Spieltheorie - vwl-mikro.wiwi.uni-kl.de · • Anwendung auf die Theorie gesamtwirtschaftlicher Entwicklung ... • Kooperationsspiele

Spieltheorie Kapitel 4 – Anwendungen des Nash-Konzepts

Stephan Schosser 36

Spieltheorie

• Einführung • Klassische Entscheidungstheorie • Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien • Nash-Gleichgewichte in gemischten Strategien • Anwendungen des Nash-Konzepts

• 2x2 Spiele • Kooperationsspiele • Industrieökonomik

• Alternative Gleichgewichtskonzepte • Evolutionär stabile Strategien • Spiele in Extensivform • (Teilspiel-)perfekte Gleichgewichte • Perfekt Bayesianische Gleichgewichte • Wiederholte Spiele

WS12/13

Anwendungen des Nash-Konzepts 2

Agenda

Stephan Schosser 36

Spieltheorie

• 2x2-Spiele • Gefangenendilemma • Chicken Game • Stag Hunt

• Kooperationsspiele • Weakest-Link • Öffentliches Gut Spiel

• Industrieökonomie • Tragedy of the Commons • Oligopol

WS12/13


Anwendungen und Beispiele des Nash-Konzepts

Stephan Schosser 36

Spieltheorie

• Die Story: • Zwei Studenten sitzen während Klausur nebeneinander • Aufsicht unterstellt abschreiben • Problem: Für Bestrafung zweifelsfreie Überführung nötig • Idee Aufsicht: Studenten werden unabhängig voneinander befragt

• Studenten können anderen Anschwärzen • Studenten können angeben von nichts zu wissen

• Die Spieler:Zwei Studenten (Spieler A, Spieler B)

• Die Strategien: • Anderen anschwärzen („D(efect)“) • Nichts wissen („C(ooperate)“)

• Die Auszahlung • Beide defektieren: Beide fallen durch, Beide kooperieren: Hart bewertet • A defektiert, B kooperiert: A wird normal bewertet, B exmatrikuliert

Anwendungen des Nash-Konzepts

Gefangenendilemma I

WS12/13

4 W

iederholung aus Kapitel 1

Stephan Schosser 36

Spieltheorie

• Matrix-Darstellung

• Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien: (D, D)

• Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien (Spiel „symmetrisch“): keine πi(‚C‘, ·) = pj · (-10) + (1-pj) · (-100) = 90pj – 100

πi(‚D‘, ·) = pj · (0) + (1-pj) · (-80) = 80pj – 80 πi(‚C‘, ·) = πi(‚D‘, ·) → 10pj = 20 → pj = 2 > 1 → nie erfüllt! → D spielen

• Erkenntnisse • Genau ein Nash-Gleichgewicht: (D, D) • Aber höchste Auszahlung bei: (C, C) • Individuelle Rationalität führt nicht immer zu „bestem“ Ergebnis


Gefangenendilemma II

Spieler 2 C(ooperate) (p2) D(efect) (1-p2)

Spieler 1 C(ooperate) (p1) -10, -10 -100, 0 D(efect) (1-p1) 0, -100 -80, -80

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5

Stephan Schosser 36

Spieltheorie

• Die Story: • Zwei Studenten wollen mittels Mutprobe 4 Studentinnen beeindrucken • Beide fahren sich auf enger Straße mit hoher Geschwindigkeit entgegen • Optionen

• Jeder Student kann dem anderen ausweichen... • ... oder auf der engen Straße bleiben

• Die Spieler:Zwei Studenten (Spieler A, Spieler B)

• Die Strategien: • Anderem ausweichen („A(ausweichen)“) • Geradeaus weiterfahren („G(eradeaus)“)

• Die Auszahlung • Beide weichen aus: je 2 Studentinnen von A (B) beeindruckt • A weicht aus, B fährt weiter: 1 bewundert As Intellekt, 3 bewundern Bs Mut • Beide fahren weiter: Beide enden im Krankenhaus – Ergebnis irrelevant


Chicken-Game I

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6

Stephan Schosser 36

Spieltheorie


• Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien: (G, A) und (A, G)

• Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien (Spiel „symmetrisch“): s.u. πi(‚G‘, ·) = pj · 0 + (1-pj) · 3 = 3 – 3pj

πi(‚A‘, ·) = pj · 1 + (1-pj) · 2 = 2 – pj πi(‚G‘, ·) = πi(‚A‘, ·) → 3 – 3pj = 2 – pj → pj = 0,5 → ((0,5; 0,5); (0,5; 0,5))

• Erkenntnisse • Drei Nash-Gleichgewichte: (A, G), (G, A) und ((0,5; 0,5); (0,5; 0,5)) • Problem

• Welches der drei Gleichgewichte spielen? • ... dazu später mehr („Nash-Refinements“)


Chicken-Game II

Spieler 2 G(eradeaus) (p2) A(usweichen) (1-p2)

Spieler 1 G(eradeaus) (p1) 0, 0 3, 1 A(usweichen) (1-p1) 1, 3 2, 2

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7

Stephan Schosser 36

Spieltheorie

• Die Story: • Zwei Jäger gehen jagen • Jäger können gemeinsam Großwild erlegen...

... sind einzeln zu schwach • Jäger können gemeinsam Feldhasen jagen...

... jeder ist auch alleine stark genug zum Erlegen

• Die Spieler:Zwei Jäger (Spieler A, Spieler B)

• Die Strategien: • Großwild jagen („S(tag)“) • Feldhasen jagen („H(are)“)

• Die Auszahlung • Beide jagen Hasen: Auszahlung für beide gering aber positiv • Beide jagen Wild: Auszahlung für beide hoch • A jagt Wild, B Hasen: A kann Wild nicht erlegen, B erlegt fleißig Hasen


Stag Hunt I

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8

Stephan Schosser 36

Spieltheorie


• Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien: (S, S) und (H, H)

• Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien (Spiel „symmetrisch“): s.u. πi(‚S‘, ·) = pj · 2 + (1-pj) · 0 = 2pj

πi(‚H‘, ·) = pj · 1 + (1-pj) · 1 = 1 πi(‚S‘, ·) = πi(‚H‘, ·) → 3 – 2pj = 1 → pj = 0,5 → ((0,5; 0,5); (0,5; 0,5))

• Erkenntnisse • Drei Nash-Gleichgewichte: (S, S), (H, H) und ((0,5; 0,5); (0,5; 0,5)) • Problem

• Konflikt zw. Auszahlung (S, S) und Sicherheit (H, H) • In Laborexperimenten favorisieren Spieler oft Sicherheit


Stag Hunt II

Spieler 2 S(tag) (p2) H(are) (1-p2)

Spieler 1 S(tag) (p1) 2, 2 0, 1 H(are) (1-p1) 1, 0 1, 1

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9

Stephan Schosser 36

Spieltheorie




WS12/13


Agenda

Stephan Schosser 36

Spieltheorie

• Die Story: • Ein Team mit n Mitgliedern verfolgt gemeinsames Projekt • Teilnehmer entscheiden gleichzeitig über ihren Arbeitseinsatz • Auszahlung abhängig vom Einsatz der Teammitglieder

• Die Spieler:n Teammitglieder (Spieler 1, ..., Spieler n)

• Die Strategien:Grad des Arbeitseinsatzes σi ∈ {1, ..., k}

• Die Auszahlungπi(σi, ·) = a min{σ1, ...., σn} – b · σi mit a,b > 0 und a > b

• Hier im Beispiel • n = 2 • k = 4 • a = 4, b = 1

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Weakest-Link Spiel I

Stephan Schosser 36

Spieltheorie


• Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien: (k, k)

• Erkenntnisse • k symmetrische Nash-Gleichgewichte: (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) • Gleichgewichte besitzen Ordnung:

(4, 4) – max. Auszahlung; (1, 1) – min. Auszahlung

• ProblemSpieler können im Gleichgewicht (1, 1) „gefangen“ sein


Weakest-Link Spiel II

Spieler 2 1 2 3 4

Spieler 1

1 3, 3 3, 2 3, 1 3, 0 2 2, 3 6, 6 6, 5 6, 4 3 1, 3 5, 6 9, 9 9, 8 4 0, 3 4, 6 8, 9 12, 12

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12

Woran erinnert Sie das Spiel?

Stephan Schosser 36

Spieltheorie

• Theoretischer Befund • Rationale Spieler wählen σi

∗ = k

• Experimenteller Befund (van Huyck, Battalio & Beil, 1990+) • Moderater Arbeitseinsatz zu Beginn des Experiments • Drastisch Abfall des Arbeitseinsatzes in Folgeperioden • Gleichgewicht von σi = 1 nach wenigen Perioden • Aber: Ergebnis von Anzahl der Spieler abhängig

+Huyck, Battalio & Beil, 1990: „Tacit Coordination Games, Strategic Uncertainty, and Coordination Failure“. American Economic Review

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Weakest-Link Spiel III

-1

1

3

5

7

1 3 5 7 9

Arb

eits

eins

atz

Periode

Mittel Minimum

0

2

4

6

8

1 2 3 4 5 6 7 A

rbei

tsei

nsat

z Periode

Mittel Minimum

n = 14 n = 2

Stephan Schosser 36

Spieltheorie

• Produktionstheoretische Interpretation: • a min{σ1, ...., σn} beschreibt limitationale Produktionsfunktion • Output durch Faktor mit minimalem Einsatz beschränkt.

• Makroökonomische Interpretation: • Jeder Spieler ist ökonomischer Sektor für volkswirtschaftlichen Output • Liefert nur ein Sektor minimalen Input ist Output minimal sein • Anwendung auf die Theorie gesamtwirtschaftlicher Entwicklung

(“big push”): Ist Infrastruktur schlecht, kaum Output (Komplemente!) • Entwicklungsländer oft im Gleichgewicht mit minimalem Arbeitseinsatz

WS12/13


Weakest-Link Spiel IV

Stephan Schosser 36

Spieltheorie

• Die Story (analog Weakest-Link): • Ein Team mit n Mitgliedern verfolgt gemeinsames Projekt • Teilnehmer entscheiden gleichzeitig über ihren Beitrag zum Projekt • Auszahlung abhängig vom Beitrag der Teammitglieder

• Die Spieler:n Teammitglieder (Spieler 1, ..., Spieler n)

• Die Strategien:Beitrag zum Projekt σi ∈ {1, ..., k}

• Die Auszahlungπi(σi, ·) = b · (k – σi) + a avg{σ1, ...., σn} mit a,b > 0 und a > b

• Hier im Beispiel • n = 2 • k = 4 • a = 3, b = 2

WS12/13


Öffentliches Gut Spiel I

Formel ist Kernunterschied zu Weakest Link

Stephan Schosser 36

Spieltheorie


• Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien: (1, 1)

• Erkenntnisse • Ein Nash-Gleichgewichte: (1, 1)

• ProblemJede (bilaterale) Abweichung bietet Verbesserung für beide


Öffentliches Gut Spiel II

Spieler 2 1 2 3 4

Spieler 1

1 9.0, 9.0 10.5, 8.5 12.0, 8.0 13.5, 7.5 2 8.5, 10.5 10.0, 10.0 11.5, 9.5 13.0, 9.0 3 8.0, 12.0 9.5, 11.5 11.0, 11.0 12.5, 10.5 4 7.5, 13.5 9.0, 13.0 10.5, 12.5 12.0, 12.0

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Woran erinnert Sie das Spiel?

Stephan Schosser 36

Spieltheorie

• Theoretischer Befund • Rationale Spieler wählen σi

∗ = 1

• Experimenteller Befund (Herrmann, Thöni & Gächter, 2008+) • Moderater Arbeitseinsatz zu Beginn des Experiments • Gemäßigter Abfall des Arbeitseinsatzes in Folgeperioden • Einige Gruppen erreichen σi = 1 nach einigen Perioden, andere nicht

+Herrmann, Thöni & Gächter, 2008: „Antisocial Punishment Across Societies“. Science

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Öffentliches Gut Spiel III

0

5

10

15

20

1 2 3 4 5 6 Bei

trag

zum

Pro

jekt

Periode

Mittel

n = 4, k = 20, a = 1,6, b = 1

Stephan Schosser 36

Spieltheorie

• Die Story: • n Dorfbewohner können xi Schafe auf Allmende-Wiese grasen lassen • Ertrag v hängt hängt von Gesamtmenge der grasenden Schafe ab Σxi • Jedes Schaf verursacht Kosten c • Wie viele Schafe besitzt ein Dorfbewohner im Optimum? • Story anwendbar auf Überfüllungsprobleme (Staus, Überfischen, ...)

• Die Spieler:n Dorfbewohner (Spieler 1, ..., Spieler n)

• Die Strategien:Anzahl Schafe xi ∈ {1, ..., xmax}

• Die Auszahlung

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Tragedy of the Commons I

π i (xi,..., xn ) = xi ⋅ v( x jj=1

n

∑ )− xi ⋅c∑xj

v(∑xj)

Es gibt eine „Obergrenze für Grasen“

Stephan Schosser 36

Spieltheorie

• Nash-Gleichgewicht • Alle wählen Beste-Antwort auf Entscheidungen anderer

• 

•  • Weiterhin muss Lösung symmetrisch sein, d.h. x1 = x2 = ... xn = x • Damit ist Nash-Bedingung: x* ⋅ v‘(n ⋅ x*) + v(n ⋅ x*) – c = 0

• Sozialer Planner • Optimiert Gesamtauszahlung

• π(x) = n ⋅ x ⋅ v(n ⋅ x) – n ⋅ x ⋅ c • δπ(x)/δx = n2 ⋅ x ⋅ v‘(n ⋅ x) + n ⋅ v(n ⋅ x) – n ⋅ c = 0 δπ(x)/δx = n ⋅ x** ⋅ v‘(n ⋅ x**) + v(n ⋅ x**) – c = 0

WS12/13


Tragedy of the Commons II

π i (xi,..., xn ) = xi ⋅ v( x jj=1

n

∑ )− xi ⋅c

∂π i (xi,..., xn )∂xi

= xi ⋅ v '( x jj=1

n

∑ )+ v( x jj=1

n

∑ )− c = 0

Stephan Schosser 36

Spieltheorie

• Züchtet sozialer Planner oder „Nash-Spieler“ mehr Schafe?

• Hilfsfunktionen (aus Optimierungsbedingungen) • h1(x) = x ⋅ v‘(n ⋅ x) + v(n ⋅ x) [= c] • h2(x) = n ⋅ x ⋅ v‘(n ⋅ x) + v(n ⋅ x) [= c]

• Es gilt v‘ < 0 und x ⋅ v‘(n ⋅ x) > n ⋅ x ⋅ v‘(n ⋅ x) ...... damit gilt h1(x) > h2(x)

• Ableitungen der Hilfsfunktionen • h'1(x) = v‘(n ⋅ x) + n ⋅ x ⋅ v‘‘(n ⋅ x) + n⋅ v‘(n ⋅ x)

h'1(x) = (1 + n) v‘(n ⋅ x) + n ⋅ x ⋅ v‘‘(n ⋅ x) < 0 • h'2(x) = n ⋅ v‘(n ⋅ x) + n2 ⋅ x ⋅ v‘‘(n ⋅ x) + n⋅ v‘(n ⋅ x)

h'2(x) = 2n ⋅ v‘(n ⋅ x) + n2 ⋅ x ⋅ v‘‘(n ⋅ x) < 0

• Lösung des „sozialen Planners“ x** kleiner als...... Nash-Lösung x*

WS12/13


Tragedy of the Commons III

x

h1 h2

c

x** x*

Stephan Schosser 36

Spieltheorie




WS12/13


Agenda

Stephan Schosser 36

Spieltheorie

• Die Story: • n Firmen produzieren ein homogenese Gut mit Preis p (Oligopol) • Alle Firmen entscheiden über ihre Absatzmenge xi mit x = x1 + ... + xn • Jede Firma hat eine Kostenfunktion ci(xi) und ein Kapazitätsgrenze xi

max

• Am Markt wird maximal xmax bei einem Preis pmax nachgefragt • Es sei eine inverse Martnachfragefunktion f: x → p gegeben

• Die Spieler:n Firmen (Spieler 1, ..., Spieler n)

• Die Strategien:Produktionsmenge xi ∈ {1, ..., xmax}


als Beispiel:

WS12/13


Mengen-Oligopol – Cournot I

π i (xi,..., xn ) = xi ⋅ f ( x jj=1

n

∑ )− ci (xi )

π1(x1, x2 ) = x1 ⋅ f (x1 + x2 )− c1(x1)

Stephan Schosser 36

Spieltheorie

• Traditionelle Analyse von Cournot für n = 2 Firmen

• Firmen maximieren Gewinn durch Anpassung der Absatzmenge xi Aus Bedingung 1. Ordnung folgt „Reaktionsfunktion“ Ri(xj) (Ri(xj) weist jedem xj eine beste Antwort xi zu)

WS12/13


Mengen-Oligopol – Cournot II

∂π1(x1*, x2

* )∂x1

=∂π 2 (x1

*, x2* )

∂x2= 0

x1

x2

R1(x2)

R2(x1)

Stephan Schosser 36

Spieltheorie

• Bei Finden der Cournot-Lösung passen Spieler sequentiell xi an

• Cournot-Lösung ist Nash-Gleichgewicht • Für keinen Spieler lohnt Abweichen • Lösung bei Kenntnis der Reaktionsfunktion des Mitspielers vorhersagbar

(Bei Spieltheorie sichergestellt durch Kenntnis der Auszahlungsfunktion)

WS12/13


Mengen-Oligopol – Cournot III

x1

x2

R1(x2)

R2(x1) Anpassung durch Spieler 2 Anpassung durch Spieler 1

Lösung

Stephan Schosser 36

Spieltheorie

• Die Story: • 2 Firmen produzieren ein homogenese Gut mit Preis p (Duopol) • Alle Firmen entscheiden über ihre Absatzmenge xi mit x = x1 + x2 • Jede Firma hat eine Kostenfunktion ci(xi) = ci xi • Am Markt wird maximal xmax bei einem Preis pmax nachgefragt • Es sei eine inverse Martnachfragefunktion p(x) = b - ax gegeben



• Die Auszahlungπi(x1, x2) = (b - a ⋅ x) xi -cixi

WS12/13


Mengen-Oligopol – Cournot Duopol I

Stephan Schosser 36

Spieltheorie

• Ermittlung der Reaktionsfunktionen

•  • 

• Visualisierung der Reaktionsfunktionen

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Mengen-Oligopol – Cournot Duopol II

∂π1∂x1

= b− 2ax1 − ax2 − c1 = 0⇒ x1 =b− c12a

−x22| R1

c (x2 )

∂π 2∂x2

= b− 2ax2 − ax1 − c2 = 0⇒ x2 =b− c22a

−x12| R2

c (x1)

x1

x2

R1(x2)

R2(x1)

Lösung

b− c22a

b− c2a

b− c1a

b− c12a

x2*

x1*

Stephan Schosser 36

Spieltheorie

• Rechnerische Ermittlung der Lösung • Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten

•  • 

• Ermittlung des Marktpreises

•  • Ergebnisse bei Symmetrie (d.h. c1 = c2 = c)

•  • 

WS12/13


Mengen-Oligopol – Cournot Duopol III

x1 =b− c12a

−x22

x2 =b− c22a

−x12

x1 =b− c12a

−b− c24a

+x14⇒ x1 =

43⋅b4a

−c12a

+c24a

$

%&

'

()⇒ x1

* =b− 2c1 + c2

3a

x2

* =b− c22a

−12⋅b− 2c1 + c2

3a#

$%

&

'(=3b− b6a

+c13a

−3c2 + c26a

=b+ c1 − 2c2

3a

p = b− ax = b− a ⋅ 2b− c1 − c13a

=b+ c1 + c1

3

x1* = x2

* =b− c3a

⇒ p = b+ 2c3

π i =b+ 2c3

− c"

#$

%

&'b− c3a

"

#$

%

&'=

b− c( )2

9a

Stephan Schosser 36

Spieltheorie

• Die Story (analog Duopol): • n Firmen produzieren ein homogenese Gut mit Preis p (Oligopol) • Alle Firmen entscheiden über ihre Absatzmenge xi mit x = x1 + ... + xn • Jede Firma hat eine Kostenfunktion ci(xi) = ci xi • Am Markt wird maximal xmax bei einem Preis pmax nachgefragt • Es sei eine inverse Martnachfragefunktion p(x) = b - ax gegeben



• Die Auszahlungπi(x) = (b - a ⋅ x) xi -cixi

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Symmetrischen Oligopol mit n Firmen I

Stephan Schosser 36

Spieltheorie

• Ermittlung der Absatzmenge •  •  • Da ∀i: xi

* = q*: b – 2aq* – a (n-1) q* – c = 0 • ⇒

• Ermittlung des Marktpreises • 

• Ermittlung des Gewinns

• 

• Anzahl Anbieter groß: Gut zu Grenzkosten angeboten, Gewinn ist 0

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Symmetrischen Oligopol mit n Firmen II

∂π i

∂xi= b− 2axi − a x j

j≠i∑ − c = 0

π i (x1,..., xn ) = (b− a x jj≠i∑ − axi )xi − cxi

q* = b− c(n+1)a

⇒ limn→∞

q = 0

p = b− ax = b− an b− c(n+1)a

=(n+1)b− nb− nc

n+1=b− ncn+1

⇒ limn→∞

p = c

π i =b− ncn+1

"

#$

%

&'

b− c(n+1)a"

#$

%

&'− c

b− c(n+1)a"

#$

%

&'=

b2 − nbc− cb+ nc2 − (n+1)cb+ (n+1)c2

a(n+1)2

=b2 − 2nbc+ (2n+1)c2

a(n+1)2⇒ lim

n→∞π i = 0

Stephan Schosser 36

Spieltheorie

• Bisher (Cournot-Modell) • Marktteilnehmer wählen Absatzmenge (simultan) • Preisbildung ist Konsequenz aus Absatzentscheidungen

• ProblemDurch Unterbieten des Preises kann Anbieter Monopolist werden

• Idee (Bertrand-Modell)Anbieter wählt nicht mehr die Absatzmenge, sondern den Preis

WS12/13


Bertrand-Modell I

Stephan Schosser 36

Spieltheorie

• Die Story: • 2 Firmen produzieren ein homogenese Gut (Duopol) • Alle Firmen entscheiden über ihren Preis p • Alle Firmen haben identische Kostenfunktion ci(xi) = c ⋅ xi • Es sei eine Martnachfragefunktion d: p → x gegeben mit d‘(p) < 0

• Die Spieler:2 Firmen (Spieler 1, Spieler 2)

• Die Strategien:Marktpreis pi


WS12/13


Bertrand-Modell II

π1(x1, x2 ) = d1(p1, p2 ) ⋅ (pi − c)

Stephan Schosser 36

Spieltheorie

• Konsumenten kaufen Gut bei günstigstem Anbieter

• Firmenspezifische Nachfragefunktionen der beiden Firmen

• 

•  • Mit α1 ≥ 0, α2 ≥ 0 und α1 + α2 = 1

WS12/13


Bertrand-Modell – Nachfragefunktion I

d1(p1, p2 ) =0 falls p1 > p2

α1d(p1) falls p1 = p2d(p1) falls p1 < p2

!

"#

$##

d2 (p1, p2 ) =0 falls p2 > p1

α2d(p2 ) falls p2 = p1d(p2 ) falls p2 < p1

!

"#

$##

Stephan Schosser 36

Spieltheorie

• Illustration der Marktnachfragefunktion

WS12/13


Bertrand-Modell – Nachfragefunktion II

xj

pj

pi

αi d(pi)

dj(p1, p2)

Stephan Schosser 36

Spieltheorie

• Gewinn der Firma j:πj(p1, p2) = (pj – c) dj(p1, p2)

• Firmen wählen Preis simultan und unabhängig (wie Absatzmenge bei Cournot)

• Firmen wählen Preis, der Gewinn maximiert (Nash-Bedingung) • Firma 1: π1(p1

*, p2*) ≧ π1(p1, p2

*) für alle p1 • Firma 2: π2(p1*, p2

*) ≧ π2(p1*, p2) für alle p2

• In Lösung kann keine Firma durch unilateral Preisänderung Gewinn erhöhen(Nash-Gleichgewicht)

WS12/13


Bertrand-Modell – Gewinn

Stephan Schosser 36

Spieltheorie

• Im Folgenden wird gezeigt, dass p1* = p2

* = c einziges Gleichgewicht

• Schritt 1: p1* = p2

* = c ist Gleichgewicht • Wenn Firma j auf pj > c abweicht:

Nachfrage dj(pj, pi*) = 0 ⇒ πj(p1, p2) wird kleiner

• Wenn Firma j auf pj < c abweicht:Stückerlös pj – c < 0 ⇒ πj(p1, p2) ist negativ

• Schritt 2: Es existieren keine anderen Gleichgewichte • Gleichgewicht mit p1 = p2 > c kann nicht existieren:

Beliebige Firma kann durch marginale Preissenkung Nachfrage erhöhen • Gleichgewicht mit pi

> pj = c kann nicht existieren:Firma j kann durch kleine Preissteigerung Gewinn erhöhen

• Gleichgewicht mit pi > pj > c kann nicht existieren:

Firma i kann durch Unterbieten von Firma j Gewinn erhöhen

WS12/13


Bertrand-Modell – Gleichgewichtbestimmung

Stephan Schosser 36

Spieltheorie

• Ergebnis ist überraschend • Preiswettbewerb mit nur 2 Konkurrenten führt zu demselben Ergebnis ...

... wie vollständiger Wettbewerb • Ergebnis als Bertrand Paradox bezeichnet

• Oligopolistische Marktmacht lässt sich verhindern • Ohne Produktdifferenzierung

(homogener Markt) • Ohne steigende Grenzkosten und Kapazitätsschranken

(konstante Stückkosten) • Ohne Effizienzunterschiede der Firmen

(identische Stückkosten)

WS12/13


Bertrand Paradox

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