Geometriae Dedicata 61:11-18, 1996. 11 © 1996 KluwerAcademic Publishers. Printed in the Netherlands.

Tem~ktirper und Lateinische Quadrate

GgINTER PICKERT Eichendorffring 39, D 35394 Gieflen, Deutschland

(Eingegangen am 25. November 1994)

Abstrakt. Es werden verschiedene MOglichkeiten untersucht, mittels eines TemiirkOrpers einer endlichen affinen Ebene Systeme lateinischer Quadrate zu bilden.

Mathematics Subject Classifieatlon (1991): 51El4.

Key words: Endliche affine Ebenen, faktorisierbare und lineare Temarktirper, inversorthogonale lateinische Quadrate.

Eine endliche affine Ebene der Ordnung n(_> 2) sei durch einen Koordinaten- bereich N = { 0 , 1 , . . . , n - 1} und eine Temfirverkniipfung T : N 3 --+ N in der bekannten Weise dargestellt (s.z.B. [2, S. 35/36]; daron abweichend [1, S. 113]): Punkte sind die (x, y)(E N2), Geraden die [u, v], [v](u, v E N) , und die Inzidenzrelation I wird durch

(x,y)I[u,v]C:=V T(u ,x , v )=y ,

(z, y)I[~] ,~-~ ~ = v

bestimmt. Dann wird bekanntlich durch

T ( m , x, Q,~(x, y)) = y (m E N\{0} ; x, y E N ) (1)

ein vollstiindiges Orthogonalsystem n-reihiger lateinischer Quadrate Q 1, . . . , Q ~- t bestimmt (s.z.B. [2, S. 290/291]). Dabei liegt die durch

Q.~(o, y) = y, Q~(~, ~) = o, qm(1, m) = o (m c N\{0}; ~, y e N) (2)

beschrieben Normalform (s. [2, S. 292]) vor. Umgekehrt lfigt sichjedes vollstfindige Orthogonalsystem n-reihiger lateinischer Quadrate dutch gemeinsame Zeilen- sowie Spaltenpermutationen und Permutation von N in Normalform bringen und best immt dann gemfiB (1) zusammen mit T(0, x, v) = v eine Tem~.rverkntipfung T auf N, dutch diese also eine affme Ebene der Ordnung n; die z-Niveaulinie von Q,~ ist dann die Punktmenge der Geraden [m, z].

Eigentlich liegt es bei einer Ternfirverkniipfung T nfiher, lateinische Quadrate 0m durch

T ( m , x, z) = Qm(x, z) (m E N \ { 0 } ; x, z e N) (3)

12 GUNTER PICKERT

zu definieren. Dab (~m lateinisches Quadrat ist, folgt wieder (wie bei Qm) unmit- telbar aus den Eigenschaften von T (bzw. aus denen der durch T gegebenen affinen Ebene). Allerdings bilden die Qm nicht immer ein Orthogonalsystem, wie sich im folgenden zeigen wird. Statt (2) hat man die Normiemng

Om(O,y)=y, Ol(X,O)= X, 0re(l,0)= m (meN\{O};x, yeN);(2')

das sind gerade die Eigenschaften der von Bose/Nair eingeftihrten Standardform (s. [2, S. 292, FuBn. 1]).

Aus (1), (3) folgt mit z = Qm(x, y)

(2m(x, Qm(x,y))= y, (4)

d .h. die x-Zeilen Q ,~ (x), O m (x) der Quadrate Q m, 0 malS Permutationen

y

von N sind invers zueinander. Daher seien Qm, Qm, im Fall der Orthogonalitfit von t~m, Qm, als inversorthogonalbezeiehnet. Diese Eigenschaft besagt also (nach Definition der Orthogonalit~it), dab es zu y, y' E N stets x, z mit

(2m(x,z)= y, (2m,(x,z)= y' (5)

gibt; ftir y = y' ist (5) mit x = 0, z = y wegen (2 t) stets erftillt, sodaB im folgenden y ~ y' angenommen werden daft. Da Qm, Qm, lateinische Quadrate sind, besagt (5) wegen (4)

Q~(x,y) = z = Q,v(x,y'). (5')

Damit hat man

SATZ 1. Qm, Qm, sind genau dann inversorthogonal, wenn jede Spalte von Qm und jede Spalte von Qm' in einer Zeile iibereinstimmen.

Ein von Bose/Nair 1940 angegebenes vollstfindiges Orthogonalsystem 9-reihiger lateinischer Quadrate (s. [2, S. 293]) zeigt daher, dab die Q,~ nicht immer ein Orthogonalsystem bilden: Die letzte Spalte des zweiten Quadrates und die vierte Spalte den dritten Quadrates stimmen in keiner Zeile tiberein.

Die Existenz von x, z (zu gegebenen y, yt) mit (5) besagt, dab die dutch (5) bestimmte Abbildung (x, z) ~ (y, yT) von N 2 in sich eine Abbildung yon N z auf sich ist. Wegen der Endliehkeit von N 2 ist das gleichbedeutend mit der Injektivit~it der Abbildung. Die Ubersetzung in (5') liefert daher den

ZUSATZ 1. Qm, Qm, sind genau dann inversorthogonal, wenn jede Spalte von Qm und jede Spalte von Qm, in h6ehstens einer Zeile iibereinstimmen.

TERN,~RKORPER UND LATEINISCHE QUADRATE 13

Der von Vedder [4] ftir lateinische Quadrate mit nicht notwendig Ubereinstimmenden Eintragsmengen eingeffihrte Begriff 'spaltenorthogonal' stimmt daher bei tiberein- stimmenden Eintragsmengen mit dem Begriff 'inversorthogonal' tiberein. Wenn die in [4 (S. 763 unten)] gebildeten paarweis spaltenorthogonalen (n - 1)-reihigen lateinischen Quadrate mit Q~(z E N) bezeichnet werden, hat man

Q*(x,m) = T ( m , x , z ) (fiirallex, m E N\{O})

mit der Eintragsmenge (Bildmenge) N \ { z } und daher den Zusammenhang

Q , m ( x , z ) = Q * ( x , m ) ( z E N ; x , m E N\{O})

mit den Qm. Mittels der durch

x + v = T (1 , z , v ) ,

definierten Addition und Linearitiit

T ( u , z , v) = ux + v

und der Faktorisierbarkeit

ux = T(u, x, 0) (6)

Multiplikation in N werden die Eigenschaften der

(7)

T(u, x, uw) = u(x + (8)

yon T definiert. Sie sind bekanntlich (s. [2, S. 98/99, S~itze 33,34]) gleiehwertig mit dem Desargueschen (V, UV; U, OV)-bzw. (U, UV; V, OV)-Satz, wobei O = (0, 0) ist und U, V die uneigentlichen Punkte der Geraden [0,0] bzw. [0] in der projektiven Erweitemng der affinen Ebene sind. Es gilt

SATZ 2. T ist genau dann linear, wenn die Q,~ sich nur in der Reihenfolge der Zeilen unterscheiden, und ebenso, wenn dies fiir die Qm gilt.

FUr die Q~ ist dies bekannt (s. [2, S. 292, Satz 6]), und fiir die Q,~ folgt die Behaup- tung daraus, dab nach (4) die Zeilen von Qm, Qm als Permutationen zueinander invers sind. Es seien abet hier beide Aussagen noch einmal, unabhfingig voneinan- der, bewiesen.

(a) Aus (7), (6), (1) ergibt sich

m x + Qm(x,y) = y = mx + Ql(mx, y)

und daher

Q m ( x , y ) = Q l ( m x , y):

Qm entsteht aus Q1, indem man die Zeilennummem der zu x ~ mx inversen Permutation unterwirft.

Gibt es umgekehrt zu jedem m E N\{0, 1} eine Permutation pm von N mit

14 o0tcI~a PICKETT

SO erhhlt man mit Qm(x, y) -- v nach (1), (6)

T ( m , x , v ) = p m ( X ) + V (ffirallex, v e N ) ,

ftir v = 0 wegen (6) daraus pro(x )= mx und somit (7) far u = m • N \ { 0 , 1}, w~ihrend (7) far u • {0, 1} bei jedem Tem~kCSrper gilt.

(b) Aus (7), (3), (6) ergibt sich

O m ( X , y ) = T ( m , x , y ) = m x -1- y -~ O l ( m x , y).

Umgekehrt folgt aus

0 (x, y) nach (3), (6) wieder

+ v

und somit (7) wie in (a).

Ftir die Faktorisierbarkeit erh~ilt man.

SATZ 3. T ist genau dann faktorisierbar, wenn jedes (2,~(m • N \ { 0 , 1}) aus (21 durch Anwenden einer Permutation Pm yon N mit pro(O) = 0 sowohl auf die Spaltennummern wie auf die Eintr~ige entsteht, und ebenso, wenn dies fiir die Qm gilt.

Beweis. Aus (8), (3), (6) erh~ilt man

=

also mit x ~ "rex als der Permutation Pm von N wegen 0x = 0 die Aussage des Satzes.

Setzt man umgekehrt

O m ( x , p , ~ ( w ) ) = p ,~(Ol (x ,w) ) (9)

mit einer Permutation Pm Yon N , far die pro(O) = 0 gilt, voraus, so ergibt sich aus (3), (6)

= p (x + w).

Daraus folgt mit w = 0 nach (6) pro(x) = mx und daher (8) mit u = m • N \ { 0 , 1}, w~ihrend (8) fur u • {0, 1} bei jedem Tem~kC}rper gilt.

Ftir die Zeilen Qm(z) als Permutationen von N (also Q,~(z)(y) = (~m(X, y)) l~tBt sich (9) als

Qn(x) --- Pm 0 01(x) O pm I (9')

TERN,~RKORPER UND LATEINISCHE QUADRATE 15

- - 1 schreiben, und wegen der nach (4) geltenden Gleichung Qm(~) = Qm(~) ist (9 r) gleichbedeutend mit

Qm(~) = p m o QI(~) o pS~ 1,

womit auch der zweite Teil des Satzes bewiesen ist.

SATZ 4. Die Q1, • • •, Q,~-1 sindpaarweise inversorthogonal zueinander, falls eine der folgenden beiden Bedingungen far T erfiillt ist:

(a) T ist linear und + sowohl assoziativ wie kommutativ; (b) T ist faktorisierbar und + assoziativ.

Beweis. (a) Algebraisch: Nach (3), (7) hat man zu m, m', y, yl mit m ~ m' die Existenz von x, z mit

mx + z = y, ml x + z = yl (lO)

zu beweisen. Mittels Assoziativit~it- (N, +) ist jetzt eine Gruppe - folgt aus (10)

m' x - mx = y l _ y (101 )

und umgekehrt daraus mit z -- - m x + y wieder (10). Nach bekannter Eigenschaft einer linearen Tem~verkntipfung (s. [2, S. 90, (10)]) gibt es x mit

- r e x + mix = yl _ y, (10 II )

so dab bei Kommutativit~it v o n + auch (10') gilt und damit (10) eine LSsung (x, z) besitzt.

Geometrisch: Die Voraussetzungen tiber T, + besagen (mit der im AnschluB an (7), (8) erkl~irten Bedeutung von U, V) den Desarguesschen (V, UV)-Satz zusammen mit dem affinen zentralen Satz von Pappos fur Tr~igergeraden durch V (s. [2, S. 100, Satz 36 und S. 154, 2. Halfte des Beweises von Satz 17]). Mit den Bezeichnungen g = [0, y], g' = [0, y'], h = [m, 0], h' = [m', 0] hat man gemab (10) einen Punkt Z = (0, z) so zu finden, dab die Schnittpunkte der Parallelen zu h, h ~ durch Z mit g bzw. g' auf einer Parallelen zu [0] liegen. Q sei der Schnit punkt von h / mit der Parallelen zu h durch den Punkt P, der aus 0 = (0, 0) durch Anwenden derjenigen (V, UV)-Kollineation (Translation mit Fixgeraden [0]) entsteht, die g in g/abbildet. R, R I seien die Schnittpunkte der Parallelen zu [0] durch Q mit g bzw. gl (s. Figure 1). Dann ist O R H P R I. Nun wird Z bestimmt als Schnittpunkt der Parallelen zu h durch R mit [0]; man hat also ZRIIPQ(IIh). Der affine zentrale Pappos-Satz (mit Tr/igergeraden 019, QR), angewandt auf das Sechseck O Q P R ' Z R liefert dann ZR'IIOQ(--- h'),

(b) Algebraisch: Nach (3), (8) hat man zu y, yr m, m I mit m ~ m die Existenz von x, w, w I mit

m(x + w) :- y, m ' (x + w') = y', m w = m'w' (11)

16 GONTER PICKERT

g, I 1 R'

i Figure 1.

nachzuweisen. Bestimmt man c, c I durch

m c = y~ t a l c I = y l

so lassen sich die ersten beiden Gleichungen in (11) durch

X JF'133_.~. C~ X - 3 L w l = C I

ersetzen, woraus mit d = - c Jr c I dann

w I = w + d (11 I)

folgt. Umgekehrt folgen aus (111) mit x = c - w wieder die ersten beiden Glei- chungen in (11), und die dritte Gleichung wird zu

m' (w + d) = row,

nach (8), (6) also

T ( m ' , w , m ' d ) = T ( m , w , O ) .

Die Aufl~isbarkeit dieser Gleichung folgt aber wegen m # m I aus einer der Eigen- schaften yon T (s. (41) in [2, S. 35]).

Geometrisch: Die Voraussetzungen fiber T, + besagen (mit der im AnschluB an (7), (8) erkl~irten Bedeutung yon U, V) den Desarguesschen (U, UV)-Satz (s. [2, S. 100, Satz 37]). Mit den Bezeichnungen g, gl, h, h I aus (a) und P = (0, y), p t =

TERNARKORPER UND LATEINISCHE QUADRATE 17

P ' .L~ , R '

gS

Q

R g

Figure 2.

(0, y') (und damit P I9, P ' I g') wird Q als Schnittpunkt von P P ' ( = [0]) mit der Parallelen zu g dutch Q und R, R' dann als Schnittpunkte der Parallelen zu h, h t durch Z mit 9 bzw. 9 t (s. Figure 2). Nach dem Desarguesschen (U, UV)-Satz ist dann RR'[IPP' .

Es gibt (bei endlichem Koordinatenbereich) lineare Tern~k6rper mit assoziativ- er sowie kommutativer Addition, jedoch nichtrechtsdistributiver Multiplikation (s. [3]; wie in [2], [3] wird hier x(y + z) = xy + x z als Rechtsdistributivgesetz bezeichnet). In der mit einem solchen gebildeten affinen Ebene gilt der Desarguess- che (V, UV)-, jedoch nicht der (U, UV)-Satz (s. [2, S. 99/100]). Nach dem oben bei den geometrischen Beweisen Bemerkten ist daher (b) keine Folge von (a) und (Vertauschung von U, V!) auch umgekehrt (a) keine Folge von (b). Somit ist weder (a) noch (b) eine notwendige Bedingung ftir die Inversorthogonalitat der Qm. Es bleibt often, ob man in Satz 4 auf die Anforderungen an die Addition, zumindest auf ihre Kommutativit~it verzichten kann.

Ohne die Kommutativit~it von + bedeutet (a) (zusammen mit der Temark6rper eigenschaft von (N, T)), dab (N, +, .) eine cartesische Gruppe ist (s. [2, S. 90]). Man kennt noch keine endlichen nichtkommutativen cartesischen Gruppen. Bei der Hefleitung der Inversorthogonalit~it aus (a) ben0tigt man die Kommutativit~it nur, um (10") in (10 t) zu tiberffihren. Statt der Kommutativit~it gentigt in (a) also auch die Bedingung: Zu m, m t, y mitm ~ rat gibt es x mit mix - m x = y. Wegen der Endlichkeit von N ist das gleichbedeutend mit der Injektivit~it der Abbildung x ~ mix - m x also mit

m # m' , z # x' =~ m 'x - tax # m ' x ' - rex'

und daher mit

ra # mr, x y£ x' ::~ - r e x + rex' # - m ' x + m'x ' . (12)

18 GONTER PICKERT ~"=-" ~ (0, m(-a))

o) (o, o) (-a, o) Figure 3.

Demgegentiber hat man als die neben der Gmppeneigenschaft von (N, +) sowie 0x = 0 = x0, lx = x = x l (fiir alle x E N)kennzeichnende Eigenschaft der endlichen cartesischen Gruppen (s. [2, S. 90])

m = m', x ~ x' ~ m x ' - m x ~ m' x' = m' x. (12')

Rechts- oder Linksdistributivit~t zieht bei einer cartesischen Gruppe die Kommu- tativitlit nach sich (s. [2, S. 92, Satz 31]). Um (12) aus (12') zu gewinnen, gentigt aber bereits die Rechenregel

m ( - a ) = - m a (fiir allam, a e N) , (13)

die sich wegen x0 = 0 als SpezialfaU des Rechtsdistributivgesetzes ergibt; denn mit (13) l ~ t sich (12) ebenso wie (12') in

m ~ m ' , a + b ~ O ::¢, m a + mb ¢ m'a + m'b

tiberfiihren (mit a = - x , b = x' bzw. a = x', b = - x ) . An Hand von Figur 3 erkennt man, da6 (13) bei linearem Temlirktirper geometrisch einen Spezialfall des Desarguesschen (U, UV; 17, O U)-Satzes bedeutet; dieser besagt bekanntlich die Faktorisierbarkeit von T (s. [2, S. 99, Satz 34]), und diese zieht zusammen mit der Linearitlit das Rechtsdistributivgesetz nach sich (s. [2, S. 99, Satz 35]).

Literatur

1. Hughes, D. R. und Piper, E C.: Projective Planes, Springer, New York, Heidelberg, Berlin, 1973. 2. Pickert, G.: Projektive Ebenen, Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 1975. 3. Pickert, G.: Die cartesischen Gruppen der Ostrom-Rosati-Ebenen, Abh. Math. Sem. Hamburg 30

(1967), 106-117. 4. Vedder, K.: Affine planes and latin squares,in: Combinatorics "81, Ann. Discrete Math. 18 (1983),

761-768.