StrömungstechnikFormelsammlung

Andreas Zimmer

SS 98

2

Inhaltsverzeichnis

1. Hydrostatik...............................................................................................................................4

1.1 Kolbendruck.............................................................................................................................4

1.2 Hydraulische Presse ................................................................................................................4

1.3 Schweredruck ..........................................................................................................................4

1.4 Gesamtdruck............................................................................................................................4

1.5 Druckkraft ................................................................................................................................4

1.6 Wandkräfte ..............................................................................................................................4

1.7 Kommunizierende Gefäße........................................................................................................4

1.8 Auftriebskraft............................................................................................................................5

2. Strömung idealer Fluide..........................................................................................................5

2.1 Kontinuitätsgesetz....................................................................................................................5

2.2 Energiegleichung nach Bernoulli ..............................................................................................5

2.3 Ausfluß eines offenen Behälters ( Torricelli ).............................................................................6

2.4 Ausfluß aus einem Druckbehälter (Torricelli) ............................................................................6

2.5 Meßgeräte ................................................................................................................................6

3. Strömung realer Fluide............................................................................................................7

3.1 Reibungs- bzw. Schubspannung ..............................................................................................7

3.2 Kinematische Viskosität ...........................................................................................................7

3.3 Ähnlichkeitsgesetze (Kennzahlen)............................................................................................7

3.4 Erweiterte Energiegleichung.....................................................................................................8

4. Strömungsdruckverluste und Reibungswiderstände ............................................................8

4.1 Allgemeine Umrechnung ..........................................................................................................8

4.2 Druckverlust in laminaren Rohrströmungen ..............................................................................8

4.3 Druckverlust in turbolenten Rohrströmungen ............................................................................9

4.4 Druckverlust in nicht kreisförmigen Querschnitten.....................................................................9

4.5 Druckverlust an Rohrbögen und -einbauten..............................................................................9

4.6 Widerstandskennlinie .............................................................................................................10

4.7 Reihen und Parallelschaltung von Widerständen ....................................................................10

4.8 Fließformel für offene Kanäle .................................................................................................10

http://....

3

5. Strömungsimpuls und Kräftegleichgewicht.........................................................................11

5.1 Impulsgleichung .....................................................................................................................11

5.2 Impulsstromgleichung ............................................................................................................11

5.3 Impulssatz..............................................................................................................................11

5.4 Einfache Impulsbilanz .............................................................................................................12

5.5 Strömung mit Energiezufuhr....................................................................................................13

6. Kompressible Strömung .......................................................................................................14

6.1 Zustandänderungen ................................................................................................................14

6.2 Thermische Zustandgrößen ( p, T, ) ....................................................................................14

6.3 Kalorische Zustandgrößen ( u, h, s, , cV, cp)..........................................................................15

6.4 Energiegleichung ....................................................................................................................16

6.5 Druckverlust............................................................................................................................16

6.6 Behälterausströmung (isentrope und reale Zustandsänderung) ...............................................16

6.7 Düse / Lavaldüse (isentrope und reale Zustandsänderung) ....................................................16

6.8 Diffusor (isentrope und reale Zustandsänderung) ...................................................................17

7. Strömungsmaschinen ...........................................................................................................18

7.1 Gliederungskriterien ................................................................................................................18

7.2 Stutzenarbeit..........................................................................................................................18

7.3 Leistung .................................................................................................................................19

7.4 Wirkungsgrad..........................................................................................................................19

7.5 Energieumsetzung im Laufrad.................................................................................................19

7.6 Ähnlichkeitsbedingungen.........................................................................................................20

7.7 Kavitation................................................................................................................................20

7.8 Betriebsverhalten von Arbeitsmaschinen.................................................................................21

7.9 Reihen- und Parallelschaltung................................................................................................21

7.10 Druckverlauf in Rohrsträngen mit Arbeitsmaschinen................................................................22

8. Sonstiges ...............................................................................................................................22

8.1 Wärmeenergie, -arbeit............................................................................................................22

8.2 Winkelfunktionen....................................................................................................................22

8.3 Umrechnungen Druck ............................................................................................................22

http://....http://...17

4

AFp

2

121

22

1

2

1

2

ss

dd

AA

FF

hgp

hgpp 0ges

AzgF s

hgpp 12

ApF

1

2

2

1

hh

1. Hydrostatik

1.1 Kolbendruck

1.2 Hydraulische Presse

1.3 Schweredruck

1.4 Gesamtdruck

1.5 Druckkraft

1.6 Wandkräfte

1.7 Kommunizierende Gefäße

p : hydrostatischer Druck [ Pa = N / m² ] Pa : Pascal

F : Kolbenkraft [ N = kg·m / s² ] N : Newton

A : Kolbenfläche [ m² ]

p : hydrostatischer Druck [ Pa = N / m² ] Pa : Pascal

F : Kolbenkraft [ N = kg·m / s² ] N : Newton

A : Kolbenfläche [ m² ]

s : Weg des Kolben [ m ]

p : hydrostatischer Schweredruck [ Pa = N / m² ] Pa : Pascal

: Dichte der Flüssigkeit [ kg / m³ ]

g : Erdbeschleunigung [ 9,81 m / s² ]

h : Flüssigkeitstiefe [ m ]

pges :Absolutdruck [ Pa = N / m² ] Pa : Pascal

p0 : Systemdruck oberhalb der Flüssigkeit z.B. pB

: Dichte der Flüssigkeit [ kg / m³ ]

g : Erdbeschleunigung [ 9,81 m / s² ]

h : Flüssigkeitstiefe [ m ]

F : Wand- bzw. Bodenkraft [ N = kg·m / s² ] N : Newton

A : projektzierte belastete Fläche [ m² ]

: Dichte der Flüssigkeit [ kg / m³ ]

g : Erdbeschleunigung [ 9,81 m / s² ]

zs : Schwerpunktabstand von der Spiegeloberfläche [ m ]

p : hydrostatischer Druck [ Pa = N / m² ] Pa : Pascal

: Dichte der Flüssigkeit [ kg / m³ ]

g : Erdbeschleunigung [ 9,81 m / s² ]

h : Niveaudifferenz [ m ]

p : hydrostatischer Druck [ Pa = N / m² ] Pa : Pascal

F : Kraft [ N = kg·m / s² ] N : Newton

A : Fläche [ m² ]

5

VgF FlA

VgF KG

gmFG

konstvAV

konstvAm

2221

21

2211

vdvd

vAvA

konst2vpzg

2

2vpzg

2vpzg

222

2

211

1

2v

pzg2v

pzg22

22

21

11

g2v

gpz

g2v

gpz

222

2

211

1

1.8 Auftriebskraft

2. Strömung idealer Fluide

2.1 Kontinuitätsgesetz

2.2 Energiegleichung nach Bernoulli

Anwendung:

1. In der Skizze Ebenen festlegen und in Strömungsrichtung numerieren, eine davon zur Null-Linie erklären.2. Bernoulli-Gleichung aufschreiben.3. Komponenten überprüfen: Was ist bekannt, unbekannt, konstant, gleich und Null ist.

z.B. horizontale Strömung z1 = z2 =0, Staupunktströmung v2 = 04. Rest der Bernoulli-Gleichung aufschreiben.

Energieform

Druckform

Höhenform

FA : Auftriebskraft [ N = kg·m / s² ] N : Newton

FG : Gewichtskraft [ N = kg·m / s² ] N : Newton

Fl : Dichte der Flüssigkeit [ kg / m³ ]

K : Dichte des Körpers [ kg / m³ ]

g : Erdbeschleunigung [ 9,81 m / s² ]

V : Volumenstrom [ m³ / s ]

m : Massenstrom [ kg / s ]

v : Strömungsgeschwindigkeit [ m / s]

A : Strömungsquerschnitt [ m² ]

: Dichte [ kg / m³ ]

d : Rohrdurchmesser [ m ]

v : Strömungsgeschwindigkeit [ m / s]

: Dichte [ kg / m³ ]

p : hydrostatischer Druck [ Pa = N / m² ] Pa : Pascal

g : Erdbeschleunigung [ 9,81 m / s² ]

z : Ortshöhe von der Null-Linie [ m ]

6

hg2v

10M

0 zzg2A

A2t

üphg2v

dynstattot ppp

stattotpp2

v

2

1

2

*

AA

1

hg2v

2.3 Ausfluß eines offenen Behälters ( Torricelli )

2.4 Ausfluß aus einem Druckbehälter (Torricelli)

2.5 Meßgeräte

Piezorohr mißt den statischer Druck pstat

Pitot-Rohr mißt den Totaldruck (Gesamtdruck) ptot

Prandtl-Rohr mißt den dynamischer Druck pdyn durch Integration von Piezo- und Pitot-Rohr

und errechnet daraus Strömungsgeschwindigkeit v

Venturi-Rohr mißt den statischen Druck an zwei verschiedenen Querschnitten

und errechnet daraus Strömungsgeschwindigkeit v*

v : Strömungsgeschwindigkeit [ m / s]

g : Erdbeschleunigung [ 9,81 m / s² ]

h : Spiegelhöhe über der Öffnung [ m ]

: Geschwindigkeits- oder Reibungsbeiwert, < 1 reale Strömung

t : Zeit für komplettes Leerlaufen [ s ]

A0 : Behälterquerschnittsfläche [ m² ]

AM : Mündungsquerschnittsfläche [ m² ]

: Einschnürungsfaktor, < 1 reale Strömung

z0 : Spiegelhöhe über dem Ausfluß [ m ]

z1 : Höhe des Behälterbodens über dem Ausfluß [ m ]

v : Strömungsgeschwindigkeit [ m / s]

g : Erdbeschleunigung [ 9,81 m / s² ]

h : Spiegelhöhe über der Öffnung [ m ]

: Dichte [ kg / m³ ]

pü : Überdruck im Behälter pü = pabs – pB

: Geschwindigkeits- oder Reibungsbeiwert, < 1 reale Strömung

v : Strömungsgeschwindigkeit [ m / s]

g : Erdbeschleunigung [ 9,81 m / s² ]

h : Spiegelhöhedifferenz in den Piezo-Rohren [ m ]

: Dichte [ kg / m³ ]

A2 : kleinerer Querschnitt [ m² ]

A1 : größerer Querschnitt [ m² ]

7

lv

AFR

lvRe

lgvF

2

r

avMa

pa

vpa

TRa i

3. Strömung realer Fluide

3.1 Reibungs- bzw. Schubspannung

3.2 Kinematische Viskosität

3.3 Ähnlichkeitsgesetze (Kennzahlen)

: Schubspannung [ N / m² ]

FR : Scherkraft [ N ]

A : Strömungsquerschnitt [ m² ]

: dynamische Viskosität [ Pas ]

v : Strömungsgeschwindigkeit [ m / s]

l : charakteristische Länge [ m ]

: kinematische Viskosität [ m² / s ]

Wasser (20 °C) = 110-6 Luft (20 °C) = 1510-6

: dynamische Viskosität [ Pas ]

Wasser (20 °C) = 110-3 Luft (20 °C) = 1,810-5

: Dichte [ kg / m³ ]

Re : Renolds-Zahl

Re < 2320 laminare Strömung

Re > 2320 turbolente Strömung

Fr : Froude-Zahl

Fr < 1 gilt für offene Kanalströmungen mit natürlichem Gefälle ohne

Schwallbildung

Ma : Mach-Zahl

Ma < 0,33 inkompressibles Fluid

Ma > 0,33 kompressibles Fluid

v : Strömungsgeschwindigkeit [ m / s]

l : charakteristische Länge [ m ]

: kinematische Viskosität [ m² / s ]

a : Schallgeschwindigkeit [ m / s]

aLuft = 340 m/s aWasser = 1455 m/s

: Isentropenexponent

Ri : individuelle Gaskonstante [ J / (kgK) ]

p : Druck [ Pa = N / m² ] Pa : Pascal

8

V

222

2

211

1 Y2vp

zg2

vpzg

V

22

22

21

11 p2v

pzg2v

pzg

V

222

2

211

1 hg2v

gp

zg2

vgp

z

VVV hgYp

maxmit v21v

2mitV v2d

lp

eR64

VRp lV

4l dl128R

3.4 Erweiterte Energiegleichung

spez. Enegieverlust

Druckverlust

Verlusthöhe

g z1 hydrostatischer Druck

p1 statischer Druck

dynamischer Druck, Staudruck

4. Strömungsdruckverluste und Reibungswiderstände

4.1 Allgemeine Umrechnung

4.2 Druckverlust in laminaren Rohrströmungen

2v21

pV: Druckverlust [ Pa ]

YV : spez. massebezogener Energieverlust [ J / kg ]

hV : Verlusthöhe [ m ]

: Dichte [ kg / m³ ]

g : Erdbeschleunigung [ 9,81 m / s² ]

pV : Druckverlust [ Pa ]

vmit : gemittelte Strömungsgeschwindigkeit [ m / s ]

vmax : maximale Strömungsgeschwindigkeit [ m / s ]

: Rohrreibungszahl

Re : Reynoldszahl Re = vd /

: Dichte [ kg / m³ ]

Rl : laminarer RohrwiderstandV : Volumenstrom [ m³ / s ]

: dynamische Viskosität [ Pas ]

l : Länge [ m ]

d : Durchmesser [ m ]

9

maxmit v83,0v

2V v2d

lp

kd,Rf e

2tV VRp

52t dl8R

UA4dˆd gl

ba2UbaA

21

22

21

dDU4

d4

DA

b2a2Ub2a2A

2V v2

p

2V VRp

42 d8R

dl

4.3 Druckverlust in turbolenten Rohrströmungen

4.4 Druckverlust in nicht kreisförmigen Querschnitten

Allgemein gilt, daß der kreisförmige Durchmesser durch einen hydraulisch

vergleichbaren Durchmesser ersetzt wird.

Rechteckkanal:

Kreisring:

Elipse:

4.5 Druckverlust an Rohrbögen und -einbauten

pV : Druckverlust [ Pa ]

vmit : gemittelte Strömungsgeschwindigkeit [ m / s ]

vmax : maximale Strömungsgeschwindigkeit [ m / s ]

: Rohrreibungszahl siehe Moody-Diagr. (Bild 5.2)

Re : Reynoldszahl Re = vd /

: Dichte [ kg / m³ ]

Rl : turbolenter RohrwiderstandV : Volumenstrom [ m³ / s ]

k : Rauhigkeitswert (Bild 5.3)

l : Länge [ m ]

d : Durchmesser [ m ]

dgl : gleichwertiger (hydraul.) Durchmesser [ m ]

A : Querschnitt [ m² ]

U : Umfang [ m ]

a : Höhe des Kanals (offener Kanal: a = Spiegelhöhe) [ m ]

b : Breite des Kanals [ m ]

D1 : Innendurchmesser vom Außenrohr [ m ]

d2 : Außendurchmesser vom Innenrohr [ m ]

a : Höhe des Kanals [ m ]

b : Breite des Kanals [ m ]

pV : Druckverlust [ Pa ]

: Widerstandsbeiwert (Bild 5.4 – 5.9)

: Dichte [ kg / m³ ]

R : Einzelwiderstand

V : Volumenstrom [ m³ / s ]

: Rohrreibungszahl siehe Moody-Diagr. (Bild 5.2)

l : Länge [ m ]

d : Durchmesser [ m ]

10

22

221

1

Vp

Vp

n21ges RRRR

2gesges VRp

n21ges R1

R1

R1

R1

222

211ges

n21ges

VRVRp

pppp

1

11

ges

gesges

n21ges

RpV

Rp

V

VVVV

V

22

2

21

1 hg2vz

g2vz

g2v

dl

gph

2

gl

VV

2gl

kd

1,3lg2

1

4.6 Widerstandskennlinie

Mit der Widerstandskennlinie kann man auf einfache Weise von einem unbekannten Betriebsfall ( 1V ) auf einen

Zweiten ( 2V ) extrapoliert werden (siehe Bild 5.10).

4.7 Reihen und Parallelschaltung von Widerständen

Reihe:

Parallel:

4.8 Fließformel für offene Kanäle

Bernouli-Sonderfall (p1=p2=pB):

Allgemein gilt die Darcy-Gl.:

pV : Druckverlust [ Pa ]

V : Volumenstrom [ m³ / s ]

R : Einzelwiderstand

pges : Gesamtdruckverlust [ Pa ]

V : Volumenstrom [ m³ / s ]

R : Einzelwiderstand

pges : Gesamtdruckverlust [ Pa ]

V : Volumenstrom [ m³ / s ]

hV : Verlusthöhe [ m ]

: Dichte [ kg / m³ ]

g : Erdbeschleunigung [ 9,81 m / s² ]

v : Strömungsgeschwindigkeit [ m / s]

z : Ortshöhe von der Null-Linie [ m ]

pV: Druckverlust [ Pa ]

hV : Verlusthöhe [ m ]

: Dichte [ kg / m³ ]

g : Erdbeschleunigung [ 9,81 m / s² ]

: Rohrreibungszahl siehe Moody-Diagr. (Bild 5.2)

l : Länge [ m ]

dgl : gleichwertiger (hydraul.) Durchmesser [ m ]

11

g2v

dJ

sinl

hl

zzJ

2

gl

V21

2MSgl

2

KrvJ

UA

4d

r glgl

vmI

2vAI

vVI

vmI

0FI

RGWp FFFFF

Fließgefälle (v1=v2=v bei konstanten Querschnitt):

Empirische Fließformel für prakt. Anwendung von Manning-Strickler:

5. Strömungsimpuls und Kräftegleichgewicht

5.1 Impulsgleichung

5.2 Impulsstromgleichung

5.3 Impulssatz

J : Gefälle

z : Ortshöhe von der Null-Linie [ m ]

hV : Verlusthöhe [ m ]

g : Erdbeschleunigung [ 9,81 m / s² ]

: Rohrreibungszahl siehe Moody-Diagr. (Bild 5.2)

l : Länge [ m ]

dgl : gleichwertiger (hydraul.) Durchmesser [ m ]

KMS : Fließzahl (Tab. 5.12 b)

rgl : gleichwertiger (hydraul.) Radius [ m ]

I : Impuls [ kgm / s ]

m : Masse [ kg ]

v : Strömungsgeschwindigkeit [ m / s ]

I : Impulsstrom = Stromkraft eines Strahls [ kgm / s² = N ]

V : Volumenstrom [ m³ / s ]

m : Massenstrom [ kg / s ]

v : Strömungsgeschwindigkeit [ m / s]

: Dichte [ kg / m³ ]

I : Impulsstrom = Stromkraft eines Strahls [ kgm / s² = N ]

F : äußere Kräfte [ N ]

Fp : Druckkraft Fp = pA [ N ]

FW : Wandkraft [ N ]

FG : Gewichtskraft FG = mg [ N ]

FR : Reibungskraft [ N ]

12

0FFFII W2D1D21

0FApApvAvA Wxx2x2x1x12

x2x22x1x1

0FApApvAvA Wyy2y2y1y12

y2y22y1y1

Bögen90bei2

Wy2

Wxres

2y2

yWy

1x2

xWx

FFF

)gm(pAvAF

pAvAF

241

42

ü12

dd1

p2v

2

ü12SW 1

hgpA2FF

)pAvApA(vAF 11211122

2222S

241

42

ü12SW

dd1

pA2FF

)pv(A)pv(AFF 12112

222SW

2122221 v1v2pp

2W vAIF

2W uvAIF

1122S vmvmF

5.4 Einfache Impulsbilanz

Da der Impulsstrom und die Kräfte Vektoren sind, ist die Impulsbilanz in allen Koordinatenrichtungen (x, y, z)

separat durchzuführen. Der eintretende Impulsstrom wirkt positiv und der austretende Impuls als Reaktionskraft

wirkt entgegengesetzt. Wandkräfte wirken als Reaktionkräfte stets senkrecht zur Wandfläche.

Die Schubkraft (FS) ist der resultierenden Wandkraft entgegengesetzt gerichtet und im Betrag gleich groß.

Rohrbögen (Bild 6.1):

Düsenschub bzw. Rückstoß an Düsen (Bild 6.2):

Rückstoß einer Düse an einem Behälter (Bild 6.2):

Rückstoß Querschnittserweiterung von A1 auf A2 (Bild 6.3):

Senkrechter Strahlstoß auf eine ebene Platte (Bild 6.4):

ruhende Wand (u=0 Geschwindigkeit der Wand)

bewegte Wand (u0 Geschwindigkeit der Wand)

Schub von Propeller- und Strahltriebwerken (Bild 6.5):

Strahlstoßkräfte auf geneigte Wände siehe Bild 6.6

Index 1 : EintrittIndex 2 : AustrittBerechnung von p1 bzw. p2 :

2vpp

2

21

13

ab222

2zu

211

1 E2vpzgE

2vpzg

zuzuzu EE

ab

abab

EE

5.5 Strömung mit Energiezufuhr

Wird einer Strömung auf dem Weg von nach von außen Energie hinzugeführt Ezu (Pumpe, Ventilator) oder nach

außen abgeführt Eab (Turbine) ist dies wie folgt zu berücksichtigen:

Da die Energiewandlung in der Strömungsmaschine nicht verlustfrei erfolgt, ergibt sich die tatsächliche aufzuwendene

bzw. gewonnene Arbeit aus dem Wirkungsgrad.

Energieformen: Lageenergie m g h

Druckenergie V p = m/ p

Bewegungsenergie ½ m v2

Innere Energie m u

zg : spez. Lageenergie bezogen auf eine Bezugshöhe

p

: spez. Druckenergie

2v2

: spez. Kinetische Geschwindihkeitsenergie

zuE : spez. zugeführte Energie (Pumpe, Ventilator)abE : spez. abgeführte Energie (Turbine)

E : spez. Energie [ J / kg ]

: Wirkungsgrsd

H : Förderhöhe der Pumpe [ m ]

14

TRp i

Vm1

Vpi ccR

6. Kompressible Strömung

Kompressible Strömungen treten nur bei Gasen und Dämpfen ab einer Machzahl Ma > 0,3 (siehe Kap. 3.3) auf.

Die meisten realen Gase können als ideale Gase bis auf Wasserdampf angesehen werden.

Typische Beispiele für kompressible Strömung:

Gas- und Dampfströmungen in Rohrleitungen bei großen Durchsätzen

Ausströmung von Gasen und Dämpfen aus Druckbehältern ( p > 2 bar )

Düsen und Diffusorströmungen

Strömungen mit großem Wärmeaustausch

Kompressoren- und Turbinenströmungen

6.1 Zustandänderungen

Kompression: Dichte wird erhöht

mechanische Arbeit muß zugeführt werden

Expansion: Dichte wird verringert

Energie wird freigesetzt und als technische Arbeit genutzt

Dissipation: Umwandlung von potentieller Energie in Wärme bzw. Verlustenergie (Druckverlust)

nicht umkehrbar

in adiabaten Systemen führt Dissipation zur Temperaturerhöhung

isochore: V = konstant

Gay-Lussac: p1 / T1 = P2 / T2

„Wärmewirkung auf ein ideales Gas bei konstanten Volumen führt allein zur Änderung der inneren

Energie“.

isobare: p = konstant

Gay-Lussac: V1 / T1 = V2 / T2

„Bei einer isobaren Zustandsänderung tritt die Änderung der inneren Energie und die

Volumenänderungsarbeit auf“.

isotherme: T = konstant

Boyle-Mariotte: p1 V1 = p2 V2

„Keine Wärmeisolierung - die Temperatur bleibt gleich, weil die Wärme nach außen abgegeben wird.“

isentrope: q = 0

(adiabate) „Verlustfreier Idealprozeß, gut isoliertes System – keine Wärme fließt über die Grenzen nach außen “.

6.2 Thermische Zustandgrößen ( p, T, )

P : Druck [ Pa ]

: Dichte [ kg / m³ ]

Ri : spez. Gaskonstante [ J / (kgK) ]

m : Masse [ kg ]

T : absolute Temperatur [ K ]

: spez. Volumen [ m³ / kg ]

15

mUu

Tcu V

puh

Tch p

21 hhh

1R

c iV

1Rc ip

Vpi ccR

1

2

11

1

2

2

1

pp

TT

v

p

cc

6.3 Kalorische Zustandgrößen ( u, h, s, , cV, cp)

Spezifische innere Energie u

Sie bezeichnet den Energiezustand des ruhenden Systems, d.h. die nicht sichtbare Bewegungs- und Potentiaenergie

der Mohlekühle.

Spezifische Enthalpie h

Die Enthalpie bezeichnet das Arbeitsvermögen eines ruhenden idealenStoffes im Zustand gegenüber einem

beliebigen Vergleichzustand .

Spezifische Wärmekapazität cV und cpUnter der spezifischen Wärmekapazität versteht man die Wärmemenge, die erforderlich ist, um eine Stoffmasse von

1 kg um 1 Grad zuerwärmen oder abzukühlen. Man unterscheidet isobare cp (p=konst.) und isochore cV (V=konst.)

spez. Wärmekapazität. Das Verhältnis der beiden spez. Wärmekapazitäten nennt man Isentropenexponent .

Mollier-Diagramm ( h,s-Diagramm Bild 8.3 )

Nicht alle kompressiblen Stoffe können als ideale Gase aufgefaßt werden. Für den technisch wichtigen Stoff

Wasserdampf, der sich nicht wie ein ideales Gas verhält, sind die mathematischen Zusammenhänge recht kompliziert.

Die Zusammenhänge sind im Mollier-Diagramm (h,s-Diagramm) grafisch dargestellt. Neben der spez. Enthalpie spielt

die spez. Entropie (s) eine wichtige Rolle.

Spezifische Entropie s

Die spezifische Entropie bezeichnet den Energieverlust (Dissipation) der duch irreversible Wärmeentwicklung bei

realen Zustandsänderungen ensteht.

Das Entropiedifferential s ist also bei idealen verlustfreien Zuständen gleich null. Solche Zustandsänderungen heißen

isentrop (gleichbleibende Entropie). Im h,s-Diagramm liegen isentrope Anfangs- und Endzustände dementsprechend

auf einer vertikalen Linie.

u : spez. Innere Energie [ J / kg ]

U : innere Gesamtenergie [ J ]

T : Temperaturdifferenz [ K ] K : Kelvin

cV : isochore spez. Wärmekapazität [ J / (kgK) ]

u : spez. Innere Energie [ J / kg ]

h : spez. Enthalpie [ J / kg ]

T : Temperaturdifferenz [ K ] K : Kelvin

cp : isobare spez. Wärmekapazität [ J / (kgK) ]

Ri : spez. Gaskonstante [ J / (kgK) ]

: spez. Volumen [ m³ / kg ]

p : Druck [ Pa ]

T : absolute Temperatur [ K ]

cp : isobare spez. Wärmekapazität [ J / (kgK) ]

cV : isochore spez. Wärmekapazität [ J / (kgK) ]

16

V2

22

ab/zu1

21 Yh

2vEh

2v

1i

mit21

1

22

21

TRTv

dl

ppp

)TT(21T 21mit

21V ppp

VVpY

s2 h2v

1

1

21i2 p

p1TR1

2v

1122 p2Am

1

1

2

2

1

2

pp

pp

1

.Krit1

2

1

2

pp

pp

11krit 1

2pp

6.4 Energiegleichung

( gz = 0 )

6.5 Druckverlust

6.6 Behälterausströmung (isentrope und reale Zustandsänderung)

Wenn dann ist Schallgeschwindigkeit bzw. überkritische Strömung

(Strahl platzt auf) erreicht und max = konst (siehe Bild 8.6).

6.7 Düse / Lavaldüse (isentrope und reale Zustandsänderung)

Düse Querschnittsverjüngung, Konvergenz, Strömungsbeschleunigung bis v = a, Druckabfall

Lavaldüse keine Geschwindigkeitsbegrenzung sondern Überschallströmung v a,

zuerst Querschnittsverjüngung dann Querschnittserweiterung, im engesten Querschnitt Amin: v = a,

Druckabfall. Austrittsdruck und -querschnitt müssen bei der Gestaltung aufeinander

abgestimmt sein (siehe Tabelle Seite 8-13).

Der Massenstrom ist durch den engsten Querschnitt (Amin) bei kritischem Druck (pkrit -Lavaldruck) und kritischer

Geschwindigkeit (vkrit) begrenzt.

h : spez. Enthalpie [ J / kg ]

v : Strömungsgeschwindigkeit [ m / s ]

Ezu/ab : spez. Energie zufuhr /-abfuhr von außen [ J / kg = Nm / kg ]

YV : spez. massebezogener Energieverlust [ J / kg ]

p : Druck [ Pa ]

: Rohrreibungszahl

l : Länge [ m ]

d : Durchmesser [ m ]

v : Strömungsgeschwindigkeit [ m / s]

Tmit : mittlere Temperatur [ K ]

Ri : spez. Gaskonstante [ J / (kgK) ]

pV: Druckverlust [ Pa ]

YV : spez. massebezogener Energieverlust [ J / kg ]

v : Strömungsgeschwindigkeit [ m / s]

: Geschwindigkeits- oder Reibungsbeiwert,

< 1 reale Strömung

: Einschnürungsfaktor, < 1 reale Strömung

hs : isentropes spez. Enthalpiegefälle [ J / kg ]

: Isentropenexponent

Ri : spez. Gaskonstante [ J / (kgK) ]

m : Massenstrom [ kg / s ]

: Ausflußfunktion

: Isentropenexponent

pkri : kritischer Druck [ Pa ]

gilt natürlich auch für Behälterausströmung

17

s212 h2vv

1

1

21i

212 p

p1TR1

2vv

11221A p2Ammm min

1

1

2

2

1

2

pp

pp

1

1ppTR

12vv

1

1

21i

212

2222 vAm

6.8 Diffusor (isentrope und reale Zustandsänderung)

Diffusor Querschnittserweiterung, Divergenz, Strömungsverzögerung (Unterschallströmung) v < a,

Druckanstieg bzw. Verdichtungsströmung.

Es gelten grundsätzlich dieselben Zusammenhänge wie bei den Düsen. Da jedoch p2 / p1 > 1 ist, muß mit geänderten

Vorzeichen bei der Berechnung der Austrittsgeschwindigkeit gerechnet werden. Ausflußfunktion und Massenstrom-

gleichung gelten durch math. Kompensation des Vorzeichenwechsels unverändert.

Hinweis für Behälter-, Düse-, Lavaldüse und Diffusorströmung:

Fehlt eine Größe kann man sie nartürlich auch durch die

Durchflußgleichung bestimmen.

v : Strömungsgeschwindigkeit [ m / s]

: Geschwindigkeits- oder Reibungsbeiwert,

< 1 reale Strömung

: Einschnürungsfaktor, < 1 reale Strömung

hs : spez. Enthalpiegefälle [ J / kg ]

: Isentropenexponent

Ri : spez. Gaskonstante [ J / (kgK) ]

m : Massenstrom [ kg / s ]

: Ausflußfunktion

v : Strömungsgeschwindigkeit [ m / s]

: Geschwindigkeits- oder Reibungsbeiwert,

< 1 reale Strömung

: Einschnürungsfaktor, < 1 reale Strömung

hs : spez. Enthalpiegefälle [ J / kg ]

: Isentropenexponent

Ri : spez. Gaskonstante [ J / (kgK) ]

m : Massenstrom [ kg / s ]

: Ausflußfunktion

18

2vpzgY

2

id

totid

2

id

pY

2vpY

2vhY

2

id

1

1

21i

21

pp1TR

1h

hhh

1ppTR

1h

hhh1

1

21i

12

7. Strömungsmaschinen

7.1 Gliederungskriterien

Art des Fluids:

Hydraulische Maschinen, inkompressible Flüssigkeiten, Wasserturbine und Pumpen.

Thermische Maschinen, kompressible Gase und Dämpfe, Gas- und Dampfturbinen oder Turboverdichter.

Durchströmungsrichtung:

Radialmaschinen, werden von innen nach außen oder von außen nach innen durchströmt.

Axialmaschinen, werden senkrecht zur Rotationsbewegung in Wellenrichtung durchströmt.

Art der Energieumwandlung:

Arbeitsmaschinen: mechanische Arbeit potentielle Energie Pumpe und Verdichter

Kraftmaschinen: potentielle Energie mechanische Arbeit Turbinen

7.2 Stutzenarbeit

Hydraulische Maschinen:

für z = 0

Thermische Maschinen:

für Entspannung (Turbine)

für Verdichtung (Ventilator)

Yid : ideale Stutzenarbeit [ J / kg ]

19

idYmP

MrFuFP uu

idYmP

MrFPuFP

u

u

mvoli

u12u22id cucuY

u1u2id ccuY

nDu

kAVcm

bDARadial

2i2aAxial DD4A

7.3 Leistung

Arbeitsmaschinen:

Kraftmaschinen:

7.4 Wirkungsgrad

7.5 Energieumsetzung im Laufrad

Eulerische Hauptgleichung:

bei Axialmaschinen

Geschwindigkeitspläne (Bild 2.7)

Sonstige Geschwindigkeiten aus den Winkelbeziehungen ( sin, cos, tan )

P : Leistung [ J / s = W ] W : Watt

Yid : ideale Stutzenarbeit [ J / kg ]

m : Massenstrom [ kg / s ]

Fu : Umfangskraft [ N ]

u : Umfangsgeschwindigkeit [ m / s ]

: Wirkungsgrad

: Winkelgeschwindigkeit = 2f [ 1 / s ]

P : Leistung [ J / s = W ] W : Watt

Yid : ideale Stutzenarbeit [ J / kg ]

m : Massenstrom [ kg / s ]

Fu : Umfangskraft [ N ]

u : Umfangsgeschwindigkeit [ m / s ]

: Wirkungsgrad

: Winkelgeschwindigkeit = 2f [ 1 / s ]

i : innerer Wirkungsgrad (Strömungsverluste)

vol : volumetrischer Wirkungsgrad (Spaltleckageverluste)

m: mechanischer Wirkungsgrad (Lagerreibung, Getriebeverluste)

Yid : ideale Stutzenarbeit [ J / kg ]

u : Umpfangsgeschwindigkeit u = r [ m / s ]

c : absolute Strömungsgeschwindigkeit [ m / s ]

w : relative Strömungsgeschwindigkeit [ m / s ]

cm : Mediangeschwindigkeit [ m / s ]

cu : Umfangskomponente der Absolutgeschw. cu = c cos [ m / s ]

k : Verengungsfaktor

b : Laufradbreite [ m ]

D : Laufraddurchmesser [ m ]

20

NPSHRNPSHA

ASNPSHRNPSHA

gY

g2c

gppNPSHAh V

20D0

z

gY

g2c

gppNPSHAh V

20D0

s

n3D

II

I kkVV

2n

2D

totII

totI

II

I kkpp

YY

3n

5D

II

I kkPP

II

ID D

Dk II

In n

nk

7.6 Ähnlichkeitsbedingungen

Zum Umrechnen von Betriebszustände oder Baugrößen einer Typenreihe (gleiche Konstruktionsmerkmale).

Größenverhältnis: Drehzahlverhältnis:

7.7 Kavitation

HHM (NPSHR) Maschinenkennzahl (spezifische Maschinenhaltedruckhöhe), muß nicht berechnet werden,

sondern wird angeben oder kann direkt abgelesen (Bild 3.4) werden.

HHA (NPSHA) Anlagenkennzahl (spezifische Anlagenhaltedruckhöhe)

Bedingung für Kavitationsfreiheit:

Erforderliche geodätische Zulaufhöhe (Zulaufhöhe muß oberhalb des Saugstutzens liegen):

Erforderliche geodätische Saugfhöhe (Saughöhe muß unterhalb des Saugstutzens liegen):

NPSHR : spezifische Maschinenhaltedruckhöhe [ m ]

NPSHA : spezifische Anlagenhaltedruckhöhe [ m ]

SA : Sicherheitsfaktor

hz : geodätische Zulaufhöhe [ m ]

p0 : Druck im Saugstutzen [ Pa ]

pD : Dampfdruck ( Bild 5.1 ) [ Pa ]

c0 : Absolutgeschwindigkeit im Saugstutzen [ m / s ]

YV : spez. massebezogener Energieverlust [ J / kg ]

Anlagendruckverluste werden angeben oder müssen

aus den Rohr- und Einzelwiderständen berechnet werden.

hs : geodätische Saughöhe [ m ]

p0 : Druck im Saugstutzen [ Pa ]

pD : Dampfdruck ( Bild 5.1 ) [ Pa ]

c0 : Absolutgeschwindigkeit im Saugstutzen [ m / s ]

YV : spez. massebezogener Energieverlust [ J / kg ]

Anlagendruckverluste werden angeben oder müssen

aus den Rohr- und Einzelwiderständen berechnet werden.

21

2*t VRp

321ges pppp

321ges RRRR

321ges VVVV

321ges R1

R1

R1

R1

7.8 Betriebsverhalten von Arbeitsmaschinen

Bestimmung des Betriebspunktes im Kennfeld:

Der Betriebspunkt läßt sich aus dem Maschinenkennfeld bestimmen, indem man zusätzlich die Anlagenkennlinie in

das Diagramm einfügt. Der Schnittpunkt der Anlagenkennlinie mit der Maschinenkennlinie bei betrachteter

Drehzahl bezeichnet man als Betriebspunkt, weil sich dort die Betriebscharakteristiken von Anlage und Maschine bei

gleichen Volumenstrom treffen.

Ändern sich die Anlagen-Reibungswiderstände (Anlagenkennlinie) z.B. durch Ventilstellung, so verändert sich

der Betriebspunkt auf der Drosselkurve .

Bestimmung der Anlagenkennlinie:

Für jeden Anlagen-Reibungswiderstand (Rmax geschlossene Drosselklappe, Rmin offene Drosselklappe)

ist eine Tabelle zu erstellen. Die Werte sind dann in das Kennfeld einzutragen.

V

tp

Möglichkeiten der Maschinenregelung:

Drosselregelung,

ist im engeren Sinn keine Maschinenregelung, da die Anlagenkennlinie primär verändert wird. Zu beachten ist

beiKennfeldern mit Totaldruckerhöhung (ptot = Y) , ob die Drosselung saug- oder druckseitig erfolgt, da die

Fluiddichte druckabhängig ist.

Drehzahlregelung,

ist die effektivste Art der Maschinenregelung, die Geschwindigkeitsdreicke optimal und der innere Wirkungsgrad

maximal ist. Die optimale Drehzahl ergibt sich aus minimaler Leistung im Betriebspunkt. Drehzahl betriebene

Antriebe bedeuten allerdings höhere Anschaffungskosten.

7.9 Reihen- und Parallelschaltung

Reihenschaltung: Druckverluste oder Totaldruckerhöhungen addieren sich

Parallelschaltung: Volumenströme addieren sich

Die Ersatzkennlinie bei Anlagen und Maschinen können graphisch ermittelt werden,

indem bei Reihenschaltung die Druckverluste oder Totaldruckerhöhungen addiert werden

und bei Parallelschaltung die Volumenströme.

Dir Ersatzkennlinien bei Anlagen können rechnerisch ermittelt werden, indem über ein Ersatzschaltbild der

Ersatzwiderstand ermittelt wird. Bei Maschinen ist das nicht möglich.

22

cmQ

ttcmQ 12

AKGKtan

HypAKcos

HypGKsin

7.10 Druckverlauf in Rohrsträngen mit Arbeitsmaschinen

Die Totaldruck-Extremwerte treten direkt vor oder hinter einer Arbeitsmaschine auf,

Siehe hierzu Druck-Weg-Diagramm (Bild 7.7).

8. Sonstiges

8.1 Wärmeenergie, -arbeit

8.2 Winkelfunktionen

8.3 Umrechnungen Druck

)pp()pp(p 1dyn2dyn1stat2stattot

Q : Wärmeemergie [ J ]

m : Masse [ m ]

c : spezifische Wärmekapazität [ kJ / kgK ]

: Temperaturdifferenz [ ° oder K ]

GK : Gegenkathete

AK : Ankathete

Hyp : Hypotenuse

1 bar = 105 Pa 1 Torr = 133,3 Pa

1 Pa = 10-5 bar 1 bar = 750,06 Torr