Statistik 1 für SoziologInnen Univariate Häufigkeitstabellen Häufigkeiten.pdf · 1 © Marcus Hudec Univariate Häufigkeitstabellen Tabellarische und graphischeAufbereitung von

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Univariate HäufigkeitstabellenTabellarische und graphische Aufbereitung von Daten

Statistik 1 für SoziologInnen

Tabellarische und graphische Aufbereitung von Daten

Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec

Absolute Häufigkeiten diskreter Merkmale

X sei ein diskretes Merkmal mit den Realisationsmöglichkeiten xi, wobei i=1,...,k

X sei ein qualitatives Merkmal, das entweder eine Nominal- oder eine Ordinalskala aufweist

Die Anzahl des Vorkommens von xi in einer Population heißt absolute Häufigkeit:

n(X=xi) bzw. kurz ni

n()…Zählfunktion

2 Statistik 1 - Univariate Häufigkeitstabellen

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Beispiel: Personalbeurteilung (Schlittgen p.13 ff)

n=120 BeurteilungsbögenMerkmal: "Produktives Denken"Ausprägungen xi (k=10):0 ... sehr gering

bis 9 ... sehr gut ausgeprägtSkalenniveau: OrdinalUrliste:Urliste:5 6 8 7 5 5 ...

... 6 5 5 4


Häufigkeitstabelle (absolute Häufigkeiten)

i xi ni

1 0 02 1 02 1 03 2 04 3 75 4 126 5 387 6 298 7 27

Statistik 1 - Univariate Häufigkeitstabellen4

8 7 279 8 6

10 9 1Gesamt 120

i … laufender Index

xi …Ausprägungen

ni … Häufigkeiten

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Relative Häufigkeiten diskreter Merkmale

Die relative Häufigkeit hi von einer Merkmalsausprägung xi ist:die absolute Häufigkeit n der Merkmalsausprägung xdie absolute Häufigkeit ni der Merkmalsausprägung xidividiert durch die Gesamtzahl der Merkmalsträger n

≡==

≡= iii

i hnn

nxXnxXh )(

)(

∑∑==

==k

ii

k

ii hnn

111


Häufigkeitstabelle (absolute & relative Häufigkeiten)

i xi ni hi hi in %1 0 0 0,00 0,00%2 1 0 0,00 0,00%3 2 0 0,00 0,00%4 3 7 0,06 5,83%5 4 12 0,10 10,00%6 5 38 0,32 31,67%7 6 29 0,24 24,17%8 7 27 0,23 22,50%9 8 6 0 05 5 00%9 8 6 0,05 5,00%

10 9 1 0,01 0,83%Gesamt 120 1 100,00%


In der Praxis werden die relativen Häufigkeiten oft mit 100 multipliziert und als Prozentwerte dargestellt

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Stabdiagramm: Produktives Denken

3835

40

hi

12

2927

15

20

25

30

35

7 6

10

5

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


Säulendiagramm: Produktives Denken

38

35

40

t

7

12

2927

610

15

20

25

30

35

Ab

so

lute

Häu

fig

kei

0 0 0 10

5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Beurteilung "Produktives Denken"


5© Marcus Hudec

3-dimensionales Säulendiagramm

35

40 38

29

15

20

25

30

12

2927

0

5

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 0 0

7 6

1


Beurteilung produktives Denken

Kontraproduktives Design

30

35

40

5

10

15

20

25

30

Datenreihen1

00

12

34

56

78

9


6© Marcus Hudec

4 Leitregeln für statistische Graphiken

Eine statistische Graphik sollte möglichst selbsterklärend sein.

Möglichst exakte Angabe der Datenquelle bzw. der Grundgesamtheit.

Es sollte möglich sein, auf die zugrundeliegenden numerischen Daten rückschließen zu können

Gitterlinien, WertangabenDie erste optische Wahrnehmung muss die tatsächlichen Größenordnungen korrekt widerspiegeln.

Menschen nehmen Flächen wahr Flächen müssen dieMenschen nehmen Flächen wahr Flächen müssen die Quantität reflektieren

Die Graphik soll optisch attraktiv sein, aber eine klare Botschaft vermitteln.

Erwecken des Interesses des Betrachters


Vier zentrale Prinzipien statistischer Graphiken

Selbsterklärend(Qualitative Information)Numerische TransparenzNumerische Transparenz (Quantitative Information)Graphische Integrität(Korrektheit der Information)Optische Attraktivität(Anziehungskraft)


(Anziehungskraft)

Mehr dazu im Kapitel 3. Statistische Graphiken

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Daten aus Kühnel & Krebs p.44

Frage nach der Einschätzung der Wirtschaftlage in Deutschland (1996)

Ausprägung Code Häufigkeitsehr gut 1 30gut 2 435teils/teils 3 1710schlecht 4 1087schlecht 4 1087sehr schlecht 5 232keine Antwort -99 24


Daten aus Kühnel & Krebs p.44 - mit Excel aufbereitet

Gültige Kumulierte

Frage nach der "Einschätzung der allgemeinen Witschaftslage in der Bundesrepublik Deutschland"

Ausprägung Code Häufigkeit ProzenteGültige

ProzenteKumulierte Prozente

sehr gut 1 30 0,9% 0,9% 0,9%gut 2 435 12,4% 12,4% 13,3%teils/teils 3 1.710 48,6% 48,9% 62,2%schlecht 4 1.087 30,9% 31,1% 93,4%sehr schlecht 5 232 6,6% 6,6% 100,0%keine Antwort -99 24 0,7% MissingTotal 3.518 100,0% 100,0%Gültige Fälle: 3.494 Fehlende Fälle: 24g

Quelle: Allbus 1996


Die gültigen Prozentwerte beziehen die absolute Häufigkeit gültiger Antworten auf die Gesamtzahl aller gültigen Antworten

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Säulendiagramm mit absoluten Häufigkeiten


Säulendiagramm mit relativen Häufigkeiten


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Umgang mit fehlenden Antworten3 Monate vor der Fußball-WM 2006 war die Kampagne der Bild-Zeitung gegen den Bundestrainer Jürgen Klinsmann in vollem Gange. Auf der Online-Ausgabe "bild.de" konnte man bei der Sonntags-Frage zur WM am 12.3.2006 nachlesen:

"Nur fünf Prozent sind sehr zufrieden mit Klinsmann“"Nur fünf Prozent sind sehr zufrieden mit Klinsmann


Korrekte Darstellung

5% aller Befragten ~ 6,9% aller Antwortenden

Beachte: Keine Angabe über die Zahl der RespondentenRepräsentativität ? Un friedene ä ßern sich B esentlich hä figer in


Unzufriedene äußern sich z.B. wesentlich häufiger in Web-ForenManipulation: 54,1% der Antworter sind mit Klinsmann zufrieden oder sogar sehr zufrieden

10© Marcus Hudec

Imputation fehlender Werte

Imputationsmethoden haben das Ziel fehlende Werte möglichst sinnvoll zu ergänzenGrundgedanke ist dabei das Ausnützen vonGrundgedanke ist dabei das Ausnützen von Abhängigkeiten zwischen MerkmalenUnterschiedliche Ergebnisse bei politischen Meinungsumfragen unterscheiden sich häufig nur in der methodischen Behandlung fehlender Werte:Wie werden die Unschlüssigen bzw. die Antwortverweigerer aufgeteilt?


g gVergleiche in der jüngeren österreichischen Geschichte die Unterschätzung der FPÖ unter J. Haider in vielen Meinungsumfragen vor Wahlen

Absolute oder relative Häufigkeiten?

Für Vergleichszwecke eignen sich relative Häufigkeiten natürlich besserBei Stichproben interessieren meist die AnteileBei Stichproben interessieren meist die Anteile (~relativen Häufigkeiten), aber der Umfang der Stichprobe muss unbedingt kommuniziert werden, um die Relevanz der Ergebnisse beurteilen zu können.Absolute Häufigkeiten kommunizieren stärker die Betroffenheit:


Im Jahresdurchschnitt 2006 gab es in Österreich laut AMS 239.000 als arbeitslos vorgemerkte Personen Im Jahresdurchschnitt 2006 betrug laut AMS die Arbeitslosenquote 6,8%

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Beispiel: Verteilung der Vegetation (Schlittgen p.17)

Nadelwälder 2%

Bruchwälder 6%

Gebüsche 14%

Auwälder 29%

Laubmischwälder 49%


Balkendiagramm (Barchart)


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Tortendiagramm (Piechart)

Nadelwälder2% Bruchwälder

6%

Gebüsche14%14%

Laubmischwälder49%

Auwälder29%


Häufigkeitsverteilung bei einem stetigen MerkmalStetiges Merkmal X mit vielen unterschiedlichen AusprägungenGrundgesamtheit von n Merkmalsträgern

nxxx ,,, 21 …

Urliste der Körpergröße von 100 Studenten:

170 183 154 186 165 180 177 178 184 176 178 175 188 153 183 180 165 180 180 196 174 167 181 168 166 187 187 195 164 177 197 161 187 170 171 184 170 187 167 160 162 182 173 168 182 185 155 176 172 164 166 163 170 164 171 173 179 174 180 172 177 175 157 167 165 160 170 173 166 173 166 178 172 176 169 160 169 171 179 179 175 175 190 182 177 185 173 174 172 186 173 173 176 162 174 182 188 188 174 177


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Erster Schritt: Ordnen der Daten

Geordnete Stichpobe:153 154 155 157 160 160 160 161 162 162163 164 164 164 165 165 165 166 166 166

)()2()1( ,,, nxxx …

166 167 167 167 168 168 169 169 170 170170 170 170 171 171 171 172 172 172 172173 173 173 173 173 173 173 174 174 174174 174 175 175 175 175 176 176 176 176177 177 177 177 177 178 178 178 179 179179 180 180 180 180 180 181 182 182 182182 183 183 184 184 185 185 186 186 187182 183 183 184 184 185 185 186 186 187187 187 187 188 188 188 190 195 196 197


Standardgraphik mit Excel Säulendiagramm


Auf der horizontalen Achse wird die Merkmalsskalierung nicht korrekt widergegeben

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Visualisierung der Verteilung der Größen

Korrektes Stabdiagramm


Beispiel aus der Praxis:


Die x-Achse ist nicht konstant skaliert; links 10-Jahresveränderungen, danach jährliche Veränderungen

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Visualisierung der Verteilung der Größen

Ein Dot-Plot ist eine einfache statistische Graphik für die Darstellung der Verteilung kleinerer bis mittlerer Datensätze.

Visualisierung von Werte-Cluster bzw. von Lücken in der Verteilung sowie für das Aufzeigen extremer


Einzelbeobachtungen (Ausreißer).

Körpergröße

Stem & Leaf-Diagram (Stengel-Blatt Diagramm)N = 100 Median = 174

Spaltenwerte in Einheiten von 10

Semigraphische Technik:

Systematisches Aufschreiben der Werte so dass sich 15 : 34

15 : 57 16 : 0001223444 16 : 55566667778899 17 : 000001112222333333344444 17 : 5555666677777888999

der Werte, so dass sich ein Bild der Verteilung ergibt

Alle Einzelwerte bleiben exakt erhalten

Nur für kleinere Datensätze geeignet

18 : 00000122223344 18 : 55667777888 19 : 0 19 : 567

geeignet


16© Marcus Hudec

Stemleaf-Diagramm mit HäufigkeitenN = 100 Median = 174

Spaltenwerte in Einheiten von 10

2 2 15 : 34 2 2 15 : 34 4 2 15 : 57 14 10 16 : 0001223444 28 14 16 : 55566667778899 24 17 : 000001112222333333344444 48 19 17 : 5555666677777888999 29 14 18 : 00000122223344 15 11 18 : 55667777888

4 1 19 : 0 3 3 19 : 567 Absolute Häufigkeiten

Kumulierte Häufigkeiten31 Statistik 1 - Univariate Häufigkeitstabellen

Stemleaf-Diagramm

Abstrahiert man von den konkreten Werten undkonkreten Werten und achtet nur auf die Form der Verteilung, ergibt sich das Histogramm


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Histogramm

Das Bild erinnert an ein Sä l diSäulendiagramm.

Im Gegensatz dazu kommt aber der horizontalen Achse eine geänderte Bedeutung zu.


Numerische Skala!

Häufigkeitstabelle bei stetigen Merkmalen

Klassierung (Klassifizierung):Einteilung des Wertevorrates (Realisationsmöglichkeiten der Merkmalsausprägungen) in nicht überschneidende p g g )angrenzende KlassenNach Möglichkeit gleiche Breite !Absolute Häufigkeit der Klasse ist die Anzahl der Realisationen mit Werten, die zu dieser Klasse gehören:

Klasse i sei definiert durch (ui,oi]( )n(ui<X ≤oi)=ni

eindeutige Zuordnung durch halboffene IntervalleRelative Häufigkeit der Klasse

h(ui<X ≤oi)=ni/n=hi


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Häufigkeitstabelle für klassifizierte Daten

Bereich ni hi

150+ bis 155 3 0,03155+ bis 160 4 0,04160+ bis 165 10 0,10165+ bis 170 16 0,16170+ bis 175 23 0,23175+ bis 180 20 0,20180+ bis 185 11 0,11185+ bis 190 10 0 10185+ bis 190 10 0,10190+ bis 195 1 0,01195+ bis 200 2 0,02Gesamt 100 1


Histogramm

Ein Histogramm ist die graphische Darstellung einer Häufigkeitstabelle, die sich durch die Klassierung eines stetigen Merkmals in Intervalle ergibt

10

15

20

25


0

5

140 150 160 170 180 190 200 210Körpergröße

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Histogramm mit Polygonzug

20

25

5

10

15

20

0140 150 160 170 180 190 200 210


Polygonzug

20

25

5

10

15

20

0140 150 160 170 180 190 200 210


20© Marcus Hudec

Tabellen in der Praxis

In der Praxis sind Häufigkeitstabellen oft der Ausgangspunkt einer empirischen Untersuchung (Sekundärdaten)( )Achtung: Klassierte Daten haben nicht 1:1 den selben Informationsgehalt wie die Originaldaten, da die Verteilung innerhalb der Klassen unbekannt ist (vgl. Informationsgehalt von Stem & Leaf-Diagramm und Histogramm)Problem offener Klassen:z.B.: monatl. Einkommen größer als 100.000,-Generell: Ungleich große Klassenbreiten erfordern eine adäquate graphische Darstellung


Zusammenfassung von Klassen

Bereich ni hi

150+ bis 160 7 0,07,160+ bis 165 10 0,10165+ bis 170 16 0,16170+ bis 175 23 0,23175+ bis 180 20 0,20180 bi 185 11 0 11180+ bis 185 11 0,11185+ bis 200 13 0,13Gesamt 100 1


21© Marcus Hudec

Fehlerhafte Modifikation des Histogramms

25

5

10

15

20


0140 150 160 170 180 190 200 210

Fehlerhafte Modifikation des Histogramms


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Korrekte Modifikation des Histogramms

Fläche muss konstant bleiben


Korrektes Histogramm nach Aggregation

falsch


Fläche muss konstant bleiben Prinzip der Flächentreue

korrekt

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Histogramm <==> Dichtedarstellung

Prinzip der Flächentreue:Der Flächeninhalt der Histogramm-Blöcke muss proportional zur Häufigkeit seinp p gDie Höhe der Histogramm-Blöcke muss dann die Dichte darstellen Dichte ist allgemein eine Häufigkeit bezogen auf eine Einheit z.B. Bevölkerungsdichte Anzahl Einwohner je km²Häufigkeitsdichte ist die relative Häufigkeit dividiert durch die KlassenbreiteFläche = Höhe*Breite Fläche ~ HäufigkeitBei Klassen konstanter Breite ist diese Unterscheidung für die Visualisierung irrelevant


Berechnung der Häufigkeitsdichte

Bereich ni hi bi di=hi/bi

150+ bis 160 7 0,07 10 0,007, ,160+ bis 165 10 0,10 5 0,020165+ bis 170 16 0,16 5 0,032170+ bis 175 23 0,23 5 0,046175+ bis 180 20 0,20 5 0,040180 bi 185 11 0 11 5 0 022180+ bis 185 11 0,11 5 0,022185+ bis 200 13 0,13 15 0,009Gesamt 100 1


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Beispiel: HaushaltseinkommenBeispiel: Haushaltseinkommen

Rohdaten: Monatliches Haushaltseinkommen in DM

Zahl der Haushalte

in 1000

Jahres-einkommen in Mio DM

Anteil Haushalte

Klassen-breite in 1000 DM

Anteil Haushalte korrigiert

Monatliches Haushalts-

einkommen in 1000 in Mio. DM 1000 DM korrigiert0 - 1000 7.067 24.387 0,2721 1 0,2721

1000 - 2000 2.139 38.878 0,0824 1 0,08242000 - 3000 2.265 68.030 0,0872 1 0,08723000 - 4000 2.332 98.277 0,0898 1 0,08984000 - 5000 2.122 115.255 0,0817 1 0,08175000 - 6000 2.161 142.770 0,0832 1 0,08326000 - 7000 1.881 146.503 0,0724 1 0,07247000 - 8000 1.530 137.288 0,0589 1 0,05898000 9000 1 181 120 002 0 0455 1 0 0455

einkommen

8000 - 9000 1.181 120.002 0,0455 1 0,04559000 - 10000 881 99.994 0,0339 1 0,0339

10000 - 15000 1.194 174.470 0,0460 5 0,009215000 - 20000 790 160.486 0,0304 5 0,006120000 - 25000 428 112.453 0,0165 5 0,0033

25.971Summe:



Histogramm der relativen Haushaltsanteile

Falsche Darstellung

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

Ante

il Ha

usha

lte

0

0,05

0 5 10 15 20 25

monatliches Einkommen in 1.000 DM


25© Marcus Hudec


Histogramm der relativen Haushaltsanteile

Richtige Darstellung

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

teil

Haus

halte

kor

rigie

rt

0

0,05

0 5 10 15 20 25

monatliches Einkommen in 1.000 DM

An


Wahl der Klassen für ein Histogramm

In der Praxis ist die Wahl der Klassengrenzen bzw. der Klassenanzahl relativ willkürlich.Klassenanzahl: je nach Datenlage und FragestellungKlassenanzahl: je nach Datenlage und Fragestellung 5 - 20Annäherung an die Klassenbreite: Spannweite (Differenz zwischen größtem und kleinsten Wert) bzw. durch gewünschte Klassenanzahl dividieren Klassenmitten sollten mit beobachteten WertenKlassenmitten sollten mit beobachteten Werten übereinstimmenWahl „schöner“ Grenzen im Sinne des dekadischen Systems


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Typisierung von Verteilungen

Unimodal Distribution

Unimodale Verteilung

Bimodal Distribution

Bimodale Verteilung


Multimodal Distribution

Multimodale Verteilung

Schiefe einer Verteilung

Unimodale symmetrische Verteilung


rechtsschief linksschief

27© Marcus Hudec

Kritik am klassischen Histogramm

Das resultierende Bild von der Gestalt der Verteilung hängt von der letztlich willkürlichen Wahl der Anzahl der Intervalle und vom Startpunkt der Intervallbildungder Intervalle und vom Startpunkt der Intervallbildung ab


Beispiel: Altersverteilung einer Kohorte

Histogram of Age

uenc

y 2030

Histogram of Age

uenc

y

015

20

Age

Freq

u

20 40 60 80

05

10

Age

Freq

u

20 30 40 50 60 70 80

05

10

Histogram of Age

50

Histogram of Age

10

Statistik 1 - Univariate Häufigkeitstabellen54Age

Freq

uenc

y

0 20 40 60 80 100

010

2030

40

Age

Freq

uenc

y

20 30 40 50 60 70 80

02

46

8

28© Marcus Hudec

Verschieben der Klassen-IntervalleHistogram of Age

quen

cy

1015

20

Histogram of Age

quen

cy 1015

Age

Freq

20 40 60 80

05

Age

Freq

20 40 60 80

05

Histogram of Age

20

Histogram of Age

15


Age

Freq

uenc

y

20 40 60 80

05

1015

Age

Freq

uenc

y

20 40 60 80

05

10

Alternative: Kernschätzer


Ein Kern bezeichnet eine symmetrische Funktion, die rund um den empirischen Datenpunkt aufgetragen wird. Das Bild der Verteilung ergibt sich dann durch die Summe über alle Funktionswerte im gesamten Bereich der x-Achse

29© Marcus Hudec

Selektion der Bandweite


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