Statistik für Ingenieure 3 Zufallsgrößen · Statistik f ur Ingenieure 3 Zufallsgr oˇen Prof. Dr. Hans-J org Starklo TU Bergakademie Freiberg Institut f ur Stochastik Wintersemester

Statistik fur Ingenieure3 Zufallsgroßen

Prof. Dr. Hans-Jorg Starkloff

TU Bergakademie FreibergInstitut fur Stochastik

Wintersemester 2019/2020letzte Anderung: 7.10.2019

3 Zufallsgroßen3.1 Zufallsgroßen und ihre Verteilung

I Haufig sind Zahlenwerte Ergebnisse von Zufallsversuchen.

I Oft ist es auch in anderen Fallen fur eine mathematischeBehandlung gunstig, den Versuchsergebnissen Zahlen zuzuordnen(etwa 1 fur

”Erfolg“ und 0 fur

”Misserfolg“).

⇒ Beschreibung des Ergebnisses eines Zufallsversuches durch eineZufallsgroße X (oder mehrere Zufallsgroßen X1,X2, . . . ,Xn) .

I BeispieleI Zufallige Zeit X (Lebensdauer, Ausfallzeit,. . . )

mit moglichen Werten x ∈ R : x ≥ 0 .

I Messergebnis X (Lange, Kraft, Temperatur, . . . ) mit entsprechendenZahlenwerten (ohne Maßeinheit) als moglichen Werten.

I Augenzahl X beim Wurfeln mit moglichen Werten 1, 2, 3, 4, 5, 6 .

Prof. Dr. Hans-Jorg Starkloff Stat. f. Ing. Wi 2019/2020 3 Zufallsgroßen 7.10.2019 2

Mathematische Definition einer Zufallsgroße

I Mathematische Definition einer Zufallsgroße:Eine Abbildung (Funktion) X : Ω→ R heißt Zufallsgroße (reelleZufallsvariable), falls fur jedes Intervall (a, b) ⊂ R, a < b, dieMenge ω ∈ Ω : a < X (ω) < b ein zufalliges Ereignis ist(”Messbarkeitsbedingung“ im Sinne der mathematischen Maß- und

Integrationstheorie; dabei wird ein System von zufalligen Ereignissenmit bestimmten naturlichen Eigenschaften als gegebenvorausgesetzt).

I Es gilt:Sind X ,Y Zufallsgroßen zu einem Zufallsversuch, dann sind auchX + Y , X − Y , X · Y , X/Y , falls Y 6= 0 , a · X mit a ∈ R undahnliche durch mathematische Operationen gebildete GroßenZufallsgroßen (d.h. die Messbarkeitsbedingung bleibt erhalten).


Grundtypen von Zufallsgroßen

I Fur Zufallsgroßen interessieren vor allem Wahrscheinlichkeiten derArt P(X ≤ b), P(a < X < b), P(a ≤ X ≤ b) (mit reellen Zahlena < b) oder ahnliche.

I Diese bilden die Verteilung oder Wahrscheinlichkeitsverteilung derZufallsgroße.

I Abgeleitete Kenngroßen, wie zum Beispiel Erwartungswert oderVarianz liefern ebenfalls wichtige Informationen.

I Zwei wichtige Grundtypen von Zufallsgroßen (mit zum Teilunterschiedlichen mathematischen Hilfsmitteln bei Berechnungenoder Untersuchungen) sind:

I Zufallsgroßen mit diskreter Verteilung(diskrete Zufallsgroßen) und

I Zufallsgroßen mit (absolut) stetiger Verteilung(stetige Zufallsgroßen) .


Zufallsgroßen mit diskreter Verteilung

I Definition Eine Zufallsgroße X heißt diskret, wenn sie nurendlich viele oder abzahlbar unendlich viele mogliche Wertex1, x2, . . . annehmen kann.

I Die Wahrscheinlichkeitsfunktion der diskreten Zufallsgroße X istdie Zuordnung pi := P(X = xi ) , i = 1, 2, . . . , die Werte pi sinddie zu den moglichen Werten zugehorigen Wahrscheinlichkeiten.

I Oft wird eine Verteilungstabelle gegeben:

mogliche Werte xi x1 x2 x3 . . .

zugehorige Wahrscheinlichkeiten pi p1 p2 p3 . . .

I Die Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten pi erfolgt durchBerechnung aus Grundannahmen (typische Verteilungen, spezielleModelle) oder experimentell mittels statistischer Methoden.


Wahrscheinlichkeiten bei diskreten Verteilungen

I Beispiel Gerechtes Wurfeln, Zufallsgroße X . . . Augenzahl.

xi 1 2 3 4 5 6

pi16

16

16

16

16

16

I Fur die Wahrscheinlichkeiten pi gelten allgemein :I 0 ≤ pi ≤ 1 ;

I∑

i

pi = 1 .

I Fur beliebige Mengen I ⊆ R gilt P(X ∈ I ) =∑

xi∈Ipi ,

z.B. fur reelle Zahlen a < b P(a < X < b) =∑

a<xi<b

pi .

I Beispiel Zweimaliges Wurfeln (fairer Wurfel),Zufallsgroße X . . . Augensumme.Ges. P(X ≤ 4) .


Zufallsgroßen mit stetiger Verteilung

I Definition Eine Zufallsgroße X heißt (absolut) stetig, wenn eseine integrierbare reelle Funktion fX : R→ R gibt, so dass

P(a ≤ X ≤ b) =

∫ b

afX (x) dx

fur beliebige reelle Zahlen a ≤ b gilt.I Die Funktion fX heißt Dichtefunktion (oder Verteilungsdichte) der

Zufallsgroße X und besitzt die Eigenschaften:1. fX (x) ≥ 0 fur alle x ∈ R ;

2.

∫ ∞

−∞fX (x)dx = 1 .

I BemerkungenI Eine stetige Zufallsgroße kann beliebige Werte aus einem Intervall

(oder einer ahnlichen Menge) annehmen.I Eine Dichtefunktion muss nicht stetig oder beschrankt sein !I Eine Dichtefunktion gibt die Verteilung der

”Wahrscheinlichkeitsmasse“ auf der reellen Achse an.


Beispiel Zufallsgroße mit stetiger Verteilung

I Beispiel Rein zufallige Auswahl eines Punktes (Wertes) X ausdem Intervall [0, 1] (auf dem Intervall [0, 1] gleichverteilte odergleichmaßig verteilte Zufallsgroße).

I Fur 0 ≤ a < b ≤ 1 gilt P(a ≤ X ≤ b) = b − a .

I Die Dichtefunktion ist fX (x) =

1 , 0 ≤ x ≤ 1 ;0 , sonst.


Verteilungsfunktion einer Zufallsgroße

I Die Verteilung einer beliebigen Zufallsgroße kann eindeutig durch dieVerteilungsfunktion der jeweiligen Zufallsgroße beschrieben werden.

I Definition Die Funktion FX einer reellen Variablen mit reellenFunktionswerten, die durch

FX (x) = P(X < x) = P(−∞ < X < x) , x ∈ R ,

definiert wird, heißt Verteilungsfunktion der Zufallsgroße X .

I Der Funktionswert ist fur jede reelle Zahl x die Wahrscheinlichkeitdafur, dass die Zufallsgroße X einen Wert annimmt, der kleiner alsx ist.

I Bemerkung: Mitunter wird die Verteilungsfunktion einerZufallsgroße X auch durch FX (x) = P(X ≤ x) , x ∈ R , definiert,insbesondere in der Zuverlassigkeitstheorie.


Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsgroße

I Fur ubliche diskrete Zufallsgroßen ist die Verteilungsfunktion eineTreppenfunktion mit Sprungen der Hohe pi an den Werten xi .

I Beispiel Verteilungsfunktion FX der ZufallsgroßeX . . . Augenzahl beim Wurfeln mit einem gerechten Wurfel .


Verteilungsfunktion einer stetigen Zufallsgroße

I Fur stetige Zufallsgroßen ist die Verteilungsfunktion eine in allenPunkten stetige Funktion.

I Beispiel Verteilungsfunktion FX einer Zufallsgroße X , die auf[0, 1] gleichverteilt ist (hier: unterschiedliche Achsenskalierung !)


Allgemeine Eigenschaften von Verteilungsfunktionen

I Eine Verteilungsfunktion FX ist monoton nicht fallend.

I Es gelten limx→−∞

FX (x) = 0 , limx→+∞

FX (x) = 1 .

I Eine Verteilungsfunktion FX ist linksseitig stetig.

I Es gilt fur beliebige reelle Zahlen a < b :

P(a ≤ X < b) = FX (b)− FX (a) .

I Fur stetige Zufallsgroßen gelten

P(a ≤ X < b) = P(a < X < b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X ≤ b).

I Außerdem gelten fur stetige Verteilungen

FX (x) =

∫ x

−∞fX (t)dt , x ∈ R und fX (x) = F ′X (x)

an den Stellen x ∈ R, in denen die Ableitung existiert.


3.2 Kenngroßen der Verteilung einer Zufallsgroße

I Die Gesamtinformation, die mit einer Wahrscheinlichkeitsverteilunggegeben wird (oder gegeben werden muss) ist haufig zuumfangreich.

I Deshalb nutzt man Kenngroßen, die in praktischen Situationen gutzu nutzen sind.

I Die beiden wichtigsten Gruppen von Kenngroßen sind die derLageparameter und der Streuungsparameter.

I Die am haufigsten genutzte Kenngroße ist der Erwartungswert EXeiner Zufallsgroße X (auch Mittelwert der Zufallsgroße genannt).

I Der Erwartungswert ist ein Lageparameter, eine (nichtzufallige)reelle Zahl und beschreibt die Lage des Schwerpunkts derWahrscheinlichkeitsmasse.


Definition Erwartungswert einer Zufallsgroße

I Definition Fur eine diskrete Zufallsgroße X mit moglichenWerten x1, x2, . . . und zugehorigen Wahrscheinlichkeitenp1 = P(X = x1), p2 = P(X = x2), . . . wird der Erwartungswertdefiniert durch

EX =∑

i

xipi .

Fur eine stetige Zufallsgroße X mit der Dichtefunktion fX wirdder Erwartungswert definiert durch

EX =

∫ ∞

−∞x · fX (x)dx .

I Beispiele ZufallsgroßenI X1 . . . Augenzahl beim Wurfeln mit einem gerechten Wurfel.

I X2 gleichmaßig verteilt auf dem Intervall [0, 1].


Beispiele Erwartungswerte von Zufallsgroßen

X1 . . . Augenzahl beim Wurfeln X2 gleichverteilt auf [0, 1]Einzelwahrscheinlichkeiten Dichtefunktion

und Erwartungswert und Erwartungswert


Eigenschaften von Erwartungswerten

I Nicht jede Zufallsgroße besitzt einen Erwartungswert.

I Linearitatseigenschaft von Erwartungswerten:

fur Zufallsgroßen X ,Y und reelle Zahlen a, b gelten

E(a + bX ) = a + bEX ;

E(X + Y ) = EX + EY .

I Ist g : R→ R eine (z.B. stetige) Funktion und X eineZufallsgroße, dann kann man den Erwartungswert der ZufallsgroßeY = g(X ) wie folgt berechnen, ohne erst die Verteilung von Y zubestimmen:

EY = Eg(X ) =∑

i

g(xi )pi fur diskrete ZG X ;

EY = Eg(X ) =

∫ ∞

−∞g(x)fX (x) dx fur stetige ZG X .


Varianz und Standardabweichung einer Zufallsgroße (ZG)

I Die wichtigste Kenngroße fur die Variabilitat von Zufallsgroßen istdie Varianz (auch Streuung oder Dispersion) der Zufallsgroße.

I Definition Die Varianz VarX der Zufallsgroße X ist dienichtnegative reelle Zahl

VarX = E (X − EX )2

=

∑i

(xi − EX )2 pi , diskrete ZG ;∫∞−∞ (x − EX )2 fX (x)dx , stetige ZG .

I Die Varianz, falls sie existiert, gibt die erwartete quadratischeAbweichung der Zufallsgroße von ihrem Erwartungswert an.

I Definition Die Standardabweichung σX der Zufallsgroße X istdie positive Quadratwurzel aus der Varianz der Zufallsgroße:

sd (X ) = σX =√

VarX .


Eigenschaften von Varianzen und Standardabweichungen

I Varianz und Standardabweichung sind Streuungsparameter.

I Die Varianz lasst sich meistens bequemer berechnen mit Hilfe derFormel

VarX = E(X 2)− (EX )2 .

I Ist a eine reelle Zahl und X eine Zufallsgroße mit endlicherVarianz, dann gelten

I Var(aX ) = a2VarX ,

I Var(a + X ) = VarX ,

I σ(aX ) = |a|σX ,

I σ(a+X ) = σX .

I Es gilt genau dann VarX = σX = 0 , wenn es eine reelle Zahl x0

gibt, so dass P(X = x0) = 1 gilt.

Die Zufallsgroße X heißt dann einpunktverteilt.


Beispielberechnungen Varianzen

I ZG X1 : Augenzahl beim Wurfeln mit einem gerechten Wurfel.

EX 21 =

12

6+

22

6+

32

6+

42

6+

52

6+

62

6=

91

6

VarX1 =91

6−(

7

2

)2

=35

12= 2.917 .

I ZG X2 : gleichmaßig verteilt auf dem Intervall [0, 1] .

EX 22 =

∫ 1

0x2 · 1 dx =

1

3

VarX2 =1

3−(

1

2

)2

=1

12= 0.0833 .


Variationskoeffizient

I Definition Fur eine Zufallsgroße X mit endlicher Varianz undEX > 0 wird der Variationskoeffizient VX (auch relativeStandardabweichung) definiert durch

VX =σXEX

.

I Mit dem Variationskoeffizienten wird die Streuung der moglichenWerte zum mittleren Wert (Erwartungswert) in Beziehung gesetzt.

I Der Variationskoeffizient ist unabhangig von den Einheiten und erhilft beim Vergleich der Starke der zufalligen Schwankungen derWerte von unterschiedlichen Zufallsvariablen, insbesondere wenndiese in unterschiedlichen Einheiten gemessen wurden.

I Der Variationskoeffizient kann fur solche Zufallsgroßen verwendetwerden, bei denen die Quotientenbildung der moglichen Werte auchinhaltlich sinnvoll ist.


Quantile einer stetigen Zufallsgroße

I Fur 0 < q < 1 heißt die reelle Zahl xq ein q−Quantil der stetigenZufallsgroße X , wenn X Werte links von xq mit einerWahrscheinlichkeit q annimmt, d.h. xq ist eine Losung derGleichung

∫ xq

−∞fX (x)dx = q bzw. FX (xq) = q .

I q−Quantile konnen auch fur diskrete und andere Zufallsgroßenbetrachtet werden.

I Wichtige Quantile sind:I das 0.5–Quantil, es heißt Median von X ;

I das 0.25– bzw. 0.75–Quantil, dies sind die sogenanntenViertelquantile oder Quartile von X (das untere bzw. das obere) ;

I die α− bzw. (1− α)−Quantile fur kleine Werte α , sie spielen beistatistischen Fragen eine große Rolle.


Beispiel Exponentialverteilung

Eine Zufallsgroße X heißt exponentialverteilt mit Parameter λ > 0 ,falls fur die Verteilungsfunktion FX bzw. die Verteilungsdichte fX gilt:

FX (x) =

0 , x ≤ 0 ,1− exp(−λx) , x > 0 ,

fX (x) =

0 , x ≤ 0 ,λ exp(−λx) , x > 0 .

Verteilungsfunktion (λ = 2) Dichtefunktion (λ = 2)


Quantile fur die Exponentialverteilung

I Es sei X exponentialverteilt mit Parameter λ = 2 , d.h.

FX (x) = P(X < x) =

0 , x ≤ 0 ,1− exp(−2x) , x > 0 .

I Dann gilt fur das q−Quantil xq (mit 0 < q < 1)

FX (xq) = 1− exp(−2xq) = q , also xq = −1

2ln (1− q) .

I

q xq0.25 0.1440.5 0.347

0.75 0.6930.95 1.498

Verteilungsfunktion Dichtefunktion


3.3 Wichtige diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen3.3.1 Diskrete Gleichverteilung

I Zufallsgroße X mit endlich vielen moglichen Wertenx1, x2, . . . , xn (xi 6= xj falls i 6= j) .

I Wahrscheinlichkeitsfunktion:

pi = P(X = xi ) =1

n, i = 1, 2, . . . , n .

I Im Spezialfall x1 = 1 , x2 = 2 , . . . , xn = n gelten

EX =n + 1

2und VarX =

n2 − 1

12.

I Anwendung: Laplace-Experiment.

I Bezeichnung: X ∼ U(x1, x2, . . . , xn) .


3.3.2 Bernoulli-Verteilung

I Parameter: p ∈ [0, 1] .

I Zufallsgroße X mit zwei moglichen Werten x1 = 1 , x2 = 0 .

I Wahrscheinlichkeitsfunktion:P(X = 1) = p , P(X = 0) = 1− p .

I Kenngroßen: EX = p und VarX = p(1− p) .

I Bezeichnung: X ∼ B(p) .

I Anwendung: Bernoulli-Experiment:

I Experiment mit zwei moglichen Versuchsausgangen, die durch diezufalligen Ereignisse A bzw. Ac beschrieben werden.

I Das Ereignis A tritt mit einer Wahrscheinlichkeit p = P(A) ein.

I Die Zufallsgroße X wird dann wie folgt definiert

X (ω) = 1A(ω) =

1 , wenn ω ∈ A ;

0 , wenn ω 6∈ A .


3.3.3 Binomialverteilung

I Parameter: n ∈ N , 0 ≤ p ≤ 1 .

I Zufallsgroße X mit moglichen Werten x0 = 0, x1 = 1, . . . , xn = n .


pi = P(X = i) =

(n

i

)pi (1− p)n−i , i = 0, 1, . . . , n .

I Kenngroßen: EX = np und VarX = np(1− p) .

I Bezeichnung: X ∼ Bin(n, p) .

I Eigenschaften:I Bin(1, p) = B(p) ;

I X1 ∼ Bin(n1, p) , X2 ∼ Bin(n2, p) , unabhangig

⇒ X1 + X2 ∼ Bin(n1 + n2, p) ;

I Insbesondere X1 ∼ B(p) , . . . ,Xn ∼ B(p) , unabhangig

⇒ X1 + . . .+ Xn ∼ Bin(n, p) .


Wahrscheinlichkeitsfunktionen von Binomialverteilungen


Typische Situation fur Binomialverteilung

I Typische Situation:I Der Zufallsversuch besteht aus n unabhangigen und gleichartigen

Teilversuchen.

I Bei jedem Teilversuch kann ein bestimmtes Ereignis mit einerWahrscheinlichkeit p eintreten oder (mit Wahrscheinlichkeit 1− p)nicht.

I Mit der Zufallsgroße X zahlt man die Anzahl der Teilversuche, beidenen das interessierende Ereignis eingetreten ist.

I X ist also die zufallige Anzahl der eingetretenen Ereignisse unterobigen Bedingungen.

I Typische Anwendung:Stichprobenentnahme mit Zurucklegen in der Qualitatskontrolle(X . . . Anzahl von Ausschussteilen in einer Stichprobe).


Beispielaufgabe Binomialverteilung

I Ein idealer Wurfel wird 20 mal geworfen. Wie groß ist dieWahrscheinlichkeit dafur, dass mindestens zwei mal eine Sechsgeworfen wird ?

I Zufallsgroße X . . .”Anzahl der geworfenen Sechsen bei 20 Wurfen

dieses Wurfels“.

I Die Zufallsgroße X ist binomialverteilt.

I Die Wahrscheinlichkeit fur das Werfen einer Sechs bei einemWurfelwurf betragt 1/6 , dies ist der Parameter p .

I Der Parameter n beschreibt die Anzahl der Wiederholungen desEinzelversuchs, hier also n = 20 .

I Gesucht ist P(X ≥ 2) .


3.3.4 Hypergeometrische Verteilung

I Parameter: N,M, n ∈ N , M ≤ N , n ≤ N .

I Zufallsgroße X mit moglichen Werten xk = k ∈ N0 , mitmax0, n − (N −M) ≤ k ≤ minM, n .


pk = P(X = k) =

(Mk

)·(N−Mn−k

)(Nn

) ,

max0, n − (N −M) ≤ k ≤ minM, n .

I Kenngroßen:

EX = n · MN

; VarX = n · MN· N −M

N· N − n

N − 1.

I Bezeichnung: X ∼ Hyp(N,M, n) .


Wahrscheinlichkeitsfunktionen hypergeom. Verteilungen


Typische Situation fur die hypergeometrische Verteilung

I Typische Situation:I Unter N Dingen befinden sich M ausgezeichnete;

I von den N Dingen werden n zufallig ausgewahlt (ohneZurucklegen);

I die Zufallsgroße X reprasentiert die zufallige Anzahl derausgezeichneten Dinge unter den n ausgewahlten.

I Anwendungsbeispiele:I Stichprobennahme ohne Zurucklegen, z.B. bei der Qualitatskontrolle;

I Anzahl der richtigen Zahlen bei einem Tipp im Lottospiel;

I Ist das Verhaltnisn

Nsehr klein (< 0.05) , so gilt

Hyp(N,M, n) ≈ Bin

(n,

M

N

).


Beispielaufgabe hypergeometrische Verteilung

I Ein Kunde ubernimmt alle 50 gelieferten Schaltkreise, wenn in einerStichprobe von 10 Schaltkreisen hochstens ein nicht vollfunktionsfahiger Schaltkreis enthalten ist. Ansonsten wird diegesamte Lieferung verworfen.

I Man berechne die Wahrscheinlichkeit dafur, dass die 50 Schaltkreise

a) abgenommen werden, obwohl diese 12 nicht voll funktionsfahigeSchaltkreise enthalten,

b) zuruckgewiesen werden, obwohl nur 3 nicht voll funktionsfahigeSchaltkreise enthalten sind !

I Zufallsgroße X . . .”Anzahl der nicht voll funktionsfahigen

Schaltkreise in der Stichprobe“.

I Die Zufallsgroße X ist hypergeometrisch verteilt.

I N = 50 , n = 10 , M = 12 bzw. M = 3 .

I Ges. P(X ≤ 1) bzw. P(X > 1) .


3.3.5 Geometrische Verteilung

I Parameter: 0 < p < 1 .

I Zufallsgroße X mit moglichen Werten k = 1, 2, 3, . . . .


pk = P(X = k) = p(1− p)k−1 , k = 1, 2, 3, . . . .

I Kenngroßen: EX = 1p und VarX = 1−p

p2 .

I Bezeichnung: X ∼ Geo(p) .

I Anwendung:I Gleichartige unabhangige Teilversuche, bei denen jeweils

”Erfolg“ mit

Wahrscheinlichkeit p oder”Misserfolg“ mit Wahrscheinlichkeit

1− p eintreten konnen, werden so lange durchgefuhrt, bis zumersten Mal

”Erfolg“ eingetreten ist.

I Der Wert von X ist gleich der Anzahl der durchgefuhrtenTeilversuche.


Geometrische Verteilungen, Beispielaufgabe

Beispielaufgabe:I Ein Relais falle mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.0001 bei einem

Schaltvorgang zufallig aus, wobei diese Ausfalle unabhangigvoneiander eintreten sollen.

I Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafur, dass der erste Ausfallnicht vor dem tausendsten Schaltvorgang passiert ?


Verallgemeinerung: negative Binomialverteilung

I Werden in derselben Situation die Teilversuche solange wiederholt,bis der r−te

”Erfolg“ eingetreten ist (r ∈ N), besitzt die zufallige

Anzahl X der durchgefuhrten Teilversuche eine negativeBinomialverteilung mit den Parametern r und p. Dann gelten

P(X = k) =

(k − 1

r − 1

)pr (1− p)k−r , k = r , r + 1, . . . ,

EX =r

pund VarX =

r(1− p)

p2.

I Bemerkung: Bei anderen Varianten der geometrischen und dernegativen Binomialverteilung wird die Anzahl der Misserfolge(Fehlversuche) und nicht die Anzahl der Teilversuche als Zufallgroßebetrachtet. Darauf sollte man bei Formeln aus der Literatur bzw. beiNutzung von Statistikprogrammen achten.


3.3.6 Poissonverteilung

I Parameter: λ > 0 (die”Intensitat“ der Poissonverteilung).

I Zufallsgroße X mit moglichen Werten k = 0, 1, 2, . . . .


pk = P(X = k) =λk

k!e−λ , k = 0, 1, 2, . . . .

I Kenngroßen: EX = λ und VarX = λ .

I Bezeichnung: X ∼ Poi(λ) .

I Eigenschaft: X1 ∼ Poi(λ1) , X2 ∼ Poi(λ2) , unabhangig

⇒ X1 + X2 ∼ Poi(λ1 + λ2) .


Wahrscheinlichkeitsfunktionen von Poissonverteilungen


Anwendungen der PoissonverteilungI Typische Anwendung: Poissonverteilte Zufallsgroßen beschreiben

haufig die Anzahl von bestimmten Ereignissen (”Poissonereignisse“,

z.B. Schadensfalle) in festen Zeitintervallen, wenn die Ereignisse zuzufalligen Zeitpunkten eintreten (auch analog an zufalligen Ortenoder ahnliches) und folgendes gilt:

I Die Wahrscheinlichkeit fur das Eintreten einer bestimmten Anzahldieser Poissonereignisse hangt nur von der Lange des betrachtetenZeitintervalls ab, nicht wann dieses beginnt oder endet (Stationaritat).

I Die zufalligen Anzahlen der eintretenden Poissonereignisse sind fursich nicht uberschneidende Zeitintervalle stochastisch unabhangig(Nachwirkungsfreiheit).

I Die betrachteten Poissonereignisse treten einzeln ein, nichtgleichzeitig, die zufalligen Anzahlen andern sich somit von Momentzu Moment hochstens um den Wert 1 (Ordinaritat).

I Beispiele: Anzahl von Telefonanrufen, Anzahl von emittiertenTeilchen in Physik (radioaktiver Zerfall), Anzahl von Unfallen,Anzahl von Schadensfallen, Anzahl von Niveauuberschreitungen.


Poissonverteilung und Binomialverteilung

I Ist eine zufallige Zahlgroße X binomialverteilt, der Parameter naber groß und der Parameter p klein (Faustregel: n ≥ 30, p ≤ 0.05und gleichzeitig np ≤ 10 , sogenannte

”seltene Ereignisse“), dann

kann man die Wahrscheinlichkeiten naherungsweise mit Hilfe einerPoissonverteilung mit Parameter λ = np berechnen, d.h.

P(X = k) =

(n

k

)pk(1− p)n−k ≈ λk

k!e−λ

(dies folgt aus dem Grenzwertsatz von Poisson).


Ubungsaufgaben Poissonverteilung

I An einer Tankstelle kommen werktags zwischen 16:00 und 18:00Uhr durchschnittlich 4 Fahrzeuge pro Minute an.Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafur, dass wahrend einerMinute im betrachteten Zeitbereich mindestens 3 Fahrzeugeankommen, wenn man davon ausgeht, dass die zufallige Anzahl derankommenden Fahrzeuge poissonverteilt ist ?

I Es werden 50 Erzeugnisse aus einer Lieferung mit einerAusschusswahrscheinlichkeit von 0.01 untersucht.Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafur, dass sich hochstens einfehlerhaftes Erzeugnis unter den 50 Erzeugnissen befindet ?


Zusatz zur Poissonverteilung

Ergebnisse der beruhmten Rutherfordschen und Geigerschen Versuche:Anzahlen der α−Teilchen, die von radioaktiven Substanzen in n = 2608Zeitabschnitten von 7.5 Sekunden emittiert wurden

i ni npi0 57 54.3991 203 210.5232 383 407.3613 525 525.4964 532 508.4185 408 393.5156 273 253.8177 139 140.3258 45 67.8829 27 29.189

10 16 11.296

Durchschnittliche Anzahl:

λ =∑ ni · i

n= 3.87 ;

pi =λi

i !e−λ .

(Quelle: Fisz, Wahrscheinlichkeitsrechnung und

mathematische Statistik, Berlin 1973)


3.4 Wichtige stetige Verteilungen3.4.1 Exponentialverteilung

I Parameter: λ > 0 .

I Zufallsgroße X mit Dichtefunktion fX bzw. Verteilungsfunktion FX

fX (x) =

0 , x < 0 ,λe−λx , x ≥ 0 ;

FX (x) =

0 , x < 0 ,1− e−λx , x ≥ 0 .

I Beispiele: λ = 0.5 (blau), λ = 1 (rot), λ = 5 (grun) .


Exponentialverteilung

I Kenngroßen:

EX =1

λ, VarX =

1

λ2und x0.5 =

ln 2

λ≈ 0.693

λ.

I Bezeichnung: X ∼ Exp(λ) .

I Exponentialverteilte Zufallsgroßen nehmen nur nichtnegative Wertean, daher sind sie prinzipiell zur Modellierung von zufalligenLebensdauern oder Wartezeiten geeignet.

I Beispielaufgabe:Die zufallige Lebensdauer eines Bauteils sei exponentialverteilt,dabei betrage die erwartete Lebensdauer 3 Jahre.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Bauteil langer als 6Jahre funktioniert ?


Exponentialverteilung als Lebensdauerverteilung

I Wird die zufallige Lebensdauer eines Bauteils durch eineExponentialverteilung modelliert, dann werden Alterungseffektenicht mit berucksichtigt (sogenannte Gedachtnislosigkeit derExponentialverteilung).

I Angenommen, das Bauteil hat schon das Alter x0 > 0 erreicht.Dann gilt fur die Restlebensdauer Xx0 und x > 0

P(Xx0 ≥ x) = P (X ≥ x0 + x |X ≥ x0) =P(X ≥ x0 + x)

P(X ≥ x0)

=e−λ(x0+x)

e−λx0= e−λx = P(X ≥ x).

I Damit kann die Exponentialverteilung als Lebensdauerverteilung nurdann ein gutes Modell sein, wenn außere Ereignisse das Lebenbeenden und keine Alterung vorliegt.


Zusammenhang von Exponential- und Poissonverteilung

I Es werden bestimmte Ereignisse betrachtet, die zu zufalligenZeitpunkten T1,T2, . . . mit einer Intensitat λ > 0 (mittlereAnzahl der Ereignisse pro Zeiteinheit) eintreten.

I Bezeichnet man mit Nt die zufallige Anzahl der eingetretenenEreignisse im Zeitintervall [0, t], dann sind die Zufallsgroßen Nt

fur verschiedene Zeitpunkte t genau dann poissonverteilt mitParameter µ = λt, falls die zufalligen Zeitabstande zwischen zweiaufeinanderfolgenden Ereignissen stochastisch unabhangig undexponentialverteilt mit dem Parameter λ sind.

I Die zufalligen Zeitmomente T1,T2,T3, . . . bilden dann einensogenannten Poissonschen Ereignisstrom.

I Die Zufallsgroßen (Nt , t ≥ 0) definieren dann einen sogenanntenPoissonprozess.


3.4.2 Normalverteilung (Gauß-Verteilung)

I Parameter: µ ∈ R , σ2 > 0 .


fX (x) =1√2πσ

e−(x−µ)2

2σ2 ,

FX (x) =1√2πσ

x∫

−∞

e−(t−µ)2

2σ2 dt, x ∈ R .

I Kenngroßen: EX = µ und VarX = σ2 .

I Bezeichnung: X ∼ N(µ, σ2) .

I Die Dichtefunktion ist symmetrisch bezuglich der Geraden x = µ ,deshalb gilt fur den Median auch x0.5 = µ .


Dichtefunktion Normalverteilung

Quelle: http://images0.dhd.de/61107000 xl.jpg


Dichte- und Verteilungsfunktionen Normalverteilung

links: µ = 0, σ = 0.5 (blau), σ = 1 (rot), σ = 2 (grun) ;rechts: µ = −2, σ = 0.5 (blau), µ = 0, σ = 1 (rot), µ = 1, σ = 2 (grun) .


Standardnormalverteilung

I Die Zufallsgroße X ist standardnormalverteilt, falls X normalverteiltist und µ = EX = 0 sowie σ2 = VarX = 1 gelten, d.h.X ∼ N(0, 1) .

I Die Dichte- bzw. Verteilungsfunktion sind dann

φ(x) =1√2π

e−x2

2 bzw.

Φ(x) =1√2π

∫ x

−∞e−

t2

2 dt, x ∈ R .

I Ist die Zufallsgroße X normalverteilt mit Erwartungswert µ undVarianz σ2 , dann ist die standardisierte Zufallsgroße

Z :=X − µσ

standardnormalverteilt, d.h. normalverteilt mit Erwartungswert 0und Varianz 1.


Berechnung von Wahrscheinlichkeiten

I Geg.: X ∼ N(µ, σ2) , a < b .

I Ges.: P(a ≤ X ≤ b) .

I Wegen Z =X − µσ

∼ N(0, 1) gilt

P(a ≤ X ≤ b) = P

(a− µσ≤ X − µ

σ≤ b − µ

σ

)

= P

(a− µσ≤ Z ≤ b − µ

σ

)

= Φ

(b − µσ

)− Φ

(a− µσ

).

I Die Funktionswerte von Φ konnen aus einer Tabelle abgelesenwerden oder mit einem Taschenrechner o.a. berechnet werden.

I Es gilt Φ(−x) = 1− Φ(x) fur beliebige reelle Zahlen x .


Tabelle zur Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung

Die folgende Tabelle enthält Werte der Verteilungsfunktion

Φ(x) =1√2π

x∫

−∞

e−z2

2 dz

der Standardnormalverteilung für Argumente x = 0.00, 0.01, . . . , 3.49. Werte von Φ für entsprechendenegative Argumente erhält man über die Beziehung Φ(−x) = 1−Φ(x). Zum Beispiel gilt (näherungs-weise) Φ(1.96) = 0.9750 und entsprechend Φ(−1.96) = 1− 0.9750 = 0.0250.

Zur Bestimmung eines Quantils Φ−1(p) suche man den gegebenen Wert p der VerteilungsfunktionΦ (bzw. einen möglichst naheliegenden) im Tabellenkörper und bestimme das zugehörige Argument x.Zum Beispiel ist das 99%-Quantil Φ−1(0.99) ungefähr Φ−1(0.9901) = 2.33.

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.53590.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.57530.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.61410.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.65170.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.68790.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.72240.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.75490.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.78520.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.81330.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.83891.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.86211.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.88301.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.90151.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.91771.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.93191.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.94411.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.95451.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.96331.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.97061.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.97672.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.98172.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.98572.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.98902.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.99162.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.99362.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.99522.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.99642.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.99742.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.99812.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.99863.0 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.99903.1 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.99933.2 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.99953.3 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.99973.4 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9998

Quelle Formelsammlung


Rechenbeispiel Normalverteilung

I Geg.: X ∼ N(30, 25) .

I Ges.: P(28 ≤ X ≤ 35) .


k · σ−Regeln fur Normalverteilung

I Frage: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafur, dass der Werteiner Zufallsgroße X ∼ N(µ, σ2) um mehr als 3 · σ vomErwartungswert (

”Sollwert“) µ abweicht ?

I Antwort:

P(|X − µ| > 3σ) = P

( |X − µ|σ

> 3

)= P(|Z | > 3)

= 2 P(Z > 3) = 2 (1− Φ(3)) = 2 (1− 0.9987) = 0.0026 .

I Folglich und analog gilt:

3σ−Regel: Innerhalb von µ± 3σ liegen ≈ 99.74% der Messwerte.

2σ−Regel: Innerhalb von µ± 2σ liegen ≈ 95.5% der Messwerte.

1σ−Regel: Innerhalb von µ± σ liegen ≈ 68.3% der Messwerte.


Umgekehrte Fragestellung

I Frage In welchem Intervall I = [µ− c ;µ+ c] liegen im Mittel(z.B.) 90% der Messwerte fur X ∼ N(µ, σ2) ?

I Ges. c , so dass P(|X − µ| ≤ c) = 0.9 .

I Lsg.0.9 = P(|X − µ| ≤ c) = P

( |X − µ|σ

≤ c

σ

)

= P(|Z | ≤ c

σ

)= P

(− c

σ≤ Z ≤ c

σ

)= 2Φ

( cσ

)− 1

⇒ Φ( cσ

)=

0.9 + 1

2= 0.95

c

σ= z0.95 = 1.645 (0.95-Quantil)

c = 1.645 · σ .

⇒ Zwischen µ− 1.645σ und µ+ 1.645σ liegen im Mittel 90% derMesswerte.


Quantile zp der Standardnormalverteilung N (0, 1)

Hier gilt zp = −z1−p, so ist z.B. z0.05 = −z0.95 = −1.6449.

p zp p zp p zp p zp

0.50 0.0000 0.780 0.7722 0.9760 1.9774 0.9960 2.65210.51 0.0251 0.785 0.7892 0.9765 1.9863 0.9961 2.66060.52 0.0502 0.790 0.8064 0.9770 1.9954 0.9962 2.66930.53 0.0753 0.795 0.8239 0.9775 2.0047 0.9963 2.67830.54 0.1004 0.800 0.8416 0.9780 2.0141 0.9964 2.68740.55 0.1257 0.805 0.8596 0.9785 2.0237 0.9965 2.69680.56 0.1510 0.810 0.8779 0.9790 2.0335 0.9966 2.70650.57 0.1764 0.815 0.8965 0.9795 2.0435 0.9967 2.71640.58 0.2019 0.820 0.9154 0.9800 2.0537 0.9968 2.72660.59 0.2275 0.825 0.9346 0.9805 2.0642 0.9969 2.7370

0.60 0.2533 0.830 0.9542 0.9810 2.0749 0.9970 2.74780.61 0.2793 0.835 0.9741 0.9815 2.0858 0.9971 2.75890.62 0.3055 0.840 0.9945 0.9820 2.0969 0.9972 2.77030.63 0.3319 0.845 1.0152 0.9825 2.1084 0.9973 2.78220.64 0.3585 0.850 1.0364 0.9830 2.1201 0.9974 2.79440.65 0.3853 0.855 1.0581 0.9835 2.1321 0.9975 2.80700.66 0.4125 0.860 1.0803 0.9840 2.1444 0.9976 2.82020.67 0.4399 0.865 1.1031 0.9845 2.1571 0.9977 2.83380.68 0.4677 0.870 1.1264 0.9850 2.1701 0.9978 2.84800.69 0.4959 0.875 1.1503 0.9855 2.1835 0.9979 2.8627

0.70 0.5244 0.880 1.1750 0.9860 2.1973 0.9980 2.87820.71 0.5534 0.885 1.2004 0.9865 2.2115 0.9981 2.89430.72 0.5828 0.890 1.2265 0.9870 2.2262 0.9982 2.91120.73 0.6128 0.895 1.2536 0.9875 2.2414 0.9983 2.92900.74 0.6433 0.900 1.2816 0.9880 2.2571 0.9984 2.94780.75 0.6745 0.905 1.3106 0.9885 2.2734 0.9985 2.96770.76 0.7063 0.910 1.3408 0.9890 2.2904 0.9986 2.98890.77 0.7388 0.915 1.3722 0.9895 2.3080 0.9987 3.0115

0.920 1.4051 0.9900 2.3263 0.9988 3.03570.925 1.4395 0.9905 2.3455 0.9989 3.0618

0.930 1.4758 0.9910 2.3656 0.9990 3.09020.935 1.5141 0.9915 2.3867 0.9991 3.12140.940 1.5548 0.9920 2.4089 0.9992 3.15590.945 1.5982 0.9925 2.4324 0.9993 3.19470.950 1.6449 0.9930 2.4573 0.9994 3.23890.955 1.6954 0.9935 2.4838 0.9995 3.29050.960 1.7507 0.9940 2.5121 0.9996 3.35280.965 1.8119 0.9945 2.5427 0.9997 3.43160.970 1.8808 0.9950 2.5758 0.9998 3.54010.975 1.9600 0.9955 2.6121 0.9999 3.7190

Quelle: Formelsammlung


Unabhangigkeit von Zufallsgroßen

I Die Zufallsgroßen X1, . . . ,Xn heißen (stochastisch) unabhangig,wenn fur beliebige reelle Zahlen a1 < b1 , . . . , an < bn gilt

P(a1 ≤ X1 < b1 , . . . , an ≤ Xn < bn)

= P(a1 ≤ X1 < b1) · . . . · P(an ≤ Xn < bn) .

I Zufallsgroßen, die z.B. zu unterschiedlichen, sich nichtbeeinflussenden Teilversuchen gehoren, konnen als unabhangigangesehen werden. Oft wird die Unabhangigkeit von Zufallsgroßenaber auch angenommen, um uberhaupt etwas berechnen zu konnen.

I Sind zwei Zufallsgroßen X und Y mit endlichen Erwartungswertenstochastisch unabhangig, dann gilt immer E(X · Y ) = EX · EY .

I Satz Sind zwei Zufallsgroßen X und Y mit endlichenVarianzen unabhangig, dann gilt fur deren SummeVar(X + Y ) = VarX + VarY .

I Letztere Eigenschaft gilt aber im Allgemeinen nicht fur abhangigeZufallsgroßen!


Summen von unabhangigen normalverteilten Zufallsgroßen

I EigenschaftX1 ∼ N(µ1, σ

21) , X2 ∼ N(µ2, σ

22) , unabhangig, a1, a2 ∈ R ⇒

a1X1 + a2X2 ∼ N(a1µ1 + a2µ2, a21σ

21 + a2

2σ22) (Additionssatz).

I Die Summe Sn =n∑

i=1Xi von n unabhangigen N(µ, σ2)-verteilten

Zufallsgroßen X1 , . . . ,Xn ist normalverteilt mit Erwartungswertnµ und Varianz nσ2 .

I Naherungsweise gilt eine ahnliche Aussage auch fur Zufallsgroßenmit anderen Verteilungen.


Zentraler Grenzwertsatz

I Haufig ergeben sich Zufallsgroßen (z.B. Messfehler) durch (additive)Uberlagerung vieler kleiner stochastischer Einflusse. Der zentraleGrenzwertsatz zeigt dann, dass man diese Großen (naherungsweise)als normalverteilt ansehen kann.

I SatzFur unabhangige, identisch verteilte Zufallsgroßen X1 ,X2 , . . . mitEXi = µ , VarXi = σ2 > 0 konvergiert die Verteilung derstandardisierten Summe gegen die Standardnormalverteilung,d.h. es gilt fur beliebige z ∈ R

P

(Sn − ESn√

VarSn< z

)= P

(Sn − nµ√

nσ2< z

)−−−→n→∞

Φ(z) ;

bzw. fur große n gilt: P (Sn < x) ≈ Φ

(x − nµ√

nσ2

).


Spezialfall: Satz von Moivre-Laplace

Satz von Moivre-LaplaceSind die unabhangigen Zufallsgroßen X1 , ... ,Xn identischBernoulli-verteilt, d.h. Xi ∼ Bin(1, p) = B(p) , so gilt fur die SummeSn ∼ Bin(n, p) und nach dem zentralen Grenzwertsatz gilt fur z ∈ R :

P

(Sn − np√np(1− p)

< z

)−−−→n→∞

Φ(z) ,

bzw. fur große n(n > 9

p(1−p)

)gilt

P (Sn < x) ≈ Φ

(x − np√np(1− p)

).


Beispiel Zentraler Grenzwertsatz

I Eine Weinkellerei ladt 200 Kunden zur Weinverkostung ein. Eskaufen erfahrungsgemaß 60% der Kunden. Wie groß sind dieWahrscheinlichkeiten, dass genau 130 bzw. mehr als 130 Kundeneinen Kaufvertrag abschliessen ?

I Zufallsgroße X . . . Anzahl der Abschlusse ∼ Bin(200, 0.6) ,

E(X ) = 120 , Var(X ) = 48 .

I P(X = 130) =(200

130

)· 0.6130 · 0.470 = 0.0205 ,

P(X > 130) = 0.0639 .

I Approximation mittels Normalverteilung

P(X = 130) = P(129.5 < X < 130.5)

≈ Φ

(130.5− 120√

48

)− Φ

(129.5− 120√

48

)≈ 0.0204

P(X > 130) = 1− P(X < 130.5) ≈ 1− Φ

(130.5− 120√

48

)≈ 0.0649 .


3.4.3 Stetige Gleichverteilung

I Parameter: Intervall [a, b] ⊂ R .


fX (x) =

1

b−a , a ≤ x ≤ b ;

0 , sonst ,FX (x) =

0 , x < a ;x−ab−a , a ≤ x ≤ b ;

1 , x > b .

I Beispiel: a = 0 , b = 1 .


Charakteristiken der stetigen Gleichverteilung

I Kenngroßen:

EX =a + b

2= x0.5 und VarX =

(b − a)2

12.

I Bezeichnung: X ∼ U[a, b] .

I Fur Teilintervalle [c, d ] ⊆ [a, b] gilt

P(c ≤ X ≤ d) =d − c

b − a=

Lange von [c , d ]

Lange von [a, b]

(wird genutzt bei der geometrischen Wahrscheinlichkeitsdefinition).

I Diese Verteilung ist eine stetige Verteilung uber dem Intervall[a, b] , wobei kein Teilintervall einer bestimmten Lange vor anderenTeilintervallen derselben Lange bevorzugt wird.


Pseudozufallszahlen

I Um zufallige Modelle am Computer zu realisieren, erzeugenRechnerprogramme Pseudozufallszahlen (auch kurz Zufallszahlengenannt), die sich wie Realisierungen von unabhangigen, auf demIntervall [0, 1] gleichverteilten Zufallsgroßen verhalten, diesewerden bei Monte-Carlo-Simulationen verwendet.

I Daraus lassen sich mit Hilfe der folgenden EigenschaftRealisierungen von Zufallsgroßen mit anderen Verteilungen erzeugen.

Satz: Sind u1, u2, . . . gleichverteilte Zufallszahlen auf [0, 1] undist FX die Verteilungsfunktion einer reellen Zufallsgroße X mitder Umkehrfunktion F−1

X , dann sind xi = F−1X (ui ) , i = 1, 2, . . .

nach FX verteilte Zufallszahlen (Inversionsmethode).

I Es existieren noch weitere Transformationsmethoden, um fur haufiggebrauchte Verteilungen, wie z.B. die Normalverteilung,entsprechende Zufallszahlen zu generieren.


3.4.4 Gammaverteilung

I Parameter: λ > 0 (Skalenparameter), p > 0 (Formparameter).

I Dichtefunktion: fX (x) =

0 , x < 0 ;λp

Γ(p)xp−1e−λx , x ≥ 0 .

I Gammafunktion:Γ(1) = 1 , Γ(p) = (p − 1)Γ(p − 1) ⇒ Γ(n) = (n − 1)! fur n ∈ N .

Allgemeine Definition: Γ(p) =

∫ ∞

0e−ttp−1 dt (p > 0).

I Kenngroßen: EX =p

λund VarX =

p

λ2.

I Bezeichnug: X ∼ Gam(p, λ) .

I Anwendung: Lebensdauerverteilung, flexibler als Exponentialvert.(die Exponentialverteilung ergibt sich als Spezialfall fur p = 1) .


Spezielle Gammaverteilungen

I Beispiel: links p = 2 , λ = 1 (rot), λ = 0.5 (blau), λ = 5 (grun);rechts λ = 1 , p = 2 (rot), p = 0.9 (blau), p = 5 (grun).

I Xi ∼ Gam(pi , λ) , i = 1, 2 , unabh. ⇒ X1 +X2 ∼ Gam(p1 + p2, λ) .

I Xi ∼ Exp(λ), i = 1, ..., n, unabhangig ⇒ ∑ni=1 Xi ∼ Gam(n, λ).

I Spezialfall p = n ∈ N ⇒ Erlangverteilung

Die Wartezeit bis zum Eintreten des n−ten Poissonereignisses kannz.B. durch eine erlangverteilte Zufallsgroße beschrieben werden(Parameter: n , λ).


3.4.5 Weibullverteilung

I Parameter: β > 0 (Skalenparam.), m > 0 (Formparam.), α ∈ R .


0 , x ≤ α ;

mβ

(x−αβ

)m−1e−(

x−αβ

)m

, x > α .

I Verteilungsfunktion: FX (x) =

0 , x < α ;

1− e−(

x−αβ

)m

, x ≥ α .

I Erwartungswert: EX = α + β · Γ(

1 +1

m

).

I Varianz: VarX = β2

[Γ

(1 +

2

m

)− Γ2

(1 +

1

m

)].

I Median: x0.5 = α + β (ln 2)1/m .

I Spezialfalle:α = 0 sogenannte zweiparametrische Weibullverteilung

α = 0 , m = 1 , β = 1λ Exponentialverteilung Exp(λ) .


Weibullverteilungen

I Beispiele: α = 0,links: m = 1.5, β = 1 (rot), β = 0.5 (blau), β = 5 (grun);rechts: β = 1, m = 1 (rot), m = 0.9 (blau), m = 5 (grun).

I Die Weibullverteilung ist durch die 3 Parameter anpassungsfahig.

I Eine Weibullverteilung kann als Grenzverteilung fur das Minimumeiner großen Zahl von unabhangigen Zufallsgroßen auftreten(Verteilung des schwachsten Kettengliedes), deshalb sindLebensdauern von Systemen oft weibullverteilt. Fur m < 1 bzw.m > 1 werden Fruh- bzw. Verschleißausfalle besonders gewichtet.


Historische Bemerkung

I In der mechanischen Verfahrenstechnik findet die WeibullverteilungAnwendung als eine spezielle Partikelgroßenverteilung. Hier wird sieRRSB-Verteilung (nach Rosin, Rammler, Sperling und Bennet)bezeichnet.

I Siehe dazu z.B.:Paul Otto Rosin-Gedenkschrift anlasslich des Jubilaums 80 JahreRRSB-Verteilung 2013, Schriften des IEC, Heft 6, September 2015,TU Bergakademie Freiberg, Insitut fur Energieverfahrenstechnik undChemieingenieurwesen.


3.4.6 Logarithmische Normalverteilung

I Die Zufallsgroße X mit positiven Werten unterliegt einerlogarithmischen Normalverteilung (ist lognormal-verteilt) fallslnX ∼ N(µ, σ2) gilt.


0 , x ≤ 0 ;

1√2πσx

e−(ln x−µ)2

2σ2 , x > 0 .

I Erwartungswert: EX = eµ+σ2

2 .

I Varianz: VarX = e2µ+σ2(eσ

2 − 1)

.

I Median: x0.5 = eµ .

I Bezeichnung: X ∼ LogN(µ, σ2) .


Logarithmische Normalverteilungen

I Beispiele: µ = 0, σ = 1 (rot), µ = −2, σ = 0.5 (blau),µ = 1, σ = 2 (grun).

I Typische Anwendungen:I bei Zeitstudien und Lebensdaueranalysen in okonomischen,

technischen und biologischen Vorgangen;I bei Untersuchungen in der analytischen Chemie, wie Konzentrations-

und Reinheitsprufungen;I fur zufallige nichtnegative Materialparameter, z.B. Permeabilitaten;I als Grenzverteilung fur Produkte unabhangiger positiver Zufallsgroßen

(unter bestimmten Bedingungen).


3.4.7 Weitere stetige Verteilungen

I Statistische Prufverteilungen, u.a.

I χ2-Verteilung (Chi-Quadrat-Verteilung);

I t-Verteilung (Student-Verteilung);

I F -Verteilung (Fisher-Verteilung).

I Logistische Verteilung (dient u.a. zur Beschreibung vonWachstumsprozessen mit einer Sattigungstendenz).

I Betaverteilungen 1. und 2. Art.

I Extremwertverteilungen.

I . . .


3.5 Transformation von Zufallsgroßen

I Haufig mussen bei der Untersuchung stochastischer ModelleZufallsgroßen transformiert werden.

I Wichtige Transformationen sind die Bildung von Summe, Minimumoder Maximum von mehreren Zufallsgroßen.

I Ist X eine Zufallsgroße mit Verteilungsfunktion FX und g : R→ Reine stetige, streng monoton wachsende Funktion (z.B. g(x) = ex),dann ist Y := g(X ) eine Zufallsgroße mit Verteilungsfunktion

FY (y) = P(Y < y) = P(g(X ) < y) = P(X < g−1(y))

= FX (g−1(y))

(g−1 ist die Umkehrfunktion (inverse Funktion) von g).

I Die Dichtefunktion (falls sie existiert) kann z.B. durchDifferentiation bestimmt werden.


Summe unabhangiger Zufallsgroßen, Faltung

I Oft mussen unabhangige Zufallsgroßen addiert werden und folglichmuss die Verteilung einer Summe von unabhangigen Zufallsgroßenbestimmt werden.

I Die zugehorige Operation fur die Verteilungen (Verteilungsdichten,Verteilungsfunktionen) nennt man Faltung.

I Sind X und Y unabhangige stetige Zufallsgroßen mitVerteilungsdichten fX bzw. fY , dann gilt fur die VerteilungsdichtefS der Summe S = X + Y :

fS(z) =

∫ ∞

−∞fX (z − y)fY (y) dy =

∫ ∞

−∞fY (z − x)fX (x) dx .

I In wichtigen Fallen ergeben sich wieder spezielle Verteilungen.


Maximum unabhangiger Zufallsgroßen

I Auch bei der Bildung des Minimums oder Maximums vonZufallsgroßen kann fur die Berechnung der entsprechendenVerteilungsfunktion die Unabhangigkeit ausgenutzt werden.

I Sind Xi unabhangige Zufallsgroßen mit VerteilungsfunktionenFXi

, i = 1, . . . n , dann gilt fur das Maximum X(n)

FX(n)(x) = P(X(n) < x) = P

(n⋂

i=1

Xi < x)

=n∏

i=1

P(Xi < x) =n∏

i=1

FXi(x) , x ∈ R .

I Sind die Zufallsgroßen Xi , i = 1, . . . , n , unabhangig und identischverteilt (i.i.d.) mit Verteilungsfunktion FX , dann gilt

FX(n)(x) = F n

X (x) , x ∈ R .


Minimum unabhangiger Zufallsgroßen

I Analog gilt fur das Minimum X(1) unter obigen Bedingungen

1− FX(1)(x) = P(X(1) ≥ x) = P

(n⋂

i=1

Xi ≥ x)

=n∏

i=1

P(Xi ≥ x) =n∏

i=1

(1− FXi(x)) , x ∈ R .

I Sind die Zufallsgroßen Xi , i = 1, . . . , n , unabhangig und identischverteilt (i.i.d.) mit Verteilungsfunktion FX , dann gilt

FX(1)(x) = 1− (1− FX (x))n , x ∈ R .

I Beispiele fur solche zufalligen Extremwerte sindI Hochstwasserstande (wichtig fur Damme);

I minimale Festigkeiten (der einzelnen Kettenglieder einer Kette).


Documents

Statistik für Ingenieure 3 Zufallsgrößen · Statistik f ur Ingenieure 3 Zufallsgr oˇen Prof. Dr. Hans-J org Starklo TU Bergakademie Freiberg Institut f ur Stochastik Wintersemester