Ingenieur-Archiv 41 (1972) S. 278--29o �9 by Springer-Verlag 1972

Spannungs- und Stabilitiitsproblem eines elastisch-querisotropen Schichtsystems*

Von H. Buffer

Ubersicht: Unter Beschr~nkung auf zweidimensionale Verzerrungszust/inde wird das Spannungs- und Stabili- tgtsproblem eines ans linear-elastischen, querisotropen Materialien bestehenden Schicht@stems gel6st. Die Arbeit stellt eine Verallgemeinerung frOherer Untersuchungen des Verfassers [11, [21, [31, die sich auf isotropes Material bezogen, dar.

Summary : Restricting to twodimensionaI states of strains, author solves the stress- and stabili ty problem for a multilayered medium consisting of linearly elastic, transversely isotropic materials. The article gives a gene- ralization of author ' s former investigations [1J, [2~, [3] basing on isotropic materials.

1. Grundgleichungen (Theorie erster Ordnung)

Das Hookesche Gesetz fiir ein querisotropes Material mit der x--y-Ebene (bei Verwendung kartesischer Koordinaten) bzw. r--9-Ebene (bei Verwendung yon Zylinderkoordinaten) als Isotropieebene lautet"

8XX~ ~ r r

8z z

8xy , 8rrp

Ey z, 8q) z

8z x~ 8z r

m 1

E

11 'V t

E E'

'P 1 "V I

E E E '

1/ ~t 1

E' E' E

1

2G

1

2G"

1

2G'

(~xx~ Ors"

%y, %~

cruz

~Txy, ~7r~

(1.1)

Hierin bedeuten ~ i die Spannungskomponenten und eij die Verzerrungskomponenten. Dabei gilt der Zusammenhang E = 2 G (1 + v). Wegen der Symmetrie der Elastizit~ttsmatrix ist die Existenz eines elastischen Potentials gew~ihrleistet. Aus der Forderung der positiven Definit- heit ergeben sich fiir die 5 voneinander unabh~tngigen Konstanten E, E', v, v' und G" die Ein- schriinkungen

E E > o , E ' > E v "~, G ' > o , - - l < v < l - - 2 ~ ' ~ F ~ . (1.2)

Die weitere Rechnung wird in kartesischen Koordinaten und paralM dazu in Zylinderkoordi- naten durchgeftihrt. Dabei zeigt sich eine bemerkenswerte lJbereinstimmung der (transfor- mierten) Gleichungen, falls man diese auf zweidimensionale Verzerrungszust~tnde spezialisiert; d. h. die Spannungs- und Verschiebungskomponenten solten nur yon 2 Koordinaten, n~imlich von x und z bzw. yon r u n d z abhfingen. Mit dieser Voraussetzung liefern die Gleichgewichts-

* Meinem hochverehr ten Kollegen Herrn Prof. Dr. phil. Dr.-Ing. E. h. Udo Wegner zn seinem 7 o. Geburts- tag gewidmet.

41. B a n d 1972 E l a s t i s c h - q u e r i s o t o p e s S c h i c h t s y s t e m 279

bedingungen (bei Abwesenheit yon Volumenkfiiften), die Verzerrungs-Verschiebungsgleichun- gen und das Elastizit~tsgesetz (1.1) nach geeigneten Eliminationen folgende Matrizen-Diffe- rentialgleichungen :

~ a

- - = A a az

Hierin bedeuten

(1.3) b = B a . (1.4)

E *

~t* = ~ - ~ i ( 1 " 5 )

(E* Bezugselastizit~itsmodul, h* Bezugsdicke),

�9 �9 ,, ,}~" a = { ~ z z , ~Yzx, a zy , Cry, ~ x ,

b = { ~ , , + % y , a** - - % y , 2 ~ y } r ,

0 D 1 -~- ~ ,

0 D e - - a x '

a

o2 D 4 = ~ ,

a = { ~ . , ~ . , ~,~, ~g , .~*, ~ ' ) ~ , (1.6)

b = { o ' r ~ + % , , a r t - - % , , 2 a , ~ } r , (1.7)

O

D1 - - Or ' }

D e = ~ + r o , / (1.8)

Da 0r r ' / O ~ I 0 i

D4 = ~ + r & r 2 '

A =

B =

m

o - -D2 o i o o i o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . : . . . . . . . . . . . .

v ' E : E D 4 i 1 - - ' p E ' D 1 0 0 i 0 - - ] Z * E ~ 1 - - v 2 : 0

i h * o o o i - - E - ~ G " D 4 o o

E * 1 O : 0 h~g" G~ O O 0

: E * o ! h * G ' o o o - - D I

E * / E 2 v 12 \ . . . . . . . . . . ! . . . . . . . . . . . . . . . : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . : . . . . . . . . . . . . v ' E ~1 E ' 1 ~ ~ ) 0 i 0 O

_ : 1 ' - - v E ' D2 o m

m

E v' ! h* E - 2 - - - - o ! o o ~ D o

E I 1 - - ~ : 1 - - ' p 2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,, . . . . . . . . . . . . . : . . . . . . . . . . . . . . . : . . . . . . . . . . . . . . . . . ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . : . . . . . . . . .

: h* E o o : o o ! ~ D o

: i + v 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G h* o o :[ o 2 ~ Da o o

(1.9)

�9 (1.1o)

Die Spaltenmatrix a heil3t Zustandsvektor.

2. D i e u n e n d l i c h e E i n z e l s c h i c h t

2.1. Allgemeine L6sung und 1Jbertragungsmatrix

Durch Anwendung der Fourier- bzw. Hankeltransformation geht (1.3) in eine gewStmliche Matrizendifferentialgleichung tiber, w~ihrend aus (1.4) eine algebraische Gleichung entsteht. Die ben6tigten Integraltransformationen und ihre Inversionen sind [4]:

280 H. Buffer Ingenieur-Archiv

n + o o

oo

+ o o

i(,) =d~;,{7(;0}_g ~ n ,)~-i**g;,, - - o o

wobei

{ = i l ~ - f i i r ) u # o und

i = o ftir 2 = o mit i = 1 / ~ . g F

co

/( ,) = < < / < r ) } = f y.<, , , , , (21) o

oo

/(r) = ge;y/(,~)} = f;, 7(4) Y,,(;, ~) d,z. (2.2) o

Voraussetzung hierzu ist, dab die Funktion

/(x) die Dirichletsehen Bedingungen ffir -- oc ~ X ~ oo erftillt und das Integral

OO

f / ( x ) dx absolut konvergiert. - - o o

Ferner gilt, falls

/(x) --> o fiir Ixl ~ oo

1 o

D : t ---- -- n~l/,

und falls

/(x) --> o und d/ ~--->o fiir I x l - > e c

/(r) von beschr~tnkter Schwankung in der Nachbarschaft yon r ist und das Integral

oo

f / ( r ) dr absolut konvergiert. o

r / ( r ) - + o ftir r - + o und r - + oo

0 I 2 1

D 2 / = [),1 / , D a / = -- [).t /

r / ( r ) -+ o' und J1 l(r) -+ o ffir r - + o und r - + e c

1 1

D4/ = -- 42 1.

Die Absolutstriche beim Parameter 2 sind dabei nur fi~,- die Fouriertransformation relevant. Durch Anwendung der mittels

ov 1

--or

H =

- ~ 0

F __ c ~ 1

aT 1

- - C , ~ O _

F' =

G

H ' = 3~2

~ 2

bzw.

-x0

(2.3)

G G

G G G]

(2.4)

(2.5)

(2.6)

(2.9) (2.1o)

(2.8) ua _ d ~ (2.7) b = B ~. d z

Hierin bedeuten 8 und b die transformierten Vektoren (Spaltenmatrizen)

a = F a , a = H a ,

b = F ' b , b = H ' b ,

definierten Operationen auf ',1.3) bzw. (1.4) folgen bei Beachtung der Regeln (2.3) und (2.4) die gew6hnliche Matrizendlfferentialgleichung (2.7) und die algebraische Gleichung (2.8):

4 L B a n d 1972 E t a s t i s c h - q u e r i s o t o p e s S c h i c h t s y s t e m

w~ihrend die Matr izen A und B durch (2.11) und (2.12) festgelegt s ind:

0 - - ~ * 0 0 i 0 0

v' E i 1 E i - - v E ' A * ~ 0 0 0 i 1 - - v ~ E * 2*2 o

o o o ~-; 2 *2 o o

1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

E *

~ m

B----

0 0

E * 0

G' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i . . . . . . . . . . . . :

- - / ; " 1 - - v

/ : :

E v' 2 - - - - 0 E t l - - v

G' 0 0 0

0 i 0 0 - - ,L*

0 0 ~ - - v E ' ~ ' * 0 2

0 1 E

l - - r E * A'* i 0

i i 1 E i o o o : o i ~*i o

: i 1 + r E * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i . . . . . . . . . . . . . . . .

i 2 G i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i . . . . . . . . . . . . . . . . .

o ! o o i ~ 2"i:. o i o * i

281

, (2 .11)

, (2 .J2)

} * = I).[ h-':-". (2.13)

Zu beach ten ist, dal3 die K o m p o n e n t e n yon a und b den Bedingungen, die den Formeln (2.2), (2.3) und (2.4) zugrundel iegen, genagen. Das In t eg ra l yon (2.7) l au te t mi t dem ,:,Anfangs- v e k t o r " fi(o) an der Stelle z* = z / h * = o ~

:a(z*) = T ( z * ) a(o) = e Xz*t~* a(o) . (2.14)

Die geschlossene Auswer tung der Exponen t l a l funk t ion ver lang t die Kenn tn i s der E igenwer te

#1,/~2 . . . . . /~ der Mat r ix A z* h*. Sie lauten

mi t

(2116)

und

0r E' 2 + ~" 1 - v 2 ~ - - (1 ~) , fl 1 v2 ~ 1 - - E , v (2.17)

Ferner gel ten die Beziehungen

2 2

Wegen der Einschr~inkungen, d e n e n die Elast iZit~i tskonstanten un te rworfen sind, ist s te ts fl > o, w~hrend a ~ o und auch cr 2 4 ~ > - - ~ o sein kann. Bei i so t ropem Mater ial (E ' = E ,

G' = G, v' ---- v) wird a = 2 und /~ = 1, folglieh ql = q~. = ]/-G/G' = 1. Die Wurze ln ql und q~ kSnnen sein: Pos i t iv reell (verschieden oder gleich) oder imagin~h' (verschieden oder gleich). Fe rne r k6nnen ql und --q2 zue inander konjug ie r t komplex (mit vone inander ve rsch iedenem oder gleichem Real- und Imagin~irteil) sein. Daher sind die L inea rkombina t i onen

1

Q~,H = T (q~ + q~) (2.18)

Z u m Ver fa ,h ren d e r t 3 b e r t r a g u n g s m a t r i z e n s i ehe z. B. [5]

2 8 2 H . B u f f e r Ingenieur-Archiv

entweder posit iv reell oder imagin~ir; Q~ kann auch null werden. Eine Zusammenste l lung der verschiedenen M6glichkeiten zeigt Tabelle a.

Versieht man (2.14) mit der Sch ich tnummer k, so laute t sie

~ ( z ~ ) =- T~(z*) a~(o) . (2.x9)

Die unter Zuhilfenahme des Cayley-Hami l tonschen Theorems ftir voneinander verschiedene Eigenwerte #~ berechnete Matr ix T~(z'~) ergibt sich nach geeigneten Umfo rmungen zu

wobei

T,,(z*) = [t ,~L =

H ___

-A B o o C D -

F H o o I

o o N P

o o R

K L symmetr i sch

M

K =

a E k } A = 1 *

4 0 - 2 --v,,~) G~ tI(z*) t I I ( Z * ) cI(zk) ClI(Z~)

B = - - i - - - - E~- - - Q I I k

o f ~ - o ~ tH(z*) ci(z*) ci~(~*)

c = - > 2 (1 - - ~ ) h(~2") h~(*2') ~i(z~) q~(z*) ,

E k 2 * ~t

/) - E, ~ (~ - d/ QL - Q ~ [t~(~*) - t~(~)l q ( ~ ) q ~ ( ~ ) ,

~- Ix V; El; Q~It~I ti(z~)} ci(z~) cli(z~) ' --~k E; QL +

+ 4 (1 d~ a; h(~*) h~(z*) c~(~) q~(~*),

E k 2* I -- E* 2 (1 - v~) [tI (zk*) + t,i(zk*)~ ci(z~) cn(z~) ,

.7 ~U ~ ~ + ~ ~ - 2 ~,o ~ ti(~*) ti~(~*) ~(~*) c~(~*),

M = _

- [Q~ - O~i~

\ V G ;

\ g o ~

Ek 1-- ~,-- k Es tII(Z/~)} r 2 v'i~ ~" E k

R

(2.20)

(2.21)

4 ~. B a n d ~972 Elastisch-querisotopes Schichtsystem ~83

Tabelle ~. Fallunterscheidungen

Fall g c~2 -- 4/~ OI 0II

1 ~ pos i t iv reel l pos i t iv reel l 2 > o = o pos i t iv reel l o 3 < imaginiir positiv reell

4 = o < o imagingr p0sitiv reell

sowie

5 > imagin~tr imagingr 6 < o = o imagingr o 7 < imagin~r positiv reell

Z~ - - ],lk , Ci(Zt) = c o s h (@ikJ~* Z2:) CII(Z?) = c o s h (@IIk ,

t a n h (~Oik~* Z~,) taI lh (QIIk/ ,* Z~) /t (2.22) ti(z~: ) ~ I s ' tII(Zk*) = - ~ I I s

mit QI~ und Qiik entsprechend (2.18). Die Matrix Tk(z* ) hat die bekannten Eigenschaften einer {)bertragungsmatrix: Symmetrie zur Nebendiagonale, wenn die Elemente des Zustands- vektors in einer geeigneten Reihenfolge gew~thlt werden, Determinante 1 und gleiche Elemente mit schachbrettart iger Vorzeichenaustauschung fiir die inverse Matrix, ferner gilt ftir 2 Schich- ten aus gleichem Material (Dicken/h und h2) T(h*) . T(h*) = T(h* + h*).

Die Matrix (2.2o) beh~tlt auch im Falle von teilweise zusammenfallenden Wurzeln (q~ = q2) der charakteristisehen Gleichung Gtittigkeit:

Man braucht nur den Grenzprozel3 QII --> 0 in den einzelnen Elementen durchzuffihren:

tli(Z*) = lim tanh(Qi_ik2*ff*) _ 0II/~-->o QII/~ - - ,~-'I: g ~ , CII(Z~) = 1 .

Bei Isotropie (QI = 1, QII = o) lassen sich auf diese Weise die bekannten Ergebnisse [6], [7]

best~ttigen. Ftir imagin~re Werte yon QI = i Qi bzw. QII = i0 I I erhalt man anstelle tier Hyperbelfunktionen (2.22) die trigonometrischen Funktionen

c,(z?) cos (O,k 4 , -*

usw. Man erkennt, dab sfimtliche Elemente der Matrix (2.2o) stets reell bleiben, wie es auch sein muB, da ja auch die Zustandsvektoren reell sin& Damit ist nachgewiesen, dab die Ober- tragungsmatrix (2.2o) ftir den gesamten in Frage kommenden und in Tabelle 1 erfaBten Para- meterbereich giiltig ist.

Setzt man z~ = hk, so erMlt man die {~Tbertragungsmatrix der Schicht k

T~ = T~(h*) mit h~ -- hk a* " (2.23)

* Bei Kenntnis des Anfangsvektors ~I~(0) folgt 1~(z~) nach (2.19) sowie bk(z* )nach (2.8) zu

b~(z*) = B~ a~(z*) = BI~ T~(z*) ~k(o) , (2.24)

wobei B k die auf die Schicht k bezogene Matrix (2.12) bedeutet. Die Rticktransformation gem~B (2.2) ft~hrt dann zum vollst~ndigen Spannungs- und Versehiebungszustand"

%(z,z~) F - ~ { * = H = Tk(Zt~ ) a~(o)} , ak(r, zk) { Tk(z* ) a~(o)} , (2.25)

bk(X, Zk) ~- F ' -1 { B k T]~(z~") a k ( o ) } , bk(~', zt~) ~ 1-I'-1 { B k T k ( z t ) ~ k ( ~ �9 (2 .26)

Auf die Bestimmung der Anfangsvektoren ~/~(o) wird in Abschnitt 3 eingegangen.

284 H. Buffer I~,genieur-Archiv

Wie ein Blick auf (2.2o) -- oder, friiher schon auf (1.9) -- lehrt, liegen zwei entkoppelte Probleme vor: Das erste (von 4. Ordnung) Itir

und das zweite (yon 2. Ordnung) ftir

* T Sl~ = {ffzy, Uy }k,

Das erste beschreibt den

ebenen Verzerrungszustand in der x--z-Ebene

und das zweite bezieht sich auf

die (yon y unabh~ingige) Schubbelastung in y-Richtung (s. Abb. z a).

a

~ = {n~,, ~ , , Ur ~', u*}~ (2.27)

- - % }~ . ( 2 . 2 8 ) SI,~ { C/z 9, * T

axialsymmetrischen (torsionsfreien) Verzer- rungszustand mit der z-Achse als Symmetrie- achse

die (von 9 unabhXngige) Schubbelastung in ~v-Richtung (axialsymmetrische Torsion) (s. Abb. ~ b)

11

Abb. 1. Schubbeanspruchung in y- bzw. ~-Richtung

Ftir die beiden Einzelprobleme gilt demnach

~k(z*) = Uk(z* ) ~(o) , (2.29) mit

Uk(z*) = L H (2.31) und V(z*) = N i~"

K F A To

(2.3o)

(2.32)

"-a

/

k

k q

b c c d e-

g h h i

l m

]5 symmetrisch

(2.33)

~Ool ~ A

~A31 ~3~ ~34 II II zl ~ A

~41 ~42 ~43

u~ ~ 'u~ ~ symmetrisch

~ A 1

2.2. Deltamatrizen

Da bei der Berechnung eines Mehrschichtsystems die zweireihigen Unterdeterminanten der l]bertragungsmatrix ben6tigt werden, ist es zweckm~iBig, diese vorweg zu berechnen nnd in einer sogenannten Delta-Matrix anzuordnen (wie durch Fuhrke [81 im Zusammenhang mit Balkenschwingungen gezeigt wird). Man beschdinkt sich hier zweckm~Bigerweise auf das durch (2.29) beschriebene u weil das davon entkoppelte Zweierproblem gem~tg (2.30) far Sich einfach zu 16sen ist. Der erste Index m d e r Delta-Matrix bezieht sich auI die Zeilen- und der zweite Index n auf die Spaltenkombination, wobei die Kombinationen 1, 2; 1, 3; 1, 4; 2, 3; 2, 4; 3, 4 durch die Indices 2, 2, 3, 4, 5, 6 gekennzeichnet sind. Es ergibt sich

II Ii

II li

Ii It

II II

II

l

v

[1 II

v

I ~

~v ~

~ ~

~,

I~

~ ~

~l

~

I ~

~1 ~

~

~ "~

v

v v

v

v i 1

v

v

v i i

v

v

S 8"

~X

6~

286 H. Buffer Iuge~zieur-Archiv

s o w i e

s I (z~) - - s i nh (QI/~QIk ~'* Z~) , SII(Zk* ) ~--- s inh (QIIkQllk "~* z*) ( 2 . 3 5 )

u n d c I und cIi gern~g (2.22). Die fiir eine einem linear-elastischen Problem zugeordnete Delta-Matrix typischen Eigenschaften sind aus (2.33) zu ersehen. Die Delta-Matrix einer Schicht der Dicke h~ wird kurz mit

u A _ A , U~ (h k ) (2.36)

bezeichnet. Im Sonderfall der Isotropie folgt 1Jbereinstimmung mit [3] (dort Gleichung (32) mit S = o).

.... hk B e m e r k u n g : Liegt eine dtinne, durch Z"lT;- ~ 1 charakterisierte Schicht vor, so erh~ilt

man durch Taylorentwicklung der einzelnen Elemente in (2.31) und (2.3;) (ftir z k = h1~ ) und Beibehaltung der jeweils niedrigsten Potenz die Matrizen (~ k und (~ Speziatisiert man diese welter so, indem man einmal E' -+ oc (Dehnstarrheit senkreeht zur Schichtebene) und G ' - + oo (Schubstarrheit entsprectzend der Bernoulli-Kirchhoff-Hypothese), das anderemal E -+ o (Dehn- und Schubweicbheit in der Schichtebene) und E' -+ oo (Dehnstarrheit senkrecht zur Schichtebene) setzt, dann resultieren im ersten Fall die das Verhalten einer Tragschicht beschreibenden Matrizen, im zweiten Fall die das Verhalten einer (nicht zusammendriickbaren) Fiillschicht beschreibenden Matrizen. Die Berechtigung dieser fiblicherweise bei Sandwich- konstruktionen zugrundegelegten N~herungen kann jedoch erst der Vergleich mit der genauen (in der vorliegenden Arbeit entwickelten) L6sung zeigen.

3. Das Mehrsch ich t sys t em

Die in (2.25) und (2.26) ben6tigten Anfangszustandsvektoren ak(o) der einzelnen Schichten errechnet man auf Grund der Rand- und 121bergangsbedingungen El/, L6], ET]. I m Fatle voll- stgndiger Ha/tung der einzelnen Schichten m/issen der Spannungs- und der Verschiebungs- vektor an den Schichtgrenzen und damit der Zustandsvektor ak stetig sein (Abb. 2).

/ //" / / / /

/ " / / /

/ / /

Abb. 2. Schichtsystem

/r

N-1

..... K-1

I - - - 0

ate+l(~ = al~(hk) ~ ak, k = 1, 2 . . . . N -- 1 . (3.1)

Die (3bertragungsgleichung (2.19) (mit z* = h~) lautet damit

ak = T~ a~_l , k -=- 1, 2 . . . . N -- 1 . (3.2)

Nach Elimination der Zwischengr6Ben resultiert folgende Verkntipfung der Randgr6Ben:

~ = T N . . . T 1 N o = T a o . (3.3)

Je drei von ihnen sind vorgeschrieben, die restlichen erh~ilt man aus (3.3), womit gem~il3 (3.2) alle Anfangszustandsvektoren tier individuellen Schichten bekannt sind. Der Bereich grol3er

4 L Band ~97 z E l a s t i s c h - q u e r i s o t o p e s S c h i c h t s y s t e m 287

~-Werte ist bei Problemen yon h6herer als zweiter Ordnung ffir numerische Komplikationen anf/illig I6~, [7]. Daher so l hier ffir das Viererproblem eine davon freie formehn~ifiige L6sung angegeben werden (in Anlehnung an Schnell [9~). Mit

o 1 1 o ~ = {a. , a**, 5", _~*}~

= {a, 7, ; . , _ ~ , } r

o 1 1 o ,'~ = {a=, a=,, ~*, _ ~ . } r

= { a , ~, ; , , _ ~ , } r (3.4)

liefert die AuflSsung von

~ = ~N" ' " t& ~o = V ~0 (3.5)

nach den Unbekanntenu* und -*w o bei vorgegebenen Randspannungskomponenten ~ zun~ichst

= , 1 3 -- /

Ul 6 --* ~ _ (3.6)

~16

und fiber die Beziehung

r~ = U ~ . . �9 U, i" o -- ~U i; o (3.7) weiterhin

= - 5 - [ ( In , , 86,. - - I"13 ~la @ I"14 r162 ~0 ~- (1f'r UI3 If~'3 U~.5 @- I~14 Ul~,):~0 u16

- (-~% u. + Iu u u~) ~- + ( - ' % u . + h~z, .~) ~s], wobei

(3.8)

(3.9)

(3.10)

(3.11)

li ') = a , , B ) = * ~ , 12 ~> = ; t , Nach Einffihrung von

~ U = U , , , . . . U~+~

liBt sich (3.8) welter umformen. Das Ergebnis lautet

~d~|Pal Pa= Paa L-W'*J~ LP~ P~ P~.

mit den Abk/irzungen

t)11 = II861A 4 I~la .@ I I ~ a

1513 ~ 1Ir Ir -@ 1Ir

])21 I L . A IIctzl = - - '/4"12 Iq~r - - la

/5'23 = --II'b/'21 Iq$1d6 "@ IIu23

IL d I8633 Pal = IIulA1 Ir - - '~13

./}41 ~- Iictfi I,H~23 + l k . d

I A __

Ir _~_ Ig A 't~t6

I d U~6 i L II~24

I86a 3 + II,/g~

II86d - - 15 I~43

I A -I- 118624 '~66

+ ,I86fi ,~q~

II. I- A - - ' /~23 '~66

IU33 ,

t A U36

Lu4a Iu;' 6

PI2 ~ II~r Ir @ iIr I~r ~- Ills116 I'/~34 ~

~14 = --1Ir I86~6 118613 ICinG iI . I -A

P22 = II. zI IIr 3 I186f6

P24

532

J)34

P42

I A I ~ P44 = 118611 q~a6 -{- 118612 I~,5A6 "@ IIN13 ~66" J

II.11 Iq4A 6 _- IIqg13 I~r 5 __ II8614 I',/~56A ,

II. 3 tI .d II86A IU , 'rill IU14 '~13 IU34 - - i~ 44,

IIN11 Ir 6 @ IIr162 ir II I -A 12 - - 8614 't~66 J

IL zJ "V/.ll Ir + II'/~i~ Ir + II~tld ~ Ir ,

(3.12)

Aus (3.6) und den letzten beiden Zeilen yon (3.i i) mit k = A T, IU = U, n U = E (Einheits- matrix), e}} = Kroneckersymbol 6ij folgt fibrigens die Nachgiebigkeitsmatrix des N-Schicht-

.a D i e R a n d k r M t e m a s s e n i n s g e s a m t i m G l e i c h g e w i c h t se in .

288 1t. Butler I'ngenieur-Archlv

systems (ftir die transformierten Gr6Ben) :

. . . . . . -L 1

x * d A

7"2)~ 1 q/~14 U12 --r #23 - -~0

=* = - ~ " u ~ - u ~ ~N " q~N u16 --~14 --~13 ~6 46

- - ' Zl ~A _ w } _ _ u2~ u~3 - % ~ ~_ L ~

(3.13)

~ und ~ = u~6 der Produkt-Deltamatrix ist die Nach- Wegen der Eigenschaft ~1~ u14 u46 giebigkeitsmatrix symmetrisch zur Hauptdiagonale, wie es auch auf Grund des Maxwellschen Reziprozit~Ltssatzes sein mug. An (3.13) kann man iibrigens die Nachgiebigkeitsmethode kniipfen, bei der die Verschiebungsgr6Ben eliminiert werden [6], [7].

Im Falle verschwindender Ha]tung (z~ = o) reduziert sich das Viererproblem auf ein Zweierproblem :

~* = U* ~*~ (3_.14) mit dem reduzierten Zustandsvektor

~=I' = 1~, ~ , ) r (3.~5) und der Zweiermatrix [ ] [ -01

J = = 1 / 4 " (3.10)

'~ L~.~,, u~j~ '~, L~o~ ~oo

Hierbei wird stetiger Kontakt der einzelnen Schichien vorausgesetzt. Der vollst~ndige Zustandsvektor rk(o) errechnet sich aus dem reduzierten r*(o) gem~iB

L ( o ) = o h § (3.~7) mit

1 O

0 0

D~ = , ~ (~ , ) ~ , ( h * ) �9 (3.18)

O - - 1

D i e gesch!ossene L6sung fiir ein N-Schichtsystem lautet bei Vorgabe yon % undcr n

io li 0 ] ~ * = u~-2 I I U ~ IU* j ~s. '

wobei IU* = U * . . . U* und ItU* = U * . . . U*+~.

Bei: homogener reibungsfreier Schichtung wird wegen U* = U*

- --~ Ui *o (3.20) mit

U*k = ~ [ ~ + ~-~ T (~ -- ~-~)] (3.21)

Lt (d o - ~-,~) ~ + ~,-'~ J und

= 1-- ~ + 1/ '~ - ~ ~fo. (3.22)

4 ~. B a n d 1972 Elastisch-querisotopes Schichtsystem 289

4. Stabilitfitsproblem vorgespannter Verbundplatten

Wir betrachten hier das ebene Problem einachsig gleichm~gig vorgespannter rechteckiger Verbundpla*ten sowie das axialsymmetrische Problem gleichm~igig vorgespannter kreisf6r- miger Verbundplatten. Wie im einzetnen vom Verfasser in [2] und [3] ffir den Fall der Iso- tropie gezeigt wird, lassen sich beide Probleme gemeinsam behandeln, wobei die Theorie sowohl die langwelligen als auch die kurzwelligen Knickerscheinungen erfagt. Ausgangspunkt ist folgende Gleichung, die den Zustandsvektor der Theorie 2. Ordnung (Gleichgewicht am deformierten K6rper l)

q = { K ~ , I L , , u , , !

mit dem Zustandsvektor der Theorie 1. Ordnung

* _ u * } ~ ]" ~ {H~z, Hzx, ¢~x,

verkntipft:

1

o R =

o

o

r [

r = R q

o o

1 o

o 1

o o

q = { K . z , K~r , u * , - - u * ) T (4.1)

r = { ~ , , a~,, u*, - -u*} "r (4.2)

o

o h *

0

1

(4.3)

(4.4)

Die Verschiebungskomponenten in (4.1) und (4.2) sind jene, die vom Grundzustand zmn Nach- barzustand fiihren, die Spannungskomponenten in (4.1) sind jene im ddormierten K6rper und in (4.2) bedeuten sie die den Gleichungen der Theorie erster Ordnung gentigenden Zusatz-

o

spannungskomponenten. Die Gr6Be - - T ist die gleichm~iBige Druckvorspannung in x- bzw. r-Richtung.

o

Ffihrt man -- unter Bezugnahme auf die Schicht k -- anstelle von T k die allen Schiehten

gemeinsame Vorstauchung S gem/iB

o [ 1 (ebenes Problem), T~ = -- E k S~ = -- E~ S ](a -- vk) -1 (axialsymmetrisehes Problem) (4.5)

ein und maeht (mit dem jetzt nicht mehr kontinuierlichen Parameter

} g . = i?. / . cos (,~ x) , K , , = i f , , .

Ux ~ Ux J

sin (4 x) , K . K . .

., i j J0(~ r)

so geht (4.3) -- wieder unter Bezugnahme auI die Schicht k -- fiber in

~(z*) = R~ ~(~*) mit

21 Ingenieur-Archiv, 41, Band, Heft 4

1 0 0 0 ]

o 1 o - S *

o o 1 0

o o o 1

den Ansatz

H - = ~ - I

! Jl(1 r) ,

{4.6)

(4.7)

(4.8)

290 H. Buffer Ingenieur-Archiv

und .. Ek //k ~ { 1 (eben)

S* = 4 ' ~ S k = )~* ~ (1 -- vk) -1 (axialsymmetrisch). (4.9)

Andererseits ftihrt der Ansatz (4.6) via (1.3) und (2.7) zu (2.29)

~(~*) = r%(~*)~(o) (4.1o) und bet Beachtung yon (4.7)

zu qtA(z~) = CA(z* ) C~(o) (4.11) mit CA(z* ) = It~ ~ U~(z*) R A . (4.12) o

Ein Gr613enordnungsvergleich zeigt nun, dab fttr kleine Vorstauehungen (S ~ 1) sich die Matrix C A der Theorie zweiter Ordnung yon der Matrix U A der Theorie erster Ordnung nur durch das Element 0,4) unterscheidet

q4 = u~4 - - u12 S* , (4.13)

w~thrend die Deltamatrix C~ yon U~ in den Elementen (1,6), (1,5) und (2,6) abweicht:

A A U~a S* c ~ ~ = u~ + u~ u2~ S*. (4.14) C16 = q/r @ ~/g12 ~ 15 = C26

h *s .~ Ferner zeigt sich, dab der Einflul3 der Vorstauchung nur ftir (Jr* k ) ~ 1, also bei einer diinnen Sehicht, relevant ist. Hier gilt

cf0 - (1 z ~)~ \ E , / h * ~ (z* h*)* ~2 (4* l,*)~ - (~ - ~) sA , (4.~5)

Die kritische Stauchung S (in Abh~ingigkeit von 4) ergibt sich aus den homogenen Randbe- dingungen an den Deckfl~chen der Verbundplatte und l&uft, wie im einzelnen in [2] und [3] ausgefiihrt wird, auf das Nullsetzen eines Elementes der Produkt-Deltamatrix

c ~ = c ~ c ~ _ ~ . . , c~

hinaus. Der Parameter ~ wird durch die Lagerbedingungen der Ve#bundplatte festgelegt. Wegen weiterer Einzelheiten sei auf die Ausftihrungen in [2] und [3] verwiesen.~

L i t e r a t u r

1. Buffer, H. : Die Bestimmung des Spannungs- und Verschiebungszustandes eines geschichteten K6rpcrs mit Hilfe von i)bertragnngsmatrizen. Ing.-Arch. 3 z (1962) S. 229.

2. Buffer, H.: Die Druckstabilit~t rechteckiger Verbundplatten. Ing.-Arch. 34 (1965) S. lo9. 3. Buffer, H.: Axialsymmetrisches Ausknicken kreisfOrmiger Verbundplatten. Ing.-Arch. 34 (1965) S. 385 . 4. Sneddon, I. N.: Fouriertransforms. New York, Toronto, London 1951. 5. Pestel, E. C., Leckie, F . A . : Matrix Methods in Elastomechanics. New York, San Francisco, Toronto,

London 1963 . 6. Buffer, It. : Theory of Elasticity of a Multilayered Medium. J. Elasticity 1 (1971) S. 125. 7- Buffer, H. : Rationelle und exakte Berechnung des Spannungs- und Verschiebungszustandes eines elastischen

Mehrschichtsystems. Beitrag in,,Kontaktaufgaben der Baukonstruktionen und der elastischen Unterlagen", Symposium in Piestany 197 ~ (im Druck).

8. Fuhrke, It . : Bestimmung yon Balkensckwingungen mit ttilfe des Matrizenkalkiils. Ing.-Arch. 23 (1955)

S. 329. 9. Schnell, W. : 7Krafteinleitung in versteifte Kreiszylinderschalen. Z. Flugwiss. 5 (1957) S. 1.

Eingegangen am 5. ]uli 3971

Prof. Dr.-Ing. Hans Bufler, Lehrstuhl II fiir Meehanik der Fakult~t iiir Bauwesen Universit~t Stuttgart, D- 7 Stut tgart 1, Keplerstr. 11 (Deutschland)

a Verfasser dankt seinem Mitarbeiter Dr.-Ing. G. Meier fiir seine l-Iilfe bet der Anfertigung dieses Berichts.