Vol. XXV, 1974 83

Summanden konvexer K S r p e r

Von

I~OLF SCHI~EIDER

Ein konvexer K6rper A heiBt Summand des KSrpers K, werm es einen konvexen KSrper B gibt mit K = A q- ~. Dabei ist tinter einem konvexen KSrper eine nicht- leere, kompakte, konvexe Punktmenge des d-dimensionalen euklidischen Raumes E ~ (d ~ 2) verstanden; die Menge dieser KSrper sei mit ~d bezeichnet. Die Addition konvexer K6rper ist im Sinne der Vektorsumme zu verstehen, also A ~- B ~- {a ~- b I a e A, b e B}. Wir befassen uns bier mit geometrisehen Bedingungen dafiir, dal3 ein gegebener KSrper A Summand eines gegebenen KSrpers K ist. Fiir den Fall, dal3 A und K Polytope shad, ist ein derartiges Kriterium yon Shephard [2] angegeben wor- den. Wir bezeichnen mit F (K, u) die Stiitzmenge des konvexen KSrpers K e ~ zum s Normalenvektor u e S ~-1 : = {x e E ~ I <x, x) = 1}, also

F(K, u) ---- {xe K] <x, u) = H (K, u)};

dabei ist dureh

H (K, u) = Max (<x, u> [ x e K } , u e E~,

die Stiitz]unktion yon K defmiert (zu den Eigenschaften yon Stfitzmengen and Stiitz- funktionen sehe man Bonnesen-Fenchel [1], w 5). Das Kriterium yon Shephard [2] lautet nun:

Seien P, Q e ~ct Polytope. Das Polytop P ist genau dann ein Summand des Polytops Q, wenn die/olgenden Bedingungen erfiillt sind:

(1) d imF(P ,u ) :< ctimF(Q,u) /iir alle u e S a-l,

(2) Ist iV(Q, u) eine Kante, so ist die Kante (oder Ecke) F(P, u) hSctmtens so lang wie F(Q, u) (u e Sa-1).

Es ist leicht zu sehen, dab ffir Polytope P, Q die Bedingtmgen (1) und (2) zusammen gquivalent shad mit der folgenden Bedingung:

(3) Ist t ' (P , u) eine Kante yon P, so enthglt 2V(Q, u) ein Translat von F(P, u) (u e S~-I).

Mit dieser Formuliertmg 1/iBt der obige Satz sich verallgemehaern auf den Fall, dab Q ein beliebiger konvexer KSrper ist:

Satz. Seien P, K e ~a lzonvexe K6rper, P sei ein Polytop. Dam Polytop P ist genau dann ein Summand des KSrpers K, wenn zu ]eder Kante iv(p, u) yon P die Stiitzmenge F (K, u) ein Translat yon F (P, u) entMilt (u ~ Sa-1).

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8'~ R. SCHNEIDEK ARCH. MATH.

Dieser Satz ist yon Weft [5] (Theorem 3) bewiesen worden. Da der dort angegebene Beweis tiefer liegende Resultate aus [3] und [4] verwendet, mag der folgende ele- mentare Beweis yon Interesse sein. Er unterscheidet sich auch im Fall, dab K ein Polytop ist, yon dem Shephardschen Beweis, der die Ausdehnung auf den bier be- t rachteten allgemeineren Fall offenbar nicht zul/~Bt.

DaB die im Sat z angegebene Bedingxmg notwendig ist, folgt unmit telbar aus dem additiven Verhalten der Stfitzmengen, das heiBt aus der Gleichheit

F ( A + B , u ) = F ( A , u ) + I ' ( B , u ) , u e S ~ - l , A , B e ~ ~.

DaB die Bedingxmg hinreichend ist, zeigen wit zun/ichst fiir d = 2. Es sei also P e ~2 ein Polygon und K e ~ ein konvexer Bereich mit der Eigenschaft, dab zu jeder Kan te F (P, u) yon P die entsprechende Stiitzmenge F (K, u) eine mindestens ebenso lange Strecke ist. Mit Ul, . . . , un e S 1 seien die/~uBeren Normalenvektoren des Poly- gons P bezeichnet, also diejenigen Einheitsvektoren u, ffir die V (p, u) eine Kante ist. Es gibt eine Folge (K~)ie ~ konvexer Polygone mit Ki---->K (ira Sinne der iiblichen Metrik) f/ir i --> 0% wobei jedes Polygon K~ die Eigenschaft F(Ki , ul) ~= F ( K , ui) ftir ] = 1, . . . , n hat. Aus der Tatsache, dab zu jeder Kante F ( P , ul) yon P das Polygon K~ eine mindestens ebenso lange, parallele Kante F (Ki, u i) besitzt, folgt in bekannter, v611ig elementarer Weise (oder aus dem Fall d = 2 des obigen Satzes yon Shephard) die Existenz eines konvexen Polygons Q~ mit K~ = P + Q~. Aus der Konvergenz der Folge (K~) gegen K folgt die Konvergenz der Folge (Q0 gegen einen konvexen Bereich Q, ftir den dann K = P + Q gilt. Somit ist P ein Summand yon K.

lqun sei d ~ 3. Es sei P e ~ ein Polytop und K e ~ ein konvexer K6rper derart, dab zu jeder Kante F ( P , u) yon P die Stiitzmenge F(K, u) ein Translat yon F ( P , u) enth~lt. Wir setzen

G(u) = H ( K , u ) - - H ( P , u ) , u e E ~,

und weisen nach, dab die Funktion G konvex ist. Sie ist dann die Stfitzfunktion eines konvexen K6rpers A e ~ , fiir den die Gleichung K = P + A besteht; die Be- hauptung, dab P ein Summand yon K ist, ist damit beweisen.

Seien u, v linear unabh~ngige Vektoren des E 4, sei L c E ~ der yon ihnen aufge- sparmte llneare Unterraum. Die Vektoren u und v seien so gew/~hlt, dab f/it jeden Vektor w e L n S ~-1 die St/itzmenge F ( P , w) hSchstens eindimensional ist. Mit

: E ~ --> L sei die Orthogonalprojektion auf L bezeichnet. I s t F (~ P, w) mit w e L c~ S ~-1 eine Kante des Polytops ~ P , so ist das Urbild z:-lF(zeP, w) = F ( P , w) wegen der besonderen Wahl der Vektoren u und v eine Kante des Polytops P. Iqach Voraus- setzung enthalt die Stiitzmenge F ( K , w) ein Translat der Kante F ( P , w); daher enthalt das Bild z e F ( K , w ) = F ( x K , w) ein Translat der Kante F ( ~ P , w). Die ebenen konvexen Bereiche ~ P und ~ K erfiillen also die Bedingungen des Satzes. Nach dem bereits Bewiesenen gibt es daher einen konvexen Bereich B c L mit

K = ~ P + B. Beachten wit die fiir A e R g und w e L giiltige Beziehung H (~A, w) = = H (A, w), so ergibt sich

G(u + v) = H(K, ~z + v) -- H(P , u + v) = H(z~K, u + v) -- H(z~P, u + v) =

= H ( B , u + v) -~H(B,u) + H(B,v) = G(u) + G(v).

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Die nachzuweisende Ungleichung G (u q- v) ~ G (u) q- G (v) gilt also fiir alle Vektoren u, v e E a, die den oben angegebenen Bedingungen geniigen. Die Menge der hiernach zul~ssigen Paare (u, v) ist offenbar dicht ha E ~ • E~. Wegen der Stetigkeit der Funk- t ion G fibertr~gt sich daher die Ungleiehtmg auf alle u, v e E a.

Literaturverzeichnis

[1] T. BOZ~ZSESE~r und W. FE~rC~EL, Theorie der konvexen K6rper. Berlin 1934. [2] G. C. S~-m'HA~D, Decomposable convex polyhedra. Mathematika 10, 89--95 (1963). [3] W. WE~, Ein Approximationssatz fiir konvexe KSrper. Manuscripta math. 8, 335--362 (1973). [4] W. WEft,, ~ber den Vektorraum der Differenzen yon Stiitzfunktionen konvexer KSrper.

Math. Nachr. (erscheint). [5] W. WE~, Decomposition of convex bodies. NIathematika (erscheint).

Anschrift des Autors: Rolf Schneider Fachbereich Mathematik Technische Universit~t Berlin 1 Berlin 12 Stral3e des 17. Juni 135

Eingegangen am 9. 5. 1973