Strömungslehre - TU Dortmund I... · Propeller, Strömungsgetriebe und Strömungskupplungen. Turbinen sind Energiewandler, die einem Fluid Energie entziehen und diese Energie m mechanisch

Strömungslehre

Teil II - Strömungsmaschinen -

WS 2005/2006

Grundlagen der Turbinen, Kompressoren und

Kreiselpumpen

PROF. DR.-ING. KNUT KAUDER FAKULTÄT MASCHINENBAU FLUIDENERGIEMASCHINEN UNIVERSITÄT DORTMUND

Vorwort

An der Universität Dorhnund wird im Rahmen einer Gemeinschaftsveranstaltung für die

Studenten der Fakultät Maschinenbau eme einsemestrige Vorlesung über

Fluidenergiemaschinen im 5. Semester gehalten und durch Übungen sowie Laborversuche

ergänzt. Die Vorlesung Strömungslehre behandelt die Strömungsmaschinen, die Energie

durch Drehimpulsänderung wandeln. In der Veranstaltung Fluidenergiemaschinen II werden

im Rahmen der Vertiefungsvorlesung Maschinentechnik die Verdrängermaschinen, deren

Arbeitsweise auf eine zyklische Volumenänderung des energiewandelnden Arbeitsraumes

beruht, dargestellt. Beiden Maschinengruppen ist die Energiewandlung der verarbeiteten

Fluide eigentümlich. In die Reihe der Vertiefungsvorlesungen gehören weiter die Vorlesungen

Dampfturbinen sowie Gasturbinen- und Gasmotoranlagen.

Die teilweise noch benutzten Begriffe Kraft- und Arbeitsmaschinen sind inhaltlich weder

präzise gefaßt, noch beschreiben sie vom darstellenden Umfang her den Bereich der

Strömungs- und Verdrängermaschinen. Deshalb wird auf die nur historisch zu rechtfertigende

Begriffsbezeichnung vollständig verzichtet.

Die Vorlesung macht den Hörer mit den grundlegenden, gememsamen physikalischen

Gesetzen des Energieumsatzes in Fluidenergiemaschinen vertraut, behandelt den Aufbau, die

Wirkungsweise und das betriebliche V erhalten solcher Maschinen. Dabei werden

Grundkenntnisse in der begleitenden Vorlesung Strömungsmechanik und in der

Thermodynamik vorausgesetzt. Bewußt werden konstruktive Gesichtspunkte zugunsten der

Diskussion von Kennfeldparametern in den Hintergrund gestellt.

Das voliegende Skriptum, für den internen Gebrauch bestimmt, soll dem Hörer das

Mitschreiben erleichtern und das Mitzeichnen ersparen, es soll keine vollständige Stoff- und

Rezeptsammlung sein, sondern die einfachsten und wichtigsten Grundlagen der

Strömungsmaschinen beinhalten.

Mein besonderer Dank gilt Herrn Dipl.-Ing. B. Kliem für die Überarbeitung der Reinschrift.

Außerdem danke ich Herrn P. Goeken für die Erstellung der Zeichnungen sowie Frau J.

Schmitt für die Anfertigung der Reinschrift.

(Prof. Dr.-Ing. K. Kauder)

Dortmund, im Herbst 2003

1.

1.1.

1.1.1.

1.2.

1.2.1.

1.2.1.1.

1.2.2.

1.2.3.

1.2.4.

1.2.5.

2.

2.1.

2.2.

2.3.

2.4.

2.5.

2.6.

2.7.

3.

3.1.

3.1.1.

3.1.2.

3.2.

3.3.

4.

4.1.

4.2.

4.3.

4.4.

Inhalt

Vorwmi

Einleitung

Verzeichnis der wichtigsten Symbole

Allgemeine Grundlagen

Grundbegriffe und Aufbau

Historische Entwicldung

Energiewandhmg

Der stationäre Fließprozeß

Der Fließprozeß fiir kompressible Fluide

Der instationäre Fließprozeß

Stationäre Strömungsprozesse

Energiewandlung in Strömungsmaschinen

Zustände von Gasen und Dämpfen

Strömung im rotierenden System

Kinematik der Axialmaschine

Kinematik der Radialmaschine

Zirkulation im Laufrad, Momentensatz

Eulerscher Momentensatz

Radarbeit tmd Radleistung (Hauptgleichung)

Strömung im rotierenden, radialen Schaufelgitter (reversibler Fließprozeß)

Strömung im rotierenden Schaufelgitter bei irreversiblem Fließprozeß

Energiewandlung in der Maschinenstufe

Die Turbinenstufe

Energiefluß

Darstellung der Gefalle

Die Pumpen- bzw. Kompressorstufe

Definition der Wirkungsgrade (Wirld(ette)

Aktions- und Reaktionswirkung

Gleichdruckturbinen

Überdruckturbinen

Reaktionsgrad (allgemein)

Vergleich der Arbeitsverfahren

5.

5.1.

5.2.

5.3.

6.

6.1.

6.2.

6.3.

6.4.

6.5.

7.

7.1.

7.2.

7.3.

7.4.

7.5.

8.

8.1.

8.1.1.

9.

9.1.

9.1.1.

9.1.2.

9.1.3.

9.2.

9.2.1.

9.2.2.

9.3.

9.3.1.

9.3.2.

9.3.3.

9.3.4.

9.3.5.

9.3.6.

10.

Axiales Laufgitter und Einzelflügel

Tragflügeltheorie

Anwendtmg der Tragflügeltheorie auf das axiale Laufrad

Das Schaufelprofil

Maschinenkennzallien

Äluliichkeit

Kem12ahlen

Anwendtmg der Kennzalllen auf die Maschinenauslegung

Mehrstufigkeit und Mehrflutigkeit

Baureihenbildm1g

Dissipation in Strömungsmaschinen

Dissipation an Welle und Laufrad

Dissipation infolge Spaltströmung

Dissipation im Gitter

Dissipation durch Stoß

Dissipation durch partielle Beaufschlagung

Konstrulctive Besonderheiten

Axialschub

Ausgleich oder Teilausgleich des Axialschubes

Betrieb von Strömungsmaschinen

Kemliinien, Kemlfelder

Pumpenlcennlinien

Genauere Betrachnmg des Strömungswinkels ß2

Kemlfelder von Ptnnpen und Kompressoren

Betriebsgrenzen von Strömungsmaschinen

Kavitation im Kreiselpumpenbetrieb

Überschallgefalrr im Turbokompressorbetrieb

Maschinenkennlinien bei Einzel- und Mehrfachanordnung

Kennlinienumreclmung

Reihenschalttmg

Parallelschaltung

Passive Anlagenteile

Ermittlung von Arbeitspunlcten

Instabile Arbeitspunlcte "Pumpen" und "Pumpgrenze"

Literatl1r- und Sachwortverzeichnis

Einleitung

Die gnmdlegenden physikalischen Gesetze der Energiewandhmg sind bei allen

Fluidenergiemaschinen gleich.

Lediglich findet sich für den Eulerschen Momentensatz keine Anwendung im Bereich der

Verdrängermaschinen, wohl aber für verschiedene "Hybride Maschinentypen".

Für die Darstellung der physikalischen Zusammenhänge werden Größen tmd

Größengleichungen benutzt (DIN 1313). Physikalische Größen sind meßbare Eigenschaften

von Objekten, Vorgängen und Zuständen, die - in Gleichtmgen benutzt - von der Wahl der

Einheiten unabhängige Größengleichungen ergeben.

Unter einer Einheit wird eine aus der Menge gleichaliiger Größen ausgewählte und festgelegte

Größe verstallden. Die in Beispielen allgegebenen Zahlenwe1ie von physikalischen Größen

entstehen aus dem Verhältnis Größe --- = Zahlenwert · Einheit '

dabei ist die benutzte Größe invariant gegenüber dem Wechsel der Einheiten.

In dem vorliegenden Skripttun wird das internationale Einheitensystem - MJSAKC - benutzt

mit den Grundeinheiten:

Meter m für die Länge

Kilogramm kg für die Masse

Sekunde s für die Zeit

Ampere A für die Stromstärke

Kelvin K für die Temperatt1r

Cal1dela cd für die Lichtstärke .

Die wichtigsten, daraus abgeleiteten, kohärenten Einheiten sind:

Kraft IN (Newton) 1 kgms-2

Druck 1 Pa (Pascal) 1 Nm-2 1 kgm-Is-2

Arbeit 1 J (Joule) lNm 1 kgm2 s-2

Leisttmg lW (Watt) 1 Js-1 1 kgm2 s-3.

Die im Skriprum allgegebenen Kapitel, Gleichtmgen und Bilder sind abschnittweise 1.1.,

1.2., ... muneriert.

Definitionsgleichtmgen werden mit dem Definitionszeichen := gekennzeichnet.

Symbol

A

a

a

a

b

b

c

D

d

e

F

Fr

g

H

h

i L

1

Mct m

n

n

nq

ii p

p

Q q


Dimension

e 12 f1

lt-2

lt-1

er2

lt-1

lt-1

12 r2 r1

m 12 f 2

er2

m 1 f 2

lt-2

mer2

fr2

m 1 f 2

mer1

m

r1

f1

1

mer3

mr1 f 2

mff2

er2

mit den Grunddimensionen m Masse l Länge T Temperatur t = Zeit

Bedeutung

Fläche

materielles Vektorfeld

Beschleunigung

Schallgeschwindigkeit

Breite (Laufrad-),

spez. Anergie

Geschwindigkeit

Auftreffgeschwindigkeit von Kavitationsblasen

spezifische Wärme

Beiwe1i (Auftriebs-, - Widerstand-)

Außendurchmesser

Im1endurchmesser

hydraulischer Durchmesser

Energie, Exergie

spezifische Energie

Kraft

Froude Zahl

Fallbeschleunigung

Enthalpie

spezifische Enthalpie

Impulsstrom

Drehimpuls

Länge

Drehmoment

Masse

Drehzahl

Polytropenexponent

spezifische Drehzahl

äußerer Normaleinheitsvektor

Leistung

Druck

Wärme

massebezogene Wärme

Symbol

R

Re

r

r

s s

T

t

u

u

V

V

w w

w

w"'

X

X

~YH

y

z

a

a

ß ßr ßp 8

r 8

s 11


Dimension

1

me f 2 T 1

er2 T 1

T

t

er2

lt-1

13

13 m-1

ml2 f 2

lt-1

er2

lt-1

1

1

er2

1

1

(rad)

mf3 T 1

(rad)

1 t2 m-1

r1

(rad)

e f 1

mr1 f 1

mit den Grunddimensionen m Masse l Länge T Temperatur t = Zeit

Bedeutung

Radius

Reynolds Zahl

Radius, Kurbelradius

Reaktionsgrad

Entropie

spezifische Entropie

thermodynamische Temperatur

Zeit

spezifische innere Energie

Umfangsgeschwindigkeit

Volumen

spezifisches Volmnen

Arbeit

Relativgeschwindigkeit

spezifische Arbeit

Anströmgeschwindigkeit

Stromlinienkoordinate

kartesische Koordinate

spezifische Halteenergie

kcuiesische Koordinate

ka1iesische Koordinate

Winkel der Absolutströmung (ü ~ c)

Wärmeübergangskoeffizient

Winkel der Relativströmung (-ü ~ w)

isothermer Kompressibilitätskoeffizient

iso ba1·er Wärmeausdehnm1gskoeffizient

Anstellwinkel

Zirkulation

Durchmesser

Widerstandszahl, Verlustziffer

dynan1ische Zähigkeit

Symbol

K

V

p

Ci

Ci

\jfs

\[!K

(J)


Dimension

m r2 r 1

m f 2 r1

mer2

er2

(rad)

mit den Grunddimensionen m Masse I Länge T Temperatur t = Zeit

Bedeutung

Wirkungsgrad c

Verhältnis der spezifischen Wärmen ( K := _P )

Widerstandszahl der Rohrströmtmg

Längenmaßstab

Reibtmgswinkel

Wärmeleitfähigkeit

Leistungszahl, Energiebeiwert

kinematische Zähigkeit

Dichte

Laufzahl

Spanmmg (Normal)

Spannung (Schub, Schenmg)

Zeitmaßstab

Dissipationsenergie

spezifische Dissipationsenergie

Drehwinkel, Zylinderkoordinate

Volumenstromzahl

Druckzahl

Enthalpiezahl

Kavitationszahl

Winkelgeschwindigkeit

cv

Eindeutige vektorielle Zusammenhänge werden olme~ benutzt.

Indices

A Austritt, Anlage, Auftrieb

a angesaugt, atmosphärisch, Beschleunigung

B Behälter

D Dmchsatz, Dampfdruck

E Eintritt

e effektiv

Fl Fluid

f _Eörder-, Gefälle-,

G Gegengewicht, Gebläse

g gesamt

h hydraulisch

indiziert, i-te Stufe, innen

id ideal

m irreversibel

K Kompressor (Tmboverdichter)

k kinematisch

La Laufrad

Le Leitrad

m Meridian-Komponente

m Mittelwert, auch dmch Querstrich oben ausgedrückt (z.B. c =mittlere Geschwindigkeit)

NP Nennpunkt

n Nutz, normal

ö öffnen

P Pumpe

pol polytrop

R Rad, Resultierende, Reibung

RR Radseitemaum

RT Triebwerlaeibung

red reduziert

rev reversibel

S Schwerpunkt

Sch Schaufel

SD Sicherheitsabstand

s isentrop, synchron

Sp Spalt

St Stoß

T Tmbine

Indices

t total

th isotherm, theoretisch

tr trocken

u Umfang

v volumetrisch

W Widerstand

z Zylinder

Mittelwert

auf die Zeiteinheit bezogenes Symbol

1 Ort der geringsten Dmckenergie ( Saugseite)

2 Laufrad, Ein- bzw. Austritt

3 Leitrad, Ein- bzw. Austritt

4 Ort höchster Dmckenergie (Dmckseite)

1.

1.1.

Allgemeine Grundlagen

Grundbegriffe und Aufbau

1.1

Strömungsmaschinen wandeln durch Drehimpulsänderung den Energieinhalt eines zu ver

arbeitenden Fluids. Allgemein soll unter dem Sammelnamen F 1 u i d fließfähige Materie, also

Flüssigkeiten1), Gase und Dämpfe verstanden werden.

Zu den Strömungsmaschinen gehören:

Turbinen,

Turbokompressoren (Kompressoren),

Kreiselpumpen,

Propeller,

Strömungsgetriebe und Strömungskupplungen.

Turbinen sind Energiewandler, die einem Fluid Energie entziehen und diese Energie m

mechanisch nutzbare Arbeit an die Maschinenwelle in Fonn eines Drehmomentes abgeben.

Turbokompressoren, Kreiselpumpen und Propellern wird mechanisch nutzbare Arbeit als

Wellenarbeit zugeführt und an das Fluid in Form von potentieller und/oder kinetischer

Energie übertragen.

Strömungsgetriebe zählen zu den hydrodynamischen Wandlern, die die Eigenschaften der

ersten zwei Gruppen in sich vereinigen.

Bei den Turbinen unterscheidet man nach der Art des Arbeitsfluids Dampfturbinen, Wasser

turbinen und Windturbinen. Eine wirtschaftliche Erzeugung elektrischer Energie ist heute

ohne den Einsatz von Turbinen kaum vorstellbar.

Kreiselpumpen gehören zu den verbreitetsten Energiewandlern in der modernen Technik,

heute gibt es kaum eine Anlage oder ein V erfahren, bei dem nicht Flüssigkeiten zu fördern

sind.

Das gemeinsame Kennzeichen aller Strömungsmaschinen ist ein rotierendes Laufrad, Bild

1.1. Dieses Laufrad ist mit Schaufeln (Laufschaufeln) am Umfang besetzt. Häufig findet sich

im Gehäuse ein feststehendes Leitrad.

l) Flüssigkeit im allgemeinen Sinn ist ein Stoff, der einer scherenden Beanspruchung unbegrenzt nachgibt. Die hier behandelten Maschinen wandeln den Energieinhalt von newtonscheu Fluiden, d.h., die Schubspannung ist eine lineare Funktion der Schergeschwindigkeit (Newton'sches Fluidreibungsgesetz).

1.2

Strömungsmaschinen besitzen offene Kanäle, in denen die Energiewandlung stattfindet.

a) Leitrad ( Le} fest

Spalt

Laufrad (La}

b)

+t

Le

Bild 1.1:

Aufbau von Strömungsmaschinen

a) Axial- oder Meridianschnitt

b) abgewickelter Zylinderschnitt

(Schnitt A-B)

Turbine

Pumpe, Kompressor

Schaufeln sind nicht im Schnitt sondern

zirkular projiziert dargestellt.

Im Gegensatz dazu ist das gemeinsame Kem12eichen aller Verdrängennaschirren ein gekapsel

ter, also geschlossener Arbeitsraum, dessen Größe sich während eines Arbeitsspieles zyklisch

verändert. Der Arbeitsraum ist, wie der offene Strömungskanal, mit Fluiden gefüllt.

Bei der Umströmung der Laufschaufeln entstehen durch die träge Masse des Fluids

Strömungskräfte und damit eine nach außen wirkende Arbeit pro Zeiteinheit. Diese Trägheits

kräfte werden durch Richtungsänderungen und damit Dralländerungen bzw. durch

Beschleunigungen der Strömung verursacht.

LeUschaufeln haben die Aufgabe der besseren Energienutzung durch Strömungsrichtungs

änderung und sollen darüber hinaus Druckenergie in Geschwindigkeitsenergie (Turbine) bzw.

Geschwindigkeitsenergie in Druckenergie (Pumpe, Kompressor) umsetzen. Dabei bleibt aber

im Gegensatz zum Laufrad der Gesamtenergieinhalt unverändert. Dem Laufrad und damit den

Laufschaufeln wird ein Drehmoment von außen zugeführt (Pumpe, Kompressor) oder ent

zogen (Turbine).

1.3

Für die Darstellung emer Strömungsmaschinenstufe (Laufrad plus Leitrad) werden die

Schaufeln in der Drehachse geschnitten, Bild l.l.a. Diese Meridianschnitte ergeben bei

zirkularer Projektion durch ein Hineindrehen der Teilschnitte in die Zeichenebene die

Schaufel umrisse.

Ein Zylinderschnitt A-B ergibt abgewickelt, Bild l.l.b, das Lauf- und Leitradgitter, allgemein

das Schaufelgitter.

Je nach Durchflußrichtung dieses Schaufelgitters wechselt die Energiewandlungsrichtung,

d.h., die Strömungsmaschine arbeitet entweder als Turbine (ausgezogener Pfeil) oder als

Pumpe bzw. Kompressor (gestrichelter Pfeil), damit ändert sich auch die Drehrichtung der

Welle. Turbinen sind also die Umkehrung der Pumpen bzw. Kompressoren.

Strömungsmaschinen, die abwechselnd antreiben und nach Änderung der Dreh- und Durch

flußrichtung angetrieben werden, heißen Pumpenturbinen (Pumpspeicherwerke). Für alle re

versiblen Vorgänge ergibt sich die Umkehrung unmittelbar. Reale Strömungen verlaufen aber

irreversibel, d.h., unter Entropieerzeugung. Diese Irreversibilität ist abhängig von der Durch

strömrichtung der Maschine.

Die notwendig verzögerte Pumpen- bzw. Kompressorströmung erzeugt vorwiegend durch

Grenzschichteinflüsse einen höheren dissipativen Anteil bei der Energiewandlung als die be

schleunigte Turbinenströmung. Bestimmte konstruktive Maßnahmen, die dann zu

differenzierter Bauweise führen, können diese negativen Einflüsse mildern. Kanäle zur

Verzögerung einer Strömung werden Diffusoren, solche zur Beschleunigung werden Düsen

genannt.

Zur Beschreibung der Laufradbauarten dient das Strömungsfeld2) . Es ist hauptsächlich von

der Form der Laufradkanäle abhängig. Beim Durchfluß des Fluids können die Stromflächen3)

nicht beliebig verlaufen. Die Schaufelflächen sind als Begrenzungsflächen zu betrachten, weil

diese mit den Stromflächen ein kongruentes System bilden sollen.

Aus den Stromflächen, Bild 1.2., sind die Laufradbauarten in Bild 1.3. abzuleiten.

Aus den Laufradbauarten ergeben sich spezifische Maschinenbaufonnen, Bild 1.4.

Bild 1.5, Bild 1.6 und Bild 1. 7 zeigen ausgeführte Maschinen.

2) Strömungsfeld: Hier die Beschreibung eines zeitunabhängigen Richtungsfeldes von Elementarvolumina 3) Stromfläche entsteht durch Rotation einer mittleren Stromlinie um die Maschinendrehachse.

Stromlinie:= Integralkurve eines Richtungsfeldes, d.h., diejenigen Linien, deren Tangenten zu einem Zeitpunkt t mit der Strömungsrichtung übereinstimmen.

1.4

Bild 1.2: Stromflächen zur Beschreibung von Laufrädern

A - radial

A.

8.

c.

B, C - diagonal (halbaxial) D - axial

Bild 1.3: Laufradbauarten

A - radial

B - diagonal (halbaxial)

C - axial

Kaplan- Turbine (axial durchströmt)

1.5

Froncis -Turbine

(diagonal durchströmt)

Bild 1.4: Bauformprinzipien nach den Laufradbauarten

radial

1

Bild 1.5: Radiale Kreiselpumpe

(Die Abströmrichtung des augesaugten Fluids ist radial)

Froncis-Turbine

(radial durchströmt)

Laufrad

Dichtung Saugstutzen ...

Bild 1.6:

1.6

halbaxial

~

Halbaxiale Kreiselpumpe (Diagonalrad) mit Spiralgehäuse

(Die Abströmrichtung des augesaugten Fluids ist halbaxial)

1.7

axial

Bild 1.7: Axiale Kreiselpumpe (Propellerpumpe)

(Die An- und Abströmrichtung des augesaugten Fluids ist axial)

1.8

1.1.1. Historische Entwicklung

Auszug aus: Die praktischen Beziehungen der

KINEMATIK zu GEOMETRIE und MECHANIK

von

Prof. Dr. F. REULEUX, Braunschweig 1900

Flud-Krafträder

Langsam musste man sich zu dieser Klärung durcharbeiten. Das sieht man noch an der Ausführung, die der

kenntnisreiche und e1jinderische Oberbergrath Althans d. Aelt. in der Jugendzeit der Turbinen dem

Segner'schen Wasserrade gab4), indem er das zu schnell abfliessende Wasser ein zweites Rad treiben liess, statt

die Uebersetzungszahl entsprechend zu ändern.

Pettonräder werden jetzt auch bei uns gebaut, und zwar von Briegleb, Hansen & cie in Höchst a. M und von

Ganz & cie in Pest. Die ersteren haben u.a. durch Bremsversuche an einem 76pferdigen Rade 84-88/100

Wirkungsgrad ermittelt; dieser zeigt sich stark abhängig von der Düsenweite. J.J. Rieter & cie ermittelten an

einem Breuer'schen Rade 81/100 als Wirkungsgrad, Ganz & cie fanden 81-88/100. Kleinere, schwächere Räder

haben nicht so günstige Zahlen geliefert, als stärkere. In Amerika hat Cazin5) versucht, durch besonders feine

Ausbildung der Schaufelfonn und enge Schaufelstellung den Wirkungsgrad des Rades noch etwas zu steigern,

Fig435.

4) S. Weisbach, Ing. u. Masch.-Mechanik, III. Aufl., 1859, Bd. II, SDD. 595; ebenda IV. Aufl. S. 636 5) Von der American lmpulse-Wheel Company in Newyork

1.9

Durchweg zeigen die Versuche von drüben wie von hüben, dass das Rad vorzüglich brauchbar ist, entgegen den

Zweifeln, die gleich nach dem Erscheinen meines angeführten Vortrages an der Veröffentlichungsstelle geäußert

wurden.

DieLava l s c h e Da m p fm a s c hin e, Fig. 436, hat man wohl auch eine Dampfturbine genannt; das ist

aber nicht glücklich, man muss sie nach dem Besprochenen ein , Dampfi·ad nennen. Denn die Lava! sehen

rinnenformigen Schaufeln werden gerade so vom Fludstrom getroffen und gedrückt, der Strom wird gerade so

wieder abgeleitet, wie bei den zu Z\Veien vereinigten Schaufeln des Peltonrades; nur ist der Austrittswinkel nicht

so günstig wie dort. Ausgeführt wird bei uns das Rad in vorzüglicher Weise durch die Maschinenbauanstalt

Humboldt in Kalle. Das in Fig. 436 dargestellte Rad ist einer 30pferdigen Maschine entnommen; es hat 198 mm

mittleren Durchmesser und läuft 15 OOOmal in der Minute um;

Zahnräderübersetzung setzt die Umlaufzahl zunächst auf den zehnten Theil herab. Die Schmifelhöhlung ist

Ja·eisbogenformig und umfasst 120. Ein 100pferdiges Rad aus derselben Anstalt macht 13000, ein 50pferdiges

16400 Umläufe in der Minute.

Unsere Untersuchung klärt auch bestimmt auf, wodurch sich die Laval'sche Dampfmaschine von der

Parsons'schen, die ziemlich im selben Lmif der Jahre erfunden worden ist, unterscheidet. Erstere ist ein

Drucla·ad, letztere eine wirkliche echte, und zwar melufache Turbine, ein Strahlrad, das aus dem Schraubentrieb

(s2F)i gemäß den Ausführungen in§ 55 allgemein, und S. 389 insbesondere abgeleitet ist. Diefolgende Figur

stellt sie dar.

Der Fluidschraubentrieb ist hier in einer grossen Anzahl von St4en wirksam, nach deren jeder der Fludstrang

wieder von Drehung befi·eit wird. Insbesondere hat Parsans hier Zwiselschraubentrieb benutzt, um Längsdruck

auf die Lager zu vermeiden; die Längspressungen mif die 38 Schaufella·änze heben sich gegenseitig mif6) .

6) S. die engl. Patentschriften 6735/1884, 5512/1887 und 1120/1890; ausserdem den 1897 von Parsans in der Inst. ofCivil Engineers gehaltenen Vortrag über: "Vor- und Nachthele der rotirenden und hin- und hergehenden Dampfmaschinen für Schiffs betrieb", wiedergegeben im Engineering vom 4./6.1897, sowie eine fernere Mittheilung im Engineering vom 2./7. 1897.

1.10

Die wichtigste Anwendung der Turbine hat Parsans selbst auf dem Dampferehen Turbinia gemacht. Dieses

kleine Schiff, 100' lang, 9' breit und 3' tief gehend, 44 1/2 Tonnen verdrängend, ist mit 3 Parsons'schen

Dampfturbinen der oben dargestellten Bauart ausgerüstet, einer Hoch-, einer Mittel- und einer Niederdruck

turbine, die im Verbund arbeiten und die Dampfspannung stufenweis von 170 II oder 11 1/3 at auf 1 II I~

oder 2/15 at herabsetzen; mit dieser letzteren Spannung fliesst der Dampf in den Kondensator. Jede der drei

Turbinen, von denen die mit Niederdruck arbeitende die grösste ist, und zwar 3' im Durchmesser hat, trägt auf

dem äusseren Fortsatz ihrer leicht geneigten Welle 3 Triebschrauben, sodass deren im Ganzen 9 Stück das Schiff

fortbewegen; bei ganzer Kraft machen sie 2200 Runden minutlich und geben dem Schiff eine Fahrt von 32 3/4

Knoten. Arbeitsstärke insgesammt 2100 PS ind., Dampfverbrauch nach P's-Angabe 14,5 II oder 6,68 kg aufdie

PS. Parsans erwähnte Patente sindjüngst um sieben Jahre verlängert worden.

Die Parsons-Turbine hat inzwischen schon ihren Weg in den allgemeinen Maschinenbau gefimden. Drei Stück

von je 500 PS ....

1.2. Energiewandlung

Das Arbeitsvennögen eines Systems wird vom Energiegefälle bestimmt. Ein System entsteht

durch Abgrenzung eines Gebietes durch Kontrollraumgrenzen. An den Kontrollraumgrenzen

soll der erste Hauptsatz der Thermodynamik, das Prinzip von der Erhaltung der Energie, an

gewendet werden. Energie kann in verschiedenen Formen auftreten, als mechanische Energie,

Wärme, elektromagnetische Energie, Kernenergie usw.

hn Wandlungsfalle stehen alle Energiefonneu in bestitmnten Äquivalenzverhältnissen.

Die Kontrollraumgrenzen sollen für Energie und für die Arbeitsfluide durchlässig sein.

In Fluidenergiemaschinen wird kontinuierlich Leistung zu- bzw. abgeführt, weil ein dauernd

neu zufließender Fluidstrom das verarbeitete Fluid ersetzt. Man nennt daher die ablaufenden

Prozesse

1.11

stationäre Fließprozesse oder allgemein

offene Systeme.

Stationär bedeutet hier, daß an den Systemgrenzen die Zustandsgrößen zeitlich konstant sind.

1.2.1. Der stationäre Fließprozeß

Für die Formulierung des Energieerhaltungssatzes beim stationären Fließprozeß muß eme

Vorzeichenvereinbarung getroffen werden:

11 Alle zugeführten Energieströme werden positiv,

die abgeführten Energieströme negativ gezählt! 11

Aus Kontinuitätsgründen muß der Massenstrom am Eintritt (Index E) genau so groß wie am

Austritt (Index A) sein, wenn keine Fluidmasse durch Quellen oder Senken in den Kontroll

raum zuströmen noch ihn verlassen kann, Bild 1.8.

~-----

1 I I I I I

• I QEA I

.. I I I I I I I I L ___ _

®

-----, I I I I Systemgrenze

V I I I

I ~ I~ I I I _____ I

pEJE,CE,ZE,mE;i f(t)

Bild 1.8:

Kontrollraum einer Fluidenergie

maschine

= Wärmestrom

= effektive Kupplungsleistung

p, T, c, z = Zustandsgrößen an der

Kontrollraumgrenze

Die aus den Leistungen und Wärmeströmen folgenden Arbeiten und Wärmen sind Prozeß

und keine Zustandsgrößen, d.h., sie können je nach Prozeßführung verschiedene Werte

annehmen. Die von einem stationären Fließprozeß ·in der Zeiteinheit abgegebene oder

aufgenommene Arbeit wird als effektive oder Kupplungsleistung P e bezeichnet, wobei das

1.12

Triebwerk inhärenter Bestandteil des Systems sein soll, also sich innerhalb der Systemgrenze befindet. Mit dem zeitlich konstanten Massenstrom rh ergibt sich zwischen Leistung und

spezifischer Arbeit die Beziehung

GI. (1.2.-1).

Die Zustandsänderung des Massenstromes zwischen den Gleichgewichtszuständen E und A,

also innerhalb des Kontrollraumes, ist für die Betrachtung der Energien an der Systemgrenze

belanglos. Man bezeichnet mit QEA die während des Prozesses zu- oder abgeführte Wänne

und mit QEA den Wärmestrom, der für beliebig große Zeitintervalle gilt, da voraussetzungs-

gemäß der Prozeß stationär sein soll.

Die Leistungsbilanz (Leistung= Energie pro Zeiteinheit) für den stationären Fließprozeß nach

Bild 1.8. liefert:

GI. (1.2.-2).

Schreibt man die Leistung und den Wännestrom auf die eine Seite der Gleichung, so steht auf

der anderen Seite die aus- bzw. eintretende Energie des Massenstromes. Abkürzend führt man

noch den Begriff der spezifischen Enthalpie

h=u+pv

ein. So entsteht der 1. Hauptsatz für stationäre Fließprozesse:

GI. (1.2.-3).

Bezieht man diese Gleichung auf den Massenstrom rh, so stehen in der Gleichung nur spezifi

sche Größen:

GI. (1.2.-4).

Die Differenz der Enthalpien, Geschwindigkeits- und Lageenergien zwischen Ein- und

Austritt bestimmt also die Größe der ausgetauschten Wärme und Arbeit.

1.13

Aufgrund des 2. Hauptsatzes der Thermodynamik liefert die Definition der Entropie die Be

ziehung für die Enthalpiedifferenz

J dh = J vdp + J Tds GI. (1.2.-5)

oder für den Sonderfall eines inkompressiblen Mediums mit p = const. wird

GI. (1.2.-6).

Bei den Gleichungen GI. (1.2.-5) und GI. (1.2.-6) ist zu beachten, daß J Tds die gesamte, auf

den Massenstrom bezogene Energieänderung durch Entropieänderung ist, d.h., im Falle eines

realen, irreversiblen Prozesses mit Reibung

J Tds = J TdsQ + J Tds;,.,. GI. (1.2.-7)

gilt, worin J Tdsirr die durch Reibung im Inneren des Systems entstehende Energieänderung

bedeutet, das J TdsQ die übertragene Wärme.

Die Energieänderung durch Entropieänderung teilt sich also auf in

GI. (1.2.-8a),

mit

GI. (1.2.-8b ).

Somit gilt:

fA c~ - ci [ ] JA we + q EA = vdp + + g z A - z E + Tds

E 2 E

GI. (1.2.-9).

1.14

1.2.1.1. Der Fließprozeß für kompressible Fluide

In den meisten Fällen kann man die Änderung der Lage- und der Geschwindigkeitsenergie

eines Gases vernachlässigen, weil diese Energieanteile sehr klein gegenüber den übrigen

Energien sind.

Der 1. Hauptsatz vereinfacht sich zu

GI. (1.2.-10).

Bei nicht zu hohen Drücken lassen sich bei thermodynamischen Berechnungen der Fluid

energiemaschinenreale Gase durch die Zustandsgleichung idealer Gase (bzw. Gemische von

idealen Gasen)

pV = mRT GI. (1.2.-11)

beschreiben. Die Enthalpie h soll dann nur eine Funktion der Temperatur sein. Demnach gilt

dh = cP (T) dT GI. (1.2.-12)

mit der spezifischen Wännekapazität bei konstantem Druck cp: = (8h I 8T)p, die durch die Be

ziehung

c P ( T) - c" ( T) = R GI. (1.2.-13)

mit der Gaskonstanten R verknüpft ist, dabei soll cv: = (8u I 8T)v sein.

Der Ersatz der spezifischen Wänne cp durch den Isentropenexponenten k

GI. (1.2.-14)

führt zu einer Gleichung, die bei der Beschreibung von Zustandsänderungen oft benutzt wird

1.15

Aus Gleichung (1.2.-5) folgt auch

Tds = dh- vdp

oder

Tds = du- pdv. Gl. (1.2.-16)

Für den stationären Fließprozeß mit quasi stationärer Zustandsänderung im Kontrollraum von

E nach A gilt daher

A A

f Tds = hA -hE-J vdp Gl. (1.2.-17). E E

Aus Gleichung (1.2.-17) und Gleichung (1.2.-1 0) des 1. Hauptsatzes folgt

A A

we +qEA = f Tds+ f vdp Gl. (1.2.-18). E E

A

Das Integral J Tds stellt für reversible Prozesse die Energie dar, die einem System in Fonn E

einer Wärmeübertragung zu- bzw. abgeführt wird. Bei reversiblen Prozessen gilt:

A

qEA = fTds=(qEA)rev E

Im Falle des irreversiblen Prozesses kann man die als Wänne übertragene Energie nicht mehr

umnittelbar als Integral über die Temperatur und die Entropieänderung des Systems aus

drücken. Deshalb teilt man die Energieänderung durch Entropieänderung in zwei Anteile auf:

A A A

frds= frdsQ + frds;,.,. Gl. (1.2.-19) E E E

entprechend Gl. (1.2.-7) mit

A A

qEA =J TdsQ und rpEA = J Tds;,.,. Gl. (1.2.-20) E E

entsprechend Gl. (1.2.-9).

1.16

Dabei bedeutet <pEA die im System erzeugte Entropie, die bei irreversiblen Prozessen auftritt,

so daß stets

rpEA > 0 sein muß.

Für die Dissipationsterme legen die Integrationsgrenzen E und A lediglich den Systeminhalt

fest, in dem Entropie erzeugt wird.

Treten bei der Berechnung unterschiedliche Entropieerzeugungsmechanismen auf, so müssen

diese daher aufintegriert werden.

Die spezifische Energie läßt sich nun mit Gleichung (1.2.-18) und Gleichung (1.2.-19) für

adiabate stationäre Fließprozesse nach der Beziehung

"'0 "'0 A 1 ,----------A--- ~ f vdprev =We-CfJEA--(c~-c~;)-g(zA-zE) E 2

GI. (1.2.-21)

berechnen.

Die von einer Strömungsmaschine dem Fluid entzogene oder ihm übertragene spezifische

reversible Arbeit ist

GI. (1.2.-22).

Aus Gleichung (1.2.-21) geht hervor, daß Arbeit We aus einem Fluid nur gewonnen werden

kann, wenn dieses seinen Druck, seine Geschwindigkeit oder seine geodätische Höhe beim

Durchströmen durch einen Kontrollraum ändert.

Die tatsächlichen Vorgänge werden zu ihrer Beurteilung meist mit einfachen Zustands

änderungen verglichen. Dazu definiert man eine allgemeine Gleichung für die polytrope Zu

standsänderung. Aus ihr werden die speziellen Zustandsänderungen abgeleitet

vdp pol =-n pdv

n := -~(:) P pol

GI. (1.2.-23).

Danach lassen sich folgende spezielle Zustandsänderungen festlegen:

n 0 ~ p const Isobare

n 00 ~ V const Isochore

n 1 ~ pv const Isotherme

n k ~ s const Isotrope.

1.17

Die Darstellung der verschiedenen Polytropen im p, V- und T,s-Diagramm zeigt Bild 1.9.

(ideales Gas).

p

+-1/)

c 0 u II > 8 II c

T

n=O (p=const)

V

,, 1/)

\ \

\ --;.. \~ \''f

\ \

' \ ' ' ' ' ' '

5

Bild 1.9: Darstellung spezieller Zustandsänderungen im p, V- und T,s- Diagramm

Der Polytropenexponent n ist während einer realen Zustandsänderung häufig nicht konstant.

Man bildet für Überschlagsrechnungen deshalb den mittleren Polytropenexponenten und

kennzeichnet ihn mit einem Querstrich, n.

Die spezifische Energie nach Gleichung (1.2.-21) läßt sich für eine polytrope Zustands

änderung eines idealen Gases mit p v11 schreiben als:

weiter gilt

daraus folgt für die spezifische Energie

GI. (1.2.-24).

1.18

1.2.2. Der instationäre Fließprozeß

Die Beschreibung von instationären Energiewandlungsprozessen mit dem vollständigen ersten

Hauptsatz muß die jetzt zeitabhängigen Prozeß- und Zustandsgrößen sowie die unterschied

lichen Massenströme an Aus- und Eintrittsseite berücksichtigen. Für instationär ablaufende

Vorgänge (Anlaufen, Lastwechsel o.ä.) tritt eine zeitabhängige Differenz zwischen ein- und

austretenden Massen auf; es gilt für das Zeitintervall ~t

Damit ist die Einführung von massenstrombezogenen spezifischen Größen nicht mehr

möglich. Zusätzlich muß der jetzt nicht konstante Energieinhalt des Systems E (t)

c2 E (t) ·- J ( u + 2 + g z) dm

m(l)

Gl. (1.2.-25)

in die Energiewandlung zwischen den Kontrollraumgrenzen mit aufgenommen werden.

Die Energiewandlung für das instationäre adiabate Fließsystem lautet deshalb in differentieller

Schreibweise

wobei die Zustands- und Prozeßgrößen jeweils eine Funktion der Zeit t sind. Die Energie

wandlung für ein Zeitintervall ~t = t2 - t 1 ist durch Integration dieser Gleichung zu ermitteln.

Es gilt:

lll,j (12)

E (t2)- E (tl) + f lilA (II)

Gl. (1.2.-27).

Für den Sonderfall der stationären Fließprozesse geht diese Gleichung mit

E (t2) = E (tl)

dm = dmA = dmE

über in die bekrumte Form

1.19

CÄ - CE . . [

? ? ]

~ = m hA - hE + 2

+ g (zA - zE) , vergleiche Gleichung (1.2.-4).

1.2.3. Stationäre Strömungsprozesse

Strömungsprozesse stellen eine Sonderform der Fließprozesse dar. Strömungsprozesse ent

halten vereinbarungsgemäß keine Einrichtung zur Zufuhr bzw. Entnahme von Arbeit, also nur

passive Bauelemente (Rohrleitungen, Einbauten, Apparate). Für adiabate Systeme gilt, weil

dq =0

nach Gleichung (1.2.-25).

In differentieller Schreibweise ist auch

c2 0 = dh1 = dh + d - + g dz

2

und mit dem 2. Hauptsatz wird

dh = dhrev + dhirr

also

Eingesetzt erhält man:

0 = dhs + d ( ~) + g dz + drp

Gl.(1.2.-28),

Gl. (1.2.-29).

Gl.(1.2.-30).

Für den Strömungsprozeß ergeben sich nun drei wichtige Möglichkeiten (Änderungen der Ge

schwindigkeit infolge von Temperatureinflüssen werden vernachlässigt):

1.

E

2.

A

3.

--·-·+-...

E A

1.20

Die beschleunigte Strömung: (cA > cE) ergibt sich nach

J( C: )~dh, -~ •ObdG~"

d hs = vdp

d ( ~) = - vdp - d rp GI. (1.2.-31)

durch eine Enthalpieabnahme, d.h., durch eine Drucksenkung

dp, in Strömungsrichtung. Die Entropieerzeugung Tdsirr = d<p,

also ds > 0, vermindert die Beschleunigungsenergie.

Für die verzögerte Strömung: (cE > cA ) wird analog durch

Wandlung der Geschwindigkeits- in Druckenergie

GI. (1.2.-32).

Eine Druckumsetzung tritt im irreversiblen Fall de1m1ach erst ? c

auf, wenn- d- ~ drp wird. 2

2

Bei der Rohrströmung wird c A = cE und damit d ~ = 0 also 2

0 = dhs- drp

drp = - dhs 1

drp = - vdp und fiir v =- = const

dp drp =--

p

p

GI. (1.2.-33)

d.h., bei konstanter Geschwindigkeit kommt es in der Rohr

strömung zu einem dissipativen Druckabfall längs des

Strömungsweges.

Die h,s-Diagrmmne der Strömungsprozesse verdeutlichen die

Energiewandlung in passiven Bauteilen von Fluidenergie

maschinen und Anlagen.

1.21

htE= h1A ? ?

c;A -Cf: = - (hsA - hE)

2 hE c2 ?

A - C}; -(hA-hE)

t 2 ? ?

c;A -Cf: - (hA- hE) + rpEA h 2

~--L----L-- hA

_.___J__~--1-----1.=------ hsA (h A - hE)- <pEA = (hsA - h E)

SE SA Gl. (1.2.-34).

Bild 1.10: Umwandlung von Druck- in Geschwindigkeitsenergie in einer Düse für

isentrope und polytrope Zustandsänderungen

(Annahme: p A = const)

2 ? csA -Cf;;

(hsA- hE) 2

2 ?

hA CA -Cf;;

(hA- hE) 2

t hsA 2 ? , ~ csA -Cf;;

(hA- hE)- (/JEA h

2 2

Gl. (1.2.-35)

Bild 1.11: Energiewandlung von Geschwindigkeits- in Druckenergie in einem Diffusor

für isentrope und polytrope Zustandsänderungen (Annahme: PA• PE und cE = const, real bewirken die Verluste q>EA gerade einen geringeren Austrittsdruck PA)

1.22

1----------.------7"':__---htE=htA - drp = vdp

- rpEA = hsA - hA

I h

GI. (1.2.-36)

s ....

Bild 1.12: Energietransport in der Rohrströmung

1.2.4. Energiewandlung in Strömungsmaschinen

Erweitert man die Vorstellung des Strömungsprozesses auf die zuvor ausgeschlossene Ein

richtung zur Zufuhr bzw. Entnahme von Arbeit, so wird die Energiewandlung in Strömungs

maschinen sofort verständlich. Über die Kontrollraumgrenzen wird jetzt auch Arbeit in Form

eines Arbeitsstromes als mechanische Leistung transportiert. Die im Folgenden getroffene An

nahme einer adiabaten Prozeßführung folgt den realen Bedingungen weitestgehend. Auch bei

thermischen Turbomaschinen krum der Wännestrom über die Kontrollraumgrenze, bedingt

durch die Maschinenisolierung, vernachlässigt werden. Wenn keine adiabaten Zustands

änderungen angenommen werden können, z.B. bei Turbokompressoren mit Zwischenkühlung,

wird die getroffene Vereinbarung nur auf die Maschine und nicht auf die Anlage bezogen.

Drunit lautet die den Arbeitsprozeß beschreibende Energiegleichung, in differentieller und auf

die Masseneinheit der Fluide bezogener Schreibweise

GI. (1.2.-3 7)

Für den reversiblen stationären Prozeß wird

1.23

(dwe) = dhs + d (c2

) + g dz rev 2 Gl. (1.2.-38).

Das ist die Energie, die z.B. einer Turbine angeboten wird, bzw. jene, die bei einer Pumpe

nutzbar an das Fluid übergegangen ist. Sie wird daher als spez. Fall- bzw. Förderenergie be

zeichnet.

Also

dw := (dw) 7) f e rev Gl. (1.2.-39)

dw 1 = vdp + d ( ~) + g dz Gl. (1.2.-40).

1.2.5. Zustände von Gasen und Dämpfen

Die bekannten thermischen und kalorischen Zustandsgleichungen beschreiben die Zustands

zusammenhänge idealer Gase, d.h., Gase, deren Moleküle kein Eigenvolumen haben und

deren spezifische Wärmen cp und Cv nicht von der Temperatur abhängen, also konstant sind.

Wirkliche Gase sind zwar ebenfalls mit der thermischen Zustandsgleichung

pv = RT

zu beschreiben, ihre spez. Wännen sind aber von der Temperatur abhängig.

Dämpfe unterscheiden sich von den Gasen lediglich dadurch, daß sie sich leicht verflüssigen

lassen. Die thermische Zustandsgleichung gilt bei Dämpfen nur bei kleinem Druck und hoher

Temperatur.

Die Dampfdruckkurve (Bild 1.13) gibt die Abhängigkeit der Sättigungstemperatur vom Druck

an.

7) wrwird in der Literatur häufig als" Stutzenarbeit Y st" bezeichnet

1.24

t t T h

Bild 1.13: T, s- und h,s- Diagramm für Wasserdampf

Überhitzter Dampf ist Dampf, dessen Temperatur höher als die Sättigungstemperatur ist.

Naßdampf ist ein Gemisch aus Flüssigkeit und Dampf (spezifischer Dampfgehalt x).

Sattdampf ist Dampfbei Sättigungstemperatur (x = 1 ).

t p

Bild 1.14: Zustandsfläche des Wasserdampfes

2.1

2. Strömung im rotierenden System (Laufrad)

Die Beschreibung der Vorgänge im Laufradkanal (Schaufelkanal) wird durch Kenntnis der

Strömungskinematik erleichtert. Dazu betrachtet man die Bewegung eines Fluidteilchens ent

lang einer Stromlinie im Laufradkanal, weil aus seiner Bewegung seine Drehimpulsänderung

und damit seine Energiewandlung unter bestimmten Voraussetzungen berechnet werden kann.

Die Änderung des Fluid-Drehimpulses entspricht dem Laufraddrehmoment

Für den "feststehenden (absoluten) Beobachter" sind die Laufschaufeln emes mit der

Winkelgeschwindigkeit ro drehenden Laufrades nicht sichtbar. Er sieht das Fluid am -)

gesamten Laufradumfang mit der Absolutgeschwindigkeit c ein- bzw. ausströmen. Der

"mitbewegte (relative) Beobachter" dagegen nitmnt die Bewegung des Fluids im -)

Schaufelkanal, z.B. entlang einer mittleren Stromlinie, mit der Relativgeschwindigkeit w

wahr, die zunächst schaufelkongruent angenommen werden soll. Mit der -)

Umfangsgeschwindigkeit (Führungsgeschwindigkeit) u lautet die vektorielle Summe der

Geschwindigkeiten:

Ferner werden die dazu gehörigen Winkel festgelegt:

a

ß

-)

Winkel der Absolutströmung, gemessen zwischen c und der posi-

tiven Umfangsgeschwindigkeitsrichtung -)

Winkel der Relativströmung, gemessen zwischen w und der nega-

tiven Umfangsgeschwindigkeitsrichtung.

Geschwindigkeitsvektoren am Austritt eines radialen

Laufrades

Von wesentlicher Bedeutung für die Drehimpulsänderung sind die Geschwindigkeiten am

Ein- und Austritt des Schaufelkanalkontrollraumes. Für die Gesamtenergiewandlung müssen

die Geschwindigkeiten an den Kontrollraumgrenzen bekannt sein.

2.2

Mit der nachfolgenden Indexkennzeichnung werden Strömungsgrößen an bestimmten Orten

gekennzeichnet.

Radialmaschine Axialmaschine

Pumpe; Eintritt -- mittlerer Stromfaden Stelle

Kompressor, Austritt -- _" _ 4 ___ ..._,.

Eintritt -- mittlerer Stromfaden Stelle 4

Turbine: Aus tritt -- _,4_ 1 -Bild 2.1: Indexkennzeichnung der Strömungsgrößen

Pumpen bzw. Kompressoren unterscheiden sich von den Turbinen prinzipiell nur durch die

Durchströmungsrichtung und den Leistungsfluß an der Kupplung. Daher wird eine

gemeinsame Indizierung verwendet, bei der 1 immer dem Ort der geringsten Druckenergie am

Laufrad - "Saugseite" - und 4 dem der höchsten Druckenergie am Leitrad - "Druckseite" -

zugeordnet sind. Die Zahlen sind also nach dem Grad der Energieheiadung geordnet.

Für einstufige Maschinen folgt daraus die Bindung an die Indizierung des Fließsystems mit

den Kontrollraumgrenzen EintrittE und Austritt A:

Pumpe, Kompressor

Turbine

E~1~2~3~4~A

E~4~3~2~1~A

für n-stufige Maschinen wird die Indizierung 1 ... .4 n-fach wiederholt und ggfls. mit der

Stufen-Nr. zusätzlich gekennzeichnet.

2.3

2.1. Kinematik der Axialmaschine

Die Kinematik des Laufradgitters der Axialmaschine ergibt sich aus der Abwicklung des

Zylinderschnittes A, B in Bild 1.1.. Die Schaufeln haben den Abstand t = Teilung. Das Gitter

eines Leitrades steht, das eines Laufrades verschiebt sich mit der Umfangsgeschwindigkeit u,

Bild 2.2.

Bild 2.2: Das gerade ebene Gitter ist die Abwicklung eines koaxialen Zylinderschittes

eines Laufrades in der Ebene (vgl. S. 1.3)

In einer Turbinenströmung, Bild 2.3. wird das mit der Geschwindigkeit c4 zuströmende Fluid ---t

im Leitgitter auf eine Austrittsgeschwindigkeit c3 unter entsprechendem Druckabfall be----t ! ---t

schleunigt. Es tritt mit c2 = c3 in das Laufradgitter ein und durchläuft seine Absolutbahn, auf ---t •• ---t ---t

der es mit der Geschwindigkeit c1 austritt. Aus der Anderung von c2 auf c1 wird später die

Drehimpulsänderung abgeleitet. Das Laufradgitter dreht mit der Winkelgeschwindigkeit co,

d.h., der Punkt mit dem Radius Rx rotiert mit der Umfangsgeschwindigkeit ux = w Rx

Ein auf gleichem Radius und auf der Absolutbahn zwischen 2 und 1 mit der Geschwindigkeit ---t ---t

c x strömendes Fluidelement hat gegenüber dem Gitter die Relativgeschwindigkeit w x.

Die eindimensionale Theorie der Strömungsmaschinen setzt den Durchfluß entlang der Mittel

linie des Schaufelkanals voraus, so daß die mittlere Geschwindigkeit über die Kanalbreite den ---t ---t ---t ---t

Charakter eines Vektors c hat. Vereinbart wird die Schreibweise c = c, u = u , w = w.

2.4

Laufschaufeln

0

4 Leitrad 3 2 Laufrad

Bild 2.3: Kinematik der Axialmaschine

links: Meridianschnitt

rechts: abgewickelter Zylinderschnitt

2.2. Kinematik der Radialmaschine

Bei Radialmaschinen liegen Ein- und Austritt des Laufrades auf unterschiedlichen Radien,

d.h., es herrschen dort auch unterschiedliche Umfangsgeschwindigkeiten. Das Bild 2.4 zeigt

den

Bild 2.4: Absolute (E, A') und relative (E, A) Bahn eines Flüssigkeitsteilchens

2.5

Achsnormalschnitt eines radialen Laufrades einer Pumpe. Für den Laufradein- und austritt

sind die Geschwindigkeitspläne angegeben. Unter der Almahme schaufelkongruenter

Strömung entspricht der Verlauf der Laufschaufel E-A dem relativen Weg, den ein

Flüssigkeitsteilchen im Laufrad zurücklegt. Die von diesem Flüssigkeitsteilchen

zurückgelegte absolute Bahn E-A ist gestrichelt eingezeichnet. Während des Zeitintervalls L1

tEA dreht sich das Laufrad um den Winkel <!> von A nach A'.

2.3. Zirkulation im Laufrad, Momentensatz

Bild 2.5: Zirkulation im Laufrad einer Kreiselpumpe

r := fcds

Der Zirkulationsbegriff erlaubt die Beurteilung der Energiewandlung in einem abgegrenzten

durchströmten Bereich. Das Laufrad einer Kreiselpumpe rotiere mit konstanter Winkel

geschwindigkeit ro. Die Zylinderflächen am Eintritt des Fluids werden mit rl> die am Austritt

mit r2 gebildet. Entlang dieser Zylinderflächen, die gleichzeitig auch Kontrollraumgrenzen

sein sollen, wird die Zirkulation gebildet

Gl. (2.3.-1)

und

Gl. (2.3.-2),

2.6

dabei ist cu die Umfangskomponente der Absolutgeschwindigkeit

Die Drehimpulse der Umfangskomponenten, bezogen auf den Massenstrom sind:

1] clu = _G_ 27r

und

r2 c2u r2 27r

Die Drehimpulsdifferenz gibt direkt das übertragbare Laufradmoment an

oder

m MR = - er? - rl)

27r -

Gl. (2.3.-3)

Gl. (2.3.-4).

Gl. (2.3.-5)

Gl. (2.3.-6).

Gl. (2.3.-6) wurde 1756 von Leonhard EDLER, allerdings unter Anwendung des Drehimpuls

satzes, erstmals angegeben. Im Gegensatz zur eindimensionalen axialsymmetrischen

Strömungstheorie, die nicht ohne die Annahme von unendlich vielen Schaufeln zur

Strömungsführung auskommt, liefert die auf die Zirkulation gestützte Theorie auch ein

Ergebnis bei der Annahme von endlich vielen Schaufeln.

2.4. EDLERSCHER Momentensatz

Das Fluid im Laufrad sei von einem Kontrollraum umschlossen, der durch zwei konzentrische

Zylinderflächen der Radbreite b begrenzt ist, dabei soll die eine Fläche dicht vor den Saug

kanten und die andere dicht hinter den Druckkanten der Laufschaufeln liegen. Es wird ange

nommen, daß das Geschwindigkeitsfeld des Fluids unabhängig vom Drehwinkel <j> ist.

Das im Kontrollraum eingeschlossene Fluid besitzt den aufR = 0 bezogenen Drehimpuls

-+ f-+-+ La := p r x c d V Gl. (2.4.-1 ).

V

Nach dem Drehimpulssatz ist die zeitliche Änderung des Drehimpulsvektors gleich dem auf 0

bezogenen Momentenvektor aller auf das Fluid einwirkenden Kräfte:

-t dL -t -t __ o = Mo=MR

dt

2.7

Bild 2.6: Strömung durch einen Pumpenkontrollraum

In der Strömungsmechanik wurde bewiesen, daß

d ---+ t3 ---+ ---+ ---+---+ -fpadV=f-(pa)dV+fpa (c·n)dA dty y ct A

gilt.

GI. (2.4.-2).

GI. (2.4.-3)

Dabei ist ä ein beliebiges materielles Vektorfeld, A die Oberfläche des Kontrollvolumens und

ii der äußere Nonnaleneinheitsvektor eines Flächenelementes von A. Mit

---+ ---+ ---+ a := r x c GI. (2.4.-4)

und der Annahme, daß die Bewegung des Fluids durch das Laufrad stationär ist, wird

MR = f p; X;(;.~) dA GI. (2.4.-5). A

2.8

Dieses Integral zerfällt in zwei Integrale über die Zylinderflächen r = r1 und r = r2 :

Gl. (2.4.-6).

-t -t

= - p lj C1u ez C1r 2TC lj b + p r2 C2u ez c 2r 2TC r2 b

Mit dem Massenstrom durch die Kontrollraumzylinderflächen

p C2111 2TC 12. b = p C1111 2TC lj b = rn Gl. (2.4.-7)

erhält man für das vom Rad auf das Fluid wirkende Moment, siehe auch Gl. (2.3.-6),

-t -t

MR = m (r2 c2u - lj cl.J ez Gl. (2.4.-8).

Für alle passiven Bauelemente dagegen bleibt für die wirbelfreie kreisende Bewegung eines

reibungsfreien Fluids der Drall für alle Flüssigkeitsteilchen konstant.

Bild 2.7: a)Schaufelkanal eines Radialpumpenrades

b)Kontrollraum um diesen Schaufelkanal mit den Impulsströmen j 1 undj2

der Wirkrichtungen von c2 und eh KR-Kontrollraum

P2 Überdruck am KR bei r2 steht _Lauf der Umfangsfläche

Pt Überdruck am KR bei r1 steht _L auf der Umfangsfläche

rilz Massenstrom durch den Kontrollraum, Schaufelkanal z

2.9

hn Gegensatz zu den V erdrängennaschinen wirkt der Druck an den Kontrollraumgrenzen sich

nicht unmittelbar auf das übertragbare Drehmoment M0 = z Moz aus (z =Anzahl Schaufel

kanäle). Der Drehimpulssatz liefert zu dem Bezugspunkt 0 für einen Schaufelkanal

also

undmit

j = m c SOWie R = r cos a wird z '

also

schaufelkongruente Strömung vorausgesetzt.

2.5. Radarbeit und Radleistung

(Hauptgleichung der Strömungsmaschinen)

Aus Gl. (2.3.-6) kann unmittelbar die Radleistung gebildet werden zu

Gl. (2.4.-9)

Gl. (2.4.-1 0)

Gl. (2.4.-11)

Gl. (2.4.-12),

Gl. (2.5.-1).

Entsprechend der getroffenen Vorzeichenregelung, nach der alle zugeführten Prozeßgrößen

positiv und alle abgeführten negativ zu zählen sind, folgt für:

Turbinen

~ =- OJR MR

Pumpen und Kompressoren

~ = + OJR MR

Gl. (2.5.-2),

Gl. (2.5.-3).

2.10

Da die Radleistung nur vom Massenstrom übertragen werden kann und die darin enthaltene

spezifische Radarbeit wR analog Gl. (1.2.-1)

(rn = Massenstrom durch das Laufrad) Gl. (2.5.-4)

ist, kann man auch schreiben

Gl. (2.5.-5)

bzw. Gl. (2.5.-6).

Mit Gl. (2.3.-6) wird

Gl. (2.5.-7),

Gl. (2.5.-8).

Führt man die Umfangsgeschwindigkeit u = r mein, folgt aus Gl. (2.5.-8) die

Hauptgleichung der Strömungsmaschinen

Gl. (2.5.-9).

Ein negatives Vorzeichen der Enthalpiedifferenz charakterisiert den Turbinenbetrieb, ein

positives den Pumpen- bzw. Kompressorbetrieb, d.h., hier wird Energie über die Kontroll

raumgrenzen zugeführt.

Betrachtet man die Masseteilchen auf emer Stromlinie bei ihrem Weg durch den

Kontrollraum, lassen sich Beziehungen zwischen der Umfangs-, Absolut- und

Relativgeschwindigkeit angeben, die es gestatten, die Radarbeit einer weitergehenden

Betrachtung zu unterziehen.

2.11

Der Cosinussatz

GI. (2.5.-10)

liefert mit

C11

= c cosa

2

In GI. (2.5.-9) eingesetzt ergibt sich die "Relative Form" der Hauptgleichung der Strömungs

maschinen.

-Turbine

+ Pumpe, Kompressor

Der Anteil

und

GI. (2.5.-11).

beinhaltet den dynamischen Anteil der totalen Enthalpie

differenz aus der Betrachtung der Fließprozesse,

steht demnach für den statischen Anteil, d.h., für die

Druckänderung irrfolge Umfangsgeschwindigkeits- und

Relativgeschwindigkeitsänderung im SchaufelkanaL

2.6. Strömung im rotierenden, radialen Schaufelgitter

(reversibler Fließprozeß)

Die eindimensionale Theorie der Strömungsmaschinen liefert eme gleichförmige

Geschwindigkeitsverteilung in den Zylinderschnitten der Schaufelkanäle.

Die wirkliche Verteilung ist ungleichfönnig. Die Durchströmung im Schaufelkanal kmm als

eine Überlagerung einer Verdrängungsströmung (Wirbelbewegung) und einer Durchfluß

strömung mit gleichförmiger Geschwindigkeitsvt:rteilung angesehen werden. Bild 2.8. veran-

2.12

schaulicht den Verlauf der relativen Drehbewegung eines Flüssigkeitsteilchens bei der

Strömung durch einen rotierenden SchaufelkanaL Ein kugelfonniges Teilchen, dessen Lage

im Raum durch einen Pfeil gekennzeichnet ist, dreht gegen die Drehrichtung des Rades. Da

voraussetzungsgemäß keine Reibungskräfte vorhanden sein sollen, behält das Teilchen im

Verlauf der Drehung seine absolute Richtung bei. Oben ist der Pfeil nach außen gerichtet,

unten dagegen radial nach innen; d.h., in dem Relativsystem dreht sich das Teilchen mit -ffi,

im Absolutsystem dagegen bleibt es drehungsfrei

Einen solchen "freien" Strömungszustand der Kreisbewegung nennen wir einen Potential

wirbel, für den r cu = const. ist. Die erwähnte Relativbewegung dieses "Wirbels" wird

besonders deutlich in einem geschlossenen Schaufelkanal, also ohne Durchfluß. Es entsteht

ein relativer Kanalwirbel Im durchflossenen Kanal sind die Geschwindigkeiten des

relativen Kanalwirbels auf der Vorderseite der Schaufel entgegengesetzt zur

Strömungsrichtung, auf der Rückseite aber in Strömungsrichtung. Dadurch ergeben sich

Geschwindigkeitsdifferenzen, also niedrige Geschwindigkeiten und hoher Druck auf der

Vorderseite und hohe Geschwindigkeiten und niederer Druck auf der Rückseite der Schaufel.

Im rotierenden radialen Schaufelgitter wird durch den relativen Kanalwirbel also der

Schaufeldruck geändert.

Bild 2.8: Kanalwirbel und theoretische Geschwindigkeitsverteilung im reversiblen

Fließprozeß

Im Gegensatz dazu kennen wir die erzwungene Kreisströmung von Teilchen, sog. reine

Wirbel. In reinen Wirbeln drehen sich die Fluidteilchen infolge Reibung, bis sie die Winkel

geschwindigkeit des antreibenden Körpers (z.B. Rotationshohlraum) angenommen haben; das

Fluid dreht sich also wie ein starrer Körper mit cu = r OJ •

2.13

drehungsfrei

Potentialwirbel ey·r= canst

~einer c;= r· w Wirbel

Bild 2.9: Potentialwirbel und reiner Wirbel

2. 7. Strömung im rotierenden Schaufelgitter bei irreversiblem Fließprozeß

Eine gemessene Verteilung der Relativgeschwindigkeit am Austritt eines radialen Pumpen

laufrades zeigt Bild 2.10. So können sich im Gegensatz zum bisher Gesagten am Schaufelaus

tritt im Bereich der Schaufelvorderseite viel höhere Geschwindigkeiten als im Bereich der

Schaufelrückseite ergeben. Ursache ist die Irreversibilität realer Strömungsprozesse, d.h., die

Existenz von Reibungskräften.

Die Verhältnisse in einem feststehenden Krümmer, Bild 2.11.a, erleichtern die Vorstellung.

Neben Schubspannungen wirken im Krümmer auch Zentrifugalbeschleunigungen, dadurch

wächst der Druck mit dem Krümmungsradius in Zentrifugalrichtung (Druckseite) und verur

sacht eine Sekundärströmung. Nach einer Anlaufstrecke ist die Geschwindigkeit in der

Kanalmitte vor der Richtungsänderung stets größer als in W andnähe. Diese größere

Strömungsgeschwindigkeit verursacht jedoch bei der erzwungenen Richtungsänderung auch

größere Zentrifugalbeschleunigungen, die die Fluidteilchen aus der Kanalmitte zu der

Kanalwanddruckseite hin befördern. An den seitlichen Kanalbegrenzungsflächen werden

Fluidteilchen hingegen von der Druckseite verdrängt und fließen zu kleineren Krümmungs

radien hin ab.

Die Folge dieser Sekundärströmung sind steigende Strömungsgeschwindigkeiten hin zur

druckseitigen Kanalwand.

An diesen Verhältnissen ändert sich grundsätzlich nichts, wem1 man einen rotierenden Kanal,

Bild 2.1l.b, betrachtet, in dem durch die Relativgeschwindigkeitsverteilung diesmal größere

Corioliskräfte in der Kanalmitte hervorgerufen werden.

2.14

b

Schaufelvorderseite (Druckseite)

Bild 2.10: Gesamtdruck- (a) und Geschwindigkeitsfeld (b) im rotierenden Laufrad

kanal einer Kreiselpumpe [ 6]

a b

2.15

I

I I I

t w I

--+--

Bild 2.11: Sekundärströmung im Krümmer (a) und im rotierenden geraden Kanal (b)

3.1

3. Energiewandlung in der Maschinenstufe

Die quantitative Beschreibung der Energiewandlung dient zur Beurteilung der Maschine

hinsichtlich ihrer Wirkung nach außen und ihrer Verluste an mechanisch nutzbarer

Energie. Für diese grundsätzlichen Betrachtungen reicht eine Maschinenstufe aus. Diese

Betrachtungsweise erlaubt alle wesentlichen Begriffe der technischen Maschinen

strömung im realen Zusmmnenhang zu erkennen. Vereinbarungsgemäß sollen nur

innere Leckströme auftreten, die hier betrachtete einstufige Maschine soll ansonsten

nach außen hin dicht sein.

3.1 Die Turbinenstufe

3.1.1 Energiefluß

Mit der in Bild 2.1 festgelegten Indizierung soll das in Bild 3.1 dargestellte Energiefluß

schema der Strömungsmaschine verdeutlicht werden.

Die Energiewandlung der Stufe findet im Lauf- und Leitrad sowie in Dichtungsspalten

statt. Die Leistungsverzweigung erfolgt in jedem in Bild 3.1 dargestellten Knoten des

abstrahierten Stufemnodells. Zur Verdeutlichung der Zusammenhänge werden im

folgenden nur die Beträge der Energieströme, z.B. IP el, betrachtet. Aufgrund der ge

troffenen Vorzeichenvereinbarung sind die einzelnen Energieströme der Turbine, da sie

abgeführt werden, negativ zu zählen. Man beachte darüberhinaus, daß die spezfischen

Größen ilmner auf den mit der Energiewandlung verbundenen Massenstrom bezogen

werden.

Die von dem Fluid bei der Energiewandlung der Maschinenstufe, bilanziert zwischen

Eintritt in und Austritt aus der Stufe, zur Verfügung gestellte Gesamtleistung, die Ge

fälleleistung P f beträgt:

Gl. (3.1.-1).

Der bei der Energiewandlung im Leitrad auftretende Dissipationsstrom wird mit 43 be

zeichnet. Die hinter dem Leitrad also vor dem Laufrad zur Verfügung stehende Leistung

ist die Umfangsleistung p u,LE

Gl. (3.1.-2),

die Vorzeichenregel angewendet wird P,t,LE = -m · ( h 12 - h tls.).

8) Die Indices ls' und ls sind aus Bild 3.5 zu entnehmen, dazu analog werden 4s' und 4s bei der Kompressorstufe gebildet.

3.2

~RR

. !12RT

Bild 3.1: Funktions- und Energieflußschema einer Turbine

und

IP,,,LE I= IIJ·I- 43

 43 rp43 =-.

m

Gl. (3 .1.-3)

Gl. (3.1.-4).

3.3

Der Spaltmassenstrom rnsp fließt bezogen auf die Kontinuität in einem Bypass am Lauf

rad vorbei und nimmt damit nicht an der Energiewandlung im Laufrad teil. Der im Laufrad verarbeitbare Massenstrom beträgt daher nur m -rnsp .

Definiert man die Dissipationsströme aufgrund der Spaltverluste Sp ;:::: 0

mit

wird

<!> Sp rpSp :=-.

mSp

Gl. (3.1.-5)

Gl. (3.1.-6)

Gl. (3.1.-7).

Aufgrund des Spaltmassenstroms rnsp wird dem Laufrad eine Umfangsleistung

die Vorzeichenregel angewendet wird ~l,LA = -( nz- msp). ( h t2- ht!s')'

zur Energiewandlung angeboten.

Die spezifischen Arbeiten wu,LE

I I·= ~~,,LEI Wu,LE' .

m

und wuLA '

Gl. (3 .1.-8),

Gl. (3 .1.-9),

Gl. (3.1.-10)

Gl. (3.1.-11)

werden, da sie gleich groß sind, ohne zusätzliche Leit- bzw- Laufrad-Indizierung mit

Gl. (3.1.-12)

3.4

bezeichnet.

Mit Hilfe des "Eulerschen Momentensatzes" wurde die spezifische Radarbeit wR, also

die spezifische Arbeit, die dem Rad zur Wandlung angeboten wird, berechnet.

Es gilt:

GI. (3.1.-13),

die Vorzeichenregel angewendet wird wR = -(h,2 -h,1),

GI. (3.1.-14).

hn Laufrad wird die Radleistung PR abgeführt. Sie entspricht der Umfangsleistung am

Laufrad vermindert um den Dissipationsstrom des Laufrades cD 21

GI. (3.1.-15)

und

rp21 = ( 0 0 ) m-m Sp

<1>21 GI. (3.1-16).

Die Innenleistung Pi ergibt sich aus der Radleistung PR und dem bei der Energiewand

lung im Rad auftretenden Dissipationsstrom der "ümeren Verlustleistung RR "9) .

Dieser entsteht durch Reibung an den Scheibenoberflächen, sowie durch

Verwirbelungsverluste am nicht beaufschlagten Teil des Laufgitters

(V entilationsverluste)

GI. (3.1.-17).

Die Umfangsleistung am Leitrad läßt sich damit auch mit

1-P.,,LE I= IPR I+ Sp + 21 = (m -lnsp )(h,2 - h,l) + msp (h,2 - htls') + 21

GI. (3.1.-18)

bzw. GI. (3.1.-19).

beschreiben.

9) Index RR ~ Reibung .ßad

3.5

Entsprechend gilt für die am Laufrad angebotene Umfangsleistung

GI. (3 .1.-20).

Die Kupplungsleistung P e ergibt sich aufgrund des !.Hauptsatzes zu:

GI. (3.1.-21),

die Vorzeichenregel angewendet wird~= -rh(h,E -h,A).

Die Triebwerksverlustleistung RT , die nach Definition vollständig auf das Arbeitsfluid

übertragen wird, stellt den Zusammenhang zwischen Innen- und Kupplungsleistung dar:

GI. (3.1-22).

Die spezifische Gesamtdissipation zwischen Ein- und Austritt <rEA läßt sich schreiben

als: GI. (3.1.-23).

3.1.2. Darstellung der Gefälle

Neben dem Energieflußbild, Bild 3.2., liefert das h, s- Diagramm, Bild 3.5., eine über

sichtliche Darstellung des Energiewandlungsverlaufs. Bei der Strömung von Gasen bzw.

Gasgemischen soll die Änderung der Lageenergie vernachlässigbar sein, also

g·Az=O

und deshalb wird

c2 h =h+-

1 2 geschrieben.

Im Leitrad (4-3) der Strömungsmaschine Turbine (Entspannung in einer Düse) bleibt die

Totalenthalpie ht konstant, weil die Masseteilchen beim Durchströmen des

feststehenden Leitrades (ruhendes Koordinatensystem) keine Arbeit vom

Leitradkräftefeld empfangen können, eine Einrichtung wie etwa eine Weile, em

rotierendes System zur Übertragung von mechanisch nutzbarer Energie über die

Systemgrenze fehlt:

3.6

t----- rh· htE -------1 ////////,/"//////~ t-----· ~ = ffi. wf-------~

(m- rhsp) Wu = Pu,LA

Bild 3.2.: Energieflußbild einer Turbine, dargestellt werden nur die Beträge der

Energieströme, z.B. I~ I = I PR 1- <±> RR

bzw.

Gl. (3.1.-24)

Für die beschleunigte aber stationäre Strömung in einem Turbinenleitrad gilt dann

folgende Darstellung im h, s- Diagramm mit rp43 2::0

Gl. (3.1.-25).

3.7

P4 ht4=ht3=ht2

cl 2

h4

t 2

C3s P3

2 h flh43

(flhds

h3=h 2 =h1

h3,s

s _______..

Bild 3.3.: h, s- Diagramm eines Turbinen-Leitrades (vgl. Bild 1.10)

Im Laufrad dagegen findet eine Drehimpulsänderung im rotierenden System statt.

Aus der Hauptgleichung der Strömungsmaschinen folgt für die Energieumsetzung im

Laufrad 2---+ 1, nach Gl. (2.5.-5) sowie Gl. (2.5.-11).

Gl. (3.1.-26)

und daraus

7 ? ? ?

h, + Wz- - Uz- = h + wl- - ul-

- 2 2 I 2 2 Gl. (3 .1.-27)

d.h. analog zu der Konstanz der Totalenthalpie bei der Leitraddurchströmung 2

(ht = h +~ = const) gilt für das bewegte System Laufrad 2

wz uz h+---= const

2 2

Hieraus folgt die Darstellung der Gefälle in Bild 3.4.

Gl. (3 .1.-28).

Setzt man voraus , daß die Punlde 2 und 3 identisch, also die physikalischen Werte dort

nach Betrag und Richtung gleich groß sind, so kann man das h, s - Diagramm der

Turbinenstufe lwRI = (h14 - hn) angeben.

3.8

t h

5___..

Bild 3.4.: h, s- Diagramm eines Turbinen- Laufrades

i h

~~~~--~------~-----+----~-h3=h2

o------."c--..-----------1-- h t 1

s ....

Bild 3.5: h,s-Diagramm einer Turbinenstufe

3.1.3. Defmition der Wirkungsgrade (Wirkkette)

Wirkungsgrade kennzeichnen quantitativ die irreversible Energiewandlung. Mit den im

vorhergehenden Abschnitt angegebenen Verlusten lassen sich die Wirkungsgrade von

Turbinen definieren:

3.9

_ der äußere mechanische Wirkungsgrad 'llma

- der innere mechanische Wirkungsgrad 'llmi

-der Umfangswirkungsgrad des Laufrades 'llu,LA

IPRI 77u,LA := -~p I

u,LA

-der volumetrische Wirkungsgrad 'llv

IPu,LAI 77 ·= --

V. IPu,LEI

-der Umfangswirkungsgrad des Leitrades 'llu,LE

77u LE := I I · , Pu,LA + <l>sp

IPu,LAI

GI. (3.1.-29)

GI. (3 .1.-30)

GI. (3.1.-31)

GI. (3.1.-32)

3.10

77u,LE = I I · Pu,LE + <D 43

Gl. (3.1.-33).

Aus diesen Wirkungsgraden lassen sich der. Itmenwirkungsgrad lli und der effektive

Gesamtwirkungsgrad lle angeben zu:

- der Itmenwirkungsgrad lli

IPil 77i := frl

7li = T7u,LE T7v T7u,LA 7lmi

- der effektive Gesamtwirkungsgrad lle

IPel TJe := frl

TJe = 77ma 77u,LE T7v T7u,LA 7lmi

Gl. (3.1.-34)

Gl. (3.1.-35)

Gl. (3 .1.-36)

Gl. (3.1.-37)

Gl. (3.1.-38)

Mit den angegebenen Wirkungsgraden kann eine Wirkkette für Turbinen aufgestellt

werden.

p 1Ji = t = 11u,I.E ·7Jv ·7Ju,LA ·7Jmi

f

p 7Je = pe = 71u,I.E • 11v ·7Ju,LA ·7Jmi ·7Jma

f

Bild 3.6.: Wirkkette für Turbinen

3.11

3.2 Die Pumpen- bzw. Kompressorstufe

3.2.1 Energiefluß

Für eine Pumpe bzw. einen Kompressor mit nachgeschaltetem Leitrad kann mit dem in

Bild 3. 7 beispielhaft für einen einstufigen Radialkompressor dargestellten Energiefluß

schema analog zur Herleitung der Gleichungen für die Turbine die Energiewandlung be

schrieben werden.

Bild 3.7: Funktions- und Energieflußschema einer Pumpe bzw. eines Kom

pressors

An Hand der in Bild 2.1 festgelegten Indizierung wird die in jedem dargestellten Knoten

des abstrahierten Stufemnodells erfolgende Leistungsverzweigung vom Eintritt in bis

zum Austritt aus der Stufe angegeben. Die einzelnen Energieströme werden verein

barungsgemäß positiv gezählt.

Die der Maschine an der Antriebswelle zur Verfügung gestellte effektive Leistung P e

GI. (3.2.-1)

wird aufgrund der an den Lager- und Dichtsitzen auftretenden Triebwerksverlustleistung

c:i> RT verringert. Die Innenleistung Pi ergibt sich zu:

GI. (3.2.-2).

3.12

Durch die Verlustleistung aus der Radreibung RR reduziert sich diese auf die am Lauf

rad zur Verfügung stehende Radleistung PR

GI. (3.2.-3).

Die im Rad aufgebaute Druckdifferenz bewirkt, daß ein Teilstrom rhsp aus dem Förder

strom als Spaltstrom rhsp durch die Spalte wieder in den Saugraum zurückströmt. Die

Teilstromleistung sp dissipiert in den Spalten. Das Laufrad wird von dem

Massenstrom rh + rhsp durchströmt.

Für die Radleistung gilt daher:

GI. (3.2.-4).

Die am Laufrad vorhandene Umfangsleistung Pu LA läßt sich aus der Radleistung PR und '

dem Dissipationsstrom des Laufrades 12 bestimmen.

GI. (3.2.-5)

und

GI. (3.2.-6),

GI. (3 .2.-7).

Entsprechend gilt für die Umfangsleistung des von dem Massenstrom rh durchströmten

Leitrades p u,LE:

GI. (3.2.-8),

wobei der Spaltdissipationsstrom <D Sp den Zusammenhang zwischen den Umfangs

leistungen von Lauf- und Leitrad P u,LA bzw. P u,LE herstellt:

GI. (3.2.-9).

Die an das Fluid übertragene Förderleistung P f ergibt sich schließlich aus der um den im

Leitrad auftretenden Dissipationsstrom <±>34 reduzierten Umfangsleistung des Leitrades

puLE: '

GI. (3.2.-10)

und

<1>34 cp34 = -.-.

m

PJ = m. wr = n-z[ ( htA t -htE]

3.13

GI. (3.2.-11).

Die spezifische Gesamtdissipation zwischen Ein- und Austritt <pEA läßt sich schreiben

als: GI. (3.2.-12).

3.2.2 Darstellung der Gefalle

Ergänzend zur Beschreibung des Energieflußes sind in Bild 3.8 das h,s-Diagramm der

Stufe und in Bild 3.9 das Energieflußbild des Kompressors angegeben.

t h

s--....

Bild 3.8.: h, s- Diagramm einer Kompressorstufe

Diese Darstellung als spezifische Größen enthält nicht alle Verluste

( cD RT' cD Sp ' · .. )

Die h,s-Diagramme von Turbine und Kompressor sind direkt vergleichbar, Bild 3.5 und

Bild 3.8, wenn man den Kontrollraumeintritt (Turbine 4, Kompressor 1), also den

Energiewandlungsbeginn (Durchflußrichtung) beachtet.

\

'

3.14

'-r----------~----~~

a..-

Bild 3.9: Energieflußbild eines Kompressors

3.2.3. Deimition der Wirkungsgrade (Wirkkette)

Entsprechend den im vorhergehenden Abschnitt für Turbinen definierten Wirkungs

graden lassen sich mit den zuvor beschriebenen Verlusten die Wirkungsgrade von

Pumpen und Kompressoren definieren:

- der äußere mechanische Wirkungsgrad 'llma

3.15

( <D RT) 'fl,w = 1-p

e

GI. (3.2.-13)

- der innere mechanische Wirkungsgrad llmi

'flni:= ( ;) I

GI. (3.2.-14)

-der Umfangswirkungsgrad des Laufrades llu,LA

(P,,LA)

"l,,LA : = PR

GI. (3.2.-15)

-der volumetrische Wirkungsgrad llv

TJv:= (P,,,LEJ P,,,LA

( <Dsp J ( in J 17, = 1-- = v P,I,LA fn + fnSp

GI. (3.2.-16)

-der Umfangswirkungsgrad des Leitrades llu,LE

'fl,,LE: = ( :f J 11,LE

( <1>34 J -1--"l,,LE- p

11,LE GI. (3.2.-17).

Aus diesen Wirkungsgraden lassen sich der Innenwirkungsgrad lli und der effektive Ge

samtwirkungsgrad lle angeben zu:

- der Innenwirkungsgrad lli

"l:=(;) I

GI. (3.2.-18)

'li = 'lu,LE 'lv 'lu,LA 'lmi GI. (3.2.-19)

3.16

der effektive Gesamtwirkungsgrad 'lle

Gl. (3.2.-20)

Gl. (3.2.-21)

Gl. (3.2.-22).

Mit den angegebenen Wirkungsgraden kann ebenso wie für die Turbinen eine Wirkkette

für Pumpen und Kompressoren aufgestellt werden.

Man beachte dabei die Indizierung des Strömungsweges, z.B. wird aus

<p43 <p34 usw.

__!]_ R _ Pu,LA _PR p. = =...JUI - I

pf llu,LE Pu,LE PLtLE ~V Pu, LA 'D.LA

'luLÄ PR R 'lmi-~ p 11ma -p;-Pe

=L ~34 ~S[! -1 ~12 R •

=L RT =1_ ~RR I

=1_ Pu,LE Pu,LA

----PR ~ pe

Bild 3.10.: Wirkkette für Pumpen und Kompressoren

4.1

4. Aktions- und Reaktionswirkung

Die Wandlung der Fluidenergie in mechanische Energie oder umgekehrt innerhalb der

Schaufelgitter kann durch zwei verschiedene Arbeitsverfahren erfolgen: einmal durch das

Gleichdruckverfahren, die Aktionswirkung, und zum anderen durch das

Überdruckverfahren, die Reaktionswirkung. In einer Maschine werden oft beide V erfahren

angewendet.

Dieser Unterschied tritt besonders anschaulich bei Turbinen auf, deshalb soll er am Beispiel

der Turbinen erläutert werden.

Man unterscheidet bei den Turbinen die

Hauptgruppen

-Gleichdruckturbinen (Aktionsmaschinen)

- Überdruckturbinen (Reaktionsmaschinen).

4.1. Gleichdruckturbinen (Aktionsmaschinen)

Bei dem Gleichdruckverfahren wird das ganze Druckgefälle einer Stufe im Leitrad (hier als Düse ausgebildet) in kinetische Energie umgewandelt. Der mit der Geschwindigkeit c3 aus-

tretende Fluidstrahl wird in den folgenden Laufschaufelkanälen bei gleichem Druck so umge

lenkt, daß er die Stufe möglichst drallfrei verläßt. Die dabei entstehende Dralländerung

bewirkt nach GI. (2.5.-7) u.a. die Energiewandlung im Laufrad.

Die Laufschaufelkanäle haben emen gleichbleibenden Querschnitt, d.h., der

Eintrittsquerschnitt ist gleich dem Austrittsquerschnitt; im Laufschaufelkanal findet keine

Entspannung des Fluids statt, beim Gleichdruckverfahren herrscht vor und hinter dem Laufrad

gleicher Druck. (Mit dem Gleichdruckverfahren lassen sich in jeder Stufe verhältnismäßig

hohe Enthalpiegefälle verarbeiten, so daß sich für eine Gleichdruckturbine nur eine relativ

geringe Stufenzahl ergibt.)

Bild 4.2. zeigt den Strömungsverlauf in einer Gleichdruckstufe. Die gesamte Eintrittsdruck

energie wird im Leitrad (LE) in Geschwindigkeitsenergie gewandelt, d.h., cmax = c3 • Aus dem

Verlauf der Relativgeschwindigkeit, lw2 1 = lw11, kann die notwendige Laufschaufelfenn leicht

abgelesen werden (Hakenschaufel). Um keine Relativgeschwindigkeitsänderung zuzulassen,

müssen die Kanalquerschnitte konstant bleiben.

4.2

a. b c d

---·--·-€""""""· )

Bild 4.1: Gleichdruckstufe mit einem einkränzigen Gleichdrucklaufrad a) Dampfzuführung b) Düse c) Laufrad d) Dampf e) Wellendichtung f) aufgeschrumpfte Radscheibe

LE LA 4 2

t p,c

c, \

Wv' \ \ I..--, ,w

1 u

I ' ' \ I I \ \ I I :a&\

I I "\

p---q I \ C

I \ ! I \ I \

\ \ \

4 3 2 ,___. \

\

Bild 4.2: Druck- und Strömungsverlauf in einer Gleichdruckstufe, r = 0

4.3

Wasserturbinen verfügen häufig über freie Schaufeloberflächen, die die Forderung nach einem

unveränderten Kanalquerschnitt von selbst erfüllen. Gleichzeitig werden die Reibungsverluste

<l>R.R. vermindert.

Da am Ein- und Austritt der Schaufel gleicher Druck herrscht, können Aktionsmaschinen auf

Teilen des Laufradumfangs, also partiell, vom Fluid beaufschlagt werden. Man macht von

dieser Möglichkeit bei Teillast-Massenströmen und großer spezifischer Arbeit Gebrauch.

4.2. Überdruckturbine (Reaktionsmaschinen)

Beim Überdruckverfahren wird das Druckgefälle sowohl im feststehenden Leitschaufelkanal

als auch im Laufschaufelkanal umgesetzt. Die Entspannung des Fluids erfolgt häufig im

Verhältnis 1: 1. Der Druck p3 = p2 an der Laufschaufeleintrittsseite ist hier größer als der

Druck PI an der Austrittsseite. Bei Überdruckturbinen erhält demnach c3 = c2 nicht den

Größtwert, weil im Leitrad eine geringere (im Vergleich zu Gleichdruckturbinen)

Druckenergie in Geschwindigkeitsenergie gewandelt wird.

LE LA 4

u

-- \ .......... \

'\ ,, \\

\ \ \

\ W,'

u

Bild 4.3: Druck- und Strömungsverlauf in einer Überdruckstufe, r = 0,5

Bei Überdruckturbinen ist eine partielle Beaufschlagung nicht zulässig, da bei Überdruck

und partieller Beaufschlagung durch die nicht beaufschlagten Laufschaufelkanäle ein

Druckausgleich zwischen den Drücken p3 und PI entstehen würde.

4.4

Im Schaufelkanal muß die Relativgeschwindigkeit von w2 auf w1 beschleunigt werden, um

eine Druckenergieabnahme zu erreichen.

4.3. Reaktionsgrad

Der Reaktionsgradbegriff kennzeiclmet die Quantität der Energiewandlung im rotierenden

System, also im Laufgitter. Nur im rotierenden System ist es möglich, Energie in das System

Strömungsmaschine einzubringen (Pumpe, Kompressor) oder, wie bei der Turbinenströmung,

ihm zu entziehen.

Der Grad der Reaktion- d.h., die erzielbare bzw. abbaubare Druckenergie im Laufrad bezogen

auf das gesamte Energiegefälle dieser Stufe (Leitrad plus Laufrad) - wird in einen Zahlenwert

zwischen 0 und meist < 1 gefaßt

Gl. (2.5.-11) erlaubt die Unterteilung der gewandelten Energie im rotierenden System, in

emen

dynamischen und in einen

statischen Anteil, der bei Axialmaschinen aus der Relativgeschwindigkeitsänderung

entsteht, er wird häufig als spezifische Spaltdruckenergie im Kreiselpumpenbau be

zeichnet (s.a. relative Fonn der Hauptgleichung).

Aus Gl. (2.5.-11) folgt die Aufteilung der Energiewandlungsanteile (oberes Vorzeichen für

Pumpen und Kompressoren)

2

WR,stat = ± (/~ - hl) = ± f vdp + rp12

1

mit rp12 ;:::: 0

Dies ist der als Druckenergie vorliegende Anteil an der Radarbeit

Gl. (4.3.-1).

Der Begriff "Reaktionsgrad" kennzeichnet den Anteil der spezifischen Druckarbeit an der ge

samten spezifischen Radarbeit Es ist:

vVR,stat Gl. ( 4.3 .-2).

Setzt man in Gl. (4.3.-2) den statischen Anteil der Gl. (2.5.-11) ein, so wird

r ~-w;+u;-u;

2 (~ c21l - t~ c;ll)

4.5

GI. (4.3.-3)

und mit den häufig verwirklichten Annahmen konstanter Meridiangeschwindigkeiten im

Schaufelkanal (c1m = c2m) sowie drallfreier Zu- (Pumpe) bzw. Abströmung (Turbine) zum

bzw. vom Schaufelkanal (a1 = 90°, c1u = 0) kann man schreiben:

GI. (4.3.-4).

Für Axialmaschinen ist eine modifizierte Fonnulierung des Reaktionsgrades wegen u1 = u2 =

u gebräuchlich.

Aus den Geschwindigkeitsplänen nach Bild 4.4., mit GI. (4.3.-3) sowie w111 ,c111 = const. wird:

[ W111 - w2.J [will + vv2,J

2u [ w11l - w2.J 2u

wenn w"'ll := ~ (w111 + w2J, Bild 4.4., gilt also:

r = lwooul u

GI. ( 4.3 .-5).

Gleich- und Überdruckschaufelfonn, wie in Bild 4.2. und 4.3. gezeigt, sollen noch eimnal fiir

verschiedene Reaktionsgrade von Turbinen- und Pumpen bzw. Kompressoren zusammen

gestellt werden, Bild 4.5. und Bild 4.6.

Mit GI. (4.3.-4) folgt fiir die Radarbeit eine Reaktionsgradabhängigkeit Für eine drallfreie

Laufradabströmung (c1u = 0) vereinfacht sich die Hauptgleichung zu:

und daraus

I w R = ( 1 - r) 2 ui I GI. (4.3.-6).

4.6

u

Bild 4.4: Geschwindigkeiten am Laufrad einer Axialmaschine (c1m = c2m)

4l~4

h i l j

1 p1=p2=p3 s

11 h~i4

I P2=p3

! p1 s

( (

;:::=,) }~: hl y.·p, -ss: L2:: s

Bild 4.5: Geschwindigkeitspläne, Schaufelformen von Lauf- und Leitrad mit dem zu

gehörigen h,s-Diagramm für verschiedene Reaktionsgrade von Axialturbinen

4.7

Die Umfangsgeschwindigkeit kann heute bei hoch beanspruchten Maschinen nur noch durch

höherwertige Werkstoffe gesteigert werden. Somit steigt bei fallendem kinematischen Reak

tionsgrad die spezifische Radarbeit des Gitters. Daraus folgt fiir Gleichdruckmaschinen eine

geringere notwendige Stufenzahl bei vorgegebenem Gefälle, als bei Maschinen mit Reak

tionswirkung. Konstruktive und regelungstechnische Gesichtspunkte bei mehrstufigen Tur

binenanlagen fiihren meist zur Anwendung von Gleich- und Überdruckstufen in einem Tur

binengehäuse.

h ~' 2 3

4 s

h p, e~,

s w""'

u

(:?=:v' r=0,85 h

s

s

r=l.3 h

s

Bild 4.6: Geschwindigkeitspläne, Schaufelformen von Lauf- und Leitrad mit dem zu

gehörigem h,s-Diagramm für verschiedene Reaktionsgrade von Axial

kompressoren

4.8

Für die Auswahl der Pumpen- und Kompressorengitter muß berücksichtigt werden, daß die

Verzögerung der Strömung im rotierenden System weniger dissipativ erfolgt, als im fest

stehenden Leitkanal. Deshalb werden Reaktionsgrade < 0,5 nur selten ausgeführt. Eine ge

nauere Betrachtung der Verhältnisse soll am Beispiel eines Kreiselpumpenradialrades

erfolgen.

Dazu trägt man über dem Geschwindigkeitsverhältnis c2u /u2 (einen Wert, der mit u; multipli

ziert gerade die Radarbeit bei drallfreiem Eintritt ergibt) die mit u; I 2 dimensionslos

gemachte Radarbeit auf. GI. (4.3.-6) umgestellt ergibt die Darstellung:

WR = 4 (1- r) ui

GI. ( 4.3 .-7),

2

so daß Geschwindigkeitspläne, spezifische Radarbeiten und die Reaktionsgrade gemeinsam

als Funktion der Umfangskomponente der Absolutgeschwindigkeit c2u untersucht werden

können.

KellllZeichen der Geschwindigkeitspläne ist der Strömungswinkel ß2 (Austrittswinkel,

Schaufelwinkel bei schaufelkongruenter Strömung).

Mit sinkendem Austrittswinkel ß2 (E ~ F ~ G ~ H), Bild 4.7., sinkt die wandelbare spezifi

sche Radarbeit, danach wäre r = 0 ein erstrebenswertes Ziel. Dieser scheinbare Vorteil läßt

sich im Pumpenbaujedoch nicht nutzen. Das zeigt die folgende Betrachtung:

Die Radarbeit beinhaltet, wie in GI. (2.5.-11) angegeben, einen dynamischen und einen stati

schen Energieanteil in der relativen Fonn der Hauptgleichung.

- - + c2 - cl wl - w2 u2 - ul [

2 2 [ 2 2 2 2)] WR - WR,dyn + WR,stat - -

2 +

2 +

2

für den statischen Anteilläßt sich hier schreiben

wR,stat = r wR und mitGl. (4.3.-7) wird

2wR,stat = 4 r (1 - r) ui

GI. ( 4.3 .-8).

GI. (4.3.-8) in Bild 4.7. eingezeichnet ergibt eine Parabelform mit den Nulldurchgängen

c2u /u2 = 0 und c2u /u2 = 2, sowie ein Maximum bei r = 0,5 und ß = 90°.

t r

4.9

~-------------------c~=2u~2 ------------------~ ~---------c2~u~2--------~~~

~---------uz-r--------~

0

G F E

~

-·[·-·-·-·-·-·-·-·-·-·]·-·· -~--

E

i I I I I I I 2WR I I~ I 4 2

I I

+3 I I .l.2 I I I

t1 I

Bild 4.7: Zuordnung von Reaktionsgrad, Radarbeit und Schaufelform bei drallfreier

An- bzw. Abströmung (clu = 0)

Die Radarbeit bei r = 0 bedeutet wR = wR,dyn und damit ist keine Druckwandlung im Laufrad

möglich, die Hakenschaufeln kennzeichnen diese Gleichdruckwirkung. Der Druckaufbau in

der Maschinenstufe geschieht somit nur durch die Verzögerung der Absolutgeschwindigkeit

4.10

im Leitrad. Aufgrund des festliegenden maximalen Diffusoröffnungswinkels sind sehr groß

bauende Maschinen die direkte Folge. Im Verhältnis zur insgesamt wandelbaren Arbeit wR er

geben erst Austrittswinkel ß2 ~ 90° (rückwärts gekrümmte Schaufeln) einen hinreichend

hohen statischen Energiewandlungsanteil wR stat im Laufgitter, so daß im Pumpenbau Werte '

von

0,5 < r< 0,85

ausgeführt werden.

4.4. Vergleich der Arbeitsverfahren

Zur Übersicht sollen von den beiden Arbeitsverfahren die unterschiedlichen Merkmale aufge

zählt und gegenübergestellt werden.

Gleichdruckverfahren Überdruckverfahren

Inden Düsen bzw. im Leitrad wird das ganze In den Düsen bzw. dem Leitrad wird nur ein

Energiegefälle einer Stufe in Geschwindig- Teil des Stufengefälles in Geschwindigkeits-

keitsenergie umgesetzt. energieumgesetzt (der Rest im Laufrad).

Vor und hinter emer Laufschaufelreihe Vor emer Laufschaufelreihe herrscht em

herrscht gleicher Druck. größerer Druck als dahinter.

Kein Axialschub. Axialschub vorhanden, Ausgleich notwendig.

Teilweise Beaufschlagung möglich. Volle Beaufschlagung erforderlich.

In den Laufschaufeln wird der Fluidstrahl nur In den Laufschaufeln wird der Fluidstrahl

umgelenkt. umgelenkt und ein Teil des Stufengefälles in

Geschwindigkeitsenergie umgesetzt.

Verarbeitung eines großen Enthalpiegefälles Je nach Stufe kann nur ein kleines Enthalpie-

je nach Stufe möglich, daher geringe Stufen- gefälle verarbeitet werden, daher große

zahl. Stufenzahl

Weniger guter Umsetzungswirkungsgrad. Guter Umsetzungswirkungsgrad.

Gleichdruckschaufeln sind stark profiliert. Überdruckschaufeln sind schwach profiliert.

Der Schaufelkanal besitzt einen etwa gleich- Der Schaufelkanal ist zum Dampfaustritt hin

bleibenden Querschnitt. verengt (Düsenwirkung).

Kammerbauweise, Zwischenböden und Trommelbauweise, Laufschaufeln, keine

Düsen. Zwischenböden.

5.1

5. Axiales Laufgitter und Einzelflügel

5.1. Tragflügeltheorie

Die bisherigen Berechnungen gingen von einem Schaufelgitter mit unendlich enger Teilung

aus. Die theoretischen Überlegungen sind nur dann auf die reale Strömung übertragbar, wenn

die Schaufeln tatsächlich sehr eng beieinanderstehen (vgl. "Einfluß der endlichen

Schaufelzahl"). Axialräder mit hohem Reaktionsgrad implizieren auch hohe

Relativgeschwindigkeiten (Bild 5.1.), d.h., die Kanalreibung wächst an. Deshalb ist man

genötigt, mit weniger Schaufeln am Radkranz auszukmmnen, so daß sich die Schaufeln häufig

nicht mehr überdecken und der Schaufelkranz in axialer Richtung "durchsichtig" wird. Da

nun keine eigentlichen Schaufelkanäle mehr vorliegen, kann die Energieübertragung dann

sicherer durch die Tragflügeltheorie beschrieben werden.

Wird ein Tragflügel von einem reibungsbehafteten, inkompressiblen Medium mit der Relativ

geschwindigkeit w 00 an geströmt, wirken auf ihn zwei Kräfte verschiedener Qualität.

Die Auftriebskraft (Querkraft)

Gl. (5.1.-1)

nach dem Satz von Kutta-Joukowsky senkrecht zur Strömungsrichtung und die m

Strömungsrichtung wirkende

Widerstandskraft

Hierbei sind

Ps der Staudruck

A die Fläche

p 2 Ps = - Woo

2

A=bl

Gl. (5.1.-2).

c A und cw zwei Beiwerte, deren Größe durch Versuche zu e1mitteln ist. Sie sind bei vorgege

benem Profil außer von dem Anstellwinkel auch von der Reynold-Zahl

Re w ·1 = _oo_ Gl. (5.1.-3)

V

abhängig.

5.2

Saugseite = Unterdruck

Bild 5.1: Strömungskräfte und Druckverteilung an einem Tragflügel

Der Auftrieb ist an das Vorhandensein einer Zirkulation gebunden. Die Zirkulation entsteht

auf folgende Weise:

Ist die Strömung in Ruhe, ist die Zirkulation um den Flügel identisch Null. W e1m sich

der Tragflügel in Bewegung setzt, entsteht im ersten Moment die zirkulationsfreie Um

strömung. Dabei liegt der hintere Staupunkt Sh z. B.auf der Flügeloberseite in der Nähe

der Hinterkante K. Diese wird scharfumströmt.

5.3

Nach der Bemoullischen Gleichung entsprechen diese hohen Übergeschwindigkeiten

einem niedrigen Druck bei der scharfen Hinterkante K. Von Sh CPmax ) nach K (Pmin)

kommt es zu einem hohen Druckgradienten. Das führt in kurzer Zeit nach Ausbildung

der Grenzschicht zur Strömungsablösung (Grenzschichtablösung) mit Rückströmen,

d.h., zur Ausbildung einer instabilen Unstetigkeitsfläche, die sich zu einem Wirbel

aufrollt.

Dieser Wirbel, der nach den Wirbelsätzen an das Fluid gebunden ist, bleibt stehen,

während sich der Tragflügel entfernt. Man nennt ihn den Anfahrwirbel (- I'); seine

Stärke wird durch die Abflußbedingungen an der Hinterkante des Flügels bestimmt IO).

Nach dem Satz von Thomson muß sich als Kompensation für-rein entgegengesetzt

ausgerichteter, gleich großer gebundener Wirbel r um den Tragflügel bilden. Das ist

aber der "tragende" Wirbel, der die Tragflügelzirkulation hervorbringt, Bild 5.2.

Danach ist ein Auftrieb nur möglich, wenn um den tragenden Körper, den Tragflügel, eine

Zirkulation und gleichzeitig eine parallele Allströmung mit der Geschwindigkeit w 00

vorhanden ist.

Gl. (5.1.-4)

Gl. (5.1.-5).

Da die Zirkulationsströmung auf der Oberseite, Bild 5.2. mit der Parallelströmung und auf der

Unterseite in der Gegenrichtung (- w 00 ) verläuft, entstehen an der Oberseite größere Ge

schwindigkeiten, d.h., nach der Bemoullischen Gleichung (reversibler Fall) oder nach der

10) Nach Thomson (Lord Kelvin) ist in einem Fluid die Zirkulation r = f c d s längs einer geschlosse

nen Linie zeitlich konstant, wenn auf das Fluid nur Massenkräfte wirken, die sich von einem Potential ableiten lassen (konservative Kräfte).

5.4

Energiegleichung für Strömungsprozesse (irreversibler Fall) herrschen auf der Unterseite

Überdrücke und auf der Oberseite Unterdrücke.

Bild 5.2: Umströmung eines Tragflügels

Zur Berechnung der resultierenden Strömungskraft F ist die Kenntnis der Beiwerte cA und

cw notwendig. Beide Werte sind von der Prof1lform und der Stellung des Profils zur

Anströmrichtung w 00 , dem Allströmwinkel 8, abhängig.

Das Polarendiagramm, Bild 5.3, macht die Zusammenhänge deutlich.

Trägt man cw als Abzisse, c A als Ordinate auf, erhält man eine von Lilienthai stammende

Darstellung, die den Vorteil hat, daß die Verbindung eines Kurvenpunktes mit dem Nullpunkt

immer die Richtung der Resultierenden angibt.

Der Winkel dieser Verbindungslinie gegen die c A - Achse ist 'A und die Gleitzahl E ist durch

c R & := tanA- = _Tf_ = _.!!::_ Gl.(S.l.-6)

CA FA

definiert. Unter diesem Winkel gleitet em motorloses Flugzeug zu Boden ('A =

"Reibungswinkel"). Die Tangente von 0 aus an die Polare ergibt (E)min. Für den reversiblen

Fall ist E = 0.

5.5

Auftrieb und Widerstand ändern sich mit dem Anstellwinkel 8, Bild 5.3., cw nimmt mit 8

etwa quadratisch zu.

w..,

a) b) Amin

t 1,2 1,2

t t Q8 CA Ö=Ü 0

cw CA ö=-4°

Q4

Bild 5.3: a) Auftriebs- und Widerstandsbeiwerte eines Prof"Ils b) "Polarendiagramm"

Das deutliche Absinken des Gradienden dc A für 8 ~ 8° zeigt das beginnende Abreißen der dcw

Strömung an.

In Bild 5.4 sind das Kräftegleichgewicht beim Gleitflug und Flugzustände eines Flugzeuges

bei Vollgas- und Leerlaufzustand dargestellt. Die Polaren sind abhängig von der Reynolds

Zahl.

5.6

t + c"

- c,.

1

Kurvenflug Landung

--~ ....... ' ' '\ (\

Reiseflug ( Sparflugl(fA-) 'fl fii:IX

Bild 5.4: Kräftegleichgewicht beim Gleitflug und Flugzustände eines Flugzeuges bei Vollgas- und Leerlaufzustand, [11]

5.2. Anwendung der Tragflügeltheorie auf das axiale Laufrad

Im Gegensatz zum Tragflügel mit W00

ändert sich bei der Duchströmung des Gitters die

Richtung und Größe der Relativgeschwindigkeit Man kann aber die Kräfte auf das Gitter

näherungsweise durch Einführen von

1 (- - ) ·-- w1 + w7 2 - GI. (5.2.-1)

nach der Tragflügeltheorie bestimmen, Bild 5.6., was durch Messungen bestätigt wird. Es ist

aber durch die gegenseitige Nachbarschaft der Profile eine Änderung der Zirkulation und

somit der c A- Beiwerte zu erwarten. Aus der Parallelströmung ist ja eine durch das Gitter um

gelenkte Strömung geworden.

Für den einfachen Fall eines Gitters aus ebenen und oo-dünnen Platten, die unter 8 angestellt

sind, konnten die Auftriebsbeiwerte abhängig von der Gitterdichte, d.h. der Teilung t/1, ge

funden werden, Bild 5.5.

Werte von cA /cAl < 1 (cAl =Beiwerte der Einzelplatte) ergeben eine negative Wirkung durch

die Nachbarplatte, Werte cA /cAl > 1 eine positive.

1 CA

CA1

2.5

2.0

1,5

1.0,

0.5

o~----._----~----~--~ 2 3

_t ----i ... ~ l

5.7

u

~c

-~~~~~

Bild 5.5: Auftriebsbeiwerte eines Gitters, abhängig vom Anstellwinkel und der Teilung [8]

--2

Bild 5.6: Strömungskräfte im Gitterverband

Demnach bewirken Anstellwinkel 8 < 40° bei cA /cAl > 1 eine erhebliche Vergrößerung des

Auftriebes. Dieses Ergebnis wird in der realen Turbinenströmung bestätigt.

5.8

Die von der Strömung auf die Schaufel des Gitters ausgeübte Kraft ist die Resultierende F aus FA und Fw, also

Die Kräfte FA und F schließen den "Reibungswinkel"/.., ein. Die Resultierende F wird nun

der Gitterlaufrichtung entsprechend in eine Nonnal- und eine Umfangskomponente zerlegt.

Offenbar gilt für die Axial- oder Normalkomponente bei einer Schaufel

F,, = FA cos ßoo + F;v sin ßoo = ~ cos Cßoo ± A) COSA

(das obere Vorzeichen gilt für die Pmnpe, das untere für die Turbine).

Bild 5.7: Kräfte auf die Schaufeln bei Turbine (a) und Pumpe (b)

F F,, = F COS (ßoo ± A) = _A_ COS (ßoo ± A) COSA

_ P 2 b l COS (ßoo ± A) - CA Woo

2 cos -1

und folglich für die Druckdifferenz P2- PI

F,, F,, p 2 f COS (ßoo ± A) P2 - PI = - = - = c A - w -

A b t 2 oo t cos A,

Gl. (5.2.-2)

Gl. (5.2.-3)

Gl. (5.2.-4).

5.9

Die Umfangskomponente errechnet sich analog zu Fn aus

F,, = FA sin ßoo ± Fw COS ßoo = _!A_ sin Cßoo ± /L) cos /L

F,, = F sin (ßoo ± /L) = _!A_ sin (ßoo ± /L) cos /L

= CA P w~ b l sin (ßoo ± /L) 2 cos /L

GI. (5.2.-5)

GI. (5.2.-6).

Bei der Anwendung dieser Gleichung auf beschaufeite Laufräder muß beachtet werden, daß

sich nicht nur eine Schaufel in einer ungestörten Strömung befindet, sondern mehrere

Schaufeln, die jede einzeln einen Einfluß auf die Umströmung der anderen ausübt, d.h., cA

muß korrigiert werden, entsprechend den Verhältnissen des ebenen, oo- dü1men Gitters (nach

Bild 5.5.).

Berechnet man die Umfangskomponente Fu über die Differenz der Impulsströme

F,, = jltt - j2tt

= rh w1 cos ß1 - 1n w2 cos ß2

= ri1 (w1"- w2") = p V (w1"- w2")

= pb t W 111 (w1"- W2")

= p b t C111 ( c2" - c1")

so ergibt sich für die Radarbeit mit GI. (5.2.-7) und wR = u (c2u- clu)

und mit GI. (5.2.-6)

u c A w~ l sin (ßoo ± A) WR = ± ---'-'------=---_:_:___:::------'---

2 C111

t cos /L

5.3. Das Schaufelprom

GI. (5.2.-7),

Gl.(5.2.-8)

GI. (5.2.-9).

Die Schaufelkontur beeinflußt die Beschleunigung des Fluids beim Eintritt in das Schaufel

gitter. Wann ist eine Pro:filierung lohnend? Der Strömungsmaschinenbau kann die

5.10

Erkenntnisse einer vorteilhaften Schaufelprofilierung nicht in jedem Fall nutzen, weil hier

kleine Re-Zahlen auftreten.

Die Tragflügelströmung reißt bei Überschreitung gewisser Anstellwinkel an der Saugseite

(Unterdruck, oben) ab. Dann gelten die abgeleiteten Beziehungen nicht mehr.

Beispiel

Ab Re-Zahlen < 1 os verhält sich die gewölbte Schaufel besser als die profilierte, Bild 5.8.

Grund:

Bei der gewölbten Schaufel bildet sich sofort eine turbulente Grenzschicht aus, die einen

steileren Druckanstieg als eine laminare vertragen kann.

ebene Platte

417a

Emin

0 60 80 100 120 140 160 180 ·1if Re

Bild 5.8: Gleitzahlen von Profilen und einer ebenen Platte [3]

Beschleunigungen (Turbinen) und Verzögerungen (Pumpen) werden bei der

Gitterprofilierung ohne Ablösung und somit verlustann erreicht. Bild 5.9. zeigt die

Veränderung einer gleichmäßig angenmmnenen Relativ-Geschwindigkeit w 0 entlang eines

mittleren Stromfadens. Bei dem nicht profilierten Gitter kommt es zu ungewollten

erheblichen Verzögerungen im Ein- und Austrittsbereich des Schaufelkanals von a bis d.

5.11

.-·-........ ./"'" . "-.._

Wm=const . Wm"/-Const

' Bild 5.9: Prolilierung der Schaufelgitter für verlustarme Strömung [4]

links: ohne Proitlierung

rechts: mit Proitlierung

6.1

6. Maschinenkennzahlen

6.1. Ähnlichkeit

Komplexe Strömungszusammenhänge lassen sich äußerst selten geschlossen mathematisch

behandeln. Dazu kommt, daß halbempirisch gefundene Maschinenkonstruktionen mit hohen

Wirkungsgraden nicht strömungstechnisch beschreibbar, sondern primär nachbaubar sein

sollen, z.B. in anderen Leistungsbereichen. Maschinen großer Leistungen sollten zunächst in

Modellgröße untersucht und entwickelt werden, um dann sicher in die Großausführung umge

setzt werden zu können. Solche Maschinen müssen geometrisch ähnlich sein, um die

gewonnenen Ergebnisse übertragbar zu machen. Die Übertragbarkeit soll mit Kennzahlen

erreicht werden, die unabhängig von der Maschinengröße ilmner denselben Wert haben.

Solche Kennzahlen müssen bestimmten Forderungen genügen, um die so beschriebenen

physikalischen Vorgänge gleich bleiben zu lassen. Zusätzlich sollen die Kennzahlen eine

Einordnung der Strömungsmaschinen ermöglichen.

Jede physikalische Größe ist durch die Angabe von einer Maßeinheit (Einheit) und einer Maß

zahl (Zahlenwert) festzulegen. Die Maßeinheit erlaubt eine Aussage über die Art (Dimension)

dieser Größe im physikalischen Sinne.

Die Dimensionslehre zeigt, daß sich alle physikalischen Größen auf wenige Grundgrößen

zurückführen lassen. In der Mechanik kommt man mit den Angaben von Massen (m), Längen

(1) und Zeiten (t) aus. Alle anderen physikalischen Größen (z.B. Flächen, Spannungen,

Formänderungsenergien, Geschwindigkeiten, Dehnungen) lassen sich daraus ableiten; sie

heißen abgeleitete Größen, wie z.B. Geschwindigkeit (1 t-1 ).

Zustände oder Vorgänge sind einander physikalisch ähnlich, wenn die Verhältnisse ihrer be

schreibenden Größejeweils paarweise übereinstilmnen. Voraussetzung ist, daß die Größen für

beide Fälle in einander entsprechender Weise definiert sind, insbesondere, daß Otisangaben

auf analoge charakteristische Längen und Zeitangaben auf analoge charakteristische Zeiten be

zogen sind.

Am Beispiel eines Schaufelgitters soll das Geforderte für die Mittenschnittsrechnung erläutert

werden.

Die Hauptgleichung der Strömungsmaschinen stellt die Energiewandlung (physikalischer Vor

gang) in einen Strömungsgeschwindigkeitszusammenhang (1 t-), der durch Geschwindigkeits

pläne dargestellt werden kann.

6.2

Bei drallfreier Saugseite (c1u = 0) ist

xk=

I ,.__ ___ c2u -----..1

Diese Geschwindigkeiten u2 und c2u , wie alle übrigen, kö1men als Geschwindigkeits

verhältnisse ausgedrückt werden, die dann unverändert bleiben, wenn man die Geschwindig

keiten um den gleichen Maßstabsfaktor verändert. Das in Bild 4.7. angegebene Verhältnis c2u

/u2 bleibt beispielweise unverändert, wenn man bildet:

C?, =kc? u11d u2' =ku2 -" -11

Gl. (6.1.-1).

Für die spezifische Radarbeit wird so

Gl. ( 6.1.-2).

Durch solche Maßstabsfaktoren bleiben die Geschwindigkeitspläne kinematisch ähnlich, d.h.,

es bleiben auch die Winkel der Absolutströmung a = a' und der Relativströmung ß = ß' kon

stant.

Strömungsvorgänge in ein und derselben Maschine oder in zwei geometrisch ähnlichen

Maschinen sind kinematisch ähnlich, wenn die Geschwindigkeitsfelder der beiden

Strömungen geometrisch ähnlich sind.

So läßt sich mit der kinematischen Ähnlichkeitsbedingung von zwei Strömungen die geo

metrische Ähnlichkeit der beiden Strömungszustände bzw. Geschwindigkeitsfelder erzielen.

6.3

Beim Übergang zu einem anderen geometrisch ähnlichen Strömungszustand in der Maschine

gehorchen die auftretenden Irreversibilitäten des Fließprozesses etwa gleichen Gesetzmäßig

keiten, d.h., alle die Dissipation beschreibenden Größen werden in erster Näherung als kon

stant angenommen. Solche Vorgänge nem1t man deshalb unvollständig ähnlich, weil die

noch abzuleitenden KeilllZahlen nicht vollständig übereinstilmnen. Bei der Umrechnung vom

Modell auf die Großausführung spielt die unvollständige Ähnlichkeit eine Rolle, sie wird

durch sog. "Aufwertungsfonneln" berücksichtigt.

Beim Wechsel des Betriebszustandes wird häufig ein unverändert auftretender Verlustbeiwert

vorausgesetzt, also

mit s:.::::: const.

Daraus aber folgt die eingeschränkte Konstanz der Wirkungsgrade. So wird z.B. analog Gl.

(6.1.-2)

Der Geschwindigkeitsmaßstabsfaktor

c' u' w' k:=-=-=-

c u w

erlaubt seine Aufteilung in einen Längenmaßstabsfaktor

L' /1,:=-

L

und einen Zeitmaßstabsfaktor

t' r:=

t

Mit u = rc D n kam1 man nun schreiben:

u' k =

u

Gl. (6.1.-3).

Gl. (6.1.-4)

Gl. (6.1-5)

Gl. (6.1.-6).

Gl. (6.1.-7).

6.4

Das Verhältnis aus dem Längemnaßstabsfaktor, hier ein Durchmessermaßstab, und dem Zeit

maßstabsfaktor, hier ein Drehzahlmaßstab ergibt den Geschwindigkeitsmaßstab k = 'Al T. In

ganz analoger Weise können andere Grundgrößen und abgeleitete Größen beschrieben

werden, z.B.:

Flächen A' = /1} A

Volumen

Volumenströme

spezifische Radarbeit

spezifische Förderarbeil bzw. w; ~ ( ~ )' w1 mit~"~.~const. spezifische Gefällearbeit

Leistungen (bei p = const)

6.2. Kennzahlen

GI. (6.1.-8)

GI. (6.1.-9)

GI. (6.1.-1 0)

GI. (6.1.-11)

GI. (6.1.-12)

GI. (6.1.-13).

Kennzahlen werden zur Charakterisierung des Betriebsverhaltens und für die Bauart von

Strömungsmaschinen verwendet. Allgemein gültig können Kennzahlen nur werden, wenn es

gelingt, maschinenbeschreibende physikalische Größen dimensionslos, also unabhängig von

Massenströmen, Enthalpien, Drücken, Leistungen etc. einzelner Maschinen, darzustellen.

Die Wahl, welche charakteristischen Größen zur Kennzahlbildung herangezogen werden, ist

weitgehend willkürlich. Im Verlauf der Strömungsmaschinenentwicklung haben sich einige

Kennzahlen jedoch als besonders zweckmäßig für eine allgemeine Beschreibung des Betriebs

verhaltens der Bauarten erwiesen.

6.2.1. Maschinenbetriebbeschreibende Kennzahlen

Aus GI. (1.2.-52)

(dw.Jm ~ dh, + d [ ~] + gdz

6.5

und Gl. (1.2.-54)

bezogen auf den Staudruck der Umfangsgeschwindigkeit p t1; definiert man die 2 -

Druckzahl 1f1 : = I wr I u3;_ I 2

häufig auch als Enthalpiezahl bezeichnet.

Gl. (6.2.-1),

Durch die Kreisfläche TC I 4 Di des Laufrades ströme fiktiv das zu verarbeitende Fll!id mit

einer Geschwindigkeit u2 , man erhält so den "Bezugsvolumenstrom"

V .• _ 1CD2 - ~ ? - 4 -

mit dem die

V Volumenstromzahl rjJ := ---

TC D2 Uz 4 2

definiert ist.

Die

Gl. (6.2.-2)

Gl. (6.2.-3)

entsteht aus der V erknüpfung von spezifischer Arbeit und Massenstrom p V = m

P ·1 I +1 e = m wf 'le .

Diese drei Kennzahlen beschreiben hauptsächlich das Betriebsverhalten der Strömungs

maschine.

6.6

6.2.2. Strömungsbeschreibende Kennzahlen (Näheres in der Strömungsmechanik)

Wenn es gelingt, die Strömung in Fluidenergiemaschinen vollständig mit Differential

gleichungen zu beschreiben und eindeutige Lösungen anzugeben, so bilden diese Gleichungen

mit dimensionslosen Variablen die Ähnlichkeitsbeziehungen der Strömung. Häufig können

aber unter den in der Maschine herrschenden Rand- und Anfangsbedingungen keine

eindeutigen Lösungen der Differentialgleichungen angegeben werden.

Die Methode der gleichartigen Größen11) (Fractional Analysis) bietet die Möglichkeit,

physikalische Vorgänge durch voneinander unabhängige Kraftverhältnisse in Keimgrößen

auszudrücken.

Für den Bereich der Strömungsmechanik sind dies besonders häufig die

Trägheitskraft,

Reibungskraft,

Feldkraft,

Druckkraft.

Solche Kräfte lassen sich nun entsprechend ihrer Ursache und Wirkung üruner

durch Grundgrößen ausdrücken, wie

Masse, Länge, Zeit, aber auch

durch abgeleitete Größen wie

Geschwindigkeit

undDruck

oder Stoffeigenschaften

wie Dichte

kinematische Viskosität

oder Feldeigenschaften

wie Gravitationskonstante

c (It-1)

p (ml-1 t-2)

p (ml-3) und

V (}2 t-1),

g (It-2).

II) Zierep, J.: Ähnlichkeitsgesetze und Modellregeln der Strömungslehre. G. Braun, Karlsruhe (1972)

6.7

Für die genannten Kräfte ergeben sich die folgenden Proportionalitäten:

?

Trägheitskraft: c-

FT 1

Dimension (It-2)

F ~ vc

Reibungskraft rp 12 Dimension (It-2)

Feldkraft Fg ~ g Dimension (It-2)

Druckkraft FP p

p1 Dimension (It-2)

Von diesen, die Strömungsmechanik wesentlich bestimmenden Kräften können voneinander

unabhängige dimensionslose Verhältnisse angegeben werden:

Trägheitskraft ~ I Re = cvl I I Reibungskraft '-· _____ ...J.._R_eyn_o_ld_s_-z_ah_l _______ ___.J GI. (6.2.-4),

Trägheitskraft I c2 I I

Feldkraft ~ '-F_r_=_g_z __ -...L_Fr_o_u_de_-_z_al_ll ________ ___.J GI. (6.2.-5),

Druckkraft

Trägheitskraft I Euler-Zahl

6.2.3. Bauartbeschreibende Kennzahlen

I Gl. (6.2.-6) .

Zur Charak:terisierung der Bauart zieht man zwei weitere Kennzahlen nämlich die Laufzahl

und die Durchmesserzahl heran.

Zur Herleitung dieser Kennzahlen benutzen wir die 1m hydraulischen

Strömungsmaschinenbau gebräuchlichen Einheitswerte.

Dazu wird eine Einheitsmaschine (Index 11) definiert, die die Eigenschaften

tjJ = 1 und lf/ = 1

bei dem Volumenstrom V und der spezifischen Förderarbeit Wf des wirklichen Laufrades

6.8

haben soll.

Mit einer solchen Festlegung kann nun die

v Einheitsvolumenstromzahl f/JI I = --

Jr 7

~I4 DI-I

und die

Einheitsdruckzahl lf/I I

erhalten werden.

GI. ( 6.2.-7)

GI. (6.2.-8)

Bezieht man nun die Kennzahlen ~ und \jf auf die zugehörigen Einheitskennzahlen, ergibt sich

GI. (6.2.-9)

und

Elimination des Umfangsgeschwindigkeitsverhältnisses führt auf:

GI. 6.2.-1 0)

undmit

f/J11 = lj/11 = 1 sow1e D

= 8

erhalten wir die von Cordier 1953 vorgeschlagene

6.9

I . 4

Durchmesserzahl5 = lf/ 1 GI. (6.2.-11),

(p

die angibt, wievielmal der Radaußendurchmesser D größer ist als der des Vergleichsrades D 11 mit ~ = \jf = 1.

Aus GL (6.2.-8) und dem Umfangsgeschwindigkeitsverhältnis von Maschine und Einheits

maschine

u :rcDn D n ------- GI. (6.2.-12)

kann die zur Bauartbeschreibung wichtige Laufzahl a = nln 11 angegeben werden. Wegen

1

n 1 1 t/J 2 1 a:=- a =--~ =-1 -~

n 5 - -11 lf/2 lf/4 lf/2

GI. (6.2.-13)

gilt

GI. ( 6.2.-14). I~

Laufzahl a= t/J: =-.:._--?-3

2)

-lf/4

[ 2 ~7~~r

In älteren Literaturstellen wird noch die spezifische Drehzahl nq zur Kennzeichnung der

Bauart benutzt, sie ist eine dimensionsbehaftete Größe und kann mit a = nq in min-1/157,8

umgerechnet werden.

Cordier hat die Wirkungsgradkurven verschiedener Lüfter und Gebläsebauarten in einem

doppeltlogarithmischen cr, 8-Diagramm aufgetragen. Er stellte dabei fest, daß sich die jeweils

besten Wirkungsgrade aller Maschinen durch eine einzige Kurve verbinden lassen, Bild 6.1:

Cordier-Diagramm.

Diese so benannte Cordier-Kurve ist eine wesentliche Hilfe bei der Auswahl der Optimal

werte von Laufraddurchmesser D und Drehzahl n einer Maschine, für eine durch Volumen

strom V und spezifische Förderarbeit Wf gegebene Aufgabenstellung.

2) Laufzahl - häufig auch Schnellaufzahl genannt

1 0

:E "' N -::J

"' --'

10

B

6

4

3

2

1 0,8

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1 0,08

0,05

6.10

ll=65%

:n_K ~wo ~~ ~'\\\ ~ ~~~ ~

"' ~\\' ~'\ ' ~~~ ~\' '\ i'Jap,o1 ~ ll_ ~ '\

N~ ~ "\ i'v-'~,02

~ ~ !'- ~,05 ~ "'~ 1\. "r--. 1'\,~\\W "' Y II\

"""~~\\' :"-. ['<f1 ~~ ~ rv-r·3

" ' ~ " ~'-../ ~.5 "' +

~+

"" +-~t1-'* ~ " ++~

~ N ~~-....

~+ "~ l\.,.1 0

~0"" + 0,5 0,8 1 2 3 4 6 8 10

Durchmesserzahl 5--Bild 6.1 Cordier-Diagramm

20

Bei einem gegebenen Arbeitspunkt (Wertepaar, V, Wf) ist es theoretisch vollständig offen,

welcher Maschinentyp, gekennzeichnet durch das Wertepaar Laufzahl a und Durchmesserzahl

8, zu wählen ist. Allerdings wird die Wahl des Maschinentyps dadurch eingeengt, daß weder

die Drehzahl noch der Laufrad-Durchmesser extreme Werte mmehmen sollten, um Nachteile

in der Energiewm1dlung zu vermeiden. So würde z.B. bei einem Betriebspunkt, der durch

einen großen Volumenstrom und eine geringe Förderarbeit gekem1zeichnet ist, die

Verwendung einer Radialmaschine zu einem sehr großen Durchmesser und einer extrem

niedrigen Drehzahl dieses Bautyps führen.

Zum Verständnis der Zusarmnenhänge zwischen Drehzahl- und Durchmesseränderungen von

jeweils auf der Cordier-Kurve liegenden Maschinen diene folgendes Beispiel:

Ausgewählt werden zwei auf der Cordier-Kurve liegende Maschinen (V, Wf = const) mit den

Wertepaaren cr1 = 0,1; 81 = 10 bzw. cr2 = 0,5; 82 = 2.

6.11

Für den Fall, daß die Drehzahl der Maschine 1 n1 = 3000 min-1 beträgt, ergibt sich über die

Gleichungen Oj = !!l und 51 = D1 ein Durchmesser der Maschine 2 von D2 = 1/5 D1 und

o-2 ~ 52 D2

eine 5 mal höhere Drehzahl n2 = 5 n 1 .

a a,

I I I I I

--r------1 I I I

für V= const

und w1 = const,

z.B. ein gegebene Anwendung

Eine andere, aus der Sicht des Wirkungsgrades und der Lebensdauer, ebenfalls ungünstige

Auswahl wäre die Verwendung einer Axialmaschine, we1m ein relativ kleiner Volumenstrom

bei einer relativ großen Förderarbeit verlangt wird. Die ausgewählte Maschine axialer Bauart

besäße einen extrem kleinen Durchmesser bei einer sehr hohen Drehzahl.

Zur Veranschaulichung der Zusammenhänge zwischen Laufzahl cr, Durchmesserzahl 8, Um

fangsgeschwindigkeit u und effektivem Wirkungsgrad lle hat B. Eck [7] für einen gegebenen

Betriebspunkt zusätzlich zur Cordier-Kurve die jeweiligen Laufradtypen maßstäblich mit ein

gezeichnet, Bild 6.2. Alle Laufräder verarbeiten gleiche Fördervolumina und erreichen gleiche

Förderarbei ten.

Wie man diesem Diagramm entnimmt, hat das Hochdruckradialrad einen um den Faktor 9,7

größeren Durchmesser als das links im Bild befindliche Axialrad, dreht dafür aber nur mit ca.

1/20 der Drehzahl des Axialrades.

Der Wirkungsgradabfall bei hohen Laufzahlen erklärt sich durch die zunehmenden Schaufel

verluste, weil die Führung der Strömung und die Randverluste3) infolge der abnehmenden

Schaufellängen ungünstiger werden.

Der Wirkungsgradabfall der langsamlaufenden Bauarten ist hauptsächlich durch die Rad

reibung bedingt, die mit der 5.ten Potenz des Radaußendurchmessers zunimmt. Hinzu

kommen u.a. die aufgrund der langen, engen Kanäle auftretenden großen Schaufelverluste.

3) Randverluste wurden bisher nicht erwähnt

6.12

Das Vergleichsrad cr = 1, 8 = 1 der Einheitsmaschine ist, da es die cr, 8- Kurve nicht erreicht,

kein optimal ausgelegtes Rad. Diese Aussage bleibt allerdings unerheblich, da es lediglich zur

Kennzahlentwicklung diente.

10

9

8

7

4

3

2

0

~ 11\ --1\ --- --

.......... ---- -----/)(/

IL::v - \ / ~ 5

""""1

~ 1-- - ~ u /---

"'>"'

~~--------· r------ -- ·- ~~nheitsgebliise f--.

I ~ if, J lit, ~ ~1 ' ~r~ if {?, ~ 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1, 5

o-

1 ,0

0,9

0,8

0,7

0,6 1 0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

F

Bild 6.2: Maximal erreichbare Wirkungsgrade 'lle, Durchmesserzahl 8 und Umfangs

geschwindigkeit u für Ventilatoren verschiedener Laufzahlen, [3]

6.3. Anwendung der Kennzahlen auf die Maschinenauslegung

Das Cordier-Diagramm (Bild 6.1.) vermittelt dem Konstrukteur die Kem1tnis des Laufradtyps

bei festgelegtem Druck und Volumenstrom, wobei ein optimaler Wirkungsgrad des Rades nur

bei Beachtung der Mehrstufigkeit und Mehrflutigkeit (Abschnitt 6.4.) zu erreichen ist.

Bild 6.3. verdeutlicht noch einmal die Zuordnung des Laufradtyps zur LaufzahL

Aus Gl. (4.3.-7) und Gl. (6.2.-1) folgt der Zusammenhang

Gl. (6.3.-1)

zwischen Druckzahl und Reaktionsgrad. Eingesetzt in Gl. (6.2.-15) findet man

6.13

I

fjJ2 (J = ----'----------,-3 GI. (6.3.-2)

[4(1-r) 77,~ti

die Abhängigkeit der Laufzahl vom Reaktionsgrad.

Q - 0,06 < d < 0,30

b ·- 0,20 < d < 0;50

c Q4o < d < r.o

d ·- 0, 7 < d < 2,0 •-~ (bis< 3,0)

Bild 6.3: Übliche Laufzahlbereiche verschiedener Laufradbauformen

a) Radialrad b), c) Diagonalrad d) Propellerrad

1,2

1,0

0,4

0,2 0

0,9

....

.....

-

r--t 0,8

llu 0,7

6.14

I I I ~ I . I I

/obere Grenzkurve: ß2 gron~Reakt1onsgrad

'klein~ Laufräder kavitationsgefährdet , t I I I I I I

" I I · I I I I I ........ "" untere Grenzkurve: ß2 klein~

' ' [)\ Reaktionsgrad gron, Laufräder

~ ~ ~ ~ht kavitationsgefährdet

r ..... -

' l'

~ ~ ~I

1 ' ~ ~ ~ I " " ~ "' ' ~

~ " ~ "' "" ~ """" i"oo...

I ~"' ........... ~

I r---... I

"' I ~ I """"-

0,2 0,4 O,E5 0.~ 1,0 1,2 0 ...

.,.._.... sehr grone Pumpen ,.".. -----~ ...

~ "..- ",..,...- ............ ~ ""'!'"-.'""" ~~ """"""'" ......... i"oo.. ........ """ "- r-·- ~V

r---.. --o -r--1---- ..... ~~~ - ,.. ........... 0<·6.:; -~ r--o · s

~ " ~V i"""'"' ~-Qo< (J--l' ~

~ ~ ",..,..- - o.o ~6 I>'\ ",

~ / I ~~ ~ ~,

~"f"" '.',~ , oo€>3 .~ / ~ ~~ ~o. I I !

~ O,E5 0,05 0,07 0,1 0,15 0,2 0,3 0,4 0,5 0,7 1,0 1,2

0 _ __. ....

Bild 6.4: Zuordnung der Kennzahlen zu erreichbaren Umfangswirkungsgraden von

einstufigen Kreiselpumpen mit Rücksicht auf die Kavitationsempfindlichkeit

6.15

Aus Gl. (6.3.-2) folgen bei unveränderter Volumenstromzahl und niedrigen Laufzahlen

(Radialräder) auch niedrige Reaktionsgrade. Umgekehrt steigt die Laufzahl mit zunehmendem

Reaktionsgrad.

Langsamläufer, Radialrad

kleiner Volumenstrom, 0,06 < Cl < 0,30

große Schaufelarbeit

Mittelläufer, Radialrad 0,20 < Cl< 0,50

mittleres V, mittleres wR

Schnelläufer, Halbaxialrad 0,40 <Cl< 1,0

großes V, kleines wR

Expressläufer, Axialrad 0,70 < cr < 2,0 (bis< 3,0)

größtes V, kleinstes wR

Die Wirkungsgrade ausgeführter Pumpen bewegen sich in weiten Grenzen, sie sind im Nenn

betriebspunkt hauptsächlich von der in der Maschine auftretenden Dissipation im Gitter

(Abschnitt 7.3.) abhängig.

a) a 6

// '/ / :-. .L - ..

4

2

. ~ . ; """ ..

~\V !--'-:- >--- +·---·-/ -:/ // 7'><

/_ .. / -'/' K /

'/ / ~ L .· K .. '/

l 0.6

0.4

0.2

tV cf>

0.1

0.06

.· > ··,..: // /~·/. -:,L - f- .. ·;";::.

,......,..., - '-<.'• :/-. 0.'

i-,, ·I"- . ,'\. cxx ~ XX

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'~~' '·. ~ '• 1'. :-~ l'~· ~< ~ ' J<.. ' '• .'\.

'~ ,, r'" ,, l"- '·~" [' ---

'~' 0,04 .....

' ' ' .. 'r'· -":,I'

0.02 ... rr. [.":: l'-.... 7 '· ' '

0.01 ··I'-' 6 10 20 ~ 40 60 100

I I I I, I I, I J lllj I 0,1 U2 Q3 OS

C1 .....

,4

0.6

0.8

1.0

1,4

1,8

2,2

2,6

T'h

l tV ~ "''i.

./ rx. ' 0.:

//' /. - V, ~"i!. ~ ~ // 'P,; .;. ~ ··:< \~ ·' Q.

' (',~ ;('\ ·, -

' ~ 0t/ ~~ Xi'i' '/A

'[} i/l'l / ,. II" ,, •. [II', \ xvv ~~ ·" \:/.

<~I' '// ~ V -· 'j. :-...' ~~ ~ V/' (...." - /

V ~ 20

I 40 60 100 1 200 600 OOJ 2000 miri1

I 111 J lf\i.Tti H l I I I 0.51 2345 ll

CF ~~Po

Bild 6.5: Auslegungsdiagramm für Turbinen (a) und Pumpen (b)

[c111 = ~2lwrl , (} = nq lmin-1

1 I 157,8 J

6.16

Mit Rücksicht auf einen optimalen Wirkungsgrad zeigt Bild 6.5. Auslegungsdiagramme von

Turbinen und Pumpen.

In Bild 6.6. sind in Abhängigkeit von der Druck- und Volumenstromzahl die mit optimalem

Wirkungsgrad einsetzbaren Laufradtypen dargestellt. Dem Reaktionsgrad r = 0 sind nach Gl.

(6.3.-2) wieder kleine Laufzahlen zugeordnet.

Bild 6.6: Einteilung der hydraulischen Turbinenarten

6.17

6.4. Mehrstufigkeit und Mehrflutigkeit

Mehrstufigkeit, also das V erarbeiten der Energiedifferenz in mehreren Stufen hintereinander

und Mehrflutigkeit, d.h., das Verzweigen des zu verarbeitenden Massenstromes in mehrere

parallele Fluten, sind Mittel, Maschinen bei optimalen Wirkungsgraden und zulässigen Um

fangsgeschwindigkeiten betreiben zu können.

Sind V Wf und n einer Strömungsmaschine gegeben, so ist auch die Laufzahl der einstufigen

einflutigen Maschine vorgeschrieben:

• TC ?

[ ]

-1

V -D;u? 4 - -Gl. (6.4.-1 ).

Lassen sich mit Hilfe der numnehr bekannten Auslegungskriterien keine Radformen finden,

die einen hinreichend hohen Wirkungsgrad versprechen, müssen Mehrstufen- oder

Mehrflutenanordnungen gewählt werden.

6.5.

Die Mehrstufigkeit ist ein Mittel, durch Verringerung der spezifischen Arbeit w f auf

eine brauchbare, hinreichend hohe Laufzahl a zu kommen.

Bei i-Stufen werden die gegebenen Werte geändert in V lwr/i und

1

n. Die Laufzahl der 3 3 3 - - -

Einzelstufe steigt dabei auf i4 , also von a auf a · i4 ; d.h. cri =cr1 i 4

•

Die Mehrflutigkeit dient der Verringerung des Massenstromes meist auf zwei (j = 2) parallel arbeitende Gitter. Hier ist bei halbem V die Laufzahl des Einzelrades

im Verhältnis 1:,/2 verringert, Bild 8.5; d.h+·, =<T1 ~I·

Baureihenbildung

Produktionsprogramme von Strömungsmaschinen werden wirtschaftlich so ausgelegt, daß

z.B. eine Ventilatorenbaureihe möglichst große Bereiche von V, Wf und n mit hinreichend

hohem Wirkungsgrad der Einzelmaschine überdeckt.

6.18

Aus den Kennfeldern der Einzelmaschine entnelnnen wir den möglichen Umfang von V und

Wf bei vorgegebener Variation der AntriebsdrehzahL Die Annalnne einer maximal zulässigen

Abweichung des Wirkungsgrades vom Auslegungsoptimalpunkt (z.B. ± 5%) ergibt die dann

zulässige Volumenstromspreizung, also die n und D-Variation.

Soll eine Bautype zur Baureihenbildung herangezogen werden, gelten der Zeit- (Drehzahl-)

und Längenmaßstab (Durclnnessennaßstab) und somit die Umreclnmngsbeziehungen für den

Auslegungspunkt der Ausgangsbautype (Aufwertung).

;e . =-v;

T

Für den zu variierenden Volumenstrom ergibt sich aus der Newtonsehen Ähnlichkeit mit

D2 /D1 = II,= constGl. (6.5.-1)

Soll die Förderarbeit (Gefällearbeit) geändert werden, folgt aus GI. (6.1.-12)

A? = -? w,.I r .

Für die aufgenommene Leistung wird:

P, ~ [~J [~:J P,

GI. (6.5.-2)

GI. (6.5.-3).

7.

7.1.

7.1

Dissipation in Strömungsmaschinen

Dissipation an Welle und Laufrad

Bei der Rotation von Weilen und Laufrädern in den zugehörigen Lagerungen, Abdichtungen,

umschließenden Gehäusen u.a. treten Reibkräfte auf, zu deren Überwindung eine Leistung

PRT + PRR bereitgestellt werden muß:

. . . ~T + p RR = <l) Lager + <l) Dichtung + <l) Radreibung Gl. (7.1.-1).

Da bei einer meßtechnischen Erfassung die Dissipationsleistungen Lager und <])Dichtung nur

schwer voneinander zu trennen sind, werden sie hier in RT zusammengefaßt. Wie in Ab

schnitt Energiewandlung dargestellt, werden die entstehenden irreversiblen Wännen direkt

an die Umgebung abgeben (RT > 0 für Turbinen, Pumpen und Kompressoren). Sie haben

vereinbarungsgemäß keinen Einfluß auf die Zustandsänderung des Arbeitsmediums an der

Kontrollraumgrenze.

Die Rad- oder Scheibenreibung ist eine Flüssigkeitsreibung. Aufgrund der Oberflächen-Haft

bedingung rotiert das Fluid an der Radscheibe mit deren Winkelgeschwindigkeit, während sie

zur feststehenden Gehäusewand auf den Wert Null zurückgeht. Das Fluid überträgt Schub

spannungen von der Radscheibe auf die Gehäusewand, die sich über die Flächen zu gleich

großen, entgegengesetzt angreifenden Drehmomenten aufsummieren (s. auch "Couette

Strömung").

Das Rad-Reibungsmoment MRR bzw. der Dissipationsstrom RR hängt vom Strömungs

verlauf im Radseitenraum ab. In den meisten technischen Anwendungsfällen ist diese

Strömung turbulent. Bild 7.1. zeigt den typischen Verlauf der Winkelgeschwindigkeit über

der Radseitenraum-Breite bei konstantem Radius.

Auf das Fluid wirken außer den Zähigkeitskräften auch Druck- und Massenkräfte. Für den

radialen Druckanstieg sind Fliehkräfte infolge der Rotation verantwortlich. Es kann eine mitt

lere Winkelgeschwindigkeit OJ angegeben werden, die für den radialen Druckanstieg

repräsentativ ist. Da in der Nähe der Wand die örtliche Winkelgeschwindigkeit kleiner ist als

OJ und der statische Druck bei konstantem Radius nicht vom Wandabstand abhängt,

überwiegt in der Einflußzone der feststehenden Wand das Druckfeld. Dadurch wird eine

radiale Sekundärströmung erzeugt, die an der Radscheibe nach außen und an der Wand nach

innen gerichtet ist. Die Begrenzungswände von Gehäuse und Weile erzwingen die

Umlenkung der Strömung, so daß eine in sich geschlossene Sekundärströmung entsteht, die

auch Komponenten in axialer Richtung besitzt.

7.2

Die Hauptströmung in Umfangsrichtung und die Sekundärströmung stehen in einem engen

inneren Zusammenhang. Aus ihrer Wechselwirkung ergibt sich das Gesamtbild der

Strömung. Die radiale Verteilung des statischen Druckes (Axialkraft!) und der

Schubspannung m Umfangsrichtung (Rad-Reibungsmoment!) hängen von der

repräsentativen Winkelgeschwindigkeit OJ ab, deren Abhängigkeit vom Radius bei Kenntnis

einiger weiterer Parameter berechnet werden kann.

Bild 7.1: Verlauf der Winkelgeschwindigkeit des Fluids über der Radseitenraum

breite; r = const.

Zusätzliche der Radseitenraumströmung überlagerte Leckströme - in der Praxis häufig vor

kommend - haben ebenfalls Einfluß auf den Druckverlauf und das Rad-Reibungsmoment

Leckströme, vom Außendurchmesser zur Nabe verlaufend, erhöhen die -Winkelgeschwindig

keit OJ. Bei umgekehrter Richtung ist auch die Wirkung entgegengesetzt.

Die gerraue Berechnung ist aufwendig und soll hier nicht weiter dargestellt werden.

Bild 7.3. gibt den prozentualen Anteil der Teildissipationsströme an der Radleistung an.

7.2. Dissipation infolge Spaltströmung

Durch die konstruktiv unvenneidlichen Spalte, z.B. zwischen Laufschaufelenden und

Gehäuse, treten ungewollt Massenströme auf, die in Größe und Richtung abhängig von der

jeweils vorhandenen Druckdifferenz sind. Folglich wird ein Teil des Arbeitsmediums an den

Leit- und Laufkränzen vorbeiströmen, ohne am Energiewandlungsprozeß teilzunehmen.

7.3

Bild 7.2: Geschwindigkeitsverteilung im Radseitenraum, in Komponenten zerlegt,

Labor für Fluidenergiemaschinen, Universität Dortmund

10

[%]

8

\

6 \ \ \ \

4 \ \

\.

0 20 40 50 80 100 120 140

Bild 7.3. Prozentualer Anteil ~sp und ~RR bzw. ~Rr von der Radleistung in

Abhängigkeit von der spezifischen Drehzahl

7.4

Mit dem Durchflußkoeffizienten und der Spaltfläche Asp kann dieser Leckstrom mit guter

Näherung berechnet werden zu

Gl. (7.2.-1).

Die verwickelten Vorgänge bei der Spaltströmung sowie deren Rückwirkung auf den Arbeits

prozeß sollen hier nicht näher betrachtet werden (vgl. hierzu Traupel: Thennische Turbo

maschinen I).

Man versucht, diese Verluste an mechanisch nutzbarer Energie dadurch gering zu halten, daß

man den Spalt auf möglichst kleinem Durchmesser anordnet (Asp ~ Dsp) und den Durchfluß

koeffizienten minimiert durch lange Spalte mit hoher Widerstandszahl (Einbau von

künstlichen Widerständen im Drosselspalt, vgl. hierzu Trutnovsky:" Berührungsdichtungen"

und "Berührungsfreie Dichtungen"). - Axialmaschinen erhalten deshalb oft Deckbänder mit

sog. "Labyrinthprofilierung", Bild 7.4. und Bild 7.5.

Man beachte, daß Leckströme auch in

Gleichdruckmaschinen auftreten, da durch

die Umlenkung des Massenstromes bei

hohen Geschwindigkeiten Impulsänderungen

und somit z.B. bei der Umströmung von

Laufschaufelenden Zentrifugaldrücke ent

stehen.

In emer Turbinen- oder Kompressorstufe

kann folglich nur der um die Dissipations

energie ~Sp venninderte Anteil der spezifi

schen Arbeit in mechanisch nutzbare Arbeit

umgesetzt werden.

Einfache

Spitzendichtung

Labyrinth

Spitzendichtung

7.5

1'--~/$;/////J ----p/r~##//#4 ..

Dsp Glatter

I Spalt

Unterbrochener

Ringspalt

Bild 7.4: Berührungslose Dichtungen in Strömungsmaschinen

- Ringspalte und Spitzendichtungen -

axiale Abdichtung

axiale Abdichtung

axiale Abdichtung

axiale und radiale Abdichtung

Bild 7.5: Berührungslose Dichtungen in Strömungsmaschinen

- Labyrinthdichtungen -

7.6

7.3. Dissipation im Gitter

Bei der Durchströmung von Leit- und Laufrädern treten Verluste auf, die auf Kosten der

mechanischen Energie die innere Energie des Fluids erhöhen. Die aus dem Abschnitt

Energiewandlung bekannten Dissipationsenergien <p43 und <p21 in den Turbinen, bzw. <p 12 und

<p34 in Pumpen und Kompressoren entstehen durch:

1. Reibung an den Kanalwänden und im strömenden Medium,

2. Ablösung und Verwirbelung infolge

2.1 Strömungsumlenkung und

2.2 Verzögerung der Strömung.

Voraussetzung dabei ist jedoch eine passende Allströmrichtung des Schaufelkanals, also eine

Übereinstimmung von Anströ1michtung und Schaufeleintritt (Nennbetrieb ). Bei bekannter

Zustandsänderung kompressibler Fluide läßt sich die Summe dieser Verluste aus dem h, s -

Diagramm ermitteln, sie erhöhen Entropie und Enthalpie.

Für inkompressible Fluide wird für die unter Punkt 1. und 2.1 genannten Verluste ein von

der Strömung der Krümmer her bekmmter pauschaler Ansatz mit den Beiwerten SI (Strömungsumlenkung) und sn (Strömungsverzögerung) gemacht und zwar beim Leitrad

-2

[qJ Reib +qJ AblöslLe =t;I,Le ~

und beim Laufrad

-2

[qJReib +qJ AblöslLa =t;l,La ~ Gl. (7.3.-1).

Für die Berechnung der Verzögerungsverluste kann eine im Diffusorenbau übliche Beziehung

verwendet werden.

qJVerz,Le = \ci - ci\

~J,Le 2

qJVerz,La = \wi- w~\

~I ,La -'---2--'- Gl. (7.3.-2).

7.7

Für die Summe an Dissipationsenergie gilt dann

für Turbinen

Gl. (7.3.-3)

bzw. für Pumpen und Kompressoren entsprechend

Gl. (7.3.-4)

und somit für das Leitrad

in Turbinen

c- c.; - c; [

-? I ? ?I] (jJ43 = ~,Le 2 + ~J,Le 2 Gl. (7.3.-5)

bzw. in Pumpen und Kompressoren

c c3 - c4

[ -2 I 2 2IJ

(jJ34 = ~.Le 2 + ~J,Le 2 Gl. (7.3.-6)

und für das Laufrad

in Turbinen

w- + w2 - W]

[ -? I 2 ?I]

~,La 2 ~!,La 2 Gl. (7.3-7)

bzw. in Pumpen und Kompressoren

Gl. (7.3-8).

7.8

7.4. Dissipation durch Stoß

Wird ein Schaufelgitter mit einem Winkel ß'2 angeströmt, der nicht mit dem Schaufelwinkel

ß2 übereinstimmt, so wird die Strömung mit einem Stoß in die Richtung der Schaufel

umgelenkt, Bild 7.6.

Der Stoß stimmt weitgehend mit dem Vorgang überein, der sich beim Allströmen eines Trag

flügels mit zu großem Anstellwinkel abspielt. Er beruht auf einem Abreißen der Strömung,

hat also in diesem Zusammenhang nichts mit dem Aufeinanderstoßen zweier Körper zu tun. -

Der sog. Eintrittsstoß tritt immer dann auf, wenn die Richtung der Allströmgeschwindigkeit

w'2 nicht mit der Schaufelrichtung übereinstimmt. Die Übereinstnmnung kennzeichnet den

N ennbetriebspunkt.

Stonkomponente Wst

Bild 7.6: Entstehung der Stoßkomponente am geraden Schaufelgitter

a) Totwassergebiet

aus [4]

b) Staupunkt

Dieser Stoß verursacht einen Verlust, der hauptsächlich auf das Abreißen der Strömung und

die damit verbundene Totraumbildung zurückzufUhren ist:

7.9

(in Turbinen) Gl. (7.4.-1)

bzw.

(in Pumpen und Kompressoren) Gl. (7.4.-2).

Die Stoßkomponente w81 ist aus der vektoriellen Differenz der tatsächlichen Zuström

geschwindigkeit w'2 und der optimalen stoßfreien Zuströmung mit w2 zu bestimmen:

Gl. (7.4.-3).

Der Erfahrungswert sst hängt außer von der Schaufelfonn auch davon ab, ob ein

Beschleunigungsstoß (w'2 < w2 ; Sst ~ 0,5) oder aber ein

Verzögerungsstoß (w'2 > w2 ; Sst ~ 0, 7) stattfindet, Bild 7.7 und Bild 7.8.

~

:=z==z=z==u ~

Bild 7.7: Stoßkomponenten am Turbinengitter bei verschiedenen Volumenströmen

7.10

c,

Bild 7.8: Stoßkomponenten am Pumpengitter bei verschiedenen Volumenströmen

Teillast Nennlast Überlast

V ..

Bild 7.9: Kennlinie einer Kreiselpumpe

Wf spezifische Förderarbeit

'lle effektiver Gesamtwirkungsgrad

7.11

7.5. Dissipation durch partielle Beaufschlagung

Wird ein Gleichdruck-Turbinenrad nicht auf dem gesamten Umfang vom Arbeitsfluid beauf

schlagt, sondern nur an einigen Stellen aus z.B. feststehenden Düsen angeströmt (sog. Teilbe

aufschlagung), so entsteht im nichtbeaufschlagten Leitkranzbereich eine ungeordnete Wirbel

bewegung. Die dadurch erzeugten "Ventilationsverluste" vent werden rechnerisch oft durch einen Ansatz ähnlich dem der Radreibungsverluste erfaßt und den Spaltverlusten sp zuge-

schlagen.

8.1

8. Konstruktive Besonderheiten

8.1. Axialkraft

Die Axialkraft einer Strömungsmaschine, z.B. einer axialen Turbinenstufe, wird berechnet,

indem man um den Schaufelkanal einen Kontrollraum legt und dort den Impulssatz für die

stationäre Strömung formuliert. Es wird angenmmnen, daß das Geschwindigkeitsfeld vom

Drehwinkel unabhängig ist.

Fp(r)2

Fax

+ .. Bild 8.1: Kontrollraum des axialen Turbinenlaufrades

a =außen i =innen N =Nabe ax = axiale Richtung

Die zeitliche Änderung des Impulses, also der Impulsstrom

. d J =- (mc)

dt

8.2

ist gleich der Resultierenden aller äußeren Kräfte (Druckkräfte, Wandkräfte, Widerstands

kräfte). Hier sollen nur die Druckkräfte als äußere Kräfte berücksichtigt werden.

~ F~ + 2n [I p2 (r) rdr +I p2 rdr + Ip2 (r) rdr

-,.r p1

(r) rdr- 'Jp1

rdr l ~"!,i ~"!,N J

Gl. (8.1.-1 ).

Als Reaktionskraft muß Fax mit negativem Vorzeichen geschrieben werden. Aus der Addition

der Reaktionskräfte der einzelnen Stufen ergibt sich der gesamte Axialschub der Maschine.

Dabei wurden die Drücke in den Strömungsquerschnitten p1 und p2 über dem Radius als un

verändert und die Widerstandskraft gleich Null angenommen. Bei radialen Strömungs

maschinen, z.B. langsamläufigen Kreiselpumpen, wird mit Pl = P2 = p

2Jr p [rr ci,ax rdr- rr c~,ax rdr ] ~"N ~"N

=27r['"J p 1 (r)rdr+'Yp0 rdr- '"Jp, (r)rdr l-F~ I"J,a r N r N J

Gl. (8.1.-2)

bei radialem Austritt c2 ax = 0 sowie Co ax ::;:j clm folgt: ' '

Gl. (8.1.-3).

Man erkennt, daß für jeden Laufradtyp Fax gesondert berechnet werden muß.

Fpo .

r1,a Jo

rN

8.3

I ..,I

I 01

... I I

.... + Fax ..... ~--------

Bild 8.2: Kontrollraum des radialen Pumpenlaufrades

ax = axiale Richtung

Fp!rl2

r2a I

Die Druckverteilung p(r) entsteht dadurch, daß die reale Flüssigkeit, angetrieben durch das

Laufrad, in den Radseitenräumen mit coFl (r) mitrotiert (vergl. 7.1.). Irrfolge der Fliehkräfte

muß nun der statische Druck zu kleineren Radien hin abnehmen. Nimmt man p3 - Po als Be

zugsdruck, ergibt sich die Druckminderung ~paus

I'?

11p = p f OJ~1 (r) rdr und für p (r) gilt dann: r

I'? Gl. (8.1.-4).

p (r) = (p3 - p 0 ) -11p (r) = (p3 - p 0)- p f OJ~1 (r) rdr r

Für OJFl = const würde ~p parabolisch verlaufen. Die Winkelgeschwindigkeit OJFl der

Flüssigkeit hängt jedoch von zahlreichen Einflußgrößen ab (Rauhigkeit Laufradgehäuse,

Leckstrom durch Dichtspalte, Geometrie der Radseitenräume, des Laufrades, Zähigkeit der

Flüssigkeit), so daß eine gerraue Berechnung des Axialschubes praktisch noch nicht möglich

ist. Im Bild 8.3. ist die Axialkraft als Funktion des bezogenen Volumenstromes für verschiedene Spaltweiten s dargestellt. Mit s steigt ri"sP und damit mFl im saugseitigen Radseitenraum,

8.4

~"2a

damit sinkt der Integralwert r f p (r) rdr an der vorderen Deckscheibe und die Axialkraft l,a

Fax steigt an.

a) b}

V ---t•~

5000

N

t 4500

4000 ><

"' LL

+-

~ 3500 ~

rn X

<{ 3000

V >VNP 2000~--~----~~~~--~-r.~

0 0,01 0,02. V 0,03 0,04 m~s 0,05

V

Bild 8.3: a) Kennlinie einer radialen Kreiselpumpe

b) Axialkraft einer radialen Kreiselpumpe

n = 42,5 s-1, r = 100 mm, [9]

8.1.1. Ausgleich oder Teilausgleich der Axialkraft

Es gibt eine Reihe von Möglichkeiten, den Axialschub ganz oder teilweise auszugleichen,

Bild 8.4.

Flache radial gerichtete Rippen (sog. Rückenschaufeln) auf der hinteren Deckscheibe

erhöhen die Winkelgeschwindigkeit der Flüssigkeit im hinteren Radseitenraum und

vermindern dadurch die Druckkraft r 2a

2TC f p (r) rdr

'iv

auf die hintere Deckscheibe.

Allerdings steigt Fax beim Hochfahren der Pumpe, also während des Anlaufvorgang es,

über (F ax)Nenn an, weil das Fluid in den Radseitenräumen durch <PRR erst als Funktion

der Zeit in Drehung versetzt werden kann.

8.5

Eine weitere, oft angewendete Möglichkeit zeigt Bild 8.5. Hier wird auf dem gleichen

Radius wie an der Saugseite ein Drosselspalt angebracht. Der Ringraum zwischen

Welle und Drosselspalt wird durch mehrere Bohrungen durch die hintere Deckscheibe

druckentlastet Die Drücke in beiden Radseitenräumen wirken nun auf gleichgroße

Flächen, wodurch Fax vermindert wird.

Beide Konstruktionen ergeben etwa gleich große Verminderungen des Gesamt

wirkungsgrades. Bei Rückenschaufeln erhöht sich die Radseitenreibung <PRR, d.h., llmi

wird kleiner; bei Drosselspalt und Ausgleichsbohrung wird llv kleiner, da ein größerer Spaltstrom msp umläuft.

Durch das Gegeneinanderschalten von Laufrädern (mehrflutige Pumpen, Bild 8.6.) wird der

Axialschub beider Räderpaare kompensiert. Der Bauaufwand steigt.

Bild 8.4:

A konstruktiv A 1 2-flutig

B mechanisch [ hydraulisch

A2 2-stufig

durch Axiatlager [1 Druckausgleich

[2 Rückenschaufeln

[3 Ausgleichsflächen

Ausgleich oder Teilausgleich der Axialkraft

•

8.6

Bei mehrstufigen Pumpen (Kesselspeisepumpen, Bild 8.8.) verzichtet man auch wegen

der großen Spaltmassenströme durch die Ausgleichsbohrungen oft auf eine Einzel

entlastung der Laufräder. Die gesamte Axialkraft wird von einem hydrostatischen

Drucklager (sog. Ausgleichsscheibe) aufgenommen.

Ein zusätzliches Axiallager entfällt. Verschiebt sich nun der Läufer irrfolge der Axial

kraftänderung (Bild 8.7.), ändert sich die axiale Spaltweite derart, daß ein Kräftegleich

gewicht durch Druckänderung im Ausgleichsraum geschaffen wird. Diese Druck

änderung ist eine Funktion der variablen Axialspaltweite.

Bild 8.5: Einstufe Kreiselpumpe

Axialkraftentlastung durch Drosselspalt a und Bohrungen b

8.7

.r-1 / I j

/ I. _..,.--- I / I i

. i / .

' _,... . ..J

-, i I

'· I ......... . .......... ,!!

''l.J

Bild 8.6: Einstufe, zweiflutige Kreiselpumpe, Achsschubausgleich durch Gegenan

ordnung der Laufräder

V. = 4000 m3 h-1 z = 70 m n = 980 min-1 , ,

n)

b) An saugdruck

. ersten Stufe

8.8

strom p = f (s •• l

~--h

Bild 8.7: Axialkraftausgleich durch Ausgleichsscheibe

a: Prinzipbild b: Ausführung

Ausgleichsscheibe

Spaltdruck der letzten Stute

Ausgleichsraum

Radialspolt s,= const

axial verschiebbare Welle

8.9

Bild 8.8: Mehrstufige Kreiselpumpe mit einer für alle Stufen gemeinsamen Ausgleichs

scheibe

9.1

9. Betrieb von Strömungsmaschinen

Nicht immer können Strömungsmaschinen in Nennbetriebspunkten betrieben werden, d.h.,

die Nenndaten allein reichen dem Planungsingenieur und Betreiber dann nicht aus. Die Frage

nach dem Betriebsverhalten von Strömungsmaschinen ist damit eine Frage nach dem Verlauf

der Kenngrößen, die Frage nach dem Kennfeld der Maschine.

Das Betriebsverhalten stellt somit die Reaktion der Maschine bei Ändemng der Betriebspara

meter dar, z.B. n, Md, V, Llht, P e ... Diese Änderung geschieht nicht willkürlich, sondern nach

den Kennlinien, nach dem Kennfeld der Maschine.

9.1. Kennlinien, Kennfeld

Allgemein gültige Aussagen über die Verknüpfung von Betriebsparametern gibt es nicht. Je

nach Betriebsweise sind verschiedene Aussagen möglich und sitmvoll. Die charakteristische

Form der Kennlinien hängt primär von der Maschinenbauart ab. Zu allgemeineren Aussagen

gelangt man, wenn Kenngrößen in Kennfeldern dargestellt werden können.

9.1.1. Pumpenkennlinien

Die charakteristische Kennlinie zum Kreiselpumpenbetrieb ist die sog. Drosselkurve; diese

stellt die Förderarbeit Wfals Funktion des Förderstromes V bei konstanter Drehzahl dar, also

w = f (V), n = konst.

Setzt man zunächst einen reversiblen Fließprozeß (2: <p = 0) und eine drallfreie Laufradzu

strömung (c1u = 0) voraus, ist

Gl. (9.1.-1).

Für einen Teillastvolumenstrom V

' V. _ T7 c 2m - rNP Gl. (9 .1.-2).

c2m

folgt aus dem Geschwindigkeitsplan

9.2

und mit Gl. (9.1.-2)

v = u2 - v c2m,s cot Cß2,s)

NP

c2ms

Gl. (9.1.-3).

Bild 9.1: Isentroper Geschwindigkeitsplan für die Winkel, Arbeiten bei Nenn- und

Teillastbetrieb (bei Geschwindigkeiten Index ', v ohne zusätzliche Kenn

zeichnung)

In Gl. (9 .1.-1) eingesetzt ergibt sich

Gl. (9.1.-4).

Die im Zusammenhang mit dem Reaktionsgrad beschriebene Abhängigkeit der spezifischen

Radarbeit vom Strömungswinkel bestimmt hier den Verlauf der Kennlinie, Bild 9.2.

Bei

ß? = 90° -,S wird die spez. Radarbeit unabhängig vom Volumenstrom. Winkel

( vorwärtsgekrümmt Schaufel, r < 0,5) ergeben mit V steigende, Winkel

(rückwärtsgekrümmte Schaufeln, r > 0,5) ergeben fallende Geraden.

Im Pumpenbau werden entsprechend der Forderung, einen hohen statischen Anteil der Rad

arbeit (r > 0,5) bereits im Laufgitter zu wandeln, in der Regel Winkel ß2,s < 90°gewählt.

9.3

w~.J

VNP V--·

Bild 9.2: Radarbeit als Funktion des Volumenstromes

9.1.2. Genauere Betrachtung des Strömungswinkels ß?

Bisher wurden ausschließlich Strömungswinkel ß2 s betrachtet, die sich dann einstellen, wenn

ein Laufrad mit endlicher Schaufelzahl isentrop durchströmt wird. Insbesondere bei Pumpen

und Kompressoren entspricht dieser Strömungswinkel nicht dem konstruktiv vorgegebenen Schaufelwinkel ß2,scH Eine schaufelkongruente Strömung würde sich nur dann einstellen,

wenn das Laufrad mit unendlich vielen und unendlich dünnen Schaufeln bestückt wäre, dann

gilt

also

ß2,SCH =: ß2s, 00

w =w R,s- R,s,oo

Das Stromlinienbild 9.3. verdeutlicht die Verhältnisse fiir die Potentialströmung bei endlicher SchaufelzahL Man entnimmt dem Bild 9.3. ß2,scH > ß2 bzw. ß2,scH > ß2,s.

Weitere theoretisch nicht erfaßbare Einflüsse (wie z.B. auch die Änderung der

Meridiangeschwindigkeit abhängig von der Schaufeldicke) lassen eine Berechnung der

spezifischen Radarbeit bei unendlicher Schaufelzahl WRoo meist nicht zu. Die

"Minderleistung" wR,oo - WR,s wird häufig über Näherungsverfahren bestimmt. Bei einem

häufig verwendeten Verfahren nach Pfleiderer läßt sich wR s über eine "Minderleistungszahl" , p nach Gl. (9.1.-5) berechnen

1 w ---w

R,s - 1+ p R,s,oo Gl. (9.1.-5)

mit

Die Minderleistungszahl kann fiir Radialräder mit Hilfe der Bezeichnung

9.4

p

mit dem Minderleistungsbeiwert lf/'

ermittelt werden.

w1.s

Bild 9.3: Strombild der idealen Flüssigkeit im axialen Schaufelkanal mit

ß2,SCH = ß2,s,oo und ß2.s < ß2,SCH' daraus folgt W R,S < W R,s,oo

-.:.:::::;:::;=::::;:- t----- Pi -

Pe=rillhtA-htel-

)//////~//////,

Bild 9.4: Energiefluß einer Pumpe

9.5

Häufig wird \j/1 = const. angenommen, so daß sich der in Bild 9.5 . angegebene Verlauf von

wR,s ergibt.

Empirisch ermittelte Abhängigkeiten ermöglichen es, aus dem Verlaufvon wR 8 den qualitati-, ven Verlauf der F örderarbeit w f abzuschätzen.

Die spezifische Radarbeit Wf wird um die dissipativen Prozesse in der Stufe ( tp 14 ) ver

mindert, Bild 9.4., Wf = wR- lfJ14·

Hierbei gilt für die Summe lfJ14·

Gl. (9.1.-6).

Man beachte, daß bei der Darstellung des Energieumsatzes im h, s - Diagramm s3 = s2 gesetzt

wurde, d.h., cp23 = 0, dies trifft aber nur für den Auslegungspunkt zu.

Mit Gl. (7.4.-2)

Wst [ 2] fPstoß = c;St 2

ergibt sich der Kurvenverlauf einer quadratischen Parabel, deren Scheitel bei V = VNP liegt.

Die Reibungsverluste in den Schaufelkanälen des Leit- und Laufrades sind entsprechend Gl.

(7.3.-8) und Gl. (7.3.-6)

lpl2 [ w'

= c;J,La 2 + c;JJ,La lwi; will

[ _, Iei; eil]. c-lp34 = c;I,Le 2 + c;II,Le

Die Widerstandsbeiwerte SSt, SI, und sn sind nicht exakt vorherbestimmbar, so daß eine

rechnerische Vorabbestimmung der Pumpenkennlinien kaum möglich ist. Die Abhängigkeit

der spezifischen Förderarbeit Wfvom Volumenstrom wird deshalb aus Versuchen ermittelt.

Mit den Gleichungen (7.4.-2), (7.3.-6) und (7.3.-8) kann jedoch der qualitative Verlauf der

Kennlinien abgeschätzt werden.

Aus

rpStq(J - (V - VNP )2

rpl2 + rp34 - v2

ergibt sich die Darstellung im Bild 9.5.

r

u2 2

1+p

9.6

ß2s.oo

Bild 9.5: Entstehung der "Drosselkurve" einer Radialkreiselpumpe mit L: cp > 0

Im Bild 9.6. sind die gemessenen Bet1iebskennlinien einer Radialkreiselpumpe angegeben.

Ergänzend zu der Drosselkurve wurden zur Beurteilung der Maschine die Werte der erforder

lichen Antriebsleistung P e sowie die des effektiven Wirkungsgrades lle mit erlaßt und als

Funktion des Volumenstromes aufgetragen.

Wenn die Widerstandsbeiwe1ie vom Volumenstrom unabhängig sind, kann die Drosselkenn

linie als Funktion zweiten Grades angegeben werden. Da diese Voraussetzung im allgemeinen nicht zutrifft, ist eine mathematische E1fassung der w1 = f (V) - Kennlinie nur näherungs-

weise möglich.

9.7

300

100

50 v---1 .....

5 10

Bild 9.6: Kennlinien einer radialen Kreiselpumpe

Labor für Fluidenergiemaschinen, Universität Dortmund

6, I I

o = spez. F örderarbeit o = Antriebsleistung • = Wirkungsgrad

1le [%]

80

40

20

20

Die Form der Drosselkurve ist vom jeweiligen Pumpentyp und damit von der Laufzahl ab

hängig. Bezieht man die Betriebswerte Wf und V auf die Daten des jeweiligen Auslegungs

punktes WfNP und V NP' so kötmen für verschiedene Laufzahlen charakteristische Drossel-'

kennlinienangegeben werden, Bild 9.7.

In das Bild mit aufgenommen wurden die Wirkungsgradverläufe sowie die bezogene

Leistungsaufi1ahme P e /P e NP· Aus der Leistungskurve sind Rückschlüsse auf z.B. die Anfahr-, bedingungen einer Pumpenanlage zu entnehmen. Axialradpumpen sind hiernach bei

geöffuetem Drosselschieber, Radialradpumpen dagegen bei geschlossenem Drosselschieber

anzufahren, wenn eine Überlastung des antreibenden Motors verhindert werden soll

(P e Anfahren< P e NP!). , ,

Für die Förderung von Fluiden mit vernachlässigbarer Dichteänderung (z.B. Gebläse) gelten

analoge Aussagen wie für die bisher betrachteten Pumpen. Hat die Dichteänderung, z.B. bei

Kompressoren, einen merklichen Einfluß auf das Betriebsverhalten, so können allgemein

gültige Aussagen über die Kennlinien nur noch in stark eingeschränktem Umfang gemacht

werden. Es sind Einflüsse des Allsaugzustandes (Druck und Temperatur), der Art des Gases

(beschrieben z.B. mit dem Adiabatenexponenten) sowie der MACH-Zahl zu berücksichtigen;

vgl. hierzu die Literatur im Anhang.

9.8

0 = 0,12 0 = 0, 50

( Radialrad J ( Halbaxialrad)

f 1,0

t to I

Pe I

I (PeJNP I

I I .

t 10

1le ( 1le) NP

1.0 1.0

...

Bild 9. 7: Charakteristische Pumpenkennlinie

Parameter: Laufzahl cr

9.1.3. Kennfelder von Pumpen und Kompressoren

0 = 1, 20

( Axialrad)

1.0

Sehr häufig müssen in der Praxis die Kennlinien von Pumpen und Kompressoren den

vorgegebenen Betriebsbedingungen augepaßt werden. Zu unterscheiden sind Anlagen mit

konstanten Verbrauchswerten, hier erfolgt eine einmalige Auslegung bzw. Anpassung der

Maschine, und Anlagen mit veränderlichen Verbraucherwerten, die bei gleichzeitiger

Forderung nach einem möglichst hohen Wirkungsgrad mit im Betrieb anpaßbaren

Strömungsmaschinen auszurüsten sind. - Die Darstellung der vom Einstellparameter

9.9

abhängigen Drosselkurven m emem Diagramm ergibt dann das Kennfeld der

Strömungsmaschine, das häufig noch durch die Linien konstanten Wirkungsgrades ergänzt

wird.

Bei Drehzahl-Variation sind aus den Ähnlichkeitsgesetzen die Beziehungen zwischen den Be

triebskennlinien abzuleiten. Entsprechend

liegen alle Punkte ähnlichen Betriebszustandes auf Parabeln mit dem Ursprung als Scheitel.

Diese Ähnlichkeitsparabeln sind theoretisch auch Kurven konstanten Wirkungsgrades. Wie

jedoch das gemessene Keimfeld einer Kreiselpumpe zeigt (Bild 9.8.), wird dieser theoretische

Ansatz nur tendenziell bestätigt. - Die Uimechnung von Drosselkurven über die

Ähnlichkeitsbeziehung gibt offenbar das zu erwartende Betriebsverhalten nur näherungsweise

wieder.

Eine weitere Möglichkeit der Betriebsanpassung axialer Strömungsmaschinen stellt die kon

struktiv recht aufwendige Laufschaufel-Verstellung dar, Bild 9.9. Sie ermöglicht das

Anpassen von Pumpen und Gebläsen bei unterschiedlichen geforderten Volumenströmen.

Entsprechend dem für den Laufradaustritt geltenden Geschwindigkeitsplan würde für

Volumenströme V< VNP eine Verdrehung der Laufschaufeln um den Winkel (ß;- ß2 ) eine

weiterhin stoßfreie Zuströmung in das nachgeschaltete Leitrad gewährleisten. Gleichzeitig

sinkt die Radarbeit wR (Annahme: vernachlässigbarer Eintrittsdrall auf der Saugseite.) - Ein

V erstellen der Laufschaufeln in entgegengesetzter Richtung (p;· > ß7 ) bedeutet ein Ansteigen

von Volumenstrom und Radarbeit

Bild 9.10. zeigt das dementsprechende Kennfeld einer Axialpumpe.

Außerdem kann durch eine Leitrad-Verstellung die Maschinenkeimlinie verändert werden.

Verstellbare Pumpen- bzw. Gebläseleiträder werden meist auf der Saugseite angeordnet

(Vorleiträder), da nur so die erforderliche Beeinflussung des Energieumsatzes möglich ist.

Nach dem Geschwindigkeitsplan des Laufradeintritts gilt für den Bereich mit Gleichdrall

' ' W R =U2 C2u +Ul Clu

und für den Bereich mit Gegendrall

9.10

Offenbar kann mit dem Vorleitrad, Bild 9.13., der Energieumsatz von Pumpen und Kom

pressoren nachhaltig beein:flußt werden.

Die Gegendralleinstellung bewirkt eine Zunahme von Radarbeit und Volumenstrom, die

Gleichdralleinstellung ein Absinken von Radarbeit und Volumenstrom.

m2 s2

j---Nennbetrieb

200r--+=-~~~~-+-+~~~--~~--~

t 150r-~~++r-~#-~~~~~~--~ wt

50 I I

I I /

/ /

0 /_ .......

0 5 10

Bild 9.8: Kennfeld einer Kreiselpumpe

Parameter: Drehzahl, [4]

15 20 m3 25

V ~ s

9.11

Verstellstange

Schnitt A-0

Verstellhebel

Bild 9.9: Propellerkopf mit Schaufelverstellrichtung

Beschreibung:

en

Die mit der Antriebswelle rotierende Verstellstange wird von außen über einen Verstellhebel

und ein Verstellager axial bewegt. Diese translatorische Bewegung wird im Propellerkopf

über die in den Verstellplatten laufenden Gleitsteine in eine rotatorisehe Bewegung der

Verstellhebel und damit der Schaufeln umgesetzt.

Probleme der Verstellung:

1 Platzprobleme zwingen zu großen Verstellkräften, da die Verstellhebel - abhängig

von der Schaufelzahl- nur kurz sein können.

2 Die Lage des Drehpunktes der Schaufel soll so gewählt werden, daß

a) die Zirkulation nicht über längere Betriebszeiten Null ist- klappern!

b) die Zirkulation und damit das Hebelmoment nicht zu groß wird (in den Ein

stellungen) und

c) die Schaufeln sich nicht gegenseitig berühren- klemmen.

9.12

300

[%]

250

200 r--.......

I 150

100 P/PNP

50

1-r-.. ~ ~ - ..........

~ ~ r--..

~ 1'---.. ~ '+90 -- ~ ...........

~ ........_.___

1-- ~ I'-~ 1'-. !'-..... oo +40

1--- r:_w ~ "'-.. -40

-9o

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180

[%]

I· Teillast Überlast

NP

170 [%]

160

150

140

I 130

120

110

gZ/gZNP 100

90

80

I 70

60

50

Y]f11NP 40

30

20

10

--..

\ ..--!'.. - ""-~

""" l'v ZJZ,.,p

\ \ \ \ \ 1\ \

!'\ \ \ \ \ \ \ \ \ 1\ \

\ \ \ \ \ \

\ ~ / ~ A> \

" ['.. \ ""-\ / ~ / \ ~ \ ~ K \ ~ / YJ/YJNP

\ V / '( \9o / '!\ \ \ \ ""'

\ \j \ \ \ \ 1\ \ \ \ 1\ [\+9o

I I~ \ \ \-4°\ oo \ \ \ + 40

I \\ 14° \ \ \ \ \' / l\+9o

1/ \\ \ \ \ \ I \I \ \ \o

\ + 40

I \ ~ 40 I

-14° _19o

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180

[%]

Bild 9.10: Kennfeld der Propellerpumpe nach Bild 9.9

9.13

9

-7}-SB

7

r 6

5

wf II

3

2

1

0 20 180 200 220 m3/s -Bild 9.11: Kennfeld eines Axialgebläses mit Laufschaufelverstellung

' \ ' c;· \

c" 1m

. \. c,

\ 180°-a;·

~~~--~~~----------~~~---L--~-u,

Gegendrall Gleichdrall

260

Bild 9.12: Energieumsatz bei Drehimpulsänderung am Laufradeintritt (Vordrall)

9.14

0 60 80 100 1?0 1'10 160 180 V _. [%]

Bild 9.13: Gebläsekennfeld bei Eintrittsdrallregelung (nach Schicht)

n = const

9.15

9.2. Betriebsgrenzen von Strömungsmaschinen

Pumpen und Kompressoren wandeln mechanische Energie in hydraulische, sie erhöhen das

Energiepotential des durchströmenden Fluids. Diese Energieübertragung ist notwendig, um in

Verbrauchernetzwerken die vorgegebenen geodätischen Höhendifferenzen bzw. Druckunter

schiede und die in den passiven Bauelementen vorhandenen Strömungswiderstände

(Dissipation in Rohrleitung, Ventilen etc.) zu überwinden.

Bei einem geplanten Einsatz von Pumpen und Kompressoren in Wasser- oder Luftversor

gungsanlagen ist zu überprüfen, ob die zu beschaffende Maschine die Anforderungen erfüllt.

Hierzu werden von den Herstellern Kennlinien zur Verfügung gestellt, aus denen das

Betriebsverhalten zu entnehmen ist. Diese Kennlinien gelten nur für stationäre

Betriebszustände, d.h., Ein- und Ausschaltvorgänge sowie nichtstabile Arbeitspunkte werden

nicht berücksichtigt. Darüber hinaus enthalten Kennlinien und Kem1felder keine Aussagen

über die Betriebsgrenze der Maschinen. Kavitation und Überschallgefahr keilllZeichnen die

Grenzen für den Betrieb von Pumpen und Kompressoren.

9.2.1. Kavitation im Kreiselpumpenbetrieb

Der durch Kavitation jährlich verursachte Weit-Gesamtschaden wurde schon 1956, übrigens

recht zurückhaltend, auf 25 Millionen DM geschätzt. In dieser Summe nicht enthalten sind

die indirekten Schäden, die durch Unterbrechung des Arbeitsablaufes, z.B. in Kraft- oder

Wasserwerken entstehen. Leonhard Euler schrieb im Jahre 1754 folgenden Satz:" Aber wenn

es sich ereignen sollte, daß an irgendeiner Stelle des Rohres diese Größe (gemeint war der ab

solute Druck) negativ wird, so würde das Wasser die Rohrwandung verlassen und dort einen

leeren Raum lassen; man muß sich davor hüten, da alsdam1 die Wirklichkeit gänzlich von der

Theorie abweichen würde."

Viktor Kaplan hatte sich 1918 beim Bau seiner ersten großen Turbine nicht "gehütet", er hatte

eine Drucksenkung an den Schaufeln bis hin zum Dampfdruck zugelassen. Die

"Wirklichkeit", die Kavitation oder Hohlraumbildung, war eine Katastrophe, die ihn

geschäftlich fast ruinierte.

Die Ursache der Hohlraumbildung liegt in der Eigenschaft von Flüssigkeiten zu verdampfen.

An dieser Eigenschaft ändert sich auch nichts, wenn sich z.B. Wasser in rotierender Be

wegung befindet, Bild 9.14. Das Wasser verdampft, wenn der örtliche statische Druck gleich

oder kleiner als der zugehörige Dampfdruck wird. Dam1 bilden sich plötzlich örtlich scharf

begrenzte und mit Wasserdampf gefüllte Hohlräume - sog. Kavitationsblasen. Ebenso

9.16

plötzlich wie sich diese Wasserdampfblasen bilden, implodieren sie an Stellen höheren

Druckes. Hier liegen also Ursache und Wirkung nicht nur zeitlich, sondern auch örtlich

auseinander.

Bild 9.14: Kavitationsversuche an einer einstufigen radialen Kreiselpumpe mit offenem

Laufrad, cr = 0,19 und nachgeschaltetem, verstellbarem Leitrad mit

Spiralgehäuse

Universität Dortmund, Labor für Fluidenergiemaschinen

Die einzelne Kavitationsblase stürzt gleichsam im Schlagschatten von der Entstehungsstelle

zusammen. Bei Kreiselpumpen sind, wie noch an anderer Stelle zu zeigen sein wird, die am

meisten gefährdeten Stellen die Schaufeln, an denen die größten örtlichen Übergeschwindig

keiten auftreten, die nach der Energiegleichung zu den kleinsten Drücken führen. Wird dabei

der Dampfdruck erreicht, kommt es zur Hohlraumbildung.

Folgen der Hohlraumbildung: Einschnürung, Abfall des Volumenstromes und des

Wirkungsgrades.

Die Hohlräume verkleinem den möglichen Volumenstrom durch eme Einschnürung des

Kanalquerschnittes. Sie können sogar bei kleineren Rädern den gesamten Quersclmitt

ausfüllen und damit den Durchfluß vollständig verhindern, Bild 9.15.

9.17

Bild 9.15: Voll ausgebildete Kavitation im Laufradkanal einer radialen Kreiselpumpe

n =50 s-1, a= 0,19; Kennlinie nach Bild 9.16

300

100

50

Universität Dortmund, Labor für Fluidenergiemaschinen

v----... ~ 5 10

6, I I

o = spez. Förderarbeil o = Antriebsleistung • = Wirkungsgrad

20

1Je (%]

80

40

20

Bild 9.16: Kennlinien einer einstufigen Spiralgehäusepumpe nach Bild 9.14

Am Beispiel einer Radialkreiselpumpe, Bild 9.14., soll die Wirkung der Kanaleinschnürung

verdeutlicht werden. Die gemessenen Verläufe der spezifischen Förderarbeit Wf, des Ge

samtwirkungsgrades lle und der Antriebsleistung P e• Bild 9.16. kennzeiclmen das Betriebs

verhalten der Pumpe nach außen; Wf ,lle und P e sind wie üblich über V aufgetragen.

9.18

Bei voll ausgebildeter Kavitation, hier bei einem Volumenstrom von 15,5 dm3 /s, bricht die

spezifische Förderarbeit fast vollständig zusammen. Die unvollständige Wiederumsetzung der

durch die Kanaleinschnürung hervorgerufenen Übergeschwindigkeiten in Druck führt auch

zum häftigen Absinkendes Wirkungsgrades und der Nutzleistung.

Bei vollständig ausgebildeter Kavitation übertragen die Laufradschaufeln nur noch Bruchteile

der möglichen Energie an die Flüssigkeit, weil die energieaufnehmende Flüssigkeit die Lauf

schaufeln auf einer immer ldeineren, von Kavitationsblasen noch freien Oberfläche berührt.

Der Laufradendruck fällt im Spalt zwischen den kavitierenden Lauf- und Leiträdern mit

wachsenden Geschwindigkeiten immer steiler ab. Das Leitrad vermag selbst geringe Lauf

radendrücke nicht mehr zu err-eichen und von einer zusätzlichen Drucksteigerung durch Um

wandlung von Geschwindigkeits- in Druckenergie, der eigentlichen Aufgabe eines Leitrades,

kann keine Rede mehr sein.

Örtliche Drucksteigerungen

Die gebildeten Hohlräume oder Kaviationsblasen verursachen beim Zusammenstürzen z.T.

erhebliche Drucksteigerungen, die nach Untersuchungen von Föttinger bis zu 100 MPa

betragen können.

Anhand von Hochgeschwindigkeitsaufnahmen konnte 1963 erstmals der Implosionsvorgang

einer Kavitationsblase gezeigt werden. Die zunächst kugelförmige Gestalt der Blase dellt sich

während des Einsturzvorganges so ein, daß es dort zu einem Wasserschlag von voreilenden

Wasserteilchen, dem sog. "jet-impact" kommt.

Der dadurch hervorgerufene Stoßdruck wird als Ursache der auftretenden Werkstoffzer

störung angesehen. Für den Grad des Werkstoffangriffes spielt daher neben dem Werkstoff

selbst (auf den soll hier nicht näher eingegangen werden) die Auftreffgeschwindigkeit der im

plodierenden Blasen eine entscheidende Rolle. Bei großen Auftreffgeschwindigkeiten können

Pumpenlauf-und Pumpenleiträder in wenigen Stunden vollständig zerstört werden, Bild 9.17.

9.19

Bild 9.17: Durch Kavitation zerstörtes radiales Pumpenlaufrad

Theoretische Beziehungen bei eintretender Kavitation

Dem Ingenieur müssen deshalb die theoretischen Beziehungen bei eintretender Kavitation be

kannt sein, um daraus konstruktive, planende und betriebstechnische Konsequenzen zu

ziehen.

Arbeitsfähigkeit der Flüssigkeit in der saugseitigen Pumpenanlage

Die Kavitationsgefahr in einer Kreiselpumpe, Bild 9.18., wird sowohl durch die im Saug

stutzen vorhandenen Arbeitsfahigkeit, d.h., durch die Energieheiadung der Flüssigkeit als

auch durch die Strömungsverhältnisse in der Pumpe selbst bestimmt. Die spez. Arbeitsenergie

der Flüssigkeit im Saugstutzen liefert die auf die Ortsebene bezogene Energie-Konstante ey

für die stationäre Strömung. Sie ist gleich der Surmne der Druckenergie und der

Geschwindigkeitsenergie im Saugstutzen. Der Index 1,0 bezeichnet den Zustand umnittelbar

vor der Schaufeleintrittskante

GI. (9.2.-1).

Diese Energie wird hier dem atmosphärischen Luftdruck entnormnen. Sie wird verringert

durch die geod. Saughöhe der Pumpe und durch die auftretenden Verluste an mechanisch

nutzbarer Energie, also an Dissipation, in der Saugleitung, im Saugkorb und im FußventiL

9.20

Demnach ist:

Pat ey = -- gzs- CfJEJ,O p

GI. (9.2.-2).

Bild 9.18: Saugseitige Pumpenanlage

Um Kavitation im Saugmund zu venneiden, darf der statische Druck p1 den Dampfdruck PD

nicht erreichen, d.h., die spez. Arbeitsfahigkeit der Flüssigkeit im Saugstutzen kann nicht

vollständig ausgenutzt werden.

Verfügbar ist demnach nur der um die Energie des Dampfdruckes venninderte Wert der

Energie-Konstanten.

oder

e _ Pn y p

P P c2 1,0 - D + __!_,2._

p 2

Pat - Pn _ gz _ m s 't'El,O p

GI. (9.2.-3)

Gl. (9.2.-4).

In der Gleichung sind nur Größen enthalten, die von der Pumpenanlage und nicht von der

Pumpe selbst abhängen.

Von der Pumpe wird aber eme bestimmte Energiereserve - die sog. Halteenergie LlyH

benötigt, die von der verfügbaren Energie im Saugstutzen ( ey)verf mindestens bereitgestellt

werden muß, um Kavitation in der Pumpe auszuschließen.

9.21

Man kann also schreiben:

Gl. (9.2.-5).

Diese Halteenergie ist notwendig, um die im Laufschaufelkanal herrschende Strömungs

geschwindigkeit c1 zu erbringen und um zusätzlich alle statischen Drucksenkungen zu

decken, die

durch Reibungsverluste im Saugmund,

durch den Schaufeldruck,

durch die endliche Schaufeldicke,

durch die Richtungsänderung der Strömung vor der Schaufeleintrittskante (bei Radial

rädern) und

durch die Spaltkavitation (vor allem bei Axialrädern)

entstehen.

Die Frage nach der Vermeidung der Kavitation fällt immer mit der Frage nach der größten zu

lässigen Saughöhe zusammen. Für die Saughöhe wird

( ) 1 [Pat - Pn ~ ] zs max = g p - (jJEI,O - JlH GI. (9.2.-6).

Für den Planer und Betreiber einer Pumpenanlage ist damit eine Beziehung hergeleitet, die

bei gegebener Pumpe und damit bekannter Halteenergie eine Reihe Aussagen zuläßt, die zur

größtmöglichen Saughöhe führen, Bild 9.19.

Die Größe der erreichbaren Saughöhe wird zunächst durch den Atmosphärendruck be

stimmt. Die Energie im Saugstutzen muß dem Atmosphärendruck entnommen werden;

damit ergibt sich ein Verlust an Saughöhe, wenn Pumpen in größerer Höhe aufgestellt

werden müssen oder aus einem geschlossenen Gefäß saugen, in dem ein entsprechend

niedriger Absolutdruck herrscht.

Eine weitere Schwierigkeit tritt bei Flüssigkeiten mit hohem Dampfdruck auf, z.B.

beim Pumpen von Kondensaten, Flüssiggasen und heißem Wasser, weil dann oft

negative Saughöhen, also Zulaufhöhen zur Pumpe notwendig werden.

Um die erreichbare Saughöhe möglichst wenig zu vermindern, muß die saugseitige

Pumpenanlage so geplant werden, daß die Strömungswiderstände gering sind. Für das

Saugrohr heißt dies: große lichte Weite, geringe Länge, Vermeidung scharfer

Krümmungen und großer Durchmesser für den Saugkorb und das FußventiL

9.22

Dem Konstrukteur verbleibt nur eine, dafiir aber eine besonders reizvolle Aufgabe, die

Saugfähigkeit der Pumpenanlage zu optimieren.

Er muß die auftretenden Drucksenkungen in der Pumpe selbst so klein wie möglich halten,

d.h. er muß die Halteenergie so weit wie möglich senken. Meist schreibt die Pumpenanlage

die spez. Energie (pat- PD) /p vor. Durch eine zu große notwendige Halteenergie erhält man

häufig eine negative Saughöhe, Zulaufhöhe, d.h., der Saugbehälter muß über der Pumpe, mit

zum Teil erheblichen Mehrkosten, installiert werden. Für den Fall, daß die verfiigbare

Energie im Saugstutzen größer ist als die Halteenergie ~YH, besteht noch ein

Sicherheitsabstand zum Eintreten der Kavitation, der Sicherheitsdampfdruckabstand ~PsD , p

Bild 9.19.

pso p--

AYH= (NPSHlp

' lpE1,0

t-

Bild 9.19: Darstellung der verschiedenen Energieterme

Halteenergie der Pumpe

Die rechnerische Vorausbestimmung der Halteenergie stößt heute noch auf große Schwierig

keiten. Der Ansatz von Pfleiderer

? ?

/L Wl,o + /L Cl,o I 2 2 2

GI. (9.2.-7)

bringt eine erste Abschätzung.

Das erste Glied auf der rechten Seite berücksichtigt die Abnahme der spez. Arbeitsfähigkeit

durch das Anwachsen der Relativgeschwindigkeit w0 beim Eintritt der Flüssigkeit in die

9.23

Saugkanäle, während das zweite Glied die Abnahme der spez. Arbeitsfähigkeit infolge

Erzeugung der Absolutgeschwindigkeit c0 einschl. der schon erwähnten Drucksenkung durch

Reibung darstellt. A1 und A2 sind Erfahrungszahlen. Bei einer hinsichtlich der Saugfähigkeit

idealen Kreiselpumpe, bei der keine Verluste auftreten, die Laufschaufeln unendlich düm1

sind und eine gleichmäßige Geschwindigkeitsverteilung vorliegt, wäre A1 = 0 und A2 = 1, die ?

Halteenergie also (~YH )min = Cl,o . Dabei muß stationäre und drallfreie Strömung im Saugrohr 2

vorausgesetzt werden.

Einfluß der konstruktiven Auslegung der Pumpe auf die Halteenergie

Die Halteenergie einer Pumpe läßt sich durch geeignete konstruktive Maßnahmen reduzieren.

Insbesondere der Umlenkradius an der vorderen Deckscheibe, die Stellung der Schaufel

vorderkante, die Schaufeldicke und die Oberflächenrauhigkeit sowie die symmetrische Zu

schärfung der Schaufelkontur beeinflussen die Halteenergie der ausgefiihrten Pumpen

konstruktion.

Die Ergebnisse aus verschiedenen hierzu durchgefiihrten Untersuchungen machen die Zu

smenhänge zwischen einzelnen Konstruktionsparametern und der davon abhängigen Halte

energie der Pumpe deutlich.

Um diese Abhängigkeiten besser vergleichen zu können, ist die Halteenergie ~YH bezogen auf

ui" I 2 als spezifische Halteenergie bei voll ausgebildeter Kavitation über dem Geschwindig-

keitsverhältnis c1 /u1 jeweils beispielhaft fiir verschiedene Parameterwerte dargestellt.

Bild 9.21 zeigt die spezifische Halteenergie von Radialrädern mit verschiedenen

Umlenkradien Ru an der vorderen Laufraddeckscheibe bei gleichen Werten von Schaufelzahl

z, Schaufeldicke s und Eintrittswinkel ß 1 sowie vergleichbarer Stellung der

Schaufeleintrittskante, Bild 9.20. Das Geschwindigkeitsverhältnis, bei dem V=~~ , d.h.,

stoßfreie Zuströmung vorliegt, ist in Bild 9.21 gekeill1Zeichnet.

Der Einfluß der Stellung der Schaufelvorderkante von Radialpumpen, Bild 9.22, auf die

spezifische Halteenergie ist in Bild 9.23 dargestellt. Schaufelzahl z, Schaufeldickes und Ein

trittswinkel ß1 entsprechen den Daten der in Bild 9.20 gezeigten Radialräder.

9.24

R,.=6mm R,.=12.mm Ru=20mm R :35mm

Oie Erstreckung der Schaufeln in Umfangsrichtung lag bei allen ~ier Rädern zwischen ~ =10L0 und 110° Schaufelzahl z = 8 } Schaufeldicke s =. 2mm für alle Röcier konstant Eintrittswinkel p1 = 2l,SD

Bild 9.20: Radialräder mit verschiedenen Umlenkradien an der vorderen Laufraddeck

scheibe

0.5 AyH

uf/2

O.L

0.3

0.2

0.1

0 0 Q.1 Q.4 •• .=i o.s

Ut

,. Ru=6mm

A Ru =12mm

o Ru =20mm

+ R., =35mm

Bild 9.21: Einfluß des Umlenkradius an der vorderen Deckscheibe auf die spezifische

Halteenergie bei voll ausgebildeter Kaviatation

Aus dem Vergleich der Bilder 9.21 und 9.23 für V= V;,1 wird der bezogen auf die Wahl des

Umlenkradius größere Einfluß der Stellung der Schaufelvorderkante auf die Höhe der spezifi

schen Halteenergie, ersichtlich. Die Bedeutung der Stellung der Schaufelvorderkante wird in

Bild 9.24 anhand der Darstellung der Orte der Dampfblasenbildung bei voll ausgebildeter

Kavitation im Punkt stoßfreier Zuströmung für die 0°-Kante und die 90°-Kante verdeutlicht.

9.25

Die Abhängigkeit der spezifischen Halteenergie von der Schaufeldicke ist in Bild 9.25 bei

gleicher Schaufelzahl z, gleichem Eintrittswinkel ß 1 und gleicher Oberflächenrauhigkeit dar

gestellt. Zum Vergleich ist die Schaufel mit der Dicke Null gestrichelt eingezeichnet.

Radbezeichnung: 0°- Kante 30°- Kante 600- Kante 90°- Kante

Die Erstreckung der Schaufeln in Umfangsrichtung lag bei allen vier Rädern zwischen ~, = 104° und 1100 Schautetzahl z = B J Schauteldicke s"' 2mm für alle vier Räder l<onstant Eintrittswinket flt = 2l6°

Bild 9.22: Radialräder mit unterschiedlicher Stellung der Schaufeleintrittskante

. A •oo _ """'' Oh~----~------~------~~~~--+-~ ~ o.s,------,r----....,..---..--+rr---lrr------,

l.YH

u2/2

0.3t-----+----+--~'-ilr7"--+---+-----1 c :&J.soo- Kant•

a &'J 30"- Kant•

• J!L 0'- Kant• 0o~------~~1~----~02~------Q3~--~--o~~---.-=-~--~~5 ~J U1

Bild 9.23: Einfluß der Stellung der Schaufeleintrittskante auf die spezifische

Halteenergie bei voll ausgebildeter Kavitation

Der Einfluß der Oberflächenrauhigkeit auf die Höhe der spezifischen Halteenergie der

Pumpe ist Bild 9.26 zu entnehmen.

9.26

Dampf blasen

90°-Konte

Bild 9.24: Einfluß der veränderten Stellung der Schaufelvorderkante auf die voll aus

gebildete Kavitation im Punkt stoßfreier Umströmung

~ :z [ 0 l ! -I

23,6 e

· --- s=O --0 o~--._~o~.1 __ _. __ ~~~2~~--~o~.3--~--~o~.4--.~c-,~o.s ··-u,

s [mm)

0,61 c 1,22 0

1.99 I>

3.00 "

Bild 9.25: Einfluß der Schaufeldicke s auf die spezifische Halteenergie bei voll ausge

bildeter Kavitation

Bild 9.27 zeigt den Einfluß der symmetrischen Zuschärfung der Schaufelkontur auf die

spezifische Halteenergie beispielhaft für drei verschiedene Schaufelkonturen. Die

Zuschärfung wird durch den Parameter 1/s, dem Verhältnis der auf der Konturlinie

gemessenen Profillänge zur Schaufellänge charakterisiert. Ergänzend wird die Auswirkung

der Schaufelkontur auf die Druckverteilung in Bild 9.28. für zwei verschiedene

Konturausbildungen verdeutlicht. Die Druckabnahme ist bezogen auf c~ ·p/2 über der

Schaufellänge schematisch eingezeichnet.

0,5

0,3

0.2

0,1

0.1

9.27

.Jf /0 ' /~ ~ 12%

x" ~ t

.. # ~

pr v -:--=1 -,., 'Ist

Q.2 Q.J 0,1. ., • .!:1 o.s u,

x -sandgestrahlt R1 :1l.ll-m

o -geschliffen R, = 7,5Jl.m

• -poliert Rt: 2.51lm

Bild 9.26: Einfluß der Oberflächenrauhigkeit auf die spezifische Halteenergie bei voll

ausgebildeter Kavitation

0.6 äYJ.t u2/2 1

0,5

0.4

0,3

0,2

0,1

0 0

l~ j...,._

0.1

./ ~~ 6 ~ V

0,2

/

~

i J /.&

~ r ......

0,4 ., • ..:t. 0.5 u,

Pt= 23.6 z = 6 S·: 3 mm

l/s

€ o.s " -E~ 1.35 ~

2.2 0

Bild 9.27: Einfluß der symmetrischen Zuschärfung der Schaufelkontur auf die spezifi

sche Halteenergie bei voll ausgebildeter Kavitation

Einfluß der Kavitation auf die Schnelläufigkeit

Die Kavitation verursacht, wie anfangs festgestellt, ein Absink:en der spez. Förderarbeit und

des Wirkungsgrades von den Normalwerten.

Dieses Absink:en tritt bei Pumpen verschiedener Schnelläufigkeit in verschiedenen Formen

auf. Die Schnellaufzahl cr kennzeichnet verschiedene Radformen. Jeder Laufradform ist,

unabhängig von ihren Abmessungen, eine andere Schnellaufzahl eigentümlich.

1 05-

-0,5

9.28

kavitationsgafähn:tate Stelle diiS Schautalontangs

s

Bild 9.28: Druckverteilung für zwei verschiedene Ausbildungen einer Schaufelkontur,

1/s = 2

Hochdruck- oder Radialräder liefern vorwiegend Druckenergie bei kleinen Volumenströmen,

Propellerräder fördern große Volumenströme mit geringer Druckenergie. Den Übergang

bilden Niederdruck- und Diagonalräder, Bild 9.29.

A.

B.

c.

Bild 9.29:

Bauformen von Kreiselpumpenlauf

rädern

a) Radialrad oder Hochdruckrad

b) Diagonal- oder Halbaxialrad

c) Propeller- oder Axialrad

9.29

Hochdruckrad

Bei Pumpen mit Hochdruckrädem fällt die Kurve der spez. Förderarbeit mit der Wirkungs

gradkurve plötzlich steil ab, wenn der Volumenstrom, bei dem die Kavitation voll

ausgebildet ist, erreicht wird, Bild 9 .16.

Unmittelbare Beobachtungen der Strömung zeigen, daß der Kavitationsbeginn schon einsetzt,

bevor die Drosselkurve durch die Einschnürung des Kanalquerschnittes beeinträchtigt wird.

Die Strömungsaufnahmen wurden bei n =50 s-1 gleichzeitig mit der Drosselkurve der Pumpe

nach Bild 9.16. bei der Leitradstellung 1/1 aufgenommen. Die Reihenfolge der Aufnahmen

stimmt mit der Zahlenfolge an der Wirkungsgradkurve, Bild 9 .16., überein.

Im Auslegungspunkt, der Stelle optimalen Wirkungsgrades, sind keinerlei Kavitationsblasen

zu beobachten. Erst im Überlastbereich im Punkt 2 treten sie vereinzelt, im Punkt 3 häufiger

auf. Wird der Volumenstrom weiter erhöht, Punkt 4, füllen sich die Radkanäle deutlich mit

Kavitationsblasen und schnüren den Durchflußquerschnitt ein, bis endlich bei voll

ausgebildeter Kavitation im Punkt 5 der Volumenstrom erreicht ist, bei dem die Drossel- und

Wirkungsgradkurve steil abfallen. Bei voll geöffnetem Leitrad kavitiert, bedingt durch den

großen Überlaststoß, nahezu der gesamte LeitradkanaL Zur Venneidung aller

Kavitationsblasen, z.B. im Punkt 3, müßten demnach wirtschaftlich nicht mehr vertretbare

Dampfdruckabstände bzw. Zulaufhöhen, also Energiereserven, bei der Berechnung von

Radialpumpen zugrundegelegt werden. Bei Pumpen höherer Laufzahl sinken die

charakteristischen Kurven im ganzen Volumenstrombereich langsamer vom Nonnalwert ab,

bevor der Punkt des plötzlichen Abbrechens erreicht ist.

Niederdruckrad und Diagonalrad

Der Grad der Abnahme von Drosselkurve und Wirkungsgradkurve richtet sich nach der Lauf

zahl und der Saughöhe. Er ist umso geringer, je höher die Schnellaufzahl und je kleiner der

Druck auf der Saugseite der Pumpe wird. Bei Pumpen mit Laufzahlen cr > 1, also bei Pro

pellerpumpen, tritt kein Bereich auf, in dem die Drosselkurve plötzlich auf Null absinkt.

Stattdessen fallen die Kurven kontinuierlich im ganzen Arbeitsbereich.

Das unterschiedliche V erhalten von Pumpen verschiedener Schnelläufigkeit rührt von den

Unterschieden in der Laufradkonstruktion her. Räder mit niedriger Laufzahl, Bild 9.30. a,

haben regelrechte Kanäle. Wenn der Druck am Laufradeintritt den Dampfdruck erreicht, dann

kann sich bei voll ausgebildeter Kavitation der gesamte Kanalquerschnitt mit einem Zwei

phasengemischaus Wasser und Dampf füllen. Die Drosselkurve bricht dann plötzlich ab.

9.30

Bei Pumpen mittlerer Laufzahl, Bild 9.30. b, ist der Kanal zwischen den Schaufeln breiter

und kürzer. Hier wird eine größere Abnahme der spezifischen Förderarbeit und eine

Zunahme des Volumenstromes benötigt, um die Zone der Drucksenkung auf den

Dampfdruck über den ganzen Kanalquerschnitt auszudehnen. Deshalb dehnt sich der Bereich

möglicher Volumenströme, indem die Drosselkurve unter ihren Nonnalwert abfällt, weiter als

bei den Radialrädern aus, bevor sie plötzlich steil abbricht.

a) b) c)

--. D ~ ---;;r·-·-·7-.~/~.-- -~z;:".~-·--

a niedrig a mittel a hoch

Bild 9.30: Laufräder unterschiedlicher Kanalbreite und Kanallänge

(Gebiete erhöhter Drucksenkung schraffiert)

a) a niedrig b) a mittel c) a hoch

Propellerrad

Bei Propellerpumpen, Bild 9.30. c, überdecken sich die Schaufeln nicht. Deshalb bleibt

immer, auch bei Ausweitung der Zone niedrigen Druckes, ein Teil des Kanals

flüssigkeitsgefiillt, so daß sich der Volumenstrom stetig vergrößert, auch wenn die Kavitation

schon voll ausgebildet ist.

Kavitation im Betrieb

Kavitationsintensität

Für den Grad der auftretenden Werkstoffzerstörung spielt, wie eingangs erwälmt, bei gegebe

nem Werkstoff die Auftreffgeschwindigkeit der implodierenden Blasen eine entscheidende

Rolle.

Am Einsturzvorgang sind nun wesentlich Druckkräfte und Reibungskräfte beteiligt /5/.

9.31

Bildet man das Verhältnis der Reibungskräfte zu den Druckkräften im Zeitpunkt t = 0, dem

Anfangszeitpunkt des Implosionsvorganges, dann kann man eine Kavitationszahl \JfK definie

ren, die, wenn sie kleine Werte annimmt, große Druckkräfte und bei großen Werten

kleine Druckkräfte beschreibt.

~K .- [~] rurt~o Gl. (9.2.-8).

Mit \JfK lassen sich demnach bei bekannten Randbedingungen ähnliche Kavitationszustände

beschreiben. Trägt man nun für verschiedene \JfK-W e1ie die zugehörige

Auftreffgeschwindigkeit auf, können Aussagen über die Intensität des Druckstoßes gemacht

werden.

In Bild 9.31. ist die mit der Zuströmgeschwindigkeit c0 dimensionslos gemachte Auftreff

geschwindigkeit Ce über die Kavitationszahl \JfK aufgetragen.

1.4

1,3

1,2

1.1

Ce 1,0

Co 0,9

Hochlage

I

1

0,8

0,7

0,6

-r--

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

4 6 8 1Ö1

2

r---.. r--... "--.

...... , ........

.......... ....... ~

........... ...... .,....._ Tief!a~e

4 6 8101

2 ---4Jk

4 5

Bild 9.31: Abhängigkeit der Auftreffgeschwindigkeit Ce der kavitierenden Blase von der

Kavitationszahl \JfK, [5]

Der Kurvenverlauf zeigt, daß mit steigender Kavitationszahl, also mit wachsender Reibung,

das Geschwindigkeitsverhältnis Ce /c0 und damit der Druckstoß aus einer "Hochlage" in eine

"Tieflage" Ce /c0 -t 0 übergeht.

Im Bereich der "Hochlage" schlägt die Wassennasse bei großen Massenkräften mit Ce = 0,9 c0

als Endgeschwindigkeit gegen die Oberfläche. Der dämpfende Einfluß beträgt hier etwa 10%.

9.32

Die Kavitationsblasen sind klein und führen zu harten Dmckstößen mit großem Gradienten

dp/dt.

In der Übergangszone zur "Tieflage" wachsen die Blasen an. Durch die zunehmenden

Reibungskräfte nimmt die erreichbare Endgeschwindigkeit Ce weiter ab. Der Dmckstoß wird

durch die während der Wachstums- und Zerfallzeit der Blase in sie hineindiffundierende

größere Dampfmenge gedämpft. Die hier kleinen Dmckstöße fallen weiter mit steigender

Temperatur ab, weil einerseits mit der Temperatur die Dampfdichte in der Blase ansteigt tmd

andererseits die gleichzeitig ansteigende Kondensationswärme in der kurzen Implosionszeit

nicht mehr vollständig abgeführt werden kann.

9.2.2. Überschallgefahr im Turbokompressorbetrieb

Im Kompressor liegt wie in der Kreiselpumpe in den Schaufelkanälen von Lauf- und Leitrad

eine verzögerte Strömung vor. Ist nun die im Laufschaufelkanal zu verzögernde Relativ

geschwindigkeit bzw. die Absolutgeschwindigkeit im Leitschaufelkanal eine Überschall

geschwindigkeit, so treten bei der Verzögerung auf Unterschallgeschwindigkeit Ver

dichtungsstöBe auf. Erhebliche Wirkungsgradvermindemng ist die Folge. Darum soll die

Relativgeschwindigkeit im Laufrad und die Absolutgeschwindigkeit im Leitrad unter der

Schallgeschwindigkeit bleiben. Bei inkompressiblen Fluiden liegen diese Geschwindigkeiten

um Größenordnungen unter der Schallgeschwindigkeit

GI. (9.2.-9).

In GI. (9.2.-9) ist p der örtliche statische Dmck, v das (auf die Masse bezogene) örtliche

spezifische Volumen.

Für trockene Luft mit R = 0,287 kJ/kg Kund K = 1,4 ergibt sich a in m/s zu

a = 20,04 .JT mit Tin [K] .

Im Einlauf eines Turbokompressors sind die Temperaturen und damit die Schallgeschwindig

keit klein. Nun tritt außerdem beim Einlaufen in die Laufschaufelkanäle eine hohe Relativ

geschwindigkeit auf, um dann im weiteren Stromlinienverlauf verzögert zu werden. Deshalb

sind in einem Kompressor die Orte der Überschallgeschwindigkeit vergleichbar mit den der

Kavitationsgefahr bei Kreiselpumpen.

9.33

Im Abschnitt 9.2.1. wurde festgestellt, daß bei Kreiselpumpen die Kavitationsgefahr steigt,

wenn beim Einlauf in den Laufschaufelkanal bei hohen statischen Drucksenkungen hohe

Relativgeschwindigkeiten auftreten. Bei Kompressoren wird die Überschallgefahr groß, wenn

beim Einlauf in die Laufschaufelkanäle bei kleiner Gastemperatur hohe Relativgeschwin

digkeiten gefahren werden. Im Kompressorschaufelkanal steigt die Temperatur (wie der stati

sche Druck einer Kreiselpumpe) und die Relativgeschwindigkeiten werden verzögert, d.h.

Überschall- und Kavitationsgefahren sinken.

9.3.

9.3.1.

Maschinenkennlinien bei Einzel- und Mehrfachanordnungen

Kennlinienumrechnung

Die Maschinenkennlinien liegen in grafischer Form vor, sie gelten jeweils nur für eine Dreh

zahl, Bild 9.32., und geben die Energiedifferenz zwischen Saug- und Druckstutzen in Ab

hängigkeit vom durchgesetzten Volumenstrom an (Kontrollraumgrenzen).

Bild 9.32:

Kennlinien von Kreiselpumpen

n=cor I

Wird eine Pumpe (Kompressor) mit einer z.B. verminderten Drehzahl angetrieben, kam1 bei

gültigen Ähnlichkeitsbeziehungen die neue Maschinenkem1linie näherungsweise12) aus der

ursprünglichen errechnet werden (Kongruenzgesetz). Sind die Wirkungsgrade als konstant

anzusehen, so gilt:

w1 ~ uc11

2 w1 ~ n

v~n

12) unvollständige Ähnlichkeit '7 = f CV)

GI. (9.3.-1),

GI. (9.3.-2).

9.34

Bei einer Drehzahlvariation folgt die Kennlinien-Umrechnung dann gemäß:

GI. (9.3.-3).

9.3.2. Reihenschaltung

Bei in Reihe geschalteten Pumpen fordert jede denselben Volumenstrom, damit wird die Ge

samtkennlinie durch die Addition der übertragenen Energie ermittelt, hier soll die Dissipation

in den Verbindungsleitungen vernachlässigt werden.

In Bild 9.33. sind drei Maschinen mit derselben Kennlinie hintereinandergeschaltet; bei

unterschiedlichen Kennlinien erfolgt die Addition in analoger Weise.

t

w; ------;----. i Wf I II III = f(V)i

' ' I I

9.3.3. Parallelschaltung

3w;

2wi

Bild 9.33:

Reihenschaltung von Kreisel

pumpen

Bei parallelgeschalteten Pumpen ergibt sich eine Gesamtkennlinie, die aus der Addition der

Einzelvolumenströme zu ermitteln ist. Wird vereinfacht wiederum eine verlustfreie Durch

strömung der Verbindungsleitungen angenommen, gilt für z.B. drei identische Pumpen die

Darstellung gemäß Bild 9 .34.

9.35

t Wt

w, r,n,m= t(V)

y' 2'i/'

Bild 9.34: Parallelschaltung von Kreiselpumpen

9.3.4. Passive Anlagenelemente

Das betriebliche Verhalten der in Netzwerken vorhandenen passiven Anlagenelemente ist

durch Kennlinien übersichtlich darstellbar. Jedes Element hat eine charakteristische

Kennlinie, die durch vereinfachende Annahmen das wesentliche V erbraucherverhalten

beschreibt.

Rohrleitung

9.3.5.

Bei angenommener konstanter Widerstands

zahl ist der durch Dissipation entstehende

Druckverlust L\pRL z c2

L\pRL =PA--d 2

somit wird für eine unveränderte Rohrgeome-

trie

Gl. (9.3.-4)

rpRL ~ v2 a1. (9.3.-s) .

Die "Verbraucherkennlinie" ist eme

quadratische Parabel mit dem Scheitel im

Koordinatenursprung; sie wird durch nur ein

Wertepaar ( rp~ , V') vollständig beschrieben.

Ermittlung von Arbeitspunkten

Die Ermittlung des Arbeitspunktes in einem bekannten Netzwerk geht von der Überlegung

aus, daß die von den Pumpen dem Fluid übertragene Druck- und Geschwindigkeitsenergie zur

9.36

Überwindung von Strömungswiderständen in Rohrleitungen und Ventilen bereitgestellt

werden muß (vollständige Dissipierung) oder in Hochbehältern bzw. Kesseln gespeichert

wird (rückgewinnbar). - Zu beachten ist, daß beim Ansaugen des Fluids aus einem

Vorratsbehälter eine Beschleunigungsenergie c2 /2 aufgebracht werden muß, die in üblichen

Anlagen nicht zurückgewonnen wird.

Energiegleichgewicht

e =e verfügbar Verbraucher

"' e f b = es · h + eD. · · ver Ug ar pe1c er 1SS1pat10n l

Bild 9.35: Energiegleichgewicht in einem Netzwerk

Für komplexe Netzwerke (Absicherung mit Rückschlagventil !) ist die Zusmmnenfassung

mehrerer Kennlinien sümvoll (man spricht dann von einer Reduzierung).

Im Beispiel nach Bild 9.36. erscheint die Reduzierung auf den Punkt 1 geeignet.

HB 1

Bild 9.36: Schematische Darstellung eines Versorgungsnetzes

9.37

Verbraucher (passives Anlagenelement, z.B. Rohrleitung) [ ~ « rp"] .

t <t>RL g-z

v .. Bild 9.37: Reduzierung von Verbraucherkennlinien

Versorger (aktives Anlagenelement, z.B. Pumpe)

i

V .,.. Bild 9.38: Reduzierung von Pumpenkennlinien

RL 1

r;; I •

RL2

~!-I

9.38

Netzwerk (Zusammenarbeit aktiver und passiver Anlagenelemente)

i "\.

'J\e~\tr$J - &~~ ............. \)et'Ot,.. --- ,,...

-- -Zusammenarbeit inj....-,.. .......... ,r ........... ----~"------......

V---~ .. ~

Bild 9.39: Ermittlung des Arbeitspunktes mit reduzierten Kennlinien

9.3.6. Instabile Arbeitspunkte

"Pumpen" und Pumpgrenze

Die Ermittlung von Arbeitspunkten anhand der statischen V ersorger- und Verbraucher

kennlinie setzt voraus, daß sich stabile Arbeitspunkte ergeben. Eine Störung des Gleich

gewichtszustandes wird dann selbsttätig wieder abgebaut. Im Gegensatz dazu sind instabile

bzw. labile Arbeitspunkte durch ein "Weglaufen" der Betriebszustände charakterisiert.

Obwohl diese zeitlichen Vorgänge nicht mit den statischen Kennlinien dargestellt werden,

sind aus den Steigungen der Kennlinien im Arbeitspunkt die Bedingungen für labile und

instabile Gleichgewichtszustände abzulesen, Bild 9.40.

Ein stabiler Arbeitspunkt liegt dann vor, wenn die Steigung der Verbraucherkennlinie im

Arbeitspunkt größer als die der Pumpenkennlinie ist.

Die Zusammenarbeit von Pumpen mit im Arbeitsbereich fallender Kennlinie und Anlagen,

deren Kennlinie durch Reibungswiderstände mitbestimmt werden und folglich immer eine

"positive" Steigung haben, ist dann immer durch stabile Arbeitspunkte gekennzeichnet.

9.39

v---~ .. ~ v----. .. ~ - Beschleunigung -Verzögerung l>Pv < l>pp

STABILER ARBEITSPUNKT -Verzögerung-- Beschleunigung

LABILER ARBEITSPUNKT

Bild 9.40: Stabiler bzw. labiler Arbeitspunkt bei der Zusammenarbeit Pumpe Ver

braucher

Bei radialen Kreiselpumpen und Kompressoren kann entsprechend Bild 9.6. die Nullförder

arbeit kleiner als die maximale Förderarbeit sein, Bild 9.41.

Wenn eine solche Pumpe in einer Anlage mit überwiegend statischen Druckanteilen

(Hochbehälter) eingesetzt wird, sind die Arbeitspunkte auf dem rechten Ast der Pumpenkenn

linie 1-2 stabil. hn Bereich 2-3 dagegen sind die Arbeitspunkte instabil, eine Störung des

Gleichgewichtszustandes wird nicht abgebaut.

t

n= const

0

Bild 9.41: Vollständige Kennlinie

Pumpgrenze

v---~ .. ~

Wf2;; Wr.max

w13 : w10

9.40

Bei Verbrauchernetzen, die eme Speicherfähigkeit besitzen (Hochbehälter bei Wasser

förderung, elastische Rohrleitungen, Druckluftnetze o.ä.) kann es im Bereich links von der

sog. Pumpgrenze, das ist der Punkt 2 in Bild 9.41., zum "Pumpen" in der Anlage kommen.

Die Förderung z.B. in einen Hochbehälter mit einer geodätischen Höhe zHB

bedeutet, wenn dem Hochbehälter kein Wasser entnommen wird, daß nach einer gewissen

Zeit die maximale geodätische Höhe zHB max = Wf21g erreicht wird. Die Pumpe kann nun

nicht weiter fördern, da die von ihr maximal erzeugbare Druckdifferenz gleich bzw. kleiner

als der Druck der Wassersäule wird. Die Folge ist ein Abbremsen des Förderstromes und- da

der Bereich 2-3 labil ist- nach dem Erreichen des Nullförderpunktes 3 den Übergang in den

Bereich 3-5 mit "negativer Förderung". Der Behälter entleert sich jetzt, der Wasserspiegel

und damit der Druck sinken ab, so daß die Pumpe schlagartig wieder zu fördern beginnt. Der

Betriebspunkt liegtjetzt wieder auf dem positiven Zweig der Pumpenkennlinie. Damit steigt

der Wasserspiegel im Hochbehälter wieder an und der ganze Vorgang beginnt von neuem.

Dieser als "Pumpen einer Anlage" bezeichnete Vorgang beeinträchtigt den Betrieb und u.U.

die Lebensdauer der Anlagenteile die durch die Schwingungserscheinungen stark gemindert

wird. Abhilfe bei vorhandenen Anlagen kann durch den Einbau von Drosselorganen in die

Druckleitung geschaffen werden, so daß sich stabile Arbeitspunkte auch im Bereich 2-3 der

Pumpenkennlinie ergeben. Ansonsten sind bei der Projektierung von Anlagen, in denen das

"Pumpen" als möglich erscheint, Pumpen oder Kompressoren auszuwählen, deren Kennlinie

im Bereich kleinerer Volumenströme nicht abfällt. Die Nullförderarbeit muß dann gleich der

maximalen Förderarbeit sein, sonst sind Pumpverhütungsregelungen vorzusehen. So kann ein

Teil des von Kompressoren geförderten Fluids abgeblasen werden, so daß der Volumenstrom

stets größer als der "Pumpvolumenstrom" bleibt.

10. Literaturverzeichnis

[ 1] Al bring, Wem er

[2] Kauder, Knut

[3] Eck, Bruno

[ 4] Pfleiderer/Petermann

[ 5] Lehmann, Willlied

[6] Lewinsky-Kesslitz

[7] Eck, B.

[8] Weinig, F.

[9] Stache, A.

[10] Schöneberg, W.

Augewandte Strömungslehre. 4. Aufl., Dresden: Th. Steinkopff 1970

Strömungs- und Widerstandsverhalten in gewellten Rohren. Dissertation Hannover 1971

Technische Strömungslehre. 7. Aufl., Berlin/Heidelberg/N ew Y ork: Springer 1972

Strömungsmaschinen. 4. Aufl., Berlin/Heidelberg/New York: Springer 1972

Arbeitsvorgänge von Rohrströmungen - Ein Beitrag zur Modellvorstellung der Kavitation. Dissertation Hannover 1971

Dissertation TH Graz 1959

Ventilatoren. 5. Aufl., Berlin/Heidelberg/New York: Springer 1972

Strömung von Schaufeln von Turbomaschinen. Leipzig, 193 5

Dissertation TU Braunschweig 1969

Untersuchungen über Kavitation an radialen Kreiselpumpen. Dissertation Universität Darmstadt 1966

Ergänzende Literatur

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(3)

(4)

Truckenbrodt, E.

Schlichting, H.

Traupel, W.

Gersten, K. Herwig, H.

Fluidmechanik Bd. 1, 1. Aufl., Berlin/Heidelberg/New York: Springer 1980

Grenzschichttheorie. 5. Aufl., Karlsruhe: G. Braun 1965

Thennische Turbomaschinen. Bd. 1, 2. Aufl., Berlin/Heidelberg/N ew Y ork: Springer 1966

Strömungsmechanik Braunschweig/Wiesbaden, Vieweg 1992

Sachwortverzeichnis

A Absolutbahn 2.3 Absolutgeschwindigkeit 2.1. Absolutsystem 2.12 Ähnlichkeit 6.1, 6.3 Ähnlichkeitsbeziehung 9.3 3 Ähnlichkeitsparabel9.9 Aktionswirkung 4.1 Anfahrbedingung 9. 7 Anfahrwirbel 5.3 Anlagenelemente 9.35 Anstellwinkel5.5, 5.6, 5.7, 5.10 Allströmwinkel 5.4 Arbeitsfähigkeit, spez. 1.13, 1.15, 1.19 Arbeitspunkte 9.36 -, istabile 9.39 Arbeitsverfahren 4.10 Auftrieb 5.2 Auftriebsbeiwert 5.5, 5.7 Auftriebskraft 5.1 Aufwertungsformeln 6.3 Ausgleichsraum 8.6 Ausgleichsscheibe 8.5, 8.7, 8.8 Auslegungspunkt 6.18, 9.7 Austrittswinkel4.8, 4.10 Axialkraft 8.1 Axialmaschine 1.2, 2.2, 4.5 Axialschub 4.10, 8.2

B Bemoullische Gleichung 1.21, 5.3 Beschleunigungsstoß 7. 9 Bezugsvolumenstrom 6.5 Blasius, Rohrwiderstandszahl 1.30

c Colebrook 1.26 Colebrooksche Gleichungen 1.27 Cordier 6.8 Cordier-Kurve 6.9 Corioliskräfte 2.13 Cosinussatz 2.11

D Dampfdruck 9.15 ff Deckscheibe 8.4 Diagonalrad 9.29 Dissipationsstrom 3.3

Dralländerung 4.1 Drehimpuls 2.6 D Drehzahlvariation 9.33 Drosselkurve 9.1, 9.6, 9.7, 9.29 Druckkraft 6. 7 Druckstoß 9.32 Druckverteilung 8.3 Druckzahl6.5, 6.12 Durchflußkoeffizient 7.4 Durchflußströmung 2.11 Durchmesserzahl 6.9

E Einheitsdruckzahl 6.8 Einheitsmaschine 6.7 Einheitsvolumenstromzahl 6.8 Einheitswerte 6.7 Eintrittsstoß 7.8 Einzelmaschine 6.17 Energiefluß 3.1 Energiewandlung 1.1 0 -, instationär 1.22 Energiewandlungsverlauf 3.5 Enthalpiezahl 6.5 Enthalpie-Entropie-Diagramm -Düse 1.23 - Diffusor 1.23 - Rohrleitung 1.24 -Turbine 3.6, 3.7, 3.8 - Kompressor 3 .13

E Feldeigenschaft 6.6 Feldkraft 6.7 Fließprozeß 1.11, 2.13 Fluid 1.1 Förderenergie 1.31 Froude-Zahl 6. 7

G Gegendrall 9.1 0 Geschwindigkeitsmaßstabsfaktor 6.3 Geschwindigkeitsplan 2.5, 4.6, 4.7 Gitter 5.1, 5.6 Gitterdichte 5.6 Gleichdrall 9.10 Gleichdruckturbine 4.1

Gleichdruckverfahren 4.1 ff, 4.10 Gleitzahlen 5.4, 5.10 Grenzschicht 5.3, 5.10

G Großausführung 6.3 Grundgröße 6.6

H Hagen-Poiseuille, Rohrwiderstandszahl1.30 Hakenschaufeln 4.9 Halteenergie 9.20 ff Hauptgleichung der Strömungsmaschinen 2.11 Hochdruckrad 9.28, 9.29 Hohlraumbildung 9.16

I Impulssatz 5.9, 8.1 Impulsstrom 8.2 Innenleistung 3.4 Isentropenexponent 1.14

I Jet-impact 9.18

K Kanaleinschnürung 9.18 Kanalwirbel 2.12 Kannarm v., Rohrwiderstandszahl 1.30 Kauder, Rohrwiderstandszahl 1.30 Kavitation 9.15 ff Kavitationsblasen 9.15 Kavitationsgefahr 9.15 Kavitationsintensität 9.30 Kavitationszahl 9.31 Kennfeld 9.1 ff Kennlinie 9.1 ff, 9.8 Kennzahlen 6.4 ff Kompressorstufe 3 .11 Kreisströmung 2.12 Kupplungsleistung 3.5 Kutta-Joukowsky, Satz von 5.1

1 Labyrinthprofilierung 7.4 Längenmaßstabsfaktor 6.3 Langsamläufer 6.15 Laufrad 1.1, 2.3, 2.5, 9.5 Laufradbauarten 1.4, 1.5, 1.6, 9.24, 9.25 ff

Laufradgitter 2.3 Laufschaufel 1.2 Laufschaufelverstellung 9.10 Laufzahl 6.9, 6.13 Leistungsbilanz 1.12 Leistungszahl 6. 5

1 Leitrad 1.1, 2.3, 3.7, 9.5 Leitradverstellung 9.10 Lilienthai 5.4

M Maschinenkennzahlen 6.1 Maschinenströmung 3.1 Mehrflutigkeit 6.12, 6.17 Mehrstufigkeit 6.12, 6.17 Mittelläufer 6.15 Momentensatz 2.5, 2.6, 3.4

N Naßdampf 1.32 Niederdruckrad 9.29 Nikuradse 1.26 Nullfürderarbeit 9.40

r_ Parallelschaltung 9.35 Polarendiagrmmn 5.5 Polytropenexponent 1.1 7 Potentialströmung 2.12 Potentialwirbel 2.12 Prandtl, Rohrwiderstandszahl 1.30 Profilfonn 5.4 Profilierung 5.10 Pumpendrehzahl9.33 Pumpenstufe 3 .11 Pumpenturbine 1.3 Pumpenvolumenstrom 9.41

R Radarbeit 2.9, 4.4 -, dynmnische 2.11, 4.4 -,spezifische 3.4, 3.12, 5.9, 6.2, 6.4, 9.2 -, statische 4.4 Radialmaschine 2.2, 2.4 Radleistung 2.9 Radreibung 3 .12, 7.1 Radseitenraum 8.5 Rauhigkeitssystematik 1.29 Reaktionsgrad 4.4 ff, 6.12, 6.13, 6.16

Reaktionsmaschine 4.1, 4.3 Reaktionswirkung 4.1 Reibungskraft 6. 7 Reibungswinkel5.4 Reihenschaltung 9.34 Relativgeschwindigkeit 2.1, 2.3 Relativsystem 2.12 Reynoldszah11.26 ff, 6. 7 R Rückenschaufeln 8.4

s_ Saughöhe 9.21 Schallgeschwindigkeit 9.32 Sankey-Diagramm 3.6, 3.14 Schaufelgitter 1.3, 6.1, 7.8 Schaufelkanal 2. 8 Schaufelkontur 5.9 Schaufelkraft 5.8, 5.9 Schaufelprofil 5.9 Schaufelverluste 6.11 Schaufelverstellung 9.10 Schnelläufer 6.15 Sekundärströmung 2.13, 2.15, 7.2 Spaltkavitation 9.21 Spaltstrom 3.3, 3.12 Spaltverluste 3.3, 7.11 Staudruck 5.1, 6.5 Staupunkt 5.2 Stoffeigenschaften 6.6 Stoß 7.8 Stoßdruck 9.18 Stromlinienbild 9.3, 9.4 Stromfaden 5.10 Stromflächen 1.3 Strömung 5.3 Strömungsfeld 1.3 Strömungsform 1.28 Strömungsprozesse 1.22 Strömungswinkel 2.1, 2.3 ff

T Teilbeaufschlagung 7.11 Thomson, Satz von 5.3 Totalenthalpie 3.5 Tragflügel5.6 Tragirugeltheorie 5.1 ff Trägheitskraft 6. 7 Turbinenstufe 3.1

u Überdruckturbine 4.3 ff Überdruckverfahren 4.1 Überschallgefahr 9.32 Umfangsgeschwindigkeit 2.1, 4.7 Umfangsleistung 3.1, 3.3, 3.4, 3.12

V Ventilationsverluste 3 .4, 7.11 Verbraucherkennlinie 9.36 V Verdichtungsstoß 9.32 Verdrängungsströmung 2.11, 7.6 Vergleichsrad 6.9, 6.11 Verlustleistung 3.4 Verzögerungsstoß 7.9 Verzögerungsverluste 7. 6 Volumenstromzahl6.5 Vorzeichenvereinbarung 1.11

w Werkstoffzerstörung 9.30 Widerstandsbeiwert 5.1 Widerstandskraft 5.1 Widerstandszah11.26, 1.27 Wirbel5.3 Wirkkette 3.8, 3.10, 3.14, 3.15, 6.11, 6.12, 9.7 Wirkungsgrad 3.9, 3.10, 3.14, 3.15, 6.11, 6.12, 9.7

z. Zeitmaßstabsfaktor 6.3 Zentrifugalbeschleunigung 2.13 Zirkulation 2.5 ff, 5.2 ff Zustandsfläche von Dampf 1.33 Zylinderschnitt 2.3

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Strömungslehre - TU Dortmund I... · Propeller, Strömungsgetriebe und Strömungskupplungen. Turbinen sind Energiewandler, die einem Fluid Energie entziehen und diese Energie m mechanisch