Stetig differenzierbare Trajektorien rheologischer Platten

Von A. LANGENBACH in Berlin

(Eingegangen am 22.10. 1070)

I.

Als Platte bezeichnen wir einen zylindrischen Korper mit dem Volumen

8=82 x (-W,W), h < < d ( Q ' 1 ) .

Die MittelflLche Q2 der Platte legen wir in die (xi, x2)-Ebene, - W 5 x3 5 h. Unter der Einwirkung von Lasten, die senkrecht zur Mittelebene wirken,

verformt sich die Platte : fur die Verschiebungen und Verzerrungen werden die iiblichen Vereinfachungen angenommen. 1)

(1.1) Ei3 = 0, = %? = 0 ,

( 5 1 , 2 2 ) € 8 2 , t 2 0 .

Die Lasten mogen sich mit der Zeit so langsam iindern, dal3 zu jedem Zeit- punkt t 2 0 die statischen Gleichgewichtsbedingungen in der Form des Prinzips der virtuellen Verschiebungen gultig sind.

(1.2) j m<k (x, t , BEik (5, t ) dz = q (XI 52, t ) B%(Zi 9 22, 0, t ) dxl dx2 n Q2

t 2 0 .

Die Funktion q (xI , x2, t) kennzeichnet die Belastung und sei bekannt ; sie mag von OberflLchenkrLften und von gemittelten Volumenkriiften her-

1) Wie in der Mechanik iiblich, werden Ableitungen durch Index nach einem Komme gekennzeichnet. Wiederholen sich in einem Ausdruck gewisse Indizes, 80 wird uber alle Werte dieser Indizes summiert.

360 Langenbach, Stetig differenzierbare Trajektorien rheologischer Platten

riihren. Die rechte Seite in 1.2 stellt die virtuelle Arbeit der BuBeren KrHfte dar. Die virtuelle Arbeit der inneren Krtifte vereinfacht sich gemiil3 l.i

11

J uik ( 2 1 , 2 2 , z3, t , 6 E i k ( 2 1 , 2 2 , 53, t ) dz3 - h

= - Mil 6 b:),,, - 2M126%3,12 - M22 6 ~ i 3 . 2 2 .

(1.3)

h M . ~ ( ~ l , x ? , t ) = J u u . p ( ~ 1 , x 2 , z 3 , t ) x 3 d z ~ a , ~ = 1,2

stellen Momente der inneren Spannungen dar. Die Gleichgewichtsbedin- gung, genauer die Bewegungsgleichung 1.2, stellt sich nun in der Form

- h

tzo dar. Zur endgultigen Formulierung der Bewegungegleichung benotigen wir ein Stoffgesetz, welches das Material kennzeichnet.. Wir gehen von einem rheologischen Material aus und verwenden ein nichtlineares KELVIN-VOIGT- Modell, welches fur einen Freiheitsgrad mit

(1.5) u = f(&) & + g ( b ) b angcgeben wird. Darin kennzeichnet die Grol3e u eine charakteristiache Spannung, E und b stehen fur die entsprechende Verzerrung und Ver- zerrungsgeschwindigkeit. An die Stelle von u tritt in unserem Beispiel der Tensor Mu, der innerenMomente, an die Stellevon E der Tensor derauch als Krummungstensor der verformten MittelflLche angesehen werden kann. Wir schreiben hinfort fur a3 nur noch u. Unsere Annahme lautet

(1.6)

worin H [u, a] und T[ti, t i ] quadratische Invarianten des Kriimmungs- tensors u,., bzw. des Tensors der Krummungsgeschwindigkeitrn zi,,, sind. Mit den Bezeichnungen

2fW[74,74], t ) eg(Trti, ZiI, t )

Z%, OU,., M = + ---. t

gilt d a m die Beziehung

J Mu, BZC,,~ dzl = 2 J (f’(H [u, u3, t ) H [a, 6 ~ 1

+ g’(T[ti, ti], t ) T[zi, Bu]} dz, ax.?, Q, Q,

(1.7)

in der H [ u , Bu], T[ti , du] die den quadratischen Formen H [ u , u], T[C, zi] entsprechenden Bilinearformen sind. Mit der Annahme i .6 erhalten wir demnach aus i .4 eine einzige Variationsgkichung zur Bestimmung der

Langenbach, Stetig differenzierbare Trajektorien rheologischer Platten 361

Ausbiegung u = asi3 (x, , x,, t) der Mittelfliiche. Unter natiirlichen Voraus- setzungen uber die Materialfunktionen f’(5, t ) und g ‘ ( 5 , t) kann diese Variationsgleichung als gewohnliche abstrakte Differentialgleichung auf- gefal3t werden.

11. Die Differentialgleichung

Die Mittelfliiche Q2 der undeformierteii Platte betrachten wir als be- schriinktes Gebiet in R,. Mit C,(Q,) bezeichnen wir den linearen Vektor- raum der in Q, stetigen und partiell zweimal stetig differenzierbaren finiten Funktionen. Die Elemente dieses Raumes besitzen einen kompakten Triiger in Q2, d. h. sie verschwindcn ttuf einem Randstreifen.

Auf Cp(Qn,) ist

Q>

ein Skalarprodukt. Neben dem Skalarprodukt 2.1 ist auf C,(Q,) auch

(u, v) = J axl ax* i l 2

(2.2)

ein Skalarprodukt. Der Raum Wi(Q2) der in Q1 definierten Funktionen u E L, (Q,), die dort alle zweiten verallgemeinerfcn Ableitungen

im Sinne von S. L. SOBOLEW besitzen, ist init den1 Skalarprodukt

(2.3) (u, V ) I = (21, v) + (a, v)2 ein HILBERT-Raum, vgl. w. I. SMIRNOW [I]. Nun gilt mit der FRIEDRICHS- schen Ungleichung fur u E C,(Q,) und eine Konstante a > 0

(2.4)

Wir konnen 6, (Q,) als Unterraum von W i (Q,) auffassen. Die Ungleichung 2.4 zeigt uns, daD die Abschliehng Wo von C,(Q,) in Wi(Q,) mit dem Skalarprodukt 2.1 ein HILBERT-Raum ist. Dabei gilt

(u, u) 5 ayu, u ) g .

(2 .5) (u, u) 5 aqu, U)? V u E WO. Der Raum W , ist den Verschiebungen der Mittelfliiche einer eingespa.nnten Platte angepaBt.

Dtts durch die Beziehung 1.6 ausgedriickte FlieBgesetz des verallgemei- nerten KELVIN-VoIaT-Modells wird nun wie folgt priizisiert.

(2.6) (2.7)

a[u, u1 = eaflyd(”I 9 xa) u,ap u,y6, T [ 2 i s 2i1 = h a p y 6 ( X 1 , z2) zi,ap d 9 y 6 *

362 Langenbach, Stetig differenzierbare Trajektorien rheologischer Platten

Die Symmetrieeigenschaften der mel3bar vorausgesetzten Tensorfunktionen e a B ~ d und hapya ergeben sich aus den Beziehungen 2.6, 2.7. Uberdies mogen die Ungleichungen

2

5 eafly6 ($1 2 z2) Ea,4 t y 6 5 m1 Q.0- 1

(2.8)

fur ( x l , q) E D2 und reelle tap mit Konstanten e l , mi > 0 erfullt sein. Die Materialfunktionen

mogen fur t 2 0, t 2 0 in den Variablen t, t partiell stetig sein und die partiellen Ableitungen

besitzen, die ebenfalls in den Variablen 5, t partiell stetig sind. AuDerdem fordern wir Wachstwnsbeschrlinkungen fur diese Funktionen bzw. fur

p ( t , t ) = f’(t2, t ) 6 und ~ ( 5 , t ) = g ’ ( t 2 , t ) t . lf‘(t2, t)l 5 m2 9

e2 5 g’ ( t2 , t ) 5 mz

(2.10)

(2.11)

fur .E 2 0, t 2 0 und positive Konstanten e 2 , m2,

ar e3 5 - I m3 (2.13)

a t - fur 5 2 0, t 2 0 und positive Konstanten e3 , m3.

Wir definieren nun fur jedes t 2 0 die Operatoren

P ( t ) E ( W O -, W,*) und R( t ) E ( W , -+ W i ) , (2.14) ( P ( t ) u, w) = J f ’ ( H [ u , ul, t ) H [ % WI d2i dx2 Y

( ~ ( t ) u, w) = J g’ (qzc , 4, t ) T [ U , WI axi dz2 Q2

(2.15) n,

fur u, w E Wo und t 2 0.

Langenbach, Stetig differenzierbare Trajektorien rheologischer Platten 363

Lemma 1. Unter den Bedingungen 2.8-2.13 sind die Operatoren P(t), R ( t ) fur jedes t 2 0 LmscmTz-stetig auf W o ; R(t) ist iiberdies stark monoton.

Beweis. Betrachten wir zuniichst die Differenz

(2.16) (P(t) u - P( t ) 21, w) = J {f’(H[% a], t ) H [ % w1 Q2

- f’ ( H [v, vl, t ) H [ v, w]} a x 1 a x 2

fur u, er, w E W,. = 1, 2 und mit 2.8 H[u, u] €L,(ln2),

konnen wir in fast allen Punkten (xi, x2) E Q2 den Integranden in 2.16 nach der TAYLOR-Formel zerlegen (2.17)

Da z. B. fur u EWo u,.~ E L,(Q2) 01,

f’(H[u, u], t ) H [ u , wl -f’(H[v, v], t ) H [ v , w3

H , = H [ v + 6(u - v), w + 6(u - v) 0 5 6 ( X i , 2 2 ) 5 1,

( P ( t )

Aus der Zerlegung 2.17 folgt

(2.18) - P( t ) er, w> = J {f’(HB,, t ) H D - v, w3 Q2

+ 2f”(H,, t)H[v + 60(% - v), - v3 x H[w + @()(?A - w), w]} dXidX2.

Mit Hilfe der fur die nichtnegative quadratische Form 2.6 gultigen CAUCHY- ScHwazschen Ungleichung

~ ~.

(2.19) wl 5 V W u , 211 p q w , wl erhalten wir

also wegen 2.10, 2.12, der CAUCHY-ScHwARzschen Ungleichung fur Integrde und schlieDlich 2.8, 2.1

(2.20) I(P(t) u - P( t ) v, w)I 5 (2 m2 + m3)

5 (2 m2 + m3) millu - wl12 IIwtI2 5 (2 m2 + 1123) ~ I I I ~ - 4li IIwIJi.

x vl H [u - v, u - w] dx, dx2 H [w, w] d x 1 Z Vl

364 Lmgenbach, Stetig differenzierbare Trajektorien rheologischer Platten

P ( t ) ist dainit LmscmTz-stetig auf W,, mit der LIPscmTz-Konstante Lp = (2ms + m3)ml.

Analog erhalten wir fur R ( t ) (2.21) ( R ( t ) u - R(t ) w, w) = J {g’(T3,, t ) T [u - v, w]

Q2

+ 2 Q”(T,,, t ) T [ v + %(u - v), u - v3 x T[V + 61(u - v), 4) ax,ax2, T,, = T[v + 61(u - v), + - v)], 0 5 6, (XI, 52) 5 1.

Aus 2.21 folgt zuniichst wieder niit den Ungleichungen 2.9, 2.11 und 2.13

(2.22) [IR(t) u - R( t ) vll -I (2 + m3) m1llu - 41, 5 (2 m? + m3) mlllu - VIII -

R ( t ) ist damit LIPsCHITZ-stetjig auf ivo mit der LIPscHITz-Konstante

AuDerdem folgt aus der Darstellung 2.21 fur w = u - v die starke Monotonie des Operators R(t ) . Zum Nachweis fuhren wir die in 0 5 E , 0 5 t partiell stetige Funktion gy(E, t ) = min (0, g ” ( E , t ) } ein. Wir erhalten damit ails 2.21

L, = L,, = L = (2 m2 + r n 3 ) mI.

(2.23) (R( t ) u - R(t ) V, u - V)

Die Funktion g’(E2, t ) + 2 g ? ( P , t ) 5’ nimmt Werte von g ‘ ( P , t ) oder von

an. Dic Ungleichungcn 2.11, 2.13 liefern dann I??. ( 5 , t )

25

(2.24)

.- -

( ~ ( t ) u - ~ ( t ) V, u - V) 2 e4 1 T [ U - V, u - V] dxl ax, QJ

iiiit e4 = inin {e!, e3} > 0.

SchlieDlich konnen wir noch die Ungleichung 2.9 dahingehend nutzen, daB wir f T [u - v, u - v] ax, dx2 2 el (u - v, u - v)? schreiben, worms

sich weiter mit 2.3 und 2.5

(2.25) (u - v, u - 5 ( 1 + a?) (u - v, u - v), 1 + a2

el e4 < - - ( R ( t ) u - R( t ) v, u - w)

ergibt, g. e. d. Ma,n beinerkt nun, daD die Monotoniekonstante in 2.25 nicht von t ab-

hiingt; wir sagen, der Operator R E ( [0 , 00) x W o -. W,*) ist gleichmiil3ig stark monoton.

Langenbach, Stetig differenzierbare Trajektorien rheologischer Platken 3 65

Durch das Funktional A (t) E TY: , (2.26) ( A ( t ) , w ) = - S Q ( X I , X ~ , ~ ) W ( X ~ , X ~ ) ~ X ~ ~ ~ ~ W € W o ,

stellen wir noch die virtuelle Arbeit der iiuI3eren Last dar. Dann schreiben wir die Variationsgleichung 1.4 in der Form

(2.27)

Der Lmscmrz-stetige und stark monotone Operator R ( t ) stellt fur jedes t 2 0 einen in beiden Richtungen LIrscmTz-stetigen Homoomorphismus des Raumes Wo auf seinm dualen Raum W: dar.2) Wir konnen daher die Gleichung 2.27 auch in der ,,Normalform"

P,

R ( t ) 6 + P( t ) u = A(t ) t 2 0 .

(2.28) 6 ( t ) = R-'(t) [ A ( t ) - P( t ) ~ ( t ) ] schreiben. Dicse Gleichung nennen wir uuch Bewegungsgleichung eher KELVIN-VOIGTsChen Plattc.

111. Losung der Differentialgleichung 2.28

Es licgt nahe, die Bewegungsgleichung 2.28 mit den Lmscmrz-stetigen Operatoren R-1 (t) und P (t) ale gewohnliche abstrakte Differentialgleichung fur Wege im Raum Wo aufzufassen. Als Weg bezeichnen wir jede stetige Abbildung eines Intervalls [0, z) in den Raum Wo bzw. W,*.

Speziell wird z = + co zugelassen.

Lemma 2 . H sei H I L B E R T - R Q U ~ , R E ( [0 , co) x H -, H * ) ein in beiden Variablen partiell stetiger und fiir jedes t 2 0 gleichmajig stark monotoner Operator uuf H . Dann existiert R-1 E ( [0 , m) x H* + H ) ; R-1 bildet Wege auf Wege ab.

Beweis. Zur Existenz von R-1 siehe wieder [2]. Sei R(t , u) = w, R(t + dt, u') = w'. Wir h d e n dann

(3.1) (R( t + Bt, u') - R(t , u), U' - U )

=; ( R ( t + d t , u') - R(t + dt, u), U' - U)

+ ( R ( t + dt, U ) - R(t , u), U' - U ) 2 ~ I / u ' - uJ~' + ( R ( t + dt, U ) - R(t , u), U' - u).

1st der Weg w(t) t E [0, z) vorgegeben und to E [0, t) beliebig, so konnen wir die Ungleichung 3.1 auf

U' = R-' ( t o + dt , to + dt)) = u(to + dt)

2) Vgl. z. B. R. I. KATSCHUROWSKI [2].

366 Langenbech, Stetig differenzierbare Trctjektorien rheologischer Platten

Y E iIR (fo + bt , to)) - R ( to, u(to))II < -6- 4

fiir 1btJ < 6. Damit ergibt sich dann aus 3.2

I l u ( t 0 + at) - u(4))ll < E ,

falls 1btl < 6. Die Abbildung u E ([0, z) + H ) , u(t) = R-1 ( t , w ( t ) ) , ist also stetig in to . Da to E [O , t) beliebig, ist u ein Weg in H, q. e. d .

, Lemma 3. Geniigen die Materialfunktionen f'(E, t ) , g ' ( 6 , t ) , den Be- dingungen 2.8 - 2.13, und sind zusatzlich die Ungleichungen

(3.3) If '(& t) I 5 m4, I S'(5, t) I 5 %

fur 5 2 0, t 2 0 und eine geeignete Konstante m, erfiillt, so sind die Operatoren P , R ( [0 , m) x Wo -+ W,*) stetig und bilden Wege auf Wege ab.

Be wei s. Begniigen wir uns mit dem Beweis der Aussage fur den Operator

Fixieren wir ein beliebiges Element (to, u) E [0, ca) x W o . Dann gilt fur P; fur R verliiuft der Beweis vollig analog.

( t o + St, u + 6u) E [ O , m) x wo ( P ( h + 6t) (u + h) - P(to) a, w) = (P(t" + d t ) (24 + 6u) - P(to + dt) u, w)

+ (P ( to + fit) - PUo) u, 4,

I(P(t0 + dt) (21 + 6%) - P(td u, w>I 5 ~ l J ~ l l 1 l l w l l l nach der Abschltzung 2.20 aus dem Beweis zu Lemma 1 also

(3.4)

mit L = (2 m2 + m3) m l . Weiterhin zerlegen wir den Integranden in

+ I(P(t0 + d t ) 24 - P(t0) u, w> I

(P(t0 + bt) - P(t0) u, w) = J {f ' ( H b , ul, to + at ) Ql

- f w u , 211, to)> mu, w1 dxldxz

Langenbach, Stetig differenzierbare Trajektorien rheologischer Platten 367

nacli der TAYLOR-Formel und erhalten mit 3.3 und 2.8 die Abschlitzung

s t m4 ml I l ~ l l 2 l l ~ l J a I 6t m4 mlllulll I IWl l i -

IIP(t0 + w (u + 6u) - PVO) UII I J5 IIWll + m4 mlllUlll St

Dabei ist w E Wo beliebig, so da13 insgesamt

(3.5)

geschlossen werden darf. Der Operator P ist auf jeder Kugel in [0, 00) x W,, sogar gleichmiiBig stetig.

Sei nun u E ([0, t) -. W,) ein Weg; dann ist v € ([O, t) .+ W:), v ( t ) = P(t )u( t ) , ebenfalls ein Weg. Denn bei fixiertem to E [0, z), to + 6t E [0, .t) erhalteii wir aus 3.5

IIv(t0 + bt) - v(to)ll I LIIu(t0 + w - u(to)ll + m4 m1llu(to)ll1 6.f

q. e. d.

u E (lo, m) -+ W d -

(3.6)

Betrachten wir nun den linearen Vektorraum C([O, m), W,) der Wege

Auf diesem Vektorraum sei der Operator A durch die Vorschrift 1

A ~ ( t ) = u0 + J ~ - i ( t ’ ) [ ~ ( t ’ ) - ~ ( t ’ ) ~ ( t ’ ) ] at’, t 2 o 0

mit beliebig fixiertem uo E W o definiert. A E ([0, 00) --+ W,*) sei ein Weg, die Materialfunktionen f ’ ( [ , t ) , g ’ (5 , t )

mogen den Bedingungen 2.8-2.13, 3.3 erfiillen. D a m bildet A den Raum C([O, co), W,) in sich ab. Diese Behauptung folgt aus L e m m a 1 - 3. Wir folgern daraus: auf C([O, oo), W,) ist die Gleichung (3.7) U = A U

dem Anfangswertproblem fur die Gleichung 2.28 mit dem Anfangswert u (0 ) = uo iiquivalent.

(A Weg in W , , uo E W,; f‘, g’ erfiillen die Bedingungen 2.8-2.13, 3.3) besitzt die Gleichung 3.7 genau eine Losung u E C ([0, oo), W,) .

Beweis. Die Einschriinkung eines Weges u E C([O, m), W,) auf das Interval1 IiT = [ti - z, ti + z) n [0, ti + r ) nennen wir uiT. Fur beliebig fixierte ti 2 0, r > 0 ist der Raum C ( Iil , W,) der in Ii, beschrhkten Wege mit der Norm

Satz. Unter den genannten Vmaussetzungen

IUI = SUP l l~(t)Jll tE Iir

(3.8)

368 Langenbach, Stetig differenzierbare Trajektorien rheologiacher Platten

ein BANAcH-Raum. Die Einschrinkung des Operators A auf C ( I iT , Wo) nennen wir A , :

(3.9)

fur u E C(Iir, Wo). Air bildet den BANAcH-Raum C ( I i r , W,) auf sich ab, ist dort LIPSCHITZ-

stetig. Denn aus der Ungleichung 2.25 gewiniien wir mit u = R-l( t ) y,

A,,u(t) = ui + / m n X ( 0 , f i - T )

R-i(t’) [A(t’) - P(t ’ ) u(t‘)] dt‘

21 = R-i( t ) 2 1 + a?

el e4 (3.10) IIR-l(t) ?/ - R- i ( t ) ~111 -- 1 1 ~ - 211 t 2 0,

also die LIPscHITz-Stetigkeit von R-1 mit der von t unabhangigen LIP- scH1Tz-Konstante

1 + a2 el e4

L, = - -. Dann gilt aber wegeii 2.20

t

IIAiT~(t ) -~ ,T~(t ) l I ,=II J {R-i(t’) CA(t’) - PP‘) u (t’)I lllax(O.tj - r )

- R-i(t’) [A(t’) - P(t’) w(t’)]} dt’l!,

- I 2 tL1 sup IIP(t’) u(t’) - P(t’) w ( t ’ ) l l 5 2 t LiL,lU - 211 t ’E rir

und schliel3lich (3.11) lAj,u -A,,vI 5 2 t LILpIu - 21)

1 + a2 el ec,

mit L, = - - - und L, = (2 m2 + m3) ml . 1

Wir wahlen nun ein festes t < ~ . Dann sind die Operatoren A ,

kontmktiv auf ihrem Definitionsbereich, wid es gibt bei beliebig gewiihltem ui E W o genau eine Losung uir C C ( I i r , W,,) der Gleichung u = A,, u. Dann wihlen wir ti = it i = 1, 2, . . ., so da13 [0, 00) = U Iir , bestimmen suk-

zessiv uj+i = u i T ( t i ) i = 1, 2, . . . init dem vorgegebenen Anfangswert ul(0) = uo und erkliiren u(t) = uiT(t) t 2 0, falls t C Iir. Diesc Definition ist eindeutig und fuhrt zu einer Losung der Gleichung 3.7. Diese Losung ist offenbar eindeutig bestimmt, da simtliche Einschrinkungen uir eindeutig bestimmt sind, q. e. d.

2 LlL,

i - 1

Literatur

[l] W. I. SMIRNOW, Lehrgang der hoheren Mathernatik Teil V. Berlin 1962. [Z] R. I. KATSCHUROWSKI, Nichtlineare monotone Operatoren in BaNAcH-Riiumen.

Uspechi mat. nauk 23, 121-168 (1908) (russ.).