Systemanalyse und Modellbildung - uni-landau.de · • In Analogie zum Extraktionsprozess bei der Rohstoffgewinnung werden bei der Abwasser-oder Luftreinigung zuvor abgelaufene irreversible

Systemanalyse und

Modellbildung

Universität Koblenz-Landau

Fachbereich 7: Natur- und Umweltwissenschaften

Institut für Umweltwissenschaften

Dr. Horst Niemes (Lehrbeauftragter)

9. Einführung in gekoppelte Systeme

9.1. Wesentliche Transformationsprozesse für die

Konstruktion umweltökonomischer Modelle

9.1.1 Extraktion von Rohstoffen aus der Umwelt

• Aus Lagerstätten werden Stoffe entnommen, die gewünschte Rohstoffe für die Herstellung von Gütern enthalten.

• Die Rohstoffkonzentration der Lagerstätten liegt zwar in der Regel weit über dem durchschnittlichen Wert in der natürlichen Umwelt als Ganzes, aber ist meist gering.

• Deshalb werden große Mengen an freier Energie gebraucht, um die Rohstoffkonzentration so zu erhöhen, dass eine Weiterverarbeitung möglich ist.

• Dieser Transformationsprozess ist aus thermodynamischer Sicht eine Umkehrung eines irreversibel ablaufenden Diffusionsvorgang.


• Dieser Transformationsprozess ist aus thermodynamischer Sicht eine Umkehrung eines irreversibel ablaufenden Diffusionsvorgang.

• Die Erhöhung der Rohstoffkonzentration benötigt freie Energie und führt zu einer Erhöhung der nutzbaren, entropiefreien Arbeit (Exergie) des Systems führt.

• Ein Teil der freien Energie wird als nicht nutzbare Arbeit an die Umwelt abgegeben.

• Umgekehrt proportional zur Rohstoffkonzentration werden große Wassermengen gebraucht, um die nicht verwerteten Stoffe (Abfallstoffe) aus dem Teilsystem auszuwaschen und abzutransportieren.


Erhöhte Rohstoffkonzentration= erhöhte Exergie

Nicht nutzbare Energie= Anergie

Zugeführte Arbeit (freie Energie)

Stoffmengen mit geringer Rohstoffkonzentration= geringer Exergie

Wasser ohne Fremdstoffe

Wasser mit Fremdstoffen

• Die Konzentrationen der Abfallstoffe, die gegenwärtig nicht gebraucht, mit dem vermischt und abtransportiert werden, verringern sich dabei.

• Aus thermodynamischer Sicht geht dabei nicht nur ein potentielles Nutzungspotential verloren, sondern aus Prozesswasser entsteht Abwasser, aus dem diese Abfallstoffe in einem zusätzlichen Entsorgungsprozess Großteils wieder herausgeholt werden müssen.

• Bei nicht erneuerbaren Ressourcen wird in der Regel angenommen, dass eine begrenzte Menge für eine gewisse Zeit verfügbar ist. Diese Annahme ist im Allgemeinen im Widerspruch zum Massen- und Energieerhaltungssatz.

• Deshalb ist es besser, die Nebenbedingungen als Konzentration zu formulieren. Bei nicht erneuerbaren Ressourcen wird die Konzentration - bzw. allgemeiner – die Exergie der Ressource herabgesetzt.



• In dieser Terminologie haben erneuerbare Ressourcen im Vergleich zu nicht erneuerbaren das Merkmal, dass das natürliche Umweltsystem in der Lage ist, entnommene Exergie wieder auszugleichen.

• Man muss also eine Erneuerungsrate für die Ressourcen in die Modellierung einführen.

9.1.2 Erzeugung freier Energie

• Neben menschlicher Arbeitskraft in Form von physischer und informationeller Exergie wird freie Energie für alle Transformationsprozesse gebraucht.

• Die übergeordnete Energiequelle ist die Sonne, welche die wesentlichen natürlichen Teilsysteme auf der Erde mit Energie versorgt, die auf unterschiedliche Weise dort als nutzbare Arbeit (Exergie) gespeichert wird; und zwar als nicht erneuerbare und erneuerbare Energieressourcen.


• Bei der Energiegewinnung aus nicht erneuerbaren Ressourcen (Kohle, Kernenergie, Öl) werden enorme Wassermengen für Kühlzwecke eingesetzt.

• Bei der Verbrennung fossiler Brennstoffe entstehen zudem CO2 Emissionen.

• Die Nutzung nicht erneuerbare Ressourcen ist eng verknüpft mit einem steigenden Energie- und Wasserbedarf und mit Emissionen in die Atmosphäre.

• Folglich sind die Problemkreise: Nutzung nicht erneuerbarer Ressourcen zur Gewinnung von Rohstoffen und Energie, Wasserverbrauch, Luft- und Umweltbelastungen nicht nur eng miteinander verknüpft, sondern haben eine sich in die gleiche Richtung verstärkende Wirkungskette.


9.1.3 Produktionssektor

• Die extrahierten Rohstoffe im umfassenden Sinne werden im Produktionsbereich zu gewünschten Gütern für den Konsum und den Ausbau des Produktions- und Reproduktionsbereiches zusammengesetzt, welche durch die Natur gar nicht oder nicht im ausreichenden Maße bereitgestellt werden.

• Für die Herstellung der Konsum- und Kapitalgüter für die Produktions- und Reproduktionsaktivitäten werden - neben menschlicher Arbeitskraft in Form von physischer und informationeller Exergie - nutzbare Energie, Wasser, Luft und andere natürliche Ressourcen benötigt.

• Wasser, Luft und Boden beispielsweise für den Abtransport bzw. die Ablagerung von dort entstehenden Abfallstoffen genutzt.


• Da das Aktivitätsniveau des Produktionssektor die vorgelagerte Rohstoff-, Wasser- und Energiegewinnung festlegt, besteht zwischen dem Produktionssektor und diesen vorgelagerten Subsektoren eine hierarchische Beziehung. Deshalb werden diese Subsektoren häufig in den Produktionsbereich integriert.

• Meist ist es aber besser, diese Subsektoren desaggregiert zu belassen.


9.2.4 Reproduktionssektor

• In ökonomischen Modellen wird der Reproduktionsbereich häufig sehr vereinfacht durch die Vorgabe von Zielfunktionen (so zum Beispiel dynamische Wohlfahrts- oder Nutzenfunktionen) erfasst, mit denen Optimal-Bedingungen für gegebene Rand-Bedingungen abgeleitet werden.

• Wird der eigentliche Zweck des Konsums, die Reproduktion der menschlichen Arbeitskraft im umfassenden Sinne unter Einbeziehung subjektiver Bewertungen, bei der Modellierung nicht explizit berücksichtigt, dann handelt es sich um so bezeichnete exogene Modellansätze.

• Bei endogenen Modellansätzen wird die menschliche Arbeitskraft durch Konsum- und Kapitalgüter, Energie, reproduktive Arbeit, Wasser, Luft und weitere natürliche Ressourcen erzeugt.


• Der Zuwachs an Wissen für die Produktions- und Reproduktionsaktivitäten bedingt den Aufbau des Kapitalstocks in beiden Bereichen.

• Die physischen und informationellen Eigenschaften des Kapitalstock bestimmt auch die diesbezüglichen Anforderungen an die menschliche Arbeitskraft.

• Von den subjektiven Bewertungskriterien im Reproduktionsbereich einmal abgesehen sind also die physischen, energetischen und informationellen Merkmale des Produktions- und Reproduktionsbereich gleicher Natur.

• Neben den normativen Bewertungskriterien (zum Beispiel Wohlfahrts- und Nutzenniveaus) können also auch objektive Bewertungskriterien (zum Beispiel die Exergie) für die Beurteilung von Entwicklungspfaden für das jeweils betrachtete System herangezogen werden.


9.1.5 Der Umweltschutzsektor

• In allen Sektoren entstehen neben dem Zielprodukt, das nützliche Arbeit (Exergie) in den Sektoren stiftet, wo es eingesetzt wird, gekoppelte Anergie-Ströme, welche die Funktionalität der natürlichen Umwelt in Menge und Qualität beeinträchtigen können.

• Auch im Reproduktionsbereich entstehen beispielsweise Abwässer und Luftemissionen.

• In Analogie zum Extraktionsprozess bei der Rohstoffgewinnung werden bei der Abwasser- oder Luftreinigung zuvor abgelaufene irreversible Prozesse, nämlich die Aufnahme von Abfallstoffen durch die Umweltmedien Wasser oder Luft, wieder umgekehrt.

• Dem System wird also freie Energie zugeführt, um die Abfallstoff im Wasser oder in der Luft zu reduzieren.


• Die behandelten Abwässer oder die behandelte Luft werden dann so an die natürliche Umwelt abgegeben, dass ohne größere Beeinträchtigung vorgegebener Umweltziele erreicht werden können.

• Auch die aus dem Abwasser und der Luft entfernten Abfallstoffe, zum Beispiel Klärschlämme, sind nach einer etwaigen Verwertung an die natürliche Umwelt abzugeben, ohne größere Umweltschäden zu hinterlassen.

• Beispiele einer Verwertung sind die Energiegewinnung aus Faulgasen des Klärschlamms oder das Einbringen von stabilisierten Klärschlamm in der Landwirtschaft.

• Die Zusammenhänge zwischen den Emissionen , Immissionen und den Umweltzielen liefern in der Regel die Natur- und Umweltwissenschaften, zum Beispiel in Form von Differentialgleichungen für die natürlichen Abbauprozesse.


9.2 Modellstruktur

• Verknüpft man die Transformationsprozesse miteinander, dann erhält man folgendes Umwelt-Ressourcen-Wassernutzungs-Modell

• Der Energiesektor lieferte die freie Energie für alle Transformationsprozesse.

• Der Wassersektor die Wassermengen zum Abtransport der unerwünschten Nebenprodukte.

• Im Reproduktionsbereich wird die menschliche Arbeitskraft als spezielle Energie- und Informationsform für alle Transformationsprozesse geliefert.

• Im Reproduktionsbereich wird auch entschieden, wie viel der produzierten Güter konsumiert und wie viel davon für den Aufbau des Kapitalstocks in den einzelnen Sektoren verwendet wird.


• Neben den konsumierten Gütermengen, welche fortan als Kontrollvariable bezeichnet werden, werden in die zu optimierende Zielfunktion auch die Umweltgüter als weitere Kontrollvariable aufgenommen.

• Die Optimierung der Zielfunktion wird durch so bezeichnete Zustandsvariable gesteuert, für die so bezeichnete Nebenbedingungen existieren, die bei der Optimierung zu erfüllen sind.

• Meist werden die Nebenbedingungen als Differential- bzw. Differenzen-Gleichungen formuliert.


9.3 Die kapitaltheoretische Konzeption

• Statische Umwelt- und Ressourcenmodelle haben eine sehr eingegrenzte Aussagekraft. Deshalb werden dynamische Modellansätze benötigt.

• Dies führ unmittelbar zum Einsatz von dynamischen Modellen der Kapital- und Wachstumstheorie.

• Hierbei geht es um die Abwägung, zwischen heutigen und künftigen Konsum abzuwägen, um einen optimalen Entwicklungspfad unter vorgegebenen Randbedingungen für einen gewählten Planungszeitraum zu erreichen.

• Wie für zwei Güter in nachstehender Abbildung illustriert, kann diese statische und dynamische Bewertung des Entwicklungspfades des Güterstromes durch eine entsprechend konstruierte dynamische Wohlfahrtsfunktion erfolgen.


• Das maximal erreichbare Wohlfahrtsniveau innerhalb einer Periode oder eines Zeitpunktes wird als nicht in Gänze für Reproduktionszwecke verwendet.

• Ein Teil von den produzierten Gütern wird reinvestiert, um den Kapitalstock zu erhalten bzw. so auszubauen, dass in der Folgeperiode oder –zeit ein erhöhter Anstieg der Produktion an Konsumgütern erzielt wird.

• In diesem Zusammenhang spricht man auch von der Mehrergiebigkeit längerer Produktionswege.

• Für den Mehrgüterfall wird von Niemes/Schirmer (2010) vorgeschlagen, stoffmengen- durch exergie-orientierte Begriffe zu ersetzen.


9.4 Der dynamische Optimierungsansatz

• Am Lösungsansatz von Lagrange und der Ableitung der Kuhn-Tucker-Bedingungen orientiert, wird bei Modellen mit kontinuierlicher Zeit meist der erweiterte Lösungsansatz von Pontryagin (1962) mit der Ableitung der so bezeichneten Hamilton-Bedingungen eingesetzt.

• Das Optimierungsproblem formuliert sich vereinfacht wie folgt:

��(�)� � , � , � ��

�• unter der Nebenbedingung und gegebenen s(0):

� � = � � , � , � , ∀� ∈ 0, � • Hierbei sind die Funktionen s(t) und c(t) der Pfad der

Zustands- bzw. Kontrollvariablen.


• In einfachen ökonomischen Modellen ist die Kontrollvariable der Konsum und die Zustandsvariable der Kapitalstock.

• Zur Vereinfachung wird hier angenommen, dass für die Nebenbedingung das Gleichheitszeichen gilt, die Anfangsbedingung s(0)= s0 bekannt und der Planungshorizont T fest vorgegeben ist.

• Die Vorgehensweise wird im Einzelnen nachstehend und in dem beigefügten Anhang dargestellt.


9.6 Die dynamische Optimierung(Quelle: Alpha C. Chiang (2003) „Elements of Dynamic Optimization“, Waveland Press, Long Grove, Illinois, USA.

9.6.1 Aufgabestellung

• Wir betrachten folgendes Optimierungsproblem in Fall einer kontinuierlichen Zeitspanne:

��(�)� � , � , � ��

�• unter der Nebenbedingung:

� � = � � , � , � , ∀� ∈ 0, � • Die Funktionen s(t) und c(t) stehen für die Entwicklungspfade

für die Zustands- bzw. Kontrollvariable.• In einfachen ökonomischen Modellen ist die Kontrollvariable

der Konsum und die Zustandsvariable der Kapitalstock bzw. das Aktivitätsniveau des Produktionssektor.


• Vereinfachend wird hier angenommen, dass für die Nebenbedingung

1. das Gleichheitszeichen gilt,2. die Anfangsbedingung s(0)= s0 bekannt ist und3. der Planungshorizont T fest vorgegeben ist. 9.6.2 Das Maximierungsprinzip nach Pontryagin

• Verwendet wir das vertraute Langrange-Verfahren zur Lösung dieses Problems, dann werden für die Nebenbedingungen bei der Optimierung so bezeichnete Lagrange-Multiplikatoren wie folgt eingeführt:

0 = � � , � , � − � �0 = � � ∙ � � , � , � − � �

0 = � � � ∙ � � , � , � − � � ��

�


• Die Langrange-Funktion für die Ableitung von Optimierungsbedingungen hat mit den Nebenbedingungen folgende Form:

ℒ = � � , � , � ��

�+� � � ∙ � � , � , � − � � ��

�

�

ℒ = � � , � , � + � � ∙ � � , � , � ��

�−� � � ∙ � � ��

�

�• Durch die Anwendung der partiellen Integration auf den

zweiten Term (siehe auch die Produktregel bei der Differentiation) erhält man hierfür den Ausdruck:

� � � ∙ � � ��

�= � � ∙ � �� −� ��

�

�= � � � − � 0 0 − � ��

�

�


• Mit diesem Ausdruck erhalten wir für die Langrange-Funktion:

• ℒ = � ℋ � , � , � �� + � ��

� + � 0 0 − � � �• Führt man die wie folgt definierte Hamilton-Funktion ein,

ℋ � , � , � ≡ � , � , � + � � ∙ � � , � , �• können wir für die Langrange-Funktion vereinfacht schreiben:

ℒ = � ℋ � , � , � ��

�−� � � ∙ � � ��

�

�• Im nächsten Schritt werden einige Prinzipien der

Variationsrechnung angewendet.• Hierbei wird zunächst unterstellt, dass der optimale

Entwicklungspfad ∗ � für die Kontrollvariable bekannt ist.• Folglich ist auch der Entwicklungspfad für die

Zustandsvariable ∗ � festgelegt.


• Wie in der Abbildung veranschaulicht, kann eine beliebige stetige Funktion " � mit einer geringen Abweichung # ∈ℛvom optimalen Entwicklungspfad eingeführt werden.

• Für vom optimalen Entwicklungspfad abweichende Entwicklungspfade gelten für die Kontroll- bzw. die Zustandsvariable die Beziehungen:

� = ∗ � + %" � � = ∗ � + %&(�)

• Mit diesen Beziehungen können wir für die Lagrange-Funktion schreiben:

ℒ % = � ℋ ∗ � + %" � , ∗ � + %&(�), � ��

�+

� �� ∗ � + %&(�) ��

�+ � 0 0 − �(T) ∗ � + %&(�)


• Wie wir schon wissen, ist im Optimum % = 0 . • Trotzdem erhalten wir als Bedingung erster Ordnung in Bezug

zu % aussagekräftige Eigenschaften über den optimalen Entwicklungspfad. Denn für ihn gilt:

'ℒ %'% = � 'ℋ

' � & � +'ℋ' � " � �� +

�

�� & � ��

�− �(T)& �

0 = � & � 'ℋ' � + �� +

�

�� 'ℋ' � " � ��

�

�− �(T)& �


• Da die Störungsfunktionen der Kontrollvariablen " � und

der damit verbundenen Zustandsvariablen q � frei

gewählt sind, müssen im Optimum folgende Bedingungen

für die Faktoren G�

GH �+ �� = 0 und

G�

G� �= 0 und die

Transversality Condition (TVC) �(T)& � = 0 werden.

• Für die Transversality Condition ist zwischen den

folgenden drei Fällen zu unterscheiden:1. Ist � vorgegeben, dann impliziert dies , das ∗ � = � , so dass

& � = 0. Da � � & � = 0, gibt es keine weitere Restriktion für � � .

2. Angenommen � ist frei wählbar. Mit ∗ � ≠ � , kann die

Abweichung der Zustandsvariablen & � = 0 jeden Wert haben. Da

� � & � = 0, muss der Lagrange Multiplikator die Bedingung

� � = 0 erfüllen.

3. Wird verlangt, dass (�) ≥ ]^_ ist, dann liegt eine Kombination der

vorherigen beiden Fälle vor. Deshalb ist � � = 0 oder & � = 0.



Das Maximierungsprinzip von Pontryagin wird zu folgenden

Theorem zusammengefasst:

Theorem Theorem Theorem Theorem 1111:Sind ∗: 0, � → ℛ und ∗: 0, � → ℛ kontinuierlich differenzierbare

Funktionen. Ein Entwicklungspfad ∗ ist optimal , wenn eine

kontinuierlich differenzierbare Funktion �: 0, � → ℛ und folgende

Bedingungen erfüllt werden:

1. Ein optimaler Entwicklungspfad ∗ � maximiert die Hamilton Funktion

und für eine innere Lösung gilt: G�

G� �= 0

2. Die optimale Zustandsvariable ∗ � und der Lagrange Multiplikator

λ � sind Lösungen des Differentialgleichungssystems � � =G�

Gf �und

�� = −G�

GH �


3. Für die Randbedingungen (TVC) gilt zudem:

a) Falls s(T) fest vorgeben, dann ist � � frei wählbar.

b) Falls s(T) frei wählbar, dann ist � � = 0.

c) Falls (�) ≥ ]^_, dann ist � � = 0, ∗ � − ]^_ ≥ 0 und

� � ∗ � − ]^_ = 0.

Theorem 2:Theorem 2:Theorem 2:Theorem 2:

Für � → ∞, dann gilt für die TVC lim�→h

� � � = 0....


9.7 Beispiel: Das Forster Model

Bruce A. Forster, „Optimal Energy Use in a Polluted Environment“, Journal ofEnvironmental Economics and Management, 1980, 321-323. Quelle: A.C. Chiang (1992), „Elements of Dynamik Optimization“, Waverland Press Inc., Long Grove, Illinois, USA, p.234-239.

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