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Textaufgaben zu Kreisteilen - Lösungen

1. Maße eines 1-Eurostücks:

Durchmesser 𝑑 = 2,3 𝑐𝑚 = 23 𝑚𝑚 und Radius 𝑟 = 11,5 𝑚𝑚

a) Umfang: 𝑈𝐸𝑢𝑟𝑜 = 2𝜋𝑟 = 𝜋 ⋅ 𝑑 = 𝜋 ⋅ 23 𝑚𝑚 ≈ 72,3 𝑚𝑚

Flächeninhalt: 𝐴𝐸𝑢𝑟𝑜 = 𝜋𝑟2 = 𝜋 ⋅ (11,5 𝑚𝑚)2 ≈ 415 𝑚𝑚2

b) Gesucht ist die Anzahl 𝑘 der Umdrehungen des Eurostücks.

Abrolllänge: 6,5 𝑚 = 6500 𝑚𝑚 = 𝑘 ⋅ 𝑈𝐸𝑢𝑟𝑜

𝑘 =6500 𝑚𝑚

𝑈𝐸𝑢𝑟𝑜=

6500 𝑚𝑚

72,3 𝑚𝑚≈ 90

2. Gleichung, mit der man aus dem Umfang eines Kreises den Inhalt berechnen kann:

𝐴𝐾𝑟𝑒𝑖𝑠 = 𝜋 ⋅ 𝑟2 =1

2⋅ 2𝜋𝑟2 =

1

2𝑟 ⋅ 2𝜋𝑟⏟

𝑈𝐾𝑟𝑒𝑖𝑠

=1

2⋅

2𝜋𝑟

2𝜋⋅ 𝑈𝐾𝑟𝑒𝑖𝑠 =

1

2⋅

𝑈𝐾𝑟𝑒𝑖𝑠

2𝜋⋅ 𝑈𝐾𝑟𝑒𝑖𝑠

=1

4𝜋⋅ (𝑈𝐾𝑟𝑒𝑖𝑠)2

a) U = 3,345 m ⇒ A =1

4π⋅ (3,345 m)2 ≈ 0,89 m2

b) U = 40 000 km ⇒ A =1

4π⋅ (40 000 km)2 ≈ 127 323 954 km2

3. Seitenlänge des Quadrats, das denselben Inhalt hat wie ein Kreis

a) mit Umfang 𝑈 = 2 𝑚:

𝐴𝐾𝑟𝑒𝑖𝑠 =1

4𝜋⋅ (2 𝑚)2 ≈ 0,32 𝑚2

0,32 𝑚2 = 𝐴𝑄𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡 = 𝑎2 ⇒ 𝑎 = √0,32 𝑚2 ≈ 0,57 𝑚

b) mit Umfang 𝑈 (allgemeine Formel):

gegeben: Umfang U

gesucht: Seitenlänge 𝑎 des Quadrates

𝑎 = √𝐴𝑄𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡 = √𝐴𝐾𝑟𝑒𝑖𝑠 = √1

4𝜋⋅ (𝑈𝐾𝑟𝑒𝑖𝑠)2 vgl. Aufgabe 2

=𝑈𝐾𝑟𝑒𝑖𝑠

2⋅

√𝜋

𝜋

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4. Skizze des Kreisrings

gegeben: Umfang des inneren Kreises 𝑈𝑖 = 23,4 𝑐𝑚

Flächeninhalt des Kreisrings 𝐴 = 35 𝑐𝑚2

gesucht: äußere Radius 𝑅 eines Kreisrings

𝐴 = 𝐴𝑎𝑢ß𝑒𝑛 − 𝐴𝑖𝑛𝑛𝑒𝑛 = 35 𝑐𝑚2

mit 𝐴𝑖𝑛𝑛𝑒𝑛 =1

4𝜋⋅ (𝑈𝑖)

2 =1

4𝜋⋅ (23,4 𝑐𝑚)2 ≈ 43 𝑐𝑚2

𝐴𝑎𝑢ß𝑒𝑛 = 𝐴 + 𝐴𝑖𝑛𝑛𝑒𝑛 = 35 𝑐𝑚2 + 43 𝑐𝑚2 = 78 𝑐𝑚2 und 𝐴𝑎𝑢ß𝑒𝑛 = 𝜋𝑅2

⇒ 𝑅 = √𝐴𝑎𝑢ß𝑒𝑛

𝜋= √

78 𝑐𝑚2

𝜋≈ 5 𝑐𝑚

5. Skizze:

gegeben: Umfang der Erde 𝑈𝐸𝑟𝑑𝑒 = 40 000 𝑘𝑚

Abstand zwischen Erde und Seil ℎ = 2 𝑚

gesucht: Verlängerung des Seils 𝑙

𝑈𝑆𝑒𝑖𝑙 = 2𝜋(𝑟 + ℎ)

mit Erdradius 𝑟 =𝑈𝐸𝑟𝑑𝑒

2𝜋=

40 000 𝑘𝑚

2𝜋≈ 6 366,198 𝑘𝑚

und Abstand ℎ = 2 𝑚 = 0,002 𝑘𝑚

𝑈𝑆𝑒𝑖𝑙 = 2𝜋 ⋅ (6 366,198 𝑘𝑚 + 0,002 𝑘𝑚) = 2𝜋 ⋅ 6366,2 𝑘𝑚 ≈ 40 000,014 𝑘𝑚

𝑈𝑆𝑒𝑖𝑙 = 𝑈𝐸𝑟𝑑𝑒 + 𝑙

⇒ 𝑙 = 𝑈𝑆𝑒𝑖𝑙 − 𝑈𝐸𝑟𝑑𝑒 = 40 000,014 𝑘𝑚 − 40 000 𝑘𝑚 = 0,014 𝑘𝑚 = 14𝑚

6. Sei 𝐴_𝑖 der Flächeninhalt des Kreises mit Radius 𝑟𝑖.

𝐴𝐾𝑟𝑒𝑖𝑠 = 𝐴1 + 𝐴2 = 𝜋𝑟12 + 𝜋𝑟2

2 = 𝜋(𝑟12 + 𝑟2

2) = 𝜋 ⋅ [(3,5 𝑐𝑚)2 + (6 𝑐𝑚)2]

𝜋 ⋅ 𝑥2 = 𝜋 ⋅ [(3,5 𝑐𝑚)2 + (6 𝑐𝑚)2] |: 𝜋

𝑥2 = (3,5 𝑐𝑚)2 + (6 𝑐𝑚)2

𝑥 = √(3,5 𝑐𝑚)2 + (6 𝑐𝑚)2 ≈ 6,95 𝑐𝑚

Die Fläche steigt nicht proprtional zum Radius, deshalb kann man die Radien nicht einfach

addieren.

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7. Skizze zum Spazierweg um das Wasserbecken

gegeben: kreisförmiges Wasserbecken mit 𝐴 = 123 𝑚2

Spazierweg der Breite 𝑏 = 1,35 𝑚

Quadratmeter-Preis für Pflaster: 48,20 €

gesucht: Kosten für den Spazierweg

Radius des Wasserbeckens:

𝐴𝐾𝑟𝑒𝑖𝑠 = 𝜋 ⋅ 𝑟2 = 123 𝑚2 ⇒ 𝑟 = √𝐴𝐾𝑟𝑒𝑖𝑠

𝜋= √

123 𝑚2

𝜋≈ 6,26 𝑚

Flächeninhalt des Kreisrings:

𝐴 = 𝐴𝑎𝑢ß𝑒𝑛 − 𝐴𝑖𝑛𝑛𝑒𝑛 = 𝜋 ⋅ (𝑟 + 𝑏)2 − 𝜋 ⋅ 𝑟2

= 𝜋 ⋅ (6,26 𝑚 + 1,35 𝑚)2 − 𝜋 ⋅ (6,26 𝑚)2 ≈ 58,82 m2

Kosten für den Spazierweg:

𝐾 = 𝐴 ⋅48,20 €

1 𝑚2 = 58,82 𝑚2 ⋅48,20 €

1 𝑚2 ≈ 2835,12 €

8. Mittelpunktswinkel eines Kreissektors:

gegeben: Flächeninhalt eines Kreises 𝐴𝐾𝑟𝑒𝑖𝑠 = 80 𝑐𝑚2

Länge des Kreisbogens 𝑏 = 4 𝑐𝑚

gesucht: Größe des Mittelpunktswinkels 𝛼

Länge des Radius:

𝐴𝑆𝑒𝑘𝑡𝑜𝑟 =1

2𝑏 ⋅ 𝑟 ⇒ 𝑟 = 2 ⋅

𝐴𝑆𝑒𝑘𝑡𝑜𝑟

𝑏= 2 ⋅

80 𝑐𝑚2

4 𝑐𝑚= 2 ⋅ 20 𝑐𝑚 = 40 𝑐𝑚

Größe des Mittelpunktswinkels (𝛼𝑅𝐴𝐷 in Bogenmaß bzw. 𝛼𝐷𝐸𝐺 in Gradmaß):

𝛼𝑅𝐴𝐷 =𝑏

𝑟=

4 𝑐𝑚

40 𝑐𝑚=

1

10= 0,1

𝑏 =𝛼𝐷𝐸𝐺

360°∙ 𝑢 =

𝛼𝐷𝐸𝐺

360°∙ 2𝜋𝑟 ⇒ 𝛼𝐷𝐸𝐺 =

360°⋅𝑏

2𝜋𝑟=

360°⋅4 𝑐𝑚

2𝜋⋅40 𝑐𝑚= 5,73°

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9. Eine Skizze eines Kreisrings findet sich z.B. bei der Lösung von Aufgabe 4.

gegeben: Durchmesser der CD-ROM 𝑑𝑎𝑢ß𝑒𝑛 = 12 𝑐𝑚

Durchmesser des unbeschichteten Kreises 𝑑𝑖𝑛𝑛𝑒𝑛 = 3,5 𝑐𝑚

Silberpreis 2,00 €/𝑚2

gesucht: Kosten der Silber-Beschichtung

Flächeninhalt des beschichteten Kreisrings:

AKreisring = Aaußen − Ainnen = π ⋅ (daußen

2)

2

− π ⋅ (dinnen

2)

2

= 𝜋 ⋅ (12 𝑐𝑚

2)

2

− 𝜋 ⋅ (3,5 𝑐𝑚

2)

2

≈ 103,48 𝑐𝑚2

Kosten für die Beschichtung:

𝐾 = 𝐴 ⋅2,00 €

1 𝑚2= 𝐴 ⋅

2,00 €

10 000 𝑐𝑚2= 103,48 𝑐𝑚2 ⋅

2,00 €

10 000 𝑐𝑚2≈ 0,02 € = 2 𝑐𝑡

10. gegeben: Durchmesser eines Autoreifens 𝑑 = 60 𝑐𝑚

gesucht: Radius einer kreisrunden Radkappe, die 35% des Rades abdeckt

Flächeninhalt des Autoreifens:

𝐴𝑅𝑎𝑑𝑘𝑎𝑝𝑝𝑒 = 𝜋 ⋅ (𝑑

2)

2

= 𝜋 ⋅ (60 𝑐𝑚

2)

2

= 𝜋 ⋅ (30 𝑐𝑚)2 ≈ 2827,42 𝑐𝑚2

Der Anteil des abgedeckten Autoreifens entspricht dem Flächeninhalt der Radkappe.

𝐴𝑅𝑎𝑑𝑘𝑎𝑝𝑝𝑒 = 35 % 𝑣𝑜𝑛 2827,42 𝑐𝑚2 = 35 % ⋅ 2827,42 𝑐𝑚2

= 0,35 ⋅ 2827,42 𝑐𝑚2 ≈ 989,60 𝑐𝑚2

Radius der kreisrunden Radkappe:

𝐴𝑅𝑎𝑑𝑘𝑎𝑝𝑝𝑒 = 𝜋 ⋅ 𝑟2 ⇒ 𝑟 = √𝐴𝑅𝑎𝑑𝑘𝑎𝑝𝑝𝑒

𝜋= √

989,60 𝑐𝑚2

𝜋≈ 17,75 𝑐𝑚