Stichprobenziehung - SS05/Folien/STICH1.pdf · Vorteile von Stichprobenerhebungen: ... Nachteile von Stichprobenerhebungen: I Bei verh¨altnism ¨aßig kleinen Gesamtheiten, zum Beispiel

EinleitungGrundbegriffe

Stichprobe oder TotalerhebungGrundgesamtheit

Auswahlgesamtheit und StichprobeZufallsstichproben

Stichprobenziehung

Jost Reinecke

Universitat Bielefeld

7. April 2005

Jost Reinecke Stichprobenziehung




Einleitung

Grundbegriffe

Stichprobe oder Totalerhebung

Grundgesamtheit

Auswahlgesamtheit und Stichprobe

ZufallsstichprobenEinfache ZufallsstichprobenKomplexe Zufallsstichproben





Einleitung

Die Berucksichtigung aller Untersuchungseinheiten ist in der Regelzu kosten- und zeitaufwandig. Daher beschrankt man sich auf einegewisse Anzahl von Untersuchungseinheiten, den Stichproben, umAussagen uber Sachverhalte in der interessierenden Gesamtheittreffen zu konnen.Die Stichprobenziehung hangt unmittelbar mit derWahrscheinlichkeitstheorie zusammen:

1. Die Wahrscheinlichkeitstheorie laßt Angaben uber dieWahrscheinlichkeit der Zusammensetzung einer Stichprobe zu.

2. Bei der Generalisierung von Stichprobendaten konnenAngaben uber die Wahrscheinlichkeit getroffen werden, mitder Kennwerte in der Population abgebildet werden konnen.





Grundbegriffe

Grundgesamtheit (Population):Elemente bzw. Personen, auf die sich Aussagen einer statistischenAnalyse beziehen. Die Grundgesamtheit ist sowohl sachlich alsauch raumlich und zeitlich exakt zu definieren. In den meistenFallen ist es aus zeitlichen und finanziellen Grunden nicht moglich,alle Einheiten der Grundgesamtheit zu erheben (Totalerhebung).Man wird sich daher auf eine Auswahl (Stichprobe) beschranken,die auch haufig sehr viel intensiver und praziser als eineTotalerhebung durchgefuhrt werden kann.

Beispiel: Wahlerbefragung - samtliche Wahlberechtigte der StadtKoln / des Landes NRW / der BRD.





Parameter der Grundgesamtheit:

µ: Mittelwertσ2: Varianzσ: Standardabweichung,π (manchmal auch θ): AnteilswertN : Fallzahl in der Grundgesamtheit





Stichprobe (Sample):Auswahl von Elementen bzw. Personen der Gesamtheit. EineStichprobe soll ein moglichst reprasentatives Bild derGrundgesamtheit liefern. Handelt es sich um eine Zufallsstichprobe,bei der die Erhebungseinheiten nach dem Zufallsprinzip ausgewahltwurden, dann konnen die Schatzverfahren und Hypothesentests derschließenden Statistik angewendet werden.

Beispiel: Stichprobe von Wahlern.





Parameter der Stichprobe:

x : Mittelwerts: Standardabweichungs2 Varianzp: Anteilswertn: Stichprobenumfang





Erhebungseinheiten: Elemente der Population, auf die sich dieAuswahl bezieht und die uberhaupt eine Chance haben, in dieStichprobe aufgenommen zu werden.

Stichprobenverfahren: Vorschrift, die festlegt, in welcher WeiseElemente der Grundgesamtheit ausgewahlt werden.

1. Zufallsauswahl: Resultat einer Zufallsauswahl sindZufallsstichproben.

2. Bewußte Auswahl: Quotenstichproben

3. Willkurliche Auswahl: Psychologische Experimente

Stichprobenumfang: Anzahl der ausgewahlten Elemente, die inder Regel mit N bezeichnet werden.





Stichprobe oder Totalerhebung

Uns interessiert ein Kennwert einer Gesamtheit, z.B. dasdurchschnittliche Nettoeinkommen der Haushalte in Bielefeld.

1. Totalerhebung: Man kann alle Bielefelder Haushalte nachihrem Nettoeinkommen fragen und dann den Mittelwertberechnen.

2. Stichprobe: Man kann einige Bielefelder Haushalte auswahlenund diese uber ihr Nettoeinkommen befragen. Wenn dieHaushalte nach bestimmten Regeln ausgewahlt werden,konnen wir anschließend mit einer gewissenWahrscheinlichkeit auf das mittlere Nettoeinkommen allerBielefelder Haushalte schließen.





Die Totalerhebung hat den Vorteil, dass die gesuchten Kennwertegenau angegeben werden konnen.

Beispiel: Das mittlere Haushaltsnettoeinkommen in Bielefeldbetragt X Euro.

Bei einer Stichprobe wurde das Ergebnis komplizierter ausfallen.

Beispiel: Mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% liegt dasHaushaltsnettoeinkommen in Bielefeld in einem Intervall von XEuro ± Y Euro.

Aufgrund der Stichprobenerhebung weist das Ergebnis einUnsicherheitsintervall aus.





Warum wird dann nicht in jedem Fall eine Totalerhebungdurchgefuhrt?

Vorteile von Stichprobenerhebungen:

I Sie sind billiger als Totalerhebungen.

I Die Ergebnisse stehen bei Stichprobenerhebungen schnellerzur Verfugung als bei Totalerhebungen.

I Bei Stichprobenerhebungen ist eine geringere Große desMitarbeiterstabes notwendig als bei Totalerhebungen. DieMitarbeiter konnen dafur spezieller geschult werden.

I Es ist bei Stichprobenerhebungen ein besserer Umgang mitAusfallen, z.B. aufgrund von Nichterreichbarkeit der zuBefragenden, moglich als bei Totalerhebungen.





Nachteile von Stichprobenerhebungen:

I Bei verhaltnismaßig kleinen Gesamtheiten, zum Beispiel vomUmfang N = 300, ist es in der Regel wenig sinnvoll, eineStichprobe zu ziehen.

I Eine Totalerhebung ist vorteilhafter, wenn Aussagen zukleinen Subpopulationen innerhalb der Gesamtheit getroffenwerden sollen. Diese sind bei einer Stichprobenerhebungwesentlich unpraziser als bei einer Totalerhebung.

I In gewissen Fallen verbietet sich eine Stichprobenerhebungund die Totalerhebung ist die einzige Moglichkeit. Dies giltz.B. fur so genannte Ruckrufaktionen bei Autos.





Grundgesamtheit

Die Menge aller Elemente, fur die die aus der Stichprobegewonnenen Aussagen gultig sein sollen, bezeichnet man alsGrundgesamtheit oder Untersuchungsgesamtheit. DieGrundgesamtheit muss zu Beginn der Untersuchung sachlich,raumlich und zeitlich abgegrenzt werden.

Beispiel: In einer Erhebung sollte festgestellt werden, wie sich die

Anderung des Gesetzes uber den Erziehungsurlaub aus dem Jahr1986 auf die Berufsverlaufe von Frauen in Deutschland ausgewirkthat.





I sachliche Abgrenzung: alle deutschsprachigen Frauen außerAuszubildende, Schulerinnen und Studentinnen.

I raumliche Abgrenzung: alle deutschsprachigen Frauen, die inder Bundesrepublik Deutschland in Privathaushalten leben.

I zeitliche Abgrenzung: alle deutschsprachigen Frauen, die seitdem 01.01.1992 ein Kind bekommen bzw. adoptiert haben.





Existiert eine Liste, auf der die Elemente der Grundgesamtheitakzeptabel verzeichnet sind:

I Hinreichende Aktualitat der ListeBeispiel: Einwohnermelderegister der Gemeinden haben in derRegel ein timelag, d.h. enthalten Fehler in Bezug auf mobilePersonen, Geburten und Sterbefalle. Trotzdem sind dieRegister eine haufig verwendete Auswahlgrundlage, da einebessere Liste nicht verfugbar ist.

I Jedes Mitglied der Grundgesamtheit ist einmal und nur einmalaufgefuhrt, d.h. die Liste weist weder overcoverage nochundercoverage auf:

I overcoverage: Es sind Elemente enthalten, die nicht zurGrundgesamtheit gehoren.

I undercoverage: Es sind Elemente nicht enthalten, die zurGrundgesamtheit gehoren.





I Die Liste ist fur die Erhebung zuganglich und ihre Nutzung istnicht zu teuer.

Beispiel Einwohnermelderegister:Die Untersuchung muss im offentlichen Interesse liegen.

Das Untersuchungsinstitut hat eine gultigeUnbedenklichkeitsbescheinigung.

Die Preise fur Stichproben aus Einwohnermelderegistern sindjeweils von den Bundeslandern festgelegt und unterscheidensich stark.





Auswahlgesamtheit und Stichprobe

Die Auswahlgesamtheit besteht aus allen Einheiten, aus denen dieStichprobe tatsachlich ausgewahlt wird. Die Auswahlgesamtheit istdie Grundlage fur die Stichprobenziehung.

I Auswahlgesamtheit und Grundgesamtheit sind seltenidentisch.

I Existieren systematische Abweichungen zwischen Auswahl-und Grundgesamtheit?

I Abschatzung des Umfangs der Grundgesamtheit vor Beginnder Untersuchung, um beurteilen zu konnen, ob eineStichprobenerhebung uberhaupt sinnvoll ist.

I Sichtung von Materialien uber die Grundgesamtheit (z. B.Mikrozensusdaten)





Umfrageergebnis und tatsachliches Ergebnis der Bundestagswahl1994

Partei FG Wahlen Amtl. Ergebnis

CDU/CSU 42.5% 41.5%SPD 35.5% 36.4%FDP 7.0% 6.9%B90/Grune 8.0% 7.3%PDS 3.5% 4.4%REP 2.0% 1.9%

N=1.250 N=42.104.576





Einfache ZufallsstichprobenKomplexe Zufallsstichproben

Zufallsstichproben

Eine Stichprobenziehung wird als zufallig bezeichnet, wenn jedeEinheit der Auswahlgesamtheit die gleiche Wahrscheinlichkeit hat,in die Stichprobe zu gelangen. Ein wesentlicher Vorteil vonZufallsauswahlen besteht darin, daß sich angeben laßt, wieStichprobenergebnisse vom “wahren“ Wert der Auswahlgesamtheitabweichen. Es werden folgende Verfahren unterschieden:

1. Einfache Zufallsstichproben

1.1 Reine Zufallsstichprobe1.2 Systematische Zufallsstichprobe

2. Komplexe Zufallsstichproben

2.1 Geschichtete Stichprobe2.2 Klumpenstichprobe2.3 Mehrstufige Stichproben






Wahl des Designs/Wahl des Erhebungsmodus

Wahl des Designs Wahl des Erhebungsmodus

systematisch schriftlich

geschichtet personlich-mundlich- proportional- disproportional

telefonisch

E-Mail/Internet






I Wenn eine akzeptable Liste mit den Elementen derAuswahlgesamtheit vorliegt, wird aus dieseruneingeschrankt ausgewahlt.

I Wenn Zusatzinformationen zur Verfugung stehen, kannauch geschichtet ausgewahlt werden. Dabei spielt derErhebungsmodus keine Rolle.

I Wenn keine Liste vorliegt, die fur die Auswahl geeignetist, muss auf andere Konstruktionen zuruckgegriffenwerden. Diese kann beispielsweise in einer mehrstufigenFlachenstichprobe mit Random-Route-Elementenbestehen. Random-Route setzt die Vorgabe vonStartadressen voraus.






Beispiel fur Random-Route:Gehen Sie von der Startadresse bis zur nachsten Kreuzung,dann rechts abbiegen und dann wieder links. Notieren Sie aufdem Weg jeden sechsten Haushalt.

Adressermittlung und Interviews werden von verschiedenenPersonen durchgefuhrt: → Adressandom






Einfache Zufallsstichproben

I Man zieht eine einfache Zufallstichprobe, indem man aus einervollstandigen Liste aller Objekte der Zielpopulation nach demZufallsprinzip eine Anzahl von Objekten auswahlt, wobei dieAuswahlwahrscheinlichkeiten aller Objekte gleich groß seinmussen.

I Bei der Auswahl von Einheiten aus einer Gesamtheit ist es vonVorteil, wenn diese Einheiten nach einemWahrscheinlichkeitsgesetz gezogen werden, da sich dannstatistisch gesicherte Aussagen uber interessierende Parameterder Gesamtheit machen lassen.






Reine Zufallsstichprobe

Ausgangspunkt ist folgenden Situation:

I Es ist eine Einheit der Grundgesamtheit vom Umfang Nauszuwahlen und die Auswahl fur jede Einheit ist gleich, d. h.1/N. Die Durchfuhrung der Ziehung kann uber einZufallsexperiment realisiert werden.

I Wiederholt man dieses Zufallsexperiment n mal unabhangigund halt die ausgewahlten Einheiten in einem Vektor fest, soerhalt man Ziehungsergebnisse mit der gleichenWahrscheinlichkeit. Dieses Stichprobendesign wird auch alsuneingeschrankte Zufallsauswahl mit Zurucklegen bezeichnet.






Beispiel:

I Es existiert eine Grundgesamtheit mit vier Elementen:{1, 2, 3, 4}

I Es sollen zwei Elemente ausgewahlt werden.I Es existieren insgesamt 6 mogliche Stichproben:

4!

2! · (4− 2)!(1)

I Die Wahrscheinlichkeit, daß eine bestimmte Stichproberealisiert wird, betragt ein 1/6.






Systematische Zufallsstichprobe

I Bei einer systematischen Zufallsstichprobe wird das ersteElement per Zufall ermittelt.

I Ausgehend von diesem Element werden alle weiteren Elementesystematisch ausgewahlt. Damit gelangt jedes k-te Element indie Stichprobe. Mit k wird das Stichprobenintervallgekennzeichnet.

k =Auswahlgesamtheit

Stichprobe(2)






Beispiel:

I Es existiert eine Auswahlgesamtheit von 20.000 Personen.I Es soll eine Stichprobe von 500 Personen gezogen werden.

k =20.000

500= 40 (3)

I Jede 40. Person gelangt in die Stichprobe.






Komplexe Zufallsstichproben

I Wenn keine Ausflistung der Auswahlgesamtheit vorliegt, dannverwendet man komplexe Zufallsstichproben.

I Hierzu gehoren geschichtete Stichproben, dieKlumpenstichprobe und sogenannte mehrstufigeStichprobenverfahren.






Geschichtete Stichprobe

I Zur Ziehung einer geschichteten Stichprobe werden dieElemente der Auswahlgesamtheit bezuglich desinteressierenden Merkmals in Schichten eingeteilt. Aus diesenSchichten werden dann Zufallstichproben gezogen.

I Bezeichnet man mit N(h) den Umfang der Auswahlgesamtheitund mit n(h) den Umfang der Stichprobe der h-ten Schicht(h = 1, . . . ,H), so wird das gewogene arithmetische Mittel derStichprobenmittel y(h) zur Schatzung verwendet:

ystr =H∑

h=1

N(h)

Ny(h) (4)






I Fur die Varianz des geschichteten Schatzers kann folgendeFunktion angegeben werden:

s2str =

H∑h=1

(N(h)

N

)2 s2(h)

n(h)

(1− n(h)− 1

N(h)− 1

)(5)

I Ein 95%-Konfidenzintervall kann damit fur den Mittelwert Yder Grundgesamtheit angegeben werden:[

ystr − 1.96√

s2str ; ystr + 1.96

√s2str

](6)

I Je großer die Homogenitat der Auswahlgesamtheit, destokleiner der Stichprobenfehler.






I Proportional geschichtete Stichprobe: Die Große derStichprobe einer Schicht wird entsprechend ihres Anteils ander Auswahlgesamtheit ausgewahlt.

Beispiel: Die Anteil der Arbeiter in der Stichprobe entspricht demAnteil in der Auswahlgesamtheit.

I Disproportional geschichtete Stichprobe: Die Große derStichprobe einer Schicht wird uberproportional zum Anteil ander Grundgesamtheit ausgewahlt.

Beispiel: Die Anteil der Ostdeutschen in der Stichprobe ist hoherals der Anteil der Westdeutschen.






Klumpenstichprobe

Eine Klumpenstichprobe ist moglich, wenn die Grundgesamtheit inmehrere Teile (auch Klumpen genannt) zerlegt werden kann. Imeinfachsten Fall besteht sie aus zwei Stufen:

1. Aus allen Klumpen werden in einer uneingeschranktenZufallsauswahl einzelne ausgewahlt. Die Anzahl derausgewahlten Klumpen ist der erste Stichprobenumfang.

2. Samtliche Einheiten (Personen) der ausgewahlten Klumpenwerden erfasst.

3. Die Anzahl der ausgewahlten Einheiten ist der zweiteStichprobenumfang. Dieser Stichprobenumfang ist dereigentliche Umfang einer Klunpenstichprobe.

4. Die Auswahl bezieht sich nicht auf Untersuchungseinheiten,sondern auf Aggregate von Untersuchungseinheiten(Klumpen).






Vorteil der Klumpenstichprobe:

I Es ist nur eine umfassende Auswahlgrundlage fur dieKlumpen, nicht aber fur die Gesamtheit allerUntersuchungseinheiten erforderlich.

I Bei organisatorischen und geographischen Abgrenzungen derKlumpen ist eine kostengunstige Erhebung der Einheitenmoglich.

I Der Idealfall liegt vor, wenn alle Klumpen gleich groß sind unddie Heterogenitat der Grundgesamtheit wiedergeben.

Nachteil der Klumpenstichprobe:

I Je starker sich die Klumpen in ihrer Große unterscheiden undje homogener sie in Bezug auf das Untersuchungsmerkmalsind, desto großer ist der Schatzfehler. Dies wird auch alsKlumpeneffekt bezeichnet.






Mehrstufige Stichproben

I Erstreckt sich eine Zufallsauswahl uber mehrere Ebenen, dannwird von einer mehrstufigen Zufallsauswahl gesprochen.

I Mehrstufige Stichproben sind eine Reihe nacheinanderdurchgefuhrte einfache Zufallsauswahlen.

I 1. Stufe: Stichprobe von Primareinheiten (regionale Einheiten)I 2. Stufe: Stichprobe von Sekundareinheiten aus denPrimareinheiten

I 3. Stufe: Stichprobe von Untersuchungseinheiten aus denSekundareinheiten

I Geschichtete Zufallsauswahl und Klumpenauswahl sind zweiSpezialfalle mehrstufiger Stichproben.






Beispiel: Stichprobenziehung des ALLBUS 1998

1. 1. Stufe: zufallig ausgewahlte Stimmbezirke2. 2. Stufe: zufallig ausgewahlte Haushalten in den jeweiligen

Stimmbezirken (Random-Route)3. 3. Stufe: zufallig ausgewahlte Befragungsperson aus den

ausgewahlte Haushalten (Schwedenschlussel)






I Die Primareinheiten (Stimmbezirke) haben bei mehrstufigenAuswahlverfahren immer unterschiedlich viele Elemente.Elemente aus großeren Primareinheiten beitzen damit eineniedrigere Auswahlwahrscheinlichkeit als Elemente auskleineren Primareinheiten.

I Wenn die Primareinheiten unterschiedlich groß sind, mussendiese mit einer Wahrscheinlichkeit ausgewahlt werden, dieproportional zu ihrer Große ist.

I Hierzu existiert das sogenannte PPS-Design (probabilityproportional to size).






Beispiel fur ein PPS-Design

1. Es werden 200 Blocks mit Auswahlwahrscheinlichkeitenproportional zu ihrer Große (Anzahl der Haushalte im Block)ausgewahlt. Die Ziehungswahrscheinlichkeit ist:

p = nBlock

nHH/Block

nHH/Stadt(7)

nBlock ist die Anzahl der auszuwahlenden Blocks, nHH/Block isdie Anzahl der Haushalte im Block und nHH/Stadt als Anzahlder Haushalte der Stadt. Bei einem Block mit 100 Haushaltenergibt sich folgende Ziehungswahrscheinlichkeit:

p = 200100

100000= 0.2 (8)






Bei einem Block mit 400 Haushalten ergibt sich folgendeZiehungswahrscheinlichkeit:

p = 200400

100000= 0.8 (9)

2. Aus jedem Block werden 5 Haushalte ausgewahlt. Bei 100Haushalten ist die Ziehungswahrscheinlichkeit: 5/100 = 0.05.Bei 400 Haushalten ist die Ziehungswahrscheinblichkeit:5/400 = 0.0125.

3. Werden die Wahrscheinlichkeiten aus der 1. Stufe und der 2.Stufe miteinander multipliziert, dann ergibt sich dietatsachliche Auswahlwahrscheinlichkeit:

p = 0.2 ∗ 0.05 = 0.8 ∗ 0.0125 = 0.01 (10)






ADM-Stichproben-System

Die Arbeitsgemeinschaft Deutscher Markt- undSozialforschungsinstitute e.V. (ADM) verwendet furpersonlich-mundliche Bevolkerungsbefragungen der Markt-, Media-und Sozialforschung, in der Regel ein speziell entwickeltes Design,das sogenannte ADM-Design. Es handelt sich dabei um einedreistufige, geschichtete Zufallsauswahl, die zur Reprasentation derWahlberechtigten, die in Privathaushalten identifiziert werdenkonnen, geeignet ist.






I 1. Stufe: Die Wahlbezirke werden nach Kreisen undGemeindegroßenklassen geschichtet. Dabei entstehen inWestdeutschland 3280 Zellen, in Ostdeutschland 1120. Ausdem Schichttableau werden dann mit der Wahrscheinlichkeitproportional zur (geschatzten) Anzahl der PrivathaushalteWahlbezirke ausgewahlt. Anschließend werden diese inmoglichst uberschneidungsfreie und kumulierbareTeilstichproben (sog. Netze) zerlegt und an die einzelnenInstitute des ADM ausgegeben. Ein Netz umfasst 210 SamplePoints in Westdeutschland und 48 Sample Points inOstdeutschland.






I 2. Stufe: Anschließend werden die Haushalte gesucht, in denenschließlich die Zielperson zu ermitteln ist. Die Interviewererhalten dazu eine vorgegebene Begehungsvorschrift. Ihnenobliegt es nun, beginnend an einer vorgegebenen Startadresseeine bestimmte Zahl von Haushalten entlang dieses Wegesaufzulisten. Beim sogenannten Adressvorlaufverfahren erfolgenBegehung und Befragung getrennt. Hier wird die Liste derHaushalte dem Institut ubergeben, das eine Zufallsauswahl derZielhaushalte vornimmt. Der Interviewer bekommt damit dieHaushaltsadressen vorgegeben, bei denen eine Befragungdurchzufuhren ist.

I 3. Stufe: In der letzten Auswahlstufe werden schließlich die zubefragenden Personen ermittelt. Diese Auswahl erfolgt erstwahrend der Feldarbeit. Dazu wird der sogenannteSchwedenschlussel verwendet.






Einwohnermeldeamtsstichproben

I Das derzeitig qualitativ hochwertigste Design fur bundesweiteBevolkerungsumfragen in Deutschland ist dieEinwohnermeldeamtstichprobe, die auf einem geschichteten,zweistufigem Zufallsverfahren basiert.

I Da in Deutschland kein zentrales Einwohnerregister besteht,sondern die Register auf Gemeindeebene organisiert sind, mussin einem ersten Schritt eine Auswahl von Gemeinden erfolgen.






Beispiel: Konstruktion der Einwohnermeldeamtsstichprobe fur denEuropean Social Survey 2003

I Grundgesamtheit dieser Untersuchung waren alle Personen imAlter von 15 Jahren und alter, die in Deutschland inPrivathaushalten leben.

I Fur Ost- und Westdeutschland wurde ein disproportionalerStichprobenansatz gewahlt: 1000 Interviews in Ostdeutschlandund in 2000 Interviews in Westdeutschland.

I Zunachst wurden die Gemeinden nach Kreisen undGemeindegroßenklassen geschichtet. Dabei ergaben sich 1.085Schichtzellen in West- und 435 Schichtzellen inOstdeutschland.






I In der ersten Auswahlstufe wurden aus diesen Schichten 100Gemeinden in West- und 50 Gemeinden in Ostdeutschlandproportional zur Bevolkerungszahl 15 Jahre und alterausgewahlt. Die Zahl der Sample Points in Westdeutschlandbetragt 108, in Ostdeutschland 55.

I In der zweiten Auswahlstufe wird in den entsprechendenEinwohnermeldeamtern fur jeden Sample Point persystematischer Zufallsauswahl eine feste Zahl von Personengezogen.


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