Technische Mechanik A (Statik)Kurzlösungen zu den Übungsaufgaben

Prof. Dr.-Ing. Claus-Peter Fritzen

Arbeitsgruppe für Technische Mechanik

Institut für Mechanik und

Regelungstechnik - Mechatronik

Technische Mechanik A (Statik) Kurzlösungen Hinweis

- Es sind nicht für alle Aufgaben Kurzlösungen angegeben. - Es werden nur die Endergebnisse der rechnerischen Aufgaben angeführt. - Die positiv angenommenen Richtungen von Kraft- und Momentenkomponenten werden mit einem

Pfeil (z.B. (�), (�), (4)) gekennzeichnet. - Bei Gelenkkräften werden i.d.R. nur die Beträge ohne die Richtungen der Kraftkomponenten

angegeben. - Die positive Richtung von Kontaktkräften ist immer auf den Körper gerichtet. - Seil- und Stabkräfte werden immer als Zugseil und -stab angenommen.

Bei Fragen zu den Lösungswegen der Aufgaben können Sie gerne die Sprechzeiten der Übungsleiter nutzen oder im Selbstrechenteil der Übungen fragen.

Kurzlösungen

Vektorrechnung

Aufgabe 1.1

NF»»»

¼

º

«««

¬

ª

112

104

Aufgabe 1.2

1� k

Aufgabe 1.3

a) FEA 6 ,

»»»

¼

º

«««

¬

ª� 21

1

61

ne b)

»»»

¼

º

«««

¬

ª

249,617,3

c

c) VEV 68,0

Technische Mechanik A (Statik) Kurzlösungen Zerlegung und Zusammenfassen von Kräften

Aufgabe 2.1

kNR 74,4 q 6,244Rφ zur positiven x-Achse in einem kartesischen

Koordinatensystem

Aufgabe 2.2

kNR 72,8 q 6,171D zur positiven x-Achse in einem kartesischen

Koordinatensystem

Aufgabe 2.3

¸̧¹

·¨̈©

§�

NN

R72

449

Aufgabe 2.4

a)

¸̧¹

·¨̈©

§

NN

R61,15031,232

NR 86,276 q 96,32D

b)

NmM 99167,10 �

c)

856,0648,0)( �� xxf

Technische Mechanik A (Statik) Kurzlösungen Aufgabe 2.5

NR¸¸¸

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·

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§

000

NmM¸¸¸

¹

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©

§

��

51000510003400

Freischneiden

Aufgabe 3.1

Teilsystem a):

Seil kann nur positive Normalkräfte (Zugkräfte) übertragen. Die Richtung ist durch das Seil vorgegeben.

Teilsystem b): Aus der Momentenbedingung ergibt sich sofort 1

*1 SS

Technische Mechanik A (Statik) Kurzlösungen Teilsystem c)

Walzenhalterung wird als eingespannter Balken modelliert. Es gilt wieder 2

*2 SS

Aufgabe 3.2

Skizze mit Schnitten:

- Am Festlager A können Kräfte in allen Richtungen aufgenommen werden, aber kein Moment.

- Die Einspannung B kann sowohl Kräfte in allen Richtungen, als auch Momente aufnehmen.

Technische Mechanik A (Statik) Kurzlösungen

Aufgabe 3.3

a) b)

c) d)

Technische Mechanik A (Statik) Kurzlösungen e)

Ebene zentrale Kräftesysteme

Aufgabe 4.1

NFA 75,13

NFB 33

NFC 8,65

NFD 45,95 NFE 1,52 NFF 100

Aufgabe 4.2

NF 7,41153 NF 4,23184 �

Aufgabe 4.3

NF 99,197 NK 42,141 NF 4,23184 �

Aufgabe 4.4

q 56,631E q 44,3562E

NN 34,5341 NN 7,11972

Technische Mechanik A (Statik) Kurzlösungen Aufgabe 4.5

a) q 32α b) kNS 2,221 � (Stab unten) c) kNH 8,11

q 1,21β kNS 7,142 (Stab oben) kNN 8,8

Aufgabe 4.6

a) kNS 68,51 b) kNRy 21,10�

Aufgabe 4.7

NF 3,2941 NF 9,1692 NF 8,3393 NF 3,5624 NF 5,4905

Aufgabe 4.8

q 4 435,18

Räumliche zentrale Kräftesysteme Aufgabe 5.1

NS¸¸¸

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§

�

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305

1 NS¸¸¸

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§

02,0

1

2 NS¸¸¸

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§�

02,1

6

3

Aufgabe 5.2

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§

845

1051

11 SS ¸

¸¸

¹

·

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§� 84

5

1051

22 SS

¸¸¸

¹

·

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©

§

100

SS

kNS 217,21 kNS 217,22

kNS 784,6�

Technische Mechanik A (Statik) Kurzlösungen Aufgabe 5.3

kNS 6451,381 � kNS 8823,92 kNS 8823,253

Ebene nicht zentrale Kräftesysteme

Aufgabe 6.1

q 47,37M GA 77,0 GB 26,1

Aufgabe 6.2

a) q 6,79α b) NA 5,11� NB 2,10

Aufgabe 6.3

a) 250* aqM ��

b) aqBx �� 14 (�) aqCx ��� 14

(�) aqS ��� 2

28

aqBz ��� 8 (�) aqCz �� 18

(�)

Aufgabe 6.4

GA24

35 GB �� 24

311 GS � 3

1

Aufgabe 6.5

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§ �� 12

2534GAx

(�) ¸̧¹

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§�

221GAy (�)

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§�

34

122GB (�)

Technische Mechanik A (Statik) Kurzlösungen Aufgabe 6.6

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§�

0FF

A ¸¸¸

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©

§

�

0400

MFaMA

Aufgabe 6.7

kNAx 1

(�) kNAy 1 (�) kNB 2 (�)

Aufgabe 6.8

a) NC 73,57

b) NAx 73,57� (�) c) NcmMA 2433

(4)

ND 47,115 NAy 150 (�)

Aufgabe 6.9

GA GB � 15,1 GD � 15,1

Aufgabe 6.10

GS �� 321

1 GS ��

21

2 GS 3

Aufgabe 6.11

kNS 9,321 � kNS 2,102 � kNS 9,263

Aufgabe 6.12

a) NmmM 5,167470 b) NFB 95,334 (�)

Technische Mechanik A (Statik) Kurzlösungen Aufgabe 6.13

kNA 7,44

Aufgabe 6.14

kNS 61,19

kNAx 77,17

kNAy 37,6

Aufgabe 6.15

NmM 7,21

Aufgabe 6.16

NA 3,88

Aufgabe 6.17

kNFF 51,6721 �

Aufgabe 6.18

110115,3

101020

**

�����

����

AB

ADWD

AB

ADAD

B

A

rrr

rrr

NN mit: AD

AAB

B

AWD r

DNr

NNr

DW ;;

Technische Mechanik A (Statik) Kurzlösungen Räumlich nicht zentrale Kräftesysteme

Aufgabe 7.1

a) ¸¸¸

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§

�

G

GFD 2

0

b) GS43

1 222

GS � 43GS

Aufgabe 7.2

a)

»»»

¼

º

«««

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ª

�

3232

51

Ste c) »»»

¼

º

«««

¬

ª�

100

403320 GB

»»»

¼

º

«««

¬

ª

��

3232

8030 GFSt

Aufgabe 7.3

b) ¸¸¸

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aSSS 0

0

531 ¸¸¸

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a

aS 0

2

2 ¸¸¸

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aaS 20

4 ¸¸¸

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§

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aaa

S 22

6

d) 032

52:0 62 �� SSFx

0

32

52:0 64 ��� FSSFy

031

51

51:0 654321 ����� SSSSSSFz

¦ � 02:0 5 aSMox

¦ ������ 025

122:0 453 aSaSaSMoy

Technische Mechanik A (Statik) Kurzlösungen

¦ ���� 025

22:0 4 aSaFMoz

¸¸¸

¹

·

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§

�

aSSSS 0

0

6521 FS21

3 FS25

4 �

Aufgabe 7.4

cbGAx 2

� caGAy 2

�� GAz �

cbGBx 2

�� caGBy 2

�

Aufgabe 7.5

a) ax 20 1 �� ax �� 20

0)( 1 xNx 0)( 2 xNx

0)( 1 xQy 0)( 2 xQy

FxQz )( 1 FxQz )( 2

aFxMx �� )( 1 0)( 2 xMx

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axaFxM y

11 2)( ¸

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axaFxM y

22 1)(

0)( 1 xMz 0)( 2 xMz

b) aFMB �� 2max aFMT �� max

Technische Mechanik A (Statik) Kurzlösungen Mehrgliedrige Systeme

Aufgabe 8.1

NAx 917�

(�) NBx 1083�

(�) NGx 1083

NAy 917�

(�) NBy 3417

(�) NGy 917

Aufgabe 8.2

3FAx � (�) FBx 3

2 (�) 3FGG yx

FAy 32�

(�) FBy 3

2

(�)

Aufgabe 8.3

MNAx 214,3

MNAy 614,7

MNBx 386,0

MNBy 214,3

MNGx 214,3�

MNGy 386,0�

Aufgabe 8.4

a) 2FAy � (�)

0 xB (�) FBy 2

5 (�) aFMB �� 3 (4)

b) (I) F2 im linken Teil berücksichtigt:

0 xG 2FGy

oder

2FGy �

(II) F2 im rechten Teil berücksichtigt:

0 xG 2

FGy � oder 2FGy

Technische Mechanik A (Statik) Kurzlösungen

Fachwerkstrukturen

Aufgabe 9.2

kNFFS 1603 212 �

kNFS 802 28 � �

� � kNFFS 8022 2113 �� ��

Aufgabe 9.3

kNS 23,26 �

kNS 14,37 kNS 4,178 �

Aufgabe 9.4

b) FS32

6 �

FS 60,07 FS32

8 �

Aufgabe 9.5

b) kNSi 887,2

Schnittreaktionen

Aufgabe 10.1

a) 2FAV �

(�)

FBV 2

3 (�) 0 HB

(�) FaMB �

(4)

b) 2FGV

0 HG

ax ��0 axa 3�� axa 43 ��

c) � � xFxM2

� � � ¸¹·

¨©§ �� axFxM

21 � � ¸

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¨©§ ��� axFxM 5

23

d) � �2FxQ � � �

2FxQ � � FxQ

23�

Technische Mechanik A (Statik) Kurzlösungen Aufgabe 10.2

� � 01 xN � � 02 xN � � FxN � 3

� � FxQ21

1 �

� � FxQ 2 � � 03 xQ

� � 11 21 xFxM ��

� � � �axFxM � 22

� � 03 xM

Aufgabe 10.3

mx 40 �� mxm 54 ��

0)( xN 0)( xN

MNxmMNxQ 41)( ���

0)( xQ

214)(

2xmMNxMNxM ���

MNmxM 8)(

mxm 85 �� mxm 108 ��

0)( xN

0)( xN

MNxQ 4)( �

MNxQ 2)(

� �mxMNxM 74)( ���

� �mxMNxM 102)( ��

Technische Mechanik A (Statik) Kurzlösungen Aufgabe 10.4

� � aqxN 01 324,0 � � aqxN 02 28,3�

� � aqxQ 01 28,3 � � aqxQ 02 324,0

� � 101 28,3 xaqxM � � � ¸¹·

¨©§ ���

axaqxM 22

02 324,055,5

� � aqxN 03 28,3�

� � ¸̧¹

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§��� 2

233

03 31324,0ax

axaqxQ

� �»»¼

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¨©§��

33

2332

03 91

21324,053,6

ax

ax

axaqxM

Aufgabe 10.5

ax 40 �� axa 54 ��

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22 27

41)(

ax

axqaxM � � »

¼

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¨©§� 52

axaqxM

2max 32

4947 aqaxMM � ¸

¹·

¨©§

Technische Mechanik A (Statik) Kurzlösungen Aufgabe 10.6

a) 0 xA (�) NCz 12� (�) 0 xG

NAz 6� (�) NGz 6

NmMA 6 (4)

b) NxN 6)( 1 0)( 2 xN 0)( 3 xN

0)( 1 xQ NxQ 6)( 2 2323 26)( x

mNNxQ ��

NmxM 6)( 1 � NmxNxM 66)( 22 �� 33233 3

26)( xmNxNxM ���

c) NmM 34max �

Aufgabe 10.8

a) � � NFaqV 3102 ���

b) axaqFxN ������

23

21

21)(

axaqFxQ ���¸̧

¹

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2

23

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2

2

2

21

23

23)( ¸

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§�����

axaq

axaFxM

Technische Mechanik A (Statik) Kurzlösungen Aufgabe 10.9

1) GAy (�) 0 xA (�) aGMA �� 89 (4)

2) GAy (�) GAx � (�) 0 AM (4)

3) GAy 2 (�) 0 xA (�) aGMA �� 2 (4)

4) GAy (�) 0 xA (�) aGMA �� (4)

5) GAy (�) 0 xA (�) aGMA �� 89 (4)

6) GAy � 30,0

(�) GAx �� 72,1

(�) aGMA � 57,0 (4)

Schnittgrößenverläufe:

System 1

� � GxN 21 � � � 02 xN � � 02 xN

� � 01 xQ � � GxQ 22 � � � GxQ � 2

� � 01 xM � � 22 2 xGxM �� � � ¸¹·

¨©§ ���

822axGxM

System 5

� � GxN � 1 � � GxN � 2 � � 03 xN � � 04 xN

� � GxQ 1 � � GxQ � 2 � � GxQ � 3 � � GxQ � 4

� � 11 xGxM � � � � �22 xaGxM �� � � ¸¹·

¨©§ ��� 33 8

xaGxM � � 44 xGxM ��

Technische Mechanik A (Statik) Kurzlösungen Aufgabe 10.10

FAx � 44,0 (�) FAz �� 94,0 (�) FA 038,1

FBx � 56,0 (�) FBz �� 06,0 (�) FB 56,0

FGx � 44,0

FGz � 06,0 FG 44,0

Schnittreaktionen:

qdd 600 M � � MMM cos94,0sin44,0 ���� FFN

� � MMM sin94,0cos44,0 FFQ ���

� � � �MMM cos194,0sin44,0 ���� FaFaM

qddq 18060 M � � MMM cos06,0sin44,0 ���� FFN

� � MMM cos44,0sin06,0 FFQ ���

� � � � MMM cos06,0sin144,0 ��� FaFaM

qddq 225180 M � � MMM cos06,0sin56,0 FFN �

� � MMM sin06,0cos56,0 FFQ �

� � MMM cos06,0sin56,0

2262,0 ����� FaFaFaM

Technische Mechanik A (Statik) Kurzlösungen Schwerpunkt

Aufgabe 11.1

RRRπ

Rπx 076,0

1058

2521

1258

2

3

S �|� �

0

2521

02

S Rπ

y

Aufgabe 11.4

cmcmcmx 39,13

6,85886,1145

2

3

S cmcmcmy 45,13

6,85535,1151

2

3

S

Standsicherheit

Haftung und Reibung

Aufgabe 13.1

NF 287min q 7,16D

Aufgabe 13.2

NF 3,7481

Aufgabe 13.4

40,00 μ

Technische Mechanik A (Statik) Kurzlösungen Aufgabe 13.6

NG 7,288

Aufgabe 13.7

NGN 4632 dd

Seilreibung

Aufgabe 14.1

QFerf �t201

.

Aufgabe 14.2

a) 2GA b) GF 203,0min

GB 341 GF 308,0max

GS41

Technische Mechanik A (Statik) Kurzlösungen Seilstatik

Alte Klausuraufgaben

Aufgabe 16.3

a) b) c)

NS 73,4102 NN 05,17321

629,0min0 P

NN 03,8662

NH 27,10891

NK 27,89

Aufgabe 16.4

a) c)

2GS

GS � 1

GS � 22

2 03 S

b)

0 0

0 0

0 0

0

Technische Mechanik A (Statik) Kurzlösungen Aufgabe 16.6

a) b) c) 1, 5, 9, 14, 17

aqA ��

213

aqS �

213

0 xB

aqGx ��� 4

313

aqBy �

223

aqGx �

47

d)

ax

230 1 ��

axa 2

23

2 ��

aqGxN x �

��

4313)( 1

aqGxN x ��� 4

313)( 2

xqaqxQ ���

47)( 1

xqaqxQ ���� 45)( 2

2

1 21

47)( xqxaqxM ���� 22

2 21

45

29)( xqxaqaqxM ������

Technische Mechanik A (Statik) Kurzlösungen Aufgabe 16.7

a)

b)

aqR � 02

3

aqGx �� 052

aqGy �� 05

2

aqDx � 052

aqDy �� 052

aqAx � 057

aqAy � 01011

c)

aqxN �� 057)(

axqaqxQ

2

00 61

1011)( ���

axqxaqxM

3

00 181

1011)( ����

N(x) Q(x)

Technische Mechanik A (Statik) Kurzlösungen Aufgabe 16.8

a) b)

aqS �� 22 aqe

F �� 22min

c) 0651 SSS qaS �� 242 qaS 43 qaS 44 �

d) »¼

º«¬

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¨©§�� axqaxQ 4

22)(

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22

214

22)(

ax

axqaxM

Technische Mechanik A (Statik) Kurzlösungen Aufgabe 16.9

a)

b)

:0 ¦ xF 0101

6 ��� FS )1(

:0 ¦ yF 0254

132

42 ����� FSS )2(

:0 ¦ zF 0103

53

133

654321 ��������� SSSSSS )3(

:0 ¦ xM 0410342

133

652 ������� aSaSaS )4(

:0' ¦ yM 021332 21 ��� aSaS )5(

:0' ¦ zM 0241012

132

62 ������� aFaSaS )6(

c)

FS �� 29

1 FS � 13

23

2 FS �

23

3

FS � 45

4 FS �

43

5 FS �� 106