgeschlossen haben (entsprechend der Formel ∃v0(v0 = F(v1, . . . ,vn)), so daßB das Universum einer Unterstruktur B von A ist. Schließlich gilt B 4 A, weilunsere Konstruktion gerade so eingerichtet ist, daß das Kriterium von TARSKI-VAUGHT anwendbar ist.

Einfacher mit Hilfe des Kompaktheitssatzes erhalten wir den

10.5 Satz von Lowenheim-Skolem-Tarski (aufwarts)

A sei eine unendliche L-Struktur, κ eine Kardinalzahl mit card(A), card(L)≤ κ .Dann existiert eine Struktur B mit

A 4 B , card(B) = κ.

Beweis: Wir wahlen zunachst eine Menge C mit A ⊆ C und card(C) = κ underweitern die Theorie von A (mit Hilfe neuer Konstanten) um Satze, so daß jedesModell mindestens so viele Elemente wie C hat:

T′ = Th(A)∪c 6= d|c,d ∈C,c 6= d.

Nach dem Kompaktheitssatz hat T′ ein Modell, etwa B, in welchem die neuenKonstanten c durch Elemente von B interpretiert werden, und zwar verschiedeneKonstanten durch verschiedene Elemente von B. Indem wir zu einer isomorphenStruktur ubergehen, konnen wir annehmen, daß cB = c ist und somit C ⊆ B, alsocard(B)≥ κ . Die Sprache von T′ hat wegen κ ≥ card(L) die Machtigkeit κ , alsokann man auch annehmen, daß card(B) = κ ist (indem man den Abwarts-Satzbenutzt).

Schließlich gilt wegen B |= Th(A) : A ≡ B. Die starkere Aussage A 4 B

erhalt man, indem man dasselbe Argument benutzt, jedoch statt Th(A) das ele-mentare Diagramm Th(AA) wahlt, das aus allen in A wahren LA-Satzen besteht.

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10.6. TEST VON VAUGHT 184

Folgerungen

1. Ist A eine L-Struktur und κ ≥ card(L) eine Kardinalzahl, so gibt es eineStruktur B mit card(B) = κ und

• B 4 A im Falle κ ≤ card(A),

• A 4 B im Falle card(A)≤ κ .

2. Insbesondere hat jede Theorie T, die ein unendliches Modell besitzt, furjede Kardinalzahl κ ≥ card(L) ein Modell der Kardinalzahl κ .

3. Noch spezieller: Eine Theorie T in einer abzahlbaren Sprache L, die uber-haupt ein Modell hat, hat ein abzahlbares Modell. Dieser Satz von LOWEN-HEIM (1915) ist eines der fruhesten Ergebnisse der mathematischen Logik.

Zusammenfassung

Mit fruheren Ergebnissen erhalten wir:

1. Hat eine vollstandige Theorie ein endliches Modell, so sind also alle Mo-delle dieser Theorie isomorph (zu diesem einen Modell).

2. Hat eine Theorie beliebig große endliche Modelle, so nach 3.3.2 auch einunendliches Modell.

3. Fur eine Theorie T mit einem unendlichen Modell gibt es Modelle in jederMachtigkeit κ ≥ card(L), wobei L die Sprache der Theorie T ist.

10.6 Test von Vaught

Ist eine Theorie T κ -kategorisch fur ein κ ≥ card(L) und besitzt T nur unendlicheModelle, so ist T vollstandig.

Beweis: Gegeben seien zwei Modelle A,B von T, von denen wir zeigen mussen,daß sie elementar-aquivalent sind. Da sie unendlich sind, kann man nach denSatzen von LOWENHEIM-SKOLEM-TARSKI zu elementaren Erweiterungen (bzw.Substrukturen) A′,B′ dieser Strukturen ubergehen, die dann dieselbe Machtigkeitκ haben, also nach Voraussetzung isomorph, insbesondere elementar-aquivalentsind. Damit sind dann aber auch A,B elementar-aquivalent.

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185

Kapitel 11

Vereinigungen, Durchschnitte undKetten

Bekanntlich ist der Durchschnitt von (affinen) Unterraumen eines Vektorraumeswieder ein Unterraum (oder die leere Menge), wahrend die Vereinigungsmengelediglich einen Unterraum aufspannt. Ahnlich ist es im allgemeinen Fall von Sub-strukturen einer Struktur A:

Durchschnitt

Es sei (Ai)i∈I eine Familie von Substrukturen einer Struktur A. Dann ist derDurchschnitt

⋂i∈I |Ai| entweder /0 oder Grundbereich einer Substruktur von A,

die mit⋂

i∈I Ai bezeichnet wird.Denn sind die Bedingungen (i) und (ii) von Satz 2.2.2 fur alle |Ai| erfullt, so

auch fur deren Durchschnitt. - Wichtiger als der Durchschnitt ist die

Vereinigung

Es sei wieder (Ai)i∈I eine Familie von Substrukturen einer Struktur A. Dann er-zeugt die Vereinigungsmenge

⋃i∈I |Ai| eine Substruktur von A, die mit

⋃i∈I Ai

bezeichnet wird, ihr Grundbereich ist⋃

i∈I |Ai|.Interessanter ist der Fall, daß fur eine vorgegebene Familie von Strukturen ei-

ne gemeinsame Oberstruktur nicht vorhanden ist, sondern erst gebildet werdensoll. Dazu mussen aber die Strukturen bestimmte Vertraglichkeitsbedingungenerfullen.

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11.1. SATZ UBER KETTEN VON STRUKTUREN 186

Ketten von Strukturen

Eine Familie (Ai)i∈I von L-Strukturen bildet eine Kette, wenn je zwei Strukturenmiteinander vergleichbar sind in dem Sinne, daß von zwei Strukturen jeweils eineStruktur eine Substruktur der anderen ist:

(K) (Ai)i∈I ist eine Kette : ⇐⇒ ∀i, j ∈ I : Ai ⊆A j oder A j ⊆Ai.

Damit sind auch je endlich-viele Strukturen der Kette vergleichbar; insbesondere:wenn Ai1 . . .Ain Strukturen der Kette sind, so sind alle ⊆Aik fur ein k.

Spater benotigen wir einen starkeren Begriff:

(Ai)i∈I ist eine elementare Kette : ⇐⇒ ∀i, j ∈ I : Ai 4 A j oderA j 4 Ai.

Die Vereinigung⋃

i∈I Ai einer Kette konnen wir wie folgt definieren:

(V1) |A| :=⋃

i∈I |Ai|,

(V2) RA :=⋃

i∈I RAi fur jedes Relationszeichen R der Sprache L,

(V3) f A :=⋃

i∈I f Ai fur jedes Funktionszeichen f der Sprache L,

(V4) cA := cAi fur jede Individuenkonstante c der Sprache L.

Das bedeutet also fur ein Relationszeichen R und Elemente a1, . . . ,an ∈ A:

RA(a1, . . . ,an) ⇐⇒ RAi(a1, . . . ,an) fur ein i ∈ I mit a1, . . . ,an ∈ Ai,

wobei es wegen (K) auf die Auswahl des gewahlten i nicht ankommt, ahnlich imFalle der Funktionszeichen. Die Individuenkonstanten werden wegen (K) in allenAi durch dasselbe Element interpretiert (und damit auch in der Vereinigung).

11.1 Satz uber Ketten von Strukturen

Ist A =⋃

i∈I Ai die Vereinigung der Kette (Ai)i∈I , so gilt:

(i) A ist eine L-Struktur mit Ai ⊆A fur jedes i ∈ I,

(ii) A ist die kleinste derartige L-Struktur.

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11.1. SATZ UBER KETTEN VON STRUKTUREN 187

(iii) Ist (Ai)i∈I eine elementare Kette, so gilt Ai 4 A fur jedes i ∈ I.(Kettenlemma von Tarski)

In den meisten Fallen (wie auch in den folgenden Beispielen) kann man sichauf aufsteigende ω-Ketten von Strukturen beschranken; in diesen Fallen ist dieIndexmenge I = ω = N und es gilt:

∀n < m An ⊆Am.

Beispiele

1. Es sei An := [1/2n,1] das abgeschlossene Intervall der reellen Zahlen, An =(An,≤) mit der gewohnlichen ≤-Beziehung auf den reellen Zahlen. Dannist die Vereinigung dieser Strukturen das halb-offene Intervall (A,≤) mitA = (0,1].

2. Es sei An := x ∈ Z|−n≤ x≤ n, An = (An,≤) mit der gewohnlichen ≤-Beziehung auf den ganzen Zahlen. Dann ist die Vereinigung dieser Struktu-ren (Z,≤).

In beiden Fallen ist die Vereinigung von (dichten) linearen Ordnungen wieder eine(dichte) lineare Ordnung, aber die Existenz von Endpunkten bleibt nicht erhalten!Im ersten Fall haben wir isomorphe, insbesondere elementar-aquivalente Struk-turen, aber die Vereinigung hat neue Eigenschaften. Man kann nun aber genauangeben, welche Eigenschaften erhalten bleiben:

σ ist ein ∀∃-Satz: ⇐⇒ σ = ∀x1 . . .∀xn∃y1 . . .∃ym ϕ

fur eine quantorenfreie Formel ϕ

Beispiele

1. ∀x∃y (x ≤ y∧ x 6= y) (Unbeschranktheit nach oben) ist ein ∀∃-Satz, nichtaber ∃x∀y x ≤ y (Existenz eines kleinsten) bzw. ∃x∀y y≤ x (Existenz einesgroßten Elementes).

2. Wichtige Satze der Algebra sind ebenfalls ∀∃-Satze: ∀x∃y (x y = e) (Exi-stenz eines inversen Elementes) sowie

∀x0 . . .xn∃y (yn+1 + xnyn + . . .+ x0 = 0)

(Existenz von Nullstellen fur normierte Polynome vom Grad n+1).

∀∃-Satze bleiben bei der Vereinigung von Ketten erhalten:

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11.2. SATZ VON CHANG- ŁOS-SZUSKO 188

Erhaltungssatz fur Ketten

Ist A =⋃

i∈I Ai die Vereinigung der Kette (Ai)i∈I , so gilt fur jeden ∀∃-Satz σ :

Ai |= σ fur alle i ∈ I =⇒A |= σ .

Beweis: Es sei σ = ∀x1 . . .∀xn∃y1 . . .∃ym ϕ fur eine quantorenfreie Formel ϕ

und σ gelte in allen Ai. Um die Gultigkeit in A nachzuweisen, seien beliebi-ge a1, . . . , an ∈ A gegeben. Nach Definition der Vereinigungsmenge einer Kettekonnen wir ein i ∈ I finden, so daß alle a1, . . . ,an ∈ Ai sind. Weil σ in Ai gilt, gibtes b1, . . . ,bm ∈ Ai mit

Ai |= ϕ[a1, . . . ,an,b1, . . . ,bm].

Da ϕ quantorenfrei ist, sich also aussagenlogisch aus atomaren Formeln zusam-mensetzt, und da Ai ⊆A, so gilt die Formel ϕ mit derselben Belegung auch in A.Die b1, . . . ,bm sind aber auch in A, so daß dort der Existenzsatz gilt:

A |= ∃y1 . . .∃ym ϕ[a1, . . . ,an,b1, . . . ,bm].

Das obige Ergebnis ist optimal: Eine Theorie heiße induktiv gdw sie abge-schlossen ist unter Vereinigungen von Ketten, d. h. ist (Ai)i∈I eine Kette von Mo-dellen von T, so ist auch die Vereinigung

⋃i∈I Ai ein Modell von T.

11.2 Satz von Chang- Łos-Szusko

Eine Theorie T ist induktiv gdw sie ein Axiomensystem aus ∀∃-Satzen besitzt.

Beim Beweis (den wir hier nicht ausfuhren konnen) wird fur die Induktivitatvon T nur die Abgeschlossenheit unter aufsteigenden ω-Ketten benotigt, hierausfolgt dann also schon die Abgeschlossenheit unter beliebigen Ketten!

Zahlreiche algebraische Theorien sind induktiv: die Theorie der (ABELschen)Gruppen, der Ringe, der (reell- bzw. algebraisch-abgeschlossenen) Korper, derVektorraume, etc.

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189

Kapitel 12

Produkte und Ultraprodukte

Wahrend sich die Vereinigung einer Familie von Strukturen nur unter geeigne-ten Vertraglichkeitsbedingungen sinnvoll definieren laßt, kann man das (direkte)Produkt stets bilden. Dazu erinnern wir an den Begriff der Familie von Mengen:

(ai)i∈I ist die auf der Indexmenge I definierteFunktion f mit f (i) = ai fur alle i ∈ I.

Das mengentheoretische Produkt einer Familie (Ai)i∈I ist eine Verallgemeine-rung des endlichen Cartesischen Produktes:

∏i ∈I

Ai := (ai)i∈I| ∀i ∈ I ai ∈ Ai Produkt der Mengen (Ai)i∈I

Das Auswahlaxiom (s. 7.2) besagt gerade, daß die Produktmenge nicht-leererMengen wiederum nicht-leer ist.

Bezeichnungen: Um endliche Folgen von Elementen aus der Produktmengezu bezeichnen, werden wir Querstriche und obere Indizes verwenden:

• a1 = (a1i )i∈I, . . . ,an = (an

i )i∈I

seien n Elemente der Produktmenge A = ∏i ∈I Ai,

• a = (a1, . . . ,an) bezeichnet das entsprechende n-Tupel aus An,

• ai = (a1i , . . . ,a

ni ) die i-te Projektion des n-Tupels a = (a1, . . . ,an).

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12.1. DIREKTES PRODUKT 190

12.1 Direktes Produkt

(Ai)i∈I sei eine Familie von L-Strukturen, I 6= /0. Das direkte Produkt der (Ai)i∈I

ist die L-Struktur A = ∏i ∈I Ai, die wie folgt erklart ist:

(P1) A := ∏i ∈I Ai ist der Grundbereich von A,

(P2) RA(a) :⇐⇒ ∀i ∈ I RAi(ai) fur jedes Relationszeichen R von L,

(P3) f A(a) := ( f Ai(ai))i∈I fur jedes Funktionszeichen f von L,

(P4) cA := (cAi)i∈I fur jede Individuenkonstante c von L.

Fur eine endliche Indexmenge I = 1, . . . ,m schreibt man auch A1× . . .×Am, und sind alle Strukturen dieselbe Struktur A, so bezeichnet man das direkteProdukt auch mit AI und nennt es direkte Potenz von A.

Beispiele

1. Ist R der gewohnliche Vektorraum uber den reellen Zahlen, so ist Rn das n-fache direkte Produkt (die n-te Potenz) von R, denn die Operationen werdennach P3 komponentenweise erklart. Allgemeiner ist das direkte Produkt vonGruppen wieder eine Gruppe.

2. Das direkte Produkt A×A der linearen Ordnungen A = (R,<) ist jedochnur eine partielle Ordnung, denn nach P2 werden die Relationen im Pro-dukt ebenfalls komponentenweise erklart, was in diesem Fall aber bedeu-tet, daß etwa die Paare (0,1) und (1,0) in der Ordnungsrelation des Pro-duktes unvergleichbar sind. Ebenso ist das direkte Produkt des Korpers derreellen Zahlen mit sich kein Korper, da im Produkt Nullteiler auftauchen:(0,1) · (1,0) = (0,0) bei komponentenweiser Multiplikation!

Da sich nicht alle Eigenschaften von allen Strukturen auf das direkte Produktubertragen lassen, wird man versuchen, die Eigenschaften von sehr vielen Struk-turen zu erhalten. Der Begriff von “sehr vielen” Elementen von I (oder von einer“sehr großen” Teilmenge von I) wird durch den Begriff des Filters umschrieben:

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12.2. FILTER UND ULTRAFILTER 191

12.2 Filter und Ultrafilter

Es sei I 6= /0 eine Menge und P(I) := X | X ⊆ I ihre Potenzmenge. Eine MengeF ⊆ P(I) heißt (echter) Filter auf I gdw

(F1) /0 6∈ F und I ∈ F ,

(F2) A ∈ F und A⊆ B⊆ I =⇒ B ∈ F ,

(F3) A,B ∈ F =⇒ A∩B ∈ F .

Fur einen Ultrafilter auf I gilt zusatzlich fur alle A⊆ I:

(F4) (entweder) A ∈ F oder I\A = x ∈ I | x 6∈ A ∈ F .

Ultrafilter haben besonders schone Eigenschaften, die sie fur die Logik inter-essant machen: Ist U Ultrafilter auf I, so gilt fur alle A,B⊆ I:

(U1) A 6∈U ⇐⇒ I\A ∈U ,

(U2) A ∈U ∧B ∈U ⇐⇒ A∩B ∈U ,

(U2) A ∈U ∨B ∈U ⇐⇒ A∪B ∈U .

Beispiele und Bemerkungen

1. Fur jedes /0 6= A ⊆ I ist F(A) := X ⊆ I | A ⊆ X ein Filter, der von Aerzeugte Hauptfilter. Dieser ist ein Ultrafilter genau dann, wenn A nur einElement besitzt. Interessanter sind Ultrafilter, die keine Hauptfilter sind, siewerden auch freie Ultrafilter genannt (wahrend die Hauptultrafilter durchein Element fixiert sind).

2. Hat I = a,b zwei Elemente a 6= b, so gibt es auf I die Filter I,a, Iund b, I; die letzten beiden sind Hauptultrafilter, I ist zwar Hauptfil-ter, aber kein Ultrafilter. Allgemeiner ist auf einer endlichen Menge I jederFilter ein Hauptfilter (erzeugt vom Durchschnitt der endlich-vielen Elemen-te des Filters).

3. Auf einer unendlichen Menge M ist die Menge

X ⊆M | X co-endlich (d.h. M \Xendlich)

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12.3. ULTRAFILTERSATZ, BOOLESCHES PRIMIDEALTHEOREM 192

ein Filter auf M, der kein Hauptfilter (und auch kein Ultrafilter) ist undwelcher im Falle M = N FRECHET-Filter genannt wird. Ultrafilter, die denobigen Filter erweitern, konnen keine endlichen Mengen als Elemente ent-halten und sind somit freie Ultrafilter.

Die Existenz von freien Ultrafiltern auf unendlichen Mengen ist nicht trivial;allgemeiner gilt fur Mengen E mit der finite intersection property (endliche-Durchschnitts-Eigenschaft)

(fip) Jeder Durchschnitt von endlich-vielen Elementen aus E ist 6= /0:

12.3 Ultrafiltersatz, Boolesches Primidealtheorem

(i) Ist E ⊆P(I) eine Menge mit der Eigenschaft (fip), so existiert ein UltrafilterU auf I mit E ⊆U. Insbesondere:

(ii) Jeder Filter F laßt sich erweitern zu einem Ultrafilter U ⊇ F.

(Dieses Ergebnis ist aquivalent zum Kompaktheitssatz; am einfachsten beweistman es jedoch mit Hilfe des (starkeren) ZORNschen Lemmas.)

Ist U ein Ultrafilter auf einer Indexmenge I, so konnen wir die Elemente vonU auffassen als Teilmengen von I, die “fast alle” Elemente von I enthalten, unddie Eigenschaften, die in “fast allen” Strukturen Ai gelten, werden sich wegender besonderen “logischen” Eigenschaften von Ultrafiltern auf das entsprechendeUltraprodukt ubertragen. Zunachst erklaren wir Produkte modulo einem Filter:

12.4 Reduziertes Produkt

Es sei F ein Filter auf der Menge I und (Ai)i∈I eine Familie von L-Strukturen.Fur a,b ∈ A = ∏i ∈I Ai setzen wir

a∼F b : ⇐⇒ i ∈ I | ai = bi ∈ F

(wir konnen es lesen als “a ist - bezuglich F - fast uberall gleich b”) und erhalteneine Aquivalenzrelation auf A; mit aF oder a/F bezeichnen wir die zugehorigeAquivalenzklasse, und fur endliche Folgen a = (a0, . . . ,an) schreiben wir auchkurz a/F = (a0/F, . . . ,an/F).

Das reduzierte Produkt A/F = ∏i ∈I Ai/F wird nun wie folgt definiert:

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12.5. SATZ VON ŁOS 193

(R1) A/F := aF | a ∈ Aist die Menge der Aquivalenzklassen als Grundbereich,

(R2) RAF (aF) :⇐⇒ i ∈ I | RAi(ai) ∈ Ffur jedes Relationszeichen R von L,

(R3) f AF (aF) := ( f Ai(ai))i∈I/F = f A(a)/Ffur jedes Funktionszeichen f von L,

(R4) cA/F := (cAi)i∈I/F = cA/F fur jede Individuenkonstante c von L.

Das bedeutet also, daß im Falle einer 2-stelligen Relation R im reduziertenProdukt

aF RbF gilt gdw fur die Komponenten ai Rbi in “fast allen” Strukturen Ai gilt

(wie speziell oben im Falle der Gleichheitsrelation =). (Naturlich muß man nach-prufen, daß die obige Definition korrekt ist, d. h. daß sie nur von den Aquivalenz-klassen (und nicht von deren Reprasentanten) abhangig ist.) Sind alle StrukturenAi = A, so spricht man von einer reduzierten Potenz A, ist der Filter F ein Ul-trafilter, von einem Ultraprodukt bzw. einer Ultrapotenz.

Wir kommen nun zum fundamentalen Satz uber Ultraprodukte:

12.5 Satz von Łos

I sei eine nichtleere Menge und U ein Ultrafilter auf I. Ferner sei (Ai)i∈I eineFamilie von L-Strukturen und A = ∏i ∈I Ai das Produkt.Dann gilt fur alle L-Formeln ϕ und alle Belegungen a:

A/U |= ϕ[aU ] ⇐⇒ i ∈ I |Ai |= ϕ[ai] ∈U,

d. h. eine Formel gilt im Ultraprodukt gdw sie (fur die entsprechenden Kompo-nenten) in fast allen Faktoren gilt.

Zum Beweis des Satzes von Łos fuhren wir folgende Bezeichnung ein: Fureine L-Formel ϕ(v0, . . . ,vn−1) und ein n-Tupel a von Elementen aus A heißt

‖ϕ(a)‖ := i ∈ I |Ai |= ϕ[ai] die Boolesche Ausdehnung von ϕ(a).

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12.5. SATZ VON ŁOS 194

Lemma

(i) ‖¬ϕ(a)‖= I\‖ϕ(a)‖,

(ii) ‖(ϕ ∧ψ)(a)‖= ‖ϕ(a)‖∩‖ψ(a)‖,

(iii) ‖(ϕ ∨ψ)(a)‖= ‖ϕ(a)‖∪‖ψ(a)‖,

(iv) Fur alle (n-1)-Tupel a von Elementen aus A und fur alle b ∈ A gilt:

‖ϕ(a,b)‖ ⊆ ‖(∃vnϕ)(a)‖,

und es gibt stets ein b ∈ A mit

‖ϕ(a,b)‖= ‖(∃vnϕ)(a)‖.

Beweis: (i) - (iii) und der erste Teil von (iv) folgen direkt aus der Definition derBooleschen Ausdehnung (und des Wahrheitspradikates). Um den letzten Teil zubeweisen, beachten wir, daß es zu jedem

i ∈ ‖(∃vnϕ)(a)‖ ein bi ∈ Ai gibt mit Ai |= ϕ[ai,bi];

fur jedes andere j ∈ I\‖(∃vnϕ)(a)‖wahlen wir irgendein b j ∈ A j aus und erhaltendamit eine Folge b = (bi)i∈I mit b ∈ A, fur die auch

‖(∃vnϕ)(a)‖ ⊆ ‖ϕ(a,b)‖

gelten muß. Zusammen mit dem ersten Teil ergibt sich also hier die Gleichheit.

Dieses Lemma zusammen mit den Eigenschaften (U1)-(U3) eines Ultrafiltersergeben nun leicht einen Beweis des Satzes von Łos:Zunachst zeigt man, daß sich (R3) und (R4) der Definition des reduzierten Pro-duktes auf beliebige Terme ubertragen lassen:

tA/U(a/U) = (tAi(ai))i∈I/U = tA(a)/U,

also gilt (R2) und damit die Behauptung des Satzes - auch fur atomare Formeln(also der Form R(t1, . . . , tm)). Nun benutzen wir Induktion uber den Formelaufbau,um sie fur beliebige Formeln nachzuweisen.

Sei etwa ϕ = ¬ψ und die Behauptung des Satzes fur die Formel ψ bewiesen,d. h. in der neuen Bezeichnungsweise:

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12.5. SATZ VON ŁOS 195

A/U |= ψ[aU ] ⇐⇒ ‖ψ(a)‖ ∈U, also auch

A/U 6|= ψ[aU ] ⇐⇒ ‖ψ(a)‖ 6∈U, daraus

A/U |= ¬ψ[aU ] ⇐⇒ ‖ψ(a)‖ 6∈U nach der Wahrheitsdefinition,

A/U |= ¬ψ[aU ] ⇐⇒ I\‖ψ(a)‖ ∈U, da U Ultrafilter und

A/U |= ¬ψ[aU ] ⇐⇒ ‖¬ψ(a)‖ ∈U nach obigem Lemma.

Somit haben wir die Behauptung auch fur ϕ = ¬ψ bewiesen. Ahnlich argu-mentiert man im Falle der aussagelogischen Zeichen ∧ und ∨. Sei nun schließlichϕ = ∃vnψ . Dann gilt

A/U |= ∃vnψ[aU ] ⇐⇒ A/U |= ψ[aU ,b] fur ein b ∈ A/U⇐⇒ A/U |= ψ[aU ,bU ] fur ein b ∈ A⇐⇒ ‖ψ(a,b)‖ ∈U fur ein b ∈ A nach Ind.vor.⇐⇒ ‖∃vnψ(a)‖ ∈U nach obigem Lemma (iv).

Damit ist der Satz von Łos bewiesen.

Korollar

I sei eine nichtleere Menge, U ein Ultrafilter auf I und A sei eine L-Struktur. Danngibt es eine kanonische Einbettung

j : A−→ AI/U, definiert durch j(a) = (a)i∈I

(welche also jedem Element aus A die konstante Folge (a,a,. . . ) zuordnet), und esgilt:

(i) j : A−→AI/U ist eine elementare Einbettung, insbesondere

(ii) A≡AI/U .

Beispiele

1. Fur einen Hauptultrafilter sind die obigen Ergebnisse trivial: Wird U durch j erzeugt, so ist das Ultraprodukt A = ∏i ∈I Ai isomorph zu A j, die ka-nonische Einbettung des Korollars ein Isomorphismus.

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12.6. KOMPAKTHEITSSATZ 196

2. Ist A = N das Standardmodell der naturlichen Zahlen, U ein Ultrafilter aufI = N, so ist die Ultrapotenz NI/U elementar-aquivalent zum Standardmo-dell N, insbesondere auch ein Modell der PEANO-Axiome. Ist U ein freierUltrafilter, so ist die kanonische Einbettung nicht surjektiv, die Ultrapotenzmithin ein (uberabzahlbares) Nicht-Standardmodell von PA.

3. Fur eine Primzahl p sei Fp der Primkorper der Charakteristik p, U ein frei-er Ultrafilter auf der Menge P der Primzahlen. Dann ist das Ultraprodukt∏p ∈P Fp/U ein Korper der Charakteristik 0, denn fur die Aussage χp, wel-che ausdruckt, daß ein Korper die Charakteristik p hat, gilt:

i ∈ P | Fi |= χp= p 6∈U.

Wir tragen jetzt den modelltheoretischen Beweis des Kompaktheitssatzes nach(D. SCOTT 1955):

12.6 Kompaktheitssatz

Fur jede Theorie T und jeden Satz σ der Sprache von T gilt:

(i) T |= σ =⇒ es gibt ein endliches T0 ⊆ T mit T |= σ ,

(ii) jedes endliche T0 ⊆ T hat ein Modell =⇒ T hat ein Modell.

Beweis von (ii): Σ sei die Menge der Axiome von T, wobei wir annehmen konnen,daß alle Formeln in Σ Satze sind (sonst ersetze man sie jeweils durch ihren univer-sellen Abschluß). Nach Voraussetzung gibt es fur jedes endliche ∆⊆ Σ ein ModellA∆ |= ∆; wir wahlen also als Indexmenge

I := ∆ | ∆⊆ Σ, ∆ endlich

und werden ein Modell von Σ als ein Ultraprodukt finden fur einen geeignetenUltrafilter auf I. Dazu definieren wir fur jeden Satz σ ∈ Σ die Menge

σ := ∆ ∈ I | σ ∈ ∆ ⊆ I und setzen E := σ | σ ∈ Σ ⊆ P(I).

E hat die Eigenschaft (fip) des Ultrafiltersatzes 12.3, da

σ1, . . . , σn ∈ E =⇒σ1, . . . ,σn ∈ σ1∩ . . .∩ σn,

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12.6. KOMPAKTHEITSSATZ 197

also existiert ein Ultrafilter U auf I mit E ⊆U . Wir behaupten nun, daß

A = ∏∆∈I

A∆/U |= Σ :

Sei σ ∈ Σ. Dann gilt fur alle ∆ ∈ I:

∆ ∈ σ =⇒ σ ∈ ∆ =⇒A∆ |= σ .

Somit

σ ⊆ ∆ ∈ I |A∆ |= σ, und wegen

σ ∈U ist auch die Obermenge

∆ ∈ I |A∆ |= σ ∈U.

Letzteres besagt aber nach dem Satz von Łos: A |= σ .(i) folgt aus (ii), indem man die Tatsache benutzt, daß fur jeden Satz σ gilt:

T |= σ ⇐⇒ T∪¬σ hat ein Modell.

Weitere Folgerungen aus dem Kompaktheitssatz:

1. Ist K eine endlich-axiomatisierbare Klasse von L-Strukturen (also eine EC-Klasse), so gibt es zu jedem Axiomensystem Σ fur K eine endliche Teil-menge von Σ, welche K axiomatisiert.

2. K ist eine EC-Klasse genau dann, wenn K und das Komplement von K

EC∆-Klassen sind.

3. Eine Klasse K von L-Strukturen ist eine EC∆-Klasse gdw K abgeschlossenist unter Ultraprodukten und elementarer Aquivalenz.

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198

Kapitel 13

Modellvollstandigkeit

Definition

(1) Eine Theorie T heißt modellvollstandig gdw

T∪D(A) ist vollstandig (bzgl. der Sprache LA) fur jedes A |= T.

Mit Hilfe des Diagrammlemmas 10.2 ergibt sich, daß eine Theorie T modell-vollstandig ist gdw

fur alle A,B |= T gilt: A⊆B =⇒A 4 B.

Insbesondere folgt aus dem Kettenlemma 11.1 und dem Satz 11.2 von CHANG-ŁOS-SZUSKO, daß jede modellvollstandige Theorie induktiv ist, also ein Axio-mensystem aus ∀∃-Satzen besitzt.

(2) Ein Modell P |= T einer Theorie T heißt Primmodell von T gdw es sich injedes Modell von T einbetten laßt.

Beispiele und Bemerkungen

1. AA ist (wegen des Diagrammlemmas 10.2) stets ein Primmodell von D(A).

2. Ist die Theorie T modellvollstandig und besitzt T ein Primmodell, so ist T

vollstandig.

3. In der Algebra wird der Begriff des Primkorpers eingefuhrt: dieser ist einPrimmodell in obigem Sinne, und zwar ist der Korper Q der rationalen Zah-len ein Primmodell der Theorie der Korper der Charakteristik 0, wahrend

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199

Z/p, der Restklassenkorper modulo p, das Primmodell der Theorie derKorper der Charakteristik p ist (p eine Primzahl). Die Theorie der KorperTF allein besitzt offenbar keinen Primkorper, sie ist weder vollstandig nochmodellvollstandig.

4. Der Korper der reellen algebraischen Zahlen ist Primkorper der TheorieTRCF der reell-abgeschlossenen Korper, diese Theorie ist modellvollstandigund somit vollstandig.

5. Der Korper der algebraischen Zahlen ist Primkorper der Theorie der alge-braisch-abgeschlossenen Korper der Charakteristik 0. Die Theorie TACF deralgebraisch-abgeschlossenen Korper (ohne Festlegung der Charakteristik)ist zwar modellvollstandig, aber nicht vollstandig.

Die obige Charakterisierung der modellvollstandigen Theorien deutet daraufhin, daß man in solchen Theorien Eigenschaften (fast) quantorenfrei ausdruckenkann:

Definition

T sei eine Theorie der Sprache L, A eine L-Struktur.

1. T laßt (schwache) Quantorenelimination zu gdw zu jeder L-Formel ϕ einequantorenfreie (bzw. ∃-) Formel ψ existiert mit

T |= ϕ ↔ ψ.

2. A 41 B :⇐⇒ A⊆B und fur alle ∃-Formeln ψ(v1, . . . ,vn) und allea1, . . .an ∈ A gilt:

A |= ϕ[a1, . . .an] ⇐⇒ B |= ϕ[a1, . . .an].

3. A heißt T- e.c. (T-existentiell-abgeschlossen) gdw fur alle L-Strukturen B

gilt:A⊆B |= T =⇒A 41 B.

4. ET := A |A T- e.c..

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13.1. ROBINSONSCHER TEST 200

13.1 Robinsonscher Test

Fur eine Theorie T sind folgende Aussagen aquivalent:

(i) T ist modellvollstandig,

(ii) T laßt schwache Quantorenelimination zu,

(iii) jede ∃-Formel ϕ ist in T aquivalent zu einer ∀-Formel δ ,

(iv) fur alle A,B |= T gilt: A⊆B =⇒A 41 B,

(v) fur alle A,B |= T gilt: Ist f : A→B eine Einbettung, so ist f eine elemen-tare Einbettung.

(vi) Mod(T) = ET.

Hierin ist (iv) das eigentliche Test-Kriterium, das insbesondere fur Anwen-dungen auf algebraische Theorien noch etwas abgeschwacht werden kann.1

Um ein Kriterium fur die vollstandige Elimination von Quantoren zu erhalten,muß man die Eigenschaft der Modellvollstandigkeit verstarken:

Definition

Eine Theorie T heißt substrukturvollstandig gdw

T∪D(A) ist vollstandig fur jedes A |= T∀,

d. h. T∪D(A) ist vollstandig fur jede Substruktur A eines Modells A⊆B |= T.

Satz

Fur eine Theorie T sind folgende Aussagen aquivalent:

(i) T ist substrukturvollstandig,

(ii) T laßt Quantorenelimination zu.

Insbesondere gilt fur eine ∀-Theorie T:T laßt Quantorenelimination zu gdw T modellvollstandig ist.

1S. etwa das Buch von RAUTENBERG, W.: Einfuhrung in die mathematische Logik, vieweg2002, Kap. 5.5

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13.1. ROBINSONSCHER TEST 201

Beispiele

1. Die Theorie TACF der algebraisch-abgeschlossenen Korper ist modellvoll-standig, legt man auch die Charakteristik fest, so ist sie vollstandig.

2. Die Theorie TRCF der reell-abgeschlossenen Korper ist modellvollstandigund vollstandig. Sie stimmt uberein mit der Theorie des angeordneten Kor-pers der reellen Zahlen.

3. Die Theorie der Vektorraume uber den rationalen Zahlen ist modellvollstan-dig (eine ∃-Aussage uber eine Konjunktion von Basisformeln besagt in die-sem Falle die Losbarkeit eines Systems von linearen Gleichungen und Un-gleichungen).

4. Die Theorie der Gleichheit (also ohne nicht-logischen Axiome!) ist wedervollstandig noch modellvollstandig. Sie erlaubt auch keine Quantoreneli-mination, allerdings ist in dieser Theorie jede Formel aquivalent zu eineraussagenlogisch aus Anzahlformeln und den Formeln vi = v j zusammenge-setzten Formel.

5. Die Theorie DLO+OE der dichten linearen Ordnungen ohne Endpunkte istvollstandig, modellvollstandig und erlaubt Quantorenelimination.

6. Die Theorie Th(N,<) ist vollstandig, aber nicht modellvollstandig.

Theorien mit Quantorenelimination sind meistens entscheidbar, d. h. es gibtein effektives Verfahren (dieser Ausdruck wird spater prazisiert werden), welchesfur jeden Satz der Sprache von T angibt, ob dieser Satz in T gilt oder nicht. Sosind die Theorien

• DLO+OE,

• die Theorie des (angeordneten) Korpers der reellen Zahlen (= Theorie derreell-abgeschlossenen Korper) und

• die Theorie des Korpers der komplexen Zahlen (= Theorie der algebraisch-abgeschlossenen Korper der Charakteristik 0)

vollstandig und entscheidbar. Dagegen ist dagegen die Theorie der naturlichenZahlen Th(N,+, ·,0,1) unentscheidbar. Naher gehen wir hierauf in den abschlie-ßenden Kapiteln ein.

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202

Teil IV

Unvollstandigkeit undUnentscheidbarkeit

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203

Hans Magnus Enzensberger: Hommage a Godel

Munchhausens Theorem, Pferd, Sumpf und Schopf,ist bezaubernd, aber vergiß nicht:Munchhausen war ein Lugner.

Godels Theorem wirkt auf den ersten Blicketwas unscheinbar, doch bedenk:Godel hat recht.

In jedem genugend reichhaltigen System // lassen sich Satze formulieren,die innerhalb des Systems // weder beweis- noch widerlegbar sind,es sei denn das System // ware selber inkonsistent.

Du kannst deine eigene Sprache // in deiner eigenen Sprache beschreiben:aber nicht ganz.Du kannst dein eignes Gehirn // mit deinem eignen Gehirn erforschen:aber nicht ganz.Usw.

Um sich zu rechtfertigen // muß jedes denkbare Systemsich transzendieren, // d.h. zerstoren.

Genugend reichhaltig oder nicht:Widerspruchsfreiheitist eine Mangelerscheinungoder ein Widerspruch.

(Gewißheit = Inkonsistenz.)

Jeder denkbare Reiter, // also auch Munchhausen,also auch du bist ein Subsystem // eines genugend reichhaltigen Sumpfes.

Und ein Subsystem dieses Subsystems // ist der eigene Schopf,dieses Hebezeug // fur Reformisten und Lugner.

In jedem genugend reichhaltigen System,also auch in diesem Sumpf hier,lassen sich Satze formulieren,die innerhalb des Systemsweder beweis- noch widerlegbar sind.

Diese Satze nimm in die Handund zieh!

(Zitiert nach: Hans Magnus Enzensberger: Die Elixiere der Wissenschaft.Frankfurt a.M.: Suhrkamp 2002)

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204

In diesem Teil gehen wir aus von den naturlichen Zahlen als algebraischeStruktur mit den Operationen der Addition und Multiplikation und zusatzlicherOrdnung. Als Axiomensystem fur die elementaren Eigenschaften dieser Strukturhaben wir bereits das Axiomensystem von G. PEANO erwahnt und gesehen, daßes nicht ausdrucksstark genug ist, um die Struktur der naturlichen Zahlen bis aufIsomorphie festzulegen. Tatsachlich ist es sogar nach einem beruhmten Satz vonK. GODEL unvollstandig, und wir werden sehen, daß dieses Problem sich auchdurch die Hinzunahme weiterer Axiome nicht beseitigen laßt.

Dazu werden wir mit den Methoden der mathematischen Logik Pradikate undFunktionen naturlicher Zahlen nach ihrer Komplexitat klassifizieren, insbesondereden Begriff der Berechenbarkeit und der Entscheidbarkeit prazisieren, um damitMoglichkeiten und Grenzen der Beweisbarkeit fur mathematischer Theorien, vorallem fur die Zahlentheorie und auch die Logik selbst aufzuzeigen.

Eine ausfuhrlichere Darstellung der Theorie der Berechenbarkeit findet manim Skriptum

K. Ambos-Spies: Theoretische Informatik(http://www.math.uni-heidelberg.de/logic/skripten.html).

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205

Kapitel 14

Berechenbare Funktionen

14.1 Turing-Maschinen

Eine TURING-Maschine M besitzt als Speicher ein nach beiden Seiten unbe-schranktes Band, das in unendlich viele Felder eingeteilt ist. Jedes Feld kanneinen Buchstaben aus dem endlichen Alphabet s1, . . . ,sn der Maschine M auf-nehmen. Dabei sind zu jedem Zeitpunkt nur endlich viele Felder belegt, wobeiwir vereinbaren konnen, daß die leeren Feldern durch ein zusatzliches Symbol s0

gekennzeichnet sind. Der Zugriff auf das Speicherband erfolgt durch einen kom-binierten Lese- und Schreibkopf von der Große eines Feldes. Das Feld, auf das derKopf zeigt, heißt das Arbeitsfeld. Dieses Feld kann eingelesen und neu beschriftetwerden. Weiterhin kann sich der Kopf um ein Feld nach links oder rechts bewe-gen. Durch Wiederholung dieser elementaren Operationen kann also jede Stelledes Bandes besucht, die dort stehende Information gelesen und gegebenenfallsersetzt oder erganzt werden. Außerdem ist M zu jedem gegebenen Zeitpunkt ineinem von endlich-vielen Zustanden q1, . . . ,qr, die Einfluß auf das Verhalten vonM haben.

Es gibt somit 3 Typen von Operationen, genannt Anweisungen, die M ausfuh-ren kann, wenn M im Zustand qi uber einem Feld steht, in dem das Zeichen s j

eingetragen ist, und die wie folgt bezeichnet werden:

(a) qi s j sk ql: losche s j und schreibe dafur sk,

(b) qi s j R ql: bewege den Kopf ein Feld weiter nach rechts,

(c) qi s j L ql: bewege den Kopf ein Feld weiter nach links.

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14.1. TURING-MASCHINEN 206

Anschließend gehe M in allen Fallen in den Zustand ql uber.Ein Programm fur M ist eine endliche Liste von Anweisungen der obigen

Formen (a) - (c), welches konsistent ist, d. h. zu einem gegebenen Paar qi,s j (furdie Ausgangssituation) gibt es in der Liste hochstens eine Anweisung, die hiermitbeginnt.

Beispiel:

Das Alphabet von M bestehe aus den Symbolen 0,1 (und x fur ein leeres Feld),mogliche Zustande seien q1,q2. Das Programm P bestehe aus den folgenden 4Anweisungen:

q1 0 R q1

q1 1 0 q2

q2 0 R q2

q2 1 R q1

Anfangs stehe M im Zustand q1 uber dem ersten Feld des Bandes, das von hierab weitere n aufeinander folgende Felder mit dem Symbol 1 enthalt, wahrend dieubrigen Felder leer sind:

↓. . . x x x 1 1 1 1 1 1 x x x . . .

Folgt M den obigen Anweisungen, so kann es diese ausfuhren, bis der folgendeEndzustand erreicht ist:

↓. . . x x x 0 1 0 1 0 1 x x x . . .

Wir wollen nun erklaren, wie eine T-Maschine mit vorgegebenen Programmeine Funktion berechnet. Da es vorkommen kann, daß Rechnungsprogramme beiAnwendungen auf bestimmte Anfangswerte moglicherweise nicht stoppen (weilsie z. B. in eine Schleife geraten), werden wir jetzt statt totaler Funktionen f :Nk→ N auch partielle Funktionen zulassen:

Definition

f ist eine partielle k-stellige Funktion auf den naturlichen Zahlen gdw

f : D→ N fur eine Teilmenge D⊆ Nk.

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14.2. URM-BERECHENBARE FUNKTIONEN 207

In diesem Falle bedeute

f (~x) ↓: ⇐⇒ f ist an der Stelle~x definiert

f (~x) ↑: ⇐⇒ f ist an der Stelle~x nicht definiert

f (~x)' g(~x) : ⇐⇒ ( f (~x) ↓⇐⇒ g(~x) ↓) und ( f (~x) ↓=⇒ f (~x) = g(~x)).

TURING-berechenbare Funktionen

Zur Darstellung von Zahlen, von denen eine Rechnung ausgeht, wahlen wir s1 = 1und benutzen es als Marke, indem n+1 aufeinander folgende Felder mit Inhalt 1(umgeben von Leerfeldern am Anfang und am Ende) die Zahl n darstellen. Einepartielle Funktion f : D→ N wird von M berechnet, wenn M, beginnend im An-fangszustand q1 uber dem ersten Feld, welches die Zahl n darstellt, genau dannuber dem Band in einem Endzustand stoppt, wenn n ∈ D ist, und in diesem Falldas Symbol 1 genau f (n)-mal auf dem Band im Endzustand eingetragen ist (inobigem Beispiel ist f (5) = 3). Eine ahnliche Definition legt man im Falle mehr-stelliger Funktionen fest.

Eine partielle Funktion f heißt TURING-berechenbar genau dann, wenn eseine T-Maschine M gibt mit einem Programm, welches f berechnet.

14.2 URM-berechenbare Funktionen

SHEPERDSON-STURGIS haben 1963 eine Variante eines Maschinenmodells vor-geschlagen: Eine unbeschrankte Register-Maschine (URM) besitzt eine unendli-che Anzahl von Registern R1, . . . ,Rl , die jeweils eine Zahl enthalten; rn sei dieZahl im Register Rn. Diese Zahlen werden von einer URM gemaß folgenden Ty-pen von Anweisungen abgeandert:

O(n): 0→ Rn bzw. rn := 0 ersetze rn durch 0S(n): rn +1→ Rn bzw. rn := rn +1 addiere 1 zu rn

T (m,n): rm→ Rn bzw. rn := rm ersetze rn durch rm

J(m,n,q): falls rn = rm, so gehe zur q-ten Anweisung uber, sonst zur nachsten.

Ein Programm ist nun wieder eine nummerierte endliche Folge derartiger An-weisungen. Soll eine URM mit einem Programm P = (I1, . . . , Ik) eine Berech-nung durchfuhren, so muß ein Anfangszustand der Registerinhalte gegeben sein,in welchem die URM mit der ersten Anweisung beginnt und worauf sie dann denweiteren Anweisungen der Liste folgt.

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14.3. CHURCHSCHE THESE 208

Beispiel:

I1 : J(1,2,6)

I2 : S(2)

I3 : S(3)

I4 : J(1,2,6)

I5 : J(1,1,2)

I6 : T (3,1)

Beginnt die URM mit den Zahlen 9 im 1. und 5 im 2. Register (und 0 in allenanderen), so erzeugt sie nach einigen Schritten die Zahl 4 im 3. Register undlandet dann bei der Anweisung I6, welche die Zahl 4 in das 1. Register ubertragt;da keine weitere Anweisung folgt, stoppt hier das Programm.

Es sei nun f eine partielle n-stellige Funktion auf den naturlichen Zahlen, Pein Programm und a1, . . . ,an,b seien vorgegebene Zahlen. Dann konvergiert dasmit a1, . . . ,an beginnende Programm gegen die Zahl b, formal: P(a1, . . . ,an) ↓ b,gdw es nach endlich-vielen Schritten stoppt und die Zahl b im 1. Register steht.

P berechnet f gdw fur alle a1, . . . ,an,b gilt:

P(a1, . . . ,an) ↓ b gdw f (a1, . . . ,an) ist definiert und = b.

f ist URM-berechenbar gdw es ein Programm P gibt, welches f berechnet.

14.3 Churchsche These

Es gibt weitere Ansatze, den Begriff der berechenbaren Funktion zu prazisieren:

• GODEL-HERBRAND-KLEENE (1936): mittels eines Gleichungskalkuls de-finierte allgemein-rekursive Funktionen

• CHURCH (1936): λ -definierbare Funktionen

• GODEL-KLEENE (1936): µ-rekursive Funktionen (s.u.)

• POST (1943): berechenbare Funktionen mittels kanonischer Deduktionssy-steme

• MARKOV (1951): berechenbare Funktionen mittels Algorithmen uber end-lichen Alphabeten

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14.4. AUFZAHLBARKEITSSATZE 209

Alle diese Definitionen haben sich als formal aquivalent herausgestellt, außer-dem ist bisher jede einzelne der (im intuitiven Sinne) berechenbaren Funktionenauch berechenbar in dem obigen formalen Sinne, was Anlaß zu folgender Annah-me gegeben hat:

Churchsche These: Die (intuitiv) berechenbaren Funktionen sind genau die (ineinem der obigen Sinne) formal berechenbaren Funktionen.

Ohne ausfuhrliche Beweise erganzen wir einige wichtige

14.4 Aufzahlbarkeitssatze

• Da sich alle Programme effektiv aufzahlen lassen, gibt es eine effektiveAufzahlung ϕ0,ϕ1, . . . ,ϕn, . . . aller einstelligen berechenbaren (partiellen)Funktionen. Mit einem Diagonalargument erhalt man hieraus:

• es gibt eine totale Funktion f : N→ N, die nicht berechenbar ist:

f (n) =

ϕn(n)+1 falls ϕn(n) definiert ist,

0 sonst.

• Somit gibt es zwar eine Abzahlung aller totalen berechenbaren Funktionen,aber diese Abzahlung kann selbst nicht berechenbar sein.

• Auch die folgenden Pradikate sind nicht entscheidbar (d. h. ihre charakteri-stischen Funktionen sind nicht berechenbar):ϕn(n) ist definiert, ϕn ist totale Funktion, ϕn ist die konstante Funktion 0,ϕn = ϕm, das n-te Programm mit Eingabe n (allgemeiner mit Eingabe m)stoppt nach endlich-vielen Schritten (das Halteproblem).

• Existenz universaler Funktionen (bzw. Programme): Zu jeder berechenba-ren 2-stelligen Funktion f gibt es eine totale berechenbare Funktion k mitf (n,m) = ϕk(n)(m); die 2-stellige Funktion ϕ(n,m) = ϕn(m) ist berechen-bar.

14.5 Primitiv-rekursive Funktionen

Zu den intuitiv berechenbaren Funktionen gehoren sicher die folgenden

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14.5. PRIMITIV-REKURSIVE FUNKTIONEN 210

Anfangsfunktionen

R1 0(x) = 0 NullfunktionR2 S(x) = x+1 NachfolgerfunktionR3 Pn

i (x1, . . . ,xn) = xi i-te Projektion

Durch Einsetzen von Funktionen in bereits vorgegebene Funktionen erhaltenwir eine neue Funktion durch

Substitution

R4 f (~x)' h(g1(~x), . . . ,gk(~x))

Wichtig ist nun das folgende Prinzip - nach diesem Muster werden namlichdie arithmetischen Operationen Addition, Multiplikation und Potenz gebildet:

Primitive Rekursion

R5 f (~x,0) ' g(~x)f (~x,y+1)' h(~x,y, f (~x,y))

Die Klasse PRIM aller primitiv-rekursiven (abgekurzt: p.r.) Funktionen istdie kleinste Klasse von Funktionen, die die Anfangsfunktionen enthalt und abge-schlossen ist unter Substitution und primitiver Rekursion. Diese Funktionen sindinsbesondere totale Funktionen.

Beispiele primitiv-rekursiver Funktionen

Die folgenden Funktionen sind primitiv-rekursiv:

x+ y Summex · y Produktxy Potenzmax(x,y) Maximummin(x,y) Minimum|x− y| absolute Differenz

x−y =

x− y falls x≥ y,

0 sonstDifferenz auf N

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14.5. PRIMITIV-REKURSIVE FUNKTIONEN 211

sg(x) =

0 falls x = 0,

1 falls x > 0Signum, Vorzeichen

sg(x) =

1 falls x = 0,

0 falls x > 0Antisignum, negiertes Vorzeichen

Beweis: Addition, Multiplikation und die Potenz sind offenbar primitiv-rekursiv.Fur die ubrigen Falle benotigt zeigt man zuerst, daß die Vorgangerfunktion x−1primitiv-rekursiv ist, und zwar wegen

0−1 = 0(x+1)−1 = x

und definiert dann − durch primitive Rekursion

x−0 = xx−(y+1) = (x−y)−1

Die ubrigen Funktionen kann man direkt mittels + und − definieren:

|x− y| = (x−y)+(y−x)max(x,y) = x+(y−x)min(x,y) = max(x,y)−|x− y|sg(x) = 1−xsg(x) = 1−sg(x)

Abschlußeigenschaften

Primitiv-rekursive Funktionen sind abgeschlossen unter

(i) Fallunterscheidung:

Sind g, f0, f1, . . . , fk primitiv-rekursiv, so auch f mit

f (~x) =

f0(~x) f alls g(~x) = 0,

f1~x) f alls g(~x) = 1,...

...

fk(~x) f alls g(~x)≥ k.

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14.6. REKURSIVE UND PARTIELL-REKURSIVE FUNKTIONEN 212

(ii) beschranktem µ-Operator:

Ist g primitiv-rekursiv, so auch f mit

f (~x,z) = µy < z (g(~x,y) = 0),

wobei

µy < z R(~x,y) =

das kleinste y < z mit R(~x,y) falls ein solches existiert

z sonst.

14.6 Rekursive und partiell-rekursive Funktionen

Ein Beispiel einer berechenbaren, aber nicht p.r. Funktion ist die

Die Ackermannsche Funktion:

Diese ist eine 2-stellige Funktion, die durch die folgenden Gleichungen rekursivbestimmt ist:

A(0,y) = y+1

A(x+1,0) = A(x,1)

A(x+1,y+1) = A(x,A(x+1,y))

Es handelt sich hier um eine doppelte Rekursion, trotzdem kann man leichtnachprufen, daß sich jeder Wert A(x,y) von endlich-vielen “fruheren” WertenA(u,v) mit u < x oder u = x∧ v < y bestimmen laßt. Schreiben wir Fn(m) furA(n,m), so erhalten wir:

F0(m) = m+1

F1(m) = m+2

F2(m) ≈ 2m

F3(m) ≈ 2m

F4(m) ≈ 22...2

(m−mal)

Das bedeutet also, daß die ACKERMANNsche Funktion die Grundrechenarteniteriert und insbesondere in der ersten Stelle (die die Anzahl der Iterationen angibt)

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14.6. REKURSIVE UND PARTIELL-REKURSIVE FUNKTIONEN 213

sehr schnell wachst. Tatsachlich majorisiert sie jede p.r. Funktion: Ist f eine k-stellige p.r. Funktion, so gibt es eine Zahl n mit

f (x1, . . . ,xk)≤ Fn(max(x1, . . . ,xk))

fur alle x1, . . . ,xk. Somit kann die 2-stellige Funktion A nicht p.r. sein (obwohlandererseits alle Fn p.r. sind!). Daß die ACKERMANNsche Funktion trotzdem be-rechenbar ist, ersieht man daraus, daß sie aus einer p.r. Funktion erhalten werdenkann mittels

Minimalisierung

R6 f (~x)' µy (g(~x,y)' 0),

d. h.

f (~x) =

das kleinste y so daß

(i) g(~x,z) definiert ist fur alle z≤ y und

(ii) g(~x,y) = 0, falls ein derartiges y existiert,

undefiniert sonst.

Dieses Prinzip kann von totalen zu partiellen Funktionen fuhren (z. B. furg(x,y) = |x− y2|). Die Klasse R (oder C) aller rekursiven Funktionen ist diekleinste Klasse von Funktionen, die die Anfangsfunktionen enthalt und abge-schlossen ist unter Substitution, primitiver Rekursion und Minimalisierung. Manspricht mitunter auch von allgemein-rekursiven, µ-rekursiven Funktionen oder(auf Grund der CHURCHschen These) von den berechenbaren Funktionen (C =computable functions). Von rekursiven Funktionen werden wir vorwiegend imFalle totaler berechenbarer Funktionen sprechen.

Jede p.r. Funktion ist also auch eine rekursive Funktion (wahrend die ACKER-MANNsche Funktion ein Beispiel fur eine rekursive, aber nicht p.r. Funktion ist),und die Abschlußeigenschaften der p.r. Funktionen gelten (geeignet modifiziertfur partielle Funktionen) auch fur rekursive Funktionen.

Definition

Eine zahlentheoretische Relation R ⊆ Nk heißt primitiv-rekursiv bzw. rekur-siv (oder auch: entscheidbar) gdw ihre charakteristische Funktion cR primitiv-rekursiv bzw. rekursiv ist, wobei

cR(~x) =

1 falls R(~x),

0 sonst.

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14.7. PARTIELLE ENTSCHEIDBARKEIT 214

Somit sind z. B. die Pradikate x = y, x 6= y, x≤ y, x < y primitiv-rekursiv.

14.7 Partielle Entscheidbarkeit

Eine Relation R ⊆ Nk heißt partiell- (oder positiv-) entscheidbar bzw. r.e. gdw.sie Definitionsbereich einer berechenbaren Funktion ist:

R r.e. :⇐⇒ R = ~x | f (~x) ↓ fur eine berechenbare Funktion f .

In diesem Fall kann man fur f auch die partielle charakteristische Funktion vonR wahlen:

R r.e. ⇐⇒ pcR ist rekursiv,

wobei pcR(~x) =

1 falls ~x ∈ R,

undefiniert sonst.

Wahrend es also fur eine entscheidbare Relation R ein effektives Verfahrengibt, welches die Frage beantwortet, ob R zutrifft oder nicht, kann man fur einepartiell-entscheidbare Relation somit nur den Fall bestatigen, daß die Relationzutrifft. Die Bezeichnung r.e. = recursively enumerable = rekursiv-aufzahlbar,in der neueren Literatur auch c.e. = computably enumerable, erklart sich aus derfolgenden Charakterisierung:

Eine nicht-leere Teilmenge A ⊆ N ist partiell entscheidbar gdw sie Wertebe-reich einer rekursiven Funktion ist, also von einer rekursiven Funktion aufgezahltwird:

A r.e. ⇐⇒ A = /0∨A = f (x) | x ∈ N fur eine rekursive Funktion f : N→ N.

Jede rekursive Relation ist auch r.e.; die Umkehrung gilt, wenn auch das Kom-plement r.e. ist:

A⊆ Nk ist entscheidbar gdw A und Nk−A sind r.e.Ist wieder ϕn die n-te berechenbare Funktion (in einer geeigneten effektiven

Aufzahlung), so sind die Mengen

n | ϕn(n) ↓ r.e., aber nicht rekursiv, wahrend

n | ϕn(n) ↑ nicht einmal r.e. ist.

Von besonderer Bedeutung wird spater sein, daß fur Theorien T mit einer rekursi-ven Menge von Axiomen die Folgerungsmenge C(T) = σ |T ` σ r.e. ist. Insbe-sondere ist also eine rekursiv-axiomatisierbare vollstandige Theorie entscheidbar!

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215

Kapitel 15

Definierbarkeit berechenbarerFunktionen

15.1 Eine endlich-axiomatisierbare Teiltheorie von PA

Die Theorie PA enthalt mit dem Induktionsschema unendlich-viele Axiome, undes laßt sich nachweisen, daß diese nicht durch endlich-viele ersetzbar sind. Trotz-dem genugt es, fur manche Uberlegungen eine geeignete Teiltheorie zugrundezu-legen, die nur endlich-viele Axiome benotigt, etwa die folgende Theorie PA−:

Diese Theorie faßt die wichtigsten algebraischen Eigenschaften der Zahlen-theorie in einer Sprache L mit den Symbolen 0,1,<,+, · zusammen: Die erstenAxiome besagen, daß Addition und Multiplikation assoziativ und kommutativsind sowie das Distributivgesetz erfullen, ferner daß 0 und 1 neutrale Elementefur die jeweiligen Operationen und 0 ein Nullteiler ist:

A1 (x+ y)+ z = x+(y+ z) A6 x+0 = x∧ x ·0 = 0A2 (x · y) · z = x · (y · z) A7 x ·1 = 1A3 x+ y = y+ xA4 x · y = y · xA5 x · (y+ z) = x · y+ x · z

Dabei benutzen wir die in der Algebra ublichen Klammeregeln (· bindet starkerals +). Fur die <-Beziehung gelten die Gesetze einer linearen Ordnung, welchemit Addition und Multiplikation vertraglich ist:

A8 ¬ x < xA9 x < y∧ y < z→ x < z

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15.1. EINE ENDLICH-AXIOMATISIERBARE TEILTHEORIE VON PA 216

A10 x < y∨ x = y∨ y < xA11 x < y→ x+ z < y+ zA12 0 < z∧ x < y→ x · z < y · z

Eine Zahl kann von einen großeren subtrahiert werden:

A13 x < y→∃z (x+ z = y)

und schließlich ist 1 ist der Nachfolger von 0 und 0 das kleinste Element (wobeiwie ublich x≤ y :⇐⇒ x = y∨ x < y):

A14 0 < 1∧∀x (0 < x→ 1≤ x)A15 ∀x (0≤ x)

Aus den letzten Axiomen folgt, daß allgemeiner x+1 der Nachfolger von x istund damit die Ordnung diskret ist:

x < x+1∧∀y (x < y→ x+1≤ y).

Einige Modelle von PA−

1. In der PEANO-Arithmetik PA kann man die <-Beziehung definieren durchx < y↔∃z (x+ z+1 = y) und damit alle Axiome von PA− erhalten. Insbe-sondere ist das Standardmodell N mit der gewohnlichen <-Beziehung, denublichen Operationen und den naturlichen Zahlen 0,1 ein Modell von PA−.

2. Die Menge Z[X ] der Polynome in einer Unbestimmten X und mit ganz-zahligen Koeffizienten ist mit den ublichen Operationen ein kommutati-ver Ring. Man kann diesen Ring ordnen, indem man fur ein Polynom p =anXn + . . .a1X +a0 mit hochstem Koeffizienten an 6= 0 setzt:

anXn + . . .a1X +a0 > 0 :⇐⇒ an > 0

und damit Polynome p,q ∈ Z[X ] ordnet durch p < q :⇐⇒ q− p > 0.

Die Teilmenge Z[X ]+ der Polynome p ∈ Z[X ] mit p ≥ 0 wird damit zu ei-nem Modell von PA−, in welchem das Polynom X großer als alle konstantenPolynome und damit “unendlich groß” ist.

In einem Ring liegt bezuglich der Addition eine Gruppe vor, wahrend A13 nureine eingeschrankte Inversenbildung zulaßt. Ersetzt man in PA− die Axiome A13und A15 durch das Axiom

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15.2. ARITHMETISCHE FORMELN 217

A16 ∀x ∃z (x+ z = 0)

so erhalt man die algebraische Theorie DOR der diskret geordneten Ringe, derenModelle z. B. die Ringe Z und Z[X ] sind. Jedes Modell M von PA− kann manzu einem Modell R der Theorie DOR erweitern (nach demselben Muster, wieman die naturlichen Zahlen zum Ring der ganzen Zahlen erweitert), so daß dienicht-negativen Elemente von R mit dem ursprunglichen Modell ubereinstimmen.Umgekehrt ist auch fur jedes Modell R der Theorie DOR die Einschrankung aufdie nicht-negativen Elemente ein Modell von PA−, so daß man PA− als Theorie(des nicht-negativen Teils) diskret geordneter Ringe bezeichnen kann.

15.2 Arithmetische Formeln

Fur Terme t und Formeln ϕ der Sprache L schreiben wir

∃x < t ϕ fur ∃x(x < t ∧ϕ)

∀x < t ϕ fur ∀x(x < t→ ϕ)

und nennen ∃x < t und ∀x < t beschrankte Quantoren. Endliche Folgen von Va-riablen kurzen wir durch~x,~y, . . . ab.

Definition

ϕ ist ∆0-Formel: ⇐⇒ ϕ enthalt hochstens beschrankte Quantoren,ϕ ist Σ1-Formel: ⇐⇒ ϕ = ∃~x ψ fur eine ∆0-Formel ψ ,ϕ ist Π1-Formel: ⇐⇒ ϕ = ∀~x ψ fur eine ∆0-Formel ψ ,

Dieses ist der Anfang der Hierarchie der arithmetischen Formeln; setzt man

Σ0 = Π0 = ∆0,

so kann man fortsetzen:

ϕ ist Σn+1-Formel ⇐⇒ ϕ = ∃~x ψ fur eine Πn-Formel ψ ,ϕ ist Πn+1-Formel ⇐⇒ ϕ = ∀~x ψ fur eine Σn-Formel ψ .

Eine Σ3-Formel ist also von der Form ∃~x ∀~y ∃~z ψ , wobei ψ hochstens be-schrankte Quantoren enthalt. Das bedeutet also, daß man beschrankte Quantoren

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15.3. ENDERWEITERUNGEN 218

nicht mitzahlt, mit Σ bzw. Π anzeigt, daß die Formel mit einer (endlichen) Folgevon ∃-Quantoren bzw. ∀-Quantoren beginnt und der Index die Quantorenblockezahlt. Es kommt also weniger auf die Anzahl der Quantoren an als die Anzahl derQuantorenwechsel.

Bei dieser Klassifizierung unterscheidet man nicht zwischen logisch aquiva-lenten Formeln, so daß etwa jede Πn-Formel fur n < m auch eine Σm- und Πm-Formel ist (indem man der Formel einfach zusatzliche Quantoren uber nicht vor-kommende Variablen voranstellt). Somit kann man dann auch die Formelmengen

∆n = Σn∩Πn

definieren. Es ergibt sich daraus folgendes Bild der arithmetischen Hierarchie:

∆0 ∆1

@@@ Π1

Σ1@

@@

∆2

@@@ Π2

Σ2@

@@

∆3

@@@

. . . . . .

Viele nutzliche Eigenschaften naturlicher Zahlen lassen sich mittels ∆0-For-meln ausdrucken, z. B.:

x ist irreduzibel↔ 1 < x∧∀u < x ∀v < x ¬(u · v = x).

Von besonderer Bedeutung ist, daß ∆0-Formeln in einer Struktur dasselbe bedeu-ten wie in allen Enderweiterungen:

15.3 Enderweiterungen

Bereits bei der Behandlung von Nonstandard-Modellen von PA hatten wir be-merkt, daß sich das Standardmodell in jedes andere Modell von PA einbetten laßt.Diese Eigenschaft gilt auch fur die Modelle von PA−:

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15.3. ENDERWEITERUNGEN 219

Definition

L sei eine Sprache, welche ein 2-stelliges Symbol < enthalte, M und N seien L-Strukturen mit M⊆N. Dann heißt N Enderweiterung von M (und entsprechendM Anfangssegment von M) genau dann, wenn die großere Menge N unterhalbeines Elementes von M kein weiteres hinzufugt:

M⊆end N :⇐⇒ fur alle x ∈M,y ∈ N : (y <N x⇒ y ∈M).

Jede naturliche Zahl n wird im Standardmodell, das wir hier auch einfach mitN bezeichnen, durch den konstanten Term

n = 1+ . . .+1 (n-mal)

dargestellt, wobei 0 die Konstante 0 ist.

Satz

Es sei M |= PA−. Dann wird durch die Abbildung n 7→ nM eine Einbettung desStandardmodells N auf ein Anfangssegment von M definiert.

Insbesondere ist (mittels Identifizierung) jedes Modell von PA− isomorph zueiner Enderweiterung des Standardmodells N.

Beweis: Durch einfache Induktion zeige man fur alle naturlichen Zahlen n,k, l:

n = k + l =⇒ PA− ` n = k + l

n = k · l =⇒ PA− ` n = k · ln < k =⇒ PA− ` n < k

PA− ` ∀x ( x≤ k → x = 0 ∨ . . .∨ x = k)

Die ersten 3 Aussagen werden wir spater fur alle rekursiven Funktionen bzw. Re-lationen verallgemeinern; aus ihnen folgt, daß die Abbildung n 7→ nM ein Homo-morphismus und wegen der letzten Aussage eine Einbettung auf ein Anfangsseg-ment von M ist.

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15.4. ERHALTUNGSEIGENSCHAFTEN UNTER ENDERWEITERUNGEN 220

15.4 Erhaltungseigenschaften unter Enderweiterungen

N,M seien Strukturen der Sprache L von PA−, N ⊆end M,~a ∈ N. Dann gilt:

(i) jede ∆0-Formel ϕ(~v) ist absolut:

N |= ϕ[~a] ⇐⇒ M |= ϕ[~a],

(ii) jede Σ1-Formel ϕ(~v) ist aufwarts-persistent:

N |= ϕ[~a] =⇒M |= ϕ[~a],

(iii) jede Π1-Formel ϕ(~v) ist abwarts-persistent:

M |= ϕ[~a] =⇒N |= ϕ[~a],

(iv) jede ∆1-Formel ϕ(~v) ist absolut:

N |= ϕ[~a] ⇐⇒ M |= ϕ[~a].

Beweis von (i) durch Induktion uber den Formelaufbau von ϕ(~v), wobei nur derFall eines beschrankten Quantors von Interesse ist. Da aber M Enderweiterungvon N ist, werden von M unterhalb eines Elementes von N keine neuen Elementeeingefugt, so daß ein beschrankter Quantor in beiden Strukturen dasselbe besagt.

Wir wollen nun zeigen, daß die rekursiven Relationen mit den Mengen uber-einstimmen, die sich durch eine ∆1-Formeln in den naturlichen Zahlen definierenlassen, und daß der Graph einer rekursiven Funktion durch eine Σ1-Formeln inden naturlichen Zahlen definiert werden kann. Mit N bezeichnen wir im folgen-den auch das Standardmodell (N,+, ·,′ ,0,1).

15.5 Lemma

Fur jede ∆0-Formel θ(~v) ist die Relation

R(~a) ⇐⇒ N |= θ(~a)

primitiv-rekursiv.

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15.5. LEMMA 221

Beweis: Wir zeigen durch Induktion uber lz(θ ), daß die zugehorige charakteristi-sche Funktion

cθ (~x) =

1 falls N |= θ(~x)

0 sonst

primitiv-rekursiv ist: Zunachst sind die Funktionen x+1,x+ y,x · y p.r. und damitdefiniert jeder Term in N eine primitiv-rekursive Funktion. Da auch die Funktio-nen eq(x,y) = sg(|x−y|) und sg(y−x) primitiv-rekursiv sind (und die p.r. Funktio-nen abgeschlossen sind unter Substitution), gilt die Behauptung fur die atomarenFormeln t = s, t < s. Fur den Fall der aussagenlogischen Operationen benutze man

c¬θ (~x) = 1−cθ (~x), cθ∧ψ(~x) = min(cθ (~x),cψ(~x)), cθ∨ψ(~x) = max(cθ (~x),cψ(~x)).

Ist schließlich θ eine ∆0-Formel, t ein Term und ψ(~x) = ∀y < t(~x) θ(~x,y), so folgtdie Behauptung aus

cψ(~x) = eq(t(~x),(µy < t(~x)(cθ (~x,y) = 0)).

Ahnlich argumentiert man im Falle der Formel ∃y < t(~x) θ(~x,y) (oder fuhrt diesenFall mittels der Negation auf den fruheren zuruck).

Die Umkehrung des obigen Lemmas gilt nicht: es gibt primitiv-rekursive Men-gen, die durch keine ∆0-Formel in den naturlichen Zahlen definierbar sind. - Da-gegen kann man die folgenden Pradikate und Funktionen als p.r. nachweisen:

x|y: ↔∃z≤ y (x · z = y) x teilt yP(x): ↔∀u≤ x(u|x→ u = x∨u = 1) x ist Primzahl

pn = (n+1)te Primzahl : p0 = 2, p1 = 3, p3 = 5, p4 = 7, p5 = 11 . . .

Damit konnen wir endliche Mengen naturlicher Zahlen durch Zahlen codieren,z. B.

(n0,n1, . . . ,nk) durch pn0+10 · pn1+1

1 · . . . · pnk+1k .

Definieren wir fur x,y ∈ N

〈x,y〉 :=(x+ y)(x+ y+1)

2+ y,

so erhalten wir eine Paarfunktion N2 ↔ N, die man durch Iteration erweiternkann, indem man

〈x1,x2, . . .xk〉= 〈x1,〈x2, . . .xk〉〉setzt. Tatsachlich benotigen wir aber zusatzlich eine Funktion, die uniform jedeendliche Menge naturlicher Zahlen durch eine einzelne Zahl codiert:

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15.6. GODELS LEMMA 222

15.6 Godels Lemma

Es gibt es eine primitiv-rekursive Funktion β , so daß fur jedes k und fur jedeendliche Folge x0,x1, . . .xk−1 ∈ N gilt: es gibt eine naturliche Zahl c mit

fur alle i < k : β (c, i) = xi.

Tatsachlich gibt es eine ∆0-Formel θ(x,y,z), so daß

N |= ∀x,y ∃!zθ(x,y,z),

und die Formel θ(x,y,z) uber den naturlichen Zahlen die Funktion β definiert.

Beweis: Es sei x0,x1, . . .xk−1 eine Folge naturlicher Zahlen.Setze m := b! mit b := max(k,x0,x1, . . .xk−1). Dann ist die Folge der Zahlen

m+1,2m+1, . . .k ·m+1

paarweise teilerfremd. Nach dem Satz uber simultane Kongruenzen (ChinesischerRestsatz) gibt es eine naturliche Zahl a mit

a≡ xi mod((i+1)m+1) fur alle i < k.

Nun kann man 〈a,m〉 als Code der Folge x0,x1, . . .xk−1 wahlen, denn hierauserhalt man fur jedes i < k die xi zuruck als Rest der Division von a durch dieZahl (i+1)m+1. Bezeichnet rest(x : y) = z den Rest bei der Division von x durchy (falls y 6= 0 und rest(x : 0) = 0), so ist dieses eine p.r. Funktion mit einer ∆0-Definition. Eine weitere p.r. Funktion erhalten wir durch

α(a,m, i) = rest(a : (1+ i)m+1).

Bezeichnen p1, p2 die Umkehrfunktionen der obigen Paarfunktion 〈x,y〉, fur diealso gilt

〈p1(x), p2(x)〉= x, wobei p1(x), p2(x)≤ x,

so sind auch diese p.r., und wir erhalten schließlich die Godelsche β -Funktionals

β (c, i) = α(p1(c), p2(c), i).

Fur eine partielle Funktion f bezeichne Γ f den Graphen von f , also die Re-lation

Γ f (~x,y) :⇐⇒ f (~x) = y.

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15.7. DEFINIERBARKEITSSATZ FUR REKURSIVE FUNKTIONEN 223

15.7 Definierbarkeitssatz fur rekursive Funktionen

Eine partielle Funktion f ist berechenbar genau dann, wenn ihr Graph Γ f uberden naturlichen Zahlen durch eine Σ1-Formel definierbar ist, d. h. wenn es eineΣ1-Formel θ gibt, so daß fur alle~x,y ∈ N gilt:

Γ f (~x,y) ⇐⇒ N |= θ [~x,y].

Beweis: Wir zeigen zunachst den einfacheren Teil (⇐): Sei θ = ∃~z ψ eine Σ1-Formel, welche den Graphen Γ f einer partiellen Funktion f definiere, ψ(~x,~z,y) al-so eine ∆0-Formel. Dann erhalten wir nach Lemma 15.5 eine berechenbare Funk-tion g durch

g(~x) = µz(N |= ∃y,~z≤ z(〈y,~z〉= z∧ψ(~x,~z,y))).

Es ist dann p1(g(~x)) das kleinste y mit N |= θ [~x,y], falls ein solches y existiert,und undefiniert sonst, denn fur jedes~x ∈N gibt es hochstens ein y mit N |= θ [~x,y].Somit ist p1(g(~x))∼= f (~x), und damit ist f berechenbar.

Zum Beweis von (⇒) nennen wir partielle Funktionen f , deren Graph sichdurch eine Σ1-Formel uber den naturlichen Zahlen definieren lassen, Funktionenmit einem Σ1-Graphen und zeigen, daß die Menge dieser Funktionen die Anfangs-funktionen enthalt und unter Substitution, primitiver Rekursion und unter dem µ-Operator abgeschlossen ist. Dabei beschranken wir uns auf den einzigen Schritt,der etwas schwieriger ist und die GODELsche β -Funktion benutzt: Die Funktionf entstehe aus Funktionen g,h durch primitive Rekursion:

f (~x,0) ∼= g(~x)f (~x,y+1)∼= h(~x,y, f (~x,y))

Dabei konnen wir annehmen, daß die Graphen von g und h durch Σ1-Formelndefinierbar sind. Um damit den Graphen von f zu beschreiben, beachten wir, daßsich der Wert von f (~x,y) berechnet durch die vorangegangenen Werte

u0 = f (~x,0),u1 = f (~x,1), . . . ,uy = f (~x,y),

die wir mittels der β -Funktion durch eine einzige Zahl u codieren konnen. Wirmussen nun aber in dieser Folge die Funktion f eliminieren, um eine expliziteDefinition zu erhalten. Der erste Wert u0 ist durch den Graphen von g festgelegt istund die weiteren ui+1 bestimmen sich aus ui gemaß den Rekursionsbedingungenmittels des Graphen von h:

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15.8. REPRASENTIERBARKEIT 224

∀i < y∃r,s ∈ N [β (u, i) = r∧β (u, i+1) = s∧Γh(~x, i,r,s)]

Diese Formel laßt sich (indem man ein genugend großes w wahlt) umformen zu

∃w ∈ N ∀i < y∃r,s < w [β (u, i) = r∧β (u, i+1) = s∧Γh(~x, i,r,s)].

Der letzte Wert der obigen Folge, die durch die Zahl u codiert wird, ist derFunktionswert von f an der Stelle (~x,y). Damit erhalten wir als Beschreibung desGraphen von f :

Γ f (~x,y,z) ⇐⇒ ∃u,v,w ∈ N (Γg(~x,v)∧β (u,0) = v∧β (u,y) = z ∧∀i < y ∃r,s < w [β (u, i) = r∧β (u, i+1) = s∧Γh(~x, i,r,s)]),

⇐⇒ N |= Θ[~x,y,z]

fur eine Σ1-Formel Θ.

Nennt man eine Menge A ⊆ Nk, die durch eine Formel in Γ uber den naturli-chen Zahlen definierbar ist, ein Γ-Menge, so erhalten wir eine neue Charakterisie-rung der ersten Stufen der arithmetischen Hierarchie:

Korollar

(i) Die Σ1-Mengen sind die r.e. Relationen R⊆ Nk,

(ii) Die Π1-Mengen sind die Komplemente von r.e. Relationen,

(iii) die ∆1-Mengen sind die die rekursiven Relationen R⊆ Nk.

Eine Variante der Definierbarkeitsergebnisse, die sich auf die Beweisbarkeitin formalen Theorien bezieht, ist etwas schwieriger zu behandeln, ermoglicht esaber, Grenzen der Beweisbarkeit aufzuzeigen:

15.8 Reprasentierbarkeit

T sei eine Theorie der zahlentheoretischen Sprache L. Eine (totale) Funktion f :Nk → N ist in T reprasentierbar gdw es eine L-Formel θ(x1, . . . ,xk,y) gibt, sodaß fur alle n1, . . . ,nk,m ∈ N

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15.8. REPRASENTIERBARKEIT 225

(a) T ` ∃!yθ(n1, . . . ,nk,y) und(b) f (n1, . . . ,nk) = m =⇒ T ` θ(n1, . . . ,nk,m).

Ebenso ist eine Menge S ⊆ Nk in der Theorie T reprasentierbar gdw es eineL-Formel θ(x1, . . . ,xk) gibt, so daß fur alle n1, . . . ,nk ∈ N

(c) (n1, . . . ,nk) ∈ S⇒ T ` θ(n1, . . . ,nk) und(d) (n1, . . . ,nk) 6∈ S⇒ T ` ¬θ(n1, . . . ,nk).

Ist die Funktion f (oder die Menge S) durch eine Σ1-Formel reprasentierbar, soheißt f (bzw. S) Σ1-reprasentierbar. Die Definition der Repasentierbarkeit ist sogewahlt, daß diese Eigenschaft erhalten bleibt, wenn man die Theorie T erweitert.

Satz

(i) Jede rekursive Funktion f : Nk→ N ist in PA− Σ1-reprasentierbar.

(ii) Jede rekursive Menge S⊆ Nk ist in PA− Σ1-reprasentierbar.

Beweis von (i): f : Nk→N sei eine rekursive Funktion, ihr Graph Γ f ist also uberden naturlichen Zahlen durch eine Σ1-Formel ∃~z ϕ(~x,y,~z) definierbar, wobei ϕ nurbeschrankte Quantoren enthalt. Da jede Formel der Form ∃~z ϕ in PA− aquivalentist zu ∃u ∃~z (~z < u∧ϕ), konnen wir annehmen, daß~z nur eine einzelne Variable zist. Wir bilden nun die ∆0-Formel ψ(~x,y,z)

ϕ(~x,y,z)∧∀u,v≤ y+ z (u+ v < y+ z→¬ϕ(~x,u,v))

und weisen nach, daß die Σ1-Formel ∃z ψ(~x,y,z) die Funktion f in T reprasentiert:Zunachst zeigen wir (b) und nehmen dazu an, daß f (n1, . . . ,nk) = m gilt, also

N |= ∃z ϕ(n1, . . . ,nk,m,z). Die Zahl m ist dabei als Funktionswert eindeutig be-stimmt. Wahle l als die kleinste Zahl, so daß N |= ϕ(n1, . . . ,nk,m, l). Dann giltoffenbar auch N |= ψ(n1, . . . ,nk,m, l), also auch N |= ∃zψ(n1, . . . ,nk,m,z). AlsΣ1-Satz bleibt dieser Satz bei allen Enderweiterungen des Standardmodells zu ei-nem Modell von PA− erhalten, gilt also in allen Modellen von PA−, und somitgilt PA− ` ∃zψ(n1, . . . ,nk,m,z) nach dem Vollstandigkeitssatz.

Der Nachweis von (a) benutzt ein ahnliches Argument: Es sei f (n1, . . . ,nk) =m und l wieder die kleinste Zahl, so daß N |= ψ(n1, . . . ,nk,m, l) gilt. Sei M |= PA.Dann ist zu zeigen, daß m das einzige Element von M ist, welches die Formelψ(n1, . . . ,nk,x, l) in M erfullt. Daß es uberhaupt in M die Formel erfullt, liegtan der Absolutheit von ∆0-Formeln. Sind a,b ∈ M zwei Elemente, so daß M |=

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15.8. REPRASENTIERBARKEIT 226

ψ(n1, . . . ,nk,a,b), so mussen (nach der Definition von ψ) a,b ≤ k + l und damitin N sein. Damit gilt dann wieder wegen der Absolutheit von ∆0-Formeln auchN |= ψ(n1, . . . ,nk,a,b), woraus N |= ∃z ψ(n1, . . . ,nk,a,z) und damit a = m folgt.

Der Teil (ii) folgt nun hieraus: Ist S rekursiv, so ist die charakteristische Funkti-on cS berechenbar, also nach (i) durch eine Σ1-Formel θ(~x,y) in PA− reprasentiert.Dann wird S reprasentiert durch die Formel θ(~x,1), denn es gilt

PA− ` ¬θ(~x,1) ⇐⇒ PA− ` θ(~x,0).

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227

Kapitel 16

Die Godelschen Satze

Die beiden GODELschen Unvollstandigkeitssatze beruhen auf

1. einer Codierung der Formeln der Sprache durch Zahlen (Godel-Nummern),wodurch syntaktische Eigenschaften von Formeln als zahlentheoretischeAussagen in der Sprache der PEANO-Arithmetik selbst ausgedruckt werdenkonnen und

2. einem Diagonalverfahren.

16.1 Godel-Nummern

Zunachst ordnen wir jedem Term t der Sprache L von PA− eine Zahl, die GODEL-Nummer ptq, durch primitive Rekursion wie folgt zu:

p0q = 1

p1q = 3

pviq = 32 ·5i

ps+ tq = 33 ·5psq ·7ptq

ps · tq = 34 ·5psq ·7ptq

So ist z. B. pv3 +1q = 33 ·532·53 ·73. Ahnlich kann man nun den Formeln ihrejeweilige GODEL-Nummer zuordnen:

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16.2. DIAGONALISIERUNGSLEMMA 228

ps = tq = 2 ·5psq ·7ptq

ps < tq = 2 ·3 ·5psq ·7ptq

p¬ϕq = 2 ·32 ·5pϕq

pϕ ∨ψq = 2 ·33 ·5pϕq ·7pψq

p∃viϕq = 2 ·34 ·5i ·7pϕq

Naturlich gibt es auch viele andere Moglichkeiten einer Codierung; wichtig isthier nur, daß es sich um eine berechenbare injektive Abbildung aller L-Formeln1

auf eine berechenbare Teilmenge Fml ⊆N handelt und daß die die Umkehrabbil-dung (definiert auf der Menge Fml) ist ebenfalls berechenbar ist (so daß wir ausder GODEL-Nummer pϕq die Formel ϕ wieder ausrechnen konnen).

Im folgenden benotigen wir die Diagonal-Funktion d, definiert durch

d(n) =

p∀y(y = n→ σ(y))q, falls n = pσ(v0)q fur eine L-Formel σ(v0)

0 sonst.

16.2 Diagonalisierungslemma

T sei eine L-Theorie, θ(v0) eine L-Formel mit der einen freien Variablen v0. Fallsdie Diagonalfunktion d in T reprasentierbar ist, so gibt es einen L-Satz G mit derEigenschaft

T ` G↔ θ(pGq).

Ist d durch eine Σ1-Formel in T reprasentierbar und θ(v0) eine Π1-Formel, sokann G als Π1-Satz gewahlt werden.

Beweis: Ist d in T durch die Formel δ (x,y) reprasentiert, so definiere

ψ(v0) := ∀y(δ (v0,y)→ θ(y)),

1Berechenbare Funktionen haben wir hier nur als zahlentheoretische Funktionen eingefuhrt,es ist jedoch nahe liegend, diesen Begriff auch auf andere Bereiche (wie endliche Folgen vonSymbolen) auszudehnen.

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16.3. SATZ VON GODEL-ROSSER 229

und setze n := pψ(v0)q. (Achtung: n ist tatsachlich eine Zahl, in welcher naturlichdie Variable v0 nicht vorkommt; dagegen geht die GODEL-Nummer von v0 in dieBerechnung von n ein!) Fur G wahlt man nun den Satz

G := ∀y(y = n→ ψ(y)).

Dann hat also G die GODEL-Nummer d(pψ(v0)q). Ist δ (x,y) eine Σ1-Formel undθ(v) eine Π1-Formel, so sind ψ und G (aquivalent zu) Π1-Formeln. Somit bleibtzu zeigen, daß T ` G↔ θ(pGq): Es gilt offenbar

T ` G↔ ψ(n), d. h. nach Def. von ψ

(1) T ` G↔∀y(δ (n,y)→ θ(y)).

Daß d in T durch δ (x,y) reprasentiert wird, besagt aber

d(n) = pGq⇒ T ` δ (n,pGq) und T ` ∃!y δ (n,y).

Somit gilt insbesondere

(2) T ` ∀y (δ (n,y)↔ y = pGq) und zusammen mit (1) folgt darausT ` G↔∀y (y = pGq)→ θ(y)), alsoT ` G↔ θ(pGq).

16.3 Satz von Godel-Rosser

T sei eine rekursive Menge von (Godel-Nummern von) L-Satzen, so daß gilt:

(i) T enthalt keinen Widerspruch, d. h. es gibt keinen L-Satz σ mit pσq ∈ T

und zugleich p¬σq ∈ T,

(ii) T enthalt alle Σ1 und Π1-Satze, die in PA− gelten:

pσq | σ ∈ Σ1∪Π1,σ Satz ,PA− ` σ ⊆ T.

Dann ist T Π1-unvollstandig in folgendem Sinne: es gibt einen Π1-Satz τ

mitpτq 6∈ T und p¬τq 6∈ T.

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16.4. ERSTER GODELSCHER UNVOLLSTANDIGKEITSSATZ 230

Beweis: Da T rekursiv ist, gibt es eine Σ1-Formel θ(v), so daß fur alle n ∈ N

n ∈ T =⇒ PA− ` θ(n),

n 6∈ T =⇒ PA− ` ¬θ(n).

Nach dem Diagonalisierungslemma 16.2 gibt es einen Π1-Satz τ mit

PA− ` τ ↔¬θ(pτq).

Mit (ii) folgt daraus

pτq ∈ T⇒ PA− ` θ(pτq)⇒ PA− ` ¬τ ⇒ p¬τq ∈ T

und ebenso mit (i)

p¬τq ∈ T⇒ pτq 6∈ T⇒ PA− ` ¬θ(pτq)⇒ PA− ` τ ⇒ pτq ∈ T,

so daß weder pτq noch p¬τq in T sein konnen.

Eine Theorie T heißt rekursiv-axiomatisierbar gdw sie ein AxiomensystemΣ besitzt, fur welches die Menge der GODELnummern pσq | σ ∈ Σ rekursiv ist.

16.4 Erster Godelscher Unvollstandigkeitssatz

T sei eine konsistente2 und rekursiv-axiomatisierbare Theorie der Sprache L, wel-che die Theorie PA− erweitert. Dann ist T Π1-unvollstandig, d. h. es gibt einenΠ1-Satz τ mit

T 6` τ und T 6` ¬τ.

Beweis: Wir nehmen an, daß T sowohl konsistent und rekursiv-axiomatisierbarals auch Π1-vollstandig ist und leiten daraus einen Widerspruch ab: Setze

S := pσq | σ ∈ Σ1∪Π1,σ Satz ,T ` σ.

Dann ist S rekursiv (denn um nachzuprufen, ob ein Σ1 oder Π1-Satz σ in S ist,braucht man nur die rekursive Aufzahlung der in T beweisbaren Satze der Form

2Die ursprungliche Fassung des GODELschen Satzes hatte die starkere Voraussetzung der ω-Konsistenz von T (d. h. fur alle L-Formeln θ(v) mit T ` θ(n) fur alle n ∈ N ist T[∀vθ(v)] konsi-stent). ROSSER hat 1936 die obige starkere Version bewiesen.

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16.5. KOMBINATORISCHE PRINZIPIEN 231

σ bzw. ¬σ zu durchlaufen, wegen der Π1-Vollstandigkeit muß einer der beidennach endlich-vielen Schritten auftauchen). Somit laßt sich der Satz von GODEL-ROSSER anwenden, wonach S Π1-unvollstandig ist, ein Widerspruch!

Jede konsistente Erweiterung T von PA− hat nach dem Satz von LINDEN-BAUM 4.9.1 eine vollstandige und konsistente Erweiterung, von denen also keinerekursiv (d. h. entscheidbar) sein kann. Aus dem obigen Satz kann man ubrigensfolgern, daß jede rekursive konsistente Erweiterung von PA− sogar 2ℵ0-viele Er-weiterungen und ebenso viele abzahlbare Modelle besitzt, die nicht elementar-aquivalent sind (s. R. KAYE: Models of Peano Arithmetic, pp. 39ff).

Mathematisch interessantere Satze, die in der PEANO-Arithmetik unabhangigsind, erhalt man durch

16.5 Kombinatorische Prinzipien

In seiner einfachsten Form besagt das

Schubfachprinzip:

(1) Verteilt man n Elemente in m < n-viele Schubladen, so muß eine der Schub-laden mindestens 2 Elemente enthalten.

Die Verallgemeinerung auf unendliche Mengen lautet:

(2) Ist eine unendliche Menge zerlegt in endlich-viele Mengen, so muß wenig-stens eine dieser Mengen unendlich sein:

A = A0 ∪ . . . ∪Ak unendlich →∃i≤ k (Ai unendlich) .

Zur weiteren Verallgemeinerung setzen wir

[A]n := x⊆ A | |x|= nMenge der n-elementigen Teilmengen von A.

Eine Zerlegung der n-elementigen Teilmengen von A in k Teilmengen kannman auch durch eine Funktion

f : [A]n→ k

wiedergeben (Ai = x ∈ A | f (x) = i sind dann die Zerlegungsmengen), und einsolches f nennt man etwas anschaulicher auch eine Farbung (von [A]n) mit kFarben. Eine Teilmenge X ⊆ A mit [X ]n ⊆ Ai fur ein i < k (deren n-Tupel alsoeinfarbig sind) heißt homogen fur die Zerlegung f . Der

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16.5. KOMBINATORISCHE PRINZIPIEN 232

Satz von Ramsey3

f : [N]n→ k →∃X ⊆ N (X unendlich ∧ ∀u,v ∈ [X ]n f (u) = f (v)).

besagt also, daß jede Farbung der n-elementigen Teilmengen von naturlichen Zah-len mit endlich-vielen Farben eine unendliche homogene Teilmenge besitzt. Die-ser Satz ist in der Mengenlehre mit einer schwachen Form des Auswahlaxiomsbeweisbar (s. etwa D. MARKER: Model Theory: An Introduction, § 5.1).

In diesem Zusammenhang benutzt man folgende Notationen:

Definition

Eine (endliche) Menge H von Ordinalzahlen heißt

relativ groß↔ card(H)≥ min(H).

Sind n,k ∈ N,α,γ ∈ On, so bedeute

γ −→ (α)nk bzw. γ

min−→ (α)nk

daß es fur jede Farbung f der n-elementigen Teilmengen von γ mit k Farben eine(relativ große) Teilmenge H ⊆ γ vom Ordnungstyp α gibt, die homogen fur f ist.

Der obige Satz von RAMSEY besagt also: ∀n,k ω −→ (ω)nk . Hieraus folgert

man den finitaren Satz von RAMSEY:

∀m,n,k∃r r −→ (m)nk .

Dieser Satz uber naturliche Zahlen laßt sich in der Sprache der PEANO-Arith-metik ausdrucken und auch beweisen; eine (anscheinend) leichte Verstarkung abernicht mehr: PARIS-HARRINGTON4 haben gezeigt:

Satz

Die Aussage∀m,n,k∃r r min−→ (m)n

k

ist in der Mengenlehre beweisbar, nicht aber in PA (falls PA konsistent ist). DieExistenz dieser Zahlen r kann man in PA nicht mehr allgemein zeigen, tatsachlichfuhren sie zu sehr großen Zahlen: Ist

σ(n) = das kleinste r mit r min−→ (n+1)nn,

3F. P. RAMSEY: On a problem of formal logic. Proc. London Math. Soc. (2) 30 (1929), 264-2864A mathematical Incompleteness in Peano Arithmetic. In: Handbook of Mathematical Logic,

ed. Barwise, Elsevier 1982

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16.6. ZWEITER GODELSCHER UNVOLLSTANDIGKEITSSATZ 233

so ubertrifft die Funktion σ schließlich jede rekursive Funktion f (d. h. es zu jederrekursiven Funktion f gibt es ein p mit f (n) < σ(n) fur alle n≥ p).5

16.6 Zweiter Godelscher Unvollstandigkeitssatz

Mit Hilfe einer GODEL-Nummerierung kann man syntaktische Eigenschaften vonFormeln in zahlentheoretische Eigenschaften ubersetzen. Da auch Beweise end-liche Folgen von Formeln sind, kann man auch diese durch naturliche Zahlencodieren und L-Formeln BewT,bewbT finden, so daß

(i) BewT(n,m) ausdruckt: “n ist die Nummer eines Beweises einer Formel ϕ

mit der GODELnummer m” und

(ii) bewbT(m) :↔ ∃nBewT(n,m) ausdruckt: “m ist die GODELnummer einerFormel ϕ , welche in T beweisbar ist.”

Ist die Theorie T rekursiv-axiomatisierbar, so ist das Beweispradikat rekursivund das Beweisbarkeitspradikat r.e. Ferner kann man dann fur eine geeignete Σ1-Formel θ = bewbT die folgenden Ableitbarkeits-Bedingungen nachweisen:

T ` σ =⇒ T ` θ(pσq)

T ` θ(pσ → τq) → (θ(pσq)→ θ(pτq))

T ` θ(pσq) → θ(p(θ(pσq)q)

(Dabei sind σ ,τ beliebige Satze der Sprache L, und die GODEL-Nummern n soll-ten in diesen Formeln jeweils durch die entsprechenden Terme n ersetzt sein. ZumNachweis benotigt man allerdings eine starkere Theorie als PA−, etwa PA.) UnterBenutzung eines derartigen Beweisbegriffes kann man auch die Konsistenz einerTheorie formalisieren, etwa

ConT :↔¬θ(p0 = 1q).

Damit kann man dann zeigen:

5J. KETONEN - R. SOLOVAY: Rapidly growing Ramsey functions. Annals of mathematics (2)113 (1981), 267-314. Einen guten Uberblick uber dieses Thema findet man auch beiC. SMORYNSKI: Some rapidly growing functions. The Mathematical Intelligencer 2,3 (1979),149-154

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16.7. WAHRHEIT IST NICHT ARITHMETISCH DEFINIERBAR 234

2. Godelscher Unvollstandigkeitssatz

T sei eine Theorie der Sprache L, fur welche ein formales Beweispradikat θ = θT

mit den obigen Bedingungen existiere (z. B. T = PA). Dann gilt:

T ist konsistent =⇒ T 6`ConT.

Beweis: (Skizze) Nach dem Diagonalisierungslemma existiert ein Satz τ , so daß:

(∗) T ` τ ↔¬θ(pτq).

Falls T ` τ , so folgt aus der 1. Ableitbarkeitsbedingung: T ` θ(pτq), also nach(*) T ` ¬τ , d. h. T ist inkonsistent. Damit haben wir:

(∗∗) T konsistent =⇒ T 6` τ.

Man zeige, daß sich dieser Beweis formalisieren und mit Hilfe des durch θ in T

formalisierten Beweispradikates darstellen laßt, also

T `ConT→¬θT(pτq).

Sei nun T konsistent, also nach (**) T 6` τ . Dann ist wegen (*) auch T 6` ¬θ(pτq)und somit auch T 6`ConT.

Dieser Satz besagt also, daß man selbst mit den Mitteln der PEANO-Arithme-tik keinen Beweis der Konsistenz dieser Theorie finden kann (ein Beweis derKonsistenz einer Theorie T wurde uberdies nur uberzeugend sein, wenn er un-ter schwacheren Voraussetzungen moglich ware, als sie Theorie T zur Verfugungstellt), und diese Aussage gilt auch fur alle weiteren formalen Theorien, in welchersich die PEANO-Arithmetik interpretieren laßt (wie z. B. die ubliche axiomatischeMengenlehre).

16.7 Wahrheit ist nicht arithmetisch definierbar

Wahrend sich die ublichen syntaktischen Begriffe, die zu einer formalen SpracheL gebildet werden, in der Sprache der Zahlentheorie definieren lassen und ihrewesentlichen Eigenschaften zumindest in der Theorie PA beweisen lassen, ist diesfur den semantischen Wahrheitsbegriff nicht moglich:

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16.8. UNENTSCHEIDBARKEIT 235

Satz von Tarski

Es sei M |= PA−. Dann gibt es keine L-Formel θ(v), so daß fur alle naturlichenZahlen n

M |= θ(n) ⇐⇒ n = pσq fur einen L-Satz σ mit M |= σ .

Beweis: Wenn es eine solche Wahrheitsdefinition θ gabe, so konnte man nachdem Diagonalisierungslemma 16.2 einen Satz G finden, so daß

PA− ` G ↔ ¬θ(G), insbesondere

M |= G ⇐⇒ M |= ¬θ(pGq).

Andererseits mußte fur die Wahrheitsdefinition gelten:

M |= G ⇐⇒ M |= θ(pGq),

was aber zum Widerspruch fuhrt!

16.8 Unentscheidbarkeit

Wie im vorigen Abschnitt werden wir gelegentlich eine formale Theorie T mit

pTq = pσq | σ Satz mit T ` σ,

der Menge der GODEL-Nummern der in T beweisbaren Satze identifizieren. Soheißt eine Theorie T entscheidbar gdw pTq entscheidbar (d. h. rekursiv) ist; istT nicht entscheidbar, so heißt T unentscheidbar. Fur eine entscheidbare Theo-rie T gibt es also ein effektives Verfahren, welches nach endlich-vielen Schrittenfeststellt, ob ein vorgegebener Satz (in der Sprache der Theorie) in T beweisbarist oder nicht.

Indem man die Diagonalfunktion d benutzt, kann man nach der Methode desSatzes von GODEL-ROSSER 16.3 zeigen:

Satz

Ist T eine konsistente Theorie der Sprache L, so sind nicht die Diagonalfunktiond und zugleich die Menge pTq in T reprasentierbar.

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16.8. UNENTSCHEIDBARKEIT 236

Beweis: Wir nehmen an, daß sowohl d durch eine Formel δ (x,y) wie auch dieMenge pTq durch eine Formel ϕT(v0) in T reprasentiert werden und wahlen θ =¬ϕT. Aus dem Diagonalisierungslemma 16.2 erhalten wir dann die Existenz einerFormel G mit

(∗) T ` G↔¬ϕT(pGq).

1. Fall: T ` G, also pGq ∈ pTq. Dann gilt wegen der Reprasentierbarkeit:T ` ϕT(pGq) und mit (*) auch T ` ¬G, d. h. T ware widerspruchsvoll.

2. Fall: T 6` G, also pGq 6∈ pTq. Dann gilt wiederum wegen der Reprasentier-barkeit: T ` ¬ϕT(pGq), mit (*) also T ` G, Widerspruch!

Folgerungen und Bemerkungen

(i) Ist T eine konsistente Theorie der Sprache L, welche PA− erweitert, so istT unentscheidbar.(Denn dann ist jede rekursive Funktion, also auch d, in T reprasentierbar.)Da dieses fur die endlich-axiomatisierbare Theorie PA− gilt, so erhaltenwir:

(ii) Die Pradikatenlogik, d. h. pσq | σ Satz mit ` σ, ist unentscheidbar.(CHURCH 1936) Tatsachlich gilt bereits:

(iii) Die Pradikatenlogik mit einem 2-stelligen Relationszeichen ist unentscheid-bar (ebenso die PL mit mindestens zwei 1-stelligen oder mindestens einem2-stelligen Funktionszeichen). (TRACHTENBROT 1953)

Denn es gibt eine endlich-axiomatisierbare Teiltheorie der Mengenlehre (inder Sprache mit der ∈-Relation), in welcher sich alle rekursiven Funktionenreprasentieren lassen. Dagegen ist

(iv) die monadische Pradikatenlogik (mit nur 1-stelligen Relationszeichen au-ßer der Gleichheit) entscheidbar. (BEHMANN 1922)

(v) Die Theorie der Gruppen ist unentscheidbar (MALCEV 1961), die Theorieder ABELschen Gruppen dagegen ist entscheidbar (W. SMIELEW 1949).

Ein Beispiel eines Entscheidungsverfahrens fur eine algebraische Theoriebehandeln wir im nachsten Teil.

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16.8. UNENTSCHEIDBARKEIT 237

Das Entscheidungsproblem fur die Pradikatenlogik

Ohne Beweis (s. hierzu etwa BORGER-GRADEL-GUREVICH 1997) fuhren wirdie folgenden Ergebnisse an:

• entscheidbar (bezuglich Allgemeingultigkeit) sind Formeln der Pradika-tenlogik mit folgenden Prafixtypen:

∀ . . .∀∃ . . .∃∀ . . .∀∃∀ . . .∀∀ . . .∀∃∃∀ . . .∀ (ohne =-Zeichen!)

• unentscheidbar (bezuglich Allgemeingultigkeit) sind bereits Formeln derPradikatenlogik mit folgendem Prafix (selbst ohne =-Zeichen):

∃∀∃

• Reduktionstypen (d. h. Allgemeingultigkeit ist auf Formeln dieses Typszuruckzufuhren) sind die folgenden Formelklassen:

∃∃∃∀ . . .∀∃∃∀ . . .∀∃∃∃∀∃ . . .∃∀∃∀∃ . . .∃

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Kapitel 17

Literatur

Geschichte

BOCHENSKI, J.M.: Formale Logik. Alber, Freiburg 1966DUMMETT, M.: Frege. Harvard Univ. Press 1991DRUCKER, TH. (ed.): Perspectives on the history of mathematical logic.

Birkhauser 1991KUTSCHERA, F. V.: Gottlob Frege. Eine Einfuhrung in sein Werk.

de Gruyter 1989HASENJAEGER, G.: Grundbegriffe und Probleme der math. Logik.

Alber, Freiburg 1962KNEALE, W. und M.: The development of logic. Oxford Univ. Press 1962SCHOLZ, H.: Abriß der Logik. Alber, Freiburg 1996

Mathematische Logik

ASSER, G.: Einfuhrung in die mathematische Logik I-III. Teubner 1981EBBINGHAUS-FLUM-THOMAS: Einfuhrung in die mathematische Logik.

Spectrum Akademischer Verlag 1996HILBERT-BERNAYS: Grundlagen der Mathematik I,II.

Springer 1934/39, Neuauflage: 1968/70HILBERT-ACKERMANN: Grundzuge der mathematischen Logik.

Springer (mehrere Auflagen)MATES, B.: Elementare Logik. Vandenhoeck & Ruprecht 1978MENDELSON, E.: Introduction to Math. Logic. Chapman & Hall 1997

Page 247: Skriptum zur Vorlesung Mathematische Logik · phischen) Logik, aber - methodisch - ermoglicht diese Beschr¨ ankung es an-¨ dererseits, sie selbst als (ii) eine formale mathematischen

239

NOVIKOV, P.S.: Grundzuge der Mathematischen Logik. vieweg 1973PRESTEL, A.: Einfuhrung in die Mathematische Logik und Modelltheorie.

vieweg 1986RAUTENBERG, W.: Einfuhrung in die Mathematische Logik. vieweg 2002RASIOWA-SIKORSKI: The Mathematics of Metamathematics.

Polish Scientific Publ. 1968SHOENFIELD, J.R.: Mathematical Logic. Addison-Wesley 1967 TOURLAKIS,G.: Lectures in Logic and Set Theory. Cambridge 2003TUSCHIK-WOLTER: Mathematische Logik - kurzgefaßt.

Spectrum Akademischer Verlag 2002

Mengenlehre

CANTOR, G.: Gesammelte Abhandlungen. Springer 1980DEISER, O.: Einfuhrung in die Mengenlehre. Springer 2004EBBINGHAUS, D.: Einfuhrung in die Mengenlehre.

Spectrum Akademischer Verlag 2003FELGNER, U. (Herausgeber): Mengenlehre. Wiss. Buchgesellschaft 1979FRAENKEL, A.- BAR HILLEL, Y. - LEVY, A.: Foundations of Set Theory.

Amsterdam 1973FRIEDRICHSDORF, U.-PRESTEL, A.: Mengenlehre fur den Mathematiker.

vieweg 1985JECH, TH.: Set Theory. Springer 2003KANAMORI, A.: The mathematical development of set theory from Cantor

to Cohen Bull. Symb. Logic 2,1, 1-71 (1996)LEVY, A.: Basic Set Theory. Springer 1979

Modelltheorie

CHANG-KEISLER: Model Theory. Elsevier 1990HODGES, W.: Model Theory. Cambridge Univ. Press 1993KAY, R.: Models of Peano Arithmetic. Oxford University Press 1991MARCJA-TOFFALORI: A Guide to Classical and Modern Model Theory.

Kluwer 2003MARKER, D.: Model Theory. An Introduction Springer 2002

Page 248: Skriptum zur Vorlesung Mathematische Logik · phischen) Logik, aber - methodisch - ermoglicht diese Beschr¨ ankung es an-¨ dererseits, sie selbst als (ii) eine formale mathematischen

240

Berechenbarkeit, Unentscheidbarkeit, Unvollstandigkeit

BORGER, E.: Berechenbarkeit, Komplexitat, Logik. vieweg 1992BOGER-GRADEL-GUREVICH: The classical decision problem. Springer 1997CUTLAND, N.: Computability Cambridge University Press 1980KAYE, R.: Models of Peano Arithmetic Clarendon Press 1991

Informatik, autom. Beweisen, Varia

BARWISE, J. (ed.): Handbook of Mathematical Logic. Elsevier 1982GABBAY-GUENTHNER (ed.): Handbook of Philosophical Logic. Kluwer 2003FITTING, M.: First-order logic and automated theorem proving. Springer 1990HEINEMANN-WEIHRAUCH: Logik fur Informatiker Teubner 1991HOFSTADTER, D.R.: Godel, Escher, Bach.

Basic Book 1979, deutsch bei Klett-Cotta und dtvSCHONING, U.: Logik fur Informatiker B.I. Verlag 1987

BibliographieG.H. MULLER und V. LENSKI (ed.): Ω-Bibliography of Mathematical Logic.

Vol. I-VI. Springer 1987, fortgesetzt im internet unter:http://www-logic.uni-kl.de/BIBL/index.htmlWeitere links auch uber http://www.math.uni-heidelberg.de/logic/wwwlinks.html

Skripten im Internet uber die linkshttp://www.math.uni-heidelberg.de/logic/skripten.htmlhttp://www.uni-bonn.de/logic/world.htmlBiographien: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/ history/BiogIndex.html

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