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1 D-MATL SS 07 Tensor 0. -2. Stufe 05.06.07 Sylvie Ruch, Jan Rys, Debora Solenthaler, Sofia Rudin

Tensor 0. -2. Stufe - sam.math.ethz.chgrsam/MultLinAlgSS07/group9.pdf · 3 1.2. Transformationsmatrix Wir wollen nun den Zusammenhang zwischen der neuen kovarianten und der alten

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D-MATL SS 07

Tensor 0. -2. Stufe

05.06.07

Sylvie Ruch, Jan Rys, Debora Solenthaler, Sofia Rudin

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1. Basistransformation Betrachtungen von Tensoren setzen das Verständnis von Basistransformationen voraus. Daher wollen wir uns im ersten Kapitel mit eben diesen befassen.

1.1. Kovariante und kontravariante Basis

Als erstes wählen wir irgendeine Basis in IR2:

==0

1

11eg =+=

1

1

212eeg

Wir betrachten g1, g2 als kovariante Basis und suchen die zugehörige kontravariante Basis g1, g2. Nach Definition steht die kontravariante Basis senkrecht auf der kovarianten. Daher gelten folgende Beziehungen:

11

1=gg 0

1

2=gg 1

2

2=gg 0

2

1=gg

10

1

1

1

=b

a

g

g 0

1

1

1

1

=b

a

g

g

Daraus folgt: ==1

1

1

1

1

b

a

g

gg

Dasselbe Verfahren für g2 liefert: ==1

0

2

2

2

b

a

g

gg

Wir wiederholen alle bisherigen Schritte mit einer neuen (frei gewählten) Basis g in IR2:

Alte kovariante Basis: Alte kontravariante Basis:

=0

1

1g =

1

1

2g =

1

11

g 20

g1

=

Neue kovariante Basis: Neue kontravariante Basis:

=0

2

1g =

2

1

2g =

4

1

2

11

g =2

1

2 0g

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1.2. Transformationsmatrix

Wir wollen nun den Zusammenhang zwischen der neuen kovarianten und der alten kovarianten Basis suchen; wir drücken also die neue in der alten Basis aus. Dazu brauchen wir Transformationskoeffizienten ai

k:

2

2

11

1

11gagag +=

2

2

21

1

22gagag +=

Also in unserem Fall:

+=1

1

0

1

0

22

1

1

1aa +=

1

1

0

1

2

12

2

1

2aa

21

1=a 0

2

1=a

31

2=a 2

2

2=a

Diese Transformation können wir in Matrizenform schreiben:

==2

1

23

02

g

ggag k

k

ii

Umgekehrt kann man natürlich auch die alte in der neuen Basis ausdrücken. Rechnet man dies durch, erhalten wir:

==2

1

2

1

4

3

2

1 0

g

ggag k

k

ii

Natürlich sind die zwei Transformationsmatrizen nicht unabhängig voneinander. Wir finden:

1

2 i

k3 1

4 2

02 0 1 0

3 2 0 1= =

Die Transformationsmatrizen sind also zueinander invers! ( )1

= k

i

k

iaa

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Wir haben die Transformationsmatrizen für die kovarianten Basen berechnet. Genau gleich können wir nun auch diejenigen für die kontravarianten berechnen:

ki

k

i gbg =

+==1

0

1

11

2

1

1

4

1

2

1

1 bbg 2 2 2

1 212

0 1 0g b b

1 1= = +

121 1 1

1 2 1124

01g b b

1= = +

122 2 2

1 2 1124

00g b b

1= = +

Daraus folgt:

31

2 4i

k 1

2

b0

= i

k

2 3b

0 2=

Wir stellen fest, dass diese kontravarianten Transformationsmatrizen die transponierten Matrizen der bereits gefundenen kovarianten Transformationsmatrizen sind. Durch vertauschen der Indizes können wir die Matrizen somit gleichsetzen:

k k

i i

k k

i i

a b

a b

=

=

bzw.

i i

k k

i i

k k

b a

b a

=

=

Die Transformationsgesetze in unserem Beispiel lauten also in der Übersicht:

i i k

kg b g=

Für die kovarianten Basen: Für die kontravarianten Basen:

1k

i i k

2

112k

i i k 3 14 2 2

g2 0g a g

g3 2

0 gg a g

g

= =

= =

1312 4i i k

k 212

1

i i k

k2

gg a g

0 g

2 3 gg a g

0 2 g

= =

= =

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Was hat all dies mit einem Tensor zu tun? Für einen Tensor ist sein Verhalten bei Transformationen wesentlich. Genauer: ein Tensor kann durch sein Transformationsverhalten definiert werden!

2. Tensor 0. Stufe Ein Tensor nullter Stufe ist nichts anderes als ein Skalar. Es braucht daher nur eine reelle Zahl um einen Tensor 0. Stufe zu beschreiben. Wichtig ist, dass der Wert des Skalars gegenüber Koordinatentransformationen unabhängig ist. Um diese Invarianz gegenüber dem Koordinatensystem zu verdeutlichen, stellen wir uns zwei Punkte A und B im Raum vor. Je nach dem wie wir das Koordinatensystem legen, werden A und B anders beschrieben. Ihre Koordinaten sind nicht unabhängig vom Koordinatensystem. Aber egal wie wir das Koordinatensystem wählen, die Distanz zwischen den zwei Punkten bleibt dieselbe! Um einen Abstand auszudrücken brauchen wir auch bloss eine Ziffer. Somit kann der Abstand zwischen zwei Punkten als Tensor 0. Stufe betrachtet werden. In einem zweiten Beispiel betrachten wir einen Gegenstand mit der Masse 2kg. Natürlich ist die Einheit kg nicht wirklich ein Koordinatensystem, aber trotzdem existieren gewisse Parallelen zu einem Tensor 0. Stufe in einem Koordinatensystem. So hängt die Zahl, die der Masse zugeordnet wird von der Wahl der Einheit ab, nicht aber die Masse selbst! Es macht für uns keinen Unterschied, ob wir nun 2kg, 2000g oder etwa 0.002 Tonnen zu tragen haben.

3. Tensor 1. Stufe Ein Tensor erster Stufe wird durch einen Spaltenvektor dargestellt. Im n-dimensionalen Raum hat ein solcher Tensor genau n Koeffizienten.

1

n

a

A

a

=�

Wir betrachten nun einen Vektor A, den wir wieder frei wählen 6

A2

=

und drücken ihn in den verschiedenen Basen aus: a) in der alten kovarianten Basis: b) in der alten kontravarianten Basis:

6 1 1A ( 8) ( 2)

2 0 1= = +

6 1 0A ( 6) 4

2 1 1= = +

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c) in der neuen kovarianten Basis: d) in der neuen kontravarianten Basis:

6 2 15A 1

2 0 22= = +

1

2

11

24

06A 12 10

2= = +

Definition: z.B. i iA A g= .

Man kann zeigen: i i i i

i i i iA A g A g A g A g= = = =

Wir sehen dies ein am Beispiel i

iA A g= :

i i 1 2

i i 1 2

6 6 1 1 6 0 1A A g A g g A g g A g g

2 2 1 0 2 1 1

1 1 8 2 6( 8) ( 2)

0 1 0 2 2

= = = = + = +

= + = + =

Analog liesse sich dies für die anderen Beziehungen nachvollziehen. Wir bemerken, dass die Ai gerade die in a) gefundenen Koeffizienten für die alte kovariante Basis darstellen. Wir setzen nun zwei solcher Terme gleich und untersuchen diese Beziehung unter Anwendung der in 1.2 gefundenen Transformationsgesetze:

i i

i iA g A g= i k k

i k kA a g A g=

Durch einsetzen erhalten wir:

i 1 2

i 1 2A g A g g A g g= + Zur Erinnerung: 1 2

1 1 1 1 2g a g a g= + 1 2

2 2 1 2 2g a g a g= +

( ) ( )

1 1 2 2 1 2

1 1 1 2 2 1 2 2

1 1 2 1 1 2 2 2 i 1 2

1 2 1 1 2 2 i 1 2

A g (a g a g ) A g (a g a g )

A g a A g a g A g a A g a g A g A g g A g g

= + + +

= + + + = = +

Aus dieser Gleichung ergibt sich, dass die einfach, bzw. doppelt unterstrichenen Terme gleichgesetzt werden können:

1 1 2 1 1

1 2A g a A g a A g+ = 1 2 2 2 2

1 2A g a A g a A g+ =

Oder in Kurzschreibweise:

i k k

iA a A=

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saSo entstehen die Transformationsgesetze für die Komponenten des Vektors A in den alten und neuen Basen: Vergleichen wir diese Transformationsgesetze mit jenen für die Basen, kommen wir zur grundlegenden Erkenntnis: Die Komponenten eines Vektors transformieren sich wie die Basis:

- kovariante Komponente wie die kovariante Basis - kontravariante Komponente wie die kontravariante Basis

Dieses gleiche Transformationsverhalten wird kogredient genannt. Im Gegensatz dazu transformieren sich kovariante und kotravariante Komponenten kontragredient zueinander.

Nach diesem formellen Teil wollen wir das Gesetz k

i i kA a A= für den Vektor unseres

Beispiels überprüfen: 1) Linke Seite der Gleichung:

i i 1 2

6 2 6 1A A g A g A g 12 10 22

2 0 2 2= = + = + = + =

2) Rechte Seite der Gleichung:

( )

k k 1 2 1 2

i k i k 1 1 1 2 2 1 2 2a A a A g a A g a A g a A g a A g

6 1 6 1 6 1 6 12 0 ( 3) ( 2)

2 0 2 1 2 0 2 1

( 2)( 6) 0 ( 3)( 6) ( 2)(4) 12 18 8 22

= = + + +

= + + +

= + + + = + =

Tatsächlich finden wir jeweils den gleichen Wert!

Für die kovarianten Komponenten: Für die kontravarianten Komponenten

k

i i k

k

i i k

A a A

A a A

=

=

i i k

k

i i k

k

A a A

A a A

=

=

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4. Tensor zweiter Stufe

4.1 Einführung: zwei Definitionen

Nach Wikipedia: Ein Tensor zweiter Stufe wird durch eine quadratische Matrix dargestellt. Es handelt sich also um ein Zahlenschema, in dem jeder der n2 Koeffizienten des Tensors durch zwei Indizes bezeichnet ist.

Nach Klingbeil, Tensorrechnung für Ingenieure: Ein Tensor zweiter Stufe ist ein beliebiges Element im Tensorraum zweiter Stufe. Dieser 9-dimensionale Tensorraum zweiter Stufe wird gebildet durch das tensorielle Produkt zweier Vektoren.

4.2 Das tensorielle Produkt

Wir verknüpfen zwei Vektoren x und y im Euklidischen Raum und definieren ein neues Produkt, das tensorielle Produkt: T = xy (3.1) Für dieses müssen folgende Gesetzte gelten, wobei x, y, z Vektoren sind, ein Skalar:

1. Distributivgesetz:

x(y + z) = xy + xz (3.2) (x + y) = xz + yz (3.3)

2. Assoziativgesetz:

x)y = x( y) = xy (3.4) Mit diesen beiden Gesetzen (3.2 - 3.4) kann man im Produkt T die beiden Vektoren x und y auf die Basis zurückrühren, indem wir:

x = xi gi = x1g1+ x2g2 + x3g3

y = yj gj = y1g1 + y2g2 + y3g3

in das Produkt T = xy einsetzen: T = xy = (xigi)(y

jgj) = (x1g1+ x2g2 + x3g3)(y1g1 + y2g2 + y3g3)

= (x1g1)(y1g1) + (x1g1)(y

2g2) + (x1g1)(y3g3)

+ (x2g2)(y1g1) + (x2g2)(y

2g2) + (x2g2)(y3g3)

+ (x3g3)(y1g1) + (x3g3)(y

2g2) + (x3g3)(y3g3) (3.5)

= x1y1g1g1 + x1y2g1g2 + x1y3g1g3

+ x2y1g2g1 + x2y2g2g2 + x2y3g2g3

+ x3y1g3g1 + x3y2g3g2 + x3y3g3g3 (3.6) T = xi yj gi gj (3.7) Da das Kommutativgesetz für x und y nicht gilt (!), dürfen die Glieder mit gi gj und gj gi nicht zusammengefasst werden. Diese Glieder gi gj bilden nun die Einträge der Matrix:

ij = gi gj = (3.8)

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Zur Veranschaulichung nehmen wir in einem Beispiel die kovariante Base gi und die konvariante Base gj: g1 = e1 g1 = e1 - e2 g2 = e1 + e2 g2 = e2 - e3 g3= e1 + e2 + e3 g3 = e3

Setzen wir diese nun ein in (3.6), ergibt sich für die kovariante Base gi: T = x1y1(e1)( e1) + x1y2(e1)( e1 + e2)+ x1y3(e1)( e1 + e2 + e3)

+ x2y1(e1 + e2)(e1) + x2y2(e1 + e2)( e1 + e2 + e3) + x2y3(e1 + e2)( e1 + e2+ e3)

+ x3y1(e1 + e2 + e3)(e1) + x3y2(e1 + e2+ e3)(e1 + e2) + x3y3(e1 + e2 + e3)( e1 + e2 + e3) = x1y1(1) + x1y2(1)+ x1y3(1)

+ x2y1(1) + x2y2(2) + x2y3(2)

+ x3y1(1) + x3y2(2) + x3y3(3)

ij =

Für die konvariante Base gj ergibt sich: T = x1y1(e1 - e2)( e1 - e2) + x1y2(e1 - e2)( e2 - e3)+ x1y3(e1 - e2)( e3)

+ x2y1(e2 - e3)(e1 - e2) + x2y2(e2 - e3)( e2 - e3) + x2y3(e2 - e3)( e3)

+ x3y1(e3)(e1 - e2) + x3y2(e3)(e2 - e3) + x3y3(e3)( e3)

= x1y1(0) + x1y2(-1)+ x1y3(0)

+ x2y1(-1) + x2y2(0) + x2y3(-1)

+ x3y1(0) + x3y2(-1) + x3y3(1)

ij =

3. Die Basis vom Produkt T:

Je nachdem, wie die Basen gewählt sind, kann diese Matrix nun auf vier verschiedene Arten erklärt werden:

ij = gi gj bei kovarianten Basen i

j = gi gj bei gemischten Basen

ij = gi gj bei gemischten Basen

ij = gi g

j bei kontravarianten Basen

Nun ergibt sich also für ein beliebiges tensorielles Produkt T im Tensorraum 2. Stufe: T = xi yj

ij = xi yj gi gj = tij gi gj wobei für xi yj = tij gilt. (3.9) Dies lässt sich entsprechend der vier möglichen Basen auf vier Arten darstellen: T = tijgigj = tij g

i gj = tij gi g

j = tij gi gj (3.10)

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4.3 Die Komponenten des Tensor 2. Stufe und ihre Transformationsgesetzte

Entsprechend Tensoren 1. Stufe können für den Tensor 2. Stufe die Transformationsgesetze ähnlich hergeleitet werden, so dass man schlussendlich folgende Transformationsregeln erhält:

tij = aik a

jl t

kl tij = ai

k ajl t

kl für kontavariante Komponenten (3.11) tij = ak

i alj tkl

tij = aki a

lj tkl für kovariante Komponenten (3.12)

tij = ai

k alj t

kl

tij = aik a

ll t

kl für kontravariant-kovariant gemischte Komponenten (3.13)

ti

j = aki a

jl tk

l ti

j = aki a

jl tk

l für kovariant-kontravariant gemischte Komponenten (3.14) Wir definieren folgende Transformationseigenschaften:

1. Gelten für eine doppelt indizierte Grösse tij die Transformationsregeln (3.11), so liegt ein Tensor 2. Stufe vor. Die tij sind seine kontravarianten Komponenten.

2. Gelten für eine doppelt indizierte Grösse tij die Transformationsregeln (3.12), so liegt ein Tensor 2. Stufe vor. Die tij sind seine kovarianten Komponenten.

3. Gelten für eine doppelt indizierte Grösse tij die Transformationsregeln (3.13), so liegt ein Tensor 2. Stufe vor. Die tij sind seine kontravariant-kovariant gemischten Komponenten.

4. Gelten für eine doppelt indizierte Grösse tij die Transformationsregeln (3.14), so liegt

ein Tensor 2. Stufe vor. Die tij sind seine kovariant-kontravariante gemischten

Komponenten.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass sich jeder obere Index wie ein kontravarianter Vektor transformiert und jeder untere Index wie ein kovarianter Vektor. Es bleibt somit auch bei Transformationen die Möglichkeit bestehen, die Komponenten eines Tensors 2. Stufe anhand vier unterschiedlicher Basen auszudrücken.

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5. Verjüngendes Produkt Das verjüngende Produkt ist eine Rechenregel, welche dem Skalarprodukt bei Tensoren 1. Stufe (Vektoren) entspricht. Das verjüngende Produkt eines Tensors 1. Stufe mit einem Tensor 1. Stufe (Skalarprodukt) ergibt ein Tensor 0. Stufe (Skalar). Ein Tensor wird durch ein verjüngendes Produkt in der Stufe erniedrigt bzw. verjüngt. Allgemein gilt folgendes Gesetz: Gegeben sei der Tensor T = tij gi gj und der Vektor a = ak

ak. Das verjüngende Produkt ist nicht kommutativ. Daher ist das verjüngende Produkt gegeben durch: T * a = (tij gi gj) * (a

k ak); also entweder T * a = (tij ak) * (gi gjk) oder a * T = (tij ak) * (gki gj). Da

das Kommutativgesetz nicht gilt, erhalten wir verschiedene Ergebnisse bei den kovarianten Basen, je nachdem ob von links oder von rechts multipliziert wird. Bei symmetrischen Tensoren (vgl. Spannungstensor in der Mechanik) erhalten wir das gleiche Ergebnis. Durch Multiplikation mit den kovarianten Basen kann ein Index heruntergezogen werden. Durch Multiplikation mit den reziproken (kontravarianten) Basen kann ein Index heraufgezogen werden: tk

j = gjl tkl

tij = gjk tk

j

Daraus folgt: tij = gjk g

jl tkl

Beispiel: T2 * T1 = T 1

Gegeben sei der Tensor 2. Stufe, wobei ei die orthonormierte Vektorbasis ist: T= e1 e1 – e1 e2 + 2 e1 e3 = Tkl gk gl

2 e2 e1 + 2 e2 e2 - e2 e3

- e3 e1 – 2 e3 e2 + e3 e3

Weiter sei die kovariante Basis gi und die reziproke (kontravariante) Basis gi gegeben: g1 = e1, g2 = e1 + e2, g3 = e1 + e2 + e3

g1= e1 - e2, g2= e2-e3, g3= e3

Gesucht sind für diese Basen die kovarianten, gemischten und reziproken Komponenten des Tensors T. Für die kovarianten Komponenten wird der Tensor im verjüngenden Produkt von links mit gi

und von rechts mit gj multipliziert:

Tkl (gi

gk) (gl gj) = gi * T * gj = Tij kovariante Komponenten

gi * T * gj = Tij gemischte Komponenten

gi * T * gj = Tij gemischte Komponenten

gi * T * gj = Tij reziproke Komponenten In diesem Beispiel entstehen vier verjüngende Produkte abhängig von der Wahl der Basis.

Tn * Tm = T n+m-2

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Berechnen wir explizit die kovarianten Komponenten. Zuerst wird der Tensor von links mit gi multipliziert: g1

* T = e1 - e2 + 2 e3

g2 * T = 3 e1 + e2 + e3

g3 * T = 2 e1 - e2 + 2 e3

Nun werden die 9 Komponenten des Tensors Tij durch Multiplikation mit gj von rechts berechnet: T11 = g1

* T * g1 = 1 T12 = g1

* T * g2 = 1-1 = 0 T13 = g1

* T * g3 = 1-1+2 = 2 T21 = g2

* T * g1 = 3 T22 = g2

* T * g2 = 3+1 = 4 T23 = g2

* T * g3 = 3 +1+1 = 5 T31 = g3

* T * g1 = 2 T32 = g3

* T * g2 = 2-1 =1 T33 = g3

* T * g3 =2-1+2 = 3 Daraus erhalten wir den Tensor Tij : Tij = (1 0 2) (3 4 5) (2 1 3)

6. Zusammenfassung Ein Skalar ist ein Tensor 0.Stufe mit einer Komponente. Ein Vektor ist ein Tensor 1. Stufe mit 3 Komponenten. Ein Tensor 2. Stufe Tkl gk gl besitzt 3*3 = 9 linear unabhängige Komponenten und liegt im 9-dimensionalen Tensorraum 2. Stufe. Es existieren 4 Basen: eine kovariante (e1, e2, e3) zwei gemischte und eine reziproke (e1

-1 , e2-1, e3

-1) oder kontravariante (e1, e2, e3) Basis. Tensoren sind gegenüber Koordinatentransformation invariant. Die Indizes der Tensoren (Komponenten) werden nach exakten Transformationsgesetzen (Tkl gk gl = (Tkl)-1 (gk)

-1 (gl)

-1) verändert. Das tensorielle Produkt bzw. das verjüngende Produkt (vgl. Sklalarprodukt) ist nicht kommutativ (T*a ist nicht gleich a*T) , ausser wenn die Tensoren symmetrisch sind.

7. Referenzen - Klingenbeil: Tensorrechnung für Ingenieure - http://de.wikipedia.org/wiki/Tensor (04.06.07) - Borisenko, Tarapov: Vector and Tensor Analysis