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TESIS MAGISTER EN INGENIERIA CIVIL
ENFASIS EN ESTRUCTURAS
“METODOLOGÍA SIMPLIFICADA PARA EL ANÁLISIS DINÁMICO
NO LINEAL DE EDIFICIOS CON AMORTIGUADORES VISCOSOS”
GABRIEL GUTIERREZ G.
COD 200427617
ASESORES:
JUAN CARLOS REYES
LUIS YAMIN
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
FACULTAD DE INGENIERIA
DEPARTAMENTO DE INGENIERIA CIVIL Y AMBIENTAL
MAGISTER EN INGENIERIA CIVIL
BOGOTA, FEBRERO 2006
MIC 2006-I-27
TABLA DE CONTENIDOS
PAG
1. INTRODUCCION Y JUSTIFICACION 1
1.1 OBJETIVO GENERAL 3
1.2. OBJETIVOS ESPECIFICOS 3
1.3. ALCANCE 4
2. AMORTIGUADORES VISCOSOS 5
2.1. DESCRIPCION 5
2.2. COMPORTAMIENTO 6
2.3. CONFIGURACION EN LA ESTRUCTURA 8
3. MARCO TEORICO 10
3.1. ECUACION BASICA EXCITACION EN LA BASE 10
3.2. ENERGIA DE UN AMORTIGUADOR 12
3.3. COMPORTAMIENTO INELASTICO 14
3.4. ANALISIS MATRICIAL 15
3.5. ANALISIS MODAL 17
3.6. METODO DE DIFERENCIAS FINITAS 19
4. AMORTIGUAMIENTO EQUIVALENTE 21
4.1. ESTRUCTURA EQUIVALENTE 21
4.2. OPTIMIZACION DE AMORTIGUAMIENTO 22
5. METODOLOGIA PROPUESTA 24
6. CASOS DE ESTUDIO 30
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6.1. PROPIEDADES DE LOS MODELOS 30
6.2. CARGAS APLICADAS 37
6.3. ANALISIS DE RESULTADOS 39
6.3.1. RESULTADOS DERIVA 40
6.3.2. ANALISIS INELASTICO CONTRA EL TIEMPO 52
6.3.3. CONFIGURACION ÓPTIMA 77
7. CONCLUSIONES 78
8. BIBLIOGRAFIA 79
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1
1. INTRODUCCION Y JUSTIFICACION
Por todas las catástrofes que han ocurrido y las grandes perdidas económicas, la ingeniería
se ha visto obligada a buscar nuevos modelos para el entendimiento de la respuesta
dinámica de la estructura ante las cargas sísmicas, así como analizar y buscar modelos
experimentales que expliquen mejor el comportamiento inelástico de la estructura a través
de la demanda de ductilidad y el factor de reducción de la fuerza sísmica.
De igual manera se hace necesario buscar nuevas tecnologías como disipadores, aisladores
de base y amortiguadores. Lo anterior, con la finalidad de lograr una reducción de fuerzas
adsorbidas por la estructura durante sismo.
Debido a las altas cargas asociadas al sismo, los edificios son diseñados inelásticamente
para cargas sísmicas reducidas por un factor (R); a cambio de eso, la estructura debe tener
una capacidad de disipación de energía. Es aquí donde entra el campo de los disipadores de
energía, logrando que el sismo, que posee una energía asociada, se disipe por medio de
disipadores causando el menor daño a la estructura, de tal manera que se puedan proteger
los elementos no estructurales y la vida humana.
Debido a la normativa para el diseño de estructuras cada día más exigente se hace vital
encontrar una metodología que logre diseños más eficientes y económicos de la estructura,
además de la rehabilitación de estructuras que fueron diseñadas con normas anteriores y
deben ser actualizadas para reducir su vulnerabilidad ante sismos.
En la primera parte de este trabajo se llevara a cabo una recolección teórica del análisis
sísmico de pórticos, también buscando bibliografía de los disipadores viscosos, asi como la
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2
forma de convertir los amortiguadores de una estructura en un amortiguamiento equivalente
para un sistema de un grado de libertad.
Para la segunda parte se llevaran a cabo modelos de edificios con pórticos planos, en los
cuales se analice el comportamiento del mismo ante sismos, con configuraciones de
amortiguadores viscosos que garanticen un amortiguamiento equivalente. Se comparan las
gráficas de desplazamiento de la estructura real y la de un sistema de un grado de libertad
con amortiguamiento equivalente.
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3
1.1 OBJETIVO GENERAL
Hallar la modelación de pórticos complejos utilizando la equivalencia entre un modelo de
múltiples grados de libertad (MDF) y un modelo de un grado de libertad (SDF), que estime
el comportamiento de la estructura. Para hallar dicha equivalencia se convierte el sistema
MDF a un sistema SDF convirtiendo una configuración de amortiguadores viscosos a un
amortiguamiento equivalente.
1.2 OBJETIVOS ESPECIFICOS
1.1. Recolectar la bibliografía de los disipadores viscosos para un tipo de fabricante
seleccionado.
1.2. Definir las variables relevantes para la elaboración del modelo conceptual.
1.3. Elaborar el modelo conceptual para el análisis de disipadores viscosos.
1.4 Realizar un análisis paramétrico para determinar la importancia de cada una de las
variables que intervienen en el problema.
1.5 Identificar la metodología que explique el comportamiento de los disipadores viscosos
para lograr la equivalencia de varios disipadores con un disipador equivalente.
1.6 Analizar edificios reales con sistemas de amortiguamiento y compararlos con el de un
sistema de un grado de libertad.
1.7 Elaborar conclusiones y recomendaciones
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4
1.3 ALCANCE
El alcance de la presente tesis es buscar un modelamiento simplificado de pórticos
utilizando disipadores viscosos equivalentes para obtener la respuesta dinámica del pórtico.
Se idealizara la estructura como un edificio de cortante para poder plantear la matriz de
amortiguamiento (la matriz de rigidez del edificio si considera flexibilidad en las vigas).
También se va a desarrollar el análisis para pórticos planos, y se manejará pequeños
amortiguamientos (menores al 20 %) para llevar a cabo la aproximación de la frecuencia
natural del sistema es la misma a la amortiguada del sistema.
)1( 2nd ξωω −= (1.1)
%20≤ξ (1.2)
nd ωω ≈ (1.3)
SUPUESTOS
• Pórticos planos
• Amortiguamiento concentrado en los dispositivos
• No amortiguamiento histerético
• Amortiguamiento lineal
• Modo fundamental
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5
2. AMORTIGUADORES VISCOSOS
2.1 DESCRIPCION
El disipador funciona por un pistón que está contenido en su interior (ver Figura 2.1) , el
cual al intentar moverse, encuentra la resistencia del fluido al pasar por los orificios del
mismo, disipando de esta manera la energía y convirtiéndola en calor. Esta energía es
irradiada al exterior del disipador.
Para el óptimo funcionamiento de los disipadores viscosos se selecciona el aceite de
silicona debido a que este fluido es químicamente inerte y no corrosivo además de no
presentar mayores cambios de viscosidad con la temperatura generada por la disipación de
la energía lo cual afectaría las propiedades del amortiguador.
Figura 2.1 Esquema de un disipador viscoso
Los disipadores, al estar colocados en la estructura, no cambian su periodo fundamental
pero si reducen en una amplia gama de periodos estructurales los valores de aceleración y
desplazamiento, por lo cual son muy útiles para reducir los valores de derivas y de fuerzas
inerciales en una estructura.
La mayoría de las estructuras poseen una amortiguamiento intrínseco entre el 1% y el 5%
del crítico, añadiéndole disipadores de energía se puede incrementar el nivel de
amortiguamiento disminuyendo los daños causados por los sismos. Los daños, en muchos
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6
casos, se presentan en los elementos no estructurales ya que se parte de la filosofía de
diseño que, para eventos extremos, se pierde la elasticidad de la estructura; es aquí donde
los amortiguadores juegan un papel importante en la rehabilitación de estructuras y en el
diseño de nuevas estructuras. Muchos ingenieros los prefieren por no cambiar las
propiedades de rigidez de la estructura y por ende su periodo. [Miyamoto, 2004]
2.2 COMPORTAMIENTO
La ecuación que describe el comportamiento de los amortiguadores (ver ecuación 2.1).
F=CVα (2.1)
La constante C depende de las dimensiones del pistón, la constitución del mismo y la
viscosidad del fluido. El parámetro α se relaciona con su conformación interna.
El exponente de la velocidad en los amortiguadores es un parámetro importante, ya que
posee la influencia en la reducción de las fuerzas inerciales.
Debido al valor del exponente, los amortiguadores se pueden clasificar como lineales
(α=1), no lineales (α<1) y superlineales (α>1). Como ya se menciona anteriormente el α
depende de la configuración interna, dependiendo este del fabricante, la bibliografía
recomienda valores entre 0.3 y 0.75. Para los sismos es claro que para la misma constante
de amortiguamiento C el amortiguador disipa mayor energía a mayor exponente, por lo que
las fuerzas axiales transferidas a los elementos de la estructura son mayores, debido a que
necesitan diseñarse para mayores cargas y asumiendo que no se deteriore el amortiguador
por flexiones inducidas. Las propiedades de los amortiguadores se deben revisar
cuidadosamente dado que para pequeños sismos, son mejores los amortiguadores nolineales
que los lineales, en razón a que las velocidades son pequeñas y, al estar elevadas a un
exponente que en este caso es menor de uno, se incrementa este término a diferencia de
valores mas altos de velocidad. Para sismos fuertes son mejores los amortiguadores lineales
por mayores velocidades relativas entre los pisos. [Yu, 2003]
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7
La mayoría de los ingenieros utilizan los dispositivos en diagonales para conectarlos con
los demás miembros de la estructura. Es muy importante la configuración del amortiguador
ya que su impacto puede reducir costos y sus implicaciones arquitectónicas en cuanto a
distribución de espacio. También se debe buscar que el amortiguador se añada a la
estructura por medio de articulaciones que garanticen la no transferencia de flexiones al
amortiguador y que solo se comporte con cargas axiales; lo anterior, buscando evitar la
aparición de esfuerzos adicionales.
Figura 2.2 Esquema conexión amortiguador a la estructura.
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8
2.3 CONFIGURACION EN LA ESTRUCTURA
Hay numerosas alternativas en la configuración del amortiguador. A continuación serán
definidas las variables:
u= movimiento piso
uD= movimiento amortiguador
F=Fuerza hecha por el amortiguador
FD= Fuerza en el amortiguador.
Se puede demostrar lo siguiente:
uD =ƒu
F =ƒFD
Donde ƒ es el factor de magnificación. Para las siguientes configuraciones se cuenta con
este factor.
Para amortiguadores lineales se puede demostrar que el coeficiente de amortiguamiento
para condiciones elásticas para un solo piso con peso W y periodo T es igual a (ver
ecuación 2.2):
WgTCf
πβ
4
2
= (2.2)
La ecuación 2.2 es de gran relevancia, ya que demuestra que el amortiguamiento es
proporcional al factor de magnificación al cuadrado, por lo que las configuraciones “toggle
brace y scissor jack” pueden tener valores de ƒ mayores que 1 [Constantinou, 2001]. Las
configuraciones mas comunes se muestran en la Figura 2.3 donde se muestra el valor de
magnificación.
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9
Figura 2.3 Diferentes configuraciones de amortiguadores
con valor de magnificación
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10
3. MARCO TEORICO
El marco teórico de soporte será el análisis de la respuesta dinámica de estructuras,
haciendo un recorrido por las ecuaciones básicas del comportamiento dinámico de
estructuras, para tener un punto de partida buscando llevar a cabo la equivalencia de las
propiedades dinámicas de un modelo complejo a propiedades equivalentes [CHOPRA
2001]
3.1 ECUACION BASICA EXCITACION EN LA BASE
ut
ug
Figura 3.1 Esquema de un pórtico idealizado sometido a una excitación en la base
Se tiene el siguiente esquema de un pórtico idealizado sometido a una excitación en la base
(ver Figura 3.1). Para empezar se tiene por el principio de D’Alambert [CHOPRA, 2001]
que un sistema sometido a fuerzas dinámicas debe estar en equilibrio en todo momento. La
suma de fuerzas que intervienen en la masa se pueden ver en la ecuación 3.1.
0=++ SDI fff (5.1)
Los desplazamientos totales son la suma de los relativos mas los de la base.
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11
)()()(
)()()(......
tututu
tututu
g
t
gt
+=
+= (3.2)
Se establece la ecuación de movimiento de un sistema SDF con excitación en la base (ver
ecuación 3.3):
)(),(......
tumuukucum g−=++ (3.3) Con las siguientes variables definidas en las ecuaciones 3.4 a 3.6.
rc
c=ξ (3.4)
nr mwc 2= (3.5) ξnmwc 2= (3.6)
Ahora se busca la solución de un sistema para unas condiciones iniciales. Si se toma un
SDF con condiciones iniciales se tiene el siguiente movimiento contra el tiempo, ver
Figura 3.1.
Variación desplazamiento contra el tie mpo
-1
1
-1 0 3 0
tiempo
Des
pla
zam
ien
to
Figura 5.1 Variación desplazamiento contra el tiempo
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12
Si se plantea la ecuación de movimiento [CHOPRA, 2001] en los picos de amplitud se
tiene lo siguiente (ver Ecuaciones 3.7 a 3.10)
)
1
2(
2
)()( ξ
πξ
−=+
eTtutu
D
(3.7)
2
1 1
2)ln(
ξ
πξ
−=
+i
i
uu
(3.8)
11 2 ≈−ξ (3.9)
2)ln(1
πξ=+i
i
uu
(3.10)
Esto permite conocer el nivel de amortiguamiento de estructuras con condiciones iniciales
de movimiento, cabe decir que esto aplica para pequeños amortiguamientos por la
aproximación de la raíz cuadrada de 1 menos el amortiguamiento al cuadrado.
3.2 ENERGIA DE UN AMORTIGUADOR
Si se plantea la Energía disipada por un amortiguador sujeto a una fuerza armónica en un
ciclo [CHOPRA, 2001]:
wtptp sin)( 0= (3.11) Como la Energía es la integral de la fuerza por el desplazamiento
∫ ∫== dtucdufE DD
2. (3.12)
[ ] 20
20
20 2)cos( uk
ww
cwudtwtwucn
∫ ==− πξπφ (3.13)
La relación encontrada es interesante ya que se observa que la energía disipada por un
amortiguador es proporcional al cuadrado de la amplitud y depende de la frecuencia de
excitación. Por lo que a mayores factores de amplificación de fuerza sísmica mayor
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respuesta del amortiguador, ya que tiene rangos en los cuales no sirve de mucho el
incremento del valor de amortiguamiento porque no lo refleja de forma significativa.
Ahora se plantea la Energía ingresada al sistema sujeto a una fuerza armónica en un ciclo:
∫ ∫== dtutpdutpEI
.)()( (3.14)
∫ =− φπφ sin)cos()(sin( 0000 updtwtwuwtp (3.15)
y
Dn
I
n
Ekuww
E
kpu
ww
==
=
20
0
0
2
/)2(sin
πξ
ξφ (3.16)
Pero que sucede con la energía potencial y la cinética lo que indica es que están en
equilibrio y son iguales, cuando la energía potencial es máxima la cinética es cero y
viceversa, cabe recordar que esta deducción fue hecha para un ciclo.
Ahora se tiene lo siguiente:
1
)(
)(sin
)cos()(
2
0
2
0
220
220
20
0
.
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−=
−−=
−==
cwuf
uu
tuucwf
wtuucwf
wtcwutucf
D
D
D
D
φ
φ
(3.17)
Que es igual a la ecuación de una elipse cuya área es la energía disipada en un ciclo por un
amortiguador. De la relación anterior se obtiene que la energía disipada por el amortiguador
sea la misma que la disipada en un ciclo de histéresis, por lo que se puede plantear la
siguiente relación con un amortiguamiento equivalente.
so
D
neq E
Eww
πξ
41
= (3.18)
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14
Esta ecuación calcula el amortiguador equivalente luego de la estructura sufrir
deformaciones inelásticas.
3.3 COMPORTAMIENTO INELASTICO
Se sabe que los sismos producen fuerzas inerciales que se pueden modelar como fuerzas
horizontales aplicadas externamente, los materiales poseen un comportamiento elástico
hasta un esfuerzo llamado de fluencia después de lo cual la relación entre la deformación y
el esfuerzo no es lineal [CHOPRA, 2001]. Para el caso de diseño sísmico se sabe que las
fuerzas externas asociadas a un sismo son muy altas, por lo que diseñar una estructura
elástica para un sismo es sumamente costoso por lo que se deja que la estructura entre en su
rango inelástico y absorba parte de la energía asociada al sismo con energía de deformación
permitiendo diseñar para fuerzas menores. Para entender el comportamiento de un material
se tiene un comportamiento elastoplástico el cual después de llegar a fluencia el material no
puede resistir mas esfuerzo pero si deformarse, tenemos la fuerza elástica de diseño f0 y la
fuerza de diseño fy ver Figura 3.2
F f0 fy uy u0 um u
Figura 3.2 Curva Fuerza-Deformación Material Elastoplástico
Usando una relación entre la fuerza elástica y la fuerza de diseño (ver ecuación 3.19)
y
yyy
ff
R
uu
ff
f
0
00
=
== (3.19)
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Denominando ductilidad la relación entre la deformación máxima y la de fluencia se llega a
(ver ecuación 3.20)
Ru
uuu m
y
m µµ =⇒=
0
(3.20)
La ecuación diferencial de movimiento dividiendo por m queda (ver ecuación 3.21).
)(),(~
2...
2...
tuuufuwuwu gsynn −=++ ξ (3.21) con
y
ss f
uufuuf
),(),(
~.
.= (3.22)
3.4 ANALISIS MATRICIAL Para empezar se supone un edificio de cortante un modelo en el cual se supone las vigas
infinitamente rígidas en su plano (diafragma rígido) y en sentido transversal EI=α
[CHOPRA, 2001]. Ver Figura 3.3
P2(t) P1(t) Figura 3.3 Esquema de un pórtico de múltiples grados de libertad Planteando las ecuaciones dinámicas para ambas masas que por conveniencia se plantean
de forma matricial.
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡)()(
2
1
2
1
2
1..
2
..
1
2
1
tptp
ff
ff
u
um
m
k
K
D
D (3.23)
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16
Suponiendo un comportamiento lineal las fuerzas se relacionan a los desplazamientos de
los pisos y haciendo equilibrio llegamos a la relación de una matriz de rigidez y
amortiguamiento
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−+
2
1
2
1
22
221
k
K
ff
uu
kkkkk
(3.24)
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−+
2
1
2
.1
.
22
221
D
D
ff
uu
ccccc
(3.25)
donde
∑=col
i LEIc
k 3
12 (3.26)
En general para sistemas sin vigas infinitamente rígidas pero con diafragma rígido, hay más
grados de libertad por las rotaciones de los apoyos. Para la construcción de las matrices de
amortiguamiento y rigidez se imponen desplazamientos o velocidades unitarias y se
calculan las fuerzas que aparecen para mantener estos desplazamientos o velocidades. En
general al plantear las ecuaciones matriciales estas se pueden condensar para los grados de
libertad con las masas asociadas. Por comodidad se planteara el sistema sin matriz de
amortiguamiento (ver ecuaciones 3.27 a 3.29).
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡0
)(000
0000
0..
0
..tp
uu
kkkk
u
um tt
t
ttttttt (3.27)
Donde el subíndice t representa los grados de libertad con masa y los 0 sin masa.
tt
tt
ttttttttt
ukku
ukuktpukukum
0001
0
0000
00
..
0)(
−−=
=+=++
(3.28)
Sustituyendo y reemplazando queda
t
Tttttt
tttttttt
ukkkk
tpukum
001
0
..
ˆ)(ˆ
−−=
=+ (3.29)
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3.5ANALISIS MODAL Se supone al sistema sin amortiguamiento y sin fuerza externa satisfaciendo condiciones
iniciales [CHOPRA, 2001] (ver ecuación 3.30).
0..
=+kuum (3.30) Suponiendo una solución del vector de desplazamiento de la siguiente forma, donde el
vector φn no varía con el tiempo y representa el vector de forma (deformada).
nn tqtu φ)()( = (3.31)
Derivando (3.31) y reemplazando en la ecuación se llega a la ecuación 3.32.
[ ] 02 =− nnmwk φ (3.32)
Donde el vector de forma no puede ser 0, para resolverlo se plantea el determinante a la
matriz de donde sale los valores y vectores propios de esta matriz. Los valores propios
representan las frecuencias naturales al cuadrado y sus vectores de forma asociados, al
organizarlas de menor a mayor la menor frecuencia corresponde al modo fundamental.
Ahora se muestra la matriz espectral que corresponde las frecuencias naturales, que es
diagonal.
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=Ω
2.
22
21
2
..
nw
ww
(3.33)
Y la matriz de los vectores de forma.
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=Φ
NNNN
N
N
φφφ
φφφφφφ
21
.
22221
11211
..
(3.34)
Con estas matrices se puede transformar la ecuación general por unas nuevas matrices las
cuales son diagonales (ver ecuación 3.35)
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nnn
T
T
MwKmMkK
2=
ΦΦ=ΦΦ=
(3.35)
Para los sistemas con amortiguamiento se puede plantear una matriz transformada de amortiguamiento la cual puede o no ser diagonal, dependiendo de la colocación de los
amortiguadores en el sistema, si la matriz es diagonal se conoce como amortiguamiento
clásico ya que las ecuaciones se pueden desacoplar, en cambio si la matriz no es diagonal se conoce como amortiguamiento no-clásico y las ecuaciones no se pueden desacoplar por
lo que toca resolver ecuaciones simultáneas.
ΦΦ= cC T (3.36)
Donde los términos de la diagonal son
nn
nn Mw
C2
=ξ (3.37)
Para los casos de amortiguamiento clásico se sugieren métodos de la construcción de
matrices de amortiguamiento que al ser premultiplicadas con la matriz de los vectores de
forma se obtiene una matriz diagonal, uno de los enfoques es la matriz de Rayleigh la cual la matriz se construye como una suma algebraica de las matrices de masa y rigidez.
kamac 10 == (3.38)
Se puede escoger el valor a0 para obtener un amortiguamiento para un modo específico
j
j
ii
wa
waξξ
22
1
0
=
= (3.39)
Volviendo al principal objetivo que es la ecuación general para sistemas de varios grados de libertad con excitación en la base se sabe, que se puede plantear en términos de matrices
de la siguiente forma, y con el cambio de variable se puede tener unas nuevas matrices que
para la masa y rigidez son diagonales y para el amortiguamiento puede o no ser diagonal, por lo que es importante concentrarse en la respuesta de un sistema de estos de forma
general con excitación en la base.
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19
(3.40)
Como se sabe la función de excitación de base que es comúnmente usada corresponde a un
acelerograma, por lo que no posee solución analítica y toca buscar la solución por métodos
numéricos, paso a paso. Se explicará el método de diferencias finitas.
3.6 METODO DE DIFERENCIAS FINITAS.
Este método se basa en plantear las ecuaciones diferenciales por medio de diferencias
finitas, a medida que se vuelve mas pequeño el intervalo mejora su exactitud. Para el
método toca hacer unos cálculos iniciales (Ecuaciones 3.41 a 3.47), que son la semilla de
las posteriores iteraciones.
Cálculos Iniciales.
ΦΦΦ
=mmuq T
noT
no (3.41)
ΦΦΦ
=mmvq T
noT
no
. (3.42)
00 pP TΦ= (3.43)
0
..
00
.
00
..qKqqCPqM →−−= (3.44)
Luego se supone un intervalo de tiempo lo suficientemente pequeño
0
..2
0
.
01 2qtqtqq ∆
+∆−=− (3.45)
)(
)(
)()()(),(
.....
.....
......
tuKqqCqM
tumqkqcqm
tqtutumuukucum
gnnn
gT
nT
nT
nT
nn
g
α
γ
φγ
=++
Φ−=ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ
=
−=++
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20
Ct
Mt
K∆
+∆
=211ˆ
2 (3.46)
Mt
KbCt
Mt
a 22
2;211
∆−=
∆−
∆= (3.47)
Con estos cálculos iniciales se procede a los cálculos para el paso i (ecuaciones 3.48 a 3.49)
11
1
ˆˆ
ˆ
++
−
⇒=
−−=
Φ=
iii
iiii
iT
i
qPqK
bqaqPP
pP
(3.48)
11
1112
..
11
.
)2(1
)(21
++
−−+
−+
Φ=
+−∆
=
−∆
=
iT
i
iiii
iii
qu
qqqt
q
qqt
q
(3.49)
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21
4. AMORTIGUAMIENTO EQUIVALENTE
4.1 ESTRUCTURA EQUIVALENTE
Idealizando una estructura con sus masas como nodos, esta se puede convertir a un SDF.
Para llevar a cabo tal equivalencia se calcula el centroide sísmico de las fuerzas inerciales
que cause los mismos efectos en la estructura (ver ecuación 4.1) y que posea el periodo fundamental del modelo MDF. Adicionalmente se obtiene la curva de capacidad de la
estructura, para obtenerla se ingresan las propiedades inelásticas de los elementos y la
estructura se empuja registrando valores de carga y deformación de la cubierta. Esta curva se idealiza de comportamiento bilineal, convirtiendo esta curva a una rótula inelástica en el
modelo SDF (ver Figura 4.1).
Figura 4.1 Equivalencia entre sistema MDF y SDF
∑
∑ ∗Φ=
ii
iii
eq m
mh (4.1)
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Al hacer la equivalencia de modelos las energía ingresada al sistema y la energía disipada por el amortiguador debe ser equivalente, se conoce la energía total de un sistema SDF con
las propiedades conocidas y se entra a un proceso iterativo hasta obtener las propiedades de
los amortiguadores que disipen la misma cantidad de energía (ver Ecuaciones 4.2 y 4.3).
∑=
=pisosn
iiDGDLD EE
,
1,, (4.2)
∫ ∑ ∫=
⋅=⋅pisosn
iii dtvCdtvC
,
1
22 (4.3)
4.2 OPTIMIZACION DE AMORTIGUAMIENTO
Para el proceso de optimización de los dispositivos a colocarse en los diferentes pisos para
obtener el grado de amortiguamiento deseado (correspondiente al primer modo), se empezará planteándolo para un sistema de 4 pisos para luego extenderlo en general. Se
sabe que se usará solo el primer modo por lo que la matriz de forma se convierte
únicamente en un vector. En general la matriz transformada de amortiguamiento es de la forma (Ecuación 4.4).
ΦΦ= cC T (4.4)
Teniendo los siguientes vectores y matrices (Ver ecuación 4.5)
MIC 2006-I-27
23
[ ]4321
44
4433
3322
221
ttttt
cccccc
ccccccc
c
t =
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−+−
−+−−+
= (4.5)
Empezando la primera parte de la multiplicación de la ecuación 4.4
[ ]44344434323332321222211 )()()( tctctctcctctctcctctccctct t ⋅+⋅−⋅−++⋅−⋅−++⋅−⋅−+=⋅
)2()2()2()(
222
)()()(
2434
234
2323
223
2212
212
211
244344
234
233233
223
2221222
211
21
244434
3442
3433232332
232112122212
1
ttttcttttcttttctctct
tcttctctcttctctcttcctcttct
tcttc
ttctccttcttctccttcttcccttct
t
t
t
+⋅⋅−++⋅⋅−++⋅⋅−+=⋅⋅
⋅+⋅⋅−⋅+⋅+⋅⋅−⋅+⋅+⋅⋅−⋅+⋅=⋅⋅
⋅+⋅⋅
−⋅⋅−++⋅⋅−⋅⋅−++⋅⋅−⋅⋅−+=⋅⋅
En general se puede plantear dependiendo de n pisos como (ver ecuación 4.6)
wamortttttctctctn
iiiiii
t *2*)2()(2
21
21
211 =+⋅⋅−+=⋅⋅ ∑
=−− (4.6)
El lado de la igualdad es el amortiguamiento requerido multiplicado por la frecuencia
natural y por 2, también se multiplica por la masa, pero como se tratan con modos ortonormalizados este valor es uno.
Teniendo la Ecuación 4.6 se debe buscar la combinación de valores de c que cumplan esta
ecuación y que además den la menor suma de c ya que a mayor c mayor costo. Los pisos donde debe colocarse mas amortiguadores para causar mayor amortiguamiento son los que
poseen mayor deriva, o mayor desplazamiento relativo del vector de forma.
MIC 2006-I-27
24
5. METODOLOGIA PROPUESTA
En este capitulo se revisará paso a paso la metodología que se propone para el análisis de
pórticos con disipadores viscosos. Esta metodología que se propone puede ser usada para
rehabilitación o diseño: 1. Obtener el periodo fundamental (T), el vector de forma ortonormalizado (φ) y la
masa participante en el primer modo (m) usando el análisis modal del sistema MDF.
2. Calcular el centroide de las fuerzas sísmicas con el vector de forma modal correspondiente al primer modo. Ver ecuación (5.1):
∑
∑ ∗Φ=
ii
iii
eq m
mh (5.1)
3. Calcular la curva de pushover del modelo MDF e idealizarla mediante un modelo bilineal. Generar un sistema SDF (ver Figura 5.1) como una columna en voladizo
con una rótula cerca al apoyo utilizando las ecuaciones 5.2 a 5.6.
mT
k *2 2
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
π (5.2)
hdkM yy **= (5.3)
hdyy /=θ (5.4)
hVM uu *= (5.5)
hduu /=θ (5.6)
Donde k es la rigidez, My el momento de fluencia, θy la rotación elástica, Mu el
momento último y θu la rotación última.
MIC 2006-I-27
25
Figura 5.1 Conversión de un modelo MDF a SDF
4. Calcular los desplazamientos y la deriva inelástica de piso utilizando el modelo SDF
definido en el punto 3, para las señales de análisis. 5. Introducir en el modelo SDF un amortiguador equivalente y calcular el nivel de
amortiguamiento necesario para llegar al nivel de desempeño esperado, ya sea en
deriva de piso o en ductilidad demandada. Debido a que en principio se desconocen las propiedades del amortiguador se puede optar por uno de los siguientes métodos:
- Calcular en el espectro de desplazamientos de la señal de entrada el nivel de
amortiguamiento necesario para disminuir la deriva o la ductilidad demandada al límite permisible. En las Figuras 5.3 a 5.5 se construyen los espectros de de
reducción del desplazamiento de un nivel de amortiguamiento vs. el 5%
- Variar el nivel de amortiguamiento en el sistema SDF con el fin de construir una curva que relacione la deriva de piso o la ductilidad demandada con el
amortiguamiento. Entrando en esta curva con los límites permisibles de deriva o
ductilidad es posible obtener el amortiguamiento equivalente requerido.
6. Convertir el amortiguamiento equivalente del sistema SDF a cantidad de
amortiguadores en c/piso para el sistema MDF. Para esto se debe desarrollar el
siguiente procedimiento: - Calcular la velocidad relativa contra el tiempo procedimiento lineal dinámico
(LDP) en el modelo SDF para la señal de análisis.
MIC 2006-I-27
26
- Calcular la energía total disipada por el amortiguador equivalente utilizando la
ecuación (4.3). - Estimar los valores iniciales de C y el vector de configuración VC de acuerdo con
la ecuación (5.7). Se puede iniciar con el valor de amortiguamiento equivalente
definido en (5) del modelo SDF dividido por el número de pisos.
cVCC = (5.7)
Donde C es el vector de amortiguadores. El vector VC se puede suponer igual a
la diferencia de φ en el piso i con el φ en el piso i-1. - Calcular la velocidad relativa contra el tiempo en el modelo MDF para la señal de
análisis. Esto se hace multiplicando la velocidad del modelo SDF por el vector de
forma. - Calcular la energía disipada por los amortiguadores utilizando la ecuación (4.3).
- Comparar la energía disipada por el modelo SDF con la disipada por el modelo
MDF, si estas energías son iguales se tiene la configuración de amortiguadores, de lo contrario iterar hasta que ambas energías sean iguales. Este proceso se resume en
la Figura 4.2.
- Buscar la optimización de los dispositivos colocándolos principalmente en los pisos de mayor deriva.
Figura 7.2. Diagrama de Flujo para Obtener amortiguamiento Equivalente
MIC 2006-I-27
27
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
0.95
1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3
PERIODO (s)
RED
UCCI
ON
DES
PLAZ
AMIE
NTO
10%
15%
20%
Figura 7.3 Reducción de desplazamientos al cambiar de un amortiguamiento del 5% a otro valor de amortiguamiento para Sismo del centro
MIC 2006-I-27
28
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
0.95
1
1.05
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3
PERIODO (s)
RED
UC
CION
DES
PLA
ZAM
IEN
T
10%
15%
20%
Figura 7.4 Reducción de desplazamientos al cambiar de un amortiguamiento del 5% a otro valor de amortiguamiento para Sismo de Méjico
MIC 2006-I-27
29
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
0.95
1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3
PERIODO (s)
RED
UC
CION
DES
PLA
ZAM
IEN
T
10%
15%
20%
Figura 7.5 Reducción de desplazamientos al cambiar de un amortiguamiento del 5% a otro valor de amortiguamiento para Sismo de Chile
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30
6. CASOS DE ESTUDIO
Para probar la metodología, se escogieron 8 modelos con tres sismos de análisis
(CENTRO, CHILE, MEJICO), y se escogieron las irregularidades en altura que define
la NSR-98 para probar la metodología
6.1 PROPIEDADES DE LOS MODELOS
PRIMER MODELO
Figura 6.1 Geometría Modelo 1
En la Figura 6.1 se muestra la geometría del Modelo 1, así como en la tabla 6.1 sus
propiedades
MIC 2006-I-27
31
Tabla 6.1 Propiedades modelo 1
PERIODO FUNDAMENTAL 0.62s MASA PARTICIPANTE MODO FUNDAMENTAL 77.54% ALTURA EQUIVALENTE/ALTURA TOTAL 75.26% CORTANTE DE FLUENCIA 19.8 Tonf DESPLAZAMIENTO FLUENCIA 0.138 m CORTANTE ULTIMO 68.2 Tonf DESPLAZAMIENTO ULTIMO 1.98 m
SEGUNDO MODELO
Figura 6.2 Geometría Modelo 2
En la Figura 6.2 se muestra la geometría del Modelo 2, así como en la tabla 6.2 sus
propiedades Tabla 6.2 Propiedades modelo 2
PERIODO FUNDAMENTAL 1.0628 s MASA PARTICIPANTE MODO FUNDAMENTAL 77.78% ALTURA EQUIVALENTE/ALTURA TOTAL 75.07% CORTANTE DE FLUENCIA 133.64 Tonf DESPLAZAMIENTO FLUENCIA 0.1608 m CORTANTE ULTIMO 410.14 Tonf DESPLAZAMIENTO ULTIMO 1.98 m
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32
TERCER MODELO
Figura 6.3 Geometría Modelo 3
En la Figura 6.3 se muestra la geometría del Modelo 3, así como en la tabla 6.3 sus propiedades
Tabla 6.3 Propiedades modelo 3
PERIODO FUNDAMENTAL 0.7703 s MASA PARTICIPANTE MODO FUNDAMENTAL 80.14% ALTURA EQUIVALENTE/ALTURA TOTAL 78.5% CORTANTE DE FLUENCIA 193.55 Tonf DESPLAZAMIENTO FLUENCIA 0.051 m CORTANTE ULTIMO 1668 Tonf DESPLAZAMIENTO ULTIMO 1.4 m
CUARTO MODELO
Figura 6.4 Geometría Modelo 4
MIC 2006-I-27
33
En la Figura 6.4 se muestra la geometría del Modelo 4, así como en la tabla 6.4 sus
propiedades Tabla 6.4 Propiedades modelo 4
PERIODO FUNDAMENTAL 1.89 s MASA PARTICIPANTE MODO FUNDAMENTAL 64% ALTURA EQUIVALENTE/ALTURA TOTAL 73.27% CORTANTE DE FLUENCIA 56.68 Tonf DESPLAZAMIENTO FLUENCIA 0.1647 m CORTANTE ULTIMO 139.63 Tonf DESPLAZAMIENTO ULTIMO 1.2 m
QUINTO MODELO
Figura 6.5 Geometría Modelo 5
MIC 2006-I-27
34
En la Figura 6.5 se muestra la geometría del Modelo 5, así como en la tabla 6.5 sus
propiedades Tabla 6.5 Propiedades modelo 5
PERIODO FUNDAMENTAL 1.55 s MASA PARTICIPANTE MODO FUNDAMENTAL 81% ALTURA EQUIVALENTE/ALTURA TOTAL 72.11% CORTANTE DE FLUENCIA 71.89 Tonf DESPLAZAMIENTO FLUENCIA 0.1295 m CORTANTE ULTIMO 181.57 Tonf DESPLAZAMIENTO ULTIMO 1.08 m
SEXTO MODELO
Figura 6.6 Geometría Modelo 6
MIC 2006-I-27
35
En la Figura 6.6 se muestra la geometría del Modelo 6, así como en la tabla 6.6 sus
propiedades Tabla 6.6 Propiedades modelo 6
PERIODO FUNDAMENTAL 1.37 s MASA PARTICIPANTE MODO FUNDAMENTAL 71% ALTURA EQUIVALENTE/ALTURA TOTAL 74.56% CORTANTE DE FLUENCIA 75.58 Tonf DESPLAZAMIENTO FLUENCIA 0.1846 m CORTANTE ULTIMO 196.31 Tonf DESPLAZAMIENTO ULTIMO 1.12 m
SEPTIMO MODELO
Figura 6.7 Geometría Modelo 7
MIC 2006-I-27
36
En la Figura 6.7 se muestra la geometría del Modelo 7, así como en la tabla 6.7 sus
propiedades Tabla 6.7 Propiedades modelo 7
PERIODO FUNDAMENTAL 1.2 s MASA PARTICIPANTE MODO FUNDAMENTAL 72% ALTURA EQUIVALENTE/ALTURA TOTAL 74.79% CORTANTE DE FLUENCIA 161.29 Tonf DESPLAZAMIENTO FLUENCIA 0.11 m CORTANTE ULTIMO 442 Tonf DESPLAZAMIENTO ULTIMO 1.2 m
OCTAVO MODELO
Figura 6.8 Geometría Modelo 8
MIC 2006-I-27
37
En la Figura 6.8 se muestra la geometría del Modelo 8, así como en la tabla 6.8 sus
propiedades Tabla 6.8 Propiedades modelo 8
PERIODO FUNDAMENTAL 1.13 s MASA PARTICIPANTE MODO FUNDAMENTAL 56% ALTURA EQUIVALENTE/ALTURA TOTAL 83% CORTANTE DE FLUENCIA 59.26 Tonf DESPLAZAMIENTO FLUENCIA 0.0804 m CORTANTE ULTIMO 171Tonf DESPLAZAMIENTO ULTIMO 0.996 m
6.2 CARGAS APLICADAS
Las cargas muertas aplicadas a los modelos fueron las siguientes (ver Tabla 6.9)
Tabla 6.9 Valores de Carga Muerta
MODELO CARGA MUERTA (Tonf/m) 1 4 2 3 3 5 4 4 5 3.5 6 5 7 2.5 8 5
Los sismos usados fueron los siguientes:
• Sismo Centro Am = 0.3484g, Duración 53.8s
• Sismo Chile (1985) Am = 0.3627g, Duración 56.35s
• Sismo Centro Am = 0.1712 g, Duración 180s
En las Figuras 6.10 a 6.12 se presentan los espectros de Fourier de los sismos analizados
MIC 2006-I-27
38
Figura 6.10 Espectro de Fourier Sismo el Centro
Figura 6.11 Espectro de Fourier Sismo Chile
Figura 6.10 Espectro de Fourier Sismo Méjico
MIC 2006-I-27
39
6.3 ANALISIS DE RESULTADOS
Los Resultados de correr los modelos, con los tres sismos de análisis fueron realizados en
SAP-2000 versión 8. Los resultados fueron los obtenidos por los desplazamientos en la
cubierta, para los sistemas SDF y su desplazamiento se multiplicó por el inverso de la altura equivalente sobre la altura total. Para la configuración óptima de amortiguadores se muestra
los pisos en los cuales se colocaron los dispositivos, cabe aclarar que los dispositivos tienen
el mismo valor en todos los pisos.
En la Tabla 6.10 se muestra el valor de amortiguamiento de acuerdo al modelo y el sismo.
Estos valores de amortiguamiento son los necesarios para disminuir la deriva al 1% aunque se puede usar cualquier otro criterio de control para establecer el nivel de amortiguamiento
de la estructura como el de limitar la ductilidad.
Tabla 6.10 Valor de Amortiguamiento necesario de acuerdo al modelo y sismo.
AMORTIGUAMIENTO REQUERIDO
MODELO SISMO CENTRO C SISMO CHILE C SISMO MEJICO C 1 10 10.4 10 10.4 10 10.4 2 10 119.8 18 214.4 5 59.9 3 18 411.2 25 569.6 5 114.0 4 5 74.8 11 163.5 50 746.9 5 5 68.7 7 95.9 32 439.1 6 15 137.4 15 137.4 15 137.4 7 7 192.8 13 365.9 5 135.9 8 17 149.1 25 220.1 22 194.9
En la Tabla 6.11 se muestra en el proceso de optimización de los dispositivos los valores
necesarios de la constante del amortiguador por piso para lograr el valor de
amortiguamiento necesarios, así como los pisos en los cuales se colocan los dispositivos.
MIC 2006-I-27
40
Tabla 6.11 Valor de Amortiguamiento necesario de acuerdo al modelo y sismo para optimización.
6.3.1 RESULTADOS DERIVA
En las Figuras 6.13 a 6.36 se presentan las derivas inelásticas obtenidas del análisis
dinámico para los sismos de análisis.
Figura 6.13 Deriva inelástica para el Sismo del Centro (Modelo 1)
PISOS DISPOSITIVOS CONFIGURACION OPTIMA MODELO SISMO CENTRO C SISMO CHILE C SISMO MEJICO C
1 2,3 22.44 2,3 22.44 2,3 22.44 2 2,3 203.36 2,3 368.24 TODOS 59.9 3 1,2,3 411.25 1,2,3 569.61 1,2,3 114 4 TODOS 74.84 6,7,8,9 359.68 2,3,4,5,6,7 979.49 5 TODOS 68.75 2,3,4 119.32 2,3,4 545.79 6 3,4,5,6 173.01 3,4,5,6 173.01 3,4,5,6 173.01 7 2,3,4,5,6 210.81 2,3,4,5,6 399.95 TODOS 135.94 8 3,4,5 172.31 3,4,5 254.37 3,4,5 225.34
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41
Figura 6.14 Deriva inelástica para el Sismo de Chile (Modelo 1)
Figura 6.15 Deriva inelástica para el Sismo de Méjico (Modelo 1)
MIC 2006-I-27
42
Figura 6.16 Deriva inelástica para el Sismo del Centro (Modelo 2)
Figura 6.17 Deriva inelástica para el Sismo de Chile (Modelo 2)
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43
Figura 6.18 Deriva inelástica para el Sismo de Méjico (Modelo 2)
Figura 6.19 Deriva inelástica para el Sismo del Centro (Modelo 3)
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44
Figura 6.20 Deriva inelástica para el Sismo de Chile (Modelo 3)
Figura 6.21 Deriva inelástica para el Sismo de Méjico (Modelo 3)
MIC 2006-I-27
45
Figura 6.22 Deriva inelástica para el Sismo del Centro (Modelo 4)
Figura 6.23 Deriva inelástica para el Sismo de Chile (Modelo 4)
MIC 2006-I-27
46
Figura 6.24 Deriva inelástica para el Sismo de Méjico (Modelo 4)
Figura 6.25 Deriva inelástica para el Sismo del Centro (Modelo 5)
MIC 2006-I-27
47
Figura 6.26 Deriva inelástica para el Sismo de Chile (Modelo 5)
Figura 6.27 Deriva inelástica para el Sismo de Méjico (Modelo 5)
MIC 2006-I-27
48
Figura 6.28 Deriva inelástica para el Sismo del Centro (Modelo 6)
Figura 6.29 Deriva inelástica para el Sismo de Chile (Modelo 6)
MIC 2006-I-27
49
Figura 6.30 Deriva inelástica para el Sismo de Méjico (Modelo 6)
Figura 6.31 Deriva inelástica para el Sismo del Centro (Modelo 7)
MIC 2006-I-27
50
Figura 6.32 Deriva inelástica para el Sismo de Chile (Modelo 7)
Figura 6.33 Deriva inelástica para el Sismo de Méjico (Modelo 7)
MIC 2006-I-27
51
Figura 6.34 Deriva inelástica para el Sismo del Centro (Modelo 8)
Figura 6.35 Deriva inelástica para el Sismo de Chile (Modelo 8)
MIC 2006-I-27
52
Figura 6.36 Deriva inelástica para el Sismo de Méjico (Modelo 8)
En todas las Figuras de las derivas inelásticas se puede observar la reducción de los valores
de deriva conservando la forma de deformada.
6.3.2 ANALISIS INELASTICO CONTRA EL TIEMPO
En las Figuras 6.37 a 6.79 se presentan los desplazamientos de la cubierta contra el tiempo
para los modelos SDF y MDF, con y sin amortiguadores.
Figura 6.37 Desplazamiento inelástico de la cubierta contra el tiempo sin amortiguadores (Sismo el Centro
Modelo 1)
MIC 2006-I-27
53
Figura 6.38 Desplazamiento inelástico de la cubierta contra el tiempo con amortiguadores (Sismo el Centro
Modelo 1)
Figura 6.39 Desplazamiento inelástico de la cubierta contra el tiempo sin amortiguadores (Sismo Chile
Modelo 1)
Figura 6.40 Desplazamiento inelástico de la cubierta contra el tiempo con amortiguadores (Sismo Chile
Modelo 1)
Para el primer modelo para todos los sismos las curvas para los modelos SDF y MDF son
idénticas, esto se debe a que la estructura se comporta casi elásticamente por las bajas
derivas a las que esta sometida la estructura.
MIC 2006-I-27
54
Figura 6.41 Desplazamiento inelástico de la cubierta contra el tiempo sin amortiguadores (Sismo Méjico
Modelo 1)
Figura 6.42 Desplazamiento inelástico de la cubierta contra el tiempo con amortiguadores (Sismo Méjico
Modelo 1)
Figura 6.43 Desplazamiento inelástico de la cubierta contra el tiempo sin amortiguadores (Sismo el Centro
Modelo 2)
MIC 2006-I-27
55
Figura 6.44 Desplazamiento inelástico de la cubierta contra el tiempo con amortiguadores (Sismo el Centro
Modelo 2)
Figura 6.45 Desplazamiento inelástico de la cubierta contra el tiempo sin amortiguadores (Sismo Chile
Modelo 2)
Figura 6.46 Desplazamiento inelástico de la cubierta contra el tiempo con amortiguadores (Sismo Chile
Modelo 2) En la medida que la estructura ingresa en el rango inelástico las curvas empiezan a
diferenciarse como se ve en la Figura 6.45, esto se debe a la suposición únicamente de rótulas plásticas en las vigas y no en las columnas, ya que la estructura posee como resortes
que son las columnas.
MIC 2006-I-27
56
Figura 6.47 Desplazamiento inelástico de la cubierta contra el tiempo sin amortiguadores (Sismo Méjico
Modelo 2)
Figura 6.48 Desplazamiento inelástico de la cubierta contra el tiempo sin amortiguadores (Sismo el Centro
Modelo 3)
Figura 6.49 Desplazamiento inelástico de la cubierta contra el tiempo con amortiguadores (Sismo el Centro
Modelo 3)
MIC 2006-I-27
57
Figura 6.50 Desplazamiento inelástico de la cubierta contra el tiempo sin amortiguadores (Sismo Chile
Modelo 3)
Figura 6.51 Desplazamiento inelástico de la cubierta contra el tiempo con amortiguadores (Sismo Chile
Modelo 3)
Figura 6.52 Desplazamiento inelástico de la cubierta contra el tiempo sin amortiguadores (Sismo Méjico
Modelo 3)
MIC 2006-I-27
58
Figura 6.53 Desplazamiento inelástico de la cubierta contra el tiempo sin amortiguadores (Sismo el Centro
Modelo 4)
Figura 6.54 Desplazamiento inelástico de la cubierta contra el tiempo sin amortiguadores (Sismo Chile
Modelo 4)
Figura 6.55 Desplazamiento inelástico de la cubierta contra el tiempo con amortiguadores (Sismo Chile
Modelo 4)
MIC 2006-I-27
59
Figura 6.56 Desplazamiento inelástico de la cubierta contra el tiempo sin amortiguadores (Sismo Méjico
Modelo 4)
Figura 6.57 Desplazamiento inelástico de la cubierta contra el tiempo con amortiguadores (Sismo Méjico
Modelo 4)
Figura 6.58 Desplazamiento inelástico de la cubierta contra el tiempo sin amortiguadores (Sismo el Centro
Modelo 5)
MIC 2006-I-27
60
Figura 6.59 Desplazamiento inelástico de la cubierta contra el tiempo sin amortiguadores (Sismo Chile
Modelo 5)
Figura 6.60 Desplazamiento inelástico de la cubierta contra el tiempo con amortiguadores (Sismo Chile
Modelo 5)
Figura 6.61 Desplazamiento inelástico de la cubierta contra el tiempo sin amortiguadores (Sismo Méjico
Modelo 5)
MIC 2006-I-27
61
Figura 6.62 Desplazamiento inelástico de la cubierta contra el tiempo con amortiguadores (Sismo Méjico
Modelo 5)
Figura 6.63 Desplazamiento inelástico de la cubierta contra el tiempo sin amortiguadores (Sismo el Centro
Modelo 6)
Figura 6.64 Desplazamiento inelástico de la cubierta contra el tiempo con amortiguadores (Sismo el Centro
Modelo 6)
MIC 2006-I-27
62
Figura 6.65 Desplazamiento inelástico de la cubierta contra el tiempo sin amortiguadores (Sismo Chile
Modelo 6)
Figura 6.66 Desplazamiento inelástico de la cubierta contra el tiempo con amortiguadores (Sismo Chile
Modelo 6)
Figura 6.67 Desplazamiento inelástico de la cubierta contra el tiempo sin amortiguadores (Sismo Méjico
Modelo 6)
MIC 2006-I-27
63
Figura 6.68 Desplazamiento inelástico de la cubierta contra el tiempo con amortiguadores (Sismo Méjico
Modelo 6)
Figura 6.69 Desplazamiento inelástico de la cubierta contra el tiempo sin amortiguadores (Sismo el Centro
Modelo 7)
Figura 6.70 Desplazamiento inelástico de la cubierta contra el tiempo sin amortiguadores (Sismo el Centro
Modelo 7)
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Figura 6.71 Desplazamiento inelástico de la cubierta contra el tiempo sin amortiguadores (Sismo Chile
Modelo 7)
Figura 6.72 Desplazamiento inelástico de la cubierta contra el tiempo con amortiguadores (Sismo Chile
Modelo 7)
Figura 6.73 Desplazamiento inelástico de la cubierta contra el tiempo sin amortiguadores (Sismo Méjico
Modelo 7)
En la Figura 6.73 se puede observar como la estructura a falta de amortiguadores después
de sufrir el pico de desplazamiento desfasa la curva entre el modelo SDF y MDF
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Figura 6.74 Desplazamiento inelástico de la cubierta contra el tiempo sin amortiguadores (Sismo el Centro
Modelo 8)
Figura 6.75 Desplazamiento inelástico de la cubierta contra el tiempo con amortiguadores (Sismo el Centro
Modelo 8)
Figura 6.76 Desplazamiento inelástico de la cubierta contra el tiempo sin amortiguadores (Sismo Chile
Modelo 8)
MIC 2006-I-27
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Figura 6.77 Desplazamiento inelástico de la cubierta contra el tiempo con amortiguadores (Sismo Chile
Modelo 8)
Figura 6.78 Desplazamiento inelástico de la cubierta contra el tiempo sin amortiguadores (Sismo Méjico
Modelo 8)
Figura 6.79 Desplazamiento inelástico de la cubierta contra el tiempo con amortiguadores (Sismo Méjico
Modelo 8)
En las Figuras 6.80 a 6.95 se muestran los máximos desplazamientos inelásticos de la
cubierta para los modelos SDF y MDF
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Figura 6.80 Desplazamiento Inelástico Máximo de la Cubierta sin amortiguadores (Modelo 1)
Figura 6.81 Desplazamiento Inelástico Máximo de la Cubierta sin amortiguadores (Modelo 2)
MIC 2006-I-27
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Figura 6.82 Desplazamiento Inelástico Máximo de la Cubierta sin amortiguadores (Modelo 3)
Figura 6.83 Desplazamiento Inelástico Máximo de la Cubierta sin amortiguadores (Modelo 4)
MIC 2006-I-27
69
Figura 6.84 Desplazamiento Inelástico Máximo de la Cubierta sin amortiguadores (Modelo 5)
Figura 6.85 Desplazamiento Inelástico Máximo de la Cubierta sin amortiguadores (Modelo 6)
MIC 2006-I-27
70
Figura 6.86 Desplazamiento Inelástico Máximo de la Cubierta sin amortiguadores (Modelo 7)
Figura 6.87 Desplazamiento Inelástico Máximo de la Cubierta sin amortiguadores (Modelo 8)
MIC 2006-I-27
71
Figura 6.88 Desplazamiento Inelástico Máximo de la Cubierta con amortiguadores (Modelo 1)
Figura 6.89 Desplazamiento Inelástico Máximo de la Cubierta con amortiguadores (Modelo 2)
MIC 2006-I-27
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Figura 6.90 Desplazamiento Inelástico Máximo de la Cubierta con amortiguadores (Modelo 3)
Figura 6.91 Desplazamiento Inelástico Máximo de la Cubierta con amortiguadores (Modelo 4)
MIC 2006-I-27
73
Figura 6.92 Desplazamiento Inelástico Máximo de la Cubierta con amortiguadores (Modelo 5)
Figura 6.93 Desplazamiento Inelástico Máximo de la Cubierta con amortiguadores (Modelo 6)
MIC 2006-I-27
74
Figura 6.94 Desplazamiento Inelástico Máximo de la Cubierta con amortiguadores (Modelo 7)
Figura 6.95 Desplazamiento Inelástico Máximo de la Cubierta con amortiguadores (Modelo 8)
Para la mayoría de los modelos los valores registrados por el modelo SDF y MDF
tienden a ser muy parecidos, además en la medida que la demanda de ductilidad es
MIC 2006-I-27
75
bajad se parecen aun mas. En la Figura 6.96 se presenta el error porcentual que existe
cuando el máximo registrado usando el sistema MDF es mayor al máximo registrado por el sistema SDF.
En la Figura 6.97 se presenta el error porcentual que existe cuando el máximo
registrado usando el sistema MDF es menor al máximo registrado por el sistema SDF.
Figura 6.96 Error porcentual que existe cuando el máximo registrado usando el sistema MDF es mayor al
máximo registrado por el sistema SDF.
Observando las Figuras 6.96 y 6.97 los errores entre usar el sistema SDF y MDF se
sitúan entre ± 10%, por lo que la metodología arroja resultados bastante satisfactorios
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Figura 6.97 Error porcentual que existe cuando el máximo registrado usando el sistema MDF es menor al
máximo registrado por el sistema SDF.
Figura 6.98 Porcentaje de casos cuando el valor del sistema MDF es mayor o menor al valor del sistema
SDF
MIC 2006-I-27
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En la Figura 6.98 se muestra el porcentaje de las veces cuando el valor del MDF es mayor o
menor al valor del sistema SDF. Acá la conclusión mas importante es que no se observa ninguna tendencia de que el máximo desplazamiento registrado por el sistema MDF es
mayor al sistema SDF, por lo que en ciertos casos la metodología puede ser o no ser
conservadora.
6.3.3 CONFIGURACION ÓPTIMA
Con el proceso de la optimización de los dispositivos se busca disminuir la cantidad de amortiguadores, colocándolos principalmente en los pisos que presentan mayor deriva, que
normalmente tienden a ser los pisos intermedios.
La Figura 6.99 presenta la disminución porcentual en la cantidad de dispositivos que se obtiene cuando se optimiza la cantidad de dispositivos quitándolos de algunos pisos y
colocándolos en otros. Se observan reducciones de hasta el 50%. Sin embargo es
recomendable colocar amortiguadores en mínimo el 50% de los pisos porque se pueden
concentrar demasiado las fuerzas sísmicas y colapsar algunos modos de vibración.
Figura 6.99 Disminución porcentual de c entre amortiguadores en todos los pisos y optimización para los
sismos
MIC 2006-I-27
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7. CONCLUSIONES
• En el proceso de optimización no se puede colocar todos los dispositivos en un piso
para valores altos de amortiguamiento ya que puede tender a valores muy altos de la constante C, causando el colapso del modo, haciendo que el modo fundamental sea
otro.
• Para la mayoría de los sismos con un amortiguamiento del 20 % entre rangos de periodo entre 0.5s y 1s se reduce el desplazamiento a cerca de la mitad, y para esta
rango son más sensibles los dispositivos.
• En el presente trabajo de investigacion se ha propuesto una metodología simplificada para realizar el análisis inelástico dinámico de edificios con
amortiguadores viscosos. Esta metodología permite establecer la cantidad de
dispositivos que se deben colocar en un edificio para cumplir con determinado límite de deriva o nivel de daño.
• El método propuesto fue probado con varios casos de estudio sometidos a diferentes
señales. En general, se presentaron errores del 10% entre los desplazamientos estimados con la metodología propuesta y con la metodología dinámica no lineal.
• En la modelación de la mayoría de las estructuras se encontró que con el primer
modo se tiene un margen de error aceptable por lo que en muchos casos puede ser suficiente.
• Para el proceso de optimización de los dispositivos, estos se deben colocar mínimo
en el 50% de los pisos de mayor deriva.
• Cuando el nivel de amortiguamiento necesario para lograr la deriva al 1% es
superior al 20% no es aconsejable utilizar un método elástico para estimar la
cantidad de dispositivos
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8. BIBLIOGRAFIA
1. STRUCTURAL PRACTICES, Seismic Dampers, H Kit Miyamoto, M.S., S.E, and
Robert D. Hanson, PhD, P.E. Julio 2004.
2. RESEARCH OF THE VELOCITY EXPONENT OF VISCOUS DAMPER, Chen Yu and Liu Weiqing, College of Civil Engineering, Nanjing University of
Technology, Nanjing, P.R., China, Julio 2003.
3. ANALYSIS AND DESIGN OF BUILDINGS WITH ADDED ENERGY DISSIPATOR DEVICES, Michael C. Constantinou, Gary F. Dargush, George C.
Lee, Andrei M. Reinborn, and Andrew S. Whitakker, MCEER monograph 2000-
2001 4. DYNAMICS OF STRUCTURES, 2 ed, New Jersey, Prentice Hall 2001, Chopra
Anil K.
