Technische Mechanik Formelsammlung - TM · Formelsammlung Technische Mechanik i Inhaltsverzeichnis Statik Ebene Statik..... 1

Fakultät Maschinenwesen

Technische Mechanik Formelsammlung

Institut für Festkörpermechanik Version: Oktober 2006

Nachfolgend wird von den Bilanzgleichungen der Kontinuumsmechanik:

• Massenerhaltung • Impulserhaltung • Drehimpulserhaltung • Energieerhaltung

- ohne zusätzlichen Hinweis darauf - Gebrauch gemacht.

Formelsammlung Technische Mechanik i

Inhaltsverzeichnis

Statik Ebene Statik ......................................................................................... 1 Lasten (Kräfte und Momente)...................................................... 1 Lager- und Gelenkreaktionen (Beispiele).................................... 3 Schnittgrößen beim Balken ......................................................... 4Räumliche Probleme ............................................................................ 4 Lasten (Kräfte und Momente)...................................................... 4 Lager- und Gelenkreaktionen (Beispiele)................................... 6 Schnittgrößen beim Balken ......................................................... 7Reibung ................................................................................................ 7 Festigkeitslehre Grundlagen…………………………………………………………………..8 Spannungen................................................................................ 8 Verzerrungen ............................................................................ 10 HOOKEsches Gesetz................................................................ 11 Zulässige Spannungen.............................................................. 13 Vergleichsspannungen.............................................................. 14Linientragwerke .................................................................................. 16 Zug (Druck) ............................................................................... 16

Biegung ..................................................................................... 16Reine Torsion............................................................................ 18Querkraftschub.......................................................................... 19Federn....................................................................................... 20Satz von CASTIGLIANO ........................................................... 21Stabilitätsproblem Knicken ........................................................ 21

Flächentragwerke............................................................................... 22 Rotationsschalen....................................................................... 22

Kreis- und Kreisringscheiben ................................................... 23Kreis- und Kreisringplatten ........................................................ 24

Kinematik Kinematik des Punktes.............................................................. 27 Kinematik des starren Körpers .................................................. 28 Kinetik starrer Körper Translation ................................................................................ 30 Beliebige Bewegung.................................................................. 31 Bewegung in der x,y-Ebene ...................................................... 33 Gerader zentrischer Stoß.......................................................... 35 LAGRANGEsche Gleichungen 2. Art ........................................ 35 Schwingungen mit dem Freiheitsgrad 1 ................................... 36 Schwingungen mit einem Freiheitsgrad größer 1...................... 40 Geometrie- und masseabhängige Kennwerte Schwerpunkt ebener Linienstrukturen....................................... 41 Schwerpunkt ebener Flächen.................................................... 42 Schwerpunkt von Körpern ......................................................... 43 Flächenmomente 2. Ordnung.................................................... 44 Trägheits- und Widerstandsmomente gegenüber Torsion ........ 46 Massenmomente 2. Ordnung.................................................... 47

ii Formelsammlung Technische Mechanik

Formelsammlung Technische Mechanik 1

Statik Ebene Statik

Lasten (Kräfte und Momente)

(Einzel-)Kraft

F

Vektorielle Darstellung y

z x

F

Fy

exez

Fx

x

y

x y

x x yF F

y

F F F

e e Betrag, Richtung

Koordinaten

2 2

tan

x y

y

x

F F

FF

F

Moment bezüglich der z-Achse Resultierende Kraft aus n Kräften (Einzel-)Moment z

M

Vektorielle Darstellung

2 2

1 1

tan

mit:

RyR Rx Ry R

Rxn n

Rx ix Ry iyi i

FF F F

F

F F F F

F

ze

z

cos sin

sin cosx

y

F F FF F F

z z z y xM x F y F

M e

y

z x

Mz

z zM

M e


Resultierendes Moment aus n Kräften und m Einzelmomenten

1 1 1 1

n m n m

Rz iz kz i iy i ix kzi k i k

M M M x F y F M

Gleichung der Wirkungslinie der äquivalenten Kraft

Ry Rz

Rx Rx

F My xF F

Gleichgewichtsbedingungen für n Kräfte und m Einzelmomente

Kräftegleichgewicht Momentengleichgewicht

0

RF 0RzM

1

0n

ixi

F

1 1

0

n m

i iy i ix kzi k

x F y F M

1

0n

iyi

F

Integrale von Linienlasten sind mit zu erfassen, z. B.

A

q(s)

sl

ds

0

l

RF q s ds

A

FR

sR l

RR

s q s s dsF

0

1

F =q lR 0

l/2 l/2

q0

l0 2

R R

lF q l s

F =q l/R 0 2

2 3 l/ l/3A

q0

lA

2

2 30 R R

q lF s l


Lager- und Gelenkreaktionen (Beispiele)

Symbol Lagerreaktionen Reduzierter Freiheitsgrad Bezeichnung

0 Einspannung

FB

FBh

MB

B

Festlager (gelenkiges Lager)

1

(Drehung um B) FB

FBhB

Loslager (Rollenlager)

2 (Verschiebung

von B entlang der Gleitebene,

Drehung um B)

B

FB

Pendelstütze (Stützstab, Seil)

2 (Verschiebung

von B auf Kreis-bogen um C,

Drehung um B) B

CFS

Zug-/Druckfeder (Federkonstante c)

2 (horizontale

Verschiebung von B, Drehung

um B)

Drehfeder (Federkonstante ct)

2 (horizontale und

vertikale Verschiebung

von B)

B

c

F = c

M = ct tB

ct

1

(Drehung um G) Gelenk

F FG G

F FGh GhG

beliebig


Schnittgrößen beim Balken Beziehungen zwischen Mb, FQ, q als Funktionen von s

Für entgegengesetztes s gelten die unteren Vorzeichen. Lasten (Kräfte und Momente) (Einzel-)Kraft

F

Vektorielle Darstellung Betrag Koordinaten

M b

FQ

Mb

FQ

FLFLFL – Längskraft FQ – Querkraft Mb – Biegemoment

-Mb

2

2

bQ

b

Q

M FMs q

F dsq

s

x y z

x x y y z zF F F

F F F F

e e e

2 2

2x y zF F F FF

cos

cos

cos

x

y

z

F FF F

F F

dss

Mb

FQ

M + dMb b

FQ + dFQ

q

Auftragerichtung für Mb

Mb

+

Räumliche Probleme

z

F

yx

z

y

r

O

e z

ex e y

Fy

Fx

Fz

x

Formelsammlung Technische Mechanik

5

Moment bezüglich des Punktes O

Resultierende Kraft aus n Kräften

(Einzel-)Moment

M

Vektorielle Darstellung

x y z

x x y y zM M M

M M M M

e e ze

Resultierendes Moment aus n Kräften und m Einzelmomenten Gleichgewichtsbedingungen für n Kräfte und m Einzelmomente

Kräftegleichgewicht Momentengleichgewicht

0

RF 0

RM

1

0n

ixi

F

1 1

0

n m

i zi i yi kxi k

y F z F M

1

0n

iyi

F

1 1

0

i

n m

i x i zi kyi k

z F x F M

1

0n

izi

F

1 1

0

n m

i yi i xi kzi k

x F y F M

Integrale von Linien-, Flächen- und Volumenlasten sind mit zu erfassen.

1 1

n m

R i ii k

k

M r F M

mit:

x x y y z

x z y

y x z

z y x

M M M

M y F z F

M z F x F

M x F y F

M r F e e ez

1

n

R ii

F F

M

z

e My

Mz

yy

r

zO

z

ex eyx

x

Mx

6 Formelsammlung Technische Mechanik

Lager- und Gelenkreaktionen (Beispiele)

Symbol Lagerreaktionen Reduzierter Freiheitsgrad Bezeichnung

0 Einspannung FBy

FF

Bz

Bx

M

M

M

By

Bz

BxB

xy

z

Festlager (gelenkiges Lager)

3

(Drehung um x-, y-, z-Achse

durch B)

B

xy

zFBy

F

FBz

Bx

5

Loslager (Rollenlager)


durch B, Verschiebung in

x- und z-Richtung)

B

xy

z FBy

Pendelstütze (Stützstab, Seil)

5 (Verschiebung

von B auf Kugel-fläche mit Radius

BC um C, Drehung um B)

Hülse (ohne axiale Verschieblichkeit)

1 (Drehung um

z-Achse)

Gelenk

3


durch G)

x

y

zBFBy

F

FBz

Bx

M

M

By

Bx

Gx

z

yF F

Gy Gy

FF F

Gz

Gx Gx

FSC

BB


Schnittgrößen beim Balken

z

y Mbx

MtFQx

FL

FQy

Mby

S

x Haftreibung 0H NF F Gleitreibung , entgegengesetzt zur Gl NF F

Relativgeschwindigkeit

Rollreibung Ro N

fF F

R

Seilreibung 0

2 1S SF F e Haften 2 1S SF F e Gleiten

mit: FH - Haftreibungskraft FGl - Gleitreibungskraft FRo - Rollreibungskraft FN - Normalkraft (Druckkraft) FS1, FS2 - Seilkräfte

0 - Haftreibungskoeffizient - Gleitreibungskoeffizient f - Hebelarm der Rollreibung R - Radius des Rollkörpers - Umschlingungswinkel

FL - Längskraft FQx , FQy - Querkräfte Mbx , Mby - Biegemomente Mt - Torsionsmoment

mit: x, y, z bilden körperfestes Rechtssystem

Reibung

} meist: fR


Spannungen Spannungsvektor

mit: Koordinaten:

n - Einheitsvektor in Normalenrichtung s - Einheitsvektor in Tangentenrichtung

Räumlicher Spannungszustand Spannungstensor

xx xy xz

kl yx yy yz

zx zy zz

Normalspannung

Tangentialspannung oder Schubspannung

, , ,

kl lk

kl kl

k l x y z

z

xy

F

F

zz

yy

Fxx

JzyJyz

xz

Jxy

Jzx

Jyx

FestigkeitslehreGrundlagen

dA

AFi

Mk

n

sdFN

dFT dFddA

Ft n s

N

T

dFdA

dFdA


Hauptspannungen aus: ( 1, 2, 3i i ) 3 2

1 2 3 0 i i iS S S 1 2 3

mit:

1

2 2 22

2 23 2

xx yy zz

xx yy yy zz zz xx xy yz zx

2xx yy zz xy yz zx xx yz yy zx zz

S

S

S xy Hauptspannungsrichtungen in aus:

0

0

0

xx i ix xy iy xz iz

yx ix yy i iy yz iz

zx ix zy iy zz i iz

n n n

n n n

n n n

mit:

2 2

( )

1

i ix x iy y iz z

i ikk

n n e n e n e

n n

Einheitsvektor der i-ten Hauptspannungsrichtung

k = x, y, z Ebener Spannungszustand (ESZ) Spannungstensor

Für gedrehtes Koordinatensystem

xx xykl

yx yy

cos 2 sin 22 2

cos 2 sin 22 2

sin 2 cos 22

xx yy xx yyuu xy

xx yy xx yyxy

xx yyu u xy

x

y

σxx

σxx

yx

yx

xy

xy

σyy

σyy

, ,

kl lk

kl kl

k l x y

x

uy

σxxyx

xy

σyy

u


Hauptspannungen Hauptspannungsrichtungen Verzerrungen Verschiebungsvektor

Räumlicher Verzerrungszustand Verzerrungstensor

Dehnungen Gleitungen

Ermittlung der Hauptdehnungen und Hauptdehnungsrichtungen wie beim räumlichen Spannungszustand ( ) kl kl S. 9

x y z

x x y y z

u w

u u u

e e e

u e e ze

1 1

2 21 1

2 21 1

2 2

xx xy

kl yx yy yz

zx zy zz

xz

, ,

, ,

, ,

,

,

,

yx x

xx x x xy x y

y y zyy y y yz y z z y

xz zzz z z xz x z z x

uu uu ux yu u uu uy z

uu uu uz z

y xux

uy

ux

, , ,

2

kl lk

kl kl

k l x y z

2

21,2 2 2

xx yy xx yyxy

01,02

012

2tan 2

tan

xy

xx yy

xy

xx

für eindeutige Hauptspannungsrichtung 1

x

1

yσxx

yx

xy

σyy

1

2

2

2

u

y

z

O

ez

exey

x

uyux

uz

P

P'


Ebener Verzerrungszustand (EVZ) Verzerrungstensor

1

21

2

xx x

kl

yx yy

, ,

2

kl lk

kl kl

k l x yy

Für gedrehtes Koordinatensystem

xu

y

xx u u

yy

2

u2

xy

1cos 2 sin 2

2 2 2

1cos 2 sin 2

2 2 2sin 2 cos2

xx yy xx yyuu xy

xx yy xx yyxy

u u xx yy xy

Ermittlung der Hauptdehnungen und Hauptdehnungsrichtungen wie beim ebenen Spannungszustand kl kl S. 10 HOOKEsches Gesetz Voraussetzung: isotropes Material

1

1

1

1

1

1

xx xx yy zz

yy yy zz xx

zz zz xx yy

xy xy

yz yz

zx zx

TE

TE

TE

G

G

G


2 1E G mit:

E – Elastizitätsmodul (YOUNGs Modul) G – Schubmodul – Querkontraktionszahl ( - POISSONsche Zahl) 1m

– Temperaturdehnzahl T - Temperaturdifferenz Sonderfall: Ebener Spannungszustand (ESZ)

1

1

1

xx xx yy

yy yy xx

zz xx yy

xy xy

TE

TE

TE

G

Sonderfall: Ebener Verzerrungszustand (EVZ)

11 1

11 1

1

xx xx yy

yy yy xx

xy xy

TE

TE

G


Zulässige Spannungen

zähes Material

sprödes Material

F

Fzul

B

B

S

S

mit: )

)

( 1,2...2)

( 4...9)

Fließfestigkeit (Bruchfestigkeit (Sicherheitsfaktor gegen FließenSicherheitsfaktor gegen Bruch

F e

B m

F F

B B

RR

S SS S

Sicherheitsfaktoren aus Regelwerken für jeweilige Anwendung

Bei anisotropem Material zusätzlich mit analoger Definition

d zul


Vergleichsspannungen Festigkeitskriterium

zul

mit: Vergleichsspannung

Bei anisotropem Material zusätzlich d d zul

Allgemein Formulierung mit den Hauptspannungen 1 2 3 S. 9

Normalspannungshypothese

Isotropes Material:

Anisotropes Material:

1 3 1

1 3 1

:

:

1

3

1 3 1 1

1 3 1 1 1

1 3 1 3

0 , 0 :

0 , 0 :

0 , 0 :

und

d

d

3

Schubspannungshypothese

2 1 3

Gestaltänderungsenergiehypothese

2 2 2

3 1 2 2 3 3 1

2 2 2 2 2 2

1

2

13

2 xx yy yy zz zz xx xy yz zx

Analog für Zylinderkoordinaten:

2 2 2 2 2 23

13

2 rr zz zz rr r z zr


Linientragwerke (Balken, Wellen) S. 16 ff

Normalspannungshypothese

Formulierung mit den Hauptspannungen 1 2 (ESZ) S. 10

Isotropes Material:

1 2 1

1 2 1

:

:

1

2 Anisotropes Material:

1 2 1 1

1 2 1 1 1

1 2 1 2

0 , 0 :

0 , 0 :

0 , 0 :

und

d

d

2

Schubspannungshypothese

2 22 4


2 23 3

Flächentragwerke (Behälter, Scheiben, Platten – ESZ)


Behälter S. 22 2 2

3 l u l u

Scheiben, Platten S. 23 ff

2 23 rr rr


Zug (Druck) ,

( )( )

( )L L

zz zz z zF z Fz uA z EA

Sonderfall: ., 0 zz konst T

mit:

Linientragwerke

A - Querschnittsfläche

T

zz

ll

EA - Dehnsteifigkeit l - Längenänderung l - Ursprungslänge

Biegung Spannung Gerade Biegung (Biegung um Hauptträgheitsachse x)

bxzz

xx

M yI

mit: max

xxbx

IWy

Widerstandsmoment gegenüber Biegung

maxmax

bxzz

bx

MW

Schiefe Biegung, x, y – Hauptträgheitsachsen, einschließlich Längskrafteinfluss

bybxLzz

xx yy

MMF y xA I I

Gleichung der Spannungsnulllinie 0 zz

by xx xL

bx yy bx

M xI IFy xM I M

A


Schiefe Biegung, x, y – beliebige Schwerpunktsachsen, einschließlich Längskrafteinfluss

2 2

bx yy by xy bx xy by xxLzz

xx yy xy xx yy xy

M I M I M I M IF y xA I I I I I I

Gleichung der Spannungsnulllinie 0 zz

2

bx xy by xx xx yy xyL

bx yy by xy bx yy by xy

M I M I I I IFy xM I M I A M I M I

mit: , ,xx yy xyI I I - Flächenmomente 2. Ordnung S. 44

Verformung (gerade Biegung) Differenzialgleichung der Biegelinie

mit: ´ddz

Neigung

EI(xx) – Biegesteifigkeit I(xx) – axiales Flächenträgheitsmoment S. 44

Randbedingungen für bzw. ́

( )

( )

´́ b x

xx

MEI

xx

Mb(x) Mb(x)

z z

y, y,


Reine Torsion

max

t t

t t

M MW l

GI

mit: - Verdrehwinkel l - Stablänge - Drillung GIt - Torsionssteifigkeit It - Torsionsträgheitsmoment Wt - Widerstandsmoment gegenüber Torsion Sonderfall: Kreis(ring)querschnitt

max( ) t t

p p

M Mr rI W

mit: Ip - polares Flächenträgheitsmoment Ip = It = 2 Ixx= 2 Iyy

- polares Widerstandsmoment Wp=Wt =2Wbx=2Wby

r – (beliebiger) Radius innerhalb des Querschnitts

pp

a

IW

r

ra – Außenradius Trägheits- und Widerstandsmomente gegenüber Torsion S. 46


Querkraftschub Voraussetzung: x, y – Hauptträgheitsachsen

Massive Querschnitte (annähernd rechteckig) FQy

Schubspannungen

z-

-

-

y

dy

S

A y( )

b yx( )

b yx( )

y

y

yR

x

( )

( )( )

( )

( ) ( )

statisches Moment der (unterlegten)Restfläche

mit:

R

Qy xzy

xx x

y

x xy

A y

F S yy

I b y

S y y b y dy

( )

( )( )

Qx yzx

yy y

F S xx

I b x

Analog:

Dünnwandige offene Querschnitte Schubspannungen

0

0

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

mit:

ds

Qy x Qx yzs

xx yy

l s

xsl s

ys

F S s F S ss

I s I s

S s y s s ds y s s

S s x s s ds x s s ds

y

z

FQy

s

s s=l

s=s=0

r st( )

x S

MFQx

xM

yM

~~

( )s( )s ds

Koordinaten des Schubmittelpunktes M

0

1( )

1( )

l

M x txx

l

0M y t

yy

x S s r s dsI

y S s r

s dsI


Federn Federgesetze

Feder Federgesetz Potenzielle Energie

Zug-/Druck-Feder

Drehfeder

Ersatzfederkonstanten

Federschaltung Ersatzfederkonstante

Reihenschaltung

Parallelschaltung

Federkonstanten elastischer Linientragwerke

Beanspruchungsart Federkonstanten

Zug

Biegung

Torsion

1 2

1 2

1 1 1

1 1 1

t t t

c c c

c c c

1 2

1 2t t t

c c c

c c c

FL

M t

c1 c2

ct2ct1

w

FL

M t

c1 c2

c t2c t1

w1 w2

1 2

EAc

lFL

EA, l

Mt

GI , lt

tt

GIc

l

3 2

2

3 2:

2:

Q t

b t

EI EF c cl l

I

EI EM c cl l

I

FQ

M b

, lEI

F c w

t tM c

wc 21

2U c wFL

cMt

t21

2 tU c


Satz von CASTIGLIANO Voraussetzungen: x, y – Hauptträgheitsachsen, T = 0

mit: U - linearelastische Verzerrungsenergie x, y - Schubfaktoren des jeweiligen Querschnitts

1 ( )

...

analog

i

nbyi byibxi bxi ti ti

kik xx k k t kl yyi ii

Qxi Qxi Qyi QyiLi Lixi yi

k ki i i

kk

M MM M M MUF EI F F GI FEI

F F F FF F dsEA F GA F GA F

UM

ik

Stabilitätsproblem Knicken Kritische Kraft für EULERsche Knickfälle

FK FKFKFK

22Kk

E IF

l

)(für p

P

E

2 1 0,5lKl

: 0,7

mit: Schlankheitsgrad

i - Trägheitsradius S. 45

Kli

P - Proportionalitätsgrenze


Flächentragwerke Voraussetzung:

Belastung, Geometrie, Materialverhalten sind rotationssymmetrisch Spannungs- und Verzerrungszustand ist rotationssymmetrisch

Rotationsschalen (Behälter - Membrantheorie) Behälter Längs- Umfangs-

spannung spannung

allgemein

Kugelschale

Zylinder-schale

Kegelschale

pR

h2

Rp

hR

ph

2

Rp

h

2 sin

R ph

h R

p

p

h

Ø2R

1 2

: (Rotationsachse)

l u pR R h

R1

p

hR2

l

l

u

u

sin

R ph

l

u u

u u

l l

u u


Kreis- und Kreisringscheiben

Fnn

Frr rr+dF

Fnn

DT2r

dr

Frr

rdn

n

Differenzialgleichung

2

22

´ 1 1´́ ´ ´ 1 ´r r

r ru uu r u rr r r E

T

mit: - Verschiebung in radialer Richtung ( )ru r - Massendichte

2 n Winkelgeschwindigkeit (n – Drehzahl)

´r

Allgemeine Lösung

2

2 31 2

1 11 (

8

r

ra

u C r C r r T r dr E r

) r

mit:

1 2

0 (

(

,

Vollscheibe)Innenradius Ringscheibe)

Integrationskonstanten aus Randbedingungen

a

C C

Randbedingungen (je 1 pro Rand) für bzw. r rru Spannungen

2

2

´ 11

´ 11

rrr r

rr

uE u Tr

uE u Tr


Vergleichsspannung nach Gestaltänderungsenergiehypothese S. 15 Dehnungen

´

r

rr r zz rruu Tr E

Alternative Lösung (günstig bei Spannungs-Randbedingungen)

2

2 31 2

2 21 22

2 21 22 2

1 1 1 11 (

8

1 3( )

8

1 1 3 1( )

8

r

ra

r

rra

r

a

u K r K r r T rE E r E r

EK K r r T r drr r

K K r E T r T r drr r

) dr

mit: K1, K2 – Integrationskonstanten Dehnungen wie oben

Kreis- und Kreisringplatten

mn

z,w

dr

mr

p r( )qr+dqr

qr

mn

hdn

n

r

mr+dmr


Differenzialgleichung

2 3

´́ ´ ´́ ´ 1 1 ( )´́ ´́ 2 ´ ´ ´ ´

w w w p rw w r r wr r r r r K

mit: w(r) – Verschiebung der Plattenmittelfläche in z-Richtung

3

212 1

´

PlattensteifigkeitKE h

ddr

Allgemeine Lösung für 0( ) .p r p konst

42 2 0

1 2 3 40 0

ln ln64

p rr rw C C C r C rr r

K

mit: r0 - beliebiger Bezugsradius C1, …, C4 - Integrationskonstanten aus Randbedingungen

Randbedingungen (je 2 pro Rand) für w oder qr bzw. w´ oder mr

Schnittgrößen

2

´ ´´́ ´́

´́ ´´́ ´

r

r

w wm K w m K wr r

w wq K wr r

Spannungen

3 3

1212

2 2mit:

rrr

mm z zh hh hz

Vergleichsspannung nach Gestaltänderungsenergiehypothese S. 15 Dehnungen ´

´́ 0 rr zzwz w zr



Kinematik- Bewegung auf einer Geraden

Kinematik des Punktes

Weg ( )s s t

Geschwindigkeit s

Beschleunigung a s

( ) ( )mit: bzw.

d d d ddt ds dt d

Bewegung auf beliebiger Bahn, verschieden beschrieben

Kartesische Koordinaten

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

x y z

x y z

x y z

t x t y t z t

t x t y t z t

t x t y t z t

r e e

r e e

a r e e

e

e

e

P

O

x

y

z

ez

exey

r t( )

y t( )

z t( )

x t)(

Natürliche Koordinaten

2

( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )ρ( )

t t

t n

t t

tt t t

s s tt s t t

tt

en

e tP

O

s t( )

e e

a e e

mit: - Krümmungsradius Polarkoordinaten (ebene Bewegung)

2

( )

( )

( ) ( 2 )CORIOLIS-Beschleunigung

r

r

r

r tt r r

t r r r r

e

e e

a e

r

eer

P

O

r( )t

e

mit: 2

T

Winkelgeschwindigkeit

T – Kreisfrequenz (Umlaufzeit)

( )t


Kinematik des starren Körpers

Translation A

A´´A´

BB´ B´´

0t t1t t

2t t

Ein Körperpunkt ( A bzw. B ) repräsentativ für alle Körperpunkte; Kinematik des Punktes anwendbar Rotation um raum- und körperfesten Punkt O

P

O

r

Allgemeine Bewegung r r

Ebene Bewegung Momentanpol mit:

A AP

A AP

A AP

r

r r r

a r r r r AP

r

r r

a r

PA

AP

O

rrA

r

P

A

AP

O

rrA

rer

e

e

ex

ey

ez

2

A AP

A AP

AP A

z

A z

e r

e

r r r

r r

a r r r r

P

z AM A

er r

z A A y Ax ye e xe


Bewegung des Punktes P relativ zu bewegtem Bezugssystem

2CORIOLIS-FührungsbeschleunigungBeschleunigung

B BP

P BP rel rel

B BP rel

B B

rr r a r r

r

r r a

r r

mit: - absolute Winkelgeschwindigkeit des bewegten

Bezugssystems

B (körperfestesBezugssystem)

B

B P

O

r

rr

P


Kinetik starrer Körper- Translation NEWTONs statische Interpretation Bewegungsgleichung (D´ ALEMBERT)

R SmF r 0

Sm r

RF

1 1

2 21 0 1 0

1

t

t

m m T T0 0

1( ) ( ) ( )

d t t dtF r r F 2 2R R

F

mSO

s

: 0F m s

F m s

mit: - Hilfskraft m s (Trägheitskraft)

beliebige Translation ( 0RM

)

Fm

SO

sF

m

msSO

s geradlinige Translation infolge der Kraft F

Mathematische Folgerungen für beliebige Translation

1

0

1 0( ) t

Rt

t dt mF

mit: 0, 1 - Indizes für Weganfang bzw. Wegende Für (Impulserhaltung) : 0

RF .konst

Mechanischer Arbeitssatz (Translation) mit:

RF Leistung (bei Translation)

P

kinetische Energie (der Translation) 212

T m


Mechanischer Energiesatz (Translation) 1

0

2 20 1 1 0 1

1 1( )

2 2

R d U U m m T TF r r 0

0 0 1 1 .U T U T konst

mit:

RF - Potenzialkraft U - potenzielle Energie (der Translation) Beispiele: Gewicht: : Federenergie S. 20

Höhemit -U mg h h

Beliebige Bewegung Schwerpunktsdefinition

folglich:

dmS

m

O

rrS( )

1S

m

dmm

r r

( )

1S

m

dmm

r r Schwerpunktssatz

Definition von Impuls und Drehimpuls Impuls

dmS P

m

O

r

ri

rS

rSP

Fi

Mk

( )

Sm

dm m p r r

Drehimpuls bezüglich des Punktes O

( )m

dm L r r

EULERs Grundgesetze der Kinetik

Impulsbilanz

R SmF p r

RM L Drehimpulsbilanz


Formulierung im x,y,z-Koordinatensystem

1 1 2 3 2

3 3 3 1 2 1R

J J J

M J J J

2 2 2 3 1 3 1RM J J J

1RM 3

2

m x

y

z

1

1

1

n

ixi

n

iyin

izi

S

Ry S

Rz S

F

F

F

F m

F m

Impulsbilanz

RxF Drehimpulsbilanz

bezüglich körperfester Hauptträgheitsachsen i durch den Schwerpunkt

1, 2, 3S (EULERsche Gleichungen)

mit: MRi - Koordinaten des resultierenden Moments

Ji - (Massen-)Hauptträgheitsmomente S. 48 i - Koordinaten der absoluten Winkelgeschwindigkeit


Bewegung in der x,y-Ebene Statische Interpretation von Impuls- und Drehimpulsbilanz für verschiedene Bezugspunkte

1 1

: 0 : 0n n

ix s iy Si i

F m x F m y

zzJ

mit: - Hilfsmoment (Moment der Trägheit) Kräftegleichgewicht (für alle Bezugspunkte gleich)

Momentengleichgewichte Mechanischer Energiesatz

2 2 2 2 2 20 1 1 1 1 0 0 0 1

0 0 1 1

1 1 1 1

2 2 2 2.

S S zz S S zzU U m x y J m x y J T T

U T U T konst

0

1 1

1 1

1 1

: 0

: 0

: 0

n m

iy i ix i k S S S S zzi k

n m

iy i B ix i B k S S B S S B zzi k

n m

iy i S ix i S k zzi k

O F x F y M m y x m x y J

B F x x F y y M m y x x m x y y J

S F x x F y y M J

bzw.

bzw.

S

Jzz..

..

..

Fix

Fiyyy

m, Jzz

yi

yS z

x

yB

xB x xiS

x

O

B

mxSmyS

Mk


Sonderfall: Rotation um raumfeste Achse durch den Punkt A

Bewegungsgleichung (analog zur Translation) yy

mit mit: Satz von STEINER S. 45 Mathematische Folgerungen aus der Bewegungsgleichung

Für 0R zM (Drehimpulserhaltung) : Mechanischer Arbeitssatz (Rotation)

mit: RzP M Leistung (bei Rotation)

kinetische Energie (der Rotation) Mechanischer Energiesatz (Rotation)

mit: R zM aus Potenzial ableitbar U - potenzielle Energie (der Rotation)

1 1

0 0

2 21 0 1

1 1( ) ( ) ( )2 2R z R z

t

zz zzt

0M d M t t dt J J T

T

Rz zzM J

1

0

2 20 1 1

0 0 1 1

1 1( )

2 2

.

R z zz zzM d U U J J

U T U T konst

0

1 1

:n m

iy i ix i ki k

R z F x F y MM

S

Fix

Fiy

m, Jzz

yi

yS z

z xxixS

rS

x

O=A

Mk

FAh

S. 2

1 1

0n m

iy i ix i k zzi k

F x F y M J

AF2zz zz sJ J r m 2 2

S Sr x y 2S

1

0

1 0( )R z zz

t

zzt

M t dt J J

. .bzw.zzJ konst konst

212

T J


Gerader zentrischer Stoß

Geschwindigkeiten nach dem Stoß

mit: Stoßzahl

Geschwindigkeiten vor dem Stoß

Verlust an kinetischer Energie LAGRANGEsche Gleichungen 2. Art

mit: T - kinetische Energie des Gesamtsystems - verallgemeinerte Koordinate lq

lQ - verallgemeinerte Last aus

W - Arbeitszuwachs der eingeprägten Lasten

- virtuelle Verschiebung für konstant gehaltene Zeit lq f - reduzierter Freiheitsgrad

Sonderfall: Existenz einer potenziellen Energie U für alle verallgemeinerten Lasten

1 1 2 2 2 1 21

1 2

1 1 2 2 1 1 22

1 2

m m k mm m

m m k mm m

S1

S2

m1

m2

1 2

1 2

k

( 1: elastischer Stoß0 : plastischer Stoß )

kk

1 2,

2

21 21 2

1 2

1

2

k m mT Tm m

1, ...,ll l

T TQ l

q q

f

1

f

l ll

W Q q

0 mit :L L L T Uq q

l l


Schwingungen mit dem Freiheitsgrad 1 Anm.: Aufgeführt sind jeweils die Beziehungen für Schwingungen

mit geschwindigkeitsproportionaler Dämpfung. Ist die Schwingung ungedämpft, dann gilt: Freie gedämpfte Schwingungen

Bewegungsgleichung

andere Formulierung: mit:

Lösung für schwache Dämpfung (0

1D

)

andere Formulierung: mit:

0m s b s c s

202 δ 0s s s

1 2δ( ) cos sint C Cs t e t t

0D ( Formelzeichen s. u. ) 0 0b

20

δ =2

Dämpfung

Abklingkonstante

Eigenkreisfrequenz der ungedämpften Schwingung

b -bmcm

s

O

m

c b

s im raumfesten Koordinatensystem (analog für Winkel)

δ( ) cos αts t e C t

C1, C2 - Integrationskonstanten aus Anfangsbedingungen: 0 00 : ,t s s s

2 21 2C C C

2α arctanCC

Phasenwinkel 1


Eigenkreisfrequenz der gedämpften Schwingung

2 20 0δ 1 D 2

LEHRsches Dämpfungsmaß (Dämpfungsgrad) Schwingungsdauer

Logarithmisches Dekrement Erzwungene gedämpfte Schwingungen Voraussetzung: Harmonische Erregung

Lasterregung Unwuchterregung Bewegungserregung

2T

2

2 πln

1

k

k

s t D Ts t T D

t

s(t)

Ttk

te

te

0 02

bD

m

F t =F sin t( ) 0

s

O

m

c b s

O

mmu

t

ru

c b

s

O

B

u=u sin t0 s =s-ur

m

c b


Erregungsart Lasterregung

Erregungsfunktion F0 - konstante Lastamplitude

0( ) sin F t F t

Bewegungsgleichung

Homogene Lösung

Anfangsbedingungen

0 sinms b s c s F t

δ cos αts e C t

0 00 : ,t s s s

Partikuläre (stationäre) Lösung 0 sinp IFs V tc

Vergrößerungsfunktion

22 2

max 2

1

1 η 4 η

1

2 1

I

I

VD

VD D

2

VI

D = 0

D = 0,2

Phasenwinkel 2

2 ηarctan

1 ηD

Frequenzverhältnis

Eigenkreisfrequenz (gedämpft)

LEHRsches Dämpfungsmaß

0

20 1 D

0 02 2

b bD

m mc


Unwuchterregung Bewegungserregung mu ru 2

- konstante Kraftamplitude u0 - konstante Wegamplitude

2( ) sinu uF t m r t 0( ) sinu t u t

2 sinu u um m s b s c s m r t 2

0 sinr r rs b s c s tm m u

δ cos αtrs e C t δ costs e C t

0 00 : ,rr rt s s s r 0 00 : ,t s s s

2

2 ηarctan

1 η

D

3

2 21 4

2 ηarctan

1 ηDD

VII

D = 0

D = 0,2

VIII

D = 0

D = 0,2

sinup u II

u

ms r V tm m

0 sinr p IIIs u V t

2 2

22 2 2

max

1 4

1 4

11

2

III

III

DV

D

V DD

2

22 2

max 2

1 4

1

2 1

II

II

VD

VD D

für

2

0

20 1 D

0 02 2

b bD

m m c 0 02

u

bDm m


Schwingungen mit einem Freiheitsgrad größer 1

Bewegungsgleichung

mit: Spezialfall: Freiheitsgrad f = 2, Erregerlast F1(t) = F0 sint,

keine Dämpfung Anfangsbedingungen für t = 0 : Lösungsanteil der freien Schwingung

2

Eigenfrequenzen i (i = 1, 2) und dazugehörige -moden aus:

1 2ˆ ˆ( / )iq q

Lösungsanteil der erzwungenen Schwingung Amplituden aus: 1, q q

11 1 12 2 11 1 12 2 0

21 1 22 2 21 1 22 2

sin

0

m q m q c q c q F tm q m q c q c q

1 1 11 12

2 2 21 22

ˆ cos sin

ˆ cos sin

h

h

q q C t C t

q q C t C t

t

t

2 211 11 1 12 12 2

2 221 21 1 22 22 2

ˆ ˆ 0

ˆ ˆ 0

c m q c m q

c m q c m q

1 1 1

2 2 2

sin

sin

p p

p p

q C q

q C q

2 211 11 1 12 12 2 0

2 2 0

c m q c m q F

c m q c m q

21 21 1 22 22 2

0

M q B q C q F

, 1, ...,

Vektor der verallgemeinerten Koordinaten

Massenmatrix Komponenten:

Dämpfungsmatrix

Steifigkeitsmatrix

Vektor der Erregerlasten

k

kl lk

kl lk

kl lk

k

b

F

q

m m

b

c c

k l f

q

M

B

C

F

1 10 1 10 2 20 2 2q q q q q q


Schwerpunkt ebener Linienstrukturen

Geometrie- und masseabhängige Kennwerte

Allgemein

( )

( )

( )

1

1

S Ll

S Ll

l

x x dsl

y yl

l ds

x

xS L

xx

yS L

y

y y

S

ds

s=l

s

ds

Spezielle Linien

Linie Schwerpunktskoordinaten

cos

2 2

sin2 2

S L

S L

a cx

b cy

x

xS L

x

yS L

b

y yc

a

S

2S L S Lx y R

x

xS L

x

yS L

y y

R

S

Bei bekannten Werten für n Teillinien

x

xS L xS Li

x

yS L

yS Li

y y

S

SLi

li1

1

1

1

1

n

S L S Li ii

n

S L S Li ii

n

ii

x x ll

y yl

l l

l


Schwerpunkt ebener Flächen Allgemein

( )

( )

( )

1

1

S AA

S AA

A

x x dAA

y yA

A dA

x

xS A

xx

yS A

y

y y

S

A dA

dA

Spezielle Flächen

Fläche Schwerpunktskoordinaten

Bei bekannten Werten für n Teilflächen

x

xS A

y

a

y 2

31

3

S A

S A

x a

y b

x

yS A

b

S

x

xS A

x

yS A

y y

R

S4

3S A S Ax y R

yiy

xi

AiSi

S x yS A_

_

xS A

_

xS Ai

yS Ai

x

y

1

1

1

1

1

i

i

n

S A S A ii

n

S A S A ii

n

ii

x x AA

y yA

A A

A


Schwerpunkt von Körpern Allgemein

( )

( )

( )

( )

1

1

1

S mV

S mV

S mV

V

x x dmm

y ym

x

xS m xx

yS m

y

y

z

z

z

zS m

yS

m dm dm

z z dmm

m dm

Spezielle Körper

Körper Schwerpunktskoordinaten

z

Bei bekannten Werten für n Teilkörper

x

x

zS mb1

a2

a1

b2

yy

zKeil(stumpf) Pyramide(-nstumpf)

h

Quader 1 1 1 2 2 1 2 2

1 1 1 2 2 1 2 2

3

2 2 2

S ma b a b a b a bhza b a b a b a b

zKegel(stumpf)

1

1

1

1

1

1

n

S m S mi iin

S m S mi iin

S m S mi ii

n

1i

i

x x mm

y ym

z zm

m m

m

m

Pyramide(-nstumpf)

xx

zS m

S1

A1

S

S2

A2

r1

r2

z

yy

2 21 1 2 2

2 21 1 2 2

1 1 2

1 1 2 2

2 3

4

2 3

4

S mr r r rhzr r r r

2A A A AhA A A A

h


Flächenmomente 2. Ordnung Trägheitstensor

xx xykl

yx yy

I II

I I

2

( )

2

( )

:

xiale Flächenträgheitsmomente

mit

Axx

A

yyA

I y dA

I x dA

( )

( )Zentrifugal- oder Deviationsmoment xy xy yxA

I x y dA I I Satz von STEINER

2 2 xx xx S yy yy S xy xy S SI I y A I I x A I I x y A

Spezielle Flächen

Flächenmomente 2. Ordnung Fläche

,x y -Koordinatensystemx,y- Koordinatensystem 3

3

12

120

xx

yy

xy

b hI

h bI

I

3

3

2 2

3

3

4

xx

yy

xy

b hI

h bI

b hI

y y

x

x S

h

b

y

x

y

xS

h

b

3

3

2 2

36

36

72

xx

yy

xy

b hI

h bI

b hI

3

3

2 2

12

12

24

xx

yy

xy

b hI

h bI

b hI


y

x

y

x S R

4

4

4

16 9

4 1

9 8

xx yy

xy

I I R

I R

4

4

161

8

xx yy

xy

I I R

I R

Bei bekannten Werten für n Teilflächen

y

x

D=2R

S

4

4

4

640,5

xx yy

p

I I R

D

I

Hauptträgheitsmomente 1 2I I Hauptträgheitsrichtungen

01,02

012

2tan 2

tan für eindeutige Hauptträgheitsrichtung 1

xy

xx yy

xy

xx

II I

II I

yiy

xi

A ,I ,I ,Ii x x y y x yi i i iiiSi

S x yS_

_

xS

_

xSi

ySi

x

y

2

1

2

1

1

i i i

i i i

i i i i

n

xx x x S ii

n

yy y y S ii

n

xy x y S Si

I I y A

I I x A

iI I x y A

x

2

1

S

y

2

2

1

1

2

21,2 2 2

xx yy xx yyxy

I I I II I

02

01

Trägheitsradius

,kkk

Ii kA

x y


Trägheits- und Widerstandsmomente gegenüber Torsion

Querschnitt It Wt

Kreis (Ri=0), Kreisring

4 4

4 4

2

32

a i

a i

R R

D D

4 4

4 4

2

16

a i

a

a i

a

R RR

D DD

dünnwandig offen

3

1

1

3

n

i ii

l

max

t

i

I

dünnwandig geschlossen

24

1( )

mA

dss

Di=2Ri

Da=2Ra

min2 mA

Rechteck (h>b)

h/b 1 1,5 2 3 4

c1 0,141 0,196 0,229 0,263 0,281

c2 0,208 0,231 0,246 0,267 0,282

h

b

s

Am

(s)

31c h b 2

2c h b


Massenmomente 2. Ordnung Trägheitstensor

mit:

Axiale Massenträgheitsmomente

dm

m

y

z

xSyS

zS

x

S

_

__

_ __

xx xy xz

kl yx yy yz

zx zy zz

J J JJ J J J

J J J

2 2

( )

2 2

( )

2 2

( )

xxm

yym

zzm

J y z dm

J z x dm

J x y dm

Zentrifugal- oder Deviationsmomente

( , , , ) kl lkJ J k l x y

( )

( )

( )

xym

xzm

yzm

J x y dm

J x z dm

J y z dm

z

Satz von STEINER

2 2

2 2

2 2

xx xx S S xy xy S S

yy yy S S xz xz S S

zz zz S S yz yz S S

J J y z m J J x y m

J J z x m J J x z m

J J x y m J J y z

m Trägheitsradius , ,kk

kJj k x ym

z


Spezielle Körper (Masse m)

Körper Massenmomente 2. Ordnung

Kreiszylinder

Stab

xz R

l

Sy 2

2zzmJ R 2 23

12xx yymJ J R l

x

x

y

y z

l

S

2

2

12

3

xx yy

xx yy

mJ J l

mJ J l

Kreisscheibe x

y

z

R

S2

2zzmJ R

Kreisring (dünner Kreiszylinder)

Kugel

Quader

2zzJ m Rx

y

z

R

S

Rx

y

z22

5xx yy zzJ J J m R

x

y

z

ca

b

S

2 2

12zzmJ a b

2 2

12yymJ a c

2 2

12xxmJ b c


Bei bekannten Werten für n Teilkörper

2 2

1 1

2 2

1 1

2 2

1 1

i i i i

i i i i

i i i i

n n

xx x x Si Si i xy x y Si Si ii i

n n

yy y y Si Si i xz x z Si Si ii i

n n

zz z z Si Si i yz y z Si Si ii i

J J y z m J J x y

J J z x m J J x z

J J x y m J J y z

m

m

m

Hauptträgheitsmomente Ji (i =1,2,3) aus (vgl. Hauptspannungen):

0

0

0

xx i ix xy iy xz iz

yx ix yy i iy yz iz

zx ix zy iy zz i iz

J J c J c J c

J c J J c J c

J c J c J J c

z

i ix x iy y ize c e c e c e

3 21 2 3 0 i i iJ S J S J S 1 2J J J

mit:

3

2

1

2 2 22

2 23 2

xx yy zz

xx yy yy zz zz xx xy yz zx

xx yy zz xy yz zx xx yz yy zx zz xy

S J J J

S J J J J J J J J J

S J J J J J J J J J J J J Hauptträgheitsrichtungen ei

aus (vgl. Hauptspannungen):

mit:

Hauptträgheitsrichtung Einheitsvektor der i-ten

e c2 2

( )

1i ikk

k = x, y, z


Sonderfall: Zur x,y-Ebene symmetrischer Körper (vgl. Flächenmomente 2. Ordnung) Hauptträgheitsmomente Hauptträgheitsrichtungen

für eindeutige Hauptträgheitsrichtung 1 48;1;2;47;46;3;4;45;44;5;6;43;42;7;8;41;40;9;10;39;38;11;12;37;36;13;14;35;34;15;16;33;32;17;18;31;30;19;20;29;28;21;22;27;26;23;24;25

x

v

2

y 1

S

y

2

2

1

1

2

21,2 1 2

3

2 2xx yy xx yy

xy

zz

J J J JJ J

J J

J J

0101,02

2tan 2

xy

xx y

J

yJ J

012

tan xy

xx

JJ J

Formelzeichen

O Koordinatenursprung im raumfesten Koordinatensystem

Z, z alphanumerisches Zeichen zur Symbolisierung einer physikalischen oder mathematischen Größe

z Vektor bzw. Matrix z ´z (Orts-)Ableitung der Größe z ,xz partielle (Orts-)Ableitung der Größe z nach x

z Zeitableitung der Größe z z parallele Achse zur (durch den Schwerpunkt

gehenden) Achse z Z bewegter Punkt Z im raumfesten Koordinatensystem

z-Komponente des Einheitsvektors ze e

Kombinationen von Symbolen sind möglich. Die „doppelte“ Symbolik für Vektoren und Matrizen wird benutzt, weil die ausschließlich „fette“ Darstellung in handschriftlichen Aufzeich-nungen nicht eindeutig ist.

Farbsymbolik im Text S. Z Verweis auf Seite Z Farbsymbolik in den Skizzen Einheitsvektoren Lasten, Spannungen, Drücke Koordinaten, Wege, Geschwindigkeiten, Beschleunigungen

Stoffauswahl, didaktisch-methodische Aufbereitung, Layout, Satz und Druck:

apl. Doz. Dr.-Ing. habil. G. Georgi e-Mail: [email protected] Vorschläge für Berichtungen und Ergänzungen an obige e-Mail-Adresse werden gern entgegengenommen. Der Autor ist Mitarbeiter an der Professur Elastizitätstheorie/Bruchmechanik: Inhaber: Prof. Dr.-Ing. habil. H. Balke Technische Universität Dresden Fakultät Maschinenwesen Institut für Festkörpermechanik 01062 Dresden

George-Bähr-Straße 3c Zeunerbau Zimmer 343 [email protected] [email protected]

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