Statistik I - 6. Vorlesung - Ruhr-Universität Bochum · WISTA WIRTSCHAFTSSTATISTIK PROF. DR. ROLF HÜPEN FAKULTÄT FÜR WIRTSCHAFTSWISSENSCHAFT Seminar für Theoretische Wirtschaftslehre

WISTAWIRTSCHAFTSSTATISTIK

PROF. DR. ROLF HÜPEN

FAKULTÄT FÜR

WIRTSCHAFTSWISSENSCHAFT

Seminar für Theoretische Wirtschaftslehre

Vorlesungsprogramm 28.05.2013

Prof. Dr. Rolf Hüpen | Modul „Statistik I“ | Sommersemester 2013

Konzentrationsmaße

1. Konzentrationsbegriff

2. Lorenzkurve

3. Gini-Koeffizient

Literatur: Degen, Horst / Lorscheid, Peter: Statistik-Lehrbuch, 2. Aufl., München-Wien 2002, S. 54 –

61.

Mosler, Karl und Schmid, Friedrich: Beschreibende Statistik und Wirtschaftsstatistik, 4. Aufl.,

Berlin-Heidelberg-New York 2009, S. 79 – 109 .

von der Lippe, Peter: Deskriptive Statistik, Stuttgart 1993, S. 141 – 191.

Bruckmann, Gerhart: Konzentrationsmessung, in: Bleymüller, Josef / Gehlert, Günther /

Gülicher, Herbert: Statistik für Wirtschaftswissenschaftler, 15. Aufl., München 2008, S. 191 –

196.

Übungsaufgaben: Semesterabschlussklausuren WS 03/04, A2; SS 05, A2; SS 08, A2; WS 10/11, A3.

http://www.von-der-lippe.org/dokumente/buch/buch06.pdf

2Prof. Dr. Rolf Hüpen | Modul „Statistik I“ | Sommersemester 2013

Konzentrationsmaße Begriff und Fragestellung

absolut statisch relativ

Konzentration absolut dynamisch relativ

Begriff der „Konzentration“

Unter Konzentration versteht man die (ungleiche) Verteilung der Merkmalssumme

eines Erhebungsmerkmals auf die Merkmalsträger.

Beispiele: Marktformen Polypol – Oligopol – Monopol

(Anzahl der Anbieter, Marktanteil, Marktmacht)

Personelle Einkommens- oder Vermögensverteilung

(„Die ärmsten 10% der Bevölkerung beziehen 4,1% des Volkseinkommens“, „die

reichsten 10% beziehen 21,1% des Volkseinkommens“)



Statische Konzentration

Zeitpunktbetrachtung, Konzentration als Zustand.

„Das Vermögen ist ungleich verteilt, es konzentriert sich auf wenige Personen“

Dynamische Konzentration

Zeitraumbetrachtung, Konzentration als Prozess.

„In der Landwirtschaft hat zwischen 1960 und 1990 ein Konzentrationsprozess

stattgefunden.“

Absolute Konzentration

Konzentration der Merkmalssumme auf absolut wenige Merkmalsträger. Ein Großteil

des gesamten Merkmalsbetrages konzentriert sich auf eine kleine Zahl von

Merkmalsträgern. „Die drei größten Unternehmen haben auf dem Markt x einen

Marktanteil von zusammen 90%.“

Relative Konzentration (Disparität)

Konzentration der Merkmalssumme auf einen geringen Anteil der Merkmalsträger.

„1,7% der Bevölkerung besitzen mehr als 70% des Produktivvermögens.“



Beispiel: Umsatzverteilung von Unternehmen einer Branche1)

Unter-

nehmen

Verteilung

A B C D E F G H

a 1000 360 200 500 1000 180 100 199

b 0 300 200 140 280 180 100 199

c 0 200 200 130 260 150 100 199

d 0 80 200 120 240 150 100 199

e 0 60 200 110 220 100 100 199

f 100 100 1

g 40 100 1

h 40 100 1

i 30 100 1

j 30 100 1

Gesamt-

umsatz1000 1000 1000 1000 2000 1000 1000 1000

1) Beispiel entnommen aus: Bleymüller/Gehlert/Gülicher, Statistik für Wirtschaftswissenschaftler, 15. Aufl.,

München 2008, S. 191.



Messung der Konzentration

Maßzahlen der absoluten Konzentration

• Konzentrationsrate

• Herfindahl-Index

• (normierte) Entropie

Maßzahlen der relativen Konzentration

• Lorenzkurve

• Gini-Koeffizient

= Anteil der j größten Merkmalsträger

an der Merkmalssumme

= Summe der quadrierten Anteile an

der Merkmalssumme


Konzentrationsmaße Lorenzkurve

LorenzkurveMax Otto Lorenz (1876 – 1959), amerikanischer Ökonom

• Fragestellung: Verteilung der Merkmalssumme auf die Merkmalsträger.

• Vorgehen: Zuordnung der kumulierten relativen Häufigkeiten zum kumulierten

Anteil an der Merkmalssumme.

• Charakterisierung: Bei der Lorenzkurve handelt es sich um eine graphische

Darstellung der relativen Konzentration.

• Voraussetzungen:

• Das statistische Merkmal ist mindestens verhältnisskaliert.

• Die Merkmalsausprägungen sind nicht negativ.

• Die Merkmalssumme kann sinnvoll berechnet werden.


Konzentrationsmaße Lorenzkurve

Beispiele für sinnvolle Merkmalssummen

Merkmal Merkmalsträger Merkmalssumme

Umsatz

(Mio € / Monat)

Unternehmen einer Branche Branchenumsatz

Bruttolohn

(€ / Monat)

Arbeitnehmer Lohnsumme der

Arbeitnehmer

Landwirtschaftliche

Nutzfläche

(ha)

Landwirtschaftlicher Betrieb Gesamtfläche für

landwirtschaftliche Nutzung


Konzentrationsmaße Lorenzkurve Datenlage A

Berechnung der Lorenzkurve bei Datenlage A

Gegeben: Geordnete Urliste der n Beobachtungswerte: 𝑥(1) ≤ 𝑥(2) ≤ ⋯ ≤ 𝑥(𝑛)

Merkmalssumme: 𝑆 =

𝑖=1

𝑛

𝑥(𝑖)

Kumulierte relative Häufigkeit: 𝐹𝑖 =𝑖

𝑛

Kumulierter Anteil an der Merkmalssumme: 𝐺𝑖 =1

𝑆⋅

𝑗=1

𝑖

𝑥(𝑗)

Dann entsteht die Lorenzkurve in einem F/G-Koordinatensystem als Streckenzug, der

die Punkte 0,0 , 𝐹1, 𝐺1 , 𝐹2, 𝐺2 , … , 𝐹𝑛−1, 𝐺𝑛−1 , 1,1 miteinander verbindet.



Beispiel: Umsatzverteilung von Unternehmen einer Branche1)

Unter-

nehmen

Verteilung

A B C D E F G H

a 1000 360 200 500 1000 180 100 199

b 0 300 200 140 280 180 100 199

c 0 200 200 130 260 150 100 199

d 0 80 200 120 240 150 100 199

e 0 60 200 110 220 100 100 199

f 100 100 1

g 40 100 1

h 40 100 1

i 30 100 1

j 30 100 1

Gesamt-

umsatz1000 1000 1000 1000 2000 1000 1000 1000

1) Beispiel entnommen aus: Bleymüller/Gehlert/Gülicher, Statistik für Wirtschaftswissenschaftler, 15. Aufl.,

München 2008, S. 191.

Vorgehen: 1. Merkmale der Größe nach aufsteigend ordnen,

2. Arbeitstabelle erstellen,

3. zeichnen!



0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

ku

mu

lie

rte

r A

nte

il a

m U

ms

atz

kumulierter Anteil Unternehmen

Verteilung B

i xi Fi gi Gi

1 60 0,2 0,06 0,06

2 80 0,4 0,08 0,14

3 200 0,6 0,2 0,34

4 300 0,8 0,3 0,64

5 360 1 0,36 1

1000 1



Verteilung B

i xi Fi gi Gi

1 60 0,2 0,06 0,06

2 80 0,4 0,08 0,14

3 200 0,6 0,2 0,34

4 300 0,8 0,3 0,64

5 360 1 0,36 1

1000 1

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

ku

mu

lie

rte

r A

nte

il a

m U

ms

atz


Verteilung C: Gleichverteilung

i xi Fi gi Gi

1 200 0,2 0,2 0,2

2 200 0,4 0,2 0,4

3 200 0,6 0,2 0,6

4 200 0,8 0,2 0,8

5 200 1 0,2 1

1000 1

Lorenzkurve

Verteilung B

Gleichverteilung,

Konzentration = 0



Verteilung B

i xi Fi gi Gi

1 60 0,2 0,06 0,06

2 80 0,4 0,08 0,14

3 200 0,6 0,2 0,34

4 300 0,8 0,3 0,64

5 360 1 0,36 1

1000 1

Verteilung A

i xi Fi gi Gi

1 0 0,2 0 0

2 0 0,4 0 0

3 0 0,6 0 0

4 0 0,8 0 0

5 1000 1 1 1

1000 1

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

ku

mu

liert

er

An

teil

am

Um

satz


Vergleich Verteilungen A und B

Gleichverteilung

Verteilung B

Verteilung A



Verteilung D - Arbeitstabelle

i xi Fi gi Gi

1 110 0,2 0,11 0,11

2 120 0,4 0,12 0,23

3 130 0,6 0,13 0,36

4 140 0,8 0,14 0,5

5 500 1 0,5 1

1000 1

Verteilung E - Arbeitstabelle

i xi Fi gi Gi

1 220 0,2 0,11 0,11

2 240 0,4 0,12 0,23

3 260 0,6 0,13 0,36

4 280 0,8 0,14 0,5

5 1000 1 0,5 1

2000 1

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

ku

mu

liert

er

An

teil

am

Um

satz


Lorenzkurve Verteilungen D und E



Verteilung B

i xi Fi gi Gi

1 60 0,2 0,06 0,06

2 80 0,4 0,08 0,14

3 200 0,6 0,2 0,34

4 300 0,8 0,3 0,64

5 360 1 0,36 1

1000 1

Verteilung D

i xi Fi gi Gi

1 110 0,2 0,11 0,11

2 120 0,4 0,12 0,23

3 130 0,6 0,13 0,36

4 140 0,8 0,14 0,5

5 500 1 0,5 1

1000 1

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

ku

mu

liert

er

An

teil

am

Um

satz


Vergleich Verteilungen B und D

Gleichverteilung

Verteilung B

Verteilung D


Konzentrationsmaße Lorenzkurve Datenlage B

Berechnung der Lorenzkurve bei Datenlage B

Gegeben: 𝑚 voneinander verschiedene mögliche Merkmalsausprägungen

𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑚 mit den absoluten Häufigkeiten ℎ1, ℎ2, … , ℎ𝑚

Anzahl der Merkmalsträger: 𝑛 =

𝑖=1

𝑚

ℎ𝑖 mit 𝑚 ≤ 𝑛

Kumulierte relative Häufigkeiten: 𝐹𝑖 =1

𝑛⋅

𝑗=1

𝑖

ℎ𝑗

Merkmalssumme: 𝑆 =

𝑖=1

𝑚

ℎ𝑖 ⋅ 𝑥𝑖

Kumulierter Anteil an der Merkmalssumme: 𝐺𝑖 =1

𝑆⋅

𝑗=1

𝑖

ℎ𝑗 ⋅ 𝑥𝑗

Dann entsteht die Lorenzkurve in einem F/G-Koordinatensystem als Streckenzug, der

die Punkte 0,0 , 𝐹1, 𝐺1 , 𝐹2, 𝐺2 , … , 𝐹𝑚−1, 𝐺𝑚−1 , 1,1 miteinander verbindet.


Konzentrationsmaße Lorenzkurve Datenlage B

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

ku

mu

liert

er

An

teil

am

Um

satz


Lorenzkurve Verteilung FVerteilung F - Arbeitstabelle

i xi hi fi Fi xihi gi Gi

1 30 2 0,2 0,2 60 0,06 0,06

2 40 2 0,2 0,4 80 0,08 0,14

3 100 2 0,2 0,6 200 0,2 0,34

4 150 2 0,2 0,8 300 0,3 0,64

5 180 2 0,2 1 360 0,36 1

10 1 1000 1


Konzentrationsmaße Lorenzkurve Datenlage C

Berechnung der Lorenzkurve bei Datenlage C

Die Merkmalsausprägungen sind in 𝑘 Klassen eingeteilt: 𝑖 = 1,2, … , 𝑘

Grenzen der Klasse 𝑖: 𝑎𝑖−1, )𝑎𝑖

Mittelpunkt der Klasse 𝑖: 𝑥𝑖 =1

2⋅ 𝑎𝑖−1 + 𝑎𝑖

Anzahl der Merkmalsträger in Klasse 𝑖: ℎ𝑖

Gesamtzahl der Merkmalsträger: 𝑛 =

𝑖=1

𝑘

ℎ𝑖

Kumulierte relative Häufigkeit: 𝐹𝑖 =1

𝑛⋅

𝑗=1

𝑖

ℎ𝑗

Näherungswert für die Merkmalssumme: 𝑆 =

𝑖=1

𝑘

ℎ𝑖 ⋅ 𝑥𝑖

Näherungswert für den kumulierten Anteil an der

Merkmalssumme: 𝐺𝑖 =

1

𝑆⋅

𝑗=1

𝑖

ℎ𝑗 ∙ 𝑥𝑗

Dann entsteht die Lorenzkurve in einem F/G-Koordinatensystem als Streckenzug, der die Punkte 0,0 , 𝐹1, 𝐺1 , 𝐹2, 𝐺2 , … , 𝐹𝑚−1, 𝐺𝑚−1 , 1,1 miteinander verbindet.



Landwirtschaftlich genutzte Fläche

in Deutschland 19991)

Klasse Nr.Betriebsgröße in ha

Zahl der Betriebevon bis unter

i ai-1 ai hi

1 2 5 79.797

2 5 10 73.949

3 10 15 47.749

4 15 20 39.619

5 20 30 51.772

6 30 50 62.575

7 50 100 54.311

8 100 und mehr 24.358

Summe 434.1301) Quelle: Statistisches Jahrbuch für Deutschland 2000, eigene Berechnungen.

Ergebnis der Landwirtschaftszählung 1999. Nur Betriebe mit 2 ha und mehr

Nutzfläche wurden berücksichtigt.



Arbeitstabelle zur näherungsweisen Berechnung der Lorenzkurve

Landwirtschaftlich genutzte Fläche in Deutschland 1999

Klasse

Nr.

Betriebsgröße in ha Zahl der

Betriebe

Relative

Häufigkeit

Kumulierte

rel. Häufigk.

Klassen-

mitte

Fläche (Ap-

proximation)

Flächen-

anteil

Kumulierter

Flächenanteilvon bis unter

i ai-1 ai hi fi Fi xi 𝑠𝑖 = ℎ𝑖 ∙ 𝑥𝑖 𝑔𝑖 𝐺𝑖

1 2 5 79 797 0,1838 0,1838 3,5 279 289,5 0,0205 0,0205

2 5 10 73 949 0,1703 0,3541 7,5 554 617,5 0,0406 0,0611

3 10 15 47 749 0,1100 0,4641 12,5 596 862,5 0,0437 0,1048

4 15 20 39 619 0,0913 0,5554 17,5 693 332,5 0,0508 0,1556

5 20 30 51 772 0,1193 0,6747 25 1 294 300,0 0,0948 0,2505

6 30 50 62 575 0,1441 0,8188 40 2 503 000,0 0,1834 0,4339

7 50 100 54 311 0,1251 0,9439 75 4 073 325,0 0,2984 0,7323

8 100 und mehr 24 358 0,0561 1 150 3 653 700,0 0,2677 1

Summe 434 130 1 13 648 427,0 1



0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

ku

mu

liert

er

An

teil d

er

lan

dw

irts

ch

aft

lich

ge

nu

tzte

n F

läch

e

kumulierter Anteil der landwirtschaftlichen Betriebe

Konzentration der landwirtschaftlich genutzten Fläche- Lorenzkurve -

Gleichverteilung Deutschland 1999



Landwirtschaftlich genutzte Fläche in Deutschland

19991)

Klasse

Nr.

Betriebsgröße in haZahl der

Betriebe

Genutzte

Fläche in

1.000 havon bis unter

i ai-1 ai hi si

1 2 5 79 797 266,0

2 5 10 73 949 534,3

3 10 15 47 749 591,0

4 15 20 39 619 693,0

5 20 30 51 772 1 280,9

6 30 50 62 575 2 426,8

7 50 100 54 311 3 738,6

8 100 und mehr 24 358 7 589,9

Summe 434 130 17 120,51) Quelle: Statistisches Jahrbuch für Deutschland 2000, Ergebnis der

Landwirtschaftszählung 1999. Nur Betriebe mit 2 ha und mehr Nutzfläche wurden

berücksichtigt.

In der Originalquelle lagen noch zusätzliche Informationen zur genutzten Fläche in den jeweiligen

Größenklassen vor:

Mit diesen Zusatzinformationen lässt sich die Lorenzkurve exakt ermitteln.



Landwirtschaftlich genutzte Fläche in Deutschland 19991)

Klasse

Nr.

Betriebsgröße in ha Zahl der

Betriebe

Genutzte Fläche

in 1.000 ha

Kumulierter

Anteil der

Betriebe

Kumulierter

Flächenanteilvon bis unter

i ai-1 ai hi si Fi Gi

1 2 5 79 797 266,0 0,1838 0,0155

2 5 10 73 949 534,3 0,3541 0,0467

3 10 15 47 749 591,0 0,4641 0,0813

4 15 20 39 619 693,0 0,5554 0,1217

5 20 30 51 772 1 280,9 0,6747 0,1966

6 30 50 62 575 2 426,8 0,8188 0,3383

7 50 100 54 311 3 738,6 0,9439 0,5567

8 100 und mehr 24 358 7 589,9 1 1

Summe 434 130 17 120,5



0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

ku

mu

liert

er

An

teil d

er

lan

dw

irts

ch

aft

lich

ge

nu

tzte

n F

läch

e

kumulierter Anteil der landwirtschaftlichen Betriebe

Konzentration der landwirtschaftlich genutzten Fläche- Lorenzkurve -

Gleichverteilung approximierte Lorenzkurve tatsächliche Lorenzkurve


Konzentrationsmaße Gini-Koeffizient

Gini-KoeffizientCorrado Gini (1884 – 1965), italienischer Statistiker und Demograph

• Maßzahl für die relative Konzentration

• Der Gini-Koeffizient wird aus dem Inhalt der Fläche zwischen der Diagonalen und der

Lorenzkurve berechnet.

• Normierung auf einen Wertebereich zwischen 0 und 1.

Berechnung der Fläche L unter der Lorenzkurve:

Datenlage A: 𝐿 =1

2𝑛∙

𝑖=1

𝑛

𝐺𝑖−1 + 𝐺𝑖 , wobei 𝐺0 = 0 gesetzt wird.

Datenlage B: 𝐿 =1

2𝑛∙

𝑖=1

𝑚

𝐺𝑖−1 + 𝐺𝑖 ∙ ℎ𝑖 , wobei 𝐺0 = 0 gesetzt wird.

Datenlage C: 𝐿 =1

2𝑛∙

𝑖=1

𝑘

𝐺𝑖−1 + 𝐺𝑖 ∙ ℎ𝑖 , wobei 𝐺0 = 0 gesetzt wird.

Daraus erhält man den Gini-Koeffizienten als: 𝑐𝐺 = 1 − 2 ⋅ 𝐿



Die Fläche M zwischen der

Diagonalen und der Lorenzkurve

misst die Konzentration. Je größer

M, umso konzentrierter ist die

Verteilung.

Es gilt:

𝑀 = 0,5 − 𝐿,

wobei L die Fläche unter der

Lorenzkurve ist.

Bei maximaler Konzentration wäre

𝐿 = 0 und somit

𝑀 = 0,5

Der Gini-Koeffizient wird daher als

𝑐𝐺 = 2 ⋅ 𝑀 = 1 − 2 ⋅ 𝐿

definiert und ist damit auf denWertebereich:

0 ≤ 𝑐𝐺 < 1

normiert.0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

ku

mu

lie

rter

An

teil

am

Um

satz


Lorenzkurve Verteilung B

L

M



0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

ku

mu

liert

er

An

teil

am

Um

satz


Lorenzkurve Verteilung B

Datenlage A:

𝐹𝑖 − 𝐹𝑖−1 = 𝑓𝑖 = 1 𝑛

𝐿 =

𝑖=1

𝑛

𝐿𝑖

𝐿 =1

2𝑛∙

𝑖=1

𝑛

𝐺𝑖−1 + 𝐺𝑖

Datenlage B:

𝐹𝑖 − 𝐹𝑖−1 = 𝑓𝑖 = ℎ𝑖 𝑛

𝐿 =

𝑖=1

𝑚

𝐿𝑖

𝐿 =1

2𝑛∙

𝑖=1

𝑚

ℎ𝑖 ∙ 𝐺𝑖−1 + 𝐺𝑖

Datenlage C wie Datenlage B, nur

statt m die Zahl der Klassen k

einsetzen.

Gi – Gi-1

Gi-1

Fi – Fi-1

Fi-1 Fi

𝐿𝑖 = 𝐹𝑖 − 𝐹𝑖−1 ⋅ 𝐺𝑖−1

+12

⋅ 𝐹𝑖 − 𝐹𝑖−1 ⋅ 𝐺𝑖 − 𝐺𝑖−1

= 12

⋅ 𝐹𝑖 − 𝐹𝑖−1 ⋅ 𝐺𝑖 + 𝐺𝑖−1



Verteilung B

i xi Fi gi Gi Gi-1 + Gi

1 60 0,2 0,06 0,06 0,06

2 80 0,4 0,08 0,14 0,2

3 200 0,6 0,2 0,34 0,48

4 300 0,8 0,3 0,64 0,98

5 360 1 0,36 1 1,64

1000 1 3,36

Fläche unter der Lorenzkurve: 𝐿 = 0,336

Gini-Koeffizient: 𝒄𝑮 = 𝟎, 𝟑𝟐𝟖

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