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Skript zur Vorlesung “Theoretische Physik II - Elektrodynamik” Dozent: Prof. Dr. rer. nat. M. Bonitz Druckfassung: Christopher Hinz 23. April 2010 Inhaltsverzeichnis 1 Einf¨ uhrung 2 1.1 Gegenstand der ED .......................... 2 1.2 Historische Bemerkungen ...................... 6 2 Grundbegriffe und Grundgleichungen der Elektrodynamik 7 2.1 Ladungen und Str¨ ome ........................ 7 2.1.1 Ladung und Ladungsdichte ................. 7 2.1.2 Mathematischer Einschub: Distributionen, δ-Funktion und Θ-Funktion .......................... 8 2.1.3 Strom und Stromdichte ................... 11 2.1.4 Ladungserhaltung. Kontinuit¨ atsgleichung ......... 13 2.1.5 Math. Einschub: “Vektoranalysis I”: Satz von Gauß, Di- vergenz ............................ 14 2.2 Mathematische Beschreibung von Vektorfeldern .......... 16 2.2.1 Satz von Stokes, Rotation, Potential ............ 16 2.2.2 Fundamentalsatz der Vektoranalysis ............ 19 2.2.3 Mathem. Einschub: wichtige Eigenschaften von div, grad, rot ............................... 19 2.3 Die Maxwell - Gleichungen ..................... 22 2.3.1 Quellen des elektrischen Feldes, Coulomb - Gesetz .... 22 2.3.2 Technischer Einschub: Einheitensysteme der Elektrody- namik ............................. 23 1

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Skript zur Vorlesung “Theoretische Physik II -

Elektrodynamik”

Dozent: Prof. Dr. rer. nat. M. BonitzDruckfassung: Christopher Hinz

23. April 2010

Inhaltsverzeichnis

1 Einfuhrung 21.1 Gegenstand der ED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Historische Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Grundbegriffe und Grundgleichungen der Elektrodynamik 72.1 Ladungen und Strome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.1 Ladung und Ladungsdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1.2 Mathematischer Einschub: Distributionen, δ-Funktion und

Θ-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.1.3 Strom und Stromdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.1.4 Ladungserhaltung. Kontinuitatsgleichung . . . . . . . . . 132.1.5 Math. Einschub: “Vektoranalysis I”: Satz von Gauß, Di-

vergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2 Mathematische Beschreibung von Vektorfeldern . . . . . . . . . . 16

2.2.1 Satz von Stokes, Rotation, Potential . . . . . . . . . . . . 162.2.2 Fundamentalsatz der Vektoranalysis . . . . . . . . . . . . 192.2.3 Mathem. Einschub: wichtige Eigenschaften von div, grad,

rot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3 Die Maxwell - Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3.1 Quellen des elektrischen Feldes, Coulomb - Gesetz . . . . 222.3.2 Technischer Einschub: Einheitensysteme der Elektrody-

namik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

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1 Einfuhrung

1.1 Gegenstand der ED

• Erinnerung – Gegenstand der klassischen Mechanik:

– Bewegung von Korpern bei vorgegebener (Gesamt-)Kraft gegebendurch Newtonsche Gleichung

m ·~r = ~F , (1)

oder alternative Formen der mechanischen Bewegungsgleichungen (Ha-milton etc.).Dabei zwei Falle:

1. F - außere Kraft, z.B. Erdanziehung - freier Fall, Wurf, etc. oder2. F - “innere” Kraft - Wechselwirkungskraft der Teilchen o. Korper

untereinander (z.B. Gravitation, Anziehungskraft zwischen Elek-tron und Atomkern etc.).Bei Fehlen externer Krafte, gekoppelte Bewegungsgleichungen(Beispiel N = 3):

m1 ∗~r1 = ~F1 = ~F12 + ~F13

m2 ∗~r2 = ~F2 = ~F21 + ~F23 (2)

m3 ∗~r3 = ~F3 = ~F31 + ~F32

zusatzlich erforderlich: Anfangsbedingungen ~ri(0), ~vi(0), i = 1 . . . N .

1

2

3~Fij = −~Fji

Abbildung 1: innere Krafte (Wechselwirkung)

Allgemeines Resultat:

– Trajektorien ~ri(t), ~vi(t), i=1 . . . N

– Mechanik: nimmt Krafte als gegeben an und macht keine Aussageuber Ursache der Krafte, keine Herleitung ihrer Entstehung aus mi-kroskopischen Eigenschaften der Materie.

• Gegenstand der Elektrodynamik:

– Untersuchung besonderer Krafte: aller Kraftwirkungen (extern undintern) elektromagnetischer Natur

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– einschließlich der Ursache der Kraft, Ruckwirkung der Bewegung derKorper auf die Quelle der Kraft etc.

Definition(vorlaufig): “elektromagnetische” Krafte: durch Ladun-gen und Strome (= bewegte Ladungen) verursachte Krafte und ihreWirkung auf andere Ladungen/Strome

Ladung: fundamentale Eigenschaft der Grundbestandteile der Materie(Elementarteilchen p, n, e, etc.) wie Masse, Spin usf. Erfahrung: ∃Elementarladung e0, Ladungen treten nur als Vielfaches von e0 auf.

Bemerkung: Standardmodell der Elementarteilchen: Protonen und Neu-tronen bestehen aus Quarks, die Ladungen ± 1

3e0, ± 23e0 tragen. Quarks

treten aber nicht frei (einzeln) auf (sog. confinement), eine Ausnahmebildet das sog. “Quark-Gluon-Plasma”, das aber nicht Gegenstand die-ser Vorlesung ist (es wird nicht durch rein elektromagnetische Kraftebeschrieben sondern durch die Quanten-Chromodynamik, die aber vieleAhnlichkeiten mit der Elektrodynamik besitzt.)

– Bsp. (2) oben: Massen mi, Ladungen ei Punktladungen:

m1e1

m2e2~F12

Abbildung 2: Coulomb-Kraft zwischen zwei Punktladungen

Erfahrung 1: Kraft zwischen zwei Punktladungen: F12 ∝ e1 ∗ e2 Cou-lombkraftErfahrung 2: F12 ∝ 1

r , sehr langsamer Abfall, daher Kraftwirkunguber großen Abstand r

– Erfahrung 3: Kraftwirkung erstreckt sich auch durch “Medium” zwi-schen Korpern hindurch (welchen Einfluss hat das Medium?)

– Problem I: “Fernwirkung”: wie schnell breitet sich diese Kraftwir-kung aus? (Beispiel: Ionisation zweier Atome, die mehrere Lichtjahreentfernt sind – wie schnell “spuren” sie die gegenseitige Coulomb-Wechselwirkung?) Bild der Coulombkraft erlaubt keine Aussagen zurEndlichkeit der Ausbreitungsgeschwindigkeit. Steht im Widerspruchzur Speziellen Relativitatstheorie.

– Problem II: im allgemeinen Fall ist geladener Korper ausgedehnt(nicht punktformig), Ladung uber Korper verteilt. Kraft zwischenbeliebiger Ladung und diesem Korper i.a. wesentlich komplizierterals Coulomb - Kraft, s. Abb. 3.

Elektrisches Feld. Aus diesen Problemen resultiert Versuch einer alter-nativen Vorstellung elektrischer (und magnetischer) Prozesse: Jede La-dung (z.B. Ladung e2) ist Quelle eines (elektro-magnetischen) Feldes un-abhangig davon, ob eine andere Ladung anwesend ist.

3

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m1e1

m2e2

~F12

Abbildung 3: Kraftwirkung einer raumlich ausgedehnten Ladungsverteilung aufein Punktladung genugt i.a. nicht dem Coulombgesetz.

m2e2

~r2

~r

~r − ~r2

Abbildung 4: Ladung e2 als Quelle des elektrischen Feldes E2(r) = E(e2, r−r2)

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Bemerkungen:

– EM - Feld ist eigenstandige Realitat, bedarf keines weiteren Tragers(existiert auch im Vakuum)

– Kraftwirkung entsteht, wenn andere Ladung (Masse m1, Ladung e1)am Ort ~r in Feld E2von Ladung 2 gebracht wird. In dieser Vorstel-lung befindet sich das Feld E2 uberall im Raum, also auch am Ortvon Ladung 1, und in ihrer unmittelbaren Nahe, daher spricht manbei dieser Feldtheorie auch von Theorie der “Nahwirkung” (im Un-terschied zur “Fernwirkung”, s.o.).

– Doppelfunktion der Ladung: sie erzeugt Wirkung (el. Feld) und erfahrtselbst Wirkung im Feld anderer Ladungen.

– Feldkonzept wird analog ausgedehnt auf Strom einer Ladung [~I ∝e · ~v]), fuhrt zu Magnetfeld mit Feldstarke B.

Test durch Experiment: Nur Kraft (auf Probeladung 1) ~F12 messbar →Kriterium der Gultigkeit aller Theorien, insbes. der Feldtheorie: Repro-duktion der korrekten Krafte.

sehen in Kurze: EM-Feld produziert Lorentzkraft

~F1(~r, t) = e1 ∗ ~E(~r, t) +e1

c~v1 × ~B (3)

E - Gesamt-El.-Feld aller Ladungen, B - Gesamt-Magnetfeld aller Stromeim System. Reproduziert Coulombgesetz zwischen Punktladungen als Spe-zialfall.

Aktualisierte Definition der Elektrodynamik:

Theorie des EM-Feldes ( ~E, ~B) und seiner Bewegungsgleichungen (Maxwell-Gleichungen), vollig allgemeine Theorie, bestens durch Experimente bestatigt

– Grenzfall: unbewegte (statische) Ladungen: Entkopplung in:

∗ “Elektrostatik” (Ladungen, reines E-Feld)∗ “Magnetostatik” (Magnete/Strome, reines B-Feld)∗ zeitunabhangige und voneinander unabhangige Felder ~E, ~B

– Allgemeiner Fall: Bewegung der Ladungen

∗ zeitabhangige Felder∗ E und B nicht mehr unabhangig∗ neue Phanomene, z.B. Propagation des Feldes, EM-Wellen etc.

– Spezielle Relativitatstheorie: Einteilung in E und B - Feld willkurlich(abhangig vom Koordinatensystem des Beobachters) - es existiert nurein einheitliches EM - Feld

– Relativistische Quanten-Elektrodynamik: Ladungen und Felder un-trennbar (Paarerzeugung/-vernichtung, etc.) Aquivalenz von Masseund Energie, Feldenergie und -Impuls quantisiert etc.

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1.2 Historische Bemerkungen

wichtige Grundlagen wurden uber viele Jahrhunderte geschaffen. Hervorzuhebenvor allem:

• 1785: Coulomb: Kraft zwischen Punktladungen

• 1820: Oersted: Ablenkung von Magneten durch Strome

• 1822: Ampere: Strom als Ursache des Magnetismus

• 1831: Faraday: Induktion (Strom durch Bewegung von Magneten), Feld-begriff

• 1864: Maxwell: Feldgleichungen, Vorhersage EM-Wellen

• 1880: H. Hertz: Nachweis EM-Wellen

• 1900: M. Planck: Quanten-Natur des EM-Feldes

• 1905: Einstein: spezielle Relativitatstheorie, Aquivalenz von E und B; end-liche Ausbreitungsgeschwindigkeit (v ≤ c) der Kraftwirkung/Felder

• ca. 1950: Quanten-Elektrodynamik (Feynman, Tomonaga, Dyson, Schwin-ger,...)

zusatzliche Informationen sind im Buch von Greiner[Gre02] zu finden

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2 Grundbegriffe und Grundgleichungen der Elek-trodynamik

2.1 Ladungen und Strome

2.1.1 Ladung und Ladungsdichte

1. Diskrete Beschreibung: Krafte zwischen Punktladungen mit ~ri(t) - Tra-jektorie (bei großen Korpern - nicht Elementarteilchen-)moglich auch: ei = ei(t) = Ni(t) ∗ e0, Ni ∈ NSI-Einheit [e] = 1 C = 1 A*s

×

e1e2

e3~r1

~r2

~r3

Abbildung 5: Feld mehrerer Punktladungen

Elementarladung (Elektron): e0 = 1.6 ∗ 10−19C

Betrachten jetzt ausgedehnten geladenen Korper (allgemeiner Fall):Ladung uber ∆V verteilt

×o

V olumen∆V

Gesamtladung∆Q(t)

~r

Abbildung 6: Verteilung der Ladung uber einen ausgedehnten Korper

2. Zweckmaßig: Kontinuums-Beschreibung:ersetzen Ladung → Ladungsdichte am Ort ~r zur Zeit t

ρ(~r, t) = ρ(x, y, z, t) (4)

Gesamtladung:

∆Q(t) =∫

∆V

ρ(x, y, z, t) dV (5)

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3. Verknupfung beider Beschreibungen:benotigen Ladungsdichte fur Punktladungen, Fall 1) → 2) durch∆V → 0:

ρ(~r, t) = lim∆V→0

∆Q∆V

(6)

Definition folgt aus (5)Resultat:

ρ(~r, t) =N∑i=1

ei ∗ δ[~r − ~ri(t)] (7)

Beweis von (7): s.u., S

wenn ∆V ≈ atomare Ausdehnung (∆x,∆y,∆z ≈ 1A)

∆Q(t) =

{e0 Ladung ∈ ∆V (r), ρ→∞0 Ladung 6∈ ∆V (r), ρ→ 0

(8)

aber in Physik ist alles endlich

1

23

4N

Abbildung 7: Ladungsdichte fur System von Punktladungen (peaks). In einemrealen physikalischen System haben die peaks eine endliche Hohe und Breite.Dies ist eine Konsequenz der Quantennatur der Mikroteilchen.

2.1.2 Mathematischer Einschub: Distributionen, δ-Funktion und Θ-Funktion

Definition δ-Funktion (Distribution):3-dimensionale Deltafunktion:

δ(~r) = δ(x)δ(y)δ(z) (9)

mit δ(x) =

{0, x 6= 0∞, x = 0

und∫∞−∞ δ(x) dx = 1.

δ ist nicht stetig, Distribution

8

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y

xx0

x0 − γ x0 + γ

Abbildung 8: δ - Distribution -Darstellung durch Cauchy - Fol-gen, Formel (10)

y

x

δ

y

xx0

Abbildung 9: Heaviside - FunktionΘ(x−x0) und ihre Ableitung, δ(x−x0)

Wichtige Eigenschaftender δ-Funktion:

1. δ(x) kann als Grenzwert stetiger Funktionen dargestellt werden, z.B.

limγ→0

2γ(x− x0)2 + γ2

= δ(x− x0) (10)

siehe Abbildung 8

2. ∫ ∞−∞

dxδ(x− x0)f(x) = f(x0)

∫ ∞−∞

dxδ′(x− x0)f(x) = −f ′(x0)

3. δ(x) = δ(−x)

4. f(x)δ(x) = f(0)δ(x), z.B. xδ(x) = 0

5. δ[h(x)] =∑iδ(x−x0)|h′(x0i)| , h(x0i) = 0

Beispiel 1: δ[a ∗ x] = δ(x)|a|

Beispiel 2.: δ(x2 − a2) = δ(x−a)2|a| + δ(x+a)

2|a|

6. δ(x− x0) = 12∗π

∞∫−∞

dk eik(x−x0)

7.x∫−∞

dx′ δ(x′ − x0) = Θ(x− x0) =

{0, x < x0

1, > x0

Θ : Heaviside-Funktiondamit δ(x− x0) = Θ′(x− x0), siehe Abbildung 9

8. “Einheiten”: [δ(x)] = 1[x] , [Θ(x)] = 1,

folgt aus Defintion von δ durch Integral sowie 7.

damit folgt fur die 3D-Deltafunktion: [δ(r)] = 1m3

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~ri ∆Vi

∆V

Abbildung 10: diskretisiertes Volumen: ∆V = N∆Vi

Beweis von Formel (7):

fur eine Punktladung e1 bei ~r1(t): ρ(~r, t) = e1δ[~r − ~r1(t)]∫∆V

ρ(~r, t) dV =

{e1, ~r1(t) ∈ ∆V0, sonst

wegen der Definition der δ - Distribution

Verwende dabei Definition des Volumenintegrals:Sei ei im Folgenden die Ladung in der Zelle mit Index i.

∫∆V

ρ(~r) dV = lim∆Vi→0N→∞

N∗∆Vi=const.

N∑i=1

ρ(~ri)||ei

∆Vi

∆Vi = 0 + 0 + ...+ e1 + 0 + ...nur i-te Zelle tragt zum i-ten Summanden bei

oder, direkt durch Einsetzen:∫∆V

ρ dV =∑i

∫eiδ [~r − ~ri(t)] =

∑i

ei = ∆Q

Bemerkung: lim∆V→0

physikalisch nicht realisierbar: ∃ min. Langenskala, z.B. ato-

mare Langenskala ∆xA. Wenn wir makroskopische Langenskalen verwenden,d.h x >> ∆xA (typisch in der Elektrodynamik) sind Rechnungen mit ∆xA → 0und ∆Vi → 0 moglich und mathematisch oft vorteilhaft. δ(x) und θ(x) bildenhierfur einen geeigneten Apparat.

Einheit der Ladungsdichte: [ρ] = [Q][V ] = C

m3 , da [δ(x)] = m−1

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2.1.3 Strom und Stromdichte

Abbildung 11: Schnappschussdes Volumenelements mit La-dungstrajektorien

Ladung: verknupft mit Anzahl der Elemen-tarladungen im VolumenelementStrom: Ladungsfluss pro Zeiteinheit durchFlache → Abhangig von Ladungszahlund Geschwindigkeit also von ~ri und ~vi

∆Fi

∆Fe1, ~r11(t), ~v1(t)

Abbildung 12: Fluss von Ladun-gen durch Flache ∆F

∆I(t) : Strom durch Flache ∆F

∆I(t) = lim∆t→0

∆Q(∆F )∆t

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• a.) N Punktladungen: diskrete Beschreibung

∆I = lim∆t→0

∑Ni=1

ei

∆t

• b.) kontinuierliche Verteilung des Stromes uber Flache ∆F :

Kontinuumsbeschreibung mittels Stromdiche ~j (Vektorfeld)∫∆F

~j(~r, t) d~f = I(t) (11)

Hierbei ist ~j(~r, t) d~f als Skalarprodukt aufzufassen, mit d~f ||~n - lokaleFlachennormale

Verwende Def. des Flachenintegrals: Zerlege ∆F = N ∗∆FiDamit folgt: I(t) = lim

∆Fi→0N→∞

∆F=N∗∆Fi

∑Ni=1

~j(~r, t)∆~Fi

• Stromdichte ist allgemeines Konzept (wie Ladungsdichte). Benotigen da-her auch Stromdichte fur ein System von N Punktladungen, Fall a.):Resultat:

~j(~r, t) =N∑i=1

ei~ri(t)δ[~r − ~ri(t)] (12)

• Dimension: aus Einheit von [I] = A = Cs und Definition (11) folgt:

[j] = [I][F ] = A

m2 = cms1m3

Bemerkung: ~j = in (12) bestimmt durch ~ri(t), ~vi(t) - Phasenraumtrajektorienaller Ladungen→ ~ri, ~vi =~ri sind unabhangig

→ ~j nicht aus ρ bestimmbar! (im allgemeinen j 6= ρ)

selbst bei ρ = const. ist Stromfluss moglichBeispiel: rotierende, homogen geladene Kugel

ρ(~r, t) = ρ(~r) =

{ρ0 innen

0 außen

ρ ≡ 0

dennoch ~j(~r, t) 6= 0 (Wirbelstrom)

12

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2.1.4 Ladungserhaltung. Kontinuitatsgleichung

Betrachten Volumen V

• Ladung in V zur Zeit t:

QV (t) =∫Vρ(~r, t) dV

• Zeitliche Anderung der Ladung inV: dQV

dt

• Strom (Ladungen pro Zeit) durchOberflache F von V:

~jin ~jout

F

Abbildung 13: Stromdurch die Randflache Fvon Volumen V

Integral uber gesamte Oberflache

IF (t) =∮F (V )

~j(~r, t) d~f

Vorzeichen des Gesamtstroms =

{+ = in

− = out

d~f ||~nout Normale aus V heraus (Konvention)

Satz von der Erhaltung der Ladung:wenn in V keine Ladungen erzeugt oder vernichtet werden (z.B. durch Ionisation,Rekombination, chem. Reaktionen, etc.):

dQVdt

+ IF = 0 (13)

mit dQV

dt > 0 bei IF < 0 (Zufluss von Ladungen nach V uberwiegt) bzw. dQV

dt < 0bei IF > 0 (Abfluss uberwiegt)

daraus folgt nach Einsetzen der Definition von Ladung und Strom:

d

dt

∫ρ(~r, t) dV +

∮F

~j(~r, t) d~f = 0 (14)

Bemerkungen:

• integrale Aussage uber Eigenschaft des Gesamtvolumens

• Ladungserhaltung ist ahnlich Teilchenerhaltung, aber nicht aquivalent!z.B. Anderung der Teilchenzahl moglich und gleichzeitig dQ

dt = 0

Beispiel: s. Abbildung 14

Betrachten jetzt Ableitung der lokalen Ladungserhaltung mit Hilfe des Satzesvon Gauß.

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−ee

V

Abbildung 14: Entfernen einer positivenund negativen Ladung aus V verringertTeilchenzahl, aber Gesamtladung bleibtunverandert.

Zahl positiv und negativ geladener Teil-chen je um 1 verringert

2.1.5 Math. Einschub: “Vektoranalysis I”: Satz von Gauß, Divergenz

Satz von Gauß: ∮F (V )

~j(~r, t) d~f =∫V

div~j(~r, t) dV, (15)

hier ist F (V ) die Oberflache des Volumens V und div die Divergenz einesbeliebigen Vektorfeldes ~j(~r) = (jx, jy, jz):mit der Definition:

div~j(~r, t) =∂jx(~r)∂x

+∂jy(~r)∂y

+∂jz(~r)∂z

(16)

Plausibilitatsbetrachtung (Beweis s. Analysis):

z + ∆z

x + ∆x

y + ∆y

(x, y, z)

~y

~x

~z~n

~n

Fz2

Fz1

∆V

Abbildung 15: Volumenelement ∆V zurIllustration der Integration in Glg. (15)

~j = jx ∗ ~ex + jy ∗ ~ey + jz ∗ ~ez~ez ↑↑ ~z∮F (∆V )

~j d~f =∮jx dfx + jy dfy + jz dfz

betrachten z - Komponente:

∮jz dfz =

∫Fz2

jz(x, y, z + ∆z) dx dy −~jz ↑↓ ~n

∫Fz1

jz(x, y, z) dx dy =∆z klein∫ x+∆x

x

dx

∫ y+∆y

y

dy{jz(x, y, z) +∂jz(x, y, z)∆z

∂z+O((∆z)2)− jz(x, y, z)}

=∆x,∆y klein,

∂j∂z∝const.

∂jz(x, y, z)∂z

∆x∆y∆z =∂jz(x, y, z)

∂z∆V

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Gesamtintegral:∮F (∆V )

~j(x, y, z) d~f = (∂jx(~r)∂x

+∂jy(~r)∂x

+∂jz(~r)∂x

)∆V = div~j ∗∆V

Fur beliebiges Volumen V:

1. Zerlegung in Quader ∆Vi, N ∗∆Vi = V

2. ∀∆Vi gilt obiges Resultat

3.∑i Vi ∗ div~j →

∆V→0N→∞

N∗Vi=V=const.

∫dV div~j

4. Bei Addition heben sich Beitrage innerer Rand-flachen heraus →

∮erstreckt sich nur uber die

Außenflachen von V → (15) bewiesen

~ni

~ni+1

~jzFz

∆Vi+1

∆Vi+1

Abbildung 16: aneinandergren-zende Teilvolumina

Umformung der Ladungserhaltung (14) mit (15):∫V

dV

{∂ρ(~r, t)∂t

+ div~j(~r, t)}

= 0.

Gilt unabhangig von der Form des Volumens, d.h. ∀V (sofern ∂ρ∂t ,div~j stetig

integrierbar in V) → Integrand = 0Damit folgt Kontinuitatsgleichung (differentielle/lokale Ladungserhaltung)

∂ρ(~r, t)∂t

+ div~j(~r, t) = 0 (17)

Bedeutung von div~j aus (15) anschaulich:

IF (t) =∮F

(V )~j d~f =∫V

div~j dV - “Quellstarke”,

d.h. Ladung, die pro Zeit aus dem Volumen V “quillt”

→ div~j - Quelldichte (pro Volumen) der Ladung

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2.2 Mathematische Beschreibung von Vektorfeldern

2.2.1 Satz von Stokes, Rotation, Potential

Elektrodynamik: zentrale Großen: ~E, ~H, ~B, ~D,~j, ...→ VektorfelderBetrachten allgemeines Vektorfeld ~F (~r)Eigenschaften:

• Flachenintegral → untersucht in Kapitel 2.1.5

• betrachten jetzt Linienintegral entlang Kontur L

A

BL

~ri

o

∆~ri

~F (~ri)

Abbildung 17: Diskretisierungdes Weges

∫L

~F (~r) d~r = lim∆ri→0N→∞

N∗∆ri=const.

∑Ni=1

~F (~ri)∆~ri

→ Integral abhangig vom Weg L, selbst bei glei-chen Endpunkten A,B (im Allgemeinen)

• Betrachte jetzt Ringintegral uber geschlossenen Weg:∮L(A)

~F (~r) d~r - “Wirbelstarke” des Feldes

in der von L umschlossenen Flache A

• Stokesscher Satz: ∮L(A)

~F (~r) d~r =∫A

rot ~F (~r) d~f (18)

mit Definition des Rotors des Vektorfeldes:

rot ~F (~r) = ~∇× ~F =

∣∣∣∣∣∣~ex ~ey ~ez∂x ∂y ∂zFx Fy Fz

∣∣∣∣∣∣ = ~ex∗(∂yFz−∂zFy)+2Permutationen

(19)

oder mit antisymmetrischen Tensor εijk =

1, i < j < k

0, i = j ∧ i = k ∧ j = k

−1 i < k < j

(rot ~F )i =∑j,k εijk ∂xj

Fk, i, j, k = 1, 2, 3

rot ~F = “Wirbeldichte” =Wirbelstarke

F lache

Beweis des Satzes von Stokes (Plausibilitatsbetrachtung)

rot ~F = (rot ~F )x ∗ ~ex + ...+ (rot ~F )z ∗ ~ezd~f = dfx ∗ ~ex + ...+ dfz ∗ ~ez

16

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∫∆Fz

(rot ~F )z dfz =∫

∆Fz

dx dy{∂Fx∂y

(x, y, z)− ∂Fy∂x

(x, y, z)} =∫ x+∆x

x

dx{Fx(x, y + ∆y, z)− Fx(x, y, z)} −∫ y+∆y

y

dy{Fx(x+ ∆x, y, z)− Fx(x, y, z)} =∫Lz1

Fy(x, y, z) dy +∫Lz2

Fx(x, y + ∆y, z) dx+∫Lz3

Fy(x+ ∆x, y, z) dy +∫Lz4

Fx(x, y, z) dy ≡∮L(∆Fz)

~F (~r) d~r

Linienintegral um Rechteck ∆Fz in der x-y-Ebene→ analog Beitrage von (rot ~F )x und (rot ~F )y→ Ausdehnung auf beliebige Flache durch Zerlegung in N Rechtecke ∆Fi

~y

~x(x, y, z)

y + ∆y

x + ∆x

~Lz1

~Lz2

~Lz3

~Lz4

∆Fz,∆Fz ||x− y − Ebene

Abbildung 18: Pfad Rechteck ∆Fzin der x-y-Ebene

1

2

A

B

o

~r0

~r

Abbildung 19: zwei Pfade von Anach B bilden einen geschlossenenPfad

• Potential eines wirbelfreien Feldes:

bei rot ~F = 0 →(18)

∮~F d~r = 0→ fur beliebige 2 Punkte A, B ist∫ B

A~F (~r) d~r wegunabhangig, z.B.

∫L1

~F (~r) d~r =∫L2

~F (~r) d~r

• Definition Potential: bei rot ~F = 0

−∫ ~r

~r0

~F (~r′) d~r′ ≡ U(~r) (20)

bzw.~F (~r) = −gradU(~r) (21)

mit Definition Gradient:

gradU(~r) ≡ ∇U =3∑i=1

~ei∂U

∂xi=(∂U

∂x,∂U

∂y,∂U

∂z

)

wir nennen U - Potential des (wirbelfreien) Vektorfeldes ~F

17

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Satz: ~F (~r) steht senkrecht auf der durch den Punkt ~r gehenden Aquipotentialflache

Definition Aquipotentialflache: Oberflache mit U(~r) = const.

Beweis: Vektor δ~r liege in der Aquipotentialflache, d.h.→ U(~r) = U(~r+δ~r) = U0

Differenz U(~r + δ~r)− U(~r) ' ∂U(~r)∂~r δ~r = 0

∂U(~r)∂~r = ∇U(~r) = −~F (~r) ⊥ δ~r

da δ~r beliebig → Beweis fur gesamte Aquipotentialflache qed.

Schlussfolgerung: grad U —— Richtung der starksten Anderung von U

Definition Fluss eines Vektorfeldes durch eine Flache (A beliebig):

φ ≡∫A

~F (~r) d~f (22)

Sonderfall: Fluss durch geschlossene Flache. Mit Satz von Gauss folgt∮A(V )

~F (~r) d~f =∫V

div ~F (~r) dV

Im Folgenden benotigt: Eigenschaften von div, grad, rot → s. Ubung und Ab-schnitt 2.2.3.

18

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2.2.2 Fundamentalsatz der Vektoranalysis

Satz: Jedes Vektorfeld ~F (~r) mit lim|~r|→∞

~F (~r) = 0 und lim|~r|→∞

∂xi~F (~r) = 0

lasst sich eindeutig in eine Summe aus einem quellenfreien und einem wirbelfreienAnteil zerlegen, d.h.

~F (~r) = ~Fq(~r) + ~Fw(~r), (23)

mit div ~Fq(~r) = 0, d.h. ~Fq(~r) ist quellenfrei

und rot~Fw(~r) = 0, d.h. ~Fw(~r) ist wirbelfrei

Bemerkungen:

1. daraus folgt fur das Gesamtfeld: div ~F ≡ div ~Fw(~r), also ~Fw tragt alleQuellen von F ,

2. analog gilt: rot ~F ≡ rot ~Fq(~r), d.h. ~Fq tragt alle Wirbel von ~F ,

3. Das Verschwinden der Funktion F und ihrer Ableitungen im Unendlichenist physikalisch motiviert, da jedes Feld begrenzte Ausdehnung besitzt(Energieerhaltung).

Beweise: s.u.

2.2.3 Mathem. Einschub: wichtige Eigenschaften von div, grad, rot

1. Laplace - Operatordiv gradU(~r) = ∆U(~r) (24)

mit Laplace - Operator ∆ = ∂2

∂x2 + ∂2

∂y2 + ∂2

∂z2

Beweis: verwende Notation “Nabla”:

∇ = ~ex∂∂x + ~ey

∂∂y + ~ez

∂∂z =

(∂∂x ,

∂∂y ,

∂∂z

)damit: ∇U(~r) ≡ gradU(~r) = Vektor (U - Skalar)

∇~F (~r) ≡ div ~F (~r) = Skalar(~F − V ektor) (24) lasst sich schreiben als

∇(∇U(~r)) = (∇∇)↑

Skalarprodukt

U(~r) ≡ ∆U(~r)

q.e.d

2. Es gilt

rot rot ~F (~r) = grad div ~F (~r)−∆~F (~r) (25)

Beweis: rot ~F ≡ ∇× ~F , rot rot ~F ≡ ∇× (∇× ~F )aus Vektoranalysis bekannt (bac - cab):

~a× (~b× ~c) = ~b(~a~c)− ~c(~a~b) = ~b(~a~c)− (~a~b)↑

Skalarprodukt

~c

19

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in Vektoranalysis zwei aquivalente Ausdrucke

hier: ~a,~b→ Differentialoperatoren, wirken auf ~F

→ ~F muss rechts stehen, d.h. der letzte Ausdruck ist zu verwenden

damit: ∇× (∇× ~F ) = ∇↑

grad

· (∇~F )↑

div(Skalar)

− (∇∇)↑∆

~F

q.e.d

3. Es gilt

div rot ~F ≡ 0 (26)

Beweis: div rot ~F = ∇(∇× ~F ) =↑

EigenschaftSpatprodukt(Fmusshieraberrechtsbleiben!

= (∇×∇)~F

∇×∇ =

∣∣∣∣∣∣~ex ~ey ~ez∂x ∂y ∂z∂x ∂y ∂z

∣∣∣∣∣∣ = 0

da Determinante mit 2 identische Zeilen.

4. Fur gegebene Funktion ρ(~r) existiert eindeutige Losung U(~r) der Poisson-Gleichung

∆U(~r) = ρ(~r) ,

fur die lim|~r|→∞

U = 0 und lim|~r|→∞

∂U∂r = 0

Beweis spater in Kapitel ...

[Bemerkung: Poissongleichung ist DGL 2. Ordnung; Losung enthalt 2 Kon-stanten, die durch Asymptotenbedingungen festgelegt sind]

Beweis des Fundamantalsatzes (Fortsetzung)

1. Konstruiere ~Fq aus gegebenem ~F

rot ~Fq = rot ~F

rot rot ~F = rot rot ~Fq =2

= grad div ~Fq||0

−∆~Fq = −∆~Fq

→ besitzt eindeutige Losung ~Fq fur gegebenes ~F

2. Konstruiere ~Fw aus gegebenem ~F

div ~Fw = div ~Fgrad div ~F = grad div ~Fw =

2= rot rot ~Fw

||0

+ ∆~Fw

→ besitzt eindeutige Losung ~Fw fur gegebenes ~F

∆~Fw = grad div ~F∆~Fq = −rot rot ~F

20

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Fazit: beliebiges Vektorfeld ~F durch seine Quellen (div ~F ) und Wirbel(rot ~F ) eindeutig bestimmt.→ Bestimmung des EM - Feldes erfordert Bestimmung seiner Quellen undWirbel→ suche Quellen und Wirbel des EM - Feldes

3. → Programm zur Aufstellung der Maxwell - Gleichungen

21

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2.3 Die Maxwell - Gleichungen

Ausgangspunkt: experimentelle Erfahrung→ 2.Schritt: Verallgemeinerung mit Hilfe des mathematischen Apparates derVektorfelderBemerkung: M - Gl. nicht ableitbar

2.3.1 Quellen des elektrischen Feldes, Coulomb - Gesetz

Erfahrung:

• Kraft zwischen zwei Ladungen q,Q (Punktladungen) F = KqQ∗qr2 (Betrag)

→ C.A. Coulomb 1785, attraktiv oder repulsiv!

• Coulombkraft - 1 der 4 fundamentalen Wechselwirkungen (Spezialfall derEM - WW)

schwacheelektromagnetische

}elektroschwache (Leptonen, β - Zerfall)

Gravitationstarke

Vereinigung Leptonen/Quarks

Bemerkungen:elektromagnetische: → PhotonenGravitation: attraktiv starke:

(EB ∼ 8MeV

h

)[Kernkraft ∼ 102 starker bei r ≤ 1 fm = 10−15m

]→ attraktiv

• Coulombkraft analog zu ~FG = −Gm·Mr2

~rr

Vergleich der Betrage fur Elektron-Proton

|F |FG

=Kq

G

|QP qe|MPme

=Kq

G

e20

m2e

11836

≈ 14πε0G

(1.6 · 10−19C

10−30kg

)2 11836

≈ 1039!

Kq =1

4πε0(SI)

ε0 = 8.85 · 10−12 As

V m

G = 6.67 · 10−11 m3

kgs2

• Richtung: Zentralkraft, ~F ||~r = ~r1 − ~r2 d.h.

~F = KqQ · qr2

~r

r(27)

1. 2 - Teilchen - Wechselwirkung

2. erfullt Superpositionsprinzip (Kraftaddition)

22

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2.3.2 Technischer Einschub: Einheitensysteme der Elektrodynamik

Unterschiedliche Wahl der Konstante Kq im Coulombgesetz

Kq =

{1 ,Gaußsystem o. CGS

14πε0

≈ 9 · 109Nm2

A2s2 ,MKSA(SI)

Def. fur spater:

Kq ≡ 4πKq =

{4π1ε0

Problem: Koexistenz beider Systeme

• Forschungsliteratur CGSentspricht der intuitiven Symmetrie E-B-Feld (gleiche Einheit), entsprichtder relativistischen Natur der Theorie

• Technischer Standart: i.a. SIVerbreitete Maßeinheiten, aber ”kunstliche”Faktoren in Gleichungen ⇒Uberblick uber beide Systeme notigTheorie: CGS [Einheiten z.T. unbrauchbar]Anwendungen, zahlenbasierte Abschatzungen: SIFormel CGS → Formel, SI → einzelne Zahlen

z.B. ~F =qQ

r3~r

(CGS)

=1

4πε0q∗Q∗

r3~r

(SI)

, [Q∗] = 1C = 1As, [Q] = 1C

[√epsilon0] ; die unnaturlicheEin-

heit ist der Preis fr die ”naturliche”Formel

Vollstandiges Maßsystem festgelegt durch alle Krafte (Messgroßen)

1. Coulombkraft → Kraft zwischen Ladungen → Kq

2. Kraft zwischen Stromen (Ampere - Gesetz) → KI

3. Lorentzkraft auf bewegte Ladung im B - Feld → KB

1.vecFc = Kq · qQ ~r

r3

2. d~F12 = KI · I1I2︸︷︷︸dim A2

d~s1 × (d~s2 × ~r12)r312︸ ︷︷ ︸

dim los

Kq[q]2

[r]2 = KI [I]2;[KI

Kq

]= s2

m2 → 1Geschwindigkeit Quadrat

Wahl:

KI =

{1c2 ,CGSµ04π ,SI

(28)

23

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Test: KI

Kq=

{1c2 ,CGSε0µ0 ,SI

Konistenz der Systeme: ε0µ0 = 1c2 erfullt

c = 2.99792458 · 108m

s- Lichtgeschwindigkeit

ε0 =1

4π1

9 · 109AsV −1m−1 - Dieleektrizittskonstante des Vakuums

µ0 = 4π · 107V sA−1m−1 - magn. Permeabilitat des Vakuums

(29)

3. ~FL = KB q · ~v × ~B bei q > 0

Wahl:

KB =

{1c ,CGS1 ,SI

(30)

• Grundeinheiten der Mechanik:[l] = 1 m, [m] = 1 kg, [t] = 1 s (MKS)abgeleitet: [F ] = 1 kgms−2 ≡ 1N

• Einheiten der Großen der ElektrodynamikKrafteinheit universell: [F ] = 1N→ Vergleich der Krafte 1-3 mit diesen Einheiten legt (im jeweiligen Maß-system) die Einheiten aller Großen fest.

→ Einheit von Q→ Eiheit von I→ Einheit von B

vollstandig bestimmt durch (mechanische) Grundeinheiten

CGS: EM - Großen mechanisch festgelegte Einheitenz.B. [Q] =

1

√[F ][r]2

SI: Besondere ED - Einheiten festgelegt durch Def. einer 4. Grundein-heit: [I] = 1A→ = MKSA - System

[Q] = [I] · [t] = As = C

aus 3 [B] = [F ][Q][V ] = Ns

Asm =

V As||NmAm2 = V s

m2 ≡ 1T

Einheitensystem → s. Tabelle → download

24

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Index

δ - Distribution, 8wichtige Eigenschaften, 9

antisymmetrischen Tensor, 16

Coulombkraft, 3

Distribution, 8Divergenz, 14

Elektrostatik, 5

Fernwirkung, 3Flachenintegral, 15

Gesamtladung, 7

Heaviside-Funktion, 9

Kontinuitatsgleichung, 15Kraft, 2

Ladung, 3Ladungsdichte, 7, 8

Punktladungen, 8Ladungserhaltung, 13Linienintegral, 16Lorentzkraft, 5

Magnetostatik, 5Mechanik, 2

Potential, 17des (wirbelfreien) Vektorfeldes, 17

Punktladung, 3

Rotation, 16Rotor des Vektorfeldes, 16

Satz von Gauß, 14Stokesscher Satz, 16Strom, 5, 11Stromdichte, 12

Vektorfeld, 16

Wirbeldichte, 16Wirbelstarke des Feldes, 16

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Literatur

[Gre02] Greiner, Walter: Klassische Elektrodynamik - Theoretische Physik,Band 3 der Reihe Greiner - Theoretische Physik. Harri Deutsch, 6.Auflage, 2002.

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