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Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

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Alexander Weinmann

Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik

457 durchgerechnete Beispiele mit analytischen,nummerischen und computeralgebraischen Lösungen

in MATLAB und MAPLE

Zweite, erweiterte und überarbeitete Auflage

SpringerWienNewYork

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Em. O. Univ.-Prof. Dipl.-Ing. Dr. techn. Alexander WeinmannInstitut für Automatisierungs- und RegelungstechnikTechnische Universität Wien, Wien, Österreich

Das Werk ist urheberrechtlich geschützt.Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdruckes, der Entnahmevon Abbildungen, der Funksendung, der Wiedergabe auf photomechanischem oder ähnlichem Wegeund der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung,vorbehalten.Produkthaftung: Sämtliche Angaben in diesem Fachbuch (wissenschaftlichen Werk) erfolgen trotzsorgfältiger Bearbeitung und Kontrolle ohne Gewähr. Insbesondere Angaben über Dosierungsanwei-sungen und Applikationsformen müssen vom jeweiligen Anwender im Einzelfall anhand andererLiteraturstellen auf ihre Richtigkeit überprüft werden. Eine Haftung des Autors oder des Verlages ausdem Inhalt dieses Werkes ist ausgeschlossen.Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Buchberechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinneder Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher vonjedermann benutzt werden dürfen.© 1997 und 2007 Springer-Verlag/WienPrinted in AustriaSpringerWienNewYork ist ein Unternehmen von Springer Science + Business Mediaspringer.at

Datenkonvertierung: Reproduktionsfertige Vorlage des AutorsDruck: Novographic Druck G.m.b.H., 1230 Wien, ÖsterreichGedruckt auf säurefreiem, chlorfrei gebleichtem Papier – TCFSPIN 11813415

Mit 332 Abbildungen

Bibliografische Information der Deutschen NationalbibliothekDie Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie;detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar.

ISBN-10 3-211-37135-4 SpringerWienNewYorkISBN-13 978-3-211-37135-0 SpringerWienNewYorkISBN 3-211-82965-2 1. Aufl SpringerWienNewYork

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Vorwort

Aus den wichtigsten Gebieten der Regelungstechnik sind 457 Aufgaben zusammenge-fasst worden. Die Angaben stammen von Priifungen, Klausuren und Kolloquien der letzten 40 Jahre. Sie wurden im Zusammenhang mit Vorlesungen und Ubungen der Studienrich-tung Elektrotechnik an der Technischen Universitat Wien im fiinften bis achten Semester des Diplomstudiums gestellt, fallweise auch bei der letzten Diplompriifung zum Studienab-schluss als Dipl.-Ing. An jede Angabe schlieBt sich die genaue Durchrechnung, Diskussion und Losung.

Der Bogen spannt sich von grundlegender Analyse von Regelstrecken und -kreisen iiber Entwurf von Regelkreisen, Stabilitatsuntersuchungen, Zustandsraum, Abtastregelungen, Optimierung, stochastischen Regelkreisen und Robustheit bis zu nichtlinearen Systemen. In der nunmehrigen zweiten Auflage sind 50 weitere Beispiele aufgenommen worden. Dabei wurden auch Fuzzy-Regelung, chaotische Regelung, Internal-Model-Control und differentiell flache Systeme angesprochen,

Erwiesen ist, dass konkrete Problemstellungen mit Zahlenwerten, auch wenn sie einfach sind, wesentlich das Verstandnis vertiefen, noch besser zur Erkenntnis beitragen als es mit allgemeinen Beziehungen moglich ist.

Bei den Beispielen ist auf Kiirze und Pragnanz besonderer Wert gelegt worden; auf Kiirze, die dennoch die wesentlichen Klippen oder Hiirden aufzeigt. In der Auswahl ist bewusst auf eine gewisse Streuung abgezielt worden, teils auf sehr einfache Aufgaben-stellungen, teils auch auf komplexere. Damit soil unterschiedlichsten Bediirfnissen fiir ein Intensivtraining Rechnung getragen werden.

Bilder sind eher zahlreich vertreten. Aus Platzgriinden sind sie eher klein angelegt, um vor allem den prinzipiellen Verlauf von Kurven zu zeigen und wesentliche Bezifferungen aufzunehmen. Die breite Verfiigbarkeit von Digitalrechnern und Laser-Druckern ermoglicht es heute fast jedem Leser, Diagramme in hoherer Auflosung und Bezifferungsdichte herzu-stellen.

Als Weg der Durchrechnung ist iiberwiegend der analytische eingeschlagen; bietet er doch wegen der mathematisch-analytischen Darstellung ein HochstmaB an Durchdringung und zeigt deutlich die Parameterverflechtung und -abhangigkeit. Bei der Behandlung von Beispielen ist auf die Uberlegungsarbeit vor Eintritt in die eigentliche Rechenarbeit groBer Wert gelegt worden. Die Aufgaben sind auch, wo immer dies moglich erscheint, derart abgemagert, dass eine Durchrechnung in analytisch geschlossener Form moglich ist. Ein Ubergang zu hoherer Problemordnung oder Komplexheit ist dann zumeist nur eine Frage des Aufwands oder der Unterstiitzung durch Digitalrechner samt einschlagiger Software.

Neben der analytischen Berechnung von regelungstechnischen Aufgaben nimmt die rech-nergestiitzte Behandlung groBe Bedeutung ein, sei es zur nummerischen Auswertung, zur Losung von Aufgaben, die nicht mehr in analytisch geschlossener Form dargestellt werden konnen oder entsprechend zeitaufwendig sind; welters zur Losung unter Parameter- und Angabenvielfalt, zur Diskussion und Abwagung zwischen Angaben einerseits und Losungs-und Realisierungsaufwand andererseits. Dem ist Rechnung getragen worden, dass iiber 30 Programme fiir nummerische und symbolische Computerunterstiitztung eingebaut wurden. Sie besitzen teilweise kleinen, teilweise grofieren Umfang. Vorzugsweise wird MATLAB 6.1 eingesetzt, aber auch Simulink, MAPLE und ANA. Fiir einen raschen Erstzugang sind

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auch Kurzkurse fur nummerische und symbolische Computerunterstutzung aufgenommen worden.

Mit dem mathematisch-analytischen Losungsweg sollte man gut vertraut sein, bevor man sich ganzlich der Simulation widmet.

Auf die sehr universellen Instrumente MATLAB, MATHEMATICA, MAPLE, DERIVE sei generell verwiesen; den Zugang vermitteln Biicher und Manuals laut Literaturverzeich-nis.

Aufgabenstellungen groBeren Umfangs oder solche, charakterisiert durch hoheren rech-nerischen Aufwand oder mathematische Grenzfalle, sind durch * in der Uberschrift gekenn-zeichnet.

Mehrere Universitatsassistenten waren im Laufe der Jahre mit den Aufgaben und ihrer Auswertung, je nach Priifung oft in mehreren Varianten, befasst. Nach der vom Autor formulierten Aufgabenstellung widmeten sie sich der Auswertung und standen dem Autor zu Diskussionen zur Verfiigung; oft weit iiber den in dieser Aufgabensammlung gebotenen Umfang hinaus. Es waren dies die Herren Universitatsassistenten Dipl.-Ing. Dr.techn. Hans Bander, Dipl.-Ing. Dr.techn. Markus Glasl, Dipl.-Ing. Dr.techn. Alois Goiser, Dipl.-Ing. Dr.techn. Johannes Goldynia, Dipl.-Ing. Dr.techn. Wilhelm Haager, Dipl.-Ing. Dr.techn. Michael Haider, Dipl.-Ing. Dr.techn. Karl Helm, Dipl.-Ing. Dr.techn. Helmut Homole, Dipl.-Ing. Dr.techn. Rudolf Hornischer, Dipl.-Ing. Gerald Roller, Dipl.-Ing. Dr.techn. Oliver Konig, Dipl.-Ing. Dr. techn. Johann Marinits, Dipl.-Ing. Leopold Moosbrugger, a.o.Univ. Prof. Dipl.-Ing. Dr.techn. Robert Noisser, Dipl.-Ing. Dr.techn. Werner Pillmann, Dipl.-Ing. Dr.techn. Wolfgang Prechelmacher, Dipl.-Ing. Andreas Raschke und Dipl.-Ing. Dr.techn. Herbert Swaton.

Mit den Herren Dr. Goldynia, Dr. Konig und Dr. Hornischer ergaben sich die wohl ausfiihrlichsten Diskussionen.

Die Institutssekretarin Frau Johanna Heinrich besorgte die Reinschrift mit groBer Sorg-falt und sehr genauen LATEX-Kenntnissen. Frau Renate Pauker und Herr Fachoberlehrer Hermann Bruckner unterstiitzten mit organisatorischen Aufgaben.

Die Herren Ing. Franz Babler und Ing. Nikolaus Hofbauer erledigten sehr gewissenhaft das abschlieBende Umzeichnen etlicher Bilder mit TEXCAD und CorelDRAW. Dadurch wurde ein einheitliches Erscheinungsbild im Buchtext gewahrleistet. Herr Wolfgang Fuchs half beim Layout und kniffligen Fragen der Textverarbeitung und ihrer Anpassung an die Institutsrechner.

Allen Genannten sei fiir ihre Mitarbeit und Unterstiitzungsbereitschaft bestens gedankt. Der Springer-Verlag in Wien hat groBte Unterstiitzung in alien Belangen geboten, be-

sonders die Herren Prokurist Frank Christian May, Raimund Petri-Wieder, Mag. Franz Schaffer und Thomas Redl. Dafiir und fiir die sehr gute Ausstattung sei dem Verlag der beste Dank ausgesprochen.

Wien, im November 1996 (erste Auflage) Wien und Oberdrauburg, im Juli 2006 Alexander Weinmann

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Inhaltsverzeichnis

Regels t recken 13 1.1 Blockbildreduktion 13 1.2 Polortskurven fiir ein PT2-Element 14 1.3 Exponentiell anwachsende Storung 14 1.4 Storungsiibertragungsfunktion 15 1.5 Stofiantwort bei D = 1 15 1.6 Resonanzfrequenz, 0-dB-Durchtrittsfrequenz und Transientenfrequenz in Abhangigkeit vom

Dampfungsgrad 15 1.7 Wendepunkt der Sprungantwort 16 1.8 PTa-System 17 1.9 Ortskurve eines Elements mit Totzeit 17 1.10 Identifikation einer Regelstrecke 17 1.11 Greiferkran 18 1.12 Aufgestelltes Pendel 19 1.13 Heizungsregelstrecke 19 1.14 Ortskurve des Prequenzgangs eines PDT3-Elements 20 1.15 Allpass in Operationsverstarkerbeschaltung 20 1.16 Logarithmisch dargestellte Sprungantwort 20 1.17 SIMO-Regelstrecke 21 1.18 Trajektorien eines ITi-Systems 21 1.19 Motorenanlauf 22 1.20 Regelstrecke in Form einer Differenzengleichung 22 1.21 Motorenanlaufverhalten 22 1.22 Fahrleistung 23 1.23 Synthetische Division 23 1.24 Bode-Diagramm, exakt und in Polygon-Approximation 23 1.25 Frequenzgangsermittlung aus der Sprungantwort 24 1.26 Nominal-Stationarleistung Kranantrieb 24 1.27 ITi-System 25 1.28 Linearisierung an einer Synchronmaschine 25 1.29 Sprungantwort mit endlichen Anfangsbedingungen 26 1.30 Bode-Diagramm eines hochgradig schwingungsfahigen Systems 26 1.31 Sprungantwort eines ungedampften Systems 26 1.32 Sprungantwort unter verschiedenen Anfangsbedingungen 27 1.33 Bode-Diagramm mit schlechter Polygonapproximation 27 1.34 Streckenidentifikation 28 1.35 Identifikation eines Bandpasses 29 1.36 Boje in stabiler aufrechter Lage 29

Analyse einfacher Regelkreise 31 2.1 KenngroBen eines Regelkreises 2. Ordnung 31 2.2 * Drehzahlregelung einer Gleichstrommaschine 31 2.3 Storungsiibertragung 32 2.4 Sprungantwort eines Regelkreises auf SoUwertsprung 34 2.5 * Stellenergie an einer integrierenden Strecke 34 2.6 Schleppfehler 34 2.7 Anregelzeit 35

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Inhaltsverzeichnis

2.8 * Schwach instabiler Regelkreis mit PT2-Strecke 35 2.9 Dynamischer Regelfaktor 36 2.10 StellgroBe bei Fiihrungssprung 37 2.11 Asymptote einer Frequenzgangsortskurve 37 2.12 Flache unter der Regelabweichung 38 2.13 Maximaler Wert des Storungsfrequenzgangs 38 2.14 Flachen zum Abweichungsfrequenzgang 38 2.15 * Regelkreis mit Toleranz im Dampfungsgrad der Strecke 39 2.16 Bode-Diagramm aus der analytischen Angabe 40 2.17 Phasenrand als Funktion der Kreisverstarkung 40 2.18 Storungsfrequenzgange je nach Angriffspunkt 40 2.19 Regelkreispole mit gleichem Realteil 41 2.20 Ersatz der Storung durch simulierte Fiihrung 41 2.21 Durchtrittsfrequenz nahe der Knickstelle 41 2.22 Abstandsregelung zweier Flugzeuge 42 2.23 Regelkreis und zugeschaltete harmonische Anregung 43 2.24 Zeitbereichsdaten aus gegebenem \Fo{ju)\ 43 2.25 Regelkreisverhalten aus \FO{JLJ)\ 44

2.26 Regelkreisdiskussion mit Wurzelortskurve 44 2.27 Maximaler Schleppfehler 45 2.28 * Phasenrand und Uberschwingweite bei einer PT2-Schleife 45 2.29 Regelkreisreaktion auf Sollwertstofi 46 2.30 * Wurzelortskurve und maximaler Dampfungsfaktor 46 2.31 Blockbildreduktion einer mehrschleifigen Anordnung 47 2.32 Regelkreis mit zwei instabilen Schleifenpolen 48 2.33 Asymptote der Ortskurve eines PIDTi-Reglers 48 2.34 Stofiantwortnaherung 49 2.35 Maximale StellgroBe eines optimal ausgelegten Systems 49 2.36 * Messgerateausfall und seine Auswirkung 50 2.37 Regelkreisbeurteilung aus dem Betrag der Schleife 50 2.38 * Wurzelort eines Systems vierter Ordnung 52 2.39 * Einfach- und Mehrfachverzweigung einer Wurzelortskurve 52 2.40 * Dreiecksimpulsantwort mittels Faltung 53 2.41 Faltung und Laplace-Transformation 53 2.42 Schlechtestes Storungsverhalten 54 2.43 Signalflussdiagramm 54 2.44 Wurzelortskurve und imaginare Achse 54 2.45 * Wurzelortskurve und zulassiger Verstarkungsbereich 55 2.46 Durchlaufdauer durch einen elliptischen Grenzzyklus 56 2.47 * Wurzelortskurve nach einer Pollage 56 2.48 Wurzelortskurve fiir negative Verstarkung 57 2.49 Regelkreisresonanz im Flihrungsverhalten 58 2.50 Stabilitat und Wurzelortskurven 58 2.51 * Durchtrittsfrequenz, Phasenrand und Anregelzeit 59 2.52 Allpass-Schleife und Phasenrand 60 2.53 * Last an einem elastischem Sell 60 2.54 * Regelung mit Allpass als Strecke 61 2.55 Spezielle Anfangsbedingung 63 2.56 Regelung mit I2-Strecke 63 2.57 3-dB-Bandbreite des Fiihrungsverhaltens 63 2.58 * Regelkreisreaktion auf einen Dreiecksimpuls der StorgroBe 64 2.59 Ortskurve der Sensitivitat eines Regelkreises 64 2.60 GroBte Ortskurvendistanz 65 2.61 Grenzstabilitat bei Schleife mit Vierfachpor(2n-fach-Pol) 66 2.62 Phasenrand und Schleife mit Siebzehnfach-Polstelle 66

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Einfache Entwiirfe von Regelkreisen 67 3.1 Regelkreis aus Totzeitelement und Integrator 67 3.2 Forderband-Regelung 67 3.3 Betragsoptimum zu PT4-Strecke und PI-Regler 68 3.4 Reglerdimensionierung fiir dominierendes Polpaar 69 3.5 Dimensionierung auf Phasenreserve 69 3.6 Ziegler-Nichols-Einstellung 70 3.7 * Totzeitkompensation 70 3.8 * Geschwindigkeitsregelung an einer Elektrolokomotive 71 3.9 PI-Regler-Dimensionierung 72 3.10 Phasenrand zur Dimensionierung 72 3.11 Storungsfrequenz mit bestimmter Resonanz 73 3.12 PDTi-Regler-Auslegung 73 3.13 Reglerdimensionierung auf bestimmte Regelkreisantwort 74 3.14 Betragsoptimum ohne Aufhebungskompensation 74 3.15 Reglerdimensionierung auf Fiihrungsimpulsantwort 74 3.16 Reglereinstellung fiir 48° Phasenrand 75 3.17 Ausbleibende Schwingungsneigung des Regelkreises 75 3.18 Betragsoptimale Auslegung mit Aufhebungskompensation 76 3.19 Regelkreisdimensionierung auf Fiihrungsimpulsantwort 76 3.20 Bemessung auf bestimmten Phasenrand 77 3.21 Symmetrisches Optimum 77 3.22 Reglerentwurf auf Uberschwingfreiheit 78 3.23 Entwurf eines P-Reglers zu einer Totzeitstrecke 78 3.24 Entwurf auf Durchtrittsfrequenz und Phasenrand 78 3.25 PI-Regler-Bemessung zu einer PT2Tt-Strecke 79 3.26 PI-Regler mit Stellgrofienbeschrankung 79 3.27 Referenzmodell fiir den einschleifigen Regelkreis 80 3.28 * Reglerbemessung zu einer I2-Strecke 80 3.29 Reglerkreisbemessung auf maximale Stellgrofie 81 3.30 Zweischleifige Regelung mit Digitalrechner 82 3.31 Reglerentwurf fiir Uberschwingen und Ausregelzeit 82 3.32 Geschwindigkeitskonstante 82 3.33 Fehlerfreie Positionsregelung 83 3.34 Kleinster Dampfungsgrad 83 3.35 Transmissionsnullstelle 83 3.36 Kombinierte Anregung und Anfangsbedingungen 83 3.37 Moghchkeit zur Stabihsierung? 84 3.38 Vorgabe des Dampfungsfaktors 84 3.39 Vorgabe des Schleppfehlers 84 3.40 Phasenrand und Stabilitat 84

Stabilitat 85 4.1 Ortskurve vom Schleifenfrequenzgang FQ (jo;) 85 4.2 VoUstandige Ortskurve und Nyquist-Kriterium 85 4.3 Stabilitat eines Synchronmotor-Antriebs 85 4.4 * Instabiler Regler und instabile Nichtphasenminimum-Strecke 86 4.5 * Reeller Stabihtatsradius fiir ein System 2. Ordnung 87 4.6 Nyquist-Stabilitat einer PIDT2-Schleife 88 4.7 * Stabihtatsradius. Polynomgrad bei analytischer Darstellung 88 4.8 Lyapunov-Stabilitat 90 4.9 Hurwitz-Kriterium 90 4.10 * Minimaler Stabihtatsradius 91 4.11 * Youla-Stabilisierung einer skalaren integrierenden Strecke 91 4.12 Stabilitat mit Beiwertbedingungen und Nyquist-Kriterium 92 4.13 Stabilitat bei instabiler PITi-Schleife 92 4.14 Routh-Schema zu einer ITs-Schleife ' 94 4.15 Stabilitat eines dreischleifigen Regelkreises 94

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Inhal ts verzeichnis

4.16 Stabilitat nach Nyquist bei allpasshaltiger Strecke 94 4.17 Stabilitatsbereich mit Wurzelortskurve 95 4.18 Instabiler Regelkreis bei instabiler Schleife 95 4.19 Bode-Diagramm und eigeninstabiles System 96 4.20 Nyquist-Kriterium und Stabilitatsbereich 97 4.21 Instabile ITi-Schleife und Nyquist-Kriterium 97 4.22 Routh-Kriterium und PI-Regler-Bemessung 97 4.23 Regelschleife mit Vierfachpolstelle 99 4.24 Wurzelortskurve fiir imaginares Streckenpolpaar 99 4.25 Regelschleife mit zwei instabilen Polen 99 4.26 Wurzelortskurve fiir eine Regelschleife mit Doppelpol 100 4.27 Nyquist-Kriterium fiir AUpass-Inverse 101 4.28 Interne Stabilitat bei Pol-NuUstellen-Kurzung 101 4.29 Kontinuierliche Regelung mit Halteglied 101 4.30 * Stabilitat und verschwindender Schleppfehler 102 4.31 Regelkreis fast an der Stabilitatsgrenze 103 4.32 Nyquist-Stabilitatskriterium fiir mehrere Schleifen 103 4.33 * Stabilitatsbereich fiir AUpass-Regelkreis 104 4.34 Nyquist-Ortskurve und -Stabilitat bei ITiTrSchleife 104 4.35 * Stabilitatsbereich bei Allpass-Strecke 105 4.36 Stabilitat bei Allpass-Strecke nahe einem Nennpunkt 107 4.37 Stabilitatsbereich eines PDTi-Reglers mit instabiler PT2-Strecke 107 4.38 Stabilitat nach den Beiwertbedingungen in zwei Varianten 107 4.39 PITi-Schleife und Nyquist-Stabilitat 109 4.40 Stabilitat bei IT2-Schleife nach Cremer, Leonhard, Michailow 109 4.41 Bode-Stabilitatskriterium 110 4.42 Routh-Stabilitatskriterium 110 4.43 Bestimmung der Stabilitat I l l 4.44 Stabilitat einer zweischleifigen Regelung I l l 4.45 Stabilitatsbereich einer ITs-Schleife nach Routh I l l 4.46 Stabilitatsbereich mittels Routh-Schema 112 4.47 * Stabilitat nach den Beiwertbedingungen fiir PT^-System 112 4.48 Beiwertbedingungen fiir Stabilitatsbereich eines I2T2-Systems 113 4.49 Schliel3bedingung fiir komplexe s 113 4.50 Schliefibedingung fiir imaginare s an PTs-System 114 4.51 Phasenrand und Amplitudenrand aus der Frequenzgangsortskurve 114 4.52 * Interne Stabilitat 114 4.53 Instabiler Regler, stabiler Regelkreis unter Polvorgabe 115 4.54 Nyquist-Stabilitatsbereich fiir einen P-Regler 116 4.55 Stabilitatsbereich fiir PDTi-Regler an IT2-Strecke 116 4.56 Nyquist-Stabilitat 116 4.57 * Familie der stabilisierenden Eingrofienregler. Polynommethode 117 4.58 Koordinatentransformation 117 4.59 Entwurf auf Stabilitatsreserve 118 4.60 Cremer-Leonhard-Michailow-Stabilitatskriterium 118 4.61 Stabilitat nach Cremer, Leonhard, Michailow fiir verschiedene Verstarkungen 118 4.62 Stabilitatsgrenze aus der Wurzelortskurve 119 4.63 Nyquist-Kriterium fur PDTi-Schleife 119 4.64 * Ortskurven fiir entartetes Fo{s) 119

Zus tands rege lungen 121 5.1 * Elemente der Transitionsmatrix einer Regelstrecke 121 5.2 Eigenwerte der Transitionsmatrix einer Regelstrecke 122 5.3 Transitionsmatrix fiir PT2s-Regelstrecke 123 5.4 Regelstrecke in Regelungsnormalform 123 5.5 Koeffizientenmatrix aus der Ubertragungsmatrix 123 5.6 Ubertragungsfunktion aus der Transitionsmatrix 124 5.7 Transitionsmatrix und Ubertragungsfunktion aus der Koeffizientenmatrix 124

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Inhaltsverzeichnis

5.8 Stofiantwort zu einem System mit Angabe im Zustandsraum 124 5.9 Modalmatrix 125 5.10 Transitionsmatrix 125 5.11 Modalmatrix-Bestatigung 125 5.12 * Faddeev-Algorithmus 125 5.13 Zustandsraumdarstellung einer zeitdiskreten Regelstrecke 126 5.14 Transitionsmatrix einer zeitdiskreten Regelstrecke 127 5.15 Eigenwertrelationen gemafi Cay ley-Hamilton 127 5.16 Anderung der Eigenwerte bei Anderung in der KoefRzientenmatrix 127 5.17 Regelkreis mit Zustandsregler und I-Element 127 5.18 Zustandsregler und Vorfilter 128 5.19 Zustandsregler unter Polvorgabe 128 5.20 Zustandsregler und sein Koppelplan 129 5.21 Zustandsregler auf vorgegebene SoUwertsprungantwort 130 5.22 * Symmetrische Mehrgrofienregelung im Zustandsraum 130 5.23 Nichtsteuerbarkeit und Nichtbeobachtbarkeit 132 5.24 Polverschiebung und Polkompensation durch Zustandsregelung 133 5.25 Regelkreis in Zustandsraumdarstellung 133 5.26 * Regelkreisentwurf bei Vorgabe von Polen und Nullstellen 133 5.27 Zustandsregler und Sensitivitat 134 5.28 Matrixfunktion 135 5.29 Zustandsregler, Berechnung von Stellgroi3e und Vorfilter 135 5.30 Zustandsregler zur Polverschiebung 136 5.31 * Eingeschrankter Zustandsregler und Polverschiebung 136 5.32 Analyse einer Zustandsregelung 136 5.33 Entwurf einer Abtastregelung mit Polvorgabe 137 5.34 * Entwurf eines Zustandsreglers durch Polvorgabe bei verschiedenen Streckendarstellungen 138 5.35 Zustandsraumdarstellung zu gegebener Streckeniibertragungsfunktion 139 5.36 * Dimensionierung einer Positions-Zustandsregelung 139 5.37 * Kontrolle der Transitionsmatrix 140 5.38 Zustandsraumdarstellung aus der Ubertragungsfunktion 140 5.39 Ubertragungsfunktion aus der Zustandsraumdarstellung 141 5.40 Ubertragungsfunktion und Zustandsraumdarstellung aus dem gegebenen Koppelplan . . . . 141 5.41 * Zustandsregler mit Integrator, Stabilitatsbereich 141 5.42 * Zustandsregler mit Integrator 142 5.43 Zustandsregelung in Potenzreihenentwicklung 144 5.44 Stabilitat einer Zustandsregelung 144 5.45 * Differenzierung als Schaltungskombination im Zustandsraum 144 5.46 Einfache Riickfiihrung als Schaltungskombination 145 5.47 * Unbestimmte Form s ^ 0 gegen Inverse der entarteten Systemmatrix 145 5.48 Spezielle Zustandsraumdarstellungen 146 5.49 Zustandsraumdarstellung in Tabellenform 147 5.50 * Zustandsraumdarstellung der Kettenschaltung zweier Mehrgrofiensysteme 147 5.51 Transienten in der Phasenebene 147 5.52 Bewegungen in der Phasenebene 148 5.53 * Ausgangs-Zustandsregler-Vektor mit Leverrier-Algorithmus 149 5.54 Vermeidung einer Inversen 150

Beobach te r 151 6.1 Beobachter an einer Eingrofienstrecke 151 6.2 Beobachterentwurf bei Strecke in Beobachtungsnormalform 151 6.3 Beobachter bei Strecke in Regelungsnormalform 152 6.4 Regelstrecke samt Beobachter 152 6.5 Beobachterentwurf und Beobachter koppelplan 153 6.6 Strecke zum Beobachter 154 6.7 * Beobachter fiir ModalgroBen 154 6.8 Beobachter unter Polvorgabe 155 6.9 Beobachterentwurf 156

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Inh alts verzeichnis

Totzeitregelungen 157 7.1 Ortskurve eines Totzeitelements 157 7.2 Totzeitregelung 157 7.3 Abtastregelkreis mit Totzeit 157 7.4 Identifikation eines Totzeitgliedes 158 7.5 * Betragsnaherung einer Totzeitregelstrecke 159 7.6 Totzeitregelung mit P-Element 160 7.7 Totzeitregelung mit I-Element 160 7.8 Untersuchung einer Totzeitregelung fiir verschiedene Tt 161 7.9 Regelkreisbemessung nach dem Betragsoptimum 161 7.10 * Stabilitat einer Regelschleife mit Resonanz und Totzeit 162 7.11 l2Tf-Element und Prequenzgangsortskurve 163 7.12 Stabilitat einer ITi-Schleife mit Beiwertbedingungen 163 7.13 * Vergleich P T ^ und PTn-Element 164 7.14 * Entwurf eines P-Reglers an einer Totzeitstrecke bei unbekannter StorgroBenfrequenz . . . 165

Abtastregelungen 167 8.1 Modifizierte 2;-Rucktransformation 167 8.2 Naherung der Ortskurve eines getasteten Signals 167 8.3 Abtastregelstrecke 168 8.4 Zulassige Abtastzeit in Totzeitabschatzung 169 8.5 Zulassige Abtastzeit fiir Stabilitat 169 8.6 Abtastereinfluss auf die Stabilitat 170 8.7 Dead-Beat-Regler 170 8.8 Stellgrofie eines Abtastreglers 170 8.9 Abtastregelkreis mit integrierender Schleife 171 8.10 Bode-Diagramm von Fo{z) ohne w-Ehene 171 8.11 Stabilitat einer Abtastregelung mit und ohne Regler-Halteglied 171 8.12 Abtastzeit an der Stabilitatsgrenze 172 8.13 Stabilitatsgrenze mittels Wurzelortskurve 173 8.14 * Abtastregelkreis mit PDT2-Strecke 173 8.15 Abtastregelkreis. Stabilitatsbereich des P-Reglers 174 8.16 Dead-Beat-Verhalten zu den Abtastzeitpunkten 174 8.17 * Abtastregelung auf Sprung-und Exponentialeingang 174 8.18 Abtastregler-Differenzengleichung 175 8.19 * Reaktion einer getasteten Regelstrecke 176 8.20 * Abtastregelung mit Totzeit 177 8.21 Abtastregelkreis mit ein oder zwei Haltegliedern 179 8.22 Wurzelortskurve zu einer Abtastregelung mit Schleifendoppelpol 179 8.23 Abtastregelkreis mit Einheitsvorwartszweig 180 8.24 Spektrum des Halteglieds nullter Ordnung 180 8.25 Verstarkungseinstellung bei einem Abtastregelkreis 181 8.26 * Entwurf eines Abtastregelkreises 181 8.27 Entwurf in der w-Ehene als integrale Schleife 182 8.28 * Naherungen fiir PT2s-Element nach Euler und nach Tustin 182 8.29 Abtastregelung mit Einheitsregler 183 8.30 Differenzengleichung und ^-Transformation 184 8.31 Verstarkung an der Stabilitatsgrenze 184 8.32 Abtaster vor dem Vergleichsglied 184 8.33 Ortskurve des Abtastsystems 185 8.34 Abschnittweise stabile Abtastregelung 185 8.35 Stabilitatsdiskussion mit Wurzelortskurve 186 8.36 Abtastregelung, Stabilitat uber T und F 186 8.37 * Schrittregler-Regelkreis 187 8.38 P-Regler mit verschiedener Abtastzeit 188 8.39 I-Regler mit verschiedener Abtastzeit 188 8.40 Schleppfehler bei einem Abtastregelkreis 189 8.41 * Abtastregler in Tustin-Naherung 190

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Inhaltsverzeichnis

8.42 Abtastregelung. Dead-Beat-Uberpriifung 190 8.43 * Rechner-Regler 191 8.44 Stabilitat in der w-Ehene 191 8.45 * Abtastregelkreis. Regler mit und ohne Halteglied 192 8.46 * Zeitoptimale zeitdiskrete Zustandsregelung 194 8.47 Abtastregelung mit verschiedenen Abtastzeiten 194

9 Mehrgrofienregelungen 195 9.1 P-kanonische Darstellung aus der V-kanonischen 195 9.2 Zweigrofiensystem mit einseitiger Kopplung 196 9.3 Stabilitat eines V-kanonischen Systems 196 9.4 Fiihrungsautonomer MehrgroBen-Regelkreis 196 9.5 * Zweischleifige Regelung mit Querbeeinflussung 197 9.6 * Regelkreis in nur teilweiser Funktion 197 9.7 Entkopplung einer Messmatrix 199 9.8 * Tilgung einer Verkopplung 199 9.9 * MehrgroBenregelung ohne Kopplungsregler 200 9.10 Zweigrofienregelung und Routh-Stabilitat 201 9.11 * Mehrgrofien-Abtastregelung im Zustandsraum 202 9.12 * Zweigrofienregelung mit I-Reglern 203 9.13 * Dynamisches Vorfilter zur Autonomisierung 204 9.14 Identitat 204 9.15 Kontrollbeobachter 205 9.16 Grenzstabilitat einer Zweigrofienregelung 205 9.17 * Schrittweise Verbesserung des Stabilitatsradius 206 9.18 Humanbiologischer Mehrgrofienregelkreis 206

10 Optimierung 207 10.1 Berechnung der L2-Norm im Zeitbereich 207 10.2 Berechnung der L2-Norm mit Residuensatz im Frequenzbereich 207 10.3 * Berechnung der L2-Norm mit dem Parseval-Theorem 207 10.4 * Berechnung der L2-Norm mit ControUability-Gramian 208 10.5 Zusammenhang zwischen den Hoo-Normen des Ein- und Ausgangs im Zeitbereich 208 10.6 * Infinity-Norm des Ausgangs, 2-Norm des Eingangs 209 10.7 * Minimierung eines ITSE-Kriteriums 209 10.8 * lEXSE-Kriterium 210 10.9 * Hamilton-Matrix in H2 210 10.10 Guteintegral 210 10.11 * LQ-Regler mit instabiler Strecke 211 10.12 * Minimierung unter Nebenbedingungen 211 10.13 * Optimal Modell-Referenzierung 211

11 Robuste Regelungen 213 11.1 Kurven konstanter Spektralnorm 213 11.2 Bauer-Fike-Theorem 213 11.3 Singularwerte als Grenzen der Eigenwerte 214 11.4 * Hoo-Norm einer PT2s-Strecke samt Zustandsregelung 214 11.5 Nichtexistenz einer stabilen Regelung 215 11.6 Robuster I-Regler 216 11.7 * Kreiskriterium fiir Stabilitatsrobustheit 216 11.8 Robuster Abtastregelkreis 217 11.9 Robuste Stabihtat einer Abtastregelung mit Totzeit 217 11.10 Streckentoleranz fiir StabiHtat 217 11.11 * Robuster Eingrofienregler 218 11.12 * Robuster Regelkreis mit Routh-Kriterium 219 11.13 Robuster Regler nach Patel und Toda 220 11.14 Stabilitatsrobustheit von A 221 11.15 * Robustes Fiihrungsverhalten einer Eingrofienregelung 221

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10 Inhaltsverzeichnis

11.16 * Robustes Fiihrungsverhalten 222 11.17 * Value Set 223 11.18 * Robustes Storungsverhalten einer Eingrofienregelung 223 11.19 Hoo-Norm der Storungsiibertragungsfunktion 224

12 Regelkreise auf s tochas t i scher Basis 227 12.1 Leistungsdichte des Ausgangssignals 227 12.2 Regelkreis unter Messrauschen 227 12.3 Spektrale Leistungsdichte des Ausgangs 228 12.4 Rauschanregung 228 12.5 Approximation eines Rauschsignals 228 12.6 Abweichungsspektraldichte 229 12.7 * Regelkreis unter Storungsrauschen 229 12.8 Spektraldichten des Ausgangs 230 12.9 Spektraldichte des Ausgangs bei Anregung mit weiBem Rauschen 230 12.10 Identifikation aus Spektraldichten 231 12.11 * Identifikation im geschlossenen Regelkreis 231 12.12 Messrauschminderung 231 12.13 Optimale Verstarkung eines Parallel-Elements 232 12.14 * Minimum der Ausgangsspektraldichte 232 12.15 Formfilter 233 12.16 * Stochastischer Regelkreis 233 12.17 * Entwurf auf Storung und Messrauschen 234 12.18 * Optimale Vorhersage eines Nutzsignalrauschens 236 12.19 Rauschersatz: Resonanzamplitude und-frequenz 237 12.20 Abschatzung der Rauschauswirkung 237 12.21 Auswirkung des Messrauschens auf die StellgroBe 238

13 Zweipunk t rege lungen 239 13.1 Phasenhnien einer linearen Regelstrecke 239 13.2 Isoklinen und Trajektorien eines Regelkreises 239 13.3 Isokline und Trajektorie 240 13.4 * Nichtlinearer Regelkreis in der Phasenebene 241 13.5 Zeitoptimale Steuerung eines Zweifachintegrators 242 13.6 Unstetiger Greifer-Regler 242 13.7 Unstetiger Regler mit Hysterese 243 13.8 * Zweipunktregelung mit sprungfahiger Regelstrecke in der Phasenebene 244 13.9 * Zweipunktregler mit sprungfahiger Strecke nach Zypkin 245 13.10 Zweipunktregler mit interner Riickfiihrung 246 13.11 Unstetiger Regler ohne Hysterese 246 13.12 Regelung mit Hysterese und zusatzlicher P-Riickfiihrung 246 13.13 * Grenzzyklus an einem PDl2-System 247 13.14 Zustandskurven bei Hysterese-Zweipunktelement 248 13.15 Abschatzungen an einem Zweipunktregelkreis 249 13.16 * Zweipunktsteuerung/regelung an dampfungsfreiem PT2s-System 249 13.17 * Zweipunktregelung an einer PTi-Strecke 251 13.18 * Zweipunktregelung an mittelwertbildender Ii-Strecke 252 13.19 * Dreipunktregler und Gleiten 253 13.20 Stiickweise linearer Regler und Ii-Strecke 254 13.21 Stiickweise linearer Regler und ITi-Strecke 256 13.22 Regelung mit I2-Schleife und Begrenzung 258 13.23 Linearer Regler mit Totzone 258 13.24 Korrektur einer mechanischen Turmuhr 259 13.25 * Zweipunktregler mit Hysterese und instabiler PTi-Strecke 260

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Inhaltsverzeichnis H

14 Grenzzyklen mittels Beschreibungsfunktion 261 14.1 Zweipunktelement ohne Hysterese 261 14.2 Zweipunktelement mit Hysterese 261 14.3 * Dreipunktregler 261 14.4 * IT2-System und P-Regler mit Ansprechschwelle 262 14.5 * Zweipunktregelkreis mit instabiler P-Strecke 264 14.6 Zweipunktregelkreis. Anregelzeit 264 14.7 Zweipunktregler mit IT2-Strecke 265 14.8 Zweipunktregler mit ITf-Strecke 265 14.9 Zweipunktregler mit zweifach instabiler Strecke 265 14.10 Integrierende Riickfiihrung zum Zweipunktregler 268 14.11 * Instabile Strecke mit frequenzabhangiger Beschreibungsfunktion 269 14.12 * Phasenbahnen und Beschreibungsfunktion 269

15 Fachiibergreifende und komplexere Aufgabenstellungen 271 15.1 Linearisierung. Nichteinstellbarer Arbeitspunkt 271 15.2 Zweischleifiger Regelkreis mit verschiedenen Schnittstellen 273 15.3 Autopilotenmodell 274 15.4 * Mehrgrofienregelung. Versteckte iiberfliissige Pole 276 15.5 Nicht steuerbare (nicht stabilisierbare) Regelstrecke 279 15.6 Methode bei unterschiedlichen Eigenwerten 280 15.7 Nicht-Steuerbarkeit in Frequenzbereichs-Darstellung 280 15.8 Steuerbarkeit mit Gram-Steuerbarkeitsmatrix 280 15.9 Steuerbarkeit nach Hautus 281 15.10 Steuerbarkeit bei Eingrofiensystemen 281 15.11 Steuerbarkeit an Laplace-Riicktransformation 281 15.12 Veranschaulichung der Nicht-Steuerbarkeit 281 15.13 Pol-Nullstellen-Mindestabstand 282 15.14 Fuzzy Regelung 282 15.15 Editor fiir Zugehorigkeitsfunktion, Regeln und Defuzzifizierung 284 15.16 * Deterministisch-chaotische Regelung 285 15.17 * Hoo-Regelung an einer Magnetschwebestrecke 285 15.18 * Symmetrische Wurzelortskurve 287 15.19 * Robuste Internal-Model-Control 288 15.20 * Differentiell flaches System 289

16 Nummerische und symbolische Conaputerunterstiitzung 291 16.1 MATLAB nummerisch. Kurzkurs 291 16.2 MATLAB symbolisch. Kurzkurs 291 16.3 Simulink 292 16.4 * Connect-Anwendung an einem Zweigrofien-System 292 16.5 * Auswertungen mit MAPLE und MATLAB 294

A Verzeichnis haufig verwendeter Formelzeichen 295 A.l Allgemeine Hinweise 295 A.2 Verkniipfungssymbole 295 A.3 Hochgestellte Symbole 296 A.4 Indizes 296 A.5 Operationszeichen 296 A.6 Symbole spezieller Art 297

B Literatur 301

C Sachverzeichnis 303

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Kapitel 1

Regelstrecken

1.1 Blockbildreduktion

Angabe: Die Regelstrecke nach Abb. 1.1 ist nach ihren dominierenden dynamischen Eigenschaften zu entwickeln, ihre Ortskurve des Frequenzgangs zu zeichnen und die Anregelzeit anzugeben.

" ,o +S i

A - ^-

^ 2S+20

1 tC

i

~\,

A TD — S + 15 ^ ~ 45S+450

^ _ 90 i ^ - 7+15 '

77- _ 90 1 1

"-

Abbildung 1.1: Blockbild der Regelstrecke

Abbildung 1.2: Vollstandige Frequenzgangs-Ortskurve der Regelstrecke (,+i)(/+\°g)(,+i5) Mit MATLAB: sysG=zpk([] , [-1 -10 - 1 5 ] , 1800) nyquist(sysG) axis([-2 4 -8 8])

Losung: Die Reduzierung liefert

*) = = (^-'')rta 1800 AjE -C) l-BC + AD~{s + 1)(5 + 10)(s + 15)

(1.1)

Das System ist nicht schwingfahig, die dominierende Zeitkonstante liegt bei T = 1. Die Anregelzeit auf StellgroBensprung in u{t) liegt bei etwa 5 7 = 5. Die vollstandige Ortskurve G(juj) zeigt die Abb. 1.2.

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14 1 Regelstrecken

1.2 Polortskurven fur ein PT2-Elenient

Angabe: Man gebe den Formelsatz an, wie sich bei einem allgemeinen PT2-Element die Pole verandern, wenn der Dampfungsgrad D von 0 bis oo schwankt, CJJV dabei aber fest bleibt. Losung: Die beiden Losungen si,2 lauten si,2 = (—D ± \/D^ — 1)UJN • Die zugehorige graphische Inter­pretation als Polortskurve zeigt die Abb. 1.3.

CJjv

51,2 = {-D ± v/D2 - 1) W / T S S . ^ == ^ -cj;sr

Abbildung 1.3: Wurzelortskurve des PT2-Elements iiber dem

Dampfungsgrad D

•U)N

1.3 Exponentiell anwachsende Storung

Angabe: Die EingroBenstrecke G{s) wird durch eine exponentiell anwachsende Storung Wd{s) am Streckeneingang erregt, siehe Abb. 1.4, wobei

G{s) = V

s + b Wa{s) = • V a > 0 (1.2)

Der Regler K{s) soil so bestimmt werden, dass der Ausgang y{t) ein endliches Signal bleibt. Losung: Der Regelkreis liefert ein stabiles Vis), wenn der Regler einen Pol in der rechten Halbebene besitzt, der genau dem Pol des Storungssignals entspricht, also K{s) — - ^ . Durch diese Wahl und von Abb. 1.4 erhalt man

Y{s) _ ^ _ V{s-a) Wi{s) 1 + ^ j ^ {s-a){s + b) + V

Aus der charakteristischen Gleichung ist Stabilitat des Regelkreises zu erkennen

.'^-^a-h)s-ab + V = Q ^ s,2 = ^±\/^^-r^+ab-V

soferne b > a and V > ab. Der Systemausgang lautet dann

V(s - a) r(.) = -J::i£,z^^,(,)^ ( s - 5 i ) ( s - S 2 ) {s - si){s - S2){s - a) {s-si){s-S2)

Die StellgroBe U{s) und der resultierende Streckeneingang U{s) + Wd{s) betragt

V U{s) = -Yis)K{s) =

U{s) + Wdis) = 1

- [ 1 -

{s - si){s - S2){s - a)

V , s-b

s-a {s ~ si){s - S2) {s - si){s - S2)

(1.3)

(1.4)

(1.5)

(1.6)

(1.7)

Page 17: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

1.4 Storungsiibertragungsfunktion 15

Vref = 0 K) K{s)

Wa = 7hi

40 Gis)

Abbildung 1.4: Regelkreis mit exponentiell anwachsender Storgrofie

1.4 Storungsiibertragungsfunktion

Angabe: Ein PT2-System ist zu analysieren. Es besteht in seinem Inneren aus einem Regelkreis mit folgender Storungsiibertragungsfunktion

Fst{s) = K K

2 . 0 . c c - 2 V o n I 1 " ' ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ = ^ ' ^ = ^ F ' (^ = DuJN = l' (1-8) s2 + 2s + 5 s2 + 2DUJNS + 0;^ V5

Wie lauten Uberschwingweite Ah, Uberschwingzeit Tjj und StoBantwort? Losung:

1,57.

Die StoBantwort des Regelkreises lautet

sin2i

(1.9)

(1.10)

1.5 StoBantwort bei D = 1

Angabe: Welche maximale Auslenkung zeigt die StoBantwort eines PT2-Systems fiir D = 1 und UN = 5? Wann tritt der Maximalwert ein? Er ist zugleich Wendepunkt WP der Sprungantwort. Losung:

G{s). 1

i + a^- + 4 - ' 1^=1 (1 + ::^)' (' + ^^)' g{t) = C-'{G{s)}=uj%te"'^' (1.11)

g(t) = 0 ~» w ^ e ^ ' ^ ' ^ ' - w ^ t e - " " ' = 0 ~» uiNt = 1 ~» twp = — = -r ~» 9{twp) = oJNe''- = 1,839. LOff 5

(1.12)

1.6 Resonanzfrequenz, 0-dB-Durchtrittsfrequenz und Transientenfrequenz in Abhangigkeit vom Dampfungsgrad

Angabe: Zu dem PT2-Element

G(S): (1.13)

sind als signiGkante Frequenzen die Beziehungen Resonanzfrequenz cjrz — Sirgmax^ \G{ju)\, 0-dB-Durchtrittsfrequenz ui [ \G{juJi)\ — 1 ] und Transientenfrequenz UQ in ihrem Giiltigkeitsbereich iiber dem Dampfungsgrad D festzuhalten und graphisch zu diskutieren. Losung: Die gefragten Frequenzen lauten {Weinmann, A., 1994)

Resonanzfrequenz Urz = ^N ^ / l - 2D'^ D<OJ

0-dB-Durchtrittsfrequenz Ui

(1.14)

= V2urz= wjvV^v'l - 2D2 D<0,7 (1.15)

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16 1 Regelstrecken

Transientenfrequenz uo = UJNVI-D'^ D <1 . (1.16)

Der Giiltigkeitsbereich ist in Abb. 1.5 verglichen. Punkte auf der Abszissenachse sind, auch wenn sie dort noch eingetragen, eigentlich ein Verweis darauf, dass die KenngroBen null dort keine Bedeutung mehr besitzen.

1.5

bezogene O-dB-Durchtrittsfrequenz

hkn.m, hkm.fig

CDQ bezogene Transienten­frequenz

CB (£) m 0 1.2

Abbildung 1.5: Vergleich signifikanter Frequenzen

1.7 Wendepunkt der Sprungantwort

Angabe: Der Wendepunkt der Sprungantwort (zugleich Maximalwert der StoBantwort) fiir ein PT2s System ist zu ermitteln. Losung: Fiir D < 1 lautet die Gewichtsfunktion des PT2s-Elements

g{ujNt) UNC

- smu Vl-D^

Aus dem Nullsetzen der Ableitung nach t ergibt sich t = twp, der Wendepunkt der Sprungantwort, zu

1

(1.17)

twp = arctan ^ / l - £ ) 2

D (1.18)

Fiir £) = 1 ist twp = I/^^AT, ein Wert, der auch direkt aus Band 1, Kap. 2 {Weinmann, A., 1994) zu entnehmen ist, soferne die Berechnung mittels Doppelpol {D = 1) besorgt wird.

Der Wert der StoBantwort bei t = twp, also im Maximum, folgt mit den Zwischenrechnungen

sinujj\[[twp]V^ — D'^ = sintjjv ^/l-D'^

arctan \/T^^^~D^ ^jvT^::D^^si. tanaj

\ / l + tan^ X

Dies fiihrt mit tan x = zu dem Ergebnis

sincjjv^T^^p V 1 — D^ = A-D^

^J^^^W = A/1 - £)2

(1.19)

(1.20)

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1.8 PT2-System 17

g{uJNtwp) = LJjye -Dujpftw p

V l - Z ) 2 V 1 — 1)2 _ ^ ^ g arctan D

(1.21)

1.8 PT2-System

Angabe: Ein PT2-System F(s) besitzt eine Verstarkung 1 und einen Dampfungsgrad D = 1 sowie eine allgemeine Schwingungskreisfrequenz UN- Man berechne Sprungantwort h(t), Impulsantwort g{t) und g(t). Losung:

Fis) = w^

UN

B

(1 + ^ )

C

(s + UJNY

1 1 U)N H(s) = ^ = ^ + . S S S -{- UN ' {s 4- UN)'^ S S + UN {s + UJN)^

hit) = C-^{H{s)} = [l- e-^^\l + ujN t)] ait)

git) = hit) = [uN e~^^\l-{-UNt)-UNe-^'^'] ait) = [LO% t e"'^^*] ait)

git) = [ij% e -UJ^t •uj%tuN e"'^^*] ait) = [LO% e-^^*{l - ujNt)] ait)

(1.22)

(1.23)

(1.24)

(1.25)

(1.26)

1.9 Ortskurve eines Elements mit Totzeit

Angabe: Die Ortskurve fiir Fis) = j^_^L,y fiir s = ju ist darzustellen. Losung: Die Ortskurve ist eine Gerade, die unendlich oft durchlaufen wird. Aus der Inversion eines Kreises 1 - e~^^'^, der durch den Ursprung geht, ist dies leicht einzusehen. Fiir T = TT ist die Ortskurve in Abb. 1.6 gezeigt.

Fiju) : 1.5

1

0.5

0

-0.5

-1

-1.5 -1

1 _ e-JTo;

1 _ e-i'^^

i

2

— H

r ij =

1 ^

2^+f\

2i/ + i /

^y \

Abbildung 1.6: Ortskurve von ^_1-ST fiir s = juj

1.10 Identifikation einer Regelstrecke

Angabe: Mit einem PTi-Regler Kis) = j ^ wird eine Strecke Gis) geregelt. Bei Ersatz der RauschgroBe ririt) durch einen Dirac-StoB zeigt das System gemaB Abb. 1.7 eine Reaktion der StellgroBe uit) von uit) = -4e-io* + 2e-2* - e-O'^*. Wie lautet Gis)? Losung:

Uis) -Kis) , , ^ ^ - ^ ^ (1.27)

Uis) = -

Nris) l + Kis)Gis)

4 2 1__ _ -3(g=^-H 0,0665-f 6,266) s + 10 s + 2 s -F 0,1 " (5 + 10)(5 + 2)(s + 0,1)

(1.28)

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18 1 Regelstrecken

Vrefis)

iQ-^ K{s) u{s)

Gis) 'J{s)

O^ nr{s)

7— Abbildung 1.7: Blockbild des

Regelkreises

- 2

Abbildung 1.8: Stofiantwort-Stellgrofie u{t) entsprechend Gl.(1.28)

Mit MATLAB ergeben sich identische Ergebnisse als f igure (1 ) und f i g u r e ( 2 ) :

num= [-3 -3*0.66 -3*6.266] den=conv(conv([l 10 ] , [1 2 ] ) , [ 1 0 .1] ) U=tf(num,den) f igure (1 ) impulse (U)

sysK=t f (3 , [ l 12]) sysG=tf ( [ l /90 4 .71 - 2 4 . 4 6 ] , [ 1 0 ,2 /3 18 .8 /3] ) f igure (2 ) sysFu=feedback(sysK,sysG) impulse(-sysFu)

10

Einsetzen liefert die Bestatigung, dass

G{s) = + 4 , 7 1 s - 2 4 , 4 6

s2 + M , + i M (1.29)

die zugehorige Streckeniibertragungsfunktion ist. Die StoBantwort u{t) zeigt die Abb. 1.8.

1 .11 G r e i f e r k r a n

Angabe: Ein Greiferkran sei durch Greifer- und Laufkatzenposition xoit) bzw. xxit) beschrieben und dampfungsfrei angenommen. Welche Reaktion ergibt sich fiir rampenformige Katzbewegung aus einer Ruhelage? Losung: Die Ubertragungsfunktion zwischen Katze und Greifer sei naherungsweise durch ein Polpaar bei ±ju;o angesetzt

XG{S) 1

XK{S) 1 + s V ^ r (1.30)

Bei Anregung dieses „hangenden Pendels" durch eine rampenformige Katzbewegung XK{t) = t {t > 0) ergibt sich fiir xoit)

XG(g) = — . ^ . , = ^ - ^ — - 2 ^ XG{t) = sinujot + t t>0. (1.31)

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1.12 Aufgestelltes Pendel 19

1.12 Aufgestelltes Pendel

Angabe: Eine Masse m werde liber einen masselosen Stab der Lange I balanciert. Welche Ubertragungsfunktion besteht zwischen der Anstellkraft f am unteren Stabende in horizontaler Richtung und dem Stabwinkel a rait der Vertikalen? Losung: Aus Xm = a: 4- / sin a folgt

Xm — X = e = la cos a — la sm a . (1.32)

Fiir a nahe null erhalt man e = la und f{t) — me — mla\ daraus schliefilich

_1_J_ ml s^

(1.33)

Abbildung 1.9: Aufgestelltes Pendel

1.13 Heizungsregelstrecke

Angabe: Eine Fliissigkeit stromt mit konstanter Geschwindigkeit durch ein Metallrohr (siehe Abb. 1.10). Die DurchEusszeit durch die Aufwarmstrecke betragt Tr, vom Ende der Aufwarmstrecke bis zum Tempe-raturfiihler verstreicht eine weitere Zeit von Td. In der Aufwarmstrecke wird zeitproportionales Anwachsen der Temperatur angenommen. Welches dynamische Verhalten liegt vor? Losung: Das zugehorige regelungstechnische Blockbild ist in Abb. 1.11 gezeigt, die Ubertragungsfunktion lautet

^ = G(.) = | i [ e - ( l - e - ) ] . (1.34)

1

Triac

±

Heizstrom u(t)

^

Td

Regler

Metallrohr

1 Warmefiihler

m

Abbildung 1.10: Gerateprinzipbild der Heizungsregelstrecke

Page 22: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

20

u{t) I

g-»r.

»r^ , V-Kl

TrS

1 Regelstrecken

1 yit)

K- "/T F—1 Td Td + Tr

Abbildung 1.11: Blockschaltbild der Heizungsregelstrecke

1.14 Ortskurve des Frequenzgangs eines PDTs-Elements

Angabe: Die Frequenzgangsortskurve von G{s) fiir s = ju und V = 200 ist zu zeichnen

G(s) = ^(1 + ) ^ ^ 1000 - F + (300 - V)s + 30^2 + 5^

Losung: Die Losung ist in Abb. 1.12 gezeigt.

(1.35)

1

0.5

0

-0.5

-1

-1.5

-2 -0.

Uf =

f 1 1

/ 2 0 ' 1 1

r ti - -r - 1— L Vio _i i_

SfS 1 i

1 1

— ^ -J

1

1

1

Abbildung 1.12: Ortskurve des Frequenzgangs G{juj) des PDTs-Elements nach Gl.(1.35) Mit MATLAB: V=200; num=[V V]; den=[l 30 300-V 1000-V] ; sysG=tf(num,den); nyquist (sysG)

0 0.5 1 1.5 2.5

1.15 AUpass in Operationsverstarkerbeschaltung

Angabe: Welches Ubertragungsverhalten besitzt ein ideaJer Operationsverstarker (igi = 0, Ueo = 0) mit Beschaltung nach Ahb. 1.13? Wie sieht das dazugehorende Bodediagramm (in AmpUtude und Phase) aus? Losung: Mit Up = UN folgt aus

^^ = ^ i ^ : f T = ^ii R2-\-^ l-^sR2C J2 = (^2 - C/iv) t = (c/2 - ^ i I T i f e c ) i •

U2 :G{S).

1 - SCR2 1 - sTa

(1.36)

(1.37)

Mit iei =0 und h = -I2 resultiert

^ ' V " TTTCR^J " ~ ^ ' " ^ ' 1 + SR2C '" t/i ~ ^^"^ " 1 + SCR2 1 + sTa

also die Eigenschaft AUpass mit \G{jbj)\ = 1 und einer Phase von 0 bis -TT.

1.16 Logarithmisch dargestelite Sprungantwort

Angabe: Eine PTi-Strecke wird von einem Sprung der Hohe 2 angeregt. Der Verlauf des gemessenen Streckenausgangs 2/(00) abziigUch y(t) wurde logarithmisch iiber der (linearen) Zeit aufgetragen. Er zeigt

Page 23: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

1.17 SIMO-Regelstrecke 21

Abbildung 1.13: Operationsverstarker in Allpass-Beschaltung

von t = 0 bis 0,5 einen linearen Verlauf von log 4 his log 0,4. Welche Zeitkonstante und Verstarkung hat die PTi-Strecke? Losung: Nachdem die Sprungantwort von log 4 = 0,6 auf log 0,4 = 0 ,6—1 = —0,4 fallt, lautet sie analytisch

OR — /'_n A\ (1.38) log boo - y{t)] = 0,6 - O i L _ L M ^ - 0,6 - 2

0,5

Die Sprungantwort der PTi-Strecke folgt bekannterweise zu y{t) — 2K{1 — e~T). Daher resultiert die Differenz 2/00 — y{t) = 2Ke~T , Durch Gleichsetzung erhalt man

log [2/00 - y{t)] = log 2K + log e - r = 0,6 - 2t

und durch Koeffizientenvergleich von f und t^

\og2K = 0,6 ^ K = 2] loge-^ = -hoge = -2t ^ T ^ ^ ^ ^ 0,217.

(1.39)

(1.40)

1.17 SIMO-Regelstrecke

Angabe: Gegeben ist die Regelstrecke mit zwei Ausgangen und einem Eingang

- ( - , ' ; ) . - © • - ( ; ^ ) ^ "(::)-'-e:)^ Fiir welche Regler k = (—A:i — ^2)^ wiit u = k^e liegt Stabilitat vor? Losung: Fiir den Regelkreis folgt

Aci=A + bk^C == ( -' \ l-ki-k2

-iki - 2k2

(1.41)

(1.42)

Stabilitat liegt vor, wenn das charakteristische Polynom (si — A) ein Hurwitz-Polynom ist. Dies ist der Fall, wenn alle Koeffizienten positiv sind. Bei 4ki + 2k2 + 1 > 0 und 5fci + 3^2 — 1 > 0 ist dies der Fall; explizit fiir k2 > - 0 , 5 - 2ki bei ki < -2,5 und k2 > 0,33 - 2,66A;i bei ki > - 2 , 5 .

1.18 Trajektorien eines ITi-Systems

Angabe: Welche Beziehungen im (x-x)-Diagramm beschreiben die Trajektorien von Tx -^ x = Ku mit einem Ruhezustand {x)f als Endzustand? Losung: Fiir konstante Stellgrofie u{t) = UQ folgt

Tx^-x^Kuo -^ T-^x + x=:Kuo = C ] x = v -^ dx = T—^dv (1.43) ax C -V

Page 24: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

22 1 Regelstrecken

—^—dv = \ = T / (1 - -)dy = _ C-V \c-v=y Jy ^ 2/

X = Tx- TKuo In \Kuo -x\-^Ki .

1.19 Mot orenanlauf

(1.44)

(1.45)

Angabe: Ein Motor mit den Nenndaten PN = 170 kW, r] = 0,94, UN = 980 [U/min] und UN = 440 [V] wird hei konstantem Lastmoment Mi = 1200 [Nm] iiber einen Stromrichter angelassen. Die Spannung wird dabei so eingestellt, dass der Anlaufstrom I A = 1,5 IN betragt. Das Gesamttragheitsmoment ist I — 500 [kg nP]. Durch welche Anlaufzeit IA HieBt der maximale Anlaufstrom I A und wie groB ist die Winkelbe-schleunigung? Welches dynamische Verhalten besitzt der Antrieb unter der Annahme stromproportionalen Drehmoments als Ubertragungsfunktion Ankerstrom zu Drehzahl? Losung: Zunachst folgt die Nennwinkelgeschwindigkeit zu LJN = 102,63 [Radiant/Sekunde] und das Mo-tornennmoment aus

(1.46) MN = — = 1557 [Nm] . UN

Wird das Moment stromproportional angenommen, so ist das Anlaufmoment 1,5 MN = 2338 [Nm]. Weiters erhalt man

lun = MM -ML ^ tA = luJN 500-102,63

= 45,1 [Sekunden] . (1.47)

TA(S)

MM - ML 2338 - 1200

Die Anlaufwinkelbeschleunigung ist ^^^500^"° = 2,276 . Aus lujn = alA - 1200 = aia folgt ^ ^ = f^.

1.20 Regelstrecke in Form einer Differenzengleichung

Angabe: Wie sieht zu folgender Differenzengleichung einer Regelstrecke

x{i + 1) — ax{i) = c

mit x{0) = Xo die z-Ubertragungsfunktion und wie die StoBantwort aus? Losung: Mit Beniitzung der Verschiebungsregel resultiert

zXiz)-zx{0)-aX(z) = z - \

__. . cz^- zXo{z -\) A Az Bz ^(Z) = - TT7 r = 7 + -

A^ B = Xo- X{z)

{z-l){z-a)

c z

1 — a z — 1 + {Xo • ' :h^ 1 — a z — a

1.21 Motorenanlaufverhalten

c ^ \r\ nt a - 1 , 'e™ "* = c + XoO,* a - \

(1.48)

(1.49)

(1.50)

(1.51)

[Nm]'

10

0

i

MM

ML^

5 0 1( )0 ^ n

Abbildung 1.14: Motor- und Lastmoment iiber der Winkelgeschwindigkeit

Angabe: Man bestimme das Anlaufverhalten und die Anlaufzeit ti fiir 0 < a; < 50 in Abhangigkeit vom Tragheitsmoment I, und zwar unter den Vorgaben MM = 10^, ML = lOcj^ nach Abb. 1.14.

Page 25: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

1.22 Fahrleistung 23

Losung: Die Abb. 1.15 resultiert aus

lun = MM - ML = MM - lOcjn -^ ^n + -y^n = JMM (1.52)

ln2. jr,{t) = 100(1-6-^); ujn{ti) = 50 -> uJn{ti) = l00{l-e-T-^') = 50 ^ ti = —1 = 0,071 .

(1.53)

' (^n{t;I)

1 = 20

Abbildung 1.15: Yerlauf ujn{t; I)

1.22 Fahrleistung

Angabe: Ein StraBenbahnzug mit der Leermasse mi = 22 • lO'^kg ist fiir 200 Personen zugelassen. Die Antriebsleistung bei einer Geschwindigkeit v = 60km/h auf einer Strecke mit der Steigung 3 Promille ist zu berechnen. Der Wirkungsgrad des Fahrwerkes betragt ry = 0,95 und der spezifische Fahrwiderstand fiir Rillenschienen lON/lOOON. Losung:

Gesamtmasse m = TUL + 200mpers = 20 • 10^ + 200 • 70 ^ 36 • 10^ kg Vertikale Kraft F^ ^ 36 • 10^ • 9,81 = 353, 2 kN Steigungskraft Fs = Fy sin - ^ = 1,0595 kN Kraft senkrecht zur Schiene Fj\j- = Fy cos j ^ = 353 kN

^ Rollreibungskraft FR = ^F^ = 3,5 kN Fahrgeschwindigkeit v = 60km/h = 16,67 m/s Fahrleistung P = {FR + Fs)v^ = 80,56 kW .

1.23 Synthetische Division

Angabe: Vom Ubertragungsglied G{s) = J ^ ist die Sprungantwort an den Stellen t = 0 und t = 0,5 zu berechnen, indem die Laplacetransforniierte Xa{s) in eine Potenzreihe in s"^ entwickelt und danach in den Zeitbereich riicktransformiert wird. Losung:

Xa{s) : S + 1 S + 1

s{s + 2) s2 + 2s

Xait) = l-t + t'^-0,67t^ + 0,S3t'^-0,Ut^

• s"^ + 2s- • 4s-^ + 8s- 16s- (1.54)

x„(0,5):=^ 1 - 0 , 5 + 0 , 2 5 - 0 , 0 8 + 0 ,02-0 ,004 = 0,69. (1.55)

1.24 Bode-Diagramm, exakt und in Polygon-Approximation

Angabe: Welche Aussage liefert das Bode-Diagramm in Polygonapproximation zu

l + 4s G{s) =

(l + 8s)(l + l ,2s + 9s2) bei a; = 0,3 ? (1.56)

Page 26: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

24 1 Regelstrecken

Losung: Zufolge kleinen Dampfungsgrads D = 0,2 des zweiten Nennerteils zeigt das Bode-Diagramm Abb. 1.16 in Resonanznahe (bei a; = 0,3) eine Abweichung um fast 10 dB, ist also in diesem Bereich wenig reprasentativ.

Abbildung 1.16: Bode-Diagramm zu Gl.(1.56). Mit MATLAB: bode([9 l ] , c o n v ( [ 4 1] , [9 1.2 1 ] ) ) . |Gy0.3)| erhalt man aus r e a l ( p o l y v a l ( [ 4 1 ] , j * 0 . 3 ) / p o l y v a l ( [ 9 1.2 1 ] , j * 0 . 3 ) )

1.25 Frequenzgangsermittlung aus der Sprungantwort

Angabe: Aus der Sprungantwort h{t) = 7 - (7 -h 3,5t)e~^ ist durch Approximation mit einer Treppen-funktion der Frequenzgang des Ubertragungsgliedes fiir LJ = 0; 0,5; und 1 naherungsweise zu bestimmen. Losung: Die Losung ist in Abb. 1.17 gezeigt. Die Naherungen sind durch kleine Ringe, die wahren Werte durch die voll ausgezogene Kurve G{juj) gezeigt. Die Naherung ist durch sechs Sprungfunktionen mit den Totzeiten Ti bis TQ besorgt worden.

(J = 0,2

Ti T2 T3 T4 T, i^ Tg ""

Abbildung 1.17: Sprungantwortapproximation von h{t) = 7 - (7 + 3,5^)e~*/^ und Frequenzgang

1.26 Nominal-Stationarleistung Kranantr ieb

Angabe: Ein 8-Tonnen-Laufkran sei als ein Kran dehniert, der die Masse von 8 Tonnen zu heben und zu bewegen vermag. Der Kran hat eine Eigenmasse der Laufkranbriicke von 2 Tonnen und eine Eigenmasse der Katze von 3 Tonnen. Es soUen die Geschwindigkeiten fiir Heben 10 m/min, Fahren der Katze 25 m/min und Fahren der Briicke 50 m/min reahsiert werden. Die Antriebsleistung des Hub-, Katz- und Briickenfahrwerkes sind zu berechnen, wenn der Wirkungsgrad fiir jeden Antrieb rj = 0,7 betragt. Der spezihsche Fahrwiderstand fiir die Gleitlager der Katze und der Briicke betragt 30N/1000N.

Page 27: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

1.27 ITt-System 25

Losung: Als Antriebsleistung findet man

fur den Hubmotor 9, Slfm/sek^l • 8 • 10^ [kg] • }^j-^}^ . J _ z. 18, 7[kW] , DO[sekJ 0,7

fiir den Katzmotor 9,81 • 11 • 10^ ~ • j - ^ • - | ^ = 1,93[kW]

und fiir den Bruckenmotor 9,81 • (8 + 2 + 3) • 10^ • 52 . J _ . - ^ = 4 55[kW]

(1.57)

(1.58)

(1.59)

1.27 ITt-System

Angabe: Der Frequenzgang und die Sprungantwort von Fo{s) = j j e~^* sind zu hestimmen. Losung: Den Frequenzgang

sin Sct; . cos 3cj . r. / • M 1 r / • ^ o ^ (1.60)

zeigt die Abb. 1.18. Die Sprungantwort ist eine Rampe, die bei i = 3 bei null beginnt und die Steigung 1/3 besitzt. Man beachte lim( _>o = — 1-

Abbildung 1.18: Prequenzgangsortskurve des

ITi-Systems

1.28 Linearisierung an einer Synchronmaschine

Angabe: Eine Synchronmaschine wird durch folgende Gleichungen beschrieben

rriei — —^—^ sin?^ (elektr. Moment)-, ma = kd'^ (Dampfungsmoment) ; ri9 = m^A—mei—md (Drallsatz) .

(1.61) Welche hnearisierte Ubertragungsfunktion G{s) = ^ ^ KK ^^ Arbeitspunkt 'do, TUAO findet man durch die Ansatze i9 = -do -\- Ai? und TTIA = TUAO + AmA ?

Losung: Man erhalt

(1.62) T-d H ^—^ sin 'd + kd'^ = ruA

Wird der stationare Zustand rriAo = J^^^ sini?o eingesetzt, so erhalt man mit sini? = sint^o + cos'doA'd

TAi9 + /cd Ai9 + ^ ^ ^ ^ sin i9o + ^ ^ ^ ^ cos i9oA^ = rriAo + Am^ ^mo^d ^mo^d

(1.63)

Das Resultat lautet schlieBlich

G(s) M{s) 1

Am4(s) ~ Ts'^ + kiS+^^^cosdo (1.64)

Page 28: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

26 1 Regelstrecken

1.29 Sprungantwort mit endlichen Anfangsbedingungen

Angabe: Ein PT2-GUed ist gegeben

G{s) = 1 ^ y(s)

s^+s + l U(s) (1.65)

welters der Eingangu{t) = 5 fiir t > 0 und die Anfangsbedingungen y{0) = 0 y{0) = 3. Welches Aussehen hat y{t), welchen Maxlmalwert (Uberschwlngwelte), welche Ausglelchszelt \y — 2/(00) | <rf = 4% ? Losung: Daraus folgt

Y{s) =: (1.66) . 1 + S + S2 1 4- S + S2

y{t) = 5[ l - l,007e-^'^* sin(0,866*4-1,686)] . (1.67)

Die Sprungantwort unter den gegebenen Anfangsbedingungen samt Erganzungen zeigt die Abb. 1.19.

Abbildung 1.19: Sprungantwort des Systems mit endlichen Anfangsbedingungen

Mit MATLAB: sysGl=t f ( [3 5 ] , [ 1 1 1 0 ] ) ;

[y r , t r ]= impulse ( sysGl ) [maxyr, trmax]=max(yr);

L=length(yr ) ; r f=0 .04 ; j j = l while a b s ( y r ( L - j j + l ) - 5 ) / 5 < r f , t f i n = ( L - j j ) * m a x ( t r ) / L ; j j = j j + l ;

end

6 h—Y 6.5. y ( * 7

5

1 -5 1

4

3.5

3

Sk m a x ( y r )

t

y(oo) + 4 %

y ( o o ) - 4 %

f i n

/ \ 1 t r m a x

I 1 ^^.-^ dy/d t k x u . m , kxv.fig

0 2 4 10 12 14 16 18 20

Zeit t

1.30 Bode-Diagramm eines hochgradig schwingungsfahigen Systems

Angabe: Das Bode-Diagramm zu

Gis) = . (s + 0,0032)(s2 + 30s + 309) (s2 + 27s + 238) (s2 + 0,0023s + 0,024)

ist zu dlskutleren. Losung: Die Terme zweiter Ordnung in Zahler und Nenner besitzen folgende Schwingungsdaten

UNI = 17 ,6 L > i = 0 , 8 5

LJN2 = 15 ,4 D2 = 0 ,87

LJN3 = 0 ,15 D3 = 0 ,007 .

Das Bode-Diagramm in Abb. 1.20 zeigt den exakten Verlauf.

1.31 Sprungantwort eines ungedampften Systems

Angabe: Welche Sprungantwort besitzt das System der Abb. 1.21 ? Losung: Im Laplace-Unterbereich folgt

s^Y{s)-sy{0)-y{0)-\-9Y{s) =

y{t) = - ( l - c o s 3 t ) + - s i n 3 t

9Vs

t>0 .

+ 9/ s2+9

(1.68)

(1.69)

(1.70)

(1.71)

(1.72)

(1.73)

Page 29: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

1.32 Sprungantwort unter verschiedenen Anfangsbedingungen 27

- ^ - 1 0 0

\ . lO ' lO"" u lO'

Abbildung 1.20: Bode-Diagramm zu G{s) nach Gl.(1.68)

Einheitssprung u

y-^9y = u y, wobei y{0) = 0

m = 1

Abbildung 1.21: Ungedampftes PT2-System

1.32 Sprungantwort unter verschiedenen Anfangsbedingungen

Angabe: Fiir t <0,5 gilt in Abb. 1.22 Vrefit) = 0, y{t) = 0, y{t) = 0 . Wie verlauft y{t), wenn yref zum Zeitpunkt h = 0,5 einen Einheitssprung ausfiihrt? Was andert sich am Ergebnis, wenn y{t) = 1 fiir t < ti war? Losung: Fiir y{t) =0 fiir ti = 0,5 gilt

Bei 2/(i) = 1 fiir ^ < ti = 0,5 folgt, dass blofi 1 addiert wird.

Vrefit) 1 + 1

y{t) Abbildung 1.22: Kontinuierliche

Steuerung

1.33 Bode-Diagramm mit schlechter Polygonapproximation

Angabe: Das Bode-Diagramm zu

G{s) = 330

(s-f 6)(s2 + 2s + 25)

ist auf seine Aussagefahigkeit in der Polygonapproximation zu untersuchen.

(1.75)

Page 30: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

28 1 Regelstrecken

Losung: Das Bode-Diagramm in der Abb. 1.23 zeigt eine schlechte Polygonapproximation, gilt doch fiir das Teilelement zweiter Ordnung UJN — ^, D = 0,2. Die Resonanzfrequenz des PT2-Teils liegt bei LJrz = CJATA/I — 2D^ = 4,8. Die Uberhohung bei der Resonanzfrequenz betragt 2,55.

Abbildung 1.23: Bode-Diagramm zu G(s) = 330

^^ (5-f 6 ) ( s ' -h2s + 25)

Mit MATLAB als Serienschaltung im Frequenzbereich {1, 10}:

G l = t f ( [ 3 3 0 ] , [ l 6 ] ) ; G 2 = t f ( [ l ] , [ l 2 2 5 ] ) ; G=series(Gl,G2) bode(G,1,10)

1.34 Streckenidentifikation

Angabe : Aus der Gewichtsfunktion (des mit dem Hilfsregler KH{S) geschlossenen Regelkreises) 0,02712e-^'^^°^^* sin0,32003* sind die Streckenparameter [K, Ti, T2) der Strecke G{s) zu identiUzie-ren. Der Hilfsregler lautet KH{S) = 12, Losung: Zunachst gilt

G(s) = ,, . _^l, . „ ^ . (1.76)

Y{B) =

(l + s r O a + sTa)

1 ^^(«) + GW i2 + ^( i + sri)(i + sr2) s-^^ + s^^ + \2 + j^

(1.77)

y{t) = A e - ^ ' sinCi = ^[e(-«+^ '^) ' - e^-^-^'^"] . (1.78)

Durch Vergleich mit der Angabe resultiert A = 0,02712 ; ^ = 0,19097 ; C = 0,32003 . Unter Zuhilfe-nahme von C{e^^} = j ^ folgt wegen sin2; = hi^^^ ~ ^~^^)

C{y{t)] = Y{s) = 2i{s + B-jC) 2j (s + B + jC)

AC 1

s2 + 2sB + B^ + C^ s2^ + s ^ + ^ ^

(1.79)

(1.80)

Page 31: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

1.35 IdentiBkation eines Bandpasses 29

Aus dem Koeffizientenvergleich von Gin. (1.77) und (1.80) erhalt man

Ti + T2 2B T1T2 ^ 1

K AC K

und daraus K = 0,25 ; Ti = 4,3 und T2 = 6, 7.

AC 1 B^+C^

^^^K~ AC (1.81)

G{s)

K„{s)

yit)

Abbildung 1.24: Regelstrecke und Hilfsregler

1.35 Identifikation eines Bandpasses

Angabe: Von einem Bandpass zweiter Ordnung Fb{s) kennt man aus dem gemessenen Amplitudenfre-quenzdiagramm die obere (ahfallende) Asymptote entsprechend ~, ferner die Frequenz UJQ = 3,13 = \/\^, bei der max^^ \Fb{juj)\ auftritt, sowie \Fb{juJo)\ = 1- Wie lautet die Ubertragungsfunktion Fb{s) als Identi-Rkationsergebnis? Wo liegt der NuUdurchgang von argFb{juj)? Losung: Aus dem Ansatz Fb{s) folgt bei der Annahme ujk2 > ^ki

Fi,(s) = foS

{s + u;ki){s + uik2) \n(M\ = fo

V'('^*i+a;fc2f + ( ^ = ! i ^ - a . ) ^ (1.82)

Das Maximum von \Fb{juj)\ liegt beim Minimum des Radikanden ^ J"' ^ — cj -> min^;, das ist beim Wert ^o = y/^k\^k2' Der zugehorige Betrag lautet |F6(a;o)| = ^^/^^^^ • Die Geradenabschnitte, durch die das Bode-Polygon \Fb{juj)\ gebildet wird, lauten nach Gl.(1.82) bei kleinen, mittleren und groBen Frequenzen

fo fo und fo

^kl^k2 ^kl + ^k2 ^

Durch Vergleich der Angaben mit den angefiihrten Zwischenresultaten findet man

^^ _ fo , . . . / T 7 T _ /, . , • , _ j 17/ . - . . ^ _ 1 _ fo Oo = V ^ = y/uJkiUJk2 und FbiJUo) = I — ^kl + ^k2

Die Auflosung ergibt fo = 11, ujki = 1 sowie Uk2 — 10. Der NuUdurchgang von arg Fb{juj) folgt aus

IT (^i^kl+^k2) arc tan

2 -LJ"^ + (jJkl^k2

= 0 -^ Und ~ V^kl^k2 = V ^ .

(1.83)

(1.84)

(1.85)

1.36 Boje in stabiler aufrechter Lage

Angabe: Ab welcher Befiillung schwimmt eine teilgefiiUte Boje in aufrechter Lage? In Abb. 1.36 sind die geometrischen Daten festgehalten. Losung: Damit die Boje schwimmt, muss das Gewicht der Metall-Boje gleich dem Auftrieb sein. Das Gewicht lautet 2r7rldj-\-{l-he)r^7rdj , der Auftrieb r'^7Th + 2r7T{b-\-h)d-\-r^7Td . Dabei ist 7 das spezifische Gewicht des Bojenkorpers, € ein Parameter (bei vorhandenem Bojendeckel e = 1, ohne Bojendeckel e = 0), d die Wandstarke der Boje im Mantel und Deckel, a der Neigungswinkel zur Vertikalen. Daraus resultiert

h = [{21 + r + er)j - r - 2b]/{r/d + 2) . (1.86)

Page 32: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

30 1 Regelstrecken

,

1

'

i

—w

'i -r-Ld

• 2 r •

A

J

Abbildung 1.25: Zylindrische Boje und ihre geometrischen

Daten

jxn.m figure(1), jxr.fig, nur bei pentagramm-verstaerktem Bereich stabil

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 relative Befullung b/l

Abbildung 1.26: Eindringtiefe, Luftpolsterhohe und mo iiber relativer Befullung

Fiir stabile aufrechte Lage ist folgendes zu verlangen: Bezogen auf einen willkiirlich gewahlten Dreh-punkt muss das Aufrichtmoment grofier sein als das Moment, das zufolge der Schwerkraft die Boje umzu-werfen droht. Das Umwerfmoment (von Mantel und Deckel) ist mi , das Aufrichtmoment von Luftvolumen (unter Wasser) und Bojenkorper (unter Wasser) m2

mi = {2r7rld'y- + £:r^7r(i7/)sina , m2 = [r'^7rh{b + h/2) + 27rr(6 + h)d{b + h)/2]sina , (1.87)

Stabilitat verlangt m2 — mi = mo sina > 0. In Abb. 1.26 sind die beteiligten Informationen aufgetragen. Nur im verstarkten Bereich der Kurve

{b/l > 0,6) liegt stabile aufrechte Lage vor. Wird ein zusatzliches Moment MR aufgebracht, etwa durch Riickstofi eines Luft- oder Wasserjets, so

lautet die Bewegungsdifferentialgleichung Id-\-(^a-\-mosma = MR. Je nach Vorzeichen von mo ist auch die Eigenstabilitat der Boje in durchwegs positiven Koeffizienten des charakteristischen Polynoms zu erkennen. Mittels eines Reglers, der die Auslenkung a auf MR wirken lasst, ist Stabilitat im geregelten Zustand zu erzwingen.

Page 33: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

Kapitel 2

Analyse einfacher Regelkreise

2.1 Kenngrofien eines Regelkreises 2. Ordnung

Angabe: Fiir einen Regelkreis mit folgendem Fo{s) und T{s)

werde Ah undTfy auf Fiihrungsspriinge als Funktion von UD und UK ausgedriickt, ebenso der Phasenrand

Losung: Fiir LJK > ^D gilt naherungsweise UD = Y'

Ah = exp\- / ^ 1 Try = 7 . (2.2)

Der Koeffizientenvergleich liefert

I Ti / ^ . 2L> 1 >—— . 1 / ^ .^ . .

Daher folgt

i r£K.

Ah - exp = exp - T T W -

V 4cJo

27r

N ^ ^ ^ ^ V l - i S S - ^^^(^'^i^-^i^)

(2.4)

(2.5)

i^K . 180^ ^ . Q„, 180^ cjz, — = ~77T7; r ~> a/i =: 90 . (2.6) UJD 7r(90'' — aR) n LOK

2.2 * Drehzahlregelung einer Gleichstrommaschine

Angabe: Eine fremderregte Gleichstrommaschine wird iiber die Ankerspannung gesteuert und mit einem I-Regler drehzahlgeregelt. Als Messglied fungiert ein Tachogenerator M mit Proportionalverhalten. Das Blockschaltbild des Regelkreises, wobei die Maschine in Teilblocke aufzugliedern ist, soil in einem weiteren Schritt auf den trag eingestellten I-Regler allein in der Dynamik beschrankt werden. Welche Reaktion ergibt sich dann auf einen Lastmomentensprung? Losung: Bei LA = 0 und / ^ —>• 0 folgt aus Abb. 2.1 die Abb. 2.2 und weiters

mL[s)~ km^ l + M ^ ^ r ^ " kmke^^S-hj^ " Ti S + jr M - T. o ^ J_ ^^•' ^

/ N 1 ^£> s TD I ... TD -4- f.. f^ Qx ^ n ( 5 ) = —^-=^-- — T " ^ a;n(^) = - 7 ^ e ^i(7(t) , (2.8)

s i i s H- ^ i i s + ^ i\

wobei Ti — ^^Tj und TD = Mk^% • -^^^ daraus resultierenden einfachen Verlauf zeigt Abb. 2.3.

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32 2 Analyse einfacher Regelkreise

^soll ^^^

+s i 1

sTi ^T9r Regler + Stellglied

\ 1

RA iA

1

T\/r I

l^m^

ke^

mi

' ~

h^O— 1 1

sIm

^n

Abbildung 2.1: Drehzahlgeregelte Gleichstrommaschine

mi\ RA sTi

^soll

^)~^ STJ Y\ ^e^ P

1 M U 1

Abbildung 2.2: Vereinfachte Blockbilder

2.3 Storungsiibertragung

Angabe: Das Blockschaltbild einer Regelstrecke G{s) ist in Abb. 2.4 gezeigt. Wie lautet die Ortskurve der Storungsubertragungsfunktion ohne Regler? In einer weiteren Annahme wird die Strecke mit einem Riickwartsregler K{s) = U/Y = 10/s geregelt. Bewirkt die Regelung fiir a; = 3 rad/sec eine Verbesserung der Storungsunterdriickung? Losung: Ohne Reglerruckfiihrung gilt

= Fst,oR(s) = Wdis) 10 + s + 52 Fst.onij^) =

10 + 3

9a ; -c j^ '4 - 19cj2 + 100 •" a;4 - 19a;2 ^ IQO *

(2.9)

Bei a; = 3 folgt FstMJ^) = 1 + jO . Mit Regler K{s) = 10/s resultiert

Fst{s) = 5(1 + 5)

10 + 20s + s2 + s3 FstU^) = 10CJ2

+ J--u^ + 19u;3 -f lOo;

u^ - 39a;4 + 380CJ2 + 100 ' u}^ - Z9u^ + 380a;2 + 100 * (2.10)

Der Imaginarteil letzteren Ausdrucks wird bei a; = 4,42 zu null, somit F5i(j4,42) = 2,05 + jO . Aus den Ortskurven Fst,oR{j^) und Fst{j(^) in Abb. 2.5 ist zu entnehmen: Die Regelung weist bei niedri-gen Prequenzen, z.B. bei a; = 3, wesentlich hohere Storungsunterdriickung auf, etwa um den Faktor vier besser. Allerdings besitzt die Regelung in der Umgebung von cj = 4,42 eine rund doppelt so hohe Reso-nanziiberhohung.

Page 35: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

2.3 Storungsiibertragung 33

Abbildung 2.3: Verlauf der Umdrehungswinkelgeschwindigkeit uJn{t)

Wd

O-+ T

9 - 5

1 + s

Abbildung 2.4: Regelstrecke

- ir

1 1 1 1

p..r. • . \ . Q J

1 i i i

j^)

* 4 ,42 1

Abbildung 2.5: Ortskurven Fst,oR{j^) und Fst{j(^) der ungeregelten und der geregelten Strecke

Page 36: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

34 2 Analyse einfacher Regelkreise

2.4 Sprungantwort eines Regelkreises auf Sollwertsprung

Angabe: Welche Sprungantwort zeigt der Regelkreis auf SoUwertsprung? Die Daten lauten

G(s) = + 1

Kis) = 6(2 + s)

T{s)=^ 6(2 + s) 6{s + 2)

§ 2 + 7 s + 12 (5 + 3)(s + 4)

Losung: Die Sprungantwort lautet, siehe Abb. 2.6,

Y{s) = ^ ^ = - - ^ + ^ ^ j/(t) = l - 3 e - « + 2 e - « ^ ^ s s s + 4 s + 3

(2.11)

(2.12)

Abbildung 2.6: Sprungantwort y{t) = 1 - 3e-4^ + 2e-3*

Mit MATLAB: s y s T = z p k ( [ - 2 ] , [ - 3 , - 4 ] , 6 ) s tep(sysT)

2.5 * Stellenergie an einer integrierenden Strecke

Angabe: Welche Stellenergie J^ u^{t)dt ergibt sich bei SoUwert-Einheitssprung auf den Standard-10

1+0,1 s Regelkreis mit G{s) = i und K{s) = —^^— ^

Losung: Fiir u{t) gilt

Uis) = -K{s) 10s 100 \/75

s l + G(s)K{s) s 10 +sH-0,1^2 y/fE (s + 5)2 + 75

100 5* . V75t U'{t) : 10^ ~7b

e-i°^( 1 1 2 ~ 2

2V75t)

Wegen

(2.13)

(2.14)

/»CX) ft ft -I

/ u'^dt^: lim / u^dt=\im sC{ u^dt} = \im s-C{v?{t)} = \im C{u^{t)} (2.15)

resultiert aus nachstehenden Berechnungen die Stellenergie 5

C{uHm = ^ , r { e - ( l - cos 2775 , } = g ^ ( ^ - ( , ^ , 0 ^ . 7 , ^ 7 5 ) ^ ^^'^^^

l i m £ K ( * ) } = S ^ ( i - ^ 0 0 T 3 0 0 ) = ^ - (2-^^)

2.6 Schleppfehler

Angabe: Wie sieht fiir yref{t) = 3* bei t >0 und u{0'^) = 0 der transiente und wie der stationare Zustand der Regelung nach Abb. 2.7 aus?

Page 37: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

2.7 Anregelzeit 35

Losung:

yrefis) =

Y{S) =

y{t) =

T{s)Yrefis) =

12 5(1 + 2 s )

18

T{s). 12

l-\-Fo{s) 12- fs + 252

s2[(5 + 0,25)2 + f |]

1 _ s( l + 2s)

0,25 3 0 , 2 5 s - f

s2 §2+0 ,55 + 6

A / 9 5 -ti r— 25 cos ——-t - —— v95 sin —-—i. •

4 380 4 / ^*1

1 + Fo{s) 12 + s + 2s2 lim e{t) = lim 5Fe(s)yre/(s) == 0,25 .

t—^OO S-¥0

(2.18)

(2.19)

(2.20)

(2.21)

Vrejit) - . e(t)

J L _

1 5

u{t) 12

1 + 25 J/(t)

Abbildung 2.7: Regelkreisblockbild

2.7 Anregelzeit

Angabe: Fiir einen Standardregelkreis bestehend aus einem PI-Regler 10 ^ ± ^ und einer ITi-Strecke ^.h x ist die Anregelzeit („RegelgrdBe erreicht 50 % des SoUwerts") fiir Einheitssprung im SoUwert zu berechnen und zwar durch Reihenentwicklung nach s~^. Losung:

5 + 0,45

"( ^ = ''iK^^) ^^'^=TVFr^ 10(5 + 0,45)

r ( 5 ) = Yref{s)T{s) = -T{S) =

( 5 + 6 ,5 )+ 10(5+ 0,45)

10(5 + 0,45)

(2.22)

(2.23)

(2.24)

(2.25)

5[52(5 + 6,5) + 10(5 + 0,45)] '

Die Zerlegung von Y{s) in ein Polynom in 5~^ liefert die Abschatzung um i — 0

Y{s) = (105 + 4,5) : (5^ + 6,55^ + lOs^ + 4,55) = 105"^ - 60, 55"^ + 293, 255"^ . . .

y(t) = bt^ - 10,08^^ + 12,22^^ . . .

Daraus folgt, wenn man eine Tabelle y{t) iiber t anlegt, die Anregelzeit zu tan = 0,4.

2.8 * Schwach instabiler Regelkreis mit PT2-Strecke

Angabe: Man betrachte das System der Abb. 2.8 mit den Parametern Ti = 0,25, Ti = 0,8, T2 = 0,4. Welche Eigenschaften besitzt der Regelkreis? Losung: Der Regelkreis ist durch

T(5) : 12,5

53+3,7552 + 3,1255 + 12,5 (2.26)

gekennzeichnet. Numerisch findet man eine reelle Losung des Nennerpolynoms 53 = —3, 795. Daraus resultieren die konjugiert komplexen Losungen 0,0223 ± j 1,815. Die Antwort auf einen Einheitssprung ist

y{t) = 1-0,184e-3'^9^^ - 0,897e0'0223* sin(l, 8151 + 1,14) (2.27)

Dieses Resultat ist in Abb. 2.9 dargestellt, der Schleifenfrequenzgang Fo{juj) in Abb. 2.10. Den Wurzelort zeigt Abb. 2.11 fiir das ^0(5) aus Abb. 2.10, in einer BezifFerung nach einem zusatzlichen Faktor V im Zahler. Die Wurzelortskurve besitzt eine Mehrfachlosung bei 5 = —0, 528.

Page 38: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

36 2 Analyse einfacher Regelkreise

Vref • ^ " .

J ^

^(*) = ifv u

C(<i) — " " {l + sT,)il + sT2)

y

Abbildung 2.8: Regelkreis mit PT2-Strecke

Abbildung 2.9: Ausgang y{t) der Regelung nach Gl.(2.27)

Mit MATLAB Sprungant-wort im Zeitbereich 0 bis 10:

num=[12.5] ; den=[l 3 . 7 5 . . .

3.125 12 .5 ] ; sysT=tf(num,den) s tep(sysT,10)

2.9 Dynamischer Regelfaktor

Angabe: Wie lautet der dynamische Regelfaktor zu der Anordnung der Abb. 2.12?

Losung: Das Ubertragungsverhalten mit Regler lautet mit yref = 0

[{{yref-(^n)K-LJnC)A-mL]B = UJn ^ —^ = - — rriL 1 •

B <^n,oR B

ruL l + ABC + ABK TUL l + ABC

Im Vergleich zu dem Ubertragungsverhalten ohne Regler erhalt man fiir den Regelfaktor Rf{s)

A LJnjs) ^ l + ABC ^^^^ uJn,oR{s) l + ABC + ABR-

. (2.28)

(2.29)

1

0.5

0

-0.5

-1

-1.5

^"^^) ~ sTi (1 -\- sTi){l + ST2) ^' - ^' ^f

Abbildung 2.10: Prequenzgang Fo{juj) zu Abb. 2.8

Page 39: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

2.10 StellgroBe bei Fiihrungssprung 37

Abbildung 2.11: Wurzelort des Regelkreises nach Abb. 2.8

Mit MATLAB:

sysFo=zpk([ ] , [0 -1 .25 - 2 . 5 ] , 12,5) r locus(sysFo)

mi

2/re/(s)^^>^

+s k

K{s) • O

1 +s I

A{s) L Cy-1

1 ^ '

B{s) J^n(s)

Abbildung 2.12: Regelkreis-Blockbild

2.10 StellgroBe bei Fiihrungssprung

Angabe: Vow. Standardregelkreis

10 K{s)

l + 3s

ist die StellgroBe bei Fiihrungssprung zu ermitteln. Losung:

Uis) = Yref{s)^—^^ Kis) 3 *

(s)G(s) ss^ + ^ + f

Ferner gilt WN = sf^ und D = ^ ^ = 0,091 .

Gis) = -

u{t) = 20 a i 9

(2.30)

(2.31)

2.11 Asymptote einer Prequenzgangsortskurve

Angabe: Die Asymptote der Fo{juj)-Ortskurve eines PIT2-Systems bei a; -> 0 ist zu ermitteln. Losung: Aus der Angabe fiir Fo{s) bei s = ju folgt

Fo{s) f + 27 jSu + 27 1 -91a; - Su^ + j ( - 5 1 3 - 45a;^)

361 + 43a;2+a;4 (2.32)

Die Asymptote weist (bei cj = 0) einen Realteil von — = —0,25 auf. Man beachte, dass ein blofies Nullsetzen von s in einem Ausdruck s Fo{s) ein falsches Ergebnis liefern wiirde.

Page 40: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

38 2 Analyse einfacher Regelkreise

2.12 Flache unter der Regelabweichung

Angabe: Ein Regelkreis besitzt im aufgeschnittenen Zustand integrales Verhalten. Wie groB ist die Flache /Q°° e{t)dt (nicht J^ \e{t)\dt) unter der Regelabweichung bei SoUwertsprung? Losung:

E{s)- 3-^^l^^r.e/(.) Yr^As) = 1 C{1 e m } = lEis) (2.33)

f°° 1 1 / e(t)dt = lim s -Eis) = lim ^77-

Jo «- o s s->o s + sG{s {s)K{s) 5^0 sG{s)K{s)

2.13 Maximaler Wert des Storungsfrequenzgangs

(2.34)

Angabe: Eine Storung greife zwischen Regler und Strecke in Abb. 2.13 an. Bei welcher Frequenz der Storung wirkt diese am starksten auf die RegelgroBe? Wie stark ist die Wirkung (H^-Norm)? Losung: Aus

Fn^As) y{s) ^

Wd{s) 1 + K{s)G{s)

G{s)

ergibt sich

duj = 0

TjTi

KAi^)-

\\F^M

jcoVTi

V - uj'^TiTi-{-jujTi

= V

(2.35)

(2.36)

Abbildung 2.13: Regelkreis mit Storung am Streckeneingang

2.14 Flachen zum Abweichungsfrequenzgang

Angabe: In einem Regelkreis mit dem Regler K{s) = 9 und der Strecke G{s) = l /[(s — l)(s + 3)] zeichne man log \Fe{j<jj)\ iiber u linear. Wie groB ist etwa die Flache iiber und unter der 0-dB-Linie? Losung: Das Gleichgewichtstheorem besagt, dass

/>oo

/ log \FeiJu)\duj = 7r(loge) Re Si Jo

(2.37)

ist, mit Si als Pole von Fo in der rechten Halbebene. An Hand des gezeichneten Diagramms ist dies leicht zu xiberpriifen, siehe Abb. 2.14.

Fe{s)= ( 5 - l ) ( s + 3) s^ + 2s-3

\FeU^)\ ^ j4 -f lOo; + 9 j4 - 8a;2 + 36

(2.38) l + K(s)G{s) ( s - l ) ( s + 3) + 9 s2_^2s + 6

Als Schnittpunkt von |Fe(ja;)| mit der 0-dB-Linie erhalt man

\Fe{juj)\ = l 18LJ^-27 = 0 ^ Lj = y/l^. (2.39)

Die Flache unter der 0-dB-Linie ist grob 0,15; oberhalb 1,45. Zur Kontrolle dient das Gleichgewichtstheorem

1 , 4 5 - 0 , 1 5 = 1,30 TT'loge-1 = 1,36. (2.40)

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2.15 * Regelkreis mit Toleranz im Dampfungsgrad der Strecke 39

log|F,(;w 0,4,

Abbildung 2.14: log|Fe(ja;)| iiber LJ linear

2.15 * Regelkreis mit Toleranz im Dampfungsgrad der Strecke

Angabe: Eine Regelstrecke besitzt die Stationarverstarkung 1 sowie zwei Pole bei si = — 3 und S2 = —10. Der dieser Angabe entsprechende Dampfungsgrad schwankt um ±20 %. Die Strecke wird mit einem PI-Regler K{s) — 5 + | geregelt. Welchen EinEuss hat die 20-prozentige Toleranz von D auf die KoefRzienten des charakteristischen Polynoms des geschlossenen Regelkreises? Wie sehen die Ortskurven von Foiju) fiir die beiden Grenzfalle aus, wobei die Punkte fiir uj = 0, uj = oo und Re Fo{juj) = 0 zu berechnen sind. Losung: Es folgt

' n 1 Gis) = 7T-£^r7^ = T-Ts^-^T^ (2-41) (5 + 3)(s + 10) 1 + 1 1 5 + ^ 5 2

uj% = SO ^ = ^ = 1' 187 -> Dmin = 0,949 L>„,ax = 1,424

F,(s) = (5 + -5 ' l + ^ s +

A Z{s) -Vs2 ~ ^

(2.42)

(2.43)

Das charakteristische Polynom des Regelkreises lautet dann p{s) = z{s)+n{s) = s^ + 2y/30Ds'^ + 180s+ 60 und mit den Grenzwerten aus der Toleranz

Pmin(s) = 0,0333 s^ + 0,347 s^ + 6 s 4- 2 Pmax(5) = 0,0333 s^ + 0,52 s^ + 6 s -H 2 , (2.44)

Der toleranzbehaftete Dampfungsgrad D besitzt nur auf den Koeffizienten von s^ einen Einfluss, nicht auf die iibrigen Koeffizienten.

Die Ortskurve von Fo{juj) ist in Abb. 2.15 gezeigt, wobei

Fo{s) = 5 s + 2

a =:= 0,347 bis 0 ,52 ; 6 = 0,0333.

Foiju;)

FoiM

Re Foijuj) = 0

s ( l + a s + 6s2)

_ - 5 bo; + cc; (5 - 2a) + j[uj^{2 b - 6a) - 2uj] a^uj"^ + (cj - 6a;3)2

= b — 2a — juj FoiJu) = 0

(5 - 2a)a;2 - 5 6a; = 0 - /

5 - 2 a

56

(2,45)

(2.46)

(2.47)

(2.48)

Page 42: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

40 2 Analyse einfacher Regelkreise

4 • • • * • * • , ^•T*=^=^:::5 ^ • ^ • ^ . •

^ Abbildung 2.15: Schleifenfrequenzgang

zu Gl.(2.43) unter Toleranz in D

2.16 Bode-Diagramm aus der analytischen Angabe

Angabe: Man zeichne das Bode-Diagramm, exakt und in Polygonnaherung, und zwar fiir die Angabe

F is) = (1 + 5.)(1 + 0 ,8 . ) (1 + Q,14.) ^^ ^ 5(l + 2 ,5s)( l + 0 ,3s)( l + 0,045 + 0,0l52) ' ^^-^""^

Losung: In Abb. 2.16 ist es dargestellt.

2.17 Phasenrand als Funktion der Kreisverstarkung

Zur Schleife Fo{s) = ^^" t"^ bei a > 0 bestimme man den Phasenrand als Funktion der Kreisverstarkung y , namlich aR = aR{V). Losung:

argFoO'o;) — 2 arctan ^ - 2 ^ = arctan ^ - 2 - -^ aR^-K -\- avgFoiJUD) = 2 arctan a ' 2

i oO'u;) = y (-cj2 + a^ 4- 2ja;a)

a (2.50)

LJcf = a 1-V

\FoiJuj)\ = J{-ujl + a?Y+AujlQ? = 1 (2.51)

V <l . (2.52) Q^/?(y) = 2 arctan V

l-V

2.18 Storungsfrequenzgange je nach AngrifFspunkt

Angabe: Man ermittle fiir K{s) = ^ und G{s) — n+ip" ^^^ Storungsfrequenzgang fiir den Standard-regelkreis, wenn in einem Fall die Storung am Eingang und im anderen Fall am Ausgang der Strecke wirkt. Losung: Fiir Einwirkung am Streckenausgang erhalt man

Fst,a — 1 _ 5(l + 25 + g^)

1 + K{s)G{s) " 1 0 + 5 + 252 + 53 (2.53)

und die Frequenzgangsortskurve nach Abb. 2.17a. Bei Wirkung der Storung am Eingang der Strecke wirkt im Vorwartszweig die Strecke als Filter und

die Frequenzgangsortskurve ist durch wesentlich hohere Phasendrehung gekennzeichnet, siehe Abb. 2.17b

Fst,e = G{s)

1 + K(s)G{s) 10 + 5 + 252 + s3 (2.54)

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2.19 Regelkreispole mit gleichem Realteil 41

t \FoUu^)\

20 dB

OdB

Abbildung 2.16: Bode-Diagramm zu Gl.(2.49)

2.19 Regelkreispole mit gleichem Realteil

Angabe: Bei welchem K sind die Regelkreispole von identischem Realteil? Die Regelschleife ist vorgegeben

Losung: Die Beantwortung der Frage erfolgt am besten mit Hilfe der Wurzelortskurve in Abb. 2.18 und es ergibt sich K = 27. Alle drei Pole liegen bei - 3 .

2.20 Ersatz der Storung durch simulierte Fiihrung

Angabe: Wie kann im Blockhild der Abb. 2.19 eine Storung durch die FiihrungsgroBe simuliert werden? Losung: Die mafigeblichen Beziehungen sind

Y G3{l-\-H^G2) Y G1G2G3

Wd 1 + HsG2 + HiGiG2G3-\-H2G3 Yref 1 + HsG2-^ H1G1G2G3 + H2G3

Wird gleiches Y in beiden Fallen verlangt, so bedingt dies

Yref _ G3{l + H3G2) _ I + G2H3 , . I + G2H3 ,

Wd G1G2G3 G1G2

Dieses Yref erzeugt dieselbe Reaktion Y wie die Storung Wd-

^ref — G1G2

-Wd

(2.55)

(2.56)

2.21 Durchtrittsfrequenz nahe der Knickstelle

Angabe: Welche Aussage besitzt das Bode-Diagramm von Fo{juj) in seinem Knickzug? Es gilt

(2.57)

Page 44: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

42 2 Analyse einfacher Regelkreise

Abbildung 2.17: Frequenzgangsortskurven Fst,a{j^) (a) und Fst,e{j(^) (b)

-2

I s-Ebene

^

-4'

Abbildung 2.18: Wurzelortskurve zu F (s) - ^(^+1)

Mit MATLAB:

sysFo=zpk([-1],[0 0 -9],1) rlocus(sysFo)

-10 -6

Losung: Das Bode-Diagramm liefert aus seinem Bode-Polygonzug UJD = 3,5 und an = 6* . Diese Appro­ximation ist schlecht, weil der Knickpunkt bei cj = 3 sehr knapp daneben liegt. Die exakte Berechnung vermittelt LJD = 2,3 und an = 38^ .

2.22 Abstandsregelung zweier Flugzeuge

Angabe: Zwei hintereinander Eiegende Flugzeuge werden iiber Zusatzschub AF des hinteren Flugzeu-ges abstandsgeregelt. Die Ubertragungsfunktion ^p/} ist gesucht, und zwar fiir die vorgegebenen Sta-

2

tionarwerte t'2o = 360 km/h, m = 2500 kg und bei einer aerodynamischen Gegenkraft cpA^ mit c = 0,05; A = 10 nP] p — IkgnT^; daher pcAv2o = 50. Losung: Die Beschleunigungskraft auf das hintere Flugzeug betragt mv2 = F-^^v^. Mit V2 = f2o + Af

u n d F = Fo + AF ^ F^ + w folgt

m—Av ^Fo + AF- ^ ( 1 ^ 2 0 + Avf = Fo + u - ^{V^Q - 2^2oAv)

A T d . pcA^ AF = u = m—Av + ^-—-2L'2OA?; .

dt 2

(2.58)

(2.59)

Nach der Definition des Abstands XD = a:i — 02 = XIQ — 0:20 — /^ ^^^^ und der daraus resultierenden

Abstandsanderung y = AXD = ~ JO Avdt ^^ F(s) = —^AV{s) folgt

U{s) = msAV{s) + pcAv2oAV{s) = -{ms + pcAv2o)sY{s) (2.60)

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2.23 Regelkreis und zugeschaltete harmonische Anregung 43

Vref K>

Hz

I—•[ gi | - ^ Q - ^ ^ \ + ^

Hi

V>d

O—Y' r

i ' r

Abbildung 2.19: Regelkreisblockschaltbild

AX(s) _ y ( s ) 1 1 _ - 0 , 0 2

AF{s) U{s) pcAv2o 5(1 + ^^^s) 5(1 + 505) "

2.23 Regelkreis und zugeschaltete harmonische Anregung

(2.61)

Angabe: Man hestimme die AusgangsgroBe y{t) des in Abb. 2.20 angegebenen Regelkreises, wenn er mit Vrefit) = cos2t fiir t >0 angeregt wird. Die Anfangsbedingungen von u{t) und y{t) sind gleich null. Losung: Es folgt

T{s) = Fo{s) ^ 5

l-\-Fo{s) (s + l)(5 + 5) £{cosa;o^} =

, . / N^/ N As-{-B C D Y{s) = Yref{s)T{s) = ^r—r + — ^ + s2 + 4 s + 5 + 1

= - 5 : C =

Yref{s) =

- 2 5

(2.62)

Y{s) = 0 , 0 3 4 5 - ^ 7 ^ + 0 ,41375-T7^ +

29 • ( -4)

0,2155 0,25

y{t) = 0,0345 cos 2i + 0,41375 sin 2t + 0,21556"^* - 0,25e-*

s 2 + 4

= 0,2155 usw. (2.63)

(2.64)

(2.65)

y re fit) -. e(t)

J y

1 S

u{t) 5 s + 6

yit) Abbildung 2.20:

Regelkreisblockbild

2.24 Zeitbereichsdaten aus gegebenem \Fo{juj)\

Angabe: Aus dem Bode-Diagramm der Abb. 2.21 bestimme man Uberschwingweite, Ausregelzeit und den zeitlichen Verlauf der RegelgroBe bei sprungformigem SoUwert. Losung: Man erhalt zunachst Fo{s) = loJTT+siy- Damit resultiert

T(s) = ^-(") = 1 ^ 1 ^^ 1-hFois) 1+ 105 + 50 2 i^ms+4

(2.66)

Page 46: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

44 2 Analyse einfacher Regelkreise

Abbildung 2.21: Bode-Diagramm

""^^ Wo = '''''-' 2D

= 10 D: 10

UJN 2\/50

Die Uberschwingweite Ah und die Ausregelzeit 2% folgen danach zu

= 0,707 ,

.^o 1 > 4 6 4 - 0 3 6 Ah = e v^^^^ =0 ,0432 2% = " i ^ (lnQ,01 + l n \ / l - D^) = ' " ' = 4 9 , 6 ,

DLJN DUJN

0,1

Der zeitliche Verlauf der Regelgrofie y{t) bei Vrefit) = (^(f) ergibt sich aus

Y[S) = Yref{s)T{s) = - ^—j^-—^ = - - (^^0^-^)2'+0,01 ~ {S + 0, 1)2 + 0, 01

mit den Polen bei 0, l - ( - l ± j ) zu y{t) = 1 - e-°'^^(cosO, U + sinO, 1 ^ •

2.25 Regelkreisverhalten aus \FO{J(JJ)\

Angabe: Die Regelschleife \Fo{juj)\ liegt als

Fo{s) = ' 5 1+0, Is

vor. Welche Ausregelzeit und Uberschwingweite resultiert fiir den Regelkreis approximativ? Losung: Aus der Angabe folgt

1 _l_ « _l_ «1 - ^ 5 ^ 50

(2.67)

(2.68)

(2.69)

(2.70)

(2.71)

sowie LJN = \/50 = 7,07 und D = 0, 707. Daraus ergibt sich die Ausregelzeit und die Uberschwingweite zu

4,9 t2% -

UJND = 0,98 A/i = e ^ A ^ =6-^^ = 0,043 . (2.72)

2.26 Regelkreisdiskussion mit Wurzelortskurve

Angabe: Man schatze die Regelkreisdynamik zur Regelschleife

4 Fo{s) =

(l + s)(l +5/3)2 (2.73)

Page 47: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

2.27 Maximaler Schleppfehler 45

Losung: Mit Hilfe der Wurzelortskurve aus Abb. 2.22 findet man fiir F = 4 die Pole des Regelkreises bei si = —5,75; S2,3 = —0,62 ± j2,72. Dem dominierenden Polpaar entspricht ein CJ V = 2,8 und D = 0,22. Der Wurzelschwerpunkt der Wurzelortskurve liegt bei —7/3, der Verzweigungspunkt bei —5/3.

Abbildung 2.22: Wurzelortskurve zu Gl.(2.73)

2.27 Maximaler Schleppfehler

Angabe: Ein Regelkreis aus PTi-Regler -^ und I-Strecke | ist einem SoUwert in Form einer Rampe der Steigung a (pro Sekunde) ausgesetzt. Wie groB ist die maximale Regelabweichung relativ zum (bleibenden) Schleppfehler? Losung: Fiir den Sollwertverlauf ?/re/(s) = ^ ergibt sich

Feis) 1 s{s H- 2)

E{s)=Fe{s)Yref{s) l + Kis)Gis) (5 + 1)2 + 1

L(5 + l)2

maxe(i) aus e{t) = a{cost + sint)e~^ = 0 37r

= 2,356

emax = e(^max) = a(l-e~~^ cos —-) = 1,06701 a ; eoo = lim e{t) =a ^ Ae eZ = -^^^^ — 4 i->oo eoo

(2.74)

(2.75)

(2.76)

(2.77)

: 0, 067 .

(2.78)

2.28 * Phasenrand und Uberschwingweite bei einer PT2-Schleife

Angabe: Gegeben ist eine allgemeine PT2-Schleifeniibertragungsfunktion Fo{s) im aperiodischen Grenz-fall Wie lautet der allgemeine Zusammenhang zwischen Phasenrand aR und Uberschwingweite Ah des geschlossenen Regelkreises in der Form an = f{Ah) fiir die angegebene Systemklasse? Wie groB ist der relative Stationarfehler des Regelkreises? Losung: Im aperiodischen Grenzfall gilt DF^ = 1

folgt aus

• V^'K I _

Fo(s) = 1_|__2_ _ , _ ^

T- . Die Durchtrittsfrequenz LJD

\Fo{ju 1 --> 4 - ^D + J'^^KUJD I A/(U;|^ - UJI)^ + 4cj|^cj2

= 1 ^D = iOKVV — l 1

(2.79) letzteres fiir V > 1. Die Uberschwingweite Ah resultiert aus

V ^ CUM 1 T{s)

l + l ^ + ^ S + - 4 - s 2 D =

(1 + V)LJK ^/^TV UN = UKVI + V (2.80)

Page 48: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

46 2 Analyse einfacher Regelkreise

Den Phasenrand aj? findet man zu

V arg{Fo(icc;)} = -a rc tan ( o ^ 2 ) ^(^R-'^ ^ tan(7r - a^) = ——

2|ln(A/i) |^7r2-ln2(A/i) a/? = TT — arctan

Der Stationarfehler betragt jry-

21n'(A/i)-7r= - 7 r 2

2,29 Regelkreisreaktion auf SollwertstoB

Angabe: Welche StoBantwort zeigt der Regelkreis nach Abb. 2.23 bei SoUwertstoB? Losung: Man erhalt

200 ^p{s)_ ^ ^^^^^ Fo p{s) 200

(2.81)

(2.82)

(2.83)

(2.84) l + 0 , l s ^ 5(5 + 20) q{s) " ^ ' " ' 1 + Fo p(5)+^(5) 200+ 205+ 52

£-. )T(.» = 20^-. { ' ° ^ , „ } = 20.-« .in 10.. (2,85)

TC>-TQ 20 10

0,l5

Abbildung 2.23: Zweischleifiger Regelkreis

2.30 * Wurzelortskurve und maximaler Dampfungsfaktor

Angabe: Gegeben ist der Standardregelkreis mit der Strecke G{s) = ^2^9 l^s+46 6 "-"^ ^^™ Regler K{s) — g_J^ Q^ • Von der Wurzelortskurve des Systems ist gewunscht: Wurzelschwerpunkt, Asymptoten, Austrittswinkel aus den Polen, Stabilitatsgrenze {VG, ^G) sowie Verstarkung zu den ausgewahlten reellen Polen si = —3 und 82 — —4 und die zugehorigen konjugiert komplexen Pole. Wie muss V — V„ gewahlt werden, damit der Regelkreis maximalen Dampfungsfaktor \(7\ = |o-max| aufweist? Wie lautet fiir diesen Regler der Stationarfehler des Systems (in %) ? Losung:

(5 + 0,65)(52 + 9,3s + 46,6)

Pole der Schleife aus s^ + 9,35 + 46,6 = 0 ^ 51,2 = - 4 , 6 5 ± j5,00 ; S3 = - 0 , 6 5

Der Wurzelschwerpunkt liegt bei

a^, = -^(y^^espi-y^esNi) = ^ ( - 4 , 6 5 - 2 - 0 , 6 5 ) ^ - 3 , 3 2 , n — r \^-^ ^-^ } 3

(2.86)

(2.87)

(2.88)

Page 49: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

2.31 Blockbildreduktion einer mehrschleifigen Anordnung 47

die Asymptoten sind unter ±60°, 180° geneigt. Fiir die Austrittswinkel aus den Polen gilt

si : argFo = - a rg( -4 + 5j) - arg(5i) - arg(lOi) = -n (2.89)

arg(si) - TT - arg{10j) - a rg ( -4 + 5j) = TT - | - 2,245 ^ -38 ,6° . (2.90)

Analog gilt fiir S2 : arg(s2) = + 3 8 , 6 ' ' und S3 arg(s3) = - 1 8 0 ' ' . (2.91)

Die Stabilitatsgrenze aus dem charakteristischen Polynom des Regelkreises bzw. aus den Polen von T{s) nach Routh lautet

s^ + 9,955=^ + 52,645s + (lOF + 30,29) (2.92)

1 52,645 9,95 lOy + 30,29 523,81775 - lOV - 30,29 ^ , , ,^ ^, , , ,^ _

9,95 ='^ = - ' 9795 - > ' ^ ^ < ^ ^ ' ^ ^ F c = 4 9 , 3 5 . (2.93)

Die Losung der charakteristischen Gleichung fiir V = VG und s = ju zeigt

- jcj^ - 9,95^;^ +25,645ia; +523,81775 = 0 Realteil 523,81775-9,95cj2 = 0 ^ CJG = 7,26 . (2.94)

Bei den ausgewahlten Polen gilt

s^ + 9,95s2 + 52,645s + (lOV + 30,29) = (s - a)[{s - af + LJ^] = (2.95)

= {s - a)ls^ - 2as + {a^-}-u^)] = (2.96)

= s^ - {2a + a)s^ + {a^ + 2cra + u;^)s - a{a'^ + w^) ;

aus dem Koeffizientenvergleich folgt

2a + a = - 9 , 9 5 (2.97)

a^ + 2aa -\-u^ = 52,645 (2.98)

a{a'^ + (j2) ^ _ ( i o F + 30,29) (2.99)

und fiir die speziellen Werte von a

a = -S: a = Z^L^^ll = _s,475 (2.100)

6j2 = 5 2 , 6 4 5 - 3 2 , 9 2 5 6 = 19,72 --> uj = 4,44 (2.101)

y = ^ ( - 3 0 , 2 9 + 95,385) = 6,51 (2.102)

_Q 05 _|_ 4 a = - 4 : a = ' ^ ^ = - 2 , 9 7 5 (2.103)

u;2 = 5 2 , 6 4 5 - 2 0 , 7 5 1 = 31,894 --> a; = 5,65 (2.104)

V = ^ ( - 3 0 , 2 9 + 102,513) = 13,28 . (2.105)

Va- folgt aus der Forderung a = a aus Gl.(2.97)

3a = - 9 , 9 5 ^ 0 = 3,317 (2.106)

3a^+cj^ = 52,645 ^ cc; = 52,645 - 33,0 = 19,644-^ a; = 4,432 (2.107)

-a(a2+u;2) = 1 0 ^ + 30,29 ^ V;, =-^(-30,29 + 101,637) = 7,13 (2.108)

^ ( - ^ = . 3 ^ 9 , 9 5 , . ^ 5 2 , S + ( 1 0 F . + 30,29) "^ ^^^ = " = lOy.TsO, 29 = °-^"^ ' ^ ' ^ ^ Der relative Fehler betragt daher 29,8 %. Die Wurzelortskurve zeigt Abb. 2.24.

2.31 Blockbildreduktion einer mehrschleifigen Anordnung

Angabe: Das Blockschaltbild der Abb. 2.25 ist zu reduzieren. Losung: Die resultierende Form lautet

Y{s) _ H,{H2Hs+H4)

Yrefis) H1H2HSH7 + H1H4H7 + H1H2H5 + i^2i^3i:^6 + H^HQ + 1 (2.110)

Page 50: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

48 2 Analyse einfacher Regelkreise

10

-10

a; = 7,26

K = 49,35

-15

Abbildung 2.24: Wurzelortskurve zu Gl.(2.86)

• ^ m r Hi tQ H,

i?2

HT

Hi

H.

H.

TO

Abbildung 2.25: Mehrschleifige Anordnung

2.32 Regelkreis mit zwei instabilen Schleifenpolen

Angabe: Der Regelkreis zur Schleifeniibertragungsfunktion Fo{s) = r^\i?g^^^ ist mittel Wurzelortskurve zu analysieren. Losung: Der Regelkreis besitzt das charakteristische Polynom s^ + 2s^ + (V — 7)s -I- ( 0 , 5 F + 4). Nach Routh ist fiir Stabilitat V > 12 erforderlich, d.h. VQ — 12. Fiir die Einschrankung s — JLJG und V = VG ergeben sich die Nullstellen des Realteils des charakteristischen Polynoms zu UQ — A/S- Division durch s^ + 5 liefert 5 + 2, d.h. bei V = VQ lauten die Regelkreispole —2; ±jV^. Da die Wurzelsumme gleich ist dem negativen Koeffizienten von s^, also —2, besitzt die Asymptote einen Abschnitt auf der reellen Achse von Sa, wobei

Sa-\-Sa + {-0,b) = -2 ^ Sa = -OJb. (2.111)

Die Wurzelortskurve zeigt Abb. 2.26.

2.33 Asymptote der Ortskurve eines PIDTi-Reglers

Angabe: Welche Asymptoten besitzt die Ortskurve K{s) = ^ ^.^ fiir s = juj bei LJ -^ 0 ?

Losung: Es gilt K{s)\ ^ ^ , obwohl man dies hatte vermuten konnen, vielmehr gilt richtig

_... . 2H-5a;^ ^ . u^-2 K{juj)\ =2- 2i ^ 2

• =2 + -(2.112)

Die Ortskurve verhalt sich also fiir niedrige Frequenzen wie ein Ki{s) — 2+^ und ist in Abb. 2.27 gezeigt.

Page 51: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

2.34 StoBantwortnaherung 49

5-bbene

1 1 1 1 1 1 1 11 \ \ VG -

1

.. 1 _

0,5

'r T 11^ 1 1 - '" ^

4 - ^ -\i -. V{s + 0,5) )

( s - l ) 2 ( s + 4) / J 1 1 #

- !

VQ 1 _L_

Abbildung 2.26: Wurzelortskurve fiir instabilen Schleifendoppelpol

-5 -4

Abbildung 2.27: Ortskurve eines PIDTi-Reglers

2.34 Stofiantwortnaherung

Angabe: Gesucht ist die RegelgroBe y{t) fiir t = 0,1 bei stoBformiger Sollwerteinwirkung auf den Kegel-

Losung: Die Naherung Y{s) = T{s) • 1 ergibt

(IDs + 20) : (35^ + 6s + 20) :

, J 10 200^2 4Qo^3

10 200 400

10 200 0,01 40010-3 ^ Q oQ

(2.113)

(2.114)

Die exakte Rechnung fiihrt mit Polen bei — 1 ± j2,38 auf

y(') = ^-'{J'^tT20}-^°^"'[;;ii^"^^'+1^°-^'''*] - (o.i) = 3,23. (2.115)

2.35 Maximale Stellgrofie eines optimal ausgelegten Systems

Angabe: Bei welchem minimalen Tj stellt sich im Regelkreis nach Abb. 2.28 eine nicht iiberschwingende StellgroBe u{t) ein? Welcher SoUwertsprung der Hohe yo darf angelegt werden, damit die StellgroBe u den Wert u/fc — 2,5 nicht liberschreitet? Losung:

1 + 1,9g _ U{s) 1 Fuis) =

1

^ ^ sTi 1+1,9 s

l + sT/(l + l , 9 s ) = 1 + — s + ^ ^ u ; i v - -7====

l + sT/(l + l ,9s)

1 •D = 1

(2.116)

r j = 4 - l , 9 - 7 , 6 . (2.117)

Page 52: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

50 2 Analyse einfacher Regelkreise

Abbildung 2,28: Blockbild des Regelkreises

Bei Einheitssprung im Sollwert findet man

1 Fu{s) = ^ U{s) = -Fu(>

14,44 (s +0,263)2 4 , 4 4 L ^ B

3] (2.118) 14,44Ls ' (5 + 0,263)2 s + 0,263J

14,44; B = -l,9- C = -A^-U,44: (2.119) (0,263)2

u{t) = ^ ^ [14,44-l ,9ie-0 '26^*-14,44e-° '2^^*] (2.120)

u^t) = - A ^ ( e - ° ' 2 6 3 . - 0 , 2 6 3 ^ e - O ' 2 6 3 * ) + J J ^ 0 , 2 6 3 e - ° ' 2 6 3 * = : 0 (2.121)

Das Maximum liegt im Stationarzustand t = to = 00 , u{to) = 1 -^ Ho u{to) = 2,5 -^ yo = 2,5 .

2.36 * Messgerateausfall und seine Auswirkung

Angabe: An dem System der Abb. 2.29 fallt im ausgeregelten Zustand das Messglied M{s) schlagartig aus; es liefert ab dem Ausfallszeitpunkt ein Signal yi = 0. Es gelten folgende Ubertragungsfunktionen: ^{^) = 1+7) G{s) = j 4 ^ 7 M{s) = 1 im ordnungsgemaBen Zustand, M{s) = 0 nach Ausfall. Welchen Verlaufnimmt y{t)? Losung: Im Normalfall gilt bei yref = 1 fiii" die RegelgroBe y{t —>• 00) = 0,98; dies als Anfangsbedingung fiir den Verlauf nach dem Ausfall.

Die Ubertragungsfunktion nach Ausfall lautet

Fo{s) = 50 50

(l + s)(l + 2s) l + 3s + 2s2

Das Signal yref = 1 bleibt, yi fallt auf null zuriick.

2y + Sy + y = 50{yref - yi)

2 [s'Y{s) - syiO) - m] + 3 [sY{s) - 2/(0)] + Y{s) = ^

1,96s2 + 2,94s + 50 0,9852 + 1,47s + 25

50

(2.122)

(2.123)

(2.124)

Y{s) = y{t) = 50-98,04e-" '^* + 49,02e-* . (2.125) 2s(s2 + 1,5s + 0,5) s{s + 0,5)(s + 1)

Daraus resultiert y{0) = 0,98; 2/(00) = 50 . Die katastrophale Auswirkung bei Regelgrofienausfall wird offenkundig.

2.37 Regelkreisbeurteilung aus dem Betrag der Schleife

Angabe: Gegeben ist ein Phasenminimumsystem mit der Betragsfrequenzkennlinie \Fo{juj)\ laut Abb. 2.30. Daten der Regelung betreffend ihrer Qualitat (Stationargenauigkeit, Uberschwingzeit, ...) sind ge-sucht. Losung: Es folgt

Fo{s) = 10

( 1 + 3 ; T 6 ) ( 1 + * ) ( 1 + I 5 O ) Foiju;) =

31600 (3160 - 113,16cj2) + j(1347,66J - u^)

(2.126)

Page 53: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

2.37 Regelkreisbeurteilung aus dem Betrag der Schleife 51

Abbildung 2.29: Standardregelkreis mit Messglied

arg Fo{juj)\^= = —TT 'N —TT = —arc tan 3160-113,16 Lj |

ujR = x/1347,6 = 36,71

(2.127) Der Phasenrand lautet ^^=33° , die Durchtrittsfrequenz UD = 16,1, siehe auch Abb. 2.31. Aus der Bezie-hung \Fo{jiiJR)\ = 0,21 folgt schliefilich AR = ^ ^ = 4,73 . Die Stationargenauigkeit betragt 1/11 = 9%, die Uberschwingzeit T^y = 0,2 Sekunden, die Uberschwingweite Ah rund 50 %.

20dB

OdB

-20dB/Dek

Abbildung 2.30: Bode-Diagramm zu Gl.(2.126)

0.5

Fo{s) = 10

( 1 + 3 ^ ) ( 1 + ^ ) ( 1 + T ^ )

L

0.5^

-1

Abbildung 2.31: Frequenzgangsortskurve der Regelschleife zu Gl.(2.126)

Page 54: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

52 2 Analyse einfacher Regelkreise

2.38 * Wurzelort eines Systems vierter Ordnung

Angabe: Die Wurzelortskurve zu

s + 6 J^o{s) = V-

n{s) (2.128)

(s2 + 25 + 5)(s + 2)(s + 4)

ist zu diskutieren. Losung: Die Wurzelortskurve verlasst die komplexen Pole sn und sp2 unter ±14, 7°. Der Asymptoten-schnittpunkt liegt bei

E l ^ e spi - Y:\ ^e sm _ - 1 - 1 - 2 - 4 + 6 _ _ 2 n-r ~ 4 - 1 ~ 3

Die Verzweigungspunkte findet man aus

(2.129)

£"•(•>=» i^-^'^-y'-^-" z'{s) = 1

n{s) = (s2 4-2s + 5)(5 + 2)(s + 4)

n'{s) = 4s^ + 24s2 H-50s + 46

(2.130)

(2.131)

(2.132)

(2.133)

z'n - n'z = - 3 s ^ - 40s^ - 169s^ - 3005 - 236 = 0 -^ si = -7,2751; 52 = -3,3753 . (2.134)

Der Durchtritt durch die imaginare Achse erfolgt bei cj = 2,77, was sich aus 1-f Fo(ja;) = 0 oder ausgefiihrt oj"^ + 23a;2 - 236 = 0 bei cc; = 2, 77 und Vkru = 15,5 ergibt.

Abbildung 2.32: Wurzelortskurve zu Gl.(2.128)

2.39 * Einfach- und Mehrfachverzweigung einer Wurzelortskurve

Angabe: Gegeben ist

G{s) = K{s) = K{s + c) (2.135) 5(5 + 1) ' ' 5 + a

FUr welches K, a und c besitzt die Wurzelortskurve des damit begriindeten Regelkreises einen einfachen und einen doppelten Verzweigungspunkt? Wie lautet das Ergebnis in Abhangigkeit von a? Losung: Aus 1 + G(5)i^(5) folgt das charakteristische Polynom Pci{s) und daraus die charakteristische Gleichung

Pci{s) = 5^ + (1 + a)s^ + {K-\-a)s-\-Kc = 0 , (2.136)

Genannte Verzweigungen treten auf, wenn die Wurzel der charakteristischen Gleichung eine dreifache ist, siehe Wurzelortskurve in Abb. 2.33. Gleichsetzung von Gl.(2.136) mit (5 + a)^ liefert nach Koeffizienten-vergleich in 5*

a = ~-^ K = 3a'^ -a c=^ (2.137)

und fiir a = 10 die besonderen Werte a = 3,67; K = 30,33 und c = 1,63.

Page 55: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

2.40 * Dreiecksimpulsantwort mittels Faltung 53

Abbildung 2.33: Wurzelortskurve fiir

2.40 * Dreiecksimpulsantwort mittels Faltung

Angabe: Die Regelstrecke G{s) = j ^ wird mit einem Dreiecksimpuls Xeit) laut Abb. 2.34 angeregt. Der zeitliche Verlauf des Ausgangs ist mit Faltung zu bestimmen.

Abbildung 2.34: Eingangsdreiecksimpuls und Ausgang

der PTi-Strecke

4 t

Losung: Mit der Gewichtsfunktion g{t) = e °' * wird abschnittsweise gerechnet.

Xe{t) =

I)

0 ^ < 0 t 0<t<l I

2-t l<t<2 II 0 2<t III

ra{0 <t<l)= f re-°'^(*-^)rfr = 2t-4 + 46"°'^ Jo

(2.138)

(2.139)

11)

Xa{l <t<2)^ I re-°'^(*-^)dr + f {2 - r)e-^^^^^-''Ur =-2t + 8 - Se-^'^^^"^) + 4e-°'^* (2.140)

III)

Xa{2 <t) = 4e-«'^* - 8e-°'^(*-i) + 4e-°'^(*-2) . (2.141)

2.41 Faltung und Laplace-Transformation

Angabe: Eine Regelstrecke mit der Gewichtsfunktion g{t) = 1,155 e~°'^* sin 0,866 t wird mit einem bei t = 0 beginnenden Cosinus angeregt. Welche Reaktion liegt bei t = 1 vor ?

Page 56: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

54 2 Analyse einfacher Regelkreise

Losung: Man erhalt mit Xe (t) = cos t bei Faltung

Xa{t) = I Xe{T)g{t - r)dT (2.142) Jo

und verwendet

cos a sin 6 = ^[sin(a + 6) - sin(a - b)] = ^^m [e^(«+^) - e ' ^"^)] . (2.143)

Mit Zwischenrechnungen folgt

Xa(*) = sin*-l ,155e-° '^*sin0,866t und a:a(l) = 0,307. (2.144)

Mit Laplace-Transformation findet man

^^(^) = 7 ^ 1 ^(^) = ^ ' ^ ^ ^ . ^ 0 , 5 ) ^ + 0,866^ ^"(^) - ( . + 0,5)^+0,866^ + I M T ('-^'^^

unter A = C = 0 und 5 = —D = — 1. Die Riicktransformation liefert das Ergebnis der Gl.(2.144).

2.42 Schlechtestes Storungsverhalten

Angabe: Bei welcher Frequenz wird der Regelkreis mit der StorungsUbertragungsfunktion

^st{s) = . 2 g ^ ^ 1 , mit D = 0,4 (2.146)

die schlechteste Giite aufweisen, wenn als Giite das Amplitudenbetragsverhaltnis \Fst\ bezeichnet wird? Losung:

\FstiM\ = I T^ 1 = ^ (2.147) l ( l - ^ ) + i 2 i ^ - l ^ [ l - ( - ) T + ^

d\Fst{ji^)\ du

= 0 ^ UD = c J i v \ / l - 2 Z ) 2 3= y^0,68tjjv = 0,82a;iv . (2.148)

2.43 Signalflussdiagramm

Angabe: Man ermittle die Ubertragungsfunktion zum SignalEussdiagramm nach Abb. 2.35. Losung: In ihm ergibt sich

( ) = 1-B-D?BD-FC • f^-"^)

2.44 Wurzelortskurve und imaginare Achse

Angabe: Der Parameter T/v, bei dem die Wurzelortskurve zu

"( ^ = i 4 (. + 2)^5) ^'-'"'^ durch die imaginare Achse der s-Ebene hindurchtritt, ist zu berechnen. Losung: Aus

1 + Fo = 0 = 1 + STN{S + 2)(s + 5) = 1 - 7UJ'^TN + JUJTN{10 - cj^) (2.151)

folgt u = A/IO und TN = YQ- Dort ist zugleich die Schliefibedingung erfiillt.

Page 57: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

2.45 * Wurzelortskurve und zulassiger Verstarkungsbereich 55

B{s) D{s)

O-G(s)

-O

+

J +

B M 1

V c

1 f + s l^

D < 1

z •^a

Abbildung 2.35: Signalflussdiagramm und Blockschaltbild

2.45 * Wurzelortskurve und zulassiger Verstarkungsbereich

Angabe: Gegeben ist die Schleifeniibertragungsfunktion

10 Fo{s) =

( s - 0 , 3 ) (52+ 9 ,35+ 46,6225) (2.152)

gesucht die zugehorige Wurzelortskurve mit Asymptoten, Orientierung der Aste, Verstarkung VQ an der Stabilitatsgrenze und zugehorige Punkte auf der Wurzelortskurve sowie schlieBlich Verstarkung V3 zum Pol si = —3. Wo liegen die anderen beiden zu dieser Verstarkung gehorigen Systempole? Losung: Die Pole der Schleife liegen bei -hO, 3 und

52,3 = - ^ ± V ^ ^ ^ ' " ^^'^^^^ " - 4 , 6 5 ± i 5 (2.153)

Der Schnittpunkt der Asymptoten der Wurzelortskurve liegt bei a^ = | ( ~ 0 J 3 — 4,65 — 4,65) = —3,2 . Das charakteristische Polynom des Regelkreises lautet

p^i(s) = (s-0,3)(s2 + 9,3s + 46,6225) + lOF = s^ + 9s'^ + 43,8325s + (10V - 13,98675) . (2.154)

Stabilitatsgrenze auf der imaginaren Achse: Aus

Pcl{s) = {S + CTGl){s + jUJGl){s - jUJGl) = S^ -\- (JGlS^ + CJ^iS + (JU)%i

folgt VGI = 40,8 LJGi = ±6,62 CTGI = 9 . Stabilitatsgrenze auf der reellen Achse:

Pcl{s) = S{S + aG2 + JCJG2)(S + crG2 " 3^G2) = S^ + 2crG25^ + {(^^2 + ^ 0 2 ) ^ •

Daraus erhalt man (TG2 = 4,5; UJG2 = ±4,86; Vb2 = 1,399 .

Welche Punkte gehoren bei gleichem VGS noch zur Wurzelortskurve, wenn ein Punkt bei (—3, jO) zur Wurzelortskurve gehort

Pclis) = {s + 3){s-(7G3+j(^G3)is-CrG3-J!^G3) = S^ + (3 - 2o-G3)5^ + (60-^3 + (^GS+^03)^ + 3(cr^3+(^^3) . (2.158)

Nach KoefRzientenvergleich folgt

a = aG3 = -S] CJG3 = ±4,10; Vbs = 9,15 (2.159)

mit Darstellung in Abb. 2.36. Der zulassige Verstarkungsbereich lautet VG2 = 1,399 <V< VGI = 40,8 .

(2.155)

(2.156)

(2.157)

Page 58: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

56 2 Analyse einfacher Regelkreise

Abbildung 2.36: Wurzelortskurve zur Bestimmung des zulassigen

Verstarkungsbereichs

2.46 Durchlaufdauer durch einen elliptischen Grenzzyklus

Angabe: Fur einen Streckenausgang in Spannungsform gelten in der Phasenehene die MaBstabe 1 cm/V an der Ahszisse und 2 cni/{Vs~'^) an der Ordinate. Es stellt sich ein ellipsenformiger Grenzzyklus ein, und zwar mit den Hauptachsenlangen 3 cm und 2 cm in Abszissen- und Ordinatenrichtung. Wie lange braucht dieses System fiir den einfachen Durchlauf durch den Grenzzyklus? Losung: Die extremen Auslenkungen der Ellipse bedeuten 3V in Abszissen- und 1 V/s in Ordinatenrich­tung. Setzt man die Schwingung mit Zahlenwerten in Volt mit y = yis'mujt an, dann ist 2/1 = 3. Dann folgt y = yiLJCosujt, der Faktor yicj muss 1 sein. Somit ist (j = ^ (Sekunde hoch minus eins) oder die Durchlaufdauer Tc = ^ = 67r = 18,8 Sekunden.

2.47 * Wurzelortskurve nach einer Pollage

Angabe: Gegeben ist die Schleifeniibertragungsfunktion

610 Fois) : (2.160)

(5 + a ) (52+8s + 41) '

Man skizziere die Wurzelortskurve des Systems nach der variablen Pollage a. Fiir welche Pollage ac ist der geschlossene Regelkreis grenzstabil? Welche Frequenz UQ besitzt die auftretende Dauerschwingung? Wo liegt der restliche, zu ao gehorige Pol des geschlossenen Regelkreises? Losung: Umformung der charakteristischen Gleichung:

Fo(s) = TTT-ZTT^^^-^Z-l^ =-^ -^ - ( ^ + « ) = = 7 ^ r ^ ^ (2-161)

610 s2 -H 85 + 41 + s =

s-Ka)(s2+85-H41)

g H-85^-H 41g-H 610 s2 + 85 + 41

Fo{s) = a

s'^-h8s + 41

g2-H8s + 41 s3 -h 8s2 + 4l5 -\- 610

- 1 . (2.162)

Somit ist die Aufgabenstellung auf die Wurzelortskurve nach einer Ersatzverstarkung a an FQ zuriickgefiihrt.

Die NuUstellen von Fo{s) liegen bei §1,2 = - 4 ± \ / 1 6 - 4 1 = - 4 ± j 5 , die Polstellen von Fo{s) erkennt man aus p{s) = s^ + 85^ -f- 41s + 610 = (s + 10)(s - 1 ± j7,75) . Das charakteristische Polynom an der Stabilitatsgrenze lautet

Pci{s) = {s + a){s'^ + 8s -h 41) -h 610 = s^ + (8 + a)s'^ -h {%a + 41)s -h (610 + 41a) (2.163)

und wird dem Polynom speziellen Ansatzes

(s -h a){s'^ + iJ) 3= s^ + as'^ + u?s + aJ^ (2.164)

gleichgesetzt. Ein Koeffizientenvergleich vermittelt

% + a = a (2.165)

41 + 8 a = i^p- (2.166)

610 +41a = aJ^ . (2.167)

Page 59: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

2.48 Wurzelortskurve fiir negative Verstarkung 57

Elimination von a aus Gln.(2.165) und (2.166) liefert 23 = Scr - LJ'^ , aus Gln.(2.165) und (2.167) ferner 282 = au^ - 41a . Elimination von o; aus den beiden vorgenannten Ausdriicken fiihrt auf

0 - 2 - 8 ( 7 - 3 5 , 2 5 = 0 ^ aG = l l , 1 6 -> CJG = 8,14 .

Aus Gl.(2.165) folgt schliefilich ao = (TG ~ S = 3,16 .

(2.168)

Abbildung 2.37: Wurzelortskurve nach

2.48 Wurzelortskurve fiir negative Verstarkung

Angabe: Gegeben ist der Standardregelkreis mit Regler K{s) und Strecke G(s)

K{s) ^ , Gis)= '"•' ? + l s2 + 2s + 5

(2.169)

Mit dem Verfahren nach Routh ermittle man, fiir welche k das geschlossene System stabil ist. Sodann werde angenommen, dass durch Verpolung des Subtraktionsknotens Mitkoppelung im System entsteht. Man zeichne fiir diesen Fall die Wurzelortskurve des Systems (Bezifferung nach der Verstarkung k) und iiberpriife das Ergebnis mit der Stabilitatsgrenze nach Routh. Losung: Aus 1 + Fo(s) = 0 folgt

A;4-s2+2s4-5 = 0 -^ k > -5 . (2.170)

Die Losung der charakteristischen Gleichung lautet si,2 = - l ± \ / - 4 - k . Die Wurzelortskurve fiir negative k zeigt die Abb. 2.38.

, , , j -

I—s-Ebene - I >)^k = 0 I

I I I h - h-

4 I I •5 - 4

- 3

• 5 - {

+-3-

-)^o-

-2

Abbildung 2.38: Wurzelortskurve zu GL(2.169)

Page 60: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

58 2 Analyse einfacher Regelkreise

2.49 Regelkreisresonanz im Fiihrungsverhalten

Angabe: Der Standardregelkreis mit

(2.171)

unterliegt einer harmonische Anregung yref- Welche Bedingung miissen die GroBen Tj und Ti erfiillen, damit die Schwingung der RegelgroBe y unerwarteterweise hohere Amplitude erreicht als die der Anre­gung yref selbst? Bei welcher Anregungsfrequenz Urz erreicht die Schwingung der RegelgroBe maximale Amplitude, wenn die vorstehende Bedingung eingehalten wird? Losung: Aus

1 + KG l + sTi + s^TiTi

folgt die Regelgrofieniiberhohung bei jenem s = juj, bei dem

V 2 T i - T j \1 + sTj + s'TiTi\ < 1 0 < a ; <

Gemafi Abb. 4.7 aus Band 1 {Weinmann, A., 1994) gilt fiir den Regelkreis

D = ^,h

Seine Resonanzfrequenz liegt bei

(2.172)

(2.173)

(2.174)

(2.175)

2.50 Stabilitat und Wurzelortskurven

Angabe: Aus den Wurzelortskurven und dem Routh-Kriterium ist die Stabilitat von Regelkreisen zu diskutieren, und zwar fiir

a) Fo{s) =V

b) Fo{s) =V

s + 5 (5 + 1)2(5 + 2)

s + 2 (5 -1 )2 (5 + 5)

Losung: Die Wurzelortskurven zeigt die Abb. 2.39 in a und b.

F < 1 8

V > 3 2 .

(2.176)

(2.177)

lOi

-10

r " s -Ebei 16

KJ- — J < w ^ ' T

' ..-

-10 8

i U

0

10

i '

i -cjoei

i le

~>f- — <

. . _ . „ .

FT I 1

> J

[

\ k T / T

ah -- -

X -

G V.

•v

i)A

._.._. J

-10 0

Abbildung 2.39: Wurzelortskurve mit Stabilitat unter (a) und liber (b) einer bestimmten Grenzverstarkung

Page 61: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

2.51 * Durchtrittsfrequenz, Phasenrand und Anregelzeit 59

2.51 * Durchtrittsfrequenz, Phasenrand und Anregelzeit

Angabe: Wie ist die Abhangigkeit der Uberschwingzeit Tfy von der Durchtrittsfrequenz UD und vom Phasenrand? Wie groB ist die Anregelzeit Tan eines Regelkreises mit der Fiihrungsiibertragungsfunktion

2

^2 i2Du s+s^ Welcher detaiUierte Zusammenhang besteht Tfj = /{UJD, OIR)?

Losung:

Die Durchtrittsfrequenz folgt aus

(2.179) Nahe D = 0,7 gilt die Naherung ^ ^ =- 0,64[1 -{D-0,7)].

Der Phasenrand lautet

Qfl = TT -f arg{F,(ia;z,)} z. TT - ^ - arg h jD -h j ^ j = ^ - arctan ( ^ - ^ ) (2.180)

Qij = arccotj^ 2 ^ J (2.181)

i ^ 2 ^ = t a B ( ^ - a « ) = - J — ^ 4 C » = ( ^ ) % a . ^ a « . (2.182) UJN 2D V2 / tan a/? \UJN^

Einsetzen von 41)2 g g Gl.(2.182) in (2.179) Uefert

LON = ,^^ , (2.183) y COS an

Einsetzen von Gl.(2.183) in (2.182)

2 ^cos an

Die Uberschwingzeit Tfy folgt aus Tfy = ^^J^_j^2 ^^rch Einsetzen von Gl.(2.183) und (2.184) zu

D = i ^^"^^ . (2.184)

Tij = — . ^ = —niocn) . (2.185) y cos ftR 4 ^

Ein typischer Wert bei Q!i?=60^ lautet

T^ = 0 , 8 9 4 — . (2.186)

Der Korrekturfaktor 77(0:/?) ist in Abb. 2.40 dargestellt, die Abweichung von 1 ist im relevanten Bereich nur gering.

Die Formeln Ti = ^ und UK = 2DUJN dienen zur Riickfiihrung der Daten der Angabe aus Daten von T{s), wobei

T{s) = , ^J^^ o- (2.187)

mit den Polstellen si,2 = —DLJN ± joj^V'^ — D^ gilt. Aus der Formel fiir h{LJNt) aus Abb. 1.26, Band 1 {Weinmann, A., 1994) folg* die Anregelzeit Tan aus

der Beziehung h{ijjjs[Tan) — 1- Aus dieser wieder ergibt sich

V l - D'^ cos(u;ivTan V l - ^2) + Dsin(a;ArTan\/ l- i^2) = 0 . (2.188)

Da ein Wendepunkt dazwischen liegt (bzw. wegen tan ^ — —x und tan (TT — ( ) = x) folgt

C0s(7r — UNTan Sm{n — UJNTan V T T D 2 ) = 0 (2.189)

Vl - D'^ cosiujNTanVl - D^) + i:> sin(u;ranV'l " ^ ' ) = 0 (2.190)

Page 62: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

60 2 Analyse einfacher Regelkreise

o^n)

1,1

1

0,9

!

V4cos otR-siv?aR

1

7

Abbildung 2.40: Uberschwingzeit-Korrekturfaktor

ri{aR) iiber dem Phasenrand

0,5 1 aR [rad] 1,5

^^- = T r ^ ( ^ -arctan — 1

In Vergleich dazu aus Gl.(12.10), Band 1 {Weinmann, A., 1994), Tjy = Jx-D'' Gl.(2.184) durch aR ersetzt, folgt

>•<.( Trvfl — arctan w 4 cosa/e

sin^ aR - ' ) •

(2.191)

TT . Wird D gemafi

(2.192)

2.52 AUpass-Schleife und Phasenrand

Angabe: Die Regelschleife lautet

Fois) s-1

Fiir welche PoUagen p ist der geschlossene Regelkreis stabil? Wie lautet der relative Stationarfehler in Abhangigkeit von p bei konstantem SoUwert? Wo liegt die Durchtrittsfrequenz UJD in Abhangigkeit von p? Existiert die Durchtrittsfrequenz fiir stabile Regelkreise? Losung: Aus

Fo{s) _ s - 1

^^^^ l + Fo(5) s2 + ( 2 - r t s - ( l + p )

folgt, dass 1 + p < 0 und (2 — p) > 0 sein muss. Dies ergibt gemeinsam p < —1. Der Stationarfehler betragt somit

lim e{t) = lim sE{s) = lim s[l - T(s)]- = - ^ — .

Aus

\FO{3^D)\ = 1 CJZ? - ^ / ^

(2.194)

(2.195)

(2.196)

erkennt man, dass fiir p < —1 kein reelles LJD existiert und daher der Phasenrand nicht definierbar ist.

2.53 * Last an einem elastischem Sell

Angabe: Bine Regelstrecke G{s) besitzt die Stationarverstarkung eins und ein konjugiert komplexes Pol-paar ±2j auf der imaginaren Achse. (Dies entspricht einer Last an einem dampfungsfreien und ideal elastischen Sell.) Welcher Regler stabilisiert diese Strecke zufriedenstellend? Losung: Ein idealer PD-Regler als erste Naherung

K{s)=4kR(l + sTD) (2.197)

Page 63: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

2.54 * Regelung mit AUpass als Strecke 61

15

10

-10

-15

s-Ebene

- - r - "

I

J _ ^ w\ \0_

-10

15

10

5

0

-5

-10

-15

s-Ebene

^0

O! -30 -20 -10 -10

Abbildung 2.41: Wurzelortskurve fiir elastische Regelstrecke mit idealem PD-Regler (a), fiir PDTi-Regler

bei Ti = 0,03 (b) und mit dem Regler ^^1^+^^^^ bei Ti = 0,25 (c)

mit den Werten kn = 9 und TD = VlO/9 = 0,351 bewirkt eine Polverschiebung gemafi Wurzelortskurve nach Abb. 2.41a.

Die Verstarkung kR folgt aus dem Wunsch nach 10 % Stationarabweichung

T{s) = AkRJl + sTp)

4kR{l ~\-STD) + s'^ + 4 aus G(s) =

1

s 2 + 4 und Fo{s) =

4kR{l + sTD)

§ 2 + 4 (2.198)

zu limt_^oo2/(*) = i^^ bei Sollwerteinheitssprung.

Der obgenannte Wert TD folgt aus der Uberlegung, dass schnellstmogliches iiberschwingfreies Ausregeln dann erfolgt, wenn der Regelkreis einen Doppelpol aufweist. Aus dem charakteristischen Polynom des Regelkreises

(2.199) Pciis) =s^ -h ikRTDS + 4kR-\-4 = s^ -\- 2as + a^

liegt dann ein Doppelpol vor, wenn

4kRTD = 2a = 4^/kR + 1 TD = , "^^ = ^ = 0,351 -^ K{s) = 9(1 + 0,351s) . (2.200) kR

Die Wurzelortskurve fiir einen PDTi-Regler

K{s) kRil-i-sTp)

1 + sTi (2.201)

zeigt die Abb. 2.41b unter Ti = 0,03. VergroBert man Ti, so ruckt man den Pol bei - 3 3 an die Nullstelle heran und die Stabilisierung wird geschwacht, siehe Wurzelortskurve Abb. 2.41c fiir Ti = 0,25.

Die Sprungantwort des Regelkreises fiir den idealen PD-Regler unter kR = 9 und TD = 0,351 zeigt die Abb. 2.42.

2.54 * Regelung mit AUpass als Strecke

Angabe: Eine AUpass-Strecke soil fehlerfrei und unter einem Dampfungsgrad von D = 0,7 geregelt wer-den. Kommt dafiir ein iiblicher PI-Regler in Frage? Welcher Regler ist gUnstig? Welchen Stabilitatsbereich besitzt dieser Regler? Losung: Ein PI-Regler mit negativer P-Verstarkung lost die Aufgabe, wie die Wurzelortskurve („root contour") in Abb. 2.43b beweist. Dabei wurde

2 Q — «? 1

angenommen. Daraus folgt

Fo{s) = 29-s 1 - kRTjs

3(29 4- 5) sTj

(2.202)

(2.203)

Page 64: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

62 2 Analyse einfacher Regelkreise

Abbildung 2.42: Sprungantwort fiir den idealen PD-Regler

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

l-\-Fois) = 0 ^ Pci(s)=0 ^ Palis) =Ti{kR-^S)s^-¥[29Ti{3-kR)-l]s-^ 29 (2.204)

mit einem ersatzweisen Fo(s) von

0, Isjs - 29) Fo{s) = kR-

' ( s + 4,59)(s4-21,l) '

Einem Dampfungsgrad D = 0,7 entspricht Pci{s) = s^ + 2as + 2a^ . Fiir die Annahme kR = I folgt

(2.205)

2a =— und 2 a = - ^ ^ .

Die beiden Gleichungen sind bei cr = 6 vertraglich. Damit erhalt man

29 1 Ti = : 0,1005

(2.206)

(2.207) 8(72 5 g ( ^ _ ; )2

Die Wurzelortskurve in Abb. 2.43a ist fiir dieses T/ gezeichnet, mit einem Verstarkungsfaktor V statt | in Gl.(2.203).

-20 -30 -20 -10 10 20 30 -30 -20 -10 10 20 30

Abbildung 2.43: Wurzelortskurve zu Gl.(2.203) (a) und 01.(2.205) (b)

Die Sprungantwort des Regelkreises bei Sollwerteinheitssprung und unter kR = 1, Tj = 0,1 zeigt die Abb. 2.44.

Die Stabilitat des Regelkreises nach Routh folgt fiir T/ = 0,1 gemafi

Pci(s)==0,l{kR^3)s'+p^^^-l] s + 29

A: 4- 3 > 0

liegt also bei — 3 < A;H < 2,65 vor

kR>-3 und 29(3^^ ^^) _ 1 ^ Q ^ kR<2,65,

(2.208)

(2.209)

Page 65: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

2.55 Spezielle Anfangshedingung 63

Abbildung 2.44: Sprungantwort des Regelkreises mit AUpass-Strecke

Mit MATLAB: G=t f ( [ -1 2 9 ] , [3 87])

K=tf ( [ - 0 . 1 1 ] , [ 0 . 1 0]) T=feedback(ser ies(G,K), t f ( l , l ) )

s tep(T)

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

2.55 Spezielle Anfangsbedingung

Angabe: Bei welcher besonderen Anfangsbedingung ist die Rampenantwort eines PTi-Elements

y{t) + ay{t) = aVu{t) (2.210)

dadurch gekennzeichnet, dass in ihr keine Exponentialfunktion enthalten ist? In welcher Relation steht diese Anfangsbedingung zum Schleppfehler? Losung: Die Rampenantwort lautet allgemein und mit u{t) =t und U{s) = jj

Y{s) = -^y{0)-^^U{s) V V

8 + a s + a y{t) = [y{0) + -]e-^'-- + vt (2.211)

Fiir y(0) = — verschwindet der Exponentialanteil. Dieser Wert der besonderen Anfangsbedingung ent-spricht dem Schleppfehler Coo = ^^T^t-^oo y{t) — Vt = —V/a .

2.56 Regelung mit I2-Strecke

Angabe : Wie lautet y{t) bei yrefif) = < (0 ^^ ^^^ Regelung nach Abb. 2.45a. Losung: Das Blockbild in Abb. 2.45a kann einfach auf 2.45b umgezeichnet werden, wobei man sich der Hilfsvariablen h{t) = 2y{t) + y{t) bedient. Die Fiihrungsiibertragungsfunktion ergibt sich zu

T{s) = Yrefis) 5 2 + S + 2

Mit Yrefis) folgt

1 _ 5 + 1 _ 1 _ g + 0,5 0^^ x/T775 ^ ^ ^ ~ s s2 + s + 2 ~ s (5 + 0,5)2 + 1,75 x/TTTS (5 + 0,5)2 + 1,75

und schliefilich

y{t)' 1 - e 2 cos -—t -1 \/7

—;=e~2sin——i t>0 V7 2

(2.212)

(2.213)

(2.214)

2.57 3-dB-Bandbreite des Fiihrungsverhaltens

Angabe: Die RegelstreckeG{s) = ^ soil durch einen PDTi-Regler K(s) = ^ P I $ ^ stabilisiert werden. Auf SoUwertsprung darf der StellgroBenanfangswert nicht hoher als 2 liegen. Der Regelkreis soil einen Doppelpol bei —5 aufweisen. Wie groB ist die 3dB-Bandbreite des Fiihrungsverhaltens? Losung: Aus dem Anfangswerttheorem fiir ^^^(5) — K/{1 + KG) bei ^ als Sollwerteingang folgt KpTn/Ti = 2. Das charakteristische Polynom des Regelkreises lautet 6Kp{l + STD) + (S - 3 ) ( 1 + sTi). Es besitzt einen Doppelpol bei - 5 , wenn Ti = 1 und Kp — 14/3. Danach folgt TD = 3/7 . Die bleibende Regelabweichung resultiert aus T{s) mit dem Endwerttheorem zu —0,12.

Page 66: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

64 2 Analyse einfacher Regelkreise

Vref

1 •

Regler

u = -2yref-^2y + y u

Strecke

1 y

K ^

Vref

1 h

1

1 1 2 1 '

s + 2 L

y

0 Abbildung 2.45: Regelungsblockbilder

Die 3-dB-Bandbreite LJB erhalt man mit dem Ansatz

Tis) = Kis)G(s)

|TO-0)|-1 = |TO-.B)| = ^ ^ ' ™ ^ l-^K{s)G{s) ' ^ ' • ' " " v ^ ' - ^^' ul+25

zu LJB = 13,5 . (2.215)

2.58 * Regelkreisreaktion auf einen Dreiecksimpuls der Storgrofie

Angabe: Der Regelkreis laut Abb. 2.46 unterliegt einer dreiecksimpulsfdrmigen StorgroBe. Die Stdrungsiibertragungsfunktion lautet Fst{s) = QQ, gig^a • Welche Reaktion y{t) ist zu erwarten? Losung: Die Storgrofie der vorliegenden speziellen Art ist durch

wa(t) = ^ta(t)-2^{t-T)a{t-T) + ^{t-2T)a{t-2T) ^ T^,(s) = l l ( l - 2 e - * ^ + e - ^ ' ^ ) (2.216)

ZU charakterisieren, wobei a{t) = l{t). Damit ist der Streckenausgang Y{s)

Y{S) = ; ( l _ 2 e - ^ ^ + e-2«^) Mit J 3_

' 5 0 50 *" J- 1 Kn t;f> 5 (2.217)

Ts(3s2 + 5 + 50) '^ "^ • " ' s(50 + s + 3s2) 50 s 50 + s + 3s2

als partialbruchentwickelter Bruchterm ergibt sich die weitere Zerlegung der Losung im Bildbereich zu

i 1 \/599

yis) = ia- s+: 5T\s ( 5+1)= + ^

Nach Riicktransformation findet man

1 7^9 {s ') (2.218)

2 r, / V599^ 1 . V599 \ _ i , i . , ^ ?/(t) = —- 1 - c o s — - ^ i + - 7 = s m — — - n e ^^\a(t) etc ^^ ^ 5 T L V 6 v^S^g 6 / J ^ ^

(2.219)

wobei „etc." zwei weitere zeitverschobene Terme unter Beriicksichtigung der Faktoren —2 und +1 bedeutet. Die Abb. 2.47 zeigt fiir T = 1 den Gesamtverlauf der Regelgrofie y{t) auf die Dreiecksanregung; bei fiachengleicher Dirac-Anregung 46(t) ergibt sich ein sehr ahnliches y(t). Der niedrige Dampfungsgrad von D = 0, I/VG (das langsame Abklingen) lasst die Detailform der Anregung in ihrer Bedeutung zuriicktreten, und zwar ungeachtet der Tatsache, dass 2 r = 2 zu der Periode der Frequenz cj^ des Nenners (50 + s + 3s2) sehr nahe liegt, namHch 27r • 6/\/599 = 1, 54.

2.59 Ortskurve der Sensitivitat eines Regelkreises

Angabe: Regler- und Streckeniibertragungsfunktion eines Regelkreises lauten

3(s + 3) ^^^ (;(g) = ^ s2 + 4s + 3

(2.220)

Page 67: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

2.60 GroBte Ortskurvendistanz 65

Abbildung 2.46: Regelkreis unter Dreiecksstorung

0 t 4

Abbildung 2.47: Reaktion auf Dreiecksanregung

Welche Eigenschaften besitzt die Sensitivitat des Regelkreises? Losung: Die Sensitivitat S{s) (der Regelfaktor Rfis)) lautet mit Fo{s) = K(s)G{s)

1

1 + f + T (2.221)

Zum Zeichen der Ortskurve S(juj) = Rf(juj) konnen mit letzterer Umformung die Ortskurven eines PT2s-Elements mit LJN = \ /3 und D = ^7= = 0,28 verwendet werden, und zwar unter Vorzeichenwechsel (Symmetrie zum Ursprung) und Verschiebung um eins nach rechts (Abb. 2.48).

2.60 GroBte Ortskurvendistanz

Angabe: Fiir welches u nimmt die Distanz (DifFerenz) zwischen Punkten nachstehender Ortskurven

1 I - 1 I S + 1 \s=juj S — 2, 5 \s=juj

ein Maximum an? Die Tatsache bleibe unbeachtet, dass das zweitgenannte Element instabil ist. Losung: Erstere Ortskurve ist ein Halbkreis von (+1; jO) zum Ursprung „im Uhrzeigersinn", zweitere ein Halbkreis von {0,4; jO) zum Ursprung „im Gegenuhrzeigersinn". Als Distanz erhalt man

(2.222)

do{s)\ ; + l • 2 ,5 \s=j

2 s - 1 , 5 I - l , 5 s - 2 , 5 L = j .

(2.223)

Page 68: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

66 2 Analyse einfacher Regelkreise

2

1.5

1

0.5

0

-0.5

— -/-

^ ^ ^L i

1 1 i T

1 1 L ^ ^ I I I 1 1 1 1

-0.5 0 0.5 1 1.5 3f?e 2

Abbildung 2.48: Ortskurve der Sensitivitat S{juj)

\doU(^)\

\do(juj)\ -^ max

2,25 + 4a;2 2 _ 6,25 + 7,25cj2 + cj4

duj \do{juj)\'^ = 0 liefert cj^ + 1,125cj2 - 2,1719 = 0

t max = 1,0074 max|<io(ja;)| = 0,6565 .

2.61 Grenzstabili tat bei Schleife mit Vierfachpol (2n-fach-Pol)

(2.224)

(2.225)

(2.226)

(2.227)

Angabe: Gegeben ist die Schleifeniibertragungsfunktion Fo(s) = TXT^W- Bei welcher Grenz-Verstarkung VG und bei welcher Durchtrittsfrequenz UD ist der Regelkreis gerade grenzstabil? Losung: Aus der Betragsbedingung folgt

l^oWJ

aus der Argumentsbedingung

VG

s=j<^D U^D + 1)^ - 1 ^ VG = {UJI + 1 ) \

UJD

(2.228)

(2.229) arg FO{JUJD) = —4 arc tan - — = —TT ~> UD = ^^^T = 1 •

Aus beiden resultiert T/ < VG = 4. Fur einen 2n-fach-Pol bei —1 findet man in analoger Rechnung

VG = {ujl + i r , ujD = t^n^, Vb = (cos | ^ ) - 2 - . (2.230)

2.62 Phasenrand und Schleife mit Siebzehnfach-Polstelle

Angabe: Welches a in Fo{s) = l/{s -\- ay^ vertragt der Regelkreis, um einen Phasenrand von 44° zu sichern? Losung: Aus |Fo(ja;)| = 1 folgt LJD = V l — a^- Der Phasenrand von 44° verlangt

180 - 17 arc tan a

= 44

87r arc tan ^ ^ = 8 ^ = 1 8 0 - 2 2 , 5

bei tan a = a klein. . . a = l / \ / l + 7r2/22,52 .

(2.231)

(2.232)

(2.233)

Page 69: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

Kapitel 3

Einfache Entwiirfe von Regelkreisen

3.1 Regelkreis aus Totzeitelement und Integrator

Angabe: Ein Regelkreis bestehe aus Totzeit- und Integratorelement (Abb. 3.1). Wie sieht seine Reaktion y{t) auf SoUwertsprung bei Anfangsruhezustand aus? Losung: Die Reaktion im Intervall 0 <t <Ttist sehr leicht zu bestimmen, weil die Regelkreisriickmeldung zufolge Totzeitwirkung noch fehlt, daher ist y(t) null. Im Intervall Tt < t < 2Tt wirkt der SoUwertsprung verschoben auf den Integrator

yit) = T^it - Tt)(j{t -Tt) Tt<t< 2Tt . •LN

Dieser Teil y{t) wirkt sich auf den Integratoreingang erst im folgenden Intervall 2Tt <t< 3Tt aus

y{t) = j ^ ( * - n)a{t - Te) - ^^±l^a{t - 2Tt) .

AUgemein lautet die Antwort mit Fre/ = 1/s

Y{s) = STN + e-*^' s

(3.1)

(3.2)

1 1

!/(«) = E ^ 7 T ( * - iTty{-lY-'a{t - iTt) . (3.3)

Vref / ^

L ^ ' . )

e-''^' 1 " . L^

STN I y

Abbildung 3.1: Totzeitregelung

Fiir Tt = 2 zeigt die Abb. 3.2 die RegelgroBe bei kleinen Zeitwerten fiir mehrere Integratornachstell-zeiten T^. Die Stabilitatsgrenze liegt bei T^ = ST^/TT und einer Frequenz 7r/(2Ti). Stabilitat verlangt Tjv > 2Tt/7r. Bei ihr weisen Totzeit und Integrator je n/2 Phasennacheilung auf, beide iiberdies eine Stationarverstarkung von 1.

3.2 Forderband-Regelung

Angabe: Die Aufbringung von Grobschotter auf ein Forderband erfolgt mit einem Riittler, dessen Leistungs- und Vorverstarker die Differenz von Soil- und Istwert integrierend verarbeitet. Die Integra-tionszeitkonstante betragt Tj. Der Istwert kann erst durch eine um Tt verschobene Messeinrichtung bereit-gestellt werden. Welches Fiihrungsverhalten besitzt dieser Schotterdosier-Regelkreis? Fiir welches Tj wird der Regelkreis bei Tt = 2 an der Stabilitatsgrenze betrieben? Losung: Die Dynamik des Regelkreises kann aus Abb. 3.3 gewonnen werden, und zwar mit

Fo(s) = zu T{s) = ^ 1

sTj

(3.4)

Page 70: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

68 3 Einfache Entwiirfe von Regelkreisen

2 +

[ y{t) IT.. 1

1 .-..

= 0,5

TN = 1

= 2

_ i ^^

Abbildung 3.2: Ausgang der Strecke der Totzeitregelung bei Sprunganregung im

SoUwert

Die Stabilitatsgrenze ergibt sich aus

arg{Fo{jujD)} •• -uJuTt

bei der Durchtrittsfrequenz UD = 0,5 7r/Tt = 7r/4 . Mit ihr findet man

1 . ^ , . X . 1 \Fo{M\ uTi

\FO{3^D)\ ^DTI

1 ^ r / = 4/7r = l , 2 7 .

(3.5)

(3.6)

Vref ^

+s ">) ,

k

1 sTi j

I

V

Abbildung 3.3: Schotterdosier-Regelkreis

3.3 Betragsoptimum zu PT4-Strecke und PI-Regler

Angabe: Gegeben sind Strecke und Regler im Standardregelkreis laut Abb. 3.4 zu

G{s) = 1 1

K(s) = ro^- . s a{s) ao + ais + a2S^ + ass^

Welche Koeffizienten Vo und ri gelten fiir betragsoptimale Reglereinstellung (Betragsanschmiegung)?

(3.7)

2/ref +

Abbildung 3.4: Standardregelkreis

Losung: Aus

GK r i + VoS Tis) = = ^ ' ^ "

1 4- GK ass^ + a2S^ + ais^ + (a^ + ro)s + n mit \Tis)\s=jJ = l (3.8)

Page 71: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

3.4 Reglerdimensionierung fiir dominierendes Polpaar 69

folgt

In + '^oj(^\ = k i - «i^^ + «3^^ + j(^{ro -\-ao- a2UJ^)\ . (3.9)

Der KoefRzientenvergleich fiir o; und cj^ bringt

u;^: rl = -2riai+rl-\-al-\-2roao (3.10)

o;' : 0 = af + 2ria3 - 2roa2 - 20^02 (3.11)

und daraus 2aoaia2 - a^a^ - af . ao{aoa2 - a\)

To = ——. ^ —- sowie ri = —r^ ^- . (3.12) 2{aoa3 - aia2) 2{aoa3 - 0102)

3.4 Reglerdimensionierung fiir dominierendes Polpaar

Angabe: Zu G{s) = /^. ^^9 , ^ ^ soil ein I-Regler K{s) = -^ derart gewahlt werden, dass das dominie-rende konjugiert komplexe Polpaar des Regelkreises gleichen Real- und Imaginarteil aufweist. Welchen Phasenrand besitzt der Regelkreis? Losung:

F.is) = i ^ W ^ W - f , ( , ^ ; ( , ^ , , ) (3-13)

T(s) = ^-(^) = IQQ/^/ A 100/Tj ^ ^ 1 + Fois) s3 + 1^2 + i s + 100/T/ (s + a + ja){s + a - ja){s + 6)" ^ ' ^

Der KoefRzientenvergleich in s^ und s liefert fiir a und & die Werte a = 0,191 und 6 = 1,118; weiters in s°

^ = : ( a + i a ) ( a - j a ) 6 - 2 a 2 6 ^ T / = ^ = 1226,1 . (3.15)

(Eine formal zweite Losung a = 1,309; b = —1,118 entsprache einem instabilen System.) Die Dominanz wird durch die Tatsache a <^h bestatigt. Der Phasenrand folgt aus

\FO{3U^D)\ = - r ^ . ^ I . ^ ^ , = 1 . (3.16) 1226,1 u)D^J^^^B^J^^-^^D

Unter der Naherung IJJB 1 folgt UJD = \ und fiir die Phase — |- — cj — 2cj = —1, 57 — 0,5 = —2,07, also fiir den Phasenrand rund 62°.

3.5 Dimensionierung auf Phasenreserve

Angabe: Ein Regelkreis mit ITn-Strecke und P-Regler Kp soil auf Phasenreserve aR dimensioniert wer­den. Die Zeitkonstanten der Strecke seien gleich groB. Losung: Nach der Angabe erhalt man aus

die Phasendrehung bei der Durchtrittsfrequenz LUD

diigFoiJuj) — — — — n arctancuTr = —'K+an ^^ n arctanct;£)T = ——an ' ^ uj^T = tan . L 2 J \u)—u}D 2 n

(3.18) Mit Betrag gleich eins im Durchtrittspunkt folgt schlieBhch mit |1 -i- juj^T] = y/l -f u;%T^

TV- -I Tj_ ' -f—OR

\FOUU^D)\ = 1 - - ^ n ^ . ^,„ = 1 - Kp= ^ ' r _ „ „ " , • (3.19) UJDTI \1+JU>DT\" (COS ^2—^)"+!

Page 72: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

70 3 Einfache Entwiirfe von Regelkreisen

3.6 Ziegler-Nichols-Einstellung

Angabe: Nach Ziegler-Nichols wird gutes Storungsverhalten dann erreicht, wenn zunachst mit einem P-Regler der kritischer Verstarkungswert Vkru und die Schwingungskreisfrequenz Ukrit a« cfer Stahi-litatsgrenze berechnet undsodann der PI-Regler K(s) = KP{1 + ^Y-) mit den Werten Kp — 0,45 Vkrit und T/v = 0,85 ^3^^^ eingestellt wird. Wie lautet diese Bemessung bei einer Regelstrecke G{s) = ^ .gw/, ^ . i ) ? Losung: Aus 1 + VkritG{s) = 0 und s = juj folgt

- ju^ - 2u;2 + 23U + {Vkrit + 1) = 0 (3.20)

sowie Ukrit = V^ und Vkrit - 3. Somit lautet der PI-Regler /iTp = 1,35 und T/v = 0, SSTTV^ = 3,78 .

3.7 * Totzeitkompensation

Angabe: Ein Standardregelkreis aus Regler K{s) und Strecke G{s) unterliege einem Messrauschen, das durch eine harmonische Schwingung rir (t) der Frequenz ujr genahert wird. In der Regelstrecke trete fallweise eine Totzeit Tt auf; in einem solchen Fall wird im Regler ein Zahlerterm I + S T D in der Ubertragungsfunktion hinzugenommen

G{s) = Y:^[xe-'^'] K{s) = Y : f ^ [ > ^ ( l + ^^D)] • (3.21)

Durch die Aufnahme des D-Terms 1 + STD moge die Messoberschwingung in der StellgroBe eine Erhohung um weniger als den Faktor K erfahren. Bis zu welcher Totzeit Tt und DifFerentialzeitkonstante TD lasst sich gleicher Phasenrand in beiden Betriebsfallen erreichen ? Die Zeitkonstante T2 sei so klein, dass sie fiir die Phasenrandberechnung unbeachtet bleiben konne. Losung: Zunachst wird angenommen, dass die Messoberschwingung so hochfrequent sei, dass KG = 0 gilt. Das Verhaltnis Stellgrofie zu Messoberschwingung ist dann im Fall mit D-Term im Regler zum Fall ohne D-Term |1 -\- jurT^l- Damit dieser Wert kleiner als K, bleibt, muss

|1 + jcurTol < « ^ TD< (3.22) Ur

gelt en. Fiir die Durchtrittsfrequenz ohne (o) und mit (m) Totzeit findet man beziehungsweise

|FoO-a>Do)| = L , , „ . y . ^ ^ ^ , j | = 1 - cjDo = ^ ^ ^ ^ (3.23) [1 + sTi)(l + ST2)) lu>D<, Ti

arg FooiJWDo) = - arg(l + ju)DoTi) = - arctan ^/V^ -1 (3.24)

l °( " '")l = l(i + .ro(i + 5r . ) ) lL"^ - "^" = 7 ^ 3 ? ! ^ (3.25)

argFom(j^jDm) = arctan(a;DmrD) - (^OmTt - aTctan(LJDmTi) . (3.26)

Die Totzeitkompensation folgt aus der Gleichsetzung arg Foo = arg Fom zu

Fiir die Zahlenwerte Ti = 1, T2 = 0,05 , cJr = 100 , /c = 2 , F = 2 ergibt sich

TD < 0,0173 , LJDo = 1,732 ,UDm = 1,733 und Tt = 0,0172 . (3.28)

Angemerkt sei, dass bei Taylor-Entwicklung e* * = 1 4- sTt + .... aus Kompensationsgriinden ebenso naherungsweise To = Tt folgt. In der Abb. 3.5 sind die Amplituden- und Phasenfrequenzkennlinien fiir den Fall ohne und mit Totzeit dargestellt.

Page 73: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

3.8 * Geschwindigkeitsregelung an einer Elektrolokomotive 71

Id' io

Abbildung 3.5: Bode-Diagramm ohne Totzeit und mit Totzeit

3.8 * Geschwindigkeitsregelung an einer Elektrolokomotive

Angabe: Ein Zug samt Lokomotive besitzt die Gesamtmasse von mo = 420 000 kg. Das Verhaltnis von Lokomotivmasse zur gesamten Waggonmasse betragt 1:5. Die Geschwindigkeitsregelung auf der Lo­komotive erfolge mit einem PI-Regler. Der Geschwindigkeitssollwert wird durcli eine Rampe vorgege-ben. Das Stellglied zwischen der Funktionsabgrenzung Reglerausgang und Antriebskraft f{t) besitzt die Verstarkung ki = 20 [kN/V], das Messglied den Skalierungsfaktor k2 = 0,1 [Vs/m]. Als Zugkraft wer-de (giinstigstenfalls) 150 kN angenommen. Das Blockschaltbild der Regelung unter Vernachlassigung samtlicher Verluste durch Reibung und Luftwiderstand zeigt die Abb. 3.6. Es enthalt Signale, die teils mechanischen Bewegungsdaten entsprechen, z.B. Istgeschwindigkeit, teils elektrische Vorgaben, wie den Geschwindigkeitssollwert. Der Geschwindigkeitsregler werde so parametriert, dass ein Phasenrand von 60" eingehalten wird und die Durchtrittsfrequenz bei UD = 0,06 [Radiant/Sekunde] zu liegen kommt.

Vref [V] ^ ^ e [V]

—TQ—" y [y\

KR (-i u [VI h

1

s • mo

'^ist iseci

Abbildung 3.6: Blockbild der Geschwindigkeitsregelung der Lokomotive

Losung: Die Verlaufe von j/re/ und stationar von y sind Rampen, welters sind e = 0 und u stationar konstant. Die Steigung der Sollwertrampe betrage rj. Dann gilt

F{s) hKR{l+^) mit Yref{s) =

Wegen u und / = C~^{F{s)} stationar konstant ist das Endwerttheorem anwendbar

hm f{t) = hm s^^^ \ , = —— t->oo s->0 S^Yref(s) k2

(3.29)

(3.30)

rj = ^ 1 8 0 0 0 0 : mo

0,1 [Volt Sekunde/Meter]

420000 [kg] 180000 [Newton] = 4,286 • 10"^ [Volt/Sekunde] . (3.31)

Page 74: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

72 3 Einfache Entwiirfe von Regelkreisen

Der Wert 180 kN ergibt sich als Zugkraft oder Umfangskraft am Lokrad aus Zughakenkraft 150 kN nach der Relation Lok- zu Waggonmasse 1:5. Der Wert 4,286- 10~^[Volt/Sekunde] entspricht einer Beschleunigung von 1,54 km/h pro Sekunde.

KR{1 + STI)^^ K(S) = 7^ ki /C2

sTi

1

s me \Fo{ju.)\ = Knhh-^^^l+uj^T^

Bei argF„(jw) = - 9 0 ° - 90° + arg(l + juT,) \u)=U)D \u>=iiJD

= -120° folgt

arg(l + UDTI) = 60^ -^ arctana;£,T/ = 60° ^ Tj = 28,87 [Sekunden]

Aus \FO{J(JJD)\ = 1 ergibt sich schliefilich

3.9 PI-Regler-Dimensionierung

Angabe: Gegeben ist die PTi-Regelstrecke G{s), zu dimensionieren sei ein PI-Regler K{s) derart, dass die Regelung einen Dampfungsgrad D = A /2 /2 annimmt, und zwar bei Ti = 2, V = 4 und LJN = 7.

(3.32)

(3.33)

(3.34)

G{s) = V

K{s) = Kp l + sTi

T{S): KG l-\-sTi

Losung: Aus dem normierten PT2-Element folgt durch KoefRzientenvergleich des Nenners

= y-'-LJN • [KpV

TiT JD = 0,5(1 + i ^ p V ) /

Ti TKpV

Wird UN vorgegeben, dann resultiert

V2 TUN - 1 A/2 1 Kp = ^ / = 4 , 7 ; r , = ^ - - ^ = 0 , 1 9 ,

V UN Tuff

(3.35)

(3.36)

(3.37)

3.10 Phasenrand zur Dimensionierung

Angabe: Gegeben ist eine PT2-Strecke G{s) = ^. ^ , ^^ mit einem P-Regler K{s) = Ki. Die Verstarkung Ki ist zu berechnen, damit der Phasenrand an — 60° betragt. Die Wurzelortskurve ist zu zeichnen.

3r

2

1

o[

-1

-2h-

-3

I -Ki = A-±-

_ L _ JL

L

r

r L

W

r

s-Ebene

• - r -

I t -

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

Abbildung 3.7: Wurzelortskurve

Losung: Die Durchtrittsfrequenz u)o = 1,7 resultiert aus

°( ) = rT lT^ argFo(ja;) = arctan -2u

l - a ; 2 = -1804-aH = -120° ^ 2( j

= —1,73 ' ^ UD

(3.38)

Page 75: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

3.11 Storungsfrequenz mit bestimmter Resonanz 73

c^P = >/3 ^ \FOUUJD)\ = 1= ,. ^^\. ^ = ^ Ki=4. (3.39)

Die charakteristische Gleichung des Regelkreises lautet s^ + 25 + (1 + iiTi) = 0 mit der Losungsmannigfaltigkeit Stx;i,2 = — 1 jy/Ki- Die Wurzelortskurve zeigt die Abb. 3.7.

3.11 Storungsfrequenz mit bestimmter Resonanz

Angabe: Gegeben ist der Standardregelkreis mit Storungsangriff Wd{t) am Streckeneingang

^'^'^= l + sT^+s^Ti' Ki') = V ^1 = 1,0 72 = 0 , 5 . (3.40)

Gesucht ist das Storungsverhalten des Regelkreises auf Sprungstorung a{t) in Wd{t) und jene Verstarkung V, unter der der Regelkreis eine resultierende Storungsiibertragung im Resonanzpunkt von 5%(—26 dB) aufweist. Losung:

^ - w - r ^ = ( r T m W 2 5 ? ^ iF..a.)i = {[(i + F)-o,25.T+-^}"' (3.41)

d\Fst(M = 0 <^ u; = u;rz = 2VV - 1 ; |F5i(ja;^z)| = 0,05 laut Angabe -N^ F = 100 (3.42)

du

1 1 101

Die Reaktion auf Sprungstorung cr(^) in Wd{t) ergibt sich zu

Y( ) = F 1 ^ -4 I -g(^ + 2) - 2 ^ + C ^ 4 ^ 1 1 4 + 8 ^ ^ "^S s (s 4-2)2+ 400 s(404 + 45 + s2) 101s 101404 + 4 s + s2 ^ * ^

2/(i) = A + Be-'^^ cos \/4001 + ~ ^ ^ ^ e"^^ sin 201 (3.45) MOO

2/(*) = ^ [ l - e - 2 * ( c o s 2 0 t + ^ s i n 2 0 t ) ] * > 0 . (3.46)

3.12 PDTi-Regler-Auslegung

Angabe: Zu einer Regelstrecke G{s) ist ein PDTi-Regler K{s) mit Ty/Ti < 10 auszulegen

«w = f (i+o,5.)(i+o.2.) ^(«)=^ ' ' I r f • ^'-''^ Losung: Mit Ty = 0,5 wird eine Polstelle der Strecke kompensiert. Aus der Grol3enrelation der Regler-zeitkonstanten folgt Ti > 0,05. Somit lautet die Regelschleife fiir Ty/Ti = 10

Die Wahl der Durchtrittsfrequenz UD erfolgt derart, dass aigFoiJuJo) = -120" wird

argFo(jc<;£>) = -— - arctan0,2a;£) - arctan0,05a;£> = - — • (3.49)

Daraus erhalt man LJD = 2,2 und aus dem Betrag von FO{JUD) gleich eins den Wert KR = 1/16,5.

Page 76: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

74 3 Einfache Entwiirfe von Regelkreisen

3.13 Reglerdimensionierung auf best immte Regelkreisantwort

Angabe: Welcher Regler ist im Standardregelkreis nach Abb. 3.4 erforderlich, um bei der Regelstrecke 5 j ^ eine Regelkreisantwort auf SoUwertsprung von genau

y(t) = 1 - | e - ° -2« + l e - ° ' " (3.50)

zu erhalten? Losung:

Y{s) = i -s

1-f

Fo{s) = -

3 2 '

- 6s

1 1 1 _ (l + 4s)(l + 2 s ) - 6 s ( H - 2 s ) + s( l + 4s) _

s + | " ^ 2 ' s + | " s( l + 4s)(l + 2s)

-\-Ss^-6s-12s^+ s + As^ _ 1 + s -^r(-) s( l + 6s + 8s2) ~ 5 ( l + 6 s + 8s2) ~ s "

1 + 5 1 + S r^/ Nr / N 1 + ^ 1

(3.51)

(3.52)

(3.53)

(3.54)

Als Resultat folgt K{s) = ^ , also ein PI-Regler mit KR = 1 und Tj = 1.

3.14 Betragsopt imum ohne Aufhebungskompensation

Angabe: Gegeben ist die Regelstrecke G{s) und der Regler K{s)

^ ( - ^ = ( l + 400.Kl + 250.) ^ ( ^ ) = ^ « t ^ + 5 ^ ) - (3.55)

Die Parameter des Reglers sind mit Hilfe der Betragsoptimierung zu dimensionieren. Losung:

p (.\ - ^KR{1 + STN) A Z{S)

^ ^ ^ " STN{1 + 4005)(1 + 250s) " n(s) ^ ^ ^

T(,) = ^(^) ^ 3i^j,(l + STAT) . .

^ ^ z(s) + n(s) sriv(l + 400s)(l + 250s) + 3 J ^ H ( 1 + STN) ^ ' ^

\T(iu)\= I ^Kl^^^^KlT%

(3.58) Der resultierende Nenner lautet

^Kl + UJ'^[T%{ZKR + 1)2 - 3900KHTAr] + a;^[422500T^ - 2 • 10^r^(3K/? + 1)] + . . . (3.59)

Das NuUsetzen der zweiten Klammer [ ] liefert

422500 = 200000(3ii^i? + 1) -> i^i? = 0 ,37 . (3.60)

Aus dem Gleichsetzen der ersten Klammer [ ] (Koeffizient von ixP") mit QiC^T^ aus dem Zahler resultiert Tiv(3iri? + 1)2 - 3900ii:i? - 9K|jr2, ^ rjv = 448 .

3.15 Reglerdimensionierung auf Fiihrungsimpulsantwort

Angabe: Nach Abb. 3.8 ist im Vorwartszweig der Regler K{s) = K und die Strecke G{s) = n+sT )(I+ST ) gegeben, im Riickwartszweigliegt ein Messglied M{s) = 12. Die Gewichtsfunktion des Regelkreises soil sich im Fiihrungsverhalten zu 0,02712e~°'^^°^^^ sin0,32003t ergeben. Welchen Phasenrand hat die Regelung? Losung:

rw. - H r ^ , . L,. r («.) ^ ^ 1 J UK o2 . IM2. 4. o . Tl±l2. 4. 19 -L X ^ ^

- ^ (l+sTi)(l+sT2) ^ K ^^ K ^^^^K

Page 77: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

3.16 Reglereinstellung fiir 48° Phasenrand 75

Cia-e'^* -smut} = ^ auj auj aui

Gleichsetzen und KoefRzientenvergleich liefert K = 0,2498; T2 = 6, 7; Ti = 4,3. Ferner gilt

(3.62)

Fo{s) = 12K

\FO{JUJD)\ = 1 \FoiJuj)\ = -UK 1

=zl ^ UJD = 0, 259 {l + sTi){l-^sT2) •^''^•'^-^' ^ '^''^•''-^' 7 l 4 - a ; 2 r 2 V l + ^ ' ? ^ l

(3.63) arg[Fo(icj)] - - arg(l + juoTi) - arg(l + JUDT2) -> a/? = 180 + a^rgFoU^D) = 72° . (3.64)

^

i ^

(i + sri)(i + sr2)

12

Abbildung 3.8: Regelkreis zweiter Ordnung

3.16 Reglereinstellung fiir 48* Phasenrand

Angabe: Fiir ein und dieselbe Regelstrecke

G{s) 1

(l + 0 , l s ) ( l +0 ,01s) (3.65)

ist die Einstellung eines P-Reglers, eines I-Reglers und eines PI-Reglers gefragt. Die Einstellung soil derart erfolgen, dass der Phasenrand stets 48° hetragt. Losung: Um in jedem Fall einen Phasenrand von 48° sicherzustellen, ist fiir den P-, I- und PI-Regler beziehungsweise KR = 16,T/v = 0,1026 und KR = 5; T/v = 0,04 zu wahlen, wie aus Bode-Diagrammen entnommen werden kann. Die Unterbestimmtheit im Falle des PI-Reglers (in Form der beiden unbekannten Reglerparameter bei nur einer Phasenrandangabe) wurde dabei durch Anlehnung an das Symmetrische Optimum aufgehoben. Man beachte die stark unterschiedlichen Durchtrittsfrequenzen UD von Foijuj) durch den Betrag eins von den Werten 108; 7,7 und 49 Radiant/Sekunde, aus denen die Regelkreisdynamik in jedem Fall abgeschatzt werden kann.

3.17 Ausbleibende Schwingungsneigung des Regelkreises

Angabe: Bei welchen Werten V wird ein Regelkreis mit dem gegebenen Fo{s) kein Schwingungsverhalten aufweisen?

'-•""""TiT"'- <»' Zur Unterstiitzung wird angegeben, dass dFo{s)/ds = 0 bei den Werten si = 0; S2 = —6,36; 53,4 = -0 ,653 ± jO, 312 auftritt. Losung: Der Verzweigungspunkt der Wurzelortskurve folgt aus

dFo ^ = 0 ^ s ( s^+ 7,6752+ 8,83 s + 3,33) = 0 as

(3.67)

zu —6,36, unabhangig von V, siehe Abb. 3.9. Die charakteristische Gleichung lautet

s^ + s2(l + 0 , 6 y ) + 2 , 3 y s + y = 0 (3.68)

Bei s = —6,36 eingesetzt folgt aus ihr V = 20,385 . Kein Uberschwingen gilt also fiir V > 20,385.

Page 78: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

76 3 Einfache Entwiirfe von Regelkreisen

5-Ebene 1 ^ 1

1

1

1

1 / ^ 1 /

1

— • -2\ IV - -h

-8 -6 -4 -2 0

Abbildung 3.9: Wurzelortskurve. Mit MATLAB: r l o c u s ( [ 0 . 6 2 .3 1] , [1 1 0 0])

3.18 Betragsoptimale Aiislegung mit Aufhebungskompensation

Angabe: Die Knickfrequenz und die Proportionalverstarkung des PI-Reglers

1 + STN ^ , . 10 K{s)=Kp-

STN zu G{s) =

(l + 0 , l s ) ( l +0 ,03s)

nach dem Betragsoptimum sind gesucht. Losung: Bei Wahl von T/v = 0,1 erfolgt Aufhebungskompensation und man findet

lOKp lOOKp A V _ , , V

sTAr(l +0 ,03s) s( l +0 ,03s) s{l-\-sTo) T{s)

y + s ( H - sTo)

1

1 4- -2^ V 1 +

0 ^ U ^

^ V "^1/2

Wird der quadratische Term unterdriickt, so erhalt man

V J 2To 0,06 16,67 = 1 0 0 i r p --> X p = 0,167. VF2 V J

3e diesi

V OJN yV 2\IVTo 2 V 0,03 2

Die Verhaltensweise dieses Regelkreises entspricht der eines PT2s-Elements und lautet mit o;^ =

(3.69)

(3.70)

(3.71)

(3.72)

/_

(3.73)

3.19 Regelkreisdimensionierung auf Fiihrungsimpulsantwort

Angabe: Die Gewichtsfunktion des Regelkreises laut Abb. 3.10 von yref{t) nach y{t) sei

1,8e-2* - 2e-°'^*[0,9cos t - sin t] .

Die Parameter a, 6, c und K laut Abb. 3.10 sind zu berechnen. Losung: Fiir den Regelkreis gilt

K K Tis) = (s + a)(s^ + 6s + c) + 0, IK s^ + s2(a + 6) + s{ab + c) H- ac + 0, IK

Eine Umformung der Gewichtsfunktion auf komplexe Schreibweise ergibt

1,8e-2* - [(0,9 + j)e(-0'9+^)* + (0,9 - j)e^-''^^-^'>'] .

Das Laplace-Bild der gegebenen Gewichtsfunktion lautet

1,8 s + 2

0,9 + j r u ,9 U + o, +

0,9- 1-1= + 7J s^-^ 3,8s2 + 5,41s + 3,62 , 9 - j s + 0,9 + j

Ein Koeffizientenvergleich liefert K = 4 und a -1- 6 = 3,8; a6 + c = 5,41; ac + 0, IK — ac + 0,4 Daraus findet man a^ - 3,80^ + 5,41a - 3,22 = 0 und a = 1, 77; 6 = 2,027 sowie c = 1,816.

(3.74)

(3.75)

(3.76)

(3.77)

= 3,62 .

Page 79: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

3.20 Bemessung auf bestimmten Phasenrand 77

y refit) • > )

J Ik

^ y{t)

(s + a)(s2-h6s + c) 1 T

0,1

Abbildung 3.10: Einschleifiger Regelkreis

i

+20 -

- 2 0 •

i

1 3

Vo''^)

KiM

i

1

1

1 /•; 30 100 ^

Y^O'w)

Abbildung 3.11: Bode-Diagramm zum Symmetrischen Optimum

3.20 Bemessung auf best immten Phasenrand

Angabe: Wie ist der Integralregler K{s) = ^ einzustellen, damit er mit der vorgegebenen Regelstrecke

^(^) ^ (i+o,is)(i+o,oi5) ^erade aR = 48° Phasenrand ergibt?

Losung: Fiir die Strecke verbleibt 42* Phasennacheilung

- arg(l + 0, ljuj)(l + 0,01 jo;) = -90° -\-aR = -42°

0,l lu; l -0 ,001c j2

(3.78)

= tan 42° -^ uj = UD = 7,7 .

(3.79)

arg(l-0,001cj2+^-cj0,11) = arc t ^ n ^ — ^ ^ ^ ^ - 42°

Aus \FO{JUJD)\ = 1 folgt schlieBlich T/ = 0,103 .

3.21 Symmetrisches Opt imum

Angabe: Gegeben ist die Regelstrecke G{s) = 9/s^ . Man entwerfe im Bode-Diagramm einen PDTi-Regler nach der Methode des Symmetrischen Optimums, sodass die Durchtrittsfrequenz von Fo{s) bei UJD = 10 zu liegen kommt. Das Verhaltnis der Knickfrequenzen von Fo{s) soil ^^^ = 9 betragen. Die Reglerparameter KR, TD und Ti sind zu ermitteln. Losung: Die Vorgabe bedeutet K{s) = KR{1 + STD)I{1 + sTi). Fiir UJD = 10 folgen die beiden Knickfre­quenzen ^ = 30 und 7^ = 3,33, wie auch im Bode-Diagramm der Abb. 3.11 eingetragen. Damit UD die Durchtrittsfrequenz ist, hat

log \G{JUD\ + log \K{JLJD\ = log \G{JUD\ + 0.5[log \K{ju;)\\ + log \K{ju;)\\

sii H + o . s i o g ^ - ] -LI • (10)-

•+ log i r i j + log3 = 0

(3.80)

(3.81)

ZU gelt en, woraus KR = 3,698 folgt.

Page 80: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

78 3 Einfache Entwiirfe von Regelkreisen

3.22 Reglerentwurf auf Uberschwingfreiheit

Angabe: Fine Regelstrecke gehorcht der DifFerentialgleichung

(3.82)

Gesucht ist ein einfach strukturierter Regler, der eine stabile Regelung ermoglicht. Welche Reglerparameter waren vorzuschlagen, damit sowohl iiberschwingfreie als auch schnellstmogHche Regelung besorgt wird? Der relative Stationarfehler des Fiihrungsverhaltens soil 10 % nicht uberschreiten. Losung: Die Streckeniibertragungsfunktion folgt zunachst als G{s) = 774^1x1- Eine einfache Uberlegung mit der Wurzelortskurve fiihrt auf einen DTi-Regler

K{s)^ sTp

l + sTi (3.83)

mit Pol-Nullstellen-Kompensation im Ursprung. Aus 1 -I- K{s)G{s) = 0 findet man das charakteristische Polynom zu

• pci[s) = ATis^ + {4-TI)S + 3TD-1. (3.84)

Stabilitat (nach Routh) liegt bei 0 < Ti < 4 und TD > 1/3 vor. Damit bei yref{t) = o-{t) der Ausgang

y{t)\ nur 10 % abweicht, ist To = 3,67 (oder grofier) zu verlangen. Damit das Fiihrungsverhalten

dem aperiodischen Grenzfall mit Doppelpol bei —a gleichkommt, d.h. das charakteristische Polynom zu 4 r i (s-fa)2 lautet, ist 4-Ti = SaTi und 10 = 4a^Ti einzuhalten. Dies fuhrt auf a = 5,122 und Ti = 0,095.

3.23 Entwurf eines P-Reglers zu einer Totzeitstrecke

Angabe: Eine Regelstrecke mit Totzeit Tt = 0,1 und Integralverhalten wird mittels P-Reglers geregelt. Die StorgroBe Wd darf stationar mit maximal 5 % auf die RegelgroBe durchschlagen, siehe Abb. 3.12. Wie groB ist die notwendige Reglerverstarkung kn ? Wie groB ist der Phasenrand an ? Wie groB ist der Amplitudenrand Aji ? Losung: Aus

Fst(s) = - n f c ^ = . „ , o . L - . T . (3-85) 1 _|_ kK^-^'^i 4s + 2kRe-

folgt fiir den Wert 0,05 bei s = 0 der Wert kR = 10. Die Durchtrittsfrequenz LJD lautet kii/2 = 5. Der Phasenrand betragt 61,4^. Die Fo(jci;)-Ortkurve schneidet die negativ reelle Achse bei 15,7 rad/Sekunde, der Amplitudenrand folgt daraus zu 3,14.

• ^ .

kn 2e-^^*

ii}d

tO _1_ 4s

Abbildung 3.12: Regelkreis mit Totzeitstrecke

3.24 Entwurf auf Durchtrittsfrequenz und Phasenrand

Angabe: Die Regelstrecke G{s) = Tz^fg wird mittels eines PI-Reglers geregelt. Wie lauten die Reglerpa­rameter KR und T/v fiir eine Durchtrittskreisfrequenz UJD — 5 und fiir einen Phasenrand aR = 60* ? Losung: Mit der Schleifeniibertragungsfunktion

Fo{s) = K{s)G{s) = KR I-^STN K

STN 1 + sTi (3.86)

Page 81: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

3.25 PI-Regler-Bemessung zu einer PT2Tt-Strecke 79

und LJD aus \FO{JUJD)\ = 1 lautet der Phasenrand aR = TT -{- argFo(ja;£>) . Fiir das konkrete Fo{ju) folgt

argFo(s) = arg(l+ia;TAr)+arg JUJTN

+arg l+juTi

TN = tan[aR — f + arc tan(u;£)Ti)]

LJD (3.87)

Aus \FO{JUJD)\ = 1 resultiert

Mit den Werten aus der Angabe, namlich iiT = 3 und Ti = 4, erhalt man schliefilich T/v = 0,3096 und KR = 5,6068.

3.25 PI-Regler-Bemessung zu einer PT2Tt-Strecke

Y(s) Angabe: Welche Ubertragungsfunktion G{s) = jj^ besitzt die Regelstrecke nach Abb. 3.13? Zu ihr ist

ein PI-Regler K{s) = KRII + -^f-) zu entwerfen, und zwar mittels Aufhebungskompensation im Bode-Diagramm und fiir einen Phasenrand des Systems von 60°. Welche Durchtrittsfrequenz UD besitzt die Regelschleife, und wie lauten die Reglerparameter KR und T^ ?

T O 4 s+1

s+l 2S4-4

^ tr^ ^ 1.5 s2+8s+15

1 2

s+2

1

g-0,33s

Abbildung 3.13: Blockbild der Regelstrecke

Losung: Die Reduktion des Streckenblockschaltbilds ergibt

3 _ i . G{S):

(5 + l)(s + 5)

Aufhebungskompensation mit T/v = 1 im PI-Regler bewirkt Fo{s) Aus der Phasenranddefinition und -angabe folgt

(3.89)

OLR^-K -\- argFoijujo) = TT — — — 0, SSUJD — arctan -—-2 5

^ -v 0,33a;jr) + a r c t a n ^ - ^ = 0 , (3.90)

also eine transzendente Gleichung. Eine graphische Losung ist vorzuziehen, bei der arg FO{JLJ) gezeichnet und das zum Phasenrand 60° gehorige LJD abgelesen wird. Man findet dabei LJD = 0,99. Schliefilich folgt sowohl aus der genaherten Amplitudenganglinie wie auch aus

SKR 1 = 1

s ( s -I- 5) \s=juD

3.26 PI-Regler mit StellgroBenbeschrankung

KR = 1,67. (3.91)

Angabe: Zu Regelstrecke G{s) = ^ ^ ergeben sich folgende Fragen: Welche Reglerstruktur ist notwendig, damit die Schleifeniibertragungsfunktion Integralverhalten aufweist? Fiir die Berechnung der Reglerpa­rameter gelten folgende Richtlinien: Die Ausregelzeit T2% bei Sprunganregung mit yref{t) = 2a{t) soil

Page 82: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

80 3 Einfache Entwiirfe von Regelkreisen

so klein wie moglich werden. AUerdings darf die StellgroBe u{t) fiir alle t > 0 den Wert Un iiberschreiten. Losung: Der PI-Regler

K{s) = kn 1^-STN

STN = kR TN " ^ '

mit T/v = I bewirkt Fo{s) = ^ . Die Fiihrungs- und Stelllibertragungsfunktion ergibt sich zu

T{s)-Fois) kR

l-\-Fo{s) s-hkR

Mit Yrefis) = f erhalt man

Fu{s) = K{s) ^kR^ ^kR{s-^2)

l-\-Fo{s) 1 + ^ {s + kR)

4 nicht

(3.92)

(3.93)

y ( s ) ^ 2 — - ^ - - = 2(^ 1

s{s -\- kR) s s + kR ) = C{y{t)} = C{2il-e-'-')a{t)} (3.94)

- vref I = 2e-^«^2^« = 0,02 • 2 --> T 2% In 0,02

kR -> min ^^ kR maximal , (3.95)

Aus dem PDTi-Verhalten der Stelllibertragungsfunktion resultiert, dass die Sprungantwort Extrema ent-weder bei ^ = 0 oder bei t -> oo besitzt

u{t = 0) = 2kR<4 ^ kR<2

u{t -^ oo) = 4 < 4 .

(3.96)

(3.97)

Die Reglerparameter lauten somit kR = 2, T/v = | .

3.27 Referenzmodell fiir den einschleifigen Regelkreis

Angabe: Unter der Voraussetzung, dass V{s) in Abb. 3.14 mit demselben Poliiberschuss wie die Strecke G{s) dimensioniert wird, ist die Vorsteuerung Ki{s) auszulegen. Welche Aufgabe hat der Regler K{s) zu iibernehmen? Losung: Die Vorsteuerung ist nach Ki(s) = V{s)/G{s) zu dimensionieren. Man findet dann namlich nach Abb. 3.14

Y{s) _G{s)[K^{s) + V{s)K{s)]i Yrefis) l + K{s)Gis) \KI=V/G

= V{s) (3.98)

Der Regler K{s) ist nur fiir das Storungsiibertragungsverhalten gegeniiber Wd{s) mai3geblich und im Fiihrungsverhalten nur beziiglich Realisierungsungenauigkeiten von G{s) in Ki{s).

Yrefis)

Kiis)

V{s) T Q —

if(.) O

Wais)

G(s) Y(s)

Abbildung 3.14: Regelkreis mit Vorsteuerung iiber V und Ki

3.28 * Reglerbemessung zu einer I2-Strecke

Angabe: Zur Regelstrecke G{s) = l / s^ ist ein PDTi-Regler K{s) = V{l + sTi)/{l-^sT2) zu entwerfen. Die KoefRzienten V, Ti und T2 sind so zu bemessen, dass eine sprungformige Storung Wd am Streckeneingang

Page 83: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

3.29 Reglerkreisbemessung auf maximale StellgroBe 81

einen msiximalen Stationarfehler von 10% hervorruft und der Phasenrand 60° betragt. Wird a = y/TjT^ definiert, so moge die Durchtrittsfrequenz LJD bei

UJD = ^ = ^ (3.99) Ti aT2

liegen. Losung: Die Storungsiibertragungsfunktion

~ ^St{s) = , . , ,14-.T. 1 = T/ . T/T^ . • .2 , ^ , .3 (3-100) Wd{s) ^*'^' i + v'j^j, v + VTis + s^+T2S^

verlangt nach dem Endwerttheorem F = 10, um den zehnprozentigen Stationarfehler zu garantieren. Mit der Durchtrittsfrequenz UD folgt aus

1 a - i ai? = ISO'' + argFOUWD) = arctan LJDTI — arctan UDT2 = arctan a — arctan - = arctan ——- (3.102)

a = tan an ± x/tan^ aR + l\ = 3,73 . (3.103) \aR=60°

Die Durchtrittsfrequenz LJD muss noch \FO{JUJD)\ = 1 erfiillen, woraus

resultiert. Mit Gl.(3.99) folgt schliefilich

\FO{JUD)\^ = - ^ = 1 -> r i = J - = 0,61 r2 = 4 = 0 , 0 4 4 . (3.105)

3.29 Reglerkreisbemessung auf maximale Stellgrofie

Angabe: Der Standardregelkreis besitzt

Die Parameter kr, T2 und T\ des Reglers sind derart zu bemessen, dass der Regelkreis folgende For-derungen erfiillt: Die Sprungantwort des Fiihrungsubertragungsverhaltens soil PT2s-yGrhalten aufweisen. Das Uberschwingen der RegelgroBe bei einem SoUwertsprung soil weniger als 5% betragen. Bei einem SoUwertsprung der Hohe 1 darf die maximale StellgroBe den Wert Uma.x = 10 nicht iiberschreiten. Losung: Um PT2s-Verhalten zu erreichen, wird Polkompensation mit r2 = 0,1 gewahlt. Dann lautet das Fiihrungsiibertragungsverhalten

Aus der Bedingung des 5% Uberschwingens gilt

e " 7 f c ^ < 0 , 0 5 ^ D>0,7. (3.108)

Nach dem Anfangswerttheorem folgt

lim ^^+f' = «„ax = 10 - ^ = 10 . (3.109)

Damit und aus dem KoefRzientenvergleich im Nenner von T{s) resultieren drei Gleichungen in den Unbe-kannten Ti, ujsf und kr. Ihre Auflosung fiihrt auf a;AT = 22,4 ; kr = 3,16 ; Ti = 0,032 .

Page 84: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

82 3 Einfache Entwiirfe von Regelkreisen

3.30 Zweischleifige Regelung mit Digitalrechner

Angabe: Wie lautet T{s) = ^ L\ zu Abb. 3.15? Wie groB ist die Phasenreserve aR der auBeren Regel-schleife? Wie groB darf (naherungsweise) die Abtastzeit T maximal sein, wenn der Regler K{s) = ^ in einem Digitalrechner realisiert wird? Losung: Man findet die Fiihrungsubertragungsfunktion

T{s) = l + 3s

1 + 4s + 3s2 + 0,5s3 und in Fo{s) —

H - 3 s 5(l + 3s + 0,5s2)

(3.110)

eine dazugehorige Ersatzschleife Fo{s) eines einschleifigen Regelkreises. Das Bode-Diagramm von Fo{ju) zeigt cj£) = 1 und an = 100''. Eine fiktive Zusatztotzeit in der Schleife diirfte fiir Stabilitat LUDTI = 100 Y|Q betragen. Wird Tt = j gesetzt, so hat die Abtastzeit naherungsweise T < 3,5 zu gelten.

/W/-^eW

" ^ i

K(s) = l-^ \u{t)^ .

1 +s i _ <-i)

r-

. 1

1 ' 1

1 i _

3 s

C " 2 1 I 2/W

G{s) '

Abbildung 3.15: Zweischleifiger Regelkreis mit Digitalrechner in der aufieren Schleife

3.31 Reglerentwurf fur Uberschwingen und Ausregelzeit

Angabe: Bin Standardregelkreis besitzt einen Regler K{s) = Kp gl^^J^ ) ^^^ ^^^^ Strecke G{s) = jr^-Man bestimme die Parameter des Reglers K{s) derart, dass der geschlossene Regelkreis PT2s-Verhalten mit 5% Uberschwingen und einer Ausregelzeit (fiir 2% Abweichung) von 8 Sekunden aufweist. Losung: Fehlerfreies PT2s-Verhalten des Regelkreises setzt eine ITi-Schleife voraus. Um die Zeitkonstante 3 der Strecke zu kompensieren, ist To = 3 zu wahlen. Aus dem berechneten Fiihrungsverhalten T{s) folgt durch Vergleich mit der normierten Darstellung

T{S): hKp

5Kp + s + s^Ti 2£ UN

1 5Kp

und —?r = 5Kp

Das Uberschwingen Ah = expf — -^===^] = 0,05 verlangt D — 0,69. Aus uJNhVo =

^ resultiert UN = 0,83, nach Gl.(3.111) Kp = 0,13 und Ti = 0,81.

(3.111)

-In o,oi-lnVi-.D^ _ D ~

3.32 Geschwindigkeitskonstante

Angabe: Bin Standardregelkreis mit dem Regler K{s) = ^ und der Strecke G{s) = j ^ soil im Regler

(3.112) K'is)=Kp\±^K{s) 1 + sTi

modihziert werden. Gesucht sind die Parameter Kp, TD und Ti derart, dass die Geschwindigkeitskon­stante um den Faktor 5 gegeniiber der urspriinglichen Regelung erhoht wird, die Regelschleife jedoch weiterhin ITi-Verhalten aufweist und sich der Phasenrand nicht andert. Welche Auswirkung hat dies auf den Schleppfehler? Losung: Fiir das urspriingliche K{s) lautet die Geschwindigkeitskonstante Ky = \ims-^o sFo{s) = 0,5, fiir die Regelung mit K'{s), durch ' unterschieden, gilt

K'v = lim sF' = lim s^ -^Kp\ ^ ^^ = 5 Ky ^ Kp = 5 . (3.113)

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3.33 Fehlerfreie Positionsregelung 83

Damit die Schleife ITi-Verhalten behalt, ist To = 1 zu wahlen. Gemafi Gl.(12.7) aus Weinmann, A., 1994, ist bei ITi-Schleifen der Phasenrand allein vom Quotienten der Durchtrittsfrequenz UD und der Knickfrequenz UK bestimmt. Unveranderter Phasenrand verlangt somit UJD/^K = ^'DI^'K-

Aus \Fo{juj)\ = 1 folgt UJD = 0,46 und ^ = ^ = 0,46. Mit UJ'K = jr und LJD/UJK = ^'D/^'K erhalt man aus \Fo{juj'o)\ = 1 den Wert Ti = 0,2 und schliefilich K'{s) = ^ j ^ ^ - Der Schleppfehler geht von 2 auf 0,4 zuriick.

3.33 Fehlerfreie Positionsregelung

Angabe: Welche Bedingungen miissen die Parameter der h-Strecke und des PID-Reglers erfiillen, da,mit Stabilitat herrscht?

Vo . . , . . _ . . , , , J _ sTi'

G{s) = -^ K{s) = Kp(l + ^ { l + sT) (3.114)

Losung: Der Schnitt der Nyquist-Ortskurve der Regelschleife KG mit dem Nyquist-Punkt (—1, jO) wird aus 9 m {K{jui)G(ju)} = 0 gerechnet, und zwar zu w^ = j ^ . Aus \K{ju})G{jui)\ = 1 folgt der Beiwert

Kp = VoT(T+Ti) • ^ ^ keine Umfahrungen sicherzustellen, hat Kp — durch Kp > ersetzt zu werden.

Verwendet man das Routh-Kriterium, so folgt aus dem Polynom des geschlossenen Kreises

Tis^ + KpVoTTis'^ + KpVo{T + Ti)s + KpVo = 0 (3.115)

und aus dem Routh-Schema dasselbe Ergebnis - 1 4- KpVoT{T + T/) > 0.

3.34 Kleinster Dampfungsgrad

Angabe: Der Regelkreis, bestehend aus

Kis) = y ^ G{s) = ? , (3.116)

soil in V derart eingestellt werden, dass die Fiihrungsiibertragungsfunktion den kleinstmoglichen Dampfungsgrad aufweist. Losung: Die zugehorige Wurzelortskurve besteht aus einer Strecke zwischen 0 und —1, einer Halbgeraden Hnks von —2 und einem Kreis, der die Verzweigungspunkte der Wurzelortskurve als Bestimmungsstiicke enthalt. Damit folgt

dK(s)G{s) ^ ^ ^ s'+4s + 2 = 0 - - 2 ± v ^ . (3.117) as

Der Kreismittelpunkt liegt daher bei —2, der Radius betragt y/2, der Dampfungsgrad hat die Grofie D = 0 , 2 5 / v ^ + 0 , 5 A / F . Die Punkte —l±j besitzen kleinsten Dampfungsgrad, und zwar V^/2; sie werden fiir V = 0,5 eingenommen.

3.35 Transmissionsnullstelle

Angabe: Welches Ubertragungselement transformiert ein Signal u{t) = e~"* in eines vom zeitlichen Verlauf

Losung: Eine Transmissions-Nullstelle liegt dann vor, wenn der Zahlerterm von G(s) eine Polstelle des Anregungssignals U{s) kompensiert. Das Signal U{s) = ^^ wird durch ein Ubertragungselement der Form G{s) = ^ in ein Ausgangssignal y{t) — >C"-^{^} = e~^* umgesetzt.

3.36 Kombinierte Anregung und Anfangsbedingungen

Angabe: Die Regelstrecke

wird durch u{t) = S{t) + 2e""* angeregt, ausgehend von x(0"'') = (2 1)^ in Beobachtungsnormalform. Wie lautet der Ausgang?

Page 86: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

84 3 Einfache Entwiirfe von Regelkreisen

(3.119)

(3.120)

Losung: Man findet fur die Beobachtungsnormalform

Der Ausgangsanteil yh{t) zufolge x(0''') folgt zu

yf^{t) = C^(t)x(0+) = C/:-^{*(s)}x(0+) = e-^' . (3.121)

Der partikulare Anteil ergibt sich aus G{s)u{s) zu C~^{^^} = e~*. Somit lautet der gesamte Ausgang 2/( i)=e-3*4-e-*.

3.37 Moglichkeit zur Stabilisierung?

Angabe: Gibt es grundsatzliche Schwierigkeiten, mit einem Regler K(s) = -^ die Strecke G{s) = ^^^~^ zu stabilisieren? Losung: Wenn d > 5, liegt eine NuUstelle von Fo{s) in der rechten Halbebene und somit ein kompletter Ast der Wurzelortskurve fiir 0 < V < OD zwischen +6 (rechts) und d - 5 (links). Sollte d < 5 sein, ist Stabilitat fur V > 12/(5 - d) moglich.

3.38 Vorgabe des Dampfungsfaktors

Angabe: Gegeben ist G{s) = TJT^^^JZJT, wobei m eine beliebige positive Zahl ist. Gesucht ist ein PDTi-Regler K{s) mit Pol-NuUstellen-Kompensation derart, dass der Regelkreis den Dampfungsfaktor 0,8 er-reicht. Welche natiirliche Frequenz LJN hat der Regelkreis? Losung: Nach Pol-NuUstellen-Kompensation mit dem Ansatz K{s) = J ± | lautet Fo(5) 4-1 = 0

s^ + (a - l )s - a 4- m + 3 = 0 . (3.122)

Darin ist (a — 1) = 2DijjN und m + 3 — a = a;^. Der Dampfungsfaktor DUJN = 0,8 liefert a — 1 = 2DUN = 2.0,8 = 1 ,6 -^0 = 2 , 6 . Die natiirliche Kreisfrequenz lautet danach LJN = yjm H- 3 — 2,6 = y/m + 0,4 .

3.39 Vorgabe des Schleppfehlers

Angabe: Ein Regelkreis besteht aus G{s) = V/[s(s -f 3)(s + 2)] und K{s) = (5 + k)/{s + 1) . Welches k und V ist erforderlich, um einen Schleppfehler e^o = 0,375 zu erreichen und alle Pole weiter links als —0,4 zu legen. Losung: Der Schleppfehler und die Losungen der charakteristischen Gleichung verlangen

e o = e(t)\ = lim s-—\-- -4 = TT-^TTT (3.123) ^^lt-4oo s^o l-\-GK s^ 6-hVk ^ ^

s^ + 6s^ + l ls2 + (6 + y ) s + F A; = 0 roo ts ( [ l 6 11 6 + V V * k]) ^ k = l F = 10. (3.124)

3.40 Phasenrand und Stabilitat

Angabe: Gegeben ist K{s) = ; ^ und G{s) = 7 7 ^ ^ - Wie groB ist der Phasenrand? Ist der Regelkreis stabil? Wenn bei K{s) die Verstarkung 2 durch V ersetzt wird, bei welchem V und welchem u kreuzt die Wurzelortskurve die imaginare Achse? Losung:

\FoU<^)\= | ' ^ / + i | 4 =^ ^ ul = V2-l', LJD = 0,64. (3.125)

Der Phasenrand ist 180° — 4 arc t a n ( ^ ) = 49°. In der charakteristischen Gleichung des geschlossenen Regelkreises

s^ + 45^ + 6s2 + 4s + 1 + F = 0 (3.126)

soil 5 = JLjQ eine Losung sein. Es folgt aus dem ^m-Teil obiger Gleichung = 0 : —4UJQ + 4UJQ = 0 ; a;o = 1. Aus 3fJe-Teil = 0: u^ - Qu^+ 1+ V = 0 ; V = 4.

Page 87: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

Kapitel 4

Stabilitat

4.1 Ortskurve vom Schleifenfrequenzgang Fo{juj)

Angabe: Zu K{s) = V{s + a) und G{s) = l / s^ zeichne man die Ortskurve der Regelschleife Fo{juj) fiir V = 2unda = l,5. Losung: Das Aussehen der Ortskurve als Parabel ist der Abb. 4.1 zu entnehmen. Nach dem Nyquist-Stabilitatskriterium handelt es sich um einen stabilen Regelkreis.

Abbildung 4.1: Frequenzgangsortskurve zur Schleife mit I2-Strecke und PD-Regler

-12 -10 -8

4.2 VoUstandige Ortskurve und Nyquist-Kriterium

Angabe: Die Schleifeniibertragungsfunktion eines Regelkreises laute

Fo{s) = 2Q(g - 1)

(s + 3)(5 + 5) (4.1)

Ist das System stabil? Losung: Das Nyquistkriterium verlangt, die Anzahl der Pole von Fo{s) in der rechten Halbebene abzulesen (das ist P = 0) und die Anzahl der Umfahrungen (im Uhrzeigersinn) der voUstandigen Ortskurve um den Nyquistpunkt (-1,^0) festzustellen, das ist laut Abb. 4.2 U = + 1 . Die Stabilitatsbedingung U = -P ist nicht erfiillt, das System also instabil.

4.3 Stabilitat eines Synchronmotor-Antriebs

Angabe: Bin Synchronmotoren-Antrieb ohne Regelung ist mit einer Last gekuppelt, die konstantes Dreh-moment abverlangt. Die Kennlinie des Antriebsmoments iiber dem Polradwinkel 9 ist als a) steigend oder als b) fallend (jenseits des Kippwinkels) zu untersuchen. Unter Zugrundelegung eines dynamischen Ver-haltens des Antriebs von zweiter Ordnung zeige man, welche Betriebsart (a oder b) stabil ist. Losung: Mit x = 9 ~ 6o wird die Auslenkung des Polradwinkels aus dem Stationarpunkt ^o, mit AML ein virtuelle Stormoment, mit / das Tragheitsmoment und mit d der Dampfungsbeiwert bezeichnet. Dann

Page 88: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

86 4 Stabilitat

- 1 0 1 2 3

Abbildung 4.2: Vollstandige Ortskurve von Fo

gilt mit dem charakteristischen Polynom p{s)

Ix -j- dx -{- Cx = AML p{s) = 5 + - s + 7 = 0 - . - - I ^ V S - 7 - (4- ) Somit gilt fiir a) ( > 0 Jfte si,2 < 0 stabiles Verhalten, b) C < 0 5i > 0, S2 < 0 instabiles Verhalten.

4.4 * Instabiler Regler und instabile Nichtphasenminimuni-Strecke

Angabe: Die Strecke sei sowohl instabil als auch nichtminimalphasig: G{s) = ^5f ^i^ b > a. Weist sie doch sowohl einen Pol wie auch eine Nullstelle in der rechten Halbebene auf. Zur Stabilisierung entwerfe man einen (an sich instabilen) PTi-Regler nach Routh, man diskutiere die Stabilitat des Regelkreises nach Nyquist und nach der Wurzelortskurve. Welche Interpretation lasst die „Verstarkung" des Reglers innerhalb der komplexen Ebene zu? Losung: Mit einem Regler K(s) = -^ lautet die charakteristische Gleichung des Regelkreises

K{s)Gis) + 1 = k{s — a)

is-c)(s-b) + 1 = 0 ~» s^ + {k-b-c)s + bc-ka = 0 . (4.3)

Stabilitat ist bei einem System zweiter Ordnung garantiert, wenn alle KoefRzienten gleiches Vorzeichen besitzen

k - b - o O be — ka > 0

>b + c \

< ^ J o y

-N b + c<k < be

(4.4)

Gemafi b + c < ^ ist eine notwendige Bedingung c > ^^. Fiir einen besonderen numerischen Fall a = 1, 6 = 2, c = 3 findet man 5 < A; < 6. Wird fc = 5,5 gewahlt, dann umschliefit die Schleifenortskurve in Abb. 4.3 den Nyquist-Punkt ( - 1 , jO) im Gegenuhrzeigersinn, d.h. U = - 2 . Nach dem Nyquist-Kriterium U = N - P ist die Stabilitatsbedingung N = 0 oder U = -P. Da die Schleife zwei Pole (P = 2) in der rechten Halbebene besitzt, ist Stabilitat nach Nyquist erfiillt.

Fiir a = 1, 6 = 2, c = 3 ist das Regelsystem im Bereich 5 < fc < 6 stabil. Den Wurzelort zeigt Abb. 4.4. Die komplexe „Verstarkung" des Reglers soil folgenden Anforderungen geniigen {Leithead, W.E., and

O'Reilly, J., 1991): (i) „niedrige" Verstarkung an den Stellen der Streckennullstellen in der rechten Halbebene, also s = a,

1 _ _i a-c 2

(ii) „hohe" Verstarkung bei den Streckenpolen der rechten Halbebene s = 6, d.h. -n^^^ = 1 . Andernfalls ware unter hoher Verstarkung bei den Streckennullstellen aus der charakteristischen Glei­

chung K(s) {& - a) -\- (s - b) = 0 die Losung durch K{s) {s - a) = 0 dominiert; dies wiirde bedeuten, dass die Nullstelle der rechten Halbebene zu einer Losung der charakteristischen Gleichung wiirde, was Instabilitat nach sich ziehen wiirde.

Page 89: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

4.5 * Reeller Stabilitatsradius fiir ein System 2. Ordnung 87

0.2

0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

lyr

A 1 ' V

I . I 1 1 i. w = 0 V 1 1 I

1 1 1 1 i - i- - 1 1 - ^ - /

1 1 1 1 / - T ~ i 1 ~ ^ ^ ^ 1 1 1 >r io

1 I ^ ^ ^ ^ J ^ - ^ 1 1 1 1 1 1 1

-1.2 -1

- 1

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0

Abbildung 4.3: Ortskurve des Schleifenfrequenzgangs

Mit MATLAB: n y q u i s t ( [ 5 . 5 - 5 . 5 ] , [ 1 -5 6 ] , . . .

l i n space (0 ,10 ,100) ) g r i d

sysG=t f ( [ l - 1 ] , [ 1 -2 ] ) s i so tooKsysG, t f ( [ 5 . 5 ] , [ l - 3 ] ) )

Abbildung 4.4: Wurzelortskurve Mit MATLAB:

r l o c u s ( [ l - 1 ] , [ 1 -5 6])

-2 -1 0

4.5 * Reeller Stabili tatsradius fiir ein System 2. Ordnung

Angabe: Um welche reelle Matrix E ist die gegebene KoefRzientenmatrix A der Zustandsraumdarstellung zu erganzen, damit die Eigenwerte von A + E gerade an die Stabilitatsgrenze fallen und E die Bedingung kleinster Spektralnorm ||E||s -> min erfiillt? Diese kleinste Spektralnorm ist der reelle Stabilitatsradius TR. Welcher Rechengang ist dabei einzuschlagen? Losung: Also hat zu gelten

^ A / a i a2\ E ^ f ^^ " O , A[A + E] = ± iu ; , \ a3 a4 J \ 63 64 J

Die Eigenwerte der Matrixsumme A 4- E

A[A + E] :=A[f " ^ + " ^ " ^ t " ' )] lauten

[A - (ai + ei)][A - (a^ + 64)] - (02 + e2)(a3 + 63) = 0

A - (ai -I- ei -I- a4 + 64)A H- (ai -F ei)(a4 4- 64) - (02 + 62)(as -}- €2) = 0

fli-f-ei-h 04 + 64 , / (a i -}-ei -f-a4 -f 64)2 ^ ~ ^ . , / , w , x A12 = ± y (ai -H ei)(a4 + 64) + (a2 + e2)(a3 + 63)

Die Bedingung A = ±juj fiihrt auf

ai + 61 -\- a4 + 64 =0 ' ^ Ci = —64 — (ai -h 04) ,

(4.5)

(4.6)

(4.7)

(4.8)

(4.9)

(4.10)

d.h. ist 64 gefunden, folgt daraus zwangslaufig ei; die Minimierung hat nur mehr liber drei Variable 62, 63, 64 stattzufinden. Aber auch die miissen einer Ungleichung gehorchen, und zwar jener in der Weise,

Page 90: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

4 Stabilitat

dass der obstehende Radikand negativ oder null ist

- (ai + ei)(a4 + £4) + (02 + e2)(a3 + 63) = -LJ^ < 0 (4.11)

(a4 + e4)' + ( a2+e2) (a3+e3) = - a ; 2 < 0 -> 62 = ""^ ~ "" " ^^^ - 02 . (4.12) 03 + 6 3

Die Bedingung der minimalen Spektralnorm fiihrt auf

min (4.14) e\ + e\ 6162 + 6364

l|E||2 = A„

ei62 + 6364 6 | + 6 |

de t ( ^ - - - " ' - "3 - e i e 2 - 6364 \ ^ Q (4 j5 ) \ -6162 - 6364 Amax - ^2 - e | y

- (ef + ef + e | + e^)Amax + (e? + e^)(6^ + 6^) - (6162 + 6364)^ = 0 (4.16)

" ^ ^ + V ^ ^ ^ - (^1 + ^3)(ei + el) + (6162 + 6364)2 -> min , (4.17)

wobei auch die Gin.(4.10) und (4.12) einzuhalten sind. Die Minimierung von ||E||g hat also fiir ein vorgegebenes u zunachst iiber 63 und 64 zu erfolgen, danach

iiber u m = min min ||E||J . (4.18)

c < ; 63,64

Als Zwischenergebnis fiir A = ( ^ j bei a; = 1 kann E = ( ^ ^_- ' 1 genannt werden.

4.6 Nyquist-Stabili tat einer PIDTs-Schleife

Angabe: Der Regelkreis mit

ist nach Nyquist auf Stabilitat zu untersuchen. Losung: Rationalmachen von FOQUJ) liefert

Der Schnittpunkt mit der reellen Achse Qm Foijuj) = 0 folgt rechnerisch aus der biquadratischen Gleichung

7a;^-873u;2 +2700 = 0 ^ cc i 2 = 1,78; 11,02 ^ ^e Fo{juj)\ = - ^ ^ ^ = - 0 , 7 5 ; (4.21)

lu;i = l,78 29769 das fiihrt zur Aussage der Stabilitat. Der zweite Schnittpunkt bei uj2 mit der positiven reellen Achse ist ohne weitere Bedeutung.

4.7 * Stabili tatsradius. Polynomgrad bei analytischer Darstellung

Angabe: Der Stabilitatsradius eines EingroBenregelkreises lasst sich praktisch nur durch Zeichnen der Ortskurve ermitteln. Auf welchen Grad von Polynomen fiihrt der analytische Weg? Wie lautet er fiir die Beispiele

^°-(-)=(l + 0,3.)(l + 0,6.)(l + 0,7.) - ^ ^-(^) = i 5 M l W ^ - 3 , T . = 0 , 7 7 ? (4.22)

Warum ist die Losungsgleichung biquadratisch? Losung: Der Stabilitatsradius betragt nach Abb. 4.5 vi = 0,29 bei UJ = LJTI = 3. Fiir Fo2 lauten die Ergebnisse r2 = 0,8635 bei LJ = UT2 = 0,9264.

Page 91: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

4.7 * Stabilitatsradius. Polynomgrad bei analytischer Darstellung 89

Abbildung 4.5: Ortskurve Fo{j(jj) und Stabilitatsradius

Mit MATLAB: omega=l : l :5 ; s=j*omega;

[ r , omegcunin] =min (abs ( 1 . +5. / . ( ( l . + 0 . 3 * s ) . * . . .

( l + 0 . 6 * s ) . * ( l + 0 . 7 * s ) ) ) )

Sind die Toleranzen AFo(juj) des Frequenzgangs Fo{juj) dem Betrag |AFo(jci;)| nach frequenz-unabhangig groBer als der Stabilitatsradius, dann muss mit Instabilitat gerechnet werden.

Der analytische Weg zur Berechnung des Stabilitatsradius fiihrt auf folgende Beziehungen. Der Betrag der Distanz vom Nyquistpunkt zur Ortskurve Fo{juj) lautet (im Quadrat)

|1 + F,{iuj)\^ = [1 + Fo{juj)][l + F:{JOJ)]

„ . . . A nijoj) , I-, / . M9 . ^* ^ n*n ^ dn*-\-d* n + nn*

Minimierung bedeutet

d

d* d dd* dd*

duj 1 + Foiju})^ = 0 ^ d*d—[n*d + nd* + n*n] - (n*d + nd* + n*n)

dd*d

du : 0 .

(4.23)

(4.24)

(4.25)

Daraus folgt als Bestimmungsgleichung fiir die Frequenz CJT, bei der der Kreis mit dem Stabilitatsradius die Ortskurve Foijcj) beriihrt,

dd*id + n)^ + dd*{d*+n*)^=d{d + n)^n*+d*{d*-\-n*)^n OU) OUJ OUJ OUJ

(4.26)

Die Gl.(4.26) kann noch geringfiigig vereinfacht werden, wenn die nachstehenden Beziehungen beachtet werden

(a + jb){c - jd) =ac + bd-\- j{bc - ad) (a - jb){c 4- jd) = ac-{-bd- j(bc - ad) (4.27)

nd* + n*d = 2{^e n • ^e d-\-^m n - Qm d) . (4.28)

Man erhalt dann einen sehr komplizierten Ausdruck, der nach cu aufzulosen ist,

\d\^{^e (d + n)—^ + ^ m (d + n ) — } = ^e [dn{d-\-n)]—T— 4-^m [nd{d + n)]-duj du ^ L""''V"' ' '"yj Q^

Die Ordnung bei Berechnung des Stabilitatsradius findet man gemafi

r^ = min |1 + Fo{ju>)\^ = min |1 + ^ ^ ^ = min(l + ~){1 + ^ ) = min 1^ w diiuj) u) a a* uj

duj

{d + n)(d*+n*)

dd*

mit der QuotientendifFerentiationsregel

^^^.ddd* dnd* dn*d dnn\ ,^^, ^, , ^ ^^ddd" ^ dd*{—— + —— + —— 4- - ^ — ) - (dd* + nd* + n*d 4- nn*)-^r— = 0

OUJ OUJ OUJ OU OUJ

Bei dd > dn ist fiir den maximalen Grad der Term

dd ,ddd*

du

(4.29)

(4.30)

(4.31)

(4.32)

maBgeblich, also 4dd — 1.

Page 92: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

90 4 Stabilitat

Wegen nd* + n*d = nd* + (nd*)* ist dieser Ausdruck immer biquadratisch in u. Welters ergibt sich auch immer eine Kiirzungsmoglichkeit durch uj; daher ist letztlich fiir den Grad ein Polynom vom Grad

-i^dd-l-l) = 2dd-l (4.33)

im cj^ bestimmend. Das Faktum, dass die Losungsgleichung in LJ biquadratisch ist, ergibt sich auch unmit-telbar aus der Uberlegung, dass fiir ein negatives, betragsmai3ig ebenso grofies LJ derselbe StabiHtatsradius resultiert; ist doch die Ortskurve fiir negative UJ symmetrisch zur Ortskurve mit positiven u.

4.8 Lyapunov-Stabilitat

Angabe: Das kontinuierliche lineare System A = ( ^ „ ) ist nach Lyapunov auf Stabilitat zu

untersuchen. Losung: Das System ist stabil, weil Ai[A] = - 1 ; - 2 . Die Lyapunov-Stabihtatsbedingung (siehe etwa Weinmann, A., 1991, Eq.(13.16)) ist durch die Losung P von

AP + PA^ = - I bei P ^ f P " P ' O V Pl2 P22 J

gegeben. Umschreiben liefert

(4.34)

/ 0 1 1 0 \ - 2 - 3 0 1 - 2 0 - 3 1

V 0 - 2 - 2 - 6 /

0 0

V - 1 / • = ( - o j - S ; 0 - ( -

Die Matrix P ist positiv definit, weil ihre Elgenwerte Ai[P] = 1,309; 0,1910 positiv sind und P symmetrisch angesetzt werden konnte.

4.9 Hurwitz-Kriteriura

Angabe: Die Stabilitat des Polynoms

s^ + 85^ + 19s2 + 14s + 8 = 0 (4.36)

werde nach dem Hurwitz-Kriterium festgestellt. Losung: Nach Eq.(21.32) aus Weinmann, A., 1991 miissen alle Unterdeterminanten des Schemas

/ 8 14 0 0 \ 1 19 8 0 0 8 14 0

V 0 1 19 8 /

groBer 0 sein. Dies ergibt fiir alle nordwestlichen Unterdeterminanten

det ( ^ ^g j = 8 • 19 - 14 = 138 > 0

det I 1 19 8 I = 1420 > 0

det

(4.37)

(4.38)

(4.39)

11360 > 0 (4.40)

Da alle Determinanten grofier als 0 sind, ist der Regelkreis mit obigem charakteristischem Polynom stabil.

Page 93: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

4.10 * Minimaler Stabilitatsradius 91

4.10 * Minimaler Stabilitatsradius

Angabe: Bei welchem LJ und

besitzt rc[A] = +^/Amin[L] em Minimum iiber u, wobei Amin der minimale Eigenwert der Matrix

L = i-jujl - AfUul - A)

ist, siehe Weinmann, A., 1991, Eq. (23.33). Wie groB ist re [A] im Minimum? Losung: Es folgt

A-(cj2 + 25) -10-6JU -10 + 6JUJ A - ( 5 + cc;2)

(4.42)

= ( - 6 , ^ 10 %7f ) - ^ * (^^-^) = '^^ ( ":^^:^' - ; . - . - a ^ ) = 0 (4.43)

A - {2oj^ + 30)A + ((j^ - 6uj^ + 25) = 0

dXn : 2 C J -

72cj n 2 31 duj 2V36cj2 + 200

Den Verlauf von Amin uber cj^ zeigt die Abb. 4.6.

Amin(c ) = cj2 + 15 - V'36a;2 + 200 (4.44)

-> Amin = 0,4444 ^ rc = 0,6667 . (4.45)

1,4

0,4

r X. i 1 1 I i I ^^ I !

Abbildung 4.6: Verlauf vom minimalen Eigenwert Amin iiber uP"

10

4.11 * Youla-Stabilisierung einer skalaren integrierenden Strecke

Angabe: Fm G(s) = j ist die Menge aller stabilen Regler und VorGlter zu berechnen. Losung: Nach GL(5.134), Band 2 {Weinmann, A., 1995), folgt

7+1 A Z G{s) =

s+1 ^^

und aus der zugehorigen Bezout-Gleichung (5.135), Band 2 (Weinmann, A., 1995),

XZ-^YN = 1 ^ X-1

+ F-

(4.46)

(4.47) 5 + 1 5 + 1

eine Losung X = 1 und Y = 1. Damit ergibt sich aus Gl.(5.136), Band 2, fiir den Regler und das Vorfilter

K{s) = (1 -Qrf

Qr V{s) =

1 ^-in^n ' i + 5(i + Q^)

_ QrjS + l)

1 - Q d ^ s + i-Qd

Qd und Qr sind beliebige stabile Ubertragungsfunktionen. Fiir reelles Qd folgt aus 1 + K{s)G{s) = 0 fiir die charakteristische Gleichung des Regelkreises

s 1 - Qd + s ' + 5 ( i - 0 r f + i + 0d) + i = o .

(4.48)

(4.49)

(4.50)

Da sich Qd aufhebt, ist das charakteristische Polynom fiir jedes Qd vom Hurwitz-Typ.

Page 94: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

92 4 Stabilitat

4.12 Stabilitat mit Beiwertbedingungen und Nyquist-Kriterium

Angabe: Fiir K{s) = 50 und Tt — 0,05 ist der Regelkreis nach Abb. 4.7 mit Beiwertbedingungen und dem Nyquist-Kriterium zu untersuchen. Losung: Fiir die Fiihrungsiibertragungsfunktion erhalt man

T{s) = ^g-0 ,055

(1 + 5 • 1,45)(1 + s • 0,36) + i fe-O'OSs (4.51)

Die Polstellen von T{s) folgen aus 1 + 1,81s -f- 0,5228^ + Ke"^^^^^ = 0 . Fur Stabilitatsgrenze {s = ju) gilt die folgende komplexe Bedingung in K

1-0,522cj2 + j l , 81a; + K cos0,05a; - jKsin0,05a; = 0

oder zwei reelle Bedingungen

l -0 ,522a ;2 - f A'cos0,05a; = 0

1 ,81a; - i^ sin 0,05a; = 0 .

Gleichbedeutend ist 1 + 2,232a;2 + 0,2724a;^ = K^ .

Lasst man Tt noch allgemein zu, dann gilt

i^sina;Tt 1,81a;

oder Tt = — arcsin 1,81a;

V^l + 2,231a;2 + 0,2724cj4

(4.52)

(4.53)

(4.54)

(4.55)

(4.56)

(4.57)

Das Diagramm in der Parameterebene (Abb. 4,8) weist fiir Tt = 0,05 eine Grenzverstarkung KQ = 36,5 aus. Der Bereich unter der Kurve ist der Bereich stabiler Einstellungen.

Das Bodediagramm fiir K{s) = 1 ist in der Abb. 4.9 gezeigt. Fiir die Angabe K{s) — 50 ist der Regelkreis instabil.

fW K{s) ^-T,s (l+l,42s)(l+0,36s)

y{t)

Abbildung 4.7: Regelkreis

4.13 Stabilitat bei instabiler PITi-Schleife

Angabe: Ist das Verhalten der Regelung mit der Schleife Fo{s) = k(s + 2)/[s(s — 1)] bei k = 1 stabil oder labil? Losung: Aus

folgt

argFo(ja;) = -n -^

UJ = LJR = V2

TT U U) 1- arctan — — arctan •;—-- = —TT

2 2 ( -1)

Fo{3\/2) = - 1 , UJD=(^R = V2.

(4.58)

(4.59)

Das System ist gerade labil. Fiir A; = 1 ist die Ortskurve Fo(juj) in Abb. 4.10 gezeigt. Als Zerlegung wird Fo{s) = (1 + 2/5)[l/(5 - 1)] gewahlt. Fiir LJ klein gilt Fdju;) = (2 / ( ja ; ) [ l / ( - l ) ] . Wird die Polstelle im Ursprung mit einem kleinen Halbkreis umfahren, so ist Fo{juj) durch einen unendlich groBen Halbkreis in der linken Halbebene abzuschliefien.

Fiir k < 1 (bzw. k > 1) und wegen P = 1 besitzt sie U — 1 (bzw. U = —1) Umfahrungen um den Nyquist-Punkt und bedeutet daher Instabilitat (bzw. Stabilitat).

Page 95: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

4.13 Stabilitat bei instabiler PITi-Schleife 93

Abbildung 4.8: Parameterebene K iiber Tt

Tt 0,1

Abbildung 4.9: Bode-Diagramm unter K = l Mit MATLAB: omega=logspace(-2, 1 ) ; for i=l : length(omega) G( i )=exp(-0 .05*j*omega( i ) )* . . . i n v ( ( l + 1 . 4 2 * j * o m e g a ( i ) ) * . . . ( l+0 .36*j*omega( i ) ) ) ; end f i gu re (1 ) s u b p l o t ( 2 , 1 , 1 ) , p lo t ( log lO(abs (G) ) ) g r i d minor x l a b e l ( * i - t e s Element des Vektors omega') s u b p l o t ( 2 , 1 , 2 ) , p lo t ( (180 /p i )*phase (G) ) g r i d

w 10'

Page 96: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

94 4 Stabilitat

Abbildung 4.10: Frequenzgangs-Ortskurve Foiju) im labilen Fall A: = 1

4.14 Routh-Schema zu einer ITa-Schleife

Angabe: Die Schleifeniibertragungsfunktion eines Regelkreises lautet

Fo(s) = V

5(s + 2)(s2 + 25-f4) •

Bei welcher Verstarkung V wird der Regelkreis instabil? Losung: Das Nennerpolynom von T{s) ergibt sich aus 1 + Fo{s) zu

n{s) = s^ + 4s^ +Ss^ +Ss + V .

Das Routh-Schema lautet 1 4 6

24-2V 3

8 8

V 0

V 0 0

Als Stabilitatsbedingungen sind V > 0 und ^ ^ ^ V umfasst daher 0 < F < 12.

> 0

(4.60)

(4.61)

(4.62)

F < 12 zu beachten. Der stabile Bereich von

4.15 Stabilitat eines dreischleifigen Regelkreises

Angabe: Gegeben ist das Blockschaltbild nach Abb. 4.11 mit

C = S 1 + i l + 2s

Wie lautet die Stabilitat nach Routh? Losung:

T{s) = Y{s) _ Ss + s{s + 2){l + 2s)

yrefis) ~ 1 . 8(1 + 2^) ^ 8 [ 8 s + s(s + 2)(l + 2s)]

2^3 ^ 5^2 + 12s + 1

2 5

58/5 1

12 1 0

(4.63)

(4.64)

Alle KoefRzienten des charakteristischen Polynoms sind positiv, kein Vorzeichenwechsel tritt in der ersten Spalte auf, daher ist das System stabil.

4.16 Stabilitat nach Nyquist bei allpasshaltiger Strecke

Angabe: Die Regelschleife eines Regelkreises lautet

V{s-1) Fo{s) ••

(s + 5)(s + 3) (4.65)

Page 97: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

4.17 Stabilitatsbereich mit Wurzelortskurve 95

Vref o o B

C

Abbildung 4.11: Dreischleifiger Regelkreis

1st der Regelkreis nach Nyquist stabil? Welches ist der stabile Bereich der Verstarkung V ? Losung: Den prinzipiellen Verlauf der Fo(ja;)-Ortskurve zeigt die Abb. 4.12 fiir V = 20. Sie ist durch U = 1 ausgezeichnet. Diese Anzahl der Umfahrungen ist nicht gleich der Anzahl P = 0 der instabilen Schleifenpole, daher ist der Regelkreis instabil. Weiters ist zu ermitteln, dass fiir V < 15 Stabilitat vorliegt.

1

1 / ^

/ ( - i , i O ) 1 A i

w = 0

1,33 1

! 1

1 —

1

— r -cj = ool

[ 1 \ ^ 1

1

1 1

1 )

1 y

1

Abbildung 4.12: Ortskurve der Regelschleife bei allpasshaltiger Strecke. Gemafi Potenzreihenentwicklung von Fo{s) fiir kleine s folgt —j^ -f | | y . Fiir s = juj verlasst die Ortskurve den Punkt -V/lb in Richtung der positiven imaginaren Achse.

-2

4,17 Stabilitatsbereich mit Wurzelortskurve

Angabe: Der Regelkreis mit Fo{s) = V{s — 2)/(s + 12) ist mittels der Wurzelortskurve zu diskutieren. Man beschreibe das dynamische Verhalten in Abhangigkeit von V. Welche Reaktion zeigen negative V? Losung: Der Stabilitatsbereich liegt bei positiven F bei 0 < F < 6, bei negativen F bei - 1 < V < 0, siehe Abb. 4.13a bzw. b.

4.18 Instabiler Regelkreis bei instabiler Schleife

Angabe: Fiir die Schleifeniibertragungsfunktion

1 Fo{s) =

( s - 0 , 3 ) ( s H - l ) ( s + 0,8)

untersuche man die Stabilitat des Regelkreises mit Hilfe des allgemeinen Nyquist-Kriteriums. Losung: Es gilt

Foijuj) 0,24 + l,5cj2

+ i/ u;{uj^ - 0,26)

(0 ,24+l ,5u;2)2+u;2(0,26-cj2)2 - (0,24 + 1,5CJ2)2+a;2(0,26 - cj2)2

(4.66)

(4.67)

und die Schleifenortskurve gemaJ3 Abb. 4.14. Aus der analytischen Formulierung von Fo{s) entnimmt man P = 1, aus der Schleifenortskurve U = 1. Die Stabilitatsbedingung U = —P ist daher nicht erfiillt.

Page 98: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

96 4 Stabilitat

- 1 2 - 5

^ h -^ y = 0 v = i

2

-o-1/= 6

- 1 2

V = 0 V = -l

2 0 16

V = -2 V = -l

0.5

-0.5

Fois)

Abbildung 4.13: Wurzelortskurven

( 5 - 0 , 3 ) ( 5 + l ) ( 5 + 0,8) I I I I

a; = 0,2

-1 0 1

Abbildung 4.14: Schleifenortskurve Foijuj) der instabilen Schleife

4.19 Bode-Diagramm und eigeninstabiles System

Angabe: Man zeichne das Bode-Diagramm nach Betrag und Phase von Fo{juj) und diskutiere die Stabilitat bzw. Stabilisierungsmoglichkeit

^»(^) = .( l-o! '2. + .^) ' ^'-''^

obwohl Bode-Stabilitat und das vereinfachte Nyquist-Kriterium primar nur fiir eigenstabile Systems gilt. Losung: Da laut Abb. 4.16 \Fo{juj)\ und argFoiJu) als Ortskurve FoiJuj) im 4. und 1. Quadranten liegt (siehe auch Ortskurve in Abb. 4.15 in der Gaufi-Ebene) und weiter der Pol von Fo(s) im Ursprung einen Halbkreis in der rechten Fo{juj)-Ehene bedeutet, ist U = 0. Dies ist auch aus dem Bode-Diagramm in der Abb. 4.16 zu entnehmen. Da zwei Pole von Fo{s) in der rechten s-Halbebene liegen, ist P = 2 und der Regelkreis instabil, und zwar unabhangig von V. Die Stabilitat von Fo(s) = g(i_o 2s+s^) ^^^^ Nyquist kann wie folgt abgehandelt werden

Foijc^) = V 0,2F V[0,2ij'^-juj{l-u^)] _

0,2cj2+jcc;(l-a;2) ~ 0,046j4 + cj2(i _ ^2)2 ~ 1 _ l,96cj2 + u;4 y ( l - a ; 2 )

Die Asymptote fiir u; -> 0 verlauft bei dte Fo{juj) = 0,2 V. Ferner folgt

u;(l-l,96u;2-Ha;4) " (4.69)

Qm Foiju}) = 0 : 0 's^ U = 1 ^eFoiJuj)\^=i=5V (4.70)

Fo{s) hat zwei Pole in der rechten Halbebene, P = 2. Wegen (7 = 0istA^ = 27^0 und das System instabil.

Page 99: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

4.20 Nyquist-Kriterium und Stahilitatsbereich 97

Abbildung 4.15: VoUstandige Ortskurve von Fois) = ,(i_o^,+,^) fiir s = ju

4.20 Nyquist-Kri ter ium und Stabilitatsbereich

Angabe: Mit dem Nyquist-Kriterium werde untersucht, fiir welches K der Regelkreis mit

{s + 2) Fo(s) = K

s{s - 1) K>0 (4.71)

stahil ist. Losung: Aus

Foijuj) = -^^-^J^i'^ZV^ folgt QmFoiJu) = 0 ^ i^^^/2 <^ FoijV2) =-K , (4.72)

DamitFo(JA/2) < - 1 , muss i^ > 1 sein. Dann zeigt die Ortskurve aus Abb. 4.17 die Umlaufanzahl U — —1 und ergibt wegen P — 1 Qm N ~U -\- P = und bedeutet Stabilitat im Regelkreis.

4.21 Instabile ITi-Schleife und Nyquist-Kriterium

Angabe: Aus der Ortskurve von Fo(juj) soil auf die Stabilitat von T(s) geschlossen werden und der Stabilitatsbereich fiir positive K angegeben werden, und zwar fiir

Fo{s) = K-1

Foij^) •• K . K

+ 3 u;2 + l cj"* + a ; (4.73)

's{s-\y Losung: Die Anzahl U der Umfahrungen um den Nyquist-Punkt betragt nach Abb. 4.18 t/ = +1 fiir alle K. Wegen A/' = P + ?7 = l + l = 2 ^ 0 i s t der Regelkreis instabil, und zwar fiir alle K.

4.22 Routh-Kri ter ium und PI-Regler-Bemessung

Angabe: Gegeben ist eine PT2-Strecke und ein PI-Regler

50 G{s). K{s) =0 ,02 (1 +

STN^ (4.74)

(l + 8s)(l + 2s)

In welchem Bereich von TN liegt Stabilitat vor? Losung: Wegen der analytisch vollstandigen Angabe empfiehlt sich die Anwendung des Routh-Kriteriums mit dem charakteristischen Polynom des Regelkreises Pci{s)

1 + G{s)K{s) =0 --> pci{s) = 16TNS^ + IOTATS^ ^2TNS-^1 = 0 . (4.75)

Das Routh-Schema lautet

(4.76)

16 TAT

IOTN

-1,6 + 2TN

1 0

2TN

1 0 0

Die Stabilitatsbedingung ergibt - l , 6 + 2 r j v > 0 oder TN > 0,8.

Page 100: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

4 Stabilitat

10'

|G|

10"

10-

10'

i i

1 1

1 1

i 1

1 1

1 1

1 1

1_J_

1 1

4 1

1 1

1 1

1 1

1

1 1

1 1 i i 1,

— ^f

1 1 1

10* 10" u; 10'

100

LJ l O '

Abbildung 4.16: Bode-Diagramm von Fo{s) = s(i-o^2s+s^) ^^^ ^ ~ ^^

-5

1 i /T.Li^o(i«) i

1 1 o.sPS,,^^ = '

I 1 / 1 3

1 1 \iJ 1 ^ = 1

14

5 + 2) . - 1 )

Abbildung 4.17: Ortskurve Fo{ju) fiir

-4 -1 0 1

Page 101: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

4.23 Regelschleife mit Vierfachpolstelle 99

Abbildung 4.18: Zur Ermittlung der vollstandigen Ortskurve Fo{juj)

4.23 Regelschleife mit Vierfachpolstelle

Angabe: 1st die Regelschleife

Fois) = V

bei einer Verstarkung V" = 10 stahil? Welche Phasenreserve an liegt vor, wenn der Regelkreis stabil sein sollte? Losung: Die Phasenreserve ist als

an = 180° + a^rgFoiJUD) bei \FOU^D)\ = 1

definiert. Aus IFoiJcvn)] = (1+4^5 p = 1 findet man

y = 1 + 8a;?) + 16a;' UJD • V-i + Vv

(4.78)

(4.79)

und daraus

an = 180 + aigFoiJuJo) = 180 - 4arctan \ / - 1 + Vv . (4.80)

Fiir 1/ = 10 ist an = —43 und somit dies nicht als Phasenreserve anzusprechen, weil der Regelkreis instabil ist.

4.24 Wurzelortskurve fiir imaginares Streckenpolpaar

Angabe: Zu Fo{s) = / , \f^^ •-. ist die Wurzelortskurve zu ermitteln. Losung: Die Pole spi und Nullstellen SNI Hegen bei ±j und - 1 . Daraus folgen sofort die Verzweigungs-punkte als Doppelwurzel von 1 -\- Fo{s) = 0 bei y = 4,83 oder nach

S — S]Sf S - Spi + 2s - 1 = 0 51,2 =0 ,414 ; -2 ,414 (4.81)

Der Austrittswinkel aus dem Pol + j betragt -225°. Die Wurzelortskurve mit dem Verzweigungspunkt bei y = 4,83 ist in Abb. 4.19 zu ersehen.

4.25 Regelschleife mit zwei instabilen Polen

Angabe: Gegeben ist die Ubertragungsfunktion der Regelschleife

Vs Fois) -

( 5 _ 1 ) ( 5 _ 0 , 5 ) • (4.82)

Page 102: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

100 4 Stabilitat

- I . V{s + 1)

is + j){s-j) Y^2

Abbildung 4.19: Wurzelortskurve zu F (s) - ^("+^)

-5

Gesucht ist die Verstarkung V fiir Stabilitat und die Stabilitatsgrenze mittels Wurzelortskurve. Losung: Die Verzweigungspunkte liegen bei d=0, 707 (siehe Abb. 4.20). Die Grenzverstarkung VQ fiir Stabilitat liegt an der Stelle 5 = 0 ± j0,707. Einsetzen in 1 + Fo{s) = 0 liefert VG = 1,5. Die Beziehung y > 1,5 fiir Stabilitat ergibt sich auch aus der Bedingung, dass alle KoefRzienten der charakteristischen Gleichung aus 1-\- Fo(s) =0 positiv sein miissen.

Abbildung 4.20: Wurzelortskurve zu Vs

( s - l ) ( s -0 ,5 ) ^o{s) - r,_iu^_o.

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

4.26 Wurzelortskurve fiir eine Regelschleife mit Doppelpol

Angabe: Die Wurzelortskurve zu Fo{s) = (gT^)i ist zur Stabilitatsuntersuchung auszuwerten.

Losung: Die Wurzelortskurve in Abb. 4.21 enthalt einen Verzweigungspunkt aus

^-^ .<? — fi\TA ^-^ .<? — ' S - SN' S — Spi S ^ = 2(-^) bei 5 = - 6 . -f-4 \s-\-2J

Das System ist daher fiir alle positiven V stabil. Die Diskussion fiir verschiedene V aus 1-\- Fo{s) = 0 ergibt

(4.83)

V^A: si2 = - 4 ± V i e - 20 = - 4 ± j 2 .

32 (4.84)

(4,85)

Page 103: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

4.27 Nyquist-Kriterium fiir AUpass-Inverse 101

5-Ebene

Abbildung 4.21: Wurzelortskurve zu V(s+4)

4.27 Nyquist-Kri ter ium fiir Allpass-Inverse

Angabe: Untersuchung aufStabilitat mit dem Nyquist-Kriterium fiir die Schleife Fo{s) = Kj^ K > 0 . Fiir welchen Bereich von K ist der Regelkreis stabil? Losung: Fo{s) besitzt eine Polstelle in der rechten Halbebene, also ist P = 1. Fiir die Darstellung der Nyquist-Ortskurve wird die Zerlegung auf [ l / (s - l)]2ii:4-iir empfohlen. Der Halbkreis 1/(5 - 1) im dritten Quadranten folgt aus der Inversion von s - 1 . Vergrofierung um den Faktor 2K und Verschiebung um K nach rechts liefert die Ortskurve. Die voUstandige Ortskurve ist ein Kreis mit dem Mittelpunkt im Ursprung der komplexen Ebene. Der Kreis wird im Gegenuhrzeigersinn durchlaufen, arctanFoQ'a;) = —TT + 2arctanc(; . Fur i^ < 1 ist 1/ = 0 und N = P -{• U = I ^ 0, der Regelkreis also instabil.

Fiir K > 1 ist U = -1 und N = P + U = -1 + 1 = 0, der Regelkreis daher stabil.

4.28 Interne Stabilitat bei Pol-Nullstellen-KUrzung

Angabe: Die Anordnung des Reglers K{s) = f^ und der Regelstrecke G{s) = ^i_^^_2 zeigt eine Pol-Nullstellen-Kiirzung bei s = 1. Liegt interne Stabilitat vor? Losung: Interne Stabilitat ist nicht gegeben. Das Fiihrungsverhalten konnte aufgrund der Kiirzung stabil empfunden werden

^ K{s)G{s) ^ 1 A 1 ^;v = V3 ,!> = # = 0,86 . (4.86)

Das Storungsverhalten fur Storungen Wd{s) am Eingang von G{s) jedoch ist instabil

Fst{s) • Y(s) s + \

Wi{s) 1 + ^ j + i ^ ( . - l ) ( 3 + 3s + s2) •

Die voUstandige charakteristische Gleichung lautet auch (ohne Kiirzung) (s^ + 3s + 2)(s - 1) = 0.

(4.87)

4.29 Kontinuierliche Regelung mit Halteglied

Angabe: Vom Regelkreis nach Abb. 4.22 ist die Stabilitatsgrenze in Abhangigkeit der Systemparameter T und V gesucht, ferner der Stabilitatsbereich durch Stabilitatsnachweis fiir einen Punkt im Parameterraum ( y , r ) . (Hinweis: Fiir „kleine" T ist eine Reihenentwicklung fiir die Totzeit moglich.) Losung: Die charakteristische Gleichung lautet unter s = juj an der Stabilitatsgrenze

V(l_e-^'^^)-cj2(i^^-^) ^0 ^ V{l-cosu}T)-u'^ +3{VsmujT -u^) = 0 . (4.88)

Daraus folgen VsinuT = u^ VcosuT ^ V -u^ (4.89)

Page 104: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

102 4 Stahilitat

CH 1 - e - V 5(1 + S) r>o , y >o Abbildung 4.22:

Regelkreisblockbild

Elimination der Kreisfunktionen liefert den ersten Systemparameter V als V{UJ) an der Stabilitatsgrenze

1 V^=uj^-^V^-2Vuj^+u^ ^ V=^u\l+Lj'')

und weiters fiir den zweiten Parameter an der Stabilitatsgrenze

V ~ LJ^-

Aus der Reihenentwicklung resultiert

COSUJT = 1- —r = —-—- -v T = — arccos —r—- V cj G p , oo] .

e-"^ = l - s T - f - s 2 r 2 + . . . = l - s T fiir r = 0 -> Fo{s) = . l - l + sT F F T

5 S ( l + S) S( l + S)

(4.90)

(4.91)

(4.92)

Das charakteristische Polynom 5^ + 5 + VT ist stabil fiir VT > 0 bei T klein, was den stabilen Bereich in Ursprungsnahe in Abb. 4.23 bestimmt.

10

6

5

3

2

luj = 2

Stat il XJ = 1

instj ibil

to =

—H 0,6

Abbildung 4.23: Stabilitatsbereich in der F-r-Ebene

1.5 2 2.5 3.5 2"

4.30 * Stabilitat und verschwindender Schleppfehler

Angabe: Der Standardregelkreis mit einem Blockschaltbild der Regelstrecke G{s) nach Abb. 4.24 liegt vor. Die Ubertragungsfunktion des Reglers lautet

K{s) = (ag + 6)(g^+45 + 3)

( s2+d) ( s + c) (4.93)

Gesucht sind die Ubertragungsfunktion G{s) = ^44 und die Bedingungen fiir a, b, c und d, damit der Regelkreis stabil ist und eine Rampenfunktion als SoUwert ohne bleibenden Schleppfehler ausgeregelt werden kann. Losung: Umwandlungen der Regelstrecke ergeben

G{S): U s2 + 4s + 3

Fo{s) = K{s)G(s) = as -[-h as -\-b

(§2 + d){s + c) 5^ + cs2 -\-ds-\-cd (4.94)

Page 105: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

4.31 Regelkreis fast an der Stabilitatsgrenze 103

Das charakteristisches Polynom des Regelkreises lautet Pci{s) = s^ -\- cs^ + (a + d)s + (6 + cd) . Der Schleppfehler betragt

lim eit) = lim s Eis) = lim s-r- ^ , , = lim z T: ; ;; r, TT • t-^oo s->o s-^0 s^l-\-Fo{s) s-^0 s s^+ cs^+ {a + d)s + {b + cd)

(4.95)

Aus limt_).oo e(*) = 0 folgt d = 0 . (c = 0 verletzt die Giiltigkeit des Endwerttheorems aus Griinden der Instabilitat.) Damit vereinfacht sich das charakteristisches Polynom zu

Pci(s) = s^ -\- cs^ + as -\-h

Die StabiHtat nach Routh verlangt a, 6, c > 0 und

\ c b J ac-h ac> b .

(4.96)

(4.97)

^^<^>-{LH(>rDIH Or

Abbildung 4.24: Regelstreckenblockbild

4.31 Regelkreis fast an der Stabilitatsgrenze

Angabe: Welche Dynamik ist fiir einen Regelkreis zu prognostizieren, der den Regler K{s) = j ^ und die Strecke G{s) = (i^5s)li+i0s) '^^•sitzt, wenn er mit Frequenzgangsortskurven studiert wird? Losung: Es ergibt sich

FoiJLj) = K{ju)G{juj) : 12

l - 8 0 c j 2 + j ( l 7 a ; - 1 0 0 c j 3 ) \FoUuj)\ :

12 A / ( 1 - 806j2)2 + (17^ _ 100cj3)2 •

(4.98) Aus tabellarischer Funktionsbetrachtung folgt die Durchtrittsfrequenz OJD = 0,4 und

arg Fo(s) = —arctan 2a; — arctan 5a; — arctan 10a;|a;^=o,4 = —178,0 (4.99) \s—jUJD=jOA

Der Phasenrand (pR = 2" bedeutet aufierst wenig Stabilitatsreserve (siehe auch Abb. 4.25).

4.32 Nyquist-Stabil i tatskriterium fiir mehrere Schleifen

Das Nyquist-Stabilitatskriterium fiir Regelschleifen mit integrierendem Anteil verlangt die genaue Festle-gung der Kontour Cs in der s-Ebene in der Umgebung des Ursprungs. Wird Cg so gewahlt, dass der Pol im Ursprung links liegen gelassen wird, so kann der Verlauf entlang eines kleinen Halbkreises s = re^^ von ( = — f bis -f f genommen werden. Dann wird die Abbildung Fo(5) bei r -^ 0 bei alien Termen

vom Typ (s + a^) zu a , nur beim Term des Integrators j folgt \e~^'^ und mit r -> 0 ein unendlich grofier Halbkreis. Sind alle ai positiv, dann verlauft der groBe Halbkreis in der Fo(ja;)-Ebene in der rechten Halb-ebene im unendlich Fernen. Unter diesen Annahmen folgen die Auswertungen der folgenden Beispiele in Abb. 4.26.

Subbeispiel 1: Fo{s) = ^ + ^ + 1 ^ , U = 0, Regelkreis stabil.

Page 106: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

104 4 Stabilitat

Abbildung 4.25: Regelschleifenfrequenzgangsortskurve

fiir das nahezu instabile System

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0

Subbeispiel 2: Fo{s) = s(s-o'7)(s+i) ^^^ unendlich grofie Halbkreis in der Fo(jci;)-Ebene liegt in der linken Halbebene, weil ein a = - 0 , 7 lautet. Es ergibt sich U = 1. Aus U = N - P folgt wegen P = 1 der Wert N = 2. Mit Hilfe der Wurzelortskurve kann man leicht bestatigen, dass ein Ast auf der reellen Achse zwischen —1 und —0,1 liegt und dass stets zwei Pole in der rechten s-Halbebene liegen. Regelkreis instabil.

Subbeispiel 3: Fo eigenstabil. P = 0 , (7 = 1, Regelkreis instabil.

Subbeispiel 4: Fo{s) = - 1 , 2 ^ ± | ^ ^ | ^ . Der Punkt (-1,^0) liegt zwischen den Punkten Fo{s)\s=o und Fo(s)Is_>oo? daher wird er eingeschlossen und es gilt U = 1. Das charakteristische Polynom aus l-\-Fo{s) hat einen negativen KoefRzienten. Regelkreis instabil.

Subbeispie l 5: Fo(s) = '^~Y{s+if'^ • U = 2 a.us U = N - P, P = 0, N = 2, instabiler Regelkreis mit zwei instabilen Polstellen.

Subbeispiel 6: Fo{s) = jrjz^^^ifi)' ^^^^^^ Fo(icc?)-Halbkreis in der linken Halbebene (wegen des Terms - 0 , 5), daher U = -I. Wegen P = 1 ist das System stabil.

Subbeispiel 7: Fo{s) = "4o%T7' U = 1,P = 0, N = 1, instabiler Regelkreis.

4.33 * Stabilitatsbereich fiir Allpass-Regelkreis

Angabe: Mit dem Nyquist-Kriterium ermittle man zu Fois) = V^^~Js+2)^^ jenen Bereich von V, in dem der geschlossene Regelkreis stabil ist.

Losung: Die Ortskurve von Fo{juj) ist als Produkt des Allpasses und der Kurve 1 - ;^ leicht zu zeichnen,

siehe Abb. 4.27. Aus ^m Fo{jui) = 0 folgt ui = A / 1 2 / 7 . Der Schnittpunkt mit der reellen Achse wird also

bei 7i angenommen, d.h. Fo(ja;) = Ji -^ 7i = -2,bV und cji = y v ^ ~ V sTs' ^^^^^ 7i > - 1

liegt, hat V < 0,4 zu gelt en.

4.34 Nyquist-Ortskurve und -Stabilitat bei ITiTrSchleife

Angabe: Welche Asymptoten besitzt die Frequenzgangsortskurve von Fo{s) und wie groB ist der Phasen-rand fiir

^o{s) = ^ ; / . „ ^ , bei y = 0,5; Ti = 1; Ti = 5 ? (4.100) s( l + s r i )

Losung:

Foijco) = 0,5

^^ ^- -a;(5a;cos cj + sin u) + juj(b(jjsm UJ - cos u)\ . (4.101) LJ^{1 -f- 25(x;^) L J

Die Asymptote bei cc; ^ 0 hat die Abszisse dte{Fo{juj)}\ = 77I [ - a;(5(j + cj)] = - 3 . Der lu;->0 L J lu;->0

Phasenrand betragt an = IS''. Die Durchtrittsfrequenz betragt UD =" 0,29, siehe Abb. 4.28.

Page 107: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

4.35 * Stabilitatsbereich bei AUpass-Strecke 105

- V •

Subbeispiel 4 i

/K^T'n n^T^ - . . .HJ^^-.O^O^

-Sub beispiel 5;-----r:^^:^>-H—^--: - :

/ ; ; ; ; : i 1 i 1 -2.S -2 -1.5 -O.S O 0 .5

i Subbeispiel 6

\ ^ \ ^ J.- - ^

Abbildung 4,26: Nyquist-Ortskurven fiir die sieben Subbeispiele

4.35 * Stabilitatsbereich bei Allpass-Strecke

Angabe: Zu einem Allpass G{s) = \^^ mit T = 2 ist ein PI-Reglerzu entwerfen, der in Mindestforderung einen stabilen Regelkreis liefert. Fiir welchen Parameterbereich kn und T^ des Reglers ist der Regelkreis stabil? Welche Phase ^R weist die Regelschleife bei \Fo{juj)\ = 1 fiir die Reglereinstellung kn = ^ und TAT = 0,5 auf? Losung: Aus der Schleife

Fo(s) = kR{l + STN) 1~2S _kR-\- kR{TN - 2)s - 2kRTNS^

STN 1 + 25 TNS + 2TNS^ (4.102)

folgt das charakteristische Polynom des Regelkreises Pci{s) = kR + [kR{TN - 2) + TN]S -f 2riv(l - kR)s'^. Routh 1: Alle Koeffizienten positiv:

1) 2TN{l-kR)>0

la) TN >0 k kR<l', lb)TN < 0 SL kR > 1 (ausgeschlossen durch Bedingung 2)

2) TN{1 + kR) >2kR ^ TN>2

3) kR>0

kR l + kR

(4.103)

(4.104)

(4.105)

(4.106)

Page 108: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

106 4 Stabilitat

Abbildung 4.27: Prequenzgangsortskurve der Allpass-Schleife

0.5 1 1

_ _V^\- - 1 X 1 1

-0.5^

-1.5 -1 -0.5 0 0.5

Abbildung 4.28: Schleifenfrequenzgang bei ITiTt-Schleife laut Gl.(4.100)

Routh 2: Alle Koeffizienten negativ:

4) 2T(1 -A; i ? )<0

4a) Tjv > 0 & fci? > 1 (ausgeschlossen durch Bedingung 6) 46)Tjv < 0 & /ci? < 1

5) TN{^•\•kR)<2hR ^ TN<2^ kR

6) kR<0

(4.107)

(4.108)

(4.109)

(4.110)

Bei kR = | , T/v = 0,5 ist das System grenzstabil. Dies folgt aus der Bedingung 2: rjv(l + fc/?) = | ( H - | ) = A^ = l=:2kR = 2^l Daher ipR = - 1 8 0 ^

kn Abbildung 4.29: Stabilitatsbereich

(schrafHert)

Page 109: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

4.36 Stahilitat bei AUpass-Strecke nahe einem Nennpunkt 107

4.36 Stabilitat bei AUpass-Strecke nahe einem Nennpunkt

Angabe: Ein AUpass G{s) = ^^~ff mit den Nenndaten k = 2 und T = 1 soil mittels PI-Reglers geregelt werden, der die Daten T^ = 0,5 und kn = 1 aufweist. 1st der Regelkreis mit dieser Nennstrecke stabil? In welchem Bereich diirfen die Parameter k und T streuen, damit der Regelkreis stabil ist? Losung: Aus der Regelschleife

Fo{s) = kR{l +STN) II-sT _l-\-Q,bs l~sT _ ( 2 + s ) ( l - s r )

STN kl + sT 0,5s A;(l + s r ) ksil-\-sT)

folgt das charakteristische Polynom

p^i{s) = (2 + s)(l - sT) + ks{l + sT) = s^{kT ~T)-^ s{k + l-2T)+ 2 .

die Bedingungen nach Routh

r(A; - 1) > 0 -^ (T > 0 und A; > 1) oder (T < 0 und fc < 1)

A: + l - 2 r > 0 -^ T<hk-\-l) .

Die Stabilitatsbereiche sind in Abb. 4.30 gezeigt.

(4.111)

(4.112)

(4.113)

(4.114)

1 +

STABm

Abbildung 4.30: Stabilitatsbereiche in der Umgebung eines Nennpunkts

4.37 Stabilitatsbereich eines PDTi-Reglers mit instabiler PT2-Strecke

Angabe: In welchem V-a-Bereich ist der Regelkreis mit G{s) = . __A _. s und K{s) = Vj^ stabil? Losung: Aus diesen Angaben folgt

Fo{s) • V

( s - l ) ( s + o) ^ Fo + 1 = 0 -^ s^ -h (a - l)s -\- (V - a) = 0 . (4.115)

Notwendig und hinreichend ist, dass alle KoefRzienten positiv sind, also ergibt sich a > 1, V > a . Den Stabilitatsbereich zeigt die Abb. 4.31.

4.38 Stabilitat nach den Beiwertbedingungen in zwei Varianten

Angabe: Fiir den Regelkreis 4. Ordnung mit der charakteristischen Gleichung

a^s"^ 4- ass^ + a2S^ + ais + Go = 0 s^ + Ss^ + 195^ + 14s + 8 = 0 . (4.116)

Page 110: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

108 4 Stabilitat

a ,

4

3

2

1

0

I

] L ^ )

sTJAl^lIrl

J 4 5 V

Abbildung 4.31: Stabilitatsbereich eines PDTi-Reglers in der

Parameterebene

sind die Stabilitatsgrenzen in den Parameterkombinationen a2, as und ai, a2 darzustellen. Losung 1: Fiir s — jujs an der Stabilitatsgrenze folgt

040; — 026 5 + ao = 0 und ascj'^ — ai = 0 .

Zwei KoefRzienten ai werden verandert. Bei a^ = 02, ai^ = as

1 4 tJg - a^u)'^ 4-8 = 0 auujl - 14 = 0 -^ a^ = 14 h - a ^ ,

ergibt sich die Kurve 1 in Abb. 4.32. Losung 2: Bei 0^ = 02, aj^ = ai

cj^ - a^o;^ + 8 = 0 030; - a^ = 0 ^ af^ = LJ^ -]—-_ , , a^ 64

(4.117)

(4.118)

(4.119)

siehe Kurve 2 aus Abb. 4.32.

as 8 a2

Abbildung 4.32: Kurve 1 und Kurve 2 des Stabilitatsbereichs

Page 111: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

4.39 PITt-Schleife und Nyquist-Stabilitat 109

4.39 PITrSchleife und Nyquist-Stabilitat

Angabe: Gegeben ist Fo{s) = i±^e~*^* und Tt = 0,7. Wann liegt nach Nyquist Stabilitat vor? Losung: Aus

Foijuj) = ^4:^^e-^ '^° '^ = cosO, 7uj - " " \ ^ ^ ' ^ - j (^""""' '^ -f sinO, Tcj)

^e Foiju) = cos 0, 7u - !Hl^lZ^ = cos 0, 7u - 0, 7

sin 0,7a; ./^^sO, 7cj

sin 0,7a; 0,7LC;

(4.120)

(4.121)

Die Schleifenortskurve kommt aus dem negativ imaginar Unendlichen bei limu;_).o ^e Foijoj) = 1 — 0, 7 = 0,3 . Die Schnittpunkte mit der reellen Achse (siehe Abb. 4.33) folgen aus Qm FoiJuJa) = 0 oder tanO, 7ct;a = - - ^ zu

^e Foijua) = cos0,7u;a(l - ^ ^ ? i M ^ ) = - . / l + ^ < - 1 Wua . (4.122)

Das System ist immer instabil, auch fiir kleine Werte von Tt (bei Umfahrung des Ursprungs der s-Ebene rechts gilt P = 0, U > 0, AT > 0). Nur fur Tt = 0 ist das System stabil {P = 0, U = 0, N = 0).

Die Schleifenortskurve schneidet die negativ imaginare Achse im Spezialfall grofier Werte von Ua bei uJa = k^ VA; = 1, 3, 5

Abbildung 4.33: Ortskurve von Fo{ju)

4.40 Stabilitat bei IT2-Schleife nach Cremer, Leonhard, Michailow

Angabe: Die Stabilitat des Regelkreises mit nachstehender Regelschleife ist nach dem Cremer-Leonhard-Michailow-Stabilitatskriterium zu beurteilen

Fo{s) = 10

s ( l -h3s ) (H-10s ) • (4.123)

Losung:

l + Fo{s) ^ pc/(s) ^ 10 + s + 13s^ + 30s^ Pciijcj) = (10 - 13cj2) + M-SOu^ + 1) (4.124)

Imaginarteil > 0 null bei 0 < a; < —T= = 0,18

Imaginarteil < 0 null bei 0,18 < cj < oo .

Realteil < null bei u > J ^ = 0,88.

(4.125)

(4.126)

(4.127)

Laut Diagramm in Abb, 4.34 werden die Quadranten nicht in monotoner Folge durchlaufen, daher liegt instabiles Verhalten vor.

Page 112: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

no 4 Stabilitat

0,0174 a; = 0,18 ^^^^uj = 0

Pd{juj)-Ehene

. ij = 0,88

Abbildung 4.34: Ortskurve nach Cremer, Leonhard, Michailow (Zur

Verdeutlichung ist die Zeichnung nicht mafistablich.)

4.41 Bode-Stabilitatskriterium

Angabe: Die Regelschleife lautet

Fo{s) = • 10

S( l+35) (1 + 105) '

Losung: Gemafi Diagramm in Abb. 4.35 liegt Instabilitat vor.

(4.128)

10"* 10"' 10" 10'

Abbildung 4.35: Bode-Diagramm

4.42 Routh-Stabilitatskriterium

Angabe: Die Regelschleife lautet

Fo{s) = 10

5(1 + 3S)(1 + 105) • ^^-^^^^

Losung: Werden die beiden Zeitkonstanten Ti und T2 eingefiihrt, und zwar anstelle der besonderen Werte 3 und 10, so findet man

1 + Fo(s) = 0 ^ pci{s) = s^TiT2 +s^{Ti+T2)-{-s-i-10 = 0 .

Das Routh-Schema lautet T1T2

TI+T2

lOTiTa-Ti-Ta T1+T2

1 10

0 0

Als Bedingungen fiir Stabilitat sind T1T2 > 0, Ti -f- T2 > 0 und

-iorir2-ri -T2 >0 ^ Ti < T2

zu erfullen. T1+T2 ' " -^ - l O T z - l

Im Zahlenbeispiel ist Ti = 3 < -| Q.|Q_. nicht erfiillt, daher ist der Regelkreis instabil.

(4.130)

(4.131)

(4.132)

Page 113: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

4.43 Bestimmung der Stabilitat 111

4.43 Best immung der Stabilitat

Angabe: Fiir die Schaltung nach Abb. 4.36 ist die Stabilitat zu iiberpriifen. Losung: Es resultiert

Die charakteristische Gleichung und das Routh-Schema lauten somit

s^ + 6s^ + 8s + 40 = 0 1

4U-48 ^ n" I 6 ±}L

40

Daher ist das System stabil.

Abbildung 4.36: Regelkreis mit zwei Riickfiihrungen

(4.133)

(4.134)

4.44 Stabilitat einer zweischleifigen Regelung

Angabe: Fiir welche Parameter T/ > 0 und To ist das Regelsystem nach Abb. 4.37a stabil? Wie lautet der Stabilitatsbereich in der Parameterebene (Tj^To) ? Losung:

1 - 4s 1 - 4s Innerer Kreis : Ti(s) =

Aufierer Kreis : T{s) =

(1 - 4s) + (1 + sro)( l + 3s) 2 + {To - l )s + SToS^

1 + l+3s . ,_(l-4g) sT/(l-4s) ' 2+(To-l)s+3ToS^

Charakteristisches Polynom : pci{s) = SToTjs^ + {To - l)Tis^ + (2T/ + 3)s + 1

Routh-Schema:

det SToTi

Ti{To - 1)

SToTi > 0 -^ To>0

( T o - l ) T j > 0 ^ To>l 3 + 2r />o -^ r / > - i , 5

2Tj-'•r) > 0 Ti>

1,5

Ti{To - 1) ' To-1

Danach sind die Gin.(4.139) und (4.141) letztlich stabilitatsbestimmend.

4.45 Stabilitatsbereich einer ITs-Schleife nach Routh

Angabe: Welches ist der Stabilitatsbereich von

V K{s)G{s) =

s(s + 3)(s2 + 6s + 64) ^ Fo{s) ; T{s) :

(4.135)

(4.136)

(4.137)

(4.138)

(4.139)

(4.140)

(4.141)

Fo{s) V 1 + Fo{s) s4 + 9s3 + 82s2 + 192s + V

? (4.142)

Page 114: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

112

Vref ^-^

i\ J i

Vref ^<-s^

+s i

1

1

1

1 ' r

;0

1 y ' ~

;0

1

1 + sTo

1

l-\-sTo 1

1 + 35 l - 4 s

l - 4 s

l + 3s

4 Stabilitat

y

' 0 l - 4 s

1 + 35 y

>"—^

C'J Abbildung 4.37: Zweischleifige Regelung mit Umwandlung des inneren Kreises

Losung: Somit lautet das Routh-Schema

1 9

60,6

detf 9 192 A

. 60,6 V J _^ 60,6 ~ "-

V = di

82 192

V

0

0

V

Aus di>0 ergibt sich y > 0. Aus ci > 0 folgt 9 ^ - 192 • 60,6 < 0 oder letztlich V < 1294, 2.

4.46 Stabilitatsbereich mittels Routh-Schema

Angabe: Fiir welchen Bereich von a ist das charakteristische Polynom eines Regelkreises

p^i(s) =. 5^ + 85^ + (19 + a)s'^ + 145 + 8 (4.143)

ein stabiles? Losung: Das Routh-Schema lautet

1 8

17,25 + a 177,54-14a

17,25+a 8

19+a 14 8 0

8

Aus 177,5 + 14a > 0 folgt der Stabilitatsbereich a > -12 ,68 .

4.47 * Stabilitat nach den Beiwertbedingungen fiir PTi-System

Angabe: Zur Angabe

Fo{s) -a + 35

fiir 1 < a < 1 (4.144)

Page 115: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

4.48 Beiwertbedingungen fiir Stabilitatsbereich eines l2T2-Systems 113

ist die Stabilitat nach den Beiwertbedingungen zu untersuchen. Losung: Die charakteristische Gleichung e~^'^* + a + 3s = 0 lautet fiir s = ju

cos LoTt + a = 0 ~> cj =

- sinujTt -{-SLJ = 0 ^ Tt =

arc cos(-a)

Tt 3arc cos (—a)

cJsia.Tt) (4.145)

-^ ujs{a) ( siehe Abb. 4.38) . (4.146)

Abbildung 4.38: Stabilitatsgrenze Tt und Schwingungskreisfrequenz

LJs iiber a

4.48 Beiwertbedingungen fiir Stabilitatsbereich eines I2T2-Systems

Angabe: Wie lautet der Stabilitatsbereich von

10V{s + b) Fo{s) =

s2(s + a)(l +0 ,05s) (4.147)

in V, a und b? Losung: Aus 1 + Fo(s) = 0 folgt 10 Vs + 10Vb + s^ + as^ + 0,05 s^ + 0,05 as^ = 0 und fur s = ju

^m : lOVu - uj^ - 0,05 auj^ = 0 ^ u? = loy 14-0,05 a '

Einsetzen in die Gleichung aus dem Realteil gleich null ergibt fiir Stabilitat

(4.148)

(4.149)

^ " ^ ' ' - T ^ + y + o Z T - ^ ' ^ ^ y < 2 ( a - 6 ) - 0 , 2 a 6 + a = ' ( 0 , l - 0 , 0 0 5 6 ) . (4.150)

4.49 Schliefibedingung fiir komplexe s

Angabe: Fiir welches s = a -\- ju ist an Fo{s) = 77 X11 ^^^ SchlieBbedingung erfullt?

Losung: Aus

l + Fo{s)\ =0 (4.151)

5 + s(s + 1) = 5 + (T + jcj + cr + 2juja - LJ^ = 6-\-a + a^ - u^ + juj{l + 2o-) = 0 (4.152)

folgt c7 = - 0 , 5 und cj = ^/4J5 = 2,18.

Page 116: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

114 4 Stahilitat

4.50 Schliefibedingung fiir imaginare s an PTs-System

Angabe: Bei welchem s = juj und welchem k ist die SchlieBhedingung an Fo{s) = / . ^f/_^2) ^^f^^^i'^ Losung: Zunachst gilt

argFoiJu) = - arg(l + j2uj - uP') - arg(ju; + 2) = - a r c tan

Mit dem Hilfssatz arc tan u+ arc tan v = arc tan j ^ ^ folgt

2u; _i ^ r 3

- ^ ^ - arc tan ^ = -180'^ . (4.153)

arc tan -1 2a> (£ J- l _ a ; 2 2

-180° 2 - 2a;2 - 2a;2 tan (-180'') = 0 -^ cj = \/5 . (4.154)

Aus |Fo(ic<;) I = 1 resultiert fc = 18.

4.51 Phasenrand und Ampli tudenrand aus der Frequenzgangsortskurve

Angabe: Wie lautet zur Regelschleife

0,5(l + s) 1 - 2 5 „ , . , (l-hju)il-2juj) (3 + 4cj' ) . 1 Fo{s) =

1 + 25 F,{j^) = ( l + i ^ ) ( l - 2 j c ^ ) ^ (3 + 4c^^) ^

2ja;(l + 2juj) 2(l + 4a;2) " 2a;(l + 46c;2)

der Phasenrand an und wie der Amplitudenrand AR ? Losung: Der Phasenrand resultiert aus

^^^^'^^^^ = \-2j;:;^\ = - 2 ; j ^ = ' - - ^ ^ = 3

(4.155)

(4.156)

arg{Fo(ju;i:))} = arctan ,^ " ^ ^ , = arctan ^ = -158,2° -^ a;£,(3 + 4a;|)) 13

Fiir den Amplitudenrand erhalt man AR = 2 (Abb. 4.39).

an = TT+a^TglFoiJUD)} = 21,79° .

(4.157)

0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

A ' ' - ' '

—ttf lV —J^ -1 \ X1 ^

l# \ 1

/ ' ' / 1 1

1

1 1 1

_ L _ 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1 j

_l 1 . 1 1 1 1

Abbildung 4.39: Ortskurve zu

-1 -OA -0.6 -0.4 -0.2

4.52 * Interne Stabilitat

Angabe: Die Strecke . _ wg_- ^ wird durch einen Regler V^^ geregelt, wobei 0,9 < a < 1,1 und F = 25 gelte. Zu beurteilen ware: a) Ist der Regelkreis stabil? Wie sieht die Stell- und wie die Storiibertragungsfunktion aus? b) Wie lautet die StellgroBe u{t) fiir einen SoUwertsprung a{t) bei a = 1 ? c) Wie verhalt sich die RegelgroBe y{t) fiir eine sprungformige Storung am Streckeneingang bei a= 1. Losung: Man erhalt im einzelnen: a) Stabilitat nach Routh: Aus 1 + Fo{s) = 0 folgt

s^-hs^-hs{V-l)-l-Va = 0 . (4.158)

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4.53 Instabiler Regler, stabiler Regelkreis unter Polvorgabe 115

Da nicht alle KoefRzienten grofier null sind, ist der Regelkreis instabil. Aus einer Wurzelortskurve ware dies auch sofort zu erkennen.

Bei a = 1 folgt fiir die Sensitivitat S{s)

S(s) - ^ - (^ + ^ ) ' ( ^ - ^ ) f4159) ^^'> - l + GK-(s- l)[{s + 1)2 + V] ' ^^•^^^>

bei a = 1

S(^) = ^s + ms-l) + Vis-a)- ( '• '^°)

Die NuUstelle bei H-1 schwacht die Wirkung der instabilen Polstelle bei etwa +1 (resultierend aus a = l ) ab, gleiches gilt fiir ^J^j^- Als Folge der Kiirzung der instabilen Polstelle gegen die gleicherorts befindliche NuUstelle verbleibt nur ein „pseudostabiles" System. Darunter ist gemafi

£-./ii^| \ = c-^JU-^]=C-^{W-^] (4.161) Is S - l\a=lJ Is S-lJ Is S - I J

ZU verstehen, dass die instabile Polstelle bei +1 wirksam bleibt, allerdings nur mit einem Residuum 1 — a, das bei a ->• 1 verschwindend klein wird. Siehe auch Abschnitte 15.5 bis 15.13.

Die Stelliibertragungsfunktion folgt als

K _V(s-a) (s + l ) 2 ( s - l ) _ y ( s - 1 ) 2 ( 5 + 1) _ y ( s 2 - l )

1 + GK s + 1 ( s - l ) [ ( s + l)2 + y] ( s - l ) [ ( s + l)2 + T/] (5 + i)2 + y

Die instabile Polstelle bei +1 schlagt jedoch bei Storiibertragung voll durch

G s + 1

„pseudostabii" .

(4.162)

l-\-GK ( s - l ) [ ( s +1)2 + 1/]

b) Stellgrofie bei Sollwertsprung unter exakt a = 1

instabil" . (4.163)

Uis) = i^(.) 1 ^ 2 5 ( . 2 - l ) ^ _ 2 5 1 W . + i ^ ^ 1 + K(s)G{s) s s(s2 + 2s + 26) 26 5 52 + 2s + 26 ^ ' ^

25 25 u(t) = -7^cr{t) + —e-*(27cos5t -^sm6t)a{t) usw. (4.165)

26 26 Die kriechende Instabilitat laut Gl. (4.162) wurde nicht angeschrieben.

c) Regelgrofie bei sprungformiger Storung am Streckeneingang

G{s) 1 s+_l __i.i A —I 1 23s - 102 ^^ ~ l + K(s)G(s)s ~ s(s2+2s + 26)(s-l) ~ 26 s " 29 s - 1 754 s2 + 2s + 26

4.53 Instabiler Regler, stabiler Regelkreis unter Polvorgabe

Angabe: Gegeben ist die Regelstrecke G{s) = —rf . Man entwerfe einen Regler mit minimaler Zahler-und Nennerordnung derart, dass sich fiir den geschlossenen Regelkreis ein konjugiert komplexes Polpaar bei si,2 = —0,5 ± jO, 5 ergibt, und zeichne die Wurzelortskurve des resultierenden Systems. Losung: Die Wahl des Reglers erfolgt zu K(s) = j ^ , und zwar gemafi einer Grundsatziiberlegung aus der Wurzelortskurve Abb. 4.40. Die Polvorgabe mit charakteristischem Polynom liefert fiir F = 1

(s - b){s - 1) + cs - 0,5c = (s + 0,5 + jO, 5)(s + 0,5 - jO, 5) . (4.167)

Daraus resultiert c = 5 und 6 = 3. Die Verzweigungspunkte liegen bei si = 1,618 unter V = 0,153 und bei S2 = —0,618 unter V = 1,047. Aus dem Routh-Kriterium folgt der Stabilitatsbereich von V zu 0) 8 < F < 1,2. Bei y = 0,8 ist die Schwingungsfrequenz u = 1.

Page 118: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

116 4 Stabilitat

5 - 1 S - 3

Abbildung 4.40: Wurzelortskurve fiir den Regelkreis unter Polvorgabe

4.54 Nyquist-Stabilitatsbereich fiir einen P-Regler

Angabe: Das lineare Differentialgleichungssystem der Regelstrecke lautet

i i + 2 x i + a ; 2 = u (4.168)

0, 5x1 + xi - 0,5;r2 - i:2 + 2?2 = 0 (4.169)

2^2+4x2 = 4? / -42 / . (4.170)

Welches ist die Ubertragungsfunktion G{s) = ^ i 4 des Systems? Wie sieht die Ortskurve von G{s) aus? Das System wird mit einem P-Regler kn geregelt. Fiir welche Reglerparameter kn ist der geschlossene Regelkreis nach Nyquist stabil?

Losung: Die Reduktion des Differentialgleichungssystems liefert ^ i 4 = G{s) = j ^ . Die Ortskurve G{JLJ) ist ein Halbkreis, der seinen Ausgangspunkt bei ( -0 ,5 ; jO) nimmt und im 3. Quadranten iiber den Tiefst-punkt bei ct? = 1 in den Ursprung lauft.

Fiir kn = 1 gilt P = 1, U = 0, somit U ^ —P und die Regelung ist instabil. Fiir kn = 3 folgt wiederum P = 1, aber U = -1, daher ist die Regelung in diesem Fall stabil. Der Stabilitatsbereich lautet kn > 2.

4.55 Stabilitatsbereich fiir PDTi-Regler an IT2-Strecke

Angabe: Der Regelkreis mit

k{s + a) G{s) =

s{s + 2){s + i) K{s) =

s + 1 (4.171)

ist nur fiir a> 0 stabil. Fiir a = 0,5 gilt welcher Stabilitatsbereich in k ? Losung: Nach dem Routh-Kriterium folgt 0 < /? < 44,2 .

4.56 Nyquist-Stabili tat

Angabe: Welche Anzahl P der Pole in der rechten Halbebene und Umlaufanzahl U besitzen die Foijto)-Ortskurven zu nachstehendem Fo{s)? Ist Stabilitat gegeben? Die Umlaufe in der s-Ebene sollen mit Ein-zahnungen in die rechte Halbebene erfolgen. Losung: 1)

^o{s) = , ^ ^X}—TT -^ P^O V = 2 --t instabil (4.172) (s^ + l)(s -f-1)

(bei Einzahnungen in die rechte Halbebene bei ± j ) . 2)

-^<'> = ^ - •2 U: stabil ,

3)

Fo{s) = — ^ -^ p = 0 U = -l instabil

(4.173)

(4.174)

Page 119: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

4.57 * Familie der stabilisierenden EingroBenregler. Polynommethode 117

(bei Einzahnungen in die rechte Halbebene bei 0). Der Wert C/ = — 1 ist aus einem Grenziibergang aus — (gl^)^ fiir a —¥ 0 leicht zu erkennen.

4.57 * Familie der stabilisierenden EingroBenregler. Polynommethode

Angabe: Die Regelstrecke ist mit G{z~^) = H^Iii gegeben. Der Regler K{z~^) wird derart angesetzt,

dass 1) die Bezout-Identitat in willkiirlichen Polynomen d{z~^) und n(z~^), namlich

a{z-^)d{z-'^) + b{z-^)n{z-'^) = 1 , (4.175)

erfiiUt ist, und 2) die beliebig stabile Ubertragungsfunktion Q{z~^) verwendet wird

Die Wahl der GroBen hat so zu erfolgen, dass der Nenner in K{z~^) ungleich null bleibt (Stecha, J., 1994)-Man zeige, dass mit den genannten Ansatzen ein stets stabiler Regelkreis resultiert und man ermittle

K{z~^) fiir den Spezialfall G{s) = ^ zuziiglich Halteglied Gho(s). Losung: Das charakteristische Polynom des Regelkreises lautet aus 1 -I- K{z~^)G{z~^) zu

1 + ^ — T ^ - ^ ad-j-abQ + bn-abQ . (4.177) a + oQ a

Die Bedingung fiir Q{z~^) stabil lautet, dass bei Q = | das Nennerpolynom h{z~^) stabil ist. Damit folgt aus Gl.(4.177) das charakteristische Polynom des Regelkreises

Pci(z) = {ad + bn)h + (ab - ab)g (4.178)

01.(4.175) ^ pci{z) = l'h{z-^)-V^ = h{z-'^). (4.179)

Das charakteristische Polynom des Regelkreises ist somit dem charakteristischen Polynom der stabil gege-benen Ubertragungsfunktion gleich.

Fiir G{s) = ^ und Gho(s) = ^ ' ^ folgt

G{z) - 2{—^— ^ } - — (731)2 - - ^ ( i _ , - i ) 2 - - (4-180)

01.(4.175) ^ {l-z~^)U{z-'^) + ^{z-^-{-z-^)n(z-^) = l . (4.181)

Ein Minimalansatz fiir die Polynome d{z~^) und n{z~^) liefert

(1 - 2z-' + z-^){l 4- diz-') + ^{z-' + z-''){no + riiz-') = 1 . (4.182)

Aus dem KoefRzientenvergleich der Potenzen z~'^ findet man

di = 0,75; no = | | ; " i = - ^ (4.183)

und den parametrisierten Regler

^ ^ \^diz-^+b{z-^)Q{z-^) 1 + 0,75^-1 + ^ ( ^ - 1 + ^ - 2 ) 0 ( ^ - 1 ) ^ ^

4.58 Koordinatentransformation

Angabe: Ein Standardregelkreis besitzt das charakteristische Polynom Pci{s) = s^ + 5s^ + l i s + 15. In welcher verschobenen s-Ebene (s = s -\- a, a > 0) tritt in s eine konjugiert imaginare Nullstelle auf? Losung: Man wahlt eine Ersatz-Schleifeniibertragungsfunktion Fo(s) = s(s^-\^s+ii) ^^^ sucht die Punkte der Wurzelortskurve fiir V = 15. Diese finden sich bei —3 und —l±j2. Eine Verschiebung des Achsenkreuzes der s- auf eine s-Ebene miisste also um a = 1 nach links erfolgen, damit ein grenzstabiles Polynom Pci{s) eintritt.

Page 120: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

118 4 Stabilitat

4.59 Entwurf auf Stabilitatsreserve

Angabe: Bin Regelkreis besitzt die Strecke G(s) = j : ^ und den Regler K{s) = V{1 + ^). Die Strecken-parameter schwanken. In welchem Bereich von V und Tj liegen die Regelkreispole links von -1 ? Losung: Man findet

- - - ^ ^ 1 + ^^^ (4.185)

(4.186)

Die

s = s — 1

charakteristische Gleichung in s

"H'r

^o\^J —

- Fo{s)

lautet

Ti s{l + sT)

Vk {jr-

~ T s'' + s{^-

, 1 Vk/\

- l ) + 5

2) + (1 -

- i ) = .

+)

Stabilitat verlangt positive Koeffizienten, daher hat V > ^ ^ ^ und Tj < y_^^^^ zu gelten.

4.60 Cremer-Leonhard-Michailow-Stabilitatskriterium

(4.187)

y\o = i

Qm,

^ , 7

I 0,4

3 e

Pciij ctj)-Ehene

Abbildung 4.41: Ortskurve nach Cremer, Leonhard, Michailow fiir

IT2-Schleife

Angabe: Liegt fiir die Regelschleife Fo{s) = ^ 3 ^ ^ , ^ nach Cremer, Leonhard, Michailow StabiUtat vor? Losung: Aus dem charakteristischen Polynom

p,i{s) = 1 + (1 + Ss)s(l + s) = 1 + s + 4s2 + 35^ -^ pciijuj) = {1- 4a;2) + jtj{l - Su'^) , (4.188)

folgt, wenn es fiir s = juj betrachtet wird, Stabilitat, da Pdij^) eine monotone Zunahme des Arguments zeigt.

Ab dem LJ aus 3uj^ > 1 ist auch 4uj'^ > 1 gegeben und monotones Wachsen des Winkels (p aus

A UJ(1 - SU^) (p = arc tan -— , ^

1 - 4a;^

fiir cj —>• 00 gesichert. Fiir u entsprechend 3LJ^ < 1 siehe Abb. 4.41.

(4.189)

4.61 Stabilitat nach Cremer, Leonhard, Michailow fiir verschiedene Verstarkungen

Angabe: Gegeben ist die Regelschleife

Fo{s) K A p(£)

(s +1 )2 (5+ 2) q{s)

Wie lauten die Ortskurve nach Cremer, Leonhard, Michailow fiir mehrere K? Losung: Das charakteristische Polynom des Regelkreises folgt zu

Pciis) = p{s)+q{s)=K-^{s-\-l)'^{s + 2) = s^-^4s^-\-6s + K-\-2

PciiJuj) = -4cj^ -\-2-\-K-\- j{-J^ + Scj) .

(4.190)

(4.191)

(4.192)

Das Parallelverschieben der Ortskurven von Pci(j(^) in der komplexen Ebene um K ist nur bei PT^-Elementen zutreffend, well dabei K nur als konstanter Summand im Realteil vorkommt. Der Wert K wird vom Punkt 2, dem konstanten Glied des Nenners, aus gezahlt.

Page 121: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

4.62 Stabilitatsgrenze aus der Wurzelortskurve 119

^.

10- Pc/(iti;)-Ebene

J^ 30 Abbildung 4.42: Ortskurven nach Cremer, Leonhard, Michailow fiir

verschiedene K

4.62 Stabilitatsgrenze aus der Wurzelortskurve

Angabe: Bis zu welcher Verstarkung K ist der Regelkreis mit

K{s'^ + 155 + 56) Fo{s) =

( s 2 + 2 s + 2)(s2 + 85 + 15)

stabil? Man verwende zur Feststellung die Wurzelortskurve.

(4.193)

Abbildung 4.43: Wurzelortskurve zu

^oK^) — (s2^2s+2)(s2+8s+15)

Losung: Der Wurzelschwerpunkt resultiert zu

1 4 - 2

( - 1 - i - 1 + i - 5 - 3 + 7 + 8) = 2,5 (4.194)

Der Anstiegswinkel der Asymptoten betragt 90^ und 270^. Aus der Wurzelortskurve lasst sich VG = 5,2 ablesen.

4.63 Nyquist-Kri ter ium fiir PDTi-Schleife

Angabe: Fiir welche Werte a ist der Regelkreis stabil, dessen Fo{s) = ^ f ^ lautet? Losung: Eine Zerlegung liefert Fo{s) = 2a[l + (2,5/a - a)/{s + a)] . Daraus ist zu ersehen, dass Fo{ju) ein Kreis ist, der auf der reellen Achse die Extrempunkte | (bei to = 0) und 2a (bei u; = oo) besitzt. Fiir a > 0 ist er mit einem Pfeil rechtswendig, fiir o < 0 linkswendig zu versehen. Nach direkter Rechnung erhalt man fiir den Regelkreis einen Pol bei - ^ ^ , dieser liegt dann links, wenn a > - 0 , 5 oder a < - 5 .

Die Ergebnisse bei Anwendung des Nyquist-Kriteriums sind in Tabelle 4.1 dargestellt. Die Anzahl der Pole von Fo{s) in der rechten Halbebene ist P, die Anzahl der Nyquist-Umfahrungen von Foijuj) im Uhrzeigersinn lautet U.

4.64 * Ortskurven fiir entar tetes Fo{s)

Angabe: Fiir welche Schleifeniibertragungsfunktion Fo(s) strebt die Wurzelortskurve fiir endliche Verstarkung nach unendlich ?

Page 122: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

120 4 Stahilitat

Tabelle 4.1: Ergebnisse nach dem Nyquist-Kriterium

a-Bereich

oo > a > 0 0 > a > -0 .5 -0 .5 > a > - 5 —5 > a > —00

P

0 1 1 1

U

0 - 1

0 - 1

Regelkreis ist

stabil stabil instabil stabil

Losung: Ein Beispiel dafiir ist Fo{s) = V^^. Die Untersuchung der Stabilitat direkt mit s = ^^^j < 0 verlangt 0 < V < 1 . Fiir die Nyquist-Ortskurve wird der Pol im Ursprung der s-Ebene rechts umfahren. Dann gilt P = 0. Die in der Abb. 4.44a und b dargestellten Nyquist-Ortskurven gelten fiir 0 < y < 1 (Bildteil a) und fiir V < 0 (Bildteil b). Beide Bilder bestatigen obstehendes Stabilitatsergebnis.

In Abb. 4.44c ist die Wurzelortskurve fiir positive V gezeichnet, nach einer Umformung auf —V~^. Wegen 1 — s im Zahler der Angabe von Fo{s) gelten aber fiir die Abschnitte auf der reellen Achse andere Regeln. So einfach die Wurzelortskurve auch ist, iiir V = 1 besitzt sie einen unendlich fernen Punkt.

Nyquist: FQ - Ebene fur Bereich 0 < V < 1

t/ = 0 F = 0

Nyquist:

®

FQ - Ebene fur Bereich V < 0

f/ = l p = 0

W O K

^ - 4 -V = l v<\ V^O V = oo V>\ F = l

Abbildung 4.44: Nyquist- und Wurzelortskurve fiir X^^^

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Kapitel 5

Zustandsregelungen

5.1 * Elemente der Transitionsmatrix einer Regelstrecke

Angabe: Die Zustandsraumdarstellung eines dynamischen Systems lautet

A = ( V - l ) B = ^ = G ) ^ = (1 ^)- (5.1)

Welche Dynamik charakterisiert das Verhalten zwischen StellgroBe und den beiden ZustandsgroBen? Welche Reaktion zeigen sie auf Einheitssprung in u{t)? Wie sieht der Koppelplan aus? Wie lau­tet die Ubertragungsfunktion G{s)? Welcher alternativer Koppelplan lasst sich direkt aus der Ubertragungsfunktion ableiten? Welche Veranderungen zeigt die resultierende AusgangsgroBe y{t) im Zeit-ursprung, knapp davor und danach? Welche Anderungsgeschwindigkeit der ZustandsgroBen liegt im Zeit-ursprung vor? Losung: Die Laplace-Transformation auf die Zustandsraumgleichungen angewendet zeigt, dass PDT2-bzw. PTi-Verhalten vor liegt

Auf Einheitssprung von u{t) reagiert das System aus einem Anfangsruhezustand gemafi

r2 1 2

X2{t) = l - e " * ( * > 0 ) . (5.4) ^ « = ^"{7-(7TIF-^} = '-*'"-"^" *-° '-'

Den Koppelplan, wie er aus der Zustandsraumdarstellung abgeleitet werden kann, zeigt die Abb. 5.1a. Dabei wurde die Vorzeichenumkehr im Integrator und Summierer wie bei passiv beschalteten Operations-verstarkern angenommen.

Aus den Gleichungen im Laplace-Bereich

X2 = C//(s + l) und Xi = {U-\-X2)/{s + l) (5.5)

ist ein alternativer Koppelplan als Abb. 5.1b direkt zu zeichnen. Die Transitionsmatrix ^{t) berechnet sich zu

*( ) = ( - )-' = ( ;w(^o^! l ) = ( t ^ ) - *(*) = (' o' te-'

(5.6) Die Elemente der Transitionsmatrix ^{t) konnen direkt berechnet werden, und zwar gemaB Xi{t) = ^ik{t), wobei nur eine Anfangsbedingung Xk{0'^) von null verschiedenen und gleich 1 angenommen wird. Der Koppelplan lasst eine Bestatigung der Elemente von ^{t) nach obigen Gesichtspunkten zu.

Die Ubertragungsfunktion lautet

«(«) = ( ^ (5.7)

Stetiger Ubergang herrscht in Xi, jedoch nicht in Xi

±1(0+) = 1 i;i(0-) = 0 (5.8)

0:2(0+)-=1 2:2(0-) = 0 . (5.9)

Page 124: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

122 5 Zustandsregelungen

0

Abbildung 5.1: Koppelplan aus der Zustandsraum-Angabe (Bildteil a) und aus der tjbertragungsfunktion (Bildteil b)

(5.10)

(5.11)

(5.12)

Nach Weinmann, 1994, Gl 1.15 his 1.17 gilt fiir die Matrizen

^ ^ = ( 1 0 ) ' ^ ^ = ( 0 0 ) ' ^"^ = ^o"^" = ( 2 0

Wegen M(0+) = 1 und it(0+) = 0 folgt

/ 2/(0+) \ _ ( 0 0 \ / 1 \ / y(O-) \ _ / v(Q-) \ \ 3/(0+) ) - \ 2 0 ; I, 0 ; + I, y(O-) ) - \ 2 + 3/(0-) ;

Dies lasst sich auch aus der DifFerentialgleichung bei 0"

2/(0+) = i:i(0+) + X2(0+) = -xi{{}-^) + 2?/(0+) = - 0 + 2 - 1 = 2

bestatigen.

5.2 Eigenwerte der Transitionsmatrix einer Regelstrecke

Angabe: Zu der Matrix A = ( ^ „ 1 rechne man iiber ^{s) = (si — A)~^ die Matrix ^{t) und

davon die Eigenwerte Xi[^{t)]. Weiters bestimme man Xi[—^{t)]. Losung:

( s I - A ) - i = (^2 s + Sj = (s + l)(s + 2) V - 2 sj

/ - 2 L_ ^ 1 _ \ / Op-t _ p-2t

Daraus folgt Ai[^(^)] = e"^; e-^*. Man findet bestatigt, dass \i{e^^\ = e^'^^^\ wobei ^{t) = e^K Schliemich ist Ai[-*(t)] = -A^[*(^)].

- e - * + 2e-2*

(5.13)

, (5.14)

Page 125: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

5.3 Transitionsmatrix fiir PT2s-Regelstrecke 123

5.3 Transit ionsmatrix fiir PT25-Regelstrecke

Angabe: Welche Transitionsmatrix gehort zu nachstehendem A? Losung:

^{t) = C-^{(sI-A)

^ {sI-A)'^ = 1

§2 + 2s + 5 s + 2 1 - 5 5

-^} = e - * ( cos 2 ^ + 1 sin 2t

- 1 sin 2^ I sin 2t

cos 2t — \ sin 2t

(5.15)

(5.16)

5.4 Regelstrecke in Regelungsnormalform

Angabe: Die DifFerentialgleichung x^^^ + 3:r + 2a; = u ist mit x\ = x auf Regelungsnormalform umzu-schreiben und die Spur von ^(t) aus den Eigenwerten von A auszudriicken. Losung:

/ 0 1 0 A - 0 0 1

V 0 - 2 - 3 . = : ^ * ( s ) = [ 5 l - A ] - ^ = 0

I 0 -

s+3 1

(s+lKs+2) s(s+lKs+2)

is+l)(s+2) (s+l){s+2)

~{s+l){s+2) (s+l)(s+2)

Ai = 0 A2 = - l As = - 2

s(s + l ) (s + 1

(5 + l)(s + s

2)

2)

(s + l)(5 + 2)

1 1 2 s

1 ? + l s + 2

1 1 1 ^ r l - t 1 2*1

1

s + 1 s + 2

^{t)=C-'{^(s)}= 0 I - 2e-* + k-2^

2e-* - e-2* - e - * + 2e-2^ \ 0 - 2 e - * + 2e-2^

(5.21)

(5.22)

5.5 KoefRzientenmatrix aus der Ubertragungsmatr ix

Angabe: Man gebejene Zustandsraumdarstellung, insbesondere die Matrix B und C an, die dem Blockbild Abb. 5.2 im Frequenzbereich gleich ist. Losung: Die Ausgange der beiden Dynamik-Elemente werden mit xi und X2 bezeichnet. Dann gilt sofort

- ( 0 1 j ' B = I , = •• < ^ - { l l ) "-0 (5.23)

Ui

U2

1 s + 2

1 s - 1

1 xi

1 ^2 UHtJil

' r

3

2/1

y

2/2

Abbildung 5.2: Mehrgrofienstrecke

Page 126: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

124 5 Zustandsregelungen

5.6 Ubertragungsfunktion aus der Transitionsmatrix

Angabe: Gegehen ist ein System vierter Ordnung in Regelungsnormalform, und zwar mit der Matrix A von der letzten Zeile aus lauter NuUen, B mit 1 in der letzen Zeile sonst lauter NuUen und einer Ausgangsmatrix C = (4 3 8 7). Wie lautet die Transitionsmatrix ^{t) und die Ubertragungsfunktion? Losung: Die Transitionsmatrix ^ ( s ) findet man als eine Matrix mit 1/s in der Hauptdiagonale, mit 1/s^ bis 1/5^ in Diagonalparallelen oberhalb und Nullen unterhalb. Dem entsprechen in der Matrix ^{t) Elemente 1, t, t^/2 und t^/6 fiir t >0. Die Ubertragungsfunktion lautet dann

G(.) = C * ( . ) B = i ± 3 i ± 8 £ ! ± Z £ ! . (5.24)

5.7 Transitionsmatrix und Ubertragungsfunktion aus der Koeffizientenmatrix

Angabe: Wie lautet * ( i ) zu A = ( ~^ ~^ j und G{s) bei b = (0 1)^ und c = (3 0) ?

Losung: Man findet

(^' - ^ ) " = ( 3 r+4 ) i d l T s --' *-W = Viw^) = IT3 ^ JTT • ( - 5)

wobei unter 5 ^ — 3 - ^ A — ^=- —0, 5, unter s—)>—1 ' ^ B = | = l , 5 . Analog gilt

*"(^) = (7T3feTi) = ^ - i l ^ ^'-''^

und

, . . , / l , 5 e - 3 ^ - 0 , 5 e - * 0,5e-3* - 0,56"^ \ _ ,-t f h^ 0,5 V - 3 t / ^ - 0 , 5 - 0 , 5 \ ^ ^ * ^ - ( - l , 5 e - 3 * + l ,5e-* -0 ,5e-3* + l ,5e-* J " ^ [-1,5 -0,5 J ^^ V 1,5 1,5 J

(5.29)

Gis) = c-(sl - A ) - b = (3 0)(sl - A ) - ( ; ) = - ( j ^ ^ ^ . (5.30)

5.8 Stofiantwort zu einem System mit Angabe im Zustandsraum

Angabe: Gegeben ist

1 0 0

0 0

- 2

M 2 0 /

/ B =

\

' 2 2

, - 1 A-= 0 0 2 B = 2 c = ( l - 1 0 ) , (5.31)

gesucht ist die StoBantwort g{t). Losung: Durch Einsetzen findet man

1 , .+1 0 0

^2 , A\ /^T A ^ - l _ n s 2 det(5l - A) = (. + \){s' + 4) {si - A ) - i = 0 ^ ^ (5.32)

(5.33)

Page 127: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

5.9 Modalmatrix 125

5.9 Modalmatr ix

Angabe: Ein PT2-Elenient hat die Stationarverstarkung V = 1 und die Zeitkonstanten Ti = 1, T2 = ^. Wie sieht die Zustandsraumdarstellung in Regelungsnormalform aus, wie lauten die Eigenwerte und eine mogliche Modalmatrix? Losung:

3 . f 0 1 \ ,^ f 0 \ T . ''^'^ = l^T4^Z' A = ( - 3 - 4 ) ' b = ( 1 ) . c - = (3 0) (5.34)

Xi[A] = - 1 ; - 3 , Modalmatrix T^^ = (ai as) = ( } ^ } ^

5.10 Transit ionsmatrix

Angabe: Welche Transitionsmatrix ^{t) gehort zu der Ubertragungsfunktion 1/(5^ + s)? Losung: Im Zustandsraum ist die zugehorige Matrix A und daraus die Transitionsmatrix ^

A=(j _\) ^ *(.)=(.i-A)- = (^ ^ ) ^ *w=(; ''X)

(5.35)

(5.36)

5.11 Modalmatrix-Bestat igung

Angabe: Zu der gegebenen KoefRzientenmatrix A = ( „ _^^ J sind die Eigenwerte Ai[A] = 1, —2,

die auf eins normierten Eigenvektoren -h= {^) und -4= (^) und die Modalmatrix T"^^ = I ^ 1 ) ^"

bestatigen und daraus die Diagonalmatrix der Eigenwerte zu berechnen. Losung:

Tmo,-i AT-- = diag {Xi} =(l _ M . (5.37)

5.12 * Faddeev-Algorithmus

Angabe: Fiir A G 7^"^^ lautet die Transitionsmatrix zu (Faddeev, D.K., and Faddeeva, V.N., 1963)

* foj A^-l a d j ( g l - A ) A E(g) ^ = ('^-^^ =aet{sl-A) = d e t ( s I - A ) - ^^'^^^

Darin wurde E(s) zur Abkiirzung verwendet; welters wird deGniert

d e t ( 5 l - A ) = s" + tiis^-^-f-d2S^"^ + . . . + rfnS° (5.39)

E(s) = F o s ^ - ' + F i s " -2 + . . . + Fn-is^ . (5.40)

Einsetzen in GL(5.38) mit anschlieBendem Koeffizientenvergleich der Potenzen von s liefert

I(S" + di5^-^ +...-{-dn) = {sl- A)(F,5^-1 + Fi5"-2 + . . . F n - l ) , (5.41)

F , = I (5.42)

F i = A + d i l wobei di =-tr A (5.43)

F2 = A F i 4- d2l wobei ^2 = - 0 , 5 t r{AFi} . (5.44)

Die di folgen aus einem KoefRzientenvergleich des Ansatzes det(sl — A) in Gl.(5.39).

Man wende dieses Verfahren bei n = 2 auf A = f ^ _^ J an. Wie lautet $ ( s ) und ^uit) ?

Losung: Man erhalt

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126 5 Zustandsregelungen

Mit

EM * W = E ^ ^ { ^ ^ ^ ^ * b e i d e t M - A ) = 0 (5.46)

ergibt sich si,2 = - 1 ± j2 und ^uit) = - 2 , Se"* sin2it {Morgan, B.S., Jr., 1965).

5.13 Zustandsraumdarstel lung einer zeitdiskreten Regelstrecke

Angabe: Zu der z-Uhertragungsfunktion

do + diz-^ + + dnz-"" _ y{z) _ Z{y{k)} G{z) = •

1 + ^1^-1 + + qnz-

gehort die Zustandsraumdarstellung

u{z) Z{u{k)}

x{k + l) = ^{T)Kik) + ^u{k) y{k) = c^xik)-^duik) ""'^ ^^^^-

Wie lauten c und d? Losung: Aus der Angabe gilt zunachst

/ 0 0

0 0 0 V -Qn -Qn-l •••

0 ^ 0

-qi J

* =

y{z) =-qi-y{z) - q2-^y{z) - - qn—y{z) + dou{z) + di-u{z) + + dn—u(z)

y{z) ^ y(z)_v{z)_ ^ do + di^ + d2^+ ....dn^

u{z) v{z) u{z) 1 1 + ^ 1 ^ + ... + 9 n p r '

Aus dem zweiten obstehenden Bruch resultiert

v{z) = -qi -v{z) -q2 ^^^(^) z z^

=Xn(z)

2 • qn ^ ^ W +^(^)

=xi(z)

(5.47)

0

(5.48)

(5.49)

(5.50)

(5.51)

Aus dem erst en Teil des B ruches folgt

y{z) = dov{z) ^ dx-v{z) ^-d2-^v{z) ^ .... ^ dn--v{z) . Z Z^ Z^''

Einsetzen von v{z) aus Gl.(5.51) im ersten Term der rechten Seite liefert

(5.52)

y{z) = do[-qi-v{z) - .... - qn—v{z)+u{z)]^-di-v{z) ^ .... ^ dn—v{z) . (5.53) Z Z^ Z Z^''

Werden auf der rechten Seite die Terme mit den entsprechenden ^ zusammengezogen, so resultiert

c = {dn- doqn, dn-i - doqn-i, , di - doqif d = do (5.54)

Das Ergebnis lasst sich noch auf andere und schnellere Art ermitteln, indem G{z) durch Separation von do umgeschrieben wird

G{z) = do + jdn-dpqn)-^ +2;^ ^{di-doqi)

qn+ +1-Z'' (5.55)

Sodann konnen die bekannten Beziehungen zwischen Ubertragungsfunktion und Zustandsraum verwendet werden, wie sie fiir Graddifferenz grofier eins zwischen Zahler und Nenner in G{z) gelten.

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5.14 Transitionsmatrix einer zeitdiskreten Regelstrecke 127

5.14 Transitionsmatrix einer zeitdiskreten Regelstrecke

Angabe: Gegeben ist die Regelstrecke G{s) = TiZ^wfxoTsT • ^^^ zugehorige Zustandsraumdarstellung lautet in Regelungsnormalform

^-{-2-^)- ==(;)• ^='«»'' ""• (5.56)

Man ermittle die daraus folgenden Matrizen ^{T) und ^{T) der diskreten Zustandsraumdarstellung, wenn ein Halteglied nuUter Ordnung eingesetzt ist, sowie die z-Ubertragungsfunktion. Losung:

*(r) T _ P-2T \ / n K - P-T" 4- n .^P-2T

2 e - ^ + 2e-2^ - e " ' ^ + 26"

5.15 Eigenwertrelationen gemafi Cay ley-Hamilton

Angabe: Gegeben ist A = I ^ _9 ) • ^^^ rechne die Eigenwerte A[F], wobei

F = A + 4 A 2 - A^ , (5.59)

und untersuche die Relation von A[F] zu A [A]. Losung: Einsetzen liefert

^ " ( - 1 8 6 ) ^[^1 = ~^^ ^^ ^"""^'^ '^[^l " " ^ " - ' • ^^-^^^

Nach Cayley-Hamilton gilt auch A[A] + 4(A[A])2 - {X[A])^ = A[F].

5.16 Anderung der Eigenwerte bei Anderung in der Koeffizientenmatrix

Angabe: Wie andern sich die Eigenwerte der Matrix F = f ^ ^ ] im Betriebspunkt /3 = —2 mit dem

Parameter (3? Losung: Aus det(sl - F) = s{s - /3) -\- 2 = 0 resultiert

P_^ IP'' o ^^i'2 1 ^ /3 dsi,2\ 1 . 2 . , , . . . . _ . . si,2 = • r i y - r - 2 -^ —-^ = -qp——= ^ -—^\ = - ± — = 0 , 5 ( 1 T j ) . (5.61)

2 V 4 dl3 2 ^ SI -2 ^P '-^^"^ 2 4j

Das Inkrement ist wie folgt anzuwenden

^ = - 2 : si,2 = - l ± j (5.62)

/3 = - 2 , l : si,2 = - l ± j + ^ | A^ = - l ± j + 0 , 5 ( l T J ) ( - 0 , l ) . (5.63)

5.17 Regelkreis mit Zustandsregler und I-Element

Angabe: Der Ausgang y der Regelstrecke nach y = Cx wird mit dem SoUwert yref verglichen und zur ZustandsgroBe xs aufintegriert. Zwischen xi, X2 bestehe die VektordifFerentialgleichung

(^:)=(-?..-0"(;)-(S)-" '="' also PT2s-Verhalten mit den Eigenwerten —l±jy/99. Wie wirkt ein Zustandsregler K = (81,l —7 2, 7) b e i C = (10 3)?

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128 5 Zustandsregelungen

Losung: Aus xs = pref — V = Vref — (lOa^i + 30:2) folgt fiir die Regelstrecke

/ 0 1 0 \ / 0 \ / 0 \ / O xz= I -100 - 2 0 x + 1 \u-\-\ 0 h / re / , wobei b = 1

\ - 1 0 - 3 0 / \ 0

Mit u = Kx ergibt sich fiir den Regelkreis

1 0

/ 0 \ / 0 1 0 \ / 0 \ x = (A + b K ) x + 0 h / r e / = - 18 ,9 - 9 2,7 x + 0 h / re /

V 1 y \ _ i o - 3 0 y V 1 y

und fiir seine Eigenwerte ein Dreifachwert bei —3.

5.18 Zustandsregler und Vorfilter

(5.65)

(5.66)

Vref V .0 "" -

+s B _^/^ ^J

- ^ c^

T<r j \

/

A

3 c iT ^

K

C y

Abbildung 5.3: Zustandsregelung

Angabe: Fiir die PT2-Strecke in Beobachtungsnormalform gemaB Abb. 5.3

ir-t). B = C = (0 1) , D = 0 (5.67)

werde ein Zustandsregler entworfen, der die Pole des geschlossenen Kreises auf Sci 1,2 = —2 verschiebt. Wie lautet der Zustandsregler K und das Vorfilter V? Losung:

x = (A + BK)x-HBu y = Cx K = - ( n ra)

Aus det(sl - A - BK) = (s + 2)^ folgt

det ( ' t f ^ ^ + ' 2 ' ) = ^ ' + ^(2 + 8-1) + 16ri + 4 + 8r2 = s^ + 4s + 4

(5.68)

(5.69)

und mit KoefRzientenvergleich 2 + 8ri = 4 -^ n = 0,25 sowie 16ri + 4 + 8r2 = 4 -^ r2 = - 0 , 5 oder K = (—0,25 0,5). Das Vorfilter der vorliegenden Eingrofienregelung erhalt man aus

- l = C(A + B K ) - i B = (0 l)(^ ^^ _^2 ) ' ( 0 ) ^ ^ - 0 , 5

5.19 Zustandsregler unter Polvorgabe

Angabe: Wie ist der Zustandsregler zu bemessen, der mit der Strecke

(5.70)

0 0

- 1

1 0

- 3

0 \

1 - 3 /

B = f° 0 1

C = ( l 0 0) D = 0 (5.71)

Page 131: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

5.20 Zustandsregler und sein Koppelplan 129

zu eine Regelkreis bildet, dessen Polstellen bei — 1,5 ± jO, 5 und —3 liegen? Losung:

/ 0 1 0 \ / 0 \ A + B K = 0 0 1 + 0 (fei fc2 fca)

V - 1 - 3 - 3 7 \ l j

( s -1 0 \ det(sl - A - B K ) = det 0 s - 1 \ = n{s)

\ l - f c i 3-fc2 s + S - f c s /

Das cheirakteristische Polynom n{s) des Regelkreises muss

(s + 1,5 - jO,5)(s + 1,5 + jO,5)(s + 3) = s^ + 6s^ + 11,5s + 7,5

(5.72)

(5.73)

(5.74)

lauten; der Koeffizientenvergleich ergibt A;i==—6,5; A:2 = —8,5; ^3 = —S.Das Vorfilter V findet sich aus —C(A + BK)~-^B F = 1 zu y = 7,5. Der Koppelplan des Reglers K{s) ist der Abb. 5.4 zu entnehmen.

Abbildung 5.4: Koppelplan des Reglers

5.20 Zustandsregler und sein Koppelplan

Angabe: Gegeben ist eine Regelstrecke nach Abb. 5.5. Die Zustandsraumdarstellung ist zu entwickeln, ^{t) und y(t) bei u(t) = a(t) zu berechnen und ein Zustandsregler mit Polvorgabe auf—2, —2 zu entwerfen. Losung: Die in dieser Struktur aufgenommenen Zustandsgrofien bedingen eine Zustandsraumdarstellung

D = (0)

und die zugehorige Transitionsmatrix

'-'' s^ + 2 s - l \ 1 s + 1 J

{_^_i)t / cosh\/2i v^sinhV^t

(5.75)

(5.76)

2N/2 2 / V 2\/2 2 (5.77)

Ein Zustandsregler, der diese Strecke derart regelt, dass die Pole der Regelung auf —2, —2 fallen, lautet

^ sinh V2t cosh \/2t

K = ( - l ; - 1 , 5 ) .

Das Vorfilter betragt V = 2. Die Sprungantwort der Regelung ergibt sich zu

y{t) = l - ( H - 2 i ) e - 2 * ^ > 0 ;

das Reglerschaltbild zeigt die Abb. 5.6.

(5.78)

(5.79)

Page 132: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

130 5 Zustandsregelungen

r

1 . u 1 J

1^^ L

J * 2 1

JL~~ s + 1 1 V + W

n

1 1 1 ' 2/ s 1 1

J

aji

Abbildung 5.5: Blockschaltbild der Regelstrecke

X2

Abbildung 5.6: Analogrechenschaltung des Zustandsreglers

5.21 Zustandsregler auf vorgegebene Sollwertsprungantwort

Angabe: Welcher Zustandsregler und welches VorElter bewirkt zur Strecke

eine Sollwertsprungantwort 1 — {1 + 2t)e ^*? Losung: Aus

T{s) = {s + 2r

(5.80)

(5.81) s{s + 2)2

folgt die Fiihrungsubertragungsfunktion T{s). Mit

y{s) = C(sl - A - BK)-''BYyref(s)

und dem Ansatz K = {ki k2) fiir den unbekannten Zustandsregler ergibt sich

det(5l - A - BK) = (s + 2)2 ^ K = ( -0 ,25 - 1 )

Aus T{s)\ = - C ( A + B K ) - i B y = 1 resultiert schliefilich ^ = 1. \s=0

5.22 * Symmetrische Mehrgrofienregelung im Zustandsraum

Angabe : Wie lautet die Zustandsraumdarstellung des geschlossenen MehrgroBenregelkreises nach dem Blockhild der Abb. 5.7 und bei

(5.82)

(5.83)

K(s) = l una G(.) = ^ ^ (5.84)

Bis zu welcher Verkopplung a ist das MehrgroBensystem stabil?

Page 133: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

5.22 * Symmetrische MehrgroBenregelung im Zustandsraum 131

K(s) 1 ^I

— •

G{s)

a

yref,2

H-K{s)

X4 G{s)

Abbildung 5.7: Symmetrische Mehrgrofienregelung

Losung: Fiir die beiden Teilstrecken mit je G{s) folgt zunachst

xi = 4x3 - 4J;I (5.85)

X2 = ^X4 — 4x2 • (5.86)

Schliefit man K{s) und die Eingangsmischglieder ein, dann gelten die beiden Zustandsgleichungen

xs =• —2xi — 2ax4 + 22/re/i

±4 = -1X2 - 2aX3 + 22/re/2 •

(5.87)

(5.88)

Zusammengestellt ergibt dies

. = ( ^ / ( / ^ " ' " ( n z i ) ^ (Regelstrecke: G(s)-Elemente und a-Elemente) (5.90) X = Ax + BU :

u = - 2 y + 2y^e/ = - 2 ( x + Du) + 2y^e/ (Regler)

(5.91)

(5.92)

{I ( X, \

X2

\X4 J

- \ Q o j ( u j + ( - 2 I - 2 D J ( U J - ^ ( O 21 j ( yref )

( -

21

- 4 0 A B 21 - 2 D

4 0 \

u y ^ ^ l ^ o 21 ; v y-«/ y '^" | - 2 o 0 -2a 0 - 2 -2a 0 /

und das charakteristische Polynom

5^ + 8s^ + (32 - 4a2)s2 + (64 - 32a2)s + 64(1 - a^) = 0 . (5.93)

Page 134: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

132 5 Zustandsregelungen

Dafiir gilt nach dem Routh-Kriterium die Stabilitatsbedingung positiver Polynomkoeffizienten nur bei \a\ < 1.

Die Ordnung des Mehrgrofiensystems ist zwar nicht hoher als die Summe der Ordnungen der Elemen-te, doch ist der „Vermischungsgrad" der Parameter, z.B. a, in der charakteristischen Gleichung grofier, was neben dem Auftreten vermehrter Nullstellen die difFerentielle Sensitivitat erhoht oder die Robustheit verschlechtert.

5.23 Nichtsteuerbarkeit und Nichtbeobachtbarkeit

Angabe: Die in den Abb. 5.8 bzw. 5.9 gezeigten Systeme sind auf Steuerbarkeit bzw. Beobachtbarkeit zu untersuchen.

u 1 5 + 2

1 i +

• "

1 s + 3

\ y^x2 Abbildung 5.8:

System

s + 4

s + 4

Xi

X2

Abbildung 5.9: Nichtbeobachtbares System

Losung: Zur Abb. 5.8 findet man sofort

1 Xi{s) -

5 + 2 U{s)

X2{S) = (1 + 1

s + 2 ' 5 + 3

1 ^.. . 5 + 3 1 1

5 + 2 5 + 3 5 + 2 U{s)

(5.94)

(5.95)

Beide Zustandsvariablen lassen sich in einem bestimmten Zeitintervall durch u(t) nur dann nach 0 steuern, wenn a;i(0) gleich 3:2(0) sein sollte, sonst aber nicht. Das System ist daher nicht vollstandig zustandssteu-erbar. Zu derselben Erkenntnis kommt man im Zustandsraum fiir das System der Abb. 5.8 mit

= (1J) - ( ; ) -=(:^)^ (5.96)

durch die lineare Abhangigkeit von b und A b ist nach Kalman die Steuerbarkeit ebenso zu verneinen. Aus y(t) in Abb. 5.9 hingegen kann auf die Anfangswerte a;i(0) und ^2(0) nicht einzeln riickgeschlossen

werden, gehen sie doch mit Riicksicht auf die identische Zeitkonstante —1/4 ihrer Systeme nur als Summe ein. Die Zustandsraumdarstellung liefert fiir die Abb. 5.9

= ( -4 0 0 - 4

c^ = (1 1) c^A = ( - 4 - 4 ) , (5.97)

also Hneare Abhangigkeit und somit Nichtbeobachtbarkeit.

Page 135: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

5.24 Polverschiebung und Polkompensation durch Zustandsregelung 133

5.24 Polverschiebung und Polkompensation durch Zustandsregelung

Angabe : Ein System in Zustandsraumdarstellung lautet

A = ( J J ) B = ( ^ : ^ ) C = (0 1) D = 0. (5.98)

Wo liegen die Polstellen dieses Systems? Wo liegt die NuUstelle dieses Systems? Gesucht ist jene Einzel-modusregelung, bei der der eine instabile Pol an den Ort der NuUstelle verschoben wird, sodass sich das Fuhrungsverhalten eines PTi-Elements ergibt. Wie lautet ein Zustandsregler und das VorRlter? Losung: Es folgt

G{s) = C{sl-A)-'B = -f^. (5.99)

Die Verschiebung des instabilen Pols bei +2 auf - 3 bewirkt ein Kiirzen der NuUstelle. Der Ansatz hiefiir lautet

d e t ( A I - A - B K ) = (A + 2)(A + 3) -^ K = f^ | ) ; (5.100) Mo 8/

letzteres durch Koeffizientenvergleich. Die zugehorige Fiihrungsubertragungsfunktion Ti (s) findet man aus

Ti{s) = C(sl - A - B K ) - i B = - H _ 1 _ . (5.101)

Mit einem Vorfilter F = — | resultiert schliefilich

1

5.25 Regelkreis in Zustandsraumdarstellung

Angabe : Eine Regelstrecke in Zustandsraumdarstellung besitze die KoefEzientenmatrix A. Welche Para­meter ai und a2 bewirken Eigenwerte von A bei —1 und —2? Welche Eigenwerte besitzt der geschlossene Regelkreis bei Vorgabe von B und K

- ( : . ; ' ) -{ii)---{-i-i) (5.103)

Losung: Aus

A - asA + ai = 0 = (A + 1)(A + 2) = A + 3A + 2 = 0 (5,104)

folgt

A=^l : J ) - d Ae,=A+BK=(:j :f^y

Wegen Xi2[Aci] = - 6 ± VS7 = 0,0828; -12,0828 ist der geschlossene Kreis instabil.

(5.105)

5.26 * Regelkreisentwurf bei Vorgabe von Polen und NuUstellen

Angabe : Wie sind fiir das System nach Abb. 5.10 und nach

^ = ( 5 I) ' ^'={l) ' ^'={o) ' ' ^ = ( 2) (5.106)

die Vektoren des ZustandsreglerskJ = (ri r2) und kj = (0 vs) zu wahlen, damit die Pole [und NuUstellen] des Regelkreises bei —3; —5 [und —4] liegen? Losung: Man erhalt

A.,=A-bikf-b2kr=(5_°^^ IZll) (5.107)

und

Tis) = c - ( . I - A . ) - b , = , ^ , ( ^ / _ ^ ^ ^ ) [ l - .3 + 2.] . (5.108)

Page 136: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

134 5 Zustandsregelungen

Vref f +

J

U2

]

bi

1 b2

k' L Kj •<

1 ^/-y ^ . t?^"V

1 1

j

/

1

A

X c^

y

Abbildung 5.10: Zustandsregelung mit Pol- und Nullstellenvorgabe

Die Nullstelle von T{s) aus [ ] = 0 bei s = - 4 fiihrt auf r^ = -7 , Die Polstellen von T{s) folgen aus

det(sl - Aci) = {s-hr2- 4)s - (1 - rs){b - n ) ! ^ s^ + 8s + 15 . (5.109) lr3=-7

Die Gleichsetzung liefert

r . = 12 n = ^ k f = ( ^ 12) k r = {0 - 7 ) . (5.110)

Der Regelkreis besitzt somit die resultierende Ubertragungsfunktion

2 s + 8 T{s) =

Ein passendes Vorfilter ware noch einzufiigen.

;s + 5)(s + 3) (5.111)

5.27 Zustandsregler und Sensitivitat

Angabe: Gegeben ist eine Regelstrecke mit Polen bei - 3 und - 1 . Fiir die Streckein Regelungsnormalform ist ein linearer Zustandsregler u = k-^x mit k- = — (ri r2) gesucht; und zwar derart, dass beide Pole des Regelkreises bei —5 liegen. Welters ist die inverse Riickfiihrdifferenz (Sensitivitat) 1/[1 -(- Fo{s)] = S(s) = a(s)/f{s) als Ortskurve fiir s = juj darzustellen, wobei a(s) bzw. f{s) die charakteristischen Polynome des offenen bzw. geschlossenen Kreises sind. Losung: Aus der Angabe folgt die Zustandsraumdarstellung mit

A - ( ^ ^ ^ - V - 3 - 4 b = a{s) = det(sl - A) = s^ + 4s + 3 (5.112)

1 • r i - 4 - r2

Das Ergebnis aus dem KoefRzientenvergleich lautet

k^ = ( -22 - 6)

/ ( s ) = det(sl - AcO = 5^ + 10s + 25 -> Sijcu) =

det(sI-Ac/) = s[s+(4+r2)] + 3 + r i = (s+5)(s+5) .

(5.113)

. _ f 0 1

(ct;2 4-6)2 + 39 .CJ(70 + 6CJ2)

(25+ c -+J - (25 + cc;2)2

(5.114)

(siehe Abb. 5.11).

(5.115)

Page 137: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

5.28 Matrixfunktion 135

f--5{iw) = ^

_L

-Ql ^A2

— - f (jj =

1 1

— —1 — 0^2+6)2

(25+ 0; 1

/^\^~

1 —1 —

— t- -+ 39 2\2 "^-^

- 7 1 0

— f- -- 4- -

1

- - ] x;(70 + 6a;2) (25 + a;2)2

5<J

' 2 o \

^ — A - -] - 5 0 - 1

1 1

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 10"' 10" 10'

Abbildung 5.11: 5(ja;)-0rtskurve (a) und S{juj) nach Betrag und Phase (b)

5.28 Matrixfunktion

Angabe: Zu der Systemmatrix und ihren Eigenwerten

A = ( _ ° 2 i ) A[A] = - l ; - 2

sind die Transitionsmatrix und deren Eigenwerte gesucht. Losung:

(5.116)

*W V -(.+2)(.+i) is+2)is+i) J \-2a-\-2b -a + 2b ) (5.117)

Die Eigenwerte der Transitionsmatrix lauten

A[*(i)] = A[e^*] = a; 6 , (5.118)

weil wegen B = / ( A ) auch A[B] = /(A[A]) fiir Funktionen / , die sich als Potenzreihe darstellen lassen.

5.29 Zustandsregler, Berechnung von Stellgrofie und Vorfilter

Angabe: Die Regelstrecke lautet in Zustandsraumdarstellung

(5.119)

der lineare Zustandsregler k^ = (—2 — 1) . Welches Vorfilter V wird fiir Stationargenauigkeit beziiglich Fiihrungsverhaltens benotigt und wie lautet die StellgroBe u{t) fiir Sollwert yref{t) =0,4t fiir t>0? Losung:

y{s) = c^(5l - A - BK)-^BVyref{s) (5.120)

c (A + Bk^)-iB = - l - (10)(_^4 - 2 ) ' ' ( 0 " " ^ " ^^^' ^^'^^^^

Gemafi u = k^x + Vyref folgt

u{s) = k'^(sI-A-Bk'^)-''BVyref{s) + Vyref{s) (5.122)

u{s) = 4(g2 + 5 + 2) 0,4 _ 4 | -1 s2- f2s + 4 = l[i^l^Th^] -^ -W = 0.8[*+V'-V3*].(5.123)

Page 138: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

0 0 0,4

1 0

- 2 , 6

0 \

1 - 3 , 2 ;

B = | ( °

° V 0,4

136 5 Zustandsregelungen

5.30 Zustandsregler zur Polverschiebung

Angabe: Welcher Zustandsregler verlegt die Regelkreispole nach —2, —2, —8 , wenn die Strecke

1 0,4 ^^^^ " ( l4-0 ,55) ( l + s)(l + 55) " 53+3,2s2 + 2,65 + 0,4 ^^'^^^^

lautet und in die Regelungsnormalform gebracht wird? Losung: Im Zustandsraum folgt

\ / n \ C = (0,4 0 0) K = -{ki k2 ks) (5.125)

0 1 ^ \ (A + B K ) = I 0 0 1 . (5.126)

- 0 , 4 - 0 , 4 A ; i -2 ,6-0 ,4A:2 - 3 , 2 - 0 , 4 f e /

Der Vergleich in den entsprechenden Koeffizienten der letzten Matrixzeile mit den KoefRzienten des gewiinschten charakteristischen Polynoms (s + 2)^(5 + 8) = s^ + 12s^ + 36s + 32 liefert

- 0 , 4 - 0 , 4 A ; i = - 3 2 -^ ki = 79 (5.127)

-2 ,6-0 ,4A;2 = - 3 6 -> ^ 2 = 8 3 , 5 (5.128)

- 3 , 2 - 0 , 4 / ^ 3 = - 1 2 ^ k3=22. (5.129)

5.31 * Eingeschrankter Zustandsregler und Polverschiebung

Angabe: Die Strecke ist durch

/ 0 1 0 \ / 0 \ A = 0 0 1 B = 0 (5.130)

V - 0 , 1 - 1 , 8 - 8 0 / V 1 /

gegehen. Welcher Zustandsregler u = {ki k2 0) x = K x kann die Pole des Regelkreises nach —a, —b und —c verlegen? Losung:

/ 0 1 M (A + B K ) = 0 0 1 (5.131)

\ -0 ,1- i fc i -1 ,8 -A;2 - 8 0 J

det(sl - A - B K ) = s^ + 80s2 + (1,8 + ^2)5 + (0,1 + ki) = (s + a){s + 6)(s + c) = (5.132)

= s^ -{-{a + b-\- c)s^ + {ah -\-ac + bc)s + abc . (5.133)

Aus dem KoefRzientenvergleich folgt

a-hb-^c = 80 (5.134)

ab-^ac + bc = 1,8 + A;2 (5.135)

abc = 0,1 + A;i . (5.136)

Es resultieren drei Gleichungen in ki und k2. Vorgaben in a, 6, c sind nur eingeschrankt moglich.

5.32 Analyse einer Zustandsregelung

Angabe: Wie verhaJt sich ein Zustandsregler K = — (2 2) fiir die Regelungsnormalform der Strecke mit

der Uhertragungsfunktion G{s) = ^ , ausgehend von einer bestimmten Anfangshedingung x^ = f J

und bei SoUwerteinheitssprung?

Page 139: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

5.33 Entwurf einer Abtastregelung mit Polvorgabe 137

Losung:

Acf = A + BK Tis) = 2 H- 25 + s2 si,2 = - i ± i

1

c#,

2;(s) = C*ez(s)x+ + C^ai{s)Bu{s) u{s) = o

2

7 -1 4s-f-8 + 4 + 4 1 3 s + 10 1 3(s + l)

(5.137)

(5.138)

(5.139)

(5.140)

(5.141)

(5.142)

(5.143)

s2 + 2s + 2 s s2 + 2s + 2 s (5 + 1)2 + 1 (s +1)2 + 1

y{t) = l-\- 3e~* COS i + 7e~* sin t .

5.33 Entwurf einer Abtastregelung mit Polvorgabe

Angabe: Man analysiere die Regelung nach Abb. 5.12 mit der Abtastzeit T = 0,5 und bei einer Schleife Fo{s) = y / [ s ( l + sTi)]. Wie ist V und Ti zu wahlen, damit die Regelkreispole in der z-Ebene a) bei 0,5 ; 0,5, b) bei 0,5 ; 1 oder c) bei 0,1 ; 0,9. liegen? Sind alle Angaben betrieblich zweckmaBig?

y re fit) Fois)

y{t)

Abbildung 5.12: Abtastregelung

Losung: Durch Anwendung der 2;-Transformation findet man

{z-l)(z-e-^)

mit dem charakteristischen Polynom

V{l-e-^)z 1 + Fo{z) y ( i _ g - ^ ) ^ + ( _ i)(^ _ e "^ )

z^-z(l + e 1 - y + Fe ^ i ) + e ^^ = {z - zi){z - Z2) .

(5.144)

(5.145)

^i .= ^ 2 = 0 , 5 : e - ^ =;^ iZ2=0,52 -> ~ = 1,39 - . r i = : ^ = 0 , 3 6 (5.146)

b)

l-\-e~'^ -V + Ve~^ =zi+Z2 = l -^ 1 + 0,25 - (1 - 0,25)F == 1 -^ F = 0,33 . (5.147)

;2i + Z2 = l ; ^ i ^ 2 = 0 , 5 : ; ^ = - l n ( ^ i ^ 2 ) = 0 , 6 9 -> T i - - ^ = 0,72 (5.148) ix u, oy

l + e ~ ^ - ( l - e ~ ^ ) y = 1,5 ^ V = 0.

Zufolge V = 0 lasst diese Angabe b) keinen zweckmafiigen Betrieb einer Regelung erwarten. c)

-i^^^-.-'

(5.149)

z i + Z 2 - l ; ^ i ^ 2 = 0 , 0 9 : ^ = - I n 0,09 = 2,41 ^ r i = ; ^ = 0,208 (5.150) i i 2,41

(5.151)

Page 140: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

138 5 Zustandsregelungen

5.34 * Entwurf eines Zustandsreglers durch Polvorgabe bei verschiedenen Streckendarstellungen

Angabe: Gegehen ist die Strecke einmal in Regelungsnormalform mit der letzten Zeile der A-Matrix von der Form (—flo — ^i — < 2) und in einer anderen Angabe nach Abh. 5.13. Die Polstellen des Regelkreises sollen bei Ai, A2, A3 liegen, wobei das charakteristische Polynom und der Zustandsregler mit

(s - Xi){s - X2){s - X3) = s^ + P2s'^-\-Pis + po u = 'k^x k^ = {ki k2 k^)

benannt werden. Losung: Fiir Regelungsnormalform folgt

(5.152)

det[5l - (A + bk^)] = s^ + P2S^ + Pis + Po , (5.153)

der Zustandsregler zu

^1 = -Po + tto , h = -Pi + fli , ks = -p2 + a2 . (5.154)

Fiir Kettenschaltungs-Normalform erhalt man entsprechend Abb. 5.13 die Zustandsraumdarstellung

(5.155)

Nach entsprechender Wiederholung aller drei in Kette liegenden Elemente resultiert

X2 , V2 X2 = - ; 7 r ^ 2 + ; ^ a : i

•L2 J-2

( - l / T i 0 0 \ / Fi /Ti A = V2IT2 - I / T 2 0 b = 0

V 0 V 3 0 / V 0

Die Vorgabe der Regelkreispole entsprechend Gl.(5.152) fuhrt auf

, P2T1T2 -T1-T2 , piTiTi-p2TiT2-^Ti kl = 7777; K2 = V1T2 V1V2T2

ks = -P0T1T2

Fi 1 21 3

(5.156)

(5.157)

Strecke

c

n ">)

F1 I —

r

l + sTi

.

-1 A;i H

J it-o L

-i Jt-o L 1 ^ P

1 XX

n

V2

1 + 5^2

1 X2

1 Regler

! Yi 1 s

1

- 1 ^3 = 2/

1 1

L J

Abbildung 5.13: Regelkreis mit Zustandsregler

Page 141: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

5.35 Zustandsraumdarstellung zu gegehener Streckeniibertragungsfunktion 139

5.35 Zustandsraumdarstel lung zu gegebener Streckeniibertragungsfunktion

Angabe: Wie sieht die Zustandsraumdarstellung zu G{s) aus, die den Zustandsreglerentwurfvorbereitet? Die Streckeniibertragungsfunktion lautet

^^'^ = F ( i y = (l + 0 , 5 s ) ( l + . ) ( ! + 5 . ) • ^^-^^^^

Losung: Die Variante in Regelungsnormalform folgt den Definitionen x = (a:i X2 xs)'^ , ^ 2 = 2^1, ^3 =

X2 , Ci = 0,4 (damit der Nenner von G ein monisches Polynom wird). Daraus resultiert

/ 0 1 0 \ A = 0 0 1 b = ( 0 | C = - ( 0 , 4 0 0 ) . (5.159)

V - 0 , 4 - 2 , 6 - 3 , 2 /

Die Variante mit Kettenstruktur verwendet andere Zustandsvariablen und mit ihnen die Darstellung

C/ = X i ( l + 0,5s) -> xi=2u-2xi (5.160)

X i = X 2 ( l + s) -> a : 2 - a : i - : c 2 (5.161)

X2 = X3(l + 5s) ^ a:3 = 0,2a;2 - 0,2a;3 • (5.162)

Daraus folgt unmittelbar die Zustandsraumdarstellung

/ - 2 0 0 \ / 2 \ A = l - 1 0 b = 0 C = (0 0 1 ) . (5.163)

V 0 0,2 -0,2 / V 0 /

5.36 * Dimensionierung einer Positions-Zustandsregelung

Angabe: Man dimensioniere einen Zustandsregler mit Ki, K2 und V in Abb. 5.14 fiir ein Fuhrungsverhalten von yref nach ipn mit D — -j= und UN = 10 rad/sek, wobei Ko — 5 und Tmech = 0,2 gegeben sind. Die GroBe Un ist die der Drehzahl als Signal entsprechende Kreisfrequenz, hingegen ist uj\[ ein Parameter, der die Schwingungskreisfrequenz des ungedampft angenommenen PT2s-Elements bedeutet.

Losung: Aus der Abb. 5.14 folgt mit x = (^^) = (J^") und (pn = uJn

{uKo-Un)— =UJn ^ (^n = Tf {uKo - Un) (5.164)

und welters

-(-'p;)=("S).B=(--t-)=o.c=<.. . (5.165)

Mit K = (Ki K2) und x = (A + B K ) x + BVyref erhalt man

(si - A - BK)x(s) = BVYref{s) ^ V~^ "" ^ ( ^ ^ ~^~ B K ) - ^ B y = T{s) . (5.166)

Nach Zwischenrechnungen ergibt sich T{s) und aus dem Vergleich des Nennerpolynoms

^(^^ = S^ + S{6-\7K,)-25K, '" + '^'^-^ + - ^ = « + ^(5 - 25i^0 - 25K, (5.167)

uj% = 10'^ =-25K2 -> K2 = -4:; 2DUN = 2^10 = 5 - 25Ki ^ Ki = - 0 , 3 7 . (5.168) V2

Aus der Abb. 5.14 kann direkt auf den Stationarzustand geschlossen werden, indem ujn = 0 gelten muss; aus der Gleichsetzung yrefV + K2^n = 0 folgt bei (pn = Vref der Ausdruck V = —K2 = 4.

Page 142: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

140 5 Zustandsregelungen

H

2/ref

H

V tr^ r

•1

r \\ \ •

1

Ko h /

i r-^

1 Stellmotor

\}z

/ V

It

r Zustandsregler mit Vorfilter

i^l

K2

— 1

- - • 1

^ )

\

^

1

1

s i mech 1 i "

^) imech ^ UjZSek

. 1, LU ~l

^ n

* 1

1 J

Abbildung 5.14: Positions-Zustandsregelung

5.37 * KontroUe der Transitionsmatrix

Angabe: Man kontrolliere die Transitionsmatrix * ( t ) mit der Spur von A.

Losung: Einerseits gilt Ajfe^^] = e^^^-^\ andererseits

det < = J J Xi[^] und tr A = ^ A^A] . (5.169)

Daher ergibt sich

det * W = det e^t = JJ X^e^^] = l[e^MM=ei ^ e 2^ ^'^^^ ^ , ,i t rA (5.170)

Die Gleichung det * {t) = e ist eine Kontrollmoglichkeit fiir die abgeschlossene Berechnung der Tran­sitionsmatrix ^ ( i ) ; obwohl d e t * ( i ) oft kompliziert zu berechnen, besitzt doch tr A zumeist einen sehr einfachen Wert. Die Formel Gl.(5.170) bleibt analytisch wie numerisch fiir einzelne ^-Werte nur eine not-wendige Bedingung.

5.38 Zustandsraumdarstellung aus der Ubertragungsfunktion

Angabe: Fiir die Strecke

G{s) = 4s^ + s + l _ Y{s) 2*3 + s + 2 ~ U{s)

(5.171)

ist die Zustandsraumdarstellung in Regelungs- und Beobachternormalform anzugeben. Losung:

/ 0 1 0 \ / 0 \ RNF A = 0 0 1 , B - 0 , C = (0,5 0,5 2), D = (0)

V -1 -0,5 0 \l (5.172)

0 0 - 1 \ / 0 '^ \ BNF A = I 1 0 - 0 , 5 , B = 0,5 , C = (0 0 1), D = (0) .

0 1 0 / V 2 / (5.173)

Man beachte die zueinander transponierten Matrizen A bzw. vertauschten Rollen von B ^ und C.

Page 143: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

5.39 Ubertragungsfunktion aus der Zustandsraumdarstellung 141

5.39 Ubertragungsfunktion aus der Zustandsraumdarstellung

Angabe: Welche Ubertragungsfunktion gehort zu der Zustandsraumangabe

C = (0 1 0), D = : 2 :

V 1 J

Losung: Die Ubertragungsfunktion lautet

253 _ 9s2 + 29s - 38 _ Y{s)_

U{s) •

3 1

- 4

- 3 1 2

M 1 1 /

, B = (°

1 1

G{s) =

(5.174)

(5.175) s3 _ 5^2 + 16s - 24

Das System ist instabil, weil die Nennerkoeffizienten verschiedene Vorzeichen aufweisen.

5.40 Ubertragungsfunktion und Zustandsraumdarstellung aus dem gegebenen Koppelplan

Angabe: Der Koppelplan ist in Abb. 5.15 gegeben. Wie lauten Ubertragungsfunktion und Zustandsraum­darstellung? Losung: Die Ubertragungsfunktion findet man zu

G'(s) = - 2 + -30 _ -2s=^-0 ,6s + 10

s 2 + 0 , 3 s + 10 ~ s 2 + 0 , 3 s + 10

Das System ist stabil. Regelungs- und Beobachtungsnormalform lauten

RNF

(5.176)

A = ( _\Q _ J 3 ) , ^ = ( ! ) ' C = (30 0), D = (-2) (5.177)

BNF A = ( ^ J "^^^^3), B=(^^^y C = (0 1), D = (-2). (5.178)

Abbildung 5.15: Koppelplan zu Gl.(5.176)

5.41 * Zustandsregler mit Integrator, Stabilitatsbereich

Angabe: Gegeben ist der Regelkreis nach Abb. 5.16 und darin der Regler K ' = (80 : — 7 : — k'^) fiir die Streckendarstellung in Regelungsnormalform. In welchem Bereich von k'^ ist die Regelung stabil? Wie lautet die Fiihrungsiibertragungsfunktion T{s)? Losung: Man erhalt zunachst aus Abb. 5.16 fiir die Strecke G(s) allein

A-( ' M \ -100 -2 J ' B = C = (10 3) , D = 0 (5.179)

Page 144: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

142 5 Zustandsregelungen

und mit Erweiterung X3 = J^ e(t)dt oder X3 = yref — Cx

/ 0 1 0 \ / 0 erweitertes A = A' = -100 - 2 0 , B ' = 1

\ - 1 0 - 3 0 / V 0 C' = (10 3 0)

Das charakteristische Polynom des Regelkreises

det(5l - A' - B 'K') =s^ + 9s^ + s(20 - Sk'^) - lOk'^

ist nach dem Routh-Kriterium fiir k'^ < 0 stabil. Welters gilt

-A;^(35-f 10) T{s) =

gs + 952 + (20 - Sk'^)s - lOk'^

(5.180)

(5.181)

(5.182)

Vref Q G{s) = 3g + 10

52 + 2s + 100

K '

X in RNF

njy^^ Abbildung 5.16: Regelkreis

mit Zustandsregler und Integrator

5.42 * Zustandsregler mit Integrator

Angabe: Die Regelstrecke liege in Abb. 5.17 vor. Ein Zustandsregler mit Integrator und ein Vorfilter sind zu analysieren. Fiir den gegebenen Koppelplan eines Beobachters aus Abb. 5.19 sind die Matrizendaten zu ermitteln. In welcher Normalform liefert er die ZustandsgroBen? Die Anordnung des Zustandsreglers erfolgt nach der Abb. 5.18 und zwar nach der Angabe K' = (—3 7,5 — 8) .

u{t) +^

\ • ^

tL 2

7TT 1 Mt) ^

r^Y^ ( >

1

s

\X2 it)=y(t) Abbildung 5.17

Blockbild der Regelstrecke

Losung: Fiir die Regelstrecke ohne Integrator ergibt sich aus 3:1(5) = -^[u{s) + X2{s)] und ferner im

Bildbereich ^2(5) = j[xi(s) — X2{s)]

(•* i , ) ' « = (o ) ' ^"""^ Mit Integrator resultiert

/ - 1 2 0 A' = 1 - 1 0

V 0 - 1 0 B . i ( ? ) . ^ . j , B . i ( B ;

r M = x' = A 'x ' + B"yref -f B'K'x' .

(5.183)

(5.184)

(5.185)

Page 145: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

5.42 * Zustandsregler mit Integrator 143

y refit) Ujt) I

Regelstrecke

s + 1

0 1 (t)

K'

X3{t)

I ^2W=2/W

I

•o

Abbildung 5.18: Regelung und Zustandsregler

Die Gleichung enthalt bereits die Beziehungen aus Abb. 5.18 eingearbeitet, namlich xs = —X2 + yref und u = Vyref + K 'x ' . Das neue C betragt C' = (0 1 0). Die charakteristische Gleichung des Regelkreises lautet

f s + 7 13 - 1 6 \ det(sl - A ' - B 'K ' ) = det - 1 s + 1 0 = s^ + 8s + 20s + 16 = (s H-2)^(5 + 4) . (5.186)

V 0 1 s

Die Fuhrungsiibertragungsfunktion T{s) folgt zu

T{s) = C'isI -A' - B'K')-^B'' = 2Vs + 16

(s + 2)(s + 4) (5.187)

Die Vorfilterverstarkung V muss zu F = 4 gewahlt werden, wenn die Nullstelle eine Polstelle bei - 2 kompensieren soil. Der Zustandsregler K ' braucht nicht verandert zu werden.

Abbildung 5.19: Beobachter

Fiir den Beobachter folgt

G^, = ( : 1 . (5.188)

Die Beobachterpole befinden sich als Doppelpol bei —3. Der Beobachter liegt in Beobachtungsnormalform

Page 146: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

144 5 Zustandsregelungen

5.43 Zustandsregelung in Potenzreihenentwicklung

Angabe: Eine Regelstrecke gehorcht der Zustandsraum-DifFerentialgleichung

Ein linearer Zustandsregler u{t) = {1 2)x{t) kommt zum Einsatz. Man ermittle ^ci{t) des geschlossenen Regelkreises durch Reihenentwicklung von Ad. Wie lautet y{t), wenn x{0'^) = (J) ? Losung:

K = ( l 2 ) , A , , = A + B K = ( / \yA%==(^^^ 2 ) ^ Ki = [ ^^ ^^) usw. (5.190)

^ci = e^^'* = I + Acit + ^ t ^ + . . . (5.191)

y{t) = C*,KOx(0+) - (3 0)*e/(t)x(0+) = S^ciMt) = I - t-^t^-^t^-^ ^t^ --^ ... . (5.192)

5.44 Stabilitat einer Zustandsregelung

Angabe: Eine ZweigroBen-Regelstrecke mit der Zustandsraumdarstellung

/ - 1 0 0 A = 0 - 3 0

V 0 0 - 1 0 ) , B = ( S ; ) , c . ( ; ; ; ) , o . ( - )

wird mit dem Regler u = jref + Ky y geregelt, wobei die Reglermatrix mit Ky = I n _9

ist. Wie lauten die Eigenwerte des Regelkreises? 1st das geschlossene System stabil? Losung: Man wendet Ad = A + BKyC an. Damit folgt

! + l 0 0 s I - A c z = | 2 s + 3 2 I ^ d e t ( s I - A c / ) = (5 + l ) ( s2-h l5s + 34) . (5.193)

3 1 s + 12

Die drei Eigenwerte lauten - 1 ; - 7 , 5 d= 0,5\/89. Der Regelkreis ist stabil.

5.45 * DifFerenzierung als Schaltungskombination im Zustandsraum

Angabe: Der Ausgang eines Systems mit der Ubertragungsmatrix G(s) wird nach t differenziert. Wie lautet die Zustandsraumdarstellung von sG{s) unter Verwendung jener von G{s) bei T> = 0? Losung: Man erhalt

sG(s) = 5 C * ( s ) B = C s * ( s ) B = C[^{t = 0) + £ { ^ * ( t ) } ] B = C[e^^ -\- £ { ^ e ^ * } ] B (5.194)

= C[I + £{AeA^}]B = C B + C A * ( s ) B = Cd*d(s)Bd + Dd . (5.195)

Dann ist Ad = A; Brf - B ; C^ - C A ; D^ = C B (5.196)

Oder unter Verwendung reeller Matrizenquadrupel

B '=«='[411-1 = l-^+^] = [4fS-l' <-") letzteres well A^{t) == *(^)A, d.h. der Sonderfall vorliegt, dass A und $( t ) kommutativ sind.

Page 147: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

5.46 Einfache Riickfuhrung als Schaltungskombination 145

5.46 Einfache Riickfiihrung als Schaltungskombination

Angabe: Welche Zustandsraumformulierung fiir Gi(s) folgt nach Abb. 5.20 bei D = 0? Losung: Da Gi(s) = [I — G(s)]~^ und die Identitat

gilt, folgt

[I - C(5l - A)-^B] = C[sl - (A + B C ) ] - i B -h I

A i = A + BC; B i = B ; Ci = C; Di = I .

(5.198)

(5.199)

Abbildung 5.20: Einheitsvorwartszweig mit G(s) in der Riickfiihrung

5.47 * Unbest immte Form 5 -> 0 gegen Inverse der entar te ten Systemmatrix

Angabe: Auf der Basis G{s) = c^(sl — A)~^b + d ist die Sprung- und Impulsantwort in zeitlichen Grenzlagen zu berechnen.

Die Sprungantwort fiir t —^ 0 lautet nach dem Anfangswerttheorem

Mm hit) = lim s-G(s) = d ; <->0 s-^oo S

die Sprungantwort t -> oo, bei A~^ existent, nach dem Endwerttheorem

lim h(t) = lim s-G(s) = c^A"^b + d ;

(5.200)

(5.201)

die Impulsantwort

fiir * -> 0 lim g(t) = lim sG(s) = c^b + lim sd = c^b + c? lim s ; (5.202) t-40 S-400 S-^OO S-^OO

fiir t -^ oo schheBUch lim g{t) = lim 5c^(5l — A)""^b -\- ds = 0 bei A~^ existent (endUch) . (5.203)

Die Impulsantwort ist aber auch fiir t -> oo bei singularem A sinnvoU. Enthalt namlich G{s) einen Integrator, so strebt die Impulsantwort g{t) fiir t ^ oo gegen einen endlichen Wert. Jedoch ist in diesem Fall A~^ nicht existent, da die letzte Zeile in A eine NuUzeile ist. Losungsweg 1: Wird A und x partitioniert, und zwar auf A^ und x^ reduziert, namlich

y = C^Xr + CnXn + d U ,

(5.204)

(5.205)

(5.206)

so ist fiir endliche Impulsantwort der Wert d = 0 Voraussetzung. Mit u{t) = S{t) resultiert Xn = bncr{t) und C{xn{t)} = Xn = ^' Aus der ersten Gleichungszeile folgt bei 0:^(0) — 0

sXy. = Ar'X.r + a h hrU s

(si — A^)Xy. = 6„a—h hrU s

s'Kr = bn{sl — Ar)~^a.-\- s{sl — Ar)~^hrU

lim sX^ = —bnA~^SL= lim Xrit) . s->0 t-^oo

(5.207)

(5.208)

(5.209)

(5.210)

Page 148: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

146 5 Zustandsregelungen

Aus Gl.(5.206) findet man schliefilich

r,Tt_h A - i lim y(t) = ci.'{-bnA^ ^a) + Cnbn(j{t)\ = -bnC^A^ ^a + Cnbn .

Die partitionierte Zustandsraumdarstellung ist auch

G{s) = A

c^

b •

0 = 0^ o"

T C Cfi 0

(5.211)

(5.212)

zu entnehmen. Losungsweg 2: Eine Alternativlosung mit vorgeschaltetem Integratorsystem hj und nachgeschaltetem Zweigrofiensystem gj folgt bei u{t) = S{t) nach Abb.5.21

wobei

Y(s) = gjhi U{s) und 9{t) = C-'{gJhi} ,

-r={:j ^^=(i) ^r Ar b;. a

0 Cn

(5.213)

(5.214)

«(«)

d{t) Ms)

Mt) sTis)

yit)

9{t)

Abbildung 5.21: Zerlegung zum Losungsweg 2 mittels vorgeschalteten Integrators

G{s) = gJ{s)hiis)=[cJ{sI-Ar)-\hr a) + (0 c„)] ( ^ ) (5.215)

lim git) = Mm sG{s) = Mm \cj(si-Ar)~^{hr a) f * ") + (0 c„) f * ) 1 = (5.216) ;->oo s->0 s^O I \ "n / \ On y J

= -cjA^^abn + Cnbn •

Die Anwendung auf ein Zahlenbeispiel zeigt

50(s + 0,2)

(5.217)

G{s) = s{s 4- 5)

" - 5 1 0 0 1 0

50 • 10

0 ^ lim g{t) = - 1 0 • 1 • 7 -— • 1 + 0 • 10 = 2 . (5.218)

t-^oo (~5)

5.48 Spezielle Zustandsraumdarstellungen

Angabe : Gegehen ist die Strecke G{s) = g , ff, ^s. Wie lauten Regelungs- und Beobachtungsnormalform (RNF und BNF) sowie jene spezielle modale Zustandsraumdarstellung, bei der sich bei Sprung in der StellgroBe eine modale Komponente x^^{t)\t=i zu eins ergibt? Losung: Man erhalt stets D = 0 und

RNF

BNF

A = ( i _ • , ) B = ( ; ) C = < 3 « 0 ,

und wegen

£ - M - - T ^ } = 0 , 5 ( 1 - 6 - 2 % I ^ 1 ^ 6, = 2 , 3 1 3 s s -\- 2 \t=i

A = ( - ' %) B=[lll^) C=(12,97 -9,50).

(5.219)

(5.220)

(5.221)

(5.222)

Page 149: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

5.49 Zustandsraumdarstellung in Tabellenform 147

5.49 Zustandsraumdarstel lung in Tabellenform

Angabe: Gegeben ist das MehrgroBensystem mit drei Ein- und drei Ausgangen und von der Ordnung eins

2/1 \

2/2

2/3 /

u{s)^{ \

f Ui

U2

\ Us y{s)

Wie sieht die Zustandsraumdarstellung aus? Losung: Verwendet man

5 + 1

- 1 1

1 " 0

dann sind die Zustandsraumgleichungen

x = X = Ax + BiUi 4- B2U2 + B3U3 yi = Cix + Dnui + D12U2 + Dizus ?/2 = C2X + D21U1 + D22U2 + D23U3 2/3 = C3X + D31U1 + D32U2 + D33U3

Fiir eine andere Angabe gilt

G{s) = y{s) = G(s)u(5) . (5.223)

s

' 0 1 ^ 1 0

G(s)

und ' 0

0 0 " a

Oder G(s) X

2/1 2/2

. 2/3

X

pT" 1 0 0

Ui

1 0 0 0

U2

0 0 1 0

U3

0 0 0 ^

a

0 0

0 0 \ f 0 U 0 7 /

X

yi 2/2

. 2/3

X

ro" 0 1 0

Wl

0 Q

0 0

W2

13 0 0 0

W3

0 0 0 7 .

(5.224)

(5.225)

(5.226)

5.50 * Zustandsraumdarstel lung der Kettenschaltung zweier Mehrgrofiensysteme

Angabe: Wie sieht die Zustandsraumdarstellung zweier in Kette liegender Systeme Gi and G2 aus? Losung: Durch Gleichsetzung erhalt man

Gi(5)G2(5) = [ C i ( s I - A i ) - i B i + D i ] x [ C 2 ( s I - A 2 ) - ^ B 2 + D 2 ] = (5.227)

= G(5) = [ C ( s I - A ) - ^ B + D] , (5.228)

durch Partitionierung von A und unter Anwendung des Inversionslemmas fiir partitionierte Matrizen (z.B. nach Weinmann, A., 1991, C.4-2)

\ ^ 1 [ Ci

Bi 1

D i J [ A2 [ C2

B2 ' D2 J =

A2 B1C2

0 Ai

D1C2 C i

B2 B1D2 D1D2

(5.229)

5.51 Transienten in der Phasenebene

/ O - 1 V «1 «2

sind die Angabe: Fiir die Matrix A der Zustandsraumdarstellung einer Regelstrecke A •

Parameter ai und 02 so zu wahlen, dass die Eigenwerte der Regelkreismatrix bei —1 und —2 liegen. Ferner gelte fiir die Ausgangs- und Reglermatrix

'-{0 2 ) ' ^ = - ( 3 2

3 4 (5.230)

Welche Dynamik besitzt der Regelkreis? Wie reagiert die sich ergebende Regelstrecke allein aufeine Sprung-

anregung u = a{t) bei x(0"*") = I ^ ) , wie sieht die Trajektorie in der Phasenebene aus?

Page 150: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

148 5 Zustandsregelungen

Losung: Es folgt

det{sI-A) = s'^-a2S + ai = (5 + l)(s + 2) ^ a2 =-3 , ai = 2 ^ A

Der Regelkreis verhalt sich nach

( . I - A - B K ) = ( ^ t ' . + 11 )

mit den Eigenwerten si,2 = 0,0827; -12 ,083. Fiir die Trajektorie findet man

<r-i) (5.231)

(5.232)

x(s) = (sI-A)-»[x(0+)+Bu] ^ (sl-A)-i = - ^ _ i _ ^ ( ^ + 3 ^1^ (5.233)

"(^)=. +L+2( ' - 2 ; r ' ) A f Xi{s)

X2is) X2{t) = 1 - 4e-^-\-Se-^^ t>0.

Diese zeitlichen Verlaufe sind in Abb. 5.22 gezeigt, die Trajektorie in Abb. 5.23. (5.234)

Abbildung 5.22: Zustandsvariable xi{t) und X2{t)

[ Anfang

Abbildung 5.23: Trajektorie xi iiber X2

5.52 Bewegungen in der Phasenebene

/ cos f sin / \ Angabe: Wie sieht bei ^ ( i ) = e~M . I die Trajektorie in der Phasenebene aus, die von

\ bin V cos o j einem Punkt „ohne Auslenkung, aber endlicher Auslenkungsgeschwindigkeit ao" ausgeht? Wie sieht die KoefRzientenmatrix A aus?

Page 151: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

5.53 * Ausgangs-Zustandsregler-Vektor mit Leverrier-Algorithmus 149

Losung: Nach

s + 1 1 {s + ly +1 ( J T i p T i

d s + l * -'w=(^t^ . ; \ ) - ^ - ^ (5.235)

(s + l f T l (s 4-1)^ + 1

erhalt man A = ( _^ _^ j . Daraus folgt der Zustandsvektor x(i) = $ ( t ) ( J == floC"* (

und als Trajektorie eine Spirale vom Anfangspunkt UQ auf der Ordinatenachse X2.

5.53 * Ausgangs-Zustandsregler-Vektor mit Leverrier-Algorithmus

Angabe: Im Regelkreis soil sich far die StellgroBe u{s) = ^^Vref ergeben, wobeip{s) undq{s) vorgegebene Polynome sind. Wie erhalt man den Zustandsvektor des Ausgangsreglers, wenn dabei die Inverse von sin—A umgangen wird. Man verwendedazu den Leverrier-Algorithmus (Ackermann, J., Band 1, GL2.6.15) mit einem Ansatz der Inversen und einem detaillierten KoefRzientenvergleich. Demnach

{sin -A)-' ^ D„

qo + ...qn-is''~^ -\-s"'

-f . . . Dp A D(s)

qis)

D n - i = In niit Qn-i = - t r [ A D n - i ]

Dn_2 = ADn-1 + Qn-lln = A -{• Qn-lln Ulit qn-2 = -^r[ADn-2] /2

Dn-3 = ADn-2 + gn-2ln = A^ + ^n-l A + qn-2ln

(5.236)

(5.237)

(5.238)

(5.239)

Do = AT>i-h qiln = A''-'^ + qn-iA"^'^-\-... + qiln mit qo =-tr[AI)o]/n . (5.240)

Zur KontroUe dient nach Cayley-Hamilton

D_i = ADo + qoln = A^ + gn-i A^"^ + . . . + ^oln = 0 .

Aus Gl.(5.236) folgt

D(5)b = D n - i b 5 " - ^ + . . . Dob - WLSU-I .

Die Ubertragungsfunktion der (nicht sprungfahigen) Regelstrecke lautet dann

CD(5)b G'(s) = C ( 5 l - A ) - ^ b =

WL ist regular, wenn (A, b) steuerbar ist (Kalman-Bedingung)

WL = (A"-^b : A^-^b : . . . : b)

Oder WL = (Dpb ! D i b i . . . i D n - i b )

\ qi 92 . . . Qn-l 1 /

/ 1 0 0 Qn-l 1

Q

(5.241)

(5.242)

(5.243)

(5.244)

(5.245)

Losung: Mit den Definitionen s^ = (1 s ... s")"^, x(s) = (si — A) ^hu{s) , y = Cx findet man

q{s) = qo + ... + s"" = (q^ l)sn = det(sl - A) (Regelstrecke) (5.246)

p{s) = po + ... + s« = (p^ l)sn = det(sl - A - b k ^ C ) (Regelkreis) (5.247)

u{s) = u = k ^ y + Vref = k^Cx(s) + Vrefis) = k^C(s I - A)-^hu{s) + Vrefis) (5.248)

u{s) = [l-k^C{sl-A)-'^h]-^yref{s) . (5.249)

Page 152: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

150 5 Zustandsregelungen

Unter Verwendung des Leverrier-Algorithmus, Gl.(5.236) bis Gl.(5.240), folgt

. T r . D ( 5 ) ,

u(s) = Qis) -Vrefis)

g(s ) -k^CD(s)b '

p{s) = q(s)-]JCI)is)h = qis)-]JCWLSn-i

(p^ ; 1)S„ = (q^ ; l)Sn - k'^CWLSn-1

p ^ = q ^ - k ^ C W i k = ( C W ^ ) - ^ ( q - p )

(5.250)

(5.251)

(5.252)

(5.253)

(5.254)

Um Verwechslungen zu vermeiden: poly (A) berechnet einen Vektor der KoefRzienten des charakteri-stischen Polynoms det(sl — A) nach fallenden Potenzen. Jedoch: p und q sind Vektoren von KoefRzienten des charakteristischen Polynoms (nach steigenden Potenzen in Gl.(5.246) und (5.247) definiert, ohne den Koeffizienten 1 bei s^).

Der MATLB-Code flir die Berechnung des Reglervektors (fiir C = I) lautet

A=rand(4,4); b= [2 .4 , 5 . 2 , 3 . 1 , 4 ] ' ; */. Angaben, Vorgabepole b e i - 1 , - 2 , - 3 , - 4 n=4; D=eye(n); WL=b; */, S t a r twe r t q=-trace(A*D) for uu=2:n '/, uu bedeutet n-uu als Index von D

D=A*D+q(uu-l)*eye(n); q(uu)=-trace(A*D)/uu; WL=[D*b WL]; end D_l=A*D+q(n)*eye(n) 7, D mit Index -1 a l s Kont ro l le

qu=poly(A); J=ze ros (n+ l , n+ l ) ; fo r i i = l : n + l ; J ( i i , n + 2 - i i ) = l ; end qo=J*qu'; rowO=[l z e r o s ( l , n - l ) ] ; row=rowO; Q=rowO; '/, S t a r twe r t e for u u = l : n - l ; row=[qu(uu+l) row]; row=row([1] ,1 :n) ; Q=[Q; row]; end

M=b; fo r k k = l : n - l ; M=[A^kk *b, M]; end WL= M*Q

p=poly(diag([-l, -2, -3, -4]))*J; */, gespiegelter Koeffzientenvektor po=p([l] ,l:n) '; */, Ausscheiden des Koeffizienten 1 k=(qo(l:4,[l])'-poO*inv(WL) */. Ergebnis K=-place(A,b,[-l, -2, -3, -4]) % Kontrolle mit MATLAB "place"

5.54 Vermeidung einer Inversen

Angabe: Fiir ein EingroBensystem soil eine spezielle Determinantenbeziehung dazu ausgeniitzt werden, die Berechnung einer Inversen zu vermeiden

det [ ^ ^ j = det A • det(D - C A - ^ B ) .

Losung: Unter Spezialisierung auf eine Eingrofienstrecke gilt

det ( ^ ^ ^ / ^ M = det(sl - A) • det[d + c^(sl - A ) - i b ] = det(5l - A) Gis)

det

G{s) = c'[si - A)-^h-\-d =

si-A h - c ^ d

det

G(0) = - ( - A b - c ^ d

(5.255)

(5.256)

(5.257) d e t ( 5 l - A ) ' ' ' det(A)

Die Matrix (Determinante) im Zahler ist in Anzahl an Spalten und Zeilen nur um eins hoher als die des Nenners. (Zur eventuellen Vereinfachung: Wenn n Zeilen oder Spalten einer Matrix A mit —1 multipliziert werden, dann resultiert (—l)^det A anstatt detA.)

Page 153: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

Kapitel 6

Beobachter

6.1 Beobachter an einer Eingrofienstrecke

Angabe: Die Zustandsraumdarstellung einer EingroBen-Regelstrecke laute in Beobachternormalform

=(;::) -G) D = 0 . (6.1)

Nur die ZustandsgroBe X2 {t) sei messbar. Durch Annahme der Beobachtersteuernaatrix N ist ein Beobachter zu bestimmen, der schneller als die Strecke ist. Losung: Wegen der beschrankten Messbarkeit gilt M = (0 1). Die Eigenwerte der Strecke liegen bei - 0 , 5 ± j \ / 3 / 2 . Die Beobachtermatrix F findet sich (nach Weinmann, A., 1995, Gl(3.7) mit der Annahme N = (;)zu

(6.2) F = A - N M - { ' - - ^ ) -Die Pole des Beobachters liegen beide bei —1. Die Annahme von N ist daher zweckmafiig. Der Koppelplan

des analog realisierten Beobachters kann einfach aus x = F x + Bw + N y ^ mit ym — ^2 abgeleitet werden.

6.2 Beobachterentwurf bei Strecke in Beobachtungsnormalform

Angabe: iVach Abb. 6.1 ist ein Beobachter x= Fx + B u + N y zu nachstehender Strecke G{s) zu ent-

werfen, wobei diese zunachst auf Beobachtungsnormalform zu bringen ist. Nur xs = y ist messbar. Die Beobachterpole soUen alle bei —1 Uegen.

X = Ax + B u y = M x

Beobachter

" r Xi \ X2 ^ ' Xs

y

Abbildung 6.1: Strecke und Beobachter

Losung: Aus der gegebenen Strecke

Y{s) 1 U(s) s3 + l,9s^ + l,l8s + 0,24

••G{s)

erhalt man

{ xi = -0,24a;3 + u X2 = a ; i - l ,18a;3

^3 = ^2 - 1,9X3

(6.3)

(6.4)

Page 154: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

152 6 Beobachter

x i \ / 0 0 - 0 , 2 4 \ / ^1 \ / 1 \ X2 = 1 0 - 1 , 1 8 X2 + 0 w = Ax + bw. (6.5) X3 J V o l -1,9 J \xs J V 0 /

Die Eigenwerte des Beobachtersystems F folgen aus der Zeilenmatrix M = c^ = (0 0 1)

0 0 - 0 , 2 4 \ / Ni F - : A - N M = A - N c ' = I 1 0 - 1 , 1 8 - iV2 I (0 0 1) (6.6)

0 1 - 1 , 9 / V TVs

d e t [ s I - F ] - s 3 + s2(Ar3 + l,9) + s(iV2 + l,18) + AriH-0,24 . (6.7)

Der Vergleich der KoefRzienten mit denen des charakteristischen Polynoms aus der Angabe der Beobach-terpole Ai = A2 = A3 = — 1, namlich (s — Ai)(s — A2)(s — A3) = s^ + 3s^ 4- 3s 4-1 ergibt

N = N2 - 1,82 F = 1 0 - 3 . (6.

6.3 Beobachter bei Strecke in Regelungsnormalform

Angabe: Unter xi = y sei der Beobachter fiir die Regelstrecke aus GL(6.3) in Regelungsnormalform entworfen. AUe Beobachterpole soUen bei —1 liegen. Losung: Die Darstellung der Strecke in Regelungsnormalform fiihrt auf

u = Ax + hu . (6.9)

Die Eigenwerte der Matrix F resultieren mit c^ = (1 0 0) aus

/ 0 1 0 \ / iVi F = A - N c ^ = 0 0 1 - A 2 I (1 0 0) (6.10)

V -0,24 -1,18 -1,9 J \ Ns

det[sl - F] = s^ + s'^iNi + 1,9) + s( l , 97Vi + 1,18 + N2) + iVs + 0, 24 + 1,18iVi + 1,9A 2 • (6.11)

Ein Koeffizientenvergleich mit (s + 1)^ liefert

/ - 1 , 1 1 0 \ (6.12)

6.4 Regelstrecke samt Beobachter

Angabe: Eine PT2-Strecke in Beobachtungsnormalform lautet

^ = ( 1 - 2 ) ' ^ = ^ = ( 0 ) ' C = ' ^ = (0 1) . D = 0 . (6.13)

Man entwerfe einen Beobachter unter der Annahme, dass u und y der Strecke zur Verfiigung stehen. Die Pole des Beobachters sind mit —2 festzulegen. Der Schatzzustandsvektor x soil in Beobachternormalform zur Verfiigung stehen. Wie lautet das Gesamtsystem aus Stecke und Beobachter? Losung: Aus der Angabe der Beobachterpole folgt

det(5l - F) = (5 + 2)2 wobei F = f ^ ^ M (6.14)

det f ^^ ~J^^ ^ = s{s-F2)-Fi = s'^-F2S-Fi = 5^+4^+4 ^ Fi = - 4 , F2 - - 4 , ^ = (^ Z^) -

(6.15)

Page 155: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

6.5 Beobachterentwurf und Beobachterkoppelplan 153

# • B tO^

Gn HC^

/

A

X

iT ^

U—

C

N

/

F

X

k = ^

Abbildung 6.2: Regelstrecke mit Beobachter

Mit M = C folgt aus A - F - N C

{r-t)-^-{>H S 5 ) - - 0 -=G)(«')K2° (6.16)

Die Gesamtzustandsraumdarstellung (Abb. 6.2) lautet wegen Gu = B aus x == Fx + G^u + N C x

Xi

\X2 J

A 0 N C F

Xi \ X2 Xi X2 J

0-/ 0 - 4 0 0 \ / x i \ f S\

1 - 2 0 0 ^2 0 0 0 0 - 4 xi " 8

\o 2 i - 4 y v ^ 2 / \o J

= ( 0 1 0 0) X2 Xl

\£2 J

U = {0' k'){\^V Vref

6.5 Beobachterentwurf und Beobachterkoppelplan

Angabe: Die Regelstrecke sei im Zustandsraum durch

beschrieben. Welcher Beobachter besitzt Pole bei —1 und —2?

Losung: Der Beobachter F , N resultiert mit M = C aus A - F = N C und N =

1 de t ( s I -F ) = s2 + s(l+iV2) + l+iVi = (s4-l)(5+2) = 5^+35+2 N =

x = F x + G^,u 4- N C x Oder

Den Koppelplan zeigt die Abb. 6.3.

Xi= —2:r2 -\-u-\- X2

X2= xi - 3x2 + 2a;2 •

(6.17)

(6.18)

F

(6.19)

Daher folgt

0 - 2 1 - 3

(6.20)

(6.21)

Page 156: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

154 6 Beobachter

Abbildung 6.3: Koppelplan des Beobachters

6.6 Strecke zum Beobachter

Angabe: Ein linearer Zustandsbeobachter lautet

1 ^ - 3 - 2 N = - 1 - C (6.22)

Die Ausgangsmatrix der Strecke betragt C = (0 1) = M. Wie lauten die Matrizen A und B der beobach-teten Strecke? Welches ist die Ubertragungsfunktion G{s) der beobachteten Strecke? Losung:

B = G , = (^] (6.23)

*(s ) = ( s I - A ) - ^ =

A - F =:3 N C

+ 1 0 3 s + 4

-1 0 ^ -3 -4 J

1 (s + l)(s + 4)

s + 4 0 - 3 s + 1

G{s) = C * ( s ) B = 1

s + 4 • (6.24)

6.7 * Beobachter fiir Modalgrofien

Angabe: Das Blockbild der Regelstrecke zeigt die Abb. 6.4. Man entwerfe einen Beobachter, der die Signale u{t) und y{t) verwendet und die ZustandsgroBen xi und X2 in Modaldarstellung zur Verfiigung stellt, xi soil dabei dem stabilen Eigenwert zugeordnet sein. Die Beobachterpole soUen bei —4 ± j liegen. Welters soUen xi(t) und X2{t) fiir Sprungantwort u{t) = a{t) bei t = 1 Sekunde jeweils den Betrag 1 haben. Wie sieht der Koppelplan des Beobachters aus? Losung: Die Reduktion des Blockbildes bringt zunachst

Is + V ' \s U(s)

Die A-Matrix lautet daher

U{s) s2 + 2 s - l (s + 2 ,41 ) ( s -0 ,41 )

-2,41 0 0 0,41

= G{s) .

Nach der Beziehung

G(s) = C ( s I - A ) - i B mit B = b = [ ^ M und C = c'^ = {ci C2)

(6.25)

(6.26)

(6.27)

folgt durch Koeffizientenvergleich Ci6i = — und C262 = 2 • ^^^ Matrizen B und C sind aus der Ubertragungsfunktion nur bis auf einen konstanten Faktor bestimmt. Fiir diese (modalen) Zustandskom-

Page 157: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

6.8 Beobachter unter Polvorgabe 155

ponenten x folgt bei u{s) — j

x(s) = (si - A)- iBw(s) -^ x(s)

xi{t)

^(xi{s)\^ 1 / s - 0 , 4 1 0 V ^ O l s^+2s-l\ 0 5 + 2,41 y V 2 y s ^2(s)

(6.28)

x ( i ) -^2(*) -{.(?7U(t!:;5:S)}--{(:;ifc;)) <-)

x(t) 5!iT(l-e-^'*") \ I A M (-0,41) v e ; y u^i

6i = 2 , 6 5 _ ^ n _ g-2,4i i

(-0,41) "*

B = G , = (" Q 'g Q ") C = (-0,267 0,876) - M

Mit einem allgemeinen Ansatz fiir N erhalt man

62=0,807

C2 =0,876

(6.30)

(6.31)

F = A - N M = -2,41 0

0 0,41 y V ^2

Aus der Angabe der Beobachterpole

^ ^ ^ ( -0,267 0,876) = ^ - 2 ' 4 1 + 0.265iV, -0,876iV, 0,265A^2 0 ,414-0 ,876 iV2

(6.32)

folgt schliefilich

N

d e t F = (s + 4 - j ) ( 5 + 4 + j ) = s^ + 8s + 17

A / Ni No

4,66 8,27

und F = - 1 , 1 7 - 4 , 0 8 2,20 - 6 , 8 3

(6.33)

(6.34)

Den Koppelplan zeigt die Abb. 6.5. Am Eingang der Integratoren wirken xi und X2 unter entsprechendem

Vorzeichen; daraus sind mit x = Fx + GuU + N y die Multiplikationsfaktoren leicht zu iibernehmen.

u{t) + .

5 + 1 O y{t)

Abbildung 6.4: Blockbild der Strecke

Die Rechnung wird unter Zuhilfenahme von einem Reduktionsprogramm, etwa DERIVE, wesentlich erleichtert. Der KoefRzientenvergleich in s kann dabei durch Einsetzen konkreter Werte von s und an-schlieBendes Losen eines linearen Gleichungssystems bewerkstelligt werden.

6.8 Beobachter unter Polvorgabe

Angabe: Regelstrecke und Regelkreis liegen in Form von

C = ( l ,5 1) (6.35)

vor. Welcher Zustandsregler K samt VorBlter V liefert obiges Ad und die Stationarverstarkung der Re-gelung eins vom SoUwert zum Istwert? Welcher Zustandsbeobachter Gu, F , N besitzt Pole identisch zu den FUhrungspolen?

Losung: Aus Ad = A + BK resultiert K = (2 — 2a : — 3). Aus lims_>o T{s) = 1 folgt

4n lim C ( s I - A d ) " ^ B y = - C A - i B y = l -> " = Y ' ^^"^^^

Page 158: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

156 6 Beobachter

(F21)

Abbildung 6.5: Koppelplan des Beobachters

Mit M = C, dem Ansatz N = (j^j) und nach Weinmann, A., 1995, Gin.(3.7) und (3.8), resultiert Gu = B und

, 5iVi 1 - Ni ,5N2 - l , 5 - i V 2

Damit F Pole wie Ad besitzt, hat det(5l — F) = det(sl — Ad) = s^ + 3s + a zu gelten. Dies fiihrt schlieBlich auf

F = A - N M : f -1,5A (6.37)

1 3 - 4 a , , 3 ( 4 a - 9 ) , ^ Ni = , N2 = -^—1 und F :

3(4a-13) 4a-9

65-36a 3(5-4a) 16 8

(6.38)

6.9 Beobachterentwurf

Angabe: Wie ist N zu wahlen, damit sich eine Beobachtermatrix F mit den Eigenwerten bei —3; —3 und —4 ergibt, und zwar fiir die Regelstrecke mit

- 2 0 0 1 - 1 0 0 0,2 - 0 , 2

M = (0 1 1) . (6.39)

Losung: Der Ansatz von N = (Ni N2 Ns)'^ liefert

F = A - N M : - 2 -Ni -Ni 1 -N2 + 1 -A^2 0 0,2-ATg -0 ,2 -ATa

d e t F = (s + 3)2(s4-4) (6.40)

Damit liegen drei Gleichungen in den drei Unbekannten A i bis Ns vor. Man findet daraus

- 2 1,25 N = ( - l , 2 5 - 1 8 , 7 5 25,55)^ und F =

1,25 1 17,75 18,75 0 -25 ,35 -25 ,75

(6.41)

Page 159: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

Kapitel 7

Totzeitregelungen

7.1 Ortskurve eines Totzeitelements

Angabe: Die Ortskurve des Frequenzgangs

1 + 5ju> (7.1)

ist filr Tt = 1,05 zu zeichnen und daraus die Qualitat eines sich damit ergebenden Regelkreises ab-zuschatzen. Losung: Die Ortskurve ist in Abb. 7.1 gezeigt. Es handelt sich um einen stabilen, aber sehr ungenauen Regelkreis.

Abbildung 7.1: Frequenzgangsortskurve

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

7.2 Totzeitregelung

Angabe: Wie sieht im Regelkreis nach Abb. 7.2 der graphische Verlauf von e{t), u{t) und y{t) bei Soll-wertanderung yref = 2 a(t) aus, wenn die Reglerverstarkung V = 2 oder F = 0,8 betragt? Bis zu welcher Verstarkung V zeigt die Regelung stabiles Verhalten ? Losung: Die Stabilitat folgt aus |ye"*^*| < 1 fiir s = ju zu F < 1. Die Schwingungsfrequenz ist gemafi arg Ve"*^* = -180^ stets n/Tt . Die transienten Verlaufe sind in Abb. 7.3 gezeigt.

7.3 Abtastregelkreis mit Totzeit

Angabe: Man erortere in Abb. 7.4 den EinRuss von V und K auf den Ausgang y{t), und zwar bei Sprungeingang a{t). Wo liegt die Stabilitatsgrenze? Losung:

Y{z) _ ZiGUsy-'"':] {l-z-')z-^Z{\} Z{a{t)) i + 2{Gft„(,)e-3T»(y + ^ ) } i + (i _ ;^ - i )^ -32{Z + i | }

(7.2)

Page 160: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

158 7 Totzeitregelungen

yref(t) -. eit)

i

V u(t)

e-'^< 1 . !/(*) Abbildung 7.2: Blockschaltbild des

Regelkreises

i

12 -

4 -

0 -

- 4 -

y = 2

^ nW

^ ^ r ^

^

r

' - 2 0

• -

t

12

4 I

0 •{

-4 I

2/W

instabil

O -20

2 + ^W

->- 0

2/W

y = 0,8

stabil

Y(z) =

Abbildung 7.3: Verlauf von u{t) und 2/( )

z-^ + z-'^ + z-^-\-{l-V)z-^-\-{l-V-KT)z-'^-^.

Die Stabilitatsgrenze mit Beiwertbedingungen ergibt sich mit z = re^^, r = 1 zu

sin 3(^ — sin 4(p

cos 4(/? — cos 3(p + V cos ( — y + i i T = 0 sin 4ip — sin 3(^ -I- y sin ( = 0 ,

V{v>) = SlUif

K{(f) = — — cos4(^ 4-cos3(/? — (cosv? — 1) sin3(/7 — sin4(/?i

sincp J

(7.3)

(7.4)

(7.5)

(7.6)

Mit V{(p) und K{(p) konnte die Kurve K iiber V in der Parameterebene mit cp als Kurvenparameter dargestellt werden.

7.4 Identifikation eines Totzeitgliedes

Angabe: Gemessen wird die Autospektraldichte des Eingangs u{t) zu Suui^^) = YUJ^ und die Kreuz-

spektraldichte Suyij^) = iqr^jr- Wi'e lautet die Ubertragungsfunktion und die Autoleistungsdichte des Ausgangs y{t)? Losung: Als Ubertragungsfunktion resultiert G{s) = e~^^ und als Autospektraldichte des Ausgangs Syy{uj) = j : p ^ .

Page 161: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

7.5 * Betragsnaherung einer Totzeitregelstrecke 159

ait)

TQ Ghois)

y + K

y{t)

Abbildung 7.4: Abtastregelung

7.5 * Betragsnaherung einer Totzeitregelstrecke

Angabe: Gegeben ist eine Totzeitregelstrecke G{s) = e"^^* — 1 fiir Tt = 2. Das Bode-Diagramm ist zu ermitteln und daraus die Ableitung eines rationalen Ubertragungselements, das eine obere Schranke der Betragsfrequenzkennlinie darstellt. Welcher Fehler liegt bei u = 1 vor?

^ 4^ Ir

1 1 Kiirvfi ?>

k^ Kur

| - -2 ju ; 4-|e

V \ \ \ \ I J

ve 1< 11 1

Kii y

1 1 / / / /

•vo

/" 2

1

Abbildung 7.5: Bode-Diagramm zu e * * — 1 fiir s — ju

Losung:

Extrema (siehe Abb. 7.5)

Maxima

GiJLj) -jojTt - 1 = (cosLjTt - 1) + J smu;Tt

\G{juj)\ = y/{cosujTt~l)^-hsm'^ujTt == 2| sin ^

^ ^ ^ ^

M i n i m a : ^ = {0, TT, 27r . . . }

. TT

(7.7)

(7.8)

ui„ = i2k + l)-, fc = 0, l ,2 . |G(ia))|„,ax = 2 (7.9) TT S T T S T T

2"' Y ' Y""-" ' ""'"" '"•" ' ''2 ujmin= kir k = 0,l,2... \G{JLu)\=0. (7.10)

Die Ortskurve von G{ju) ist ein Kreis mit dem Radius eins und dem Mittelpunkt bei minus eins auf der negativ reellen Achse; er wird mit steigender Frequenz unendlich oft durchlaufen. Die Naherung GN{JUJ) ist ein Element, das einer Ortskurve eines Halbkreises in der unteren Halfte der Ortskurve von G{ju) entspricht, aber nur einmal durchlaufen wird.

Approximation: d\G{iu)\\ _^Tt .LJT^

duj = 2-;fcos(—-) =Tt = 2

\uj—0 2 2 L=o

(7.11)

Naherung fiir niedrige Frequenzen: cjTt, \G\ = uTt, UJ <^ I Naherung fiir hohe Frequenzen (im Sinne einer oberen Schranke): 2, |G| = 2, cj > 1 Schnitt- (Knick)punkt zwischen den Naherungen beider Frequenzen: uJkTt = 2 -^ Uk = -fr

Naherung daher GN{S) = — ^ ^ = -2s s+1 .. DTi

Page 162: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

160 7 Totzeitregelungen

Relative! Fehler:

_ |G(a; = l ) | - | G ^ ( a ; = l ) | ^ ^ - |G(c. = 1)1 ^°°^"

|Gjv 2cj

V / T H -s^ |G7v(tJ = l ) h V2

V2, |G(w = 1)1 = 1,68

(7.12)

(7.13)

(7.14) fREL = ^'^^ J ' ^ ^ - (100%) = 15,8%

Kurve l : le-^^"" - 1\ = \G(ju)\ Kurve 2: l i ¥ ^ | = \GNU^)\ aus Knickzugnaherung

Kurve 3: |i+o%iujI ^ ^ alternative Naherung, die bei kleinen und hinreichend auch bei grofien iibereinstimmt.

7.6 Totzeitregelung mit P-Element

Angabe: Ein Regelkreis besteht nach Abb. 7.6 aus Totzeit und P-Element mit der Totzeit Tt = 1 und Verstarkung V = 0,5. Wie sieht die Sollwertsprung-Reaktion ini Zeitbereich und in der Zustandsebene

Losung:

lim y(t) = lim = s-- —— = - (7.15)

Die Regelkreisreaktion ist eine Rechtecksignal nach Abb. 7.7a. In der Phasenebene ist die Trajektorie durch Punkte bestimmt, zwischen denen das System springt (Abb. 7.7b).

Vref = (T(t) ^-sTt e *

V

y(t)

Abbildung 7.6: Totzeitregelung

0,63 0,69 / ^

• Mi» • >•

0,5 I 0,75 1

0,66

Abbildung 7.7: Zeitlicher Verlauf des Ausgangs der Totzeitregelung (a) sowie Phasenebene (b)

7.7 Totzeitregelung mit I-Element

Angabe: Wo liegt die Grenze fiir Stabilitat bei der Regelung nach Abb. 7.8, wenn als K{s) ein P-Regler verwendet wird? Wie lautet die analytische Formulierung des Ausgangssignals?

Page 163: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

7.8 Untersuchung einer Totzeitregelung fiir verschiedene Tt 161

0<t<Tt : Y{s) = ^re-'^^

Losung: Die Stabilitatsgrenze liegt bei Tt = ^ . Bei Vrefit) = a(t) folgt

^ s s

y{t) = K-{t- Tt)a{t - Tt)

Tt<t<2Tt : Y{s) = (^-^-^e-''^'^^^ tl.sTt _ J^^-2sTt s

y{t) = K-{t-Tt)- a{t - Tt) - ^-^{t - 2Tt)''a{t - 2Tt)

(7.16)

(7.17)

(7.18)

usw. Allgemein gilt y{t) = Xli^i ^^( -1) ' "^^* - 'i'Tt)'cT{t - iTt) . Die Funktion a{t - iTt) ist notwendig, damit die Reihe fiir das jeweilige Interval! an der richtigen Stelle abgebrochen wird!

yref{t) -. eW

L K{s)

u{t)^ 1 s

y{t)

Abbildung 7.8: Totzeitregelung

7.8 Untersuchung einer Totzeitregelung fiir verschiedene Tt

Angabe: Die Schaltungnach Abb. 7.8 werdezunachst bei K{s) = 1 fiir verschieden groBeTt auf Stabilitat untersucht. Welche Verstarkung V eines P-Reglers K{s) = V ist fiir Phasenrand 60° zulassig?

Losung: Nach Fo{s) = verlangt die Stabilitatsgrenze

\Fo{M\ = | —1 = 1 bei LJD = 1 . (7.19)

Aus arg Fo{juj)\ = —n folgt sie fiir Tt = |-. In der Abb. 7.9 sind e{t) und y{t) fiir mehrere Tt gezeigt.

In die Abb. 7.10 ist die Ortskurve von Fo{ju) fiir Tt = 1 und Tt = 1,57 (Stabilitatsgrenze) aufgenommen. Nunmehr wird die Verstarkung in ^0(5) von 1 auf V verandert. Die Wahl von V fiir Phasenrand

an = 60° liefert ein numerisch sehr ahnliches Ergebnis

arg FOUUJD) =

V \Fo{j<^)\ = l -^ — = 1 ^ UD = V

u 27r / ^ TT. I 27r

{-^Tt - -) Z \u;—uiD

(7.20)

(7.21)

7.9 Regelkreisbemessung nach dem Betragsoptimum

Angabe: Welche Regelabweichung in Abhangigkeit der Zeit ist fiir den Regelkreis nach der Schaltung der Abb. 7.8 mit dem Regler K{s) = V unter dem nach Gl.(7.21) dimensionierten V zu erwarten, wenn ein Sollwertsprung eintritt? Wie sieht die Dimensionierung des Regelkreises nach dem Betragsoptimum aus? Losung: Bei Tt = 2 folgt U;D = V = 0,262 und fur 0 < t < T der Verlauf e(t) = 1 (Abb. 7.11). Fiir Tt<t< 2Tt erhalt man

V E{s) = Yrefis) - C{V . (t - Tt)} = ^e -sTt -^ e{t) = l-V-{t-Tt), (7.22)

fiir 2rf < ^ < 3Tt e{t) = l-V-{t-Tt) + ^{t - 2Tt)'^ usw.

Die Bemessung der um V erweiterten Regelschleife Fo{s) = V-ergibt

auf der Basis des Betragsoptimums

T{s) Ve -sTt

FQ

\ + Fo s + Ve-'^^ \T{ju)\ = \joj-\-V cosuTt -jVsinuTtl = 1 (7.23)

Page 164: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

162 7 Totzeitregelungen

Zeit [sec]

-I 1 1 r -

aso 1.S0 2.50 a.50 Zeit [seel

Abbildung 7.9: Oszillogramme fur e{t) und y{t)

1

L _ | 0 , 5 .

1 j Tt = 1^7-4

1 T

Lj - 0 , 2 - | .

ii^irisd

1

—J

' X 2 ^ Jri p0 ,5 _

h-Tt = 1,0

. w = 0,2

1 • •u;)-Ebene

Abbildung 7.10: Frequenzgangsortskurven

V'^cos^ujTt + {uj-VsmujTtf = V'^ ^ u = 2Vs'mujTt

Umgeformt erhalt man

1 sin uTt LuTt 1 u^T? • + ... = T,--c^^r/ + ... - V = —

(7.24)

(7.25) 2V uj uj 3! u; • • " ^ ' 3!"

Diese Ergebnis ist dem nach Gl. (7.21) fiir Phasenrand 60° praktisch gleich.

7.10 * Stabilitat einer Regelschleife mit Resonanz und Totzeit

Angabe: Ist die Regelung mit der Regelschleife Fo{s) — j x ^ e " ^ * stabil?

Losung: Fur s - ju folgt Fo{joj) - Y^e~'^^'^ und \Fo[juj)\ = \i^\' Bei UJ nahe 1, aber cj < 1, ist

Yz^ > 0 und sehr grofi sowie argi^o(j^) = -2u\ = - 2 = -114' ' (Abb. 7.12). Bei u nahe 1, aber CJ > 1

ist argFo(ja;) = -TT - 2u; = 66°. Werden die Pole von Fo{s) bei s = ±jl rechts umfahren, so hat man

P = 0, die Ortskurve von Fo{juj) zeigt bei cj=^l eine Drehung um — TT im unendlichen. Dies entspricht fiir positive und negative UJ einem U — 2. Somit liegt Instabilitat vor.

Page 165: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

7.11 l2Tt-Element und Frequenzgangsortskurve 163

0.6

OJZ

.no

e{t)

j.V-./-...

\ y(^)^.

M •. ^L X :

J _. . 1 1 1 i

« 1

Abbildung 7.11: Zeitverlauf von e(i) und y{t) im Detail

9 I 10

Abbildung 7.12: Ortskurve nur fiir positive u) von Fo{juj) mit Polen bei

± 1 auf der imaginaren Achse

7.11 l2Tt-Eleinent und Frequenzgangsortskurve

Angabe: 1st der Regelkreis mit der Schleife Fo{s) = ^ ' s"^^^ stabil? Losung: In der Abb. 7.13 ist die Frequenzgangsortskurve skizziert und die Lage zum Nyquist-Punkt zu entnehmen. Der Regelkreis ware instabil.

7.12 Stabilitat einer ITrSchleife mit Beiwertbedingungen

Angabe: Mit Beiwertbedingungen ist die Stabilitat eines Regelkreises mit der Regelschleife Fo{s) = ^ ^ zu untersuchen. Wie sahe die Untersuchung mit dem Routh-Kriterium aus? Losung:

1 + Foiju)) ^ 0 ^ coswTi - jsincjTi + jujT2 = 0

_ TT S T T

" 2lT' 2 7 \ ' " "

'Sir'"'

cos LJTI

-sinuTi +a ; r2 :0 Ti TT'

Da nur positive Ti und T2 moglich, folgt als Ergebnis fiir Abb. 7.14

^o = - ^ und T2 = -Ti . 211 TT

(7.26)

(7.27)

(7.28)

(7.29)

Page 166: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

164 7 Totzeitregelungen

0.5

-0.5 I \-

Abbildung 7.13: Frequenzgang von

Fo{s) - ^

-2

Abbildung 7.14: Stabilitatsbereich in der Parameterebene

Mit den Routh-Bedingungen erhielte man folgende Aussagen. Die Approximation von eT^^^ durch Potenzreihe scheidet aus, weil fiir die Totzeit nur Potenzen in s aufschienen, daher eine physikalisch nicht realisierbare Ubertragungsfunktion verwendet wiirde. Daher wird -i^r approximiert.

i^o(s) = 1

e^^isTa 1 + F,(s) = 0 ^ i + (i + ,Ti + ^ ^ + ^ ^ + . )sT2 = 0 (7.30)

I + sT2 + s'^TiT2 + I ,nT2

, = 0 , (7.31)

Die Feststellung, dass alle Koeffizienten > 0 sein miissen, fiihrt nur auf T2 > 0, Ti > 0. Das reicht nicht aus. Die weiteren Routh-Bedingungen sind wegen der Unbeschranktheit der Polynomordnung nicht zugangHch.

7.13 * Vergleich PT^- und PTn-Element

Angabe: Das Ubertragungsverhalten der dynamischen Systeme PT^ und PTt ist mit Hilfe von Betrag und Phase der tjbertragungsfunktionen zu vergleichen. Von Interesse sind dabei insbesondere groBe Werte von n. Welche Aussagen konnen iiber die Ubertragungsfunktion, Gewichtsfunktion und Sprungantwort der Systeme gemacht werden? Losung: Zu vergleichen ist also e~^^ und . -^^^ Vn = 0,1,2 . . . .

a+^¥F Fiir die tjbertragungsfunktionen erhalt man

bzw. d+^D" ELo(:)(f) ^k=0 k\{n-k) T(lf) T\k

(7.32)

Page 167: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

7.14 ^ Entwurf eines P-Reglers an einer Totzeitstrecke bei unbekannter StorgroBenfrequenz 165

Obstehende Ausdriicke werden fiir n —)• oo einander gleich, soferne limn->oo (n-k)\ n^ ~ ^ ' ^^^ wegen

Ti:=W^ = '"dX-iVrl^" ^ 1 fur n ^ CK) und fc < ^ erfuUt ist.

Der Vergleich der Gewichtsfunktionen fiihrt auf ^'"^•{e""*-^^ = S{t — T) und

Die Untersuchung des zeitlichen Maximums letzterer Funktion liefert

^ r - ° - ^ r ' • ' L ( ; ^ 3 2 ) T - ( ; ^ T T ) ! r J * L(;732)T - (^T^ iy i r J ^ W - - ^ T (7.34)

m a x p « = . ( W ) = ( J ) " ( | ; ^ ( ^ ) " - e - < " - ) = ^ | ^ e - ( " - ) . (7.35)

Der Zeitpunkt des Maximums tmax geht fiir n -^ oo gegen T. Das Ergebnis beziiglich Sprungantwort lautet

C-'{-e-''^} = ait-T) (7.36)

l 5 ( l + 5^)n; " l^r^ 5 (5+f )« i (7.37)

1 v ^ , n , i . _ i 1 ^ , v^.?^^i._i t^ ^ _iLf . v ^ / ^ ^ t ^ ' '

fc=l ^ T^ k=l ^ ' k=0

7.14 * Entwurf eines P-Reglers an einer Totzeitstrecke bei unbekannter StorgroBenfrequenz

Angabe: Eine Regelstrecke nach Abb. 7.15 mit Totzeit Tt = 0,06 und Integralverhalten wird mit einem verzogerungsfreien P-Regler geregelt. Die StorgroBe ujd darf bei keiner Frequenz mit mehr als 5 % auf die RegelgroBe durchschlagen. Welche Reglerverstarkung V ist erforderlich? Welche Veranderungen ergeben sich bei Naherung der Totzeit durch ein PTi-Element? Ist die Angabe widerspruchsfrei? Losung: Die Storungsiibertragungsfunktion Fst{s) lautet

^ - ( ^ ) = l i = 2 7 ^ ^ - l ^ - - ^ ^ - - ) l = y V 3 c o s ^ . T . " ' ( l - ^ s i n . r , ) ^ ^ ° - ° ^ ^ " ^ ^ ^

^V^ cos^ LjTt + {u - V sin LjTtf] = 2uj - 2V{sin uTt + uTt cos uTt) =0 . (7.40) UCJ

Die Gin.(7.39) und (7.40) sind nur numerisch losbar. Das Ergebnis lautet o max = 28,44 und V > 37,41. Die Kurve \Fst{j^)\ iiber uj zeigt die Abb. 7.16a.

Wird die Totzeit Tt durch ein PTi-Element ji^^^ genahert, so wird Fst{s) von der Struktur eines iiblichen PT2s-Elements, dessen Extrem vorberechnet vorliegt. Es gilt

^«( ) = 2? rTT7^W " ""' = 4^^ " " ^ ^ ^ .r.s=..VT^ (7.41)

V> ^^^ =10,167 -» u ;„ . = ^ j r ^ l - 2 ^ 5 ^ = 5,528. (7.43)

Da das Totzeitelement bei a; = 0 in eine Reihe entwickelt wurde, ist die grofie Abweichung zur exakten Losung verstandlich. Allerdings ist das Ergebnis in der exakten Storungsauswirkung nicht gravierend, denn

Page 168: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

166 7 Totzeitregelungen

Abbildung 7.15: Streckenblockbild

0,06

V=10,167

0,04 5 6 7 8 10

Abbildung 7.16: Exakte Losung von \Fst(joj)\ (a) und Vergleich der exakten mit der Naherungslosung (b)

es ist maxuj \Fst{ji^)\\ = 0,0538 nur unwesentlich iiber 0,05. Einen Vergleich des exakten mit dem lv=io,i67 ^

genaherten Frequenzgang zeigt die Abb. 7.16b. Die Angabe ist in dieser Form nicht realisierbar. Bei obstehender Rechnung wurde namlich die Stabilitat

des Regelkreises nicht uberpriift. Die Schleifeniibertragungsfunktion zu obiger Angabe, namlich Ve~^^' /s, ist bei Tt = 0,06 nur bis zu einer Verstarkung Vkrit zulassig, die sich aus -uTt — -0,06u = -TT und l^e"*^*! = 1 fur s - jij zu y < Vkrit = 26,2 ergibt. Die 5%-Grenze als Angabe muss also gelockert werden.

Die betrachtlichen Unterschiede in V mit und ohne Totzeitnaherung zeigen, dass die Totzeitnaherung nicht unproblematisch ist.

Page 169: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

Kapitel 8

Abtastregelungen

8.1 Modifizierte z-Riicktransformation

Angabe: Wie lautet zu F{z,m) = j £ j jzj=^ das Signal f{kT,m) im Zeitbereich, und zwar nach der Residuenformel und mit synthetischer Division? Losung:

Nach Ausmultiplikation und mit synthetischer Division folgt

F{z,m) = e -mT z^ — z — e~^z -\- e~^

(8.2)

F{z,m) = e-^'[z-^ + (1 + e-^)z-^ + (1 + e"^ + e-''^)z-^ + (1 + e"^ 4- e ' ^ ^ + e-^^)^-^ + . . . ] (8.3)

u n d b e i T ^ 1 fiir Abb. 8.1/(A;,m) = e - ^ ( l ; 1,368; 1,503; 1,553; . . . ) .

'o'...m=1 / V...m=0.5 / 'x'...m=0

Abbildung 8.1: Verlauf im Zeitbereich

8.2 Naherung der Ortskurve eines getasteten Signals

Angabe: Das Signal x{t) = e~°'^* wird mit T = 2 getastet. Die erste Naherung der Ortskurve von X'^{juj) ist mit der von X{JLJ) zu vergleichen. Das zugehorige X(s) lautet X(s^ ^ —-

s+0,2 •

Page 170: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

168 8 Abtastregelungen

Losung: Nach der Formel

1 °° 27r X*{juj) = - ^ X[j{u;-iujT)] mit UJT = Tfr = ^r folgt

^'u^)-U-4-. + — 1

T

1 T\juj +0,2 jcj + J7r + 0,2 jcc; - JTT + 0, 2

Werden alle Terme bis auf den erst en vernachlassigt werden, so gilt

X-'iJu) = ^XiJLo) = , , . \ , , .

•)

;,4)

;.5)

i.6)

Die Ortskurve ist also fiir kleine u die des kontinuierlichen Signals, nur mit halber Ursprungsdistanz. Die z-Transformierte lautet

Fur z = e'^, s = ju resultiert mit cj = 0 : j n ^ ^ = 3,03 (6"°'^ = 0,6703)

a ; < 1 1 l -e -O-4 3,03

1 _ e-o,4(i _ ,T) 1 + 3 - £ ^ 2 j u ; 1 + 4,02ja

1

1 + e-- = 0 , 6 0 .

(8.8)

(8.9)

Da der Nenner der 2;-Transformierten ein Kreis ist, ist es auch der Kehrwert. Die Ortskurve ist daher ein Teil eines Kreises mit Mittelpunkt auf der reellen Achse und den Extremwerten auf der reellen Achse bei 3,03 und 0,60. Die oberwahnte Abschatzung ist also eine sehr rohe.

8.3 Abtastregelstrecke

Angabe: Welches G[z) = ^ W und welches Verhalten besitzt die Strecke nach Abb. 8.2?

Losung: Fiir die z-Ubertragungsfunktionen erhalt man

°"^[ = ( l - . - i )2{ i [ = -8 J Is J Z Z - 1

0,9 ,, _,7. / M 2 5 1,125

G.(.)=^{i^} = (l-02{i} =

G,G,(z) = 1 , 1 2 5 ( ^ - ^ _ ^ l o , 3 ^ ) ( l - z-') = 1,

Die Losung ist durch Gi{z) 1

= 1

+ 0,8^^ ^

0,55 _ 0,62 125

Yjz) U{z) l + GiG2{z) 1 + 0,62

2 -0 ,45

1-0,45 _ 0,55

z - 0 , 4 5 ; ^ - 0 , 4 5

z - 0 , 4 5 ; + 0,17

gegeben. Auf Eingangssprung u nimmt y stationar i/oo = ^, Q' ^ = -fjy = 0,47 an

(8.10)

(8.11)

(8.12)

(8.13)

U o T = 1 Gi = Gho{s)

c - •' s + 0,8

Y

Abbildung 8.2: Abtastregelstrecke

Page 171: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

8.4 Zulassige Abtastzeit in Totzeitabschatzung 169

8.4 Zulassige Abtastzei t in Totzeitabschatzung

Angabe: Der Regelschleifen-Frequenzgang Fdjuj) ist durch Punkte der Ortskurve in Abb. 8.3 charak-terisiert. Bis zu welcher zusatzlichen Totzeit (bis zu welcher Abtastzeit) kann man „gerade noch" mit Stabilitat rechnen? Losung: Bei genauerer Betrachtung der Ortskurve erkennt man, dass bei u; = 3 der Einheitskreis durch-schnitten wird, dies bei arg Fo{ju) = —90^. Weitere 90^ waren im Grenzfall zulassig

arg e -sTt\ = -90^ -> STt = 7r/2

\s=jui=j3

Zulassig ware eine Abtastzeit T von rund einer Sekunde.

T, = 0 , 5 . .14)

1 + ^ m

Fo(ja;)-Ebene

^e

CO = 2

Abbildung 8.3: Regelschleifen-Frequenzgangsortskurve

8.5 Zulassige Abtastzeit fiir Stabilitat

Angabe: Bei welcher Verstarkung V und bei welcher Abtastzeit T wird der Abtastregelkreis mit dem kontinuierlichen Systemteil

1 - e-«^ V

instabil? Wie lautet die Antwort des Regelkreises auf SoUwertsprung bei T = 1 und V = 2? Losung: Es folgt

Foiz) = z - l H:

W(— - U z U ( l + 2s ) i z 2 I s s + 0 , 5 /

^ - 1 . . / z z \ y ( l - e - 0 ' ^ ^ ) -0 ,5T

Bei Wahl von F = 5 betragt die kritische Abtastzeit

z — e

^ Vkrit = 1 + e-1 - e-0'57^

-0,5T _ V - l \ ^ Tkrit =0,S1

l/ + l lv=5 3

Fiir T = 1 und V = 2 laute Y(z) und y{k) bei SoUwertsprung auf den Regelkreis

0,78694 Viz) ; — - und y{k) = 0, 78694 yref{k - 1) - 0,18041 y{k - 1)

^ + 0,18041 z-

2/(0) = 0; 2/(1) = 0, 78694; y{2) = 0,6449; y{S) = 0,6706; ?/(4) = 0,666 .

(8.15)

(8.16)

(8.17)

(8.18)

(8.19)

(8.20)

(8.21)

Page 172: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

170 8 Abtastregelungen

8.6 Abtastereinfluss auf die Stabilitat

Angabe: Ein kontinuierlicher Regelkreis besitzt einen Phasenrand von 0,6 Radiant und eine Durchtritts-frequenz von 1,1 Radiant per Sekunde. Soferne nun eine zeitdiskontinuierliche digitale Messung eingesetzt wird, bis zu welcher Abtastzeit kann der Regelkreis gerade noch stabil betrieben werden? Losung: Geht man von der Annahme aus, dass ein Totzeitglied mit der halben Abtastzeit als Totzeit Tt = 0,5T dem Abtaster dynamisch aquivalent ist, so folgt

uJoTt = 0,6 ^ Ti = 0,5 -^ T = 1 . (8.22)

8.7 Dead-Beat-Regler

Angabe: Die diskrete Regelstrecke ist durch

r(A - ^ f;7.c..°. ^-'(1 + 0,71828^-') ^^'^ - 3' ^ ^ ^ ^ l - . - i ) ( l - 0 , 3 6 7 8 . - 1 ) (8-23)

gegeben. Der Regler K{z) mit Abtaster am Ein- und Ausgang soil die Null- bzw. Polstelle bei -0,71828 bzw. +0,3678 kompensieren, um dadurch Fo{z) und T{z) wie folgt zu erreichen

Fo{z) = j ^ ^ T{z) = Z-' . (8.24) 1 — Z ^

Losung: Der Regler muss dann

r.(._ 1 -0 ,3678^-^ ^^ " 3,6788(1 + 0, 71828^-1) ^^^^^

lauten. Einem Sollsprung wird zu den Abtastzeitpunkten mit einem Sprung entsprochen, der um die Abtastperiode verschoben ist.

8.8 StellgroBe eines Abtastreglers

Angabe: Die Regelstrecke G{s) = ^, ^ ^ ^ liegt vor. Der digitale PID-Regler mit dem Regelalgorithmus

Uk = u{kT) = e, + 6,67 T ^ e ^ + ^ ( e , - e ,_i) (8.26) i-O

habe die Abtastzeit T = 0,018. Wie lautet die StellgroBe wahrend der ersten Abtastschritte bei einer sprungformigen FiihrungsgroBe yrefit) = cr(^) ? Losung:

Berechnung der Sprungantwort Xs{t) der Regelstrecke allein:

1 _ A B _ 1 _ 0,24 ^"^^•^ ~ s ( l + 0,24s) ~ 7 "*" 1 + 0,245 ~ s ~ 1 + 0,24s ^' ^

1 = A + 0,24sA-\-sB^ A=:l; B =-0,24 (8.28)

x,{t) = [l-e-^]-a{t) x,{T) = 0,07226 . (8.29)

Berechnung der Stellgrofie aus Gl.(8.26)

eo = l...Uo = 6,6756 ^ xi = Q, 6756 • 0,07226 = 0,482 (8.30)

ei = 1 - 0,482 = 0,5176 . . . wi = 0,5176 H- 0,12(1 + 0, 5176) + 5,55(-0,4824) = - 1 , 9 8 (8.31)

2T

^X2= Uo{l - e - ^ ) + (wi - Uo) • 0,072257 = 0,304 . (8.32)

Page 173: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

8.9 Abtastregelkreis mit integrierender Schleife 171

8.9 Abtastregelkreis mit integrierender Schleife

Angabe: Ein einschleifiger Abtastregelkreis laut Abb. 8.19 mit je einem Abtaster vor und nach dem Regler K{z) sei derart zu bemessen, dass aus Strecke G{s) = s/{s + 1), Halteglied Gho{s) und Regler zusammen eine integrierendes Schleife ^ im w-Bereich entsteht. Es gelte T = 1. Losung:

Gis) s + 1

Gho{s) = ^—^ ^ G{z) = {l-z-')-Z{~} ' ^ s

l + w

1 — w

f + l ' 2 - 0 , 3 6 8

G{w). 2w

Wird K(w) als

K{w) •

gewahlt, dann folgt fiir Fo{w) = G{w)K{w)

Mit w = ^ ^ ergibt sich schlieBlich

0 , 6 3 2 + 1 , 3 6 8 ^

A;(0,632-H,368i/;)

fc(0,632+1,368 w) _ 2_fe 0,632+1,368 w

K{z) = k 2z'^ + 1,264;^ - 0, 736 _ 2 k(z'^ + 0,632;^ - 0, 368)

z'^ -2z-^l (z-ir

(8.33)

(8.34)

(8.35)

(8.36)

8.10 Bode-Diagramm von Fo{z) ohne if;-Ebene

Angabe: Fur das aufgeschnittene System Fo{z) wird — ohne in die w-Ebene iiberzugehen — das Bode-Diagramm \Fo{z)\ und d^TgFo{z) fiir z = e*^ und s = ju gezeichnet. Es gelte nach Abb. 8.6

Fo{s) : 1 - e - V

s 1 + sTi V = l Ti = 1 r = : 0,693 UJT = ^,01 1.37)

Was bedeutet dieses Ergebnis? Losung: Die Periodizitat langs der cj-Achse driickt sich in einem ungewohnten und unbrauchbaren Bode-Diagramm aus, wie Abb. 8.4 zeigt.

1

0,7

0,5 I 0,3 I

mju)\

0,1

1 m-gFoijuj)

• 2 7 r l

• 47r

Abbildung 8.4: Bode-Diagramm, ohne in die w-Ehene transformiert zu haben

8.11 Stabilitat einer Abtastregelung mit und ohne Regler-Halteglied

Angabe: Wie unterscheidet sich gemaB Abb. 8.5 bei G{s) = j ^ , K{s) = ^ das Stabilitatsverhalten mit und ohne Halteglied im Regler?

Page 174: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

172 8 Abtastregelungen

Losung: Fur a = 4; T = 2 folgt Gh{z) mit MATLAB zu c2d( t f ([4] , [ 1 , 1]) , 2 , ' z o h ' ) . Allgemein gilt

a ( l - e-^) Gh{s) = G{s)Gho{s) -> Gh{z) = ^—^Z^^ ""

Die Stabilitat ohne Gho(s) im Regler resultiert aus

I s s + l i

Fo{z) - K{z)Gh{z) = a( l - e-^) z

z - \ A _T

1 + Fo{z) -^ ^^ + J2;[a(l - a) - a - 1] + a .

Das Schur-Cohn-Schema

1 - a ^

a( l — a) — a — 1 —a[a(l — a) — a — 1]

1-Q;^

Q; bei / = —a —a

[ a ( l - a ) - a - l ] ( l - a )

fiihrt auf die Schur-Cohn-Bedingung

\-o? > |[a(l - a ) - a - 1](1 - a ) | = \o?(a + 1) - 2aa + a - 1|

Fiir Stabilitat mit Gho{s) im Regler findet man die charakteristische Gleichung

^^(1 -a) _ o Fo{z) := Kh{z)Gh{z) =

iz-l){z-a) ^ z^ -z{l + a)-^a-\-aT- aaT = 0 .

(8.38)

(8.39)

(8.40)

(8.41)

(8.42)

(8.43)

Abbildung 8.5: Abtastregelung

8.12 Abtastzeit an der Stabilitatsgrenze

Angabe: Der Regelkreis in Abb. 8.6 ist auf Stabilitat zu untersuchen, insbesondere fiir V = 1. Losung: Der Regelkreis besitzt eine Schleife

^^^,) = {GUS)^A = V V 1 ^ (r + e-^-i)z + i - r e -s(s + l ) J ~ {z-l){z-e-T)

(8.44)

und die charakteristische Gleichung des Regelkreises z^ -{- z(T — 2) -h {1 — Te '^) = 0 . Das Schur-Cohn-Schema

1

-(l-Te-'y (r-2)

-(i-re-'^')(r-2) i - ( i - r e -^ )^

( l -Te- ' ^ ) b e i / = - ( l - r e - ' ^ ) -{1-Te-n

{T-2)-{l-Te-'''){T-2)

liefert die Stabilitatsbedingung

1 - [1 - 2Te-^ + {Te-'^f] > \{T - 2)(1 - 1 -\- Te"^) ^ e "^ < (8.45)

als Stabilitatsbedingung. Diese ist fiir 0 < T < 3,9224 erfiillt.

Page 175: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

8.13 Stabilitatsgrenze mittels Wurzelortskurve 173

Vref Ghois)

V

s{s + 1) Abbildung 8.6: Abtastregelkreis

8.13 Stabilitatsgrenze mittels Wurzelortskurve

Angabe: Wo liegt fiir die Angabe K{s) = KR(I-\- ^ ) , G{s) = f^^ bei Tt=T die Stabilitatsgrenze?

Losung: Mit T/ = Ti vereinfacht sich die Schleife, wie die folgende Rechnung zeigt

Fois)=GUs)Kn(l + ^ ) ^ ^ (8.46)

Fo{z) = KRZ[ 1 - e-^^ 1 + sTi ae

sTj ae ° * ^

1 + sTi) = : i l l £ l ( i _ , - i ) , - i ^ { J L } . . - ^ - ^ - l - ^ - - ^ - ^ 1 OKR,

Ti ( 1 - ^ ) Ti z(z-l)'

(8.47)

(8.48)

Die Wurzelortskurve ist die Streckensymmetrale zwischen den Punkten z = 0 und 2: = 1. Sie schneidet den Einheitskreis bei Ze = 0,5 ± j ^ . Fiir dieses Ze liefert die charakteristische Gleichung

1 + Fo{z) =0 ^ z'^ -z-h OKRT

= 0 den Wert aKRT

Bei Tf = T = 0,1 und Ti = 1 ist der Stabilitatsbereich aKR < 10 .

8.14 * Abtastregelkreis mit PDT2-Strecke

Angabe: Welches Verhalten zeigt bei T = 1 der Regelkreis, der aus

Gis) = 0,33245 + 0,7734

( 5 + 0,2232)(s +0,6931) K{z) =

z-0,S z - \

besteht? Losung:

G{z) = Z{GUs)G(s)} = Z{'—^ G{s)] = f - J ^ ^ j S l i f l } = G{z) = j — ^ S J Z < S i [Z —

0,3324s+ 0,7734

0,5z

wobei A

= - + • B

( ^ - 0 , 8 ) ( ^ - 0 , 5 )

C

A = 0,7734

s(s + 0,2232)(s +0,6931) s s + 0, 2232 s +0,6931

0,3324(-0,2232)+ 0,7734 = 5,0 B =

0,2232-0,6931 ^ ' " '^ -0,2232(-0,2232 + 0,6931)

Mit dem gegebenen Regler erhalt man eine Kompensation

Fo{z)=G{z)K{z) = 0,5<2

( ^ - 0 , 5 ) ( ^ - l ) ^ T{z) =

Fojz) l + Fo{z) z^-z-h0,5

0,5^

(8.49)

(8.50)

(8.51)

(8.52)

= -6 ,667 C = 1,667. (8.53)

(8.54)

Die Regelkreis-Differenzengleichung lautet hiemit y{k) = 0, byref{k — 1) + y(k — 1) — 0,5y{k — 2) . Aus ihr folgt die Sprungantwort fiir EinheitssoUwertsprung

2/(0) = 0; 2/(1) = 0,5; i/(2) = 1,0; 2/(3) = 1,25; 2/(4) = 1,25; 2/(5) = 1,125 usw. (8.55)

Page 176: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

174 8 Abtastregelungen

8.15 Abtastregelkreis. Stabilitatsbereich des P-Reglers

Angabe: Ein Abtastregelkreis mit K(s) = K und T = 0,1 nach Abb. 8.7 liegt vor. Fiir welches K ist der Regelkreis an der Stabilitatsgrenze? Wie lautet T{z)l Losung: Man findet zunachst

K{z) = {l- z-^)Z{-K] = K G{z) = (1 - z-^)Z{ s( l + s - l , 4 2 ) ( l + s-0,36)

Partialbruchentwicklung von {} liefert

1,340 0,340

1,42 S + 0,36

(8.56)

(8.57)

G{z) = 0,0078 + 0,00872

Fo{z) = G{z)K{z)

7^(0,0078 + 0,0087^)

0 ,7060-l ,6895;^ + ;s2

Tiz) = ^-(") = ^ ^ l + Fo{z) (0, 7060 + K-0,0078) + z{K • 0,0087 - 1,6895) + z^

(8.58)

(8.59)

m 0078+ 0,0087.) , A ^^^^^ ^ ^ ^ 3 ^ 6 ^ - 1 , 6 8 9 5 + 0,0087/. , a + bz -\- z"^

Mit a = 1 folgt als Stabilitatsbedingung K < 37,69. Fiir z^ + bz -\- a = 0 lasst sich namlich leicht zeigen, dass fiir konjugiert komplexe Losungspaare \z\ = y/a gilt. Die Lage am Einheitskreis fiihrt auf a = 1. Die untere Grenze fiir K^ namlich —1, ist fiir eine praktische Anwendung bedeutungslos, weil der Regelkreis auch vor dieser Grenze genauigkeitsmafiig untragbar ist.

Vvej -\ l \ _

T^^ — • Gh^K{s)

T^ ^'^0(l+s-l,42)(l+s-0,36)

y

Abbildung 8.7: Abtastregelkreis mit Haltegliedern vor Regler und Strecke

8.16 Dead-Beat-Verhalten zu den Abtastzei tpunkten

Angabe: Die Regelung in der Schaltung nach Abb. 8.8 ist zu analysieren, wobei

G{Z): 3,6788;^-i + 2,6424;^-2

K{z) = 0 , 2 7 1 8 2 8 - 0 , 1 . -

y refit) = Cr{t) 1 - 1,3678.-1 + 0,3678.-2 " v" i ^ Q, 71828.-^

Losung: Man findet Dead-Beat-Verhalten (nur zu den Abtastzeitpunkten) wegen

Fo(z) = -r-^^ T(z) = z-' Yiz) = T{z)Yref(z)=z-^~^ = z-''+z-^ + z-^ + . 1 — Z ^ 1 — Z ^

Die Sprungantwort des Regelkreises fiir Abtastzeit gleich eins zeigt die Abb. 8.9.

(8.60)

(8.61)

8.17 * Abtastregelung auf Sprung- und Exponentialeingang

10 l+3s

Angabe: Der Regelkreis mit Abtastung unter T = 1 und Fo{s) Tabellenbeniitzung zu analysieren. Losung: Aus der Formel fiir die .-Transformierte findet man unter T{z) = i^p}^\

fo{t) - io^-U

Fo{z) = ±'-^e-^'z-^ = ±'-^{e-'-z-r = 10

3 . — e 3 « = iF7

e 3* ist ohne

(8.62)

Page 177: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

8.18 A btastregler-Differenzengleichung 175

Vrefit) ^ J i _

K{z) \ - ^ —

G{z) 1 y{t)^^ y*{t)

Abbildung 8.8: Abtastregelung mit drei Tastern

Abbildung 8.9: Sprungantwort

0 1 2

B e i y ^ e / W - ^ f o l g t

Y{z)=T{z)Yref{z) = 10

und welters durch synthetische Division mit T = 1

z^ : (z^ - 1,1654z + 0,1654) = 1 + 1,1654^ + 1, I Q S ^ + 1 ,1974 + • -

Z Z^ Z'^

2/(0) = 0,7692; 2/(1) = 0,8965; 1/(2) = 0,9177; 2/(3) =0 ,9208

Anfangs- und Endwerttheorem liefern 2/(0) = ^ und 2/(00) = 0,9216. Die Umformung auf Differenzengleichung lautet

10 1 Y(z) T{z) =

13 1 - 0 , 1 6 5 4 ^ref » y{k) = ^yref{k) + 0,1654y{k-l)

und erbringt dieselben Zahlenwerte zu kT. Bei exponentiellem Abfall der SoUgroiSe yref{t) — e~* erhalt man

00 00 -J

z — e~ k=0 k=Q

und aus der synthetischen Division 2/(1) = 0,4102; y{2) = 0,1719; 2/(3) = 0,06672 usw.

8.18 Abtastregler-DifFerenzengleichung

Angabe: Im z-Bereich lautet der ReglerK(z) = des Reglers. Losung: Durch Einsetzen von z vorliegt, namlich

K(w) = -—+3,5 w

(8.63)

(8.64)

(8.65)

(8.66)

(8.67)

-. Gesucht ist K{w) und die DifFerenzengleichung

Y3^ findet man, dass im w-Bereich die Struktur eines PI-Reglers

U{z) _ 3 , 5 7 - 3 , 4 3 / ^

E{z) ~ 1-1/z

Daraus folgt unmittelbar u{k) = u{k - 1) + 3,57e(A:) - 3,43e(A; - 1).

(8.68)

Page 178: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

176 8 Abtastregelungen

8.19 * Reaktion einer getasteten Regelstrecke

Angabe: Eine kontinuierliche Strecke G(s) von PDT2-Verhalten werde mit vorgeschaltetem Halteglied in diskreter Darstellung in der Reaktion auf einen Einheitssprung einerseits und beziiglich der Flache unter der StoBantwort andererseits untersucht

Losung: Mit vorgeschaltetem Halteglied gilt

Gi.) = Z i l ^ G i s ) } = (1 - ^ i ^ ^ r r S ^ t ^ j (8.,o)

G{z) = ki\l + + — -— (8.71) L 12--L1 z-e"^ [I1-I2) z-e~"^^

" = 2 ^ 3 ^ ' = W^T2) P^='^' P2 = e r . (8.72)

n( ^ u ^[1 - (Pi + P2) - ap2 - bpi] + {pip2 + ap2 + bpi) A ^ ^ + ^ e 7o^ G{Z) = ki r - ki- r- r . (8.73)

{Z-Pi){z-P2) {Z-Pl){z-P2) Zur Kontrolle dient das Endwerttheorem mit

( 1 - P l ) ( l - P 2 )

Bei Eingangssprung zur Regelstrecke U{z) = j ^ lautet der Ausgang

Mit den Zahlenwerten Ti = 1; r2 = 0,5 jT^ = 0,1; T = 1 folgt a = - 1 , 8 ; 6 = 0,8 ; pi == ^ ; p2 = ^ und

, e 2 - l , 8 e + 0,8 „ l - l , 8 e + 0,8e2 ^ e^ + e + l ^ l + e + e^ ^ 1 A = '— '- , B = 3 '• , C = 2 ' ^ = 3 ' ^ = P^P'^ = T

e^ gc5 g ^ g d gcj

(8.76) ^ . ^ , ^^(e^ - l,8e^ + 0,8e) + zjl - l ,8e + 0,8e^) ^ z^8,96 + z2,018

^ ^ ' 23g3_^2(g3 + e 2 + g ) + ^(l + g ^ g 2 ) _ i ^1^320,086-^230,193 + ^ 1 1 , 1 0 7 - 1 ' ^ ' ^ Mit synthetischer Division findet man beim Sonderfall ki = 1 fiir aneinandergereihte k =: 0 , 1 , 2 . . . die Wertefolge y{kT) = 0; 0,446; 0, 771; 0,912 . . . .

Unter Verwendung der Gl.(8.74) ergibt sich

lim TY^gikT) = l im(l - ^"M^ '^ ^G{z) = TG{z)\ = Tki . (8.78) fc^oo ^-^ z-^1 1 — z~^ \z=l

k

Da schon ein Halteglied am Eingang eingebaut ist und lims_4.o ^—^— = T ist, hat man fiir die Flache

allerdings nicht Tj^tLoOi^"^) anzusetzen, sondern nur J2T=o9(k'^)- Daher ist nicht TG{z)\ , sondern \z=l

nur G{z) zu verwenden und die Flache unter dem getasteten Ausgang ist ebenfalls fci. \z=l

Zum Vergleich sei noch auf

lim t-^oo

im / g{t)dt = G{s)\ (8.79)

verwiesen, sowie darauf, dass fiir

1 °^ 1

k= — oo

gilt. Im gegenstandlichen Beispiel, bei dem Tasten und Halt en des Sprungs u{t) am Eingang kein anderes

Ergebnis bringt als die Wirkung von a{t) allein, gilt also lims_>o s^G{s) = G{s)\ = ki. ls=0

Page 179: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

8.20 * Abtastregelung mit Totzeit 177

8.20 * Abtastregelung mit Totzeit

Angabe: Welchen EinHuss besitzt die Abtastzeit T aufdie Stabilitat der Regelungnach Abb. 8.10? Weitere Daten sind

i n ^-ksT (8.81)

10 G{s) = — K{s) = bei Tt = kT .

S 1 + 5 Losung:

KGi.) = . - ^ { ^ ^ } = 1 0 . - [ ^ - ^ 3 ^ ] = 10.-[ {z-l){z-e-T\ (8.82)

Im Fall ohne Totzeit, A; = 0, folgt

l + KG{z) = 0 ^ 10{l-e-'^)z + {z-l){z-e-'^)=0 ^ z^ _ (9 - l l e " ^ ) + e"^ := 0 . (8.83)

Einsetzen von z = j ^ liefert ein quadratisches Polynom in w. Fiir Stabilitat miissen alle KoefRzienten 2 3

> 0 sein, was aufdie Beziehungen 1 —e - > 0 und e - > | fiihrt. Dies bedeutet den Stabilitatsgrenzfall

Vrefit) ^^^

+s i yit)

^ ^ T 1 c -^ 1

^ . „ ^ 10 . „ „ . y .y.j - ^ u S

u{t)

Abbildung 8.10: Abtastregelkreis mit Totzeit

Im Fall mit Totzeit, A; = 1, resultiert

1 0 ( 1 - e - ^ ) KG{z)

{z-l){z

1 0 ( 1 - e -

-P-T ^ 1 + KG{z) = 0

') + {z-l){z- ') = 0 -;3(l + e-^) + 1 0 - 9 e - ^ = 0 .

8.84)

8.85)

Die Behandlung mit dem Schur-Cohn-Schema fiihrt auf

1 - ( 1 0 - 9 e - ' ^ ) ^

- ( 1 + e-^) ( 1 0 - 9 e - ' ' ) ( l + e-'^) l - ( 1 0 - 9 e - ^ ) ^

i n n^-T Ur\ f - - (10-9e-^)

- ( 1 0 - 9 e - ^ ) - ( 1 + e-') + (10 - 9e-'^)(l + e-^)

und auf die Schur-Cohn-Bedingung

1 - (10 - 9e-^)2 > I - (1 + e-^) + (1 + e-^)(10 - 9e -^ ) | (8.86)

1 - 100 + 180e-^ - 81e-2^ > 9(1 + e -^ ) ( l - e"^) (8.87)

0 > 72^2 _ 180a + 108 bei e"^ = a < 1 . (8.88)

Diese Bedingung ist fiir a < 1 nicht erfiillbar, daher ist das System immer instabil. Bei dieser Aufgabe fallt auf, dass selbst bei kleinen Abtastzeiten bei oder ab T = T bereits Instabilitat

vorliegt. Diese Verhaltnisse konnen mittels Wurzelortskurven erhellt werden. Dabei wird die Verstarkung 10 durch V ersetzt. Fiir Tt = 0 sind sie in Abb. 8.11 fiir kleine (und groBe) T eingetragen, jeweils im

Bildteil a (und b), und zwar fiir T = 0,11 (und T = 2,3), in Abb. 8.12 fiir Tt = T. Dabei ist a = e"^.

Ohne Totzeit, d.h. Tt = 0, ergibt sich Stabilitat fur V < 2^^f^, jedem T kann ein V fiir Stabilitat zugeordnet werden.

Mit Totzeit, und zwar bei Tt = T, ist die Ursprungsnullstelle durch einen Pol kompensiert, die Wurzel-ortskurve als Streckensymmetrale ist fiir einen Schnitt mit dem Einheitskreis viel anfalliger, im einzelnen

Page 180: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

178 8 Abtastregelungen

s-Ebene

-0.5

_ P-

0.5

©

Abbildung 8.11: Wurzelortskurven fiir Tt = 0

5-Ebene 0 5-Ebene ©

-0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0

Abbildung 8.12: Wurzelortskurven fiir Tt = T

0.5

findet sich V < 1 iiir jedes T bei Stabilitat. Die friihere Angabe y = 10 liegt also weit im instabilen Bereich.

Noch ungiinstiger werden die Stabilitatsverhaltnisse unabhangig von T bei Tt = 2T. Hier verlangt dies bereits F < 0,55, da die Wurzelortskurve nach rechts gekriimmt ist.

Die aus dem Kontinuierlichen gewohnte Ersatzvorstellung des „friedlichen" Verhaltens eines PTi-Elements ist nicht angebracht, wenn es (ohne Halteglied) einem Dirac-Puls hoher (wachsender) Abtast-frequenz ausgesetzt wird. Jeder Dirac-Impuls wird im PTi-Element in einen Stofiausgang umgesetzt (un­abhangig von der Zeitkonstante des PTi-Elements). Es trifFt daher eher die Ersatzvorstellung zu, dass ein PTi-Element unter hochfrequentem Dirac-Puls-Eingang gegen eine unendlich hohe Ersatzverstarkung strebt. (Nur mit Halteglied ist die Ersatzverstarkung endlich.)

Die Reaktion auf einen Sprung in yref(t) zum Zeitpunkt O"*" mit den Daten Ti = y = 5, Tt = 1, T = 1, und zwar simuliert mit ANA gemafi Abb. 8.13, zeigt die Abb. 8.14.

Sprung A0=0 rH A=1 M T=0

SIgl ^ Addierer [ k1=1 [^ Sig5 m. Taster .

^ T=1 [^ dt=1e-6

Sig6 PTI

T1=1.0 AB=0.0

Sig3 Totzeit I Integrator ^ Ti=5 I

AB=0.0

©, Sig7

Abbildung 8.13: Blockbild unter Simulation mit ANA

Page 181: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

8.21 Abtastregelkreis mit ein oder zwei Haltegliedern 179

Abbildung 8.14: Oszillogramm von Stellgroi3e und Regelgrofie

a zs s. Jjs ia 12 is. us aa 225

8.21 Abtastregelkreis mit ein oder zwei Haltegliedern

Angabe: Eine PTi-Strecke G{s) = -^ mit Halteglied nuUter Ordnung Gho{s) besitzt ein

G{z) = 1 1 - e -

: — /R-a^

Vor dem Regler liege fallweise ein Abtaster. Der Regler ohne Halteglied besitzt ein

z K{Z):

p-aT

(8.89)

(8.90)

Welches Verhalten zeigt Fp in der w-Ebene? Losung: Aus dem Produkt Fo{z) = K{z)G{z) und nach Substitution z = j ^ folgt im Fall mit Halteglied vor dem Regler

und ohne Halteglied

Fo{w)\ {l+jv? jv [ l - e - « ^ + j i ; ( l + e-«^)]2

(8.92)

8.22 Wurzelortskurve zu einer Abtastregelung mit Schleifendoppelpol

Angabe: Gesucht ist die Wurzelortskurve fiir den Abtastregelkreis mit GH{z) = . ^^^ (reelles a < 1J in Abb. 8.15. Bei welchem V beRndet sich die Stabilitatsgrenze? Losung: Der Verzweigungspunkt liegt bei einer Doppelwurzel von 1 + GH{z) = 0 in 2 , also

• 2az -\-a^ -\-Vz = 0 -^ z\2-

y2 - 4al/ + 4a2 = ^o? ^ V = 4a

V -2a

2

2^1,2 =

/ ±\/( V-2a

2

4a — 2a

) 2 - a 2

±0 = -a

(8.93)

(8.94)

Page 182: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

180 8 Abtastregelungen

Daher ist der kreisformige Anteil der Wurzelortskurve innerhalb des Einheitskreises gelegen (Abb. 8.16). Der Wert Vkrit auf der reellen Achse bei z = —1 folgt aus GH{z)

iz-a)^-^Vz = 0 -^ Vkrit = {-^ - a)^ (8.95)

Vref

TQ G{s)

H{s)

Abbildung 8.15: Abtastregelung

Abbildung 8.16: Wurzelortskurve

8.23 Abtastregelkreis mit Einheitsvorwartszweig

Angabe: Ist die Schaltung laut Abb. 8.17 stabil? Losung: Man findet

c oo

^^') = 7TT d(t) = 6e-' ^ G{z) = g{kT)z-' = 5-^ (8.96)

Der Pol von T{z) = i^Qr^) = Qz-e-'^ ^^^S* bei a; = e ^ / 6 im Einheitskreis, daher ist der Regelkreis stabil.

Vref it) y{t)

r = i 5

s + 1

Abbildung 8.17: Abtastregelkreis

8.24 Spektrum des Halteglieds nullter Ordnung

Angabe: Welches Spektrum besitzt das AusgangssignaJ eines Halteglieds Gho{s), wenn es von einem Dirac-StoB angeregt wird?

Page 183: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

8.25 Verstarkungseinstellung bei einem Abtastregelkreis 181

Losung: Y{s) = GUs)E{s) E{s) = 1

8.25 Verstarkungseinstellung bei einem Abtastregelkreis

(8.97)

(8.98)

Angabe: Welche Einstellung der Verstarkung K des Abtastregelkreises nach Abb. 8.18 ist giinstig? Losung: Fiir die Regelschleife folgt

72

Sie besitzt Pole bei 0,86 ± 0,14, also bei 1 und 0,72. Der Regelkreis gehorcht

Fo(z) 0,283 Kz T{z) =

1 + Fo{z) z^ + z(0,283 K-1,72) + 0,72

(8.99)

(8.100)

(8.101)

Verzweigungspunkte liegen bei K = 0,0811 und K = 12,07 in der z-Ebene bei 2; = 0,86 - 0,1415 K. Interessant ist nur ^ = 0,86 - 0,1415 • 0,0811 = 0,8485.

Nach dem Aussehen der Wurzelortskurve ist fiir passenden Dampfungsgrad Kopt = 0,17 zu empfehlen.

r = 6o

r Q^ E} 1

1 + 180s

Abbildung 8.18: Abtastregelkreis mit P-Regler

8.26 * Entwurf eines Abtastregelkreises

Angabe: Ein Abtastelement gibt im Abstand T die Regelabweichung an ein I-Element (z.B. einen Stellmo-tor). Die Regelstrecke werde durch PTiTt-Verhalten mit StationarverstarkungK genahert, wobei Tt = T sei. Welche Nachstellzeit TN des Reglers ist angebracht? Aus Stabilitatsgriinden wird verlangt, dass die Nullstellen des charakteristischen Polynoms des geschlossenen Regelkreises auf einem Kreis mit dem Radius r = 0,5 liegen. Losung: Man stellt zunachst

G{s) = K

l + sTi

auf. Daraus erhalt man mit Ti

Fo{z) = Z{G{s)K{s)} :

1 + Fo{z) = 0 ^ pci{z) = z'^ + z{-e-

( ^ = i ^

1 - e -K

TN {z-l)(z-e-T)

l) + e-TN

{l-e-^^) = 0..

(8.102)

(8.103)

(8.104)

wobei ai = —e ^^ — 1 < 0 und ao = (1 - e-^^) > 0 .

Page 184: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

182 8 Abtastregelungen

Mit z = r(cos(p-\- j sincp) resultiert aus Pci{z) = 0

^m : 2r^ sin(/?cos(^ + a i r sin(^ = 0 ' ^ r = — 2 cos if

Einsetzen in

liefert

9fJe : 2r^ cos^ ip -\- air cos (p -\- ao — r^ = 0

cos (/? = ± 2 v ^

und r = y/Ko •

(8.105)

(8.106)

(8.107)

Fiir r = 0,5 folgt ao = 0,25 und aus der Definitionsgleichung fiir ao schliefilich T/v = Q ^c^l^-a'f •

8.27 Entwurf in der it;-Ebene als integrale Schleife

Angabe: Zum Abtastregelkreis nach Abb. 8.19 mit T = 1 und G{s) = -^ werde ein Regler K{w) mittels Bodediagramm in der w-Ebene entworfen, sodass Fo{w) reines Integralverhalten zeigt. Welche Form hat dann K{s)? [Hinweise: Z{1} = ^ ; 2 { J , } = ^ ; Z{^} = 2 f ^ . j Losung: Mit G{z) aus Gl.(8.33) folgt mit alternativer Abbildung auf die w-Ehene

^. . 1,4621 ii; , . 1 + w Y G{w) — ^ ^.^^ wobei z = | r

' " • 1 -Wir (8.108)

0,9242 + w

Der Regler K{w) ist derart einzustellen, dass Fo{w) = ^. Gleichsetzung mit Fo{w) = G{w)K{w) fiihrt auf

(8.109) 7-/ X 1 1,4621 w; ^^, , ^^, - ^ l-\-l,08w FoH = - = . ^o.o . ..M^) -^ K{w) = 0,63 - ^ w 0,9242 4- w

Riickermittlung von K{z) aus z = | ^ oder w = 2 f ^ liefert A = 0,5; B = 1; C = 0,63 aus

Kiz) = 0,158(3,16^^ + 2 ^ - 1 , 1 6 )

{z-ir Z{G^,{s)K{s)} = ^^Z{-K{s)}

z s (8.110)

Z{^}^j^K{z)=^A.Z{lj + B-Z{^} + C-Z{^} - i^(3) = 0 , 5 + i + ^ . (8.111)

Gnois) K{s) K?fto(s)UJ G(s) L y{t)

Abbildung 8.19: Abtastregelkreis

8.28 * Naherungen fur PT25-Element nach Euler und nach Tustin

Angabe: Fiir rechnergestiitzte Ermittlung von z-Ubertragungsfunktionen empRehlt sich oft die Naherung, und zwar durch Substitution von s in der kontinuierlichen Ubertragungsfunktion durch einen Formelaus-druck in z anstatt von s.

Naheliegend ist der Ersatz der Differentialquotienten durch DifFerenzenquotienten unter Verwendung der Differenz zum vorhergehenden Abtastpunkt, also

dg{t) I 9ikT)-g[{k-l)T]

dt \t=kT T

(Analog verfahrt man mit hoheren Differentialquotienten.)

(8.112)

Page 185: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

8.29 Abtastregelung mit Einheitsregler 183

Aus y{t) = u(t) Oder Y{s) = ^U(s) wird daher die Rechteckintegration

y{k) = y{k-l) + Tu{k) (8.113)

(1 - z-^)Y{z) = TU{z) . (8.114)

Naherungsweise lasst sich also folgendes ersetzen

Y{z) = -^U{z) statt Y{s) = -U{s) oder s = ^ ^ , (8.115) z — 1 s 1 z

die sogenannte Euler-Naherung. Wird hingegen z = e*^ oder s = ^ In z nahe z = 1 in eine Potenzreihe entwickelt und nach dem ersten died abgebrochen, resultiert s ^ ^ j ^ , die Tustin-Formel. Da j dem

Ausdruck ^ jj^^-i entspricht, ist dies die Implementierung der Integration nach der Trapezregel. Fiir die

Ubertragungsfunktion des schwingungsfahigen PT2-Elements

sind der exakte Verlauf, die Euler- und die Tustin-Naherung gegeniiberzustellen. Losung: Fiir G{s) lautet die exakte ^^-Transformation einschliefilich Gho{s)

f, r,s o ( a = e-^ '^^^ cos(\/l - D'^ LJNT) G ( ^ ) ^ f e " ^ ^ " V o ^ ^ " " " ^ ^ . 1 ^^_n_^^nur.T,^^^^Y^rD2^^T) (8.117)

Die Diskretisierung der tjbertragungsfunktion mit Hilfe der impliziten Euler-Naherung und mit der Trapez-Naherung fiihrt auf

GEu{z) = k , )-l(2D, 2 ^ • 1 (Euler) (8.118)

(z -{-1)^ GTT{Z) = k-— J75 T— \ ^ — jp; J—- (Trapez, Tustin) . (8.119)

Bei cjjv = 1, £> = 0 und T = 1 liegen die Systempole durchaus stark verschieden bei

^12 = - 0 , 5 4 ± j 0 , 8 4 (exakt) (8.120)

^12 = - 0 , 5 ± i 0 , 5 (Euler) (8.121)

2 1,2 = - 0 , 6 ± i 0 , 8 (Tustin). (8.122)

8.29 Abtastregelung mit Einheitsregler

Angabe : Weiciie Pole besitzt der Regelkreis nach Abb. 8.20 mit der Strecke G{s) = TT^XIT? Riickfiihrung H(s) = 1 und Abtastzeit T = 1 ? Losung: Man findet

j.(,. G{z) _ {l-e-'r)z 0,63z ^' l + GH{z) (l-e-T)z + (z-l){z-e-T) {z - Zy){z - Z2) ' ^ '

Die Pole von T[z) liegen bei zi,2 = 0,37 ± jO, 48 .

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184 8 Abtastregelungen

yrefis) o E{s)

+ T

E*(s)

H{s)

G{s) Y{s)

Abbildung 8.20: Abtastregelung mit Riickwartsregler H

8.30 Differenzengleichung und 2;-Transformation

Angabe: Welche Losung besitzt die Differenzengleichung p{k) = —rp{k — 1) mit der Anfangsbedingung

p{0)=Po? Losung: Aus dem Einsetzen mehrerer A;-Werte ist zu erkennen, dass die Losung

P(0) = Po; p(l) = -rp(0) = -rpo] p(2) = -rp{l) = r'^Po -^ p{k) = Po{-l)^r^ = -rp{k - 1) (8.125)

lauten muss. Mit JJ-Transformation und dem Verschiebungssatz Z{g{kT-^T)} = z[G{z)—g(0)] erhalt man

zP{z)-zp{0) = -rP{z) P{z)=Po z + r

.126)

Durch synthetische Division findet man dasselbe Ergebnis p{k) = Po{—l)'^r^ .

8.31 Verstarkung an der Stabilitatsgrenze

Angabe: Im Vorwartszweig einer Abtastregelung liegt Gho{s) und ein ITi-Element mit Verstarkung V und Zeitkonstante gleicli 1. Wo liegt fiir die Abtastzeit T = 1 die Stabilitatsgrenze? Losung: Die Angabe fiihrt unmittelbar auf ein Fo(z) =

1 - e-^^ V ] _ z - l f V ^ _ z - \ ( r - 1 + e"^)^^ + (1 - Te-^ - e-^)z

s s(s + l ) i ~ z U2(s + l ) / ~ z (z-inz-e-T)

Die charakteristische Gleichung folgt aus l-{- Fo{z) = 0 zu

z'^ + ^(0,368y - 1 - 0,368) + 0,368 + 0,264^ = 0 .

(8.127)

(8.128)

Damit und mit |^| — 1 ' ^ V = 2,392 lasst sich die zugehorige Wurzelortskurve gut bestimmen. Die Verzweigungspunkte liegen bei —2,084 und +0,648, und zwar unter den Verstarkungen V = 15,05 und V = 0,1962.

8.32 Abtaster vor dem Vergleichsglied

Angabe: Welcfie StellgroBe und welctie AusgangsgroBe zeigt der Regelkreis nacli Abb. 8.21 bei Eingangs-sprung? Losung:

yref{t)=c7{t) G{s) = ^ Z{^} = Giz) (8.129)

^^^^ - l^Giz) 6\z-l){z-l)

y{t) = a{t) - T ( l - 6-^)^(^ - kT) .

u{kT) = T^—r-i = r ( l - 6-^) (8.130) Qk

(8.131)

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8.33 Ortskurve des Ahtastsystems 185

Vref

Abbildung 8.21: Regelkreis mit Abtaster vor dem Vergleichselement

8.33 Ortskurve des Abtastsystems

Angabe: Fiir T = 0,5 ist die Ortskurve G'^iju) aus G{ju) bei G{s) = jip^qr-r Losung: Nach

zu ermitteln.

1 °° 27r (8.132)

gilt fiir - 1 < a; < 1 gilt praktisch G*0'u;) = 2G'(jcj), da G^ju) = 0 fiir u; > 6 (siehe Abb. 8.22).

0.5

0

-0.5

-1

-1.5

-2

-2.5

' 3

1

- n 4 1 1

h ~ 1 r

\ ^

1

1

w = 0 w'= 0

3 1 1

^ J n ^ ^ ~ II ~ GU^) / o , 5

. L _ y-i —. 1 ^^ 1

1 J __

Abbildung 8.22: Ortskurven des kontinuierlichen und des

Abtastsystems

-1

8.34 Abschnittweise stabile Abtastregelung

Angabe: Die Abtastregelung mit Fo{z) = ^(^.^^^^^pg) ist fiir 0 = 1,2 mit der Wurzelortskurvenmethode

auf Stabilitat zu untersuchen. Bei welchem (groBeren) (5 ist die Stabilitatsgrenze gefahrdet? Losung:

Wurzelschwerpunkt

Verzweigung aus

- ( 0 + / ? - 0 , 5 ) = 0,23 (8.133)

- + j 3 ^ + j ^ ^ = 0 32^2+ ( 1 - 2 ^ ) 2 ; - 0 , 5 / 3 = 0 -^ z = 0,7SS.

Stabilitatsbereich gemafi

aus Fo{z; Vmm)\ -1 KT.in = 0,3

Knax aus der Wurzelortskurve der Abb. 8.23 ~> Fmax =0,95

(8.134)

(8.135)

Sobald der Verzweigungspunkt bei r = 1 liegt, kann Stabilitat nicht mehr eingehalten werden. Eingesetzt in die Verzweigungsgleichung liefert dies /3 = 1,6.

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186 8 Abtastregelungen

z{z-p){z + 0,b)

Abbildung 8.23: Wurzelortskurve mit einem Verzweigungspunkt innerhalb

des Einheitskreises

8.35 Stabilitatsdiskussion mit Wurzelortskurve

Angabe: Welche Stabilitatseigenschaften besitzt die Schleifeniibertragungsfunktion

^ V{z + 0,5) ^ V{z + 0,5) , "^^ {z-l)(z-0,5) z'^-l,5z + 0,5 '

Losung: Man erhalt den Verzweigungspunkt Zi,2 der Wurzelortskurve (Abb. 8.24) aus p^' = 0 zu

(8.136)

(^ - l ) (^ -0 ,5 ) - (z + 0,5)(2^-l,5)_ _ - l ± v T T 5 _ V ( ^ _ i ) 2 ( ^ _ 0,5)2 0 - - ^1.2 2 ° ' ^^' -^' ^2 ' ^^-^^^^

und zwar bei den Verstarkungen Vi = 0,05; 4,95. Der Wurzelortskurvenmittelteil ist ein Kreis mit dem Mittelpunkt (—0,5; 0) und Radius 1,22. Spezielle Wurzelortspunkte findet man aus 1 -\- Fo(z) = 0 zu

2^1,2 = -{V - 1,5) ± 7 ^ 2 _ 5 ^ ^ 0 , 2 5

Die Stabilitatsgrenze liegt bei \zi^2\ = 1 mit imaginarem zi und Z2 aus

(V^-1,5)2 1 - - ( y 2 _ 5 y + o,25) = i -^ y = y^,i, = 1 .

(8.138)

(8.139)

Abbildung 8.24: Wurzelortskurve mit zwei Verzweigungspunkten

8.36 Abtastregelung, Stabilitat iiber T und V

Angabe: Im Vorwartszweig einer Regelungliegt ein Abtaster, fernerGho{s) undG{s) — 77^:77• Wiehangt fiir festes V die Stabilitatsgrenze von der Abtastzeit T ab?

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8.37 * Schrittregler-Regelkreis 187

Losung: Es folgt

G.o( .)G(.) =. y ( , _ i ) ( , _ e - ^ ) (S-140)

l + FoW = l + ^{G/,o(s)G(5)} = ; 2 + [ e - ^ ( y - l ) + ( r - l ) V - l ] z + F - ( r y H - y - l ) e - ^ - 0 . (8,141)

Fiir y = 50 findet man T = TG = 0,04 fiir Losung in z am Einheitskreis, daher ist der stabile Bereich 0 < r < 0,04.

Alternativ ist fiir T = 1 die charakteristische Gleichung

z^ + [0,368(y - 1) - 1]^ + y - 0,368(2y - 1) = 0 (8.142)

und der Schnittpunkt mit dem Einheitskreis bei V - 0,368(2y - 1) = 1 -^ y = 2,39 erreicht; das zugehorige z lautet 0,244 ± 0,97. Die Wurzelortskurve zum Auslegungsfall T = 1 findet man aus

^"^'^ - ^ . ^ - 1 , 3 6 8 ^ + 0,368 = ° ' ^ ^ ^ ^ z 2 - 1 , 3 6 8 ^ + 0,368 ' ^^'^^^^

mit Polen bei 1 und 0,37 (gerundet); die Verzweigungspunkte resultieren aus Fo{z) = Z{z)/N{z)

dFojz) _ jz' - 1,37^ + 0,37) • 1 - (^ + 0,7)(2z - 1,37) . _ ^ 0 ^ ^ - 9 0^ (R^AA^ =: = 0 -^ 2 1,2 = 0,65; - 2 , 0 5 . (8.144)

Aus arg Fo{z) = —TT folgt mit z = x + jy

(j 1 / ?/ 7/ 7/ arc tan ^ ^^' ^ ^^ — arc tan arc tan = —TT (8.145)

0,37a;+ 0,26 x-1 a ; - 0 , 3 7 ^ ^

und nach Umformungen schlieBlich {x + 0,71)^+ y^ = 1,85 ; also ein Kreis mit Mittelpunkt bei ( -0 , 70; jO) und Radius 1,35. Die Gestalt der Wurzelortskurve ist jener in Abb. 8.24 sehr ahnlich.

8.37 * Schrittregler-Regelkreis

Angabe: Gegeben ist ein Schrittregler-Abtastregelkreis nach Abb. 8.25. Man analysiere die StabiUtat nach Nyquist unter Beachtung der Schleifenpolstelle bei s = 0 {z = 1) fiir V = 1. Wie lautet der Stabilitatsbereich fiir verschiedene V? Wie die Stationargenauigkeit? Wie die Sprungantwort fiir y = 1? Losung: Fiir die Schleife gilt

Die Ortskurve Fo{z) fiir z = e^^ und s = ju zeigt die Abb. 8.26. Fiir StabiUtat ist A = 1 erforderlich, aus der Zeichnung mit P = 1 und t/ = 0 ist dies gemafi U = N — P erfiillt. Fiir negative V verliefe der unendlich grofie Halbkreis iiber die linke Fo-Halbebene.

Das Fiihrungsverhalten zeigt

T{z) = T ^ ^ ^ - , , ^"^ , -> Pol bei z = — i - . . (8.147) ^ ^ l + Fo{z) Vz-hz-1 1 + y ^ ^

Wann liegt dieser reelle Pol zwischen —1 und H-1? Aus

- 1 < ^ < 1 I X (1 + y ) (8.148)

folgt: Fiir - 1 - y > 1 bei (1+y) negativ ^ y < - 2 , oder fiir 1 < 1 + y bei (1+y) positiv -^ y > 0 . Die Stationargenauigkeit erhalt man aus S{z) = 1 — T{z) fiir Yref(z) = ^^j und mit dem Endwert-

theorem zu Coo = 0. Die Sprungantwort y{kT) fiir yref{kT) = a{kT) lautet schliefilich fiir A; = 0; 1; 2; . . . zu y{kT) = 0,5; 0,75; | ; . . . , da

K( . ) = T ( . ) r . . H ^ ) = 5 i ^ 7 ^ = 2 . . - 1 + 1 = 0 - 5 + 0 , 7 5 z - + y ^ + . . . . (8.149)

Eine Kurzerklarung kann wie folgt gegeben werden: Durch den vorgeschalteten Taster wird der Inte­grator sprungfahig. Mit jedem Abtastvorgang wird die neue Regelabweichung zum alten Integratorstand addiert y{k) = y{k — 1) + e{k). Setzt man e{k) = yref — y{k) ein, so ergibt sich wegen der Verstarkung y = 1 die Rekursionsformel y{k) = [yref{k) — y(k)]/2, woraus sich die gleiche Wertefolge ergibt wie nach der ^^-Transformation.

Page 190: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

188 8 Abtastregelungen

-^Qr-^

T *

1 V s

Abbildung 8.25: Schrittregler-Abtastregelkreis

z-Ehene: P = 1

a; = 0,3

Fo{ju})-Ehene: U = 0

Abbildung 8.26: Nyquist-Ortskurve von Fo{z) fiir F = 1 und T = 1

8.38 P-Regler mit verschiedener Abtastzeit

Angabe: Der Abtastregelkreis nach Abb. 8.27ist zu analysieren. Wie lautet Fo{z) ? Wo liegen die Pole des geschlossenen Systems in Abhangigkeit von der Abtastzeit? Man gebe die Lage dieser Pole in der z-Ebene an, und zwar in Bezifferung nach der Abtastzeit. Wie ist die Stabilitat des Systems zu beurteilen?

yref(t)^^^

X\ i

Abtastzeit T

ADC

1 z) =

DAC

1

\u{t)^ 1 s + 2

1 y{t)

Abbildung 8.27: Abtastregelkreis

Losung:

C(.)^^{G..W^} = ^ z { l - ^ } =

Fo{z) = K{z)G{z)

2(s + 2 ) .

-^ 1 + Fo(;^) = 0 -> z:

2{z-

3e-

(8.150)

(8.151)

Die Wurzelortskurve nach dem Parameter T ist eine Strecke zwischen den Punkten 2; L ^ = 1 und 0 L -\ . Der Regelkreis ist fiir alle Abtastzeiten T (> 0) stabil.

8.39 I-Regler mit verschiedener Abtastzeit

Angabe: Gegeben ist ein Abtastregelkreis nach Abb. 8.28. Es wird angenommen, dass sowohl der ADC als auch der DAC eine Totzeit vonjeweils einem Abtastschritt bewirken. Wie lautet die Ubertragungsfunktion

Page 191: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

8.40 Schleppfehler hei einem Abtastregelkreis 189

der Regelschleife Fo{z), die Wurzelortskurve des Systems nach der Abtastzeit T (mit Verzweigungspunkten und Asymptoten) und wie der Stabilitatsbereich? Losung: Die Schleifeniibertragungsfunktion findet man zu

F„(z) = z{Gft„(s) je-2»^} z-1

z-^Z {?} = z\z-\) (8.152)

Der Verzweigungspunkt der Wurzelortskurve (Abb. 8.29) liegt bei einem Wert z = | . Der Punkt P als Schnittpunkt der Wurzelortskurve mit dem Einheitskreis besitzt die Phasenbeziehung — 2a — ^ = —TT . Die Winkelsumme des gleichschenkeligen Dreiecks (bestehend aus Pol, Doppelpol und Punkt P) liefert a + (TT — /3) + (TT — /?) = TT . Daraus folgt a — 7r/5 und ^ — Z-K/b. Aus der Betragsbedingung im Punkt P erhalt man wegen der Beziehung zp = cos a + j sin a

\Fo{z)\ = 1| • |1 | • I cos a + j s i n a — 1|

= 1 -> Tkrit =0,61S. (8.153)

yref[ • ^ ,

J i

Abtastzeit T

ADC K(s) = i s DAC

verzogerte AD/DA-Wandlung

y{t)

Abbildung 8.28: Abtastregelung

Abbildung 8.29: Wurzelortskurve nach der Abtastzeit T

8.40 Schleppfehler bei einem Abtastregelkreis

Angabe: Die Fiihrungs-Ubertragungsfunktion eines Abtastregelkreises sei mit

0,1967 T{z) = l-S(z)

22-l,6065;2r +0,8032 (8.154)

gegeben. Als SoUwertsignal liegt eine Rampe der Form t an. Es wird mit einem ADC~Element diskretisiert. Welcher Schleppfehler ergibt sich? Losung: Aus Yref{t) = t und Yref{z) — ijj{\i folgt

E{z)^Yr,s{z)S{z)^ {z^ - 1,6065^ + 0,8032 - 0,1967) Tz

;22-l,6065;^ +0,8032 (^ - 1)^ (8.155)

Page 192: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

190 8 Abtastregelungen

Der Schleppfehler Coo lautet somit

z — 1 lim e(t) = lim e(z) •

t^OO ^ ' 2-^1 Z ^ ' lim

r(;g-0,6065) _ 0,3935

^2-1,6065 H- 0,8032 ~ 0,1967 r = 2r. (8.156)

8.41 * Abtastregler in Tustin-Naherung

Angabe: Gegeben ist nach Abb. 8.30 die PTi-Strecke G{s) = j ^ und der PI-Regler K{s) = 4^1 + f ) .

Der Regler soil mit Hilfe der Trapez-Naherung (Tustin-Naherung s = ^ J^)> ^^^ Strecke mit Hilfe der z-Transformation realisiert werden. Man berechne aus G{z) und K{z) die Fiihrungsiibertragungsfunktion T{z) des zeitdiskreten Regelkreises und tiberpriife die Stabilitat des Regelkreises fiir die Abtastzeiten T = 1 und T = 0,2. Wie lautet die Sprungantwort fiir T = 0,2 ? Losung: Aus den Angaben folgt

; , ( , )^4^( r + i) + r - i ^g^^ j Z — 1

Fiir die Strecke gilt unter Bezug auf das Halteglied am Streckeneingang

( ) = (^--M;(^}=^' ,75-.1-e-

- fi-2T (8.158)

Abbildung 8.30: Diskreter Regelkreis

T{z) = S{l-e-^'^)-z{T-\-l)-^T-l

' z'^ + z{2 -h 3 r - 6-27^(4 + 3r ) ) + 3 r - 3 + e-2^(4 - 3T) ' ^ '"^^^^

Fiir T = 1 ist die Dynamik instabil, und zwar wegen {zi = -4,0190, Z2 = -0,0337); fiir T = 0,2 stabil {zi =0,6652, Z2 = -0,1818) . Die diskrete Sprungantwort des Systems fiir k = 0.. .AheiT = 0,2 lautet nach synthetischer Division von

Y{z) _ 1 ,1868^-0,7912

Yrefiz) ^2 _ 0,4835:2-0,1209 ^"^^^ z - \

zu 2/(0) = 0; 2/(1) = 1,1868; 2/(2) = 0,9694; 1/(3) = 1,0078; 2/(4) = 1,0001 .

(8.160)

8.42 Abtastregelung. Dead-Beat-Uberpriifung

Angabe: Ein Regelkreis besteht aus Strecke G{s), Halteglied Gho{s) und diskretem P-Regler K{z) — K, wobei

«(^) = (1 + . ) ( 1%0 .5 . ) • ^'-'"'^

Die Abtastzeit ist T = 0,5. Fiir den P-Regler iiberpriife man die Stabilitat und ermittle die Wurzelorts-kurve.

Danach iiberpriife man den Dead-Beat-Regler mit kiirzester Ausregelzeit

1 ^2 _ 0,9744^+ 0,2231 ^^^^ 3 0,2487^2 _ 0,1548^ - 0,0939

Losung: Die dazugehorende ^-Ubertragungsfunktion lautet

, (^ + e - ^ ) ( l - 2 e - ^ - h e - 2 ^ ) Giz) {z - e-T){z - e-^T>^

(8.162)

(8.163)

Page 193: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

8.43 * Rechner-Regler 191

Die Pole liegen bei zi = 0,6065, Z2 = 0,3679, eine Nullstelle bei z = —0,6065; die Verzweigungspunkte der Wurzelortskurve bei zi = 0,4811, Z2 = —1,6936. Die Wurzelortskurve besteht nur aus Geraden und Kreisen. Die Stabilitatsgrenze ermittelt man entweder graphisch oder mit den Wurzelsatzen von Vieta

(ki,: 1) Oder aus dem Schur-Cohn-Kriterium fm —^ < K <2, 7577 . Mit dem Dead-Beat-Regler folgt die Fiihrungsiibertragungsfunktion T(z), die Ausgangs- und die Stellgrofie y{kT) bzw. u{kT) zu

T{z) = 0,6225z-^ + 0,3775;^-2 (8.164)

2/(0) = 0; 2/(r) = 0,6225; y{kT) = 1 fiir A: > 2 (8.165)

u{0) = 1,3402; u{T) = 0,0343; u{kT) = 0,333 fiir A; > 2 . (8.166)

8.43 * Rechner-Regler

Angabe: Der Regler nach Abb. 8.31 fiihrt in Abstanden von 50 Millisekunden folgenden Algorithmus aus: y, yref einlesen; u := 25{y — yref) +vi; u ausgeben; vj := vj + 2,5{y — yref) • (Der Anfangswert von vj sei null.)

Welchen Typ stellt dieser Regler dar? Wie lauten die entsprechenden Reglerparameter? Man skizziere die Sprungantwort des Reglers. Nach welcher Zeit ist die Regelung ausgeregelt, und zwar unter relativer Abweichung < 2 %? Wie groB ist die Uberschwingweite? Losung: Zufolge repetierender Addition bei Berechnung von vj handelt es sich um einen PI-Regler. Der Faktor 25 entspricht unmittelbar dem Parameter Kp. Da im Laufe von 50 Millisekunden die Integralkom-ponente um 2,5 wachst, ist der Faktor der Integration

TN

2,5 0,05

TN = 0,05 Kp

2,5 0,5 ^167)

Wird das Halteglied nuUter Ordnung durch ein PTi-Element mit der Zeitkonstante Ti = 25 Millisekunden approximiert, so erhalt man

^^^^^ = H'^ok)TTWi , 025s {s + 2)(s + 10) s(l + 0,025s)(l + 0, Is)

Summiert man die kleinen Zeitkonstanten, folgt

5 Fo{s) =

s( l +0,125s)

Daraus ergibt sich

T{s) = Fois) 1

l + 0 , 2 s + ^ s 2

(8.168)

(8.169)

(8.170) 1 + F , ( s ) . . . , . . , 40O

cj^ = x/io = 6,32 i:> = 0,632 Ah = e~^/f^^ = 0,077 e'^'^^^^'^" = 0,02 ^ 2% = 0,98 . (8.171)

Vref 1

Regler u

Strecke 1

2 (s + 2)(s + 10) Abbildung 8.31: Digitaler Regler in

analoger Nachbildung

8.44 Stabilitat in der u'-Ebene

Angabe: Die Schleifeniibertragungsfunktion eines Standardregelkreises laute

1 Fo{z) =

z2 + 0 , 5 ( y - 3 ) z - 0 , 5 ' (8.172)

Page 194: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

192 8 Abtastregelungen

Fiir welchen Bereich von V ist Stabilitat zu erwarten? Losung: Mit it;-Transformation z = j ^ folgt

Foiw) = w^ -2w-{-l

«;2(2 - 0, Sy) + 3 ^ - 1 + 0, bV '

Das charakteristische Polynom des Regelkreises lautet aus 1 + Fo(w)

w^{3-0,6V)+w-\-0,5V .

(8.173)

(8.174)

Fiir Stabilitat unter positiven Koeffizienten ist 0 < F < 6 erforderlich. Zum Vergleich siehe Gl.(4.64) aus Band 2 {Weinmann, A., 1995).

8.45 * Abtastregelkreis. Regler mit und ohne Halteglied

Angabe: E'm Abtastregelkreis laut Abb. 8.32 mit K{s) = ^ und G{s) — e~*^^ liegt vor. Die Abtast-zeit sei T = 1. Welche Stabilitatsverhaltnisse zeigt der Abtastregelkreis? Welcher EinBuss des Regler-Halteglieds besteht auf die Stabilitat?

Gfio K{s) Gho G{s)

Abbildung 8.32: Abtastregelkreis mit und ohne Halteglied im Regler

Losung: Man erhalt

Z{Gho{s)K{s)} = T 1

Tiz-1 Z{Gho{s)G{s)} = t{z) =

1 Tiz^z-1)

(8.175)

Die Wurzelortskurve mit Regler-Halteglied zu Fo,mit{z) nach Abb. 8.33a besitzt vier Asymptoten mit einem Wurzelschwerpunkt bei 0,25. Verzweigungspunkte liegen bei 0 und 0,75.

Unter fehlendem Halteglied im Regler findet man

Z{Kis)} = J z_ Tjz-l ^o,ohne\^} —

1 1 Yiz^iz-l)

(8.176)

und die Wurzelortskurve nach Abb. 8.33b. Mit bzw. ohne Halteglied im Regler liefert Unterschiede laut Tabelle 8.1 und Abb. 8.34.

Tabelle 8.1: Qualitatsunterschiede je nach Installation des Halteglieds

Tj bei Durchtritt durch den Einheitskreis Stabilitat Stabilitatsbereich Schwingungsfrequenz an der Stabilitatsgrenze (genahert)

mit Halteglied

2,24 schlechter Ti > 2 , 2 4 1/14 Hz

ohne Halteglied

1,62 besser

r / > l , 6 2 1/10 Hz

Page 195: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

8.45 * Abtastregelkreis. Regler mit und ohne Halteglied 193

Abbildung 8.33: Wurzelortskurven fiir die Falle mit (a) und ohne (b) Halteglied im Regler

[Jli :

riir

(t)

0. s. 10. IS. 2a 3a 9S. 40. 45. sa

n... t

M-

k...

\[f--

|n...

1

\ h kr-"i

|--c

y

>i

5. 10. 15. 20. 25. 30. 35. 40. 45. SO.

Abbildung 8.34: Dauerschwingung des Regelkreises mit dem Regler bei Tj = 2,24 mit Halteglied (a) sowie bei Tj = 1,62 ohne Halteglied (b)

Page 196: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

194 8 Abtastregelungen

8.46 * Zeitoptiraale zeitdiskrete Zustandsregelung

Angabe: Eine EingroBenstrecke vierter Ordnung liegt vor,

^{T) =

/ O 1 0 0 0 0

V 0 ( 2

0 1 0

<f3

0 ^ 0 1

^4 J

B = b = 0 0

U

(8.177)

verwendet werde der Zustandsregler k = {ki k2 ks k^Y'. Losung: Fiir den Regelkreis gilt

x(z +1) = <&(r)x(z) + ^u{i) = *(r)x(i) + *k^x(i) = [*(r) + ^k^]x(0 = ^ci{T)x{i) (s.irs)

^ci{T)

/ 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

\ ki (/72 + h (fs + h < 4 + k4

(8.179)

Ein Vierfacheigenwert von ^ci{T) im Ursprung der ;2;-Ebene ist das gewiinschte Ziel, also ein charakteri-stisches Polynom Pci{z) = z^ = 0.

Variante 1: Die Eigenwerte z zu ^ci{T) folgen aus det[2;I— ^ci{T)] = 0 . In diese Beziehung eingesetzt und ausgerechnet verlangt, dass die letzte Zeile von ^ci{T) nur Nullen enthalt. Damit resultiert fiir den Zustandsregler k = (0 — ip2 — ^3 — ( 74) .

Variante 2: Nach dem Satz von Cayley-Hamilton geniigt die Matrix ihrem charakteristischen Polynom, also gilt neben z"^ = 0 auch ^li{T) — 0 . Diese Bedingung fiihrt zu demselben Ergebnis.

8.47 Abtastregelung mit verschiedenen Abtastzeiten

Angabe: Fiir die Abtastregelung nach Abb.8.20 ist e{i) fiir T = 0,1 und T = 1 zu ermitteln. Losung: Mit den wesentlichen Schritte in MATLAB zeigt Abb. 8.35 das Ergebnis.

s y s S = f e e d b a c k ( t f ( [ l ] , [ l ] , T ) , t f ( [ l - e x p ( - T ) 0 ] , [1 - l - exp ( -T ) e x p ( - T ) ] , T ) ) ; [numS,denS ,Ts ]= t fda ta ( sysS , ' v ' ) ; dstep(numS, denS, 100)

s t e p R e s p o n s e S t e p R e s p o n s e

N u m m e r i d e s A b t a s t s c h r i t t s N u m m e r i d e s A b t a s t s c h r i t t s

Abbildung 8.35: Regelabweichung des Abtastregelkreises nach Abb. 8.20 bei T = 0,1 und T = 1. (Bei konjugiert komplexen Wurzeln von denS beantwortet |^i,2,c/| = e~^'^^ die Nahe zur Stabilitatsgrenze.)

Page 197: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

Kapitel 9

Mehrgrofienregelungen

9.1 P-kanonische Darstellung aus der V-kanonischen

Angabe: Wie sieht die P-kanonische Darstellung zur V-kanonischen Darstellung nach Abb. 9.1 aus? Losung: Aus der Abb. 9.1 wird

yi = 3{ui +

2/2 2(^2 +

sH-2

s + 1

2/2)

2/1)

(9.1)

(9.2)

entwickelt und gegenseitig eingesetzt, um die Abhangigkeit einer Ausgangsvariablen von den beiden Ein-gangsvariablen ui zu erhalten

3 2 2/1 = 3ui + ^—^-^(2^2 + T T T 2 / I )

2/2 2^2 +

s + 2

2

s + V

(3wi + • 72/2)

s^ + 3s - 4 ^ 6

2/1 (, + ! ) ( , + 2 ) ^ ^ " ^ + 7 T 2 " ^

§2 + 35 - 4 ^ 6

s + 1 ' s + 2

Daraus kann schlieBlich die Ubertragungsmatrix in P-kanonischer Darstellung abgelesen werden

6(s + 1)

G{s) =

3(g + l)(g + 2) s^ f 3s - 4 s^ + 3s - 4

6(s + 2) 2(s + l)(s + 2) s'^ + 3s - 4 s^ + 3s - 4

(9.3)

(9.4)

(9.5)

ui{s)

U2{s) y \

3

1 s + 1

2/1 (s)

1 s + 2

2 2/2(5)

Abbildung 9.1: V-kanonische Strecke

Page 198: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

196 9 MehrgroBenregelungen

9.2 Zweigrofiensystem mit einseitiger Kopplung

Angabe: Man beurteile die Stabilitat des Systems

Fo = (9.6)

"5(s + 5) (5 + l)(5 + 3)

Losung: Die Stabilitat des Systems mit einseitiger Kopplung ist garantiert, wenn die Ortskurve des Aus-drucks det(I + Fo) den Ursprung nicht umschliefit und die Pole der Kopplungselemente stabil sind. Die Ortskurve von

s^ + 3s + 5 s^ + 4s -f- 5 w \ - (-1 1 \ /-, 2 > _ s^ -h 3s + 5 s^ + 4s -f-"^^^^^"^ " ^ " r " ^ s 2 - f 3 s + 4 J l ^ ' ^ ( s + l)(s + 3 ) J ~ s 2 + 3s + 4 ' s 2 + 4 s +

(9.7)

ist in Abb. 9.2 dargestellt und zeigt keine Umfahrungen um den Ursprung. Da | instabil ist, ist auch das resultierende System instabil.

Abbildung 9.2: Nyquist-Ortskurve von det(I + Fo)

2 ^e

9.3 Stabilitat eines V-kanonischen Systems

Angabe: Handelt es sich bei dem V-kanonischen ZweigroBensystem der Abb. 9.1 um eine stabile Anord-nung? Losung: Wird der V-kanonischen Struktur entsprechend das Gleichungssystem im s-Bereich aufgestellt,

(9.8) 2/1 (s) = 3[ui + 7^:1^2/2(5)] 2/2(5) = 2[u2{s) + 7^2 /1 (5 ) ] ; + 2'' s + :

und eine algebraische Umwandlung besorgt, bei der 2/15 2/2 auf der linken und ausschlieBlich 1*1, 2 auf der rechten Seite stehen, also

3 2 2/1 = 3^1 + —-—{2u2 + - — T 2 / I ) 2/1(1 • s + 2 ' " ' s + 1

so folgt entsprechend y(s) = G(s)u(s)

«( ) = (.-1)1 + 4) ( Die gemeinsame Polstelle bei +1 verweist auf instabiles Verhalten

(s + 2)(s + l) — _ ) = 3^1 + J + 1)/ s + :

•U2

3(s + l ) ( s - f2) 6(5 + 1) 6(s + 2) 2(s + l)(s + 2)

(9.9)

(9.10)

9.4 Fiihrungsautonomer Mehrgrofien-Regelkreis

Angabe: Zur Abb. 9.3 ist K(s) fiir Fiihrungsautonomie gesucht. Es gelte Kii{s) = K22{s) — Losung: Aus den Streckenbeziehungen

2/1 (s) = -[^^1(5) - 32/1 (s) + {U2{s) - 22/1 (s)}]

2/2 (5) = U2 (s) - 22/1 (s) - \ux (s) - 32/1 (s)]

(9.11)

(9.12)

Page 199: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

9.5 * Zweischleifige Regelung mit QuerbeeinRussung 197

Vref,!

yref,2

^ L

^ i i W

1

i^2l(s)

1

K22{S)

1 "''/

+

•^"^ . r ^

" 2 V

, tn

V' V I A

i-+ ^

3

1 s

2

— 2/1

*~- y2

folgt

Abbildung 9.3: Mehrgrofienregler zur Autonomisierung

G{s) = s + 5 •4 s4-i.)

Diagonalitat von G(s)K(s) verlangt

K\2 = —7;—G12K22 = — Gil s

K - ^ r T- - ^ ^ + ^ •"•21 — —7^—v_T2iAii — - — CT22 S S + O

Die diagonale Fuhrungsiibertragungsmatrix besitzt dann

1 Tn{s) =

T22{s) =

l + 3s + 0,5s2 1

(cJ iv -1 ,41 ; D = 2,12)

1 + 0,55

(9.13)

(9.14)

(9.15)

(9.16)

(9.17)

Bei Sprung beider Sollwerte zum gleichen Zeitpunkt sind die Antworten yi und 2/2 des entkoppelten Systems eine PT2- bzw. PTi-Sprungantwort mit Zeitkonstanten von rund 3 und 0,2 sowie 0,5 Sekunden.

9.5 * Zweischleifige Regelung mit Querbeeinflussung

Angabe: Wie ist die Dynamik der Regelung nach Abb. 9.5 zu beurteilen? Losung: Die vereinfachte Stabilitatsbedingung lautet: AUe Losungen in s aus

det(I ^-.)—(':r IJO-ITI'" (9.18)

miissen negative Realteile besitzen. Die Losung s = — 3 ist zwar notwendig, jedoch nicht hinreichend fiir Stabilitat. Da der Nebenzweig -^ instabil ist und einseitige Kopplung vorliegt, bewirkt er eine iiber alle Grenzen wachsende Querbeeinflussung zwischen den Hauptregelkreisen, obwohl er nicht in die charakteri-stische Gleichung eingeht. Das System ist daher instabil.

Die Reaktion von y - selbst auf die Nullanregung - entspricht einer Instabilitat zufolge der Polstelle bei + 1 .

9.6 * Regelkreis in nur teilweiser Funktion

Angabe: Unter welchen Bedingungen ist der Regelkreis nach Abb. 9.6 unter a = 3, 6 — 1 und unter Ra = I, Rb = 10 stabil, wenn

Page 200: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

198 9 MehrgroBenregelungen

Sprung A=1 ,

A0=0

p> Addierer vrefl [ W=-1 [ ^

Sprung A=1 , yref2

t€=10 ^ h=0.01

^ Addierer r k1=1 [3-•B> k2=-1

Abbildung 9.4: Blockbild der Mehrgrofienregelung in Simulation mit ANAv2.0 {Goldynia, J.W., und Marinits, J.M., 1996)

Vref

K>

s + 2

1 s - 1

1

4

*r 1

Abbildung 9.5: Regelungsblockbild

(a) das System am Ausgang des Reglers Ki aufkonstant blockiert ist und nur K2 in Funktion ist? (b) der Regler K2 auf konstant blockiert und nur der Regler Ki mit Ki = 4-\- 2 v ^ in Betrieb ist?

Man berechne auch den Verlauf von yi{t) bei Anlegen eines Einheitssprungs an U2 bei K2 = 0. Losung: Unter (a) findet man als Schleifeniibertragungsfunktion

Fo{s) = K2 1 K2

1 + 1 0 ^ 1 ^ g + i

(s+l)(s-3) (9.19)

und das charakteristische Polynom des Kreises zu s^ + s{K2 — 2) + 7 — 3i('2- AUe KoefRzienten sind fiir Stabilitat dann positiv, wenn 2 < i^2 < 7/3 erfiillt ist.

Unter (b) gilt

Fo{s) = Ki s-3

1 + 10 1 1 1 - ^ 1

1 S-3

s^-2s+7 (5+l)(s-3)

(9.20) ^s-3-^s+l

Das charakteristische Polynom des Regelkreises unter Ki = 4 -{- 2A / I0 besitzt eine Doppelwurzel bei

Page 201: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

9.7 Entkopplung einer Messmatrix 199

c= —1 — VIO- Der Regelkreisausgang auf Stellgrofiensprung lautet dann

^W = 7(7T^ = ^ 4 7 - ? 7 T ^ 4 ( 7 T ^ l - ..(*) = i ? [ i - e - - * - ] *>o. (9.2i)

Vrefl

2/re/2

f ~ s J

Regler 1

Ki '^i ^^

+ T+

1 s — a

Ra

2/1

• O +s 1 _

Regler 2

K2 1 2 ^ / \ 1 '^^^

Rb

1

s + 6 1 ^2

Abbildung 9.6: Zweigrofienregelkreis

9.7 Entkopplung einer Messmatrix

Angabe: Bei der Messung an einer ZweigroBenstrecke treten unerwiinschte dynamische Verkopplungen auBerhalb der Hauptdiagonale auf. Durch ein dieser Messeinrichtung nachgeschaltetes Filter V(s) sollen die dynamischen Verkopplungen, d.h. die Elemente auBerhalb der Hauptdiagonale, zu null aufgehoben, die Elemente in der Hauptdiagonale aber nicht beriihrt werden. Wie lautet V(s) ? Losung: Die tatsachliche Messmatrix M(5) wird additiv in einen erwiinschten Teil M.d{s) als Diagonal-matrix und in einen Storteil Ms(s) in der Nebendiagonale zerlegt, also

M ( s ) = M d ( 5 ) + M,(s) .

Durch das Nachschalten eines Filters V(s) soil Md(s) allein hergestellt werden, also

V(s)M(5) = Md{s) .

Einsetzen liefert die Losung exakt und in Naherung, d.h. bei kleinem Ms(5),

V{s) = [l + Ms{s)M-Hs)]-' = I - M , ( s ) M - i W .

(9.22)

(9.23)

(9.24)

9.8 * Tilgung einer Verkopplung

Angabe: Die Schaltung einer MehrgroBenstrecke ist in Abb. 9.7 gezeigt. Die Streckeniibertragungsmatrix lautet

G(s) = f 4i in \ l+2s l+3s

Welcher Kompensator K(s) erzeugt eine autonome Fuhrungsiibertragungsmatrix, die die Elemente der Hauptdiagonale von G(s) unverandert belasst, aber die Verkopplungen kompensiert? Losung: Die Losung erhalt man aus der Beziehung nach Abb. 9.7. Aus

(9.25)

Tis)u{s) = y{s) Gis)[u{s) - Kis)y{s)] = yis) (9.26)

Page 202: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

200 9 MehrgroBenregelungen

folgt K{s) = T-\s)-G-Hs);

und zwar mit Gii{s) = Tii(s) und ^22(5) = ^22(5) sowie Ti2(s) = 0 und T2i(s) = 0 zu

^ ^ GnG22-Gi2G2i V - ^ 2 1 G ii

^11 = 7 7 - -

K12 =

K21 =

K22 =

G22 ^ 12(g + l)(35 + l)

Gn G11G22 - G12G21 " 2s2 - 335 - 11 G12 ^ 4(2g + l)(35 + l)

G11G22 — G12G21 2 s 2 - 3 3 s - l l

^21 3(s + l)(3s + l)

G?ii<^22 - G12G21 ~ 2s2 - 33s - 11 J Gn _ 12(3s + l)^ G22 G11G22 - G12G21 ~ (2s2 - 33s - l l ) ( s + 1)

(9.27)

(9.28)

(9.29)

(9.30)

(9.31)

(9.32)

(9.33)

G(.)

1

K{s)

y{*)

Abbildung 9.7: Mehrgrofienstrecke G(s) mit Entkopplungsriickfiihrung

9.9 * Mehrgrofienregelung ohne Kopplungsregler

Angabe: Gegeben ist die ZweigroBenregelung nach Abb. 9.8. 1st sie stabil? Gegeben ist welters

-•••'(^O'Co: Losung:

r (,^ - ^^\ - 1 . 1 , A _ 3 , 2 5 . - 1 Gi2(s. — 2» _ 0,5

G21W = 0,75

G22{s) = Gl2(s) 0,5

l - 2 i . - 1

^ ' ' " V G2l{s) G22{S) J s — 1 s — 1

Fiir den angesprochenen Regelkreis mit dem unverkoppelten Regler K gilt

y{s) = (I + G K ) - i G K y , e / = ^^^^G^Yref = T(s)y.e/(s)

Weiters folgt

det(I + GK) =

det(I + GK)

12s2 + (13/ci + 6A;2 - 12)s + 2kik2 - 4A;i 12s(s - 1)

in dieser Vereinfachung, weil sich ein Term (s — 1) wegkiirzt.

(9.34)

(9.35)

(9.36)

(9.37)

(9.38)

Page 203: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

9.10 ZweigroBenregelung und Routh-StabiUtat 201

Vrefl / ^

—P ^

2/re/2 + / ^

ki

fc2

"' • .1 ^ 1 tr ~\ 1 '

O:—[^}—1 "' .o .1 1 1 ,''

+KJ [ j s l * 1

Abbildung 9.8: ZweigroBenregelung

Die Fiihrungsubertragungsmatrix lautet nach DERIVE und T{s) = [I + G(s)K(5)]-iG(5)K(5)

T{s) = 12s2 + s(l3A;i + 6k2 - 12) + 2^1(^2 - 2) V ^^is 2k2(ki + 3s)

/ 13A;is + 2A;i

V 9A;ifi ( 2 - 2) 6/u2S

Die Bedingung fiir Stabilitat (bei vorausgesetztem ki > 0) verlangt

13ki + 6A;2 - 12 > 0

2ki{k2-2)>0 ^ k2>2.

(9.39)

(9.40)

(9.41)

k2'

2 X/i/A///y^ Bereich

ki

Abbildung 9.9: Stabiler Bereich in der A:i-A:2-Ebene

Aus der ersten Bedingung folgt ki > ^^^f^, was bei ^2 > 2 auf nichts Engeres fiihrt als fci > 0, siehe Abb. 9.9.

9.10 ZweigroBenregelung und Routh-Stabilitat

Angabe: 1st die ZweigroBenregelung nach Abb. 9.10 stabil? Losung: Nach Abb. 9.10 folgt

I? r ^ f 0,2 0 \ 7iTT2s) 0,4 1,5 1

l+5s+6s2 i+3s (9.42)

Page 204: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

202 9 MehrgroBenregelungen

det[I + Fo(s)] = 0 -^ 6s^ + 15s2 + 6 s + 1,2 = 0 (9.43) si = -2 ,062 52,3 = - 0 , 2 1 9 ± i 0 , 2 2 1 .

Bei allgemein strukturierter und computeralgebraisch durchgefiihrter Determinantenberechnung erhalt

(36s^ + 120s^ + 117s^ + 52,2s^ + Us + 1.2)/(36s^ + 60s^ + 37s^ + lOs^ + s)=Q.

Darin kiirzen sich zwei Zahler- gegen Nennerterme, sodass aus dem System 5. Ordnung eine charakteristi-sche Gleichung von nur drittem Grad verbleibt.

Das System ist stabil, und zwar gemafi Auswertung mit dem Routh-Schema

(9.44) 6 15

_ (7,2-90) Q 15 ^ ^

6 1,2

Abbildung 9.10: Zweigrofienregelung

(9.45)

9.11 * Mehrgrofien-Abtastregelung im Zustandsraum

Angabe: Eine MehrgroBenstrecke liegt vor

G(5) = ( 1 J _ ) y{s) = Gis)n{s) .

Wie lautet die diskrete Zustandsraumdarstellung $ , ^ dieses Systems fiir die Ahtastzeit T = 1 Sekunde, wenn C als Einheitsmatrix I gegeben ist? (Hinweis: Die beiden Teilsysteme konnen getrennt in den Zu­standsraum gebracht werden.) Wie sieht ein Zustandsregler K,V entsprechend der angegebenen Struktur aus, der die Entkopplung der Kanale beibehalt und die Pole des Fiihrungsverhaltens bei z — ^ plaziert? Wie lautet die Fiihrungsiibertragungsmatrix T{z) ? Losung: Teilsystem 1 entsprechend Gii{s):

Ai =0 Bi = l Ci = l

$(5) = i ^{t) = l ^i{T) = l

(9.46)

(9.47)

* i ( r ) =

Teilsystem 2 entsprechend G22{s):

A2 = - 0 , 1

$(s)

I i T + ^ i - + . . . ) B i = l wobei trivialerweise Ii = 1

s + 0,1

^ (T) = A^^{e^^^-1)B2

B2 = 0 ,2

0 ,190 ,

•• 0 ,905

(9.48)

(9.49)

(9.50)

(9.51)

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9.12 ^ ZweigroBenregelung mit I-Reglern 203

Beide Teilsysteme zu einer Mehrgrofienstrecke im Zustandsraum vereinigt ergibt

*(^)=(J 0,9°05) *(^)=(J 0,m) C = I. (9.52)

Der Reglerentwurf fiir Fiihrungspole bei z = 0 verlangt det[^I — ^ ( T ) — '^(T)K] = z"^. Mit einem entkop-

pelten Regler K = I ^ , ) folgt

Bei ^ci{z) = r Q M lautet T(^)

T(.) = VC*.W* = v l ( ^ 0 ( 5 0 , ? 9 o ) = v ( 5 4 ^ ) - (9-5 )

Damit T(2;) zu j l wird, hat folgende Beziehung fiir V zu gelten

9.12 * Zweigrofienregelung mit I-Reglern

Angabe: Gegeben ist die ZweigroBen-Regelstrecke laut Blockschaltbild Abb. 9.11. Sie wird mit zwei ska-laren I-Reglern ^ ^ , -pfr- im Direktzweig geregelt. Verkopplungen im Regler sind nicht installiert. Wie lautet die Fiihrungsiibertragungsmatrix T{s)? Mit welchem Ubertragungsverhalten ist zu rechnen? Wie lautet die Zustandsraumdarstellung des Regelkreises, wenn der Zustandsvektor durch x = (xi ui U2)^ definiert wird? Ist der Regelkreis fiir Tn = 1 und Tj2 = 1 stabil? Losung: Im Frequenzbereich gilt (wobei nur yi im einzelnen ausgefiihrt ist)

yi=xi = -[ui -32/1 +U2 -2yi] = -[ui +U2] byi ^ 2/i(l + - ) = -[^^i +U2] (9.56) s s s s s

1 1 / ^ - ^ - \ 2/1 = ^ - ^ t i i + - T T ^ 2 = Gnui + G12U2 -> G(5) = J+l^ | i | . (9.57)

\ s+5 s+5 J 5 + 5 S + 5 \ 5+5 s+5

Die Zustandsraumdarstellung findet man zu

2/1 ~ xx i:i = (wi - 3a;i) + (1*2 - 2a;i) = -hx\ -\-u\-\-U2 (9.58)

2/2 = ( 2 - 2xi) - (u\ - Zx\) = x\-\-U2 — u\ (9.59)

^1 = (2/re/i - 2/1) • jT- ^ n\ = j^iVreh " ^ l) (^-60)

U2 = iVreh - 2/2) • -T?r~ ^ '^2 = 7f-{yref2 - Xi - U2 + Ui) (9.61) Si 12 112

^2 / V - i v l TH -777 J \'^'^ ) V 0 177

(::)=(:-".;):;V(2S)(::;: (9.63)

/ - 5 1 1 \ Wegen A = - 1 0 0 lautet das charakteristische Polynom 5^ + 6s^ + 75 + 2 . Nach Routh ist

V - i 1 -\) Stabilitat leicht zu bestatigen.

Page 206: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

204 9 MehrgroBenregelungen

Ui

U2

>- yi

2/2

Abbildung 9.11: Zweigrofienregelstrecke

9.13 * Dynamisches Vorfilter zur Autonomisierung

Angabe: In der MehrgroBenregelung nach Abb. 9.12 ist das dynamische Vorfilter V(s) derart zu dimen-sionieren, dass unter den gegebenen G{s) und K(s) ein fiihrungsautonomes Gesamtiibertragungsverhalten T(s) entsteht. Es gilt

Losung: Die Analyse von Abb. 9.12 ergibt im Spektralbereich

y = GK(Vyref - y) y = Ty^e/

und daraus

V( . ) = {I + [G(5)K(5)]-^}T(5) = ( ^'Q ^ .^21^^ V ^ 20(s+l)2

(9.64)

(9.65)

(9.66)

Yrefis) V{s) - \ ^ _ _ K

k

G{s) 4

-^ h W •---

Abbildung 9.12: Dynamisches Vorfilter V(s) zur Entkopplung der MehrgroBenregelung

9.14 Identi tat

Angabe: Betrachtet man die Zustandsregelung mit Ausgangsriickfiihrung, so erhalt man in direkter An-wendung des Zustandsreglers einerseits und mit Verwendung der Ubertragungsfunktion der Strecke ande-rerseits zwei verschiedene Ansatze, die auf Gleichheit zu iiberpriifen sind. Ist also die daraus resultierende Beziehung

C{sl - A + B K C ) - ^ B = C(s l - A)-^B[I + KC(5l - A ) - i B ] - ^ (9.67)

richtig?

Page 207: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

9.15 KontroUheobachter 205

Losung: Mit T = si - A gilt

C(r + BKC)-^B = Cr-^B[I -f K C r - i B ] - i . (9.68)

Rechtsmultiplikation mit [I + KCr~^B] liefert

C ( r + BKC)-^B[I + KCr-^B] = C r - ^ B (9.69)

c{(r + BKcy^T + (r + BKC)-IBKC - i}r-^B - o (9.70)

C ( r + B K C ) - ^ { r + BKC - ( r + BKC)}T-^B = 0 , q. e. d. (9.71)

9.15 KontroUbeobachter

Angabe: Die Regelstrecke befolge mit dimensionsgleicher Stell- und AusgangsgroBe {m = r) x e TV] z, z G Te^-''; y e W\ VL e TV^ die Beziehungen x = Ax + Bu, y = Cx . Der KontroUbeob­achter folgt

z = F , z + Ly + H u (9.72)

u =: K^z + K^y = K x . (9.73)

u = u + y r e / . (9.74)

Dabei ist die Variable z des KontroUbeobachters aus x gemaB z + z = T x zu entwickeln. Die Matrix K reprasentiert den vergleichbaren Zustandsregler K^T + K^C = K . Losung: Fiir stationar verschwindendes z ist {Korn, U., und Wilfert, H.-H., 1982)

F^T - TA + LC = 0 (9.75)

und H = T B zu verlangen sowie ?fte A^F^] < 0 Vi = 1 . . .n - r, \\Fz] ^ A[A] und schliefilich F^ mit Eigenwerten ein festes Mafi weiter links als A[A + BK] . Ausgangspunkt fiir den Entwurf ist die Wahl von F^ und L. Nach Wahl von L folgt aus Gl.(9.75) die Matrix T mittels MATLAB lyap

T = lyap (F^, - A , L C ) oder mittels colT = (A^ 0 I^-r - In <S) F^)~^col(LC) . (9.76)

Das Gesamtsystem gehorcht der Gleichung

/ x N ^ / A . B K , C : B K . ) ( ^ , ( B X ^^^ ^.^^^

^ ^ ^ V(I' + HK,)C ; HK, + F, y ^ ^ ^ ^ " ^

Die StellgroBe u wird von u bezogen, wobei der Schatzfehler u nach null strebt, also u = u-f u mit u =: K^z, i= F^z, z = exp(F^^)[Tx(0) - z(0)] {Weinmann, A., 1991; 2003).

9.16 Grenzstabilitat einer ZweigroBenregelung

Angabe: Die Regelstrecke mit zwei EingangsgroBen besteht aus zwei Integratoren und B = I2. Welcher

Zustandsregler vom Typ K = f , , ] erreicht gerade Grenzstabilitat mit vorgegebener Frequenz LJQ ?

Losung: Es gilt A = O2 und

det(sl2 - A - BK) = det ( ^J^ ^ ^ Z\ J = (^ + J^o){s - M ) (9.78)

s^ + s - /u4S - ^4 - A;3 = s^ + CJQ bei k4 = 1 und ks = UQ - 1. (9.79)

Page 208: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

206 9 MehrgroBenregelungen

9.17 * Schrittweise Verbesserung des Stabilitatsradius

Angabe: Fiir den Regelkreis mit dem Ausgangs-Zustandsregler Ky lautet die Koeffizientenmatrix des Regelkreises Ad = A + BK^C und die Charakteristik nach Cremer, Leonhard, Michailow pci{juj) = det{juln — Aci). Die Ursprungsdistanz ho kann als Stabilitatsradius aufgefasst werden. Dieser soil durch Anderung von Ky schrittweise optimal verbessert werden. Losung: Stabilitat vorausgesetzt, gilt

min \Pci{j(^)\^ = minp*i{jij)Pci{j(^) = mindet(a;^In + A^J = hi (9.80)

Differenzierung nach u {Brewer, J.W., 1978; Weinmann, A., 2001) unter Verwendung von

- g ^ ^ t r [ — a d j A ]

liefert

t r [ { ^ ( c ^ X + A2,)}adj(a;^I„ + A=, ) ]=0 -* tr[adj(c^2i^ + A^,)] = 0.

Mit den Beziehungen

(9.81)

(9.82)

— = Ej j , Kronecker Matrix Ejj = e^ej mit Einheitsvektor e|"^^^ , tr[MEjj] = Mji = (M^)^^ ,

folgt der Gradient von h^ beziiglich Ky zu

«-=M^%±^adK.o%.A?,)] dK, OK,

= 2[CAeKadjU)B]'

(9.83)

(9.84)

(Weinmann, A., 2005). Fiir ein Zahlenbeispiel mit n = 3,C = !„ und neun Schritten entsprechend dem Gradienten AKy oc d{hQ)/dKy zeigt die Abb. 9.13 die erzielten Ergebnisse.

M i c h a i l o w Chara l< te r is t i l<en und A n t w o r t a u f A n f a n g s b e d i n g u n g e n , I<cf4.m f i gu re (1 ) , l<xa.fig

R e s p o n s e to In itia I C o n d itio n s

Abbildung 9.13: Schrittweise Vergrofierung der Distanz ho und erzielte Verbesserung im Zeitbereich

9.18 Humanbiologischer Mehrgrofienregelkreis

Angabe: Zum sportlichen Ausgleich: An Kniebeugen im Ausfallschritt ist die Neigungswinkel- und Korperhohen-Regelung zu untersuchen, auch unter Ermiidungserscheinungen. Losung: Im Ausfallschritt auf ebener Unterlage, linker Fufi vorne, linkes Schienbein lotrecht, rechtes Bein hinten, sind Kniebeugen zu absolvieren, unter harmonischem Korperhohen-Sollwert. Erschwerend zur Neigungswinkel-Regelung sind die Arme eng anzulegen und die Augen zu schliefien. Bei letzterem fallt die visuelle Information iiber die Korperneigung weg.

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Kapitel 10

Optimierung

10.1 Berechnung der L2-Norm im Zeitbereich

Angabe: Fur

X = Ax 4- bu, 2/ = c^x , A=( ^^ } ^ ^ c^ = C = (1 0) b = B = (" M (10.1)

ist die L2-Norni der Gewichtsfunktion zu berechnen.

Losung: Man erhalt mit der Definition der L2-Norm ||^(t)||2 = J^g^{t)dt und g{t) = C~^{G{s)} als Gewichtsfunktion zu G{s) = c^(sl - A)~^b

Gis) = c^{sl-Ar'b = j - ^ ^ g{t)=te-' (10.2)

roo foo -2t |oo

/ g'^{t)dt= t^e-''^dt=^{-At^-U-2)\ =0,25. (10.3) Jo Jo o 'O

10.2 Berechnung der L2-Norni mit Residuensatz im Prequenzbereich

Angabe: Fiir die Angahe aus Gl.(lO.l) ist die L2-Norm mit Hilfe des Parseval-Theorems und Residuen-satzes im Frequenzbereich zu ermitteln. Losung: Nach dem Parseval-Theorem gilt

II WII = r G{s)G{-s)ds = ^ i G{s)G{-s)ds . (10.4)

Mit dem Residuensatz erhalt man (in diesem konkreten Fall des Zweifachpols bei —1)

iiswiii = J2^^"'='<. « '*<° [g( )g(-«)] = E J ^ J ' -"')' (s+iw^s+1)^ ^ °- ^

Die Ergebnisse nach dem Parseval-Theorem sind auch tabelliert {Eveleigh, V. W., 1967) und damit leicht durch Nachschlagen zu erzielen.

10.3 * Berechnung der L2-Norm mit dem Parseval-Theorem

Angabe: Die L2-Norm zu GL(10.3) ist durch direkte Integration in Frequenzbereich zu losen. Losung: Die Integration verlangt unter Anwendung des Parseval-Theorems

mm = jyiMGi-Md. = i^£ ^d.. (10.7)

Page 210: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

208 10 Optimierung

Mit Produktintegration erhalt man miihsam

/- 7; dw — I u dv \ ^ = uv — I V l + a ; 2 J \v=uj J

du

- 2 c j 2 duj =

l + u^ J TT^^^ - TT^-y (IT J (l+a;2)2 c?a; =

duj

Daher resultiert

f 1 ^ 1 UJ 1 f 1 ^ 1 LJ 1

JoT^'^ ^ 2 i T ^ + 2 y rT^^^ = 2 r i : ^ + 2 ^ *"" t

.1 / x,i2 1 /""^ 1 , 1 u; 1°° 1 1

(10.8)

(10.9)

(10.10)

(10.11)

(10.12)

(10.13)

10.4 * Berechnung der L2-Norin mit Controllability-Gramian

Angabe: Die L2-Norm ist fiir GL(lO.l) unter Verwendung der „ControllabiUty-Gramian" zu ermitteln. Losung: Die Controllability Gramian Lc ist wie folgt definiert und erfiillt die nachstehende Lyapunov-Gleichung

/»oo

Le = / e^'BB'^e^"''dt AL^ + L^A^ = - B B ^ . (10.14) Jo

Die 01. (10.14) lasst sich mit Kronecker-Produkten direkt wenn auch miihsam berechnen, (ausgehend von Eqs.(2.129) und (2.131) und mit Eqs.(4.43) bis (4.45) aus Weinmann, A., 1991)

(I 0 A)col Lc + (A (g) I)col Lc = - c o l B B ^ ^ col Lc = - ( I 0 A -j- A 0 I)"^col B B ^

/ a n

(10.15)

wobei col f a n ai2 \ A ^ . Ferner gilt fiir stabile Eingrofiensysteme ai2

V ^22

11 (0111 = r 9\t)dt = r c'^e^'hc'^e^'hdt = H c'^e^M^'^e^'hf dt = c^LcC . Jo Jo Jo

Dabei ist g{t) = C~^{G{s)}. Somit gilt fiir die Zahlenangaben aus Gl.(lO.l)

col Lc =

/ 0 1 0 0 \ / 0 0 1 0 - 1 - 2 0 0 . 0 0 0 1 0 0 0 1 M" - 1 0 - 2 0

\ 0 0 - 1 - 2 / \ 0 - 1 0 - 2

= 0,25

Lc = 0 , 2 5 r j M = 0 , 2 5 I ' ^ ||^(i)||2 - Vc^LcC = J ( l 0)0,25 i Q = 0,5

(10.16)

(10.17)

(10.18)

10.5 Zusammenhang zwischen den Hoo-Normen des Ein- und Ausgangs im Zeitbereich

Angabe: Fiir die Schaltung nach Abb. 10.1 ist der Zusammenhang zwischen den Maximalwerten von Ein-und Ausgang herzustellen. Man leite auch die zeitdiskrete Beziehung ab. Losung: Aus dem Faltungssatz folgt

\y{t)\ = \ l 9{T)u{t-T)dT\ yt (10.19)

\yit)\ < J \9ir)uit - T)\dT < J \g(r)\ max \u{t - r ) |d r < \\git)\\i Mt)\\^ \ft (10.20)

< llp(Olli IMOIloo Oder supJ||2/||oo : IHloo < 1} = IMIi (10.21)

Page 211: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

10.6 * InSnity-Norm des Ausgitngs, 2-NonB des Eingangs 209

«(<) 9(t)

yit) U{s) G{s)

Y{s)

Abbildung 10.1: Zur Bezeichnung der Signaliibertragung durch ein lineares Element

Die kontinuierliche Beziehung y(s) = G{s)u{s) diskret approximiert ergibt den Zusammenhang im

Zeitbereich y{kT) = Y!i=Q 9{iT)u{kT - iT). Unter Verwendung der /oo-Norm folgt

II2/II0C = sup \y(kT)\ = sup I ^9i j ,T)u{kT - z r ) | < ^ \g(iT)\ sup \u{k - i)T\ = f^ W n lk(fc)lloc ^ *= i=0 i=0 * i=0

(10.22)

II2/WIIOO<| |PWIIINA:) | |OO. (10.23)

Oder schliefilich

10.6 * Infinity-Norm des Ausgangs, 2-Norm des Eingangs

Angabe: Aus Abb. 10.1 ist mit dem Zusammenhang der 2-Norm des Eingangs im Zeitbereich und der Ubertragungsfunktion des Systems die Hoo-Norm des Ausgangs einzugrenzen. Losung: Nach der Cauchy-Schwarz-Ungleichung folgt

\y{t)\ = \j 9{t- T)u{T)dT\ < J J g^{t - T)dT J J V?{T)dT (10.24)

II2/WII00 < \\9m2\Ht)\\2 = \\G{ju;)h\\um2 Oder s u p J I ^ I U : IHI2 < 1} = ||C?||2 .(10.25)

1 l+sT

1 1 1 (10.26)

1 1 1 1 1

Fiir ein PTi-Ubertragungselement G{s) = jr^ findet man

\\G{juj)\\l = ^es,^_^G{s)G(-s) = ^\un^is + ^ ) j ^ , ^

. - ^ ^ i Tl-sT r 1 + 1 2T (10.27)

10.7 * Minimierung eines ITSE-Kriteriums

Angabe: Die Regelstrecke G{s) = jj ist in Regelungsnormalform einer Zustandsraumdarstellung zu brin-gen. Wie lautet die Fiihrungsiibertragungsfunktion T{s), wenn das obige System mit einem Zustandsregler

K = — (1 : k) und einem zugehorigen Vorhlter geregelt wird? Wie lautet e{t) = Vrefit) — y{t) bei Sprung-anregung des geregelten Systems? Fiir welchen Wert k ist I = f^{l + t)e^{t)dt ein Minimum? Losung: Fiir die Regelstrecke folgt

A = 0 1 0 0 - ( ? )

Y = C^(SI - A - hK)-^hVYref = T{s)Yref - ^ T{s) =

c ^ ( l 0)^

V

E{s)=Yref{s)-Y{s) =

eit) =

1 §2 + /CS + 1

s-\-k

V = l

r 2u^^. ^' + 1

sin \ll —T"^ + cos

5 s{s^ -\-ks-\-l) 52 + :5 + 1

k^ t > 0

rOO

/ te'^it)dt = Jo

fe^ + 2 4k^

dk ( ^ _ + l + ^ _ + ^ ) = 0 ^ k ' - ^ e - k - 2 = 0 -> A : - l , 1 3 6 5 .

(10.28)

(10.29)

(10.30)

(10.31)

(10.32)

(10.33)

Page 212: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

210 10 Optimierung

10.8 * lEXSE-Kriterium

Angabe: Der einfache Regelkreis bestehend aus Regler K{s) = -^ und Strecke G{s) — | soil bei festem k in a derart eingestellt werden, dass das lEXSE-Kriterium J^ exp {2aot)e'^ (t)dt fur Sprunganregung minimiert wird {GQ > 0). Losung: Fiir die Regelabweichung erhalt man E{s) = ^ 1" ^ , ^. Welters gilt

roo poo

1= exp{2aot)e^{t)dt = / f{t)dt mit f{t) = exp {aot)e{t) und F{s) = E{s-ao) . (10.34) Jo Jo

Die Formel zum Parseval-Theorem

Jo 2dodid2 " " " " ^"^ ^ i ^ v - / j ^^ _^ ^^g ^ f^^g2 m'dt = % i # mit F{s) = am) =. .V', ' . (10.35) A A ^ , A 2 . 1 . J ^

kann bei Co = a —(Jo, ci = 1, do = crl — aao + ky di = a — 2ao, ^2 ^ 1 (10.36)

angewendet werden. Man erhalt

2al-Saao + k + a'

2(3acr2 + ka- o?(7o - 2(JI - 2k(To) ' ^ ' ^

1^ = 0 fiihrt auf a = ao + Vk.

10.9 * Hamilton-Matrix in H2

Angabe: Die H2-optimale Losung, d.h. der Riccati-Regler, zu

(10.38)

„ / A - B R - i B ^

(Weinmann, A., 1995, Band 2, S. 150) folgt aus der Riccati-Gleichung zu

Q + A'^P + P A - P B R - ^ B ^ P - O ^ P = 0 , 5 ( ' ^ M , K = - R - ^ B ^ P = ( -1 - 1) (10.39)

Der Riccati-Regler soil mittels Hamilton-Matrix berechnet werden. Losung: Die Hamilton-Matrix lautet definitionsgemafi

/ 0 1 0 0 \

0 0 0 - 4 /-.n.oN - 1 0 0 0 (^^-^^^

\ 0 0 - 1 0 /

d e t ( s I - H ) = A ^ + 4 = 0 ^ Xi„A = ±l±j. (10.41)

Wahlt man die stabilen Losungen Ai,2 = —1 ± j aus, so decken sie sich mit jenen des oben berechneten Riccati-Reglers {Weinmann, A., 1996)

det(sl - A - BK) = s^ + 2s + 2 = (s + 1 - j ) ( s + 1 + j ) . (10.42)

10.10 Giiteintegral

Angabe: Gegeben ist das Giiteintegral I = J^ x^xdi fiir den Regelkreis x = Ac/x. Eine Matrix P wurde derart gewahlt, dass J^x-^Px = —x^x erfiillt ist. Dies verlangt A ^ P + PAc/ = —I. Darni wird

das Giiteintegral zu I — x^(0)Px(0). Diese Beziehungen sind fiir x(0) = (J) und Ad = [ _q ) ^"

bestatigen. Zunachst ist P zu berechnen und damit I in Abhangigkeit von a anzugeben. Losung: Unter symmetrischem P lautet die Lyapunov-Gleichung

( ; : 3 ) ( s : s : ) K S £ ) ( - . - 3 ) = - ( ; ; ) - <•»•«' Die Losung nach Ausrechnung findet man zu

Page 213: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

10.11 * LQ-Regler mit instabiler Strecke 211

10.11 * LQ-Regler mit instabiler Strecke

Angabe: Die instabile Regelstrecke x = 0, la: -f u soil von einem Zustandsregler K auf minimales Giitefunktional

8x^{t) + 10u'^it)]dt (10.45) /•CX)

= / [0, Jo

gebracht werden. Wie lautet x(t) bei a;(0) = 2 und wie groB ist in diesem Fall das Giitekriterium? Losung: Aus den Angaben A = 0,1; B = 1; Q = 0,8; i? = 10 erhalt man mit der Riccati-Gl.(10.39) P = 4 und K = —0,4. (Der zweite Rechenwert P = —2 ergibt keine stabile Losung.) Ferner resultiert X[A + BK] = - 0 , 3 ; x(t) = 2e~^^^^ und / = Px'^{0) = 16.

10.12 * Minimierung unter Nebenbedingungen

Angabe: Die folgende Minimierungsaufgabe unter Nebenbedingungen („ s.t."j ist zu diskutieren

/ = ( a : i - 3 ) ^ + (x2 - 1)^ + 1 ^ min s.t 4 - a;i + sina;2 < 0 und 3 - X2 - 0,1x1 = 0 . (10.46)

Losung: Bei Weglassen von sinx2 und 0, Ixl resultiert eine Kopfrechnung. Die Gleichungsnebenbedingung lasst sich sofort analytisch verwenden: x^ = 3. Aus {xi - 3)^ + (3 - 1 ) ^ + 1 -^ min wiirde x^ = 3 resultieren, was aber die Ungleichungssnebenbedingung verletzt. Da es sich um eine konvexe Aufgabe handelt, ist das verlangte Minimum dort zu erwarten, wo es x^ am nachsten liegt und die Ungleichungsnebenbedingung erfiillt, also x\ = A.

Mit MATLAB resultieren die folgenden wesentlichen Schritte, unter Einbeziehung der funct ions indx. m und condi . m

xopt=fmincon( ' indx ' , [0 ,0] , [ ] , [ ] , [ ] , [ ] , [ ] , [ ] , ' c o n d i ' ) [x l ,x2 ]=meshgr id ( -10 :2 :10 , -10 :2 :10) ; I= (x l -3 ) . ^2+(x2- l ) . ' *2+ l ; '/, s i ehe auch indx.m c o n t o u r ( x l , x 2 , I )

funct ion I=indx(x) '/, Indexfunktion I = ( x ( l ) - 3 ) ^ 2 + ( x ( 2 ) - l ) ^ 2 + l ;

func t ion[cne ,ceq]=condi (x) % Nebenbedingungen cne= 4 - x ( l ) + s i n ( x ( 2 ) ) ; ceq=-3-x(2) - 0.1*x(l) '^2;

Die Ergebenisse zeigt die Abb. 10.2. Das Minimum ohne Nebenbedingungen ist M, unter alleiniger Gleichungs-Nebenbedingung G, mit beiden Bedingungen S (auf der Parabel und auf der Wellenlinie gelegen). Nur rechts von der Wellenlinie ist der zulassige Bereich laut Ungleichungs-Nebenbedingung. Wiirde die 4 in der Ungleichungs-Nebenbedingung durch eine 5 ersetzt werden, so ware die Ungleichungs-Nebenbedingung fiir das Ergebenis nicht mitbestimmend.

10.13 * Optimal Modell-Referenzierung

Angabe: Die Koeffizientenmatrix eines Regelkreises soil bestmoglich an ein Modell Aci,ref angepasst werden, wobei die gewichtete Zustandsreglernorm mit kwK limitiert ist. Losung: Mit den Gewichtsmatrizen W ^ und W ^ gilt

\\y^A{Aci,ref - A - BK) | | | , -f- X\\KWK\\% ^ min W K G 7 "><" . (10.47) K

Unter Verwendung der nachstehenden Rechenregeln fiir die Probenius-Norm {Brewer, J.W., 1978; Wein-mann, A., 2001)

\\M\\l = t r j M ^ M } , t r j X Y } = t r{YX} , - ^ t r j X M Y M ^ } = X ' ^ M Y ' ^ -f X M Y (10.48)

Page 214: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

212 10 Optimierung

Abbildung 10.2: Minimierungsergebnisse in der Zustandsebene {x2, Xi)

folgt mit der Abkiirzung H = Aci,ref — A die Optimallosung K*

tr[(H - B K ) ^ W 5 W ^ ( H - BK)] + A t r [ W j K ^ K W i ^ ] ^ min K

2 ( A W K W ^ + B^W5^W^B)K = 2 B ^ W ^ W ^ H = 2 F

K* = L - ^ F , wobei L = AWi^W^ + B ^ W j W ^ B .

Aus kwK = I I K W K I I F resultiert k^,^ = t r l W ^ K ^ K W ^ } = t r f W ^ F L - ^ L - ^ F W / ^ }

(10.49)

(10.50)

(10.51)

A.

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Kapitel 11

Robuste Regelungen

11.1 Kurven konstanter Spektralnorm

Angabe: Gegeben ist die Matrix A = ( ^ I • ^^^ sehen die Kurven konstanter Spektralnorm von A

in der (o, b)-Ebene aus, fiir die also Amax [A^A] = konstant gilt?

Losung: Mit

-'-=(? : ) ( ° i ) - ( £ . " - ) ' " • > folgt Ai,2 aus det(IA — A-^A) = 0 zu

Ai,2 = ^ ± y - j ^ = Ko konstant . (11-2)

Daraus ergeben sich Ellipsen

^ _ -h'' = l-Ko. (11.3) l-Ko

11.2 Bauer-Fike-Theorem

Angabe: Das Bauer-Fike-Theorem ist auf nachstehende Matrizen A und E anzuwenden

A = ( _ ° 3 \ ) ' ' ^ = { o % o ) ' ^ ^ + ^ = ( - 2 , 8 _ ° 4 ) M A ] = - 3 ; - 1 cr^ax[E]=0,2.

(11.4) Losung:

Ai[A + E] = -3,0954; -0,9046 Ai[A] - Ai[A + E] = 0,0954; -0,0954 (11.5)

A ^ A = f ^^ j M , Ai[A^A]= 0,351; 25,649 -> ai[A] = 0,592; 5,065 (11.6)

( A ^ A ) - i = ( _^j^|^3 ~YQ^ ) , Ai[(A^A)-^] = 2,849;0,039 -> ^^[A-i] = 1,688;0,198.

Fiir die Konditionszahl von A folgt

'^maxL-'^J -• ^max[A]c7n,ax[A-i] - 5,065 • 1,688 = 8,55. (11.7) 0-niin[A]

(11.8)

Das Bauer-Fike-Theorem (z.B. nach Gl.(15.43), Weinmann, A., 1991) liefert

|Ai[A]-Ai[A-HE]| < KsWEWs Oder |0,0954| < 8,55 • 0,2 = 1,7 , (11.9)

ist also ein „sehr hinreichendes" Resultat.

Page 216: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

214 11 Robuste Regelungen

11.3 Singularwerte als Grenzen der Eigenwerte

Angabe: Die Eigenwerte von G sind in ihren oheren und unteren Schranken zu iiberpriifen, wie sie durch die Singularwerte vorgezeichnet sind, wobei

Hi) «"-(-4" 4JH-2

2 2 (11.10)

Losung: Die Eigenwerte von G lauten -0,878-fjO, 617, im Betrag 1,073, und -4 ,122 - j O , 617, im Betrag 4,168. Die Singularwerte lauten 0,975 und 4,588 und bestatigen sich als untere und obere Schranke.

11.4 * Hoo-Norm einer PT2s-Strecke samt Zustandsregelung

Angabe: Man berechne das maximale DampfungsmaB (und die zugehorige Frequenz) von G{s), allein und mit einem Zustandsregler k. Man verwende dazu die Hoo-Norm und die Zustandsraumdarstellung. Die Beziehungen zur klassischen Berechnung des Resonanzpunktes ist herzustellen. Welcher Zustandsregler sichert eine Hoo-Norm kleiner als eins?

G{s) = 4 + s + s2

A C

B D =

0 - 4 4

1 - 1 0

0 " 1 0

( l l . U )

Losung: Fiir D = 0 lautet die Hamilton-Matrix

H ^ = ( A -'.if)- ( 0

- 4 16

I 0

1 - 1

0 0

0 0 0

- 1

0 1

4 1

(11.12)

Durch jene Werte von 7, bei denen die Eigenwerte von H^ rein imaginar sind, ist die Hoo-Norm ||G(s)||c gegeben {Francis, B.A., 1987; Weinmann, A., 1996). Die Berechnung der Eigenwerte A von H^ liefert

det(H^ - AI) = (A2 - A + 4)(A2 4 . A - f 4 ) - i ^ = 0 ^ \I..A[^^] = M A ± \ / r l " ¥ • (11-13)

r r Die Ortskurve fiir die Eigenwerte Aj[H^] ist in Abb. 11.1 dargestellt, beziffert nach 7. Die Pfeile zeigen in Richtung abnehmender 7.

.. X^!—^"W-f?^

t 1+,

::g::::|

7 = 2,066 :

/...

\

V-R .v/IS ( 7 - ^ 0 0 )

: 0,5

Abbildung 11.1: Ort der Eigenwerte von H^

Page 217: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

11.5 Nichtexistenz einer stabilen Regelung 215

Die direkte iind analytische Suche der rein imaginaren Eigenwerte A = juj fiihrt auf

1 fi 4 ( - u ; 2 - j a ; + 4 ) ( -c j2+ ja ; + 4 ) - — = 0 ^ 7 = - = = = = = = = . (11.14)

7 V16 - 7uj^ 4- uj^

Der Wert 7 wird maximal, wenn der Nenner minimal wird. Daher ergeben sich aus —14a; + iu^ = 0 die Werte u = \ / l 4 /2 ; 0, und zwar entsprechend 7 = 2,066; 1 . Nur der erste Wert 70 = 2,066 ist von Interesse.

Fiir den vorliegenden skalaren Fall 70 = sup^ ICI

7o - ll<^(5)||oc = sup Jx[G«G] = sup y/G^ - sup y W = sup \G\ (11.15) U! U) U) U>

fallt die Energieverstarkung mit dem Maximalwert des Prequenzgangs zusammen. Zum Vergleich siehe den Frequenzgang G{juj), z.B. in Weinmann, A., 1994, Gl.(3.21) und Ahh. J^.l . Die Parameter des PT2S-Elements lauten uj^ = 2, D = 0,25. Damit sind die Resonanzwerte

|G«l = ^ ^ ; y ^ = = f = ; ^ = 2 ,066, u;„ = u;^^^! - 2Z)2 = ^ = 1,871 ; (11.16)

sie bestatigen die obigen Resultate. Die Regelung bestehend aus der Strecke G(s), einem Zustandsregler u — k-^x = [k\ k2)'^x. und einem

zusatzlichen Eingang ui liefert x = (A + bk^)x + hui ; y = c^x und

y(s)=Tis)ui{s) T(s) = 0

- 4 + fci 4

1

0

0 1 0

(11.17)

Darin ist T(s) eine verallgemeinerte Ubertragungsfunktion von ui nach y. Wiederholt man die Ableitung, so erhalt man

uj'^ =4-ki-0,5{k2-l)^ ^ 7 = ^ (11.18) {l-k2)y/4-k,-0,25{l-k2r

Stabilitat verlangt — oo < Ai < 4 und — oo < A;2 < 1. Das Resultat

7 = max |c^(sl - A - b k ^ ) - ^ b | (11.19) u

ist eine monotone Funktion zwischen 0 und oo. Die Bedingung 7 < 1 verlangt ki < —1 and k2 < - 1 .

11.5 Nichtexistenz einer stabilen Regelung

Angabe: Gegeben ist die Regelstrecke -^^, deren Parameter a sprunghaft sein Vorzeichen zu wechseln vermag. Gibt es einen robusten Regler fiir diese Strecke? Losung: Es gibt keinen robusten Regler. Zeigt doch die charakteristische Gleichung des Regelkreises, die sich aus

l + G{s)K{s)^^^ + l = 0 (11.20) a[s) s + a

als

ka n{s) + s d{s) + a d(s) = 0 ^ a[k n{s) + d{s)] + s d{s) = 0 (11.21)

ergibt, im konstanten (s-unabhangigen) Koeffizienten der eckigen Klammer bei Vorzeichenwechsel von a einen ebensolchen Vorzeichenwechsel, der durch keine Dimensionierungsmafinahme beim Reglerentwurf aufzuhalten ist. Bekanntlich ist notwendige Voraussetzung fiir die Hurwitz-Stabilitat eines Polynoms das gleiche Vorzeichen aller Koeffizienten (Leithead, W.E., and O'Reilly, J., 1991). Die Abb. 11.2 zeigt die Nyquist-Ortskurven fiir die beiden Falle ±a.

Page 218: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

216 11 Rohuste Regelungen

Abbildung 11.2: Nyquist-Ortskurven fiir beide Falle ±a

11.6 Robuster I-Regler

Angabe: In welchen Grenzen darf die Nachstellzeit eines I-Reglers schwanken, wenn er eine PT2-Strecke zu regeln hat? Losung: Fiir die charakteristische Gleichung des vorliegenden Regelkreises dritter Ordnung GQ + ais + 025^ -\- ass^ = 0 lautet das Routh-Zahlenschema

^2 do

h 0 Cl

det mit 6i = —-

/ a s ai \ V Q2 ap J _

0 2

aia2 — a^ao

a2 Cl = Oo (11.22)

Neben der notwendigen Stabilitatsbedingung a > 0 fiir alle i erhalt man die weitere Bedingung aia2 — ostto > 0. Unter der gegenstandlichen Angabe gilt Fo(s) und die charakteristische Gleichung des Regelkreises

Fo^ 1 KB

Durch Koeffizientenvergleich findet man

^ s^Ti + 2DTiujNS^ + Tiuj%s + ksUJ% = 0 , (11.23)

as =Ti , a2 = 2DTI(JJN , ai = Tiuj% , ao = ksUJ% -^ Tj >

11.7 * Kreiskriterium fiir Stabilitatsrobustheit

2DLi)N (11.24)

Angabe: Fiir G{s) = 10/(1 + s + 35^) und K{s) = l / (sTj) , die fiir Stabilitat nach dem Routh-Kriterium Ti > 30 verlangt, wird die Frequenzgangsortskurve fiir den Grenzfall von Abh. 11.3 gezeigt. Liegt im Regelkreis noch ein nichtlineares Element mit den Verstarkungsgrenzen 1 und 2, dann muss die Nachstell­zeit Tj erhoht werden, um Stabilitat in hinreichendem Sinne zu gewahrleisten. Um welches AusmaB muss erhoht werden? Losung: Wird bei einem einschleifigen Standard-Regelkreis in die Leitung der Regelabweichung ein Ele­ment eingefiigt, das eine lineare Kennlinie unter 45 ^ (bei Mafistabsgleichheit) besitzt, so andert sich an den Stabilitatsverhaltnissen des Regelkreises nichts. Wird allerdings diese l:l-Kennlinie durch einen Sektor erweitert, dessen untere (obere) Begrenzung eine Gerade der Steigung ki {k2) ist, dann geht das Stabi-litatskriterium nach Nyquist in das Kreiskriterium iiber. Es besagt als hinreichende Bedingung, dass — fiir eigenstabile Systeme — ein Kreis in der komplexen Fo-Ebene ausgeschlossen bleiben muss, dessen Mittelpunkt auf der negativen reellen Achse liegt und der die negativ reelle Achse bei —l/ki bzw. —l/k2 schneidet. Die Aussage bleibt auch fiir ki = 0 erhalten; aus dem zu meidenden Kreis in der Fo-Ebene wird dann eine Ebene links von —l/k2. 1st ein Sektor mit negativem ki gegeben, dann besagt das Kreiskriteri­um, dass die Schleifenortskurve innerhalb des so entstehenden Kreises, der nun die Abszisse bei — l//c2 < 0 und —1/ki > 0 schneidet, zu liegen hat. In der Abb. 11.3 ist die Kreisscheibe des Kreiskriteriums und die Frequenzgangsortskurve fiir Tj = 75 aufgenommen {Hsu, J.C., and Meyer,A. U.,1968).

Page 219: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

11.8 Robuster Abtastregelkreis 217

0.5

0

-0.5

-1

-1.5

-2

-2.5

r — 1 1

Fo(iw)-Ebene < 0 , 6 L ^ [ ' ^ J 1;

'[I>=30| V'-|i__J r 1 V T v0,2

— 1 — 0 , 4 V - - 4 1 — j

1 LXJ^=J-L| 1 ^ = 0 , 2 *

1 " 1 + s-h^s^sTi 11

-rj = 75

Abbildung 11.3: Prequenzgangskurven zum Kreiskriterium

11.8 Robuster Abtastregelkreis

Angabe: Die Schleifeniibertragungsfunktion eines Standardregelkreises lautet

5

Fo{z) = k 2 I i z^-\-

Fiir welchen Bereich von k ist der Regelkreis stabil? l+w 1—w

5fc

Losung: Mit z = r ^ erhalt man

T{z) = und T{w) = 5k{l--2w + w'^

5A; + 42;2 + l ^^"^^ w;2(4+l + 5A:)4-w;(8-2-10A;) + (4 + l4-5A;)

Die Bedingungen fiir positive Koeffizienten des Polynoms in w im Nenner lauten

3 5/c + 5 > 0 ^ k>-l und - 10k >-6 ^ k < - .

(11.25)

(11.26)

(11.27)

Somit ist der Regelkreis fiir - 1 < A; < | stabil.

11.9 Robuste Stabilitat einer Abtastregelung mit Totzeit

Angabe: Der Regelkreis nach Abb. 11.4 ist auf Stabilitatsrobustheit beziiglich k zu untersuchen. Losung: Das charakteristische Polynom pc/(^) des Regelkreises lautet aus 1 + Fo{z)

1 - p - * ^ Fo{z)=Z{^-^-e-^^-

s s e -kj =

z{z-l) Pci{z) = z"^ - z -\-Tk = z^ + aiz + tto (11.28)

Stabilitat direkt verlangt [Weinmann, A., 1995, S. 71) \ao\ < 1 und |a i | < l + ao- Daraus folgen fiir T > 0 die Beziehungen k < 1/T und 1 < 1 -\-Tk] zusammen

0 < A: < ^ . (11.29)

Mit t/;-Transformation z = j ^ lautet das charakteristische Polynom

(2 + Tk)w^ + 2(1 - Tk)w + Tk , (11.30)

was bei positiven Koeffizienten dasselbe Result at bedeutet.

11.10 Streckentoleranz fiir Stabilitat

Angabe: Gegeben ist die Strecke G{s) = (^_^i)(^J2)(g+3) = s^+6sHas+6 bei a = 11. Um welchen Wert darfder Koeffizient a im Nenner von G{s) verandert werden, ohne dass die Stabilitat gefahrdet wird?

Page 220: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

218 11 Robuste Regelungen

2/ref " , i ~

ADC > /

/ D A C g-sT

k

1

s

y

Abbildung 11.4: Abtastregelkreis mit Integrator und Totzeit

Losung: Das KoefRzientenschema fiir G(s) nach Routh lautet

1 a 0 6 6 , h 0 ^' ci

hi = ^ ^ ^ = a - 1 > 0 a > 1 (11.31)

Fiir die Angabe a = 11 des Nominalfalls ist Stabilitat gegeben. Bei Ersatz von a durch a + Aa folgt a + A a > l ~» Aa < - 1 0 .

11.11 * Robuster EingroBenregler

Angabe: GemaB Abb. 11.5 ist eine EingroBen-Regelstrecke mit multiplikativer Unsicherheit Gi{s)A{s) mittels eines Reglers K(s) robust zu stabilisieren. Die (stabile) Unsicherheit A(s) stehe unter der Ein-schrankung max^; |A(jc(;)| < 1, aiso einer komplexen GroBe des Betrags 1. Eine konkrete Annahme lautet

G{s) = 1

Gi{s) = 0,1

1 + 0,05s (11.32)

Ein verzogerungsfreier P-Regler K{s) = k ist gefragt, der Stabilitat gemaB GL(11.34) sicherstellt. Welcher Bereich von k garantiert robuste Stabilitat? Man verwende sowohl das Nyquist-Kriterium als auch das Small- Gain-Kriterium. Losung: Aus dem Nyquist-Kriterium erhalt man

kG{l + GiA)^-l (11.33)

Die gefahrlichste Konstellation ergibt sich bei u = 0, A = — 1, woraus k ^ 5/9 folgt. Mit Riicksicht auf die instabile Polstelle von G bei +1 resultiert schliefilich k > 5/9.

Aus dem Small-Gain-Theorem findet man als Resultat direkt die Bedingung

max\T{ju)Gi(juj)\ < 1 , wobei T{s) • 2k

2k-l-\-s und T{s)Gi{s)

2k 0,1

2 A : - l + s 1-h 0,05s (11.34)

sowie T{s) = i+K(s)G(s) ^^^ ^^^ nominalen Regelkreis gilt. Die Formel in Gl.(11.34) besagt, dass die Regelung mit Unsicherheit in eine Schaltung zerfallt, bei der

der nominale Regelkreis T{s) und die Unsicherheit Gi{s)A{s) in Kette liegen. Die Unsicherheit bewirkt eine komplexe Groi3e, die (etwa bei k = 1) gemafi Gi(juj) als Kreis mit dem

Radius 0,2 in die Rechnung eingeht, einem Wert, resultierend aus dem Produkt der Zahlerterme von G und Gi. Die Serienschaltung der drei Elemente i^(s), G{s) und 1 -f- Gi{s)A{s) [aus der Parallelschaltung der Durchverbindung mit Gi(s)A(s)] stellt Fo{s) fiir das Nyquist-Kriterium dar. Bei A: = 1 ist FQ das Produkt aus Halbkreis (von —2 nach null) und 1 -I- Gi{ju))A{JLj) mafigebend; zusammen also ein komplexer Pfeil aus dem Ursprung zu einem Bereich, der durch das Innere einer Kreisscheibe mit dem Radius 0,1 gebildet wird.

Page 221: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

11.12 * Robuster Regelkreis mit Routh-Kriterium 219

Aus dem Nenner von Gl.(11.34) leitet sich der Maximalwert iiber to ab

max I— 5 l l ^ - _ — _ - | < l ^ ^[(2k-l)^-i-u;^](l + 0,0bV)=0. (11.35)

Das Ergebnis a; = 0 ist in diesem einfachen Beispiel auch direkt ablesbar. Einsetzen dieses Minimalwerts in Gl.(11.34) fiihrt auf

hk-\ < 1 k> ^ • (11.36)

2/re/ ^^

+ T -K{s) G{s)

GM L J A(5) I—I

T+

Abbildung 11.5: Blockbild des Eingrofien-Regelkreises mit multiplikativer Unsicherheit

Die Ortskurven von Fo{3^J) - K{2^)G(iiJ)\V + Gi(jci;)A(iu;)] fiir fc = 1 und h ^ \ zeigt die Abb. 11.6.

0.5

0

-0.5

- l |

-1.5'

: k = 5 / 9

^^SSOfwoodS^ T H Q S ^ g g ^

Abbildung 11.6: Nyquist-Ortskurven Fo{ju) zum robusten Eingrofien-Regelkreis

Unter Annahme von A(5) = —1 sind einige Simulationen im Zeitbereich in Abb. 11.7 gezeigt, und zwar fiir verschiedene A: iiber, an und unter der Stabilitatsgrenze.

11.12 * Robuster Regelkreis mit Routh-Kriterium

Angabe: Gegeben ist

1 Gis) N/. o T 0 < a < l und K{s) = Kp{l +—r) •

(a + s)( l + 2s) - - ^ ^ STT^

(11.37)

Der Regler ist nach dem Routh-Kriterium so zu dimensionieren, dass die Regelung fiir alle angegebenen a stabil ist; ferner ist das Ergebnis mit dem Nyquist-Kriterium zu bestatigen. Losung: Aus dem charakteristischen Polynom des Regelkreises 2Tis^ + (2a + l)Tjs^ + {Kp + a)Tis + Kp folgt das Routh-Schema

2T/ {Kp + Q)TI

(2a+l)T/ Kp (11.38) {Kp^-a)Tj-^

2a+l •

Page 222: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

220 11 Robuste Regelungen

25

20

>.15

"2 >'10

5

0 (

6

4

2

o' c

k=5/9-0.1

) 5 t

k=5/9+0.1

5 t

1

1

I ° 8

> 6

>. 4

2

0 0 C

1.5

> . 1

'^ 0.5

o' 3 0

k=5/9

) 5 t

k=5/9+5

10

r 1

:., . 1 5 t

10

Abbildung 11.7: Sprungantworten des Regelkreises

Die Bedingungen fiir positive KoefRzienten und fiir ausbleibenden Vorzeichenwechsel in der ersten Spalte lauten

1)

2)

3)

4)

5)

a > — [ist ohnehin erfiillt]

Ti>0

{2a + l)Ti > 0

{Kp + a)Tj >0 -^ Kp > -a [ist in 4) eingeschlossen]

Kp>0 [Ergebnis 1]

2Kp {Kp + a)Tj-

2 a + 1 > 0 Ti>

2Kp {Kp + a){2a + l)

(11.39)

(11.40)

(11.41)

(11.42)

(11.43)

Wegen o = 0 im ungunstigen Fall folgt Tj > 2 (Ergebnis 2). Bei Stabilitatsuntersuchung nach Nyquist wird Fo{s) = ^ ^ ^ (,+af(i+25) verwendet. Die zugehorige

Frequenzgangsortskurve hat fur jedes a (auch > 1) einen kleineren Betrag und eine kleinere Pha-sennacheilung als bei a = 0. Daher ist die Ortskurve Fo{juj)\a=o die ungiinstigste. Umschreiben auf ^^(5) = j ^ 1±0 zeigt erstens die Notwendigkeit von Kp > 0 und T/ > 0 (sonst liegt die Ortskur­ve nicht im 4. und 3. Quadranten); sowie zweitens die Erfordernis, dass ^ ^ ^ ein phasenanhebendes Element ist (nachdem ^ schon -180^^ Phase besitzt). Somit folgt Tj > 2.

11.13 Robuster Regler nach Patel und Toda

Angabe: Gegeben ist ein dynamisches System mit der KoefRzientenmatrix

^~ \ 0 -20 J ' (11.44)

Man lose die Lyapunov-Gleichung A ^ P + PA = - 2 1 nach P auf, wobei P symmetrisch angesetzt werden kann. Welche Unsicherheit ist nach Patel und Toda fiir Stabilitat zulassig?

Page 223: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

11.14 Stabilitatsrobustheit von A 221

Losung:

A ^ P + P A = - 2 1 - . P = - A - ' = f Y 0,05 ) ^ ^'""''[^1 = ° ' ^ • ^^^-^^^

Jenes AA, das als Unsicherheit zulassig ist, folgt nach Patel, R.V., and Toda, M., 1980, aus

l|AA|U < 3 - ^ = 10 . (11.46)

Spezialisierung fiir AA = I _i_o ) li^fert / 0 1 N \±a ±2 )

A„,ax[AA^AA] ausA^ - (a^ + 5)A + a^ = 0 zu A„,ax = ^ ^ + y ^ ^ ^ - j ^ - a^ . (11.47)

Gl.(11.46) -> ||AA|U = ^An,ax[AA^AA] < 10 oder ^ ^ + i ^ ! ± ^ - a^ < 100 . (11.48)

Dies fiihrt auf das Ergebnis - 9 , 8 < a < 9,8 .

11.14 Stabilitatsrobustheit von A

Angabe: In welchem Intervall diirfen spezielle konstante Unsicherheiten A A von A liegen, ohne dass die Stabilitat von Ap = A-\- A A gefahrdet ware?

-=(4i) -=(:.:) <'••«) Losung:

det(sl - Ap) == 0 ^ s^ + ( 9 - a 2 ) s + ( 2 0 - a i ) = 0 ^ 02 < 9; ai < 20 . (11.50)

11.15 * Robustes Fiihrungsverhalten einer Eingrofienregelung

Angabe: Man betrachte den Fall der gestorten RegelstreckeGp{s) = [l-\-Ws{s)A{s)]G{s). Darin ist Ws{s) eine stabile Gewichtsfunktion fiir die stabil angenommene multiplikative Unsicherheit A(s). Diese erfiille II A(5)||oo < 1- G^p(s) und G{s) haben also dieselben instabilen Pole. Die Bedingung fiir Stabilitatsrobustheit lautet \\Ws{s)T{s)\\oo < 1, wie bereits in Gl.(11.34) angegeben. Welche Erweiterung ist erforderUch, um robustes Fiihrungsverhalten aus der robusten Stabilitat zu entwickeln? Losung: Die Sensitivitat des Regelkreises im gestorten Fall lautet

1 1 1 5 ^^^^^ " l-hK{s)Gp{s) " l + K[l-{-WsA]G " 1 + KG + WsA • KG " 1 + TWsA ' ^ " " ^

Darin ist S{s) = I_^\^Q die nominale Sensitivitatsfunktion. Die Regelqualitat im gestorten Fall kann mit ||Wp5p||oo < 1 angesetzt werden, wobei Wp{s) eine

Gewichtsfunktion fiir die Sensitivitat bedeutet. Verwendet man 01.(11.51), so erhalt man

< 1 VA - . I, "f,,, I < 1 VA,cj . (11.52) " H - r i ^ , A " ° " '1 + TWsA

Wahlt man ein komplexes A vom Betrag eins und einer Phase derart, dass TWs negativ reell wird, so folgt {Doyle, J.C., Francis, B.A., and Tannenhaum, A.R., 1992; Foias, C, et al, 1991)

l^^"^' < 1 ^ \WpS\<l-\WsT\ \/LJ (11.53) l-\TWs\

\WpS\ + \WsT\ Woo < 1 . (11.54)

Page 224: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

222 11 Robuste Regelungen

11.16 * Robustes Fiihrungsverhalten

Angabe: Man ermittle einen Regler K(s) derart, dass die Hoo-Norm der Regelabweichung e{t) iiber alle Unsicherheiten A (5) in der Strecke

Gj^is) - [1 + Ws{s)A{s)]G{s) VA{A : ||A(5)||oo < 1} (11.55)

mininiisiert wird. Die SoU-Fuhrungsiibertragungsfunktion sei nach Abb. 11.8 als Tref{s) definiert.

Losung: Unter Verwendung der nominalen Sensitivitat S{s) und Fiihrungsiibertragungsfunktion T{s)

S(s) ^ ' 1 + KG ( ) = Tl fe = ^ (11.56)

erreicht T{s) den SoUverlauf Tre/(s) dann, wenn Tref = VGS. Dies fiihrt auf V = - ^ . Die Abweichung

Vref

Trefis)

V{S) TQ

6 Gp{s)

K(s)

1 y

Abbildung 11.8: Regelkreis mit SoU-Fuhrungsiibertragungsfunktion

^ = (TTG;^ ~ '^'~v " = ^ "- ^ •

Einsetzen liefert

TA (1 + WsA)G Tref

Iref — 1-^WsA t-ref

l + {l + WsA)GK GS

( \ + WsA \ ^ 1 4 - T ^ . A - l

\l + WsGKSA ) "'-^ l^Ws^

1 + GK + WsGKA S

WsGKSA

Lref •

(1 - GKS)WsA

(11.57)

(11.58)

GKSA ^ - / - i + WsGKSA ^^^^~

^ ~ 1 + ^ * I T I G ^ ~ l~^KG-\-WsGKA ~ 1 + KG + WsGKA

SchlieBlich erhalt man {Doyle, J.C, Francis, B.A., and Tannenhaum, A.R., 1992)

\WsTref\ • |A | _ \WsTref\-l max IITAIIOO = max max =

^ ^ ^ (1 + KG) [1 + ^ f f AJ .^KG\[l-\f^\\

(11.59)

(11.60)

m^ax||rA||oo = m a X | ^ ^ ^ ^ l _ l ^ ^ ^ ^ | . (11.61)

Page 225: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

11.17* Value Set 223

11.17 * Value Set

Angabe: Man wende das Zero-Exclusion-Theorem auf zwei Angaben an: Erstens auf

G{s) = s2 + 4s + ^

K{s) = V

l-f-Ts mit der Unsicherheit |T | < 3 (11.62)

und zweitens auf

r(o\ ^ ^G'(g)

""^'^ = Ms) e - " ^ ^ ( l - 0 , 6 g )

s2 + 4s + 8 K{s) ^ ^^(^)

V r i = 0 , 3 5 ; Ts = 0,2 . (11.63)

dK{s) 1 + r ,

Losung: Im ersten Fall lautet das charakteristische Polynom des geschlossenen Regelkreises

Pci{V; s, T) = Ts^ + (1 + 4r)s2 + (ST + 4 - y ) s + 8 + F . (11.64)

Nach Routh ist Stabilitat fiir —S<V< 26/3 bei T = 1 garantiert. Real- und Imaginarteil von Pci{s) betragen fiir s = juj

^e Pci{V; ju, T) ^ - ( 1 + 4T)LJ'^ -f 8 + F (11.65)

^m PciiY; juj, T) = -oj^T + (8 r + 4 - V)LJ . (11.66)

Fiir feste T und cj zeigt das Schaubild vonPdiV) in seinem Imaginarteil gegeniiber dem Realteil den Verlauf einer Geraden. Dabei ist die Verstarkung V der Parameter. Fiir verschiedene uj erhalt man verschiedene Strecken; sie sind in Abb. 11.9 gezeigt. Die Menge dieser Strecken begriindet den „value set". Wenn dieser den Ursprung der s-Ebene ausschliefit, ist die charakteristische Gleichung fiir kein u erfiillt (Zero-Exclusion-Theorem). WeiB man iiber die Stabilitat eines Punktes im „value set" Bescheid, dann ist der gesamte Satz stabil, desgleichen ist robuste Stabilitat gesichert {Barmish, B.R., 1994)- Die Abb. 11.9a zeigt dies fiir jedes V in den Grenzen \V\ < 3.

Fiir die zweite Angabe ist das charakteristische Polynom nur ein Pseudopolynom, da eine transzendente Funktion enthalten ist. Der Value Set ist in Abb. 11.9b gezeigt.

11.18 * Robustes Storungsverhalten einer Eingrofienregelung

Angabe: Fiir die Gewichtung der Streckenunsicherheit und der Stdrungsiibertragungsfunktion gelten die (frequenzunabhangigen) Funktionen Wi = 0,15 und W2 = 0,4. Strecke und Regler sind nachstehend angegeben. Welches AusmaS an robustem Stabilitatsrand liegt vor? Die Daten sind

Strecke

PID-Regler

G{s) -0,25 s 1 - 0 , 1 2 5 s

1 + 0,1 s -h s2 (1 -H 0,125 s)(l + 0,1 s -h s2)

Kis) = 6(1 + 1 ) ^ ± ^ ^ ^ ^ 4s^ s-h4

Losung: In Zustandsraumdarstellung erhalt man

G{s) =

• - 8 , 1 1 0 0

- 1 , 8 0 1

- 1

- 8 0 0 8

1 ' 0 0 0

K{s) = - 4 1

- 2 1 , 6

0 0

0,225

1 •

0

6

(11.67)

(11.68)

(11.69)

Die resultierende und verallgemeinerte Ubertragungsmatrix von der Storung am Eingang der Strecke zum Ausgang der geregelten Regelstrecke lautet {Doyle, J.C., et al, 1982)

- W i ( H - K G ) - i K W2(I + G K ) - i

Wi(I -HKG)- i \ W 2 ( H - G K ) - i G )

T{s) =

' - 8 , 1 1 0 0 0 0 0

4,2 0 1 1 0

0,3 -0 ,2

- 5 6 0 0

- 8 0

-2 ,4 1,6

-21,6 0 0

- 4 1

-1,08 0

0,225 0 0 0 0

0,0113 0

- 6 0 0

- 1 0

- 0 , 3 0,2

1 0 0 0 0

0,5 0

(11.70)

(11.71)

Page 226: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

224 11 Robuste Regelungen

Abbildung 11.9: Value Set Pci{V) fiir T = 1 und | F | < 3 der ersten Angabe (a) und fiir die zweite Angabe der Totzeitstrecke unter Tt = 0,35, T = 0,2 und \V\ < 3 (b)

und schliefilich den

Wird „normhinf" aus der MATLAB Control Toolbox auf Gl.(11.71) angewandt, so liefert dies ||t(5)||oo = 0,6056.

In der Abb. 11.10 erkennt man die folgenden Kurven: den maximalen Singularwert (Jmax[T](cj), den

strukturierten Singularwert IID{T){UJ) = infdcrmax[DTD~^](a;) mit D = I ^ ^

spektralen Radius ps[T]{uj) = maxi |Ai[T]|(a;). Der obenstehend errechnete Wert stimmt sehr gut mit jenem Wert iiberein, den man unter ||T||oo = max^^ crmax[T](u;) = 0,59 bei d = 1 erhalt. Der Abstand zu der Horizontalen 1 entspricht dem Robustheitsrand. Wiirde man das Resultat cTmaxI'], i-e., 0,59, anstelle von des //£)-Maximums 0,45 heranziehen, erhielte man eine hinreichende Robustheitsbedingung, ps wiirde eine Unterschatzung darstellen {Dailey, R.L., 1992; Weinmann, A., 1996).

11.19 Hoo-Norm der Storungsiibertragungsfunktion

Angabe: Bei welchen Frequenzen vermag der Regelkreis mit bestimmten nachstehendem K{s) und G{s)

Page 227: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

11.19 Hoo-Norm der Storungsiibertragungsfunktion 225

:T]IH

Abbildung 11.10: Robustes Storungsverhalten

Storungen am Streckeneingang am schlechtesten auszuregeln?

K{s) = G{s) = 1

1 + 2s ' ' 1 + 2s 4- 52

Losung: Die Minimumbedingung lautet

d Z(LJ)

Fstis) = G{s) l + 2s

1 + K{s)G(s) 2s3 + 5s2 + 4s + 7

^ . . = 0 '^ n' = —n , wobei n' — ouj n{uj) z OLJ

(11.72)

(11.73)

Nur den Nenner von \Fst{j<^)\ im Minimum iiber cu zu studieren, kann zu Fehlschliissen fiihren; denn

iFstiMl : n{uj) (11.74)

Page 228: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

226 11 Robuste Regelungen

Abbildung 11.11: Frequenzgang Fstij<^) als Ortskurve (a) und Bode-Diagramm (b). (Der als kleiner Ring markierte Punkt gilt fiir a; = 1,5.)

fiihrt bei alleiniger Betrachtung n(uj) -> min^ oder n'{u;) = 0 allein nur dann auf dieselbe Losung, wenn wegen

z'n — n'z = 0 ^^ n' = —n z

der Ausdruck ^ ^ sehr klein ist. Der Nenner von \Fst{juj)\ im Betrag iiber u minimiert ergibt

(11.75)

\2{juf-}-5{JLj)'^-\-4:ju + 7\^ - ^min -^ ^^ -^ 12a;(2a;^ + 3cc;2-9) = 0 ^ u = JT^ = 1,2247 .

(11.76) Dieser Wert lasst sich also leicht rechnen. Der exakte Wert unter Beriicksichtigung von Zahler und Nenner liegt bei LJ = 1,2322 mit ||F5i(s)||oo =2,0052, vgl. Abb. 11.11.

Page 229: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

Kapitel 12

Regelkreise auf stochastischer Basis

12.1 Leistungsdichte des Ausgangssignals

Angabe: Fiir die Anordnung der Fig. 12.1 ist die spektrale Leistungsdichte des Ausgangssignals y{t) zu berechnen. Losung: Aus

dr

2a

J— oo J— oo

/

O /.oo p

e ( a - j a ; ) r ^ ^ _^ / g ( - a - j c . ) r ^ ^ ^ __^

-cx) Jo ^2 + folgt mit GiJLj) = -^^ und \G{juj)\^ = ^^^ das Resultat

5 , , M = 5 . . (a ; ) |G ' ( i^^ |2- 2a (a2+a;2)2

(12.1)

(12.2)

(12.3)

Rxxir) = e-^l^l

x{t)

1

s + a

!/(<) Abbildung 12.1: Rauschiibertragung

durch ein PTi-Element

12.2 Regelkreis unter Messrauschen

ef + Q 2s

M(s) Or^ Abbildung 12.2: Regelkreis unter

Tir Messrauschen

Angabe: Der Regelkreis nach Abb. 12.2 unterliegt einem Messrauschen Ur in einer engen Umgebung von 4Hz. Man entwerfe ein Filter M{s), sodass das Rauschen mit maximal 50% auf die StellgroBe durch-schlagt. Welche Auswirkung hat das Filter auf die Dynamik des Regelkreises, gemessen an der Phase des Systems? Losung: Angesetzt wird M{s) = j q ^ . Damit folgt

Fu,nr{j(^) = -U^TD

Nrijto) -juJ^TTi - a;2(r + Ti) + juj + TD wobei TD = 2, Ti = l (12.4)

Page 230: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

228 12 Regelkreise auf stochastischer Basis

(12.5) ' "•"••' [TD - a;2(r + ri)]2 + (W - uj^TTiY '

Bei einem bestimmten oj soil \Fu,nrU^)\ — ^ ^ein, mit a < | . Es folgt

T2[,^4 _ ^6^.2] ^ 7^[_2^2] _ 2^2^^ _ 2 _ . ^4^2 _ ^ ^ + a; = Q . (12.6)

Mit der Frequenz von 4 Hertz oder Ur — Sn = 25,132 findet sich T = 0,154. In erster Naherung wird die Durchtrittskreisfrequenz UD der Schleife durch M{s) nicht bestimmt, daher

wird vereinfacht

^^^^^ = Tfki = M^)- '''•'' Dies fiihrt aus \FO{JUD)\ = 1 ZU UJD = 1,25 rad/Sekunde.

Die Phase ohne und mit M{s) folgt zu

arg(Fo) == -90° - arctan (1, 25) = - 1 4 1 , W (12.8)

arg(F^) = arg(Fo) - arctan (0,1925) = - 1 5 2 , 2 \ (12.9)

12.3 Spektrale Leistungsdichte des Ausgangs

Angabe: Der Eingang eines PTi-Elements mit Verstarkung und Zeitkonstante je 1 unterliege einer Ein-gangsgroBe w{t) mit

R M - l 0 , 5 T + 1 - 2 < T < 0 ,

R^.UT)-[ _ O _ 5 ^ + I 0 < T < 2 • (^2-^°)

Wie lautet die spektrale Leistungsdichte des Ausgangs y{t)? Losung: Aus

S^aw{uJ) = r R^Ur)e-''''dT = ^ " ' ' ^ " ^ ' ^ = 2si2(a;) (12.11)

folgt

12.4 Rauschanr egung

Angabe: Am Eingang des dynamischen Systems G{s) = y liegt Rauschen von der Autokorrelationsfunk-

tion Ree(j) = e~l'"L Wie lautet die Spektraldichte Saa{(^) des Ausgangs? Losung:

/oo 2

i?ee(r)e-^""(ir = ^ - j - ^ (12.13)

G(ja;) = ^ , \G{ju;)\' = ^ ^ 5..(c^) = |G(j(^)P 5ee(a.) = ^ ^ ^ ^ ^ . (12.14)

12.5 Approximation eines Rauschsignals

Angabe: Ein Rauschsignal u{t) von der Korrelationsfunktion RUU{T) und der Spektraldichte

5„„(c.) = ?^ sf ( ^ ) (12.15)

sei zu approximieren. Zur Verwendung soil ein PTi-System kommen, das bei keiner Frequenz ein kleineres Ausgangsspektrum besitzt als Suui'^)- Die Anregung des PTi-Systems erfolge durch weiBes Rauschen So-Die zeichnerische Behandlung im Bode-Diagramm erfolge fiir Ua = 12. Losung: Die Schliisselbeziehung ist

Suu{uj) = \F{juj)\^So. (12.16)

Der Abb. 12.3 ist sowohl Suui'^), also auch die kleinste obere Schranke des PTi-Systems mit der

Verstarkung -^=J^ = 0 ,72 / \ /5^ und der Knickfrequenz ci;jfc = 4,5 zu entnehmen.

Page 231: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

12.6 Abweichungsspektraldichte 229

-40 dB

Abbildung 12.3: Spektrum von Suui^)

12.6 Abweichungsspektraldichte

Angabe: Ein Storsignal besitzt die Autokorrelationsfunktion 2 e~'^' und wirkt als Wd im Regelkreis nach Abb. 12.4. Wie lautet die Autospektraldichte See{^) der Regelabweichung im Falle dieser Storung? Losung:

g-klg-jw^^ = ... = /

OO /-OO

-OO ^ - o o 1 -r UJ

- l - 0 , l g _ E{s)

l + 0,01a;^ y2 + ( i - 0 , 2 y ) a ; 2 + 0 , 0 1 u ; 4

(12.17)

(12.18)

-> Seeicj) = \Fen.AJ^)\^Sn,,^A^). (12.19)

Vref ) ' , ) •

V 1 + 0, Is

'Wd

+ i

76 Abbildung 12.4: Regelung

mit stochastischer Anregung in der Storung

12.7 * Regelkreis unter Storungsrauschen

Angabe: In einem Standardregelkreis wie Abb. 12.10, jedoch mit der Storung Wd{t) am Streckeneingang, sei G{s) = ^ e~*' * und K{s) = ^.Q^ ^ gegeben. Welche mittlere quadratische Abweichung zeigt die RegelgroBe? Losung: Die Autokorrelationsfunktion des Ausgangs y{t) des geschlossenen Regelkreises berechnet sich zu Syy{{jj) = \Fst{j<^)\'^SwdWd{^)- Die Storungsiibertragungsfunktion lautet

Fstis) G{s)

l-\-K{s)G{s) \Fst(Juj)\'

l4-0,01cj2 {cosLuTt - 0, lcj2)2 + (cj - sinuTt)'^

(12.20)

Page 232: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

230 12 Regelkreise auf stochastischer Basis

Fiir farbiges Eingangsrauschen von der Spektraldichte ^, °'p^^a findet man

Nach Kiirzen im Integranden kann der verbleibende Nenner nach Potenzreihenentwicklung durch den verkiirzten Ausdruck 1 + (0,8 — 2Ti)cj^ ersetzt und das Integral als arctan erkannt werden. Damit lautet das Ergebnis y"^ = , ^^^ ; fiir T = 0,1 folgt 0,129. Bei Berechnung ohne Approximation im Nenner

erhielte man 0,111.

12.8 Spektraldichten des Ausgangs

Angabe: Gegeben ist eine Integrator mit Einheitsriickfiihrung. Diese Anordnung wird mit einem Rausch-signal u{t) erregt, dessen Autokorrelationsfunktion das Aussehen der Abb. 12.5 besitzt. Welche Spektral­dichte gehort zu der AusgangsgroBe y(t) ?

Abbildung 12.5: Autokorrelationsfunktion

Losung: Aus der durch die Fourier-Transformation gegebenen Beziehung zwischen Autokorrelationsfunk­tion und Spektraldichte Suui^^) — X ^ Ruu{T)^~^^^dT folgt

/•O p2 .

Suu{uj)= (0 ,5r+l)e-^ ' '^^( i r4- / ( - 0 , 5 r + l)e-^*'^^dr = — (1 - cos2u;) = 2si2(a;) . (12.22) J-2 Jo ^

Mit der Ubertragungsfunktion -^ erhalt man schlieBlich

Syyijuj) = - ^ ^ si2(u;) . (12.23)

12.9 Spektraldichte des Ausgangs bei Anregung mit weifiem Rauschen

Angabe: Ein PTi-Glied, realisiert durch eine RC-Schaltung (mit RC = T), werde mit weiBem Rauschen u{t) angeregt. Man setze die Autokorrelationsfunktion des Eingangs an, berechne das Leistungsspektrum des Ausgangs y{t) und diskutiere den Unterschied in der Frequenzabhangigkeit der Leistungsspektren am Ein- bzw. Ausgang. Wie verhalt sich die Autokorrelationsfunktion des Ausgangs fiir kleine T? Losung:

/

oo I

Ruu{r)e-^''''dT = e'^'^A = 1 . (12.24) -oo ' ^ - 0

Berechnet man zu einem beliebigen RXX{^){T) = TQC'^'^I^^ die Autospektraldichte Sxxi^)^ so erhalt man mit Zwischenrechnungen Sxxis^^ ~ 2roT^, J^T^^ • Daraus folgt, dass zu der Spektraldichte nach Gl.(12.25) die Autokorrelationsfunktion Ryyif) = ^e~^^^ gehort, well 2roT — 1 ist. Fiir T klein wird Syy = l -w^T^.

Page 233: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

12.10 Identifikation aus Spektraldichten 231

12.10 Identifikation aus Spektraldichten

Angabe: Von der RauscheingangsgroBe x{t) eines Systems ist die Autospektraldichte Sxx(<^) = a^tj^ gegeben; die Kreuzspektraldichte zwischen Eingang und Ausgang betragt SxyU^) = fc+ju})(d+ju)(e+ju) ' Welches System besitzt ein derartiges Verhalten? Losung: Die Ubertragungsfunktion des Systems G{s) lautet daher

GUuj) = Sxyiji^) 6(a2+a;2)

G{s) = h{a?

Sxx{uj) {c + JLj){d-\-juj){e + ju)2a ^ ' " ' 2a{c +s){d +s){e +s)

12.11 * Identifikation im geschlossenen Regelkreis

(12.26)

Angabe: Wird der Ausgang y(t) einer unbekannten Strecke G{s) (ohne weitere Riickfiihrung) iiber nr{t) additiv verrauscht und ist der Eingang u{t) mit nr{t) unkorreliert, dann folgt G{s) = Syu/Suu- Liegt ein geschlossener Regelkreis laut Abb. 12.10 vor, mit einem Regler K{s) und einer Strecke G{s) und mit Sollwert Vrefit) — Oj dann ist die StellgroBe u{t) mit dem Messrauschen nr{t) korreliert. Wie lasst sich in diesem Fall G{s) identifizieren? Losung: Aus der Signalbeziehung folgt durch Kreuzkorrelieren mit nr{t)

- K{s)[l + G{s)K{s)]-^Nr{s) = U{s) --> -K[l + GK]-^Sn^nr = Sn.u (12.27)

Aus der Zusammensetzung des Ausgangs Y{s) = G{s)U{s) + Nr{s) und durch Kreuzkorrelieren mit u{t) erhalt man

iSyu — GSuu + Sn^u — GSuu ~ K{1 -\- GK) Snr,nr. (12.28)

und die quadratische Gleichung in G

KSuuG H- {Suu ~ KSyu)G — KSur-n-r ~ Syu = 0 . ( 1 2 . 2 9 )

Die Gleichung kann punktweise iiber u ausgewertet und G{ju) punktweise nach Betrag und Phase be-stimmt werden. Daraus folgen, etwa iiber Polygonapproximation, die Koeffizienten einer analytischen Dar-stellung G{juj) oder G{s).

12.12 Messrauschminderung

Angabe: Der Regelkreis mit Messrauschen nach Abb. 12.6 besitzt TD — 2 und Ti = 1. Messrauschen Tir trete ersatzweise mit den beiden Frequenzen / i = 5 Hz und /2 = 10 Hz auf. Das Messglied sei durch eine ADC-DAC-Kettenschaltung (digitale Messdateniibertragung) realisiert, seine Ubertragungsfunktion lautet M{s) = ^^^— • Wie ist die Zeitkonstante T fiir Mittelwertbildung zu wahlen, damit die beiden Storfrequenzen durch das Messglied unterdriickt werden? Man berechne auch den Phasenrand fiir ein ideales Messglied M{s) = 1 sowie fiir das oberwahnte Messglied M{s). Hinweis: Fiir u <^ 2'K/T kann das Messglied durch M'{s) w e~*^/^ genahert werden. Losung: Das Messglied M{s) besitzt bei T = 0,2 eine NuUstelle in M{juj) bei 5 und 10 Hz. Mit der

Einschrankung M{s) = 1 ist \Fo{jiJD)\ = 1 bei UD = yO, 5("s/l7 — 1) = 1,25. Der Phasenrand aR betragt 38,67°. Bei M{s) ^ 1, aber LJ < 27r/T, andert sich UD nicht, wohl aber aR auf 31,51°.

Vref + Q sTp

l + sTi

M{s Or-Abbildung 12.6: Regelkreis

unter Messrauschen

Page 234: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

232 12 Regelkreise auf stochastischer Basis

12.13 Optimale Verstarkung eines Parallel-Elements

Angabe: Von u{t) nach Abh. 12.7 kennt man die Autokorrelationsfunktion Ruu{'^), ferner ist Ruyi^) bekannt, beides fiir r nahe 0. Wie ist k zu wahlen, damit e^ ein Minimum wird? Losung: Verwendet man die Definition des mittleren quadratischen Fehlers und der Autokorrelationsfunk­tion, so erhalt man

— r ^ I e^ = Ree{0)= lim / [y{t)-ku(t)][y{t-T)-ku{t-T)]dt\ = Ryy(0)-2kRuy{0)+k'^Ruu(0) , {^'^•^^)

T->oo J_rp \T=0

da Ruyir) = Ryu{—T) . Differenzierung nach k ergibt

dk = -2RuyiO)-\-2kRuu{0) k = Ruyifi)

RuuiO) (12.31)

uit) „ . _ f(„.\ y — J v"-/

1

k ku{t)

^i^T^) Abbildung 12.7: Parallelschaltung von einem nichtlinearen und

linearen Element

12.14 * Minimum der Ausgangsspektraldichte

Angabe: Wie ist T zu wahlen, damit / ^ Syy{u)d(jj nach Abb. 12.8 ein Minimum wird? Losung: Aus den Beziehungen

Syyiu^) = \F{jCj)\^Suu{u>) \F(M? = ^ ^ ^,y,

folgt mit der Zerlegung

(12.32)

1 2 1 + Cj2 1 + ^ 2 J^2 - 2^2 _ 1 cj2 4- ^ 1 _ r 2 ^ 2 + 1

und nach der allgemeinen Formel (die an sich auch fiir negative T Giiltigkeit behielte)

duj = T[arc tan oo —arc tan (—00)] = TT \T\ y_oo i+a ;2 -

(12.33)

arc tan cj = TT (12.34)

/•°° 2 1

Das Minimum liegt offenbar bei T -^ 00.

(^2T2 duj ••

2^(|T| - 1) T 2 - 1

(12.35)

«? - 2 ^ 1

l-\-ju;T

Syyiuj) Abbildung 12.8: Ubertragung von

Rauschen

Page 235: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

12.15 Formfilter 233

12.15 Formfilter

Angabe: Die Autokorrelationsfunktion

Syyiuj) = 1

a2 + {LJTI (12.36)

sei durch ein Formhlter mit dem Frequenzgang G{juj) aus weiBem Rauschen zu erzeugen. Wie lautet G{jw)? Losung: Die Losung folgt aus Syy{u) = \G{ju)\'^Sxx{^) mit weii3em Rauschen Sxxi(^) = So als

1 1 G{ju) =

a + j{uT,-^^)VS'o (12.37)

Leicht v.xv..x. ist zu bestatigen, dass eine passive Schaltung nach Abb. 12.9 die gewiinschte Ubertragungseigenschaft G{juj) besitzt, wenn die Parameter gemafi Ti = RiCi , T2 = R2C1 , a = 1 -(- ^ + ^ gewahlt werden.

Ri -A \-

Ci

R2

n i—l

Abbildung 12.9: Filter zur Realisierung von G{j(jj) ohne den Anteil von -h=

12.16 * Stochastischer Regelkreis

Angabe: Bin Rauschsignal Wd{t) als Storung zu einem Regelkreis in Abb. 12.10 besitzt die Autokorrela­tionsfunktion RwdWdij) — e""'"^' bei a > 0 und daher die Varianz <T^^ = RwdWdW = 1 • Das Rauschsignal wird durch das PTi-Element der Storungsiibertragungsfunktion

Fstis) -1 Y{s)

l + sT Wd{s) r>o (12.38)

geRltert. Wie groB ist die Varianz ay des Ausgangssignals? (Ein Hinweis lautet J j^dx = arctan x + C .) Losung:

1 /.C50

1 / 2aT2 \ 1 \^ I 2a I a;|°o /-.^ .^N = T" ( ~ 1 W^) ;^arctana;r + — ^-^ ^ a a r c t a n - = (12.42)

ZTT V 1 — a ' ^ l ' ^ J l l-oo ZTT1 — a'^i ^ a^ al-oo (12.43)

a | r | - sign a 1 a2r2 - 1 1 + aT ^ •

Zur Verwendung ist eine Formel mit | r | und sign a gekommen, die auch fiir negative T und a ihre Giiltigkeit behielte.

Page 236: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

234 12 Regelkreise auf stochastischer Basis

2/ref +

Abbildung 12.10: Regelkreis unter SoUbeeinflussung, Messrauschen

und Storung

12.17 * Entwurf auf Storung und Messrauschen

Angabe: Ein Regelkreis nach Abb. 12.10 besitzt die PTi-Strecke G{s) = -^ und den PI-Regler

K{s) = kRJl + STN)

STN (12.44)

Der Regelkreis soil folgende Bedingungen erfiillen: Hochfrequentes Messrauschen Ur darfaufdie StellgroBe u bis zu einer bestimmten GroBe durchschlagen, und zwar weniger als 5 dB. Harmonische StorgroBen Wd am Streckenausgang von 0,2 Hz miissen in der Auswirkung auf die RegelgroBe gemindert werden, und zwar um mehr als 20 dB. Welche Dynamik auf Fiihrungsanderung bleibt? Losung: Aus der Messrausch-Ubertragungsfunktion

K

1 + KG

folgt

lim l ^ ^ l = lim \K{juj)\ = lim kail + ^ ) = kR

(12.45)

(12.46)

mit der Angabe 20 log kn < - 5 ergibt sich kn < 10"°'^^ = 0,5623 .

Mittels Storungsiibertragungsfunktion Fst{s) = Wil) ~ I+KU)G(S) ^^^alt man mit der Anregungsfre-quenz a; , = 27r • 0,2 = 0, in

201og|^(fm<-20 ^ \Wd(jUJo)\

y{M I < ^o_i A ^

TNS^ + 2TNS

Wdijujo) i + ^Hii+£Zi^4- TNs''^{2TN + ikRTN)s + 4kR STN s+2

a;gr^(4 + a;g) {4kR - TNWIY + 4 r > 2 ( i + 2kRY

<a'

Tl[u:l+'^l{l + 2kRf ^lii + ^l) ] - T v • 9>kRJi + 16A;| < 0

und schliefilich TN < 0,0731 bei kR = 0,5623. Das Fuhrungsverhalten resultiert aus der Einhiillenden und aus der Ausregelzeit TA ZU

2 4kR 2D _ 2TN{1 + 2kR)

bJN 4kR

1 2i^ 2 . o, DUJN = 77 (^N = l + 2kR

(12.47)

(12.48)

(12.49)

(12.50)

(12.51)

Einhiillende aoC"^^^* = aoe-^^+2*=«)* = aoC"^'^^^* und Ausregelzeit TA = 4,6

LJND 2,16 . (12.52)

Die Rechnung ist nur eine Naherung, da der Einfluss der Nullstelle von T{s) nicht beriicksichtigt wurde. Der erste Schwinger konnte aufierhalb der Einhiillenden liegen.

Die Storungsiibertragungsfunktion Fstiji^) zeigt die Abb. 12.11, die Fiihrungssprungantwort samt Einhiillenden Abb. 12.12.

Page 237: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

12.17 * Entwurf auf Storung und Messrauschen 235

50

c Oh CO

-50 10" 10" 10 cj 10

180h

(D

90 f

10" 10 10 10

Abbildung 12.11: Sensitivitatsfunktion

0.4

0.2

1 + e-2.i25t

/ : / ^ l _ g-2,125<

_J[ L_

Abbildung 12.12: Fiihrungssprungantwort und Einhiillende

Page 238: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

236 12 Regelkreise auf stochastischer Basis

12.18 * Optimale Vorhersage eines Nutzsignalrauschens

Angabe: Die notwendige Bedingung dafiir, dass gemaB Abb. 12.13 der mittlere quadratische Fehler

(12.53) mm 9{t)

lim ~ f \yd{t)-y{t)]''dt-To->oo Zlo J-To

iiber ein realisierbares g{t) minimisiert wird, lautet

/

oo g{a)R^,:{T - a)da Vr > 0 .

-oo

Unter Verwendung des Bildbereichs verlangt Gl. (12.54)

C-HSxyAs)-G{s)S,,^(s)} = 0 V r > 0 .

(12.54)

(12.55)

Die Autospektraldichte Sxx(s) wird nun in das Produkt zweier Terme S~^(s) (analytisch in der linken Halbebene, d.h. alle Pole und NuUstellen in der rechten Halbebene) und S}^{s) zerlegt. Damit gilt weiters Sxx{s) = 5+3.(5) S~^{s) . Die Gl.(12.55) verlangt, dass Sxy^is) - G(s)S^^{s)S~x{s) in der linken Halbebene analytisch sein muss, gleiches gilt fiir

<^xx\S) -G{s)S+,(s). (12.56)

Da G{s) und S^^{s) bereits analytisch in der rechten Halbebene sind, verbleibt als Bedingung

[S^Y-Gis)StAs) = 0. (12.57)

Dies fiihrt unmittelbar auf

i~^XX\'^) ^XX\'^J (12.58)

Nutzsignalrauschen u{t)

K> nr{t)

Prozefi (Vorhersage)

9{t)Ms)

Modell (Zielvorstellung)

Gd{s)

yit)

o- e{t)

Vdit)

Abbildung 12.13: Optimale Vorhersage

eines Nutzsignalrauschens

Wenn u{t) und nr(t) unkorreliert, gilt

/

oo

gd{a)u{t + T- a)da} = (12.59)

-00

/oo /"OO

gd{oL)u{t + r - a)da} = E{uit) / gd[oL)u{t -h r - a)da} = (12.60) -00 ^ — 0 0

/OO

gd{a)Ruu{r - a)da (12.61) -00

SxyAs) = Gd{s)Suuis). (12.62) Der Ausdruck [•]+ wird folgendermaBen bestimmt: Partialbruchentwicklung; Auswahl jenes Teils, der stabil; Laplace-Rucktransformation und Beschrankung auf jenen Teil, der fiir t > 0 existiert; Laplace-Transformation.

Page 239: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

12.19 Rauschersatz: Resonanzamplitude und -frequenz 237

Wie lautet die optimale Vorhersage fiir die konkreten Annahmen

G'd(s)=e0'2- Suu{s) = jz rTrr-—r 5n.n. W = 0, 25 ? (12.63) (1 - s (1 -f s)

Losung: Bei unkorreliertem u{t) und n^(i) erhalt man

5..(s) = 5„„(.) + 5„,„,(.) = i ^ ^ ^ M ± i ) (12,64) 4(1 — s){l + s)

q p0,2s p0,2s ^xyd ^ t: f T ^ + ^ = ^ 1 (12.66)

0,127

5^x 2 ( 1 + S ) ( A / 5 - S ) 2 ( 1 + \ / 5 ) V H - 5 ^ /S

/ : - i ( [ ^ l ^ ] + j = L ^ e - ( * + o , 2 ) | =o,127e-^ -> G(s) = l±L.c{i^^i27e-'} = ^ .

(12.67)

12.19 Rauschersatz: Resonanzamplitude und -frequenz

Angabe: Der einfacheren Rechnung wegen wird das Rauschen durch eine frequenzmaBig ungiinstigste harmonische Schwingung ersetzt. Ein Storrauschen Wd wird dem Ausgang u des Reglers K{s) = ^ in Abb. 12.10 zugeschlagen. Der Streckeneingang ist sodann u -h Wd. Die Regelstrecke laute G{s) = r+6s • Wenn Wd(t) = sin (Jot, bei welchem UJQ nimmt u die groBte Amplitude an?

Alternativangabe: Der SoUwert yref = sincjo* wirkt aufden Regelkreis mit K{s) = —Q^ und G{s) = ^ . Welches LOQ verursacht die starkste Uberhohung im Istwert des Regelkreises? Losung: Fiir beide Angaben gilt mit T/ = 3, T = 6, V = 2

^ bzw. m = - i ^ = — r ^ - ^ (12.69)

sowie

LON = \f^ = 0,33, D = Q,5J^ = 0,25. (12.70)

Der Maximalbetrag der Uberhohung Hegt bei /i_n2 = 2,06 und bei der Kreisfrequenz

UNVI - 2D2 = 0,93a;iv = 0,32.

12.20 Abschatzung der Rauschauswirkung

Angabe: Gegeben ist die Strecke G{s) = •^. Man ermittle den bleibenden Regelfehler und den Um-fang der Minderung der Messoberschwingung bei 16 rad/s Kreisfrequenz im geschlossenen Regelkreis nah erungsweise. Losung: Aus einem Bode-Knickzug und einem giinstigen Regler

1 1 + 95 ^ ^ , , 9 1 1 + 9s _ _ _ , n d Fo(s) = - - ^ - ^ ^ ( ^ ) = o -T^ ^nd Fo{s) = - - ^ ^ (12.71)

folgt UD = 3. Bei „s grofi" gilt j j , bei s = juj = j l 6 schliefilich

^0 , . , ^ , 27 1 + Fo' ' "' 256

Somit liegt Dampfung von etwa —20 dB vor.

\Fyn.\ = \-rV^\=\Fo\ = 7;^. (12.72)

Page 240: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

238 12 Regelkreise auf stochastischer Basis

12.21 Auswirkung des Messrauschens auf die Stellgrofie

Angabe: Gegeben ist der Regler K{s) = j und die Strecke G{s) = ^j^ laut Abb. 12.10, wobei m eine beliebige positive Zahl ist. Das Messrauschen wird durch eine Sinus-Schwingung ersetzt, die bei der Regelkreis-Resonanz liegt, aber selbst wieder durch die natiirliche Frequenz CJAT des Regelkreises genahert werden kann. Welches DampfungsmaS beschreibt die Auswirkung des Messrauschens auf die StellgroBe? Losung: Fiir die Relation Stellgrofie zu Messrauschen im geschlossenen Regelkreis gilt

^ = ^ ^ a + 2 I ^ £ J ^ | Nr l + KG m-\-2-\-s"^-\-2s\s=juN=jVTi^ 2s ls=j\^T+2

IATJ 2x/m + 2 2 x / r r m 2\/m + 2 "

Page 241: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

Kapitel 13

Zweipunktregelungen

13.1 Phasenlinien einer linearen Regelstrecke

Angabe: Welche Phasenkurven zeigt das System A = ( _ ^ ) bei xi(0) = Xo und ^2(0) = 0?

Losung: Aus

Xi = X2

X2 = -Xi dx2 dx2 dxi dx2

dt dx\ dt dxi X2 = —Xi

(13.1)

(13.2)

folgt unter beidseitiger Integration nach xi der Ausdruck ^ = —^ -\- k . Bei t = 0 gilt 0 = - ^ + A: . Somit resultieren Kreise X-t i~ X<2 — Xfy •

13.2 Isoklinen und Trajektorien eines Regelkreises

Angabe: Man ermittle die Trajektorien und Isoklinen des linearen Regelkreises der Abb. 13.1 in der Phasenebene fiir den Fall jjref = cr(i) bzw. 0. Losung: Umformungen ergeben

Yrefis) = r y ( i ) + 2 / ( t ) - l = 0 (13.3)

Unter v = y folgt

I —V _ dv A Tv dy

Die Isoklinen in Abb. 13.2 sind von der Funktionsabhangigkeit

1 ^ 1-v -—- Oder 77 = -——

1 + Tr? ' Tv

und unabhangig von y.

(13.4)

(13.5)

Vref ^

+s ^ J

L

1 sT

-1 s

y

Abbildung 13.1: Blockbild eines linearen Regelkreises

Page 242: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

240 13 Zweipunktregelungen

1 + r / / A

I I I

\ \ \

V

/ / / / ^45^-7 Isoklinenneigung

I I I I I ^ 90°

\ \ \ \ \ Steigung —^

Abbildung 13.2: Isoklinen mit Neigungslinienelementen

13.3 Isokline und Trajektorie

Angabe: Man ermittle die Trajektorie zur Differentialgleichung

(13.6)

und zwar mit der Isoklinenmethode. Der Anfangszustand sei x{0) = 5, x{0) = 0. Unter welchem Durch-stoBwinkel und mit welcher Geschwindigkeit wird die xi-Achse von den Trajektorien durchlaufen?

Losung: Mit den Definitionen xi = x, X2 = x findet man

dx2 a;i + 0:2 A , J J- T 1 r 1 — — — yi und daraus die Isoklmen zu X2 = — dXi X2 1 + 7/

Xi (13.7)

Die Isoklinen sind Gerade durch den Ursprung. In Abb. 13.3 ist die Trajektorie eingetragen. Gemafi Gl.(13.7) gilt, dass (fiir beliebiges xi) a;2 ->" 0 nur bei Steigung 77 ^ 00 erfolgt. Die Geschwindigkeit ^ des Durchlaufens durch die Abszisse resultiert aus der Differentialgleichung

^ = X =^ —x — x. Auf der Abszisse 0:2 = 0 folgt fiir die Geschwindigkeit —xi. Die „Winkelgeschwindigkeit" bezogen auf den Ursprung lautet J T T ^ = konstant.

Abbildung 13.3: Trajektorie mittels Isoklinenmet ho de

Page 243: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

13.4 * Nichtlinearer Regelkreis in der Phasenebene 241

13.4 * Nichtlinearer Regelkreis in der Phasenebene

Angabe: Die Trajektorien der nichtlinearen Regelstrecken-DifFerentialgleichung x+x-\-x'^sign x = u sindin Abb. 13.4 dargestellt und gegeben. Das System wird mit einem Zweipunktelement mit Hysterese unter den Amplituden w = ±5 und den Umschaltschwellen e = ±1 geregelt. Das Eingangssignal ist null. Welchen Verlauf nimmt die RegelgroBe x(t) mit den Anfangsbedingungen Xo = ^,Xo = 0 in der Phasenebene? Welche naherungsweise Skalierung der Trajektorie nach der Zeit ergibt sich? Welcher genaherte Verlauf von x{t) iiber der Zeitachse kann angegeben werden? Welche minimale und maximale Amplitude von x{t) und welche Frequenz des Grenzzyklus liegt vor? Losung: In Abb. 13.4 liegt die Anfangsbedingung bei AB, XQ — Oj XQ = 0. Die erste Schaltung erfolgt bei e = 1, d.h. X = —1, die zweite bei x = 1. Sodann ist der Grenzzyklus beinahe schon erreicht.

Nahert man den Grenzzyklus durch eine Ellipse, so besitzt diese eine Amplitude in x von 1,3 und in x von 2,17. Daraus folgt die Grenzzyklusfrequenz grob zu 2,17/1,3 = 1,67, was einer Schwingungsperiode von 3,7 Sekunden gleichkommt.

Die Transiente von der Anfangsbedingung in den Grenzzyklus kann einerseits in PTi-Form genahert werden; als Gerade in der Phasenebene (Abb. 13.4). Die Gerade besitzt ein XQO = —10 bei Xoo = 0, ausgehend von x = 5 und x = — 3,3, was gemaB Tx-\-x = 0 einer Zeitkonstante T = ~ = 4,b entspricht.

Andererseits ist

/ " -2,8) dx =

2,8 ( - l - 5 ) - 2 , 1 4 ,

Beides fiihrt auf dieselbe Zeitabschatzung in der Abb. 13.5.

(13.8)

X 0

Abbildung 13.4: Trajektorien und Grenzzyklus (strichlierte Trajektorie fiir u = - 5 )

Page 244: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

242 13 Zweipunktregelungen

1,3 +

Abbildung 13.5: Zeitverlauf aus den Naherungen in der Phasenebene

13.5 Zeitoptimale Steuerung eines Zweifachintegrators

Angabe: Ein zweifacher Integrator V/s^ wird iiber ein unstetiges Element mit der StellgroBe ±K ange-steuert. Von einem Ruhezustand im Zeitursprung ausgehend, soil der Endpunkt (xi;a;2) = (5; 1) in der Phasenebene zeitoptimal angefahren werden. Wann ist dabei die StellgroBe umzuschalten? Losung: In der Phasenraumdarstellung gilt

X = Vu Oder X = Xi = X2 Xi = X2 = Vu

Bei konstanter Stellgrol3e folgt fiir die Bewegung aus dem Ruhezustand

bei u = -i-K ~> xi 1

2KV bei u • -K -^ xi = —

2KV xi -\- c.

Soil der Endpunkt (5; 1) getroffen werden, dann gilt c = 5 -f j ^ oder als Bewegungsgleichung

xi = - 2KV ( ^ i - l ) + 5 ,

Ihr Schnittpunkt mit xi = ^Wv^^ liefert fiir den Umschaltepunkt

1 :(^L-l) + 5

2KV 2^ 2KV'

Der Umschaltezeitpunkt tu resultiert aus

^2u — ( 2KV + h)KV = ^,b-^bKV

X2 = KVt ^ X2u = KVtu ^ tu = - ^ = J^

(13.9)

(13.10)

(13.11)

(13.12)

(13.13)

13.6 Unstetiger Greifer-Regler

Angabe: Der Winkel d eines Greifers wird mit einem unstetigen Regler geregelt. Dampfende Faktoren konnen vernachlassigt werden. Das Tragheitsmoment der Greiferanlage sei I = 250 [kg m^], die unstetig aufgebrachte StellgroBe als Stellmoment K = ±125 [Nm]. Das System habe Anfangswerte 'do = 4° und (T))^ = 0. Welche periodische Bewegung ergibt sich?

Losung: Mit der Annahme i^ = xi , d = X2 folgt

Xi = X2 XiQ _ 'dj^

X2 - - y a;2o

tsJL 1 180 L

- 0 J K K ^oT^

-^ ^1 = -777^^ + ^20^ + ^10 = -;77^^ + T ^ • (13.14) 21 21 180

Fiir den Endzustand X2e ergibt sich

. , , = - _ * , = - - ^ - ^ = - 0 , 2 6 4 .

(13.15)

(13.16)

Die Periode der Schwingung ist 4te = 2,11.

Page 245: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

13.7 Unstetiger Regler mit Hysterese 243

Abbildung 13.6: Zustandskurve in einem Teil der Bewegung

13.7 Unstetiger Regler mit Hysterese

Angabe: Fiir die Regelung nach Abb. 13.7 gelte k = 2; o = 0,25; V = 1,5; Ti = 5. Welche Bewegung ergibt sich fiir SoUwertsprung im Phasendiagramm? Losung:

(13.17)

Damit ist das Phasendiagramm nach Abb. 13.8 fiir yref{t) = ^(*) zu zeichnen; es geht bei t = 0 und den Werten yref = 1; y = 0] e = 1; u = 2 von y = ^ ^ = 0,6 (Anfangswerttheorem!) aus. Die Abb. 13.8 gibt alle Oszillogramme wieder, wie sie mit nachstehendem MATLAB-Programm berechnet werden.

yref{t) >) \ J *

r-k \

J " ^^

\ " . /

V 1 + sTi

1 y{t) Abbildung 13.7:

Unstetiger Regelkreis

y. i l g l . m c l e a r y re f= l ; yo=0; k=2; Ta=0.01; a=0.25; u=k; y=yo; for i i = l : 6 0 0

ya=y; e=yref -y ; i f e>a; u=k; end; */, Regler i f e < ( - a ) ; u=-k; end; */, Regler

y=y+Ta*(-y+1.5*u)/5; */. St recke G(s)=1 .5 / ( l+5s) v e c y ( i i ) = y ; v e c t ( i i ) = i i * T a ; ydot=(y-ya) /Ta; vecydo t ( i i )=ydo t ; vecu( i i )=u ; v e c e ( i i ) = y r e f - y ;

f i gu re (1 ) y, kwq.fig s u b p l o t ( l , 2 , l ) , p l o t ( v e c y , vecydot , ' r ' ) x l a b e l ( ' y ' ) ; y l a b e l ( M y / d t O g r i d s u b p l o t ( 1 , 2 , 2 ) , p l o t ( v e c t , vecy, v e c t , v e c u , ' : ' , v e c t , v e c e , ' a x i s ( [ 0 6 - 2 . 1 2 . 1 ] ) ; x l a b e K ' Z e i t t O

end

- . ' ) 1

Page 246: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

244 13 Zweipunktregelungen

0.6

0.4

0.2 [

0

-0.2

-0.8

i l g l .m , kwq.fi j

T -

2

1.5

1

0.5

0

-0.5

-1

-1.5

-2

-

y ( | L / \ y / \

^ e(t)V

u(t)

-

-

i -

\ 0.5 1

y

1.5 2 4 Zeit t

Abbildung 13.8: Zustandsdiagramm y iiber y sowie Oszillogramme y{t)^ e{t) und u(t)

13.8 * Zweipunktregelung mit sprungfahiger Regelstrecke in der Phasenebene

Angabe: Eine Zweipunktregelung nach Abb. 13.9 besitzt die Regelstrecke mit der Ubertragungsfunktion

bo + bis + b2S^ Gis) =

Go +aiS + 025^ (13.18)

Welche Schaltspriinge voUfuhrt der Streckenausgang im stationaren Zustand? In der Abb. 13.10 sind die Schaltspriinge in einem Oszillogramm prinzipiell gezeigt.

Abbildung 13.9: Zweipunktregelung

Losung: Nach der Anfangswertiibergabe in Matrizendarstellung {Weinmann, A., 1988) gilt

I ai a2 . . . an \ (12 as

\ CLn 0

Im konkreten Beispiel zweiter Ordnung folgt

0

0 )

( b, 62 . . . bn \ b2 bs

\bn 0 0 /

(13.19)

f ai a2 \ ^ f bi b2 \ _ f 62/02 0 \ n ^ 9 m [a2 0 J [b2 0 ) - [ bja2-a,b2/al 62^2 J ' ^'^''''^

Page 247: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

13.9 * Zweipunktregler mit sprungfsihiger Strecke nach Zypkin 245

Welters erhalt man fiir die Zusammenhange zwischen Ein- und Ausgang der Regelstrecke bei x = (^)

X(0+) = X(O-) + LaeU{0+) = X(O-) + LaeK - und ItaeK' . (13.21)

In der Phasenebene (Abb. 13.11) sind die Komponenten des Ausgangssprungs eingetragen.

t = 0 i^T

Abbildung 13.10: Oszillogramm von x{i) und u{t)

^2 \ 0.2 J

Abbildung 13.11: Phasenebenenbeziehungen

13.9 * Zweipunktregler mit sprungfahiger Strecke nach Zypkin

Angabe: Besteht ein Regelkreis aus einem linearen Teil G{s) und einem Zweipunktregler mit Hyste-rese (Breite 2a) und Schalthohe K, so hat die Zypkin-Schaltcharakteristik fiir sprungfahige lineare Sy-stemteile erweitert zu werden (Raschke, A., 1995). Der Ausdruck fiir den Imaginarteil der Zypkin-Schaltcharakteristik lautet dann unter der Voraussetzung, dass die Schaltrichtungsbedingung erfiillt ist,

QmI(uj) = -Kh{0+) + AK V{iuj)

= —a , wobei V = ^m G{juj) h(t)^c-H^}

(13.22)

Page 248: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

246 13 Zweipunktregelungen

gelten. Die Losung aus GL(13.22) ist mit LJ = Ur henannt. Welche Systembewegung ergibt sich fiir ein spezielles G{s) = Kp{l + ^ ) mit den Zahlenwerten TN = I, a = 2, Kp = 1, K = 1 ?

Losung: Man findet V{juj) = - ^ ; h{t) = Kp{l + ^ ) ; /i(0+) = Kp und mit Qm I{LO) aus Gl.(13.22)

^r = f ^ - T ^ • (13.23) 2 -^N F ^ - 1

Welters folgt uj^ = ^ und die Periode zu 4. Der zeitliche Verlauf der Ausgangsgrofie der Regelstrecke besteht aus einer Rampe von t = 0 bis ^ = 2

bis auf den Wert y = 2, dort springt y{t) urn 2 auf null zuriick; derselbe Verlauf fiir negative y-Wevte schliefit sich an.

13.10 Zweipunktregler mit interner Riickfiihrung

yref

K(S)

^TT /TTBT^ s + l

Abbildung 13.12: Zweipunktregelkreis mit interner Reglerriickfiihrung

Angabe: Welche Ubertragungsfunktion ergibt sich naherungsweise mit groBem k fiir das System der Abb. 13.12? Losung: Der Regler wird linear mit der Ersatzverstarkung k' anstelle des Zweipunktreglers angenommen. Damit folgt

K{s) = k'

i + ^'iii {s + 1)A;

s^-l + k' lim K{s) = s + 1 y{s)

Yrefis) 1 + K{S)^

1

5 + 2 (13.24)

13.11 Unstetiger Regler ohne Hysterese

Angabe: Ein Regelkreis besteht aus einem unstetigen Regler ohne Hysterese mit dem Ausgangssignal ±K und aus einer ITt-Strecke e~^'^* /{sTj). Wie sieht bei SoUwert 5 konstant die stationare Bewegung in der Phasenebene aus? Wie beeinRusst K und Tj die Frequenz der Schaltzeitpunkte? Soferne das unstetige Element durch ein lineares von der Verstarkung V ersetzt wird, bei welchem V zeigt dann der lineare Regelkreis Labilitat? Wie liegen die Schwingungsfrequenzen in beiden obgenannten Fallen zueinander? Losung: Die Frequenz der Schaltzeitpunkte bleibt von K und Tj unbeeinflusst. Die Schaltfrequenz kann als die Flache unter dem in ein j-a;-Diagramm umgezeichneten Grenzzyklus berechnet werden. Die Schalt­frequenz betragt 0,25/Tt . Die Verstarkung des linearen Ersatzelements V lautet 0,5 TrTj/Tt. Die erfragten Schwingungsfrequenzen sind gleich.

13.12 Regelung mit Hysterese und zusatzlicher P-Riickfiihrung

Angabe: Dampfende Wirkung der Riickfiihrung und entdampfende Wirkung der Hysterese wirken in der Schaltung der Abb. 13.13 einander entgegen. Bei kleinen Schwingungsamplituden iiberwiegt Hysterese-einfiuss, bei groBen die Riickfiihrung. Beide Falle konvergieren gegen eine stationare Grenzschwingung im Grenzzyklus. Wie sieht dieser, wie sehen die Zustandskurven und die Nahtlinie aus?

Page 249: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

13.13 * Grenzzyklus an einem PDl2-System 247

Losung: Aus dem Blockschaltbild der Abb. 13.13 findet man direkt

e = -{Vx2 -\-xi) + yref und u = X2/K1 = xi/Ki (13.25)

Die Umschaltbedingungen lauten e = —{Vx2 -\- xi) + yref = ± a . Daraus folgt xi = yref — Vx2 ± a als Gleichung der Nahtgeraden mit einem Ablenkungswinkel aus der Senkrechten von a = arctan V, siehe Abb. 13.14.

VreJ 111 *= \ ^ 1 i 1 = -fc 1 1 ^ r ^ 1

. -:. ..X 1 L 1 J7- 1 ^

1 —J

1 1 = X2\ 1 1 > ^ _ 1 (

S 1

y = xi •

Abbildung 13.13: Regelkreis mit hysteresebehaftetem Schalter

r-Xi = yre/

Abbildung 13.14: Trajektorie und Grenzzyklus

S/rr/ H- a

13.13 * Grenzzyklus an einem PDl2-System

Angabe: Der in der Abb. 13.15a gezeigte nichtlineare Regelkreis ist zu diskutieren und auf Gleitzustand zu untersuchen. Neben der Zweipunktkennlinie mit Hysterese soil auch eine Dreipunktkennlinie mit den gleichen Eckdaten diskutiert werden. Losung: Die Gleichung der Zustandsparabel in der Phasenebene lautet

1 2 _ ±KV{xi ± c) ( c > 0) . (13.26)

Bei hysteresebehafteten Kennlinien tritt kein Gleitzustand auf. Damit auch bei der Dreipunktkennlinie kein Gleitzustand eintritt, muss die betragsmafiig kleinste Steigung an der Grenzzyklusparabel kleiner sein als ^ (siehe umgezeichnete Abb. 13.15b). Dies fiihrt auf

oxi oxi 2\Jx\ + c a

^ 1 = N / 2 ^ ^ dx\ 1x1=0 2v^

1 < - .

a

(13.27)

(13.28)

Page 250: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

248 13 Zweipunktregelungen

Andererseits muss — aus geometrischen Erwagungen in der Phasenebene — die Relation c > a fiir das c der Grenzzyklusparabel erfiillt sein.

Fiir die nach rechts offene Grenzzyklusparabel gilt X2 = ^ bei a;i = 0, somit

lxl = KV{x,+c) ^ l ^ = KVc ^ c = 2 ^

Als Voraussetzung fiir Nichtgleiten folgt aus 01.(13.28)

y/c a IKV <

OL y/2ay/KVa \f2KVo? < a ,

aus c> a wegen 01.(13.29)

und resultierend

2a'^KV > a ^ a> 2orKV

a > max{\/2 KVa^, 2a'^KV} = 2a^KV .

Fiir die Zykluszeit Tc erhalt man mit Xi = xi + c

Tc = 4: —dxi = 4 / , dxi = 4—==2y/¥^\ •• Jo X2 Jo y/lKV yJTx ^/2KV \o

4a

KVa

(13.29)

(13.30)

(13.31)

(13.32)

(13.33)

0 s- . L -/

> Xy \

J _ ^ ^ L V

s

1

s

Streck

—I

1 1 Xi

1 —1

e

-TH L:

alternative Kennlinie

-3 rz

alternative Kennlinie

Abbildung 13.15: Blockbilder

13.14 Zustandskurven bei Hysterese-Zweipunktelement

Angabe: Ein Regelkreis nach Abb. 13.17 mit A: = 10 und a = 3 liegt vor. Die Zustandskurven sind zu zeichnen und die in Abb. 13.18 markierten Punkte in die Zustandsebene einzutragen. Man beachte die Zuordnung der Punkte auf der Hysteresekennlinie (Abb. 13.18) und auf den zugehorigen Zustandskurven (Abb. 13.19). Losung: Nicht jedes Auflaufen einer Zustandskurve auf die Schaltlinie bedeutet blindlings „Schalten". So etwa ist die Schaltgerade in Abb. 13.19 rechts oben nur dann fiir Schalten auslosend, wenn man von einer nach rechts offenen Parabel auftrifft. Man beachte, dass es — je nach Anfangspunkt auf der Hysterese­kennlinie im Mittelbereich —a<x<a — zwei verschiedene Ausgangsparabeln gibt, siehe z.B. Punkt 11 in Abb. 13.19.

Page 251: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

13.15 Abschatzungen an einem Zweipunktregelkreis 249

Grenzzyklus

Schaltlinie

(Steigung a)

Abbildung 13.16; Phasendiagramm bei Hysteresekennlinie

^ \ i

k I

—a

i

c

\ \

'1/ u

>

1 S2

y

Abbildung 13.17: Unstetiger Regler und Zweifachintegratorstrecke

13.15 Abschatzungen an einem Zweipunktregelkreis

Angabe: Zum Regelkreis nach Abb. 13.20 ist zu untersuchen: Welche Ubertragungsfanktion (wel­ches Verhalten) bewirkt der Regler K{s) fiir k -^ oo aus Abb. 13.20? Wie lautet das Fuhrungsiibertragungsverhalten T{s)? Abzuschatzen ist schlieBlich, nach welcher Zeit TQQ hei Sprung-anregung yref{^) = (^{t) der Istwert y{t) gerade 90 % des Sollwerts erreicht wird? Losung: Die Losungen lauten

l-hK{s)G{s) 1 + 0,755 ; yit) = l-e-^^ = 0,9 ^ Tgo = 1, 727 . (13.34)

13.16 * Zweipunktsteuerung/regelung an dampfungsfreiem PT2s-Systeni

Angabe: Gegeben ist die Regelstrecke x{t) + ax{t) = u{t) unter a > 0. Sie wird mit einer StellgroBe u{t) = ±ka{t) angeregt. Wo liegen die Schaltzeitpunkte ti und t2, mit denen die IstgroBe, von einem Anfangspunkt to aus, in den Ruhezustand iiberfiihrt wird? Losung: Aus der Angabe folgt

{s^+a)X{s) = U{s) U{s) 1 + ^

x{t) = I sinuot + c Uo = y/a

x{t) = ^LJo cos LJot = -A^ COS UJot ,

(13.35)

Page 252: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

250 13 Zweipunktregelungen

u ^

®

T

nach links

offene Parabel Q D

k

© © W

A

©©

nach rechts

ofFene Parabel

maBgebend

©

e Oder —y

mafigebend

Abbildung 13.18: Hysteresekennlinie

Abbildung 13.19: Zweipunktregelkreis und Zustandskurven

Page 253: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

13.17 * Zweipunktregelung an einer PTi-Strecke 251

M3 Regler K{s)

o k t \ ' I L \ , 4 I y

— — " > T I ' (rT2;);n —^-' / I ^ '

l + 2s

Abbildung 13.20: Zweipunktregler mit interner PTi-Riickfiihrung

k k +

to -^ t

Abbildung 13.21: Stellgrofie samt Zeitmarkierung

d.h. bei geeignetem Mafistab, findet man kreisformige Trajektorien nach Abb. 13.22. Die Trajektorienkreise in Abb. 13.22 werden mit konstanter Geschwindigkeit durchlaufen, unabhangig

vom Radius der Kreise. Bestimmt wird die Zeit durch den Winkel des Kreissektors, den die Trajektorie durchlauft. Zu diesem Ergebnis fiihrt die Uberlegung, den Kreissektor in Polarkoordinaten zu betrachten. In ihnen gilt ip = ut.

Der transiente Zustand besteht aus drei Abschnitten. Verlangt wird, dass der zweite dieser drei Ab-schnitte genau eine halbe Umdrehung in der Phasenebene voUfiihrt. Der Grund hiefiir liegt in der Losung jener Aufgabenstellung, bei der Zeitoptimalitat erreicht werden soil. Welters gilt ^2—ti = | J^ = j ^

13.17 * Zweipunktregelung an einer PTi-Strecke

\/a

Angabe: Ein nichtlinearer Regelkreis laut Abb. 13.7 liegt vor. Welche Kenndaten des Regelkreises lassen sich aus der Phasenebene ermitteln? Welche Aussagen konnen mit der Beschreibungsfunktion getroffen werden? Losung: Aus der Streckeniibertragungsfunktion folgt (bei y = x = Xi, X2 = x)

X{s) + sTiX{s) = VU{s) x{t) = -^x{t) + ^uit). (13.36)

= ± ^ - ^x{t) , siehe Abb. 13.23. Die Schaltlinien liegen fiir einen festen SoUwert yref = w bei x{t) = w ±a iilr u{t) = ^k. Die Zyklus-

Fiir u = ±k erhalt man die Trajektorien x(t) _ _i_y

durchlaufzeit betragt

rw+a pw-\-a -1 rw—a -I rw-ta

Tc = —dxi -f / —dxi := - T i / J w+a J w—a

Tc = Ti In

1

J w+a

{w-a- Vk){w + a + Vk)

\w + a-Vk){w~a + Vky

-Vk-hxi -dx]

nw—a

•^ W+a Vk-^xi dxi (13.37)

(13.38)

Page 254: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

252 13 Zweipunktregelungen

^ X2 = ^ . 1

Kreis 1

Spiegelung von Kreis 1 um

Abbildung 13.22: Zustandsdiagramm zum schaltenden Regelkreis

Die Beschreibungsfunktion versagt in dieser Aufgabe zufolge der niedrigen Ordnung der Regelstrecke, geometrisch liegt auch kein Schnittpunkt zwischen 1/G{JLJ) und —N{er,sp) vor.

13.18 * Zweipunktregelung an mittelwertbildender Ii-Strecke

Angabe: Mittels Beschreibungsfunktion (und exakt) ist die Grenzschwingung zu bestimmen, die sich in einer Regelung aus hysteresefreiem Zweipunktregler und nachgeschalteter Regelstrecke

«(^) = ^ ^ (13.39)

ergibt. Diese Strecke kann als Serienschaltung eines mittelwertbildenden Elements ^^=|j^— mit einem In­tegrator mit der Nachstellzeit TM/T aufgefasst werden. Losung: Aus N(er,sp) = ^^7^ ^^^ G{ju)N{er,sp) = - 1 folgt wegen Qm {•} = 0

l - c o s c ^ r + j s inc^ r 4K 1

-CO^TjSf TT er,si

sinuT = 0 UJ = Ur =• • (13.40)

Die Eigenfrequenz des Regelkreises wird durch die Totzeit T im mittelwertbildenden Element erzwungen. Wie in der Abb. 13.24 dargestellt, kann daher der erste Faktor in G{s) als Halteglied Gho{s) einer Abtast-operation aufgefasst werden, die mit der Abtastperiode T erfolgt. Die Prequenz der Grenzschwingung ist die halbe Abtastfrequenz. Aus dem Ansatz in Gl.(13.40) folgt welters im Realteil

l-COSUJrT 4:K

TT (^^rTN

2 4 ^ o T/' '-p2 KT^ er,,p = ^ j T ^ = 0 , 2 5 8 ^ ^ . (13.41)

Fiir T = TN = I und K = 1 erhalt man aus Abb. 13.25 den Abschnitt auf der negativ reellen Achse bei 0,2026, wie sie aus der bei a; = TT gegebenen Stationarverstarkung |G(ja;r)| = -^ — — ^ ;% resultiert.

Page 255: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

13.19 * Dreipunktregler und Gleiten 253

\ \ /^\

i

w

i ^2

\

— a

K. \ \

w

i

\vk w -\- a

r

Xi Abbildung 13.23: Grenzzyklus der

Zweipunktregelung

Unter der Annahme der Giiltigkeit der Beschreibungsfunktion findet man bei T/v = 1 folgende Zu-sammenhange: Rechteckschwingung am Ausgang des Zweipunktelements von der Amplitude 1, Grund-schwingung von der Amplitude i/ir = 1,27, Stationarverstarkung von \G{jij)\ = 2r^/7r^ = 0,2026T^ und schliefilich e^ -yr,sp = h27-0,25ST^

TQ )

u

¥ '

ADC /

X DAC

1 1

Abbildung 13.24: Regelkreisblockbild unter Annahme eines Abtast-Halteglieds

Um den exakten Verlauf zu erklaren, wird die Regelung in eine Kette von Ubertragungselementen wie folgt zerlegt: Zweipunktelement, Baustein 1 — e~*-^, zwei einfache Integratoren. Dann ergibt sich fiir den Ausgang des Zweipunktelements eine Rechteckschwingung der Periode 2T und der Amplitude 1, am Ausgang von 1 — e~*^ eine Rechteckschwingung der Amplitude 2 und Periode 2T. Am Ausgang des ersten Einfachintegrators findet man dann eine Dreiecksschwingung des Maximalwerts T vor, am Ausgang des zweiten Einfachintegrators eine Schwingung aus Parabelteilen der maximalen Auslenkung r ^ / 4 = 0,25 T^.

Von verschiedenen Anfangsbedingungen ^ 0 des im Abb. 13.26a rechtsseitigen Integrators (sowie An-fangsbedingung 0 des linksseitigen) lauft der Regelkreis sehr rasch in den beschriebenen Dauerschwingungs-zustand ein. Nicht ganz so selbstverstandhch ist der Anschwingvorgang von Anfangsbedingungen 0 beider Integratoren. Gleichgiiltig von welcher Anfangslage das Zweipunktelement startet, fiir kleinste Anfangsbe­dingungen zeigt der Regelkreis zunachst ein Vibrieren in Grenzstabilitat, Es wird nur durch die Blockierzeit Tr des Zweipunktschalters in der Frequenz nach oben begrenzt. Durch die im mittelwertbildenden Element vorhandene Totzeit stellt sich eine sehr geringfugige Instabilitat ein. Erst nach vergleichsweise langer Zeit, gemafi Abb. 13.26c nach etwa sechs Sekunden, schwingt das System zu der oberwahnten Dauerschwingung auf.

13.19 * Dreipunktregler und Gleiten

Angabe : Gegeben ist der nichtlineare Regelkreis nach Abh. 13.27. a) Wie lauten die Trajektorien der linearen Strecke (rechnerisch und graphisch)?

Page 256: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

254 13 Zweipunktregelungen

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

-0.01

-0.02

J

/ 1

/ \

\

\

[\ \ w

-0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05

Abbildung 13.25: Ortskurve von G(jcj)

h) Wie lauten die Trajektorien des geschlossenen Kreises bei kr = 0 ? c) Wie andern sich Schaltlinien und Trajektorien des geschlossenen Systems fiir kr > 0? d) Aufwelchen Schaltlinien wird das System Jestgehalten", well sich ein Gleitzustand (Gleiten aufder

Schaltlinie) ergibt? Durch welche Differentialgleichung wird das System in diesem Fall beschrieben? Losung:

a) Fiir die Strecke allein erhalt man mit der Scheitelabszisse 2/s

u = 0

w = l

u=-l

A . Vd = y konstant

yj = 2(2/ - vs)

yl = -2{y - y,) .

(13.42)

(13.43)

(13.44)

b) Der Regelkreis bei kr = 0 ist durch Trajektorien gemaC Abb. 13.28a gekennzeichnet, wobei

u = 0

u = l

u = -l

e = 0

e > a

e < —a

-a <y < a

y < -a

y > a .

(13.45)

(13.46)

(13.47)

c) Der Regelkreis bei kr > 0 besitzt geneigte Schaltgeraden gi : y-^kryd = a und p2 '- y + Kyd = —a , sowie Trajektorien gemafi Abb. 13.28b. Die Schaltgerade g^ [bzw. ^2] durch den Punkt bei a [—a] auf der Abszisse und den Punkt f- [—f-] auf der Ordinate bestimmt.

d) Gleiten tritt zwischen ^1 und Hi auf. Der Gleitvorgang verlauft gemafi y -I- kry = a. Dabei gilt Bi = {a-k'^,kr) = (Abszisse, Ordinate) und Hi — (2/5,0) wobei ys = o - 1,5/s^. Die Steigung der Parabel

bei B, ist ^ = V^iy-Vs) \y=a-k^

= -Y-, siehe Abb. 13.28c.

13.20 Stiickweise linearer Regler und Ii-Strecke

Angabe: Gegeben ist der Regelkreis mit Begrenzer nach Abb. 13.30. Welche Systemantwort ergibt sich aufgrund einer beliebigen Anfangsbedingung fiir y bei Rechnung und Zeichnung in der Phasenebene? Die AusgangsgroBe sei zugleich Zustandsvariable.

Page 257: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

13.20 Stiickweise linearer Regler und Ii-Strecke 255

© y_i5

liefer J „ , I Integrator I „ * I Integrator I „ ^ =-1 Ej'^* b> ri=i.o m^-^ p> Ti=i m^-^ >=1 I I AB=0.0 I I AB=1 I

A N A 2.x (c) T U Wien 1986-95 O

J0-r j y - 4 ; 1

l \

m w.

h ' ^ rM i^

• 4 -;- -fyr^-l- •'.- -[- -;-- - -

cs \ ^

1

i

1

1 j

j 1

i : i4[.-..i..Ui

Ml \ n '

1 J y

«- L 2. 3. 4. 5. «. 7 6. 9. 12. 15. 18. 21.

Abbildung 13.26: ANA2-Blockbild (a), Anschwingvorgang bei Anfangsbedingung des rechtsseitigen Integrators / 0 (b) und 0 (c)

yref{t)=Oi

i

S " ^ • ^ J 1 •

J

i \ 1—1— -y

a

>

k

\ u '

^ L 1 s

yd

1 s

Streck

—1

1 1

1 -J

e

y

Abbildung 13.27: Nichtlinearer Regelkreis

Page 258: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

256 13 Zweipunktregelungen

iVd

0

9i N A k ^2

y<i

u \ ©

91 kV^i

0 Abbildung 13.28: Diagramm in der Phasenebene als Prinzipskizze

-0 ,5 4

0 -i - 1

Abbildung 13.29: Diagramm in der Phasenebene mit Zahlenwerten (a = 0,5, kr = 1)

Losung: Es folgt

e>K

e<-K

-K <e<K

u = K -^ y = KV

u=-K ^ y=-KV

-yV u = -y y

(13.48)

(13.49)

(13.50)

und damit Abb. 13.31. In ihr sind durch ° vier Anfangspunkte eingetragen. Von diesen springt das System in 2/-Richtung auf die dick gezeichnete Trajektorie (durch den Ursprung).

13.21 Stiickweise linearer Regler und ITi-Strecke

Angabe : Wie sieht zu Abb. 13.32 die Nahtlinie aus, wie die Trajektorien fiir a = 0,5; K = 2; Ti = 1? Der lineare Teil der Kennlinie hat die Steigung eins.

Losung: Aus der Regelstreckenangabe Abb. 13.32 folgt y + y = 2u . Mit den Definitionen xi = y und

X2 = y resultiert

f xi \ / 0 1 \ / a:i \ / 0 \ dx2 -a^a +

Mit den beiden Sattigungslagen ±a gilt

u = -\-a xi = —X2 — 2a In \x2 — 2a\ -{- C ; u = —a xi = -

2u X2 -dx2 = dxi . (13.51) -X2 + 2U

X2 + 2a\n\x2+2a\ + C . (13.52)

Page 259: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

13.21 Stiickweise linearer Regler und ITi-Strecke 257

o > y' V I y

Abbildung 13.30: Regelkreis mit Begrenzer

Abbildung 13.31: Trajektorie in der Phasenebene

• > (

J i

a -

^ . T: - —a

U 1 K

s{l + sTi) y

Abbildung 13.32: Regelkreis mit linearem Regler unter Sattigung

i^2

•J-4t Xi

Abbildung 13.33: Nahtlinie und Trajektorie

Page 260: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

258 13 Zweip unktregelungen

Bei Betrieb im linearen Teil der Kennlinie folgt

2 2 T{S):

Pj 1 Si,2 = —0,5 ±2~~7r J^it ^iv — v 2 , £> = —-j=

2 2v2 (13.53)

2 + s(s + l) s 2 + s + 2

Einen qualitativen Eindruck von Nahtlinie und Trajektorie liefert die Abb. 13.33.

13.22 Regelung mit I2-Schleife und Begrenzung

Angabe: FiXr den Regelkreis nach Abb. 13.34 sind die Trajektorien fiir die konkreten Anfangsbedingungen 2/(0) = 0, y{0) = yo > a zu berechnen, zu zeichnen und zu diskutieren.

Losung: Die Zustandsvariablen werden gemafi xi = y , X2 = xi = y definiert. Bei —a<y<a folgt

KiK2b - f f -KiK2y = y

Jo Jo a 2 / + - -y = 0 (13.54)

GemaB Abb. 13.35 sind die Zustandskurven Ellipsen in Mittelpunktslage mit den Halbachsen proportional zu ^/a und y/KiK2b. Bei y > a hingegen resultieren Parabeln y = —KiK2b.

b'

- /

7p, \«w.| K, 1 . \-^y-^i^s^

K2 s

1 y{t)

Abbildung 13.34: Regelkreis mit l2-Strecke und begrenztem P-Regler

Abbildung 13.35: Trajektorien

13.23 Linearer Regler mit Tot zone

Angabe: Der Regelkreis nach Abb. 13.36 ist einem SoUwerteinheitssprung ausgesetzt und soil bei y{0) = 0 beginnen. Welchen Bewegungszustand zeigt das System? Losung: Man kann folgende drei Betriebszustande unterscheiden:

e ( * ) > 0 , l y{t)< 0,9

-0,1 < e{t) < 0,1 0,9 < y{t) < 1,1

e(t) < - 0 , l 2/(0 > 1,1

u{t) = 2[e{t) - 0,1]

u{t) = 0

u{t) = 2[e{t) 4- 0,1]

Bei Sollwertsprung liegt der erstgenannte Fall vor

u = y -N y{t) = 2e{t)-0,2 = 2[l-y{t)]-0,2 = 1,S - 2y ,

(13.55)

(13.56)

(13.57)

(13.58)

was in der {y, 2/)-Phasenebene einer Geraden vom Punkt (1,8; 0) zum Punkt (0; 0,9) entspricht. Dort ist die Bewegung bereits beendet, allerdings unter nur 10 % Stationargenauigkeit.

Page 261: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

13.24 Korrektur einer mechanischen Turmuhr 259

Vrefit) ^r-^ e(t)

i i —

u,

- 0 1

/ 7f.\""'.r^ o;i i.i'e ^ '1 s 1 '

3/(t)

Abbildung 13.36: Regelkreis mit totzonebehaftetem Regler

13.24 Korrektur einer mechanischen Turmuhr

Angabe: Eine mechanische Turmuhr zeigt die Zeit als „Anzeigezeit" (1 — K)t, wobei K als Richtwert mit 0,001 anzugeben ist. Die Turmuhr soil durch einen stiindlichen Zeitvergleich mit einer Quarzuhr so nachgefiihrt werden, dass sie ihr zeitlich folgt. Die Turmuhr wird durch eine Zweipunkt-Verstellung der Ganggeschwindigkeit von u{t) = ±2000 ppm bei einer Hysterese von ± 3 Sekunden geregelt. Die Anfangsbedingung sei u{t)\ > 0 . Welche groSten Amplituden Cmin ^nd emax und welche Periodendauer Tg ergeben sich fUr den Grenzzyklus?

Abbildung 13.37: Dynamisches Blockschaltbild zur Uberlagerung Quarzuhr iiber mechanische Uhr

6 -

3 -

0-

- 3 J 0,002 -

0,002 •

<t)

1 , / \ / \ V ^u{t)

K \ V /

\ / x/ V

1

7200 14400

1—'

^ Turmuhr ^ ^ e h t vor

X X [ .p l

Turmuhr geht nach

t fsec 1—=-

21600 28800

Abbildung 13.38: Oszillogramm der Gangphase e{t)

Losung: Zunachst wird die Abweichung e{t) definiert als e{t) = Echtzeit minus Anzeigezeit. Daher be-deutet e > 0 „Uhr geht nach" und e > 0 „Ganggeschwindigkeit zu langsam".

Das Blockbild ist in Abb. 13.37 gezeigt. Da die Turmuhr in einem gegebenen Nominalpunkt {K = 0,001) als nachgehend angenommen wird (Integrationsfaktor 0,999) und dabei u{t = 0) > 0 sein soil, also -1-0,002, so wird nach einer Stunde von der Turmuhr die Gangphase der Grofie 0,999 • (1 + 0,002) • 3600 = 3603,6

Page 262: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

260 13 Zweipunktregelungen

Tabelle 13.1: Interessante Einstellwerte

Fall mit Strecke G{s)

Fall 1 G(s) = 1/(1 - 25) Fall 1 G(s) = 1/(1 - 2s)

Fall 2 G{s) = l / (2s - 1) Fall 2 G(s) = l / (2s - 1) Fall 2 G{s) = l / (2s - 1)

Fall 3 G{s) = 1/(1 + 2s) Fall 3 G{s) = 1/(1 + 2s)

Vref

3 3

7 3 3

7 3

yio) 6 4

-1 -5,1 -4

14 -4

Bemerkung

instabil, w = — 5 konstant instabil, u = -\-5 konstant

instabil, System schaltet ein Mai instabil, w = +5 stabil

stabil, kein Grenzzyklus, schaltet nur ein Mai stabil, Grenzzyklus

Sekunden wahrgenommen; also ist e = —3,6 Sekunden, d.h. die Turmuhr geht 3,6 Sekunden vor. Der Zweipunktregler schaltet bei t = 3600 auf u = —0,002, die Ganggeschwindigkeit sinkt auf 3 Promille nacheilend, zum Zeitpunkt t = 7200 hinkt die Turmuhr um 7,2 Sekunden nach (siehe Oszillogramm in Abb. 13.38). Resultierend bedeutet dies also Cmax = 7,2 und Cmin = - 3 , 6 mit einer Periode von 4 Stunden.

13.25 * Zweipunktregler mit Hysterese und instabiler PTi-Strecke

Angabe: Der Regelkreis nach Fig. 13.7 ist in drei Fallen mit verschiedenen G{s) zu analysieren. Losung: Fall 2 aus Tabelle 13.1 wird genauer ausgefiihrt: G{s) = ^j^ = jj -^ ?/ = 0,5?/ + 0,5u. Die Beziehung zwischen Funktion des unstetigen Reglers und der Zustandsebene lauten: u = -\-khei e > —a Oder yref —y>—a oder y < yref + a. Welters u — —k bei e < + a oder 2/re/ — 2/ < + a oder y > yref — a- Es gibt einen stabilen Grenzzyklus, allerdings nur unter bestimmten Anfangsbedingungen. In der zugehorigen Abb. 13.39 sind die Schnittpunkte L der verlangerten Trajektorien mit der Abszisse „Sattelpunkte".

yref=3; yo=-4; k=5; Ta=0.01; a= l ; fo r i i = l : 1 0 0 0 ya=y; e=yref-y; i f e>a;

y. y=y+Ta* (0 . 5*y-0. 5*u) ; y=y+Ta*(0.5*y+0.5*u);

y. y=y+Ta*(-0.5*y+0.5*u) vecy ( i i )=y ; v e c t ( i i ) = i i * T a ; vecu ( i i )=u ; v e c e ( i i ) = y r e f - y

u=k; end; y, F a l l 1: y. F a l l 2: y, F a l l 3 :

u=k;

i f e < ( - a ) ; u=-k G(s) G(s) G(s)

ydot=(y-ya) /Ta; ^ end;

s u b p l o t ( 1 , 2 , 1 ) , plotCvecy, vecydot , ' r \ vece s u b p l o t ( 1 , 2 , 2 ) , p l o t ( v e c t , vecy, v e c t , v e c u , '

= l / ( l - 2 s ) = l / ( 2 s - l ) = l / ( l+2s ) vecydot(i i)= f i gu re (1 )

, vecu, ' b ' ]

y=yo;

end;

=ydot;

: ' , v e c t , v e c e , ' - . ' )

* ^ v e ( t )

y ( t ) /

u( t )

ilg .m ,

\ i 1

k w r . f i g

i \ y 1

Abbildung 13.39: Zustandsdiagramm und Oszillogramme zur Zweipunktregelung mit instabiler Strecke

Page 263: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

Kapitel 14

Grenzzyklen mittels Beschreibungsfunktion

14.1 Zweipunktelement ohne Hysterese

Angabe: Mit welcher Frequenz stellt sich eine Eigenschwingung eines Regelkreises ein, der einen nicht-linearen hysteresefreien schaltenden Regler mit zwei Ausgangslagen hat und ein G{s) = ^, , ^SigS^ SLIS linear en Teil? Losung: Zunachst gilt

Die Beschreibungsfunktion {Weinmann, A., 1995, Kap. 15) lautet N{er,sp) = j^^t wobei e .sp die Schwingungsamplitude und ±h die konstante Ausgangsamplitude des Schaltreglers ist. Fiir die Schwin-gungsamplitude Cr^sp des Grenzzyklus folgt

^(^•^) = - l w ^ ^ ^ = - T ^ ^ < 4 - - ^r,.p = - T : ^ Va < 4 . (14.2) N{er,sp) a-A 46 ' ^ 7r(4 -a)

Die Frequenz ist stets ujr = '2-

14.2 Zweipunktelement mit Hysterese

Angabe: Mit harmonischer Balance ist die Frequenz und Amplitude der Eigenschwingung zur Regelung der Abb. 14.1 graphisch zu ermitteln, und zwar fiir

G{s) = ^ , , \ ^ . N(er,s,) = ^ ^ e - ^ ^ ^ ' " ^ , e,.,p > a . (14.3) Sli[l + ST2) T^er^sp

Losung: Man verwendet zweckmaBigerweise die Beziehung in der Darstellungsform G{juj) = — jyTT—T ' weil sich der Kehrwert von N{er,sp) analytisch sehr einfach darstellen lasst. Im einzelnen und fiir Gl,(14.2) folgt

^ V ' " ^ ^ ' ^ ^ ^ "4^^^'--"^'^''^^ ^'''^' ^- ^-' • '-^ N{er,sp) 4ir

14.3 * Dreipunktregler

Angabe: Der nichtlineare Regelkreis laut Abb. 14.3 soil darauf untersucht werden, fiir welchen Bereich von V sich (stabile) Eigenschwingungen einstellen. Wie lautet die zugehorige Grenzzyklusfrequenz Ur ? Losung: Fiir den Dreipunktregler ohne Hysterese ist die Beschreibungsfunktion reell. Ist Tr die Periode von LOr, dann gilt fiir die Beschreibungsfunktion mit bi als Grundschwingungsamplitude des Dreipunktreg-

= — / K sinujt dt — K sinut dt\ mit P = arcsin (14.5)

Page 264: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

262 14 Grenzzyklen mittels Beschreibungsfunktion

Abbildung 14.1: Zweipunktregler und ITi-Regelstrecke

0

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7 -3

-

A ^ 1 y ^ Ar(e.,,p) 1

I 1

Abbildung 14.2: Komplexe G(ju)-Ehene mit —7777—) gemaC

Gl.(14.4)

-2 -1

61 = ^ . : ^ [ _ c o s ( ^ - /3) + cos/5 - c o s ( ^ + ) + cos(a;r^ - ^)1

61 = cos/3 = \^l-sm^0=—wl-( r

(14.6)

(14.7)

(14.8)

Das Maximum von N{er,sp) ergibt sich aus g*''''*''' = 0 zu e^.s? = V^ a . Dabei ist N{-\/2 a) = ^•

Da N{er,sp) reell ist, tritt der Schnittpunkt bei Gm G{jcJr) = 0 auf, d.h.

Om {(ju;)'+2(ja;)^+yu)} = 0 ~» - t j ' + a ; = 0 ~> w^ = 1 -^ Sie {G(ja;r)} = 2y

Die Schliefibedingung lautet fiir den Maximumpunkt von N (Minimumpunkt von ^ )

N{er,sp)GiJUJr) + 1 = 0 -N - ? ^ F + 1 = 0 7ra

- y . (14.9)

(14.10)

Dies ist fiir F = ^ im Maximumpunkt erfiillt, aber auch fiir alle V > f§-Es handelt sich um stabile Eigenschwingungen der Kreisfrequenz o r = 1 und der Amplitude er,sp,i-

Aus N{er,sp,i) ^e {GiJUr)} = - 1 oder N{er,sp,i){-V) = -1 folgt mit Gl.(14.8)

J ^ / i - ( ^ - ) . = i ^ 7rCr,sp,l V ^r,sp,l

^r,sp,l — - ^ ' . , . .> / . ,« - ( i^ ) - (14.11)

14.4 * IT2-System und P-Regler mit Ansprechschwelle

Angabe: Zu untersuchen ist der Grenzzyklus eines linearen Reglers mit Ansprechschwelle nach Abb. 14.4a in Zusammenarbeit mit einem IT2-System.

Page 265: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

14.4 * IT2-System und P-Regler mit Ansprechschwelle 263

Vrefit)^^^ e{t)

is >

—a

-J [r> a

/

\ «W / '

2V S + 2s2 + s3

y(t)

Abbildung 14.3: Dreipunktregelkreis

Losung: Die Beschreibungsfunktion fiir das nichtlineare Element nach Abb. 14.4a findet man mit der Skizze in Abb. 14.4b und bei e . p > a, y{t) = er,sp sinut — a, h = - arcsin —— aus

f-0,5Tv/u rZiT/u A /«0,5 7r/w rO,

N(er,sp) = / y{t)smu;t dt = [ / e ,5p sin^o;* dt - a sinut dt] . (14.12) €T,SP'^ JO ^r,sp'^ Jti Jt\

Die Ausrechnung liefert N{er,sp) = 0 fiir er,sp < a und

N{er,sp) = 1 arcsin — ~ ~ \ / ^ ~ (—~)^ ^^r er,sp > a • (14.13)

Abbildung 14.4: Kennlinie mit Lose (a), Sinusantwort (b) und Ortskurvenschnitt (c)

Die Uberlegung zur Dauerschwingung an dem System

k G{s) =

fiihrt mit \/G{s) = —N{er,sp) auf

s(s + l)(s + 2) (14.14)

argG(ju;) = -7r ^ arg ^ ^ = TT = arctan _^^^

Gemafi Abb. 14.4c existiert eine Dauerschwingung nur fiir

1

\G{ju;r)\

Die Schwingungsamplitude er,sp folgt aus

< 1 A;>6 ,

-N U = LJr = V2. (14.15)

(14.16)

— — J-^ {6^r,sp) '^^ ^r,sp — ^r,sp\'^) • \G(ju^r)\ k

(14.17)

Page 266: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

264 14 Grenzzyklen mittels Beschreibungsfunktion

14.5 * Zweipunktregelkreis mit instabiler P-Strecke

Angabe: Der Regelkreis nach Abb. 14.5 sei mit der Beziehung in der speziellen Form G{JLJ) = —7777—y auf Eigenschwingung zu untersuchen. Welcher Schnittpunkt bei welcher Frequenz ujr ergibt sich? Losung: Die Prequenzgangsortskurve G{juj) zeigt die Abb. 14.6. Die inverse Beschreibungsfunktion folgt z.B. aus Weinmann, A., 1995, Tabelle 15.1; bei Verstarkung k und Ansprechschwelle a des Zweipunktele-ments gilt

'4k •' ^''-''^

Fiir A; = 1 und a = 0,5 folgt

N{e.,

^m {-

^r,sp) '*' *

^ :} = - ? = - 0 , 3 9 3 .

Der Schnittpunkt der Abszissenparallelen im Abstand —0,393 mit G{jcj) liefert cUr = 2,30. Aufgrund des Realteils Jfte G{JLJr) = — 1,22 kann aus dem Realteil von —j^—y nach Gl.(14.18)

1 , 2 2 = - ^ ^ e 2 , , ^ - 0 , 5 2 1,63 (14.20)

ermittelt werden. Der rechts liegende Schnittpunkt ist der stabile Eigenschwingungspunkt. In diesem zeigt die Beschreibungsfunktionsortskurve — ;^ in den Bereich von G{J(JJ), in dessen Innerem der stabile Ny-quistpunkt bei Einheitsregler K{s) = 1 liegt.

yref=0 o + T - -0.5 0.5 ^ ^ *-mimmmm^mJi

Abbildung 14.5: Zweipunktregelkreis

1 _

I I\ \6,-^_^p) ^ ^

A • UJr = 2, 3 ^ ^

^m

- 1 -

i

Abbildung 14.6: Ortskurve von G{ju) und -j^ nach Gl.(14.18)

14.6 Zweipunktregelkreis. Anregelzeit

Angabe: Die Anregelzeit fiir Sollwertsprung und der Grenzzyklus der Zweipunktregelung nach Abb. 14.7 ist abzuschatzen. Es gilt a = 0,1 und k = 1. Losung: Mit l/G{s) = s{s -f 1)/12 findet man aus Gl.(14.18) und -N(er,sp) = ^rko

^e N(er,sp) • ik

/ i-{-^r 12 und \sm N(er,sv) = —o— °-^-T. ' - )

Aus beiden Gleichungen folgt Cr^sp = 0,53 ; u; = 5,34 ; Tc = 1,17 . Wegen der erwarteten Relation er,sp > a = 0,1 ist der Wurzelausdruck in der Formel fiir N zu eins gesetzt worden.

Page 267: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

14.7 Zweipunktregler mit IT2-Strecke 265

Die Anregelzeit resultiert aus

A 12 c-H s s ( s - h l ) } = 1 t - l + e-

12 -^ tan =0,4 . (14.22)

Den transienten und stationaren Verlauf in der Phasenebene und in Zeitabhangigkeit zeigt die Abb. 14.8, und zwar in guter Ubereinstimmung beziiglich Amplitude und Eigenfrequenz.

Vref = 0

K >) \ J * i

k k

—a ' c

~ \ \

i/ u

> '

1

^"' s{s + \) y = x

Abbildung 14.7: Blockbild der Zweipunktregelung

14.7 Zweipunktregler mit IT2-Strecke

Angabe: Ahnlich Abb. 14.7 wirkt ein hysteresefreier Zweipunktregler (a — 0) mit den Ausgangen ±K auf

die Strecke mit Doppelpol G{s) = g(i]g)i • Welche Amplitude zeigt die Dauerschwingung?

Losung: Aus argG(jcj) = -TT folgt LJ = Ur = 1. Dabei ist \G{JLJr)\ — ^^(^^^^'l\ = 0,5. Wegen

N{er,sp) AK

und G{ju)r) — — a;r(l+a;2) A^(e^,,p)

(14.23)

(siehe Abb. 14.9) folgt e^^sp = ^ fiir eine stabile Dauerschwingung.

14.8 Zweipunktregler mit IT^-Strecke

Angabe: Gegeben ist die ITt-Regelstrecke und der Zweipunktregler nach Abb. 14.10. Welche Amplitude zeigt die Dauerschwingung? Losung: Fiir den Schnittpunkt der Ortskurve von G{ju) mit der Beschreibungsfunktion —1/N auf der negativ reellen Achse (siehe Abb. 14.11) wird ^ m G{JLJ) = 0 verwendet und fiihrt mit G{joj) = ^e"^'*'-^* auf ^ c o s a ; r t = : 0 - ^ u Tt = i f V i = 1,3,5 . . . . Dabei ist

UeG{JLj) = --smu;Tt\ . = — ^ • (±1) . (14.24)

Fur z = 1,5,9 ist ^e G{juj) < 0, und zwar 5Re G{juj) = funktion N{er^sp) = gungsamplitude aus

2TtV

—^ und dem Frequenzgang G{juj) = ^e G{juj)

2TtV

iV yer^sp) = GiJLj) -\A r,sp

V i = l , 5 , 9 . . . . Aus der Beschreibungs-_2TtV_ resultiert die Schwin-

SKTtV

4K m ' ^ er,sp = (14.25)

14.9 Zweipunktregler mit zweifach instabiler Strecke

Angabe: Ein Regelkreis nach Abb. 14.12 besteht aus dem linearen Teil

V s + 2 G{s) =

s - 3 s-2 (14.26)

und einem unstetigen Regler ohne Hysteresemit Verstarkung K = j . Gibt es im Regelkreisverhalten einen Grenzzyklus? Wenn ja, welchen?

Page 268: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

266 14 Grenzzyklen mittels Beschreibungsfunktion

Abbildung 14.8: Grenzzyklus (a) und Oszillogramm (b) zur KontroUe der Anregelzeit

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14.9 Zweipunktregler mit zweifach instahiler Strecke 267

1 ^r,sp 1 o; = 1

1 y^ Nip \ V^ '

r / - r G{s) = 1 s(l + 5)2

Abbildung 14.9: Inverse Beschreibungsfunktion und G(juj)

-3 -2

a > ^ I V i I

Abbildung 14.10: Blockbild des Zweipunktregelkreises mit Integrator und Totzeit

1

0.5

0

-0.5

-1

-1.5

N{er^

-2 ' -1.5 -1 -0.5 0 0.5

Abbildung 14.11: Frequenzgang der IT^-Strecke und der inversen Beschreibungsfunktion

Page 270: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

268 14 Grenzzyklen mittels Beschreibungsfunktion

Abbildung 14.12: Blockschaltbild des Regelkreises

0.5

-0.5

^(^r,,p) 1 W = 4

er,sp = 0,2K

labiler Grenzzyklus

V= 1

er,sp = 0

stabiler Grenzzyklus

Abbildung 14.13: Ortskurve von GO-cc)furG(s) = j ^ J ± | b e i

V = 1 und inverse Beschreibungsfunktion

-0.5 0.5

Losung: Die negative inverse Beschreibungsfunktion findet man zu

iV(e., 4K 1

K = 1

iV yGf^sp) (14.27)

Aus dem Schnittpunkt -j^— = G{ju) folgt u = 4 und die Amplitude er,sp = 0 , 2 y (siehe Abb. 14.13). Dieser Schnittpunkt bestimmt einen instabilen Grenzzyklus. Je groBer V, desto grofier darf er,sp werden, bevor Instabilitat eintritt. Ein stabiler Grenzzyklus liegt bei er,sp ^ 0 im Ursprung als Gleitzustand.

14.10 Integrierende Riickfiihrung zum Zweipunktregler

Angabe: Nach Abb. 14.14 gilt

10 G{s).

s( l + s) §" ««=I (14.28)

Gesucht ist ein Vorschlag fiir ein gunstiges h, mit dem das Schaltverhalten auf die Eigenfrequenz von cDg = 3 verbessert wird. Losung: Die Beschreibungsfunktion lautet wegen der auftretenden Phasenverschiebung zwischen e(t) und der Grundschwingung von u{t)

iV [er^spj — 4K .if = J £ i _ e - i a r c sin^ ^^bei /3 = - ^

^r,sp (14.29)

Qm {-^} = - T 7 T = konstant (unabhangig von er,sp) ; die Beziehung | —| = T-^TJ ist zur Skalierung N K A ' N 4(JK

(14.30) nach P zu verwenden. Aus G{s)-\-H{s) = ~JT17771 ^^^S* fur s = jue und cDe = 3 ein /i = 13,1; als Resultat der Anwendung der Beschreibungsfunktion. Eine genaue Simulation zeigt allerdings die eingeschrankte Giiltigkeit der Beschreibungsfunktion und ein verbessertes Resultat h = 11,3.

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14.11 * Instabile Strecke mit frequenzabhangiger Beschreibungsfunktion 269

< > M ) •

+ 4 -

i/(5) U

Abbildung 14.14: Zweipunktregelung mit Riickfiihrung zum Schaltelement

14.11 * Instabile Strecke mit frequenzabhangiger Beschreibungsfunktion

Angabe: Die Regelstrecke G{s) = 1/(1 + 2s + 1,5s^ + 4s^) wird mit einem nichtlinearen D-Regler u{t) = 2e'^{t)e{t) riickgekoppelt (Goldner, K., und Kubik, S., 1978) . Welche Dauerschwingung stellt sich ein? Losung: Verwendet wird zunachst das Additionstheorem —0,25(cos3a; — cosx) = cos a; sin^a; . Mit dem Ansatz e(^) = e^.s^sino;* findet man

u{t) = 2e^e = 2el^,pusm'^ utcosut = 2el^,pLJ(-0,25){cos3t - cosut) (14.31)

= 0,^elgpLJcosLjt = Ur,spsm{ut + 7r/2) . (14.32)

Die Beschreibungsfunktion und der inverse Prequenzgang lauten

1 Ur

^r,sp ^r,sp jO, 5u;e^

G(ju) = -[1 - 1,5u;2 + 2ja;(l - 20;^)] . (14.33)

Aus der Gleichsetzung mit N{er,sp) iolgt 1 — l,5cj^ = 0 = ±y^2/3 = 0,82 einerseits sowie - 2 t j ( l - 2cj2) : 0,5e^,,pu; Gr,sp — 2 / \ /3 andererseits. Im Schnittpunkt gilt ' N -1,83.

Die Simulation mit Hilfe des Zustandsraums ist in nachstehendem MATLAB-Code beschrieben. Die resultierenden Dauerschwingungen sind in Abb. 14.15 gezeigt; sie stimmen mit den Abschatzungen der Beschreibungsfunktion gut iiberein. Das MATLAB Programm hiezu lautet

A=[0 1 0; ( b=[0 0 1]' T=100e-3; '/. X(:,l) = [3 0 for ii=l:600

edot(ii)=-X(:,ii+1)=

) 0 1; -0.25 -0 ; c=[0,25 0 0]'; Schrittweite

.5 -0.375]; [num,den]=ss2tf(A,b,

4 0.5] '; y. Startwert ; y(ii)=c'*X(: -0.25* [0 1 0]*X( =(A*T+eye(3))*X(:,

,ii); e(ii)= :,ii); u(ii)= ii)+b*T* u(ii)

-y(ii); 2*e(ii) ; vect(

c',0)

' 2*edot(ii) ii)=ii*T;

> end

In Abb. 14.16 ist noch das Nyquist-Diagramm fiir G{juj) und -1/N gezeichnet. Fiir eine stabile Schwin-gung sind zwei Punkte („Ersatz-Nyquistpunkte") im Uhrzeigersinn minus zwei Male {U = —2) zu um-fahren; denn es gilt P = 2 fiir G{s) mit seinen drei Polen bei —0.463 und 0.0438 ± j0,734 aus roo t s ([4 1.5 2 1] . Somit ist U =-P erfiillt.

Im einzelen dazu gilt: Die Beschreibungsfunktion N wechselt mit negativen to ihr Vorzeichen. Will man nur mit einem einzigen Nyquist-Ersatzpunkt arbeiten, so muss G{juj) gespiegelt werden und eine „doppelte" Frequenzgangsortskurve (Abb. 14.16) gezeichnet werden.

14.12 * Phasenbahnen und Beschreibungsfunktion

Angabe: Man interpretiere die Phasenbahnen von y = y — 0,25?/^ mit der Beschreibungsfunktion. Losung: Fiir kleine y(t) (nahe null) gilt naherungsweise y — y = 0, was Transienten mit den Eigenwerten ±1 und einem Sattelpunkt entspricht. Fiir y = 0 und 4 ist j / = 0, und ein Gleichgewichtszustand zu vermuten. Ob es ein stabiler ist, bleibt noch zu ermitteln. Fiir y klein gilt y — y = 0 und k = ± 1 , die Trajektorien sind Gerade. Ein Beschreibungsfunktions-Ansatz ergibt keinen Sinn. Fiir y nahe 4 hingegen erhalt man mit y = 4 — e die Differenzialgleichung e -I- e = 0. Ihre charakteristische Gleichung 5 -f-1 = 0 fiihrt auf das System G{s) = l / s^ , N = lheiur = 1, siehe Abb. 14.17 {Goldner, K., und Kubik, S., 1978).

Page 272: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

270 14 Grenzzyklen mittels Beschreibungsfunktion

Transiente u n d D a u e rs c h w in g u n g , huy2.m fig u re (1 ),k w x .fig

Abbildung 14.15: Verlauf y{t) und u(t)

s t a b i l e S c h w in g u n g b e i In s ta bile r S t r e c k e G ( s ) , h u y 2 . m f i g u r e ( 6 ) , kw y f ig

I

- ^ ^^K ^^ E rs a tz-N y qu is tpu n k t ^ y -

\ -G(-ja>) \ j G (j<o ) y

R e a l A X is

Abbildung 14.16: Nyquist-Ortskurve G{juj) und ihre gespiegelte, sowie —1/N fiir stabilen Grenzzyklus

Zu s ta n ds k u rve n , huv.m f igure ( l ) , kwz.f ig

Abbildung 14.17: Zustandskurven

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Kapitel 15

Fachiibergreifende und komplexere Aufgabenstellungen

15.1 Linearisierung. Nichteinstellbarer Arbeitspunkt

Angabe: Die in Ahb. 15.1a gegebene Strecke eines induktionsschleifengefiihrten Fahrzeugs G{s) = ^44 wird mit einem dynamikfreien Messglied [sin T?] gemaB Blockschaltbild Abb. 15.1b riickgekoppelt. Welches linearisierte Ubertragungsverhalten weist der Regelkreis fiir den Arbeitspunkt 'dreffi = TT auf? 1st dieser Arbeitspunkt iiberhaupt eine stabiler Arbeitspunkt?

^ s + 2

0

1

s{s + 2)

< m • 5 + 1

+X y,^ o ^ref ^ I" ^ . +^ -

\^ sin 7?

G(s) 1 1 '^

©

0 1 ' + ..

Vref /^ ^ "-

+ —

- 1

G[s)

Vref ^

y

1

1 1 s + 2 1

0 TT + yref " V

Abbildung 15.1: Streckenblockbild (a), riickgekoppelte Strecke (b), linearisiertes Blockbild fiir kleine y (c) und (d), resultierende Veranschaulichung (e)

Losung: Die Reduktion der Schaltung in Abb. 15.1a ergibt G{s) = j ^ . Die Differentialgleichung der mit sin 'd riickgekoppelten Strecke G{s) lautet daher aus Abb. 15.1b

u{t) = 'drefit) + sin79(i) = ?9(t) + ^?(0 .

Die Frage nach dem Stationarpunkt 'dref,o liefert (mit der Angabe TT)

l^re/,0 + sin ^0 = 1 0 + ^0 = 1 0 + 0 - ^ ^re/ ,0 = 'do = IT .

(15.1)

(15.2)

Beide Gleichungen voneinander abgezogen liefert bei yref = '^ref — i^re/,o und y = i^ — 'do sowie bei y klein

(15.3) ef — i^re/,o + sin 1? — sim?o = i9 + i? — i9o

Page 274: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

272 15 Fachiibergreifende und komplexere Aufgabenstellungen

1,5 sin ?9 = —1,52/

7r +

l,5sini?

Vref / ^

' 4 -1 'O = TT -\-1

u = 7r-\-yref + 1,5?/

Abbildung 15.2: Regelung in einem wegen Instabilitat nicht-einstellbaren Arbeitspunkt

yref + sin(i9o +y) -0

yref + sin i?o cos y + cos o sin y

2 / r e / + 0 + ( - l ) 2 /

Vref

Yis)

^0 + 2/ + y - 1 0

y + y

'^y-\-y

1

Yref is) 5 + 2 (siehe Abb. 15.1d)

(15.4)

(15.5)

(15.6)

(15.7)

(15.8)

Da die resultierende Schaltung eine Polstelle bei —2 aufweist, ist das System stabil und der Arbeitspunkt ^re/,0 = TT als solcher anzusprechen. Im Betriebspunkt verhalt sich das nichtlineare Element allein wie von der Verstarkung minus eins, siehe Abb. 15.1c und d; veranschaulicht wird es auch durch Abb. 15.le. Bei Simulation ist der Wert TT bei yref als von auBen aufgepragte Konstante vorzuwahlen, welters der Wert n am Ausgang bei y durch Anfangsbedingung des Elements 1/(5 + 1) vorzuschreiben.

Wiirde in Abb. 15.1b die Angabe derart geandert werden, dass das nichtlineare Element 1,5 sin ?9 statt sinz9 lautet, und wiirde das Plus-Vorzeichen an der Mischstelle auf ein Minus-Zeichen verandert werden, so erhielte man in einer Umgebung von TT instabiles Verhalten mit einem Pol bei +0 ,5

Yjs)

Yrefis)

1 1+s

1 - 5 - 0 , 5 (15.9)

Der Arbeitspunkt bei n liefie sich nicht einstellen. Gilt doch laut Abb. 15.2 und den angegebenen Anderungen

k w s . m f i gu re (1 ) , kw t . f i g 5 I

i n s t a b i l e r , n i c h t e i n s t e l l b a r e r A r b e i t s p u n k t

Abbildung 15.3: Regelkreisverhalten in einem einstellbaren und in einem instabilen, nicht realisierbaren Arbeitspunkt

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15.2 Zweischleifiger Regelkreis mit verschiedenen Schnittstellen 273

Step Sum

Si - •

-1

s+1

G1

Abbildung 15.4: Zweischleifiger Regelkreis nach Simulink

7r + 2 / re / - lj5sin(7r+ y) = u Mischstelle allein (15.10)

T^ -\-y -\-y = u lineares System allein (15.11)

Vref = -0,5 y + y Regelkreis. (15.12)

Die Abb. 15.3 zeigt das Verhalten im Vergleich zwischen stabilem und instabilem Betriebspunkt.

15.2 Zweischleifiger Regelkreis mit verschiedenen Schnittstellen

Angabe: Die Uhertragungsfunktion des aufgeschnittenen Regelkreises ist, ausgenommen einschleiRge, von der Schnittstelle abhangig, ebenso die Frequenzgangsortskurve Fo{juj) und der Phasenrand aR. Im Regelkreis nach Abb. 15.4 liegt die Schnittstelle Si liegt vor Gi, die Schnittstelle S2 vor G2. Welche Unterschiede resultieren aus der verschiedenen Wahl der Schnittpunkte? Losung: Fiir die Dynamik letztlich entscheidend ist nicht FO{JLJ) oder aR, sondern die Losungen in s aus 1 + Fo(s) = 0 . Diese Losungen in s sind immer dieselben, unabhangig von der Schnittstelle, siehe Weinmann, A., 1994, Gl(lO.l).

Trotz schnittstellenabhangiger Ortskurve Fo{juj) und unterschiedlichen Phasenrands aR ergibt sich dasselbe Result at fiir den geschlossenen Regelkreis, wenn alle Frequenzen von 0 bis 00 einbezogen werden, wie dies die inverse Laplace-Transformation verlangt.

Fiir ein Schaltungsbeispiel in Abb. 15.4 wurden zwei verschiedene Schnittstellen gewahlt und die beiden sich ergebenden Frequenzgangsortskurven in Abb. 15.5 gezeichnet. Als verlassliche Vorgehensweise emp-fiehlt sich: Bei der Aufzeichnung der Frequenzgange ist vorzeichenmal3ig zu beachten, dass Fo{ju) gleich ist der RiickfiihrdifFerenz 1 — {—FQ), vermindert um eins. [FQ ist die um 180^ gedrehte Ortskurve, die man an der Schnittstelle aus den unmittelbaren Aufzeichnungen Betragsverhaltnis und Phasenverwerfung erhalt.)

Die charakteristische Gleichung der inneren Schleife lautet

s^ + 6s^ -f 13s^ + 15s^ + 16s - 3 = 0 ,

die des gesamten Regelkreises

s^ -f 7s^ + 19s^ + 26,8s^ + 27,45^ + 14,2s + 0,6 = 0 .

Fiir den Stationarzustand gelten die folgende Relationen. Schnittstelle S\ bei s = 0:

Foi = ( -1) (-1)(1,2) ^ 1 , 2

l + ( - l ) ( l , 2 ) | - 1 = - 1 , 2 .

(15.13)

(15.14)

(15.15)

(Das Minus bei der linken Schnittstelle wurde nicht vergessen, sondern zur notwendigen Vorzeichenumkehr im Standardregelkreis belassen.)

Page 276: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

274 15 Fachiibergreifende und komplexere Aufgabenstellungen

I i

1

0 . 8

0.6

0.4

0.2

0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

* • 1

\ . .

1 Schnittstelle 2

>-^--""7

^ [

From: Input Point

: M ' l ;"•

r v l :•• ^^r^ \ \ . / . .

i 1

Schnittstelle 1

. 1

'

Abbildung 15.5: Prequenzgangsortskurven fiir beide Schnittstellen

Schnittstelle 52, Ergebnis bei s = 0: Fo2 = ( -1) x 1,2 x ( - | + l) x minus 1 = - 0 , 8 . (Der Term „x minus 1" ist erforderlich, weil sonst das in der Definition des Standardregelkreises vorhandene Minus nicht aufscheint.)

In MATLAB werden die Teilsysteme Gl bis G4 als sy s l bis sys4 definiert, die Serienschaltung von Gl und G2 als sys24, der innere Regelkreis als sys234 und der gesamte zweischleifige als Tges:

sysl=tf([-l],[l 1]) sys2=tf([l -1] , [1 1]) sys4=tf([1.2],[l 1 1]) sys24=series(sys2,sys4) sys234=feedback(sys24,sys3,1) Tges=feedback(series(sysl,sys234),1)

sys3=tf([5],[l 4 3])

15.3 Autopilotenmodell

Angabe: Das Vorfuhrmodell eines Autopiloten ist als regelungstechnisches Blockbild in Abb. 15.6 gezeigt. In fiinf einzelne Blocke aufgelost gibt die Abb. 15.7die Daten wieder. Mit welch einfachen Uberlegungen und Messungen werden die Parameter bestimmt? Wie verlauft eine IdentiUkation mit der Momentenmethode?

Vref

\ \

Vs

Steuersegment

r /^^ e

Kegler

K{s) 1 '

f

PTi

Strecke

1 " . 1

ys

\ 1

P

r J ' 1 y

Istkurs

Sensor

Abbildung 15.6: Autopiloten-Regelkreis

Page 277: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

15.3 Autopilotenmodell 275

Vref

e Spannung

- 4 ^ -\-4V

u

OJn

y Winkel

Vs

Kis)

VG,TI

1 1

sTj

Sensor

1 ^

U

' - i 6 ^ + i 6 y

1 ^n

1-150^+150 Grad/Sekunde

y

' ±90°,±f

ys Sensor-

e-nj^nnnncr

Potentiometer

P-Regler

ohne Verzoegerung

PTi

h

P

Vs Volt/Grad

VK Kis) = VK

VG Strecke

Tj Strecke

Vs Volt/Grad

Abbildung 15.7: Einzelne Elemente des Regelkreises

Losung: Eine spezielle Messung wird bei unterbrochener Riickfiihrung ausgefiihrt. Sie liefert bei einer Regelabweichung e konstant gleich 4 Volt eine Winkelgeschwindigkeit von (j„ = 120 (Grad pro Sekunde). Die Verzogerung (elektromechanisch) ist dabei zu 200 ms einem Oszillogramm zu entnehmen. Somit folgt Ti ^ 0,2 und VKVG = f = 30 . Nach Abb. 15.7 ist VK = 4. Eine Sensorspannung 10 Volt bei 180° Segmentdrehung fiihrt auf Vs = j ^ = j ^ (als Zahlenwertgleichung mit den Einheiten Volt/Grad). Die Nachstellzeit Tj lautet eine Sekunde, T/ = 1, da der Kurs direkt durch Jujn{t)dt bestimmt ist.

Die Stationarverstarkung (ohne Integrator) im gesamten Kreis ist VKVQVS = | | = 1,67 . Schliefilich gilt

T{s) = VKVGVS 1,67 1

(15.16) VKVGVs-hTis{l + sTi) 1,67 + s l + 0 , 6 s '

Nummerisch kann die Identifikation des PTi-Elements mit der Momentenmethode unterstiitzt werden. Der Integrationskern e~** der Laplace-Transformation wird in eine Taylorreihe entwickelt, woraus fiir

C{g(t)} = G{s) = M f^tfr fgit)dt i f: tfM, (15.17)

folgt. Jedes Integral wird in Anlehnung an die Mechanik als Moment Mi interpretiert, als ein mit t^ beschwertes Moment. Aus der gemessenen Gewichtsfunktion g(t) lassen sich die Momente berechnen. Definiert man in Gl.(15.17) Approximationspolynome p(s) und q{s), dann folgt

p(s) = gis)J^^'^Mi ^ m n oo / \ j

(15.18)

Der Koeffizientenvergleich der Potenzen in s liefert ein lineares Gleichungssystem fiir die gesuchten Koeffizienten in den Polynomen p{s) und q{s). Bei Einschrankung auf m = 0, n = I

bo-aoMo = 0 (15.19)

bi+aoMi-aiMo = 0 (15.20)

Page 278: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

276 15 Fachiibergreifende und komplexere Aufgabenstellungen

kxb.m, kxc.fig Geschlossener Regelkreis step Response

0 50 100 Zeit in Hunderstel Sekunden (wegen v= 100)

Sollkurssprung

0.5 1 1.5 2 2.5

Time (sec)

Abbildung 15.8: Zeitverlaufe zur Identifikation und zum geschlossenen Regelkreis

1 . 62 - a2Mo -j-aiMi- —doM2 (15.21)

In Matrizenschreibweise resultiert der Vektor des geschatzten Parameters p = (ao ^i ^o)'^ aus nachste-hendem MATLAB-Code:

v=100; vec t ime=l inspace(0 .005 , 10, 10*v) ; */, v=Zei t lupenfaktor [g]=impulse( [1] , [0 .2 1 ] , vectime) ; '/, s t a t t Messung Werte gerechnet g l=g ' . *vec t ime ; g2=g ' . * (vec t ime) . "2 ; g 3 = g ' . * ( v e c t i m e ) . " 3 ; MO=sum(g)/v; Ml=sum(gl)/v; M2=sum(g2)/v; r=inv(C-MO 0 1; Ml -MO 0; -0.5*M2 Ml 0] )* [0 ; 0; MO]

Fur hohere Ordnungen sind genauere Integrationsverfahren einzusetzen.

15.4 * MehrgroBenregelung. Versteckte iiberfliissige Pole

Angabe: Gegeben ist der MehrgroJienregelkreis nach Abb. 15.9. Wie lautet die Ubertragungsmatrix G(s) ? Welche Polstellen sind uberEUssig, nachdem der Rechengangmittels Inversion durchgefiihrt wurde? Welche stationaren Werte ergeben sich fiir die StellgroBen und AusgangsgroBen des Regelkreises, wenn beide yrefi = 1 und 2/re/2 = 2 konstant gewahlt werden? Welche Ubertragungsmatrix resultiert fiir FQ{S) und T{s)? Losung: Nach Abb. 15.9 gilt

2/1 = ( w i + 2 2 / 2 ) 7 - ^ = 7-;-^ [ w i + 2 ^ - ^ ( ^ 2 - 2 / 1 ) ]

2/1 =

s + 3 s + : 5 + 1 2

7UI + 2 + 4 s + 5 ' s 2 ^ 4 s + 5

U2 .

Analoges gilt fiir 2/2- Somit folgt

^ ^ ^ ^ " s 2 + 4 5 + 5 V - 1 5 +

(15.22)

(15.23)

(15.24)

Page 279: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

15.4 * MehrgroBenregelung. Versteckte liberMssige Pole 277

Vrefl + ^ ^1

*o 1 S

Ul + ^ - ^ ^ 1 s + 3

2/1

2/re/2 + ^ • ^ " ' .

i—

2 s

W2 ^ ^

• ^

2

1 5 + 1

2/2

Abbildung 15.9: Mehrgrofienregelung mit unverkoppeltem I-Regler

Die Schleifeniibertragungsmatrix ergibt sich zu

Fo(5) = G(s)K(s) (15.25)

•« = id;«( - -V. !3) (M)*( :S) "<'> = . ( . ' A - ^ 5 ) ( ' - l ' 2 ( , t3 ) ) - !">">

Stabilitat vorausgesetzt, folgen bei festen Werten 2/re/i = 1 und 2/re/2 = 2 die Stationarwerte von Ui und 2/i direkt aus den Bedingungen e = 0, also

fiir t —)• 00 : 2/2 = 2

( w i + 2 2 / 2 ) - = 2 / 1 = 1 - ^ u i = - l

( 1 ^ 2 - 2 / 1 ) ^ = 2 / 2 = 2 -N W 2 = 3 .

Die Fiihrungsiibertragungsmatrix

T(s) = [I + FoW]- iFo{ . ) = [ I + F o ' ( . ) ] - ! = [I2 + F o i ( s ) ] - i

wird auf drei verschiedene Arten ermittelt. E r s t ens:

h + Fo = 1

s(s2 + 4s + 5)

1 ( »2 4- 4s + 5) V

M^' + 4. + 5)+(^Y 2(/+ s^ + 4s2 + 6s + 1 4

3)

5 ( s 2 + . -1

( l 2 + F , ) - l = S(5

/ s^ + 45^ + 7s +

+ 4s + 5 ) A _ - _ - L _ _

' + 7s + 6

6 - 4 s^ + 4s2 + 6s + 1

(s3 + 4s2 + 63 + l)(s3 + 4s2 + 7s + 6) + 4

(15.28)

(15.29)

(15.30)

(15.31)

(15.32)

(15.33)

(15.34)

Page 280: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

278 15 Fachiibergreifende und komplexere Aufgabenstellungen

/ s + 4s2 + 7s + 6 -4 \ _ 2 . . A 1 g + 4g2 + 6s + 1 j

- s{s + 4s + 5) ^6 + 8^5 ^ 29s4 + 59s3 + 70s2 + 43s + 10 ' ^^^'^^^

Definiert man zwei Vektoren der Polynomkoeffizienten

d = C 1 8 29 59 70 43 10] e = [1 4 5] deconv(d,e) = [1 4 8 7 2] = f,

so ergibt sich / ohne Rest; d.h. die Polynome lassen sich ohne Rest dividieren, wie in dem System vierter Ordnung zu erwarten. Also folgt

/ s^ + 4s2 + 7s + 6 - 4 \ ,_i V 1 s 3 + 4 s 2 + 6 s + l J \ ^ —r C—i — ( ^ + ^ ° ' " = ^^ .^ + 4.3 + 8.^^73 + 2 '- (^5-3«)

/ s^ + 4s2 + 7s + 6 - 4 \ V 1 s^ + 4s2 4- 6s + 1 y

('^^^'^r^^o = ^^ .4^4.3 + 8.^ + 73 + 2 -^ ^''-''^

s{s rTiT5)('-V 2(.t3)) (^5.38)

(

(

(s + 4s

(5 + 1)

S + 55^ —i

2 + 7s + 6)(s + l)+4 - (s + 4s2 + 6s + 1) 4 + 2(s + 3)(s3 + 4s2 + 6s + 1) J

s2 + 4s + 5)(s4 + 4s3 + 8s2 + 7s + 2)

+ lls2 + 13s + 10 4s3 + 16s2 + 20s \ j3 - 4s2 - 5s 2s^ + 14s3 + 36s2 + 38s + 10 /

(s2 + 4s + 5)(s4 + 4s3 + s"^ + 7s + 2) {l^-^^)

/ s^ + s + 2 4s \ l - s 2(s2 + 3s + 1 y

T W = \ , 4 + 4 . 3 + 8 . ^ + 7 . + 2) • ^''-''^

Die Verkopplungen in T{s) sind wegen des fehlenden Terms in s° verganglich; dies ist auf den I-Regler zuriickzufiihren. Mit MATLAB folgt rasch

syms s p=s'^2+4*s +5; G=( l /p )* [ s+ l 2; -1 s+3] ; K=[l /s 0; 0 2 / s ] Fo=G*K; T=inv(eye(2) + inv(Fo))

Die Wurzeln lauten

roots(d) = - 2 ± i ; - l , 2 3 ± l , 4 7 i ; - 1 ; - 0 , 5 5 (15.42)

roots(e) = -2±j (versteckte Pole) (15.43)

r o o t s ( / ) = - l , 2 3 ± l , 4 7 j ; - 1 ; - 0 , 5 5 . (15.44)

Versteckte Pole sind —2±j; also jene Pole, die sich in T(s) herauskiirzen. Zweitens: Stellt man aus Abb. 15.9 direkt Gleichungen auf, so erhalt man

[{yrefi - yi)- + 22/2] j q 7 3 = 2/1 (15.45)

2 1 [(2/re/2 - 2/2)- - yi]j:^ = 2/2 • (15.46)

Eliminiert man 2/2, so resultiert nach Zwischenrechnungen

[2S^ + (S^ + 3s + 1) (S^ + S + 2)]2/i = {s'^ +S + 2)2/re/l + 4s 2/re/2 • (15.47)

Page 281: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

15.5 Nicht steuerbare (nicht stabilisierhare) Regelstrecke 279

Dabei werden keine Polynome hoheren Grades verursacht, die erst wieder durch Polynomdivision (deconv) reduziert werden miissen.

Drittens wird — unter einigen Abkiirzungen — fiir Zweigrofiensysteme verallgemeinert. Zunachst wird

F o ^ f " ^ l ^ f ^ ? U — 1 — ( ^ " ^ ^ ^ t " ] ^l( ^ M (15.48) \ C d J y £^ ^ J anbnCndn \ C^anbudn dzanhnCn J p \ l 0 J

definiert. Damit ergibt sich

( d -h\

T - i = I + F - ^ =. I + ^ ""^ ^ > = 1 ( ^ ad —he ad— be \

ad — bc-¥d —b —c ad — be-^ a

, , 7 \ / ad — bc-{- a b {ad - 6c) f ^ ad — be + d

(ad — bc)(ad — be) + {ad — be)a + {ad — bc)d -{- ad — be

(15.49)

(15.50)

( ad —be-^ a b \

e ad— be-\- d J T = -^ 1—T 3 — ; • (15.51) a d - 6 c + a + ( / + l ^ ^

Werden die Polynome a, /3,7, S und p verwendet, so findet man mit a = a/p, b = /3/p, e = j/p und d = 51 p.

T W - - ^ r^ ^ ^ ^ = -^ ^^ ^ '- . (15.52)

Darin drangt sich die Multiplikation mit p in alien Elementen auf. Sie ist allerdings iiberfliissig, denn der Term

aS - PJ azbnCndn • dzanbnCn - bzanCndn ' Czanbndn ,. K CO\ = r 1 = (15.53)

P anOnCndn

= azdzbnen — bzezand^ (15.54)

ist ganzzahlig teilbar. Physikalisch wird der Grad des ofFenen Regelkreises als der Grad von p = anbnCndn definiert. (Hatte

man in Gl.(15.52) mit p wegmultipliziert, so hatte man wegen des Terms p^ einen hoheren Grad von T(5) erhalten, was unrichtig ist.) In Gl.(15.52) verbleibt im Nenner von T(s) der Term p als der mit dem hochsten Grad.

15.5 Nicht steuerbare (nicht stabilisierhare) Regelstrecke

Angabe: Fiir die Regelstrecke

ist die Steuerbarkeit zu untersuchen. Losung: Die Kalman-Steuerbarkeitsmatrix CO=ctrb(A,B) lautet

(15.55)

(^'••^^)-{l : ' 2 : ; ) (15.56)

Sie besitzt den Rang 1 (denn nur eine linear unabhangige Spalte oder Zeile ist vorhanden). Weil der Rang nicht gleich ist der Dimension zwei von A, ist die Strecke nicht steuerbar. Laut MATLAB CO=ctrb(A,B) stimmen rcink(CO) und n nicht iiberein.

Grund fiir die Nicht steuerbarkeit in diesem Beispiel ist, dass zwei Besonderheiten zusammentreffen: 1) Die Zeilen von B sind auch gleich. 2) In der Matrix A gilt ai + 02 = as + 04.

Da der instabile Pol bei +2 nicht steuerbar, ist diese Regelstrecke auch nicht stabilisierbar.

Page 282: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

280 15 Fachiihergreifende und komplexere Aufgabenstellungen

15.6 Methode bei unterschiedlichen Eigenwerten

Angabe: Wie lautet das Ergebnis mit Modalmatrix nach Gilbert bei untereinander verschiedenen Eigen­werten von A). Losung: Der MATLAB Funktionsaufruf [Tmo,Deig]=eig(A) liefert die Modalmatrix T"' ' ' als

rj^mo _ f -0 ,7071 -0,4472 \ _, _ / -2 ,8284 1,4142 N ~ V -0 .7071 -0,8944 J "^ ~ \ 2,2361 -2 ,2361 J " ^ ^

( —2 8284 1 4142 \ Die Matrix inv(Tmo)*B, T"^°'~^B = I ' ' j enthalt eine Nullzeile, als Ausdruck der

Nichtsteuerbarkeit. Beziiglich der Auswirkung auf interne Signale siehe auch Abschnitt 4.52.

15.7 Nicht-Steuerbarkeit in Frequenzbereichs-Darstellung

Angabe: Wie iasst die Frequenzbereichsdarstellung die Nicht-Steuerbarkeit von GL(15.55) erkennen? Losung: Die Ubertragungsmatrix lautet

/ 2{s-2) -{s-2) \ {2{s-2)-{s-2))

X{s) = H(5)U(s) H(5) = {si - A ) - ^ B ^ ^ \ ; . . / . . ' ' . (15.58)

In MATLAB: syms s ; H=inv(s*eye(2)-A)*B. Aus ihr ist ofFenkundig, dass der Pol bei +2 nicht steu-erbar ist, weil er die Kiirzung zu den Zahlertermen ermoglicht.

Es existiert ein Eigenwert bei +2, der in der Ubertragungsmatrix H(s) aufscheint, der aber nach aufien nicht wirksam ist.

Die NuUstelle bei +2 verhindert, dass durch irgendeine SteuergroBe u(*) auf das System A, B so Einfluss genommen wird, dass die Bewegung e * intern nicht auftritt. So ist es auch unmoglich, das System aus jedem beliebigen Anfangszustand x(^o) mittels u{t) innerhalb einer endlichen Zeitspanne in den Endzustand x(^/) = 0 zu iiberfiihren.

15.8 Steuerbarkeit mit Gram-Steuerbarkeitsmatrix

Angabe: Wie stellt sich die Nicht-Steuerbarkeit mit der Gram-Steuerbarkeitsmatix heraus? Losung: Wenn und nur wenn (A, B) steuerbar ist, ist die Gram-Steuerbarkeitsmatrix Lc positiv definit

/•OO

Le - / e^^BB^e^ '^^dr , Le > 0 . Jo

(15.59)

Die Matrix Lc wird aus der Lyapunov-Gleichung gewonnen

ALc + LcA^ + B B ^ = 0 ; (15.60)

sie verlangt ein stabiles System A. Die Definitheit von Lc liefert nummerisch bessere Aussagen als der Rang der Kalman-Steuerbarkeitsmatrix.

In MATLAB findet man Lc mit sys=ss(A,B,C,D) ;Lc=grain(sys, ' c O . Fiir das nachstehende stabile und steuerbare (Ai, Bi ) erhalt man

A, = ( i _ ' 3 ) , B.. (_',_',) ^..^{'L7 ll)>0. (15.61)

A1=[0 1; -2 - 3 ] ; B l=[ l 1;-1 - 2 ] ; % (A1,B1) s t eue rba r C=[l 0 ] ; D=[0 0 ] ; sys l=ss (Al ,Bl ,C ,D) ; Lc l=gra in ( sys l , ' cO 7> r e s u l t i e r t p o s i t i v d e f i n i t Lc l l= lyap(Al ,Bl*Bl ' )

Page 283: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

15.9 Steuerbarkeit nach Hautus 281

Die kleinste Energie aus alien moglichen Eingangen u(t), namlich Imin = minu x(0) = Xo ergibt sich zu /„iin = x^L~^Xo; dies vermittelt eine anschauliche Bedeutung von he (Glover, K., 1984) •

Die benotigte Steuergrofie von t == — oo bis 0 lautet

u*W = B^e-A'^^L-ixo . (15.62)

Sie fiihrt gemafi Faltung x{t) = J^ g{t — T)u{T)dr auf x{t)\ =

(15.63)

15.9 Steuerbarkeit nach Hautus

Angabe: Wie lautet die Steuerbarkeit nach Hautus? Losung: Nach Hautus ist fiir Steuerbarkeit erforderlich, dass

rang (ni I - A : B) = n (15.64)

besteht, fiir /Zj gleich alien Eigenwerten Ai[A]. In MATLAB: rh l=rank( [Deig( l , l )*eye(2) -A B] ) ; rh2=rank([Deig(2,2)*eye(2)-A B] )

15.10 Steuerbarkeit bei EingroBensystemen

Angabe: Welche Vereinfachung tritt bei EingroBensystemen auf? Losung: Nachdem die Kalman-Steuerbarkeitsmatrix quadratisch ist, geniigt bei EingroBensystemen als

Rangkontrolle det(b : A b : A ^ b . . . ) 7 0.

15.11 Steuerbarkeit an Laplace-Riicktransformation

Angabe: Wie erkennt man die Nicht-Steuerbarkeit mittel Laplace-Riicktransformation? Losung: Verwendet man die inverse Laplace-Transformation an einem konkreten Beispiel

£ - H ^ r T 4 } = c + ( a - c ) e - " ' , (15.65) s{s + a)

so erkennt man fiir c -> a, dass die Reaktion aufgrund der Polstelle bei —a erhalten bleibt, wenn auch nur mit infinitesimalem Residuum a — c.

15.12 Veranschaulichung der Nicht-Steuerbarkeit

Angabe: Wie lassen sich die Ergebnisse der Nicht-Steuerbarkeit veranschaulichen? Losung: Aus Abb. 15.10 folgt bei einem Pol bei —2 und bei einem Sprung u(t) = a(t) mit v{0) = VQ

v{t) = 0 ,5(2i ;o- l )e-2* + 0,5 (15.66)

v{t) = 0 , 5 (2 i ; , - l ) ( - 2 ) e -2* (15.67)

^(t) = l + | + | ( 2 ^ o - l ) e - 2 * . (15.68)

Bei e klein und t groB resultiert x{t) = 1. Wiederholt man allerdings die Rechnung fiir Abb. 15.10 bei einem Pol bei 4-2, so fiihrt dies auf

x{t) = l + ^-^{2vo + l)e^'; (15.69)

es zeigt die schwelende Instabilitat auch fiir e —>• 0.

Page 284: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

282 15 Fachuhergreifende und komplexere Aufgabenstellungen

u{t) 1 s + 2

1 ""^ 1 s-\-(2 + e)

x{t)

Abbildung 15.10: Zerlegung des PDTi-Elements in PTi und PD fur Pol bei - 2

u{t) 1 s — a

1 ''' s — a — e x{t)

Abbildung 15.11: Zerlegung des PDTi-Elements in PTi und PD fiir Pol bei + a

Die Verallgemeinerung in Abb. 15.11 fiir allgemeines u{t) fiihrt fiir v{t = 0) = VQ auf

x{t) = u{t) - evoe''^ - ee^* / e-^^w(r)dr . Jo

(15.70)

Anschaulich wirkt auch die Erklarung nach der identischen Zerlegung in Abb. 15.12. Bei einem nicht steuerbaren System {e —>• 0) ist dieses, siehe unterer Teil der Abb. 15.12, iiber u{t) nicht anzuregen. Es zeigt eine Bewegung mit e^*, egal ob a > 0 oder a < 0. Bei a < 0 ist dies nicht gefahrHch, weil die Bewegung e"* abklingt. Bei a > 0 jedoch schwelt die Instabilitat; zufolge des Terms evoc"'^ vermag kein u{t) einen stabilisierenden Einfiuss auszuiiben.

u{t) x(t)

Abbildung 15.12: Zerlegung in Parallelschaltung

15.13 Pol-NuUstellen-Mindest abstand

Angabe: Die Strecke 1/(1 - sT) und der Regler (1 - Tis)/{s + a) ist fiir Ti -^ T zu analysieren. Welch ,^leiner" Mindestabstand Ti zu T muss fiir Stabilitat gesichert werden? Losung: Fiir Ti —>• T lautet die charakteristische Gleichung (1 — Ts){l -{- a + s) und zeigt Instabilitat. Stabilitat verlangt a < 1 und Ti > 1 + T.

15.14 Fuzzy Regelung

Angabe: Nach den vorgegebenen Zugehorigkeitsfunktionen m{e) aus Abb. 15.14a soil ein Fuzzy-P-Regler nach Abb. 15.13 entworfen werden. Losung: Aus der Regelabweichung e{t) eines Regelkreises wird in jedem Zeitpunkt t die fuzzifizierte Regelabweichung e/?(t) als Vektor gewonnen. Fiir die Zugehorigkeit von e{t) zu den unscharfen Mengen NG, ZE und PC gilt fiir epit)

BF = (0 : 1 - e : e)^ bei 0 < e < 1 (case 1),

ep = ( 0 : 0 : 1)'^ bei 1 < e (case 2),

ep = ( - e : 1 + e : 0)^ bei - 1 < e < 0

eF = ( 1 : 0 : 0)'^ bei e < - 1 .

(15.71)

(15.72)

(15.73)

(15.74)

Page 285: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

15.14 Fuzzy Regelung 283

Vrefitl

fuzzy P-Regler

-. e(i)

^ —

m(e)

m{u)

u{t) y-e{t)

u{t)^ G{s) \ ^^^^

Abbildung 15.13: Fuzzy-Regelkreis e{t) h-> u{t): u = {e/3){4-\-Se-e 2 ) / ( 2 - e + e2)

Welters werden WENN-DANN-Regeln als Regelbasis zur weiteren Auswertung verwendet. Dabei wer-den die Zugehorigkeitsfunktionen m{u) nach Figure 15.14b herangezogen. So gilt (in diesem Beispiel)

WENN e =ZE, DANN soil u =ZE WENN e =PG, DANN soil u =VM

Soferne innerhalb des WENN-Teils mehrere ODER- bzw. UND-Verkniipfungen auftreten, so werden diese mit MAX- bzw. MIN-Operatoren der Zugehorigkeitsfunktionen besorgt.

Fiir jede Regel ergibt sich ein Erfiillungsgrad a\ als Ergebnis der Regelbasis. (Die Bestimmung des Erfiillungsgrads ai der Pramisse heifit Aggregation.) Fiir den in Abb. 15.14a eingetragenen Punkt e (case 1) findet man die Erfiillungsgrade azE = 1 — e, apM = e und aNG = 0, identisch mit den Elementen des Vektors ep.

Die Bestimmung der Zugehorigkeitsfunktion der Ausgangsgrofie (der Konklusion) erfolgt liber a^ mi{u) als Aktivierung; in Abb. 15.14c fiir case 1, 15.14d fiir case 2.

Die MAX-PROD-Methode besorgt die Kombination (Akkumulation) durch

m(u)=Maximalwert aus alien Produkten ai • mi{u) = maxi{aimi{u)}

Jede Regel fiihrt zu einem Handlungsvorschlag, der gewichtet wird mit dem Erfiilltheitsgrad der Pramisse. Die Aktivierung verkniipft den Erfiilltheitsgrad der Pramisse mit der Zugehorigkeitsfunktion der Konklusion. Die Akkumulation ist die Vereinigungsmenge aller durch Aktivierung erzeugten Teilaus-gangsmengen. (Die Inferenz besteht also aus den drei Abschnitten Aggregation, Aktivierung und Akku­mulation.)

Die unscharfe AusgangsgroBe m{u) wird schliefilich zu jedem t in eine scharfe Ausgangsgrofie u{t) (die zu e(^) gehort) umgewandelt, also zu u{e) defuzzifiziert, vorzugsweise nach der Schwerpunktsmethode

u{t) = J m{u) u duj f m{u)du.

Die Stellgrofie u{t) ist die Abszisse des Schwerpunkts S. Im gegenstandlichen Fall erhalt man die in Abb. 15.13 schon eingetragene statische Kennlinie zwischen e(t) und u{t). Zur genaherten nummerischen Auswertung dient nachstehendes m-File jpt l .m mit einer PTi-Strecke. Die Sprungantworten des Fuzzy-Regelkreises zeigt die Abb. 15.15.

% jptl.m

clear

x=[0;0]; yref=3; A=[0 1;

T=0.05;

for ii=l:100

e=yref-y; u=(e/3)*(4+3*e-

if e > 1; u= 1; end;

vecu(ii)=u; vece(ii)=e;

x=x+T*(A*x+b*u); y=c'*x;

figure(1)

plotCvect,vecy, vect, vecu,

titleC'Fuzzy-Regelung, jptl

-1 -2]; b=[0;

e'^2)/(2-e+e'^2)

if e <-l; u=

vecy(ii)=y;

'.') .m figure(1),

1];

; -1;

c=

end;

= [4;0];

vect(ii)=T*ii;

jpu .fig'

y=0;

end

) ; xlabeK'time t')

Page 286: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

284 15 Fachiibergreifende und komplexere Aufgabenstellungen

Abbildung 15.14: Fuzzifizierung mittels Zugehorigkeitsfunktionen, Inferenz und Defuzzifizierung

15.15 Editor fiir Zugehorigkeitsfunktion, Regeln und Defuzzifizierung

Angabe: Zum Editieren von Zugehorigkeitsfunktionen fiihrt direkt mf ed i t <-^, zum Aufstellen von Regeln ruleedi t f . Man entwerfe die Defuzzifizierung einer dreieckigen Zugehorigkeitsfunktion mit Maximum-bzw. Schwerpunktsmethode.

Losung:

X = -9 : 0 .1 : 9; m = t r i m f ( x , [ l 4 7 ] ) ; xs = defuzz(x, mf, ' c e n t r o i d ' ) ; xm = defuzz(x, mf, 'momO; p lo t (x ,mf)

Page 287: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

15.16 * Deterministisch-chaotische Regelung 285

F uz z y - R e g e lu n g , j p t l . m f i g u r e ( 1 ) , jpu . f ig

Abbildung 15.15: Sprungantworten des Fuzzy-Regelkreises

15.16 * Deterministisch-chaotische Regelung

Angabe: Zu untersuchen ist die nichtlineare Differentialgleichung einer Regelung

y(k + l)=a[-y^{k) + y{k)].

Der erste Term der rechten Seite modelliert eine sehr starke Dampfung, der zweite, weil positiv, sorgt fiir Destabilisierung.

(15.75)

kwk.m figure(l), kwm.fig

Abbildung 15.16: Zeitverlauf von y{k), insbesondere vielzyklischer Verlauf fiir a = 3,7

Losung: Fiir a = 1,7 zeigt der Ubergang noch regelungstechnisch giinstiges Verhalten, soferne y als Regelgrofie interpretiert wird; ab a = 2.5 wird das Treiben bunter, ab a = 3.5 treten immer neue Schwin-gungsbilder auf. Die Abb. 15.16 zeigt die Transienten fiir A; = 0,7; 1,7; 2,7; 3,7 in Abhangigkeit von den diskreten Zeitpunkten. Fiir mafiige („stabile") a ist der Stationarwert bei y{oo) = 1 — . Beachtenswert ist der Ubergang von einer einzyklischen zu einer vielzyklischen Dauerschwingung bei etwa a = 3,5.

Die Abb. 15.17 gibt die diskrete Zustandsebene y{k + 1) iiber y{k) wieder. Die horizontalen Trajek-torienteile entsprechen dem Zeitintervall zwischen k und A: + 1, die vertikalen dem k-ten Rechenschritt.

15.17 * Hoo-Regelung an einer Magnetschwebestrecke

Angabe: Die Magnetschwebe-Regelstrecke besitze die Ubertragungsfunktionen G{s) = (s+5o)(s-5o) "^^

weiters Gi{s) = 0 , 0 9 ^ ^ fiir die Ubertragung der Storung Wd, siehe Abb. 15.18, stark vereinfacht nach

Page 288: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

286 15 Fachiibergreifende und komplexere Aufgabenstellungen

chaotische Regelung kwl.fig

Abbildung 15.17: Diskrete Zustandsebene y{k))

Bittar, A., and Sales, R.M., 1998; Nise, N.S., 2000. Bin geeigneter Regler ist vorzuschlagen. Einer seiner Parameter ist so einzustellen, dass die Hoo-Norm einer Gesamtiibertragungsmatrix unter Einschluss von Gewichtsfunktionen kleiner als 1134 wird.

Losung: Mit Hilfe der Wurzelortstheorie wird ein PDTi-Regler mit K{s) = V{s + CL)/{S + b) gewahlt. Nach dem Routh-Kriterium resultiert a < b, V > 250, (y/250)a > b. Die Annahmen V = 1000, 6 = 1 und 1 < 6 < 4 werden diskutiert.

Storgrofie Wd

Gi{s)

PDTi -Regler Magnetschwebe-Regelstrecke

3 1 Vref J_ K{s) G{s)

Luftspalt

- • - • -

Abbildung 15.18: Prinzipbild zur Luftspaltregelung eines Magnetschwebe-Regelstrecke

Eine erweiterte Regelung wird definiert als

WiSGi 0,1W4S ;u WiSGi 0,1W4S \ / N / X -W2SG1 O^IW^GKS ( "^M = T G r ^ M . (15.76) wsSGiK O^IWQKS J ^y^-'f^ ^y^-^f^

Vom maximalen Singularwert (Jm2ix.[^G\ wird der Maximalwert iiber der Prequenz herausgesucht, und zwar

als Too = maxu; (Tm^y^^o] = | |TG||OO; er gibt die Hoc-Norm.

Die Verkleinerung der Hoo-Norm mit zunehmendem b ist in Abb. 15.19, links, zu erkennen, die Sin-gularwerte von T G fiir ein festes 6 = 3,6 rechts.

Page 289: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

15.18 * Symmetrische Wurzelortskurve 287

^ < ^ >

10000

5000

1134

0

1 h u d .m figure(10) kww.fig

-

-

, _ j

Singular Va lues

Frequency ( rad /sec )

Abbildung 15.19: Hoo-Norm von TQ iiber b und Singularwerte von TQ fiir 6 = 3,6

Wl=t f ( [1 ] , [ 1 ] ) ; W2=tf( [1] , [2] ) ; W3=tf( [ 1 ] , [ 3 ] ) ; W4=t f ( [1 ] , [4 ] ) ; W5=t f ( [1 ] , [ 5 ] ) ; W6=tf( [ 1 ] , [ 6 ] ) ; for i i = l : 1 3 ; b = l + i i * 0 . 2 ; v e c b ( i i ) = b ; end V=1000; numFo=ClO*V 10*V*a]; 7, Zaehlerpolynomkoeffizienten

denFo=[l b -2500 -2500*b] ; */, Nennerpolynomkoeffizienten sysGl=zpk([-2],[-12],0.09); sysK=tf ([V V*a] , [1 b]) ; sysG=zpk(G , [-50, 50],10); sysFo=series(sysK,sysG); sysS=feedback(tf(1,1),sysFo); sysFSt=series(sysGl,sysS); sysFu=series(sysK,sysS); sysT=feedback( sysFo,tf(1,1)) sysTG=[series(Wl,series(sysS,sysGl)), 0.l*series(W4,sysS) ;.. series(W2,-series(sysS,sysGl)),0.l*series(W5,series(series(sysG,sysK),sysS));. . series(W3,-series(series(sysS,sysGl),sysK)), 0.l*series(W6,series(sysK,sysS))]

roo t s ( [ [0 0 niimFo] +denFo] ) f igure( lO) s u b p l o t ( l , 2 , l ) , p l o t ( v e c b , r ) , a x i s ( [ 1 4 0

s u b p l o t ( 1 , 2 , 2 ) , sigma(sysTG) 15000])

15.18 * Symmetrische Wurzelortskurve

Angabe: Das Optimum aus LQR (Linear quadratic regulator)

POO

Jo {t)]dt (15.77)

zur Regelstrecke ^44 = G(s) besitzt Eigenwerte, die sich als Punkt der Symmetrischen Wurzelortskurve

1 + pG{s)Gi-s) = 0 (15.78)

darstellen lassen (Kailath, T., 1980). Dieses Ergebnis soil mit MATLAB bestatigt werden. Losung: Im MATLAB-m-File werden fiir beliebige n Annahmen getroflPen: Nullmatrix Q mit Ausnahme von 0(1,1) = p, R = 1. Zur Vorzeichenumkehr bei den KoefRzienten der ungeradzahligen Potenzen wird die Matrix Dh verwendet. Die Multiplikation der Zahler- und Nennerpolynome numGO und denGO erfolgt mit dem Faltungsbefehl conv.

Page 290: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

288 15 Fachiibergreifende und komplexere Aufgabenstellungen

q=zeros(n,l); q(l)=l; Q=rho*diag([q]); dh=l; for ii=l:n; dh=[(-l)\-\i{}i; dh]; end; Dh=diag(dh); sysGO=ss(A,b,q',0); [numGO,denGO]=ss2tf(A,b,q',0,1) numGG=conv(numGO,numGO*Dh); denGG=conv(denGO,denGO*Dh); sysGG=tf(numGG,denGG) lambda=roots(rho*numGG+denGG)

Jj=0; for ii=l:2*n;

if real(lambda(ii)) < 0; jj=jj+l; lambdaeff(jj)=lambda(ii); end end

[K,S,E]=lqr(A,b,Q,l) rlocus(sysGG)

Die Wurzeln der optimal geregelten Regelstrecke sind als lambdaeff ausgewiesen, nachdem ihre Spie-gelbilder aus lambda ausgeblendet wurden. Das Ergebnis E aus Iq r deckt sich mit lambdaeff. Fiir n = i ist in Abb. 15.20 in die Symmetrische Wurzelortskurve auch das Optimalergebnis mit • eingetragen.

symmetric root locus, jdh.m figure(1), jdi.fig

Abbildung 15.20: Symmetrische Wurzelortskurve

15.19 * Robuste Internal-Model-Control

Angabe: Das Prinzip der Internal-Model-Control (IMC) ist in Abb. 15.21a dargestellt. Der realen Regel­strecke G{s) = l / [(s + l)(s + 2)] ist das interne Modell G{s) parallelgeschaltet (Morari, M., und Zafiriou, E., 1989J. Man vergleiche die Wirkung mit einer Feedforward-Regelung aus Abb. 15.21b. Losung: Nach Abb. 15.21 folgt bei multiplikativer Unsicherheit AL, also G = G{1 + AL),

Wd(s)K{s)G{s) + Wdis) = y{s) Wd(s)[-K{s)G{s) H- K{s)Gis)] + Wd{s) = Wd{s) (15.79)

F{s) = vis) 1-^KG 1 + KG{1 + AL)

Wd{s) i + K{G-G) l-\-KGAL

Nach dem Small-Gain-Theorem verlangt Stabilitatsrobustheit {Elliott, S.J., 2002) \KGAL\ < 1 Fiir G -^ G befolgt der Regelkreis Wd -> Wd und

Wd

(15.80)

(15.81)

Page 291: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

15.20 * Differentiell Baches System 289

Auswirkung aller Storgrofien Wd

Strecke

K

^ d

G

G

Modell

+ T O

Rauschen Ur bei Messung

der Storgrofie WdE Storgrofie

o Internal Model Control (IMC)

a Kf

GE

yjd

K>

Feedforward Control

Abbildung 15.21: Prinzip der Internal Model Control (IMC) (a) und der Vorwartssteuerung (b)

Da auch bei G = G deren Inverse physikalisch nicht existiert und K = —1/G zur volligen Storungsunterdriickung im Ausgang nicht moglich ist, wird statt Polkompensation eine Polverschiebung

nach -10 ; - 1 2 vorgeschlagen. Dazu dient der Ansatz K{s) = -120(s + 1)(5 + 2)/[(s 4- 10)(s + 12)]. Wird eine Gewichtsfunktion Ww^ zur Vertretung niederfrequenter Storungen in Serie geschaltet, so ist die resultierende Systemeigenschaft durch (1 + KG)Wyj^ bestimmt.

Fiir die Vorwartssteuerung wird die echte StorgroBe WdE und die Teiliibertragung GE{S) = l / (^ + 2) vorausgesetzt. Wird Wn^. zur Vertretung von rir gewahlt, und ferner der Ansatz Kf{s) = K{S)GE{S), dann resultiert KfGWn^ + (1 •j-KG)Wwd- Die Vorwartssteuerung hat zwar kein Stabilitatsproblem, dafiir muss aber die StorgroBe messbar sein. Zumeist handelt man sich erhebliches Messrauschen bei der Messung der Storgrofie ein. Der MATLAB-Code zeigt wesentliche Programmteile; die Abb. 15.22 stellt den Vergleich im Prequenz- und Zeitbereich dar.

G=zpk( [ ] , [ -1 - 2 ] , 1 ) ; G E = t f ( [ l ] , [ l 2 ] ) ; K=zpk([-1 - 2 ] , [-10 -12] , -120) Kf=K*GE; D=0.1; omegaN=20; a=0.5 ; Wnr=tf([a 0] , [l/omegaN'^2,2*D/omegaN,l]) ; Wwd=tf([0.2] , [0 .2 1 ] ) ; bodemag((H-K*G)*Wwd,{le-3, 2e2}) '/, I n t e r n a l Model Control bodemag(Kf*G*Wnr+(H-K*G)*Wwd,'.\{le-3, 2e2}) */, Feedforward

15.20 * Differentiell flaches System

Angabe: Ein orbital Backer Satellit gehorcht nach einer endogenen Zustandsriickfiihrung (Rudolph, J., 1998; RothfuB, R., et ai. 1997; Isidori, A., 1995; Nijmeijer, H., und van der Schaft, A.J., 1990)

ip — cji cos ^ + ws sin ^ -^ u;i = ((^ — a;3sin^)/cos^

9 = (tan (/?) {(jJi sin 9 — uz cos 9) + UJ2 (15.84),(15.86)

UJ2

ip = —(cosip) ^ {LJI sin 9 — UJ3 COS 9) ' ^ ip (15.83)

9 -\-ipsm(p

{us — (f sin 9) I (cos (/? • cos 9)

(15.82)

(15.83)

(15.84)

(15.85)

(15.86)

((/?, ip) sind als Bacher Ausgang zu iiberpriifen. Losung: Aus 01.(15.82) folgt mit Gln.(15.83) und (15.85) UJ3. (Zu empfehlen ist, zu Substitutionszwecken subs , solve) etc. zu verwenden.) Ebenso kann man aus Gl.(15.86) CJS herausrechnen und uj^ durch Dif-

Page 292: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

290 15 Fachiibergreifende und komplexere Aufgabenstellungen

B o d e M a g n i t u d e D iagram Impulse R e s p o n s e

h

b? IX

" r , ' ' ' ''',

/ i M C ^ ^

F e e d fo rw a rd

F r e q u e n c y ( rad /s e c )

Abbildung 15.22: Vergleich von Internal-Model-Control mit Feedforward Control

ferenzieren nach t aus Gl.(15.87) entwickeln

LJs = ip COS (p • COS 0 + (f sin 9 (15.87)

cjg = '0cos(^ • cos^-l-^sin<^ • (—y?)cos^+ t/'cos(^ • (—^)sin^-I-(^sin^-H <^cos^ • ^. (15.88)

Gleichsetzen der beiden Teilergebenisse fiir us [aus Gl.(15.82) und Gl.(15.88)] zeigt nach einigen Zwischen-rechnungen, dass fiir a = 1 der Ausdruck 9 herausfallt und 9 allein verbleibt als

9 = a.Yct3ii[(2ipip sin (/? — -0 cos (p)/{<p + V' sin cp • cos (p)] (15.89)

Daraus lasst sich nach Gin.(15.83), unter Weiterverwendung von Gl.(15.87), direkt die Stellgrofie ui er-mitteln. Die zweite Stellgrofie uj2 folgt aus Gl.(15.85). Diese Ergebnisse erhalt man, ohne eine Integration durchfiihren oder eine Differenzialgleichung losen zu miissen.

Page 293: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

Kapitel 16

Nummerische und symbolische Computerunterstiitzung

16.1 MATLAB nummerisch. Kurzkurs

Zu einem sehr raschen Einstieg empfiehlt sich, die nachstehenden Schritte im MATLAB-Command-Fenster der Reihe nach mit e n t e r (<- ) einzugeben und die Ergebnisse als Lehrbehelf anzusehen.

a = 5 ' H > b = 7; <r^ a*b i-^ b / a - ^ d = 3+2* j f- dA4 - ^ abs(d) i-' conj (d) f for k = 1:10; d = d+k*j+2*k; p l o t ( r e a l ( d ) , imag(d), ' o O a x i s ( [ 0 130 0 8 0 ] ) ; hold

on; end; hold off ^ f= [ l 2 3 ] ; g=[3 9 ] ' ^ g*f ^ f .*f 4^ sum(f.*f) ^ M = [1 2 ;3 4] ; H = [9 - 2 ; 7 5]

^ M*g ^ H*M ^ norm(M, ' f ro ' ) <r^ U=[M H] i-^ V=[M; H] ^ inv(M) ^ eig(M) ^ L = [2 4; 5 9*j] f L' <- conj(L) <-^

Ratsam ist auch, im Command-Fenster mit he lp Iqg etc. die zugehorigen Erklarungen aufzurufen; fiir die haufigen Befehle format c l e a r d i sp Iqg r l o c u s nyquis t po lyva l bode bodemag eye ones zeros rcind pause pause2 i f while t f t f d a t a t f 2 s s zpk num2str subs Iq r p lace sigma svd e ig hinf h21qg s i s o t o o l c2d p l o t t i t l e ax i s legend view

16.2 MATLAB symbolisch. Kurzkurs

Analytische Formelausdriicke konnen computerunterstiitzt bearbeitet werden {Weinmann, A., 1999): Deklaration zu symbolischen Variablen: sym, syms Analytische Kalkulationen: d i f f , g r a d i e n t , i n t , t a y l o r , l i m i t Lineare Algebra: d e t , e i g , poly Losungen: s o l v e , dsolve Konvertierungen: poly2sym, sym2poly Transformationen: f o u r i e r , l a p l a c e Vereinfachungen: s impl i fy , s imple , expand

'/. Beispiel Regelkreis: syms Tn Kp s n X K=Kp*(l+Tn*s)/(Tn*s); Fo=K*G; CN,D]=numden(Fo); pclred=simplify(pel)

y t f a G=l/((l+s)* T=Fo/(l+Fo) pcl=N+D

b c (l+2*£

>

p q ));

*/, B e i s p i e l R\"ucktrai isformation vom S p e k t r a l - in den Z e i t b e r e i c h : F=l/(l+p*s+q*s'^2) ; i l a p l a c e ( F ) p r e t t y ( a n s ) l a p l a c e ( a n s ) s impl i fy(ans) p r e t t y ( a n s )

Page 294: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

292 16 Nummerische und symbolische Computerunterstiitzung

limit(l/(l+p*s+q*s~2) ,s,0,'right') 7, Endwert-Theorem limit(l/(l+p*s+q*s^2),s,inf,'left') */, Anfangswert-Theorem taylortool (' x*cos (2*x) ') '/, Potenzreihenentwicklung rsums exp(-t) '/, Approximation von int_0"l e" [-t] dt=0.63

ezcontour(x"2 + y"2) ezmesh(x"2 + y"2) ezsurf(x"2 + y"2)

y, Graphische Darstellungen: ezpolar(l+cos(3*t)) ezcontourf(x"2 + y"2) ezmeshc(x"2 + y'*2) ezsurfc(x"2 + y"2) e z p l o t 3 ( s i n ( t ) , c o s ( t ) , t , [0, 6*pi]) */, Raumkurve

Fiir fortgeschrittene Anwendungen empfiehlt sich, diverse MATLAB Toolboxes einzusetzen, fiir Control System, Opt imizat ion, Robust Cont ro l , S igna l Process ing , Nonlinear Control Design, I d e n t i f i c a t i o n , Symbolic Math, Fuzzy Logic

16.3 Simulink

Simulink ist eine sehr einfach bedienbare graphische Benutzeroberflache zur Simulation dynamischer Syste-me. Zur sehr raschen Einfiihrung wird empfohlen, die Befehle in der nachstehenden Reihenfolge aufzurufen und den Textanweisungen zu folgen:

Help <r^, MATLAB Help <r-^, Simulink f , Using Simulink 4-^, Ge t t ing S t a r t e d <e , Quicks tar t i-^, Building a Simple Model i-^, Crea t ing a Model <-^.

Unter MATLAB Demos liegt eine Fiille von anwendungsnahen Beispielen vor. Siehe Abb. 15.4, das einen zweischleifigen Regelkreis in Simulink zeigt.

16.4 * Connect-Anwendung an einem Zweigrofien-System

Angabe: In Fig. 16.1 ist ein dynamisches System mit drei Blocken gegeben und zu analysieren, und zwar unter Verwendung des MATLAB connect-Befehls.

Ubl

inputs

sysa

Ubl

Va ^ Ub2

sysc

sysb

u

1 4

c

, Vbi 9 —

outp

2/62

Abbildung 16.1: Dynamisches System aus drei Blockelementen sysa, sysb und sysc

Empfehlenswert ist die Erstbenennung der Systemteile mit Buchstaben, nachdem der append-Befeiii eine Durchnummerierung nach der Reihenfolge des Nebeneinanderstellens besorgt, siehe nachstehendes m-File isn.m. Sonst gibt es tiickische VerwechslungsmogUchkeiten der Nummerierungen. Losung: Nach append ergeben sich die folgenden Korrespondenzen zwischen Bezeichnungen nach Abb. 16.1 und dem rechnerinternen Schema sys:

Ua = Ui Va = 2/1

Ubl = U2 Vbl = 2/2

Ub2 = Us 2/62 = 2/3

Uc = U4 2/c = 2/4 •

Der Vorteil bei Verwendung von connect liegt vor allem darin, strukturelle Veranderungen mit der Matrix Q leicht vornehmen zu konnen, siehe Q und Qalt in isn.m.

Page 295: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

16.4 * Connect-Anwendung an einem ZweigroBen-System 293

A = [ -9 1; -1 -6]; B = [ -10 0.5; 60 -2]; */. isn.m C = [ -3 4; -1 20]; D = 4*ones(2,2); sysa = tf(10,[1 5 3 4 1 0.7],'inputname','ua') sysb = ss(A,B,C,D,'inputname',{'ubl' 'ub2'},'outputname',{'ybl' 'yb2'}) sysc = zpk(-l,4,3) sys= append(sysa,sysb,sysc) '/, blo\ss{}es Nebeneinanderstellen Q = [3 1-4 •/, u_b2 = y_a - y_c oder u_3 = y_l - y_4

4 2 0] ; y, u_c = y_bl oder u^4 = y_2 inputs = [12]; outputs = [23]; syscl = connect(sys,Q,inputs,outputs) [acl,bcl,ccl,dcl]=ssdata(syscl) ; '/, Herausloesen der Matrizen aus syscl eig(acl)

figure(1) step(syscl) title('Sprungantworten, , isn.m figure(1), kwj.fig') [numcl,dencl]=ss2tf (acl,bcl,ccl,dcl,l) */, geschlossener Regelkreis

figure(2) nyquist(numcl,dencl) % Frequenzgang des geschlossenen Regelkreises title('Frequenzgang des geschlossenen Systems')

7, alternative Konnektion: u_c von y_b2 abgegriffen anstatt von y_bl Qalt = [3 1-4 •/. u_b2 = y_a - y_c oder u_3 = y_l - y_4

4 3 0]; y, u.c = y_b2 oder u_4 = y_3 inputs = [1 2]; outputs = [2 3]; syscl = connect(sys,Qalt,inputs,outputs) [acl,bcl,ccl,dcl]=ssdata(syscl); % Herausloesen der Matrizen aus syscl eig(acl)

figure(3) step(syscl) [numcl,dencl]=ss2tf(acl,bcl,ccl,dcl,l) % geschlossener Regelkreis

figure(4) nyquist(numcl,dencl) 7, Frequenzgang des geschlossenen Systems title('Frequenzgang des geschlossenen Systems')

Nur die Sprungantworten nach figure(l) aus isn.m sind in Abb. 16.2 gezeigt.

Sprungantw orfen, , isn.m f igure(2) , kw j.fig From: ua From: ub1

Abbildung 16.2: Sprungantworten des Zweigrofiensystems nach isn.m

Page 296: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

294 16 Nummerische und symbolische Computerunterstiitzung

16.5 * Auswertungen mit MAPLE und MATLAB

Angabe: Die Schaltungnach Abb. 16.3 ist mit mehreren Methoden fachiibergreifend zu analysieren (Wein-mann, A., 1999J.

nieder-ohmige Quelle

R — 1 — 3

It'. =

t r R

r ^ hoch-

ohmige Belastung

Abbildung 16.3: Elektrisches Netz-werk zweiter Ord-nung u = ( l -^i2)R-\- X2 X2 = iiR-\- xi y = X2

Losung: Das Netzwerk mit RC = 1 befolgt nach einfachen Umformungen

^=W{~1 - 2 ) ' b = ^ ( ; ) , c - = (0 1 ) , A U A ] = - 0 , 3 8 ; - 2 , 6 2 .

Die Transitionsmatrix findet man zu

'-'' s^+3s + l V 1 s + 1 J '

im Zeitbereich

_ f 0 , 7 2 0,45 \ 0 , 3 8 . . ^ 0,28 -0,4^] 2,021 ^^^^ ~ V 0,45 0 , 2 8 ; ^ V - 0 , 4 5 0,72 J^

Die Faktormatrix von e~^'^^ * wird aus der Sylvester-Entwicklungsformel iiir i = 2 aus 2

n A — All , A — All

-^ ^ , also aus j=l,j¥^2 A2 — Ai Ai

ermittelt {Weinmann, A., 1995, Gl (14)). Diese Ergebnisse mit MAPLE hergestellt lauten {Char, B.W., et al, 1992)

w i t h ( l i n a l g , e x p o n e n t i a l ) ; A : = a r r a y ( [ [ - l , l ] , [ l , - 2 ] ] ) ; P h i : = e x p o n e n t i a l ( A , t ) ; e v a l f C ) ;

Bei U{T) = (T{T) ergibt sich die Zustandsvariable x zu

die Ausgangsgrofie y{t) als Sprungantwort h{t) zu

- 0 , 4 5 72 (+2,62)

/ i W - c x ( t ) _ ^ ^ ^ g + 2^g2 0,38^ 2,62^ " ^ ^ ' ^ ^ '

Dieses Ergebnis lasst sich mit MATLAB s t e p ( A , b , c ' ,0) bestatigen; oder aus

0,28e-

G{s) = c ^ * b : s + 1

s2 + 3s + 1

Aus MATLAB expm(A*0.1) erhalt man den Wert bei t = 0,1 zu

h{t)=C-'{-G{s)}.

( 0,91 0,086 N ^ ' ' \ 0,086 0,82 J

(16.1)

(16.2)

(16.3)

(16.4)

(16.5)

(16.6)

(16.7)

(16.8)

(16.9)

Page 297: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

Anhang A

Verzeichnis haufig verwendeter Formelzeichen

A.l AUgemeine Hinweise

Kleinbuchstaben kennzeichnen Signalvariable im Zeitbereich, zum Beispiel x{t); oder Polynome, zum Bei-spielp(5). Grofibuchstaben bezeichnen Laplace-Bilder. Kleinbuchstaben in Fettdruck stehen fiir Vektoren, Grofibuchstaben in Fettdruck fiir Matrizen, und zwar sowohl fiir Zeit- als auch Frequenzbereich.

Im Uberschneidungsfall (Vektoren aus Laplace-transformierten Signalen) wird dem Unterscheidungs-merkmal Vektor-Matrizen gefolgt und es werden auch Laplace-Transformierte mit Kleinbuchstaben ge-schrieben.

SoUte der Hinweis auf den Laplace- oder Zeitbereich notwendig sein und sich die Sachlage nicht selbst-verstandlich aus dem Zusammenhang ergeben, so wird das Argument wie in x(s) oder x(^) beigefiigt, was aber dann nicht als Substitution t statt s missverstanden werden darf.

Anmerkung: Bei praktischen Handrechnungen wird auf die Kennzeichnung von Vektoren und Matrizen durch Fettschrift zumeist verzichtet. Wenn notig wird auf Unterstreichung ausgewichen oder nur x G IZ"^ oder dim x = n angemerkt. Oft ist durch Indizierung der Vektorkomponente ohnehin geniigend Unter-scheidungsmerkmal zu den Vektoren selbst gegeben.

Soweit nichts Gegenteiliges angemerkt ist, werden stets SI-Einheiten verwendet.

A. 2 Verkniipfungssymbole

:= »ergibt sich aus"

= „Gleichsetzung per Definition" = „nahezu gleich" = jjidentisch gleich" ':::i „entspricht" -)> (in Symbolhohe) „soll gebracht werden auf" I „fiir die gilt" G, ^ „ist ein Element von", „ist kein Element von" V logische Disjunktion A logische Konjunktion und Min-Operation bei Verkniipfung von fuzzy sets V „gilt fiir alle" ' ^ „daraus folgt" oder „fiihrt auf" {} Menge B = {bi} der Elemente bi C, ^ , C echte Teilmenge, keine echte Teilmenge, Teilmenge => „wenn .., so..", z.B. ^ =^ i bedeutet A impliziert B,

die Aussage A ist hinreichend fiir die Aussage B <^ „wenn.., dann.." und umgekehrt; notwendig und hinreichend <r^ „ enter" oc verhaltnisgleich zu X Verdeutlichung einer Multiplikationsverkniipfung. Wird nur eingesetzt,

wenn die Klarheit gefahrdet sein sollte.

(g) A (8) B = matr'ix[AijB] , A G C^^"* , B G ^ * , A 0 B G C' ^^"^^

Page 298: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

296 A Verzeichnis hauRg verwendeter Formelzeichen

A.3 Hochgestellte Symbole

— 1 Invertierung, Inverse: Q~^ = a d j Q / d e t Q (Bei n = 2 nur Hauptdiagonalelemente vertauschen, Elemente in der Nebendiagonale im Vorzeichen andern und durch die Determinante dividieren.)

• konjugiert komplexer Wert it Pseudoinverse H „Hermite", konjugiert komplexe Transponierte R Verweis auf reflektiertes Argument und Transponierung T Transponierung X Ableitung nach der Zeit, angewendet auf x b' Ableitung nach dem Argument der Funktion, angewendet auf b mo (im Exponenten) modal • getastetes Signal • Hinweis auf Optimalwert p Schatzwert, Naherungswert, angewendet auf p f (Uberstreichung) Hinweis auf Mittelwertbildung 0~, 0"*" Hinweis auf infinitesimale Spanne vor und nach 0

A.4 Indizes

00 Stationarwert, d.h. bei t —> oo 00 Hoo-Norm o Anfangswert, d.h. bei i -> 0"*" a Ausgang d Hinweis auf den geschlossenen Regelkreis (closed loop) e Eingang / final (Hinweis auf Endzeit) F Probenius-Norm n Verweis auf die Drehzahl n nom nominal N (als zusatzlicher Index) Nennpunkt p perturbed (Verweis auf vorhandene Unsicherheit) r Hinweis, dass eine Beschrankung auf die Grundschwingung vorgenommen wurde s Spektral-Norm sp Spitzenwert T Trajektorie

A.5 Operationszeichen

adj Adjunkte (einer Matrix Q G 7^"^^ )

Minoren rriik = Unterdeterminanten von Q der Dimension n — 1 durch Streichung der z-ten Zeile und A;-ten Spalte aus der Matrix Q ; durch schematisches Vorzeichentauschen Entwicklung von pik = {—lY'^^mik

Adjunkte adj Q = [matrix{pife}]^ ; Inverse Q~^ = adj Q / det Q

anz po\j,jjE Anzahl der Pole in der rechten Halbebene (von) anz nulrHE Anzahl der NuUstellen in der rechten Halbebene (von) arg Argument circ Umlaufzahl (Anzahl der Zirkulationen) col Bildung eines Vektors

(Untereinanderreihung der Spalten einer Matrix) det Determinante diag Hinweis auf Bildung einer Diagonalmatrix exp Exponentialfunktion

Page 299: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

A.6 Symbole spezieller Art 297

E Erwartungswert !F Fourier-Transformierte grad Gradient inf Infimum ^ m Imaginarteil C, C~^ Laplace-Transformierte und deren Inverse In natiirlicher Logarithmus (zur Basis e) log Briggscher Logarithmus (zur Basis 10) matrix Hinweis auf Generierung einer Matrix {hik) Klammern weisen auf Bildung einer Matrix B aus hik hin rad Radiant ^e Realteil Res Residuum sign Signum (Vorzeichen)funktion sup Supremum tr Spur einer Matrix [trace]^ Summe der Hauptdiagonalelemente vec Bildung eines Vektors = col Z^Z~^ 2:-Transformierte (diskrete Laplace-Transformation) und deren Inverse (5 Variationssymbol A kleine Anderung d Grad (eines Polynoms) II • I IF Frobenius-Norm (Euler-Norm)

\\A\F = +V\XI P + k2P + . • . + k n P = - H V ^ ^ ^ | | G | | F - +v / (co lG)^ colG = -h^/(colG)*^ colG = -fv'tr G ^ G = +^yZi Ai[G^G] Spektralnorm oder Hilbert-Norm

IIGIU = S U P x ^ ^ l x ^ O = ' ^ m a x [ G ]

Hoo-Funktionsnorm A

/X£)-Norm • S U p ^ CTmax

[F{juj)] = sup^ \\F{juj) 0 < c j < 00

A.6 Symbole spezieller Art

a Rechtseigenvektoren der Matrix A Aai = XiSLi oder (A^I — A)ai = 0

Gik Element der Matrix A A KoefRzientenmatrix oder Systemmatrix (n x n) in

zeitkontinuierlicher Zustandsraumdarstellung Ac/ KoefRzientenmatrix des (geschlossenen) Regelkreises im Zustandsraum AR Amplitudenrand B Steuermatrix (Eingangsmatrix) (n x m) bei kontinuierlichen Systemen b Steuervektor (als Sonderfall der Steuermatrix B bei Eingrofienregelungen) C Ausgangsmatrix (r x n) Cs Kontur in der s-Ebene c Ausgangsvektor (als Sonderfall der Ausgangsmatrix C bei Eingrofienregelungen) D Dampfungsgrad D Durchgangsmatrix (r x m) dB Dezibel e, e Regelabweichung e Basis des natiirlichen Logarithmus, e = 2,71828... F Koeffizientenmatrix des Beobachters F Funktion zur Charakterisierung einer erzwungenen Schwingung F{s) Ubertragungsfunktion Fe (s) Abweichungsiibertragungsfunktion Fo Schleifeniibertragungsmatrix Fo{s) Schleifeniibertragungsfunktion (Ubertragungsfunktion des geoffneten Regelkreises)

Page 300: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

298 A Verzeichnis hauhg verwendeter Formelzeichen

Fst (s) Storungsubertragungsfunktion Fu{s) Stelliibertragungsfunktion g{t) Gewichtsfunktion zur Ubertragungsfunktion G{s) G{s) Ubertragungsfunktion der Regelstrecke G (s) Regelstreckeniibertragungsmatrix G^ Steuermatrix des Beobachters Gho{s) Ubertragungsfunktion eines Halteglieds nullter Ordnung h{t) Sprungantwort in Abhangigkeit von der Zeit hi hochster Wert eines Polynomkoeffizienten Ah Uberschwingweite H Hamiltonsche Funktion / Tragheitsmoment I Schaltcharakteristik I, I ^ Einheitsmatrix passender Dimension bzw. der Dimension m x m I Giitekriterium k Reglervektor (k^ als Sonderfall der Zustandsreglermatrix K bei EingroBenregelungen) K{s) Regleriibertragungsfunktion K Reglermatrix (m x n) im Zustandsraum K(s) Regleriibertragungsmatrix (m x m) Kp Proportionalbeiwert L Verlustfunktion m Dimension des Steuervektors u, Zahl der Steuergrofien einer MehrgroBenstrecke m bezogene Relativzeit der modifizierten ^-Transformation M Messmatrix ( r^ x n) n Dimension des Zustandsvektors x je nach Anwendung

der Regelstrecke, des Regelkreises; Ordnung eines Systems n Ordnung eines dynamischen Systems (Grad des Nennerpolynoms) n Drehzahl n{s) Nennerpolynom nr{t), Nr{s) Messrauschen bzw. dessen Laplace-Bild N Anzahl der von Cs eingeschlossenen Nullstellen von F bzw. 1 -\- Fp N „Nenner" einer Ubertragungsmatrix N Matrix {n x rm) zur Ansteuerung des Beobachters von den messbaren AusgangsgroBen N Beschreibungsfunktion p Wahrscheinlichkeitsverteilungsdichte p Rechtseigenvektor der transponierten Koeffizientenmatrix A ^ (Linkseigenvektor von A) P, PE Leistung, elektrische Leistung P Anzahl der von Cg eingeschlossenen Polstellen von F bzw. 1 + FQ Q Bewertungsmatrix fiir x im Giitekriterium I Qrf, Qr stabile Parametrisierungsmatrix der Youla-Parametrierung R Bewertungsmatrix fiir u im Giitekriterium / r Dimension des Ausgangsvektors y TR reeller Stabilitatsradius Rxx Autokorrelationsfunktion Rxy Kreuzkorrelationsfunktion s Sekunde s Laplace-Operator, Variable der Ubertragungsfunktion SNi Nullstelle in der s-Ebene spi Polstelle in der s-Ebene S{s) Sensitivitatsfunktion S(s) Sensitivitatsmatrix Sxx Autospektraldichte Sxy Kreuzspektraldichte t Zeit (Echtzeit) tf Endzeitpunkt to Anfangszeitpunkt T Abtastzeit (Abtastperiode)

Page 301: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

A.6 Symbole spezieller Art 299

Tc Grenzzyklusdurchlaufzeit (Periode des Grenzzyklus bzw. Zyklus) Tj Integrierzeit (Nachstellzeit) Tt Totzeit T{s) Fiihrungsubertragungsfunktion, komplementare Sensitivitatsfunktion T(s) Fiihrungsiibertragungsmatrix Tj Integralzeit (Nachstellzeit)

T"^° Modalmatrix der Zustandsraumdarstellung, T"*^ = (ai : a2 : ... : an) T'^° Modalmatrix zur KoefRzienten-Matrix des Regelkreises T/v Nachstellzeit u Steuervektor (m x 1) u{t), U(s) Stellgrofie (Steuergrofie) bzw. deren Laplace-Bild V Imaginarteil der komplexen Variablen w V Abkiirzung fiir x V Lyapunov-Funktion V Verstarkung V Vorfilter V Vorfilter-Matrix (m x r) V{s) dynamisches Vorfilter V{5) Vorwartsregleriibertragungsmatrix w komplexe Variable nach bilinearer Transformation des z-Bereichs Wd Storsignal (Storrauschen) Wd{t), Wd{s) Stor- oder BelastungsgroBe bzw. deren Laplace-Bild X Zustandsvektor (n x 1) Xi i-te Komponente der Zustandsgrofie x Xe gewohnlich stabiler Systemzustand Xr Zustandsvektor des reduzierten Modells Xo Anfangssystemzustand Xoo asymptotisch stabiler Systemendzustand yref Sollwert Yref Sollvektor (r x 1) y Ausgangsvektor (r x 1) y{t), Y{s) Regelgrofie (AusgangsgroBe der Regelstrecke) bzw. deren Laplace-Bild Ym reduzierter Messvektor ( r^ x 1) z Operator der ^-Transformation Z]^i Nullstelle in der z-Ebene zpi Polstelle in der 2;-Ebene z{s) Zahlerpolynom

an Phasenrand 5ik Kronecker-Symbol 6ik\i=k = 1, Sik\i^k = 0 S{t) Dirac-Nadelfunktion Ai[P] Eigenwert der Matrix P /i£)[-] strukturierter Singularwert fiir blockstrukturierte Matrizen ps spektraler Radius

PslG] ^ m a x , I Xi[G] \ a (absoluter) Dampfungsfaktor, Realteil von s, Wuchsmafi ai Singularwert

a[G] = -Ky/AfG^G] ^max[G] = + V A n , a x [ G ^ G ] - | | G | | ,

c"max 5 cTmin maximalcr und minimaler Singularwert a(t) Sprungfunktion, Einheitssprungfunktion ao Mindeststabilitatsgrad r Relativzeit If Phasenverwerfung

Page 302: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

300 A Verzeichnis hauGg verwendeter Formelzeichen

$( i ) , $(5) Transitionsmatrix (der Regelstrecke) im Zeit- bzw. Spektralbereich ^ ( T ) = ^{t) \t=T KoefRzientenmatrix des Abtastsystems im Zustandsraum ^{iT) Transitionsmatrix eines Abtastsystems ^ci{t) Transitionsmatrix des Regelkreises ^ik{t) Element der Transitionsmatrix ^ Steuermatrix (n x m) eines diskreten Systems u Kreisfrequenz, Imaginarteil von s UD Durchtrittskreisfrequenz des Prequenzgangs durch den Betrag 1, \FO{JUJD)\ = 1 LJn Winkelgeschwindigkei t , die zur Drehzahl n gehor t UJN Schwingungskreisfrequenz des ungedampf t gedachten Sys tems LJr Grundwel lenkreisfrequenz einer Rechteckschwingung UR Kreisfrequenz des Durchtritts der Fo(ja;)-Ortskurve durch die Phase —TT LJrz Resonanzkreisfrequenz LJT Kreisfrequenz der Abtastung UQ Transientenkreisfrequenz cji 0-dB-Durchtrittskreisfrequenz

Page 303: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

Anhang B

Literatur

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Page 304: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

302 B Literatur

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(Springer, Wien New York) Weinmann, A., 2001, Gradients of norms, traces and determinants for automatic control apphcations,

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Wolfram, S., 1991, Mathematica, A system for doing mathematics by computer. Second Edition (Addison-Wesley, Redwood City, California)

Page 305: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

Sachverzeichnis

Sachworter aus Abkiirzungen am Wortbeginn sind am Anfang jedes Buchstabenbereichs zusam-mengefasst.

Abstandsregelung, 42 Abtast

^intervall, 137 ~periode, 82, 169, 170, 202, 252 -regelung, 82, 137, 157, 167-193, 202 --system, 126, 127, 168, 176 ^regelkreis, robuster, 217 ~zeit, Totzeitabschatzung, 169

Abweichung, 38 Abweichungsfrequenzgang, 38 Abweichungsspektraldichte, 229 ADC, 188, 190 Aggregation, 283 Akkumulation, 283 Allpass, 20, 60, 61, 94, 101, 104, 105, 107 Amplituden

~-Frequenz-Kennlinie, 29, siehe auch Bode-Diagramm

--rand, 78, 114 Anfangsbedingungen, 26, 27, 50, 63, 83, 121, 132,

136, 241, 253, 260 Anfangswert I theorem, 63, 81, 145, 175

~-ubergabematrix, 122, 244 Anfangszustand, 280 Anlauf, Motor, 22, 23 Anlaufstrom, 22 Anregelzeit, 13, 35, 59, 264 Anregung, zugeschaltete harmonische, 43 Anschwingbedingungen, 253 Antrieb, Kran, 24 Antriebsleistung, 23, 24 aperiodischer Grenzfall, 45 Approximation, 49 Approximation, Bode-Diagramm, 23 Arbeitspunkt, 15, 25, 271

~ , nicht-einstellbarer, 271 Argument, monotone Zunahme, 118 Argumentbedingung, 66 Asymptote, 29, 37, 47, 48, 55, 104, Asymptotenschnittpunkt, 52 Aufhebungskompensation, 76, 79 Auftrieb, 29

Ausgang, flacher, 289 Ausgangsmatrix, 124 Ausgleichszeit, 26 Ausregelzeit, 43, 44, 50, 79, 82, 191, 234

kiirzeste ~ , 190 ausschwingender Cosinus, 53 Austrittswinkel, 47, 99 Autokorrelationsfunktion, 227, 228, 230, 232, 233 Autopilotenmodell, 273 Autospektraldichte, 158, 236 Autonomisierung, 196, 204

B

Bandbreite, 63 Bandpass, 29 Bauer-Fike-Theorem, 213 Befiillung, relative, 30 Begrenzung, 256, 258 Beiwertbedingungen, 92, 107, 112, 113, 158, 163 Beobachtbarkeit, 132 Beobachter, 143, 151-156

'v-entwurf, 151, 156 -pole , 143, 154

Beobachtungsnormalform, 83, 128, 140, 141, 143, 146, 151

Beschreibungsfunktion, 251, 253, 261-269 Betragsanschmiegung, 68, 159 Betragsbedingung, 66 Betragsnaherung, Totzeitstrecke, 159 Betragsoptimum, 68, 74, 76, 161 Betriebspunkt, siehe Arbeitspunkt bezogene Frequenz, 16 Bezout-Identitat, 91, 117 biquadratischer Ausdruck, 89 Blockschaltbild, 13, 31, 54, 63, 79 Blockschaltbild, Reduktion, 13, 15, 32, 47, 79 Bode-Diagramm, 20, 23, 26, 27, 40, 41, 43, 51, 77,

79, 92, 96, 97, 159, 171, 228, 237 Bode-Stabilitatskriterium, 110 Boje, 29

Cauchy-Schwarz-Ungleichung, 209 Cayley-Hamilton-Beziehung, 127, 149, 194

Page 306: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

304 Sachverzeichnis

chaotische Regelung, 285 charakteristische Gleichung, 84, 101, 269, 273 charakteristisches Polynom, 30, 150, 194, 206 col-Operator, 208 ControUability-Gramian, 208 Cremer-Stabilitatskriterium, 109, 118

D

DAC, 188, 190 D-Regler, 70 DTi-Regler, 78 Dampfungs|faktor, 46, 84

~grad, 14, 15, 17, 24, 39, 45, 58, 59, 61, 62, 64, 65, 83, 139, 181, 191, 237

~grad, kleinster, 83 ~grad, sehr kleiner, 26 ~mafi, 214, 238 ~moment, 25

Dauerschwingung, 285 Dead-Beat-Regler, 170, 174, 190 Defuzzifizierung, 284 Determinante, 90, 150 Diagonalmatrix, 125 Differentialgleichung, 78, 116, 241 Differentialzeitkonstante, 70 differentiell fiaches System, 289 Differenzen I gleichung, siehe auch Abtastregelung,

22, 126, 173, 175, 184 ^quotient, 182

Differenzierung, 144 digitaler Regler, siehe Abtastregelung Digitalrechner-Regelung, 82 Digitalrechner-Regler, 191 Dirac-Funktion, 17, 64, 178 Division, synthetische, 23, 49, 167, 175, 176, 190 dominierendes Polpaar, 45 Doppelpol, 16, 61, 63, 179 Dosier-Regelkreis, 68 Drallsatz, 25 Drehzahlregelung, 31 Dreiecksimpuls, 53 Dreiecksstorgrofie, 64 Dreifachwurzel, 52 Dreipunktkennlinie, 247 Dreipunktregler, 261, 263 dreischleifiger Regelkreis, 94 Durchlaufdauer, Grenzzyklus, 56 Durchtrittsfrequenz, 15, 31, 41, 45, 51, 59, 60,

66, 68, 69-73, 77-79, 81, 83, 103, 170

E

Eigenschwingung, 261, 262, 264 eigeninstabil, 96 eigenstabil, 104

Eigenwert, 86, 90, 127, 152, 214 ~relationen, Transitionsmatrix, 122 ~verschiebung, siehe Polverschiebung

Eigenwerte, unterschiedliche, 280 Eingrofiensystem, 281 Einheitskreis, 187 Einhiillende, 234 einseitige Kopplung, 196, 197 Einzahnung,116 einzyklisch, 285 Elektrolokomotive, 71 endogene Zustandsriickfiihrung, 289 Endwerttheorem, 71, 81, 103, 145, 175, 176 Endzustand, 21, 280 Energie des Steuersignals, 281 Energieverstarkung, 215 Entkopplung, 197, 199, 202, 204 Entkopplungsriickfiihrung, 200 Erfiillungsgrad, 283 Ersatz I regelschleife, 61

~totzeit statt Abtastung, 82 ~verstarkung, siehe Beschreibungsfunktion

Euler-Naherung, Abtastsystem, 182 Exponentialeingang, 174

Faddeev-Algorithmus, 125, siehe auch Leverrier-Algorithmus, 149

Fahrleistung, 23, 24 Fahrwiderstand, spezifischer, 23, 24 Fahrzeug, induktionsschleifengefiihrtes, 15 Faltungssatz, 53, 54, 208 Fehler, mittlerer quadratischer, 236 Fehler, relativer, Totzeitapproximation, 160 flacher Ausgang, 289 Flache unter Stofiantwort, 176 Flugzeug, Abstandsregelung, 42 Forderband, 67 Formfilter, 233 Fourier-Transformation, 230 Frequenz, natiirliche, 84 frequenzabhangige Beschreibungsfunktion, 269 Frequenzgang, 13, 17, 20, 25, 36, 37, 39, 40, 51,

65, 83, 85, 86, 89, 94, 97, 114, 157, 162, 163, 167, 185, 215, 264

~ , inverser, 269 ~ , punktweise Angabe, 169 ~ aus der Sprungantwort, 24

Frequenzgangsortskurve, voUstandige, 13, 85, 99, 101, 119, 273

Fuhrung, simulierte, 41 fiihrungsautonom, 196 Fiihr ungs | impuls ant wort, 76

~pole, 203 ~ubertragungsfunktion, 47, 58-60, 63, 68,

69, 74, 76, 80-83, 92, 94, 101, 130, 133, 143, 174, 187, 191, 249

Page 307: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

Sach verzeichnis 305

~ubertragungsmatrix, 197, 202, 277 ~verhalten, 44 ~verhalten, robustes, 221, 222

Fundamentalmatrix, siehe Transitionsmatrix Fuzzifizierung, 284 Fuzzy-Regelung, 282, 285

Genauigkeit, 135 Geschwindigkeitskonstante, 82 Geschwindigkeitsregelung, 71 Gewichtsfunktion, 28, 76,164, 207, 289 siehe auch

Stofiantwort frequenzabhangige '~, 221

Gewichtsmatrix, 211 Gleichgewichtstheorem, 38 Gleichstrommaschine, 31 Gleichung, charakteristische, siehe Polynom, cha-

rakteristisches Gleichungsnebenbedingung, 211 Gleitzustand, 247, 253, 268 GraddifFerenz, 126 Gradient, 206 Grad von Polynomen, 88 Gram-Steuerbarkeitsmatrix, 280 Greiferkran, 18 Greifer-Regler, unstetiger, 242 Grenzstabihtat, 66, 205 Grenzverstarkung, 66 Grenzzyklus, 56, 241, 247, 253, 256, 259, 260, 261,

264 Grenzzyklusfrequenz, 261 GroBe, siehe Regelgrofie, Sollgrofie, Stellgrofie

usw. Grundform, strukturelle, siehe kanonisch Grundschwingung, 261 Giiteintegral, 210, 211

I

lAE, 38 lEXSE-Kriterium, 210 Ii-Regelstrecke, mittelwertbildende, 252 I2-Regelstrecke, 63, 80 I-Regler, 31, 69 ISE-Kriterium, 34, 210 laTt-Element, 163 ITi-Regelstrecke, 35 IT2-Regelstrecke, 116 ITi-Regelstrecke, 265 ITa-Regelschleife, 94 ITi-System, 21 ITt-System, 25 ITSE-Kriterium, 209 ITiTrRegelschleife, 104, 106 Identifikation, 17, 28, 29, 158, 275

'^, im geschlossenen Regelkreis, 231 ~ , aus Spektraldichte, 231

induktionsschleifengefiihrtes Fahrzeug, 271 Inferenz, 283 innere Stabihtat, siehe interne Stabilitat instabile Regelschleife, 97, 98 instabile Regelstrecke, 114, 211, 260, 269 Instabihtat, schwelende, 281, 282 Integrationskern, 275 Integrationszeitkonstante, siehe PI-Regler Integrator, 67, 141, 142 Internal-Model-Control, 288 interne Stabilitat, 101, 114 Inverse, 277, 280, 288

~, Umgehung, 149, 150 inverse Beschreibungsfunktion, 261, 264, 265,

267, 268 inverser Prequenzgang, 269 Inversion, 17 Inversionslemma, 147 Isokline, 239, 240

H

H2-optimal, 210 Hoo-Norm, 38, 208, 209, 214, 221, 222, 224 Hoo-Regelung, 285 Halbebene, rechte, 85, 101, 119 Halbkreis, kleiner, 103 Halteglied, 101, 127, 171, 176, 179, 180, 191, 192,

252 Hamilton-Matrix, 210, 214 Heizung, 19 Hilfsregler, 28 Hurwitz-Kriterium, 90

~-Polynom, 21 --stabil, 90

Hysterese, 241, 243, 245, 246, 248, 260

K

Kalman-Steuerbarkeit, 149, 279, 281 Kettenschaltung in Zustandsraumdarstellung,

147 Kettenschaltungsnormalform, 138 Knickfrequenz, 31, 41, 83, 228 Knickzugnaherung, 160 KoefRzientenI matrix, 86, 121-156

~vergleich, 29, 149 kommutativ, 144 komplexe Ersatzverstarkung, siehe Beschrei­

bungsfunktion Konditionszahl, 213 Konklusion, 283 KontroUbeobachter, 205 konvexe Aufgabe, 211

Page 308: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

306 Sachverzeichnis

Koppelplan, 121, 129, 141, 154 Kopplung, einseitige, 196, 197 Korrekturfaktor, Uberschwingzeit, 59 korreliert, 231, 236 Kranantrieb, 24 Kreis, siehe Regelung, Schleife Kreis|kriterium, 216

-scheibe, 216, 218 ~verstarkung, 40

Kreuzkorrelationsfunktion, 232 Kreuzspektraldichte, 231 Kriterium, siehe Giitekriterium Kronecker-Produkt, 205, 208 Kiirzung, Pol gegen Nullstelle, siehe Pol-

Nullstellen-Kiirzung

L2-Norm (2-Norm), 207-209 LQR, 287 Laplace-Riicktransformation, 17, 18, 26-28, 34,

64, 68, 73, 121-124, 137, 148, 237, 281 Laplace-Transformation, 54, 64, 74, 76, 121-124,

207, 209, 217, 245, 275 Lastmoment, 22, 23, 31, 36 Laufkatze, 18 Leistungsdichte, spektrale, 227, 228, 229, 230 Leonhard-Stabilitatskriterium, 109, 118 Leverrier-Algorithmus, 149, siehe auch Faddeev-

Alagorithmus, 125 linearer Regler

^ mit Begrenzung, 256, 258 ~ mit Totzone, 258

Linearisierung, 15, 25, 271 logarithmisch dargestellte Sprungantwort, 20 LQ-Regler, 211 Luenberger-Beobachter, siehe Beobachter Lyapunov-Gleichung, 205, 208, 210, 220, 280

~-Stabilitatskriterium, 90

M

jUD-Norm, 224 Magnetschwebestrecke, 285 MAPLE, 294 MATLAB

Ausgleichszeit, 26 Bode-Diagramm, 24, 28, 93, 289 computeralgebraisch, 278 Connect-Anwendung, 292 Frequenzgang-Einzelwerte, 24 Frequenzgangs-Ortskurve, 13, 20, 87, 89 Feedback, 18, 274 Fiihrungsiibertragungsmatrix, 278 Hoo-Regelung, 287 Impulsantwort, 18 Internal-Model-Control, 289 Inverse, 278

Lyapunov, 280 nummerisch, 291 Optimierung, 211 Polvorgabe, 150 Regelkreis, 18, 274 Riickfiihrung, 274 Serienschaltung, 28, 274 Sprungantwort, 34, 36, 194, 293 Stofiantwort, 18 symbohsch, 291 Uberschwingweite, 26 Wurzelortskurve, 37, 42, 288 zeitkontinuierlich —> abtastend 172

Matrix ^exponential, 122 ~funktion, 135 partionierte ^^ 146, 147

Matrizenquadrupel, 144 Maximalwerte, Zusammenhang, 208 Maximum, zeithches, Gewichtsfunktion, 165 Maximummethode, 284 MAX-PROD-Methode, 283 Mehrfach|losung, 35

~regelschleife, 47 -^regelung, siehe Mehrgrofienregelung ~strecke, siehe Mehrgrofienstrecke ~verzweigung, Wurzelortskurve, 52

Mehrgrofien-Abtastregelung, 202 Mehrgrofienstrecke, 123, 147

^regelung, 130, 195-204, 276 mehrschleifig, 47 Menge aller stabilen Regler, 91 Mess I matrix, 199

~gerateausfall, 50 ~oberschwingung, 70, 237 ~rauschen, 70, 227, 289 ~rauschminderung, 231

Messung, zeitdiskontinuierliche, 170 Michailow-Stabilitatskriterium, 109, 118 Minimalansatz, 117 Minimierung, 211 Mittelwertbildung, 231, 251 Modal|komponente, 146, 154

-matr ix , 122, 125, 280 Modell, internes, 288 Modell-Referenzierung, 211 modifizierte ^^-Transformierte, 167 Moment, elektrisches, 25 Momentenmethode, 275 Motorenanlauf, 22, 23 multiplikative Unsicherheit, 218, 288 multivariabel, siehe Mehrgrofien-

N

Nachschwingfreiheit, siehe Dead-Beat Nachstellzeit, siehe PI-Regler

Page 309: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

Sachverzeichnis 307

Nahtlinie, 256 natiirliche Prequenz, 84, 237 Nebenbedingung, 211 Nennerpolynom, 94 Netzwerk, 294 Nichtphasenminimumstrecke, 86 nichtstabilisierbar, 279 nichtsteuerbar, 279-282 nichtiiberschwingende Stellgrofie, 49 Nullstelle, 56, 61, 86, 115, 133, 181, 231, 243 Nullstellenvorgabe, 133 NuUzeile, 280 nummerische Computerunterstiitzung, 291 Nutzsignalrauschen, 236 Nyquist-Punkt, 89, 92 Nyquist-Stabilitatskriterium, 83, 85, 86, 88, 92,

94, 95, 97, 101, 103, 104, 109, 116, 119, 215, 216, 218, 219

0

Operationsverstarker, 20 Optimum, symmetrisches, 77 Ortskurve

~ des charakteristischen Polynoms des Re-gelkreises, 110

~ nach Cremer Leonhard Michailow, 119 ~ der Sensitivitat, 135 ~ siehe auch Beschreibungsfunktion, Fre-

quenzgang, Sensitivitat, Wurzelort etc. Ortskurvendistanz, 64

PDl2-System, 247 PD-Regler, 60 PDTi-Element, 282 PDTs-Element, 20 PDTa-Regelstrecke, 173 PDTi-Schleife, 119 PDTi-Regler, 61, 63, 73, 80, 84, 107, 116, 286 PI-Regler, 35, 39, 61, 68, 70-72, 74-76, 78-80, 97,

105, 107 PI-Regler-Bemessung nach dem Stabilitatskri-

terium nach Routh, 97 PID-Regler, 223 PID-Regler, digitaler, 170 PIDTi-Regler, 48 PITi-Regelschleife, 92 PITf-Regelschleife, 109 PIT2-System, 37 P-kanonische Form, 195 PT2-Element, 15, 14, 17, 26, 31, 183 PT25-Element, 76, 77 PT„-Element statt PTt-Element, 164 PT2-Regelschleife, 45 PTt-Regelschleife, 112 PT2-Regelstrecke, 35, 75, 97

PT2-Regelstrecke, instabile, 107 PT2s-Regelstrecke, 122 PT4-Regelstrecke, 68 PT2s-System, dampfungsfreies, 249 PTiTt-Regelstrecke, 181 PTsTi-Regelstrecke, 79, 223 Parameterebene, 92, 93, 111, 164 Parseval-Theorem, 207, 210 Partialbruchentwicklung, 17, 28, 50, 64, 73, 115,

124, 173, 236 partikulare Losung, partikulares Integral, 84 Patel-Toda-Robustheit, 220 Pendel, hangendes, 18 Pendel, invertiertes, 19 phasenanhebendes Element, 220 Phasen|ebene, 147, 239, 241, 243, 265

^minimum-System, 50 - r and , 31, 40, 45, 51, 59, 60, 66, 69, 70, 72,

74, 75, 77, 78, 78, 79, 81, 82, 84, 99,103, 104, 114, 161, 162, 170, 231, 273

~raum, siehe Zustandsraum —reserve, siehe Phasenrand

Pol, 2n-fach, 66 17-fach, 66 instabiler ~ , 38, 48, 133, 279 -kompensation, 81, 133, 288 —ortskurve, 14 —paar, dominierendes, 69 —paar, konjugiertes, 18 —paar, konjugiert komplexes, 60 —radwinkel, 85 stabiler —, 39 —iiberschuss, 80 -verschiebung, 61, 133, 136, 150, 288 versteckter —,276 —vielfachheit, 41 -vorgabe, 115, 128, 137, 138

Pol-Nullstellen-Kompensation, 73, 78, 84, 170, 173, 177

— K u r z u n g , 101, 115, 133, 280 ——Mindestabstand, 282

Polygonapproximation, 23, 26, 27, 29, 160 Polygonnaherung, 40 Polynom, 149, 278, 279

charakteristisches - , 30, 39, 47, 48, 52, 56, 57, 61-63, 73, 75, 78, 86, 90, 91,100-103, 105, 107, 109, 111, 113, 115, 117, 118, 129, 131, 134, 136, 137, 138, 142, 143, 150, 152, 172, 173, 181, 184, 187, 192, 198, 203, 215, 216, 217, 219, 223, 269

-grad , 88, 279 grenzstabiles —,117 (siehe auch Beiwertbe-

dingungen) —methode, stabilisierende Regler, 117

Positionsregelung, 83 Positions-Zustandsregelung, 139 positiv definit, 90

Page 310: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

308 Sachverzeichnis

Potenzreihenentwicklung, 173 Pramisse, 283 Produktintegration, 208 pseudostabil, 115

R

Radius, spektraler, 224 Rampe, 18, 45, 71 Rampenantwort, 63 Rang, 279, 281 Rauschen, 237, 238

farbiges - , 230 weifies - , 228, 230, 233

Rausch I generator ~signal, 70 ^signal, Approximation, 228 -'iibertragung, 227, 228, 232

Rechner-Regler, 191 Rechtecksintegration, 183 rechte Halbebene, 85, 86, 96 Referenzmodell, 80 Regel|abweichung, 38, 63, 282

~basis, 283 ~algorithmus, 170, 191 ~faktor, 65 ~faktor, dynamischer, 36 ~flache, 38

Regelgrofie, Istgrofie, 13, 18, 71 Regel|kreis, aufgeschnittener, siehe Regelschleife

~kreis, dreischleifiger, 94 -^kreis, schwach instabiler, 35 ~kreis zweiter Ordnung, 31 ~schleife, 35, 37, 39-48, 50-56, 69-77, 85, 89,

94-119, 158, 161-164, 171-191, 198, 201, 216-219

~schleife, instabile, 92, 95, 97 ~schleife, integrierende, Stabilitat, 103, 104,

171 ~schleife, zwei instabile Pole, 99

Regelstrecke, 14, 39 instabile ~ , 211, 269 geregelte und ungeregelte ~ , 33 ~ mit imaginarem Streckenpolpaar, 99 ~ mit reellem Doppelpol, 100 sprungfahige ~ , 244, 245

Regelung, schnellstmogliche, 78 Regelung, zweischleifige. 111 Regelungsnormalform, 124, 125, 127, 134, 136,

138-140, 141, 146, 152, 209 Regler

~blockierung, 198 instabiler ~ , 115 parametrisierter ~ , 117 unstetiger ~ , siehe Zweipunktregelung ~verstarkung, Einfluss auf Totzeitregelung,

157, 161, 181 Zustands~, 21, 127, 128, 209

Reihenentwicklung, 23, 35, 101, 102 Rekursion, 187 Residuensatz, 167, 207 Residuum, 281 Resonanz, 24, 162, 215, 238

~frequenz, 15, 28, 237 ~uberhohung, 28, 32, 58, 237 vorgegebene ~ , 73

Riccati-Regler, 210 robuste Regelung, 213, 288 Robustheitsrand, 224 Routh-Stabilitat, 110, 111, 112, 114, 115, 117 Routh-Stabilitatskriterium, 47, 48, 57, 58, 62, 78,

83, 86, 94, 97, 103, 105, 107, 132, 163, 201, 203, 215, 216, 218, 219, 223, 286

Riickfiihrdifferenz, 273 Riickfiihrung zum nichtlinearen Element, 246,

249, 268 Riicktransformation, 167 Riickwartsregler, 32 Ruhelage, 21

s-Ebene, linke/rechte, 236 Sattelpunkt, 269 Schalt|bedingung, 245

~charakteristik, 245 ~frequenz, 246 ~linie, 247, 251, 254 ~richtungbedingung, 245 ~vorgang -zeitpunkt, 246, 249

Schaltungskombination, Zustandsraum, 144, 145 Schleife, siehe Regelschleife Schleife, instabile 92, 95, 97 Schleifen|matrix, 196, 277

~ortskurve, siehe auch Frequenzgang ~ubertragungsfunktion, 161, 166, 198, siehe

auch Regelschleife Schleppfehler, 34, 45, 63, 82, 84, 189

maximaler ~ , 45 verschwindender ~ , 102

ScWiefibedingung, 113, 114, 262 Schnittstelle, 273 Schritt regler, 187 Schur-Cohn-Stabilitatskriterium, 171, 177, 191 Schur-Polynom, 174 Schwerpunktsmethode, 283, 284 Schwingungamplitude, 261-263, 265 Sell, elastisches, 60 Sensitivitat, 64, 134, 221, 234 Sensitivitatsfunktion, 64, 115

komplementare ~ , siehe Fiihrungsiiber-tragungsfunktion

Sensor, 275 Signalflussdiagramm, 54

Page 311: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

Sach verzeichnis 309

SIMO-Regelstrecke, 21 Simulink, 273, 292 Singularwert, 213, 214

maximaler ^, 224, 286 strukturierter ~ , 224

Small-Gain-Kriterium, 218, 288 Sollwertstofi, 46 Spektral|dichte, Minimum, 232

~norm, 86, 213 spektraler Radius, 224 Sprungantwort, 23-27, 34, 59, 62, 68, 74,130,145,

164 Sprungantwort, logarithmisch dargestellte, 20 Spur, 140 stabilisierende Regler, Familie der ~ 117 Stabilisierung, 63, 84, 91 Stabilitat, 14, 21, 29, 46, 58, 62, 78, 84, 85, 100,

119, 157, 166, 169 interne ~ , 101

Stabilitats|bedingung, 86, 94, 272 ~bedingung, Abtastregelung, konjugiert

komplexes Losungspaar, 174 -bereich, 61, 86, 94, 95, 97, 101, 102, 105,

106, 107, 108, 113, 115, 116, 141, 198, 201

~bereich, Abtastregler, 174, 192 ~grenze, 52, 54-56, 60, 61, 67, 68, 86, 100-

103, 106, 119, 157, 160, 161, 172-174, 177, 179, 184, 185, 191

^radius, 88, 206 ^radius, minimaler, 91 ~radius, reeller, 86 ^rand, robuster, 223 ~reserve, 118 ~robustheit, 216, 221, 288

stationar, 81, 273 stationare Genauigkeit, 50, 60 Stationarfehler, 46, 135 Stationarverstarkung, 275 Steigung, 23 Stellenergie, 34 Stellgrofie, 34, 37, 49, 135, 170, 283

'~, ohne Integration, 289 maximale ~ , 81

Stellgrofien | anfangswert, 63 ~beschrankung, 79

Stellmotor, 140, 181 Stelliibertragungsfunktion, 80, 114, 115 Steuerbarkeit, 132 Steuergrofie, siehe Stellgrofie Steuermatrix, 124 Steuerung, zeitoptimale, 241 stochastische Signale, 227 Storgrofienfrequenz, 165 Storrauschen, 233, 234 Storung, 32

exponentiell anwachsende, 14 Ersatz der ~ durch Fiihrung, 41

~ , niederfrequente, 289 Storungs|frequenzgang, iJoo-Norm, 38, 40, 54

~ubertragungsfunktion, 15, 32, 38, 64, 73, 80, 81, 101, 114, 115, 165, 224, 229, 233

~unterdruckung, 32 'v^verhalten, 70 ~verhalten, robustes, 223 ~verhalten, schlechtestes, 38, 54

Stofiantwort, 15, 22, 46, 124, 145, 176 Strafienbahnzug, 23 Strecke, siehe Regelstrecke Streckenparameter, 28 Streckenunsicherheit ,118 strukturelle Grundform, siehe kanonisch stiickweise Hnear, 254, 256 Summierer, 121 Sylvester-Entwicklungsformel, 294 symbolische Computerunterstiitzung, 291 Symmetrisches Optimum, 77 symmetrische Wurzelortskurve, 287 Synchronmaschine, Linearisierung, 25 Synchronmotor-Antrieb, 85 synthetische Division, 23, 49, 167, 175, 176, 190 System, ungedampftes, 26 Systemmatrix, 121-156

entartete ~ , 145

Tabellenform, Zustandsraumdarstellung, 147 Taylor-Reihenentwicklung, 23, 35, 101, 102 Toleranz, 215, 216, 217, 223 Toleranz, Dampfungsgrad, 39 Toolbox, MATLAB, 292 Totzeit, 17, 19, 24, 25, 67, 70, 92, 101, 104, 177,

217, 223, 253 ~kompensation, 70 ~regelungen, 157-166 ~strecke, 78

Totzone, Lose, 250 Tragheitsmoment, 22, 23 Trajektorie, 21, 147, 160, 239, 240, 241

~ in Punktform, 160 kreisformige ~ , 239, 251

Transient enfrequenz, 15 Transitionsmatrix, 121-149, 202 Transmissionsnullstelle, 83 Trapezregel, 183, 190 Treppenfunktion, 24 Turmuhr, Korrektur mit Zweipunktregler, 259 Tustin-Naherung, Abtastsystem, 182, 190

U

iiberschwingfrei, 61, 78 Uberschwingweite, 15, 26, 31, 43-45, 51, 81, 82,

191

Page 312: Test- und Prüfungsaufgaben Regelungstechnik: 457 durchgerechnete Beispiele

310 Sach verzeichnis

Uberschwingzeit, 15, 31, 51, 59 Ubertragungsfunktion, verallgemeinerte, 215 Ubertragungsfunktion zum Signalflussdiagramm,

54, 124, 164 Ubertragungsmatrix, 122, 280

verallgemeinerte ~ , 223 Umfahrungen, 92, 97, 116 Umlaufanzahl, 97 Umschaltepunkt, 241, 242 ungedampftes System, 26 Ungleichungsnebenbedingung, 211 unscharfe Menge, 282 Unsicherheit

im Dampfungsgrad, 39 multiplikative ~ , 218, 288 Streckenparameter-~, 118

unstetige Regelung, siehe Zweipunkt-Regelung Unterdeterminante, 90

Winkelgeschwindigkeit, 22, 23, 36 Wirkungsgrad, 23, 24 Wurzel, 278, 288 Wurzelortskurve, 84

~ fiir negative Verstarkung, 57 ~ nach der Pollage, 56, 61 ~ , symmetrische, 287

Wurzelortskurve, Abtastsystem, 173, 177, 180, 184, 187, 189, 190-192

Wurzelortskurve, kontinuierliches System, 14, 35, 37, 42, 44, 46, 48, 52, 54-58, 61, 62, 75, 78, 83, 86, 95, 96, 99, 100, 119, 120, 286

Wurzelschwerpunkt, 45, 119, 185

Youla-Stabilisierung, 91

V

V-kanonische Form, 195, 196 Value Set, 223 Varianz, 233 Vereinigungsmenge, 283 Verkopplung, 130 Verschiebungsregel, zeitdiskretes System, 22 Verstarkung, 55, 60, 66, 84

komplexe ~ , 86 negative ~ , 57 optimale ~ , 232

Verstarkungsbereich, 56 versteckte Pole, 276 Verzweigungspunkt, 45, 46, 52, 75, 115, 181, 184-

187, 191 Verzweigungsstelle, 99, 100 vielzyklisch, 285 Vierfachpol, 66, 99, 194 Vieta-Wurzelsatz, 191 vollstandige Frequenzgangsortskurve, 13, 85 Vorfilter, 91, 128, 129, 130, 133, 135, 140, 142,

203, 209 dynamisches ~ , 199, 204

Vorhersage, Nutzrauschen, 236 Vorsteuerung, 80 Vorwartssteuerung, 289

W

w;-Ebene, 171, 175, 177, 179, 182, 191, 217 Wendepunkt, 15, 16 Wendepunkt, Sprungantwort, 59 WENN-DANN-Regel, 283 Winkelbeschleunigung, 22, 23

;^-Transformation, 22, 126, 137, 168-191, 202 modifizierte ~ , 167

<2-Transformierte, 22, 126, 168, 174 ;^-Ubertragungsfunktion, 126, 168, 173, 176, 182,

190 Zeitintervall aus Kreissektorwinkel, 251 zeitoptimale Steuerung, 194, 242 Zero-Exclusion-Theorem, 223 Ziegler-Nichols-Einstellung, 70 Zugehorigkeitsfunktion, 282 Zustand, stationarer, 25 Zustands|beobachtbarkeit, 132

~diagramm, 260 ~ebene, 147, 160, 286 -grofie, 21, 121-150, 203 ~kurve, 258 - 'raum, 21, 86, 121, 209 ~raum, zeitdiskrete Regelstrecke, 126, 127,

137 ~raumdarstellung in Tabellenform, 147 ~regelung, 121-144, 214 -regler, 21, 127, 128, 194, 205, 206, 209 •^regler, eingeschrankte Realisierung, 136 ~regler mit der Ausgangsgrofie, 144 '-'^regler mit Integrator, 141, 142 ~steuerbarkeit, 132

Zweigrofienregelung, 144, 196, 199, 201, 203, 205, 292

Zweigrofienstrecke, 146 Zweipunkt|kennlinie, 241

~regelung, 239-260, 261 zweischleifige Regelung, 82, 273 Zyklusdurchlaufdauer, 56, 248, 251 Zypkin-Verfahren, 245