Str mungsmaschinen Vorlesung Szymczyk 2013.03.04) 2013... · cp spezifische isobare Wärmekapazität [J/ ... Suppen, Milch, Milchprodukte, Bierwürze, Säfte u.v.m. Um die Strömungsmaschinen

Vorlesungsskript zur Strömungsmaschinen, Prof. Dr.-Ing. Janusz A. Szymczyk

04.03.2013

1

Vorlesungsskript

zum Selbststudium

der Vorlesung

Strömungsmaschinen

Prof. Dr.-Ing. J. A. Szymczyk

Dipl.-Ing. (FH) T. Panten

Fachgebiet für Strömungslehre und Strömungsmaschinen

FH Stralsund, FB Maschinenbau

Stand: 04.03.2013


04.03.2013 2

Inhaltsverzeichnis

1. EULER-TURBINENGLEICHUNG ................................................................. 7

1.1. Radiallaufrad ................................................................................................. 7

1.2. Herleitung ...................................................................................................... 9

1.3. Die EULERsche Turbinengleichung (gilt für alle STM) ...................................10

1.4. Diskussion der EULER-Gleichung an Hand des Laufrades einer Radialmaschine .....................................................................................................18

1.5. Dissipationseffekte und Verluste in Strömungsmaschinen ...........................22

1.6. Kennlinien von Strömungsmaschinen ..........................................................24

1.6.1. Kennlinienänderung für unterschiedliche Drehzahlen, n ......................27

1.6.2. Kennlinienänderung für unterschiedliche Dichten, ρ ............................28

1.7. Die Verbraucherkennlinie und der Arbeitspunkt ...........................................29

1.8. Kavitation und Maßnahmen zu ihrer Vermeidung ........................................32

2. GASTURBINEN .......................................................................................... 37

2.1. Thermodynamische Grundlagen ..................................................................37

2.1.1. Arbeit am geschlossenen System, Energieform „Arbeit“, Volumenänderungsarbeit ..................................................................................37

2.1.2. Innere Energie ......................................................................................41

2.1.3. Energieform „Wärme“ ...........................................................................41

2.1.4. Technische Arbeit ................................................................................44

2.2. Erster Hauptsatz für geschlossene Systeme................................................48

2.3. Erster HS für offene Systeme, stationärer Fließprozess ..............................49

2.4. Entropie ........................................................................................................52

2.5. Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik ..................................................56

2.5.1. Reversible und irreversible ZÄ .............................................................56

2.5.2. Diagramme für Zustandsänderungen idealer Gase .............................57

2.6. Thermische Kreisprozesse für Gasturbinen .................................................61

2.6.1. Rechtslauf der Kreisprozesse ..............................................................62

2.6.2. Linkslauf der Kreisprozesse .................................................................64

2.6.3. Reversibler Vergleichsprozess, Thermischer Wirkungsgrad ................66

2.6.4. Irreversibler Prozess ............................................................................69

2.6.5. Der mechanische Wirkungsgrad , ηm ...................................................71

2.6.6. Der exergetische Wirkungsgrad ...........................................................74

2.7. Der wirkliche Prozess in der Gasturbinenanlage ..........................................75

3. HYDRAULISCHE STRÖMUNGSMASCHINEN .......................................... 83

3.1. Einführung ....................................................................................................83

3.2. PELTON-Turbine ............................................................................................85

3.3. Strömungstechnische Auslegung der PELTON-Turbine .................................90

3.3.1. Geschwindigkeitsplan ..........................................................................90

3.3.2. Ideale Düsenaustrittsgeschwindigkeit, c1ideal ........................................91

3.3.3. Reale Düsenaustrittsgeschwindigkeit, c1real ..........................................91

3.3.4. Spezifische Dissipationsarbeit ϕ01 in der Düse ....................................92

3.3.5. Umfangsgeschwindigkeit, u .................................................................94

3.3.6. Relativgeschwindigkeit am Laufradeintritt, w1 ......................................94

3.3.7. Relativgeschwindigkeit am Laufradaustritt, w2 .....................................94

3.3.8. Umfangskomponente der Relativgeschwindigkeit am Austritt, wu2 ......95

3.3.9. Axialkomponente der Absolutgeschwindigkeit am Austritt, ca2 .............95


04.03.2013 3

3.3.10. Umfangskomponente der Absolutgeschwindigkeit am Laufradaustritt, cu2 95

3.3.11. Absolutgeschwindigkeit am Laufradaustritt, c2 .....................................95

3.3.12. Spezifische Dissipationsarbeit im Laufrad ϕ12 und Laufrad-Verlustbeiwert ζ .................................................................................................96

3.3.13. Spezifische Dissipationsarbeit nach dem Laufrad, ϕ2 ..........................97

3.3.14. Umfangskraft am Laufrad, FU ...............................................................97

3.3.15. Spezifische Schaufelarbeit, wt ..............................................................99

3.3.16. Totale Druckänderungsarbeit, Yt ........................................................100

3.3.17. Massenstrom, m& ...............................................................................100

3.3.18. Turbinenleistung, Pm ..........................................................................101

3.3.19. Kupplungsleistung, PK ........................................................................101

3.3.20. Exergetischer Wirkungsgrad, ηxt ........................................................101

3.3.21. 101

3.3.22. Optimale Umfangsgeschwindigkeit, uopt .............................................102

3.3.23. Totaler Wirkungsgrad, ηtT ...................................................................104

3.3.24. Statischer Wirkungsgrad, ηT ..............................................................104

3.3.25. Kupplungswirkungsgrad, ηkT ..............................................................105

3.4. KAPLAN-Turbine ..........................................................................................106

3.5. Strömungstechnische Berechnung der KAPLAN-Turbine ............................108

3.5.1. Geschwindigkeitsplan ........................................................................109

3.5.2. Erhaltungssätze für den Energiefluss .................................................108

3.5.3. Strömung durch Leitrad (0) → (1’) ......................................................110

3.5.4. Strömung von Leitradaustritt zu Laufradeintritt (1’) → (1) ..................112

3.5.5. Strömung von Laufradeintritt zu Laufradaustritt (1) → (2) .................114

3.5.6. Umfangskraft, Fu ................................................................................115

3.5.7. Drehmoment, Md ................................................................................115

3.5.8. Leistung, Pm .......................................................................................115

3.5.9. spezifische technische Schaufelarbeit, wt ..........................................115

3.5.10. Axiale Schaufelkraft, Fa ......................................................................116

3.5.11. Druck vor dem Laufrad p1 über den Energiefluss (0) → (1) ..............116

3.5.12. Berechnung des Druckes p1 über Energiefluss (1) → (2) ..................118

3.5.13. Totale Druckänderungsarbeit, Yt ........................................................121

3.5.14. Exergetischer Wirkungsgrad, ηxt ........................................................121

3.5.15. Statischer Wirkungsgrad, ηT ..............................................................122

3.5.16. Totaler Wirkungsgrad, ηtT ...................................................................122

3.5.17. Kupplungs Wirkungsgrad, ηKT ............................................................122

3.5.18. Kupplungsleistung, PK ........................................................................122


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Verwendete Formelzeichen und Symbole A Querschnittsfläche [m2]

c Absolutgeschwindigkeit [m/s]

cp spezifische isobare Wärmekapazität [J/(kg·K)]

cV spezifische isochore Wärmekapazität [J/(kg·K)]

d Durchmesser [m]

e Energiedichte [m²/s²]

g Erdbeschleunigung [m/s²]

h spezifische Enthalpie [J/kg]

H Enthalpie [J]

H Fallhöhe [m]

I· Impulsstrom [N]

Ma Mach-Zahl [-]

m Masse [kg]

m· Massenstrom [kg/s]

p Druck [Pa]

P Leistung [W]

∆pv Druckverluste [Pa]

q dynamischer Druck [Pa]

q spezifische Wärme [J/kg]

Q Wärmemenge [J]

Q& Wärmestrom [J/s]

r Radius [m]

R spezielle Gaskonstante [J/(kg·K)]

s spezifische Entropie [J]

T Temperatur [K]

u spezifische Innere Energie [J/kg]

u Umfangsgeschwindigkeit [m/s]

U Innere Energie [J]

V Volumen [m3]

V· Volumenstrom [m3/s]

w Geschwindigkeit [m/s]

w Relativgeschwindigkeit [m/s]

wt spezifische technische Arbeit [m2/s2]

W Arbeit [J]


04.03.2013 5

z geodätische Höhe [m]

α Winkel zw. ur

und cr

im Geschwindigkeitsplan [°]

β Winkel zw. ur

und wr

im Geschwindigkeitsplan [°]

ϕ Dissipation im Laufrad [m²/s²]

η Wirkungsgrad [-]

ρ Dichte [kg/m³]

κ Isentropenexponent [-]

ω Winkelgeschwindigkeit [1/s]


04.03.2013 6

Literaturhinweise

BOHL, W,: Strömungsmaschinen 1 und 2

FISTER, W. Fluidenergiemaschinen Band 1 und 2

KÄPPELI, E.: Strömungslehre und Strömungsmaschinen

WAGNER, K. Strömungs- und Kolbenmaschinen

FISCHER. K.J.

V. FROMMANN, J.-D.

SIGLOCH, H. Strömungsmaschinen, Grundlagen und Anwendungen

MENNY, K. Strömungsmaschinen

KALIDE, W. Energieumwandlung in Kraft und Arbeitsmaschinen


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1. EULER-Turbinengleichung Dieser kurze Abriss der Strömungsmaschinen in diesem Kapitel zielt darauf ab, die

Studierenden mit dem Verhalten von Kreiselpumpen und Gebläsen ein wenig

vertraut zu machen. Diese Auswahl aus den hinsichtlich ihrer Wirkweise und

Bauform sehr vielfältigen Energiewandlungsmaschinen begründet sich zunächst

schlicht darin, dass letztere in dieser Vorlesung ohnehin nicht vollständig behandelt

werden können. Überdies spielen Kreiselpumpen zum Transport von flüssigen

Medien in der Getränke- und Lebensmitteltechnologie eine überragende Rolle:

Suppen, Milch, Milchprodukte, Bierwürze, Säfte u.v.m.

Um die Strömungsmaschinen detaillierter zu besprechen, scheinen noch einige

Bemerkungen und Definitionen angebracht. Alle folgenden Ausführungen beziehen

sich auf newtonsche und näherungsweise inkompressible Fluide.

1.1. Radiallaufrad

Es gibt Radialmaschinen, Axialmaschinen (Hauptströmungsrichtung ist axial) und

Mischformen (halbaxial). Die eulersche Gleichung gilt unabhängig von der

Maschinenform. Am Beispiel der Radialmaschinen werden die sog.

Geschwindigkeitsdreiecke und die sie erzeugende Geschwindigkeitskomponenten

noch näher erklärt.


04.03.2013 8

In Abbildung 1.1-1 ist das Laufrad eines Radialgebläses oder einer

Radialkreiselpumpe skizziert. Weiterhin sind diverse Geschwindigkeitsvektoren

eingetragen. Der Index "1" bezieht sich auf den Eintritt in das Laufrad, der Index "2"

auf den Austritt.

Abbildung 1.1-1: Geschwindigkeitsdreiecke am Ein- und Austritt eines Radiallaufrades

Die drei Geschwindigkeitsvektoren ur

, cr

und wr

haben folgende Bedeutungen:

a) Der Vektor ur

stellt die Umfangsgeschwindigkeit des Laufrades am jeweiligen

Radius r dar, d. h.

ωru ⋅= (1.1-1)

wobei ω die Winkelgeschwindigkeit darstellt. ur

ist also stets tangential zu dem Kreis,

den der betrachtete Laufradpunkt beschreibt.

b) Der Vektor cr

ist die Fluidgeschwindigkeit in einem ortsfesten Koordinatensystem

("Absolutgeschwindigkeit").

c) Der Vektor wr

ist die Relativgeschwindigkeit zwischen Fluid und Laufrad (an der

betrachteten Stelle 1 oder 2) in einem mitrotierenden Koordinatensystem

d) Ein "stoßfreier Eintritt" ist dann gegeben, wenn die Richtung des

Geschwindigkeitsvektors 1wr

mit der Tangente der Schaufel am Laufradeintritt

zusammenfällt.

ω

w1

u1

u2c2

w2

c1


04.03.2013 9

e) Die Relativströmung ist "schaufelkongruent", wenn die Stromlinien der

Schaufelkontur folgen, g. h. die Strömungswinkel sind gleich den geometrischen

Schaufelwinkel

In der Lebensmittel- /Getränketechnologie werden vorrangig Radialmaschinen

eingesetzt.

1.2. Herleitung

Voraussetzungen:

1. NEWTONsche und näherungsweise inkompressible Fluide

2. Radialmaschinen, Halbaxialmaschinen und Axialmaschinen

3. am Bespiel der Radialmaschinen werden die sog. Geschwindigkeitsdreiecke

und die sie erzeugenden Geschwindigkeitskomponenten erklärt.

ω

Abbildung 1.2-1: Laufrad mit Geschwindigkeitsplänen

Die Abbildung zeigt das Laufrad eines Radialgebläses oder einer

Radialkreiselpumpe. Weiterhin sind diverse Geschwindigkeitsvektoren eingetragen.

Der Index „1” bezieht sich auf den Eintritt in das Laufrad, der Index „2” auf den

Austritt.

Den Geschwindigkeitsvektor cr

misst nach Große und Richtung ein im ortsfesten

Laborsystem stehender Beobachter. Ein auf Laufrad befindlicher, also mitrotierender

zweiter Beobachter misst hingegen die relative Geschwindigkeit wr

(zur

Verdeutlichung: Flussüberquerung in einem Boot).


04.03.2013 10

βα

Abbildung 1.2-2: Beispiel zur Verdeutlichung der drei Geschwindigkeitsvektoren.

1.3. Die EULERsche Turbinengleichung (gilt für alle STM)

Die EULERsche Turbinengleichung ist die grundlegende Beziehung für die

Energieumsetzung zwischen Maschine und Fluid bei inkompressiblen und

newtonschen Fluiden.

Im Gegensatz zum Verdichter werden hier nur isotherme, rein

strömungsmechanische Vorgänge behandelt. Das Wort „Turbinengleichung” soll

keine Einschränkung bedeuten:

Der abzuleitende Zusammenhang zwischen Energie - Zu- oder Abfuhr und den

Beträgen der sechs Geschwindigkeiten

)w,w,u,u,c,c(fpe 212121g =∆= (1.3-1)

gilt gleichermaßen für die hier im Vordergrund stehenden Arbeitsmaschinen Gebläse

und Kreiselpumpe (für Axial- und Radialmaschinen).

Gesucht: Zusammenhang zwischen der zu- (oder ab- ) geführten Energiedichte

e = ∆pg= ρ . wt [N/m2]

und den Beträgen der Geschwindigkeitsvektore unter der Voraussetzung der

Verlustfreiheit.


04.03.2013 11

Abbildung 1.3-1: Definition der Kräfte am rotierenden Fluidelement

Das Koordinatensystem x, y, z rotiert mit ω = konst. um die z-Achse.

Mit Hilfe der BERNOULLI-Gleichung wird der Energiefluss zwischen (1) und (2)

beschrieben. Energiedichten am Eingang („1”) und Ausgang („2”) in einem ortsfesten

Koordinatensystem lauten:

21111 c

2zgpe ⋅

ρ+⋅⋅ρ+= (1.3-2)

22222 c

2zgpe ⋅

ρ+⋅⋅ρ+= (1.3-3)

Energieumsatz in einem ortsfesten Koordinatensystem lautet:

1

1’

2’

2

x

y

z

ZdF

GdF

ds

ω s

t

t

S

ϑϕ

r


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12g eeep −==∆ (1.3-4)

( ) epcc2

)zz(gpp g21

221212 =∆=−⋅

ρ+−⋅⋅ρ+− (1.3-5)

Die Gl. 1.3-5 muss so modifiziert werden, dass sie in Gl. 1.3-1 übergeht. Das heißt,

sie darf nur eine Funktion der Geschwindigkeitskomponenten sein. Die Druck- und

Höhendifferenz müssen somit aus der Gleichung 1.3-5 verschwinden.

Dies wird mit dem NEWTON Gesetz in einem mitrotierenden Koordinatensystem

erreicht.

Für den mitrotierenden Beobachter ergibt sich zweierlei:

1. die Strömung wird in diesem rotierenden System stationär

2. die beobachtete Geschwindigkeit des Fluides ist w, nämlich die

Relativgeschwindigkeit zwischen Laufrad und Fluid

NEWTON-Gleichung:

admdFs ⋅= und dVfdF SS ⋅=

dt

dwdmdVfs ⋅=⋅ (1.3-6)

und man erhält die Ausgangsgleichung:

0dt

dw

dV

dmfs =⋅− (1.3-7)

dFs ist die in Stromlinienrichtung wirkende resultierende äußere Kraft auf das

Fluidelement dm in s-Richtung. Sie beinhaltet die Druckkraft, die Gewichtskraft und

die Zentrifugalkraft.

dFp = ∆p . dA = dAds

s

pdApdAp ⋅⋅

∂∂

−⋅−⋅

dFG = dm . g

dFZ = dm . aZ

. mit aZ als Zentrifugalbeschleunigung aZ = ω2.

r


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Somit gilt:

44 344 21444 3444 21ϕ⋅ϑ⋅

ϕ⋅⋅⋅ρ+ϑ⋅ω⋅⋅⋅ρ+⋅⋅∂∂

−⋅−⋅=cosdFcosdZ

2s

g

cosgdVcosrdVdAdss

pdApdApdF (1.3-8)

Diese Gleichung wird durch dA . ds (= dV) geteilt und man erhält die Kraft fs.

ϕ⋅⋅ρ+ϑ⋅ω⋅⋅ρ+∂

∂−= cosgcosr

s

pf 2s (1.3-9)

mit der Definition von:

s

zcos

∂∂

−=ϕ (1.3-10)

s

rcos

∂∂

=ϑ (1.3-11)


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Abbildung 1.3-2: Definition von cosϕ und cosϑ

erhalten wir

s

zg

s

rr

s

pf 2s ∂

∂⋅⋅ρ−

∂∂

⋅ω⋅⋅ρ+∂∂

−= (1.3-12)

Damit in die Gl. (1.3-7):

0dt

dw

dV

dm

s

zg

s

rr

s

p 2 =⋅−∂∂

⋅⋅ρ−∂∂

⋅ω⋅ρ+∂∂

− (1.3-13)

Für stationäre Vorgänge kann ∂ durch d ersetzt werden:

1

1’

2’

2

x

y

z

r∂

z∂s∂

ω s

t

t

S

ϑ

ϕ

r


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Aus dem gleichen Grund gilt:

{.

2

w

ds

d

t

w

s

ww

dt

dw 2

0

=

∂∂

+∂∂

=

=

(1.3-14)

Aus den obigen Gleichungen folgt:

0dt

dw

dV

dm

s

zg

s

rr

s

p 2 =⋅−∂∂

⋅⋅ρ−∂∂

⋅ω⋅ρ+∂∂

− (1.3-15)

02

w

ds

d

s

zg

2

r

ds

d

s

p 222 =

ρ−

∂∂

⋅⋅ρ−

⋅ω⋅ρ+

∂∂

− (1.3-16)

oder

02

w

ds

d

ds

dzg

2

r

ds

d

ds

dp 222 =

⋅ρ+⋅⋅ρ+

⋅ω⋅ρ− (1.3-17)

Diese Gleichung kann umgeschrieben werden zu:

0r2

1w

2zgp

ds

d 222 =

⋅ω⋅ρ−⋅

ρ+⋅⋅ρ+ (1.3-18)

Durch Integration dieser Gleichung längst der Stromlinie zwischen (1) und (2), ergibt

sich die von einem mitrotierenden Beobachter festgestellte modifizierte Bernoulli-

Gleichung für verlustfreie Strömung in einem mit konstanter Winkelgeschwindigkeit

rotierenden Kanal:

( ) ( ) 0rr2

ww2

)zz(gpp 21

22

221

221212 =−⋅ω⋅

ρ−−⋅

ρ+−⋅⋅ρ+− (1.3-19)

Mit der Umfangsgeschwindigkeit u = rω ergibt sich für die Differenz des statischen

Druckes zwischen 1 und 2. Aus dieser Gleichung kann man die Druck- und

Höhendifferenz als Funktion von Geschwindigkeitskomponenten ausdrücken:


04.03.2013 16

( ) ( ) ( )21

22

21

221212 uu

2ww

2zzgpp −⋅

ρ+−⋅

ρ−=−⋅⋅ρ+− (1.3-20)

Damit gehen wir in die Gleichung für den Energieumsatz:

( ) ( )21

22121212g cc

2zzgppeep −⋅

ρ+−⋅⋅ρ+−=−=∆ (1.3-21)

Wird hier die vorletzte Gleichung für die Druck- und Höhendifferenz eingesetzt, so

ergibt sich die EULERsche Turbinengleichung in der 1. Form:

( ) ( ) ( )( )21

22

21

22

21

22g wwuucc

2pe −−−+−

ρ=∆= (1.3-22)

Diese Gleichung gilt für die verlustfreie Energieumsetzung Fluid ↔ Maschine. In der

Gleichung werden keine Reibungsverluste oder durch Grenzschichteffekte bedingte

Ablösungen an den Schaufeln berücksichtigt. Außerdem ist sie nur für eine

schaufelkongruente Strömung gültig.

Die 2. Form der EULER-Gleichung erreicht man durch Umstellung der 1. Form:

( )[ ]21

21

21

22

22

22g wuc)wuc(

2pe −+−−+

ρ=∆= (1.3-23)

Nach dem Kosinus-Satz

α

Abbildung 1.3-3: Vektoransicht Kosinus - Satz


04.03.2013 17

α⋅⋅⋅−+= coscu2cuw 222 (1.3-24)

α⋅= cosccu (1.3-25)

u222 cu2coscu2wuc ⋅⋅=α⋅⋅⋅=−+ (1.3-26)

Daraus ergibt sich die EULER-Gleichung in der 2. Form

[ ]1u12u2g cucupe ⋅−⋅⋅ρ=∆= (1.3-27)

Welche der beiden Formen verwenden wird, entscheidet allein die Zweckmäßigkeit.


04.03.2013 18

1.4. Diskussion der EULER-Gleichung an Hand des Laufrades

einer Radialmaschine

Die Überlegung zu Axialmaschinen werden in den Übungen - soweit zeitlich möglich

und erforderlich - angestellt werden. Abbildung 1.4-1 illustriert indessen die

Geschwindigkeitsverhältnisse am Laufrad einer radialen Strömungsmaschine

Abbildung 1.4-1: Ein- und Austritts- Geschwindigkeitsdreiecke am Laufrad einer Radialmaschine.

Für die nachfolgenden Betrachtungen sei an die beiden, schon gemachten

Voraussetzungen, wie der schaufelkongruente Strömung und dem stoßfreier Eintritt,

erinnert.

Der allgemeine Fall einer durchströmten Radialmaschine besteht darin, dass 01 ≠uc

ist. Dies bedeutet aber, dass die Eintrittsströmung einen Drall besitzt, was nach

Möglichkeit zu vermeiden ist. Die meisten Radialmaschinen haben also einen rein

radialen Eintritt, welches 01 =uc , oder zumindest 01 ≈uc bedeutet.

Damit vereinfacht sich die EULER-Gleichung für einen rein radialen Eintritt in ihrer 2.

Form zu

r1 r2

ω

w1Cm1

u1

u2

c2

w2

Cm2

Cu1

C1

β1α1

β2

α2

Cu2


04.03.2013 19

u22g cup ⋅⋅ρ=∆ (1.4-28)

Die einzelnen Terme der rechten Seiten der 1. Form der Eulerschen Gleichung

stellen, jeder für sich Energiedichten dar:

)cc(2

)ww(2

)uu(2

ep 21

22

22

21

21

22g −⋅

ρ+−⋅

ρ+−⋅

ρ==∆ (1.4-29)

Zur besseren Interpretation führen wir folgende Abkürzungen ein:

);uu(2

I 21

22 −⋅

ρ=

);ww(2

II 22

21 −⋅

ρ=

).cc(2

III 21

22 −⋅

ρ=

(1.4-30)

Hierin beschreiben:

Term I und II die Erhöhung des statischen Druckes ∆pstat,

Term III des kinetischen Druckes q

Term I bedeutet den "wertvollsten" Energieanteil: )( 21

22 uu − entsteht nämlich

mechanisch zwangsläufig wegen ω⋅= ru ohne Verluste und produziert einen Teil der

Erhöhung des statischen Druckes. Außerdem ist es stets einfacher möglich,

statischen in kinetischen Druck umzuwandeln als umgekehrt (vgl. Diffusoren!).

Term II beschreibt den zweiten Teil der Erhöhung des statischen Druckes, aber -

man beachte die Indizes bei w1und w2 - durch Verzögerung der

Relativgeschwindigkeit in den Schaufelkanälen. Hier treten Verluste auf, die denen

im Diffusor ähnlich sind.

Term III ist die Erhöhung des kinetischen Druckes, der - falls dies erforderlich ist- nur

verlustbehaftet in statischen Druck verwandelt werden kann.

Ohne dies hier näher zu begründen sei mitgeteilt, dass bei Axialmaschinen Term I

fehlt oder zumindest sehr klein ist. Hiermit kann plausibel gemacht werden, dass für


04.03.2013 20

die Erzeugung großer ∆pstat die Radialmaschine bei gleicher Förderleistung Vpg&⋅∆

geeigneter ist als die vergleichbare Axialmaschine in einer Stufe.

Man kann zeigen, vgl. auch Abbildung 1.2.2, dass die Schaufelform, der

Eintrittswinkel α, (Winkel zwischen u und c) aber insbesondere der Austrittswinkel β

maßgebend sind für die Erhöhung von ∆pg und - den Anteil von ∆pstat und q zu ∆pg .

Abbildung 1.4-2 illustriert verschiedene Werte von β bei vorwärts und rückwärts

gekrümmten, sowie bei radial endenden Schaufeln mit rein radialem Zulauf.

spezieller Wert spezieller Wert

Abbildung 1.4-2: Vorwärts und rückwärts gekrümmte sowie radial endende (mittleres Bild) Schaufeln mit rein radialem Zulauf

Beispielhaft für den Einfluss von β werden drei Spezialfälle aufgezählt (drallfreie

Zuströmung):

- Bei β2 = 90° (radial endende Schaufel) erreicht der Anteil der statischen

Druckerhöhung ∆pstat einen höchstmöglichen Wert.

Das Ziel ist es den Reaktionsgrad r aufzustellen:

22u22g ucuep ⋅ρ=⋅⋅ρ==∆ (1.4-31)

β2w2

u2

c2

c2u= 2u2

ββββ2222 > 90°

β2

c1

w2

ββββ2222 = 90°

β2

c1

w2

β2

w2

c2u= u2

c2

2

2

2

2

2

2 uwc ++++====

β2

c1

w2

ββββ2222 < 90°

β2

w2

u2

c2

c2u= 0


04.03.2013 21

)cc(2

uqpp 21

22

22gstat −⋅

ρ−⋅ρ=−∆=∆ (1.4-32)

Mit

)cc(cccc 2m1

2u1

2m2

2u2

21

22 +−+=− (1.4-33)

und c1u = 0; c2m = c1m; c2u = u2 .

gilt

,u2

1)u

2

1u(

2p 2

222

22stat ⋅ρ⋅=−⋅

ρ=∆ (1.4-34)

bzw. für den Reaktionsgrad

5.0p

pr

g

stat =∆

∆= (1.4-35)

Bei einem speziellen Wert β2 > 90° (gegeben durch c2u = 2u2) verschwindet die

statische Druckerhöhung ∆pstat. Es liegt das sog. "Gleichdruckrad" vor, das nur eine

Erhöhung des kinetischen Druckes q produziert:

gu22 pcue ∆=⋅⋅ρ= (1.4-36)

22g u2p ⋅ρ⋅=∆ (1.4-37)

)cc(2

u2qpp 21

22

22gstat −

ρ−⋅ρ⋅=−∆=∆ (1.4-38)

0c2

u2p 2u2

22stat =

ρ−⋅ρ⋅=∆ (1.4-39)

bzw. 0=r .


04.03.2013 22

Bei einem speziellen Wert β < 90° (einer sehr lang gestreckten, rückwärts

gekrümmten Schaufelform) entsteht ∆p = 0 (gegeben durch c2u = 0), d. h. die

wirkungslose Schaufelform. Dies bedeutet keinerlei Energieübertragung vom Laufrad

auf das Fluid, mit Ausnahme nutzloser Dissipationsenergie.

0cup u22g =⋅⋅ρ=∆ (1.4-40)

0c2

0qpp 2u2gstat =

ρ−=−∆=∆ (1.4-41)

Aus einer Grenzwertbetrachtung ergibt sich r = 1

1.5. Dissipationseffekte und Verluste in Strömungsmaschinen

Die Leistung einer Strömungsmaschine errechnet aus dem Produkt des geförderten

Volumenstroms und der erzeugten Druckdifferenz ∆p.

Um diese Leistung zu erhalten, muss eine Wellenleistung PW aufgebracht werden

(Arbeitsmaschine). Zur Bilanzierung des Verhältnisses Aufwand/Nutzen lässt sich der

Wirkungsgrad

WP

pV ∆⋅=η

&

( 1.5-1 )

heranziehen. Alle Prozesse in Natur und Technik sind irreversibel, demgemäß nimmt

η stets Werte kleiner als Eins an.

In diesem Abschnitt soll kurz auf die Dissipationseffekte und Verluste in

Strömungsmaschinen eingegangen werden. Bild 1.3.1 dient ihrer Diskussion.Die

ersten Betrachtungen betreffen die durch strömungsmechanische Effekte bedingte

Dissipation. Diese können vielfältiger Natur sein.

Zum Beispiel:

• Lokale Beschleunigungen (Stöße, Umlenkungen) im Laufrad,

• Strömungsablösungen im Laufrad sowie im Diffusor,

• Lokale Beschleunigungen (Umlenkungen) und Ablösungen im Diffusor.


04.03.2013 23

Abbildung 1.5-1: Die Dissipationquellen einer Strömungsmaschine.

Gegenüber einer idealen, dissipationsfreien Maschine (Index i) ergibt sich eine um

den hydrodynamischen Teilwirkungsgrad ηΗ verringerte Druckdifferenz

.pp iH ∆⋅η=∆ ( 1.5-2 )

damit das Laufrad relativ zum Gehäuse frei drehen kann, ist ein Spalt notwendig, in

dem ein Massenstrom bzw. Volumenstrom fließt. Im Vergleich zum idealen Fall ohne

Spaltvolumenstrom nimmt der Volumenstrom einen um den Teilwirkungsgrad ηΝ

verminderten Betrag an:

ViVV η⋅= && ( 1.5-3 )

Da die Leistungsbilanz von der Wellenleistung ausgeht, müssen zusätzliche

Dissipationseffekte zufolge Reibung am Wellenlager Berücksichtigung finden. Der

mechanische Wirkungsgrad ηΜ bilanziert diese Effekte:

MiiW /VpP η⋅∆= & ( 1.5-4 )

Setzt man die gefundenen Ausdrücke in die Definitionsgleichung des

Gesamtwirkungsgrades ein, so ergibt sich

ω

Fluid

Fluidω

WP

Lager

Laufrad


04.03.2013 24

.MVH η⋅η⋅η=η ( 1.5-5 )

Hier soll noch bemerkt werden, dass die in der Literatur angesprochene

Minderleistung zu keiner Wirkungsgradverschlechterung führt. Sekundärbewegungen

infolge einer Abweichung von der schaufelkongruenten Strömung (vgl. Abschnitt 1.1)

verringern zwar die Leistung gegenüber dem idealen Fall, aber sie fordern zugleich

auch eine geringere Wellenleistung.

1.6. Kennlinien von Strömungsmaschinen

Wie im Abschnitt 1.1 dargelegt, sollen hier ausschließlich Gebläse und

Kreiselpumpen betrachtet werden. Zur Charakterisierung von ihrem

Betriebsverhalten dienen Kennlinien, welche einen funktionellen Zusammenhang

zwischen charakteristischen Größen graphisch illustrieren. Letztere lassen sich aus

einfachen Überlegungen gewinnen. Dazu soll an die Überlegungen im Abschnitt 1.2

bezüglich der Euler- Gleichung angeknüpft werden:

[ ]1u12u2g cucup ⋅−⋅⋅ρ=∆ ( 1.6-1 )

Um diese Beziehung zu deuten, soll das Geschwindigkeitsdreieck noch einmal

gezeigt werden:

Abbildung 1.6-1: Darstellung eines Geschwindigkeitsdreiecks

Es ist offensichtlich, dass bei gegebenem Winkel β die Umfangsgeschwindigkeiten u

proportional zu der Winkelgeschwindigkeit ω bzw. Drehzahl n:

n~c;c;u;u 2u1u21 ( 1.6-2 )

Aus der EULER-Gleichung folgt daher unmittelbar:

w

β α

cm

c

cu u


04.03.2013 25

2n~p ⋅ρ∆ ( 1.6-3 )

Des Weiteren lässt sich aus dem Geschwindigkeitsdreieck auf die Beziehung

n~cm ( 1.6-4 )

schließen.

Die Massenerhaltung beim Durchströmen des Laufrades fordert:

n~c~V m&

( 1.6-5 )

Diese Ergebnisse bedeuten, dass sowohl ∆p als auch V& von n abhängen.

Wegen VpP g&⋅∆= gilt des Weiteren

32 nnn~P ⋅ρ=⋅ρ ( 1.6-6 )

Aus der Definition des Wirkungsgrades ergibt sich schließlich

3W n~

PP ⋅ρ

η= ( 1.6-7 )

Offensichtlich lauten die gesuchten charakteristischen Größen nVpP g ,,, &∆ und η.

Hieraus lassen sich verschiedene Kennlinien definieren. In der Praxis interessiert

häufig die Abhängigkeit ( )Vpg&∆ für verschiedene Drehzahlen n. Abbildung 1.6-2

illustriert eine solche Kennlinie, wobei die Drehzahl als Kurvenparameter auftritt.

Bei Kreiselpumpen ist es üblich, die Abhängigkeit der Förderhöhe

g

pH g

⋅ρ

∆= ( 1.6-8 )

oder der spezifischen Förderarbeit


04.03.2013 26

ρ

∆= g

t

pY ( 1.6-9 )

vom Volumenstrom aufzutragen.

Für die Auslegung des Antriebes der Energiewandlungsmaschinen interessiert die

Leistung als Funktion des Volumenstromes ( )VPW& (vgl. Abbildung 1.6-2).

Abbildung 1.6-2: Kennlinien von Strömungsmaschinen und ihre typischen Verläufe.

Zur Beurteilung von dissipativen Effekten und sonstigen Verlusten wird darüber

hinaus häufig die Abhängigkeit des Wirkungsgrades η vom Volumenstrom V&

graphisch dargestellt.

Die besprochenen Kennlinien lassen sich auch in dimensionsloser Form

beschreiben.

V&V&[ ]m³/sV&

n3 > n2 > n1

n1

n2

n3

P[W]∆p

[N/m²]

n1

n2

n3

n2

η

n1

AVV && < AVV && >


04.03.2013 27

1.6.1. Kennlinienänderung für unterschiedliche Drehzahlen, n

Abbildung 1.6-3 zeigt die −−∆ Vpg& Kennlinie (KL).

Hier soll der Frage nachgegangen werden, wie sich diese Kennlinie ändert unter der

Vorraussetzung, dass der Wirkungsgrad konstant ist.

Abbildung 1.6-3: Die Auswirkung der Drehzahländerung auf die ,gp∆ −V& KL

Die oben angesprochenen Proportionalitäten erlauben folgende Aussage:

22g V~n~p &∆ ( 1.6-10 )

(Linie gleichen Betriebszustandes)

Bei vorgegebener Geometrie (Laufraddurchmesser d2) verbindet die Linie gleichen

Betriebszustands diejenigen Punkte der −−∆ Vpg& Kennlinie, die bei einer

Drehzahländerung auseinander gehen.

Bei einem Vergleich von Strömungsmaschinen unterschiedlichem

Laufraddurchmesser d2 = 2r2 sind folgende Proportionalitäten zu berücksichtigen:

22g d~p∆ ( 1.6-11 )

.

oV.

V

p∆

gp∆

2

.

oV

0gp∆

4

0gp∆n

n/2

Kurve

gleichen

Betriebs-

zustandes


04.03.2013 28

32d~V& ( 1.6-12 )

d.h., dass hier

3

2

g V~p &∆ ( 1.6-13 )

ist.

1.6.2. Kennlinienänderung für unterschiedliche Dichten, ρρρρ

Abbildung 1.6-4 dient der Diskussion einer Änderung der −−∆ Vp & Kennlinie für

unterschiedliche Dichten ρ (n = konstant).

Abbildung 1.6-4:Die Auswirkung der Dichteänderung auf die −−∆ Vp & KL

Um dieses Bild richtig zu interpretieren, sei zunächst noch einmal betont, dass hier

ausschließlich inkompressible Medien betrachtet werden. Dies heißt, dass

unterschiedliche Dichten entweder verschiedene Gase oder aber eine Änderung der

Dichte zufolge Zufuhr thermischer Energie bedeuten.

Bei konstanter Drehzahl ergibt sich für unterschiedliche Dichten:

2

1

2g

1g

p

p

ρ

ρ=

∆

∆ ( 1.6-14 )

.

V

p∆

0gp∆

2

0gp∆

Kurve gleichen

Betriebszustandes

ρ

ρ /2

n = konst.


04.03.2013 29

1V

V

2

1 =&

&

( 1.6-15 )

Natürlich hängt V& nicht von ρ ab. Die Linien gleichen Betriebszustandes bezüglich

der Dichte sind zur ∆pg Achse parallel, vgl. Bild 1.4.4.

Strömungsmaschinen können instabile Zustände annehmen. Dieser Zustand lässt

sich auch in der Kennlinie erkennen, etwa dadurch, dass zu einem Wert von ∆p zwei

Werte von V& gehören.

1.7. Die Verbraucherkennlinie und der Arbeitspunkt

Abbildung 1.7-1: Anordnung von Strömungsmaschinen in einfachen Anlagen

Die Strömungsarbeitsmaschine ist im Anwendungsfall mit einem oder mehreren

„Verbrauchern“ verbunden, in die sie das Arbeitsfluid mit einem bestimmten

Gesamtdruck und zugehörigem Volumenstrom fördert. Die Strömungsmaschine gibt

an das Fluid eine fluidmechanische Leistung Vp &⋅∆ ab, die von einem oder mehreren

Verbrauchern dem Fluid entnommen wird. Zwei einfache Beispiele sind in Bild 1.5.1

angedeutet.

Das strömungsmechanische Verhalten eines Verbrauchers lässt sich indessen durch

eine Kennlinie (KL) beschreiben. Charakteristisch für die Verbraucher- KL ist, dass

der Druck- "Verbrauch", Also der Druckverlust im Verbraucher mit steigendem

Volumenstrom V& ansteigt.

Bild 1.5.2 zeigt schematisch Strömungsmaschinen- und Verbraucher- KL. Am

Schnittpunkt A beider KL sind sowohl die Volumenströme V& und VerbrV& als auch die

erzeugte Gesamtdruckhöhe ∆pv im Verbraucher gleich, also:

VerbraucherVerbraucher

atpatp


04.03.2013 30

rVerbraucheSM VV && = ( 1.7-1 )

Vg pp ∆=∆ ( 1.7-2 )

Beim Punkt A, dem Arbeitspunkt, stellt sich also ein Gleichgewicht des Systems

Strömungsmaschine- Verbraucher ein. Um diesen Arbeitspunkt und das

Systemverhalten bei A besser verstehen zu können, werden zunächst zwei typische

Verbraucher- KL erklärt.

.

oV.

V

p∆

gp∆

Maschine-KL

A

Ver

brauch

er-K

L

( )Vp∆∆

Vp∆

( )gp∆∆

.

V∆

Abbildung 1.7-2:Zum Arbeitspunkt eines Strömungsmaschine- Verbraucher- Systems


04.03.2013 31

Abbildung 1.7-3:Typische Verbraucherkennlinien.

Die dargestellten Verläufe unterscheiden sich grundsätzlich. Beim Typ I gilt wegen

der Linearität

V~p &∆ ( 1.7-3 )

bzw. bei vorgegebenem Querschnitt A

mu~p∆ ( 1.7-4 )

In dieser Lehrveranstaltung sind bereits einige Strömungen behandelt worden,

welche diese Abhängigkeit zumindest in guter Näherung erfüllen. Besonders wichtig

sind die Innenströmungen. So gilt für die ausgebildete Rohrströmung

2mu~p ⋅λ∆ ( 1.7-5 )

d.h. mit

1mu~

Re

1~ −λ ( 1.7-6 )

V&

∆pV

III

II

2~ VpV&∆

VpV&~∆

I


04.03.2013 32

V~u~p m&∆ ( 1.7-7 )

Beim Typ I wird daher von einem laminaren Verbraucher gesprochen. Dieser Typ

kommt in der Technik nur relativ selten vor (etwa bei Filtern). Turbulente

Innenströmungen sind indessen charakterisiert durch nicht lineare

−−∆ Vp & Kennlinien. Analog zu oben gilt für eine glatte, hydrodynamische

Rohrströmung nach der Blasius- Beziehung

1m25,0

e

u~R

1~ −

−λ ( 1.7-8 )

und somit

25,1m

2m u~u~p ⋅λ∆ ( 1.7-9 )

Hieraus resultiert eine nichtlineare Kennlinie vom Typ II. Weitere Beispiele sind etwa

Krümmer und Düsen sowie turbulente Strömungen in Kanälen großer

Wandrauhigkeit, bei welchen näherungsweise für verschiedene Reynolds- Zahlen

gelten.

2mu~p∆ ( 1.7-10 )

Verbraucherkennlinien hängen stark von der Anordnung der Strömungselemente ab.

Bezüglich des Volumenstromes aber auch des Druckes können die Elemente in

Reihe oder parallel geschaltet werden.

1.8. Kavitation und Maßnahmen zu ihrer Vermeidung

Der Begriff "Kavitation" (lat. Cavus: = hohl) beschreibt eine Hohlraumbildung bei

Flüssigkeiten. Diese Hohlräume sind beispielsweise Blasen unterschiedlicher Größe

und Gestalt.

Man unterscheidet

die Gaskavitation und

die Dampfkavitation.


04.03.2013 33

Die Gaskavitation ist das (meist unerwünschte) Freiwerden von in der Flüssigkeit

gelösten Gasen infolge einer Druckabsenkung. Unterschreitet der statische Druck

den Lösungsdruck, z.B. infolge einer unzulässigen Erhöhung des kinetischen

Druckes, so kann die dann einsetzende Gaskavitation von starker Blasenbildung bis

hin zu einer Schaumentwicklung und dadurch zu einer Fehlfunktion des Systems

führen. Beispiel: CO2- haltige Getränke in fehlerhaften Schankanlagen. Die

Gaskavitation ist in Bezug auf Materialerosion harmlos, in Bezug auf die

Funktionsfähigkeit von Anlagen, die Flüssigkeiten mit hohem, gelösten Gasanteil

führen, aber durchaus eine potentielle Ursache für Funktionsstörungen.

Die Dampfkavitation, der Inhalt der jetzt folgenden Ausführungen, hat ihren Namen in

der Hohlraumbildung (Kavitationsblasen) infolge eines statischen Druckes p , der

gleich oder kleiner ist als der jeweilige Dampfdruck pD der Flüssigkeit

.pp D≤ ( 1.8-1 )

Die entstehenden Kavitationsblasen (Hohlräume) sind mit dem Dampf der

Flüssigkeit, nicht aber mit dem Fremdgas, erfüllt. Steigt der Druck in der Flüssigkeit

wieder über den Dampfdruck pD an, so wird der Dampf wieder flüssig und die

Dampfblasen, - genauer: die sie begrenzenden Flüssigkeitsoberflächen – brechen

schlagartig zusammen. Man spricht von Implosion. Dies ist die Wurzel der

Schädlichkeit und der Gefährlichkeit der Dampfkavitation. Im Folgenden wird der

Kürze halber nur noch von Kavitation, anstelle von Dampfkavitation, gesprochen.

Die Kavitation hat zwei Aspekte, nämlich den hydrodynamischen und den erosiven

Aspekt.

Der hydrodynamische Aspekt bezieht sich im Wesentlichen auf eine Erhöhung von

Stromverlusten, beispielsweise einer Verschlechterung des Wirkungsgrades von

Kreiselpumpen, den von Kavitation im Allgemeinen am meisten betroffenen

Bauelementen der hier interessierenden Industrieanlagen.

Das Auftreten von Kavitation bewirkt üblicherweise zuerst nur diese

Wirkungsgradverschlechterung (es gibt Kavitation ohne Erosion), aber bei weiterer

Zunahme kavitationsfördernder Umstände tritt Materialerosion (Zerstören des die

Flüssigkeit begrenzenden oder führenden Materials) auf. Diese Materialabtragung


04.03.2013 34

wiederum ist eine Zeitfrage: sie kann in Minuten erfolgen oder sich über lange

Zeiträume erstrecken.

Bild 1.6.1 zeigt Aufnahmen von Bauteilen, welche durch Kavitation stark beschädigt

wurden.

Abbildung 1.8-1: Schäden durch Strömungskavitation.

Natürlich soll hier nicht die Materialfrage behandelt werden. Vielmehr soll die

strömungsmechanische Ursache betrachtet werden.

Nach den obigen Erläuterungen kann Kavitation an irgendeinem Punkt 1 der Anlage

erfolgen, wenn

( )Tpc2

pp D21g1 ≤

ρ−= ( 1.8-2 )

wird. Darin ist pD der von der Temperatur T abhängige Dampfdruck der Flüssigkeit

(Beispiel: Der Dampfdruck pD für Wasser beträgt bei 20°C ca. 0,02 bar, bei 100°C ca.

1 bar). Erreicht oder unterschreitet der statische Druck p1 den Dampfdruck pD, so

kann es zu der gefürchteten Dampfblasenbildung kommen. Diese

Dampfblasenbildung erfolgt aber nur an so genannten Phasengrenzflächen (z.B.

Flüssigkeit- Gas oder Flüssigkeit- Feststoff). Es bedarf also so genannter

Kavitationskeime (kleine, feste Partikel oder sehr kleine Gasblasen), damit

Dampfblasen entstehen. Der Eintritt der Kavitation hängt also vom Grad der

„Sauberkeit“ (Keimfreiheit) und somit von der Vorgeschichte des Fluides ab. Die

Gasbläschen, die als Keime zur Kavitation führen, haben Abmessungen in der

Größenordnung von 1- 20 mµ .


04.03.2013 35

Der Grund für das notwendige Vorhandensein von Keimen liegt im Kapillardruck. Für

eine Kugelförmige Blase oder Tropfen ist der Kapillardruck, d.h. der

Druckunterschied p1 – p2 zwischen dem Inneren der Kugel (p1) und der Umgebung

(p2)

r

2pp o

21

σ=− ( 1.8-3 )

mit σo als Oberflächenspannung in N/m und r dem Kugelradius. Die

Oberflächenspannung σo ist eine Konstante, die von der Materialpaarung (z.B.

Flüssigkeit- Luft oder Flüssigkeit- ihr eigener Dampf) abhängt. Der Kavitationskeim

sorgt dafür, dass sich die Dampfblase mit endlichem Radius r, also auch relativ

geringem Kapillardruck bilden kann.

Setzen wir realistisch das Vorhandensein von Kavitationskeimen voraus, so ist die

Kavitation noch in hohem Maße vom Dampfdruck pD abhängig, der seinerseits

wiederum abhängt von der Art der Flüssigkeit (Materialeigenschaft) und der

Temperatur.

Um Kavitation auch bei Anwesenheit von Keimen, sicher zu vermeiden, wird man

sich bemühen, den in einer Maschine oder Anlage Vorkommenden niedrigsten

statischen Druck p nicht unter den Dampfdruck pD oder einen durch das Experiment

festgestellten Druck sinken zu lassen.

Die Materialerosion durch Kavitation wird durch die schematische Darstellung der

Implosion einer Dampfblase erklärt, vgl. Abbildung 1.8-2.

Abbildung 1.8-2: Zum Mechanismus der Materialerosion durch die Implosion von Kavitationsblasen.

Im linken Bildteil ist das Beispiel eines Strömungsfeldes mit Druckgradienten – aber

auch senkrecht – zur Strömungsrichtung dargestellt, in das stark vergrößert eine

Kavitationsblase eingezeichnet ist. Im rechten Bildteil wird der Zeitablauf der

Implosion dieser Blase skizziert. (Solche Zeitabläufe werden mit

steigender

Drucksteigender

Druck

Flüssigkeits-

strahl

Zeit t1 t2 t3


04.03.2013 36

Hochgeschwindigkeitsfotografie bei einer Bildfrequenz von ca. 106 Bilder/sec.

gewonnen). Die Dampfblase beginnt sich auf der Seite des höheren Druckes im

Geschwindigkeitsfeld zu verformen. Der Kollaps der Blase beginnt, wenn der

Außendruck den Dampfdruck, bzw. den Druck in der Blase übersteigt.

Der bei der Implosion entstehende Flüssigkeitsstrahl (Microjet) erhält eine so hohe

Geschwindigkeit, dass bei seinem Auftreffen auf eine materielle Wand punktuelle

Drücke von 104 - 105 bar und Temperaturen von 104 K entstehen können. Diese

Werte legen es nahe, dass es neben mechanischer auch wahrscheinlich zu

chemischer Erosion kommt. Es sind häufig Luminiszenserscheinungen zu

beobachten. Die Implosionszeit liegt in der Größenordnung von 10-7s, d.h. einer Zeit,

in der Licht im Vakuum eine Strecke von 30m zurücklegt. Akustisch kann die

Kavitation in einer Kreiselpumpe durch Geräusche wahrgenommen werden. Wie

bereits erwähnt sind Kreiselpumpen besonders durch Kavitation gefährdet. Um den

Druck an jeder Stelle der Anlage oberhalb des Dampfdruckes zu halten, liegt es also

gemäß der Bernoulli- Gleichung an der Hand durch Vergrößerung des

Eintrittsdruckes pe (und damit des gesamten Druckniveaus), Tiefersetzen der

Kreiselpumpe Verringerung der Strömungsverluste HVS (z.B.

Rohrleitungsdurchmesser, Zahl der Krümmer etc.) die Sicherheit gegenüber

Kavitation zu erhöhen.


04.03.2013 37

2. Gasturbinen

2.1. Thermodynamische Grundlagen

2.1.1. Arbeit am geschlossenen System, Energieform „Arbeit“,

Volumenänderungsarbeit

Aus Wärme, die ein Gas enthält, das sich im Zylinder einer Kolbenmaschine

befindet, soll Arbeit vom System an die Umgebung abgegeben (gewonnen) werden.

Bei der Expansion ist U2 < U1, T2 < T1 und WV12 negativ

Bei der Kompression ist U2 > U1, T2 > T1 und WV12 positiv

Abbildung 2.1-1: p,V - Diagramm Expansion. Volumenänderungsarbeit

In der linken Totlage mit dem Raumvolumen V1 herrscht der Druck p1. Das hier

eingeschlossene Gas enthält bei der Temperatur T1 eine bereits vorhandene, aus

zugeführter Wärme Q stammende „Innere Energie U1“.

Die der Maschine zugeführte Wärmemenge Q kann aus den Daten der Gaszustände

und aus dem Brennstoffverbrauch bestimmt werden.


04.03.2013 38

Der Arbeitsvorgang wird so verlaufen, dass am Ende des Kolbenhubes Wärme

verschwunden und Arbeit entstanden ist und das Abgas einen niedrigeren Druck und

eine niedrigere Temperatur haben wird als das Frischgas.

p2 < p1

T2 < T1

U2 < U1

Nach der Wärmezufuhr (Verbrennung) hat sich das Zylindervolumen auf V2

vergrößert, während der Druck auf p2 gefallen ist.

Die gewonnene (abgegebene) Arbeit

(Raumänderungsarbeit/Volumenänderungsarbeit) ist nach den Gesetzen der

Mechanik:

Arbeit = Kraft x Weg

dsFdWV ⋅= ( 2.1-1 )

Die abgegebene bei der Expansion (gewonnene) Arbeit wird bei diesem Ansatz

negativ.

Die Kolbenkraft F entspricht der entgegengerichteten Kraft die durch den Gasdruck p

auf die Kolbenfläche A ausgeübt wird:

ApF ⋅−= ( 2.1-2 )

Damit ergibt sich

dsApdWV ⋅⋅−= ( 2.1-3 )

dVpdWV ⋅−= ( 2.1-4 )

Das negative Vorzeichen berücksichtigt die in der Thermodynamik vereinbarte

Vorzeichenkonvention, nach der die zugeführte Energie (Arbeit) positiv und die

abgegebene (gewonnene) negativ anzusetzen ist. Sie gilt für alle Energiearten.


04.03.2013 39

Die Volumenänderungsarbeit bei einer Volumenänderung von V1 nach V2 ergibt sich

durch die Integration der Gleichung 2.1-4.

dVpdW2

1

12

V

V

V ⋅−= ∫ ( 2.1-5 )

Als Volumenänderungsarbeit bezeichnen wir die in einem geschlossenen System

über die Systemgrenzen zu- oder abgeführte Arbeit.

Die Volumenänderungsarbeit WV12 ist aufgrund des oben gemachten Ansatzes bei

der abgeführten Arbeit (Expansion) negativ, da dVp2

1

V

V

⋅∫ bei Volumenvergrößerung

positiv wird. Wird die Volumenänderungsarbeit von der Umgebung an das System

zurückgeführt (Verdichtung) so sind die Zustandspunkte 1 und 2 gegenüber der

Darstellung in Abb.2.3-1 vertauscht, wodurch dVp2

1

V

V

⋅∫ negativ und damit Wv12 positiv

werden.

p2, V2 p1, V1

p2

V2 V1

p1

2

1

2 1

V

p

WV12

Verdichtung

WV12

p2, V2 p1, V1

p2

V2 V1

p1

2

1

2 1

V

p

WV12

Verdichtung

WV12

p2, V2 p1, V1

p2

V2 V1

p1

2

1

2 1

V

p

WV12

Verdichtung

WV12

p2, V2 p1, V1

p2

V2 V1

p1

2

1

2 1

V

p

WV12

Verdichtung

WV12

Abbildung 2.1-2:p,V-Diagramm Kompression

Die Volumenänderungsarbeit hängt nicht nur vom Anfangs- und Endzustand,

sondern auch von dem Weg, den das System zwischen den beiden Zuständen

durchläuft ab. Sie ist demnach auch vom Verlauf der Zustandsänderung abhängig.

Sie ist eine Prozessgröße und keine Zustandsgröße. Die Volumenänderungsarbeit


04.03.2013 40

ist eine extensive Größe. Bezieht man sie auf die Systemmasse dann erhält man die

spezifische Volumenänderungsarbeit wV12:

dVpM

Ww

2

1

12V

12V ⋅−== ∫ ( 2.1-6 )

Nutzarbeit an der Kolbenstange

Befindet sich das System wie in der Abbildung 2.1-1 in einer unter konstantem

Druck pB befindlichen Umgebung (z.B.: auf der Erde), dann wird bei einer

Bewegung des Kolbens auch Arbeit an die Umgebung abgegeben Diese Arbeit,

die von der Umgebung geleistet wird, ist die Verschiebearbeit WU12.

dVp)VV(pW2

1

12BU12⋅−=−⋅−= ∫ Expansion (negativ) ( 2.1-7 )

dVp)VV(p)VV(pW2

1

B12B12B12U ⋅=−⋅=−⋅= ∫ Kompression (positiv) ( 2.1-8 )

Die Volumenänderungsarbeit WV12 teilt sich auf die Verschiebearbeit WU12 und

auf die an der Kolbenstange übertragenen Nutzarbeit WN12 auf.

p1

V1 V2

p2

1

2

V

p

pb

Expansion

Wu12

p1

V1 V2

p2

1

2

V

p

pb

Expansion

Wu12

)VV(pW 12B12U −⋅−= (negativ)

dVpW2

1

12V ⋅−= ∫ (negativ)

p2

V2 V1

p1

2

1

V

p

pb

Kompression

Wu12

p2

V2 V1

p1

2

1

V

p

pb

Kompression

Wu12

)VV(pW 21B12U −⋅= (positiv)

dVpW2

1

12V ⋅−= ∫ (positiv)


04.03.2013 41

12N12U12V WWW += 12N12U12V WWW +=

Die Nutzarbeit an der Kolbenstange für ein geschlossenes System

Expansion:

12U12V12N WWW −=

)VV(pdVpW 12B

2

1

12N −⋅+⋅−= ∫

)VV(pdVpW 12

2

1

B

2

1

12N −⋅+⋅−= ∫∫

∫∫ −−⋅−=2

1

B

2

1

12N dV)p(dVpW

dV)pp(W B

2

1

12N ⋅−−= ∫

Kompression:

12U12V12N WWW −=

)VV(pdVpW 21B

2

1

12N −⋅−⋅−= ∫

)VV(pdVpW 12B

2

1

12N −⋅+⋅−= ∫

∫∫ ⋅+⋅−=2

1

B

2

1

12N dVpdVpW

dV)pp(W B

2

1

12N ⋅+−= ∫

dV)pp(W B

2

1

12N ⋅−−= ∫

2.1.2. Innere Energie

Die von einem adiabat geschlossenen System abgeführte Arbeit verkleinert die

innere Energie U des Systems.

Da diese Verminderung nur von dem Betrag, nicht von der Art der Arbeit abhängt, ist

die Innere Energie eine extensive Zustandsgröße. Sie gehört zur Gruppe der

kalorischen Zustandsgrößen.

Die Innere Energie U stellt den Energievorrat eines Systems dar.

Bezogen auf die Masse ergibt sich die spezifische Innere Energie u.

2.1.3. Energieform „Wärme“

Wärme ist die Energie, die bei einem System mit nicht-adiabater Grenze allein

aufgrund eines Temperaturunterschiedes zu seiner Umgebung über die

Systemgrenze tritt.


04.03.2013 42

Den Übergang dieser Energie über die Systemgrenzen nennen wir Wärmezufuhr und

Wärmeabfuhr. Wärme und Arbeit bewirken demnach gemeinsam eine Änderung der

inneren Energie.

12V1212 WQUU +=− ( 2.1-9 )

→ Die Änderung der inneren Energie ist die Summe der transferierten Wärme und

Arbeit. Dabei gelten in der Gleichung ein Plus bei zugeführter Arbeit und ein Minus

bei abgeführter Arbeit.

1.HS (Allgemeine Wärmegleichung):

12

2

1

12

12V12

12V1212

UUpdVQ

WUQ

WUUQ

−=−

−∆=

−−=

∫

( 2.1-10 )

Wärme ist die Differenz aus der Änderung der inneren Energie und der verrichteten

Arbeit, wenn das betrachtete System geschlossen ist. Die zugeführte Wärme ist nur

positiv, abgeführte Wärme negativ. Die Wärme Q12 ist wie die Arbeit eine Prozess-

größe und damit vom Prozessverlauf abhängig. Das ist aus der Gleichung 2.1-8

erkennbar, nach der eine bestimmte Änderung der Zustandsgröße U durch unter-

schiedliche Anteile der Prozessgrößen Q12 und WV12 bewirkt werden kann. Wärme

und Arbeit sind Formen der Energieübertragung. Beide treten nur beim Überschrei-

ten der Systemgrenze auf, im Inneren des Systems existieren diese Größen nicht.

Für das Innere des Systems muss der Begriff innere Energie verwendet werden.

Um zu einer Klärung darüber zu kommen, welcher Anteil der zugeführten Wärme Q

zu einer

(i) Zunahme der inneren Energie U∆ des Gases führt und welcher Anteil an die

(ii) Raumänderungsarbeit WV

übergeht, trennen wir die Vorgänge, an denen die drei energiemäßig gleichwertigen

Größen Q, U, WV beteiligt sind.


04.03.2013 43

Zwei Grenzfälle

1. Fall:

In 1212V12 UUWQ −=+ soll WV = 0 sein.

Die Temperatur des Gases steigt von T1 auf T2.

Der Anteil WV entfällt und die Allgemeine Wärmegleichung lautet jetzt:

1212 UUQ −= ( 2.1-11 )

Die zugeführte Wärme wird vom Gas gespeichert, dessen „Innere Energie“ um ∆U

von U1 auf U2 zunimmt.

Die Größe der zugeführten Wärmemenge Q wird berechnet über eine spezifische

Wärmekapazität cv, die wie folgt definiert wird:

Es ist die Wärmemenge, die benötigt wird, um 1 kg des betreffenden Gases um 1K

von T1 auf T2 zu erwärmen, wenn sich dieses Gas in einem geschlossenen Raum

(bei V=const.) befindet – so dass eine Volumenänderungsarbeit aus der

entstandenen Energie nicht stattfinden kann.

Vc )]Kkg/(Nm[ ⋅

Mit WV = 0 erhält dann die Allgemeine Wärmegleichung der Gase die Form

1212V12 UU)TT(cMQ −=−⋅⋅= ( 2.1-12 )

2.Fall

In 12 12 2 1VQ W U U+ = − soll Q12 = 0 sein.

Bei diesem Vorgang soll dem Gas keinerlei Wärme mitgeteilt werden. Wärmetausch

mit der Umgebung über die Zylinderwand findet ebenfalls nicht statt.

Einen solchen Vorgang bezeichnet man als eine „adiabate Zustandsänderung“.

1212V UUW −= ( 2.1-13 )

Wärme Q wird zugeführt. Der Kolben wird in Lage 1 festgehalten.


04.03.2013 44

2.1.4. Technische Arbeit

Die bisher behandelten Prozesse liefen in geschlossenen Systemen ab.

In der Technik sind jedoch die offenen Systeme wichtiger, weil die meisten Prozesse

mit Stoffdurchfluss verlaufen und hierbei in einer Maschine stetig Arbeit verrichtet

werden kann. Diese an einem offenen System verlustfrei verrichtete Arbeit nennen

wir technische Arbeit Wt.

Wir betrachten einen Expansionsvorgang in einer verlustfreien Kolbenmaschine bei

vernachlässigter Änderung der kinetischen und potentiellen Energie.

Abbildung 2.1-3: verlustfreie Kolbenmaschine

∫ ⋅−=2

1

12t dpVW ( 2.1-14 )

(bei einer Expansion von 1 nach 2 ist Wt12 ein positiver Wert, weil dp abnimmt)

p1 a

b

V1

c

V2

p2 d

1

2

V

p Expansion

0

Fla1b0

p1 a

b

V1

c

V2

p2 d

1

2

V

p Expansion

0

Fla1b0

p1 a

b

V1

c

V2

p2 d

1

2

V

p Expansion

0

Fl12cb

p1 a

b

V1

c

V2

p2 d

1

2

V

p Expansion

0

Fl12cb

p1 a

b

V1

c

V2

p2 d

1

2

V

pExpansion

0

Fla12c0

p1 a

b

V1

c

V2

p2 d

1

2

V

pExpansion

0

Fla12c0

a) b) c)


04.03.2013 45

p1 a

b

V1

c

V2

p2 d

1

2

V

p Expansion

0

Fld2c0

p1 a

b

V1

c

V2

p2 d

1

2

V

p Expansion

0

Fld2c0

p1 a

b

V1

c

V2

p2 d

1

2

V

pExpansion

0

Fla12d

p1 a

b

V1

c

V2

p2 d

1

2

V

pExpansion

0

Fla12d

d) e)

Abbildung 2.1-4: Arbeit am offenen System, Enthalpie

• Linie „a1“: Linie der Wärmezufuhr. Die Frischwärme kommt am Punkt 1, nach

einer Wärmezufuhr bei p1=konst. an.

• Fläche „a1b0“: Wärmezufuhr (grün) siehe Abb.2.1-3 a) auf p1=konst.-Linie „a1“

als Verbrennungswärme innerhalb des Zylinders.

• Linie „12“: Expansionslinie. Der Kolben macht die Bewegung von 1 nach 2. U2 <

U1 → Wv12 negativ, da Nutzen.

• Fläche „12cb“: Volumenänderungsarbeit (rot) siehe Abb.2.1-3 b). Da der Prozess

verlustfrei erfolgt, entsteht sie aus der adiabaten Expansion mit den Bedingungen

T2 < T1 und p2 < p1

• Fläche „a12c0“: Arbeitsgewinn Wv12 + p1V1(blau) siehe Abb.2.1-3 c)

• Fläche „2c0d“: Ausschiebearbeit p2V2 (gelb) siehe Abb.2.1-3 d)

• Fläche „a12d“: Technische Arbeit Wt (grau) siehe Abb.2.1-3 e). (Differenz

zwischen Arbeitsgewinn und Ausschiebearbeit)

Nach der Abbildung:

)VpVp(WVpVpWW 112212V221112V12t ⋅−⋅−=⋅−⋅+=

Aus

12V1212 WUUQ +−= ( 2.1-15 )

mit Q12=0 (da adiabate Raumänderung) folgt:


04.03.2013 46

2121V12V UU)TT(cMW −=−⋅⋅= ( 2.1-16 )

da T2 < T1

Damit ergibt sich

22211112t VpUUVpW ⋅−−+⋅= ( 2.1-17 )

)UVp()UVp(W 22211112t +⋅−+⋅= ( 2.1-18 )

Die Klammerausdrücke enthalten nur Zustandsgrößen, die zu einer neuen

Zustandsgröße, der Enthalpie, zusammengefasst werden:

UVpH +⋅= ( 2.1-19 )

Auf die Masse bezogen ergibt sich die spezifische Enthalpie

uvpM

Hh +⋅== ( 2.1-20 )

Die technische Arbeit bei adiabaten Systemen ergibt sich zu

2112t HHW −= ( 2.1-21 )

bei Q12 = 0

Die Enthalpie H ist eine neue extensive Zustandsgröße. Sie ist eine

Zusammenfassung der Inneren Energie U und der Volumenänderungsarbeit WV des

Stoffes. Sie kennzeichnet den Energieinhalt thermodynamischer Systeme.

Mithilfe der Enthalpie kann eine weitere Form des 1.HS gewonnen werden:

vpuh ⋅+= ()d diese Gleichung wird differenziert ( 2.1-22 )

dpvdvpdudh ⋅+⋅+= ( 2.1-23 )


04.03.2013 47

dpvdhdvpdu ⋅−=⋅+ ( 2.1-24 )

dpvdhdq ⋅−=

mit

dvpdudq ⋅+= (1.HS)

dpvdqdh ⋅+= ( 2.1-25 )

Zur Berechnung der Enthalpieänderung dient häufig der Ansatz

)p,T(cdh p=

mit cp als spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck

Zusammenfassung aus 2.1.1 – 2.1.4

dVpdW2

1

12

V

V

V ⋅= ∫ 2.1-5)

Volumenänderungsarbeit (Expansion: V2 > V1, d.h. Wv12 > 0)

12V1212 WUUQ +−= ( 2.1-26 )

Wärme = Zunahme Innere Energie + Volumenänderungsarbeit p1V1 Wärmezufuhr Wv12 + p1V1 Arbeitsgewinn p2V2 Ausschiebearbeit

∫ ⋅−=2

1

12t dpVW ( 2.1-27 )

Technische Arbeit (Expansion: p2 < p1 d.h. Wt12 > 0)

221112V12t V)p(VpWW ⋅−+⋅+= ( 2.1-28 )


04.03.2013 48

2.2. Erster Hauptsatz für geschlossene Systeme

Jedes geschlossene System besitzt eine Zustandsgröße U mit folgenden

Eigenschaften:

Beim nicht-adiabaten geschlossenen System wandelt sich die als Wärme dem

System zugeführte Energie in Innere Energie und Arbeit um:

121212 UUWQ −=+

121212 uuwq −=+ ( 2.2-1 )

12

2

1

12 uudvpq −=⋅− ∫ ( 2.2-2 )

In einem adiabaten geschlossenem System wandelt sich die als Arbeit zugeführte

Energie in Innere Energie um.

2112 UUW −= , da Qad = 0

Energie kann weder erzeugt noch vernichtet werden.

dudvpdq +⋅= ( 2.2-3 )

Wird dem System bei v = konst. (dv = 0) die Wärme zugeführt, dann folgt

dudq = bzw.

1212 uuq −= mit v = konst.

Die einem geschlossenem thermodynamischen System bei v = konst. zugeführte

Wärme dient zur Erhöhung der Inneren Energie.


04.03.2013 49

2.3. Erster HS für offene Systeme, stationärer Fließprozess

Der stationäre Fließprozess hat eine sehr große technische Bedeutung.

Masse und Substanzen können die Systemgrenze überschreiten.

Massenstrom:

dt

dMMd =&

( 2.3-1 )

Wärmestrom:

dt

dQQd =&

( 2.3-2 )

Leistung:

t

WP t= t

WW t

t =& 1212t PW =&

( 2.3-3 )

Wasserrad wird durch fließendes Wasser angetrieben.

Abbildung 2.3-1: Schematische Darstellung Wasserturbine

Technische Arbeit entspricht der Arbeit, die beim stationären Fließprozess die

Systemgrenzen überschreitet.

α∆⋅= dt MW ( 2.3-4 )

ω⋅=∆α∆

⋅=∆ dd

t Mt

Mt

W ( 2.3-5 )


04.03.2013 50

ω⋅=∆

= dt Mt

WP ( 2.3-6 )

Offenes System (Massen- und Energietransport)

Abbildung 2.3-2: Schematischer Vergleich von offenen Systemen

PotKin EEUE ∆+∆+∆=∆

)EE()EE(UUE 1Pot2Pot1Kin2Kin12 −+−+−=∆

)EEU()EEU(EE 1Pot1Kin12Pot2Kin212 ++−++=−

( 2.3-7 )

( )]zzg)ww(2

1)uu[(MEE 12

21

22112 2

−⋅+−⋅+−⋅∆=− ( 2.3-8 )

Allgemein gilt 121212 WQEEE +=−=∆

Die Arbeit W12 besteht aus )vpvp(MWW 112212t12 ⋅−⋅⋅∆−=

)vpvp(MWQEE 112212t1212 ⋅−⋅⋅∆−+=− (*)

( )]zzg)ww(2

1)uu[(M)vpvp(MWQ 12

21

221112212t12 2

−⋅+−⋅+−⋅∆+⋅−⋅⋅∆=+

( )1221

2211122212t12 zzgM)ww(

2

M)vpu(M)vpu(MWQ −⋅⋅∆+−⋅

∆+⋅+⋅∆−⋅+⋅∆=+

mit der Enthalpie vpuh ⋅+= ergibt sich


04.03.2013 51

( )1221

22112t12 zzgM)ww(

2

M)hh(MWQ

2−⋅⋅∆+−⋅

∆+−⋅∆=− M∆: ( 2.3-9 )

1.HS für offene Systeme:

( )1221

22112t12 zzg)ww(

2

1)hh(wq

2−⋅+−⋅+−=− ( 2.3-10 )

spez. Wärme - spez. techn. Arbeit = Enthalpie + kin.En. + pot.En.

( )]zzg)ww(2

1)hh[(MPQ 12

21

22112t12 2

−⋅+−⋅+−⋅=− & ( 2.3-11 )


04.03.2013 52

2.4. Entropie

Die Entropie ist eine Zustandsgröße. Sie wurde von R.J.E. Claussius eingeführt uns

ist ein Maß für die Irreversibilität thermodynamischer Prozesse.

Claussius definierte die Entropie als Verhältnis von reversibel zugeführter

Wärmemenge und der absoluten Temperatur T an der Stelle des Wärmeüberganges.

T

dQdS =

K

J ( 2.4-1 )

zugeführte Wärme: dQ > 0 d.h. dS > 0

abgeführte Wärme: dQ < 0 d.h. dS < 0

Die Entropie ist wie die Wärmemenge Q eine extensive Größe.

Reversible Prozesse:

Aus dem 1. Hauptsatz:

dVpdQdU ⋅−= dVpdUdQ ⋅+=

Durch Umformung erhält man

dVpdUdQ ⋅+=

mit Gleichung ( 2.4-1 ) ergibt sich

dVT

p

T

dUdS ⋅−=

und mit

dpVdHdQ ⋅−=

dpT

V

T

dHdS ⋅−=

mit spezifischen Größen

dvT

p

T

duds ⋅+= /*T

ergeben: dVpduTds ⋅+=

dpvdhTds ⋅−=


04.03.2013 53

dpT

v

T

dhds ⋅−= / *T

Die Gibb´schen Fundamentalgleichungen erfolgen aus der Verknüpfung der

kalorischen Zustandsgrößen u und h mit den thermischen Zustandgrößen p, T und v

dVpduTds ⋅+=

dpvdhTds ⋅−=

( 2.4-2 )

Entropie als Zustandsgröße

Abbildung 2.4-1: T, s – Diagramm mit Isochoren und Isobaren

Das Verhalten der Isochore und Isobare wird in einem T,s-Diagramm dargestellt.

Die Wärmemengen lassen sich im T, s-Diagramm („Wärmediagramm“) als Fläche

unter den Kurven darstellen. Die Isochoren verlaufen steiler als die Isobaren.

Es gilt

v

p

c

c=κ ( 2.4-3 )


04.03.2013 54

vp cc ⋅κ= ( 2.4-4 )

)TT(cq 12vv −⋅=

)TT(cq 12pp −⋅=

( 2.4-5 )

qp > qv, da T2-T1=konst. und cp > cv.

Ermittlung der Entropieänderung

1.) wenn T und v gegeben sind folgt nach dem 1.HS:

12dq du w du p dv= + = + ⋅

vdq c dT p dv= ⋅ + ⋅ mit dq Tds=

vT ds c dT p dv⋅ = + ⋅

( 2.4-6 )

dvpdTcdq V ⋅+⋅= mit dsTdq ⋅=

dvpdTcdsT V ⋅+⋅=⋅

T

dvp

T

dTcds V ⋅+⋅= mit

v

R

T

pTRvp =⇒⋅=⋅

∫⋅+⋅=v

dvR

T

dTcds V

1

2

1

2v12

v

vlnR

T

Tlncsss ⋅+⋅=−=∆

wenn T und v gegeben ( 2.4-7 )


04.03.2013 55

2.) wenn p und v gegeben sind:

Mit 1

2

11

22

2

22

1

11

T

T

vp

vp

T

vp

T

vp=

⋅

⋅⇒

⋅=

⋅ und vp ccR −= folgt aus

1

2

1

2v12

v

vlnR

T

Tlncss ⋅+⋅=−

1

2vp

11

22v12

v

vln)cc(

vp

vplncss ⋅−+

⋅

⋅⋅=−

1

2v

1

2p11v22v12

v

vlnc

v

vlncvplncvplncss ⋅−+⋅⋅−⋅⋅=−

1v2v1p2p1v1v2v2v12 vlncvlncvlncvlncvlncplncvlncplncss ⋅+⋅⋅−⋅⋅−⋅+⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅=−

1p2p1v2v12 vlncvlncplncplncss ⋅⋅−⋅+⋅⋅−⋅⋅=−

1

2p

1

2v12

v

vlnc

p

plncss ⋅+⋅=−

wenn p und v gegeben ( 2.4-8 )

3.) wenn p und T gegeben sind:

Mit 1

2

21

12

v

v

pT

pT=

⋅

⋅ folgt

21

12vp

1

2v12

pT

pTln)cc(

pT

Tlncss

⋅

⋅⋅−+⋅=−

21

12v

21

12p1v2v12

pT

pTlnc

pT

pTlncTlncTlncss

⋅

⋅⋅−

⋅

⋅+⋅−⋅=−

21v12v21p12p1v2v12 pTlncpTlncpTlncpTlncTlncTlncss ⋅⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅=−

2v1v1v2v2p

1p1p2p1v2v12

plncTlncplncTlncplnc

TlncplncTlncTlncTlncss

⋅+⋅+⋅⋅−⋅⋅−⋅−

⋅⋅−⋅+⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅=−

2v1v2p1p1p2p12 plncplncplncTlncplncTlncss ⋅+⋅⋅−⋅−⋅⋅−⋅+⋅⋅=−

2vp1vp

1

2p12 pln)cc(pln)cc(

T

Tlncss ⋅⋅−−⋅−+⋅⋅=−

1

2

1

2v12

p

plnR

T

Tlncss ⋅−⋅=−

wenn T und p gegeben ( 2.4-9 )


04.03.2013 56

2.5. Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik

2.5.1. Reversible und irreversible ZÄ

Es gibt zwei Arten von Zustandsänderungen:

A.) Irreversible

Spontane irreversible ZÄ Erzwungene irreversible ZÄ

1. Abkühlung 1. Joulerscher Rührversuch

2. Vermischung 2. Strömung mit Reibung

3. Verbrennung, Explosion 3. Stromdurchgang

4. Chemische Reaktionen 4. Plastische Verformung

5. Druckausgleich, 5. Drosselung,

Alle Natürlichen Vorgänge sind irreversibel.

B.) Reversible

Der reversible Prozess ist nur ein Sonderfall des irreversiblen.

Formulierung des zweiten Hauptsatzes

Wärme kann nur dann in Arbeit umgewandelt werden, wenn ein Temperaturgefälle

vorhanden ist. Von der gesamten zugeführten Wärme Qzu wird nur ein Teilbetrag in

Arbeit umgewandelt. Der Rest Qab geht unverbraucht durch die Maschine.

1. Alle natürlichen Vorgänge sind irreversibel. Der reversible Prozess ist nur ein

Sonderfall des irreversiblen Prozesses (Prinzip der Irreversibilität).

2. Es ist nicht möglich, eine Maschine zu bauen, die nichts anderes vollbringt, als

fortwährend Wärme aufzunehmen und diese gänzlich in mechanische Arbeit

umzuwandeln (ein Perpetuum Mobile zweiter Art ist nicht möglich).

3. Wärme lässt sich nicht in Arbeit umwandeln, ohne dass gleichzeitig Wärme

von einem höheren auf ein tieferes Temperaturniveau sinkt.


04.03.2013 57

4. Wärme geht von selbst von einem System höherer Temperatur auf das

System niederer Temperatur über. Wärme kann nicht von selbst von einem

System tieferer Temperatur auf das System höherer Temperatur übergehen.

5. Bei allen natürlichen Prozessen nimmt die in Arbeit umwandelbare Energie

ab.

Zwischen der

1. Umwandlung von mechanischer Arbeit in Wärme

Umwandlung von mechanischer Energie in Wärmeenergie ist stets möglich.

und

2. Umwandlung von Wärme in mechanische Arbeit

Dagegen ergibt sich bei der Messung jeder Wärmekraftmaschine, wenn sie mit

Dampf oder Gas als Kolben- oder Strömungsmaschine betrieben wird:

Nutzarbeit der Maschine < vom Dampf/Gas mitgebrachte Wärmezufuhr

besteht ein grundlegender und bedeutender Unterschied.

2.5.2. Diagramme für Zustandsänderungen idealer Gase

- isotherme Zustandsänderung

Wenn die Temperatur bei Expansion und Kompression eines Gases konstant bleiben

soll, muss Wärme zu- bzw. abgeführt werden.

Im T,s-Diagramm verläuft die ZÄ als horizontale Gerade zwischen zwei Drucklinien.

2

112

p

plnRss ⋅=− ( 2.5-1 )

2

112

v

vlnRss ⋅=− ( 2.5-2 )


04.03.2013 58

Kompression p2 > p1 Expansion p2<p1

Abbildung 2.5-1: Kompression und Expansion im T, s – Diagramm

- polytrope Zustandsänderung

Die Polytrope liegt zwischen der Isotherme und der Isentrope. Während der ZÄ findet

eine Wärmeeinwirkung statt:

Bei einer Kompression wird das Gas gekühlt, aber nur so, dass T=konst. bleibt

Bei einer Expansion wird Wärme zugeführt.

( )12vn TT1

ncq −⋅

−κκ−

⋅= mit T

dQdsdsTdq =⇒⋅= ( 2.5-3 )

Abbildung 2.5-2: isochore und isobare Zustandsänderung im T, s – Diagramm


04.03.2013 59

T

)TT(d

1

ncds 12

v

−−

−κκ−

⋅= ( 2.5-4 )

1

2v21 T

Tln

1

ncss

−κκ−

⋅=−

1

2

1

2v21

v

vlnR

T

Tlncss ⋅+⋅=−

1

2p

1

2v21

v

vlnc

p

plncss ⋅+⋅=−

( 2.5-5 )

1

2

1

2p21

p

plnR

T

Tlncss ⋅+⋅=− ( 2.5-6 )

Abbildung 2.5-3: polytrope Zustandsänderung im T, s – Diagramm

Die Polytrope erscheint im T,s-Diagramm als logarithmische Kurve. Die Fläche unter

der Kurve der Polytrope ist die während der ZÄ zu- oder abgeführte Wärme.

Die Neigung der Polytrope zeigt, ob sie sich mehr der Adiabate oder mehr der

Isotherme nähert.


04.03.2013 60

- Isentrope (reversible adiabate) ZÄ

Diese ZÄ vollzieht sich als Expansion aus der Inneren Energie des Gases oder führt

nach einem Aufwand an mechanischer Energie zur Erhöhung der Inneren Energie

des Gases. Es findet keine Wärmeeinwirkung auf das Gas statt.

Mit q = 0 wird 0sss 12 =∆=− und die ZÄ erscheint im T,s-Diagramm als senkrechte

Gerade. (dq = Tds)

Isentrope: 0ss 12 =− ( 2.5-7 )

Beispiel:

Geg: 1kg Luft von 8bar und 150°C expandiert isentrop auf 1bar

Ges: Endtemperatur, gewonnene Raumänderungsarbeit, Darstellung im T,s-

Diagramm

Endtemperatur:

κ−κ

=

1

1

2

1

2

p

p

T

T

CKbar

barK

p

pTT °−==

⋅=

⋅=

−−

406,2338

115,423

4,1

14,1

1

1

1

212

κκ

Raumänderungsarbeit:

)TT(cl 12v −⋅=

( ) ( )kg

kJKK

Kkg

kJTTcl v 13615,4236,233716,012 =−⋅

⋅=−⋅=

Die Arbeit entsteht vor Beginn der Expansion aus der Inneren Energie des Gases.

( )kg

kJTTcl v 13612 =−⋅=

( )kg

kJlTTcl vpt 19012 =⋅=−⋅= κ


04.03.2013 61

Abbildung 2.5-4: isentrope Zustandsänderung im T, s – Diagramm

2.6. Thermische Kreisprozesse für Gasturbinen

Wir haben bisher Prozesse betrachtet, die die ZÄ eines Stoffes vom Zustand 1 zum

Zustand 2 bewirkten, und damit abgeschlossen waren, z.B.

Abbildung 2.6-1: Zustandsänderung im p, V – Diagramm von 1 nach 2

Ein geschlossenes System kann eine solche ZÄ nur einmal durchlaufen.


04.03.2013 62

Ein offenes System kann eine solche ZÄ nur so lange durchlaufen, wie Stoff vom

Zustand 1 nachgeliefert wird.

Unter einem Maschinenprozess (Kreisprozess) versteht man die Zusammenfassung

verschiedener, hintereinander ablaufender ZÄ, die vom Anfangszustand eines

Gases/Dampfes über Wärmezu- und abfuhr, über Verdichtung und Entspannung, in

den Anfangszustand des Gases zurückführen.

In den Kraftmaschinen wird Wärmeenergie aus Brennstoffen mit den über Kolben-

und Strömungsmaschinen durchgeführten Prozessen in mechanische Energie

umgewandelt.

Beispiel: Otto-Motor, Turbine

In den Arbeitsmaschinen wird aus aufgewendeter mechanischer Arbeit ebenfalls

über Kolben- oder Strömungsmaschinen das Niveau eines Gases vom

Anfangszustand auf einen höheren Endzustand gebraucht.

Beispiel: Verdichter, Pumpe

Abbildung 2.6-2: Beispiel für einen Kreisprozess

2.6.1. Rechtslauf der Kreisprozesse


04.03.2013 63

Abbildung 2.6-3: rechtslaufender Kreisprozess im p,V – Diagramm

Bei diesem Kreisprozess ist die bei Expansion abgeführte Volumenänderungsarbeit

größer als die bei Kompression zuzuführende, so dass bei dem gesamten

Kreisprozess ein Betrag für die Arbeit übrig bleibt, die vom System abgegeben wird.

Arbeitsabgabe durch Wärmezufuhr

Expansion T2<T1 Kompression T2>T1

2112 QQ >

Wärmezufuhr Wärmeabgabe ( 2.6-1 )

Dieser Prozess ist ein rechtslaufender Kreisprozess, weil in der Darstellung des

Diagramms die aufeinander folgenden ZÄ im Uhrzeigersinn verlaufen.

Die Arbeit, die im rechtslaufenden Kreisprozess abgegeben wird, nennt man

Nutzarbeit des Kreisprozesses

Dann muss mehr Wärme zu- als abgeführt, insgesamt also Wärme aufgenommen

werden.

Die Maschine/Anlage in der dieser Kreisprozess abläuft, bei dem Wärme

aufgenommen und Arbeit abgegeben wird, ist eine Wärmekraftmaschine.

Die Umformung von Wärme in Arbeit ist nur möglich, wenn die Wärmezufuhr Q12 bei

höherer Temperatur als die Wärmeabfuhr Q21 vor sich geht.


04.03.2013 64

Abbildung 2.6-4: Umformung der Wärme im p,V – Diagramm

( ) ( )zuKom21vabExp12v ll > ( 2.6-2 )

2.6.2. Linkslauf der Kreisprozesse

Abbildung 2.6-5: linkslaufender Kreisprozess im p,V – Diagramm

Bei diesem Prozess ist die bei Expansion abgeführte Volumenänderungsarbeit

kleiner als die bei der Kompression zuzuführende, so dass bei dem gesamten

Kreisprozess mehr Wärme ab- als zugeführt wird. (Insgesamt wird Wärme

abgegeben).


04.03.2013 65

1221 QQ >

Wärmeabgabe Wärmezufuhr ( 2.6-3 )

Die Arbeit muss zur Nutzung der Wärme investiert werden.

Die Maschine, in der dieser Kreisprozess abläuft, bei dem Wärme abgegeben

und Arbeit aufgenommen wird, heißt Wärmepumpe oder Kältemaschine.

Wärmepumpe:

Die bei dem Prozess abgeführte Wärme dient zur Beheizung eines Gebäudes oder

Stoffes.

Kältemaschine:

Die Arbeit wird einem System zugeführt, im daraus die Wärme zu entziehen, um

somit ein niedrigeres Temperaturniveau zu erreichen bzw. zu stabilisieren. z.B.

Kühlschrank

Kältemaschinen und Wärmepumpen werden in der Praxis überwiegend mit Dämpfen

und weniger mit Gasen betrieben.

Def.: bei Kreisprozessen mit idealen Gasen

Schema der Apparatezeichen

1. Wärmeübertrager

2. Pumpe

3. Verdichter

4. Expansionsmaschine

Abbildung 2.6-6: Schaltbilder der verschiedenen Maschinen


04.03.2013 66

Wärmekraftmaschine:

Wärme (aus Brennstoff-, Nuklear-, Solarenergie, Geothermik; -> Kap.

Heißgasmaschinen) wird in Arbeit umgewandelt. Die Wärmekraftmaschine ist ein

geschlossenes System, in dem das Fluid nach mehreren Einzelvorgängen wieder zu

seinem Ausgangszustand zurückgeführt wird. Die Energie wird bei möglichst hoher

Temperatur dem in der Anlage im Kreisprozess strömenden Fluid zugeführt.

Verbrennungsmaschine:

Chemisch gebundene Brennstoffenergie wird durch Reaktion mit Luftsauerstoff

innerhalb der Maschine freigesetzt. Die Verbrennungsmaschine ist in offenes

System, dem Brennstoff und Luft zugeführt und von dem Abgas abgegeben wird.

2.6.3. Reversibler Vergleichsprozess, Thermischer Wirkungsgrad

Soll in einer Gasturbinenanlage im Kreislauf Arbeit durch Gasentspannung

gewonnen werden, so muss diese Anlage einen Verdichter und eine Turbine

enthalten.

Schaltet man einen Turboverdichter und eine Gasturbine hintereinander, so würde

bei reversiblen Prozessen und adiabatem Abschluss der Anlage die von der

Gasturbine abgegebene Arbeit gerade ausreichen, um den Verdichter anzutreiben.

Da die Anlage aber Arbeit nach außen abgeben soll, muss auf dem Wege vom

Verdichter zur Turbine Wärme zugeführt werden. Dieser Prozess ergibt aber keinen

Kreisprozess, da sich die Entropie und die Temperatur des Arbeitsmittels

fortwährend erhöhen.

Zur Verwirklichung eines Kreisprozesses muss zusätzlich auf dem Wege von der

Turbine zum Verdichter Wärme abgeführt werden, damit vor der Verdichtung der

Ausgangszustand wieder erreicht wird. Die Wärmezu- und –abfuhr zwischen den

Maschinen verlaufen in der Praxis etwa isobar; die Kompression und die Expansion

können sich der Isentropen oder der Isothermen nähern. Statt der Turbomaschinen

sind auch Kolbenmaschinen möglich, jedoch hat diese Ausführungsart kaum

praktische Bedeutung.


04.03.2013 67

Abbildung 2.6-7: Schematische Darstellung der verschiedenen Gasturbinenanlagen

Ein Prozess mit isentroper Kompression und Expansion in adiabaten Maschinen und

isobarer Wärmezu- und –abfuhr zwischen den Maschinen heißt Joule-Prozess.

1 →2 Isentrope Kompression der Luft (oder eines anderen Arbeitsfluids) im

Verdichter (wt12´>0)

2 →3 Isobare Wärmezufuhr, entweder über Heizflächen oder durch Verbrennung,

auch innere Wärmezufuhr genannt. Die Veränderung der chemischen

Zusammensetzung des Arbeitsfluids bei der Verbrennung wird nicht

berücksichtigt (q2´3>0)

3 →4 Isentrope Expansion der Luft in der Turbine; im offenen Kreislauf mit innerer

Wärmezufuhr ersetzt diese Zustandsänderung die isentrope Expansion der

Verbrennungsgase (wt34´<0)

4 →1 Isobare Wärmeabfuhr, die entweder die Wärmeabfuhr über Kühlflächen

darstellt oder das Ausstoßen der heißen Abgase in die Umgebung und das

Ansaugen der Außenluft ersetzt (q4´1>0)


04.03.2013 68

Abbildung 2.6-8: reversibler und irreversibler Prozess

Reversibler Prozess = Vergleichsprozess = Joule-Prozess

Bei dem hier besprochenen Kreisprozess handelt es sich um einen reversiblen

Vergleichsprozess. Dabei sind alle Punkte der Zustandsänderungen als 1’, 2’, 3’, 4’

anzusehen („ ’ “ bedeutet: reversibler idealer Prozess, 1’ =1rev)

Beim rechtslaufenden Kreisprozess wird einer Maschine Wärme zugeführt und durch

sie in Arbeit verwandelt.

Wünschenswert ist ein Kreisprozess, bei dem ein möglichst großer Teil der

zugeführten Wärme von der Maschine in Form von Arbeit abgegeben wird.

Das Verhältnis des Betrages der abgegebenen Nutzarbeit des Kreisprozesses

zur zugeführten Wärme wird als thermischer Wirkungsgrad bezeichnet.

zu

K

zu

thQ

W

Q

L

Aufwand

Nutzen===η *

* In der Literatur werden sowohl L als auch WK zur Beschreibung benutzt.

abzuNutzKK QQQLW +=== ( 2.6-4 )


04.03.2013 69

zu

ab

zu

abzuth

Q

Q1

Q

QQ+=

−=η , abQ ist negativ ( 2.6-5 )

Für den reversiblen Kreisprozess (Vergleichsprozess) gilt:

revzu

revK

revzu

rev

revth

Q

W

Q

L==η * ( 2.6-6 )

Der bestmögliche Wert für rev

thη ergibt sich bei einem Vergleichsprozess mit jeweils

konstanter Temperatur bei der Wärmezu- und Wärmeabfuhr.

2.6.4. Irreversibler Prozess

Die vom Arbeitsfluid bei einem wirklichen, irreversiblen Prozess in den Maschinen

insgesamt verrichtete Arbeit, die Nutzarbeit des Kreisprozesses WK, kann als Summe

aller am Prozess beteiligten irreversiblen Arbeiten ermittelt werden:

∑= tK WW

Ist der wirkliche irreversible Prozess ein Kreisprozess, dann gilt:

)QQ()QQ(WW 4123abzuKK +−=+−=−= ( 2.6-7 )

Läuft der wirkliche Prozess dagegen in einem offenen System ab, dann muss auch

die Enthalpie des ein- und austretenden Arbeitsfluids berücksichtigt werden. Bei

vernachlässigter Änderung der kinetischen und potenziellen Energie gilt dann:

auseinabzuKK HHQQWW −++=−= ( 2.6-8 )

Darin sind:

Qzu und Qab die dem wirklichen (irreversiblen) Prozess zu- bzw. abgeführte Wärme

Hein und Haus die Enthalpien des ein- und austretenden Arbeitsfluids.

Die Arbeit ist als abgegebene Arbeit bei den hier behandelten rechtslaufenden

Kreisprozessen immer negativ. Wir nennen sie Nutzarbeit des Kreisprozesses. Sie

wird auch als innere Arbeit bezeichnet.


04.03.2013 70

Die innere Arbeit (Nutzarbeit) WK ist infolge der inneren Verluste und anderen

Abweichungen des wirklichen irreversiblen Prozesses kleiner als die Arbeit des

idealisierten Vergleichsprozesses rev

KW . Die inneren Verluste sind u.a.

Reibungsarbeiten bei der Kompression oder Expansion und die Strömungsverluste

an den Schaufeln.

revKK WW <

Vereinbarungen:

Für einen direkten Vergleich zwischen dem wirklichen (irreversiblen) Prozess und

dem (reversiblen) Vergleichsprozess verabreden wir, dass beim wirklichen

Kreisprozess und dem zugehörenden Vergleichsprozess neben sinnvoller

Anpassungen der Einzelvorgänge (1=1’ und 3=3’, wird später erläutert) die

zugeführte Wärme gleich sein soll:

revzuzu QQ =

Die Vereinbarung gestattet die Definition des inneren Wirkungsgrades des

irreversiblen Kreisprozesses:

revK

Ki

W

W=η ( 2.6-9 )

Zusammenhang mit dem thermischen Wirkungsgrad

revzu

abrevzu

revzu

abzu

revzu

K

zu

Kth

Q

QQ

Q

QQ

Q

W

Q

W +=

+===η <1

revzu

revab

revzu

revzu

revKrev

thQ

QQ

Q

W +==η

revab

revzu

abrevzu

revab

revzu

abzu

revK

Ki

QQ

QQ

QQ

QQ

W

W

+

+=

+

+==η

revzu

K

revK

K

revzu

revK

irevthth

Q

W

W

W

Q

W=⋅=η⋅η=η

( 2.6-10 )


04.03.2013 71

Nachteile der Vereinbarung:

Durch die irreversible Kompression in adiabaten Systemen beginnt die Wärmezufuhr

in der Brennkammer bei höherer Temperatur T2 als nach der reversiblen

Kompression T2 > T2´. Soll nun die Endtemperatur des reversiblen

Vergleichsprozesses erreicht werden, so muss bei gleichem Betrag der zugeführten

Wärme die Masse des Arbeitsmittels beim wirklichen irreversiblen Prozess m größer

als beim reversiblen Prozess m’ sein m > m’.

Ferner wird die Wärme, außer isothermen ZÄ in den Maschinen, beim reversiblen

Vergleichsprozess bzw. irreversiblen wirklichen Prozess bei unterschiedlichen

Temperaturen zu- und abgeführt. Daher sind die Exergien (Eq) der zu- und auch der

abgeführten Wärme nicht gleich:

revqzuqzu EE >

Bei der getroffenen Vereinbarung muss beim irreversiblen wirklichen Prozess mehr

Wärme als beim reversiblen Vergleichsprozess an das Kühlsystem abgeführt

werden, damit nach einem Arbeitsspiel der Ausgangszustand wieder erreicht wird.

revabab QQ >

rev1´441 QQ && >

2.6.5. Der mechanische Wirkungsgrad , ηηηηm

Die Arbeit, die an der Kupplung der Wärme- oder Verbrennungskraftanlage auf die

angetriebene Maschine, z.B. Generator, Propeller, übertragen wird, nennen wir die

Kupplungsarbeit WeK. Sie ist um die äußeren Reibungsverluste, z.B. Kolben-,

Lagerreibung u.a.m., kleiner als die innere Arbeit (Nutzarbeit) WK des

Kreisprozesses.

WeK < WK

Die äußeren Verluste sind die Reibungsarbeiten, durch die die Temperatur der

äußeren Teile, das sind die Teile, die nicht in Wärmeübertragung mit dem

Arbeitsfluid stehen, erhöht wird.


04.03.2013 72

K

eKm

W

W=η ( 2.6-11 )

Der Nutzwirkungsgrad eη ist das Verhältnis der Kupplungsarbeit zur zugeführten

Wärme; er kann folglich auch als Gesamtwirkungsgrad der Wärme- oder

Verbrennungskraftanlage bezeichnet werden.

mthmirevth

zu

eKe

Q

Wη⋅η=η⋅η⋅η==η ( 2.6-12 )

mT34tT

mV

12tVeK W

WW η⋅+

η= ( 2.6-13 )

mit 34tT12tVeKmTmV WWW1 +=⇒=η=η

Die Nutzarbeit des Joule-Prozesses Wj = rev

KW− kann als Summe der zu- und

abgeführten Wärme berechnet werden:

)QQ()QQ(WW 1´43´2rev41

rev23

revKj +−=+−=−= , sie ist negativ ( 2.6-14 )

0)TT(cmQ ´23

T

Tpj3´2

3

´2

>−⋅⋅= & , die zugeführte Wärme ist positiv ( 2.6-15 )

0)TT(cmQ ´41

T

Tpj1´4

1

´4

<−⋅⋅= & , die abgeführte Wärme ist negativ ( 2.6-16 )

Für die genaue Zahlenrechnung ist bei der Nutzarbeit die die

temperaturveränderliche spezifische Wärmekapazität einzusetzen. Zur Ableitung der

vereinfachten Gesetzmäßigkeiten wird jedoch mit einer während des ganzen

Vergleichsprozess konstanten spezifischen Wärmekapazität gerechnet:

)TTTT(cmWW ´43´21pjrev

kj −+−⋅⋅−=−= & , sie ist negativ ( 2.6-17 )


04.03.2013 73

)TT(cm

)TT(cm1

Q

Q1

Q

QQ

Q

W

´23pj

´41pj

3´2

1´4

3´2

1´43´2rev

3´2

jrevth −⋅⋅

−⋅⋅+=+=

+==η

&

&

( 2.6-18 )

mit cp = konst. folgt:

)TT(

)TT(1

)TT(

)TT()TT(

´23

1´4

´23

1´4´23revth −

−−=

−−−−

=η ( 2.6-19 )

Die Punkte 1 und 2 sowie 3 und 4 sind durch Isentropen zwischen den gleichen

Drücken verbunden:

κ−κ

=

1

´2

1

´2

1

p

p

T

Tund

κ−κ

=

1

3

´4

3

´4

p

p

T

T ( 2.6-20 )

mit p1 = p4’ und p2’ = p3 folgt

´2

13´4

3

´4

´2

1

T

TTT

T

T

T

T⋅=⇒=

´2

1

´23

´23´2

1

´23

´2´2

1

´2

13

revth

T

T1

)TT(

)TT(T

T

1)TT(

TT

T

T

TT

1 −=−

−⋅−=

−

⋅−⋅−=η

( 2.6-21 )

κ−κ

−=−=η

1

2

1

´2

1revth p

p1

T

T1 ( 2.6-22 )

Der thermische Wirkungsgrad des Joule-Prozesses rev

thη hängt für ein bestimmtes

Gas nur vom Temperatur- bzw. Druckverhältnis bei der isentropen Kompression oder

Expansion ab. Die Wärmezufuhr beeinflusst den thermischen Wirkungsgrad nicht.

Zur Steigerung von rev

thη muss also das Druckverhältnis p2 / p1 vergrößert werden.


04.03.2013 74

Abbildung 2.6-9: Verlauf von rev

exη über dem Druckverhältnis bei konstantem κ

Der Einfluss des Druckverhältnisses auf den thermischen Wirkungsgrad ist aus dem

p,V - Diagramm zu erkennen. Da die Isentropen 1-2 und 3-4 zwischen zwei Isobaren

2-3 und 4-1 liegen, ist (bei cp=konst.) das Verhältnis der Strecken 1a:2a immer gleich

dem Verhältnis der Strecken 4b:3b. Der thermische Wirkungsgrad ist also von der

Lage der Isentropen 3-4 und damit vom Betrag der zugeführten Wärme Q23

unabhängig.

2.6.6. Der exergetische Wirkungsgrad

3´2,q

revK

3´2,q

j

revzu,q

jrevex

E

W

E

W

E

W===ϕ ( 2.6-23 )

3'2qE ist die Exergie der isobar zugeführten Wärme bei Wdiss = 0.

)SS(TQE ´23b3´23´2,q −⋅−= ( 2.6-24 )

dabei ist Tb eine Bezugstemperatur


04.03.2013 75

´2

3pjb´23pj3´2,q

T

TlncmT)TT(cmE ⋅⋅⋅−−⋅⋅= && ( 2.6-25 )

⋅−−⋅⋅

−+−⋅⋅=ϕ

´2

3b´23pj

´43´21pjrevex

T

TlnT)TT(cm

)TTTT(cm

&

&

´2

3b´23

1´4´23

´2

3b´23

´43´21revex

T

TlnT)TT(

)TT()TT(

T

TlnT)TT(

)TTTT(

⋅−−

−−−=

⋅−−

−+−=ϕ

−

⋅−⋅−

−−

−⋅−

=ϕ

)TT(

T

TlnT

1)TT(

)TT(

)TT(1)TT(

´23

´2

3b

´23

´23

1´4´23

revex

´2

3

´23

b

´23

1´4

revex

T

Tln

)TT(

T1

)TT(

)TT(1

⋅−

−

−−

−=ϕ

( 2.6-26 )

´2

3

´23

b

revth

´2

3

´23

b

´2

1

revex

T

Tln

)TT(

T1

T

Tln

)TT(

T1

T

T1

⋅−

−

η=

⋅−

−

−=ϕ ( 2.6-27 )

Der exergetische Wirkungsgrad ist also nicht nur, wie der thermische Wirkungsgrad,

von T1/T2 abhängig, sondern neben der nicht beeinflussbaren Umgebungstemperatur

Tb auch von der Temperatursteigerung von T2 nach T3.

2.7. Der wirkliche Prozess in der Gasturbinenanlage

Prozessverlauf und Anlagenarten

Der wirkliche Prozess in der Gasturbinenanlage hat gegenüber dem

Vergleichsprozess folgende Abweichungen:


04.03.2013 76

a.) Wegen der reibungsbehafteten Strömung fällt der Druck in den

Rohrleitungen und Wärmeübertragern.

b.) Beim Joule-Prozess verlaufen auch bei reibungsfreien Vorgängen die

Kompression im ungekühlten Verdichter und die Expansion in der isolierten

Turbine wegen des nicht vollständig adiabaten Abschlusses nicht isentrop,

sondern auf etwas davon abweichenden Polytropen, wobei sich – streng

genommen – der Polytropenexponent während des Vorganges ändert.

c.) Durch Dissipation in den Maschinen treten beim Joule-Prozess größere

Abweichungen von den Isentropen auf: Die Entropie steigt bei der

Kompression und Expansion.

d.) Beim Ericsson-Prozess nähern sich Kompression und Expansion wegen

der stufenweisen Zwischenkühlung bzw. Zwischenerwärmung (Isex-

Prozess) nur stufenweise der Isothermen.

e.) Bei der Gasturbinenanlage mit offenem Kreislauf sind die Zu- und

Abströmgeschwindigkeit ungleich; damit ändert sich die kinetische Energie.

Prinzipiell lässt sich eine Gasturbinenanlage in zwei Anlagearten ausführen:

Als Verbrennungskraftanlage mit offenem Kreislauf und innerer Wärmezufuhr und als

Wärmekraftanlage mit geschlossenem Kreislauf und äußerer Wärmezufuhr. Bei der

inneren Wärmezufuhr erfolgt die Erwärmung des Arbeitsfluids durch Verbrennen von

Brennstoffen in dem offenen Kreislauf, wodurch sich die chemische

Zusammensetzung des Arbeitsfluids ändert. Bei der äußeren Wärmezufuhr wird die

Wärme über Heizflächen dem Arbeitsfluid zugeführt. Bei dem offenen Kreislauf saugt

der Verdichter Luft aus dem Freien an, die Turbine lässt die Abgase nach der

Arbeitsabgabe mit höherer Temperatur wieder ins Freie treten. Bei dem

geschlossenen Kreislauf läuft immer dasselbe Arbeitsfluid um.

Die neben der Brennkammer und dem Kühler angeordneten Wärmeübertrager

haben die Aufgabe, den Wirkungsgrad der Anlagen zu verbessern.


04.03.2013 77

Abbildung 2.7-1: Gasturbinenanlage mit offenem Kreislauf und innerer Wärmezufuhr

Die offene Anlage ist die einzige Möglichkeit für mobile Gasturbinen; sie hat sich

auch für stationäre Anlagen durchgesetzt. Gegenüber der geschlossenen Anlage hat

sie folgende Vorteile: kleinere Heizflächen, geringeres Gewicht, schnelleres

Anfahren, geringere Investitionskosten.

Abbildung 2.7-2: Gasturbinenanlage mit geschlossenen Kreislauf und äußerer Wärmezufuhr

Die Vorteile der geschlossenen Anlage, wie die Verwendbarkeit billigerer

Brennstoffe, besserer Teillastwirkungsgrad durch Veränderung des Druckniveaus,

Betrieb mit beliebigen Gasen (z.B. Helium oder in ORC-Anlagen organische

Arbeitsmittel) gleichen die wirtschaftliche Überlegenheit der offenen Anlage nicht

aus. Geschlossene Gasturbinenanlagen werden daher zurzeit nicht gebaut.


04.03.2013 78

.

Abbildung 2.7-3: Schnittbild einer offenen Gasturbinenanlage ohne Abwärmenutzung

Berechnung des wirklichen irreversiblen (realen) Prozesses

1 →2 polytrope adiabate Verdichtung im Verdichter (wt12 > 0)

2 →3 fast isobare Wärmezufuhr, wg. Druckverlusten, nur Annahme p2=p3 (qt23 > 0)

3 →4 polytrope adiabate Entspannung in der Turbine (wt34 < 0)

4 →1 fast isobare Wärmeabfuhr (p4 annähernd gleich p1) (qt23 < 0)

Abbildung 2.7-4: T-s Diagramm des wirklichen Prozesses

Für jeden wirklichen Prozess ist der Verlauf des Vergleichsprozesses festzulegen. Es

ist sinnvoll, für den wirklichen Prozess und den Vergleichsprozess als gemeinsame

Eckwerte die Zustandspunkte 1 und 3 zu wählen, denn in der Praxis sind der

Zustandspunkt 1 durch die Umgebung, der Zustandspunkt 3 mit höchster

Temperatur und höchstem Druck durch die Materialbelastung bestimmt.


04.03.2013 79

Die Nutzarbeit des wirklichen irreversiblen Gesamtturbinenprozesses WK kann nach

dem beschriebenen Verfahren aus den technischen Arbeiten des Verdichters WtV

und der Turbine WtT ermittelt werden:

tTtVK WWW += ( 2.7-1 )

Die technische Arbeit des Verdichters WtV und der Turbine WtT sind über die

isentropen Maschinenwirkungsgrade ( isenVη und isenTη ) mit der technischen Arbeit des

Verdichters rev

tVW und der Turbine rev

tTW verknüpft. Bei isentropen

Maschinenwirkungsraden werden Änderungen der kinetischen und potentiellen

Energie beim Zu- und Abströmen vernachlässigt. Technische Arbeit und reversible

technische Arbeit sind mit den gleichen Massen (Massenströmen) zu berechnen.

Der Vergleichsprozess liegt mit den Zustandspunkten 12’34’ und den

Zustandsänderungen (2 Isentropen und 2 Isobaren) mit der Masse mj’ fest.

Isentroper Verdichterwirkungsgrad ηisenV

isenV

rev´12tV

12tV

12tV

rev´12tV

isenV

WW

W

W

η=⇒=η ( 2.7-2 )

Isentroper Turbinenwirkungsgrad ηisenT

isenTrev

´34tT34tTrev´34tT

34tTisenT WW

W

Wη⋅=⇒=η ( 2.7-3 )

Damit gilt für WK:

rev´34tTisenT

isenV

rev´12tV

K WW

W ⋅η+η

= ( 2.7-4 )

Für den Joule-Prozess können bei vernachlässigter Änderung der kinetischen und

potentiellen Energie und der Annahme adiabater Maschinen die technischen

Arbeiten aus der Enthalpie- oder Temperaturdifferenz des Fluids ermittelt werden:


04.03.2013 80

)TT(cmHHW 12

T

Tp1212tV

2

1

−⋅⋅=−= & ist positiv ( 2.7-5 )

technische Verdichterarbeit

)TT(cmHHW 1´2

T

Tp1´2rev

12tV

´2

1

−⋅⋅=−= & ist positiv ( 2.7-6 )

isentrope reversible technische Vergleichsarbeit des Verdichters

)TT(cmHHW 34

T

Tp3434tT

4

3

−⋅⋅=−= & ist negativ ( 2.7-7 )

technische Turbinenarbeit

)TT(cmHHW 3´4

T

Tp3´4rev

34tT

´4

3

−⋅⋅=−= & ist negativ ( 2.7-8 )

isentrope reversible technische Vergleichsarbeit der Turbine

Massenströme m& bei irreversiblem wirklichem Kreisprozess und jm& bei reversiblem

Vergleichsprozess.

Die Bedingung, durch die der irreversible Prozess mit dem Vergleichsprozess (Joule-

Prozess) vergleichbar wird, lautet (Vereinbarung):

revzuzu QQ && = ( 2.7-9 )

3´223 QQ && =

)TT(cmQ 23

T

Tp23

3

2

−⋅⋅= &&

)TT(cmQ ´23

T

Tpj3´2

3

´2

−⋅⋅= &

( 2.7-10 )

Da T2’ kleiner als T2 ist und damit ( ) ( )23´23 TTTT −>− , ist mm j&& <

Die isentropen Wirkungsgrade ηisenV und ηisenT berücksichtigen sämtliche „inneren“

Verluste, wie z.B. Radreibungsverluste zwischen Laufrad und Fluid, Spaltverluste


04.03.2013 81

infolge Rückströmung eines Teilstromes des geförderten Fluids, hydraulische

Verluste außerhalb der Laufschaufeln durch Reibung, Strömungsablösung, Stoß.

Bei der Definition der isentropen Wirkungsgrade weichen demnach die

Zustandsänderungen für die wirkliche technische Arbeit und die Vergleichsarbeit

voneinander ab:

Für die Vergleichsarbeiten verlaufen sie isentrop, für die wirklichen technischen

Arbeite infolge der Dissipationsverluste polytrop.

Es werden aber – neben den hier definierten isentropen Wirkungsgraden – auch

Wirkungsgrade definiert, die für die reversible technische Arbeit den gleichen

Zustandsverlauf wie für die wirkliche technische Arbeit voraussetzen. Diese

Wirkungsgrade werden polytrope oder hydraulische Wirkungsgrade genannt. Wir

verwenden sie hier nicht.

Die Nutzarbeit des wirklichen irreversiblen Gesamtturbinenprozesses WK kann – statt

aus den Einzelarbeiten – auch aus der zu- und abgeführten Wärme ermittelt werden.

Dann ist die dem wirklichen Prozess zugeführte Wärme gleich der dem

Vergleichsprozess zugeführten Wärme )( rev

zuzu QQ && = zu setzen, dagegen wird die

abgeführte Wärme des wirklichen Prozesses größer als die des Vergleichsprozesses

)QQ( revabab

&& = . Wirklicher Prozess und Vergleichsprozess sind dann mit

unterschiedlichen Massen zu berechnen.

Die Kupplungsarbeit der Gasturbinenanlage WeK wird aus der Kupplungsarbeit der

Turbine WeT und des Verdichters WeV ermittelt:

eVeTeK WWW += ( 2.7-11 )

mV

tVtTmTeK

WWW

η+⋅η= ( 2.7-12 )

Darin sind

eV

tVmV

W

W=η

mechanischer Verdichterwirkungsgrad


04.03.2013 82

tT

eTmT W

W=η

mechanischer Turbinenwirkungsgrad

K

eKm

W

W=η mechanischer Gasturbinenanlagenwirkungsgrad

Der Nutzwirkungsgrad eη ist das Verhältnis der Kupplungsarbeit zur zugeführten

Wärme; er kann folglich auch als Gesamtwirkungsgrad der Wärme- oder

Verbrennungskraftanlage bezeichnet werden.

mthmirevth

zu

eKe

Q

Wη⋅η=η⋅η⋅η==η ( 2.7-13 )

mT34tT

mV

12tVeK W

WW η⋅+

η= ( 2.7-14 )


04.03.2013 83

3. Hydraulische Strömungsmaschinen

3.1. Einführung

In Wasserkraftwerken wird die potentielle Energie von in Stauseen und Flussläufen

gestautem Wasser in Turbinen in Strömungsenergie umgesetzt und in mechanische

Antriebsenergie, meist zum Antrieb elektrischer Generatoren, umgewandelt.

Asien Afrika Südamerika Nord- und

Mittelamerka

Europa

1350

4,5

1100

1,3

690

1,5

375

105

290

190

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

Asien Afrika Südamerika Nord- und

Mittelamerka

Europa

Leistung in MW x 1000

= vorhanden

= ausgebaut

Abbildung 3.1-1: Wasserkräfte der Welt (Fa. Voith)

Von den geschätzten 3,8 Millionen MW wirtschaftlich ausbauwürdigen Wasserkräften

der Erde sind z.Zt. nur etwa 0,37 Millionen MW, d.h. nicht einmal 10 % ausgebaut.

Die meisten noch ungenutzten Wasserkraftreserven liegen allerdings in Asien, Afrika

und im Süden und Norden Amerikas. In Europa ist schon ein hoher Anteil der

vorhandenen Wasserkräfte ausgebaut, allerdings besteht noch ein relativ großer

Bedarf an Pumpspeicherwerken, die zur Deckung von Energieverbrauchsspitzen

eingesetzt werden.

Ein großer Nachteil ist die hohe Investitionssumme, die zum Bau eines

Wasserkraftwerkes benötigt wird. Deshalb sind solche Anlagen, trotz Verteuerung

von Mineralöl und Kohle, meist nur in Verbindung mit Flusssanierungen und

Bewässerungsprojekten wirtschaftlich sinnvoll. Allerdings sollten angesichts der

fortschreitenden Zerstörung der Ozonschicht und der Wälder der Erde, den


04.03.2013 84

alternativen und erneuerbaren Energiequellen doch mehr Beachtung geschenkt

werden. Dieser ökologisch unbestreitbar große Vorteil muss natürlich mit

energiewirtschaftlichen Betrachtungen im Zusammenhang gesehen werden.

Die Wasserturbinen ordnen sich dem großen Bereich der dynamischen

Fluidenergiemaschinen ein. In diesen Strömungsmaschinen erfolgt die

Energieumsetzung zwischen einem mehr oder weniger kontinuierlich strömenden

Fluid (Flüssigkeit, Dampf, Gas) und einem mit Schaufeln besetzten, gleichförmig

umlaufendem Motor. Bei Strömungskraftmaschinen (Turbinen) entsteht durch die

Wirkung von Druck und Geschwindigkeit des Arbeitsmediums auf die Schaufeln des

Rotors oder Laufrades ein Drehmoment an der Welle, das beispielsweise zum

Antrieb eines Generators genutzt werden kann.

Die Wasserturbine ist eine Strömungsmaschine mit flüssigem Arbeitsmedium, mit

nahezu unveränderlicher Dichte (inkompressibel � ∆p = 0). Die für die Umwandlung

in Arbeit notwendige Exergie ist die potentielle Energie oder die kinetische Energie

der Flüssigkeit. Der historische Vorgänger der heutigen Wasserturbinen ist das

Wasserrad, bei dem die Arbeit hauptsächlich durch die Lageenergie, d.h. das

Wassergewicht geleistet wurde.

Die Auswahl der Turbinen eines Wasserkraftwerkes ist vorrangig von der Fallhöhe H

und dem vorhandenem Volumenstrom abhängig. Durch die Fallhöhe werden

folgende Typen von Kraftwerken unterschieden:

- Hochdruckkraftwerke mit H > 300 m

- Mitteldruckkraftwerke mit 400 m > H > 20 m und

- Niederdruckkraftwerke mit H < 50 m

Für jede Kombination von Fallhöhe und Volumenstrom ist eine der Turbinenarten

optimal geeignet, d.h. sie setzt die Energie bei höchstmöglichen Wirkungsgraden um.

Weitere Gesichtspunkte zur Unterteilung der Wasserturbinen:

- Wirkungsweise

- Äußere Bauweise

- Betriebsart

- Regelung


04.03.2013 85

Abbildung 3.1-2: Einsatzbereiche von Wasserturbinen

3.2. PELTON-Turbine

Aufbau und Wirkungsweise einer PELTON-Turbine

Die PELTON-Turbine oder Freistrahlturbine eignet sich für den Einsatz bei Fallhöhen

von 50 m - 2000 m und bis zu einem Volumenstrom von 50 m³/s. Sie ordnet sich

dabei in die Kategorie der Hochdruckturbinen ein. Die Einsatzgebiete liegen im

Gebirge. Die maximalen Leistungen liegen heute etwa bei 200 MW.

Sie wurde 1884 vom amerikanischen Ingenieur LESTER ALLEN PELTON (1829-

1908) erfunden, seitdem mehrfach verbessert und die Leistung gesteigert.

Abbildung 3.2-1: Ansicht einer PELTON-Turbine (Voith)


04.03.2013 86

Abbildung 3.2-2: PELTON-Turbine mit mehreren Düsen (Voith)

Je nach Größe des Wasserstromes, des Gefälles und der Wasserqualität wird die

Turbine mit horizontaler Wellenlage mit 1 bis 2 Düsen je Rad oder mit vertikaler

Wellenlage mit bis zu 6 Düsen ausgeführt. Die Welle ist normalerweise direkt mit

dem elektrischen Generator gekoppelt. Größere Laufräder besitzen einen

Durchmesser von mehr als 5 m und haben eine Masse von ca. 40 t.

Der wesentliche Aufbau der Freistrahlturbine besteht aus den Bauteilsystemen

Laufrad, Düsen und dem Gehäuse. Das Laufrad wird heute mit den Becherschaufeln

in einem Stück gegossen.

Abbildung 3.2-3: PELTON-Turbinen Schaufel

Die Düse, deren geometrische Form in Versuchen ermittelt wird, besteht aus einem

Rohrstück mit angeflanschtem Mundstück und einer im Rohr verschiebbaren Nadel.

Die der Abnutzung besonders unterworfenen Teile - Nadelspitze und Mundstück -

sind aus hochfestem Werkstoff und lassen sich leicht auswechseln.


04.03.2013 87

Abbildung 3.2-4: Düse einer PELTON-Turbine

Die Nadel wird bei kleineren Turbinen durch einen außerhalb des Düsenrohres

sitzenden Servomotor, bei größeren durch einen innen liegenden Servomotor

verschoben. Zur Vermeidung von Druckstößen in der Druckleitung und zum

Verhindern des Durchgehens der Turbine wird bei größeren Regeleingriffen nicht nur

die Nadeldüse verschoben, sondern auch zusätzlich ein Strahlabschneider in den

Freistrahl eingeschwenkt, der dadurch während der Dauer der Regelung ganz oder

teilweise vom Laufrad abgelenkt wird.

Abbildung 3.2-5: Arbeitsweise des Strahlablenkers

Zum Abbremsen des Rotors dient eine kleinere Bremsdüse, deren Strahl auf die

Rückseite der Laufschaufeln trifft und dadurch das Laufrad abbremst.

Das Gehäuse verhindert das Austreten von Spritzwasser in die Kraftwerkshalle. Der

untere Teil des Gehäusekastens wird mit dem Krafthaus fest verbunden. Die

Gehäuse moderner Freistrahlturbinen werden als Schweißkonstruktionen ausgeführt.

Die Freistrahlturbine ist eine teilbeaufschlagte Gleichdruckturbine, bei der das

Drehmoment durch die Umlenkung des aus der Düse kommenden Freistrahls in den


04.03.2013 88

Doppelbechern des Laufrades entsteht. Das gesamte Nutzgefälle wird in der Düse in

Nutzenergie umgesetzt. Die Schaufeln sind so geformt, dass der Freistrahl von der

Mittelschneide in gleiche Teile geschnitten wird und in den Becherschalen um

nahezu 180° abgelenkt wird. Durch diese Umlenkung wird fast die gesamte

kinetische Energie des Wasserstrahls in Impulskraft am Radumfang umgesetzt.

Wegen der Strömungssymmetrie tritt praktisch keine Strömungs-Axialkraft am Rotor

auf.

Abbildung 3.2-6: Aufteilung des Strahls aufeinander folgende Schaufeln


04.03.2013 89

Abbildung 3.2-7: PELTON-Turbine, horizontale Wellenlage mit zwei Düsen


04.03.2013 90

3.3. Strömungstechnische Auslegung der PELTON-Turbine

3.3.1. Geschwindigkeitsplan

βU

β2

0 1

2a

u

cu2

ca2

Legende: a - Axialrichtung u . Umfangsrichtung c - Absolutgeschwindigkeit des Strahls

u - Umfangsgeschwindigkeit des Laufrades uuu 21 ==

w - Relativgeschwindigkeit des Strahls β2 – Abströmwinkel βU – Umlenkwinkel Indizes: 0 – im Rohr vor der Düse 1 - nach der Düse bzw. vor dem Laufrad 2 - nach dem Laufrad

Abbildung 3.3-1:Geschwindigkeitsplan am Schaufel einer PELTON-Turbine


04.03.2013 91

3.3.2. Ideale Düsenaustrittsgeschwindigkeit, c1ideal

In einem Leitapparat, der aus mehreren Düsen besteht, wird ein Wasserstrahl mit

hoher Geschwindigkeit erzeugt, der durch seine Impulsänderung beim Auftreten auf

die Schaufeln eine Kraft ausübt und das Laufrad in Bewegung versetzt.

Nach dem Energiesatz für offene Systeme bei Vernachlässigung von Verlusten (und

Höhenunterschieden) in der Düse bei einem Düsenaustrittsdruck p1, der gleich dem

Umgebungsdruck ist, folgt:

11

2

max10

0

2

0 zgp

2

czg

p

2

c⋅+

ρ+=⋅+

ρ+ (3.3-1)

c0 Düseneintrittsgeschwindigkeit p0 - Druck am Düseneintritt z0 - geodätische Höhe des Düseneintritts c1max – Düsenaustrittsgeschwindigkeit (ideal) p1 - Druck am Düsenaustritt (Umgebungsdruck) z1 - geodätische Höhe des Düsenaustritts ρ - Dichte des Mediums (Wasser) g - Erdbeschleunigung

Damit ergibt sich für eine ideale Düsenaustrittsgeschwindigkeit unter den

Voraussetzungen eines adiabaten offenen Systems (q01=0; Temperatur = konst) und

eines inkompressiblen Mediums (∆ρ=0) folgende Gleichung:

max10102

0ideal1 c)zz(gpp

2cc =

−+

ρ−

+= (3.3-2)

3.3.3. Reale Düsenaustrittsgeschwindigkeit, c1real

In Wirklichkeit treten beim Durchströmen der Düse Reibungsverluste auf

(ϕ01 - Spezifische Dissipationsarbeit in der Düse), die zu einer

Strahlaustrittsgeschwindigkeit c1real

c1real < c1ideal

führen und die am einfachsten durch den Düsenwirkungsgrad ηD oder die spezifische

Dissipation ϕ01 erfasst werden. Die spezifischen Dissipationen sind immer als positiv

zu betrachten.


04.03.2013 92

Die spezifischen Verluste in der Düse lassen sich in die Bernoulligleichung zwischen

Düsenein- und -austritt (0) → (1) einbeziehen:

0111

2

10

0

2

0 zgp

2

czg

p

2

cϕ+⋅+

ρ+=⋅+

ρ+ (3.3-3)

Daraus folgt:

ϕ−−+

ρ−

+= 0110102

0real1 )zz(gpp

2cc (3.3-4)

3.3.4. Spezifische Dissipationsarbeit ϕϕϕϕ01 in der Düse

Dissipation ist die Umwandlung einer Energieform in Wärmeenergie, d.h. in diesem

Fall die Umwandlung der kinetischen Energie in Reibungswärme an der Wandung

der Düse. Für den Wirkungsgrad der Düse ηD ergibt sich nach der allgemeinen

Wirkungsgradgleichung:

Aufwand

NutzenD =η

Die Aufgabe der Düse bei der Peltonturbine besteht darin das vorhandene Gefälle

möglichst vollständig in Geschwindigkeit umzusetzen. Das heißt die

Geschwindigkeitsdifferenz entspricht dem Nutzen.

Dazu noch einmal die Bernoulligleichung zwischen Düsenein- und -austritt ohne

Verlustbetrachtung mit c1ideal:

11

2

ideal10

0

2

0 zgp

2

czg

p

2

c⋅+

ρ+=⋅+

ρ+

Beim Wirkungsgrad ηD = 1 würde folgende Beziehung entstehen:

2

cc)zz(g

pp2

0

2

ideal110

10 −=−⋅+

ρ

−


04.03.2013 93

Für einen realen Wirkungsgrad ηD ergibt sich der Quotient:

−⋅+ρ−

−

=ηAufwand

Nutzen.......

)zz(gpp

2

cc

1010

2

0

2

real1

D (3.3-5)

Allgemein sind die Düsenverluste sehr gering, so dass c1real annährend so groß wie

c1ideal wird. Bei bekanntem Düsenwirkungsgrad ηD der Peltonturbine ηD = 0,95

(Erfahrungswert) lässt sich bei bekannter Düseneintrittsgeschwindigkeit c0 die

Düsenaustrittsgeschwindigkeit c1real in Abhängigkeit vom Düsenwirkungsgrad ηD

berechnen:

D10102

0real1 )zz(gpp

2cc η

−+

ρ−

+= (3.3-6)

Bei üblichen relevanten Werten für Drücke p0 (p0 = 60 bis 100 bar) und p1 (1 bar) und

Eintrittsgeschwindigkeit c0 (um 6 m/s) sieht man sofort, dass der Druck p0 wesentlich

wichtiger für c1real ist.

Gl. (3.3-4) mit Gl. (3.3-6) verglichen, ergibt für die spezifische Dissipation in der Düse

ϕ01:

( ) ( )

−+

ρ

−η−=ϕ 10

10D01 zzg

pp1 (3.3-7)


04.03.2013 94

3.3.5. Umfangsgeschwindigkeit, u

Unter der Umfangsgeschwindigkeit versteht man die Punktgeschwindigkeit auf dem

Strahlkreisdurchmesser am Laufrad.

nr2ru ⋅⋅π⋅=ω⋅= (3.3-5)

ω - Winkelgeschwindigkeit r - Strahlkreisradius n – Drehzahl

3.3.6. Relativgeschwindigkeit am Laufradeintritt, w1

Für einen Beobachter, der sich auf dem Laufrad befindet, hat der Wasserstrahl eine

Relativgeschwindigkeit w1. Weil sich das Laufrad mit der Umfangsgeschwindigkeit u

in die gleiche Richtung wie der Wasserstrahl bewegt, trifft der Wasserstrahl auf die

Laufschaufeln nur mit der Relativgeschwindigkeit w1. Die relative Laufradeintrittsge-

schwindigkeit ist die Differenz der Absolutgeschwindigkeit des Strahls und der Um-

fangsgeschwindigkeit, d.h. sie ist der Teil der Absolutgeschwindigkeit der "schneller"

ist als das Laufrad und den eigentlichen Impuls (die Umfangskomponente) erzeugt.

ucw 11 −= (3.3-6)

ca1 = 0 wa1 = 0

3.3.7. Relativgeschwindigkeit am Laufradaustritt, w2

Die Schaufeln sind auf der Frontseite so geformt, dass der Wasserstrahl nach beiden

Seiten umgelenkt wird und das Laufrad mit der Geschwindigkeit w2 verlässt.

Verständlicherweise treten bei dieser Umlenkung Verluste auf, so dass wegen des

gleichen Druckes p2 = p1 die Geschwindigkeit w2 etwas kleiner als w1 ist (Bernoulli

mit Verlusten). Dieses Geschwindigkeitsverhältnis wird mit dem Beiwert ξ erfasst.

Der Druck ist im Laufradeintritt gleich dem Druck im Laufradaustritt.

Die relative Geschwindigkeit nach dem Laufrad w2 ist gleich:

12 ww ⋅ξ= (3.3-7)


04.03.2013 95

3.3.8. Umfangskomponente der Relativgeschwindigkeit am Austritt, wu2

Mit dieser Geschwindigkeitskomponente wird der Teil der relativen Laufradgeschwin-

digkeit erfasst, der auf dem Umfang entgegen der Laufradbewegungsrichtung wirkt.

Die trigonometrische Beziehung wird aus dem Geschwindigkeitsplan (Abb. 3.3-1)

ersichtlich.

222u

2

2u2 wcosw

w

wcos ⋅β−=⇒

−=β (3.3-8)

wu2 - Umfangskomponente der relativen Laufradaustrittsgeschwindigkeit des Strahles. Minus bedeutet eine Gegenrichtung zu u β2 - Laufradabströmwinkel, Strömungswinkel der Relativgeschwindigkeit w2. Er wird nach CORDES als "innerer" Winkel des Geschwindigkeitsdreiecks definiert.

3.3.9. Axialkomponente der Absolutgeschwindigkeit am Austritt, ca2

Geschwindigkeitskomponente die sich durch Symmetrie des Laufradbechers

gegeneinander aufheben und somit auch keine Axialkraft erzeugen. Durch die

Geschwindigkeit ca2 wird das Wasser von der Schaufel abgeführt.

222a

2

2a2

222a

2

2a2

wsincw

csin

wsinww

wsin

⋅β=⇒=β

⋅β=⇒=β

(3.3-9)

3.3.10. Umfangskomponente der Absolutgeschwindigkeit am

Laufradaustritt, cu2

Es gilt allgemein aus dem Geschwindigkeitsdreieck:

2u2u cwu =+ (3.3-10)

3.3.11. Absolutgeschwindigkeit am Laufradaustritt, c2

Die absolute Laufradaustrittsgeschwindigkeit des Strahls errechnet sich mit dem Satz

des PYTHAGORAS aus dem Geschwindigkeitsplan:


04.03.2013 96

2

2u

2

2a2 ccc += (3.3-11)

3.3.12. Spezifische Dissipationsarbeit im Laufrad ϕϕϕϕ12 und Laufrad-

Verlustbeiwert ζζζζ

Die spezifische Dissipationsarbeit im Laufrad kann entweder mittels eines

Verlustfaktors oder als Differenz der kinetischen Energie der Relativgeschwindig-

keiten beschrieben werden. Dazu lautet die Bernoulli-Gleichung zwischen

Laufradein- und -austritt unter Beachtung der Verluste:

1222

2

21

1

2

1 zgp

2

wzg

p

2

wϕ+⋅+

ρ+=⋅+

ρ+ (3.3-12)

mit p1=p2 und z1=z2 folgt daraus:

2

w

2

w 2

2

2

112 −=ϕ (3.3-13)

Als Anteil an der kinetischen Energie ergibt sich wiederum für die spezifische

Dissipationsarbeit im Laufrad mit dem Laufrad-Verlustbeiwert ζ (z. B. ζ = 0,2):

2

w2

112 ⋅ζ=ϕ (3.3-14)

ζ- Laufrad-Verlustbeiwert

Mit den Gleichungen (3.3-7), (3.3-13) und (3.3-14) erhält man ein Gleichungssystem:

12 ww ⋅ξ= (3.3-7)

2

w

2

w 2

2

2

112 −=ϕ (3.3-13)

2

w2

112 ⋅ζ=ϕ (3.3-14)

und nach dem Einsetzen von (3.3-7) und (3.3-14) in (3.1-13), erhält man:


04.03.2013 97

21

22

1

2

1 w22

w

2

w⋅

ζ−=⋅ζ (3.3-15)

und Division durch w12

lautet die Beziehung zwischen ζ und ξ:

21 ξ−=ζ (3.3-16)

3.3.13. Spezifische Dissipationsarbeit nach dem Laufrad, ϕϕϕϕ2

Die Differenz (z2 – zUWS) entspricht dem Abstand zwischen dem Austritt des Wassers

aus dem Laufrad und dem Unterwasserspiegel (UWS). Sie stellt ein ausgefallenes

Nutzgefälle dar und muss deshalb so klein wie möglich gehalten werden.

Die Herleitung der spezifischen Dissipationsarbeit nach dem Laufrad aus der

Bernoulli-Gleichung:

2UWSUWS

2

UWS2

2

2

2 zgp

2

czg

p

2

cϕ+⋅+

ρ+=⋅+

ρ+ (3.3-17)

c2 - Absolute Laufradaustrittsgeschwindigkeit p2 - Druck am Laufradaustritt z2 - geodätische Höhe des Laufradaustritts cUWS - Geschwindigkeit des Unterwasserspiegels pUWS - Druck am Unterwasserspiegel zUWS - geodätische Höhe des Unterwasserspiegels ϕ2 - Spezifische Dissipationsarbeit nach dem Laufrad

mit UWS2 pp = und 0cUWS = folgt daraus:

)zz(g2

cUWS2

2

22 −⋅+=ϕ (3.3-18)

3.3.14. Umfangskraft am Laufrad, FU

Der Freistrahl aus der Düse trifft mit der Relativgeschwindigkeit w1 auf das Laufrad

und wird entlang der Schaufelkontur abgelenkt. Die Richtungsänderung der


04.03.2013 98

Geschwindigkeit im Laufrad von w1 auf w2 bewirkt eine Änderung des Impulses und

erzeugt eine Kraft in Umfangsrichtung.

Die Anwendung des Impulssatzes in Axialrichtung a:

0F2

wm

2

wmFI a

2a2aaa =⇒⋅−⋅== &&&

(3.3-19)

aI&

- Impulsstrom in axialer Richtung Fa - Axialkraft, hervorgerufen durch Impuls wa1- Axialkomponente der relativen Laufradeintrittsgeschwindigkeit des Strahles wa2- Axialkomponente der relative Laufradaustrittsgeschwindigkeit des Strahles m& - Massenstrom

Hier gilt c1 = c1u.

Desgleichen für die Umfangsrichtung u:

2u1uuu wmwmFI ⋅−⋅== &&& (3.3-20)

uI&

- Impulsstrom in Umfangsrichtung Fu - Umfangskraft, hervorgerufen durch Impuls wu- Umfangskomponenten der relativen Laufradeintrittsgeschwindigkeit des Strahles (Wichtig: Richtung von wu2 berücksichtigt)

Es folgt für Fu:

21 uuu wmwmF ⋅−⋅= && (3.3-21)

Aus

ucww 111u −== (3.3-6)

Aus

ucw 2u2u −= (3.3-10)

und damit in

)ucuc(mF u21u +−+⋅= & (3.3-22)


04.03.2013 99

)cc(mF u21u −⋅= &

3.3.15. Spezifische Schaufelarbeit, wt

Allgemein lautet die Gleichung zur Bestimmung der spezifischen Schaufelarbeit:

m

Pw t &

−= (3.3-23)

Für die Leistung folgt nach den Grundgesetzen der Mechanik:

ω⋅= MP (3.3-24)

M [Nm] – Drehmoment ω [1/s] - Winkelgeschwindigkeit

mit

r

unr2 =⋅⋅π⋅=ω (3.3-25)

und

rFM u ⋅= (3.3-26)

)cc(mF u21u −⋅= & (3.3-22)

wird

uFr

urFrFMP uuu ⋅=⋅⋅=ω⋅⋅=ω⋅=

)cc(umP u21 −⋅⋅= & (3.3-27)

Nach dem Einsetzen in die Gleichung der spezifischen Schaufelarbeit:


04.03.2013 100

0)cc(uw 12ut <−⋅= (3.3-28)

3.3.16. Totale Druckänderungsarbeit, Yt

Die totale Druckänderungsarbeit Yt ist die einer Turbine zwischen Eingangs- und

Ausgangsstutzen entzogene spezifische technische Arbeit.

Der "Eingangsstutzen" der PELTON-Turbine ist der Düseneintritt, als

"Ausgangsstutzen" ist der Unterwasserspiegel im Kraftwerkshaus zu sehen.

Bernoulli-Gleichung (0) ⇒ UWS mit Verlusten:

WsUWS

2

Wst0

0

2

0 zgp

2

cYzg

p

2

c⋅+

ρ+=−⋅+

ρ+ (3.3-29)

Yt - Totale Druckänderungsarbeit muss als negativ "gesetzt" werden:

)zz(gpp

2

cY UWS0

UWS0

2

0t −⋅−

ρ

−−−= mit ( ) 0wY 21201tt <ϕ+ϕ+ϕ−= (3.3-30)

Aus der Definition von Yt gilt auch: Ht = Yt / g (Fallhöhe der Turbine Ht = zOWS - zUWS).

3.3.17. Massenstrom, m&

V

m=ρ (3.3-31)

Auf die Zeit bezogener Massenstrom:

tVm ÷ρ⋅= (3.3-32)

m - Masse V - Volumen t - Zeit

ρ⋅= Vm && (3.3-33)


04.03.2013 101

3.3.18. Turbinenleistung, Pm

tm wmP ⋅= & (3.3-34)

3.3.19. Kupplungsleistung, PK

mwP tmK&⋅⋅η= (3.3-35)

KP - Kupplungsleistung mη - Mechanischer Wirkungsgrad

3.3.20. Exergetischer Wirkungsgrad, ηηηηxt

Der exergetische Wirkungsgrad drückt aus, welcher Anteil der zur Verfügung

stehenden Exergie tatsächlich in nutzbare Arbeit umgewandelt worden ist.

( )Exergie

w txT =η (3.3-36)

Sowohl wt als auch Exergie haben negatives Vorzeichen. Hier noch:

Mit

tUWS2 Hgzgc

2

1Exergie

ideal1⋅=⋅+⋅= (3.3-37)

)cc(uw 1u2t −⋅= (3.3-38)

Für c1ideal² siehe (Gl. 3.3.2), Bernoulli-Gleichung zwischen Düseneintritt (0) und

Laufradeintritt (1) und xTη lautet:

)zz(gpp

2

c

)cc(u

UWS0UWS0

2

0

2u1xT

−⋅+ρ

−+

−⋅=η

(3.3-39)

3.3.21.


04.03.2013 102

3.3.22. Optimale Umfangsgeschwindigkeit, uopt

Die Umfangsgeschwindigkeit ist dann optimal, wenn der exergetische Wirkungsgrad

am größten ist. Mathematisch heißt das, dass die Funktion ( )optxt uf=η in der 1.

Ableitung gleich 0 zu setzen ist, um ein Maximum zu ermitteln:

0uXT =

∂η∂

(3.3-40)

In Gl. (3.3-41) werden jetzt die Variablen und Konstanten festgelegt. Man kann

feststellen, dass der gesamte Nenner von (u) unabhängig ist. Deshalb wird der

gesamte Nenner als Konstante definiert.

K

)cc(u)zz(g

pp

2

cK 2u1

xT1010

2

0 −⋅=η⇒−⋅+

ρ

−+= (3.3-42)

Der Zähler ist eine Funktion von (u) da (c1 und cu2) von (u) abhängen

[ ])cc(uuK

1

K

)cc(u

uu 2u12u1XT −⋅

∂∂

=

−⋅∂∂

=∂η∂

(3.3-43)

Der Ausdruck ( )[ ]21 uccu −⋅ wird im Folgenden so lange umgestellt bis er

differenzierbar ist:

Für die Geschwindigkeit cu2 gilt:

uwc 2u2u += (3.3-10)

222u wcosw ⋅β−= , folgt für cu2, 222u wcosuc ⋅β−= (3.3-8)

[ ]

[ ])uwcosc(uuK

1

u

)uwcos(c(uuK

1

u

221XT

221XT

−⋅β+⋅∂∂

=∂η∂

+⋅β−−⋅∂∂

=∂η∂

(3.3-44)

Durch weiteres Einsetzen von:


04.03.2013 103

12 ww ⋅ζ= (3.3-7)

ucw 11 −= (3.3-6)

)uc(w 12 −⋅ξ= (3.3-45)

erhält man mit für Gl. (3.3.-8)

)uc(cosuc 122u −⋅ξ⋅β−=

ξ⋅β⋅−ξ⋅β⋅+= 2122u cosccosuuc

ξ⋅β⋅−ξ⋅β+⋅= 2122u cosc)cos1(uc

(3.3-46)

Dies bedeutet für den Zähler in der Gleichung 3.3-43 ( )[ ]2u1 ccu −⋅ :

( ) ( )[ ]( )

( )( ) ( )2

12

21122

2122

1

21212u1

ucucos1

coscucucos1u

coscucos1ucu

cosccos1ucuccu

−⋅⋅ξ⋅β+=

ξ⋅β⋅⋅+⋅+ξ⋅β+⋅−=

ξ⋅β⋅⋅+ξ⋅β+⋅−⋅=

ξ⋅β⋅+ξ⋅β+⋅−⋅=−⋅

(3.3-47)

⇒ damit zurück in Formel (3.3-44) für den exergetischen Wirkungsgrad.

Der Term )cos1( 2 ξβ ⋅+ kann als Konstante ausgeklammert werden. Es verbleibt

nunmehr zur eigentlichen Differenzierung nur:

)ucu(uK

)cos1(

K

)ucu()cos1(

uu

2

12

2

12XT

−∂∂ξ⋅β+

=

−⋅ξ⋅β+

∂∂

=∂η∂

(3.3-48)

damit folgt für die Ableitung:

)u2c(K

)cos1(

u 12XT ⋅−

ξ⋅β+=

∂η∂

und


04.03.2013 104

0u

XT =∂η∂

K

)cos1()u2c(

K

)cos1(0 2

opt12 ξ⋅β+

÷⋅−ξ⋅β+

=

2

cu 1

opt = (3.3-49)

uopt - Optimale Umfangsgeschwindigkeit

Auswertung: Die optimale Umfangsgeschwindigkeit liegt bei der halben realen

Düsenaustrittsgeschwindigkeit. Beim Abweichen von der optimalen

Umfangsgeschwindigkeit sinkt der exergetische Wirkungsgrad. Da die

Umfangsgeschwindigkeit aber in die Umfangskraft eingeht, sind ihr aus

Festigkeitsgründen Grenzen gesetzt.

3.3.23. Totaler Wirkungsgrad, ηηηηtT

Der totale Wirkungsgrad berücksichtigt vor allem die in der Turbine auftretenden

Reibungsverluste der Strömung. Dabei gilt als Bezug die technische Arbeit wt. So ist

der totale Wirkungsgrad sehr gut zum Vergleich der verschiedenen Turbinen

geeignet, da nur die strömungstechnischen Verluste einbezogen werden. Bei

inkompressiblen Flüssigkeiten, gilt mit der Beziehung ρ∆= /pY :

( )21201t

ttT

tt

t

t

ttT

tTxt

w

w

Ym

P

Y

w

w

w

ϕ+ϕ+ϕ−=η

⋅==

ϕ−=η

η=η

∑ & (3.3-50)

ηtT- Totaler Wirkungsgrad Yt – totale Strömungsarbeit (totale Druckänderungsarbeit)

3.3.24. Statischer Wirkungsgrad, ηηηηT

Der statische Wirkungsgrad unterscheidet sich von dem totalen lediglich dadurch,

dass die kinetischen Energien des Arbeitsmediums bei der Zu- und Abströmung nicht

berücksichtigt werden. Der statische Wirkungsgrad kann auch bei Teilprozessen


04.03.2013 105

innerhalb einer Turbine verwendet werden, bei denen keine Arbeit abgeführt wird (z.

B. bei der Düse).

)2/c(Y

)2/c(w2

t

2t

T ∆−

∆−=η (3.3-51)

3.3.25. Kupplungswirkungsgrad, ηηηηkT

Der Kupplungswirkungsgrad beinhaltet die mechanischen und strömungstechnischen

Verluste und beinhaltet den Teil der Leistung die an einem angeschlossenen

Generator direkt zur Verfügung stehen.

tTmkT η⋅η=η (3.3-52)


04.03.2013 106

3.4. KAPLAN-Turbine

Eine völlig anders konzipierte Turbinenart zeigt Abbildung 3.4-1. Es handelt sich um

eine nach ihrem Erfinder benannte KAPLAN-Turbine.

Abbildung 3.4-1:Schematischer Aufbau einer KAPLAN-Turbine (Voith)

Einsatzbereiche der KAPLAN Turbine sind große Wasserströme bei kleinen bis

mittleren Fallhöhen bis 80 m. Die Leistung die daraus gewonnen werden kann

beträgt bis zu 100 MW pro Turbine. Für die großen Kraftwerke werden meisten

mehrerer Turbinen kombiniert. Die Durchmesser der Laufräder der Turbinen

betragen bis zu 10 m. Die KAPLAN Turbine gehört zu der Gruppe der Axialturbinen

und kann in verschiedenen Ausführungen gebaut werden. Zu der Gruppe gehören

die einfach geregelten Propeller- oder Rohrturbinen die nur über einen verstellbaren

Leitapperat verfügen. Die KAPLAN Turbine gehört zu den doppelt geregelten Turbinen


04.03.2013 107

bei denen sich die Schaufeln des Laufrades sowie die Schaufeln des Leitrades

verstellen lassen. Sie kann dadurch in einem sehr weiten Spektrum geregelt werden.

Der Leitapparat besteht hier aus über dem Umfang verteilten feststehenden oder

beweglichen Leitschaufeln, so dass man von einem Leitrad spricht (Abbildung

3.4-2). Das Leitrad hat die Aufgabe, die Zuströmgeschwindigkeit zum Laufrad in

Richtung und Größe zu verändern.

Abbildung 3.4-2: Ansicht des Leitapparates einer KAPLAN Turbine (Voith)

Weitere Unterschiede zu der vorher besprochenen PELTON-Turbine sind die über

dem ganzen Umfang gleichmäßige Beaufschlagung aller Schaufeln des Laufrades.

Damit gehört die KAPLAN-Turbine zur Gruppe der voll beaufschlagten Turbine. Da im

Laufrad ein Druckgefälle in Geschwindigkeitsenergie umgewandelt wird gehört sie zu

der Gruppe der Überdruckturbinen.


04.03.2013 108

3.5. Strömungstechnische Berechnung der KAPLAN-Turbine

3.5.1. Erhaltungssätze für den Energiefluss

Abbildung der Kaplan-Turbine

(0) → (1’) Massenerhaltungssatz

'10 mm && = ,→ '

1'1

'1000 cAcA ⋅⋅ρ=⋅⋅ρ (3.5-1)

Kontinuitäts-Gleichung:

'1

'100 cAcA ⋅=⋅ (3.5-2)

(1’) → (1) Drallerhaltungssatz

ωru ⋅= (3.5-3)

'1/1'u1/u11u11'1

'u1

'1 rcrcmrcm ⊥⇒⋅⋅=⋅⋅ && (3.5-4)

(1) → (2) Massenerhaltungssatz

Kontinuitäts-Gleichung:

⇒= 21 mm &&2/1a2/a1a22a11 AccAcA ⊥⇒⋅=⋅ (3.5-5)

A1 = A2, da r1 = r2


04.03.2013 109

3.5.2. Geschwindigkeitsplan

a

u

β2

1

2=c2a

c1a

c1u

Leitrad 0 -1´

Laufrad 1-2

r

u

0

1´

r0

r1´

β1 α1

α2

α1’.

α1’

α1’

1´

0r0

r1´

α1´=90° α1´<90°

Abbildung 3.5-1: Geschwindigkeitsplan einer KAPLAN Turbine uuu 21 ==


04.03.2013 110

3.5.3. Strömung durch Leitrad (0) →→→→ (1’)

Die Beschleunigung der Strömung im Leitrad wird bewirkt durch Verengung des

Strömungsquerschnittes bei der Durchströmung vom größeren Eintrittsradius r0

außen zum kleineren Austrittsradius '1r innen und durch die Umlenkung der

Strömung. von einer nahezu radialen Zuströmung (α0 = 90°) in eine in

Umfangsrichtung gerichtete Abströmung aus dem Leitrad mit einem

Strömungswinkel '1α < 90° mit c1’ bestehend aus den Komponenten c1u’ und c1m’ =

c1r’.

Abbildung 3.5-2:Kanalquerschnitt beim Eintritt in eine Kaplan - Turbine

0000000 lr2Asinlr2A ⋅⋅π⋅==α⋅⋅π⋅= (3.5-6)

000000 clr2cAV ⋅⋅⋅π⋅=⋅=& (3.5-7)

00

00

lr2

Vc

⋅⋅π⋅=

&

(3.5-8)


04.03.2013 111

Berechnung der Strömungsgeschwindigkeit c1’ mit Kontinuitätsgleichung (0) → (1’):

'10 mm && = ⇒ '

1'1

'1000 cAcA ⋅⋅ρ=⋅⋅ρ (3.5-9)

0'1

00

'1 c

A

Acc >⋅= (3.5-10)

Da die Fläche A1’ < A0 ist, ist c1’ > c0 (durch die Verengung des

Strömungsquerschnittes während der Durchströmung kommt es zu Beschleunigung).

'1

'1

'10 AcVV ⋅== &&

(3.5-11)

'1

'1

00'

1

00'1

0'1

sinr

rc

A

Ac

A

Vc

α⋅⋅=

⋅==

&

(3.5-12)

'1

'1

'1

'1 sinlr2A α⋅⋅⋅π⋅= (3.5-13)

Abbildung 3.5-3: Geschwindigkeitsplan am Austritt aus dem Leitrad

mit sin '1α < 1, da '1α < 90°

Aus dem Geschwindigkeitsdreieck folgt:

'1

00

'1

'1

'1r

r

rcsincc ⋅=α⋅= (3.5-14)


04.03.2013 112

'1

'1

'1u coscc α⋅= (3.5-15)

2'r1

2'u1

'1 ccc += (3.5-16)

=⋅== '1

'1

'10 AcVV && ⋅⋅⋅π⋅=α⋅⋅⋅π⋅ '

1'1

'1r

'1

'1

'1

'1 lr2csinlr2c

3.5.4. Strömung von Leitradaustritt zu Laufradeintritt (1’) → (1)

Bei der Strömung vom Leitradaustritt (1´) bis zum Eintritt in das Laufrad (1) bleibt der

Drall rcu ⋅ erhalten, so dass für die Umfangskomponente c1u am mittleren Radius r1

des Laufrades gilt:

1u11'

1'u1

'1 rcmrcm ⋅⋅=⋅⋅ && (3.5-17)

Bei der Drallerhaltung wird die Umfangskomponente zur Definition des Dralles

herangezogen. ( 1́´u1 rc ⊥ und 1u1 rc ⊥ )

1

'1'

u1u1r

rcc ⋅= mit

2

rrr ia1

+= (3.5-18)

Abbildung 3.5-4: Geometrie am Laufrad einer Kaplan – Turbine


04.03.2013 113

Bestimmung der Strömungsfläche am Laufrad

( ) ( ) ( ) ( ) 1iaiaia2i

2a1 lrrrrrrrrA ⋅+⋅π=−⋅+⋅π=−⋅π= (3.5-19)

Abbildung 3.5-5: Geschwindigkeitsplan am Eintritt einer Kaplan - Turbine

111 wucrrr

+= (3.5-20)

a1a1 wc = (3.5-21)

u1u1 wuc += (3.5-22)

u1

a1

u1

a11

c

w

c

ctan ==α (3.5-23)

u1

a1

u1

a11

w

c

w

wtan

−=

−=β (3.5-24)

2

a1

2

u11 ccc += (3.5-25)


04.03.2013 114

3.5.5. Strömung von Laufradeintritt zu Laufradaustritt (1) → (2)

Kontinuitätsgleichung

2a1aAA

2a21a1.konst

21 ccAcAcmm 21 = →⋅=⋅ →= ==ρ&& (3.5-26)

Abbildung 3.5-6: Geschwindigkeitsplan am Austritt einer Kaplan - Turbine

22 wucrrr

+= (3.5-27)

u2u2 wuc += (3.5-28)

2

a2

2

u22 www += (3.5-29)

a1a1a2a2 wcwc === (3.5-30)

u2

a22

c

ctan =α (3.5-31)

u2

a22

w

ctan

−=β (3.5-32)

ω⋅= 1ru (3.5-33)


04.03.2013 115

3.5.6. Umfangskraft, Fu

Impulsgleichung:

t:cmtF ∆∆⋅=∆⋅rr

cmF && ∆⋅=

( )u2u1u ccmF −⋅= & (3.5-34)

3.5.7. Drehmoment, Md

( ) rccmrFM u2u1ud ⋅−⋅=⋅= & (3.5-35)

3.5.8. Leistung, Pm

( ) ( )u2u11u2u1dLam ccumrccmMPP −⋅⋅=ω⋅⋅−⋅=ω⋅== && (3.5-36)

3.5.9. spezifische technische Schaufelarbeit, wt

m

PwwmP La

ttLa && =⇒⋅=

( ) ( ) 0ccum

ccumw u1u2

u1u2t <−⋅=

−⋅⋅=

&

&

Bei der spezifischen technischen Arbeit wurde das Minus-Vorzeichen festgelegt und wt ist somit negativ. Das hat die Konsequenz bei der Definition der Bernoulli-Gleichung zw. (1)→(2)!!

(3.5-37)


04.03.2013 116

3.5.10. Axiale Schaufelkraft, Fa

Im Gegensatz zur Pelton-Turbine tritteeeee.

( ) ( ) ( ) ( )21a1a221aaaa ppAccmpFcFF −⋅+−⋅=∆⋅+⋅= &rrr

(3.5-38)

mit ( ) 0ccm a1a2 =−⋅& , da a1a2 cc = und ( )21 pp − als „Spaltdruck“

Abbildung 3.5-7: Darstellung des Druckes am Laufrad

( )21a ppAF −⋅= (3.5-39)

3.5.11. Druck vor dem Laufrad p1 über den Energiefluss (0) → (1)

Abbildung 3.5-8: Kanalgeometrie zwischen Leitrad und Laufrad

Der Druck p1 ist unbekannt und wird über die Zustandsänderung im Leitrad

berechnet:

Le11

2

10

0

2

0 zgp

2

czg

p

2

cϕ+⋅+

ρ+=⋅+

ρ+


04.03.2013 117

Es findet keine Arbeitsabgabe am Leitrad statt. Es entstehen dort Verluste

mit ϕ01 in

²

²

s

m ,die mit Hilfe des statischen Wirkungsgrades des Leitrades bestimmt

werden können:

∆−

∆−

=η

2

cY

2

cw

2

tLe

2

t

Le (3.5-40)

Yte totale Druckänderungsarbeit am Leitrad

Es gilt:

Le

2

t 2

czgYw ϕ+

∆+∆⋅+= mit ρ

∆=

pY (3.5-41)

( ) Le

20

21

0101

t2

cczzg

ppw ϕ+

−+−⋅+

ρ

−= mit Le01 ϕ=ϕ (3.5-42)

Mit Lett wY ϕ−= ergibt sich somit:

( )

( )2

cc

2

cczzg

pp

2

cc

2

cczzg

pp

20

21

LeLe

20

21

0101

20

21

Le

20

21

0101

Le −−ϕ−ϕ+

−+−⋅+

ρ−

−−ϕ+

−+−⋅+

ρ−

=η (3.5-43)

( )

( )0101

Le0101

Le

zzgpp

zzgpp

−⋅+ρ−

ϕ+−⋅+ρ−

=η oder( )01

01

21

20

Le

zzgpp

2

cc

−⋅+ρ−

−

=η (3.5-44)

ηLe ist als Erfahrungswert bekannt. Somit kann ϕLe mit ηLe bestimmt werden:


04.03.2013 118

( ) ( ) Le0101

0101

Le zzgpp

zzgpp

ϕ+−⋅+ρ

−=

−⋅+

ρ

−⋅η (3.5-45)

−⋅+

ρ−

⋅−η=ϕ )zz(gpp

)1( 0101

LeLe (3.5-46)

Um den Druck p1 zu berechnen, wird ϕLe in die Bernoulli-Gleichung (0) → (1)

eingesetzt:

−⋅+

ρ

−⋅−η+⋅+

ρ+=⋅+

ρ+ )zz(g

pp)1(zg

p

2

czg

p

2

c01

01Le1

1

2

10

0

2

0 (3.5-47)

( )01

2

0

2

1

Le

01 zzg2

cc1pp −⋅ρ⋅−

−⋅ρ⋅

η−= (3.5-48)

3.5.12. Berechnung des Druckes p1 über Energiefluss (1) → (2)

Der Druck p1 kann allerdings auch über die Zustandsänderung im Laufrad berechnet

werden.

La22

2

2t1

1

2

1 zgp

2

cwzg

p

2

cϕ+⋅+

ρ+=+⋅+

ρ+

Konvention: In der Bernoulli-Gleichung wurde die spezifische technische Arbeit wt auf

der linken Seite "addiert", obwohl die Arbeit dem Wasser entzogen wird. Da wt

negativ "festgelegt" wurde ist diese Konvention korrekt.

Abbildung 3.5-9: Druckverteilung am Laufrad


04.03.2013 119

Am Laufrad erfolgt die Arbeitsabgabe mit dem Verlust ϕLa. Diese Verluste werden

durch den statischen Laufradwirkungsgrad bestimmt:

( )

( )1212

La1212

La

zzgpp

zzgpp

−⋅+ρ−

ϕ+−⋅+ρ−

=η (3.5-49)

−⋅+

ρ

−⋅−η=ϕ )zz(g

pp)1( 12

12LaLa (3.5-50)

Um den Druck p1 zu berechnen, wird ϕLa in die Bernoulli-Gleichung (1) → (2)

eingesetzt:

La22

2

2t1

1

2

1 zgp

2

cwzg

p

2

cϕ+⋅+

ρ+=+⋅+

ρ+ mit ( )u1u2t ccuw −⋅=

( )

−⋅+

ρ−

⋅−η+⋅+ρ

+=−⋅−⋅+ρ

+ )zz(gpp

)1(zgp

2

cccuzg

p

2

c12

12La2

2

2

2u1u21

1

2

1

( ) ( )12

2

2

2

1u2u1

La

21 zzg2

ccccu

1pp −⋅ρ⋅+

−−−⋅⋅ρ⋅

η+= (3.5-51)

Der zweite Weg für die Herleitung des Druckes p2 unter Berücksichtigung c1a = c2a

und c2u = 0. Die Bernoulli-Gleichung wird zuerst umgestellt:

La22

2

2t1

1

2

1 zgp

2

cwzg

p

2

cϕ+⋅+

ρ+=+⋅+

ρ+

La1212

t

2

2

2

1 zgzgpp

w2

c

2

cϕ+⋅−⋅+

ρ−

ρ=+−

La1212

t

2

u2

2

a2

2

u1

2

a1 )zz(gpp

w2

c

2

c

2

c

2

cϕ+−⋅+

ρ−

ρ=+−−+

La1212

t

2

u1 )zz(gpp

w2

cϕ+−⋅+

ρ−

ρ=+


04.03.2013 120

Die rechte Seite der Gleichung wird in den Zähler des statischen Wirkungsgrades

des Laufrades eingesetzt:

( )

( )1212

La1212

La

zzgpp

zzgpp

−⋅+ρ−

ϕ+−⋅+ρ−

=η

( )1212

t

2

u1

La

zzgpp

w2

c

−⋅+ρ−

+=η

( )12

2

u1t

La

21 zzg2

cw

1pp −⋅ρ⋅+

+⋅ρ⋅

η−= mit ( ) ( )u1u1u2t cuccuw −⋅=−⋅=

( )21

2

u1

u1La

21 zzg2

ccu

1pp −⋅ρ⋅−

−⋅⋅ρ⋅

η+= (3.5-52)

Man kann zeigen, dass die Gl. 3.5-51 in die Gl. 3.5-52 überführt werden kann.

Die zweifache, scheinbar unabhängige Berechnungsmöglichkeit für ein und dieselbe

Größe zeigt, dass die in den vorgehenden Beziehungen auftretenden

Geschwindigkeiten und Strömungswinkel nicht unabhängig voneinander gewählt

werden dürfen, sondern bei der Wahl der Auslegungsgrößen die insgesamt zur

Verfügung stehende Druck- und Höhendifferenz berücksichtigt werden muss.

Wir haben p1 durch die Betrachtung des Energieflusses von (0) → (1) und von

(1) → (2) ermittelt. Wird die Umfangskomponente c1u der Absolutgeschwindigkeit vor

dem Laufrad als freie Variable gewählt, so erhält man durch Gleichsetzen des

Druckes aus der Leit- und Laufradrechnung und nach Auflösung nach c1u:

−⋅

η−−⋅+

ρ

−⋅

η−

η

−

ηη

−

−

ηη

−

=2

)cc(1)zz(g

pp11

2

1

u

1

uc

20

2a1

Le

2020

LeLaLe

La

2

Le

La

u1 (3.5-53)

Im Sonderfall gleicher Zahlenwerte für den Leit- und Laufradwirkungsgrad ηLe = ηLa

vereinfacht sich die Beziehung erheblich:


04.03.2013 121

−⋅

η−−⋅+

ρ

−⋅

η=

2

)cc(1)zz(g

pp

uc

20

2a1

La

2020La

u1 (3.5-54)

Bei der Auslegungsrechnung einer Kaplan-Turbine kann der Leitradabströmwinkel '

1α

nicht vorgegeben werden, sondern muss "stromaufwärts" berechnet werden.

3.5.13. Totale Druckänderungsarbeit, Yt

Die totale Druckänderungsarbeit Yt ist die einer Turbine zwischen Eingangs- und

Ausgangsstutzen entzogene spezifische technische Arbeit.

Der "Eingangsstutzen" der Kaplan-Turbine ist der Leitradeintritt (0), als

"Ausgangsstutzen" ist der Laufradaustritt (2) zu sehen. Bernoulli-Gleichung (0) ⇒ (2)

mit Verlusten:

22

2

2t0

0

2

0 zgp

2

cYzg

p

2

c⋅+

ρ+=+⋅+

ρ+ (3.5-55)

Yt - Totale Druckänderungsarbeit muss als negativ "gesetzt" werden:

)zz(gpp

2

ccY 02

02

2

0

2

2t −⋅+

ρ

−+

−= mit ( ) 0wY 21201tt <Φ+Φ+Φ−= (3.5-56)

3.5.14. Exergetischer Wirkungsgrad, ηηηηxt

Exergetischer Wirkungsgrad

)zz(gpp

2

cc

)cc(u

2020

2

2

2

0

u2u1xT

−⋅+ρ−

+−

−⋅=η

(3.5-57)


04.03.2013 122

3.5.15. Statischer Wirkungsgrad, ηηηηT

Statischer Wirkungsgrad

−−

−−

=η

2

)cc(Y

2

)cc(w

20

22

t

20

22

t

T (3.5-58)

3.5.16. Totaler Wirkungsgrad, ηηηηtT

Totaler Wirkungsgrad

( )LaLet

t

t

ttT

w

w

Y

w

ϕ+ϕ−==η (3.5-59)

3.5.17. Kupplungs Wirkungsgrad, ηηηηKT

Kupplungswirkungsgrad

tTmKT η⋅η=η (3.5-60)

3.5.18. Kupplungsleistung, PK

Kupplungsleistung

mtmmK wmPP η⋅⋅=η⋅= & (3.5-61)

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Str mungsmaschinen Vorlesung Szymczyk 2013.03.04) 2013... · cp spezifische isobare Wärmekapazität [J/ ... Suppen, Milch, Milchprodukte, Bierwürze, Säfte u.v.m. Um die Strömungsmaschinen