Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie 1 Filterung der räumlichen Frequenzen

Sylvain Bonnet, Lehrstuhl für mathematische Geologie

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Filterung der räumlichen Frequenzen


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Helligkeitsvariationen in einem Bild

• Ein Bild kann als die Summe von Helligkeitsvariationen unterschiedlicher räumlichen Frequenz betrachtet werden

• Die räumliche Frequenz bezieht sich auf die Anzahl der (periodischen) Variationen der Helligkeitswerte pro Raumeinheit (in cycles/Pixel für ein Bild)

y

x

y- Höhe räumliche Frequenz: abrupte Variation der Helligkeitswerte in eine Richtung (ZB: Grenze Schwarz/Weiß)

- Niedrige räumliche Frequenz : allmähliche Variation der Helligkeitswerte in eine Richtung (ZB: eintonige Fläche, Abstufung von Grauwerten)

xf(x,y): Helligkeitswert im Ort (x,y)


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Räumliche Variation der Helligkeit im Bild

DN

255

0


4

1. Eintonige Fläche: keine räumliche Variation der Helligkeitswerte in x- und y- Richtung => räumliche Frequenz =0 in beide Richtungen

2. Eintonige Fläche in x-Richtung => räumliche Frequenz=0 in x-Richtung Abstufung von Helligkeitswerten in y-Richtung => niedrige räumliche Frequenz in y-Richtung

3. Wiederholung von abrupten Variationen der Helligkeitswerte in x- und y-Richtungen => höhe räumliche Frequenz in beiden Richtungen

y

x


5

=

+

x

Originalbild

HP-gefiltertes Bild

LP-gefiltertes Bild

Helligkeitswert (DN)

Filterung der Signalkomponente hoher räumlichen Frequenz

Filterung der Signalkomponente niedriger räumlichen Frequenz

Zerlegung des Signals in 2 Komponenten verschiedener Frequenz


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(DN)

Entfernung (x)

Amplitude

Periode=1/Frequenz

Periodisches Signal

Phase


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Sinus- und kosinusförmige Periodische Signal

Parameter eines periodischen Signals:

• Amplitude

• Periode (Frequenz)

• Phase


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X (Reihe von Pixel)

Helligkeitswerte (DN)

+

+

=

Zerlegung des Signals in Kosinus- und Sinusfunktionen

Frequenz 1

Frequenz 2

Frequenz 3

Amplitude 1

Amplitude 2

Amplitude 3

Phase 1

Phase 2

Phase 3

Amplitude= Gewicht des periodischen Signals

Phase = Verschiebung zwischen den Signalen (=> konstruktive oder destruktive Summe)


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Helligkeitswerte (DN)

A1=

A2=

A3=

Zerlegung des Signals in Kosinus- und Sinusfunktionen


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Zerlegung des Bildsignals in Kosinus- und Sinusfunktionen


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Zerlegung eines Bild in periodischen Helligkeitsvariationen

unterschiedlicher räumlichen Frequenz • Ein Bild kann als Summe von sinusförmigen

Helligkeitsvariationen unterschiedlicher räumlicher Frequenz betrachtet werden

• f(i,j): Helligkeitswert des Pixels (i,j) im Bild• f(i,j) = ∑ (periodische Helligkeitsvariationen

unterschiedlicher räumlichen Frequenz)• Fourier Transform (FT): mathematische Methode zum

Zerlegen eines Bildes in sinusförmigen Komponenten unterschiedlischer räumlichen Frequenzen 1D

• Z.B für ein Signal von „Quadrat-Wellen“ in einer Reihe von Pixel:

.....))5sin(5

1)3sin(

3

1)(sin(

4

1)(

iiiif

Beitrag jeder Sinusfunktion

=Amplitude


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2D-inverse diskrete Fourier Transform

1

0

)**

(21

0

),(1

),(y

yxx

N

y

N

vy

N

uxiN

xyx

evuFNN

yxf

f(x,y): Helligkeitswert f im Pixel (x,y)

Nx: Anzahl von Pixel in der x-Richtung

Ny: Anzahl von Pixel in der y-Richtung

F(u,v): Amplitude der Funktion von Frequenz u,v (x-und y-Richtung)

Helligkeitswerte f(x,y) als Summe von Kosinus- und Sinus- Funktionen (Wellen) unterschiedlicher räumlichen Frequenzen (u,v):

sincos iewobei i


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2D diskrete Fourier Transform

1

0

)**

(21

0

),(),(y

yxx

N

y

N

vy

N

uxiN

x

eyxfvuF

f(x,y): Helligkeitswert f im Pixel (x,y)

Nx: Anzahl von Pixel in der x-Richtung

Ny: Anzahl von Pixel in der y-Richtung

F(u,v): Amplitude der Funktion von Frequenz u,v (x-und y-Richtung)

Die „Fourier Transform“ liefert die Koeffizienten (Amplitude bzw. Beiträge) F(u,v) der Sinus- und Kosinusförmigen Funktionen im Bild f(x,y):

sincos iewobei i


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FT: Ortsraum => Frequenzraum

• f(x,y) als Bildfunktion (Grauwert-Ort-funktion)• F(u,v) als Ortsfrequenzfunktion• Der Funktionswert F(u,v) gibt Phase und Betrag

(Amplitude) der sinusförmigen Grauwertskomponenten in f(x,y) von Frequenz in X-Richtung und Frequenz in Y-Richtung an.

• Zwischen den stetigen Funktion f(x,y) und F(u,v) besteht eine eindeutigeeindeutige Beziehung, so dass eine Inverse-Transformation möglich ist


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Die Parameter der Fourier Transform

))],(sin(),([cos(),(),( vuivuvuFvuF

Richtung)-Y(in vund Richtung)-X(in u Frequenzenvon

FFunktionder(Beitrag)Amplitude:),( vuF

v)F(u,Funktion der Phase:

),(),(),( vuievuFvuF


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Ortsraum Spektrum im Frequenzraum

f(x) Amplitude (F(u))

Frequenz (u)

x

Frequenz (u)


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u

A

u

u

AA A

AAAA

AAAA

http://www.matheboard.de/lexikon/Bild:Fouriersynthese.png,definition.htm


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Steigende Frequenz

Amplitudespektrum im Frequenzraum

Orientierung

v : Frequenz in y-Richtung

u : Frequenz in x-Richtung(0,0)

Intensität (Pixelwert) = Amplitude


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Amplitudenspektrum:Visualisierung im Frequenzraum der Amplituden

(=Beiträge) der periodischen Funktionen verschiedener Frequenzen (u,v)

F(u,v) = Pixelwert im Frequenzraum = Amplitude der periodischen Funktion, die die Frequenzen u (in x-Richtung) und v (in y-Richtung) besitzt


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Fourier-Transformation (FFT) von einfachen periodischen

Bildsignalen


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v

u

x

y

FFT

f(x,y) bzw. Ortsraum IF(u,v)I bzw. Amplitudenspektrum im Frequenzraum


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Ortsraum (x,y) bzw. Frequenzraum (u,v)


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Bilder und zugehörige Amplitudenspektrum


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Fourier-Filterung

• Durch eine Multiplikation jeder Frequenz-Komponenten F(u,v) eines Bildes anhand einer bestimmte Gewichtungsfunktion (Filter) kann man bestimmte Frequenz-Komponenten erniedrigen und Anderen erhöhen (Erhöhung der Amplitude)

• Die zugehörige Veränderungen sind im Ortsraum durch eine Rück-Transformation (FFT-

1) sichtbar• Diese selektive Beseitigung von Frequenz-

Komponenten heißt Fourier-Filterung


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Originalbild f(x,y)

Bildspektrum: F(u,v)= IF(u,v)I *exp( -i *(u,v))

Transfer-Funktion („Amplitude Filter“): H(u,v)

Gefiltertes Bildspektrum G(u,v): = IG(u,v)I * exp( -i *(u,v))

IG(u,v)I= IF(u,v)I * IH(u,v)I

G(u,v) = F(u,v) + H(u,v)

Gefiltertes Bild g(x.y)

FT

FT-1

ORTSRAUM (x,y)

FREQUENZRAUM (u,v)

ORTSRAUM (x,y)

Z.B: Low Pass Filter: H(u,v)= IH(u,v)I mit

IH(u,v)I =1 für u<uc & v<vc

IH(u,v)I =0 für u>uc & v>vc

wobei uc & vc : „cutoff“ -Frequenzen


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Filter werden eingesetzt, um z.B. den Einfluss von Datenfehlern oder Störsignalen zu verringern, hochfrequente von niederfrequenten Komponenten des Signals zu trennen, oder um bestimmte Frequenzbereiche in Signalen hervorzuheben

Filterungsart


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Filterung im Frequenzraum

Transfer-Funktion H(u,v)

Gefiltertes Bildspektrum

IG(u,v)I= IF(u,v)I*IH(u,v)I


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Spektrum von H(u,v):IH(u,v)I =0=>SchwarzIH(u,v)I =1=>Weiß

Bildspektrum IF(u,v)I (Amplitude im Frequenzraum)

Gefiltertes Bildspektrum IG(u,v)I=IF(u,v)I*IH(u,v)I

Gefiltertes Bild g(x,y)Helligkeitswerte im Ortsraum


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u (cycles/ pixels) v (cycles/ p

ixels)

HOCHPASS-FILTER

),(

),(),(

vuF

vuGvuH


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Butterworthfilter als Tiefpass-Filter (1D)

)(

)()(

uF

uGuH

u

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