SPEKTRUM ADJACENCY, LAPLACE DAN SIGNLESS-LAPLACE …etheses.uin-malang.ac.id/17315/1/15610055.pdf · laplace, dan signless-laplace pada graf pembagi nol dan komplemennya dari ring

SPEKTRUM ADJACENCY, LAPLACE, DAN SIGNLESS-LAPLACE PADA

GRAF PEMBAGI NOL DAN KOMPLEMENNYA DARI RING

KOMUTATIF DENGAN UNSUR KESATUAN

SKRIPSI

OLEH

NADIA WALINDRA

NIM. 15610055

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM

MALANG

2019

SPEKTRUM ADJACENCY, LAPLACE, DAN SIGNLESS-LAPLACE PADA

GRAF PEMBAGI NOL DAN KOMPLEMENNYA DARI RING

KOMUTATIF DENGAN UNSUR KESATUAN

SKRIPSI

Diajukan Kepada

Fakultas Sains dan Teknologi

Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang

untuk Memenuhi Salah Satu Persyaratan dalam

Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S.Mat)

Oleh

Nadia Walindra

NIM. 15610055

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM

MALANG

2019

MOTO

Jangan bergantung pada orang lain,

tetapi manfaatkan dirimu sendiri sebaik mungkin

vii

PERSEMBAHAN

Skripsi ini penulis persembahkan untuk:

Ayahanda Edi Supriono dan ibunda Sriwijiati yang senantiasa ikhlas mendoakan

dan sabar dalam merawat, mendidik, dan membesarkan penulis hingga

mengantarkan sampai pada pendidikan sarjana.

viii

KATA PENGANTAR

Assalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh

Segala puji syukur penulis panjatkan ke hadirat Allah swt yang telah

melimpahkan rahmat, taufik, dan hidayah-Nya, sehingga penulis dapat

menyelesaikan penyusunan skripsi ini sebagai salah satu syarat untuk memperoleh

gelar sarjana dalam bidang matematika di Fakultas Sains dan Teknologi,

Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang.

Dalam penyusunan skripsi ini, penulis banyak mendapat bimbingan dan

arahan dari berbagai pihak. Untuk itu penulis menyampaikan terima kasih yang

sebesar-besarnya dan penghargaan yang setinggi-tingginya penulis sampaikan

terutama kepada:

1. Prof. Dr. H. Abd. Haris, M.Ag, selaku rektor Universitas Islam Negeri Maulana

Malik Ibrahim Malang.

2. Dr. Sri Harini, M.Si, selaku dekan Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas

Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang.

3. Dr. Usman Pagalay, M.Si, selaku ketua Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan

Teknologi, Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang.

4. Dr. H. Wahyu H. Irawan, M.Pd, selaku dosen pembimbing I yang telah banyak

memberikan arahan, nasihat, dan pengalaman berharga kepada penulis.

5. Dr. H. Imam Sujarwo, M.Pd, selaku dosen pembimbing II yang telah banyak

memberikan arahan dan pengalaman berharga kepada penulis.

6. Dr. Hairur Rahman, M.Si, selaku dosen wali yang selalu memberikan motivasi

dan arahan kepada penulis.

ix

7. Kedua orang tua penulis dan seluruh keluarga penulis yang selalu mendoakan

keberhasilan penulis.

8. Teman-teman mahasiswa jurusan Matematika angkatan 2015, terima kasih atas

dukungan dan motivasi yang tak terlupakan.

Semoga Allah Swt. melimpahkan rahmat dan karunia-Nya kepada kita

semua. Selain itu, penulis juga berharap semoga skripsi ini dapat memberikan

manfaat kepada para pembaca dan khususnya bagi penulis secara pribadi.

Wassalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh.

Malang, November 2019

Penulis

x

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL

HALAMAN PENGAJUAN

HALAMAN PERSETUJUAN

HALAMAN PENGESAHAN

HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN

HALAMAN MOTO

HALAMAN PERSEMBAHAN

KATA PENGANTAR ....................................................................................... viii

DAFTAR ISI ...................................................................................................... x

DAFTAR TABEL ............................................................................................. xiii

DAFTAR GAMBAR ......................................................................................... xiv

ABSTRAK ......................................................................................................... xv

ABSTRACT ....................................................................................................... xvi

xvii .................................................................................................................. ملخص

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang ................................................................................. 1

1.2 Rumusan Masalah ............................................................................ 5 1.3 Tujuan Penelitian.............................................................................. 5 1.4 Manfaat Penelitian............................................................................ 6

1.5 Batasan Masalah ............................................................................... 6 1.6 Metode Penelitian ............................................................................. 6

1.7 Sistematika Penulisan ....................................................................... 7

BAB II KAJIAN PUSTAKA

2.1 Teori Graf ......................................................................................... 9 2.1.1 Graf ....................................................................................... 9 2.1.2 Derajat Titik ......................................................................... 9 2.1.3 Graf Terhubung .................................................................... 10 2.1.4 Graf Komplemen .................................................................. 11

2.2 Graf dan Matrik ................................................................................ 11 2.2.1 Matriks Adjacency Titik ....................................................... 11 2.2.2 Matriks Laplace .................................................................... 12

xi

2.2.3 Matriks Signless Laplace ...................................................... 12 2.3 Spektrum .......................................................................................... 12

2.3.1 Determinan ........................................................................... 12 2.3.2 Polinomial Karakteristik ....................................................... 13 2.3.3 Eliminasi Gauss .................................................................... 13 2.3.4 Nilai Eigen dan Vektor Eigen .............................................. 14 2.3.5 Spektrum .............................................................................. 15

2.4 Ring .................................................................................................. 15 2.4.1 Definisi Ring ........................................................................ 15 2.4.2 Ring Komutatif ..................................................................... 16 2.4.3 Ring dengan Unsur Kesatuan ............................................... 16

2.4.4 Ring Komutatif dengan Unsur Kesatuan .............................. 17 2.5 Ring dengan Pembagi Nol................................................................ 17 2.6 Graf Pembagi Nol Ring Komutatif dengan Unsur Kesatuan ........... 18

2.7 Kajian Islam tentang Silaturrahim.................................................... 19

BAB III PEMBAHASAN

3.1 Spektrum Adjacency Titik, Laplace, dan Signless Laplace

pada Graf Pembagi Nol dari Ring Komutatif dengan Unsur

Kesatuan Z2p ................................................................................... 22

3.1.1 Ring Komutatif dengan Unsur Kesatuan Z6 ......................... 22

3.1.2 Ring Komutatif dengan Unsur Kesatuan Z10 ....................... 28




3.1.6 Ring Komutatif dengan Unsur Kesatuan Z34 ....................... 45 3.2 Spektrum Adjacency Titik, Laplace, dan Signless Laplace

pada Komplemen Graf Pembagi Nol dari Ring Komutatif

dengan Unsur Kesatuan Z2p ............................................................ 59

3.2.1 Ring Komutatif dengan Unsur Kesatuan Z6 ........................ 59





3.2.6 Ring Komutatif dengan Unsur Kesatuan Z34 ....................... 86 3.3 Teori Graf dalam Pandangan Islam .................................................. 103

xii

BAB IV PENUTUP

4.1 Kesimpulan....................................................................................... 105

4.2 Saran ................................................................................................. 106

DAFTAR RUJUKAN ....................................................................................... 107

RIWAYAT HIDUP

BUKTI KONSULTASI

xiii

DAFTAR TABEL

Tabel 2.1 Tabel Cayley Ring Komutatif dari 𝑍10 ............................................ 18

Tabel 3.1 Tabel Cayley Ring Komutatif dari 𝑍6.............................................. 22






Tabel 3.7 Polinomial Karakteristik Matriks Laplace dari Beberapa Graf

Pembagi Nol dari Ring Komutatif 𝑍2𝑝 ............................................ 52

Tabel 3.8 Spektrum Laplace dari Beberapa Graf Pembagi Nol dari Ring

Komutatif 𝑍2𝑝 .................................................................................. 52

Tabel 3.9 Polinomial Karakteristik Matriks signless Laplace dari

Beberapa Graf Pembagi Nol dari Ring Komutatif 𝑍2𝑝 .................... 56

Tabel 3.10 Spektrum signless Laplace dari Beberapa Graf Pembagi Nol

dari Ring Komutatif 𝑍2𝑝 .................................................................. 56

Tabel 3.11 Polinomial Karakteristik Matriks Adjacency dari Beberapa

Komplemen Graf Pembagi Nol dari Ring Komutatif 𝑍2𝑝 ............... 93

Tabel 3.12 Spektrum Adjacency dari Beberapa Komplemen Graf Pembagi

Nol dari Ring Komutatif 𝑍2𝑝 ........................................................... 93

Tabel 3.13 Polinomial Karakteristik Matriks Laplace dari Beberapa

Komplemen Graf Pembagi Nol dari Ring Komutatif 𝑍2𝑝 ............... 96

Tabel 3.14 Spektrum Laplace dari Beberapa Komplemen Graf Pembagi

Nol dari Ring Komutatif 𝑍2𝑝 ........................................................... 96

Tabel 3.15 Polinomial Karakteristik Matriks signless Laplace dari

Beberapa Komplemen Graf Pembagi Nol dari Ring

Komutatif 𝑍2𝑝 ................................................................................ 100

Tabel 3.16 Spektrum signless Laplace dari Beberapa Komplemen Graf

Pembagi Nol dari Ring Komutatif 𝑍2𝑝 .......................................... 100

xiv

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1 Graf Identitas Ring Komutatif dengan Unsur Kesatuan 𝑍10 ....... 19

Gambar 3.1 Gambar Graf Pembagi Nol Γ(𝑍6) ............................................... 22

Gambar 3.2 Gambar Graf Pembagi Nol 𝛤(𝑍10) ............................................. 28

Gambar 3.3 Gambar Graf Pembagi Nol Γ(𝑍14) ............................................. 32

Gambar 3.4 Gambar Graf Pembagi Nol Γ(𝑍22) ............................................. 37



Gambar 3.7 Gambar Komplemen Graf Pembagi Nol 𝛤(𝑍6) .......................... 59

Gambar 3.8 Gambar Komplemen Graf Pembagi Nol 𝛤(𝑍10) ........................ 67





xv

ABSTRAK

Walindra, Nadia. 2019. Spektrum Adjacency, Laplace, dan signless-Laplace

pada Graf Pembagi Nol dan Komplemennya dari Ring Komutatif

dengan Unsur Kesatuan. Skripsi. Jurusan Matematika, Fakultas Sains

dan Teknologi, Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim

Malang. Pembimbing: (I) Dr. H. Wahyu H. Irawan, M.Pd. (II) Dr. H.

Imam Sujarwo, M.Pd.

Kata kunci: spektrum, matriks adjacency, laplace, dan signless-laplace, graf

pembagi nol, ring komutatif dengan unsur kesatuan

Misalkan 𝑅 adalah ring komutatif dengan unsur kesatuan 1 dan himpunan

pembagi nolnya adalah 𝑍(𝑅). Sebuah graf pembagi nol, 𝛤(𝑅) adalah graf

sederhana dengan titik-titiknya adalah anggota pembagi nol dari ring komutatif

tersebut. Kedua titik misalkan 𝑥 dan 𝑦 akan terhubung langsung jika dan hanya jika

𝑥 ⋅ 𝑦 = 0. Penelitian ini bertujuan untuk menentukan rumus spektrum adjacency,

laplace, dan signless-laplace pada graf pembagi nol dan komplemennya dari ring

komutatif dengan unsur kesatuan 𝑍2𝑝 untuk 𝑝 bilangan prima, 𝑝 ≥ 3. Metode

penelitian yang digunakan adalah studi kepustakaan dengan menggunakan

beberapa buku dan jurnal sebagai bahan rujukan. Hasil penelitian ini adalah sebagai

berikut:

1. Spektrum Laplace dan signless-Laplace dari graf 𝛤(𝑍2𝑝) untuk 𝑝 bilangan

prima, 𝑝 ≥ 3 adalah

𝑺𝒑𝒆𝒄𝑳(Γ(𝑍2𝑝))

= [01

1𝑝 − 2

𝑝1] dan 𝑺𝒑𝒆𝒄

𝑳+(Γ(𝑍2𝑝))= [

01

1𝑝 − 2

𝑝1].

2. Spektrum adjacency titik, Laplace dan signless-Laplace graf 𝛤(ℤ2𝑝) untuk 𝑝

bilangan prima, 𝑝 ≥ 3 adalah

𝑺𝒑𝒆𝒄𝑨(Γ(𝑍2𝑝) )

= [01

1𝑝 − 2

𝑝 − 2

1], 𝑺𝒑𝒆𝒄

𝑳(Γ(𝑍2𝑝) )= [

02

𝑝 − 1𝑝 − 2

], dan

𝑺𝒑𝒆𝒄𝑳+(Γ(𝑍2𝑝) )

= [01 𝑝 − 3𝑝 − 2

2𝑝 − 4

1].

xvi

ABSTRACT

Walindra, Nadia. 2019. Adjacency, Laplace, and signless-Laplace Spectrum on

Zero Divisor Graph and Its Complement from Commutative Ring

with Unity. Thesis. Department of Mathematics. Faculty of Science and

Technology. Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang.

Advisor: (I) Dr. H. Wahyu H. Irawan, M. Pd. (II) Dr. H. Imam Sujarwo,

M. Pd.

Key Words: Spectrum, Adjacency, Laplace, and signless-Laplace Matrix, Zero

Divisor Graph, Commutative Ring with Unity

Let 𝑅 be a commutative ring with unity 1 and 𝑍(𝑅) be the set of zero

divisors. A zero divisor graph Γ(𝑅) is a simple graph with points. It is the zero

divisor member of the commutative ring. The two points, 𝑥 and 𝑦 will be directly

connected if and only if 𝑥 ⋅ 𝑦 = 0. This study aims to determine the formula of

adjacency, laplace, and signless-laplace spectrum on zero divisor graph and its

complement from commutative ring with unity 𝑍2𝑝 to 𝑝 primes, 𝑝 ≥ 3. The method

used to carry out this study is by using several books and journals as references.

The result of this study is:

1. Laplace spectrum and signless-Laplace of graph 𝛤(𝑍2𝑝) to 𝑝 primes, 𝑝 ≥ 3 is


= [01

1𝑝 − 2

𝑝1] and 𝑺𝒑𝒆𝒄

𝑳+(Γ(𝑍2𝑝))= [

01

1𝑝 − 2

𝑝1].

2. Adjacency spectrum of points, Laplace and signless-Laplace of

graph𝛤(𝑍2𝑝) to 𝑝 primes, 𝑝 ≥ 3 is


= [01

1𝑝 − 2

𝑝 − 21

], 𝑺𝒑𝒆𝒄𝑳(Γ(𝑍2𝑝) )

= [02

𝑝 − 1𝑝 − 2

], and

𝑺𝒑𝒆𝒄𝑳+(Γ(𝑍2𝑝) )

= [01

𝑝 − 3𝑝 − 2

2𝑝 − 41

].

xvii

ملخص

على الرسم signless-Laplace, Adjacency, Laplace الطيف .٩١٠٢واليندرا. ,ناديياث البح. الصفر و تكملته من حلقة تبديلية مع عناصر الوحدة كفاصل البياني. قسم الرياضيات. كلية العلوم و التكنولوجي, الجامعة مولانا مالك إبراهيم مالانج العلمي

الدكتور II) الحاج وحي ه. إراوان الماجستر. )I) الإسلامية الحكومية. المشرف: ) الحاج إمام سوجروو الماجستر.

الرسم Adjacency, Laplace, signless-Laplace,الطيف : الكلمات المفتاحات

, حلقة تبديلية مع عناصر الوحدة الصفر كفاصلالبياني

يكون. 𝑍(𝑅)و يكون فاصل الصفر 1 حلقة تبديلية مع عناصر الوحدة 𝑅مثل, يكون فاصل الصفر عن . و هو رسم بياني بسيط مع النقاط كعضو Γ(𝑅)فاصل الصفرالرسم البياني ك

𝑥سيتمان على الفور إذا و فقد إذا 𝑦و 𝑥حلقة التبديلية. و نقطتين, مثل ال ⋅ 𝑦 = . يهدف هذا 0الرسم البياني على Adjacency, Laplace, signless-Laplaceالطيف البحث لتحديد صيغة

𝑝عدد أولى 𝑝ل 𝑍2𝑝و تكملته من حلقة تبديلية مع عناصر الوحدة فاصل الصفر ك ≥ . و تكون 3كيفية البحث دراسة الأدب باستخدام العديد من الكتب و المجلات كمراجع. و يكون حاصل

البحث:𝑝عدد أولى 𝑝ل (ℤ2𝑝)عن الرسم البياني signless-Laplaceو Laplace الطيف .1 ≥

هو: 3𝑺𝒑𝒆𝒄

𝑳(Γ(𝑍2𝑝))= [

01

1𝑝 − 2

𝑝1] 𝑺𝒑𝒆𝒄 و

𝑳+(Γ(𝑍2𝑝))= [

01

1𝑝 − 2

𝑝1].

(𝑍2𝑝)عن الرسم البياني signless-Laplace, و Laplaceالنقطة, Adjacency الطيف .2𝑝عدد أولى 𝑝ل ≥ هو: 3


= [01

1𝑝 − 2

𝑝 − 21

], 𝑺𝒑𝒆𝒄𝑳(Γ(𝑍2𝑝) )

= [02

𝑝 − 1𝑝 − 2

],

𝑺𝒑𝒆𝒄 و𝑳+(Γ(𝑍2𝑝) )

= [01

𝑝 − 3𝑝 − 2

2𝑝 − 41

]

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Allah SWT berfirman di dalam al-Qur’an surat an-Nisa’ (4:1), yang

berbunyi :

هما ها زوجها وبث من ن ن فس واحدة وخلق من جالاا كثيرا ا ر ياأي ها الناس ات قوا ربكم الذي خلقكم م وات قوا الله الذي تساءلون به

( ٠والأرحام إن الله كان عليكم رقيبا ا ) ونساءا

Artinya: “Wahai manusia! Bertakwalah kepada Tuhanmu yang telah menciptakan

kamu dari diri yang satu (Adam) dan (Allah) menciptakan pasangannya (Hawa)

dari (diri)nya; dan dari keduanya Allah memperkembangbiakkan laki-laki dan

perempuan yang banyak. Bertakwalah kepada Allah yang dengan nama-Nya kamu

saling meminta dan (peliharalah) hubungan kekeluargaan. Sesungguhnya Allah

selalu menjaga dan mengawasimu.”

Al-Qur’an surat an-Nisa’ (4:1) menjelaskan bahwa Allah memerintahkan

kepada makhluk-Nya agar bertakwa hanya kepada-Nya dan tidak menyekutukan-

Nya. Allah SWT memerintahkan manusia agar senantiasa bertakwa kepada-Nya,

yang berarti bahwa, bertakwalah kalian kepada Allah SWT dengan taat kepada-

Nya. Bertakwalah kalian kepada Allah SWT dengan silaturrahim, yang berarti

bahwa janganlah kalian memutuskan silaturrahim melainkan hubungkan dan

berbaktilah untuknya (Katsir, 2001:228).

Berdasarkan hikmah dari al-Qur’an surat an-Nisa’ (4:1), kita sebagai umat

manusia diperintahkan untuk saling menjaga hubungan silaturrahim dan tidak

memutuskannya. Silaturrahim bertujuan menyambung kasih sayang atau

kekerabatan yang menghendaki kebaikan. Dengan silaturrahim, kita bisa menjalin

hubungan yang baik dan mempererat hubungan satu sama lain. Kajian tentang

keterhubungan dalam ilmu matematika juga dijelaskan yakni dalam teori graf.

2

Teori graf merupakan salah satu cabang ilmu matematika dengan

perhitungan yang teliti. Graf 𝐺 adalah pasangan (𝑉(𝐺), 𝐸(𝐺)) dengan 𝑉(𝐺) adalah

himpunan tidak kosong dari objek-objek yang disebut titik, dan 𝐸(𝐺) adalah

himpunan (mungkin kosong) pasangan tak berurutan dari titik-titik berbeda di 𝑉(𝐺)

yang disebut sisi (Abdussakir, dkk, 2009).

Misalkan 𝐺 graf dengan order 𝑝(𝑝 ≥ 1) dan ukuran 𝑞 serta himpunan titik

𝑉(𝐺) = {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑝}. Matriks keterhubungan titik (atau matriks Adjacency) dari

graf 𝐺, dinotasikan dengan 𝑨(𝐺), adalah matriks (𝑝 × 𝑝) dengan unsur pada baris

ke-i dan kolom ke-j bernilai 1 jika titik 𝑣𝑖 terhubung langsung dengan titik 𝑣𝑗 serta

bernilai 0 jika titik 𝑣𝑖 tidak terhubung langsung dengan titik 𝑣𝑗 . Dengan kata lain,

matriks keterhubungan dapat ditulis 𝑨(𝐺) = [𝑎𝑖𝑗], 1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 𝑝 (Abdussakir, dkk,

2009).

Matriks derajat dari matriks 𝐺, dinotasikan dengan 𝑫(𝐺), adalah matriks

diagonal yang elemen baris ke-i dan kolom ke-j adalah derajat dari 𝑣𝑖 , 𝑖 =

1, 2, 3, … , 𝑝. Jadi, matriks derajat dari graf 𝐺 dapat ditulis 𝑫(𝐺) = [𝑑𝑖𝑗], 1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤

𝑝, dengan

𝑑𝑖𝑗 = {deg(𝑣𝑖) , 𝑖 = 𝑗0, 𝑖 ≠ 𝑗

Matriks 𝑳(𝐺) = 𝑫(𝐺) − 𝑨(𝐺) disebut matriks Laplace dan matriks 𝑳+(𝐺) =

𝑫(𝐺) + 𝑨(𝐺) disebut matriks signless-Laplace dari graf G (Brouwer dan Haemers,

2011).

Pembahasan matriks Laplace 𝑳(𝐺) dan matriks signless-Laplace 𝑳+(𝐺) dari

graf 𝐺 dapat dikaitkan dengan konsep nilai eigen dan vektor eigen pada topik

aljabar linier yang menghasilkan konsep spectrum. Misalkan 𝜆1, 𝜆2, … , 𝜆𝑛 dengan

3

𝜆1 > 𝜆2 > ⋯ > 𝜆𝑛 adalah nilai eigen berbeda dari matriks suatu graf, dan misalkan

𝑚(𝜆1),𝑚(𝜆2),… ,𝑚(𝜆𝑛) adalah banyaknya basis untuk ruang vektor eigen masing-

masing 𝜆𝑖. Matriks berordo (2 × 𝑛) yang memuat 𝜆1, 𝜆2, … , 𝜆𝑛 pada baris pertama

dan 𝑚(𝜆1),𝑚(𝜆2),… ,𝑚(𝜆𝑛) pada baris kedua disebut spectrum graf 𝐺, dan

dinotasikan dengan 𝑆𝑝𝑒𝑐(𝐺) (Biggs, 1993:8). Jadi, spectrum graf 𝐺 dapat ditulis

dengan

𝑺𝒑𝒆𝒄(𝐺) = [𝜆1

𝑚(𝜆1)𝜆2

𝑚(𝜆2)

……

𝜆𝑛

𝑚(𝜆𝑛)]

Spectrum yang diperoleh dari matriks 𝑳(𝐺) disebut spektrun Laplace dan dari

matriks 𝑳+(𝐺) disebut spectrum signless-Laplace.

Beberapa penelitian mengenai spektrum suatu graf yang sudah pernah

dilakukan adalah spektrum keterhubungan titik dan spektrum Laplace pada graf 𝐺1

yang diperoleh dari graf komplit 𝐾1 dengan menambahkan pohon isomorfik berakar

untuk masing-masing titik 𝐾1 oleh Shuhua Yin (2006). Penelitian spektrum

keterhubungan titik pada graf komplit (𝐾𝑛), graf star (𝑆𝑛), graf bipartisi komplit

(𝐾𝑚,𝑛), dan graf lintasan (𝑃𝑛) oleh Abdussakir, dkk (2009). Penelitian spektrum

detour pada beberapa graf yang meliputi graf 𝐾(𝑛, 𝑛), graf korona 𝐺 dan 𝐾1, graf

perkalian kartesius 𝐺 dengan 𝐾2, graf perkalian leksikografik 𝐺 dengan 𝐾2, dan

perluasan dobel kover dari graf beraturan oleh Ayyaswamy & Balachandran (2010).

Graf juga dapat diperoleh dari struktur aljabar dengan dua operasi biner atau

ring. Ring 𝑅 didefinisikan sebagai suatu himpunan tak kosong 𝑅 dengan dua operasi

biner yang terdefinisi yakni penjumlahan (+) dan perkalian (×) yang memenuhi

sifat grup abelian terhadap operasi penjumlahan, asosiatif terhadap operasi

perkalian, dan distributif terhadap penjumlahan dan perkalian. Apabila ring tersebut

4

bersifat komutatif terhadap operasi perkalian dan memiliki unsur kesatuan pada

operasi kedua maka disebut dengan ring komutatif dengan unsur kesatuan (Gilbert

& Gilbert, 2015).

Daerah integral merupakan salah satu contoh ring komutatif. Menurut

Gallian (2012) daerah integral merupakan ring komutatif dengan unsur kesatuan

dan tidak memiliki unsur pembagi nol. Ring ℤ𝑝 adalah ring himpunan bilangan

bulat modulo 𝑝 dengan 𝑝 bilangan prima merupakan ring komutatif yang tidak

memiliki pembagi nol sehingga ring tersebut merupakan daerah integral.

Pada penelitian kali ini ring yang digunakan adalah ring komutatif yang

memiliki unsur pembagi nol. Dengan kata lain, ring yang digunakan merupakan

ring komutatif yang bukan merupakan daerah integral. Sehingga ring yang

digunakan adalah ring ℤ𝑚𝑝, dengan 𝑚 bilangan bulat dan 𝑝 bilangan prima.

Graf pembagi nol dari ring komutatif dengan unsur kesatuan telah

diperkenalkan oleh Beck pada tahun 1988 dalam jurnalnya yang berjudul “Coloring

of commutative rings”. Penelitian mengenai graf pembagi nol dilanjutkan oleh

Anderson dan Livingston pada tahun 1999 yang mendefinisikan graf pembagi nol

dari ring komutatif dengan unsur kesatuan adalah suatu graf dengan titik-titiknya

adalah himpunan pembagi nol yang tak nol 𝑍(𝑅)∗ = 𝑍(𝑅) − {0} dengan 𝑍(𝑅)

adalah himpunan pembagi nol, dan untuk dua titik 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑍(𝑅)∗ akan terhubung

langsung jika dan hanya jika 𝑥𝑦 = 0. Selanjutnya penelitian tersebut dikaji kembali

oleh Wicaksono dan Sholeha pada tahun 2015 yang membahas tentang sifat-sifat

graf pembagi nol dari ring komutatif dengan elemen kesatuan.

Berdasarkan uraian tersebut, maka belum ada penelitian terkait spektrum

yang diperoleh dari graf pembagi nol. Dengan demikian, penulis mengambil judul

5

“Spektrum Adjacency, Laplace, dan Signless Laplace pada Graf Pembagi Nol dan

Komplemennya dari Ring Komutatif dengan Unsur Kesatuan 𝑍2𝑝”.

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang tersebut, rumusan masalah dalam penelitian ini

adalah:

1. Bagaimana spektrum adjacency, laplace, dan signless laplace pada graf

pembagi nol dari ring komutatif dengan unsur kesatuan 𝑍2𝑝?

2. Bagaimana spektrum adjacency, laplace, dan signless laplace pada

komplemen graf pembagi nol dari ring komutatif dengan unsur kesatuan 𝑍2𝑝?

1.3 Tujuan Penelitian

Berdasarkan rumusan masalah tersebut, maka tujuan penelitian ini adalah:

1. Mengetahui spektrum adjacency, laplace, dan signless laplace pada graf

pembagi nol dari ring komutatif dengan unsur kesatuan 𝑍2𝑝.

2. Mengetahui spektrum adjacency, laplace, dan signless laplace pada

komplemen graf pembagi nol dari ring komutatif dengan unsur kesatuan 𝑍2𝑝.

6

1.4 Manfaat Penelitian

Berdasarkan tujuan penelitian, maka manfaat dari penelitian ini dibedakan

menjadi beberapa bagian berdasarkan kepentingan beberapa pihak, yaitu:

1. Memberikan informasi mengenai spektrum adjacency, laplace, dan signless

laplace pada graf pembagi nol dari ring komutatif dengan unsur kesatuan 𝑍2𝑝.

2. Memberikan informasi mengenai spektrum adjacency, laplace, dan signless

laplace pada komplemen graf pembagi nol dari ring komutatif dengan unsur

kesatuan 𝑍2𝑝.

1.5 Batasan Masalah

Permasalahan yang akan dibahas dalam penelitian ini dibatasi hanya pada

graf pembagi nol dan ring komutatif dengan unsur kesatuan 𝑍2𝑝 untuk 𝑝 bilangan

prima, 𝑝 ≥ 3.

1.6 Metode Penelitian

Metode penelitian yang digunakan penulis adalah dengan pendekatan

penelitian kualitatif. Jenis penelitian yang digunakan berupa studi kepustakaan

(library research), yaitu teknik pengumpulan data dengan mengadakan studi

penelaahan terhadap buku-buku, catatan-catatan, dan hasil penelitian ilmiah lain

yang berhubungan dengan objek permasalahan.

Langkah-langkah yang dilakukan untuk menentukan spektrum adjacency,

laplace, dan signless laplace pada graf pembagi nol dan komplemennya dari ring

komutatif dengan unsur kesatuan sebagai berikut:

7

1. Menentukan anggota dari ring komutatif dengan unsur kesatuan 𝑍2𝑝 untuk 𝑝

bilangan prima, 𝑝 = 3, 5, 7, 11, 13, 17.

2. Menentukan Tabel Cayley dari ring komutatif dengan unsur kesatuan.

3. Menentukan himpunan pembagi nol dan komplemennya dari ring komutatif

dengan unsur kesatuan.

4. Menggambar graf pembagi nol dan komplemennya dari ring komutatif dengan

unsur kesatuan kemudian menyatakan ke dalam bentuk matriks (Adjacency,

Laplace dan Signless Laplace).

5. Menentukan nilai eigen dan vector eigen matriks graf pembagi nol dan

komplemennya dari ring komutatif dengan unsur kesatuan untuk memperoleh

nilai eigen serta spektrumnya.

6. Membuat dugaan (konjektur) berdasarkan pola yang ditemukan untuk masing-

masing kasus.

7. Merumuskan konjektur sebagai suatu teorema yang dilengkapi dengan bukti

secara deduktif.

8. Membuat kesimpulan dari analisis data.

9. Menulis laporan hasil penelitian.

1.7 Sistematika Penulisan

Penelitian ini dibagi menjadi 4 bab dengan rincian masing-masing bab

sebagai berikut:

Bab I Pendahuluan

8

Membahas tentang latar belakang, rumusan masalah, tujuan penelitian,

manfaat penelitian, batasan masalah, metode penelitian, dan sistematika

penulisan.

Bab II Kajian Pustaka

Membahas tentang teori-teori yang digunakan dalam penelitian ini sebagai

pendukung pada bab selanjutnya. Teori-teori tersebut meliputi graf, derajat

titik, graf terhubung, graf komplemen, graf dan matriks, spektrum graf,

ring, ring dengan pembagi nol, graf pembagi nol, dan kajian silaturrahmi

menurut pandangan islam.

Bab III Pembahasan

Membahas tentang spektrum Adjacency, Laplace dan Signless Laplace

pada graf pembagi nol dari ring komutatif dengan unsur kesatuan.

Bab IV Penutup

Membahas tentang kesimpulan dan saran yang diperoleh dari pembahasan

yang telah dilakukan di dalam penelitian ini.

9

BAB II

KAJIAN PUSTAKA

2.1 Teori Graf

2.1.1 Graf

Graf 𝐺 adalah pasangan (𝑉(𝐺), 𝐸(𝐺)) dengan 𝑉(𝐺) adalah himpunan tak

kosong dan berhingga dari objek-objek yang disebut titik, dan 𝐸(𝐺) adalah

himpunan (mungkin kosong) pasangan tak berurutan dari titik-titik berbeda di 𝑉(𝐺)

yang disebut sisi. Banyaknya unsur di 𝑉(𝐺) disebut order dari 𝐺 dan dilambangkan

dengan 𝑝(𝐺), dan banyaknya unsur di 𝐸(𝐺) disebut ukuran dari 𝐺 dan

dilambangkan dengan 𝑞(𝐺). Jika graf yang dibicarakan hanya graf 𝐺, maka order

dan ukuran dari 𝐺 masing-masing cukup ditulis 𝑝 dan 𝑞 (Abdussakir, dkk, 2009).

Sisi 𝑒 = (𝑢, 𝑣) dikatakan menghubungkan titik 𝑢 dan 𝑣. Jika 𝑒 = (𝑢, 𝑣)

adalah sisi di graf 𝐺, maka 𝑢 dan 𝑣 disebut terhubung langsung (adjacent), 𝑣 dan 𝑒

serta 𝑢 dan 𝑒 disebut terkait langsung (incident), dan titik 𝑢 dan 𝑣 disebut ujung

dari 𝑒. Dua sisi berbeda 𝑒1 dan 𝑒2 disebut terhubung langsung (adjacent), jika

terkait langsung pada satu titik yang sama. Untuk selanjutnya, sisi 𝑒 = (𝑢, 𝑣) akan

ditulis 𝑒 = 𝑢𝑣 (Bondy & Murthy, 2008).

2.1.2 Derajat Titik

Derajat titik 𝑞 dari graf 𝐺 merupakan banyaknya titik di 𝐺 yang terhubung

langsung dengan 𝑞. Derajat dari titik 𝑞 pada graf 𝐺 dinotasikan dengan deg𝐺 𝑞 atau

deg 𝑞. Suatu titik yang berderajat 0 disebut titik terasing dan titik yang berderajat

1 disebut titik ujung atau daun. Derajat terbesar dari semua titik di 𝐺 disebut derajat

10

maksimum dari 𝐺 dan dinotasikan dengan ∆(𝐺). Derajat minimum dari 𝐺

dinotasikan dengan 𝛿(𝐺). Oleh karena itu, jika 𝑞 merupakan titik dari graf 𝐺 dengan

order 𝑛, maka 0 ≤ 𝛿(𝐺) ≤ deg 𝑞 ≤ ∆(𝐺) ≤ 𝑛 − 1 (Abdussakir, dkk, 2009).

2.1.3 Graf Terhubung

Misalkan 𝐺 graf. Misalkan 𝑢 dan 𝑣 adalah titik di 𝐺 (yang tidak harus

berbeda). Jalan 𝑢 − 𝑣 pada graf 𝐺 adalah barisan berhingga yang berselang-seling

𝑊:𝑢 = 𝑣0, 𝑒1, 𝑣1, 𝑒2, 𝑣2, … , 𝑒𝑛, 𝑣𝑛 = 𝑣 antara titik dan sisi, yang dimulai dari titik

dan diakhiri dengan titik, dengan 𝑒𝑖 = 𝑣𝑖−1𝑣𝑖 , 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛 adalah sisi di 𝐺. 𝑣0

disebut titik awal, 𝑣𝑛 disebut titik akhir, titik 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛−1 disebut titik internal,

dan 𝑛 menyatakan panjang dari 𝑊. Jika 𝑣0 ≠ 𝑣𝑛, maka 𝑊 disebut jalan terbuka.

Jika 𝑣0 = 𝑣𝑛, maka 𝑊 disebut jalan tertutup. Jalan yang tidak mempunyai sisi

disebut jalan trivial (Abdussakir, dkk, 2009).

Karena dalam graf dua titik hanya akan dihubungkan oleh tepat satu sisi,

maka jalan 𝑢 − 𝑣

𝑊:𝑢 = 𝑣0, 𝑒1, 𝑣1, 𝑒2, 𝑣2, … , 𝑒𝑛, 𝑣𝑛 = 𝑣 dapat ditulis menjadi

𝑊:𝑢 = 𝑣0, 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛−1 = 𝑣.

Jalan 𝑊 yang semua sisinya berbeda disebut trail. Jalan terbuka yang semua

titiknya berbeda disebut lintasan. Dengan demikian setiap lintasan pasti merupakan

trail, tetapi tidak semua trail merupakan lintasan (Abdussakir, dkk, 2009).

Misalkan 𝑢 dan 𝑣 titik berbeda pada graf 𝐺. Titik 𝑢 dan 𝑣 dikatakan

terhubung (connected), jika terdapat lintasan 𝑢 − 𝑣 di 𝐺. Suatu graf 𝐺 dikatakan

terhubung (connected), jika untuk setiap titik 𝑢 dan 𝑣 yang berbeda di 𝐺 terhubung.

Dengan kata lain, suatu graf 𝐺 dikatakan terhubung (connected), jika untuk setiap

11

titik 𝑢 dan 𝑣 di 𝐺 terdapat lintasan 𝑢 − 𝑣 di 𝐺. Sebaliknya, jika ada dua titik 𝑢 dan

𝑣 di 𝐺, tetapi tidak ada lintasan 𝑢 − 𝑣 di 𝐺, maka 𝐺 dikatakan tak terhubung

(disconnected) (Bondy & Murthy, 2008).

2.1.4 Graf Komplemen

Misalkan 𝐺 graf dengan himpunan titik 𝑉(𝐺) dan himpunan sisi 𝐸(𝐺).

Komplemen dari graf 𝐺, ditulis ��, adalah graf dengan himpunan titik 𝑉(𝐺)

sedemikian hingga dua titik akan terhubung langsung jika dan hanya jika dua titik

tersebut tidak terhubung langsung di 𝐺. Jadi, diperoleh bahwa 𝑉(��) = 𝑉(𝐺) dan

𝑢𝑣 ∈ 𝐸(��) jika dan hanya jika 𝑢𝑣 ∉ 𝐸(𝐺) (Abdussakir, dkk, 2009).

2.2 Graf dan Matrik

2.2.1 Matriks Adjacency Titik

Misalkan 𝐺 graf dengan order 𝑝(𝑝 ≥ 1) dan ukuran 𝑞 serta himpunan titik

𝑉(𝐺) = {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑝}. Matriks keterhubungan titik (atau matriks keterhubungan)

dari graf 𝐺, dinotasikan dengan 𝑨(𝐺), adalah matriks (𝑝 × 𝑝) dengan unsur pada

baris ke-I dan kolom ke-j bernilai 1 jika titik 𝑣𝑖 terhubung langsung dengan titik 𝑣𝑗

serta bernilai 0 jika titik 𝑣𝑖 tidak terhubung langsung dengan titik 𝑣𝑗 . Dengan kata

lain, matriks keterhubungan dapat ditulis 𝑨(𝐺) = [𝑎𝑖𝑗], 1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 𝑝, dengan

𝑎𝑖𝑗 = {1 , jika 𝑣𝑖𝑣𝑗 ∈ 𝐸(𝐺)

0 , jika 𝑣𝑖𝑣𝑗 ∉ 𝐸(𝐺)

Matriks keterhubungan suatu graf 𝐺 adalah matriks simetri dengan unsur 0 dan 1

dan memuat nilai 0 pada diagonal utamanya. Hal ini karena graf tidak memuat loop

dan tidak memuat sisi pararel (Abdussakir, dkk, 2009).

12

2.2.2 Matriks Laplace

Misal 𝐺(𝑉, 𝐸) adalah graf dengan himpunan titik 𝑉 dan himpunan sisi 𝐸,

dimisalkan |𝑉| = 𝑛 dan |𝐸| = 𝑚. Jadi, 𝐺 adalah graf dengan 𝑛 titik dan 𝑚 sisi.

Matriks Laplace dari 𝐺 adalah matriks 𝑳(𝐺) = 𝑫(𝐺) − 𝑨(𝐺); dengan 𝑫(𝐺) adalah

diagonal matriks yang entrinya adalah derajat titik dari 𝐺 dan 𝑨(𝐺) adalah matriks

adjacency titik dari 𝐺 (Biyikoglu, dkk, 2007).

2.2.3 Matriks Signless Laplace

Matriks signless Laplace dari 𝐺 adalah matriks 𝑳+(𝐺) = 𝑫(𝐺) + 𝑨(𝐺);

dengan 𝑫(𝐺) adalah diagonal matriks yang entrinya adalah derajat titik dari 𝐺 dan

𝑨(𝐺) adalah matriks adjacency titik dari 𝐺 (Biyikoglu, dkk, 2007).

2.3 Spektrum

2.3.1 Determinan

Determinan sebuah matriks dapat dihitung dengan mereduksi matriks

tersebut pada bentuk eselon baris. Metode ini penting untuk menghindari

perhitungan panjang yang terlibat dalam penerapan definisi determinan secara

langsung. Jika 𝑨 adalah sebarang matriks persegi yang mengandung sebaris

bilangan nol, maka det(𝑨) = 0. Karena hasil kali elementer bertanda dari 𝑨

mengandung satu factor dari setiap baris 𝑨, maka tiap-tiap hasil kali elementer

bertanda memuat factor dari baris bilangan nol dan sebagai konsekuensinya juga

akan mempunyai nilai nol. Karena det(𝑨) adalah jumlah semua hasil kali elementer

bertanda, maka didapatkan det(𝑨) = 0 (Anton, 2000).

13

Matriks persegi dinamakan segitiga atas (upper triangular) jika semua entri

di bawah diagonal utama adalah nol. Jika semua entri nol ada di atas diagonal

utama, maka dinamakan segitiga bawah (lower triangular). Suatu matriks yang

semua entrinya bernilai nol baik di atas maupun di bawah diagonal utama disebut

segitiga (triangular). Jika 𝑨 adalah suatu matriks 𝑛 × 𝑛 (segitiga atas, segitiga

bawah, atau segitiga), maka det(𝑨) adalah hasil kali anggota-anggota pada

diagonal utamanya, yaitu det(𝑨) = 𝑎11 ⋅ 𝑎22 ⋅ … ⋅ 𝑎𝑛𝑛 (Anton, 2000).

2.3.2 Polinomial Karakteristik

Jika 𝑨 adalah matriks 𝑛 × 𝑛, maka polinomial kaarakteristik 𝑨 memiliki

derajat 𝑛 dan koefisien variabel 𝜆𝑛 adalah 1, maka polinomial karakteristik 𝑝(𝑥)

dari suatu matriks 𝑛 × 𝑛 memiliki bentuk

𝑝(𝜆) = det(𝑨 − 𝜆𝑰) = 𝜆𝑛 + 𝑐1𝜆𝑛−1 + 𝑐2𝜆

𝑛−2 + ⋯+ 𝑐𝑛

Berdasarkan teorema dasar aljabar, maka persamaan karakteristik dapat ditulis

sebagai berikut

𝑝(𝜆) = det(𝑨 − 𝜆𝑰) = 𝜆𝑛 + 𝑐1𝜆𝑛−1 + 𝑐2𝜆

𝑛−2 + ⋯+ 𝑐𝑛 = 0 (Anton dan

Rorres, 2004).

2.3.3 Eliminasi Gauss

Suatu matriks dikatakan dalam bentuk eselon baris tereduksi (reduce row-

echelon form) jika mempunyai sifat-sifat berikut:

1. Jika baris tidak terdiri dari seluruhnya nol, maka bilangan tak nol pertama

dalam baris tersebut adalah 1 (dinamakan 1 utama).

14

2. Jika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka semua baris seperti

itu dikelompokkan bersama-sama di bagian matriks paling bawah.

3. Dalam sebarang dua baris yang berurutan yang seluruhnya tidak terdiri dari

nol, maka 1 utama dalam baris yang lebih rendah terdapat lebih jauh ke kanan

dari 1 utama dalam baris yang lebih tinggi.

4. Masing-masing kolom yang mengandung 1 utama mempunyai nol di tempat

lain.

Jika suatu matriks hanya mempunyai sifat sampai pada nomor 3, maka

langkah yang telah dilakukan untuk mendapatkannya disebut eliminasi Gauss.

Tetapi jika mempunyai sifat sampai nomor 4, maka langkah yang telah dilakukan

untuk mendapatkannya disebut eliminasi Gauss Jordan (Anton & Rorres, 2004).

2.3.4 Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Misalkan 𝐺 graf berorder 𝑝 dan 𝑨 adalah matriks keterhubungan dari graf

𝐺. Suatu vektor tak nol 𝑥 disebut vektor Eigen (Eigen vector) dari 𝑨 jika 𝑨𝑥 adalah

suatu kelipatan scalar dari 𝑥 yakni, 𝑨𝑥 = 𝜆𝑥, untuk sebarang scalar 𝜆. Skalar 𝜆

disebut nilai eigen (eigen value) dari 𝑨, dan 𝑥 disebut sebagai vector eigen dari 𝑨

yang bersesuaian dengan 𝜆 (Anton dan Rorres, 2014:291). Untuk menentukan nilai

Eigen dari matriks 𝑨, persamaan 𝑨𝑥 = 𝜆𝑥 ditulis kembali dalam bentuk

(𝑨 − 𝜆𝑰)𝑥 = 0,

Dengan 𝑰 adalah matriks identitas berordo (𝑝 × 𝑝). Persamaan ini akan mempunyai

solusi tak nol jika dan hanya jika

det(𝑨 − 𝜆𝑰) = 0.

15

Persamaan det(𝑨 − 𝜆𝑰) = 0 akan menghasilkan persamaan polinomial

dalam variabel 𝜆 dan disebut persamaan karakteristik dari matriks 𝑨. Scalar-skalar

𝜆 yang memenuhi persamaan karakteristik ini tidak lain adalah nilai-nilai eigen

dari matriks 𝑨 (Anton dan Rorres, 2014:292).

2.3.5 Spektrum

Misalkan 𝑨 adalah matriks adjacency titik dan misalkan 𝜆1, 𝜆2, … , 𝜆𝑛 adalah

nilai eigen berbeda dari 𝑨, dengan 𝜆1 > 𝜆2 > ⋯ > 𝜆𝑛, dan misalkan

𝑚(𝜆1),𝑚(𝜆2),… ,𝑚(𝜆𝑛) adalah banyaknya dimensi untuk ruang vektor eigen

masing-masing 𝜆𝑖, maka matriks berordo (2 × 𝑛) yang memuat 𝜆1, 𝜆2, … , 𝜆𝑛 pada

baris pertama dan 𝑚(𝜆1),𝑚(𝜆2),… ,𝑚(𝜆𝑛) pada baris kedua disebut spectrum graf

𝐺, dan dinotasikan dengan 𝑆𝑝𝑒𝑐(𝐺). Jadi, spectrum graf 𝐺 dapat ditulis dengan

𝑺𝒑𝒆𝒄(𝐺) = [𝜆1

𝑚(𝜆1)𝜆2

𝑚(𝜆2)

……

𝜆𝑛

𝑚(𝜆𝑛)](Biggs, 1993).

2.4 Ring

2.4.1 Definisi Ring

Ring 𝑅 merupakan suatu himpunan tak kosong dengan dua operasi biner,

operasi penjumlahan (dinotasikan oleh 𝑎 + 𝑏) dan operasi perkalian

(dinotasikan oleh 𝑎 ⋅ 𝑏), sedemikian sehingga untuk setiap 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅:

1. 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎.

2. (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐).

3. Terdapat identitas pada operasi penjumlahan yaitu 0. Sehingga, terdapat

elemen 0 di 𝑅 sedemikian sehingga 𝑎 + 0 = 𝑎 untuk semua 𝑎 di 𝑅.

16

4. Terdapat suatu elemen −𝑎 di 𝑅 sedemikian sehingga 𝑎 + (−𝑎) = 0.

5. 𝑎 ⋅ (𝑏 ⋅ 𝑐) = (𝑎 ⋅ 𝑏) ⋅ 𝑐.

6. 𝑎 ⋅ (𝑏 + 𝑐) = 𝑎 ⋅ 𝑏 + 𝑎 ⋅ 𝑐 dan (𝑏 + 𝑐) ⋅ 𝑎 = 𝑎 ⋅ 𝑏 + 𝑐 ⋅ 𝑎

Jadi, ring adalah suatu grup Abelian di bawah operasi penjumlahan, serta

asosiatif terhadap perkalian pada distributive kiri dan kanannya atas

penjumlahan (Gallian, 2012).

Misalkan (𝑅,+, ⋅) adalah ring. Terdapat suatu unsur 𝑒 di 𝑅 sedemikian

sehingga 𝑥 ⋅ 𝑒 = 𝑒 ⋅ 𝑥 = 𝑥 untuk setiap 𝑥 di 𝑅, maka 𝑒 disebut unsur satuan, dan 𝑅

adalah ring dengan satuan. Perkalian di 𝑅 komutatif, maka 𝑅 disebut ring komutatif.

Sehingga, 𝑅 adalah ring komutatif dengan satuan (Gilbert & Gilbert, 2015).

2.4.2 Ring Komutatif

Suatu ring (𝑅,∗,⋅) disebut ring komutatif jika dan hanya jika operasi kedua

(⋅) bersifat komutatif di 𝑅 (Raisinghania dan Aggarwal, 1980:314).

Contoh:

(ℤ,+,×) adalah ring komutatif, karena untuk setiap 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ, maka 𝑎 × 𝑏 = 𝑏 × 𝑎,

yang berarti operasi kedua (×) bersifat komutatif di ℤ. Jadi, (ℤ,+,×) adalah ring

komutatif.

2.4.3 Ring dengan Unsur Kesatuan

Suatu ring (𝑅,∗,⋅) disebut ring dengan unsur kesatuan jika dan hanya jika 𝑅

mempunyai unsur identitas terhadap operasi kedua (⋅) (Raisinghania dan Aggarwal,

1980:314)

17

Contoh:

(ℤ,+,×) adalah ring dengan unsur kesatuan, karena ada 1 ∈ ℤ sehingga untuk

setiap 𝑎 ∈ ℤ, maka 𝑎 × 1 = 1 × 𝑎 = 𝑎, yang berarti terdapat unsur identitas di ℤ

terhadap operasi kedua (×). Jadi, (ℤ,+,×) adalah ring dengan unsur kesatuan.

2.4.4 Ring Komutatif dengan Unsur Kesatuan

Suatu ring (𝑅,∗,⋅) disebut ring komutatif dengan unsur kesatuan jika dan

hanya jika operasi kedua bersifat komutatif dan 𝑅 mempunyai unsur identitas

terhadap operasi kedua yaitu operasi (⋅). Dengan kata lain 𝑅 merupakan ring

komutatif sekaligus ring dengan unsur kesatuan (Raisinghania dan Aggarwal,

1980:314)

Contoh:

(ℤ,+,×) adalah ring komutatif sekaligus ring dengan unsur kesatuan, sehingga

(ℤ,+,×) adalah ring komutatif dengan unsur kesatuan.

2.5 Ring dengan Pembagi Nol

Misalkan (𝑅,∗,⋅) adalah ring, jika 𝑎 dan 𝑏 keduanya unsur tidak nol di 𝑅

sehingga 𝑎 ⋅ 𝑏 = 0, maka 𝑎 dan 𝑏 disebut pembagi nol (Raisinghania dan

Aggarwal, 1980:314)

Contoh:

Misalkan (ℤ6, +,×) adalah ring, dengan ℤ6 adalah himpunan bilangan bulat modulo

6.

ℤ6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} sehingga 0 = 6 = 12 = 18 = 24 = 30

2 merupakan pembagi nol karena terdapat 3 sehingga 2 × 3 = 6 = 0

18



Jadi, pembagi nol dari ℤ6 adalah 2, 3, dan 4.

2.6 Graf Pembagi Nol Ring Komutatif dengan Unsur Kesatuan

Misalkan 𝑅 adalah ring komutatif dengan unsur kesatuan 1 dan pembagi

nolnya adalah 𝑍(𝑅). Sebuah graf pembagi nol, Γ(𝑅) adalah graf sederhana dengan

titik-titiknya adalah anggota pembagi nol dari suatu ring komutatif tersebut. Kedua

titik misalkan 𝑥 dan 𝑦 akan terhubung langsung jika dan hanya jika 𝑥 ⋅ 𝑦 = 0

dengan 𝑥, 𝑦 ≠ 0 (Wicaksono dan Sholeha, 2013)

Contoh :

Diberikan ring modulo 10 adalah 𝑍10 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} dengan operasi

perkalian dapat dinyatakan dalam tabel Cayley sebagai berikut:

Tabel 2.1 Tabel Cayley Ring Komutatif dari 𝒁𝟏𝟎

⋅ ��

�� 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

�� 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

�� 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8

�� 0 3 6 9 2 5 8 1 4 7

�� 0 4 8 2 6 0 4 8 2 6

�� 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5

�� 0 6 2 8 4 0 6 2 8 4

�� 0 7 4 1 8 5 2 9 6 3

�� 0 8 6 4 2 0 8 6 4 2

�� 0 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Berdasarkan Tabel 2.1 diperoleh himpunan semua unsur pembagi nol dari

ring 𝑍10 adalah 𝑍(𝑍10) = {2, 4, 5, 6, 8}. Berdasarkan definisi graf pembagi nol,

maka diperoleh graf pembagi nol ring komutatif dengan unsur kesatuan 𝑍10 adalah

19

Gambar 2. 1 Graf Identitas Ring Komutatif dengan Unsur Kesatuan 𝒁𝟏𝟎

2.7 Kajian Islam tentang Silaturrahim

Al-Quran yang menjelaskan tentang keterhubungan yaitu silaturrahim.

Silaturrahim berasal dari kata silah yang berarti hubungan dan ar-rahim yang

berarti Rahim atau kerabat. Sehingga secara bahasa, silaturrahim merupakan

hubungan kekerabatan. Perintah silaturrahim terdapat pada al-Quran surat an-

Nisa/4:1, yang berbunyi

ن ن فس واح ها زوجه ياأي ها الناس ات قوا ربكم الذي خلقكم م هما رجالاا كثيرا ا دة وخلق من ا وبث من

وات قوا الله الذي تساءلون به والأرحام إن الله كان عليكم رقيبا ا ) (٠ونساءا

Artinya: “Hai sekalian manusia, bertakwalah kepada Tuhan kalian yang telah

menciptakan kalian dari seorang diri, dan darinya Allah menciptakan istrinya; dan dari

keduanya Allah memperkembangbiakkan laki-laki dan perempuan yang banyak. Dan

bertakwalah kepada Allah yang dengan (mempergunakan) nama-Nya kalian saling

meminta satu sama lain, dan peliharalah hubungan silaturrahim. Sesungguhnya Allah

selalu menjaga dan mengawasi kalian.”

Ayat tersebut menjelaskan tentang perintah Allah Swt. Kepada umatnya

agar senantiasa saling menyambung silaturrahim dan tidak memutuskannya. Seperti

ditekankan pada penggalan al-Quran surat an-Nisa/4:1, yaitu

وات قوا الله الذي تساءلون به والأرحام

20

Artinya: “Dan bertakwalah kepada Allah yang dengan (mempergunakan) nama-Nya

kalian saling meminta satu sama lain, dan peliharalah hubungan silaturrahim.”

Terdapat beberapa cara atau bentuk yang bisa dilakukan untuk mewujudkan

silaturrahim. Salah satunya yakni dengan memberi bantuan kepada kerabat seperti

yang dituliskan dalam al-Quran surat an-Nahl/16:90, yang berbunyi

حسان وإيتاء ذي القربى وينهى عن الفحشاء والمنكر وال ن بغي يعظكم لعلكم تذكروإن الله يأمر بالعدل وال

(٠٩)

Artinya: “Sesungguhnya Allah menyuruh (kamu) berlaku adil dan berbuat kebajikan,

memberi kepada kaum kerabat, dan Allah melarang dari perbuatan keji, kemungkaran,

dan permusuhan. Dia memberi pengajaran kepada kalian agar kalian dapat mengambil

pelajaran.”

Allah Swt. menyebutkan bahwa Dia memerintahkan kepada hamba-

hambaNya untuk berlaku adil, yakni pertengahan dan seimbang. Allah Swt.

memerintahkan untuk berbuat kebajikan. Yang dimaksud dengan firman-Nya

وإيتاء ذي القربى

Artinya: “dan memberi kepada kaum kerabat”. (An-Nahl:90) yaitu hendaknya Dia

menganjurkan untuk bersilaturrahim (Katsir, 2003:97).

Selain itu, dalam surat ar-Rum/30:38 juga tertulis ayat tentang memberi

bantuan kepada kerabat, orang miskin, dan orang yang sedang dalam perjalanan.

ر للذين يريدون وجه الله وأول لك خي بيل ذ ه والمسكين وابن الس ئكك هم المفلحون فآت ذا القربى حق

(٨٣)

Artinya: “Maka berikanlah kepada kerabat yang terdekat akan haknya, demikian (pula)

kepada fakir miskin dan orang-orang yang dalam perjalanan. Itulah yang lebih baik bagi

orang-orang yang mencari keridhaan Allah; dan mereka itulah orang-orang yang

beruntung.”

21

Allah swt. berfirman, memerintahkan (kepada kaum muslim) agar

memberikan kepada kerabat terdekat mereka akan haknya, yakni berbuat dan

menghubungkan silaturrahim, juga orang miskin. Yang dimaksud orang miskin

ialah orang yang tidak mempunyai sesuatu pun untuk ia belanjakan buat dirinya

atau memiliki sesuatu tetapi masih belum mencukupinya. Juga kepada ibnu sabil,

yaitu seorang musafir yang memerlukan biaya dan keperluan hidupnya dalam

perjalanan, karena biayanya kehabisan ditengah jalan (Katsir, 2004:377).

22

BAB III

PEMBAHASAN

3.1 Spektrum Adjacency Titik, Laplace, dan Signless Laplace pada Graf

Pembagi Nol dari Ring Komutatif dengan Unsur Kesatuan 𝒁𝟐𝒑

3.1.1 Ring Komutatif dengan Unsur Kesatuan 𝒁𝟔

Dua unsur di ring bilangan bulat modulo 𝑍6 jika dioperasikan menggunakan

operasi perkalian dapat disajikan dengan Tabel Cayley berikut.

Tabel 3.1 Tabel Cayley Ring Komutatif dari 𝒁𝟔

⋅ ��

�� 0 0 0 0 0 0

�� 0 1 2 3 4 5

�� 0 2 4 0 2 4

�� 0 3 0 3 0 3

�� 0 4 2 0 4 2

�� 0 5 4 3 2 1

Himpunan semua unsur pembagi nol dari ring komutatif 𝑍6 adalah 𝑍(𝑍6) =

{2, 3, 4}. Titik graf pembagi nol 𝛤(𝑍6) dari ring komutatif 𝑍6 adalah 𝑉(𝛤(𝑍6) =

{2, 3, 4}. Dua titik berbeda 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉(𝛤(𝑍6) akan terhubung langsung jika dan hanya

jika 𝑥 ⋅ 𝑦 = 0. Dari Tabel 3.1 dapat digambarkan graf pembagi nol berikut.

Gambar 3.1 Gambar Graf Pembagi Nol 𝚪(𝐙𝟔)

23

Dari Gambar 3.1 dapat diperoleh matriks adjacency titik dan matriks derajat

dari 𝛤(𝑍6) sebagai berikut

𝑨(𝛤(𝑍6)) = [010 101 010]

𝑫(𝛤(𝑍6)) = [100 020 001]

Dengan demikian diperoleh matriks Laplace dari 𝛤(𝑍6)

𝑳(𝛤(𝑍6)) = 𝑫(𝛤(𝑍6)) − 𝑨(𝛤(𝑍6)) = [1

−10

−12

−1

0−11

]

det(𝑳(𝛤(𝑍6)) − 𝜆𝐼) = 𝑑𝑒𝑡 ([1

−10

−12

−1

0−11

] − [𝜆00 0𝜆0 00𝜆]) =

𝑑𝑒𝑡 ([1 − 𝜆−10

−1

2 − 𝜆−1

0

−11 − 𝜆

])

Matriks tersebut dapat direduksi untuk memperoleh polinomial karakteristik.

Dengan menggunakan metode eliminasi Gauss yang terdapat pada software Maple

18, diperoleh hasil sebagai berikut

Sehingga polinomial karakteristik 𝑳(𝛤(𝑍6)) diperoleh dari perkalian diagonal

matriks segitiga atas sebagai berikut

𝑝(𝜆) = (1 − 𝜆)(−𝜆2 − 3𝜆 + 1

𝜆 − 1)(−

𝜆(𝜆2 − 4𝜆 + 3)

𝜆2 − 3𝜆 + 1) = −𝜆(𝜆 − 1)(𝜆 − 3)

24

Dengan menetapkan 𝑝(𝜆) = 0 maka diperoleh 𝜆1 = 0, 𝜆2 = 1, dan 𝜆3 = 3.

Kemudian akan dicari multiplisitas dari nilai eigen tersebut.

Untuk 𝜆1 = 0 disubstitusikan ke dalam (𝑳(𝛤(𝑍6)) − 𝜆𝐼), sehingga diperoleh

[1

−10

−12

−1

0−11

]

Selanjutnya hasil matriks tersebut akan direduksi dengan menggunakan metode

eliminasi Gauss yang terdapat dalam software Maple 18, sehingga diperoleh hasil

sebagai berikut

Dari matriks yang tereduksi tersebut dapat diperoleh 𝑚(𝜆1) = 1.


[0

−10

−11

−1

0−10

]



sebagai berikut



[−2−10

−1−1−1

0

−1−2

]

25



sebagai berikut


Dengan demikian terbentuklah spektrum Laplace dari 𝛤(𝑍6) sebagai berikut

𝑺𝒑𝒆𝒄𝑳(𝛤(𝑍6)) = [01 11 31]

Jadi, nilai Eigen dari matriks 𝑳(𝛤(𝑍6)) adalah 0, 1, dan 3. Sedangkan baris yang

tereduksi masing-masing sebanyak 1, 1, dan 1.

Kemudian matriks signless Laplace dari 𝛤(𝑍6) dapat ditentukan dengan

menggunakan cara berikut

𝑳+(𝛤(𝑍6)) = 𝑫(𝛤(𝑍6)) + 𝑨(𝛤(𝑍6)) = [110 121 011]

det(𝑳+(𝛤(𝑍6)) − 𝜆𝐼) = 𝑑𝑒𝑡 ([110 121 011] − [

𝜆00 0𝜆0 00𝜆]) =

𝑑𝑒𝑡 ([1 − 𝜆

10

1

2 − 𝜆1

01

1 − 𝜆])




26

Sehingga polinomial karakteristik 𝑳+(𝛤(𝑍6)) diperoleh dari perkalian diagonal


𝑝(𝜆) = (1 − 𝜆)(−𝜆2 − 3𝜆 + 1

𝜆 − 1)(−

𝜆(𝜆2 − 4𝜆 + 3)

𝜆2 − 3𝜆 + 1) = −𝜆(𝜆 − 1)(𝜆 − 3)



Untuk 𝜆1 = 0 disubstitusikan ke dalam (𝑳+(𝛤(𝑍6)) − 𝜆𝐼), sehingga diperoleh

[110 121 011]



sebagai berikut



[010 111 010]

27



sebagai berikut



[−210

1

−11

01

−2]



sebagai berikut


Dengan demikian terbentuklah spektrum signless Laplace dari 𝛤(𝑍6)

sebagai berikut

𝑺𝒑𝒆𝒄𝑳+(𝛤(𝑍6)) = [01 11 31]

Jadi, nilai Eigen dari matriks 𝑳+(𝛤(𝑍6)) adalah 0, 1, dan 3. Sedangkan baris yang


28

3.1.2 Ring Komutatif dengan Unsur Kesatuan 𝒁𝟏𝟎

Dua unsur di ring bilangan bulat modulo 𝑍10 jika dioperasikan

menggunakan operasi perkalian dapat disajikan dengan Tabel Cayley berikut.

Tabel 3.2 Tabel Cayley Ring Komutatif dari 𝒁𝟏𝟎

⋅ ��

�� 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

�� 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

�� 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8

�� 0 3 6 9 2 5 8 1 4 7

�� 0 4 8 2 6 0 4 8 2 6

�� 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5

�� 0 6 2 8 4 0 6 2 8 4

�� 0 7 4 1 8 5 2 9 6 3

�� 0 8 6 4 2 0 8 6 4 2

�� 0 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Himpunan semua unsur pembagi nol dari ring komutatif 𝑍10 adalah

𝑍(𝑍10) = {2, 4, 5, 6, 8}. Titik graf pembagi nol 𝛤(𝑍10) dari ring komutatif 𝑍10

adalah 𝑉(𝛤(𝑍10)) = {2, 4, 5, 6, 8}. Dua titik berbeda 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉(𝛤(𝑍10)) akan

terhubung langsung jika dan hanya jika 𝑥 ⋅ 𝑦 = 0. Dari Tabel 3.2 dapat

digambarkan graf pembagi nol berikut.

Gambar 3.2 Gambar Graf Pembagi Nol 𝜞(𝒁𝟏𝟎)



29

𝑨(𝛤(𝑍10)) =

[ 00100

00100

11011

00100

00100]

𝑫(𝛤(𝑍10)) =

[ 10000

01000

00400

00010

00001]


𝑳(𝛤(𝑍10)) = 𝑫(𝛤(𝑍10)) − 𝑨(𝛤(𝑍10)) =

[

10

−100

01

−100

−1−14

−1−1

00

−110

00

−101 ]

det(𝑳(𝛤(𝑍10)) − 𝜆𝐼) = 𝑑𝑒𝑡

(

[

10

−100

01

−100

−1−14

−1−1

00

−110

00

−101 ]

−

[ 𝜆0000

0𝜆000

00𝜆00

000𝜆0

0000𝜆]

)

=

𝑑𝑒𝑡

(

[ 1 − 𝜆

0−100

01 − 𝜆−100

−1−1

4 − 𝜆−1−1

00

−11 − 𝜆

0

00

−10

1 − 𝜆]

)




30

Sehingga polinomial karakteristik 𝑳(𝛤(𝑍10)) diperoleh dari perkalian diagonal


𝑝(𝜆) = −𝜆(𝜆 − 1)3(𝜆 − 5)


Dengan cara yang sama pada ring komutatif 𝑍6 dapat ditentukan multiplisitas

masing-masing nilai Eigen dari matriks tersebut, yaitu 𝑚(𝜆1) = 1, 𝑚(𝜆2) = 3, dan

𝑚(𝜆3) = 1.

Dengan demikian terbentuklah spektrum Laplace dari 𝛤(𝑍10) sebagai

berikut

𝑺𝒑𝒆𝒄𝑳(𝛤(𝑍10)) = [01 13 51]





𝑳+(𝛤(𝑍10)) = 𝑫(𝛤(𝑍10)) + 𝑨(𝛤(𝑍10)) =

[ 10100

01100

11411

00110

00101]

det(𝑳+(𝛤(𝑍10)) − 𝜆𝐼) = 𝑑𝑒𝑡

(

[ 10100

01100

11411

00110

00101]

−

[ 𝜆0000

0𝜆000

00𝜆00

000𝜆0

0000𝜆]

)

=

𝑑𝑒𝑡

(

[ 1 − 𝜆

0100

01 − 𝜆

100

11

4 − 𝜆11

001

1 − 𝜆0

0010

1 − 𝜆]

)

31






𝑝(𝜆) = −𝜆(𝜆 − 1)3(𝜆 − 5)




𝑚(𝜆3) = 1.


sebagai berikut

𝑺𝒑𝒆𝒄𝑳+(𝛤(𝑍10)) = [01 13 51]



32

3.1.3 Ring Komutatif dengan Unsur Kesatuan 𝒁𝟏𝟒



Tabel 3.3 Tabel Cayley Ring Komutatif dari 𝒁𝟏𝟒

⋅ �� 𝟏𝟎 𝟏𝟏 𝟏𝟐 𝟏𝟑

�� 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

�� 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

�� 0 2 4 6 8 10 12 0 2 4 6 8 10 12

�� 0 3 6 9 12 1 4 7 10 13 2 5 8 11

�� 0 4 8 12 2 6 10 0 4 8 12 2 6 10

�� 0 5 10 1 6 11 2 7 12 3 8 13 4 9

�� 0 6 12 4 10 2 8 0 6 12 4 10 2 8

�� 0 7 0 7 0 7 0 7 0 7 0 7 0 7

�� 0 8 2 10 4 12 6 0 8 2 10 4 12 6

�� 0 9 4 13 8 3 12 7 2 11 6 1 10 5

𝟏𝟎 0 10 6 2 12 8 4 0 10 6 2 12 8 4

𝟏𝟏 0 11 8 5 2 13 10 7 4 1 12 9 6 3

𝟏𝟐 0 12 10 8 6 4 2 0 12 10 8 6 4 2

𝟏𝟑 0 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1


𝑍(𝑍14) = {2, 4, 6, 7, 8, 10 , 12 }. Titik graf pembagi nol 𝛤(𝑍14) dari ring komutatif

𝑍14 adalah 𝑉(𝛤(𝑍14)) = {2, 4, 6, 7, 8, 10 , 12 }. Dua titik berbeda 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉(𝛤(𝑍14))

akan terhubung langsung jika dan hanya jika 𝑥 ⋅ 𝑦 = 0. Dari Tabel 3.3 dapat


Gambar 3.3 Gambar Graf Pembagi Nol 𝚪(𝐙𝟏𝟒)

33



𝑨(𝛤(𝑍14)) =

[ 0001000

0001000

0001000

1110111

0001000

0001000

0001000]

𝑫(𝛤(𝑍14)) =

[ 1000000

0100000

0010000

0006000

0000100

0000010

0000001]


𝑳(𝛤(𝑍14)) = 𝑫(𝛤(𝑍14)) − 𝑨(𝛤(𝑍14)) =

[

100

−1000

010

−1000

001

−1000

−1−1−16

−1−1−1

000

−1100

000

−1010

000

−1001 ]

det(𝑳(𝛤(𝑍14)) − 𝜆𝐼) =

𝑑𝑒𝑡

(

[

100

−1000

010

−1000

001

−1000

−1−1−16

−1−1−1

000

−1100

000

−1010

000

−1001 ]

−

[ 𝜆000000

0𝜆00000

00𝜆0000

000𝜆000

0000𝜆00

00000𝜆0

000000𝜆]

)

=

34

𝑑𝑒𝑡

(

[ 1 − 𝜆

00

−1000

01 − 𝜆

0−1000

00

1 − 𝜆−1000

−1−1−1

6 − 𝜆−1−1−1

000

−11 − 𝜆

00

000

−10

1 − 𝜆0

000

−100

1 − 𝜆]

)




Sehingga polinomial karakteristik 𝑳(Γ(Z14)) diperoleh dari perkalian diagonal


𝑝(𝜆) = −𝜆(𝜆 − 1)5(𝜆 − 7)




𝑚(𝜆3) = 1.


berikut

35

𝑺𝒑𝒆𝒄𝑳(𝛤(𝑍14)) = [01 15 71]





𝑳+(𝛤(𝑍14)) = 𝑫(𝛤(𝑍14)) + 𝑨(𝛤(𝑍14)) =

[ 1001000

0101000

0011000

1116111

0001100

0001010

0001001]

det(𝑳+(𝛤(𝑍14)) − 𝜆𝐼) = 𝑑𝑒𝑡

(

[ 1001000

0101000

0011000

1116111

0001100

0001010

0001001]

−

[ 𝜆000000

0𝜆00000

00𝜆0000

000𝜆000

0000𝜆00

00000𝜆0

000000𝜆]

)

=

𝑑𝑒𝑡

(

[ 1 − 𝜆

00

−1000

01 − 𝜆

0−1000

00

1 − 𝜆−1000

−1−1−1

6 − 𝜆−1−1−1

000

−11 − 𝜆

00

000

−10

1 − 𝜆0

000

−100

1 − 𝜆]

)




36



𝑝(𝜆) = −𝜆(𝜆 − 1)5(𝜆 − 7)




𝑚(𝜆3) = 1.


sebagai berikut

𝑺𝒑𝒆𝒄𝑳+(𝛤(𝑍14)) = [01 15 71]



37

3.1.4 Ring Komutatif dengan Unsur Kesatuan 𝒁𝟐𝟐



Tabel 3.4 Tabel Cayley Ring Komutatif dari 𝒁𝟐𝟐

⋅ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

3 0 3 6 9 12 15 18 21 2 5 8 11 14 17 20 1 4 7 10 13 16 19

4 0 4 8 12 16 20 2 6 10 14 18 0 4 8 12 16 20 2 6 10 14 18

5 0 5 10 15 20 3 8 13 18 1 6 11 16 21 4 9 14 19 2 7 12 17

6 0 6 12 18 2 8 14 20 4 10 16 0 6 12 18 2 8 14 20 4 10 16 7 0 7 14 21 6 13 20 5 12 19 4 11 18 3 10 17 2 9 16 1 8 15

8 0 8 16 2 10 18 4 12 20 6 14 0 8 16 2 10 18 4 12 20 6 14

9 0 9 18 5 14 1 10 19 6 15 2 11 20 7 16 3 12 21 8 17 4 13

10 0 10 20 8 18 6 16 4 14 2 12 0 10 20 8 18 6 16 4 14 2 12

11 0 11 0 11 0 11 0 11 0 11 0 11 0 11 0 11 0 11 0 11 0 11

12 0 12 2 14 4 16 6 18 8 20 10 0 12 2 14 4 16 6 18 8 20 10

13 0 13 4 17 8 21 12 3 16 7 20 11 2 15 6 19 10 1 14 5 18 9

14 0 14 6 20 12 4 18 10 2 16 8 0 14 6 20 12 4 18 10 2 16 8

15 0 15 8 1 16 9 2 17 10 3 18 11 4 19 12 5 20 13 6 21 14 7

16 0 16 10 4 20 14 8 2 18 12 6 0 16 10 4 20 14 8 2 18 12 6

17 0 17 12 7 2 19 14 9 4 21 16 11 6 1 18 13 8 3 20 15 10 5

18 0 18 14 10 6 2 20 16 12 8 4 0 18 14 10 6 2 20 16 12 8 4

19 0 19 16 13 10 7 4 1 20 17 14 11 8 5 2 21 18 15 12 9 6 3

20 0 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2

21 0 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1


𝑍(𝑍22) = {2, 4, 6, 8, 10 , 11 , 12 , 14 , 16 , 18 , 20 }. Titik graf pembagi nol 𝛤(𝑍22) dari

ring komutatif 𝑍22 adalah 𝑉(𝛤(𝑍22)) = {2, 4, 6, 8, 10 , 11 , 12 , 14 , 16 , 18 , 20 }. Dua

titik berbeda 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉(𝛤(𝑍22)) akan terhubung langsung jika dan hanya jika 𝑥 ⋅ 𝑦 =

0. Dari Tabel 3.4 dapat digambarkan graf pembagi nol berikut.

Gambar 3.4 Gambar Graf Pembagi Nol 𝚪(𝐙𝟐𝟐)

38



𝑨(𝛤(𝑍22)) =

[ 00000100000

00000100000

00000100000

00000100000

00000100000

11111011111

00000100000

00000100000

00000100000

00000100000

00000100000]

𝑫(𝛤(𝑍22)) =

[ 10000000000

01000000000

00100000000

00010000000

00001000000

000001000000

00000010000

00000001000

00000000100

00000000010

00000000001]


𝑳(𝛤(𝑍22)) = 𝑫(𝛤(𝑍22)) − 𝑨(𝛤(𝑍22)) =

[

10000

−100000

01000

−100000

00100

−100000

00010

−100000

00001

−100000

−1−1−1−1−110−1−1−1−1−1

00000

−110000

00000

−101000

00000

−100100

00000

−100010

00000

−100001 ]

det(𝑳(𝛤(𝑍22)) − 𝜆𝐼) =

𝑑𝑒𝑡

(

[

10000

−100000

01000

−100000

00100

−100000

00010

−100000

00001

−100000

−1−1−1−1−110−1−1−1−1−1

00000

−110000

00000

−101000

00000

−100100

00000

−100010

00000

−100001 ]

−

[ 𝜆0000000000

0𝜆000000000

00𝜆00000000

000𝜆0000000

0000𝜆000000

00000𝜆00000

000000𝜆0000

0000000𝜆000

00000000𝜆00

000000000𝜆0

0000000000𝜆]

)

=

39

𝑑𝑒𝑡

(

[ 1 − 𝜆

0000

−100000

01 − 𝜆

000

−100000

00

1 − 𝜆00

−100000

000

1 − 𝜆0

−100000

0000

1 − 𝜆−100000

−1−1−1−1−1

10 − 𝜆−1−1−1−1−1

00000

−11 − 𝜆

0000

00000

−10

1 − 𝜆000

00000

−100

1 − 𝜆00

00000

−1000

1 − 𝜆0

00000

−10000

1 − 𝜆]

)

Hasil dari det (𝑳 − 𝜆𝐼) dapat diperoleh menggunakan aplikasi Maple 18 yaitu

𝑝(𝜆) = −𝜆(𝜆 − 1)9(𝜆 − 11)




𝑚(𝜆3) = 1.


berikut

𝑺𝒑𝒆𝒄𝑳(𝛤(𝑍22)) = [01 19 111

]





𝑳+(𝛤(𝑍22)) = 𝑫(𝛤(𝑍22)) + 𝑨(𝛤(𝑍22)) =

[ 10000100000

01000100000

00100100000

00010100000

00001100000

111111011111

00000110000

00000101000

00000100100

00000100010

00000100001]

det(𝑳+(𝛤(𝑍22)) − 𝜆𝐼) =

40

𝑑𝑒𝑡

(

[ 10000100000

01000100000

00100100000

00010100000

00001100000

111111011111

00000110000

00000101000

00000100100

00000100010

00000100001]

−

[ 𝜆0000000000

0𝜆000000000

00𝜆00000000

000𝜆0000000

0000𝜆000000

00000𝜆00000

000000𝜆0000

0000000𝜆000

00000000𝜆00

000000000𝜆0

0000000000𝜆]

)

=

𝑑𝑒𝑡

(

[ 1 − 𝜆

0000100000

01 − 𝜆

000100000

00

1 − 𝜆00100000

000

1 − 𝜆0100000

0000

1 − 𝜆100000

11111

10 − 𝜆11111

000001

1 − 𝜆0000

0000010

1 − 𝜆000

00000100

1 − 𝜆00

000001000

1 − 𝜆0

0000010000

1 − 𝜆]

)

Hasil dari det (𝑳+ − 𝜆𝐼) dapat diperoleh menggunakan aplikasi Maple 18 yaitu

𝑝(𝜆) = −𝜆(𝜆 − 1)9(𝜆 − 11)




𝑚(𝜆3) = 1.


sebagai berikut

𝑺𝒑𝒆𝒄𝑳+(𝛤(𝑍22)) = [01 19 111

]



41

3.1.5 Ring Komutatif dengan Unsur Kesatuan 𝒁𝟐𝟔



Tabel 3.5 Tabel Cayley Ring Komutatif dari 𝒁𝟐𝟔

⋅ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

3 0 3 6 9 12 15 18 21 24 1 4 7 10 13 16 19 22 25 2 5 8 11 14 17 20 23

4 0 4 8 12 16 20 24 2 6 10 14 18 22 0 4 8 12 16 20 24 2 6 10 14 18 22

5 0 5 10 15 20 25 4 9 14 19 24 3 8 13 18 23 2 7 12 17 22 1 6 11 16 21

6 0 6 12 18 24 4 10 16 22 2 8 14 20 0 6 12 18 24 4 10 16 22 2 8 14 20

7 0 7 14 21 2 9 16 23 4 11 18 25 6 13 20 1 8 15 22 3 10 17 24 5 12 19

8 0 8 16 24 6 14 22 4 12 20 2 10 18 0 8 16 24 6 14 22 4 12 20 2 10 18

9 0 9 18 1 10 19 2 11 20 3 12 21 4 13 22 5 14 23 6 15 24 7 16 25 8 17

10 0 10 20 4 14 24 8 18 2 12 22 6 16 0 10 20 4 14 24 8 18 2 12 22 6 16

11 0 11 22 7 18 3 14 25 10 21 6 17 2 13 24 9 20 5 16 1 12 23 8 19 4 15

12 0 12 24 10 22 8 20 6 18 4 16 2 14 0 12 24 10 22 8 20 6 18 4 15 2 14

13 0 13 0 13 0 13 0 13 0 13 0 13 0 13 0 13 0 13 0 13 0 13 0 13 0 13

14 0 14 2 16 4 18 6 20 8 22 10 24 12 0 14 2 16 4 18 6 20 8 22 10 24 12

15 0 15 4 19 8 23 12 1 16 5 20 9 24 13 2 17 6 21 10 25 14 3 18 7 22 11

16 0 16 6 22 12 2 18 8 24 14 4 20 10 0 16 6 22 12 2 18 8 24 14 4 20 10

17 0 17 8 25 16 7 24 15 6 23 14 5 22 13 4 21 12 3 20 11 2 19 10 1 18 9

18 0 18 10 2 20 12 4 22 14 6 24 16 8 0 18 10 2 20 12 4 22 14 6 24 16 8

19 0 19 12 5 24 17 10 3 22 15 8 1 20 13 6 25 18 11 4 23 16 9 2 21 14 7

20 0 20 14 8 2 22 16 10 4 24 18 12 6 0 20 14 8 2 22 16 10 4 24 18 12 6

21 0 21 16 11 6 1 22 17 12 7 2 23 18 13 8 3 24 19 14 9 4 25 20 15 10 5

22 0 22 18 14 10 6 2 24 20 16 12 8 4 0 22 18 14 10 6 2 24 20 16 12 8 4

23 0 23 20 17 14 11 8 5 2 25 22 19 16 13 10 7 4 1 24 21 18 15 12 9 6 3

24 0 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2

25 0 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1


𝑍(𝑍26) = {2, 4, 6, 8, 10 , 12 , 13 , 14 , 16 , 18 , 20 , 22 , 24 }. Titik graf pembagi nol

𝛤(𝑍26) dari ring komutatif 𝑍26 adalah 𝑉(𝛤(𝑍26)) =

{2, 4, 6, 8, 10 , 12 , 13 , 14 , 16 , 18 , 20 , 22 , 24 }. Dua titik berbeda 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉(𝛤(𝑍26))

akan terhubung langsung jika dan hanya jika 𝑥 ⋅ 𝑦 = 0. Dari Tabel 3.5 dapat


Gambar 3.5 Gambar Graf Pembagi Nol 𝜞(𝒁𝟐𝟔)

42



𝑨(𝛤(𝑍26)) =

[ 0000001000000

0000001000000

0000001000000

0000001000000

0000001000000

0000001000000

1111110111111

0000001000000

0000001000000

0000001000000

0000001000000

0000001000000

0000001000000]

𝑫(𝛤(𝑍26)) =

[ 1000000000000

0100000000000

0010000000000

0001000000000

0000100000000

0000010000000

00000012000000

0000000100000

0000000010000

0000000001000

0000000000100

0000000000010

0000000000001]


𝑳(𝛤(𝑍26)) = 𝑫(𝛤(𝑍26)) − 𝑨(𝛤(𝑍26)) =

[

100000

−1000000

010000

−1000000

001000

−1000000

000100

−1000000

000010

−1000000

000001

−1000000

−1−1−1−1−1−112−1−1−1−1−1−1

000000

−1100000

000000

−1010000

000000

−1001000

000000

−1000100

000000

−1000010

000000

−1000001 ]

det(𝑳(𝛤(𝑍26)) − 𝜆𝐼) =

𝑑𝑒𝑡

(

[

100000

−1000000

010000

−1000000

001000

−1000000

000100

−1000000

000010

−1000000

000001

−1000000

−1−1−1−1−1−112−1−1−1−1−1−1

000000

−1100000

000000

−1010000

000000

−1001000

000000

−1000100

000000

−1000010

000000

−1000001 ]

−

[ 𝜆000000000000

0𝜆00000000000

00𝜆0000000000

000𝜆000000000

0000𝜆00000000

00000𝜆0000000

000000𝜆000000

0000000𝜆00000

00000000𝜆0000

000000000𝜆000

0000000000𝜆00

00000000000𝜆0

000000000000𝜆]

)

=

43

𝑑𝑒𝑡

(

[ 1 − 𝜆

00000

−1000000

01 − 𝜆

0000

−1000000

00

1 − 𝜆000

−1000000

000

1 − 𝜆00

−1000000

0000

1 − 𝜆0

−1000000

00000

1 − 𝜆−1000000

−1−1−1−1−1−1

12 − 𝜆−1−1−1−1−1−1

000000

−11 − 𝜆

00000

000000

−10

1 − 𝜆0000

000000

−100

1 − 𝜆000

000000

−1000

1 − 𝜆00

000000

−10000

1 − 𝜆0

000000

−100000

1 − 𝜆]

)


𝑝(𝜆) = −𝜆(𝜆 − 1)11(𝜆 − 13)



masing-masing nilai Eigen dari matriks tersebut, yaitu 𝑚(𝜆1) = 1, 𝑚(𝜆2) = 11,

dan 𝑚(𝜆3) = 1.


berikut

𝑺𝒑𝒆𝒄𝑳(𝛤(𝑍26)) = [01

111

131

]





𝑳+(𝛤(𝑍26)) = 𝑫(𝛤(𝑍26)) + 𝑨(𝛤(𝑍26)) =

[ 1000001000000

0100001000000

0010001000000

0001001000000

0000101000000

0000011000000

11111112111111

0000001100000

0000001010000

0000001001000

0000001000100

0000001000010

0000001000001]

det(𝑳+(𝛤(𝑍26)) − 𝜆𝐼) =

44

𝑑𝑒𝑡

(

[ 1000001000000

0100001000000

0010001000000

0001001000000

0000101000000

0000011000000

11111112111111

0000001100000

0000001010000

0000001001000

0000001000100

0000001000010

0000001000001]

−

[ 𝜆000000000000

0𝜆00000000000

00𝜆0000000000

000𝜆000000000

0000𝜆00000000

00000𝜆0000000

000000𝜆000000

0000000𝜆00000

00000000𝜆0000

000000000𝜆000

0000000000𝜆00

00000000000𝜆0

000000000000𝜆]

)

=

𝑑𝑒𝑡

(

[ 1 − 𝜆

000001000000

01 − 𝜆

00001000000

00

1 − 𝜆0001000000

000

1 − 𝜆001000000

0000

1 − 𝜆01000000

00000

1 − 𝜆1000000

111111

12 − 𝜆111111

0000001

1 − 𝜆00000

00000010

1 − 𝜆0000

000000100

1 − 𝜆000

0000001000

1 − 𝜆00

00000010000

1 − 𝜆0

000000100000

1 − 𝜆]

)


𝑝(𝜆) = −𝜆(𝜆 − 1)11(𝜆 − 13)




dan 𝑚(𝜆3) = 1.


sebagai berikut

𝑺𝒑𝒆𝒄𝑳+(𝛤(𝑍26)) = [01

111

131

]



45

3.1.6 Ring Komutatif dengan Unsur Kesatuan 𝒁𝟑𝟒



46

Tabel 3.6 Tabel Cayley Ring Komutatif dari 𝒁𝟑𝟒

⋅ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33

2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32

3 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 2 5 8 11 14 17 20 23 26 29 32 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31

4 0 4 8 12 16 20 24 28 32 2 6 10 14 18 22 26 30 0 4 8 12 16 20 24 28 32 2 6 10 14 18 22 26 30

5 0 5 10 15 20 25 30 1 6 11 16 21 26 31 2 7 12 17 22 27 32 3 8 13 18 23 28 33 4 9 14 19 24 29

6 0 6 12 18 24 30 2 8 14 20 26 32 4 10 16 22 28 0 6 12 18 24 30 2 8 14 20 26 32 4 10 16 22 28 7 0 7 14 21 28 1 8 15 22 29 2 9 16 23 30 3 10 17 24 31 4 11 18 25 32 5 12 19 26 33 6 13 20 27

8 0 8 16 24 32 6 14 22 30 4 12 20 28 2 10 18 26 0 8 16 24 32 6 14 22 30 4 12 20 28 2 10 18 26

9 0 9 18 27 2 11 20 29 4 13 22 31 6 15 24 33 8 17 26 1 10 19 28 3 12 21 30 5 14 23 32 7 16 25

10 0 10 20 30 6 16 26 2 12 22 32 8 18 28 4 14 24 0 10 20 30 6 16 26 2 12 22 32 8 18 28 4 14 24

11 0 11 22 33 10 21 32 9 20 31 8 19 30 7 18 29 6 17 28 5 16 27 4 15 26 3 14 25 2 13 24 1 12 23

12 0 12 24 2 14 26 4 16 28 6 18 30 8 20 32 10 22 0 12 24 2 14 26 4 16 28 6 18 30 8 20 32 10 22

13 0 13 26 5 18 31 10 23 2 15 28 7 20 33 12 25 4 17 30 9 22 1 14 27 6 19 32 11 24 3 16 29 8 21

14 0 14 28 8 22 2 16 30 10 24 4 18 32 12 26 6 20 0 14 28 8 22 2 16 30 10 24 4 18 32 12 26 6 20

15 0 15 30 11 26 7 22 3 18 33 14 29 10 25 6 21 2 17 32 13 28 9 24 5 20 1 16 31 12 27 8 23 4 19

16 0 16 32 14 30 12 28 10 26 8 24 6 22 4 20 2 18 0 16 32 14 30 12 28 10 26 8 24 6 22 4 20 2 18

17 0 17 0 17 0 17 0 17 0 17 0 17 0 17 0 17 0 17 0 17 0 17 0 17 0 17 0 17 0 17 0 17 0 17

18 0 18 2 20 4 22 6 24 8 26 10 28 12 30 14 32 16 0 18 2 20 4 22 6 24 8 26 10 28 12 30 14 32 16

19 0 19 4 23 8 27 12 31 16 1 20 5 24 9 28 13 32 17 2 21 6 25 10 29 14 33 18 3 22 7 26 11 30 15

20 0 20 6 26 12 32 18 4 24 10 30 16 2 22 8 28 14 0 20 6 26 12 32 18 4 24 10 30 16 2 22 8 28 14

21 0 21 8 29 16 3 24 11 32 19 6 27 14 1 22 9 30 17 4 25 12 33 20 7 28 15 2 23 10 31 18 5 26 13

22 0 22 10 32 20 8 30 18 6 28 16 4 26 14 2 24 12 0 22 10 32 20 8 30 18 6 28 16 4 26 14 2 24 12

23 0 23 12 1 24 13 2 25 14 3 26 15 4 27 16 5 28 17 6 29 18 7 30 19 8 31 20 9 32 21 10 33 22 11

24 0 24 14 4 28 18 8 32 22 12 2 26 16 6 30 20 10 0 24 14 4 28 18 8 32 22 12 2 26 16 6 30 20 10

25 0 25 16 7 32 23 14 5 30 21 12 3 28 19 10 1 26 17 8 33 24 15 6 31 22 13 4 29 20 11 2 27 18 9

26 0 26 18 10 2 28 20 12 4 30 22 14 6 32 24 16 8 0 26 18 10 2 28 20 12 4 30 22 14 6 32 24 16 8

27 0 27 20 13 6 33 26 19 12 5 32 25 18 11 4 31 24 17 10 3 30 23 16 9 2 29 22 15 8 1 28 21 14 7

28 0 28 22 16 10 4 32 26 20 14 8 2 30 24 18 12 6 0 28 22 16 10 4 32 26 20 14 8 2 30 24 18 12 6

29 0 29 24 19 14 9 4 33 28 23 18 13 8 3 32 27 22 17 12 7 2 31 26 21 16 11 6 1 30 25 20 15 10 5

30 0 30 26 22 18 14 10 6 2 32 28 24 20 16 12 8 4 0 30 26 22 18 14 10 6 2 32 28 24 20 16 12 8 4

31 0 31 28 25 22 19 16 13 10 7 4 1 32 29 26 23 20 17 14 11 8 5 2 33 30 27 24 21 18 15 12 9 6 3

32 0 32 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 32 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2

33 0 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

466

47


𝑍(𝑍34) = {2, 4, 6, 8, 10 , 12 , 14 , 16 , 17 , 18 , 20 , 22 , 24 , 26 , 28 , 30 , 32 }. Titik graf

pembagi nol 𝛤(𝑍26) dari ring komutatif 𝑍34 adalah 𝑉(𝛤(𝑍26)) =

{2, 4, 6, 8, 10 , 12 , 14 , 16 , 17 , 18 , 20 , 22 , 24 , 26 , 28 , 30 , 32 }. Dua titik berbeda

𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉(𝛤(𝑍26)) akan terhubung langsung jika dan hanya jika 𝑥 ⋅ 𝑦 = 0. Dari

Tabel 3.6 dapat digambarkan graf pembagi nol berikut.

Gambar 3.6 Gambar Graf Pembagi Nol 𝜞(𝒁𝟑𝟒)



𝑨(𝛤(𝑍34)) =

[ 00000000100000000

00000000100000000

00000000100000000

00000000100000000

00000000100000000

00000000100000000

00000000100000000

00000000100000000

11111111011111111

00000000100000000

00000000100000000

00000000100000000

00000000100000000

00000000100000000

00000000100000000

00000000100000000

00000000100000000]

48

𝑫(𝛤(𝑍34)) =

[ 10000000000000000

01000000000000000

00100000000000000

00010000000000000

00001000000000000

00000100000000000

00000010000000000

00000001000000000

000000001600000000

00000000010000000

00000000001000000

00000000000100000

00000000000010000

00000000000001000

00000000000000100

00000000000000010

00000000000000001]


𝑳(𝛤(𝑍34)) = 𝑫(𝛤(𝑍34)) − 𝑨(𝛤(𝑍34))

=

[

10000000

−100000000

01000000

−100000000

00100000

−100000000

00010000

−100000000

00001000

−100000000

00000100

−100000000

00000010

−100000000

00000001

−100000000

−1−1−1−1−1−1−1−116−1−1−1−1−1−1−1−1

00000000

−110000000

00000000

−101000000

00000000

−100100000

00000000

−100010000

00000000

−100001000

00000000

−100000100

00000000

−100000010

00000000

−100000001 ]

det(𝑳(𝛤(𝑍34)) − 𝜆𝐼) =

49

𝑑𝑒𝑡

(

[

10000000

−100000000

01000000

−100000000

00100000

−100000000

00010000

−100000000

00001000

−100000000

00000100

−100000000

00000010

−100000000

00000001

−100000000

−1−1−1−1−1−1−1−116−1−1−1−1−1−1−1−1

00000000

−110000000

00000000

−101000000

00000000

−100100000

00000000

−100010000

00000000

−100001000

00000000

−100000100

00000000

−100000010

00000000

−100000001 ]

−

[ 𝜆0000000000000000

0𝜆000000000000000

00𝜆00000000000000

000𝜆0000000000000

0000𝜆000000000000

00000𝜆00000000000

000000𝜆0000000000

0000000𝜆000000000

00000000𝜆00000000

000000000𝜆0000000

0000000000𝜆000000

00000000000𝜆00000

000000000000𝜆0000

0000000000000𝜆000

00000000000000𝜆00

000000000000000𝜆0

0000000000000000𝜆]

)

=

𝑑𝑒𝑡

(

[ 1 − 𝜆

0000000

−100000000

01 − 𝜆

000000

−100000000

00

1 − 𝜆00000

−100000000

000

1 − 𝜆0000

−100000000

0000

1 − 𝜆000

−100000000

00000

1 − 𝜆00

−100000000

000000

1 − 𝜆0

−100000000

0000000

1 − 𝜆−100000000

−1−1−1−1−1−1−1−1

16 − 𝜆−1−1−1−1−1−1−1−1

00000000

−11 − 𝜆

0000000

00000000

−10

1 − 𝜆000000

00000000

−100

1 − 𝜆00000

00000000

−1000

1 − 𝜆0000

00000000

−10000

1 − 𝜆000

00000000

−100000

1 − 𝜆00

00000000

−1000000

1 − 𝜆0

00000000

−10000000

1 − 𝜆]

)


𝑝(𝜆) = −𝜆(𝜆 − 1)15(𝜆 − 17)




dan 𝑚(𝜆3) = 1.

50


berikut

𝑺𝒑𝒆𝒄𝑳(𝛤(𝑍34)) = [01

115

171

]





𝑳+(𝛤(𝑍34)) = 𝑫(𝛤(𝑍34)) + 𝑨(Γ(Z34)) =

[ 10000000100000000

01000000100000000

00100000100000000

00010000100000000

00001000100000000

00000100100000000

00000010100000000

00000001100000000

111111111611111111

00000000110000000

00000000101000000

00000000100100000

00000000100010000

00000000100001000

00000000100000100

00000000100000010

00000000100000001]

det(𝑳+(𝛤(𝑍34)) − 𝜆𝐼) =

𝑑𝑒𝑡

(

[ 10000000100000000

01000000100000000

00100000100000000

00010000100000000

00001000100000000

00000100100000000

00000010100000000

00000001100000000

111111111611111111

00000000110000000

00000000101000000

00000000100100000

00000000100010000

00000000100001000

00000000100000100

00000000100000010

00000000100000001]

−

[ 𝜆0000000000000000

0𝜆000000000000000

00𝜆00000000000000

000𝜆0000000000000

0000𝜆000000000000

00000𝜆00000000000

000000𝜆0000000000

0000000𝜆000000000

00000000𝜆00000000

000000000𝜆0000000

0000000000𝜆000000

00000000000𝜆00000

000000000000𝜆0000

0000000000000𝜆000

00000000000000𝜆00

000000000000000𝜆0

0000000000000000𝜆]

)

=

51

𝑑𝑒𝑡

(

[ 1 − 𝜆

0000000100000000

01 − 𝜆

000000100000000

00

1 − 𝜆00000100000000

000

1 − 𝜆0000100000000

0000

1 − 𝜆000100000000

00000

1 − 𝜆00100000000

000000

1 − 𝜆0100000000

0000000

1 − 𝜆100000000

11111111

16 − 𝜆11111111

000000001

1 − 𝜆0000000

0000000010

1 − 𝜆000000

00000000100

1 − 𝜆00000

000000001000

1 − 𝜆0000

0000000010000

1 − 𝜆000

00000000100000

1 − 𝜆00

000000001000000

1 − 𝜆0

0000000010000000

1 − 𝜆]

)


𝑝(𝜆) = −𝜆(𝜆 − 1)15(𝜆 − 17)




dan 𝑚(𝜆3) = 1.


sebagai berikut

𝑺𝒑𝒆𝒄𝑳+(𝛤(𝑍34)) = [01

115

171

]



Dari spektrum yang telah ditemukan, diperoleh bentuk polinomial

karakteristik dan spektrum Laplace graf pembagi nol dari ring komutatif 𝑍2𝑝

diantaranya

52

Tabel 3.7 Polinomial Karakteristik Matriks Laplace dari Beberapa Graf Pembagi Nol dari Ring

Komutatif 𝒁𝟐𝒑

𝑝 Ring Komutatif 𝑍2𝑝 , 𝑝 > 2 Polinomial Karakteristik Matriks Laplace

3 𝑍6 −𝜆(𝜆 − 1)(𝜆 − 3)

5 𝑍10 −𝜆(𝜆 − 1)3(𝜆 − 5)

7 𝑍14 −𝜆(𝜆 − 1)5(𝜆 − 7)

11 𝑍22 −𝜆(𝜆 − 1)9(𝜆 − 11)

13 𝑍26 −𝜆(𝜆 − 1)11(𝜆 − 13)

17 𝑍34 −𝜆(𝜆 − 1)15(𝜆 − 17)

⋮

𝑝 𝑍2𝑝 𝑝(𝜆) = −𝜆(𝜆 − 1)𝑝−2(𝜆 − 𝑝)

Tabel 3.8 Spektrum Laplace dari Beberapa Graf Pembagi Nol dari Ring Komutatif 𝒁𝟐𝒑

𝑝 Ring Komutatif 𝑍2𝑝 , 𝑝 > 2 Spektrum Laplace

3 𝑍6 [01 11 31]

5 𝑍10 [01 13 51]

7 𝑍14 [01 15 71]

11 𝑍22 [01 19 111

]

13 𝑍26 [01

111

131

]

17 𝑍34 [01

115

171

]

⋮

𝑝 𝑍2𝑝 [01

1𝑝 − 2

𝑝1]

Teorema 1

Misalkan 𝑍2𝑝 merupakan ring bilangan bulat modulo 2𝑝, dengan 𝑝 prima

dan 𝑝 ≥ 3. Polinomial karakteristik matriks Laplace 𝑳 (𝛤(𝑍2𝑝)) adalah

𝑝(𝜆) = −𝜆(𝜆 − 1)𝑝−2(𝜆 − 𝑝)

53

Bukti

Misalkan (𝑍2𝑝, +,⋅) untuk 𝑝 ≥ 3 dengan 𝑝 prima adalah ring komutatif

dengan unsur kesatuan yaitu 1 terhadap operasi kedua (⋅). Unsur pada

himpunan bilangan bulat modulo 2𝑝 adalah 0, 1, 2, ⋯ , 2𝑝 − 1 . Maka

diperoleh himpunan pembagi nol pada bilangan bulat modulo 2𝑝 yaitu

𝑍(𝑍2𝑝) = {2, 4, 6, ⋯ , 2𝑝 − 2 , ��}. Kemudian unsur-unsur dari 𝑍(𝑍2𝑝) akan

membentuk titik pada graf sederhana dengan order 𝑝. Dua unsur dari 𝛧(𝑍2𝑝)

yang hasil perkaliannya 0 akan terhubung langsung. Sesuai definisi graf

pembagi nol, maka diperoleh graf 𝛤(𝑍2𝑝) sebagai berikut.

Sehingga akan diperoleh matriks adjacency titik dari 𝛤(𝑍2𝑝) sebagai berikut

2 ⋯ 𝑝 − 1 �� 𝑝 + 1 ⋯ 2𝑝 − 2

𝑨 (𝛤(𝑍2𝑝)) =

2⋮

𝑝 − 1

��

𝑝 + 1

⋮2𝑝 − 2 [

0⋮010⋮0

⋯

⋯⋯⋯

⋯

0⋮010⋮0

1⋮101⋮1

0⋮010⋮0

⋯

⋯⋯⋯

⋯

0⋮010⋮0]

dan matriks derajat dari 𝛤(𝑍2𝑝) adalah

54

2 ⋯ 𝑝 − 1 �� 𝑝 + 1 ⋯ 2𝑝 − 2

𝑫 (𝛤(𝑍2𝑝)) =

2⋮

𝑝 − 1

��

𝑝 + 1

⋮2𝑝 − 2 [

1⋮000⋮0

⋯

⋯⋯⋯

⋯

0⋮100⋮0

0⋮0

𝑝 − 10⋮0

0⋮001⋮0

⋯

⋯⋯⋯

⋯

0⋮000⋮1]

Matriks Laplace graf pembagi nol dari ring komutatif 𝑍2𝑝 adalah sebagai

berikut

2 ⋯ 𝑝 − 1 �� 𝑝 + 1 ⋯ 2𝑝 − 2

𝑳 (𝛤(𝑍2𝑝)) =

2⋮

𝑝 − 1

��

𝑝 + 1

⋮2𝑝 − 2 [

1⋮0

−10⋮0

⋯

⋯⋯⋯

⋯

0⋮1

−10⋮0

−1⋮

−1𝑝 − 1−1⋮

−1

0⋮0

−11⋮0

⋯

⋯⋯⋯

⋯

0⋮0

−10⋮1 ]

Polinomial karakteristik 𝑳 (𝛤(𝑍2𝑝)) diperoleh dari det (𝑳 (𝛤(𝑍2𝑝)) − 𝜆𝑰).

Dengan eliminasi Gauss pada 𝑳 (𝛤(𝑍2𝑝)) − 𝜆𝑰 diperoleh matriks segitiga

atas berikut

2 �� 2𝑝 − 2

2

𝑝

2𝑝 − 2 [ 1 − 𝜆

0

0

0

𝜆2 − 𝑝𝜆 +𝑝 − 1

2𝜆 − 1

0

00

𝜆(𝜆 − 1)(𝜆 − 𝑝)

𝜆2 − 𝑝𝜆 +𝑝 − 1

2 ]

Maka det (𝑳 (𝛤(𝑍2𝑝)) − 𝜆𝑰) tidak lain adalah perkalian matriks segitiga

atas. Maka diperoleh polinomial karakteristik dari 𝑳 (𝛤(𝑍2𝑝)) adalah

𝑝(𝜆) = −𝜆(𝜆 − 1)𝑝−2(𝜆 − 𝑝)

55

Teorema 2


dan 𝑝 ≥ 3. Spektrum Laplace 𝑳 (𝛤(𝑍2𝑝)) adalah

𝑺𝒑𝒆𝒄𝑳(𝛤(𝑍2𝑝))

= [01

1𝑝 − 2

𝑝1]

Bukti

Berdasarkan teorema 1, polinomial karakteristik dari 𝑳 (𝛤(𝑍2𝑝)), 𝑝 prima

dan 𝑝 ≥ 3 adalah

𝑝(𝜆) = −𝜆(𝜆 − 1)𝑝−2(𝜆 − 𝑝)

Dengan menetapkan 𝑝(𝜆) = 0 maka diperoleh 𝜆1 = 0, 𝜆2 = 1 dan 𝜆3 = 1

dan diperoleh multiplisitasnya 𝑚(𝜆1) = 1, 𝑚(𝜆2) = 𝑝 − 2 dan 𝑚(𝜆3) = 1.

Spektrum Laplace graf pembagi nol dari ring komutatif 𝑍2𝑝 untuk 𝑝 prima



= [01

1𝑝 − 2

𝑝1]

Jadi, nilai Eigen dari matriks 𝑳 (𝛤(𝑍2𝑝)) adalah 0, 1 dan 𝑝. Sedangkan baris

yang tereduksi masing-masing sebanyak 1, 𝑝 − 2 dan 1.∎


karakteristik dan spektrum signless Laplace graf pembagi nol dari ring komutatif

𝑍2𝑝 diantaranya

56

Tabel 3.9 Polinomial Karakteristik Matriks signless Laplace dari Beberapa Graf Pembagi Nol dari

Ring Komutatif 𝒁𝟐𝒑

𝑝 Ring Komutatif 𝑍2𝑝 , 𝑝 > 2 Polinomial Karakteristik Matriks signless

Laplace

3 𝑍6 −𝜆(𝜆 − 1)(𝜆 − 3)

5 𝑍10 −𝜆(𝜆 − 1)3(𝜆 − 5)

7 𝑍14 −𝜆(𝜆 − 1)5(𝜆 − 7)

11 𝑍22 −𝜆(𝜆 − 1)9(𝜆 − 11)

13 𝑍26 −𝜆(𝜆 − 1)11(𝜆 − 13)

17 𝑍34 −𝜆(𝜆 − 1)15(𝜆 − 17)

⋮

𝑝 𝑍2𝑝 𝑝(𝜆) = −𝜆(𝜆 − 1)𝑝−2(𝜆 − 𝑝)

Tabel 3.10 Spektrum signless Laplace dari Beberapa Graf Pembagi Nol dari Ring Komutatif 𝒁𝟐𝒑

𝑝 Ring Komutatif 𝑍2𝑝 , 𝑝 > 2 Spektrum signless Laplace

3 𝑍6 [01 11 31]

5 𝑍10 [01 13 51]

7 𝑍14 [01 15 71]

11 𝑍22 [01 19 111

]

13 𝑍26 [01

111

131

]

17 𝑍34 [01

115

171

]

⋮

𝑝 𝑍2𝑝 [01

1𝑝 − 2

𝑝1]

Teorema 3


dan 𝑝 ≥ 3. Polinomial karakteristik matriks signless Laplace 𝑳+ (𝛤(𝑍2𝑝))

adalah

𝑝(𝜆) = −𝜆(𝜆 − 1)𝑝−2(𝜆 − 𝑝)

57

Bukti






membentuk titik pada graf sederhana dengan order 𝑝. Dua unsur dari 𝛧(𝑍2𝑝)

yang hasil perkaliannya 0 akan terhubung langsung. Sesuai definisi graf

pembagi nol, maka diperoleh graf 𝛤(𝑍2𝑝) seperti pada teorema 1. Sehingga

akan diperoleh matriks adjacency titik dari 𝛤(𝑍2𝑝) sebagai berikut

2 ⋯ 𝑝 − 1 �� 𝑝 + 1 ⋯ 2𝑝 − 2

𝑨 (Γ(𝑍2𝑝)) =

2⋮

𝑝 − 1

��

𝑝 + 1

⋮2𝑝 − 2 [

0⋮010⋮0

⋯

⋯⋯⋯

⋯

0⋮010⋮0

1⋮101⋮1

0⋮010⋮0

⋯

⋯⋯⋯

⋯

0⋮010⋮0]


2 ⋯ 𝑝 − 1 �� 𝑝 + 1 ⋯ 2𝑝 − 2

𝑫 (Γ(𝑍2𝑝)) =

2⋮

𝑝 − 1

��

𝑝 + 1

⋮2𝑝 − 2 [

1⋮000⋮0

⋯

⋯⋯⋯

⋯

0⋮100⋮0

0⋮0

𝑝 − 10⋮0

0⋮001⋮0

⋯

⋯⋯⋯

⋯

0⋮000⋮1]

Matriks signless Laplace graf pembagi nol dari ring komutatif 𝑍2𝑝 adalah

sebagai berikut

58

2 ⋯ 𝑝 − 1 �� 𝑝 + 1 ⋯ 2𝑝 − 2

𝑳+ (Γ(𝑍2𝑝)) =

2⋮

𝑝 − 1

��

𝑝 + 1

⋮2𝑝 − 2 [

1⋮010⋮0

⋯

⋯⋯⋯

⋯

0⋮110⋮0

1⋮1

𝑝 − 11⋮1

0⋮011⋮0

⋯

⋯⋯⋯

⋯

0⋮010⋮1]

Polinomial karakteristik 𝑳+ (𝛤(𝑍2𝑝)) diperoleh dari det (𝑳+ (𝛤(𝑍2𝑝)) −

𝜆𝑰). Dengan eliminasi Gauss pada 𝑳+ (𝛤(𝑍2𝑝)) − 𝜆𝑰 diperoleh matriks

segitiga atas berikut

2 �� 2𝑝 − 2

2

𝑝

2𝑝 − 2 [ 1 − 𝜆

0

0

0

𝜆2 − 𝑝𝜆 +𝑝 − 1

2𝜆 − 1

0

00

𝜆(𝜆 − 1)(𝜆 − 𝑝)

𝜆2 − 𝑝𝜆 +𝑝 − 1

2 ]

Maka det (𝑳+ (𝛤(𝑍2𝑝)) − 𝜆𝑰) tidak lain adalah perkalian matriks segitiga

atas. Maka diperoleh polinomial karakteristik dari 𝑳+ (𝛤(𝑍2𝑝)) adalah

𝑝(𝜆) = −𝜆(𝜆 − 1)𝑝−2(𝜆 − 𝑝)

Teorema 4


dan 𝑝 ≥ 3. Spektrum Laplace 𝑳+ (𝛤(𝑍2𝑝)) adalah

𝑺𝒑𝒆𝒄𝑳+(𝛤(𝑍2𝑝))

= [01

1𝑝 − 2

𝑝1]

Bukti

Berdasarkan teorema 3, polinomial karakteristik dari 𝑳+ (𝛤(𝑍2𝑝)), 𝑝 prima


𝑝(𝜆) = −𝜆(𝜆 − 1)𝑝−2(𝜆 − 𝑝)

59

Dengan menetapkan 𝑝(𝜆) = 0 maka diperoleh 𝜆1 = 0, 𝜆2 = 1 dan 𝜆3 = 1

dan diperoleh multiplisitasnya 𝑚(𝜆1) = 1, 𝑚(𝜆2) = 𝑝 − 2 dan 𝑚(𝜆3) = 1.

Spektrum signless Laplace graf pembagi nol dari ring komutatif 𝑍2𝑝 untuk

𝑝 prima dan 𝑝 ≥ 3 adalah


= [01

1𝑝 − 2

𝑝1]

Jadi, nilai Eigen dari matriks 𝑳+ (𝛤(𝑍2𝑝)) adalah 0, 1 dan 𝑝. Sedangkan

baris yang tereduksi masing-masing sebanyak 1, 𝑝 − 2 dan 1.∎

3.2 Spektrum Adjacency Titik, Laplace, dan Signless Laplace pada

Komplemen Graf Pembagi Nol dari Ring Komutatif dengan Unsur

Kesatuan 𝒁𝟐𝒑

3.2.1 Ring Komutatif dengan Unsur Kesatuan 𝒁𝟔

Komplemen dari 𝛤(𝑍6) disimbolkan dengan 𝛤(𝑍6) merupakan graf yang

memuat himpunan titik 𝑉(𝛤(𝑍6) ) dengan dua titik akan terhubung langsung di

𝛤(𝑍6) jika dan hanya jika kedua titik tersebut tidak terhubung langsung di 𝛤(𝑍6).

Sehingga 𝑉(𝛤(𝑍6) ) = {2, 3, 4} dan komplemen graf pembagi nol ring komutatif

𝛤(𝑍6) ditunjukkan pada gambar 3.7.

Gambar 3.7 Gambar Komplemen Graf Pembagi Nol 𝜞(𝒁𝟔)

60

Dari Gambar 3.7 dapat diperoleh matriks adjacency titik dari 𝛤(𝑍6) sebagai

berikut

𝑨(𝛤(𝑍6) ) = [001 000 100]

det(𝑨(𝛤(𝑍6) ) − 𝜆𝐼) = 𝑑𝑒𝑡 ([001 000 100] − [

𝜆00 0𝜆0 00𝜆]) =

𝑑𝑒𝑡 ([−𝜆01

0

−𝜆0

10

−𝜆])




Sehingga polinomial karakteristik 𝑨(𝛤(𝑍6) ) diperoleh dari perkalian diagonal


𝑝(𝜆) = (−𝜆)2 (−𝜆2 − 1

𝜆) = −𝜆(𝜆 + 1)(𝜆 − 1)

Dengan menetapkan 𝑝(𝜆) = 0 maka diperoleh 𝜆1 = 0, 𝜆2 = −1 dan 𝜆3 = 1.


Untuk 𝜆1 = 0 disubstitusikan ke dalam (𝑨(𝛤(𝑍6) ) − 𝜆𝐼), sehingga diperoleh

61

[001 000 100]



sebagai berikut


Untuk 𝜆2 = −1 disubstitusikan ke dalam (𝑨(𝛤(𝑍6) ) − 𝜆𝐼), sehingga diperoleh

[101 010 101]



sebagai berikut


Untuk 𝜆3 = 1 disubstitusikan ke dalam (𝑨(𝛤(𝑍6) ) − 𝜆𝐼), sehingga diperoleh

[−101

0

−10

10

−1]

62



sebagai berikut


Dengan demikian terbentuklah spektrum adjacency titik dari 𝛤(𝑍6) sebagai

berikut

𝑺𝒑𝒆𝒄𝑨(𝛤(𝑍6) ) = [01 −11

11]

Jadi, nilai Eigen dari matriks 𝑨(𝛤(𝑍6) ) adalah 0, -1 dan 1. Sedangkan baris yang

tereduksi masing-masing sebanyak 1, 1 dan 1.

Selanjutnya dari Gambar 3.7 dapat diperoleh matriks derajat dari 𝛤(𝑍6)

sebagai berikut

𝑫(𝛤(𝑍6) ) = [100 000 001]


𝑳(𝛤(𝑍6) ) = 𝑫(𝛤(𝑍6) ) − 𝑨(𝛤(𝑍6) ) = [10

−1 000 −101

]

det(𝑳(𝛤(𝑍6) ) − 𝜆𝐼) = 𝑑𝑒𝑡 ([10

−1 000 −101

] − [𝜆00 0𝜆0 00𝜆]) =

63

𝑑𝑒𝑡 ([1 − 𝜆

0−1

0

−𝜆0

−10

1 − 𝜆])




Sehingga polinomial karakteristik 𝑳(𝛤(𝑍6) ) diperoleh dari perkalian diagonal


𝑝(𝜆) = (−𝜆)(1 − 𝜆) (−𝜆(−2 + 𝜆)

𝜆 − 1) = −𝜆2(𝜆 − 2)

Dengan menetapkan 𝑝(𝜆) = 0 maka diperoleh 𝜆1 = 0 dan 𝜆2 = 2. Kemudian akan

dicari multiplisitas dari nilai eigen tersebut.

Untuk 𝜆1 = 0 disubstitusikan ke dalam (𝑳(𝛤(𝑍6) ) − 𝜆𝐼), sehingga diperoleh

[10

−1 000 −101

]



sebagai berikut

64


Untuk 𝜆2 = 2 disubstitusikan ke dalam (𝑳(𝛤(𝑍6) ) − 𝜆𝐼), sehingga diperoleh

[−10

−1

0−20

−10

−1]



sebagai berikut



𝑺𝒑𝒆𝒄𝑳(𝛤(𝑍6) ) = [02 21]

Jadi, nilai Eigen dari matriks 𝑳(𝛤(𝑍6) ) adalah 0 dan 2. Sedangkan baris yang

tereduksi masing-masing sebanyak 2 dan 1.



65

𝑳+(𝛤(𝑍6) ) = 𝑫(𝛤(𝑍6) ) + 𝑨(𝛤(𝑍6) ) = [101 000 101]

det(𝑳+(𝛤(𝑍6) ) − 𝜆𝐼) = 𝑑𝑒𝑡 ([101 000 101] − [

𝜆00 0𝜆0 00𝜆]) =

𝑑𝑒𝑡 ([1 − 𝜆

01

0

−𝜆0

10

1 − 𝜆])




Sehingga polinomial karakteristik 𝑳+(𝛤(𝑍6) ) diperoleh dari perkalian diagonal


𝑝(𝜆) = (−𝜆)(1 − 𝜆) (−𝜆(−2 + 𝜆)

𝜆 − 1) = −𝜆2(𝜆 − 2)

Dengan menetapkan 𝑝(𝜆) = 0 maka diperoleh 𝜆1 = 0 dan 𝜆2 = 2. Kemudian akan

dicari multiplisitas dari nilai eigen tersebut.

Untuk 𝜆1 = 0 disubstitusikan ke dalam (𝑳+(𝛤(𝑍6) ) − 𝜆𝐼), sehingga diperoleh

[101 000 101]

66



sebagai berikut


Untuk 𝜆2 = 2 disubstitusikan ke dalam (𝑳+(𝛤(𝑍6) ) − 𝜆𝐼), sehingga diperoleh

[−101

0

−20

10

−1]



sebagai berikut



𝑺𝒑𝒆𝒄𝑳+(𝛤(𝑍6) ) = [02 21]

Jadi, nilai Eigen dari matriks 𝑳+(𝛤(𝑍6) ) adalah 0 dan 2. Sedangkan baris yang


67

3.2.2 Ring Komutatif dengan Unsur Kesatuan 𝒁𝟏𝟎




Sehingga 𝑉(𝛤(𝑍10) ) = {2, 4, 5, 6, 8} dan komplemen graf pembagi nol ring

komutatif 𝛤(𝑍10) ditunjukkan pada gambar 3.8.

Gambar 3.8 Gambar Komplemen Graf Pembagi Nol 𝜞(𝒁𝟏𝟎)


berikut

𝑨(𝛤(𝑍10) ) =

[ 01011

10011

00000

11001

11010]

det(𝑨(𝛤(𝑍10) ) − 𝜆𝐼) = 𝑑𝑒𝑡

(

[ 01011

10011

00000

11001

11010]

−

[ 𝜆0000

0𝜆000

00𝜆00

000𝜆0

0000𝜆]

)

=

68

𝑑𝑒𝑡

(

[ −𝜆1011

1−𝜆011

00

−𝜆00

110

−𝜆1

1101

−𝜆]

)






𝑝(𝜆) = (−𝜆)2 (−𝜆2 − 1

𝜆)(−

𝜆2 − 𝜆 − 2

𝜆 − 1)(−

𝜆2 − 2𝜆 − 3

𝜆 − 2) = −𝜆(𝜆 + 1)3(𝜆 − 3)



masing-masing nilai Eigen dari matriks tersebut, yaitu 𝑚(𝜆1) = 1, 𝑚(𝜆2) = 3 dan

𝑚(𝜆3) = 1.


berikut

𝑺𝒑𝒆𝒄𝑨(𝛤(𝑍10) ) = [01 −13

31]

69




sebagai berikut

𝑫(𝛤(𝑍10) ) =

[ 30000

03000

00000

00030

00003]


𝑳(𝛤(𝑍10) ) = 𝑫(𝛤(𝑍10) ) − 𝑨(𝛤(𝑍10) ) =

[

3−10

−1−1

−130

−1−1

00000

−1−103

−1

−1−1013 ]

det(𝑳(𝛤(𝑍10) ) − 𝜆𝐼) = 𝑑𝑒𝑡

(

[

3−10

−1−1

−130

−1−1

00000

−1−103

−1

−1−1013 ]

−

[ 𝜆0000

0𝜆000

00𝜆00

000𝜆0

0000𝜆]

)

=

𝑑𝑒𝑡

(

[ 3 − 𝜆−10

−1−1

−13 − 𝜆

0−1−1

00000

−1−10

3 − 𝜆−1

−1−101

3 − 𝜆]

)




70



𝑝(𝜆) = −𝜆2(𝜆 − 4)3

Dengan menetapkan 𝑝(𝜆) = 0 maka diperoleh 𝜆1 = 0 dan 𝜆2 = 4. Dengan cara

yang sama pada ring komutatif 𝑍6 dapat ditentukan multiplisitas masing-masing

nilai Eigen dari matriks tersebut, yaitu 𝑚(𝜆1) = 2 dan 𝑚(𝜆2) = 3.


berikut

𝑺𝒑𝒆𝒄𝑳(𝛤(𝑍6) ) = [02 43]





𝑳+(𝛤(𝑍10) ) = 𝑫(𝛤(𝑍10) ) + 𝑨(𝛤(𝑍10) ) =

[ 31011

13011

00000

11031

11013]

71

det(𝑳+(𝛤(𝑍6) ) − 𝜆𝐼) = 𝑑𝑒𝑡

(

[ 31011

13011

00000

11031

11013]

−

[ 𝜆0000

0𝜆000

00𝜆00

000𝜆0

0000𝜆]

)

=

𝑑𝑒𝑡

(

[ 3 − 𝜆

1011

13 − 𝜆

011

00000

110

3 − 𝜆1

1101

3 − 𝜆]

)






𝑝(𝜆) = −𝜆(𝜆 − 2)3(𝜆 − 6)

Dengan menetapkan 𝑝(𝜆) = 0 maka diperoleh 𝜆1 = 0, 𝜆2 = 2 dan 𝜆3 = 6. Dengan

cara yang sama pada ring komutatif 𝑍6 dapat ditentukan multiplisitas masing-

masing nilai Eigen dari matriks tersebut, yaitu 𝑚(𝜆1) = 1, 𝑚(𝜆2) = 3 dan

𝑚(𝜆3) = 1.


berikut

72

𝑺𝒑𝒆𝒄𝑳+(𝛤(𝑍10) ) = [01 23 61]

Jadi, nilai Eigen dari matriks 𝑳+(𝛤(𝑍10) ) adalah 0, 2 dan 6. Sedangkan baris yang


3.2.3 Ring Komutatif dengan Unsur Kesatuan 𝒁𝟏𝟒




Sehingga 𝑉(𝛤(𝑍14) ) = {2, 4, 6, 7, 8, 10 , 12 } dan komplemen graf pembagi nol ring

komutatif 𝛤(𝑍14) ditunjukkan pada gambar 3.9.

Gambar 3.9 Gambar Komplemen Graf Pembagi Nol 𝜞(𝒁𝟏𝟒)


berikut

𝑨(𝛤(𝑍14) ) =

[ 0110111

1010111

1100111

0000000

1110011

1110101

1110110]

73

det(𝑨(𝛤(𝑍14) ) − 𝜆𝐼) = 𝑑𝑒𝑡

(

[ 0110111

1010111

1100111

0000000

1110011

1110101

1110110]

−

[ 𝜆000000

0𝜆00000

00𝜆0000

000𝜆000

0000𝜆00

00000𝜆0

000000𝜆]

)

=

𝑑𝑒𝑡

(

[ −𝜆110111

1−𝜆10111

11

−𝜆0111

000

−𝜆000

1110

−𝜆11

11101

−𝜆1

111011

−𝜆]

)






𝑝(𝜆) = −𝜆(𝜆 + 1)5(𝜆 − 5)




𝑚(𝜆3) = 1.

74


berikut

𝑺𝒑𝒆𝒄𝑨(𝛤(𝑍14) ) = [01 −15

51]




sebagai berikut

𝑫(𝛤(𝑍14) ) =

[ 5000000

0500000

0050000

0000000

0000500

0000050

0000005]


𝑳(𝛤(𝑍14) ) = 𝑫(𝛤(𝑍14) ) − 𝑨(𝛤(𝑍14) ) =

[

5−1−10

−1−1−1

−15

−10

−1−1−1

−1−150

−1−1−1

0000000

−1−1−105

−1−1

−1−1−10

−15

−1

−1−1−10

−1−15 ]

det(𝑳(𝛤(𝑍10) ) − 𝜆𝐼) =

𝑑𝑒𝑡

(

[

5−1−10

−1−1−1

−15

−10

−1−1−1

−1−150

−1−1−1

0000000

−1−1−105

−1−1

−1−1−10

−15

−1

−1−1−10

−1−15 ]

−

[ 𝜆000000

0𝜆00000

00𝜆0000

000𝜆000

0000𝜆00

00000𝜆0

000000𝜆]

)

=

75

𝑑𝑒𝑡

(

[ 5 − 𝜆−1−10

−1−1−1

−15 − 𝜆−10

−1−1−1

−1−1

5 − 𝜆0

−1−1−1

000

−𝜆000

−1−1−10

5 − 𝜆−1−1

−1−1−10

−15 − 𝜆−1

−1−1−10

−1−1

5 − 𝜆]

)






𝑝(𝜆) = −𝜆2(𝜆 − 6)5





berikut

𝑺𝒑𝒆𝒄𝑳(𝛤(𝑍14) ) = [02 65]



76



𝑳+(𝛤(𝑍14) ) = 𝑫(𝛤(𝑍14) ) + 𝑨(𝛤(𝑍14) ) =

[ 5110111

1510111

1150111

0000000

1110511

1110151

1110115]

det(𝑳+(𝛤(𝑍14) ) − 𝜆𝐼) = 𝑑𝑒𝑡

(

[ 5110111

1510111

1150111

0000000

1110511

1110151

1110115]

−

[ 𝜆000000

0𝜆00000

00𝜆0000

000𝜆000

0000𝜆00

00000𝜆0

000000𝜆]

)

=

𝑑𝑒𝑡

(

[ 5 − 𝜆

110111

15 − 𝜆

10111

11

5 − 𝜆0111

000

−𝜆000

1110

5 − 𝜆11

11101

5 − 𝜆1

111011

5 − 𝜆]

)




77



𝑝(𝜆) = −𝜆(𝜆 − 4)5(𝜆 − 10)

Dengan menetapkan 𝑝(𝜆) = 0 maka diperoleh 𝜆1 = 0, 𝜆2 = 4 dan 𝜆3 = 10.



𝑚(𝜆3) = 1.


berikut

𝑺𝒑𝒆𝒄𝑳+(𝛤(𝑍14) ) = [01 45 101

]



3.2.4 Ring Komutatif dengan Unsur Kesatuan 𝒁𝟐𝟐


memuat himpunan titik 𝑉(𝛤(𝑍22)) dengan dua titik akan terhubung langsung di


Sehingga 𝑉(𝛤(𝑍22) ) = {2, 4, 6, 8, 10 , 11 , 12 , 14 , 16 , 18 , 20 } dan komplemen graf

pembagi nol ring komutatif 𝛤(𝑍22) ditunjukkan pada gambar 3.10.

78

Gambar 3.10 Gambar Komplemen Graf Pembagi Nol 𝜞(𝒁𝟏𝟒)

Dari Gambar 3.10 dapat diperoleh matriks adjacency titik dari 𝛤(𝑍22)

sebagai berikut

𝑨(𝛤(𝑍22) ) =

[ 01111011111

10111011111

11011011111

11101011111

11110011111

00000000000

11111001111

11111010111

11111011011

11111011101

11111011110]

det(𝑨(𝛤(𝑍22) ) − 𝜆𝐼) =

𝑑𝑒𝑡

(

[ 01111011111

10111011111

11011011111

11101011111

11110011111

00000000000

11111001111

11111010111

11111011011

11111011101

11111011110]

−

[ 𝜆0000000000

0𝜆000000000

00𝜆00000000

000𝜆0000000

0000𝜆000000

00000𝜆00000

000000𝜆0000

0000000𝜆000

00000000𝜆00

000000000𝜆0

0000000000𝜆]

)

=

79

𝑑𝑒𝑡

(

[ −𝜆1111011111

1−𝜆111011111

11

−𝜆11011111

111

−𝜆1011111

1111

−𝜆011111

00000

−𝜆00000

111110

−𝜆1111

1111101

−𝜆111

11111011

−𝜆11

111110111

−𝜆1

1111101111

−𝜆]

)


𝑝(𝜆) = −𝜆(𝜆 + 1)9(𝜆 − 9)




𝑚(𝜆3) = 1.


berikut

𝑺𝒑𝒆𝒄𝑨(𝛤(𝑍22) ) = [01 −19

91]




sebagai berikut

𝑫(𝛤(𝑍22) ) =

[ 90000000000

09000000000

00900000000

00090000000

00009000000

00000000000

00000090000

00000009000

00000000900

00000000090

00000000009]

80


𝑳(𝛤(𝑍22) ) = 𝑫(𝛤(𝑍22) ) − 𝑨(𝛤(𝑍22) ) =

[ 91111011111

19111011111

11911011111

11191011111

11119011111

00000000000

11111091111

11111019111

11111011911

11111011191

11111011119]

det(𝑳(𝛤(𝑍22) ) − 𝜆𝐼) =

𝑑𝑒𝑡

(

[

9−1−1−1−10

−1−1−1−1−1

−19

−1−1−10

−1−1−1−1−1

−1−19

−1−10

−1−1−1−1−1

−1−1−19

−10

−1−1−1−1−1

−1−1−1−190

−1−1−1−1−1

00000000000

−1−1−1−1−109

−1−1−1−1

−1−1−1−1−10

−19

−1−1−1

−1−1−1−1−10

−1−19

−1−1

−1−1−1−1−10

−1−1−19

−1

−1−1−1−1−10

−1−1−1−19 ]

−

[ 𝜆0000000000

0𝜆000000000

00𝜆00000000

000𝜆0000000

0000𝜆000000

00000𝜆00000

000000𝜆0000

0000000𝜆000

00000000𝜆00

000000000𝜆0

0000000000𝜆]

)

=

𝑑𝑒𝑡

(

[ 9 − 𝜆−1−1−1−10

−1−1−1−1−1

−19 − 𝜆−1−1−10

−1−1−1−1−1

−1−1

9 − 𝜆−1−10

−1−1−1−1−1

−1−1−1

9 − 𝜆−10

−1−1−1−1−1

−1−1−1−1

9 − 𝜆0

−1−1−1−1−1

00000

−𝜆00000

−1−1−1−1−10

9 − 𝜆−1−1−1−1

−1−1−1−1−10

−19 − 𝜆−1−1−1

−1−1−1−1−10

−1−1

9 − 𝜆−1−1

−1−1−1−1−10

−1−1−1

9 − 𝜆−1

−1−1−1−1−10

−1−1−1−1

9 − 𝜆]

)


𝑝(𝜆) = −𝜆2(𝜆 − 10)9





berikut

𝑺𝒑𝒆𝒄𝑳(𝛤(𝑍22) ) = [02 109

]



81



𝑳+(𝛤(𝑍22) ) = 𝑫(𝛤(𝑍22) ) + 𝑨(𝛤(𝑍22) ) =

[ 91111011111

19111011111

11911011111

11191011111

11119011111

00000000000

11111091111

11111019111

11111011911

11111011191

11111011119]

det(𝑳+(𝛤(𝑍22) ) − 𝜆𝐼) =

𝑑𝑒𝑡

(

[ 91111011111

19111011111

11911011111

11191011111

11119011111

00000000000

11111091111

11111019111

11111011911

11111011191

11111011119]

−

[ 𝜆0000000000

0𝜆000000000

00𝜆00000000

000𝜆0000000

0000𝜆000000

00000𝜆00000

000000𝜆0000

0000000𝜆000

00000000𝜆00

000000000𝜆0

0000000000𝜆]

)

=

𝑑𝑒𝑡

(

[ 9 − 𝜆

1111011111

19 − 𝜆

111011111

11

9 − 𝜆11011111

111

9 − 𝜆1011111

1111

9 − 𝜆011111

00000

−𝜆00000

111110

9 − 𝜆1111

1111101

9 − 𝜆111

11111011

9 − 𝜆11

111110111

9 − 𝜆1

1111101111

9 − 𝜆]

)


𝑝(𝜆) = −𝜆(𝜆 − 8)9(𝜆 − 18)




𝑚(𝜆3) = 1.


berikut

𝑺𝒑𝒆𝒄𝑳+(𝛤(𝑍22) ) = [01 89 181

]

82



3.2.5 Ring Komutatif dengan Unsur Kesatuan 𝒁𝟐𝟔




Sehingga 𝑉(𝛤(𝑍26) ) = {2, 4, 6, 8, 10 , 12 , 13 , 14 , 16 , 18 , 20 , 22 , 24 } dan

komplemen graf pembagi nol ring komutatif 𝛤(𝑍26) ditunjukkan pada gambar 3.11.

Gambar 3.11 Gambar Komplemen Graf Pembagi Nol 𝜞(𝒁𝟐𝟔)


sebagai berikut

𝑨(𝛤(𝑍26) ) =

[ 0111110111111

1011110111111

1101110111111

1110110111111

1111010111111

1111100111111

0000000000000

1111110011111

1111110101111

1111110110111

1111110111011

1111110111101

1111110111110]

83

det(𝑨(𝛤(𝑍26) ) − 𝜆𝐼) =

𝑑𝑒𝑡

(

[ 0111110111111

1011110111111

1101110111111

1110110111111

1111010111111

1111100111111

0000000000000

1111110011111

1111110101111

1111110110111

1111110111011

1111110111101

1111110111110]

−

[ 𝜆000000000000

0𝜆00000000000

00𝜆0000000000

000𝜆000000000

0000𝜆00000000

00000𝜆0000000

000000𝜆000000

0000000𝜆00000

00000000𝜆0000

000000000𝜆000

0000000000𝜆00

00000000000𝜆0

000000000000𝜆]

)

=

𝑑𝑒𝑡

(

[ −𝜆111110111111

1−𝜆11110111111

11

−𝜆1110111111

111

−𝜆110111111

1111

−𝜆10111111

11111

−𝜆0111111

000000

−𝜆000000

1111110

−𝜆11111

11111101

−𝜆1111

111111011

−𝜆111

1111110111

−𝜆11

11111101111

−𝜆1

111111011111

−𝜆]

)

Hasil dari det (𝑨 − 𝜆𝐼) dapat diperoleh menggunakan aplikasi Maple 18 yaitu

𝑝(𝜆) = −𝜆(𝜆 + 1)11(𝜆 − 11)



masing-masing nilai Eigen dari matriks tersebut, yaitu 𝑚(𝜆1) = 1, 𝑚(𝜆2) = 11

dan 𝑚(𝜆3) = 1.


berikut

𝑺𝒑𝒆𝒄𝑨(𝛤(𝑍26) ) = [01 −111

111

]




sebagai berikut

84

𝑫(𝛤(𝑍26) ) =

[ 11000000000000

01100000000000

00110000000000

00011000000000

00001100000000

00000110000000

0000000000000

00000001100000

00000000110000

00000000011000

00000000001100

00000000000110

00000000000011]


𝑳(𝛤(𝑍26) ) = 𝑫(𝛤(𝑍26) ) − 𝑨(𝛤(𝑍26) ) =

[ 11−1−1−1−1−10

−1−1−1−1−1−1

−111−1−1−1−10

−1−1−1−1−1−1

−1−111−1−1−10

−1−1−1−1−1−1

−1−1−111−1−10

−1−1−1−1−1−1

−1−1−1−111−10

−1−1−1−1−1−1

−1−1−1−1−1110

−1−1−1−1−1−1

0000000000000

−1−1−1−1−1−1011−1−1−1−1−1

−1−1−1−1−1−10

−111−1−1−1−1

−1−1−1−1−1−10

−1−111−1−1−1

−1−1−1−1−1−10

−1−1−111−1−1

−1−1−1−1−1−10

−1−1−1−111−1

−1−1−1−1−1−10

−1−1−1−1−111]

det(𝑳(𝛤(𝑍26) ) − 𝜆𝐼) =

𝑑𝑒𝑡

(

[ 11−1−1−1−1−10

−1−1−1−1−1−1

−111−1−1−1−10

−1−1−1−1−1−1

−1−111−1−1−10

−1−1−1−1−1−1

−1−1−111−1−10

−1−1−1−1−1−1

−1−1−1−111−10

−1−1−1−1−1−1

−1−1−1−1−1110

−1−1−1−1−1−1

0000000000000

−1−1−1−1−1−1011−1−1−1−1−1

−1−1−1−1−1−10

−111−1−1−1−1

−1−1−1−1−1−10

−1−111−1−1−1

−1−1−1−1−1−10

−1−1−111−1−1

−1−1−1−1−1−10

−1−1−1−111−1

−1−1−1−1−1−10

−1−1−1−1−111]

−

[ 𝜆000000000000

0𝜆00000000000

00𝜆0000000000

000𝜆000000000

0000𝜆00000000

00000𝜆0000000

000000𝜆000000

0000000𝜆00000

00000000𝜆0000

000000000𝜆000

0000000000𝜆00

00000000000𝜆0

000000000000𝜆]

)

=

𝑑𝑒𝑡

(

[ 11 − 𝜆

−1−1−1−1−10

−1−1−1−1−1−1

−111 − 𝜆

−1−1−1−10

−1−1−1−1−1−1

−1−1

11 − 𝜆−1−1−10

−1−1−1−1−1−1

−1−1−1

11 − 𝜆−1−10

−1−1−1−1−1−1

−1−1−1−1

11 − 𝜆−10

−1−1−1−1−1−1

−1−1−1−1−1

11 − 𝜆0

−1−1−1−1−1−1

000000

−𝜆000000

−1−1−1−1−1−10

11 − 𝜆−1−1−1−1−1

−1−1−1−1−1−10

−111 − 𝜆

−1−1−1−1

−1−1−1−1−1−10

−1−1

11 − 𝜆−1−1−1

−1−1−1−1−1−10

−1−1−1

11 − 𝜆−1−1

−1−1−1−1−1−10

−1−1−1−1

11 − 𝜆−1

−1−1−1−1−1−10

−1−1−1−1−1

11 − 𝜆]

)


𝑝(𝜆) = −𝜆2(𝜆 − 12)11

85





berikut

𝑺𝒑𝒆𝒄𝑳(𝛤(𝑍26) ) = [02 1211

]





𝑳+(𝛤(𝑍26) ) = 𝑫(𝛤(𝑍26) ) + 𝑨(𝛤(𝑍26) ) =

[ 11111110111111

11111110111111

11111110111111

11111110111111

11111110111111

11111110111111

0000000000000

11111101111111

11111101111111

11111101111111

11111101111111

11111101111111

11111101111111]

det(𝑳+(𝛤(𝑍26) ) − 𝜆𝐼) =

𝑑𝑒𝑡

(

[ 11111110111111

11111110111111

11111110111111

11111110111111

11111110111111

11111110111111

0000000000000

11111101111111

11111101111111

11111101111111

11111101111111

11111101111111

11111101111111]

−

[ 𝜆000000000000

0𝜆00000000000

00𝜆0000000000

000𝜆000000000

0000𝜆00000000

00000𝜆0000000

000000𝜆000000

0000000𝜆00000

00000000𝜆0000

000000000𝜆000

0000000000𝜆00

00000000000𝜆0

000000000000𝜆]

)

=

86

𝑑𝑒𝑡

(

[ 11 − 𝜆

111110111111

111 − 𝜆

11110111111

11

11 − 𝜆1110111111

111

11 − 𝜆110111111

1111

11 − 𝜆10111111

11111

11 − 𝜆0111111

000000

−𝜆000000

1111110

11 − 𝜆11111

11111101

11 − 𝜆1111

111111011

11 − 𝜆111

1111110111

11 − 𝜆11

11111101111

11 − 𝜆1

111111011111

11 − 𝜆]

)


𝑝(𝜆) = −𝜆(𝜆 − 10)11(𝜆 − 22)




dan 𝑚(𝜆3) = 1.


berikut

𝑺𝒑𝒆𝒄𝑳+(𝛤(𝑍26) ) = [01 1011

221

]

Jadi, nilai Eigen dari matriks 𝑳+(𝛤(𝑍26) ) adalah 0, 10 dan 22. Sedangkan baris

yang tereduksi masing-masing sebanyak 1, 11 dan 1.

3.2.6 Ring Komutatif dengan Unsur Kesatuan 𝒁𝟑𝟒




Sehingga 𝑉(𝛤(𝑍34) ) = {2, 4, 6, 8, 10 , 12 , 14 , 16 , 17 , 18 , 20 , 22 , 24 , 26 , 28 , 30 , 32 } dan

komplemen graf pembagi nol ring komutatif 𝛤(𝑍34) ditunjukkan pada gambar 3.12.

87

Gambar 3.12 Gambar Komplemen Graf Pembagi Nol 𝜞(𝒁𝟑𝟒)


sebagai berikut

𝑨(𝛤(𝑍34) ) =

[ 01111111011111111

10111111011111111

11011111011111111

11101111011111111

11110111011111111

11111011011111111

11111101011111111

11111110011111111

00000000000000000

11111111001111111

11111111010111111

11111111011011111

11111111011101111

11111111011110111

11111111011111011

11111111011111101

11111111011111110]

det(𝑨(𝛤(𝑍34) ) − 𝜆𝐼) =

𝑑𝑒𝑡

(

[ 01111111011111111

10111111011111111

11011111011111111

11101111011111111

11110111011111111

11111011011111111

11111101011111111

11111110011111111

00000000000000000

11111111001111111

11111111010111111

11111111011011111

11111111011101111

11111111011110111

11111111011111011

11111111011111101

11111111011111110]

−

[ 𝜆0000000000000000

0𝜆000000000000000

00𝜆00000000000000

000𝜆0000000000000

0000𝜆000000000000

00000𝜆00000000000

000000𝜆0000000000

0000000𝜆000000000

00000000𝜆00000000

000000000𝜆0000000

0000000000𝜆000000

00000000000𝜆00000

000000000000𝜆0000

0000000000000𝜆000

00000000000000𝜆00

000000000000000𝜆0

0000000000000000𝜆]

)

=

88

𝑑𝑒𝑡

(

[ −𝜆1111111011111111

1−𝜆111111011111111

11

−𝜆11111011111111

111

−𝜆1111011111111

1111

−𝜆111011111111

11111

−𝜆11011111111

111111

−𝜆1011111111

1111111

−𝜆011111111

00000000

−𝜆00000000

111111110

−𝜆1111111

1111111101

−𝜆111111

11111111011

−𝜆11111

111111110111

−𝜆1111

1111111101111

−𝜆111

11111111011111

−𝜆11

111111110111111

−𝜆1

1111111101111111

−𝜆]

)

Hasil dari det (𝑨 − 𝜆𝐼) dapat diperoleh menggunakan aplikasi Maple 18 yaitu

𝑝(𝜆) = −𝜆(𝜆 + 1)15(𝜆 − 15)




dan 𝑚(𝜆3) = 1.


berikut

𝑺𝒑𝒆𝒄𝑨(𝛤(𝑍34) ) = [01 −115

151

]




sebagai berikut

89

𝑫(𝛤(𝑍34) ) =

[ 150000000000000000

015000000000000000

001500000000000000

000150000000000000

000015000000000000

000001500000000000

000000150000000000

000000015000000000

00000000000000000

000000000150000000

000000000015000000

000000000001500000

000000000000150000

000000000000015000

000000000000001500

000000000000000150

000000000000000015]


𝑳(𝛤(𝑍34) ) = 𝑫(𝛤(𝑍34) ) − 𝑨(𝛤(𝑍34) ) =

[ 151111111011111111

115111111011111111

111511111011111111

111151111011111111

111115111011111111

111111511011111111

111111151011111111

111111115011111111

00000000000000000

111111110151111111

111111110115111111

111111110111511111

111111110111151111

111111110111115111

111111110111111511

111111110111111151

111111110111111115]

det(𝑳(𝛤(𝑍34) ) − 𝜆𝐼) =

90

𝑑𝑒𝑡

(

[ 15−1−1−1−1−1−1−10

−1−1−1−1−1−1−1−1

−115−1−1−1−1−1−10

−1−1−1−1−1−1−1−1

−1−115−1−1−1−1−10

−1−1−1−1−1−1−1−1

−1−1−115−1−1−1−10

−1−1−1−1−1−1−1−1

−1−1−1−115−1−1−10

−1−1−1−1−1−1−1−1

−1−1−1−1−115−1−10

−1−1−1−1−1−1−1−1

−1−1−1−1−1−115−10

−1−1−1−1−1−1−1−1

−1−1−1−1−1−1−1150

−1−1−1−1−1−1−1−1

00000000000000000

−1−1−1−1−1−1−1−1015−1−1−1−1−1−1−1

−1−1−1−1−1−1−1−10

−115−1−1−1−1−1−1

−1−1−1−1−1−1−1−10

−1−115−1−1−1−1−1

−1−1−1−1−1−1−1−10

−1−1−115−1−1−1−1

−1−1−1−1−1−1−1−10

−1−1−1−115−1−1−1

−1−1−1−1−1−1−1−10

−1−1−1−1−115−1−1

−1−1−1−1−1−1−1−10

−1−1−1−1−1−115−1

−1−1−1−1−1−1−1−10

−1−1−1−1−1−1−115]

−

[ 𝜆0000000000000000

0𝜆000000000000000

00𝜆00000000000000

000𝜆0000000000000

0000𝜆000000000000

00000𝜆00000000000

000000𝜆0000000000

0000000𝜆000000000

00000000𝜆00000000

000000000𝜆0000000

0000000000𝜆000000

00000000000𝜆00000

000000000000𝜆0000

0000000000000𝜆000

00000000000000𝜆00

000000000000000𝜆0

0000000000000000𝜆]

)

=

𝑑𝑒𝑡

(

[ 15 − 𝜆

−1−1−1−1−1−1−10

−1−1−1−1−1−1−1−1

−115 − 𝜆

−1−1−1−1−1−10

−1−1−1−1−1−1−1−1

−1−1

15 − 𝜆−1−1−1−1−10

−1−1−1−1−1−1−1−1

−1−1−1

15 − 𝜆−1−1−1−10

−1−1−1−1−1−1−1−1

−1−1−1−1

15 − 𝜆−1−1−10

−1−1−1−1−1−1−1−1

−1−1−1−1−1

15 − 𝜆−1−10

−1−1−1−1−1−1−1−1

−1−1−1−1−1−1

15 − 𝜆−10

−1−1−1−1−1−1−1−1

−1−1−1−1−1−1−1

15 − 𝜆0

−1−1−1−1−1−1−1−1

00000000

−𝜆00000000

−1−1−1−1−1−1−1−10

15 − 𝜆−1−1−1−1−1−1−1

−1−1−1−1−1−1−1−10

−115 − 𝜆

−1−1−1−1−1−1

−1−1−1−1−1−1−1−10

−1−1

15 − 𝜆−1−1−1−1−1

−1−1−1−1−1−1−1−10

−1−1−1

15 − 𝜆−1−1−1−1

−1−1−1−1−1−1−1−10

−1−1−1−1

15 − 𝜆−1−1−1

−1−1−1−1−1−1−1−10

−1−1−1−1−1

15 − 𝜆−1−1

−1−1−1−1−1−1−1−10

−1−1−1−1−1−1

15 − 𝜆−1

−1−1−1−1−1−1−1−10

−1−1−1−1−1−1−1

15 − 𝜆]

)


𝑝(𝜆) = −𝜆2(𝜆 − 16)15




91


berikut

𝑺𝒑𝒆𝒄𝑳(𝛤(𝑍34) ) = [02 1615

]





𝑳+(𝛤(𝑍34) ) = 𝑫(𝛤(𝑍34) ) + 𝑨(𝛤(𝑍34) ) =

[ 151111111011111111

115111111011111111

111511111011111111

111151111011111111

111115111011111111

111111511011111111

111111151011111111

111111115011111111

00000000000000000

111111110151111111

111111110115111111

111111110111511111

111111110111151111

111111110111115111

111111110111111511

111111110111111151

111111110111111115]

det(𝑳+(𝛤(𝑍34) ) − 𝜆𝐼) =

𝑑𝑒𝑡

(

[ 151111111011111111

115111111011111111

111511111011111111

111151111011111111

111115111011111111

111111511011111111

111111151011111111

111111115011111111

00000000000000000

111111110151111111

111111110115111111

111111110111511111

111111110111151111

111111110111115111

111111110111111511

111111110111111151

111111110111111115]

−

[ 𝜆0000000000000000

0𝜆000000000000000

00𝜆00000000000000

000𝜆0000000000000

0000𝜆000000000000

00000𝜆00000000000

000000𝜆0000000000

0000000𝜆000000000

00000000𝜆00000000

000000000𝜆0000000

0000000000𝜆000000

00000000000𝜆00000

000000000000𝜆0000

0000000000000𝜆000

00000000000000𝜆00

000000000000000𝜆0

0000000000000000𝜆]

)

=

92

𝑑𝑒𝑡

(

[ 15 − 𝜆

1111111011111111

115 − 𝜆

111111011111111

11

15 − 𝜆11111011111111

111

15 − 𝜆1111011111111

1111

15 − 𝜆111011111111

11111

15 − 𝜆11011111111

111111

15 − 𝜆1011111111

1111111

15 − 𝜆011111111

00000000

−𝜆00000000

111111110

15 − 𝜆1111111

1111111101

15 − 𝜆111111

11111111011

15 − 𝜆11111

111111110111

15 − 𝜆1111

1111111101111

15 − 𝜆111

11111111011111

15 − 𝜆11

111111110111111

15 − 𝜆1

1111111101111111

15 − 𝜆]

)


𝑝(𝜆) = −𝜆(𝜆 − 14)15(𝜆 − 30)




dan 𝑚(𝜆3) = 1.

Dengan demikian terbentuklah spektrum Laplace dari Γ(Z34) sebagai

berikut

𝑺𝒑𝒆𝒄𝑳+(𝛤(𝑍34) ) = [01 1415

301

]

Jadi, nilai Eigen dari matriks 𝑳+(𝛤(𝑍34) ) adalah 0, 14 dan 30. Sedangkan baris

yang tereduksi masing-masing sebanyak 1, 15 dan 1.


karakteristik dan spektrum adjacency komplemen graf pembagi nol dari ring

komutatif 𝑍2𝑝 diantaranya

93

Tabel 3.11 Polinomial Karakteristik Matriks Adjacency dari Beberapa Komplemen Graf Pembagi

Nol dari Ring Komutatif 𝒁𝟐𝒑

𝑝 Ring Komutatif 𝑍2𝑝 , 𝑝 > 2 Polinomial Karakteristik Matriks Adjacency

3 𝑍6 −𝜆(𝜆 + 1)(𝜆 − 1)

5 𝑍10 −𝜆(𝜆 + 1)3(𝜆 − 3)

7 𝑍14 −𝜆(𝜆 + 1)5(𝜆 − 5)

11 𝑍22 −𝜆(𝜆 + 1)9(𝜆 − 9)

13 𝑍26 −𝜆(𝜆 + 1)11(𝜆 − 11)

17 𝑍34 −𝜆(𝜆 + 1)15(𝜆 − 15)

⋮

𝑝 𝑍2𝑝 𝑝(𝜆) = −𝜆(𝜆 + 1)𝑝−2(𝜆 − (𝑝 − 2))

Tabel 3.12 Spektrum Adjacency dari Beberapa Komplemen Graf Pembagi Nol dari Ring



3 𝑍6 [01 −11

11]

5 𝑍10 [01 −13

31]

7 𝑍14 [01 −15

51]

11 𝑍22 [01 −19

91]

13 𝑍26 [01 −111

111

]

17 𝑍34 [01 −115

151

]

⋮

𝑝 𝑍2𝑝 [01

1𝑝 − 2

𝑝 − 2

1]

Teorema 5


dan 𝑝 ≥ 3. Polinomial karakteristik matriks adjacency 𝑨(𝛤(𝑍2𝑝) ) adalah

𝑝(𝜆) = −𝜆(𝜆 + 1)𝑝−2(𝜆 − (𝑝 − 2))

94

Bukti





𝑍(𝑍2𝑝) = {2, 4, 6, ⋯ , 2𝑝 − 2 , ��}. Kemudian unsur-unsur dari Z(Z2p) akan

membentuk titik pada graf sederhana dengan order 𝑝. Sesuai definisi

komplemen graf pembagi nol, maka diperoleh graf 𝛤(𝑍2𝑝) sebagai berikut.

Sehingga akan diperoleh matriks adjacency titik dari 𝛤(𝑍2𝑝) sebagai berikut

2 ⋯ 𝑝 − 1 �� 𝑝 + 1 ⋯ 2𝑝 − 2

𝑨 (𝛤(𝑍2𝑝) ) =

2⋮

𝑝 − 1

��

𝑝 + 1

⋮2𝑝 − 2 [

1⋮101⋮1

⋯

⋯⋯⋯

⋯

1⋮101⋮1

0⋮000⋮0

1⋮101⋮1

⋯

⋯⋯⋯

⋯

1⋮101⋮1]

95

Polinomial karakteristik 𝑨(𝛤(𝑍2𝑝) ) diperoleh dari det (𝑨 (𝛤(𝑍2𝑝) ) − 𝜆𝑰).

Dengan eliminasi Gauss pada 𝑨(𝛤(𝑍2𝑝) ) − 𝜆𝑰 diperoleh matriks segitiga

atas berikut

2 �� 2𝑝 − 2

2

𝑝

2𝑝 − 2 [ −𝜆

0

0

0

−𝜆

0

00

𝜆2 − 𝑏𝜆 − 𝑐

𝜆 − 𝑑 ]

dengan 𝑏 = 0,… , (𝑝 − 3) ; 𝑐 = 1, … , (𝑝 − 2) ; 𝑑 = 0,… , (𝑝 − 3)

Maka det (𝑨 (𝛤(𝑍2𝑝) ) − 𝜆𝑰) tidak lain adalah perkalian matriks segitiga

atas. Maka diperoleh polinomial karakteristik dari 𝑨(𝛤(𝑍2𝑝) ) adalah

𝑝(𝜆) = −𝜆(𝜆 + 1)𝑝−2(𝜆 − (𝑝 − 2)).∎

Teorema 6


dan 𝑝 ≥ 3. Spektrum adjacency titik 𝑨(𝛤(𝑍2𝑝) ) adalah

𝑺𝒑𝒆𝒄𝑨(𝛤(𝑍2𝑝) )

= [01

1𝑝 − 2

𝑝 − 2

1]

Bukti

Berdasarkan teorema 5, polinomial karakteristik dari 𝑨(𝛤(𝑍2𝑝) ), 𝑝 prima


𝑝(𝜆) = −𝜆(𝜆 + 1)𝑝−2(𝜆 − (𝑝 − 2))

Dengan menetapkan 𝑝(𝜆) = 0 maka diperoleh 𝜆1 = 0, 𝜆2 = −1, dan 𝜆3 =

𝑝 − 2 dan diperoleh multiplisitasnya 𝑚(𝜆1) = 1, 𝑚(𝜆2) = 𝑝 − 2, dan

96

𝑚(𝜆3) = 1. Spektrum adjacency titik komplemen graf pembagi nol dari ring

komutatif 𝑍2𝑝 untuk 𝑝 prima dan 𝑝 ≥ 3 adalah


= [01

1𝑝 − 2

𝑝 − 2

1]

Jadi, nilai Eigen dari matriks 𝑨(𝛤(𝑍2𝑝) ) adalah 0, 1 dan 𝑝 − 2. Sedangkan

baris yang tereduksi masing-masing sebanyak 1, 𝑝 − 2 dan 1.∎


karakteristik dan spektrum Laplace komplemen graf pembagi nol dari ring

komutatif 𝑍2𝑝 diantaranya

Tabel 3.13 Polinomial Karakteristik Matriks Laplace dari Beberapa Komplemen Graf Pembagi

Nol dari Ring Komutatif 𝒁𝟐𝒑

𝑝 Ring Komutatif 𝑍2𝑝 , 𝑝 > 2 Polinomial Karakteristik Matriks Laplace

3 𝑍6 −𝜆2(𝜆 − 2)

5 𝑍10 −𝜆2(𝜆 − 4)3

7 𝑍14 −𝜆2(𝜆 − 6)5

11 𝑍22 −𝜆2(𝜆 − 10)9

13 𝑍26 −𝜆2(𝜆 − 12)11

17 𝑍34 −𝜆2(𝜆 − 16)15

⋮

𝑝 𝑍2𝑝 𝑝(𝜆) = −𝜆2(𝜆 − (𝑝 − 1))𝑝−2

Tabel 3.14 Spektrum Laplace dari Beberapa Komplemen Graf Pembagi Nol dari Ring Komutatif

𝒁𝟐𝒑


3 𝑍6 [02 21]

5 𝑍10 [02 43]

7 𝑍14 [02 65]

11 𝑍22 [02 109

]

97

13 𝑍26 [02 1211

]

17 𝑍34 [02 1615

]

⋮

𝑝 𝑍2𝑝 [02

𝑝 − 1𝑝 − 2

]

Teorema 7


dan 𝑝 ≥ 3. Polinomial karakteristik matriks Laplace 𝑳 (𝛤(𝑍2𝑝) ) adalah

𝑝(𝜆) = −𝜆2(𝜆 − (𝑝 − 1))𝑝−2

Bukti






membentuk titik pada graf sederhana dengan order 𝑝.Sesuai definisi

komplemen graf pembagi nol, maka diperoleh graf 𝛤(𝑍2𝑝) seperti pada

teorema 5. Sehingga akan diperoleh matriks adjacency titik dari 𝛤(𝑍2𝑝)

sebagai berikut

2 ⋯ 𝑝 − 1 �� 𝑝 + 1 ⋯ 2𝑝 − 2

𝑨 (𝛤(𝑍2𝑝) ) =

2⋮

𝑝 − 1

��

𝑝 + 1

⋮2𝑝 − 2 [

1⋮101⋮1

⋯

⋯⋯⋯

⋯

1⋮101⋮1

0⋮000⋮0

1⋮101⋮1

⋯

⋯⋯⋯

⋯

1⋮101⋮1]

98


2 ⋯ 𝑝 − 1 �� 𝑝 + 1 ⋯ 2𝑝 − 2

𝑫 (𝛤(𝑍2𝑝) ) =

2⋮

𝑝 − 1

��

𝑝 + 1

⋮2𝑝 − 2 [

𝑝 − 2

⋮000⋮0

⋯

⋯⋯⋯

⋯

0⋮

𝑝 − 200⋮0

0⋮000⋮0

0⋮00

𝑝 − 2⋮0

⋯

⋯⋯⋯

⋯

0⋮000⋮

𝑝 − 2]

Matriks Laplace komplemen graf pembagi nol dari ring komutatif 𝑍2𝑝

adalah sebagai berikut

2 ⋯ 𝑝 − 1 �� 𝑝 + 1 ⋯ 2𝑝 − 2

𝑳 (𝛤(𝑍2𝑝) ) =

2⋮

𝑝 − 1

��

𝑝 + 1

⋮2𝑝 − 2 [

𝑝 − 2

⋮−10

−1⋮

−1

⋯

⋯⋯⋯

⋯

−1⋮

𝑝 − 20

−1⋮

−1

0⋮000⋮0

−1⋮

−10

𝑝 − 2⋮

−1

⋯

⋯⋯⋯

⋯

−1⋮

−10

−1⋮

𝑝 − 2]

Polinomial karakteristik 𝑳 (𝛤(𝑍2𝑝) ) diperoleh dari det (𝑳 (𝛤(𝑍2𝑝) ) − 𝜆𝑰).

Dengan eliminasi Gauss pada 𝑳 (𝛤(𝑍2𝑝) ) − 𝜆𝑰 diperoleh matriks segitiga

atas berikut

2 ⋯ �� 𝑝 + 1 ⋯

2⋮��

𝑝 + 1

⋮ [ (𝑝 − 2) − 𝜆

⋮00⋮

⋯

−𝜆2 − 𝑏𝜆 + 𝑐

𝜆 − 𝑑⋯⋯

0⋮

−𝜆0⋮

0⋮0

−𝜆2 − 𝑏𝜆 + 𝑐

𝜆 − 𝑑⋮

⋯

⋯⋯

−𝜆 − (𝑝 − 1)

𝜆 − 𝑑 ]

dengan 𝑏 = 2𝑝 − 4, … , 𝑝 ; 𝑐 = 𝑘(𝑝 − 1), 𝑘 = 𝑝 − 3,… ,1 ; 𝑑 = 𝑝 −

2,… ,1

99

Maka det (𝑳 (𝛤(𝑍2𝑝) ) − 𝜆𝑰) tidak lain adalah perkalian matriks segitiga

atas. Maka diperoleh polinomial karakteristik dari 𝑳 (𝛤(𝑍2𝑝) ) adalah

𝑝(𝜆) = −𝜆2(𝜆 − (𝑝 − 1))𝑝−2

. ∎

Teorema 8


dan 𝑝 ≥ 3. Spektrum Laplace 𝑳 (𝛤(𝑍2𝑝) ) adalah

𝑺𝒑𝒆𝒄𝑳(𝛤(𝑍2𝑝) )

= [02

𝑝 − 1𝑝 − 2

]

Bukti

Berdasarkan teorema 7, polinomial karakteristik dari 𝑳 (𝛤(𝑍2𝑝) ), 𝑝 prima


𝑝(𝜆) = −𝜆2(𝜆 − (𝑝 − 1))𝑝−2

Dengan menetapkan 𝑝(𝜆) = 0 maka diperoleh 𝜆1 = 0 dan 𝜆2 = 𝑝 − 1 dan

diperoleh multiplisitasnya 𝑚(𝜆1) = 2 dan 𝑚(𝜆2) = 𝑝 − 2. Spektrum

Laplace komplemen graf pembagi nol dari ring komutatif 𝑍2𝑝 untuk 𝑝 prima



= [02

𝑝 − 1𝑝 − 2

]

Jadi, nilai Eigen dari matriks 𝑳 (𝛤(𝑍2𝑝) ) adalah 0 dan 𝑝 − 1. Sedangkan

baris yang tereduksi masing-masing sebanyak 2 dan 𝑝 − 2.∎


karakteristik dan spektrum signless Laplace komplemen graf pembagi nol dari ring

komutatif 𝑍2𝑝 diantaranya.

100

Tabel 3.15 Polinomial Karakteristik Matriks signless Laplace dari Beberapa Komplemen Graf

Pembagi Nol dari Ring Komutatif 𝒁𝟐𝒑

𝑝 Ring Komutatif

𝑍2𝑝 , 𝑝 > 2

Polinomial Karakteristik Matriks

signless Laplace

3 𝑍6 −𝜆2(𝜆 − 2)

5 𝑍10 −𝜆(𝜆 − 2)3(𝜆 − 6)

7 𝑍14 −𝜆(𝜆 − 4)5(𝜆 − 10)

11 𝑍22 −𝜆(𝜆 − 8)9(𝜆 − 18)

13 𝑍26 −𝜆(𝜆 − 10)11(𝜆 − 22)

17 𝑍34 −𝜆(𝜆 − 14)15(𝜆 − 30)

⋮

𝑝 𝑍2𝑝 𝑝(𝜆) = −𝜆(𝜆 − (𝑝 − 3))𝑝−2

(𝜆 − (2𝑝 − 4))

Tabel 3.16 Spektrum signless Laplace dari Beberapa Komplemen Graf Pembagi Nol dari Ring



3 𝑍6 [02 21]

5 𝑍10 [01 23 61]

7 𝑍14 [01 45 101

]

11 𝑍22 [01 89 181

]

13 𝑍26 [01 1011

221

]

17 𝑍34 [01 1415

301

]

⋮

𝑝 𝑍2𝑝 [01 𝑝 − 3𝑝 − 2

2𝑝 − 4

1]

Teorema 9


dan 𝑝 ≥ 5. Polinomial karakteristik matriks signless Laplace 𝑳+ (𝛤(𝑍2𝑝) )

adalah

101

𝑝(𝜆) = −𝜆(𝜆 − (𝑝 − 3))𝑝−2

(𝜆 − (2𝑝 − 4))

Bukti






membentuk titik pada graf sederhana dengan order 𝑝. Sesuai definisi

komplemen graf pembagi nol, maka diperoleh graf 𝛤(𝑍2𝑝) seperti pada

teorema 5. Sehingga akan diperoleh matriks adjacency titik dari 𝛤(𝑍2𝑝)

sebagai berikut

2 ⋯ 𝑝 − 1 �� 𝑝 + 1 ⋯ 2𝑝 − 2

𝑨 (𝛤(𝑍2𝑝) ) =

2⋮

𝑝 − 1

��

𝑝 + 1

⋮2𝑝 − 2 [

1⋮101⋮1

⋯

⋯⋯⋯

⋯

1⋮101⋮1

0⋮000⋮0

1⋮101⋮1

⋯

⋯⋯⋯

⋯

1⋮101⋮1]


2 ⋯ 𝑝 − 1 �� 𝑝 + 1 ⋯ 2𝑝 − 2

𝑫 (𝛤(𝑍2𝑝) ) =

2⋮

𝑝 − 1

��

𝑝 + 1

⋮2𝑝 − 2 [

𝑝 − 2

⋮000⋮0

⋯

⋯⋯⋯

⋯

0⋮

𝑝 − 200⋮0

0⋮000⋮0

0⋮00

𝑝 − 2⋮0

⋯

⋯⋯⋯

⋯

0⋮000⋮

𝑝 − 2]

Matriks signless Laplace komplemen graf pembagi nol dari ring komutatif

𝑍2𝑝 adalah sebagai berikut

102

2 ⋯ 𝑝 − 1 �� 𝑝 + 1 ⋯ 2𝑝 − 2

𝑳+ (𝛤(𝑍2𝑝) ) =

2⋮

𝑝 − 1

��

𝑝 + 1

⋮2𝑝 − 2 [

𝑝 − 2

⋮101⋮1

⋯

⋯⋯⋯

⋯

1⋮

𝑝 − 201⋮1

0⋮000⋮0

1⋮10

𝑝 − 2⋮1

⋯

⋯⋯⋯

⋯

1⋮101⋮

𝑝 − 2]

Polinomial karakteristik 𝑳+ (𝛤(𝑍2𝑝) ) diperoleh dari det (𝑳+ (𝛤(𝑍2𝑝) ) −

𝜆𝑰). Dengan eliminasi Gauss pada 𝑳+ (𝛤(𝑍2𝑝) ) − 𝜆𝑰 diperoleh matriks

segitiga atas. Maka det (𝑳+ (𝛤(𝑍2𝑝) ) − 𝜆𝑰) tidak lain adalah perkalian

matriks segitiga atas. Maka diperoleh polinomial karakteristik dari

𝑳+ (𝛤(𝑍2𝑝) ) adalah

𝑝(𝜆) = −𝜆(𝜆 − (𝑝 − 3))𝑝−2

(𝜆 − (2𝑝 − 4)).∎

Teorema 10


dan 𝑝 ≥ 5. Spektrum signless Laplace 𝑳+ (𝛤(𝑍2𝑝) ) adalah

𝑺𝒑𝒆𝒄𝑳+(𝛤(𝑍2𝑝) )

= [01 𝑝 − 3𝑝 − 2

2𝑝 − 4

1]

Bukti

Berdasarkan teorema 9, polinomial karakteristik dari 𝑳+ (𝛤(𝑍2𝑝) ), 𝑝 prima


𝑝(𝜆) = −𝜆(𝜆 − (𝑝 − 3))𝑝−2

(𝜆 − (2𝑝 − 4))

Dengan menetapkan 𝑝(𝜆) = 0 maka diperoleh 𝜆1 = 0, 𝜆2 = 𝑝 − 3, dan

𝜆3 = 2𝑝 − 4 dan diperoleh multiplisitasnya 𝑚(𝜆1) = 1, 𝑚(𝜆2) = 𝑝 − 2

103

dan 𝑚(𝜆3) = 1. Spektrum signless Laplace komplemen graf pembagi nol

dari ring komutatif 𝑍2𝑝 untuk 𝑝 prima dan 𝑝 ≥ 3 adalah


= [01 𝑝 − 3𝑝 − 2

2𝑝 − 4

1]

Jadi, nilai Eigen dari matriks 𝑳+ (𝛤(𝑍2𝑝) ) adalah 0, 𝑝 − 3 dan 2𝑝 − 4.

Sedangkan baris yang tereduksi masing-masing sebanyak 1, 𝑝 − 2 dan 1.∎

3.3 Teori Graf dalam Pandangan Islam

Kajian teori graf dalam al-Quran telah dijelaskan dalam Bab II, terdapat

beberapa cara atau bentuk yang bisa dilakukan untuk mewujudkan silaturrahim.

Salah satunya yakni dengan memberi bantuan kepada kerabat seperti yang

dituliskan dalam al-Quran surat an-Nahl/16:90, yang berbunyi

هى عن الفحشاء والمنكر وال حسان وإيتاء ذي القربى وي ن غي ب إن الله يأمر بالعدل والإ

رون ) (٢١يعظكم لعلكم تذك

Artinya: “Sesungguhnya Allah menyuruh (kamu) berlaku adil dan berbuat kebajikan,

memberi kepada kaum kerabat, dan Allah melarang dari perbuatan keji, kemungkaran,

dan permusuhan. Dia memberi pengajaran kepada kalian agar kalian dapat mengambil

pelajaran.”

Allah Swt. menyebutkan bahwa Dia memerintahkan kepada hamba-

hambaNya untuk berlaku adil, yakni pertengahan dan seimbang. Allah Swt.

memerintahkan untuk berbuat kebajikan. Yang dimaksud dengan firman-Nya

وإيتاء ذي القربى

104

Artinya: “dan memberi kepada kaum kerabat”. (an-Nahl:90) yaitu hendaknya Dia

menganjurkan untuk bersilaturrahim (Katsir, 2003:97).

Selain itu, dalam surat ar-Rum/30:38 juga tertulis ayat tentang memberi

bantuan kepada kerabat, orang miskin, dan orang yang sedang dalam perjalanan.

ر للذين يريدون وجه الله وأول لك خي بيل ذ ه والمسكين وابن الس ئكك هم المفلحون فآت ذا القربى حق

(٨٣ )

Artinya: “Maka berikanlah kepada kerabat yang terdekat akan haknya, demikian (pula)

kepada fakir miskin dan orang-orang yang dalam perjalanan. Itulah yang lebih baik bagi

orang-orang yang mencari keridhaan Allah; dan mereka itulah orang-orang yang

beruntung.”

Allah swt. berfirman, memerintahkan (kepada kaum muslim) agar

memberikan kepada kerabat terdekat mereka akan haknya, yakni berbuat dan

menghubungkan silaturrahim, juga orang miskin. Yang dimaksud orang miskin

ialah orang yang tidak mempunyai sesuatu pun untuk ia belanjakan buat dirinya

atau memiliki sesuatu tetapi masih belum mencukupinya. Juga kepada ibnu sabil,

yaitu seorang musafir yang memerlukan biaya dan keperluan hidupnya dalam

perjalanan, karena biayanya kehabisan ditengah jalan (Katsir, 2004:377)

Dengan demikian, berdasarkan surat an-Nahl/16:90 dan surat ar-Rum/30:38

Allah telah menyuruh kita untuk saling memberi bantuan kepada kerabat dan saling

berbuat kebajikan. Sebagai umat muslim, maka selayaknya anjuran tersebut ditaati

dan diamalkan, termasuk oleh ilmuwan matematika dalam menghasilkan rumus

baru untuk dapat menyelesaikan suatu permasalahan matematika. Hal ini

dimaksudkan untuk meringankan atau mempermudah pembaca dalam melakukan

perhitungan berdasarkan teorema-teorema baru yang telah terbentuk.

105

BAB IV

PENUTUP

4.1 Kesimpulan

Berdasarkan pembahasan maka dapat disimpulkan beberapa pola umum

spektrum adjacency titik, Laplace, dan signless Laplace graf pembagi nol dan

komplemennya dari ring komutatif dengan satuan 𝑍2𝑝 untuk 𝑝 bilangan prima

sebagai berikut:

1. Pada graf pembagi nol hanya didapatkan spektrum Laplace dan signless

Laplace. Spektrum adjacency tidak diteliti karena nilai eigen yang diperoleh

berbentuk desimal.

a. Spektrum Laplace 𝑳 (𝛤(𝑍2𝑝)) untuk 𝑝 prima dan 𝑝 ≥ 3 adalah

𝑺𝒑𝒆𝒄𝑳(𝛤(𝑍2𝑝))

= [01

1𝑝 − 2

𝑝1]

b. Spektrum signless Laplace 𝑳+ (𝛤(𝑍2𝑝)) untuk 𝑝 prima dan 𝑝 ≥ 3 adalah


= [01

1𝑝 − 2

𝑝1]

2. Pada komplemen graf pembagi nol didapatkan spektrum adjacency titik,

Laplace dan signless Laplace.

a. Spektrum adjacency titik 𝑨(𝛤(𝑍2𝑝) ) untuk 𝑝 prima dan 𝑝 ≥ 3 adalah


= [01

1𝑝 − 2

𝑝 − 2

1]

b. Spektrum Laplace 𝑳 (𝛤(𝑍2𝑝) ) untuk 𝑝 prima dan 𝑝 ≥ 3 adalah


= [02

𝑝 − 1𝑝 − 2

]

106

c. Spektrum signless Laplace 𝑳+ (𝛤(𝑍2𝑝) ) untuk 𝑝 prima dan 𝑝 ≥ 5 adalah


= [01 𝑝 − 3𝑝 − 2

2𝑝 − 4

1]

4.2 Saran

Berdasarkan kesimpulan, pada penelitian ini spektrum diperoleh dari graf

pembagi nol dan komplemen graf pembagi nol dari ring komutatif dengan unsur

kesatuan. Penelitian selanjutnya diharapkan dapat:

1. Menemukan teorema terkait spektrum yang diperoleh dari graf yang lainnya

atau pada graf pembagi nol dari ring lainnya.

2. Menemukan teorema terkait spektrum yang diperoleh dari komplemen graf

yang lainnya atau pada graf pembagi nol dari ring lainnya.

107

DAFTAR RUJUKAN

Abdussakir, Azizah N.N., Nofandika, F.F. 2009. Teori Graf. Malang: UIN-Malang

Press.

Anderson, D.F. & Livingston, P.S. 1999. The Zero-Divisor Graph of A

Commutative Ring. Journal of Algebra, 217 (2): 434-447.

Anton, H. 2000. Dasar-Dasar Aljabar Linear, Jilid 1. Terjemahan Hari Suminto.

Batam: Interaksara.

Anton, H. dan Rorres, Ch. 2004. Elementary Linier Algebra, 8th Edition. New York:

John Willey & Sons, Inc.

Anton, H. dan Rorres, C. 2014. Elementary Linier Algebra, 11th Edition. New York:

Anton Textbooks, Inc.

Ayyaswamy, S.K. & Balachandran, S. 2010. On Detour Spectra of Some Graph.

International Journal of Computation and Mathematical Sciences. 4(7):

1038-1040.

Biggs, N. 1993. Algebraic Graph Theory. New York: Cambridge University Press.

Biyikoglu, Turker, Leydold, Josef, Stadler, dan Peter F. 2007. Laplacian

Eigenvectors of Graphs. New York: Springer.

Bondy, J. A. & Murty, U.S.R. 2008. Graph Theory. New York: Springer.

Chartrand, G., Lesniak, L., & Zhang, P. 2016. Graph and Digraph 6th Edition. New

York: CRC Press.

Gallian, J.A. copyright 2012. Contemporary Abstract Algebra, eight edition.

University of Minnesota Duluth.

Gilbert, L dan Gilbert, J. 2015. Elements of Modern Algebra Eighth Edition.

Stamford: Nelson Education, Ltd.

Katsir, I. 2001. Tafsir Ibnu Katsir, Jilid 2. Terjemahan M. Ghoffar. Bogor: Pustaka

Imam asy-Syafi’i.


Imam asy-Syafi’i.


Imam asy-Syafi’i.

108

Raisinghania, M.D dan Anggarwal, R.S. 1980. Modern Algebra. New Delhi: S.

Chand & Company Ltd.

Soleha, Dian W.S. & Satrio A. W. 2013. Kajian Sifat-Sifat Graf Pembagi Nol dari

Ring Komutatif dengan Elemen Satuan. Prosiding Seminar Nasional

Matematika dan Pendidikan Matematika. Surabaya: Universitas Negeri

Surabaya. 25 April 2013.

Yin, Sh. 2006. Investigation on Spectrum of the Adjacency Matrix and Laplacian

Matrix of Graph 𝐺1. WSEAS Transaction on Systems. Vol 7, No 4, Hal: 362-

372.

RIWAYAT HIDUP

Nadia Walindra, lahir di Kabupaten Malang pada

tanggal 2 Mei 1997 dan biasa dipanggil Nadia. Tinggal di

Mangunrejo RT/RW 008/004 Desa Sidomulyo Kecamatan

Jabung Malang. Anak tunggal dari pasangan bapak Edi

Supriono dan ibu Sriwijiati.

Pendidikan dasarnya ditempuh di SDN Sidomulyo 01 dan lulus pada tahun

2009. Setelah itu melanjutkan sekolah di SMPN 1 Tumpang dan lulus pada tahun

2012. Pendidikan selanjutnya ditempuh di SMAN 1 Tumpang dan lulus pada tahun

2015. Selanjutnya pada tahun yang sama melanjutkan kuliah di Universitas Islam

Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang pada Jurusan Matematika.

Selama menempuh pendidikan menengah pertama sampai menengah atas,

dia berperan aktif pada organisasi Palang Merah Remaja (PMR) SMPN 1 Tumpang

dan organisasi Karate SMAN 1 Tumpang. Beberapa perlombaan PMR dan Karate

pernah diikutinya seperti BARA PAMERA XI Tingkat Wira dan Madya Se-Jawa

Timur 2011 KSR-PMI Unit UIN Maliki Malang, ALTARA 2010 KSR-PMI Unit

Universitas Kanjuruhan Malang, Piala Walikota Malang tahun 2012 FORKI Kota

Malang, O2SN SMA Tingkat Kabupaten Malang Tahun 2013 oleh Dinas

Pendidikan Kabupaten Malang dan mendapat juara 3 Karate KATA Tunggal Pi.

Dia pernah menjadi ketua pengembangan diri Karate SMAN 1 Tumpang masa

bhakti 2013-2014.

Documents

SPEKTRUM ADJACENCY, LAPLACE DAN SIGNLESS-LAPLACE …etheses.uin-malang.ac.id/17315/1/15610055.pdf · laplace, dan signless-laplace pada graf pembagi nol dan komplemennya dari ring