Statistik I Bungsunterlagen

Übungsmaterialien zur Veranstaltung:

Wahrscheinlichkeitsrechnung und

Statistische Methoden I - Prof. Lange

Anzahl der Seiten ohne dieses Deckblatt: 20

I.1.

I. Materialien zu Grundlagen der statistischen Arbeit

1. Seminar - Einführung, Tabellen und Graphiken

Beschreiben Sie die folgenden Merkmale so genau wie möglich nach Typ und zugeordneter

Skalierungsart!

a) Kinderzahl je Familie

b) Familienstand

c) Branchenzugehörigkeit

d) Qualifikationsstufe

e) Dienstgrad bei der deutschen Bahn

f) Studienfach

g) Körpergröße

h) Qualitätsattestierung von Produkten

i) Preisstufen von Gaststätten

j) Anzahl von Apfelsinen in einer Kiste

k) Breitengrade

l) Jahreszahlen

m) Temperaturmessungen

Grundschema einer Tabelle:

Tabelle Nr... Überschrift (sachliche, örtliche, zeitliche Merkmalsabgrenzung); Maßeinheiten

lfd. Zeil.-

nr.

VorspalteHauptspalte

Unterspalten Unterspalten1 2 3 4

1 2 0 ............

p, r

Fußnote, Verweis

Tabellenkopf

Tabellenrumpf

Tabellenfuß

Tabellenkopf

Datenzeile

Tabellenrumpf

Tabellenfuß

I.2.

Darstellungsformen von Häufigkeiten:

a) ungruppierte Daten

männlich 49%

weiblich51% 0

0,2

0,4

0,6

männlich weiblich

rela

tive

Häu

figk

eit

0

0,2

0,4

0,6

männlich weiblich

rela

tive

Häu

figk

eit

Kreisdiagramm Balkendiagramm Stabdiagramm Säulendiagramm

b) gruppierte Daten

I.3.

Darstellungsformen von Summenhäufigkeiten

a) ungruppierte Daten

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

kum

ulie

rte

rela

tive

Häu

figk

eit

Treppenkurve

b) gruppierte Daten

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

kum

ulie

rte

rela

tive

Häu

figk

eite

n

Polygonzug

I.4.

Zusatzaufgabe

Gegeben seien die alters- und geschlechtsspezifischen Bevölkerungszahlen für Deutschland

am 31.12.2000 (in 1000).

a) Wie ist die Häufigkeitsverteilung des Merkmals Geschlecht sinnvollerweise graphisch

darstellbar?

b) Stellen Sie die Häufigkeitsverteilung der Altersgruppen der Gesamtbevölkerung in einem

Histogramm und einer Summenhäufigkeitskurve dar! Achten Sie auf Maßstabsgenauigkeit

und korrekte Achsenbezeichnung!

Alter männlich weiblich insgesamtunter 6 2421,0 2296,6 4717,66 bis 15 4136,2 3923,5 8059,715 bis 18 1398,0 1325,0 2723,018 bis 25 3330,9 3202,9 6533,825 bis 45 12966,4 12288,7 25255,145 bis 60 7816,2 7742,1 15558,360 bis 65 2801,3 2916,8 5718,165 und mehr 5286,6 8407,5 13694,1

Summe 40156,6 42103,1 82259,7

I.5.

Arbeitstabelle zur Zusatzaufgabe b):Häufigkeitsverteilung und Verteilungsfunktion der Altersgruppen der Bevölkerung:

Alter

xi

absolute Häufigkeit

(Anzahl derPersonen in

1000)

ni

relative Häufigkeit

hn

nii

Gruppenbreite

xi,o - xi,u

Häufigkeitsdichterelativ

Häufigkeitsdichteabsolut

kumulierterelative Häufikeit

Hi = F(xi) = h j

x xj i

unter 6 4717,6 0,06 6 0,0096 786,27 0,06

6 bis 15 8059,7 0,10 9 0,0109 895,52 0,16

15 bis 18 2723,0 0,03 3 0,0110 907,67 0,19

18 bis 25 6533,8 0,08 7 0,0113 933,40 0,27

25 bis 45 25255,1 0,31 20 0,0154 1.262,76 0,57

45 bis 60 15558,3 0,19 15 0,0126 1.037,22 0,76

60 bis 65 5718,1 0,07 5 0,0139 1.143,62 0,83

65 und mehr 13694,1 0,17 35 0,0048 391,26 1,00

Insgesamt 82259,7 1,00 100 - - -

II. Materialien zur eindimensionalen Häufigkeitsverteilung

Im Rahmen einer statistischen Untersuchung des Wohnungsbestandes im Freistaat Sachsen

wurde unter anderem die Wohnfläche der untersuchten Wohnungen ermittelt. Folgende

Ergebnisse wurden festgestellt (Angaben in m2):

33, 46, 93, 66, 45, 112, 72, 53, 84, 68

68, 36, 137, 60, 54, 78, 50, 58, 110, 60

128, 52, 70, 39, 90, 57, 58, 98, 49, 42

65, 59, 94, 72, 105, 50, 56, 28, 75, 68

54, 134, 87, 58, 58, 72, 64, 68, 55, 62

2. und 3. Seminar - Gruppenbildung, Mittelwerte und Streuung

a) Untersuchen Sie die empirischen Häufigkeitsverteilungen und stellen Sie diese graphisch

dar!

b) Beurteilen Sie die mittlere Wohnfläche je Wohnung!

c) Wie repräsentieren die Mittelwerte die tatsächlichen Verhältnisse hinsichtlich der

Wohnungsgröße? Berechnen Sie die dazu möglichen Streuungskennzahlen und führen Sie

eine Varianzzerlegung durch! Welche Schlußfolgerungen lassen sich aus der

Varianzzerlegung ableiten?

d) Die durchschnittliche Kaltmiete je m2 Wohnfläche betrug im Untersuchungszeitraum für

die gleichen Beobachtungsobjekte 5,40 DM bei einer durchschnittlichen Abweichung der

individuellen Mieten je m2 Wohnfläche vom Durchschnitt in Höhe von 90 Pfennigen. Liegt

diese Streuung über der für die durchschnittliche Wohnfläche?

4. Seminar - Schiefe und Konzentration

e) Beurteilen Sie die Schiefe der Wohnflächenverteilung anhand verschiedener zahlenmäßiger

Ergebnisse!

f) Wie ist die Konzentration des Merkmals Wohnfläche je Wohnung einzuschätzen?

Betrachten Sie hierzu Kennzahlen und graphische Darstelungsmöglichkeiten der absoluten

als auch relativen Konzentration!

Arbeitstabelle zur Gruppenbildung; Gruppenmittelwerte, Gruppenmitten:

Wohnungsfläche in m2 Einzeldaten, die indiese Gruppe fallen xij

Gruppenmittelwerte x i Gruppenmitten xi*

0 bis unter 40 28, 33, 36, 39 34 20

40 bis unter 6042, 45, 46, 49, 50, 50,52, 53, 54, 54, 55, 56,57, 58, 58, 58, 58, 59

53 50

60 bis unter 8060, 60, 62, 64, 65, 66,68, 68, 68, 68, 70, 72,

72, 72, 75, 7868 70

80 bis unter 100 84, 87, 90, 93, 94, 98 91 90100 bis unter 120 105, 110, 112 109 110120 und mehr* 128, 134, 137 133 130

* festgelegte Gruppenobergrenze = 140 (ergibt sich aus Gruppenbreite der benachbarten Gruppe)

Arbeitstabelle zur Häufigkeitsverteilung und Summenkurve:

Wohnungsfläche in m2 ni hi = ni / ni xifi - absolut= ni / xi

fi - relativ= hi / xi

Hi = F(xi)= hj für xj xi

0 bis unter 40 4 0,08 40 0,1 0,002 0,0840 bis unter 60 18 0,36 20 0,9 0,018 0,4460 bis unter 80 16 0,32 20 0,8 0,016 0,7680 bis unter 100 6 0,12 20 0,3 0,006 0,88100 bis unter 120 3 0,06 20 0,15 0,003 0,94

120 und mehr 3 0,06 20 0,15 0,003 1Summe n = 50 1 - - - -

Kapitel II: Anhang 1


Arbeitstabelle zum arithmetischen Mittel: oder

Wohnungsfläche in m2 ni hi = ni / niGruppenmittel-

werte x i

Gruppenmittenxi*

x i ni xi* ni

0 bis unter 40 4 0,08 34 20 136 80 2,72 1,640 bis unter 60 18 0,36 53 50 954 900 19,08 1860 bis unter 80 16 0,32 68 70 1088 1120 21,76 22,480 bis unter 100 6 0,12 91 90 546 540 10,92 10,8100 bis unter 120 3 0,06 109 110 327 330 6,54 6,6

120 und mehr 3 0,06 133 130 399 390 7,98 7,8Summe n = 50 1 - - 3450 3360 69 67,2

Arbeitstabelle zur Streuung:

Wohnungsfläche in m2 ( x i - x )2 ( x i - x )2 ni2

0 bis unter 40 140 188,8 1225 4900 66 16,540 bis unter 60 288 309,6 256 4608 436 24,22260 bis unter 80 66 44,8 1 16 394 24,62580 bis unter 100 132 136,8 484 2904 128 21,333100 bis unter 120 120 128,4 1600 4800 26 8,667

120 und mehr 192 188,4 4096 12288 42 14,0

Summe

= 938

996,8 - 29516 1092 -

(xi)2 = 268658


Arbeitstabelle zum Schiefemaß auf Basis des Mittelwertes:

Wohnungsfläche in m2 ni

anhand der Einzeldatenanhand der Gruppenmitten

0 bis unter 40 4 -178514 -420616,192

40 bis unter 60 18 -96144 -91592,064

60 bis unter 80 16 -994 351,232

80 bis unter 100 6 72306 71114,112

100 bis unter 120 3 195084 235208,256

120 und mehr 3 794436 743019,456

Summe n = 50 786174 537484,8

Arbeitstabelle zur absoluten Konzentration:

Merkmal li li2

137 0,03971014 0,0015769134 0,03884058 0,00150859128 0,03710145 0,00137652


112 0,03246377 0,0010539110 0,03188406 0,00101659105 0,03043478 0,0009262898 0,0284058 0,0008068994 0,02724638 0,0007423793 0,02695652 0,0007266590 0,02608696 0,0006805387 0,02521739 0,0006359284 0,02434783 0,0005928278 0,0226087 0,0005111575 0,02173913 0,0004725972 0,02086957 0,0004355472 0,02086957 0,0004355472 0,02086957 0,0004355470 0,02028986 0,0004116868 0,01971014 0,0003884968 0,01971014 0,0003884968 0,01971014 0,0003884968 0,01971014 0,0003884966 0,01913043 0,0003659765 0,01884058 0,0003549764 0,01855072 0,0003441362 0,01797101 0,0003229660 0,0173913 0,0003024660 0,0173913 0,0003024659 0,01710145 0,0002924658 0,01681159 0,0002826358 0,01681159 0,0002826358 0,01681159 0,0002826358 0,01681159 0,00028263


57 0,01652174 0,0002729756 0,01623188 0,0002634755 0,01594203 0,0002541554 0,01565217 0,0002449954 0,01565217 0,0002449953 0,01536232 0,00023652 0,01507246 0,0002271850 0,01449275 0,0002100450 0,01449275 0,0002100449 0,0142029 0,0002017246 0,01333333 0,0001777845 0,01304348 0,0001701342 0,01217391 0,000148239 0,01130435 0,0001277936 0,01043478 0,0001088833 0,00956522 9,1493E-0528 0,00811594 6,5869E-05

Summe 1 0,02257156


Arbeitstabelle zur relativen Konzentration:

Wohnungsfläche in m2 ni hi Hi x i x i ni = mi li Li Li + Li-1 (Li + Li-1]hi

0 bis unter 40 4 0,08 0,08 34 136 0,03942029 0,03942029 0,03942029 0,00315362

40 bis unter 60 18 0,36 0,44 53 954 0,276521739 0,315942029 0,35536232 0,12793043

60 bis unter 80 16 0,32 0,76 68 1088 0,315362319 0,631304348 0,94724638 0,30311884

80 bis unter 100 6 0,12 0,88 91 546 0,15826087 0,789565217 1,42086957 0,17050435

100 bis unter 120 3 0,06 0,94 109 327 0,094782609 0,884347826 1,67391304 0,10043478

120 und mehr 3 0,06 1 133 399 0,115652174 1 1,88434783 0,11306087

Summe n = 50 1 - - m = 3450 1 - - 0,8182029


Grafische Darstellung der relativen Konzentration:


III.1.

III. Materialien zur Indextheorie

5. Seminar - Einführung in Zeitreihen, Indizes

Die Entwicklung des realen Bruttosozialprodukts in drei Ländern wurde unterschiedlich erfaßt.

Jahr Land A: BSP(real) in Mrd.

Währungseinheiten

Land B: BSP(real) im Verhältnis

zum Vorjahr (%)

Land C: BSP(real) im Verhältnis zu

1993 (%)1993 1200 103 1001994 1230 101 1011995 1245 103 1031996 1260 100 1051997 1310 104 108

a) Kennzeichnen Sie die Meßkennzahlen für Land B und Land C!

b) Wie hat sich das BSP(real) im Land A seit 1993 bis 1997 entwickelt?

c) Wie hoch war 1993 das BSP(real) im Land A aus Sicht des Jahres 1997?

d) In welchem Land stieg die Produktion von 1996 bis 1997 relativ am stärksten? Bei

welchem Land müssen Sie eine Umrechnungsregel anwenden und wie heißt diese?

e) In welchem Land stieg die Produktion von 1993 bis 1997 relativ am stärksten? Bei

welchem Land müssen Sie eine Umrechnungsregel anwenden und wie heißt diese?

6. Seminar - Indexzerlegung

Über die Entwicklung von Preisen und umgesetzten Mengen einer Warengruppe, die

Erzeugnisse unterschiedlicher Qualitätsstufen enthält, liegen folgende Angaben vor:

a) Wie

entwickelte sich der Umsatz dieser Warengruppe?

b) Wie entwickelten sich die Preise durchschnittlich? Wie entwickelte sich der Warenumsatz

infolge der Preisänderung?

Sorte Preis in EURO je kg Menge in 1000 kgBasiszeitraum Berichtszeitraum Basiszeitrau

mBerichtszeitraum

A 2,00 2,10 2000 1800B 2,20 2,25 500 800C 2,40 2,35 800 600D 3,00 3,05 700 800insgesamt - - 4000 4000

III.2.

c) Welchen Einfluß hat die Veränderung der umgesetzten Mengen auf die Entwicklung des

Umsatzes der Warengruppe?

d) Wie beeinflußt die veränderte Struktur der umgesetzten Mengen die Entwicklung des

Umsatzes?

e) Wie entwickelte sich der Umsatz der Warengruppe durch die Veränderung des

Mengenvolumens?

f) Wie entwickelte sich der Durchschnittspreis?

g) Wie entwickelte sich der Durchschnittspreis durch die Veränderung der Einzelpreise?

h) Wie entwickelte sich der Durchschnittspreis infolge der veränderten Struktur der

umgesetzten Mengen?

i) Welche Umsatzveränderung welcher Sorte von Waren wirkte sich am stärksten auf die

Entwicklung des Gesamtumsatzes aus?

IV.1.

IV. Materialien zur Emittlung der glatten und periodischen Komponente

Entwicklung der Konsumausgaben der Privaten Haushalte in der BRD von 1994 bis 2001:

QuartalJahr

Gesamt1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001

Mrd. EURI 236,0 238,8 242,2 242,0 245,9 255,3 259,0 263,3 1982,5II 240,9 249,4 249,7 253,6 254,0 263,9 271,8 275,7 2059,0III 243,2 248,3 250,8 250,2 255,5 264,6 269,0 272,1 2053,6IV 256,9 259,6 262,3 264,2 271,6 280,6 279,6 284,6 2159,4

Gesamt 977,0 996,1 1005,0 1010,0 1027,0 1064,4 1079,4 1095,7 8254,6

7. Seminar - Trend einschließlich exponentielle Glättung

a) Bestimmen Sie einen geeigneten Funktionstyp!

b) Ermitteln Sie die Trendfunktion mit Hilfe der Gauß´schen Methode der kleinsten

Quadratsumme!

c) Schätzen Sie den Privaten Verbrauch für die Jahre 2002 und 2003 mit einer statistischen

Sicherheit von 95%!

d) Vergleichen Sie die gewonnenen Ergebnisse der Trendberechnung mit denen der

Trendfunktion auf der Grundlage der Gesamtveränderung (Prinzip der Summengleichheit)

und mit den gleitenden Durchschnitten (Stützperiode g=3)!

e) Schätzen Sie den Privaten Verbrauch für 2002 mittels der Methode der exponentiellen

Glättung! Wählen Sie dazu eine geeignete Glättungskonstante aus!

8. Seminar - Periodische Schwankungen

f) Ermitteln Sie die periodischen Schwankungen! Entscheiden Sie sich dazu anhand einer

Grafik für den zu wählenden Auflagerungstyp! (Verwenden Sie Ihr Ergebnis aus b)! )

g) Überprüfen Sie die Stabilität der Saisonfigur für das 2. und 4. Quartal!

h) Schätzen Sie die Quartalswerte für 2002!

Kapitel IV. Anhang 1

Arbeitstabelle zur Trendermittlung nach Gauß:Jahr yt dt pt t yt * t t2 f(t) [yt - f(t)]2

1994 977,0 - - 1 977,0 1 971,716 27,921995 996,1 19,1 1,0195 2 1992,2 4 988,890 51,981996 1005,0 8,9 1,0089 3 3015 9 1006,064 1,131997 1010,0 5 1,0050 4 4040 16 1023,238 175,241998 1027,0 17 1,0168 5 5135 25 1040,412 179,881999 1064,4 37,4 1,0364 6 6386,4 36 1057,586 46,432000 1079,4 15 1,0141 7 7555,8 49 1074,760 21,532001 1095,7 16,3 1,0151 8 8765,6 64 1091,934 14,18

Summe 8254,6 - - 36 37867 204 - 518,31

Vergleich der Ergebnisse verschiedener Trendermittlungsverfahren:

JahrOriginalwerte

yt

Gauß

f(t)

Summengleichheit

f(t)

Gleit. Durchschnitte

f(t)

1994

1995

1996

1997

1998

1999

2000

2001

977,0 971,72

988,89

1006,06

1023,24

1040,40

1057,59

1074,76

1091,93

972,48

989,43

1006,39

1023,35

1040,30

1057,26

1074,22

1091,18

982,10

992,70

1003,70

1014,00

1033,80

1056,93

1079,83

1095,48

996,1

1005,0

1010,0

1027,0

1064,4

1079,4

1095,7

Trend nach Gauß: su = 9,29 Trend nach dem Prinzip der Summengleichheit: su = 10,20 Trendwertbestimmung mit gleitenden Durchschnitten: su = 5,12


Arbeitstabelle zur Analyse des Auflagerungstyps:

I. Quartal 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001lfd. Nr. = (t,k) 1 5 9 13 17 21 25 29

yt,k 236,0 238,8 242,2 242,0 245,9 255,3 259,0 263,3f(t,k) 241,325 245,617 249,909 254,201 258,493 262,785 267,077 271,369d(t,k) -5,4 -6,8 -7,7 -12,2 -12,6 -7,5 -8,0 -8,1p(t,k) 0,978 0,972 0,969 0,952 0,951 0,972 0,970 0,970

II. Quartal 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001lfd. Nr. = (t,k) 2 6 10 14 18 22 26 30

yt,k 240,9 249,4 249,7 253,6 254,0 263,9 271,8 275,7f(t,k) 242,398 246,690 250,982 255,274 259,566 263,858 268,150 272,442d(t,k) -1,5 2,7 -1,3 -1,6 -5,6 0,1 3,6 3,2p(t,k) 0,994 1,011 0,995 0,994 0,979 1,000 1,013 1,012

III. Quartal 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001lfd. Nr. = (t,k) 3 7 11 15 19 23 27 31

yt,k 243,2 248,3 250,8 250,2 255,5 264,6 269,0 272,1f(t,k) 243,471 247,763 252,055 256,347 260,639 264,931 269,223 273,515d(t,k) -0,3 0,5 -1,3 -6,1 -5,2 -0,4 -0,3 -1,4p(t,k) 0,999 1,002 0,995 0,976 0,980 0,999 0,999 0,995

IV. Quartal 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001lfd. Nr. = (t,k) 4 8 12 16 20 24 28 32

yt,k 256,9 259,6 262,3 264,2 271,6 280,6 279,6 284,6f(t,k) 244,544 248,836 253,128 257,420 261,712 266,004 270,296 274,588d(t,k) 12,4 10,8 9,2 6,8 9,9 14,6 9,3 10,0p(t,k) 1,051 1,043 1,036 1,026 1,038 1,055 1,034 1,037


Arbeitstabelle: Stabilität der Saisonfigur in der II. Phase, wenn multiplikativ aufgelagert:

II. Quartallfd. Nr. =

(t,2)yt,2 f(t,2)

1994 2 240,9 242,398 0,994 -0,006 3,5759E-051995 6 249,4 246,690 1,011 0,011 0,000125111996 10 249,7 250,982 0,995 -0,005 2,4088E-051997 14 253,6 255,274 0,993 -0,006 4,042E-051998 18 254,0 259,566 0,979 -0,021 0,000451291999 22 263,9 263,858 1,000 0,000 1,2901E-072000 26 271,8 268,150 1,014 0,014 0,000190772001 30 275,7 272,442 1,012 0,012 0,00014783

Summe - - - - - 0,00101539

Arbeitstabelle: Stabilität der Saisonfigur in der IV. Phase, wenn additiv aufgelagert:

IV. Quartallfd. Nr. =

(t,4)yt,4 f(t,4)

1994 4 256,9 244,544 12,356 1,993 3,9720491995 8 259,6 248,836 10,764 0,401 0,1608011996 12 262,3 253,128 9,172 -1,191 1,4184811997 16 264,2 257,420 6,780 -3,583 12,8378891998 20 271,6 261,712 9,888 -0,475 0,2256251999 24 280,6 266,004 14,596 4,233 17,9182892000 28 279,6 270,296 9,304 -1,059 1,1214812001 32 284,6 274,588 10,012 -0,351 0,123201

Summe - - - - - 37,777816


Arbeitstabelle zur Ermittlung der quadratischen Abweichungen der empirischen Werte von den quartalsweisen Trendwerten mit Periodizität (multiplikative Auflagerung):

Quartallfd. Nr. =

(t,k)yt,k f(t,k) = f(t,k) Pk

I/1994 1 235,97 241,325 240,529 20,7810847II/1994 2 240,89 242,398 242,350 2,1301998III/1994 3 243,16 243,471 241,791 1,87402383IV/1994 4 256,92 244,544 254,301 6,85756036I/1995 5 238,83 245,617 244,806 35,7181207II/1995 6 249,41 246,69 246,641 7,66923296III/1995 7 248,3 247,763 246,053 5,04705295IV/1995 8 259,62 248,836 258,765 0,73178375I/1996 9 242,2 249,909 249,084 47,3935906II/1996 10 249,69 250,982 250,932 1,54207618III/1996 11 250,8 252,055 250,316 0,23442979IV/1996 12 262,3 253,128 263,228 0,8608262I/1997 13 242 254,201 253,362 129,09815II/1997 14 253,63 255,274 255,223 2,53747441III/1997 15 250,2 256,347 254,578 19,1686852IV/1997 16 264,19 257,42 267,691 12,2574071I/1998 17 245,93 258,493 257,640 137,12347II/1998 18 254,01 259,566 259,514 30,2949715III/1998 19 255,47 260,639 258,841 11,360883IV/1998 20 271,6 261,712 272,154 0,30725825I/1999 21 255,31 262,785 261,918 43,6631464II/1999 22 263,93 263,858 263,805 0,01556795III/1999 23 264,58 264,931 263,103 2,1815996IV/1999 24 280,61 266,004 276,618 15,9395803I/2000 25 259,04 267,077 266,196 51,2032682II/2000 26 271,76 268,15 268,096 13,4221848III/2000 27 268,96 269,223 267,365 2,54287258IV/2000 28 279,56 270,296 281,081 2,31286427I/2001 29 263,27 271,369 270,473 51,8901572II/2001 30 275,66 272,442 272,388 10,7091803III/2001 31 272,14 273,515 271,628 0,26240365IV/2001 32 284,63 274,588 285,544 0,83550788Summe 528 - - - 667,966615

Documents

Statistik I Bungsunterlagen