Marko Zlokarnik

Scale-up

Scale-up: Modell bertragung in der Verfahrenstechnik. 2. Auflage. M. ZlokarnikCopyright � 2005 WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, WeinheimISBN: 3-527-31422-9

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Marko Zlokarnik

Scale-up

Modell�bertragung in der Verfahrenstechnik

2. vollst. 3berarb. u. erw. Auflage

Author

Prof. Dr.-Ing. Marko ZlokarnikGrillparzerstr. 588010 Graz8sterreichE-Mail: zloka@nextra.at

2. vollst. 3berarb. u. erw. Auflage 2005

Bibliografische Information der Deutschen BibliothekDie Deutsche Bibliothek verzeichnet diesePublikation in der Deutschen Nationalbibliografie;detaillierte bibliografische Daten sind im Internet�ber <http://dnb.ddb.de> abrufbar.

� 2005 WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA,Weinheim

Gedruckt auf s=urefreiem Papier.

Alle Rechte, insbesondere die der @bersetzung inandere Sprachen, vorbehalten. Kein Teil diesesBuches darf ohne schriftliche Genehmigung desVerlages in irgendeiner Form – durch Photokopie,Mikroverfilmung oder irgendein anderes Verfahren –reproduziert oder in eine von Maschinen, insbeson-dere von Datenverarbeitungsmaschinen, verwend-bare Sprache 3bertragen oder 3bersetzt werden.Die Wiedergabe von Warenbezeichnungen, Handels-namen oder sonstigen Kennzeichen in diesem Buchberechtigt nicht zu der Annahme, dass diese vonjedermann frei benutzt werden d3rfen. Vielmehrkann es sich auch dann um eingetragene Waren-zeichen oder sonstige gesetzlich gesch3tzte Kenn-zeichen handeln, wenn diese nicht eigens als solchemarkiert sind.

Satz K3hn & Weyh, Satz und Medien,FreiburgDruck Betzdruck GmbH, DarmstadtBindung Litges & Dopf Buchbinderei GmbH,HeppenheimUmschlaggestaltung aktivComm, WeinheimTitelbild Frau Dipl.-Ing. Constance Voß, Graz 2005

Printed in the Federal Republic of Germany.

ISBN-13: 978-3-527-31422-5ISBN-10: 3-527-31422-9

Meinem Freund und Lehrer

Herrn Dr. phil. Dr.-Ing. h.c. Juri Pawlowski

zugeeignet.

VII

Vorwort zur 1. Auflage XIII

Vorwort zur 2. Auflage XV

Symbolverzeichnis XVII

1 Einf�hrung 1

2 Dimensionsanalyse 3

2.1 Grundlage 3

2.2 Was ist eine Dimension? 3

2.3 Was ist eine physikalische Gr�ße? 3

2.4 Grundgr�ßen und abgeleitete Gr�ßen; Dimensionskonstanten 4

2.5 Dimensionssysteme 5

2.6 Dimensionshomogenit"t einer physikalischen Beziehung 7

Beispiel 1: Wovon h"ngt die Schwingungsperiode h eines Pendels ab? 8

Beispiel 2 Wovon h"ngt die Falldauer h eines K�rpers im homogenenGravitationsfeld ab (Gesetz des freien Falls)? Wovon h"ngt dieAusflußgeschwindigkeit v einer Fl0ssigkeit aus einem Gef"ßmit 1ffnung ab (Torricellische Ausflußformel)? 10

Beispiel 3: Zusammenhang zwischen der Gr�ße des Bratens undder Bratzeit 12

2.7 Das pi-Theorem 15

3 Erarbeitung von pi-S"tzen mittels Matrizenumformung 17

Beispiel 4: Druckverlust eines homogenen Fluids im geraden glatten Rohr(ohne Ber0cksichtigung der Einlaufeffekte) 17

4 Maßstabsinvarianz des pi-Raumes – Grundlage derModell�bertragung 25

Beispiel 5: W"rme0bergang von geheizten Dr"hten und Rohren anden Luftstrom 27

Inhaltsverzeichnis

Scale-up: Modell�bertragung in der Verfahrenstechnik. 2. Auflage. M. ZlokarnikCopyright ; 2005 WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, WeinheimISBN: 3-527-31422-9

VIII

5 Wichtige Hinweise zur Aufstellung der Relevanzliste des Problems 31

5.1 Behandlung von universellen physikalischen Konstanten 31

5.2 Einf0hrung von Zwischengr�ßen 32

Beispiel 6: Mischzeit-Charakteristik bei Gemischen mit Dichte- undViskosit"tsunterschieden 33

Beispiel 7: Flotationsvorgang bei der Druckentspannungsflotation 34

6 Wichtige Aspekte bei der Modell�bertragung 37

6.1 Modell0bertragung bei Nichtverf0gbarkeit von Modell-Stoffsystemen 37

Beispiel 8: Auslegungsunterlagen f0r mechanische Schaumzerst�rer 37

6.2 Modell0bertragung bei partieller Fhnlichkeit 41

Beispiel 9: Schleppwiderstand eines Schiffsk�rpers 41

Beispiel 10: Faustregeln beim Dimensionieren von Reaktionsapparaten:Volumenbezogene R0hrleistung und Lehrrohrgeschwindigkeitals Dimensionierungskriterien f0r R0hrbeh"lter bzw. f0rBlasens"ulen 46

7 Vorl"ufige Bestandsaufnahme 49

7.1 Vorteile der Dimensionsanalyse 49

7.2 Anwendbarkeitsbereich der Dimensionsanalyse 50

7.3 Versuchstechnik bei der Modell0bertragung 51

7.4 Versuchsdurchf0hrung unter Maßstabs"nderung 52

8 Dimensionsanalytische Behandlung ver"nderlicher Stoffgr3ßen 55

8.1 Wozu ist diese Betrachtung wichtig? 55

8.2 Dimensionslose Darstellung einer Stoff-Funktion 57

Beispiel 11: Standarddarstellung der Temperaturabh"ngigkeitder Viskosit"t 57

Beispiel 12: Standarddarstellung der Temperaturabh"ngigkeit der Dichte 61

Beispiel 13: Standarddarstellung der Bruchfestigkeit verschiedenerMaterialien in Abh"ngigkeit vom Partikeldurchmesser 62

Beispiel 14: Trocknung nasser Polymermasse. BezugsinvarianteDarstellung der Stoff-Funktion D(T, F) 65

8.3 Bezugsinvariante Darstellung einer Stoff-Funktion 66

8.4 Der pi-Raum bei ver"nderlichen Stoffwerten 68

Beispiel 15: Ber0cksichtigung der g(T)-Abh"ngigkeit durch den gw/g-Term 68

Beispiel 16: Ber0cksichtigung der �(T)-Abh"ngigkeit durchdieGrashof-KennzahlGr 71

8.5 Rheologische Normierungsfunktionen und Prozeßbeziehungenbei nicht-Newtonschen Fl0ssigkeiten 71

8.5.1 Rheologische Normierungsfunktionen 72

8.5.1.1 Fließverhalten nicht-Newtonscher Fluide vom Typ der pseudo-plastischen Fl0ssigkeiten 72

Inhaltsverzeichnis

IX

8.5.1.2 Fließverhalten nicht-Newtonscher Fluide vom Typ der visko-elastischen Fl0ssigkeiten 75

8.5.1.3 Dimensionsanalytische Diskussion viskoelastischerFluide 77

8.5.1.4 Erarbeitung von rheologischen Normierungsfunktionen 79

Beispiel 17: Dimensionsanalytische Erfassung des WeissenbergschenPh"nomens – Anleitung f0r eine Doktorarbeit 81

8.5.2 Prozeßbeziehungen bei nicht-Newtonschen Fl0ssigkeiten 86

8.5.2.1 Konzept der effektiven Viskosit"t geff nach Metzner-Otto 86

8.5.2.2 Prozeßbeziehungen f0r mechanische Prozesse inVerbindung mit nicht-Newtonschen Stoffen 88

Beispiel 18: Leistungs-Charakteristik eines R0hrers 88

Beispiel 19: Homogenisierungs-Charakteristik eines R0hrers 90

8.5.2.3 Prozeßbeziehungen f0r thermische Prozesse in Verbindungmit nicht-Newtonschen Stoffen 91

8.5.2.4 Modell0bertragung bei Vorg"ngen mit nicht-NewtonschenFl0ssigkeiten 92

9 Reduktion des pi-Raumes 93

9.1 Die Kontroverse Rayleigh – Riabouchinsky 93

Beispiel 20: Dimensionsanalytische Behandlung des Problemsvon Boussinesq 95

Beispiel 21: W"rmetransport-Charakteristik eines R0hrbeh"lters 97

10 Typische Probleme und Fehler bei der Anwendung derDimensionsanalyse 101

10.1 Modellmaßstab und Str�mungszustand: Scale-up undMiniplants 101

10.1.1 Die Gr�ße der Laborapparatur und der Str�mungszustand 102

10.1.2 Die Gr�ße der Laborapparatur und der pi-Raum 103

10.1.3 Mikro- und Makromischung 104

10.1.4 Mikromischung und die Selektivit"t komplexer chemischerReaktionen 105

10.1.5 Mini- und Mikroplants aus der Sicht des Scale-up 105

10.2 Mangelnde Sensitivit"t der Zielgr�ße 106

10.2.1 Homogenisierzeit h 106

10.2.2 Vollst"ndige Aufwirbelung nach dem 1-s-Kriterium 106

10.3 Modellmaßstab und Meßgenauigkeit 108

10.3.1 Bestimmung der R0hrleistung 108

10.3.2 Bestimmung des Stofftransportes im Stoffsystem G/L 108

10.4 Vollst"ndige Erfassung des fraglichen pi-Satzes bei derVersuchsdurchf0hrung 109

10.5 Richtiges Vorgehen bei der Anwendung derDimensionsanalyse 111

Inhaltsverzeichnis

10.5.1 Vorbereitung der Modellversuche 111

10.5.2 Durchf0hrung der Modellversuche 111

10.5.3 Auswertung der Modellversuche 112

11 Optimieren von Prozeßbedingungen durch Kombinationvon Prozeßcharakteristiken 113

Beispiel 22: Ermittlung von R0hrbedingungen zur Durchf0hrung desHomogenisierungsprozesses mit kleinster Mischarbeit 113

Beispiel 23: Prozeßcharakteristiken eines selbstansaugenden Hohlr0hrers undErmittlung seiner optimalen Betriebsbedingungen 118

Beispiel 24: Optimieren von R0hrern f0r eine maximale Abfuhr derReaktionsw"rme 122

12 Ausgew"hlte Beispiele der dimensionsanalytischen Behandlung vonProzessen aus dem Gebiet der mechanischen Verfahrenstechnik 125

Beispiel 25: R0hrleistung in begaster Fl0ssigkeit. Auslegungsunterlagen f0rR0hrer und Modellversuche f0r die Maßstabs0bertragung 125

Beispiel 26: Dimensionierung von Feststoffmischern 131

Beispiel 27: F�rdertechnischeCharakteristiken einspindeliger Schnecken-maschinen 136

Beispiel 28: Dimensionsanalytische Erfassung des Zerst"ubens vonFl0ssigkeiten 140

Beispiel 29: Das Ph"nomen des h"ngenden Films 144

Beispiel 30: Herstellung von fl0ssig/fl0ssig-Emulsionen 147

Beispiel 31: Zerkleinerung von Feststoffen 152

Beispiel 32: Dimensionsanalytische Behandlung der Flotationstechnik imAbwasserbereich 157

Beispiel 33: Beschreibung des zeitlichen Verlaufes des Trockenschleuderns beiFilterzentrifugen 164

Beispiel 34: Beschreibung der Partikelabscheidung durch Tr"gheitskr"fte 168

Beispiel 35: Gasanteil in Blasens"ulen in Abh"ngigkeit von geometrischen,stofflichen und prozessbedingten Parametern 172

Beispiel 36: Dimensionsanalyse des Tablettierprozesses 176

13 Ausgew"hlte Beispiele der dimensionsanalytischen Behandlung vonProzessen aus dem Gebiet der thermischen Verfahrenstechnik 181

13.1 Einf0hrende Anmerkung 181

Beispiel 37: Station"re W"rme0bertragung in R0hrbeh"ltern 182

Beispiel 38: Station"re W"rme0bertragung in Rohren 184

Beispiel 39: Station"re W"rme0bertragung in Blasens"ulen 185

13.2 Grundlage des Stofftransportes im StoffsystemGas/Fl0ssigkeit (G/L) 189

Beispiel 40: Stofftransport G/L bei der Oberfl"chenbel0ftung mitKreiselbel0ftern 191

InhaltsverzeichnisX

Beispiel 41: Stofftransport G/L bei der Fl0ssigkeitsbegasung inR0hrbeh"ltern 193

Beispiel 42: Stofftransport G/L bei der Fl0ssigkeitsbegasung inBlasens"ulen mit Injektoren als Gaszerteilern.Optimierung der Betriebsbedingungen in bezugauf die Effizienz E ” G/RP [kg O2/kWh] 196

13.3 Koaleszenzverhalten im System G/L 204

Beispiel 43: Dimensionierung von Trocknern 206

14 Ausgew"hlte Beispiele der dimensionsanalytischen Behandlung vonProzessen aus dem Gebiet der chemischen Verfahrenstechnik 213

Beispiel 44: Kontinuierliche Reaktionsf0hrung im Str�mungsrohr 214

Beispiel 45: Dimensionsanalytische Beschreibung des Stoff- undW"rmetransportes bei feststoffkatalysierten Gasreaktionen 221

Beispiel 46: Dimensionierung von Reaktoren f0r katalytische Prozessein der Petrochemie 228

Beispiel 47: Dimensionierung eines Rohrreaktors mit D0senmischerzur Durchf0hrung einer konkurrierenden Folgereaktion 231

Beispiel 48: Stofftransportlimitierung der Reaktionsgeschwindigkeitvon schnellen chemischen Reaktionen im heterogenenStoffsystem Gas/Fl0ssigkeit 235

15 Ausgew"hlte Beispiele der dimensionsanalytischen Behandlung vonProzessen aus dem Gebiet der belebten Natur 239

Beispiel 49: Dimensionsanalytische Betrachtung des Ruderns 240

Beispiel 50: Warum schwimmen die meisten Tiere unter Wasser? 242

Beispiel 51: Wandern auf dem Mond 243

Beispiel 52: Laufen und Springen auf der Wasseroberfl"che 247

Beispiel 53: Was treibt den Saft in die Bl"tter der B"ume? 248

16 Kurzer geschichtlicher <berblick zur Dimensionsanalyseund zur Modell�bertragung 249

16.1 Geschichtliche Entwicklung der Dimensionsanalyse 249

16.2 Geschichtliche Entwicklung der Modell0bertragung 252

17 <bungen zur Modell�bertragung 255

17.1 Aufgaben 255

17.2 L�sungen der Aufgaben 258

18 Verzeichnis wichtiger benannter Kennzahlen 263

19 Literatur 265

Stichwortverzeichnis 273

Inhaltsverzeichnis XI

XIII

Viele Forschungs- und Dimensionierungsaufgaben, die sich heute dem Verfah-rensingenieur stellen, sind so kompliziert, daß sie mit den Mitteln der numeri-schen Mathematik nicht mehr zu l�sen sind. Es gen�gt, wenn man in diesemZusammenhang an Vorg"nge in Verbindung mit temperaturabh"ngigen Stoff-werten oder mit nicht-Newtonschen Fluiden erinnert bzw. auf Vorg"nge in hete-rogenen Stoffsystemen hinweist, bei denen z. B. Koaleszenzph"nomene oderSch"ume oder Schl"mme auftreten. Es leuchtet ein, daß Apparate und Anlagen,in denen solche Stoffsysteme behandelt werden, schwierige Dimensionierungs-probleme aufwerfen und oft allenfalls mit Hilfe der partiellen *hnlichkeit zu�bertragen sind.Es muß festgestellt werden, daß der Hochschulabsolvent in der Regel auf

Probleme genannter Art in keiner Weise vorbereitet ist. Einerseits sind dieAbhandlungen �ber die Grundlage der Modell�bertragung – die Dimensionsana-lyse – sowie �ber die *hnlichkeitstheorie und die Modell�bertragung in den g"n-gigen Lehrb�chern veraltet und auch sonst nur in den seltensten F"llen so abge-faßt, daß sie diese Methoden popularisieren k�nnten. Andererseits fehlt es derHochschule an Motivation f�r eine Forschungst"tigkeit dieser Art, da sie mitDimensionierungsaufgaben in der Regel nicht konfrontiert wird und ihr daherdazu meist auch die n�tigen Apparate im halbtechnischen Maßstab fehlen.So entsteht der v�llig falsche Eindruck, daß die angesprochenen Methoden

bestenfalls eine marginale Bedeutung f�r die verfahrenstechnische Praxis besit-zen, da man sie sonst ja im Studium intensiver behandelt h"tte!Das vorliegende Buch versucht diesem Mangel abzuhelfen. Es behandelt die

Dimensionsanalyse und die Modell�bertragung so, daß sie jedermann auch ohnemathematische Vorkenntnisse sofort und leicht verst"ndlich wird. Dabei wird ins-besondere der Behandlung von ver"nderlichen Stoffwerten (z. B. ihre Temperatur-abh"ngigkeit, Abh"ngigkeit der Viskosit"t von der Scherbeanspruchung) vielRaum gegeben. Viele Stoffsysteme in der Biotechnik weisen n"mlich ein nicht-Newtonsches Viskosit"tsverhalten auf, und es sind gerade die biotechnischen Pro-zesse, die stetig an Bedeutung gewinnen. Bei der Modell�bertragung dieser Pro-zesse in den technischen Maßstab muß neben der geometrischen und prozeß-bedingten auch die stoffliche *hnlichkeit eingehalten werden.

Vorwort zur 1. Auflage

Scale-up: Modell bertragung in der Verfahrenstechnik. 2. Auflage. M. ZlokarnikCopyright 9 2005 WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, WeinheimISBN: 3-527-31422-9

XIV

Die theoretischen Grundlagen der Dimensionsanalyse und der Modell�bertra-gung werden auf den ersten hundert Seiten besprochen. Sie werden jeweisunmittelbar an zwanzig Beispielen erl"utert, die heute interessierende Fragestel-lungen behandeln.Die zweite H"lfte dieses Buches ist jedoch der ganzheitlichen dimensionsanaly-

tischen Behandlung von Problemen aus den Gebieten der mechanischen, thermi-schen und chemischen Verfahrenstechnik gewidmet; sie umfaßt dreißig Bei-spiele. Mit dem Begriff „ganzheitlich“ soll angedeutet werden, daß die Dimensi-onsanalyse stets zu Beginn der Problembehandlung bem�ht und befragt wurde,so daß die Durchf�hrung und die Auswertung der Versuche jeweils im Sinneihrer Voraussagen erfolgten.Die Auseinandersetzung mit dieser Vorgehensweise wird dem Leser nicht nur

eine praktische Anleitung zum eigenen Handeln vermitteln, sondern ihm auchden unerwartet hohen Nutzen dieser Methoden vor Augen f�hren.Der praktisch interessierte Leser, der ein konkretes Problem zu l�sen hat, aber

mit der dimensionsanalytischen Vorgehensweise nicht vertraut ist, muß das Buchkeineswegs vollst"ndig durchlesen, um sein Problem behandeln zu k�nnen. Esgen�gt zun"chst, sich die ersten 50 Seiten des Buches anzueignen, die dieDimensionsanalyse und die Methodik der Kennzahlgewinnung behandeln.Danach wird es vom Vorteil sein, jenes Anwendungsbeispiel genauer zu betrach-ten, das der fraglichen Problemstellung am n"chsten kommt. Daraufhin sollteman jedoch sofort beherzt das eigene Problem dimensionsanalytisch in Angriffnehmen, denn erst die praktische Auseinandersetzung mit einer eigenen Aufgabesch"rft das Verst"ndnis f�r das Nutzen sowie die Leistungsf"higkeit dieserMethode.

In Laufe meiner 35-j"hrigen praktischen Besch"ftigung mit den "hnlichkeits-theoretischen Arbeitsmethoden war mir mein Freund und Kollege, Herr Dr. JuriPawlowski, ein unsch"tzbarer Lehrer und Berater. Ihm verdanke ich unz"hligeAnregungen und Hinweise, so auch bei der Niederschrift dieses Buches. Daf�rm�chte ich ihm auch an dieser Stelle meinen herzlichen Dank aussprechen.Mein aufrichtiger Dank geb�hrt aber auch meinem ehemaligen Arbeitgeber,

der Bayer AG, Leverkusen, in dessen „Ingenieur-Abteilung Angewandte Physik“ich mein ganzes Berufsleben der verfahrenstechnischen Forschung und Entwick-lung widmen konnte und der es stets zuließ, daß ich mich neben den Betriebsauf-gaben und der Auftragsforschung in einem betr"chtlichen Umfang auch der ver-fahrenstechnischen Grundlagenforschung zuwenden konnte.

Marko Zlokarnik

Vorwort

XV

Die erste deutsche Auflage dieses Buches (Mai 2000) fand eine �berraschend guteAufnahme und wurde im Verlauf des Jahres 2005 ausverkauft. Meinem Vor-schlag, statt eines weiteren Nachdrucks eine Neuauflage folgen zu lassen, ist derVerlag WILEY-VCH gerne nachgekommen, wof�r ich den daf�r verantwortlichenDamen, Frau Dr. Barbara B�ck und Frau Karin Sora, auch an dieser Stelle herz-lich danke.Im Verlauf der letzten f�nf Jahre habe ich fast drei Dutzend Seminare zu

diesem Thema im Haus der Technik/Essen-Berlin-M�nchen, bei der Dechema/Frankfurt sowie bei verschiedenen Hochschulinstituten und Firmen im deutsch-sprachigen Raum gehalten. So konnte ich im Kontakt mit jungen Kollegen erfah-ren, wo die Schwierigkeiten bei der Rezeption des Themas liegen und wie manihnen didaktisch begegnen kann. Ich habe mich bem�ht, diese Erfahrungen indie Neuauflage einfließen zu lassen.Folgendes ist gegen�ber der ersten Auflage hinzugekommen:1. Das Kapitel „Ver"nderliche Stoffwerte“ – insbesondere nicht-NewtonscheFl�ssigkeiten – wurde vollst"ndig �berarbeitet. Neue Beispiele behandelndie Bruchfestigkeit von Feststoffen als Funktion des Partikeldurchmessers,das Weißenbergsche Ph"nomen bei viskoelastischen Fluiden sowie Koales-zenzph"nomene im System G/L.

2. Die Problematik der Miniplants aus der Sicht der Modell�bertragungwurde ausf�hrlicher unter die Lupe genommen.

3. Zwei weitere interessante Beispiele betreffen die Dimensionsanalyse desTablettierprozesses und das Wandern auf dem Mond.

4. Die Beispiele zum station"ren W"rmetransport behandeln neben dem inBlasens"ulen noch den in Rohren und in R�hrbeh"ltern.

5. Die Informationen zum Stofftransport im System G/L wurden neu struk-turiert, damit die Unterschiede in der dimensionsanalytischen Behand-lung der Oberfl"chen- und der Volumenbegasung klarer zutage treten.

6. Ein kurzer geschichtlicher Nberblick beschreibt die Entwicklung derDimensionsanalyse und der Modell�bertragung.

7. 25 neue Nbungsaufgaben mit L�sungen wurden aufgenommen.

Vorwort zur 2. Auflage

Scale-up: Modell bertragung in der Verfahrenstechnik. 2. Auflage. M. ZlokarnikCopyright 9 2005 WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, WeinheimISBN: 3-527-31422-9

XVI

Um den Umfang des Buches nicht �ber Geb�hr zu vergr�ßern, wurden einigeBeispiele aus der ersten Auflage, die seltener auftretende Themen behandelten,nicht in die Neuauflage �bernommen.Meinem Freund und Lehrer, Herrn Dr. Juri Pawlowski, m�chte ich auch an die-

ser Stelle meinen herzlichen Dank f�r seine Unterst�tzung bei der Neugestaltungeinzelner Kapitel, insbesondere der Abschnitte zur Rheologie, aussprechen.

Graz, im August 2005 Marko Zlokarnik

Vorwort

XVII

Lateinische Zeichen

a volumenbezogene Phasengrenzfl�che a ” A/VTemperaturleitf�higkeit; a ” k/(q cp)

A Fl�chec, Dc Konzentration, Konzentrationsdifferenzc Lichtgeschwindigkeit im Vakuumcp W�rmekapazit�t, massebezogenecs S�ttigungskonzentrationd charakteristischer Durchmesserdb Blasendurchmesser, meist als „Sauter-Durchmesser“ d32 formuliertd32 Sauter-Durchmesser von Gasblasen oder von Tropfendp PartikeldurchmesserD Beh�lterdurchmesser, RohrdurchmesserD Diffusivit�tDeff effektiver Dispersionkoeff. (in axialer Richtung)E Energie

Beschleunigungsfaktor bei der Chemisorption; Bez. (14.50)Aktivierungsenergie bei chem. ReaktionenEffizienz des Absorptionsvorganges, Abschn. 10.3.2 und S. 203

f FunktionszeichenF KraftF Feuchtegradg ErdbeschleunigungG StoffstromG GravitationskonstanteH H8he

Dimension der W�rmemengeJ Joulesches mechanisches W�rme�quivalentk Reaktionsgeschwindigkeitskonstante

W�rmedurchgangskoeffizient im Beispiel 24k Boltzmann-KonstantekG Stoff:bergangskoeff. auf der Gasseite

Symbolverzeichnis

Scale-up: Modell�bertragung in der Verfahrenstechnik. 2. Auflage. M. ZlokarnikCopyright > 2005 WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, WeinheimISBN: 3-527-31422-9

XVIII Symbolverzeichnis

kL Stoff:bergangskoeff. auf der Fl:ssigkeitsseitekLa volumenbezogener fl:ssigkeitsseitiger StofftransportkoeffizientkF FlotationsgeschwindigkeitskonstanteK Konsistenzindex in Abschnitt 8.5.1.1l charakteristische L�ngeL Dimension der L�ngem Masse

Fließ-Index in Abschn. 8.5.1.1M Dimension der MasseMol Maßeinheit der Stoffmengen R:hrerdrehzahlN Dimension der Stoffmenge

StufenzahlNx Normalspannungsdifferenzen (x = 1 oder 2) im Abschnitt 8.5.1.2p, Dp Druck, DruckverlustP Leistung, R:hrerleistungq VolumendurchsatzQ W�rmestromr Rang der Dimensionsmatrix

ReaktionsgeschwindigkeitR Reaktionsw�rmeR allgemeine GaskonstanteS Querschnittsfl�che (~ D2)Si Koaleszenzparametert (laufende) ZeitT Dimension der ZeitT TemperaturT absolute Temperaturu Umfangsgeschwindigkeit (u = pnd)v Geschwindigkeit, LeerrohrgeschwindigkeitV Volumenz Anzahl

Griechische Zeichen

a W�rme:bergangskoeffizientWinkel

b Temperaturkoeffizient der Dichte; Bez. (8.8)spez. Bruchenergie im Beispiel 31

c Deformationc0 Temperaturkoeffizient der Viskosit�t; Bez. (8.1)_cc Schergeschwindigkeit nach Bez. (8.23)_CC0 Shiftparameter f:r die Schergeschwindigkeit _cc, Abschnitt 8.5.1.3d Dicke (Film-, Schicht-, Wand-)e massebezogene Leistung e ” P/qV

XIXSymbolverzeichnis

e Gasanteil in der Fl:ssigkeit („hold-up“)f „Widerstandskoeffizient“ bei der Rohrstr8mung; Bez. (3.8)g dynamische Viskosit�t

Wirkungsgrad des Verdichters oder der PumpeG Shiftparameter f:r die dynamische Viskosit�t g, Abschnitt 8.5.1.3h ZeitdauerH Dimension der Temperatur

Randwinkelk W�rmeleitf�higkeit

Relaxationszeit nach Bez. (8.30)Kolmogorovs Mikromaßstab der Turbulenz im Abschnitt 10.1.3

K Makromaßstab der Turbulenzl Maßstabsfaktor l ” lT/lM

Zahlenwert in der bezugsinvarianten Stoff-Funktion, Abschnitt 8.3m kinematische Viskosit�tq Dichteq cp W�rmekapazit�t, volumenbezogener Grenz- bzw. Oberfl�chenspannung

Bruch-/Zugfestigkeit in den Beispielen 13 und 31s mittl. Verweilzeit s = V/q

Scherspannung nach Bez. (8.23)s0 Fließgrenze bei Bingham-K8rpernv bezugsinvariante Stoff-Funktion, Abschnitt 8.3j Anteil (volumen-, Massen-)f F:llgrad

Koeffizient der Bruchfestigkeit, Bez. (8.11)

Indices

c kontinuierliche, zusammenh�ngende Phased disperse Phasee EndzustandF FlockeG Gas (gasf8rmig)L fl:ssig (liquid)min minimale, kleinsteM Modellmaßstab0 Anfangszustandp Partikels S�ttigungswert

Schichth8heS fest (solid), Schaum-t Zustand zur Zeit tT technischer Maßstabw Wand

1

1Einf�hrung

Der Verfahrensingenieur, der Chemieingenieur und der technische Chemikerhaben es in der Regel mit der technischen Realisierung von Verfahren zu tun, beidenen chemische (oder mikrobiologische) Stoffumwandlungen mit dem Stoff-,W rme- und Impulsaustausch gekoppelt sind und sich daher im Kleinen (Labor-oder Technikumsmaßstab) anders verhalten als im Großen (Betriebsmaßstab).Diese Vorg nge sind maßstabsabh�ngig. Heterogene Reaktionen sowie die meistenGrundoperationen wie Mischen und R,hren, Sieben und Sichten, Filtrieren undZentrifugieren, Zerkleinern, Trocknungs- und Brennvorg nge in verschiedenstenOfentypen – um nur einige wenige Beispiele zu nennen – geh2ren dazu. Es istdeshalb seit jeher ein verst ndliches Anliegen des technischen Chemikers unddes Verfahrensingenieurs, zu wissen, wie man solche Vorg nge im Modell nach-zuahmen hat, um Aufschluß ,ber die Auslegung und Dimensionierung einerneu zu errichtenden technischen Anlage zu bekommen. Gelegentlich stellt sichdie gleiche Frage auch anders: Es existiert eine großtechnische Anlage, aber diesefunktioniert nicht oder nicht zufriedenstellend, und man m2chte deshalb durchentsprechende Modellversuche herausfinden, was die Ursache daf,r ist und wieman sie beheben kann.

Gleichg,ltig, ob es sich nun um eine Maßstabsvergr2ßerung („scale-up“) odereine Maßstabsverkleinerung („scale-down“) handelt, die vorzunehmende „Modell-oder Maßstabs,bertragung“ ist immer mit einer Reihe wichtiger Fragen verbun-den:. Wie klein darf das Modell sein? Ist es ausreichend, mit einem einzigen Modell

zu arbeiten, oder m,ssen Versuche in verschieden großen Modellen durch-gef,hrt werden?

. Wann m,ssen, wann k2nnen die stofflichen Parameter variiert werden, wannd,rfen die Modellmessungen nur mit dem Original-Stoffsystem durchgef,hrtwerden?

. Nach welchen Gesetzm ßigkeiten werden die Prozeßparameter des Modell-versuchs denen der Großausf,hrung angepaßt?

. Ist eine vollst ndige >hnlichkeit zwischen den Vorg ngen in der Modell-apparatur und in der Großausf,hrung ,berhaupt zu erreichen? Wenn nicht,wie soll vorgegangen werden, und welche Aussagen sind dann zu erreichen?

Scale-up: Modell�bertragung in der Verfahrenstechnik. 2. Auflage. M. ZlokarnikCopyright ? 2005 WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, WeinheimISBN: 3-527-31422-9

Diese Fragen betreffen die Modelltheorie, welche auf der Dimensionsanalyseberuht. Obwohl diese Grundlagen seit bald einem Jahrhundert eine Selbstver-st ndlichkeit auf dem Gebiet der Str2mungslehre und der W rme,bertragungsind – kein Schiffs- oder Flugk2rper, aber auch kein W rmeaustauscher wird seitJahren anders als nach diesen Methoden dimensioniert! – haben sie auf denGebieten der mechanischen, thermischen und chemischen Verfahrenstechniknur in einem bescheidenen Umfang Eingang gefunden. Die Grunde hierf,r wur-den bereits im Vorwort dargelegt.

Man kann die Bedeutung der dimensionsanalytischen Methoden f,r die heu-tige verfahrenstechnische Praxis durch nichts transparenter machen als durchAnwendungsbeispiele. Deshalb wird in diesem Buch der Schwerpunkt auf dieganzheitliche Behandlung von verfahrenstechnischen Fragestellungen mittels derDimensionsanalyse gelegt.Von den mechanischen Verfahren werden beispielhaft das R,hren in homoge-

nen und in begasten Fl,ssigkeiten sowie das Mischen von Feststoffen behandelt.Weiter kommen zur Sprache das Zerst uben von Fl,ssigkeiten mit D,sen, dieHerstellung von fl,ssig/fl,ssig Emulsionen in Dispergiermaschinen sowie dasZerkleinern von Feststoffen in Kugelm,hlen. Als Besonderheiten werden dieAuslegungsunterlagen f,r Flotationsanlagen f,r die Abwasserreinigung, f,r dieGasreinigung (Tropfenabscheidung aus Aerosolen durch Tr gheitskr fte) sowief,r das Trockenschleudern in Filterzentrifungen vorgestellt.Von den thermischen Verfahrensschritten werden der Stoff- und der W rme-

transport in R,hrbeh ltern und in Blasens ulen behandelt, wobei bei dem Stoff-transport im System gasf2rmig/fl,ssig ausf,hrlich auf die Ber,cksichtigung derKoaleszenzph nomene eingegangen wird. Das Problem des gleichzeitigen Stoff-und W rmetransportes kommt in Verbindung mit der Filmtrocknung zur Spra-che.

Aus dem Gebiet der chemischen Reaktionstechnik wird die Durchf,hrung vonGasreaktionen im Str2mungsrohr sowie im Festbettreaktor (Feststoffkatalyse)besprochen. Eine maximal m2gliche Selektivit t l ßt sich bei konkurrierendenFolgereaktionen zwischen zwei fl,ssigen Reaktionspartnern nur dann erreichen,wenn im Reaktionsraum die R,ckvermischung von Reaktionsprodukten und-partnern vollst ndig unterbunden wird. Daf,r ist der Rohrreaktor mit D,senmi-scher am besten geeignet; seine Dimensionierungsunterlagen werden vorgestellt.In letztem Beispiel dieses Kapitels wird der dimensionsanalytische Rahmen abge-steckt, in dem sich die Auswirkung der Stofftransportlimitierung auf die Reakti-onsgeschwindigkeit von schnellen Reaktionen im Stoffsystem Gas/Fl,ssigkeitanschaulich darstellen l ßt.

Im vorletzten, kurzen Kapitel wird an einigen Beispielen gezeigt, daß manauch Bewegungsvorg nge in belebter Natur im Sinne der Dimensionsanalysebeschreiben und die Geltungsbereiche f,r die zutreffenden pi-Gr2ßen angebenkann. Die Vorg nge in der Natur unterliegen ja den gleichen physikalischen Rah-menbedingungen (Einschr nkungen) wie die in der Welt der Technik.

1 Einf�hrung2

3

2Dimensionsanalyse

2.1Grundlage

Die Dimensionsanalyse gr ndet sich auf der Erkenntnis, daß eine mathematischeBeziehung, die ein chemisch- oder physikalisch-technisches Problem beschreibt,dimensionshomogen formuliert sein muß, wenn sie allgemein, d. h. im beliebi-gen Dimensionssystem g ltig sein soll.

2.2Was ist eine Dimension?

Eine Dimension ist eine rein qualitative Beschreibung einer physikalischen Eigen-schaft bzw. Erscheinungsform: Eine L"nge kann sich als Breite, Tiefe oder H%hedarstellen, eine Masse als ein leichter oder schwerer K%rper, eine Zeit als ein kur-zer oder langer Augenblick, usw. Die Dimension einer L"nge ist die L"nge (L), dieDimension einer Masse ist die Masse (M), usw.

Jedem physikalischen Begriff kann man eine Gr%ßenart und jeder Gr%ßenarteine Dimension zuordnen. Dabei kommt vor, daß verschiedene Gr%ßenarten einund dieselbe Dimension aufweisen. Beispiel: Die Diffusivit"t D, die Temperaturleit-f"higkeit a und die kinematische Viskosit"t m haben die gleiche Dimension [L2 T–1].

2.3Was ist eine physikalische Gr�ße?

Im Gegensatz zur Dimension ist eine physikalische Gr%ße eine quantitativeBeschreibung einer physikalischen Eigenschaft:

Physikalische Gr%ße = Zahlenwert (Maßzahl) 8 Maßeinheit

Beispiel: Eine Masse von 5 kg: m = 5 kg. Die Maßeinheit der L"nge kann z. B. einMeter, ein Fuß, eine Elle, eine nautische Meile, ein astronomisches Jahr, usw.sein. Die Maßeinheiten der Energie sind z. B. Joule, cal, eV, usw. (Deswegen mußman sich in einem Maßeinheitensystem diesbez glich festlegen.)

Scale-up: Modell�bertragung in der Verfahrenstechnik. 2. Auflage. M. ZlokarnikCopyright < 2005 WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, WeinheimISBN: 3-527-31422-9

2.4Grundgr�ßen und abgeleitete Gr�ßen; Dimensionskonstanten

Man unterscheidet zwischen den Grund- oder Basisgr%ßen und den aus ihnenabgeleiteten, sekund"ren Gr%ßen. Die Grundgr%ßenarten werden per Definitionfestgelegt; nach dem heute g ltigen SystHme International d’UnitKs (SI) geh%rtdazu z. B. die Masse und nicht die Kraft wie noch vor 40 Jahren!

Die abgeleiteten Gr%ßen werden aus den Grundgr%ßen nach Maßgabe einesphysikalischen Gesetzes oder Vorganges gebildet. So wird z. B. die Geschwindig-keit v als L"nge pro Zeit definiert: [v] = L/T, ihre koh"rente Maßeinheit ist m/s.Koh"renz der Maßeinheiten bedeutet, daß sekund"re Gr%ßen nur solche Maßein-heiten haben d rfen, die mit den per definitionem festgesetzten Maßeinheitender Grundgr%ßen im Einklang sind und sich daher als Potenzprodukte der Grund-maßeinheiten darstellen. Angaben der Geschwindigkeit in mph (miles/hour) oderin km/h verstoßen dagegen!

Wird eine abgeleitete Gr%ße durch ein physikalisches Gesetz festgelegt, kann esvorkommen, daß sie mit einem anderen physikalischen Gesetz in Widerspruchger"t.

Beispiel a

Nach dem 2. Newtonschen Gesetz wird die Kraft F als das Produkt aus Masse undBeschleunigung definiert: F = m a. Sie besitzt die Dimension [M L T–2]. Dies w"reim Widerspruch mit dem Newtonschen Gravitationsgesetz: F ~ m1 m2/r2, wonachdie Kraft die Dimension [M2 L–2] haben w rde, deshalb mußte hier die Gravita-tionskonstante G – eine Dimensionskonstante – eingef hrt werden, um dieDimensionshomogenit"t der Beziehung zu gew"hrleisten: F = G m1 m2/r2.

G [M–1 L3 T–2] = 6,673 · 10–11 m3/(kg s2)

Beispiel b

f r diesen Sachverhalt ist die Einf hrung der allgemeinen Gaskonstante R, wel-che sicherstellt, daß in der Beziehung p V = n R T die bereits festgelegte sekun-d"re Dimension f r die Arbeit W = p V [M L2 T–2] nicht verletzt wird.

R [M L2 T–2 N–1H–1] = 8,313 J/(mol K)

Zu den abgeleiteten, sekund"ren physikalischen Gr%ßen geh%ren z. B. auch dieKoeffizienten in den Transportbeziehungen f r Impuls, Stoff und W"rme. Auchsie sind mit der jeweiligen physikalischen Beziehung festgelegt („Definitionsgr%-ßen“) und nur ber ihre Konstituenten bestimmbar. Insbesondere in der Verfah-renstechnik kommt es noch heute vor, daß neue sekund"re Gr%ßen eingef hrt

2 Dimensionsanalyse4

werden m ssen. Man ist jedoch stets in der Lage, f r sie die Dimension und diekoh"rente Maßeinheit festzulegen; Beispiel: volumenbezogener fl ssigkeitsseiti-ger Stofftransportkoeffizient kLa [T–1].

2.5Dimensionssysteme

Ein Dimensionssystem besteht aus allen prim"ren und auf ihnen aufgebautensekund"ren Dimensionen mit den dazugeh%renden koh"renten Maßeinheiten.Das heute g ltige SystHme International d’UnitKs (SI) basiert auf sieben Grund-dimensionen; diese sind in der Tabelle 1 zusammen mit ihren Grundmaßeinhei-ten angegeben. Tabelle 2 verweist darauf, daß einige h"ufig verwendete sekund"reMaßeinheiten nach ber hmten Forschern benannt sind. Diese sind insbesonderein der Elektrotechnik h"ufig anzutreffen (Beispiele: Coulomb, Farad, Henry,Hertz, Ohm, Siemens, Tesla, Volt, Weber). Tabelle 2 listet nur jene auf, die in derMechanik und somit in der mechanischen Verfahrenstechnik vorkommen.

Tab. 1 Grundgr�ßenarten und ihre Dimensionen gem�ß demheute g�ltigen Dimensionssystem SI

Grundgr�ßenart Grunddimension Grundmaßeinheit

L"nge L m Meter

Masse M kg Kilogramm

Zeit T s Sekunde

thermodyn. Temperatur H K Kelvin

Stoffmenge N mol Mol

elektrische Stromst"rke I A AmpHre

Lichtst"rke Iv cd Candela

Tab. 2 Nach bedeutenden Forschern benannte sekund�reMaßeinheiten der Mechanik

Sek. Gr�ße Dimension Maßeinheit Abk&rzung

Kraft M L T–2 kg m s–2 ” N Newton

Druck M L–1 T–2 kg m–1 s–2 ” Pa Pascal

Energie M L2 T–2 kg m2 s–2 ” J Joule

Leistung M L2 T–3 kg m2 s–3 ” W Watt

52.5 Dimensionssysteme

In der Tabelle 3 sind die wichtigsten sekund"ren Dimensionen der mechani-schen und thermischen Verfahrenstechnik aufgef hrt.

Tab. 3 H�ufig verwendete sekund�re Gr�ßenarten und ihreDimensionen im heute g�ltigen SI f�r mechanische undthermische Fragestellungen

Gr�ßenart Dimension

Fl"che L2

Volumen L3

Winkelgeschwindigkeit

Deformationsgeschw. T–1

Frequenz

Geschwindigkeit L T–1

Beschleunigung L T–2

kinemat. Viskosit"t

Diffusionskoeffizient L2 T–1

Temperaturleitf"higkeit

Dichte M L–3

Oberfl"chenspannung M T–2

Dynamische Viskosit"t M L–1 T–1

Impuls M L T–1

Kraft M L T–2

Druck, Spannung M L–1 T–2

Drehimpuls M L2 T–1

Mechanische Energie

Arbeit, Drehmoment M L2 T–2

Leistung M L2 T–3

Spezifische W"rme L2 T–2 H–1

W"rmeleitf"higkeit M L T–3 H–1

W"rme bergangskoeff. M T–3 H–1

Treten bei der Formulierung von Problemstellungen in den Dimensionen derbeteiligten Gr%ßen nur die Grunddimensionen [M, L, T] auf, handelt es sich ummechanische Fragestellungen, beim Auftreten von [H] um einen thermischen

6 2 Dimensionsanalyse

und beim Vorhandensein von [N] um einen chemischen Sachverhalt. Zum letztenist eine Anmerkung notwendig.

Bei chemischen Reaktionen reagieren die Atome bzw. Molek le der Reaktan-den und nicht deren Massen miteinander. Deren Anzahl (Menge) ergibt sich ausder Masse eines Stoffs gem"ß seiner Molmasse. Ein Mol (SI-Einheit: mol) einerchemisch reinen Substanz enth"lt NA = 6,022 · 1023 Objekte (Atome, Molek le).Man gewinnt die Angabe ber die Stoffmenge n, indem man die Masse einer che-misch reinen Verbindung durch ihre Molmasse dividiert. Konkret gesagt: Beieiner Gasreaktion zwischen Wasserstoff und Chlor reagiert gem"ß der Gleichung

H2 + Cl2 = 2 HCl

ein Mol Wasserstoff mit einem Mol Chlor und bildet zwei Mole Chlorwasserstoff.Dabei ist es v%llig unerheblich, daß in bezug auf Masse 2 g H2 mit 71 g Cl2 zu 73 gHCl reagiert haben.

2.6Dimensionshomogenit)t einer physikalischen Beziehung

Es wurde darauf hingewiesen, daß eine Beziehung, die ein chemisches oder einphysikalisches Problem beschreibt, dimensionshomogen formuliert werdenmuß, wenn sie allgemein g ltig sein soll (Abschnitt 2.1). Die Aufgabe der Dimen-sionsanalyse besteht daher darin, zu berpr fen, ob ein zu erarbeitender physika-lischer Zusammenhang dimensionshomogen formuliert werden kann. Die dazun%tige Prozedur besteht aus zwei Schritten:

a) Zun"chst werden alle Parameter aufgelistet, mit denen das Problembeschrieben wird. Diese sog. Relevanzliste des Problems besteht aus der(in der Regel einzigen) gesuchten Zielgr%ße und aus den sie beeinflussen-den Parametern (Einflußgr%ßen). Die Zielgr%ße ist die einzige abh"ngigeGr%ße und die Einflußgr%ßen sollten untereinander linear unabh"ngigsein. Beispiel: Von den Stoffgr%ßen g, m, q sollten nur zwei gew"hlt wer-den, weil sie miteinander definitionsm"ßig gekoppelt sind: m ” g/q.

b) In einem zweiten Schritt wird dann die Dimensionshomogenit"t desZusammenhanges zwischen diesen Gr%ßen berpr ft, indem dieserdimensionslos formuliert wird. Dies ist die Grundlage des sog. pi-Theo-rems (vgl. Abschnitt 2.7), in dem die Dimensionshomogenit"t auf diedimensionslose Darstellbarkeit von physikalischen Sachverhalten hinaus-l"uft.

& Merke: Eine dimensionslose Abh ngigkeit ist dimensions-homogen!

Das bisher Gesagte wird im folgenden an drei Beispielen transparent gemacht.

72.6 Dimensionshomogenit�t einer physikalischen Beziehung

Beispiel 1: Wovon h"ngt die Schwingungsperiode h eines Pendels ab? [15]

Zeichnen wir uns zuerst eine Skizze des Pendels und schreiben alle Gr%ßen auf,die an der Fragestellung beteiligt sein k%nnen! Die Schwingungsperiode h einesPendels wird m%glicherweise von der L"nge l des Pendels, von seiner Masse m,von der Erdbeschleunigung g und von der Amplitude a abh"ngen.

Gr�ße Symbol Dim.

Schwingungsperiode h T

L"nge des Pendels l L

Masse des Pendels m M

Erdbeschleunigung g L T–2

Amplitude (Winkel) a –

Unsere Aufgabe wird es sein, h als Funktion von l, m, g und a zu ermitteln:

h = f (l, m, g, a) (2.1)

Wird diese Funktion dimensionshomogen sein? Nein! Wir stellen fest, daß dieGrunddimension der Masse M nur in der Masse m selbst vorkommt. Bei einerXnderung deren Maßeinheit (z. B. von kg zu Pfund lb) w rde sich der Zahlenwertder Funktion "ndern. Das darf nicht sein; entweder haben wir eine weitere, Menthaltende Einflußgr%ße bei der Auflistung vergessen oder aber die Masse istgar keine Einflußgr%ße. Wir nehmen vereinfachend*) das zweite an, womit sichdie obige Abh"ngigkeit auf den Zusammenhang reduziert:

h = f (l, g, a) (2.2)

Sowohl l als auch g enthalten die Grunddimension der L"nge L. In der Kombina-tion l/g werden sie in bezug auf L dimensionslos und hiermit von der Xnderungder Grundmaßeinheit der L"nge unabh"ngig sein:

h = f (l/g, a) (2.3)

Links des Gleichheitszeichens steht die Dimension T, rechts aber T2. Die f-Funk-tion muß so beschaffen sein, daß auch rechts T steht: Da l/g die Dimension T2

hat, wird dies durchffiffiffiffiffiffiffil=g

perreicht. Dieser Ausdruck wird seine Dimension nur

8 2 Dimensionsanalyse

*) Man w rde beim realen Pendel die Dichteund die Viskosit"t der Luft mit in die Rele-vanzliste aufnehmen m ssen – beide enthal-ten in ihren Dimensionen die Masse –, nur

w rde man damit das Problem an dieserStelle unn%tigerweise erschweren. Wir wollendeshalb ein mathematisches Pendel mitpunktueller Masse im Vakuum betrachten.