Theoretische Grundlagen eines schnellen Berechnungsver

Theoretische Grundlagen eines

schnellen Berechnungsver-fahrens für den Kontakt rauer

Oberflächen

vorgelegt von Dipl.-Ing. Thomas Geike

aus Berlin

von der Fakultät V Verkehrs- und Maschinensysteme

der Technischen Universität Berlin zur Erlangung des akademischen Grades

Doktor der Ingenieurwissenschaften (Dr.-Ing.) genehmigte Dissertation

Promotionsausschuss Vorsitzender: Prof. Dr.-Ing. Henning Jürgen Meyer Gutachter: Prof. Dr. rer. nat. Valentin Popov Prof. Dr.-Ing. Georg-Peter Ostermeyer Tag der wissenschaftlichen Aussprache: 21. Dezember 2007

Berlin, 2008

D83

Vorwort

Die vorliegende Arbeit entstand wahrend meiner Tatigkeit als WissenschaftlicherMitarbeiter am Fachgebiet Systemdynamik und Reibungsphysik am Institut furMechanik der Technischen Universitat Berlin.

Mein besonderer Dank gilt Herrn Prof. Dr. rer. nat. Valentin Popov, der dieseArbeit anregte und mich in all den Jahren hervorragend betreute. Ich danke zu-dem Herrn Prof. Dr.-Ing. Georg-Peter Ostermeyer, Technische Universitat Braun-schweig, fur seine Tatigkeit als Gutachter und die hilfreichen Gesprache wahrendzahlreicher Workshops und Tagungen. Herrn Prof. Dr.-Ing. Henning Jurgen Mey-er danke ich fur die Ubernahme des Vorsitzes im Prufungsausschuss.Den Kollegen am Institut fur Mechanik danke ich fur die gute Zusammenarbeitund das angenehme Arbeitsklima wahrend der vergangenen Jahre.

Berlin, September 2007

Thomas Geike

i

ii

Inhaltsverzeichnis

1 Einfuhrung 1

1.1 Kontakt- und Reibungsprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Stand der Forschung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1 Bowden und Tabor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.2 Greenwood und Williamson . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.3 Persson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.4 Numerische Kontaktmechanik selbstaffiner Oberflachen . . 7

1.3 Zielsetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Elastischer Einzelkontakt 11

2.1 Dimensionsproblematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Elastische Energie im 3D-Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3 Hertzscher Kontakt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4 1D-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.5 Anderung des Kappenradius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.6 Spannungen und Fließkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.7 Innere Spannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.7.1 Idee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.7.2 Berechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Elastischer Kontakt rauer Oberflachen 23

3.1 Charakterisierung rauer Oberflachen . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2 Eigenschaften von 1D- und 2D-Oberflachen . . . . . . . . . . . . . 24

3.2.1 Voruberlegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2.2 1D-Oberflachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2.3 2D-Oberflachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.3 Umrechnung der Oberflachentopographie . . . . . . . . . . . . . . 283.3.1 Analytische Uberlegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.3.2 Numerische Experimente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.3.3 Langenumrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.3.4 Uberblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.4 Simulation mit rauen Oberflachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4 Numerische Aspekte 37

4.1 Losung von Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.1.1 Ubersicht uber Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.1.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.1.3 Differentialgleichungen mit Rauschen . . . . . . . . . . . . 39

iii

iv INHALTSVERZEICHNIS

4.2 Losung des statischen Kontaktproblems . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.2.1 Numerisch approximierte Jacobimatrix . . . . . . . . . . . 40

4.2.2 Verwendung der expliziten Jacobimatrix . . . . . . . . . . 42

4.2.3 Mehrgitter-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.2.4 Adhasiver Kontakt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.3 Fazit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5 Adhasiver Kontakt 47

5.1 Einfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.2 Raue Oberflachen und Adhasion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.3 Adhasion im 1D-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.4 Ein erstes Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.5 Herleitung des Potentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.6 Steifigkeitsstudie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.6.1 Vorgehen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.6.2 Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.7 Modell mit zwei Teilchenfreiheitsgraden . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.7.1 Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.7.2 Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.8 Simulation mit rauen Oberflachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.8.1 Wellige Oberflachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.8.2 Oberflachen mit festem Kappenradius . . . . . . . . . . . . 67

6 Geschmierte Kontakte 71

6.1 Einfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.2 Klassisches Newton-Fluid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

6.2.1 Voruberlegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

6.2.2 Wechselwirkungsgesetz im 2D-Fall . . . . . . . . . . . . . 73

6.2.3 Wechselwirkungsgesetz im 1D-Fall . . . . . . . . . . . . . 74

6.2.4 Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6.3 Beispiele fur andere Schmiermittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

6.3.1 Druckabhangige Viskositat . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

6.3.2 Schmiermittel mit Momentenspannungen . . . . . . . . . . 78

6.4 Kavitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6.5 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

7 Zusammenfassung und Ausblick 83

7.1 Erreichtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

7.2 Offene Fragen und zukunftige Entwicklungen . . . . . . . . . . . . 84

A Simulationsmethoden 89

A.1 Mehrkorpersysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

A.2 Finite Elemente Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

A.3 Molekulardynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

A.4 Teilchenmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

A.5 Geschmierte Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

INHALTSVERZEICHNIS v

B Bedeutung der Dimension 99

B.1 3D Kontaktprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99B.1.1 Analytische Losungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99B.1.2 Simulation mit Randelementen . . . . . . . . . . . . . . . 100

B.2 2D Kontaktprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106B.2.1 Halbraumlosung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106B.2.2 DQ-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107B.2.3 Hierarchisches Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

B.3 2D Problem mit veranderlichem Modul . . . . . . . . . . . . . . . 111B.4 Adhasiver Normalkontakt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113B.5 2D Modelle des 3D Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

B.5.1 Idee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114B.5.2 Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

C DQM Scheibenproblem 117

C.1 Gleichungen und Diskretisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117C.2 Einfluss des Gitters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

D Winklerbettung 121

D.1 Isotropes Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121D.2 Anisotropes Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

E Oberflachengenerierung 125

E.1 Oberflachenerzeugung 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125E.2 2D Oberflache . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

F Kontaktformulierung mittels LCP 131

vi INHALTSVERZEICHNIS

Kapitel 1

Einfuhrung

1.1 Kontaktmechanik und Reibungsphysik – Be-

deutung, Anwendungen, Probleme

Die Bestimmung des Reibungsgesetzes fur trockene Reibung als Funktion derMaterial- und Lastparameter bleibt nach wie vor ein aktuelles und ungelostestribologisches Problem. Obwohl wichtige

”Gesetze“ der trockenen Reibung, (1)

Reibungskraft ist proportional zur Normalkraft, (2) Reibungskraft ist unabhangigvon der scheinbaren Kontaktflache und (3) kinetische Reibungskraft ist nahezuunabhangig von der Gleitgeschwindigkeit, schon seit langem bekannt sind, scheintes so, als ob trockene Reibung zu den am wenigsten verstandenen Gebieten derTechnik gehort1.Reibung wird mittlerweile von vielen Autoren als dynamischer Prozess aufgefasst.Die Formulierung eines geeigneten Modells der Reibungsprozesse setzt Kenntnissebezuglich der charakteristischen Skalen und der physikalischen Natur der relevan-ten Prozesse voraus. Experimente zeigen, dass technische Oberflachen haufig ineinem großen Bereich von Skalen selbstahnlich sind [14]. Ob jedoch alle Skalenfur die Reibungsprozesse relevant sind, ist Gegenstand experimenteller und theo-retischer Forschung [100].Es gibt bis heute keine leistungsfahigen und umfassenden Modelle zur Berechnungder Reibungskraft in Abhangigkeit vom Zustand des Systems, den Material- undden Lastparametern. Der Bedarf nach solchen Modellen wachst jedoch standig, dadas Verstandnis und die Berechenbarkeit von Reibungsphanomenen fur die Ausle-gung, Optimierung und Steuerung von Systemen mit Reibkontakten außerst wich-tig sind. Anwendungen reichen von der Fertigungstechnik (Umformtechnik [70],chemisch-mechanisches Polieren [94]) uber die Fahrzeugtechnik (Kraftfahrzeug-bremsen [85], Verbrennungsmotoren [98], Rad-Schiene-Kontakt [99], Primarfes-selung von Guterwagen [59]) bis zur Robotertechnik [1]. Selbst etwas Alltaglicheswie Laufen ware ohne Reibung unmoglich! Aktuelle Bestrebungen bei der Ent-wicklung mikromechanischer Systeme und die Entwicklung neuer Messmethoden,z. B. Atomkraftmikroskop, geben der tribologischen Forschung neuen Schwung

1Die klassischen Untersuchungen sind vor allem mit den Namen da Vinci (1452-1519), Amon-ton (1663-1705) und Coulomb (1736-1806) verbunden [11]. Der Artikel von Dowson [27] gibtEinblick in die geschichtliche Entwicklung der Tribologie. Insbesondere werden die Entwicklun-gen des 20. Jahrhunderts besprochen. Das Lehrbuch von Ludema [72] wendet sich vor alleman Ingenieure in Konstruktion und Entwicklung und gibt einen aktuellen Uberblick uber dieThemen Reibung und Verschleiß aus Sicht des Anwendungsingenieurs.

1

2 KAPITEL 1. EINFUHRUNG

[88]. Es zeigt sich jedoch, dass der Bruckenschlag zwischen den theoretischenErkenntnissen der letzten zwei Jahrzehnte und den Anwendungen z. B. in derUmformtechnik bisher nicht gelungen ist.

Neben der Weiterentwicklung von Schmiermitteln, Additiven, Oberflachenbe-handlungen und Messmethoden ist die Entwicklung geeigneter Simulationsmetho-den zur Simulation von Mehrkorpersystemen mit Reibkontakten eine der zentra-len Aufgaben der tribologischen Forschung. In seinem Ausblick auf die Entwick-lung der Tribologie im 21. Jahrhundert prognostiziert Spikes [113] eine weiterhinstarke Aktivitat im Bereich Modellierung und Simulation. Dabei erwartet er vorallem weitere Fortschritte im Bereich der geschmierten Kontakte (raue Ober-flachen, Nichtnewtonsche Fluide, gemischte elastohydrodynamische Schmierungund Grenzflachenschmierung). Zusatzlich prognostiziert Spikes starkeres Interesseim Bereich Modellierung von Mehrkorpersystemen und Simulation von komplexentribologischen Systemen wie Motoren oder Getrieben uber die Betriebslebensdau-er. An die Stelle von aufwendigen Feldversuchen soll nach und nach das virtuelleTestlabor treten2. Als Folge des Bestrebens, moglichst wartungsfreie technischeSysteme (lifetime zero maintenance) zu entwickeln, sieht Spikes einen Trend wegvon geschmierten Systemen und hin zu Systemen mit trockener Reibung.

Jedes tribologische Probelm ist zuerst auch ein Kontaktproblem. Basis aller Rei-bungssimulationen ist daher eine sichere Beherrschung des Kontaktproblems.Makroskopische tribologische Systeme sind typischerweise Probleme mit vielenKontakten (multi-contact systems). Die Mikrokontakte bestimmen zum einen dieubertragenen Normalkrafte, die sich makroskopisch als Reaktionskraft (Kontakt-kraft) außern. Zum anderen bestimmen sie die reale Kontaktflache und damit dieReibungskraft. Die Verteilung der Normal- und Tangentialkrafte sowie die Ver-teilung der Kontaktgebiete sind die wichtigsten Großen fur das Verstandnis destribologischen Systems auf der Mikroskala.

Was macht nun die Simulation von Reibungs- und Kontaktproblemen so schwie-rig? Im wesentlichen gibt es zwei Grunde: den Mehrskalencharakter der Reibung(multi-scale) und die Komplexitat bzw. die große Zahl an Parametern und betei-ligten physikalischen Prozessen.

Mehrskalencharakter Fur die meisten Kontakt- und Reibungsprobleme sindviele Langenskalen von der Nano- bis zur Makroskala wichtig. Eine wenigeAtomlagen dicke Schmierschicht kann das Reibungsverhalten eines anson-sten

”trockenen“ Kontaktes deutlich verandern und muss daher beruck-

sichtigt werden. Auf der anderen Seite erstrecken sich Rauheiten bis zurMakroskala.

Komplexitat Neben der Elastizitat der Kontaktpartner spielen je nach Anwen-dung auch Adhasion, Schmierung (einschließlich Kavitation), Plastizitat,Bruch, Herauslosen und Wiedereinbau von Teilchen sowie chemische Reak-tionen (einschließlich Korrosion) eine Rolle.

2Einen Uberblick uber bestehende Simulationsmethoden fur trockene und geschmierte Kon-takte gibt der Anhang A.

1.2. STAND DER FORSCHUNG 3

Dem Mehrskalencharakter kann mit vollstandigen dreidimensionalen Modellennur schwer Rechnung getragen werden, weil die Zahl der Freiheitsgrade das re-chentechnisch Mogliche oft weit uberschreitet. Beispiel: Die Diskretisierung einesmakroskopischen Kontaktbereichs mit linearer Abmessung von 10 mm mit einerAuflosung von 10 nm erfordert ungefahr 1018 Freiheitsgrade. Rechentechnischmoglich sind 106 ÷ 109 Freiheitsgrade.

Es konnen drei verschiedene Ansatze zur Simulation von solchen Problemen unter-schieden werden. Beim

”seriellen“ Ansatz werden Simulationen auf der Mikroskala

benutzt, um Konstanten fur Simulationen auf einer Mesoskala zu gewinnen. Die-se Simulationen dienen wiederum, um andere Konstanten fur die nachst hohereSkala zu erhalten. Als Beispiel sei die Arbeit von Clementi [23] erwahnt, bei dermit den Methoden der Quantenmechanik (kleinste Skala) die Wechselwirkungs-potentiale bei Wassermolekulen fur eine Molekulardynamiksimulation (großereSkala) gewonnen wurden. Mittels Molekulardynamik konnte dann die Viskositatdes Wassers bestimmt werden. Die Viskositat wurde anschließend in einer CFD-Simulation3 zur Berechnung des makroskopischen Stromungsproblems eingesetzt.Dieser serielle Ansatz wird z.B. auch fur die Simulation des Werkstoffverhaltenseingesetzt, wobei atomistische Simulationen Eingangsgroßen fur Versetzungssi-mulationen liefern, deren Ergebnisse wiederum fur Simulationen makroskopischerFestigkeitsprobleme genutzt werden konnen [109].

Alternativ kann ein”paralleler“ Ansatz verfolgt werden. Dabei werden verschiede-

ne Methoden innerhalb eines Simulationsmodells verbunden. Zur Simulation vonKontakt- und Reibungsphanomenen werden dazu z. B. Molekulardynamik unddie Finite Elemente Methode (FEM) miteinander verbunden. Der Kontakbereichwird dann mittels Molekulardynamik auf atomarer Skala aufgelost, wahrend derGrundkorper deutlich grober mit der FEM beschrieben wird [62, 71]. Die Her-ausforderung liegt in der korrekten Kopplung der Methoden.

Die Simulation innerhalb einer Methode hat gewiss Vorteile, denn Ubergangs-bedingungen mussen dann nicht formuliert werden. Zudem werden alle Skalenberucksichtigt und nicht nur die kleinste und die großte. Ein Ansatz zur Reduzie-rung der Zahl der Freiheitsgrade ist ein hierarchischer Aufbau (Abschnitt A.4).In der Nahe der Oberflache wird sehr fein diskretisiert, im Innern grober.

Neben hierarchischen Modellen sind Modelle mit reduzierter Dimension besondersErfolg versprechend. Insbesondere eindimensionale Modelle erlauben die Simula-tion uber viele Großenordnungen bei gleichzeitiger Moglichkeit, viele physikalischePhanomene zu berucksichtigen. In der vorliegenden Arbeit werden solche Modelleentwickelt. Wie bereits erwahnt, muss fur die Simulation des Reibungsproblemszuvor das Kontaktproblem beherrscht werden. Thema der vorliegenden Arbeit istdaher die Entwicklung eines effizienten Simulationsmodells fur Kontaktprobleme.

1.2 Stand der Forschung

Im folgenden werden die heute verwendeten Kontakttheorien kurz vorgestellt. Furviele Berechnungen und Uberlegungen sind nach wie vor die Modellvorstellungenvon Bowden und Tabor [10, 11] ausreichend; daher beginnt die Darstellung mitdiesem Klassiker.

3CFD. . . computational fluid dynamics


Es sei an dieser Stelle schon auf den Anhang A verwiesen. Dort wird eine etwasandere Sicht auf den Stand der Forschung dargeboten. Die dortigen Ausfuhrungengeben einen Uberblick uber verschiedene Simulationsmethoden und die besonde-ren Schwierigkeiten und Herausforderungen, die Kontakt- und Reibungsproblemebei der Anwendung der jeweiligen Methode verursachen.

1.2.1 Bowden und Tabor

Bowden und Tabor verdanken wir das Konzept der wahren Kontaktflache. Zuvorwar man davon ausgegangen, dass der Kontakt uber die gesamte sichtbare Kon-taktflache geschieht. Eine Adhasionstheorie der Reibung konnte sich vor Bowdenund Tabor nicht durchsetzen, weil schon aus Da Vinci’s Experimenten bekanntwar, dass die Reibungskraft nicht von der (scheinbaren) Kontaktflache abhangt.Den Unterschied zwischen realer und scheinbarer Kontaktflache zu erkennen, istein wichtiges Ergebnis von Bowden und Tabor.

Das Gesetz von Amonton Reibungskraft proportional zur Normalkraft ist aus derAnnahme erklarbar, dass die Reibungskraft proportional zur realen Kontaktflacheist. Nach Bowden und Tabor [11] kommt es bei Metallen in den Kontaktpunktenzu Kaltverschweißungen, die fur eine Gleitbewegung geschert werden mussen. Jegroßer die reale Kontaktflache, desto großer die notwendige Kraft zum Scherender Kaltverschweißungen.

Bowden und Tabor lieferten auch eine Begrundung, warum die reale Kontakt-flache Areal proportional zur Normalkraft FN ist. Unter der Annahme, dass sichalle Asperiten plastisch verformen, stellt sich die reale Kontaktflache gerade soein, dass

FN = HAreal (1.1)

gilt. Der Fließdruck entspricht naherungsweise der Harte H der Oberflachen-schicht4. Die Oberflachentopographie tritt in Gleichung (1.1) nicht auf. Zudem istkeine Aussage moglich, wie groß die einzelnen Kontakte sind bzw. wie viele Kon-takte zur realen Kontaktflache betragen. Aus (1.1) lasst sich jedoch abschatzen,dass die reale Kontaktflache meist sehr viel kleiner als die scheinbare Kontakt-flache ist und dass fur viele raue Oberflachen die Einzelkontakte weit voneinanderentfernt sind.

Die Annahme plastischer Deformation aller im Kontakt befindlichen Asperitenkann jedoch nicht stets richtig sein. Reibkontakte in Maschinen werden oft uberJahre beansprucht. Die Deformationen mussen dann elastisch sein, denn standigeplastische Deformation wurde unweigerlich zu Ermudung fuhren.

Elastische Deformationen konnen mit der Theorie von Hertz (siehe Abschnitt 2.3)beschrieben werden. Es ergibt sich dann ein nichtlinearer Zusammenhang zwi-schen Normalkraft und Kontaktflache. Die Losung dieses Widerspruchs – elasti-sche Deformationen mussen in vielen Kontaktproblemen dominieren und gleich-zeitig soll direkte Proportionalitat zwischen Normalkraft und Kontaktflache be-stehen – ist vor allem mit den Namen Archard und Greenwood verbunden.

4siehe dazu Kommentar von Akkurt in [41]


1.2.2 Greenwood und Williamson

Archard [2, 81] schlagt ein Modell vor, bei dem immer kleinere Hugel auf be-stehende gesetzt werden5. Heutzutage wurde man eine solche Oberflache fraktalnennen. Um so komplexer das Modell gewahlt wird, um so deutlicher tritt folgen-des Ergebnis hervor: die Zahl der Kontakte nimmt proportional zur Normalkraftzu, die Große eines einzelnen Kontaktes ist nahezu unabhangig von der Nor-malkraft. Eine wesentliche Schwierigkeit im Modell von Archard besteht in derZuordnung von gemessenen Rauheiten zu Großen des Modells.Ein Modell, das sich leichter an gemessene Großen anpassen lasst, wurde 1966von Greenwood und Williamson (GW-Modell) [43] vorgestellt. Es weist diefolgenden Eigenschaften auf [41, 44]:

• Die Asperiten haben eine Hohenverteilung, die sich im relevanten Bereichder Hohen durch eine Exponentialfunktion approximieren lasst. Die in Ex-perimenten haufig gemessene Normalverteilung kann durch eine Exponenti-alfunktion approximiert werden. Greenwood und Wu [44] merken zudem an,dass die Hohen der hoheren Abschnitte der Oberflache selbst dann als nor-malverteilt angesehen werden konnen, wenn die Hohenverteilung im ganzenhochgradig schief ist. Die hoheren Abschnitte sind fur den Kontakt relevant.

• Die Asperiten werden als Kugelkappen behandelt, die bis auf ihre Hohenidentisch sind. Greenwood und Wu merken dazu an, dass weder durch dieBetrachtung von Ellipsoiden anstelle von Kugeln noch durch die Einfuhrungeiner Verteilung von Asperitengroßen viel hinzu gewonnen wird.

• Wie gelangt man aus den Messungen zu Informationen uber die Asperiten?Greenwood und Williamson entschieden sich dafur, Spitzen6 des gemessenenOberflachenprofils als Asperiten zu identifizieren. Spitzen sind Punkte, diebei dem verwendeten Abtastintervall hoher als ihre direkten Nachbarn sind.Sie studieren die Hohenverteilung dieser Spitzen und berechnen die zuge-ordnete Krummung (peak curvature) durch Anpassen einer Parabel durchdie Spitze und ihre zwei Nachbarn [41]. Greenwood und Wu [44] revidierendiesen Punkt teilweise.

Die Untersuchungen von Greenwood und Williamson zeigten, dass eine zufalligeVerteilung der Hohen bei elastischer Deformation zu einem linearen Zusammen-hang zwischen Normalkraft und Kontaktflache fuhrt (zumindest bei kleinen La-sten). Fur eine exponentielle Verteilung folgt dieses Ergebnis exakt, fur die Nor-malverteilung naherungsweise. Damit war Areal ∝ FN gezeigt, sowohl bei pla-stischer Deformation (Bowden und Tabor), als auch bei elastischer Deformation(Greenwood und Williamson).Im allgemeinen werden einige Kontakte plastisch deformiert sein, andere hingegenelastisch. Greenwood und Williamson fuhren einen Plastizitatsindex7

ψ =E∗

H

4

√

〈h2〉R2

5Im englischen Original: protuberances on protuberances on protuberances.6peaks bzw. speziell 3-point-peaks7Der Plastizitatsindex wird von verschiedenen Autoren unterschiedlich eingefuhrt.


ein, der eine Aussage uber die Zahl plastisch deformierter Asperiten erlaubt [41].Dabei bezeichnet H wiederum die Harte. Eine Aussage zum Zustand (elastischoder plastisch) der Asperiten ist u. a. deshalb von Interesse, weil bei rein elasti-scher Deformation ein Aufbrechen der Oberflachenschicht (Oxide) unwahrschein-lich ist.

Bush und Gibson[15] untersuchten, basierend auf den Vorstellungen von Green-wood und Williamson, den Fall ellipsenformiger Kappen. Zudem verzichteten Sieauf die Gleichheit aller Kappen. In diesem Fall wird der lineare Zusammenhangzwischen Normalkraft und Kontaktflache exakt erzielt. Es ergibt sich fur dendimensionslosen Parameter κ der Zusammenhang

κ =E∗∇hAreal

FN≈ 2,51 , (1.2)

mit dem (effektiven) elastischen Modul E∗, der rms-Steigung ∇h der Oberflache,der realen Kontaktflache Areal und der Normalkraft FN .

Die Erweiterung der Modellvorstellungen von Greenwood und Williamson fur denelasto-plastischen Kontakt erfolgte durch eine Vielzahl von Autoren [54, 55, 68,124]. Fuller und Tabor [34] wandten die Ideen von Greenwood und Williamsonauf den adhasiven Fall an (siehe Abschnitt 5.2).

1.2.3 Persson

Fraktale Beschreibungen rauer Oberflachen werden mittlerweile von vielen Auto-ren fur kontaktmechanische Berechnungen genutzt, u. a. [63, 74, 76, 120].Perssons Beitrage zur Kontaktmechanik stochastischer Oberflachen (mit und oh-ne Adhasion) sind in einer Vielzahl von Veroffentlichungen dargelegt [89, 90, 91].Viele Oberflachen sind in guter Naherung selbstaffin, d.h. eine Vergroßerung einesTeils der Oberflache sieht genauso aus wie die Oberflache selbst:

z = λHh (x/λ, y/λ) sieht so aus wie z = h (x, y) ,

d.h. bei einer selbstaffinen Oberflache bleiben die statistischen Eigenschaften derOberflache invariant unter einer Skalentransformation. Dabei sind unterschiedli-che Skalierungsfaktoren fur die Transformationen in lateraler Richtung und senk-rechter Richtung zulassig. Der Hurst-Exponent8 H charakterisiert diesen Unter-schied der Skalierungsfaktoren. Bei selbstaffinen Oberflachen folgt das Leistungs-spektrum einem Potenzgesetz

C (q) ∝ q−2(H+1) . (1.3)

Ein Potenzgesetz gemaß (1.3) gilt nur in einem bestimmten Wellenzahlbereichq0 < q < q1. Unterhalb des Wellenvektors q0 (roll-off) ist das Leistungsspektrumkonstant. Der kleinstmogliche Wellenvektor qL = 2π

List durch die laterale Ausdeh-

nung der untersuchten Oberflache gegeben. Das Leistungsspektrum C (q) ist fur

8Zwischen fraktaler Dimension Df und Hurst-Exponent H besteht der Zusammenhang H =3−Df . Fur den Hurst-Exponent gilt 0 ≤ H ≤ 1, wobei H = 1 fur eine selbstahnliche Oberflachesteht.


isotrope Oberflachen ausschließlich eine Funktion des Betrags q des Wellenvektorsq.Der quadratische Mittenrauwert Rq (root-mean-square roughness) wird durchdie langste Wellenlange dominiert sofern q1 � q0, die mittlere Neigung undKrummung hingegen werden durch die kurzeste Wellenlange dominiert.Persson baut seine Kontaktmechanik auf der fraktalen Beschreibungsweise derOberflachen auf. Als Eingangsgroße wird nur das Leistungsspektrum C (q) be-notigt. Die beobachtete reale Kontaktflache hangt dann von der Vergroßerung ζab.Persson gelangt fur kleine Normalkrafte ebenfalls zu einem linearen Zusammen-hang zwischen Normalkraft und Kontaktflache. Die dimensionslose Große κ hatjedoch einen anderen Wert: κ ≈ 1,60.Die eine Sorte von Ansatzen (Greenwood, Bush) geht von einer statistischenVerteilung der Asperiten aus und vernachlassigt die Wechselwirkungen zwischenihnen. Die Kontaktflache ist dann die Summe der Teilkontaktflachen der un-abhangigen Asperiten. Perssons Theorie benutzt das Skalierungsverhalten derOberflachen. Trotz der Verschiedenartigkeit der Ansatze ergibt sich stets struk-turell die gleiche Formel und der Wert κ ist in beiden Fallen von gleicher Großen-ordnung.

1.2.4 Numerische Kontaktmechanik selbstaffiner Oberfla-

chen

Campana und Muser [18] benutzen eine auf der Greenschen Funktion ba-sierende Molekulardynamik (GFMD) fur kontaktmechanische Berechnungen. Sieuntersuchen den reibungsfreien Kontakt zwischen glatten elastischen Korpern(ν = 0,25) mit starren rauen Unterlagen. Die benutzten rauen Oberflachen ent-stammen entweder Messungen mit einem Atomkraftmikroskop oder werden alsselbstaffine Oberflachen numerisch erzeugt.Hauptziel der Untersuchungen ist die Bestimmung der Verteilung der Drucke imKontakt, genauer die Wahrscheinlichkeitsdichte P (p). Zudem wird die Abhan-gigkeit der wahren Kontaktflache von der Normalkraft untersucht, insbesonderewird der Koeffizient κ mit den analytischen Ergebnissen von Persson und Bushverglichen. Fur kleine Normalkrafte (besser Areal/A0 ≤ 0,1) besteht eine lineareAbhangigkeit zwischen Normalkraft und (wahrer) Kontaktflache. Wird die Dis-kretisierung so fein wie die kleinsten Rauheiten gewahlt, wird die wahre Kontakt-flache geringfugig zu groß berechnet.Hyun et al. [51, 52] untersuchen den elastischen, reibungsfreien, nicht-adhasivenKontakt mit der Finite Elemente Methode (FEM). Dabei untersuchen sie denEinfluss des betrachteten Wellenzahlbereichs. Der Koeffizient κ unterscheidetsich kaum fur (synthetische) selbstaffine Oberflachen und reale Oberflachen; dieraumliche Verteilung der Kontaktflache unterscheidet sich jedoch deutlich.Sowohl bei Campana und Muser als auch bei Hyun et al. hangt der Koeffizi-ent κ vom Hurst-Exponenten ab und liegt stets zwischen den analytisch be-stimmten Werten von Persson und Bush. Es ergibt sich zudem eine (grobe)Ubereinstimmung zwischen den numerischen Ergebnissen der beiden Gruppen.Liu et al. [69] untersuchen thermische Effekte beim Kontakt gemessener rau-er Oberflachen mit der FEM. Insbesondere wird die Veranderung des mittlerenDruckes in Abhangigkeit von der zugefuhrten Warme untersucht. Die Oberflachen


werden nicht spezifiziert, der Einfluss der Oberflachentopographie auf die Kon-taktmechanik wird nicht untersucht.Neben den oben angefuhrten Berechnungen gibt es auch numerische Simulationen,bei denen aus einer selbstaffinen Oberflache ein Modell mit spharischen Asperitenerzeugt wird, z.B. von Komvopoulos und Ye [63]. Das elasto-plastische Ver-halten eines Asperiten wird mit der FEM ermittelt; das Gesamtverhalten folgtdann aus statistischen Betrachtungen.

1.3 Zielsetzung

Im Abschnitt 1.1 wurde bereits erlautert, dass der Mehrskalencharakter eine we-sentliche Hurde fur die Simulation des Kontaktes rauer Oberflachen darstellt. Eineerhebliche Reduzierung des Rechenaufwandes kann offensichtlich erzielt werden,wenn zur Simulation dreidimensionaler Kontaktprobleme Modelle niedrigerer Di-mension benutzt werden. Das Problem bei der Reduktion von Modellen zur Kon-taktsimulation besteht nun darin, dass Modelle niedrigerer Dimension u. U. nichtdie korrekten Zusammenhange wiedergeben. Als Beispiel seien die Systeme Kugel-Ebene und Zylinder-Ebene genannt. Die Hertzsche Theorie liefert im ersten Fallfur die Abplattung d und die Normalkraft F den Zusammenhang F ∝ d3/2, imzweiten Fall hingegen F ∝ d [56]. D. h. der Kontakt Kugel-Ebene kann nichteinfach durch den Kontakt Zylinder-Ebene ersetzt werden9.In der vorliegenden Arbeit wird ein einfaches eindimensionales Modell vorge-stellt, mit dem einige Aspekte des dreidimensionalen Kontaktproblems korrektsimuliert werden konnen. Das Modell wird ausfuhrlich in den folgenden Kapitelnvorgestellt. Zur Motivation soll eine zentrale Uberlegung schon an dieser Stelledargelegt werden:Beim Hertzschen Kontakt10 gilt fur die Kontaktsteifigkeit beim Normalkontaktknorm

knorm = 2E∗a , (1.4)

mit dem effektiven elastischen Modul E∗ und dem Kontaktradius a. Das Ergebnisist bemerkenswert, weil die Steifigkeit knorm linear vom Kontaktradius a abhangtund nicht von der Kontaktflache. Das Verhalten ist Ausdruck der vorhandenenKorrelationen im Kontinuumsmodell. Zudem tritt der Krummungsradius R inGl. (1.4) nicht auf.Welche Konsequenz hat Gl. (1.4) fur die Simulation von Kontaktproblemen? DieProportionalitat zur linearen Abmessung (Kontaktradius) statt zur Flache be-deutet, dass sich die gleiche Steifigkeit in einem Modell erreichen lasst, bei demunabhangige Federn entlang einer Linie angeordnet sind.Wie sieht es mit dem Tangentialkontaktproblem aus? Fur die Steifigkeit beimTangentialkontakt ktang zweier Korper aus gleichem Material ergibt sich

ktang =4

2 − νGa , (1.5)

mit dem Schubmodul G und der Querkontraktionszahl ν. Auch beim Tangential-kontakt ergibt sich die Proportionalitat zum Kontaktradius a. Somit ist ein Wegzur Dimensionsreduktion aufgezeigt!

9Im Kapitel 2 und im Anhang B wird die Dimensionsproblematik ausfuhrlich behandelt.10Fur weitere Informationen siehe Abschnitt 2.3, Seite 15ff.

1.3. ZIELSETZUNG 9

PSfrag replacements

Elastischer Kontakt

2 Einzelkontakt 3 Raue Oberflachen

5 Adhasion

6 Schmierung

Erweiterungen Technische Anm.

4 Numerik

Einordnung

A Simulationsmethoden

B Dimensionsproblematik

Hauptteil

Abbildung 1.1: Uberblick uber die vorliegende Arbeit

Mit dem Modell soll der Bruckenschlag von den theoretischen Erkenntnissen aufdem Gebiet der Reibungsphysik zu den Anwendungen gelingen. Kurz gefasst lau-tet das Ziel der Arbeit:

Entwickle ein Modell, das im Detail grob ist, dafur aber die Simulati-on von Kontaktproblemen uber viele Skalen und unter Einbeziehungvieler physikalischer Phanomene erlaubt.

Dass es gelingt, Kontaktprobleme mit einem eindimensionalen Modell unter enor-mer Einsparung von Rechenzeit zu simulieren, ist die gute Botschaft der vorlie-genden Arbeit.

Im Kapitel 2 werden erste Ideen zum Aufbau des 1D-Modells entwickelt (Ab-bildung 1.1). Die dort dargestellten Erkenntnisse sind Motivation, solche ein-dimensionalen Federmodelle eingehender auf ihre Eignung zur Simulation vonKontaktproblemen zu untersuchen.

Im Kapitel 3 werden raue Oberflachen ausfuhrlich untersucht. Die zentrale Fra-ge ist, wie die 2D-Oberflachentopographie auf eine 1D-Oberflachentopographieumgerechnet werden kann.

Kapitel 4 gibt einen Uberblick uber numerische Aspekte. Simulationen mit demvorgestellten Modell sollen erheblich Rechenzeit gegenuber herkommlichen 3D-Modellen einsparen. Dabei kommt den numerischen Losungsverfahren eine be-deutende Rolle zu. Auch die Wahl des Losungsverfahrens entscheidet uber Erfolgoder Misserfolg.

Schließlich wird in den Kapiteln 5 und 6 das Modell auf adhasive bzw. ge-schmierte Kontakte erweitert. Diese Ausfuhrungen sind als Basis fur weiter ge-hende Untersuchungen zu verstehen. Damit ist die Entwicklung eines moglichsteinfachen Modells zur Berechnung von Kontakt- und Reibungsproblemen unterBerucksichtigung von rauen Oberflachen, Elastizitat, Adhasion und Schmierungvorerst abgeschlossen.

Die Anhange A und B dienen der Einordnung der Methode und sollen dem Lesereine bessere Orientierung ermoglichen.


1.4 Anwendungsbeispiele

Bei der Herstellung von Festplatten und Computerchips wachsen die Anforde-rungen an die Qualitat der Oberflachenbearbeitung bestandig [27]. Ein typischesHerstellungsverfahren, mit dem qualitativ hochwertige Oberflachen erzeugt wer-den konnen, ist das chemisch-mechanische Polieren (CMP). Das zum Ein-satz kommende Schmiermittel enthalt haufig abrasive Teilchen. In einem beimCMP typischen Regime gibt es keinen direkten Kontakt zwischen den abrasi-ven Teilchen und der zu polierenden Oberflache. Vielmehr wird die irreversibleVeranderung der Oberflache durch Druckanderungen im dunnen Schmierfilm zwi-schen Teilchen und Oberflache hervorgerufen.Um auch in Zukunft den wachsenden Anforderungen an die Qualitat der Ober-flachen gerecht zu werden, ist die Entwicklung von Simulationsprogrammen not-wendig. Am Fachgebiet wurde von Popov, Filippov und Herbrich auf Basis dieserUntersuchungen ein Simulationsmodell fur das CMP im oben beschriebenen Re-gime entwickelt. Erst die Reduktion auf ein 1D-Modell macht hier die Simulationuber lange Zeitraume unter Berucksichtigung vieler physikalischer Phanomenemoglich. In diesem Anwendungsfall erfolgt die gesamte Simulation des Polierpro-zesses innerhalb des eindimensionalen Modells.

Ein anderer Anwendungsfall ist die Simulation in der Umformtechnik, z. B. inder Kaltmassiv- und Blechumformung. Die Simulation des eigentlichen Um-formprozesses wurde wie gehabt mittels Finiter Elemente durchgefuhrt werden.Das Reibungsgesetz11 bzw. das Zusammenspiel von Reibungskraft und Anderungder Oberflachentopographie hingegen konnte mit dem hier entwickelten Modellbestimmt werden.

11Zur Zeit wird in den Simulationen der Umformtechnik das Coulombsche Gesetz verwendet.Die experimentelle Bestimmung der Reibungskoeffizienten ist dabei durchaus problematisch;i. d. R. kann nur eine Rangfolge zwischen verschiedenen Kontaktkonfigurationen angegebenwerden.

Kapitel 2

Elastischer Einzelkontakt

2.1 Bedeutung der raumlichen Dimension bei

Kontaktproblemen, Reduktion der Dimen-

sion zu Simulationszwecken

Ein wesentlicher Gedanke der vorliegenden Arbeit zur Entwicklung von Simu-lationsmodellen fur Kontaktprobleme ist die Reduktion der raumlichen Dimen-sion von drei auf eins bei Erhaltung einiger wichtiger Eigenschaften. Bei Kon-taktproblemen ist die Dimension des Problems von großer Bedeutung. Wie ausden klassischen Arbeiten der Kontaktmechanik bekannt ist, liefern z.B. die Un-tersuchung der Kontaktprobleme Zylinder-Ebene bzw. Kugel-Ebene sehr unter-schiedliche Resultate [56]. Abbildung 2.1 zeigt drei verschiedene Kontaktproble-me: Kugel-Kugel, Zylinder-Zylinder und den Kontakt zwischen zwei starren Zy-lindern mit dunner elastischer Schicht. Beim dreidimensionalen Problem ist dieelastische Energie im Kontaktbereich lokalisiert; die Deformation beschrankt sichim wesentlichen auf einen raumlichen Bereich, dessen lineare Dimension von derGroßenordnung des Kontaktradius ist. Beim dreidimensionalen Kontaktproblemkommt es daher nicht auf die genauen Abmaße bzw. die Form des Korpers an; le-diglich der unmittelbare Kontaktbereich entscheidet. Das beruhmte Ergebnis vonHertz fur den Kugelkontakt wird in der Tat aus einer Halbraumbetrachtung herge-leitet. Beim zweidimenisonalen Problem hingegen ist die Geometrie des gesamtenKorpers von Bedeutung. Es ergibt sich eine direkte Proportionalitat zwischenNormalkraft F und Abplattung d. Das ist abweichend vom Ergebnis des dreidi-mensionalen Problems. Dementsprechend kann eine (normale) zweidimensionaleSimulation (z. B. mit Finiten Elementen) nicht den korrekten Zusammenhangzwischen Normalkraft und Abplattung wiedergeben.

Wird nun das Kontaktproblem zwischen zwei starren Zylindern mit elastischerSchicht betrachtet, ergibt sich das bekannte Ergebnis des dreidimensionalen Pro-blems1. Es sei darauf hingewiesen, dass nicht nur der Zusammenhang zwischenNormalkraft F und Abplattung d korrekt ist, sondern auch die Abhangigkeit vomKrummungsradius R in beiden Fallen ubereinstimmt. Erst das macht die in denfolgenden Kapiteln vorgestellte Simulationsmethode so robust.

Es sei zudem an die Ausfuhrungen des Abschnittes 1.3 (Seite 8f) erinnert. Da-nach sind im dreidimensionalen Problem die Steifigkeiten knorm, ktang des Normal-

1Genauere Ausfuhrungen dazu erfolgen in Abschnitt 2.3, Seite 15.

11

12 KAPITEL 2. ELASTISCHER EINZELKONTAKT

PSfrag replacements F ∝√Rd3 F ∝ d F ∝

√Rd3

Zylinder mit elastischer SchichtZylinderKugel

starr

elastisch

elastisch

Abbildung 2.1: Vergleich verschiedener Kontaktprobleme

bzw. Tangentialkontaktes vom Kontaktradius a und nicht von der Kontaktflacheabhangig. Das ist Ausdruck der Korrelationen zwischen benachbarten Regionenim elastischen Kontinuum. Die direkte Proportionalitat zwischen den Steifigkei-ten und dem Kontaktradius ermoglicht den Ubergang auf das eindimensionaleModell!

Eine Anmerkung zur Oberflachentopographie soll schon an dieser Stelle erfol-gen: Zweidimensionale Modelle behandeln die Korper als unendlich ausgedehntin eine Richtung. Raue (eindimensionale) Oberflachen solcher zweidimensiona-len Modelle unterstellen somit eine Aneinanderreihung von unendlich ausgedehn-ten Strukturen. Statt Kugelkappen werden zylindrische Strukturen modelliert.Bei der Verwendung von Modellen mit zweidimensionaler Oberflache kann diegemessene Oberflachentopographie direkt verwendet werden. Bei Modellen miteindimensionaler Oberflache hingegen mussen, falls uberhaupt moglich, Umrech-nungsvorschriften gefunden werden.

Abbildung 2.2 zeigt vier verschiedene Moglichkeiten, dass dreidimensionale Kon-taktproblem zu simulieren:

3D Modell Das nahe liegendste Modell ist ein vollstandiges dreidimensionalesModell z.B. auf Basis der FE-Methode. Dazu wird das gesamte Volumen mitgeeigneten Elementen diskretisiert; ublicherweise hat jeder Knoten 3 Frei-heitsgrade. Zur Untersuchung des Kontaktes zwischen rauen Oberflachenist eine sehr feine Diskretisierung der Oberflachenschichten notig. UnterUmstanden muss die Diskretisierung an der Oberflache von der Großenord-nung 10 nm sein. Im Innern kann grober diskretisiert werden. Vorteile diesesModells sind die Verwendung der Originalgeometrie (Dimension, Oberfla-chentopographie) und die Moglichkeit, Deformationen an der Oberflacheund im Innern der Korper bestimmen zu konnen. Zudem ist die Methodevielen Ingenieuren bekannt und es sind eine Vielzahl kommerzieller Pro-gramme verfugbar. Nachteilig wirkt sich die sehr hohe Rechenzeit aus, vorallem vor dem Hintergrund, dass mit den Simulationsmodellen nicht nur

2.1. DIMENSIONSPROBLEMATIK 13

PSfrag replacements

3D Modell

1D Modell

2D hierarchisches Modell

3D hierarchisches Modell

3D Kontakt-problem

Abbildung 2.2: Modelle zur Simulation des dreidimensionalen Kontaktproblems

einzelne Berechnungen durchgefuhrt werden sollen, sondern ausgiebige nu-merische Experimente und Optimierungsrechnungen. Berechnungen uberviele Skalen (Nanometer bis Millimeter oder Meter) sind mit der heuti-gen Rechenkapazitat praktisch unmoglich. Vorsicht ist zudem bei den Kon-taktalgorithmen in kommerziellen FE-Programmen geboten. Vollstandigedreidimensionale Modelle konnen auch mittels Feder-Masse-Modellen bzw.Teilchenmodellen umgesetzt werden.

3D hierarchisches Modell Hierarchische Modelle konnen z.B. als Feder-Mas-se-Modelle mit ausschließlich vertikalen Freiheitsgraden aufgebaut werden.Eine hierarchische Anordnung der Teilchen verbunden mit der Beschran-kung auf einen Freiheitsgrad je Teilchen gewahrleistet einen vergleichsweisegeringen Gesamtfreiheitsgrad des Modells bei gleichzeitig sehr feiner Dis-kretisierung der Oberflache. Bei einem dreidimensionalen Modell kann dieOriginaloberflachentopographie genutzt werden und Deformationen konnenauch im Innern der Korper berechnet werden.

2D hierarchisches Modell Bei zweidimensionalen Modellen wird auf Freiheits-grade in Dickenrichtung verzichtet. Die Oberflache ist dann eindimensional;eine Umrechnung von der gemessenen zweidimensionalen Oberflachentopo-graphie auf eine eindimensionale ist notwendig. Dafur erlaubt das 2D Mo-dell die Berechnung der Deformation im Innern. In Abschnitt B.5 wirdausfuhrlicher darauf eingegangen, wie die fiktiven konstitutiven Gesetzeaussehen konnten, damit die Simulation des dreidimensionalen Kontakt-problems mit einem zweidimensionalen Modell erfolgen kann.

1D Modell Eindimensionale Modelle, Schwerpunkt der vorliegenden Arbeit, be-stehen aus Teilchen, die entlang einer Linie angeordnet sind (Abbildung2.3). Die Oberflache ist dann eindimensional; eine Umrechnung von dergemessenen zweidimensionalen Oberflachentopographie auf eine eindimen-sionale ist genau wie beim zweidimensionalen Modell notwendig. Außerdemsind die Deformationen nur an der Oberflache bekannt. Vorteil des eindi-mensionalen Modells ist die geringe Rechenzeit, die es erlaubt, Kontakt-probleme uber viele Skalen und unter Einbeziehung vieler physikalischerPhanomene zu simulieren.


PSfrag replacements

Korper 1

Korper 2

x

z

Abbildung 2.3: Eindimensionales Modell

Im Anhang B wird auf die Frage der Dimension etwas naher eingegangen. DieAusfuhrungen unterstreichen, dass bei der Reduktion nicht beliebig vorgegangenwerden kann. Insbesondere zeigt sich, dass 2D-Modelle durchaus 3D-Problemewesentlich schlechter simulieren konnen als 1D-Modelle. Mitnichten kann eineReduktionshierarchie 1D-2D-3D im Sinne aufsteigender Gute aufgestellt werden.Viele praktische Anwendungen fuhren in der Tat auf 2D Modelle. In einem brei-ten zylindrischen Gleitlager kann (unter Vernachlassigung von Randeffekten) miteinem 2D Modell gerechnet werden. Die Simulation von Mischreibungszustandenerfordert die Betrachtung der rauen Oberflachen. Dann gibt es, wie bereits obenausgefuhrt, kaum eine Alternative zur 3D Modellierung, da Asperiten in der Regelkugel- oder ellipsenformig nicht jedoch zylinderformig sind.

Das Lesen von Anhang B ist fur das weitere Verstandnis nicht zwingend erforder-lich. Im folgenden wird eine kurze Ubersicht uber den Anhang gegeben. In denbeiden Abschnitten B.1 und B.2 werden drei- bzw. zweidimensionale Problemenaher betrachtet. Auf einige analytische Ergebnisse folgen numerische Berech-nungen. Die numerischen Berechnungen dienen zum einen der Illustration dertypischen drei- bzw. zweidimensionalen Ergebnisse. Sie dienen zum anderen auchder Vorstellung moglicher Berechnungsverfahren fur Kontaktprobleme (konkre-ter als im Anhang A ). Die im Abschnitt B.1 vorgestellte Methode zur Berech-nung dreidimensionaler Kontaktprobleme wird z.B. in Abschnitt 3.4 (Seite 34)fur Vergleichsrechnungen 3D-1D benutzt. Abschnitt B.1 dient demnach auch derUberprufung meiner Routinen mittels bekannter Losungen (Hertzsches Kontakt-problem).Fur das zweidimensionale Kontaktproblem wird u. a. das von Heß und Popoventwickelte hierarchische Modell (Teilchenmethode) des Normalkontaktes naherbetrachtet.In Abschnitt B.4 wird kurz das adhasive Kontaktproblem betrachtet. Auch dortzeigen sich deutliche Unterschiede zwischen drei- und zweidimensionalen Kon-taktproblemen.Der letzte Abschnitt B.5 des Kapitels behandelt die Frage, ob zweidimensionaleModelle (mit eindimensionaler Oberflache) so geschaffen werden konnen, dass siesich in ausgewahlten Situationen wie dreidimensionale Modelle verhalten. Dazuwird das in Abschnitt B.2 vorgestellte hierarchische Modell wieder aufgegriffen.

2.2. ELASTISCHE ENERGIE IM 3D-PROBLEM 15

2.2 Elastische Energie im 3D-Problem

Bevor der Hertzsche Kontakt naher betrachtet wird, erfolgt, bezugnehmend aufden vorhergehenden Abschnitt, eine kurze Erlauterung der Aussage die elastischeEnergie ist im Kontaktbereich lokalisiert. Die Erlauterungen folgen [97].

Es wird der Eindruck eines starren Stempels (Durchmesser D) in einen elastischenKorper betrachtet (Indentierung). Die Eindrucktiefe sei d. Die Eindruckgeschwin-digkeit sei klein im Vergleich zur Schallgeschwindigkeit, so dass der Eindruckpro-zess als quasistatisch betrachtet werden kann.Fur die Verschiebung im elastischen Korper in großer Entfernung r vom Punktder Indentierung gilt

u ' Dd

r. (2.1)

Die Energiedichte kann damit abgeschatzt werden zu GD2d2/r4, wobei G denSchubmodul bezeichnet. Fur die elastische Energie ergibt sich durch Integration

Eel '∫

GD2d2

r42πr2 dr = 2πGD2d2

∫

dr

r2. (2.2)

Das Integral in Gl. (2.2) konvergiert auf der oberen Grenze (auch wenn diese zuunendlich gewahlt wird). Da die Asymptote (2.1) nur fur r > D gilt, muss dieuntere Grenze von der Großenordnung von D sein. Fur die untere Grenze 0 wurdedas Integral divergieren.Die elastische Energie ist somit in einem Volumen mit der linearen Abmessungvon der Großenordnung D konzentriert; i. a. W. die elastische Energie ist einelokale Große, die nur von der Konfiguration und Deformation in der Nahe desMikrokontaktes abhangt. Die Große und Form des makroskopischen Korpers istfur die Kontaktmechanik dieses Problems bedeutungslos.

2.3 Hertzscher Kontakt

Raue Oberflachen bestehen aus einer Vielzahl von Asperiten. In guter Naherung[44] konnen diese als Kugelkappen angenommen werden. Daher soll zuerst derelastische Normalkontakt von Kugeln naher betrachtet werden.Betrachtet wird zunachst der nichtadhasive Kontakt zwischen zwei Kugeln mitRadius R1 und R2. Zwischen Abplattung d und Normalkraft F gilt der von Hertz[49] gefundene Zusammenhang

F =4

3E∗

√Rd3 , (2.3)

wobei

R =R1R2

R1 +R2

und1

E∗ =1 − v2

1

E1

+1 − v2

2

E2

.

Ei und νi bezeichnen den Elastizitatsmodul bzw. die Querkontraktionszahl desMaterials i. Ist einer der Korper starr, so erhalt man

E∗el−st =

E

1 − v2=

2G

1 − v;


Fall elastische Energie Eel

zwei identische Kugeln 4√

2G15(1−ν)

√RKd5

elastische Kugel gegen starre Ebene 16G15(1−ν)

√RKd5

elastische Kugel gegen elastische Ebene 8G15(1−ν)

√RKd5

Tabelle 2.1: Elastische Energien fur den Hertzschen Kontakt fur drei spezielleFalle

PSfrag replacementskv = cn∆x

x

Abbildung 2.4: Starrer Zylinder mit elastischer Schicht, ∆x sei der Teilchenab-stand

haben beide Korper die gleichen elastischen Konstanten, so ergibt sich

E∗el−el =

E

2 (1 − v2)=

G

1 − v.

Die gespeicherte elastische Energie ergibt sich aus (2.3) durch Integration:

Eel =

∫ d

0

F dd =8

15E∗

√Rd5 . (2.4)

Tabelle 2.1 zeigt die elastischen Energien fur drei spezielle Falle, wobei RK stetsder Kugelradius ist.

2.4 1D-Modell

Betrachtet wird nun ein starrer Zylinder (Radius R) mit einer elastischen Schichtkonstanter Dicke. Die elastische Schicht wird durch eine dichte Aneinanderreihungvon linearen, untereinander unbeeinflussten Federn der Steifigkeit je Lange cngebildet (Abbildung 2.4). Beim Kontakt des Zylinders mit einer starren Ebenewird die elastische Energie

Eel =1

2

∫ a

−a

cn

[

d

(

1 − x2

a2

)]2

dx =8

15cnad

2 (2.5)

gespeichert. Hierbei sind d die Abplattung (in der Mitte) und a die Kontakthalb-weite. Wie in der Kontaktmechanik ublich, wurde das Kontaktgebiet durch eineParabel genahert. Zudem gilt fur d� a der Zusammenhang

a =√

2Rd .

2.4. 1D-MODELL 17

Schließlich ergibt sich

Eel =8√

2

15cn√Rd5 . (2.6)

Der Vergleich von (2.4) und (2.6) zeigt, dass die elastische Energie in beidenFallen in gleicher Weise von R und d abhangt. Wird

cn =1

2

√2E∗ (2.7)

gewahlt, sind beide Ausdrucke (2.4) und (2.6) identisch. Das dreidimensionaleNormalkontaktproblem (ohne Adhasion) zwischen zwei Kugeln kann auf ein ein-dimensionales Modell zuruckgefuhrt werden. Die Steifigkeit cn ist nur von denMaterialkonstanten abhangig, nicht aber vom Krummungsradius R oder der Po-sition x.Es sei betont, dass die makroskopische Beziehung zwischen Kraft F und Abplat-tung d im 1D-Modell korrekt ist. Bisher wurde noch nicht untersucht, wie dieSpannungsverteilung im Kontaktgebiet aussieht. Fur die makroskopische Dyna-mik ist die Spannungsverteilung jedoch von untergeordneter Bedeutung.

In einem diskreten Modell sind die Federn mit einem Abstand ∆x anzuordnen.Die Steifigkeit jeder Feder ist dann kv = cn∆x. Der Abstand ∆x der Federnist klein gegenuber der charakteristischen Wellenlange der Oberflache zu wahlen.Die Kontaktgebiete mussen aus vielen Federn bestehen. Weitere Einschrankungengibt es nicht. Wird der Abstand zwischen zwei Teilchen als Langeneinheit desProblems LE gewahlt und die Steifigkeit als 1 KE/LE, so folgt fur die Krafteinheitdes Problems KE = 1

2

√2E∗ LE2.

In der Kontaktmechanik und Reibungsphysik ist die Beziehung zwischen Nor-malkraft und Kontaktradius von herausragender Bedeutung. Beim HertzschenKontakt ergibt sich aus (2.3) und

a2 = dR

die Beziehung

F =4

3

E∗

Ra3 . (2.8)

Beim Kontakt zwischen starrer Ebene und Zylinder mit elastischer Schicht giltaufgrund der Unabhangigkeit der einzelnen Federn hingegen

a2 = 2Rd

und somit

F =2

3

cnRa3 . (2.9)

Auch die Beziehungen (2.8) bzw. (2.9) zwischen Kraft und Kontaktradius weisenidentische Abhangigkeiten vom Kontaktradius a und Krummungsradius R auf.Allerdings stimmen die Krafte quantitativ nicht uberein, wenn die Steifigkeit cngemaß (2.7) gewahlt wird.Die Druckverteilung beim Hertzschen Kontakt ist

σ3D (r) =3F

2πa2

√

1 − r2

a2.


Bei dem untersuchten 1D-Modell gilt fur die lokale Federkraft hingegen

F (x) ∝(

1 − x2

a2

)

.

Die Druckverteilungen unterscheiden sich. Mikroskopisch, also auf der Ebene dereinzelnen Teilchen, wird das Verhalten nicht korrekt simuliert. Die Gesamtkraft,die relevante Große auf der Ebene eines Asperiten, wird hingegen korrekt simu-liert.

2.5 Ubergang von 3D auf 1D mit Anderung des

Kappenradius

Wie bereits herausgearbeitet, gelten die folgenden Beziehungen

F3D (a) =4

3

E∗

R3D

a3 (2.10a)

F1D (a) =2

3

cnR1D

a3 (2.10b)

und

F3D (d) =4

3E∗√

R3Dd3 (2.11a)

F1D (d) =4√

2

3cn√

R1Dd3 . (2.11b)

Es wurde bereits gezeigt, dass bei R3D = R1D die Steifigkeit cn entweder sogewahlt werden kann, dass die Beziehungen zwischen Kraft F und Durchdringungd ubereinstimmen oder so, dass die Beziehungen zwischen Kraft F und Kontakt-große a ubereinstimmen. Wird R3D 6= R1D zugelassen, konnen beide Relationenubereinstimmen. Es folgen dann aus (2.10) und (2.11) die Beziehungen

R3D

R1D= 2 (2.12)

cn = E∗ . (2.13)

Falls R3D 6= 2R1D ist, stimmt F (d), wenn

cn =

√2

2E∗√

R3D

R1D

und F (a), wenn

cn = 2R1D

R3D

E∗ .

2.6 Spannungen und Fließkriterium

Sollen neben elastischen Deformationen auch plastische Deformationen zugelas-sen werden, wird ein Fließkriterium benotigt. Die Berucksichtigung plastischer

2.7. INNERE SPANNUNGEN 19

Deformationen ist zum Beispiel bei der Simulation des chemisch-mechanischenPolierens [94] notwendig.In der Regel werden Fließkriterien uber Spannungen definiert. Die raumliche Ver-teilung der lokalen Federkrafte ist im 1D-Modell parabolisch und weicht somit vonder Hertzschen Spannungsverteilung ab. Im folgenden wird gezeigt, dass auch im1D-Modell eine Spannung definiert werden kann, die im Fall elastischer Deforma-tionen mit der Hertzschen Spannungsverteilung ubereinstimmt.Fur die Kraft in einer Feder gilt

Fi = ∆xcnδi = ∆xcn

(

d− x2i

2R

)

, (2.14)

wobei δi die Deformation der Feder i und ∆x der Teilchenabstand sind. Nun wirddie Spannung als

σi =Fi

b√δiR

(2.15)

eingefuhrt. b sei die Breite in Richtung der Zylinderachse. Die Spannung an einerStelle wird aus der lokalen Kraft und Verschiebung berechnet. Zudem geht nochder Krummungsradius R in die Spannung ein. Bei plastischer Deformation andertsich der Krummungsradius. Die Spannung ist damit eine nichtlokale Große.Aus (2.15) ergibt sich durch Einsetzen und Umformen der Ausdruck

σi =3√

2

4

F

a2

∆x

b

√

1 − x2i

a2. (2.16)

Beim Hertzschen Kugelkontakt ist die Spannungsverteilung bekanntermaßen

σ =3F

2πa2

√

1 − x2

a2. (2.17)

Die Spannungsverteilungen sind dann gleich, wenn

b

∆x=

√2π

2≈ 2,22

gesetzt wird. Die Große b ist als effektive Breite des 1D-Modells zu verstehen.Sie ist 2,22 mal großer als der Teilchenabstand ∆x. In der Simulation wird dieSpannung aus lokaler Federkraft Fi und lokaler Deformation δi dann gemaß

σi =Fi

b√δiR

=Fi

√2

π∆x√δiR

(2.18)

berechnet. Fazit: Fur ein Fließkriterium sollte nicht die lokale Kraft Fi herange-zogen werden, sondern die nichtlokale Große σi gemaß Gleichung (2.18).

2.7 Innere Spannungen

2.7.1 Idee

Die Schwierigkeit des Kontaktproblems steckt in der Notwendigkeit, sowohl dieKontaktspannungen als auch deren

”Wirkungsort“ berechnen zu mussen; i.a.W.


zu Beginn ist auch die Lage und Große des Kontaktgebietes unbekannt. Das1D-Programm liefert fur raue Oberflachen die Kontaktspannungen und das Kon-taktgebiet. Fur den Fall linearer Elastizitat konnen dann durch numerische In-tegration mittels der Fundamentallosung die Spannungen im Innern berechnetwerden. Wenn das Kontaktproblem gelost ist, kann aber auch mit einer beliebi-gen anderen Methode das Innere untersucht werden, insbesondere auch mit derFEM.

2.7.2 Berechnungen

Die Spannungen bei Wirkung einer Einzelnormalkraft P im Koordinatenursprung(Boussinesq) sind durch

σxx =P

2π

[

−3x2z

R5+ (1 − 2ν)

(

x2 (2R + z)

R3 (R + z)2 − R2 − Rz − z2

R3 (R + z)

)]

(2.19)

σyy =P

2π

[

−3y2z

R5+ (1 − 2ν)

(

y2 (2R+ z)

R3 (R + z)2 − R2 −Rz − z2

R3 (R + z)

)]

(2.20)

σzz = −3P

2π

z3

R5(2.21)

τxy =P

2π

[

−3xyz

R5+ (1 − 2ν)

xy (2R + z)

R3 (R + z)2

]

(2.22)

τyz =3P

2π

yz2

R5(2.23)

τxz =3P

2π

xz2

R5(2.24)

bestimmt [46], wobei R2 = x2 + y2 + z2. Die Berechnung der Spannungen bei be-liebiger Normaldruckverteilung p an der Oberflache gelingt durch Superposition.Fur die Normalspannung σzz in z-Richtung ergibt sich exemplarisch

σzz (x, y, z) = −3z3

2π

∫∫

(A)

p (x, y)(

(x− x)2 + (y − y)2 + z2)5/2

dxdy , (2.25)

wobei∫∫

(A)

die Integration uber das druckbeaufschlagte Gebiet meint.

Fur die Hertzsche Druckverteilung

p (x, y) = p0

√

1 − x2 + y2

a2(2.26)

werden im folgenden einige Ergebnisse gezeigt. Abbildung 2.5 zeigt die Spannun-gen auf der z-Achse fur ν = 0,33 (Punkte: numerische Losung, Kurven: ana-lytische Losung). Die Schubspannungen sind samtlich 0; fur die Punkte auf derz-Achse sind die Koordinatenrichtungen gleichzeitig die Hauptrichtungen. Nume-rische Integration und analytische Losung [56]

σzz = −p0

(

1 +z2

a2

)−1

(2.27)

σxx = σyy = −p0

[

(1 + ν)(

1 − z

aarctan

a

z

)

+1

2

(

1 +z2

a2

)−1]

(2.28)

2.7. INNERE SPANNUNGEN 21

PSfrag replacements

z/a

σxx

p0=

σyy

p0

τ1

p0

σzz

p0

0,4

0,2

0,0

-0,2

-0,4

-0,6

-0,8

0 0,5 1 1,5 2

Abbildung 2.5: Spannungen entlang der z-Achse (x = y = 0) bei HertzscherDruckverteilung; Vergleich numerische Integration und analytische Losung

stimmen hervorragend uberein. Zudem ist die maximale Schubspannung τ1 =12|σzz − σxx| abgebildet. Es ergibt sich das bekannte Ergebnis, dass die maximale

Schubspannung im Innern liegt; fur ν = 0,33 bei z ≈ 0,49a. Abbildung 2.6 zeigtdie Vergleichsspannung

σV =1√2

[

(σxx − σyy)2 + (σxx − σzz)

2 + (σzz − σyy)2 +

+6(

τ 2xy + τ 2

xz + τ 2yz

)]1/2.

(2.29)

nach Gestaltanderungsenergiehypothese [53] in der x-z-Ebene.


0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

−2 −1.5 −1 −0.5 0 1 1.5 2

0

0.5

1

2

PSfrag replacements

z

x

σxx

τxz

σzz

σyy

σV

σV /p0

Abbildung 2.6: Vergleichsspannung σV gemaß Gl. (2.29) bei Hertzscher Druck-verteilung (x-z-Ebene)

Kapitel 3

Elastischer Kontakt rauer

Oberflachen

Technische Oberflachen sind rau. Selbst hochpolierte Oberflachen weisen im Ver-gleich zu atomaren Abmessungen riesige Unebenheiten auf. Beim Kontakt zweierrauer Oberflachen wird die Last durch die Spitzen der Oberflachen ubertragen;große Teile der Oberflache sind, gemessen an der Reichweite der atomaren Wech-selwirkungen, sehr weit voneinander entfernt1.

3.1 Charakterisierung rauer Oberflachen

Zu Messmethoden und zur Oberflachenbeschreibung sei der Leser auf [11, 41, 56,121] verwiesen. Ergebnis der Messungen ist die Oberflachentopographie

z = h (x) , x = (x, y) ,

wobei haufig nur entlang einer Richtung gemessen wird, d. h. z = h(x). ZurCharakterisierung rauer Oberflachen werden in der Technik u. a. die Großen Mit-tenrauwert Ra und quadratischer Mittenrauwert Rq benutzt, wobei

Ra =1

l

∫ l

0

|h (x)| dx , (3.1)

Rq =

√

1

l

∫ l

0

h2 (x) dx . (3.2)

Beide Kennwerte geben keine Auskunft uber die Profilform. Eine Große, die Infor-mationen zum inneren Zusammenhang des gemessen Signals z = h (x) enthalt, istdie Autokorrelationsfunktion 〈h (x) h (x + x′)〉. Der Ausdruck 〈.〉 steht fur einenEnsemblemittelwert. Bei gegebenem Hohenprofil h (x) wird nun das Leistungs-spektrum der Rauheiten gemaß

C (q) =1

(2π)2

∫

〈h (x) h (0)〉 e−iq·x d2x (3.3)

1Bowden [11] fasste diese Tatsache so zusammen: Putting two solids together is rather like

turning Switzerland upside down and standing it on Austria - the area of intimate contact will

be small.

23

24 KAPITEL 3. ELASTISCHER KONTAKT RAUER OBERFLACHEN

definiert2. Die Hohen h (x) sind von der Mittelebene gemessen, so dass gilt 〈h〉 = 0.Das Leistungsspektrum der Rauheiten besagt, wie viel eine bestimmte Wellenzahlzum quadratischen Mittenrauwert beitragt. Gleichung (3.3) unterstellt bereits,dass die statistischen Eigenschaften der Oberflache invariant gegen Translationsind und die Oberflache zudem isotrop ist. Insbesondere hangt das Leistungs-spektrum dann nur vom Betrag q = |q| des Wellenvektors q ab.

Die Untersuchung stochastischer Oberflachen von Persson (siehe Abschnitt 1.2.3)baut darauf auf, dass das Leistungsspektrum C (q) alle fur die Kontaktmechanikwesentlichen Informationen enthalt. Allerdings kann aus dem Leistungsspektrumdie Oberflachentopographie nicht eindeutig zuruckgewonnen werden, da die In-formationen uber die (zufalligen) Phasen nicht in C (q) enthalten sind.

3.2 Eigenschaften von 1D- und 2D-Oberflachen

3.2.1 Voruberlegungen

Oberflachen sind, wie bereits erwahnt, selbstaffin; sie weisen Rauheiten auf vielenSkalen auf. Im folgenden werden numerisch erzeugte 1D- und 2D-Oberflachenhinsichtlich ihrer Eigenschaften untersucht. 2D-Oberflachen sind Oberflachen, beidenen die Hohe von zwei Koordinaten abhangt, h = h (x, y); bei 1D-Oberflachengilt entsprechend h = h(x).

Die statistischen Kenngroßen 〈h2〉 und 〈κ2〉 des Profils konnen direkt aus demLeistungsspektrum mittels (3.16) und (3.18) berechnet werden. Die erzeugtenOberflachen konnen dann daraufhin uberpruft werden; sollten diese beiden Wertenicht stimmen, wurde die Oberflache falsch erzeugt.

Im Mittelpunkt der Untersuchungen steht die Statistik der Kappen, genauer dieVerteilungen der Kappenhohen und Kappenkrummungen. Fur den Kontakt istnamlich die Kappenverteilung entscheidend. Informationen zur Verteilung derKappenhohen und Kappenkrummungen konnen nur durch numerische Experi-mente gewonnen werden.

Dabei wird wie folgt vorgegangen: Aus dem Leistungsspektrum werden die Ober-flachen mit den im Anhang E dargestellten Methoden erzeugt. Ergebnis ist dieHohenverteilung h(x) bzw. h(x, y). Anschließend werden Krummungen und Ho-hen aller Kappen berechnet. Aus den Hohen- und Krummungsverteilungen wer-den dann die charakteristischen Werte

⟨

h2p

⟩

, 〈κp〉 und⟨

κ2p

⟩

berechnet. Dabeikonnen sowohl alle Kappen berucksichtigt werden, als auch nur die 10% hochstenKappen.

Es werden die Umrechnungsfaktoren

f1 =

√

⟨

h2p

⟩

〈h2〉 , f2 =〈κp〉√

〈κ2〉, f3 =

√

⟨

κ2p

⟩

〈κ2〉 (3.4)

eingefuhrt, wobei nur die 10% hochsten Kappen berucksichtigt werden.

Alle untersuchten Oberflachen weisen ein schmalbandiges Spektrum auf.

2Bei Gleichung (3.3) ist zu beachten, dass, im Gegensatz zur Darstellung in vielen Buchern,der Vorfaktor (2π)−2 hier bei der Hintransformation auftritt.

3.2. EIGENSCHAFTEN VON 1D- UND 2D-OBERFLACHEN 25

PSfrag replacements

q0

Umrechnung fur 〈κp〉alle

Umrechnung fur 〈κp〉top

Umrechnung fur⟨

h2p

⟩alle

Umrechnung fur⟨

h2p

⟩top

Umrechnung fur⟨

κ2p

⟩alle

Umrechnung fur⟨

κ2p

⟩top

0

1

2

4

10−3 10−2 10−1 1

q1 = 2q0 q1 = 4q0 q1 = 6q0 q1 = 10q0f1 0,36 0,36 0,36 0,36f2 2,42 2,32 2,29 2,28f3 0,46 0,54 0,56 0,56

Abbildung 3.1: oben: Umrechnungsfaktoren fur eine 1D-Oberflache mit einem Lei-stungsspektrum nach Gleichung (3.5) und q1 = 2q0; unten: Umrechnungsfaktorengemaß (3.4) fur die Topkappen fur verschiedene q1/q0-Verhaltnisse

3.2.2 1D-Oberflachen

Numerische Untersuchungen

Im folgenden werden die statistischen Eigenschaften von 1D-Oberflachen mit ei-nem Leistungsspektrum der Form

C1D =

{

cq fur q0 ≤ q ≤ q10 sonst

(3.5)

numerisch untersucht, wobei c > 0. Zudem ist das Spektrum schmalbandig; beiden folgenden Berechnungen wurde 1,5 ≤ q1/q0 ≤ 10 gesetzt.

Fur sechs verschiedene Werte q0 und funf verschiedene Werte q1/q0 wurden jeweils200 Oberflachen mit 2020 Punkten erzeugt. Anschließend wurde die Hohen- undRadienverteilungen der Kappen fur alle Oberflachen bestimmt. Insbesondere wur-den die Mittelwerte und die zentralen Momente (bis zur 4. Ordnung) bestimmt.

Abbildung 3.1 zeigt die Umrechnungsfaktoren zwischen den statistischen Kenn-großen der Kappenverteilung

⟨

h2p

⟩

, 〈κp〉 und⟨

κ2p

⟩

und den statistischen Kenn-großen 〈h2〉 und 〈κ2〉. Dabei wird nochmals unterschieden zwischen allen Kappenund den 10% hochsten Kappen (Topkappen). Fur ein gegebenes Verhaltnis q1/q0


sind die Umrechnungsfaktoren konstant. Die Umrechnungsfaktoren fur⟨

h2p

⟩

sindsogar unabhangig vom Verhaltnis q1/q0 (siehe Tabelle in Abbildung 3.1).

Analytische Uberlegungen

Betrachtet wird eine harmonische 1D-Oberflache

y = a sin kx , (3.6)

mit Wellenlange λ = 2πk

. Es gilt dann

〈y〉 = 0 und⟨

y2⟩

=1

2a2 .

Die Krummung ergibt sich zu

κ = − ak2 sin kx

(1 + a2k2 cos2 kx)3/2. (3.7)

Der Betrag der Krummung in der Nahe des Maximums ist dann

κp = ak2 . (3.8)

Fur den Quotienten aus der Asperitenkrummung und der Wurzel der mittlerenquadratischen Profilkrummung ergibt sich

κp√

〈κ2〉= 4

(1 + a2k2)3/4

√

2 (4 + 3a2k2), (3.9)

was fur ak � 1 zuκp

√

〈κ2〉≈

√2

wird.

3.2.3 2D-Oberflachen

Im folgenden werden die statistischen Eigenschaften der 2D-Oberflachen genaueruntersucht. Ausgangspunkt ist stets ein Leistungsspektrum der Form

C2D =

{

c fur q0 ≤ q ≤ q10 sonst

(3.10)

wobei c > 0. Zudem ist das Spektrum schmalbandig (2 ≤ q1/q0 ≤ 10).Fur sieben verschiedene Werte q0 und vier verschiedene Werte q1/q0 wurden je-weils 1000 Oberflachen mit 2048×2048 Punkten erzeugt. Anschließend wurden dieHohen- und Radienverteilung der Kappen fur alle Oberflachen bestimmt. Insbe-sondere wurden die Mittelwerte und die zentralen Momente (bis zur 4. Ordnung)bestimmt.Abbildung 3.2 zeigt die Abhangigkeit der Umrechnungsfaktoren f1, f2 und f3

(sowie die entsprechenden Umrechnungsfaktoren bei Berucksichtigung aller Kap-pen) von der Wellenzahl q0 fur den Fall q1 = 2q0. Die Umrechnungsfaktoren sindnur schwach von der Wellenzahl q0 abhangig. Die in Abbildung 3.2 dargestellte

3.2. EIGENSCHAFTEN VON 1D- UND 2D-OBERFLACHEN 27

PSfrag replacements

q0

Umrechnung fur⟨

h2p

⟩alle

Umrechnung fur⟨

h2p

⟩top

Umrechnung fur 〈κp〉alle

Umrechnung fur 〈κp〉top

Umrechnung fur⟨

κ2p

⟩alle

Umrechnung fur⟨

κ2p

⟩top

0

1

2

10−2 10−1 1

q1 = 2q0 q1 = 4q0 q1 = 6q0 q1 = 10q0f1 0,34 0,34 0,35 0,35f2 1,35 1,32 1,30 1,30f3 0,23 0,27 0,28 0,28

Abbildung 3.2: oben: Umrechnungsfaktoren fur eine 2D-Oberflache mit ei-nem Leistungsspektrum nach Gleichung (3.10) und q1 = 2q0; unten: Umrech-nungsfaktoren fur die Topkappen fur verschiedene q1/q0-Verhaltnisse (Ober-flachentopographie 2048 × 2048 Punkte)


0.04 0.042 0.0440

50

100

150

200

250

5.1 5.2 5.3 5.40

50

100

150

200

250

300

2.05 2.1 2.15 2.20

50

100

150

200

250

300

PSfrag replacements

⟨

h2p

⟩

〈κp〉⟨

κ2p

⟩ ×10−3×10−3

Abbildung 3.3: Haufigkeitsverteilungen von⟨

h2p

⟩

, 〈κp〉 und⟨

κ2p

⟩

bei 1000 erzeug-ten Oberflachen (Oberflachentopographie 2048×2048 Punkte, q0 = 0,2, q1 = 0,4,C = 10−2)

Tabelle zeigt die Abhangigkeit der Umrechnungsfaktoren fur die Topkappen vomq1/q0-Verhaltnis.Fur den Fall q0 = 0,2, q1 = 2q0 zeigt die Abbildung 3.3 exemplarisch die Haufig-keitsverteilungen der drei Kenngroßen

⟨

h2p

⟩

, 〈κp〉 und⟨

κ2p

⟩

fur die 1000 erzeugtenOberflachen. Es ist erkennbar, dass sich fur alle drei Kenngroßen feste Werteergeben. Bei unendlich großen Oberflachen musste jede der 1000 Realisierungenexakt die gleichen Werten

⟨

h2p

⟩

, 〈κp〉 und⟨

κ2p

⟩

aufweisen.

3.3 Umrechnung der Oberflachentopographie

Die Nutzung von Modellen niedrigerer Dimension (1D oder 2D anstelle von 3D)erfordert auch eine Umrechnung der Oberflachentopographie. Im folgenden wirdgezeigt, wie 1D-Oberflachen erzeugt werden konnen, deren Kappenstatistik mitder Kappenstatistik einer gegebenen 2D-Oberflache in gewunschter Beziehungzueinander steht3.

Zwei Varianten sind denkbar

1. Aus C2D wird eine 2D-Oberflache h (x, y) erzeugt. Anschließend werden furdie erzeugte Oberflache die Hohen und Krummungen der Kappen bestimmt.Schließlich wird ein 1D-Kappenmodell aus diesen Daten erzeugt.

2. Aus C2D wird mittels einer geeigneten Transformation ein Spektrum C1D

3Gemaß Abschnitt 2.5 sind die Beziehungen⟨

h2p

⟩

1D=⟨

h2p

⟩

2Dund 〈κp〉1D = 2 〈κp〉2D

wunschenswert.

3.3. UMRECHNUNG DER OBERFLACHENTOPOGRAPHIE 29

berechnet. Anschließend wird aus diesem Spektrum eine 1D-Oberflache er-zeugt.

Falls Variante 2 funktioniert, ist diese klar zu bevorzugen.

3.3.1 Analytische Uberlegungen

Fur die 2D-Oberflache sei das gemessene Hohenprofil z = h (x) mit x = (x, y).Dann ist, wie bereits in Abschnitt 3.1 ausgefuhrt, das Leistungsspektrum derRauheiten bei isotropen Oberflachen

C2D (q) =1

(2π)2

∫

〈h (x)h (0)〉 e−iq·x d2x . (3.11)

Analog kann fur die 1D-Oberflache

C1D (q) =1

2π

∫

〈h (x) h (0)〉 e−iqx dx (3.12)

eingefuhrt werden. Die Dimension von C2D ist Lange hoch 4, von C1D ist es Langehoch 3. Die Oberflachentopographie kann aus dem Leistungsspektrum wie folgtgewonnen werden [90]:

h (x) =∑

q

B2D (q) exp (i (q · x + φ (q))) , (3.13)

wobei φ (q) = −φ (−q) im Intervall [0, 2π) gleichverteilte Zufallszahlen sind und

B2D (q) =2π

L

√

C2D (q) = B2D (−q) . (3.14)

Analog erfolgt die Generierung des Profils im 1D-Fall:

h (x) =∑

q

B1D (q) exp (i (qx+ φ (q))) (3.15a)

B1D (q) =

√

2π

LC1D (q) = B1D (−q) . (3.15b)

Fur den quadratischen Mittenrauwert gilt

⟨

h2⟩

2D=

∞∫

−∞

∞∫

−∞

C2D (q) d2q = 2π

∞∫

0

qC2D (q) dq (3.16a)

⟨

h2⟩

1D=

∞∫

−∞

C1D (q) dq = 2

∞∫

0

C1D (q) dq . (3.16b)

Die quadratischen Mittenrauwerte sind fur beliebige Wellenzahlen q0 und q1gleich, sofern

C1D (q) = πqC2D (q) (3.17)

gilt. Wenn von einer Normalverteilung der Hohen ausgegangen wird, ist 〈h2〉 diecharakteristische Große der Hohenverteilung.


Fur die mittleren quadratischen Profilkrummungen (rms profile curvature) gilt

⟨

κ2⟩

2D=

∞∫

−∞

∞∫

−∞

q4C2D (q) d2q = 2π

∞∫

0

q5C2D (q) dq (3.18a)

⟨

κ2⟩

1D=

∞∫

−∞

q4C1D (q) dq . (3.18b)

Wenn die Bedingung (3.17) erfullt ist, sind auch die mittleren quadratischenProfilkrummungen fur beliebige Wellenzahlen q0 und q1 gleich.

3.3.2 Numerische Experimente

Die in den Abschnitten 3.2.2 und 3.2.3 untersuchten Oberflachen sind aus Spek-tren C1D bzw. C2D erzeugt, die der Umrechnungsvorschrift (3.17) genugen. Furden Fall q1 = 2q0 lasst sich aus den Abbildungen 3.1 und 3.2 das folgende Ergebnisablesen:

⟨

h2p

⟩

1D≈⟨

h2p

⟩

2D

〈κp〉1D ≈ 1,8 〈κp〉2D⟨

κ2p

⟩

1D≈ 2,0

⟨

κ2p

⟩

2D.

Gemaß Abschnitt 2.5 muss fur die Krummungsradien R3D = 2R1D gelten. Wirddie Steifigkeit cn so gewahlt, dass die Relation F (d) stimmt, dann ergibt sichwegen 〈κp〉1D ≈ 1,8 〈κp〉2D ein Fehler in der Kontaktgroße a. Fur das Verhaltnisder Kontaktradien in beiden Modellen ergibt sich

a1D

a3D=

√

2R1D

R3D.

Im Fall q1 = 2q0 folgt aus R3D = 1,8R1D fur die Kontaktradien a1D = 1,05a3D.Der Kontaktradius wird im 1D-Modell in diesem Fall um 5% zur groß berechnet.Angesichts der Einfachheit des Modells ein akzeptables Ergebnis.Auch fur 2 < q1/q0 ≤ 10 funktioniert die Umrechnung fur die Topkappen gut.Fur den Kontaktradius im 1D-Modell ergibt sich a1D ≈ 1,07a3D.Die in Abbildung 3.2 gezeigten Ergebnisse basierten auf der Approximation durchKugelkappen. Werden statt dessen zur Approximation Ellipsoiden genutzt, andertsich der Umrechnungsfaktor f2 geringfugig. Es ist dann f2 ≈ 1,25. Das fuhrtzu einem Fehler im Kontaktradius von 2%, was erwartungsgemaß ein besseresErgebnis im Vergleich zu Kugelkappen ist.

3.3.3 Langenumrechnung

Voruberlegung

Fur eine konkrete gegebene 2D-Oberflache soll die aquivalente 1D-Oberflacheerzeugt werden. Dazu ist neben der Umrechnung des Spektrums auch die Berech-nung der Lange der 1D-Oberflache notwendig. Betrachtet wird eine Oberflache


mit einer einzigen Wellenzahl λ. Fur die Zahl der Kappen gilt dann naherungs-weise

NK =

(

L2

λ

)2

bzw. NK =L1

λ, (3.19)

wobei L1 die Lange der 1D-Oberflache und L2 die lineare Abmessung der 2D-Oberflache sind. Die Umrechnung der Langen ist dann

L1 =1

λL2

2 =q

2πL2

2 ≈ 0,159qL22 . (3.20)

Numerische Experimente

Umfangreiche numerische Experimente mit C1D = πqC2D und 2 ≤ q1/q0 ≤ 10zeigen, dass die absolute Zahl der (hohen) Kappen fur 2D- und 1D-Oberflachenubereinstimmt, wenn die einfache Beziehung

L1 = qL22 = 0,15q1L

22 (3.21)

erfullt ist.Fur kleinere Verhaltnisse q1/q0 gilt das Ergebnis (3.21) nicht mehr. Zudem sollteder Umrechnungsfaktor im allgemeinen das Spektrum enthalten. Bei einem Spek-trum ohne obere Grenze4 q1 kann die Formel (3.21) auch nicht funktionieren.Ein Ansatz fur den Umrechnungsfaktor, bei dem die Dimension stimmt und derdas Spektrum in integraler Form enthalt, lautet

q = A

∫

C(q)qndq∫

C(q)qn−1dq. (3.22)

Fur ein konstantes Spektrum C im Intervall [q0, q1] und q1 � q0 ergibt sich derexperimentell festgestellte Zusammenhang q ∝ q1.In weiteren numerischen Experimenten wurden 1D- und 2D-Oberflachen mit ver-schiedenen Werten q0 und q1/q0 ≥ 1,1 und unter Beachtung der Umrechnungs-vorschrift C1D = πqC2D erzeugt. Anschließend wurde der Faktor q in der Um-rechnungsformel

L1 = qL22 (3.23)

fur die Langen bestimmt. Die Langen L1 und L2 mussen so umgerechnet werden,dass die Zahl der Kappen in beiden Fallen ubereinstimmt. Anschließend werdendie Koeffizienten A und n des Ansatzes

q = Aq0ξn+1 − 1

ξn − 1; ξ =

q1q0

(3.24)

so bestimmt, dass der Approximationsfehler moglichst klein ist. Es ergeben sichdie Werte A = 0,152, n = 4,41. Fur große Werte von ξ (z. B. ξ > 2) giltq = Aq1. Fur ξ → 1 ist der Wert q = An+1

n. Der kleinste in den Simulationen

berucksichtigte Wert ist ξ = 1,1.A ist der Wert, der sich fur große q1/q0 ergeben hatte (linearer Zusammenhang(3.21)).

Abbildung 3.4 gibt Aufschluss uber die Sensitivitat des Fehlers gegenuber Ande-rungen der Parameter A und n. Gezeigt ist das Verhaltnis des Fehlers fur ein

4z.B. ein Spektrum, das exponentiell nach außen abfallt


00.10.20.30.4

0

5

10

0

100

200

300

400

PSfrag replacements

A

n 2

4

6

8

10

12

14

16

18

0.145 0.15 0.155 0.163

4

5

6

7

8

9

10

PSfrag replacements

A

n

Abbildung 3.4: Sensitivitat der Approximation (3.24) gegenuber Anderungen derParameter A und n (Abweichung der Approximation (3.24) fur Paare (A, n) be-zogen auf die minimale Abweichung)

Paar (A, n) bezogen auf den Fehler5 bei der optimalen Losung. Es ist erkennbar,dass der Fehler nicht sehr sensitiv gegenuber Anderungen des Parameters n ist.

Praktische Konsequenzen

Gemaß Gleichung (3.23) ist das 1D-System sehr groß zu wahlen; soll die gleicheZahl an Kappen vorhanden sein wie im 3D-System, muss die Oberflache in beidenFallen mit einer ahnlichen Zahl an Punkten modelliert werden. Das widersprichtdem Bestreben, ein Simulationsmodell mit deutlich weniger Freiheitsgraden auf-zubauen.Es kann, solange das 1D-System ausreichend groß fur eine reprasentative Darstel-lung der Oberflache gewahlt wird, nur ein Teil des 1D-Systems fur die Simulationherangezogen werden. Wird z.B. nur 1% der Lange genommen, mussen die Kraftemit dem Faktor 100 skaliert werden.

3.3.4 Uberblick

Abbildung 3.5 zeigt im Uberblick das Verfahren zur Berechnung des Kontaktpro-blems mit dem eindimensionalen Modell.Ausgehend von gemessenen Oberflachen wird das Leistungsspektrum C2D be-rechnet. Dazu ist es sicher sinnvoll, die Oberflache an mehreren Stellen und mitverschiedenen Auflosungen zu vermessen.Anschließend werden das Leistungsspektrum C1D und daraus die eindimensiona-le Oberflache berechnet. Unter Berucksichtigung der Materialeigenschaften wirdschließlich das eindimensionale Simulationsmodell erzeugt. Wahrend der Simu-lation werden die Bewegungsgleichungen der Teilchen numerisch gelost6. Ausden Berechungsergebnissen konnen anschließend die Großen von Interesse ex-trahiert werden. Dies sind insbesondere die Große und Lage der Kontaktgebie-te, die Druckverteilung und die Normalkraft sowie die Reibungskraft und dieVeranderung der Oberflachentopographie.

52-Norm der Abweichung zwischen Simulation und Ergebnis der Approximationsformel(3.23)

6Ausfuhrungen zu numerischen Aspekten erfolgen in Kapitel 4.


PSfrag replacements

Messung der Oberflache

C2D gemaß Gl. (3.3) berechnen

C1D gemaß Gl. (3.17) aus C2D berechnen

1D Oberflache aus C1D erzeugen

Bezugslange L1 gemaß Gl. (3.21) berechnen

Federsteifigkeiten aus

Materialparametern

bestimmen

Simulation

Spannungsberechnung gemaß Gl. (2.18)

Losen der Bewegungsgleichungen (5.23) und (5.24)

Ergebnisse: Kontaktgebiete (Druckverteilung, Große), Normalkraft,

Reibungskraft, Veranderung der Oberflachentopographie

Abbildung 3.5: Uberblick uber das Verfahren zur Dimensionsreduktion dreidi-mensionaler Kontaktprobleme auf eindimensionale


Abbildung 3.6: Zweidimensionale Oberflachentopographie (links) und fur einenWert der Normalkraft resultierende Mikrokontakte (rechts)

Die Richtigkeit des Vorgehens kann geeigneter weise durch numerische Vergleichs-rechnungen erfolgen. Dazu konnen eine Vielzahl von Kontaktproblemen mit sto-chastischen Oberflachen numerisch mit dem 1D-Modell und einem 3D-Modellgelost und anschließend verglichen werden. Einige Ergebnisse von Vergleichsrech-nungen werden in Abschnitt 3.4 vorgestellt. Dabei wird das dreidimensionaleProblem mit der Randelementemethode behandelt.Als 3D-Modell bietet sich zudem das hierarchische Modell von Heß und Popovan. Sobald das hinsichtlich numerischer Aspekte optimierte 3D-Modell zur Ver-fugung steht, sollten diese Vergleichsrechnungen weitergefuhrt werden. Dabei istu. a. zu untersuchen, ob die Umrechnung der Spektren gemaß Gleichung (3.17)auch hinsichtlich anderer kontaktmechanischer Fragestellungen geeignet ist undwie sich die Beschrankung auf einen Krummungsradius beim adhasiven Kontaktauswirkt.

3.4 Simulation mit rauen Oberflachen

Zunachst sollen nun elastische Kontakte mit stochastisch rauen Oberflachen simu-liert werden7. Dazu werden zweidimensionale Oberflachen mittels (3.13) fur eingegebenes Spektrum erzeugt. Die Untersuchungen beziehen sich auf das bereitsuntersuchte Spektrum (3.10).Anschließend werden mit der in Abschnitt B.1.2 beschriebenen Randelementeme-thode die Beziehungen zwischen Normalkraft F und Annaherung d sowie zwischenNormalkraft F und Kontaktflache A bestimmt.Abbildung 3.6 zeigt exemplarisch fur eine Oberflache (links) und einen Wert derNormalkraft das resultierende Kontaktgebiet (rechts). Die (gesamte, wahre) Kon-taktflache ist die Summe der Flachen aller Mikrokontakte.

Die eindimensionle Oberflache wurde mit einem Spektrum gemaß der Umrech-nungsvorschrift (3.17) erzeugt. Bei der Berechnung der Kraft und Kontaktflachewurde die Beziehung (3.21) fur die Langenumrechnung berucksichtigt, d. h. eswurden eindimensionale Oberflachen mit einer bestimmten Lange L1 benutzt,

7In Abschnitt 5.8 werden numerische Simulationen von adhasiven Kontakten mit gewelltenOberflachen und rauen Oberflachen mit festem Kappenradius durchgefuhrt.

3.4. SIMULATION MIT RAUEN OBERFLACHEN 35

PSfrag replacements

A/A

ges

F

0

0.04

0.08

0.12

3D Ergebnis 1D Ergebnis

3D Approx.

0 1 2 3

Abbildung 3.7: Beziehung zwischen Normalkraft F und Kontaktflache A, Ver-gleich 1D (blau, gepunktet) und 3D (rot, Fehlerbalken (Standardabweichung aus450 Werten), grun, gestrichelt: lineare Approximation der Mittelwerte). Die Kur-ven fur die 1D-Simulation und die lineare Approximation der 3D-Simulation sindkaum voneinander zu unterscheiden, weil sie nahezu ubereinstimmen.

und die Ergebnisse wurden dann mit dem Faktor L1/L1 skaliert. Im eindimen-sionalen Modell werden die Mikrokontakte durch ihre Lange ai charakterisiert.In der Simulation werden zusammenhangende Kontaktgebiete als Mikrokontakteidentifiziert. Die Gesamtkontaktflache im eindimensionalen Modell wird dann ausder Lange der einzelnen Kontaktgebiete ai gemaß

A1D =π

4

∑

a2i (3.25)

berechnet.

Abbildung 3.7 zeigt die Beziehung zwischen Normalkraft F und KontaktflacheA im Vergleich zwischen dem dreidimensionalen und dem eindimensionalen Mo-dell. Da nur zweidimensionale Oberflachen mit maximal 64 × 64 Punkten un-tersucht werden konnen, gibt es sichtbare Abweichungen zwischen den Kurvenfur verschiedene Oberflachen. Diese Abweichungen sind in Abbildung 3.7 durchFehlerbalken dargestellt, wobei diese die Standardabweichung von den jeweiligenMittelwerten zeigen. Die Kurve fur die zweidimensionalen Oberflachen basierenauf Berechnungen mit 450 unterschiedlichen Oberflachen.

Es ergibt sich erwartungsgemaß ein annahernd linearer Zusammenhang zwischenNormalkraft und Kontaktflache. Zudem wird eine gute Ubereinstimmung zwi-schen den beiden Modellen (1D und 3D) festgestellt. Die lineare Approximationder Mittelwerte der 2D-Ergebnisse (grun, gestrichelt) und das 1D-Ergebnis (blau,gepunktet) sind nahezu identisch.

Fur Vergleiche verschiedener numerischer Berechnungen fur den elastischen Kon-takt von Korpern mit selbstaffiner Oberflache wird der dimensionslose Parameterκ herangezogen (siehe Gl. (1.2), Seite 6). Fur die Berechnungen aus Abbildung3.7 ergibt sich κ = 2,9. Das ist großer, als die von Persson (1,6) und Bush (2,5)


0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

20 40 60 80 100 120

−10

0

10

20

30

20 40 60 80 100 120

−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

PSfrag replacements

σV

Abbildung 3.8: Ausschnitt aus einem 1D-Modell, oben: Oberflache und gedachteLinie der Durchdringung, unten: Vergleichsspannung nach Gl. (2.29)

theoretisch vorhergesagten und von Campana et al. [18] und Hyun et al. [51, 52]numerisch berechneten Werte. Dazu ist jedoch anzumerken, dass bei den obengenannten Berechnungen stets selbstaffine Oberflachen betrachtet wurden. Hierhingegen wurden stochastische Oberflachen betrachtet, die in einem bestimmtenWellenzahlbereich ein konstantes Spektrum aufweisen.

Die in diesem Abschnitt diskutierten numerischen Berechnungen sind unabhangigvom Greenwood-Williamson-Modell. Die Bezugnahme auf dieses Modell in denAbschnitten 3.2 und 3.3 diente der Motivation und gab Hilfestellung beim Auffin-den der Umrechnungsformel (3.17) fur die Leistungsspektren der Rauheiten. DieGultigkeit und Gute des Simulationsmodells mussen durch Vergleichsrechnungensichergestellt werden.

Innere Spannungen

Mit der in Abschnitt 2.7 vorgestellten Methode konnen fur den elastischen Kon-takt auch die Spannungen im Innern berechnet werden. Fur die Asperiten wirdaus Gl. (2.15) die Spannung an der Oberflache berechnet, um anschließend mit-tels der Fundamentallosung die inneren Spannungen zu berechnen. Abbildung 3.8zeigt fur einen kleinen Ausschnitt aus einem eindimensionalen Berechnungsmo-dell die auf diesem Wege berechneten Vergleichsspannungen σV gemaß Gl. (2.29).Es sei darauf hingewiesen, dass die Abbildung 3.8 keinen Schnitt durch ein dreidi-mensionales System darstellt, sondern eine reprasentative Darstellung der innerenSpannungen beim dreidimensionalen Problem mit stochastischer Oberflache.

Kapitel 4

Numerische Aspekte fur den

elastischen Kontakt

Im folgenden Kapitel werden einige numerische Aspekte im Zusammenhang mitden diskutierten Simulationsmodellen eingehender besprochen. Oft entscheidetdie Wahl der richtigen numerischen Methode uber Erfolg oder Misserfolg einerSimulation.Der Hauptteil der Berechnungen sind dynamische Simulationen. Entsprechendwird die Losung der zugrunde liegenden gewohnlichen Differentialgleichungen zu-erst besprochen. Ein Teil der Probleme sind eigentlich statische Kontaktprobleme.Daher wird im Anschluss an die Ausfuhrungen zu den dynamischen Simulationendas statische Problem naher betrachtet.Bei dynamischen Problemen mussen die Bewegungsdifferentialgleichungen fur je-des Teilchen aufgestellt werden. Zur numerischen Losung konnen, abhangig vonden genauen Wechselwirkungen, verschiedene Differentialgleichungsloser verwen-det werden. Statische Kontaktprobleme konnen ebenso durch dynamische Simu-lationen (mit uberkritischer Dampfung) gelost werden. Im Bereich der Simulationvon Mehrkorpersystemen (MKS) wird dieses Verfahren haufig angewendet. Vor-teile dieses Vorgehens sind:

• Es kann das gleiche Computerprogramm fur dynamische und statische Si-mulationen verwendet werden.

• Die dynamische Simulation konvergiert zu einer statischen Losung (bei aus-reichend Dampfung). Numerische Verfahren zur Losung von nichtlinearenGleichungssystemen (insbesondere Newton-Verfahren) konvergieren bei er-ratbaren Startwerten u. U. nicht.

• Dynamische Simulationen konnen Phanomene wie Abreißen beim zugbela-steten adhasiven Kontakt oder Gedachniseffekte berucksichtigen.

4.1 Losung von Differentialgleichungen

4.1.1 Ubersicht uber Verfahren

Methoden zur Losung von Systemen gewohnlicher Differentialgleichungen kon-nen auf verschiedene Arten klassifiziert werden; insbesondere werden explizite

37

38 KAPITEL 4. NUMERISCHE ASPEKTEPSfrag replacements

100 101 102 103 104

tR [s]

ode15s mit expliziter Jacobimatrix

ode15s mit Muster der Jacobimatrix

ode15s ohne Jacobimatrix

ode45

Abbildung 4.1: Berechnungszeiten tR fur 2000 Teilchen

und implizite Loser unterschieden und Einschritt- und Mehrschrittverfahren [101,108].Implizite Loser sind bei steifen Differentialgleichungssystemen notwendig. Sie er-lauben bei steifen Problemen i. a. eine sehr viel großere Schrittweite als ver-gleichbare explizite Loser. Bei einem impliziten Loser ist die Berechnung jedeseinzelnen Zeitschritts hingegen sehr viel aufwendiger, da stets ein lineares Glei-chungssystem gelost werden muss. Matlab stellt u. a. die Loser ode15s (implizit)und ode45 (explizit) zur Verfugung. Bei dem impliziten Loser ode15s gibt es dieMoglichkeit, die Jacobimatrix explizit als Funktion der Zeit und des Zustandesanzugeben oder mittels finiter Differenzen zu approximieren. Die zweite Methodeist die gangige, weil die explizite Angabe der Jacobimatrix aufwendig, manchmalpraktisch unmoglich ist. Beide Routinen, ode15s und ode45, haben eine automa-tisch Schrittweitensteuerung. Die Schrittweite wird so gewahlt, dass vorgegebeneFehlerschranken eingehalten werden.

4.1.2 Beispiel

Betrachtet wird das 1D Modell mit einem elastischen und einem starren Korper.Alle Teilchen konnen sich nur in vertikaler Richtung bewegen. Jedes Teilchender elastischen Oberflache erfahrt in Abhangigkeit vom Abstand von der starrenOberflache eine Kraft gemaß Abbildung 5.6. Es werden die Differentialgleichungendes uberkritisch gedampften Systems

x = Λf(x) (4.1)

gelost fur den Kontakt einer ebenen mit einer gekrummten Oberflache.Abbildung 4.1 gibt einen Uberblick uber die notwendigen Rechenzeiten bei Ver-wendung von 2000 Teilchen. Vier verschiedene Varianten werden untersucht:

1. Das Losen mit dem expliziten Loser ode45 erfordert wenig Speicher, dieRechenzeiten sind bei vorgegebener Fehlerschranke jedoch sehr hoch.

2. Das Losen mit dem impliziten Loser ode15s geht im vorliegenden Fall sehrviel schneller, auch wenn die Jacobimatrix numerisch mit der Methode derFiniten Differenzen approximiert wird. Bei 3000 Teilchen ist ein Losen desDifferentialgleichungssystem aus Speichergrunden nicht mehr moglich.

4.2. LOSUNG DES STATISCHEN KONTAKTPROBLEMS 39

3. Gibt man das Muster der Jacobimatrix beim Aufruf von ode15s explizit an,ist die Rechenzeit nochmals kurzer und ein System mit 3000 Teilchen kannnoch berechnet werden. Bei 4000 Teilchen ist jedoch auch hier Schluss. MitMuster der Jacobimatrix ist gemeint, an welcher Stelle von 0 verschiedeneEintrage in der Jacobimatrix auftreten konnen. Das Muster anzugeben istsehr viel einfacher, als die Jacobimatrix explizit anzugeben, denn fur dasMuster reicht die Information welche Teilchen einander beeinflussen.

4. Wird beim Aufruf von ode15s die Jacobimatrix explizit als Funktion vonZeit und Zustand angegeben, geschehen die Berechnungen nochmals deut-lich schneller. Zudem konnen auch Systeme mit 10000 Teilchen muhelosberechnet werden (siehe unten). Allerdings muss die Jacobimatrix in sparse-Form angegeben werden.

Wird ein System aus 10000 Teilchen betrachtet, ergibt sich folgendes Bild: der ex-plizite Loser ode45 benotigt 7 Stunden, der implizite Loser ode15s mit expliziterJacobimatrix benotigt 7 Sekunden.

4.1.3 Differentialgleichungen mit Rauschen

Bei der Simulation mikroskopischer oder mesoskopischer Teilchensysteme tretenhaufig stochastische Terme in den Differentialgleichungen auf. Dieses Rauschenist z.B. durch thermische Fluktuationen bedingt.Erfahrungen mit Molekulardynamik (MD) und der Methode der beweglichen zel-lularen Automaten (MCA) zeigen, dass in diesem Fall Verfahren hoherer Ordnungoder Mehrschrittverfahren nicht sinnvoll sind [106]. Zum einen lassen die Rausch-terme nur eine bestimmte Schrittweite zu, und zum anderen ist die Vorhersagedes Zustandes aus den Zustanden der letzten Zeitschritte nicht besser als die Vor-hersage aus dem Zustand des letzten Zeitschritts. Zudem neigen solche Verfahrenbei großen Systemen zu Instabilitat.Bei MD und MCA Simulationen ist zudem die Berechnung der Wechselwirkungs-krafte der zeitaufwendigste Teil. Daher werden Verfahren genutzt, die moglichstwenig Funktionsaufrufe je Iteration benotigen. Gangige Verfahren sind das einfa-che Euler-Verfahren und der Verlet-Algorithmus.

4.2 Effiziente Losung des statischen Kontakt-

problems

In den folgenden Ausfuhrungen wird gezeigt, wie statische Kontaktprobleme mitdem 1D Teilchenmodell und dem im Anhang B vorgestellten hierachischen Modellmaßgeschneidert numerisch gelost werden konnen. Dies schließt eine Diskussionder Rechenzeiten und des Speicherbedarfs der verschiedenen Algorithmen ein.Das Standardverfahren zur Losung von nichtlinearen Gleichungssystemen

f (x) = 0

ist das Newton-Verfahren. In der Regel ist die zugehorige Jacobimatrix J explizit(in analytischer Form) nicht bekannt. Dann muss die Jacobimatrix J mittelsder Funktion f numerisch approximiert werden. Das erfordert eine hohe Zahl

40 KAPITEL 4. NUMERISCHE ASPEKTE

von Funktionsaufrufen [108]. Große Systeme schwach gekoppelter nichtlinearerGleichungen konnen mit dem SOR-Newton-Verfahren [83, 118] gelost werden.Bei diesem Verfahren wird nicht die Jacobimatrix J berechnet, sondern nur derenDiagonalelemente.

Die untersuchten Modelle liefern ein System schwach gekoppelter nichtlinearerGleichungen. Die Jacobimatrix J kann (mit etwas Muhe) sowohl fur das 1D Teil-chenmodell als auch fur das hierarchische Modell analytisch angegeben werden.Mit herkommlichen Matrixmethoden kann dennoch aus Speicherplatzgrundennicht gearbeitet werden. Schon bei 103 Teilchen hat die Jacobimatrix 106 Ein-trage. Da die Gleichungen jedoch schwach gekoppelt sind, konnen Methoden furdunn besetzte Matrizen (sparse matrix methods) angewendet werden. Bei demvorliegenden hierachischen Modell mit N Teilchen hat die Jacobimatrix N 2 Ein-trage. Davon sind allerdings nur sehr wenige von 0 verschieden. Es ist dahersinnvoll, nur die von 0 verschiedenen Elemente der Jacobimatrix zu berechnenund zu speichern. Bei der Losung des linearen Gleichungssystems im Newton-Iterationsschritt mussen entsprechend modifizierte Algorithmen (sparse matrixmethods) benutzt werden.

Untersucht man Modelle, bei denen nur ein beteiligter Kontaktpartner elastischist, ergeben sich fur das hierarchische Modell ungefahr 6N von 0 verschiedeneEintrage, fur das 1D Modell ca. 4N .

Das SOR-Newton-Verfahren kommt demnach nicht zur Anwendung, weil das klas-sische Newton-Verfahren kombiniert mit der explizit bekannten Jacobimatrix undden speziellen Methoden fur dunn besetzte Matrizen sehr viel effizienter ist.

Der Kontakt mit der starren Wand wird uber eine Exponentialfunktion model-liert (Abschnitt B.2.3). Um einen Uberlauf zu verhindern, muss die Schrittweitebeschrankt werden. Numerische Experimente zeigen, dass die Vorgabe einer ma-ximalen Schrittweite die Zahl der notigen Iterationen nicht wesentlich beeinflusst.In den folgenden Abschnitten werden verschiedene Verfahren zur Losung des sta-tischen Kontaktproblems auf Basis des in Abschnitt B.2.3 vorgestellten hierar-chischen Modells verglichen. Alle Ausfuhrungen zu den Rechenzeiten beziehensich auf die Berechnung der Gleichgewichtslage beim Andrucken des elastischenKorpers gegen eine starre Ebene. Diese Aussagen zu den Rechenzeiten sind aufdas 1D Modell ubertragbar.

4.2.1 Numerisch approximierte Jacobimatrix

Die Abbildungen 4.2 und 4.3 geben Auskunft uber die Rechenzeiten bei Ver-wendung einer numerisch approximierten Jacobimatrix. Schon bei 2047 Teilchenbetragt die Rechenzeit zur Ermittlung der statischen Ruhelage 18 Minuten. Dergroßte Teil der Rechenzeit wird zur naherungsweisen Bestimmung der Jacobima-trix benotigt.

Ein Modell mit nT Teilchen fuhrt auf ein nichtlineares Gleichungssystem mit nT

Gleichungen. Die zugeordnete Jacobimatrix hat n2T Eintrage. Jede gespeicherte

Zahl (double) erfordert 8 Byte Speicherplatz. Bei nT = 2047 ergibt sich somitein Speicherbedarf von ca. 32 MB. Bei nT = 4095 werden fast 130 MB benotigt;in der benutzten Matlab-Version fuhrt das zum Abbruch1.

Werden hingegen nur die von 0 verschiedenen Elemente gespeichert, ist bei nT =

1Fehlermeldung: Out of memory


PSfrag replacements

∥ ∥

f(x

)∥ ∥

nIt nIt

t R[s]

10−4

10−6

10−8

10−10

10−12

2 2 33 4 45 56 6

50

100

150

Abbildung 4.2: Numerisch approximierte Jacobimatrix: Rechenzeit (links) undResiduum (rechts) fur verschiedene Iterationszahlen nIt (10 Schichten, 1023 Teil-chen)

PSfrag replacements

t R/n

It[s]

nT nT

t R[s]

104

104

104 103

103

103

103101 101

101

101

100100

102

10−110−1

102

102

102

102

(2)

(2)

(3)

(4)

(4)

(5)

Abbildung 4.3: Numerisch approximierte Jacobimatrix: Rechenzeit gesamt (links)und je Iteration (rechts) fur nT Teilchen (in Klammern Zahl der Iterationen beigegebenem Abbruchkriterium)


PSfrag replacements

∥ ∥

f(x

)∥ ∥

nItnIt

t R[s]

10−4

10−6

10−8

10−10

10−12

22 33 44 5 5 660

1

2

3

Abbildung 4.4: Explizit gegebene Jacobimatrix: Rechenzeit (links) und Residuum(rechts) fur verschiedene Iterationszahlen nIt (10 Schichten, 1023 Teilchen)

4095 der Speicherbedarf ungefahr 160 kB. Neben dem Speicherbedarf lasst sichauch die Rechenzeit durch Nutzung von maßgeschneiderten Methoden fur dunnbesetzte Matrizen erheblich verkurzen. Beim Losen der entsprechenden linearenGleichungssysteme werden dann nur die tatsachlich von 0 verschiedenen Elementemanipuliert. Iterative Methoden werden anstelle der direkten Methoden verwen-det.

4.2.2 Verwendung der expliziten Jacobimatrix

Bei gegebener Zahl an Iterationen liefert die Methode mit der numerisch ap-proximierten Jacobimatrix das gleiche Residuum wie die Methode mit explizitbekannter Jacobimatrix. Die numerische Approximation der Jacobimatrix funk-tioniert im vorliegenden Fall vermutlich deshalb exzellent, weil das zu losendeGleichungssystem numerisch

”gutmutig“ ist. Nichtlinearitaten treten nur im Zu-

sammenhang mit der Modellierung der Wand auf.

In der Rechenzeit unterscheiden sich die beiden Verfahren jedoch erheblich. Fur2047 Teilchen spart man durch die explizit bekannte Jacobimatrix ungefahr 99%der Rechenzeit gegenuber der numerischen Approximation. Im Detail laßt sichdurch Vergleich der Abbildungen 4.2 und 4.3 mit 4.4 und 4.5 der Geschwindig-keitsvorteil ablesen.

Der Rechenzeitvorteil liegt, wie bereits erwahnt, darin begrundet, dass bei nT

Teilchen zur numerischen Approximation der Jacobimatrix N Funktionsaufrufenotig sind. Jeder Funktionsaufruf ist zeitaufwendig.

In Kombination mit der ausschließlichen Speicherung der von 0 verschiedenenElemente konnen auf diese Weise auch große Systeme berechnet werden. BeinT = 16383 werden fur die Jacobimatrix ca. 640 kB Speicherplatz benotigt. DieRechenzeit fur das gestellte Problem betragt weniger als 15 Minuten2.

2Erfahrungen des Autors mit Matlab- und C-Routinen lassen vermuten, dass durch Imple-mentierung der rechten Seite des Gleichungssystems in C eine Geschwindigkeitssteigerung umden Faktor 5 erreicht werden kann.


PSfrag replacements

t R/n

It[s]

nT nT

t R[s]

104104

103

103103

103

101101

101 101

100 100

102

102102

102

10−1 10−1

10−2 10−2

105 105

(3)(3)

(4)

(5)

(5)

(6)

(7)

(7)(8)

Abbildung 4.5: Explizit gegebene Jacobimatrix: Rechenzeit gesamt (links) und jeIteration (rechts) fur nT Teilchen (in Klammern Zahl der Iterationen bei gegebe-nem Abbruchkriterium)

4.2.3 Mehrgitter-Verfahren

Mit dem Begriff Mehrgitter-Verfahren werden im weiteren Sinne Verfahren be-zeichnet, die zur Losung verschieden feine Diskretisierungen benutzen. Besondersweit verbreitet sind diese Verfahren bei der Simulation von Problemen aus derStromungmechanik einschließlich der Schmierungstechnik [118].

Grundidee des hier zur Anwendung kommenden Verfahrens Numeri-sche Verfahren zur Losung nichtlinearer Gleichungssysteme benotigen meist einenStartwert. Abhangig vom Verfahren gibt es Konvergenz nur bei einem hinreichendguten Startwert. Zudem hangt, wenn das Verfahren vom gegebenen Startwert be-ginnend konvergiert, die Konvergenzgeschwindigkeit vom Startwert ab.

Bei Problemen der Elastizitatstheorie ist der unverformte Zustand ein leicht an-zugebender Startwert; ein besserer Startwert ist haufig nicht oder nur mit vielMuhe zu erhalten.

Eine mogliche Idee zur Verkurzung der Rechenzeit ist eine mehrstufige Berech-nung. Mit einem groben Gitter wird eine Losung berechnet. Da deutlich weni-ger Gleichungen zu losen sind, wird nur eine vergleichsweise kurze Rechenzeitbenotigt. Das Ergebnis dieser Berechnungen wird dann auf das feine Gitter in-terpoliert. Der auf diese Weise bestimmte Startwert ist (in der Regel) sehr vielbesser als ein geratener Startwert. Unter Umstanden genugt dann eine Iterationmit dem feinen Gitter, um die gewunschte Genauigkeit zu erzielen. Denkbar sindsowohl Verfahren mit zwei verschiedenen Gittern, als auch Verfahren mit mehrals zwei Gittern.

Anwendung auf hierarchisches Modell Die Verfeinerung des Gitters wirdim betrachteten Modell wie folgt vorgenommen: Es wird eine Schicht unten hin-zugefugt, wodurch sich die Teilchenanzahl (ungefahr) verdoppelt. Der Abstandder Teilchen in der untersten Schicht wird wieder auf 1 gesetzt, so dass sich dieLangeneinheit des Modells halbiert. Anschließend werden die Verschiebungen derTeilchen des feineren Gitters mittels linearer Interpolation aus den Verschiebun-gen des groberen Gitters berechnet.


PSfrag replacements

Rechenzeit: 20 s (4 Iter.)

Residuum: 1,4 · 10−7

Teilchenzahl nT = 511


Residuum: 2,4 · 10−10


Interpolation

2 Gitter 1 Gitter


Residuum: 3,2 · 10−12


Abbildung 4.6: Vergleich zwischen ein- und zweistufigem Verfahren: gesparte Re-chenzeit: 71%; Berechnungen mit numerisch approximierter Jacobimatrix

Ergebnisse Abbildung 4.6 zeigt exemplarisch den Rechenzeitvorteil des zwei-stufigen Verfahrens, wenn die numerisch approximierte Jacobimatrix verwendetwird. Das Verfahren in 2 Schritten benotigt weniger als 30% der Rechenzeit desdirekten Verfahrens, d.h. gegenuber der direkten Berechnung werden mehr als70% der Rechenzeit eingespart3.

Nutzt man die explizite Jacobimatrix, kann Rechenzeit in ahnlicher Große gespartwerden. Fur nT = 16383 (14 Schichten) kann man entweder direkt rechnen (8Iterationsschritte) oder in zwei Schritten (7 Iterationsschritte mit nT = 8191 undein Iterationsschritt mit nT = 16383), wobei die zweite Variante ca. 65% wenigerRechenzeit benotigt.

Es bleibt zu untersuchen, ob dieses Verfahren auch dann noch deutliche Rechen-zeitvorteile besitzt, wenn die Unterlage rau (und nicht glatt) ist und wenn dasMaterialverhalten nichtlinear ist.

4.2.4 Adhasiver Kontakt

Beim bislang diskutierten nicht-adhasiven Kontakt ist die Gleichgewichtslage ein-deutig. Beim adhasiven Kontakt gibt es im Zugbereich des Wechselwirkungsge-setzes4 stets zwei Losungen fur den Abstand, die umso weiter auseinander liegen,umso kleiner die Zugkraft ist. Bei einer dynamischen Simulation stellt sich aus-gehend von der Ausgangslage stets die dynamisch erreichbare statische Losungein. Was bei einer statischen Analyse eines Systems aus sehr vielen Teilchen imKontakt mit einer stochastisch rauen Oberflache passiert, lasst sich nicht ohneweiteres vorhersagen. Demzufolge scheint es in diesem Fall gunstiger (sicherer),die dynamische Simulation zu wahlen.

3Beim direkten Losen fur nT = 1023 ist das Residuum nach 5 Iterationen noch 2,4 · 10−8;siehe auch Abbildung 4.2.

4siehe Wechselwirkungsgesetz zwischen Teilchen von gegenuberliegenden Oberflachen in Ab-bildung 5.6

4.3. FAZIT 45

4.3 Fazit

Die Ausfuhrungen dieses Kapitels haben gezeigt, dass die richtige Wahl des nume-rischen Verfahrens fur das Gelingen der Simulation von großer Bedeutung ist. DieBesonderheiten des Modells sollten moglichst vollstandig genutzt werden, um einemoglichst schnelle Simulation zu ermoglichen. Erst kurze Rechenzeiten erlaubenausgiebige Studien mit dem Simulationsmodell. Ob beim statischen Kontaktpro-blem statische oder dynamische Simulationen gewahlt werden, muss im Einzelfallentschieden werden.


Kapitel 5

Adhasiver Kontakt

In den vorangegangenen Kapiteln wurde der elastische Kontakt naher unter-sucht. Es wurde gezeigt, wie das eindimensionale Simulationsmodell aufgebautwerden muss. Insbesondere wurde auch gezeigt, wie bei rauen Oberflachen mit derOberflachentopographie umzugehen ist. In den folgenden beiden Kapiteln werdenmogliche Erweiterungen des Modells diskutiert: Adhasion und Schmierung.

5.1 Einfuhrung

Das Problem des elastischen Normalkontakts (ohne Adhasion) zwischen elasti-schen Korpern mit leicht gekrummter Oberflache wurde 1882 von Hertz gelost[49]. Bradley [12] prasentierte 50 Jahre spater die Losung fur den adhasiven Nor-malkontakt zwischen einer starren Kugel und einer starren Ebene. Als Ergebniserhalt er fur die Adhasionskraft

FA = −4πγR . (5.1)

Die Große γ wird Oberflachenenergie genannt. Die Losung fur den adhasivenKontakt zwischen elastischen Korpern wurde 1971 von Johnson, Kendall undRoberts [58] prasentiert. Sie erhalten fur die Adhasionskraft

FA = −3πγR (5.2)

und fur den kritischen Kontaktradius

acr =3

√

9πγR2

4E∗ . (5.3)

In der JKR-Theorie ist die Adhasionskraft (5.2) unabhangig von elastischen Kon-stanten. Das widerspricht auf den ersten Blick dem Ergebnis (5.1) von Bradley,da (5.2) auch fur den Grenzfall der starren Korper gelten sollte. Die Klarungdieser Frage ist u. a. Tabor [116], Johnson und Greenwood [57] zu verdanken. DieJKR-Theorie gilt nur, wenn der Parameter

µ =

(

4Rγ2

E∗2ε3

)1/3

(5.4)

hinreichend groß ist. Der Parameter µ kann als Verhaltnis der elastischen Defor-mation der Oberflachen vor dem Abreißen zur Reichweite der Oberflachenkrafte

47

48 KAPITEL 5. ADHASIVER KONTAKT

PSfrag replacements

lg µ

lg FγR

DMT MD JKR

Bradley

Hertz

Abbildung 5.1: Schematische Einteilung der Gultigkeitsbereiche der verschiedenenAdhasionstheorien; die Abgrenzung erfolgt uber die Parameter F/(γR) und µ(aus [57])

(beschrieben durch ε) verstanden werden. Das der JKR-Theorie zugrunde liegen-de Modell ist das folgende: Die Kugel deformiert sich auch aufgrund der Ober-flachenkrafte; die Große des Kontaktgebietes unterscheidet sich damit von derHertzschen Losung. Die Oberflachenkrafte haben allerdings eine kurze Reich-weite, so dass außerhalb des Kontaktgebietes keine Krafte wirken. Die DMT-Theorie [24] hingegen basiert auf der Annahme, dass sich die Korper durch dieOberflachenkrafte nicht deformieren; die Deformationen entsprechen denen derHertzschen Losung. Außerhalb des Kontaktgebietes werden Zugkrafte ubertragen.Johnson und Greenwood [57] fassen zusammen: die JKR-Theorie gilt fur große,weiche Kugeln, die DMT-Theorie hingegen fur kleine, steife Kugeln.Somit ist die JKR-Theorie im Grenzfall starrer Korper nicht gultig; einen Wider-spruch zwischen den Ergebnissen von Bradley und Johnson et al. gibt es nicht.Johnson und Greenwood [57] zeigen im Detail, wie die Adhasionskraft vom Pa-rameter µ abhangt. Die Autoren prasentieren eine Karte (adhesion map), derdie Gultigkeitsbereiche der einzelnen Theorien entnommen werden konnen. Ab-bildung 5.1 zeigt diese Karte schematisch. Johnson und Greenwood [57] betonen,dass die JKR-Theorie selbst außerhalb des eigentlichen Gultigkeitsbereichs guteErgebnisse fur den Kontaktradius und die Kontaktsteifigkeit liefert. Johnson undGreenwood zeigen zudem, wie die Beziehung zwischen Normalkraft und Kontakt-radius fur verschiedene Werte von µ aussieht. Fur µ = 5 liegt die entsprechendeKurve fast perfekt auf der JKR-Kurve und zwar bis zum Abreißpunkt. Furµ = 0,1 gibt es schon deutliche Abweichungen zwischen der JKR-Kurve und demErgebnis numerischer Berechnungen. Abbildung 5.2 zeigt die Relation zwischender Normalkraft und dem Kontaktradius fur die JKR-Theorie und fur den Fallµ = 0,1. Die Bezugsgroßen fur die Einfuhrung dimensionsloser Großen sind hierdie Adhasionskraft FA und der Kontaktradius a0 ohne außere Kraft. Beide Großensind von µ abhangig1 und konnen [42] bzw. [57] entnommen werden.Welche Werte des Parameters µ sind fur die vorliegende Arbeit relevant? Wennals Material Stahl gewahlt wird, ergeben sich die Werte ε = 0,29 nm (Atomradiusr = 0,124 nm), E = 200 GPa, ν = 0,3 [111] und γ = 2,4 N m−1 [88]. Wenn zudem

1Der Wert von a0 ist fur µ ≥ 0,5 konstant.

5.2. RAUE OBERFLACHEN UND ADHASION 49

PSfrag replacements

F

a

0

-1

8

1

2

3

4

6

5

7

1,00,8 1,2 1,4 1,6

µ = 0,1

JKR

Abbildung 5.2: Beziehung zwischen Normalkraft und Kontaktgroße (beide dimen-sionslos) fur den Fall µ = 0,1 und fur die JKR-Theorie.

R [m] 10−3 10−6 10−9

µ 42,7 4,27 0,427

Tabelle 5.1: Werte von µ fur die Stahl-Stahl-Paarung in Abhangigkeit vomKrummungsradius R.

beide Korper elastisch sind, ergibt sich daraus E∗ = 110 GPa und schließlichTabelle 5.1. Bei 10 µm Krummungsradius ist µ immerhin noch 9,2.

5.2 Raue Oberflachen und Adhasion

Meist wird beim Kontakt zwischen harten Festkorpern (z.B. Metalle) keine nen-nenswerte Adhasion festgestellt. Genauer: es wird beim Trennen der Kontakt-partner keine Adhasionskraft/Abzugskraft festgestellt. Das konnte sowohl durchOberflachenfilme oder durch die Rauheit der Oberflachen verursacht sein. Ober-flachenfilme konnen starke Bindungen zwischen den Kontaktpartnern verhindernund sind zudem moglicherweise selbst nur schwach an die Festkorper gebunden.

In Experimenten haben Gane et al. [35] den Kontakt zwischen harten Fest-korpern (z.B. Titancarbid) mit atomar reinen Oberflachen (Entfernung der Ober-flachenfilme) im Vakuum untersucht. Die gemessene Adhasionskraft war 100 bis1000 mal kleiner als theoretisch vorhergesagt. Das legt nahe, dass die Ober-flachenrauheit von entscheidender Bedeutung fur die Adhasion ist. Der Effektder Rauheit beruht darauf, dass die Flache direkten Kontaktes verkleinert ist. DieVerteilung der Hohen sorgt dafur, dass einige wenige hohe Asperiten die Ober-flachen weit auseinander halten bzw. drucken [34]. Zudem fuhrt Tabor an, dassbeim Kontakt rauer Oberflachen die Einzelkontakte nach und nach gebrochen


werden statt gleichzeitig.

Experimentelle und theoretische Untersuchungen zeigen, dass der Einfluss derOberflachenrauheit umso großer ist, je großer der elastische Modul der Kontakt-partner ist.

Persson et al. [5] heben hervor, dass die reale Kontaktflache durch die Adhasionum ein Vielfaches großer sein kann als ohne Adhasion, auch wenn in Abreiß-versuchen praktisch keine Adhasion festgestellt wird. Da die reale Kontaktflachefur die Große der Reibungskraft ausschlaggebend ist, kommt der Adhasion beiReibungsphanomenen eine große Bedeutung zu.

Eingehende experimentelle und theoretische Untersuchungen zum Einfluss derOberflachenrauheit auf die Adhasion wurden von Fuller und Tabor [34] durch-gefuhrt. In den Experimenten wurden glatte Gummikugeln gegen eine raue (na-hezu starre) Platte gedruckt. Der elastische Modul und der Radius der Kugelnsowie die Rauheit der Platte wurden variiert. Die durch Sandstrahlen hergestell-ten Oberflachen wiesen Krummungsradien zwischen 50 µm und 200 µm auf, dieabradierten zwischen 70 µm und 300 µm. Die Mittelwerte betrugen 100 µm bzw.150 µm. Die gemessenen Mittenrauwerte wurden zwischen 0,12 µm und 1,40 µmvariiert. Zudem nehmen die Autoren in Ubereinstimmung mit den Ergebnissenvon Greenwood und Williamson an, dass die Hohen bei den so erzeugten Ober-flachen normalverteilt sind und der Mittenrauwert in guter Naherung der Stan-dardabweichung entspricht.

Es zeigte sich, dass selbst Rauheiten, die klein im Vergleich zur Gesamtdeforma-tion im Kontaktgebiet sind, einen starken Abfall der Adhasionskraft verursachen.Der beobachtete Abfall der Adhasionskraft ist umso deutlicher, je hoher der ela-stische Modul der Kugel ist.

Die theoretische Behandlung des Problems erfolgt in Anlehnung an Greenwoodund Williamson [43], nur dass jetzt die JKR-Theorie [58] fur die einzelnen As-periten zugrunde gelegt wird. Insbesondere gehen auch Fuller und Tabor vonidentischen Asperiten aus, die sich lediglich in der Hohe unterscheiden.

Zudem berucksichtigen die Autoren nur elastische Verformungen (d.h. ohne vis-koelastische oder plastische Effekte) und sie nehmen an, dass die Trennung in derGrenzflache zwischen den Kontaktpartnern geschieht (kein Materialtransfer voneinem Korper zum anderen).

Anstelle des Kontaktes einer glatten Kugel mit einer rauen Platte wird der Kon-takt zwischen einer glatten und einer rauen Platte untersucht. Wie sich zeigt,stimmen die Ergebnisse von Experiment und theoretischer Untersuchung den-noch zufrieden stellend uberein.

Das Ergebnis der theoretischen Uberlegungen ist die Abhangigkeit der bezoge-nen Adhasionskraft FA von der bezogenen Rauheit hσ. Die Adhasionskraft wirdauf die Adhasionskraft bezogen, die sich bei gleicher Hohe aller Asperiten er-geben wurde. Die Bezugsgroße ist also das Produkt aus der Zahl der Asperi-ten und der Adhasionskraft eines einzelnen Asperiten mit dem entsprechendenKrummungsradius. Die bezogene Rauheit, von Fuller und Tabor adhesion para-meter genannt, berechnet sich als

1

∆c= hσ =

1

3

(

4

π

)2/3 (E∗

γ

)2/3

R−1/3hσ .

5.3. ADHASION IM 1D-MODELL 51

Werden die Zusammenhange

γ =FA

3πR, E∗ =

3FAR

a30

. (5.5)

der JKR-Theorie eingesetzt, ergibt sich eine Darstellung der dimensionslosen Rau-heit ausschließlich in Großen, die direkt im Simulationsmodell auftreten:

hσ =3√

48hσR

a20

≈ 3,6342 · hσR

a20

.

Wie in Abschnitt 5.6 ist a0 der Kontaktradius, der sich bei einem einzelnen As-periten ohne Einwirkung einer außeren Kraft einstellt. Fur hσ = 0 ist demnachFA = 1. Im Bereich 0 < hσ < 3 fallt die Adhasionskraft praktisch auf 0 ab.Dieses Ergebnis wird auch in den numerischen Simulationen in Abschnitt 5.8.2reproduziert.

5.3 Adhasion im 1D-Modell

Der adhasive Kontakt zwischen einer starren Ebene und einem starren Zylindermit dunner, elastischer Schicht kann analytisch untersucht werden. Die elastischeSchicht wird wieder als aus unabhangig wirkenden Federn zusammengesetzt ver-standen (Abbildung 2.4, Seite 16). Die gekrummte Oberflache wird, wie in derKontaktmechanik allgemein ublich, quadratisch approximiert. Damit ergibt sichfur die ortsabhangige Verschiebung

u (x) = d− x2

2R, (5.6)

wobei d die maximale Verschiebung (Abplattung) ist. Das Kontaktgebiet habedie Breite 2a. Da im Außenbereich aufgrund der Adhasion auch Zugspannun-gen ubertragen werden konnen, gilt a2 6= 2Rd. Die Große des Kontaktgebietesergibt sich nicht mehr aus rein geometrischen Uberlegungen2 sondern aus dem

”Wechselspiel der Krafte“.

Die gespeicherte elastische Energie ist

Eel = cn

∫ a

0

(

d− x2

2R

)2

dx = cn

(

d2a− da3

3R+

a5

20R2

)

, (5.7)

die OberflachenenergieEγ = −2γa . (5.8)

Die gespeicherte EnergieEg = Eel + Eγ

ist von den (unabhangigen) geometrischen Großen a (Kontakthalbweite) und d(Abplattung) abhangig. Nach dem Prinzip der virtuellen Arbeiten muss zwischender virtuellen Arbeit der außeren Kraft F und der Variation der gespeichertenEnergie im Gleichgewichtszustand gelten:

Fδd− δEg = 0 . (5.9)

2Beim nichtadhasiven Kontakt ergibt sich wegen der Unabhangigkeit der Federn aus reingeometrischen Uberlegungen der Zusammenhang a2 = 2Rd.


Die Kraft F ist positiv, wenn es sich um eine Druckkraft handelt. Aus (5.9) folgendie zwei Gleichungen

F =∂Eg

∂d(5.10)

0 =∂Eg

∂a(5.11)

fur den Gleichgewichtszustand. Aus (5.11) ergibt sich ein Zusammenhang zwi-schen d und a

d =a2

2R−√

2γ

cn. (5.12)

Fur γ = 0 ergibt sich das bekannte Ergebnis a2 = 2Rd, fur γ > 0 ist die Kon-taktbreite großer als beim nichtadhasiven Kontakt. Einsetzen von (5.12) in (5.10)liefert den Zusammenhang zwischen Kraft und Kontakthalbweite

F =2cn3R

a3 − 2√

2γcna . (5.13)

Die Adhasionskraft FA und die kritische Kontaktgroße acr folgen nun aus derForderung

dF

da

∣

∣

∣

∣

acr

= 0 .

Es ergibt sich

FA = −4

34√

8γ3cnR2 ,

acr = 4

√

2γR2

cn.

Insbesondere ergibt sich FA ∝√R und acr ∝

√R. Bezieht man Kraft und Kon-

takthalbweite auf die kritischen Werte, genauer

F = − F

FA, a =

a

acr,

ergibt sich die von Parametern freie Form

F =1

2a3 − 3

2a .

Fur den Vergleich mit den Simulationsergebnissen ist es gunstiger, als Bezugs-große die Kontakthalbweite

a0 = 4

√

18γR2

cn=

√3acr

zu verwenden, die sich ohne außere Kraft einstellt. Aus

F = − F

FA, a =

a

a0

folgt

F =3√

3

2

(

a3 − a)

. (5.14)

Abbildung 5.3 zeigt Relation (5.14) und die entsprechende Beziehung fur die JKR-Theorie [58] (adhasiver Kontakt zwischen elastischer Kugel und starrer Ebene,siehe Gleichung (B.24)).

5.4. EIN ERSTES MODELL 53

PSfrag replacements

F

a

-1

0

1

2

3

4

6

5

7

8

0,25 0,5 0,75 1,0 1,25 1,5

1D

JKR

Abbildung 5.3: Beziehung zwischen Normalkraft und Kontaktgroße fur den Zy-linder mit elastischer Schicht (1D) und die elastische Kugel (JKR)

5.4 Ein erstes Modell

Betrachtet wird das abgebildete Modell (Abbildung 5.4). Die dargestellten Teil-chen haben nur einen vertikalen Freiheitsgrad. Sie sind an die starre, gekrummtePlatte uber Federn der Steifigkeit kv gekoppelt. Benachbarte Teilchen uben mit-tels Schubfedern Krafte aufeinander aus. Die Federsymbole stehen allgemein furWechselwirkungen, die linear in den Relativverschiebungen sind. Die Federn, diedie Teilchen miteinander verbinden, sind also keine Dehnfedern, sondern wirkeneiner vertikalen Relativverschiebung der Teilchen entgegen. Der Freischnitt (Ab-bildung 5.5) verdeutlicht dies.

Auf jedes Teilchen wirkt zudem eine von der vertikalen Position z abhangigeKraft Fw (z), die die Wechselwirkungen mit dem Gegenkorper modelliert. DerGegenkorper ist im Modell eine starre Platte. Abbildung 5.6 zeigt einen typi-schen Verlauf fur die Kraft Fw (z). Ist ein Teilchen sehr nah am Gegenkorper,wirken Abstossungskrafte. In großerer Entfernung wirken Anziehungskrafte, diemit zunehmendem Abstand asymptotisch gegen Null gehen. Bei diesem einfachenModell wird der Gegenkorper nicht durch Teilchen modelliert. Die Wechselwir-kungskraft, die nur von der vertikalen Position des Teilchens abhangt, soll geradeso bemessen sein, dass es der Wechselwirkung des Teilchens mit allen Teilchendes Gegenkorpers entspricht.

Der starre Grundkorper hat ebenfalls einen vertikalen Freiheitsgrad. Auf denGrundkorper kann eine außere Kraft F in vertikaler Richtung aufgebracht werden(Zug oder Druck).

Das tatsachliche Simulationsmodell unterscheidet sich demnach in zwei Punktenvon dem im vorherigen Abschnitt analytisch untersuchten Modell. Erstens istdie Reichweite der Wechselwirkungskrafte endlich. Zweitens gibt es Wechselwir-kungen zwischen benachbarten Teilchen. Die Deformationen benachbarter Federn


PSfrag replacements

kh

kv

x

z

Fext

Abbildung 5.4: 1D-Teilchenmodell: Jedes Teilchen ist an den Grundkorper uber ei-ne Feder (Steifigkeit kv) gekoppelt. Zudem sind benachbarte Teilchen uber Schub-federn (Steifigkeit kh) gekoppelt.

PSfrag replacements

kv(zj − zG − zj)

kh(zj − zj+1)kh(zj − zj−1)

Fw(zj)

Abbildung 5.5: Freischnitt eines Teilchens; zj ist die vertikale Position des Teil-chens j, zG ist die vertikale Position des Grundkorpers, zj ist die Position desTeilchens j in Bezug auf den Grundkorper in der undeformierten Lage

5.5. HERLEITUNG DES POTENTIALS 55

PSfrag replacements

z

Fw(z)

Gleichgewichtsabstand

Abbildung 5.6: Wechselwirkungskraft Fw(z), hervorgerufen durch den Gegen-korper

sind nicht unabhangig.

Die Bewegungsgleichung fur ein einzelnes Teilchen lautet dann

mj zj = Fj , (5.15)

wobei mj die Masse des Teilchens j ist. Die resultierende Kraft Fj auf der rech-ten Seite beinhaltet die beschriebenen Wechselwirkungen zwischen den Teilchen,viskose Dampfung und stochastische Krafte (thermische Fluktuationen). Fur denGrundkorper lautet die Bewegungsgleichung entsprechend

mGzG =∑

j

Fj + Fext . (5.16)

Die Bewegungsgleichungen (5.15) und (5.16) werden numerisch gelost. In derTat wird jedoch der uberkritisch gedampfte Fall betrachtet. Anmerkungen zunumerischen Aspekten sind in Kapitel 4 zu finden.

5.5 Herleitung des Potentials

Prinzipiell ist jede Wechselwirkung, die den typischen Verlauf (Abbildung 5.6)aufweist, zur Modellierung des Kontaktes denkbar. Im ersten Schritt soll ange-nommen werden, dass die Wechselwirkungen zwischen den Teilchen durch dasLennard-Jones-Potential

Utt =c1

12r12− c2

6r6(5.17)

beschrieben werden. Dieses Potential beschreibt in guter Naherung die Wechsel-wirkung zwischen neutralen Atomen. Das heißt keinesfalls, dass die Teilchen desvorgestellten Modells Atome sind. Die Teilchen haben keine physikalische Bedeu-tung.

Die Kraft zwischen zwei Teilchen ist dann

Ftt (r) = −∂U∂r

=c1r13

− c2r7

.


PSfrag replacements

r

z

h

Abbildung 5.7: Berechnung der Wechselwirkungen zwischen einem Teilchen undeinem Korper mit glatter Oberflache

Wird der Gleichgewichtsabstand r0 gefordert, folgt fur die Konstanten c1 und c2

Ftt (r0) = 0 ⇔ c1c2

= r60 .

Das Wechselwirkungspotential zwischen einem Festkorper mit glatter Oberflacheund einem Teilchen im Abstand h ergibt sich durch Integration uber alle Teilchendes Festkorpers (Abbildung 5.7)

Utp (h) =

∞∫

0

∞∫

0

(

c1

12(

(h+ z)2 + r2)6 − c2

6(

(h + z)2 + r2)3

)

2πrdrdz

= 2π( c1

1080h9− c2

72h3

)

.

Wird eine Teilchen-Teilchen-Wechselwirkung gemaß (5.17) zugrunde gelegt, er-gibt sich fur die Kraft zwischen einem glatten Korper und einem Teilchen imAbstand z von diesem Korper3

Fw (z) = −∂Utp (z)

∂z= 2π

( c1120z10

− c224z4

)

. (5.18)

Der Abstand z0, der sich ohne weitere auf das Teilchen wirkende Krafte einstellt,ist gegeben durch

Fw (z0) = 0 ⇔ z0 = 6

√

c15c2

=r06√

5. (5.19)

Die Steifigkeit bei Abstand z0 folgt dann aus (5.18) und (5.19)

k0 =∂Fw

∂z

∣

∣

∣

∣

z0

= −2π

(

c112z11

0

− c26z5

0

)

= −55/6π

2

c2r50

.

3Nun wird wieder die Variable z fur den vertikalen Abstand benutzt.

5.6. STEIFIGKEITSSTUDIE 57

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

PSfrag replacements

z [LE]

Fw(z

)[K

E]

Abbildung 5.8: Wechselwirkungskraft gemaß Gleichung (5.20)

Fur die Simulation konnen der Gleichgewichtsabstand r0 zwischen zwei Teilchenzu 1 LE und die Steifigkeit k0 zu −1 KE/LE gesetzt werden. Dabei ist dieLangeneinheit LE des Problems der Teilchenabstand und die Krafteinheit KEist dann gerade −k0r0. Bei dieser Wahl folgt fur die Kraft

Fw/KE = 0,0087177 · (z/LE)−10 − 0,0435887 · (z/LE)−4 . (5.20)

Abbildung 5.8 zeigt den Verlauf. Fur das Potential (5.20) ist das Maximum derAnziehungskraft bei zmax = 0,891 LE und betragt Fw max = 0,0415 KE. Im Ab-stand 1,5 LE ist die Wechselwirkungskraft auf 20% des Maximalwertes abgesun-ken, bei 2,0 LE auf 6,5%.Wie eingangs bereits erwahnt wurde, konnen die Wechselwirkungsgesetze belie-big gewahlt werden, solange sie qualitativ das abgebildete Verhalten zeigen. DieKraftgesetze

Fw/KE = 0,0069586 · (z/LE)−14 − 0,0324735 · (z/LE)−6 (5.21)

undFw/KE = 0,0030185 · (z/LE)−10 − 0,0452768 · (z/LE)−2 (5.22)

zeigen qualitativ ebenfalls das abgebildete Verhalten und es gilt r0 = 1 LE undk0 = −1 KE/LE.

5.6 Steifigkeitsstudie

5.6.1 Vorgehen

Das Wechselwirkungspotential ist durch die Gleichung (5.20) vollstandig vorge-geben. Die Steifigkeiten kv und kh konnen nun noch frei gewahlt werden. Furverschiedene Steifigkeiten werden die folgenden Untersuchungen durchgefuhrt:

• Fur jeden Krummungsradius R wird der Zusammenhang zwischen Nor-malkraft F und Kontakthalbweite a bestimmt. Aufgetragen wird stets die


Normalkraft bezogen auf die Adhasionskraft F = −F/FA und die Kontakt-halbweite bezogen auf die Kontakthalbweite ohne Normalkraft a = a/a0.

• Die Adhasionskraft FA und die Kontakthalbweite a0 ohne außere Normal-kraft werden in Abhangigkeit vom Krummungsradius R berechnet.

Die Berechnung der Adhasionskraft erfolgt iterativ. Zuerst wird der obere Korpermit einer Kraft FD gegen den (festgehaltenen) unteren Korper gedruckt. An-schließend wird der obere Korper mit einer Kraft FZ vom unteren Korper ge-zogen. In der dynamischen Simulation stellt sich entweder ein Gleichgewichts-zustand ein (wie in Abbildung 5.9) oder es kommt zur Trennung der beidenKorper. Im ersten Fall wird im nachsten Versuch mit einer etwas großeren KraftFZ gezogen; im zweiten Fall mit einer etwas geringeren. Auf diesem Weg kanndie Adhasionskraft mit gewunschter Genauigkeit iterativ bestimmt werden. Al-ternativ kann die Adhasionskraft FA auch durch sehr langsame kontinuierlicheSteigerung der Zugkraft FZ bestimmt werden.

Numerische Experimente zeigen, dass die Adhasionskraft FA und der kritische Ra-dius acr nur sehr schwach von der zuvor aufgebrachten Druckkraft FD abhangen.In der JKR-Theorie hangen beide Großen uberhaupt nicht von FD ab. In Ab-schnitt 5.7 wird dieser Aspekt kurz diskutiert.

Nachdem die Adhasionskraft FA bestimmt wurde, wird nun der Zusammenhangzwischen Normalkraft F und Kontakthalbweite a bestimmt. Dazu kann die Nor-malkraft stufenweise gesteigert werden. Fur jeden Wert der Normalkraft wird ineiner dynamischen Simulation die sich einstellende Gleichgewichtslage bestimmt.Alternativ kann die Normalkraft sehr langsam kontinuierlich gesteigert werden.Der momentane Wert des Kontaktradius wird dann anstelle des Gleichgewichts-kontaktradius verwendet.

Das oben beschriebene Vorgehen wird mit verschiedenen Steifigkeiten kh und kv

wiederholt. Mit der Matlab-Funktion fminsearch4 kann der optimale Satz vonSteifigkeiten bestimmt werden. Als Zielfunktion wird die Norm der Abweichungzwischen berechneter Kurve und JKR-Kurve benutzt. Die Begriffe Kontaktra-dius bzw. Kontakthalbweite wurden in den bisherigen Ausfuhrungen des ofterenbenutzt. Aber wie ist der Kontaktradius im Simulationsmodell zu definieren? Inder JKR-Theorie tritt bei r = a eine Singularitat in der Spannung auf. Theo-retisch sind die Zugspannungen am Rand unendlich groß. Im Simulationsmodellist die Reichweite der Wechselwirkungskrafte endlich. Daher tritt keine Singula-ritat auf. Abbildung 5.10 zeigt schematisch die raumliche Verteilung der Wech-selwirkungskrafte zwischen den beiden Korpern. In der Mitte ist die maximaleDruckspannung; im Zugbereich gibt es auf jeder Seite ein ausgepragtes Maxi-mum. Greenwood [42] spricht im Zusammenhang mit dem Kontaktradius voneinem

”ill-defined concept“. Er betont, dass es im Zugbereich nur einen ausge-

zeichneten Punkt gibt – den maximaler Zugspannung. Zudem liegt das Maximumder Zugspannung in der Nahe der Singularitat in der JKR-Theorie. Im folgen-den wird daher bei der Untersuchung des Kontaktes Kugel-Ebene das Maximumder Zugspannung zur Berechnung des Kontaktradius herangezogen. Der genaueWert fur den Kontaktradius wird durch Interpolation zwischen den diskretenTeilchenpositionen bestimmt. Dazu wird die

”Druckverteilung“ in der Nahe des

4Die Matlab-Funktion fminsearch basiert auf dem Nelder-Mead-Simplex Algorithmus.


PSfrag replacements

Korper 2

Korper 1FD

−FD

FZ

FZ

t

t

zG

FSchritt 1: Drucken

Schritt 2: Ziehen

Abbildung 5.9: Berechnungsschritte zur Ermittelung der Adhasionskraft: DasDiagramm rechts unten zeigt die vertikale Position des Grundkorpers. Im abge-bildeten Fall stellt sich nach Aufbringen der Zugkraft FZ eine Gleichgewichtslageein; es kommt nicht zum Abreißen. Die aufgebrachte Zugkraft FZ ist somit kleinerals die Adhasionskraft.

PSfrag replacements

Fw

x2a

Abbildung 5.10: Zur Bestimmung der Kontakthalbweite beim adhasiven Kontakt:Verteilung der lokalen Wechselwirkungskrafte


0 0.5 1 1.5−1

0

1

2

3

4

5

6

7

PSfrag replacements

a

F

Abbildung 5.11: Steifigkeitsstudie Punkte: Simulationsergebnis fur kv = 0,4k0

und kh = 0,1k0, gestrichelte Linie: JKR-Kurve gemaß (B.24), Strichpunktlinie:adhasives 1D-Problem gemaß (5.14), durchgezogene Linie: adhasives 2D-Problemgemaß (B.25)

Maximums durch eine Parabel approximiert. Der Scheitelpunkt der Parabel gibtdann den Kontaktradius.

5.6.2 Ergebnisse

Abhangig von den Steifigkeiten kv und kh ergeben sich sehr unterschiedliche Er-gebnisse fur die F (a)-Kurve. Fur das Potential (5.20) erhalt man fur kv = 0,4k0

und kh = 0,1k0 die abgebildeten Simulationsergebnisse (Abbildung 5.11). Die Si-mulationsergebnisse liegen sehr gut auf der Kurve, die durch die JKR-Theorie ge-geben ist (gestrichelte Linie). Nur fur F < −0.5 · |FA| ergeben sich Abweichungen.Nahezu unveranderte Resultate werden fur kv = 0,4k0 und kh beliebig (kh < k0)erzielt. Es ist zu beachten, dass die F (a)-Kurve fur beliebige KrummungsradienR getroffen wird.

Demnach liefert diese Wahl der Steifigkeiten und der Wechselwirkungskrafte einSimulationsmodell, mit dem der Zusammenhang zwischen Kontaktgroße und Nor-malkraft fur den adhasiven Kontakt richtig wiedergegeben werden kann. Der kor-rekte Zusammenhang zwischen Kontaktgroße und Normalkraft ist sowohl fur dieKontaktdynamik (Kontaktzeit) als auch fur die Reibung wichtig.

Die JKR-Theorie sagt fur das 3D Problem einen linearen Zusammenhang zwi-schen Adhasionskraft und Krummungsradius (FA ∝ R) vorher. Zudem gilt a0 ∝3√R2. Das Simulationsmodell liefert hingegen die Zusammenhange FA ∝

√R und

a0 ∝√R (Abbildung 5.12). Hat man Oberflachen mit festem Krummungsradius

(alle Asperiten haben den gleichen Krummungsradius R), ist dies unproblema-tisch.

Abbildung 5.13 zeigt die Ergebnisse fur kv = 0,1k0 und kh = 0,01k0. In diesemFall liegen die Simulationsergebnisse (Punkte) sehr gut auf der Kurve, die fureine elastische Schicht auf einem Zylinder gilt.


PSfrag replacements

R

FA

a0

100080060040020000,2

0,4

0,6

0,8

1,2

1,4

1,6

1,8

5

10

15

20

25

30

PSfrag replacements

R

FA

a0

10008006004002000

0,2

0,4

0,6

0,8

1,2

1,4

1,6

1,8

5

10

15

20

25

30

Abbildung 5.12: Adhasionskraft FA (links) und Kontaktradius a0 ohne außereNormalkraft (rechts) in Abhangigkeit vom Krummungsradius R

0 0.5 1 1.5 2−1

0

1

2

3

4

5

6

7

PSfrag replacements

F

a

Abbildung 5.13: Steifigkeitsstudie Punkte: Simulationsergebnis fur kv = 0,1k0

und kh = 0,01k0, gestrichelte Linie: JKR-Kurve gemaß (B.24), Strichpunktlinie:adhasives 1D-Problem gemaß (5.14), durchgezogene Linie: adhasives 2D-Problemgemaß (B.25)


Wird das Kraftgesetz (5.21) gewahlt, ergibt sich fur kv = 0,4k0 und kh < k0

wiederum eine gute Ubereinstimmung der Simulationsergebnisse mit der JKR-Kurve. Die Adhasionskraft FA und die Kontaktgroße a0 sind hingegen deutlichverschieden.

5.7 Modell mit vertikalen und horizontalen Teil-

chenfreiheitsgraden

5.7.1 Aufbau

Die Oberflachen werden in Anlehnung an das einfache Federmodell aus Abbildung5.4 aus einer Reihe von Teilchen gebildet. Jedes Teilchen hat nun zwei Freiheits-grade (vertikal und horizontal). Die Teilchen unterliegen, wie gehabt, Wechselwir-kungen mit dem Grundkorper und den anderen Teilchen. Die Wechselwirkungender Teilchen mit dem Grundkorper und mit den benachbarten Teilchen des glei-chen Korpers werden durch lineare Federn beschrieben.Beide Korper seien nun elastisch und haben raue Oberflachen. Die Wechselwir-kung mit dem gegenuberliegenden Korper erfolgt uber ein abstandsabhangigesWechselwirkungspotential U (r) unter Einbeziehung einer gewissen Anzahl vonTeilchen5.Die Bewegungsgleichungen fur ein einzelnes Teilchen lauten dann

mi,kxi,k = F xi,k , mi,kzi,k = F z

i,k , (5.23)

wobei mi,k die Masse des Teilchens i auf Korper k ist. Die Krafte F xi,k bzw. F z

i,k

auf der rechten Seite beinhalten die beschriebenen Wechselwirkungen zwischenden Teilchen, viskose Dampfung und stochastische Krafte (thermische Fluktuatio-nen). Der obere Korper hat ebenfalls zwei Freiheitsgrade. In den entsprechendenBewegungsgleichungen

mGxG = F xG , mGzG = F z

G , (5.24)

sind die außeren Vorgaben (gegebene Geschwindigkeit oder Kraft) zu beruck-sichtigen. Der untere Korper ist fest. Es sei nochmals darauf hingewiesen, dassdie Teilchen keine realen Elemente wie Atome, Molekule oder Korner sind.

5.7.2 Ergebnisse

Es wird wiederum das folgende numerische Experiment eingehender betrach-tet: ein in vertikaler Richtung beweglicher Korper mit gekrummter Oberflache(Krummungsradius R) wird gegen einen fest eingespannten Korper mit ebenerOberflache gedruckt. Es werden die Adhasionskraft FA, der Kontaktradius a0

5Beim Modell von Abschnitt 5.4 wurde der Kontakt zwischen einem elastischen Korper mitrauer Oberflache und einer starren, ebenen Platte simuliert. Die Wechselwirkungen der Teil-chen des elastischen Korpers mit der starren Unterlage wurden auf eine nur vom Abstand desTeilchens von der Unterlage abhangige Kraft reduziert. Die Unterlage wurde nicht diskretisiert.Wenn nun beide Korper elastisch sind und raue Oberflachen aufweisen, mussen die Wechselwir-kungen zwischen je zwei Teilchen definiert sein. Theoretisch gibt es Wechselwirkungen zwischeneinem Teilchen des einen Korpers mit allen Teilchen des anderen Korpers. Praktisch wird inder Simulation eine Zahl von einbezogenen Nachbarn festgelegt.

5.7. MODELL MIT ZWEI TEILCHENFREIHEITSGRADEN 63

PSfrag replacements

R

FA〈FA〉

acr〈acr〉

FN

〈FA〉-1 0 1 2

0.96

0.98

1.00

1.50.50.02.01.0

1.02

Abbildung 5.14: Abhangigkeit der Adhasionskraft FA und des kritischen Radiusacr von der aufgebrachten Normalkraft FN , 〈.〉 bezeichnet den Mittelwert derentsprechenden Große uber alle numerischen Experimente.

ohne außere Kraft und der Zusammenhang zwischen Normalkraft und Kontak-tradius bestimmt.

Abbildung 5.14 zeigt, dass Adhasionskraft FA und kritischer Radius acr nurschwach von der zuvor aufgebrachten Normalkraft FN abhangen.

Abbildung 5.15 zeigt, dass auch bei diesem Modell zwischen Adhasionskraft undKrummungsradius die Beziehung FA ∝

√R gilt. Die JKR-Theorie hingegen sagt

den linearen Zusammenhang (5.2) voraus. Zudem liefert das Modell a0 ∝√R

(Abbildung 5.16).

Abbildung 5.17 zeigt den Zusammenhang zwischen Normalkraft und Kontakt-große. Die durchgezeichnete Linie ist das Ergebnis (B.24) der JKR-Theorie, diePunkte sind Ergebnisse von numerischen Berechnungen mit funf verschiedenenKrummungsradien. Eine gute Ubereinstimmung ist erkennbar. Die Ergebnisse dernumerischen Experimente konnen damit wie folgt zusammengefasst werden:

• Die Beziehung zwischen Krummungsradius R und Adhasionskraft FA (sowieKontaktradius a0) wird mit dem Modell nicht richtig wiedergegeben.

• Die Beziehung zwischen Normalkraft und Kontaktgroße wird fur beliebigeKrummungsradien korrekt wiedergegeben.

Das Modell kann daher zur Simulation des 3D adhasiven Kontaktes benutztwerden, wenn man sich auf einen beliebigen aber festen Krummungsradius be-schrankt. Bei Oberflachen mit verschiedenen Krummungsradien ergeben sich Ab-weichungen.

Es sei daran erinnert, dass beim rein-elastischen trockenen Kontakt auch die Ab-hangigkeit vom Krummungsradius stimmt. Daher konnen solche Kontakte furOberflachen mit verschiedenen Krummungsradien simuliert werden.


PSfrag replacements

R

FA

100 Teilchen

600 Teilchen

FA ∝√R

FA ∝ 3√R

1000 2000 3000 400000

1

2

3

Abbildung 5.15: Zusammenhang zwischen Adhasionskraft FA und Krummungs-radius R

PSfrag replacements

a0

R

a0 ∝√R

100 Teilchen

600 Teilchen

1000 2000 3000 400000

10

20

30

40

50

60

70

Abbildung 5.16: Zusammenhang zwischen Kontaktradius a0 und Krummungs-radius R


g(x)"xkreisn200r200.txt" using 2:1"xkreisn200r1000.txt" using 2:1"xkreisn200r2000.txt" using 2:1"xkreisn200r4000.txt" using 2:1"xkreisn200r8000.txt" using 2:1

PSfrag replacements

a

F

1.0 1.2 1.4 1.6

1.8

2.0

-1

1.5

0

3

4

0.6 0.8

1

2

Abbildung 5.17: Zusammenhang zwischen aufgebrachter Normalkraft F undKontaktradius a in dimensionsloser Form; durchgezogene Kurve: JKR-Ergeb-nis gemaß (B.24), Punkte: Simulationsergebnisse mit 5 verschiedenen Krum-mungsradien

PSfrag replacements

starr

elastisch L

2h

Abbildung 5.18: Wellige Oberflache

5.8 Simulation mit rauen Oberflachen

In diesem Abschnitt werden Simulationen fur zwei besondere Arten der rauenOberflache vorgestellt. Zuerst werden wellige (harmonische) Oberflachen betrach-tet und danach Greenwood-Williamson-Oberflachen. Fur letztere zeigt sich dievon Fuller und Tabor beschriebene Abnahme der Adhasionskraft mit der Rau-heit.

5.8.1 Wellige Oberflachen

Als Spezialfall der nicht-glatten Oberflachen wird zuerst der Kontakt zwischeneiner gewellten, elastischen Oberflache und einer starren Oberflache untersucht.Unter gewellten Oberflachen sollen Oberflachen verstanden werden, die durcheine einzige Sinusfunktion beschrieben werden konnen. Abbildung 5.18 zeigt einesolche Oberflache mit Amplitude h und Wellenlange L.

Folgenden Fragestellungen sollen mit dem 1D Modell untersucht werden:


0.1

1

0.01 0.1 1 10 100

PSfrag replacements

h2E∗Lγ

h [LE]

nK n

Abbildung 5.19: Anteil der Teilchen im Kontakt (ohne außere Normalkraft) fureine wellige Oberflache gemaß Abbildung 5.18 (sechs identische Kurven fur ver-schiedene Punktezahlen und Langen)

• Fur welche Abmessungen (h, L) tritt ohne außere Kraft ein vollstandigerKontakt auf?

• Wie andert sich die Kontaktflache in Abhangigkeit von der aufgebrachtenNormalkraft?

Zum vollstandigen Kontakt ohne außere Kraft kommt es nur, wenn die elastischeEnergie, die infolge der Deformation im System gespeichert werden muss, kleinerals die gewonnene Oberflachenenergie ist. Eine theoretische Abschatzung liefertals Bedingung, dass der dimensionslose Parameter h2E∗/(γL) hochstens von derGroßenordnung 1 sein darf.

Das beschriebene Problem soll nun mit dem einfachen 1D Modell untersucht wer-den. Die gewellte, elastische Oberflache hat Sinusform; es wird stets eine Periodebetrachtet. Variiert wird die Amplitude der Welligkeit h und die Lange L. Be-stimmt wird die Große der Kontaktflache fur den Fall, dass keine außere Kraftwirkt. Zur Kontaktflache gehoren alle Teilchen, die einen kritischen Abstand zkr

zur ebenen, starren Platte unterschreiten.

Abbildung 5.19 zeigt den Anteil der Teilchen, die sich im Kontakt befinden, auf-getragen uber dem Parameter h2E∗/(γL). Die Berechnungen wurden mit sechsverschiedenen Werten n = 100 ÷ 1000 durchgefuhrt, die alle zu den gleichen Er-gebnissen fuhrten. Fur die untersuchten Parameter ist vollstandiges Ausfullen derRauheit fur h2E∗/(γL) < 3,6 gegeben; dieses Ergebnis passt zu der theoretischenAbschatzung.

Konzipiert ist das 1D Modell fur die Berechnung von Kontaktproblemen, bei de-nen nur die Spitzen in Kontakt sind. Diese Spitzen sind durch einen Krummungs-radius charakterisiert. Beim vollstandigen Ausfullen geschieht der Kontakt jedochnicht mehr ausschließlich uber die Spitzen. Dennoch liefert das Modell eine sinn-volle Vorhersage, bei welchen Werten des Parameters h2E∗/(γL) ein vollstandigesAusfullen der Oberflachenrauheiten geschieht.


0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0 2 4 6 8 10

PSfrag replacements

nK n

FFA

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0 200 400 600 1000 1200 1400

PSfrag replacements

nK n

FFA

Abbildung 5.20: Anteil der Teilchen im Kontakt in Abhangigkeit von der Normal-kraft fur eine wellige Oberflache gemaß Abbildung 5.18; oben: h = 1 LE, unten:h = 10 LE

Auf den oberen Korper wird nun eine kontinuierlich steigende Normalkraft aufge-bracht. Es wird die Zahl der am Kontakt beteiligten Teilchen ermittelt. Abbildung5.20 zeigt exemplarisch die Ergebnisse fur h2E∗/(γL) = 200. Bezugsgroße fur dieNormalkraft ist die Adhasionskraft. Die Kontaktflache nimmt kontinuierlich mitder Normalkraft zu; es gibt keine Sprunge.

5.8.2 Oberflachen mit festem Kappenradius

Abbildung 5.21 zeigt die Ergebnisse von numerischen Experimenten zur Bestim-mung der Adhasionskraft in Abhangigkeit von der Rauheit. Die numerischen Ex-perimente lehnen sich an Experimente und analytische Berechnungen von Ful-ler und Tabor [34] an. Grundlage der Simulation sind Greenwood-Williamson-Oberflachen (Abbildung 5.22). Die raue, elastische Oberflache besteht aus 200Asperiten (jeweils 20 Teilchen) mit normalverteilten Hohen und gleichem Krum-mungsradius. Der Gegenkorper ist starr und glatt.


0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0 2 4 6 8 10

PSfrag replacements

hσ

FA

Abbildung 5.21: Adhasionskraft in Abhangigkeit von der Rauheit fur eine raueOberflache gemaß Abbildung 5.22

Abbildung 5.22: Stochastische Oberflache aus Kugelkappen

Die numerisch berechnete Kurve liegt im Ubergangsbereich etwas oberhalb dertheoretisch vorhergesagten. In ihren Experimenten haben Fuller und Tabor je-doch auch teilweise deutliche Abweichungen nach oben festgestellt. Zudem ist dieverwendete Anzahl von Asperiten nicht sehr hoch.

In weiteren numerischen Experimenten wurde der Zusammenhang zwischen Nor-malkraft und Kontaktflache bestimmt. Abbildung 5.23 zeigt fur jeweils 10 miteinem Zufallsgenerator erzeugte Hohenverteilungen (200 Asperiten, hσ = (0,02±0,002)R ) den Zusammenhang zwischen Normalkraft und Anzahl der im Kon-takt befindlichen Teilchen. Die Normalkraft wurde auf die Adhasionskraft eineseinzelnen Asperiten bezogen. Die Kontaktflache nimmt kontinuierlich mit derNormalkraft zu; es gibt keine Sprunge; sowohl bei den gezeigten Berechnungenals auch bei weiteren Berechnungen fur hσ = 0,15R.


PSfrag replacements

00,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

500 1000 1500 2500 3000 3500

nK n

FFA

2000

Abbildung 5.23: Anteil der Teilchen im Kontakt in Abhangigkeit von der Nor-malkraft fur 10 verschiedene GW-Oberflachen gemaß Abbildung 5.22


Kapitel 6

Geschmierte Kontakte

6.1 Einfuhrung

In den vorangegangenen Kapiteln wurden trockene Kontakte ausfuhrlich unter-sucht. Tatsachlich sind Kontakte in den meisten technischen Anwendungen ge-schmiert. Absichtlich geschmierte Kontakte liegen z.B. in den meisten Lagern vor.Schmierung liegt aber auch im Rad-Schiene-Kontakt vor, wenn auf der Schieneeine Schicht (feuchter) Blatter liegt.

Der Simulation von Reibung und Verschleiß in geschmierten Systemen kommtdemnach große Bedeutung zu, sowohl aus wissenschaftlicher Sicht als auch ausSicht der Anwendung. Insbesondere geht es um die Frage, wie Reibung und Ver-schleiß von den aufgebrachten Lasten, der Oberflachentopographie und den Ma-terialparametern abhangen.Exemplarisch sei das Beispiel des Verbrennungsmotors (speziell Hubkolbenmotor)in Kraftfahrzeugen erwahnt. Diese Motorenart hat sich wegen ihrer Performan-ce, Zuverlassigkeit und Vielseitigkeit durchgesetzt, obwohl sie eine vergleichsweisegeringe Effizienz aufweist. Reibungsverluste machen den großten Teil des Energie-verbrauchs aus. Insbesondere die Reibung der Kolbenringe (Mischreibung oderhydrodynamische Schmierung) und des Kolbenschafts (hauptsachlich hydrody-namische Schmierung) machen einen großen Teil der Reibungsverluste im An-triebsstrang aus [27, 117]. Aufgrund der hohen Zahl von im Einsatz befindlichenVerbrennungsmotoren konnen selbst kleine Verbesserungen in den Bereichen Effi-zienz, Emissionen und Haltbarkeit großen Einfluss auf den globalen Olverbrauchund die Umwelt haben. Fortschritte hinsichtlich der drei großen Ziele, Effizienz,Emissionen und Haltbarkeit, verbinden Tung und McMillan [117] mit den fol-genden Hauptbetatigungsfeldern: (1) Entwicklung neuer und bezahlbarer Ober-flachenmodifikationen, (2) Erarbeitung eines besseren Verstandnis der Chemieder Schmiermittel und (3) Erarbeitung eines besseren Verstandnis der Wirkungs-weise von Additiven. Verbesserungen in der Simulation von geschmierten Syste-men konnen zweifelsfrei ebenfalls zu Verbesserungen von Verbrennungsmotorenbeitragen.Hydrodynamische Schmierung und elastohydrodynamische Schmierung werdenseit langen beherrscht [47, 115]. Gegenstand aktueller Forschung ist der Bereichder Mischreibung. Ein wesentlicher Grund fur die hohe Komplexitat erwachst ausder Notwendigkeit, simultan das elastische Problem und das Stromungsproblemzu losen.

71

72 KAPITEL 6. GESCHMIERTE KONTAKTE

PSfrag replacements

Ra

V

h0 h(r)

F

Abbildung 6.1: Annaherung einer gekrummten Oberflache an eine Ebene mit derGeschwindigkeit V unter der Wirkung einer Kraft F

In diesem Kapitel wird gezeigt, dass das Mischreibungsproblem erheblich redu-ziert werden kann, wenn die Schmierfilmdicke so gering ist, dass der Hauptteil derKontaktwechselwirkungen von wenigen Mikrokontakten kommt, deren Abstandsehr viel kleiner als der mittlere Abstand der Korper ist. Geschmierte Kontaktekonnen in diesem Fall durch nichtkonservative Wechselwirkungskrafte zwischenOberflachenelementen modelliert werden. Die Wechselwirkungskrafte sind sowohlvom Abstand als auch von der Relativgeschwindigkeit der Oberflachenelementeabhangig. Die Idee besteht demnach darin, nicht das Verhalten der Flussigkeitexplizit zu simulieren, sondern nur die hydrodynamischen Krafte, die auf dieFestkorper wirken. Es wird zudem gezeigt, dass zusatzlich auch eine Reduktionder Dimension erfolgen kann.

Popov und Filippov [94] nutzen diese Beschreibung der Mischreibung in Zusam-menhang mit dem 1D-Modell zur Simulation des chemisch-mechanischen Polie-rens (CMP).

6.2 Klassisches Newton-Fluid mit konstanter Vis-

kositat

6.2.1 Voruberlegungen

Betrachtet wird die Annaherung einer gekrummten Oberflache (Krummungs-radius R) an eine Ebene (Abbildung 6.1). Beide Korper seien starr, die unterePlatte sei zudem fest, die gekrummte Platte bewegt sich mit der Geschwindig-keit V . Die gekrummte Oberflache wird in der Nahe des Minimums parabolischapproximiert

h (r) = h0 +r2

2R. (6.1)

6.2. KLASSISCHES NEWTON-FLUID 73

Aus der Reynoldsgleichung fur die reine Normalbewegung und das symmetrischeProblem (p = p(r))

d

dr

[

rh3

12η

dp

dr

]

= rdh

dt(6.2)

ergibt sich fur die Druckverteilung

p− p0 =3ηV R

h2, (6.3)

wobei p0 den Druck außerhalb des Kontaktbereichs bezeichnet und V = h. DieNormalkraft ergibt sich nun durch Integration

F =

∫ ∞

0

2πr (p− p0) dr =6πηR2V

h0, (6.4)

wobei h0 � a2

2Rberucksichtigt wurde. Das Integral in (6.4) konvergiert auf der

oberen Grenze. Das bedeutet, der Hauptanteil der Kraft kommt aus der unmittel-baren Umgebung des Mikrokontaktes. Der genaue Verlauf der Stromung außer-halb des Kontaktbereichs hat keinen Einfluss auf die Wechselwirkung zwischenden Asperiten.Zudem kann abgeschatzt werden, dass die Normalkrafte dominieren [97]. DieSchubspannung kann zu

τ ∼ ηV

h= η

V

h0 + r2/(2R)

abgeschatzt werden. Daraus folgt fur die Tangentialkraft

FT ∼ 2πηV R ln

(

1 +L2

2h0R

)

. (6.5)

L ist hierbei der charakteristische Abstand zwischen den Asperiten. Vergleich von(6.4) mit (6.5) zeigt, dass die Tangentialkraft in erster Naherung gegenuber derNormalkraft vernachlassigt werden kann.

Es ist das Ziel dieses Kapitels, einen moglichen Weg zur Berucksichtigung derSchmierung im vorgestellten Modell aufzuzeigen. Insbesondere soll die Simulationdes geschmierten Kontakts ohne die explizite Berechnung der Stromung auskom-men. Dazu werden Wechselwirkungsgesetze zwischen den Teilchen der Festkorperdefiniert, so dass das makroskopische Verhalten gemaß Gleichung (6.4) korrektabgebildet wird. Die Wechselwirkungskrafte sind nichtkonservativ und hangenvom Relativabstand und der Relativgeschwindigkeit ab.Wie bereits in Kapitel 2.1 ausfuhrlich dargestellt, ist die Dimension bei Kon-taktproblemen von großer Bedeutung. Fur geschmierte 3D-Kontakte werden dieWechselwirkungsgesetze fur 1D- und 2D-Oberflachen hergeleitet. Es zeigt sich,dass die Wechselwirkungsgesetze in den beiden Fallen verschieden vom Teilchen-abstand abhangen.

6.2.2 Wechselwirkungsgesetz im 2D-Fall

Die Teilchen sind auf den Oberflachen z1 = z1 (x, y) und z2 = z2 (x, y) der Korperverteilt. Die Wechselwirkungskraft zwischen den einzelnen Teilchen sei

F t2D =

Cv

ρ4dA1dA2 , (6.6)


PSfrag replacements

V

h

r

ρ

Abbildung 6.2: Die Kraft auf ein Oberflachenteilchen des oberen Korpers ver-ursacht durch ein Oberflachenteilchen des unteren Korpers ist durch (6.6) bzw.(6.7) gegeben.

wobei ρ den Abstand zwischen den Teilchen und v die Relativgeschwindigkeitentlang der Verbindungslinie bezeichnen (Abbildung 6.2). Wie eingangs erwahnt,hangen die Teilchen-Teilchen-Wechselwirkungen vom Abstand und der Relativ-geschwindigkeit ab. Die vertikale Komponente der Kraft zwischen einem Teilchenauf der gekrummten Oberflache und der (unendlichen) Halbebene ist dann

∞∫

0

2πrCV h2

(h2 + r2)3drdA2 =πCV

2h2dA2 .

V ist die Geschwindigkeit, mit der sich die starren Korper normal annahern. DieKraft zwischen der gekrummten Oberflache und der Halbebene ergibt sich unterder Annahme einer quadratischen Approximation der gekrummten Oberflachedurch nochmalige Integration

F2D =

a∫

0

π2rCV(

h0 + r2

2R

)2dr .

Fur h0 � a2

2Rerhalt man schließlich

F2D = π2CV R

h0.

Das makroskopische Ergebnis (6.4) ergibt sich fur

C =6

πηR .

6.2.3 Wechselwirkungsgesetz im 1D-Fall

Zur schnellen Simulation von Kontakt- und Reibungsproblemen sollen moglichsteindimensionale Modelle eingesetzt werden. Im folgenden wird gezeigt, wie das

6.2. KLASSISCHES NEWTON-FLUID 75

Wechselwirkungsgesetz in einem 1D-Modell zu wahlen ist, um dennoch das ma-kroskopische Ergebnis (6.4) zu erzielen. Alle Teilchen sind entlang einer Linieangeordnet, z1 = z1 (x) und z2 = z2 (x). Das Wechselwirkungsgesetz lautet nun

F t1D =

Cv

ρ5/2dr1dr2 . (6.7)

Der Vergleich von (6.7) mit (6.6) zeigt, dass die Abstandsabhangigkeit verschiedenist; F t

1D ∝ r−5/2 und F t2D ∝ r−4. Die vertikale Komponente der Kraft zwischen

einem Teilchen der gekrummten Oberflache und der Halbebene ist in diesem Fall

∞∫

0

2CV h2

(h2 + r2)9/4drdr2 = β

CV

h3/2dr2

mit

β = 2

∞∫

0

dξ

(1 + ξ2)9/4≈ 1,4378 .

Die Kraft zwischen den beiden Korpern im 1D-Fall berechnet sich zu

F1D =

a∫

0

2βCV(

h0 + r2

2R

)3/2dr

und mit h0 � a2

2Rfolgt endlich

F1D = 2√

2βCV

√R

h0.

Das makroskopische Verhalten (6.4) wird korrekt abgebildet, falls

C = βηR3/2 , β =3√

2π

2β≈ 4,6352

gewahlt wird. In beiden Fallen muss der effektive Krummungsradius zur Berech-nung der Wechselwirkungskrafte bekannt sein. Im allgemeinen kann der effektiveKrummungsradius aus den Krummungsradien der beiden in Kontakt befindlichenAsperiten berechnet werden.

6.2.4 Ergebnisse

Beide Modelle (1D und 2D) wurden implementiert. Exemplarisch ist in Abbil-dung 6.3 die mit dem 1D-Modell berechnete Beziehung zwischen Normalkraft Fund minimalem Abstand h0 gezeigt. Sowohl im 1D- als auch im 2D-Modell wirdeine sehr gute Ubereinstimmung zwischen dem Simulationsergebnis und dem ana-lytischen Ergebnis (6.4) erzielt.Die minimale Schmierfilmdicke h0 sollte jedoch großer sein, als der Teilchenab-stand. Zudem sei daran erinnert, dass das Ergebnis (6.4) nur fur h0 � a2

2Rgilt.

Das Verhalten in Regionen, in denen diese Bedingung verletzt ist, spielt jedochbei den betrachteten Kontaktproblemen keine Rolle, weil diese Regionen kaumzur Gesamtkraft zwischen den rauen Oberflachen beitragen.


100

101

102

103

100

101

102

103

104

PSfrag replacements

F6πηRV

h0d

Abbildung 6.3: Beziehung zwischen Kraft F und Filmdicke h0, Simulation mitdem 1D-Modell und Wechselwirkungen gemaß (6.7), d horizontaler Abstand zwei-er Teilchen, R = 2000d, a2

2R≈ 6250d

6.3 Beispiele fur andere Schmiermittel

Im vorangegangenen Abschnitt wurde die Idee Modellierung der Schmierungdurch nichtkonservative Wechselwirkungskrafte am Beispiel des klassischen New-tonschen Fluids mit konstanter Viskositat vorgestellt.

Im nun folgenden Abschnitt werden zwei Erweiterungen diskutiert: das klassischeNewtonsche Fluid mit druckabhangiger Viskositat und ein Schmiermittel mit Ad-ditiven. An diesen Beispielen soll gezeigt werden, dass auch kompliziertere Falleim Rahmen der vorgestellten Idee behandelt werden konnen.

6.3.1 Druckabhangige Viskositat

Das Ausquetschverhalten bei einem klassischen Newtonschen Fluid mit druck-abhangiger Viskositat wurde ausfuhrlich von Christensen [21, 22] fur verschiede-ne Geometrien untersucht. Es wird angenommen, dass die Viskositat dem Barus-Gesetz1

η = η0 exp (αp)

folgt, mit der Viskositat bei Umgebungsdruck η0 und dem Druckexponenten α.

Fur die Annaherung einer Kugel an eine Halbebene gibt die Integration derReynoldsgleichung (6.2) fur die Druckverteilung

p (r) = − 1

αln

(

1 − 3η0αV R

h2 (r)

)

, (6.8)

mit V = −h . Integration des Drucks uber die Oberflache ergibt die Gesamtnor-

1Zur Gultigkeit des Barus-Gesetz siehe Diskussion am Ende der Veroffentlichung [22].

6.3. BEISPIELE FUR ANDERE SCHMIERMITTEL 77

PSfrag replacements

αp

h0 = 1

h0 = 1.5

h0 = 2

-1-2x√

2Rh0

F 2π4

√

α3

24η 0VR

3

h0√6η0αV R

00 1 22

3

4 6 8 10

1.01.0

2.02.0

0.50.5

1.51.5

0.0 0.0

Abbildung 6.4: Newtonsche Flussigkeit mit druckabhangiger Viskositat: Druck-verteilung (links) und Normalkraft (rechts) fur die Annaherung zwischen Zylinderund Ebene

malkraft fur den Fall der Annaherung (V > 0 )

F = 2π

√

3η0V R3

α

[

lnh0 + 1

h0 − 1− h0 ln

h20

h20 − 1

]

, (6.9)

mit der dimensionslosen Filmdicke

h0 =h0√

3η0αV R.

Die Gleichungen (6.8) und (6.9) sind fur h0 ≥ 1 gultig. Fur h0 � 1 geht (6.9)uber in das bekannte Ergebnis

F =6πη0V R

2

h0,

das im Fall konstanter Viskositat gultig ist. Fur h0 = 1 ist die durch (6.9) gege-bene Kraft ungefahr 40% großer als die Kraft im Fall konstanter Viskositat. Dermaximale Druck geht fur h0 = 1 gegen Unendlich.Bei der Annahrung eines Zylinders an die Halbebene ergibt die Integration derReynoldsgleichung die Druckverteilung

p (x) = − 1

αln

(

1 − 6η0αV R

h2 (x)

)

und die Normalkraft (V > 0)

F = 2π4

√

24η0R3V

α3

(

2

√

h0 −√

h0 + 1 −√

h0 − 1

)

,

wobei

h0 =h0√

6η0αRV.


PSfrag replacements

αp

00

1

1

2

2

34

-1-2

0%

1%

2%

3%

-1%

-2%

h0 = 1.05

x√2Rh0

Abbildung 6.5: Newtonsches Fluid mit druckabhangiger Viskositat: relativer Feh-ler in der Druckverteilung (durchgezogene Linie, linke Achse) und Druckvertei-lung (gestrichelte Linie, rechte Achse).

Abbildung 6.4 zeigt die Druckverteilung (links) und die Normalkraft (rechts)fur die Annaherung eines Zylinders an eine Halbebene. Genau wie im Fall derKugel strebt der Druck fur h0 = 1 gegen Unendlich, die Normalkraft bleibt je-doch endlich. Die Relation zwischen Filmdicke und Normalkraft kann auch imFall druckabhangiger Viskositat durch geeignete Wechselwirkungskrafte simuliertwerden. Exemplarisch wird die Annaherung des Zylinders im Detail diskutiert.Ein Wechselwirkungsgesetz vom Typ

F t1D =

∑

j

cjρκj

dr1dr2 (6.10)

wird angesetzt. Drei Terme genugen, um eine sehr gute Ubereinstimmung fur dieNormalkraft zu erhalten. Die Wechselwirkungskrafte wurden gerade so gewahlt,dass die Normalkraft gut simuliert wird. In diesem Fall stimmt sogar auch dieDruckverteilung hervorragend. Abbildung 6.5 zeigt fur h0 = 1,05 den relativenFehler in der Druckverteilung. Die Gesamtkraft weist 0,3% Fehler auf; der Druckweicht im relevanten Bereich ungefahr um 2% von der korrekten Losung ab. Diegestrichelte Linie ist die Druckverteilung und dient der besseren Orientierung.In der Simulation auf Basis von (6.10) bleibt der maximale Druck stets endlich;signifikante Unterschiede zwischen dem analytischen Ergebnis und dem Ergebnisder Simulation ergeben sich jedoch erst, wenn h0 sehr nahe an 1 ist.

6.3.2 Schmiermittel mit Momentenspannungen

In vielen technischen Anwendungen werden den Schmiermitteln Additive zuge-setzt. Schmiermittel mit Additiven lassen sich in der Regel nicht durch einfache

6.3. BEISPIELE FUR ANDERE SCHMIERMITTEL 79

0.005 0.01 0.015 0.025 0.03 0.0350

50

100

150

200

250

300

350

PSfrag replacementsF

6πηRV

h0R

τ = 0

τ = 1 · 10−3

τ = 2 · 10−3

τ = 3 · 10−3

Abbildung 6.6: Ergebnis fur das Momentenspannungsfluid nach Stokes, d horizon-taler Abstand zweier Teilchen, R = 2000d, a2

2R≈ 6250d, fur τ = 3 · 10−3 bedeutet

dies hl∈ [1.67; 11.67]

Kontinua beschreiben. Stattdessen kommt die Theorie von Kontinua mit Mi-krostruktur fur die Beschreibung solcher Schmiermittel zur Anwendung. Arimanund Sylvester [3, 4] geben eine Ubersicht uber die verschiedenen Theorien.Fluide mit Momentenspannungen (couple stress fluids) stellen die einfachste Er-weiterung der klassischen Theorie einfacher Kontinua dar [114]. Stokes [114]schlagt nicht nur konstitutive Gesetze vor, sondern auch Experimente zur Be-stimmung der Materialkonstanten.Lin [67] untersucht die Annaherung einer Kugel an eine Halbebene fur das Mo-mentenspannungsfluid nach Stokes. Das Modell von Lin soll die Teilchengroßen-effekte, die von Schmiermitteln mit Additiven bekannt sind, nachbilden. Nebender Viskositat enthalt das Modell einen Parameter l, der in Zusammenhang mitden Momentenspannungen steht. Der Parameter l kann als Lange der Additi-ve interpretiert werden. Anstelle des dimensionsbehafteten Parameters l benutztLin den dimensionslosen Parameter τ = l/R. Fur τ = 0 ergibt sich das klassi-sche Newtonsche Fluid. Lin leitet die modifizierte Reynoldsgleichung her und gibtnumerische Ergebnisse fur die Beziehung zwischen Normalkraft und Filmdicke.Diese Beziehung kann nicht in geschlossener Form angegeben werden. Lin erhaltseine Ergebnisse durch numerische Integration. Momentenspannungen erhohendie Normalkraft. Der Effekt ist umso ausgepragter, je niedriger die Filmdicke. Eszeigt sich, dass Lin’s Ergebnisse mit guter Genauigkeit durch eine Funktion

F =a1

h+a2

h2+a3

h3(6.11)

wiedergegeben werden konnen. F ist die dimensionslose Kraft und h ist die dimen-sionslose Filmdicke. Fur das klassische Newtonsche Fluid (τ = 0) verschwindendie letzten beiden Terme (a2 = a3 = 0). Fur einen gegebenen Wert τ konnendie Parameter ai mit der Methode von Lin berechnet werden, um dann mittels(6.11) in das Simulationsmodell eingebaut zu werden. Die Wechselwirkungsgeset-ze konnen, wie bereits fur das klassische Fluid gezeigt, ermittelt werden. Fur das


1D-Modell lautet das Wechselwirkungsgesetz dann

F t1D =

(

C1v

ρ5/2+C2v

ρ7/2+C3v

ρ9/2

)

dr1dr2 . (6.12)

Abbildung 6.6 zeigt den Vergleich zwischen den von Lin berechneten Werten(Linien) und den mit dem 1D-Modell berechneten Werten (Punkte) fur vier ver-schiedene Werte des Parameters τ . Die Ubereinstimmung ist sehr gut. Ein Wech-selwirkungsgesetz der Form (6.12) ist demnach fur unser Modell geeignet.

6.4 Kavitation

In geschmierten Kontakten konnen Zustande auftreten, in denen der Druck lokaleinen bestimmten Grenzwert unterschreitet. In diesen Fallen kann das Schmier-mittel zeitweise diskontinuierlich werden; es kommt zur Kavitation. Kavitationkann nach Gas- und Dampfkavitation unterschieden werden [29]2. Gaskavitationtritt z. B. in belufteten Schmiermitteln auf, wenn Drucke unterhalb des Umge-bungsdrucks auftreten.Wenn der Druck unter den Dampfdruck fallt, kann das Schmiermittel verdamp-fen. Diese Dampfkavitation kann bei dynamischen Lastfallen auftreten. Kavi-tation ist ein dynamischer Prozess; das Verdampfen geschieht nicht schlagartig.Daher konnen Schmiermittel fur kurze Zeit auch Zugspannungen ubertragen. Ex-perimente haben gezeigt, dass Kavitation in Lagern, z.B. in Pleuellagern in Ver-brennungskraftmaschinen, auftreten kann und dass dies mit teilweise erheblichenSchaden verbunden ist [82].Zeitabhangige Kavitation in einer einfachen Anordnung aus parallelen Plattenwurde experimentell von Hays und Feiten [48], Parkins und May-Miller [87] sowievon Chen et al. [19] untersucht. Hays und Feiten betrachteten den Fall konstan-ter Geschwindigkeit, wahrend die anderen beiden Gruppen den Fall periodischerBewegung untersuchten. Die Experimente zeigen, dass der Schmierfilm eine Zug-spannung ubertragen kann, bevor es zur Storung der Kontinuitat kommt. DasKavitationsgebiet entsteht in der Mitte und verschwindet dort auch. Alle Ex-perimente konzentrieren sich auf die Charakterisierung der Kavitationsmuster;insbesondere werden keine Daten geliefert, mit denen sich numerische Untersu-chungen hinreichend gut uberprufen ließen.Zudem gibt es keine veroffentlichten Simulationen mit zeitabhangigen Zugspan-nungen. Der Großteil der Literatur zur Kavitation bei Schmierungsproblemenbeschaftigt sich mit der Situation in stationar betriebenen Gleitlagern, z.B. [30,119]. Einige Veroffentlichungen, z. B. [7, 64], betrachten zwar instationare Vor-gange, nicht jedoch die zeitliche Dynamik des Druckes. Genauer: der kritischeDruck wird meist als 0 angesetzt. Dann wird bei Auftreten von Zugspannungeninstantan im entsprechenden Zeitschritt der Druck lokal auf 0 gesetzt. Bei die-sem Vorgehen konnen generell niemals Zugspannungen ubertragen werden. In derTat muss bei Auftreten von Zugspannungen Kavitation einsetzen. Im Zuge desBlasenwachstums muss dann der Druck innerhalb einer bestimmten Zeit gegen0 gehen. Innerhalb dieser Zeit konnen Zugspannungen ubertragen werden. Die

2Die Veroffentlichung von Dowson und Taylor [29] gibt einen Uberblick uber das ThemaKavitation in Lagern auf dem Stand von 1979. Die Autoren beschaftigen sich fast ausschließlichmit der Gaskavitation.

6.5. ZUSAMMENFASSUNG 81

entsprechenden Simulationen wurdigen damit die vorhandenen qualitativen Er-gebnisse der Experimente [19, 48, 87] nicht. Alle Simulationen verzichten auf eineAbbildung der feinen Strukturen, wie sie in Experimenten beobachtet werden.

Ein Simulationsmodell, das das Auftreten von Zugspannungen abbildet, mussdie Dynamik des Blasenwachstums und -zerfalls berucksichtigen. Ausgehend vonder Rayleigh-Plesset-Gleichung [32, 92] und der Reynoldsgleichung fur kompressi-ble Fluide konnen partielle Differentialgleichungen fur die Dichte und den Druckhergeleitet werden. Eine ausfuhrliche Behandlung dieses Ansatzes fur das Kavi-tationsproblems ist in [38] zu finden.Schließlich kann mit dem Simulationsmodell der Zusammenhang zwischen derwirkenden Normalkraft F sowie den Großen Filmdicke h und GeschwindigkeitV bestimmt werden; d. h. gesucht wird der zu (6.4) aquivalente Ausdruck imFall kavitierender Stromung. Es zeigt sich jedoch, dass der Zusammenhang nichtin der Form einer einfachen Gleichung F = F(h, V ) darstellbar ist. Durch dieBerucksichtigung der Kavitation tritt eine neue Feldgroße Dampfanteil α(r, t)(oder Dichte ρ(r, t)) auf. Sollte die raumliche Verteilung des Dampfanteils keineRolle fur das makroskopische Verhalten spielen, wird nur ein zusatzlicher Para-meter α(t) benotigt. Dieser innere Parameter kann durch Einfuhrung einer ki-netischen Gleichung F = F(F, h, V ) eliminiert werden. Der zeitliche Verlauf desDampfanteils muss dann nicht mehr explizit verfolgt werden. Die Einfuhrung einerkinetischen Gleichung lasst sich auch aus den berechneten Kraft-Zeit-Verlaufenmotivieren.Nach dem Aufstellen der entsprechenden kinetischen Gleichung fur den Kugel-kontakt kann die reduzierte Beschreibung in Analogie zu den Ausfuhrungen ausAbschnitt 6.2 aufgebaut werden.

6.5 Zusammenfassung

Das Kapitel beschließt die reduzierte Beschreibung des Kontaktproblems. Nachder Behandlung des trockenen Kontakts mit und ohne Adhasion sowie der Un-tersuchung rauer Oberflachen wurde schließlich der geschmierte Kontakt unter-sucht. Grundlage der Simulation sind nichtkonservative Wechselwirkungskraftezwischen den Teilchen, die vom Abstand und der Relativgeschwindigkeit der Teil-chen abhangen.Die Wechselwirkungsgesetze wurden fur Simulationsmodelle unterschiedlicher Di-mension und fur unterschiedliche Schmiermittel hergeleitet. Es wurde an ver-schiedenen Beispielen gezeigt, dass die Grundidee nicht nur fur das klassischeNewtonsche Fluid mit konstanter Viskositat funktioniert, sondern auch bei druck-abhangiger Viskositat oder bei polaren Schmiermitteln. Diese reduzierte Beschrei-bung wird zur Simulation des chemisch-mechanischen Polierens verwendet3.

3siehe Abschnitt 1.4 in der Einfuhrung


Kapitel 7

Zusammenfassung und Ausblick

Im folgenden sollen kurz die wesentlichen Erkenntnisse der vorliegenden Arbeitrekapituliert und zukunftige Forschungsarbeiten skizziert werden.

7.1 Erreichtes

Ausgehend von der Erkenntnis, dass die Simulation von Reibungs- und Kontakt-problemen durch zwei Phanomene erschwert wird, namlich (1) den Mehrskalen-charakter und (2) die Komplexitat bzw. Vielfalt der beteiligten Prozesse, wirdein eindimensionales Simulationsmodell vorgestellt.

Der Anspruch an das Simulationsmodell lautet: bilde wesentliche kontaktme-chanische Zusammenhange richtig ab und ermogliche eine schnelle Simulation.Schnell ist im Hinblick auf die ingenieurmaßige Anwendung eines aus der vor-liegenden Arbeit entwickelten Computerprogramms sehr wichtig. Schnell bedeu-tet insbesondere, dass selbst bei Berucksichtigung vieler Langenskalen (z. B. 6Großenordnungen) eine Simulation in praktisch vertretbarer Zeit durchfuhrbarist.

Kurze Rechenzeiten werden durch Reduktion der raumlichen Dimension erreicht;statt einer vollstandigen Diskretisierung der dreidimensionalen Kontaktpartnerwird ein eindimensionales Teilchenmodell herangezogen. Auf diese Weise bleibtdie Zahl der Freiheitsgrade auch bei sehr feiner Diskretisierung im Bereich desrechentechnisch moglichen.

Die Proportionalitat der Kontaktsteifigkeiten knorm, ktang fur Normal- bzw. Tan-gentialkontakt zum Kontaktradius a ist ein deutlicher Hinweis auf die Mach-barkeit der Dimensionsreduktion. In der vorliegenden Arbeit wird im einzelnengezeigt, wie bei der Dimensionsreduktion vorzugehen ist. Beginnend mit demeinzelnen elastischen Kontakt wird das Modell Schritt fur Schritt ausgebaut.Von zentraler Bedeutung ist die Umrechnung der Oberflachentopographie. Si-mulationsrechnungen fur raue Oberflachen mit der Randelementemethode zeigenschließlich, dass die Beziehung zwischen Normalkraft und Kontaktgroße im ein-dimensionalen und dreidimensionalen Modell naherungsweise gleich sind.

Das bemerkenswerte Ergebnis der Arbeit lautet somit: die Reduktion des drei-dimensionalen elastischen Kontaktproblems zwischen Korpern mit stochastischenOberflachen auf ein eindimensionales Kontaktproblem gelingt.

Fur die Simulation von Kontakt- und Reibungsproblemen sind die Berucksichti-gung der Adhasion und der Schmierung ebenfalls wichtig. Das eindimensionale

83

84 KAPITEL 7. ZUSAMMENFASSUNG UND AUSBLICK

Simulationsmodell wurde daher so erweitert, dass auch Systeme mit Adhasion undSchmierung damit simuliert werden konnen. Die fur die Beschreibung der Schmie-rung eingefuhrten Wechselwirkungen sind nicht nur vom Abstand der Teilchensondern auch von der Relativgeschwindigkeit abhangig.Schließlich gelingen effiziente numerische Simulationen nur, wenn geeignete nu-merische Algorithmen benutzt werden. Die im Kapitel 4 zu den numerischenAspekten zusammengefassten Erkenntnisse konnen sicher auch bei anderen Feder-Masse-Systemen erfolgreich verwendet werden.

7.2 Offene Fragen und zukunftige Entwicklun-

gen

Naturgemaß lasst die vorliegende Arbeit auch viele Fragen offen, die im folgendenkurz besprochen werden sollen.

Vergleichsrechnungen

Auf der einen Seite sind alle jene Fragestellungen, die mit der direkten Anwen-dung des vorgestellten Modells verbunden sind. Dazu gehort z.B. der weiter ge-hende Vergleich 1D–3D bei rauen Oberflachen und elastischem sowie adhasivemKontakt. Vergleichsrechnungen konnen sowohl mit der Randelementemethode alsauch mit dem hierarchischen Modell von Heß und Popov durchgefuhrt werden.Zudem sind weiter gehende Vergleiche mit aus der Literatur bekannten analyti-schen Ergebnissen und Berechnungen mit der Finite-Elemente-Methode sinnvoll.Insbesondere kann der in der Literatur oft angegebene dimensionslose Wert κ alsFunktion des Hurst-Exponenten bestimmt und mit den veroffentlichten Ergeb-nissen verglichen werden. Zudem sollten Vergleichsrechnungen zum elastohydro-dynamischen Problem durchgefuhrt werden. Die in dieser Arbeit gezeigten nu-merischen Ergebnisse sind mittels Matlab-Programmen berechnet worden. ZurZeit wird ein eigenstandiges Computerprogramm entwickelt, das ausgehend vongemessenen Oberflachen das eindimensionale Modell erzeugt und Berechnungendamit erlaubt.

Auf der anderen Seite stehen die Fragestellungen, die einer Erweiterung des Si-mulationsmodells bedurfen.

Hierarchisches Modell

Um die Deformationen und Beanspruchungen im Innern der Kontaktpartner zuermitteln, kann ein zweidimensionales hierarchisches Modell (siehe AbschnitteB.2.3 und B.5) herangezogen werden. Ein solches Modell kann als Stapelung voneindimensionalen Modellen verstanden werden. Ein zweidimensionales hierarchi-sches Modell hat nur ungefahr doppelt so viele Teilchen im Vergleich zum eindi-mensionalen Modell; der Zuwachs an Rechenzeit kann daher durchaus akzeptabelsein angesichts der zusatzlichen Informationen zu Deformationen und Beanspru-chungen im Innern. Es ist jedoch noch zu klaren, wie die Wechselwirkungsgesetzezwischen den einzelnen Schichten genau beschaffen sein mussen, damit das drei-dimensionale Verhalten naherungsweise richtig abgebildet wird.

7.2. OFFENE FRAGEN UND ZUKUNFTIGE ENTWICKLUNGEN 85

Vollstandiger Kontakt

In der vorliegenden Arbeit wurde gezeigt, dass die vorgeschlagene Dimensions-reduktion gut funktioniert, so lange die wahre Kontaktflache klein im Vergleichzur scheinbaren Kontaktflache ist. Der andere Grenzfall – vollstandiger Kontakt– sollte fur den Fall stochastischer Oberflachen zukunftig genauer untersucht wer-den. Interessant ist der Grenzfall des vollstandigen Kontaktes u. a. aus folgen-dem Grund. Wenn der vollstandige Kontakt beim eindimensionalen Modell beiSpannungen der gleichen Großenordnung wie im dreidimensionalen Fall auftritt,funktioniert das eindimensionale Modell in beiden Grenzfallen. Dann lasst sichvermuten, dass das eindimensionale Modell auch im Ubergangsbereich sinnvolleErgebnisse liefert.

Fur eine erste Annaherung an das Probelm wird eine wellige Oberflache gemaßh = h cos qx cos qy betrachtet, wobei q = 2π/λ (Wellenlange λ in x- und y-Richtung). Im linear elastischen Fall ist die Spannung zum vollstandigen Ein-drucken

σ∗ =√

2qh(1 − ν)E∗ .

Fur die notwendige Normalkraft (je Flache λ2) ergibt sich

F3D = 4√

2π2(1 − ν)E∗ 1

R3Dq3,

mit dem Krummungsradius der undeformierten Kappen R3D. Fur den eindimen-sionalen Fall ergibt sich

F1D = 2πcn1

R1Dq3.

Es folgt mit den Annahmen cn = E∗ und 2R1D = R3D fur das Verhaltnis

F1D

F3D≈ 1

3.

Im betrachteten Fall ist im eindimensionalen Modell die fur den vollstandigenKontakt notwendige Kraft nur ungefahr ein Drittel der Kraft im dreidimen-sionalen Modell. Fur stochastische Oberflachen ist dieses Verhaltnis analytischoder numerisch zu ermitteln. Moglicherweise ist das Verhaltnis bei stochastischenOberflachen naher an 1 als es im betrachteten Fall ist.

In Abschnitt 5.8 wurde zudem der adhasive Kontakt von welligen Oberflachenuntersucht. Der vollstandige Kontakt ohne außere Normalkraft wurde großenord-nungsmaßig richtig in Abhangigkeit von der Oberflachenrauheit simuliert.

Dynamische Probleme

Fur die Simulation dynamischer Kontaktprobleme muss zusatzlich die kinetischeEnergie angegeben werden. Popov und Psakhie [97] zeigen, dass bei der Indentie-rung die kinetische Energie in guter Naherung nicht von der Kontaktkonfigurationabhangt, sondern der kinetischen Energie der Starrkorperbewegung entspricht.Fur die Normalbewegung beim Gleiten jedoch sind weitere Uberlegungen hin-sichtlich der kinetischen Energie notwendig.


PSfrag replacementsG1

G2

η

Abbildung 7.1: Linearer Standardkorper bestehend aus zwei Federn und einemDampfer

Viskoelastizitat

In der vorliegenden Arbeit wurde ausfuhrlich das elastische Problem behan-delt. Fur das linear-viskoelastische Problem kann die Dimensionsreduktion analogdurchgefuhrt werden. Das soll kurz, basierend auf Ideen von Radok [56, 104] zurBestimmung der Spannungen und Deformationen im Falle linearer Viskoelasti-zitat, erlautert werden. Falls die Losungen fur den linear-elastischen Fall bekanntsind, konnen die entsprechenden Losungen fur das linear-viskoelastische Problemdurch Ersetzen der elastischen Konstanten durch die entsprechenden Integralope-ratoren der viskoelastischen Spannungs-Dehnungs-Beziehungen gefunden werden.Da die Dimensionsreduktion fur den linear-elastischen Fall funktioniert, muss sieauch fur den linear-viskoelastischen Fall funktionieren. Das soll am Beispiel einesviskoelastischen, inkompressiblen Materials (z.B. fur Gummi gilt ν ≈ 0,5) illu-striert werden. Mit der Relaxationsfunktion Ψ lasst sich die Beziehung zwischenden deviatorischen Spannungs- und Dehnungskomponenten in der Form

s (t) =

∫ t

0

Ψ(

t− t) ∂e

∂tdt (7.1)

schreiben. Fur den Kontakt zwischen einer starren Kugel und einer viskoelasti-schen Ebene gilt dann statt

F3D =16

3G√

R3Dd3

die Relation

F3D =16

3

√

R3D

∫ t

0

Ψ3D

(

t− t) d

dt

(

d3/2)

dt .

Entsprechend gilt im eindimensionalen Modell

F1D =4√

2

3

√

R1D

∫ t

0

Ψ1D

(

t− t) d

dt

(

d3/2)

dt .

Mit R3D = 2R1D steht nun an Stelle der Forderung cn = E∗ = 4G die Forderung

Ψ1D (t) = 4Ψ3D (t) .

Fur ein Materialmodell nach Abbildung 7.1 gilt

Ψ (t) =G1

G1 +G2

[

G2 +G1 exp

(

− t

T

)]

, T =η

G1 +G2.

In diesem Fall mussen alle drei Konstanten G1, G2 und η mit dem Faktor 4multipliziert werden. Die Beschreibung des viskoelastischen Materialverhaltensmuss naturlich nicht mittels Prony-Reihen geschehen.

7.2. OFFENE FRAGEN UND ZUKUNFTIGE ENTWICKLUNGEN 87

PSfrag replacements

VV

(a) (b)

Abbildung 7.2: Kavitation in geschmierten Systemen (a) ebene Platte und (b)Kugelkappe

Schmierung

Im Kapitel 6 wurde eine Moglichkeit behandelt, Schmierung in das eindimensio-nale Modell zu integrieren. Andere Wege sind denkbar; insbesondere sollte unter-sucht werden, ob Wechselwirkungen nur mit dem nachstliegenden Teilchen desKontaktpartners genutzt werden konnen. Mit den verschiedenen Varianten derWechselwirkungen sollten dann Vergleichsrechnungen fur Mischreibungszustandedurchgefuhrt werden.

Weitere Untersuchungen sind zudem im Bereich der Kavitation notwendig. Wiebereits in Abschnitt 6.4 erwahnt, tritt durch die Berucksichtigung der Kavitationeine neue Feldgroße Dampfanteil α(r, t) (oder Dichte ρ(r, t)) auf. Dem kann durchdie Einfuhrung einer kinetischen Gleichung F = F(F, h, V ) fur die zeitliche Ent-wicklung der Normalkraft Rechnung getragen werden. Der zeitliche Verlauf desDampfanteils muss dann nicht mehr explizit verfolgt werden. In [38] wird gezeigt,wie die kinetische Gleichung fur die ebene Platte (Abbildung 7.2a) aussieht.

Fur den Kugelkontakt (Abbildung 7.2b) wurde die entsprechende kinetische Glei-chung bisher nicht gefunden. Es bleibt die Frage, ob eventuell die raumliche Ver-teilung des Dampfanteils im Fall der Kugelkappe eine Rolle spielt und somit derBeschreibung durch eine kinetische Gleichung im Wege steht.

Reibung

In der Einfuhrung und im Anhang A wurde auch die Reibungsproblematik disku-tiert. Die vorliegende Arbeit untersucht aber nur das Kontaktproblem. Ein Haupt-betatigungsfeld fur zukunftige Weiterentwicklungen ist die Erweiterung auf tan-gentiale Relativbewegungen der Korper. Dann kann detailliert untersucht werden,zu welchen Reibungsgesetzen bestimmte Teilchen-Teilchen-Wechselwirkungen fuh-ren. Beim bestehenden Modell mit vertikalen und horizontalen Freiheitsgradensind bereits Wechselwirkungen eingebaut, die einer tangentialen Relativbewegungentgegenwirken.

Nichtstochastische Oberflachen

Technische Oberflachen weisen u. U. kunstlich erzeugte, deterministische Ober-flachenstrukturen auf. Ein Beispiel sind Vertiefungen fur Schmierstoffe in Um-formeinrichtungen. Auch in diesem Fall besteht ein Bedarf fur die Berechnung


des Reibgesetzes. Kann auch in diesem Fall eine Umrechnung auf eindimensiona-le Oberflachen gelingen?

Anisotrope Reibung

Bei der Blechumformung wird richtungsabhangiges Reibungsverhalten beobach-tet. Fur eine Berechnung des Tiefziehprozesses mit der Finite Elemente Methode(FEM) ist eine moglichst genaue Kenntnis des Reibgesetzes notig. Andernfallswerden die nach dem Tiefziehen vorhandenen Blechdicken falsch vorhergesagt. Inder eindimensionalen Simulation ist es denkbar, verschiedene Leistungsspektrenfur unterschiedliche Richtungen zu erzeugen und dann einzelne eindimensionaleBerechnungen durchzufuhren. Die so erzeugten Reibgesetze (fur jede Richtungeines) konnen anschließend in der Berechnung mit der FEM genutzt werden.

Verschleiß

Von großem praktischen Interesse ist die Simulation von Verschleiß z. B. beiGummireifen1. Dazu bedarf es einer Berucksichtigung der Materialeigenschaftendes Gummis; die nichtlinearen elastischen Eigenschaften mussen ebenso beruck-sichtigt werden wie die viskoelastischen Eigenschaften. Zusatzlich muss entschie-den werden, wie der Abtrag von Teilchen und die mit Verschleiß verbundeneRissausbreitung im eindimensionalen Modell funktionieren sollen.

CMP

Wie bereits in der Einleitung erwahnt, ist die Simulation des chemisch-mecha-nischen Polierens (CMP) ein vorgesehener Anwendungsfall des dargestellten Si-mulationsmodells. Weiterfuhrende Untersuchungen, insbesondere auch der Ver-gleich zwischen Simulation und Experiment, sind hier in der Zukunft notig.

1Arbeiten dazu laufen bereits am Fachgebiet Systemdynamik und Reibungsphysik.

Anhang A

Kontakt- und

Reibungsproblematik in

verschiedenen

Simulationsmethoden

Im Abschnitt 1.2 wurde der Stand der Forschung in der Kontaktmechanik rauerOberflachen kurz dargestellt. Im folgenden wird ein Uberblick uber die prak-tische Behandlung von Kontakt- und Reibungsproblemen in verschiedenen Si-mulationsmethoden gegeben. Obwohl aus theoretischer Sicht eine Einteilung inMehrkorpersysteme und Finite Elemente Methode vielleicht nicht notwendig er-scheint, hat sich in der Praxis hier eine klare Trennlinie herausgebildet. DieserAnhang mag als Einstieg in die Simulation von Kontaktproblemen dienlich sein,sein eigentlicher Zweck ist jedoch, das praktische Umfeld der neu entwickeltenMethode zu beleuchten.

A.1 Mehrkorpersysteme

Computersimulationen von Mehrkorpersystemen (MKS) sind aus dem industri-ellen Entwicklungsprozess heute nicht mehr wegzudenken. Mit zunehmenden An-forderungen an die Genauigkeit wachst auch das Interesse, Kontakt- und Rei-bungsphanomene moglichst gut abzubilden. Ein erheblicher Teil der Forschungin diesem Bereich konzentriert sich auf das Finden von Methoden zur Imple-mentierung von einfachen Kontaktbedingungen und Coulombscher Reibung. ImVordergrund steht dabei die Suche nach moglichst effizienten Algorithmen (hin-sichtlich Rechenzeit und Implementierungsaufwand).

Kontakte werden als einseitige starre Bindung angesehen. Die Reibungscharakte-ristik wird als gegeben vorausgesetzt und uber eine maximale Haftkraft und eineAbhangigkeit der Gleitkraft von der Gleitgeschwindigkeit definiert. Haufig wirddie Gleitkraft als konstant und gleich der maximalen Haftkraft angenommen.

Die einfachste Methode, Reibung in MKS-Programme zu integrieren, ist die Ap-proximation des Reibgesetzes durch eine stetige Reibkraftfunktion. Die Reibungs-kraft wird als eingepragte Kraft behandelt, deren Geschwindigkeitsabhangigkeitbekannt ist. In der einfachsten Variante wird das Haften nicht berucksichtigt.Kompliziertere Varianten berucksichtigen das Haften durch Einbau einer zusatz-

89

90 ANHANG A. SIMULATIONSMETHODEN

lichen steifen Feder. Die mit großen Steifigkeiten verbundenen hohen Frequenzenbereiten in der Numerik Schwierigkeiten. Diese Methode wurde z. B. von Keu-del et al. [59] und Bosso et al. [8] bei der Simulation von Primarfesselungenvon Guterwagendrehgestellen und von Oden und Martins [75, 80] bei Untersu-chungen von stick-slip-Phanomenen genutzt. Ahnlich konnen Kontakte in MKS-Simulationen durch einseitig wirkende Federn berucksichtigt werden.

Ein gezieltes Umschalten zwischen Haften und Gleiten kann theoretisch erreichtwerden, indem je nach Zustand (Haften oder Gleiten) ein anderer Satz von gene-ralisierten Koordinaten und Differentialgleichungen genutzt wird. Die Bindungs-gleichungen sind dann stets erfullt. Dieser Vorteil wird jedoch durch eine großeZahl von Differentialgleichungssystemen erkauft, die notig sind, da in der Regeljedes Reibelement unabhangig von den anderen im Zustand Haften oder Gleitensein kann. Beschrankt man sich bei der Fahrsimulation eines Guterwagens mitY25 Drehgestell auf 8 Reibkontakte, sind schon 256 verschiedene Satze von ge-neralisierten Koordinaten und Differentialgleichungen vorzusehen. Analoges giltwiederum fur die Kontaktformulierung.

Ein anderes Verfahren ist die Zwangskraftsteuerung. Das Reibelement wird ubereinen Lagrangeschen Multiplikator berucksichtigt, der im Gleitfall den Wert derGleitreibungskraft erhalt und im Haftfall die Haftkraft als Zwangskraft berech-net. Kolsch [60] stellt dieses Verfahren in seiner Dissertation ausfuhrlich dar unduntersucht u. a. McPherson-Vorderachsen von Kraftfahrzeugen.

Alle bisher beschriebenen Verfahren fuhren auf Systeme von Differentialgleichun-gen bzw. Systeme von algebraischen Gleichungen und Differentialgleichungen.Alternativ konnen auch die Methoden der nichtglatten Mechanik (non-smoothmechanics) herangezogen werden. Die Berucksichtigung von Kontakten und Cou-lombscher Reibung fuhrt dann auf lineare Komplementaritatsprobleme (LCP)[40].

Neben den vielzahligen Arbeiten zu geeigneten numerischen Algorithmen gibtes Arbeiten, die das dynamische Verhalten in Abhangigkeit vom gewahlten Rei-bungsgesetz studieren, z. B. Awrejcewicz und Olejnik [5]. Wie bereits erwahnt,wird die Reibungscharakteristik in diesen Arbeiten fast ausschließlich als gege-ben vorausgesetzt. Doch woher nimmt man die Reibungscharakteristik? Die Rei-bungscharakteristik zu messen, ist ein durchaus schwieriges Unterfangen1. Odenund Martins [75, 80] betonen, dass die experimentell ermittelten Reibungskraft-Geschwindigkeits-Kurven ohne jede Aussagekraft sind, solange die Variation derNormalkraft nicht korrekt berucksichtigt wird. Dass die Variation der Normal-kraft oft signifikant ist, sehen sie durch Experimente bestatigt. Bild A.1 zeigtnumerische Simulationen mit einem Modell mit zwei Freiheitsgraden [75] und kon-stantem Reibungskoeffizienten2. Den dargestellten Ergebnissen liegen Berechnun-gen mit einem Satz von Parametern (Steifigkeit, aufgebrachte Geschwindigkeit)zugrunde. Insbesondere ist der Reibungskoeffizient µ als Quotient aus Reibungs-kraft zu Normalkraft (Parameter der Reibpaarung) konstant. Dargestellt ist der

1Madakson [73] It has been demonstrated that the friction of a given material depends also

on the test system. Samples of an identical material were distributed to different laboratories

to measure the friction at given conditions. Using different measuring systems each laboratory

reported a different value of the friction.2Der Autor hat das Modell von Martins et al. (zwei Freiheitsgrade: Vertikal- und Horizon-

talbewegung) wie bei Glocker [40] allgemein beschrieben in ein LCP uberfuhrt und numerischgelost. Die Berechnungen sind mit den in [75] genannten Parametern durchgefuhrt worden.

A.2. FINITE ELEMENTE METHODE 91

PSfrag replacements

µ

vrel

mk

V

Abbildung A.1: Experimenteller Aufbau zur Bestimmung des Reibgesetzes undzur Untersuchung von Reibschwingungen (links), typischer Verlauf scheinbarerReibkoeffizient FR/FG uber Relativgeschwindigkeit vrel (rechts)

Quotient aus Reibungskraft und Gewichtskraft (scheinbarer Reibungskoeffizient)uber der Gleitgeschwindigkeit. Diese Berechnung des Reibungskoeffizienten un-terstellt, dass die Normalkraft zeitlich konstant ist. Im abgebildeten Fall ergibtsich fur den scheinbaren Reibungskoeffizient ein Umlauf entgegen dem Uhrzei-gersinn. Mit einem anderen Parametersatz ergibt sich bei gleichem konstantenReibungskoeffizienten ein Umlauf in entgegengesetzer Richtung.

Je nach experimentellem Aufbau und angelegter Geschwindigkeit konnen Kur-ven fur den (scheinbaren) Reibungskoeffizienten erzeugt werden, die sich so-wohl in Form als auch in Durchlaufsinn unterscheiden und das bei konstantemReibungskoeffizienten. Mit Tribometern gemessene Reibkraftkennlinien FR (v)konnen demnach durch die Dynamik des Tribometers verursacht sein und solltennicht einfach als Reibgesetze in MKS-Simulationen ubernommen werden.

A.2 Finite Elemente Methode

Bei vielen Anwendungen ist die Druckverteilung und die Deformation der Kon-taktflachen von Bedeutung. Zur Berechnung von elastischen und plastischen De-formationen - und damit prinzipiell auch zur Untersuchung von adhasiven Kon-takten und Reibungsphanomenen - stehen verschiedene Simulationsmethoden zurVerfugung. Weithin bekannt sind Verfahren, die auf der Diskretisierung von Kon-tinuumsgleichungen beruhen, insbesondere die Methoden der finiten Elemente(FEM) und der Randelemente.

Kontaktformulierungen im Rahmen der FEM werden seit der Mitte der 70er Jahreentwickelt [33, 50]. Heute benutzen kommerzielle FE-Programme die so genanntenode-to-surface-Formulierung, bei der die Knoten einer Oberflache in Relation zuElementen der anderen Oberflache betrachtet werden.

In vielen praktischen Anwendungen (Dichtungen, Umformprozesse, Eindruck-tests) treten große Deformationen, nichtlineares Materialverhalten und große Re-lativbewegungen zwischen den beteiligten Kontaktpartnern auf. In diesen Fallenscheitern kommerzielle FE-Programme haufig. Deutlich robuster und genauerkonnen Kontaktprobleme mit surface-to-surface-Formulierungen (Mortar Metho-de) simuliert werden [102, 103, 122].


PSfrag replacements

3D-FE-Modell Oberflachentopographie

Abbildung A.2: FE-Modell und Oberflachentopographie; die Berucksichtigung dergemessenen Oberflachentopographie erfordert eine feine Auflosung im Kontakt-bereich.

Rollkontaktprobleme (Rad-Schiene, Reifen-Straße) werden ebenfalls mit der FE-Methode untersucht. Die Arbitrary Lagrangian Eulerian (ALE) Methode [31,78, 79] ist eine effiziente Methode zur Berechnung solcher Kontaktprobleme. Dieraumlich feste Diskretisierung erlaubt eine Netzverfeinerung an den Kontaktstel-len. Besonders elegant lassen sich mit der Methode stationare Rollprobleme losen,da in diesem Fall die Losung zeitunabhangig ist. Die Berucksichtigung inelasti-schen Materialverhaltens ist hingegen mit Schwierigkeiten verbunden, da das Netznicht an die materiellen Punkte geknupft ist.

Flanschverbindungen in Flugtriebwerken werden heute sowohl mit althergebrach-ten uberschlagigen Berechnungsformeln als auch mit kommerziellen Finite-Ele-mente-Programmen untersucht [37]. Neben der Berechnung der Vergleichsspan-nungen in Schrauben und Flanschteilen wird im Hinblick auf die Dichtigkeit derVerbindung auch die Druckverteilung in der Kontaktzone berechnet.Bei der Untersuchung rauer Kontakte muss das Netz nahe der Kontaktflachesehr fein sein (Abbildung A.2). Vorteil eines 3D-FE-Modells sind (1) die Verwen-dung der korrekten Geometrie (Dimension, Oberflachentopographie, Freiheitsgra-de) und (2) die Moglichkeit, Spannungen und Deformationen im gesamten Korperberechnen zu konnen. Hyan et al. [51] nutzen die FEM zur Untersuchung derNormalkraft-Kontaktflachen-Relation und der Kontaktmorphologie bei selbstaf-finen Oberflachen.Wegen der sehr feinen Netze, die bei rauen Kontakten notig sind, erfordern 3D-FE-Modelle hohe Rechenzeiten. Das ist insbesondere im Hinblick auf ausgiebigeVariantenrechnungen und Optimierung ein klarer Nachteil. Hinzu kommt, dassselbst bei Annahme glatter Oberflachen bei der Verwendung von Kontaktformu-lierungen in kommerziellen FE-Programmen außerste Vorsicht angesagt ist.

Vereinzelt werden mit der FE-Methode auch adhasive Kontakte untersucht. Chound Park [20] nutzen eine Formulierung, bei der adhasive Krafte als Volumen-krafte eingebunden werden. Die Volumenkrafte werden aus dem Lennard-Jones-Potential hergeleitet. Die Berucksichtigung der Adhasion bei der Modellierungdes Kontaktes zwischen rauen Oberflachen ist wichtig, auch wenn in Abreissver-suchen keine Adhasion festgestellt wird. Die reale Kontaktflache kann namlichdurch die Adhasion um ein Vielfaches großer sein als ohne Adhasion [90]. Diereale Kontaktflache wiederum ist von ausschlaggebender Bedeutung fur die Große

A.3. MOLEKULARDYNAMIK 93

der Reibungskraft. Mogliche Anwendungen ihrer Arbeit sehen Cho und Park imcomputergestutzten Design von Oberflachentopographien mit geringer Adhasionfur MEMS-Anwendungen.

Große FE-Modelle konnen mit geeigneten Modellreduktionsverfahren behandeltwerden [25], d.h. durch die Wahl eines geeigneten Unterraums kann die Dimen-sion des Differentialgleichungssystems deutlich reduziert werden. Bei linearenSystemen konnen die Eigenvektoren genutzt werden, die zu den Eigenfrequen-zen gehoren, die mutmaßlich angeregt werden. Selbst bei feiner Diskretisierunggenugen oft wenige Eigenformen und damit modalen Koordinaten. Bei nichtli-nearen Systemen muss ein modifiziertes Vorgehen zur Anwendung kommen.Bei Kontaktproblemen mit stochastischen Oberflachen wird zumindest an derOberflache eine sehr feine Diskretisierung benotigt. In diesem Fall ist bisher nichtklar, wie eine Modellreduktion vorgenommen werden kann. Wie bereits in Ab-schnitt 1.1 ausgefuhrt, kann die Oberflachenschicht mit Teilchenmethoden be-schrieben werden; fur das Innere der Korper hingegen kann ein FE-Modell benutztwerden. Fur das FE-Modell konnen die Methoden der Modellreduktion verwendetwerden.

A.3 Molekulardynamik

Bei der Molekulardynamik werden i. d. R. die Newtonschen Gleichungen fur einSystem aus Teilchen (Atome oder Molekule) gelost [27]. Die Wechselwirkungenzwischen den Teilchen folgen entweder aus empirischen Uberlegungen oder ausquantenmechanischen Berechnungen.Molekulardynamik wird heute fur die Simulation sehr dunner Schmierfilme einge-setzt. Die verfugbare Rechenleistung begrenzt die Anwendbarkeit auf sehr kleineSystemgroßen und sehr kurze Zeiten. Spikes [113] sieht die Zukunft der Moleku-lardynamik u. a. in der Berechnung makroskopischer Materialparameter aus derMolekulstruktur.

A.4 Teilchenmethoden

Ein anderes Herangehen an die Simulation von Kontakt- und Reibungsproble-men weisen Teilchenmethoden auf, bei denen diskrete Teilchen die Objekte derBerechnung sind. Diese Teilchen sind keine realen (physikalischen) Objekte son-dern reine

”Berechnungseinheiten“. Die Wechselwirkungen zwischen den Teilchen

mussen so gewahlt werden, dass makroskopisch das elastische und plastische Ver-halten richtig beschrieben wird. Es werden also weder die makroskopischen Konti-nuumsgleichungen noch die mikroskopischen Gleichungen der Molekulardynamikgelost, sondern die mikroskopischen Gleichungen eines geeigneten Ersatzsystems.Die Große der Teilchen kann dem zu losenden Problem angepasst werden. Bei derUntersuchung von Erdbeben kann die Teilchengroße durchaus im Meterbereichliegen.Die Reibungskraft ist durch Prozesse wie elastische und plastische Deformation,Bruch, Herauslosen und Wiedereinbauen von Teilchen sowie Mischungsprozessebestimmt. Diese Prozesse finden in den Mikrokontakten statt. Die Methode der

beweglichen zellularen Automaten (movable cellular automata, MCA) stellt


PSfrag replacements

FV

fest

Abbildung A.3: Typischer Aufbau einer MCA Simulation

eine Teilchenmethode dar, mit der erfolgreich die Prozesse in den Mikrokontaktensimuliert werden [96]. Insbesondere erlaubt die Methode die Untersuchung, wieMaterial- und Lastparameter die Reibungskraft und den Verschleiß beeinflussen.Zwei Anwendungen, in denen die MCA-Methode bisher eingesetzt wurde, sindder Rad-Schiene-Kontakt [99] und Verbrennungsmotoren [98].

Reibungssimulationen auf makroskopischer Skala sind trotz der Skalierbarkeit derTeilchen bisher aus Kapazitatsgrunden nicht moglich, da bei Reibungsproblemendie Mikroskala mit berucksichtigt werden muss.

Abbildung A.3 zeigt den typischen Aufbau einer MCA-Simulation. Die MCA-Methode betrachtet Teilchen, die mit ihren Nachbarn nach wohldefinierten Geset-zen wechselwirken. Wird ausschließlich linear-elastisches und isotropes Materialbetrachtet, konnen die Wechselwirkungsgesetze als lineare Federn verstanden wer-den. Die Teilchen haben dann nur translatorische Freiheitsgrade. Es ist dennochnicht trivial, die Wechselwirkungen korrekt anzugeben, da bestimmte Anforde-rungen wie Isotropie und die Existenz zweier unabhangiger Materialparametererfullt sein mussen [96, 107].

Um die mit der Reibung verbundenen Prozesse in den Mikrokontakten zu be-schreiben, mussen plastische Deformationen sowie der Bruch und die Wiederher-stellung von Bindungen berucksichtigt werden. Dies fuhrt zur Einfuhrung neuerFreiheitsgrade fur die Teilchen und zur Definition des Zustandes eines Paares:zwei benachbarte Teilchen konnen eine Bindung aufweisen oder auch nicht.

Yang et al. [123] und Popov und Heß beschreiben hierarchische Feder-Masse-

Systeme, mit denen Kontakte zwischen rauen Oberflachen naher untersucht wer-den konnen. Ausgehend von einer sehr feinen Diskretisierung an der Oberflachewird die Diskretisierung in den Korper hinein immer grober. Grundlage dieserModellierung ist die Tatsache, dass eine periodische Spannungsverteilung mitWellenlange λ, die auf einen elastischen Halbraum wirkt, Deformationen bis ineine Tiefe von der Großenordnung von λ bewirkt.

A.4. TEILCHENMETHODEN 95

PSfrag replacements

FV

j = n

j = 1

U

xa

d

Abbildung A.4: Auf dem Tomlinson-Modell basierendes Schichtenmodell [39] zurUntersuchung der quasiflussigen Schicht

Zudem werden im Modell von Popov und Heß nur die vertikalen Bewegungs-moglichkeiten berucksichtigt. Genau wie im echten 3D-Modell (z.B. FE-Modell)hat das hierarchische Modell die korrekte Dimension. Es kann daher auch dieOriginaloberflachentopographie verwendet werden. Zudem sind die Deformatio-nen und Spannungen auch im Innern des Korpers berechenbar.

Das Ziel der hierarchischen Modellierung besteht darin, nur wirklich notwen-dige Freiheitsgrade mitzunehmen und auf diesem Weg die Rechenzeit zu re-duzieren, ohne dabei einen deutlichen Verlust an Informationen hinnehmen zumussen. Ein 3D-Problem wird genau wie bei einer FE-Rechnung mit einem 3D-Simulationsmodell berechnet. Bei dem in der vorliegenden Arbeit beschriebenenSimulationsmodell wird hingegen eine deutliche Reduktion von 3D-Modellen auf1D-Modelle unter Inkaufnahme von Informationsverlust und Ungenauigkeit imDetail vorgenommen.

Weitere allgemein geeignete Methoden zur Simulation von Kontakt- und Rei-bungsproblemen sind die Methode der Mesoteilchen von Ostermeyer [84, 86]und die Methode der Gitterteilchen (movable lattice particles) [95]. Bei derMethode der Mesoteilchen werden thermische Effekte berucksichtigt. Zudem gibtes Methoden, die speziell auf ein technisches Problem zugeschnitten sind, z.B. dasSimulationsprogramm von Ostermeyer und Muller [85] zur Untersuchung derEntwicklung der Oberflachentopographie in Scheibenbremsen auf Basis eines zel-lularen Automaten.

Andere Teilchenmodelle dienen ausschließlich dem besseren Verstandnis der Er-gebnisse von komplizierteren Methoden. Bei der Untersuchung von Reibung mitder MCA-Methode wurde die Entstehung einer sog. quasiflussigen Schicht beob-achtet, in der intensive plastische Deformationen und das Umordnen von Teilchenstattfinden. Um die Ursachen fur die Entstehung der quasiflussigen Schicht besserzu verstehen, wurde ein auf dem Tomlinson-Modell basierendes Schichtenmodelldes elasto-plastischen Festkorpers untersucht [39]. Abbildung A.4 zeigt das aus nSchichten bestehende Modell. Die einzelnen Schichten wechselwirken uber ein pe-riodisches Potential. Bei kleinen Schubspannungen zeigt sich ein linear-elastischesVerhalten. Bei großen Spannungen hingegen bewegen sich die Schichten gegenein-ander, die Fließgrenze wurde uberschritten. Durch die passende Wahl der Para-meter des Wechselwirkungspotentials konnen die makroskopischen Eigenschaftendes elasto-plastischen Korpers eingestellt werden.

Wird nun die mittlere Gleitgeschwindigkeit bei Aufbringung einer Schubspannungbestimmt, ergibt sich das

”Reibungsgesetz“, d.h. die Abhangigkeit der Reibungs-

kraft von der Gleitgeschwindigkeit fur verschiedene Materialparameter.


Es zeigt sich, dass auch im einfachen Schichtenmodell eine quasiflussige Schichtentsteht und dass die Entstehung der quasiflussigen Schicht durch die Bistabilitatdes

”Reibungsgesetzes“ bedingt ist. Es zeigt sich ferner, dass die Reibungskraft

und die Dicke der quasiflussigen Schicht nicht nur von makroskopischen Großensondern auch von mikroskopische Großen (Schichtdicke) abhangen.

A.5 Geschmierte Systeme

Im Gegensatz zu Systemen mit trockener Reibung konnen viele geschmierte Syste-me heute mit hoher Genauigkeit simuliert werden. Das ist darin begrundet, dassgeschmierte Systeme haufig im Bereich der reinen hydrodynamischen Schmierungbetrieben werden. In diesem Regime wird das Verhalten durch den Schmierfilmbestimmt. Der Schmierfilm kann mittels der Reynoldsgleichung mathematischbeschrieben werden. Fur sehr einfache Beispiele konnen analytische Losungengefunden werden; andernfalls werden numerische Losungsverfahren genutzt, z.B. Finite Differenzen und Differential Quadrature Methoden [47, 112].Bei geschmierten Systemen mit nicht-konformen Oberflachen, wie sie bei Walz-lagern, Zahnradgetrieben und Nocken auftreten, reichen die Berechnungsmetho-den der hydrodynamischen Schmierung nicht mehr aus. Vielmehr sind dann dieVerformungen der geschmierten Oberflachen bei der Simulation zu berucksich-tigen. Es wird in diesem Fall von elasto-hydrodynamischer Schmierung (EHL)gesprochen [26, 28]. Im Fall der elasto-hydrodynamischer Schmierung sind imeinzelnen die folgenden Aspekte von Bedeutung [118]:

• die Reynoldsgleichung, die die Stromung des Fluids im Schmierspalt be-schreibt,

• die Kavitationsbedingung,

• die Gleichungen fur die elastischen Deformationen, die die veranderte Geo-metrie des Schmierspaltes beschreiben,

• die Beziehungen zwischen Viskositat und Druck sowie zwischen Dichte undDruck,

• die globale Gleichgewichtsbedingung, die fordert, dass die aufgebrachte Lastgleich der aus der Druckverteilung resultierenden Kraft ist.

Unter Umstanden mussen noch weitere Effekte berucksichtigt werden, z.B. ther-mische Effekte.Neben der Komplexitat der Gleichungen kommt beim EHL-Problem erschwe-rend hinzu, dass die Losung an sehr vielen Punkten berechnet werden muss. Dashat im wesentlichen zwei Grunde: einen physikalischen und einen rein numeri-schen. Zum einen spielt die Oberflachenrauheit eine Rolle. Die daher notwendigeBeschreibung der Oberflachentopographie erfordert ein sehr feines Netz. Zum an-deren wird bei groben Netzen die Genauigkeit in den berechneten Filmdickensehr schlecht; u. U. werden numerisch negative Filmdicken berechnet. Eine weit-verbreitete Moglichkeit, das elasto-hydrodynamischen Problems effizient zu losen,stellen so genannte Multigrid/Multilevel-Methoden dar [118]. Caika et al. [16] ver-gleichen am Beispiel des Kurbeltriebes verschiedene Berechnungsverfahren undgehen dabei auch auf die Bedeutung der thermischen Effekte ein.

A.5. GESCHMIERTE SYSTEME 97

In der Motorentechnik, wie auch in anderen Bereichen, fuhrt das Streben nachimmer hoheren Leistungsdichten zum Auftreten von Mischreibungszustanden. Indiesem Fall wird nur ein Teil der Last durch den Druck im Schmiermittel getragen,der andere Teil der Last wird durch den Kontaktdruck zwischen den Asperitengetragen. Knoll [61] stellt Methoden zur Berucksichtigung von Mischreibungskon-takten dar.Spikes [113] weist darauf hin, dass Computersimulationen ein adaquates Ver-standnis der zugrunde liegenden physikalischen Prozesse voraussetzt. Er siehtaktuell viele Bereiche, in denen die Fortentwicklung von Simulationen durch denMangel an Grundlagenwissen behindert wird. Insbesondere nennt er im Zusam-menhang mit der EHL mangelndes Wissen zur Schadensakkumulation und zumVerhalten von Schmierfilmen bei sehr geringen Filmdicken. Offene Fragen sindu. a. (1) die rheologischen Eigenschaften von sehr dunnen Schmierfilmen, (2) dieRandbedingungen an der Wand (Haften oder Gleiten), (3) die Kinetik der Bil-dung von Reaktionsschichten aus Antiverschleißadditiven, (4) das Verhalten inden Mikrokontakten bei extrem kleinen Filmdicken.


Anhang B

Bedeutung der Dimension bei

Kontaktproblemen

Insbesondere in den Kapiteln 1 und 2 wurde bereits auf die Dimensionsproble-matik eingegangen. Schwerpunkt der Ausfuhrungen war stets die Dimensions-reduktion, d. h. die Moglichkeit, ein dreidimensionales Kontaktproblem zu Si-mulationszwecken durch ein eindimensionales Kontaktproblem zu ersetzen. Umdas Bewusstsein fur die Bedeutung der Dimension bei Kontaktproblemen weiterzu scharfen, werden in diesem Anhang einige zwei- und dreidimensionale Kon-taktprobleme naher betrachtet. Wie bereits in Abschnitt 2.1 erlautert, dient derAnhang zusatzlich dazu, einige Berechnungsmethoden genauer vorzustellen. Die-se Berechnungsmethoden wurden zum Teil in anderen Kapiteln der Arbeit furVergleichsrechnungen benutzt und werden in diesem Kapitel anhand einfacherBeispiele dargestellt und hinsichtlich ihrer korrekten Implementierung uberpruft.

B.1 Dreidimensionale Kontaktprobleme

B.1.1 Analytische Losungen

Eine konstante Druckverteilung p, die in einem kreisformigen Gebiet (Radiusa) auf einen elastischen Halbraum wirkt, verursacht folgende Verschiebung der

PSfrag replacements

p

ra

0 21 3 4 5

uzπE

(1−ν2)pa 2

6

8

4

0

Abbildung B.1: Normalverschiebung uz der Oberflache gemaß Gleichung (B.1)

99

100 ANHANG B. BEDEUTUNG DER DIMENSION

Oberflache in vertikaler Richtung [56]

uz =4 (1 − ν2) pa

πEE (r) fur r ≤ 1 (B.1a)

uz =4 (1 − ν2) pa

πE

[

E

(

1

r

)

−(

1 − 1

r2

)

K

(

1

r

)]

r fur r > 1 (B.1b)

mit der dimensionslosen radialen Koordinate r = r/a (Abbildung B.1). Die Funk-tionen K und E bezeichnen die vollstandigen elliptischen Integrale erster bzw.zweiter Art. E ist der E-Modul und ν ist die Querkontraktionszahl.

Die Verschiebung uz ist eindeutig berechenbar, insbesondere kann die Verschie-bung in der Mitte (r = 0) bestimmt werden1. Fur große Entfernungen von derLasteinleitungsstelle ergibt sich aus (B.1b) die Approximation

uz ≈(1 − ν2) pa

E

1

rfur r � 1 .

Das ist das bekannte Ergebnis fur eine vertikale Einzelkraft der Große πa2p. Insehr großer Entfernung von der Lasteinleitungsstelle fallt die Verschiebung mitr−1. Die elastische Energie ist hauptsachlich auf einen kleinen Bereich um die La-steinleitungsstelle konzentriert. Sie ist eine lokale Große, die praktisch nicht vonden makroskopischen Abmessungen der Korper abhangt, sondern von der Geo-metrie des Kontaktes. Bei Kontaktproblemen wird meist auf Halbraumlosungenaufgebaut; die Grundannahme ist, dass das Kontaktgebiet wesentlich kleiner alsdie Abmessungen des betrachteten Korpers ist. Auch auf Asperitenniveau wirddavon ausgegangen (z.B. Modell von Greenwood und Williamson [43, 44]). Das istgerechtfertigt, weil die Steigungen rauer Oberflachen nur wenige Grad betragen.

Die analytische Losung des Hertzschen Kontaktproblems (Punktkontakt) wird inKapitel 2 behandelt.

B.1.2 Simulation mit Randelementen

Im folgenden wird die Behandlung des Normalkontaktproblems durch numeri-sches Losen der entsprechenden Integralgleichung des Halbraumproblems vor-gestellt. Dabei handelt es sich um eine Randelementemethode, bei der die amKontakt beteiligten Korper als elastische Halbraume modelliert werden. Es seischon an dieser Stelle darauf hingewiesen, dass die beschriebene Methode lineareElastizitat voraussetzt.Nach Vorstellung der relevanten Gleichungen wird das direkte Problem

”Normal-

spannung gegeben, Verschiebung der Oberflache gesucht“ naher untersucht. ImAnschluss wird das Normalkontaktproblem naher betrachtet.

Grundgleichungen

Boussinesq2 bestimmte die Verschiebungen und Spannungen innerhalb eines ela-stischen Halbraums, der an der Oberflache durch eine konzentrierte Normalkraft

1Es gibt nicht wie im 2D-Fall eine (zunachst unbestimmte) Konstante, die von den Abmes-sungen der beteiligten Korper abhangt (siehe Gleichung (B.10)).

2Valentin Joseph Boussinesq, 1842-1929, franzosischer Mathematiker und Physiker

B.1. 3D KONTAKTPROBLEME 101

P belastet ist [9]. Die Losung in Zylinderkoordinaten lautet fur den Fall, dass derKoordinatenursprung der Kraftangriffspunkt ist,

ur =P

4πGR

[

rz

R2− (1 − 2ν) r

R + z

]

(B.2a)

uϑ = 0 (B.2b)

uz =P

4πGR

[

2 (1 − ν) +z2

R2

]

, (B.2c)

wobei R2 = r2+z2. G ist der Schubmodul. Die Gleichungen (B.2) stellen somit dieFundamentallosung bzw. Green-Funktion fur das Halbraumproblem mit gegebe-ner Oberflachenspannung dar. Die Herleitung von (B.2) gelingt auf verschiedenenWegen [65, 110].Integration der Fundamentallosung uber den belasteten Bereich liefert Spannun-gen und Verschiebungen im Halbraum bei beliebigen Oberflachenspannungen.Insbesondere gilt fur die vertikale Verschiebung an der Oberflache

uz (x, y, z = 0) =1 − ν2

πE

∫∫

(A)

p (x, y)√

(x− x)2 + (y − y)2dxdy . (B.3)

Die Integralgleichung (B.3) kann in einfachen Fallen analytisch gelost werden. Imallgemeinen ist eine numerische Losung notwendig; dazu ist eine Diskretisierungerforderlich.Wird bei der Diskretisierung mit N ×N Elementen von einem im Element kon-stanten Druck ausgegangen, ergibt sich folgender diskretisierter Zusammenhangzwischen Druck pı und vertikaler Oberflachenverschiebung uij [13]

uij =N∑

ı=1

N∑

=1

Kijıpı (B.4)

mit

Kijı =∆

πE∗

[

a ln

(

c+√a2 + c2

d+√a2 + d2

)

+ b ln

(

d+√b2 + d2

c+√b2 + c2

)

+

c ln

(

a+√a2 + c2

b+√c2 + b2

)

+ d ln

(

b +√b2 + d2

a +√a2 + d2

)]

und

a = i− ı +1

2, b = i− ı− 1

2

c = j − +1

2, d = j − − 1

2.

Hierbei bezeichnen E∗ den effektiven elastischen Modul (siehe Gl. (2.3), Seite 15)und ∆ den Gitterabstand.In der vorliegenden Implementierung werden die Großen uij und pı durch spal-tenweise Ubertragung in einer Spaltenmatrix (mit N 2 Zeilen) angeordnet. Formallasst sich (B.4) dann schreiben als

u = Ap (B.5)

mit einer Matrix A der Dimension N 2 ×N2.


PSfrag replacements

VerschiebungDruck

Abbildung B.2: Beispiel: Aus der Hertzschen Druckverteilung (B.6) (links) folgtdie Oberflachenverschiebung (rechts), die im druckbeaufschlagten Bereich para-bolisch ist; Berechnung mit 64 × 64 Punkten.

Beispiel Hertzsche Druckverteilung

Mit der beschriebenen Methode wird nun die Oberflachenverschiebung unter derWirkung der Hertzschen Druckverteilung

p = p0

√

1 − r2

a2, r ≤ a (B.6)

numerisch bestimmt. Ausgehend von Gleichung (B.4) muss in diesem Fall we-der ein Gleichungssystem gelost werden noch ist ein iteratives Vorgehen notig.Abbildung B.2 zeigt (qualitativ) die Druckverteilung (links) und die daraus re-sultierende Verschiebung der Oberflache (rechts).Es ergibt sich erwartungsgemaß eine parabolische Verteilung der Oberflachenver-schiebungen (Abbildung B.3) und zudem stellt sich der korrekte Zusammenhangzwischen Kraft und Abplattung

F =4

3E∗

√Rd3

ein (ohne Abbildung).

Normalkontaktproblem

Bei Kontaktproblemen ist anfanglich die Große und Lage des Kontaktgebietesunbekannt. Daher mussen Kontaktprobleme iterativ gelost werden3.Im Kontaktgebiet ist die Spaltdicke 0, d.h. die Verschiebung der rauen, elastischenOberflache ist in diesem Bereich bekannt. Außerhalb des Kontaktgebietes ist derDruck 0; die Verschiebung hingegen ist i. a. von 0 verschieden.Zu Beginn wird ein Kontaktgebiet angenommen. Die Variablen werden nun parti-tioniert in die Variablen pi und ui innerhalb des Kontaktgebietes und pa und ua

außerhalb des Kontaktgebietes. Bekannt sind ui und pa = 0. Nach Umsortierenergibt sich aus (B.5)

[

A1 A2

A3 A4

]{

pi

0

}

=

{

ui

ua

}

(B.7)

3Wenn bei Simulationen der Kontakt uber nichtlineare Wechselwirkungskrafte simuliertwird, ist auch ein iteratives Vorgehen notwendig. Lineare Wechselwirkungskrafte funktionie-ren nicht, weil dies u. a. Zug bedeuten wurde. Zudem wird progressives Verhalten gewunscht.


0 1 2 3 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

PSfrag replacements

uz

d

ra

Abbildung B.3: Oberflachenverschiebung uz, die sich fur die Druckverteilung (B.6)ergibt (Punkte: numerisches Ergebnis; gestrichelte Kurve: analytisches Ergebnis).Berechnungen mit N = 64.

und damit schließlich

A1pi = ui (B.8)

A3pi = ua . (B.9)

Die Losung des Gleichungssystems (B.8) liefert den Druck pi im Kontaktgebiet.Mit diesem Ergebnis kann mittels (B.9) die Verschiebung ua im Außenbereichberechnet werden.

Der erste Iterationsschritt wird i. a. auch negative Drucke (Zugspannungen) imKontaktgebiet und negative Spaltdicken außerhalb des Kontaktgebietes liefern.Das neue Kontaktgebiet wird nun so gewahlt, dass alle Punkte mit Zugspannun-gen aus dem Kontaktgebiet entfernt werden und alle Punkte mit negativen Spalt-dicken zum Kontaktgebiet hinzugenommen werden. Mit dieser neuen Naherungfur das Kontaktgebiet wird die beschriebene Berechnung wiederholt. Die Iterationerfolgt, bis (in guter Naherung) keine Zugspannungen und negative Spaltdickenmehr existieren.

Beispiel Hertzscher Kontakt

Nun wird tatsachlich das Hertzsche Kontaktproblem gelost, d.h. zu Beginn sindweder das Kontaktgebiet noch die Druckverteilung bekannt. Die Große des Kon-taktgebietes und die Druckverteilung ergeben sich iterativ. Abbildung B.4 zeigtdas Verhalten qualitativ fur einen Satz von Parametern.

Es zeigt sich eine hervorragende Ubereinstimmung zwischen analytischer Losung

p

E∗ =2

π

√

d

R

√

1 −(r

d

)2(

d

a

)2

uz

d= 1 − 1

2

(r

d

)2 d

R, |r| ≤ a

und numerischer Losung (Abbildung B.5).


−20 0 20 40

−20

0

20

−20 0 20 40

−20

0

20

−20 0 20 40

−20

0

20

−10 0 10−10

−5

0

5

10PSfrag replacements

Druck Verschiebung

Spaltdicke Kontaktgebiet

Abbildung B.4: Qualitative Ergebnisse fur den Hertzschen Kontakt (N = 64,R/d = 100, a/d = 10)

0 10 20 300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 10 20 300

0.01

0.02

0.04

0.05

0.06

PSfrag replacements

uz/d

r/dr/d

p/E

∗

Abbildung B.5: blau, durchgezogen: numerische Losung, grun, gestrichelt: analy-tische Losung (Verschiebung nur im Innenbereich) N = 64, R/d = 100, a/d = 10


PSfrag replacements

Druck

400300200100

00 1 2 3

A/A

ges

F

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

Abbildung B.6: Zusammenhang zwischen Normalkraft F und Kontaktflache A(bezogen auf die scheinbare Kontaktflache Ages); Mittelwerte und Standardab-weichungen fur 450 Oberflachen, exemplarisch: Oberflachentopographie und zweiDruckverteilungen

Raue Oberflachen

Nachdem der Hertzsche Kontakt erfolgreich mit der beschriebenen Methode be-handelt wurde, kann nun der Kontakt rauer Oberflachen untersucht werden. Zielist der Vergleich der Simulationsergebnisse fur drei- und eindimensionale Berech-nungsmodelle hinsichtlich der Beziehung zwischen Normalkraft F und Kontakt-flache A.

Mittels Gleichung (3.13) (Seite 29) werden raue Oberflachen erzeugt. Anschlie-ßend werden mit der beschriebenen Methode die Beziehungen zwischen Normal-kraft F und Annaherung d sowie zwischen Normalkraft F und Kontaktflache Abestimmt. Da nur Oberflachen mit maximal 64× 64 Punkten untersucht werdenkonnen, gibt es sichtbare Abweichungen zwischen den Kurven fur verschiedeneOberflachen.

Abbildung B.6 zeigt den Zusammenhang zwischen Normalkraft F und Kontakt-


PSfrag replacements

p

xa

uzπE

(1−ν2)p

0

0

2

2

4

6

8

−3 −2 −1 1 3

Abbildung B.7: Normalverschiebung uz an der Oberflache gemaß Gleichung(B.10), wobei C = 8 gewahlt wurde.

flache A und zwar die jeweiligen Mittelwerte fur 450 untersuchte Oberflachenund die Standardabweichungen (Fehlerbalken). Exemplarisch sind außerdem eineOberflachentopographie und zwei Druckverteilungen gezeigt.

B.2 Zweidimensionale Kontaktprobleme

Zum Vergleich werden jetzt zweidimensionale Kontaktprobleme vorgestellt. Dabeisollen, wie gesagt, die Unterschiede zu dreidimensionalen Problemen herausgear-beitet werden und Berechnungsmethoden vorgestellt werden.

B.2.1 Halbraumlosung

Untersucht wird zunachst eine konstante Druckverteilung in einem Streifen −a ≤x ≤ a. Die Verschiebung der Oberflache in z-Richtung (vertikale Richtung) istnach [56]

uz = − (1 − ν2) p

πE

[

(x + a) ln

(

x+ a

a

)2

− (x− a) ln

(

x− a

a

)2

− C

]

.

(B.10)

Die Losung gilt sowohl innerhalb des druckbeaufschlagten Gebietes (−a ≤ x ≤ a)als auch außerhalb. Die Verschiebung der Oberflache ist in der Halbrauman-naherung nur bis auf eine Konstante C berechenbar4. Die Verschiebung in derNahe der Krafteinleitungsstelle hangt davon ab, wie groß der Korper ist. Wennman numerische Berechnungen mit endlichen Modellen durchfuhrt (siehe Ab-schnitt B.2.2) bzw. Messungen an realen Korpern vornimmt, ergibt sich die Kon-stante letztendlich aus den Randbedingungen. Abbildung B.7 zeigt die vertikaleVerschiebung der Oberflache fur eine bestimmte Wahl von C und die wirkendeDruckverteilung.Fur x� a ergibt sich die Naherung

uz ≈ −(1 − ν2) p

πE

[

4a(

1 + lnx

a

)

− C]

. (B.11)

4Eine eindeutige Halbraumlosung gibt es demnach fur das 2D-Problem nicht.


PSfrag replacements

p

p

0,2 0,4-0,2-0,4 0,0

x

y

ux = uy = 0

σx = τxy = 0σx = τxy = 0

τxy = 0

x/L

Gitterpunkte inx-Richtung

0,0000

± 0,0712

± 0,1409

± 0,2077

± 0,2703

± 0,3274

± 0,3779

± 0,4206

± 0,4548

± 0,4797

± 0,4949

± 0,5000

Abbildung B.8: Quadratische Scheibe (Abmessungen L×L) aus linear-elastischemMaterial, einschließlich Randbedingungen und Diskretisierung in horizontalerRichtung (23 nicht-aquidistant verteilte Gitterpunkte)

Die Normalverschiebung wachst beim Halbraummodell in großer Entfernung nacheinem logarithmischen Gesetz.

Wahrend beim 2D-Problem die Verschiebung an der Oberflache von der Großedes makroskopischen Korpers abhangt, spielen, wie bereits herausgearbeitet, diemakroskopischen Abmessungen beim 3D-Problem keine Rolle. Beim 3D-Kontaktist die Deformation in der Nahe des Kontaktgebietes lokalisiert.

2D- und 3D-Problem unterscheiden sich demnach qualitativ deutlich voneinander.Eine Reduktion eines 3D-Problems auf ein 2D-Problem ist nicht ohne weiteresmoglich.

B.2.2 DQ-Methode

Die Differential Quadrature Methode (DQM) geht von den Kontinuumsgleichun-gen aus. Diskretisiert wird unter Nutzung von globalen Ansatzfunktionen [112];i. d. R. Polynomen.

Abbildung B.8 zeigt das untersuchte Modell und die Diskretisierung in horizonta-ler Richtung. Wie zudem in der Abbildung zu erkennen ist, wird auf die innerenfunf Gitterpunkte des oberen Randes (y = 0) der Druck p aufgebracht. Fur alleanderen Gitterpunkte des oberen Randes ist der Druck 0. Die Schubspannung istam oberen Rand durchweg 0. An den seitlichen Randern (x = ±0,5L) sind Nor-malspannung und Schubspannung 0; am unteren Rand sind die Verschiebungen


PSfrag replacements

u/L

x/L0 0,2 0,4-0,2-0,4

×10−5

−1

−2

−3

−4

Abbildung B.9: Vertikale Oberflachenverschiebung uz, −◦− DQ-Losung (23 × 17Gitterpunkte, nicht-aquidistant verteilt), analytisches Ergebnis fur den Halb-raum: durchgezogen a = 0,17L, gestrichelt a = 0,14L

als 0 vorgegeben. Im Anhang C sind die zu losenden Gleichungen zusammenge-stellt.Die Diskretisierung in vertikaler Richtung geschieht mit 17 Punkten, so dass dasNetz insgesamt aus 391 Punkten besteht. In der Regel fuhren Gauß-Lobatto-Netze zu besseren Ergebnissen; wie dem Anhang C entnommen werden kann,fuhrt ein aquidistantes Netz hier zu keiner Losung. Nachteilig wirkt sich ein anden Randern verdichtetes Netz bei der Aufbringung der Druckverteilung aus. Diekonstante Druckverteilung wird in einem mittig gelegenen Streifen der Breite aaufgebracht. Im mittleren Bereich ist die Auflosung allerdings relativ grob.Abbildung B.9 zeigt das mit der DQM berechnete Ergebnis und die Halbraum-losung fur a = 0,14L und a = 0,17L. Die Konstante C in der Halbraumlosung(B.10) wurde so gewahlt, dass in der Mitte (x = 0) die Verschiebungen uber-einstimmen. Es ergibt sich dann eine gute Ubereinstimmung zwischen Halb-raumlosung und numerischer Losung. Fur die Berechnungen galt p = 10−4Eund ν = 1

3.

B.2.3 Hierarchisches Modell

Das Modell (Abbildung B.10) ist so aufgebaut, dass in der Schicht j + 1 genaudoppelt so viele Teilchen sind wie in der Schicht j, beginnend mit einem Teilchenbei j = 1. Fur N Schichten ergibt sich im 2D-Fall eine Teilchenzahl von 2N − 1.Der Abstand der Schichten verdoppelt sich von unten nach oben, beginnend mitdem Teilchenabstand in der untersten Schicht. Die Teilchen sind mit den seitlichenNachbarn durch lineare Federn (Steifigkeit kh) verbunden, die einer vertikalen Re-lativverschiebung entgegenwirken. Zudem ist jedes Teilchen durch lineare Federn(Steifigkeit kv) mit einem Teilchen der daruber liegenden Schicht und mit zweiTeilchen der darunter liegenden Schicht verbunden (Abbildung B.11).Man kann zeigen, dass zur Modellierung des zweidimensionalen Kontinuums bei


PSfrag replacements

x

z

−20 −15 −10 −5 00

5

5

10

10

15

15

20

20

25

30

35

40

Abbildung B.10: Anordnung der Teilchen beim hierarchischen Modell (exempla-risch fur 6 Schichten)

PSfrag replacements

kh

kv

Abbildung B.11: Wechselwirkungen der Teilchen beim 2D hierarchischen Modell


PSfrag replacements

p

x∆x

uz

∆x

0 100 200 300−100−200−300

0,007

0,009

0,011

0,013

0,015

Abbildung B.12: Normalverschiebung uz an der Oberflache, wenn Teilchen 1(oberste Schicht) festgehalten wird, Teilchenabstand in der untersten Schicht ∆x,p = 10−4kv, kh/kv = 0,385.

einem zweidimensionalen hierarchischen Modell die Federsteifigkeiten in allenSchichten gleich sein mussen.

Fur die seitlichen Teilchen sind verschiedene Randbedingungen denkbar. Freieseitliche Rander ergeben sich, wenn auf die Randteilchen keine außeren Kraftewirken und es keine Wechselwirkungen zwischen einem Teilchen am linken Randmit einem Teilchen am rechten Rand gibt.

Bei periodische Randbedingungen wird hingegen angenommen, dass das Teilchenam rechten Rand der linke Nachbar des Teilchens am linken Rand ist. Bei demkonkreten Problem ergibt sich fur die Verschiebung der Oberflache kein Unter-schied zwischen den zwei Varianten von Randbedingungen. Fur den Fall, dassauf die mittleren 100 Teilchen der untersten Schicht die gleiche Kraft aufgebrachtwird, wurden numerische Berechnungen durchgefuhrt. Dazu wurden insgesamt1023 Teilchen benutzt, 512 davon in der untersten Schicht. Abbildung B.12 zeigtdie vertikale Verschiebung der Oberflache fur den Fall, dass Teilchen 1 (obersteSchicht der Hierarchie) festgehalten wird.

Es ist erkennbar, dass auch am Rand eine deutliche Verschiebung auftritt, dieauch bei einer großeren Ausdehnung in x-Richtung nicht (wesentlich) kleiner seinwurde (fast horizontale Tangente am Rand). Dieses wesentliche Kennzeichen des2D-Problems ist demnach im Modell wiederzufinden. Ein quantitativer Vergleichder Verschiebung zeigt jedoch Abweichungen zwischen der Halbraumlosung undder Losung mit dem hierarchischen Modell.

Zur Numerik sei angemerkt: bei vorgegebener Druckverteilung ist das Modell line-ar in den Verschiebungen. Werden die Gleichungen des hierarchischen Modells mitdem Newton-Verfahren fur nichtlineare Gleichungssysteme gelost, genugt demzu-folge ein Iterationsschritt.

Nachdem der Fall einer konstanten Druckverteilung am oberen Rand untersuchtwurde, soll nun das 2D Kontaktproblem zwischen elastischer Ebene und starremZylinder betrachtet werden. Der elastische Korper mit ebener Oberflache wirddurch das hierarchische Modell modelliert. Die Wechselwirkungskraft zwischendem starren Zylinder und den Teilchen der Nten Schicht wird durch eine Expo-nentialfunktion modelliert:

FW = fW exp(−κW (z − zW )) . (B.12)

B.3. 2D PROBLEM MIT VERANDERLICHEM MODUL 111

PSfrag replacements

FN/(kv∆x)FN/(kv∆x) FN/(kv∆x)

p 0/k

v

d/∆

x

a/∆

x

0 000,05 0,050,050,1 0,10,1000

3

2

1

×10−3

20

16

12

8

4

×10−2

70

60

50

40

30

20

10

Abbildung B.13: 2D Kontaktproblem, Abhangigkeiten von der Normalkraft FN :Eindringtiefe d (links), Kontakthalbweite a (Mitte) und maximaler Druck p0

(rechts)

Das Problem ist nun nichtlinear, weil die Krafte auf die Teilchen der Nten Schichtnichtlinear vom Abstand abhangen.

Bei den numerischen Berechnungen sind die Langeneinheit und Krafteinheit sogewahlt, dass der Abstand ∆x zwischen den Teilchen der Nten Schicht und dieSteifigkeit kv gerade die Basiseinheiten sind. Die Abbildung B.13 zeigt die Ergeb-nisse von Berechnungen mit kh = 0,385kv, kW = 1000kv, R = 10000∆x, nT =1023. Die analytisch bekannten Ergebnisse [56] lassen sich in guter Naherung inden Berechnungsergebnissen wiederfinden. Die Steifigkeit des Kontaktes

kW =∂FW

∂z= −κWFW (B.13)

soll im Gleichgewichtszustand deutlich großer sein, als die Steifigkeiten im Modelldes elastischen Korpers. Nur dann wird tatsachlich der Kontakt zwischen einerelastischen Ebene und einem starren Zylinder modelliert. Hierzu muss κW sehrgroß gewahlt werden. Umso großer κW , desto problematischer wird das zu losendeGleichungssystem. Konvergenz kann nur noch erzielt werden, wenn die maximaleSchrittweite begrenzt wird. Andernfalls kommt es zum Abbruch wegen zu großerZahlen (Matlab zulassiger Bereich ±10307).

B.3 Zweidimensionales Problem mit verander-

lichem elastischen Modul

Betrachtet wird das ebene Problem mit konstanter Querkontraktionszahl ν undelastischem Modul E, der mit der Tiefe nach einem Potenzgesetz zunimmt, E =Eκz

κ [93, 105]. Das ebene Problem mit veranderlichem Modul wird hier aus zweiGrunden betrachtet. Zum einen zeigt sich, dass fur 0 < κ < 1 eine eindeutigbestimmte Halbraumlosung existiert; die genauen Abmaße der Korper demnachnicht wichtig sind. Das erleichtert den Vergleich zwischen analytischer Losungund numerischer Losung. Zum anderen werden in Abschnitt B.5 zweidimensio-


PSfrag replacements

f κ

x

κ = 0,1 κ = 0,8κ = 0,5 κ→ 1

0 2−2−4 4 6−6

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0,0

Abbildung B.14: Graphen der Funktionenschar fκ gemaß Gl. (B.18)

nale Modelle des dreidimensionalen Kontaktproblems erortert. Dafur sind diefolgenden Ausfuhrungen aufschlussreich.Die vertikale Oberflachenverschiebung bei Aufbringung einer Druckverteilungp(x) auf einem Streifen |x| ≤ a lautet

uz(x) =Cκ

Eκ

∫ ∞

−∞

p(ξ)

|x− ξ|κ dξ (B.14)

mit

Cκ =(1 − ν2)γCκ sin(1

2πγ)

κ(1 + κ)(B.15)

Cκ =2κ+1Γ

(

12(κ+ γ + 3)

)

Γ(

12(κ− γ + 3)

)

πΓ(κ+ 2)(B.16)

γ =

√

(1 + κ)

(

1 − κν

1 − ν

)

. (B.17)

Es wird ein konstanter Druck p auf einem Streifen |x| ≤ a betrachtet. AbbildungB.14 zeigt die Funktionenschar

fκ(x) =1 − κ

2

∫ ∞

−∞

p(ξ)

|x− ξ|κ dξ (B.18)

p =

{

1 |x| ≤ 10 sonst

(B.19)

fur drei verschiedene Werte des Scharparameters 0 ≤ κ < 1 und fur κ → 1. DerVorfaktor 1

2(1 − κ) fuhrt dazu, dass stets fκ(0) = 1 gilt, so dass die Form der

Losungen verglichen werden kann. Es ist erkennbar, dass fur κ→ 1 die Funktionfκ sich der Stufenform

{

1 |x| ≤ 10 sonst

(B.20)

B.4. ADHASIVER NORMALKONTAKT 113

PSfrag replacements

x/∆x

uz/∆

x

×10−3

0 100 200 300 400 5000

0,5

1,5

1,0

Abbildung B.15: Vertikale Oberflachenverschiebung uz fur κ = 0,5 (a = 10∆x),Simulation (rot, gestrichelt) und analytisches Ergebnis (blau, durchgezogen)

annahert. Diese Stufenform entspricht einer Winklerbettung. Das ist das Ergeb-nis von Calladine und Greenwood [17], das diese fur ν = 0,5 (inkompressiblesMaterial) herleiten5.Fur ν = 0,5 und k = 1 ergibt sich fur den Vorfaktor Cκ = 0. Der inkompressibleFall (ν = 0,5) ist der einzige, bei dem eine eindeutig bestimmte Losung fur κ = 1existiert.Es zeigt sich außerdem, dass die Form des 3D-Ergebnis fur konstanten Druck(B.1) sich durch das 2D-Ergebnis fur keinen Wert von κ genau wiedergeben lasst.Abbildung B.15 zeigt die Oberflachenverschiebung uz fur das hierarchische Mo-dell mit vertikalen Freiheitsgraden und die analytische Losung. Erwartungsgemaßergibt sich fur das reine Normalkontaktproblem eine gute Ubereinstimmung.

B.4 Adhasiver Normalkontakt

Fur den adhasiven Normalkontakt zwischen elastischer Kugel und Ebene (3D)liefert die JKR-Theorie6 [58] eine Proportionalitat zwischen Adhasionskraft FA

und Krummungsradius R:FA ∝ R . (B.21)

Fur den adhasiven Normalkontakt zwischen starrem Zylinder und elastischer Ebe-ne (2D) ergibt sich [6]

FA ∝ 3√R . (B.22)

Werden dimensionslose Großen gemaß

F =F

FAund a =

a

a0(B.23)

eingefuhrt, lauten die Zusammenhange zwischen Normalkraft und Kontaktradiusim 3D-Fall (JKR-Theorie)

F = 4(

a3 − a3/2)

(B.24)

5siehe auch Anhang D, Seite 121ff6siehe dazu auch Abschnitt 5.1


Theorie 2DTheorie 3DPSfrag replacements

aa0

F FA

2

1

0

3

-11,50,5 2,01,00

Abbildung B.16: Zusammenhang zwischen Normalkraft und Kontaktradius beimadhasiven Kontakt

und im 2D-Fall (Barquins)

F =4

33√

4(

a2 − a1/2)

. (B.25)

Der Radius a0 stellt sich ohne außere Normalkraft ein.Abbildung B.16 zeigt die beide Kurven (B.24) und (B.25). Es ist erkennbar, dasssich beide Kurven deutlich voneinander unterscheiden.

B.5 Zweidimensionale Modelle zur Simulation

des dreidimensionalen Kontaktproblems

B.5.1 Idee

Wie bereits ausfuhrlich dargelegt, konnen zweidimensionale Modelle nicht ohneweiteres zur Simulation von dreidimensionalen Kontaktproblemen benutzt wer-den. Im folgenden sollen kurz darauf eingegangen werden, ob maßgeschneidertezweidimensionale Modelle existieren, die zur Simulation des dreidimensionalenKontaktproblems herangezogen werden konnen. Zweidimensionale Modelle besit-zen keine Freiheitsgrade in Tiefenrichtung und weisen daher kurzere Rechenzei-ten im Vergleich zum 3D-Modell auf. Wenn es gelingt, die konstitutiven Gesetzefur das 2D-Modell so anzupassen, dass wesentliche kontaktmechanische Zusam-menhange richtig wiedergegeben werden, ergibt sich ein erheblicher rechentech-nischer Vorteil. Zudem besteht die Moglichkeit, dass auch die Deformationen imInnern berechnet werden konnen. Das ist ein klarer Vorteil gegenuber dem 1D-Modell, insbesondere hinsichtlich der Simulation von Verschleiß. Wird das 2D-Modell hierarchisch aufgebaut, ist die Zahl der Freiheitsgrade beim 2D-Modellnur ungefahr doppelt so groß wie beim 1D-Modell. Das hierarchische 2D-Modell

B.5. 2D MODELLE DES 3D PROBLEMS 115

kann damit ein viel genaueres Bild der Vorgange beim Kontakt geben bei ver-gleichsweise geringfugig großerem Rechenaufwand.

Das 2D-Modell hat eine eindimensionale Oberflachentopographie. Die Umrech-nung der Oberflachentopographien wird somit auch fur das 2D-Modell benotigt.

Abschatzungen ergeben, dass die Simulation des 3D-Kontaktproblems mit einem2D-Modell naherungsweise moglich ist, wenn die elastischen Eigenschaften in Ab-hangigkeit von der Tiefe skaliert werden. Genauer: die elastischen Module mussenproportional zur Tiefe zunehmen. Anschaulich kann das wie folgt verstanden wer-den: Im hierarchischen 2D-Modell fuhrt die Aufbringung einer konstanten KraftF0 auf ein Teilchen der Oberflache (z.B. bei x = 0) zu einer Verschiebung allerdaruber liegenden Schichten. Da im 2D-Fall die Federn in allen Schichten gleicheSteifigkeit haben mussen, folgt aus den Gleichgewichtsbedingungen, dass sich diezweite Schicht von oben gegenuber der obersten Schicht um F0/ (2kv) verschiebt.Die Verschiebung der zweiten Schicht von oben fuhrt zu einer Verschiebung allerTeilchen der untersten Schicht. Insbesondere werden auch Teilchen der unterstenSchicht weit verschoben, die sehr weit von der Krafteinleitungsstelle entfernt sind.Das ist das typische Verhalten des 2D-Kontinuums. Ein schnelles Abklingen derOberflachenverschiebung mit der Entfernung von der Krafteinleitungsstelle (x−1-Abfall im 3D-Fall) erfordert daher einen Anstieg der Steifigkeit mit der Tiefe;dann namlich ist die Verschiebung der zweiten Schicht von oben gegenuber derobersten Schicht der Quotient aus der Kraft und einer sehr viel hoheren Steifig-keit.

Formale (analytische) Umrechnungen fur E und G sind fur das hierarchischeModell nicht ohne weiteres nicht angebbar, weil die Beschrankung auf vertikaleFreiheitsgrade zusatzliche Justierungen erfordert.

B.5.2 Ergebnisse

Wie aus Abschnitt B.3 bekannt ist, kann ein linear mit der Tiefe zunehmenderelastischer Modul das dreidimensionale Verhalten nicht vollkommen korrekt ab-bilden7.

Untersucht wurde das Problem eines konstanten Druckes p0 auf einem Streifen−a ≤ x ≤ a. Die Steifigkeiten der Federn steigen proportional zur Tiefe derSchicht.

Es zeigt sich, dass im Fernfeld (x > 2a) der Abfall der Oberflachenverschie-bung indirekt proportional zur Entfernung von der Lasteinleitungsstelle ist (uz ∝x−1). Die Proportionalitatskonstante ist, genau wie im 3D Fall linear von derKontaktgroße a abhangig. D. h. unabhangig von der Last (charakterisiert durchp0 und a) wird aus den Simulationen der gleiche Zusammenhang zwischen demelastischen Modul und der Federsteifigkeit im Modell identifiziert.

Im Nahfeld hingegen hangt bei gegebenen Modellparametern (Steifigkeiten alsFunktion der Tiefe) die Ubereinstimmung zwischen 2D Simulation und 3D Er-gebnis von der Kontaktgroße a ab. Wird die Identifikation des elastischen Mo-duls durch Anpassung der analytischen Losung an das Simulationsergebnis imNahfeld (x ≤ 2a) durchgefuhrt, ergibt sich fur jeden Wert von a ein anderer ela-stischer Modul. Anders gesagt: es gelingt eine genaue Anpassung nur fur einen

7Vergleiche dazu Abbildungen B.1 und B.14 bzw. Gl. (B.1) und Gl. (B.14).


Kontaktradius a; fur großere und kleinere Kontaktradien gibt es logarithmischeAbweichungen.

Anhang C

DQ-Methode zur Untersuchung

von Scheibenproblemen

C.1 Gleichungen und Diskretisierung

Betrachtet wird eine Rechteckscheibe aus linear elastischem Material. Es wird an-genommen, dass die außeren Lasten und die Verformungen nur auf die x-y-Ebenebeschrankt sind. Eine Scheibe mit großer Dicke (in z-Richtung) wird simuliert,wenn der ebene Formanderungszustand angenommen wird. Dann ist entsprechendin den Navier-Lame-Gleichungen [45] uz ≡ 0 und ∂(.)/∂z ≡ 0 zu setzen.

Es ergeben sich die partiellen Differentialgleichungen fur die Verschiebungen ux

und uy

0 = (λ+ 2µ)∂2ux

∂x2+ µ

∂2ux

∂y2+ (λ+ µ)

∂2uy

∂x∂y(C.1)

0 = (λ+ 2µ)∂2uy

∂y2+ µ

∂2uy

∂x2+ (λ+ µ)

∂2ux

∂x∂y(C.2)

mit den Lameschen Konstanten λ und µ. Fur die Spannungen gilt

σxx = (λ+ 2µ)∂ux

∂x+ λ

∂uy

∂y(C.3)

σyy = (λ+ 2µ)∂uy

∂y+ λ

∂ux

∂x(C.4)

τxy = µ∂ux

∂y+ µ

∂uy

∂x. (C.5)

Die Randbedingungen werden wie folgt gewahlt: spannungsfreie seitliche Rander,keine Verschiebung am unteren Rand, keine Schubspannung am oberen Rand,Normalspannung am oberen Rand entspricht der aufgebrachten Druckverteilung(siehe Abbildung B.8, S. 107).

Bei der Differential Quadrature Methode (DQM) [112] auf einem Rechteckgit-ter wird die partielle Ableitung nach einer Raumrichtung an einem Gitterpunktaus allen Funktionswerten auf der den Gitterpunkt enthaltenden Gitterlinie der

117

118 ANHANG C. DQM SCHEIBENPROBLEM

−0.5 0 0.5−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

−0.5 0 0.5−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

PSfrag replacements

ux uy

5

×10−6L

0

−5

−1

×10−5L

−2

−3

−4

Abbildung C.1: Verschiebungen fur den Lastfall aus Abbildung B.8

entsprechenden Raumrichtung berechnet. Insbesondere gilt

∂ux

∂x

∣

∣

∣

∣

(xi,yj)

=∑

k

c(1)ik ux (xk, yj) (C.6)

∂ux

∂y

∣

∣

∣

∣

(xi,yj)

=∑

k

c(1)jk ux (xi, yk) (C.7)

mit den Wichtungskoeffizienten c(n)ij und c

(n)ij fur die nte Ableitungen nach x bzw.

y. Anwenden der DQM auf die Feldgleichungen und die Randbedingungen fuhrtauf ein lineares Gleichungssystem fur die Verschiebungen an den Gitterpunkten.Mittels der Randbedingungen konnen einige Variablen sofort eliminiert werden.Alternativ kann der komplette Satz an Gleichungen numerisch gelost werden1.

Fur die Berechnungen wurde das nicht-aquidistante Gitter

xi =

(

1 − cosi− 1

Nx − 1π

)

Lx

2, 1 ≤ i ≤ Nx (C.8)

yi =

(

1 − cosi− 1

Ny − 1π

)

Ly

2, 1 ≤ i ≤ Ny (C.9)

verwendet. Bei dem vorliegenden Problem einer quadratischen Scheibe gilt Lx =Ly. Bei der numerischen Losung wurden die Gleichungen so dimensionslos ge-macht, dass die charakteristische Lange Lx = Ly des Problems und der E-Modulals Basiseinheiten gewahlt wurden.

Der Grenzfall des betrachteten Problems ist eine konstante Druckverteilung aufdem gesamten oberen Rand. Es ergibt sich eine nahezu homogene Deformation,die lediglich an den unteren Eckpunkten durch die Verschiebungsrandbedingun-gen gestort wird (ohne Abbildung). Das entspricht den Erwartungen.

Abbildung C.1 zeigt die Verschiebungen ux und uy fur den Lastfall aus AbbildungB.8.

1Insbesondere bei dynamischen Berechnungen ist es sinnvoll, die Randbedingungen, die alsalgebraische Gleichungen vorliegen, zur Elimination von Freiheitsgraden zu verwenden. Statteines Systems aus algebraischen Gleichungen und Differentialgleichungen kann das Problemdann auf ein System von Differentialgleichungen reduziert werden.

C.2. EINFLUSS DES GITTERS 119

PSfrag replacements

u/L

x/L

0

0 0,2 0,4

-0,2

-0,2-0,4

-0,1

-0,3

Abbildung C.2: Losung des in Abschnitt B.2.2 diskutierten Modells mit aqui-distant verteilten Gitterpunkten (23 × 17)

C.2 Einfluss des Gitters

Abbildung C.2 zeigt die Verschiebung der Oberflache, wenn ein aquidistantesGitter mit 23 × 17 Punkten verwendet wird. Das numerische Verfahren konver-giert, d.h. es wird eine Losung gefunden, die die statischen Gleichungen mit dervorgegebenen Toleranz erfullt.Die Losung ist physikalisch nicht sinnvoll: bei den gegebenen Randbedingungen(siehe Abbildung B.8, S. 107) kann die vertikale Verschiebung am Rand nichtgroßer sein als in der Mitte. Die numerischen Probleme im Zusammenhang mitaquidistanten Gittern sind vermutlich in schlecht konditionierten Gleichungssy-stemen/Matrizen begrundet. Allgemein scheint die DQM fur große Punktezah-len problematisch zu sein, weil die resultierenden Matrizen schlecht konditioniertsind. Der Vorteil der DQM ist ja gerade die Berechnung von sehr glatten Losungenmit wenigen Punkten. Wenn raue Oberflachen untersucht werden sollen, ist dieMethode entweder ungeeignet oder die Berechnungen erstrecken sich nur auf klei-ne Gebiete (z.B. nur auf einen Asperiten).Die Probleme, die bei der DQM bei bestimmten Randbedingungen oder Gitternentstehen, sind fur verschiedene Anwendungen in [36] und [112] dokumentiert.

120 ANHANG C. DQM SCHEIBENPROBLEM

Anhang D

Dimensionsreduktion: Beispiel

Winklerbettung

Fur die Berechnung des Setzens von Bauwerken werden haufig Halbraumlosungenverwendet und es wird angenommen, dass der elastische Modul mit der Tiefezunimmt [17]. Es stellt sich somit die Frage, ob der elastische Halbraum mit tie-fenabhangigem Modul (G ∝ z) durch ein einfacheres Modell beschrieben werdenkann, wenn das Interesse lediglich auf die Vertikalverschiebung an der Oberflachebei gegebener Druckverteilung beschrankt ist.

Im folgenden werden die Ergebnisse von Calladine und Greenwood [17] gezeigt,dass sich ein Halbraum, unter der Annahme von linear-elastischem, inkompressi-belem Material, im ebenen Deformationszustand (2D-Modell) und mit tiefenpro-portionalem elastischen Modul hinsichtlich der Vertikalverschiebung der Ober-flache bei Aufbringung einer Normalkraftverteilung durch eine Winklerbettung(1D-Modell) modellieren lasst. Das gilt sowohl bei Isotropie als auch bei trans-versaler Isotropie. Abbildung D.1 zeigt die beiden Modelle.

D.1 Isotropes Material

Zuerst wird der Fall einer Einzelkraft P (genauer: Kraft pro Langeneinheit iny-Richtung), wirkend im Ursprung, untersucht. Im Fall des isotropen Materials

PSfrag replacements

z

qq

1D Modell2D Modell

Abbildung D.1: Halbraummodell im ebenen Deformationszustand (2D) undWinklerbettung (1D)

121

122 ANHANG D. WINKLERBETTUNG

PSfrag replacements exey

ez

P

ur

uϕ

ϕ

r

Abbildung D.2: Koordinatensysteme

ergibt sich furG = mz (D.1)

die Losung

ur (r, ϕ) =P

2πmrund uϕ (r, ϕ) = 0 . (D.2)

Abbildung D.2 zeigt die verwendeten Koordinatensysteme.Die Vertikalverschiebung der Oberflache ist nur am Lastangriffspunkt von 0 ver-schieden. Im Fall eines konstanten Druckes p ergibt sich fur den druckbeaufschlag-ten Streifen die Vertikalverschiebung der Oberflache

uz =p

2m(D.3)

und 0 außerhalb. Das betrachtete System verhalt sich wie eine Winklerbettungmit Steifigkeit 2m, und zwar unabhangig von der konkreten Druckverteilung.

D.2 Anisotropes Material

Untersucht wird der Fall, bei dem die x-y-Ebene isotropes Verhalten aufweist.Bei inkompressibelem Material und ebenem Deformationszustand wird das Ver-halten durch zwei Materialparameter bestimmt; die Anisotropie kann durch einenKoeffizienten µ charakterisiert werden1. Fur die Verschiebungen unter Wirkungeiner Einzellast ergibt sich dann

ur (r, ϕ) = CF (ϕ)

rund uϕ (r, ϕ) = 0 (D.4)

mit

F (ϕ) =1

√

cos2 2ϕ+ µ sin2 2ϕ(D.5)

1µ = 1: keine Anisotropie, Details siehe [17].

D.2. ANISOTROPES MATERIAL 123

Die Bettungssteifigkeit der aquivalenten Winklerbettung ist in diesem Fall

k = 2m

∫ π2

0F 3 (ϕ) dϕ

∫ π2

0F (ϕ) dϕ

. (D.6)

Fazit: Das untersuchte zweidimensionale Problem lasst sich hinsichtlich der ver-tikalen Oberflachenverschiebung durch ein eindimensionales Modell (Winklerbet-tung) ersetzen.

124 ANHANG D. WINKLERBETTUNG

Anhang E

Oberflachengenerierung mittels

inverser FFT

In diesem Anhang wird gezeigt, wie 1D- und 2D-Oberflachen unter Nutzung derinversen FFT1 erzeugt werden konnen. Die inverse FFT erweist sich hinsichtlichder Rechenzeit als weit uberlegen gegenuber der direkten Auswertung der Formeln(E.1). Ein alternatives Verfahren zur Generierung selbstaffiner Oberflachen wirdin [51] beschrieben.Die Oberflachentopographie kann, wie bereits in Abschnitt 3.3.1 ausgefuhrt, ausdem Leistungsspektrum gemaß

h (x) =∑

q

B2D (q) exp (i (q · x + φ (q))) , (E.1a)

gewonnen werden [90], wobei φ (q) = −φ (−q) im Intervall [0, 2π) gleichverteilteZufallszahlen sind und

B2D (q) =2π

L

√

C2D (q) = B2D (−q) . (E.1b)

Analog erfolgt die Generierung des Profils im 1D-Fall:

h (x) =∑

q

B1D (q) exp (i (qx+ φ (q))) (E.2a)

B1D (q) =

√

2π

LC1D (q) = B1D (−q) . (E.2b)

Fur den quadratischen Mittenrauwert gilt

⟨

h2⟩

2D= 2π

∫ ∞

0

qC2D (q) dq (E.3)

⟨

h2⟩

1D=

∫ ∞

−∞C1D (q) dq . (E.4)

E.1 Oberflachenerzeugung 1D

Das unten stehende Programm erzeugt eine 1D-Oberflache h(x). Der Diskretisie-rungsabstand fur die raumliche Variable x sei wie gehabt 1, die Gesamtzahl der

1Fast Fourier Transform

125

126 ANHANG E. OBERFLACHENGENERIERUNG

Punkte sei N − 1. Die Wellenzahlen sind dann

q ∈{

−N − 2

Nπ, −N − 4

Nπ, . . . ,

N − 2

Nπ

}

,

d.h. die kleinste Wellenzahl ist 2πN

, die großte Wellenzahl ist N−2Nπ ≈ π. Entspre-

chend ist die kurzeste Wellenlange 2, die großte Wellenlange N .Im Wellenzahlbereich [q0, q1] ist das Leistungsspektrum von Null verschieden und(im vorliegenden Fall) konstant.Die Berechnung von h in Zeile 8 (Ergebnis h1) entspricht exakt dem Vorgehennach Gleichung (E.2). Es ist zu beachten, dass x, q, B und phi Matrizen sind.Das Matrixprodukt in Zeile 8 fuhrt direkt auf die Hohen an allen Stellen x unterBerucksichtigung aller Wellenzahlen q.Die Berechnung von h in Zeile 11 (Ergebnis h2) stutzt sich auf die inverse FFT.Dabei ist zu beachten, dass die Matrizen B und phi dazu umsortiert werdenmussen. Zudem muss eine 0 an geeigneter Stelle eingefugt werden. Abbildung E.1zeigt beispielhaft eine so generierte Oberflache.

q0 = 0.01; q1 = 4*q0; N = 2048;

q = ((-N+2):2:(N-2))*pi/N;

k = find(abs(q) >= q0 & abs(q) <= q1);

C = zeros(1,N-1); C(k) = 1;

B = sqrt(2*pi/N)*sqrt(C);

phi = 2*pi*rand(1,(N-2)/2);

x = ((-N/2+1):(N/2-1))’;

h1 = (B*(exp(i*(x*q + repmat([-fliplr(phi) 0 phi],N-1,1)’))));

B = [B(N/2:N-1) 0 B(1:N/2-1)];

phi = [0 phi 0 -fliplr(phi)];

h2 = N*ifft(B.*exp(i*phi));

h2 = [h2(N/2+2:N) h2(1:N/2)];

std(h1)

sqrt(2*(q1-q0))

sqrt(trapz(C)*2*pi/N)

Als einfache Uberprufung kann die Berechnung des quadratischen Mittenrauwer-tes (bzw. der rms-Profiltiefe) durchgefuhrt werden. Es ergibt sich eine Uberein-stimmung zwischen dem Ergebnis von (E.4) mit dem aus der erzeugten Hohen-verteilung h(x) bestimmten Wert. Die Abweichung zwischen dem analytischemWert fur 〈h2〉 und dem numerisch berechneten liegt an der Diskretisierung. Deraus dem diskreten Spektrum durch numerische Integration bestimmte Wert undder aus der erzeugten Oberflache bestimmte Wert stimmen hervorragend uberein.

Beide Berechnungsmethoden liefern direkt reelle Hohen h(x) und beide Metho-den liefern das gleiche Ergebnis. Im 1D-Fall genugt die Verwendung der positivenSeite; im Anschluss an die iFFT muss dann der Realteil des komplexen Ergebnis’gebildet und schließlich mit 2 multipliziert werden. Im 2D-Fall funktioniert dasallerdings nicht. Die Phasenwinkel φ sind nur in den diagonal gegenuberliegenden

E.2. 2D OBERFLACHE 127

0.5 1 1.5 2 2.5

x 105

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0 200 400 600 800 1000−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

PSfrag replacements

x

x

hh

Abbildung E.1: 1D-Oberflachentopographie 218 Punkte, q0 = 0,1, q1 = 0,2, C =10−2 (unten: Ausschnitt)

Quadraten der Wellenzahlebene gleich; daher mussen negative Wellenzahlen ex-plizit mitgenommen werden.Die Variante mittels FFT ist wesentlich schneller. Bei N = 2048 benotigt die di-rekte Methode (h1 =) ungefahr 2500 mal mehr Zeit als die FFT basierte Methode(h2 =). Der Rechenzeitvorteil wird um so großer, je großer die Zahl der Punkteist.

E.2 2D Oberflache

Das unten stehende Programm zeigt die Berechnung der Oberflache h(x, y) mit-tels inverser FFT. Im dargestellten Fall ist das Leistungsspektrum im Intervall[q0, q1] durch eine positive Konstante gegeben; außerhalb dieses Wellenzahlberei-ches ist das Leistungsspektrum 0, d.h.

C2D =

{

c fur q0 ≤ q ≤ q10 sonst

(E.5)

Die Erzeugung einer Oberflache mit 2048×2048 Punkten dauert ca. 10 Sekunden.

function H = gen2dsurfacefft(N,qint,Cval,fig)

N2 = (N-1)^2; q0 = qint(1); q1 = qint(2);

q = ((-N+2):2:(N-2))*pi/N

[Qx Qy] = meshgrid(q,q);

qx = reshape(Qx,N2,1); qy = reshape(Qy,N2,1);

qv = [qx qy];


C = zeros(N2,1);

aqv = sqrt(qv(:,1).^2+qv(:,2).^2);

k = find(aqv >= q0 & aqv <= q1);

C(k) = Cval;

B = (2*pi/N)*sqrt(C);

clear qx qy q Qx Qy C k aqv

A = 2*pi*rand(1,(N2-1)/2); phi = [A 0 -fliplr(A)];

B = reshape(B,N-1,N-1);

B = [B(N/2:N-1,N/2:N-1) zeros(N/2,1) B(N/2:N-1,1:N/2-1);...

zeros(1,N);...

B(1:N/2-1,N/2:N-1) zeros(N/2-1,1) B(1:N/2-1,1:N/2-1)];

phi = reshape(phi,N-1,N-1);

phi = [phi(N/2:N-1,N/2:N-1) zeros(N/2,1) phi(N/2:N-1,1:N/2-1);...

zeros(1,N);...

phi(1:N/2-1,N/2:N-1) zeros(N/2-1,1) phi(1:N/2-1,1:N/2-1)];

H = N^2*ifft2(B.*exp(i*phi));

H = [H(N/2+2:N,N/2+2:N) H(N/2+2:N,1:N/2);...

H(1:N/2,N/2+2:N) H(1:N/2,1:N/2)];

Abbildung E.2 zeigt zwei Oberflachentopographien. Das obere Bild wurde mit dergezeigten Routine gen2dsurfacefft erzeugt. Es sind keine regelmaßigen Struktu-ren und bevorzugte Richtungen erkennbar. Zudem stimmt der aus E.3 bestimmteWert fur 〈h2〉 mit dem aus der erzeugten Oberflache berechneten Wert uberein.Das untere Bild zeigt eine Oberflachentopographie, bei der nur Wellenvektorenmit positiven Komponenten berucksichtigt wurden. Es bestehen dann nicht nurZusammenhange zwischen den Phasenwinkeln φ in diagonal gegenuberliegendenQuadranten sondern es bestehen Zusammenhange zwischen den Phasenwinkelnin allen vier Quadranten.

E.2. 2D OBERFLACHE 129

−0.1

−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0 100 200 300 400 500

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

−0.05

−0.04

−0.03

−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0 100 200 300 400 500

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

Abbildung E.2: oben: Oberflachentopographie 512 × 512 Punkte, q0 = 0,1, q1 =0,2, C = 10−2, unten: Oberflachentopographie, wenn von gleichen Phasenwinkelnφ in allen vier Quadranten ausgegangen wird.


Anhang F

Kontaktformulierung mittels

LCP

Wie in Abschnitt 5.6 ausgefuhrt, ist die korrekte Bestimmung des Kontaktge-bietes keine triviale Angelegenheit. Beim adhasiven Kugelkontakt wurde die La-ge der maximalen Zugspannung genutzt. Wie Greenwood [42] anmerkt, ist dieLage der maximalen Zugspannung nicht nur ausgezeichnet, sondern liegt auchnaherungsweise dort, wo in der JKR-Theorie die Zugspannung gegen unendlichgeht.

Beim nichtadhasiven Kontakt gibt es einen solchen ausgezeichneten Punkt nicht.Wenn der Kontakt durch abstandsabhangige Abstossungskrafte (z.B. exponentielloder Potenzfunktion) modelliert wird, kann die Kontaktbedingung uber einenMindestabstand oder eine Mindestkraft formuliert werden.

Alternativ kann im Fall ohne Adhasion eine Formulierung uber ein lineares Kom-plementaritatsproblem (LCP) erfolgen [40]. Die zugrunde liegende Idee bei dieserFormulierung ist, dass der Abstand zwischen zwei Punkten der beteiligten Korperentweder großer oder gleich 0 ist. Im ersten Fall sind die Kontaktkrafte 0, im zwei-ten konnen die Kontaktkrafte verschieden von 0 sein. Vorteil dieses Verfahrensist die leichte Bestimmbarkeit der Kontaktgroße. Ein LCP kann mit geeignetennumerischen Methoden gelost werden [77]; haufig wird der Lemke-Algorithmusangewendet [66].

Das 1D-Modell aus Kapitel 2 (Bild F.1) ohne Querkopplung der Teilchen wurdemit einer LCP-Formulierung gerechnet. Untersucht wurde das Eindrucken einesstarren Halbkreises in eine ebene, elastische Unterlage. Fur den Punktkontakt

PSfrag replacements

k

x

Abbildung F.1: Modell mit Teilchen, die uber lineare Federn an den Grundkorpergekoppelt sind.

131

132 ANHANG F. KONTAKTFORMULIERUNG MITTELS LCP

102

103

100

101

102

0 200 400 600 800 10004

6

8

10

12

PSfrag replacements

KK

R

R

Abbildung F.2: Abhangigkeit von K vom Krummungsradius R

(3D) lautet das Ergebnis nach Hertz

a =3

√

3FR

4E∗ , (F.1)

mit dem effektiven Krummungsradius R, dem effektiven elastischen Modul E∗

und der Normalkraft F .Numerische Experimente wurden mit zehn verschiedenen Krummungsradien Rdurchgefuhrt. Fur jeden Krummungsradius wurde die Beziehung zwischen Kon-taktradius a und Normalkraft F durch Losung der entsprechenden statischenProbleme bestimmt. Es ergab sich stets eine Abhangigkeit der Form

a = K3√

F . (F.2)

Abbildung F.2 zeigt die Abhangigkeit der Große K vom Krummungsradius R.Die Punkte sind die Ergebnisse der numerischen Simulation, die durchgezogenenLinien entsprechen einem Gesetz K ∝ 3

√R. Insgesamt ergibt sich

a ≈ 1,15 · 3√

RF . (F.3)

Umrechnung des Ergebnis (F.3) auf dimensionsbehaftete Großen liefert cn = 2E∗,was in guter Ubereinstimmung mit den Ausfuhrungen aus Abschnitt 2.5 steht.Abbildung F.3 zeigt die Rechenzeit, die zur einmaligen Losung des statischenKontaktproblems benotigt wird. Bei 1000 Teilchen liegt die Rechenzeit bei Nut-zung des Lemke-Algorithmus bei 25 Minuten. Die in Kapitel 4 diskutierten Me-thoden fuhren wesentlich schneller zum Ziel1.Fazit: Wie erwartet liefert das 1D-Modell mit der LCP-Formulierung den korrek-ten Zusammenhang zwischen Kontaktradius und Normalkraft (F.1). Die LCP-Formulierung in Verbindung mit dem Standard-Lemke-Algorithmus ist numerischkeine effiziente Losung.

1Zugegebenermaßen lasst sich das LCP vermutlich auch schneller losen.

133

102

103

10−1

100

101

102

103

104

PSfrag replacements

Teilchenzahl n

Rec

hen

zeit

[s]

Abbildung F.3: Rechenzeit in Abhangigkeit von der Teilchenzahl fur die LCP-Formulierung

134 ANHANG F. KONTAKTFORMULIERUNG MITTELS LCP

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Theoretische Grundlagen eines schnellen Berechnungsver