Theoretical Biophysics-

Quantum Theory and Molecular Dynamics

3. Vorlesung

Pawel RomanczukWS 2016/17

Zusammenfassung letzte VL

● Quantenzustände als Wellenfunktionen (Normierung)

● Operatoren (Orts-, Impuls und Hamiltonoperator)● Heisenberg'sche Unschärferelation● Zeitunabhängige Schrödinger-Gl. und Ihre Lösung: stationäre Zustände, überlagerte Zustände

● Lösungen der Schrödinger-Gl. ohne Potential → freie Teilchen

(Nochmal) Freies Teilchen als WellenpaketÜberlagerung von ebenen Wellen als „physikalische“ Lösung der zeitunabh. Schrödinger Gl. ohne Potential:

mit

→ Wellenfunktion im Orts- zum Impulsraum:

Nochmal die Unschärferelation

Wir nehmen an wir haben ein Teilchen mit exakt bekannten Impuls, d.h. es ist eindeutig im Impulsraum lokalisiert:

Nochmal die Unschärferelation

Umgekehrt: Nehmen an wir haben das Teilchen exakt im Ort lokalisiert:

Gaus'sches Wellenpaket

Gaus'sche Verteilung

Gauss'sches Wellenpaket

Wahrscheinlichkeitsdichte im Ort nach Normierung:

● Ebenfalls Gaussverteilung!

● mit Ortserwartungswert:

● Standardabweichung:

Gauss'sches Wellenpaket

Wahrscheinlichkeitsdichte im Ort nach Normierung:

● Ebenfalls Gaussverteilung!

● mit Ortserwartungswert:

● Standardabweichung:

Teilchen in einer Box – Unendlicher Potentialtopf

Unendlicher Potentialtopf

● Ausserhalb des Topfes muss gelten:

● Innerhalb des Topfes gilt:

oder etwas anders:

● Gleichung für den klassischen harmonischen Oszillator mit der allg. Lösung

Unendlicher Potentialtopf

● Wellenfunktion muss stetig sein →

● daraus folgt zuerst:

somit

● aus der zweiten Randbedingung folgt:

bzw.

Unendlicher Potentialtopf

● Die Breite des Topfes bestimmt die möglichen Energiewerte:

● Nur bestimmte Energiewerte sind erlaubt!

● Normierung der W.F.:

Unendlicher Potentialtopf

Unendlicher Potentialtopf

● Zustand mit niedrigster Energie wird als Grundzustand bezeichnet. Zustände mit höherer Energie werden als angeregte Zustände bezeichnet

● Sie sind abwechselnd gerade und ungerade bezogen auf den Mittelpunkt des Topfes.

● Sie sind orthogonal:

mit: Kronecker-Delta

● Sie sind vollständig, da jede beliebige Funktion als ihre Linearkombination darstellenlässt:

Free Electron Model für Polyene

HOMO

LUMO

Molecular Orbital (MO) – Diagramm:

Absorption von Hextrien

HOMO

LOMO

Experiment:Theorie:

→ Sehr gute Übereinstimmung für so ein einfaches Modell

2d-Potentialtopf

● Die Gleichung lässt sich durch in 1d Lösungen separieren:

2d-Potentialtopf

Gesamtwellenfunktion

Im Spezialfall: erhalten wir für die Energie:

mit

Entartung

● Für gleiche Kantenlänge in einem 2d-Topf sind verschiedene Quantenzustände eines Teilchens mit gleicher Energie möglich → Entartung

Unendlicher Potentialtopf in 2d

Unendlicher Potentialtopf in 2d

● Sind die Kantenlängen „ähnlich“ aber verschieden

so liegt nur „näherungsweise“ Entartung vor, und die Energieniveaus spalten auf.

● Andere Beispiele der Aufspaltung: Zeeman-Effekt, Spin-Bahnkopplung, ...