1

Prof. Dr. techn. Alfred Mischke

Teil 4: Koordinatensysteme und Transformationen

Orthogonal- und Polarkoordinaten und deren Umrechnung

Geodätische Koordinatensysteme haben eine nach rechts (Osten) weisende y-Achse und eine nach oben (Norden) weisende x-Achse. Dies ist bei der Verwendung mathematischer Formeln, die sich häufig auf entgegengesetzte Achsbezeichnungen beziehen, zu berücksichtigen. Für viele Anwen-dungen wird das Koordinatensystem (gedanklich) in vier Quadranten unterteilt, die im Uhrzeiger-sinn nummeriert werden:

Der Richtungswinkel tA,E zwischen zwei Punkten A und E bezeichnet den Winkel zwischen der x-Achse (Nordachse) und der Strecke von A nach E. Alternativ zu tA,E gibt es auch die Schreibwei-sen tA

E und r0A,E. Der Richtungswinkel tE,A unterscheidet sich vom Richtungswinkel tA,E exakt um

200 gon. Richtungswinkel liegen immer im Bereich zwischen 0 gon und 400 gon. Zu Winkeln < 0 gon werden entsprechend 400 gon zugeschlagen, von Winkeln > 400 gon werden 400 gon abge-zogen.

Vorlesung zur Veranstaltung Vermessungskunde

t

sxP

yP P

+ y

+ x

Ordinatenachse

Abzi

ssena

chse

I. Quadrant +/+

II. Quadrant +/-III. Quadrant -/-

IV. Quadrant -/+

y > 0 +x > 0 +

tE, A

tA, E

E

Y

X

A

tA, E

t tt t

t tt tt t

E, A A, E

A, E A, E

= + 200 gon+ 400 gon

sin ( + 400) = sin cos ( + 400) = cos tan ( + 400) = tan

“gleiche Richtung”

2

Darstellung der geometrischen Zusammenhänge:

Erste geodätische Hauptaufgabe: Berechnung rechtwinkliger Koordinatenunterschiede aus Polarkoordinaten

Es geht immer von A nach E! (sA,E, tA,E, xA,E yA,E)

Gegeben: die Strecke sA,E und der Richtungswinkel tA,E von A nach E Gesucht: die rechtwinkligen Koordinatenunterschiede xA,E und yA,E. von A nach E

x

y y

x

x

y

x

y

....IV. Quadrant

-/+A

E

A,Ey

A,ExsA, E

t A, E

....II. Quadrant

+/-

x

A,Ey

sA,E

E

A

tA, E

A

,Ex

A,Ey

E bzgl. A im I. Quadrant

y - y = yE A A,E

x -

x

=

xE

A

A,E

s A,

E

E

A

tA, E

+/+

....III. Quadrant

-/-E

A

A,Ey

x

tA, E

s A, E

A,E

A,E

Im ersten Quadranten ergeben sich die Formeln unmittelbar aus der Definition des Sinus bzw. Cosinus im rechtwinkligen Dreieck. Es gilt: cos tA, E = xA, E/sA, E und sin tA, E = yA, E/sA, E und damit xA, E = sA, E * cos tA, E yA, E = sA, E * sin tA, E

3

Für den 3. + 4. Quadranten lässt sich analog zeigen, dass die Formel auch dort gilt. Kennt man die Koordinaten von A, lassen sich die von E leicht berechnen. xE = xA + xA, E = xA + sA, E * cos tA, E ; yE = yA + yA, E = yA + sA, E * sin tA, E Die Taschenrechnerfunktion ),(),( ,,,, EAEAEAEA tsRECyx ist für eine Handrechnung sehr

praktisch, aber leider auf den verschiedenen Rechnertypen sehr unterschiedlich aufzurufen. Insbe-sondere muss daran gedacht werden, den Rechner vorab auf gon (GRAD) einzustellen. Beispiel: gegeben: xA = 35498,74 sA, E = 127,593 m

yA = 52312,17 tA, E = 237,439 gon berechnet: cos tA, E = -0.832 sin tA, E = -0,55477 ΔxA,E = -106,1576 xE = xA + ΔxA,E = 35392,58 ΔyA,E = -70,7852 yE = yA + ΔyA,E = 52241,38

Zweite geodätische Hauptaufgabe:

Berechnung von Richtungswinkel und Entfernung aus Koordinaten

gegeben: xA, yA, xE, yE gesucht: sA,E, tA,E

xA, E = xE - xA; yA, E = yE - yA

2,2

,, EAEAEA yxs

tA,E = ?

Im zweiten Quadranten gilt: xA, E = xE – xA < 0; yA, E = yE – yA > 0

=> EA

EA

s

x

,

,cos

A,E

A,E

s

Δysin

und 200,EAt

Damit ergibt sich sin = sin (200 – ) = sin tA, E und cos = – cos (200 – ) = – cos tA, E und weiter, wenn man oben cos bzw. sin einsetzt und nach xA, E bzw. yA, E auflöst:

xA, E = sA,E * cos tA, E yA, E = sA,E * sin tA, E

4

1. Quadrant 0 < tA, E < 100 gon ΔyA, E > 0 ΔxA, E > 0

A,E

A,EA,E Δx

Δyαt arctan

2. Quadrant 100 < tA, E < 200 gon ΔyA, E > 0 ΔxA, E < 0

x

y

x

y

x

y

EA

EA

EA

EA

,

,

,

,tan

EA

EA

x

y

,

,tan)tan(

EA

EA

x

y

,

,arctan

gonΔx

Δy

Δx

Δygont

A,E

A,E

A,E

A,EA,E 200arctanarctan200200

3. Quadrant 200 < tA, E < 300 gon ΔyA, E < 0 ΔxA, E < 0

EA

EA

EA

EA

EA

EA

x

y

x

y

x

y

,

,

,

,

,

,tan

EA

EA

x

y

,

,arctan

gonΔx

Δygonαt

A,E

A,EA,E 200arctan200

4. Quadrant 300 < tA, E < 400 gon ΔyA, E < 0 ΔxA, E > 0

EA

EA

EA

EA

EA

EA

x

y

x

y

x

y

,

,

,

,

,

,tan

EA

EA

x

y

,

,arctan

gon)(Δx

Δyαt

A,E

A,EA,E 400arctan400

Berechnungsvorschrift

II + III gonx

ytx

EA

EAEA 200arctan0

,

,,

100 < tA, E < 300 gon

I + IV EA

EAEA x

ytx

,

,, arctan0

;

–100 gon < tA, E < 100 gon Im 4. Quadranten sollten anschaulicher Weise 400 gon addiert werden.

5

Was passiert, wenn x = 0 ? Taschenrechner sagt: "Fehler, Divide by Zero."

Wenn x = 0 und y >0 tA,E = 100 gon und y < 0 tA,E' = 300 gon und y = 0 Anfangspunkt = Endpunkt Berechnung mit Taschenrechner: Die Taschenrechnerfunktion ),(),( ,,,, EAEAEAEA yxPOLts ist auch für die Rückrechnung sehr

praktisch, aber ebenso auf den verschiedenen Rechnertypen sehr unterschiedlich aufzurufen. Ins-besondere muss daran gedacht werden, den Rechner vorab auf gon (GRAD) einzustellen. Des Weiteren gibt es Taschenrechner, bei denen die atan2 – Funktion hinterlegt ist (d.h. die Quadran-tenabhängigkeit wird unmittelbar berücksichtigt) und welche, die nur mit der arctan – Funktion arbeiten, so dass die Quadrantenabhängigkeit nachträglich korrigiert werden muss. Auch kommen manchmal negative Winkel heraus, zu denen 400 gon addiert werden müssen.

),(),( ,,,, EAEAEAEA yxPOLts

– 200 gon < tA, E 200 gon !!! Wenn tA,E < 0; tA,E = tA,E + 400 gon

Genauigkeit bei der 2. Hauptaufgabe

EE' A

x = 0 !y > 0y < 0

A,E

A,E

A,E

x

y

Punktungenauigkeit

x

y

t

t

tmax

tmax

tmin

tmin

s min

sminsmax

s max

r

6

Polare Aufnahme/Absteckung

Polare Aufnahme auf bekanntem Punkt

Geg.: die Koordinaten des Standpunktes: xA, yA

die Koordinaten des Anschlusspunktes: xE, yE Gem.: Richtung (und Strecke) nach E: rA,E, (s'A,E) Richtung und Strecke nach Pi: rA,i, s'A,i Ges.: die Koordinaten der Punkte Pi: xi, yi

i läuft allgemein von 1 bis n Teil 1: Orientierung und Maßstab AAEEEAEA yxyxyx ,),(, ,,

EAEAEAEA yxPOLts ,,,, ,,

EAEAA rto ,, OA = Orientierungsunbekannte der Richtungsmessung im Standpunkt A

EAEAA

EAEA

ssm

ss

,,

,,

'/

dann ja, Wenn ?gzA'

Wenn s'A,E – sA,E > gzA (größte zulässige Abweichung), dann liegt ein Fehler vor, der zu suchen und beseitigen ist. Wenn s'A,E nicht gemessen wurde, ist m = 1 zu benutzen. Dies gilt auch, wenn der ermittelte Wert für m nicht als repräsentativ für den aufgemessenen Bereich angesehen werden kann, weil der Anschlusspunkt weit entfernt liegt oder die Neupunkte auf der anderen Seite des Standpunktes liegen. Teil 2: Neupunktkoordinaten

iAo

iAiEA

EAiAEAiAEAEA

iAAo

iA

trt

rrtrrt

ror

,,,

,,,,,,

,,

ˆ;

)()(

;

iAAiA sms ,, '*

x

yA(Standpunkt)

E (Anschlußpunkt)

P (Neupunkt)i

oA

s A,E

sA,i

rA,E

i

rA,it A,E

r =to

A,i A,i

7

iAAiAAo

iAiAiAiA rosmRECrsRECyx ,,,,,, ,',,

iAiAAAii yxyxyx ,, ,,),(

Zur Kontrolle kann man für alle Punkte die polaren Absteckelemente berechnen (s.u.). Dann müs-sen die Messwerte erhalten werden!

Begründung für m

AS

AS

s

sm

,

,

'

.)(

.)(

gem

ger

Einfluss von Ungenauigkeiten in der Strecke und in der Richtung auf den Neupunkt

Zahlenbeispiel:

Geg.: xA = 319,99 yA = 234,17 xE = 287,76 yE = 197,85 Gem.: rA,E = 187,957 gon rA,i = 80,976 gon s'A,E = 48,543 m s'A,i = 57,398 m Ges.: xi, yi

Berechnung: mA = sA,E / s’A,E = 48,558 / 48,543 = 1,000317 tA,E = 253,79386 gon OA = tA,E - rA,E = 253,79386 gon - 187,957 gon = 65,83686 gon tA,i = rA,i + OA = 80,976 gon + 65,83686 gon = 146,81286 gon xA,i = sA,i * cos tA,i = mA * s’A,i * cos tA,i m cos 146,81286 gon = - 38.5168 m yA,i = sA,i * sin tA,i = mA * s’A,i * sin tA,i m sin 146,81286 gon = 42,5802 m xi = xA + xA,i = 281,47 yi = yA + yA,i = 276,75

die nachbarschaftliche Beziehungsollen erhalten bleiben

neue Messungen

alte Messungen (Koordinaten bleiben)X

Y

S

Pi

tS,i

+/- dt

s S,i

t

+/- ds = konstant

Punktungenauigkeit

= +/- q

- Schnitt von Strahl und Kreis

ds = Längsfehlerq = Querfehler = ?

x

y

Die nachbarschaftlichen Beziehun-gen sollen erhalten bleiben.

8

Polare Absteckung von bekanntem Punkt

Geg.: die Koordinaten des Standpunktes: xA, yA

die Koordinaten des Anschlusspunktes: xE, yE die Koordinaten des abzusteckenden Punktes Pi: xi, yi Gem.: Richtung (und Strecke) nach E : rA,E, (s'A,E) Ges.: Richtung und Strecke nach Pi: rA,i, sA,i

i läuft allgemein von 1 bis n Teil 1: Orientierung und Maßstab Wie bei „Polarer Aufnahme“; wenn s'A,E nicht gemessen wurde, ist m = 1 zu benutzen. Teil 2: Absteckelemente s’A,i = sA,i / mA

Ao

iAiA orr ,, ; Hinweis: oiAiA rt ,,

Zur Kontrolle kann man aus den Absteckelementen wieder die gegebenen Koordinaten berechnen. Zahlenbeispiel Geg.: xA = 320,01 yA = 232,07 xE = 287,78 yE = 195,76 xi = 301,57 yi = 209,47 Gem.: rA,E = 187,957 gon s'A,E = 48,560 m Ges.: rA,i, s'A,i mA = sA,E / s’A,E = 48,5508 / 48,560 = 0,99981 tA,E = 253,78516 gon OA = tA,E - rA,E = 253,78516 gon - 187,957 gon = 65,82816 gon sA,i = 29,168 m s’A,i = sA,i / mA =29,1738 m tA,i = 256,43110 gon rA,i = tA,i - OA = 190,60294 gon

x

yA(Standpunkt)

E (Anschlußpunkt)

P (Neupunkt)i

oA

s A,E

sA,i

rA,E

i

rA,it A,E

r =to

A,i A,i

9

Orientierung und Maßstab bei mehr als einem Anschlusspunkt (Abriss)

Geg.: die Koordinaten des Standpunktes A xA, yA

die Koordinaten der Anschlusspunkte Ei xEi, yEi , i=1 bis n Gem.: Richtungen (und Strecken) nach Ei rA,Ei, (s'A,Ei) Ges.: die Mittelwerte für Orientierung und Maßstab oAm, mAm

i läuft hier über die Anschlusspunkte für alle Anschlusspunkte Ei zu berechnen:

EiAEiAAi rto ,,

EiAEiAAi

EiAEiA

ssm

ss

,,

,,

'/

dann ja, Wenn ?gzA'

Man berechnet die mittlere Orientierung als einfaches Mittel oder als gewichtetes Mittel mit den Strecken als Gewichtsfaktor:

)()(

oder ,

,

iEA

iEAAi

i

iAiAm

AiAm s

so

p

poo

n

oo

Dasselbe gilt für den Maßstab:

)()(

oder ,

,

iEA

iEAAi

i

iAiAm

AiAm s

sm

p

pmm

n

mm

Beim Maßstab wirken sich Unsicherheiten in der Genauigkeit der Koordinaten dahingehend aus, dass nähere Anschlusspunkte zu größeren Unsicherheiten im Maßstab führen. Auf der anderen Seite nimmt die Messgenauigkeit der Strecke in der Regel mit zunehmender Distanz ab, was bei weiter entfernten Anschlusspunkten zu größeren Unsicherheiten im Maßstab führt. Aus diesem Grund reicht normalerweise das einfache Mittel aus. Die Einzelwerte für Orientierung und Maßstab dürfen sich nur im Rahmen zufälliger Fehler der gegebenen Koordinaten und der gemessenen Beobachtungen unterscheiden. Zahlenbeispiel: Punktnummer: RW(y) HW(x) r2,i s‘2,i 2 (Standpunkt) 872,820 911,530 1 (Anschlusspunkt) 807,920 911,340 0,0000 64,9100 7 (Anschlusspunkt) 840,857 917,103 11,1765 32,4500 6 (Anschlusspunkt) 864,417 918,564 44,5625 10,9600 5 (Anschlusspunkt) 864,596 941,196 82,9708 30,7900

m2,1 = 0,99985023 m2,7 = 0,99985241 m2,6 = 0,99985832 m2,5 = 0,99983207

m2m = 0,99984826

OA1 = 299,813625 – 0,0000 = 299,813625 OA7 = 310,989492 – 11,1765 = 299,812992 OA6 = 344,368994 – 44,5625 = 299,806494 OA5 = 382,783975 – 82,9708 = 299,813175

OAm (einfach) = 299,81157 gon OAm (gewichtet) = 299,81282 gon

10

Ähnlichkeitstransformation / Orthogonale Umformung

...mit zwei identischen Punkten

Gegeben ist ein Ausgangs- oder Startkoordinatensystem (x', y') mit darin koordinierten Punkten. Häufig ist dies ein lokales Koordinatensystem (Messungslinie, polare Aufnahme) Gesucht werden die Koordinaten dieser Punkte in einem anderen Koordinatensystem, dem Ziel-koordinatensystem (x, y). Häufig ist dies das Landeskoordinatensystem. Damit die Zielkoordinaten berechnet werden können, müssen die Beziehungen zwischen Start- und Zielkoordinatensystem bekannt sein. Sie werden durch die Transformationsparameter beschrieben.

y’y’

x’

x’

A

E

1

2

34

E

2

3

4

5

A

S

Punkte in einem Ausgangs- oder Startkoordinaten-system und in einem Zielkoordinatensystem

y’4y4

y

y’

x’4x4

xx’1

23

4

5

6

Die Koordinaten der Punkte A und E sind in zwei ebenen rechtwinkligen Koordina-tensystemen bekannt. Man nennt sie da-her auch identische Punkte oder Pass-punkte, weil die Koordinatensysteme über diese Punkte aufeinander eingepasst werden Von anderen Punkten Pi kennt man die Koordinaten in einem System und sucht sie in dem anderen System. Diese Punkte sind die Massenpunkte.

#x

x

y0

x0

y

A

E

Pi

oA=

x'#x'

x'i

x'E

x'A

y'i

y'E

y'A

y'

s'A,it'A,i

t'A,E

t A,E

tA,i

11

Transformation vom Start- ins Zielsystem

Geg.: die Koordinaten der Passpunkte A und E im Zielsystem xA, yA, xE, yE die Koordinaten der Passpunkte A und E im Startsystem x'A, y'A, x'E, y'E

die Koordinaten der Massenpunkte Pi im Startsystem x'i, y'i Ges.: die Koordinaten der Punkte Pi im Zielsystem xi, yi

als Zwischenergebnisse die Transformationsparameter (m,) bzw. (a,o) und x0, y0, die die Beziehung der beiden Koordinatensysteme zueinander beschreiben. 1. Schritt: Maßstab und Drehung Für den Richtungswinkel und die Strecke von A nach E ergeben sich im Zielsystem: AAEEEAEA yxyxyx ,),(, ,,

EAEAEAEA yxPOLts ,,,, ,,

und im Startsystem AAEEEAEA yxyxyx ',')','(',' ,,

EAEAEAEA yxPOLts ,,,, ','','

Damit folgen die Formeln für:

die Verdrehung des Startkoordinatensystems gegenüber dem Zielkoordinatensystem (das entspricht der Orientierung oA bei der polaren Aufnahme)

und den Maßstab m.

EAEAA tto ,, '

EAEA

EAEA

ssm

ss

,,

,,

'/

dann ja, Wenn ?gzA'

2. Schritt: Berechnung der Neupunkte Pi. (zunächst ohne x0 und y0 ) Aus den rechtwinkligen Koordinatenunterschieden im lokalen System werden polare "Messwerte" auf A abgeleitet. AiAiiAiA yyxxPOLts '',''',' ,,

Danach geht die Rechnung den gewohnten Gang

iAiA tt ,, '

iAiA sms ,, '

iAiAiAiA tsRECyx ,,,, ,,

iAiAAAii yxyxyx ,, ,,),(

oder eingesetzt und ausgeschrieben

12

AiAiAiAAi

AiAiAiAAi

yytsmyy

xxtsmxx

)'sin('

)'cos('

,,

,,

Diese Formeln sind eine erste, anschauliche Möglichkeit, Koordinaten von Massenpunkten zu transformieren. Zahlenbeispiel: Zielsystem

PNr y x

101 2516,24 1326,14 102 2610,89 1375,27

Startsystem

PNr y‘ x‘ 101 10,25 123,16 102 -8,67 228,08 1 6,59 147,17 2 -8,19 181,86 3 12,37 210,44

s101,102 = 106,641 m t101,102 = 69,51946 gon s‘101,102 = 106,612 m t’101,102 = 388,642035 gon m = s101,102 / s‘101,102 = 1,000273 = t101,102 - t’101,102 = -319,122572 = 80,8774276 s101,1 = 24,2940 m s101,2 = 61,5450 m s101,3 = 87,3296 m t101,1 = 71,2471554 t101,2 = 61,5001233 t101,3 = 82,4234503 x1 = 10,603 m y1 = 21,858 m x2 = 34,992 m y2 = 50,630 m x3 = 23,806 m y3 = 84,022 m x1 = 1336,74 y1 = 2538,10 x2 = 1361,13 y2 = 2566,87 x3 = 1349,95 y3 = 2600,26  

101

102

1

23

x’

y’

13

Man kann diesen Ansatz weiter umformen, so dass man s' und t' nicht mehr zu ermitteln braucht, sondern direkt die rechtwinkligen Koordinaten im Startsystem in Formeln erhält. Man kann inso-fern von „orthogonaler Methode“ sprechen. Für xi sei dies gezeigt.

)'cos(' ,, iAiAAi tsmxx .

Das Additionstheorem für den Cosinus führt auf

])'sin()sin()'cos()cos([' ,,, iAiAiAAi ttsmxx .

Ausmultiplizieren und umstellen ergibt

)'sin(')sin()'cos(')cos( ,,,, iAiAiAiAAi tsmtsmxx .

Mit s’A,i*cos(t’A,i) = x‘ = x’i – x’A und s’A,i*sin(t’A,i) = y‘ = y’i – y’A erhält man

)''()sin()''()cos( AiAiAi yymxxmxx .

Für yi folgt auf analogem Weg

)''()cos()''()sin( AiAiAi yymxxmyy .

Die Koordinatendifferenzen, die in den Klammern stehen, werden mit dem Startsystem um den Punkt A gedreht und gestreckt und dann zu den Koordinaten des Punktes A im Zielsystem addiert. Diese Formeln stellen die zweite Möglichkeit die Koordinaten zu transformieren dar. Es geht aber noch etwas eleganter. Dazu wird zunächst die Verschiebung des Startkoordinatensystems im Ziel-system benötigt. Berechnung von x0 und y0 Setzt man für Pi den Ursprung des Startkoordinatensystems ein, wird x'i = y'i = x'0 = y'0 = 0 und man erhält folgende Koordinaten des Ursprungs des Startsystems im Zielsystem:

.

Setzt man nun anstelle des Punktes A den Ursprung des Startsystems (x0, y0) in die Gleichungen )''()sin()''()cos( AiAiAi yymxxmxx und

)''()cos()''()sin( AiAiAi yymxxmyy ein, erhält die Transformationsformeln mit

x0 und y0 zu:

AAA

AAA

ymxmyy

ymxmxx

')cos(')sin(

')sin(')cos(

0

0

iii

iii

ymxmyy

ymxmxx

')cos(')sin(

')sin(')cos(

0

0

14

Hiermit werden jetzt die Koordinaten mit dem Startsystem gedreht und gestreckt und dann zu den Koordinaten des Ursprungs des Startsystems im Zielsystem addiert. Diese Formeln stellen den einfachsten Weg der Transformation dar. Mit den Abkürzungen

sin*;cos* moma lauten die Gleichungen nun:

Zahlenbeispiel von oben 2. und 3. Weg Zielsystem

PNr y x

101 2516,24 1326,14 102 2610,89 1375,27

Startsystem

PNr y‘ x‘ 101 10,25 123,16 102 -8,67 228,08 1 6,59 147,17 2 -8,19 181,86 3 12,37 210,44

s101,102 = 106,641 m t101,102 = 69,51946 gon s‘101,102 = 106,612 m t’101,102 = 388,642035 gon m = s101,102 / s‘101,102 = 1,000273 = t101,102 - t’101,102 = -319,122572 = 80,8774276 a = m*cos = 0,2959608 o = m*sin = 0,9554859

)''()''(

)''()''(

AiAiAi

AiAiAi

yyaxxoyy

yyoxxaxx

AAA

AAA

yaxoyy

yoxaxx

''

''

0

0

iii

iii

yaxoyy

yoxaxx

''

''

0

0

101

102

1

23

x’

y’

15

2. Weg:

x1 = 1336,74 y1 = 2538,10 x2 = 1361,13 y2 = 2566,87 x3 = 1349,95 y3 = 2600,26 3. Weg:

x0 = 1299,483 y0 = 2395,529  x1 = 1336,74 y1 = 2538,10 x2 = 1361,13 y2 = 2566,87 x3 = 1349,95 y3 = 2600,26

Rücktransformation vom Ziel- ins Startsystem

geg: die Koordinaten der Passpunkte A und E im Zielsystem xA, yA, xE, yE die Koordinaten der Passpunkte A und E im Startsystem x'A, y'A, x'E, y'E

die Koordinaten der Massenpunkte Pi im Zielsystem xi, yi ges: die Koordinaten des Punktes Pi im Startsystem x'i, y'i als Zwischenergebnisse die Transformationsparameter (m, ) bzw. (a,o)

und x0, y0, die die Beziehung der beiden Koordinatensysteme zueinander beschreiben.

Die Berechnung der Parameter m, bzw. a, o und x0, y0 erfolgt genau wie oben und wird hier nicht noch einmal wiederholt. 2. Schritt Berechnung der Koordinaten im Startsystem Rücktransformation polare Methode (Inversion der Transformation):

mss iAiA /' ,,

t’A,i = tA,i - x’A,i = s’A,i * cos t’A,i y’A,i = s’A,i * sin t’A,i

oder iAiAiAiA tsRECyx ,,,, ','','

iAiAAAii yxyxyx ,, ','',')','(

)''()''(

)''()''(

AiAiAi

AiAiAi

yyaxxoyy

yyoxxaxx

AAA

AAA

yaxoyy

yoxaxx

''

''

0

0

16

Rücktransformation nach der orthogonalen Methode: Durch Auflösen des Gleichungssystems aus den entsprechenden Formeln erhält man

Ein anderer Ausdruck ergibt sich in der Darstellung mit m und

An diesen Formeln kann man die Umkehrung (Inversion) recht gut erkennen (Verschiebung in den Ursprung des Startsystems, Drehung um - Stauchung um 1/m). Zahlenbeispiel von oben, Umformung des Punktes 103 mit den drei Varianten Zielsystem Startsystem

PNr y x 101 2516,24 1326,14 102 2610,89 1375,27 103 2569,458 1354,274

s101,102 = 106,641 m t101,102 = 69,51946 gon s‘101,102 = 106,612 m t’101,102 = 388,642035 gon m = s101,102 / s‘101,102 = 1,000273 = t101,102 - t’101,102 = -319,122572 = 80,8774276 1. Weg: s‘101,103 = s101,102 / m = 60,196989 m / m = 60,1805597 m x’101,103 = s’101,103 * cos t’101,103 60,1805597 * cos (t101,103 - ) = 60,1805597 * cos (69,0406385-80,8774276) = 60,1805597 * cos388,163211 = 59,143  

y’101,103 = s’101,103 * sin t’101,103 60,1805597 * sin (t101,103 - ) = 60,1805597 * sin (69,0406385-80,8774276) = 60,1805597 * sin388,163211 = -11,125  

x’103 = x’101 + x’101,103 = 123,16 + 59,143 = 182,303 y’103 = y’101 + y’101,103 = 10,25 – 11,125 = -0,8752. und 3. Weg führen zum selben Ergebnis: a = m*cos = 0,2959608 o = m*sin = 0,9554859 x0 = 1299,483 y0 = 2395,529 

PNr y‘ x‘ 101 10,25 123,16 102 -8,67 228,08

2200

2200

)(*)(*'

)(*)(*'

oa

yyaxxoy

oa

yyoxxax

iii

iii

)(*)cos(*)/1()(*)sin(*)/1('

)(*)sin(*)/1()(*)cos(*)/1('

00

00

yymxxmy

yymxxmx

iii

iii

17

Spezialfall der orthogonalen Umformung: Messungslinie

Orthogonale Aufnahme, Kleinpunktberechnung

Hierbei geht es darum, für orthogonal aufgemessene Punkte rechtwinklige Koordinaten im An-schluss an eine Messungslinie zu berechnen.

Geg.: die Koordinaten des Anfangspunktes xA, yA

die Koordinaten des Endpunktes xE, yE Gem.:die Maße in der Linie (x'-Werte) x'A, x'E, x'i die Abstände von der Linie (y’-Werte) y'i

Sie zählen nach recht positiv und nach links negativ! Meistens ist x'A = 0,00, y'A und y'E sind per Definition = 0 Ges.: die Koordinaten der Punkte Pi xi, yi

i läuft allgemein von 1 bis n Die Kleinpunktberechnung ist ein Spezialfall der Ähnlichkeitstransformation, bei der das Start-system durch die Messungslinie definiert ist. Der Anfangspunkt A der Messungslinie ist der Ur-sprung des Startsystems. Man kann auch hier den Weg über die Umrechnung in polare Elemente gehen. Ist aber unnötig rechenintensiv. Daher soll nur der orthogonale Weg gezeigt werden. Man gelangt zu den Gleichungen der Kleinpunktberechnung, wenn man in oben stehende Glei-chungen x'A = 0 und y'A = 0 einsetzt bzw. x0 = xA und y0 = yA.

In diesem Fall und der Voraussetzung x'A = 0,00 berechnet man a und o mit

x

y

A

E

Pi

x'E

x'

x'i

x'A

y'i

y'

x

y

iiAi

iiAi

yaxoyy

yoxaxx

''

''

18

EEAEAEA

EA

EEAEAEA

EA

x

y

s

y

s

y

s

smo

x

x

s

x

s

x

s

sma

'''sin

'''cos

,,,

,

,,,

,

(7.34)

Will man auch m und zahlenmäßig haben, dann kann man a und o umrechnen.

),()( oaPolm, Im Fall, dass ein Anlegemaß bei A benutzt wurde, also x'A nicht Null ist, ändern sich die Formeln

AEEAEAEA

EA

AEEAEAEA

EA

xx

y

s

y

s

y

s

smo

xx

x

s

x

s

x

s

sma

''''sin

''''cos

,,,

,

,,,

,

Zahlenbeispiel zum selber ausrechnen:

y

x A

E

1

2

3

14,58

32,28

42,60

9,87

7,89

58,29

P.-Nr.

Rechtswert y

Hochwert x

A 984,77 895,78 E 1027,84 856,56

iAiAi

iAiAi

yaxxoyy

yoxxaxx

')''(

')''(

19

Orthogonale Absteckung / Umrechnung auf Messungslinie

Hierbei geht es darum, für einen bekannten Punkt Pi die auf die Messungslinie Linie A-E bezo-genen Maße zu berechnen, das sind die orthogonalen Absteckelemente. Damit kann der Punkt in der Natur realisiert werden. Bild siehe oben. Geg.: die Koordinaten des Anfangspunktes xA, yA

die Koordinaten des Endpunktes xE, yE

die Koordinaten des Punktes Pi xi, yi Gem.:die Maße in der Linie (x'-Werte) x'A, x'E

Meistens ist x'A = 0,00 Ges.: die Maße der Punkte Pi bezogen auf die Linie x’i, y’i

i läuft allgemein von 1 bis n Hierzu lösen wir oben stehende Formel nach den gesuchten Größen auf. Das Ergebnis lautet:

Zahlenbeispiel zum selber ausrechnen:

P.-Nr.

Rechtswert y

Hochwert x

Linienmaß x'

Abstand y'

A 984,77 895,78 12,54 0 E 1027,84 856,56 70,83 0 4 1001,254 867,247 ? ?

22

22

)(*)(*'

)(*)(*''

oa

yyaxxoy

oa

yyoxxaxx

AiAii

AiAiAi

20

Ebene Helmerttransformation

Grundlagen

Definition: Eine ebene Helmerttransformation ist eine ebene Ähnlichkeitstransformation, bei der die Transformationsparameter aus mehr als 2 Passpunkten bestimmt werden. Wenn man mit zwei Passpunkten transformiert, liegen die aus dem Startsystem transformierten Passpunkte exakt auf den gegebenen Punkten im Zielsystem. Wenn man mit mehr als zwei Passpunkten transformiert, liegen die aus dem Startsystem transfor-mierten Passpunkte gemäß der Transformationsregel optimal, aber i.d.R. nicht exakt auf den gegebenen Punkten im Zielsystem. Die Differenzen in x und y (u und v) zwischen transformiertem Passpunkt und gegebenem Pass-punkt heißen Restklaffungen (oder Residuen). xtr + u = x; ytr + v = y Die optimale Anpassung der transformierten an die gegebenen Passpunktkoordinaten drückt sich in der folgenden Eigenschaft aus:

ig)gleichwert sind Paßpunkte (alle!!min)( 22 Paßpunkte

vu

Die Transformationsparameter werden so berechnet (siehe unten), dass diese Eigenschaft als Zwangsbedingung eingehalten wird. Außerdem gilt:

PaßpunktePaßpunkte

vu 00

d.h., die Summe der Restklaffungen ist Null.

Berechnung der Transformation

Es stehen mehr Passpunkte zur Verfügung, als notwendig sind, um die Transformationsparameter zu berechnen. D.h., es liegt ein Ausgleichungsproblem vor. Ohne auf die Theorie einzugehen, wird hier das weitere Vorgehen gezeigt: Zunächst erfolgt die Berechnung des Schwerpunktes der Passpunkte in beiden Koordinatensyste-men. Dies ist insbesondere wichtig, um eine nummerisch stabile Berechnung zu erreichen.

x

y

u

v

transf.

gegeben

21

ui = xi – xi(tr) = xi – ( x0 + a xi – o yi) vi = yi – yi(tr) = yi – ( y0 + o xi + a yi)

xt = yt = 0 n)'y'x(

'y'x

Paßpunkte

122

22

n

y'y';

n

x'x';

n

yy;

n

xx ssss

Die Koordinaten der Passpunkte werden in ein schwerpunktbezogenes Koordinatensystem über-führt. Dadurch ergeben sich einfachere Formeln für a und o.

ssss y'y''y;x'x''x;yyy;xxx

Berechnung von Maßstab und Drehung

22

22

'y'x

'xy'yxo

'y'x

'yy'xxa

Den Maßstab und die Drehung kann man durch Umwandlung rechtwinklig in polar berechnen:

Berechnung der Verschiebungen, aus der Umformung der Koordinaten des Schwerpunktes

;y'ax'oyy

y'ox'axx

sss

sss

0

0

Berechnung der Genauigkeitsmaße: Berechnung der Restklaffungen in allen Passpunkten i=1,n

Als Kontrolle der Berechnung der Transformationsparameter muss sich ergeben:

v = u = 0 !!

Berechnung der Standardabweichung einer Passpunktkoordinate

yx

n

iii

n

)v(u

421

22

0

Berechnung der Standardabweichung einer transformierten Koordinate (Passpunkt oder Massen-punkt)

(a, o) = Rec (m, )

Die Berechnung erfolgt wieder nur über die n Passpunkte.

Die Schwerpunktbildung erfolgt nur über die n Passpunkte.

22

xj = x0 + m cos xj – m sin yj = x0 + a xj – o yj yj = y0 + m sin xj + m cos yj = y0 + o xj + a yj

Interpretation dieser Formel: Die Standardabweichung wächst mit dem Abstand des transformierten Punktes zum Schwerpunkt der Passpunkte (Zähler) und fällt mit der Summe der Abstände der Passpunkte zum Schwerpunkt (Nenner) und mit der Anzahl der Passpunkte

Extrapolation vermeiden, 3-5 Passpunkte reichen aus

Die Transformation der Massenpunkte Pj erfolgt nun nach den bereits beschriebenen Transforma-tionsgleichungen.

Helmerttransformation: Zahlenbeispiel zum selber ausrechnen:

Gegeben: Pnr y x y‘ x‘ 101 75849,45 85987,48 562,423 930,582 102 75953,97 85997,91 620,293 842,859 103 75979,87 85757,78 419,750 708,179 104 75854,76 85766,85 369,527 823,060 101-104) 5 ? ? 424,231 826,962 6 ? ? 567,816 755,169

Schwerpunkte: ys = xs = y’s = x’s = Schwerpunktbezogene Koordinaten (x, y, x‘, y‘) Pnr y x y‘ x‘

101

102

103

104

23

Transformationsparameter (xx‘) = (xy‘) = (yy‘) = (yx‘) =(x‘ 2 + y‘ 2) = a = o = m = = x0 = y0 = transformierte Koordinaten, Restklaffungen Pnr yt xt v = y – yt

[mm] u = x - xt [mm]

101

102

103

104

5

6

(u2 + v2) =

24

Beispiel der Helmert-Transformation dargestellt in einem CAD-System (GEOgraf)

25

Ebene Affintransformation (6-Parametertransformation)

Sie wird z.B. benötigt, wenn analoge Karten (Startkoordinatensystem) digitalisiert werden (Über-führung in das Ziel-, Landeskoordinatensystem). Karton verzieht sich in Produktionsrichtung an-ders als dazu senkrecht. x', y' Startkoordinatensystem x, y Zielkoordinatensystem

Transformationsparameter

2 Verschiebungen x0, y0 2 Maßstabsfaktoren mx, my Längenverhältnis in x- bzw. y-Richtung 2 Drehungen x, y Drehung der x'-Achse gegenüber x-Achse

bzw. Drehung der y'-Achse gegenüber y-Achse

Transformationsgleichungen (ohne Ableitung)

''

''

folgt

),(),()cos(;)sin(

),(),( )sin(;)cos(

nAbkürzungeden mit oder

')cos(')sin(

')sin(')cos(

0

0

0

0

yaxoyy

yoxaxx

mRECoamamo

mRECoamoma

ymxmyy

ymxmxx

yx

yx

yyyyyyyyyy

xxxxxxxxxx

yyxx

yyxx

(7.52 – 7.54)

Setzt man mx = my = m und x = y = erhält man die Gleichungen der Ähnlichkeitstrans-formation als Sonderfall der Affintransformation.

Bestimmung der Transformationsparameter

Die Bestimmung der Transformationsparameter ist möglich, wenn mindestens drei Passpunkte vorliegen, von denen bekanntlich in beiden Systemen die Koordinaten bekannt sind. geg: xi, yi, x'i, y'i i = 1,n ; n 3 ges: x0, y0, ax, ox, ay, oy (mx,x,my,y) Zur Lösung schreibt man für jeden Passpunkt die Transformationsgleichungen an:

26

''

''

''

''

''

''

''

''

44044

44044

33033

33033

22022

22022

11011

11011

yaxoyvy

yoxaxux

yaxoyvy

yoxaxux

yaxoyvy

yoxaxux

yaxoyvy

yoxaxux

yx

yx

yx

yx

yx

yx

yx

yx

(7.55)

........................................... Es ergibt sich ein Gleichungssystem von 6 oder mehr Gleichungen mit den 6 unbekannten Trans-formationsparametern. Dieses Gleichungssystem muss nach den Transformationsparametern auf-gelöst werden. Bei genau 3 Passpunkten und 6 Gleichungen entfallen die Restklaffungen (u und v) und die Gleichungen können ohne weiteres aufgelöst werden. Bei mehr als sechs Gleichungen muss man Restklaffungen (Verbesserungen) berücksichtigen und ausgleichen.

27

Schnitte

Hierunter sollen in diesem Kapitel Schnitte von Geraden und Kreisen verstanden werden. Die Ge-raden und Kreise sind durch Punkte und Radien gegeben.

Geradenschnitte

Als Geradenschnitt bezeichnet man die Aufgabe, die Koordi-naten des Schnittpunktes zweier Geraden zu errechnen, die in der Regel durch ihre Endpunkte oder durch einen Punkt und ihren Richtungswinkel definiert sind. Hierzu sind verschiedene Lösungswege entwickelt worden, von denen zwei angegeben werden.

Die Berechnung tritt im Wesentlichen bei Absteckungsauf-gaben aber auch bei der Koordinierung von Aufmessungen auf. Im Beispiel werden für eine Absteckung die beiden Schnitt-

punkte der Baulinie mit den seitlichen Grundstücksgrenzen benötigt. Bei der Aufmessung eines Innenraumes (Zimmer, Fabrikhalle) wird die unzu-gängliche Ecke durch den Schnitt zweier Wände berech-net, von denen man je zwei zugängliche Punkte aufge-messen hat.

Normalfall des Geradenschnittes

Beim Normalfall des Geradenschnittes sind die beide Geraden durch jeweils zwei Punkte definiert. geg: Die Punkte 1-4 mit ihren Koordinaten ges: Die Koordinaten des Schnittpunktes S Die Ableitung der Lösung erfolgt über die Geradenglei-chung y = a*x + b mit a = Steigung der Geraden und b = Achsenabschnitt (y Wert für x = 0) Wir berechnen zuerst die Steigungen der beiden Geraden I und II

; 43

43

34

34

21

21

12

12

xx

yy

xx

yya

xx

yy

xx

yya III

oder , wenn Richtungswinkel gegeben sind

3,44,31,22,1 tantan;tantan ttatt a III

S

x

y

1

2

3

t

inPlanung

5m

t3,4

t1,2

x

y

2

3

41

b1 b2

S

28

danach die Achsenabschnitte

4433

2211

xayxayb

xayxayb

IIIIII

III

Wir setzen die Schnittpunktkoordinaten in die Gleichungen der beiden Geraden ein

IISIIS

ISIS

bxay

bxay

und lösen sie, z.B. durch Gleichsetzen, leicht nach xs auf. Man erhält dann

III

III

III

IIIS aa

bb

aa

bbx

.

xs setzt man jetzt in die beiden Gleichungen ein und rechnet ys aus. Hierbei sollte man beachten, dass die Lösung numerisch unsicher wird, wenn die benutzte Gerade eine sehr große Steigung hat. Dann kann folgendes passieren: aI sei y/x = 10/0,10 = 100 xS sei 27,454 m (aufgeschrieben werden nur zwei Nachkommastellen, 27,45 m) d.h. wir haben einen Rundungsfehler xS von 0,004 m Der daraus resultierende Fehler in y ist yS = aI * xS = 100 * 0,004 m = 0,4 m !!! Zur Berechnung des Wertes ys nimmt man daher im Zweifel die Gerade mit der geringeren Stei-gung! Alternativ kann man auch das Gleichungssystem nach ys auflösen und findet:

III

IIIIII

III

IIIIIIS aa

baba

aa

babay

Zur Kontrolle kann man den Schnittpunkt auf die beiden Geraden umformen. Der Abstand muss jeweils Null sein. Durch Einsetzen in die Formeln erhält man einen anderen Ausdruck für xS

Für yS findet man entsprechend

)( 1111 xxayxayxabxay SIISIISIS

tantan

)(tan)(

tan t amit oder )()()()(

)()(

4,32,1

134,3131

13131

13113

1131131133

tt

xxtyyxx

aa

xxayyx

aa

xxaxaayy

aa

xxxaxayy

aa

xayxayx

S

III

II

III

IIIII

III

III

III

IIIS

29

Genauigkeitsbetrachtung

In der Graphik sind verschiedene Schnitt-geometrien dargestellt. Die Kreise um die Punkte geben die Genauigkeit der Punkt-koordinaten wieder. Daraus ergibt sich, dass die Geraden nur mit beschränkter Genauigkeit definiert sind. Vereinfachend lässt sich der Bereich, in dem die Gerade liegen kann, zwischen den Punkten durch ein Band beschreiben, des-sen Breite etwa so groß ist wie die Koor-dinatengenauigkeit. In Verlängerung der Punkte weitet sich das Band zu einem Sektor auf. Die schraffierten Flächen stellen dann den Bereich dar, in dem der Schnittpunkt auf-grund der begrenzten Genauigkeit der ge-gebenen Punkte liegen kann; je größer der Bereich, desto ungenauer ist der Schnitt-punkt bestimmt. Man erkennt, dass die Größe abhängt vom Schnittwinkel der Geraden (bei gleicher Bandbreite ist die Fläche eines Parallelogrammes größer als die eines Quadrates, Graphik oben) und von der Entfernung des Schnittpunktes von den gegebenen Geradenpunkten (je weiter, desto un-genauer ist der Punkt bestimmt, Extrapolation, Graphik unten gegenüber Graphik oben) Den Schnittwinkel kann man als Differenz der Richtungswinkel ermitteln: = t1,2 – t3,4 = (arctan aI ) - (arctan aII) Ein Maß für die Extrapolation ergibt sich, wenn man die Entfernung des Schnitt-punktes von Schwerpunkt der Geraden-punkte ins Verhältnis setzt zur Entfernung der gegebenen Punkte zum Schwerpunkt.

)2,(

),(.

2,1

2,1

SchwpEntf

SchnPSchwpEntfIExtrap

Ist der Faktor < 1, liegt der Schnittpunkt zwischen den gegebenen Punkten, sonst außerhalb. Diese Betrachtung gilt auch für Sonderfälle des Geradenschnittes, die später betrachtet werden.

P1 P2

P3

P4P5

P1 P2

P3

P4

P5

P6

2

4

3

Schwp1,2

Schwp3,4

SchnP

1

30

Die hier angestellten Überlegungen zum Schnittwinkel und zur Extrapolation lassen sich auf sehr viele Punktbestimmungsverfahren übertragen.

Zahlenbeispiel

aI = 1,0432735 = tan t1,2 aII = 0,4882912 = tan t3,4 bI = 1013,24 – 1,0432735 * 2195,26 = –1277,0166 bII = 1034,59 – 0,4882912 * 2180,87 = –30,3096 xS = (–30,3096 – (–1277,0166)) / (1,0432735 – 0,4882912) = 2246,3906 yS = 1,0432735 * 2246,3906 + (–1277,0166) = 1066,5832

Sonderfälle

Schnitte mit Gitterlinien (x=const, y=const)

Schnitt mit einer Parallelen zur y-Achse Die Bezeichnungen seien so gewählt, dass die Gerade II paral-lel zur y-Achse verläuft. Problem: Nulldivision bei der Berechnung von aII wegen x4-x3 = 0. Lösung:

1. xS = x3 = x4

2. aI und bI normal

3. yS = aI * xs + b1 oder ohne bI

yS = y1 + aI * (xS – x1)

y x P1 1013,24 2195,26 P2 1119,56 2297,17 P3 1034,59 2180,87 P4 1097,77 2310,26

x

y

13

24

S

III

x

y

1

2

3 4

31

Schnitt mit einer Parallelen zur x-Achse Die Bezeichnungen seien so gewählt, dass die Gerade II parallel zur x-Achse verläuft. Es treten keine Probleme auf, man kann den Rechenweg des Normalfalles benutzen. Schneller geht es mit:

1. yS = y3 = y4

2. aI und bI normal

3. xS = (yS – bI) / aI oder ohne bI

xS = x1 + (yS – yI) / aI

Schnitte mit parallel versetzten Linien

durch einen bekannten Punkt

Geg.: die Punkte 3 – 6 mit ihren Koordinaten der Punkt 1 mit seinen Koordinaten Ges.: die Koordinaten von S Lösung:

II axx

yya

56

56'

Die weitere Berechnung erfolgt wie im Normalfall.

in vorgegebenem Abstand Geg.: die Punkte 3 – 6 mit ihren Koordinaten der Parallelabstand p Ges.: die Koordinaten von S Lösung: 1. Möglichkeit: Punkt 1 als Kleinpunkt Messungslinie 5–6 Maß in der Linie = 0 Abstand = p (p<0, wenn die Parallele links von 5-6 liegt!!) oder als polar aufgemessenen Punkt berechnen: Standpunkt = 5 Anschlusspunkt = 6 mit Richtung = 0 Neupunkt = 1 mit Richtung = 100, Strecke = p (p<0, wenn Parallele links von 5-6 liegt!!) weiter wie Parallele durch gegeben Punkt

x

y

1

2

3

4

x

y

(1)

3

4

5

6

bI'bI

’

p

p

p

S

t5,6

t - 1005,6

x

y

1

3

4

5

6

’

S

#

32

2. Möglichkeit: aI und bI' wie üblich berechnen

6655' xayxayb III

Danach t5,6 aus Koordinaten berechnen. bI lässt sich dann ableiten aus

;)cos(

zu

)cos()100sin(

6,5'

6,5'

6,5

t

pbb

tbb

pt

II

II

Die weitere Berechnung erfolgt wie beim Normalfall.

Schnitte von Senkrechten

durch einen bekannten Punkt Geg.: die Punkte 3, 4, 5, 6 mit ihren Koordinaten der Punkt 1 mit seinen Koordinaten Ges.: die Koordinaten von S Lösung:

)(

;1

56

56

56

56' yy

xxa

axx

yya I

II

Die weitere Berechnung erfolgt wie im Normalfall.

in vorgegebenem Abstand Geg.: die Punkte 3, 4, 5, 6 mit ihren Koordinaten der Abstand s vom Punkt 5 in Richtung auf den

Punkt 6 bis zur Senkrechten (zeigt s in die andere Richtung, ist es negativ einzuführen).

Ges.: die Koordinaten von S Lösung: 1. Möglichkeit: Punkt (1) als Kleinpunkt berechnen: Messungslinie 5–6, Endmaß aus Koordinaten Maß in der Linie = s Abstand = 0 oder als polar aufgemessenen Punkt berechnen: Standpunkt = 5 Anschlusspunkt = 6 mit Richtung = 0, sgemessen = sgerechnet Neupunkt = (1) mit Richtung = 0, Strecke = s weiter wie Senkrechte durch gegeben Punkt

x

y

6

5

1

3

4

S

’

x

y

6

6'

5

(1)

3

s

4

S

''

'

b'b

33

x

y

1

23

S

2. Möglichkeit: aI = aI' (weil, I parallel zu I' ist) Danach bI durch Umwandlung

)sin()100cos()cos( 6,5'

6,5'

'6,5' t

sb

t

sb

t

sbb IIII

(8-18)

Lotfußpunkt Geg.: die Punkte 1, 2, 3 mit ihren Koordinaten Ges.: die Koordinaten von S (Lotfußpunkt von 3 auf die Ge-rade 1-2) Lösung:

12

12 )(1

yy

xx

aa

III

Die weitere Berechnung erfolgt wie im Normalfall.

Zahlenbeispiel:

Schnitt parallel zu A,B und senkrecht auf C,D gegeben: y x A 30,00 40,00 B 110,00 110,00 C 13,00 70,00 D 82,00 118,00

Abstand parallel zu AB p=20,00m

142857,100,70

00,80

AB

ABI xx

yya

6956522,000,48

00,69)(

CD

CDII yy

xxa

0870,164)00,1186956522,0(00,82

7143,1500,40142857,100,30'

DIIDII

AIAI

xayb

xayb

tA,B = 54,2379

6576,14)2379,54cos(

00,207143,15

)cos( ,'

BAII t

pbb

xs = III

III

aa

bb

= 81,2775 = 81,28 ys = III

IIIIII

aa

abba

= 107,5461=107,55

x

y

A

BC

D=3

(4)

S

# 20m

‘

34

Schnitt Kreis – Gerade

Hierbei wird ein Kreis von einer Geraden geschnitten. Es gibt zwei Schnittpunkte (oder keinen oder einen Berührungspunkt). Geg.: die Punkte der Geraden, A und E der Kreis durch Mittelpunkt und

Radius Ges.: die Punkte S1 und S2 oder einer von

diesen beiden Lösung (vermessungstechnisch): 1. tA,E ; tA,M und sA,M aus Koordinaten (RP)

2. = tA,M – tA,E

3. (sA,H, h) = Rec(, sA,M)

und h werden negativ erhalten, wenn der Kreismittelpunkt links der Geraden A-E liegt.

4. 22,, 21

hrss SHSH

5. ),(),(

),(),(

,,,,,

,,,,,

222

111

EASHHASASA

EASHHASASA

tss Recyx

tss Recyx

6. ),(),(),(

),(),(),(

2222

1111

,,

,,

SASAAASS

SASAAASS

yxyxyx

yxyxyx

S1 ist immer der Eintrittspunkt der aus dem Unendlichen kommenden Geraden, die in Richtung von A nach E verläuft, in den Kreis. S2 ist der Austrittspunkt. Dies gilt auch, wenn einer oder bei-de Schnittpunkte in der rückwärtigen Verlängerung von A-E liegen. Kontrolle: 1. Schnittpunkt(e) auf A-E umformen. 2. Radius aus den Koordinaten der Schnittpunkte und M Was passiert, wenn die Gerade den Kreis nicht schneidet? Dann ist |h| > r und im 4. Schritt wird versucht die Wurzel aus einer negativen Zahl zu berechnen. Diesen Fall muss man bei einer Programmierung auffangen. D.h. man muss untersuchen und fol-gern: |h| < r 2 Lösungen |h| = r 1 Lösung (vermessungstechnisch uninteressant) |h| > r 0 Lösungen

x

y

A

E

S1

S2

M

H

r hr

sA,M

A'

35

Genauigkeit: Ähnlich wie beim Geradenschnitt ist die Genauigkeit abhängig 1. vom Schnittwinkel zwischen dem Kreis und der Geraden: Der Schnittwinkel ist definiert als Winkel zwischen der Geraden und der Tangente an den Kreis

im Schnittpunkt. Dieser ist 100 gon kleiner als der Winkel zwischen der Geraden und dem Radius. Dieser wiede-

rum lässt sich als Differenz von Richtungswinkeln ermitteln. 2. von der Extrapolation der Geraden A-E.

36

Schnitt Kreis – Kreis, Bogenschlag

Aufgabenstellung, Messsituation

Die Aufgabe besteht darin, einen oder beide Schnittpunkte zweier Kreise zu berechnen. Die Kreise sind jeweils gegeben durch ihren Mittelpunkt und den Radius. geg: A, E, rA=sA,N, rE=sE,N ges: xN, yN, xN', yN' Handelt es sich um die vermessungstechnische Bestimmung eines Neupunktes N, sind die Kreismittelpunkte gegebene Festpunkte und die Radien sind gemessene Strecken. Um eine solche vermessungstechnische Aufnahme zu kontrol-lieren, muss man weitere Strecken oder Richtungen vom oder zum Neupunkt messen. Auch die Entscheidung darüber, welcher der beiden Schnittpunkte der gesuchte Neupunkt ist, kann ohne eine zusätzliche Information nicht getroffen werden. Hierzu reicht aber i.d.R. eine Skizze aus, aus der ersichtlich ist, ob der Neupunkt rechts oder links der Verbindung A-E liegt.

Bedingungen für den Schnitt

Der Zeichnung entnimmt man unmittelbar: Es gibt zwei Schnittpunkte, wenn sA,E < rA + rE (linker Kreis um E) und sA,E > | rA – rE | (rechter Kreis um E)

Damit die zweite Bedingung auch dann zutrifft, wenn rA < rE ist, muss dort der Betrag der Differenz genommen werden. Zusammengeschrieben ergeben die beiden Bedingungen den Wertebereich für SA,E, in dem zwei Schnittpunkte existieren:

| rA – rE | < sA,E < rA + rE

Auch wenn es sich bei dem Neupunkt um einen aufgemessenen Punkt und bei den Radien um gemessene Strecken ( sA,N und sE,N ) handelt, die die Bedingungen erfüllen müssen, kann es doch vorkommen, dass infolge von Punktverwechselungen, fehlerhafter Protokollierung oder Datenein-gabe versucht wird, einen Bogenschnitt zu berechnen, der die Bedingung nicht erfüllt. Dies ist bei der Durchrechnung von Planungen natürlich auch immer möglich. Im normalen Rechengang wür-de dies zu unzulässigen Funktionsaufrufen führen, die ein Programm u.U. zum Absturz bringen

können (z.B. arccos (>1) oder 0 ). Es ist daher besser, besonders bei einer Programmierung der Berechnung, diese Bedingung vor der weiteren Berechnung abzuprüfen. Lösungen, in denen sich die Kreise berühren, sind vermessungstechnisch unbrauchbar, wie wir bei der späteren Genauigkeitsbetrachtung noch sehen werden.

A

N

E

N’

sE,NrE

sA,N

rA

E EA

rArE

rEsA,E sA,E

37

Berechnung der Neupunktkoordinaten

Wir wollen den Lösungsweg über vermessungstech-nische Grundaufgaben gehen.

),(),( ,,,, EAEAEAEA yxPolts

NAEA

NENAEA

ss

sss

,,

2,

2,

2,

2arccos

EANA tt ,,

),(),( ,,,, NANANANA tsRecyx

NAANNAAN yyyxxx ,, ;

Man kann auch den Winkel berechnen und N dann polar an E anhängen (Kontrolle). Ist die Strecke A-E, sA,E gemessen, wird zur besseren Einpassung der Messungen in das vorhande-ne Punktfeld der Maßstabsfaktor ermittelt:

][

][

gem.s

ger.sm

A,E

A,E

Die gemessenen Strecken werden damit multipliziert

NENENANA smssms ,,,, ;

und mit diesen angepassten Strecken wird dann weiter gerechnet

),(),( ,,,, NANANANA tsRecyx

Für die zweite Lösung, N' links der Verbindung A-E muss man rechnen:

EANA tt ,',

Die Entscheidung, ob N oder N' der gesuchte Neupunkt ist, kann nicht anhand der Strecken sA,N und sE,N entschieden werden. Eine weitere Information muss bereitgestellt werden (Skizze)! Eine programmtechnische Lösung kann dem Anwender beide Lösungen zur Auswahl anbieten oder vorgeben, dass immer nur ein definierter Schnittpunkt, etwa immer der rechts der Linie von A nach E liegende berechnet wird. Die Reihenfolge, in der die Mittelpunkte eingegeben werden, bestimmt dann, welcher Schnittpunkt berechnet wird.

E

A

tA,N

tE,N

tA,E

tE,A

sA,N

sE

,N

sA,E

N

N’

38

Genauigkeit (geometrische Betrachtungsweise)

Die Genauigkeit einer Streckenmessung kann man graphisch darstellen durch ein Kreisband mit dem in-neren Radius ri = sA,N + ss und dem äußeren Radius rä = sA,N – ss enn man dies für die beiden Strecken zum Neupunkt, sA,N und sE,N, macht, beschreibt die Schnittfläche der beiden Bänder in etwa den Bereich, in dem der Neu-punkt liegen kann. In der Graphik sind verschiedene Lagen des Neupunktes relativ zur Basis A-E aufgezeichnet. Für alle Strecken wird dieselbe Genauigkeit angenommen. D.h. die Genauigkeit wird als von der Stre-ckenlänge unabhängig betrachtet. Bei kurzen Strecken, bis zu einigen hundert Metern, ist diese Annahme für EDM-Messungen zulässig. Die Breite der Bänder 2ss ist damit für alle Strecken gleich. Die Fläche für die mögliche Lage des Neupunktes ist nur noch vom Schnittwinkel der Kreise abhängig. Der Schnittwinkel der Kreise ist der Winkel der Tangen-ten, und dieser ist wiederum identisch mit dem Schnitt-winkel der Radien. Dieser lässt sich aus und ermit-teln oder aus der Differenz der Richtungswinkel der Ra-dien. Die Schnittfläche der Radienbänder ist minimal, wenn sich die Kreise im rechten Winkel schneiden. Der Neu-punkt liegt dann auf dem Thaleskreis. Weit von der Linie A-E entfernte Punkte weisen dagegen zwangsläufig ei-nen recht spitzen Schnittwinkel auf. Ebenso verhält es sich mit allen Punkten, die nahe an der Geraden A-E liegen. Im Extremfall, wenn der Neupunkt auf A-E liegt, berühren sich die Kreise. Die Lage des Neu-punkt ist dann senkrecht zur Verbindung A-E praktisch unbestimmt. Da-mit können also Punkte, die nahe an der Verbindungslinie liegen, und weit entfernte Punkte nur ungenau per Bogenschnitt bestimmt werden. Ohne Ableitung sei die Gleichung für die Standardabweichung des Neupunktes angegeben:

.2sin

122syxp *s*

γsss

Anhand der Gleichung erkennt man wieder, dass die Neupunktbestimmung genau, also sp möglich klein wird, wenn die Kreise sich rechtwinklig schneiden. ist dann 100gon und der Nenner, sin nimmt seinen Maximalwert 1 an. Dies ist auf dem Thaleskreis über der Verbindung A-E der Fall. Kleine Winkel erzeugen dagegen einen kleinen Nenner und somit eine große Standardabwei-chung.

2ssA

A

E

sN,E

sN,A

}

2ss

AE

N =200-( + )

, bei Ber.

x ,yN N

A E