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Theorie der Involu~ionssysteme par~ieller Differen~ial- gleichungen ersSer Ordnung in betiebig vielen abh~mgigen
mad unabh~ngigen Ver~nderlichen.
(Erste Abhandlung.)
gon
E. v. W~B~R in Miinchen.
Jedes beliebige System partieller Differentialgleichungen kann dutch Einffihrung geeigneter abh~ngiger Yariabeln in ein System yon Gleichungen erster Ordnung verwandelt werde~. Under den letz~- genannten Systemen beanspruchen die yon Lie*) so bezeichneten ,,Iavolutionssysteme" das haup~s~ch]/chste Interesse. Wir betrachten im t%lgenden nur solche Systeme I. O. in den Independenten x t . . . x~ und den unbekannten Fuac~onen z l . . . ~, die sich in gewisser Weise nach den Ableitungen der z ~ auf|Ssen lassen**)~ d/e Involut~onseigen- sehaf~ kann dann kurz dahin charak~risir~ werden, dass ein solches System die gr'Sss~mSgliche, mit seiner Form vertr~gliche Mannig- fal~igkeit yon Integralen ~1. z~ besitz~. Die vorliegende ersfe Ab- handlung besch~ftig~ sich mi~ folgenden Gegenst~nden:
Das erste Capitel behandel~ die algebraischen Defini~ionsgleichungen eines Involutionssystems, und die Prage na~h der Existenz eines all- gemeinen Integrals, wobei wit uns im Wesenflichen auf die grund- legenden Untersuchungen des H. Bo urle~**) st~itzen.
Das zw~te Capitel ist der Betrachtung einer f~ir die gauze Theorie fundamentalen Ma~ri~ gewidmet. Die Eigenschaf~en dieser ~Ia~rix ffihren uns in Cap. III zu einer Theorie der charakteris~isehea Mannig- fa|~igkeiten ~ insbesondere zur Definition einer beson0eren Categorie y o n Involutionssystemen, der sog. ,,~ormalsysteme '~. Ffir diese lef~f~ren skizziren wit in Cap. I~ r eine Integrat~o~stheorie, indem wir zeigen~
*) Vgl. Leipz. Bet. 47, p. 53--128 (1895). **) Einen Sp~ialfall hiervon un~ersu~ht Herr K S n i g , M~h. Ann. 23, p. 520~
den allgemeinen Fall ffir Z~neare Systeme Herr Bourle~3 &an. de I'Ec. Norm. (3) VIII (1891) Suppl~m. p. 43ff.
544 E.v. Wv~a.
wie man unter der Annahme der Integrabilitgt gewisser iotaler Diffe- �9 /
elne rentiMgleichungen 1:reduction tier AnzaM der Inde2endenten herboi- f[ihren kman*).
Die weitere Durchffihrung dieses Ansa~zes~ dis Besprechung der mannigfachen Analo~en~ die unsere Theorie zu derjenigen der par- tiellen Differentialgteichv_ugen L O. mit e/net Unbekannten darbietet~ endlich die Untersuchung der linearen Involutionssysteme soU einer z/we/ten Abhandlung vorbehaltea bleiben.
c~pi~el I.
Die Definitionsgleichungen und das allgemeine Integral des Involutionssystems.
1. Wir bezeichnen mit z 1, f , . . . , z ~ Functionen der m unab- h~ngigen Ver'~nderlichen xj, x 2, . . . , x=, setzen:
und betrachten das folgende Syst, em partiel|er Differentialgleichungen erster Ordnung:
(A) f ~ ( x , . . . x ~ , ~ t . . . ~ , ~ , ~ . . . p ~ , ) = 0 , f 2 f 0 . . . f ~ = 0 .
Die Anzahl ~ dieser Gleichungen sei kleiner als ran, abet nichi kleiner als n~ so dass wit schreiben k5nnen:
N - ~ - - 9 n + v ( 0 < v < n - - 1 ; l ~ / ~ = ~ m - - 1 ) , 2~s werde nun angenommen, dass die Gleichungen (A) sich in folgender Weise auflfse~ lassen:
f - ~ i + ~ = o , _ ~ 1 _ ~ 1 = o 1 ~ ~ ..c.~1 - o I
( - - p ~ + r - p~+ ~ _ o . - ~ ; + p ; = - ,
Hierin bedeu~ea die ~ gewisse Functlonen der Variabeln xl, zi, . ~o7,+~ , ~+~ . ./o~,. Der yon den Herrn Mgray und R i q u i e r ~ )
eingeffi]arfi~n Terminologie folgend nennen wir die ~ GrSssen p~.../o~*, ~.. .~; , ~+~...v,~, , , ~ ~ , , , ~io ~ri~,n ~ - ~ Or~,~en ~ ,,~aramet~sc.~" Ableitungen 1. O.; die ersteren werden im Folgenden genere}l mit p~,, die letz~eren mit ~ bezeichne~. Dementsprechend
~) ~ Theozie finder sich ~Irizzirt in moiner No~e: .Sur t'inMgration etc.", Comptes Rendu~ yore 3. August 189~.
**) Ash. de t'Ec. Norm. (3) VII (1890)o
Sys~eme partieller Differentialgleichu~gen. 45
theilen wir die m n Indicespaare (i , k) (i ~- 1 . . . m , k ~ 1. . .n) in zwei Classen~ indem wit die ~rPaare (a, b) der ersten, die Paare (g, h) der zweiten zuz~ihlen; endlich werde die zweite Ableitung
,,paramehisch" oder ,,einfach priacipal" oder ,,doppelt principal" ge- naunt~ je nachdem yon den beiden Zahlenpaaren (i, k) (j, k) keines oder eines oder alle beide der ersten Classe angehSren.
2. Indem ws die Gleichungen (A') partiell nach x ~ + s . . , x~ differentiiren, wobei ~ , p~ als Functionen tier x zu be~rachten sind, erhalten wir die einfach principalen Abteitungen
ausgedriick~ als gauze lineare Funetionen ~,~e-t-~ �9 �9 " @,,b ,~ der para- metrischen 2. Ab]eitungen, deren Coefficienten yon den Variabeln x, $, ~ abhiingen. Dutch Differentiation der Gleichungen
naeh xl,+l gewinnen wir fiir die noch fibrigen einfach prineipalen A b- teitungen r~,~,+l Ausdrficke, die ausser yon parametrischen Der~virten noch yon einfach 13rincJpalen Ableitungen
r~ (s= ~-]-- 2 m, t~---i v) ,~u-I-I . . . . . .
abhi~ngen; erse~zen wir diese GrSssen dureh ihre vorhin gefundenen Wer~e ~+1, , , so sind sehliesslich alie einfaeh prineipalen 2. Ab-
b dargestellt dutch gauze line.are Ausdriicke 0~ in den leitungen r,z parametrisehen 2. Ableitungen; die Coeffieienten der letzteren sind Functionen yon x, z, p$.
3. Sind (a, b) (a', b) Zahlenpaare der ersten Ctasse~ so gewinnt man durch partielle Differentiation der Gleichang:
nach x a, flir die doppelt principale Ableitung ~ a' einen Ausdruek, der zun~chst noch yon den parametrischen und einfach principalen 2. Deri- virten abh~ing~, aber, indem man letzfere dutch ihre obigen Werthe ersetz~, in eine Lineaffunction ~b~r tier ]parametrischen ~ iibergeh~. Ein iihnlieher Ausdruck r ergibt sich ffir ~ r aus tier Gleichung
- + = o
dutch Differen~ia~on nach x~. Indem wit verlaugen~ class die Iden~i~tea
O ) - - r keine Relation zwisehen den parametrisehen Ableitungen begrfinden, d, h. unabh~ngig yon den Wer~hen derselben efffill~ seien~ erhalfen
wir alas nachstehende System yon Bedingungsgleichungen, woHn zur Abk~rzung:
~ " = o r ) ' a a ' . - a..+, = 1 . . . ,, ~.,t-1
1
gesetz~ ist:
(1) Lx =dr - - #at) ~l-z.# "J" ~ -='. - - ,~'.s/ p+L..J I
= ~ . r , c,, r g , - ~&r~. + ~..,:a.. - - ,~o.. ~ , , ,
1
(s) g;~ ~X" .. r~,.~+~ t a'. a.,+.--" a.'a'.,+,
(B) ~ '+'
, ,+t
t ~ = , , + ~ . . . - ) .
(B')
t,+~ z
( a , a ' ~ l . . . t t ; b ~ l . . . n ) ,
(c)
t ~t ~t tz bt ~+~,as) ~-Fz, rJ (1) ( r ; . - K~.,,a~) P~.,., + ( ~ . - - K ~ ~ "
I ~/;- ~:,+I..- =. I- -%+,.o -~o.~,
Ffir die principalen 1, Ableitungen sind hierin ihre Wert~e aus (A~ zu ~u~t~tuire~,
Systeme partieller Differen~ialgleichungen. 547
, Kb ~ '~ �9 o,
~_.~ '%'~ .p~: b~ b~ ' < % , , (o) { z_z- ,+, ,
[ - (a)/'~,:,+~ :/_.;..~ ~.~,+~. ~,+~,~, v+*
j = v + 1. . .~) ,
(C 3 b Mb "%7 p~k M ~ M~+~,~, - - ,~,,,,+1 + . ~ t ~,+l,g ,~g 9h
:q~ r
,w b , . = ~ ~ t ~ + z , , ~ s / , u + L * - �9 �9 ~ , ; ~ �9
# + 2 .z
~'iir /, ~-1. kommen die ~d~L-ionen (B)(B'), ftir v = 0 (C)(O') in Wegfall; is~ /, = 1~ v -~- O, so bestehen iiberh~up~ keine I~lationen ffir die partiellen Ableitungen der ~ ; is~ ~ ~-- m - - 1 oder v ~-- O, so verschwinden aale yon den Gr'dssen K ~ , abh~ngenden Terme.
Sind die Bedingungen (B)(B'), (C)(C'), wie wir fortab voraus- se{zen, identisch, d. h. fiir beliebige Werthe der x,z,~} erfiiUt, so werde (A) ein Involutionssystem genannt, und zur Abkiirzung mit J bezeichnet.
4. Uebertr~ig~ man die Benennungen ,,parame~risch", ,,einfach principal" u. s. w. auf die dritten Ableih~ngen ~ der ~ , so erkennt man leieht, dass nunmehr vermSge der Gleichunge~, die aus (A') dutch zweimalige par{ielIe Ableitung nach den x en~stehen, sich auch flit jede einfach, zweifach und dreifach principale 3. Ableitung r~i~ je ein und nut ein in den parametrischen 3. Ableihmgen linearer Ausdruck ergieb% dessert Coefficienten yon x~ ~, und den parametrischen 1. und 2. Ableitungen abhgngen; Anaaoges gil* flit die Derivierten beliebiger Ordnung*).
5. Die Relationen (C) (C') zeigen, (lass jedes einzelne der ~ Systeme yon Gleiehungen
, f - ~ + ~ = o , . . . , - ~ : + ~ : = o , (~) t-~,+~ + ~+~ o , . . . , ,,+~ --~o" + , = 0
f~r sich genommen ein Involu~ionssystem bilde~, wenn man darin die GrSssen xt . . . x ,_ , , x , + , . . , x~ als consomme Parameter betrachte~; die Gleichungen (2) mSgen als ,~Theilsystem ~" bezeichne{ werden.
*) BOurle~, l, o. pag. ~ ,
548 E . v . WEBEr.
Sind ferner ~ 1 . . - ~ irgend welche Zahlen der Reihe 1 , 2 . . . ~, so bilden die s ~ - ~ ~ Gleiehungen, aus weIehen die Theilsysteme J=,, J=~, . . . , J~ bestehen, ebenfalls ein Involutionssystem, wenn man die ausser x = , . . , x=~ noeh vorhandeaen GrSssen tier Reihe x~ . . . x~
als Parameter ansieht. 6. F~ir die unaufgelSste Form (A) yon J lassen sich die Be-
dingungen der Nr. 3 folgendermassen formuliren: dutch einmalige partielle Differentiation yon (A) nach x ~ . . . x~ erh~lt man mN in den
~ n ( m - ~ 1)n Unbekannten ~ lineare Gleichungen:
r~-~-0; i ~ l . . . _ h r ; l ~ - - - 1 . . . m , 1 1
wodn
gesetzt ist. Diese Oleichungen sollen nun alle parametrischen Ab- leitungen ~ willkfir|ich lassen; die Anzahl derselben ist
1 ( m - ~ ) ( n - , , ) + ~ n ( ~ - , ~ ) (m- -~ - - 1), rais in sind genau
1
der Relationen (3) eine Consequenz der fibrigen, d. h. es verschwinden alle (m N mN'-~- 1) reihigen, abet nicht alle (raN - - N') reihigen Deter- minan~n der zu dem Gleichungssystem (3) gehSrigen Matrix, die aus
1 n0n_~_l) m ~_ 1 Colonnen besteM*). mN Zeilen und
Offenbar sind aach umgekehrt die so erhaltenen Bedingungsglei- chungen mit denjenigen der Nr. 3 vSllig ~quivalent.
7. Wir stellen in dieser Nr. einige der yon Herrn B o u r l e t ver- 5ffent]~chten Resultate und Bezeichnungen zusammen*~).
Jedes System yon linearen 9ar~iellen Differentialgleichungen in m unabhi~ngigen Variabe]n ~ I . . . x~ und lO unbekannten Functionen u l - - . u~ kann durch AuflSsang nach einer gewissen Zahl yon Ab-
leitungen ~-~k auf eine Form gebracht werden, in der es nur Glei-
ehungen der folgenden Art enth~l~:
*) Dies fol~ auch daraus, class N" die Anzahl der verschiedenen Identio ta~e~ (1) ~ .
**) VgL die Anmerkung pag. 547.
Systeme partieller Differentiatgleichungen. 549
i+I z k+z
die Coefficienten a~ sind Functionen der x und Ein solches System heisst eanonlsch; die Variable x~ heisst ,~principal"
oder ~dx~rametrisch" in Bazug auf u~, je naehdem ~-~ auf der linken
Sei~e einer der Gleichungen (4) auf~ri~ oder nicht, trod entspreehend
wird auch die Ableitung ~ principal oder parametriseh genannt;
eine zweite Ableih~ng ~x~ ~u~ wird parame~riseh, einfac~ oder doppelt
principal genannt~ je nachdem keine, oder eine oder alle beide Vaxiabeln x~ x~ in Bezug auf u~ principal sin& Die einfach princi- palen 2. Ableitungen kSnnen mit Htilfe der Gleiehungen, die aus (3) dureh partietle Differentiation naeh den x folgen, als Lineafftmctionen der parametrischen 2. Ableitungen dargestellt werden, deren Coeffi- cienten yon den x, u und yon parametrisehen l. Ableitungen abh~ngen. Fiir die doppelt principalen Derivirten erh~lt man dagegen im atl- gemeinen zwei verschiedene derartige Darstellangen; sind diese t~Lir alle Werthe der x, u und der 1. und 2. parametrischen Ableitungen identiseh, so heisst das canonische System (4) unbeschrSnIr integrabel.
Sind die Coefficienten a~ in der Umgebung der Stelle x~ ~ ~ , u~ ~ u ~ holomorph, und ist q~ eine arbitrate Function der in Bezug auf u~ parametrischen Variabeln x~, die an der Stelte x~ ~-. x~ ~ holomorph ist und den Werth ~o annimmt~ so giebt es ein und nut ein /~y..,t~m
yon Functionen u~ der Yariabeln x~, die an der Stelle xa ~ x~ holomorph sind~ dem unbeschr~nI~t integrabeln ~ystem (4) identisch geniigen, und sich resp. au[ ~ reduciren, wenn die in tie~ug auf u~ principalen Variabeln x~ die Werthe x~ ~ annehmen.
8. Indem wit zu den Bezeiehntmgen der Nr. 3 zuriickkehren, be- traeh~en wir das folgende System linearer par~ieller DifferenCialglei- chungen 1.0. :
(5)
h h
b
(i~l...m; 7~--- 1...~)
In diesen Gleiehungen durehlaufen die Zahlenpaare (a, b)(a' b) aIle Paare der 1. Classe; f~r jedes einzetne Werthsystem (a, b) ist
~,z,tb~ma,.t~he An~,ozz, ~,. 36
550 E. v~ W~.~.
ferner l auf alle mSg!iche Arten so zu w~ihten, dass (Z, b) der 2. Classe angehSrt. Die Zahlenpaare (g, h)(g' , h) durehlaufen alle Paare tier 2. Classe, und zwar so, dass stets g' < g; in den Ausdrfickeu ~ j end-
lich sind die parame~rischen Ableitungen in der Form ~p~" ~-~9 zu schreibe,,
wo g ' ~ g . Bezeichnen wir nun die Griissen
~ ' - . - ~ , E . - - p5 ~ . . . p,~ in der hier hlngeschriebenen Reihenfolge migu,, u~... up (p = n (m-~- 1)), so geht das System (5) fiber in ein unbesehr~nkt integrables eanonisches System der Form (4), wie aus den Bemerkungen der Nr. 4 und der Entstehungsweise der Ausdriicke ~ unmit~telbar hervorgeht, und zwar sind in Bezug auf die Functionen z, ~ alle Variabeln x principal, dagegen:
fiir p ~ . . . p ~ + ~ : x~ , . . x principal, x~+~. . , x parametrisch;
,, :,~+~...p~+~: x , . . . x ~ + , ,, , % + ~ . . . x ~ ,, ;
~ . �9 . �9 * . , * ~ . ~ �9 . . . . . . . �9 ~ �9
, , ~ . . . p ~ : x ~ . . . x = _ ~ , , , x ~ ,,
Wit verstehen nun unter ~ , ~ , ~'~ n(m-{-1) "Jr m willkiirliche Con- stant% ferner ffir jedes Zahtenpaar (g, h) der IL Classe unter ~ eine arbitr-~re Function der Variabeln xa, x~_~. . , xm, die sich an der Stelle xi ~ - ~ holomorph verh~lt und auf die Constante ~ reducirt; sind nun die Funetionen q~ in tier Umgebung der Stelle 2, ~ , ~ holo- morph ~ so exis~irt nach Nr. 7 ein und nur ein den Gleichungen (5) identisch geniigendes System yon Fune~ionen ~, 10~ yon der Beschaffen- heir, dass ~, p~ ffir xj ~ 2~ . . . x~ ~ ~ be~, die Werthe ~ , ~ an- nehmen, wiihrend sigh die GrSssen p~ ffir x~ ~ ~ . . . x~_~ ~- ~__~ bez. anf die arbitriiren Funktionen ~ redueiren. Substituiren wit die so deiiairten Funetionen z ~, 10~ in ~ie Gleichungen (A'), so gehen die }inken Seiten derselben fiber in Fanctionen yon x~ . . . x . , deren Ab- leitungen wegen (5) identisch verschwinden, d. h. in Constante; die vorhin erhaltenen Functionen z~.. . z ~ sind also Integrale des gegebenen Systems J , wenn die Integrationsconstanten den Bedingungen
- ~ i + ~i(~, ~ , ~ ) = o
unterwoffen werden. 9. Man kann mi~ Hfilfe yon Quadraturen v Functionen ~(i-~- 1... v),
der Variabeln x~.+~ . . . . x~ auf eine einzige Weise so bestimmen, dass man iden~dseh hat:
~_~r ~ =~ +~,
Sys~eme partielter Differentialgteichungen. 55I
dass sich ferner die Ableitungen
~:' ( s=3 ,4 . . .m- -~0 fiir
x~+~ ~ ~ , + ~ . . . x~+,_~ -~ ~+ ,_~ bez. auf die arbitrilren Funcgonen :~+, 'redueiren, und iiberdies ~ an der S~elle ~ den Werth V amaimmt; desgleichen gieb~ es ein einziges Sysgem yon Functionen ~(k ~ ~ + 1 . . . ~) der Variabeln x~+l . . , x~, derart, dass:
ferner die Ablei~ungen
~ ( s = 2 , 3 . . . ~ - ~ ) ~ + ~
f~r
bez. in die Ausdriicke zt ~ iibergehen, endlich ~ an der Stelle ~ den Wer~h ~ erhiilt; umgekehr~ sind bei willklirlicher Wahl der Func- r ~ die ~t~ dutch obige Bedingungen eindeutig besr hieraus ergiebr sich mit Htilfe der vorigen Nr. das folgende Theorem:
,JEs seien ~ . . . ~" arbitrtire Functionen yon x ~ + ~ . . , x,~, ferner ~ - ~ . . . ~ ebensolche yon x ~ + ~ . . , x~; fiir x ,~--~, gehe ~ in ~
~ in ~-4 iiber. Sind dann die _Functionen q~ a~ der ~telle ~, ~, ~
holomorph, so giebt es ein und nut ein an der Stelle ~ . . .~ .~ regulgres Integralsystem z~. . . z ~ des Involutionssystems J , yon dev ~Besehaffenheit, class z ~ . . . ~ f~r
x~ ~= ~, . . . x~+~ ~ ~+~
sich bez. auf ~ . . . ~*, ferner ~ '+~ . . . ~ fiir
bez. auf ~ - ~ . . . ~" ~educiren. W i t nennen dais so definirte ~ystem ~ . . . ~ das a l l g e m e i n e I n t e g r a l yon J~ in das sonach n - - v will. kiirliche ~'undionen yon m - - g Argumenten, sowie ~ witlkiirliche ~'~nc- tionen yon je m - - St - - 1 Argu/mente~ eingehe~Y
10. Ein Wer~hsys~m z ~ . . . z~ x ~ . . . x ~ v ~ . . , p~ heiss~ nach L i e ein ,,Element"; zwei benachbarte Elemente xJr - dx , z 2r. d~, 1~ -f" dp~ heissen ,vereinigt liegend", wenn die Relationen
5' (6) ~ = , ~ , 1
erftillr sind. Eine m ~ q-lath ausgedehn~e Mannigfalh'gkeir ,voa Ele- menf, en~ die den ~ot~len Differentdalgleiehungen (6) identisch genfig~
365
552 E.v. Wzs~R.
heisse eine ,E/e~nent-M~,_~ a. In der vorliegenden Arbeit wollen wit ausdriicklich nut solche Elementmannigfaltigkeiten betrachten, welche dureh Gleichungen der Form:
[ x, = ~,(x~+,, x~... x,~), (s= I... q)
(7) ~ ~' = ~'(x~.~ . . . x,~),
' l ~ = ~ , ( ~ , . . . ~ )
definirt werden kSnnen, deren zllgehbrige Punktm~nnigfaltigkeit also ebenfalls m - (/-fach ausgedehn% is~
Eine EIemenb-Mm_~, die den Gleichungen (A)identisch geniigt, heisse eine ,,In~egral-Mm-~" yon J. Unter Beibehaltung der Be- zeielmungsweise der vorigen Nr. exisfirt eine und nur eine Integral- M=_# yon dr, unter deren Definitionsgleiehungen die folgenden ent- halten sind:
(8) x, = ~ ( s = i . . . ~); ~ = ~(x ,+~ . . . x , ) (~ = ~ + i . . . ~) und welche der Bedingung genfigt~ dass sich die Ausdriicke yon z i . . . ~' ffir x~+l ~ - - . ~ i bez. auf ~1 (x~+~... xm), ~2. . . • reduciren. Denn das System yon ~ Gleichungen in den abh~uffigen Variabeln #1 . . . ~ und den Independenten xt,+~...x~, das man erhiilt, wenn man in den Relafionen
~e ~ ( i ~ 1 ,~) a x ~ +~ -~- g ~ + l " �9
fSr die x, und ~ ihre Ausdriicke (8) substituirt, besitzt nach der vor. Nr. ein und nur ein System yon Integralen ~(x~+~. . . x~), das den obigen Festsetzungen entsprieht, worauf die noch fehlenden Definitions- gleichungen clef gesuchten Integral.~/~_~ sich unmittelbar aus (A') ergeben, wenn man in die Functionen ~ ftir x ~ . . . x/~ #~ . . . ~ die erhaltcnen Ausdrticke in x s + l . . , x~ einsetzt. Ebenso erh~lt man dutch Integration des ,Theilsystems J~," (vgl. Nr. 5) eine und nur eine In~egral-.~,~_~+~, welehe die soeben bes~immte J~,~__~, umfass~; ferner dutch Integration des Systems yon Gleichungen, aus denen die Theilsysteme J.~_1, J~, bestehen, eine ganz besfimm~e Integral-$~,_u+~ etc. Man erkennt so, dass dutch die zuerst gefundene Integral-~_~, successive eine ganz bestimmte Serie yon Integralmannigfalfigkeiten ~ _ ~ § ~r~ festgelegt ist, deren jede die vorhergehende ga~. in sich enth~l~.
Der Fall, class die ersten /~ Defini~ionsgleichungen der Ausgangs- ~lr~_~ die allgemeinere Form
~. = ~ (x.+, . . . ~) (s=i...~) besitzen, wird auf den vorhergehenden zurlickgefiihrt, indem man ver- m ~ e itez Gleiehungen:
Sysh~me lsartieller Differentialgleichungen. 553
X~--X,=x~--x,, t=~+l...m,
neue unabh~ngige Ver~nderliche X t . . . X~ einffihr~, wodurch weder die Involu~ionseigenschaf~ noch die Gestal~ der Gleichungen (A') ge- ~ndert wird.
Die allgemeinste lntegral-M=_~ der ~orm (7) ergiebt sich somit dutch Integration emes Hiitfssystems van v Gleichungen in v abh~ingigen und m -- l~ unabhtingigen Fariabdn, im ~alle v -~- 0 also olme jede Integration; die aflgemeinste Integral-M~_p~., van J dutch Integration eines Involutianssystems, beste]~nd aus N ~ sn Gleichungan in n ab- hdngigen und m - ~ Jr- s unabhtingigen Veriinderliehen.
11. Fiihr~ man in das Sys~m ( i 9 vermSge der Mayer ' schen Transfomationsformeln:
(9) x~ = ~ + Yl V s . - . x , = ~ + y, y~,
neue Independente Yl �9 �9 �9 Y~ ein, and wird:
gesetzt, so geh~ dos System (h') fiber in dos folgende:
q~+~ + ~ + ~ -~ O, c 1 . . . v;
. . y ~ r ~ = 2 , 3 . . ~ ; b----~ . . n .
~ie n - b v Gleichungen (A") 5//den nun fiir sich ~enommen ein Involutianssystem Jo in de~ unabhS/ngigen Fariabeln y,, Y~A-*, Y~+~,-.Y,,,, and ~war fiir beliebige Werthe der als ~Parameter z~ betracMendan GrSssen y ~ . . . y~. In der Thai: die Relationen (C)(C O d e r Nr. 3 bestehen der Annahme naeh f~r alle Wer~he tier Variabeln x, 'z , p~, also auch, wenn man die x darch ihre iusdriicke (9), die ~ dutch g~ ersetz~. Wit fassen nun nach erfotgCer Substitution eine bestLmm~e der Rela~ionen (C) odex (C') ins Auge~ lassen darin a successive die Wer~he 1, 2 . . . ~ annehmen, mnltipliciren die so erhal~enen, den Indices a - ~ 2, 3 . . . ~ entsprechenden Gleichangen bez. mir y u . . . y~, u~d addiren sic zu der dem Index a ~ 1 entslarcehenden Gleichung; verfahren wir analog mit allen Beziehungen (C)(C'), so erhalten wit gerade die Bedingungen dafiir, dass die Gleichungen (A") ein Involu~ionssys~em dars~elten. Naeh Nr. 3 besi~zen dieselben also ein und nut ein Integral zo ~ (y~.. : y ~ ) . . , zo~ (y~.. . Yl) yon der Be- sehaffenhei~, dass $o, (s~ 1.. .v) ffir y, ~-- 0, y~+, ---- 0 in den arbitr~xen
554 E. v. W ~ .
Ausdruck ~*(x~+s "-~ Y~-s, . . . ~,~ "~ Y~) fibergeht, w~hrend sieh die FuncHonen z~ ( t~ - - v~ t -1 . . . n ) flit y~ ~--0 bezw. auf die willkiirlichen FuneHonen ~(Sg+~ -4- !t~+~... x~ -{- Y~) reduciren. Ersetz~ man in den 2~, welche die Parameter y ~ . . . y~, augenscheinlieh nut in den Ver- bindnngen y~ y~, . . . y~ yg enthalten, die y~ dutch ihre aus (9) folgenden Ausdrficke, so erh~lt man gerade wieder die in Nr. 9 definirten Inte- graffancHonen z l . . . z ~ des gegebenen Systems J.
.Die Integration yon J kann sonach auf diejenige eines Involutions- systems ,To yon n-.}-v Gleiehunge~ i~ n abh~ngigen und m - - g + 1 unabMingigen Variabe~a zu/riickgef~hrt werden.
Capi~el II.
Die charakterist ische Matrix.
1~. Indem wit die Bezeichnungen und Voraussetzungen des vorigen Capi~els beibehalten, schreiben wit
Pi,~l, (vgL Nr. 6), 1
worin ~ . . . ) ~ unbesHmm~ GrSssen bedeuten. Das rechteckige Schema
E l ,
(D) . . . . .
L~, L ~ . . . L~
werde die ,,charakteristische Matrix" des InvoluHonssystems J genannt. Wit wotlen nunmehr folgendes Theorem beweisen:
,,Bedeu&m die Gr'dssen x, a, p~ irgend welche den Belationen (A ) geniigende Constanten, und interpretirt man die Variabe~n X t , ~ . . . 2 , ~ als homogene 2unktcoordinaten eines m - 1-fach ausgedehnten l~aums, so stellen die G~eichungen, die man dutch NuJlsetzen aZler n-reihigen Determinanten der charal~teristischen Matrix (D) erhSlt, eine m ~ 1. fach ausgedehnte ~unI~Cman~igfaltigkeit M der Ordnung n ~ v dar", mi~ andera Worten: , Z u jedem be~iebig gewtihlten System yon Werthen ~+1, ~,+~ . . . ~,~ 9~bt es n ~ v Werthsysteme der Variabd~ ~1. .. ~ , ~vdvhe ~ n~re~Tdgen 1)eterminanten yon (D) annulliren".
13. Ffir die aufgelSste Form (A') yon J hat die charak~eristische Matrix folgende Ges~al~
. . . . . . / t ~ - �9 �9
, . . . " " . . . . . L ~
Sys~eme parbieller Different~atgleiehungen. 555
worin gesetzt ist:
L 2 - - ~ o ~ + ~ 2 ~ , j = 1,~... ~,
L~ = ~ b h - ~ ~ - ~ , , h----- v + l . . . n
( ~ -~ O, ~ . -~ - - 1 ) .
Substi~uirdn wit nun in die Relationen (A) ftir die ~ ihre aus (A') folgenden Werthe und differen~ren die erhaltenen Identit~ten nach pa ~, so kommt:
r b
woraus sofort folgt:
k ~ . b bk L~ --~ P ~ L~ (i -~- 1 . . . N , k = 1 . . . n ) .
,Km,d a~b
Umgekehrt lassen sich die n N GrSssen L~ ~ linear durch die L~ dar- stellen, da die N-reihige De~erminante:
11 �9 - , - U l l ~ s �9 " * .'L I / .~ y JL-I~,u. . - [" I ~ * �9 J L - I ~ # " { - 1
(1) . . . . . . . . . . . . . . . . rtl "D~r I~l p~ DI "n~
der Annahme naeh vermSge (A) nicht Null ist. Die ~-reihigen Deter- minanten der Mah-iees (D)(D') versehwinden also bez. ffir dieselben Werthe der ~ , wenn das Element x, z ,p i ~ innerhalb der dutch (A) definirten Mannigfaltigkeit beliebig gewiihlt ist, und es genfigt somit, das Theorem der vofigen Nr. ffir die Matxix (D') zu erweisen.
14. Wit betrachten die folgenden beiden Matrices, yon denen die erste einen Bestandtheil yon (D') bfldeg:
a , �9 �9 ~ - ~ a ~ a - a / ~ + 1 - �9 �9 - ~ , u - l - I
(~ ) . . . . . . . . . . . It' TI~ F ~ T l n T ~ ~ u a �9 �9 �9 . c # a ~ ~ u . u + l . . �9 - ~ U # + l
(~)
hieria Jst
~+t - �9 �9 ~ + I , - - �9
�9 , o �9 �9 . ~ ~ .
L~,+I �9 �9 �9 L~+I, O~ . . . 0~'
556 R v. W ~ .
gese~zt, die Gr~ssen J~-l.:,~ haben die in Nr. 3 erkl~rte Bedeutung; unter a ist eine beliebige Zahl der Reihe 1 . . . / ~ zu verstehen. Die Relaidonen (C) der Nr. 3 drticken aus, dass ffir beliebige Werthe der t~ und fftr alle Indices h ~ 1, 2 ~ . . . n i l~ - 1~ 2~. . . v die folgende Idenfif~t besteh~:
1 1
d. h. also, dass die beiden Matrices (~) (~) fiir jedes Werthsystem der i einander co~'e~o~dire~*). Eine beliebige ~-reihige Determinante des Schema's (g) ist demnach bis auf das Zeichen identisch gleich dam Product einer Function J~, der Variabeln t in die complement~ire ~-reihige Determinante yon (jS). Abet die ganz-rationalen homogenen Functionen der i , welche dutch die ~-reihigen Determinanten yon (fl) dargestellt werden, besitzen keinen gemeinsamen, yon den 1~ abh~ngigen Factor~ da die beiden Determinanten, we]che aus den ersten, resp. letzten ~ Colonnen yon (~) bestehen, yon t , bezw. t~ . l frei sind, mid resp. die Glieder ( ~ l~+l)' , ( -- t~)" enthal~n. J)er 9e~"b~c]~]~- lithe _Wa~or K~ al~er n-reihige~ Determinante~ yon (a) ist demnach eb~ ganzrati~aa~er homogener Aus~rucl~ ~ - - v . G r a ~ in ~l~, ;~,+l, ~d-~.. .~, der augenscheinlich das Glied (-- I~) ~-~ enthilt~ and dessen Coeffi-
cienten in den GrSssen P~n rational sind. a g
15. Dutch die erbaltenen Resultab ist miser Theorem im Falle ~--- 1 bereib bewiesen. In diesem Falle nimlich is~ das Verschwinden
aUer ~reihigen Determ~nanten yon (a) ~quivalent mit einer einzigen ganzrationalen homogenen Gleichung ~ - ~. Grades in It 1~. . . I~,:
(2) K ( ~ , i ~ . . . ~ ) : 0.
Wit woUen die Form K gelegenflich als die ,,cha~'algeristische ~orm" des ]nvolutionssystems J ( p ~ l ) bezeichnen.
Diese Thatsache l~st sich auch unmitgelbar aus den Bemerkungcn der l~r. 6 erschliessen. Da~nach existiren niimlich N ' ~ v linear un- abhingige Systeme yon je m N Funcfionen a~: (s ~--- 1 . . . v) der GrSssen x, ~ 1 ~ yon der Bescha~enheit~ dass fib beliebige Werfile der zweiten Ableitungen ~ die Iden t i~en statfiinden:
1 1
Bderaus folgen die Beziehungen:
*) Vgl. z. B. Gordan-Ker~chens~ainer, Vorlesungen ~ber Iuvarian~ntheorie I
Sys~eme par~iellex Diffe~ent~lgiei~hungen. 557
N m N N
I 1 1 1
( 1 , j ~ - l . . . m ; k ~ - l . . . n ) .
Se~zt man demnach
= ~ i t ~ J rz ~ ~ - . . . . ~ i t ~: ,
so hat man flir s ~- l . . . ~,, k ~ 1 . . . n die Idenf i~t
~ iL i ~ O,
d. h. die Matrix der Ausdriicke ~ ist zu (D) eorrespondirend~ woraus das Theorem der Nr. 12 fiir den Fall ~ ~--- 1 wie oben gefolgert wird.
16. Wi t wenden uns nun zu dem allgemeinen Fall ~ ~ 1. Da sich unter den DefinitionsgIeichungen der im Theorem genannten Mannig~attigkeit M die ~ Gleichungen
(5) / r , = O, / ~ ~ O . . . X ~ = O
vorfinden, so ist die Dimensionszahl yon M sieher ~( m - - / l - 1; erreieht sie diese Zahl und ist r die Ordnung yon M, so dass bei beliebigen Weffdaen yon i t~+~. . . ~ die ev. theilweise eoineidirenden r Wer~systeme it(~).. , itS)(s ~ 1 . . . ~') alle n-reihigen Determinanten
yon (D'), also auch yon (D) annulliren~ so is~ der in den ~ ~l.~rl..,il~ ganzrationale homogene Ausdruck
h ( - it, + ~(=~))
augenscheinlich als Factor in ~7~ enthalten, also ist r _~ n - v. 17. Um den Beweis fiir ~ ~ 1 zu Ende zu fiihren, versbhen wir
under a" eine yon a verschiedene Zahl der I~eihe 1 . . . / ~ und se~zen:
l~k " ~ ~k bk
dann sagen die Relafionen (B) der Nr, 3 aus, dass fiir beliebige it und alle Indicespaare pj q ~ 1 . . . ~ die Idenfitlit
o _~ ~ ( - r~='~ L~ ' + L7 L~') 1
i
s t a~nde t . Hieraus und aus den En~wicielungen tier Nro 14 erg ieb~ sich~ dass die folgenden beiden Matrices:
558 E.v. W~r~.
L l l r~l -rtz ~,-nl T l I i~z It
(~ ' ) . . . . . . . . . . . . . . . . ii ' L ~ ~ . . . Z ~ ~ , L Y . . . L : " ~, L~,~ .~ . . . L ; ~ - ~ ii
- - L ~ . . . . L ~ " , L ~ z �9 . . . L ~ " , H zz,~=, �9 - �9 Hi,,,.~"
_ Z ~ , z . _ _ L ~ . ~ , L "~ ~ , , ~ . , �9 . ~ . . . L ~ , H ~ . . . H==,
�9 "" L ~ t - z , . ~)~ . ' . 0 ~ L ; + I O, �9 �9 O, . , �9 �9 . * . �9 . * �9 . �9 . * ~ �9
L;$~ . . . L';+~, 0 , . . . O, OV . . o Y
fiir beliebige Z einander correspondiren, und zwar is~ jede n-{-v- reihige Determinante yon (d) bis aufs Zeichen identisch gleich der zu ihr complement~ren n-reihigen Determinante yon (~) mulfiplieirt mis der Determinante
18. Wit machen nun fiir den Augenblick die Annahme~ dass wenigstens e/he dot y Gleichungen
/ lz T?I
(7 ) A~ = . . . . . . 0
i L ~ ' . . L : ~
nich~ fiir b e l l e b i g e Wer~e /11,+1 . . . / t in mehrfach z~ihlende Wurzeln ~, besi~ze; dass diese Voraussetzung ,,ira Allgemeinen" zutriffr folgt schon daraus, class sich aus den Bedingungen (B), (C) der Nr. 3 ftir die Coefiidenten eines einzelnen Schemas A, keine Relationea ablei~en tassen.
Es geniige also die dem Index a en~sprechende Gleichtmg (7) der genannten Bedingung; subsfituiren wir m!n in die Relation
f~r /t~+l . . A~ beliebige Constante /t o o . ~ + 1 . . . ~ and bezeiehnen wir mit /to irgend eine der n m v Wurzeln der so erhaltenen algebraischen Gleiehnng ffir/t=, so dnrfen wir naeh dem eben gesag~en annehmen, class ffir die Werfim /to ~ + 1 . . . ~ nieht alle ersten Hauptunter- de~enninan~en yon ~a versehwinden; es sei etwa der zum Element L ~ gehSrige Minor nieht null. Ist jetzt (a') die Matrix, die aus (a) en~siahL wenn man ihr die n + ! t~ Colonne ,yon (~,) hinzuffigL so verschwinden alle n-reikigen Determinan~en yon (a'), wenn man i~, ~,,+~ . . , )~ resp. dutch /to io§ .../to= und /t~ dutch einen Werth
~, erse~zt, der sieh dtlrch i t~ Z ~ rational darstellen Igsst. Naehdem
Systeme l~ar~eller Differenfialgleiehungen. 559
Ergebniss der vor . Nummer verschwinden nun ffir die genannten Wer~he der ~ auch a l l en + v-reihigen De~rminanten yon (~)~ welehe zu den (auch in (7) enthaltenen) Determinan~n yon (d) bezw. eomple- men~r sind~ d. h. die n --~ 2 t~, ~ -}- 3 t~ . . . 2n te Colonne mi~einander gemein haben, mithin, da unter den ~--1-reihigen aus diesen Colonnen gebilde~en Determinanten aueh der oben genannte nicht versehwindende M.inor yon Aa sich vorfinde~ ~ b e r l ~ t al, le ~ - - { - v - r ~ h i g ~ 1 ) ~ r - m ina~ t~ yon (~). Abet die De~erminan~e (6) is~ ftir das wieder- holt genann~ Werthsystem der ~ yon Null verschieden~ da sonst wegen:
A. [e'21 die Gleiehung (7) fiir ~+1 ~ it~ - -- 2~ ~--- it ~ entgegen unserer Voraus- s&zung die mehrfach ziiJalende Wurzel ff besiisse; es giebt also nach
.57r. 17 zu jedem beliebigen System yon Constanten o o
versehied~e Werth~aare ~o ~ yon d~ B~ehaffenl~t, ~ss d~e Werthe der 2 alle n.reihigen Determinanten yon (7) annultiren. I ~ s ~ man nua den Index a' alle Zahlen 1 . . . t~ mi~ Ausnahme vo~ a dareh- laufen, so folg~ die Riehtigkeit unseres Theorems unter den zu Anfang dieser Nr. gemaehten Vorausse~zungen.
18. Besitzen alle ~ Gleiehungen (7) fiir beliebige Wert&e yon 2~+~.. . it~ mehffach z~hlende Wurzeln, so denken wir uns die Con- s~an~en/~ unendlich wenig derart variir~, dass diese Besonderhei~ nicht mehr statifindet, die Bedingungen (B)~ (C) der Nr. 3 aber nach wie vor efftill~ sind. Ffir die charakteris~isehe Matrix, die mit Hiilfe tier variirten GrSssen / ~ gebildei wird, gilt nun alas Theorem der Nr. 12; dureh Rfickfibergang ergieb~ sieh sofor~, dass die Dimensions- und Ordnungszahl der zur ursprtingliehen Matrix gehSrigen PunkC- mannigfal~igkei~ M nich~ kleiner sind als bezw. m - - t ~ - - 1 und n- -v~ also nach Nr. 16 mi~ diesen Zahlen iibereinstimmen, vorausgesetzt~ class eventuelt irreducible m - - ~ - - 1- fach ausgedehnte Bestandthefle yon M mi~ geeign&er Vielfaehheit in Reehnung gezogen werden.
19. Wir sehreiben
und bi|den die m ~ ~ Matrices:
. . . . . . ,
deren n-reihige Determinaa~en nach dean Theorem der Nr. 12 resp. Ffir - - v ira allgemeinen verschiedene Wer~hsys~eme
560 E.v. W~r~.
(6) , w , d e r V e r h ~ l ~ n / s s e :
--2~ : i ~ , - - .Z.:,. : . Z s , . �9 �9 - - Z+, : ,,',,+ simmtlich verschwindon. Es sei nun (E) die aus iV Zeilen und ( m - - g ) ~ Oolonnen bestehende Matrix, die duroh NebeneinandersteUung tier m - - g Schemata ( /~g+l ) . . . ( /~ ) erhal~en wird. Wir nehmen f i r den Augenblick an, dass a ~ ~ r d h i g ~ i } e ~ r m i ~ a n ~ yon ( E ) verschwinde~, wenn in jedem der Theilschemata (JE~.) die Verhtiltnisse
re~2. dutch die Gr6ssen (6) ersetzt werden, vorausgeset~t, dass der Index (~t) i~ allen Theilsc~maten gleich gewiihlt wird und der Beihe nach die W e r t ~ 1~ 2 , . . . n -- ~ annimmt. Dutch diese Voraussetzung legen wir den GrSssen F~ natfirlich eine Serie neuer algebraischer Be- dingungen auf. Sind diese effiill~, so zerfa7~t die 2unktmannigfaltig- keit M der 2gr. 2"2 in n - - v lineare m - - ~ - - 1-fach ausgedehnte s mannigfaltigkeite~, die bez. dutch die Gleichtmgen:
m
p + l ~tJri
definirt werden; in der Tha~ folgt aus unseren Voraussetzungen sofort, dass alle n-reihigen Determinanten yon (D) ffir beliebiffe Werthe der Variabeln t~+~, l~+~ . . , i s verschwinden, wenn man fiir i t , . . . ~ ihre aus (7) hervorgehenden Werthe sabstituirt.*)
Im FaUe g-~-1 zerf'El~l~ also unter den gemachten Annahmen die charakteristische Form K in s - v lineare Factoren, d. h. man ha~ identisdl:
X_____-- • h~ h ~ . . . ~ _ , ,
hierin bedeuten A~ ~) . . . A~ ~-*) die Werthe des Verhi~ltnisses ~ it~ : ~t+, welche die Form X" annulliren~ nachdem man darin alle l~ mit Aus- nahme yon l~ und i , dutch Null ersetzt h a t .
Capitel m .
D i e Charakter is t iken.
20. Dutch ein System yon GIeichungen zwischen den Gr~ssen ~, z, ~ , welches ~ , ~ t . . . ~ , ~o~ . . . I ~ als Functionen der Variabeln
x 1, x~ . . . x~-i auszudrficken gestattet, sei eine beliebige Integral~ mannigfaltigkeit M~-I des gegebenen Involutionssystems J deiinirt
*) Da~ Theorem l~st eich nicht umkehrem
Systeme pa~tieller DifferentiMgteiehunge~. 561
(vgl. Nr. 10). Die genannten Functionen yon x t . . . ~ - I geniigen d~-: den aus den Rela~ionen (1) a~ ~ .=~dx, + . . . + p~d~, hervorgehenden Differentialgleichungen -
Da naeh Nr. 10 durch eine beliebigo In~egrM-M~_l yon J i m Allge- meinen eiae und nur eine Integral-~/~ hindurehgeh~*)~ so ist dutch jedes Element x, ~, p~ unserer ~/~-1 ein einziges System yon Werthen ~ deiinirt, we]che den Gleichungen
(3) i',, = o (,gl. ~ . 6) sowie den aus den Beziehungen (4) a ~ ~ ~.ax~ + . . . + ~ ax~
folgenden Relafionen:
(5) ~ ~j
j ~ l . . . m - - 1 ; Z ~ l . . . m ; k - - - - - l . . . ~ Genfige leistgn. Durch Elimination der ~ folgen hierau% beil~ufig bemerkt, die ffir jede Element-Mm_l giil~igen Beziehungen:
( ~ , j - - - - - 1 , 2 , . . . m - - 1 ; k - - - ~ l . . . n ) ,
die sieh fibnge~s aueh leich~ aus (2) ableiten lassen. 21. Aus den Combfiaa~ionen
~xm h,+-Fdf , , ,=O q = l . . . m - - 1 , i = I . . . n )
fallen die GrSssen ~ vermSge (5) heraas, and es folgen die Beziehungea
(7) M,, + ~ M,~, + P,~ -~ , ~ - O, 1 1
die natiirlieh ffir jede Integr~l-M~_t yon J idenfiseh erffillt sind. Um die ~ aus (3) und (5) zu bereehnen, genfigr es sonaeh, die Relationen
f~,, ~ O, 5~ = 0 . . . f ~ = 0 zu betraehten, aus denen vermSge (5) ffir die Ablei~ngen ~ das folgende Gleiehungssystem hervorgeht:
*) Wobel allerdingu voransgesetzt wirfl, fla~ die Relafioa, die ~ al~ Func- tion voa x~... x~_~ dar~tel!t, mmh x~ aafl~bar ~eL
562 E.v. W~ne~.
1 1 1
HieHn is~
-
i
geset~. Nach dem oben gesag~en lassen sieh die Unbek~n~en ~ hieraus-eindeu~g bes~imme,, worauf die iibrigen Ableitungen r~.. mit ttfilfe yon (5) ermit~el~ werden.
l~ennen wir ein Wer~hsys~em x, ~ ~/,~, r. ~. ein ,~-'lement 2. Ord- t j
hung", welches das Element 1. Ordnung x, r ~ ,,enth~lt", so kSnnen wir sagen: zu jedem ~-Tement 1. O. der betrachteten Integral-M~_l ge~ h6rt d~ u~d nut ein Element 2. 0., das jenes ~lement 1. O. und aUe ~ - ~ dazu benachbarte~ Elemente yon M~_~ enthiitt, und de~ l~ela- tionen (3) Geniige leistet.
Es ex/s~iren im Allgemeinen zu jedem Werthsystem x, z~ p~ unserer In~egrat-M~_x N ~ n linear unabh~ngige LSsungssysteme
der tinearen Gteichungen in den Unbekannten 1r
(9) ,~,1"1"~ = 0 (k = I . . . n) ,
und es ergiebt sieh somiL dass jede beliebige Integral-M~_~ der be- trachteten Ar~ auch die aus (8) folgenden N - - n Reta~ionen
erf~llen muss. 22. Anders verh~ilt sich die Sache ~ wenn ffir alle Elemente x~ z, p~
der he~rachteten Integral-M~_~ die s~mmtliehen n-reihigen Determinan~en der aus den GrSssen YI~ gebilde~en Matrix verschwinden, was wir dutch die symbolische Gleiehung:
audeu~en wollen. Die Relationen ( 3 ) u n d (5) reichen jetz~ zur Be- s~immung tier Unbekannten ~ nicht mehr bin. Sollen die Gleichungen (8) fiberhaupt yon endtichen Wer~hsys~emen der ~ befriedig~ werden, so m/issen auch alle Rela~ionen (10), deren Anzahl nunmehr > N - n /st, ffir die Etemen~ unserer M,~-~ effiillt sein. Eine derartige M,,~._x heisse eine m-- l - fach ausgedehnte chara~te~is t ische M a n n @ - falt~g~eir odor Chara~ te r i s t i k des Iuvolutions~ystems J und werde genereU mit C~-x bezeielmet,
Sys~eme partieller Different~ialgleichungen. 5 ~
.Eine C~-1 ist demnach dadurch get~e~nzeichnet, dass es unbegrenzt vide ~lemente 2. Ordnung giebt, welche ein beliebiges ~lement 1. O. yon C,~_~, sowie a ~ dazu benachbarte~ enthalten und den Beziehungen (3)
.geniigen. 23. Es erhebt sieh vor aUem die Frage, ob Chaxakieristiken C~_:
fiir ein beliebig gegebenes Involutionssystem J tiberhaupt existiren. Wir machen zun~chs~ die Annahme ~ ~-1. Naeh den Ergebnissen der Nr. 15 sind dann die Bedingungen (11) ii~luivalent mi~ der e/hen Gleichung:
(12) xl ) \~x ,~ -~-~ ' " " " ~x,,_ I ' - - 1 ~ O.
Driicken wit hierin mit ttiilfe der Defini~ionsgleiehungen einer beliebigen In~egral-M~ yon J die GrSssen z, p~ als Functionen yon x l . . . x~ aus, so er~eb~ sich eine partielle Differentialgleichung I. O. mit der unbekannien Function x,~ und der Independenten x l . . . x~-1. ~ind die x~ cartesische Punktcoordinaten e i n e s / ~ so sind dem Grade n - - v der Gleiehung (12) entsprechend nach bekannten S~fzen dutch eine im /t~ beliebig gew~hlte Punk~mannigfaltigkeit ~ yon m - - 2 Dimensionen n - v sie enChalt~ende Zweige
(13) x ~ p i ( x 1 . . . x ~ _ l ) i ~ l . . . n - - v
einer m - - 1-dimensionalen Infegralraannigfaltfigkeit von (12) festgelegt; dieselbe projicir~ sich auf die oben betrachtete Integral-M,~ yon J offenbar ats eine Charakteristik~ d. h. jede der Relationen (13) stellt zusammen mit den Definitionsgleichungen yon Mm~ die z~ ~ als Func- tionen der x bestimmen, eine C~-~ yon J dar. Da sich ebenso die Mannigfaliigkeit ~ als beliebige m - 2-dimensionale Mannigfaltigkeii auf M~ projicir~, so haben wir das Theorem:
,,Ira ~alle ~ ~ 1 gehen dutch eine beliebige m ~ 2-fach ausgedehnte ~mentenmannigfaltiglxit , die au f einer Integral-M~ des Involutions- systems J verYiuft, im allgemeine~ n - v vollst~ndig bestiramte Zweige einer ganz auf M~ enthaltenen Charal~teristik C~_~ hindurchJ'
24. Is~ $t :> 1, so sind die Relationen (11) mi~ tt versehiedenen part~iellen Differentialgleichungen ~ x~ ~quivalen~. h a l die ]~rage~ ob diese Gleichungen gemeinsame In~egrale besi~zea~ gehen wir an dieser Stelle nich~ n~her ein.
25. Es is~ leich~, die Entwickelungen der Nrn. 22 and 23 zu verallgemeinern. Betrachr wit zun~chst, falls m ~ 2, eine ]nC~ral- M~.~ yon d~ die auf irgend einer In~egral-M~ verlaufen mSge, und dureh deren Definii~onsgleichungen die GrSssen x~_~, ~ , ~, p a t s Func~ionen der Variabeln x~, x~, . . . x~_~ dargest~lI~ seie~. Aus dea Relationen (3) und
-
ergeben sich sofor~ die fotgenden:
(14) M,, + atom--' Mi, m-~ + i~m + r , , ~ f f i v 1 1
(1 = l, 2 . . . ra - - 2),
welche ffir ein Integral-~.~_~ eo ipso efffillt sind, ferner noch die Beziehungen :
m--2
1 1 ~ m- -2
(io) N 1 1 worin
gesetzt wird.
2r 1 1
~ ~ ~ 2 -~ ~t~ /*
1 1
m ~ 2
1
1
Wit wollen die betrachtete Integral-M~_s eine C~_~, d. h. eine ,,m--2-fach ausgedehnte CharaMerish~k '' nennen, wenn alle n-reihigen Determinanten der Matrix
, i . . . r v ~, . . - ~ (t7) . . . . . . . . .
r r v ~ . . .
identisch Null sin& Diese Annahme liefer~ ein System partieller Dif- feren~dalgleichungen I. O. mit den abh~ngigen Variabeln x~-_,, x~ und den unabh~gigen Variabeln xi " ' . x~_~, wenn man die in den Coefo ficienten ~ , auft~re~enden GrSssen ~, p durch die Ausdr~icke in xi...xm ersetz~, welche der oben erw~hn~en IntegraI-Mm zukommen. Die er- haltenen par~iellen D~fferentialgleichungen stud aber selbst im Falie /~ --* 1 (and a f or~ori fiir ~ > 1) im Al lgee~en nicht miteinander verf~glich. Dies lehr~ schon der einfacho Fall ~ ~ 1, v--~ O, m-~-3; die charakf~stische Form J~ ist hier iden~isch mit der n-reilligen Deberminaute, die aus dem (nn~mehr quadratischen) Schema (D) p, 554 gebilde~ wird; d. h. mit einer votlsf~ndig allgemeinen Form ~. Grades in ~i,~23, w~hrend das Yerschwinden aller ~reihigen De~erminan~en &it zngehBJ~en Matrix (17) nach Nr. t9 die Zerlegbarkeit tier Form E im Gefo]ge l ~ e .
Systeme par~ieller Differentialgleichungen. 565
Auch fiir Involutionssysteme # = 1 entMilt somit eine beliebige Integral-M~ im allgemeinen keine Charakteristi'lxn C~-~.
26. In der vorliegenden ersten Abhandlung werden fortan nur solche Involutionssysteme J betrachtet~ fiir welche die Zahl ~ den Werth e ins besitzt. Nach Nr. 11 kann jedes beliebige Involutions- system mi~ tliilfe tier Mayer'schen Transformation auf diesen Fall znriickgefithrt werden.
27. Dutch leichte Verallgemeinerung der in den vor. Nummern durchgefiihrten l~eehnungen gelangt man zu ether ganz analogen Definition der Charakteristiken C~_s~ C~-a etc.; wit betraehten aus- fiihrlieh den Fall der Charakteristiken C 1 .
Es seien die GrSssen x 2, x a . . . x ~ z~ 1o als Funetionen der un- abhgmgigen Variabeln x I so bestimmt, dass die Relafionen
(18) d z ~ = l ~ d x l + . . . - { - p ~ d x ( k = 1 . . . n)
identisch bestehen. Die so definirte Element-M1, die wir gelegenilich aneh als ,,Streifen" bezeichnen wollen~ ist eine Integralmannigfalfig- keit yon J~ wenn die Bedingungen
( 1 9 ) df, .-~ O, df~ ------ 0 . . . df.~ = 0
erffillt sind, and ausserdem ein Element des S~reffens die'Relationen (A) erfiillk Ist ~ eine m-fach ausgedehnte Integralmannigfalfigkeit, welche unsere M 1 en~iilt~ so ist jedem Element yon M, durch die M,, ein bestimmtes System yon Wer~hen r~j zugeordne~, welche den Relationen (3) some den folgenden:
(20) d p ~ - r ~ d x t + . . . + r ~ d x ~ ( k = l . . . n , i = l . . . m )
Geniige leisten. Die Elimination tier GrSssen ~'~1 ans (3) und (20) fiihrt auf die schon be~raehteten Beziehungen (19), some auf die nach- folgenden m -- 1 Sys~eme yon je N ----- n -{- v Gleiehungen:
1 ,z.
.~e,a.... (i --~ 1, 2 . . . N).
W i r nezmen dan Streffen ~ i einen ~charalcteristisc1~ Streifem u oder eine G i yon ~T~ wenn sieh die N Gleichungen eines jeden der Systeme ( /~u) . . . (Fro) auf nur n - - 1 in Bezug auf die Unbekannten ~ linear unabh~mgige Relationen reduciren.
28. Nach Nr. 19 hat man ftir eine O1 die Beziehungen
unter ~ einen der Indices 1~ 2~ . . . n - - v vers~nden, und es m f i s s e n
d i e in jeaer Nr. angegebenea algebraisehen Bedingungsgteiehuagea M a t h e m a ~ a h e i ~ a a l e a . I13 ~7
566 E.v. Ws~zR.
erfiillt sein, d. h. es miissen alle n-reihigen Determinanten der aus n + v Zeilen und n ( m - - 1 ) Colonnen bestehenden Matrix
- - 112 V l l ~ �9 �9 �9 - - i ' t $ ~ 1 1 �9 �9 - l m - - I " m / 1 1
( ( ~ ) . . . . . . . . . . . . . . . . .
~ 2 V N I ~ - . - v 2 J 2 - - t x 2 r ~ / 1 . �9 �9 r ~ m - - t ~ m r ~ / l
ftir alle Indices x ~- 1, 2 . . . n - v verm~ge C A) Null sein. Die charakteristische Form K zerf~llt dann in ~ - - 1 Linearfactoren
h i . . . A~_~, die w i t for tab ausdri~cklich als yon e i~ander verschieden
voraussetcen wotlen. Dann ist Mar, dass in keinem der n - - v Schemata (Gx) alle ~ r 1-reihigen Determinanten verschwinden kSnnen, da andernfalls der Factor Ax in ~3 mehrfach auftreimn wiirde.
29. Unter den soeben gemachten Annahmen besitzen die n(~n-- 1)
Gleichungen in den Unbekannten ~ ) . . . l~ ) N
(22) ,~..~ (P,j--A) P,,)~-O, j.~-2...m, k = l . . . n
ffir jeden der Indices ~ ~-- 1, 2 , . . , n -- v genau v + 1 linear unab- h~ngige IASsungssysteme
~',~ '~"~o~, . . . g'~ ( s = L ~ , . . . , , + 1).
Die Elimination der Unbekannten ~.. aus den Relationen (~'~) ffihrt ~a
sonach auf die folgeuden totalen Differentialgleichungen, denen jeder Streifen C 1 ebenfalls gentigen muss:
N N ~ d ~ (23) ,~ l ~ ~ ~ 1 (:) e;~ = O,
1 1 1
(h = 2 , . . . m ; s = l , 2 , . . ., v + l ) .
Abet diese (v-+-1) ( m - I) Relationen sind nich~ alle unabhRngig
yon den Gleichungen (19); denn unter den Lgsungen ~"1 tier Glei- chungen (22) befinden sich, wie aus den Bemerkungen der Nr. 15 sofor~ fotgt, u. a. die s~mmtlichen (m - - 1)v Grgssensysteme:
(~= 1 . . .~ ; j = ~ . . . m ) ; mithin sLad die v Ausdracke
N (-:,-^;" ~ M,, + (.,;_,,,.,~ / ix/ d:h f~ 1 2 1 ]
lineare Combinationen der linken Seiten yon (23). Abet diese Aus-
Sys~eme par~ieller Differentialglelchungen. 567
d~ticke sind andererseits zufolge der Relationen (4) der Nr. 15 mit den folg~nden identiseh:
hr
-- ~ ~ ;
dabei ist in d/~ fiir dz ~ sein aus (18), (21) folgender Worth
4-~,,2 +" "H-
einzusetzen. Demnach sind v anabhl4ngigo Lineareombina~ionen der Gleiehangen (23), -- uncl wie teieht ersichflich at~eh nieh~ mehr eine Folge yon (19). Also sind die Gleichungen (19), (23) flit jedea Index x zusammen nut mi~ (~ ~ 1) (v 4- 1) 4- n unabh~ngigen Rela-
tionen fiir die Ablei~ungen d~o~ ~quivaleat.
W i t bezeichnen ein Involutionssystem der Form (A) als ein 1V o r m a l- s y s t e m , we~m die Zahl ~ ~ 1 ist und die algebraische~z ~edingungs- gleiehungen der 2~r. 19 erfiillt sind. Dana kSnnen wit folgendea Satz ausspreehen:
,Jedes ~ormalsystem besitzt n ~ v im allgeme~nen versehledene 3ysleme chara~teristischer Streife~ Gt".
30. Wit wollen die n - v Systeme yon Definifionsgleichungen der C t der Uebersich~ halber noch einmal znsammenstellen:
�9 ~ 7 . , "
I.~ dx~ ~ ^(x) dxm __ ^(x) 'v ~ - - , , ~ , " ' , ~ - - , , . ,
.e) d f t = O , elf 2 = 0 , . . . , d f ~ + , = O ,
t ( h - - = - - 2 , 3 , . . . , m ; s ~ t , 2 , . . . , v 4 - 1 ) .
Man kama die Gleichtmgen c) aus diesem System weglasson and die GrSssen pli . . . pl ~, p t . p r nebst ihrea Differentialea vermSge des anfgelSsten Systems (A')aus (H~) en~fernen. Das so modificirt~ Gleichungssys~em (H~) werden wir sparer mii (H~) bezeichnen. Es besteht aus (m - - I) (v -{- 1) - - ~ 4- n 4- m -- 1 unabh~ugigen Glei- chungen zwischen den (m - - 1) 4- n 4- (ran -- n - - ~) Abteitungen dxj dP a~ dxt ' d ~ ' 4-~t'; die Zahl der letzteren ist somi~ um (m --1) (n-- v --1) grSsser als die tier ersteren, also gleith derselben nut im Falle y=,=~ - - 1 .
568 E.v. W~a~a.
, ,Ein igormalsystem v ~- n - 1 besitzt demnaeh eine Schaar yon eindimensionalen Chara~eriet~ke% die nur yon einer endlichen l~ara~heter - zahl abhS/agt."
31. Ihrer Entstehungsweise naeh sind die Defmitionsgleiehungen (H~) der C 1 v511ig Kquivalent mit den foIgenden:
(24) dx~ = ^~)dx~, j = 2 . . . m;
~A {~ k ~ - i . n ; (25) a,+ = ~ + ~, . . , , . .
2
(26) d/~ = r~ -I- r,,t~, , k = 1 . . . n, i ~ - - . 1 . . . m ;
wenn unter den r~ beliebige GrSssen verst.anden werden, die den Be- ziehungen (3) geniigen. Jede eindimensionale Mannigfaltigkei~ yon ~,Punkten" x l . . . xm, ~ 1 . . . z~, welche den DifferentialgIeiehungen (24) geniig~ und einer Integral-M~ yon J angeh5r~ bestimmt also mit den ihr zugehSrigen Elementen 1. O. yon ~r~ eine Charakteristik Ct; wir schliessen daraus sofor~:
, Jede Integral-M,~, des .~rormalsystems J ist erzeugt yon je oo "~l l~treifen C l eines jeden der n ~ v Charakteristikensystmne, in dem Sinne, dass f i r ~ ~ I , 2 . . . , n -- v dutch tides Element x , z , p yon M~ ein und nu t ein S~eifen hindurchgehL welcIwr dem ~t~ Charakteristiken- system angeh&tt und ganz auf M,~ enthalten ist."
32. Die partielle DifferentialgIeiehung (12) der Charakteristiken C~-i unseres NormMsystems J zerfiillt in die n - - v linearen Gleichungen:
(27) ~x, "{- ~ -~-" " " -{- ,,,~-z ~x~_~ '
( ~ = 1 , 2 . . . n - - v).
Erse~z~ man in den Functionen ^~) die Gr'6ssen z, ~o vermSge tier Definiiionsgleichungen irgend einer Integral-M~ yon J durch Func- fionen der x , so enk~tehen lineare partielle Differentialgleiehungen ffir x~, deren ,,Charakteris~ken" im gewStmliehen Sinn dutch (24) definir~ werden. Man schliesst daraus unmi~lbar :
,,a~?.in l~rormalsystem besitzt n - v verschiedene C,~_l.Systeme; die allgemeinste C,~-l, die auf einer bdiebigo, Integral-M~ yon J enthalten ist, wird yon oo "~--~ Charakteristi~en C~(~) erzeugt, die ganz auf .~I~ verlaufen und bezw. yon den ~ o n t e n einer bdiebigen, au f 2I,~ ge- legenen M~_~ avw, gehe/nd'
Ffir die m~s-dimensionalen Chara~ris~iken C~_, hat man ebenso die n - - v Systeme yon je s Gleichungen;
Sysfeme t)arfieller Differentialgleichungem 569
~,~, + - 7 g - + ' " J r ,,,-., -ag.,,,Z-7 - - "~ - "+ . "
( j ~---1, 2 . s), woraus wie oben fol~:
, ,~s g~bt f'~r ein ~orma~system n ~ ~ verschiedenv Systeme van Chara~'teristiken C,~_~; die allgemei~ste, auf einer bdiebigen Integral- ~I~ yon J ver~aufende C=_, wird yon ~ - . - * Charakteristiken CI(~) er- zeugt, die bezw. yon den ~Elementen einer wi~ki~rlichen, auf M,~ ge- legenen .M,~_~_~ aus~aufen."
CapiLel IV.
Reduct ion der Anzahl der Independenten.
33. ),us den Entwickelungen tier Iqr. 30 and 31 ergib~ sich f~r Normalsysteme, deren Zahl v den Werth n - - 1 hat, eine Theorie, die derjenigen eSner partiellen Differen~ialgleichung 1. O. mit e/net nn- bekann~en Function vollkommen analog is~, and auch thats~chlich in dieselbe iibergeh~, wenn wir im vorigen Capi~el die Annahme n ~--1,
~- 1, v ~ 0 machen. Ftir ~ ~-- n - - 1 gib~ es n~mlich einerseits nach Nr. 30 nut ein einziges Sysfem yon eindimensionalen Charakte- ristiken~ die dnrch gew~hn~iche Differentialgleichungen definirt werden, and zwar is~ jedes Fl~chenelemen~ der dutch (A) definirten Sehaar auf einer und nut einer C 1 enthalten; andererseits sind nach Nr. 31 auf jeder Jntegral-M~ je ~ - 1 Cl gelegen, und es folg~:
~ie allgemeinste Integral-M~ eines _~ormalsystems ~, ~ n ~ I wird er~eugt yon ~ - 1 Charakteri~tiken Ct, die bezw. dutch die ~ , , - I .Elemente einer beliebigen Integral-lIl~_~ bestimmt wer&n. 1)ie Inte- gration des Systems (A) ist so zurii&gefiihrt auf diejenige eines gewShn. lichen Differentialgleichungssy~ems, auf ausfi&rbare O~erationen und auf d~e Herste~ung der alZgemeinsten Integral-M,~_l yon J~ die nach 2gr. 10 die Integration eines Hiilfssystems yon n ~ 1 Gleichungen I. O. in m ~ 1 In&Tendente~ und n ~ 1 unbekannten Functionen erfordert.
34. Betrachten wit nunmehr den Fall v <~ n - 1. Die nm eins verminderte Zahl der Differentiale d x I . dxm, dz 1 . dz ~, d$~'~rt.., ds d / ~ . . , d:p~ iibertriff~ nunmehr nach Nr. 30 diejenige der unabh~n~gea Gleichungen in dem System (H;), undes sind gewisse Integrabilif~ts- bedingungen efforderlich~ wenn sich aus den linken Seiten der (in den Differentialen homogen geschriebenen) Gleichungen (H~) lineare Com- binationen der Form de(~) sollen bilden lassen, unter u irgend eine tier Zahlen 1. n - ~, mater ~(~) eine Function der GrSssen x, z, ~ verstande~a. Nehmcn wit nun an, es sei eine solche Combination vor- handen, yon der Beschaffenheit, dass sich die Gldchung
570 E.v. W~a~a.
in der Form _ ~+I + ~W (x, ~, ~ W . - . p~, v~- v~) = o
aufiSsen l~sst. ])ann bilden die n -}- v n u 1 l~elationen:
(2) - p ~ , + ~, = o , - ~ i + ~ i = o (b = 1 . . . ~; e = 1 . . . ~ + 1)
wieder ein Involutionssystem~ wean man sich die Grbsse ion+ 1 aus den ersten N Gleichtmgen vermSge der letzten etiminirt denkt. Denn der Umstand, dass de(*) eine integrable Combination der linken Seiten des Systems (H~) ist, l~sst sich nach Nr. 31 so ausdrficken: Der ~o~ale Differentialausdruck dr ~) verschwindet vermSge der Relationen (3), Fag. 6, wenn man dx o dz ~, d2o~a durch ihre Ausdriicke (24), (25), (26) des vor. Cap. erse~zf, Schreiben wir demnach:
I g,h
so bes~eht vermSge (A) eine Idenfii~t der Form m N
1 1
fiir alle Werthe der ~ ; also gibt es nach Nr. 6 zwischen den linken Seiten der m(N-}-1) Relationen, die duroh parfielle Ableitung aus:
(4) f~ ---- 0 . . . f N = 0 , V(-) = o
erhalten werden, v + 1 unabhiingige lineare Identitliten, woraus die Involufionseigenschaf~ des Systems (4) oder (2) sofort folgt.
35. Die charakteristische Matrix des Involutionssystems (4) hat folgendo Gestalt:
(5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . , ~(~) ~ V(x___~) 3v; (~) L?.. . 5~, Z, ~ ' + z: ~ + . . . + ~
wobei in den Elemen~en der letzten Colonne die verschwindenden Ab- 0~(~)
leitungen - -~a a nur der Symmetrie hatber eingeffihrL wurden.
hus (3) folgert man mm die ffir beliebige A bestehenden Iden- t i~ ten:
N
am~tm) L~ 1
- (~, + At ~ + - - . + A(: )~) Z, ~ + . . . + z~ ~ - ) = 0,
( k ~ l , 2 . . . n).
Systeme partieller Differe~tialgleichnngem 571
In der Bezelehnungsweise der Nr. !5 schreibt sieh demnach die zu (5) correspondirende Matrix so:
~i, ~ , 0 ~2 2 0
~ , ~ , 0 woraus sieh ergib~ dass die charakteristisehe Form des Involutions- systems (4) erhalten wird, indem man aus K den Factor A~ wegl~sst.
36. Die Rasultate der vor. Nr. lassen sich leieht verallgemeinern. ~ s sei s < n - v und x l x ~ . . . ~ verschiedene Zahlen der l~eihe 1, 2 . . . n - v. Gestatten dann die Systeme
(6) (H~,), (,~) (H;~)
je eine integrable Combination d~p ('~) yon der Beschaffenheit, dass die Gleichungen
~p(r ~ O, ~p(r = 0 . . . O("~) = O,
in deren lin~e Seiten die Variabdn x, ~, T~ +~ . p~, 2)~ . . . t,~ dngehen, sich in der 2'orm: (7) - - p ~ + ~+~ = o . . . - ~ W + ' p ~ =-- o
au/~sen lassen, so stelten die Gleichungen:
(s) h = 0 , . . . , f~ = 0, 0(~) = o , . . . , V(~) = 0 oder die damit ~iquivalenten lCdationen (A ' )und (7) d n Involutions- system dar~ ~sse~ charakteristisc~ _Form mit dem Ausdruck
K --~ hz~ hx~ . . . Ar,
identisch ist. 37. Sind u(~), v (~) Integrale des Systems (H~)~ so gil~ dasselbe yon
jeder arbitr~ren Function ~ (u(~), v(~)). Nehmen wir ~un an, dass jedes
der s Gleichungssysteme (6)je m unabh~ngige Integrale ~'a) ~"~)...u!: ~) besitze, und verstehen wir unter ~(~a) eine arbitrRre Function dieser Ausdriicke, so bilden die Gleichungen (8) natfirlich wieder ein In- volutionssystem, und as ist klar~ dass jede Integral-M~ desselben auch das UrSlar~ngliehe System J effiill~. Aber man kann aueh um- gekehrt die willk~rlichen Functionen ~p(~) so bestimmen~ dass eine beliebige Integral-M~,~ yon J auch das System (8) befriedig~. Nach Nr. I0 ist niimlich ftir jedes Involutionssystem eine Integral-M~ dutch Angabe einer sie en~haltenden I n t e g r a l - ~ _ z vollst~ndig bestimmt. Wit denken uns nun eine beliebige Integral-Jll~_~ yon dr ermit~velt, was im Falle v ~--0 dutch ausfiihrbare Operationen, im Falle v > 0
572 E. Vo W~ER. Systeme paxtieller Differea~ialgleichungen.
durch Integration eines Hfilfssystems in m - 1 Independenten ge- schieht. Die Ausdrficke~ die sich so fiir die GrSssen x , z l . . . z ~, P~i als
l~kmetionen der Variabeln x 2 . . . x~ ergeben, denken wir uns in die
Relationea ~p('~) -~- 0 substituir~. Man kann dann die arbitrgren Func- tionen auf eine und wesenflich nur eine Art so w~hlen, dass diese Relationen identisch, d. h. ffir beliebige Werthe der Variabeln xe, . . , x~ erffillt sind, mit andern Worten: dass die erwghnte Integral-M~_~ auch dem Involu~ionssystem (8) genii~o~. 1)ie Hersteltung der all. gemeinsten Integral-M~ vo~ J ist somit au f die Integrathm des In- volutionssystems (8) zuri~ckgefi~hrt. ]st die Zahl s insbesondere gleich n - v, so besteht das letztere System aus 2 n par~iellen Differential- gleiehtmgen in n unbekannten Functionen~ indem man wie in Nr. 11 in die aufgelSste Form
- - / a ~ - { - ~ = 0 ( a = l , 2 ; b ~ - . 1 , 2 , . . ., n)
desselben vermSge der May e r ' sehen Transformationsformeln
xi ~ xl ~ ~ Yt, x2 ~ x~ ~ ~ yl Y:, x3 ~- x3~ -{- Y3 . . . x,~ ~ x~ ~ ~ y~ neue unabh~ngige Ve~nderliche Y l Y ~ . . " Ym einf(ihrt~ gelingr es, die Integration dieses Systems auf diejenige eines Systems (A") yon n Gleiehungen in n abh~ngigen Ve~nderlichen z ~ . . . ~ and m - 1 Independenten Yl, Ya . . " Y~ zuriiel~zuffihren.
Da man die Existenz etwaiger Integrale yon (H~) s~ets mit Htilfe yon Differentiationen und Eliminationen fests~ellen, die~Integrale selbs~ durch Integration gew5hnlicher Differentialgleichungen ermitteln kann~ so ergibt sich folgendes Theorem:
,Besitzt jedes der n - v Systeme totaler Differentialgleichungen, d~rch wdche bezw. die n - ~, Systeme charakteristischer Streifen unseres ~ormalsystems definirt werden~ m unabhtingige Integrale, so kann die Integration des IYormalsystems dutch ausfiihrbare Qverationen und Integration gewShnlicher 1)ifferentialg~iehungssys~eme au f 1)ifferential- larobleme in m - 1 Independenten zuriickgefiihrt werden, und es lgsst sich stets d~rch 1)ifferentiationen und .Eliminationen entscheiden~ ob bei einem gegebenen ~ormalsystem dieser Ansatz zum Ziele fiihrt oder nicht.*) "
Miinehen , im Januar t897.
*) Wei~ere Resul~ate dieser Theorie habe ich in einer Note: ,,I~dsum6 einer Integrar hSherer par~ieller Differen~ialprobleme" Leipz. Ber. 1897 skizzirt~
