Startseite - IGNACIO ZALDUENDO · 2017-10-18 · 243 MATEMÁTICAS 243 MATEMÁTICAS Quien abra este libro quizá no creerá que se trata de uno de divulgación: verá que hay ejercicios

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Quien abra este libro quizá no creerá que se trata de uno de divulgación: verá que hay ejercicios y problemas, y encontrará que todo lo que se afirma va acompañado de una demostración. No hay duda, en cambio, de que se trata de un libro que invita al lector a adentrarse en el pensamiento matemático a través de sus conceptos más elementales, aquellos que conforman

la base firme de la edificación matemática: los números naturales y la aritmética; el punto y la recta; los ángulos, las funciones

circulares y las ecuaciones; las permutaciones y la probabilidad. Ignacio Zalduendo escribió este libro para Iñaki y para todo

aquel que aún tiene viva su curiosidad, disfruta de los desafíos y encuentra placer en el descubrimiento que llega después de pasar

un rato pensando con lápiz y papel en mano. En esto se resume, a final de cuentas, la matemática.

Ignacio Zalduendo es doctor en ciencias matemáticas por la Universidad de Buenos

Aires, investigador del Conicet (Argentina) y ha colaborado en las olimpiadas de

matemática a nivel internacional e iberoamericano. Fue además vicerrector de la

Universidad Torcuato di Tella, donde actualmente es profesor plenario.

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Matemática para Iñaki

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I G N A C I O Z A L D U E N D O

Proyecto Num.: 2481101 Junio 2016 Clave de obra: 15164 Matemática para Iñaki

Ignacio ZalduendoLA CIENCIA PARA TODOS Primera edición. Coedición: NO

ISBN 978-607-16-4265-3220 Cuartillas/fojasPáginas FCE: 256 PP. Lomo 13 mm

Refi ne: 13.50 X 21.00 Tiro: 4000 ejemplaresEditor responsable: Heriberto Sánchez Cortés

Diseño: Laura Esponda AguilarIIlustración: Crédito: Istock.com/ den-belitsky

9786071642653-Zalduendo_Matemática-forro.indd 19786071642653-Zalduendo_Matemática-forro.indd 1 28/06/17 11:4528/06/17 11:45

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“Zalduendo: Matemática” — planas — 2017/7/4 — 18:18 — p. 1 — #1 ii

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MATEMÁTICA PARA IÑAKI

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La Cienciapara Todos

En 1984 el Fondo de Cultura Económica concibió el proyectoeditorial La Ciencia desde México con el propósito de divul-gar el conocimiento cientí�co en español a través de libros bre-ves, con carácter introductorio y un lenguaje claro, accesible yameno; el objetivo era despertar el interés en la ciencia en unpúblico amplio y, en especial, entre los jóvenes.Los primeros títulos aparecieron en 1986; y si bien en un

principio la colección se conformó por obras que daban a cono-cer los trabajos de investigación de los cientí�cos de lengua espa-ñola radicados en México, diez años más tarde la convocatoriase amplió a todos los investigadores hispanohablantes y cambiósu nombre por el de La Ciencia para Todos.Con el desarrollo de la colección, el Fondo de Cultura Eco-

nómica estableció dos certámenes: el concurso de lectoescritu-ra “Leamos La Ciencia para Todos”, que busca promover la lec-tura de la colección y el surgimiento de vocaciones entre losestudiantes de educación media, y el Premio Internacional deDivulgación de la Ciencia Ruy Pérez Tamayo, cuyo propósitoes incentivar la producción de textos de cientí�cos, periodistas,divulgadores y escritores en general cuyos títulos puedan incor-porarse al catálogo de la colección.Hoy, La Ciencia para Todos y los dos concursos bienales se

mantienen y aun buscan crecer, renovarse y actualizarse, conun objetivo aún más ambicioso: hacer de la ciencia parte funda-mental de la cultura general de los pueblos hispanoamericanos.

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Comité de selección de obras

Dr. Antonio AlonsoDr. Francisco Bolívar ZapataDr. Javier BrachoDr. Juan Luis CifuentesDra. Rosalinda ContrerasDra. Julieta FierroDr. Jorge Flores ValdésDr. Juan Ramón de la FuenteDr. Leopoldo García-Colín Scherer (†)Dr. Adolfo Guzmán ArenasDr. Gonzalo Hal erDr. Jaime MartuscelliDra. Isaura MezaDr. José Luis Morán LópezDr. Héctor Nava JaimesDr. Manuel PeimbertDr. José Antonio de la PeñaDr. Ruy Pérez TamayoDr. Julio Rubio OcaDr. José SarukhánDr. Guillermo SoberónDr. Elías Trabulse

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Ignacio Zalduendo

MATEMÁTICA PARA IÑAKI

laciencia / 243

para todos

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Primera edición, 2017

Zalduendo, IgnacioMatemática para Iñaki / Ignacio Zalduendo. — México : FCE, SEP,

Conacyt, 2017255 p. ; ilus. ; 21 × 14 cm— (Colec. La Ciencia para Todos ; 243)ISBN 978-607-16-4265-3

1. Matemáticas — Enseñanza y aprendizaje 2. Matemáticas — Uso yaplicación 3. Divulgación cientí�ca I. Ser. II. t.

LC QA39 Dewey 508.02 C569 V. 243

Diseño de portada: Laura Esponda.Ilustración elaborada a partir de la fotografía de iStock.com/den-belitsky

La Ciencia para Todos es proyecto y propiedad del Fondo de Cultura Económica,al que pertenecen también sus derechos. Se publica con los auspiciosde la Secretaría de Educación Pública y del Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología.

D. R. © 2017, Fondo de Cultura EconómicaCarretera Picacho-Ajusco, 227; 14738 Ciudad de Méxicowww.fondodeculturaeconomica.comComentarios: [email protected]. (55) 5227-4672

Se prohíbe la reproducción total o parcial de esta obra, sea cual fuereel medio, sin la anuencia por escrito del titular de los derechos.

ISBN 978-607-16-4265-3 (rústico)ISBN 978-607-16-5171-6 (electrónico-pdf)

Hecho en México • Made in Mexico

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Para Iñaki, claro. . .

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ÍNDICE GENERAL

Prólogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

I. La matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19La matemática y las ciencias . . . . . . . . . . . . . . 19La matemática y la sociedad . . . . . . . . . . . . . . 22La matemática y el individuo . . . . . . . . . . . . . 24¿Cómo aprender matemática? . . . . . . . . . . . . . 31La matemática y el lenguaje . . . . . . . . . . . . . . 35

II. 1, 2, 3, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Los números naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Un poco de aritmética de los números naturales . . 45(⋆)Un poco más de aritmética de los números na-turales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

III. Fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Los números racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . 56La recta racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60Pendientes y proporciones . . . . . . . . . . . . . . . 60Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

IV. Ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66Euclides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66Un poco de triángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

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El teorema de Pitágoras . . . . . . . . . . . . . . . . . 74Puntos (y agujeros) en la recta . . . . . . . . . . . . . 76Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

V. Cuadrados y polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . 83Ecuaciones cuadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . 83Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

VI. La recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97Serie geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97(⋆) Desarrollos diádicos y la recta real R . . . . . . . 102Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

VII. El plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110El plano R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110Rectas en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114Puntos alineados y segmentos . . . . . . . . . . . . . 118Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . 120(⋆) Convexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

VIII. El círculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130Pi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130Arco capaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132El teorema de las cuerdas . . . . . . . . . . . . . . . . 134Cuadriláteros cíclicos y teorema de Ptolomeo . . . . 138(⋆) Línea de Simson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

IX. Los triángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146Las funciones circulares . . . . . . . . . . . . . . . . 146(⋆) Alturas, bisectrices y medianas . . . . . . . . . . 155Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

X. Sucesiones y diferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . 162La sección dorada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162Sucesión de Fibonacci, dinero y otros intereses . . . 167Ecuaciones en diferencias . . . . . . . . . . . . . . . 170

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Ecuaciones de primer orden . . . . . . . . . . . . . . 171(⋆) Ecuaciones de segundo orden . . . . . . . . . . . 173Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

XI. Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178Desigualdad de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . 178Medias aritméticas, geométricas y armónicas . . . . 180Desigualdad aritmético-geométrico-armónica . . . 182(⋆) Desigualdad isoperimétrica . . . . . . . . . . . . 184Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

XII. Cilindro, cono y esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190Principio de Cavalieri . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190Volumen de un cono . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193Volumen de la esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196Super�cies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

XIII. Aprender a contar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207Permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207Subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211La fórmula binomial y el triángulo de Pascal . . . . 214Probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216Probabilidad condicional y teorema de Bayes . . . . 222Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

XIV. Relojes y espías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227Aritmética modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227Mensajes secretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231(⋆) Sistemas de llave pública . . . . . . . . . . . . . . 235El teorema chino del resto . . . . . . . . . . . . . . . 238Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

Epílogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245Índice analítico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

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PRÓLOGO

Algunos amigos a quienes di a leer versiones preliminares deeste libro me han preguntado para quién está escrito. Curiosapregunta, cuando uno considera que la respuesta está en el tí-tulo. Y sin embargo, es una pregunta válida si se considera ununiverso pluripersonal de posibles lectores. Pero antes de con-testarla, debo empezar por el principio.En el año 2010, el comienzo de un período de gestión como

vicerrector de la Universidad Torcuato Di Tella me proporcionóla posibilidad de una labor de construcción institucional grati-�cante, la oportunidad de conocer y trabajar con una variedadde personas interesantes, pero también la destrucción total demi tiempo de investigación.Durante más de treinta años de vida profesional como

matemático, dedicada a la investigación y a la enseñanza uni-versitaria, nunca había tomado conciencia de mi necesidad dematemática. A poco de comenzar mis tareas de gestión mi abs-tinencia matemática ya era tal, que se me hizo costumbre apro-vechar media hora libre entre una reunión y la siguiente paratomar un ejercicio al azar de un libro al azar e intentar hacerlo.Los ratos sueltos—en general, cortos— queme aparecían libresresultaban inútiles para el trabajo de investigación enmatemáti-ca, que requiere un tiempo de sumersión en el tema y una tran-quilidad de espíritu con los que ya no contaba.

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Al mismo tiempo, mi hijo fue entrando en la adolescenciay comprendí que, salvo que siguiera luego una carrera cientí�-ca, mi oportunidad de transmitirle algo de matemática se ibadesvaneciendo.Fue así que decidí escribir, en mis ratos libres, un libro para

que Iñaki aprendiera matemática.¿Quématemática? Pues la matemática elemental que me pa-

rece que toda persona culta debería conocer. Fui eligiendo lostemas por el valor estético, pragmático o histórico que encuen-tro en ellos. Así, espero haber dejado de lado lo que es feo, inútily trivial. Y fui engarzando los temas de manera de poder haceruna presentación razonada. Para ir aproximando una respuestaa la pregunta inicial, diré qué no es este libro.Este no es un libro de texto. No podría serlo, ya que desco-

nozco a qué apuntan y de qué se componen los programas quese utilizan en la escuela media. No he mirado sus contenidos.Conozco, sí, los resultados obtenidos en la educación de los jó-venes que egresan de la escuela. Por lo general, no han visto al-gunas de las partes más bellas de la matemática, saben poco desu estructura y de su historia, les cuesta mucho utilizarla, y loque creen saber en realidad no lo comprenden.Este no es un libro de divulgación. Este es un libro en el que

casi todo lo que se dice viene acompañado de una demostración,a veces compleja. Incluye también ejercicios y problemas. Loslibros de divulgaciónno son así, quizás por temor a la pérdida delectores en medio de las di�cultades. Los libros de divulgaciónson necesarios, pero ya hay muchos y buenos.Este es, simplemente, un libro para Iñaki. Y por extensión,

también para otros —jóvenes o adultos— que, como él, tienenviva aún su curiosidad, disfrutan de los desafíos y encuentranplacer en el descubrimiento.Arriba dije “matemática elemental”. Debo hacer dos aclara-

ciones. La primera es que por “elemental” no quiero decir fá-cil, sino que se encuentra cerca de las bases, la matemática conla que uno se encuentra primero, si va recorriendo el edi�cio

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matemático de abajo hacia arriba. La segunda es que he dejadofuera temas que sin duda son elementales, y para los que simple-mente no encontré un buen lugar en mi exposición. Tambiénhe pecado en la otra dirección, y cuando un par de temas no ele-mentales se me pusieron a tiro, no resistí la tentación de incluir-los. Así, por ejemplo (casi me da vergüenza admitirlo) hay unaconstrucción detallada del número real, una descripción del sis-tema RSA de criptografía de llave pública, y una seudodemos-tración de la desigualdad isoperimétrica.Entre los temas más notoriamente ausentes se encuentran

las funciones. Si bien aparecen acá polinomios, senos y cosenos,no lo hacen como funciones, y he preferido dejar de lado tantouna presentación formal del tema como el estudio de algunasfunciones elementales, por considerar que corresponderíanmásbien a un curso preparatorio para el cálculo. Sospecho que partede la culpa de la monotonía con que aprendenmatemática nues-tros jóvenes proviene de tener como �nalidad la “preparación”para el cálculo: temas como casos de factorización e inecuacio-nes con valor absoluto son difíciles de justi�car de otra manera.Y quizás incluso de esa. . . En todo caso, lo he dejado para unfuturo Cálculo para Iñaki.Al �nal de cada capítulo hay unos pocos problemas para el

lector serio. No se puede aprender matemática sin sentarse a ha-cer problemas, y por eso no quise que estuvieran ausentes. Tratéde poner ejercicios interesantes, evitando lo rutinario y las cuen-tas. Y no es que las cuentas sean innecesarias; simplemente nome gustan. El grado de di�cultad de los problemas es variable:los hay fáciles y también bastante difíciles. Mi actitud con res-pecto a los ejercicios es que son para practicar, y que su utilidadconsiste en dar ganas de estar un rato pensando. El aprendizajese produce con el intento de resolverlosmás que con su soluciónefectiva, de manera que si alguno no sale, no se pierde nada yalgo se habrá ganado.Decía que en este libro hay demostraciones. Creo que si no

las hubiera, no sería un libro de matemática. Encuentro todos

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los días chicos que saben que ángulos opuestos por el vérticeson iguales, que la raíz cuadrada de dos es un número irracio-nal, que el área de un círculo es π por radio al cuadrado, peroque no tienen ni la menor idea de por qué. Éstas son cosas cu-yas demostraciones son simples, y creo que es injusti�cable ha-berlas omitido de su educación. La educación matemática debeincluir demostraciones. Las demostraciones constituyen ejem-plos de razonamientos lógicos creativos, aportan herramientasútiles para la resolución de problemas, ejempli�can la estructu-ra de la matemática y —no pocas veces— dan pie para hablarde su historia.Así, he procurado dar —con diversos grados de formali-

dad— al menos alguna justi�cación o argumentación para casitodos los resultados contenidos en este libro. También, preten-diendo que la lectura se pueda hacer de manera ágil, he inten-tado mantener un tono coloquial y evitar caer en una sucesiónde enunciado-demostración. . . Así y todo, en algunos capítulosincluí, preferentemente hacia el �nal, algún material más duroy complejo. Estas secciones están indicadas con (⋆), y puedensaltarse con impunidad.Varias personas leyeron este libro y me lo devolvieron me-

jorado: María Argerich, Gustavo Corach, Betina Duarte, MaríaSilvia Etcheverry, Maite Fernández Unzueta, Damián Pinasco,Angelines Prieto Yerro, Susana Zalduendo. También hay quie-nes desconocen la existencia de este libro y aun así me ayuda-ron a escribirlo: Pancho Liernur me invitó a diseñar un cursode Matemática para Arquitectos, obligándome a aprender casitoda la geometría que hay acá; Baldomero Rubio y Ricardo Mo-reno Castillo me regalaron sus propios libros, algunas de cuyaspáginas revolotean sobre éstas. No menos real es mi deuda concolegas y alumnos con los que he discutido y aprendidomuchosde estos temas a lo largo de los años. Mi deuda con todos elloses clara para mí. A todos, mi agradecimiento.

Buenos Aires, marzo de

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I. La matemática

La matemática y las ciencias

Con la acumulación de conocimiento, a lo largo de la historia losdiversos campos del saber se han ido separando, agrupándosepor su objeto de estudio o por sumetodología. Así, por ejemplo,la biología estudia a los seres vivos, y la astronomía, astros, ga-laxias y planetas. No es que esto sea clarísimo: no está tan claroqué es un ser vivo, y tanto el biólogo como el astrónomo debensaber también algo de química y de física.Las ciencias físicas y sociales estudian objetos y partes del

mundo real. Lo hacen mediante la observación de esos objetoso de sus consecuencias sobre otros; imaginan explicaciones ydiseñan y llevan a cabo experimentos para convencerse de quesus explicaciones son verosímiles. Esas explicaciones y resulta-dos van formando parte de teorías que se condicen con la reali-dad observada del objeto de estudio. Con el tiempo, esas teoríasson perfeccionadas o desechadas tras nuevas observaciones, ose descubren sus límites, o se encuentra que son casos particu-lares de teorías más generales.En todo caso, por lo general, las ciencias estudian aspec-

tos del mundo real, obtienen resultados verosímiles y teoríasque �nalmente son perfeccionadas o reemplazadas por otrasmejores.La matemática no es así. La matemática estudia objetos

formales que no existen en el mundo real. Obtiene sobre ellos

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resultados necesarios. Y por esto sus resultados y teorías no pier-den validez; se acumulan.Trataré de explicar esto mejor. Los objetos de estudio de la

matemática no pertenecen al mundo real. Son objetos forma-les, que sólo existen en la imaginación de la persona que lospiensa. Ejemplo: el número dos no existe en la realidad. Exis-ten esas dos manzanas, dos ventanas, dos personas. . . , pero elnúmero dos no está en el mundo real, sino en tu imaginación.Lo mismo ocurre con cualquier otro número, con el conjun-to de los números enteros, con una recta, un triángulo o uncírculo.Conviene distinguir acá entre objetos formales y abstraccio-

nes. Más adelante hablaremos de la utilidad de la matemática, yde sus aplicaciones almundo real. Toda aplicación de lamatemá-tica se da a través de una abstracción. Con abstracción quiero de-cir dejar de lado aspectos de un objeto real para ver su similitudcon un objeto formal. Digamos que querés calcular la super�ciede un terreno que tiene forma triangular. Medís sus tres ladosy utilizás la fórmula de Herón (que verás en el capítulo ix) paracalcular su super�cie. Pero ese terreno estaba en la Provincia deBuenos Aires, pertenecía a un amigo tuyo, en una esquina teníaun farol y en realidad uno de los lados no era tan recto. . . Todascosas que no te importaron y que abstrajiste al usar la fórmulade Herón, pues el objeto de estudio de la matemática no es elterreno, sino el triángulo.Recuerdo una conversación que tuve una vez con Rolf Man-

tel, economista, en la que yo trataba de convencerlo de que loque él hacía era muchomás abstracto que lo que hacía yo: “Rolf,cuando vos decís ‘Sea X un mercado’ perdiste todas las ansias,temores y caprichos de las personas que comercian en ese mer-cado; cuando yo digo ‘Sea X un espacio de Banach’, X es unespacio de Banach. Y lo tengo ahí, enterito sobre mi escritorio.¿Quién es más abstracto?”Hay que tener claro que las abstracciones y simpli�caciones

que se hacen en cualquier ciencia física o social son inevitables,

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ya que las realidades que estudian son complejísimas; muchomás que los objetos matemáticos formales, que son, en compa-ración, entes muy simples y bien de�nidos. A la hora de apli-car la matemática, es esta simplicidad la que le da utilidad, yaque diversos objetos reales (tras abstracciones y simpli�cacio-nes) pueden adecuarse a un mismo objeto o teoría matemática.Por decirlo con el ejemplo anterior, a cualquier terreno triangu-lar se le podrá aplicar la fórmula de Herón.Hemos dicho que la matemática obtiene resultados necesa-

rios. Me re�ero a lógicamente necesarios. Los resultados mate-máticos se obtienen como conclusiones ineludibles a partir deunas pocas de�niciones previas y a través de cadenas de razona-mientos lógicos rigurosos.Resultados así obtenidos no pierden validez. Puede ocurrir,

y ocurre, que pierdan interés frente a otros resultados másfuertes o más interesantes. Pero nunca dejan de ser válidos, ysiempre se pueden obtener otros resultados basándose en ellos.Así, la matemática se va construyendo, como un edi�cio, sobreresultados anteriores, que no caducan.Ese “edi�cio” matemático, o cualquiera de sus partes, se

suele presentar como una sucesión de de�niciones y resultados(proposiciones, teoremas, corolarios) en donde, partiendo deresultados y de�niciones anteriores, se arriba a nuevos resul-tados que se deducen lógicamente de aquéllos. Esta es la for-ma en que se ordena, se muestra y se explica. La palabra teo-rema, que tiene la misma raíz que la palabra teatro, signi�ca“contemplar”.Pero no es así como el matemático obtiene esos resultados.

En realidad, procede de manera no muy distinta que el biólogoo economista: mira ejemplos, busca ordenar, se va haciendo unaidea de qué puede ser cierto y qué no; intuye un enunciado y tra-ta de probarlo, agregando hipótesis o cambiando el enunciado amedida que lo necesita.Muchas veces ocurre que al encontrar lallave de la solución al problema planteado, todos los elementosparecen caer en su lugar y ubicarse solos, como sucede con un

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rompecabezas cuando se pone la pieza clave. Finalmente, quitaa su presentación todo elemento innecesario y queda un enun-ciado y una demostración despojada, en la que no siempre se veel camino que llevó a intuir el resultado.Jacques Hadamard, en su libro Psicología de la invención en

el campo matemático, discute muy a fondo cómo es el proce-so creativo del matemático, sus semejanzas y diferencias con elde otros intelectuales. Una pregunta que surge en ese libro esla siguiente: los resultados matemáticos ¿se inventan o se des-cubren? Su necesidad lógica pareciera indicar que tienen unaexistencia independiente, que preexisten y deben ser descubier-tos. Y muchas veces cuando uno llega a demostrar un enun-ciado matemático tiene la sensación de que eso ya estaba allí,sólo que uno no lo veía. . . Sin embargo, su búsqueda es unaactividad creativa en la que reina la libertad y en la que la in-tuición es guiada por consideraciones estéticas tanto comológicas.Pero quizás toda actividad creativa tiene esta doble faceta

de invención y descubrimiento. . . Como dijo Jean Cocteau conrespecto a la poesía: “El poeta no inventa. Escucha”.

La matemática y la sociedad

Según Graham Greene, el libro de G. H. Hardy, Apología de unmatemático, es la mejor muestra de lo que signi�ca ser un artis-ta creativo. No dejes de leerlo. Hardy fue un gran matemáticoinglés de la primera mitad del siglo xx. En su apología, Hardysostiene que la matemática es inútil. Él escribe en la Inglaterrade entreguerras, y la inutilidad que asigna a la matemática essu manera de defenderla como inocua: inútil para la guerra (adiferencia de la química o la física, por ejemplo) e inútil paracausar daño a nuestros semejantes. Por supuesto que la mate-mática ya se usaba en cantidad de aplicaciones de ingeniería,que incluían la fabricación de armas y la balística. Pero Hardy

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defendía otra parte de la matemática (más pura y más cercanaa su propia obra), para la cual no había aplicaciones concretas.La defendía como expresión elevada del espíritu humano, sinpragmatismo alguno.Hoy en día el argumento deHardy no puede hacerse, e inclu-

so su propia área (la teoría analítica de números) ha encontradoaplicación en el cifrado electrónico de datos, con los que prote-gen sus comunicaciones tanto los bancos como los ejércitos.Nuestra sociedad utiliza hoy no sólo la matemática que

Hardy consideraba “ingenieril”. Una enorme cantidad de resul-tados matemáticos so�sticados son aplicados a diario en comu-nicaciones, transporte, �nanzas, medicina y prácticamente cual-quier actividad industrial. Desde el vuelo de los aviones hasta lamúsica que escuchamos, desde los pagos que realizamos por in-ternet hasta sacar una foto, desde una llamada telefónica hastauna resonancia magnética; todo pone en movimiento sistemasque no existirían sin el uso de teoremas bastante so�sticados. Lautilidad de la matemática proviene precisamente de su forma-lidad. Las teorías matemáticas forman estructuras lógicas quepueden resultar aplicables a muchas y variadas situaciones delmundo real.Pero tampoco pienses que los matemáticos van construyen-

do teorías y teoremas guiados solamente por su curiosidad per-sonal y sentido estético. Algunos sí lo hacen, pero también haymuchos matemáticos que trabajan junto con los ingenieros,físicos, biólogos y economistas que les presentan sus necesida-des concretas. Se mantiene así una vía de comunicación entrelas personas que demuestran los teoremas y las que los utilizan.Y eso es afortunado, porque no es que quien va a aplicar la ma-temática conoce los resultados que necesita, sino que terminausando lo que conoce.

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La matemática y el individuo

Está claro, entonces, que lamatemática afecta demanera profun-da la vida de todos nosotros. Pero lo hace de manera indirecta.Vivimos en una sociedadmágica en el siguiente sentido: casi na-die comprende realmente cómo funciona casi nada en nuestravida cotidiana. Para cada aspecto de nuestra civilización, hay ex-pertos que se ocupan de ello. Muchos de estos expertos necesi-tan conocer y utilizar algo dematemática. Pero, a los demás, ¿lessirve de algo estudiar matemática? Yo creo que a toda personale sirve estudiar matemática. Hace algunos años publiqué en eldiario La Nación la siguiente nota sobre este punto:

Por qué aprender matemática

Mientras describo, por ejemplo, la función logaritmo, un alumnolevanta la mano y dice: “Profe, ¿y esto para qué me va a servir?”¿Cómo le explico que la única vez en mi vida que usé un lo-

garitmo fue para elegir mi afjp (administradora de fondos de ju-bilaciones y pensiones)?La pregunta también surge regularmente en cuanto unomen-

ciona el nombre del teorema que se propone explicar. Es unamuybuena pregunta. Y no sólo para el alumno, ya que el profesor tam-bién debe saber para qué enseña matemática y, en consecuencia,qué ha de enseñar y cómo conviene hacerlo.Sí, claro, la matemática es muy útil. Es fácil mostrar ejemplos.

Sin matemática no habría autos, remedios, teléfonos, encuestas,tomografías. . . No habría transporte, ni �nanzas ni comunicaciónni producción de casi nada. Pero la respuesta no es ésa, porque elchico quiere saber para qué le va a servir la matemática a él, nopara qué le va a servir al mundo moderno.Para algunos—los que en su vida profesional se ocuparán del

diseño o la gestión de las actividades mencionadas arriba—, larespuesta es que una parte de lo que están aprendiendo será unaherramienta en su quehacer cotidiano o será el sustento teórico

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necesario sobre el que construirán otras herramientas más espe-cializadas. De éstos, a los más creativos la matemática les resulta-rá más útil por aquello de que uno termina echando mano de loque sabe, y cuanto más sepa, mejor.Pero hay otra parte de la respuesta sobre la utilidad de apren-

der matemática que debería ser aplicable absolutamente a todos,y reside en el poder formativo que tiene su estudio. Aquí no se tra-ta de descubrir la pólvora: Platón exaltaba ese poder formativo enla República.Consideremos el siguiente testimonio: “Finalmente me dije:

jamás seré abogado si no entiendo lo que signi�ca demostrar;dejé Spring�eld y regresé a casa de mi padre, donde permanecíhasta que pude demostrar cada proposición de los seis libros deEuclides. Entonces supe lo que signi�ca demostrar, y volví a misestudios de leyes”. Abraham Lincoln llegó a ser mucho más queun buen abogado, y aunque no a�rmo que fue porque estudió aEuclides, lo cierto es que cuandouno lee sus cartas y discursos per-cibe claramente unamente con una sólida formaciónmatemática.Más cerca, Manuel Belgrano fue un gran impulsor de la matemá-tica, a la que consideraba “la llave maestra de todas las cienciasy artes”.Seme dirá quemis ejemplos son del sigloxix y que hoy en día

se requieren habilidades distintas. No lo creo.Mirar dos pantallasa la vez mientras se habla de una cosa, se escribe otra paseandolos dedos sobre un teclado y se toma una decisión puede ser unahabilidad útil para un piloto de caza, pero los demás nos vemosenfrentados diariamente a problemas sutiles y complejos que re-quieren nuestra atención indivisa y para los cuales tenemos, porsuerte, bastante más de tres segundos. “La educación es lo quequeda tras haber olvidado todo lo que se nos enseñó”, dijo AlbertEinstein. Y la matemática, cuando se enseña bien, deja hábitos yhabilidades intelectuales básicos, esenciales para cualquier perso-na y de indudable valor social.¿Por qué es formativa la matemática? En primer lugar, por

su estructura lógica. Para hacer matemática (demostrar algo,

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Startseite - IGNACIO ZALDUENDO · 2017-10-18 · 243 MATEMÁTICAS 243 MATEMÁTICAS Quien abra este libro quizá no creerá que se trata de uno de divulgación: verá que hay ejercicios