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Teil I - Haushaltstheorie
Teil I:Haushaltstheorie
Teil II:Unternehmenstheorie
Teil III:Vollkommene Konkurrenz
und Wohlfahrtstheorie
Teil IV:Marktformenlehre
Teil V:Externe Effekte
Das BudgetPräferenzen, Indifferenzkurven und Nutzenfkt.Das HaushaltsoptimumKomparative StatikArbeitsangebot und SparenUnsicherheitMarktnachfrage und Erlöse
Komparative Statik
Der Einfluss des eigenen Preises Der Einfluss des Preises des anderen
Gutes Der Einfluss des Einkommens Die Slutsky-Gleichungen
Gleichgewichte und komparative Statik
komparative StatikGleichgewichte
Märkte: Preis, der Angebot und
Nachfrage ausgleicht Spieltheorie: Nash-Gleichgewicht
komparativ: Vergleich von Gleichge-
wichten bei alternativenParametern
Statik: keine Dynamik keine Anpassungsprozesse
= Individuen haben keinen An-Lass, ihr Verhalten zu ändern
Haushalte: nutzenmaximierendes Gtbl.
Monopol: gewinnmaximaler Preis
Parameter und Variablen Exogene Parameter: beschreiben die ökonomische Situation
(Input ökonomischer Modelle)z.B. Präferenzen von Haushalten
Endogene Variablen: sind das Ergebnis ökonomischer
Modelle (nach der Anwendung des Gleich- gewichtskonzeptes)
z.B. gewinnmaximale Preise
Komparative Statik in der Haushaltstheorie
Nachfrage nach Gut 1
),,( 2111 mppxx GG Gleichgewicht in Abhängigkeit von Parametern des Modells
Aussagen durch komparative Statik:Wie ändert sich die Nachfrage nach Gut 1 bei Änderung der Parameter
p1 (Nachfragekurve, Preiselastizität der Nachfrage)
p2 (Kreuzpreiselastizität der Nachfrage)
m (Engelkurve, Einkommenselastizität der Nachfrage)
Wir unterscheiden...
...dabei grundsätzlich die Nachfrage beim Budget als
Geldeinkommen (G):
Anfangsausstattung (A):
),,( 2111 mppxx GG
),,,( 212111 ppxx AA
Preis-Konsum-Kurveund Nachfragekurve
x1
x2
p1
x1
m
p h1
m
p m
1
m
p l
1
p h
1
p l
1
p m
1
x h
1x m
1x l
1
Preis-Konsum-Kurve
Nachfrage-kurve
(gewöhnliches Gut)
Nachfragekurven
fallende Nachfragekurvenfür gewöhnliche Güter
steigende Nachfragekurvenfür nicht-gewöhnliche Güter
dx
dp1
1
0
dx
dp1
1
0
x p1 1,0gewöhnlicheGüter
nicht-gewöhnlicheGüter
Ist Gut 1 gewöhnlich?
x2
x1
Anfangsausstattung
B
Preiserhöhung für Gut 1
Elastizitäten
geben an, wie stark die Änderungen zweier Größen miteinander verknüpft sind:
Elastizität =
rel. Änderung d. Wirkung %
rel. Änderung d. Ursache %
Ursachen: Preisänderungen des selben GutesPreisänderungen des anderen Gutes Einkommensänderungen
Wirkung:Nachfrageänderung
Elastizitäten für die Nachfrage
Preiselastizität der Nachfrage
Wenn sich der Preis für Gut 1 um 1% verändert,
um wieviel Prozent ändert sich dann die Nachfrage nach Gut 1?
d x
x1
1
d p
p1
1
x p
dx
xdp
p
dx
dp
p
x1 1
1
1
1
1
1
1
1
1,
Kreuzpreiselastizität der Nachfrage
Wenn sich der Preis für Gut 2 um 1% verändert, um wievielProzent ändert sich dann die Nachfrage nach Gut 1?
für Substitute
für Komplemente
x p
dxx
dpp
dxdp
px1 2
1
1
2
2
1
2
2
1,
dx
dp1
2
0
dx
dp1
2
0
Einkommens-Konsum-Kurve
x1
x1m
p
l
1
m
p
m
1
m
p
h
1
x2
m
mh
mm
ml
x l
1 x m
1 x h
1
Einkommens-Konsum-kurve
Engelkurve(normales Gut)
Engelkurven
steigende Engelkurvefür normale Güter
fallende Engelkurvefür inferiore Güter
dx
dm1 0
dx
dm1 0
Einkommenselastizität der Nachfrage
Wenn sich das Einkommen um 1% verändert, um wievielProzent ändert sich dann die Nachfrage?
1,1mx
1,1mx
Für normale Güter ( ):0
für Luxusgüter
für notwendige Güter
x m
dxxdmm
dxdm
mx1
1
1 1
1,
Einkommenselastizität
Bei Ausgabenanteilen der Güter
gilt
sp x
m11 1 s
p x
m22 2
s sx x1 21 21 ,m ,m
x1,m0 1
inferioreGüter
normale Güter
notwendigeGüter
Luxus-güter
Aufgabe: Elastizität
Die Nutzenfunktion eines Haushalts ist
Nachfragefunktion, Einkommens- und Preiselastizität für Gut 1 ?
)2,min(),( 2121 xxxxu
Zusammenfassung
Preisvariation Einkommensvar.Güter: Giffengüter
gewöhnliche Güternormale G. (Luxus, notw.)inferiore Güter
Kurven: PreiskonsumkurveNachfragekurve
Einkommenskonsumk.Engelkurve
Elastizi-täten:
Preiselastizität derNachfrage
Einkommenselastizitätder Nachfrage
Güterübersicht
Nachfrage des Gutes nimmt bei Anhebung des . . .
Preises . . . Einkommens . . .
zu: zu:ab: ab:
nicht-gewöhn-liches Gut
gewöhnlichesGut
normalesGut
inferioresGut
überproportional unterproportionalLuxusgut notwendiges Gut
Das alte Haushaltsoptimum
x2
x1
2p
m
1p
m
I1 I2
B
I3
Zum neuen Optimum: Gesamteffekt
x2
x1neup
m
1
I1 I2•neues Substitutionsverhältnis von Gut 1 und Gut 2 ->Substitutionseffekt•neues Nutzenniveau I1
->Einkommenseffekt2p
m
1p
m
B
D
I3
Substitutionseffekt
x2
x1
2p
m
1p
m
Die Preisänderung bewirkt eineandere Steigung der Budgetgerade.Welches Güterbündel wäre in der neuen Preisstruktur optimal, wenn sich der Haushalt das alte Bündel leisten kann?
I1 I2 I3
Sx1
B
C
Der (relative)Substitutionseffekt ist negativ:
x2
x1
2p
m
1p
m
I1 I2 I3
B
C
E
C'
Im alten Preisverhältnis:Der Haushalt wählt B, hätte E wählen können.
Im neuen Preisverhältnis:Der Haushalt kann B wählen und stellt sich durch Wahl von C' nicht besser, aber eventuell durch Wahl von C.
dxdp
s1
1
0
dx S1
Einkommenseffekt
x2
x1
2p
m
1p
m
I1 I2 I3
Sx1
B
CD
x m1
Slutsky-Gleichung für Geldeinkommen
Einkommens-effekt
Substitutions-effekt
Gesamt- (Nach-frage-)Effekt
Der Substitutionseffekt ist stets negativ.Der Einkommenseffekt kann positiv (normales Gut) oder negativ (inferiores Gut) sein.Der Gesamteffekt kann positiv (Einkommenseffekt negativund absolut größer als Substitutionseffekt) oder negativ sein.
BGSG
xm
x
p
x
p
x1
1
1
1
1
1
Slutsky-Gleichung - analytische Herleitung
Die Nachfrage entspr. dem Slutsky-Effekt
ist gleich
der Nachfrage bei demEinkommen, mit dem das alte Güterbündel gekauft werden kann.
BBGBBS xpxppxxxpx 2211112111 ,,,
BGGS
xm
x
p
x
p
x1
1
1
1
1
1
Wir unterscheiden . . .
. . . bei Einkommensvariation
. . . bei Preisvariation
inferiores Gut normales Gut
nicht-gewöhnliches Gut(Giffen-Gut)
gewöhnliches Gut
01 m
xG
01 m
xG
01
1 p
xG
1
111 p
x
m
xx
SG
1
111 p
x
m
xx
SG
01
1 p
xG
Güter-Systematik (Budget als
Geldeinkommen)
inferioreGüter
normaleGüter
gewöhnlicheGüter
Giffen-Güter
Beziehungenuntereinander
das Ein-kommensinkt
p1 sinkt
Variation des
Einkommens
Preises
Die Nachfrage nachGut 1 steigt, wenn
das Ein-kommensteigt
p1 steigtein Giffengutist stets inferior
ein normalesGut ist stetsgewöhnlich
-------
Einkommens
Preises
-------
01 mxG
01 mxG
01
1 pxG
01
1 pxG
Slutsky-Gleichung bei Anfangsausstattung
Einkom-menseffekt
Substitu-tionseffekt
Gesamt-effekt
für Nettoanbieter: positivfür Nettonachfrager: negativ
?
Ausstattungs-einkommens-effekt? <0
m
xx
p
x
p
x GSA
111
1
1
1
1
Slutsky-Gleichung bei Anfangsausstattung (2)
Nettonachfrage Nettoangebot 1 1 0 x 1 1 0 x
Gut 1 istnormal . . .
Gut 1 istinferior . . .
. . . und gewöhnlich! . . . und ?
. . . und gewöhnlich!. . . und ?
0)(
11
1 xm
xG
0)(
11
1 xm
xG
0)(
11
1 xm
xG
0)(
11
1 xm
xG
Anfangsausstattungs-Einkommenseffekt
),,(),,,( 221121121211 ppppxppx GA
Wir nennen
den Anfangsausstattungs-Einkommenseffekt.
11
1
1
1
1
1
22111
1
1
1
1 )(
mx
px
px
dpppd
mx
px
px
GGA
GGA
11
mxG
Teil I - Haushaltstheorie
Teil I:Haushaltstheorie
Teil II:Unternehmenstheorie
Teil III:Vollkommene Konkurrenz
und Wohlfahrtstheorie
Teil IV:Marktformenlehre
Teil V:Externe Effekte
Das BudgetPräferenzen, Indifferenzkurven und Nutzenfkt.Das HaushaltsoptimumKomparative StatikArbeitsangebot und SparenUnsicherheitMarktnachfrage und Erlöse
Arbeitsangebot und Sparen
Entscheidung über das Arbeitsangebot
Intertemporaler Konsum
Arbeitsangebot
Das Zeitbudget umfaßt 24 Stunden. Die Zeit kann als Freizeit genutzt werden (F), oder sie kann zur Arbeit genutzt werden (24-F), wobei ein Stundenlohn von w erzielt wird.
Die Budgetgerade lautet
oder .
Hierbei sindp der Preis für eine "Einheit Konsum",C einkommensunabhängiger Konsum.
Die Opportunitätskosten für eine zusätzliche Stunde Freizeit betragen w/p, wobei p das Preisniveau bezeichnet.
Arbeitsangebot (2)
C
F24 hFreizeit F 24 - F
I1 I2 I3
Arbeitsangebot und Lohnänderung
Verwende die Slutsky-Gleichung bei Anfangsausstattung:
Gesamt-effekt
?
Substitutions-effekt
negativ
Einkommens-effekt, wobeim = pCu + w 24
positiv(für Freizeit alsnormales Gut)
Arbeitsangebot bei Überstundenlohn
C
F24 h
I1 I2 I3
16h
Für die 8 Stunden überschreitende Arbeitszeit wird ein höherer Lohn gezahlt:
Arbeitsangebot bei progressiver Besteuerung
t1 < t2
• steuerfreier Bereich bis C1
• Steuersatz t1 ab C1
• Steuersatz t2 ab C2
F
C
C2
C1
Das optimale Arbeitsangebot
Conny arbeitet für einen Stundenlohn von 5 €. Sie hat 120 Stunden wöchentlich für Arbeit oder Freizeit zur Verfügung.Ihre Nutzenfunktion ist u(C,F) = CF.Wieviele Stunden arbeitet sie?
1. Transformiere die Nutzenfunktion in !2. Berechne Connys Gesamteinkommen!3. Ermittle Connys Entscheidung!
IntertemporaleKonsumentscheidungen
Betrachtung von Einkommenserzielung und Konsum inmehreren Perioden:
Soll der Konsum vorgezogen werden (Kreditaufnahme),
oder
soll der Konsum später erfolgen (Sparen)?
m1, c1 Einkommen und Konsum in Periode 1m2, c2 Einkommen und Konsum in Periode 2r Zinssatz
Intertemporale Konsumentscheidungen
(ohne Zinsen)
Budgetgerade mit Anfangsausstattung(m1, m2): m1 + m2 = c1 + c2
Anstieg der Budgetgeraden: -1
c1
c2
m1 + m2
m1 + m2m1
m2
c2
c1
(m1, m2)
(c1, c2)
Zins und Budgetgerade
Die Budgetgerade dreht sich umden Punkt der Anfangsausstattung!
Anstieg der Budgetgeraden: - (1 + r)
c1
c2
m1 + m2
m1 + m2m1
m2(m1, m2)
Zinswirkung
Durch den Zins verkleinert sich der Barwert des mehr-periodigen Budgets (Abzinsung):
Dafür vergrößert sich der Zukunftswert des mehr-periodigen Budgets:
Theorie
Modellierung einer ökonomischen Situation unter Verwendung von Annahmen über
exogene Größen. Aufgrund eines Lösungskonzeptes Bestimmung der endogenen Größen. Abhängigkeit:
» komparative Statik (keine reale Zeit vergeht)» ceteris-paribus-Annahme (reale Zeit vergeht)
Aufgaben
Sie fühlen sich wie der Ochs vorm Berg? Tipps:
» Gehen Sie den Berg ein Stück weit hinauf. » Gehen Sie um den Berg herum und suchen Sie
nach einem leichteren Aufgang.» Diskutieren Sie Lösungsansätze mit Freunden.» Schauen Sie in den powerpoint-Folien und/oder im
Lehrbuch nach, wie dort ähnliche Aufgaben gelöst wurden.
Teil I - Haushaltstheorie
Teil I:Haushaltstheorie
Teil II:Unternehmenstheorie
Teil III:Vollkommene Konkurrenz
und Wohlfahrtstheorie
Teil IV:Marktformenlehre
Teil V:Externe Effekte
Das BudgetPräferenzen, Indifferenzkurven und Nutzenfkt.Das HaushaltsoptimumKomparative StatikArbeitsangebot und SparenUnsicherheitMarktnachfrage und Erlöse
Unsicherheit
Ausgangssituation Entscheidung bei Ungewissheit Entscheidung bei Risiko Begründung des Bernoulli-Prinzips Risikoaversion, -freude und -neutralität Nachfrage nach Versicherung Sicherheitsäquivalent und Risikoprämie
Entscheidungen bei Unsicherheit
! Sicherheit:
Vollkommene Information über entscheidungsrelevante Parameter.
! Unsicherheit:
Das Ergebnis hängt auch von einem Umweltzustand ab.» Risiko (W.-Verteilung bekannt)» Ungewißheit (W.-Verteilung unbekannt)
Das Grundmodell der Entscheidungstheorie
! Aktionsraum Z = {z1, z2, ..., zn}
! Zustandsraum S = {s1, s2, ..., sm}
! Ergebnisfunktion (zi, sj)
s1 s2 ... sm
z1
z2
...
zn
Ergebnismatrix
(z1, s1)
(z2, s1)
(zn, s1)
(z1, s2)
(z2, s2)
(zn, s2)
(z1, sm)
(z2, sm)
(zn, sm)
... ...
...
...
...
...
...
Ergebnismatrix (Beispiel)
Ein Produzent erwägt die Produktion von Regenschirmen
oder Sonnenschirmen.
100
64
81
121
schlechteWitterung
guteWitterung
Regenschirme
Sonnenschirme
Entscheidungskriterien für Ungewißheitssituationen
Maximin-Regel Maximax-Regel Hurwicz-Regel Regel des minimalen Bedauerns Laplace-Regel
Maximin-Regel
Bestimme für jede Alternative das schlechteste Ergebnis (= Zeilenminimum).
Wähle die Alternative mit dem höchsten Zeilenmin.
100
64
81
121
schlechteWitterung
guteWitterung
Regenschirme
Sonnenschirme
Maximax-Regel
Bestimme für jede Alternative das beste Ergebnis
(= Zeilenmaximum). Wähle die Alternative mit dem höchsten Zeilenmax.
100
64
81
121
schlechteWitterung
guteWitterung
Regenschirme
Sonnenschirme
Hurwicz-Regel
Zeilenmaximum und -minimum werden mit einem
Faktor mit 0 gewichtet. Es wird die Alternative mit dem höchsten gewogenen
Durchschnitt gewählt. Zeilen-minimum
81
64
Zeilen-maximum
100
121
gewichtet
95,25
106,75
Regenschirme
Sonnenschirme
Extremfälle der Hurwicz-Regel
Für = 1 geht die Hurwicz-Regel in die
-Regel
und für = 0 in die
-Regel über.
Regel des minimalen Bedauerns
Die Ergebnismatrix wird in die Bedauernsmatrix
überführt.
Die Elemente der Bedauernsmatrix messen den
Nachteil, der aus einer Fehleinschätzung des
Umweltzustandes resultiert.
Wähle die Alternative, die das maximale Bedauern
minimiert.
Regel des minimalen Bedauerns(Beispiel)
0
36
40
0
Bedauernsmatrix
100
64
81
121
schlechteWitterung
guteWitterung
Reg.
Sonn.
Ergebnismatrix
schlechteWitterung
guteWitterung
Laplace-Regel
Die Ungewißheitssituation wird wie eine Risiko-situation behandelt; alle Umweltzustände werden als gleichwahrscheinlich erachtet.
Wähle die Alternative mit dem max. Erwartungswert.
100
64
81
121
schlechteWitterung
guteWitterung
Regenschirme
Sonnenschirme
Erwartungs- wert
90,5
92,5
Zusammenfassung
Maximin-Regel
Maximax-Regel
Hurwicz-Regel (Regel des min. Bed.
Laplace-Regel
Die Kriterien können zu unterschiedlichen Entscheidungen führen.
Grund: Unterschiedliche Annahmen über die Risikoeinstellung des Entscheidenden.
Regensch. Sonnensch.
X
X
X
X
X
Entscheidungskriterien für Risikosituationen
Der Entscheidende kann den möglichen Umweltzuständen und damit den möglichen Ergebniswerten Wahrscheinlichkeiten zuordnen.
Das Entscheidungsproblem besteht dann in der Auswahl unter Wahrscheinlichkeitsverteilungen.
Wie soll sich ein rationaler Entscheidender verhalten?
Wahrscheinlichkeits-verteilungen
Eine Verteilung L ordnet jedem Ergebnis xi eine
Wahrscheinlichkeit pi zu.
Dabei soll pi 0 und p1 + ... + pn = 1 gelten.
In Symbolen: L = [x1,...,xn ; p1, ..., pn].
Graphisch:...
p1
p2
L
pn
x1
x2
xn
ZusammengesetzteVerteilungen
L3
L1
0,5
0,5
0,5
0,5
0
10
L2
0,25
0,75
5
10
L1 = [0, 10 ; 0.5 , 0.5]
L2 = [5, 10 ; 0.25 , 0.75]
L3 = [L1, L2 ; 0.5 , 0.5]
Durchmultiplizieren derWahrscheinlichkeiten: L3 = [0, 5, 10 ; 0.25 , 0.125 , 0.625]
Erwartungswert undErwartungsnutzen
Gegeben L = [x1,...,xn ; p1, ..., pn].
Erwartungswert:
EL = x1 p1 +...+ xn pn .
Erwartungsnutzen:
EL(u) = u(x1) p1 +...+ u(xn) pn .
Entscheidungskriterienfür Risikosituationen
Bayes-Regel:
Wähle die Verteilung mit dem höchsten Erwartungswert.
Bernoulli-Prinzip:
Wähle die Verteilung mit dem höchsten Erwartungsnutzen.
Bayes-Regel/Bernoulli-PrinzipBeispiel
100
64
81
121
schlechteWitterung p = 0.25
guteWitterung p = 0.75
Regen-schirme
Sonnen-schirme
Erwartungs- wert
85,75
106,75
Erwartungs- nutzen
9,25
10,25
z. B. 85,75 = 0.75 * 81 + 0.25 * 100 9,25 = 0.75 * 9 + 0.25 * 10
u(x) = x
Wahrscheinlichkeits-verteilungen
Eine Verteilung L ordnet jedem Ergebnis xi eine
Wahrscheinlichkeit pi zu.
Dabei soll pi 0 und p1 + ... + pn = 1 gelten.
In Symbolen: L = [x1,...,xn ; p1, ..., pn].
Graphisch:...
p1
p2
L
pn
x1
x2
xn
ZusammengesetzteVerteilungen
L3
L1
0,5
0,5
0,5
0,5
0
10
L2
0,25
0,75
5
10
L1 = [0, 10 ; 0.5 , 0.5]
L2 = [5, 10 ; 0.25 , 0.75]
L3 = [L1, L2 ; 0.5 , 0.5]
Durchmultiplizieren derWahrscheinlichkeiten: L3 = [0, 5, 10 ; 0.25 , 0.125 , 0.625]
Erwartungswert undErwartungsnutzen
Gegeben L = [x1,...,xn ; p1, ..., pn].
Erwartungswert:
EL = x1 p1 +...+ xn pn .
Erwartungsnutzen:
EL(u) = u(x1) p1 +...+ u(xn) pn .
Entscheidungskriterienfür Risikosituationen
Bayes-Regel:
Wähle die Verteilung mit dem höchsten Erwartungswert.
Bernoulli-Prinzip:
Wähle die Verteilung mit dem höchsten Erwartungsnutzen.
Bayes-Regel/Bernoulli-PrinzipBeispiel
100
64
81
121
schlechteWitterung p = 0.25
guteWitterung p = 0.75
Unt. A
Unt. B
Erwartungs- wert
85,75
106,75
Erwartungs- nutzen
9,25
10,25
z. B. 85,75 = 0.75 * 81 + 0.25 * 100 9,25 = 0.75 * 9 + 0.25 * 10
u(x) = x
Begründung des Bernoulli-Prinzips
Grundannahme: Das Individuum verfügt über eine Präferenzrelation für Wahrscheinlichkeitsverteilungen.
Es steht L1 L2 für:
Die Verteilung L1 wird L2 schwach vorgezogen.
Im folgenden werden die Präferenzen durch gewisse Axiome beschränkt und daraus das Bernoulli-Prinzip gefolgert.
Vollständigkeit/Transitivität
Axiom der Vollständigkeit:
Zwei Verteilungen lassen sich stets in der einen oder anderen Richtung mit der schwachen Präferenz-relation in Beziehung setzen.
Axiom der Transitivität:
Für je drei Verteilungen L1, L2 und L3 folgt aus L1 L2 und L2 L3 die Gültigkeit von L1 L3.
Stetigkeitsaxiom
Gegeben Verteilungen L1, L2 und L3 mit L1 L2 L3.
Dann gibt es eine Wahrscheinlichkeit p, so daß:
L2
p
1-p
ist indifferent zu
L1
L3
Ist das Stetigkeitsaxiom plausibel?
Gegeben sind drei Verteilungen:L1 Sichere Auszahlung von 10,L2 Sichere Auszahlung von 0,L3 Sicherer Tod.
Angenommen sei eine Präferenzordnung L1 L2 L3.
Welche Wahrscheinlichkeit p führt zu Indifferenz zwischen L2 und [ L1, L3, p, 1 - p ]?
Ist das Stetigkeitsaxiom plausibel?
Unabhängigkeitsaxiom
Für alle Verteilungen L1, L2 und L3 ist
p
1-p
L1
L3
p
1-p
L2
L3
L1 ist indifferent zu L2.
ist indifferent zu
gleichbedeutend mit
Darstellungssatzv. Neumann / Morgenstern
Die Relation sei vollständig und transitiv und genüge dem Stetigkeits- und Unabhängigkeitsaxiom.
Dann gibt es eine Nutzenfunktion u, so daß:» Indifferente Verteilungen haben den gleichen
Erwartungsnutzen;» Bei starker Präferenz hat die präferierte Verteilung
einen höheren Erwartungsnutzen.
Insb. gilt: L1 L2 E L1(u) E L2
(u)
Äquivalente Risikonutzenfunktionen
Repräsentiert u(x) die Präferenzen für Wahrscheinlich-keitsverteilungen, so auch
v(x) = a u(x) + b mit a > 0.
Auf diese Weise erhält man alle Nutzenfunktionen, die die Präferenzen repräsentieren.
Zwei Nutzenfunktionen sind äquivalent, wenn sie durch eine streng monoton steigende und lineare Transforma-tion ineinander überführt werden können.
Risikoaversion
Sei L = [x1,...,xn ; p1, ..., pn] beliebig gegeben.
Ein Individuum heißt risikoavers, wenn ihm ein sicherer Gewinn der Höhe EL lieber ist als die Verteilung L selbst:
[EL ; 1] L Ein Individuum ist genau dann risikoavers, wenn der
Nutzen des Erwartungswertes höher als der erwartete Nutzen ist:
u(EL) EL(u).
Risikoaversion Konkave Nutzenfunktion
Nutzen
Ergebnis95 EL 105
u(EL)
EL(u)
u(95)
u(105)
L = [95, 105 ; 0.5, 0.5]EL = 100
EL(u) = 0.5 u(95) + 0.5 u(105)
Risikofreude
Sei L = [x1,...,xn ; p1, ..., pn] beliebig gegeben.
Ein Individuum heißt risikofreudig, wenn ihm die Verteilung L lieber ist als ein sicherer Gewinn der Höhe EL :
L [EL ; 1]. Ein Individuum ist genau dann risikofreudig, wenn der
Nutzen des Erwartungswertes kleiner als der erwartete Nutzen ist:
EL(u) u(EL).
Risikofreude Konvexe Nutzenfunktion
Nutzen
Ergebnis95 EL 105
u(EL)
EL(u)
u(105)
u(95)
L = [95, 105 ; 0.5, 0.5]EL = 100
EL(u) = 0.5 u(95) + 0.5 u(105)
Risikoneutralität
Sei L = [x1,...,xn ; p1, ..., pn] beliebig gegeben.
Ein Individuum heißt risikoneutral, wenn es indifferent ist zwischen der Verteilung L und einem sicheren Gewinn der Höhe EL:
L ~ [EL ; 1].
Ein Individuum ist genau dann risikoneutral, wenn der Nutzen des Erwartungswertes gleich dem erwarteten Nutzen ist:
u(EL) = EL(u) .
Risikoneutralität Lineare Nutzenfunktion
L = [95, 105 ; 0.5, 0.5]EL = 100
EL(u) = 0.5 u(95) + 0.5 u(105)Nutzen
Ergebnis95 EL 105
EL(u) = u(EL)
u(105)
u(95)
Aufgabe
Untersuchen Sie, ob die folgenden Nutzenfunktionen auf risikoaverses, risikofreudiges oder risikoneutrales Verhalten hinweisen:
u1(x) = 2x + 3
u2(x) = x2 (x 0)
u3(x) = ln(x) (x > 0)
u4(x) = - e -x
u5(x) = (x 0)
Hinweis: Berechnen Sie die 2. Ableitung!
x
Risikoverhalten
Die Präferenz einer Person für Geld (Menge x) wird repräsentiert durch
u(x) = xa.
Was bedeutet• a < 0,• a = 0,• a > 0 ?
Wann ist die Person• risikoavers• risikofreudig ?
Anwendung:Die Nachfrage nach
Versicherung Ein Haushalt verfügt über ein Anfangsvermögen von A.
Mit der Wahrscheinlichkeit p kann der Haushalt einen Betrag L (mit L A) verlieren.
Der Haushalt kann eine Versicherung abschließen, die im Schadensfall einen Betrag der Höhe K (K L) ausbezahlt.
Die Versicherungsprämie beträgt P = K mit 0 < < 1.
Welchen Versicherungsbetrag K soll der Haushalt wählen?
Die Verteilung des Endvermögens
p
1-p
Der Schadentritt ein
Der Schadentritt nicht ein
Das Endvermögen xi beträgt
x1 = A - L + K - P = A - L + (1-) K
x2 = A - P = A - K
Die Budgetgerade
x2
x1
45°
A
A-L A - L
dx2
dx1
1
A - L
KeineVers.
Voll-vers.
x1 = A - L + (1-) K x2 = A - K
Indifferenzkurven
x1
x2
p u(x1) + (1-p) u(x2) = const.
MRSdx
2dx
1
p1 p
u (x
u (x )1
2
)
Bei Risikoaversion sind die In-differenzkurven zum Ursprunghin gekrümmt!
Das Versicherungsoptimum
x2
x1
45°
A
A-L
p1 p
u (x
u (x )1
2
) 1Im Optimum gilt:
(Schaden eingetreten)
(KeinSchaden)
Aufgabe
Herr Weber besitzt als einzigen Vermögensgegen-stand eine Yacht im Wert von 100 000,- ( = A). Mit der Wahrscheinlichkeit p = 0,01 kann die Yacht infolge einer Havarie sinken (somit ist L = 100 000,-). Eine Versicherung kostet = 0,02 DM je DM Ver-sicherungssumme. Welche Versicherungssumme K wählt Herr Weber, wenn u(x) = ln(x) seine Nutzenfunktion ist?
Hinweis: Im Optimum gilt:
)(xu
(xu
p1p
2
1
)
1
x1 = A - L + (1-) Kmitx2 = A - K
Kurven konstanten Erwartungswertes
x1
x2
A
B
Ax2
Bx2
Ax1Bx1
45°
px1 + (1 - p) x2 = const. Die Steigung der Kurve
beträgt
BBB
BBB
AAA
xxppx
Exppx
xppxE
111
21
21
1
1
1
Definition: Faire Versicherung
Eine Versicherung ist dann fair, wenn der Erwartungswert des Versicherers aus der Versicherung 0 ist:
Steigung der Indifferenzkurve
bei Vollversicherung
x1
x2
45°
Vollversicherung bei Risikoaversion und fairer
VersicherungBei einer fairen Versicherung ist das erwartete Endvermögen unabhängig von der vereinbarten Versicherungssumme.Durch Vollversicherung kann der Haushalt eine risikolose Situation erreichen, die er bei Risikoaversion einer risikobehafteten vorzieht.
x1
x2
45°
Sicherheitsäquivalent der Lotterie L
sicheres Vermögen CE(L), das dem Haushalt genauso lieb ist wie die Lotterie L, d.h.
L ~ [CE(L), 1] falls die Präferenzen des Entscheiders eine
Darstellung durch eine vNM-Nutzenfunktion u besitzen EL(u) = u(CE(L))
Risikoprämie der Lotterie L
Differenz von Erwartungswert EL und Sicherheitsäquivalent CE(L)
RP(L) = EL - CE(L) Zahlungsbereitschaft für eine faire
Vollversicherung (p = , d.h. Budgetgerade ist die Kurve gleichen Erwartungswertes)
Sicherheitsäquivalent und Risikoprämie, graphisch
Vermögen im Schadensfall, x1
Vermögen ohneSchaden, x2
ELCE(L)
RP(L)p
p
1
ppxxL 1,;, 21
Vermögen x10 100
u(x)
u(x)
3
2,
3
1;100,10L
Aufgabe: Ermitteln Sie für die unten stehende Lotterie L unddie skizzierte vNM-Nutzenfunktion u graphisch Erwartungs-wert, Sicherheitsäquivalent, Risikoprämie, den erwartetenNutzen und den Nutzen des Erwartungswertes!
Aufgabe: Wert der Information
Sarah steht vor der Entscheidung entweder Kinderärztin zu werdenoder aber Angestellte der Rentenversicherung. Als Angestelltekann sie mit einem sicheren Einkommen in Höhe von 40.000 Europro Jahr rechnen. Ihr Einkommen als Kinderärztin hingegen hängtdavon ab, ob es einen Babyboom gibt oder nicht. Im Falle einesBabybooms könnte sie ein Einkommen von jährlich 100.000 Euroerzielen, andernfalls nur eines von 20.000 Euro. Die Wahrschein-lichkeit eines Babybooms liegt bei 1/2, und Sarahs vNM-Nutzen-funktion ist durch u(x) = x gegeben.
a) Wie sollte sich Sarah entscheiden?b) Das Institut für angewandte Demographie (IAD) kann dasEintreten oder Nichteintreten eines Babybooms präzise vorhersagen.Wieviel ist Sarah jährlich maximal für diese Information zu zahlen bereit?c) Veranschaulichen Sie die Sachverhalte aus (a) und (b) graphisch!
Teil I - Haushaltstheorie
Teil I:Haushaltstheorie
Teil II:Unternehmenstheorie
Teil III:Vollkommene Konkurrenz
und Wohlfahrtstheorie
Teil IV:Marktformenlehre
Teil V:Externe Effekte
Das BudgetPräferenzen, Indifferenzkurven und Nutzenfkt.Das HaushaltsoptimumKomparative StatikArbeitsangebot und SparenUnsicherheitMarktnachfrage und Erlöse
Marktnachfrage und Erlöse
Aggregation individueller Nachfrage-funktionen zur Marktnachfragefunktion
Nachfragefunktion und inverse Nachfragefkt. Preiselastizität der Nachfrage Grenzerlös bezügl. des Preises Amoroso-Robinson-Relation
Marktnachfrage
Wie wirken sich die Nachfragen der Haushalte auf die Marktnachfrage aus?
Welcher Erlös wird am Markt erzielt?
Wie hängen Preis, Marktnachfrage und Erlöse zusammen?
Die Aggregation der individuellen Nachfragen zur
Marktnachfrage
Konsument A Konsument B Marktnachfrage
p p p
xA xB q
Die aggregierteMenge bezeich-nen wir mit q!
Lineare Nachfragefunktion
Wenn wir den Preis gleich Null setzen,erhalten wir die Sättigungsmenge:
Wenn wir die Menge gleich Null setzen,erhalten wir den Prohibitivpreis:
Preiselastizität der Nachfrage:
Berechnung der Preiselastizität d. N.
Nachfrage reagiertüberhaupt nicht
Nachfrage rea- giert bedingt
Nachfrage wirdbeliebig hoch
Preiselastizität der Nachfrage
Preiselastizität der linearen Nachfragefunktion
p
qaa/2
Der Erlös
Der Erlös ist das Produkt ausPreis und Menge bei dem Preis.
Erlös r
p
q
Prohibi-tivpreis
Sättigungs-menge
Der Grenzerlös bzgl. d. Preises - grafisch
p
q
Um wieviel verändert sich der Erlös, wenn der Preis um eine kleine Einheit steigt?
Grenzerlös bezüglich des Preises
steigt der Erlös um q (für jede verkaufte Einheit erhält des Unternehmen einen Euro),
sinkt aber um p dq/dp (die Preiserhöhung senkt Nachfrage und Erlös).
Wird der Preis um eine Einheit erhöht,
Der Grenzerlös bzgl. des Preises ist 0,wenn die relative Preiserhöhung durcheinen relativen Mengenrückgang in selbemUmfange ausgeglichen wird.
Grenzerlös bezüglich des Preises und Preiselastizität
der Nachfrage
Nachfragefunktion undinverse Nachfragefunktion
(2)p
q
inverse Nachfragefkt.
Nachfragefunktion
Nachfragefunktion und inverse Nachfragefunktion
Fragt der Konsument zu einem bestimmten Preis einedazugehörige Menge nach, so ergibt sich die nachge-fragte Menge als Funktion des Preises:
Die inverse Nachfragefunktion beschreibt, welcher maximale Preis erzielbar ist, wenn die Menge q abgesetzt werden soll:
Inverse lineare Nachfragefunktion
Wenn wir die Menge gleich Null setzen,erhalten wir den Prohibitivpreis:
Wenn wir den Preis gleich Null setzen,erhalten wir die Sättigungsmenge:
Grenzerlös bezüglich der Menge
steigt der Erlös um p (für die zusätzl. abge- setzte Einheit),
sinkt aber um q dp/dq (um die zusätzl.Einheit absetzen zu können, sinkt der Preis um dp/dq; diese Preissenkung gilt für alle bisher abge- setzten Einheiten).
Wird eine zusätzliche Menge abgesetzt,
Maximaler Erlös
p
q
p(q)=c-dq
MR=c-2dq
c/d
c
Maximaler Erlös (2)
q
p(q)
MR
c/d
cp r
p=c/2
q=c/2d
!
Amoroso-Robinson-Relationen
1. Grenzerlös bezüglich der Menge:
2. Grenzerlös bzgl. des Preises:
...und Preiselastizität
Wie hoch ist die Preiselastizität bei Erlösmaximum?
11
-1p=MR