Strömungsmechanik f ür Bio- und Chemieingenieure · Vorwort Ganz schön dickes Skript werden einige von Ihnen am Anfang des Semest ers denken. Obwohl Sie nicht Unrecht haben,

Universitat Dortmund

Fachbereich Bio- und Chemieingenieurwesen

Lehrstuhl Energieprozeßtechnik & Stromungsmechanik

Stromungsmechanik fur Bio- und

Chemieingenieure

Vorlesung von

Prof. Dr.-Ing. Karl Strauß

Nur zum personlichen Gebrauch

Copyright 1987 - 2004

VorwortGanz schon dickes Skript werden einige von Ihnen am Anfang des Semesters denken. Obwohl Sienicht Unrecht haben, brauchen Sie nicht allzu unglucklich daruber sein! Denn das Skript wurdemit dem Vorsatz entwickelt, Ihnen die Aufnahme des Stoffes so einfach wie moglich zu gestalten.Dazu zahlen die Abbildungen und die eingestreuten Beispiele. Ich hoffe, daß sich fur Sie dadurchdie notigen Assotiationspunkte ergeben, um die neue Information festzumachen.Andererseits ist klar, daß die Stromungsmechanik keine Zuschauersportart ist! Sie wird sich nurdenjenigen erschließen, die sich mit der notigen Ausdauer mit ihr auseinandersetzen. Dazu gehortauch die Vor- und Nachbereitung der Vorlesungen und Ubungen. Um Ihnen dies erleichtern, gebeich Ihnen dieses Skript an die Hand und empfehle folgende Vorgehensweise:

1. Verschaffen Sie sich einen Uberblick uber die einzelnen Kapitel. Hinterfragen Sie die Uber-schriften und uberprufen Sie Ihr bisheriges Wissen in den wichtigsten Punkten.

2. Verschaffen Sie sich Sicherheit bei der Anwendung des mathematischen Handwerkzeugs,dabei konnen Ihnen die im Anhang zusammengestellten Grundbegriffe helfen.

3. Uberprufen Sie erworbene Fertigkeiten, indem Sie Ubungsaufgaben selbstandig bearbeiten.

Nachdem Sie jetzt wissen, wie Sie im laufenden Semester am Ball bleiben, wird die am Semeste-rende anstehende Klausur nur noch eine kleine Hurde fur Sie sein.

iii

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 1

1.1 Typische Anwendungen der Stromungsmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Einige Anmerkungen zur Entwicklung der Stromungsmechanik . . . . . . . . . . . 4

1.3 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Eigenschaften von Flussigkeiten und Gasen 7

2.1 Molekularer Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Kontinuumshypothese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3 Innere Reibung in Flussigkeiten und Gasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3.1 Viskositat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3.2 Abschatzung der Viskositat fur ein ideales Gas . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3.3 Operative Definition der Viskositat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4 Thermische und kalorische Zustandsgleichungenfur Gase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.5 Schlußbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.6 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Grundlagen aus der Kontinuumsmechanik 21

3.1 Voraussetzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2 Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2.2 Zeitableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2.3 Transportgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2.4 Bahnlinien, Stromlinien und Streichlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.3 Spannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3.1 Krafte auf ein Volumenelement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3.2 Spannungstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30


3.5 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4 Hydro- und Aerostatik 35

4.1 Grundgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.2 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2.1 Druckverteilung in einem Gefaß, Maßeinheiten fur den Druck . . . . . . . . 37

4.2.2 Gleichformige Rotation einer Flussigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.3 Auftrieb, Schwimmen eines Korpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.4 Kraft auf eine Flache . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

iv Inhaltsverzeichnis

4.5 Oberflachenspannung und Kapillaritat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44


4.7 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5 Bewegungsgleichungen fur reibungsfreie Fluide 47

5.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.2 Kontinuitatsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.3 Euler-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.4 Bernoulli-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.5 Stromfadentheorie stationarer Stromungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.5.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.5.2 Grundgleichungen der Stromfadentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.5.3 Berucksichtigung von Energiezufuhr und Stromungsverlusten . . . . . . . . 56

5.6 Anwendungen der Stromfadentheorie und Folgerungen aus der Bernoulli-Gleichung 56

5.6.1 Umstromung eines Korpers, Druckmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.6.2 Ausstromen einer inkompressiblen Flussigkeit aus einem Gefaß . . . . . . . 58

5.6.3 Druckverteilung in einem Wirbel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60


5.8 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6 Wirbelfreie Stromungen - Potentialstromungen 62

6.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

6.2 Quellen und Wirbel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

6.3 Ebene Potentialstromungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.3.1 Grundgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.3.2 Potentialfunktion und Stromfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6.3.3 Anwendung der Funktionentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6.4 Exkurs: Experimentelle Stromungsmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76


6.6 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

7 Die Bewegungsgleichungen in integraler Form 80

7.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

7.2 Bilanzgleichung fur die Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

7.3 Impulssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

7.4 Drehimpulssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

7.5 Energiebilanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90


7.7 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

8 Kompressible Stromungen 96

8.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

8.2 Ausbreitung von Schallwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

8.3 Der Machsche Kegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

8.4 Stromfadentheorie kompressibler Fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

8.4.1 Stromdichte und kritische Großen bei isentropen Stromungen . . . . . . . . 101

8.4.2 Stromung in einer Lavalduse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

Inhaltsverzeichnis v

8.5 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

8.5.1 Senkrechter Verdichtungsstoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

8.5.2 Ausstromen eines Gases aus einem Druckbehalter . . . . . . . . . . . . . . . 110

8.5.3 Leckmenge eines Behalters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

8.5.4 Temperaturerhohung im Staupunkt eines stumpfen Flugkorpers . . . . . . . 111

8.5.5 Berucksichtigung der Kompressibilitat von Luft . . . . . . . . . . . . . . . . 111

8.5.6 Lautsprecher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112


8.7 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

9 Dimensionsanalyse, Ahnlichkeitsgesetze 114

9.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

9.2 Das Π-Theorem von Buckingham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

9.3 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

9.3.1 Rohrstromungen einer inkompressiblen newtonschen Flussigkeit . . . . . . . 116

9.3.2 Kugelsymmetrische Explosion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117


9.5 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

10 Schichtenstromungen viskoser Fluide 119

10.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

10.2 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

10.2.1 Flussigkeitsfilm an einer schragen Wand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

10.2.2 Couette-Stromung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122


10.4 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

11 Rohrstromungen 125

11.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

11.2 Reynoldsscher Farbfadenversuch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

11.3 Geschwindigkeitsverteilung und Druckabfall im Kreisrohr bei laminarer Stromung . 127

11.4 Geschwindigkeitsverteilung und Druckabfall im Kreisrohr bei turbulenter Stromung 129

11.5 Rauhe Rohre, nichtkreisformige Querschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133


11.7 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

12 Bewegungsgleichungen newtonscher Flussigkeiten 135

12.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

12.2 Der Deformationsgeschwindigkeitstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

12.3 Die Stoffgleichung newtonscher Flussigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

12.4 Die Navier-Stokes Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140


12.6 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

13 Exakte Losungen der Navier-Stokes Gleichungen fur inkompressible Fluide 144

13.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

13.2 Stationare Stromungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

13.2.1 Stromung zwischen zwei parallelen Platten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

vi Inhaltsverzeichnis

13.2.2 Stromung durch ein Rohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

13.3 Instationare Stromungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

13.3.1 Ruckartig beschleunigte Platte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

13.3.2 Schwingende Platte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

13.4 konvergent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

13.5 Schleichende Stromungen:Stromungen kleiner Reynoldszahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

13.5.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

13.5.2 Schleichende Stromung um eine Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

13.5.3 Schleichende Stromung in einem konvergenten Kanal . . . . . . . . . . . . . 161

13.6 Exkurs: Numerische Losungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

13.6.1 Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

13.6.2 Differenzenverfahren zur Losung partieller Differentialgleichung . . . . . . . 162


13.8 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

14 Grenzschichten 167

14.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

14.2 Abschatzungen zur Grenzschicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

14.2.1 Laminare Grenzschicht an der ebenen Platte . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

14.2.2 Stromung in der Einlaufstrecke von Rohren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

14.3 Die Grenzschichtgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

14.4 Losung der Gleichungen fur die Plattengrenzschicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

14.4.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

14.4.2 Die exakte Losung der Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

14.4.3 Ein Naherungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

14.5 Ebener, laminarer Freistrahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

14.6 Zylinder-Grenzschicht und Grenzschichtablosung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

14.7 Temperaturgrenzschichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188


14.9 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

15 Turbulenz 191

15.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

15.2 Stabilitat stationarer Stromungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

15.3 Die Stabilitat der Couette-Stromung zwischen zwei rotierenden Zylindern . . . . . 192

15.4 Turbulenz ohne Stabilitatsverlust . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

15.5 Der Ubergang von der laminaren zur turbulenten Stromung . . . . . . . . . . . . . 197

15.6 Eigenschaften turbulenter Stromungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

15.7 Reynoldssche Beschreibung turbulenter Stromungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

15.7.1 Mittelwertbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

15.7.2 Mittelwertbildung in der Kontinuitatsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . 202

15.7.3 Mittelwertbildung in den Navier-Stokes Gleichungen . . . . . . . . . . . . . 202

15.7.4 Ansatze fur die Berechnung turbulenter Stromungen . . . . . . . . . . . . . 203

15.8 Abschatzung der turbulenten Grenzschicht an einer ebenen Platte . . . . . . . . . 210

Inhaltsverzeichnis vii


15.10Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

16 Umstromung und Durchstromung von Korpern – Widerstand 214

16.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

16.2 Umstromung eines Zylinders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

16.3 Widerstand bei Korperumstromungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

16.4 Druckverluste bei Durchstromungsproblemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

16.5 Stromung durch porose Medien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221


16.7 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

17 Inelastische nichtnewtonsche Flussigkeiten 223

17.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

17.2 Stoffgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

17.2.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

17.2.2 Approximation der Fließkurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

17.3 Einfluß der veranderlichen Viskositat auf das Geschwindigkeitsfeld . . . . . . . . . 226


17.5 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

18 Viskoelastizitat 229

18.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

18.2 Lineare Viskoelastizitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

18.2.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

18.2.2 Stoffgleichungen; Maxwell-Flussigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

18.2.3 Oszillations-Viskosimeter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

18.2.4 Deborah-Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

18.3 Nichtlineare Viskoelastizitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

18.3.1 Allgemeines; konvektive Ableitung von Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . 234

18.3.2 Maxwell-Oldroyd Flussigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

18.3.3 Der Weissenberg-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

18.4 Turbulenz bei viskoelastischen Flussigkeiten, Widerstandsverminderung . . . . . . 238


18.6 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

A Mathematische Hilfsmittel A.1

A.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.1

A.2 Skalare, Vektoren, Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.1

A.2.1 Bezugssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.1

A.2.2 Skalare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.1

A.2.3 Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2

A.2.4 Produkte von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.5

A.2.5 Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.7

A.3 Vektoranalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.9

A.3.1 Skalar- und Vektorfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.9

A.3.2 Gradient eines Skalarfeldes; Nabla-Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.10

viii Inhaltsverzeichnis

A.3.3 Fluß, Divergenz und Gaußscher Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.12

A.3.4 Zirkulation, Rotation und Stokesscher Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.14

A.4 Potential eines Vektorfeldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.15

A.5 Krummlinige orthogonale Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.16

A.6 Schlußbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.18

B Kontinuitats- und Navier-Stokes-Gleichungen B.1

B.1 in symbolischer Schreibweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.1

B.2 in kartesischen Koordinaten fur inkompressible Fluide . . . . . . . . . . . . . . . . B.1

B.3 in Zylinderkoordinaten fur inkompressible Fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.3

C Symbolverzeichnis C.1

D Stichwortverzeichnis D.1

1

Kapitel 1

Einleitung

1.1 Typische Anwendungen der Stromungsmechanik

Die Stromungsmechanik befaßt sich mit der Bewegung von Flussigkeiten und Gasen. Nach derErfahrung unterscheiden sich Flussigkeiten und Gase (zusammengefaßt Fluide) hauptsachlich da-durch von festen Korpern, daß sie quasistatischen Formanderungen keinen Widerstand entgegen-setzen. Aus der leichten Verschiebbarkeit der Fluidteilchen gegeneinander ist zu folgern, daß dieTangentialkrafte in der Ebene eines Flachenelementes im Ruhezustand verschwinden; diese Eigen-schaft kann fur die Definition eines Fluides verwendet werden.

Die Stromungsmechanik spielt in Naturwissenschaft und Technik eine wichtige Rolle. Es gibtzahlreiche Anwendungen in der Technik, z.B. im Flugzeugbau, im Schiffbau, in der Bautechnik undden uns besonders interessierenden Bereichen chemische Verfahrenstechnik und Energietechnik.

Zur Behandlung von Problemen der Stromungsmechanik werden die Bilanzgleichungen fur Masse,Impuls und Energie sowie der erste und zweite Hauptsatz der Thermodynamik herangezogen. Zudiesen Gleichungen treten noch die thermische Zustandsgleichung und eine sogenannte Materi-algleichung, welche den Spannungszustand eines Fluidteilchens mit seinem Deformationszustandverknupft.

Abhangig vom Typ der Aufgabe werden diese Gleichungen in differentieller oder integraler Formverwendet. Dieser Unterteilung in der Losungsmethode entsprechen zwei Hauptkategorien vonStromungsaufgaben, die wir Mikro- und Makroprobleme nennen wollen.

Makroprobleme sind solche, bei denen globale Aussagen uber die Stromung von Bedeutung sind;als typische Beispiele seien genannt:

1. Strahldruck auf einer Flache

Zur Berechnung der Kraft, die ein Flussigkeitsstrahl auf eine ebene oder gekrummte Flacheausubt, reicht es aus, die Bilanzgleichungen fur Masse und Impuls fur den in Abb. 1.1 ein-gezeichneten Kontrollbereich zu formulieren. Als Ergebnis erhalt man ein System algebrai-scher Gleichungen, aus denen die Kraft, die die Stromung auf die Flache ausubt, eindeutigbestimmt werden kann. Strahlumlenkungen der skizzierten Art werden u.a. bei der Energie-wandlung in Pelton-Wasserturbinen angewandt.

2. Rohrstromung

Eine Flussigkeit mit bekannten physikalischen Eigenschaften ist von einem Ort A zu einemOrt B zu pumpen. Die Aufgabe besteht darin, die Rohrleitung und die erforderliche Pumpeso auszulegen, daß die Summe aus Investitions- und Betriebskosten ein Minimum wird; eingroßeres Rohr z.B. ist zwar teurer in der Investition, erfordert aber weniger Pumpenleistungund kann daher gunstiger sein bzgl. der Gesamtkosten.

3. Festbettreaktor

Viele chemische Reaktionen werden in Festbettreaktoren, Abb. 1.2, ausgefuhrt. Gas oderFlussigkeit wird dabei durch den Reaktor gepumpt, das Festbettmaterial kann Katalysator

2 Kapitel 1. Einleitung

oder Reaktionspartner sein. Wichtige Parameter sind der Druckabfall im Reaktor und dieGeschwindigkeitsverteilung vor dem Festbett. Diese Parameter haben oft einen direktenEinfluß auf die Reaktionskinetik und die Produktqualitat.

Abbildung 1.1: Strahlumlenkung an einer Turbinenschaufel

Ein typisches Beispiel fur einen solchen Festbettreaktor sind die DENOX-Anlagen zur Re-duzierung der Stickoxide bei Kohlekraftwerken. Die Stickoxide ( NO

X) in den Rauchgasen

werden unter Zugabe von Ammoniak (NH3) zu Wasser und molekularem Stickstoff umge-setzt, vgl. Abb. 1.2

Abbildung 1.2: Schema eines Festbettreaktors zur Reduzierung der Stickoxide in den Rauchgasenvon Kraftwerksanlagen; die Zahlenwerte beziehen sich auf eine Anlage mit einer Leistung von750 MW

Mikroprobleme sind solche, bei denen die detaillierte Struktur der Stromung von Wichtigkeit ist.Typische Beispiele dafur sind:

1. Warme- oder Stoffubertragung

Technisch wichtig ist der Warme- oder Stoffaustausch zwischen einem Korper und einem vor-beistromenden Fluid. Fur die Warmestromdichte z.B. spielt der Geschwindigkeitsverlauf inunmittelbarer Nahe des Korpers eine entscheidende Rolle. Betrachten wir eine mit konstanter

1.1. Typische Anwendungen der Stromungsmechanik 3

Geschwindigkeit angestromte Platte, Abb. 1.3, so haftet das Fluid an der Plattenoberflache,d.h. es hat dort die Geschwindigkeit Null. Abhangig von der Entfernung x vom Platten-anfang, der sogenannten Lauflange, bildet sich eine Grenzschicht aus, in der die Geschwin-digkeit auf die Geschwindigkeit der Anstromung ansteigt. Verbunden mit dieser Stromungs-grenzschicht ist eine Temperaturgrenzschicht, die qualitativ in der Abbildung angedeutetist. Beide Grenzschichten haben ihre Ursache in den physikalisch analogen Vorgangen derinneren Reibung und der Warmeleitung. Zur exakten Berechnung der Verhaltnisse in denGrenzschichten sind die Bilanzgleichungen in differentieller Form zu verwenden.

Abbildung 1.3: Stromungs- und Temperaturgrenzschicht

2. Stromungsablosung in einem Krummer

Infolge der Zentrifugalbeschleunigung kommt es zum Aufbau eines radialen Druckgradienten,der seinerseits die Entstehung von Ablosezonen verursacht. Die Ablosegebiete beeinflussendie Geschwindigkeitsverteilung, den Druckverlust und gegebenenfalls den Warmeubergang.Die Aufgabe besteht oft darin, den Krummer z.B. durch Einbau von Leitflachen so zu ge-stalten, daß Ablosegebiete vermieden werden.

Abbildung 1.4: Stromlinien bei der Durchstromung eines Krummers

3. Umstromung eines Zylinders

Die Struktur der Stromung ist bei einem vorgegebenen Zylinderdurchmesser d fur eine be-stimmte Flussigkeit abhangig von der Anstromgeschwindigkeit U bzw. bei einer festen An-stromgeschwindigkeit abhangig von der kinematischen Viskositat ν der Flussigkeit. EineAnalyse wird zeigen, daß diese drei Großen zu einer dimensionslosen Kennzahl verknupftwerden konnen, der sogenannten Reynoldszahl Re = dU/ν. Die Struktur der Stromung istvollstandig durch den Wert dieser Kennzahl bestimmt. Die Art des Stromungsfeldes beein-flußt z.B. den Warmeubergang vom Fluid auf den Zylinder und auch den Stoffaustausch.


Abbildung 1.5: Struktur des Stromungsfeldes bei der Stromung um einen Zylinder

Neben dieser Einteilung der Stromungsmechanik, die sich an den Losungsmethoden orientiert, istauch eine Unterteilung nach Eigenschaften der Fluide oder der Stromungen denkbar:

reibungsfreie (ideale) reibungsbehaftete Fluideinkompressible kompressible Stromungen

Unterschall Uberschallstromungen etc.

Diese Einfuhrung ware nicht vollstandig ohne den Hinweis auf die Schonheit von Stromungs-vorgangen. Auch sonst nuchterne Menschen sind von Stromungen in Wasserfallen, Strudeln undBrandungswellen fasziniert. Die dabei auftretenden Bewegungsvorgange sind in vielerlei Hinsichtunerwartet und interessant; manchmal scheint es, als sei die stromende Substanz auf seltsameWeise lebendig.

1.2 Einige Anmerkungen zur Entwicklung der Stromungs-

mechanik

Die Stromungsmechanik ist ein Teilgebiet der Mechanik und eine der altesten Ingenieurwissen-schaften. Schon vor mehr als 2000 Jahren wurde stromungsmechanisches Erfahrungswissen furden Bau von Wasserleitungen, Kanalen, Wasserradern, Windmuhlen und Schiffen verwendet. Um250 v.Chr. hat Archimedes (287–212 v.Chr.) in Alexandria das nach ihm benannte Prinzip uberden Auftrieb formuliert; er hatte erkannt, daß der Auftrieb, den ein Korper erfahrt, der vollstandigin eine Flussigkeit eintaucht, gleich dem Gewicht der verdrangten Flussigkeitsmenge ist. Nach Ar-chimedes gab es bis in die Zeit der Renaissance keine uns bekannten neuen Erkenntnisse in derStromungsmechanik. Erst der bedeutendste Vertreter der Kunst und Wissenschaft der Renais-sance, Leonardo da Vinci (1452–1519), hat durch umfangreiche Beschreibungen von Stromungen,und dabei insbesondere von Wirbelbewegungen, wieder einen Beitrag zur Stromungsmechanikgeliefert. Er hat als erster das Prinzip der Massenerhaltung beschrieben.

Blaise Pascal (1623–1662) hat als erster erkannt, daß sich der auf die Oberflache einer Flussig-keit z.B. durch einen Kolben ausgeubte Druck unabhangig von der Richtung in der Flussigkeitfortpflanzt.

Anfang des 17. Jahrhunderts hat Galileo Galilei (1564–1642) seine Arbeiten uber fallende Korperveroffentlicht. Diese waren der entscheidende Anstoß fur die Entwicklung der modernen Natur-wissenschaften. Galileis Vorgehen enthielt bereits die wesentlichen Prinzipien, auf denen die Na-

1.2. Einige Anmerkungen zur Entwicklung der Stromungsmechanik 5

turwissenschaft basiert: die Suche nach allgemeinen Gesetzen, die Nutzung der Mathematik zurFormulierung dieser Gesetze, den systematischen Ruckgriff auf Erfahrung, Experiment und Mes-sung.

Isaac Newton (1643–1727) hat in seiner Principia Mathematica in Worten den heute nach ihmbenannten Ansatz formuliert, nach dem die in zahen Flussigkeiten auftretenden Schubspannungenproportional zur Ableitung der Geschwindigkeit sind. Er hat diesen Ansatz aber nicht weiter-gefuhrt. Einen neuen Impuls gaben die Arbeiten von Leonard Euler (1707–1783) uber die Theorieidealer (d.h. reibungsfreier) Flussigkeiten. Im Jahre 1788, etwa ein Jahrhundert nach der PrincipiaMathematica, wurde Lagranges (1736–1813) Mechanique Analitique veroffentlicht. Dieses Buchenthalt unter anderem ein Kapitel uber Stromungsmechanik.

Daniel Bernoulli (1700–1782) war der erste, der das Prinzip der Impulserhaltung richtig auf einKontinuum angewendet hat. Seine Hydrodynamica beinhaltet den erfolgreichen Versuch, die Krafteiner stromenden Flussigkeit auf eine Behalterwand zu berechnen. Nach ihm ist eine grundlegendeGleichung der Stromungsmechanik benannt. Im Jahre 1739 fand Johann Bernoulli (1667–1748)die allgemeinen Bewegungsgleichungen fur inkompressible reibungsfreie Flussigkeiten.

Obwohl die Theorie reibungsfreier Flussigkeiten viele Vorgange in Stromungen richtig beschreibt,hatte sie entscheidende Mangel; so konnte sie z.B. den Druckverlust in Rohrleitungen und denStromungswiderstand umstromter Korper nicht vorhersagen. Fur die Bedurfnisse der Praxis hattesich daher eine zweite Arbeitsrichtung herausgebildet. Diese verzichtete weitgehend auf das theo-retische Verstandnis der Vorgange und bestand im wesentlichen aus zweckmaßig aufgearbeitetemVersuchsmaterial. Maßgebende Forscher dieser Arbeitsrichtung waren: G. Hagen (1797–1884), O.Reynolds (1892–1912) und J.L. Poiseuille (1799–1869).

In der zweiten Halfte des 19. Jahrhunderts wandte Ludwig Boltzmann (1844–1906) die Gesetzeder Mechanik auf Systeme an, die aus einer sehr großen Zahl von Teilchen bestehen, und leitetedaraus die Prinzipien der Thermodynamik her, also jenes Teilgebietes der Physik, der sich mit derUmwandlung von Energie in deren verschiedene Formen befasst.

Auch wenn die Bewegungsgleichungen fur viskose Flussigkeiten durch die Arbeiten von C.L.M. Na-vier (1785–1836) und G.G. Stokes (1819–1903) bekannt waren, konnte wegen der mit ihrer Losungverbundenen mathematischen Schwierigkeiten der Widerspruch zwischen Theorie und Erfahrungzunachst nicht geklart werden.

Erst die Grenzschicht-Hypothese von Ludwig Prandtl (1875–1953) brachte die Zusammenfuhrungbeider Arbeitsrichtungen. Nach dieser Hypothese ist der Einfluß der Viskositat bei der Um-stromung eines Korpers auf eine wandnahe Schicht beschrankt, die sogenannte Grenzschicht;dagegen verlauft die Außenstromung nach der Theorie der reibungsfreien Flussigkeiten. Prandtlhat diese Theorie in seinem Beitrag uber die Flussigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung aufdem 3. Internationalen Mathematiker Kongreß 1904 vorgestellt. Durch seine intuitive Einsicht inStromungsvorgange hat Prandtl die Entwicklung der Stromungsmechanik newtonscher Fluide indiesem Jahrhundert gepragt und wesentlich gefordert.

Bei der Losung von praktischen Stromungsaufgaben der Verfahrenstechnik haben Ingenieure zuBeginn des vergangenen Jahrhunderts erkannt, daß die bis dahin entwickelten Methoden derStromungsmechanik zahlreiche Effekte nicht beschreiben konnten. Die Ergebnisse von Experi-menten mit kolloidalen Losungen zeigten, daß diese sich auch in stationaren Stromungen nicht wiedem newtonschen Ansatz gehorchende Flussigkeiten verhalten, sondern ihre meßbaren Fließeigen-schaften vom Deformationszustand abhangen; bei instationaren Stromungen fand man, daß dieseFlussigkeiten unter schnellen Beanspruchungen Eigenschaften zeigten, die man sonst elastischenKorpern zuordnete.

Die Aufgaben, die sich aus diesen Untersuchungen ergaben, fuhrten zur Entwicklung eines neuenFachgebietes: der Rheologie. Die Rheologie befaßt sich mit dem Studium der Stoffgesetze, die denZusammenhang zwischen dem Deformationszustand und den Spannungen in einem Kontinuumherstellen.

Obwohl Ansatze zur Beschreibung von Stoffen mit viskosen und elastischen Eigenschaften bereits


von James Clerk Maxwell (1831–1879) und Ludwig Boltzmann (1844–1906) im Rahmen einerlinearen Theorie eingefuhrt wurden, wurde die Rheologie erst durch die systematischen Arbeitenvon Eugene Cook Bingham (1878–1945), Markus Reiner (1868–1981) und Karl Weissenberg (1893–1982) als selbstandige wissenschaftliche Disziplin begrundet 1. Die Rheologie wurde in der jungerenVergangenheit durch Beitrage zahlreicher experimentell und theoretisch arbeitender Forscher weitausgebaut.

Trotz ihrer langen Geschichte sind in der Stromungsmechanik noch zahlreiche Fragen auch grundsatz-licher Art offen; diese sind Gegenstand der aktiven Forschung!

1.3 Literatur

[1] Mach, E.: Die Mechanik in ihrer Entwicklung. Wiss. Buchgesellschaft Darmstadt,

[2] Sambursky, S.: Der Weg der Physik. DTV (1978)

[3] Truesdell, C.: Essays in the History of Mechanics. Springer-Verlag Berlin, Heidelberg, NewYork (1968)

[4] Besonders hingewiesen sei auf das Jahrbuch Annual Review of Fluid Mechanics. Der jeweilserste Artikel eines jeden Bandes bringt eine Wurdigung der Leistung bedeutender Forscheroder einen Beitrag zur Geschichte von Teilgebieten der Stromungsmechanik. Annual ReviewsINC, Palo Alto (1970 ff.)

1Der Ausdruck Rheologie wurde im Jahr 1920 von Eugene Bingham und Markus Reiner gepragt, sie bezogensich auf Heraklits beruhmtem Ausspruch panta rhei (alles fließt).

7

Kapitel 2

Eigenschaften von Flussigkeiten

und Gasen

2.1 Molekularer Aufbau

Jeder Stoff in unserer Umgebung ist aus einheitlichen Bausteinen, seinen Molekulen, aufgebaut, de-ren Durchmesser in der Großenordnung von 10−10 m = 1 A(Angstrom) liegt. Bei großer Verdunnungoder hohen Temperaturen bewegen sich die einzelnen Molekule unabhangig voneinander durch denRaum. Diese regellose Bewegung der Molekule wird durch ihre mittlere Geschwindigkeit cth infol-ge ihrer thermischen Energie (Brownsche Molekularbewegung) und der mittleren freien Weglangeℓ charakterisiert; ℓ ist die Wegstrecke die ein Molekul zwischen zwei Stoßen mit anderen Mo-lekulen zurucklegt. Bei Luft unter Normalbedingungen, d. h. Atmospharendruck und 200C, ist:ℓ ≈ 10−7 m und cth ≈ 550 m/s. Diesen Zustand der Materie bezeichnen wir als Gas. Wir wis-sen aber auch, daß die Molekule miteinander in Wechselwirkung stehen, und zwar hauptsachlichuber Krafte elektromagnetischen Ursprungs, den sogenannten van der Waals-Kraften. Der typi-sche Verlauf fur das intermolekulare Wechselwirkungspotential in einem Neutralgas ist in Abb. 2.1dargestellt. Diese Krafte sind von kurzer Reichweite; d.h. ihre Intensitat verschwindet bei einemAbstand von wenigen Molekuldurchmessern.

Abbildung 2.1: Typisches Wechselwirkungspotential zwischen zwei molekularen Teilchen

Mit der kinetischen Gastheorie konnen die Eigenschaften von Gasen mit geringer Dichte aus demmechanischen Bewegungszustand ihrer Molekule abgeleitet werden. Dazu schreibt man den Mo-lekulen folgende Eigenschaften zu: Ihre Masse sei m, bei einer Annaherung verhalten sie sich wieelastische Kugeln, die keine Krafte aufeinander ausuben, solange sie sich nicht beruhren; sie be-wegen sich voneinander unabhangig, ohne eine Richtung im Raum zu bevorzugen, bei einem Stoßtauschen sie Impuls und Energie aus; ihre Anzahl pro Volumeneinheit sei n und ihre Geschwin-digkeit c.

Als Beispiel berechnen wir die Kraft, die von einem Gas auf eine Wand ausgeubt wird. Diese Kraft

8 Kapitel 2. Eigenschaften von Flussigkeiten und Gasen

fuhren wir auf die Stoße der Molekule auf die Wand zuruck. Nach den Gesetzen der Mechanik istdann die Kraft auf die Wand gleich dem pro Zeiteinheit durch Stoße auf die Wand ubertragenenImpuls. In der Stromungsmechanik ist es ublich, die Kraft auf die Flacheneinheit zu beziehen. Wirsprechen von einer flachenspezifischen Kraft und bezeichnen sie als Druck p:

p =Kraft

Flache=

an Wand abgegebener Impuls

Wandflache · Zeit.

Vereinfachend denken wir uns die zufallige Bewegung der Molekule so geordnet, daß 1/3 eineFlugrichtung senkrecht zur Wand hat. Von diesen bewegt sich die Halfte, also 1/6, auf die Wandzu. Damit erreichen 1/6 aller Molekule, die in einer Saule vom Querschnitt einer Flacheneinheitund der Lange c mal einer Zeiteinheit enthalten sind, innerhalb der Zeiteinheit die Wand.

Abbildung 2.2: Krafteinwirkung eines Gases auf eine Wand

Die Zahl der Wandstoße pro Flachen- und Zeiteinheit ergibt sich zu:

z =n

6c.

Jedes Teilchen ubertragt beim Aufprall und nachfolgender Reflexion den Impuls 2mc. Beim Auf-prall von z Teilchen pro Flachen- und Zeiteinheit folgt damit fur den Impulsfluß:

2 z m c = 2n

6c m c =

1

3n m c2.

Damit betragt der Druck p:

p =1

3n m c2. (2.1)

Berucksichtigt man noch die Tatsache, daß die Geschwindigkeiten der Gasmolekule nicht alle gleichsind, so ist c durch die quadratisch gemittelten Geschwindigkeiten der Molekule cth zu ersetzen:

cth =(〈vx

2〉 + 〈vy2〉 + 〈vz

2〉)0,5

,

mit vx vy, vz als Geschwindigkeitskomponenten in x-,y-, und z-Richtung; die spitzen Klammernkennzeichnen den Mittelwert.Durch Einfuhren von cth in (2.1) erhalt man die Grundgleichung der kinetischen Gastheorie:

p =1

3n m cth

2 =2

3

(1

2n m cth

2

)

. (2.2)

Da cth die mittlere Geschwindigkeit der Molekule aufgrund der Warmebewegung ist, kann fur eineinatomiges Gas der in Klammern gesetzte Teil auf der rechten Seite von (2.2) als die kinetischeEnergie der Gasmolekule pro Volumeneinheit aufgrund der Warmebewegung interpretiert werden.

2.1. Molekularer Aufbau 9

Als Maß fur die mittlere kinetische Energie wird in der Thermodynamik ublicherweise die Tempe-ratur verwendet. Fur den Zusammenhang zwischen kinetischer Energie und Temperatur gilt nachBoltzmann:

1

2m cth

2 =f

2k T. (2.3)

Die Konstante k, die Boltzmann-Konstante, hat den Wert: k = 1, 381 · 10−23JK−1 , T steht furdie Temperatur in Kelvin [K] und f ist der Freiheitsgrad der Molekularbewegung. Ein einatomigesGas hat drei Freiheitsgrade fur die Bewegung, namlich die langs der drei zueinander senkrechtenRaumrichtungen; es ist also f = 3.Bei zweiatomigen Molekulen kommen noch zwei Freiheitsgradefur die Rotation hinzu, es ist f=5. In (2.2) konnen wir die Teilchenzahldichte n durch das VerhaltnisTeilchenzahl N pro Volumen V ersetzen; damit folgt aus (2.2) und (2.3):

p V =1

3N m cth

2 = N k T. (2.4)

Wenn es sich bei der Zahl der Molekule um die Anzahl in υ Molvolumina handelt,ist nach demAvogadro-Gesetz N = υ NA; wobei NA die Avogadro-Zahl ist (NA = 6, 022 · 1023 mol−1). Damitwird aus (2.4), wenn zur Abkurzung noch NA k = IR gesetzt wird:

p V = υ NA k T = υ IR T. (2.5)

(2.5) ist die Zustandsgleichung eines idealen Gases; sie gibt an, wie die meßbaren Eigenschaftendes Gases -das sind die Zustandsgroßen: Druck p,Molvolumen V

υ und Temperatur T - voneinanderabhangen. Die Große IR heißt (universelle) Gaskonstante, sie hat den Wert: IR = 8, 3144 JK−1mol−1.

Seiner Herkunft nach gilt (2.5) fur ein Idealgas, in dem die Teilchen (Molekule) abgesehen vonkurzzeitigen Stoßen keine Krafte aufeinander ausuben und selbst kein merkliches Eigenvolumenhaben.

Mit (2.3) kann die Großenordnung von cth abgescatzt werden, es folgt:

cth =

√

fk

mT .

Fur Wasserstoff (f = 5, T = 300 K, m = 3, 34 · 10−27 kg) erhalt man: cth = 2400 m/s;fur Sauerstoff (f = 5, T = 300 K, m = 53, 44 · 10−27 kg) erhalt man: cth = 622 m/s.Weiter unten werden wir zeigen, daß die mittlere Geschwindigkeit der thermischen Molekularbe-wegung von der Großenordnung der Schallgeschwindigkeit der betreffenden Gase ist.

Gase sind nicht die einzige Form der Materie. Wenn die Temperatur gering genug ist, halten dievan der Waals-Krafte die Molekule in Form einer Flussigkeit zusammen. Die Molekule sind inWechselwirkung, gleiten aber ungehindert aneinander vorbei.

Bei noch geringerer Temperatur dominiert schließlich das Wechselwirkungspotential, und die Mo-lekule werden in der eingefrorenen Geometrie eines Feststoffes festgehalten.

Je nachdem, ob die thermische Molekularbewegung oder das Wechselwirkungspotential uberwiegt,ergeben sich die drei Aggregatzustande:

1. Gase In einem Gas bewegen sich die Molekule frei im Raum. Sie beruhren sich nicht, außerwenn sie zusammenstoßen. Ein Gas hat weder eine feste Form noch ein bestimmtes Volumen.Es nimmt immer die Form und das Volumen seines Behalters an.

2. Flussigkeiten

Die Molekule einer Flussigkeit sind miteinander in Kontakt, die thermische Energie derMolekule ist aber im Vergleich zum Wechselwirkungspotential noch so groß, daß die Molekulefrei aneinander vorbeigleiten. Eine Flussigkeit hat daher ein ziemlich definiertes Volumen,aber keine feste Gestalt.


3. Festkorper

Durch die Wechselwirkungskrafte sind die Molekule an feste Orte gebunden, z.B. im Kri-stallgitter. Volumen und Gestalt eines kristallinen Festkorpers sind daher definiert. Um seineGestalt zu andern, muß Arbeit geleistet werden.

2.2 Kontinuumshypothese

Bei den im Rahmen dieser Vorlesung betrachteten Anwendungen sind die Dimensionen der unter-suchten Systeme groß gegenuber den Abmessungen der molekularen Struktur. Selbst ein Volumen-element enthalt in der Regel eine so große Anzahl von Molekulen, daß es allein auf die statistischenMittelwerte ihrer Eigenschaften und Wirkungen ankommt und nicht auf das Verhalten einzelnerMolekule.

An dem Begriff der Dichte eines Stoffes in einem Punkt P kann das Kontinuums-Konzept illustriertwerden: Die Dichte ist dabei als Masse pro Volumeneinheit definiert. Wir umgeben den Punktmit einem Volumen ∆V , ∆m sei die in ∆V eingeschlossene Masse. Fur die Dichte im Punkt Pgilt:

(P ) = lim∆V →0

∆m

∆V.

Tabelle 2.1: Dichte einiger Stoffe bei 200C und p = 1bar

Stoff Dichte [kg/m3]

Wasser: 0, 999 · 103

Meerwasser: 1, 024 · 103

Blut: 1, 60 · 103

Luft: 1, 21Quecksilber: 13, 6 · 103

Im Falle von Luft enthalt 1mm3 unter Normalbedingungen (0 C, 1 bar) 2, 7·1016 Molekule. Ande-rungen im Stromungsfeld von Gasen erfolgen nun meist auf Strecken, die großer sind als 1 mm.Wir werden deshalb vom lokalen Wert der Dichte sprechen, wenn diese in einem Volumen von0, 1 mm3 gemessen wird; dieses Volumen enthalt aber immer noch ca. 1013 Molekule; die Eigen-schaft uber eine solch große Anzahl ist daher nach dem Gesetz der großen Zahlen unabhangigvon der aktuellen Anzahl der Molekule.

Von der molekularen Struktur eines Korpers kann dann abgesehen werden, wenn gilt:

Alle Grenzwerte fur ∆V → 0 bezuglich einer beliebigen Stoffeigenschaft werden auf einer Skalaerreicht, die groß ist gegenuber den molekularen Dimensionen, aber klein gegen die Abmessungendes betrachteten Korpers (Kontinuums-Hypothese).

2.3 Innere Reibung in Flussigkeiten und Gasen

2.3.1 Viskositat

Vom Standpunkt der Stromungsmechanik ist die Viskositat die wichtigste Eigenschaft einer Flussig-keit oder eines Gases; anschaulich ist sie ein Maß fur deren Fließfahigkeit. Zur Herleitung desBegriffs betrachten wir eine Stromung, deren Geschwindigkeit von Ort zu Ort verschieden sei.

2.3. Innere Reibung in Flussigkeiten und Gasen 11

Abbildung 2.3: Grenzubergang zur Kontinuumshypothese

Das stromende Fluid befindet sich dabei nicht im Gleichgewichtszustand, in ihm laufen vielmehrVorgange ab, die die Geschwindigkeit auszugleichen versuchen. Fur diese Vorgange ist die Bezeich-nung innere Reibung ublich.

Der Prozeß ist dabei analog zur Warmeleitung. Wahrend bei der Warmeleitung zwischen Ortenhoherer und tieferer Temperatur eines Stoffes ein Energiestrom entsteht, findet bei der inneren Rei-bung aufgrund der thermischen Bewegung der Molekule ein Impulstransport aus Bereichen große-rer zu Bereichen mit geringerer Stromungsgeschwindigkeit statt. Ein weiterer Vorgang, bei demein Ausgleich durch einen lokalen Stoffstrom entsteht, ist die Diffusion; dabei findet ein Transportvon Orten hoherer zu Orten niedrigerer Konzentration eines Stoffes statt. Diffusion, Warmeleitungund innerer Reibung ist damit gemeinsam, daß Zusammensetzung, Temperatur und Stromungsge-schwindigkeit, die im Anfangszustand von Ort zu Ort unterschiedlich sein konnen, sich im Laufeder Zeit so angleichen, daß eine Annaherung an einen Gleichverteilungszustand stattfindet. In al-len drei Fallen wird dabei eine entsprechende Große durch die thermische Bewegung der Molekuleaus einem Bereich des Feldes in einen anderen transportiert. Fur die drei genannten Vorgange istdaher die Bezeichnung Transportphanomene ublich.

Wir betrachten nun eine Stromung, bei der der Vektor der Stromungsgeschwindigkeit im ganzenStromfeld dieselbe Richtung hat. Ferner andere sich sein Betrag nur in der dazu orthogonalenRichtung. Legen wir die y-Achse eines Koordinatensystems in diese Richtung und die x-Achse inStromungsrichtung, so ist das Geschwindigkeitsfeld durch die Angabe seiner x-Komponente, mitu = u(y), bestimmt.

Abbildung 2.4: Schema einer Schichtenstromung

Stromungen dieser Art heißen Schichtenstromungen; sie sind dadurch ausgezeichnet, daß alleFlussigkeitsteilchen in einer Koordinatenflache y = konst. dieselbe Geschwindigkeit u(y) haben.


Zur Beschreibung des Impulstransportes fuhren wir nun den Begriff Impulsstromdichte ein. Dar-unter verstehen wir den Gesamtimpuls, der in der Zeiteinheit in positiver y- Richtung durch einezur y- Achse senkrechte Flache der Große 1 hindurch transportiert wird, vgl. Abb. 2.4.

Wir bezeichnen die Impulsstromdichte mit Π. Da der Impuls eines Flussigkeitsteilchens propor-tional zur Geschwindigkeit ist, kann man sagen, daß die Impulsstromdichte proportional zumGeschwindigkeitsgradienten sein muß:

Impulsstromdichte Π = µdu

dy. (2.6)

Der Proportionalitatsfaktor heißt Viskositat oder auch Viskositatskoeffizient. Dies ist die in derKontinuumsmechanik ubliche Definition, in der kinetischen Gastheorie wird meist der negativeWert genommen. Die Dimension von Π ergibt sich zu: [Π] = ML−1T−2, und die der Viskosiat µzu: [µ] = ML−1T−1.

Der Viskositatskoeffizient bestimmt die Geschwindigkeit, mit der die Impulsubertragung zwischenzwei Orten des Stromungsfeldes vor sich geht. Andererseits kann die Geschwindigkeit eines Flussig-keitsteilchens auch ausgedruckt werden durch den Quotienten aus Teilchenimpuls und Teilchen-masse. Daher ist der Quotient aus Viskositat und Dichte ein Maß dafur, wie schnell sich dieStromungsgeschwindigkeit in einem Feld infolge der inneren Reibung ausgleicht. Man bezeichnetdie Große

ν =µ

; [ν] =

L2

T

als kinematische Viskositat eines Fluids, dabei ist die Dichte. Zur deutlicheren Unterscheidungvon ν heißt µ auch dynamische Viskositat.Analog gelten fur die Warmeleitung und die Diffusion die Ansatze:

Warmestromdichte jT = −λdT

dy. (2.7)

Diffusionsstromdichte jn = Ddn

dy. (2.8)

(2.7) ist der Fourier-Ansatz fur die Warmeleitung, λ ist die Warmeleitfahigkeit unddT

dyist der

Temperaturgradient. (2.8) ist das Ficksche Gesetz, D der Diffussionskoeffizient unddn

dyder Kon-

zentrationsgradient, wir werden weiter unten auf diese Gleichungen zuruckkommen.

Obwohl zwischen Warmeleitung, Diffusion und innerer Reibung formale Ahnlichkeiten vorhandensind, bestehen auch wesentliche Unterschiede. Diese hangen damit zusammen, daß Konzentrationund Temperatur skalare Großen sind, wahrend die Geschwindigkeit eine vektorielle Große ist.

Wir haben uns hier zunachst auf den einfachen Fall der Schichtenstromung beschrankt; nur unterdieser Voraussetzung gilt die angegebene Formel, (2.6). Bei anderen Stromungen muß die Defor-mation bzw. die Deformationsgeschwindigkeit der Flussigkeitselemente naher untersucht werden.

2.3.2 Abschatzung der Viskositat fur ein ideales Gas

Fur die Schichtenstromung eines idealen Gases kann die innere Reibung einfach abgeschatzt wer-den. Dazu bezeichnen wir die mittlere freie Weglange der Gasmolekule mit ℓ und die Geschwin-digkeitsverteilung mit u(y), vgl. Abb. 2.5.

Teilchen aus der Schicht (y+ℓ), die aufgrund der thermischen Molekularbewegung in die Schicht ykommen, beschleunigen die Teilchen bei y; Teilchen, die aus y−ℓ kommen, verzogern entsprechend.


Bezeichnet man die Masse eines Molekuls mit m, so betragt der gemittelte Impuls eines Teilchensbei (y + ℓ) : i

y+ℓ= m u(y + ℓ) und bei (y − ℓ) : i

y−ℓ= mu(y − ℓ).

Zur Bestimmung der Impulsstromdichte durch y = konst. muß abgezahlt werden, wieviele Teil-chen pro Zeit- und Flacheneinheit auf der Ebene y = konst. auftreffen. Dazu bezeichnen wir mitn die Teilchendichte und mit cth die mittlere Molekulargeschwindigkeit der thermischen Bewe-gung. Aufgrund der Gleichverteilung bewegen sich n

3 -Teilchen jeweils in x- , y- oder z- Richtung;damit jeweils n

6 -Teilchen in (+y)- oder (−y)-Richtung. Somit treffen jeweils n6 cth pro Zeit- und

Flacheneinheit aus (y + ℓ) und (y − ℓ) auf y = konst. auf.

Abbildung 2.5: Abschatzung der Impulsstromdichte bei der Schichtenstromung eines idealen Gases

Fur die Impulsstromdichte in (+y)-Richtung gilt somit:

Π = −n

6cth m u(y − ℓ) +

n

6cth m u(y + ℓ)

Durch eine Taylorentwicklung von u (y − ℓ) und u (y + ℓ) folgt:

Π =n

6cth m

[(

−u(y) +du

dyℓ · · ·

)

+

(

u(y) +du

dyℓ · · ·

)]

.

In linearer Naherung:

Π =n m cth ℓ

3

du

dy.

Aus einem Vergleich mit der Definition der Viskositat in (2.3.1) folgt direkt:

µ =n m cth ℓ

3und ν =

cth ℓ

3. (2.9)

Ohne Beweis sei angemerkt, dass die mittlere freie Weglange ℓ und die Teilchenzahldichte umge-kehrt proportional zueinander sind, d. h. :ℓ n ≈ const. Daraus folgt: Die Viskositat der Gase istunabhangig vom Druck. Diese zunachst uberraschende Folgerung wird durch das Experiment vollbestatigt. Dagegen wachst die Viskositat der Gase - im Gegensatz zu derjenigen der Flussigkeiten- wegen cth ∼

√T mit steigender Temperatur.

Beispiel: Fur Luft unter Normalbedingungen ist cth ≈ 500m/s und ℓ ≈ 10−7m Aus (2.9) fur diekinematische Viskositat:

ν ≈ 15 · 10−6m2/s.

Dieser Wert stimmt gut mit dem Meßwert fur trockene Luft von 13, 4 · 10−6 m2

s uberein.

2.3.3 Operative Definition der Viskositat

Als operative Definition einer Große bezeichnen wir eine Meßvorschrift, nach der diese Großenach Maßzahl und Einheit bestimmt werden kann. Dies ist deshalb von Bedeutung, weil fur dieAnwendungen nur Großen zugelassen werden konnen, die meßtechnisch bestimmbar sind.


Das Meßprinzip ist schematisch in Abb. 2.6 dargestellt. Der schraffiert dargestellte Stoff zwischenden beiden weit ausgedehnten parallelen Platten wird durch eine Schubspannung τ = F/A belastet;F ist die an den Platten angreifende Kraft, A die Kontaktflache zwischen dem Stoff und einerPlatte.

Abbildung 2.6: Geometrische Zusammenhange bei der einfachen Scherung

Der eingeschlossene Stoff wird durch die skizzierte Beanspruchung einer Deformation unterworfen,die man als einfache Scherung bezeichnet. Ein Maß fur diese Scherung ist durch den Quotienten

γ =x(t)

h= tanα,

den sogenannten Schergradienten, gegeben. Fur α≪ 1 ist α ≈ γ; in der Theorie kleiner Deforma-tionen wird deshalb die Scherung durch α gemessen (lineare Theorie). Bei Festkorpern besteht nunfur eine große Klasse von Stoffen ein eindeutiger Zusammenhang zwischen dem Schergradientenund der Schubspannung:

γ = f(τ).

Stellt sich bei zeitlich konstantem τ praktisch spontan ein konstanter Wert der Scherung ein, soheißt der entsprechende deformierbare Stoff elastischer Festkorper. Der einfachste Spezialfall einessolchen Stoffes wird durch eine lineare Beziehung dargestellt:

γ =1

Gτ ⇔ τ = γ G.

Das ist das Hookesche Gesetz, die Konstante G heißt Schubmodul. Ein dadurch gekennzeichneterStoff wird als linearelastischer Korper oder Hookescher Korper bezeichnet. Stellt sich der Wertγ = f(τ) nicht spontan, sondern asymptotisch ein, so bezeichnet man den betreffenden Stoff alsviskoelastischen Festkorper.

Ist der in Abb. 2.6 schraffiert skizzierte Stoff eine Flussigkeit, so wachst bei einer zeitlich konstantenSchubspannung der Scherungswinkel α unbeschrankt an; der Stoff fließt. Unter den gegebenenRandbedingungen ist das in (2.3.1) beschriebene Konzept einer Schichtenstromung realisiert.

Man findet, daß sich bei Flussigkeiten bei einem vorgegebenem Wert der Schubspanung τ undeinem festen Plattenabstand h die obere Platte mit konstanter Geschwindigkeit x = U bewegt.Dabei besteht ein eindeutiger Zusammenhang zwischen τ und dem Quotienten

U

h= γ =

d(tanα)

dt.

Die Große γ wird als Schergeschwindigkeit bezeichnet.

Man findet weiter, daß sich die Geschwindigkeit u(y) im Zwischenraum linear andert:

u(y) =U

hy;


damit folgt fur die Schergeschwindigkeit γ :

γ =du

dy=

U

h

Fur eine große Klasse von Flussigkeiten besteht ein eindeutiger Zusammenhang zwischen denMomentanwerten von τ und γ:

τ = τ(γ) mit τ(γ = 0) = 0.

Flussigkeiten, die dieser Beziehung genugen, heißen viskose Flussigkeiten.

Stellt sich fur einen vorgegebenen Wert von τ ein fester Wert fur γ erst asymptotisch ein, sospricht man von einer viskoelastischen Flussigkeit. Derartige Fluide weisen sowohl Eigenschaftenvon Flussigkeiten als auch von Festkorpern auf. Viskoelastische Fluide sind dadurch gekennzeich-net, dass unmittelbar nach einer Deformation eine partielle elastische Ruckverformung auftritt.Zu ihrer Charakterisierung sind neben der Viskositat zwei weitere Materialfunktionen erforderlich.

2.3.3.1 Newtonsche Flussigkeiten

Flussigkeiten, bei denen ein linearer Zusammenhang zwischen den Momentanwerten von Schub-spannung und Schergeschwindigkeit besteht, sind sowohl fur die Anwendung als auch die Theorievon besonderer Bedeutung. Fur derartige Flussigkeiten gilt:

τ = µ γ = µdu

dy. (2.10)

Diese Beziehung wird Newtonsches Fließgesetz genannt, und der dadurch gekennzeichnete Stoffnewtonsche Flussigkeit. Die Konstante µ heißt Scherviskositat oder einfach Viskositat, vgl. (2.3.1);sie ist durch das Verhaltnis von Schubspannung und Schergeschwindigkeit definiert. Als Einheitfur die Viskositat wird im SI-System [Pa s] (Pascalsekunde) verwendet, im alteren cgs-Systemwurde als Einheit das Poise [p] verwendet; es gilt die Umrechnung 1Pa s = 10p. Typische new-tonsche Fluide sind Gase und niedermolekulare Flussigkeiten. Fließkurven einiger newtonscherFlussigkeiten sind in Abb. 2.7 dargestellt.

Tabelle 2.2: Viskositat flussiger und gasformiger newtonscher Fluide bei p = 1bar

Stoff Viskositat [mPas] Temperatur[oC]

Wasser 1,81 01,01 200,29 100

Alkohol 1,25 20Luft 0,017 0Argon 0,021 0Wasserstoff 0,009 0Quecksilber 1,59 20

In Abb. 2.8 ist die Viskositat einiger newtonscher Flussigkeiten und Gase in Abhangigkeit vonder Temperatur dargestellt. Im Unterschied zu Gasen nimmt bei Flussigkeiten die Viskositat mitzunehmender Temperatur ab; besonders ausgepragt ist dies bei organischen Stoffen, z. B. beiGlycerin und Motorolen. Dies ist verstandlich, weil die gegenseitige Verschiebbarkeit der Molekulemit der Temperatur zunimmt. Bei Gasen nimmt die Viskositat dagegen mit der Temperatur zu,vgl. hierzu auch (2.3.2).


Weiter oben wurde gezeigt, daß bei idealen Gasen die Viskositat unabhangig vom Druck ist. Furreale Gase gilt diese Aussage nur bei hinreichendem Abstand vom Naßdampfgebiet. Im Gegensatzdazu nimmt bei Flussigkeiten die Viskositat mit dem Druck zu, vgl. z.B. [2],[3].

Abbildung 2.7: Fließkurven newtonscher Flussigkeiten (Motorole)

Auch Flussigkeiten, in denen eine Vielzahl von kleinen Teilchen suspendiert sind, konnen als ho-mogene Medien behandelt werden, wenn die interessierenden Erscheinungen durch Abstande cha-rakterisiert werden, die groß gegen die Abmessungen der Teilchen sind. Fur ein solches Mediumunterscheidet sich die effektive Viskositat µ von der Viskositat µ0 der Grundflussigkeit. Die Visko-sitat kann fur geringe Konzentrationen suspendierter Teilchen berechnet werden. Fur kugelformigeTeilchen wurde diese Rechnung von Einstein durchgefuhrt, das Ergebnis lautet:

µ = µ0(1 + 2, 5ϕ). (2.11)

Hierbei ist ϕ das Verhaltnis des Gesamtvolumens aller suspendierten Teilchen zum gesamten Vo-lumen der Suspension, dieser Quotient hat den Namen: Volumenkonzentration.

2.3.3.2 Nichtnewtonsche Flussigkeiten

Bei hochmolekularen Flussigkeiten, wie z.B. bei Polymerlosungen, sowie Schlammen und Suspen-sionen von Feststoffteilchen in Flussigkeiten ist der Quotient τ/γ oft eine Funktion der Scherge-

100 200 300 400

1.5

2

2.5

3

3.5x 10

−5

T [°C]

µ [P

as]

Luft

Wasserdampf

20 40 60 8010

−4

10−3

10−2

10−1

T [°C]

µ [P

as]

Wasser

Schwefelsäure

Abbildung 2.8: Temperaturabhangigkeit der Viskositat fur einige Fluide


schwindigkeit. Bezeichnet man diesen Quotienten wieder als Viskositat, so gilt:

η = η(γ) und τ = η(γ)γ.

η(γ) wird oft als scheinbare Viskositat bezeichnet und der Name Viskositat fur newtonsche Flussig-keiten reserviert. Da es keinen Vorteil aus dieser Unterscheidung gibt, schließen wir uns diesemSprachgebrauch nicht an. Im Unterschied zu newtonschen Flussigkeiten wird diese Viskositat mitη bezeichnet.

In Abb. 2.9 ist beispielhaft die Fließkurve und in Abb. 2.10 die Viskositat einer nichtnewtonschenFlussigkeit als Funktion der Schergeschwindigkeit dargestellt.

Der Verlauf beider Kurven ist typisch fur Polymerschmelzen und Polymerlosungen. Bei kleinenund großen Werten fur γ variiert η nur wenig, man spricht deshalb vom oberen und unterennewtonschen Bereich. Der Ubergang zwischen den beiden Bereichen kann durch einen empirischenAnsatz approximiert werden:

η(γ) = K | γ |n−1, n > 0. (2.12)

Abbildung 2.9: Fließkurve einer wassrigenPolyacrylamidlosung (0,4%)

Abbildung 2.10: Viskositat einer wassrigenPolyacrylamidlosung (0,4%)

Dieser Ansatz wird als Potenz-Gesetz bezeichnet, K heißt Konsistenz-Faktor, und n wird als Indexbezeichnet. Die Einschrankung n > 0 folgt aus allgemeinen Erfahrungen; nach diesen ist:

dτ

dγ> 0

Das bedeutet, daß τ eine monoton steigende Funktion von γ ist. Bei Polymerlosungen nimmt dieViskositat im allgemeinen mit zunehmendem γ ab, man bezeichnet dies auch als Scherentzahung.Im Gegensatz dazu nimmt bei Suspensionen und Schlammen η mit γ zu, dieses Verhalten wirdentsprechend als Scherverzahung bezeichnet.

Scherentzahung ist das am haufigsten gefundene Merkmal von nichtnewtonschen Flussigkeiten,man findet es hauptsachlich bei Schmelzen und Losungen langkettiger Hochpolymere; die Scher-entzahung tritt dabei uber einen weiten Bereich der Schergeschwindigkeit auf und fuhrt zu einerAbnahme der Viskositat in der Großenordnung von mehrerer Zehnerpotenzen.

Hier soll noch angemerkt werden, daß es neben den unbegrenzt fließenden Stoffen (d.h. den Flussig-keiten im ursprunglichen Sinn) auch begrenzt fließfahige gibt. Diese sind z. B. dadurch ausgezeich-net, daß sie sich erst oberhalb einer kritischen Schubspannung wie eine Flussigkeit verhalten,unterhalb derselben aber wie ein elastischer Korper. Diese kritische Schubspannung heißt Fließ-grenze oder Fließspannung. Derartige Stoffe werden als plastische Stoffe bezeichnet. Das einfachste


Stoffgesetz eines solchen Stoffes ist das des Bingham-Korpers:

γ =

0 fur τ < τF

1

µB

(τ − τF) fur τ ≥ τ

F

(2.13)

µB

bedeutet die Bingham-Viskositat und τF

die Fließspannung. Als Beispiel eines solchen Stoffesist in Abb. 2.11 die Fließkurve von Fleischextrakt dargestellt.

Abbildung 2.11: Fließkurve von Fleischextrakt bei 80C

Die vorgenommene Typeneinteilung der Flussigkeiten ist zusammenfassend in Abb. 2.12 darge-stellt. Neben den hier eingefuhrten Bezeichnungen sind in der Legende auch noch altere Bezeich-nungen aufgefuhrt, die in der Literatur noch haufig zu finden sind.

Abbildung 2.12: Typen von Flussigkeiten

Scherverzahung oder dilatantes Fließverhalten wird bei hochkonzentrierten Suspensionen sehr fei-ner Partikel beobachtet. In der Literatur wird der Begriff Dilatanz auch benutzt, um die Volu-menanderung bei der Verformung granularer Haufwerke zu beschreiben; durch die Existenz derDilatanz wird z. B. die scheinbare Trocknung von feuchtem Sand bei einer Belastung erklart.

2.4. Thermische und kalorische Zustandsgleichungen fur Gase 19

2.4 Thermische und kalorische Zustandsgleichungen

fur Gase

In der klassischen Hydrodynamik wird die Kompressibilitat des stromenden Stoffes vernachlassigt.Dies ist aber nur dann zulassig, wenn die Dichteanderungen bei den in der Stromung vorhandenenDruckgradienten klein sind. Bei der Stromung von Flussigkeiten trifft diese Voraussetzung fastimmer zu, bei Gasen dagegen nur fur relativ kleine Stromungsgeschwindigkeiten. Obwohl wir unsin dieser Vorlesung nur am Rande mit kompressiblen Stromungen beschaftigen, werden einigeGrundtatsachen uber die Zustandsgleichungen von Gasen benotigt.1

Die thermische Zustandsgleichung fur ein ideales Gas wurde bereits aus der Grundgleichung derkinetischen Gastheorie hergeleitet, vgl Gleichung (2.5). In der Stromungsmechanik wird in derZustandsgleichung ublicherweise die Dichte als Variable verwendet. Unter Verwendung des Zusam-menhangs zwischen dem spezifischen Molvolumen VM , dem Molekulargewicht M , dem spezifischenVolumen v und der Dichte :

VM

M=

1

= v.

folgt aus (2.5):

p

=

IR

MT = R T. (2.14)

Dies ist die Zustandsgleichung eines thermisch idealen oder perfekten Gases.

Hierbei ist:

die DichteT die absolute Temperaturv das spezifische Volumen: v = 1

IR die allgemeine Gaskonstante: R = 8, 3144 J/mol KM die Molmasse des GasesR die spezifische oder spezielle Gaskonstante:

R = IRM ; [R] = J

kg K .

Die Beschreibung des Stoffverhaltens durch die Zustandsgleichung des idealen Gases gilt in guterNaherung fur Neutralgase geringer und mittlerer Dichte in hinreichend großer Entfernung vomkritischen Punkt.

Von genau so großer Bedeutung ist die kalorische Zustandsgleichung. Sie beschreibt die Abhangig-keit der spezifischen inneren Energie e als Funktion der Zustandsgroßen. Beim kalorisch idealenGas hangt e linear von T ab:

e = e0

+ cv(T − T0). (2.15)

1Das Studium der thermischen Stoffeigenschaften ist Inhalt der Thermodynamik. Hinter der etwas merkwurdigenBezeichnung verbirgt sich einer der fruchtbarsten Zweige der Physik. Die im 19. Jahrhundert entwickelte Thermo-dynamik sollte ursprunglich die Leistung von Dampfmaschinen verbessern und damit den Fortgang der industriellenRevolution sichern. Die von ihr formulierten Gesetze besaßen aber eine solche Tragweite, dass sie schon bald aufdie anderen Zweige der Physik angewandt wurden. Die Prinzipien der Thermodynamik lassen sich in vier Satzenausdrucken:

1. Erster Hauptsatz: Warme laßt sich in Arbeit verwandeln

2. Zweiter Hauptsatz:vollstandig aber nur am absoluten Nullpunkt

3. Dritter Hauptsatz: der aber nicht erreicht werden kann

Der vierte Hauptsatz, der Nullte, begrundet das Konzept der Temperatur. Er heißt Nullter Hauptsatz, weil er vongrundlegender Bedeutung ist aber erst nach den anderen eingebracht wurde.


cv heißt spezifische Warmekapazitat bei konstantem Volumen, T0

ist eine beliebig wahlbare Bezug-stemperatur und e

0der Wert der spezifischen inneren Energie bei der Temperatur T

0. Die innere

Energie ist ein Maß fur die kinetische Energie der Atome (Molekule) aufgrund ihrer Warmebewe-gung. In den Anwendungen wird mit der Kombination

h = e0

+ pV = h0

+ cp(T − T0) (2.16)

gearbeitet, die als spezifische Enthalpie bezeichnet wird. pV ist dabei die Verschiebearbeit die auf-gebracht werden muß, um das spezifische Volumen V gegen den Druck p auszufullen. In der alterenLiteratur wird h auch als technische Arbeitsfahigkeit bezeichnet. Fur die spezifische Enthalpie giltentsprechend zu (2.15):

h = h0

+ cp(T − T0). (2.17)

Zwischen cp , das ist die spezifische Warmekapazitat bei konstantem Druck, und cv besteht beiidealen Gasen die Beziehung:

cp − cv =IR

M.

Ein Gas heißt thermisch ideal, wenn die ideale Gasgleichung gilt, und kalorisch ideal, wenn diespezifischen Warmekapazitaten konstant sind. Abweichungen vom idealen Gasgesetz machen sichu.a. bei hohen Drucken und/oder hohen Temperaturen bemerkbar. Den Abweichungen kann durchVerallgemeinerung der Zustandsgleichung Rechnung getragen werden.

2.5 Schlußbemerkung

Es wurden Eigenschaften von Flussigkeiten und Gasen untersucht und Begriffe eingefuhrt, die beider Beschreibung bzw. Charakterisierung von Stromungen von Bedeutung sind. Von besondererWichtigkeit ist der Begriff Viskositat. Flussigkeiten mit konstanter Viskositat, sogenannte newton-sche Flussigkeiten, werden bei der Entwicklung von Methoden zur Berechnung von Stromungennoch eine wichtige Rolle spielen.

2.6 Literatur

[1] Landoldt-Bornstein Zahlenwerte und Funktionen aus Physik, Chemie und Technik. Springer,Berlin, Heidelberg, New York, (1960 ff)

[2] VDI-Warmeatlas. VDI-Verlag, Dusseldorf (2000)

[3] Perry´s Chemical Engineers´Handbook. Mc Graw-Hill, New York(2001)

[4] Reid, R.C., J.M. Prausnitz and Th. K. Sherwood: The Properties of Gases and Liquids.McGraw-Hill, New York (1977)

21

Kapitel 3

Grundlagen aus der

Kontinuumsmechanik

3.1 Voraussetzungen

Fur diese Vorlesung setzen wir voraus, daß es sich bei dem betrachteten Fluid um ein homogenesMedium handelt, das sich im thermodynamischen Gleichgewicht befindet und dessen thermischerZustand durch Angabe von Temperatur T , Druck p und Dichte festgelegt ist. Wir setzen weitervoraus, daß die Bewegung eines Volumenelementes oder auch Fluidteilchens durch Angabe eineseinzigen Geschwindigkeitsvektors beschrieben werden kann.

Durch diese Voraussetzungen sind z.B. Stromungen von Phasengemischen und auch Stromungenvon reagierenden Substanzen nur dann eingeschlossen, wenn es durch die Stromung zu keiner Sepa-rierung der beteiligten Substanzen kommt. Diese eher komplizierten Sachverhalte sollen zunachstnicht betrachtet werden, denn es gibt bereits auf der elementaren Ebene interessante Probleme,die fur eine Einfuhrung schwierig genug sind.

Unter den getroffenen Voraussetzungen ist zur vollstandigen Beschreibung einer Stromung nebenden drei Komponenten des Geschwindigkeitsvektors noch die Kenntnis der Temperatur, des Span-nungszustandes und der Dichte notwendig; unabhangige Variablen sind die Ortskoordinaten unddie Zeit.

Zur Bestimmung der Unbekannten werden wir auf die Erhaltungssatze fur

• Masse • Impuls • Drehimpuls • Energie

die wir in der Form von Bilanzgleichungen schreiben werden, sowie die thermodynamische Zu-standsgleichung und die Stoffgleichung des Fluids zuruckgreifen.1

Die in dieser Vorlesung hergeleiteten Beziehungen werden in fast allen Fallen als Großengleichun-gen angegeben. Damit ist die Wahl des Maßsystems im Prinzip freigestellt; wegen der gesetzlichenEinfuhrung des internationalen Maßsystems wird aber bei den Beispielen das SI-System bevorzugtverwendet. Bezuglich der Umrechnung in andere Systeme wird auf die einschlagigen Handbucherverwiesen, vgl. z. B. [1], [2].

3.2 Kinematik

3.2.1 Grundlagen

Zur Beschreibung der Stromung fuhren wir ein im Raum fixiertes kartesisches Koordinatensystem(x, y, z) oder (x1, x2, x3) mit den Basisvektoren e

∼x, e

∼y, e

∼z bzw. e

∼1, e

∼2, e

∼3 ein. Den Ortsvektor

1Der Vollstandigkeit halber sei bereits hier darauf hingewiesen, dass die genannten Bilanzgleichungen i. allg.nicht ausreichen, um die Bewegung eines Kontinuums hinreichend zu beschreiben. Uber die Energiebilanz hinaus,die dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik entspricht, ist nach dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamikdie Bilanz einer weiteren Zustandsgroße, der Entropie s, unerlaßlich. Wir werden darauf bei der Behandlung dersogenannten Verdichtungsstoße im Kapitel Gasdynamik zuruckkommen.

22 Kapitel 3. Grundlagen aus der Kontinuumsmechanik

in diesem System bezeichnen wir mit x∼

.2

Die Bewegung einer Flussigkeit ist kinematisch vollstandig beschrieben, wenn die Lage eines je-den Flussigkeitsteilchens als Funktion der Zeit bekannt ist. Die einzelnen Teilchen unterscheidenwir durch ihre Anfangslage X

∼

= x∼

(t0) zu einer Anfangszeit t0. Ohne Verlust an Allgemeinheitkonnen wir diese Anfangszeit mit t0 = 0 annehmen und spatere Zeiten mit t bezeichnen. Der Orteines Teilchens ist also eine Funktion von seiner Anfangslage X

∼

zur Anfangszeit t0 = 0 und dermomentanen Zeit t. Es gilt:

x∼

= χ∼

(X∼

, t) = χi (X∼

, t) e∼

i. (3.1)

Fur ein festes X∼

beschreibt (3.1) die Bahn desjenigen Teilchens, das sich zur Zeit t0 = 0 an demOrt X

∼

befand. Fur ein festes t stellt (3.1) die Transformation des Bereichs dar, den die Flussigkeitzur Zeit t0 = 0 eingenommen hat, in den Bereich, den sie zur Zeit t einnimmt.

Wir setzen voraus, daß die einzelnen Teilchen im Laufe der Bewegung ihre Identitat behalten, sichalso gegenseitig nicht durchdringen. Damit ist (3.1) eindeutig und hat eine Umkehrung, so daßgilt:

X∼

= χ∼

−1 (x∼

, t) = Xie∼

i =χ−1i (x

∼

, t) e∼

i. (3.2)

Mit X∼

und t als unabhangigen Variablen kann eine Stromung eindeutig beschrieben werden. Furdie Großen Xi sind die Bezeichnungen Lagrangesche Koordinaten oder materielle Koordinatenublich. Die Lagrangesche Darstellung einer Stromung ist wegen der Vielzahl der zu erfassendenFlussigkeitsteilchen aufwendig, sie kommt nur dann zur Anwendung, wenn es auf die Beschreibungder Eigenschaften einzelner Teilchen ankommt.

Meist interessiert man sich gar nicht dafur, woher das Flussigkeitsteilchen kommt, das sich geradeam Ort x

∼

befindet. Vielmehr mochte man wissen, welche Geschwindigkeit v∼

die Stromung in einemRaumpunkt x

∼

zur Zeit t hat. Diese Geschwindigkeit bezeichnen wir mit

v∼

= v∼

(x∼

, t) = vi (x∼

, t) e∼

i. (3.3)

In (3.3) gibt v∼

die Geschwindigkeit desjenigen Teilchens an, das sich zur Zeit t am Ort x∼

befindet.Diese Art der Beschreibung des Geschwindigkeitsfeldes (3.3) wird als Felddarstellung oder Eu-lersche Darstellung einer Stromung bezeichnet. Die Raumkoordinaten xi eines Teilchens zur Zeitt heißen Eulersche Koordinaten oder raumliche Koordinaten .

Die beiden Darstellungen einer Stromung stehen in einem einfachen Zusammenhang, den wirgenauer untersuchen wollen. Wir nehmen dazu an, daß die durch (3.1) beschriebene Bewegungstetig erfolgt, eindeutig ist und die Umkehrung (3.2) fur jeden Ort x

∼

und jede Zeit t existiert.Der Ubergang von der Lagrangeschen Beschreibung irgendeiner Teilcheneigenschaft f(X

∼

, t) zuder Eulerschen wird durch folgende Identitat hergestellt:

f (x∼

, t) = f (χ∼

(X∼

, t) , t) . (3.4)

(3.4) sagt aus, daß der Wert der Große f am Ort x∼

zur Zeit t mit dem Wert fur dasjenige Teilchenubereinstimmt, das sich zur Zeit t0 am Ort X

∼

befand. Umgekehrt gilt fur den Ubergang von derEulerschen zu der Lagrangeschen Darstellung:

f (X∼

, t) = f(χ∼

−1 (x∼

, t) , t). (3.5)

Der Wert der Große f , den ein Teilchen, das zur Zeit t0 am Ort X∼

war, zur Zeit t besitzt, stimmtmit dem Wert fur f an dem Ort uberein, den das Teilchen zur Zeit t einnimmt.

Die Lagrangesche und die Eulersche Darstellung einer Stromung sind somit physikalisch unter-schiedliche Interpretationen der Relationen (3.1) und (3.2).

2Fur die Darstellung von Vektoren vergleiche Anhang A.2.3

3.2. Kinematik 23

3.2.2 Zeitableitungen

Der Lagrangeschen und der Eulerschen Darstellung entsprechen zwei unterschiedliche Zeitablei-tungen. Wir betrachten dazu die Anderung einer Teilcheneigenschaft f . In der LagrangeschenDarstellung gilt:

df

dt=

df (X∼

, t)

dt

∣∣∣∣X∼

=konst

. (3.6)

In der Eulerschen Darstellung ist entsprechend:

∂f

∂t=

∂f (x∼

, t)

∂t

∣∣∣∣x∼

=konst

. (3.7)

df

dtin (3.6) ist die Anderungsgeschwindigkeit der Große f fur ein festes Teilchen, die von einem

mitbewegten Beobachter gemessen wird. (3.6) heißt materielle oder substantielle Ableitung .∂f

∂tin (3.7) ist im Unterschied dazu die Anderungsgeschwindigkeit der Große f in einem festen

Raumpunkt; (3.7) heißt partielle Ableitung.

Die Geschwindigkeit v∼

eines Teilchens ist nach dieser Festlegung die substantielle Ableitung desOrtes x

∼

(X∼

, t) fur dieses Teilchen:

v∼

(X∼

, t) =dx

∼

(X∼

, t)

dt

∣∣∣∣X∼

. (3.8)

Fur die Darstellung des Geschwindigkeitsfeldes in den raumlichen Koordinaten (x∼

, t) folgt mit(3.2):

v∼

(x∼

, t) = v∼

(x∼

(X∼

, t) , t) =dx

∼

dt

∣∣∣∣X∼

. (3.9)

Durch (3.9) wird jedem Ort des Stromungsfeldes ein Geschwindigkeitsvektor zugeordnet.

Fur die substantielle Ableitung einer in der Eulerschen Darstellung gegebenen Funktion f(x∼

, t) istdas vollstandige Differential zu bilden, es gilt:

df

dt=

∂f

∂t+

dx1

dt

∣∣∣∣X∼

∂f

∂x1+

dx2

dt

∣∣∣∣X∼

∂f

∂x2+

dx3

dt

∣∣∣∣X∼

∂f

∂x3

=∂f

∂t+ v1

∂f

∂x1+ v2

∂f

∂x2+ v3

∂f

∂x3

=∂f

∂t+ vi

∂f

∂xi

=

(∂

∂t+ v

∼

· ∇∼

)

f. (3.10)

In der dritten Zeile wurde die Summenkonvetion benutzt, nach der uber doppelt vorkommendeIndizes zu summieren ist.

Die substantielle, materielle oder Lagrangsche Zeitableitung setzt sich aus zwei Anteilen zusam-

men, der lokalen oder partiellen Zeitableitung∂f

∂t, d. h. der Eulerschen Zeitableitung an einem

festen Ort, und der sogenannten konvektiven Ableitung v∼

· ∇∼

f . Der konvektive Term ist eine Folgedavon, daß das beobachtete Teilchen in der Zeitspanne dt aus seiner momentanen Lage x

∼

nachx∼

+ v∼

dt vorruckt. Die zeitliche Anderung einer Große f ruhrt nach (3.10) i. allg. einerseits vonder expliziten Zeitabhangigkeit von f und andererseits von der Ortsveranderung des materiellenPunktes X

∼

her.


x

y

bx

byb

Ω

Abbildung 3.1: Zentripetalbeschleunigung

Die Beschleunigung ist die zeitliche Anderung der Geschwindigkeit fur ein festes Flussigkeitsteil-chen und damit die substantielle Ableitung der Geschwindigkeit gemaß (3.10):

b∼

=dv

∼

dt=

∂v∼

∂t+ v

∼

· ∇∼

v∼

=

(∂

∂t+ vi

∂

∂xi

)

vj e∼

j . (3.11)

Der Term v∼

·∇∼

v∼

heißt konvektive Beschleunigung; b∼

ist demnach auch bei stationaren Stromungenv∼

= v∼

(x∼

) im allgemeinen von Null verschieden.

Beispiel

Eine inkompressible Flussigkeit befinde sich in einem zylindrischen Gefaß, das mit der konstantenWinkelgeschwindigkeit Ω um seine Achse rotiert, vgl. Abb.3.1. Bestimme Geschwindigkeit undBeschleunigung der Flussigkeitsteilchen in Eulerschen Koordinaten.

Losung: Wir wahlen die Achse des Zylinders als z-Achse eines kartesischen Koordinatensystems.Dann gilt fur die Geschwindigkeit:

vx = −yΩ, vy = xΩ und vz = 0. (3.12)

Fur die Beschleunigung folgt:

b∼

=dv

∼

dt=

∂v∼

∂t+ v

∼

· ∇∼

v∼

= 0 +

(

−yΩ∂

∂x+ xΩ

∂

∂y

)

v∼

(3.13)

In Komponenten:

bx = −yΩ2, by = −xΩ2 und bz = 0. (3.14)

b∼

ist offensichtlich die Zentripetalbeschleunigung aufgrund der starren Drehbewegung; fur den Be-trag von b

∼

gilt: |b∼

| = rΩ2, mit r =√

x2 + y2 =Abstand der Teilchen von der Drehachse=Radiusder betreffenden Kreisbahn.

Im Anschluß an die konvektive Ableitung fuhren wir noch den Begriff des Geschwindigkeitsgradi-enten ein. Dieser ist definiert als das Tensorprodukt des Nabla-Operators ∇

∼

mit dem Geschwin-digkeitsvektor:

∇∼

v∼

= e∼

i∂

∂xivj e

∼j =

∂

∂xivj e

∼ie∼

j = L≈

+. (3.15)

Damit kann die konvektive Ableitung als Skalarprodukt von v∼

mit L≈

+ geschrieben werden:

v∼

· ∇∼

v∼

= v∼

· L≈

+. (3.16)

Der so definierte Geschwindigkeitsgradient wird in Abschnitt 12.2 bei der Herleitung eines Maßesfur die Deformationsgeschwindigkeit eines Flussigkeitselementes verwendet.

3.2. Kinematik 25

3.2.3 Transportgleichung

Von genauso großer Bedeutung wie die zeitliche Anderung einer Eigenschaft f fur ein einzelnesTeilchen ist deren Anderung fur ein abgegrenztes Volumen. Es sei V (t) ein beliebiges Volumen,das sich mit der Stromung bewegt, und f(x

∼

, t) eine Funktion der raumlichen Koordinaten und derZeit. Das Volumenintegral

F (t) =

∫

V (t)

f(x∼

, t) dV (3.17)

ist dann eine genau definierte Funktion der Zeit. Zur Bestimmung der substantiellen Ableitung ist(3.17) zu differenzieren; dabei ist zu beachten, daß sowohl der Integrand als auch die Integrations-grenzen von der Zeit abhangen. Wir bilden die Ableitung als Grenzwert eines Differenzenquotien-ten:

dF

dt= lim

∆t→0

∫

V (t+∆t)

f(x∼

, t + ∆t) dV −∫

V (t)

f(x∼

, t) dV

1

∆t

. (3.18)

Fur das erste Integral gilt:∫

V (t+∆t)

f(x∼

, t + ∆t) dV =

∫

V (t)

f(x∼

, t + ∆t) dV +

∫

V (t+∆t)−V (t)

f(x∼

, t + ∆t) dV. (3.19)

Mit einer Taylor-Entwicklung

f(x∼

, t + ∆t) ≈ f(x∼

, t) +∂f(x

∼

, t)

∂t∆t (3.20)

folgt fur die Differenz der beiden Integrale:∫

V (t+∆t)

f(x∼

, t + ∆t) dV −∫

V (t)

f(x∼

, t) dV = ∆t

∫

V (t)

∂f(x∼

, t)

∂tdV

+

∫

V (t+∆t)−V (t)

f(x∼

, t + ∆t) dV. (3.21)

Aus Abbildung 3.2 erkennt man, daß fur eine integrierbare Funktion f(x∼

, t) das Volumenintegraluber die Differenz V (t + ∆t)− V (t) auf ein Integral uber die Oberflache A(t) des Volumens V (t)zuruckgefuhrt werden kann, es gilt:

∫

V (t+∆t)−V (t)

f(x∼

, t + ∆t) dV = ∆t

∫

A(t)

f(x∼

, t + ∆t)v∼

· n∼

dA. (3.22)

Hier ist n∼

die außere Oberflachennormale des Oberflachenelementes dA und v∼

die Geschwindigkeitder Stromung relativ zum Oberflachenelement.

Aus (3.18) folgt mit den vorstehenden Beziehungen:

dF

dt= lim

∆t→0

∆t

∫

V (t)

∂f

∂tdV + ∆t

∫

A(t)

f v∼

· n∼

dA

1

∆t

(3.23)

und daraus dann die Gleichung

dF

dt=

d

dt

∫

V (t)

f(x∼

, t) dV =

∫

V (t)

∂f

∂tdV +

∫

A(t)

f v∼

· n∼

dA. (Leibnizsche Regel) (3.24)


Abbildung 3.2: Umformung des Volumenintegrals in ein Oberflachenintegral

Die physikalische Deutung dieses Ergebnisses ist einfach: der erste Term stellt die partielle zeitlicheAnderung innerhalb des Volumens V dar, wahrend der zweite Term den Fluß der Große f durch dieOberflache des betrachteten Volumens wiedergibt, also die konvektive Anderung berucksichtigt.

Ohne Beweis sei angegeben, daß die Relation (3.24) fur skalar-, vektor- und tensorwertige Funk-tionen Ψ(x

∼

, t) gilt:

d

dt

∫

V (t)

Ψ dV =

∫

V (t)

∂

∂tΨ dV +

∫

A(t)

Ψ v∼

· n∼

dA. (3.25)

Unter Verwendung des Satzes von Gauß∫

A

f∼

· n∼

dA =

∫

V

∇∼

· f∼

dV (3.26)

und des Ausdrucks fur die materielle Ableitung (3.10) kann (3.25) umgeformt werden zu:

d

dt

∫

V (t)

Ψ dV =

∫

V (t)

(∂

∂tΨ + ∇

∼

· (Ψ v∼

)

)

dV =

∫

V (t)

(d

dtΨ + Ψ∇

∼

· v∼

)

dV. (3.27)

Die Beziehung (3.27) heißt kinematische Transportgleichung.

3.2.4 Bahnlinien, Stromlinien und Streichlinien

Um eine anschauliche Darstellung der Bewegung einer Flussigkeit zu gewinnen, hat man die Bahn-linien, Stromlinien und Streichlinien eingefuhrt. Bahnlinien sind die Kurven, die von den einzel-nen Flussigkeitsteilchen mit der Zeit durchlaufen werden. (3.1) kann als Parameterdarstellung derBahnlinien angesehen werden. Ist das Geschwindigkeitsfeld v

∼

(x∼

, t) bekannt, so erhalt man dieBahnlinien durch Integration von (3.9):

x∼

(X∼

, t) =

t∫

t0

v∼

(x∼

, t)dt + X∼

0. (3.28)

x∼

(X∼

, t) ist die Bahnkurve desjenigen Teilchens, das sich zur Zeit t0 am Ort X∼

0 befand.

3.2. Kinematik 27

Stromlinien sind Kurven, die fur eine feste Zeit t in jedem Raumpunkt die Richtung des Ge-schwindigkeitsvektors besitzen; sie sind damit Tangentialkurven zu den Geschwindigkeitsvektorenverschiedener Flussigkeitsteilchen zum selben Zeitpunkt. Fur die Stromlinien gilt die Differential-gleichung:

dx∼

ds= v

∼

(x∼

, t). (3.29)

Hier ist s der Kurvenparameter, z.B. die Bogenlange langs der Stromlinie. Alternativ kann dieBedingung fur die Stromlinien auch dargestellt werden durch:

dx∼

ds× v

∼

(x∼

, t) = 0∼

. (3.30)

Mit v∼

= (v1, v2, v3) und x∼

= (x1, x2, x3) folgt aus (3.29) und (3.30):

dx1

ds= v1,

dx2

ds= v2,

dx3

ds= v3, (3.31)

oder:

dx2

dx1=

v2

v1,

dx3

dx1=

v3

v1,

dx3

dx2=

v3

v2. (3.32)

Aus einem Vergleich von (3.28) und (3.29) folgt unmittelbar, daß die Zeit t in (3.29) ein Kurven-scharparameter ist, der bei der Integration einen festen Wert hat, in (3.28) dagegen die Funktioneines Kurvenparameters hat. Aus dem Vergleich folgt weiter, daß bei instationaren Stromungenim allgemeinen keine Beziehung zwischen den Stromlinien und Bahnlinien besteht. Bei stationarenStromungen kann dagegen t formal auch fur die Stromlinien als Kurvenparameter eingefuhrt wer-den, wobei dann die Stromlinien mit den Bahnlinien zusammenfallen.

u

v

v∼

= (u, v)

s=Bogenlange der Stromlinien

x

y

s

v∼

Abbildung 3.3: Definition der Stromlinien

Eine Streichlinie wird von der Menge der momentanen Positionen all jener Teilchen gebildet, diesich zu einem vergangenen Zeitpunkt an einem Ort X

∼o befanden.Zur Konstruktion der Streichlinie

durch den Punkt X∼

0 zur Zeit t fragen wir zunachst nach den Koordinaten der Teilchen in derAusgangslage, die zu irgendeiner Zeit τ < t am Ort x

∼0 waren. Aus (3.1) folgt fur diese Teilchen:

X∼

= χ∼

−1 (x∼

0, τ) . (3.33)

Die Gleichung fur die Streichlinie durch den Punkt x∼

0 erhalt man duch eliminieren der Ausgangs-lage X

∼

aus den Gleichungen (3.1) und (3.33):


x∼

= χ∼

(χ∼

−1 (x∼

0, τ) , t). (3.34)

Die Zeit τ ≤ t ist hierbei der Kurvenparameter.

Experimentell erhalt man die Streichlinie durch permanente Emission eines Tracers (z. B. Farbstoffam Punkt X

∼o, in dem man die Spur des Tracers zu einem bestimmten Zeitpunkt photographiert.

Beispiel

Zur Illustration der Begriffe Bahnlinie, Stromlinie und Streichlinie betrachten wir das instationareGeschwindigkeitsfeld einer reibungsfreien Flussigkeit:

v∼

(x∼

, t) = (u, v, 0) ; mit u = u0 sin

(

ω

(

t− y

v0

))

, v = v0 und u0, v0 = konst. (3.35)

Dieses Geschwindigkeitsfeld wird bei Vernachlassigung der Erdschwere in erster Naherung durcheinen mit ω oszillierenden Sprinklerkopf erzeugt, aus dem das Fluid mit der Geschwindigkeit v0

austritt, vgl. Abb.

Fur die Bahnlinie folgt aus (3.28):

dx

dt

∣∣X

= u0 sin

(

ω

(

t− y

v0

))

; (3.36 a)

dy

dt

∣∣X

= v0. (3.36 b)

Fur die y-Komponente erhalt man durch Integration:

y = v0t + c1. (3.37)

Damit laßt sich die x-Komponente integrieren:

dx

dt= u0 sin

(

ω

(

t− v0t + c1

v0

))

,

→ x = −u0t sin

(ωc1

v0

)

+ c2. (3.38)

Festlegung der Anfangsbedingungen:

1.) Das Flussigkeitsteilchen befinde sich zur Zeit t=0 am Ort (x0, 0), d.h. es ist c1 = 0; c2 = x0.Damit folgt fur die Bahnlinie des Teilchens:

x = x0; y = v0t. (3.39)

2.) Das Teilchen befinde sich zur Zeit t = π2ω am Ort (x0, 0); fur die Integrationskonstanten c1

und c2 erhalt man:

c1 = −v0π

2ω, c2 = x0 −

u0π

2ω. (3.40)

Fur die Bahnlinie des Teilchens das zur Zeit t = π2ω durch den Ort(x0, 0) geht, ergibt sich damit

die Darstellung:

x (t) = x0 + u0

(

t− π

2ω

)

, y (t) = v0

(

t− π

2ω

)

. (3.41)

3.2. Kinematik 29

v0

t1t0

StromlinienStreichlinienBahnlinien

u0 sin(ωt)

yyy

x

xx

Abbildung 3.4: Bahnlinien, Stromlinien und Streichlinien im Stromungsfeld eines oszillierendenSprinklerkopfes

Man kann zeigen, daß die Bahnlinien Geraden durch den entsprechenden Anfangspunkt (x0, 0)sind.

Fur die Stromlinien folgt aus (3.29):

dy

dx=

v

u=

v0

u0 sin(

ω(

t− yv0

)) . (3.42)

Das Integral lautet:

u0v0

ωcos

(

ω

(

t− y

v0

))

= v0x + c. (3.43)

Fur die zum Zeitpunkt t=0 durch den Koordinatenursprung gehende Stromlinie folgt fur dieIntegrationskonstante C:

C =u0v0

ω. (3.44)

Die Gleichung der gesuchten Stomlinie lautet damit

x =u0

ω

(

cos

(ωy

v0

)

− 1

)

. (3.45)

Fur diejenigen Stromlinien, die zu den Zeitpunkten t = ±π2ω durch y = 0 und x = x0 gehen folgt

entsprechend:

x =u0

ωcos

(

±π

2− ωy

v0

)

. (3.46)

Das Ergebnis zeigt, dass die Stromlinien einer instationaren Stromung mit der Zeit Ihre Gestaltandern und nicht mit den Bahnlinien zusammenfallen, vgl Abb..

Fur die Streichlinie durch den Koordinatenursprung folgt schließlich:

y(τ) = −∫ τ

t

v0dt = v0(t− τ) 0 ≤ τ ≤ t; (3.47)

x(τ) = −u0

∫ τ

t

sin (ωτ) dt = u0 (t− τ) sin (ωτ) . (3.48)


Wie das Beispiel zeigt, kennzeichnet das Stromlinienbild den Istzustand der Stromung, demge-genuber entstehen Bahnlinien und Streichlinien erst uber einen langeren Zeitraum

3.3 Spannungen

3.3.1 Krafte auf ein Volumenelement

Die Krafte, die auf einen deformierbaren Korper wirken, pflegt man in zwei Gruppen zu unterteilen.Der Einteilung wird ein Volumenelement dV zugrundegelegt, das die Masse dm = dV besitzt;die hierdurch definierte Dichte setzen wir als (stuckweise) stetige Funktion des Ortes voraus. Esgibt Krafte, wie z.B. die Schwerkraft, die auf alle Massenteile des Volumenelements wirken. DieseMassen- oder Volumenkrafte konnen proportional zum Massen- bzw. Volumenelement angesetztwerden. Wir bezeichnen die auf dV wirkende spezifische Volumenkraft mit f

∼

. Diese Kraft proVolumeneinheit wird als Volumenkraftdichte bezeichnet. Bei Berucksichtigung der Wirkung derSchwerkraft ergibt sich z.B. : f

∼

= g (−e∼

z); hier ist g die Schwerebeschleunigung, die der Richtungdes Basisvektors e

∼z entgegengerichtet sei.

Daneben gibt es auch Krafte, die nur auf die Begrenzungsflachen eines Volumenelementes dVwirken. Diese ruhren von den Nachbarelementen her, die in unmittelbarer Nachbarschaft der Be-grenzungsflache liegen. Die auf ein Flachenelement dA wirkende Kraft dF

∼

ist dabei proportionalzur Große des Flachenelements: dF

∼

= σ∼

dA. Diese auf allen Begrenzungsflachen eines Volumenele-ments wirkenden spezifischen Oberflachenkrafte σ

∼

werden als Spannungsvektoren oder einfach alsSpannungen bezeichnet. Daß Spannungen auch im Innern eines Kontinuums, z. B. einer Flussig-keit, vorhanden sind, konnen wir leicht einsehen, dazu denken wir uns aus dem Innern einesKontinuums einen kleinen z. B. wurfelformigen Teil entfernt. Der entstehende Hohlraum behaltseine Wurfelform nicht; damit sie erhalten bleibt, mussen wir auf alle Seiten der inneren Begren-zungsflache des Hohlraums Krafte wirken lassen, die gerade die Wirkung des entfernten Volu-menelementes ersetzen. Diese Krafte - pro Flacheneinheit - sind die an den betreffenden Flachenwirkenden Spannungen.

3.3.2 Spannungstensor

Wir grenzen ein Volumenelement gemaß Abb. 3.5 ab und kennzeichnen die begrenzenden Flachendurch ihre außeren Normalenvektoren. Auf die Flache dy dz, deren Orientierung durch den Nor-malenvektor n

∼

= ex∼

gegeben ist, wird vom benachbarten Volumenelement eine Oberflachenkraftausgeubt, die wir mit σ

∼xdy dz bezeichnen. σ

∼x ist dabei der Spannungsvektor bzw. die spezifische

Oberflachenkraft. σ∼

x kann in seine Komponenten zerlegt werden:

σ∼

x = σxxe∼

x + σxy e∼

y + σxz e∼

z. (3.49)

Hierbei sind e∼

x, e∼

y, e∼

z die Einheitsvektoren des kartesischen Koordinatensystems, σxxe∼

x ist dieSpannungskomponente senkrecht zum Flachenelement, sie wird als Normalspannung bezeichnet.σxy und σxz sind Schubspannungen, die parallel zur Flache liegen. Die Kennzeichnung der Kom-ponenten σxy des Spannungsvektors in Gl. 3.49 erfolgt derart, daß der erste Index die Flachebezeichnet, auf die der Spannungsvektor wirkt, und der zweite die Komponente angibt. Nachdieser Vereinbarung ergibt sich fur die Zerlegung von σy und σz:

σ∼

y = σyxe∼

x + σyy e∼

y + σyz e∼

z, (3.50)

σ∼

z = σzxe∼

x + σzy e∼

y + σzz e∼

z . (3.51)

3.3. Spannungen 31

Weiter werden die Komponenten der Spannungsvektoren als positiv gezahlt, wenn sie in die inAbb. 3.5 eingezeichneten Richtungen zeigen. Nach dieser Vereinbarung beanspruchen positive Nor-malspannungen das Volumenelement auf Zug.

a)

x

y

z

σ∼

x

σ∼

y

σ∼

z

σ∼

−x

σ∼

−y

σ∼

−z

b)

σxx

σxy

σxz

σyx

σyy

σyz

σzx

σzy

σzz x

y

z

Abbildung 3.5: a) Spannungsvektoren an einem Volumenelement, b) Komponenten der Spannungs-vektoren

Wir grenzen nun ein beliebiges Volumen V ab, auf das die Volumenkraft∫

V

f∼

dV und die Ober-

flachenkraft∫

A

σ∼

dA wirkt. Beide Krafte sind im Gleichgewicht, wenn gilt:

∫

V

f∼

dV +

∫

A

σ∼

dA = 0∼

. (3.52)

In (3.52) ist A die geschlossene Oberflache des Volumens V . Es sei l die charakteristische Abmes-sung von V , so daß gilt: V ∼ l3 und A ∼ l2. Wir setzen nun:

dV = l3 dV ′ und dA = l2 dA′. (3.53)

Hiermit folgt aus (3.52):

l3∫

V

f∼

dV ′ + l2∫

A

σ∼

dA′ = 0∼

. (3.54)

Wir dividieren diese Gleichung durch l2 und fuhren den Grenzubergang V → 0 und damit auchl→ 0 durch. Da der erste Term von hoherer Ordnung in l ist, gilt:

limV →0

∫

A

σ∼

dA = 0∼

. (3.55)

Das Ergebnis (3.55) bedeutet physikalisch, daß die Spannungen lokal im Gleichgewicht sind.

Wir wenden nun (3.55) auf ein Volumenelement mit der Form eines Tetraeders an, vgl. Abb. 3.6.Die dreieckformige Schnittflache habe die Normale

n∼

= nx e∼

x + ny e∼

y + nz e∼

z bzw. (n∼

) = (nx, ny, nz). (3.56)


und den Flacheninhalt A. Die Normalen der anderen Flachen sind −e∼

x,−e∼

y und −e∼

z. Die zu-gehorigen Flacheninhalte betragen Anx, Any und Anz Aus (3.55) folgt dann:

Aσ∼

n + Anxσ∼−x + Anyσ

∼−y + Anzσ

∼−z = 0

∼

. (3.57)

Diese Beziehung gilt fur beliebige Lagen der Oberflachennormalen n∼

gemaß (3.56). Fur den Spe-zialfall n

∼

= e∼

x folgt:

σ∼

x = −σ∼−x; (3.58)

und entsprechend fur n∼

= e∼

y und n∼

= e∼

z ;

σ∼

y = −σ∼−y bzw. σ

∼z = −σ

∼−z. (3.59)

Damit ist bewiesen, daß die Spannungsvektoren der verdeckten Flachen in Abb. 3.5 den gleichenBetrag aber die entgegengesetzte Richtung haben wie die auf den gegenuberliegenden Seiten.

Abbildung 3.6: Spannungsvektor auf einer Tetraederflache

Wird (3.59) in (3.57) berucksichtigt, so folgt:

σ∼

n = nxσ∼

x + nyσ∼

y + nzσ∼

z. (3.60)

σ∼

n ist offensichtlich eine lineare Funktion der Komponenten von n∼

. Am Einfachsten kann einsolcher Zusammenhang als Skalarprodukt des Nomalenvektors n

∼

mit einem Tensor σ≈

dargestelltwerden, der wie folgt zu definieren ist:

σ≈

= σij ei∼

ej∼

. (3.61)

Hier ist σij die Matrix der Spannungskomponenten gemaß der Gleichungen (3.49) bis (3.51).Die durch (3.61) definierte Große σ

≈

heißt Spannungstensor. Fur den Spannungsvektor gilt inIndexschreibweise:

σ∼

n = n∼

· σ≈

, (3.62)

mit σ≈

= σij e∼

ie∼

j und n∼

= nk e∼

k folgt:

σ∼

n = σ(n)j e∼

j = nk e∼

k · σij e∼

ie∼

j = nkσijδkie∼

j = niσij e∼

j (3.63)

3.4. Schlußbemerkung 33

σ≈

ist im allgemeinen eine Funktion von x∼

und t, ist aber unabhangig von n∼

; damit ist der Span-nungstensor im Gegensatz zum Spannungsvektor eine Feldgroße.

In Flussigkeiten existiert i.a. kein Mechanismus fur die Ubertragung von Drehmomenten von ei-nem Volumenelement auf ein anderes. Aus dem Erhaltungssatz fur den Drehimpuls folgt, daß fursolche Flussigkeiten der Spannungstensor symmetrisch ist: σij = σji; wir werden darauf nochzuruckkommen.

Bei der Stromung realer Flussigkeiten und Gase treten im allgemeinen Schubspannungen auf. DerSpannungsvektor steht damit nicht senkrecht auf dem zugehorigen Flachenelement. Bei ruhendenFlussigkeiten und Gasen verschwinden die Schubspannungen definitionsgemaß, ferner sind dannwegen (3.59) die drei Normalspannungen einander gleich3. Weiter konnen Flussigkeiten und Gasekeine Zugspannungen aufnehmen, deshalb sind die Normalspannungen negativ und werden gemaß(3.65) durch einen positiv gezahlten Druck p dargestellt. Damit gilt fur den Spannungstensor inruhenden Flussigkeiten und Gasen:

σ≈

= − p δijei∼

ej∼

= − p I≈

. (3.64)

In dieser Gleichung ist δij das Kroneckersymbol und I≈

der Einheitstensor. Fur den Spannungs-vektor bezuglich eines Flachenelements mit der Orientierung n

∼

gilt damit:

σ∼

n = −p n∼

. (3.65)

Aus (3.64) und (3.65) folgt:

p(n∼

) = p(e∼

x) = p(e∼

z) = p(e∼

z). (3.66)

In einer ruhenden Flussigkeit ist der Druck in einem Punkt unabhangig von der Orientierung desFlachenelementes.

Fur die in dieser Vorlesung betrachteten Vorgange haben wir thermisches Gleichgewicht in denstromenden Fluiden vorausgesetzt. Solange dies zutrifft, kann der hydrodynamische Druck p mitdem thermodynamischen Druck gleichgesetzt werden.

In der Stromungsmechanik ist es ublich, den Spannungstensor folgendermaßen zu zerlegen:

σ≈

= −pI≈

+ σ≈R

. (3.67)

σ≈R

ist dabei der Tensor der Reibungsspannungen und I≈

der Einheitstensor. Wir bilden den Mit-

telwert der Normalspannungen:

1

3(σxx + σyy + σzz) = −p +

1

3

(σRxx + σRyy + σRzz

)(3.68)

Fur den hydrostatischen Fall, σ≈R

verschwindet dann, stimmt dieser Mittelwert mit dem Druck

uberein. Weiter unten wird gezeigt, daß auch fur stromende newtonsche Flussigkeiten die Summeder Normalspannungen verschwindet, vgl. Abschnitt 12.3.


Die in diesem Abschnitt behandelte Kinematik der Stromungen befaßt sich mit der Beschreibungder stromenden Bewegung an sich. Sie beantwortet nicht die Frage, wie eine Bewegung zustan-de kommt bzw. wie sie aufrecht erhalten werden kann; dies ist vielmehr Aufgabe der noch zubehandelnden Dynamik.

3Gesetz des isotropen Druckes (Pascal 1623 - 1662)


Fur die Darstellung von Stromungen wurden konvektive und raumliche Koordinaten eingefuhrt,von denen fur technische Fragestellungen die letzteren bevorzugt werden. Von besonderer Wich-tigkeit ist in diesem Zusammenhang der Begriff der substantiellen oder materiellen Zeitableitungeiner Stromungsgroße.

Weiter wurden die auf ein Volumenelement wirkenden Krafte klassifiziert und der Begriff desSpannungszustandes eingefuhrt.

3.5 Literatur

[1] Dubbel: Taschenbuch fur den Maschinenbau. Springer, Berlin, Heidelberg, New York (2003)

[2] Perry´s: Chemical Engineers Handbook. McGraw-Hill, New York (2001)

[3] Zierep, J.: Grundzuge der Stromungslehre. Springer, Berlin, Heidelberg, New York (1997)

[4] Spurk,J. H.: Stromungslehre. Springer, Berlin, Heidelberg, New York (1996)

[5] Serrin, J.: Mathematical Principles of Classical Fluid Mechanics. Handbuch der Physik, Bd.VIII/I Springer, Berlin, Heidelberg, New York (1959)

[6] Batchelor, G.K.: An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge University Press, Cam-bridge (1967)

[7] Slattery, J. C.: Advanced Transport Phenomena. Cambridge University Press, Cambridge(1999)

35

Kapitel 4

Hydro- und Aerostatik

4.1 Grundgleichungen

In diesem Abschnitt werden wir untersuchen, unter welchen Bedingungen eine Flussigkeit imRuhezustand verharrt. Wir grenzen dazu in der Flussigkeit ein beliebiges Volumen V mit derOberflache A ab. Die auf das abgegrenzte Volumen wirkenden Krafte konnen auf eine resultie-rende Oberflachenkraft F

∼O und eine resultierende Volumenkraft F

∼V reduziert werden. Bei einer

ruhenden Flussigkeit resultiert die Oberflachenkraft allein aus dem richtungsunabhangigen hydro-statischen Druck p und die Massenkraft ergibt sich aus der Wirkung der auf die Massenelementewirkenden Kraftfelder k

∼

. Es folgt:

F∼ O

= −∫

A

p n∼

dA und (4.1)

F∼ V

=

∫

V

k∼

dV. (4.2)

Hierbei ist:p der Druck in der Flussigkeitn∼

die außere Normale mit |n∼

| = 1,dA das OberflachenelementdV das Volumenelement die Dichte der Flussigkeitk∼

die spezifische Massenkraft

dV

dA

Volumen V

Fläche A

r*k dV

-p*n dA

~

~

Abbildung 4.1:Krafte in einer ruhenden Flussigkeit

Damit die Flussigkeit im Ruhezustand verharrt, mussen Oberflachenkraft F∼ O

und VolumenkraftF∼ V

im Gleichgewicht sein:

F∼ V

+ F∼ O

=

∫

V

k∼

dV −∫

A

p n∼

dA = 0∼

. (4.3)

36 Kapitel 4. Hydro- und Aerostatik

Mit dem Integralsatz von Gauß kann das Oberflachenintegral in ein Volumenintegral uberfuhrtwerden:

∫

A

p n∼

dA =

∫

V

∇∼

p dV. (4.4)

Damit folgt aus (4.3):∫

V

(−∇∼

p + k∼

) dV = 0∼

. (4.5)

Diese Gleichung ist nur dann erfullt, wenn der Integrand fur beliebige Volumina V verschwindet.Es muß gelten:

∇∼

p− k∼

= 0∼

. (4.6)

Dies ist die Grundgleichung der Hydro- und Aerostatik, sie heißt auch Eulersches Grundgesetz. DieGleichung sagt aus, daß in einem ruhenden Fluid der Druckgradient in Richtung des Kraftfeldesweist; die Isobaren, das sind Linien gleichen Druckes, verlaufen damit senkrecht zu den Feldliniendes Kraftfeldes. Zu (4.6) kommt noch die Zustandsgleichung des Fluids, die einen Zusammenhangzwischen dem Druck p, der Dichte und der Temperatur T herstellt.

Wir fragen nun, ob (4.6) fur beliebige Kraftfelder k∼

erfullt werden kann. Dabei sei vorausgesetzt,daß die Temperatur in der Flussigkeit konstant ist. Aus der thermischen Zustandsgleichung =(T, p) folgt bei T = konst., daß = (p) ist. Wir fuhren nun eine Druckfunktion P ein, die nurvom Druck bzw. uber den Druck vom Ort abhangt:

P =

p∫

p0

dp

(p). (4.7)

Wegen

∂P

∂x=

∂P

∂p

∂p

∂x=

1

(p)

∂p

∂x(4.8)

folgt aus der Gleichgewichtsbedingung (4.6):

1

∇∼

p = ∇∼

P = k∼

. (4.9)

Wir bilden auf beiden Seiten der Gleichung die Rotation:

∇∼

× ∇∼

P = ∇∼

× k∼

. (4.10)

Wegen ∇∼

× ∇∼

P ≡ 0∼

folgt fur k∼

die Bedingung: ∇∼

× k∼

= 0∼

. Diese Bedingung ist nur dann erfullt,wenn k

∼

ein Potential besitzt, also k∼

= −∇∼

Φ ist. Damit gilt der Satz:

Eine ruhende Flussigkeit in einem Kraftfeld ist nur dann imGleichgewicht, wenn das Kraftfeld ein Potential besitzt.

Ist k∼

durch ein Potential (−Φ) darstellbar, so folgt aus (4.9):

∇∼

(P + Φ) = 0∼

, (4.11)

d. h. es ist P + Φ = konst. oder

p∫

p0

dp

(p)+ Φ = konst. (4.12)

Die Flachen konstanten Druckes sind damit zugleich Aquipotentialflachen und umgekehrt.

4.2. Anwendungen 37

4.2 Anwendungen

4.2.1 Druckverteilung in einem Gefaß, Maßeinheiten fur den Druck

Gegeben sei ein Behalter beliebiger Form, der bis zur Hohe h mit einer Flussigkeit der DichteFl gefullt sei; vgl. Abb.4.2. Zur Beschreibung wahlen wir ein kartesisches Koordinatensystem, diez−Achse sei entgegen der Schwerkraft gerichtet. Es sei Fl = konst und das Kraftfeld sei gegebendurch k

∼

= (0, 0,−g). Der Druck auf die Flussigkeitsoberflache sei gleich dem Umgebungsdruck p0.

Luft

fl

p0

p0

p

z

z=h

z=0

p(h)=p0

Luft(h) = 0

Abbildung 4.2: Druckverteilung in einem Gefaß

Aus der Gleichgewichtsbedingung (4.6) folgt:

∂p

∂x= 0,

∂p

∂y= 0, und

∂p

∂z= −Fl g. (4.13)

Die allgemeine Losung dieser Gleichungen lautet:

p = p(z) = −Fl g z + C.

Die Integrationskonstante C kann aus der Bedingung p(z = h) = p0 bestimmt werden:

C = p0 + Fl g h.

Damit folgt fur p(z):

p(z) = Fl g (h− z) + p0. (4.14)

Der Druck im Gefaß hangt nur von der Tiefe ab und nimmt linear mit der Tiefe (h − z) zu; dieForm des Gefaßes spielt fur die Druckverteilung keine Rolle (hydrostatisches Paradoxon). DenDruck p in (4.14) bezeichnet man auch als Gesamtdruck oder absoluten Druck in der Tiefe (h−z).Die Bezeichnung ruhrt daher, daß sich der Druck p in (4.14) aus zwei Anteilen zusammensetzt:dem Luft- oder Atmospharendruck p0, der von oben auf die Flussigkeitsflache druckt, und demAnteil Flg(h− z). Im Allgemeinen bezeichnet man die Differenz zwischen dem absoluten Druckund dem atmospharischen Druck als Uberdruck.Gleichung (4.14) gilt auch oberhalb der Flussigkeitsoberflache, nur ist dann fur die Dichte die derLuft einzufuhren. Unter der Annahme, daß die Dichte als konstant angenommen werden kann, giltfur einen Ort oberhalb des Flussigkeitsspiegels mit der Hohenkoordinate z:

p(z) = −Luft g (z − h) + p0.


Bei großen Hohendifferenzen kann die Kompressibilitat der Luft nicht mehr vernachlassigt werden.Zusammen mit der Zustandsgleichung p = RT und (4.13) folgt:

dp

dz= − g

R

1

T. (4.15)

Eine Intergration ist nur moglich, wenn T = T (z) bekannt ist. Dies ist eine zusatzliche Aussage, dieaus thermodynamischen Uberlegungen herzuleiten ist (Energiebilanz). Besonders einfach wird dieIntegration fur eine isotherme Schichtung. Mit den Anfangswerten p(z = h) = p0 und Luft(z =h) = Luft0 hat (4.15)die Losung:

p(z) = p0 exp(

− g

RT0(z − z0)

)

und Luft(z) = Luft0 exp(

− g

RT0(z − z0)

)

.

Im Unterschied zur inkompressiblen Flussigkeit andert sich der Druck exponentiell mit der Hohe.Mit den Gleichungen kann man abschatzen, daß sich z. B. bei T0 = 273oC eine Druck- undDichteabnahme von ca. einem Prozent bei einer Hohenzunahme von 80 m ergibt.

Maßeinheiten fur den Druck:

Der Druck ist eine Spannung und hat die Dimension Kraft durch Flache. Im SI-System werdendiese Großen in Newton und Quadratmetern gemessen und der Druck in Pascal; es ist:

1Pa(Pascal) = 1N

m2.

Eine Vorstellung uber die Großenordnung dieser Einheit erhalt man, wenn man bedenkt, daß deratmospharische Luftdruck etwa 105 Pa betragt; er wird meist in Hektopascal (hPa) angegeben,102Pa = 1hPa.

In den technischen Anwendungen wird der Druck oft noch in bar angegeben, (1 bar = 105 Pa).Daneben werden auch noch die alteren Maßeinheiten at, atm und Torr verwendet. Fur die Um-rechnung gilt:

1 Technische Atmosphare = 1 at = 9, 81kg m

s2cm2= 0,981 bar = 10 mWS,

1 Physikalische Atmosphare = 1 atm = 1,013 bar = 760 Torr = 76 cmHg.

Den Definitionen der alteren Einheiten wurde die Kraft einer 10m hohen Wassersaule (WS) bzw.einer 76 cm hohen Quecksilbersaule (Hg) auf 1 cm2 Bodenflache zugrundegelegt.

4.2.2 Gleichformige Rotation einer Flussigkeit

Wenn eine Flussigkeit als Ganzes mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um eine feste Achse ro-tiert, kann die Frage nach der Druckverteilung im Gefaß und die Form der freien Oberflache aufein Problem der Hydrostatik zuruckgefuhrt werden. Die Flussigkeit wird dazu in einem mit ihr ro-tierenden Koordinatensystem betrachtet und die Zentrifugalkraft als Massenkraft eingefuhrt. DasKraftfeld k

∼

setzt sich damit aus dem Feld der Zentrifugalkraft k∼

z und dem Feld der Schwerkraftk∼

g zusammen. Zur Beschreibung des Vorganges benutzen wir ein kartesisches Koordinatensystem.Die z-Achse zeige in die Richtung des Winkelgeschwindigkeitsvektors und die Schwerkraft wirkeentgegen der z-Richtung. Fur ω

∼

und k∼

ergibt sich die Darstellung:

ω∼

= (0, 0, ω) und k∼

= k∼

z + k∼

g.

Fur die Darstellung der Zentrifugalkraft je Masseneinheit ergibt sich k∼

z = (ω2x, ω2y, 0) und furdiejenige der Schwerkraft k

∼g = (0, 0,−g). Diese beiden Kraftfelder besitzen das Potential:

Φ = −1

2ω2(x2 + y2

)+ g z + K.

4.3. Auftrieb, Schwimmen eines Korpers 39

Abbildung 4.3: Freie Oberflache einer rotierenden Flussigkeit

K ist eine noch festzulegende Konstante. Zusammen mit der aus der Gleichgewichtsbedingungabgeleiteten Beziehung (4.12) folgt zusammen mit = konst.:

p =

(1

2ω2(x2 + y2

)− g z

)

+ K ′.

Die Flachen gleichen Druckes sind demnach Rotationsparaboloide. Der Scheitelpunkt der freienOberflache liegt bei x = 0, y = 0 und z = z0, vgl. Abb. 4.3. Der Druck oberhalb der freienOberflache sei p0 = konst. Damit folgt fur die Konstante K ′

K ′ = p0 + g z0.

Die Gleichung der freien Oberflache lautet damit:

z = z0 +1

2 gω2(x2 + y2

).

Wie die Linien gleichen Druckes verlauft auch die freie Oberflache senkrecht zu den Feldlinien desKraftfeldes k

∼

.

Nimmt ein Festkorper in der Flussigkeit an der Rotation teil, so wirkt auf ihn außer dem Gewichtund dem Auftrieb eine horizontale Kraft vom Betrag

VK

(K−

Fl

)ω2r2

S.

Hier ist rS

der Abstand des Korperschwerpunktes von der Rotationsachse, K

die Dichte und VK

das Volumen des Korpers.

Ist die Dichte des Korpers großer als die der Flussigkeit, so treibt diese Kraft den Korper von derAchse weg; dieser Effekt wird bekanntlich bei Zentrifugen ausgenutzt.

4.3 Auftrieb, Schwimmen eines Korpers

Taucht ein Korper ganz oder teilweise in eine Flussigkeit ein, so wirken auf die in der Flussigkeitliegenden Elemente seiner Oberflache von der Hohenkoordinate abhangige Druckkrafte. Der Be-trag der daraus resultierenden Kraft F

∼A kann durch Integration des Druckes uber den von der


Flussigkeit benetzten Teil der Oberflache des Korpers bestimmt werden, siehe Abb. 4.4. Es gilt:

F∼ A

=

∫

A

−p n∼

dA =

∫

V

−∇∼

p dV. (4.16)

Hier ist V der Teil des Korpervolumens, der unterhalb des Flussigkeitsspiegels liegt. Mit ∇∼

p =(0, 0,−

Flg), wobei

Fldie Dichte der Flussigkeit ist, folgt:

F∼ A

= (0, 0, Fl

g V ). (4.17)

Abbildung 4.4: Auftrieb eines Korpers

Die resultierende Kraft F∼ A

heißt Auftriebskraft. Siehat keine Horizontalkomponente, sie wirkt entgegen-gesetzt zur Gewichtskraft und greift im Schwerpunktder verdrangten Flussigkeitsmenge an. Es gilt derSatz:Ein Korper in einer Flussigkeit erfahrt einen schein-baren Gewichtsverlust, dessen Betrag gleich dem Ge-wicht der verdrangten Flussigkeitsmenge ist (Archi-medisches Prinzip).Dieser Satz gilt auch, wenn der Korper nur zum Teilin die Flussigkeit eintaucht.

Beispiel: Als Anwendung berechnen wir die Kraft, die erforderlich ist, um ein Kegelventil anzuhe-ben, das die Bodenoffnung eines Gefaßes verschließt. Zur Losung denken wir uns den Kegel durcheinen Schnitt in zwei Teilkorper zerlegt. Dabei ist es klar, daß sich die auf beide Schnittflachenwirkenden horizontalen Krafte gegenseitig aufheben und damit die Aufgabe durch den Schnittnicht verandert wurde, vgl. Abb. 4.5. Aus der Abbildung folgt, daß sich die gesuchte Kraft ausdem Gewicht des Kegels F

G, dem Auftrieb des schraffierten Teilkorpers F

Aund der Differenz der

Druckkrafte auf die Deck- und Bodenflache des nicht schraffierten Teilkorpers FP

zusammensetzt.

Schnitt S

H

R

p

p = Umgebungsdruck

0

0

h/2

h

R/2

Abbildung 4.5: Krafte auf ein Kegelventil

4.4. Kraft auf eine Flache 41

Fur diese Krafte ergeben sich bei der vorgegebenen Geometrie die Ausdrucke:

FG

= − K

g πR2 h

3,

FA

= Fl

g πR2 h

8,

FP

= − Fl

g π

(R

2

)2

H.

Hierbei ist K

die Dichte des Kegels und Fl

die Dichte der Flussigkeit. Fur die gesuchte Kraftfolgt:

F = −FA

+ FG

+ FP

= πR2 g

(1

6Fl

h− 1

3K

h− 1

4Fl

H

)

.

Der Auftrieb F∼ A

greift stets im Schwerpunkt der verdrangten Flussigkeitsmenge, dem Auftriebs-zentrum A, an. Das Auftriebszentrum fallt im allgemeinen nicht mit dem Schwerpunkt S desKorpers zusammen. Beim Schwimmen eines Korpers verschwindet die Resultierende aus Gewichtund Auftrieb. Mogliche Schwimmlagen sind offensichtlich all jene, fur die die Angriffspunkte vonGewichtskraft und Auftrieb auf einer vertikalen Geraden liegen. Stabile Schwimmlagen sind jene,bei denen das Auftriebszentrum oberhalb des Schwerpunktes liegt.

Die Gleichgewichtslage eines schwimmenden Korpers kann stabil, indifferent oder auch labil sein.Um die Frage nach der Stabilitat zu entscheiden, lenken wir den Korper geringfugig aus derGleichgewichtslage aus und studieren das Ruckstellmoment aus Auftriebskraft und Gewichtskraft.

Notwendige Bedingung fur die Stabilitat einer Schwimmlage ist, daß das Moment von Gewichtund Auftrieb den Korper in die Gleichgewichtslage zuruckdreht, vgl. Abb. 4.6.

Abbildung 4.6: Gleichgewichtslage schwimmender Korper

4.4 Kraft auf eine Flache

Ist die Druckverteilung in einer Flussigkeit bekannt, so kann die Kraft F∼

, die von der Flussigkeitauf eine Flache A ausgeubt wird, eindeutig bestimmt werden. Es gilt:

F∼

=

∫

A

−p n∼

dA;

wobei n∼

der Normalenvektor der Flache A ist.


Um den Angriffspunkt r∼A

von F∼

auf der Flache A, den sogenannten Druckmittelpunkt, zu finden,verwendet man die Bedingung, daß das Moment von F

∼

bezuglich eines beliebigen Punktes gleichdem Integral von (r

∼

× (−p n∼

))dA uber die Flache A sein muß; hier ist n∼

der Normalenvektor derFlache und r

∼

der Ortsvektor vom Bezugspunkt zum Flachenelement. Es muß also gelten:

r∼A× F

∼

=

∫

A

− (r∼

× p n∼

) dA.

Beispiel: Kraft auf ein ebenes, geneigtes Flachenstuck einer Behalterwand, vgl. Abb. 4.7.

Fur die Druckverteilung gilt

p(z) = Fl

g z + p0 mit z = l cosα.

F l

g

p0p0

Flache A

α

l

z

p(l)

Druckverteilung

Abbildung 4.7: Druckverteilung auf eine schrage Wand

Fur den Betrag der Kraft, die von der Flussigkeit auf das Flachenstuck ubertragen wird, gilt:

F =

∫

A

| − p(z)n∼

| dA =

∫

A

(p0 +

Flg z)dA

= p0A + Fl

g

∫

A

z dA = p0A + Fl

g cosα

∫

A

l dA

= p0A + Fl

g cosα lSA =

(p0 +

Flg z

S

)A

= p(zS)A. (4.18)

Hierin sind lS

und zS

sind Schwerpunktskoordinaten der Flache A, die wie folgt definiert sind:

lS A =

∫

A

ldA ; zS = lS cosα.

Der Betrag der Kraft, die auf die Flache wirkt, ist damit gleich dem Druck im Flachenschwerpunktmal der Große der Flache.

Wirkt auf die Flache von außen der Umgebungsdruck p0, so folgt fur die resultierende Kraft:

R = F − p0A = Fl

g zSA. (4.19)

4.4. Kraft auf eine Flache 43

Die Kraft R∼

kann sofort in ihre Vertikal- und Horizontalkomponente zerlegt werden:

R∼

= (Rx, Rz) = Fl

g zS

A (cosα, sin α) .

Diese Gleichung sagt, daß der Betrag der Vertikalkomponente R · sin α gleich dem Gewicht deruber der Flache lastenden Flussigkeitsaule ist; entsprechend ist die Horizontalkomponente R ·cosαgleich dem Druck im Flachenschwerpunkt multipliziert mit der Projektion der Flache A auf diey, z-Ebene.

Zur Bestimmung des Angriffspunktes der Resultierenden verwenden wir die Momentenbedingung:

lA

R =

∫

A

(p− p0) l dA =

∫

A

Fl

g z l dA = Fl

g cosα

∫

A

l2 dA.

Hierin ist lA

die Abstandskoordinate des Angriffspunktes vom Bezugspunkt; weiter ist Jx =∫

Al2dA

das Flachentragheitsmoment von A bezuglich der x-Achse. Fur die Umrechnung auf eine paralleleAchse durch den Flachenschwerpunkt gilt der aus der Mechanik gut bekannte Steinersche Satz:

JS

= Jx − l2SA.

Damit wird aus (4.19)

lA

R = lA

Fl

g zs A = lA

Fl

g cosα lS

A = Fl

g cosα Jx;

es folgt

lA

=Jx

lS

A=

JS

+ l2SA

lS

A=

Flg cosα

∫

A

l2dA.

und

lA− l

S=

JS

lS

A> 0

Der Angriffspunkt der Resultierenden, der sogenannte Druckmittelpunkt, liegt also um JS/(l

SA)

tiefer als der Flachenschwerpunkt; fur eine quadratische Flache mit der Seitenlange a folgt z. B.

lA− l

S=

a2

12 lS

.


4.5 Oberflachenspannung und Kapillaritat

Bei einigen Anwendungen der hydrostatischen Gesetze auf Flussigkeiten mit freien Oberflachenmuß man die Oberflachenspannung berucksichtigen. Die bekannten Erscheinungen der Oberflachen-spannung beruhen darauf, daß zwischen den Molekulen einer Flussigkeit anziehende Krafte wirken,sogenannte van der Waals-Krafte. Uber diese Krafte sei hier nur bemerkt, daß sie nur auf sehrkurze Entfernungen wirksam sind: sie nehmen mit der 7. Potenz der Entfernung ab.

Auf ein im Innern einer Flussigkeit befindliches Molekul werden durch die benachbarten Teil-chen Krafte ausgeubt, die sich, da es sich um gleichartige Molekule handelt, in der Summe ausSymmetriegrunden gegenseitig aufheben. Ein Molekul an der Oberflache, das nicht allseitig vongleichartigen Nachbarn umgeben ist, erfahrt dagegen eine ins Innere der Flussigkeit gerichteteKraft, die als Kohasionskraft bezeichnet wird, vgl. Abb. 4.8 (a). Es muß daher mechanische Arbeitgeleistet werden, um ein Molekul aus dem Innern gegen die Wirkung der Kohasionskraft an dieOberflache zu bringen. Man kann die Arbeit δW , die zur Vergroßerung der Oberflache um δAerforderlich ist, zu δA proportional setzen:

δW = σδA (4.20)

und diese Arbeit als Zuwachs der potentiellen Energie der Oberflache ansehen. Die ganze Ober-flache A der Flussigkeit enthalt die potentielle Energie oder besser Oberflachenenergie:

W = σA. (4.21)

Die von der Große und Gestalt der Oberflache unabhangige Materialkonstante σ wird als spezifischeOberflachenenergie oder als Oberflachenspannung oder auch als Kappilarkonstante bezeichnet; ihreDimension ist Arbeit/Flache= Kraft/Lange.Ist die Flussigkeitsoberflache nicht eben, wie bisher vorausgesetzt, sondern gekrummt, so ruft dieKohasionskraft einen Krummungsdruck hervor. Zur Herleitung des Zusammenhangs zwischen derKrummung der Oberflache und dem Krummungsdruck betrachten wir einen kleinen Wassertropfenmit dem Radius r in einer Gasatmosphare. Die Molekule an der Grenzflache erfahren eine Kraft inRichtung des Tropfenzentrums, denn die Krafte zwischen den Gas- und Wassermolekulen an derGrenzflache sind klein gegenuber denjenigen zwischen den Wassermolekulen im Tropfeninnern. DieOberflachenspannung hat somit in erster Naherung denselben Effekt wie eine dunne Gummihaut,die uber den Tropfen gespannt ist und so einen Uberdruck im Tropfen erzeugt. Wir betrachtennun den in Abb. 4.8 (b) dargestellten Schnitt durch einen Tropfen. Das Kraftegleichgewicht invertikaler Richtung liefert:

(pi − pa)πr2 = 2πrσ. (4.22)

Der Krummungsdruck ist nun gleich der zwischen dem Tropfeninnern und der Umgebung besteh-den Druckdifferenz, es gilt:

p = (pi − pa) =2σ

r=

4σ

d, mit d = 2r. (4.23)

Ohne Beweis sei angegeben, dass fur den Krummungsdruck bei einer beliebig gekrummten Flachegilt:

p = σ(1

r1+

1

r2). (4.24)

Hierbei sind r1 und r2 die beiden Hauptkrummungsradien der Flache; fur r1 = r2 stimmt (4.24)mit (4.23) uberein. Der Krummungsradius und damit der Krummungsdruck sind positiv bei einer

4.5. Oberflachenspannung und Kapillaritat 45

Flüssigkeit

Gas

Abbildung 4.8 (a): Intermolekulare Krafte amRand einer Flussigkeit

p

p

s

pF

i

a

Abbildung 4.8 (b): Gleichgewichtsbetrachtungan einem Flussigkeitstropfen mit pi > pa

von unten konvexen Oberflache.Die Oberflachenspannung ermoglicht durch den Krummungsdruck z. B., dass eine Stahlnadel, dievorsichtig auf eine Flussigkeitsoberflache gelegt wird, nicht einsinkt, oder dass manche Insekten(sogenannte Wasserlaufer) auf einer Wasseroberflache dahingleiten konnen ohne einzutauchen.Zur Illustration der Großenordnung berechnen wir den Krummungsdruck fur ein Nebeltropfchenmit einem Radius von 10−2mm. Fur das System Wasser/Luft betragt die Oberflachenspannungbei 20oC ca. 7 · 10−2N/m. Damit folgt fur den Krummungsdruck aus (4.23):

p = 1, 4 · 104Pa.

Tabelle 4.1: Oberflachenspannung bei Raumtemperatur (20C)

Stoffkombination Oberflachenspannung [N/m]

Wasser/Luft 0,07Quecksilber/Luft 0,5Wasser/Petroleum 0,048Quecksilber/Wasser 0,4

Abschließend soll noch der Anstieg einer Flussigkeit der Dichte in einer Kapillarrohre im Schwe-refeld untersucht werden, vgl. Abb. 4.9. Das Kraftegleichgewicht in vertikaler Richtung zwischender Massenkraft und der Kraft aufgrund der Oberflachenspannung liefert:

2πrσ cos(α) = πr2hg h =2σ cos(α)

gr. (4.25)

Dabei ist α der Randwinkel, der sich je nach Benetzungsfahigkeit an der Wand einstellt. Die Großedes Randwinkels hangt von der Adhasionskraft zwischen Fluid und Wand und der Oberflachen-spannung ab. Ist fur ein Flussigkeitsmolekul an der Wand die Adhasion (Anziehungskraft) derWandmolekule großer als die Anziehungskraft der benachbarten Flussigkeitsteilchen, so wird derFlussigkeitsspiegel angehoben 0 < α < 90o, die Flussigkeit benetzt die Wand. Ist umgekehrt dieAnziehung der Flussigkeitsmolekule großer als die Adhasion, so liegt der nichtbenetzende Fall vor;die Flussigkeit sinkt an der Wand ab und es ist: α > 90o. In beiden Fallen tritt an der Grenzflachewie schon beim Tropfen ein Drucksprung auf. Wir wollen dies am Beispiel der kapillaren Steighohe


h

r

r0 F

F

a

1

2

Abbildung 4.9: Anstieg in Kapillarrohren

erlautern und betrachten dazu den Spezialfall der vollstandigen Benetzung. Mit α = 0 folgt aus(4.25) fur die maximale Steighohe:

h =2σ

gr=

4σ

gd. (4.26)

Mit anderen Worten: Aufgrund des Drucksprungsp ergibt sich unter dem Meniskus eine Sogkraftpπd2/4 der durch das Gewicht der Flussigkeitssaule g(πd2/4)h das Gleichgewicht gehalten wird.Bei kleinen Rohrdurchmessern konnen nach (4.25) beachtliche Steighohen erreicht werden. Dieserklart die Saugwirkung von feinporosen Materialien.


In diesem Abschnitt wurde die Statik von Gasen und Flussigkeiten untersucht. Es wurde gezeigt,daß diese nur dann im Ruhezustand verharren, wenn fur die wirkenden Kraftfelder ein Potentialexistiert.

Weiter wurden die Gleichgewichtsbedingungen aufgestellt, mit denen die Druckverteilung in ei-ner Flussigkeit berechnet werden kann. Daran anschließend wurden die Krafte ermittelt, die vonFlussigkeiten auf begrenzende Wande bzw. eintauchende Korper ausgeubt werden; ferner wurdendie Bedingungen untersucht, unter denen ein Korper in einer Flussigkeit schwimmt.

4.7 Literatur



47

Kapitel 5

Bewegungsgleichungen fur

reibungsfreie Fluide

5.1 Einleitung

Bei der Stromung realer Flussigkeiten treten sowohl Normalspannungen als auch Schubspannungenauf. Diese Schubspannungen sind eine Folge der inneren Reibung, vgl. dazu Kapitel 2. Unterbestimmten Umstanden ist der Einfluß der inneren Reibung auf die Stromung allerdings gering; esist daher naheliegend, diese zunachst ganz zu vernachlassigen. Eine solche reibungsfreie oder ideale1

Flussigkeit ist dadurch definiert, daß der Spannungszustand fur einen beliebigen Punkt alleindurch den richtungsunabhangigen Druck p beschrieben wird.Fur den Zusammenhang zwischendem Geschwindigkeitsfeld und dem Spannungsfeld einer reibungsfreien Flussigkeit gilt damit:

σ≈

= −pI≈

;

hierin ist I≈

der Einheitstensor. Aus dieser Gleichung ergibt sich fur den Spannungsvektor einesbeliebigen Flachenelementes mit der Normalen n

∼

:

σ∼

n = −p n∼

. (5.1)

Ob diese Voraussetzung bei einer Anwendung zulassig ist, kann nur anhand der Erfahrung oderdurch einen Vergleich der Voraussage dieser Theorie mit experimentellen Ergebnissen entschiedenwerden.

In diesem Abschnitt werden wir die Bewegungsgleichungen fur reibungsfreie, kompressible undinkompressible Flussigkeiten in differentieller Form herleiten.

5.2 Kontinuitatsgleichung

Die Kontinuitatsgleichung ergibt sich aus dem Prinzip der Erhaltung der Masse: Von der Masseeiner stromenden Flussigkeit kann weder etwas verschwinden noch entstehen.

Wir grenzen im Stromungsfeld ein beliebiges Volumen V ab, das sich mit der Stromung bewegt.Die im Volumen V eingeschlossene Masse bestimmt sich zu:

M =

∫

V (t)

dV (5.2)

Hierbei ist die Dichte, die eine stetig differenzierbare Funktion des Ortes sein soll, und V (t) dasabgegrenzte Volumen, das sich mit der Stromung bewegt. Das Prinzip der Erhaltung der Masse

1Um deutlich zu machen, daß es sich um eine Approximation handelt, die viele Aspekte realer Stromungenbeschreibt, bezeichnet man reibungsfreie Fluide auch als trockenes Wasser.

48 Kapitel 5. Bewegungsgleichungen fur reibungsfreie Fluide

fordert nun:

d

dt

∫

V (t)

dV = 0 (5.3)

D. h. die durch V (t) abgegrenzte Masse bleibt konstant. Diese Gleichung kann mit Hilfe derTransportgleichung in der Form (3.24) wie folgt geschrieben werden:

d

dt

∫

V (t)

dV =

∫

V (t)

∂

∂tdV +

∫

A(t)

v∼

· n∼

dA = 0. (5.4)

Hierbei ist A(t) die geschlossene Oberflache des Volumens V (t) und n∼

die außere Normale von A.

Zur Interpretation von (5.4) denken wir uns das Volumen V und dessen Oberflache A zur Zeitt = t0 raumlich fixiert. Der erste Term von (5.4) beschreibt dann die partielle Anderung der inV (t0) eingeschlossenen Masse:

∫

V (t0)

∂

∂tdV =

∂

∂t

∫

V (t0)

dV. (5.5)

Der zweite Term gibt die Anderung der im ortsfesten Volumen V (t0) eingeschlossenen Masseinfolge der Stromung durch die Berandung A(t0) an; v

∼

· n∼

dA ist der Massenstrom durch einFlachenelement der Große dA und der Orientierung n

∼

. Nach Gleichung (5.4) ist die zeitlicheAnderung der in V (t0) eingeschlossenen Masse gleich dem Massenstrom uber die Berandung A(t0)plus der partiellen Anderung in V (t0). Die Moglichkeit von Quellen und Senken innerhalb desabgegrenzten Volumens kann ohne Beschrankung der Allgemeinheit zunachst unberucksichtigtbleiben.

Abbildung 5.1: Herleitung der Kontinuitatsgleichung

Mit Hilfe des Gaußschen Satzes kann der zweite Term von (5.4) in ein Volumenintegral umgewan-delt werden, es folgt:

∫

V (t0)

(∂

∂t+ ∇

∼

· ( v∼

)

)

dV = 0. (5.6)

Da diese Gleichung fur beliebige Volumina V gilt, muß der Integrand identisch verschwinden:

5.3. Euler-Gleichung 49

∂

∂t+ ∇

∼

· ( v∼

) = 0. (5.7)

Dies ist die Kontinuitatsgleichung in differentieller Form; einzige Voraussetzung bei der Herleitungwar, daß und v

∼

stetig und stetig differenzierbar sind.

Wichtige Spezialfalle:

• Fur stationare Stromungen mit = (x∼

) und v = v(x∼

) wird aus (5.7):

∇∼

· ( v∼

) = 0. (5.8)

• Fur Stromungen inkompressibler Flussigkeiten ( = konst.) vereinfacht sich (5.7) zu:

∇∼

· v∼

= 0. (5.9)

Beispiel: Als Anwendung betrachten wir das Stromungsfeld, das durch eine sich nach einemgegebenen Zeitgesetz R = R(t) ausdehnende Kugel in einer inkompressiblen Flussigkeit erzeugtwird.

Die Aufgabe wird zweckmaßig in Kugelkoordinaten gelost; der Geschwindigkeitsvektor hat offenbarnur eine r-Komponente: v

∼

= vr e∼

r. Wegen der Symmetrie des Problems kann vr nur eine Funktionvom Radius r und der Zeit t sein. Wir wenden die Kontinuitatsgleichung in integraler Form an;als Kontrollvolumen wahlen wir eine Hohlkugel mit den Radien R(t) und r. Aus (5.4) folgt unterBerucksichtigung von = konst:

r2vr(r, t) = R(t)2vr(R(t)) = R2 ∂R

∂t(5.10)

und somit

vr(r, t) =R(t)2

r2

∂R

∂t=

B(t)

r2(5.11)

Das Geschwindigkeitsfeld hat damit die Darstellung:

v∼

=B(t)

r2e∼

r. (5.12)

Die Kontinuitatsgleichung in differentieller Form (5.9) ist erfullt, denn in Kugelkoordinaten gilt:

∇∼

· v∼

=1

r2

∂

∂r(r2vr) =

1

r2

∂

∂r(B(t)) = 0. (5.13)

5.3 Euler-Gleichung

Wir untersuchen zunachst das Kraftegleichgewicht zwischen der Tragheitskraft und dem Druck ineinem Stromungsfeld. Wir grenzen dazu ein beliebiges Volumen V ab. Die resultierende Druckkraftauf die Oberflache A des abgegrenzten Volumens ist gleich dem Integral:

Fp =

∫

A

−p n∼

dA = −∫

V

∇∼

p dV, (5.14)


die Umformung ergibt sich durch Anwendung des Gaußschen Satzes; n∼

ist die außere Flachennor-male von A.

Nach dem Newtonschen Gesetz der Mechanik ist fur eine Geschwindigkeitsanderung der abge-grenzten Masse eine Kraft erforderlich, fur diese gilt:

F∼

T =

∫

V (t)

dv

∼

dtdV. (5.15)

Hier ist die Dichte, v∼

die Geschwindigkeit und dv∼

/dt die Beschleunigung der einzelnen Volu-menelemente.

Fur das Gleichgewicht der beiden Krafte (5.14) und (5.15) muß gelten:

∫

V (t)

dv

∼

dtdV = −

∫

V (t)

∇∼

p dV. (5.16)

Diese Gleichung gilt fur beliebige Volumen V , daraus folgt die Gleichheit der Integranden:

dv

∼

dt= −∇

∼

p. (5.17)

Dies ist die Bewegungsgleichung fur reibungsfreie Flussigkeiten; sie wurde zuerst von LeonhardEuler angegeben und wird daher Eulersche Gleichung genannt.2

In (5.17) ist dv∼

/dt die materielle Ableitung, vgl. hierzu Abschnitt 3.2.2:

dv∼

dt=

∂v∼

∂t+ (v

∼

· ∇∼

)v∼

. (5.18)

Wirkt ferner eine Massenkraft k∼

, z.B. die Schwerkraft, die ublicherweise als entgegen der z-Richtung wirkend angenommen wird, so ist: k

∼

= − gez∼

, so gilt:

(∂v

∼

∂t+ (v

∼

· ∇∼

)v∼

)

= −∇∼

p + k∼

. (5.19)

Die Euler-Gleichung in der Form (5.17) bzw. (5.19) gilt sowohl fur kompressible als auchinkompressible Stromungen.

In einer reibungsfreien Flussigkeit gibt es weder innere Reibung noch Warmeleitung. ReibungsfreieStromungen verlaufen daher isentrop, d. h. die Entropie s einzelner Flussigkeitsteilchen bleibtkonstant. Es ist insbesondere s = konst. langs der Bahnlinien, es gilt daher:

ds

dt=

∂s

∂t+ (v

∼

· ∇∼

)s. (5.20)

Bei vielen Vorgangen ist die Entropie zu einer Anfangszeit fur alle Punkte im Stromungsfeld gleichgroß. Dann ist nach (5.20) s = konst. fur alle spateren Zeiten. Dieses Ergebnis kann man dazuverwenden, (5.19) in einer anderen Form zu schreiben. Dazu benotigen wir noch eine Form desersten Hauptsatzes der Thermodynamik:

dh = T ds +1

dp. (5.21)

Hierin ist h die spezifische Enthalpie der Flussigkeit und T die absolute Temperatur. Wegen s =konst. langs der Bahnlinien folgt aus (5.21):

dh =1

dp oder ∇

∼

h =1

∇∼

p. (5.22)

2Leonhard Euler, 1707-1783

5.4. Bernoulli-Gleichung 51

Unter Verwendung der Identitat3

(v∼

· ∇∼

)v∼

= ∇∼

v∼

2

2− v

∼

× (∇∼

× v∼

) (5.23)

folgt damit aus (5.19)

∂v∼

∂t+ ∇

∼

v∼

2

2− v

∼

× (∇∼

× v∼

) = −∇∼

h + k∼

. (5.24)

Zu der Bewegungsgleichung in der Form (5.19) oder (5.24) hat man noch Anfangs- und Rand-bedingungen hinzuzunehmen. Bei reibungsfreien Stromungen druckt die Randbedingung aus, daßdie Flussigkeit an begrenzenden Flachen tangential mit endlicher Geschwindigkeit entlangstromt.Dies bedeutet, daß die Geschwindigkeitskomponente senkrecht zur Flache verschwinden muß:

v∼

· n∼

= 0. (5.25)

n∼

ist der Normalenvektor der Flache. Mit der Anfangsbedingung werden Druck und Geschwindig-keit am Anfangsort der Stromung festgelegt.

Beispiel Als Anwendung der Euler-Gleichung soll fur das in Abschnitt 5.2 bestimmte Geschwin-digkeitsfeld, das durch eine sich in einer inkompressiblen Flussigkeit ausdehnenden Kugel erzeugtwird, der Druck p auf der Kugeloberflache berechnet werden. Der Druck im Unendlichen sei p0 .

Wegen der Kugelsymmetrie ist der Druck nur von der r-Koordinate abhangig; aus der r-Kompo-nente von (5.19) folgt mit dem Ergebnis aus Abschnitt 5.2

vr(r, t) =R(t)2

r2

∂R

∂t=

B(t)

r2, (5.26)

∂p

∂r= −

(∂vr

∂t+ vr

∂vr

∂r

)

= −

(∂vr

∂t+

1

2

∂

∂rvr

2

)

. (5.27)

Durch Integration folgt

p(r, t) =

(1

r

∂B

∂t− 1

2

B2

r4

)

+ K. (5.28)

Die Integrationskonstante bestimmt sich aus der Bedingung p(r→∞) = p0 zu K = p0 .

Die vorstehende Beziehung beschreibt den Druckverlauf im Stromungsfeld, fur den Druck auf derKugeloberflache r = R(t) folgt nach einigen Umformungen

p(R) = p0 +1

2

(

∂2

∂t2R2 +

(∂R

∂t

)2)

. (5.29)

Das Geschwindigkeits- und Druckfeld dieses Problems sind damit durch die Losung der Konti-nuitats- und der Eulergleichung vollstandig bestimmt.

5.4 Bernoulli-Gleichung

Die Bernoulli-Gleichung ist ein erstes Integral der Euler-Gleichung (5.24). Fur ihre Herleitung wirdvorausgesetzt, daß die Massenkraft k

∼

ein Potential besitzt:

k∼

= −∇∼

φ. (5.30)

3Aus dem Entwicklungssatz fur das doppelte Vektorprodukt folgt: b∼

(a∼· c∼

) = (a∼· b∼

) c∼

+ a∼× ( b

∼× c

∼) (vgl. z.B.

Bronstein: Taschenbuch der Mathematik)


Damit kann (5.24) in folgender Form geschrieben werden:

∂v∼

∂t− v

∼

× (∇∼

× v∼

) + ∇∼

(v∼

2

2+ h + φ

)

= 0∼

. (5.31)

Wir multiplizieren (5.31) skalar von links mit dem Tangenteneinheitsvektor e∼

t einer Stromlinie:

e∼

t =dx

∼

ds=

v∼

|v∼

| . (5.32)

Hierbei ist dx∼

ein Vektorelement der Stromlinie und s die Bogenlange.

Fur das Skalarprodukt von e∼

t mit dem zweiten Term der linken Seite von (5.31) gilt:

e∼

t · v∼

× (∇∼

× v∼

) ≡ 0∼

. (5.33)

Da v∼

× (∇∼

× v∼

) ein Vektor ist, der senkrecht zu v∼

steht, verschwindet das Skalarprodukt mit e∼

t

identisch. Weiter ist wegen

v∼

= v e∼

t = vdx

∼

ds: (5.34)

e∼

t · ∇∼

=dx

∼

ds· ∇

∼

=dx

∼

ds· d

dx∼

=d

ds. (5.35)

e∼

t · ∇∼

ist die Richtungsableitung langs der Bahn- bzw. Stromlinie. Damit folgt aus (5.31)durchskalare Multiplikation mit et von links :

e∼

t ·∂v

∼

∂t+ e

∼t · ∇

∼

(v∼

2

2+ h + φ

)

= e∼

t ·∂v

∼

∂t+

d

ds

(v∼

2

2+ h + φ

)

= 0. (5.36)

Durch Integration langs einer Stromlinie von einem Ort s1 nach s2 bei t = konst. ergibt sich wegen

e∼

t ·∂v

∼

∂t=

∂v

∂tund v

∼

2 = v2 : (5.37)

s2∫

s1

∂v

∂tds +

(v2

2+ h + φ

)∣∣∣∣∣∣

s2

s1

= 0. (5.38)

Dies ist die Bernoulli-Gleichung fur instationare Stromungen, darin ist: 4

s2∫

s1

∂v

∂tds die Arbeit der Beschleunigungskrafte pro Masseneinheit langs der Stromlinie

auf dem Wegstuck von s1 nach s2

v2

2

∣∣∣

s2

s1

die Differenz der kinetischen Energie pro Masseneinheit zwischen s2 und s1

h∣∣∣

s2

s1

=

s2∫

s1

dp

die Anderung der spezifischen Enthalpie bei isentroper Zustandsanderung zwi-schen s2 und s1

φ∣∣∣

s2

s1

die Anderung der potentiellen Energie pro Masseneinheit zwischen s1 und s2.

Die Bernoulli-Gleichung stellt einen Zusammenhang zwischen den Stromungsgroßen an einer Stelle1 und einer Stelle 2 einer Stromlinie fur eine feste Zeit t her. Fur die Anwendungen muß dabei derVerlauf der Stromlinie von vornherein bekannt sein.

Fur stationare Stromungen ist ∂v∼

/∂t ≡ 0∼

; die Bernoulli-Gleichung lautet dann:

v2

2+ h + φ = konst = C. (5.39)

4Daniel Bernoulli, 1700-1782

5.5. Stromfadentheorie stationarer Stromungen 53

Da bei stationaren Stromungen Bahnlinien und Stromlinien zusammenfallen, ist C eine Konstantelangs einer Stromlinie oder Bahnlinie.

Es ist zu beachten, daß die Konstante C auf der rechten Seite von (5.39) fur die einzelnen Strom-linien einer stationaren Stromung verschiedene Werte annehmen kann. C hat nur dann denselbenWert innerhalb des gesamten Stromfeldes, wenn das Geschwindigkeitsfeld der Bedingung ∇

∼

×v∼

= 0∼

genugt. Dies folgt unmittelbar aus (5.31). Stromungen, die dieser Bedingung genugen, heißen wir-belfrei oder auch barotrop. Der Geschwindigkeitsvektor kann dann durch ein Potential Φ ausge-druckt werden: v

∼

= ∇∼

Φ; vgl. hierzu Abschnitt 6.2.2. Aus (5.31) folgt:

∇∼

(∂Φ

∂t+

v2

2+ h + φ

)

= 0. (5.40)

Daraus folgt, daß der Klammerausdruck im Raum konstant ist, wobei der Wert der KonstantenC aber von der Zeit abhangen kann: C = C(t) .

In (5.38) und (5.39) hat jeder Term die Dimension Energie pro Masseneinheit. Dennoch ist dieBernoulli-Gleichung nicht die Energiegleichung der Stromungsmechanik. Der Unterschied zur all-gemeinen Energiegleichung ergibt sich aus der Auswertung des Integrals h =

∫dp/. Bei der

Herleitung von (5.38) wurde vorausgesetzt, daß die Zustandsanderung von 1 nach 2 isentrop er-folgt, d. h. mit s = konst. langs der Bahnlinien. Bei Stromungen mit Energiezufuhr z. B. ware dieZustandsanderung von 1 nach 2 nicht isentrop.

5.5 Stromfadentheorie stationarer Stromungen

5.5.1 Einleitung

Bei vielen technischen Anwendungen sind die Anderungen der Stromungsgroßen in Stromlinien-richtung groß gegenuber den Anderungen quer zu den Stromlinien. Daruber hinaus ist der Verlaufder Stromlinien vielfach durch die Randbedingungen festgelegt; typische Falle sind Stromungendurch Rohre mit konstantem oder veranderlichem Querschnitt, Dusen und Diffusorstromungensowie Kanalstromungen. In diesen Fallen kann der gesamte Stromungsraum als Stromfaden in-terpretiert werden und es genugt, die Anderung der Stromungsgroßen langs des Stromfadens zuuntersuchen.

Wegen dieser Vereinfachung konnen keine Aussagen uber die Geschwindigkeitsverteilung in einemQuerschnitt hergeleitet werden, sondern nur noch uber den Mittelwert. Man nennt diese Darstel-lung einer Stromung, bei der nur noch die langs des Stromfadens gemessene Entfernung von einemAnfangsquerschnitt als unabhangige Variable berucksichtigt wird, eindimensional.

5.5.2 Grundgleichungen der Stromfadentheorie

Der Stromfaden besitze einen veranderlichen Querschnitt, den wir mit A bezeichnen; die mittlereGeschwindigkeit in diesem Querschnitt sei u, der mittlere Druck p und die mittlere Dichte . DieBogenlange der zentralen Stromlinie sei s. Wir betrachten eine Stromung von einem Ort 1 zueinem Ort 2, vgl. Abb. 5.2.

Die Hulle des Stromfadens – die Stromrohre – wird durch eine Stromlinienschar gebildet, durchdiese Hulle stromt demnach keine Flussigkeit. Die Masse, die pro Zeiteinheit durch den QuerschnittA fließt, bestimmt sich zu ·v·A. Die Kontinuitat fordert demnach, daß ·v·A in allen Querschnittendesselben Stromfadens denselben Wert haben muß. Insbesondere gilt fur zwei Orte 1 und 2:

1 v1 A1 = 2 v2 A2. (5.41)

Dies ist die Kontinuitatsgleichung der Stromfadentheorie, sie ergibt sich auch unmittelbar aus derallgemeinen Gleichung in der Form (5.4).


Abbildung 5.2: Kraftegleichgewicht in Richtung des Stromfadens fur ein Fluidelement

Aus der Konstanz des Produktes ·v ·A langs eines Stromfadens folgt, daß ein Stromfaden in einerstationaren Stromung im Inneren der Flussigkeit nirgends enden kann; er erstreckt sich vielmehrvon einer Berandung des Flussigkeitsraumes zu einer anderen oder er lauft in sich zuruck.

Ist das stromende Fluid inkompressibel, so vereinfacht sich die Kontinuitatsbeziehung langs einesStromfadens zu v · A = konst.. Teilt man nun den Stromungsraum in lauter Stromrohren auf,durch die jeweils gleiche Flussigkeitsmengen fließen, so werden sich in Bereichen, in denen dieGeschwindigkeit groß und damit der Stromfadenquerschnitt klein ist, viele Stromfaden zusam-mendrangen; in Bereichen, in denen die Geschwindigkeit klein ist, werden sie sich entsprechendweiter ausdehnen.

Die Eulergleichung langs des Stromfadens folgt aus (5.19) durch skalare Multiplikation mit demTangenteneinheitsvektor e

∼t der zentralen Stromlinie. Die zentrale Stromlinie ist im allgemeinen

eine Raumkurve, die in Parameterdarstellung gegeben sei:

r∼

= r∼

(s); mit s = Bogenlange auf r.

Wird unter Zugrundelegung eines kartesischen Koordinatensystems fur den Vektor k∼

die Erdbe-schleunigung k

∼g = (0, 0,−g) eingesetzt, so folgt mit der Richtungsableitung e

∼t · ∇

∼

= d/ds :

vdv

ds= −1

dp

ds− g

dz

ds(5.42)

mit dz/ds = cosϕ und ϕ als dem Winkel zwischen der z-Achse und dem Tangenteneinheitsvektore∼

t.

(5.42) kann sofort als Kraftegleichgewicht langs des Stromfadens interpretiert werden; vgl. Abb. 5.2.

Bei der Herleitung von (5.42) wurde allein die Anderung langs des Stromfadens berucksichtigt.Wegen des Vektorcharakters der Geschwindigkeit ist aber auch die Anderung in Normalenrichtungvon Bedeutung. Fur die Geschwindigkeit eines Teilchens auf r

∼

gilt:

v∼

=dr

∼

dt=

dr∼

ds

ds

dt= e

∼tv

und fur die konvektive Beschleunigung:

b∼

=dv

∼

dt=

d

dt(e∼

tv) =ds

dt

d

ds(e∼

tv) = v2 de∼

t

ds+ v

dv

dse∼

t. (5.43)

Aus der Differentialgeometrie (Frenetsche Formeln) ist bekannt, daß der erste Term der rechtenSeite von (5.43) wie folgt geschrieben werden kann:

de∼

t

ds=

e∼

n

R. (5.44)

Hierbei ist:

5.5. Stromfadentheorie stationarer Stromungen 55

e∼

t der Tangenteneinheitsvektor in Richtung des Stromfadens,e∼

n der Normalenvektor des Stromfadens in Richtung zum Krummungsmittelpunkt,R der Krummungsradius des Stromfadens.

Dabei ist e∼

n · e∼

t = 0, also e∼

n ⊥ e∼

t und weiter |e∼

t| = |e∼

n| = 1. Die Beschleunigung hat danach eineTangentialkomponente b

∼t, die bei der Herleitung von (5.42) bereits verwendet wurde, und eine

Normalenkomponente b∼

n; (5.43) kann damit wie folgt geschrieben werden:

b∼

=v2

Re∼

n + vdv

dse∼

t = bne∼

n + bte∼

t. (5.45)

Aus (5.19) folgt durch skalare Multiplikation mit dem Normalenvektor e∼

n:

e∼

ndv

∼

dt= bn =

v2

R= −1

dp

dn− g

dz

dn. (5.46)

Hierbei ist e∼

n · ∇∼

=d

dndie Ableitung in Richtung von e

∼n.

Fur den Fall, daß die Schwerkraft nicht berucksichtigt werden muß, folgt aus (5.46), daß derDruck nach Maßgabe der lokalen Krummung, die durch R beschrieben wird, entgegengesetzt zurNormalenrichtung zunimmt. Der Druckgradient in Normalenrichtung ist dabei gleich dem Produktaus Dichte und dem negativen Wert der Zentripetalbeschleunigung. Insbesondere folgt aus (5.46),daß bei geraden Stromlinien sich der Druck in Querrichtung nicht andert.

(5.46) beschreibt das Kraftegleichgewicht senkrecht zum Stromfaden bzw. zur Stromlinie fur dasin Abb. 5.3 eingezeichnete Flussigkeitselement.

(5.42) und (5.46) nennt man auch die Eulerschen Gleichungen in Stromlinienkoordinaten.

(5.42) kann langs des Stromfadens zwischen zwei beliebigen Orten 1 und 2 sofort integriert werden.Es ergibt sich die bereits fruher hergeleitete Bernoulli-Gleichung in der Form:

v22

2− v2

1

2+

p2∫

p1

dp

+ g (z2 − z1) = 0. (5.47)

Hier ist g die Schwerebeschleunigung und z die Hohenkoordinate des Ortes 1 bzw. 2.

Abbildung 5.3: Kraftegleichgewicht senkrecht zum Stromfaden

Die Aufgabe besteht nun darin, die Werte der vier Großen v, p, und T in einem Ort 2 zu bestim-men, wenn diese in einem Ort 1 des Stromfadens gegeben sind. Zur Losung der Aufgabe steht dieKontinuitatsgleichung in der Form (5.41) und die Bernoulli-Gleichung (5.47) zur Verfugung. Zu


diese Beziehungen kommt noch die Zustandsgleichung des stromenden Stoffes (bei einem idealenGas ist dies (2.14)) und eine Aussage uber die Zustandsanderung. Bei der isentropen Stromungeines idealen Gases folgt dafur aus (5.21) mit (2.14) nach einigen Umformungen die aus der Ther-modynamik gut bekannte Adiabatengleichung

p

κ= konst. (5.48)

Bei isentropen Stromungen inkompressibler Flussigkeiten ist der Stromungszustand (v, p, =konst.) im Punkt 2 vollstandig durch die Gleichungen (5.41) und (5.47) bestimmt; Anwendungenwerden in den Kapiteln 5.6 und 8.4 gebracht.

5.5.3 Berucksichtigung von Energiezufuhr und Stromungsverlusten

In den Anwendungen wird die Stromfadentheorie zur Berechnung von Rohrstromungen verwen-det. Bei Rohrstromungen wird mit Pumpen mechanische Energie zugefuhrt, um die bei realenFlussigkeiten durch innere Reibung auftretenden Verluste zu kompensieren. Es besteht daher einBedurfnis, die Bernoulli-Gleichung auf solche Stromungen zu erweitern. Wir betrachten dazu diestationare Stromung einer inkompressiblen Flussigkeit langs eines Stromfadens im Schwerefeld;zwischen zwei Orten 1 und 2 gilt die Bernoulli-Gleichung (5.47).

Die kinetische Energie langs des Stromfadens ist allein durch Geschwindigkeit v1 und Dichte amOrt 1 sowie den Querschnitt des Stromfadens bestimmt, die potentielle Energie allein durch dieHohenlage des betrachteten Ortes. Stromungsverluste gehen deshalb allein zu Lasten des Druckes;man kann diese Verluste formal durch ein Druckverlustglied ∆p

V/ berucksichtigen. Ebenso kann

eine Energiezufuhr mittels einer Pumpe durch einen Term der Form ∆pP

/ berucksichtigt werden.Unter Berucksichtigung dieser Zusatzterme folgt aus (5.47):

v21

2+

p1

+ gz1 +

∆pP

=

v22

2+

p2

+ gz2 +

∆pV

. (5.49)

Diese Gleichung kann auf instationare Stromungen erweitert werden; in der hier angegebenen Formgilt sie bei stationaren inkompressiblen Stromungen im Schwerefeld fur einen Stromfadenabschnitt.Fur die Berechnung des Verlustterms wird auf Kapitel 11 verwiesen.

5.6 Anwendungen der Stromfadentheorie und Folgerungen

aus der Bernoulli-Gleichung

Die Bernoulli-Gleichung ist eine der wichtigsten Beziehungen der Hydrodynamik reibungsfreierFlussigkeiten. Insbesondere in Verbindung mit der Stromfadentheorie lassen sich mit ihr auf ele-mentare Weise eine Reihe von Effekten erklaren. Wir behandeln einige typische Beispiele fur ihreAnwendung.

5.6.1 Umstromung eines Korpers, Druckmessung

Ein fester Korper bewege sich mit der konstanten Geschwindigkeit U∞ durch eine sonst ruhendeFlussigkeit. Der Druck in der Flussigkeit sei in großer Entfernung vom Korper p∞. Fur einenBeobachter, der sich mit dem Korper bewegt, verlauft die Stromung stationar; der Korper wirdmit der konstanten Geschwindigkeit u∞ angestromt.

Vor dem Korper staut sich die Stromung an und zerteilt sich nach allen Seiten, um den Korper zuumstromen, vgl. Abb. 5.4. Auf der Oberflache des Korpers gibt es nun mindestens zwei Punkte,die Staupunkte, in denen die Stromungsgeschwindigkeit Null ist. Die Staupunkte sind singularePunkte des Stromlinienfeldes; in ihm konnen sich Stromlinien schneiden und verzweigen.

5.6. Anwendungen der Stromfadentheorie und Folgerungen aus der Bernoulli-Gleichung 57

Abbildung 5.4: Umstromung eines Korpers

Mit der Bernoulli-Gleichung kann der Druck pg im Staupunkt bestimmt werden; fur die durch denStaupunkt gezogene Stromlinie gilt:

2u2∞ + p∞ = pg,

es gilt also

2u2∞ = pg − p∞.

Der Druckanstieg pg − p∞ heißt Staudruck oder auch dynamischer Druck. Der Druck im Stau-punkt wird als Gesamtdruck oder Ruhedruck bezeichnet. Es gilt in dieser Ausdrucksweise

Gesamtdruck = statischer Druck + Staudruck.

Wegen der konstanten Anstrombedingungen gilt fur zwei unterschiedliche Orte 1 und 2

2u2∞ + p∞ =

2u2

1 + p1, (5.50)

2u2∞ + p∞ =

2u2

2 + p2. (5.51)

Da die linken Seiten einander gleich sind, gilt

2u2

1 + p1 =

2u2

2 + p2. (5.52)

Bei dieser Stromung ist demnach die Konstante in der Bernoulli-Gleichung fur alle Stromliniengleich groß. Die Bernoulli-Gleichung gilt also langs beliebiger Kurven im Stromungsraum.

Der Druckanstieg im Staupunkt liefert eine Moglichkeit zur Bestimmung von Stromungsgeschwin-digkeiten. pg−p∞ kann aus einer Messung des Gesamtdruckes und des statischen Druckes bestimmtwerden. Zur Bestimmung des Gesamtdruckes pg = /2u2

∞+p∞, in einer Stromung genugt ein ein-faches umgebogenes Rohr, das nach seinem Erfinder Pitotrohr oder Staurohr genannt wird, vgl.Abb. 5.5. Der sich am Staupunkt einstellende Gesamtdruck pg pflanzt sich durch das Rohr fortund kann zu einem Meßgerat gefuhrt werden. Wird von diesem Gesamtdruck der statische Drucksubtrahiert, so kann die Geschwindigkeit u∞ sofort berechnet werden, sofern die Dichte bekanntist.

Die Messung des statischen Druckes in einer Stromung bereitet insofern Schwierigkeiten, als je-de Sonde, die zur Druckmessung eingebracht wird, das Druckfeld an ihrem Ort stort. Bei derStromung langs einer Wand erfolgt die Bestimmung des statischen Druckes am einfachsten ubereine Wandbohrung, vgl. Abb. 5.6. Falls die Offnung gut ausgefuhrt ist, bildet sich eine Stromung


h

c

z

Abbildung 5.5: Pitotrohr zur Bestimmung des Gesamtdruckes pg

mit einer Trennflache aus. Dort grenzt eine stromende Flussigkeit an eine ruhende und man kannerwarten, daß der Druck in beiden Flussigkeitsbereichen gleich groß ist. Uber eine Leitung kannder Druck im ruhenden Flussigkeitsteil abgenommen und zu einem Meßgerat gefuhrt werden.

Man kann diese Art der Druckmessung mit der Messung des Gesamtdruckes durch ein Staurohrkombinieren, wenn man das Staurohr mit einem zweiten Rohr umgibt, das seitliche Anbohrungenaufweist. Durch Differenzbildung erhalt man dann sofort den Staudruck und kann die Stromungs-geschwindigkeit aus diesem berechnen:

u∞ =

√2

(pg − p∞), (5.53)

Das Gerat nach Abb. 5.7 heißt Prandtlsches Staurohr oder einfach Prandtlrohr. Es kann auchfur kompressible Stromungen verwendet werden, allerdings ist dann zur Bestimmung von u∞

zusatzlich noch eine Temperaturmessung erforderlich, vgl. Abschnitt 8.5.4.

5.6.2 Ausstromen einer inkompressiblen Flussigkeit aus einem Gefaß

Gegeben sei ein mit Flussigkeit gefullter Behalter, die Ausflußoffnung A2 sei klein gegenuber demBehalterquerschnitt A1, vgl. Abb. 5.8. Gefragt ist die Ausflußgeschwindigkeit v2.

Wir verfolgen einen Stromfaden von der Flussigkeitsoberflache 1 bis zum Ausfluß 2. Die Bernoulli-Gleichung fur diesen Stromfaden lautet:

v21

2+ p1 + g z1 =

v22

2+ p2 + g z2. (5.54)

Die Kontinuitatsgleichung liefert eine Beziehung zwischen v1 und v2:

v1A1 = v2A2 ⇒v1

v2=

A2

A1≪ 1 (5.55)

Wegen v1/v2 ≪ 1 kann der Term ( v21)/2 in (5.54) gegen ( v2

2)/2 vernachlassigt werden. Unterdieser Voraussetzung liefert (5.54) eine Aussage fur v2 :

v2 =

√2

(p1 − p2) + 2 g (z1 − z2). (5.56)

5.6. Anwendungen der Stromfadentheorie und Folgerungen aus der Bernoulli-Gleichung 59

h

h`

c

z

p

p`

r

r

1

2

= Außendruck0

Abbildung 5.6:Stromung langs einer Wand mit Anbohrung

c

z

p

p

p =r

c²-2

ges

stat

dyn

Abbildung 5.7: Prandtlsches Staurohr

Abbildung 5.8: Ausstromen aus einem Gefaß

Bei einem offenen Gefaß ist p1 = p2 = p0 ; damit erhalt man die Torricellische Ausflußformel:

v2 =√

2 g h. (5.57)

v2 hangt dabei allein von der Hohendifferenz zwischen Ausflußoffnung und Flussigkeitsspiegel abund ist gerade so groß, als wurden die Flussigkeitsteilchen aus einer Hohe h frei herabfallen.Bemerkenswert ist weiter, daß v2 von der Richtung des Ausflusses unabhangig ist.

Bei einem geschlossenen Gefaß mit p1 > p2 und z1 = z2 folgt fur die Austrittsgeschwindigkeit:

v2 =

√2

(p1 − p2) =

√2

∆p (5.58)

Die Zunahme der kinetischen Energie erfolgt hier auf Kosten der Enthalpie. (5.58) gilt auch furdie Luftstromungen in unserer Atmosphare; typische Druckdifferenzen zwischen einem Hochdruck-und Tiefdruckgebiet liegen in der Großenordnung von 103 Pa = 10 mbar. Mit = 1, 23 kg/m3 folgtdann aus (5.58): v = 40, 3 m/s ∼ 145 km/h. Bei großeren Druckdifferenzen bzw. Geschwindigkeitenmuß die Kompressibilitat berucksichtigt werden, vgl. Kapitel 7.


5.6.3 Druckverteilung in einem Wirbel

Beim Ausstromen einer Flussigkeit aus der Bodenoffnung eines Behalters ist der Auslaufstromungimmer eine wirbelartige Drehbewegung uberlagert (Badewannenwirbel!). Die Geschwindigkeitsver-teilung in diesem Wirbel, der aus weiter unten dargelegten Grunden als Potentialwirbel bezeichnetwird, kann durch vϕ = C/r und vr = 0 beschrieben werden. Wir nehmen zusatzlich noch an, daßdie Bewegung in einer Horizontalebene erfolgt und daher die Schwerkraft keine Rolle spielt. Wegender Drehsymmetrie hangen alle Großen nur von r ab; fur die Druckverteilung in radialer Richtunggilt Gleichung (5.46):

dp

dr=

v2ϕ

r. (5.59)

Diese Gleichung hat fur vϕ = C/r die allgemeine Losung

p(r) = −

2

C2

r2+ K. (5.60)

Zur Bestimmung der Integrationskonstanten setzen wir die Bedingung:

p(r1) = p1. (5.61)

Damit folgt aus 5.60

p(r) = p1 +

2C2

(1

r21

− 1

r2

)

. (5.62)

Im Potentialwirbel andern sich Druck und Geschwindigkeit gegensinnig. Dies ist eine typischeFolge der Tatsache, daß bei dieser Stromung die Konstante in der Bernoulli-Gleichung fur alleStromlinien denselben Wert hat, vgl. Abb. 5.9.

Abbildung 5.9: Geschwindigkeit und Druck im Potentialwirbel

Bei den in der Natur vorkommenden Wirbeln rotiert aufgrund der inneren Reibung realer Fluideein Kernbereich wie ein starrer Korper mit einer Winkelgeschwindigkeit Ω. Dieser Kernbereichhabe den Radius r1, fur die Geschwindigkeit gilt dann:

vϕ = Ω r =C

r21

r, r ≤ r1. (5.63)


Fur die Druckverteilung folgt aus (5.59)

dp

dr=

v2ϕ

r=

C2

r41

r. (5.64)

Mit der Bedingung p(r1) = p1 ergibt sich als Losung:

p(r) = p1 +

2

C2

r41

(r2 − r2

1

); r ≤ r1. (5.65)

Im Wirbelkern liegt ein Minimum fur den Druck vor. Dies entspricht z. B. auch der Erfahrungbei tropischen Wirbelsturmen. Im Unterschied zum Potentialwirbel bleibt der Druck im Zentrum(r → 0) aber beschrankt.

Anders als beim Potentialwirbel andern sich Druck und Geschwindigkeit beim Starrkorperwirbelgleichsinnig; die Konstante in der Bernoulli-Gleichung andert sich von Stromlinie zu Stromlinie.


Durch Anwendung der Erhaltungssatze fur Masse und Impuls wurden die Bewegungsgleichungenfur reibungsfreie Fluide hergeleitet. Wir haben gefunden, daß es sich dabei um nichtlineare partielleDifferentialgleichungen handelt.

Unter Voraussetzung einer isentropen Zustandsanderung war es moglich, die Bewegungsgleichunglangs einer Stromlinie zu integrieren. Daraus ergab sich die sogenannte Bernoulli-Gleichung, dieeinen skalaren Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit, Druck und Dichte langs einer Stromliniedarstellt.

Bei vielen technischen Aufgabenstellungen ist der Stromlinienverlauf a priori in gewisser Naherungbekannt. Darauf aufbauend wurde die sogenannte Stromfadentheorie entwickelt, mit der eindimen-sionale Stromungen behandelt werden konnen.

5.8 Literatur



[3] Landau, L.D. und E.M. Lifschitz: Hydrodynamik. Lehrbuch der Theoretischen Physik, Bd.VI, Akademie-Verlag, Berlin (1982)

[4] Oswatitsch, K.: Physikalische Grundlagen der Stromungslehre. Handbuch der Physik, Bd.VIII/1, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York (1959)

62

Kapitel 6

Wirbelfreie Stromungen -

Potentialstromungen

6.1 Einleitung

In diesem Abschnitt wollen wir uns mit einer speziellen Klasse von Losungen der Bewegungsglei-chungen reibungsfreier Flussigkeiten beschaftigen, bei denen das Vektorfeld der Geschwindigkeitaus einem Sklarfeld hergeleitet werden kann: den wirbelfreien Stromungen oder Potentialstromun-gen.Unsere Uberlegungen im vorstehenden Abschnitt haben gezeigt, dass wirbelfreie Stromungen nichtnur mathematische Vereinfachungen sind sondern in der Technik haufig vorkommen mussen. Wirdz. B. bei Windkanalversuchen Luft gegen ein Flugzeugmodell geblasen, so hat die Luft beim Ein-tritt in den Kanal eine einheitliche Geschwindigkeit und ein und denselben Druck. Nach denhergeleiteten Satzen mußte sich ein Geschwindigkeitsfeld um das Flugzeug ausbilden, die einerAufgrund der Annahme der Wirbelfreiheit berechneten Losung entspricht.

6.2 Quellen und Wirbel

Gegeben sei ein Stromungsfeld v∼

(x∼

, t). In diesem Feld stromt durch ein orientiertes Flachenelementn∼

dA in dem Zeitintervall dt das Volumen: v∼

· n∼

dAdt. Wir wollen nun das Flussigkeitsvolumenberechnen, das pro Zeiteinheit durch eine geschlossene Flache A stromt. Als einfaches Beispielbetrachten wir zunachst eine Stromung mit uberall konstanter Geschwindigkeit: v

∼

(x∼

, t) = v0∼

=konst.. Mit Hilfe des Gaußschen Satzes folgt wegen ∇

∼

· v0∼

= 0:

∮

A

v∼

· n∼

dA =

∫

V

∇∼

· v∼

dV = 0.

Das heißt: in den betrachteten Bereich stromt genau soviel Flussigkeit hinein wie heraus, oder: indem Bereich beginnen und enden keine Stromlinien. Was bedeutet es nun, wenn fur ein Geschwin-digkeitsfeld das Oberflachenintegral

∮

A

v∼

· n∼

dA = Q 6= 0

ist? Im Fall Q > 0 besitzt die Stromung innerhalb der geschlossenen Flache A offensichtlichQuellen, so daß durch die geschlossene Flache mehr nach außen stromt als nach innen. Umgekehrtbesitzt das Stromungsfeld im Falle Q < 0 innerhalb der geschlossenen Flache A Senken. Es liegtdeshalb nahe, die Große Q als Quellstarke zu bezeichnen. Mit dem Satz von Gauß konnen wir Qauch durch ein ein Volumenintegral ausdrucken:

6.2. Quellen und Wirbel 63

Q =

∮

A

v∼

· n∼

da =

∫

V

∇∼

· v∼

dV. (6.1)

Wegen dieses Zusammenhanges ist klar, daß die Divergenz des Geschwindigkeitsfeldes die Bedeu-tung einer spezifischen Quelldichte hat

q = ∇∼

· v∼

. (6.2)

In quellenfreien Stromungen ist ∇∼

· v∼

≡ 0.

Zu einer weiteren Große, die fur die Beschreibung von Stromungsfeldern wichtig ist, gelangen wirbei der Untersuchung der Zirkulationsstromung, deren Stromlinien konzentrische Kreise sind. Wirberechnen das Integral

∮

C

v∼

· ds∼

langs eines Kreises C mit dem Radius R:

∮

C

v∼

· ds∼

=

2π∫

0

vϕRdϕ = 2πRvϕ(R).

Das Integral∮

C

v∼

· dr∼

heißt Zirkulation Γ der Stromung langs des geschlossenen Weges C. Die

Zirkulation kann man mit Hilfe des Stokesschen Satzes auch durch ein Flachenintegral ausdrucken:

Γ =

∮

C

v∼

· ds∼

=

∫

A

∇∼

× v∼

· n∼

dA. (6.3)

Hierbei ist A eine Flache mit C als Berandung, n∼

ist die zugehorige Oberflachennormale. Man siehtaus (6.3), daß die Zirkulation immer mit der Rotation des Gschwindigkeitsfeldes verbunden ist.Bei der Auswertung von (6.3) spielt die Flache A eine wichtige Rolle:Man muß zwischen einfachund mehrfach zusammenhangenden Flachen unterscheiden!

Wir wollen uns die Bedeutung der Zirkulation ∇∼

× v∼

an einem Beispiel klarmachen und betrachtendazu das Geschwindigkeitsfeld: v

∼

= r∼

× Ω∼

, welches eine starre Rotation um eine Achse mit derRichtung von Ω

∼

mit der Winkelgeschwindigkeit Ω = |Ω∼

| darstellt, vgl. Abb. 6.1. Wenn wir ∇∼

× v∼

berechnen erhalten wir:

1

2∇∼

× v∼

=1

2∇∼

× (r∼

× Ω) = Ω∼

.

Fuhren die Flussigkeitsteilchen, wie im Beispiel des Starrkorperwirbels, Drehbewegungen aus, dannspricht man von Wirbelbewegungen . In diesen Fallen ist immer Ω

∼

= 12∇∼ × v

∼

6= 0∼

; wir nennendeshalb Ω

∼

Wirbeldichte und das Integral∫

A

∇∼

× v∼

· n∼

dA Wirbelfluß.

Das Fehlen der Viskositat hat zur Folge, dass ein zu einem bestimmten Zeitpunkt wirbelfreiesGeschwindigkeitsfeld einer idealen Flussigkeit (trockenes Wasser) fur alle Zeiten wirbelfrei bleibt.Dieser Sachverhalt ist der Inhalt des Wirbelsatzes von Kelvin, der Satz lautet:

Die Zirkulation langs einer geschlossenen Kurve, die dauernd aus denselben Flussig-keitsteilchen besteht, andert sich nicht mit der Zeit (Erhaltungssatz fur die Zirkulati-on).

Die Gultigkeit des Satzes ist an folgende Bedingungen geknupft:

64 Kapitel 6. Wirbelfreie Stromungen - Potentialstromungen

x

y

j

r

Ω∼

Abbildung 6.1: Starrkorperwirbel

x

y

1C

2C

3C

Abbildung 6.2: Integrationswege zurBestimmung der Zirkulation

1.) reibungsfreies Fluid

2.) fur die Massenkrafte existiert ein Potential f∼

= ∇∼

φ

3.) die Dichte ist konstant oder genauer, nur eine Funktion des Druckes: = (p)

Diese Bedingungen sind dieselben, die auch bei der Ableitung der Bernoulli-Gleichung benutztwurden.

Zum Beweis des Kelvinschen Satzes ist die totale zeitliche Ableitung der Zirkulation langs einersich mit der Flussigkeit bewegenden geschlossenen Kurve zu berechnen:

d

dt

∮

C

v∼

· δr∼

, (6.4)

δr∼

ist die Differenz zweier Ortsvektoren r∼

i eines Bogenelements. Bei der Ableitung dieses Integralsmuß man beachten, daß sich nicht nur die Geschwindigkeit, sondern auch die Kurve selbst andert:

d

dt

∮

C

v∼

· δr∼

=

∮

C

dv∼

dt· δr

∼

+

∮

C

v∼

· d δr∼

dt. (6.5)

Nun ist aber die Geschwindigkeit v∼

gleich der Zeitableitung des Ortsvektors, es gilt daher

v∼

· d δr∼

dt= v

∼

· δdr∼

dt= v

∼

· δv∼

= δv∼

2

2. (6.6)

Das Integral eines vollstandigen Differentials langs einer geschlossenen Kurve ist aber gleich Null,deshalb gilt

∮δv∼

2/2 = 0. Daher ist:

d

dt

∮

C

v∼

· δr∼

=

∮

C

dv∼

dt· δr

∼

. (6.7)

Fur die Beschleunigung setzen wir eine fruher hergeleitete Form der Eulergleichung ein:

dv∼

dt= −∇

∼

h (6.8)

6.3. Ebene Potentialstromungen 65

und erhalten mit dem Satz von Stokes:∮

C

dv∼

dt· δr

∼

=

∮

C

(−∇∼

h) · δr∼

=

∫

A

∇∼

× (−∇∼

h) dA ≡ 0. (6.9)

Hier ist A eine Flache mit C als Randkurve.

Weil die Rotation eines Gradienten identisch verschwindet, ist der Satz hiermit bewiesen.

6.3 Ebene Potentialstromungen

6.3.1 Grundgleichungen

In diesem Abschnitt befassen wir uns mit der Losung der in Kapitel 5 hergeleiteten hydrodyna-mischen Grundgleichungen, der Kontinuitatsgleichung

∇∼

· v∼

= 0 (6.10)

und der Euler-Gleichung

∂v∼

∂t+ v

∼

· ∇∼

v∼

= −1

∇∼

p (6.11)

fur inkompressible Flussigkeiten. Wenn allein das Geschwindigkeitsfeld von Interesse ist, kannaus der Euler-Gleichung durch einfuhren des Wirbelvektors der Druck eliminiert werden. Wirverwenden dazu die bekannte Identitat

(v∼

· ∇∼

)v∼

= ∇∼

v∼

2

2− v

∼

× (∇∼

× v∼

) (6.12)

zur Umformung der konvektiven Beschleunigung und erhalten schließlich:

∂v∼

∂t+ ω

∼

× v∼

+1

2∇∼

v∼

2 = −1

∇∼

p. (6.13)

Wird auf beiden Seiten dieser Gleichung die Rotation gebildet,so folgt:

∂ω∼

∂t+ ∇

∼

× (ω∼

× v∼

) = 0∼

. (6.14)

Zusammen mit der Beziehung ω∼

= ∇ × v∼

und der Kontinuitatsgleichung beschreibt (6.14) dasGeschwindigkeitsfeld vollstandig. Auf eine Konsequenz der Gleichung (6.14) sei besonders hinge-wiesen: Ist im gesamten Stromungsfeld ω

∼

= 0∼

zu einer beliebigen Zeit t, so verschwindet ω∼

furbeliebige spatere Zeiten, d.h. die Stromung ist fur alle Zeiten wirbelfrei. Die Gleichungen, die furwirbelfreie Stromungen zu losen sind, lauten damit:

∇∼

· v∼

= 0, (6.15)

∇∼

× v∼

= 0∼

. (6.16)

Quellen- und wirbelfreie Geschwindigkeitsfelder erfullen sowohl die Kontinuitatsgleichung als auchdie Euler-Gleichung und sind spezielle Losungen dieser Gleichungen. Unsere Aufgabe, Losungender nichtlinearen Bewegungsgleichungen (6.10) und (6.11)zu finden, reduziert sich damit auf dieLosung der linearen Gleichungen (6.15) und (6.16).


6.3.2 Potentialfunktion und Stromfunktion

Die Wirbelfreiheit (6.16) kann durch Einfuhren eines Potentials Φ erfullt werden; wir setzen:

v∼

= ∇∼

Φ. (6.17)

Setzen wir diese Darstellung in die Kontinuitatsgleichung ∇∼

· v∼

= 0 ein, so sehen wir, daß Φ derPotentialgleichung ( Laplace-Gleichung) genugen muß:

∂u

∂x+

∂v

∂y+

∂w

∂z=

∂2Φ

∂x2+

∂2Φ

∂y2+

∂2Φ

∂z2= ∆Φ = 0. (6.18)

Aus diesem Grunde werden quellen- und wirbelfreie Stromungen auch Potentialstromungen ge-nannt.Aus der Definition der Zirkulation (6.3) folgt unmittelbar, daß bei wirbelfreien Stromungen dieZirkulation langs geschlossener Kurven verschwindet. Damit und wegen Γ =

∮v∼

·ds∼

=∮∇Φ·ds

∼

=∮

dΦ, kann die Zirkulation auch wie folgt gedeutet werden:die Zirkulation gibt die Zunahme von Φ langs des gewahlten Weges an.Weiter gilt der Satz(ohne Beweis):Das Geschwindigkeitspotential ist in einfach zusammenhangenden Gebieten eine eindeutige undin mehrfach zusammenhangenden Gebieten eine mehrdeutige Ortsfunktion.

Ein instruktives Beispiel fur das Vorstehende bildet die folgende ebene Stromung: in einem ringformi-gen Gebiet seien die Stromlinien Kreisbahnen um den Ursprung eines ebenen, kartesischen Koor-dinatensystems, vgl Abb. 6.3. Der Betrag der Geschwindigkeit sei dem Radius |r| =

√

(x2 + y2)umgekehrt proportional. Es ist also:

v =K

r, (6.19)

vx = −v sin ϕ =−y

x2 + y2K, (6.20)

vy = v cosϕ =x

x2 + y2K. (6.21)

Man bestatigt leicht durch Differentiation, daß die Stromung wirbelfrei ist

(

(∇∼

× v∼

)z =∂vy

∂x− ∂vx

∂y= 0

)

und das Geschwindigkeitspotential durch

Φ = Kϕ = K arctan(y

x

)

(6.22)

gegeben ist. Das Geschwindigkeitsfeld 6.21 bezeichnet man daher auch als Potentialwirbel (vgl.Abb. 6.3).

Obwohl die Stromung wirbelfrei ist, wird die Zirkulation langs des Kreisweges C1 in Abb. 6.2 nichtzu Null, sondern hat den Wert:

Γ =

∮

C1

v∼

· ds∼

=

∮

C1

K

rr dϕ = 2π K.

Dies liegt daran, daß das Potential Φ = Kϕ mehrdeutig ist mit der Periodizitat 2π K. Man kannΦ eindeutig machen, indem man fur ϕ die Bedingung 0 6 ϕ 6 2π vorschreibt. Eine geschlosseneKurve hat dann die Form C2 in Abb. 6.2 und fur diese verschwindet die Zirkulation.

Dies ist in Ubereinstimmung mit dem vorstehenden Satz.


Abbildung 6.3: Potentialwirbel

Bei der Zirkulationsstromung im Potentialwirbel vollfuhrt ein Flussigkeitsteilchen keine ”Rotati-on”, sondern behalt seine raumliche Orientierung.

Hieraus folgt fur unser Beispiel, daß die Zirkulation fur jeden Weg Null ist, der den Nullpunktnicht umschließt, z. B. die Wege C2, C3 in Abb. 6.2.

Wir wollen uns im folgenden auf zweidimensionale Stromungen beschranken, die der Einfachheithalber stationar sein sollen:

v∼

= (u(x, y), v(x, y)). (6.23)

Neben dem Geschwindigkeitspotential Φ mit

u =∂Φ

∂x, v =

∂Φ

∂y(6.24)

fuhren wir noch die Stromfunktion Ψ ein, aus der ebenfalls das Geschwindigkeitsfeld berechnetwerden kann:

u =∂Ψ

∂y=

∂Φ

∂xund v = −∂Ψ

∂x=

∂Φ

∂y. (6.25)

Durch (6.25) wird die Kontinuitatsgleichung identisch erfullt. Ψ ist die z-Komponente eines Vek-torpotentials B

∼

, das wegen der Identitat ∇∼

· (∇∼

× B∼

) ≡ 0 fur quellenfreie Stromungen immereingefuhrt werden kann:

v∼

= ∇∼

× B∼

=

(∂Bz

∂y− ∂By

∂z,

∂Bx

∂z− ∂Bz

∂x,∂By

∂x− ∂Bx

∂y

)

. (6.26)

Im zweidimensionalen Fall mit B∼

= (0, 0, Ψ) und v∼

= (u, v, 0) bleibt nur:

v∼

=

(∂Ψ

∂y, −∂Ψ

∂x

)

. (6.27)

Die Drehungsfreiheit ∇∼

× v∼

= 0∼

verlangt dann:

∂2Ψ

∂x2+

∂2Ψ

∂y2= ∆Ψ = 0. (6.28)


Auch fur Ψ ist die Potentialgleichung zu losen.

(6.18) und (6.28) mussen noch durch die Randbedingungen auf den Flachen erganzt werden, aufdenen die Flussigkeit mit festen Korpern in Beruhrung kommt. Auf solchen Flachen muß dieNormalkomponente der Geschwindigkeit Null sein; d. h. die Stromung verlauft tangential zurKorperoberflache.

Stromfunktion und Potential haben eine einfache physikalische Bedeutung. Fur die Stromfunktionfolgt diese unmittelbar aus der Differentialgleichung (3.31) der Stromlinien:

dy

dx=

v

u(6.29)

oder

−vdx + udy =∂Ψ

∂xdx +

∂Ψ

∂ydy = dΨ = 0. (6.30)

Hieraus folgt, daß Ψ langs der Stromlinien konstant ist. Die Stromlinien bilden also eine Kurven-schar, die man erhalt, wenn man Ψ(x, y) = konst. setzt. Als Richtung der Normalen (n

∼

mit |n∼

| = 1)zu den Stromlinien bezeichnen wir die Richtung, die durch Drehung von v

∼

um 90 im positivenDrehsinn hervorgeht. Nach dem oben Hergeleiteten ist dann:

dΨ

dn∼

= v∼

. (6.31)

Mit dn = |dn∼

| und v = |v∼

| folgt:

dΨ

dn= v. (6.32)

(6.32) laßt sich dahingehend deuten, daß dΨ das Flussigkeitsvolumen ist, das in der Zeiteinheitdurch den Querschnitt einer zwischen den Stromlinien Ψ und Ψ + dΨ liegenden Stromrohre vonder Breite dn und der Hohe 1 fließt.

Aus 6.17 und 6.27:

∇∼

Φ · ∇∼

Ψ = 0. (6.33)

Diese Gleichung sagt, daß ∇∼

Φ und ∇∼

Ψ in jedem Punkt des Stromfeldes zueinander senkrechtstehen. Die Schar der Aquipotentiallinien Φ(x, y) = konst. und die Schar der Stromlinien Ψ(x, y) =konst. bilden ein orthogonales Kurvennetz.

Kennzeichnend fur die hier eingefuhrte Stromfunktion ist die Beschrankung auf zwei unabhangi-ge Variablen; da sie aus der Kontinuitatsgleichung hergeleitet wurde, kann sie auch bei ebenenund rotationssymmetrischen Stromungen mit Reibung verwendet werden. Die Definition der Po-tentialfunktion ist dagegen fur dreidimensionale Stromungen anwendbar, ist aber auf wirbelfreie,isentrope Stromungen beschrankt.

6.3.3 Anwendung der Funktionentheorie

Das geeignete Hilfsmittel zur Losung der zweidimensionalen Potentialgleichungen (6.18) und (6.28)ist die Funktionentheorie. Man darf Φ als Realteil und Ψ als Imaginarteil einer analytischen Funk-tion F einer komplexen Variablen z = x + iy ansetzen. Die Funktion

F (z) = Φ + iΨ, i =√−1 (6.34)


wird als komplexes Potential bezeichnet. Hieraus folgt durch Ableiten nach x und y, wenn dieDifferentiation nach z mit einem Strich gekennzeichnet wird:

∂F

∂x= F ′(z) =

∂Φ

∂x+ i

∂Ψ

∂x= u− iv, (6.35)

∂F

∂y= i F ′(z) =

∂Φ

∂y+ i

∂Ψ

∂y= v + iu. (6.36)

Durch Eliminieren von F ′(z) folgt:

∂Φ

∂x+ i

∂Ψ

∂x= −i

∂Φ

∂y+

∂Ψ

∂y; (6.37)

da sowohl der Realteil als auch der Imaginarteil einander gleich sein mussen gilt:

∂Φ

∂x=

∂Ψ

∂yund

∂Φ

∂y= −∂Ψ

∂x(6.38)

(6.38) stimmt mit den zwischen der Stromfunktion und dem Potential geltenden Relationen (6.28)uberein.

Die Gleichungen (6.38) sind aus der Funktionentheorie gut bekannt, sie heißen dort Cauchy-Rie-mannsche Differentialgleichungen.

Wir zeigen nun, daß jede differenzierbare Funktion einer komplexen Variablen eine Losung derGleichung ∆F = 0 ist (∆ = Laplace-Operator). Wir setzen:

F (z) = F (x + iy). (6.39)

Es folgt:

∂F

∂x= F ′(z),

∂2F

∂x2= F ′′(z), (6.40)

∂F

∂y= iF ′(z),

∂2F

∂y2= −F ′′(z), (6.41)

damit ist nachgewiesen, daß:

∆F =

(∂2

∂x2+

∂2

∂y2

)

F = 0. (6.42)

Damit ist klar, dass der Realteil einer jeden analytischen Funktion als Geschwindigkeitspotenti-al und der Imaginarteil als Stromfunktion einer zweidimensionalen Potentialstromung gedeutetwerden kann.

Eine andere wichtige Eigenschaft der Gleichungen ∆Φ = 0 und ∆Ψ = 0 ist ihre Linearitat.Daraus folgt unmittelbar das Superpositionsprinzip: Sind Φ1 und Φ2 bzw. Ψ1 und Ψ2 Losungenvon ∆Φ = 0 bzw. ∆Ψ = 0, so ist auch c1Φ1 + c2Φ2 bzw. c1Ψ1 + c2Ψ2 mit c1, c2 = konst. eineLosung der Gleichung.

Die Schwierigkeit der Losung eines Stromungsproblems besteht nun darin, diejenige Funktion zufinden, die die vorgegebene Randbedingung erfullt. Diese Randbedingung verlangt, daß auf festenOberflachen die Geschwindigkeit tangential zur Oberflache gerichtet ist; d. h. auf ihr muß Ψ =konst. sein. Diese Konstante kann ohne Beschrankung der Allgemeinheit zu Null gesetzt werden.Die Aufgabe besteht also darin, fur eine vorgegebene Korperkontur eine analytische Funktion zufinden, die auf der Kontur reelle Werte annimmt. Umgekehrt kann bei einer gegebenen Funktionjede Linie mit Ψ = konst. als Korperkontur betrachtet werden.

Als Beispiele fur Losungen sind in Abb. 6.1 einige einfache Falle zusammengestellt. Es handelt sichdabei um Stromfelder, die wir im weiteren Verlauf der Vorlesung noch ofter verwenden werden.


1.) Parallelstromung Als erstes betrachten wir das komplexe Potential

F (z) = (u∞ − iv∞)z = (u∞ − iv∞)(x + iy). (6.43)

Daraus folgt:

Φ(x, y) = u∞x + v∞y , Ψ(x, y) = −v∞x + u∞y, (6.44)

und schließlich:

u = u∞, v = v∞. (6.45)

Fur die Gleichung der Stromlinien gilt Ψ = konst. ⇒ y =v∞u∞

x+ konst.

F (z) stellt somit eine Parallelstromung dar.

2.) Quellstromung Es sei:

F (z) =Q

2πln z =

Q

2πln(reiϕ

)=

Q

2π(ln r + iϕ) ; (6.46)

in Polarkoordinaten r und ϕ folgt daraus:

Φ(x, y) =Q

2πln r =

Q

2πln√

x2 + y2, Ψ =Q

2πϕ. (6.47)

Aus Ψ = konst. folgt fur die Gleichung der Stromlinien: ϕ = konst.; d. h. die Stromliniensind vom Nullpunkt ausgehende Geraden. F (z) beschreibt fur Q > 0 eine Quellstromungund fur Q < 0 eine Senkenstromung. Fur v

∼

= (u, v) folgt:

u(x, y) =Q

2π

x

x2 + y2, v(x, y) =

Q

2π

y

x2 + y2; (6.48)

und fur den Betrag c der Geschwindigkeit:

c(x, y) =√

u2 + v2 =Q

2π

1√

x2 + y2. (6.49)

Fur den Volumenstrom durch eine die Quelle umschließende Zylinderflache der Tiefe einsgilt:

V =

∮

v∼

· n∼

dA =

2π∫

0

c r dϕ = Q. (6.50)

Q ist hierbei die Quellstarke.

3.) Potentialwirbel Es sei:

F (z) =Γ

2πi ln z =

Γ

2πi (ln r + iϕ) ; (6.51)

daraus folgt:

Φ = − Γ

2πϕ = − Γ

2πarctan

y

x, (6.52)

Ψ =Γ

2πln r =

Γ

2πln√

x2 + y2. (6.53)


Die Gleichung der Stromlinien ergibt sich aus Ψ = konst. zu r = konst., d. h. die Stromliniensind Kreise um den Nullpunkt. Fur v

∼

= (u, v) folgt daraus in kartesischen Koordinaten:

u =Γ

2π

y

x2 + y2, v =

Γ

2π

x

x2 + y2; (6.54)

und somit

c =√

u2 + v2 =Γ

2π

1√

x2 + y2. (6.55)

Dies ist das Geschwindigkeitsfeld eines in der z-Achse liegenden Wirbelfadens; Γ ist dieWirbelstarke bzw. Zirkulation.

4.) Dipol Wir setzen:

F (z) =C

z(6.56)

Wir erhalten daraus fur Potential und Stromfunktion:

Φ = Cx

x2 + y2, Ψ = −C

y

x2 + y2. (6.57)

Die Gleichung der Stromlinien, Ψ = konst., lautet:

x2 +

(

y +C

2K

)2

=C2

4K2; (6.58)

d. h. die Stromlinien sind Kreise mit dem Mittelpunkt auf der y-Achse, die alle durch denKoordinatenursprung gehen, vgl. Abb 6.1. Fur das Geschwindigkeitsfeld ergibt sich:

u = Cy2 − x2

(x2 + y2)2

v = −C2xy

(x2 + y2)2

c =C

(x2 + y2)

Man kann sich vorstellen, daß dieses Stromungsfeld durch ein im Nullpunkt liegendes Quellen–Senkenpaar erzeugt wird. Das Zusammenrucken von Quelle und Senke wird dabei so aus-gefuhrt, daß das Produkt aus Quellstarke und Abstand konstant bleibt.

5.) Uberlagerung von Quellstromung und Parallelstromung Nach dem Superpositions-prinzip kann man durch Uberlagerung zweier oder mehrerer Potentialstromungen zu einerneuen Potentialstromung kommen. Fur die Uberlagerung von Quellstromung und Parallel-stromung setzen wir:

F (z) = u∞z +Q

2πln z. (6.59)

Fur Potential und Stromfunktion folgt:

Φ(x, y) = u∞x +Q

2πln√

x2 + y2, Ψ =Q

2πϕ + u∞y (6.60)

und somit fur die Geschwindigkeitskomponenten:

u = u∞ +Q

2π

x

x2 + y2, v =

Q

2π

y

x2 + y2. (6.61)


Es ist zu erwarten, daß bei dem resultierenden Stromungsfeld Staupunkte vorhanden sind,fur diese gilt die Bedingung v

∼

(Staupunkt) = 0∼

. Fur deren Koordinaten ergibt sich:

yS

= 0, xS

= − Q

2π

1

u∞

. (6.62)

Zur Bestimmung der Stromlinien Ψ = konst. ergibt sich eine transzendente Gleichung. Es istzweckmaßig, diese Gleichung numerisch zu losen. Der Stromlinienverlauf ist in der Abb. 6.4qualitativ dargestellt.

x

y

xs

x

y1

x

y

xs

x

y1

Abbildung 6.4: Umstromung eines stumpfen Halbkorpers, sowie eines stumpfen Hecks

Im Staupunkt liegt eine Verzweigung der Staustromlinie vor. Die beiden stromabwarts ver-laufenden Zweige bilden die Kontur eines vorn stumpfen Halbkorpers. Seine Hohe h∞ ergibtsich aus einer Bilanz: Die aus dem Quellpunkt austretende Flussigkeitsmenge stromt nachrechts mit der Geschwindigkeit u∞ ab, also ist Q = h∞u∞ oder h∞ = Q/u∞.

Im Falle einer Senke werden die Stromlinien in umgekehrter Richtung durchlaufen. Es ergibtsich das Stromlinienbild fur die Umstromung eines stumpfen Hecks (Abb. 6.4).

Mit Hilfe der Bernoulli-Gleichung kann der Druck in jedem Punkt des Stromungsfeldes be-stimmt werden. Wegen der konstanten Anstrombedingungen im Unendlichen und auch we-gen ∇

∼

× v∼

= 0∼

im gesamten Stromfeld ist die Konstante in der Bernoulli-Gleichung fur alleStromlinien gleich groß:

p +

2(u2 + v2) = p∞ +

2c2∞ = p0, (6.63)

hierbei ist p0 der Gesamtdruck (Ruhedruck) und c2∞ = u2

∞ + v2∞.

Wir definieren nun einen dimensionlosen Druckkoeffizienten:

cp =p− p∞

2c2∞

= 1− u2 + v2

c2∞

. (6.64)

Ausgezeichnete Werte sind cp = 0 in der Anstromung und cp = 1 in den Staupunkten.

Bei der Uberlagerung von Quellstromung und Parallelstromung folgt fur cp:

cp(x, y) = − Q

π u∞

1

x2 + y2

(

x +Q

4πu∞

)

. (6.65)


Der Verlauf von cp langs der Staustromlinie und der Korperkontur ist ebenfalls in Abb. 6.4dargestellt. Vor dem Korper wird die Stromung verzogert, deshalb nimmt der Druck zu. Aufdem Korper wird die Stromung infolge der Verdrangungswirkung beschleunigt, der Drucknimmt deshalb ab und steigt fur x → ∞ wieder auf p∞ an. Bei der Umstromung einesstumpfen Hecks wird die Stromung bei Annaherung an den Staupunkt verzogert, dabei steigtder Druck an, vgl. Abb. 6.4. Bei der Stromung realer Flussigkeiten kommt es dabei meist zueiner Ablosung der Grenzschicht, und es bildet sich eine sogenannte Nachlaufstromung aus;wir kommen darauf noch zuruck.

6.) Uberlagerung von Dipolstromung und Parallelstromung Wir setzen:

F (z) = u∞

(

z +R2

z

)

.

Daraus erhalten wir fur Potential und Stromfunktion:

Φ(x, y) = u∞

(

x +R2x

x2 + y2

)

, Ψ(x, y) = u∞

(

y − R2y

x2 + y2

)

.

Fur die Staustromlinie Ψ = 0 folgen die Losungen: y = 0 und x2 + y2 = R2. Durch Uber-lagerung eines Dipols mit einer Parallelstromung kann also die Umstromung eines Zylindersdargestellt werden. Fur die Druckverteilung auf der Zylinderoberflache folgt:

cp = 1− 4 sin2 ϕ.

Der Druck auf der Staustromlinie ist in Abb. 6.5 dargestellt. Wegen der Symmetrie derDruckverteilung bezuglich der x- und y-Achse wird auf den Zylinder keine resultierendeKraft ausgeubt.

1

−1

−2

Abbildung 6.5: Staustromlinie und Druckverteilung bei Zylinderumstromung

7.) Uberlagerung von Zylinderumstromung und Potentialwirbel Wird der unter 6.behandelten Zylinderumstromung ein Wirbel uberlagert, so erhalt man eine bezuglich der


x-Achse unsymmetrische Stromung. Es ist:

F (z) = u∞

(

z +R2

z

)

+Γ

2πi ln z,

Φ(x, y) = u∞x

(

1 +R2

x2 + y2

)

− Γ

2πϕ,

Ψ(x, y) = u∞y

(

1− R2

x2 + y2

)

+Γ

2πln√

x2 + y2.

Man erkennt, daß der Zylinder√

x2 + y2 = R wieder eine Stromlinie ist, allerdings hatdie Stromfunktion auf ihm jetzt den Wert Γ/(2π) lnR. Fur die Geschwindigkeit auf derZylinderoberflache ergibt sich:

u(R, ϕ) = 2u∞ sin2 ϕ +Γ

2πRsin ϕ,

v(R, ϕ) = − 2u∞ sin ϕ cosϕ− Γ

2πRcosϕ.

Wir nehmen zunachst an, daß die Staupunkte sich auf der Zylinderoberflache befinden, ausder Bedingung v

∼

= 0∼

folgt dann fur die ϕ-Koordinate:

ϕS

= arcsin−Γ

4πR u∞

.

Stromungsfelder fur ausgewahlte Werte von Γ sind in Abb. 6.6 dargestellt. Bemerkenswertist, daß fur Γ = 4πR u∞ nur noch ein Staupunkt vorhanden ist und dieser fur Γ > 4πR u∞

von der Zylinderkontur weg wandert.

Abbildung 6.6: Stromlinienverlauf und Lage der Staupunkte bei der Zylinderumstromung mitZirkulation

Fur die Druckverteilung auf der Zylinderoberflache folgt:

cp = 1−(

2 sinϕ +Γ

2πR u∞

)2

.

Hieraus ergibt sich fur die Kraft auf den Zylinder:

F∼

=

∫

A

−p n∼

dA =

∫

A

−cp

2u2∞ n

∼

dA.

Hierbei ist:


A die Zylinderoberflachen∼

die OberflachennormaledA ein Flachenelement

Als resultierende Kraftkomponenten fur einen Zylinder mit der Lange l in kartesischen Ko-ordinaten:

Fx = 0 und Fy = u∞Γl. (6.66)

Die zur Stromungsrichtung parallele Komponente Fx von F∼

wird als Widerstandskraft (Wi-derstand), die dazu senkrechte Komponente Fy als Auftriebskraft (Auftrieb) bezeichnet.

Das Ergebnis zeigt, daß der Widerstand bei der Zylinderumstromung Null ist. Wegen derSymmetrie des Stromfeldes bezuglich der y-Achse war dies auch zu erwarten. Das hier fureinen Spezialfall hergeleitete Ergebnis gilt allgemein fur Potentialstromungen und wird alsd’Alembertsches Paradoxon bezeichnet. Die Erklarung fur diesen Sachverhalt ergibt sichaus den Stromungseigenschaften des hier vorausgesetzten trockenen Wassers. Ware namlicheine resultierende Widerstandskraft vorhanden, dann mußte ihr, um die Geschwindigkeit desKorpers konstant zu halten, eine außere Kraft entgegenwirken. Die Arbeit dieser Kraft mußteentweder in der Stromung dissipiert oder ins Unendliche abgefuhrt werden. Da es in idealenFlussigkeiten (

”trockenem Wasser“) keine innere Reibung gibt, entfallt die erste Moglichkeit.

Da weiterhin das vom Korper erzeugte Geschwindigkeitsfeld mit der Entfernung von diesemrasch abklingt, kann auch keine Energie ins Unendliche transportiert werden. Der zweite Teildieser Erklarung gilt nicht, wenn freie Oberflachen vorhanden sind (Wellenwiderstand vonSchiffen).

Nach (6.66), die als Kutta-Joukowski-Formel1 bezeichnet wird, erfahrt der Zylinder einenAuftrieb, der proportional zur Zirkulation Γ und der Anstromgeschwindigkeit u∞ ist. OhneBeweis sei angegeben, daß diese Gleichung fur Potentialstromungen um beliebige Korpergilt.

Diese seit 1853 als Magnus-Effekt2 bekannte Querkraft ist z. B. fur die Seitenabweichungvon geschnittenen Tennisballen verantwortlich.

Zur Losung des Randwertproblems der Potentialstromung um vorgegebene Korper wurdenleistungsfahige Methoden entwickelt, diese sind aber nicht mehr Gegenstand dieser Vorle-sung, vgl. z.B. [3].

Beispiel: Stromung um einen Flugzeugtragflugel Das Ergebnis uber den Auftrieb wollenwir auf die Stromung um einen Flugzeugtragflugel anwenden. Die Form eines Tragflugels wirdbekanntlich so gestaltet, daß auf der Oberseite des Flugels bei paralleler Anstromung die Ge-schwindigkeit großer ist als auf der Unterseite. Aus der Bernoulli-Gleichung folgt dann sofort, daßder Druck auf der Oberseite geringer ist als auf der Unterseite und somit eine Kraft auf den Flugelausgeubt wird. Weiter unten wird fur einen anderen Fall gezeigt, daß diese Kraft proportional zurZirkulation um den Flugel ist und quer zur Anstromrichtung liegt; man bezeichnet sie deshalbals Auftriebskraft. Wie kann man aber eine Zirkulation erhalten, ohne daß dem Satz von Kelvinwidersprochen wird?

Zur Aufklarung betrachten wir den Startvorgang um einen Tragflugel mit einer scharfen Hinter-kante. Ist die Stromung in Ruhe, so ist die Zirkulation um den Flugel Null. Wird die Bewegungin Gang gesetzt, so ergibt sich zunachst eine zirkulationsfreie Stromung nach Abb. 6.7a. Von denzwei Stromungen, die auf der Ober- und Unterseite des Flugels verlaufen, erreicht die untere denhinteren Staupunkt nur nach Umstromung der scharfen Hinterkante. Bei der Stromung um einescharfe Kante treten aber unendlich große Geschwindigkeiten auf, so daß diese Stromung auch

1N.J. Joukowski (1847-1921), W. Kutta (1867-1944)2H.G. Magnus (1803-1870)


bei sehr kleiner innerer Reibung nicht realisiert werden kann. Die Stromung lost vielmehr ab undnimmt die Richtung der Tangente an die Kontur des Flugels an, Abb. 6.7b. Von den beiden Teil-stromungen aber erreicht die obere die Hinterkante mit einer großeren Geschwindigkeit als dieuntere. Es bildet sich daher an der Hinterkante eine Unstetigkeitsflache aus, die aber nicht stabilist, sondern sich zu einem sogenannten Anfahrwirbel aufrollt. Die Drehrichtung des Anfahrwirbelsergibt aus dem Druckunterschied zwischen Flugel- Oberseite und -Unterseite.

Abbildung 6.7: Ausbildung des Anfahrwirbels bei einem Tragflugel

Nach dem Satz von Kelvin muß die Zirkulation langs einer Kurve, die den Flugel und den An-fahrwirbel umschließt, Null sein, da sie vor Beginn der Stromung Null war. Daraus folgt, daßum den Flugel eine Zirkulation gleichen Betrages, aber entgegengesetzten Vorzeichens als um denAnfahrwirbel entsteht.

6.4 Exkurs: Experimentelle Stromungsmechanik

Uber die Anwendbarkeit theoretischer Ergebnisse kann allein anhand der Erfahrung entschiedenwerden. Deshalb erscheint hier eine Anmerkung uber experimentelle Methoden der Stromungsme-chanik angebracht.

Eine prinzipielle Schwierigkeit bei der Beobachtung von Flussigkeits- und Gasstromungen bestehtdarin, daß sich wegen des homogenen Charakters dieser Stoffe die einzelnen Teilchen mit demAuge nicht unterscheiden lassen; damit scheidet die Geschwindigkeitsmessung durch unmittelbareBeobachtung des in der Zeiteinheit zuruckgelegten Weges aus. Man ist also bei der Geschwindig-keitsmessung auf indirekte Methoden angewiesen. Einige der gebrauchlichsten sind:

1.) Messung der Kraftwirkung auf festgehaltene Korper, die der Stromung ausgesetzt sind (vgl.Abschnitt 16.3),

2.) Messung von Druckdifferenzen (Prandtlsches Staurohr, vgl. Abschnitt 5.6.1),

3.) Messung der Temperaturanderung eines elektrisch beheizten Korpers (Hitzdraht-Anemome-ter),

4.) optische Verfahren, mit denen die Geschwindigkeit von in der Stromung suspendierten Teil-chen gemessen wird (Laser-Doppler-Anemometer).


Bei der Hitzdrahtmessung nutzt man die Tatsache, daß der Warmeubergang zwischen einem Drahtund einer vorbeistromenden Flussigkeit von der Relativgeschwindigkeit abhangt. Eine Anderungder Geschwindigkeit bedingt damit eine Anderung der Temperatur des elektrisch beheizten Hitz-drahtes und deshalb auch seiner elektrischen Leitfahigkeit. Die Ermittlung der Geschwindigkeitist so auf eine Temperaturmessung zuruckgefuhrt.

Beim Laser-Doppler-Anemometer wird die Geschwindigkeit von in einer stromenden Flussigkeitsuspendierten Streuteilchen durch Auswertung des von den Teilchen ausgesandten Streulichtes be-stimmt; detaillierte Information uber dieses und andere optische Verfahren wird in [4] gegeben. Derbesondere Vorteil der optischen Verfahren besteht darin, daß diese im Gegensatz zu mechanischenSonden die Stromung nicht beeintrachtigen.

Da die Geschwindigkeit eine vektorielle Große ist, muß zu ihrer Bestimmung neben dem Betragauch die Richtung ermittelt werden. Auch zur genauen Messung des Betrages allein ist die Kennt-nis der Richtung erforderlich. Die Richtungsmessung im Raum kann bei stationaren Stromungeneinfacher Weise mit sogenannten Fadensonden durchgefuhrt werden. Dabei wird ein moglichstleichter Faden in das Stromfeld eingebracht, der durch die in der Stromung auf ihn wirkendenKrafte in die Richtung der Stromlinien ausgelenkt wird. Durch Anvisieren von zwei verschiedenenPunkten aus kann die Richtung relativ zu festgelegten Nullinien bestimmt werden.

Eine wichtige Voraussetzung fur das Verstandnis eines Stromungsvorganges ist die Kenntnis derStromlinien bzw. der Bahnlinien. Zu ihrer experimentellen Bestimmung hilft man sich meistdamit, daß man einzelne Bereiche des Stromfeldes durch Einbringen von Farbe in ihrem Aus-sehen verandert und dann deren Bewegung verfolgt. Im allgemeinen sind aber die Stromungs-vorgange so komplex, daß man besonders bei instationaren Stromungen zu ihrer Auflosung aufBildaufzeichnungsgerate angewiesen ist. Bei stationaren Stromungen reicht es dagegen oft aus, denStromungsverlauf zu kennen, wie er uber ein kurzes Zeitintervall bestanden hat. Dazu genugt inder Regel eine gewohnliche Fotoaufnahme. Die Stromung einer Flussigkeit kann z. B. durch ein-gestreute Aluminiumspane kenntlich gemacht werden; durch eine geeignete Belichtungszeit kannman dann erreichen, daß die Bahnen dieser Teilchen je nach ihrer Geschwindigkeit als kurzereoder langere Strecken auf dem Fotomaterial erscheinen. Das so festgehaltene Bahnlinienbild, dasbei stationaren Stromungen auch ein Stromlinienbild ist, vermittelt meist eine gute Vorstellunguber den Stromungszustand.

Diese Bemerkungen sollen eine erste Vorstellung uber die Moglichkeiten der experimentellen Unter-suchung von Stromfeldern geben; fur eine detaillierte Darstellung wird auf die Literatur verwiesen.Es sei noch angemerkt, daß es durch Nutzung der durch die Mikroelektronik gebotenen Moglich-keiten der Daten-Verarbeitung und Aufzeichnung auf dem Gebiet der Stromungsmeßtechnik großeFortschritte gegeben hat, so daß heute die experimentelle Stromungsmechanik ein eigenstandigerForschungszweig ist.


Es wurden die Begriffe Geschwindigkeitspotential und Stromfunktion eingefuhrt und gezeigt, daßdie resultierenden Gleichungen zweckmaßig mit den Methoden der Funktionentheorie gelost wer-den. Mit dieser Methode wurden einige einfache Stromungsfelder bestimmt und diskutiert. Eswurde gefunden, daß ein Korper in einer Potentialstromung keinen Widerstand erfahrt, wohl abereinen Auftrieb. Die Auftriebskraft ist dabei proportional zur Zirkulation um den Korper.Das Ergebnis uber den Widerstand ist paradox und entspricht in keinster Weise der Erfahrung.Die Ursache des Versagens unserer bisherigen Theorie liegt darin, dass auch Fussigkeiten, dieim allgemeinen wegen ihrer geringen Viskositat als reibungsfrei angesehen werden durfen, an derOberflache von Hindernissen haften, wahrend eine Potentialstromungen ein glattes Umfließen ver-langt. In der oberflachennahen Schicht liegt damit ein großes Geschwindigkeitsgefalle vor und rotv

∼

verschwindet dort nicht mehr.


Trotzdem ist die Potentialtheorie fur die Anwendungen von großem Wert, wir werden die erarbei-teten Ergebnisse im Abschnitt uber Grenzschichten aufgreifen.

6.6 Literatur

[1] Kotschin, N.J., Kibel, J.A. und Rose, N.W.: Theoretische Hydromechanik, 2. Bd., Akademie-Verlag Berlin (1954)

[2] Prandtl, L., und Tietjens, O.G.: Fundamentals of Hydro- and Aeromechanics. Dover Publi-cations, New York (1957)

[3] Keune, F. und Burg, K.: Singularitatenverfahren der Stromungslehre. Braun-Verlag Karls-ruhe (1975)

6.6. Literatur 79

Tabelle 6.1: Beispiele fur elementare und zusammengesetzte Poten-tialstromungen

komplexes

Potential Potential Stromfunktion Geschwindigkeit StromlinienF(z) Φ Ψ u v c Ψ = konst.

(u∞ − iv∞) z

Parallel-stromung

u∞x + v∞y u∞y − v∞x u∞ v∞√

u2∞ + v2

∞

x

y

Q2π ln z

Quelle: Q > 0Senke: Q < 0

Q

2πlnp

x2 + y2

Q

2πϕ =

Q

2πarctan

y

x

Q

2π

x

x2 + y2

Q

2π

y

x2 + y2

Q

2π

1p(x2+y2)

Quelle

Q>0

Γ2π i ln z

Wirbel−

Γ

2πϕ

Γ

2πln r

r=p

(x2+y2)

Γ

2π

y

x2 + y2

Γ

2π

x

x2 + y2

Γ

2π

1p(x2+y2)

rechts−drehend

Γ > 0

links−drehend

Γ < 0

x

y

Cz

Dipol

Cx

x2 + y2

−Cy

x2 + y2ln r

Cy2−x2

(x2+y2)2

−C2xy

(x2+y2)2C

(x2+y2)2

C>0

C<0

u∞z + Q2π ln z

Parallel-stromung+ Quelle

u∞x Q2π ln r u∞y + Q

2π ϕu∞ +

Q

2π

x

(x2+y2)

Q

2π

y

(x2+y2)x

y

xs = −Q

2π u∞

u∞

(

z + R2

z

)

Parallel-stromung+

Dipol

u∞

(

x+ R2xx2+y2

) u∞y(

1− R2

r2

)

r2 = x2 + y2

u∞ ·(

1−R2(x2−y2)

r4

)−2u∞xyR2

r4

=Zylinder-

umstromung

auf Kreis R2 =x2+y2

︷︸︸︷

2u∞sin2ϕ −2u∞sinϕ· 2u∞ sinϕcosϕ

u∞

(

z + R2

z

)

+Γ2π i ln z

Parallel-stromung+Di-pol+Wirbel

u∞x

1+

R2

x2+y2

−

Γ

2πϕ

u∞y

1+

R2

x2+y2

+

Γ

2πlnp

(x2+y2)

2u∞ sin2 ϕ+ Γ

2π R sinϕ

−2u∞ sin ϕ·cosϕ−Γ

2π R cosϕ

80

Kapitel 7

Die Bewegungsgleichungen in

integraler Form

7.1 Einleitung

Die Stromung einer reibungsfreien Flussigkeit ist bei Vorgabe hinreichender Anfangs- und Randbe-dingungen durch die Kontinuitatsgleichung und die Euler-Gleichung in allen Einzelheiten eindeutigbestimmt. Bei manchen Anwendungen interessiert nun weniger die detaillierte Struktur des Strom-feldes, sondern vielmehr eine globale Aussage uber einzelne Großen. Ein typisches Beispiel dafurist die Kraft auf eine Platte, die ein unter einem bestimmten Winkel auftreffender Strahl auf dieseausubt; vgl. Abb. 7.1.

Abbildung 7.1: Ablenkung eines Strahls durch eine Platte

Diese Kraft kann unter Voraussetzung vereinfachender Annahmen mit Hilfe der Bilanzgleichungenfur Masse und Impuls fur das in die Abbildung eingezeichnete Kontrollvolumen bestimmt werden.Es zeigt sich, daß die Kraft durch Losen eines Systems algebraischer Gleichungen ermittelt werdenkann; die Losung der Aufgabe ist bei dieser Methode nicht nur mit einem geringeren Aufwandverbunden, als dies bei Zugrundelegung der Differentialgleichungen der Fall ware, sondern manerhalt auch eine unmittelbare Einsicht in die ablaufenden Vorgange.

Die in Natur und Technik vorkommenden Stromungen erfolgen im allgemeinen weder reibungsfreinoch isentrop. Um die Anwendung der Methode der Bilanzgleichungen nicht einzuschranken, wer-den zunachst keine speziellen Voraussetzungen uber die Stoffgleichung des Fluids und den Verlaufder Zustandsanderung getroffen.

Zur Herleitung von Aussagen uber die Bewegung einer abgegrenzten Flussigkeitsmenge stehen unsBilanzgleichungen fur die physikalischen Großen

• Masse • Impuls • Drehimpuls • Energie

zur Verfugung. Das Integral uber eine jede dieser Großen kann sich fur eine abgegrenzte Flussig-keitsmenge, die durch eine sich mit der Stromung bewegende Oberflache begrenzt wird, nur durch

7.2. Bilanzgleichung fur die Masse 81

einen Austausch uber die Berandungsflache hinweg andern.

Andererseits werden aber in der Stromungsmechanik Bewegungsvorgange mit den Mitteln derFeldtheorie beschrieben. Der Zusammenhang zwischen Ergebnissen uber die zeitliche Anderungeiner Große fur ein mitbewegtes und ein stationares Volumen wird durch die in Kapitel 3 herge-leitete Transportgleichung vermittelt. Wie dort gezeigt wurde, gehen in die Umrechnung nur diekinematischen Eigenschaften des Stromfeldes ein.

Die einzige Voraussetzung fur das Kontrollvolumen besteht darin, daß die Große, deren Austauschstudiert werden soll, auf dessen Berandung definiert ist; die Wahl richtet sich ansonsten nach denErfordernissen des jeweiligen Problems.

7.2 Bilanzgleichung fur die Masse

Wir grenzen in einem Stromfeld durch eine zunachst beliebige, geschlossene Flache ein VolumenV ab, das sich mit der Stromung bewegt. Die Masse M der abgegrenzten Flussigkeitsmenge kannsich nicht mit der Zeit andern, es gilt:

M =

∫

V

dV = konst. oderd

dt

∫

V

dV = 0. (7.1)

Diese Beziehung kann mit Hilfe der Transportgleichung umgeformt werden zu:

d

dt

∫

V

dV =

∫

V

∂

∂tdV +

∫

A

v∼

· n∼

dA. (7.2)

Bezogen auf ein raumfestes Volumen folgt fur stationare Stromungen wegen ∂/∂t = 0:∫

A

v∼

· n∼

dA = 0. (7.3)

Hier ist A die Oberflache der abgegrenzten Flussigkeitsmenge zu einer beliebigen Zeit t, n∼

dieaußere Oberflachennormale von A, die Dichte und v

∼

der Geschwindigkeitsvektor. Nach dieserGleichung fließt bei stationaren Stromungen genausoviel Flussigkeit pro Zeiteinheit in das abge-grenzte Volumen, das wir als Kontrollvolumen bezeichnen, hinein wie aus diesem herausstromt1.Dies soll anhand eines Beispiels fur eine Rohrverzweigung verdeutlicht werden, vgl. Abb. 7.2. DasKontrollvolumen werde durch die Rohroberflache und die Flachen A1, A2 und A3 gebildet. Nach(7.3) gilt:

∫

A1

v∼

· n∼

dA +

∫

A2

v∼

· n∼

dA +

∫

A3

v∼

· n∼

dA = 0. (7.4)

Unter der Voraussetzung, daß die Geschwindigkeiten normal zu den Flachen A1, A2 und A3 sind,folgt:

−∫

A1

1 v1 dA +

∫

A2

2 v2 dA +

∫

A3

3 v3 dA = 0. (7.5)

Sind weiter Dichte und Geschwindigkeit uber den jeweiligen Querschnitt konstant, so vereinfachtsich (7.5) zu

−1 v1 A1 + 2 v2 A2 + 3 v3 A3 = 0. (7.6)

1In den Anwendungen werden vielfach in das Kontrollvolumen einfließende Strome positiv und ausfließendeStrome negativ gezahlt. Formal kann dies erreicht werden, indem der Fluß einer Flache

RA− v

∼· n∼

dA gesetzt wird.Wir werden in der Vorlesung diesem Brauch nicht folgen.

82 Kapitel 7. Die Bewegungsgleichungen in integraler Form

Abbildung 7.2: Massenbilanz fur eine Rohrverzweigung

7.3 Impulssatz

Auf die abgegrenzte Flussigkeitsmenge kann der Impulssatz der Mechanik

angewandt werden; er lautet:

Die Anderung des Gesamtimpulses der durch das Kontrollvolumen abgegrenzten Flussig-keitsmenge ist gleich der Resultierenden der außeren Krafte.

Der Gesamtimpuls der Flussigkeitsmenge berechnet sich zu

I∼

=

∫

V

v∼

dm =

∫

V

v∼

dV. (7.7)

Der Impulssatz lautet somit

dI∼

dt=∑

n

F∼

n. (7.8)

Hier steht auf der rechten Seite die Summe aller auf den abgegrenzten Bereich des Stromfeldeswirkenden Krafte. Die linke Seite von (7.8) kann mit der Transportgleichung zu

dI∼

dt=

d

dt

∫

V

v∼

dV =

∫

V

∂

∂t(v

∼

) dV +

∫

A

v∼

v∼

· n∼

dA (7.9)

umgeformt werden. Fur stationare Stromungen verschwindet der Integrand des ersten Terms derrechten Seite identisch; damit werden bei den Anwendungen von (7.8) nur Stromungsdaten aufder Oberflache des Kontrollvolumens benotigt. Weiter ist es ublich, den verbleibenden Term aufder rechten Seite von (7.9) als Impulskraft

F∼ I

= −∫

A

v∼

v∼

· n∼

dA . (7.10)

zu bezeichnen. Aus dieser Gleichung folgt sofort, daß F∼ I

parallel zu v∼

liegt und stets in das Inneredes Kontrollvolumens hineinzeigt. Mit der Definition (7.10) lautet der Impulssatz der Stromungs-mechanik

F∼ I

+∑

n

F∼

n = 0. (7.11)

Die außeren Krafte auf das Kontrollvolumen konnen wie folgt unterteilt werden:

7.3. Impulssatz 83

1.) Massenkrafte, wie z.B. die Schwerkraft.

2.) Oberflachenkrafte, z.B. Druckkrafte oder Reibungskrafte.

3.) Haltekrafte; man kann sich darunter z.B. die Kraft fur die Verankerung einer Rohrleitungoder eines Triebwerkes vorstellen. Es ist allerdings zu beachten, daß die Haltekraft uberOberflachenkrafte auf die Stromung wirkt.

Abbildung 7.3: Impulskraft und Geschwindigkeitsvektor fur verschiedene Oberflachenelemente, dieImpulskraft zeigt immer ins Kontrollvolumen hinein

Beispiele

Bei der Anwendung des Impulssatzes kommt es entscheidend auf die geeignete Wahl des Kontroll-volumens an; wir behandeln dazu drei Beispiele.

Durchstromen eines Rohrkrummers

Wir betrachten einen rechtwinkligen Rohrkrummer, der in ein Rohrleitungssystem eingebaut sei.Gefragt ist nach der Haltekraft fur den Krummer.

Die Flussigkeitsreibung sei vernachlassigbar klein, der Druck im Rohrsystem betrage p und derAußendruck sei pa. Das Gewicht der Flussigkeit und das der Rohrleitung sollen nicht berucksichtigtwerden.

Fur die Wahl des Kontrollvolumens bestehen keine Einschrankungen, die Festlegung erfolgt viel-mehr nach Zweckmaßigkeit. Um einige Erfahrung bei der Wahl des Kontrollvolumens zu erwerben,sollen zwei Moglichkeiten untersucht werden.

1. Der Kontrollbereich umschließt den Krummer (Abb. 7.4)

Die Bilanz (7.11) lautet explizit:

F∼ I1

+ F∼ I2

+ F∼

p1 + F∼

p2 + F∼

pM

+ F∼ H

= 0∼

. (7.12)

Dabei ist F∼ H

die Haltekraft. Fur die Impulskraft und die Druckkraft erhalt man:

F∼ I

= −∫

A

v∼

v∼

· n∼

dA, F∼

p = −∫

A

p n∼

dA.


Abbildung 7.4: Kontrollflache fallt mit der Außenwand des Krummers zusammen

Fur die Kraft F∼

pM

, die vom Umgebungsdruck pa auf die Mantelflache des Kontrollbereichs aus-geubt wird, gilt:

F∼

pM

= −∫

M

pa n∼

dA =

∫

A1

pa n∼

dA +

∫

A2

pa n∼

dA;

in Komponenten:

F∼

pM

= (pa A2, pa A1).

Fur die Komponenten der ubrigen Krafte in (7.12) folgt entsprechend:2

F∼ I1

= (0, − v21 A1); F

∼p1 = (0, −p1 A1);

F∼ I2

= (− v22 A2, 0); F

∼p2 = (−p2 A2, 0).

Dabei sind F∼ I1

, F∼ I2

und F∼

p1 , F∼

p2 die resultierenden Impuls- bzw Druckkrafte auf die FlachenstuckeA1 bzw. A2. Damit ergibt sich fur die Haltekraft F

∼ Hdie Darstellung:

F∼ H

=((

v22 + (p2 − pa)

)A2,

( v2

1 + (p1 − pa))A1

). (7.13)

2. Der Kontrollbereich liegt auf der Innenseite des Krummers (Abb. 7.5)

Die Gleichgewichtsbedingung fur die Krafte (7.11) lautet nun:

F∼ I1

+ F∼ I2

+ F∼

p1 + F∼

p2 + F∼ M

= 0∼

. (7.14)

Hier ist F∼ M

die Kraft, die von der Krummerwand auf die Stromung ausgeubt wird. Fur F∼ M

ergibtsich die Komponentendarstellung:

F∼ M

=((

v22 + p2

)A2,

( v2

1 + p1

)A1

). (7.15)

Fur die Haltekraft F∼ H

gilt dann gemaß der Gleichgewichtsbedingung fur den Krummer:

−F∼ M

+ F∼

pM

+ F∼ H

= 0∼

;

⇒ F∼ H

= F∼ M− F

∼pM

= F∼ M−∫

M

−pa n∼

dA. (7.16)

2Aus den Formeln fur F∼ I1

und F∼ I2

erkennt man, daß in Stromungen mit einer uber die betreffende Flache

konstanten Geschwindigkeit die Impulskraft gleich dem Produkt aus Geschwindigkeit und Massenstrom m1 =RA

v∼· n∼

dA durch die Flache ist:

F∼ I1

= −v∼

1 m1.

7.3. Impulssatz 85

Abbildung 7.5: Die Kontrollflache fallt mit der Innenwand des Krummers zusammen

Wegen∫

M−pa n

∼

dA = (pa A2, pa A1) stimmt (7.16) mit (7.13) uberein.

Duse und Diffusor

Gefragt ist nach der Haltekraft F∼ H

, mit der eine frei in die Umgebung ausblasende rotations-symmetrische Duse zu fixieren ist. Vorgegeben sind: Ein- und Austrittsquerschnitt der Duse, Ge-schwindigkeit und Druck im Eintrittsquerschnitt 1, der Umgebungsdruck pa.

Abbildung 7.6: Kontrollflache und Krafte bei Diffusorstromung

Wegen der Rotationssymmetrie treten nur Kraftkomponenten in x-Richtung auf. Der Impulssatzverlangt deshalb, daß die Summe aller Kraftkomponenten in x-Richtung verschwindet; es mußgelten:

∑

j

(Fx)j = 0. (7.17)

Summiert uber alle Komponenten ergibt dies wegen p2 = pa:

v21 A1 + p1 A1 − v2

2 A2 − pa A2 − pa(A1 −A2) + FH

= 0. (7.18)

Die Kontinuitatsgleichung liefert einen Zusammenhang zwischen v1 und v2:

v1 A1 = v2 A2.

Damit folgt:

FH

= v21

(A2

1

A2−A1

)

+ (pa − p1) A1. (7.19)


Bei einer reibungsfreien Stromung gilt weiter die Bernoulli Gleichung zwischen 1 und 2:

2v21 + p1 =

2v22 + p2 =

2v22 + pa.

Daraus folgt:

pa − p1 =

2

(v21 − v2

2

)=

2v21

(

1− A21

A22

)

.

Damit gilt fur die Haltekraft:

FH

= −

2v21 A1

(

1− A1

A2

)2

.

Die erforderliche Haltekraft hat also bei inkompressibler Stromung immer dieselbe Richtung,gleichgultig ob A1 > A2 (Duse) oder A1 < A2 (Diffusor). Dieses Ergebnis wird aufgrund derDruckverteilung auf der Innenseite der Wand sofort einsichtig, vgl. Abb. 7.7.

Abbildung 7.7: Druckverteilung bei Duse und Diffusor: Im Fall der Duse (des Diffusors) wird dieStromung beschleunigt (verzogert), der Innendruck nimmt damit von A1 nach A2 ab (zu).

Carnotscher Stoßdiffusor

Es handelt sich hierbei um einen Diffusor mit einer plotzlichen Querschnittserweiterung. Es resul-tiert eine komplizierte Stromung mit einer Ablosung an der inneren Kante und einem anschließen-den Vermischungsvorgang. Die Drucksteigerung von 1 nach 2 kann ohne Kenntnis aller Einzelheitender Stromung mit dem Impulssatz bestimmt werden. Fur die Berechnung des Vorganges Wahlen

Abbildung 7.8: Stromung im Carnotschen Stoßdiffusor

wir den in der Abbildung 7.8 eingezeichneten Kontrollbereich und berucksichtigen folgende a prioriKenntnisse:

7.4. Drehimpulssatz 87

• p1 ist infolge der Ablosung konstant uber den gesamten Querschnitt A2 am Ort 1,

• v1 und v2 sind konstant uber die jeweiligen Querschnitte A1 und A2,

• es liege eine stationare Stromung vor,

• die Wandreibung sei vernachlassigbar klein und

• sei konstant.

Die Gleichgewichtsbedingung fur die Krafte verlangt unter diesen Voraussetzungen:

v21 A1 + p1 A2 − v2

2 A2 − p2 A2 = 0. (7.20)

Mit der Kontinuitatsgleichung bestimmt sich die Druckdifferenz ∆pC

zu

∆pC≡ ∆p

Carnot= p2 − p1 = v2

1

A1

A2− v2

2 .

Daraus folgt:

∆pC

2v21

= 2A1

A2

(

1− A1

A2

)

. (7.21)

Bei einer stetigen Querschnittserweiterung und einer Stromung ohne Ablosung (sog. Bernoulli-Diffusor) konnte die Druckerhohung ∆p

Bmit der Bernoulli Gleichung bestimmt werden zu:

∆pB

2v2

1

= 1− A21

A22

. (7.22)

Der Druckruckgewinn ist im Bernoulli-Diffusor stets großer als im Carnot-Diffusor: ∆pB > ∆pC .Die Differenz zwischen den beiden Druckdifferenzen ist ein Maß fur die Verluste durch die irrever-sible Verwirbelung

∆pVerlust

2v21

=∆p

B−∆p

C

2v21

=

(

1− A1

A2

)2

. (7.23)

Von besonderem Interesse ist der Grenzfall A2 → ∞, d. h. das Ausblasen erfolgt in einen Halb-raum. Nach der Bernoulli Gleichung, die eine isentrope Stromung voraussetzt, kommt es zu ei-ner Druckerhohung um den Staudruck v2

1/2. Beim Carnot-Diffusor ergibt sich dagegen keineDruckerhohung. Die gesamte kinetische Energie der Anstromung wird durch irreversible Vorgangein Warme uberfuhrt.

7.4 Drehimpulssatz

Fur eine in einem Stromfeld beliebig abgegrenzte Flussigkeitsmenge gilt ferner der Drehimpulssatzder Mechanik; dieser lautet:

Die Anderung des Drehimpulses der durch das Kontrollvolumen abgegrenzten Flussig-keitsmenge ist gleich dem resultierenden Moment der außeren Krafte.

Der Drehimpuls einer abgegrenzten Flussigkeitsmenge berechnet sich zu

L∼

=

∫

V

r∼

× v∼

dm =

∫

V

(r∼

× v∼

) dV.


Abbildung 7.9: Druckruckgewinn in einem Bernoulli- und einem Carnotdiffusor

Hier ist r∼

der Abstandsvektor zu dem beliebig gewahlten Bezugspunkt, vgl. Abb. 7.10. Der Dre-himpulssatz lautet somit

dL∼

dt=∑

M∼

.

Die linke Seite kann mit der Transportgleichung umgeformt werden zu:

dL∼

dt=

d

dt

∫

V

(r∼

× v∼

) dV =

∫

V

∂

∂t( r

∼

× v∼

) dV +

∫

A

( r∼

× v∼

) (v∼

· n∼

) dA.

Damit kann der Drehimpulssatz der Stromungsmechanik wie folgt geschrieben werden 3:

∫

V

∂

∂t( r

∼

× v∼

) dV +

∫

A

( r∼

× v∼

) (v∼

· n∼

) dA = M∼ P

+ M∼ M

+ M∼ H

. (7.24)

Hierbei ist: A die Oberflache des raumfesten Kontrollvolumens V

M∼ P

=∫

A r∼

× (−p n∼

)dA, das Drehmoment der Oberflachenkrafte

M∼ M

=∫

A( r

∼

× k∼

) dV, das Drehmoment der Massenkrafte

M∼ H

das Drehmoment eventueller Haltekrafte

Beispiel: Eulersche Turbinengleichung

Der Drehimpulssatz kann zur Berechnung der Leistung einer Turbine verwendet werden. Mit Tur-binen wird bekanntlich potentielle Energie einer Flussigkeit in mechanische Arbeit umgewandelt.Wir behandeln als Beispiel die stationare Stromung durch eine sogenannte Radialturbine, vgl.Abb. 7.11.

Die Stromung sei symmetrisch zur Drehachse, die als z-Achse gewahlt wird. Als Kontrollvolumenwird der schraffiert eingezeichnete Ring gewahlt. Die Stromung fließt durch den Querschnitt A1

3In diesem Unterabschnitt wurden reibungsfreie Flussigkeiten vorausgesetzt. Oberflachenkrafte werden nur alsvom Druck herruhrend berucksichtigt; bei realen Flussigkeiten, sind gegebenenfalls Reibungsspannungen in Rech-nung zu stellen.

7.4. Drehimpulssatz 89

Abbildung 7.10: Drehmomentbilanz fur ein Kontrollvolumen

Abbildung 7.11: Stromung durch eine Radialturbine

in das Kontrollvolumen V hinein und verlaßt dieses durch den Querschnitt A2. Aus der Konti-nuitatsgleichung folgt

∫

A

v∼

· n∼

dA =

∫

A1

−1 v1 cosα1 dA +

∫

A2

2 v2 cosα2 dA = 0. (7.25)

Es ist also

1 v1 cosα1 A1 = 2 v2 cosα2 A2 = m (7.26)

wobei m der Massenstrom durch die Turbine ist.

Wir setzen weiter voraus, daß die Schwerkraft keine Rolle spielt. Wegen der Symmetrie zur z-Achse verschwindet das Moment der Oberflachenkrafte, und das Drehmoment der Impulskraftehat nur eine z-Komponente. Aus (7.24) folgt

Mz =

∫

A

(r∼

× v∼

)z v∼

· n∼

dA,


fur die anderen beiden Komponenten gilt Mx = My = 0. Weiter gilt

(r∼

× v∼

)z = r vt = r v sin α

mit vt als Tangentialkomponente von v∼

. Damit folgt fur das Drehmoment:

Mz = 2 v2 cosα2 A2︸︷︷︸

r2 vt2 − 1 v1 cosα1 A1 r1 vt1

= m r2 vt2 − m r1 vt1

= m (r2 v2 sinα2 − r1 v1 sin α1) .

(7.27)

Dies ist die Eulersche Turbinengleichung; m r2 vt2 ist der pro Zeiteinheit aus dem Kontrollvolumenausstromende Drehimpuls und m r1 vt1 der in das Kontrollvolumen einstromende. Mz ist das vomTurbinenrad abgegebene Drehmoment. Die Gleichung gilt nicht nur fur Turbinen, sondern bei Vor-zeichenumkehr auch fur Pumpen, Geblase und Verdichter. Turbinen und Pumpen unterscheidensich dabei nur in der Richtung des Energieaustausches:

• in einer Turbine wird der Stromung Energie entzogen, man spricht von einer Kraftmaschine

• in einer Pumpe wird der Stromung Energie zugefuhrt, Pumpen heißen deshalb auch Arbeits-maschinen

Neben dem hier dargestellten radial durchstromten Rad gibt es auch axial durchstromte Rader,fur diese gilt der Drehimpulssatz entsprechend.

7.5 Energiebilanz

Ideale Fluide: Fluide ohne Warmeleitung und innere Reibung

Fur die Formulierung der Energiebilanz fassen wir die innere Energie und die kinetische Energiepro Volumeneinheit zu einer Energiedichte

(

e +v2

2

)

zusammen. Wir grenzen im Stromfeld eine Flussigkeitsmenge ab. Die zeitliche Anderung derGesamtenergie der abgegrenzten Masse muß durch die Leistung der Oberflachenkrafte N

O, der

Warmeleitung NW

und anderer Mechanismen fur den Energietransport, die hier nicht weiter be-trachtet werden, kompensiert werden. In Gleichungsform gibt dies die Bedingung

d

dtE =

d

dt

∫

V (t)

(

e +v2

2

)

dV = NO

+ NW

. (7.28)

Im weiteren werden wir zunachst nur Vorgange untersuchen, bei denen allein die Oberflachenkraftevon Bedeutung sind. Bei reibungsfreien Stromungen ergibt sich N

Oaus Abb. 7.12 zu

NO

= −∫

A

p (v∼

· n∼

) dA. (7.29)

Mit der Transportgleichung folgt aus (7.28) und (7.29):

∫

V

∂

∂t

(

(

e +v2

2

))

dV +

∫

A

(

e +v2

2

)

v∼

· n∼

dA = −∫

A

p v∼

· n∼

dA. (7.30)

7.5. Energiebilanz 91

Abbildung 7.12: Arbeit der Oberflachenkrafte

Diese Gleichung kann mit Hilfe des Gaußschen Satzes wie folgt umgeschrieben werden:

∫

V

∂

∂t

(

(

e +v2

2

))

dV = −∫

V

∇∼

·[

v∼

(v2

2+ e +

p

)]

dV = −∫

V

∇∼

·[

v∼

(v2

2+ h

)]

dV. (7.31)

Hierbei ist h die spezifische Enthalpie, die wie folgt definiert ist:

h = e +p

. (7.32)

Die Gleichung gilt fur beliebige abgegrenzte Volumen gilt, mussen die Integranten identisch gleichsein:

∂

∂t

(

(v2

2+ e

))

= −∇∼

·[

v∼

(v2

2+ h

)]

. (7.33)

Mit anderen Worten: die Anderungsgeschwindigkeit der Gesamtenergie pro Volumeneinheit istgleich der Divergenz der Energiestromdichte:

v∼

(v2

2+ h

)

. (7.34)

Fur stationare Stromungen verschwindet in (7.30) das Volumenintegral, und es gilt

∫

A

(v2

2+ e +

p

)

v∼

· n∼

dA = 0. (7.35)

Dies ist der Energiesatz fur stationare Stromungen reibungsfreier Flussigkeiten.Wir spezialisieren nun den Energiesatz (7.35) auf Stromungen in einem Stromfaden, vgl. Abb. 7.13.Den Querschnitt bezeichnen wir mit A und die Geschwindigkeit mit v.

Aus (7.31) folgt fur die Orte 1 und 2 die Relation:

1

(v21

2+ e1 +

p1

1

)

v1A1 = 2

(v22

2+ e2 +

p2

2

)

v2A2. (7.36)


Abbildung 7.13: Energiebilanz fur einen Stromfaden

Mit der Kontinuitatsgleichung 1 v1 A1 = 2 v2 A2 vereinfacht sich (7.36) zu

e +v2

2+

p

=

v2

2+ h = konst. (7.37)

langs eines Stromfadens.

Wir vergleichen nun die Energiegleichung fur reibungsfreie, stationare Stromungen in der Form(7.37) mit der Bernoulligleichung:

v2

2+

p∫dp

= konst. (7.38)

langs einer Stromlinie.

Die Bernoulligleichung gilt fur isentrope Stromungen, damit gilt:

Tds = dh− dp

= 0, oder

dp

= dh. (7.39)

Mit (7.39) folgt aus (7.38)

v2

2+ h = konst. (7.40)

Fur stationare Stromungen ohne innere Reibung und Warmeleitung, d. h. fur isentrope Stromun-gen, reduziert sich die Energiegleichung auf die Bernoullische Gleichung.

Warmeleitung in reibungsfreien Fluiden

Bei zahlreichen technischen Anwendungen konnen die Prozesse der Warmeleitung und innerenReibung i. allg. nicht vernachlassigt werden. Wenn z. B. die Temperatur nicht in der gesamtenFlussigkeit konstant ist, muß der Energietransport aufgrund der Warmeleitung in der Energieglei-chung berucksichtigt werden. Mit der Warmeleitung ist der direkte molekulare Energietransportvon Orten hoherer zu solchen mit niedrigerer Temperatur gemeint. Dieser Energietransport hangtnicht mit der Stromung der Flussigkeit zusammen und erfolgt auch im ruhenden Zustand.Die Energiestromdichte aufgrund der Warmeleitung bezeichnen wir mit q

∼

. Der Strom q∼

hangtoffensichtlich mit der Temperaturverteilung in der Flussigkeit zusammen. Bei einer stetigen Ver-teilung konnen wir q

∼

in eine Potenzreihe des Temperaturgradienten ∇∼

T entwickeln und uns aufdie ersten beiden Glieder der Entwicklung beschranken. Dabei ist klar, dass der konstante TermNull sein muß, weil q

∼

zusammen mit ∇∼

T verschwindet. Wir erhalten auf diese Weise:

q∼

= −λ∇∼

T. (7.41)

Der Proportionalitatsfaktor λ heißt Warmeleitfahigkeit. λ ist immer positiv, da der Energiestromimmer von Orten mit hoherer Temperatur nach Orten mit niedrigere Temperatur gerichtet ist; d.

7.5. Energiebilanz 93

h. q∼

und ∇∼

T haben entgegengesetzte Richtungen. λ ist eine Flussigkeitseigenschaft und i. allg.von den thermodynamischen Zustandsgroßen abhangig.Erganzt man (7.34) um den Term der Warmeleitung erhalt man fur die gesamte Energiestrom-dichte:

v∼

(v2

2+ h

)

− λ∇∼

T. (7.42)

Ebenso muß (7.33) um einen entsprechenden Term erganzt werden; wir erhalten so fur den Ener-giesatz unter Berucksichtigung der Warmeleitung:

∂

∂t

(

(v2

2+ e

))

= −∇∼

·[

v∼

(v2

2+ h

)

− λ∇∼

T

]

. (7.43)

Vor einer Interpretation wollen wir diese Gleichung noch mit Hilfe der Bewegungsgleichungenumformen. Wir bilden dazu die partielle Zeitableitung der Energiedichte :

∂

∂t

(v2

2+ e

)

= −v2

2

∂

∂t− v

∼

· ∂v∼

∂t+

∂e

∂t+ e

∂

∂t. (7.44)

Die Zeitableitungen von und v∼

eliminieren wir mit Hilfe der Kontinuitatsgleichung und der EulerGleichung und erhalten:

∂

∂t

(v2

2+ e

)

= −v2

2∇∼

· ( v∼

)− v∼

· ∇v2

2− v

∼

∇p + ∂e

∂t− e∇

∼

· (v∼

) . (7.45)

Aus dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik erhalten wir:

de = T ds− pdV = T ds +p

2d. (7.46)

Hierin ist s die spezifische Entropie und V das spezifische Volumen. Unter Verwendung der Kon-tinuitatsgleichung kann (7.46) umgeformt werden zu:

∂e

∂t= T

∂s

∂t+

p

2

∂

∂t= T

∂s

∂t− p

2∇∼

· (v∼

) . (7.47)

Wir setzen (7.47) in (7.45) ein, fuhren die Enthalpie h = e + p/ ein und erhalten:

∂

∂t

(v2

2+ e

)

= −(

v2

2+ h

)

∇ · ( v∼

)− v∼

· ∇v2

2− v

∼

∇∼

p + T∂s

∂t. (7.48)

Ferner folgt wegen h = e + pV aus (7.46):

dh = Tds + V dp = Tds +1

dp und ∇

∼

p = ∇∼

h− T∇∼

s. (7.49)

Wir fuhren diesen Ausdruck in (7.48) ein, addieren und subtrahieren ∇∼

· (λ∇∼

T )und erhalten:

∂

∂t

( v2

2+ e

)

= −∇∼

·[

v∼

(v2

2+ h

)

− λ∇∼

T

]

+ T

(∂s

∂t+ v

∼

· ∇∼

s

)

− ∇∼

· (λ∇∼

T ) . (7.50)

Aus dem Vergleich dieses Ausdrucks fur die Ableitung der Energiedichte mit (7.43) erhalt man:

T

(∂s

∂t+ v

∼

· ∇∼

s

)

= ∇∼

· (λ∇∼

T ) . (7.51)

Dies ist die allgemeine Gleichung fur den Warmetransport in einer Flussigkeit mit Warmeleitungaber ohne Berucksichtigung des inneren Reibung. Verschwindet auch die Warmeleitung, so erhalt


man die Gleichung fur die Erhaltung der Entropie in einer idealen Flussigkeit (trockenes Wasser).Der Ausdruck in den runden Klammern auf der linken Seite ist die materielle Ableitung derEntropie fur ein festes Massenelement. Gemaß der Definition der Entropie gilt:

T ds = d q,

wobei T die absolute Temperatur, d s die Entropieanderung und d q die dem Massenelement zu-gefuhrte Warmemenge ist. Durch die Warmezufuhr andert sich das Volumen des Massenelements,so daß die Warmezufuhr bei konstantem Druck und nicht bei konstantem Volumen erfolgt. Damitkann die die zugefuhrte Warme durch das Produkt aus spezifischer Warme cp und der Tempera-turanderung dargestellt werden:

T ds = cp d T,

und (7.51) kann wie folgt geschrieben werden:

(∂T

∂t+ v

∼

· ∇∼

T

)

=1

cp∇∼

· (λ∇∼

T ) =λ

cpT = χT. (7.52)

Hierbei ist χ die Temperaturleitfahigkeit, die in den Anwendungen meist als konstant angenommenwerden kann. Ist diese Bedingung erfullt, so kann das Temperaturproblem gelost werden, wenndas Geschwindigkeitsfeld gegeben ist und es gibt keine Ruckwirkung vom Temperaturfeld auf dieStromung. Eine große Temperaturleitfahigkeit χ entspricht einer großen Warmeleitfahigkeit λ undeinem kleinen Widerstand gegen Warmeubertragung, ausgedruckt durch cp.Fur eine ruhende Flussigkeit wird (7.52) besonders einfach:

∂T

∂t= χT. (7.53)

Diese Gleichung heißt Warmeleitungsgleichung oder Fouriersche Gleichung. Zur Festlegung derLosung von (7.52) bzw. (7.53) sind Anfangs- und Randbedingungen vorzugeben.Die Form der Gl.7.53 ist sehr allgemein und charakteristisch fur alle Diffusionsvorgange; wir werdensie in identischer Form, aber mit unterschiedlichen Variablen, beim Impulstransport und Massen-transport wiederfinden. Im stationaren Fall und einer eindimensionalen Anordnung vereinfachtsich Gl. 7.53 zu:

∂2T (x)

∂x2= 0. (7.54)

Man erhalt also in diesem Fall einen konstanten Temperaturgradienten in x-Richtung und damit ei-ne lineare Abhangigkeit vom Abstand, so wie bei der Herleitung der Relation Gl. 7.41angenommenwurde.Anzumerken ist, daß (7.52) bzw. (7.53) nur begrenzt auf Stromungen anwendbar sind. Denn inFlussigkeiten, die sich im Schwerefeld befinden, bewirkt schon ein kleiner Temperaturgradient einemerkliche Stromung, vgl. z. B. die Konvektionsstromung in der Umgebung eines Heizkorpers. EineFlussigkeit mit einem Temperaturgradienten ruht nur dann, wenn die Schwerkraft und der Tem-peraturgradient entgegengesetzt gerichtet sind, Beispiel: Inversionswetterlagen im Winter. Wirwerden darauf in den Ubungen zuruckkommen.


Es wurden die Bewegungsgleichungen in integraler Form hergeleitet und zur Losung einiger typi-scher Fragestellungen angewandt. Die Beispiele wurden dabei so ausgewahlt, daß der Leser einenUberblick uber die Anwendbarkeit dieser Methoden erhalt.

7.7. Literatur 95

Die Anwendung der Integralmethoden ist fur den Anfanger insofern mit Schwierigkeiten verbun-den, als fur die Losung a priori Kenntnisse uber die Stromung gebraucht werden. Solche Kenntnissegewinnt man aber nur aus Erfahrung bei der Losung von Aufgaben.

7.7 Literatur

[1] Zierep, J.: Grundzuge der Stromungslehre. Braun-Verlag, Karlsruhe (1987)

[2] Slattery, J.C.: Momentum, Energy, and Mass Transfer in Continua. Cambridge UniversityPress, New York (1999)

96

Kapitel 8

Kompressible Stromungen

8.1 Einleitung

Fur zahlreiche Stromungen liefert die Vernachlassigung der Kompressibilitat in den Gleichungenhinreichend gute Ergebnisse. Dies ist darauf zuruckzufuhren, daß bei geringen Stromungsgeschwin-digkeiten jedes Gas wie ein inkompressibles Fluid behandelt werden kann. Umgekehrt ist aber auchjede Flussigkeit bei hinreichend hohen Geschwindigkeiten kompressibel.

In diesem Abschnitt werden wir uns mit Stromungen beschaftigen, bei denen die Kompressibi-litat nicht mehr vernachlassigt werden kann. Wir werden dabei finden, daß die Machzahl einerStromung, das ist das Verhaltnis zwischen Stromungsgeschwindigkeit und Schallgeschwindigkeit,einen ersten Hinweis dafur liefert, ob die Kompressibilitat berucksichtigt werden muß oder nicht.

In kompressiblen Fluiden ist die Fortpflanzungsgeschwindigkeit von Druck- und Dichtewellen end-lich groß. Fur kleine Amplituden von Druckschwankungen beobachtet man Schallwellen, bei großenAmplituden treten Verdichtungsstoße auf. Das Studium kompressibler Stromungen ist ein wichti-ger Abschnitt der Stromungsmechanik.

8.2 Ausbreitung von Schallwellen

Druck- und Dichtestorungen in einem Gas pflanzen sich mit einer Geschwindigkeit fort, die vonden Eigenschaften des Gases und der Amplitude der Storung abhangt. Wenn die Amplitude derStorung klein ist, breitet sie sich mit Schallgeschwindigkeit aus. Diese Geschwindigkeit ist einetypische Eigenschaft eines Gases.

Wir untersuchen diesen Vorgang in einem Rohr mit konstantem Querschnitt, einem sogenanntenStoßwellenrohr, vgl. Abb. 8.1. Das an beiden Enden verschlossene Rohr ist im Anfangszustanddurch eine Membran in zwei Kammern geteilt. In der rechten Kammer, dem Hochdruckteil, sei-en Druck und Dichte um ∆p und ∆ großer als in der linken Kammer, dem Niederdruckteil.Wird die Membran entfernt, so lauft eine Verdichtungswelle in den Niederdruckteil hinein undeine Verdunnungswelle in den Hochdruckteil. Sofern ∆ und ∆p klein sind, pflanzen sich beideWellen mit der Schallgeschwindigkeit a fort. Aus der Definition ist klar, daß die Schallgeschwin-digkeit durch die Ausbreitung des Signals

”Druckstorung“ definiert ist. Sie ist als solche von einer

Stromungsgeschwindigkeit zu unterscheiden. Es ist zu bemerken, daß die Geschwindigkeit der Gas-teilchen in der Ausbreitungsrichtung der Schallwelle liegt. Man sagt, daß die Schallwellen in einemGas longitudinale Wellen sind. Wenn die Amplitude der Storung gering ist, kann weiter die in-nere Reibung und die Warmeleitung vernachlassigt werden. Dies bedeutet, daß sich Schallwellenisentrop ausbreiten1.

Wir betrachten eine Umgebung der nach links laufenden Verdichtungswelle.

Diese Wellenausbreitung ist ein instationarer Vorgang, der durch Ubergang zu einem mit −abewegten Koordinatensystem stationar betrachtet werden kann, vgl. Abb. 8.2.

1Allgemein bezeichnet man mechanische Schwingungen und Wellen in elastischen Korpern im Frequenzbereichzwischen 20 Hertz und ca. 20 000 Hertz als Schall.

8.2. Ausbreitung von Schallwellen 97

Abbildung 8.1:Wellenausbreitung in einem Stoßwellenrohr; dargestellt ist die Druckverteilung fur t = 0 und t = t1.

Instationarer VorgangBeobachter ruht,Wellenfront bewegt

v = 0 −∆v−a←− p + ∆pp, + ∆

Stationarer VorgangBeobachter bewegt,Wellenfront ruht

v = a v = a−∆v→−→ p + ∆p

p, + ∆

Abbildung 8.2: Umgebung der Verdichtungswelle in einem ruhenden und bewegten Koordinaten-system

Bei der Berechnung des Vorgangs im bewegten Koordinatensystem liefert die Kontinuitatsglei-chung bei einem konstanten Rohrquerschnitt A

a = (a−∆v) ( + ∆).

Hieraus folgt bei Vernachlassigung der quadratischen Terme

∆

=

∆v

a⇒ d

=

dv

a. (8.1)

Die Eulersche Gleichung liefert

vdv

ds= −1

dp

ds⇒ −a dv = −1

dp (8.2)

wegen v = −a. Aus (8.1) und (8.2) wird

a2 =dp

d=

∂p

∂

∣∣∣∣s=konst.

(8.3)

Die letzte Aussage folgt aus der Erfahrung, daß sich kleine Storungen isentrop ausbreiten. Nach(8.3) ist die Schallgeschwindigkeit durch den Zusammenhang zwischen Druck- und Dichteande-rungen in einem Stoff gegeben. Bei einer isentropen Zustandsanderung eines idealen Gases hangen

98 Kapitel 8. Kompressible Stromungen

Druck und Dichte der Isentropengleichung

p

κ= konst. =

p1

κ1

.

zufolge voneinander ab. Fur die Schallgeschwindigkeit folgt damit aus (8.3):

∂p

∂

∣∣∣∣s=konst.

= κp1

1

(

1

)κ−1

= κp

= a2.

Bei Berucksichtigung der Zustandsgleichung (2.14) folgt

a =

√

κp

=

√

κIR

MT. (8.4)

Hier ist IR die allgemeine Gaskonstante und M die Molmasse des Gases. Die Schallgeschwindigkeitin einem idealen Gas ist damit nur eine Funktion der Temperatur. In der nachstehenden Tabelleist die Schallgeschwindigkeit fur einige Gase bei T = 300K angegeben.

Tabelle 8.1: Schallgeschwindigkeiten einiger Gase bei T=300 K

Gas O2 N2 H2 Luft

a [m/s] 330 353 1 316 347

M [g/mol] 32 28 2 29

Der Schall breitet sich nicht nur in Gasen, sondern auch in flussigen und festen Korpern aus.In diesen ist die Schallgeschwindigkeit allerdings großer, sie betragt z. B. bei 0C in Wasser ca.1 550m/s und in Kupfer ca. 3200m/s.

Der Begriff der Schallgeschwindigkeit kann auch direkt aus der Kontinuitats- und der Eulerglei-chung hergeleitet werden. Es gilt:

Kontinuitatsleichung:d

dt+ ∇

∼

· v∼

= 0 (8.5)

Euler-Gleichung:dv

∼

dt= −1

∇∼

p (8.6)

d

dt=

∂

∂t+ v

∼

· ∇∼

≈ ∂

∂t(8.7)

Durch Schallwellen andern sich die Stromungsgroßen nur wenig; es handelt sich um schnelle Ande-rungen, die aber nur kleine Storungen bewirken. Es ist deshalb zulassig, die materielle Ableitungdurch die partielle zu ersetzen und die Gleichungen zu linearisieren; es folgt:

8.3. Der Machsche Kegel 99

→ ∂

∂t+ ∇

∼

· v∼

= 0 (8.8)

→ 0∂v

∼

∂t+ ∇

∼

p = 0 (8.9)(

∂

∂p

)

s

∂p

∂t+ 0∇

∼

· v∼

= 0 (8.10)

− ∇∼

(8.9) +∂

∂t(8.10) = 0,→ ∂

∂t(8.10) = ∇

∼

(8.9) (8.11)(

∂

∂p

)

s

∂2p

∂t2+ 0

∂

∂t(∇

∼

· v∼

)− 0∇∼

·(

∂v∼

∂t

)

− ∇∼

2p = 0 (8.12)

∂2p

∂t2−(

∂p

∂

)

s︸︷︷︸

a2

∇∼

2p = 0 (8.13)

Bei eindimensionalen Stromung → a2∇∼

2p =∂2

∂x2p ! (8.14)

∂2p

∂t2− a2 ∂2p

∂x2= 0 (8.15)

Diese Gleichung ist unter dem Namen Wellengleichung gut bekannt. Die Gleichung hat einfacheLosungen in Form von links- bzw. rechtslaufenden Wellen, vgl. Abb.8.1 :

p = f(x± at) (8.16)

f(x− at) : rechtslaufende Welle (8.17)

f(x + at) : linksslaufende Welle (8.18)

Hierbei ist f(x ± at) eine beliebige Funktioin des Arguments x ± at. Fur einen konstanten Tonz. B. hat f die Form f(x − at) = A sin(x − at); fur ein gesprochenes Wort hingegen ist f vielkomplizierter. Aus der Form der Gleichung erkennen wir, daß ein zur Zeit t an einer Stelle xgemessenes Schallsignal gleich dem Signal an der Stelle 0 zu einer fruheren Zeit x/a ist, es gilt:f(x − at) = f(0 − a(t − x/a)). Eine Schallwelle bewegt sich damit undeformiert durch das Gas.Diese Tatsache kommt uns z. B. beim Horen von Musik zugute.

8.3 Der Machsche Kegel

Kleine Druckstorungen, die von einem Punkt eines ruhenden Gases ausgehen, breiten sich mitSchallgeschwindigkeit nach allen Richtungen aus. Die Wellenfront hat dabei zu jeder Zeit dieGestalt einer konzentrischen Kugel um den Ausgangsort, vgl. Abb. 8.3.

Bewegt sich die Schallquelle mit der konstanten Geschwindigkeit u < a, so sind die Wellenfrontenimmer noch Kugeln. Die Fronten fur Schallwellen, die zu unterschiedlichen Zeiten ausgesandtwurden, liegen aber nicht mehr konzentrisch, vgl. Abb. 8.4.

Bewegt sich die Schallquelle mit u > a, so bildet die Einhullende aller Wellenfronten eine Ke-gelflache. Diese Flache trennt den bereits von der Storung erfaßten Bereich von dem noch nichtgestorten, vgl. Abb. 8.5. Der Offnungswinkel dieses Machschen Kegels, benannt nach Ernst Mach(1838–1916) ergibt sich zu:

α = sin−1(a

u

)

.

Wir denken uns nun die Schallquellen der Abb. 8.4 und 8.5 an einen Ort fixiert und von einemGas mit der Geschwindigkeit u angestromt. Die Abbildungen zeigen dann den Hauptunterschied


Abbildung 8.3: Ausbreitung von Schallwellenin einem ruhenden Gas

Abbildung 8.4: Wellenfronten bei einer mit u < abewegten Schallquelle P

Abbildung 8.5: Wellenfronten bei einer mit u > a bewegten Schallquelle P

zwischen Unterschall- und Uberschallstromungen: Eine von einem Punkt P ausgehende Storungerreicht bei Unterschallstromungen jeden Punkt des Raumes, bei Uberschallstromungen dagegennur den von der Kegelflache eingeschlossenen Bereich.

Die Schallgeschwindigkeit a ist aufgrund ihrer Bedeutung eine geeignete Bezugsgeschwindigkeitfur Stromungen kompressibler Medien. Das Verhaltnis des Betrags der Stromungsgeschwindigkeitzur Schallgeschwindigkeit wird Machsche Zahl

M =v

a

genannt. Man unterscheidet: M < 1 : Unterschallstromungen,M ≈ 1 : schallnahe Stromungen,

M > 1 : Uberschallstromungen,M ≫ 1 : Hyperschallstromungen.

Die Zweckmaßigkeit der Einfuhrung der Machzahl wird aus dem Zusammenhang zwischen Ge-schwindigkeits- und Zustandsanderungen deutlich. Aus der Eulergleichung folgt dafur:

v dv = −1

dp = −1

dp

dd = −a2

d. (8.19)

⇒M2 dv

v= −d

; (8.20)

8.4. Stromfadentheorie kompressibler Fluide 101

Das Produkt aus relativer Geschwindigkeitsanderung und dem Quadrat der Machzahl ist alsogleich der relativen Dichteanderung.

Bei inkompressiblen Stromungen, d. h. M ≪ 1, ist die relative Geschwindigkeitsanderung großerals die Anderung der Zustandsgroßen. Fur M ≫ 1 ist es umgekehrt. Aus dieser Tatsache folgenwichtige Besonderheiten kompressibler Stromungen.

8.4 Stromfadentheorie kompressibler Fluide

8.4.1 Stromdichte und kritische Großen bei isentropen Stromungen

Die Aufgabe besteht darin, die Werte der Großen v, p, und T langs eines Stromfadens zu be-stimmen, wenn diese Großen in einem Anfangsort gegeben sind. Es ist klar, daß hierzu der Verlaufdes Stromfadenquerschnitts A(s) vorgegeben sein muß; z. B. als Funktion der Bogenlange langsdes Stromfadens. Zur Bestimmung dieser Großen stehen uns folgende Gleichungen zur Verfugung:

Kontinuitatsgleichung:

d

ds( v A) = 0; (8.21)

Euler-Gleichung

v∂v

∂s= −1

∂p

∂s; (8.22)

Bernoulli-Gleichung

d

ds

(1

2v2 + h

)

= 0; (8.23)

Zustandsgleichung (der Einfachheit halber die eines idealen Gases)

p = R T. (8.24)

Weiter gilt fur ein ideales Gas bei der vorausgesetzten isentropen Zustandsanderung

p

κ= konst.; κ =

cp

cv.

Wir fragen nun, wie sich die Stromdichte j = v langs des Stromfadens andert und folgern aus(8.19)

v dv = −a2

d ⇒ d = − v

a2dv. (8.25)

Durch Einsetzen in d( v) = dv + v d erhalten wir:

d( v)

v=

dj

j=

(

1− v2

a2

)dv

v= (1−M2)

dv

v. (8.26)

Nach der Kontinuitatsgleichung (8.21) ist das Produkt v A = j A langs eines Stromfadens kon-stant. Hieraus folgt, daß die Stromdichte j = v ein Maß fur den Platzbedarf einer Stromung ist.Nach (8.26) nimmt damit der Querschnitt eines Stromfadens ausgehend von geringen Geschwin-digkeiten zunachst ab, er erreicht bei M = 1 ein Minimum und nimmt danach wieder zu. Dies isteine direkte Folge der Abnahme von j mit zunehmender Geschwindigkeit bei M > 1.

Zur Herleitung einer Beziehung zwischen der Stromdichte und der Machzahl ist es zweckmaßig,die sogenannten kritischen Großen einzufuhren. Diese beziehen sich auf denjenigen Zustand der


Stromung, in dem gerade Schallgeschwindigkeit herrscht (M = 1). Wir kennzeichnen diese Großendurch einen Stern: a∗, v∗, p∗ usw. Der Zusammenhang zwischen der Geschwindigkeit und denZustandsgroßen langs des Stromfadens wird durch die Bernoulli-Gleichung vermittelt; fur idealeGase gilt:

v2

2+ h =

v2

2+ cpT =

v2

2+

κ

κ− 1

p

=

v2

2+

a2

κ− 1= konst. (8.27)

Zur Festlegung der Konstanten bestehen zwei ausgezeichnete Moglichkeiten:

1.) die Ruhe- oder Kesselwerte: v = 0, a0, p0, 0, T0;

2.) die kritischen Werte: v = a = a∗, p∗, ∗, T ∗.

Im ersten Fall vergleicht man einen beliebigen Zustand auf dem Stromfaden mit dem Ruhezustand:

v2

2+

a2

κ− 1=

a20

κ− 1=

κ

κ− 1

p0

0= cpT0 (8.28)

oder

v2

2+ cp T = cp T0. (8.29)

Im zweiten Fall wird ein beliebiger Zustand mit dem kritischen Zustand verglichen, in dem dieStromungsgeschwindigkeit gerade gleich der Schallgeschwindigkeit ist; die kritischen Großen wer-den wir mit einem Stern kennzeichnen. Mit v = a = v∗ = a∗ folgt aus (8.27):

v2

2+

a2

κ− 1=

v∗2

2+

a∗2

κ− 1=

κ + 1

2(κ− 1)a∗2 (8.30)

oder

v2

2+ cp T =

a∗2

2+ cp T ∗ =

κ + 1

2T ∗ (8.31)

Die kritischen Großen spielen bei allen Vorgangen, bei denen die Schallgeschwindigkeit erreichtbzw. durchschritten wird, eine große Rolle. Der Zusammenhang zwischen den kritischen Großenund den Ruhewerten ergibt sich unmittelbar aus den Gleichungen (8.28) bis (8.31):

a20

κ− 1=

v∗2

2+

a∗2

κ− 1=

κ + 1

2(κ− 1)a∗2

a∗2

a20

=2

κ + 1=

p∗

∗0

p0;

T ∗

T0=

2

κ + 1;

p∗

p0=

(2

κ + 1

) κκ−1

;∗

0=

(2

κ + 1

) 1κ−1

. (8.32)

Nach diesen Gleichungen muß das Druckverhaltnis p/p0 mindestens den Wert p∗/p0 = (2/κ + 1)κ/κ−1

haben, damit ausgehend vom Ruhezustand langs des Stromfadens die Schallgeschwindigkeit er-reicht werden kann. Dieses Druckverhaltnis wird daher mit dem Zusatz kritisch gekennzeichnet.

In Analogie zu den kritischen Großen wird die kritische Machzahl

M∗ =v

a∗(8.33)

definiert. Die Normierung mit der kritischen Schallgeschwindigkeit hat offensichtlich den Vor-teil, daß im Nenner nicht mehr die lokal variable Schallgeschwindigkeit steht, sondern die beiunveranderten Ruhewerten konstante Große a∗.


Aus den Gleichungen (8.28) bis (8.31) folgt fur die Zustandsgroßen und die Geschwindigkeit langsdes Stromfadens:

v2

2+

a2

κ− 1=

a20

κ− 1=

κ

κ− 1

p0

0= cp T0. (8.34)

Aufgelost nach v2 folgt aus (8.34)

v2 =2κ

κ− 1

p0

0

(

1−(

p

p0

)κ−1κ

)

=2κ

κ− 1

p0

0

(

1−(

0

)κ−1)

. (8.35)

Aus (8.34) folgt mit (8.4)

κ− 1

2M2 + 1 =

a20

a2=

T0

T(8.36)

Fur die Zustandsgroßen langs eines Stromfadens erhalt man daraus

T

T0=

a2

a20

=1

1 + κ−12 M2

= 1− κ− 1

κ + 1M∗2, (8.37)

0=

1(1 + κ−1

2 M2) 1

κ−1

=

(

1− κ− 1

κ + 1M∗2

) 1κ−1

, (8.38)

p

p0=

1(1 + κ−1

2 M2) κ

κ−1=

(

1− κ− 1

κ + 1M∗2

) κκ−1

, (8.39)

Ferner gilt fur die kritische Machzahl

M∗2 =v2

a∗2=

v2

a2

a2

a20

a20

a∗2=

(κ + 1)M2

2 + (κ− 1)M2=

M2

1 + κ−1κ+1 (M2 − 1)

. (8.40)

Aus diesem Zusammenhang ist ersichtlich, daß der Variationsbereich der kritischen Machzahlzwischen 0 und

√

(κ + 1)/(κ− 1) liegt und daß bei M = 1 auch M∗ = 1 ist.

Durch (8.35) bis (8.39) sind Geschwindigkeit und Zustandsgroßen als Funktion der Machzahlsofort berechenbar. Aus (8.35) und (8.38) kann durch algebraische Umformungen ein Integral derGleichung (8.26) fur die Stromdichte langs des Stromfadens hergeleitet werden. Aus (8.35) folgtmit (8.39)

v = a0 M1

√

1 + κ−12 M2

(8.41)

Aus (8.38) ergibt sich

= 0

(

1 +κ− 1

2M2

)−1

κ−1

. (8.42)

Wegen a∗ =√

2/(κ + 1) a0 (8.32)1 und ∗ = (2/(κ + 1))1/(κ−1)

0 (8.32)4 gilt:

v

∗ v∗=

j

j∗= M

((κ− 1)M2 + 2

κ + 1

)−κ+1

2(κ−1)

; (8.43)

oder mit (8.40)

j

j∗= M∗

(

1− κ− 1

2(M∗2 − 1)

) 1κ−1

. (8.44)


Dies ist die gesuchte Beziehung fur die Stromdichte j/j⋆. In Abb. 8.6 ist j/j⋆ als Funktion derkritischen Machzahl M∗ dargestellt. Danach nimmt die Stromdichte langs eines Stromfadens zu,solange die Geschwindigkeit unterhalb der Schallgeschwindigkeit bleibt. Fur Uberschallgeschwin-digkeiten nimmt die Stromdichte dagegen ab und geht zusammen mit der Dichte gegen Null.Anschaulich bedeutet dies, daß bei einer Unterschallstromung sich die Stromlinien mit zunehmen-der Geschwindigkeit annahern; bei Uberschallgeschwindigkeit aber auseinandergehen. Dies folgtunmittelbar aus der Kontinuitatsgleichung (8.21).

Abbildung 8.6: Stromdichte als Funktion der Machzahl

Tabelle 8.2: Eigenschaften von Unter- und Uberschallstromungen

Geschwindigkeit v wachstMachzahl M wachstDruck p sinktDichte sinktEnthalpie h sinktTemperatur T sinktSchallgeschwindigkeit a sinktStromdichte j wachst fur M < 1

sinkt fur M > 1

In Tabelle 8.2 ist zusammengestellt, wie sich die Zustandsgroßen der Stromung mit zunehmenderStromungsgeschwindigkeit auf einem Stromfaden andern. Obwohl die Stromdichte nach (8.43) furM → ∞, d. h. bei der Expansion ins Vakuum, nach Null geht, strebt die Geschwindigkeit einemGrenzwert zu. Aus (8.41) folgt fur p/p0 → 0 bzw. M →∞ :

vmax = limp→0

v =

√

2

κ− 1a0. (8.45)

Dies ist die Maximalgeschwindigkeit, die bei der Expansion erreicht werden kann. Die Realisierunghangt entscheidend von der Dusenform ab; dies wird im nachsten Abschnitt untersucht.

8.4.2 Stromung in einer Lavalduse

Lavaldusen werden in den Anwendungen verwendet, um Unterschallstromungen auf Uberschall-geschwindigkeit zu beschleunigen. Zu diesem Zweck ist fur die Duse eine bestimmte Geometrie


erforderlich, die mit den Gleichungen der Stromfadentheorie ermittelt werden kann.

Als Gleichungen stehen uns die Kontinuitatsgleichung langs des Stromfadens

v A = konst. (8.46)

und die Euler-Gleichung in der Form (8.20) zur Verfugung:

M2 dv

v= −d

. (8.47)

Aus der Kontinuitatsgleichung folgt durch logarithmisches Differenzieren

d

+

dv

v+

dA

A= 0. (8.48)

Aus (8.47) und (8.48) folgt:

(1−M2)dv

v+

dA

A= 0 oder

1

v

dv

dx=

1

M2 − 1

1

A

dA

dx. (8.49)

Dies ist die gesuchte Beziehung, sie heißt Lavaldusen-Gleichung. Sie ermoglicht erste Aussagen uberdie erforderliche Dusengeometrie. Dafur denken wir uns zunachst M und v als gegeben. Damit inder Duse sowohl im Unterschall als auch im Uberschall eine Beschleunigung der Stromung erreichtwird, muß nach (8.49) gelten

M < 1 :dv

dx> 0 verlangt

dA

dx< 0

M > 1 :dv

dx> 0 verlangt

dA

dx> 0

M = 1 : verlangtdA

dx= 0

Hieraus folgt fur die Form einer Lavalduse:

• Verengung im Unterschallbereich

• konstanter Querschnitt bei M = 1

• Erweiterung im Uberschallbereich.

Mit Hilfe einer Beziehung zwischen v und M kann die Geschwindigkeit aus(8.49) eliminiert werden.Dazu verwenden wir die Beziehungen

v = a M und a2 = κp

.

Durch logarithmische Ableitung beider Gleichungen folgt

dv

v=

da

a+

dM

M, (8.50)

2da

a=

dp

p− d

= a2 d

p− d

= κ

d

− d

. (8.51)

Mit (8.20) folgt aus (8.51)

2da

a= −(κ− 1)M2 dv

v(8.52)


Mit (8.50) wird

dv

v− dM

M= −κ− 1

2M2 dv

v

daraus folgt

dv

v=

1

M(1 + κ−1

2 M2)dM. (8.53)

Mit (8.49) ergibt sich

1

A

dA

dx=

M2 − 1

M(1 + κ−1

2 M2)

dM

dx. (8.54)

Dies ist die gesuchte Beziehung zwischen A(x) und M(x) . Fur eine vorgegebene DusenkonturA(x) ist (8.54) eine gewohnliche Differentialgleichung fur M(x); als Randbedindung ist das Druck-verhaltnis

pKessel

paußen

=p0

pa

zur Festlegung der Losung vorzugeben.

Zur qualitativen Untersuchung der Stromung in einer Lavalduse soll nun die Losungsmannigfal-tigkeit der (8.54) diskutiert werden. Fur das Richtungsfeld in einigen ausgezeichneten Punktengilt:

• im engsten Querschnitt istdA

dx= 0, aus (8.54) folgt dann

dM

dx= 0, solange M 6= 1 ,

• fur M = 1 folgtdM

dx→∞, solange

dA

dx6= 0,

• bei M = 1,dA

dx= 0 liegt ein singularer Punkt, nach der Regel von d’Hopital erhalt man

zwei Steigungen

dM

dx= ±

√

κ + 1

4

1

A

d2A

dx2,

• bei M = 0 (d.h. im Kessel) liegt ein weiterer singularer Punkt.

Die Summe der Integralkurven ergibt schließlich das in Abb. 8.7 dargestellte Feld.


Abbildung 8.7:Stromung in einer Lavalduse, qualitatives Bild der Integralkurven fur verschiedene Gegendrucke.Im engsten Querschnitt kann bei Expansion aus dem Ruhezustand hochstens M = 1 erreichtwerden.

Abbildung 8.8: Senkrechter Verdichtungsstoß in-nerhalb der Duse fur Außendrucke im Bereichzwischen p1 und p2

Abbildung 8.9: Stoßkonfigurationen fur Außen-drucke im Bereich zwischen p2 und p3

Durch Variation des Außendrucks pa lassen sich bei konstantem Ruhedruck p0 verschiedene Stromun-gen realisieren. Gilt fur den Außendruck pa die Ungleichung p1 < pa < p0, so liegt in der gesamtenDuse eine Unterschallstromung vor. Aus dem Bild der Integralkurven ist zu sehen, daß im engstenQuerschnitt hochstens M = 1 erreicht wird , und daß fur M = 1 im engsten Querschnitt zweiMoglichkeiten bestehen, auf stetige Weise zum Dusenende zu gelangen:

1.) Fur einen Außendruck pa = p3 erfolgt eine stetige Geschwindigkeitszunahme in den Uber-schallbereich; man spricht dann von einer idealen Lavalduse.

2.) Fur einen Außendruck pa = p1 kehrt die Stromung in den Unterschallbereich zuruck.

Liegt der Außendruck pa zwischen p1 und p2, so erfolgt die Expansion zunachst entlang der unterenIntegralkurve. Um den als Randbedingung vorgeschriebenen Außendruck am Dusenende zu errei-chen, stellt sich an einer geeigneten Stelle der Duse ein sogenannter senkrechter Verdichtungsstoßein, vgl. Abb. 8.8. In einem Verdichtungsstoß andern sich die Zustandsgroßen unstetig, und die Ge-schwindigkeit kehrt in den Unterschallbereich zuruck, vgl. das nachstehende Beispiel Senkrechterund schiefer Verdichtungsstoß. Bei einer Druckabsenkung bis auf pa = p2 wandert der Stoß entlangder gestrichelten Linie von der engsten Stelle zum Dusenende. Bei einem Außendruck zwischen


Abbildung 8.10: Prandtl-Meyer-Expansion

p2 und p3 treten unmittelbar außerhalb der Duse schiefe Verdichtungsstoße auf. Abhangig vomaktuellen Wert des Außendruckes konnen sich die in Abb. 8.9 angedeuteten Stoßkonfigurationenausbilden.Bei einem Außendruck, der unterhalb von p3 liegt, schließt sich außerhalb der Duse eine weitereExpansion in der Form einer sogenannten Prandtl-Meyer-Welle an, vgl. z.B. [1].Der Vollstandigkeit halber sei noch angegeben, daß fur den Fall der idealen Lavalduse (pa = p3)eine geschlossene Losung existiert:

A

A∗= M−1

[

2

κ + 1

[

1 +1

2(κ− 1)M2

][(κ+1)/[2(κ−1)]]

. (8.55)

In Gl.8.55 ist A⋆ der engste Querschnitt der Duse.

8.5 Beispiele

8.5.1 Senkrechter Verdichtungsstoß

Als Beispiel fur die Anwendung der integralen Bilanzgleichungen auf kompressible Stromungen un-tersuchen wir den sogenannten senkrechten Verdichtungsstoß. Wir betrachten dazu die Stromungeines idealen Gases durch einen Stromfaden mit konstantem Querschnitt. Wir bezeichnen dieStromungsdaten an zwei willkurlich gewahlten Querschnitten mit den Indizes 1 und 2. Die Bilanz-gleichungen fur Masse, Impuls und Energie liefern

1 v1 = 2 v2, (8.56)

1 v21 + p1 = 2 v2

2 + p2, (8.57)

1

2v21 + h1 =

1

2v22 + h2. (8.58)

Fur ein ideales Gas gilt

h = cpT + konst. =κ

κ− 1

p

+ konst. (8.59)

Damit kann (8.58) wie folgt umgeformt werden:

1

2v21 +

κ

κ− 1

p1

1=

1

2v22 +

κ

κ− 1

p2

2. (8.60)

8.56, 8.57 und 8.60 konnen bei vorgegebenen Werten fur 1 , p1 und v1 nach 2 , p2 und v2 aufgelost

8.5. Beispiele 109

werden, und man erhalt so jeweils zwei Losungen

v2

v1=

1

2=

1

1− 2

κ + 1

(

1− κ p1

1 v21

)

= 1− 2

κ + 1

(

1− 1

M2

)

,(8.61)

p2

p1=

1

1− 2κ

κ + 1

(1 v2

1

κ p1− 1

)

= 1 +2κ

κ + 1

(M2 − 1

).

(8.62)

Ein ideales Gas im Anstromzustand 1 kann demnach stromabwarts entweder im selben Zustandweiterstromen oder den durch (8.61) und (8.62) beschriebenen zweiten Zustand annehmen. Da eskeine Zwischenzustande gibt und weiter fur M = v1/a1 > 1 der Druck p2 > p1 ist, wird dieseLosung als senkrechter Verdichtungsstoß bezeichnet.

Wesentlich ist noch die Aussage des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik: Auf Grund desGesetzes vom Anwachsen der Entropie muß die Entropie s2 des Gases nach dem Durchgang durchden Stoß großer sein als der Anfangswert s1.Fur die Entropieanderung zwischen den Zustanden 1 und 2 gilt:

T ds = cv dT −R Td

, (8.63)

daraus folgt

ds = cvdT

T− (cp − cv)

d

. (8.64)

Mit der Zustandsgleichung eines idealen Gases cp/cv = κ folgt schließlich

s2 − s1 = cv lnp2

p1− cp ln

2

1= cv ln

(p2

p1

(1

2

)κ)

. (8.65)

Nach Einfuhren der Machzahl auf der rechten Seite ergibt sich

s2 − s1 = cv ln

((

1 +2 κ

κ + 1

(M2 − 1

))(

1− 2

κ + 1

(

1− 1

M2

))κ)

. (8.66)

Fur das Temperaturverhaltnis folgt

T2

T1=

(

1 +2 κ

κ + 1

(M2 − 1

))(

1− 2

κ + 1

(

1− 1

M2

))

. (8.67)

In Abhangigkeit von der Machzahl M gilt:

M > 1 : s2 − s1 > 0M < 1 : s2 − s1 < 0

(8.68)

Daraus folgt aufgrund des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik, daß ein Verdichtungsstoßnur in Uberschallstromungen auftreten kann.2 Hinter einem solchen Stoß liegt dann immer eineUnterschallstromung vor; dieses Ergebnis erhalt man aus den Gleichungen 8.61 und 8.67.

Die starke Temperaturerhohung im Verdichtungsstoß fuhrt bei hoheren Machzahlen ( etwa abM = 4) zu Dissoziation der Gasmolekule; die Zustandsgleichung eines idealen Gases ist dannnicht mehr anwendbar.

2Die Entropiezunahme bedeutet, daß die Stromung irreversibel ablauft; d. h. daß eine Energiedissipation vor-handen ist. Der Verdichtungsstoß stellt somit einen Mechanismus dar, der eine Energiedissipation bei der Bewegungeines idealen Fluids zur Folge hat. Der Vorgang lauft dabei in einer dunnen Schicht mit der Dicke von einigen hun-dert freien Weglangen des stromenden Gases ab. Es ist bemerkenswert, daß die Große der Energiedissipation alleindurch die auf die beiden Seiten des Stoßes angewandten Erhaltungssatze fur Masse, Impuls und Energie bestimmtwird.


Abbildung 8.11: Entropiezunahme beim senkrechten Verdichtungsstoß

Verdichtungsstoße werden u. a. benutzt, um die Reaktionskinetik chemischer Vorgange zu studie-ren; es lassen sich sehr schnelle und starke Temperaturgradienten verwirklichen.Bisher haben wir angenommen, daß der Verdichtungsstoß senkrecht zu den Stromlinien steht unddie Form einer ebenen Flache hat. Man spricht deshalb auch von einem senkrechten Verdichtungs-stoß. Bei Korperumstromungen und konkaven Umlenkungen, also bei zwei-und dreidimensionalenStromungen, treten schiefe und raumlich gekrummte Verdichtungsstoße auf; dies wollen wir aberin dieser Vorlesung nicht vertiefen.

8.5.2 Ausstromen eines Gases aus einem Druckbehalter

Bei Gasstromungen kann die Druckdifferenz aus den geodatischen Hohen gegenuber der Differenzdes statischen Druckes fast immer vernachlassigt werden. Die Ausstromgeschwindigkeit aus einemDruckbehalter mit einer Offnung ist dann durch (8.35) gegeben

v =

√√√√

(

2 κ

κ− 1

p0

0

(

1−(

p1

p0

)κ−1κ

))

Dies ist die Formel von Saint-Venant 3 und Wantzell 4; sie gibt die Ausflußgeschwindigkeit alsFunktion der Ruhewerte (0, p0) und des Außendruckes p1 an. Wie oben gezeigt wurde, gilt siebei scharfkantigen Offnungen uneingeschrankt nur fur Gegendrucke, die hoher oder gleich demkritischem Druck sind. Bei niedrigeren Drucken kommt es entscheidend auf die Dusenform an,vgl. den Abschnitt: Stromung in einer Lavalduse.Beim Ausstromen ins Vakuum (p1 = 0) ergibt sich die (endliche) Maximalgeschwindigkeit:

vmax =

√(

2 κ

κ− 1

p0

0

)

=

√(

2 κ

κ− 1R T0

)

.

Fur Luft unter Atmospharenbedingung ergibt sich beim Ausstromen ins Vakuum:

κ = 1, 4; p0 = 1bar; 0 = 1, 226kg/m3 :→ vmax = 750m/s.

3A. Barre de Saint Venant, 1797 - 18864P. L. Wantzell, 1814-1848

8.5. Beispiele 111

Dieses Ergebnis zeigt den Einfluß der Kompressibilitat auf die Stromung. Der Wert von vmax kannvergroßert werden, indem entweder der Ruhedruck p0 oder die Ruhetemperatur T0 erhoht wird.

8.5.3 Leckmenge eines Behalters

Gegeben sei ein großer Behalter, der vollstandig evakuiert ist. In der Behalterwand befinde sichein Leck mit der Flache A.

Wieviel Liter Luft, bezogen auf den Ruhezustand (0, a0) stromen pro Zeit- und Flacheneinheitdurch die Offnung in den Behalter ?

In einer gewissen Naherung kann angenommen werden, daß sich eine Stromung wie in einer La-valduse einstellt; A kann als engster Querschnitt einer solchen Duse angesehen werden. Bei einemkritischen Druckverhaltnis

p

p0=

p∗

p0=

(2

κ + 1

) κκ−1

liegt im engsten Querschnitt gerade der kritische Zustand vor. Fur den Massenstrom langs einesStromfadens gilt dann

m = ∗ a∗ A∗ = 0

(2

κ + 1

) 1κ−1

a0

√

2

κ + 1A∗

mit a0 = 350m/s und κ = 1, 4 folgt:

m

0A∗= 0,58 · 350 m/s ≈ 2 · 102 m3

m2s= 20

Liter

cm2s.

Dieses Beispiel veranschaulicht den großen Volumendurchsatz in einer Lavalduse bei uberkritischenBedingungen; bei A2 = 100 cm2 betragt dieser im obigen Beispiel in 10 s 20m3 .

8.5.4 Temperaturerhohung im Staupunkt eines stumpfen Flugkorpers

Auf der Staustromlinie kommt es bei Flugkorpern zu Temperaturerhohungen, die mit (8.37) be-rechnet werden konnen. Diese Gleichung gilt auch dann, wenn sich fur M > 1 vor dem Korper eineStoßwelle ausbildet; denn diese Gleichung stimmt mit dem Energiesatz fur adiabate Stromungenuberein.

Fur Luft (κ = 1, 4) und T = 300K gilt:

T1

T= 1 +

κ− 1

2M2 = 1 + 0,2M2.

Die Temperatur im Staupunkt nimmt also mit dem Quadrat der Machzahl zu; somit folgt

• fur M = 2 : T = 540 K = 267C,

• fur M = 5 : T = 1 800 K = 1 527C,

Bei 1800K verhalt sich allerdings Luft nicht mehr wie ein ideales Gas, vgl. Abschnitt 7.5.

8.5.5 Bis zu welcher Machzahl kann die Stromung von Luft

als inkompressibel angesehen werden?

Als Grenze setzen wir eine relative Dichteanderung von 2 %. Das bedeutet:∣∣∣∣

− 1

1

∣∣∣∣< 0,02.


Abbildung 8.12: Stoßwelle vor einem stumpfen Korper

Nach (8.43) gilt:

1=

1(1 + κ−1

2 M2) 1

κ−1

≈ 1

1 + 12M2 + . . .

≈ 1− 1

2M2 + . . . .

Daraus folgt

∣∣∣∣

− 1

1

∣∣∣∣=

∣∣∣∣−1

2M2

∣∣∣∣< 0,02.

und somit

M2 < 0,04 ⇒ M < 0,2.

Die Kompressibilitat kann bei Machzahlen unterhalb von 0,2 vernachlassigt werden. Fur Luft unterNormalbedingungen entspricht dies einer Geschwindigkeit von v ≤ 65 m/s.

8.5.6 Lautsprecher

Ein Lautsprecher erzeugt Schallwellen, indem eine Membran oszillierend bewegt wird und soDruck- und Geschwindigkeitsstorungen erzeugt, die abgestrahlt werden.

Fur die Leistung des Lautsprechers gilt:

P = ∆p∆v ·A, A=Flache der Membran (8.69)

Mit (8.2) folgt fur die spezifische Leistung:

P

A= ∆p∆v =

∆p2

a= a(∆v)2 (8.70)

Diese Leistung wird durch Schallwellen vom Lautsprecher zum Empfanger (Horer) abgestrahlt.

Definition: Schallintensitat I

I =∆p2

a

(zeitlicher Mittelwert der Energie, die je Zeiteinheit von der Schall-welle durch eine zur Ausbreitungsrichtung der Welle senkrechteFlacheneinheit ubertragen wird)

(8.71)

Die Maßeinheit fur die Schallintensitat im SI-System ist Watt pro Quadratmeter (W/m2). Um ei-ne Horempfindung auszulosen muß eine Schallwelle eine bestimmte minimale Intensitat besitzen.


Uberschreitet jedoch die Schallintensitat ein bestimmtes Niveau, so konnen keine Tone mehr wahr-genommen werden, die Schallwelle verursacht dann ein starkes Schmerzempfinden. Es existiert alsoeine Horbarkeits- und eine Schmerzschwelle. Innerhalb dieses Intervalls ist die Verarbeitung derSchallwellen durch das Gehor moglich.Die Schallintensitat ist ein objektives Charakteristikum einer Schallwelle. Hingegen ist die vonunserem Ohr wahr genommene Lautstarke eine subjektive Große. Nach dem Weber-FechnerschenGesetzt wachst die Lautstarke mit dem Anwachsen der Schallintensitat im logarithmischen Maß-stab. Es hat sich daher als zweckmaßig erwiesen, anstatt von der Intensitat einer Schallwelle vonihrem Schallpegel β zu sprechen; dieser ist definiert als:

β = logI

I0(10dB) (8.72)

(8.73)

Der Referenzwert I0 ist dabei die Horbarkeitsschwelle fur das menschliches Ohr:

I0 = 2 · 10−5 W

m2(8.74)

Die Abkurzung dB steht fur Dezibel; mit dieser Bezeichnung soll die Arbeit von Alexander GrahamBell gewurdigt werden, er gilt in den USA als Erfinder des Telefons.

Beispiele fur Schallpegel:

II0

β [dB]

Horgrenze 1 0Blatterrauschen 102 20Unterhaltung 106 60Straßenverkehr 107 70Disko(larm) 1012 120Schmerzgrenze 1013 130Strahltriebwerk 1015 150(lethal)

Diese Tabelle Zeigt, daß unser Ohr Gerausche uber einen rießigen Intensitatsbereich hinweg wahr-nehmen, differenzieren und, bei entsprechender Ausbildung, emotional bewerten kann.


Es wurden einige Eigenschaften kompressibler Stromungen untersucht. Zur Charakterisierung derStromungen wurde die Machzahl eingefuhrt. Je nachdem, ob diese großer oder kleiner als eins ist,breiten sich Storungen unterschiedlich im Stromungsfeld aus. Die dabei auftretenden Stromungs-formen wurden am Beispiel der Lavalduse dargestellt.

8.7 Literatur

[1] Zierep, J.: Theoretische Gasdynamik. Verlag G. Braun Karlsruhe (1976)

[2] Becker, E.: Gasdynamik. Teubner Stuttgart (1965)

114

Kapitel 9

Dimensionsanalyse,

Ahnlichkeitsgesetze

9.1 Einleitung

Wir wissen aus Erfahrung, daß sich die Stromung um ein Flugzeug andert, sobald das Flug-zeug die Schallgeschwindigkeit uberschreitet. Bei Uberschallgeschwindigkeit strahlt das FlugzeugEnergie in Form von Verdichtungswellen ab, die wir als Uberschallknall am Boden horen. Da dieSchallgeschwindigkeit sich mit der Hohenlage andert, hangt das Umschlagen der Stromung vomUnterschall- in den Uberschalltyp nicht nur von seiner Absolutgeschwindigkeit ab, sondern auchnoch von der Schallgeschwindigkeit des umstromenden Gases. Von Bedeutung ist also das dimen-sionslose Verhaltnis zwischen Fluggeschwindigkeit und Schallgeschwindigkeit, das wir Machzahlgenannt haben.

Ist nun die Kennzeichnung der Stromung um ein Flugzeug durch eine dimensionslose Kennzahlein Sonderfall, oder werden auch andere Vorgange durch dimensionslose Kennzahlen beschrieben?

9.2 Das Π-Theorem von Buckingham

Messen bedeutet im Prinzip vergleichen. Dabei stellt sich die Frage, mit welchen Basisgroßenverglichen werden soll.

In der Mechanik gebraucht man als Basisgroßen: Masse [M ], Lange [L], und Zeit [T ]. Es kanngezeigt werden, daß sich jede mechanische Variable X der Dimension nach — gekennzeichnetdurch [ ] — als Potenzprodukt dieser Basisgroßen darstellen laßt.

Unter einem physikalischen Prozeß verstehen wir eine Relation zwischen den V beteiligten Varia-blen:

f(X1, X

2, . . . , X

V) = 0. (9.1)

Wenn diese V Variablen D Basisgroßen (Masse, Lange, Zeit etc.) fur ihre Darstellung benotigen,so konnen G = V −R unabhangige dimensionslose Gruppen der Form

Π = Xa1

1Xa2

2· · · XaV

V=

V∏

i=1

Xai

i(9.2)

hergeleitet werden, dabei ist R ≤ D 1. Die Relation (9.1) kann dann als

f(Π1, Π

2, . . . , Π

G) = 0 (9.3)

1Bei fast allen Anwendungen in der Stromungsmechanik ist R = D. Es gibt nur wenige Ausnahmen von dieserRegel, dafur sei auf die Spezialliteratur verwiesen.

9.2. Das Π-Theorem von Buckingham 115

geschrieben werden. Diese Aussage wird in der Literatur als Π-Theorem von Buckingham bezeich-net.

Die Nutzlichkeit der Dimensionsanalyse folgt aus dem Fakt, daß dadurch die Anzahl der zurBeschreibung notwendigen Variablen von V auf G reduziert wird. Von einem heuristischen Stand-punkt aus ist das Π-Theorem eine Folge der elementaren Tatsache, daß jeder Term einer Gleichungdieselbe Dimension haben muß.

Wir kommen nun zur Ermittlung der dimensionslosen Π-Großen. Wir betrachten die Relation(9.1) zwischen den V dimensionsbehafteten Großen X1 , . . . , X

V. Daneben betrachten wir noch

die aus D ≤ V dimensionsbehafteten Großen bestehende Basis. Die Basisgroßen A sind dadurchausgezeichnet, daß sie sich nicht durch Potenzprodukte anderer Basisgroßen darstellen lassen. Furdie [X

i] gilt:

[X

1

]= Ak11

1Ak21

2 · · · AkD1

D =D∏

j=1

Akj1

j

...[X

V

]= Ak1V

1Ak2V

2 · · · AkDV

D =D∏

j=1

AkjV

j

(9.4)

Nach dem Π-Theorem gibt es dimensionslose Gruppen der Form (9.2). Geht man in (9.2) zu denDimensionen uber und berucksichtigt (9.4), so folgt:

[Π] = A01· · ·A0

D=

Ak11

1 · · ·AkD1

D

a1

· · ·

Ak1V

1 · · ·AkDV

D

aV

=D∏

j=1

A0j =

V∏

i=1

(D∏

j=1

Akji

j

)ai (9.5)

Ein Vergleich der Exponenten der Basisgroßen in (9.5) liefert:

k11

a1

+ k12

a2

+ · · · + k1V

aV

= 0k21

a1

+ k22

a2

+ · · · + k2V

aV

= 0...

kD1

a1

+ kD2

a2

+ · · · + kDV

aV

= 0

⇒ kji · ai = 0 (9.6)

(9.6) ist ein homogenes, lineares Gleichungssystem fur die V Unbekannten a1, . . . , a

V. Fur Glei-

chungssysteme dieser Art gilt der Satz:

Ein homogenes, lineares Gleichungssystem in V Unbekannten, dessen Koeffizientenmatrix denRang R hat, besitzt genau V −R linear unabhangige Losungen, wobei R ≤ D ≤ V gilt.

Damit wurde folgender Losungsweg fur Probleme der Dimensionsanalyse aufgezeigt:

1.) Festlegung der dimensionsbehafteten Großen, die bei dem Problem eine Rolle spielen. Re-sultat: V .

2.) Festlegung der Basisgroßen.

3.) Aufstellung der Dimensionsmatrix kij und Ermittlung des Ranges R.

4.) Bestimmung der V −R dimensionslosen Π-Großen.

5.) Aufstellung der Relation f(Π1, . . . , Π

V −R) = 0 als Losung des Problems.

Damit konnen wir die eingangs gestellte Frage nach den Basisgroßen wie folgt beantworten:

Die Dimensionsanalyse ist eine Methode, mit der die problembezogenen Basisgroßengefunden werden konnen; eine Große dimensionslos schreiben heißt in diesem Sinn, siein problembezogenen Einheiten zu messen.

116 Kapitel 9. Dimensionsanalyse, Ahnlichkeitsgesetze

9.3 Anwendungen

9.3.1 Rohrstromungen einer inkompressiblen newtonschen Flussigkeit

Aufgabe ist es, den Druckabfall bei der Stromung von 1 nach 2 zu bestimmen. Der Druckverlust∆p als abhangige Variable ist eine Funktion der anderen physikalischen Großen des Systems:

µ Viskositat der Flussigkeit Dichtev mittlere Stromungsgeschwindigkeitl Abstand der Orte 1 und 2d Rohrdurchmesser.

Gesucht ist

∆p = f(µ, , v, d, l) (9.7)

Die Variablen haben die Dimensionen [∆p] = M L−1 T−2 [µ] = M L−1 T−1

[ ] = M L−3 [v] = L T−1

[ l ] = L [d] = L

Als Basisgroßen wahlen wir Masse, Lange und Zeit (M, L, T ). Wir haben V = 6 Variable und D =3 Basisgroßen, fur die Anzahl der unabhangigen dimensionslosen Π-Großen folgt G = V −D = 3.

Die dimensionslosen Gruppen haben die Form

Π = ∆pa1µa2 la3da4a5va6

Durch Einfuhren der Basisgroßen folgt

Π =(M L−1 T−2

)a1(M L−1 T−1

)a2(L)a3(L)a4(M L−3

)a5(L T−1

)a6

= Ma1+a2+a5 L−a1−a2+a3+a4−3a5+a6 T−2a1−a2−a6

= M0 L0 T 0.

Daraus ergibt sich zur Ermittlung der Koeffizienten ai das Gleichungssystem

M : a1 + a2 + a5 = 0L : −a1 − a2 + a3 + a4 − 3a5 + a6 = 0T : −2a1 − a2 − a6 = 0.

(9.8)

Zur Bestimmung der 6 Unbekannten stehen drei Gleichungen zur Verfugung, drei Unbekanntekonnen somit beliebig festgelegt werden.

1.) Wir setzen a1 = 1, a2 = 0, a3 = 0. Aus (9.8) folgt a4 = 0, a5 = −1, a6 = −2 . Damit wird

Π1

=∆p

v2.

2.) Wir setzen: a1 = 0, a2 = 1, a3 = 0. Aus (9.8) folgt a4 = −1, a5 = −1, a6 = −1. Damit wird

Π2

=µ

d v.

3.) Wir setzen a1 = 0, a2 = 0, a3 = 1. Aus (9.8) folgt a4 = −1, a5 = 0, a6 = 0 . Damit wird

Π3

=l

d.

9.3. Anwendungen 117

Damit reduziert sich die Relation (9.7) zu

Π1

= f(Π

2, Π

3

)oder

∆p

v2= f

(µ

d v,

l

d

)

. (9.9)

Fur die Inverse von Π2

ist in der Stromungsmechanik der Name Reynoldszahl (Re) gelaufig; stattΠ

1wird meist 2Π

1verwendet.

Bei der exakten Behandlung der Rohrstromung wird gezeigt, daß (9.9) die Form

∆p =1

2 v2 λ(Re)

l

d. (9.10)

annimmt. Der Zusammenhang λ = λ(Re) ist experimentell zu bestimmen bzw. aus den Bewe-gungsgleichungen herzuleiten.

9.3.2 Kugelsymmetrische Explosion

Im Jahre 1950 beschrieb G. I. Taylor in einer Arbeit, wie man die Energie, die bei einer Atombom-benexplosion frei wird, einfach bestimmen kann. Was man außer der Dimensionsanalyse braucht,sind Photos, die in kurzen Zeitabstanden nach der Detonation das Anwachsen des Feuerballszeigen.

Es interessiert das Ausbreitungsgesetz der Druckwelle r = r(t). Taylor hatte bereits vorherStromungen mit starken Verdichtungswellen studiert; von daher wußte er, daß die Geschwindigkeitder Wellenfront unabhangig von der speziellen Druckverteilung unmittelbar nach der Explosionist. Hieraus schloß er, daß die Wellenausbreitung (r) nach einer gegebenen Zeit (t) nur noch vonder Dichte () der noch ungestorten Luft vor der Welle und der von der Bombe freigesetztenEnergie w abhangen kann. In das Problem gehen V = 4 physikalische Großen (r, t, w und ) ein.Zur Darstellung dieser Großen sind D = 3 Basisgroßen (M , L und T ) erforderlich. Damit gibt esnur V −D = 1 dimensionslose Große, die sich zu

Π =r5

w t2.

Abbildung 9.1: Wellenfront bei kugelsymmetrischer Explosion

bestimmt. Die Aussage der Dimensionsanalyse ist, daß der Vorgang durch die Relation Π = konst.beschrieben wird. Hieraus folgt

r = K 5

√w

t2.

Mit Hilfe der Bilanzgleichungen fur Masse, Impuls und Energie hat Taylor fur die Konstante Kden Wert Eins gefunden. Die Beziehung gibt die Moglichkeit, durch Auswertung eines Photos diedurch eine Bombe freigesetzte Energie zu bestimmen.

118 Kapitel 9. Dimensionsanalyse, Ahnlichkeitsgesetze


Es wurde eine kurze Einfuhrung in die Methoden der Dimensionsanalyse gegeben. Mit diesemWerkzeug laßt sich bei Stromungsproblemen vielfach die Zahl der unabhangigen Variablen reduzie-ren. Diese Methode ist besonders bei praktischen Ingenieurproblemen geeignet, um Einflußgroßenzu erkennen bzw. zu klassifizieren.

Der Grundgedanke der Dimensionsanalyse besteht darin, die bei einem Problem vorkommendenGroßen in problembezogenen Einheiten zu messen. Die Dimensionsanalyse liefert die Methode,um die problemeigenen Basisgroßen zu finden.

Aus den Uberlegungen zur Dimensionsanalyse haben wir gesehen, daß sich physikalische Prozes-se auf eine Beziehung zwischen den dimensionslosen Π-Großen reduzieren lassen. Beispielsweisehatten wir gesehen, daß bei einer Rohrstromung der Druckverlust eine Funktion der Reynolds-zahl ist. Bei der Stromung durch geometrisch ahnliche Rohre (d. h. d/l = konst.) mit derselbenReynoldszahl wird sich aber nicht nur derselbe Druckverlust einstellen, sondern auch dasselbeGeschwindigkeitsfeld. Damit sind wir in der Lage, ein Ahnlichkeitsgesetz zu formulieren:

Wenn fur zwei Stromungen alle Π-Großen ubereinstimmen, sind beide Stromungen dynamischahnlich.

In der Praxis macht man sich diese Tatsache bei der Durchfuhrung von Modellversuchen zunutze.

9.5 Literatur

[1] Zierep, J.: Ahnlichkeitsgesetze und Modellregeln der Stromungslehre. Braun-Verlag Karls-ruhe (1972)

[2] Langhaar, H.: Dimensional Analysis and Theory of Models. John Wiley New York (1951)

119

Kapitel 10

Schichtenstromungen viskoser

Fluide

10.1 Grundlagen

Mehrere der Erfahrung widersprechende Ergebnisse der Theorie reibungsfreier Stromungen weisendarauf hin, daß die bisher entwickelte Theorie erweitert werden muß. Die Richtung der Erweite-rung wurde bereits bei der Einfuhrung der Viskositat angedeutet. Benachbarte, mit verschiedenerGeschwindigkeit bewegte Flussigkeitsteilchen uben erfahrungsgemaß Reibungskrafte aufeinanderaus, die in der Bewegungsgleichung entsprechend zu berucksichtigen sind.

Zur Einfuhrung studieren wir den Einfluß der Reibungskrafte fur eine spezielle Klasse von Stromun-gen, die sogenannten Schichtenstromungen. Diese sind dadurch ausgezeichnet, daß der Vektor derStromungsgeschwindigkeit im gesamten Stromfeld in einem geeignet gewahlten Koordinatensystemnur eine von Null verschiedene Komponente hat und diese sich nur senkrecht zur Stromungsrich-tung andert.

Beim Studium der Flussigkeitseigenschaften in Kapitel 2 wurde gefunden, daß bei Schichten-stromungen rein viskoser Flussigkeiten der Reibungseinfluß durch eine Schubspannung ausgedrucktwerden kann. Fur den Zusammenhang zwischen der Schubspannung und dem Geschwindigkeitsfeldgilt bei solchen Stromungen

τ = µ γ (10.1)

Hierbei ist µ die Viskositat und γ die Schergeschwindigkeit. Fur eine ebene Schichtenstromungnach Abb. 10.1 gilt in kartesischen Koordinaten:

γ =du

dy. (10.2)

Fur den Fall, daß µ = konst. ist, wird (10.1) Newtonscher Schubspannungsansatz genannt. Damitkann die Reibungskraft ∆R fur ein Massenelement ∆m bestimmt werden, vgl. Abb. 10.1.

Es gilt

∆R

∆m=

(τ + ∆τ − τ)∆x∆z

∆∆x∆y∆z=

1

∆τ∆x∆z

∆V=

1

∆τ

∆y; (10.3)

durch einen Grenzubergang ∆m→ 0 erhalt man

dR

dm= lim

∆m→0

∆R

∆m=

1

dτ

dy=

1

µ

d2u

dy2= ν

d2u

dy2. (10.4)

Fur die an einem Massenelement angreifende resultierende Reibungskraft kommt es nach (10.4) aufdie Anderung der Schubspannung senkrecht zum Stromfaden an. Bei Schichtenstromungen new-tonscher Flussigkeiten ist die an einem Massenelement angreifende spezifische Reibungskraft dann

120 Kapitel 10. Schichtenstromungen viskoser Fluide

Abbildung 10.1: Ebene Schichtenstromung

proportional zur zweiten Ableitung der Geschwindigkeit. Mit dem fur ebene Schichtenstromungengultigen Reibungsterm in der Form (10.4) konnen einige technisch wichtige Stromungen behan-delt werden. Fur die Anwendungen ist es dabei zweckmaßig, die Bewegungsgleichung durch eineKraftebilanz an einem geeignet gewahlten Volumenelement herzuleiten. Als Resultat ergibt sicheine gewohnliche Differentialgleichung zur Bestimmung der Geschwindigkeit. Zur Festlegung derbei der Integration auftretenden Konstanten sind Randbedingungen erforderlich. Ubliche Bedin-gungen sind:

1.) An festen Wanden gilt die Haftbedingung, d. h. die Geschwindigkeit der Flussigkeit stimmtmit der der Wand uberein.

2.) An Kontaktflachen mit anderen Flussigkeiten verlaufen Geschwindigkeit und Schubspannungstetig uber diese Flache hinweg.

3.) An Kontaktflachen zwischen Flussigkeiten und Gasen kann meist angenommen werden, daßdie Kraftwirkung des Gases auf die Flussigkeit vernachlassigbar gering ist.

10.2 Anwendungen

10.2.1 Flussigkeitsfilm an einer schragen Wand

Ein Flussigkeitsfilm der Dicke δ sei auf der Oberseite durch eine freie Oberflache begrenzt. Dieuntere Begrenzung ist eine feste Wand, die mit der Horizontalen den Winkel α bildet. Zu berechnenist die unter dem Einfluß der Erdschwere auftretende Stromung, vgl. Abb. 10.2.

Fur die Herleitung der Bewegungsgleichung werden folgende Voraussetzungen herangezogen:

1.) Der Außendruck sei konstant langs des gesamten Films.

2.) Dichte und Viskositat µ seien konstant.

3.) Die Reibungsspannung zwischen Atmosphare und der Flussigkeit sind vernachlassigbar.

4.) Die Stromung verlaufe parallel zur Wand


Abbildung 10.2: Stromung auf einer schragen Wand

Wir beschranken uns auf eine Zone der Lange L, die so weit vom Anfang und Ende der Wandentfernt sei, daß innerhalb dieser Zone die Geschwindigkeit nicht von x abhangt. Ist diese Voraus-setzung erfullt, so spricht man von einer ausgebildeten Stromung.

Fur die Kraftebilanz wahlen wir ein Volumenelement der Ausdehnung ∆x, ∆y und ∆z gemaßAbb. 10.2. Auf das Volumenelement wirken Reibungs-, Gewichts- und Druckkrafte ein. Aus derKraftebilanz

∑F∼

= 0∼

folgt

• fur die y-Komponente:

−(p + ∆p)∆x∆z + p ∆x∆z − g cosα ∆x∆y ∆z = 0; (10.5)

daraus folgt

lim∆y→0

∆p

∆y=

dp

dy= − g cosα. (10.6)

• fur die x-Komponente1:

(τ + ∆τ)∆x∆z − τ ∆x∆z + g sin α∆x∆y ∆z = 0. (10.7)

Fur ∆y → 0 folgt :

dτ

dy+ g sin α = 0. (10.8)

mit (10.1) ergibt sich:

µd2u

dy2+ g sin α = 0. (10.9)

(10.9) druckt aus, daß bei dieser Stromung die Reibungskrafte gemaß (10.4) und die Schwer-kraft im Gleichgewicht sind.

Als Randbedingungen sind zu verlangen:

1Das Ergebnis wird zeigen, daß der Druck auf zur Oberflache parallelen Flachen konstant ist, er gibt daherkeinen Beitrag fur das Kraftegleichgewicht in x-Richtung


1.) An der freien Oberflache y = δ

p(δ) = p0, τ(δ) = 0. (10.10)

2.) An der Wand y = 0

u(0) = 0. (10.11)

Die diesen Randbedingungen genugende Losung von (10.9) und (10.6) lautet

p(y) = p0 + g (δ − y) cosα,

u(y) = g sin α

2µy(2δ − y).

(10.12)

Die Flussigkeitsmenge, die pro Zeiteinheit durch einen Querschnitt der Tiefe 1 der Schicht fließt,ist

m =

δ∫

0

u(y)dy = g sin α δ3

3 µ. (10.13)

Fur die Schubspannung folgt aus (10.12) mit (10.1)

τ(y) = g sin α (δ − y). (10.14)

Fur die Kraft F∼

, die pro Flacheneinheit auf die Wand ausgeubt wird, folgt aus (10.12) und (10.14)

F∼

=

(Fx

Fy

)∣∣∣∣y=0

=1

A

A∫

0

(τ(y = 0)p(y = 0)

)

dA = g δ

(sin αcosα

)

(10.15)

Die beiden Komponenten in (10.15) entsprechen genau der Zerlegung der Gewichtskraft in diebeiden Richtungen; die Kraftebilanz ist offensichtlich erfullt.

10.2.2 Couette-Stromung

Wir betrachten die Stromung einer newtonschen Flussigkeit zwischen zwei koaxialen, unendlichlangen Zylindern, die sich mit den konstanten Winkelgeschwindigkeiten ω1 und ω2 um ihre gemein-same Achse drehen. Die Zylinder sollen die Radien R1 und R2 haben, mit R1 < R2. Die Zylinderseien im Vergleich zur Spaltweite so lang, daß Endeffekte keine Rolle spielen. Eine Stromung unterdiesen Randbedingungen heißt Couette-Stromung, sie ist u. a. im Couette-Viskosimeter (festste-hender Innenzylinder, ω2 > 0) und Searle-Viskosimeter (feststehender Außenzylinder, ω1 > 0 )realisiert. Gemessen wird dabei das Drehmoment an einem der Zylinder als Funktion der Winkel-geschwindigkeiten; aus den Meßdaten kann die Fließkurve der Flussigkeit in der Form τ = τ(γ)bestimmt werden, vgl. Abschnitt 2.3.3

Zur Beschreibung der Stromung verwenden wir ein Zylinderkoordinatensystem (r, ϕ, z) mit derZylinderachse als z-Achse. Aus Symmetriegrunden ist bei dieser Stromung offenbar:

v∼

= (vr , vϕ, vz) = (0, v(r), 0) (10.16)

Durch (10.16) wird eine Schichtenstromung beschrieben, deren Stromlinien Kreise um die z-Achsesind, vgl. Abb. 10.3.

Zuerst muß nun ermittelt werden, wie die Schergeschwindigkeit γ definiert ist. Es ist klar, daß esnicht einfach dv/dr sein kann; denn bei einer starren Rotation v = r ω ergabe sich dv/dr = ω, dabei


Abbildung 10.3: Couette-Stromung Abbildung 10.4: Definition der Deformations-geschwindigkeit bei der Couette-Stromung

muß aber hier γ = 0 sein. Die Deformation durch die Relativbewegung der beiden Zylinderflachenwird mit den Radien (r +dr) und r bestimmt vgl. Abb. 10.4. Zur Herleitung des Zusammenhangsbetrachten wir die Bewegung von drei Punkten zu den Zeiten t und t + ∆t. Die Punkte gehendabei vom Ort 1 nach 1’, von 2 nach 2’ und 3 nach 3’ uber. Aus der Abbildung folgt, daß dieZunahme der Deformation durch

∆γ =ds

dr(10.17)

gegeben ist. Zur Auswertung von (10.17) setzen wir fur v:

v(r) = r ω(r) (10.18)

Aus Abb. 10.4 sieht man, daß

ds = ((r + dr)ω(r + dr) − (r + dr)ω(r)) ∆t (10.19)

ist. Durch eine Reihenentwicklung folgt in erster Naherung

ds = rdω

drdr∆t (10.20)

und weiter mit (10.17)

∆γ = rdω

dr∆t. (10.21)

Damit ergibt sich mit (10.18) fur die Schergeschwindigkeit:

γ =∆γ

∆t= r

dω

dr=

dv

dr− v

r. (10.22)

Von dvdr muß also der Quotient v

r abgezogen werden, der den Beitrag der starren Rotation angibt.Bei festgehaltener Geschwindigkeit der beiden Zylinder geht (10.22) fur r → ∞ in den Ausdruckfur die geradlinige Couette-Stromung uber.

Bei der in Rede stehenden Stromung fuhren alle Flussigkeitselemente eine stationare Drehbe-wegung aus. Mit dem Drehimpulssatz folgt fur eine derartige Stromung, daß das resultierendeDrehmoment fur jedes geschlossene Kontrollvolumen verschwindet. Wahlt man als Kontrollvolu-men einen im Spalt liegenden Hohlzylinder, so muß das Drehmoment auf beiden Mantelflachen


bis auf das Vorzeichen gleich sein. Bezeichnet man die Lange des Zylinders mit l, so gilt fur dasDrehmoment L bezuglich einer Mantelflache mit dem Abstand r von der Achse

L = 2 π r l r τ(r) = 2 π l r2 τ(r) = konst. (10.23)

und damit

τ(r) =K

r2mit K =

L

2π l. (10.24)

Setzt man dies in das Stoffgesetz (10.1) ein, so folgt mit (10.22)

τ(r) = µ γ(r) = µ rdω

dr=

K

r2. (10.25)

Durch Integration unter Berucksichtigung der Randbedingungen fur r = R1 und r = R2 folgthieraus

ω2 − ω1 =

R2∫

R1

1

µ

K

r3dr =

L

4 π l µ

(1

R21

− 1

R22

)

. (10.26)

Von besonderer Bedeutung ist der Grenzfall eines sehr engen Spalts, d. h. (R1 − R2) ≪ R1. Furdie Schergeschwindigkeit folgt aus (10.22) und (10.26) in erster Naherung

γ = (ω2 − ω1)R1

R2 −R1=

L

2 π l µ

1

R31

. (10.27)

Fur τ folgt aus (10.25) mit (10.27)

τ =L

2πlR21

. (10.28)

Wie bei der geradlinigen Couette-Stromung sind hier fur (R2−R1)≪ R1 die Schergeschwindigkeitund auch die Schubspannung in erster Naherung uber den Spalt konstant; dies gilt fur beliebigeviskose und viskoelastische Flussigkeiten. Bei kommerziellen Geraten betragt (R2 − R1)/R1 ≈0, 01÷ 0, 02 und l/(R2 −R1) ≈ 80÷ 120; Endeffekte konnen dann meist vernachlassigt werden.

Mit (10.27) und (10.28) kann das Stoffgesetz sofort ermittelt werden. Beim Couette-Viskosimeterwird dabei der außere Zylinder festgehalten und die Umfangsgeschwindigkeit des inneren variiert.Das Stoffgesetz τ(γ) wird somit punktweise bestimmt. Ist allerdings von vornherein bekannt, daßes sich um eine newtonsche Flussigkeit handelt, so genugt ein einziger Meßpunkt.


Die Stromungen reibungsbehafteter Flussigkeiten, die in diesem Abschnitt behandelt wurden, sindeinfache, aber fur die Anwendungen wichtige Spezialfalle. Sie sind dadurch ausgezeichnet, daß derGeschwindigkeitsvektor im gesamten Stromfeld dieselbe Richtung hat und sich sein Betrag nursenkrecht zu den Stromlinien andert. Wegen dieser speziellen Form des Geschwindigkeitsfeldesverschwindet der nichtlineare konvektive Beschleunigungsterm identisch.

Die mathematische Aufgabe reduziert sich dadurch auf die Losung einer linearen gewohnlichenDifferentialgleichung.

10.4 Literatur

[1] Bird, B.R., W.E. Stewart, E.N. Lightfoot: Transport Phenomena. John Wiley New York(1960)

[2] Schlichting, H.: Grenzschichttheorie. Braun-Verlag Karlsruhe (1982)

125

Kapitel 11

Rohrstromungen

11.1 Einleitung

Der Stromung in Rohren kommt wegen ihrer verbreiteten praktischen Anwendungen eine besondereBedeutung zu, wir wollen sie deshalb in einem gesonderten Abschnitt behandeln. Weiter werdenwir uns bei den Rohrstromungen erstmals mit dem Phanomen der Turbulenz auseinandersetzen.

Eine newtonsche Flussigkeit der Viskositat µ und der Dichte strome aus einem großen Behalter inein Rohr mit dem Durchmesser d. Dabei bildet sich zunachst eine Einlaufstromung aus, bei der sichdie Geschwindigkeitsverteilung uber dem Rohrquerschnitt mit der Entfernung vom Eintritt andert.Am Ende des Einlaufbereiches liegt ein sogenanntes ausgebildetes Geschwindigkeitsprofil vor, dassich stromabwarts nicht mehr andert. Die mittlere Geschwindigkeit in einem Rohrquerschnittsei 〈u〉 und er Druckabfall in einem Rohrstuck der Lange l betrage ∆p. Mit den Methoden derDimensionsanalyse wurde in Kapitel 9 gezeigt, daß es bei dieser Aufgabe drei dimensionsloseGruppen ∆p/(

2 〈u〉2), l/d und 〈u〉 d/ν gibt. Die letzte dieser Gruppen wird als Reynoldszahl Rebezeichnet, vgl. Abschnitt 9.3.1.

11.2 Reynoldsscher Farbfadenversuch

Die Bedeutung der Reynoldszahl fur die Rohrstromung wird aus einem einfachen Versuch ersicht-lich. Wir fuhren dabei einen Farbfaden als Stromungsanzeiger in das Zentrum einer ausgebildetenStromung ein, Abb. 11.1.

Abbildung 11.1: Farbfadenversuch

Bei der Beobachtung des Vorgangs findet man zwei unterschiedliche Stromungsformen: Die lami-nare und die turbulente Stromung.

• Laminare Stromung: Ist die Reynoldszahl kleiner als 2300, so liegt eine regelmaßige Schich-tenstromung vor. Der Farbfaden ist uber eine lange Strecke scharf gegen seine Umgebungabgegrenzt; eine Mischung erfolgt allenfalls aufgrund der thermischen Molekularbewegungen.

• Turbulente Stromung: Ist die Reynoldszahl großer als 2300, so vermischt sich der Fadenmit seiner Umgebung; bereits wenige Rohrdurchmesser hinter der Farbeinfuhrung scheint

126 Kapitel 11. Rohrstromungen

der ganze Rohrinhalt gefarbt zu sein. Dies ist ein Hinweis dafur, daß die Schichtenstromungnicht mehr existiert. Der Langsbewegung sind jetzt unregelmaßige Schwankungsbewegungenuberlagert, die die makroskopische Durchmischung besorgen.

Reynolds hat wohl als erster den Ubergang der laminaren in die turbulente Stromungsform syste-matisch studiert. Er hat gefunden, daß dieser allein von der dimensionslosen Gruppe 〈u〉 d/ν — dieihm zu Ehren Reynoldszahl (Re) genannt wird — abhangt; er vermutete, daß bei ca. Re = 2300eine Stabilitatsgrenze fur die laminare Stromung uberschritten wird.

Liegt bei einer Rohrstromung die Reynoldszahl uber der”kritischen“ Re-Zahl 2300, so ist demnach

die laminare Stromung weiterhin eine mogliche Stromungsform, die aber instabil ist: bei der klein-sten Storung kommt es zu einem Umschlag in die turbulente Stromung. Experimentell wurde derBeweis fur diese Vermutung bereits von Reynolds erbracht; es wurden laminare Stromungen beiRe > 10000 realisiert, die dann bei Einbringung einer kleinen Storung irreversibel in die turbulenteStromungsform umschlugen.

Eine anschauliche Beschreibung erfolgt zweckmaßig mit der sogenannten Reynoldsschen Darstel-lung turbulenter Stromungen. Man zerlegt dazu das instationare Geschwindigkeitsfeld v

∼

(r∼

, t)in eine stationare Geschwindigkeit v

∼

(r∼

) und eine Schwankungsgroße v∼

′(r∼

, t) gemaß

v∼

(r∼

, t) = v∼

(r∼

) + v∼

′(r∼

, t) . (11.1)

Die Hauptstromungsgeschwindigkeit am Ort r∼

ergibt sich durch eine zeitliche Mittelwertbildung

v∼

(r∼

) =1

T

t0+T∫

t0

v∼

(r∼

, t) dt . (11.2)

Durch die Definition (11.2) werden zwei Parameter eingefuhrt: die Dauer der Mittelung T und dieAnfangszeit t0. Sofern die Stromung statistisch stationar ist, ist die Anfangszeit bedeutungslos;die Mittelungszeit ist aber so wahlen, daß sich die Hauptstromungsgeschwindigkeit bei weitererVergroßerung von T nicht mehr andert.

Im folgenden wird die Mittelwertbildung bei einer Variablen gemaß (11.2) durch einen Querstrichgekennzeichnet; so gilt fur den Mittelwert der Schwankungsgroße

v∼

′ ≡ 0 . (11.3)

Die Aufteilung des Geschwindigkeitsfeldes ist in Abb. 11.2 fur eine Geschwindigkeitskomponenteveranschaulicht.

Abbildung 11.2: Zerlegung der Geschwindigkeit einer turbulenten Stromung

Ein einfaches Maß fur die Intensitat der turbulenten Schwankungen ist der Turbulenzgrad Tu

Tu =

√v∼

′ · v∼

′

√3|v

∼

|, (11.4)

11.3. Geschwindigkeitsverteilung und Druckabfall im Kreisrohr bei laminarer Stromung 127

der als dimensionsloses Maß definiert ist. Bei turbulenten Rohrstromungen liegt der Turbulenzgradim Bereich von 0, 1÷ 0, 2.

Ebenso wie v∼

sind auch der Druck p und gegebenenfalls Temperatur und Dichte in Mittelwertund Schwankung zu zerlegen. Aus der Existenz der Fluktuationen ergeben sich weitreichendeKonsequenzen fur den Charakter der Stromung; wir werden darauf im Kapitel 15 zuruckkommen.

11.3 Geschwindigkeitsverteilung und Druckabfall im Kreis-

rohr bei laminarer Stromung

Wir betrachten die ausgebildete, laminare Stromung durch ein horizontales Kreisrohr. Zur Be-schreibung des Vorganges verwenden wir ein Zylinderkoordinatensystem gemaß Abb. 11.3.

Abbildung 11.3: Laminare Stromung durch ein Kreisrohr

Wir wahlen ein ringformiges Volumenelement der Dicke ∆r und der Lange l; an diesem greifennun Druck- und Schubspannungskrafte an. Bei der vorliegenden Schichtenstromung ist der Druckuber den jeweiligen Rohrquerschnitt konstant und die Schubspannung eine Funktion vom Radiusr. Fur das Gleichgewicht zwischen den Druck- und Reibungskraften gilt:

2 π(r + ∆r) lτ(r + ∆r) − 2 πrlτ(r) + 2 π r ∆r p1 − 2 π r ∆r p2 = 0 ,

⇒ lim∆r→0

(r + ∆r) τ(r + ∆r) − r τ(r)

∆r= − (p1 − p2)

lr . (11.5)

Die linke Seite der Gleichung (11.5) ist genau die Definition der Ableitung von (rτ); damit gilt:

d

dr(r τ) = − (p1 − p2)

lr = −∆p

lr . (11.6)

Die Integration von (11.6) liefert:

τ(r) = −∆p

l

r

2+

1

rC1 . (11.7)

Die Integrationskonstante C1 ergibt sich aus der Bedingung, daß τ(r = 0) endlich ist. Es folgt:

C1 = 0 und τ(r) = −∆p

l

r

2. (11.8)


Abbildung 11.4: Geschwindigkeits- und Schubspannungsverteilung bei einer laminaren Rohr-stromung

Die Schubspannung andert sich also linear mit dem Radius, vgl. Abb. 11.4.

Fur den Zusammenhang zwischen dem Schubspannungs- und dem Geschwindigkeitsfeld gilt dernewtonsche Schubspannungsansatz in der Form:

τ(r) = µdu

dr.

Durch Einfuhren dieses Ansatzes in (11.8) folgt fur u die Differentialgleichung:

µdu

dr= −∆p

l

r

2. (11.9)

Die Integration dieser Gleichung ergibt:

u(r) = −∆p

l

1

4µr2 + C2 . (11.10)

An der Rohrwand r = R gilt die Haftbedingung u(R) = 0; die Konstante C2 ermittelt sich darauszu:

C2 =∆p

l

R2

4µ.

Die Gleichung fur die Geschwindigkeitsverteilung lautet somit:

u(r) =∆p

l

R2

4µ

(

1− r2

R2

)

. (11.11)

Die Geschwindigkeitsverteilung in einer laminaren Rohrstromung ist nach dieser Gleichung para-bolisch.

11.4. Geschwindigkeitsverteilung und Druckabfall im Kreisrohr bei turbulenter Stromung 129

Aus der Gleichung (11.11) konnen wir einige fur die Anwendung wichtige Großen bestimmen:

Maximalgeschwindigkeit: U = u(r = 0) =∆p

l

R2

4 µ(11.12)

mittlere Geschwindigkeit: 〈u〉 =1

πR2

2π∫

0

R∫

0

u(r)r dr dϕ =∆p

l

R2

8 µ=

U

2(11.13)

Volumenstrom: V =

2π∫

0

R∫

0

u(r)r dr dϕ =π

8

∆pR4

l µ= 〈u〉π R2. (11.14)

(11.14) ist das Hagen-Poiseuillesche Gesetz; es stellt einen Zusammenhang zwischen Volumen-strom, Rohrdurchmesser und Druckabfall bei einer horizontalen Rohrstromung her. Bemerkens-wert sind die Proportionalitaten:

V ∼ ∆p und insbesondere V ∼ R4 !

Fur den Druckabfall bei vorgegebenem Volumenstrom und Rohrdurchmesser folgt aus (11.14):

∆p =

2〈u〉2 l

D

64

Re=

2〈u〉2 l

Dλ . (11.15)

Hierbei ist l die Rohrlange, D = 2R der Rohrdurchmesser, Re = 〈u〉D/ν die Reynoldszahl undλ = 64/Re die Widerstandszahl.

(11.15) ist die ubliche Darstellung fur den Druckabfall im Rohr, sie hat die Form der fruhergefundenen Beziehung (9.10).

Das Hagen-Poiseuillesche Gesetz bildet die Grundlage einer einfachen Methode zur Viskositats-messung, der sogenannten Kapillarviskosimetrie. Dazu wird (11.14) zu:

µ =π

128

∆p

l

D4

V.

umgeformt. Kapillaren sind Rohre mit einem sehr kleinen Durchmesser D und sorgen wegen Re ∼D fur das Vorliegen einer laminaren Stromung. Durch Messen des Druckabfalls uber die Streckel und des Volumenstroms kann aus der Gleichung sofort die Viskositat berechnet werden. DasKapillarviskosimeter eignet sich besonders fur den

”on-line“ Betrieb bei Produktionsprozessen.

11.4 Geschwindigkeitsverteilung und Druckabfall im Kreis-

rohr bei turbulenter Stromung

Wie bei der laminaren Stromung setzen wir eine ausgebildete Stromung in einem horizontalenKreisrohr voraus. Bei den turbulenten Stromungen wird mit den zeitlich gemittelten Werten furGeschwindigkeit und Druck gearbeitet. Fur die Beschreibung des Druckabfalls in Stromungsrich-tung verwenden wir die Darstellung (9.10):

∆p =

2〈u〉2 l

Dλ(Re) . (11.16)

In dieser Gleichung ist < u > der Mittelwert der Geschwindigkeit in einem Rohrquerschnitt mit:

〈u〉 =1

πR2

2π∫

0

R∫

0

u(r)r dr dϕ ,


wobei u(r) die zeitlich gemittelte Geschwindigkeit an einem Ort r gemaß (11.2):

u(r) =1

T

t0+T∫

t0

u(r, t) dt .

ist. Die Reynoldszahl ist hier analog als:

Re =〈u〉 d

ν.

definiert. Fur die zeitlich gemittelten Großen ist der Ansatz (10.1) nicht anwendbar, deshalb isthier der Widerstandsbeiwert λ(Re) experimentell zu bestimmen. Dabei wurde gefunden:

1. λ =1

4√

100 Re(Blasius) fur 3000 ≤ Re ≤ 2 · 105 ; (11.17)

2. λ−1/2 = 2 log (Re√

λ)− 0, 8 (Prandtl) fur 3000 ≤ Re ≤ 3 · 106 . (11.18)

Der Widerstandsbeiwert λ ist in Abb. 11.5 als Funktion der Reynoldszahl graphisch dargestellt.

Abbildung 11.5: Widerstandszahl λ(Re) bei laminarer und turbulenter Stromung fur ein Kreisrohr

Zwischen dem Druckabfall aufgrund der inneren Reibung und der Geschwindigkeitsverteilung be-steht ein Zusammenhang, der fur die Herleitung einer Naherung fur u(r) genutzt werden kann.Dazu approximieren wir die Geschwindigkeitsverteilung durch einen Potenzansatz

u(r)

u(0)=

u(r)

U=(

1− r

R

) 1n

, (11.19)

in dem R der Radius des Rohres und U = u(0) die Geschwindigkeit auf der Rohrachse ist. Fur diemittlere Geschwindigkeit 〈u〉 folgt aus (11.19) durch Integration uber den Rohrquerschnitt

〈u〉U

=2n2

(n + 1)(2n + 1). (11.20)

Eine Bedingung zur Festlegung von n kann aus der Gleichung von Blasius (11.17) gewonnenwerden. Dazu ermitteln wir zunachst einen Zusammenhang zwischen dem Druckabfall in der Form

11.4. Geschwindigkeitsverteilung und Druckabfall im Kreisrohr bei turbulenter Stromung 131

(11.13) und der Wandschubspannung τW

. Eine Gleichgewichtsbetrachtung an einem Rohrstuck mitdem Durchmesser D = 2R und der Lange l ergibt:

τW

π D l1

πR2=

2〈u〉2λ l

D. (11.21)

Bei Verwendung des Ergebnisses von Blasius folgt:

τW

=1

8

14√

100 · 2 〈u〉 74 ν

14 R−

14 . (11.22)

Es ist nun ublich, die Wandschubspannung durch die sogenannte Wandschubspannungsgeschwin-digkeit uτ auszudrucken:

τW

= u2τ . (11.23)

uτ ist ein Maß fur die Intensitat des Impulsstroms an der Rohrwand. Mit (11.23) und (11.22) folgteine dimensionslose Darstellung von 〈u〉:

〈u〉uτ

= 6, 99

(uτ R

ν

)1/7

. (11.24)

Wir ersetzen in (11.24) die mittlere Geschwindigkeit durch die Maximalgeschwindigkeit in derRohrmitte. Fur n = 7 folgt zunachst aus (11.20):

〈u〉 ≈ 0, 8U .

Damit ergibt sich aus (11.24):

U

uτ= 8, 7

(uτ R

ν

)1/7

. (11.25)

Vergleicht man (11.25) mit (11.19), so erkennt man, daß diese Naherung fur beliebige Wan-dabstande verallgemeinert werden kann; es ist:

u(r)

uτ= 8, 7

((

1− r

R

) uτR

ν

)1/7

(11.26)

oder u(r) = U(

1− r

R

)1/7

.

(11.26) ist das sogenannte 1/7-Potenzgesetz fur die turbulente Geschwindigkeitsverteilung in ei-nem Kreisrohr. Diese Verteilung stimmt fur Renoldszahlen bis ∼ 105 befriedigend mit Messungenuberein, vgl. Abb. 11.6.

Anmerkungen zu dieser Naherung fur das gemittelte turbulente Geschwindigkeitsprofil:

• Fur r = 0 besteht ein Knick im Geschwindigkeitsprofil.

• Wegen

∂u(r)

∂r→∞ fur r → R

gilt die Approximation des Potenzgesetzes nicht an der Rohrwand.


Abbildung 11.6:Geschwindigkeitsprofil bei der Rohrstromung

Abbildung 11.7: Viskose Unterschicht

Von diesen beiden Mangeln hat der erste fur die meisten Anwendungen keine Bedeutung, derzweite kann durch Einfuhren einer sogenannten

”viskosen Unterschicht“ beseitigt werden, vgl.

Abb. 11.7. Bei der Annaherung an die Rohrwand verschwinden die Schwankungen aufgrund derRandbedingungen; man kann annehmen, daß sich in Wandnahe eine Unterschicht ausbildet, in derdie viskosen Einflusse dominieren.

Fur eine erste Abschatzung der Dicke δ der viskosen Unterschicht nehmen wir an, daß in ihr dieGeschwindigkeit von Null bis 1/2〈u〉 > linear ansteigt. Die Bedingung fur δ ergibt sich aus derForderung, daß bei einer Annaherung von beiden Seiten τ gleich groß sein muß.

Bei der Naherung von der Rohrmitte her gelten die Gleichungen (11.5) bis (11.18)

τ =

2〈u〉2 λ

4=

8〈u〉2 1

4√

100 Re. (11.27)

In der viskosen Unterschicht gilt der Newtonsche Schubspannungsansatz

τ = µdu

dy

∣∣∣∣Wand

= µ

1

2〈u〉δ

=1

2 ν〈u〉δ

. (11.28)

Damit folgt durch Gleichsetzen von (11.27) und (11.28)

8〈u〉2 1

4√

100Re=

1

2 ν〈u〉δ

⇒ δ

D=

12, 6

Re3/4. (11.29)

Dabei ist D der Rohrdurchmesser; δ nimmt also mit zunehmender Reynoldszahl ab.

Die Großenordnung von δ sei anhand eines Zahlenbeispiels verdeutlicht:

Es sei Re = 104 und D = 10 cm. Aus (11.29) folgt dann δ = 12,6103 · 100 mm ≈ 1 mm.

Der Geschwindigkeitsanstieg auf 1/2〈u〉, den wir der Definition der viskosen Unterschicht zugrun-degelegt haben, erfolgt in einer Schicht von etwa 1 % des Durchmessers !

Nach diesem Ergebnis ist bei turbulenten Rohrstromungen die zeitlich gemittelte Geschwindig-keit bis in Wandnahe fast konstant. Der Abfall auf den Wert Null an der Wand erfolgt innerhalbeiner dunnen Schicht in unmittelbarer Wandnahe. Dies ist eine Folge des makroskopischen Im-pulsaustausches aufgrund der Schwankungsbewegungen in Wandferne und der Behinderung desImpulsaustausches in Wandnahe; vgl. hierzu auch die Gleichungen (15.51) und (15.52), die dieGeschwindigkeitsverteilung turbulenter Stromungen in der Nahe einer Wand beschreiben.

11.5. Rauhe Rohre, nichtkreisformige Querschnitte 133

11.5 Rauhe Rohre, nichtkreisformige Querschnitte

Die Beziehung fur die Widerstandszahl (11.17) und (11.18) gelten nur fur ideal glatte Rohre. DieWande technischer Rohre sind aber immer mehr oder weniger rauh. Die Rauhigkeit kann durchein Maß fur die Abweichung von der ideal glatten Wand charakterisiert werden. Es ist ublich,dafur das dimensionslose Verhaltnis k/D zu wahlen, vgl. Abb. 11.8.

Abbildung 11.8: Wandrauhigkeit

Experimenteller Befund:

• Bei laminarer Stromung ist λ = λ(Re); d. h. λ ist nicht von der Rauhigkeit abhangig.

• Bei turbulenter Stromung ist λ = λ(Re, k/D); fur k/D > 0 ist λglatt < λrauh

Interpretation:

Bei laminarer Stromung werden Zwischenraume der Rauhigkeit”zugedeckt“, die Stromung schafft

sich eine glatte Wand. Bei turbulenter Stromung macht sich die Rauhigkeit infolge des makrosko-pischen Impulsaustausches bemerkbar.

Nach Colebrook kann die Widerstandszahl fur glatte und rauhe Rohre dargestellt werden durch:

1√λ

= −2 log

(2, 51

Re√

λ+

k

3, 71D

)

. (11.30)

Diese Beziehung gilt fur”technisch“ rauhe Rohre, fur Zahlenwerte wird auf die einschlagigen

Handbucher verwiesen. Das Widerstandsgesetz nach Colebrook (11.30) umfaßt auch die Gesetzenach Blasius (11.17) und Prandtl (11.18).

Bei nichtkreisformigen Querschnitten wird als charakteristische Lange der hydraulische Durchmes-ser

Dh =4A

U.

verwendet. Mit dieser Definition gilt (11.30) auch fur Rohre mit einem nichtkreisformigen Quer-schnitt. Man beachte, daß die Aussage auf turbulente Stromungen beschrankt ist.

Beispiel:

Horizontale Rohrleitung mit l = 20 km; D = 0, 2 m; 〈u〉 = 2 m/s; = 1000kg/m3; ν = 10−6m2/s2.

Wie groß ist der Druckabfall und die Pumpleistung fur:

a) ein glattes Rohr,

b) ein rauhes Rohr mit k/D =0,4 mm/200 mm ?

Es ist:

Re =〈u〉D

ν=

2, 0 · 0, 2

10−6= 4 · 105 .


a) Es folgt fur das glatte Rohr:

λ = 0, 0135 und

∆p =

2〈u〉2 l

Dλ =

103

2· 4 · 20 · 103

0, 2· 0, 0135 Pa = 2, 7 · 106 N

m2= 27bar .

Die Pumpleistung ergibt sich zu

N = ∆p · V = 2, 7 · 106 π

4(0, 2)2 · 2 W = 17 · 104 W = 170 kW .

b) Fur das rauhe Rohr gilt entsprechend λ = 0,024 und ∆p ≈ 48 bar; N = 300 kW.

Dieses Ergebnis zeigt, daß der Druckverlust entscheidend von der Rohrrauhigkeit abhangt. Da-bei ist auch zu berucksichtigen, daß sich diese durch Ablagerungen im Laufe der Betriebszeitverandern kann. Eine Pumpenauslegung ist deshalb nur in Kenntnis von Betriebserfahrungenmoglich. Abschließend sei noch angemerkt, daß bei laminaren und turbulenten Rohrstromungeneine gewisse Einlauflange benotigt wird, bis sich das Geschwindigkeitsprofil ausbildet und sichdann stromabwarts nicht mehr andert. Diese Einlauflangen werden weiter unten abgeschatzt, siesind erfahrungsgemaß bei laminaren Stromungen großer als bei turbulenten und konnen abhangigvon der Reynoldszahl etwa 40 bis 200 Rohrdurchmesser betragen.


Es wurden Rohrstromungen inkompressibler newtonscher Flussigkeiten behandelt. Es zeigte sich,daß abhangig von der Reynoldszahl zwei vollkommen verschiedene Stromungszustande vorliegenkonnen: die laminare und die turbulente Stromungsform. Bei der laminaren Stromung war aus-gehend von den Grundgleichungen eine exakte Beschreibung moglich; im turbulenten Fall mußtedagegen auf Experimente mit Rohrstromungen zuruckgegriffen werden.

Fur die Berechnung des fur die Anwendungen wichtigen Druckverlusts in einer Rohrstromungwurden Gleichungen hergeleitet. Dabei wurde gefunden, daß der Druckabfall allein vom Staudruck,der Geometrie des Rohres und der Reynoldszahl abhangt.

11.7 Literatur


[2] Eck. B.: Technische Stromungslehre. Springer Berlin (1966)

135

Kapitel 12

Bewegungsgleichungen

newtonscher Flussigkeiten

12.1 Einleitung

In den beiden vorstehenden Abschnitten haben wir die Geschwindigkeitsverteilung fur newtonsche

Flussigkeiten bei speziellen Schichtenstromungen untersucht. Die dazu erforderliche Bewegungs-

gleichung hatten wir mittels einer Massen- und Kraftebilanz an geeignet gewahlten Volumen-

elementen gefunden. In diesem Abschnitt werden wir die Bewegungsgleichungen fur newtonsche

Flussigkeiten in ihrer allgemeinen Form herleiten.

Bei isothermen Stromungen inkompressibler Flussigkeiten – auf diesen Aufgabentyp wollen wir

uns zunachst beschranken – ergeben sich die Bewegungsgleichungen aus den Bilanzbeziehungen

fur Masse und Impuls. Die Kontinuitatsgleichung, die sich aus der Massenbilanz ergibt, wurde im

Abschnitt 5.2 in allgemeiner Form hergeleitet und kann direkt ubernommen werden. Fur die Aus-

wertung der Impulsbilanz wird noch die Stoffgleichung benotigt, die das Spannungsfeld mit dem

Geschwindigkeitsfeld verknupft. Diesen Zusammenhang hatten wir bisher nur fur den Spezialfall

der Schichtenstromung in der Form des Newtonschen Schubspannungsansatzes kennengelernt, vgl.

die Kapitel 2 und 10. Als Vorbereitung zur Herleitung der Stoffgleichung studieren wir zunachst

die Bewegung und Deformation von Fluidelementen in raumlichen Stromungsfeldern.

12.2 Der Deformationsgeschwindigkeitstensor

Gegeben sei ein Geschwindigkeitsfeld v∼

. Die Geschwindigkeit eines Flussigkeitsteilchens, das sich

zur Zeit t an dem Ort x∼

befindet, betragt v∼

(x∼

, t). Die Geschwindigkeit benachbarter Teilchen

kann bei kleinen Abstanden durch eine Taylorentwicklung erster Ordnung als lineare Funktion des

Abstandsvektors ∆x∼

dargestellt werden. Fur die Geschwindigkeit v∼

((x∼

+ ∆x∼

), t) gilt:

v∼

((x∼

+ ∆x∼

), t) = v∼

(x∼

, t) + ∆v∼

= v∼

(x∼

, t) + ∆x∼

· ∇∼

v∼

(x∼

, t) + ... = v∼

+ ∆x∼

· L≈

+ ... (12.1)

entsprechend in Indexschreibweise:

vi((xi + ∆xi), t) = vi(xi, t) + ∆xj∂vi(xi, t)

∂xj+ ... = vi(xi, t) + ∆xjLji + .. . (12.2)

Hier ist L≈

der Geschwindigkeitsgradient1. Fur die Relativgeschwindigkeit benachbarter Teilchen

1Es sei daran erinnert, daß uber doppelt vorkommende Indizes summiert wird.

136 Kapitel 12. Bewegungsgleichungen newtonscher Flussigkeiten

mit dem Abstand ∆x∼

folgt aus (12.1):

∆v∼

= ∆x∼

· L≈

bzw. ∆vi = ∆xj∂vi

∂xj. (12.3)

Zur Interpretation der Eigenschaften von L≈

betrachten wir die zeitliche Anderung des Skalarpro-

dukts zweier materieller Linienelemente dx∼

1 und dx∼

2 in einem Geschwindigkeitsfeld v∼

(x∼

, t):

d

dt(dx

∼1 · dx

∼2) =

d

dt(dx

∼1) · dx

∼2 + dx

∼1 ·

d

dt(dx

∼2) = dv

∼1 · dx

∼2 + dx

∼1 · dv

∼2

= dx∼

1 · L≈

· dx∼

2 + dx∼

1 · dx∼

2 · L≈

= dx∼

1 · L≈

· dx∼

2 + dx∼

1 · L≈

T · dx∼

2

= 2 dx∼

1 ·1

2(L≈

+ L≈

T ) · dx∼

2 = 2 dx∼

1 · D≈

· dx∼

2 . (12.4)

Die in (12.4) eingefuhrte Große D≈

heißt Deformationsgeschwindigkeitstensor, kurz Deformations-

geschwindigkeit oder Deformationsrate, es gilt:

D≈

=1

2(L≈

+ L≈

T ) =1

2(Lji + Lij) =

1

2

(∂vi

∂xj+

∂vj

∂xi

)

e∼

j e∼

i . (12.5)

Aus der Darstellung (12.5) ist zu erkennen, daß D≈

ein symmetrischer Tensor ist. Zur Veranschau-

lichung der Bedeutung der einzelnen Komponenten von D≈

setzen wir zunachst dx∼

1 = dx∼

2 =

(ds, 0, 0), damit folgt fur die linke Seite von 12.4:

d

dt(dx

∼1 · dx

∼1) =

d

dt(ds)2 = 2ds

d

dtds.

Dieser Ausdruck stellt die Anderung des Abstandsquadrates der um dx∼

1 benachbarten Punkte

dar. Aus einem Vergleich mit (12.4) folgt schließlich:

1

ds

d

dtds =

1

|dx∼

1|d

dt|dx

∼1| =

˙d|x∼

1|d|x

∼1|

=d|v

∼1|

d|x∼

1|= D11 .

Die Diagonalelemente von D≈

sind offensichtlich ein Maß fur die Dehngeschwindigkeit (Dehnrate)

von Linienelementen, die gerade in Koordinatenrichtung orientiert sind. Zur Untersuchung der

Nebendiagonalelemente von D≈

setzen wir: dx∼

1 6= dx∼

2 und |dx∼

i| = dsi. Fur die Ableitung des

Skalarprodukts folgt:

d

dt(dx

∼1 · dx

∼2) =

d

dt(ds1ds2 cosϕ)

= ˙(ds1)ds2 cosϕ + ˙(ds2)ds1 cosϕ− ds1ds2ϕ sin ϕ .

Hierbei ist ϕ der Winkel zwischen dx∼

1 und dx∼

2. Fur zwei Linienelemente, die jeweils parallel zur

x1- und x2-Achse orientiert sind und damit senkrecht zueinander stehen, folgt mit (12.4) wegen

ϕ = (90), cos(90) = 0, sin(90) = 1:

D12 = −1

2ϕ .

Die Nebendiagonalelemente von D≈

sind damit halb so groß wie die Geschwindigkeit, mit der sich

die Winkel zwischen zwei momentan zueinander rechtwinklig stehenden Linienelementen andert.

Als nachstes betrachten wir die relative Anderung eines Volumenelements, welches durch in Ko-

ordinatenrichtung orientierte Linienelemente dx∼

1, dx∼

2 und dx∼

3 aufgespannt wird. Unter dem

12.2. Der Deformationsgeschwindigkeitstensor 137

Einfluß des Feldes fur den Geschwindigkeitsgradienten verandern sich im Zeitintervall dt die Lini-

enelemente von dx∼

i auf dx∼

i +dx∼

i ·L≈

dt. Fur die relative Anderung des Volumens folgt nach einigen

Umformungen:

dV

V= (

∂v1

∂x1+

∂v2

∂x2+

∂v3

∂x3)dt =

∂vi(xi, t)

∂xidt = ∇

∼

· v∼

dt,

und fur die zugehorige Anderungsgeschwindigkeit erhalt man:

V

V=

∂vi(xi, t)

∂xi= ∇

∼

· v∼

. (12.6)

Die relative Anderungsgeschwindigkeit (Expansionsrate) eines Volumenelements in einem Ge-

schwindigkeitsfeld ist damit gleich der Summe der Diagonalelemete des Deformationsgeschwin-

digkeitstensors, die wiederum gleich der Divergenz des v∼

-Feldes ist.

Mit den vorstehenden Uberlegungen haben wir gezeigt, daß D≈

ein Maß fur die zeitliche Anderung

der Gestalt eines materiellen Volumenelements im Geschwindigkeitsfeld v∼

ist; daher kommt auch

die Bezeichnung Deformationsgeschwindigkeitstensor bzw. Deformationsrate . Notwendige Bedin-

gung dafur, daß eine Bewegung ohne Verformung, d. h. starr, erfolgt, ist das Verschwinden der

Deformationsrate D≈

.

Die unterschiedliche Wirkung der Diagonal- und Nichtdiagonalelemente der Deformationsgeschwin-

digkeit D≈

suggeriert eine Zerlegung in einen Diagonaltensor tij und einen spurfreien Tensor dij ,

die sich am bequemsten in der Indizesschreibweise darstellen laßt:

Dij =1

3δijDkk +

(

Dij −1

3δijDkk

)

= tij + dij . (12.7)

Der Diagonaltensor hangt mit der Volumenanderung der Fluidteilchen zusammen. Der sogenannte

Deviationstensor d≈

beschreibt die Deformation ohne Volumenanderung.

Neben dem symmetrischen Anteil D≈

hat der Geschwindigkeitsgradient L≈

auch einen antisymme-

trischen Anteil, der sich unmittelbar aus folgender Darstellung ergibt:

L≈

=1

2

(

L≈

+ L≈

T)

+1

2

(

L≈

− L≈

T)

= D≈

+ W≈

.

Der antisymmetrische Anteil W≈

von L≈

hat ebenfalls eine geometrische Bedeutung. Zur Interpre-

tation gehen wir auf die Definition von W≈

zuruck, es gilt:

W≈

=1

2

(

L≈

− L≈

T)

=1

2

(∂vi

∂xj− ∂vj

∂xi

)

e∼

j e∼

i . (12.8)

Aus (12.8) erkennt man, daß die Hauptdiagonalelemente Wii identisch Null sind und fur die

Nebendiagonalelemente Wij = −Wji gilt. Der antisymmetrische Tensor W≈

hat damit nur drei

linear unabhangige Elemente und kann daher durch einen Vektor Ω∼

dargestellt werden. Dafur

muß fur beliebige Vektoren n∼

gelten:

n∼

·W≈

= n∼

× Ω∼

.


Durch algebraische Umformung unter Berucksichtigung von (12.8) folgt fur Ω∼

:

Ω∼

= −1/2∇∼

× v∼

.

Der Beitrag von W≈

zur Geschwindigkeitsanderung (12.3) folgt aus der Komponentendarstellung

∆v∼

= (∆v∼

)s + (∆v∼

)a = dx∼

· D≈

+ dx∼

·W≈

,

(∆v∼

)a = dx∼

·W≈

= dxi Wij e∼

j = dxi1

2

(∂vi

∂xj− ∂vj

∂xi

)

e∼

j

= dx∼

× Ω∼

= −1

2dx

∼

× (∇∼

× v∼

) . (12.9)

(12.9) stellt eine Starrkorperrotation mit der Winkelgeschwindigkeit 1/2∇∼

× v∼

dar, darauf bezieht

sich auch der Name Dreh- oder Rotationsgeschwindigkeitstensor fur W≈

; vgl. auch Abschnitt 6.2.

Mit diesem Ergebnis kann (12.1) auch geschrieben werden als

v∼

= v∼

0 + ∆x∼

· D≈

+ ∆x∼

× Ω∼

. (12.10)

Diese Beziehung druckt aus, daß sich die Bewegung eines Flussigkeitsteilchens zusammensetzt aus

• einer starren Translation mit der Geschwindigkeit v∼

0

• einer Deformation, die durch D≈

beschrieben wird

• und einer Starrkorperrotation mit der Winkelgeschwindigkeit Ω∼

Beispiel: Zur Illustration betrachten wir eine ebene Couette-Stromung zwischen zwei parallelen

Platten, die einen Abstand h voneinander haben und die sich mit der Geschwindigkeit U2 in ihren

eigenen Ebenen gegeneinander bewegen. Bei einer zweckmaßigen Wahl des Koordinatensystems,

x1 in Fließrichtung, x2 in Gradientenrichtung und x3 indifferente Richtung, ist die Schergeschwin-

digkeit durch ∂v1/∂x2 = γ = Uh gegeben. Fur das Geschwindigkeitsfeld gilt dann: v

∼

= (γy, 0, 0),

d. h.es liegt eine ebene, zweidimensionale Stromung vor.Fur die Deformationsgeschwindigkeit D≈

und die Drehgeschwindigkeit W≈

folgt:

D≈

=1

2

0 γ 0

γ 0 0

0 0 0

; W

≈

=1

2

0 −γ 0

γ 0 0

0 0 0

.

Die Scherstromung setzt aus einem Deformations- und einem Rotationsanteil zusammen; die Zer-

legung ist in Abb. 12.1 veranschaulicht. Wir fragen, in welche Fortschrittsrichtung n∼

die Dehn-

geschwindigkeit am großten ist? Dies wird dann der Fall sein, wenn n∼

mit der Richtung der

Dehngeschwindigkeit D≈

· n∼

ubereinstimmt.Demnach muß gelten:

D≈

· n∼

= λn∼

.

Dies ist eine homogene, lineare Gleichung zur Bestimmung von n∼

. Es ist gut bekannt, daß sol-

che Gleichungen nur dann eine nichttriviale Losung haben, wenn die Determinante von D≈

− λI≈

verschwindet. Die Werte von λ, fur die die Determinante null ist, heißen Eigenwerte und die zu-

gehorigen Losungen der homogenen Gleichung Eigenlosungen oder Eigenrichtungen. In unserem

Fall gibt es zwei Eigenwerte: λ1 = γ und λ2 = −γ.

12.3. Die Stoffgleichung newtonscher Flussigkeiten 139

Fur die zugehorigen Eigenrichtungen erhalt man:

n∼

1 = (

√2

2,

√2

2), n

∼2 = (−

√2

2,

√2

2).

Wahlt man die Eigenrichtungen als neue Koordinaterichtungen, so hat in diesem Hauptachsensy-

stem D≈

die Darstellung:

Abbildung 12.1: Zerlegung einer ebenen Scherstromung

x

x

1

1

2

2

Abbildung 12.2:

Deformation eines Elementes

D≈ HAS

=1

2

γ 0 0

0 −γ 0

0 0 0

.

Aus der Diagonalform des Tensors D≈

im Hauptachsensystem ist klar, daß in Richtung der 1-Achse

eine Dehnung und in Richtung der 2-Achse eine Stauchung erfolgt; man vgl. hierzu Abb. 12.2.

12.3 Die Stoffgleichung newtonscher Flussigkeiten

Die Erfahrung lehrt, daß fur die meisten Fluide mit einer einfachen Molekularstruktur wie Ga-

se, Gasmischungen und niedermolekulare Flussigkeiten und deren Mischungen der newtonsche

Schubspannungsansatz gilt, vgl. Kapitel 3. Die Verallgemeinerung dieses Ansatzes auf beliebige

dreidimensionale, zeitabhangige und kompressible Stromungen wird in Anlehnung an die Zerlegung

des Deformationsgeschwindigkeitstensors D≈

gemaß (12.7) meist in folgender Form geschrieben:

σij = µ

(

2Dij −2

3δijDkk

)

+ ζ1

3δijDkk. (12.11)

Fur inkompressible Flussigkeiten ∂vk/∂xk = 0 reduziert sich (12.11) auf

σij = 2 µ Dij . (12.12)

In diesen Beziehungen ist µ die Scherviskositat und ζ die Volumenviskositat. Ahnlich wie in der

linearen Elastizitatstheorie haben wir zwei Materialkonstanten. ζ hangt mit der Anderung des


Fluidvolumens zusammen, ist nur fur kompressible Gase von Null verschieden und auch dort klein

gegen µ. 2 Ferner ist bei fast allen Stromungen die Deformationsgeschwindigkeit um Großenord-

nungen großer als die Volumenanderung ∂vk/∂xk. Der zweite Term von (12.11) spielt deshalb nur

bei wenigen Stromungen eine Rolle und wird daher in dieser Vorlesung nicht weiter berucksichtigt.

Fur eine ganze Klasse von Flussigkeiten ist die Viskositat µ in (12.13) konstant. Solche Stoffe

heißen newtonsche Flussigkeiten, (12.12) ist die zugehorige Stoffgleichung.

Eine newtonsche Flussigkeit ist damit durch folgende Eigenschaften ausgezeichnet:

1.) σ≈

ist eine lineare Funktion des Deformationsgeschwindigkeitstensors und ist unabhangig von

allen anderen kinematischen Großen.

2.) In der Flussigkeit existieren keine ausgezeichneten Richtungen (Isotropie).

3.) σ≈

hangt nicht explizit vom Ort ab (raumliche Homogenitat).

4.) Fur D≈

= 0≈

wird π≈

= −pI≈

.

5.) σ≈

ist symmetrisch, d. h. in newtonschen Flussigkeiten existiert kein Mechanismus fur die

Ubertragung von Drehmomenten von einem Volumenelement auf ein anderes.

Unter Berucksichtigung des Druckes erhalt man fur den Spannungstensor in einem Fluid:

π≈

= −p I≈

+ σ≈

, in Indexschreibweise:πij = −p δij + σij . (12.13)

Die Zerlegung des Spannungstensors π≈

gemaß (12.13) bedeutet nicht, daß der Reibungsanteil σ≈

keine Diagonalterme mehr hat. Tatsachlich treten bei der Relativbewegung von Fluidteilchen i. a.

auch Normalspannungen auf.

12.4 Die Navier-Stokes Gleichung

dA

Volumen V

Oberfläche An~

Abbildung 12.3: Kraftegleichgewicht fur ein beliebiges Volumen

2Die Volumenviskositat ist z.B. bei der Schalldampfung von Bedeutung. Denn die Ausbreitung von Schall ist

notwendigerweise mit Kompression verbunden, andernfalls ware die Schallgeschwindigkeit unendlich.

12.4. Die Navier-Stokes Gleichung 141

Die Bewegungsgleichung fur eine newtonsche Flussigkeit erhalt man durch ein Kraftegleichgewicht

fur ein Flussigkeitsvolumen, Abb. 12.3. Wir grenzen dazu in der Flussigkeit ein beliebiges Volumen

ab; die resultierende Kraft auf das abgegrenzte Volumen durch die Oberflachenkrafte bestimmt

sich zu:∫

A

π≈

· n∼

dA =

∫

A

(−pI≈

+ σ≈

) · n∼

dA .

Mit dem Satz von Gauß kann das Oberflachenintegral in ein Volumenintegral umgewandelt werden

∫

A

π≈

· n∼

dA =

∫

V

∇∼

· (−pI≈

+ σ≈

) dV ; (12.14)

in Indexschreibweise∫

A

πik nk dA =

∫

V

∂

∂xk(−p δik + σik) dV .

Zusammen mit Volumenkraften f∼

halt diese Kraft der Beschleunigungskraft das Gleichgewicht;

es muß gelten:

∫

V

dvi

dtdV =

∫

V

∂

∂xk(−p δik + σik) dV +

∫

V

fidV .

Beispiele fur die spezifische Massenkraft f∼

sind: die Erdschwere oder auch die magnetische Kraft

auf ein Fluid, das Magnetteilchen enthalt (Ferrofluid). Da das Integrationsvolumen V in der vor-

stehenden Gleichung beliebig ist, mussen die Integranden ubereinstimmen:

dvi

dt=

∂

∂xk(−p δik + σik) + fi . (12.15)

Diese Gleichung, sie heißt Cauchysche Bewegungsgleichung, gilt fur beliebige Kontinua. Mit der

Stoffgleichung in der Form (12.12) bzw. (12.13) folgt fur inkompressible newtonsche Flussigkeiten

dvi

dt=

∂

∂xk

(

−p δik + µ

(∂vi

∂xk+

∂vk

∂xi

))

+ fi .

Wegen Gultigkeit der Kontinuitatsgleichung ∂vk/∂xk = 0 folgt:

(∂vi

∂t+ vk

∂vi

∂xk

)

= − ∂p

∂xi+ µ

∂2vi

∂xk ∂xk+ fi ; (12.16)

und in symbolischer Schreibweise

(∂v

∼

∂t+ v

∼

· ∇∼

v∼

)

= −∇∼

p + µ ∆v∼

+ f∼

. (12.17)

Dies ist die Navier-Stokes-Gleichung fur inkompressible Flussigkeiten. Zusammen mit der Kon-

tinuitatsgleichung stehen somit vier skalare Gleichungen zur Bestimmung der vier unbekannten

Funktionen zur Verfugung: das sind die drei Geschwindigkeitskomponenten v1, v2, v3 und der

hydrodynamische Druck p.

Zu den Bewegungsgleichungen sind noch die Randbedingungen anzugeben; wir unterscheiden zwei

Arten von Randbedingungen:


1.) Haftbedingung

An festen Wanden verschwindet die Geschwindigkeit relativ zur Wand, d. h. die Flussigkeit

haftet an der Wand3.

2.) Stetigkeitsbedingung

An der Trennflache zweier nicht mischbarer Flussigkeiten sind Geschwindigkeit und Span-

nungsvektor stetig.

Beide Bedingungen sind eine Folge der intermolekularen Krafte zwischen den Molekulen beiderseits

der trennenden Flachen.

Zur eindeutigen Festlegung der Losung mussen im allgemeinen fur die Geschwindigkeit Randbe-

dingungen auf der gesamten Oberflache des Integrationsgebietes vorgegeben werden.

In (12.17) kommt der Druck nur als Gradient vor, er kann deshalb nur bis auf eine Konstante

bestimmt werden. Zur Festlegung des Druckniveaus ist p an einer Stelle des Integrationsgebietes

vorzugeben.

Aus der Tatsache, daß fur den Spannungsvektor an der Grenzflache zwischen einem Fluid und

einem Festkorper keine Gleichheit gefordert wird, darf nicht geschlossen werden, daß dies in diesem

Fall nicht gilt. Da aber Festkorper in aller Regel als nicht deformierbar angenommen werden, liefert

die Gleichheit der Spannungen keine zusatzliche Information fur die Geschwindigkeitsverteilung

im Fluid. Gleichwohl wird die Bedingung wichtig, wenn man sich fur die Spannungen im Innern

des Festkorpers interessiert.

Bei Gasstromungen sind neben dem Geschwindigkeits- und Druckfeld noch die Felder fur Temperatur-

und Dichte zu bestimmen. Zu diesem Zweck sind, neben der Kontinuitatsgleichung und der Navier-

Stokes Gleichung, noch die Zustandsgleichung des Gases und die Energiegleichung zu berucksich-

tigen.


Mit der Herleitung der Navier–Stokes Gleichung haben wir die Stromungsmechanik fur eine tech-

nisch wichtige Klasse von Fluiden, den sogenannten newtonschen Flussigkeiten, auf die Losung

eines Systems nichtlinearer partieller Differentialgleichungen zuruckgefuhrt. Der Losung dieser

Gleichungen stehen große mathematische Schwierigkeiten entgegen, so daß ein Bedarf fur die Ent-

wicklung physikalisch begrundeter Naherungsverfahren besteht.

Ferner begegnen uns bei den Anwendungen in der Verfahrenstechnik Flussigkeiten, die nicht zu

vernachlassigende Abweichungen vom Fließverhalten newtonscher Fluide aufweisen. Es besteht ein

Bedarf fur ein weitergehendes Studium der den Zusammenhang zwischen dem Geschwindigkeits-

und dem Spannungsfeld beschreibenden Stoffgleichungen.

12.6 Literatur

[1] Morrison, F.A.: Understanding Rheology. Oxford University Press, New York (2001)

[2] Landau, L.D. und E.M. Lifschitz: Hydrodynamik.(5. Auflage) Akademie-Verlag Berlin (1992)

[3] Batchelor, G.K.: An Introduction to Fluid Mechanics. Cambridge University Press (1967)

3In Grenzfallen konnen an festen Wanden auch Gleitvorgange auftreten, z. B. bei der Stromung von Kunststoff-

schmelzen; dies sind aber i. a. keine newtonschen Fluide.

12.6. Literatur 143

[4] Serrin, J.: Mathematical Principles of Classical Fluid Mechanics. Handbuch der Physik, Bd.

VIII/I. Springer Verlag Berlin, Heidelberg New York (1959)

[5] Warsi, Z.U.A.: Fluid Dynamics: Theoretical and Computational Approaches.(2nd Edition),

CRC Press LLC, Boca Raton, Florida (1999)

144

Kapitel 13

Exakte Losungen der

Navier-Stokes Gleichungen fur

inkompressible Fluide

13.1 Einleitung

Bereits auf den ersten Blick erscheinen die zu losenden Navier-Stokes-Gleichungen zumindest alsschwierig zu handhaben: Es handelt sich um gekoppelte, nichtlineare, partielle Differentialgleichun-gen. Zur Losung der Gleichungen existiert keine allgemeine analytische Methode; Naherungen undnumerischen Verfahren kommt deshalb eine besondere Bedeutung zu.

Geschlossene Losungen sind nur fur eine geringe Anzahl von Stromungen bekannt; dabei konnendrei Gruppen unterschieden werden:

• Stationare Stromungen, fur die die konvektive Beschleunigung v∼

· ∇∼

v∼

verschwindet,

d. h. die Gleichungen werden linear.

• Stromungen, fur die eine sogenannte Ahnlichkeitslosung moglich ist.

Bei dieser Methode wird eine partielle Differentialgleichung auf eine gewohnliche zuruckgefuhrt.

• Schleichende Stromungen, bei denen die Beschleunigungsterme vernachlassigt werden konnen.

13.2 Stationare Stromungen

13.2.1 Stromung zwischen zwei parallelen Platten

Eine newtonsche Flussigkeit sei zwischen zwei parallelen Platten eingeschlossen; die obere derbeiden Platten bewege sich aufgrund einer außeren Kraft F

∼

mit der konstanten GeschwindigkeitU in ihrer eigenen Ebene. Die Ebene der ruhenden Platte wird als x, z-Ebene gewahlt, die x-Achsezeige in Richtung der außeren Kraft F

∼

bzw. von U . Das Geschwindigkeitsfeld, das sich unter diesenRandbedingungen einstellt, wird ebene Couette-Stromung genannt.

Unter diesen Bedingungen liegt folgender Ansatz fur das Geschwindigkeitsfeld nahe, vgl. auchAbb. 13.1:

v∼

= (u, 0, 0) ; u = u(y) . (13.1)

Die Stromung wird allein durch die an der oberen Platte angreifenden Kraft aufrechterhalten;von daher ist klar, daß kein außerer Druckgradient parallel zu den Platten vorhanden ist und derDruck damit p 6= p(x) ist.

13.2. Stationare Stromungen 145

h

F

y

x

U

~

F~

Abbildung 13.1: Ebene Couette-Stromung

Die Kontinuitatsgleichung ist durch diesen Ansatz erfullt. Aus den Navier-Stokes-Gleichungen folgt

µd2u

dy2= 0 ; (13.2)

dp

dy= − g. (13.3)

Als Randbedingung ist die Haftbedingung an den beiden Platten

u(0) = 0 , u(h) = U (13.4)

zu verlangen. Die Losung der Gleichungen unter den Randbedingungen lautet:

u(y) =U

hy ;

p(y) = p(y = 0) + g z.

(13.5)

Fur die Schubspannung σxy folgt:

σxy = 2 µ Dxy = 2 µ1

2

(∂u

∂y+

∂v

∂x

)

= µ∂u

∂y= µ γ = µ

U

h= konst. (13.6 a)

Schergeschwindigkeit γ und Schubspannung σxy sind im gesamten Stromungsraum konstant. 1

Man kann einfach zeigen, daß dieses Ergebnis auch fur Flussigkeiten gilt, deren Viskositat eineFunktion der Schergeschwindigkeit γ ist. (13.6 a) lautet dann

σxy = µ (γ)U

h. (13.6 b)

Um die Stromung aufrecht zu erhalten, muß an den beiden Platten ein Kraftepaar angreifen; dieerforderliche Kraft pro Flacheneinheit hat den Betrag:

∣∣∣σ≈

· n∼

∣∣∣ = |σxy| = µ

U

h.

1Aus (13.2) folgt, daß bei dieser Stromung keine resultierende Reibungskraft auf ein Flussigkeitsteilchenwirkt.Dies erscheint zunachst paradox, erklart sich aber daraus, daß die Kraft F in jeder Ebene y= konst. wirktund daher auch die Schubspannung konstant ist.

146 Kapitel 13. Exakte Losungen der Navier-Stokes Gleichungen fur inkompressible Fluide

Die durch (13.5), (13.6 a) und (13.6 b) dargestellte Losung entspricht vollig der bei der Einfuhrungder Viskositat vorausgesetzten Stromung, vgl. Abschnitt 2.3.1.

Beispiel: Kegel-Platte-Viskosimeter

Die hergeleitete Losung kann zur Beschreibung der Stromung in einem sogenannten Kegel-Plat-te-Viskosimeter verwendet werden. Bei einem solchen Viskosimeter wird durch Rotation einesflachen Kegels, der mit seiner Achse senkrecht zu einer ruhenden ebenen Platte steht und diese mitseiner Spitze beruhrt, eine Torsionsstromung erzeugt. Sofern α ≪ 1 ist2 und die Zentrifugalkraftvernachlassigt wird, kann die Stromung als einfache Scherstromung behandelt werden, bei der aufkoaxialen Kegelflachen, gekennzeichnet durch den Winkel ϑ < α, die Winkelgeschwindigkeit ω(ϑ)konstant ist. Diese Flachen stellen also die relativ zueinander bewegten Schichten der Kegel-PlatteStromung dar. Der Verlauf der Winkelgeschwindigkeit als Funktion von ϑ wird im allgemeinenerst durch Losung der Bewegungsgleichungen zu bestimmen sein. Bei α≪ 1 kann man aber einenlinearen Verlauf ansetzen:

ω(ϑ) =ϑ

αΩ.

Hier ist Ω die Winkelgeschwindigkeit des Kegels. Da die Lineargeschwindigkeit von Fluidteilchenim Kegelspalt durch u(ϑ) = r ω(ϑ) und das Differential der Langenkoordinate in Richtung desSchergefalles durch r ∂ϑ gegeben ist, findet man mit den Bezeichnungen aus Abb. 13.2 unmittel-bar:

− fur die Schergeschwindigkeit: γ =∂u

r∂ϑ=

r ∂ω(ϑ)

r ∂ϑ=

Ω

α, (13.7 a)

− fur die Schubspannung: τ = µ γ , (13.7 b)

− fur das Drehmoment: L =

∫

A

τ r dA =

r0∫

0

τ 2 π r2dr =2 π

3r30 τ , (13.7 c)

=2 π

3ro

3 µΩ

α. (13.7 d)

aJ

W

M

r0

Abbildung 13.2: Kegel-Platte-Viskosimeter

Wie Gleichung (13.7 a)zeigt, ist die Schergeschwindigkeit im Stromungsfeld konstant. Durch Mes-sen des zur Drehung erforderlichen Drehmomentes kann mittels (13.7 c) die Schubspannung als

2bei kommerziellen Geraten liegt der Winkel α im Bereich zwischen 0, 5 und 8.


Funktion der Schergeschwindigkeit bestimmt werden, dieser Zusammenhang wird Fließgesetz ge-nannt; mit (13.7 d) ist auch die Viskositat sofort berechenbar:

τ =3L

2πro3; µ =

3L

2πro3

α

Ω.

Bei newtonschen Flussigkeiten laßt sich µ durch die Messung des Drehmoments L bei einer einzi-gen Winkelgeschwindigkeit Ω bestimmen; hingegen ist im allgemeinen Fall ein hinreichend großerDrehzahlbereich zu durchfahren.

13.2.2 Stromung durch ein Rohr

Wir betrachten ein langes, gerades Rohr, das uberall langs seiner Achse den gleichen Querschnitthat, vgl. Abb. 13.3. Die Stromlinien sind offensichtlich Geraden, die zur Rohrachse parallel sind.Wahlen wir die Rohrachse als x-Achse eines kartesischen Koordinatensystems, so hat der Ge-schwindigkeitsvektor nur eine von Null verschiedene x-Komponente:

u = u(y, z) , v = 0 , w = 0 . (13.8)

Abbildung 13.3: Geometrie einer Rohrstromung

Durch diesen Ansatz fur das Geschwindigkeitsfeld ist die Kontinuitatsgleichung identisch erfullt.Die Navier-Stokes Gleichungen reduzieren sich zu folgenden Ausdrucken:

∂2u

∂y2+

∂2u

∂z2=

1

µ

∂p

∂x; (13.9 a)

0 =∂p

∂y; (13.9 b)

0 =∂p

∂z. (13.9 c)

Aus den beiden letzten Gleichungen folgt, daß der Druck uber dem Rohrquerschnitt konstant istund nur von x abhangen kann:

p = p(x) . (13.9 d)


Mit (13.8) und (13.9 d) folgt aus (13.9 a):

(∂2

∂y2+

∂2

∂z2

)

u(y, z) =1

µ

∂p(x)

∂x. (13.10)

In (13.10) ist die linke Seite eine Funktion von y, z und die rechte eine Funktion von x. DieseGleichung kann nur dann erfullt werden, wenn beide Seiten konstante Großen sind. Dabei gilt furden Druck

dp(x)

dx= −p1 − p2

l= konst. =

−∆p

l, (13.11)

d. h. der Druck ist eine lineare Funktion der x-Koordinate und der Gradient bestimmt sich aus demDruckabfall ∆p langs eines Rohres der Lange l. Nach dieser Festlegung ist fur eine Druckabnahmein Stromungsrichtung immer ∆p > 0. Das Geschwindigkeitsfeld ist unter dieser Voraussetzungeine Losung der zweidimensionalen Gleichung

(∂2

∂y2+

∂2

∂z2

)

u(y, z) = ∆u = − 1

µ

∆p

l= konst. (13.12)

Als Randbedingung ist zu verlangen, daß die Geschwindigkeit auf der Randkurve C verschwindet(Haftbedingung):

u ((y, z) ∈ C) = u(y

C, z

C

)= 0 . (13.13)

Die Losung von (13.12) unter der Bedingung (13.13) lautet

u(y, z) = − 1

4µ

∆p

l

((y2 + z2

)−(

y2

C+ z2

C

))

. (13.14)

Fur ein Rohr mit kreisformigem Querschnitt geht (13.14) in die fruher gefundene Losung (11.11)uber:

u(r) =1

4µ

∆p

l

(R2 − r2

)=

∆p

l

R2

4µ

(

1− r2

R2

)

.

Hierbei ist der Rohrradius gegeben durch: R2 = y2C + z2

C .

Bei einem Rohr mit elliptischem Querschnitt gilt fur die Randkurve C die Gleichung:

y2C

a2+

z2C

b2= 1 ;

a und b sind die Halbachsen der Ellipse. Die Umformung von (13.14) ergibt fur die Geschwindigkeit

u(y, z) =1

2µ

∆p

l

(

1− y2

a2− z2

b2

)

(13.15)

und fur den Volumenstrom

V =

∫

A

u dA =∆p

µ l

π a3b3

a2 + b2. (13.16)

Als Spezialfall betrachten wir nun die Stromung im ringformigen Zwischenraum zweier Rohre mitdem Radien R1 und R2; es sei R2 > R1. Da der Losungsbereich ein zweifach zusammenhangendes


Gebiet ist, kann die Losung (13.14) nicht ubernommen werden. Wir gehen deshalb zu den Be-wegungsgleichungen (13.9 a) bis (13.9 d) zuruck. Zur Beschreibung der Stromung verwenden wirPolarkoordinaten, den Koordinatenursprung legen wir in den Mittelpunkt des Rohrquerschnitts.Wegen der Symmetrie des Problems ist dann u = u(r). (13.12) erhalt dann die Form:

1

r

d

dr

(

rdu

dr

)

= −∆p

µ l. (13.17)

Die allgemeine Losung von (13.17) lautet:

u(r) = − ∆p

4 µ lr2 + c1 ln r + c2 . (13.18)

Die beiden Integrationskonstanten sind aus der Haftbedingung

u(R1) = 0 und u(R2) = 0

zu bestimmen. Es folgt fur die Geschwindigkeitsverteilung

u(r) =∆p

l

R22

4 µ

(

1− r2

R22

+1− (R1/R2)

2

ln (R2/R1)ln

r

R2

)

, (13.19)

und fur den Volumenstrom

V =π

8 µ

∆p

lR4

2

(

1− R41

R42

− (1 −R21/R2

2)2

ln (R2/R1)

)

. (13.20)

Zahlenbeispiel: Es sei R1/R2 = 1/20.

Mit (13.20) folgt fur den Volumenstrom: V ≈ 23 V

∣∣∣R1=0

.

Ein Stab in der Rohrachse mit 1/20 des Rohrdurchmessers reduziert den Durchfluß um 1/3 !

Beispiel: Unter der Voraussetzung einer inkompressiblen Flussigkeit haben wir gefunden, daßsich der Druck langs des Rohres linear andert. Zur Erganzung wollen wir noch die isothermeStromung eines viskosen idealen Gases in einem Kreisrohr untersuchen. Dabei interessieren wiruns insbesondere fur den erforderlichen Druckabfall, wenn durch das Rohr der Massenstrom Mgefordert werden soll.

Uber eine infinitesimalen Rohrlange dx kann das Gas als inkompressibel angesehen werden. Ausder Losung fur das Kreisrohr folgt fur den Druckgradienten, vgl. auch (11.11) und (11.14)

dp

dx= −8 µ V

π R4= − 8 µ M

π R4.

Unter Verwendung der Zustandsgleichung (2.14) und der Tatsache, daß die dynamische Viskositateines idealen Gases vom Druck unabhangig ist, folgt

dp

dx= −8 µ M

π R4

R T

p.

Integriert von x1 bis x2, mit x2 − x1 = l, ergibt sich

p21 − p2

2 =16 µ M R T

π R4l .

Bei der Stromung kompressibler Fluide andert sich der Druck also nicht mehr linear langs desRohres.


13.3 Instationare Stromungen

13.3.1 Ruckartig beschleunigte Platte

Eine unendlich ausgedehnte Platte in einer ruhenden newtonschen Flussigkeit werde zur Zeit t = 0ruckartig auf die Geschwindigkeit U beschleunigt, so daß sie sich fur t > 0 mit dieser Geschwin-digkeit in ihrer eigenen Ebene bewegt.

Die Flussigkeit haftet an der Wand und es entsteht eine Stromung parallel zur Platte, vgl.Abb. 13.4. Deshalb haben die Komponenten des Geschwindigkeitsvektors die Form:

v∼

= (u(y, t), 0, 0). (13.21)

Abbildung 13.4: Stromung an einer ruckartig bewegten Platte

Die Stromung wird allein durch die Bewegung der Platte hervorgerufen, der Druckgradient in x-Richtung kann daher zu Null angenommen werden. Die Navier-Stokes-Gleichungen liefern unterdiesen Voraussetzungen folgende Aussagen:

x-Richtung: ∂u

∂t= µ

∂2u

∂y2(13.22 a)

y-Richtung: 0 = −∂p

∂y(13.22 b)

z-Richtung: 0 = −∂p

∂z(13.22 c)

Es handelt sich also um eine ebene Schichtenstromung mit v∼

·∇∼

v∼

= 0∼

! Aus (13.22b) und (13.22 c)folgt sofort, daß der Druck p im gesamten Stromungsfeld konstant ist.

(13.22 a) ist eine lineare partielle Differentialgleichung, sie ist unter dem Namen Warmeleitungs-oder Diffusionsgleichung gut bekannt. Zur Festlegung der Losung fur u(y, t) stehen die Randbe-dingungen

u = 0 fur t = 0 und y ≥ 0 (13.23 a)

u = U fur t > 0 und y = 0 (13.23 b)

u→ 0 fur t > 0 und y →∞ (13.23 c)

13.3. Instationare Stromungen 151

zur Verfugung. Die Losung von (13.22 a) unter diesen Randbedingungen wird zweckmaßigerweisemit einer

”dimensionslosen“ Variablen beschrieben, die keine willkurlich eingefuhrten Maßstabe

fur Lange und Zeit enthalt. Wir geben zunachst die Losung an und uberlegen uns danach eineBegrundung. Aus den Stoffkonstanten µ und , dem Abstand y von der Platte und der Zeit t laßtsich eine dimensionslose Variable3 der Art

s =y

2√

(µ/) t=

y

2√

ν t. (13.24)

bilden. Hier ist ν die kinematische Viskositat, der Faktor 2 ist rechentechnisch bedingt. Wir fuhrennun s in (13.22 a) ein und bilden die Ableitungen in s

∂u

∂t=

∂s

∂t

du

ds=−y

4√

νt3du

ds,

∂u

∂y=

∂s

∂y

du

ds=

1

2√

νt

du

ds,

∂2u

∂y2=

∂s

∂y

d

ds

(∂u

∂y

)

=1

4 νt

d2u

ds2.

(13.25)

Fuhren wir (13.25) in (13.22 a) ein, so folgt:

d2u

ds2+ 2 s

du

ds= 0 . (13.26)

Die Anfangs- und Randbedingungen sind ebenfalls in der neuen Variablen auszudrucken:

(13.23 b)⇒ u = U fur s = 0 ; (13.27 a)

(13.23 c)⇒ u = 0 fur s→∞ . (13.27 b)

Wir haben hiermit zwei Randbedingungen fur eine Differentialgleichung zweiter Ordnung. Diebisher noch nicht berucksichtigte Bedingung (13.23 a) verlangt ebenfalls u = 0 fur s→∞ und istdamit identisch zu (13.27b).

Durch die Einfuhrung der Variablen s reduzierte sich die partielle Differentialgleichung (13.22 a)auf die gewohnliche lineare Differentialgleichung (13.26), die unter den Randbedingungen (13.27 a)und (13.27b) zu losen ist. Schreibt man (13.26) in der Form

d

ds

(

lndu

ds

)

= −2s ,

so folgt durch zweimalige Integration

u(s) = A

s∫

0

e−s2

ds + B . (13.28)

Die Integrationskonstanten A und B sind mit (13.27 a) und (13.27 b) zu bestimmen; es folgt

u(s) = U

1− 2√π

s∫

0

e−s2

ds

= U[

1− erf(s)]

. (13.29)

3Eine Transformation, durch die die Anzahl der unabhangigen Variablen eines Problems reduziert wird,heißt Ahnlichkeitstransformation. Die unabhangigen Variablen treten dann nur in einer Kombination auf; hier:s = y/(

√νt). Losungen, in denen die unabhangigen Variablen nur in einer Kombination auftreten, heißen Ahnlich-

keitslosungen.


Hierbei steht erf(s) fur die Fehlerfunktion. In (y, t)-Koordinaten wird aus (13.28)

u(y, t) = U

[

1− erf

(y

2√

νt

)]

. (13.30)

Aus (13.30) kann fur jeden Wandabstand y und fur jede Zeit t die Geschwindigkeit u bestimmtwerden, vgl. Abb. 13.5.

Abbildung 13.5: Universelles Geschwindigkeitsprofil fur die ruckartig beschleunigte Platte

Wir wollen nun die Dicke δ derjenigen Schicht bestimmen, fur die u gerade 1 % von U ist.

u(δ, t) = 0, 01 U = U

[

1− erf

(δ

2√

νt

)]

. (13.31)

Es folgt:

δ ≈ 4√

νt . (13.32)

Die bewegte Wand beeinflußt die Flussigkeit in einer wandnahen Schicht, deren Dicke δ propor-tional zur Wurzel aus der Zeit und der kinematischen Viskositat ist. Durch das Produkt U · t kanneine Große von der Dimension einer Lange gebildet werden, die mit δ ins Verhaltnis gesetzt werdenkann:

l = Ut ;

δ

l≈ 4√

νt

Ut=

4√

Ul/ν=

4√Rel

. (13.33)

Rel ist hier die mit der”Lauflange l“ gebildete Reynoldszahl. δ wachst also im Verhaltnis zur

Lauflange der Platte proportional zu 1/√

Rel; dies ist die typische Abhangigkeit fur die laminareGrenzschichtdicke, die uns noch beschaftigen wird.

Wir wollen nun das Integral der Rotation (Wirbelstarke) des Geschwindigkeitsfeldes langs dery-Achse berechnen. Da es sich um eine ebene Stromung handelt, hat ∇

∼

× v∼

nur eine von Null

13.3. Instationare Stromungen 153

verschiedene Komponente, die wir mit ω bezeichnen. Mit (13.31) folgt:

∇∼

× v∼

= (0, 0,−ω) ,

ω =∂u

∂y=

∂u

∂s

∂s

∂y= − U√

π ν te−s2

,

mit∂y

∂s= 2√

νt und

∞∫

0

e−s2

ds =

√π

2gilt:

I = −∞∫

0

ω dy = −∞∫

0

ω∂y

∂sds =

U√πνt

∞∫

0

e−s2

2√

νt ds = U .

Der Wert des Integrals hangt also nicht von der Zeit ab. Dies bedeutet, daß die Rotation, diedurch das Anfahren der Platte entstanden ist, zunachst in einer dunnen Schicht konzentriert istund dann in die Flussigkeit “hineindiffundiert“. Allgemein gilt: In reibungsbehafteten Stromungenmuß an der Wand zur Aufrechterhaltung der Wandhaftung standig Wirbelstarke erzeugt werden,die sich dann von der Wand aus durch Diffusion im Stromungsfeld ausbreitet.

Im zugeordneten Warmeleitungsproblem entspricht ω der Temperatur und I der Warmemenge,die zur Zeit t = 0 pro Flacheneinheit zugefuhrt wurde.

Die dimensionslosen Variablen konnen mit der in Kapitel 9 bereitgestellten Methode hergeleitetwerden. Wie wir aus den Gln. (13.22 a) bis (13.22 c) und den Randbedingungen (13.23 a) bis(13.23 c) sehen, gibt es sechs Variablen: u, U , t, y, und µ. Die Einheiten dieser Großen werdendurch drei Dimensionen, Zeit, Masse und Lange, gebildet. Demnach ist hier V = 6, D = 3 undes sollte G = V − D = 3 dimensionslose Gruppierungen geben. Diese konnen einfach gefundenwerden:

u

U,

y2

ν t,

U

νy.

Hierbei ist ν die kinematische Viskositat ν = µ/. Die Losung kann damit durch

u

U= f

(y2

νt,y U

ν

)

.

dargestellt werden. Die dimensionslose Gruppierung y2/(νt) legt nun die Einfuhrung einer dimensi-onslosen Variablen s = y/(2

√νt) gemaß (13.24) nahe. Durch Einfuhren dieser Variablen reduziert

sich die Aufgabe auf die Losung der Gleichung (13.25) unter den Randbedingungen (13.27 a) und(13.27b). In diesen Beziehungen kommt die Gruppierung y U/ν nicht vor, diese spielt deshalb furdie Losung auch keine Rolle.

13.3.2 Schwingende Platte

Wir nehmen nun an, daß sich die in 13.3.1 behandelte Platte nach der Zeitfunktion U cos (ωt) inihrer eigenen Ebene bewegt. Es ist zweckmaßig, diese Funktion als Realteil R eines komplexenAusdrucks

U(t) = u(y = 0, t) = RU

0e−iωt

(13.34)

zu schreiben. Dabei ist U0

eine im allgemeinen komplexe Konstante. Wir werden im folgenden nurlineare Operationen bezuglich u durchfuhren, die Zerlegung von (13.34) in Real- und Imaginarteilmuß daher erst im Endergebnis vorgenommen werden. Zu losen ist hier die Gleichung (13.22 a)unter der neuen Randbedingung (13.34) und der Bedingung (13.23 c). Da sich die Platte in ihrereigenen Ebene bewegt, sind die beiden anderen Geschwindigkeitskomponenten gleich Null und der


Druck p ist im gesamten Feld konstant. Fur die Losung von (13.22 a) unter der Bedingung (13.34)machen wir den Ansatz

u(y, t) = U0ei(ky−ωt) . (13.35)

Durch diese Form ist (13.34) erfullt. Wird (13.35) in (13.22 a) eingesetzt, so folgt eine Bedingung

fur k. Wegen∂u

∂t= −i ω u(y, t) und

∂2u

∂y2= −k2 u(y, t) wird aus (13.22 a)

− i ω u(y, t) = −µ k2 u(y, t) .

Daraus folgt fur k und u

k = ∓√

iω

ν= ±(i + 1)

√ω

2 ν; ν =

µ

. (13.36)

u(y, t) = U0e−√

ω2ν y ei(

√ω2ν y−ωt) . (13.37)

In (13.37) wurde nur die Losung fur k mit positivem Imaginarteil verwendet, weil andernfalls umit zunehmendem y unbeschrankt anwachsen wurde und dadurch die Bedingung (13.23 c) verletztware. Der Realteil von (13.37) bestimmt sich zu

u(y, t) = U0e−√

ω2ν y cos

(

ωt−√

ω

2νy

)

; (13.38)

hierbei ist U0

die Amplitude der Schwingung fur y = 0. Die Losung (13.38) stellt eine transversaleWelle dar, die sich senkrecht zur Richtung des Geschwindigkeitsvektors fortpflanzt. Die wesentlicheEigenschaft der Welle ist, daß sie beim Eindringen in die Flussigkeit rasch abklingt, vgl. Abb. 13.6.Die Amplitude nimmt mit der Entfernung von der Platte, deren Bewegung die Welle erzeugt, gemaßexp(−

√

ω/(2ν) y) ab. Bezeichnet man als Eindringtiefe die Strecke, auf der die Amplitude um 1/eabgenommen hat, so folgt aus (13.38):

δ =

√

2ν

ω. (13.39)

Abbildung 13.6: Geschwindigkeitsprofil in der Nahe einer schwingenden Platte

Die Eindringtiefe nimmt also mit der Frequenz ab und mit der Viskositat zu. Fur die Schubspan-nung an der Wand gilt:

τ(0, t) = µ∂u(0, t)

∂y= −

√νω U0 cos

(

ωt +π

4

)

. (13.40)

13.4. konvergent 155

Wie ein Vergleich zwischen (13.38) und (13.40) zeigt, besteht eine Phasenverschiebung zwischender Geschwindigkeit und der Schubspannung.

Bemerkenswert bei der Losung (13.38) ist, daß ebenso wie bei der ruckartig in Bewegung gesetztenPlatte die Stromung nur in einer relativ dunnen Schicht in Wandnahe beeinflußt wird. DieseEigenschaft von Losungen der Navier-Stokes-Gleichungen werden wir bei der Entwicklung dersogenannten Grenzschichttheorie nutzen.

13.4 Stromung in einem konvergenten Kanal

Untersucht wird die ebene, stationare Stromung einer inkompressiblen newtonschen Flussigkeitim Raum zwischen zwei ebenen, festen Wanden, die einen Winkel 2α miteinander bilden. Wennkeine außeren Krafte wirken, ist die Stromung zweidimensional. Die reprasentative Ebene stehtsenkrecht zu den Kanalwanden und ihrer gemeinsamen Schnittgeraden. Zur Beschreibung derStromung wird ein Zylinderkoordinatensystem (r, ϕ, z) eingefuhrt, die z-Achse liegt in der Schnitt-geraden der Kanalwande, siehe Abb. 13.7. Die Stromung sei langs der z-Achse homogen und derGeschwindigkeitsvektor habe nur eine von Null verschiedene r-Komponente: v

∼

= (u, 0, 0)

Abbildung 13.7: Stromungsgeometrie

Zur Berechnung der Stromung stehen die Navier-Stokes-Gleichungen und die Kontinuitatsglei-chung zur Verfugung:

v∼

· ∇∼

v∼

= −∇∼

p + µ∆v∼

; (13.41)

∇∼

· v∼

= 0 . (13.42)

Die Stromung ist durch den halben Offnungswinkel α und den Durchfluß q pro Zeit und Langen-einheit Tiefe in z-Richtung ausgezeichnet:

q =

α∫

−α

u r dϕ . (13.43)

Je nachdem ob q großer oder kleiner Null ist, liegt eine divergente oder konvergente Stromung vor.

Als Randbedingungen sind nach dem physikalischen Modell die Haftbedingungen an den Wanden

u(r,±α) = 0 (13.44)


und das Verschwinden von u im Unendlichen zu verlangen

limr→∞

u(r, ϕ) = 0 . (13.45)

Da eine ebene Stromung vorliegt, kann die Geschwindigkeit durch eine skalare Stromfunktion Ψ0

mit

v∼

= ∇∼

× (Ψ0e∼

z) =1

r

∂Ψ0

∂ϕe∼

r −∂Ψ0

∂re∼

ϕ (13.46)

= ue∼

r + ve∼

ϕ .

ausgedruckt werden. Nach den getroffenen Voraussetzungen verschwindet v im gesamten Stromungs-bereich; Ψ0 ist damit nur eine Funktion von ϕ:

Ψ0 = Ψ0(ϕ) . (13.47)

Durch Einfuhren der Stromfunktion ist die Kontinuitatsgleichung (13.42) erfullt; aus (13.41) folgtnach Eliminieren des Druckes eine Gleichung fur Ψ0:

2ΨI0Ψ

II0 + 4µ ΨI

0 + µ ΨIV0 = 0 . (13.48)

Es ist nun zweckmaßig, die Stromfunktion zu normieren, wir setzen

Ψ0 = q Ψ . (13.49)

q ist der durch (13.43) definierte Durchfluß pro Zeit und Langeneinheit Tiefe. Damit wird aus(13.48):

2 ReΨIΨII + 4 ΨII + ΨIV = 0 , (13.50)

mit Re =q

ν. (13.51)

Das dimensionslose Verhaltnis q/ν ist die Reynoldszahl der Stromung.

Durch Einfuhren von (13.49) in die Navier-Stokes-Gleichung (13.48) ergibt sich, daß der Tragheits-term auf der linken Seite von der Großenordnung q2 und der Reibungsterm auf der rechten Seitevon der Großenordnung µq ist. Damit kann die Reynoldszahl (13.51) als Verhaltnis zwischen derTragheitskraft und der Reibungskraft interpretiert werden.

Wegen der Normierung der Stromfunktion gilt fur die Differenz der Stromfunktion an den Ka-nalwanden

Ψ(r, α)−Ψ(r,−α) = 1 . (13.52)

Aus (13.44) folgt fur ΨI :

ΨI(r,±α) = 0 . (13.53)

Die Bedingung (13.45) ist durch die Setzung (13.47) erfullt. Zur Bestimmung der Stromung ist(13.50) unter den Randbedingungen (13.52) und (13.53) zu losen.

Die exakte Losung Fur das oben gestellte Randwertproblem existiert eine geschlossene Losung;nach Jeffrey [3] und Hamel [4] hat diese die Form

Ψ(ϕ) = − 2

Re

∫

[3 p(ϕ− ϕ0) + 1] dϕ + C . (13.54)

13.5. Schleichende Stromungen: Stromungen kleiner Reynoldszahl 157

Hier ist p(ϕ) die sogenannte Weierstraßsche p-Funktion; C und ϕ0 sind Integrationskonstanten,die aus den Randbedingungen zu bestimmen sind. Fur die Auswertung ist es zweckmaßig, (13.54)in eine Fourierreihe zu entwickeln; fur Einzelheiten sei auf [5] verwiesen.

In Abb. 13.8 sind Geschwindigkeitsverteilungen fur einige Werte der Reynoldszahl dargestellt.Dabei fallt auf, daß bei einer konvergenten Stromung mit großer werdendem Betrag von Re derGeschwindigkeitsabfall zur Wand hin steiler wird und sich ein Bereich mit nahezu konstanterGeschwindigkeit in Kanalmitte ausbildet. Der starke Geschwindigkeitsabfall in einer mit zuneh-mender Reynoldszahl dunner werdenden Schicht ist typisch fur Grenzschichten, wir werden daraufnoch zuruckkommen.

Abbildung 13.8:Geschwindigkeitsverteilung bei konvergenten Stromungen fur verschiedene Reynoldszahlen undα = 45

Bei divergenten Stromungen bildet sich mit großer werdender Reynoldszahl in der Nahe der Wandein Ruckstromgebiet aus; dieser Effekt wird als Stromungsablosung bezeichnet. Die Ruckstromungist instabil, mit ihrem Auftreten geht die Stromung in die turbulente Stromungsform uber, die furdie Berechnung vorausgesetzte laminare Stromung ist dann nicht mehr existent. Wir werden beider Behandlung der Turbulenz darauf zuruckkommen.

13.5 Schleichende Stromungen:

Stromungen kleiner Reynoldszahl

13.5.1 Einleitung

Bei der Losung der Navier-Stokes Gleichung bereitet der konvektive Teil des Beschleunigungsterms,das ist der Ausdruck v

∼

·∇∼

v∼

, die meisten Schwierigkeiten. Wegen dieses Terms sind die Gleichungennichtlinear, wodurch eine Reihe von sonst moglichen Losungsmethoden nicht mehr anwendbar sind.

Es gibt aber Probleme, insbesondere bei hinreichend hochviskosen Flussigkeiten, bei denen dieTragheitswirkungen klein sind gegenuber dem Einfluß der Flussigkeitsreibung. In diesem Fall kannman in erster Naherung die linke Seite von (13.41) Null setzen. Die so verkurzte Navier-Stokes-Gleichung ist linear und einer analytischen Losung eher zuganglich.


13.5.2 Schleichende Stromung um eine Kugel

Eine ruhende Kugel mit dem Durchmesser D bzw. dem Radius R werde von einer newtonschenFlussigkeit mit der Geschwindigkeit (V

∼

, |V∼

| = V ) stationar angestromt. Wir wollen die dabei ander Kugel angreifende Reibungskraft berechnen. Fur die stationare Stromung eines inkompressi-blen Fluids gilt die Navier-Stokes Gleichung:

v∼

· ∇v∼

= −1

∇p +

µ

v

∼

. (13.55)

Durch den nichtlinearen Tragheitsterm v∼

· ∇v∼

wird die Integration der Gleichung sehr schwie-rig. Wir beschranken uns deshalb von vornherein auf den Fall kleiner Reynoldszahlen Re =V µ/(D)≪ 1 und schatzen die Großenordnung der beiden Geschwindigkeitsterme ab. Der Termv∼

· ∇v∼

ist von der Großenordnung V 2/D, fur den Reibungsterm folgt entsprechend:

|µv

∼

| ≈ µV

D2.

Das Verhaltnis des ersten zum zweiten Term ist gerade gleich der Reynoldszahl Re = V D/ν,wobei ν = µ/) die kinematisch Viskositat darstellt. Fur kleine Werte der Reynoldszahl Re ≪ 1kann daher der Tragheitsterm v

∼

·∇v∼

als klein von hoherer Ordnung gegenuber dem Reibungstermvernachlassigt werden. Da nun die Massentragheit keine Rolle spielt, spricht man von einer schlei-chenden Stromung . Mit der Vernachlassigung des Tragheitsterms wird die Bewegungsgleichunglinear und einer analytischen Losung zuganglich:

µv∼

−∇p = 0 (13.56)

Zusammen mit der Kontinuitatsgleichung

∇ · v = 0. (13.57)

bestimmt 13.56 sie die Stromung vollstandig. Als Bedingungen fur die Losung ist zu fordern:

r→∞ : v∼

= V∼

r = R : v∼

= 0∼

. (13.58)

Wir wenden die Operation ∇× auf (13.56) an und erhalten:

∇×v∼

= 0∼

.

Diese Gleichung wird sowohl durch ein wirbelfreies Geschwindigkeitsfeld v∼

1 = ∇Φ als auch durchein Feld v

∼2 erfullt, welches der Potentialgleichung v2 = 0 genugt. Wir setzen fur die Losung:

v∼

= ∇Φ + v∼

2, mit v∼

2 = 0∼

. (13.59)

Bei der Wahl des Ansatzes fur v∼

2 beachten wir, daß die einzig ausgezeichnete Richtung bei unsererAufgabe die Richtung der Anstromung V

∼

ist und setzen deshalb: v∼

2 = V∼

g(r) mit g(r) = 0,da V

∼

= const. Fur g(r) wahlen wir wegen der Kugelsymmetrie unseres Problems als Losung:g(r) = a/r. Setzen wir jetzt die Gleichung (13.59) mit

13.5. Schleichende Stromungen: Stromungen kleiner Reynoldszahl 159

v∼

2 = V∼

a

r(13.60)

in die Kontinuitatsgleichung ∇ · v∼

= 0 ein, so ergibt sich:

Φ +∇ · v∼

2 = Φ− aV∼

· r∼

1

r3= 0. (13.61)

Zur Losung dieser Gleichung benutzen wir den Ansatz:

Φ = V∼

· r∼

f(r). (13.62)

Da ∆Φ = 4V∼

· 1r r

∼

f ′ + V∼

· r∼

f ′′ ist, muß f(r) der Gleichung

f ′′ +4

rf ′ =

a

r3

genugen. Zur Losung dieser inhomogenen gewohnlichen Differentialgleichung versuchen wir denAnsatz

f = Arn +a

r

und finden:

f(r) = A + B1

r3− a

2r. (13.63)

Die Integrationskonstanten A und B sind aus den Randbedingungen (13.58) zu bestimmen.Mitden gefundenen Losungen (13.59),(13.60) und (13.62) gilt fur das Geschwindigkeitsfeld:

v∼

= V∼

f(r) + (V∼

· r∼

) f ′r∼

r+ a

V∼

r. (13.64)

Die Randbedingung v∼

= V∼

fur r →∞ erfordert:

limr→∞

f(r) = 1 und limr→∞[rf ′(r)] = 0;

die Haftbedingung v∼

= 0 fur r = R hat zur Folge:

f(R) +a

R= 1 und f ′(R) = 0.

Damit folgt fur die Konstanten A, B und a in 13.63:

A = 1, B = −1

4R3, a = −3

2R. (13.65)

Damit lautet die vollstandige Gleichung fur das Geschwindigkeitsfeld:

v∼

= V∼

[

1− 3

4

R

r− 1

4

R3

r3

]

+ (V∼

· r∼

)r∼

r3

3

4R

[R2

r2− 1

]

. (13.66)

Den hydrodynamischen Druck erhalten wir aus (13.56) zu:

p = µΦ + p0. (13.67)


Damit sind wir in der Lage, die an der Kugel angreifende Kraft F∼

zu berechnen:

F∼

=

∮

A

π≈

· n∼

dA =

∫

V

∇ · π≈

dV. (13.68)

Integriert wird uber die Kugeloberflache A bzw. das Kugelvolumen V . Fur die Divergenz desSpannungstensors folgt mit π

≈

= −pI≈

+ σ≈

:

∇ · π = −∇p + µv∼

.

Mit (13.59), (13.60) und (13.67) erhalt man schließlich:

∇ · π = −µ∇Φ + µ∇Φ + aµV∼

1

r= aµV

∼

1

r.

Damit folgt fur F∼

:

F∼

= aµV∼

∫

V

1

rdV = aµV

∼

∫

A

∇1

r· dA.

Zweckmaßigerweise wird die Integration in Kugelkoordinaten (r, ϑ, ϕ) ausgefuhrt; dann gilt furdA:

dA = r2 sin ϑdϑdϕ und die Auswertung des Integrals ergibt:

F∼

= −aµV∼

∫

sin ϑdϑdϕ = −aµV∼

· 4π.

Mit a = − 32R aus 13.65 folgt schließlich die Stokessche Widerstandsformel:

F∼

= 6πµRV∼

. (13.69)

Die Reibungskraft ist proportional zur Geschwindigkeit, der Viskositat und dem Kugelradius.Experimentell findet man die Formel bis zu Reynoldszahlen von Re ≈ 1 recht gut bestatigt,obwohl sie unter der viel restriktiveren Annahme Re≪ 1 hergeleitet wurde.

Beispiel: Grenzgeschwindigkeit fur eine fallende Kugel (Radius R, Dichte K) in einer viskosenFlussigkeit (Dichte F , Viskositat µ). Bei der Endgeschwindigkeit stellt sich ein Gleichgewicht zwi-schen dem Gewicht der Kugel, vermindert um den Archimedischen Auftrieb, und der StokesschenReibungskraft ein. Es gilt:

vGrenz =2

9

(K − F )gR2

µ.

Fur eine Glaskugel (K = 2, 5g/cm3)mit 1mm Durchmesser, die in Glyzerin (F ≈ 1g/cm3, µ =1Pas) fallt, erhalt man: vGrenz ≈ 0, 8mm/s, Re = 10−3.

Diese Beziehung zwischen der Fallgeschwindigkeit einer Kugel und der Viskositat eines Fluids wirdin sogenannten Kugelfall-Viskosimetern ausgenutzt. Bei diesen wird fur eine geeichte Kugel dieZeitspanne fur das Durchfallen einer Hohendifferenz in einer vertikalen, mit Flussigkeit gefulltenRohre gemessen und daraus die Geschwindigkeit der Kugel bestimmt. Mittels der abgeleitetenFormel kann dann die Viskositat berechnet werden.Dabei muß darauf geachtet werden, daß dieKugel im Vergleich zum Rohrdurchmesser nicht zu groß ist; bereits fur eine Rohre mit einem nurzehn mal so großen Durchmesser wie die Kugel ist die Reibungskraft schon um den Faktor 1,2großer. Dieser Anstieg beruht auf dem Einfluß der Seitenwande.

13.6. Exkurs: Numerische Losungsverfahren 161

Abbildung 13.9: Geschwindigkeitsprofil bei schleichender Stromung

13.5.3 Schleichende Stromung in einem konvergenten Kanal

Bei der im Abschnitt 13.4 behandelten Aufgabe kann der Ubergang zur schleichenden Stromungdurch den Grenzubergang Re→ 0 durchgefuhrt werden. Aus (13.50) folgt:

ΨIV + 4ΨII = 0 . (13.70)

Diese Gleichung ist unter den Randbedingungen (13.52) und (13.53) zu losen. Durch den Ubergangzur schleichenden Stromung erhalt man also eine lineare Gleichung, ihre Losung unter den zuerfullenden Randbedingungen ergibt sich zu:

Ψ(ϕ) =12 sin (2ϕ)− α cos (2α)

sin (2α)− 2α cos (2α). (13.71)

Berucksichtigt man die Normierung (13.49), so ergibt sich aus (13.71) fur die Geschwindigkeits-verteilung

u(r, ϕ) =q

r

cos (2ϕ)− cos (2α)

sin (2α)− 2α cos (2α). (13.72)

Diese Losung gilt fur konvergente (q < 0) und (q > 0) divergente Stromungen. In Abb. 13.9 sindGeschwindigkeitsverteilungen fur einige Offnungswinkel (2α) dargestellt. Der Gultigkeitsbereichvon (13.72) kann anhand der Abb. 13.8 beurteilt werden; man erkennt, daß auch bei Re = 10 diemaximale Abweichung unter 10 % liegt. Eine solche Abschatzung des Gultigkeitsbereiches konnteauch analytisch erfolgen; dazu ist die Großenordnung des vernachlassigten Terms im Vergleich zuden anderen zu bestimmen.

13.6 Exkurs: Numerische Losungsverfahren

13.6.1 Vorbemerkung

Unsere Kenntnisse der Stromungsmechanik beruhen auf experimentellen und theoretischen Er-gebnissen; dem entspricht auch die Unterteilung des Fachgebietes in einen experimentellen und


einen theoretischen Zweig. Dabei hat die Theorie insofern Modellcharakter, als es mit ihr moglichist, experimentelle Ergebnisse einzuordnen. An eine Theorie sind dabei zwei Kriterien anzulegen:Widerspruchsfreiheit und Nutzlichkeit. Wahrend die Widerspruchsfreiheit beim Aufstellen einerTheorie beachtet werden muß, ist das zweite Kriterium entscheidend fur die Anwendungen. Wirhaben in dieser Vorlesung gesehen, daß wegen der komplizierten Struktur der Gleichungen derStromungsmechanik nur wenige exakte Losungen existieren. Insofern stand der erklarende undordnende Gesichtspunkt in der Vergangenheit oft im Vordergrund.

Mit der Verfugbarkeit elektronischer Rechenmaschinen hat sich dies insofern geandert, als mitdiesen Maschinen die mathematischen Aufgaben numerisch gelost werden konnen. Bei einem in-stationaren Vorgang z. B. ersetzt man dazu die Differentialquotienten durch Differenzenquotientenbezuglich eines kleinen Zeitintervalls. Setzt man den so angenaherten Wert in die Differentialglei-chung ein, so kann ein Naherungswert fur eine Große am Ende des Zeitintervalls aus den Wertenam Anfang bestimmt werden. Wiederholt man dieses Verfahren, so ergibt sich daraus ein Ablauf-schema oder Algorithmus, mit dem die Losung numerisch bestimmt werden kann. Der Algorithmuskann mit Hilfe eines Programms so dargestellt werden, daß eine Rechenmaschine die notwendigenDaten entsprechend verarbeitet.

In vielerlei Hinsicht gleicht die Ausfuhrung eines Computerprogrammes einem Experiment. DieExperimentiergegenstande sind aber nicht Objekte, die an die Naturgesetze gebunden sind; siesind vielmehr den Regeln unterworfen, die aus der Theorie folgen, die dem Programm zugrunde-gelegt wurde. Man kann also sagen, daß die Rechenmaschinen eine Erweiterung der experimen-tellen Stromungsmechanik gebracht haben; mit ihrem Einsatz sind Experimente mit idealisiertenFlussigkeiten unter hypothetischen Bedingungen moglich geworden. Die numerisch Integrationder Bewegungsgleichungen spielt daher in der Stromungsmechanik eine zunehmend wichtigereRolle. Jeder Student, der sich ernsthaft mit diesem Gegenstand auseinandersetzt, sollte sich daherGrundkenntnisse uber die wichtigsten numerischen Algorithmen erarbeiten.

13.6.2 Differenzenverfahren zur Losung partieller Differentialgleichung

Eine systematische Behandlung dieser fur die numerische Stromungsmechanik wichtigen Methodeliegt außerhalb des Rahmens dieses Buches; wir mussen uns vielmehr darauf beschranken, einigewichtige Uberlegungen wiederzugeben. Hinsichtlich der numerischen Behandlung partieller Diffe-rentialgleichungen sei auf [7] verwiesen.

Man unterscheidet partielle Differentialgleichungen vom parabolischen, elliptischen und hyperbo-lischem Typ. Jeder Typ entspricht einer physikalischen Aufgabenstellung und fur jeden ist eineangepaßte Losungsmethode erforderlich. Parabolische Gleichungen trifft man in der Stromungsme-chanik bei Diffusionsproblemen und bei Grenzschichten, hyperbolische Gleichungen ergeben sichbei Uberschallstromungen und bei Wellenausbreitungen in viskoelastischen Flussigkeiten, ellipti-sche Gleichungen ergeben sich schließlich bei stationaren Stromungen inkompressibler Flussigkei-ten; hinsichtlich der Theorie partieller Differentialgleichungen sei auf [8] verwiesen.

Als Beispiel fur ein parabolisches Problem behandeln wir die Stromung einer newtonschen Flussig-keit im Raum zwischen zwei unendlich ausgedehnten, parallelen Platten, von denen die eine zurZeit t = 0 ruckartig auf die Geschwindigkeit U beschleunigt werde, so daß sie sich fur t > 0 mitdieser Geschwindigkeit in ihrer eigenen Ebene bewegt (instationare ebene Couette-Stromung).Diese Bewegung wird durch

∂u

∂t= µ

∂2u

∂y2(13.73)

beschrieben; diese Aufgabe wurde in Abschnitt 13.3.1 bereits fur eine einzelne Platte analytischgelost, sie wird hier zur Illustration des numerischen Verfahrens behandelt.

13.6. Exkurs: Numerische Losungsverfahren 163

Zur Festlegung der Losung stehen folgende Randbedingungen zur Verfugung:

u(y, t) = 0 fur t = 0 und 0 < y < h ,u(0, t) = U fur t > 0 und y = 0 .

(13.74)

Zu losen ist hier ein Rand- und Anfangswertproblem, wobei hinsichtlich der Ortsvariablen y Rand-und hinsichtlich der zeitlichen Variablen t Anfangswerte gegeben sind.

Zur Umwandlung der Differential- in eine Differenzengleichung uberdecken wir das Losungsgebietdurch ein Gitternetz mit den Maschenweiten h und l. Jeder Gitterpunkt ist dann darstellbar inder Form

ym = y0 + m h

tn = t0 + n l m, n = 0, 1, 2, 3, ,

vgl. Abb. 13.10. Wir vereinbaren die Bezeichnungsweise

u(ym, tn) = um,n .

Abbildung 13.10:Gittereinteilung fur die Rand- und Anfangswertaufgabe(13.73) unter den Bedingungen (13.74)

Werden die Funktionswerte um,n in den Gitterpunkten als bekannt angenommen, so konnen dieAbleitungen durch Differenzenquotienten approximiert werden; fur die erste Ableitung nach y imPunkt (ym, tn) bestehen damit drei Moglichkeiten:

(∂u

∂y

)

m,n

=um+1,n − um,n

h+O(h) (13.75)

(∂u

∂y

)

m,n

=um,n − um−1,n

h+O(h) (13.76)

(∂u

∂y

)

m,n

=um+1,n − um−1,n

2h+O(h) (13.77)

Diese Ausdrucke heißen vorderer, hinterer und mittlerer Differenzenquotient. Mit Hilfe der For-mel von Taylor, die einen Zusammenhang zwischen der Anderung des Funktionswertes und denAbleitungen herstellt, kann gezeigt werden, daß der Fehler der Naherungen proportional zu h ist;man sagt:

”der Fehler R ist von der Ordnung hn“, R = O(hn). Fur die zweite Ableitung ergibt

sich analog:

(∂2u

∂y2

)

m,n

=1

h

((∂u

∂y

)

m+1,n

−(

∂u

∂y

)

m,n

)

=(um+1,n − 2um,n + um−1,n)

h2+O(h2) . (13.78)


Zur Umwandlung von (13.73) in eine Differenzengleichung wird die erste Ableitung nach der Zeitdurch einen vorderen und die zweite Ableitung nach y durch den symmetrischen Differenzenquo-tienten approximiert; es resultiert

um,n+1 − um,n

l+O(l) = µ

um+1,n − 2um,n + um−1,n

h2+O(h2) ;

aufgelost nach um,n+1 ergibt sich in erster Naherung:

um,n+1 = um,n +µ

l

h2(um+1,n − 2um,n + um−1,n) . (13.79)

Dieser Ausdruck laßt sich erheblich vereinfachen, wenn

l =1

2

µh2 (13.80)

gesetzt wird, denn es ergibt sich dann:

um,n+1 =1

2(um+1,n + um−1,n) . (13.81)

Mit (13.81) kann durch reine arithmetische Mittelwertbildung die Losung in jedem Punkt desStreifens bestimmt werden, vgl. Abb. 13.10.

Bei manchen Problemen verlangt (13.80) eine so feine Zeiteinteilung, daß ein unvertretbarer Re-chenaufwand entsteht. Eine Vergroßerung des Zeitschrittes l uber den in (13.80) festgelegten Werterweist sich als nicht moglich, da dann die Rechnung numerisch instabil wird; dies bedeutet, daßsich z. B. Rundungsfehler im Laufe der Rechnung unbeschrankt vergroßern.

Eine Methode, die fur beliebige Zeitschritte stabil ist, wurde von Crank und Nicolson [10] vorge-schlagen; dabei wird der vordere Differenzenquotient der Zeitableitung durch den hinteren ersetzt.Es ergibt sich

l(um,n+1 − um,n)

=1

2

µ

h2((um+1,n − 2um,n + um−1,n) + (um+1,n+1 − 2um,n+1 + um−1,n+1)) . (13.82)

Bei gegebenen um,n ist (13.82) ein lineares Gleichungssystem fur die um,n+1, das z. B. mit demGaußschen Verfahren fur jeden Zeitschritt gelost werden kann.

Die Losung ist in Abb. 13.11 fur einige Parameterwerte dargestellt. Bei dieser Aufgabe ist einedimensionslose Darstellung moglich; die problemorientierte Lange ist der Plattenabstand und dieentsprechende Zeit ist durch t∗ = H2/µ gegeben. Man erkennt aus der Abbildung, daß fur Zeitendie großer sind als t∗ der stationare Zustand mit einer linearen Geschwindigkeitsverteilung erreichtist.

Die oben behandelte Aufgabe ist insofern ein einfacher Sonderfall, als bei dieser Stromung mit ge-raden Stromlinien die nichtlinearen konvektiven Terme der Navier-Stokes-Gleichung (12.16) iden-tisch verschwinden. Diese Terme bereiten die großten Schwierigkeiten bei der Losung allgemeinerAufgaben. Die Umwandlung der Differentialgleichungen in Differenzengleichungen wird im Prinzipwie oben dargestellt durchgefuhrt; als Resultat ergibt sich dann aber auch im allgemeinen Fall einnichtlineares System algebraischer Gleichungen, das nur iterativ gelost werden kann.

Fur die numerische Losung der Bewegungsgleichungen fur newtonsche Flussigkeiten wurden eineReihe von Methoden entwickelt, deren Darstellung aber uber den Rahmen dieses Buches hinaus-geht; es wird stattdessen auf die Literatur verwiesen, vgl. z. B. [8]. Als Beispiel fur ein Ergebnisist in Abb. 13.12 ein Stromlinienbild fur die ebene Stromung einer newtonschen Flussigkeit durch


Abbildung 13.11:Zeitliche Entwicklung des Geschwindigkeitsprofils bei einer instationaren Couette-Stromung

eine Erweiterung gezeigt, vgl. [9]. Um den Effekt der konvektiven Terme zu illustrieren, sind auchnoch die Stromlinien fur eine schleichende Stromung eingezeichnet. Bei den meisten numerischenMethoden bestehen Konvergenzschwierigkeiten bei großeren Reynoldszahlen; bei dreidimensiona-len Problemen sind große Rechner und lange Rechenzeiten erforderlich; bei der Losung solcherAufgaben kommen auch die großten heute verfugbaren Rechner an ihre Leistungsgrenze.

Abbildung 13.12: Stromung einer newtonschen Flussigkeit durch eine Erweiterung


In diesem Abschnitt haben wir einige exakte Losungen der Navier-Stokes-Gleichung hergeleitetund diskutiert. Fur den Losungsvorgang war es dabei wichtig, daß aus der Analyse der Rand-


und Anfangsbedingungen a priori Aussagen uber die Form des Geschwindigkeitsfeldes abgeleitetwurden. Mit diesem Ergebnis konnten die Gleichungen so vereinfacht werden, daß eine geschlos-sene Losung moglich war. Dabei ist nicht zu ubersehen, daß die hier behandelten Stromungeninsofern einfach sind, als sie alle geradlinige Stromlinien aufweisen. Losungen unter komplexerenBedingungen konnen im allgemeinen nur mit numerischen Methoden erarbeitet werden.

Die Darstellung von Methoden der numerischen Stromungsmechanik geht uber den Stoff einerEinfuhrung hinaus; wegen des enormen Entwicklungspotentials ist es fur den Ingenieur aber wich-tig, eine Vorstellung von den Moglichkeiten des Gebietes zu haben. Beim heutigen Entwicklungs-stand der Computer-Hardware und Software scheint es wahrscheinlich, daß die numerischen Ex-perimente bald Standard-Verfahren der Stromungsmechanik sind.

13.8 Literatur


[2] White, F.M.: Viscous Fluid Flow. Mc Graw-Hill New York (1973)

[3] Jeffrey, G.B.: Steady Motion of a Viscous Fluid. Phil. Mag. 29, 455 f (1915)

[4] Hamel, G.: Jahresbericht der Deutschen Mathematikervereinigung. 25, 34 f (1916)

[5] Strauß, K.: Die Stromung einer einfachen viskoelastischen Flussigkeit in einem konvergentenKanal. Acta Mechanica 20, 233-245 (1974)

[6] Sommerfeld, A. und F. Sauter: Vorlesungen uber theoretische Physik Bd. VI: Partielle Dif-ferentialgleichungen der Physik. Akad. Verlagsgesellschaft Geest und Portig Leipzig (1966)

[7] Marsal, D.: Die numerische Losung partieller Differentialgleichungen. Bibliogrph. InstitutMannheim (1976)

[8] Peyret, R. and Th.D. Taylor: Computational Methods for Fluid Flow. Springer-Verlag, NewYork, Heidelberg,Berlin (1983)

[9] Perera, M.G.N. and K. Strauss: Direct Numerical Solution for the Equations of ViscoelasticFluid Flow. Non-Newtonian Fluid Mech. 5, 269-289 (1979)

[10] Crank, J. und P. Nicolson: A practical method for numerical evaluation of solutions of partialdifferential equations of heat conduction type. Proc. Camb. Phil. Soc. 43, 1 - 79 (1947)

[11] Batchelor,G.K.: An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge University Press (1967)(§4.9)

167

Kapitel 14

Grenzschichten

14.1 Einleitung

Bei inkompressiblen newtonschen Flussigkeiten kann der Reibungsterm der Navier-Stokes Glei-chungen wegen der Gultigkeit der Kontinuitatsgleichung (∇

∼

· v∼

= 0) wie folgt geschrieben werden:

∆v∼

= ∇∼

(∇∼

· v∼

)− ∇∼

× ∇∼

× v∼

= −∇∼

× ∇∼

× v∼

.

Jede Potentialstromung, fur die nach Abschnitt 6.2 ∇∼

× v∼

= 0∼

gilt, ist somit auch eine Losungder Navier-Stokes Gleichungen. Der Reibungsterm in diesen Gleichungen gibt nur dann einenBeitrag, wenn die Stromung aufgrund der Anfangs- oder Randbedingungen gezwungen wird, vonder Potentialstromung abzuweichen.

Zur Verdeutlichung dieser Aussage betrachten wir die Stromung um eine (infinitesimal) dunnePlatte, die in ihrer eigenen Ebene mit der Geschwindigkeit U parallel angestromt wird. Ist dieFlussigkeit reibungsfrei, so gleitet sie uber die Platte, ohne ihre Geschwindigkeit zu verandern.Bei einer viskosen Flussigkeit ist dagegen die Haftbedingung zu erfullen und die unmittelbar andie Platte angrenzende Flussigkeitsschicht wird abgebremst. Dadurch wird eine Storung der Par-allelstromung verursacht, die sich senkrecht zur Platte ausbreitet. In Anlehnung an die Ergebnissefur die ruckartig beschleunigte Platte im Abschnitt 13.3.1 kann man annehmen, daß die Storungsich nur innerhalb einer Schicht auswirkt, deren Dicke δ mit dem Abstand l von der Plattenvor-derkante, den wir als Lauflange der Stromung bezeichnen, und der mit der Lauflange gebildetenReynoldszahl Re = Ul/ν anwachst; diese Abhangigkeit hatte die Form:

δ

l= f(Rel) . (14.1)

Dieser Zusammenhang gibt Anlaß fur die Vermutung, daß der Einfluß der Viskositat nur in einer

”Grenzschicht“ an der Wand zu berucksichtigen ist, wahrend die Stromung außerhalb dieser

Schicht als reibungsfrei betrachtet werden darf, vgl. Abb. 14.1.

Das Stromungsfeld kann danach in zwei Teilbereiche unterteilt werden:

• Die dunne Grenzschicht, in der die Stromung unter dem Einfluß der Viskositat und derHaftbedingung steht und in der Wirbel entstehen.

• Die Außenstromung, die von den Storungen von der Wand nicht beeinflußt ist und sie damitals Potentialstromung behandelt werden kann.

168 Kapitel 14. Grenzschichten

U U U

y

x

Abbildung 14.1: Grenzschicht an einer parallel angestromten Platte

14.2 Abschatzungen zur Grenzschicht

14.2.1 Laminare Grenzschicht an der ebenen Platte

Wir wollen nun mittels einer Massen- und Impulsbilanz eine Abschatzung fur die Dicke der Plat-tengrenzschicht vornehmen. Wir setzen voraus, daß die Platte von einer newtonschen Flussigkeituberstromt wird und die Anstromung mit der konstanten Geschwindigkeit U in Plattenebene er-folgt. Wir wahlen ein Kontrollvolumen nach Abb. 14.2. Vereinfachend nehmen wir an, daß dieGeschwindigkeit u in der Grenzschicht linear mit dem Wandabstand auf den Wert U am Randder Grenzschicht anwachst.

U1 U2

x1x0

uy

1

2

3

yFW

Abbildung 14.2: Kontrollvolumen fur die Plattengrenzschicht

Fur das Geschwindigkeitsfeld ergibt sich damit der folgende Ansatz:

u(x, y)=y

δ(x)U fur 0 ≤ y ≤ δ(x),

u(x, y)= U fur y ≥ δ(x).(14.2)

Neben der Geschwindigkeitsverteilung wird fur die Anwendung des Impulssatzes noch eine Aus-sage uber den Druck benotigt. Außerhalb der Grenzschicht liegt eine ungestorte Parallelstromungvor. Damit ist nach der Bernoulligleichung in der Außenstromung auch der Druck konstant. Daferner die Stromlinien innerhalb der Grenzschicht nahezu parallel zur Platte verlaufen, bestehtauch kein Druckgradient in y-Richtung1. Da nun der Druck im gesamten Feld konstant ist, geben

1Wir werden weiter unten zeigen, daß der Druck in der Grenzschicht von der Außenstromung aufgepragt wird(∂p/∂y = 0).

14.2. Abschatzungen zur Grenzschicht 169

die Druckkrafte keinen Beitrag zur Kraftebilanz. Fur die Massenbilanz bezuglich des Kontrollvo-lumens folgt:

fur den durch die Flache 1 tretenden Strom: m1 =

∫

A1

v∼

· n∼

dA = − U δ(l) b ,(14.3 a)

fur den durch die Flache 3 tretenden Strom: m3 =1

2 U δ(l) b . (14.3 b)

Der Strom durch die Flache 2 ergibt sich aus der Massenerhaltung (∑

mi = 0)

m2 = −(m1 + m3) =1

2 U δ(l) b ; (14.3 c)

hierbei ist b die Tiefe des Kontrollvolumens. Nach der Ubereinkunft fur die Massenbilanz (7.3) stelltein Massenstrom mit einem positiven Vorzeichen einen aus dem Kontrollvolumen austretendenStrom dar. Fur die Impulsstrome in x-Richtung folgt:

Impulskraft auf Flache 1: U2 δ(l) b , (14.4 a)

Impulskraft auf Flache 2: −1

2 U2 δ(l) b , (14.4 b)

Impulskraft auf Flache 3: −1

3 U2 δ(l) b . (14.4 c)

Die Wandreibungskraft FW

ergibt sich aus der Wandschubspannung τ(y = 0) = µdu/dy zu:

FW

=

∫

A

τ(y = 0) dA = b

l∫

0

τ(y = 0) dx ;

mit (14.2) folgt:

FW

= b µ U

l∫

0

dx

δ(x). (14.5)

Die Kraftebilanz aus den Beitragen (14.4 a) , (14.4 b) , (14.4 c) und (14.5) ergibt nun:

b µ U

l∫

0

dx

δ(x)=

1

6 U2 δ(l) b ,

⇔l∫

0

dx

δ(x)=

U

6 νδ(l) . (14.6)

Zur Losung dieser Integralgleichung bilden wir die Ableitung und erhalten eine gewohnliche Dif-ferentialgleichung:

U

6 ν

d δ

dx=

1

δ(x). (14.7)

Da die Grenzschichtdicke am Plattenanfang Null ist, gilt als Anfangsbedingung:

δ(0) = 0 . (14.8)


Aus der Losung von (14.7) unter (14.8) ergibt sich schließlich der gesuchte Zusammenhang zwischenGrenzschichtdicke δ und Lauflange l :

δ

l=

√

12 ν

U l=

3, 46√Rel

. (14.9)

Hier ist Rel die mit der Lauflange gebildete Reynoldszahl.

Zahlenbeispiel:

Es sei Rel = 5 · 105. Aus (14.9) folgt: δ/x = 5 · 10−3, d. h. fur x = 1 m ist δ = 5 mm.

Dieses Ergebnis bestatigt die eingangs erwahnten Vermutungen uber die Grenzschicht; daruberhinaus hat (14.9) genau die Form von (13.33) , woraus sich eine zusatzliche Rechtfertigung fur diegetroffenen Annahmen ergibt.

In den Anwendungen sind die Wandschubspannung und die Wandreibungskraft von besonderemInteresse. Mit den obigen Ergebnissen erhalt man:

τW

(x) = µ∂u

∂y

∣∣∣∣Wand

= µU

δ(x)=

2U2

√

1

3

ν

U x=

2U2 0, 577√

Rex

(14.10)

und FW

= b

l∫

0

τW

(x) dx =

2U2 b l

1, 15√Rel

. (14.11)

Wird die Platte beidseitig umstromt, so ist die rechte Seiten von (14.11) mit 2 zu multiplizieren.Die Abhangigkeit von τ

Wund F

Wvon 1/

√Rel ≈ 1/δ(x) ist typisch fur Grenzschichten; Rel ist in

beiden Gleichungen die mit der Lauflange l gebildete Reynoldszahl.

Verdrangungsdicke Auf ihrem Weg langs der Platte werden die Flussigkeitsteilchen immerstarker abgebremst, und die Dicke der Grenzschicht wachst mit der Wurzel aus der Lauflange an.Durch die Ausbildung der Grenzschicht werden die Stromlinien der Außenstromung von der Platteweggedrangt. Ein Maß hierfur ist die sogenannte

”Verdrangungsdicke“ δ1 der Grenzschicht. Wie

Abbildung 14.3: Verdrangungsdicke δ1 der Grenzschicht

die Abb. 14.3 zeigt, wird die außere Stromlinie an der Stelle x = l um δ1 nach außen verdrangt.Eine Massenbilanz liefert:

a∫

0

U b dy =

δ∫

0

u(y) b dy . (14.12)

14.2. Abschatzungen zur Grenzschicht 171

Aus der Auswertung des Integrals ergibt sich mit δ = a + δ1:

U a =

δ∫

0

(U + u(y)− U) dy = U(a + δ1) +

δ∫

0

(u(y)− U) dy (14.13)

⇒ δ1 =

δ∫

0

(

1− u(y)

U

)

dy . (14.14)

Mit der Approximation fur u(y) gemaß (14.2) und (14.9) folgt:

δ1

x=

1

2

δ

x=

1, 73√Rex

. (14.15)

Daß die Verdrangungsdicke δ1 genau halb so groß ist wie die Grenzschichtdicke δ hangt mit demhier vorausgesetzten linearen Verlauf der Geschwindigkeitsverteilung in der Grenzschicht zusam-men. Die Definition von δ1 gemaß (Gl.14.14) ist davon unbenommen.

Impulsverlustdicke In analoger Weise wie aus der Hohe der Verdrangung, kann man die Dickeder Grenzschicht aus der Anderung des Impulses oder auch der kinetischen Energie definieren. Soergibt sich fur die sogenannte Impulsverlustdicke:

δ2(x) =Impulsfluß vor Kante - Impulsfluß in Grenzschicht am Ort x

U2=

∫ δ u(x, y)(U − u(x, y))

U2dy. .

(14.16)

Die auf diese Weise definierte Große δ2 ist nach 14.16 ein Maß fur den durch die Wandreibunghervorgerufenen Impulsverlust oder, was dasselbe ist, fur die von der Stromung auf die Platteausgeubte Reibungskraft.

Fur die Plattengrenzschicht erhalt man:

δ2(x)

x= 0, 66

1√Rex

.

14.2.2 Stromung in der Einlaufstrecke von Rohren

Mit den Ergebnissen aus 14.2.1 kann die Einlaufstrecke fur laminare Rohrstromungen abgeschatztwerden, vgl. Abb. 14.4.

Wir nehmen an, daß die Flussigkeit mit einem konstanten Geschwindigkeitsprofil in das Rohr ein-stromt. Die Wandreibung fuhrt stromabwarts zur Bildung einer Grenzschicht. Die Einlaufstreckeendet dort, wo die Grenzschicht auf der Rohrachse auftrifft; dort liegt dann auch ein parabolischesGeschwindigkeitsprofil vor.

Wir wenden nun (14.9) an; dabei ist klar, daß es sich um eine Vereinfachung handelt und wir alsErgebnis nur einen Naherungswert erhalten. Am Ende der Einlaufstrecke ist δ = δ(l) = d/2; dieGeschwindigkeit U der Außenstromung entspricht an dieser Stelle dem Wert umax = 2 〈u〉.Mit (14.9) folgt:

δ

l=

d/2

l≈ 3, 5√

2〈u〉 d

ν

l

d

.


Abbildung 14.4: Schema der Einlaufstrecke

Dies kann umgeformt werden zu:

l

d= 0, 04 Red mit Red =

〈u〉 dν

.

Dies ist eine mit einfachsten Mitteln hergeleitete Naherung fur experimentelle Ergebnisse. Nachdiesen ist:

l

d= 0, 03 Red .

Eine Ubereinstimmung der Zahlenwerte war schon wegen der Vernachlassigung raumlicher Effektenicht zu erwarten. Wegen der Anderung des Geschwindigkeitsprofils und der großeren Wandschub-spannung ist der Druckabfall in der Einlaufstrecke großer als bei einer ausgebildeten Rohrstromunguber dieselbe Lange.

Den Druckabfall fur die Umbildung des Geschwindigkeitsprofils konnen wir leicht bestimmen. Dadie Stromung in einer Umgebung der Rohrachse nahezu reibungsfrei ist – sie liegt außerhalb derGrenzschicht – rechnen wir von ©1 bis ©2 mit der Bernoulli-Gleichung.

Es ist:

p1 +

2〈u〉2 = p2 +

2u2

max = p2 + 4

2〈u〉2 ;

⇒ ∆p = p1 − p2 = 3

2〈u〉2 .

Fur die Umbildung des Geschwindigkeitsprofils ist also ein ∆p von drei dynamischen Druckenerforderlich. Zum Vergleich berechnen wir den Druckabfall fur eine ausgebildete Rohrstromunguber dieselbe Strecke:

∆p =

2〈u〉2 l

d

64

Red=

2〈u〉2 0, 03 · 64

= 1, 92

2〈u〉2 .

Die Abschatzung zeigt, daß der Einlaufdruckverlust etwa um den dynamischen Druck großer istals der Druckabfall einer ausgebildeten laminaren Stromung. Diese Abweichungen vom Druckabfallausgebildeter Stromungen sind insbesondere beim Kapillar-Viskosimeter zu beachten.

14.3. Die Grenzschichtgleichungen 173

14.3 Die Grenzschichtgleichungen

Zur Herleitung der Bewegungsgleichungen in einer laminaren Grenzschicht betrachten wir eine sta-tionare, zweidimensionale Stromung um einen ebenen Ausschnitt aus einer Korperoberflache, vgl.Abb. 14.5. Diese Ebene wahlen wir als (x, z)-Koordinatenflache; die x-Achse zeige in Stromungs-richtung und die y-Achse stehe senkrecht auf der Korperoberflache.

Abbildung 14.5: Grenzschichtstromung

Ausgangspunkt unserer Uberlegungen sind die Kontinuitatsgleichung und die stationaren Navier-Stokes Gleichungen fur eine inkompressible Flussigkeit in zwei Dimensionen:

∂u

∂x+

∂v

∂y= 0 ,

(

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y

)

= − ∂p

∂x+ µ

(∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2

)

,

(

u∂v

∂x+ v

∂v

∂y

)

= −∂p

∂y+ µ

(∂2v

∂x2+

∂2v

∂y2

)

,

dabei ist die Dichte und µ die dynamische Viskositat. Hierzu kommen noch die Randbedingungender Grenzschicht:

u = v = 0 fur y = 0 (an der Wand) ,

u = U fur y = δ . (14.17)

U ist hier die tangentiale Geschwindigkeitskomponente der Außenstromung.

Ziel unserer Uberlegungen ist es, die vorstehenden Gleichungen innerhalb des als Grenzschichtbezeichneten wandnahen Bereiches zu vereinfachen. Dazu schatzen wir die Großenordnung dereinzelnen Terme ab, die zu diesem Zweck dimensionslos zu schreiben sind.

Die Grenzschicht ist dunn, daher wird die Stromung hauptsachlich parallel zur Oberflache ver-laufen. In y-Richtung werden sich die Stromungsgroßen uber eine Strecke von der Großenordnungder Grenzschichtdicke δ andern. Dagegen werden sich die Anderungen in Stromungsrichtung aufStrecken von der Großenordnung der Korperabmessungen L ergeben. Fur die dimensionslosenOrtsvariablen setzen wir daher:

x =x

Lund y =

y

δ;

man beachte, daß δ ≪ L!

Die Geschwindigkeit in Stromungsrichtung ist von der Großenordnung U ; die Großenordnungder Geschwindigkeit in y-Richtung ergibt sich weiter unten aus der Kontinuitatsgleichung, wir


bezeichnen sie vorlaufig mit V . Wir setzen:

u =u

U; v =

v

V.

Das geeignete Bezugsmaß fur den Druck ist das Produkt Π = U2 der Außenstromung:

p =p

Π.

Aus der Kontinuitatsgleichung folgt in dimensionslosen Variablen wegen

∂u

∂x=

U

L

∂u

∂xund

∂v

∂y=

V

δ

∂v

∂y

die Beziehung:

U δ

V L

∂u

∂x+

∂v

∂y= 0 .

In der Kontinuitatsgleichung kann keiner der Terme gegenuber dem anderen dominieren; es mußalso sein:

U δ

V L= 1 ⇒ V = U

δ

L.

Wegen δ/L≪ 1 ist damit auch V ≪ U .

Aus der x-Komponente der Navier-Stokes Gleichung folgt:

U2

L

(

u∂u

∂x+ v

∂v

∂y

)

= −Π

L

∂p

∂x+

µ U

δ2

(δ2

L2

∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2

)

,

oder U δ2

µ L

(

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y

)

= − U δ2

µ L

∂p

∂x+

(δ

L

)2∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2. (14.18)

Die dimensionale Gruppe Uδ2/µL muß nun von der Großenordnung 1 sein. Ware sie namlichgroß gegen 1, so konnten die Reibungsterme dagegen vernachlassigt werden und wir hatten dieStromung einer reibungsfreien Flussigkeit; ware der Wert der Gruppe klein gegen 1, so wurden dieReibungskrafte uberwiegen und die Tragheitsterme vernachlassigt werden. Beide Falle widerspre-chen der getroffenen Annahme.

Setzen wir U δ2/µ L = 1, so folgt:

δ =

√

µ L

U= L

(Re

L

)−1/2.

Dies ist genau die Großenordnungsbeziehung aus Abschnitt 14.2.1.

Wegen δ/L≪ 1, kann der vorletzte Term in (14.18) gegenuber den anderen vernachlassigt werden.

Aus der y-Komponente der Navier-Stokes Gleichung folgt durch Einfuhren der dimensionslosenVariablen:

U2 δ

L2

(

u∂v

∂x+ v

∂u

∂y

)

= − U2

δ

∂p

∂y+

U2δ

L2

((

L

)2 ∂2v

∂x2+

∂2v

∂y2

)

,

oder∂p

∂y=

δ2

L2

[(δ

L

)2∂2v

∂x2+

∂2v

∂y2− u

∂v

∂x− v

∂v

∂y−]

≈ 0 .

14.4. Losung der Gleichungen fur die Plattengrenzschicht 175

Wegen δ/L≪ 1, kann die rechte Seite vernachlassigt werden. Wir haben damit die in der Fußnoteauf Seite 168 getroffene Aussage bewiesen, daß er Druck in der Grenzschicht an einer Stelle (x, y)gleich dem Druck in der Außenstromung am Rand der Grenzschicht bei demselben x-Wert ist.

Die Gleichungen fur die laminare Grenzschicht lauten somit:

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y− ν

∂2u

∂y2= −1

d p

d x= U

d U

d x; (14.19 a)

∂p

∂y= 0 ; (14.19 b)

∂u

∂x+

∂v

∂y= 0 . (14.19 c)

Die rechte Seite von (14.19 a) folgt aus der Bewegungsgleichung, der Euler Gleichung, fur die alsreibungsfrei angesehene Außenstromung am Rand der Grenzschicht.

Dies ist das System der Prandtlschen Grenzschichtgleichungen fur inkompressible, zweidimensio-nale Stromungen; sie sind unter den Bedingungen (14.17)zu losen.2

14.4 Losung der Gleichungen fur die Plattengrenzschicht

14.4.1 Einleitung

Die elementarste Anwendung der Grenzschichttheorie ergibt sich fur die parallel angestromte ebenePlatte, vgl. Abb. 14.6.

Abbildung 14.6: Plattengrenzschicht

Die Außenstromung (Potentialstromung) ist eine Parallelstromung mit

u = U = konst. , v = 0 , p = konst.

Damit vereinfachen sich (14.19 a) und (14.19 c) zu

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= ν

∂2u

∂y2, (14.20 a)

∂u

∂x+

∂v

∂y= 0 . (14.20 c)

2Durch die beschriebene Vereinfachung kommt es zu einem Typenwechsel der Gleichungen. Die stationarenNavier-Stokes Gleichungen sind vom elliptischen Typ, die Grenzschichtgleichungen demgegenuber vom paraboli-schen Typ. Elliptische Gleichungen beschreiben im allgemeinen Gleichgewichtsprobleme; zur Festlegung der Losungsind Bedingungen auf dem gesamten Rand vorzuschreiben, so daß ein Randwertproblem zu losen ist. ParabolischeGleichungen beschreiben Diffusionsvorgange und es ist eine Anfangs-Randwertaufgabe zu losen.


Fur die Randbedingungen (14.17) folgt:

y = 0 : u = v = 0 ;

y → δ : u→ U . (14.21)

(14.20 a) und (14.20 c) sind die Prandtlschen Gleichungen der Plattengrenzschicht; es handelt sichum ein nichtlineares System, so daß eine geschlossene Losung von vornherein nicht zu erwartenist.

14.4.2 Die exakte Losung der Gleichungen

Zu losen sind die nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen (14.20 a) , (14.20 c) unter denRandbedingungen (14.21).

Bei dieser Aufgabe existiert keine physikalisch ausgezeichnete Lange. Man kann deshalb vermuten,daß die Losung nur vom dimensionslosen Abstand von der Platte abhangt:

u

U= f

(y

δ(x)

)

. (14.22)

Aus Abschnitt 14.2.1 ist bekannt, daß δ(x) von der Großenordnung√

ν x/U ist. Damit folgt aus(14.22):

u

U= f

(

y

√

U

ν x

)

= f(η) , η = y

√

U

ν x. (14.23)

Zur Erfullung der Kontinuitatsgleichung (14.20 c) fuhren wir eine Stromfunktion Ψ ein, vgl. (6.27),und setzen dazu:

u =dΨ

dy=

dΨ

dη· dη

dy= U · f(η) mit

dη

dy=

√

U

ν x

⇒ dΨ = U

√ν x

Uf(η) dη

⇒ Ψ =√

U ν x F (η) .

Bei dieser Herleitung wurde

f(η) =u

U=

dF

dη= F I(η) (14.24)

und F (0) = 0

gesetzt. Es kann einfach gezeigt werden, daß dies o.B.d.A. zulassig ist.

Die y-Komponente der Geschwindigkeit laßt sich nun aus (14.20 c) und (14.24) bestimmen:

∂v

∂y= −∂u

∂x= −U

∂

∂xF I(η) = −U

∂η

∂xF II(η) =

1

2

√

U3

x3 νy F II(η)

=1

2

√

ν U

xy

∂2F

∂y2; (14.25)

v =

∫

0

∂v

∂ydy =

1

2

√

ν U

x

y∫

0

y∂2F

∂y2dy =

1

2

√

ν U

x

(

y∂F

∂y− F

)

=1

2

√

ν U

x

[ηF I(η)− F (η)

]. (14.26)


Fuhrt man (14.24) , (14.25) und (14.26) in die Grenzschichtgleichung (14.20 a) ein, so folgt:

FF II + 2 F III = 0 . (14.27)

Die Randbedingungen ergeben sich aus (14.21) zu:

η = 0 : F (0) = F I(0) = 0 ,

η → ∞ : F I(∞) = 1 . (14.28)

Dies sind drei Bedingungen fur eine Gleichung dritter Ordnung.

Die Gleichung (14.27) unter den Randbedingungen (14.28) wurde 1904 von Blasius erstmals durchasymptotische Reihenentwicklungen fur kleine und große Werte von η gelost. Das Ergebnis einernumerischen Rechnung fur u/U = F I(η) ist in Abb. 14.7 dargestellt.

Abbildung 14.7: Geschwindigkeitsprofil bei der laminaren Plattengrenzschicht

Wenn die Grenzschichtdicke δ als derjenige Wert definiert wird, fur den u = 0, 99U ist, so folgtaus der Abb. 14.7 und (14.23):

δ(x) = 5

√ν x

U= 5

x√Rex

, (14.29)

und weiterhin fur die Verdrangungsdicke δ1

δ1(x) = 1, 72x√Rex

, (14.30)

hierbei ist Rex = Ux/ν die mit der Lauflange gebildete Reynoldszahl. Diese Ergebnisse bestatigendie Schatzwerte aus Abschnitt 14.2.1. Fur die Wandschubspannung folgt:

τW

= µ∂u

∂y

∣∣∣∣y=0

= µ U

√

U

ν x

∂2F (0)

∂y2= 0, 332 µ U

√

U

ν x; (14.31)

dies kann umgeformt werden zu:

τW

(x) =

2U2 0, 664√

Rex

. (14.32)


Fur die Wandreibungskraft folgt damit:

∣∣F

W

∣∣ = b

l∫

0

τW

(x) dx =

2U2 b l

1, 33√Rel

.

Fur Rex < Rekrit stimmen die Losungen (14.29) und (14.32) gut mit experimentellen Ergebnissenuberein. Fur Rex > Rekrit schlagt die laminare Stromungsform jedoch in die einer turbulentenGrenzschicht um. Bei Experimenten findet man, daß Rekrit in einem Bereich zwischen 2 · 105

und 6 · 105 liegt. Bezieht man die Reynoldszahl auf die Grenzschichtdicke δ(x), so findet man,daß der Umschlag fur Uδ/ν ≈ 3000 erfolgt; dieser Wert ist von derselben Großenordnung wieentsprechende Werte fur die Rohrstromung. Turbulente Grenzschichten haben eine andere Ge-schwindigkeitsverteilung als laminare und wachsen nicht mehr mit der Wurzel aus der Lauflange,vgl. Abschnitt 15.8.

14.4.3 Ein Naherungsverfahren

Nach von Karman und Pohlhausen kann die zur Abschatzung in Abschnitt 14.2.1 verwendeteVorgehensweise verallgemeinert werden. Man erhalt dann ein schnell zum Ziel fuhrendes Rechen-verfahren zur Losung der Grenzschichtgleichungen. Ausgangspunkt ist (14.20 a), die wir von y = 0bis y =∞ integrieren:

∞∫

0

(

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y

)

dy = µ

∞∫

0

∂2u

∂y2dy = −µ

∂u

∂y

∣∣∣∣y=0

= τW

. (14.33)

Hier ist τW

die Wandschubspannung. Bei der Herleitung von (14.33) wurde berucksichtigt, daßfur y → ∞ die Ableitung ∂u/∂y gegen 0 geht; dies folgt unmittelbar aus der Bedingung, daß amGrenzschichtrand die Geschwindigkeit und ihre Ableitung stetig sind.

Wir integrieren den zweiten Term der linken Seite:

∞∫

0

v∂u

∂ydy = v u|∞0 −

∞∫

0

u∂v

∂ydy = U v|y=∞

+

∞∫

0

u∂u

∂xdy . (14.34)

Dabei wird von der Randbedingung (14.21) Gebrauch gemacht und bei der Umformung des Inte-granden die Kontinuitatsgleichung (14.20 c) berucksichtigt.

Durch Integration von (14.20 c) uber y folgt:

v|y=∞= −

∞∫

0

∂u

∂xdy . (14.35)

Nun werden (14.34) und (14.35) in (14.33) eingefuhrt:

τW

= −

∞∫

0

(

2 u∂u

∂x− U

∂u

∂x

)

dy .

Wegen 2 u∂u

∂x=

∂

∂xu2 und U

∂u

∂x=

∂

∂x(U u) folgt:

τW

= −

∞∫

0

(∂

∂xu2 − ∂

∂x(U u)

)

dy = d

dx

∞∫

0

u (U − u) dy . (14.36)


Der Grundgedanke des Naherungsverfahrens besteht darin, daß man fur die Geschwindigkeitsver-teilung u(y) innerhalb der Grenzschicht einen geeigneten Ansatz wahlt, der die Randbedingungen(14.21) erfullt, der aber als freien Parameter noch eine Große enthalt, die mit (14.36) zu bestimmenist. Als freie Große wird zweckmaßig die Grenzschichtdicke δ gewahlt.

Bei der Auswahl der Ansatzfunktion berucksichtigen wir a priori Kenntnisse uber die Grenzschicht:

• außerhalb der Grenzschicht ist u naherungsweise gleich U ; also

u = U fur y ≥ δ (14.37)

• die Geschwindigkeitsverteilung hangt nach (14.19 a) nur vom Abstand von der Platte ab;

u = U f

(y

δ(x)

)

. (14.38)

Aus der Haftbedingung an der Wand und der Bedingung (14.37) folgen fur den Ansatz (14.38) dieForderungen:

f(0) = 0 und f(1) = 1 . (14.39)

Die Wandschubspannung τW

kann mit Hilfe von (14.33) durch f ausgedruckt werden:

τW

= µ∂u

∂y

∣∣∣∣y=0

=µU

δf I(0) . (14.40)

Wegen (14.37) kann in (14.36) die obere Integrationsgrenze durch δ ersetzt werden, denn derIntegrand verschwindet fur y ≥ δ:

τW

= d

dx

δ∫

0

u (U − u) dy . (14.41)

Wir fuhren (14.38) und (14.40) in (14.41) ein:

µU

δf I(0) = U2 d

dx

δ∫

0

f(y

δ

)(

1− f(y

δ

))

dy . (14.42)

Es ist zweckmaßig,

y

δ= η (14.43)

zu setzen.

Damit wird aus (14.42):

µ U

δf I(0) = U2 d

dxδ

1∫

0

f(η)(1 − f(η))dη . (14.44)

Fur eine gegebene Ansatzfunktion f(η) hat das Integral einen festen Wert, ist also unabhangigvon x. (14.44) ist damit eine Differentialgleichung zur Bestimmung von δ(x). Durch Umformungfolgt:

δdδ

dx=

µ

U

f I(0)1∫

0

f(1− f)dη

. (14.45)


Am Plattenanfang ist die Grenzschichtdicke gleich Null, damit gilt als Anfangsbedingung

δ(0) = 0 . (14.46)

Unter der Anfangsbedingung (14.46) lautet das Integral von (14.45):

δ2(x) =

2 f I(0)1∫

0

f(1− f) dη

µ x

U. (14.47)

Wird x durch die Lauflange l ersetzt, die mit der Lauflange gebildete Reynoldszahl Rel = U l/νeingefuhrt und der Ausdruck in der geschweiften Klammer gleich a2 gesetzt, so folgt aus (14.47):

δ

l= a

1√Rel

. (14.48)

Fur die Wandschubspannung ergibt sich aus (14.38), (14.47) und (14.48):

τW

(x) =µ U

δ(x)f I(0) = b µ U

√

U

ν x,

oder τW

(l) = b µ U

√

Rel

l,

mit b =f I(0)

a.

(14.49)

Die Genauigkeit des Naherungsverfahrens hangt nun weitgehend von der geeigneten Wahl desAnsatzes f fur die Geschwindigkeitsverteilung ab. Aus der Haftbedingung an der Wand (η = 0)und dem stetigen Anschluß an die Außenstromung am Rand der Grenzschicht (η = 1) wurdenoben fur f die Bedingungen (14.39) hergeleitet, diese sind bei der Wahl von f auf jeden Fall zubeachten.

Eine dritte Bedingung ergibt sich aus der Grenzschichtgleichung: An der Wand (y = 0) sind u undv Null; damit folgt aus (14.20 a), daß dort (∂2u/∂y2) = 0 ist und somit

f II(0) = 0 . (14.50)

Eine vierte Bedingung ergibt sich aus der Stetigkeit der Schubspannung am Rand der Grenzschicht;diese verlangt, daß (∂u/∂y) = 0 fur y = δ und deshalb

f I(1) = 0 (14.51)

sein muß.

In der Tabelle 14.1 sind fur einige Ansatze fur f die resultierenden Werte fur a und b angegeben;zum Vergleich sind auch die Zahlenwerte aus der exakten Losung aufgefuhrt.

Der lineare Ansatz erfullt nur die Bedingung (14.39), der zweite genugt zusatzlich der Bedin-gung (14.50) und der dritte erfullt schließlich alle Bedingungen (14.39), (14.50) und (14.51). DerVergleich mit der exakten Losung zeigt, daß die numerischen Werte der Koeffizienten nur relativschwach von der Form des Ansatzes abhangen; dies ist ein Hinweis auf die Stabilitat des Nahe-rungsverfahrens.

14.5. Ebener, laminarer Freistrahl 181

Tabelle 14.1: Koeffizienten von δ(x) und τ fur verschiedene Ansatze

f(η) a b

Exakte Losung 5 0,331

η 3,5 0,29

3

2η − 1

2η3 4,6 0,323

sin(π

2η)

4,8 0,327

a =2 f I(0)

1∫

0

f(1− f) dη

b =f I(0)

a

14.5 Ebener, laminarer Freistrahl

Wenn eine Flussigkeit durch eine Schlitzduse in einen Halbraum eingedust wird, der von der selbenFlussigkeit ausgefullt ist, entsteht ein Freistrahl. Aufgrund der inneren Reibung erfaßt der Strahlseitlich einen Teil der ursprunglich ruhenden Flussigkeit und reißt diese mit. Zur Beschreibungverwenden wir ein kartesisches Koordinatensystem, dessen Ursprung am Eintrittsort des Strahlsliegt und dessen x-Achse in Strahlrichtung zeigt.

Bei einer isothermen Stromung, die wir hier voraussetzen, wird der Vorgang vollstandig durch dieKontinuitatsgleichung und die Navier-Stokes-Gleichung beschrieben:

ux + vy = 0, (14.52)

u ux + v uy = −1

px + ν (uxx + uyy) , (14.53)

u vx + v vy = −1

py + ν (vxx + vyy) . (14.54)

Ferner seien der Massen- und Impulsstrom der eintretenden Strahlen bekannt:

M =

∫ ∞

−∞

u(0, y)dy, (14.55)

I =

∫ ∞

−∞

u2(0, y)dy. (14.56)

Als Randbedingungen setzen wir:

u(x, y), v(x, y)→ 0 fur y → ±∞, (14.57)

p → konst fur y → ±∞. (14.58)


Weiter nehmen wir an, daß die Geschwindigkeit des Strahles am Entrittsort”groß“ ist! Wir er-

warten, daß die vom Strahl mitgenommene Flussigkeitsschicht dunn ist und fuhren folgende Nor-mierung ein:

u→ Uu, v → δU

Lv, x→ Lx, y → δy, p→ Pp, (14.59)

wobei U die Geschwindigkeit auf der Strahlachse ist, L der Abstand von der Duse und δ dieSchichtdicke. Der Kurze halber, wurden fur die physikalischen und die neuen Variablen dieselbenSymbole gewahlt.

Aus den Bewegungsgleichungen folgt fur (14.52):

d(Uu)

d(Lx)+

d( δLUv)

d(δy)=

U

L(ux + vy) = 0, (14.60)

sowie analog fur (14.53)

U2

L(u ux + v uy) = − P

Lpx +

ν U

δ2

(δ2

L2uxx + uyy

)

; (14.61)

fur (14.61) kann auch geschrieben werden:

u ux + v uy = − P

U2px +

ν

U L

L2

δ2

(δ2

L2uxx + uyy

)

. (14.62)

Aus (14.54) folgt entsprechend:

δ

L

U2

L(u vx + v vy) = − P

δpy +

ν U

δ2

δ

L

(δ2

L2vxx + vyy

)

. (14.63)

(14.63) ist aquivalent zu:

δ2

L2(u vx + v vy) = − P

U2py +

ν

U L

(δ2

L2vxx + vyy

)

. (14.64)

U Lν = Re ist die Reynoldszahl dieser Stromung.

Fur Re≫ 1 folgt aus (14.62):

δ

L≈ 1√

Re

Damit folgt aus (14.64):

dp

dy= 0.

Der Druck im Strahl und der mitgenommenen Schicht ist konstant! Zusammen mit der Randbe-dingung (14.58) folgt damit, daß der Druckgradient im Stromungsfeld verschwindet:

dp

dx= 0 ⇒ ∇p = 0

∼

(14.65)

Damit sind noch zwei Gleichungen fur die Unbekannten Geschwindigkeitskomponenten (u, v) zulosen:

ux + vy = 0, (14.66)

u ux + v uy = uyy. (14.67)


Die Gleichungen (14.66) und (14.67) stehen fur die Grenzschichtnaherung fur den Massen- undImpulstransport beim Freistrahl.

Damit haben wir das Ziel der Approximation erreicht, d.h. die Vereinfachung der Bewegungsglei-chungen, und kehren zu den physikalischen Variablen zuruck.

ux + vy = 0, (14.68)

u ux + v uy = ν uyy. (14.69)

Wir integrieren (14.69) uber y:

∫ ∞

−∞

(u ux + v uy)dy = ν

∫ ∞

−∞

uyydy. (14.70)

Wir nutzen die Kontinuitatsgleichung und integrieren die linke Seite:

v uy = (v u)y − u vy = (v u)y + u ux; (14.71)∫ ∞

−∞

(∂(u2)

∂x+ (v u)y

)

dy =∂

∂x

∫ ∞

−∞

u2dy + v u

∣∣∣∣

+∞

−∞

(14.72)

Zusammen mit der Randbedingung folgt, daß (14.72) identisch Null ist; damit ist:

I =

∫ ∞

−∞

u2dy = konstant. (14.73)

Schlußfolgerung:An der Duse mit δ(0)→ 0 gilt:

u2(0)δ(0) = I; vgl. Gleichung (14.56) (14.74)

es folgt:

u(0) ≈ δ(0)−1/2 (14.75)

Damit gilt fur den Massenstrom:

u(0) δ(0) ≈ δ(0)−1/2 → 0. (14.76)

Die vom Freistrahl hervorgerufene Stromung ist eine Folge des Impulses der eintretenden Flussig-keit, der Massenstrom ist dagegen unbedeutend.

Ein Freistrahl ist das Resultat einer”Impulsquelle“ und nicht einer

”Massenquelle“.

Zur Darstellung des Geschwindigkeitsfeldes fuhren wir eine Stromfunktion Ψ ein:

u = Ψy und v = −Ψx (14.77)

Wenn wir den Freistrahl an der Duse als Punktquelle ansehen, ist bei der Aufgabe neben demDusenabstand x keine Lange ausgezeichnet. Dann ist aber die Breite b des Freistrahls nur eineFunktion von x. Wir setzen:

b = xp (14.78)

und versuchen fur Ψ einen Ahnlichkeitsansatz:

Ψ = xq f( y

xp

)

. (14.79)

Die beiden Exponenten p und q bestimmen wir aus den Bedingungen, daß


1.) der Impulsfluß in x-Richtung konstant ist, Gleichung(14.56).

2.) die Beschleunigungs- und Tragheitsterme in Gleichung(14.69) von gleicher Großenordnungsind.

Daraus erhalten wir fur p und q die Bedingungen:

∫ ∞

−∞

u2dy =

∫ ∞

−∞

(Ψx)2 dy

xp= konst. (14.80)

Mit (14.77), (14.79) folgt:

∫ ∞

−∞

(Ψx)2 dy

xp=

∫ ∞

−∞

x2q−p

(∂f

∂y

)2

dy (14.81)

(14.81) ist nur dann von x unabhangig, wenn:

2q − p = 0 (14.82)

ist.Aus (14.69) erhalten wir mit (14.77), (14.79):

Ψy Ψyx −ΨxΨyy = ν Ψyyy; (14.83)

mit (14.79) folgt:

2q − 2p− 1 = q − 3p. (14.84)

Damit erhalt man aus (14.82) und (14.84):

p =2

3, q =

1

3. (14.85)

Mit (14.79) folgt:

Ψ = x1/3 f( y

x2/3

)

; (14.86)

Wie setzen aus Zweckmaßigkeitsgrunden:

η =1

3ν1/2

y

x2/3und Ψ = ν1/2 x1/3f(η). (14.87)

Daraus folgt fur die Geschwindigkeitskomponenten:

u =1

3x1/3f ′(η) (14.88)

v = −1

3ν1/2 1

x2/3(f − 2ηf ′). (14.89)

Mit (14.69) folgt fur f(η) die Gleichung:

f ′2 + f f ′′ + f ′′′ = 0, (14.90)

die unter den Randbedingugnen (14.57), (14.58) zu losen ist:

f = 0 , f ′′ = 0 fur η = 0, (14.91)

und f ′ = 0 fur η →∞ (14.92)


Integration von (14.90) unter der Randbedingung (14.91) liefert:

f ′′ + f f ′ = 0. (14.93)

Zur Integration von (14.93) setzen wir:

ξ = α η; f = 2αF (ξ). (14.94)

Hier ist α ein freier Faktor, der noch zu bestimmen ist. Mit (14.94) folgt aus (14.93):

F ′′ + 2F F ′ = 0; (14.95)

als Randbedingungen folgen aus (14.91):

ξ = 0 → F = 0; ξ → ∞ : F ′ = 0. (14.96)

(14.95) laßt sich sofort integrieren:

F ′ + F 2 = 1. (14.97)

Die Integrationskonstante wurde hier zu 1 gesetzt; dies ist zulassig, da mit α noch ein freier Faktorzu Verfugung steht.

(14.97) ist eine Riccatische Differentialgleichung, fur die eine geschlossene Losung existiert. Esergibt sich:

dF

1− F 2= dξ; (14.98)

ξ =

∫ F

0

dF

1− F 2=

1

2ln

1 + F

1− F= Artanh F︸︷︷︸

Areatangens

(14.99)

Durch Umkehrung folgt:

F = tanh ξ =1− exp(−2ξ)

1 + exp(−2ξ)(14.100)

Fur die Geschwindigkeitsverteilung folgt mit (14.94) und (14.89):

u =2

3α2x−1/3

(1− tanh2 ξ

). (14.101)

Der Parameter α kann aus (14.72) und (14.73) bestimmt werden; (der Impulsfluß ist unabhangigvon x!).Man erhalt schließlich:

α = 0, 825

(I

ν1/2

)1/3

(14.102)

u(x, y) = 0, 45

(I2

2 ν x

)1/3(1− tanh2 ξ

); (14.103)

v(x, y) = 0, 55

(I2 ν

2 x2

)1/3

(2ξ(1− tanh2 ξ)− tanh ξ); (14.104)

ξ(x, y) = 0, 27

(I2

ν2

)1/3y

x2/3. (14.105)

Schlußfolgerungen:


x

yAbbildung 14.8: Laminarer Freistrahl-Stromlinienverlauf

x

y

Abbildung 14.9: Laminarer Freistrahl -Geschwindigkeitsprofile

1.) Geschwindigkeit in der Strahlmitte: u(x, y = 0) ∼ x−1/3

2.) v → ± Kx2/3 : der Strahl zieht Flussigkeit mit, d.h. der Massenstrom nimmt mit der Lauflange

zu:

M(x) =

∫ ∞

−∞

udy ∼ x1/3.

3.) Die Stahlbreite wachst proportional zu x2/3.

14.6 Zylinder-Grenzschicht und Grenzschichtablosung

Die Grenzschichtgleichungen wurden in Abschnitt 14.3 in kartesischen Koordinaten fur die Stromunguber eine ebene Platte hergeleitet. Da die Dicke der Grenzschicht gering ist, konnen diese Glei-chungen auch fur gekrummte Flachen verwendet werden; allerdings darf der KrummungsradiusR sich nicht sprunghaft andern und δ/R muß klein gegen 1 sein. Als Beispiel wollen wir dieGrenzschichtgleichungen auf die Umstromung eines querangestromten Kreiszylinders anwenden,vgl. Abb. 14.10.

Hierbei ist die x-Koordinate durch die Bogenlange entlang der Zylinderoberflache (R ϕ) zu erset-zen:

x = R ϕ , (14.106)

14.6. Zylinder-Grenzschicht und Grenzschichtablosung 187

Abbildung 14.10: Schema der Grenzschichtstromung um einen Zylinder

dabei werden x und ϕ vom Staupunkt ab gezahlt. Die y-Koordinate ist der Abstand senkrecht zurZylinderoberflache.

Abbildung 14.11: Geschwindigkeitsprofile fur dieStromung um einen Zylinder

Abbildung 14.12: Wandschubspannung bei derStromung um einen Zylinder

Die Potentialstromung um einen Zylinder wurde im Abschnitt 6.3 behandelt. Auf der Zylindero-berflache wurden folgende Ausdrucke fur Geschwindigkeit und Druck gefunden:

vϕ = 2 U∞ sin ϕ , (14.107)

p− p∞ =

2u2∞

(1− 4 sin2 ϕ

), (14.108)

mit ϕ = x/R.

vϕ wird bei der Grenzschicht-Naherung als reibungsfreie Außenstromung gewahlt:

U(x) = vϕ(ϕ) = 2 U∞ sin ϕ 2 U∞ sin(x/R) . (14.109)

Die Grenzschichtgleichungen konnen fur diese Stromung mit Hilfe einer Reihenentwicklung analy-tisch gelost werden. Die Rechnung ist ziemlich umfangreich, wir wollen deshalb von einer Darstel-lung absehen. Diese exakte Losung ist aber keine Ahnlichkeitslosung. Dies uberrascht nicht, denndie Zeitspanne, wahrend der ein Flussigkeitsteilchen in der Anstromung von der Zylinderwandbeeinflußt wird, ist nicht proportional zu x/U(x). Die Ergebnisse einer Rechnung sind dargestelltin Abb. 14.11 und Abb. 14.12.

Nach (14.108) fallt der Druck der in der reibungsfreien Außenstromung vom vorderen Staupunktausgehend auf einen Minimalwert im Scheitel des Zylinders (ϕ = 90), wachst auf der Ruckseite


Abbildung 14.13: Schema der Stromung an der Ablosestelle

des Zylinders wieder an und strebt bei der Annaherung an den hinteren Staupunkt wieder demStaudruck zu. Bei den Stromungen viskoser Flussigkeiten wird innerhalb der Grenzschicht mecha-nische Energie dissipiert, deshalb trifft die potentialtheoretische Druckverteilung auf der Ruckseitedes Zylinders nicht mehr zu; sie kann jedoch dazu dienen die sogenannten Abloseerscheinungenqualitativ zu erklaren.

An der Vorderseite des Zylinders wirkt sich der Druckabfall der Außenstromung gunstig auf eineablosefreie Korperumstromung aus. Er beschleunigt die Flussigkeit am außeren Rand der Grenz-schicht bis auf ihren Maximalwert, der bei (ϕ = 90) erreicht wird. Stromabwarts wirkt derDruckanstieg dann im entgegengesetzten Sinn: er bremst die Flussigkeitsstromung, die Geschwin-digkeit am außeren Rand der Grenzschicht nimmt ab. Sowohl durch die Haftbedingung an derKorperoberflache, als auch infolge des Druckanstieges nimmt die Geschwindigkeit in der Grenz-schicht rasch ab, so daß in einem gewissen Punkt ”A” nicht nur die Geschwindigkeit an der WandNull ist sondern auch ihre erste Ableitung in Richtung der Normalen zur Wand und demzufolgeauch die Wandschubspannung verschwindet:

µdu

dy= 0; τw = 0. (14.110)

Hinter diesem Punkt treten in unmittelbarer Wandnahe Ruckstromungen auf (u < 0), welchedie in der Grenzschicht ankommende Stromung von der Wand abdrangen, vgl. Abb. 14.13. DieGrenzschicht lost sich an dem Punkt A, der Ablosepunkt oder Ablosestelle heißt, von der Zylinde-roberflache und wird zu einem Strahl, der von einer Stromlinie begrenzt wird. Im weiteren Verlaufvermischt sich die abgeloste Grenzschicht mit der Flussigkeit aus der Außenstromung und bildetdie sogenannte Nachlaufstromung; wir werden auf diesen Sachverhalt weiter unten zuruckkommen,vgl. Kapitel 16.

14.7 Temperaturgrenzschichten

Wir betrachten erneut die Stromung langs einer mit der Geschwindigkeit U parallel angestromtenPlatte, vgl. Abb. 14.1, fuhren aber jetzt zusatzlich eine Temperaturdifferenz zwischen dem WertT1 auf der Platte und der gleichmaßigen Temperatur T0 der Anstromung weit vor der Platteein. Haben sich die stationaren Profile fur Temperatur und Geschwindigkeit eingestellt, so unter-scheidet sich die Temperatur in der Stromung nur in einer dunnen Schicht an der Platte von derTemperatur in der Anstromung. Die Temperaturverteilung in der Flussigkeit hat damit fur großeReynoldszahlen ahnliche Besonderheiten wie die Geschwindigkeitsverteilung und wir sprechen des-halb von der Temperaturgrenzschicht. Um die Struktur ieser Temperaturgrenzschicht erfassen zukonnen, mussen zu den Prandtlschen Grenzschichtgleichungen (14.20 a), (14.20 c)

14.7. Temperaturgrenzschichten 189

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= ν

∂2u

∂y2, (14.111 a)

∂u

∂x+

∂v

∂y= 0 . (14.111 c)

noch die im Abschnitt 7.5 hergeleitete Transportgleichung fur die Warme (7.52) hinzufugen:

(∂T

∂t+ v

∼

· ∇∼

T

)

=1

cp∇∼

· (λ∇∼

T ) =λ

cpT = χT ; (14.112)

Fur eine ebene Stromung langs einer Platte lautet diese Gleichung:

u∂T

∂x+ v

∂T

∂y= χ

[∂2T

∂x2+

∂2T

∂y2

]

. (14.113)

In Grenzschichtnaherung kann auf der rechten Seite die Ableitung ∂2T∂x2 gegenuber ∂2T

∂y2 vernachlassigtwerden, so dass verbleibt:

u∂T

∂x+ v

∂T

∂y= χ

[∂2T

∂x2+

∂2T

∂y2

]

. (14.114)

Gl. 14.114 vergleichen wir mit GL. 14.111a. Es ist klar, dass sich die Losungen dieser beidenGleichungen nur um den Faktor ν

χ unterscheiden. Dieser Faktor ist das Verhaltnis von zwei Stof-feigenschaften, der kinematischen Viskositat ν und der Temperaturleitzahl χ, er hat die Dimension1 (d. h. er ist dimensionslos)und heißt Prandtlsche Zahl:

Pr =ν

χ. (14.115)

Damit ist klar, dass die Konvektionsstromung durch die Geometrie des Stromungsfeldes, dieReynolds Zahl Re = (UL)/ν und die Prandtl Zahl bestimmt ist. Jede andere dimensionsloseGroße kann durch Re und PR ausgedruckt werden.Die Prandtl Zahl Pr ist eine Stoffeigenschaft und hangt nicht von der Stromung selbst ab. FurGase ist sie von der Großenordnung 1 und streut fur Flussigkeiten in einem weiten Bereich.Wir konnen jetzt schließen, dass die Geschwindigkeit und die Temperatur in einer Grenzschicht-stromung durch Gleichungen der folgenden Form gegeben sind:

u

U=√

Re f( x

L

)

, (14.116)

T − T0

T1 − T0=

1

Pr

√Re f

( x

L

)

. (14.117)

Hier ist L eine charakteristische Lange, U die Anstromgeschwindigkeit, T0 die Temperatur derPlatte und T1 die Temperatur der Anstromung.Der Warmetransport zwischen der Platte und der Flussigkeit wird gewohnlich durch die Warmeuber-gangszahl α charakterisiert, die durch das Verhaltnis :

α =q

T1 − T0(14.118)


definiert ist. q ist die Warmestromdichte an der Plattenoberflache, T1−T0 die Temperaturdifferenzzwischen Platte und Anstromung. Ist die Temperaturverteilung in der Flussigkeit z. B. durch dieLosung von Gl. 14.114 bekannt, so kann die Warmeubergangszahl ermittelt werden indem mandie Warmestromdichte mittels der Fourierschen Gleichung 7.41 bestimmt:

q∼

= −λ∂T

∂n.

Die Ableitung wird dabei in Richtung der Normalen zur Plattenoberflache gebildet.Die Warmeuber-gangszahl besitzt eine Dimension, als dimensionslose Große zur Charakterisierung des Warme-transports wird sie in der Form der Nusselt Zahl Nu geschrieben:

Nu =α L

λ.

Damit ist gezeigt, dass die Nusselt Zahl (der Warmeubergang) fur Grenzschichtstromungen eineFunktion der Reynolds Zahl und der Prandtl Zahl allein ist:

Nu = f(Re, Pr). (14.119)

Gl.14.119 ist das Ahnlichkeitsgesetz fur den Warmetransport in Stromungen.Fur die Plattenstromung gilt in erster Naherung:

Nu = 0, 530√

Rex

√Pr, (14.120)

dabei ist Rex die mit der Lauflange gebildete Reynolds Zahl, vgl. Ubungsaufgabe.


Die Grenzschichttheorie ist eine wichtige Methode, um Losungen der Navier-Stokes Gleichungenzu erhalten. Die hier in einiger Ausfuhrlichkeit behandelte Plattengrenzschicht ist dabei insofernvon großerer Wichtigkeit, als mit der Gleichung (14.29) erste Aussagen uber die Ausdehnung vonGrenzschichten bei anderen Korperformen gemacht werden konnen.

Das Auftreten der Stromungsablosung hat uns weiter gezeigt, daß in Zusammenhang mit derGrenzschicht neuartige Stromungsphanomene auftreten, die noch genauer zu untersuchen sind.Am Ende von Abschnitt 14.4.2 wurde erwahnt, daß auch in der Grenzschicht ein Umschlag vonder laminaren in eine turbulente Stromungsform stattfindet; turbulente Stromungen sind daherdas Thema unseres nachsten Kapitels.

Die Methode der Grenzschichttheorie ist insbesondere auch fur das Studium des Warme- undStoffaustauschs zwischen der Stromung und festen Wanden von Bedeutung; denn genauso wie eineReibungsgrenzschicht gibt es auch Temperatur- und Diffusionsgrenzschichten. Fur den weiterenAusbau der Theorie sei auf die Literatur verwiesen.

14.9 Literatur

[1] Schlichting, H.: Grenzschichttheorie. Braun-Verlag, Karlsruhe (1982)

[2] White, F.M.: Viscous Fluid Flow. Mc Graw-Hill New York (1974)

Einiges uber die Geschichte der Grenzschichttheorie und zur Biographie von Prandtl findetsich in

[3] Flugge-Lotz, I. und Flugge, W.: Annual Rev. Fluid. Mech. 5, 1ff (1973)

191

Kapitel 15

Turbulenz

15.1 Einleitung

Die Theorie der Stromung einer Flussigkeit durch ein zylindrisches Kreisrohr ist sehr einfach, so-lange die mittlere Geschwindigkeit unterhalb eines gewissen vom Durchmesser des Rohres undder kinematischen Viskositat der Flussigkeit abhangigen Wertes bleibt. Die Stromlinien sind indiesem Fall parallel zur Rohrachse verlaufende Geraden und die Bewegung ist glatt, gleichmaßigund regular, mit anderen Worten: die Stromung ist laminar. Sobald aber die mittlere Geschwindig-keit diesen Wert ubersteigt, fur den O. Reynolds den Namen kritische Geschwindigkeit eingefuhrthat, wird die Stromung irregular, ungleichmaßig, verwirbelt; mit anderen Worten: die Stromungwird turbulent. Wie der Reynoldssche Farbfadenversuch in Abschnitt 11.2 gezeigt hat, scheintes ein Wesenselement turbulenter Stromungen zu sein, daß die einzelnen Flussigkeitsteilchen einverwickeltes, chaotisches Knauel von Bahnen durchlaufen; ursprunglich benachbarte Teilchen ent-fernen sich voneinander und andere nahern sich an. In der Verfahrenstechnik werden Eigenschaftenturbulenter Stromungen genutzt, um Misch- und Homogenisierungsprozesse zu intensivieren undchemische Reaktionen zu beschleunigen.

Jeder, der schon einmal die Rauchfahne eines Schornsteins beobachtet hat oder mit einem kleinenFlugzeug aus einer ruhigen Wetterlage in eine Gewitterzone eingeflogen ist, hat eine gewisse Vor-stellung von Turbulenz. Trotzdem ist es nur schwer moglich, Turbulenz exakt zu definieren; wirwerden dies im weiteren Verlauf dieses Kapitels durch Auflisten einiger auffalliger Eigenschaftenturbulenter Stromungen versuchen.

Was verursacht nun aber den Ubergang von der laminaren in die turbulente Stromungsform?

Bereits bei der Behandlung der Stromfadentheorie reibungsbehafteter Stromungen haben wirdie Vermutung von Reynolds zitiert, wonach der Ubergang von der laminaren in die turbulen-te Stromungsform mit einem Stabilitatsverlust der laminaren Stromungsform zusammenhangt.Wir wollen zunachst dieser Idee weiter nachgeben.

15.2 Stabilitat stationarer Stromungen

Die Stromung einer inkompressiblen newtonschen Flussigkeit wird durch die Kontinuitatsgleichungund die Navier-Stokes Gleichungen beschrieben; diese lauten unter den genannten Voraussetzungenund bei Abwesenheit von Volumenkraften:

∂v

∂t+ v

∼

· ∇∼

v∼

= −1

∇∼

p + ν∆v , (15.1)

∇∼

· v∼

= 0 . (15.2)

Unter gegebenen zeitlich konstanten Randbedingungen existiert auf alle Falle eine stationareLosung (v

∼

, p) dieser Gleichungen mit ∂v∼

/∂t = 0.

Nicht jede stationare Losung der Gleichungen (15.1) und (15.2) ist aber realisierbar, da sie instabilsein kann. Im Fall einer instabilen Losung wachsen kleine Storungen, die in der Realitat immer

192 Kapitel 15. Turbulenz

vorhanden sind (z.B. Schall), mit der Zeit an und verandern die Losung vollstandig. Damit ergibtsich auch bei zeitlich konstanten Randbedingungen eine instationare Stromung.

Zur Untersuchung der Stabilitat einer stationaren Stromung (V∼

, P ) denkt man sich dieser einekleine nichtstationare Storung (v

∼1(x

∼

, t), p1(x∼

, t)) uberlagert, die so bestimmt werden muß, daßdie Summe (V

∼

+ v∼

1, P + p1) wieder (15.1) und (15.2) sowie den Anfangs- und Randbedingungengenugt. Ist |v

∼1| << |V

∼

|, so kann die resultierende Gleichung bezuglich v∼

1 linearisiert werden undman erhalt aus (15.1) und (15.2):

∂v∼

1

∂t+ V

∼

· ∇∼

v∼

1 + v∼

1 · ∇∼

V∼

= −1

∇∼

p1 + ν∆v∼

1 , (15.3)

∇∼

· v∼

1 = 0 . (15.4)

Als Randbedingung ist wieder das Verschwinden der Geschwindigkeit (v∼

1) an festen Wanden zufordern. Die Losung (v

∼1, p1) genugt also einem System linearer Differentialgleichungen, (15.3) und

(15.4), dessen Koeffizient keine Zeitfunktionen sind. Die allgemeine Losung hangt deshalb nuruber einen Faktor e−σt von der Zeit ab. Dabei ergeben sich die

”Frequenzen“ oder

”Eigenwerte“

σ aus der Losung der Gleichungen unter den zu erfullenden Randbedingungen. Es ist klar, daßdie Existenz nichttrivialer Losungen von der Grundstromung (V

∼

, P ) abhangt. Die Werte von σwerden im allgemeinen komplex sein. Existieren nun Losungen mit einem negativen Realteil, sowachst die Losung gemaß dem Faktor e−σt im Laufe der Zeit unbeschrankt an. Fur die Stabilitateiner Stromung ist es daher notwendig, daß alle moglichen Eigenwerte positive Realteile haben.Auftretende Storungen werden dann exponentiell gedampft und verschwinden so mit der Zeit.

Die hier skizzierte hydrodynamische Stabilitatstheorie ist mathematisch aufwendig; sie ist eineder Hauptarbeitsrichtungen der stromungsmechanischen Forschung. Befriedigende Losungen liegenbisher nur fur wenige Stromungstypen vor.

15.3 Die Stabilitat der Couette-Stromung

zwischen zwei rotierenden Zylindern

Wir behandeln die Stromung einer newtonschen Flussigkeit zwischen zwei koaxialen, unendlichlangen Zylindern, die sich mit den Winkelgeschwindigkeiten ω1 und ω2 drehen. Die Zylinder sollendie Radien R1 und R2 haben mit R2 > R1. Zur Beschreibung der Stromung verwenden wir einZylinderkoordinatensystem r, ϕ, z mit der Zylinderachse als z-Achse.

Aus Symmetriegrunden ist bei dieser Stromung

vr = vz = 0 und vϕ = v(r) und p = p(r) (15.5)

Die Kontinuitatsgleichung ist durch diesen Ansatz erfullt, und die Navier-Stokes Gleichung redu-zieren sich auf zwei gewohnliche Differentialgleichungen:

dp

dr=

v2

r, (15.6)

0 =d2v

dr2+

1

r

dv

dr− v

r2. (15.7)

Unter der Haftbedingung hat (15.7) die Losung:

v(r)=ω2R

22 − ω1R

21

R22 −R2

1

r +(ω1 − ω2)R

21R

22

R22 −R2

1

1

r

= Ar + B1

r.

(15.8)

15.3. Die Stabilitat der Couette-Stromung zwischen zwei rotierenden Zylindern 193

Die einzelnen Flussigkeitsteilchen beschreiben gemaß Ansatz (15.5) offensichtlich Kreisbahnen umdie Zylinderachse; ihre Geschwindigkeit hangt nach (15.8) nur vom Abstand r von der Zylinder-achse ab. Die Winkelgeschwindigkeit der einzelnen Flussigkeitsteilchen ist ϕ = v(r)/r und derenDrehimpuls L(r) = mr2ϕ; m bezeichnet die Teilchenmasse. Die Zentrifugalkraft auf ein Teilchenbetragt mv2/r = L2/(mr3); gemaß (15.6) baut sich im Stromungsfeld eine Druckverteilung auf,so daß ein Kraftegleichgewicht zwischen Zentrifugal- und Druckkraften besteht.

Wir wollen nun die Stabilitat dieser Stromung nach einer heuristischen Methode untersuchen. Wirdenken uns, daß ein Flussigkeitselement ein wenig aus seiner Bahnkurve r0 nach außen an eine Stel-le r > r0 verschoben wird. Der Drehimpuls behalt bei der Verruckung seinen Wert L(r0), dagegenwirkt auf das Teilchen der neuen Lage entsprechend die Zentrifugalkraft L2(r0)/(mr3). Damit dasTeilchen bestrebt ist, wieder in die Gleichgewichtslage zuruckzukehren, muß diese Zentrifugalkraftkleiner sein als der entsprechende Gleichgewichtswert. Es folgt also die Stabilitatsbedingung:

L2(r) − L2(r0) > 0 ; (15.9)

oder in linearer Naherung mit

L2(r) = L2(r0) + L(r0)∂L

∂r

∣∣∣∣r=r0

(r − r0) + ... :

LdL

dr> 0 . (15.10)

Druckt man den Drehimpuls durch (15.8) aus, so folgt aus (15.10) durch Weglassen aller als positivbekannten Terme:

(ω2R22 − ω1R

21)ϕ > 0 . (15.11)

Die Winkelgeschwindigkeit ϕ = v/r andert sich dabei nach (15.8) monoton vom Wert ω1 amInnenzylinder auf den Wert ω2 am Außenzylinder. Rotieren die beiden Zylinder gleichsinnig mitω1 > 0 und ω2 > 0, so ist ϕ > 0 und (15.11) sagt aus, daß nur dann Stabilitat vorliegt, wenn:

ω2R22 > ω1R

21 . (15.12)

Rotieren beide Zylinder entgegengesetzt, so andert ϕ sein Vorzeichen, und die Bedingung (15.11)kann nicht erfullt werden.

Diese elementare Untersuchung hat gezeigt, daß die Stromung bei Parameterwerten links von derin Abb. 15.1 gestrichelt gezeichneten Kurve instabil sein kann. Die hier dargestellte Uberlegunggeht zuruck auf von Karman (1934).

Bei dieser Abschatzung der Stabilitat wurde die Viskositat der Flussigkeit nicht berucksichtigt; eshandelt sich deshalb nur um eine grobe Naherung fur den tatsachlichen Vorgang.

Eine experimentelle Untersuchung der Stabilitat dieser Stromung wurde 1923 von G. I. Taylordurchgefuhrt. Er hat gefunden, daß sich oberhalb gewisser Reynoldszahlen regelmaßige Ringwir-bel der Grundstromung uberlagern. Ein Stromlinienbild dieser zellularen Wirbel ist in Abb. 15.1dargestellt. Auch diese Stromung ist noch durchaus regelmaßig und laminar. Eine gewisse Zufalls-große ist nur die Lage des Wirbelsystems; es kann nicht vorausgesagt werden, ob sich an einerStelle ein links- oder rechtsdrehender Wirbel einstellt. Bei einer weiteren Vergroßerung der Re-Zahl wird auch diese Stromung instabil, und es stellt sich schließlich eine ungeordnete turbulenteStromung ein.

Die Stabilitatsuntersuchung kann nun auch mit Hilfe der Gleichungen aus Abschnitt 15.2 vorge-nommen werden. Dazu wird zweckmaßigerweise ein Zylinderkoordinatensystem (r, ϕ, z) mit denKomponenten (u, v, w) der Geschwindigkeit v

∼

eingefuhrt. Das Experiment hat gezeigt, daß auch


Abbildung 15.1: Taylor-Wirbel zwischen rotierenden Zylindern

die ringformige Wirbelstromung achsensymmetrisch ist. Wir wollen deshalb voraussetzen, daßweder v

∼

noch p von ϕ abhangen.

Die Stabilitatsuntersuchung erfolgt nach dem in Abschnitt 15.2 beschriebenen Schema. Wir uberla-gern der Grundstromung (v0(r), p0(r)) gemaß (15.8) eine Storung (u1, v1, w1; p1). Fur die Storunggelten die linearisierten Gleichungen (15.3) und (15.4). In Zylinderkoordinaten folgt aus (15.3):

∂u1

∂t− 2v0v1

r= −1

∂

∂rp1 + ν

(

∆u1 −u1

r2

)

,

∂v1

∂t+ 2Au1 = ν

(

∆v1 −v1

r2

)

,

A =ω2R

22 − ω1R

21

R22 −R2

1

∂w1

∂t= −1

∂p1

∂z+ ν ∆w1

(15.13)

und aus der Kontinuitatsgleichung (15.4):

1

r

∂

∂r(ru1) +

∂w1

∂z= 0 . (15.14)

Die beim Experiment beobachteten Wirbelringe hat Taylor durch folgenden reellen Ansatz be-schrieben:

u1 = u1 (r) eσtcos(λ z) ,

v1 = v1 (r) eσtcos(λ z) ,

w1 =w1(r) eσt sin(λ z) ,

p1 = p1 (r) eσtcos(λ z) .

(15.15)

Je nachdem, ob σ positiv oder negativ ist, wird die Storung angefacht oder gedampft. Aus derKontinuitatsgleichung (15.14) folgt mit (15.15):

−λw1 =

(d

dr+

1

ru1

)

. (15.16)

Aus der dritten Gleichung (15.13) folgt:

λ

p1 = −ν

(d2

dr2+

1

r

d

dr− λ2 − σ

ν

)

w1 .

(15.16)⇒ 1

dp1

dr=

ν

λ2

(

L− λ2 − σ

ν

)

L

u1 . (15.17)

15.3. Die Stabilitat der Couette-Stromung zwischen zwei rotierenden Zylindern 195

In (15.17) ist L der Differentialoperator:

L =d

dr

(d

dr− 1

r

)

. (15.18)

Eliminiert man mit (15.17) den Druck p1 aus der ersten Gleichung des Systems (15.13), so folgt:

(

L − λ2 − σ

ν

) (L − λ2

)u1 =

2λ2

ν

(

A +B

r2

)

v1 ; (15.19)

(

L − λ2 − σ

ν

)

v1 =2

νAu1 . (15.20)

Als Randbedingungen sind die Haftbedingungen an beiden Zylindern zu fordern:

u1 = v1=0 fur r = R1 bzw. r = R2

und wegen (15.15) ist

du1

dr=0 fur r = R1 bzw. r = R2

Neben der trivialen Losung haben (15.19) und (15.20) nur dann eine sogenannte Eigenlosung,wenn die Koeffizienten eine charakteristische Gleichung der folgenden Art erfullen:

F (R1, R2, ω1, ω2, ν, λ, σ) = 0 . (15.21)

Das skizzierte Eigenwertproblem loste G. I. Taylor fur den Fall kleiner Spaltbreiten:

R2 −R1 << R1 .

Zur Darstellung der Ergebnisse ist es zweckmaßig, dimensionslose Gruppen einzufuhren.

Eine Große vom Typ einer Reynoldszahl ergibt sich zu Re =ω1R

21

ν.

Fur den Spezialfall des ruhenden außeren Zylinders kann die kritische Reynoldszahl wie folgtdargestellt werden:

Rekrit(ω2 = 0) =ω1R

21

ν=

(

301 + 62, 6d

R1

)√

R1 + R2

2d

mit d = R2 −R1 und fur d/R2 << 1.

Damit ergeben sich folgende Stromungsbereiche:

• Fur Re < Rekrit liegt eine laminare Couette-Stromung vor.

• Fur Re = Rekrit kann erstmals eine laminare Stromung mit Taylor-Wirbeln auftreten.

Bei den Experimenten hat man ferner gefunden, daß bei einer weiteren Erhohung der Reynoldszahlschließlich auch die Taylor-Wirbel instabil werden, dies außert sich im Auftreten einer weiterenWirbelstromung mit einer anderen Frequenz. Bei noch großeren Reynoldszahlen erscheinen immermehr Frequenzen, so daß die Stromung schließlich alle Kennzeichen der Turbulenz aufweist.

Dieses Ergebnis brachte Lev Landau (1908 - 1968) auf die Vermutung, daß turbulente Stromungensich aus Bewegungen mit vielen unabhangigen Oszillationen zusammensetzen. Mit zunehmenderReynoldszahl, d.h. bei schnelleren Stromungen, treten nach und nach immer weitere Oszillatio-nen hinzu. Obwohl jede Oszillation einfach sein kann, macht ihre komplizierte Uberlagerung dieStromung unvorhersagbar und damit turbulent.


Landaus Theorie gilt heute als widerlegt. Denn es gibt Stromungen, die in die turbulente Stromungs-form umschlagen, aber keine Instabilitaten aufweisen! Ein einfaches Beispiel dafur ist die vorste-hend behandelte Couette-Stromung, wenn sich der außere Zylinder dreht und der innere still stehtω1 = 0. Weil in diesem Fall v(r) mit r anwachst, sollte die Stromung stabil sein, weil die nachaußen zunehmende Druckkraft eventuelle Storungen zurucktreibt. Wie aus Experimenten bekanntist, tritt auch bei der Drehung des Außenzylinders Turbulenz auf, wenn nur die Drehzahl großgenug ist. Also Turbulenz ohne Instabilitat?

Das schlagende Beispiel fur einen Umschlag ohne Instabilitat ist die Stromung durch ein Kreisrohr,die in Experimenten fast immer bei Re ≈ 2300 turbulent wird, die sich aber zur Verzweiflung vonallen, die sich um den Nachweis ihrer Instabilitat bemuht haben, als stabil erwies ( A. Sommerfeld1908, W. Heisenberg 1924, ...., Boberg und Brosa 1988). Wie und warum wird aber eine Stromungohne Stabilitatsverlust turbulent?

15.4 Turbulenz ohne Stabilitatsverlust

Wir gehen zur Gl.(15.3) zuruck und fragen, wie sich eine Storung δv∼

der laminaren GrundstromungV∼

zeitlich entwickelt, wobei wir fur V∼

eine Stromung parallel zu einer Wand in x-Rchtung vorgeben:V∼

= (U(y), 0, 0). Damit schreibt sich (15.3):

∂δv∼

∂t= − V

∼

· ∇∼

δv∼

− δv∼

· ∇∼

V∼

+ ν∆δv∼

− Druckbeitrag = Lδv∼

, (15.22)

(15.23)

Die Eigenlosungen eσtδv∼

σ(x∼

) berechnet man aus dem linearen Operator L gemaß Lδv∼

σ = σδv∼

σ.Man kann nun zeigen, daß der Reibungsterm ν∆δv

∼

einen stets reellen, negativ definiten und damitdampfenden Beitrag zu σ liefert. Der Term V

∼

· ∇∼

δv∼

beschreibt den Weitertransport einer Storungdurch die vorausgesetzte laminare Parallelstromung in Koordinatenrichtung. Sein Beitrag zumEigenwert ist rein imaginar und entspricht damit einer rein periodischen Stromung, die wederverstarkt noch gedampft wird. Ferner gibt dieser Term keinen Beitrag fur Stromugen, die inStromungsrichtung homogen sind; wir brauchen ihn deshalb nicht weiter zu betrachten. So bleibtallein die Wirkung des Terms δv

∼

· ∇∼

V∼

zu klaren. Die Matrix ∇∼

V∼

ist der Geschwindigkeitsgradientund hat in unserem Fall wegen der Homogenitat der Stromung in x−Richtung nur ein von Nullverschiedenes Element in der Nebendiagonale: das Geschwindigkeitsgefalle senkrecht zur Wand:∂U/∂y = q. Die Schergeschwindigkeit q nimmt linear mit der Stromungsgeschwindigkeit zu undist damit proportional zur Reynoldszahl Re.

Damit ergibt sich, daß die aus der Storungsrechnung resultierende Matrix nicht symmetrisch ist,man sagt auch nicht-normal ist. Wir wollen uns die Konsequenzen aus der Nicht-Normalitat amBeispiel einer zweidimensionalen Matrix klarmachen:

(λ1 Re0 λ2

)

(15.24)

Fur die ‘Eigenvektoren‘ dieser Matrix findet man: x∼

1 = (1, 0) und x∼

2 = (Re/(λ1 − λ2, 1). DieseEigenvektoren stehen nicht senkrecht zueinander, sondern um so paralleler, je großer die Reynolds-zahl ist. Sie bundeln sich fur große Re-Zahlen in Stromungsrichtung und definieren damit einepassende Richtung, die Richtung von x

∼1 - d.h. die Stromungsrichtung - und eine unpassende

Richtung, d.h. die Richtungen senkrecht zu den gebundelten Eigenvektoren. Storungen in pas-sender Richtung lassen sich durch Uberlagerung von Eigenlosungen in passender Richtung mit

15.5. Der Ubergang von der laminaren zur turbulenten Stromung 197

vergleichbarer Amplitude darstellen: Storungen in unpassender Richtung erfordern bei der Dar-stellung durch die Eigenloungen riesige Amplituden, damit die nicht in Stromungsrichtung derlaminaren Grundstromung fallenden Komponenten uberhaupt erfaßt werden konnen.

Tritt in der Stromung eine Storung in passender Richtung auf, so kann diese unmittelbar durch diepassende Eigenlosung (x

∼1) dargestellt werden. Passende Storungen zerfallen danach unmittelbar,

unpassende Komponenten bilden sich nicht aus.

Hat die Storung δv∼

1 dagegen eine unpassende Komponente, so ergibt bei der Darstellung durchdie Eigenlosungen wegen der Bundelung der Eigenvektoren zwangslaufig eine ‘riesige‘ Komponen-te in die passende Richtung, so daß die Storung zunachst effektiv anwachst bevor sie durch dieDampfung wieder abgebaut wird. Dieses vorubergehende Anwachsen der Storungen wurde wegendes rein dampfenden Charakters der Eigenwerte nicht zu einem Umschlag in die Turbulenz fuhren,wenn nicht die zunachst vernachlassigte Nichtlinearitat δv

∼

· ∇v∼

fur eine direkte Wechselwirkungzwischen Storstromung und der Entwicklung der Grundstromung fuhren wurde. Wegen des nichtli-nearen Charakters von δv

∼

·∇v∼

geschieht dies unregelmaßig, konvektiv und chaotisch: die Stromungwird turbulent.

Zusammengefasst: Die anfangliche Storung δv∼

(0) wird nicht-normal auf Reδv∼

(0) verstarkt, ihrequadratische Wechselwirkung erzeugt eine neue Storung Re(δv

∼

(0))2Re und, sofern diese großer istals v

∼

(0), tragt sich der nicht-normale, nicht-lineare Turbulenzmechanismus selbst. Der hier skiz-zierte Umschlag einer laminaren Stromung in die turbulente Stromungsform ist aktueller Gegen-stand der Forschung, fur eine Vertiefung wird auf die Literatur verwiesen: (Reddy 1993), Trefethen(1993), Großmann (1997).

15.5 Der Ubergang von der laminaren zu turbu-

lenten Stromungsform

Fruher war man der Auffassung, daß der Ubergang in die turbulente Stromung plotzlich vor sichgeht; daher stammt auch der Begriff des Umschlagpunktes als einer genau definierten Reynolds-zahl, oberhalb der die turbulente Stromungsform die laminare ablost. Genaue experimentelle Un-tersuchungen haben aber gezeigt, daß es den plotzlichen Ubergang nicht gibt; man hat vielmehrgefunden, daß es einen Ubergangsbereich mit intermittierendem Charakter gibt, und daß derUbergang ferner von der Intensitat der Storung abhangt.

Der Prozeß des Ubergangs von der laminaren in die turbulente Stromungsform erfolgt in derGrenzschicht einer langsangestromten Platte etwa folgendermaßen: Infolge der inneren Reibung derFlussigkeit bildet sich an der Platte eine laminare Grenzschicht aus. Die Stromung in der laminarenGrenzschicht wird durch Bewegungen gestort, die z. B. durch Schall oder lokale Schwingungen derPlatte erzeugt werden und nach Ort, Zeit und Intensitat statistisch unregelmaßig verteilt sind.Jede dieser Storungen wird gemaß der Stabilitatsbedingung aus Abschnitt 15.2 in der Grenzschichtgedampft oder angefacht. So ist es zu erwarten, daß je nach der

”Vorgeschichte“ der Stromung

jenseits des”Stabilitatspunktes“ in manchen Gebieten Storungen großer Intensitat vorliegen und

ein Ubergang zur turbulenten Stromung erfolgt, wahrend in anderen die Storungen eine geringeIntensitat haben. Die Bereiche mit turbulenter Stromung wandern mit der Stromung und breitensich quer dazu so weit aus, bis schließlich die gesamte Stromung turbulent ist (Abb. 15.2). Hiernacherfolgt also der Ubergang von der laminaren Stromung in die turbulente uber einen Stromungswegendlicher Abmessung.

Ausgehend von der Theorie reibungsfreier Flussigkeiten konnte man der Meinung sein, daß dieTurbulenz durch die innere Reibung verursacht wird, denn ohne Viskositat haben die Bewegungs-gleichungen die

”glatten“ Losungen der Potentialtheorie. Dem ist aber nicht so; man hat vielmehr

gefunden, daß eine Stromung ohne innere Reibung ein System mit unendlich vielen Freiheitsgra-den darstellt. Wurde einer solchen Stromung durch eine Storung Energie zugefuhrt, so wurdediese auf die Freiheitsgrade verteilt werden und zu einer sogenannten homogenen und isotropen


Abbildung 15.2: Schema des Ubergangs laminar→ turbulent; S sind Orte einer zufalligen Storung,die zur Ausbildung eines Bereichs mit turbulenter Stromung fuhren.

Turbulenz fuhren. Die Wirkung der inneren Reibung besteht darin, die Anzahl der Freiheitsgradedurch Dampfung von Schwankungsbewegungen zu reduzieren. Man kann also sagen, daß laminareStromungen nur bei innerer Reibung moglich sind.

Das Problem des Umschlagens einer laminaren Stromung wird hier nicht weiter ausgefuhrt. Esist aber deutlich geworden, daß die damit zusammenhangenden Fragen noch nicht abschließendgeklart sind.

15.6 Eigenschaften turbulenter Stromungen

Turbulenten Stromungen kommen zahlreiche Eigenschaften zu. Diesem Umstand ist es zuzuschrei-ben, daß eine prazise Definition der Turbulenz schwierig ist. Wir wollen statt dessen einige diesercharakteristischen Eigenschaften zusammmenstellen:

1.) Turbulenz ist ein Stromungsphanomen von Scherstromungen, je großer die Scherung, destostarker die Turbulenzintensitat!

2.) Turbulente Stromungen sind Stromungen hoher Reynoldszahl.

Turbulente Stromungen finden nur statt, wenn die Reynoldszahl einen gewissen Wert Rekrit

uberschreitet. Ist sie kleiner als dieser Wert, so verhindern die dampfenden Reibungskraftedie Turbulenzbewegungen.

3.) Turbulente Stromungen dissipieren mechanische Energie in Warme.

Durch die mechanische Arbeit der an einem Turbulenzelement angreifenden viskosen Span-nungskrafte wird standig kinetische Energie der turbulenten Schwankungsbewegung in in-nere Energie umgewandelt. Dies bedeutet, daß zur Aufrechterhaltung der Schwankungsbe-wegungen der turbulenten Stromung Energie zugefuhrt werden muß. Eine der wichtigsten

”Energiequellen“ der Turbulenz sind Scherstromungen oder thermischer Auftrieb.

4.) Turbulenz ist ein Kontinuumsphanomen.

Auch die kleinsten”Elemente“ einer turbulenten Stromung sind groß gegen die mittlere freie

Weglange der Molekule; die Gleichungen der Stromungsmechanik gelten deshalb auch fur dieturbulenten Stromungen. Insbesondere sind wegen der Gultigkeit der Kontinuitatsgleichungdie turbulenten Schwankungen miteinander verknupft.

5.) Turbulente Stromungen sind dreidimensionale, reibungsbehaftete Wirbelstromungen.

Die innere Reibung spielt eine wesentliche Rolle bei der Entstehung der wirbelbehaftetenGrenzschichten an Koperoberflachen. Es entstehen dadurch dreidimensionale Fluktuationender Geschwindigkeit und der Wirbelintensitat.

15.6. Eigenschaften turbulenter Stromungen 199

6.) Turbulente Stromungen verlaufen zufallig.

Diese Eigenschaft macht eine deterministische Beschreibung des Stromungsverlaufs unmoglich,man ist auf statistische Methoden angewiesen. Da turbulente Stromungen von den determi-nistischen Navier-Stokes Gleichungen beschrieben werden, bezeichnet man Turbulenz auchals

”deterministisches Chaos“ ; damit wird ausgedruckt, daß die Losung der Gleichungen

empfindlich auf kleinste Veranderungen in den Anfangsbedingungen reagiert.

7.) Turbulente Stromungen sind Stromungen.

Turbulenz ist eine Eigenschaft der Flussigkeitsstromung und nicht der Flussigkeit.

8.) Turbulente Stromungen sind Stromungen mit einer intensiven makroskopischen Mischbewe-gung.

Weil die zuletzt genannte Eigenschaft mit die wichtigste fur Anwendungen in der Verfahrenstechnikist, sei dazu ein Beispiel gegeben:

Warmeausgleich in einem Zimmer

Zur Illustration der Mischbewegung bei turbulenten Stromungen betrachten wir den Warmeaus-gleich in einem Zimmer, das durch einen mit Warmwasser betriebenen Heizkoper beheizt wird.

Als erstes wollen wir annehmen, daß der Temperaturausgleich allein durch molekulare Diffusionerfolgt. Wir fragen welche Zeit TM vergeht, bis die Temperatur ausgeglichen ist.

Dieser Vorgang wird durch die Warmeleitungsgleichung beschrieben:

∂θ

∂t= γ

∂2θ

∂xi∂xi. (15.25)

Hierbei ist θ die Temperatur, t die Zeit, xi die Ortsvariable und γ die Temperaturleitfahigkeit.

TM kann mit (15.25) wie folgt abgeschatzt werden:

∆θ

TM= γ

∆θ

L2. (15.26)

Hier ist ∆θ die ursprungliche Temperaturdifferenz und L die charakteristische Raumabmessung.

Mit γ = 0, 2 cm2/s und L = 5m folgt:

TM ∼5002

0, 2∼ 106 s ∼ 100 h .

Dieses Ergebnis widerspricht aller Erfahrung; wir konnen daraus schließen, daß die Warmeleitfahig-keit der Luft fur die Verteilung von Warme in einem Raum keine Rolle spielt. Unsere Annahme,daß die Luft sich nicht bewegt, war offensichtlich unrealistisch: In der unmittelbaren Umgebungdes Heizkorpers erwarmt sich die Luft und vergroßert infolgedessen ihr spezifisches Volumen. Da-durch bedingt setzt sich eine Konvektionsstromung ein, bei der die Luft langs des Heizkorpersnach oben stromt. Die zunachst laminare Grenzschicht wird instabil und es entsteht Turbulenz.

Ist u die Intensitat der Konvektionsstromung, so folgt fur die Abschatzung der Ausgleichzeit TK :

TK =L

u. (15.27)

Fur u folgt naherungsweise:

u2 = gh∆θ

θ, (15.28)


hierbei ist h die Hohe des Heizkorpers, ∆θ die Temperaturdifferenz der Luft und θ die mittlereRaumtemperatur.

Mit ∆θ = 10K, θ = 300K und h = 100 cm folgt aus (15.28): u ≈ 0, 3m/s ; wir rechnen mitu = 0, 1m/s weiter. Damit folgt aus (15.27): TK = 500/10 = 50 s. Der Warmetransport erfolgtalso im wesentlichen durch Konvektionsstromungen.

Wir versuchen nun, die turbulente Warmebewegung durch eine Diffusionsgleichung zu beschreibenund definieren dazu eine

”kinematische Wirbelviskositat“ .

Wir setzen:

∂θ

∂t= νt

∂2θ

∂xi∂xi, (15.29)

hierbei ist νt die Wirbelviskositat mit der Einheit [νt] = L2/T.

Aus dem Vergleich mit (15.25), (15.26) und (15.27) folgt:

TK =L2

µw=

L

u→ µw = uL .

Ein Vergleich mit der molekularen Viskositat ergibt:

νt

ν=

uL

ν= Re ;

denn u ist eine charakteristische Geschwindigkeit und L eine typische Langenabmessung.

Die Reynoldszahl bei dieser turbulenten Stromung ist also gleich dem Verhaltnis aus Wirbelvis-kositat (scheinbarer Viskositat) und molekularer Viskositat.

Mit der Einfuhrung der Wirbelviskositat haben wir die Turbulenz wie eine Flussigkeitseigenschaftbehandelt; wir werden auf die Zulassigkeit dieser Betrachtungsweise noch zuruckkommen.

15.7 Reynoldssche Beschreibung turbulenter Stromungen

15.7.1 Mittelwertbildung

Eine turbulente Stromung ist bei großen Werten der Reynoldszahl durch eine außerordentlichunregelmaßige zeitliche Anderung der Geschwindigkeit und des Druckes in jedem Punkt des Feldesgekennzeichnet. Diese Großen schwanken im Laufe der Zeit standig um einen gewissen Mittelwert.

Zur Beschreibung der Stromung haben wir bereits im Abschnitt 11.2 das instationare Geschwin-digkeitsfeld in eine stationare Hauptstromungsgeschwindigkeit und eine Schwankung zerlegt. Wirsetzen dazu:

u∼

(r∼

) = U∼

(r∼

) =1

T

t0+T∫

t0

u∼

(r∼

, t) dt . (15.30)

u∼

(r∼

) = U∼

(r∼

) ist der zeitliche Mittelwert des Geschwindigkeitsvektors am Ort r∼

; das Zeitintervall[to+T, t0] ist dabei so groß zu wahlen, daß u

∼

sich bei weiterer Vergroßerung nicht mehr andert. DerProzeß der zeitlichen Mittelwertbildung wird im folgenden durch eine Querstrich gekennzeichnet.

Diese Definition des Mittelwertes ist nur dann sinnvoll, wenn U∼

unabhangig von t0 ist; d.h. es mußsein:

∂U∼

∂t= 0

∼

. (15.31)

15.7. Reynoldssche Beschreibung turbulenter Stromungen 201

Diese Voraussetzung ist bei den meisten Anwendungen erfullt. Man bezeichnet solche stochasti-schen Prozesse, bei denen der Mittelwert sich nicht mit der Zeit andert, als stationar. Wir zerlegenim folgenden die Geschwindigkeit in jedem Punkt in den Mittelwert und eine Schwankung:

u∼

= U∼

+ u∼

′ . (15.32)

Wegen der Definition von U∼

ist:

u∼

′ = u∼

− U∼

≡ 0∼

.

Ebenso zerlegen wir den Druck p und die Zusatzspannung σ≈

in Mittelwert und Schwankungen:

p = P + p′ , p′ = 0 ; (15.33)

σ≈

= Σ≈

+ σ≈

′ , σ≈

′ = 0≈

. (15.34)

Wie U∼

sind auch P und Σ≈

nur vom Ort, aber nicht von der Zeit abhangig. Die Spannungen bzw.deren Schwankungen sind damit im Anschluß an 3.67 gegeben durch:

s≈

= −pI≈

+ σ≈

(Spannungstensor) , (15.35 a)

S≈

= −P I≈

+ Σ≈

(Mittelwert des Spannungstensors) , (15.35 b)

s≈

′ = −p′I≈

+ σ≈

′ (Schwankung des Spannungstensors ) . (15.35 c)

Nach dem Stoffgesetz fur newtonsche Flussigkeiten gilt:

σ≈

= 2µD≈

und damit auch: (15.36 a)

σ≈

′ = 2µD≈

′ . (15.36 b)

Dabei ist µ die kinematische Viskositat und D≈

, D≈

bzw. D≈

’ der durch (12.5) definierte De-formationsgeschwindigkeitstensor bzw. dessen Mittelwert und Schwankung. Bereits hier sei daraufhingewiesen, daß wegen der turbulenten Geschwindigkeitsschwankungen Σ

≈

nicht proportional zum

Mittelwert D≈

der Deformationsgeschwindigkeit ist, vgl. Gleichung (15.44).

Rechenregeln fur Mittelwerte:

u∼

= u∼

, u∼

′ = 0∼

, u∼

· v∼

= u∼

· v∼

,

u∼

+ v∼

= u∼

+ v∼

,

u∼

· v∼

= u∼

· v∼

+ u∼

′ · v∼

′ , (15.37)

∂u∼

∂x=

∂u∼

∂x(Ortsableitung) ,

b∫

a

u∼

dx =

b∫

a

u∼

dx .

Beim Prozeß der Mittelwertbildung gehen Informationen verloren, die fur das Verstandnis derTurbulenz von Wichtigkeit sein konnen. Dies trifft insbesondere fur solche turbulenten Stromun-gen zu, in denen geordnete Wirbelelemente auftreten - sogenannte koharente Strukturen -, dieein hohes Maß an kollektiver Bewegung aufweisen; dies ist z.B. in Mischungs- oder Wandgrenz-schichten der Fall. Diese Strukturen in turbulenten Stromungen sind eine Folge von Instabilitaten,wobei jeder Strukturgruppe eine besondere Instabilitatsform zugeordnet werden kann. Das Studi-um der koharenten Strukturen hat insbesondere das Verstandnis der Impulstransportmechanismenin turbulenten Stromungen gefordert, fur weitere Einzelheiten wird auf die Literatur verwiesen;[4], [5].


15.7.2 Mittelwertbildung in der Kontinuitatsgleichung

Fur inkompressible Flussigkeiten gilt:

∇∼

· u∼

= ∇∼

· (U∼

+ u∼

′) = ∇∼

· U∼

+ ∇∼

· u∼

′ = 0 . (15.38)

Durch Mittelwertbildung folgt:

∇∼

· U∼

+ ∇∼

· u∼

′ = ∇∼

· U∼

= 0 ; (15.39)

und durch Vergleich mit (15.38):

∇∼

· u∼

′ = 0 . (15.40)

Durch (15.40) sind die Schwankungen der Geschwindigkeit miteinander verknupft. Die Konti-nuitatsgleichung gilt sowohl fur die Mittelwerte (15.39) als auch fur die Schwankungen (15.40).

15.7.3 Mittelwertbildung in den Navier-Stokes Gleichungen

Die Navier-Stokes Gleichung fur inkompressible Flussigkeiten lautet:

(∂

∂t(U

∼

+ u∼

′) + (U∼

+ u∼

′) · ∇∼

(U∼

+ u∼

′)

)

= −∇∼

(P + p′) + µ ∆(U∼

+ u∼

′) . (15.41)

Durch die Mittelwertbildung folgt:

U∼

· ∇∼

U∼

= −∇∼

P + µ∆U∼

− ∇∼

· u∼

′u∼

′ . (15.42)

Dies ist die Reynoldssche Gleichung fur turbulente Stromungen. Sie unterscheidet sich von derNavier-Stokes Gleichung durch den Term −u

∼

′u∼

′, der sich aus dem Impulsaustausch infolge derturbulenten Schwankungen ergibt.

Um zu einem besseren Verstandnis des Terms −u∼

′u∼

′ zu kommen, berechnen wir den Impulsstromin einer Stromung mit Geschwindigkeitsschwankungen. Die Hauptstromungsrichtung falle mit derx-Achse zusammen. Wir fragen nach der Impulskraft, die von den Schwankungen im zeitlichenMittel auf eine bestimmte Kontrollflache dA ausgeubt wird.

Es sei:

U∼

= (U, 0, 0) , u∼

′ = (u′, v′, w′) .

1.) Die Kontrollflache sei senkrecht zur x-Achse

dFx = −u(u · nx)dA = −u2dA ⇒∣∣∣∣

dFx

dA

∣∣∣∣= u2 .

Durch Mittelwertbildung folgt:

∣∣∣∣

dFx

dA

∣∣∣∣= (U + u′)2 = (U2 + u′2) .

Es ergibt sich also eine zusatzliche Kraft pro Flacheneinheit (Normalspannung) von der

Große u′2. Fur die Quadratwurzel aus u′2 ist auch die Bezeichnung Turbulenzintensitatublich.


2.) Die Kontrollflache liege in der x, z-Ebene

Es folgt:

∣∣∣∣

dFy

dA

∣∣∣∣= u′v′ .

Dies ist eine zusatzliche Schubspannung in der x, z-Ebene aufgrund der Schwankungen.

Der Term − u∼

′v∼

′ beschreibt nach diesen Uberlegungen offensichtlich zusatzliche Spannungenaufgrund der Schwankungsbewegung. Man bezeichnet deshalb

σ≈Re

= − u∼

′u∼

′ (15.43)

als”Reynoldssche Spannungen“oder auch scheinbare Spannungen. Wie man aus dieser Glei-

chung sieht, ist der Tensor der Reynoldsschen Spannungen symmetrisch. Die Diagonalelementevon (15.43) sind Normalspannungen (Drucke) und die Nebendiagonalelemente Schubspannungen.

Formal kann damit die Reynoldssche Gleichung wie folgt geschrieben werden:

U∼

· ∇∼

U∼

= −∇∼

P + ∇∼

· (2µD≈

+ σ≈Re

) . (15.44)

Um die Gl. (15.44) zusammen mit der Kontinuitatsgleichung losen zu konnen, muß noch ein Zu-sammenhang zwischen den Reynoldsschen Spannungen und der Hauptstromung gefunden werden(Schließungsproblem fur turbulente Stromungen). Im allgemeinen sind in voll ausgebildeten turbu-lenten Stromungen die Reynoldsschen Spannungen groß gegenuber den Reibungsspannungen. Inder Nahe von festen Wanden allerdings verschwinden wegen der Haftbedingung mit den Geschwin-digkeitsschwankungen auch die Reynoldsschen Spannungen, man bezeichnet diesen Bereich auchals viskose Unterschicht, vgl. die entsprechende Abschatzung bei der Rohrstromung in Abschnitt11.4.

15.7.4 Ansatze fur die Berechnung turbulenter Stromungen

15.7.4.1 Einleitung

Die Navier-Stokes Gleichungen sind sowohl fur laminare als auch turbulente Stromungen gultig.Die Berechnung turbulenter Stromungen mit diesen Gleichungen ist aber ein aufwendiges undschwieriges Unterfangen, weil auch die zeitabhangigen Eigenschaften der Turbulenz berucksichtigtwerden mussen. Ferner sind erste Schritte in dieser Richtung erst durch die Bereitstellung hin-reichend großer und schneller Rechner in der jungsten Zeit moglich geworden. Erste Ergebnissesolcher Rechnungen liegen bisher nur fur die turbulente Rohrstromung vor.

Bei den technischen Anwendungen interessieren nun in aller Regel allein die zeitlichen Mittelwerteturbulenter Stromungen. Der Versuch, eine Theorie fur die zeitlichen Mittelwerte herzuleiten, dieeinfacher zu handhaben ist als die exakten Gleichungen, hat sich insofern als unzulanglich erwiesen,als das System der resultierenden Reynoldsschen Gleichungen (15.42) und der Kontinuitatsglei-chung (15.38) nicht mehr geschlossen ist. Fur die Losung dieser Gleichungen ist zusatzlich dieKenntnis des Zusammenhangs zwischen den Reynoldsschen Schubspannungen und den gemit-telten Stromungsgroßen erforderlich. Ein solcher Zusammenhang kann aber nur durch Auswer-tung experimenteller Ergebnisse gewonnen werden, die allenfalls durch halbempirische Ansatzeverallgemeinert werden konnen. Leitmotiv einer solch empirischen Turbulenztheorie ist es, ausMeßergebnissen noch fehlende physikalische Grundlagen abzuleiten.


15.7.4.2 Prandtlscher Mischungswegansatz fur die turbulenten

Geschwindigkeitsschwankungen

Diese auf Ludwig Prandtl zuruckgehende Uberlegung ist ein Beispiel dafur, wie durch einfachephysikalisch begrundete Vorstellungen der komplizierte Mechanismus der turbulenten Bewegungenin einer ersten Naherung erfaßt werden kann. Wir betrachten zu Herleitung eine Stromung langseiner Wand. Die Stromungsrichtung wahlen wir als x-Richtung und senkrecht dazu und zur Wandwahlen wir die y-Richtung; es gilt :

v∼

= (u(y), 0, 0) ; v∼

′ = (u′, v′, w′) .

Es sei ferner:

u = u(y) + u′ ; v = v′ . (15.45)

Ziel ist es, die Schwankungen u′ und v′ durch den Mittelwert der Geschwindigkeit u(y) auszu-drucken. Dazu denken wir uns das turbulente Stromungsfeld als aus einer Vielzahl von Turbulenz-elementen zusammengesetzt. Unter einem solchen Element kann man sich einen einheitlich beweg-ten Bereich vorstellen, z. B. einen Wirbel. Analog zur kinetischen Gastheorie wird der PrandtlscheMischungsweg eingefuhrt. Wir verstehen darunter diejenigen Wegstrecke l1, die von einem Tur-bulenzelement im Mittel zuruckgelegt wird, bis es durch Vermischung mit seiner Umgebung seineindividuelle Struktur verliert. Durch Verschiebung gelangt ein Turbulenzelement z. B. aus derSchicht y nach y + l1. Dort hat es gegenuber seiner Umgebung eine Uber- bzw. Untergeschwindig-keit von der Große:

u(y)− u(y + l1) = −l1du

dy. (15.46)

Dieses Geschwindigkeitsdefizit des aus der Schicht y nach y + l1 gelangten Turbulenzelementesfaßt Prandtl als Schwankung im Niveau y + l1 auf, vgl. Abb. 15.3.

Abbildung 15.3: Schema zum Prandtlschen Mischungswegansatz

Aus der Kontinuitatsgrunden setzen wir entsprechend:

v′ = l2du

dy. (15.47)

Fur Reynoldssche Schubspannungen folgt mit (15.46) und (15.47):

σRexy = − u′v′ = l1l2

(du

dy

)2

= l2(

du

dy

)2

. (15.48)


l ist hierbei eine charakteristische Lange fur die Vermischung in turbulenten Stromungen (Mi-schungsweg). Aussagen uber l mussen aus Experimenten gewonnen werden, deshalb spricht manvon einer halbempirischen Theorie. Ausdrucklich sei auf die quadratische Abhangigkeit vom Ge-schwindigkeitsgradienten hingewiesen. Mit (15.48) folgt fur die gesamte Schubspannung:

σxy = τW

= µdu

dy+ l2|du

dy|du

dy. (15.49)

Beispiel Eigenschaft einer turbulenten Stromung in der Nahe einer Wand.

1.) Fur die unmittelbare Wandnahe gilt:

An der Wand verschwinden die Schwankungen, damit liegt eine laminare Stromung vor. Aus(15.49) wird wegen l→ 0 :

σxy = τW

= µdu

dy.

τW

bezeichnet die Wandschubspannung; durch Integration folgt:

u(y) =τW

µy .

Es ist ublich, die sogenannte Wandschubspannungsgeschwindigkeit einzufuhren:

uτ =

√τW

. (15.50)

Es folgt die dimensionslose Darstellung fur Geschwindigkeit und Wandabstand:

u(y)

uτ= u+ =

uτy

ν= y+ . (15.51)

Die Geschwindigkeit ist damit eine lineare Funktion von y. y+ ist der dem Problem ange-paßte dimensionslose Wandabstand. (15.51) enthalt die Ahnlichkeitstransformation fur dieOrtsvariable und die Geschwindigkeit. Der Gultigkeitsbereich von (15.51) wird als viskoseUnterschicht bezeichnet.

2.) Außerhalb der viskosen Unterschicht aber noch in Wandnahe

Prandtl fuhrte fur diesen Bereich folgende Hypothese ein:

σxy = τW

= konst., l = k y , k = konst.

Es folgt:

τW

= l2(

du

dy

)2

= k2y2

(du

dy

)2

.

Durch Auflosen nach u(y) ergibt sich:

u(y)

uτ= u+ =

1

kln y+ + C .

Die Konstanten k und C wurden aus Experimenten bestimmt: k = 0, 4 und C = 5, 5.

Es gilt also:

u(y)

uτ= u+ = 2, 5 ln y+ + 5, 5 . (15.52)


Dieses logarithmische Geschwindigkeitsprofil gilt außerhalb der viskosen Unterschicht aber immernoch in Wandnahe. Bei großerem Wandabstand schließt sich das Gebiet der freien Turbulenz an,in dem die Schubspannung im allgemeinen mit wachsendem Wandabstand monoton abnimmt. ImBereich zwischen den Losungen (15.51) und (15.52) ergibt sich zwischen etwa y+ = 5 und y+ ≈ 50ein Ubergangsbereich, vgl. Abb. 15.4:

(15.52)(15.51)

Viskose

Unterschicht

Ubergangsbereich ausgebildete Turbulenz

Wandzone außerer Bereich

Abbildung 15.4: Wandnahes Geschwindigkeitsprofil in logarithmischer Darstellung

Mit den Losungen von Typ (15.51) und (15.52) konnen experimentelle Ergebnisse approximiertwerden. Der an (15.52) anschließende Bereich der vollen Turbulenz hangt stark von den Randbe-dingungen der jeweiligen Stromung ab, eine allgemeine Aussage ist daher nicht mehr moglich.

Die Stromung in Wandnahe ist vollstandig durch die Wandschubspannung und die Flussigkeits-eigenschaften bestimmt; die Dicke der Grenzschicht oder auch die Außenstromung spielen keineRolle. Man bezeichnet deshalb (15.51) und (15.52) als universelles Wandgesetz fur turbulenteStromungen.

Beispiel: Turbulente Stromung in Rohren - Widerstandsgesetz

Wir wollen jetzt die gewonnenen Ergebnisse auf die turbulente Rohrstromung anwenden. Ziel istes, die von Prandtl und von Karman angegebene Formel fur den Widerstandsbeiwert herzuleiten;vgl. Abschnitt 11.4. In der Nahe der Rohrwand, in Abstanden die klein gegen den Radius sind,kann die Krummung der Rohroberflache vernachlassigt werden und die Geschwindigkeitsverteilungdurch Gl.(15.53)

u(y)

uτ= u+ = 2, 5 ln y+ + 5, 5 . (15.53)

beschrieben werden. Wegen der langsamen Anderung der Funktion ln y+ kann auch die mittlereStromungsgeschwindigkeit 〈u〉 mit logarithmischer Genauigkeit durch diese Gleichung ausgedrucktwerden, wobei fur y+ der Rohrradius R zu setzen ist. In dimensionsbehafteten Variablen lautetdiese Beziehung:

〈u〉 = 2, 5uτ ln(Ruτ

ν) + Konstante. (15.54)


Da es uns nur auf den Zusammenhang der Variablen ankommt, werden wir die Konstante inGl.(15.54) nicht weiter berucksichtigen. Fur die auf die Flussigkeit in einem Rohrabschnitt derLange l wirkende resultierende Druckkraft gilt wegen des Druckabfalls in Stromungsrichtung:πR2p. Diese Kraft dient zur Uberwindung der Rohrreibung, die durch die Wandschubspannungτw ausgedruckt werden kann; es gilt: τw = 1

2Rp/l. Die Wandschubspannung kann ihrerseitsdurch die Wandschubspannungsgeschwinidkeit uτ gemaß (15.50) ausgedruckt werden, so daß gilt:

p

l= 2

uτ2

R.

Wir losen diese Gleichung nach uτ auf

uτ =Rp

2 l

und setzen den gewonnenen Ausdruck in (15.54) ein:

〈u〉 = 2, 5

√

Rp

2 lln

[

R

ν

√

Rp

2l

]

. (15.55)

An dieser Stelle fuhren wir zweckmaßig den durch (11.16) definierten Widerstandsbeiwert

λ =p

l

D

0, 5 〈u〉2

sowie die Reynolds-Zahl Re = (〈u〉D)/ν ein und erhalten schließlich, wenn wir auf der rechtenSeite den naturlichen Logarithmus durch den dekatischen ersetzen und die aus Experimenten be-kannte Konstante (−0, 8) berucksichtigen, durch Umformung von (15.55) die aus (11.18) bekannteBeziehung zwischen Widerstandsbeiwert und Reynoldszahl:

1√λ

= 0, 88 log(Re√

λ)− 0, 8. (15.56)

15.7.4.3 Wirbelviskositat

Ein Ansatz, der die Reynoldsschen Schubspannungen mit den Mittelwerten verknupft, wurde be-reits 1877 von J. Boussinesq angegeben. In Analogie zum Stoffgesetz einer newtonschen Flussigkeitfuhrte er fur die Reynoldsschen Spannungen eine Impulsaustauschgroße ein:

σ≈ t

= µt

(∇v + (∇v)T

); (15.57)

mut wird Wirbelviskositat genannt. Mit diesem Ansatz wird die gesamte Information uber dieWirkung der Turbulenz auf die Große µt verlagert. Im Unterschied zur Scherviskositat ist µt keineKonstante sondern eine von der Stromung abhangige Große; so muß z. B. µt in der Nahe festerWande verschwinden. Durch den Ansatz (15.57) sind die Reynoldsschen Gleichungen geschlossenund konnen im Prinzip gelost werden.

Beispiel: Vergleich des turbulenten und molekularen Impulstransports

Man ermittle das Verhaltnis µt/µ fur eine turbulente Rohrstromung fur r = d/4 unter folgendenVorgaben: Rohrdurchmesser d = 2R = 100mm, Wandschubspannung τw = 0, 17Pa, Dichte =1000kgm−3 Viskositat µ = 1mPas. Nach Definition gilt fur die Schubspannung:

τ = τv + τ t = (µ + µt)du

dr. (15.58)


Hierbei ist τv der viskose und τ t der turbulente (Renoldssche) Anteil an der Schubspannung. Ausder Kraftebilanz fur ein Flussigkeitselement in einer Rohrstromung ist ferner bekannt, daß gilt:

τ(r) = τW (1 − r

R). (15.59)

M. a. W.: τ ist eine lineare Funktion des Abstandes von der Rohrachse. Aus (15.58) folgt fur µt

µ :

µt

µ=

1

µ

τ (r)

du/dr− 1.

Nach Einfuhrung der Wanschubspannungsgeschwindigkeit und des dimensionslosen Wandabstan-des u+ und y+ gemaß (15.51) und (15.50) erhalt man:

µt

µ=

(1 − y/R)

du+/dy+− 1. (15.60)

Fur y = d/4 ergibt sich fur y+ der Wert:

y+ =yuτ

µ=

(d/4)√

τW

µ= 325.

Fur diesen Wert von y+ kann du+/dy+ aus 15.52 berechnet werden:

du+

dy+= 2, 5

1

326.

Wenn wir dies in (15.60) einsetzen erhalten wir schließlich fur das Verhaltnis der Wirbelviskositatzur Scherviskositat den Zahlenwert

µt/µ =1

2

326

2, 5− 1 ≈ 64.

Dieses Resultat zeigt, daß bei einer turbulenten Rohrstromung in einigem Abstand zur Wand derImpulstransport infolge der turbulenten Schwankungen den molekularen Transport bei weitemuberwiegt.


15.7.4.4 k, ǫ-Modell

Die empirische Turbulenztheorie setzt voraus, daß der Reynoldssche Spannungstensor v∼

′v∼

′ aus-schließlich von der gemittelten Geschwindigkeit abhangt. Das k, ǫ−Modell, das 1972 von Launderund Spalding eingefuhrt wurde, geht in Analogie zum Boussinesq-Ansatz davon aus, daß derReynoldssche Spannungstensor wie folgt angenahert werden kann:

− v∼

′v∼

′ = νt

(∇v + (∇v)T

). (15.61)

Die turbulente Wirbelviskositat νt wird dabei mit einem auf Ideen von Prandtl und Kolmogorovzuruckgehenden Ansatz

νt = Ck2

ǫ(15.62)

berechnet. Hierin ist k2 ein Maß fur die turbulente kinetische Energie und ǫ deren Dissipationsrate.Wir setzen dafur:

k2 =1

2v′∼

2 , ǫ =ν

2

(∇v

∼

+ (∇v∼

)T). (15.63)

Dabei werden sowohl fur die turbulente kinetische Energie k als auch die Dissipationsrate ǫ zusatzli-che Transportgleichungen benotigt, die aus der Navier-Stokes-Gleichung hergeleitet werden konnen.Diese Gleichungen enthalten ihrerseits wieder unbekannte Terme, die wiederum mittels plausiblerAnnahmen modelliert werden mussen. Man erhalt schließlich die folgenden Gleichungen:

[∂

∂t+ v

∼

· ∇]

k = Cτk2

ǫ

(∇v

∼

+ (∇v∼

)T)∇v

∼

+∇ ·[Cτ

Ck∇k

]

, (15.64)

[∂

∂t+ v

∼

· ∇]

ǫ = C1 Cτ k(∇v

∼

+ (∇v∼

)T)∇v

∼

− C2ǫ2

k+ ∇ ·

[Cτ

Cǫ

k2

ǫ∇ k

]

. (15.65)

Die in 15.64 und 15.65 eingefuhrten Großen haben nicht den Charakter universeller Konstanten;sie mussen vielmehr fur die unterschiedlichen Anwendungen jeweils angepaßt werden. Trotz dieserNachteile findet das k, ǫ-Modell bei der Losung vieler Stromungsprobleme Anwendung und hat soden Status eines Standard-Modells erhalten. Fur eine ausfuhrliche Darstellung und Analyse desk, ǫ-Turbulenzmodells sei auf das Buch von Mohammadi und Pironneau (1993) verwiesen.

Die Navier-Stokes-Gleichungen konnen auch direkt, ohne Vorschaltung von Mittelungsprozessenund Verwendung von Turbulenzmodellen gelost werden. Einzige Bedingung ist, daß die Berech-nungsgitter feinmaschig gewahlt werden damit auch noch die kleinsten Turbulenzelemente auf-gelost werden konnen. Diese kleinsten Turbulenzelemente sind von der Großenordnung der so-genannten Kolmogorov Lange lK : lK = L/Re0,75; wobei L die charakteristische Abmessung desStromfeldes ist und Re die Reynoldszahl. Fur L = 1m und Re = 104 erhalt man z. B. lK = 10−4m,das Berchnungsgitter mußte dann mindestens 1012 Punkte umfassen. Die Anforderungen vonBerchnungsgittern mit einer Trilliarde und mehr Punkten ubersteigen aber die Moglichkeitenheutiger Rechner hinsichtlich Speicherkapazitat und Rechengeschwindigkeit bei weitem.

Ein Schritt in Richtung zur direkten Losung der Gleichungen ist die sogenannte Large-Eddy-Simulation (Grobstruktur-Simulation), bei der zwischen der großraumigen Wirbelstruktur undden kleinen Wirbeln unterschieden wird. Man kann zeigen, daß der beitrag der kleinen Wirbelzum Energietransport relativ gering ist. Es liegt deshalb nahe, nur die großen Wirbel bei derDirektsimulation zu berechnen und die kleinen Wirbel mittels der oben dargestellten Turbulenz-modelle zu beschreiben. Diese Vorgehensweise ist Gegenstand der Forschung.


15.8 Abschatzung der turbulenten Grenzschicht

an einer ebenen Platte

Es soll hier die Stromung in der turbulenten Grenzschicht einer langsangestromten Platte unter-sucht werden. Hinter der Vorderkante der Platte verlauft die Stromung zunachst laminar und wirdbei einer mit der Lauflange gebildeten Reynoldszahl von ca. 5 · 105 turbulent.

Wir verwenden das in Abschnitt 14.4.3 fur laminare Grenzschichten entwickelte Naherungsverfah-ren. Fur die Wandschubspannung gilt

τW

= d

dx

δ∫

0

u(U − u)dy . (15.66)

U ist hierbei die Anstromgeschwindigkeit, τW

die Wandschubspannung und δ die Dicke der Grenz-schicht. Wir wollen diese Gleichung verwenden, um die Grenzschichtdicke zu bestimmen. Dazu istes erforderlich, eine Vorgabe fur das Geschwindigkeitsprofil in der Grenzschicht zu machen. ImPrinzip konnte dafur das oben hergeleitete logarithmische Geschwindigkeitsgesetz verwendet wer-den; es zeigt sich aber, daß dies zu eher komplizierten Ausdrucken fuhrt. Stattdessen verwendenwir das in Abschnitt 11.4 hergeleitete 1/7-Potenzgesetz (11.26). Man kann zeigen, daß dies eineadaquate Approximation der logarithmischen Geschwindigkeitsverteilung ist.

Wir setzen:

u

U=

(y

δ(x)

)1/7

. (15.67)


τW

= U2 d

dx

δ∫

0

(y

δ

)1/7(

1−(y

δ

)1/7)

dy

=7

72 U2 dδ

dx. (15.68)

Zur Bestimmung von δ benotigen wir eine unabhangige Aussage uber τW

. Anders als bei der lami-naren Grenzschicht kann fur τ

Wnicht einfach der newtonsche Ansatz verwendet werden, denn τ

Wenthalt auch den Anteil der Reynoldsschen Spannungen. Als Aussage fur die Wandschubspannungverwenden wir (11.21) und (11.17). Es folgt in den hier gewahlten Bezeichnungen:

τW

=

8u2

m

(

100umD

ν

)−1/4

=

8

(U

1, 2

)2(

100U(2δ)

1, 2ν

)−1/4

= 0, 024U2( ν

Uδ

)1/4

. (15.69)

Wird dies mit der rechten Seite von (15.68) gleichgesetzt, ergibt die Integration mit dem Anfangs-wert δ(0) = 0

δ(x) = 0, 39 x( ν

Ux

)1/5

;

oder mit Rex = Ux/ν:

δ(x)

x=

0, 395√

Rex

. (15.70)

15.8. Abschatzung der turbulenten Grenzschicht an einer ebenen Platte 211

• Fur die Herleitung von (15.56) wurde in erster Naherung angenommen, daß die Grenzschichtvon der Plattenvorderkante an turbulent ist; genauer ware mit einem virtuellen Ursprungan einer Stelle x0 zu rechnen.

• Die turbulente Grenzschicht wachst mit x4/5, anstatt mit√

x bei der laminaren Stromung.

• Die Steigung des Geschwindigkeitsprofils ist großer als fur eine laminare Stromung, aberdie Geschwindigkeit nimmt erst im großeren Abstand von der Platte den Wert der Außen-stromung an.

• Der Impulstransport resultiert aus den turbulenten Fluktuationen der Geschwindigkeit, au-ßer in unmittelbarer Wandnahe, und ist effektiver als die viskose Diffusion bei der laminarenStromung.

• In Abb. 15.5 sind die Geschwindigkeitsprofile fur eine laminare und eine turbulente Platten-grenzschicht skizziert.

turbulent

laminar

y

uU

Abbildung 15.5: Geschwindigkeitsprofil fur die laminare und turbulente Plattengrenzschicht

Fur die Wandreibungskraft folgt aus (15.52) und (15.56):

FW

= b

l∫

0

τW

dx =

2U2b l

0, 0745√

Rel

, (15.71)

hier ist b die Breite und l die Lange der Platte.

Im Vergleich dazu erhielten wir bei der laminaren Grenzschicht, vgl. (14.7):

(FW

)laminar =

2U2b l

1, 33√Rel

.

Bei gleicher Reynoldszahl ist also die laminare Reibungskraft kleiner als die turbulente. DieseTatsache hat im Flugzeugbau zur Entwicklung von sogenannten Laminarprofilen gefuhrt. Dabeiwird versucht, durch die Formgebung der Profile den Ubergang von der laminaren in die turbulenteStromung moglichst weit nach hinten zu schieben, vgl. Abb. 15.6.

Beispiel: Als Anwendung wollen wir die Abschatzung der Einlauflange bei Kreisrohren, die in Ab-schnitt 14.2.2 fur laminare Stromungen durchgefuhrt wurde, fur turbulente Stromungen ausfuhren.


Re (2-5) 10~ 5.~

laminar turbulent

ll

y

Abbildung 15.6: Grenzschichtstromung an einer Platte; Ubergang laminar → turbulent

Es ergibt sich die Bedingung:

D/2

L=

δ

lD

2= 0, 39

(ν

u

)1/5

l4/5

L

D= 1, 36

(UD

ν

)1/4

= 1, 36 Re1/4

Fur Re = 104 ist die Einlauflange L = 14D und fur Re = 108 ist L = 140D.

Die Einlauflange L hangt also im Gegensatz zum laminaren Fall nur schwach von der Reynoldszahlab.


Große Wirbel haben kleine Wirbel, die von ihrer Energie leben, kleine Wirbel habenwiederum kleinere Wirbel und so weiter bis hin zur Viskositat.

Lewis F. Richardson

Turbulenz ist ein Zufallsprozeß. Es konnen deshalb nicht alle Details des Prozesses beschriebenwerden. In aller Regel interessiert man sich auch in den Anwendungen lediglich fur gewisse ge-mittelte Großen. Es liegt deshalb nahe, sogleich die Differentialgleichungen zu mitteln. DiesenWeg sind wir auch in dieser Vorlesung gegangen. Bei dieser Vorgehensweise kommt man aber indie Lage, daß mehr Unbekannte zu bestimmen sind als Gleichungen vorhanden sind. Man sprichtvom

”Schließungsproblem fur turbulente Stromungen“ . Die Annahme, die zur Schließung der

Gleichungen fuhrt, wird als Turbulenzmodell bezeichnet.

Als Beispiel fur ein Turbulenzmodell haben wir den Prandtlschen Mischungsweg kennengelernt.Mit diesem Ansatz konnten wir das Geschwindigkeitsprofil turbulenter Stromungen in der Naheeiner Wand aufklaren.

Wenn auch dieser Ansatz in diesem Fall zu einem realistischen Ergebnis gefuhrt hat, so hat erdoch einige Mangel, die wir auflisten wollen:

1.) Die Turbulenz wird durch die Art des Ansatzes wie eine Flussigkeitseigenschaft behandelt.

2.) Der Ansatz versagt in der Mitte von Kanalstromungen mit dU/dy = 0.

3.) Bei instationaren Stromungen wird durch den einfachen Ansatz die”Geschichte“ der Stromung

nur unzureichend berucksichtigt.

15.10. Literatur 213

Die Entwicklung der hier mitgeteilten Ergebnisse und Beschreibungsmethoden ist mit den NamenL. Prandtl und Th. von Karman verbunden; sie entsprechen etwa dem Stand der Forschung von1950. Bei numerischen Rechnungen werden zur Beschreibung der Turbulenz Mehrgleichungsmo-delle verwendet; das bekannteste ist wohl das sogenannte k-ε-Modell, vgl. z. B. [2]oder [6].

Fortschritte in der experimentellen Forschung brachte die Entwicklung neuer Meßgerate. Hier sindinsbesondere das Hitzdraht-Anemometer und das Laser-Doppler-Anemometer zur Messung auchschnell veranderlicher Stromungsgeschwindigkeiten und diverse optische Methoden zur Sichtbar-machung von Stromungen zu erwahnen.

Durch Anwendungen dieser Meßmethoden in Verbindung mit den durch die Computer-Entwicklunggegebenen Moglichkeiten zur Erfassung und Verarbeitung großer Datenmengen hat man gefunden,daß turbulente Stromungen keineswegs regellos verlaufen. Man beobachtete vielmehr wiederkeh-rende orts- und zeitveranderliche Muster aus sich im hohen Maß kollektiv bewegenden Flussigkeits-teilchen, die als koharente Strukturen bezeichnet werden. Dem Auffinden und der Untersuchungsolcher Strukturen hat seit etwa 1970 ein Großteil der Bemuhungen der Experimentatoren gegol-ten.

Bisher verknupfte man den Umschlag in die Turbulenz mit dem instabil werden der laminarenStromungsform. Wir haben aber gesehen, daß es Stromungen gibt, die ohne Instabilitat turbulentwerden. Ein Beispiel dafur ist die Rohrstromung, die bei technisch rauhen Rohren bei Re = 2300turbulent wird aber bei sorfaltiger Durchfuhrung eines Experiments mit glatten Rohren und Ver-meidung von externen Storungen bis Re ≈ 50.000 laminar bleiben kann. Wir haben hier gesehen,daß zufallige Storungen im Verein mit der Nicht-Normalitat des Eigenvektorbundels und der Nicht-linearitat zur Turbulenz einer Stromung fuhren konnen. Es sind aber noch viele Fragen offen; z.B.: Welchen Einfluß hat die Form einer Storung? Gibt es einen Schwellenwert fur die Intensitateiner Storung? Gibt es Moglichkeiten, um den Impulstransport in Stromungen zu beeinflussen undTurbulenz zu unterdrucken?

15.10 Literatur

[1] Schlichting, H.: Grenzschichttheorie; Braun-Verlag Karlsruhe (1982)

[2] Hinze, J.O.: Turbulence; Mc Graw Hill New York (1975)

[3] Tennekes, H., Lumley, J. L.: A First Course in Turbulence; MIT Press Cambridge, Mass.(1972)

[4] Hussain, A.K.M.F.: Coherent Structures and Turbulence; J. Fluid Mechanics (1986) 173, S.303 – 356

[5] Cantwell, B.T.: Organized Motion in Turbulent Flow; Annual Review of Fluid Mechanics(1981) 13, S. 457 – 510

[6] Mohammadi, B., Pironneau, O.:Analysis of the k, ǫ-Turbulence Model. Wiley, Chichester(1993)

[7] Reddy, S: C. et al: Energy growth in viscous channel flow. J. Fluid Mech. 252 209-238 (1993)

[8] Trefethen, N. L. et al: Hydrodynamic stability without eigenvalues. Science bf 261, 578–583(1993)

[9] Grossmann, S., Th. Gebhardt: Chaos transition despite linear stability. Phys. Rev. E 50,3705–3711 (1994)

214

Kapitel 16

Umstromung und Durchstromung

von Korpern – Widerstand

16.1 Einleitung

Bei der Untersuchung der Potentialstromungen im Kapitel 6 hatten wir gefunden, daß ein Korperin einer reibungsfreien Stromung keinen Widerstand erfahrt (d’Alembertsches Paradoxon). Ur-sache des Stromungswiderstandes ist somit die innere Reibung und folglich das Auftreten derGrenzschicht. Wir konnen dabei zwei Anteile unterscheiden, vgl. Abb. 16.1:

1.) Reibungswiderstand

Er resultiert aus der Schubspannung an der Korperoberflache; z. B. bestimmt dieser Anteilden Widerstand einer langs angestromten Platte.

2.) Druckwiderstand oder Formwiderstand

Als Folge der Reibung kommt es bei Korperumstromungen meist zu Stromungsablosun-gen. Dadurch wird die potential-theoretische Druckverteilung geandert und es resultiert einWiderstand; Beispiel fur eine Stromung mit dominierendem Druckwiderstand ist die quer-angestromte Kreisscheibe.

U∞

U∞

p∞

p< p∞

Abbildung 16.1: Reibungs- und Druckwiderstand bei Korperumstromungen

Zur Charakterisierung der Widerstandskraft FW wird zweckmaßig der dimensionslose Wider-standskoeffizient c

Weingefuhrt:

cW

=FW

12 U2A

. (16.1)

Im Abschnitt 13.5.1 haben wir die Stokessche Widerstandsformel fur die schleichende Stromungum eine Kugel hergeleitet:

F = 6πµRU . (16.2)

16.2. Umstromung eines Zylinders 215

Damit kann sofort mit Gl. (16.1)der Widerstandskoeffizient berechnet werden:

cW

=FW

(πR2)12 U2

=24

Re, (16.3)

mit Re = Udν , d = 2R ist dabei der Durchmesser der Kugel.

Bemerkenswert ist, daß der Widerstandskoeffizient die Form 1/Re hat. Die Proportionalitat zu1/Re, die wir bereits bei der Hagen-Poiseuille-Stromung gefunden hatten, erklart sich aus demZusammenhang zwischen den viskosen Spannungen und dem Geschwindigkeitsfeld, die gemaß derStoffgleichung von der Form µ∂vi/∂xj ist. Die Spannungen sind daher proportional zum Pro-dukt µU/L mit den dimensionslosen Funktionen der Variablen x/L, y/L, z/L; hierbei ist U diecharakteristische Geschwindigkeit und L die charakteristische Lange des Stromungsfeldes. Die re-sultierende Reibungskraft erhalt man aus dem Integral der Spannung uber die gesamte Oberflachedes umstromten Korpers, was einen zusatzlichen Faktor L2 bringt. Bereits aus Dimensionsgrundenfolgt daher fur die von der Stromung auf den Korper ausgeubte Reibungskraft F eine Formel mitder Struktur von Gl. (16.2)

Die Beziehung 16.3 fur den Widerstandskoeffizienten gilt wegen der bei der Herleitung von Gl.(16.2) vorausgesetzten schleichenden Stromung nur fur Re < 1, bei großeren Reynoldszahlenkonnen Tragheitseffekte nicht mehr vernachlassigt werden und (16.3) ist entsprechend zu ver-vollstandigen. Nach experimentellen Ergebnissen gilt bis Re ≈ 6000 mit einem Fehler kleiner einProzent:

cW

= = (

√

24

Re+ 0, 5407)2. (16.4)

16.2 Umstromung eines Zylinders

Der Widerstandskoeffizient cW

fur einen umstromten Zylinder ist in Abb. 16.3 skizziert. Den ein-zelnen Abschnitten des Kurvenverlaufs lassen sich typische Stromungsbilder zuordnen, diese sindin den Abbildungen 16.2 (a) bis (e) in ihren charakteristischen Merkmalen dargestellt.

Fur Re ≪ 1 existiert eine symmetrische Stromung mit einem glatten Abfluß am hinteren Stau-punkt, vgl. Abb. 16.2 (a). Auch wenn das Stromlinienbild dem der Potentialstromung ahnelt, unter-scheiden sich die Geschwindigkeitsfelder wegen der unterschiedlichen Randbedingungen vollstandig.

Abbildung 16.2 (a):Stromlinienbild bei Zylinderumstromung fur Re≪ 1

Abbildung 16.2 (b):Stromlinienbild fur Re < 40

Wird die Anstromgeschwindigkeit auf etwa Re = 10 erhoht, so andert sich die Struktur derStromung: Es ergibt sich eine Zirkulationszone hinter dem Zylinder mit zwei gegenlaufigen Wir-beln, vgl. Abb. 16.2 (b). Die Ausdehnung dieser Zone wachst mit der Reynoldszahl.

216 Kapitel 16. Umstromung und Durchstromung von Korpern – Widerstand

Wird Re weiter auf etwa 50 vergroßert, so ergibt sich eine periodische Stromung in Form vonzwei parallel versetzten Reihen entgegengesetzt drehender Wirbel. Die Wirbel losen sich dabeiwechselseitig von der Zylinderoberseite bzw. -unterseite ab und bewegen sich mit der Stromungvom Zylinder weg. Die Existenz dieser Wirbelreihen wurde 1911 von Theodore von Karman in einertheoretischen Arbeit nachgewiesen, sie werden nach ihm

”Karmansche Wirbelstraße“ genannt, vgl.

Abb. 16.2 (c).

Abbildung 16.2 (c):Karmansche Wirbelstraße bei der Zylinderumstromung

Abbildung 16.2 (d):Nachlaufstromung bei laminarer Grenz-schichtablosung

Aus der Frequenz der Wirbelentstehung n, dem Zylinderdurchmesser d und der Anstromgeschwin-digkeit U kann eine dimensionslose Kennzahl gebildet werden, die sogenannte Strouhal-Zahl:

St =n d

U.

Die Strouhal-Zahl ist fur 500 < Re < 104 nahezu konstant (St = 0, 2÷ 0, 23); damit ergeben sichbei einer bestimmten Anstromgeschwindigkeit bei kleinen Durchmessern viele kleine Wirbel mitkleinen gegenseitigen Abstanden und bei großen Durchmessern wenige große Wirbel mit großenAbstanden. Durch die Ablosung der Wirbel werden periodische Krafte auf den Zylinder ausgeubt.Diese konnen Bauwerke, aber auch Warmetauscherrohre durch Resonanz zu mechanischen Schwin-gungen anregen. Die Periodizitat der Wirbelstraße kann bei manchen Vorgangen akustisch direktwahrgenommen werden, so z.B. beim Singen der Stromleitungen im Wind oder beim Brummenvon Warmetauscherrohren.

Ab Re ≈ 104 entsteht hinter dem Zylinder eine Zone mit einer starken Quervermischung, in dieserZone sind zwar die Karmanschen Wirbel noch dominierend; daneben existieren aber noch andereWirbel mit einem breiten Frequenzband deren Amplituden mit zunehmender Reynoldszahl wach-sen. Die Entstehung der Nachlaufstromung (Abb. 16.2 (d) hangt offensichtlich mit der Ablosungder Grenzschicht zusammen, vgl. Abschnitt 14.6.

Die nachste Anderung ergibt sich bei Re = 105. Bei dieser Reynoldszahl wird die Grenzschicht aufdem Zylinder bereits vor der Ablosestelle turbulent. Durch diesen Ubergang verschiebt sich dieAblosestelle merklich zur Ruckseite des Zylinders, so daß das Nachlaufgebiet schmaler wird, vgl.Abb. 16.2 (e).

Der Widerstandskoeffizient nimmt dabei von etwa 1,2 auf 0,3 ab. Diese Erscheinung wird alsWiderstandskrisis bezeichnet. Man hat festgestellt, daß das Einsetzen der Widerstandskrisis vomTurbulenzgrad der Anstromung abhangt. Je hoher der Turbulenzgrad ist, desto fruher wird dieGrenzschicht turbulent.

Bei einer weiteren Erhohung der Reynoldszahl nimmt die Ausdehnung des Nachlaufgebiets wiederzu und damit auch der Widerstandsbeiwert. Meßwerte fur c

Wliegen bis Re ≈ 106 vor, vgl dazu

Abb. 16.3.

16.3. Widerstand bei Korperumstromungen 217

Abbildung 16.2 (e): Zylinderumstromung bei turbulenter Grenzschichtablosung

Abbildung 16.3: Widerstandsbeiwert cW

fur den Kreiszylinder

Die Tatsache, daß die turbulente Grenzschicht weniger zur Ablosung neigt als die laminare, hangtmit dem volligeren Geschwindigkeitsprofil der turbulenten Grenzschicht zusammen. Zur Vermei-dung einer Ablosung wird daher haufig die Grenzschicht dahingehend beeinflußt, daß sie entwederturbulent wird, z. B. durch

”Noppen“ oder

”Stolperdrahte“ auf der Korperoberflache, oder stabi-

lisiert wird, z. B. durch Absaugung; beide Maßnahmen werden im Flugzeugbau angewandt.

16.3 Widerstand bei Korperumstromungen

Wir kommen nun zur allgemeinen Aufgabe zuruck. Wir haben bisher gefunden, daß sich der Wi-derstand eines Korpers in einer Stromung aus zwei Anteilen zusammensetzt: dem Reibungswi-derstand und dem Druckwiderstand. Um einen geringen Widerstand zu erhalten, muß die Summebeider Anteile minimiert werden.

Fur die Teilwiderstande gelten folgende Aussagen:

• Der Reibungswiderstand kann dadurch minimiert werden, daß man fur eine laminare Grenz-schicht sorgt, vgl. Abschnitt 14.6.

• Den Druckwiderstand kann man dadurch verringern, daß man die Ablosestelle moglichstweit nach hinten schiebt.

Allerdings sind bei den meisten Stromungen die beiden Effekte gegenlaufig, vgl. Abschnitt 16.2.

Die Widerstandskraft wird zweckmaßigerweise durch einen Widerstandskoeffizienten gemaß (16.1)dargestellt.


Der Widerstandskoeffizient cW

hangt von allen Kennzahlen der Stromung und der Korpergeome-trie ab; z. B. ist fur einen festen Korper: 16.1

cW

= cW

(Re, M) ;

Re = Reynoldszahl , M = Machzahl .

cW

kann fur die meisten Korperformen nur experimentell bestimmt werden. Dabei zeigt es sich,daß fur zahlreiche Korper c

Wbei hinreichend hohen Werten unabhangig von der Reynoldszahl

wird. Zahlenwerte fur cW

sind in den einschlagigen Handbuchern zu finden, z.B. in [1], [2].

Gemaß der Definition durch (16.1) ist die Widerstandskraft immer entgegengesetzt zur Anstromunggerichtet.Neben der Widerstandskraft ist bei asymmetrisch angestromten Korpern noch die senkrecht zurAnstromrichtung stehende Auftriebskaft FA zu berucksichtigen. Zur Unterscheidung von der hy-drostatischen Auftriebskraft spricht man auch vom dynamischen Auftrieb. Zur Erfassung der Auf-triebskraft wird analog zu Gl. 16.1 der Auftriebskoeffizient cA eingefuhrt Gl.16.5:

cA

=FA

12 U2A

. (16.5)

Im Kapitel 6 wurde gezeigt, dass die in Rede stehenden dynamische Auftriebskraft mit der Zirku-lation der Stromung um den Korper verknupft ist, vgl Gl. 6.66. In Verbindung damit konnen dievorstehenden Uberlegungen unmittelbar auf die Stromung um Flugzeugtragflugel und Turbinen-schaufeln ausgedehnt werden; auf diese Themen wird hier nicht weiter eingegangen.Außer den Kraften spielen noch die Momente der Oberflachenkrafte eine wichtige Rolle. Zu derenCharakterisierung ist neben der Lage und Richtung der Drehachse auch noch ein Momentenkoef-fizient analog zu den Gln. 16.1 und 16.5 zu bestimmen.

16.4 Druckverluste bei Durchstromungsproblemen

Es handelt sich meist um die Bestimmung des Zusatzdruckverlustes in Krummern, Ventilen undahnlichen Bauteilen gegenuber dem Druckverlust in einem geraden Rohr gleicher Lange. In An-lehnung an den Widerstandskoeffizienten c

Wwird fur die Berechnung des Druckverlustes ein

Verlustkoeffizient ξV

eingefuhrt:

∆p = ξV

2u2 . (16.6)

Hier ist die Dichte der Flussigkeit und u die uber den Querschnitt gemittelte Geschwindigkeit. ξV

hangt von allen Kennzahlen der Stromung und von der Geometrie ab; insbesondere vom Umlenk-winkel und dem Verhaltnis des mittleren Krummungsradiuses zum Kanaldurchmesser. Angabenfur ξ

Vfinden sich in den einschlagigen Handbuchern, z.B. in [1], [2].

Beispielhaft seien die ξV

-Werte fur die Stromung durch Krummer diskutiert, vgl. Abb. 16.4.

Der große ξV

-Wert fur den scharfkantigen 90-Krummer ist hauptsachlich durch eine Stromungs-ablosung bedingt, die sich vor allem an der inneren Krummung einstellt, vgl. Abb. 16.5.

Diese Ablosung ist eine Folge der bei einer gekrummten Bewegung entstehenden Zentrifugalkrafte.Die Krummerverluste konnen durch zwei Maßnahmen vermindert werden:

• moglichst großer innerer Krummungsradius;

• Einbau von Leitschaufeln.

16.4. Druckverluste bei Durchstromungsproblemen 219

Abbildung 16.4:Verlustkoeffizienten von Krummern mit rechteckigem Querschnittohne und mit Leitschaufeln

Abbildung 16.5: Stromungsablosung in einem Krummer

Vergleicht man die Beziehung (16.6) mit der Formel fur den Druckverlust einer Rohrstromung(11.16), so findet man:

λl

d= ξ

V. (16.7)

Mit (16.7) und den Werten aus Abb. 16.4 kann eine dem Krummer bezuglich des Druckverlustesaquivalente Rohrlange bestimmt werden; dies sei anhand eines Beispiels erlautert:

Beispiel: Gegeben sei eine Rohrstromung (Re = 105, λ = 0, 022) mit einem Krummer (ξV

=0, 26 und r/d = 3).

Aus (16.7) folgt fur die aquivalente Rohrlange:

l = 12 d .

Gestreckte Lange des Krummers:

∆l =π · 6 · d

4≈ 5 d .

Der Druckabfall in einem”guten“ Krummers ist etwa doppelt so groß wie der Druckabfall in einem

Rohr gleicher gestreckter Lange.


Die in Handbuchern angegebenen ξV -Werte gelten in der Regel fur eine ausgebildete Rohrstromungals Anstromung. Bei turbulenten Stromungen setzt dies vor dem Krummer eine gerade Rohrstreckevon ca. 20 Rohrduchmessern voraus, was aber bei vielen Anwendungen nicht gegeben ist. DieBerechnung des Druckabfalls mittels der ξ

V-Werte stellt deshalb nur eine Naherung dar.

In den Handbuchern findet man auch ξV

-Werte fur Schieber, Drosseln und Regelventile.

16.5. Stromung durch porose Medien 221

16.5 Stromung durch porose Medien

In der Praxis der Verfahrenstechnik spielen Stromungen durch porose Medien bzw. Schuttgutereine wichtige Rolle. Unter einem porosen Medium verstehen wir einen Feststoff, in dessen Innernsich Poren befinden, die untereinander durch Kanale verbunden sind. In vielen Fallen sind die Po-ren klein und die Stromung ist hinreichend langsam, so daß die Bedingungen fur eine schleichendeStromung erfullt sind und Tragheitseffekte vernachlassigt werden konnen.Wir modellieren das porose Medium durch eine Anzahl geradliniger, paralleler Kapillaren mitdem Durchmesser d. Fur jede einzelne Kapillare ist die Relation zwischen dem Druckgradientenund dem Durchfluss δQ durch das Hagen-Poiseuillesche Gesetz gegeben:

δQ =π

128µ

p

ld4.

Es sei n die Anzahl der Kapillaren pro Flacheneinheit senkrecht zur Stromungsrichtung; der Vo-lumenstrom durch das Medium ergibt sich dann zu:

Q

A= n δQ = n

πd4

128µ

p

l. (16.8)

Q/A = vs ist die auf den Anstromquerschnitt bezogene Geschwindigkeit pro Flacheneinheit (senk-recht zur Flache A) und n π d4/128 eine Große, die nur von der Modellierung des Mediums herruhrt und die wir als Permeabilitat K bezeichnen. Damit schreibt sich Gl.(16.8)

vs =Q

A=

K

µ

p

l. (16.9)

Diese Gleichung wird in der Literatur als Darcysches Gestz bezeichnet. Im Rahmen des in Redestehenden Modells fur das porose Medium kann die Permeabilitat durch geometrische Modellpa-rameter ausgedruckt werden. Es gilt:

K = nπd4

128= n

πd2

4

d2

32=

φd2

32. (16.10)

Die Große ǫ = nπd2/4 stellt geometrisch das von den Poren eingenommenen Volumen pro Volu-meneinheit dar und wird als Porositat bezeichnet. Hieraus folgt, daß sich bei konstanter Porositatdie Permeabilitat mit dem Quadrat des Kapillardurchmessers andert.1

Die Kontinuitatsgleichung und die Bewegungsgleichung fur die Stromung in einem isotropenporosen Medium mit der Porositat ǫ und der Permeabilitat K im Schwerefeld g konnen damitwie folgt geschrieben werden:

ǫ∂

∂t= −∇

∼

· (v∼

s) (16.11)

v∼

s =K

µ(∇

∼

p− g∼

) . (16.12)

Die Kombination beider Gleichungen liefert:

ǫµ

K

∂

∂t= ∇

∼

· [ (∇∼

p− g∼

)] (16.13)

1Die Parameter Porisitat bzw. Permeabilitat bestimmt man klassisch durch Mittelung uber ein bestimmtesVolumen des Materials. Diese Beschreibung mittels eines reprasentativen Volumenelements ist jedoch bei sehrheterogenen Materialien nicht mehr anwendbar. Die ubliche Beschreibung wird dann unzulanglich, es sind dannexplizit statistische Methoden anzuwenden.


Beispiel: Radiale Stromung durch ein poroses Rohr

Eine Flussigkeit ( = konst.) fließt durch die Wand eines porosen Rohres mit Innendurchmes-ser d, Lange L und Wanddicke ς. Der Innendruck betrage pi und der Außendruck pa < pi.Man berechne die Druck- und Geschwindigkeitsverteilung in der Rohrwand.

Losung:

Gleichung (16.13) liefert : 0 = ∇∼

2p.Mit p = p (r) folgt:

∇∼

2p =

(∂2

∂r2+

1

r

∂

∂r

)

p =1

r

∂

∂r

(

r∂p

∂r

)

= 0 (16.14)

Integration und Einsetzen der Randbedingungen ergibt:

p (r) = c1 ln r + c2 (16.15)

⇒ p (r)− pi

pa − pi=

ln(

rd/2

)

ln(

d+2ςd

) (16.16)

⇒ vs (r) =K

µ r

pa − pi

ln(

d+2ςd

) . (16.17)


Dieser Abschnitt brachte eine Einfuhrung in die fur die Anwendungen wichtigen Fragen desStromungswiderstandes bei Korperumstromungen und des Druckverlusts bei Durchstromungs-problemen. Dabei haben wir gefunden, daß die Ursache des Widerstandes die innere Reibung derFlussigkeit bzw. das Auftreten der Grenzschicht ist.

Zur Beschreibung der Widerstandskraft eines umstromten Korpers haben wir einen dimensionslo-sen Widerstandskoeffizienten eingefuhrt. Der Widerstandskoeffizient hangt dabei von allen Kenn-zahlen der Stromung und der Geometrie des umstromten Korpers ab. Die bei einer Umstromungauftretenden Effekte wurden am Beispiel des senkrecht zu seiner Achse angestromten Kreiszylin-ders dargestellt.

Nicht behandelt wurde der sogenannte Wellenwiderstand; ein solcher Widerstand kann auch beireibungsfreien Flussigkeiten z.B. durch die Bildung von Oberflachenwellen bei der Umstromungvon Schiffen oder durch die Abstrahlung von Schallwellen bei der Uberschallstromung um Flug-zeuge auftreten.

16.7 Literatur

[1] Dubbel: Taschenbuch fur den Maschinenbau, 20. Auflage, Springer-Verlag Berlin, Heidelberg,New York (2000)

[2] Chemical Engineers Handbook, Mc Graw Hill - New York (2001)

223

Kapitel 17

Inelastische nichtnewtonsche

Flussigkeiten

17.1 Einleitung

Hochmolekulare Flussigkeiten, Suspensionen und Schlamme verhalten sich in vielen Fallen inso-fern nicht wie newtonsche Flussigkeiten, als sich ihre Viskositat mit der Schergeschwindigkeit umFaktoren von der Großenordnung 1:10 bis 1:1000 und mehr andert. Es ist klar, daß dies bei derBerechnung von Rohrleitungen und Pumpen oder der Auslegung von Verarbeitungsprozessen furPolymerschmelzen nicht ignoriert werden kann.

In diesem Abschnitt werden wir eine einfache Vorgehensweise kennenlernen, mit der der in Redestehende Effekt bei der Berechnung von Stromfeldern berucksichtigt werden kann. Die Metho-de besteht darin, gemessene Fließkurven in geeigneter Weise zu approximieren. Ziel ist es, diehauptsachlichen Effekte zu erfassen, die sich aus der veranderlichen Viskositat ergeben. DieseNaherungsmethode ist deshalb nur auf Stromungen anwendbar, die zumindest in gewisser Nahe-rung Scherstromungen sind.

17.2 Stoffgleichungen

17.2.1 Allgemeines

In einer Schichtenstromung v∼

= (u(y), 0, 0) gilt fur eine inkompressible newtonsche Flussigkeitzwischen der Schubspannung und dem Geschwindigkeitsgradienten der Zusammenhang:

τ = µdu

dy, (17.1)

hierbei ist µ die Viskositat, die fur eine bestimmte Stoffzusammensetzung nur noch von der Tem-peratur und dem Druck abhangt.

Es liegt nun nahe, den Zusammenhang (17.1) auf Flussigkeiten auszudehnen, deren Viskositat vomSchergradienten abhangt:

τ = η(γ)du

dy; (17.2)

hierin ist die Viskositat η zusatzlich eine Funktion von

γ =

∣∣∣∣

du

dy

∣∣∣∣

.

224 Kapitel 17. Inelastische nichtnewtonsche Flussigkeiten

Fur ein dreidimensionales Stromungsfeld v∼

= v∼

(x∼

, t) stellt sich (17.1) nach Abschnitt 12.3 wiefolgt dar:

σ≈

= 2µD≈

. (17.3)

Dabei ist σ≈

der Tensor der Reibungsspannungen, µ die Viskositat und D≈

der Tensor der Defor-mationsgeschwindigkeit:

D≈

=1

2

(∇∼

v∼

+ (∇∼

v∼

)T)

. (17.4)

(∇∼

v∼

)T ist der transponierte Geschwindigkeitsgradient ∇∼

v∼

, in dem die Zeilen gegen die Spaltenvertauscht sind. Analog verallgemeinern wir (17.2) zu:

σ≈

= 2 η(D≈

) D≈

. (17.5)

(17.5) wird als Stoffgleichung einer generalisierten newtonschen Flussigkeit bezeichnet.

Die nichtnewtonsche Viskositat η ist nun eine skalare Funktion des Tensors D≈

. Eine Abhangigkeitkann dabei nur von solchen Kombinationen der Elemente von D

≈

bestehen, die nicht vom speziellenKoordinatensystem abhangen. Ohne Beweis sei mitgeteilt, daß aus den Elementen eines Tensors D

≈

drei vom Koordinatensystem unabhangige Skalare bestimmt werden konnen, indem man die Spur(tr) 1 von D

≈

, D≈

2 und D≈

3 bildet.2 In Indexschreibweise gilt:

I = trD≈

=∑

i

Dii , (17.6 a)

II = trD≈

2 =∑

i

∑

j

DijDji , (17.6 b)

III = trD≈

3 =∑

i

∑

j

∑

k

DijDjkDki , mit i, j, k = 1, 2, 3 . (17.6 c)

I, II und III bezeichnet man als Invariaten des Tensors D≈

. Durch Ausrechnen findet man, daß

I = trD≈

= ∇∼

· v∼

.

Wegen der fur inkompressible Flussigkeiten in der Form ∇∼

· v∼

= 0 gultigen Kontinuitatsgleichungist damit I fur inkompressible Fluide identisch 0. Durch gliedweises Ausrechnen kann ferner gezeigtwerden, daß die Invariante III fur Scherstromungen verschwindet.

Wenn wir uns bei der Anwendung von (17.5) auf Stromungen beschranken, die nahezu Scher-stromungen sind, ist η nur eine Funktion der zweiten Invarianten II.

In kartesischen Koordinaten gilt fur II:

II =

[(∂u

∂x

)2

+

(∂v

∂y

)2

+

(∂w

∂z

)2]

+

[∂v

∂x+

∂u

∂y

]2

+

[∂w

∂y+

∂v

∂z

]2

+

[∂u

∂z+

∂w

∂x

]2

.

Setzt man in diesen Ausdruck das Geschwindigkeitsfeld einer Scherstromung v∼

= (u(y), 0, 0) ein,so folgt:

√II =

∣∣∣∣

du

dy

∣∣∣∣= |γ| . (17.7)

1Die Summe der Diagonalelemente wird als Spur (engl.: trace) eines Tensors bezeichnet. Im Deutschen wird siedaher haufig mit

”sp“ abgekurzt. Die international gebrauchliche und der DIN-Normung entsprechende Bezeichnung

ist tr.2Diese Definition der Invarianten gilt nur, wenn der Tensor in einem orthogonalen Koordinatensystem dargestellt

ist.

17.2. Stoffgleichungen 225

√II stimmt also mit der Schergeschwindigkeit uberein. Aus Grunden der Deutbarkeit setzt man

deshalb fur die Abhangigkeit von η bei Scherstromungen:

η = η(√

II)

= η

(∣∣∣∣

du

dy

∣∣∣∣

)

. (17.8)

17.2.2 Approximation der Fließkurve

Bei vielen technischen Flussigkeiten ist die Viskositat fur niedrige und hohe Werte der Scherge-schwindigkeit nahezu konstant; man spricht hierbei auch vom oberen und unteren newtonschenBereich. Dazwischen erstreckt sich ein Ubergangsbereich mit veranderlicher Viskositat; ein typi-scher Verlauf einer Fließkurve wurde bereits in Abb. 2.10 vorgestellt und diskutiert. Fur die Ap-proximation von Fließkurven dieses Types eignet sich besonders der Ansatz von Carreau-Yasuda[1, 2]:

η − η∞η0 − η∞

= [1 + (λ |γ|)a]

n−1a . (17.9)

In (17.9) ist η0 die Nullviskositat (η0 = η(γ → 0)), η∞ die Viskositat fur hohe Schergeschwindig-keiten (η∞ = η(γ → ∞)), λ ist eine Zeitkonstante und a und n sind dimensionslose Parameter,die den Ubergangsbereich beschreiben. Als Beispiel ist in Abb. 17.1 die Approximation von dreiFließkurven dargestellt.

1: 0,75% Polyacrylamid (Separan AP-30)in 95% Wasser und 4,25% Glycerin

2: 7% Aluminiumseife in Dekalin3: 5% Polystryrol in Aroclor 1242

Abbildung 17.1: Approximation von Fließkurven mit dem Ansatz von Carreau-Yasuda

Der Vorteil des Ansatzes (17.9) ist die gute Approximationsgenauigkeit uber einen weiteren Bereichder Schergeschwindigkeit. Andererseits ist es aber wegen der komplizierten Form von (17.9) nichtmehr moglich, die Bewegungsgleichungen bei Schichtenstromungen analytisch zu losen.

Eine einfachere Beziehung, die eine analytische Losung fur einige Anwendungen zulaßt, haben wirbereits fruher mit dem sogenannten Potenzgesetz kennengelernt:

η = K|γ|n−1 . (17.10)

Formal entsteht (17.10) aus (17.9), wenn man die 1 in der Klammer weglaßt (λ|γ|a ≫ 1) undη∞ = 0 setzt (η0 ≫ η∞). (17.10) wird oft auch Ansatz von Ostwald-de Waele3 genannt. DerHauptvorteil von (17.10) ist der einfache Aufbau der Formel. Als Nachteil stehen dem gegenuber:

3W. Ostwald, Kolloid Zeitschr. 36, 99-117 (1925)


• Der Ansatz versagt fur γ → 0 und γ → ∞; dies kann zu großen Fehlern fuhren. AlleErgebnisse sind deshalb auf die Zulassigkeit des Ansatzes zu uberprufen.

• Aus K und n kann keine charakteristische Viskositat gebildet werden; bei der Dimensions-analyse ergeben sich daraus gewisse Schwierigkeiten.

Ausdrucklich sei darauf hingewiesen, daß (17.9) und (17.10) lediglich Approximationen experi-menteller Ergebnisse sind. Die Berechtigung der Ansatze ergibt sich allein aus der Zweckmaßigkeitfur die Anwendungen.

17.3 Einfluß der veranderlichen Viskositat auf das

Geschwindigkeitsfeld

Als Beispiel untersuchen wir die ausgebildete Stromung durch ein Kreisrohr fur eine Flussigkeit,die dem Potenzgesetz genugt, vgl. Abb. 17.2.

Abbildung 17.2: Stromung durch ein Kreisrohr

In Anlehnung an das Ergebnis fur eine newtonsche Flussigkeit liegt es nahe, fur das Geschwindig-keitsfeld und den Druck folgenden Ansatz zu wahlen:

vr = 0 , vϕ = 0 , vz = u(r) ; p = p(z) . (17.11)

Treibende Kraft der Stromung ist die Druckdifferenz p1− p2; wie bei der Stromung einer newton-schen Flussigkeit ist der Druckgradient langs des Rohres konstant:

dp

dz= −p1 − p2

L= −∆p

L. (17.12)

Zur Bestimmung der Losung steht die Kontinuitatsgleichung fur inkompressible Flussigkeiten

∇∼

· v∼

= 0 (17.13)

und die Bewegungsgleichung fur stationare Stromungen

v∼

· ∇∼

v∼

= −∇∼

p + ∇∼

· σ≈

(17.14)

zur Verfugung.

17.3. Einfluß der veranderlichen Viskositat auf das Geschwindigkeitsfeld 227

Wegen der Form des Geschwindigkeitsfeldes (17.11) ist die Kontinuitatsgleichung erfullt und dielinke Seite von (17.14) ist Null. Ferner hat D

≈

und damit auch σ≈

nur zwei nicht verschwindendeElemente:

Dzr = Drz =1

2

du

dr; (17.15)

fur σrz = σzr folgt mit (17.5), (17.10) und (17.15):

σzr = σrz = K

∣∣∣∣

du

dr

∣∣∣∣

n−1du

dr. (17.16)

Damit gibt allein die z-Komponente von (17.14) einen Beitrag:

0 = −dp

dz+

1

r

d

dr(rσrz ; (17.17)

die beiden anderen Komponenten der Bewegungsgleichung (17.14) sind identisch erfullt.

Aus (17.17) folgt durch Integration:

σrz =dp

dz

r

2+

C

r. (17.18)

Die Schubspannung σrz hat fur r = 0 einen endlichen Wert; hieraus folgt, daß in (17.18) dieIntegrationskonstante

C = 0

sein muß. Fuhren wir den Ansatz (17.16) in (17.18) ein, so folgt:

K

∣∣∣∣

du

dr

∣∣∣∣

n−1du

dr=

dp

dz

r

2. (17.19)

Da der Druck in Richtung der z-Achse abnimmt, ist

dp

dz= −p1 − p2

L= −∆p

L

negativ, damit muß auch du/dr in (17.19) negativ sein. (17.19) ist deshalb aquivalent zu:

du

dr= −

(∆p

2KL

) 1n

r1n . (17.20)

Durch Integration folgt:

u(r) = − n

n + 1

(∆p

2KL

) 1n

rn+1

n + C . (17.21)

C bestimmt sich aus der Haftbedingung an der Wand: u(R) = 0, und es folgt schließlich:

u(r) =n

n + 1

[R n+1

2K

(∆p

L

)] 1n[

1−( r

R

)n+1n

]

. (17.22)

Fur n = 1 stimmt (17.22) mit dem Profil einer newtonschen Flussigkeit uberein, und fur n < 1ergibt sich an der Wand ein steilerer Geschwindigkeitsgradient; vgl. hierzu Abb. 17.3.


Abbildung 17.3: Geschwindigkeitsverteilung fur eine Ostwald-de Waele Flussigkeit in einem Kreis-rohr

Der Volumenstrom V ergibt sich aus (17.22) zu:

V =

2π∫

0

R∫

0

u(r) r dr dϕ =n

3n + 1πR3

[R∆p

dKL

] 1n

. (17.23)

Fur n = 1 und k = µ reduziert sich (17.23) auf das Hagen-Poiseuillesche Gesetz fur newtonscheFlussigkeiten (11.14). Die mittlere Geschwindigkeit u ergibt sich aus (17.23) zu:

u =V

πR2=

n

3n + 1R

[R

2K

∆p

L

] 1n

.

Anmerkung:

Laminare Rohrstromungen von Flussigkeiten mit einer von der Schergeschwindigkeit abhangigenViskositat gehen bei hinreichend hohen Geschwindigkeiten u in die turbulente Stromungsformuber. Der Ubergang laminar-turbulent hangt dabei auch von der Form der Fließkurve ab, vgl. z.B. [3].


Die Abhangigkeit der Viskositat von der Schergeschwindigkeit ist die am haufigsten beobachte-te Abweichung realer Flussigkeiten vom newtonschen Stoffgesetz. Zur Beschreibung des Effekteswurden zwei einfache Ansatze eingefuhrt und am Beispiel der Rohrstromung diskutiert.

17.5 Literatur

[1] Carreau, P.J., PhD. Thesis, University of Wisconsin (1968),

[2] Yasuda, K., PhD. Thesis, MIT (1981).

[3] Dodge, D.W., A.B. Metzner, a J. 5, 189-204 (1959)

[4] Bird, L.B., R.C. Armstrong, Ole Hassager: Dynamics of Polymeric Liquids, John Wiley andSons New York (1987).

[5] Reiner, M.: Deformation, Strain and Flow, Lewis London (1969).

229

Kapitel 18

Viskoelastizitat

18.1 Einleitung

Bei Stromungen hochmolekularer Flussigkeiten treten vielfach Effekte auf, fur die es bei newton-schen Flussigkeiten kein Analogon gibt. Dies hangt u. a. damit zusammen, daß derartige Stoffe sichbei kurzzeitigen Beanspruchungen eher wie elastische Korper verhalten, bei andauernder Scherbe-anspruchung aber wie eine Flussigkeit fließen. Man bezeichnet deshalb ein derartiges Stoffverhaltenals viskoelastisch.

Das komplexe Stromungsverhalten hochmolekularer Flussigkeiten spielt eine wichtige Rolle bei derVerarbeitung von Kunststoffen; es ist aber auch von prinzipiellem wissenschaftlichem Interesse. Furdas Studium des Fließverhaltens von Stoffen hat sich eine eigene Disziplin entwickelt: die Rheologie.In diesem Abschnitt wird eine kurze Einfuhrung in grundlegende Ideen dieses Wissenschaftszweigesgegeben.

18.2 Lineare Viskoelastizitat

18.2.1 Allgemeines

Das viskoelastische Verhalten von Flussigkeiten kann u. a. mittels oszillierender Beanspruchungstudiert werden. Man bringt dazu den zu untersuchenden Stoff in den Zwischenraum zweier ebenerPlatten, von denen die eine eine schwingende Bewegung in ihrer eigenen Ebene ausfuhrt. Wirnehmen als erstes an, daß der zu untersuchende Stoff eine newtonsche Flussigkeit sei. Weiter seivorausgesetzt, daß die Viskositat µ so groß ist bzw. der Plattenabstand H so gering, daß dieTragheit der Flussigkeit keine Rolle spielt, vgl. Abb. 18.1. Aus der Bewegungsgleichung ergibtsich durch eine Großenabschatzung der einzelnen Terme dabei folgende Einschrankung fur dieFrequenz der Schwingung:

ω ≪ µ

H2.

Ist diese Ungleichung erfullt, so stellt sich eine lineare Geschwindigkeitsverteilung uber die Spalthoheein:

u(y, t) =U(t)

Hy = γ(t)y . (18.1)

Zwischen der Schergeschwindigkeit γ(t) und der xy-Komponente der Deformationsgeschwindigkeitbesteht der Zusammenhang:

γ(t) = 2Dxy =∂u

∂y+

∂v

∂x. (18.2)

230 Kapitel 18. Viskoelastizitat

Abbildung 18.1: Schema eines Oszillationsviskosimeters

Fur die Schubspannung τ gilt bei einer newtonschen Flussigkeit:

τ(t) = σxy(t) = µ γ(t) . (18.3)

Die Schubspannung zur Zeit t ist also proportional zur Schergeschwindigkeit zur selben Zeit.

Wir nehmen als nachstes an, daß der zu untersuchende Stoff ein Hookescher (linear-elastischer)Korper sei. Zu einer gewissen Zeit t0 sei der Stoff in einem isotropen Spannungszustand, anschlie-ßend werde die obere Platte ein infinitesimales Stuck X(H, t0, t) ausgelenkt, vgl. Abb. 18.2.

Abbildung 18.2: Deformation eines Elementes

Fur die Verschiebung eines Punktes mit der Koordinate y gilt:

X(y, t0, t) =X(H, t0, t)

Hy = γ(t0, t)y . (18.4)

Hierbei ist γ(t0, t) die xy-Komponente des Verzerrungstensors γ≈

, der ublicherweise wie folgtdefiniert wird:

γ≈

= ∇∼

X∼

+ (∇∼

X∼

T ) (18.5)

γ =∂X

∂y+

∂Y

∂x(18.6)

X∼

= (X, Y, Z) ist der Verschiebungsvektor. Es ist zu beachten, daß die Verschiebung von zweiZeiten abhangt: der Referenzzeit t0 und der aktuellen Zeit t.

Die Schubspannung τ ergibt sich fur einen Hookeschen Korper mit (18.4) bzw. (18.6) zu:

τ(t) = σxy(t) = Gγ(t0, t) . (18.7)

18.2. Lineare Viskoelastizitat 231

Hierbei ist G das Schubmodul. Die Spannung zur Zeit t ist also proportional zur Verzerrungzur selben Zeit bezogen auf einen isotropen Referenzzustand zur Zeit t0. Der elastische Korper

”erinnert“ sich an seinen Zustand zur Zeit t0, demgegenuber hat die newtonsche Flussigkeit kein

”Gedachtnis“.

Zwischen der Deformationsgeschwindigkeit γ nach (18.2) und der Verzerrung γ nach (18.6) bestehtder kinematische Zusammenhang:

γ(t) =∂

∂tγ(t0, t) ; (18.8)

γ(t0, t) =

t∫

t0

γ(t)dt . (18.9)

18.2.2 Stoffgleichungen; Maxwell-Flussigkeit

Die erste Stoffgleichung, die viskoelastisches Verhalten beschreibt, wurde vor uber 100 Jahren vonMaxwell vorgeschlagen. Sein Ansatz fur Flussigkeiten, die sowohl viskos als auch elastisch sind,lautet:

τ +µ

G

∂τ

∂t= µγ . (18.10)

Fur eine stationare Stromung geht (18.10) in die Stoffgleichung einer newtonschen Flussigkeit(18.23) uber, umgekehrt dominiert bei plotzlichen Spannungsanderungen der zweite Term derlinken Seite, und (18.10) reduziert sich wegen (18.8) auf die Stoffgleichung des Hookeschen Korpers(18.7).

Fur das Hookesche Gesetz (18.7) wurde eine infinitesimale Verschiebung vorausgesetzt, diese Be-schrankung gilt auch fur (18.10). Verallgemeinerungen dieser Beziehung, die fur beliebig großeVerformungen gelten, werden wir weiter unten diskutieren.

In Tensorschreibweise lautet (18.10):

σ≈

+ λ1∂

∂tσ≈

= 2µD≈

. (18.11)

µ/G wurde durch die Zeitkonstante λ1 ersetzt, λ1 heißt auch Relaxationszeit. (18.11) ist die Stoff-gleichung einer Maxwell-Flussigkeit, sie ist insofern komplizierter als die entsprechenden Gleichun-gen fur die Newtonsche Flussigkeit oder den Hookeschen Korper, als es sich um eine Differential-gleichung fur σ

≈

handelt. Durch Integration folgt aus (18.11):

σ≈

(t) = e−t/λ1

[∫2 µ

λ1D≈

(t)et/λ1dt + K≈

]

. (18.12)

Es sollen nun die Integrationskonstanten bestimmt bzw. die Grenzen des Integrals festgelegt wer-den. Wir wahlen −∞ als untere Grenze und setzen voraus, daß σ

≈

fur t → −∞ einen endlichenWert hat.

Aus (18.12) folgt:

σ≈

(t) =

t∫

−∞

2 µ

λ1et′/λ1 D

≈

(t′)dt′

et/λ1+

K≈

et/λ1. (18.13)


σ≈

(t→ −∞) ist nur dann beschrankt, wenn K≈

= 0 ist. Der erste Term auf der rechten Seite ist fur

t → −∞ unbestimmt. Nach der Regel von de l’Hopital ergibt sich der Grenzwert zu: 2µD(−∞).Sofern K

≈

= 0≈

ist und D≈

(−∞) beschrankt ist, ist also auch σ≈

(−∞) beschrankt. Damit gilt fur σ≈

:

σ≈

(t) =

t∫

−∞

µ

λ1e−

t−t′

λ1

2D≈

(t′)dt′ . (18.14)

(18.14) ist die von Boltzmann angegebene Integralform der Gleichung (18.11), beides sind gleich-wertige Stoffgleichungen der Maxwell-Flussigkeit.

Der Ausdruck in der geschweiften Klammer von (18.14) heißt Relaxationsmodul. Nach (18.14)hangt die Spannung zur Zeit t von der gesamten Vorgeschichte der Deformationsgeschwindigkeitab; der Relaxationsmodul spielt dabei die Rolle einer Gewichtungsfunktion, die exponentiell mitder Zeitdifferenz t−t′ abnimmt. Man spricht von einer Flussigkeit mit

”schwindendem Gedachtnis“.

18.2.3 Oszillations-Viskosimeter

Wir kommen nun auf die eingangs gestellte Aufgabe zuruck und analysieren die Beanspruchungeiner Maxwell-Flussigkeit im Raum zwischen zwei ebenen Platten, von denen die eine in ihrereigenen Ebene schwingt, vgl. Abb. 18.1. Das Weg-Zeit-Gesetz der bewegten Platte sei gegebendurch:

X(H, t) = A sin(ωt) ; (18.15)

fur die Geschwindigkeit folgt:

u(H, t) = Aω cos(ωt) . (18.16)

Bei Vernachlassigung der Tragheitseffekte andern sich Verschiebung und Geschwindigkeit linearuber den Spalt:

X(y, t) =y

HA sin(ωt) ; (18.17)

u(y, t) =y

HAω cos(ωt) . (18.18)

Aus (18.18) folgt fur die Schergeschwindigkeit:

γ(t) = 2 Dxy(t) =∂u

∂y+

∂v

∂x=

A

Hω cos(ωt) . (18.19)

Mit (18.19) in (18.11) folgt eine lineare, gewohnliche Differentialgleichung fur die Schubspan-nung τ = σxy:

τ + λ1dτ

dt=

µ Aω

Hcos(ωt) . (18.20)

(18.20) hat die Losung:

τ(t) =µ Aω

H(1 + λ21ω

2)cos(ωt) +

λ1 µ Aω2

H(1 + λ21ω

2)sin(ωt) .

18.2. Lineare Viskoelastizitat 233

Diese Gleichung wird zweckmaßigerweise wie folgt umgeformt:

τ(t) = µ′

[Aω

Hcos(ωt)

]

+ G′

[A

Hsin(ωt)

]

; (18.21)

mit µ′ =µ

1 + λ21ω

2und G′ =

µ

λ1

λ21ω

2

1 + λ21ω

2. (18.22)

µ′ und G′ sind die Realteile der komplexen Viskositat bzw. des komplexen Moduls.

Die Schubspannung besteht aus zwei Termen: Der erste ist proportional zur Schergeschwindigkeitund ist der einzige Term, der fur λ1ω → 0 ubrig bleibt, der zweite ist proportional zur Verzerrungwie bei einem elastischen Korper. Fur hohe Frequenzen λ1ω →∞ gibt nur der zweite Term einenBeitrag zur Schubspannung.

Ein Vergleich von experimentellen Ergebnissen und der Voraussage dieser Theorie ist fur µ′ undG′ in Abb. 18.3 gegeben.

Abbildung 18.3: Vergleich zwischen Experiment und Theorie fur Silikonkautschuk,µ = 8 · 104 Pa s, λ1 = 0, 31 s; Daten von F. N. Cogswell

Im allgemeinen wird das Verhalten hochmolekularer Flussigkeiten durch die einfache Gleichung(18.11) nur qualitativ beschrieben, die Darstellung einer genaueren Theorie ist nicht mehr Gegen-stand dieser Vorlesung.

18.2.4 Deborah-Zahl

Die Gleichungen (18.21) und (18.22) sagen aus, daß gilt:

λ1ω ≪ 1 : τ ≈ Viskositat · γ , (18.23)

λ1ω ≫ 1 : τ ≈ Modul · γ . (18.24)

ω ist dabei der Kehrwert der charakteristischen Prozeßzeit. Wir konnen also sagen, daß die Ant-wort des Stoffes auf eine Beanspruchung vom Verhaltnis zwischen Relaxationszeit und Prozeßzeitabhangt. Dieses dimensionslose Verhaltnis wird nach Markus Reiner Deborahzahl1 genannt. Wirkonnen damit das Ergebnis unserer Uberlegungen in diesem Unterabschnitt wie folgt zusammen-fassen:

1In Anlehnung an das Lied der Deborah im Buch Richter V, 5:”Vor Jahwe zerrannen die Berge...“. Die Prophetin

wußte, daß bei hinreichend langen Beobachtungszeiten selbst Gesteine ihre Form verandern und fließen. M. Reiner,Physics Today 17, p. 62 (1964)


Ein viskoelastischer Stoff verhalt sich wie eine viskose Flussigkeit, wenn die Deborahzahl klein istund wie ein elastischer Festkorper, wenn die Deborahzahl groß ist.

Beispielhaft sie angemerkt, daß die Relaxationszeiten von Polymerschmelzen in der Großenordnungvon 10−2 s (bei Polyestern) und ∼ 10 s ( bei Polyolefinen) liegen.

18.3 Nichtlineare Viskoelastizitat

18.3.1 Allgemeines; konvektive Ableitung von Tensoren

Im vorstehenden Abschnitt wurde die fur kleine Deformationen anwendbare Stoffgleichung einerMaxwell-Flussigkeit eingefuhrt. Daran anknupfend wollen wir hier eine das Spannungs-Deformationsverhaltenbeschreibende Stoffgleichung fur eine viskoelastische Flussigkeit herleiten, die nicht dieser Be-schrankung unterliegt.

Vorbereitend dazu seien einige kinematische Uberlegungen aus Abschnitt 3.2 wiederholt. Gegebensei zu diesem Zweck ein Geschwindigkeitsfeld v

∼

(x∼

, t) in einem kartesischen Koordinatensystem x∼

=(x1, x2, x3). Es konnen die folgenden kinematischen Tensoren definiert werden:

• der Geschwindigkeitsgradient

L≈

= ∇∼

v∼

(18.25 a)

• die Deformationsgeschwindigkeit

D≈

=1

2

(∇∼

v∼

+ (∇∼

v∼

T)

; (18.25 b)

• die Rotationsgeschwindigkeit

W≈

=1

2

(∇∼

v∼

− (∇∼

v∼

T)

. (18.25 c)

Die Deformationsgeschwindigkeit D≈

ist ein Maß fur die Geschwindigkeit, mit der sich der Abstandbenachbarter Teilchen durch die Stromung andert. Der Tensor der Rotationsgeschwindigkeit gibtdie Drehgeschwindigkeit eines

”kleinen“ Teilchens an.

Es ist unmittelbar einsichtig, daß fur den Spannungszustand an einem Ort bei einer Flussigkeitnur D

≈

, nicht aber W≈

von Bedeutung ist. So ist bei einer newtonschen Flussigkeit der Tensor derReibungsspannungen proportional zur Deformationsgeschwindigkeit. Bei der in Abschnitt 18.2.2eingefuhrten Maxwell-Flussigkeit, (18.14), ist der Spannungszustand von der Geschichte der De-formationsgeschwindigkeit abhangig. In der zu (18.14) aquivalenten Gleichung (18.11) wird diesdurch die partielle Ableitung der Spannung berucksichtigt. Wegen der partiellen Zeitableitung istdie Stoffgleichung (18.11) auf infinitesimale Deformationen beschrankt. Es liegt deshalb nahe, zuvermuten, daß der Gultigkeitsbereich von (18.11) auf allgemeine Stromungen ausgedehnt werdenkann, wenn die partielle Ableitung durch eine konvektive Ableitung eines Tensors ersetzt wird.Eine solche Ableitung ist z. B. durch folgenden Ausdruck gegeben:

ϑσ≈

ϑt=

∂σ≈

∂t+ v

∼

· ∇∼

σ≈

− σ≈

· L≈

− L≈

T · σ≈

. (18.26)

Zur Unterscheidung von anderen konvektiven Ableitungen nennt man (18.26)”kontravariante kon-

vektive Zeitableitung“. Es kann gezeigt werden, daß (18.26) invariant gegen eine starre Translationund Rotation des Bezugssystems ist. Zur Interpretation von (18.26) untersuchen wir die zeitliche

18.3. Nichtlineare Viskoelastizitat 235

Ableitung des Tensorprodukts eines in Lagrangeschen Koordinaten gegebenen Abstandsvektorszweier Teilchen dx

∼

mit sich selbst:

d

dt(dx

∼

dx∼

)=dx

∼

dtdx

∼

+dx∼

dx∼

dt

= dv∼

dx∼

+dx∼

dv∼

= dx∼

· L≈

dx∼

+dx∼

dx∼

· L≈

= L≈

T · dx∼

dx∼

+dx∼

dx∼

· L≈

.

Hieraus folgt:

ϑ

ϑt(dx

∼

dx∼

)=∂

∂t(dx

∼

dx∼

) + v∼

· ∇∼

(dx∼

dx∼

)︸︷︷︸

− (dx∼

dx∼

) · L≈

− L≈

T · (dx∼

dx∼

)

=d

dt(dx

∼

dx∼

) − (dx∼

dx∼

) · L≈

− L≈

T · (dx∼

dx∼

) = 0

(18.26 a)

Die kontravariant konvektive Ableitung eines korperfesten Abstandsvektors mit sich selbst ver-schwindet also identisch. Dies legt nahe, (18.26) als eine Ableitung zu betrachten, die die Ande-rung eines Tensors relativ zum deformierten Kontinuum beschreibt. Zur Herleitung wird auf dieLiteratur uber Kontinuumsmechanik, insbesondere auf die grundlegende Arbeit von Oldroyd2 [3]verwiesen.

18.3.2 Maxwell-Oldroyd Flussigkeit

Die Stoffgleichung der linearen Maxwell-Flussigkeit (18.22) kann fur beliebig große Deformationenverallgemeinert werden, wenn die partielle Zeitableitung auf der linken Seite durch die kontrava-riant konvektive Ableitung (18.26) ersetzt wird:

σ≈

+ λ1

ϑσ≈

ϑt= 2µD

≈

. (18.27)

Dies ist die Stoffgleichung der Maxwell-Oldroyd Flussigkeit B; λ1 ist die Relaxationszeit und µdie Viskositat. Fur den vollstandigen Spannungstensor folgt:

S≈

= −pI≈

+ σ≈

. (18.28)

Man kann zeigen, daß S≈

und σ≈

symmetrisch sind:

S≈

= S≈

T , σ≈

= σ≈

T , bzw. Sij = Sji , σij = σji .

Wir wollen nun das Verhalten einer solchen Flussigkeit in einer Scherstromung untersuchen. Essei:

v∼

= (u, 0, 0) mit u = q y

Dann ist:

L≈

= ∇∼

v∼

=

0 0 0q 0 00 0 0

; σ≈

=

σxx σxy 0σyx σyy 00 0 σzz

.

2James Gardner Oldroyd (1921 - 1982)



ϑσ≈

ϑt= u

∂

∂x


−


0 0 0q 0 00 0 0

−

0 q 00 0 00 0 0


;

Der erste, unterstrichene Term verschwindet, da bei einer in x-Richtung homogenen Stromung derSpannungstensor σ

≈

keine Funktion von x ist.

ϑσ≈

ϑt= −q

2σyx σyy 0σyy 0 00 0 0

. (18.29)

Mit (18.29) geht (18.27) uber in:


− λ1q

2σyx σyy 0σyy 0 00 0 0

= µ q

0 1 01 0 00 0 0

. (18.30)

Die Losung von (18.30) bestimmt sich zu:

σxx = 2λ1µ q2

σxy = σyx = µq

σyy = 0 , σzz = 0 . (18.31)

Fur den vollstandigen Spannungstensor folgt:

S≈

= −p

1 0 00 1 00 0 1

+

2λ1µ q2 µ q 0µ q 0 00 0 0

. (18.32)

Bei diesem Ergebnis ist dreierlei bemerkenswert:

• Die Maxwell-Oldroyd Flussigkeit B besitzt eine Normalspannungskomponente in Stromungs-richtung; wegen λ1 > 0 ist dies eine Zugspannung in Richtung der Stromlinien.

• Bezuglich der Schubspannung verhalt sich die Flussigkeit newtonsch, d. h. es ist σxy/q =µ =konst.

• Quer zur Stromungsrichtung ist keine Normalspannung vorhanden. Dies ist das Kennzeicheneiner großeren Klasse von Flussigkeiten, die als Weissenberg-Flussigkeiten bezeichnet werden.

Die hier vorgestellte Maxwell-Oldroyd Flussigkeit ist der einfachste Typ einer viskoelastischenFlussigkeit. Durch zusatzliche Glieder konnen sehr viel allgemeinere Flussigkeiten erzeugt werden,die insbesondere auch eine von der Schergeschwindigkeit abhangige Scherviskositat aufweisen.

Zur Beurteilung der elastischen Effekte sind die Normalspannungsdifferenzen

N1 = σxx − σyy (18.33 a)

und N2 = σyy − σzz (18.33 b)

instruktiver als die Normalspannung selbst, da durch die Differenzbildung der Einfluß des isen-tropen Druckes eliminiert wird. In einer Scherstromung besitzt nach (18.32) die Maxwell-OldroydFlussigkeit B eine positive erste Normalspannungsdifferenz, dagegen ist die zweite gleich Null.

Bei den bekannten Flussigkeiten, die elastische Effekte zeigen, ist die erste Normalspannungs-differenz positiv und vom Betrag her meist viel großer als die zweite, wobei N2 ebenfalls meistpositiv ist. Die bekannten Flussigkeiten liegen demnach bezuglich der Normalspannungseffekte inder Nahe der Maxwell-Oldroyd Flussigkeit B.

18.3. Nichtlineare Viskoelastizitat 237

18.3.3 Der Weissenberg-Effekt

Bei Scherstromungen hochmolekularer Flussigkeiten treten eine Reihe von Effekten auf, die denNormalspannungen zugeordnet werden konnen. Beispielhaft soll dafur der sogenannte Weissenberg-Effekt diskutiert werden. Eine Maxwell-Oldroyd Flussigkeit befinde sich im Zwischenraum zweierkonzentrischer Zylinder, von denen der innere mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit rotiere.Die Flussigkeit habe eine freie Oberflache, auf die der Umgebungsdruck wirkt. Die Hohe derFlussigkeitssaule sei so groß, daß Bodeneffekte keine Auswirkung auf die Form der freien Oberflachehaben, vgl. Abb. 18.4.

Abbildung 18.4: Schema der Stromungsanordnung

In einem (r, ϕ, z)-Koordinatensystem ist allein die ϕ-Komponente der Geschwindigkeit von Nullverschieden und eine Funktion von r. Zwischen den beiden Zylindern liegt also eine Scherstromungvor. Im gewahlten Koordinatensystem hat der Spannungstensor wegen der weiter oben angegebe-nen Eigenschaft der Maxwell-Oldroyd Flussigkeit die folgende Form:

σ≈

=

(0 σrϕ

σϕr σϕϕ

)

. (18.34)

Wegen der Homogenitat der Stromung bezuglich ϕ sind σϕϕ und σrϕ nur von r abhangig. Aus derBewegungsgleichung

v∼

· ∇∼

v∼

= −∇∼

p + ∇∼

· σ≈

(18.35)

folgt dann fur die r- und ϕ-Komponente:

−v2

ϕ

r= −dp

dr+

σϕϕ

r, (18.36)

0 = − 1

r2

d

dr

(r2σrϕ

)= µ

d

dr

(1

r

d

dr(rvϕ

)

. (18.37)

Aus (18.37) kann unter Heranziehen der Randbedingungen die Geschwindigkeitsverteilung be-stimmt werden. Die Gleichung ist identisch mit der fur die Geschwindigkeitsverteilung einer new-tonschen Flussigkeit unter denselben Randbedingungen; aus diesem Grund kann die Losung (15.8)ubernommen werden.


Aus (18.36) folgt eine Gleichung fur den Druck:

dp

dr=

d(ln r)

dr

dp

d(ln r)= −σϕϕ

r+

v2ϕ

r;

oderdp

d(ln r)= −σϕϕ + v2

ϕ . (18.38)

Formal kann in (18.38) σϕϕ durch die erste Normalspannungsdifferenz N1 ersetzt werden:

dp

d(ln r)= −N1 + v2

ϕ . (18.39)

Voraussetzungsgemaß wirkt auf die freie Oberflache der konstante Außendruck. Damit variiert dieFlussigkeitshohe proportional zum Druckgradienten:

dh

dr=

1

g

dp

dr. (18.40)

Bei einer newtonschen Flussigkeit ist N1 Null; nach (18.39) nimmt der Druck, und nach (18.40)die Flussigkeitshohe h mit r zu. Bei hochmolekularen Flussigkeiten ist N1 > 0. Aus (18.39) und(18.40) sieht man, daß dann der Flussigkeitsspiegel am drehenden inneren Zylinder hoher seinkann als am ruhenden außeren Zylinder. Dieses Hochklettern der Flussigkeit am Innenzylinderwird bei vielen viskoelastischen Flussigkeiten beobachtet. Der Effekt wurde von Weissenberg 1947als Normalspannungseffekt beschrieben.

18.4 Turbulenz bei viskoelastischen Flussigkeiten, Wider-

standsverminderung

Bei viskoelastischen Flussigkeiten sind außer einer Stoffkonstanten mit der Dimension einer Vis-kositat µ noch weitere Stoffgroßen von Bedeutung; bei der Maxwell-Oldroyd Flussigkeit ist dies z.B. die Relaxationszeit λ. Bei einer Stromung durch eine Kreisrohr kann mit dieser Zeit λ nebender Reynoldszahl Re eine zweite dimensionslosen Kennzahl gebildet werden:

We =λu

D;

u ist die mittlere Durchflußgeschwindigkeit und D der Rohrdruchmesser. Diese dimensionsloseGruppe heißt Weissenberg-Zahl We. Es ist klar, daß bei einer solchen Flussigkeit die Widerstands-zahl f bei einer Rohrstromung sowohl von Re als auch von We abhangt; also ist f = f(Re, We).

In Abb. 18.5 ist die Widerstandszahl fur die Rohrstromung einer verdunnten waßrigen Poly-merlosung dargestellt. Man erkennt, daß sich im turbulenten Bereich erhebliche Abweichungen vomnewtonschen Fall ergeben; bei dunnen Rohrleitungen wurde eine Abnahme der Widerstandszahlvon bis zu 90 % beobachtet, man bezeichnet diesen Effekt deshalb als Widerstandsverminderung.Allerdings besteht eine starke Abhangigkeit des Effekts vom Durchmesser, so daß bei großerenRohren der Effekt geringer ausfallt. Diese Widerstandsverminderung wurde zuerst von Toms imJahre 1948 beschrieben und wird daher in der Literatur oft als Toms-Effekt bezeichnet.

Widerstandsverminderung wird z. B. bereits durch Zusatz von 10 - 20 ppm Polyethylenoxid zuWasser erreicht. Obgleich diese Zusatze unter den Bedingungen des laminaren Fließens die Visko-sitat nur ganz geringfugig erhohen und den newtonschen Charakter nicht merklich beeinflussen,fuhren sie im Bereich der vollausgebildeten turbulenten Stromung zu der ober beschriebenen Ver-minderung der Widerstandszahl. Dies ist insofern uberraschend, als bei hochverdunnten Losungen

18.4. Turbulenz bei viskoelastischen Flussigkeiten, Widerstandsverminderung 239

Abbildung 18.5: Wirkung geringer Zusatze langkettiger Polymere zu Wasser auf die Wi-derstandszahl im Bereich der turbulenten Stromungen.a) Einfluß des Rohrdurchmessers; b) Einfluß der Polymerkonzentration

die Relaxationszeit sehr klein ist (≈ 10−5− 10−3 s) und daher die oben definierte Weissenbergzahlpraktisch den Wert Null hat. Nun bestehen aber in turbulenten Stromungen Geschwindigkeits-schwankungen hoher Frequenz, so daß das Produkt λω ≫ 1 sein kann. Bei einer derartigen Bean-spruchung ist nach (18.22) der elastische Spannungsanteil von der Großenordnung µ/λ. Es ist nunzu erwarten, daß Abweichungen vom newtonschen Verhalten dann auftreten, wenn das Verhaltniszwischen den viskosen und elastischen Spannungen von der Großenordnung “1“ ist. Die charak-teristische viskose Spannung bei turbulenten Rohrstromungen ist die Wandschubspannung τW .Eine Abweichung der Widerstandszahl vom newtonschen Verlauf ist damit zu erwarten, wenn derAusdruck

τW

µ/λ=

u2τλ

µ(18.41)

von der Großenordnung”1“ ist. Hierbei ist uτ die durch (11.23) definierte Wandschubspannungs-

geschwindigkeit. Eine Analyse experimenteller Ergebnisse zeigt, daß dieses mit Mitteln der Di-mensionsanalyse hergeleitete Ergebnis zutrifft.

Seit etwa 1970 haben sich zahlreiche Autoren mit der Widerstandsverminderung auseinanderge-setzt. Einige Resultate seien hier zusammengefaßt, [4, 5]:

1.) Gewohnlich sind die zur Verwendung kommenden Polymerlosungen so verdunnt, daß imlaminaren Bereich f = f(Re) ist.

2.) Der Ubergang von der laminaren zur turbulenten Stromung wird in der Regel durch dasnewtonsche Losungsmittel bestimmt.

3.) Die Widerstandsverminderung setzt bei einer kritischen Wandschubspannung ein, vgl. (18.41)und Abb. 18.5.

4.) Die Widerstandsverminderung nimmt mit zunehmender Reynoldszahl bis zu einem Maxi-malwert zu; bei einer weiteren Vergroßerung der Reynoldszahl folgt f schließlich wieder demnewtonschen Verlauf.

5.) Das Geschwindigkeitsprofil einer Stromung mit Widerstandsverminderung kann mit einem3-Zonen Modell beschrieben werden.


Turbulente Geschwindigkeitsprofile in Rohrstromungen werden meist in dimensionsloser Form dar-gestellt; vgl. (15.51) und (15.52). Zu diesem Zweck wurde in Abschnitt 15.7.4 gesetzt:

u+ =u

uτund y+ =

uτ

νy .

Hier ist u gemaß der Reynoldsschen Darstellung turbulenter Stromungsfelder der zeitliche Mit-telwert des Axialanteils der Geschwindigkeit an einem bestimmten Ort, uτ die Wandschubspan-nungsgeschwindigkeit und ν die kinematische Viskositat.

In dieser Darstellungsart ergibt sich fur eine newtonsche Flussigkeit das sogenannte universelleGeschwindigkeitsprofil, das unabhangig von der Reynoldszahl ist und bei dem zwei Bereiche zuunterscheiden sind: Die viskose Unterschicht in unmittelbarer Wandnahe mit

u+ = y+ (18.42)

und der turbulente Kern mit

u+ = 2, 5 ln y+ + 5, 5 . (18.43)

I Viskose UnterschichtII elastische Zwischenschicht

III turbulente Kernstromung

Abbildung 18.6: Dimensionsloses Geschwindigkeitsprofil in einer turbulenten Rohrstromungmit widerstandsvermindernden Zusatzen nach dem Modell von Virk [4]

In Rohrstromungen mit widerstandsvermindernden Zusatzen lassen sich nun drei Bereiche un-terscheiden, vgl. Abb. 18.6 Im Anschluß an die viskose Unterschicht, die im Vergleich zum new-tonschen Losungsmittel unverandert bleibt, folgt das Geschwindigkeitsprofil in einer sogenanntenelastischen Zwischenschicht der Beziehung

u+ = 11, 7 lny+ − 17 , (18.44)

die Virksches Grenzprofil genannt wird.

In daran anschließenden Kernbereich ist das Geschwindigkeitsprofil gegenuber dem newtonschenProfil um ∆B zu hoheren u+-Werten parallelverschoben, es ist:

u+ = 2, 5 ln y+ + 5, 5 + ∆B . (18.45)

∆B wachst mit zunehmender Widerstandsverminderung, bis sich die elastische Zwischenschichtschließlich auf Kosten des turbulenten Kerns bis zur Rohrachse ausgedehnt hat. Zum Verstand-nis der Widerstandsverminderung hat vor allem das Studium der Impulstransportmechanismenin turbulenten Grenzschichten beigetragen. Die Darstellung dieser Vorgange geht aber uber denRahmen dieses Buches hinaus, es wird deshalb auf die Literatur verwiesen, [6, 7].


Von allen unerwarteten Effekten, die bei der Stromung viskoelastischer Flussigkeiten beobachtetwerden, hat die Widerstandsverminderung die meisten wissenschaftlichen und technischen Spe-kulationen ausgelost. Was den wissenschaftlichen Teil betrifft, so ist man dem Verstandnis derVorgange zumindest nahegekommen; allerdings zeichnet sich eine großtechnische Nutzung des Ef-fektes zur Zeit noch nicht ab. Es sind Bemuhungen bekannt geworden, den beschriebenen Effektzur Verminderung des Druckverlusts in Erdolpipelines und in a einzusetzen.

Ahnliche Komplikationen wie bei der turbulenten Rohrstromung nichtnewtonscher Flussigkeitentreten auch bei den anderen Arten von Turbulenz auf, so z. B. bei Freistrahlen, Gitterstromungenund Grenzschichten. Bei diesen Vorgangen ist aber noch vieles ungeklart und gegenwartig nochThema der Forschung.


Zweck dieses kurzen Abschnittes war es, eine Einfuhrung in elementare Sachverhalte der Rheologiezu geben. Die in Abschnitt 18.2 dargestellte lineare Theorie wurde als Ausgangspunkt fur dieheuristische Herleitung einer allgemeineren Stoffgleichung gewahlt. Daneben kommt dieser Theorieauch praktische Bedeutung zu: Es ist moglich, aus den Ergebnissen des Oszillationsversuchs auf dieStruktur des untersuchten Stoffes zu schließen. Untersuchungen dieser Art werden deshalb vielfachzur Qualitatskontrolle herangezogen. Die eingefuhrte Deborahzahl ist nutzlich zur Klassifizierungvon Stromungen. Bei der Dimensionsanalyse darf die Relaxationszeit als zusatzliche Stoffkonstantebei viskoelastischen Flussigkeiten nicht ubersehen werden.

Die in Abschnitt 18.3 eingefuhrte Maxwell-Oldroyd Flussigkeit beschreibt qualitativ das Verhaltenhochmolekularen Flussigkeiten, insbesondere kann sie bei Untersuchungen von Normalspannungs-effekten durch Simulationsrechnungen zugrundegelegt werden.

Die praktische Anwendung der in Abschnitt 18.4 dargestellten Widerstandsverminderung konntedurch die Verminderung der Reibungsverluste zu erheblichen Energieeinsparungen beim Pipeline-Transport fuhren. Unabhangig von einer Anwendung hat die Untersuchung des Toms-Effektes zueinem besseren Verstandnis turbulenter Stromungen gefuhrt.

18.6 Literatur

[1] Bohme, G.: Stromungsmechanik nicht-newtonscher Flussigkeiten, Teubner Stuttgart (1981)

[2] Bird, L.B., R.C. Armstrong, Ole Hassager: Dynamics of Polymeric Liquids, 2 Bande, JohnWiley and Sons New York (1987)

[3] Oldroyd, J.G.: Proc. of the Royal Society A 200, S. 523 (1950)

[4] Giesekus, H.: Phanomenologische Rheologie, Springer-Verlag (1994)

[5] Virk, P.S.: J of Fluid Mechanics 70, 369 (1971)

[6] Giesekus, H. and M.F. Hibberd: Turbulence Phenomena in Drag Reducing Liquids. In: Trans-port Phenomena in Polymeric Systems 1, Wiley Eastern Limited, New Delhi (1987)

[7] Kline, S.J. et al: J of Fluid Mechanics 30, S. 741 (1967)

[8] Oldacker, D.K. and D.W. Tiederman: Physics of Fliuds 20, S. 133 (1977)


A.1

Anhang A

Mathematische Hilfsmittel

A.1 Einleitung

Die Großen, die zur Beschreibung von Stromungsvorgangen verwendet werden, konnen in dreiKategorien eingeteilt werden: Skalare, wie z. B. Druck, Temperatur, Dichte; Vektoren, wie z. B.Geschwindigkeit, Beschleunigung, Kraft und Tensoren, wie z. B. Spannung und Deformationsge-schwindigkeit.

Tensoren: a≈

, A≈

(zweimal unterstrichen)

Vektoren: v∼

, V∼

(einmal unterstrichen)Skalare: c, b.

Neben dieser sogenannten symbolischen Darstellung wird hier noch die Indexschreibweise benutzt,die weiter unten eingefuhrt wird. Ziel des Abschnittes ist es, die benotigten Grundoperationender Vektor- und Tensor- Algebra und -Analysis bereitzustellen. Dabei beschranken wir uns aufsogenannte kartesische Tensoren; fur eine weitergehende Darstellung wird auf die einschlagigeLiteratur verwiesen.

A.2 Skalare, Vektoren, Tensoren

A.2.1 Bezugssysteme

Gegeben sei ein Raum, in welchem wir stromungsmechanische Versuche beliebiger Art ausfuhren.Um die Resultate der vorgenommenen Beobachtungen zu ordnen, ist stets die Angabe von Ortund Zeit der Beobachtung notwendig.

Fur die Zeitmessung bedienen wir uns einer Uhr. Die numerische Anzeige dieses Gerates, gemessengegen einen beliebig festgesetzten Anfangszeitpunkt, nennen wir laufende Zeit und bezeichnen siemit t.

Zur Angabe des Ortes ist ein Bezugssystem festzulegen, mit dessen Hilfe der Raum vermessenwerden kann. Unter den verschiedenen Bezugssystemen, die vom Standpunkt der Raumstrukturgleichwertig sind, ist das orthogonale kartesische Koordinatensystem wegen seiner Einfachheitausgezeichnet. Die drei Achsen dieses Systems stehen paarweise senkrecht aufeinander; sie werdenmit x, y, z oder durch die Symbole xi mit i = 1, 2, 3 bezeichnet.

A.2.2 Skalare

Zahlreiche Beobachtungsgroßen lassen sich durch Angabe einer einzigen Zahl, der Maßzahl, undder jeweiligen Maßeinheit eindeutig kennzeichnen. Beispiele aus der Stromungsmechanik sind dieTemperatur und der Druck. Wir erhalten die Maßzahl, indem wir die interessierende physikalischeGroße auf eine geeignet gewahlte Maßeinheit beziehen; das Verhaltnis aus Große zu Maßeinheit

A.2 Anhang A. Mathematische Hilfsmittel

ergibt die Maßzahl. Diese ist eine reine Zahl, wird aber der Einfachheit halber ebenfalls als phy-sikalische Große bezeichnet.

Zur Unterscheidung von Großen, die durch mehr als nur eine Zahl beschrieben werden, fuhren wirfur Großen der betrachteten Art den Namen Skalar ein. Es gilt die Definition:

Skalare sind Großen, die durch Angabe einer einzigen Zahl festgelegt sind.

Jede skalare Große A ist als Funktion der Koordinaten xi(N)

aller zu ihrer Kennzeichnung not-

wendigen Punkte P(N)

, N = 1 . . . Z, und der Zeit darzustellen:

A = A(

xi(N)

, t)

. (A.1)

Wechselt man das Bezugssystem durch Ubergang zu neuen Koordinaten x′

i, so ergibt sich formal:

A′ = A′

(

x′

i(N), t′)

. (A.2)

Nun kann aber ein Beobachtungsergebnis definitionsgemaß nicht von der Wahl eines Bezugssystemsabhangen, es muß deshalb gelten:

A = A′. (A.3)

Ein Skalar ist deshalb eine Invariante. Diese mathematische Eigenschaft kann zur Definition einesSkalars verwendet werden.

A.2.3 Vektoren

Als Beispiel einer Große, zu deren Festlegung mehr als eine Zahlenangabe notwendig ist, betrachtenwir die Verschiebung eines Punktes. Dazu ist nicht nur eine Quantitatsangabe uber die Große derVerschiebung erforderlich, sondern auch eine Richtungsangabe. Großen dieser Art bezeichnen wirals Vektoren; es gilt die vorlaufige Definition:

Vektoren sind Großen, die einen Betrag und eine Richtung haben.

Vektoren konnen graphisch durch Pfeile reprasentiert werden, deren Lange den Betrag und derenLage die Richtung angibt. Wir definieren Vektoren als einander gleich, wenn sie den gleichenBetrag und die gleiche Richtung haben; ungeachtet davon, ob sie eine gleiche Anfangslage habenoder nicht. Mit dieser Festlegung sind Vektoren durch Angabe der Koordinatendifferenzen ihrerEnd- (P ) und Anfangspunkte (O) eindeutig festgelegt; im dreidimensionalen Raum also durch einZahlentripel, vgl. Abb. A.1.

Wir betrachten einen Vektor a∼

mit den Koordinaten ai

in einem Koordinatensystem xi. Wir

wahlen einen Anfangspunkt O mit den Koordinaten xi(O)

, der Endpunkt P mit xi(P )

ist durch a∼

festgelegt. Wir fuhren nun eine Koordinatentransformation durch; die explizite Form der Trans-formation ist dabei zunachst ohne Bedeutung. Fur O und P ergeben sich die Koordinaten x′

i(O)

und x′

i(P ). Das Zahlentripel a

ider Koordinaten des Vektors a

∼

transformiert sich demnach wie die

Differenz der Koordinaten von O und P . Mit dieser Eigenschaft kann eine genauere Definitiondes Begriffs Vektor formuliert werden; dabei ist es zweckmaßig, nicht die Koordinatendifferenzen,sondern die am Existenzort des Vektors gebildeten Differentiale zu benutzen:

Alle Zahlentripel, die sich beim Ubergang von einem Bezugssystem zum anderen wiedie Koordinatendifferentiale transformieren, stellen einen Vektor dar.

A.2. Skalare, Vektoren, Tensoren A.3

-

6x2

x1

x2(O)

x1(O)

x2(P )

x1(P )

O

a∼

P

a∼

Abbildung A.1: Vektoren mit gleichem Betrag und gleicher Richtung sind gleich

A.2.3.1 Addition und Subtraktion von Vektoren

Die geometrische Interpretation von Vektoren als Verschiebung legt nahe, die Addition zweierVektoren a

∼

,b∼

als Ergebnis von zwei nacheinander ausgefuhrten Verruckungen zu definieren; diesergibt die Parallelogrammregel, vgl. Abb. A.2.

:

:

a∼

+ b∼

a∼

b∼

9

9−b

∼

a∼

a∼

− b∼

Abbildung A.2: Parallelogrammkonstruktion fur Addition und Subtraktion zweier Vektoren

Fur die Addition von Vektoren gilt das kommutative Gesetz

a∼

+ b∼

= b∼

+ a∼

(A.4)

und in gleicher Weise das assoziative Gesetz

a∼

+ (b∼

+ c∼

) = (a∼

+ b∼

) + c∼

. (A.5)

Die Subtraktion zweier Vektoren a∼

, b∼

ist definiert als die Summe von a∼

und (−b∼

) :

a∼

− b∼

= a∼

+ (−b)∼

(A.6)

A.2.3.2 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar

Das Produkt X∼

aus einem Skalar a und einem Vektor x∼

X∼

= ax∼

(A.7)


hat folgende Eigenschaften:

• Der Betrag von X∼

ist gleich dem Produkt der Betrage von a und x∼

.

• Die Richtung von X∼

ist gleich oder entgegengesetzt der Richtung von x∼

, je nachdem ob apositiv oder negativ ist.

Gemaß dieser Definition befolgt die Multiplikation von Vektoren mit Skalaren das kommutativeGesetz

x∼

a = ax∼

(A.8)

und das distributive Gesetz

x∼

· (a + b) = (a + b) · x∼

. (A.9)

bzw.

a · (x∼

+ y∼

) = ax + ay. (A.10)

A.2.3.3 Einheitsvektoren, Basisvektoren, Komponenten

Ist speziell a∼

ein Vektor in der Richtung von A∼

und dem Betrag 1, so gilt

A∼

= Aa∼

, mit A = |A∼

|.

Ein Vektor mit dem Betrag 1 heißt Einheitsvektor.

Es sei v∼

ein fester Einheitsvektor und a∼

ein beliebiger Vektor, der mit v∼

den Winkel ϕ = (a∼

, v∼

)bildet. Die Projektion von a

∼

auf die Gerade des Einheitsvektors ist die Große

av = a cosϕ. (A.11)

av heißt Koordinate von a∼

in Richtung von v∼

.

Vektoren beliebiger Richtung und beliebigen Betrags kann man durch ihre Koordinaten in be-zug auf drei nicht in einer Ebene liegende Einheitsvektoren kennzeichnen. Wir wahlen drei paar-weise aufeinanderstehende Einheitsvektoren e

∼1 , e∼2 , e

∼3 als Basisvektoren, deren Richtungen mitden Achsen eines kartesischen Koordinatensystems zusammenfallen mogen. Die Koordinaten einesVektors a

∼

in bezug auf die Basisvektoren, bzw. die Koordinatenachsen ergeben sich zu:

a1

= a cos (a∼

, e∼

1) ; a2

= a cos (a∼

, e∼

2) ; a3

= a cos (a∼

, e∼

3) . (A.12)

Die Koordinaten ergeben sich also eindeutig aus dem Betrag und dem Richtungscosinus. Umge-kehrt ergibt sich a

∼

als Diagonale in einem Quader, dessen Kantenlangen gleich den drei Koordi-naten a1, a2, a3 ist; daraus ergibt sich die Komponentendarstellung:

a∼

= a1e∼

1 + a2e∼

2 + a3e∼

3 ; (A.13)

oder kurzer:

a∼

= (a1, a2, a3) . (A.14)

Fur den Betrag von a∼

gilt:

|a∼

| = a =√

a21 + a2

2 + a23. (A.15)


A.2.4 Produkte von Vektoren

A.2.4.1 Das Skalarprodukt

Das Skalarprodukt zweier Vektoren a∼

, b∼

bildet eine skalare Große und ist wie folgt definiert:

a∼

· b∼

= a b cos (a∼

, b∼

) = a b cosϕ. (A.16)

Hierbei ist ϕ der Winkel zwischen den Vektoren a∼

und b∼

. Das Skalarprodukt ist also gleich demBetrag von a

∼

multipliziert mit der Projektion von b∼

auf a∼

oder umgekehrt. Es gelten folgendeGesetze:

a∼

· b∼

= b∼

· a∼

Kommutativgesetz (A.17)

a∼

· b∼

c∼

6= b∼

a∼

· c∼

Assoziativgesetz gilt nicht (A.18)

a∼

· (b∼

+ c∼

) = a∼

· b∼

+ a∼

· c∼

Distributivgesetz (A.19)

Nach der Definition (A.16) ist das skalare Produkt eines Vektors mit sich selbst gleich dem Quadratseines Betrages

a∼

· a∼

=∣∣a∼

2∣∣ = a2. (A.20)

Die Projektion des Vektors a∼

auf die Richtung des Einheitsvektors v∼

nach (A.11) laßt sich alsSkalarprodukt schreiben

av = a∼

· v∼

. (A.21)

Das Skalarprodukt zweier Vektoren, die aufeinander senkrecht stehen, verschwindet wegen cos 90 =0. Fur die Basisvektoren e

∼ieines kartesischen Koordinatensystems gilt somit:

e∼i· e∼j

= 1, fur i = 1, 2, 3 und e∼i· e

∼j= 0, fur i 6= j. (A.22)

Diese Eigenschaft wird zur Definition des Symbols Kronecker-Delta verwendet; es ist:

δij

= e∼i· e

∼j=

1 fur i = j0 fur i 6= j

(A.23)

Damit ergibt sich fur die Darstellung von a∼

· b∼

in Indexschreibweise:

a∼

· b∼

=(

aie∼i

)

·(

bje∼j

)

= aibjδij

= a1b1 + a2b2 + a3b3; (A.24)

oder kurzer:

a∼

· b∼

= aibi. (A.25)

Bei (A.24) und (A.25) wurde von der Summenkonvention Gebrauch gemacht. Diese besagt, daßuber doppelt vorkommende Indizes in einem Produkt grundsatzlich von 1 bis 3 summiert wird.

A.2.4.2 Das Vektorprodukt

Das Vektorprodukt zweier Vektoren a∼

und b∼

bildet einen Vektor, es ist definiert durch:

a∼

× b∼

= a b sin (a∼

, b∼

) n∼ab

. (A.26)

n∼ab

ist ein Einheitsvektor, der mit a∼

,b∼

in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem bildet. Der Betragdes Vektorproduktes ist gleich der Flache des Parallelogramms, das von a

∼

und b∼

aufgespannt wird.


Aus der Definition folgt, daß:

a∼

× a∼

= 0. (A.27)

Sind e∼

1, e∼

2 und e∼

3 Basisvektoren eines kartesischen Koordinatensystems mit e∼i· e∼j

= δij

, so gilt:

e∼

1 × e∼

2 = e∼

3 , e∼

2 × e∼

3 = e∼

1 , e∼

3 × e∼

1 = e∼

2 ; (A.28)

und

e∼

2 × e∼

1 = −e∼

3 , e∼

3 × e∼

2 = −e∼

1 , e∼

1 × e∼

3 = −e∼

2 . (A.29)

Fur das Vektorprodukt zweier Vektoren a∼

,b∼

gelten folgende Gesetze:

a∼

× b∼

= −b∼

× a∼

Kommutativgesetz gilt nicht (A.30)

a∼

× (b∼

× c∼

) 6= (a∼

× b∼

)× c∼

Assoziativgesetz gilt nicht (A.31)

a∼

× (b∼

+ c∼

) = a∼

× b∼

+ a∼

× c∼

Distributivgesetz gilt (A.32)

Zur Ausfuhrung des Vektorprodukts ist es zweckmaßig, ein neues Symbol εijk

einzufuhren. εijk

ist wie folgt definiert:

εijk

=

+1 falls ijk eine gerade Permutation von 1,2,3 ist,also fur 123, 231, 312 ;

−1 falls ijk eine ungerade Permutation von 1,2,3 ist,also fur 321, 132, 213 ;

0 falls zwei oder mehr Indizes identisch sind.

(A.33)

ε heißt in der Literatur alternierender Einheitstensor oder ε-Tensor. Mit (A.33) konnen (A.28)und (A.29) zusammengefaßt werden:

e∼i× e

∼j= ε

ijke∼k

. (A.34)

Fur das Vektorprodukt zweier Vektoren a∼

, b∼

folgt die Darstellung:

a∼

× b∼

=(

aje∼j

)

×(bke∼k

)=(

e∼j× e

∼k

)

ajbk

= εijk

e∼i

ajbk

(A.35)

=

∣∣∣∣∣∣

e∼

1 e∼

2 e∼

3

a1 a2 a3

b1 b2 b3

∣∣∣∣∣∣

.

Bei (A.34), (A.36) wurde jeweils von der Summenkonvention Gebrauch gemacht.

εijk

ajbk

ergibt nach (A.36) die Koordinaten des Vektorprodukts a∼

× b∼

. Fur das Skalarprodukt

von d∼

mit c∼

= a∼

× b∼

folgt:

d∼

· c∼

= dici= d

iε

ijka

jbk. (A.36)

Bei der Berechnung mehrfacher Vektorprodukte bedient man sich mit Vorteil der leicht herzulei-tenden Identitaten:

εijk

εlmk

= εijk

εklm

= δilδjm− δ

imδjl

; (A.37)

εijk

εhjk

= 2 δih

. (A.38)

Wir berechnen das Produkt a∼

× (b∼

× c∼

) = a∼

× d∼

:

d∼

= die∼i

= εijk

e∼i

bjck; (A.39)

a∼

× d∼

= εlmi

e∼l

amdi= ε

lmie∼l

amεijk

b∼j

ck

= εlmi

εijk

e∼l

amckbj

=(

δlj

δmk− δ

lkδmj

)

e∼l

amckbj

= e∼l

akckbl− e

∼la

jclbj

= (a∼

· c∼

) b∼

− (a∼

· b∼

) c∼

. (A.40)


A.2.5 Tensoren

In der Stromungsmechanik kommen auch Großen vor, zu deren Festlegung noch mehr Zahlenan-gaben erforderlich sind als bei Vektoren. Man kann auf diese Große durch Verallgemeinerung derdurch (A.11) und (A.21) ausgedruckten Eigenschaft eines Vektors schließen. Nach (A.21) ordnetein Vektor jeder Raumrichtung, die durch einen Einheitsvektor festgelegt ist, einen Skalar zu; esist:

an = a∼

n∼

, mit |n∼

| = 1. (A.41)

Die neue Große, die wir Tensor nennen (genauer: Tensor zweiter Stufe) ordnet jeder Raumrichtungoder allgemeiner jedem Vektor v

∼

einen Vektor w∼

zu; wir setzen in Indexschreibweise:

w1

=T11v1+T12v2

+ T13v3,

w2

=T21v1+T22v2

+ T23v3,

w3

=T31v1+T32v2

+ T33v3,

(A.42)

Der Vektor w∼

ist nach (A.42) eine lineare Vektorfunktion von v∼

. Der Zusammenhang ist durchdie Skalare T

ijfestgelegt; die T

ijheißen Koordinaten des Tensors T

≈

. Die rechte Seite von (A.42)kann als Produkt von T

≈

und v∼

geschrieben werden; fur die Komponenten folgt unmittelbar:

wi= T

ijv

j. (A.43)

Ein spezielles Beispiel fur einen Tensor zweiter Stufe ist das Tensorprodukt zweier Vektoren a∼

, b∼

:

a∼

b∼

= aibje∼i

e∼j

. (A.44)

Im allgemeinen ist a∼

b∼

6= b∼

a∼

. Das Tensorprodukt wird hier ohne ein zusatzliches Rechenzeichengeschrieben. (A.44) legt nahe, das Tensorprodukt der e

∼i, e∼j

als Basis einzufuhren. Wir definierendazu die ij-te Komponente von e

∼ke∼l

durch das Produkt zweier Kronecker-Deltas δki

δlj

. Damit

wird:

e∼

1e∼

1 =

1 0 00 0 00 0 0

, e∼

1e∼

2 =

0 1 00 0 00 0 0

, e∼

2e∼

1 =

0 0 01 0 00 0 0

, usw. (A.45)

Der Einheitstensor, der jeden Vektor in sich selbst abbildet, ergibt sich mit A.45 zu:

1≈

= δij

e∼i

e∼j

. (A.46)

Es gelten folgende Produktregeln:

e∼i

e∼j

: e∼k

e∼l

= δilδjk

, (A.47)

e∼i

e∼j· e

∼k= e

∼iδjk

, (A.48)

e∼i· e∼j

e∼k

= δij

e∼k

, (A.49)

e∼i

e∼j· e

∼ke∼l

= δjk

e∼i

e∼l

. (A.50)

Damit ergeben sich fur die Verknupfung von Tensoren folgende Regeln:

• Addition von zwei Tensoren:

S≈

+ T≈

=(

Sij

+ Tij

)

e∼i

e∼j

, (A.51)

• Multiplikation mit einem Skalar:

aT≈

= aTij

e∼i

e∼j

, (A.52)


• Skalarprodukt zweier Tensoren:

S≈

: T≈

= Sij

Tkl

e∼i

e∼j

: e∼k

e∼l

, = Sij

Tkl

δilδjk

= Sij

Tji

. (A.53)

• Verjungendes Produkt:

S≈

· T≈

= Sij

Tkl

e∼i

e∼j· e

∼ke∼l

, = Sij

Tjl

e∼i

e∼l

. (A.54)

• Verjungendes Produkt mit einem Vektor:

S≈

· v∼

= Sij

vke∼i

e∼j· e∼k

= Sij

vje∼i

. (A.55)

Es ist S≈

· v∼

6= v∼

· S≈

; es sei denn, S≈

ist symmetrisch(

Sij

= Sji

)

.

Fur die Anwendung in der Stromungsmechanik sind symmetrische Tensoren von besonderer Be-deutung. Wir wollen deshalb eine geometrische Interpretation versuchen.

Es sei T≈

ein symmetrischer Tensor und x∼

ein beliebiger Vektor, dessen Anfangspunkt im Koordinaten-ursprung O liege. Da x

∼

ein Ortsvektor ist:

x∼

= OP = xe∼

1 + ye∼

2 + ze∼

3, (A.56)

stellt die Gleichung

x∼

· T≈

· x∼

= T11x2 + T22y

2 + T33z2 + 2T12xy + 2T23yz + 2T13xz = konst. (A.57)

fur einen festen Wert der Konstanten eine Flache zweiter Ordnung dar, deren Zentrum im Ko-ordinatenursprung O liegt. Der Wert der Konstanten in (A.57) beeinflußt allein die Abmessungder Flache, sie wird deshalb +1 oder −1 gewahlt, je nachdem, ob der eine oder andere Wert einereelle Flache liefert. Wegen ihrer geometrischen Bedeutung ist die Flache (A.57) unabhangig vonder Wahl des Koordinatensystems.

Wir fragen nun nach einem Vektor x∼

, dem der symmetrische Tensor T≈

einen Vektor gleicher oderentgegengesetzter Richtung zuordnet. Es muß also gelten:

T≈

· x∼

= λx∼

. (A.58)

Diese Gleichung definiert eine Eigenwertaufgabe: Es wird nach Großen x∼

gesucht, die durch denOperator T

≈

bis auf einen Faktor λ in sich selbst abgebildet werden. In Komponenten lautet (A.58):

(T11 − λ)x+ T12y + T13z = 0T21x+ (T22 − λ)y + T23z = 0T31x+ T32y +(T33 − λ)z = 0

(A.59)

mit Tij

= Tji

.

Die homogene Gleichung (A.59) hat nur dann eine nicht triviale Losung, wenn die Koeffizienten-determinante verschwindet. Diese Bedingung ergibt eine Gleichung dritten Grades in λ:

−λ3 + λ2I1 + λI2 + λI3 = 0, (A.60)

wobei zur Abkurzung folgende Bezeichnungen verwendet wurden:

I1 = Tii, I2 =ij Tji, I3 = εijkT1iT2jT3k. (A.61)

A.3. Vektoranalysis A.9

Ist T≈

symmetrisch, so hat Gleichung (A.61) drei reelle Losungen, die sogenannten Eigenwerte λ(i)

.

Zu jedem Eigenwert λ(i)

erhalt man durch Losen von (A.59) den zugehorigen Eigenvektor x∼(i)

, der

allerdings nur bis auf einen konstanten Faktor bestimmt ist; es ist ublich, die x∼(i)

so zu normieren,

daß |x∼i| = 1 ist. Man kann einfach zeigen, daß die zu verschiedenen Eigenwerten gehorenden Ei-

genvektoren senkrecht zueinander stehen. Wir schreiben dazu (A.58) fur zwei Eigenwerte λ(1)

, λ(2)

und die zugehorigen Eigenvektoren x∼(1)

, x∼(2)

an:

T≈

x∼(1)

= λ(1)

x∼(1)

, T≈

x∼(2)

= λ(2)

x∼(2)

. (A.62)

Wir multiplizieren die erste der beiden Gleichungen skalar mit x∼(2)

die zweite mit x∼(1)

und sub-

trahieren dann die zweite von der ersten:

0 = x∼(2)

T≈

x∼(1)− x

∼(1)T≈

x∼(2)

=(

λ(1)− λ

(2)

)

x∼(1)· x

∼(2). (A.63)

Wegen λ(1)6= λ

(2)ist x

∼(1)· x

∼(2)= 0, d. h. x

∼(1)steht senkrecht zu x

∼(2).

Die Eigenvektoren konnen als Basis eines Koordinatensystems gewahlt werden, des sog. Haupt-achsensystems. Dieses System ist dadurch ausgezeichnet, daß in ihm die Nebendiagonalelementedes Tensors verschwinden und in der Hauptdiagonale die Eigenwerte stehen; dies folgt unmittelbaraus (A.58).

Die Gleichung der Tensorflache (A.57) nimmt im Hauptachsensystem ihre kanonische ´Form an:

λ(1)

x21

+ λ(2)

x22

+ λ(3)

x23

= konst. (A.64)

Wie die Tensorflache sind auch die Eigenwerte unabhangig vom Koordinatensystem, d. h. sie sindInvarianten. Wahlt man z. B. in (A.64) die Konstante zu 1 und sind weiter alle λ

(i)positiv, so

stellt die Tensorflache ein Ellipsoid dar, dessen Halbachsen a, b, c wie folgt mit den λ(i)

zusam-

menhangen:

a =1

√

λ(1)

, b =1

√

λ(2)

, c =1

√

λ(3)

. (A.65)

Statt der Eigenwerte, die sich etwas umstandlich berechnen, bildet man andere Invarianten. OhneBeweis sei mitgeteilt, daß dies durch die Bildung der Spur, das ist die Summe der Diagonalelemente,von T

≈

, T≈

2 und T≈

3 geschehen kann; in Komponentenschreibweise:

I = trT≈

= Tii

(A.66)

II = trT≈

2 = Tij

Tji

(A.67)

III = trT≈

3 = Tij

Tjk

Tki

(A.68)

I, IIund III bezeichnet man als Invarianten des Tensors T≈

.

A.3 Vektoranalysis

A.3.1 Skalar- und Vektorfelder

Man spricht vom Feld einer Große, wenn deren Wert fur jeden Punkt des Raumes oder einesRaumgebietes definiert ist. So ist durch die skalare Funktion Φ = Φ(x

∼

) ein Skalarfeld und durchdie Vektorfunktion v

∼

= v∼

(x∼

) ein Vektorfeld bestimmt. Je nachdem, ob Φ bzw. v∼

von der Zeitabhangen, spricht man von stationaren oder instationaren Feldern.


Skalarfelder konnen durch Niveaulinien oder Niveauflachen veranschaulicht werden; diese ent-stehen, wenn Punkte mit gleichen Funktionswerten Φ verbunden werden.

Vektorfelder lassen sich im allgemeinen durch Feldlinien veranschaulichen. Dies sind Kurven, diein jedem Punkt tangential zum Feldvektor verlaufen. Ein Beispiel dafur sind die Stromlinienin stationaren Stromfeldern.

A.3.2 Gradient eines Skalarfeldes; Nabla-Operator

Wie andert sich eine skalare Funktion Φ(x∼

), wenn vom Punkt P (x∼

) um dx∼

nach P ′(x∼

+ dx∼

)fortgeschritten wird ? Es gilt:

dΦ =∂Φ

∂xdx +

∂Φ

∂ydy +

∂Φ

∂zdz (A.69)

Die rechte Seite dieser Gleichung kann als skalares Produkt zweier Vektoren geschrieben werden:Der eine ist das Vektordifferential dx

∼

und der andere ist die Große

∇∼

Φ = e∼

x∂Φ

∂x+ e

∼y∂Φ

∂y+ e

∼z∂Φ

∂z. (A.70)

Gl.(A.69)lautet damit:

dΦ = ∇∼

Φ · dx∼

. (A.71)

Der Vektor ∇∼

Φ heißt Gradient von Φ, er wird oft auch als gradΦ geschrieben. Es sei nun e∼

derEinheitsvektor in Richtung von dx

∼

:

dx∼

= e∼

|dx∼

| = e∼

ds .

Aus (A.69) und (A.70) folgt damit: dΦ = ∇∼

Φ · dx∼

= ∇∼

Φ · e∼

|dx∼

| = |∇∼

Φ| cos(∇∼

Φ, e∼

)ds

und ferner

dΦ

ds= ∇

∼

Φ · e∼

= |∇∼

Φ| cos(∇∼

Φ, e∼

) . (A.72)

Nach (A.72) ordnet ∇∼

Φ jeder Raumrichtung e∼

einen Skalar zu; damit ist nachgewiesen, daß ∇∼

Φein Vektor ist. Aus (A.72) folgen als Eigenschaften von ∇

∼

Φ:

• ∇∼

Φ steht senkrecht auf den Linien bzw. Flachen mit Φ = konst.;

• ∇∼

Φ zeigt in Richtung des starksten Anstiegs des Feldes Φ.

Nach der ersten Eigenschaft liegt ∇∼

Φ parallel zum Normalenvektor n∼

der Niveaulinien bzw. -Flachen.

Der Gradient eines Skalarfeldes Φ nach (A.70) laßt sich als Produkt des Vektors ∇∼

mit der ska-laren Funktion Φ auffassen; ∇

∼

hat als Elemente keine Zahlen, sondern Differentiationsbefehle. Inkartesischen Koordinaten hat ∇

∼

die Darstellung:

∇∼

= e∼

1∂

∂x+ e

∼2

∂

∂y+ e

∼3

∂

∂z. (A.73)

∇∼

heißt Nabla-Operator. Seine Elemente transformieren sich bei einer Koordinatentransformationwie die Koordinaten. Das Produkt von ∇

∼

mit der skalaren Funktion Φ hat deshalb eine vom


Koordinatensystem unabhangige Bedeutung. In der Tat ist eine koordinatenfreie Definition desGradienten einer skalaren Funktion in der Form einer Volumenableitung moglich:

∇∼

Φ = limV →0

1

V

∫

A(V )

Φn∼

dA . (A.74)

Hierbei ist A die geschlossene Oberflache des Volumens V und n∼

die Oberflachennormale. ZumBeweis wahlen wir einen kleinen Zylinder, dessen Achse die Richtung von ∇

∼

Φ hat, vgl. Abb. A.3.

Auf der Grundlinie hat Φ bis auf Großen hoherer Ordnung den Wert Φ0− h|∇∼

Φ|, auf der Deckflachedagegen den Wert Φ0+ h|∇

∼

Φ|. Beim Oberflachenintegral ist zu beachten, daß n∼

die außere Normaleist. Der Mantel des Zylinders liefert keinen Betrag zum Integral, da in jedem Querschnitt Φkonstant ist und es zu jedem n

∼

dA ein gleichgroßes, entgegengesetztes Element gibt; damit folgtfur das Integral:

∮

Φn∼

dA = 2 h A∇∼

Φ .

Wir dividieren mit dem Zylindervolumen V = 2 h A und erhalten im Limes V → 0 genau denAusdruck (A.74).

Der Nabla-Operator gestattet die Einfuhrung einer Richtungsdifferentation, die nach (A.72) furskalare Funktionen wie folgt geschrieben werden kann:

dΦ

ds= (e

∼

· ∇∼

)Φ = e∼

· (∇∼

Φ) (A.75)

wobei wir dx∼

= dse∼

gesetzt haben und e∼

der Einheitsvektor in Richtung der Tangente beimFortschreiten im Sinne von s ist. Diese Formulierung laßt sich ohne weiteres auch auf vektorielleFunktionen v

∼

ausdehnen. Der entsprechende Richtungsdifferentialquotient lautet:

dv∼

ds= (e

∼

· ∇∼

)v∼

= e∼

· (∇∼

v∼

). (A.76)

Die Anderung dv∼

ist danach darstellbar als skalares Produkt des Vektors dx∼

= e∼

ds mit dem nurvom Ort aber nicht von der Richtung abhangigen Tensor ∇

∼

v∼

.

Abbildung A.3: Berechnung eines Gradienten


Rechenregeln fur die Operation”Gradient “

∇∼

(Φ + Ψ) = ∇∼

Φ + ∇∼

Ψ (A.77 a)

∇∼

(Φ ·Ψ) = Φ · ∇∼

Ψ + Ψ · ∇∼

Φ (A.77 b)

A.3.3 Fluß, Divergenz und Gaußscher Satz

Eine fur die Stromungsmechanik zentrale Begriffsbildung ist das Flachenintegral

φ =

∫

A

j∼

· n∼

dA (A.78)

in dem dA ein Flachenelement der Flache A bedeutet und n∼

der Normalenvektor des Flachenele-ments ist. Zur Veranschaulichung betrachten wir eine Flussigkeit der Dichte (x

∼

), die mit der Ge-schwindigkeit v

∼

(x∼

) = u(x∼

) e∼

x durch ein Rohr mit dem rechtwinkligen Querschnitt xy stromt.Das Vektorfeld

j∼

(x∼

) = (x∼

)v∼

(x∼

) (A.79)

gibt die Stromungsdichte der Masse an; j∼

hat die Dimension Masse pro Zeit- und Flacheneinheit.Der Fluß von j

∼

durch die rechte Schnittflache ∆A = yz des Quaders in Abb. A.4 mit demNormalenvektor n

∼

= e∼

x, den wir im folgenden als Massenfluß oder Massenstrom bezeichnen wollen,berechnet sich zu:

φ2 =

∫

∆y∆z

j∼

(x∼

) · n∼

dA ≈ (x∼

2)v∼

(x∼

2) · n∼

∆y∆z = (x∼

2)u(x∼

2)∆x∆y = jx(x∼

2)∆y∆z. (A.80)

Hierbei ist x∼

2 ein reprasentativer Punkt der Flache A. Das Integral gibt die Flussigkeitsmengean, die in der Zeiteinheit die Flache ∆A in Richtung der Flachennormalen n

∼

= e∼

x durchstromt.Entsprechend gilt fur den Massenstrom durch die linke Begrenzungsflache:

φ1 ≈ −(x∼

1)v∼

(x∼

1)∆y∆z. (A.81)

Das negative Vorzeichen erscheint, weil die Flachennormale in die negative x-Richtung zeigt undsomit n

∼

= −e∼

x ist. Aus Vergleich von (A.80) und (A.81) erkennt man, daß bei einer Stromung indas Volumen hinein der Massenstrom negative Werte annimmt und bei einer Stromung aus demVolumen heraus positiv ist.

∆x

∆y∆z

∆A1 ∆A2

v∼

e∼

x

Abbildung A.4: Flussigkeitsstromung in einem rechteckigen Rohr.

Fur den gesamten Massenstrom aus dem Volumen in Abb. A.4 folgt:

φx = φ1 + φ2 = ∆yzjx = yzzjx

x. (A.82)


Statt der Stromung durch ein rechtwinkliges Rohr konnen wir auch die Stromdichte einer raumli-chen Stromung in einem kleinen Flussigkeitsvolumen untersuchen.Wir betrachten dazu ein wurfelformi-ges Volumen mit den Kantenlangen x,y,z und das Geschwindigkeitsfeld

v∼

(x∼

) = u(x∼

)e∼

x + v(x∼

)e∼

y + w(x∼

)e∼

z. (A.83)

Der einzige Unterschied zu der zuvor betrachteten Stromung mit nur einer Komponente in x-Richtung besteht darin, daß nun auch Massenstromungen durch die anderen vier Seitenwande desWurfels stattfinden. Die Summe der Massenstromung pro Volumeneinheit durch alle Seitenwandedes Wurfels ist daher gleich

limV →0

1

V

∮

A(V )

v∼

· n∼

dA = limV →0

1

V

∮

A(V )

j∼

· n∼

dA (A.84)

= limV →0

1

V

(jx

x+jy

y+jz

z

)

= ∇∼

· j∼

= ∇∼

· (v∼

).

Hierbei ist: V = x · y · z das Volumen des Wurfels, A(∆V ) dessen Oberflache und dasIntegrationssymbol zeigt an, daß uber die geschlossene Oberflache A(V ) des Wurfels integriertwird. Bei dem hier betrachteten Fall der Stromung einer Flussigkeit fließt durch eine geschlosseneFlache genau soviel hinein wie heraus; der Gesamtmassenstrom verschwindet also, es sei denn,daß im Innern von A(V ) Quellen oder Senken (negative Quellen) vorhanden sind, aus denenFlussigkeit austritt oder in denen Flussigkeit verschwindet.Die rechte Seite von (A.85) stellt den Quotienten des gesamten Massenstromes aus dem Wurfelund dem Wurfelvolumen fur den GrenzfallV → 0 dar und heißt Divergenz des Vektorfeldes j

∼

. Inder Stromungsmechanik ist die Divergenz damit ein Maß fur die spezifische Quellstarke eines Ge-schwindigkeitsfeldes, sie hat eine vom Koordinatensystem unabhangige physikalische Bedeutung.

Gl.(A.85) kann unmittelbar auf ein endliches Volumen angewandt werden, man erhalt:

∫

V

∇∼

· j∼

dV =

∮

A(V )

(j∼

· n∼

) dA . (A.85)

A(V ) ist die Oberflache des betrachteten Volumens V . Diese fur die Stromungsmechanik wichtigeGleichung heißt Integralsatz von Gauß. Fur ein spezielles Feld der Form v

∼

= a∼

Φ(x∼

), hierbei sei a∼

ein konstanter Vektor und Φ(x∼

) ein skalares Feld, folgt als Sonderfall aus (A.85):

∫

V

∇∼

Φ(x∼

) dV =

∮

A

Φ(x∼

)n∼

dA . (A.86)

Rechenregeln fur die Operation”Divergenz“

∇∼

· (u∼

+ v∼

) = ∇∼

· u∼

+ ∇∼

· v∼

(A.87 a)

∇∼

·Φv∼

= Φ∇∼

· v∼

+ v∼

· ∇∼

Φ (A.87 b)

∇∼

· (∇∼

Φ) = ∇∼

2Φ = ∆Φ (A.87 c)


A.3.4 Zirkulation, Rotation und Stokesscher Satz

Die Zirkulation eines Geschwindigkeitsfeldes v∼

(x∼

) langs einer geschlossenen Kurve C ist durch einKurvenintegral definiert:

ΓC =

∮

C

v∼

· ds∼

=

∮

C

(vxdx + vydy + vzdz) . (A.88)

Durch den Weg C wird eine Integrationsrichtung vorgegeben, dabei wird die entgegen dem Uhrzei-gersinn verlaufende als positiv gewahlt. Bei einer Umkehr der Richtung andert sich das Vorzeichen.Zur anschaulichen Interpretation der Zirkulation betrachten wir eine starre Kreisscheibe, die sichmit der Winkelgeschwindigkeit ω um die z-Achse eines raumfesten, kartesischen Koordinatensy-stems dreht. Durch die starre Drehung ist ein Geschwindigkeittsfeld definiert: v

∼

ist z. B. in denPunkten des Kreises x2 + y2 = R2 tangential gerichtet und besitzt den Betrag v = Rω. Fur dieZirkulation erhalten wir:

ΓC =

∮

C

v∼

· dx∼

=

∮

eine Drehung

v∼

· dx∼

= (2πR2ω). (A.89)

Nach diesem Ergebnis ist die Zirkulation ein Maß fur die Drehung eines Geschwindigkeitsfeldes. Einandere Moglichkeit, die Zirkulation zu interpretieren, fuhrt uber die Betrachtung der Zirkulationum eine kleine rechteckige Schleife in einer Ebene z = konst. eines raumlichen Geschwindigkeits-feldes, vgl. Abb. A.5:

Γz =

∮

Cz

(vxdx + vydy) ≈ x [vx(x1, y, z)− vx(x3, y +y, z)]+y [vy(x +x, y2, z)− vy(x, y4, z)] ;

(A.90)

hier sind xi, yi reprasentative Punkte auf den Seiten (i) der Schleife. Die vorstehende Beziehung(A.90) kann umgeformt werden zu:

Γz = xy

[

−vx

y+vy

x

]

= xy

[

−∂vx

∂y+

∂vy

∂x

]

. (A.91)

1

2

3

4

x + ∆x

y + ∆y

x

y

Abbildung A.5: Zirkulation um eine kleine rechteckige Schleife in einer Ebene, z=konst.

Durch ausrechnen kann man zeigen, daß die rechte Seite von (A.91) die z-Komponente des Vek-torproduktes ∇

∼

× v∼

enthalt und wie folgt geschrieben werden kann:

Γz = (∇∼

× v∼

)z(A)z = ∇∼

× v∼

· n∼

A, mit : (A)z = xy und n∼

= e∼

z . (A.92)

A.4. Potential eines Vektorfeldes A.15

n∼

= e∼

z ist der Normalenvektor des Flachenelements um dessen Berandung die Zirkulation ge-bildet wurde. Hier haben wir das Flachenelement so gewahlt, daß n

∼

mit dem Einheitsvektor inz-Richtung zusammenfallt. Da nun das Skalarprodukt nicht vom Koordinatensystem abhangig ist,gilt (A.92)fur beliebig im Raum orientierte Flachenelemente:

Γ =

∮

A

∇∼

× v∼

· n∼

dA. (A.93)

Das Vektorprodukt von ∇∼

mit v∼

heißt Rotation von v∼

und wird auch als rotv∼

geschrieben. Aus-gehend von (A.93)bilden wir den Grenzubergang

limA→0

1

A

∮

v∼

· ds∼

= ∇∼

× v∼

· n∼

. (A.94)

Fur die Zirkulation einer rotierenden Kreisscheibe haben wir Eingangs dieses Abschnittes gefun-den:

Γ = 2πR2ω

Aus (A.94) folgt fur die z-Komponente der Rotation:

(∇∼

× v∼

)z =2πR2ω

πR2= 2ω (A.95)

Fur jeden Punkt eines starren Korpers gilt offensichtlich: ∇∼

×v∼

= 2ω∼

. Allgemein laßt sich damit dieRotation eines Vektorfeldes v

∼

wie folgt deuten: Die Komponente der Rotation in einer beliebigenRichtung n

∼

in einem Punkt x∼

ist gegeben durch die Zirkulation von v∼

pro Flacheneinheit um einekleine geschlossene Schleife, die die den Punkt x

∼

auf einer Ebene senkrecht zu n∼

umgibt.

Rechenregeln fur die Operation”Rotation“

∇∼

× (u∼

+ v∼

) = ∇∼

× u∼

+ ∇∼

× v∼

(A.96 a)

∇∼

× ∇∼

Φ = 0∼

(A.96 b)

∇∼

× (Φv∼

) = Φ∇∼

× v∼

+ ∇∼

Φ× v∼

. (A.96 c)

Stokesscher Satz Durch Unterteilung einer Flache A mit einer Randkurve C in Flachenele-mente A mit Randkurven C erhalten wir:

∮

C

v∼

· ds∼

=

∫

A

∇∼

× v∼

· ndA. (A.97)

Diese Gleichung heißt em Stokesscher Satz. Er sagt aus, daß die Zirkulation um einen geschlosse-nen Weg gleich der Rotationsstromung durch die umschlossene Flache ist; d. h.: Die Zirkulationwird durch eine Rotationstromung verursacht und umgekehrt, vgl. Abbildung A.6.

A.4 Potential eines Vektorfeldes

Durch Anwendung des Nabla-Operators kann jedem Skalarfeld Φ(x∼

) durch die Anwendung desNabla-Operators ein Vektorfeld v

∼

zugeordnet werden:

v∼

(x∼

) = ∇∼

Φ(x∼

), d.h. (A.98)


A

C

n∼

∇∼

× v∼

Abbildung A.6: Die Zirkulation um die geschlossene Kurve C ist die Summe aus den Zirkulationenum die kleinen “Quadrate“ auf der Flache A, die durch C berandet ist, und auch gleich demIntegral von (∇

∼

× v∼

) · n∼

uber die Flache A.

Im Falle eines Geschwindigkeitsfeldes (v∼

(x∼

)) bezeichnet man Φ(x∼

) als Geschwindigkeitspotential.

Existiert nun aber zu jedem Geschwindigkeitsfeld v∼

ein Potential Φ(x∼

)?

Antwort der Mathematik:Notwendig und hinreichend fur die Existenz eines Potentials ist die Wirbelfreiheit des Vektorfeldes(∇∼

× v∼

= 0∼

).

Wir fuhren den Beweis nur in eine Richtung: Wir setzen v∼

= ∇∼

Φ und zeigen, daß(∇∼

× ∇∼

Φ = 0∼

)

ist; es gilt:

vx =∂Φ

∂x, vy =

∂Φ

∂y, vz =

∂Φ

∂z. (A.99)

Fur die Komponenten von (∇∼

× v∼

) folgt:

∂vz

∂y− ∂vy

∂z=

∂2Φ

∂y∂z− ∂2Φ

∂z∂y≡ 0;

∂vx

∂z− ∂vz

∂x=

∂2Φ

∂x∂z− ∂2Φ

∂z∂x≡ 0;

∂vy

∂x− ∂vx

∂y=

∂2Φ

∂y∂x− ∂2Φ

∂x∂y≡ 0.

Was zu beweisen war.

A.5 Krummlinige orthogonale Koordinaten

Viele Probleme in der Stromungsmechnik lassen sich dadurch vereinfachen, dass man statt deskartesischen Koordinatensystems ein solches wahlt, das den Symmetrieverhaltnissen der gerade zubehandelnden Aufgabe Rechnung tragt. So wird z. B. die Stromung durch ein Kreisrohr sicherlichleichter in zylindrischen Koordinaten durchfuhrbar als in kartesischen.

Die neuen Koordinaten ξ1, ξ2, ξ3 seien dadurch festgelegt, dass die kartesischen Koordinaten x1, x2, x3

als Funktionen der ξ1, ξ2, ξ3 gegeben sind:

x1 = x1(ξ1, ξ2, ξ3), x2 = x2(ξ1, ξ2, ξ3), x3 = x3(ξ1, ξ2, ξ3).

Wir beschranken uns auf den Fall, dass die Flachenschaaren ξ1 = const., ξ2 = const., ξ3 = const.

A.5. Krummlinige orthogonale Koordinaten A.17

©1

©2

h1 dξ1h2 dξ2

h3 dξ3

Abbildung A.7: Volumenelement in krummlinigen orthogonalen Koordinaten

zueinander orthogonal sind. Unter dieser Voraussetzung gilt fur den Abstand ds zweier benach-barter Punkte

ds2 = dx12 + dx2

2 + dx32 = (h1dξ1)

2 + (h2dξ2)2 + (h3dξ3)

2,

wobei die h1, h2, h3 im allgemeinen Funktionen von ξ1, ξ2, ξ3 sind. Weiter soll das neue Koordina-tesystem ebenso wie das ursprungliche ein Rechtssystem sein. Wir betrachten nun ein Volumenele-ment, dessen Begrenzungsflachen mit den Koordinatenflachen ξ1 = const., ξ2 = const., ξ3 = const.zuzsammenfallen. Die Kantenlangen des Volumenelements seien: h1dξ1, h2dξ2, h3dξ3. Ferner seiΦ(ξ1, ξ2, ξ3) eine skalare Funktion und v

∼

(ξ1, ξ2, ξ3) ein Vektorfeld. Wir wollen nun untersuchen, wiesich die Operationen ∇

∼

Φ und ∇∼

· v∼

in den neuen Koordinaten darstellen. Fur die ξ1-Komponentevon ∇

∼

Φ = gradΦ erhalten wir aus seiner Definition (A.70):

(gradΦ)1 = limdξ1→0

Φ(ξ1 + dξ1, ξ2, ξ3)− Φ(ξ1, ξ2, ξ3)

h1dξ1=

1

h1

∂Φ

∂ξ1

fur die beiden Komponenten in 2 und 3 Richtung gelten entsprechende Ausdrucke.In entsprechender Weise berechnen wir den Wert der Divergenz des Vektorfeldes v

∼

aus der Defini-tion (A.85). Wir berechnen dazu den Gesamtfluß durch die Oberflache des Volumenelements unddividieren diesen durch das Volumen h1h2h3 dξ1dξ2dξ3.Fur den in Richtung der außeren Normalen genommenen Fluß durch das Flachenelement 1 gilt:

−(v1h2h3)ξ1dξ2dξ3,

entsprechend folgt fur das gegenuber liegende Flachenmelement 2:

(v1h2h3)ξ1+dξ1dξ2dξ3.

Die Summe der beiden Werte ergibt:

∂

∂ξ1(v1h2h3)dξ1dξ2dξ3.

Mit den entsprechenden Ausdrucken fur die beiden anderen Flachenpaare erhalten wir schließlich:

∇∼

· v∼

= divv∼

=1

h1h2h3 ∂

∂ξ1(v1h2h3) +

∂

∂ξ2(v2h3h1) +

∂

∂ξ3(v3h1h2) (A.100)


Fur die 1. Komponente von ∇∼

× v∼

= rot v∼

erhalt man in analoger Weise durch Auswertung derDefinition Gl.(A.94)

(∇∼

× v∼

)1 = (rot v∼

)1 =1

h2h3 ∂

∂ξ2(v3h3)−

∂

∂ξ3(v2h2) (A.101)

und entsprechend (nach zyklischer Vertauschung der Indizes) fur die Komponenten 2 und 3. DurchKombination von Gl.(A.100) und Gl.(A.101) erhalt man fur Φ = div gradΦ:

Φ =1

h1h2h3 ∂

∂ξ1(h2h3

h1

∂Φ

∂ξ1) +

∂

∂ξ2(h3h1

h2

∂Φ

∂ξ2) +

∂

∂ξ3(h1h2

h3

∂Φ

∂ξ3). (A.102)

Als Beispiel wollen nun die vorstehenden Formeln auf einen fur uns wichtigen Fall anwenden:

Zylinderkoordinaten

Hierbei ist: ξ1 = r, ξ2 = ϕ, ξ3 = z und x = rcosϕ, y = rsinϕ, z = z.Damit wird:

ds2 = dr2 + (r dϕ)2 + dz2 :

durch Vergleich folgt weiter: h1 = 1, h2 = r, h3 = 1.Fur den Gradienten einer skalaren Funktion (∇

∼

Φ) ergibt sich damit:

∇∼

Φ =∂Φ

∂re∼

r +1

r

∂Φ

∂ϕe∼

ϕ +∂Φ

∂zez. (A.103)

Fur die Divergenz und die Rotation einer Vektorfunktion v∼

= (vr, vϕ, vz) folgt:

∇∼

v∼

=1

r

∂(rvr)

∂r+

1

r

∂vϕ

∂ϕ+

∂vz

∂z; (A.104)

(∇× v∼

)r =1

r

∂vz

∂ϕ− ∂vϕ

∂z, (A.105)

(∇× v∼

)ϕ =∂vr

∂z− ∂vz

∂r, (A.106)

(∇× v∼

)z =1

r

∂(r vϕ)

∂r− 1

r

∂vr

∂ϕ. (A.107)

Fur die Potentialgleichung folgt schließlich:

Φ =1

r

∂

∂r(r

∂Φ

∂r) +

1

r2

∂2Φ

∂ϕ2+

∂2Φ

∂z2. (A.108)

A.6 Schlußbemerkung

In diesem Abschnitt wurden nur solche elementaren Tatsachen der Vektor- und Tensorrechnungzusammengestellt, die fur das Verstandnis der Vorlesung notwendig sind. Der eigentliche Vektor-und Tensorkalkul, mit dessen Hilfe man mit geeigneten Symbolen und Formalismen sowohl mitVektoren und Tensoren operieren als auch in ublicher Weise in krummlinighen Koordinaten rech-nen kann, ist insbesondere in der Stromungsmechanik elastischer Flussigkeiten unentbehrlich. SeineBehandlung geht aber uber das Ziel dieser Vorlesung hinaus.

B.1

Anhang B

Kontinuitats- und Navier-Stokes-Gleichungen

B.1 in symbolischer Schreibweise

Kontinuitatsgleichung

∂

∂t+ ∇

∼

· ( v∼

) = 0

fur inkompressible Flussigkeiten

∇∼

· v∼

= 0

Navier-Stokes-Gleichung fur inkompressible Flussigkeiten

(∂v

∼

∂t+ (v

∼

· ∇∼

) v∼

)

= −∇∼

p + ∇∼

· Σ≈

+ f∼

V

Stoffgesetz fur newtonsche Flussigkeiten

Σ≈

= 2 µ D≈

D≈

=1

2

(∇∼

v∼

+ (∇∼

v∼

)T)

B.2 in kartesischen Koordinaten fur inkompressible Fluide

Ortsvektor

x∼

= (x, y, z) = xe∼

x + ye∼

y + ze∼

z

Geschwindigkeitsvektor

v∼

= (u, v, w) = ue∼

x + ve∼

y + we∼

z

Nabla-Operator

∇∼

= e∼

x∂

∂x+ e

∼y

∂

∂y+ e

∼z

∂

∂z


∇∼

· v∼

=∂u

∂x+

∂v

∂y+

∂w

∂z= 0

Navier-Stokes-Gleichungen fur newtonsche Flussigkeiten

(∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ v

∂u

∂y+ w

∂u

∂z

)

=− ∂p

∂x+ µ

(∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2+

∂2u

∂z2

)

+ fx

(∂v

∂t+ u

∂v

∂x+ v

∂v

∂y+ w

∂v

∂z

)

=−∂p

∂y+ µ

(∂2v

∂x2+

∂2v

∂y2+

∂2v

∂z2

)

+ fy

(∂w

∂t+ u

∂w

∂x+ v

∂w

∂y+ w

∂w

∂z

)

=−∂p

∂z+ µ

(∂2w

∂x2+

∂2w

∂y2+

∂2w

∂z2

)

+ fz

B.2 Anhang B. Kontinuitats- und Navier-Stokes-Gleichungen

Zeitliche Ableitung

∂v∼

∂t=

∂u

∂te∼

x +∂v

∂te∼

y +∂w

∂te∼

z

Druckgradient

−∇∼

p = − ∂p

∂xe∼

x −∂p

∂ye∼

y −∂p

∂ze∼

z

Konvektive Ableitung

(v∼

· ∇∼

) v∼

=

(

(ue∼

x + ve∼

y + we∼

z) ·(

e∼

x∂

∂x+ e

∼y

∂

∂y+ e

∼z

∂

∂z

))

(ue∼

x + ve∼

y + we∼

z)

=

(

u∂

∂x+ v

∂

∂y+ w

∂

∂z

)

(ue∼

x + ve∼

y + we∼

z)

∣∣∣∣

e∼

i · e∼

j = δij =


=

(

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y+ w

∂u

∂z

)

· e∼

x

+

(

u∂v

∂x+ v

∂v

∂y+ w

∂v

∂z

)

· e∼

y

+

(

u∂w

∂x+ v

∂w

∂y+ w

∂w

∂z

)

· e∼

z

Divergenz eines Tensors

∇∼

· T≈

=

(

e∼

x∂

∂x+ e

∼y

∂

∂y+ e

∼z

∂

∂z

)

·

Txxe∼

xe∼

x + Txye∼

xe∼

y + Txz e∼

xe∼

z

+ Tyxe∼

ye∼

x + Tyye∼

y e∼

y + Tyz e∼

y e∼

z

+ Tzxe∼

z e∼

x + Tzye∼

z e∼

y + Tzz e∼

z e∼

z

=

∂

∂x(Txxe

∼x + Txye

∼y + Txz e

∼z)

+∂

∂y(Tyxe

∼x + Tyye

∼y + Tyze

∼z)

+∂

∂z(Tzxe

∼x + Tzy e

∼y + Tzz e

∼z)

∣∣∣∣

e∼

i · e∼

j e∼

k = δij e∼

k =

e∼

k fur i = j0 fur i 6= j

=

(∂Txx

∂x+

∂Tyx

∂y+

∂Tzx

∂z

)

·e∼

x

+

(∂Txy

∂x+

∂Tyy

∂y+

∂Tzy

∂z

)

·e∼

y

+

(∂Txz

∂x+

∂Tyz

∂y+

∂Tzz

∂z

)

·e∼

z

Elemente des Spannungstensors fur newtonsche Flussigkeiten σ≈

= −p1≈

+ Σ≈

σxx = −p + 2 µ∂u

∂xσxy = σyx = µ

(∂u

∂y+

∂v

∂x

)

σyy = −p + 2 µ∂v

∂yσyz = σzy = µ

(∂v

∂z+

∂w

∂y

)

σzz = −p + 2 µ∂w

∂zσxz = σzx = µ

(∂u

∂z+

∂w

∂x

)

B.3. in Zylinderkoordinaten fur inkompressible Fluide B.3

B.3 in Zylinderkoordinaten fur inkompressible Fluide

Ortsvektor

x∼

= (r, ϕ, z) = re∼

r + ϕvϕ + ze∼

z

Geschwindigkeitsvektor

v∼

= (vr , vϕ, vz) = vr e∼

r + vϕe∼

ϕ + vz e∼

z

Nabla-Operator

∇∼

= e∼

r∂

∂r+ e

∼ϕ

1

r

∂

∂ϕ+ e

∼z

∂

∂z


∇∼

· v∼

=∂vr

∂r+

1

r

∂vϕ

∂ϕ+

∂vz

∂z+

vr

r= 0

Navier-Stokes-Gleichungen fur newtonsche Flussigkeiten

(∂vr

∂t+ vr

∂vr

∂r+

vϕ

r

∂vr

∂ϕ+ vz

∂vr

∂z−

v2ϕ

r

)

=− ∂p

∂r+ µ

(∂2vr

∂r2+

1

r2

∂2vr

∂ϕ2+

∂2vr

∂z2+

1

r

∂vr

∂r− 2

r2

∂vϕ

∂ϕ− vr

r2

)

+ fr

(∂vϕ

∂t+ vr

∂vϕ

∂r+

vϕ

r

∂vϕ

∂ϕ+ vz

∂vϕ

∂z+

vr vϕ

r

)

=− 1

r

∂p

∂ϕ+ µ

(∂2vϕ

∂r2+

1

r2

∂2vϕ

∂ϕ2+

∂2vϕ

∂z2+

1

r

∂vϕ

∂r+

2

r2

∂vr

∂ϕ− vϕ

r2

)

+ fϕ

(∂vz

∂t+ vr

∂vz

∂r+

vϕ

r

∂vz

∂ϕ+ vz

∂vz

∂z

)

=− ∂p

∂z+ µ

(∂2vz

∂r2+

1

r2

∂2vz

∂ϕ2+

∂2vz

∂z2+

1

r

∂vz

∂r

)

+ fz

Zeitliche Ableitung

∂v∼

∂t=

∂vr

∂te∼

r +∂vϕ

∂te∼

ϕ +∂vz

∂te∼

z

Druckgradient

−∇∼

p = −∂p

∂re∼

r −1

r

∂p

∂ϕe∼

ϕ −∂p

∂ze∼

z

Divergenz eines Tensors

∇∼

· T≈

=

(∂Trr

∂r+

1

r

∂Tϕr

∂ϕ+

∂Tzr

∂z+

1

r(Trr − Tϕϕ)

)

· e∼

r

+

(∂Trϕ

∂r+

1

r

∂Tϕϕ

∂ϕ+

∂Tzϕ

∂z+

1

r(Trϕ + Tϕr)

)

· e∼

ϕ

+

(∂Trz

∂r+

1

r

∂Tϕz

∂ϕ+

∂Tzz

∂z+

1

rTrz

)

· e∼

z

B.4 Anhang B. Kontinuitats- und Navier-Stokes-Gleichungen

Elemente des Spannungstensors fur newtonsche Flussigkeiten σ≈

= −p1≈

+ Σ≈

σrr =−p + 2 µ∂vr

∂rσrϕ = σϕr =µ

(1

r

∂vr

∂ϕ+

∂vϕ

∂r− vϕ

r

)

σϕϕ =−p + 2 µ

(1

r

∂vϕ

∂ϕ+

vr

r

)

σϕz = σzϕ =µ

(∂vϕ

∂z+

1

r

∂vz

∂ϕ

)

σzz =−p + 2 µ∂vz

∂zσrz = σzr =µ

(∂vr

∂z+

∂vz

∂r

)

Konvektive Ableitung

(v∼

· ∇∼

) v∼

=

(

(vr e∼

r + vϕe∼

ϕ + vz e∼

z) ·(

e∼

r∂

∂r+ e

∼ϕ

1

r

∂

∂ϕ+ e

∼z

∂

∂z

))

(vr e∼

r + vϕe∼

ϕ + vz e∼

z)

=

(

vr∂

∂r+

vϕ

r

∂

∂ϕ+ vz

∂

∂z

)

(vr e∼

r + vϕe∼

ϕ + vz e∼

z)

∣∣∣∣

e∼

i · e∼

j = δij =


=

vr∂

∂r(vr e

∼r) +

vϕ

r

∂

∂ϕ(vr e

∼r) + vz

∂

∂z(vr e

∼r)

+ vr∂

∂r(vϕe

∼ϕ) +

vϕ

r

∂

∂ϕ(vϕe

∼ϕ) + vz

∂

∂z(vϕe

∼ϕ)

+ vr∂

∂r(vz e

∼z) +

vϕ

r

∂

∂ϕ(vz e

∼z) + vz

∂

∂z(vz e

∼z)

=

vr∂vr

∂re∼

r + vr2 ∂e

∼r

∂r+

vϕ

r

∂vr

∂ϕe∼

r +vϕvr1

r

∂e∼

r

∂ϕ+vz

∂vr

∂ze∼

r +vzvr∂e

∼r

∂z

+ vr∂vϕ

∂re∼

ϕ+vrvϕ∂e

∼ϕ

∂r+

vϕ

r

∂vϕ

∂ϕe∼

ϕ+ vϕ2 1

r

∂e∼

ϕ

∂ϕ+vz

∂vϕ

∂ze∼

ϕ+vzvϕ∂e

∼ϕ

∂z

+ vr∂vz

∂re∼

z +vrvz∂e

∼z

∂r+

vϕ

r

∂vz

∂ϕe∼

z +vϕvz1

r

∂e∼

z

∂ϕ+vz

∂vz

∂ze∼

z + vz2 ∂e

∼z

∂z

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂e∼

r

∂r= 0

∂e∼

r

∂ϕ= e

∼ϕ

∂e∼

r

∂z= 0

∂e∼

ϕ

∂r= 0

∂e∼

ϕ

∂ϕ= −e

∼r

∂e∼

ϕ

∂z= 0

∂e∼

z

∂r= 0

∂e∼

z

∂ϕ= 0

∂e∼

z

∂z= 0

=

vr∂vr

∂re∼

r + 0 +vϕ

r

∂vr

∂ϕe∼

r +vrvϕ

re∼

ϕ+vz∂vr

∂ze∼

r + 0

+ vr∂vϕ

∂re∼

ϕ+ 0 +vϕ

r

∂vϕ

∂ϕe∼

ϕ −vϕ

2

re∼

r +vz∂vϕ

∂ze∼

ϕ+ 0

+ vr∂vz

∂re∼

z + 0 +vϕ

r

∂vz

∂ϕe∼

z + 0 +vz∂vz

∂ze∼

z + 0

=

(

vr∂vr

∂r+

vϕ

r

∂vr

∂ϕ+ vz

∂vr

∂z− vϕ

2

r

)

· e∼

r

+

(

vr∂vϕ

∂r+

vϕ

r

∂vϕ

∂ϕ+ vz

∂vϕ

∂z+

vrvϕ

r

)

· e∼

ϕ

+

(

vr∂vz

∂r+

vϕ

r

∂vz

∂ϕ+ vz

∂vz

∂z

)

· e∼

z

C.1

Anhang C

Symbolverzeichnis

Symbol Bedeutung Dimension

A Flache L2

a Schallgeschwindigkeit LT−1

b Langenabmessung Lcp, cv spezifische Warmen L2T−2Θ−1

cW

Widerstandsbeiwert −d, D Durchmesser LD≈

Deformationsgeschwindigkeitstensor T−1

De Deborah-Zahl −e spezifische innere Energie L2T−2

F∼

Kraft MLT−2

g Schwerebeschleunigung MT−2

h spezifische Enthalpie L2T−2

I∼

Impuls MLT−1

L Drehimpuls ML2T−1

L≈

Geschwindigkeitsgradient T−1

m Masse Mm Massenstrom MT−1

M Machzahl −n∼

Normalenvektor −N Leistung ML2T−3

N1, N2 Normalspannungsdifferenzen ML−1T−2

p Druck ML−1T−2

r, R Radius LR Gaskonstante L2T−2Θ−1

Re Reynoldszahl −s Bogenlange LS≈

Spannungstensor ML−1T−2

St Strouhal-Zahl −t Zeit TT absolute Temperatur Θu, U Betrag der Str”mungsgeschwindigkeit LT−1

u∼

Geschwindigkeit u∼

= (u, v, w) LT−1

〈u〉 Mittelwert der Geschwindigkeit LT−1

u zeitlicher Mittelwert der Geschwindigkeit LT−1

uτ Wandschubspannungsgeschwindigkeit LT−1

v∼

Geschwindigkeit v∼

= (u, v, w) LT−1

V Volumen L3

W≈

Drehgeschwindigkeitstensor T−1

We Weissenberg-Zahl −

C.2 Anhang C. Symbolverzeichnis

Symbol Bedeutung Dimension

α Winkel −β Winkel −γ Scherungswinkel −γ Schergeschwindigkeit T−1

δ Grenzschichtdicke Lδ1 Verdrangungsdicke Lδ2 Impulsverlustdicke Lζ, ξ Druckverlustkoeffizient −κ Isentropenexponent −

Verhaltnis der spezifischen Warmen −λ Widerstandszahl bei Rohrstr”mungen −λ1 Relaxationszeit Tµ dynamische Viskositat ML−1T−1

ν kinematische Viskositat L2T−1

Dichte ML−3

σ∼

Spannungsvektor ML−1T−2

σ≈

Spannungstensor ML−1T−2

τ Schubspannung ML−1T−2

Φ Potential L2T−1

Ψ Stromfunktion L2T−1

ω Winkelgeschwindigkeit T−1

Ω≈

Winkelgeschwindigkeitstensor T−1

I, II, III Invarianten des D≈

-Tensors T−1, T−2, T−3

∇∼

Nabla-Operator L−1

∆ = ∇∼

2 Laplace-Operator L−2

Vervielfachungs-Vorsilben

Vorsatzsilbe Zehnerpotenz Kurzzeichen

Tera- 1012 TGiga- 109 GMega- 106 MKilo- 103 kHekto- 102 hDeka– 101 daDezi– 10−1 dCenti- 10−2 cMilli- 10−3 mMikro- 10−6 µNano- 10−9 n

D.1

Anhang D

Stichwortverzeichnis

Ableitungkontravariante konvektive Zeit–, 234konvektive –, 23, 234

kartesische Koordinaten, B.2Zylinderkoordinaten, B.4

materielle –, 23partielle –, 23substantielle –, 23

AblosungGrenzschicht, 186, 215in einem Krummer, 218

Adiabatengleichung, 56Ahnlichkeitsgesetz, 114Ahnlichkeitslosungen, 151aquivalente Rohrlange, 219Aerostatik, Grundgleichung, 36Aggregatzustand, 9d’Alembertsches Paradoxon, 75Anemometrie

Hitzdraht- –, 76Laser-Doppler- –, 76

Anfahrwirbel, 76Archimedisches Prinzip, 40Aufspaltung

Geschwindigkeit, turbulente, 126Reynoldssche, 126

Auftriebdynamischer, 218

Auftriebskraft, 39Ausflußformel, Torricellische, 59Ausflußgeschwindigkeit, 59ausgebildet, 121Außenstromung, 167Ausstromen

Flusigkeit aus einem Gefaß, 58Gas aus einem Druckbehalter, 110

Bahnlinie, 26, 77Basisgroße, 114Basisvektor, 21, A.4Bernoulli-Diffusor, 87Bernoulli-Gleichung, 51, 55, 56, 60, 72

inkompressibel, 101instationar, 52

stationar, 52Beschleunigung, 24

konvektive –, 24Bewegungsgleichung

Grenzschicht, laminar, 173newtonsche Flussigkeit, 140numerische Integration, 162reibungsfrei, 50turbulent, 203

BilanzgleichungMasse, 81

BlasiusWiderstandsgesetz, 130

Buckinghamsches Π-Theorem, 114

Carnotscher Stoßdiffusor, 86, 87Carreau-Yasuda-Ansatz, 225Chaos, deterministisches, 199Colebrook-White

Widerstandsgesetz, 133Couette-Stromung

eben, 144Geschwindigkeitsprofil, instationar, 165instationar, 150, 162

Maxwell-Oldroyd B Flussigkeit, 237newtonsche Flussigkeit, 122, 144schwingend, 153, 229Stabilitat, 192

Couette-Viskosimeter, 122, 124

d’Alembertsches Paradoxon, 75Deborah-Zahl, 233Deformation, 14Deformationsgeschwindigkeit, 229, 231, 234Deformationsgeschwindigkeitstensor, 135, 136,

224Deformationsrate, 136Dezibel dB, 113Dichte, 10Differentialgleichung

numerische Integration, 162Typ

elliptisch, 162hyperbolisch, 162

D.2 Stichwortverzeichnis

parabolisch, 162

Differenzengleichung, 163Differenzenquotient, 163

hinterer, 163mittlerer, 163

vorderer, 163Differenzenverfahren, 162

Diffusion, 11Diffusor

Bernoulli- –, 87

Carnot- –, 86, 87Carnotscher Stoß–, 86, 87

Haltekraft, 85dilatant, 18

Dilatanz, 18Dimensionsanalyse, 114

Dipolstromung, 71Divergenz

eines Tensorskartesische Koordinaten, B.2

Zylinderkoordinaten, B.3eines Vektors, A.12

Rechenregeln, A.13Drehimpulssatz, 87

Drehmoment

Kegel-Platte-Stromung, 146Druck, 33

dynamisch, 57im Staupunkt, 57

Maßeinheiten, 38statisch, 57

Druckabfall, siehe DruckverlustDruckgradient, 36, 55

Druckmessung, 56Druckverhaltnis

kritisches –, 102Druckverlust, 56

Durchstromung, allg., 218Gasstromung, isotherm, 149

Rohrstromung

laminar, 129turbulent, 130

WiderstandsgesetzBlasius, 130

Colebrook-White, 133Poiseuille, 129

Prandtl, 130Druckverteilung

ruhende Flussigkeit, 37Wirbel, 60

Druckwiderstand, 214, 217Duse, siehe Diffusor

Durchmesserhydraulischer, 133

Eigenvektoren eines Tensors, A.9Eigenwerte eines Tensors, A.8Einheitstensor, 33, A.7

alternierend, A.6Einheitsvektor, A.4Einlauflange, 134Einlauflange, 171, 211Energiebilanz, 90Energiedichte, 93Energiestromdichte, 92ε-Tensor, A.6Erhaltung

Drehimpuls, 87Impuls, 82Masse, 47, 81Zirkulation, 63

Euler-Gleichung, 50Eulersche Turbinengleichung, 88Eulersches Grundgesetz, 36Expansion

Prandtl-Meyer- –, 108Explosion, kugelsymmetrisch, 117

Farbfadenversuch, Reynoldsscher, 125Fehlerfunktion, 152Festkorper, 10, siehe auch Korper

linearelastisch, 14viskoelastisch, 14

Fließgesetz, siehe StoffgesetzFließgrenze, 17Fließkurve

Approximation, 225Carreau-Yasuda, 225Ostwald-de Waele, 225Potenzgesetz, 225

Bestimmung, 122newtonsche Flussigkeit, 15newtonscher Bereich

oberer, 225unterer, 225

nichtnewtonsche Flussigkeit, 17Fließspannung, 17Flussigkeit, 9

Bingham–, 18Gedachtnis, schwindend, 232hochmolekular, 16, 223, 229inkompressibel, 49, 50kompressibel, 50Maxwell, 231Maxwell-Oldroyd B, 237

Stichwortverzeichnis D.3

newtonsch, 15, 119nichtnewtonsch

inelastisch, 223Ostwald-de Waele, 225, 226reibungsfrei, 50rotierend, 38viskoelastisch, 15, 229, 235viskos, 15Weissenberg- –, 236

Formwiderstand, siehe Druckwiderstandfreie Oberflache

Flussigkeitsfilm, 120rotierende Flussigkeit, 38

Funktionentheorie, 68

Gas, 9ideal, 9

kalorisch –, 20thermisch –, 20

perfekt , siehe Gas, idealGasgesetz, ideales, 19Gastheorie, kinetische, 7Gauß, Satz von –, 26, 36, 141Gaußscher Satz, A.12Gesamtdruck, 57Geschwindigkeit, 23

Maximal–laminare Rohrstromung, 129turbulente Rohrstromung, 131

mittlerelaminare Rohrstromung, 129raumlich, 129turbulente Rohrstromung, 131zeitlich, 126, 129

GeschwindigkeitsfeldGrenzschicht

laminar, 168Plattengrenzschicht

laminar, 168Rohrstromung, turbulente, 126Zerlegung, 126

Geschwindigkeitsgradient, 12, 24, 234Geschwindigkeitsmessung, siehe AnemometrieGeschwindigkeitsprofil

Couette-Stromung, eben, instationar, 165dimensionsloses –, 240logarithmisches –, 2061/7-Potenzgesetz, 131Rohrstromung

laminar, 127, 128Ostwald-de Waele-Flussigkeit, 227

turbulente Rohrstromung, 131dimensionslos, 240

universelles –, 240Widerstandsverminderung, 239

Geschwindigkeitsschwankung, 126Geschwindigkeitsvektor


Gradienteines Skalars, A.10

Grenzprofil, Virksches, 240Grenzschicht

Ablosung, 186, 215laminar, 167, 168

Geschwindigkeitsfeld, 168Platte, parallel angestromt, 167, 168, 210turbulent, 210, 240Zylinder, 186, 215

Grenzschichtdickelaminar, 168turbulent, 210

Grenzschichtgleichung, 173, 186Losung fur Plattengrenzschicht, 175Naherungsverfahren, 178

Grundgleichung der Hydrostatik, 36

Haftbedingung, 120, 128, 142, 145Hagen-Poiseuillesches Gesetz, 129Haltekraft, 83

Diffusor, 85Krummer, 83, 84

Hauptachsensystem, A.9Hitzdraht-Anemometer, 76Homogenitat, raumliche, 140Hookescher Korper, 14, 230hydraulischer Durchmesser, 133Hydrostatik, Grundgleichung, 36hydrostatisches Paradoxon, 37

Impulserhaltung, 82Impulssatz, 82, 168Impulsstromdichte, 12Impulstransport, 11Indexnotation, A.5Indexschreibweise, A.5inkompressibel, 49, 50, 111Invarianten eines Tensors, 224, A.9isentrop, 50Isentropengleichung, 98Isobare, 36Isotropie, 140

Karmansche Wirbelstraße, 216Kesselwerte, 102Korper


Bingham–, 18Hookescher, 14, 230Stromung um einen –, 56

Widerstandszahl, 214Korperumstromung

Widerstandszahl, 214, 217koharente Struktur, 201kompressibel, 50, 111Kompressibilitat, 96

Vernachlassigung, 111Konsistenzfaktor, 17Kontinuitatsgleichung, 47, 81

differentiell, 49inkompressibel, 49kartesische Koordinaten, B.1kompressibel, 49makroskopisch, 53Mittelwertbildung, 202stationar, 49Stromfadentheorie, 53symbolische Schreibweise, B.1Zylinderkoordinaten, B.3

Kontinuumshypothese, 10Kontrollvolumen, 81, 83Koordinaten

Eulersche –, 22Lagrangesche –, 22materielle –, 22raumliche –, 22

Koordinaten, krummlinige, A.16Koordinatensystem

kartesisches –, 21Kraftebilanz, 121, 127Krummer, 218

Durchstromung, 83Haltekraft, 83, 84

kritische Großen, 102Kronecker-Delta, A.5Kugel, scleichende Stromung um eine, 158kugelsymmetrische Explosion, 117Kutta-Joukowski-Formel, 75

laminar, 125Laplace-Operator, 66, 69Laser-Doppler-Anemometer, 76Lautsprecher, 112Laval-Duse, 104Leckmenge eines Behalter, 111

Machscher Kegel, 99Machzahl, 96, 100

kritische, 102Magnus-Effekt, 75

Massenerhaltung, 81Massenkraft, 30Maxwell-Flussigkeit, 231Maxwell-Oldroyd B Flussigkeit, 237Meßtechnik, 76Mischungsweg, Prandtlscher, 204Mittelwert

raumlich, 129Rechenregeln, 201zeitlich, 126

Modul, komplexes, 233

Nabla-Operator, A.10kartesische Koordinaten, B.1Zylinderkoordinaten, B.3

Nachlaufstromung, 216Navier-Stokes-Gleichung

inkompressibel, 140kartesische Koordinaten, B.1Mittelwertbildung, 202reibungsfrei, 50symbolische Schreibweise, B.1turbulent, 203Zylinderkoordinaten, B.3

newtonscher Bereichoberer, 225unterer, 225

Newtonscher Schubspannungsansatz, 119, 128symbolische Schreibweise, 139

Newtonsches Fließgesetz, 15Normalspannung, 30, 31, 33, 203, 236Normalspannungsdifferenz, 236Normalspannungseffekt, 237Nullviskositat, 225Nusselt Zahl, 190

Oberflachenkraft, 30Oberflachenspannung, 44

maximale Steighohe, 46Operator

Laplace- –, 66, 69Nabla- –


Ortsvektor, 22kartesische Koordinaten, B.1Zylinderkoordinaten, B.3

Ostwald-de Waele-Flussigkeit, 225, 226Geschwindigkeitsprofil

Rohrstromung, 227Volumenstrom

Rohrstromung, 228Oszillationsviskosimeter, 230, 232


Paradoxond’Alembertsches, 75hydrostatisches –, 37

Parallelstromung, 70Permutationssymbol, A.6Π-Theorem, Buckinghamsches, 114Pitotrohr, 57Platte

ruckartig beschleunigt, 150schwingend, 153

Plattengrenzschichtlaminar, 168turbulent, 210

Potential, 66, siehe auch Potentialstromungeines Vektorfeldes, A.15komplex, 69

Potentialstromung, 167Dipolstromung, 71Parallelstromung, 70Potentialwirbel, 70Quellstromung, 70Superpositionsprinzip, 71, 73sberlagerung

Dipol und Parallelstromung, 73Quelle und Parallelstromung, 71Zylinderumstromung und Potentialwir-

bel, 73Zylinderumstromung, 73

Potentialstromungen, 66Potentialwirbel, 60, 70Potenzansatz, 130Potenzgesetz, 17, 2251/7-Potenzgesetz, 131Prandtl Widerstandsgesetz, 130Prandtl Zahl, 189Prandtl-Meyer-Welle, 108Prandtlscher Mischungsweg, 204Prandtlsches Staurohr, 58, 76Pufferschicht, elastische, 240

Quellstromung, 70Querschnittserweiterung

stetig, 87unstetig, 86

Rauhigkeit, 133Rechenregeln

Divergenz, A.13Mittelwerte, 201Rotation, A.15Tensoren, A.7Vektoren, A.5

Reibung, innere, 11, 56

reibungsfrei, 50

Reibungsspannungen, 33Reibungswiderstand, 214, 217

Relaxationsmodul, 232

Relaxationszeit, 231, 233, 238Reynoldssche Spannungen, 203

Reynoldsschen Darstellung turbulenter Großen,126

Reynoldsscher Farbfadenversuch, 125

Reynoldszahl, 117, 125, 126, 130, 156, 167,195

kritische –

Rohrstromung, 126Rheologie, 229

Ringspaltstromung, 148Rohrlange, aquivalente –, 219

Rohrstromung, 56, 125, 147

Dimensionsanalyse, 116Druckverlust

turbulent, 130Einlauflange, 171, 211

Geschwindigkeitsfeld

turbulent, 126Geschwindigkeitsprofil

laminar, 128

Ostwald-de Waele-Flussigkeit, 227turbulent, 131

laminar, 127Geschwindigkeitsprofil, 128

Maximalgeschwindigkeit, 129

mittlere Geschwindigkeit, 129Ostwald-de Waele-Flussigkeit, 227, 228

Schubspannungsprofil, 128Volumenstrom, 129

nicht kreisformiger Querschnitt, 133, 148

nichtnewtonsche Flussigkeit, 226Ostwald-de Waele-Flussigkeit

laminar, 227, 228Schubspannungsprofil

laminar, 128

turbulent, 129Geschwindigkeitsfeld, 126

Geschwindigkeitsprofil, 131

Volumenstrom, 129laminar, 129

Ostwald-de Waele-Flussigkeit, 228Widerstandsgesetz

Blasius, 130

Prandtl, 130turbulent, 130

Widerstandszahl, 129viskoelastische Flussigkeit, 238


Widerstandsverminderung, 238Rotation

eines Vektors, A.14Rechenregeln, A.15

Rotationsgeschwindigkeit, 234Ruhedruck, 57Ruhewerte, 102

Satzvon Gauß, 141von Gauß, 26, 36von Kelvin, 63

Schallgeschwindigkeit, 96, 98Schallpegel, 113Scherentzahung, 17Schergeschwindigkeit, 14, 122

ebene Couette-Stromung, 145Kegel-Platte-Stromung, 146

Schergradient, 14Scherung, 14Scherverzahung, 17Scherviskositat, siehe ViskositatSchichtenstromung, 11, 119

newtonsche Flussigkeit, 119, 144, 223Schleichende Stromung, 157schleichende Stromung, 158Schließungsproblem fur turbulente Stromun-

gen, 203Schubmodul, 14, 231Schubspannung, 14, 30

ebene Couette-Stromung, 145Hookescher Korper, 230Kegel-Platte-Stromung, 146

SchubspannungsansatzNewtonscher, 119, 128, 223

symbolische Schreibweise, 139veranderliche Viskositat, 223

Schubspannungsgeschwindigkeit, siehe Wand-schubspannungsgeschwindigkeit

SchubspannungsprofilRohrstromung

laminar, 128Schwankungsgeschwindigkeit, 126Schwimmlage, 41Schwingungsviskosimeter, 230Searle-Viskosimeter, 122Senkenstromung, siehe QuellstromungSichtbarmachung, 77Skalar, A.1

Definition, A.2Notation, A.1

Skalarfeld, A.9Skalarprodukt, A.8

Spaltstromung, 148

Spannungen, 30Reynoldssche, 203

scheinbare –, 203

turbulente –, 203Spannungskomponente, 30

SpannungstensorElemente fur newtonsche Flussigkeiten

kartesische Koordinaten, B.2

Zylinderkoordinaten, B.4Zerlegung, 33

Spannungsvektor, 30

Spur eines Tensors, 224Stabilitat, 191

Couette-Stromung, 192Stabilitatstheorie, hydrodynamische, 192

Starrkorperwirbel, 61

stationar, 49Staudruck, 57

Staupunkt, 56Temperaturerhohung, 111

Staurohr

Pitotsches –, 57Prandtlsches –, 58, 76

Stetigkeitsbedingung, 120, 142Stoßdiffusor

Carnotscher –, 86, 87

Stoffgesetz, 124Bingham-Flussigkeit, 18

generalisierte newtonsche Flussigkeit, 224

inelastische nichtnewtonsche Flussigkeit,224

Maxwell-Flussigkeit, 231newtonsche Flussigkeit, 15, 140

symbolische Schreibweise, 224, B.1

nichtnewtonsche inelastische Flussigkeit,224

Stokesscher Satz, A.14Stokssche Widerstandsformel, 160

Stromung, siehe auch Potentialstromung

aus einem Gefaß, 58ausgebildet, 121

Couette- –

eben, 144Geschwindigkeitsprofil, instationar, 165

instationar, 150, 162Maxwell-Oldroyd B Flussigkeit, 237

newtonsche Flussigkeit, 122

schwingend, 153, 229Stabilitat, 192

Diffusor, 85divergenter Kanal, 155


Einlauf– in Rohren, 171, 211Grenzschicht–, siehe Grenzschichtinkompressible Flussigkeit, 49, 50

aus einem Gefaß, 58instationar, 150kompressible Flussigkeit, 50konvergenter Kanal, 155Krummer, 83, 218laminar, 125Platte

ruckartig beschleunigt, 150schwingend, 153, 229

Ringspalt–, 148Rohr–, 56, 125, 129, 147

laminar, 127nicht kreisformiger Querschnitt, 133,

148nichtnewtonsche Flussigkeit, 226turbulent, 126

Schichten–, 119newtonsche Flussigkeit, 144

schleichend, 157schrage Wand, 120stationar, 49turbulent, 125, 129

Eigenschaften, 198um einen Korper, 56

Widerstandszahl, 214, 217um einen Zylinder

Widerstandszahl, 215zwischen zwei horizontalen, parallelen Plat-

ten, 144zwischen zwei parallelen Platten

schwingend, 229Stromungswiderstand, 214Stromfaden, 53Stromfadentheorie, 53

Anwendung, 56Stromfunktion, 67, 156

Bestimmung, 68Stromlinie, 26, 68, 77Stromrohre, 53Strouhal-Zahl, 216Struktur

koharente, 201molekulare, 10

strukturviskos, 18Summenkonvention, A.5Superpositionsprinzip, 71, 73

Taylor-Wirbel, 193Temperaturerhohung im Staupunkt, 111Temperaturgrenzschicht, 188

Temperaturleitfahigkeit, 94Tensor, A.7

Definition, A.7Deformationsgeschwindigkeits–, 224, 234Divergenz


Eigenvektoren, A.9Eigenwerte, A.8Einheits–, A.7

alternierend, A.6Geschwindigkeitsgradient, 234Invarianten, 224, A.9kinematischer –

Deformationsgeschwindigkeit, 224, 234Geschwindigkeitsgradient, 234Rotationsgeschwindigkeit, 234

Notation, A.1Rechenregeln, A.7Rotationsgeschwindigkeits–, 234Spur, 224Verzerrungs–, 230

Tensorprodukt, A.7Toms-Effekt, 238Torricellische Ausflußformel, 59Torsionsstromung, 146Transportgleichung, 25Transportphanomene, 11Turbinengleichung, Eulersche, 88turbulent, 125Turbulenz, 125

viskoelastische Flussigkeit, 238Turbulenzgrad, 126

Ubergang laminar/turbulent, 126, 178, 191,197, 211, 216, 228, 239

UmstromungKorper, 215

Widerstandszahl, 217Korper, 214rotierender Zylinder, 73Zylinder, querangestromt, 73, 186, 215

Widerstandszahl, 216Universelles Wandgesetz fur turbulente Stromun-

gen, 206Unterschicht

viskose –, 132, 203, 240

van der Waals-Krafte, 7Vektor, A.2

Basis–, A.4Definition, A.2Einheits–, A.4


Geschwindigkeits–kartesische Koordinaten, B.1Zylinderkoordinaten, B.3

Notation, A.1Orts–


Rechenregeln, A.5Vektorfeld, A.10Vektorprodukt, A.5Verdichtungsstoß

schief, 108senkrecht, 107, 108

Verdrangungsdicke, 170Verzerrung, 231Verzerrungstensor, 230Virksches Grenzprofil, 240Viskoelastizitat, 229

linear, 229nichtlinear, 234

viskose Unterschicht, 132, 203Viskosimeter

Couette- –, 122, 124Kapillar–, 129Kegel-Platte- –, 146Oszillations–, 230, 232Schwingungs–, 230Searle- –, 122

Viskositat, 10Druckabhangigkeit, 16dynamische –, 12ideales Gas, 12kinematische –, 12komplexe –, 233nichtnewtonsche Flussigkeit, 17, 224Null–, 225operative Definition, 13scheinbare –, 17Temperaturabhangigkeit, 15

Visualisierung, siehe SichtbarmachungVolumenelement, 127

Kraftebilanz, 121Volumenkraft, 30Volumenstrom, 129

Rohrstromunglaminar, 129Ostwald-de Waele-Flussigkeit, 228

Warmeleitung in reibungsfreien Fluiden, 92Warmeleitungsgleichung, 94Warmetransport

allgemeine Gleichung fur den, 93van der Waals-Krafte, 7

Wandgesetz, universelles, fur turbulente Stromun-gen, 206

Wandrauhigkeit, 133Wandschubspannnung, 210Wandschubspannung, 131, 170, 177, 205, 239

kritische –, 239Wandschubspannungsgeschwindigkeit, 131, 205,

239Wechselwirkungspotential, 7Weglange, mittlere freie, 12Weissenberg-Effekt, 237Weissenberg-Flussigkeit, 236Weissenberg-Zahl, 238Welle

Prandtl-Meyer- –, 108Widerstand

Druck–, 214, 217Form–, siehe Widerstand, Druck–Reibungs–, 214, 217

Widerstandsbeiwert, siehe WiderstandszahlWiderstandsgesetz

Blasius, 130Colebrook-White, 133Poiseuille, 129Prandtl, 130rauhe Rohre, 133Rohrstromung

laminar, 129turbulent, 130

Widerstandskoeffizient, siehe WiderstandszahlWiderstandskrisis, 216Widerstandsverminderung, 238Widerstandszahl

Korperumstromung, 217Korperumstromung, 214Rohrstromung, 129

viskoelastische Flussigkeit, 238Widerstandsverminderung, 238

Widerstandsverminderung, 238Zylinderumstromung, 215, 216

Wirbel, siehe PotentialwirbelKarmansche, 216Taylor, 193

Wirbelsatz von Kelvin, 63Wirbelstraße, Karmansche, 216Wirbelviskositat, 200, 207

ZerlegungGeschwindigkeit, turbulente, 126, 200

Zirkulation, 63, 75, A.14um Flugel, 75

Zustandsgleichung, 19, 109Zwischenschicht, elastische, 240


Zylinderumstromung, 73, 215rotierender Zylinder, 73Widerstandszahl, 215, 216


Documents

Strömungsmechanik f ür Bio- und Chemieingenieure · Vorwort Ganz schön dickes Skript werden einige von Ihnen am Anfang des Semest ers denken. Obwohl Sie nicht Unrecht haben,