Software-Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle · Spannung in Pascal [Pa=N/m2] Arbeit in Joule [J=N m] Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Einführung 7 Bemerkung: Tabelle

Version: 1.3.0

Software-Manual

Vol. B: Theorie und Materialmodelle

Stand: 06.12.2015

Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Einführung

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Inhalt 1 Einführung ......................................................................................... 6

1.1 Einheiten ........................................................................................ 6

1.2 Gültigkeit von ermittelten Materialparametern .................................... 7

2 Bemerkungen zu Optimierungsalgorithmen ............................................ 9

2.1 Das inverse Problem ........................................................................ 9

2.2 Fehlerquadratsumme ....................................................................... 9

2.3 Korrelationsmatrix ......................................................................... 11

2.4 Startparameter und Parametergrenzen ............................................ 11

2.4.1 Allgemeine Anmerkungen ...................................................... 11

2.4.2 Lösung und Konvergenz der Materialparameteroptimierung ........ 12

2.4.3 Festhalten von Materialparametern ......................................... 13

3 Anmerkungen zur Kontinuumsmechanik ............................................... 14

3.1 Vorabbemerkungen ....................................................................... 14

3.2 Bemerkungen zu Symbolen und Operatoren ..................................... 14

3.2.1 Symbole und mathematische Operatoren ................................. 14

3.2.2 Spezielle Tensoren 2. Stufe .................................................... 15

3.3 Kinematik finiter Deformationen ...................................................... 16

3.3.1 Eigenwerte und Eigenvektoren von Verzerrungstensoren ........... 17

3.4 Kinematik kleiner Deformationen .................................................... 18

3.5 Mechanische Spannungen .............................................................. 19

3.5.1 Vorabbemerkungen zu Spannungskomponenten ....................... 19

3.5.2 Spannungen bei finiten Deformationen .................................... 19

3.5.3 Spannungen bei kleinen Deformationen ................................... 21

4 Korrespondierende Mess- und Simulationsdaten .................................... 22

4.1 Korrespondierende Mess- und Simulationsdaten für 'SMALL strain'-

Materialmodelle .................................................................................... 22

4.2 Korrespondierende Mess- und Simulationsdaten für 'LARGE strain'-

Materialmodelle .................................................................................... 23

4.2.1 Wahre (Cauchy) Spannungen und logarithmische Dehnungen

(MEAS=true) .................................................................................... 23

4.2.2 Nominelle Spannungen und Dehnungen (MEAS=nom) ............... 25

5 Versuchstypen für die Materialparameterermittlung ............................... 26

5.1 Allgemeine Anmerkungen ............................................................... 26


4

5.1.1 Homogene Verzerrungs- bzw. Spannungszustände .................... 26

5.1.2 Versuchsbezeichnungen ......................................................... 26

5.1.3 Messdaten bei Versuchsbeginn ............................................... 27

5.1.4 Anzahl an Last- oder Zeitschritten ........................................... 27

5.1.5 Auswahl der Versuchstypen in Abhängigkeit vom Materialmodell. 28

5.2 Versuchstyp ‚Uniaxial‘: Uniaxialer Zug- und/oder Druckversuch .......... 29

5.3 Versuchstyp ‚Biaxial‘: Biaxialversuch................................................ 32

5.4 Versuchstyp ‚Shear‘ bzw. ‚Simple Shear‘: Einfacher Schub ................. 35

5.4.1 Versuchstyp ‚Shear‘ bei 'SMALL strain'-Materialmodellen ............ 36

5.4.2 Versuchstyp ‚Simple Shear‘ bei 'LARGE strain'-Materialmodellen . 37

6 Materialmodelle ................................................................................ 39

6.1 Lineare Elastizität (Small Strain) ..................................................... 40

6.1.1 1D/3D SMALL strain ELASTICITY............................................. 41

6.1.2 SMALL strain orthotropic ELASTICITY ...................................... 42

6.1.3 SMALL strain transversely isotropic ELASTICITY, rotat. symm.: X 45

6.1.4 SMALL strain transversely isotropic ELASTICITY, rotat. symm.: Y 47

6.1.5 SMALL strain transversely isotropic ELASTICITY, rotat. symm.: Z 49

6.2 Hyperelastizät ............................................................................... 51

6.2.1 Allgemeine Anmerkungen ...................................................... 52

6.2.2 LARGE strain NEO-HOOKEan HYPERelasticity ............................ 54

6.2.3 LARGE strain MOONEY-Rivlin HYPERelasticity ........................... 57

6.2.4 LARGE strain OGDEN HYPERelasticity ...................................... 61

6.3 Von Mises (Visko-) Plastizität .......................................................... 65

6.3.1 1D/3D SMALL strain Von Mises plasticity (rate independent,

nonlinear isotropic hardening) ............................................................. 66

6.3.2 1D/3D SMALL strain von MISES VISCOPLASTICITY (Cowper-

Symonds, nonl. isotr. hardening) ........................................................ 71

6.3.3 LARGE strain von MISES PLASTICITY (nonlinear isotropic

hardening), MEAS=true ..................................................................... 77

6.3.4 LARGE strain von MISES VISCOPLASTICITY (Cowper-Symonds,

nonl. isotr. hardening), MEAS=true ..................................................... 82

6.4 Ramberg-Osgood (Deformation Plasticity) ........................................ 89

6.4.1 1D SMALL strain deformation plasticity (rate independent

RAMBERG-OSGOOD) ......................................................................... 89


5

6.4.2 3D SMALL strain deformation plasticity (rate independent

RAMBERG-OSGOOD) ......................................................................... 89

6.5 Hill- (Visko-) Plastizität .................................................................. 93

6.5.1 Namenskonvention ............................................................... 93

6.5.2 Small strain Hill (Visco-)plasticity ............................................ 96

6.5.3 Large strain Hill (Visco-)plasticity ...........................................107

6.6 Viskoelastizität .............................................................................108

6.6.1 SMALL strain VISCOELASTICITY ............................................109

6.6.2 LARGE strain OGDEN VISCOELASTICITY .................................116

7 Literaturverzeichnis ..........................................................................128

8 Trademarks .....................................................................................129


6

1 Einführung

Das Ziel der Parameteridentifikation für ein Materialmodell ist, die Materialpara-

meter so zu optimieren, dass das Materialmodell Simulationsdaten liefert, welche

minimal von den experimentellen Daten abweichen.

In FEMCard Basic wird die Parameteridentifikation als (mathematisches) Optimie-

rungsproblem betrachtet und die Unterschiede zwischen den gemessenen und si-

mulierten Daten werden mittels eines Least-Squares-Algorithmus' minimiert. In

der Optimierungsroutine werden hierbei durch Variation der Materialparameter

die Dehnungsfelder variiert und die Abweichungen zwischen gemessenen und si-

mulierten Dehnungsfeldern berechnet.

FEMCard Basic führt die Parameteridentifikation für homogene Spannungszu-

stände linearer und nichtlinearer Materialmodelle durch. Hierbei können mehrere

verschiedene Versuche gleichzeitig in die Parameteridentifikation eingehen, wie

z.B. uniaxialer Zug/Druck, biaxialer Zug/Druck oder einfache Scherung. Die Las-

ten bei den jeweiligen Versuchen können mit beliebiger Lastgeschichte variieren.

Bei den Zug- und Druckversuchen werden die Längs- und Querdehnung berück-

sichtigt. Die Software kann mit zunehmender Anzahl an einfließenden Versuchen

die Streuungen zwischen verschiedenen Versuchen besser berücksichtigen, wo-

bei die Parameter diesbezüglich nichtlinear gemittelt werden (keine arithmetische

Mittelung der Parameter für Einzelversuche).

1.1 Einheiten

So wie auch viele andere Simulationsprogramme wie Finite-Elemente-Softwares

hat FEMCard Basic kein eingebettetes Einheitensystem. Es liegt in der Verantwor-

tung des Benutzers, in sich konsistente Einheiten für die eingegebenen Mess-

werte zu verwenden.

Die Einheiten der Materialparameter ergeben sich aus den Einheiten der Mess-

werte. Für die in FEMCard Basic verwendeten Messwerttypen sind die grundle-

genden Einheiten im SI-System

Masse in Kilogramm [kg]

Länge in Meter [m]

Zeit in Sekunden [s]

Typische hieraus abgeleitete Größen im SI-System sind

Kraft in Newton [N=kg m/s2]

Spannung in Pascal [Pa=N/m2]

Arbeit in Joule [J=N m]


7

Bemerkung: Tabelle 1 zeigt die Umrechnung zu einem weiteren, in sich konsis-

tenten Einheitensystem, welches oft innerhalb von FEM-Anwendungen verwendet

wird:

Tabelle 1: Beispiele für konsistente Einheitensysteme

System MKS mmNS

Länge m mm

Zeit s s

Masse kg Tonne=1000kg

Kraft N N

Fläche m2 mm2

Volumen m3 mm3

Geschwindigkeit m/s mm/sec

Spannung Pa MPa

Elastizitätsmodul Pa MPa

Arbeit J mJ

1.2 Gültigkeit von ermittelten Materialparametern

FEMCard Basic ist als Software ein Hilfsmittel, um simulierte Daten an gemes-

sene Daten anzupassen. Die Ergebnisse dieser Abgleiche sind (unter anderem)

Materialparameter. Hierbei ist folgendes zu beachten:

I. Der Benutzer entscheidet, wann die Optimierungsroutine angehalten wird,

bzw. wann das Programm diese automatisch anhält. Die Gültigkeit der er-

mittelten Materialparameter beurteilt der Benutzer eigenständig.

II. Die Materialparameter können überhaupt nur für den mit Messdaten be-

legten Bereich der korrespondierenden Simulation gültig sein.

III. Es liegt in der Verantwortung des Benutzers, geeignete Messdaten für die

Materialparameterermittlungen zu verwenden.

IV. Die Optimierung der Materialparameter ist mathematisch betrachtet in der

Regel ein schlecht gestelltes Problem, was bedeutet, dass mindestens eine

der drei Bedingungen nicht erfüllt ist:

a. Es existiert eine Lösung

b. Die Lösung ist eindeutig

c. Die Lösung ist stabil

V. Sollen die in FEMCard Basic ermittelten Materialparameter für Berechnun-

gen mit der Finite-Elemente-Methode (FEM) verwendet werden, ist vom

Benutzer vorab zu prüfen, ob die in FEMCard Basic berechneten Simulati-

onsergebnisse mit den korrespondierenden, in der zu verwendenden Fi-

nite-Elemente-Software berechneten Simulationsergebnissen übereinstim-

men. Aufgrund der evtl. unterschiedlichen Implementierung der Material-

modelle in die jeweilige Finite-Elemente-Software bzw. anderer Formulie-


8

rungen im Bereich der Numerik kann keine Garantie für die Übereinstim-

mung der Simulationsergebnisse gegeben werden. Sämtliche Angaben in

FEMCard Basic zu Materialparametern im Zusammenhang mit der Weiter-

verwendung in der jeweils genannten Finite-Elemente-Software sind ohne

Gewähr und in jedem Fall vom Benutzer selbst zu prüfen.

Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Bemerkungen zu Optimierungsalgorithmen

9

2 Bemerkungen zu Optimierungsalgorithmen

2.1 Das inverse Problem

Die konstitutiven Gleichungen für ein Materialmodell liefern den funktionalen Zu-

sammenhang zwischen den Spannungen und Verzerrungen. Die Lösung dieses

Randwertproblems (RWP) wird als direktes Problem bezeichnet. Das Ziel der Pa-

rameteridentifikation und dementsprechend der Lösung des inversen Problems

für ein Materialmodell ist, die Materialparameter so zu optimieren, dass das Ma-

terialmodell Simulationsdaten liefert, welche minimal von den experimentellen

Daten abweichen.

Die Simulationsdaten, die in FEMCard Basic verglichen werden, sind Dehnungs-

felder. Mittels Variation der Materialparameter werden die Dehnungsfelder vari-

iert, wobei bei der Simulation als Randbedingungen die in Versuchen ermittelten

Spannungen und weiterhin Einspannungen entsprechend dem jeweiligen Ver-

suchstyp verwendet werden.

2.2 Fehlerquadratsumme

Die in FEMCard Basic verwendete Vorgehensweise bei der Identifikation von Ma-

terialparametern ist die Minimierung einer Fehlerquadratsumme, in der die ge-

messenen und entsprechend simulierten Dehnungen verglichen werden. Um die

Parameter anhand der Versuche A, B, …, W gleichzeitig zu identifizieren, wird als

Zielfunktion ( )f κ folgende Fehlerquadratsumme verwendet

QA B

22 2 TT T

a a a b b b q q q

a=1 b=1 q=1

1( ) ( ) ( ) ... ( )

2

exp exp exp

A B Q

f

κ ε κ ε ε κ ε ε κ εW W W

(2.1)

Hierbei sind AT , BT , …, QT die betrachteten Anzahlen an Zeit- bzw. Lastschritten

für die Versuche. Weiterhin sind aW , bW und qW die Wichtungsmatrizen für die

im jeweiligen Versuch gemessenen und simulierten Dehnungen. Diese Wichtun-

gen setzen sich jeweils wiederum aus einzelnen Wichtungen folgendermaßen zu-

sammen:

Für das Beispiel für qW des 17. Versuchs bei Lastschritt q ergibt sich

SD

17T TR

q 17SD

17

1 017 q

0 2

wW w w

w . (2.2)


10

Hierbei ist Tw der Wichtungsvektor für die Wichtungen zwischen den Versuchen,

SDw der zum Versuch zugehörige Wichtungsvektor für die Wichtungen zwischen

den Dehnungen (falls mehrere gemessen/simuliert werden) und TRw der Wich-

tungsvektor mit einer Wichtung für jeden Lastschritt dieses Versuchs. Für die Si-

mulation der Dehnungsfelder ( )ijε κ , ( )klε κ und ( )vwε κ ist die Simulation span-

nungsgesteuert basierend auf den experimentell bestimmten Spannungen.

Aus der oben angegebenen Gleichung (2.1) für die Fehlerquadratsumme wird er-

sichtlich, dass die Wichtungen einerseits die Ergebnisse des zu ermittelnden Pa-

rametersatzes beeinflussen, da stärker gewichtete Lastschrittbereiche, Deh-

nungsrichtungen und Versuche in der Regel besser mit der Simulation überein-

stimmen werden. Andererseits wird aber auch die Höhe der Fehlerquadratsumme

hiervon beeinflusst. Somit sind die Werte für die Fehlerquadratsummen von Pa-

rameteridentifikationen mit unterschiedlichen Wichtungen nicht direkt sondern

nur unter Berücksichtigung der verwendeten Wichtungen vergleichbar.

________________________________________________________________

Bemerkung: Die genannten Wichtungen können in FEMCard Basic entweder au-

tomatisch berechnet oder vom Benutzer gewählt werden. Hierbei ist folgendes zu

beachten:

Die Wichtungen TRw für jeden Last- oder Zeitschritt des Versuchs lassen sich pro

Versuch innerhalb von sechs Lastschrittbereichen definieren. Die Bezeichnung in

FEMCard Basic lautet „Weights TR“. Nach Einlesen von Versuchsdaten werden

diese Wichtungen direkt von FEMCard Basic vorgeschlagen und können danach

vom Benutzer geändert werden.

Die Wichtungen SDw für die Wichtungen zwischen den Dehnungen haben in

FEMCard Basic die Bezeichnung „Weights SD“. Hat der Versuch zwei Dehnungs-

richtungen werden nach Einlesen von Versuchsdaten diese Wichtungen direkt

von FEMCard Basic vorgeschlagen und können danach vom Benutzer geändert

werden.

Die Wichtungen Tw für die Wichtungen zwischen den Versuchen haben in

FEMCard Basic die Bezeichnung „Weights T“. Wird mehr als ein Versuch eingele-

sen kann der Benutzer diese von FEMCard Basic vorschlagen lassen oder selbst

eingeben.

________________________________________________________________


11

2.3 Korrelationsmatrix

Während der Parameteridentifikation wird bei jedem Iterationsschritt die Korrela-

tionsmatrix K erstellt. Diese gibt die Abhängigkeiten der Parameter zueinander

an. Für die Einträge gilt 1 1abK . Je kleiner der Wert abK , desto geringer ist

die Korrelation zwischen den Parametern a und

b . Geht der Wert von abK ge-

gen 1, nimmt die Abhängigkeit zwischen den Parametern zu.

Werte von abK nahe bei 1 können ein Hinweis darauf sein, dass eine unzulängli-

che Menge an experimentellen Daten instabile oder uneindeutige Parameter-

schätzungen hervorrufen. Wenn die experimentellen Daten unvollständig sind,

können diese nicht die gesamte Bandbreite an vorgesehenen Modellfunktionen

abdecken (siehe Mahnken und Stein (1), Mahnken (2)).

________________________________________________________________

Bemerkung: Um diese Instabilität, die, wie oben genannt, aus Überparametrisie-

rung entstehen kann, zu umgehen, kann getestet werden, ob ein Parameter auf

einem sinnvollen Wert festgehalten werden kann. Weiterhin könnte ein anderes,

weniger Modellfunktionen abbildendes Materialmodell getestet werden.

________________________________________________________________

Sind die Parameterwerte weit entfernt von den optimalen Parametern, kann die-

ses ebenfalls zu Werten von abK nahe bei 1 führen. Als Beispiel wird der Materi-

alparameter für die Fließgrenze bei Plastizität angeführt: Liegt der Startparame-

ter für die Fließgrenze über dem Maximum der vorliegenden experimentell ge-

messenen Spannungen kann dieser Parameter nicht aktiviert werden.

2.4 Startparameter und Parametergrenzen

2.4.1 Allgemeine Anmerkungen

Die Minimierung der in Gleichung (2.1) dargestellten Fehlerquadratsumme erfolgt

über ein gradientenbasiertes deterministisches Optimierungsverfahren, welches

in der Regel lokale Minima der Fehlerquadratsumme ( )f κ findet, welche nicht mit

dem globalen Minimum übereinstimmen müssen.

Das oben genannte Optimierungsverfahren basiert auf dem Levenberg-Mar-

quardt-Verfahren, dessen Dämpfung mit dem Levenberg-Marquard-Faktor

(Dämpfungsfaktor) in FEMCard Basic gesteuert wird (siehe unten). Die Konver-

genzgeschwindigkeit ist ein Maß für die Abnahme der Fehlerquadratsumme wäh-

rend der Materialparameteroptimierung.

Die Materialparameter κ dürfen während der Iteration bestimmte obere und un-

tere Grenzen nicht über- bzw. unterschreiten. Diese werden einerseits durch den


12

Benutzer bei der Eingabe der Startwerte für die Materialparameter festgelegt,

sind aber auch von verschiedenen Kriterien abhängig (z.B. zur Einhaltung der

Materialstabilität), welche FEMCard Basic während der Optimierung überprüft.

Hierzu werden von FEMCard Basic bei der Eingabe der Startparameter jeweils In-

formationsmeldungen ausgegeben.

________________________________________________________________

Bemerkung:

Da die Grenzen für die Materialparameter den Optimierungsalgorithmus nichtli-

near beeinflussen, haben sie hierüber einen Einfluss auf die Konvergenzge-

schwindigkeit. Wenn dies möglich ist, sollte deshalb die Wahl von Grenzen (und

Startparameter) in einer Größenordnung gemacht werden, in der der Parameter

wahrscheinlich liegen wird.

________________________________________________________________

2.4.2 Lösung und Konvergenz der Materialparameteroptimierung

Wie in Abschnitt 1.2 beschrieben stellt die Optimierung der Materialparameter

mathematisch betrachtet in der Regel ein schlecht gestelltes Problem dar. Dies

bedeutet, dass je nach vorliegendem Fall (Kombination von Messwerten und

Messrauschen und ausgewähltem Materialmodell) folgende Punkte vom Benutzer

geprüft werden sollten:

I. Existiert eine Lösung?

II. Ist die Lösung eindeutig?

III. Ist die Lösung stabil?

Zur Überprüfung dieser Punkte, und ganz allgemein zur Steigerung der Konver-

genzgeschwindigkeit des Optimierungsalgorithmus‘ sind u.a. folgende Verfah-

rensweisen hilfreich:

Testen mehrerer Startwerte und Vergleichen der Höhe der Fehlerquadrat-

summe für die unterschiedlichen Ergebnisse (zu: Ist die Lösung eindeu-

tig?)

Wenn möglich Wahl von Startparameter und Grenzen in einer Größenord-

nung, in der der Parameter wahrscheinlich liegen wird. (Bsp.: Identifika-

tion des E-Moduls für Stahl mit Grenzen von 60000 MPa bis 300000

MPa). (zu: Existiert eine Lösung?, Konvergenzgeschwindigkeit)

Verringerung des Levenberg-Marquard-Dämpfungsfaktors bei geringer

Konvergenzgeschwindigkeit mit gleichzeitig geringen Änderungen der


13

Materialparameter zwischen den Optimierungsschritten. (zu: Konver-

genzgeschwindigkeit)

Erhöhung des Levenberg-Marquard-Dämpfungsfaktors bei starken

Schwankungen der Materialparameter zwischen den Optimierungsschrit-

ten. (zu: Existiert eine Lösung?)

Verringerung des Levenberg-Marquard-Dämpfungsfaktors bei Erreichen

eines (lokalen) Minimums (zu: Ist die Lösung stabil?)

2.4.3 Festhalten von Materialparametern

Werden Materialparameter während der Parameteridentifikation festgehalten

(siehe auch Unterabschnitt 5.1.5), muss je nach Materialgesetz folgendes beach-

tet werden:

In bestimmten Fällen können die festgehaltenen Materialparameter die für

das gewählte Materialgesetz vorliegende Materialparameter-Stabilitätsun-

tersuchung beeinflussen und somit den Raum der zulässigen Parameter-

Lösungen verringern.

Je nach Versuchstyp hat das Festhalten von bestimmten Materialparame-

tern bei bestimmten geometrisch linearen Materialgesetzen keinen Ein-

fluss auf die betrachteten simulierten Werte, während bei der geometrisch

nichtlinearen Variante dieses Materialmodells dieser Einfluss besteht (Bei-

spiel: bei geometrisch linearer von Mises Plastizität hat eine festgehaltene

Querkontraktionszahl im Zugversuch keinen Einfluss auf die axiale Deh-

nung in Lastrichtung).

Werden Parameter festgehalten (‚fixed‘), sind diese somit je nach Materialmodell

und zugehöriger Stabilitätsuntersuchung auf einen möglichst exakt das Material-

verhalten wiederspiegelnden Wert zu legen.

Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Anmerkungen zur Kontinuumsmechanik

14

3 Anmerkungen zur Kontinuumsmechanik

3.1 Vorabbemerkungen

Die geometrisch lineare Theorie (‚kleine Deformationen‘) kann allgemein dann

angewendet werden, wenn die Deformationen klein im Vergleich zu den Dimensi-

onen des mechanisch belasteten Körpers sind. Dies bedeutet somit, dass die

Gleichgewichtsbedingungen für die undeformierte Geometrie des Körpers formu-

liert werden können. Bei Annahme kleiner Verzerrungen können in FEMCard Ba-

sic die 'SMALL strain'-Materialmodelle eingesetzt werden, für welche die geomet-

risch lineare Theorie gilt. Es soll hier noch bemerkt werden, dass unter der An-

nahme kleiner Verzerrungen die Unterschiede zwischen den verschiedenen Span-

nungs- und Dehnungsmaßen verschwinden.

Es bleibt dem Benutzer überlassen, zu entscheiden, ob die Verwendung der

'SMALL strain'-Materialmodelle für die durchzuführende Materialparameterermitt-

lung zulässig ist. Im Allgemeinen können jedoch Dehnungsbereiche, in welchen

die Unterschiede zwischen den jeweils für die geometrisch lineare und nichtline-

are Theorie berechneten Dehnungen und Spannungen vernachlässigbar sind, ge-

funden werden. Für das Beispiel eines uniaxialen Zugversuches mit homogenen

Verzerrungszustand können in vielen Fällen die 'SMALL strain'-Materialmodelle

bis zu einer axialen Dehnung von 5% verwendet werden.

Wenn allgemein Verschiebungen, Rotationen und/oder Verzerrungen eine ge-

wisse Größe überschreiten, muss die geometrische Nichtlinearität (‚finite Defor-

mationen‘) berücksichtigt werden. Dieses bedeutet, dass zwischen ursprüngli-

chen und deformierten Längen (und somit Querschnitten und Volumina) unter-

schieden werden muss und zusätzlich sich Richtungen (beispielweise der Lastauf-

bringung) während der Deformation ändern können. In FEMCard Basic können

für die Materialparameterermittlung bei großen Dehnungen die 'LARGE strain'-

Materialmodelle eingesetzt werden, welche die geometrisch nichtlineare Theorie

berücksichtigen.

In diesem Kapitel werden einige Bereiche der Kontinuumsmechanik angespro-

chen, welche die Grundlage für die in FEMCard Basic verwendeten Simulations-

und Messgrößen (wie Dehnungen und Spannungen) sind.

3.2 Bemerkungen zu Symbolen und Operatoren

3.2.1 Symbole und mathematische Operatoren

det Determinante von

dev Deviator von

ln Natürlicher Logarithmus von


15

sym Symmetrischer Anteil von

tr Spur von

X Materieller Gradient von

T

Transponierte von

Α B

a b dyadisches Produkt von Tensoren 2. und 1. Stufe

:Α B Skalarprodukt zweier Tensoren

Α‖ ‖ Euklidische Norm eines Tensors

3.2.2 Spezielle Tensoren 2. Stufe

3.2.2.1 Spur

tr :A A I (3.1)

3.2.2.2 Additive sphärisch-deviatorische Zerlegung eines Tensors 2. Stufe

Im 3 3 gilt

sph dev sph dev1 1; tr ; tr

3 3 A A A A A I A A A I (3.2)

3.2.2.3 Volumetrischer Tensor

Im 3 3 gilt

1

3vol det A A I (3.3)

3.2.2.4 Isochorer Tensor

Im 3 3 gilt

1

3iso det

A A A (3.4)

3.2.2.5 Multiplikative volumetrisch-isochore Zerlegung eines Tensors 2. Stufe

vol iso A A A (3.5)


16

3.3 Kinematik finiter Deformationen

Betrachtet wird eine Bewegung ,tx X eines Körpers in drei Dimensionen, so

dass ein materieller Punkt am Ort X in der materiellen Konfiguration 0 (Refe-

renzkonfiguration) die Position x in der räumlichen Konfiguration t (Momen-

tankonfiguration) zur Zeit t einnimmt. Der aktuelle Ort x des materiellen Punk-

tes ergibt sich aus dem Ort X und der Verschiebung u mit

x X u . (3.6)

Der Deformationsgradient der Bewegung ist definiert durch XF .

Die kinematische Grundlage einiger später betrachteten Materialmodelle (z.B.

Hyperelastizität) ist die multiplikative Zerlegung des Deformationsgradientens in

einen volumetrischen und einen isochoren Anteil

1/3 , detJ J F F F . (3.7)

Der Tensor F ist isochor ( 1/3det det 1J F F ), mit der Jacobideterminante J wird

die Volumenänderung während der Deformation beschrieben.

In der geometrisch nichtlinearen Kontinuumsmechanik sehr häufig verwendete

Verzerrungsmaße sind der Green-Lagrangesche Verzerrungstensor

TT T1 1

2 2 X X X XE u u u uF F Ι , (3.8)

der rechte Cauchy-Green-Tensor

T C F F (3.9)

sowie der linke Cauchy-Green-Tensor

T b F F . (3.10)

________________________________________________________________

Bemerkung: In der Regel werden im Folgenden für die Tensoren, welche auf die

Referenzkonfiguration bezogen sind, große Buchstaben verwendet. Für Tensoren,

die in der Momentankonfiguration liegen, werden i.d.R. kleine Buchstaben ver-

wendet.

________________________________________________________________


17

3.3.1 Eigenwerte und Eigenvektoren von Verzerrungstensoren

Die polare Zerlegung des Deformationsgradientens F in einen eigentlich ortho-

gonalen Rotationstensor R und die symmetrischen Strecktensoren U und v lie-

fert

F R U v R . (3.11)

Aufgrund der Orthogonalität von R erhält man für den rechten Cauchy-Green

Tensor

T 2 C F F U . (3.12)

Analog gilt für den linken Cauchy-Green Tensor

2 T b v F F . (3.13)

Der orthogonale und normierte Satz von Eigenvektoren aN̂ und seine zugehöri-

gen Eigenwerte a (a=1,2,3; keine Summation) werden eingeführt mit

a a aˆ ˆ U N N (3.14)

mit a 1N . Alle Eigenwerte a sind reell und positiv.

Das Eigenwertproblem für C lautet somit

2

a a aˆ ˆ C N N . (3.15)

Das Eigenwertproblem für b ergibt sich analog zu

2

a a aˆ ˆ

b R N R N . (3.16)

Es folgt, dass die Eigenrichtungen in der Referenzkonfiguration aN̂ auf die räum-

lichen Eigenrichtungen an̂ abgebildet werden via

a aˆˆ n R N (3.17)

mit aˆ 1n .

Die eingeführten symmetrischen Verzerrungstensoren können in ihren zugehöri-

gen Spektralzerlegungen dargestellt werden mit

3

2

a a a

a 1

ˆ ˆ

C N N , (3.18)

3

2

a a a

a 1

ˆ ˆ

b n n . (3.19)


18

Für die Strecktensoren gilt entsprechend

3

a a a

a 1

ˆ ˆ

U N N , (3.20)

3

a a a

a 1

ˆ ˆ

v n n . (3.21)

Die Eigenwerte a der Strecktensoren entsprechen den (Haupt-) Streckungen.

3.3.1.1 Logarithmische Verzerrungen

Der logarithmische Verzerrungstensor ist definiert als

3 3

2

a a a a a a

a 1

log

a 1

1 1ˆ ˆ ˆ ˆln ln ln ln

2 2

v n nε b n n . (3.22)

3.3.1.2 Nominelle Verzerrungen

Die nominellen Verzerrungen (oder auch Biotscher Verzerrungstensor) sind in der

räumlichen Konfiguration definiert als

3

a a a

nom

a 1

ˆ ˆ1

v Iε n n . (3.23)

Bemerkung: Die Eigenwerte von nomε betragen a 1 . Diese sind die Differenz

der Streckung a zum Zeitpunkt t und der Streckung “1“ zum Zeitpunkt 0 0t .

3.4 Kinematik kleiner Deformationen

Wird der Green-Lagrangesche Verzerrungstensor E additiv in einen linearen und

einen nichtlinearen Anteil der Verschiebungen u aufgeteilt mit

T T

lin nlin

1 1

2 2 X X X Xu u u uE E E (3.24)

gilt somit

T

lin

1

2

X Xu uE (3.25)

und

T

nlin

1

2

X XE u u . (3.26)


19

In der geometrisch linearen Theorie ('SMALL strain') werden kleine Verzerrungen

angenommen. Für 1X u wird der nichtlineare Anteil nlinE vernachlässigt und

der lineare Verzerrungstensor linE mit ε bezeichnet. Es gilt somit

T1

2 X Xε u u . (3.27)

3.5 Mechanische Spannungen

3.5.1 Vorabbemerkungen zu Spannungskomponenten

In FEMCard Basic wird für die Bezeichungen der Richtungen der Spannungskom-

ponenten die (ebenfalls in vielen FEM-Anwendungen gebräuchliche) Vorgehens-

weise verwendet (siehe Abbildung 1):

Erster Index: Richtung der Normalen

Zweiter Index: Richtung der Spannungskomponente.

Abbildung 1: Richtungen der Spannungskomponenten

3.5.2 Spannungen bei finiten Deformationen

Für die Transformation eines differentiellen (infinitesimalen) Flächenelementes

dA mit dem zugehörigen Flächennormalenvektor N von der Referenzkonfigura-

tion in die Momentankonfiguration (siehe Abbildung 2) gilt die Formel von NAN-

SON

-Tda J dAn F N (3.28)

yy

yz

yx

zy

zz

zx

xy

xz

xx

y

x

z


20

mit der in Gleichung (3.7) eingeführten Jacobideterminante.

Die Transformation eines differentiellen Volumenelementes dV von der Referenz-

in die Momentankonfiguration wird beschrieben durch

dv= J dV . (3.29)

Abbildung 2: Transformation eines differentiellen Flächen- und Volumenelementes, Spannungsvekto-ren in Referenz- und Momentankonfiguration.

Es wird das Vektorelement dAN in der Referenzkonfiguration betrachtet. Nach

der Deformation belegen die Materialpartikel dieses Flächenelementes das Vekto-

relement dan in der Momentankonfiguration. Weiterhin wird eine differentielle

Kraft df betrachtet, welche auf das Vektorelement dAN in der Referenzkonfigu-

ration und das Vektorelement dan in der Momentankonfiguration wirkt. Weiter-

hin gelte

d da dA q Qf . (3.30)

3.5.2.1 CAUCHYsche (wahre) Spannungen

Der Vektor q aus Gleichung (3.30) wird als Cauchy Spannungsvektor bezeichnet.

Der Cauchy Spannungstensor trueσ wird berechnet mit

true q σ n . (3.31)

Der Tensor trueσ ist ein Maß für die auf ein deformiertes Element in der Momen-

tankonfiguration wirkende Kraft und wird somit auch als wahrer Spannungsten-

sor bezeichnet.

Q

N

n q

da

dv

, Zeitt t0,Zeit 00 t

dV

dA

,F

Referenzkonfiguration Momentankonfiguration


21

3.5.2.2 ERSTE PIOLA-KIRCHHOFFsche (nominelle) Spannungen

Der Vektor Q aus Gleichung (3.30) wird als erster Piola-Kirchhoff Spannungsvek-

tor bezeichnet.

Der 1. Piola-Kirchhoffsche Spannungstensor P wird berechnet mit

Q P N . (3.32)

Der Tensor P ist ein Maß für die auf ein undeformiertes Element in der Referenz-

konfiguration wirkende Kraft. Für den nominellen Spannungstensor T gilt TT P .

Der 1. Piola-Kirchhoffsche Spannungstensor bzw. der nominellen Spannungsten-

sor lassen sich aus dem Cauchy Spannungstensor berechnen mit

true -T

-1 true

J

J

P σ F

T F σ . (3.33)

3.5.3 Spannungen bei kleinen Deformationen

Wenn nur kleine Unterschiede zwischen den materiellen und räumlichen Koordi-

naten eines Materialpunktes im Kontinuum vorliegen, kann (s.a. Abschnitte 3.1

und 3.4) die geometrisch lineare Theorie verwendet werden.

Bei den 'SMALL strain'-Materialmodellen in FEMCard Basic sind die simulierten

(technischen) Spannungen σ bezogen auf die linearisierten infinitesimalen Ver-

zerrungen aus Gleichung (3.27).

Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Korrespondierende Mess- und Simulationsdaten

22

4 Korrespondierende Mess- und Simulationsdaten

________________________________________________________________

Vorabbemerkung: In FEMCard Basic werden für die Ein- und Ausgaben für die

Dehnungen NICHT Prozentangaben verwendet.

________________________________________________________________

4.1 Korrespondierende Mess- und Simulationsdaten für

'SMALL strain'-Materialmodelle

In FEMCard Basic werden für die 'SMALL strain'-Materialmodelle durchweg Inge-

nieurdehnungen verwendet. Diese sind die technischen Dehnungen in Richtung

der Koordinatenachsen xx , yy und zz sowie die technischen Scherdehnungen

xy xy yx xy2 (4.1)

xz xz zx xz2 (4.2)

yz yz zy yz2 (4.3)

(siehe auch Gleichung (3.27)). Unter der Annahme kleiner Dehnungen ver-

schwinden die Unterschiede zwischen den verschiedenen Spannungs- und Deh-

nungsmaßen. Somit können in der FEMCard Basic Versuchseingabe für die Ver-

suchstypen 'SMALL strain' entweder

- nominelle Spannungen und technische Dehnungen (Ingenieurdehnun-

gen)

oder auch

- True (Cauchy) Spannungen und logarithmische Dehnungen

angegeben werden (siehe auch Tabelle 2). Werden im Zusammenhang mit einem

'SMALL strain'-Materialmodell diese Daten für eine Identifikation verwendet, so

werden diese Daten direkt mit den simulierten Daten verglichen, welche unter

der Voraussetzung kleiner Verzerrungen (geometrisch lineare Theorie (siehe Ab-

schnitt 3.4)) berechnet wurden. Es bleibt dem Benutzer überlassen, geeignete

Messdaten in geeigneten Dehnungsbereichen einzufügen. Als Empfehlung wird

jedoch gegeben, Dehnungsbereiche von unter 0.05 (entsprechend 5%) zu ver-

wenden.


23

Tabelle 2: Auszug der ASCII-Bezeichnungen und Symbole für die Ein- und Ausgabe von Spannungen und Dehnungen für die 'SMALL strain'-Materialmodelle in FEMCard Basic

ASCII-Bezeichnung Symbol(e)

sig_xx

normal stress in x direction

xx

sig_xy

shear stress in the x-y plane

xy

eps_xx

normal strain in x direction

xx

gam_xy

engineering shear strain in the x-y plane

xy

4.2 Korrespondierende Mess- und Simulationsdaten für 'LARGE strain'-Materialmodelle

In FEMCard Basic werden für die 'LARGE strain'-Materialmodelle entweder loga-

rithmische oder nominelle Dehnungen (siehe auch Abschnitte 3.3.1.1 und

3.3.1.2) verwendet.

Werden die für die Versuchstypen ‘SMALL strain’ eingegebenen Messwerte inner-

halb eines Materialmodelles für 'LARGE strain' verwendet, so werden diese Daten

direkt mit den simulierten Daten verglichen, welche unter Anwendung der geo-

metrisch nichtlinearen Theorie berechnet wurden. Hat das Materialmodell den

Vermerk ‚MEAS=true‘, sind dieses wahre (Cauchy) Spannungen und logarithmi-

sche Dehnungen. Hat das Materialmodell den Vermerk ‚MEAS=nom‘, sind dieses

nominelle Spannungen und Dehnungen.

4.2.1 Wahre (Cauchy) Spannungen und logarithmische Dehnungen

(MEAS=true)

Für die ‘large strain‘ Materialmodelle mit Vermerk ‚MEAS=true‘ werden als eige-

gebene Messdaten und ausgegebene Simulationsdaten wahre (Cauchy) Span-

nungen (siehe Gleichung (3.31)) und logarithmische Dehnungen verwendet.


24

Die logarithmischen Dehnungen le in FEMCard Basic berechnen sich hierbei zu

(siehe auch Gleichung (3.22))

x

o

xx

l g

xle (4.4)

y

o

yy

l g

yle (4.5)

z

o

zz

l g

zle (4.6)

________________________________________________________________

Bemerkungen:

B1: Es gilt, dass bei kleinen Dehnungen die Unterschiede zwischen den ver-

schiedenen Spannungs- und Dehnungsmaßen verschwinden und somit für

kleine Dehnungen die in FEMCard Basic verwendeten logarithmischen Deh-

nungen le näherungsweise mit den Ingenieurdehnungen übereinstimmen.

B2: In Abschnitt 5.4.2 wird auf den einfachen Schubversuch bei großen Deh-

nungen gesondert eingegangen. Für eine bessere Benutzerfreundlichkeit

wird bei dieser Versuchsart auch für 'LARGE strain'-Materialmodelle immer

die Ingenieurdehnung und Spannung für die Messdateneingabe verwendet

und in FEMCard Basic unter Berücksichtigung der geometrisch nichtlinea-

ren Theorie verarbeitet.

________________________________________________________________

Tabelle 3 zeigt einen Auszug der ASCII-Bezeichnungen und Symbole für die Ein-

und Ausgabe von Cauchy-Spannungen und logarithmischen Dehnungen für die

'LARGE strain' Materialmodelle in FEMCard Basic.

Tabelle 3: Auszug der ASCII-Bezeichnungen und Symbole für die Ein- und Ausgabe von Cauchy-Spannungen und logarithmischen Dehnungen für die ‘large strain‘ Materialmodelle in FEMCard Basic


sig_xx_true

Cauchy (true) normal stress in x direction

true

xx

le_xx

logarithmic normal strain in x direction

xxle


25

4.2.2 Nominelle Spannungen und Dehnungen (MEAS=nom)

Für die 'LARGE strain'-Materialmodelle mit Vermerk ‚MEAS=nom‘ werden als ei-

gegebene Messdaten und ausgegebene Simulationsdaten nominelle Spannungen

(siehe Gleichung (3.32)) und nominelle Dehnungen verwendet.

Die nominellen Dehnungen NE in FEMCard Basic berechnen sich hierbei zu (siehe

auch Gleichung (3.23))

nom

xx xxNE (4.7)

y

o

yy

n m

yNE (4.8)

Tabelle 4 zeigt einen Auszug der ASCII-Bezeichnungen und Symbole für die Ein-

und Ausgabe von nominellen Spannungen und nominellen Dehnungen für die

'LARGE strain'-Materialmodelle in FEMCard Basic.

Tabelle 4: Auszug der ASCII-Bezeichnungen und Symbole für die Ein- und Ausgabe von nominellen Spannungen und nominellen Dehnungen für die 'LARGE strain'-Materialmodelle in FEMCard Basic


T_xx

nominal normal stress in x direction

xxT

NE_xx

nominal normal strain in x direction

xxNE

Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Versuchstypen für die Materialparameterermittlung

26

5 Versuchstypen für die Materialparameterer-

mittlung

5.1 Allgemeine Anmerkungen

5.1.1 Homogene Verzerrungs- bzw. Spannungszustände

In FEMCard Basic werden die Simulationen von uniaxialen Zug- bzw. Druckversu-

chen, Biaxialversuchen und Schubversuchen jeweils für homogene Spannungs-

bzw. Verzerrungszustände durchgeführt. FEMCard Basic vergleicht – wie in Ab-

schnitt 2.2 beschrieben - die simulierten Daten mit den gemessenen Daten in-

nerhalb einer Fehlerquadratsumme. Es ist somit notwendig, Versuchsdaten be-

reitzustellen, welche (möglichst) ebenfalls die Bedingungen von homogenen Ver-

zerrungszuständen erfüllen.

In wie weit diese Voraussetzung gegeben ist, liegt unter anderem an dem unter-

suchten Material, dem Versuchsaufbau, der Probekörpergeometrie und dem be-

trachteten Bereich für die Dehnungsmessung.

Sollten in Zugversuchen Einschnürungen bzw. in Druckversuchen Knickung oder

Ausbauchen ab einem gewissen Lastniveau auftreten, ist je nach Ausprägung ein

geeignetes Verfahren (messtechnisch oder mathematisch) anzuwenden, damit

die Messdaten der oben genannten Voraussetzung von homogenen Verzerrungs-

zuständen gerecht werden. Mathematische Verfahren zur Berücksichtigung von

inhomogenen Verformungszuständen bei der Materialparameterermittlung sind

beispielsweise in Mahnken und Stein (1), Mahnken (2) oder Bosseler und Kleuter

(3) beschrieben. Es liegt in der Verantwortung des Benutzers, geeignete Messda-

ten, welche die o.g. Bedingungen erfüllen, für die jeweiligen Materialparameter-

ermittlungen zu verwenden.

Bemerkung: Massenträgheitseffekte werden in FEMCard Basic nicht berücksich-

tigt.

5.1.2 Versuchsbezeichnungen

Vorab sollen hier noch einige Begriffe, welche in FEMCard Basic zur Kurzbeschrei-

bung der Versuchstypen verwendet werden, angesprochen werden.

‚Isotropic‘ gilt für isotrope Materialien (‘ISOTR‘), für welche die mechanischen

Eigenschaften in alle Richtungen identisch sind.

‚Anisotropic‘ gilt allgemein für Materialien, auf die ‚Isotropic‘ nicht zutrifft, z.B.

transversale Orthotropie (‘TRANSV_ISOTR‘) oder Orthotropie

(‘ORTHO‘).


27

‚Static‘ bedeutet, dass die zur Belastung zugehörige Zeit nicht in FEMCard

Basic eigegeben und im später gewählten Materialmodell nicht be-

rücksichtigt wird.

‚Visco‘ bedeutet, dass die zur Belastung zugehörige Zeit in FEMCard Basic

eigegeben wird und dass im später gewählten Materialmodell das

zeitabhängige Materialverhalten berücksichtigt wird.

________________________________________________________________

Bemerkung:

In der Auswahl der Materialmodelle wird der Ausdruck ‚incompressible‘ für in-

kompressible Materialien verwendet, bei denen keine Volumenänderung während

der Deformation auftritt.

________________________________________________________________

5.1.3 Messdaten bei Versuchsbeginn

Bei quasistatischen Versuchen ist die erste Zeile mit Messwerten wahlweise die

Spannung 0 oder ungleich 0. Ist sie ungleich 0, so startet die Simulation in der

Identifikation trotzdem bei der Spannung 0 (spannungsfrei zu Versuchsbeginn).

Bei zeitabhängigen Versuchen darf der Zeitpunkt für die erste Zeile größer als 0

sein. Die Simulation in der Identifikation startet dann bei der Spannung 0 zum

Zeitpunkt t=0 (spannungsfrei zu Versuchsbeginn). Ist der Zeitpunkt für die erste

Zeile gleich 0, so müssen ebenfalls die Spannungen zu diesem Zeitpunkt 0 sein

(spannungsfrei zu Versuchsbeginn).

5.1.4 Anzahl an Last- oder Zeitschritten

Die Berechnungsdauer in FEMCard Basic nimmt mit zunehmender Anzahl an

Last- oder Zeitschritten zu. Je nach Nichtlinearität der Messdaten und vorliegen-

der Anzahl an Last- oder Zeitschritten sollte deshalb gegebenenfalls vor dem Ein-

lesen in FEMCard Basic eine Reduktion Last- oder Zeitschritte durchgeführt wer-

den.

Es ist jedoch zu beachten, dass zu wenige Lastschritte zum Iterationsabbruch bei

der Parameteridentifikation führen können. Eine allgemeingültige Mindestanzahl

an Last- oder Zeitschritten kann jedoch nicht genannt werden. Bei nichtlinearen

Materialmodellen ist aber in vielen Fällen eine Anzahl von 100 eingelesenen Last-

schritten zu gering und führt zum Abbruch der Iteration.


28

5.1.5 Auswahl der Versuchstypen in Abhängigkeit vom Materialmodell

FEMCard Basic führt eine automatische Überprüfung durch, ob ein Versuchstyp

für das gewählte Materialmodell zulässig ist.

Abhängig von den eingelesenen Versuchen trifft FEMCard Basic eine Auswahl von

Modellparametern, die während der Materialparameterermittlung (Iteration)

identifiziert werden (‘active‘). Die anderen Parameter werden während der Itera-

tion auf dem vom Benutzer gewählten Wert (Startparameter) festgehalten (‘fi-

xed‘). Diese Auswahl von freien und festgehaltenen Parametern kann vom Be-

nutzer geändert werden.


29

5.2 Versuchstyp ‚Uniaxial‘: Uniaxialer Zug- und/oder Druck-

versuch

Die übliche Vorgehensweise bei der Auswertung von uniaxialen Zug- und Druck-

versuchen ist die Messung der Dehnungen auf einem Bereich des Probekörpers,

in welchem (annähernd) ein homogener Verzerrungszustand vorliegt.

Ein uniaxialer Deformationszustand ist in Abbildung 3 beispielhaft dargestellt. Für

den homogenen Verzerrungszustand unter uniaxialem Zug (oder Druck) gilt,

dass die Eigenrichtungen der Referenzkonfiguration und der Momentankonfigura-

tion übereinstimmen, es gilt somit (siehe auch Gleichungen (3.20) und (3.21))

a aˆ ˆN n . (5.1)

Der lineare Verzerrungstensor ε (siehe Gleichung (3.27)) und die nominellen

Verzerrungen (siehe Gleichung (3.23)) stimmen für die uniaxiale Belastung über-

ein, es gilt somit

nomε ε (5.2)

mit

xx

ij yy

zz

0 0

0 0

0 0

(5.3)

Die logarithmischen Verzerrungen berechnen sich zu (siehe auch Gleichung

(3.22))

3

a 1

log nom

xx xxln 1

(5.4)

3

a 1

log nom

yy yyln 1

(5.5)

3

a 1

log nom

zzln 1zz

(5.6)

Anmerkungen:

Für den Fall einer uniaxialen Belastung in x-Richtung und den Fall eine isotropen

Materials gilt nom nom

yy zz bzw. log log

yy zz .


30

Für den Fall einer uniaxialen Belastung in x-Richtung und der Fall eines isotropen

und inkompressiblen Materials gelten

nom nom

yy zznom

xx

11

1

(5.7)

sowie

log log log

yy zz xx

1

2 . (5.8)

5.2.1.1 Beispiel: Spannungen am rechteckigen Körper bei uniaxialer Belastung in

x-Richtung

Für den in Abbildung 3 dargestellten Körper im uniaxialen Zug- oder Druckver-

such in x-Richtung mit der aufgebrachten Kraft xf sollen die wahren (Cauchy-)

Spannungen berechnet werden.

Abbildung 3: Uniaxialer Zug

Der Querschnitt des unbelasteten Körpers (in der Referenzkonfiguration) mit der

Flächennormalen in x-Richtung sei 0A . Die technische Spannung xx (siehe Ab-

schnitt 3.5.3) und die nominelle Spannung nom

xx (siehe auch Gleichung (3.33))

ergeben

nom

xx xx

0x

f

A . (5.9)

In die anderen Richtungen ist der Körper spannungsfrei, es gilt somit

x

yz

xx

xx


31

nom

xx

nom

ij

0 0

0 0 0

0 0 0

. (5.10)

Für die wahren (Cauchy-) Spannungen (siehe auch Gleichung (3.31)) gilt

x

nom nom 0 nom nom

yy zz

true xxxx

yy zz

f

(1+ )(1+ ) A (1+ )(1+ )

nom

(5.11)

bzw. bei isotropem Materialverhalten

x

nom

t

2

ru

0 nom 2

yy y

e xx

y

xx

f

(1+ ) A (1+ )

nom

(5.12)

Ist das Materialverhalten inkompressibel gilt allgemein unter uniaxialer Belastung

in x-Richtung

true

xx x

nom

x xx(1+ )nom . (5.13)


32

5.3 Versuchstyp ‚Biaxial‘: Biaxialversuch

Vorabbemerkung: In FEMCard Basic können Biaxialversuche mit unterschiedli-

chen Lasten in beide belasteten Richtungen ausgewertet werden. Es kann bei-

spielweise auch eine Richtung unter Zug und die andere Richtung unter Druck

belastet werden. Es besteht somit keine Beschränkung auf Äquibiaxialversuche.

Die übliche Vorgehensweise bei der Auswertung von Biaxialversuchen ist die

Messung der Dehnungen auf einem Bereich des Probekörpers, in welchem (annä-

hernd) ein homogener Verzerrungszustand vorliegt.

Ein biaxialer Deformationszustand ist in Abbildung 4 beispielhaft dargestellt. Für

den homogenen Verzerrungszustand unter biaxialer Belastung gilt, dass die Ei-

genrichtungen der Referenzkonfiguration und der Momentankonfiguration über-

einstimmen, es gilt somit (siehe auch Gleichungen (3.20) und (3.21))

a aˆ ˆN n . (5.14)

Der lineare Verzerrungstensor ε (siehe Gleichung (3.27)) und die nominellen

Verzerrungen (siehe Gleichung (3.23)) stimmen für die biaxiale Belastung über-

ein, es gilt somit

nomε ε (5.15)

mit

xx

ij yy

zz

0 0

0 0

0 0

(5.16)

Die logarithmischen Verzerrungen berechnen sich zu (siehe auch Gleichung

(3.22))

3

a 1

log nom

xx xxln 1

(5.17)

3

a 1

log nom

yy yyln 1

(5.18)

3

a 1

log nom

zzln 1zz

(5.19)


33

5.3.1.1 Beispiel: Spannungen am rechteckigen Körper im Biaxialversuch in x-

und y-Richtung

Für den in Abbildung 3 dargestellten rechteckigen Körper im biaxialen Zugver-

such in x- und y-Richtung mit den aufgebrachten Kräften xf und yf sollen die

wahren (Cauchy-) Spannungen berechnet werden.

Abbildung 4: Biaxiale Belastung

Der Querschnitte des unbelasteten Körpers (in der Referenzkonfiguration) mit

der Flächennormalen in x- und y-Richtung seien 0

xA und 0

yA . Die technischen

Spannungen xx und yy (siehe Abschnitt 3.5.3) und die nominellen Spannungen

nom

xx und nom

yy (siehe auch Gleichung (3.33)) ergeben

nom

xx xx

0

x

x

f

A (5.20)

sowie

nom

yy y

y

0

y

y

f

A (5.21)

x

yz

xx

xx

yy

yy


34

In die anderen Richtungen ist der Körper spannungsfrei, es gilt somit

nom

xx

nom nom

ij yy

0 0

0 0

0 0 0

. (5.22)

Für die wahren (Cauchy-) Spannungen (siehe auch Gleichung (3.31)) gilt

x

nom nom

t

0 nom nom

yy zz x y

rue xxx

y zz

x

f

(1+ )(1+ ) A (1+ )(1+ )

nom

(5.23)

sowie

y

nom nom

yytrue

yy 0 nom nom

xx zz y xx zz

f

(1+ )(1+ ) A (1+ )(1+ )

nom

. (5.24)

Ist das Materialverhalten inkompressibel gelten allgemein unter biaxialer Belas-

tung in x- und y-Richtung

true

xx x

nom

x xx(1+ )nom (5.25)

sowie

true

yy y

nom

y yy(1+ )nom . (5.26)


35

5.4 Versuchstyp ‚Shear‘ bzw. ‚Simple Shear‘: Einfacher Schub

In FEMCard Basic werden bei den Versuchstypen

‘SMALL strain | SHEAR‘ und ‘LARGE strain | SIMPLE SHEAR‘

die simulierten Daten mit den gemessenen Daten für den Versuch des einfachen

Schubs verglichen. Hierbei wird – wie für alle Versuchtypen in FEMCard Basic –

ein homogener Verzerrungszustand simuliert. Es ist somit notwendig, Versuchs-

daten für den einfachen Schub bereitzustellen, welche (möglichst) ebenfalls die

Bedingungen von homogenen Verzerrungszuständen erfüllen.

Ein Deformationszustand des einfachen Schubs mit homogenem Verzerrungszu-

stand ist in Abbildung 5 beispielhaft dargestellt. Die gegenüberliegenden Flächen

bleiben während der Deformation eben und parallel zueinander. In vielen Fällen

lässt sich die Voraussetzung des homogenen einfachen Schubs in experimentel-

len Versuchen nur für kleine Verformungen realisieren.

Abbildung 5: Einfache Scherung

Für das in Abbildung 5 gezeigte Beispiel berechnet sich die Schubverzerrung

(bzw. technische Scherdehnung) xy aus der Auslenkung Δx bzw. dem Winkel

zu

xy

y

Δxtan

L (5.27)

Der Deformationsgradient lautet somit

xy1 0

0 1 0

0 0 1

F

(5.28)

y

x

x

xL

yL

yyxy

xx

f


36

Es ist zu bemerken, dass die Verformung beim einfachen Schub bei konstantem

Volumen verläuft (isochor) und somit det 1J F gilt.

Der Green-Lagrangesche Verzerrungstensor (siehe auch Gleichung (3.8)) berech-

net sich für das o.g. Beispiel zu

xy

T 2

xy xy

0 01 1

20

0 02

0

E F F Ι

. (5.29)

5.4.1 Versuchstyp ‚Shear‘ bei 'SMALL strain'-Materialmodellen

Für kleine Verzerrungen gilt xy 1 und folglich 2

xy xy . Der lineare Verzer-

rungstensor ε (siehe Gleichungen (3.25) und (3.27)) ergibt somit für das in Ab-

bildung 5 dargestellte Beispiel

xy

lin x

xy

yy x

0 0 0 0

0 0 01

20

0 0 0 0 0 0

Eε

. (5.30)

Wie in Abschnitt 4.1 beschrieben werden in FEMCard Basic für die 'SMALL strain'-

Materialmodelle durchweg Ingenieurdehnungen verwendet. Für die einzulesen-

den experimentellen und für die simulierten Dehnungen werden somit die die

technischen Scherdehnungen verwendet (engineering shear strain) für die für

das oben genannte Beispiel gilt

xy xy2 . (5.31)

Der Querschnitt des in Abbildung 5 dargestellten Körpers mit der Flächennorma-

len in y-Richtung sei 0

yA . Die technische Spannung xy (siehe Abschnitt 3.5.3)

ergibt

0xy

f

A . (5.32)

Unter der Voraussetzung kleiner Verzerrungen (geometrisch lineare Theorie) ist

der Körper in die anderen Richtungen spannungsfrei, es gilt somit

xy

ij xy

0 0

0 0

0 0 0

. (5.33)


37

5.4.2 Versuchstyp ‚Simple Shear‘ bei 'LARGE strain'-Materialmodellen

Die 'LARGE strain'-Materialmodelle in FEMCard Basic, für welche der Versuchstyp

‚Simple Shear‘ verfügbar ist, sind die HILL (Visco-) Plastizitätsmodelle; für die

Versuchstypen ‚Uniaxial‘ und ‚Biaxial‘ sind für diese Materialmodelle als Deh-

nungsmesswerte die logarithmischen Dehnungen (siehe Abschnitt 4.2.1 und Glei-

chungen (4.4)-(4.6)) und die wahren Spannungen einzugeben. Für den Ver-

suchstyp ‚Simple Shear‘ wird für eine bessere Benutzerfreundlichkeit auch für

diese 'LARGE strain'-Materialmodelle immer die Ingenieurdehnung und -span-

nung für die Messdateneingabe verwendet und in FEMCard Basic unter Berück-

sichtigung der geometrisch nichtlinearen Theorie verarbeitet.

Es werden hier somit dieselben Messwerttypen wie für den Versuchstyp ‚Shear‘

bei 'SMALL strain'-Materialmodellen verwendet. Der Vollständigkeit halber wer-

den diese im Folgenden noch einmal aufgeführt:

Für die einzulesenden experimentellen und für die simulierten Dehnungen wer-

den die die technischen Scherdehnungen xy verwendet (engineering shear

strain) entsprechend Gleichung (5.27) verwendet.

Der Querschnitt des in Abbildung 5 dargestellten Körpers mit der Flächennorma-

len in y-Richtung sei 0

yA . Die technische Spannung xy (engineering stress)

ergibt

0xy

f

A . (5.34)

________________________________________________________________

Anmerkungen:

Wie oben beschrieben wird für den Versuchstyp ‚Simple Shear‘ bei 'LARGE

strain'-Materialmodellen die geometrisch nichtlinearen Theorie berücksichtigt.

Somit wird u.a. berücksichtigt,

dass für den homogenen Verzerrungszustand unter einfachen Schub bei

großen Dehnungen gilt, dass die Eigenrichtungen der Referenzkonfigura-

tion und der Momentankonfiguration nicht übereinstimmen und somit

a aˆ ˆN n gilt (siehe auch Gleichungen (3.20) und (3.21))

dass der Körper unter einfachem Schub bei großen Dehnungen in den Nor-

malspannungen nicht spannungsfrei ist und sich i.d.R. diese Normalspan-

nungen in der Größe unterscheiden (Poynting-Effekt).

________________________________________________________________


38

Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Materialmodelle

39

6 Materialmodelle

6.1 Lineare Elastizität (Small Strain) ..................................................... 40

6.2 Hyperelastizät ............................................................................... 51

6.3 Von Mises (Visko-) Plastizität .......................................................... 65

6.4 Ramberg-Osgood (Deformation Plasticity) ........................................ 89

6.5 Hill- (Visko-) Plastizität .................................................................. 93

6.6 Viskoelastizität .............................................................................108


40

6.1 Lineare Elastizität (Small Strain)

6.1.1 1D/3D SMALL strain ELASTICITY

6.1.2 SMALL strain orthotropic ELASTICITY

6.1.3 SMALL strain transversely isotropic ELASTICITY, rotat. symm.: X

6.1.4 SMALL strain transversely isotropic ELASTICITY, rotat. symm.: Y

6.1.5 SMALL strain transversely isotropic ELASTICITY, rotat. symm.: Z


41

6.1.1 1D/3D SMALL strain ELASTICITY

ELASTICITY → ISOTROPIC → SMALL STRAIN

6.1.1.1 Isotropes lineares Elastizitätsgesetz

Die Spannungs-Dehnungs-Beziehung

1 ε D σ (6.1)

mit dem Elastizitätstensor D lautet in Voigtscher Notation

xx xx

yy yy

zz

xy xy

xz xz

yz yz

1 E E E 0 0 0

E 1 E E 0 0 0

E E 1 E 0 0 0

0 0 0 2 1 E 0 0

0 0 0 0 2 1 E 0

0 0 0 0 0 2 1 E

zz

(6.2)

6.1.1.2 Materialparametersatz

Die Materialparameter und Bezeichnungen in der FEMCard Basic Benutzeroberflä-

che lauten (siehe Tabelle 5):

Tabelle 5: Materialparameter für isotrope lineare Elastizität

ASCII-Bezeichnung Weitere optionale Bez.

Symbole

E Young's modulus

E

PR Poisson's ratio

Die Kriterien E>0 und 0 0.5 werden in FEMCard Basic bei der Startparame-

tereingabe und während der Parameteridentifikation überprüft und ggf. korri-

giert.

________________________________________________________________

Bemerkung: Bei der 1D Formulierung des Materialmodelles entfällt die Poisson-

zahl als Materialparameter.


42

6.1.2 SMALL strain orthotropic ELASTICITY

ELASTICITY → ISOTROPIC → SMALL STRAIN

6.1.2.1 Orthotropes lineares Elastizitätsgesetz

Orthotrope Materialien besitzen eine Materialsymmetrie bzgl. drei senkrecht auf-

einander stehenden Ebenen und 9 unabhängige elastische Konstanten. Diese

sind

die drei Elastizitätsmoduln in jede der drei Materialeigenrichtungen

drei Querkontraktionszahlen, die die Kopplung zwischen den axialen und

transversalen Dehnungen beschreiben und

drei Schubmoduln, welche das Verhältnis zwischen den drei Modi von

Schubspannungen und –dehnungen beschreiben.

Die Spannungs-Dehnungs-Beziehung

1 ε D σ (6.3)

mit dem Elastizitätstensor D lautet in Voigtscher Notation

x yx y zx z

xy x y zy z

xz x yz y z

xy

xx xx

yy yy

zz

xy xy

xz xz

yz

xz

y yz z

1 E E E 0 0 0

E 1 E E 0 0 0

E E 1 E 0 0 0

0 0 0 1 G 0 0

0 0 0 0 1 G 0

0 0 0 0 0 1 G

zz

(6.4)




Tabelle 6: Materialparameter für orthotrope lineare Elastizität


Symbole

E_x Young's modulus along axis X

xE

E_y Young's modulus along axis Y

yE

E_z Young's modulus along axis Z

zE


43

nu_xy Poisson's ratio nu_xy

xy

nu_xz Poisson's ratio nu_xz

xz

nu_yz Poisson's ratio nu_yz

yz

G_xy shear modulus G_xy

xyG

G_xz shear modulus G_xz

xzG

G_yz shear modulus G_yz

yzG

Die Kriterien für die Materialstabilität lauten

x y z xy xz yzE ,E ,E ,G ,G ,G 0 (6.5)

xy x yE E (6.6)

xz x zE E (6.7)

yz y zE E (6.8)

y2 2 2 z z

xy yz xz xy yz xz

x y x

z

x

E E E E1 2

E E E E (6.9)

Die Kriterien der Gleichungen (6.5)-(6.9) werden in FEMCard Basic bei der Start-

parametereingabe und während der Parameteridentifikation überprüft und ggf.

korrigiert.

________________________________________________________________

Bemerkungen:

B1: Für

y2 2 2 z z

xy yz xz xy yz xzz

x y x x

E E E E2 0

E E E E (6.10)

ist das Materialverhalten inkompressibel.


44

B2: Aus den in Tabelle 6 aufgeführten (und von FEMCard Basic verwendeten) 9

unabhängigen elastischen Konstanten lassen sich die (von verschiedenen

Finite-Elemente-Softwares verwendeten) weiteren elastischen Konstanten

berechnen:

a) Aufgrund der Symmetrie von D (siehe Gleichung (6.3)) gilt:

y z z

yx xy zx xz zy yz

x x y

E E E, ,

E E E (6.11)

b) Weiterhin gilt:

yx xy zx xz zy yzG G , G G , G G (6.12)

________________________________________________________________


45

6.1.3 SMALL strain transversely isotropic ELASTICITY, rotat. symm.: X

ELASTICITY → TRANSVERSELY ISOTROPIC → SMALL STRAIN → ROTATIONAL SYMMETRY: X

Die Transversale Isotropie ist ein Sonderfall der Orthotropie (siehe Abschnitt

6.1.2). Es gelten die in Gleichung (6.4) dargestellte Spannungs-Dehnungs-Bezie-

hung sowie die in Gleichungen (6.5)-(6.9) aufgezeigten Kriterien für die Material-

stabilität. Zusätzlich gilt für die transversale Isotropie mit der Vorzugsrichtung X

z yE E (6.13)

xz xy (6.14)

y

yz

yz

EG

2 1

(6.15)

xz xyG G (6.16)




Tabelle 7: Materialparameter für transversale Isotropie mit Vorzugsrichtung X


Symbole


xE


yE


xy


yz


xyG


46

________________________________________________________________

Bemerkungen:

B1: Die Kriterien der Gleichungen (6.5)-(6.9) werden in FEMCard Basic bei der

Startparametereingabe und während der Parameteridentifikation überprüft

und ggf. korrigiert.




berechnen:


y yz z

yx xy zx xz xy yx zy yz yz

x x x y

E EE E, ,

E E E E (6.17)

b) Weiterhin gilt:

y

yx xy zx xz xy zy yz

yz

EG G , G G G , G G

2 1

(6.18)

________________________________________________________________


47

6.1.4 SMALL strain transversely isotropic ELASTICITY, rotat. symm.: Y

ELASTICITY → TRANSVERSELY ISOTROPIC → SMALL STRAIN → ROTATIONAL SYMMETRY: Y




stabilität. Zusätzlich gilt für die transversale Isotropie mit der Vorzugsrichtung Y

z xE E (6.19)

xxy yz

E

E y

(6.20)

zxz

xz

EG

2 1

(6.21)

xy yzG G (6.22)




Tabelle 8: Materialparameter für transversale Isotropie mit Vorzugsrichtung Y


Symbole


yE


xE


yz


xz


yzG


48

________________________________________________________________

Bemerkungen:







berechnen:


y yx z z x

yx xy yz yz zx xz xz zy yz yz

x x x y y

E EE E E E, ,

E E E E E Ey

(6.23)

b) Weiterhin gilt:

zyx xy yz zx xz zy yz

xz

EG G G , G G , G G

2 1

(6.24)

________________________________________________________________


49

6.1.5 SMALL strain transversely isotropic ELASTICITY, rotat. symm.: Z

ELASTICITY → TRANSVERSELY ISOTROPIC → SMALL STRAIN → ROTATIONAL SYMMETRY: Z




stabilität. Zusätzlich gilt für die transversale Isotropie mit der Vorzugsrichtung Z

y xE E (6.25)

yz xz (6.26)

xxy

xy

EG

2 1

(6.27)

yz xzG G (6.28)




Tabelle 9: Materialparameter für transversale Isotropie mit Vorzugsrichtung Z


Symbole


zE


xE


xz


xy


xzG


50

________________________________________________________________

Bemerkungen:







berechnen:


y z z z

yx xy xy zx xz zy yz xz zx

x x y x

E E E E, ,

E E E E (6.29)

b) Weiterhin gilt:

xyx xy zx xz zy yz xz

xy

EG G , G G , G G G

2 1

(6.30)

________________________________________________________________


51

6.2 Hyperelastizät


6.2.2 LARGE strain NEO-HOOKEan HYPERelasticity

6.2.3 LARGE strain MOONEY-Rivlin HYPERelasticity

6.2.4 LARGE strain OGDEN HYPERelasticity


52


6.2.1.1 Isotrope Hyperelastizität: Formulierung mittels Invarianten

In Abschnitt 3.3 wurden der rechte Cauchy-Green-Tensor C und der linke

Cauchy-Green-Tensor b in ihren zugehörigen Spektralzerlegungen dargestellt

mit

3

2

a a a

a 1

ˆ ˆ

C N N (6.31)

und

3

2

a a a

a 1

ˆ ˆ

b n n . (6.32)

Für Isotropie kann die freie Energie Funktion via der Invarianten ihrer Argumente

ausgedrückt werden. Somit gilt

1 2 3 1 2 3, , , ,I I I I I I C C C C b b b . (6.33)

Da C und b dieselben Eigenwerte haben, gilt für die Definition ihrer Invarianten

2 2 2

1 1 2 3tr trI C b , (6.34)

2 22 2 2 2 2 2 2 2

2 1 2 2 3 3 1

1 1tr tr tr tr

2 2I

C C b b , (6.35)

2 2 2 2

3 1 2 3det detI J C b . (6.36)

Mittels eines additiven Splits von in Anteile, welche die isochoren und volu-

metrischen Verzerrungsmaße getrennt enthalten, erhält man

dev vol

1 2,I I J . (6.37)

Hierbei werden die deviatorischen Verzerrungsinvarianten 1I und 2I berechnet

mittels

2/3

1 1I J I (6.38)

4/3

2 2I J I . (6.39)

Für die deviatorischen Streckungen a ergibt sich analog

1/3

a aJ (6.40)

und mit 1 2 3 1 gilt somit


53

2 2 2

1 1 2 3I , (6.41)

2 2 2

2 1 2 3ˆ ˆ ˆI . (6.42)

6.2.1.2 Bemerkung zu kompressiblen hyperelastischen Materialmodellen

Für die im folgenden betrachteten hyperelastischen Materialmodelle können je-

weils der initiale Schubmodul (initial shear modulus) 0 und initiale Kompressi-

onsmodul (initial compression modulus) 0k bestimmt werden.

Die sich hieraus ergebende Poissonzahl hy lautet

hy 0 0

0 0

3k 2

6k 2

(6.43)

Die Bedingung hy0 0.5 wird in FEMCard Basic bei der Startparametereingabe

und während der Parameteridentifikation überprüft und ggf. korrigiert.

6.2.1.3 Drucker Stabilität

FEMCard Basic führt keine vollständige Untersuchung der identifizierten Material-

parametersätze auf Materialstabilität (Drucker Stabilität) für hyperelastische Ma-

terialmodelle aus. Es liegt in der Verantwortung des Benutzers, die hyperelasti-

schen Materialmodelle und zugehörigen Werte der Materialparameter auf Materi-

alstabilität zu prüfen. Warn- und Informationsmeldungen bei der Startparameter-

eingabe für hyperelastische Materialmodelle geben hierzu zusätzliche Hinweise.


54

6.2.2 LARGE strain NEO-HOOKEan HYPERelasticity

ELASTICITY → ISOTROPIC → LARGE STRAIN (HYPERELASTICITY) → 3D, MEAS=TRUE

→ COMPRESSIBLE → NEO-HOOKE


→ INCOMPRESSIBLE → NEO-HOOKE

ELASTICITY → ISOTROPIC → LARGE STRAIN (HYPERELASTICITY) → 3D, MEAS=NOM.

→ COMPRESSIBLE → NEO-HOOKE


→ INCOMPRESSIBLE → NEO-HOOKE

6.2.2.1 Verzerrungsenergiefunktion

Die Verzerrungsenergiefunktion für das kompressible Neo-Hooke Materialmodell

lautet

2NH,cpr.

10 1

1

1C 3 -1

DI J (6.44)

Mit den Materialparametern 10C und

1D .

Der initiale Schubmodul und initiale Kompressionsmodul (siehe Abschnitt

6.2.1.2) betragen für NH,cpr.

0 102C , (6.45)

0 1k 2 D . (6.46)

Die Verzerrungsenergiefunktion für das inkompressible Neo-Hooke Materialmo-

dell lautet

NH, incpr.

10 1C 3I (6.47)

mit dem Materialparameter 10C .

6.2.2.2 Materialparametersatz in FEMCard Basic



Tabelle 10: Materialparameter für das Neo-Hooke Materialmodell

ASCII-Bezeichnung. Symbole C10 C10

D1 D1

Bei der inkompressiblen Formulierung des Materialmodelles entfällt D1 als Mate-

rialparameter.


55

6.2.2.3 Materialparametersatz in Finite-Elemente-Software

Das Materialmodell wird in den folgenden Finite-Elemente-Softwares folgender-

maßen bezeichnet:

Abaqus® (Version 6.14) Software:

Input File Usage: *HYPERELASTIC, NEO HOOKE

Tabelle 11: Materialparameterbezeichnungen in Abaqus® CAE Software

Symbol FEMCard Basic

Bezeichnung in Abaqus® CAE Software

C10 = C10

D1 = D1

Bei der inkompressiblen Formulierung des Materialmodelles gilt D1=0 in der

Abaqus® Software.

________________________________________________________________

ANSYS® (Release 12.0) Software:

ANSYS® Preprocessor Software:

→ Hyperelastic → Neo-Hookean

Tabelle 12: Materialparameterbezeichnungen in ANSYS® Preprocessor Software

Umrechnung und Symbol FEMCard Basic

Bezeichnung in ANSYS® Preprocessor

Software 2 C10 = mu

D1 = d

Bei der inkompressiblen Formulierung des Materialmodelles gilt d=0 in der

ANSYS® Software.

________________________________________________________________


56

Marc® Mentat® (2014.2.0) Software:

Bei der kompressiblen Formulierung gilt:

Material Properties:

→ Type: Mooney → Model: Five-Term (Parameter C10, C01, C11, C20, C30)

→ Volumetric Behavior → Series Expansion (Parameter D1, D2, D3, D4, D5)

Tabelle 13: Materialparameterbezeichnungen in Marc® Mentat® (2014.2.0) Software


Bezeichnung in Marc® Mentat®

Software C10 = C10

1 D1 = D1

Weiterhin gilt C01=C11=C20=C30=0 sowie D2=D3=D4=D5=0 in der

Marc® Mentat® Software.

Bei der inkompressiblen Formulierung gilt:



→ Volumetric Behavior → Bulk Modulus → Automatic




Software C10 = C10

Weiterhin gilt C01=C11=C20=C30=0 in der Marc® Mentat® Software.

Bem.: Mit der Einstellung ‘→ Volumetric Behavior → Bulk Modulus → Automatic‘

in der Marc® Mentat® (2014.2.0) Software wird ein Bulk Modulus K=10000*C10

verwendet. Das Materialverhalten ist hierfür inkompressibel.

________________________________________________________________

Bemerkung: Die in diesem Unterabschnitt gemachten Angaben zu Materialpara-

meterbezeichnungen und –umrechnungen für Finite-Elemente-Softwares sind

ohne Gewähr.


57

6.2.3 LARGE strain MOONEY-Rivlin HYPERelasticity


→ COMPRESSIBLE → MOONEY-RIVLIN


→ INCOMPRESSIBLE → MOONEY-RIVLIN


→ COMPRESSIBLE → MOONEY-RIVLIN


→ INCOMPRESSIBLE → MOONEY-RIVLIN


Die Verzerrungsenergiefunktion für das kompressible Mooney-Rivlin Materialmo-

dell lautet

2MR,cpr.

10 1 01 2

1

1C 3 C 3 -1

DI I J . (6.48)

Mit den Materialparametern 10C ,

01C und 1D .


6.2.1.2) betragen für MR,cpr.

0 10 012 c c , (6.49)

0 1k 2 D . (6.50)

Die Verzerrungsenergiefunktion für das inkompressible Mooney-Rivlin Material-

modell lautet

MR,incpr.

10 1 01 2C 3 C 3I I (6.51)

mit den Materialparametern 10C und 01C .


58




Tabelle 15: Materialparameter für das Mooney-Rivlin Materialmodell

ASCII-Bezeichnung. Symbole C10 C10

C01 C01

D1 D1

Bei der inkompressiblen Formulierung des Materialmodelles entfällt D1 als Mate-

rialparameter.



maßen bezeichnet:


Input File Usage: *HYPERELASTIC, MOONEY-RIVLIN




C10 = C10

C01 = C01

D1 = D1

Bei der inkompressiblen Formulierung des Materialmodelles gilt D1=0 in der

Abaqus® Software.

________________________________________________________________


59



→ Hyperelastic → Mooney-Rivlin → 2 parameters




Software C10 = C10

C01 = C01

D1 = d

Bei der inkompressiblen Formulierung des Materialmodelles gilt d=0 in der

ANSYS® Software.

________________________________________________________________


Bei der kompressiblen Formulierung gilt (s.a. Tabelle 18):







Software C10 = C10

C01 = C01

1 D1 = D1

Weiterhin gilt C11=C20=C30=0 sowie D2=D3=D4=D5=0 in der

Marc® Mentat® Software.


60

Bei der inkompressiblen Formulierung gilt (s.a. Tabelle 19):







Software C10 = C10

C01 = C01

Weiterhin gilt C11=C20=C30=0 in der Marc® Mentat® Software.

Bem.: Mit der Einstellung ‘→ Volumetric Behavior → Bulk Modulus → Automatic‘

in der Marc® Mentat® (2014.2.0) Software wird ein Bulk Modulus

K=10000*(C10+C01) verwendet. Das Materialverhalten ist hierfür inkompressi-

bel.

________________________________________________________________



ohne Gewähr.


61

6.2.4 LARGE strain OGDEN HYPERelasticity


→ COMPRESSIBLE → OGDEN, N=1,2,3


→ INCOMPRESSIBLE → OGDEN, N=1,2,3


→ COMPRESSIBLE → OGDEN, N=1,2,3


→ INCOMPRESSIBLE → OGDEN, N=1,2,3

________________________________________________________________

Bemerkung: Die Konstante N bezeichnet die Anzahl an Ogden-Termen und wird

über die Auswahl des Materialmodells definiert. Es gilt 1 N 3 .


Die Verzerrungsenergiefunktion für das kompressible Ogden Materialmodell lau-

tet für eine Anzahl N an Ogden-Termen

i i i

N N2iOG,cpr. i

1 2 32i 1 i 1i i

2 13 -1

DJ

. (6.52)

Mit den Materialparametern i , i und iD .


6.2.1.2) betragen für OG,cpr.

N

0 i

i 1

, (6.53)

0 1k 2 D . (6.54)

Die Verzerrungsenergiefunktion für das inkompressible Ogden Materialmodell

lautet für eine Anzahl N an Ogden-Termen

i i i

NOG,incpr. i

1 2 32i 1 i

23

. (6.55)

Mit den Materialparametern i und i .


62



che lauten für die Parameter i ,

i und iD mit i= 1,...,N (siehe Tabelle 20):

Tabelle 20: Materialparameter für das Ogden Materialmodell

ASCII-Bezeichnung. Symbole mu1 ,…, mu3

1 ,…,3

alpha1 ,…, alpha3 1 ,…,

3

D1 ,…, D3 D1 ,…, D3

Bei der inkompressiblen Formulierung des Materialmodelles entfallen D1 ,…, D3

als Materialparameter.



maßen bezeichnet:


Input File Usage:

*HYPERELASTIC, OGDEN, N=1






1 ,…, 3 = mu1 ,…, mu3

1 ,…, 3 = alpha1 ,…, alpha3

D1 ,…, D3 = D1 ,…, D3

Bei der inkompressiblen Formulierung des Materialmodelles gilt D1=D2=D3=0 in

der Abaqus® Software.

________________________________________________________________


63

ANSYS® (Release 12.0) software:


→ Hyperelastic → Ogden → 1 term (2 terms/3 terms)




Software

1

1

2

=

mu1

2

2

2

=

mu2

3

3

2

=

mu3

1 ,…,3 = a_1 ,…, a_3

D1 ,…, D3 = d1 ,…, d3

Bei der inkompressiblen Formulierung des Materialmodelles gilt d1=d2=d3=0 in

der ANSYS® Software.

________________________________________________________________



→ Type: Ogden → Method: Entered Values

→ # Terms: ‘Anzahl N an Ogden-Termen in FEMCard Basic‘



Bezeichnung in Marc® Mentat® Software

1

1

2

=

Modulus(1)

2

2

2

=

Modulus(2)

3

3

2

=

Modulus(3)

1 ,…, 3 = Exponent(1) ,…, Exponent(3)


64

Bei der kompressiblen Formulierung gilt zusätzlich zu Tabelle 23:






1 D1 = D1

1 D2 = D2

1 D3 = D3

Es gilt in der Marc® Mentat® Software:

Für # Terms=1 sind D2=D3=D4=D5=0.

Für # Terms=2 sind D3=D4=D5=0.

Für # Terms=3 sind D4=D5=0.

Bei der inkompressiblen Formulierung gilt zusätzlich zu Tabelle 23:



Bem.: Mit der o.g. Einstellung in der Marc® Mentat® (2014.2.0) Software wird ein

Bulk Modulus K verwendet, für den das Materialverhalten inkompressibel ist.

________________________________________________________________



ohne Gewähr.


65

6.3 Von Mises (Visko-) Plastizität

6.3.1 1D/3D SMALL strain Von Mises plasticity (rate independent,

nonlinear isotropic hardening)

6.3.2 1D/3D SMALL strain von MISES VISCOPLASTICITY (Cowper-

Symonds, nonl. isotr. hardening)

6.3.3 LARGE strain von MISES PLASTICITY (nonlinear isotropic

hardening), MEAS=true

6.3.4 LARGE strain von MISES VISCOPLASTICITY (Cowper-Symonds,

nonl. isotr. hardening), MEAS=true


66

6.3.1 1D/3D SMALL strain Von Mises plasticity (rate independent, non-linear isotropic hardening)

PLASTICITY → ISOTROPIC → VON MISES → RATE INDEPENDENT → SMALL STRAIN

6.3.1.1 Geometrisch lineare Theorie

Unter Berücksichtigung der geometrisch linearen Theorie ('SMALL strain') berech-

net sich das totale Verzerrungsfeld zu

T1

2 X Xε u u (6.56)

Mit dem Verschiebungsfeld u . Weiterhin wird eine additive Zerlegung in einen

elastischen eε und plastischen Anteil p

ε angenommen mit e p ε ε ε . Weiterhin

wird die additive Zerlegung des Verzerrungstensors in einen deviatorischen und

einen sphärischen (bzw. volumetrischen) Anteil betrachtet mit


3 3 ε ε ε ε ε ε εI ε I . (6.57)

6.3.1.2 Konstitutive Gleichungen

K1) Kinematik:

e p ε ε ε (6.58)

K2) Interne Variablen: p, ε

K3) Freie Energie:

e e( , ) ( ) ( ) ε ε (6.59)

K4) Spannung:

sph dev p3K 2 [ ] σ ε ε ε (6.60)

K5) Fließbedingung:

dev3 / 2 ( ) 0h σ ‖ ‖ (6.61)

K6) Isotrope Verfestigung:

0 0( ) y H [ - y ] [1 ey xp( )]h (6.62)


67

K7) Assoziierte Fließregel:

dev

dev

p 3;

2

σε Ν Ν

σ σ

‖ ‖ (6.63)

K8) Belastungs- / Entlastungsbedingungen:

0 ; 0 ; 0 (6.64)

K9) Materialparameter:

T

0[K, , y , , ]y , H κ (6.65)

________________________________________________________________

Bemerkungen:

B1: Innerhalb der Identifikationsroutine werden der Elastizitätsmodul E und

die Poissonzahl anstelle des Kompressionsmoduls K und des Schubmo-

duls verwendet. Hierbei gelten die Beziehungen

E 9K [3K ] (6.66)

und

[3K 2 ] [6K 2 ] . (6.67)

Bei der 1D Formulierung des Materialmodelles entfällt die Poissonzahl


B2: Die äquivalente plastische Dehnung entspricht der internen Variablen ,

für die gilt

p= 2 / 3 ε ‖ ‖ . (6.68)

B3: Der in FEMCard Basic verwendete Algorithmus zur numerischen Integration

der o.g. Gleichungen basiert auf der Radial-Return Methode (siehe bei-

spielsweise Simo (4)).

B4: Das korrespondierende geometrisch nichtlineare Materialmodell für Von Mi-

ses Plastizität ist in Abschnitt 6.3.3 dargestellt.

________________________________________________________________


68




Tabelle 25: Materialparameter für Von Mises Plastizität mit Materialparametern für isotrope Verfesti-gungsfunktion


Symbole

E Young's modulus

E

PR Poisson's ratio

Y_0 initial yield limit

0y

Y_inf saturated yield limit

y

Omega exponential hardening modulus

H linear hardening modulus

H

Nach erfolgter Materialparameterermittlung wird zusätzlich zu den o.g. Material-

parametern eine Tabelle mit den äquivalenten plastischen Dehnungen und den

zugehörigen Fließspannungen ausgegeben (in pdf- und ASCII-Format, siehe auch

Tabelle 26).

Tabelle 26: Isotrope Verfestigung für Von Mises Plastizität als Tabellenwerte

'equivalent plastic strain [-]' 'yield stress'

0 Y_0

… …

… …

0.1 …


69

________________________________________________________________

Bemerkungen:

B5: Die mit der Verfestigungsfunktion (6.62) erstellte Tabelle 26 hat einen

Wertebereich [0 , 0.1] für die äquivalenten plastischen Dehnungen. Der

obere Wert von 0.1 ≙ 10% äquivalenten plastischen Dehnungen wurde

aus technischen Gründen gewählt. Der zulässige Bereich der geometrisch

linearen Theorie ist hierbei deutlich überschritten.

B6: Die Tabellenwerte können nur für den mit Messdaten belegten Bereich der

plastischen Verformung gültig sein. Es liegt in der Verantwortung des Be-

nutzers, die Werte der Materialparameter auf Gültigkeit zu prüfen.

B7: Die Kriterien 0y ,yE, >, 0,H sowie 0 0.5 und 0y > y werden in FEMCard

Basic bei der Startparametereingabe und während der Parameteridentifika-

tion überprüft und ggf. korrigiert.

________________________________________________________________


Zusammen mit den Materialparametern E (Young’s modulus) und PR (Poisson’s

ratio) lässt sich Tabelle 26 in einer Vielzahl von Finite-Elemente-Softwares zur Si-

mulation von Von Mises Plastizität mit isotroper Verfestigung verwenden.

Neben der Eingabe der plastischen Verfestigungskurve über die o.g. Ta-

bellenwerte lässt sich in bestimmten Finite-Elemente-Softwares die plastische

Verfestigungskurve ebenfalls über die Verfestigungsfunktion (6.62) angeben.

Verwendung der Verfestigungsfunktion (6.62) in der



→ Type: Elastic-Plastic Isotropic → Young's modulus E, Poisson's ratio PR

→ Plasticity Properties

→ Yield Criterion: Von Mises → Method: Table

→ Hardening Rule: Isotropic → Strain Rate Method: Piecew. Lin.

→ Yield Stress: 1 → Table: „MATERIAL-1“


70

Tables → „MATERIAL-1“

→ Independent Variable V1 → Type: eq_plastic_strain

→ Formula: Y_0 + H *v1 + (Y_inf - Y_0)*(1-exp(-Omega*v1))

Hierbei bezeichnen die Symbole E, PR, Y_0, H, Y_inf, Omega die von

FEMCard Basic ermittelten Werte entsprechend Tabelle 25.

________________________________________________________________



ohne Gewähr.


71

6.3.2 1D/3D SMALL strain von MISES VISCOPLASTICITY (Cowper-Sy-monds, nonl. isotr. hardening)

PLASTICITY → ISOTROPIC → VON MISES → RATE DEPENDENT → COWPER-SYMONDS OVER-

STRESS POWER LAW → SMALL STRAIN

Dieses Materialmodell ist eine Erweiterung der geometrisch linearen ratenunab-

hängigen Von Mises Plastizität aus Abschnitt 6.3.1, bei der das plastische Verhal-

ten dehnratenabhängig ist. Die Berechnung der viskoplastischen deviatorischen

Verzerrungsgeschwindigkeiten erfolgt nach dem Cowper-Symonds Überspan-

nungsmodell

powndev

pow 3 / 2

(D 1

)h

σ

‖ ‖ (6.69)

welches identisch mit dem Perzyna Überspannungsmodell ist (für die Variablen-

und Materialparameterbezeichnungen siehe die folgenden Unterabschnitte

6.3.2.2 und 6.3.2.3).




T1

2 X Xε u u (6.70)



ε angenommen mit e p ε ε ε . Weiterhin

wird die additive Zerlegung des Verzerrungstensors in einen deviatorischen und

einen sphärischen (bzw. volumetrischen) Anteil betrachtet mit


3 3 ε ε ε ε ε ε εI ε I . (6.71)


K1) Kinematik:

e p ε ε ε (6.72)



72

K3) Freie Energie:

e e( , ) ( ) ( ) ε ε (6.73)

K4) Spannung:

sph dev p3K 2 [ ] σ ε ε ε (6.74)

K5) Statische Fließfunktion:

dev3 / 2 ( )h σ ‖ ‖ (6.75)


0 0( ) y H [ - y ] [1 ey xp( )]h (6.76)

K7) Assoziierte Fließregel bzw. viskoplastische Evolutionsgleichung:

dev

dev

p 3;

2

σε Ν Ν

σ σ

‖ ‖ (6.77)

powndev

powD 1 we3 / 2

, ( )nn

0 we

0( )

)n , ( 0n

hh

h

σσ

σ

‖ ‖

(6.78)


pow pow T

0[K, , y , , ,y D nH, , ] κ (6.79)

________________________________________________________________

Bemerkungen:




E 9K [3K ] (6.80)

und

[3K 2 ] [6K 2 ] . (6.81)

Bei der 1D Formulierung des Materialmodelles entfällt die Poissonzahl



73

B2: Die äquivalente plastische Dehnung entspricht der internen Variablen ,

für die gilt

p= 2 / 3 ε ‖ ‖ . (6.82)



spielsweise Simo und Hughes (5)).

B4: Das korrespondierende geometrisch nichtlineare Materialmodell für dehn-

ratenabhängige Von Mises Plastizität ist in Abschnitt 6.3.4 dargestellt.

________________________________________________________________




Tabelle 27: Materialparameter für ratenabhängige Von Mises Plastizität mit Materialparametern für isotrope Verfestigungsfunktion


Symbole

E Young's modulus

E

PR Poisson's ratio


0y


y



H

D_pow power law multiplier

powD

n_pow power law exponent

pown


74




Tabelle 28).

Tabelle 28: Isotrope Verfestigung für Von Mises Plastizität als Tabellenwerte


0 Y_0

… …

… …

0.1 …

________________________________________________________________

Bemerkungen:









B7: Die Kriterien 0y ,yE, >, 0,H sowie pow powD n, 0 sowie 0 0.5 und 0y > y

werden in FEMCard Basic bei der Startparametereingabe und während der

Parameteridentifikation überprüft und ggf. korrigiert.

________________________________________________________________


75




mulation von Von Mises Plastizität mit isotroper Verfestigung verwenden. Das

Überspannungsmodell, welches die Dehnratenabhängigkeit beschreibt, wird in

der folgenden Finite-Elemente-Software folgendermaßen bezeichnet:


Input File Usage: *RATE DEPENDENT, TYPE=POWER LAW




powD = Multiplier

pown = Exponent

________________________________________________________________



Visco-Plasticity Options: Perzyna Model




Software powD = Gamma

pow1 n = m

________________________________________________________________





76

Im Folgenden wird die Verwendung der von FEMCard Basic ermittelten Parameter

in der Marc® Mentat® (2014.2.0) Software beschrieben.






→ Hardening Rule: Isotropic

→ Strain Rate Method: Cowper-Symonds (s.a. Tabelle 31)





Software powD = Coefficient C

pown = Inverse Exponent P

Bei Verwendung der Verfestigungsfunktion (6.76) in der

Marc® Mentat® (2014.2.0) Software gilt:






________________________________________________________________



ohne Gewähr.


77

6.3.3 LARGE strain von MISES PLASTICITY (nonlinear isotropic harden-ing), MEAS=true

PLASTICITY → ISOTROPIC → VON MISES → RATE INDEPENDENT → LARGE STRAIN

6.3.3.1 Kinematik

Die grundlegende kinematische Beziehung bei diesem Materialmodell für finite

Plastizität ist die multiplikative Zerlegung des Deformationsgradientens in einen

elastischen und einen plastischen Anteil mit (siehe Simo (4))

e p F F F . (6.83)

Sich hieraus ergebende Verzerrungsmaße sind beispielsweise der elastische linke

Cauchy-Green-Tensor

T

e e e b F F (6.84)

sowie der inverse plastische rechte Cauchy-Green-Tensor

-1 -1 -T -1 -T

p p p e C F F F b F . (6.85)

Bei der Von Mises Plastizitätstheorie ist die plastische Deformation isochor, hie-

raus folgt p pdet 1J F und somit gilt eJ J .

Die Lie-Ableitung des elastischen linken Cauchy-Green-Tensors lautet

-1 -T T -1 T

v e e pL ( ) t t b F F b F F F C F . (6.86)

Bemerkung: Für die in Gleichung (6.86) dargestellte Lie-Ableitung wird die Pull-

back-Operation von eb zu der Referenzkonfiguration berechnet, welches -1

pC

ergibt, worauf die materielle Zeitableitung angewendet wird und das Ergebnis

mittels Push-forward in die Momentankonfiguration abgebildet wird.

Der isochore elastischen linken Cauchy-Green-Tensor ist (siehe auch Gleichung

(3.7))

2/3

e e , detJ J b b F . (6.87)

6.3.3.2 Zusammenfassung der konstitutiven Gleichungen

K1) Kinematik:

e p F F F (6.88)

K2) Interne Variablen: e,b


78

K3) Freie Energie:

e e( , ) ( ) ( ) b b (6.89)

K4) Spannung:

a) Kirchhoff-Spannungen

dev 1e3

: ln lnK J τ τ τ I b (6.90)

b) (Wahre) Cauchy-Spannungen

true 1

Jσ τ (6.91)

K5) Fließbedingung:

dev3 / 2 ( ) 0h τ ‖ ‖ (6.92)


0 0( ) y H [ - y ] [1 py ex ( )]Jh (6.93)


dev

-1

v e e dev

1 3;)

2L (

2

τ

b bτ τ

Ν Ν

‖ ‖ (6.94)

K8) Belastungs- / Entlastungsbedingungen:

0 ; 0 ; 0 (6.95)


T

0[K, , y , , ]y , H κ (6.96)

________________________________________________________________

Bemerkungen:




E 9K [3K ] (6.97)

und


79

[3K 2 ] [6K 2 ] . (6.98)

B2: Die interne Variable entspricht der äquivalenten logarithmischen plasti-

schen Dehnung.




B4: Das korrespondierende geometrisch lineare Materialmodell für Von Mises

Plastizität ist in Abschnitt 6.3.1 dargestellt.




Tabelle 32: Materialparameter für Von Mises Plastizität mit Materialparametern für isotrope Verfesti-gungsfunktion


Symbole

E Young's modulus

E

PR Poisson's ratio


0y


y



H


parametern eine Tabelle mit den äquivalenten logarithmischen plastischen Deh-

nungen und den zugehörigen wahren Fließspannungen ausgegeben (in pdf- und

ASCII-Format, siehe auch Tabelle 33).


80

Tabelle 33: Isotrope Verfestigung für ‘Large Strain‘ Von Mises Plastizität als Tabellenwerte

'equivalent logarithmic plastic strain [-]'

'true yield stress'

0 Y_0

… …

… …

2 …

________________________________________________________________

Bemerkungen:


Wertebereich [0 , 2] für die äquivalenten logarithmischen plastischen Deh-

nungen. Der obere Wert von 2 für die äquivalenten logarithmischen plasti-

schen Dehnungen wurde aus technischen Gründen gewählt.




B7: Die Kriterien 0y ,yE, >, 0,H sowie 0 0.5 und 0y > y werden in FEMCard

Basic bei der Startparametereingabe und während der Parameteridentifika-

tion überprüft und ggf. korrigiert.

________________________________________________________________




mulation von Von Mises Plastizität mit isotroper Verfestigung verwenden.





81

Verwendung der Verfestigungsfunktion (6.62) in der






→ Hardening Rule: Isotropic → Strain Rate Method: Piecew. Lin.







________________________________________________________________



ohne Gewähr.


82

6.3.4 LARGE strain von MISES VISCOPLASTICITY (Cowper-Symonds, nonl. isotr. hardening), MEAS=true

PLASTICITY → ISOTROPIC → VON MISES → RATE DEPENDENT → COWPER-SYMONDS OVER-

STRESS POWER LAW → LARGE STRAIN

Dieses Materialmodell ist eine Erweiterung der geometrisch nichtlinearen raten-

unabhängigen Von Mises Plastizität aus Abschnitt 6.3.3, bei der das plastische

Verhalten dehnratenabhängig ist. Die Berechnung der viskoplastischen deviatori-

schen Verzerrungsgeschwindigkeiten erfolgt nach dem Cowper-Symonds Über-

spannungsmodell

powndev

pow 3 / 2

(D 1

)h

σ

‖ ‖ (6.99)

welches identisch mit dem Perzyna Überspannungsmodell ist (für die Variablen-

und Materialparameterbezeichnungen siehe die folgenden Unterabschnitte

6.3.4.1 und 6.3.4.2).

6.3.4.1 Kinematik

Die grundlegende kinematische Beziehung bei diesem Materialmodell für finite

Plastizität ist die multiplikative Zerlegung des Deformationsgradientens in einen

elastischen und einen plastischen Anteil mit (siehe Simo (4))

e p F F F . (6.100)

Sich hieraus ergebende Verzerrungsmaße sind beispielsweise der elastische linke

Cauchy-Green-Tensor

T

e e e b F F (6.101)

sowie der inverse plastische rechte Cauchy-Green-Tensor

-1 -1 -T -1 -T

p p p e C F F F b F . (6.102)

Bei der Von Mises Plastizitätstheorie ist die plastische Deformation isochor, hie-

raus folgt p pdet 1J F und somit gilt eJ J .

Die Lie-Ableitung des elastischen linken Cauchy-Green-Tensors lautet

-1 -T T -1 T

v e e pL ( ) t t b F F b F F F C F . (6.103)


83

Bemerkung: Für die in Gleichung (6.103) dargestellte Lie-Ableitung wird die Pull-

back-Operation von eb zu der Referenzkonfiguration berechnet, welches -1

pC

ergibt, worauf die materielle Zeitableitung angewendet wird und das Ergebnis

mittels Push-forward in die Momentankonfiguration abgebildet wird.

Der isochore elastischen linken Cauchy-Green-Tensor ist (siehe auch Gleichung

(3.7))

2/3

e e , detJ J b b F . (6.104)


K1) Kinematik:

e p F F F (6.105)

K2) Interne Variablen: e,b

K3) Freie Energie:

e e( , ) ( ) ( ) b b (6.106)

K4) Spannung:

a) Kirchhoff-Spannungen

dev 1e3

: ln lnK J τ τ τ I b (6.107)

b) (Wahre) Cauchy-Spannungen

true 1

Jσ τ (6.108)


dev3 / 2 ( )h τ ‖ ‖ (6.109)


0 0( ) y H [ - y ] [1 py ex ( )]Jh (6.110)


84

K7) Assoziierte Fließregel bzw. viskoplastische Evolutionsgleichung:

dev

-1

v e e dev

1 3;)

2L (

2

τ

b bτ τ

Ν Ν

‖ ‖ (6.111)

powndev

powD 1 we3 / 2

, ( )nn

0 we

0( )

)n , ( 0n

hh

h

ττ

τ

‖ ‖

(6.112)


pow pow T

0[K, , y , , ,y D nH, , ] κ (6.113)

________________________________________________________________

Bemerkungen:




E 9K [3K ] (6.114)

und

[3K 2 ] [6K 2 ] . (6.115)

B2: Die interne Variable entspricht der äquivalenten logarithmischen plasti-

schen Dehnung.



spielsweise Simo und Hughes (5)).

B4: Das korrespondierende geometrisch lineare Materialmodell für Von Mises

Plastizität ist in Abschnitt 6.3.2 dargestellt.


85




Tabelle 34: Materialparameter für ratenabhängige Von Mises Plastizität mit Materialparametern für isotrope Verfestigungsfunktion


Symbole

E Young's modulus

E

PR Poisson's ratio


0y


y



H


powD


pown


parametern eine Tabelle mit den äquivalenten logarithmischen plastischen Deh-

nungen und den zugehörigen wahren Fließspannungen ausgegeben (in pdf- und

ASCII-Format, siehe auch Tabelle 35).

Tabelle 35: Isotrope Verfestigung für ‘Large Strain‘ Von Mises Plastizität als Tabellenwerte

'equivalent logarithmic plastic strain [-]'

'true yield stress'

0 Y_0

… …

… …

2 …


86

________________________________________________________________

Bemerkungen:


Wertebereich [0 , 2] für die äquivalenten logarithmischen plastischen Deh-

nungen. Der obere Wert von 2 für die äquivalenten logarithmischen plasti-

schen Dehnungen wurde aus technischen Gründen gewählt.




B3: Die Kriterien 0y ,yE, >, 0,H sowie pow powD n, 0 sowie 0 0.5 und 0y > y

werden in FEMCard Basic bei der Startparametereingabe und während der

Parameteridentifikation überprüft und ggf. korrigiert.

________________________________________________________________




mulation von Von Mises Plastizität mit isotroper Verfestigung verwenden. Das

Überspannungsmodell, welches die Dehnratenabhängigkeit beschreibt, wird in

der folgenden Finite-Elemente-Software folgendermaßen bezeichnet:






powD = Multiplier

pown = Exponent

________________________________________________________________


87








pow1 n = m

________________________________________________________________




Im Folgenden wird die Verwendung der von FEMCard Basic ermittelten Parameter

in der Marc® Mentat® (2014.2.0) Software beschrieben.







→ Strain Rate Method: Cowper-Symonds (s.a. Tabelle 38)








88








________________________________________________________________



ohne Gewähr.


89

6.4 Ramberg-Osgood (Deformation Plasticity)

Das Ramberg-Osgood Materialmodell wird auch als “deformation plasticity” Mate-

rialmodell bezeichnet. Es soll hier jedoch darauf hingewiesen werden, dass dieses

Materialmodell nichtlinear elastisches Verhalten beschreibt und somit keine Fließ-

bedingung vorliegt. Die nichtlinearen Verzerrungsanteile treten bei beliebig klei-

nen Spannungen auf und sind gegeben durch inkompressibles assoziiertes “plas-

tisches” Fließen senkrecht zu der von Mises Fließfläche.

6.4.1 1D SMALL strain deformation plasticity (rate independent RAM-

BERG-OSGOOD)

DEFORMATION PLASTICITY → SMALL STRAIN → 1D

Die 1D Formulierung des nichtlinear elastischen Ramberg-Osgood Materials lau-

tet

ron 1

xxxxxx

roxx

0σ

α

E E

(6.116)

mit dem Materialparametersatz

0 ro

T

ro[E, ,α ,n ]σκ (6.117)

6.4.2 3D SMALL strain deformation plasticity (rate independent RAM-BERG-OSGOOD)

DEFORMATION PLASTICITY → SMALL STRAIN → 3D




T1

2 X Xε u u (6.118)

mit dem Verschiebungsfeld u . Weiterhin wird die additive Zerlegung des Verzer-

rungstensors in einen deviatorischen und einen sphärischen (bzw. volumetri-

schen) Anteil betrachtet mit


3 3 ε ε ε ε ε ε εI ε I . (6.119)


90

6.4.2.2 Dreidimensionale Verallgemeinerung des Ramberg-Osgood-Gesetzes

Die dreidimensionale Verallgemeinerung der Gleichung (6.116) erfolgt über ein

lineares St. Venant-Kirchhoff Material für den linearen Anteil

lin

sph 1 2 1:

E 3

ε σ I I (6.120)

l

dev din

ev1

E

ε σ (6.121)

und die dreidimensionale Verallgemeinerung des nichtlinearen “plastischen“ An-

teils

ron 1

dev

dev dev

0

nlinro

σ

3 2α3

2 E

σ

ε σ‖ ‖

(6.122)

Das “plastische“ Fließen ist inkompressibel und somit gilt nl

sphin

ε 0 . Für die Deh-

nungen folgt

sph devlin lin

denlin

v ε ε ε ε (6.123)

mit

ron 1

dev

dev devro

0

3 2α1 2 1 1 3:

E 3 E 2 E σ

σε σ I I σ σ

‖ ‖ . (6.124)

Der Materialparametersatz lautet somit

0 ro

T

ro[E, , ,α , ]σ n κ . (6.125)


91




Tabelle 39: Materialparameter für Ramberg-Osgood (Deformation Plasticity)


Symbole

E Young's modulus

E

PR Poisson's ratio

sig_0 yield stress

0σ

alpha_ro yield offset

roα

n_ro hardening exponent

ron

________________________________________________________________

Bemerkung:

Die Kriterien 0 roE, ασ , >0 sowie 0 0.5 und ron >1 werden in FEMCard Basic bei

der Startparametereingabe und während der Parameteridentifikation überprüft


________________________________________________________________


92


Die Materialparameter für das Ramberg-Osgood Materialmodell lassen sich in ei-

ner Vielzahl von Anwendungen verwenden. Diese Materialmodell wird in der

Abaqus® (Version 6.14) Software als Deformation Plasticity bezeichnet:


Input File Usage: *DEFORMATION PLASTICITY


Symbol FEMCard Basic Bezeichnung in Abaqus® CAE Software

E = Young's modulus

= Poisson's ratio

0σ = Yield Stress

roα = Yield Offset

ron = Exponent

________________________________________________________________



ohne Gewähr.


93

6.5 Hill- (Visko-) Plastizität

6.5.1 Namenskonvention

Die Beschreibung der in FEMCard Basic enthaltenen Materialmodelle für Hill-

(Visko-) Plastizität in Unterkapitel 6.5 ist jeweils abschnittsweise abhängig von in

der Baumansicht enthaltenen Bezeichnungen.

Die in FEMCard Basic implementierten Materialmodelle für Hill-(Visko-) Plastizität

sind (jeweils analoge Bezeichnungen bei Materialmodellen mit “rotational symmetry:

Y” bzw. “rotational symmetry: Z”):

PLASTICITY →

TRANSVERSELY ISOTROPIC → HILL (RIJ) →

RATE INDEPENDENT →

SMALL STRAIN →

ROTATIONAL SYMMETRY: X →

WITH TRANSVERSELY ISOTROPIC ELASTICITY →

SMALL strain transv. isotr. HILL (Rij) PLASTICITY (nonl.

isotr. hardg.), rotat. symm: X, (w. transv. isotr.

Elasticity)

WITH ISOTROPIC ELASTICITY →

SMALL strain transv. isotr. HILL (Rij) PLASTICITY (nonl.

isotr. hardg.), rotat. symm: X, (w. isotr. Elasticity)

LARGE STRAIN →

ROTATIONAL SYMMETRY: X → UNIAX/BIAX: MEAS=TRUE, SHEAR:

MEAS=ENGR. →


LARGE strain transv. isotr. HILL (Rij) PLASTICITY (nonl.

isotr. hardg.), rotat. symm: X, (w. transv. isotr.

Elasticity); Uniax/Biax: MEAS=true, Shear: Meas=engr.


LARGE strain transv. isotr. HILL (Rij) PLASTICITY (nonl.

isotr. hardg.), rotat. symm: X, (w. isotr. Elasticity);

Uniax/Biax: MEAS=true, Shear: Meas=engr.


94

RATE DEPENDENT → COWPER-SYMONDS OVERSTRESS POWER LAW →

SMALL STRAIN →

ROTATIONAL SYMMETRY: X →


SMALL strain transv. isotr. HILL (Rij) VISCOPLASTI.

(Cowper-Symonds, nonl. isotr. hardg.), rotat. symm: X,

(w. transv. isotr. Elasticity)


SMALL strain transv. isotr. HILL (Rij) VISCOPLASTI.


(w. isotr. Elasticity)

LARGE STRAIN →

ROTATIONAL SYMMETRY: X → UNIAX/BIAX: MEAS=TRUE, SHEAR:

MEAS=ENGR. →


LARGE strain transv. isotr. HILL (Rij) VISCOPLASTI.


(w. transv. isotr. Elasticity); Uniax/Biax: MEAS=true,

Shear: Meas=engr.


LARGE strain transv. isotr. HILL (Rij) VISCOPLASTI.


(w. isotr. Elasticity); Uniax/Biax: MEAS=true, Shear:

Meas=engr.

ORTHOTROPIC → HILL (RIJ) →

RATE INDEPENDENT →

SMALL STRAIN →

WITH ORTHOTROPIC ELASTICITY →

SMALL strain orthotropic HILL (Rij) PLASTICITY (nonl. isotr.

hardg.), (w. orthotropic Elasticity)


95


SMALL strain orthotropic HILL (Rij) PLASTICITY (nonl. isotr.

hardg.), (w. isotr. Elasticity)

LARGE STRAIN → UNIAX/BIAX: MEAS=TRUE, SHEAR: MEAS=ENGR. →


LARGE strain orthotropic HILL (Rij) PLASTICITY (nonl. isotr.

hardg.), (w. orthotropic Elasticity); Uniax/Biax: MEAS=true,

Shear: Meas=engr.


LARGE strain orthotropic HILL (Rij) PLASTICITY (nonl. isotr.

hardg.), (w. isotr. Elasticity); Uniax/Biax: MEAS=true, Shear:

Meas=engr.

RATE DEPENDENT → COWPER-SYMONDS OVERSTRESS POWER LAW →

SMALL STRAIN →


SMALL strain orthotropic HILL (Rij) VISCOPLASTI. (Cowper-

Symonds, nonl. isotr. hardg.), (w. orthotropic Elasticity)


SMALL strain orthotropic HILL (Rij) VISCOPLASTI. (Cowper-

Symonds, nonl. isotr. hardg.), (w. isotr. Elasticity)

LARGE STRAIN → UNIAX/BIAX: MEAS=TRUE, SHEAR: MEAS=ENGR. →


LARGE strain orthotropic HILL (Rij) VISCOPLASTI. (Cowper-

Symonds, nonl. isotr. hardg.), (w. orthotropic Elasticity);



LARGE strain orthotropic HILL (Rij) VISCOPLASTI. (Cowper-

Symonds, nonl. isotr. hardg.), (w. isotr. Elasticity);



96

6.5.2 Small strain Hill (Visco-)plasticity

… → HILL (RIJ) → … → SMALL STRAIN → …




T1

2 X Xε u u (6.126)



ε angenommen mit e p ε ε ε .

6.5.2.2 Quadratische Hill-Fließfunktion

Die quadratische Hill-Fließfunktion (1948, siehe Hill (6)) ist eine orthotrope Er-

weiterung der von Mises Fließfunktion. Orthotrope Materialien besitzen eine Ma-

terialsymmetrie bzgl. drei senkrecht aufeinander stehenden Ebenen. Für den Fall,

dass die Achsen des xyz-Koordinatensystems mit den drei Achsen der Material-

Orthotropie übereinstimmen lautet die Hill-Fließfunktion

2 2 2

2 2 22 2 2yy zz zz xx xx yy yz zx xyF G H L M N h . (6.127)

Die Materialparameter , , , , ,F G H L M N aus der o.g. Darstellung der Hill-Fließfunk-

tion lassen sich in dimensionslose Materialparameter xx yy zz xy yz xz, , , ,R R R ,R R R über-

führen mit

2 2 2 2 2 2

yy zz xx yy zz x

2

x

1 1 1 1 1 1 1

2 2ˆ ˆ ˆ R R RF

h

(6.128)

2 2 2 2 2 2

zz xx yy zz xx y

2

y

1 1 1 1 1 1 1

2 2ˆ ˆ ˆ R R RG

h

(6.129)

2 2 2 2 2 2

xx yy zz xx yy z

2

z

1 1 1 1 1 1 1

2 2ˆ ˆ ˆ R R RH

h

(6.130)

2 2

yz

2

yz2ˆ R

3

2

hL

(6.131)

2 2

xz

2

xz2ˆ R

3

2

hM

(6.132)


97

2 2

xy

2

xy2ˆ R

3

2

hN

(6.133)

Hierbei ist h die Referenzfließspannung, welche für dieses Materialmodell in Glei-

chung (6.145) über die Funktion für die isotrope Verfestigung definiert werden

wird. Weiterhin entsprechen xx yy zzˆ ˆ ˆ, , den jeweiligen uniaxialen Fließspannun-

gen in die Richtungen x, y und z, während xy xz yzˆ ˆ ˆ, , den jeweiligen Fließspan-

nungen bei reinem Schub entlang den entsprechenden Ebenen orthogonal zu den

Hauptrichtungen der Orthotropie entsprechen. Die dimensionslosen Materialpara-

meter sind somit folgendermaßen definiert

yy xy yzxx zz xz

xx yy zz xy yz xz, , , ,ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ

R R R R ,R Rh h h h h h

. (6.134)

Wird für die Tensoren die Voigtsche Notation verwendet, so dass beispielsweise

für die Spannungen xx yy xy xz y

T

zzz σ gilt, kann weiterhin die Mat-

rix Q definiert werden mit (siehe De Borst und Feenstra (7))

- - 0 0 0

- - 0 0 0

- - 0 0 0

0 0 0 2 0 0

0 0 0 0 2 0

0 0 0 0 0 2

2

3

G H H G

H F H F

G F F G

N

L

M

Q (6.135)

und eine zu Gleichung (6.127) äquivalente Darstellung für die Hill-Fließfunktion

kann dargestellt werden mit

T3

2h σ Qσ . (6.136)

Bemerkung: Für Werte xx yy zz xy yz xzR R R R R R 1 entspricht die Hill-Fließ-

funktion der von Mises Fließfunktion. Die Hill-Fließfunktion ist – wie die von Mises

Fließfunktion – nicht abhängig vom hydrostatischen Druck.


98

6.5.2.3 Konvexität der Hill-Fließfläche

Im Gegensatz zur von Mises Fließfunktion ist die Hill-Fließfunktion für bestimmte

Kombinationen von Parametern xx yy zz,R R ,R (bzw. , ,F G H ) in Verbindung mit be-

stimmten Spannungszuständen nicht definiert, bzw. die zugehörige Fließfläche ist

nicht konvex. Für konvexe Fließflächen muss die Matrix Q positiv semi-definit

sein. Gilt xx yy zz xy yz xzR R R R R R, , , , , >0 , muss somit gelten

2 2 2 0F G H F F G G F H G H H . (6.137)

FEMCard Basic führt keine Untersuchung der identifizierten Materialparameter-

sätze xx yy zz,R R ,R auf Einhaltung der in Gleichung (6.137) genannten Bedingung

aus. Es liegt in der Verantwortung des Benutzers, zu überprüfen, ob die ermittel-

ten Parameter für die in den Berechnungen jeweils vorliegenden Spannungszu-

stände zulässig sind.


K1) Kinematik:

e p ε ε ε (6.138)


K3) Freie Energie:

e e( , ) ( ) ( ) ε ε (6.139)

K4) Spannung:

e σ D ε (6.140)

Elastizitätsgesetz, zugehöriger Teil-Materialparametersatz und Krite-

rien/Abfragen für die zugehörige Materialstabilität:

a. … → ORTHOTROPIC → … → WITH ORTHOTROPIC ELASTICITY →

Siehe “SMALL strain orthotropic ELASTICITY” (s. Abschnitt 6.1.2)

b. … → TRANSVERSELY ISOTROPIC → … → ROTATIONAL SYMMETRY: X → WITH

TRANSVERSELY ISOTROPIC ELASTICITY →

Siehe “SMALL strain transversely isotropic ELASTICITY, rotat.

symm.: X” (s. Abschnitt 6.1.3)

c. … → TRANSVERSELY ISOTROPIC → … → ROTATIONAL SYMMETRY: Y → WITH



99


symm.: Y” (s. Abschnitt 6.1.4)

d. … → TRANSVERSELY ISOTROPIC → … → ROTATIONAL SYMMETRY: Z → WITH



symm.: Z” (s. Abschnitt 6.1.5)

e. … → WITH ISOTROPIC ELASTICITY →

Siehe “3D SMALL strain ELASTICITY” (s. Abschnitt 6.1.1)


T (3

2)h Qσ σ (6.141)

Die Kriterien xx yy zz xy yz xzR R R R R R, , , , , >0 für den Teilparametersatz, welcher

zur Definition der Matrix Q benötigt wird, werden in FEMCard Basic bei der


und ggf. korrigiert. Es findet für die statische Fließfunktion in FEMCard Ba-

sic keine weitere Stabilitätsuntersuchung statt (siehe hierzu auch Unterab-

schnitt 6.5.2.3).

Für die transversal isotropen Hill-Materialmodelle gelten folgende Abhän-

gigkeiten:

a. … → TRANSVERSELY ISOTROPIC → … → ROTATIONAL SYMMETRY: X

zz yy xz xy yz 2

yy

3R =R ; R =R ; R =

4 R 1 (6.142)

b. … → TRANSVERSELY ISOTROPIC → … → ROTATIONAL SYMMETRY: Y

zz xx yz xy xz 2

xx

3R =R ; R =R ; R =

4 R 1 (6.143)

c. … → TRANSVERSELY ISOTROPIC → … → ROTATIONAL SYMMETRY: Z

yy xx yz xz xy 2

xx

3R =R ; R =R ; R =

4 R 1 (6.144)


0 0( ) y H [ - y ] [1 ey xp( )]h (6.145)


100

Die Kriterien 0y ,y , >0,H sowie 0y > y für den zur isotropen Verfesti-

gungsfunktion zugehörigen Teilparametersatz werden in FEMCard Basic bei

der Startparametereingabe und während der Parameteridentifikation über-

prüft und ggf. korrigiert.


T

p 3;

2

σε Ν Ν

σ σ

Q

Qσ

(6.146)

Evolutionsgleichung für interne Variable :

a. ... RATE INDEPENDENT → …

0 ; 0

b. ... RATE DEPENDENT → COWPER-SYMONDS OVERSTRESS POWER LAW →

…

pown

pow

T

1D wenn

0

31 , ( ) 0

( ) 2

, ( ) 0wenn

hh

h

σσ

σ

Q

σ Qσ

(6.147)

Die Berechnung der viskoplastischen deviatorischen Verzer-

rungsgeschwindigkeiten erfolgt nach dem Cowper-Symonds

Überspannungsmodell welches identisch mit dem Perzyna

Überspannungsmodell ist. Die Kriterien pow powD n, 0 für den

zur Überspannungsfunktion zugehörigen Teilparametersatz

werden in FEMCard Basic bei der Startparametereingabe und

während der Parameteridentifikation überprüft und ggf. korri-

giert.

Bemerkungen:

B1: Die äquivalente plastische Dehnung entspricht der internen Variablen

, für die gilt

p= 2 / 3 ε ‖ ‖ . (6.148)

B2: Der in FEMCard Basic verwendete Algorithmus zur numerischen In-

tegration der o.g. Gleichungen basiert auf der Radial-Return Me-

thode. Für den Return-Mapping Algorithmus für die statische Fließ-

funktion (Gleichung (6.141)) siehe De Borst und Feenstra (7). Für

die Radial-Return Methode bei Viskoplastizität allgemein siehe bei-



101


Für das Beispiel von … → ORTHOTROPIC → …→... RATE DEPENDENT → COWPER-

SYMONDS OVERSTRESS POWER LAW → …→ WITH ORTHOTROPIC ELASTICITY lautet der

Materialparametersatz:

T

x y z xy xz yz

pow pow

xx yy zz xxy x y xz yz 0zyz R R[E ,E ,E , , , ,G ,G ,G , , , , , , ,R R R R y Dy , , ,H, , ]n κ

(6.149)

6.5.2.5 Materialmodelle und Materialparametersätze

Für das Beispiel von … → ORTHOTROPIC → …→... RATE DEPENDENT → COWPER-SYMONDS

OVERSTRESS POWER LAW → …→ WITH ORTHOTROPIC ELASTICITY lauten die Materialpara-

meter und Bezeichnungen in der FEMCard Basic Benutzeroberfläche (siehe Ta-

belle 41):

Tabelle 41: Materialparameter für Orthotrope Hill Viskoplastizität mit Materialparametern für isotrope Verfestigungsfunktion


Symbole


xE


yE


zE


xy


xz


yz


xyG


xzG


yzG

R_xx xxR


102

R_yy yyR

R_zz zzR

R_xy xyR

R_xz xzR

R_yz yzR


0y


y



H


powD


pown




Tabelle 42).

Tabelle 42: Isotrope Verfestigung für Hill Plastizität als Tabellenwerte


0 Y_0

… …

… …

0.1 …


103

________________________________________________________________

Bemerkungen:










Zusammen mit den Elastizitätskonstanten E, bzw. x y z xy xz yz xy xz yzE ,E ,E , , , ,G ,G ,G

und Tabelle 42 lassen sich die Konstanten xx yy zz xy xz yz, , , ,R R R ,R R R in einer Vielzahl

von Finite-Elemente-Softwares zur Simulation von Hill-Plastizität mit isotroper

Verfestigung verwenden. Bei Verwendung der transversal isotropen Materialmo-

delle der Hill-Plastizität sind hierbei die Abhängigkeiten der Elastizitätskonstanten

untereinander (siehe Abschnitte 6.1.3-6.1.5) und der Konstanten ijR untereinan-

der (siehe Gleichungen (6.142)-(6.144)) zu beachten.

Es gilt in den folgenden Finite-Elemente-Softwares:


Input File Usage: *PLASTIC

*POTENTIAL



xxR = R11

yyR = R22

zzR = R33


104

xyR = R12

xzR = R13

yzR = R23

Das Überspannungsmodell, welches die Dehnratenabhängigkeit beschreibt, wird

in der Abaqus® (Version 6.14) Software folgendermaßen bezeichnet:




powD = Multiplier

pown = Exponent

________________________________________________________________



→ Structural → Nonlinear → Inelastic → Rate Independent/Rate Depend-

ent → Isotropic Hardening Plasticity → Hill Plasticity → Multilinear




Software

xxR = rxx

yyR = ryy

zzR = rzz

xyR = rxy

yzR = ryz

xzR = rxz


105

Das Überspannungsmodell, welches die Dehnratenabhängigkeit beschreibt, wird

in der ANSYS® (Release 12.0) Software folgendermaßen bezeichnet:







pow1 n = m

________________________________________________________________


bellenwerte (siehe Tabelle 42) lässt sich in bestimmten Finite-Elemente-Soft-

wares die plastische Verfestigungskurve ebenfalls über die Verfestigungsfunktion

(6.145) angeben. Im Folgenden wird die Verwendung der von FEMCard Basic er-

mittelten Parameter in der Marc® Mentat® (2014.2.0) Software beschrieben.



→ Type: Elastic-Plastic Orthotropic

Bem: Allgemein gilt zzx xz

x

E

E (siehe auch Abschnitte 6.1.2 - 6.1.5 für

die Beziehungen zwischen den Elastizitätskonstanten)


→ Yield Criterion: Hill → Method: Table


→ Strain Rate Method: Cowper-Symonds (s. Tabelle 48)

→ Yield Stress: 1 → Table: „MATERIAL-1“ (s.u.)

→ Direct Stress bzw. Shear Stress Yield Ratios (s. Tabelle 47)


106




Software

xxR = Yrdir1

yyR = Yrdir2

zzR = Yrdir3

xyR = Yrshr1

yzR = Yrshr2

xzR = Yrshr3











Hierbei bezeichnen die Symbole Y_0, H, Y_inf, Omega die von FEMCard Basic er-

mittelten Werte entsprechend Tabelle 41.

________________________________________________________________



ohne Gewähr.


107

6.5.3 Large strain Hill (Visco-)plasticity

… → HILL (RIJ) → … → LARGE STRAIN → …

6.5.3.1 Bemerkungen zur numerischen Umsetzung

Die geometrisch nichtlineare Implementierung der Hill (Visko-) Plastizität in

FEMCard Basic verwendet eine multiplikative Zerlegung des Deformationsgradi-

enten in einen elastischen und einen plastischen Anteil, lineare Hyperelastizität

und eine exponentielle Abbildung zur numerischen Integration der plastischen

Dehnungen wie sie in Caminero et al. (8) vorgeschlagen wurde.

Hierbei sind sowohl der Aufbau der quadratischen Hill-Fließfunktion und alle Pa-

rameterbezeichnungen und Überprüfungen in FEMCard Basic analog zu dem kor-

respondierenden Modell für kleine Verzerrungen in Abschnitt 6.5.2. Dies gilt so-

mit für:

die Elastizitätskonstanten E, bzw. x y z xy xz yz xy xz yzE ,E ,E , , , ,G ,G ,G ,

die dimensionslosen Parameter xx yy zz xy xz yz, , , ,R R R ,R R R ,

die Parameter der isotropen Verfestigungsfunktion 0y ,y , ,H sowie der

zugehörigen Tabelle mit den äquivalenten logarithmischen plastischen

Dehnungen und den zugehörigen wahren Fließspannungen,

die Parameter pow pow,D n des Cowper-Symonds Überspannungsmodells

(Perzyna Überspannungsmodell).

Entsprechend dem Vermerk ‚Uniax/Biax: MEAS=true, Shear: Meas=engr.‘ wer-

den als eigegebene Messdaten und ausgegebene Simulationsdaten folgende Da-

ten verwendet:

Für die Versuchstypen ‚Uniaxial‘ und ‚Biaxial‘ sind als Dehnungsmesswerte

die logarithmischen Dehnungen (siehe Abschnitt 4.2.1 und Gleichungen

(4.4)-(4.6)) und die wahren (Cauchy) Spannungen (siehe Gleichung

(3.31)) einzugeben.

Für den Versuchstyp ‚Simple Shear‘ (siehe auch Abschnitt 5.4) wird für

eine bessere Benutzerfreundlichkeit auch für die 'Hill LARGE strain'-Materi-

almodelle immer die Ingenieurdehnung und -spannung für die Messdaten-

eingabe verwendet und in FEMCard Basic unter Berücksichtigung der geo-

metrisch nichtlinearen Theorie verarbeitet. Es werden hier somit dieselben

Messwerttypen wie für den Versuchstyp ‚Shear‘ bei 'SMALL strain'-Materi-

almodellen verwendet.


108

6.6 Viskoelastizität

6.6.1 SMALL strain VISCOELASTICITY

6.6.2 LARGE strain OGDEN VISCOELASTICITY


109

6.6.1 SMALL strain VISCOELASTICITY

VISCOELASTICITY → SMALL STRAIN → 1-5 RELAXATION MODULE(S)

________________________________________________________________

Bemerkung: Die Konstante GN bezeichnet die Anzahl an Relaxations-Termen

(‘Relaxation-Modules‘) und wird über die Auswahl des Materialmodells definiert.

Es gilt G1 N 5 .

6.6.1.1 Motivation: Generalisiertes Maxwell-Modell in 1D

Als Ausgangspunkt wird zuerst das generalisierte Maxwell-Modell in 1D betrach-

tet, bei dem zu einer Feder mit der Steifigkeit E eine Anzahl von N Maxwell-Ele-

menten parallel geschaltet ist. Die Maxwell-Elemente wiederum bestehen jeweils

aus einer Feder mit Steifigkeit Ei und einem Dämpfer mit der Dämpfungs-

konstanten i , welche in Reihe geschaltet sind. Für die Relaxationszeiten jedes

Maxwell-Elementes gilt i i iE .




T1

2 X Xε u u (6.150)

Mit dem Verschiebungsfeld u . Weiterhin wird die additive Zerlegung des Verzer-

rungstensors in einen deviatorischen und einen sphärischen (bzw. volumetri-

schen) Anteil betrachtet mit


3 3 ε ε ε ε ε ε εI ε I . (6.151)


Bei dem in FEMCard Basic implementierten Modell für lineare Viskoelastizität un-

ter Berücksichtigung der geometrisch linearen Theorie ist der viskose Anteil der

Deformation nur von den deviatorischen Verzerrungen und Spannungen abhän-

gig. Somit wird die Volumendilatation als rein elastisch angenommen. Die dreidi-

mensionale Verallgemeinerung des oben genannten generalisierten Maxwell-Mo-

dells liefert in der integralen Darstellungsform das Faltungsintegral (siehe bei-

spielsweise Simo und Hughes (5))


110

dev

sph

0

2 G d 3K

t

t t s ss

εσ ε , (6.152)

wobei s die Integrationsvariable mit der Dimension der Zeit t ist. Für 0t gilt

hierbei, dass ε σ 0 . Die Gewichtung ist die Schub-Relaxationsfunktion, welche

die viskoelastische Charakteristik des Materials bestimmt. Diese ist gegeben

durch die Prony-Reihe

GN

i i

i=1

G G G expt t , (6.153)

mit den elastischen Schubmoduln G i und Relaxationszeiten i für jede Prony-

Komponente. Der elastische Gleichgewichts-Schubmodul G bestimmt den

Grenzwert, gegen den die deviatorischen Spannungen bei aufgebrachten kon-

stanten deviatorischen Dehnungen mit der Zeit gehen.

Das unmittelbare elastische Anfangsverhalten wird durch den spontanen elasti-

schen Schubmodul 0G bestimmt, für den gilt

GN

0 i

i=1

G G G (6.154)

Der Schubmodul 0G bestimmt somit die deviatorischen Dehnungen, welche sich

unmittelbar nach der Aufbringung von deviatorischen Spannungen einstellen.

Mittels der Beteiligungsfaktoren (bzw. relativen Moduln) ig und g mit

GN

ii i

i=10

Gg , g 1 g , 0 g 1

G (6.155)

kann die Schub-Relaxationsfunktion auf den spontanen elastischen Schubmodul

bezogen werden und man erhält

GN

0 i i

1

G G g g expi

t t

(6.156)

bzw.

GN

0 i i

i=1

G G 1 g 1 expt t

. (6.157)


111

________________________________________________________________

Bemerkungen:




0 0E 9K [G 3K ]G (6.158)

und

0 0[3K 2 ] [6K 2G G ] . (6.159)

B2: Für den in FEMCard Basic verwendeten Algorithmus zur numerischen In-

tegration der o.g. Gleichungen siehe beispielsweise Simo und Hughes (5).

________________________________________________________________




Tabelle 49: Materialparameter für das viskoelastische Materialmodell bei kleinen Verzerrungen


Symbole

E Young's modulus

E

PR Poisson's ratio

g_1 shear relaxation modulus

1g

tau_1 relaxation time

1

… …

g_5 shear relaxation modulus

5g

tau_5 relaxation time

5


112

________________________________________________________________

Bemerkung:

B3: Die Kriterien iE, >0 sowie 0 0.5 sowie

ig 0 und GN

ii=1g 1 werden in

FEMCard Basic bei der Startparametereingabe und während der Paramete-

ridentifikation überprüft und ggf. korrigiert.

________________________________________________________________


Für das Materialmodell müssen in einigen Finite-Elemente-Softwares die Paare ig

und i in der Reihenfolge aufsteigender Relaxationszeiten angegeben werden.


maßen bezeichnet:


Abaqus® CAE Software:

Elastic

→ Type: Isotropic

→ Moduli time scale (for viscoelasticity): Instantaneous

Viscoelastic

→ Domain: Time

→ Time: Prony

Input File Usage:

*Elastic, moduli=INSTANTANEOUS

*Viscoelastic, time=PRONY


113




E = Young's modulus

= Poisson's ratio

1g ,…,5g = g_i_Prony

(Zeilen 1 bis 5)

- 0 = k_i_Prony (Zeilen 1 bis 5)

1 ,…,5 = tau_i_Prony

(Zeilen 1 bis 5)

Für die Umrechnung der Parameter des Materialmodelles gilt k_i_Prony=0 in der

Abaqus® Software.

________________________________________________________________



→ Structural → Linear → Elastic → Isotropic

→ Structural → Nonlinear → Viscoelastic → Prony → Shear Response



Bezeichnung in

ANSYS® Preprocessor Software

E = EX

= PRXY

1g ,…, 5g = a1, …, a5

1 ,…, 5 = t1, …, t5

________________________________________________________________


114


Vorabbemerkungen:

Entsprechend Gleichung (6.155)(a) gilt i 0 iG G g . Weiterhin gilt für den sponta-

nen elastischen Schubmodul 0G

0

EG

2 1

(6.160)

und somit erhält man für die elastischen Schubmoduln

i i

EG g

2 1

. (6.161)

Eingabe in der Marc® Mentat® (2014.2.0) Software:


→ Type: Elastic-Plastic Isotropic

→ Young's modulus , Poisson's ratio (siehe Tabelle 52)

→ Viscoelasticity → Model: Prony Series

→ Deviatoric Behavior

→ # Terms: ‘Anzahl an Relaxations-Termen GN in FEMCard Basic‘

→ Parameter siehe Tabelle 52

→ Volumetric Behavior

→ # Terms: 0


115




E = Young's modulus

= Poisson's ratio

1

Eg

2 1

=

Shear_Constant(1)

1 = Time(1)

… …

5

Eg

2 1

=

Shear_Constant(5)

5 = Time(5)



ohne Gewähr.


116

6.6.2 LARGE strain OGDEN VISCOELASTICITY

Wie auch bei dem viskoelastischen Materialmodell bei kleinen Verzerrungen

(siehe Abschnitt 6.6.1) dient für das in FEMCard Basic implementierte Material-

modell für Visko-Hyperelastizität bei großen Verzerrungen das generalisierte

Maxwell-Material als zugrundeliegende Materialstruktur. Es wird hierbei das Ma-

terialmodell für geometrisch nichtlineare Viskoelastizität, wie es in Simo und

Hughes (5) aufgeführt ist, eingesetzt, wobei für den hyperelastischen Anteil der

freien Energie Funktion eine Ogden-Verzerrungsenergiefunktion verwendet wird

und hier zudem die Ratenabhängigkeit der volumetrischen Anteile der Deforma-

tion berücksichtigt werden kann. Aufgrund der linearen Ratengleichungen, die in

diesem Modell verwendet werden, wird hier ein lineares viskoelastisches Modell

beschrieben.

Die in FEMCard Basic implementierten Materialmodelle für finite Viskoelastizität

sind:

VISCOELASTICITY → LARGE STRAIN →

3D, MEAS=TRUE →

COMPRESSIBLE → OGDEN, N=1,…,3 →

1,..,5 RELAXATION MODULE(S)

INCOMPRESSIBLE → OGDEN, N=1,…,3 →


3D, MEAS=NOM. →

COMPRESSIBLE → OGDEN, N=1,…,3 →


INCOMPRESSIBLE → OGDEN, N=1,…,3 →


________________________________________________________________

Bemerkungen:

B1: Entsprechend dem Vermerk ‚MEAS=true‘ werden als eigegebene Messda-

ten und ausgegebene Simulationsdaten wahre (Cauchy) Spannungen

(siehe Gleichung (3.31)) und logarithmische Dehnungen verwendet (siehe

auch Abschnitt 4.2.1).


117

B2: Entsprechend dem Vermerk ‚MEAS=nom‘ werden als eigegebene Messda-

ten und ausgegebene Simulationsdaten nominelle Spannungen (siehe Glei-

chung (3.32)) und nominelle Dehnungen verwendet (siehe auch Abschnitt

4.2.2).

B3: Die Konstante N bezeichnet die Anzahl an Ogden-Termen und wird über

die Auswahl des Materialmodells definiert. Es gilt 1 N 3 .

________________________________________________________________

6.6.2.1 Kinematik

Die kinematische Grundlage des Materialmodells ist die multiplikative Zerlegung

des Deformationsgradientens in einen volumetrischen und einen isochoren Anteil

(siehe auch Abschnitt 3.3)

1/3 , detJ J F F F . (6.162)

Der Tensor F ist isochor ( 1/3det det 1J F F ), mit der Jacobideterminante J wird

die Volumenänderung während der Deformation beschrieben.

Wie ebenfalls in Abschnitt 3.3 beschrieben kann der rechte Cauchy-Green-Tensor

T C F F (6.163)

mittels der zugehörigen Spektralzerlegung dargestellt werden mit

3

2

a a a

a 1

ˆ ˆ

C N N . (6.164)

Entsprechend Gleichung (6.40) ergibt sich für die deviatorischen Streckungen a

1/3

a aJ (6.165)

wobei 1 2 3 1 gilt.

Der isochore elastische rechte Cauchy-Green Tensor lautet

T 2/3J C F F C . (6.166)


118


Für eine Verzerrungsenergiefunktion der Form

dev vol J C C , (6.167)

welche additiv in Anteile, welche die isochoren und volumetrischen Verzerrungs-

maße getrennt enthalten, zerlegt ist, ergeben die zweiten Piola-Kirchhoff Span-

nungen S

dev vol

dev hyd

2 2 2J

CCS

C C C

S S

. (6.168)

Für die deviatorischen devS und hydrostatischen hyd

S zweiten Piola-Kirchhoff

Spannungen erhält man

dev

dev 2/3 DEV 2J

CS

C

, (6.169)

wobei für den Deviator eines Tensors zweiter Stufe in der Referenzkonfiguration

gilt

11DEV : :

3

C C , (6.170)

sowie

vol

hyd 1J

JJ

S C

. (6.171)

Die Cauchy-Spannungen berechnen sich allgemein zu

true 1 TJ σ F S F . (6.172)

Es wird ein rheologisches Modell, welches aus RN Maxwell-Elementen parallel zu

einer Zusatzfeder besteht, betrachtet. Die dreidimensionale Verallgemeinerung

dieses generalisierten Maxwell-Modells liefert in der integralen Darstellungsform

das Faltungsintegral für die zweiten Piola-Kirchhoff-Spannungen (siehe auch

Simo und Hughes (5))

dev hydt t t S S S , (6.173)


119

mit dem deviatorischen Anteil

dev

dev 2/3

0

g DEV 2d

dd

t

Js

t t t s ss

CS

C

, (6.174)

sowie dem volumetrischen Anteil

hyd 1t tJ tp t S C , (6.175)

mit

v l

0

od

dkd

t Jp

Jt t s s

s

, (6.176)

wobei s die Integrationsvariable mit der Dimension der Zeit t ist. Für 0t gilt

hierbei, dass S 0 und C I . Die Gewichtung der der beiden Faltungsintegrale in

Gleichungen (6.174) und (6.176) ist die jeweilige dimensionslose Relaxations-

funktion, welche die viskoelastische Charakteristik des Materials bestimmt. Die

Relaxationsfunktionen sind gegeben durch die Prony-Reihen

RN

r r

r=1

g g g expt t , (6.177)

sowie

RN

r r

r=1

k k k expt t , (6.178)

mit den jeweiligen Beteiligungsfaktoren (bzw. relativen Moduln) rg bzw.

rk und

Relaxationszeiten r für jede Prony-Komponente. Für das unmittelbare elastische

Anfangsverhalten gilt g k 1t t . Es gilt weiterhin für die Beteiligungsfaktoren

(bzw. die relativen Moduln)

RN

r

r=1

g 1 g , 0 g 1 , (6.179)

sowie

RN

r

r=1

k 1 k , 0 k 1 . (6.180)


120


Für die konstitutive Routine für finite Viskoelastizität wird eine Ogden-Verzer-

rungsenergiefunktionen für isotrope Hyperelastizität in Eigenrichtungen verwen-

det. Die Verzerrungsenergiefunktion für das kompressible Ogden Materialmodell

lautet für eine Anzahl N an Ogden-Termen

i i i

N N2ii

1 2 32i 1 i 1i i

2 13 -1

DJ

, (6.181)

mit den Materialparametern i ,

i und iD .

Die in Gleichung (6.181) sowie im folgenden Unterabschnitt 6.6.2.4 aufgeführten

Materialparameter i beschreiben als spontane elastische Schubmoduln das un-

mittelbare deviatorische elastische Anfangsverhalten, während mittels der Para-

meter iD das unmittelbare volumetrische elastische Anfangsverhalten ausge-

drückt wird.



che lauten für die Parameter i ,

i und iD mit i= 1,...,N sowie für die Parameter

rg , rk und rτ̂ mit Rr= 1,...,N (siehe Tabelle 53):

Tabelle 53: Materialparameter für das viskoelastische Materialmodell bei großen Verzerrungen

ASCII-Bezeichnung. Weitere optionale Bez.

Symbole

mu1 ,…, mu3 1 ,…,

3

alpha1 ,…, alpha3 1 ,…,

3

D1 ,…, D3 D1 ,…, D3

g_1 ,…, g_5 shear relaxation moduli

1g ,…, 5g

k_1 ,…, k_5 bulk relaxation moduli

1k ,…, 5k

tau_1 ,…, tau_5 relaxation times

1 ,…, 5

Bei der inkompressiblen Formulierung des Materialmodelles entfallen D1 ,…, D3

und 1k ,…, 5k als Materialparameter.


121

Der initiale Schubmodul (initial shear modulus) und initiale Kompressionsmodul

(initial compression modulus) (siehe auch Abschnitt 6.2.1.2) betragen somit bei

der kompressiblen Formulierung des Materialmodelles

N

0 i

i 1

, (6.182)

0 1k 2 D . (6.183)

Die sich hieraus ergebende Poissonzahl hy lautet

hy 0 0

0 0

3k 2

6k 2

. (6.184)

________________________________________________________________

Bemerkungen:

B1: Die Bedingung hy0 0.5 wird in FEMCard Basic bei der Startparameter-

eingabe und während der Parameteridentifikation überprüft und ggf. korri-

giert.

B2: Die Kriterien i rD , >0 sowie r rg ,k 0 sowie RN

rr=1g 1 und

RN

rr=1k 1 werden

in FEMCard Basic bei der Startparametereingabe und während der Parame-

teridentifikation überprüft und ggf. korrigiert.

B3: FEMCard Basic führt keine vollständige Untersuchung der identifizierten

Materialparametersätze auf Materialstabilität (Drucker Stabilität) für das

diesem Materialmodell finiter Viskoelastizität zugrundeliegende hyperelasti-

sche Materialmodell aus. Es liegt in der Verantwortung des Benutzers, das

zugrundeliegende hyperelastische Materialmodell mit zugehörigen Werten

der Materialparameter auf Materialstabilität zu prüfen. Warn- und Informa-

tionsmeldungen bei der Startparametereingabe geben hierzu zusätzliche

Hinweise.

________________________________________________________________


122


Für das Materialmodell müssen in einigen Finite-Elemente-Softwares die Paare rg

und r bzw.

rk und r in der Reihenfolge aufsteigender Relaxationszeiten ange-

geben werden. Das Materialmodell wird in den folgenden Finite-Elemente-Soft-

wares folgendermaßen bezeichnet:


Abaqus® CAE Software:

Hyperelastic

→ Type: Isotropic

→ Strain energy potential: Ogden

→ Input source: Coefficients

→ Moduli time scale (for viscoelasticity): Instantaneous

→ Strain energy potential order: 1,…,3

Viscoelastic

→ Domain: Time

→ Time: Prony

Input File Usage (Hyperelasticity):




*Viscoelastic, time=PRONY


123




1 ,…,3 = mu1 ,…, mu3

1 ,…,3 = alpha1 ,…, alpha3

D1 ,…, D3 = D1 ,…, D3

1g ,…,5g = g_i_Prony

(Zeilen 1 bis 5)

1k ,…, 5k = k_i_Prony (Zeilen 1 bis 5)

1 ,…,5 = tau_i_Prony

(Zeilen 1 bis 5)

Bei der inkompressiblen Formulierung des Materialmodelles gilt D1=D2=D3=0

sowie k_i_Prony=0 in der Abaqus® Software.

________________________________________________________________


Hyperelastizität


→ Hyperelastic → Ogden → 1 term (2 terms/3 terms)




Software

1

1

2

=

mu1

2

2

2

=

mu2

3

3

2

=

mu3

1 ,…, 3 = a_1 ,…, a_3

D1 ,…, D3 = d1 ,…, d3


124

Bei der inkompressiblen Formulierung des Materialmodelles gilt d1=d2=d3=0 in

der ANSYS® Software.

Viskoelastizität: Shear Response


→ Structural → Nonlinear → Viscoelastic → Prony → Shear Response




Software

1g ,…,5g = a1, …, a5

1 ,…,5 = t1, …, t5

Viskoelastizität: Volumetric Response

Bei der inkompressiblen Formulierung des Materialmodelles entfallen diese Para-

meter in der ANSYS® Software.


→ Structural → Nonlinear → Viscoelastic → Prony → Volumetric Response




Software

1k ,…,5k = a1, …, a5

1 ,…, 5 = t1, …, t5

________________________________________________________________


125



→ Type: Ogden → Method: Entered Values

→ # Terms: ‘Anzahl N an Ogden-Termen in FEMCard Basic‘




1

1

2

=

Modulus(1)

2

2

2

=

Modulus(2)

3

3

2

=

Modulus(3)

1 ,…,3 = Exponent(1) ,…, Exponent(3)

Bei der kompressiblen Formulierung gilt zusätzlich zu Tabelle 58:






1 D1 = D1

1 D2 = D2

1 D3 = D3

Es gilt in der Marc® Mentat® Software:

Für # Terms=1 sind D2=D3=D4=D5=0.

Für # Terms=2 sind D3=D4=D5=0.

Für # Terms=3 sind D4=D5=0.


126

Bei der inkompressiblen Formulierung gilt zusätzlich zu Tabelle 58:



Bem.: Mit der o.g. Einstellung in der Marc® Mentat® (2014.2.0) Software wird ein

Bulk Modulus K verwendet, für den das Materialverhalten inkompressibel ist.

Viskoelastizität (Deviatoric Behavior):


→ Viscoelasticity (Ogden) → Model: Prony Series

→ Deviatoric Behavior

→ # Terms: ‘Anzahl an „Relaxation modules“ in FEMCard Basic‘





Software

1g = Deviatoric Mult.(1)

1 = Time(1)

… …

5g = Deviatoric Mult.(5)

5 = Time(5)


127

Viskoelastizität (Dilatational Behavior):

Bei der inkompressiblen Formulierung des Materialmodelles entfallen diese Para-

meter in der Marc® Mentat® Software bzw. es gilt # Terms=0.


→ Viscoelasticity (Ogden) → Model: Prony Series

→ Dilatational Behavior

→ # Terms: ‘Anzahl an „Relaxation modules“ in FEMCard Basic‘





Software

1k = Dilatational Mult.(1)

1 = Time(1)

… …

5k = Dilatational Mult.(5)

5 = Time(5)

________________________________________________________________



ohne Gewähr.

Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Literaturverzeichnis

128

7 Literaturverzeichnis

1. Mahnken, R. und Stein, E. A unified approach for parameter identification of

inelastic material models in the frame of the finite element method. Comput.

Methods Appl. Mech. Engrg. 1996, 136:225-258.

2. Mahnken, R. Identification of Material Parameters for Constitutive Equations.

Encyclopedia of Computational Mechanics, 2:637-655. s.l. : Wiley, 2004.

3. Bosseler, Marc und Kleuter, Bernd. Universell anwendbares Verfahren zur

Bestimmung von Materialkarten für die FE-Simulation. Vortrag auf der VDI-

Konferenz, Simulation des Werkstoffverhaltens für automobile Anwendungen,

10.- 11.12.2013 in Baden Baden. [Online] www.parsolve.de.

4. Simo, J.C. Numerical Analysis and Simulation of Plasticity. s.l. : HANDBOOK

OF NUMERICAL ANALYSIS, VOL. VI. Elsevier Science B.V., 1998.

5. Simo, J.C. und Hughes, T.J.R. Computational Inelasticity. s.l. : Springer,

1997.

6. Hill, R. A theory of the yielding and plastic flow of anisotropic metals. Proc.

Roy. Soc. London. 1948, 193:281–297.

7. De Borst, René und Feenstra, Peter H. Studies in anisotropic plasticity with

reference to the Hill criterion. Int. J. Numer. Meth. Engng. 1990, 29:315-336.

8. Caminero, Miguel Ángel, Montáns, Francisco Javier und Bathe, Klaus-

Jürgen. Modeling large strain anisotropic elasto-plasticity with logarithmic strain

and stress measures. Computers & Structures. 2011, 89:11-12.

Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Trademarks

129

8 Trademarks

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Software-Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle · Spannung in Pascal [Pa=N/m2] Arbeit in Joule [J=N m] Manual Vol. B: Theorie und Materialmodelle Einführung 7 Bemerkung: Tabelle