TEIL I: Analoge Filter · damit kann jedes Filter N-ter Ordnung durch Filter 1. und 2. Ordnung kaskadiert werden Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale

TEIL I: Analoge Filter

Version vom 1. April 2019

Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale Filter 1

Literatur:

L. D. Paarmann, Design And Analysis of Analog Filters: A

Signal Processing Perspective.Kluwer Academic Publishers, 2001.

M. Meyer, Signalverarbeitung — Analoge und digitale Signale,

Systeme und Filter.Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, 1998.Herausgegeben von Otto Mildenberger.

O. Mildenberger, Entwurf analoger und digitaler Filter.Vieweg, 1992.

R. Schaumann and M. E. V. Valkenburg, Design of Analog

Filters.Oxford University Press, 2001.


Kapitel 1

Grundlagen


1.1 Phasen- und Gruppenlaufzeit, Dampfung

Annahme: Ubertragungsfunktion G (f ) = |G (f )|ejϕ(f )

Dampfung:

a(f ) = −10 · log10 |G (f )|2 = −20 · log10 |G (f )| dB

Phasenlaufzeit:

tph(f ) = − 1

2π· ϕ(f )

f

Gruppenlaufzeit:

tg(f ) = − 1

2π· dϕ(f )

df


1.2 Paley-Wiener-Theorem

ist |G (f )| quadratisch integrierbar, d.h, gilt∫ ∞

−∞|G (f )|2 df < ∞,

dann (und nur dann) ist die Bedingung∫ ∞

−∞

| ln |G (f )||1 + (2πf )2

df < ∞

notwendig und hinreichend fur die Existenz einer kausalenImpulsantwort g(t)

Hinweis 1: die quadratische Integrierbarkeit ist z.B. beiHochpassfiltern oder Bandsperren nicht erfullt

Hinweis 2: auch wenn zu einem vorgegebenen |G (f )|2bzw. a(f ) eine kausale Impulsantwort existiert, ist das Filternicht notwendigerweise auch realisierbar


1.3 Laplace-Transformation und allgem. Darstellung

ein (lineares, zeitinvariantes) Netzwerk mit N unabhangigenSpeicherelementen kann durch eine Differentialgleichung N-terOrdnung beschrieben werden

entsprechend ergibt sich fur die Ubertragungsfunktion Gp(p)eine gebrochen rationale Funktion gemaß

Gp(p) =

∑Mµ=0 αµp

µ

∑Nν=0 βνp

ν=

α0 + α1p + · · ·+ αMpM

β0 + β1p + · · ·+ βNpN.

in Pol-Nullstellenform gilt

Gp(p) = kp(p − p01) (p − p02) . . . (p − p0M)

(p − p1) (p − p2) . . . (p − pN)mit kp =

αM

βN.



Netzwerkmodell fur Analogfilter:

U1(p)

U2(p)

α0 α1 αM

−βM 1−βN−βN−1−β1−β0

1p

1p

1p

1p



wichtige Randbedingungen:

alle Filterkoeffizienten αµ und βν sind reell

die Nullstellen p0,µ, µ = 1, 2, . . . ,M, und die Polstellen pν ,ν = 1, 2, . . . ,N, sind entweder reell oder sie treten inkonjugiert komplexen Paaren auf

fur BIBO-Stabilitat wird gefordert:

M ≤ N

der Realteil aller Polstellen ist negativ / das Nennenpolynomist ein Hurwitzpolynom (fur βN = 1 muss fur alle Koeffizientendes Nennerpolynoms gelten: βν > 0, ν = 0, 1, 2, . . . ,N .)



Kettenschaltung von Teilsystemen 1. und 2. Ordnung:

die Ubertragungsfunktion Gp(p) kann als Produkt vonGliedern erster und zweiter Ordnung ausgedruckt werden

Gp(p) = kp

M1∏µ=1

(p − p0µ) ·M2∏µ=1

(p2 + γµp + δµ)

N1∏ν=1

(p − pν) ·N2∏ν=1

(p2 + ǫνp + ην)

p0µ und pν sind dabei reelle Null- und Polstellen

die Nullstellen (Polstellen) der Ausdrucke p2 + γµp + δµ(p2 + ǫνp + ην) sind entweder konjugiert komplex oder reell

es gilt also : M = M1 + 2M2; N = N1 + 2N2

damit kann jedes Filter N-ter Ordnung durch Filter 1. und 2.Ordnung kaskadiert werden


1.4 Minimalphasen- und Allpasskonfiguration:

Allpasskonfiguration:

ein (fiktives) Teilsystem Gp(p) =p+p∗1p−p1

hat einen konstantenAmplitudengang

⇒ bei einem Allpass liegen allen Polstellen spiegelbildlich zurjω-Achse Nullstellen gegenuber

da komplexe Pole als konjugiert komplexe Paare auftretenmussen, gilt demnach:

Gp(p) =(p + p1) (p + p2) . . . (p + pN)

(p − p1) (p − p2) . . . (p − pN)

die Gruppenlaufzeit eines Allpasses ist niemals negativ


1.4 Minimalphasen- und Allpasskonfiguration:

Minimalphasenkonfiguration:

bei einem Minimalphasensystem liegen alle Nullstellen in derlinken Halbebene oder auf der jω-Achse

da die Gruppenlaufzeit eines Allpasses niemals negativ ist,besitzt ein Minimalphasensystem von allen moglichenSystemen mit identischem Dampfungsverlauf die kleinsteGruppenlaufzeit


1.5 Randbedingungen fur den Dampfungsverlauf

haufig wird beim Filterentwurf ein bestimmterDampfungsverlauf a(f ) bzw. |G (f )|2 angestrebt

Frage: Welche Kriterien muss der Dampfungsverlauf erfullen,damit damit das Filter realisierbar ist?

Ausgangspunkt:

Y (f ) = |G (f )2| = G (f ) · G (f )∗ = G (f )G (−f )

mit G (f ) = Gp(p)|p=j2πf und Y (f ) = Yp(p)|p=j2πf folgt auch

Yp(p) = Gp(p) · Gp(−p)

Yp(p) muss in Gp(p) und Gp(−p) faktorisiert werden konnenund ist ebenfalls eine gebrochen rationale Funktion


1.5 Randbedingungen fur den Dampfungsverlauf

|G (f )|2 ist nur dann ein geeigneter Dampfungsverlauf — mitzugehorigem Gp(p) —, wenn

|G (f )|2 nur geradzahlige Potenzen von f enthalt (f 0, f 2, . . . )

die Ordnung des Zahlerpolynoms nicht großer als die Ordnungdes Nennerpolynoms ist

|G (f )|2 keine reellen Polstellen hat (entspricht der Bedingung,dass Yp(p) keine Polstellen auf der jω-Achse hat)

|G (f )|2 keine reellen Nullstellen hat, die mit ungerader Anzahlvorkommen

das zugehorige Yp(p) in Gp(p) und Gp(−p) faktorisiertwerden kann


Kapitel 2

Filter 1. Ordnung


2.1 Tiefpass

Realisierung und PN-Diagramm


2.1 Tiefpass

Amplitudengang

10−2

10−1

100

101

−25

−20

−15

−10

−5

010

log10|G

(f)|2

dB

normierte Frequenz f /fg


2.1 Tiefpass

Phasengang

10−2

10−1

100

101

−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0ϕ(f)in

Grad



2.1 Tiefpass

Verlauf der Gruppenlaufzeit

10−2

10−1

100

101

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1t g(f)/T



2.2 Hochpass



2.2 Hochpass

Amplitudengang

10−1

100

101

102

−20

−18

−16

−14

−12

−10

−8

−6

−4

−2

0

10log10|G

(f)|2

dB



2.2 Hochpass

Phasengang

10−2

10−1

100

101

102

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90ϕ(f)in

Grad



2.2 Hochpass


10−2

10−1

100

101

102

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1t g(f)/T



2.3 Shelving-Tiefpass

Passive Realisierung und PN-Diagramm

Ubertragungsfunktion

G (f ) =1 + j2πfTz

1 + j2πfTp

=1 + jf /fgz1 + jf /fgp

mit fgz =1

2πTz

, fgp =1

2πTp

⇒ ϕ(f ) = arctan(f /fgz)− arctan(f /fgp), wobei fgz > fgp



Impulsantwort (passive Realisierung)

aus der Ubertragungsfunktion

G (f ) =1

1 + j2πfTp+

j2πfTz

1 + j2πfTp

folgt mit Hilfe des Differentationssatzes zunachst

g(t) =1

Tpe− t

Tp · s(t) + d

dt

(Tz

Tpe− t

Tp · s(t))

und damit

g(t) =Tz

Tpδ(t) +

1

Tpe− t

Tp ·(1− Tz

Tp

)· s(t)

dabei ist s(t) der Einheitssprung



Aktive Realisierung und PN-Diagramm



Amplitudengang (passive Realisierung)

10−2

10−1

100

101

102

−10

−9

−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

010

log10|G

(f)|2

dB

normierte Frequenz f /fgp

Darstellung fur fgz =√10fgp (passives Filter)



Phasengang

10−2

10−1

100

101

102

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

Darstellung fur fgz =√10fgp

ϕ(f)in

Grad





10−2

10−1

100

101

102

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2t g(f)/(T

p−

Tz)


Darstellung fur fgz =√10fgp


2.4 Shelving-Hochpass

Passive Realisierung und PN-Diagramm


G (f ) =Tp

Tz· 1 + j2πfTz

1 + j2πfTp=

fgz

fgp· 1 + jf /fgz1 + jf /fgp

mit fgz =1

2πTz, fgp =

1

2πTp

⇒ ϕ(f ) = arctan(f /fgz)− arctan(f /fgp), wobei fgp > fgz



Impulsantwort (passive Realisierung)

aus der Ubertragungsfunktion

G (f ) =Tp

Tz· 1

1 + j2πfTp+

j2πfTp

1 + j2πfTp

folgt mit Hilfe des Differentationssatzes zunachst

g(t) =1

Tz

e− t

Tp · s(t) + d

dt

(e− t

Tp · s(t))

und damit

g(t) = δ(t) − e− t

Tp ·(

1

Tp− 1

Tz

)· s(t)



Aktive Realisierung und PN-Diagramm



Amplitudengang (passive Realisierung)

10−2

10−1

100

101

102

−10

−9

−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

010

log10|G

(f)|2

dB

normierte Frequenz f /fgz

Darstellung fur fgp =√10fgz (passives Filter)



Phasengang

10−2

10−1

100

101

102

0

5

10

15

20

25

30

35

Darstellung fur fgp =√10fgz

ϕ(f)in

Grad





10−2

10−1

100

101

102

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

t g(f)/(T

z−

Tp)





Antwort auf einen (schmalbandigen) Raised-Kosinus Impuls

−100 −50 0 50 100−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Ausgangsimpuls

Eingangsimpuls

normierte Zeit t/tg(0)

Amplitude



2.5 Allpass

Aktive Realisierung (1) und PN-Diagramm


2.5 Allpass

Ubertragungsfunktion (aktive Variante (1) )

G (f ) =1− j2πfT

1 + j2πfT=

1

1 + j2πfT− j2πfT

1 + j2πfT

zugehorige Impulsantwort

g(t) = −δ(t) +2

Te−

tT · s(t)


2.5 Allpass

Aktive Realisierung (2) und PN-Diagramm


2.5 Allpass

Phasengang (Variante (1))

10−2

10−1

100

101

102

−180

−160

−140

−120

−100

−80

−60

−40

−20

0ϕ(f)in

Grad



2.5 Allpass


10−2

10−1

100

101

102

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

t g(f)/T



Kapitel 3

Filter 2. Ordnung


3.1 Tiefpass (konj. komplexes Polpaar)



Gp(p) =ω20

p2 + pω0Q

+ ω20

mit ω20 =

1

LC,Q =

1

R·√

L

C

⇒ |G (f )|−2 = [1− (f /f0)2]2 + (f /f0)

2/Q2



Amplitudengang in Abhangigkeit der Gute

10−2

10−1

100

101

−25

−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20

Q=10

Q=2

Q=0.71

Q=0.510log10|G

(f)|2

dB

normierte Frequenz f /f0



Amplitudengang: 3 dB-Breite der Resonanzuberhohung

0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

Q=20

Q=10

Q=5

normierter

Amplitudengangin

dB




Amplitudengang: maximal flacher Verlauf fur Q = 1/√2

10−2

10−1

−0.05

−0.04

−0.03

−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

10

log10|G

(f)|2

dB


Q = 1/√2 =

√18/6

Q =√19/6

Q =√17/6



Gruppenlaufzeit in Abhangigkeit der Gute

10−2

10−1

100

101

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Q=5

Q=2

Q=0.71

Q=0.5

t g(f)·π

f 0




Gruppenlaufzeit: maximal flacher Verlauf fur Q = 1/√3

10−2

10−1

0.96

0.97

0.98

0.99

1

1.01

1.02

1.03

1.04

t g(f)/t g(0)


Q = 1/√3 = 3/

√27

Q = 3/√28

Q = 3/√26



Impuls- und Sprungantwort

0 1 2 3 4 5 6 7 8−6

−4

−2

0

2

4

6

Q=5

Q=2

g(t)/f 0

normierte Zeit t · f0




0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

Q=5

Q=2

h(t)





0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Q=0.71

Q=0.5

Q=0.25

g(t)/f 0





0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Q=0.71

Q=0.5

Q=0.25

h(t)




Realisierungsvariante: Sallen-Key Tiefpassfilter

fur R1 = R2 = R gilt: ω0 =1

R√C1C2

,Q = 12

√C2C1

(Bild aus: ”Active Filter Design Techniques”, Texas Instruments)



Realisierungsvariante: Tow-Thomson Biquad (1)



Realisierungsvariante: Tow-Thomson Biquad (2)


3.2 Hochpass (zusatzliche doppelte Nullstelle)



Gp(p) =p2

p2 + pω0Q

+ ω20

mit ω20 =

1

LC,Q =

1

R·√

L

C

⇒ Gp,HP(p/w0) = Gp,TP(w0/p)

aktive Realisierungsvariante

im Sallen-Key Tiefpassfilter Cs und Rs vertauschen



vom Tiefpass zum Hochpass (Amplitudengang)

10−1

100

101

−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10

Tiefpass, Q=2

Hochpass, Q=2

10log10|G

(f)|2

dB




Beispiel: Linkwitz-Riley-Frequenzweiche 2. Ordnung (1)

die folgenden 2 Folien zeigen den Amplitudengang, dieGruppenlaufzeit und die Sprungantwort fur f0 = 200 Hz

Gruppenlaufzeitverzerrungen sind bis ca. 1500 Hz horbar




101

102

103

104

−10

−5

0

Summe

Tiefton

Hochton

101

102

103

104

0

0.5

1

1.5

2

Summe

10log10|G

(f)|2

dB

t g(f)in

ms

Frequenz f in Hz

Frequenz f in Hz




0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Sprungantworth(t)

Zeit t in ms


3.3 Bandpass (zusatzliche einfache Nullstelle)



Gp(p) =pω0

Q

p2 + pω0Q

+ ω20

mit ω20 =

1

LC,Q =

1

R·√

L

C

⇒ fur Q ≤ 0.5 wie Kettenschaltung aus TP und HP ersterOrdnung



3 dB Breite bei Q ≫ 1

0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

Q=20

Q=10

Q=5

Q=3

10log10|G

(f)|2

dB




aktive Realisierungsvariante (1): Sallen-Key Bandpassfilter

mit G0 = 1 + R2R1, ω0 =

1RC

und Q = 13−G0

gilt hier:

Gp(p) =Q

3−1/Q · pω0Q

p2+pω0Q+ω2

0




aktive Realisierungsvariante (2): “Multiple Feedback” Filter

mit ω0 =1C·√

R1+R3R1R2R3

und Q = ω02 · CR2 gilt hier:

Gp(p) = − R22R1

· pω0Q

p2+pω0Q+ω2

0


aktive Realisierungsvariante (3): Tow-Thomson-Biquad


3.4 Notch-Filter



Gp(p) =p2 + pω0

Q+ ω2

0

p2 + p ω0Q·k + ω2

0

mit ω20 =

1

LC, Q =

1

R2·√

L

C, k =

R2

R1 + R2


3.4 Notch-Filter

Amplitudengang und 3 dB Breite

0.2 0.4 0.6 0.8 0.951.05 1.2 1.4 1.6 1.8−12

−9

−6

−3

0

Q=20, k=1/2

Q=10, k=1/2

Q=20, k=1/4

Q=10, k=1/4

10log10|G

(f)|2

dB



3.5 Notch-Tiefpass

PN-Diagramm und moglicher Ansatz zur Umsetzung


Gp(p) =p2 + pω0·k1

Q·k2 + (ω0 · k1)2

p2 + pω0Q

+ ω20

mit k1 > 1


3.5 Notch-Tiefpass

Amplitudengang und Anwendungsbeispiel

10−1

100

101

−20

−15

−10

−5

0

5

10

Beispiel mit k1=2, k

2=4

Notch−Tiefpass (Entzerrer)

Hochpass mit Boost (Q=2)

Hochpass entzerrt (Q=1/2)

10log10|G

(f)|2

dB



3.6 Allpass

PN-Diagramm und mogliche Realisierung



Gp(p) = kp ·(p + p1)(p + p2)

(p − p1)(p − p2)mit p1/2 = − ω0

2Q±ω0

√1

(2Q)2− 1


3.6 Allpass

Gruppenlaufzeit in Abhangigkeit der Gute

10−2

10−1

100

101

102

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

Q=2

Q=1

Q=.577

Q=1/2

t g(f)·π

·f0



Kapitel 4

Standard Tiefpass-Approximationen


4.1 Potenztiefpass (Butterworth-Tiefpass)

Ausgangspunkt: Amplitudengang

|G (f )|2 = 1

1 +(

ffc

)2N

Merkmal: maximal flache Charakteristik im Durchlassbereich(Phasengang wird erkauft)

Polstellen

mit |G (ω)|2 = G (ω)G (−ω) = Gp(p)Gp(−p)|p=jω folgtzunachst fur die 2N verschiedenen Pole pν ,ν = 0, 1, . . . , 2N − 1, von Yp(p) = Gp(p)Gp(−p):

pν = ωc ·ejϕν mit ϕν = π2N + ν · π

Nfur N gerade,

pν = ωc ·ejϕν mit ϕν = ν · πN

fur N ungerade

Gp(p) werden genau die N verschiedenen Pole von Yp(p)zugeordnet, die in der linken Halbebene liegen



PN-Diagramme fur verschiedene Filterordnungen (1)

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

jω/ω

c

σ/ωc

N = 2

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

jω/ω

cσ/ωc

N = 3

Anmerkung: kp = ωNc



PN-Diagramme fur verschiedene Filterordnungen (2)

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

jω/ω

c

σ/ωc

N = 4

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

jω/ω

cσ/ωc

N = 5

Anmerkung: kp = ωNc



Amplitudengang in Abhangigkeit des Filtergrads

10−1

100

101

−20

−18

−16

−14

−12

−10

−8

−6

−4

−2

0

N=1

N=2

N=3

N=4

N=5

N=10

10log10|G

(f)|2

dB

normierte Frequenz f /fc



Kaskadierung eines Filters 5. Ordnung

10−1

100

101

−20

−15

−10

−5

0

5

gesamt

reelle Polstelle

Polpaar 1

Polpaar 210log10|G

(f)|2

dB

normierte Frequenz f /fc−1 −0.5 0

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

jω/ω

c

σ/ωc



Gruppenlaufzeit in Abhangigkeit des Filtergrads

10−1

100

101

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

N=1

N=2

N=3

N=4

N=5

t g(f)·π

f c

normierte Frequenz f /fc



Sprungantwort

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

N=2

N=3

N=4

N=5

h(t)

normierte Zeit t · fc



Dampfungstoleranzschema und notwendige Filterordnung (1)



Dampfungstoleranzschema und notwendige Filterordnung (2)

notwendige Filterordnung:

N =

log

(√10amin/10−110amax/10−1

)

log(

fsfd

)

zugehorige 3 dB Grenzfrequenz fc

fd(10amax/10 − 1

) 12N

≤ fc ≤fs

(10amin/10 − 1

) 12N



Dampfungstoleranzschema: Beispiel

fd = 20 kHz, amax = 0.25 dB, fs = 156.4 kHz, amin = 80 dB

ergibt: N = 6, 25.3 kHz≤ fc ≤ 33.7 kHz

10 20 30 50 80 100 1560

10

20

30

40

50

60

70

80

N=6

fc=25.3 kHz

fc=33.7 kHz

a(f)dB

normierte Frequenz f in KHz



Normierte Reaktanzen, Widerstande und Frequenzen

Bezugs-Kreisfrequenz: ωB (in rad/s)

Bezugs-Widerstand: RB (in Ω)

normierter Widerstand: R = RRB

normierte Kapazitat: C = C · ωB · RB

normierte Induktivitat: L = L · ωB · 1RB

normierte Kreisfrequenz bzw. Bildvariable: ω = ωωB

; p = pωB



Dimensionierung eines passiven Polynomfilters



Normierte Reaktanzwerte fur r2 = R2 = 1

(Tabelle aus: Fritzsche ”Theoretische Grundlagen der Nachrichtentechnik”)



Normierte Reaktanzwerte fur r2 = R2 = ∞



4.2 Tschebyscheff Typ 1 Tiefpass

Tschebyscheff Polynome erster Art

Polynome fur die Ordnungen 0 bis 5:

T0(x) = 1T1(x) = x

T2(x) = 2x2 − 1T3(x) = 4x3 − 3xT4(x) = 8x4 − 8x2 + 1T5(x) = 16x5 − 20x3 + 5x

rekursive Berechnung:

Tn+1(x) = 2xTn(x)− Tn−1(x)

Zusammenhang mit trigonometrischen Funktionen:

Tn(x) =

cos (n · arccos(x) ) fur − 1 ≤ x ≤ 1cosh (n · arccosh(x) ) sonst



Tschebyscheff Polynome — Verlauf fur n = 3 und n = 5

−1 −0.5 0 0.5 1−1

−0.5

0

0.5

1

−1 −0.5 0 0.5 10

0.5

1

T n(x)

T2 n(x)

x

x




|G (f )|2 =1

1 + δ2 ·T 2N

(ffd

)

Merkmal: Restwelligkeit von amax = 10 · log10(1 + δ2) dB imDurchlassbereich ⇒ “Equal Ripple Filter”

Phase wird erkauft

die Frequenz fd bestimmt die Grenze des Durchlassbereichs(mit T 2

N (1) = 1 gilt auch −10 · log10 |G (fd)|2 = amax)

da T 2N

(ffd

)den Term

(ffd

)2Nenthalt, steigt die Dampfung im

Sperrbereich mit N×20 dB pro Dekade.



Polstellen

zunachst werden wieder die Pole von Yp(p) = Gp(p)Gp(−p)bestimmt

fur die Pole pY ,ν, ν = 1, . . . , 2N, von Yp(p) muss gelten

δ2 · T 2N

(pY ,ν

jωd

)= −1 bzw. δ · TN

(pY ,ν

jωd

)= ±j

der Ubertragungsfunktion Gp(p) werden die Pole in der linkenHalbebene zugeordnet; es gilt (ν = 1, . . . ,N)

pν = −σHA·sin((2ν − 1)π

2N

)+jωHA·cos

((2ν − 1)π

2N

), wobei

σHA = sinh

(1

Narcsinh

1

δ

)ωHA = cosh

(1

Narcsinh

1

δ

)



Polstellen



PN-Bilder fur verschiedene Filterord., 1.25 dB Ripple (1)

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

jω/ω

d

σ/ωd

N = 2 (Q = 1)

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

jω/ω

d

σ/ωd

N = 3



PN-Bilder fur verschiedene Filterord., 1.25 dB Ripple (2)

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

jω/ω

d

σ/ωd

N = 4

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

jω/ω

d

σ/ωd

N = 5



Amplitudengang in Abhang. des Filtergrads (1.25 dB Ripple)

10−2

10−1

100

101

−20

−18

−16

−14

−12

−10

−8

−6

−4

−2

0

N=1

N=2

N=3

N=4

N=5

10log10|G

(f)|2

dB

normierte Frequenz f /fd



Amplitudengang im Durchlassbereich (1.25 dB Ripple)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

N=2

N=3

N=4

N=5

10log10|G

(f)|2

dB




Potenztiefpass vs. T1 Tiefpass (N = 5, 1.25 dB Ripple)

10−2

10−1

100

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

Tscheby1 (N=5)

Butterworth (N=5)

10log10|G

(f)|2

dB




Potenztiefpass vs. T1 Tiefpass (N = 5, 1.25 dB Ripple)

10−1

100

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

Tscheby1 (N=5)

Butterworth (N=5)10log10|G

(f)|2

dB




Gruppenlaufzeit in Abhang. des Filtergrads (1.25 dB Ripple)

0 0.5 1 1.5 20

1

2

3

4

5

6

7

N=1

N=2

N=3

N=4

N=5

t g(f)·π

f d




Sprungantwort in Abhang. des Filtergrads (1.25 dB Ripple)

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

N=1

N=2

N=3

N=4

N=5

h(t)

normierte Zeit t · fd



Dampfungstoleranzschema und notwendige Filterordnung

notwendiger Filtergrad: N =

arccosh

(√

10amin/10−1

10amax/10−1

)

arccosh(

fsfd

)



Dampfungstoleranzschema: Beispiel (1)

fd = 20 kHz, amax = 0.25 dB, fs = 156.4 kHz, amin = 80 dB

ergibt: N = 5

N = 5 genugt aber sogar fur einen Ripple von nur 0.0025 dB

10 10020 30 50 80 1560

10

20

30

40

50

60

70

80

amax

=0.25 dB

amax

=0.0025 dB

a(f)dB





Dampfungsverlauf im Durchlassbereich fur amax = 0.25 dBund amax = 0.0025 dB

0 5 10 15 20

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

amax

=0.25 dB

amax

=0.0025 dB

a(f)dB





Gruppenlaufzeit im Durchlassbereich fur amax = 0.25 dB undamax = 0.0025 dB

0 5 10 15 200

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

amax

=0.25 dB

amax

=0.0025 dB

t g(f)in

ms




Dimensionierung eines passiven Polynomfilters

bzgl. der folgenden Tabellen wurde angenommen:

normierter Widerstand r2 = R2 = u

normierte Grenzkreisfrequenz Durchlassbereich: ωd = 2πfd = 1es ist gleichgultig, ob das erste Element s1 ein Querelement(Kapazitat) oder ein Langselement ist (Spule)



Normierte Reaktanzwerte fur amax = 0.18 dB




Normierte Reaktanzwerte fur amax = 1.25 dB





|G (f )|2 = 1− 1

1 + δ2 ·T 2N

(fsf

) =δ2 ·T 2

N

(fsf

)

1 + δ2 ·T 2N

(fsf

)

Merkmal: Restwelligkeit im Sperrbereich; dieMinimaldampfung betragt von amin = 10 · log10(1 + 1

δ2) dB

Phase wird erkauft

die Frequenz fs bestimmt die Grenze des Sperrbereichs(mit T 2

N (1) = 1 gilt auch 10 · log10 |G (fs)|2 = amin)



Polstellen

zunachst werden wieder die Pole von Yp(p) = Gp(p)Gp(−p)bestimmt

bei identischem Parameter δ, der beim Typ 1 dieMaximaldampfung amax im Durchlassbereich und beim Typ 2die Minimaldampfung amin im Sperrbereich bestimmt, gilt furdie normierten Pole pY ,ν , ν = 1, . . . , 2N , von Yp(p)offensichtlich

pY ,ν = j · j 1

pY ,T1,ν= − 1

pY ,T1,ν

dabei sind pY ,T1,ν die normierten Polstellen von Yp,T1(p) furden Fall eines Typ 1 Filters

der Ubertragungsfunktion Gp(p) werden die Pole in der linkenHalbebene zugeordnet; es gilt (ν = 1, . . . ,N)

pν = 1/pT1,ν



Nullstellen

der Amplitudengang |G (f )|2 besitzt Nullstellen bei denFrequenzen

f0,k = fs ·1

cos((2k − 1) · π

2N

) , |k | = 1, 2, . . . ,

⌊N

2

⌋

die Nullstellen von Gp(p) sind demnach: j · 2πf0,k



Pole und Nullstellen im Vergleich zum Typ 1 Tiefpass (N=3)



Pole und Nullstellen im Vergleich zum Typ 1 Tiefpass (N=5)

−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

jω

σ

N = 5



Amplitudengang in Abhang. des Filtergrads (amin = 20 dB)

0 2 4 6 8 100

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

N=2

N=3

N=5

|G(f)|2

normierte Frequenz f /fs



Amplitudengang in Abhang. des Filtergrads (amin = 20 dB)

10−2

10−1

100

−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

N=2

N=3

N=5

10log10|G

(f)|2

dB




Amplitudengang im Vgl. zum Potenztiefpass (amin = 80 dB)

10−3

10−2

10−1

100

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

10

Butterworth, N=2

Tscheby T2, N=2

Butterworth, N=5

Tscheby T2, N=5,

Darstellung incl. Ubergangsbereich10

log10|G

(f)|2

dB




Amplitudengang im Vgl. zum Potenztiefpass (amin = 80 dB)

10−3

10−2

10−1

100

−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

Butterworth, N=2

Tscheby T2, N=2

Butterworth, N=5

Tscheby T2, N=5,

Darstellung des Durchlassbereichs10

log10|G

(f)|2

dB




Gruppenlaufzeit im Vgl. zum Potenztiefpass (amin = 80 dB)

10−4

10−3

10−2

10−1

100

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

Butterworth, N=2

Tscheby T2, N=2

Butterworth, N=5

Tscheby T2, N=5,

t g(f)/t g(0)




Sprungantwort im Vgl. zum Potenztiefpass (amin = 80 dB)

0 5 10 15 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Butterworth, N=5

Tscheby T2, N=5,

h(t)

normierte Zeit t · fs



Notwendige Filterordnung

notwendiger Filtergrad: N =

arccosh

(√

10amin/10−1

10amax/10−1

)

arccosh(

fsfd

)

gleiches Ergebnis wie beim Typ 1 Filter


4.4 Cauer Tiefpass


|G (f )|2 = 1

1 + δ2 ·R2N

(ffd, L)

Restwelligkeit im Durchlass- und Sperrbereich

geringste notwendige Filterordnung bei vorgegebenenParametern amin, amax,

fsfd

die Maximaldampfung im Durchlassbereich betragt

amax = 10 · log10(1 + δ2) dB; es gilt also δ =√

10amax/10 − 1

die Minimaldampfung im Sperrbereich betragt

amin = 10 · log10(1 + δ2 · L2) dB; es gilt also L2 = 10amin/10−110amax/10−1

RN

(ffd, L)ist eine rationale elliptische Funktion vom Grad N


4.4 Cauer Tiefpass

Verlauf der rationalen elliptischen Funktion R2(x, 10)

-10 -8 -6 -4 -2.34 -1 0 1 2.34 4 6 8 10-20

-15

-10

-5

-11

5

10

15

20

R2(x,10)

x


4.4 Cauer Tiefpass

Verlauf der rationalen elliptischen Funktion R4(x, 10)

-6 -4 -2 -1 0 1 2 4 6-20

-15

-10

-5

-11

5

10

15

20

R4(x,10)

x


4.4 Cauer Tiefpass

PN-Bilder fur verschiedene Filterordnungen (1)

Annahmen: amax = 0.5 dB, amin = 30 dB

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8

−6

−4

−2

0

2

4

6

jω/ω

d

σ/ωd

N = 2

−3 −2 −1 0 1 2 3

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

jω/ω

d

σ/ωd

N = 3


4.4 Cauer Tiefpass

PN-Bilder fur verschiedene Filterordnungen (2)

Annahmen: amax = 0.5 dB, amin = 30 dB

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

−3

−2

−1

0

1

2

3

jω/ω

d

σ/ωd

N = 4

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

jω/ω

d

σ/ωd

N = 5


4.4 Cauer Tiefpass

Amplitudengang fur N = 5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

amax = 1 dB, amin = 30 dB10

·log10|G

(f)|2

dB



4.4 Cauer Tiefpass

Gruppenlaufzeit im Durchlassbereich

10−2

10−1

100

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

N=2

N=3

N=4

N=5

amax = 0.5 dB, amin = 50 dBt g(f)/t g(0)



4.4 Cauer Tiefpass

Sprungantwort fur N = 5

0 1 2 3 4 50

0.5

1

1.5

N=5, amin

=50 dB

amax

=1 dB

amax

=0.5 dB

amax

=0.1 dB

amax

=0.001 dB

h(t)

normierte Zeit t · fd


4.4 Cauer Tiefpass

Notwendige Filterordnung

naherungsweise gilt:amin + 20 log10(1/δ) ≈ 20 · log10(RN(fs/fd, L))

aus dem folgenden Diagramm kann fur jedeParameterkonstellation fs/fd, amin und δ

(δ =√

10amax/10 − 1) der notwendige Filtergrad abgelesenwerden

Beispiel: fur fs/fd = 1.5, amin = 50 dB und amax = 0.5 dBbzw. amin + 20 log10(1/δ) ≈ 59.1 dB folgt N = 5

das gleiche Verfahren kann auch fur den Potenztiefpass undden Tschebyscheff-Tiefpass angewendet werden; in diesenFallen gilt amin + 20 log10(1/δ) ≈ 20 · N · log10(fs/fd)bzw. amin + 20 log10(1/δ) ≈ 20 · log10(cosh(N · acosh(fs/fd)))


4.4 Cauer Tiefpass

Notwendige Filterordnung eines Cauer Tiefpasses

1.05 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.8 2 2.2 2.5 2.8 3.020

40

60

80

100

120

140

N=3

N=4

N=5

N=6

N=7

N=8

N=9

N=10

amin+

20log10(1/δ)dB

fs/fd


4.4 Cauer Tiefpass

Notwendige Filterordnung eines Tschebyscheff-Tiefpasses

1.05 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.8 2 2.2 2.5 2.8 3.020

40

60

80

100

120

140

N=3

N=4

N=5

N=6

N=7

N=8

N=9

N=10

amin+

20log10(1/δ)dB

fs/fd


4.4 Cauer Tiefpass

Notwendige Filterordnung eines Potenz-Tiefpasses

1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.8 2 2.2 2.5 2.820

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

N=3

N=5

N=7

N=9

N=11

N=13

N=15

N=17

amin+

20log10(1/δ)dB

fs/fd


4.5 Besseltiefpass

Entwurfsziel

Polynomfilter mit maximal flacher Gruppenlaufzeit(Amplitudengang wird erkauft)

moglicher Ansatz: Storch-Methode

Besselpolynome

Polynome fur die Ordnungen 0 bis 4:

B0(x) = 1B1(x) = x + 1B2(x) = x2 + 3x + 3B3(x) = x3 + 6x2 + 15x + 15B4(x) = x4 + 10x3 + 45x2 + 105x + 105

rekursive Berechnung:

Bn(x) = (2n− 1)Bn−1(x) + x2Bn−2(x)


4.5 Besseltiefpass

Storch-Methode

ideale Verzogerung (normiert): Gp(p) = e−p = 1ep

ep = sinh(p) + cosh(p)

Taylor-Reihe: cosh(p) = 1 + p2

2! +p4

4! +p6

6! . . .

Taylor-Reihe: sinh(p) = p + p3

3! +p5

5! . . .

Kettenbruch:

coth(p) =cosh(p)

sinh(p)=

1

p+

13p+ 1

5p+ 1

7p+...

Kettenbruch nach N Gliedern abbrechen und als gebrochenrationale Funktion darstellen; Zahlerpolynom wird mit cosh(p)identifiziert, Nennerpolynom mit sinh(p)Zahler- und Nennerpolynom addieren (ergibt Besselpolynom)


4.5 Besseltiefpass


fur die normierte Bildvariable soll gelten p = p · tg(0)dabei ist tg (0) die Gruppenlaufzeit bei der Frequenz f = 0

in diesem Fall gilt fur die Ubertragungsfunktion als Funktionder normierten Bildvariablen:

Gp(p) =BN(0)

BN(p)

es gilt demnach G (f = 0) = 1

außerdem gilt fur die normierte Gruppenlaufzeit: tg(0) = 1

fur die Grafiken wurde außerdem f = f · tg(0) angenommen,also ausnahmsweise p = 2πf (und nicht p = f )


4.5 Besseltiefpass

Gruppenlaufzeit als Funktion der normierten Frequenz

0 0.5 1 1.5 20.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0.95

1

N=2

N=5

N=10

norm.Gruppenlaufzeit

normierte Frequenz f


4.5 Besseltiefpass

Dampfung als Funktion der normierten Frequenz

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8−6

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

N=2

N=5

N=10

10log10|G

(f)|2

dB

normierte Frequenz f


4.5 Besseltiefpass

relative Laufzeitabweichung als Funktion der Dampfung

−12 −10 −8 −6 −4 −2 00

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

N=2

N=5

N=10

10 log10 |G (f )|2 dB

relative

Lau

fzeitabw

eichungin

%


4.5 Besseltiefpass

Gruppenlaufzeit als Funktion der Frequenz

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.80

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

N=2

N=5

N=10

t g(f)·f

3dB

normierte Frequenz f /f3dB


4.5 Besseltiefpass

Dampfung als Funktion der Frequenz

10−1

100

101

102

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

N=2

N=5

N=10

10log10|G

(f)|2

dB

normierte Frequenz f /f3dB


4.5 Besseltiefpass

PN-Diagramm fur verschiedene Filterordnungen

−6 −4 −2 0 2 4 6

−6

−4

−2

0

2

4

6

N=3

N=5

N=8

jω·t

g(0)

σ · tg(0)


4.5 Besseltiefpass

Impulsantwort

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

N=2

N=5

N=10

g(t)/f 3dB

normierte Zeit t · f3dB


4.5 Besseltiefpass

Sprungantwort

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

N=2

N=5

N=10

h(t)

normierte Zeit t · f3dB


Kapitel 5

Transformationen


5.1 Tiefpass-Hochpass-Transformation

Ziel: aus gegebener Tiefpass-Ubertragungsfunktion GpTP(p)aquivalente Hochpass-Ubertragungsfunktion GpHP(p)gewinnen

schaltungstechnischer Ansatz: Kapazitaten im Querzweigdes passiven Netzwerks (siehe S. 80) durch Induktivitatenersetzen; Induktivitaten im Langszweig durch Kapazitaten

die Transformationsvorschrift lautet demnach: p′ = 1/p

dabei ist p′ die normierte Bildvariable im TP-Bereichp ist die normierte Bildvariable im HP-Bereicheine Normierung von p′ bzw. p mit der Kreisfrequenz 2πfNfuhrt — bei logarithmischer Frequenzachse — zu einerSpieglung des TP-Amplituden(betrags)gangs an der FrequenzfN, denn es gilt log(fN/f ) = − log(f /fN)die Normierung kann beispielsweise mit der Grenzfrequenz fDdes Durchlassbereichs erfolgen, d.h., fN = fD



Beispiel: Tschebyscheff Typ 1 HP- und TP-Filter 5. Ordnung

10−1

100

101

−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

Tiefpass

Hochpass (transformiert)

Hochpass (Matlab)

10log10|G

(f)|2

dB

f



Entwurf eines Hochpass-Filters bei gegebenemDampfungstoleranzschema

1 HP-Dampfungstoleranzschema in normierte Form uberfuhren(z. B. Normierung mit fD)

2 durch Frequenztransformation f ′ = 1/f (das Vorzeichen spieltbeim Dampfungsverlauf keine Rolle) aquivalentesTP-Toleranzschema entwickeln

3 fur gegebenen Filtertyp (Butterworth, Tschebyscheff, . . . )Filtergrad und TP-Ubertragungsfunktion GpTP(p

′) ermitteln

4 GpTP(p′) in HP-Ubertragungsfunktion GpHP(p) uberfuhren

gemaßGpHP(p) = GpTP(p

′)|p′=1/p

5 GpHP(p) entnormieren (im Beispiel: p = p · 2πfD)



Entwurf eines Hochpass-Filters bei gegebenemDampfungstoleranzschema



Transformierte Pole und Nullstellen

betrachtet wird der Beitrag einer einzelnen Polstelle p′ν imTP-Bereich, ν ∈ 1, 2, . . . ,N ′es gilt: 1

p′−p′ν= 1

1p−p′ν

= − 1p′ν

· p

p− 1p′ν

fur die Pole im HP-Bereich gilt also mit N = N ′: pν = 1p′ν,

ν = 1, . . . ,N

es entstehen (N −M ′) Nullstellen im Ursprung sowie

M ′ Nullstellen gemaß: pµ = 1p′µ, µ = 1, . . . ,M ′

fur die Konstante kp folgt:

kp = k ′p · (−1)N+M′ ∏Nν=1

1p′ν

·∏M′

µ=1 p′µ



Beispiel: Pole und Nullst. vor und nach der Transformation

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3−3

−2

−1

0

1

2

3

Rep

j⋅ Im

p

rot: TP, blau: HP, Tscheby I−Filter

7

−4 −2 0 2 4

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

Rep

j⋅ Im

p

rot: TP, blau: HP, Tscheby II−Filter


5.2 Tiefpass-Bandpass-Transformation

Ziel: aus gegebener Tiefpass-Ubertragungsfunktion GpTP(p)aquivalente Bandpass-Ubertragungsfunktion GpBP(p)gewinnen

das Amplitudenbetragsspektrum sei — bei logarithmischerFrequenzachse — symmetrisch zur Mittenfrequenz f0

fur die Mittenfrequenz gilt also

f0 =√fD · f−D =

√fS · f−S (geometrischer Mittelwert)

und demnach fDf0

= f0f−D

bzw. fSf0= f0

f−S

sowie

log(f0) =12 [log(fD) + log(f−D)] (linearer Mittelwert) bzw.

log(f0) =12 [log(fS) + log(f−S)]



Beispiel: Tschebyscheff Typ 1 BP-Filter 5. Ordnung

−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

010

log10|G

(f)|2

dB

f0

B = fD − f−D

fD fSf−S f−D



schaltungstechnischer Ansatz: Kapazitaten im Querzweigdes passiven Netzwerks (siehe S. 80) durch Parallel-schwingkreise (Induktivitat und Kapazitat) ersetzen;Induktivitaten im Langszweig durch Serienschwingkreise

Transformationsvorschrift: p′ = (p + 1/p)/B

p′ ist wieder die normierte Bildvariable im TP-Bereich

p = p/ω0 ist die normierte Bildvariable im BP-Bereich;normiert wird demnach mit ω0 = 2πf0

es ist vorteilhaft, den Ausdruck p + 1/p zusatzlich mit der

normierten Bandbreite B = B/f0 =fD−f

−D

f0zu normieren

dadurch korrespondiert die Frequenz fD im BP-Bereich mit derFrequenz f ′D = 1 im TP-Bereich

fur f ′S folgt demnach: f ′S = fS−1/fSB



Entwurf eines Bandpass-Filters bei gegebenemDampfungstoleranzschema

1 BP-Dampfungstoleranzschema in normierte Form uberfuhren,(Normierung mit f0)

2 durch Frequenztransformation f ′ = f−1/f

Baquivalentes

TP-Toleranzschema entwickeln

3 fur gegebenen Filtertyp (Butterworth, Tschebyscheff, . . . )Filtergrad und TP-Ubertragungsfunktion GpTP(p

′) ermitteln

4 GpBP(p′) in BP-Ubertragungsfunktion GpBP(p) uberfuhren

gemaßGpBP(p) = GpTP(p

′)|p′=(p+1/p)/B′

5 GpBP(p) entnormieren



Entwurf eines BP-Filters bei gegebenem D.-toleranzschema




betrachtet wird der Beitrag einer einzelnen Polstelle p′ν imTP-Bereich, ν ∈ 1, 2, . . . ,N ′es gilt: 1

p′−p′ν= 1

(

p+ 1p

)

/B−p′ν= B · p

p2−p(p′ν B)+1

fur die N = 2N ′ Pole im BP-Bereich gilt also:

pν1,2 =p′νB2

±√(

p′νB/2)2

− 1

es entstehen (N ′ −M ′) Nullstellen im Ursprung sowie

2M ′ Nullstellen gemaß: pµ1,2 =p′µB

2 ±√(

p′µB/2)2

− 1

fur die Konstante kp folgt: kp = k ′p · BN′−M′



Beispiel: Transformation eines Tschebyscheff I-Filters

−2 −1 0 1 2−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

7

Rep

j⋅ Im

p

rot: TP, blau: BP, Tscheby I−Filter

10−1

100

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

Amplitudengang Bandpass und Tiefpass (normierte Frequenzachse)

normierte Frequenz

|G(f

)| in d

B

Tiefpass

Bandpass


TEIL II: Digitale Filter


Literatur:

A.V. Oppenheim and R.W. Schafer, ZeitdiskreteSignalverarbeitung.R. Oldenbourg Verlag, 1999.

D. Kreß and D. Irmer, Angewandte Systemtheorie.Oldenbourg Verlag, Munchen und Wien, 1990.

K.D. Kammeyer and Kristian Kroschel, DigitaleSignalverarbeitung.Vieweg + Teubner, 2009.


Kapitel 6

Rekursive zeitdiskreteFilter


6.1 Bilinear-Transformation

Ziel: aus gegebenen Ubertragungsfunktion Gp(p) eineszeitkontinuierlichen Filters Ubertragungsfunktion Gz(z) einesrekursiven diskreten Filters gewinnen

Ansatz: 1p(idealer Integrator) als “Elementarbaustein” des

kontinuierlichen Filters durch t02z+1z−1 ersetzen (diskreter idealer

Integrator, Stutzstellenabstand t0 = 1/fp)

die Transformationsvorschrift lautet demnach:

Gz(z) = Gp(p′)|p′= 2

t0

z−1z+1

(1)

der exakte Zusammenhang zwischen p und z ware durchp = 1

t0ln(z) gegeben (Gz(z) ware dann aber keine gebrochen

rationale Funktion mehr)



die Bilineartransformation fuhrt also zu einer Verzerrung derUbertragungsfunktion in Frequenzrichtung

der Zusammenhang zwischen f (unverzerrt) und f ′ (verzerrtdurch Bilineartransformation) lautet:

f ′ =1

t0· 1πtan (πft0) (2)

ist das Dampfungstoleranzschema eines Digitalfilters gegeben,dann werden die Eckfrequenzen fD und fS zunachstvorverzerrt; das auf die vorverzerrten Eckfrequenzen f ′D und f ′Szugeschnittene Analogfilter wird dann perBilineartransformation in ein Digitalfilter uberfuhrt

entfallt der Vorfaktor 1/t0 in (2), kann auch der Vorfaktor1/t0 in (1) entfallen



Verzerrung der Frequenz durch die Bilinear-Transformation

0.01 0.10.02 0.04 0.06 0.2 0.3 0.40.01

0.1

0.5

0.05

1

f′ ·t 0

f · t0




betrachtet wird der Beitrag einer einzelnen Polstelle p′ν ,ν ∈ 1, 2, . . . ,N ′, des Analogfilters; es gilt

1

p′ − p′ν=

1

2fpz−1z+1 − p′ν

=1

2fp − p′ν· z + 1

z − 2fp+p′ν2fp−p′ν

fur die N Polstellen des rekursiven Digitalfilters gilt demnachin Abhangigkeit der N ′ = N Polstellen des Analogfilters

zν = (2fp + p′ν)/(2fp − p′ν), ν = 1, . . . ,N

besitzt das Zahlerpolynom des Analogfilters den Grad M ′,ergeben sich fur das Digitalfilter N −M ′ Nullstellen zµ bei −1sowie M ′ Nullstellen gemaß

zµ = (2fp + p′µ)/(2fp − p′µ), µ = 1, . . . ,M ′



Beispiel: Transformation eines Cauer-Tiefpasses 9. Ordnung

−4 −2 0 2 4

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

Rep

j⋅ Im

p

analoges Cauer Filter 9. Ordnung

−1 −0.5 0 0.5 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Rez

j⋅ Im

z

digitales Cauer Filter 9. Ordnung



Beispiel: digitaler Tschebyscheff I-HP 5. Ordnung

10−2

10−1

100

−10

−9

−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

normierte Frequenz f/(fp/2)

|G(f

)| in d

B

digitaler Tschebyscheff I−HP, N=5, fD

/(fp/2)=0.083

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Rez

j⋅ Im

z

5

digitaler Tschebyscheff I−HP, N=5, fD

/(fp/2)=0.083


6.2 Impulsinvariant-Methode

Grundidee:

Impulsantwort des Analogfilters durch Partialbruchzerlegungder Ubertragungsfunktion (und anschließende Transformationin den Zeitbereich) analytisch bestimmen

Impulsantwort abtasten und Einzelterme in den z-Bereichtransformieren

u.U. großer Fehler durch Aliasing (Verletzung des Abtastth.)

Partialbruchdarstellung von Gp(p):

Gp(p) = a0 +

nP∑

ν=1

rν∑

k=1

aν,k

(p − pν)k, wobei a0 =

0 furM < NαM

βNfurM = N

pν sind die nP unterschiedlichen Polstellen (Nullstellen desNennerpolynoms) mit den Vielfachheiten rν



Impulsantwort des Analogfilters:

gc(t) = a0δ(t) +

nP∑

ν=1

rν∑

k=1

aν,k

(k − 1)!· tk−1 · epν t · s(t)

s(t) ist der Einheitssprung, wobei s(0) = 1/2 gilt

a0δ(t) ist der ‘direct feed-through term’ (nur fur M = N

vorhanden)

Impulsantwort des zeitdiskreten Filters:

g [n] = a0δ[n] +

nP∑

ν=1

rν∑

k=1

t0aν,k

(k − 1)!· (n · t0)k−1 · epνnt0 · s[n]

Hinweis: der ‘direct feed-through term’ darf nicht mit t0bewertet werden



Ubertragungsfunktion des zeitdiskreten Filters:

Annahme: nur einfache Pole, d.h., nP = N

Gz(z) = a0 +

N∑

ν=1

t0 · aν2

· z + zν

z − zν, wobei zν = epν t0

zusatzl. Beitrag eines Pols pν mit der Vielfachheit 2:

t0 · aν,12

· z + zν

z − zν+ t20 · aν,2 ·

z · zν(z − zν)2

zusatzl. Beitrag eines Pols pν mit der Vielfachheit 3:

t0 · aν,12

· z + zν

z − zν+ t20 ·aν,2 ·

z · zν(z − zν)2

+ t30 ·aν,2 ·z · zν · (z + zν)

(z − zν)3



Beispiel: Zielvorgaben: amin = 70 dB, amax = 0.005 dB,fd = 20 kHz, fs = 24 kHz, Cauer-Tiefpass Charakteristik

10 20 24 30 40 48−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

Frequenz f in kHz

|G(f

)| in d

BCauer−Filter 10. Ordnung, Impulsinvariantmethode

Analogfilter

fp=96 kHz

fp=192 kHz

fp=384 kHz

fp=768 kHz



Beispiel (Forts.): Darstellung des Durchlassbereichs

10 20−0.02

−0.015

−0.01

−0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

Frequenz f in kHz

|G(f

)| in d

BCauer−Filter 10. Ordnung, Impulsinvariantmethode

Analogfilter

fp=96 kHz

fp=192 kHz

fp=384 kHz

fp=768 kHz

⇒ durch die Welligkeit im Sperrbereich tritt starkes Aliasing auf



Beispiel (Forts.): Vergleich Bilinear-Tr. / Impulsinvariant-M.

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Rez

j⋅ Im

z

Cauer−Filter 10. Ordnung, Bilineartransformation, fp=768 kHz

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Rez

j⋅ Im

z

Cauer−Filter 10. Ordnung, Impulsinvariantmethode, fp=768 kHz



weiteres Beispiel: Zielvorgaben: amin = 70 dB, amax = 0.5 dB,fd = 20 kHz, fs = 24 kHz, Tschebyscheff I-Tiefpass Charakteristik

1 10 20 24 30−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

Frequenz f in kHz

|G(f

)| in d

B

Tschebyscheff I−Filter 16. Ordnung, Impulsinvariantmethode

Analogfilter

fp=96 kHz

1 10 20 24 30−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Frequenz f in kHz

|G(f

)| in d

B

Tschebyscheff I−Filter 16. Ordnung, Impulsinvariantmethode

Analogfilter

fp=96 kHz

⇒ hier gibt es keine Aliasing-Probleme



Anmerkungen zur Matlab-Implementierung ’impinvar’:

der ‘direct feed-through term’ des Analogfilters darf NICHTmit t0 gewichtet werden; die MATLAB-Funktion impinvar istin dieser Hinsicht falsch implementiert

bei der MATLAB-Implementierung wird den kausalenExpontentialimpulsen an der Sprungstelle t = 0 derrechtsseitige Grenzwert zugewiesen; dadurch folgt (fur denFall ausschließlich einfacher Pole) die etwas ungenauereZuordnung

Gz(z) = a0 +

nP∑

ν=1

t0 · aν ·z

z − zν, wobei zν = epν t0

⇒ der großte Fehler entsteht dabei bei f = 0

die Impulsinvariant Methode eignet sich hervorragend, um dieImpuls- oder Sprungantwort von Analogfiltern zu bestimmen


6.3 Kanonische rekursive Filterstrukturen

Direktform 1:

Darstellung als Signalflussgraph



Direktform 2:

ergibt sich, wenn die vorherige Struktur (Direktform 1)transponiert wird



Kaskaden- und Parallelstruktur:

die Parallelstruktur folgt unmittelbar aus der Partialbruch-zerlegung


6.4 Auswirkung der Koeffizientenquantisierung

Annahme: quantisierter Koeffizient (Ruckkoppelzweig):

βν = βν +∆βν , ν = 0, . . . ,N − 1 (βN = 1)

∆βν ist der Quantisierungsfehler

Polstellen ohne Quantisierung: zi , i = 1, 2, . . . ,N(Annahme: nur einfache Pole)

Positionsfehler der i -ten Polstelle fur die Direktform 1:

∆zi =N−1∑

ν=0

∂zi∂βν

·∆βν = −N−1∑

ν=0

zνiN∏

k=1,k 6=i

(zi − zk)

·∆βν

der Positionsfehler wachst mit sinkendem Abstand |zi − zk |zwischen den (als verschieden vorausgesetzten) Polender Fehler wachst uberproportional mit der Anzahl der Pole(Produktterm beachten) ⇒ Kaskadenstruktur verwenden



Beispiel: 16 bit Quant. (Festkomma, fD=20 kHz, N = 10)

10 20 40−100

−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

10

ideal

Direktform 1, fs=96 kHz

20log10|G

(f)|dB

f in kHz



Beispiel: 16 bit Quant. (Festkomma, fD=20 kHz, N = 10)

10 20 40−100

−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

10

ideal

Direktform 1, fs=192 kHz

Kaskade, fs=192 kHz20

log10|G

(f)|dB

f in kHz


6.5 Auswirkungen des Quantisierungsrauschens

Beispiel: 3 Bit Quantisierung

−1 −0.5 0 0.5 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Festkommadarstellung mit Matlab

Eingangsamplitude x

Au

sg

an

gsa

mp

litu

de

Q(x

)

RoundMode: nearest

RoundMode: ceil

RoundMode: floor



Lineares Ersatzmodell eines Quantisierers

• hier: Runden zum nachsten Nachbarn

x[n]

e[n]

Q(x[n])

bei einem (B+1) BitQuantisierer gilt fur dieQuantisierungsstufenbreite:∆ = Xmax/2

B

fe(x)1/∆

x∆2−∆

2

Φee(f )

∆2/(12 · fp)

ffp2− fp

2

∆2/12



IIR-Struktur der direkten Form 1 (Bsp. mit N = 2)

x1[n] x1[n] y [n]

α0

α1

α2

−β0

z−1

z−1

z−1

z−1

−β1

QB1 QB

Annahmen:

(B+1) Bit Schieberegister

(2B+1) Bit Addierer (also keine Rundung nach derMultiplikation der (B+1) Bit Festkommazahlen)



IIR-Struktur der direkten Form 1: Lineares Ersatzschaltbild

x1[n] x1[n]y [n]

α0

α1

α2

−β0

z−1

z−1

z−1

z−1

−β1

e1[n] e2[n]



IIR-Struktur der direkten Form 1:

Rauschvarianz σ21 von y [n] infolge der Rauschquelle e1[n]:

σ21 =

∆2B1

12· 1fp

·∫ fp/2

−fp/2|G (f )|2 df =

∆2B1

12·

∞∑

n=0

g2[n],

Rauschvarianz σ22 von y [n] infolge der Rauschquelle e2[n], also

infolge des internen Rundens:

σ22 =

∆2B

12· 1fp

·∫ fp/2

−fp/2|GR(f )|2 df =

∆2B

12·

∞∑

n=0

g2R[n],

wobei GR(z) die Ubertragungsfunktion des Ruckkoppelzweigsist:

GR(z) =zN

∑Nν=0 βνz

νmit βN = 1



IIR-Struktur der direkten Form 1:

wird hingegen nach jeder Multiplikation gerundet, werden also(B + 1) Bit Addierer verwendet, dann konnen insgesamt(M + 1 + N) Rauschquellen (Anzahl der Multiplizierer) zurRauschquelle e2[n] zusammengefasst werden

fur die Rauschvarianz σ22 von y [n] infolge des internen

Rundens gilt dann

σ22 = (M + 1 + N) · ∆

2B

12· 1fp

·∫ fp/2

−fp/2|GR(f )|2 df

bei der Kaskadierung von Filtern muss berucksichtigt werden,dass jedes ausgangsseitige Rauschen durch die nachfolgendenStufen gefiltert wird



Rauschvarianz durch Rundung innerhalb der Schaltung

• hier: Filter 2. Ordnung mit (2B+1) Bit AddierernHinweis: dargestellt wird σ2

2 · 12/∆2B

0 5 10 15 2010

0

101

102

quality factor Q

no

rmie

rte

Ra

usch

va

ria

nz a

m A

usg

an

g

IIR−Filter 2. Ordnung: Rauschbeitrag durch e2[n]

analytische Schaetzung

Simulation



Grenzzyklus als Folge von Rundung

• hier: Filter 2. Ordnung, 16 Bit Quantisierung

0 20 40 60 80 100 120−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n

Antwort auf einen Rechteckimpuls

200 250 300 350−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1x 10

−4

n

y[n

]

Antwort auf einen Rechteckimpuls


Kapitel 7

Entwurf von FIR-Filternmit der Fenstermethode


7.1 Typen linearphasiger FIR-Filter

Typ 1:

fur die Stutzstellen der Impulsantwort gilt: g [n] = g [M − n](gerade Symmetrie bezogen auf den Zeitpunkt M

2 t0)die Filterordnung M = N ist eine gerade ganze Zahl

fur G (f ) gilt damit G (f ) = Gg(f ) · e−j2πf M2t0 , |f | ≤ fp

2 , wobei

Gg(f ) = g

[M

2

]+

M/2∑

n=1

2g

[n +

M

2

]cos(2πfnt0)

0 5 10−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

n

g[n

]

−0.5 0 0.5−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

f/fp

Gg(f

)

Anmerkung: Gg(f ) kanndurchaus biploar sein, alsoPhasensprunge ±π enthalten

⇒ man spricht von einerverallgemeinerten linearen Phase

entsprechendes gilt fur Gu(f )



Typ 2:

fur die Impulsantwort gilt: g [n] = g [M − n](gerade Symmetrie bezogen auf den Zeitpunkt M

2 t0)

M ist eine ungerade ganze Zahl

fur G (f ) gilt damit G (f ) = Gg(f ) · e−j2πf M2t0 , |f | ≤ fp

2 , wobei

Gg(f ) =

(M+1)/2∑

n=1

2g

[n +

M − 1

2

]cos

(2πf

2n − 1

2t0

)

0 1 3 5 7 9 11−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

n

g[n

]

−0.5 0 0.5−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

f/fp

Gg(f

)

G (f ) verschwindetnotwendigerweise bei f = fp/2

wenig geeignet, wenn sich derDurchlass-Bereich bis fp/2erstrecken soll



Typ 3:

fur die Impulsantwort gilt: g [n] = −g [M − n](ungerade Symmetrie bezogen auf den Zeitpunkt M

2 t0)

M ist eine gerade ganze Zahl

fur G (f ) gilt damit G (f ) = jGu(f ) · e−j2πf M2t0 , |f | ≤ fp

2 , wobei

Gu(f ) = −M/2∑

n=1

2g

[n +

M

2

]sin(2πfnt0)

0 5 10−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n

g[n

]

−0.5 0 0.5

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

f/fp

Gu(f

)

G (f ) verschwindet auch hiernotwendigerweise bei f = fp/2

im Beispiel wird der AnteilGu(f ) der Ubertragungsfunktioneines diskreten Hilbert-Transformators gezeigt



Typ 4:

fur die Impulsantwort gilt: g [n] = −g [M − n](ungerade Symmetrie bezogen auf den Zeitpunkt M

2 t0)

M ist eine ungerade ganze Zahl

fur G (f ) gilt damit G (f ) = jGu(f ) · e−j2πf M2t0 , |f | ≤ fp

2 , wobei

Gu(f ) = −(M+1)/2∑

n=1

2g

[n +

M − 1

2

]sin

(2πf

2n − 1

2t0

)

0 1 3 5 7−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n

g[n

]

−0.5 0 0.5

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

f/fp

Gu(f

)

im Beispiel wird wieder derAnteil Gu(f ) der Ubertragungs-funktion eines diskreten Hilbert-Transformators gezeigt

Typ 4 ist hier gegenuber Typ 3vorzuziehen


7.2 Amplitudengang bei verallgem. linearer Phase

wie erhalt man ein Typ 1, Typ 2, Typ 3 oder Typ 4 Filter?

Fensterfunktion: w [n], n = 0, 1, . . . ,M

vorausgesetzte Symmetrie: w [n] = w [M − n]

zugehoriges Spektrum: W (f ) = Wg(f ) · e−j2πft0M/2, |f | ≤ fp2

Wg(f ) ist eine gerade (Index ’g’) reelle Funktion

fur die zu approximierende ideale Ubertragungsfunktion Gi(f )gelte entweder

Gi(f ) = Gi(−f ) ⇒ Gi(f ) ist gerade und damit rein reell

oder

Gi(f ) = −Gi(−f ) ⇒ Gi(f ) ist ungerade und damit imaginar

fur |f | ≤ fp2 sei Gi(f ) = Gi(f ) · e−j2πft0M/2

gi(t) hat — bezogen auf den Zeitpunkt M2 t0 — entweder eine

gerade oder ungerade SymmetrieGi(f ) besitzt eine konstante Gruppenlaufzeit (|f | ≤ fp

2 )



fur die Ubertragungsfunktion G (f ) des Filters folgt damit:

G (f ) = W (f )a∗ Gi(f ) =

1

fp

∫ fp/2

−fp/2Wg(ν)·Gi(f−ν)dν · e−j2πf M

2t0

aufgrund der vorausgesetzten Symmetrien von W (f ) undGi(f ) hat auch G (f ) eine konstante Gruppenlaufzeit

⇒ man erhalt ein FIR-Filter vom Typ 1, Typ 2, Typ 3 oder Typ 4

das Verhalten von G (f ) in der Umgebung einer Sprungsstellebei f = fc (hier: Ubergang vom Durchlass in den Sperrbereich,Typ 1 oder Typ 2 Filter) kann damit mit Hilfe des laufendenIntegrals

Gg(f ) ≈ 1− 1

fp

f−fc∫

−fp/2

Wg(ν)dν, wobei G (f ) = Gg(f )·e−j2πf M2t0

approximiert werden



Zum Verhalten der Ubertragungsfunktion an Sprungstellen:


7.3 Haufig verwendete Fensterfunktionen

Zeitverlaufe

0 10 20 30 40 500

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n

w[n

]

M=48

Rechteck

Barlett

Hann

Hamming

Blackman



Rechteck-Fenster, Spektrum

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0Rechteck−Fenster, M=48

f /fp

20·log10(W

(f)/W

(0))

dB



Rechteck-Fenster, Verhalten an Sprungstelle

−0.1 −0.05 0 0.05 0.1−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

f/fp

20⋅ l

og

10 |G

(f)|

dB

Rechteck−Fenster, M=48

δdB ≈ −21 dB



Bartlett-Fenster, Spektrum

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0Bartlett−Fenster, M=48

f /fp

20·log10(W

(f)/W

(0))

dB



Bartlett-Fenster, Verhalten an Sprungstelle

−0.1 −0.05 0 0.05 0.1−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

f/fp

20⋅ l

og

10 |G

(f)|

dB

Bartlett−Fenster, M=48



Vom Rechteck-Fenster zum Hann-Fenster (1)

mit Twin = M ·t0 gilt fur das Spektrum des Rechteckfensters

W (f ) ≈ M · si (πfTwin)︸︷︷︸Wg(f )

·e−j2πfTwin/2 |f | ≤ fp/2

die Breite der Hauptkeule betragt 2/Twin = 2/(M ·t0),normiert mit der Abtastfrequenz fp = 1/t0 also 2/Mdiese geringe Breite der Hauptkeule wird durch eine sehrgeringe Dampfung der Nebenkeulen erkauftdie Approximationsgute δ betragt nur 21 dB

die Nebenkeulendampfung lasst sich gezielt erhohen, wenn 2weitere si(·)-Funktionen spektral verschoben angeordnetwerden, vgl. folgende Abb.




-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Wg(f) (Hann)

Wg1

(f) (Rechteck)

Wg2

(f)

Wg3

(f)

f · Twin

Wg(f)/M

Wg(f ) = Wg1(f ) +Wg2(f ) +Wg3(f ), wobei Wg1(f ) ≈ M2· si (πfTwin)

Wg2(f ) ≈ M4· si

(

π(

f − 1Twin

)

Twin

)

Wg3(f ) ≈ M4· si

(

π(

f + 1Twin

)

Twin

)




der Sprektralfunktion W (f ) = Wg(f ) · e−j2πfTwin/2,|f | ≤ fp/2, entspricht im Zeitbereich die Fensterfunktion

w [n] =

0.5− 0.5 · cos(2πn/M) 0 ≤ n ≤ M

0 sonst

⇒ Hann-Fenster

die relative Breite der Hauptkeule hat sich von 2/M auf 4/Merhoht

dafur betragt die Dampfung der ersten Nebenkeule statt13 dB nun 31,5 dB

die Approximationsgute erhoht sich von 21 dB auf etwa 44 dB



Hann-Fenster, Spektrum

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

f/fp

20⋅ l

og

10(

W(f

)/ W

(0)

) d

BHann−Fenster, M=48



Hann-Fenster, Verhalten an Sprungstelle

−0.1 −0.05 0 0.05 0.1−100

−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

f/fp

20⋅ l

og

10 |G

(f)|

dB

Hann−Fenster, M=48

δdB ≈ −44 dB



Hamming-Fenster, Spektrum

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

f/fp

20⋅ l

og

10(

W(f

)/ W

(0)

) d

BHamming−Fenster, M=48



Hamming-Fenster, Verhalten an Sprungstelle

−0.1 −0.05 0 0.05 0.1−100

−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

f/fp

20⋅ l

og

10 |G

(f)|

dB

Hamming−Fenster, M=48

δdB ≈ −54 dB



Blackman-Fenster, Spektrum

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

f/fp

20⋅ l

og

10(

W(f

)/ W

(0)

) d

BBlackman−Fenster, M=48



Blackman-Fenster, Verhalten an Sprungstelle

−0.1 −0.05 0 0.05 0.1−100

−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

f/fp

20⋅ l

og

10 |G

(f)|

dB

Blackman−Fenster, M=48

δdB ≈ −75 dB



Zusammenfassender Vergleich (1)

Rechteck-Fenster:

Fensterfunktion: w [n] =

1, 0 ≤ n ≤ M ,0, sonst

Dampfung Nebenkeule: ≈ 13 dBrelative Breite der Hauptkeule: BHK

fp≈ 2/M

Approximationsfehler (Sprung): δdB ≈ −21 dBrelative Ubergangsbreite (Sprung): ∆f

fp≈ 0.9/M

Bartlett-Fenster:

Fensterfunktion:

w [n] =

2n/M , 0 ≤ n ≤ M/2,M gerade

2− 2n/M , M/2 < n ≤ M ,0, sonst

Dampfung Nebenkeule: ≈ 26.5 dBrelative Breite der Hauptkeule: BHK

fp≈ 4/M




Hann-Fenster:Fensterfunktion:

w [n] =

0.5− 0.5 · cos(2πn/M), 0 ≤ n ≤ M ,0, sonst


fp≈ 4/M


fp≈ 3/M

Hamming-Fenster:Fensterfunktion:

w [n] =

0.54− 0.46 · cos(2πn/M), 0 ≤ n ≤ M ,0, sonst


fp≈ 4/M


fp≈ 3.3/M




Blackman-Fenster:

Fensterfunktion: w [n] =0.42− 0.5 · cos(2πn/M) + 0.08 · cos(4πn/M), 0 ≤ n ≤ M ,0, sonst

Dampfung Nebenkeule: ≈ 58 dBrelative Breite der Hauptkeule: BHK

fp≈ 6/M


fp≈ 5.5/M

⇒ bei Standardapproximationen (Tiefpass, Hochpass, etc.)richtet sich die Wahl des Fensters nach dem zulassigenApproximationsfehler

⇒ ein parametrisches Fenster, bei dem derApproximationsfehler einstellbar ist, ware vorteilhaft


7.4 Entwurf auf Basis des Kaiser-Fensters

Fensterverlauf als Funktion von β

0 10 20 30 40

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Kaiser−Fenster, M=48

n

w[n

]

β=0

β=3

β=6

β=9



Fouriertransformierte als Funktion von β

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

f/fp

20⋅ l

og

10(

W(f

)/ W

(0)

) d

BKaiser−Fenster, M=48

β=0

β=3

β=6

β=9



Verhalten an spektraler Sprungstelle

−0.1 −0.05 0 0.05 0.1−100

−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

f/fp

20⋅ l

og

10 |G

(f)|

dB

Kaiser−Fenster, M=48

β=0

β=3

β=6

β=9



Approximationsfehler und Breite Ubergangsbereich



Approximationsfehler und Breite Ubergangsbereich

Parameter β in Abhangigkeit des Approximationsfehlers:

a0 = −20 log10(δ) dB

β =

0.1102(a0 − 8.7) a0 > 500.5842(a0 − 21)0.4 + 0.07886(a0 − 21) 21 ≤ a0 ≤ 500 a0 < 21

notwendige Fensterbreite (M + 1) in Abhangigkeit von β und

der spektralen Breite ∆f des Ubergangsbereichs:

M + 1 =⌈

a0−8

2.285·2π·∆f

⌉,

wobei ∆f eine mit fp normierte Breite ist



Beispielrealisierung eines Tiefpass-Filters (1)

Zielparameter:

konstante GruppenlaufzeitMinimaldampfung im Sperrbereich: amin = 60 dBEckfrequenz Durchlassbereich: fD = fD/fp = 0.2

Eckfrequenz Sperrbereich: fS = fS/fp = 0.3

abgeleitete Entwurfsparameter:

Grenzfrequenz fc des zu approximierenden idealenTiefpass-Filters: fc = 0.25(folgt aus der Symmetrie der Filterflanke, siehe Seite 213)Breite Ubergangsbereich: ∆f = 0.1 (Approximationsfehler von0.001 im Durchlassbereich wird erkauft)β = 0.1102(a0 − 8.7) = 5.653Filterordnung: ⌈(a0 − 8)/(2.285 · 2π · 0.1)⌉ − 1 = 36

Impulsantwort: g [n] = 2fcsi(π2fc(n −M/2))︸︷︷︸gi[n]

·w [n], 0 ≤ n ≤ 36




0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

f⋅t0

20⋅ l

og

10(

G(f

) )

dB

M=36, β=5.653, fD

=0.2, fS=0.3, f

c=0.25, a

min=a

0=60 dB




0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1x 10

−3

f⋅t0

Ap

pro

xim

atio

nsfe

hle

r g

gb

. id

ea

lem

TP



Beispielrealisierung eines Hochpass-Filters (1)

Zielparameter:

konstante GruppenlaufzeitMinimaldampfung im Sperrbereich: amin = 60 dBEckfrequenz Durchlassbereich: fD = fD/fp = 0.3

Eckfrequenz Sperrbereich: fS = fS/fp = 0.2

abgeleitete Entwurfsparameter:

fur die Impulsantwort des Hochpassfilters gilt:

g [n] =(si(π(n −M/2))− 2fcsi(π2fc(n −M/2))

)

︸︷︷︸gi[n]

·w [n], 0 ≤ n ≤ M ,

wobei der Subtrahend mit der Impulsantwort des aquivalentenTiefpass-Filters korrespondiertfur ein gerades M “entartet” si(π(n −M/2) zu δ(n −M/2)




abgeleitete Entwurfsparameter (Fortsetzung):

fur den aquivalenten Tiefpass ergeben sich die Parameter ausdem vorherigen Beispiel, also β = 5.653 und M = 36;allerdings wird der zulassige Approximationsfehler bei diesenParametern im Sperrbereich uberschritten; dieser Effekt istauch aus der Abb. auf Seite 216 ersichtlicheine Erhohung von β = 5.653 auf β = 5.8 sichert diegeforderte Approximationsgute (Minimaldampfung) imSperrbereich, allerdings muss auch M erhoht werdenbei M = 37 (ungerade Zahl) handelt es sich um ein FIR-Filtervom Typ 2, das immer eine Nullstelle bei z = −1 aufweist;dieser Sachverhalt ist fur die Approximationsgute imDurchlassbereich eines Hochpass-Filters ungunstig (unendlicheDampfung bei f = fp/2)eine Erhohung auf M = 38 (FIR-Filter Typ 1) bringt diegewunschte Approximationsgute




0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

M=37, β=5.652

M=38, β=5.8


7.6 Dezimations- und Interpolationsfilter

Dezimationsfilter, Direktform 2

Beispiel: Filterordnung M = 8, Dezimationsfaktor L = 3

falls sich alle (M +1) Filterkoeffizienten unterscheiden, werdenpro Ausgangstakt L · (M + 1) Multiplikationen benotigt⇒ sehr ineffektiv

3x

z−1z−1z−1z−1z−1z−1z−1z−1x [n]

g0 g1 g2 g3 g4 g5 g6 g7 g8

∑

w [n]

y [n] = w [0],w [3],w [6], . . .



Dezimationsfilter, realisiert als Polyphasen-Filter (1)

Beispiel wie zuvor, Downsampling nach der Filterung

immer noch L · (M + 1) Multiplikationen pro Ausgangstakt

3x

z−1

z−1

z−3

z−3

z−3

z−6

z−6

z−6

E0(z3) E1(z3) E2(z

3)

x [n]

g0 g1 g2g3 g4 g5g6 g7 g8

∑∑∑

∑

y [n]



Dezimationsfilter, realisiert als Polyphasen-Filter (2)

Beispiel wie zuvor, Downsampling vor der Filterung

nur noch (M + 1) Multiplikationen pro Ausgangstakt

3x3x 3x

z−1

z−1

z−1

z−1

z−1

z−2

z−2

z−2

. . . , x[0], x[3], . . . . . . , x[−1], x[2], . . . . . . , x[−2], x[1], . . .

E0(z) E1(z) E2(z)

x [n]

g0 g1 g2g3 g4 g5g6 g7 g8

∑

∑∑∑

y [n]



Interpolationsfilter, Direktform 2

Beispiel: Filterordnung M = 8, Interpolationsfaktor L = 3

falls sich alle (M + 1) Filterkoeffizienten unterscheiden,werden pro Eingangstakt L · (M +1) Multiplikationen benotigt⇒ sehr ineffektiv

3x

z−1z−1z−1z−1z−1z−1z−1z−1

x [n]

g0 g1 g2 g3 g4 g5 g6 g7 g8

∑

w [n] = x [0],0, 0, x [1], 0, 0, x [2],0, 0, . . .

y [n]



Interpolationsfilter, realisiert als Polyphasen-Filter (1)

Beispiel wie zuvor, Upsampling vor der Filterung

immer noch L · (M + 1) Multiplikationen pro Eingangstakt

3x

z−1

z−1

w [n] = x [0],0, 0, x [1], 0, 0, x [2],0, 0, . . .

z−3

z−3

z−3

z−6

z−6

z−6

E0(z3) E1(z3) E2(z3)

x [n]

g0 g1 g2g3 g4 g5g6 g7 g8

∑∑∑

∑ ∑

y [n]



Interpolationsfilter, realisiert als Polyphasen-Filter (2)

Beispiel wie zuvor, Upsampling nach der Filterung

nur noch (M + 1) Multiplikationen pro Eingangstakt

3x 3x 3x

z−1

z−1

z−1

z−1

z−1

z−2

z−2

z−2

E0(z) E1(z) E2(z)

x [n]

g0 g1 g2g3 g4 g5g6 g7 g8

∑∑∑

∑ ∑

y [n]


Documents

TEIL I: Analoge Filter · damit kann jedes Filter N-ter Ordnung durch Filter 1. und 2. Ordnung kaskadiert werden Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Analoge und digitale