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Universitat Konstanz
Theorie des Sternaufbaus
Vorlesung Astrophysik
(WS 2009/2010)
Achim WeißMax-Planck-Institut fur Astrophysik, Garching
Plan:
1. Physik und Modelle
• Grundgleichungen
• Mikrophysik
• einfache und numerische Modelle
2. Sternentwicklung und Anwendung
• Entwicklung massearmer Sterne und der Sonne
• Entwicklung Sterne mittlerer Masse
• Anwendungsbeispiele
Teil 1:
Physik und Modelle
Literatur:
Kippenhahn & Weigert: Stellar Structure and Evolu-tion, Springer (1990)
Salaris & Cassisi: Evolution of Stars and Stellar Sys-tems, Wiley (2005)
Weiss, Hillebrandt, Thomas, Ritter: Cox and Giuili’sprinciples of stellar structure, Cambridge Scientific Pub-lishers (2004)
Weiss: Sterne, Spektrum Akademischer Verlag (2008)
Die Strukturgleichungen
• Sterne sind selbst-gravitierende heiße Plasmakugeln;
• verlieren Energie in Form von Photonen von ihrerOberflache;
• spharisch symmetrisch (ohne Rotation und mag-netische Felder);
→ Eindimensionales Problem mit dem Radius r alsnaturlicher Koordinate (Euler-Beschreibung).
Masse und Radius
Eulersche Beschreibung:Masse dm in Schale bei r und mit Dicke dr ist
dm = 4πr2ρdr − 4πr2ρvdt
Lagrange Beschreibung:Massenelemente m (Masse in einer konzentrischen Schale).
⇒ r = r(m, t)
Variablenwechsel (r, t) → (m, t):
∂
∂m=
∂
∂r
∂r
∂m
und(
∂
∂t
)
m
=∂
∂r
(
∂r
∂t
)
m
+
(
∂
∂t
)
r
⇒
∂r
∂m=
1
4πr2ρ(1)
Das ist die erste Strukturgleichung (Massengleichungoder Massenerhaltung).
Beinhaltet auch Transformation zwischen Euler- undLagrange-Beschreibung:
∂
∂m=
1
4πr2ρ
∂
∂r
Gravitation
Poisson-Gleichung fur Gravitationspotential
∇2Φ = 4πGρ
(G = 6.673 · 10−8 dyn cm2 g−2).
In spharischer Symmetrie:
1
r2
∂
∂r
(
r2∂Φ
∂r
)
= 4πGρ
g = ∂Φ∂r
→ g = Gmr2 ist Losung der Poisson-Gleichung.
Potential Φ verschwindet fur r → ∞.
−∫ ∞
0Φdr ist die Energie, die benotigt wird, um alle
Massenelemente ins Unendliche zu befordern.
Hydrostatisches Gleichgewicht
Auf Schicht der Dicke dr wirken zwei Krafte (proFlacheneinheit):
Schwerkraft Fg/(4πr2) = −gρdr und
Druck △P = −∂P∂r
△r.
Soll sich diese Schicht in Ruhe befinden (hydrostati-sches Gleichgewicht), so muss gelten:
∂P
∂r+
Gm
r2ρ = 0
oder in Lagrange-Koordinaten
∂P
∂m= −
Gm
4πr4(2)
Zweite Aufbaugleichung → hydrostatisches Gleichgewicht.
Gleichungen (1) und (2) werden auch die mechani-schen Gleichungen genannt.
Abschatzung fur Zentralwerte der Sonne:
Ersetze Ableitungen in hydrostatischer Gleichung durchUnterschiede zwischen Zentral- (Pc) und Oberflachenwert(P0 ≈ 0) →
Pc ≈2GM2
πR4
(M/2 und R/2 wurden fur Mittelwerte von Masse undRadius angesetzt)
Ergebnis Sonne: Pc = 7 · 1015 (cgs-Einheiten).
Mit ρ = µPRT
und ρ = (3M)/(4πR3) ⇒
Tc =8
3
µ
R
GM
R
ρ
ρc< 3 · 107 K
Sonnenwerte (Beobachtung und Modelle):
M⊙ = 1.99 · 1033 gR⊙ = 6.96 · 1010 cmL⊙ = 3.83 · 1033 erg/(gs)Tc = 1.6 · 107 KPc = 2.4 · 1017 dyn/cm2
ρc = g/cm3
Bewegung:
∂P
∂m+
Gm
4πr4= −
1
4πr2
∂2r
∂t2
1. P = 0 → Freier Fall Gm/r2 = r.
2. Zeitskala τff =√
R/|r| ≈√
R/g.
3. G = 0, τexpl ≈ R√
ρ/P (Isotherme Schallgeschwindigkeit)
4. Hydrostatische Zeitskala τhydro ≈ 12(Gρ)−1/2
5. Beispiele: τhydro =
• 27 Minuten fur Sonne
• 18 Tage fur Roten Riesen (R = 100R⊙)
• 4.5 Sekunden fur Weißen Zwerg (R = R⊙/50)
Schlussfolgerung: Sterne kehren in extrem kurzerZeit in das hydrostatische Gleichgewicht zuruck.
Energie-Reservoirs:
1. Thermische (oder innere) Energie (fur ein idealesGas)
P =R
µρT
R
µ= cP − cv =
2
3cv
Mit der thermischen Energie pro Masseneinheitu = cvT
und der gesamten thermischen Energie aus dem Inte-gral von u uber die Masse
Et =
∫ M
0
cvTdm =
∫ M
0
cv3R
2µTdm =
3R
2µ〈T 〉M
Fur die Sonne mit 〈T 〉 ≈ 107 K → Et,⊙ ≈ 5× 1048 erg
2. Gravitationsenergie
Eg = −
∫ M
0
GMr
rdMr ≈ −
GM2
R
Fur Sonne, Eg,⊙ = −4 × 1048 erg
Allgemein,
−Eg ≈ Et
Warum sind beiden Reservoire etwa gleich groß?
Die Kelvin-Helmholtz (thermische) Zeitskala
L ≈∣
∣
∣
dEg
dt
∣
∣
∣→ τKH :=
|Eg|L
≈ Et
L.
|Eg| ≈GM2
2R⇒ τKH ≈ GM2
2RL.
Sonne: τKH = 1.6 · 107 yrs.
⇒ Sonne konnte also nur einige 10 Millionen Jahrescheinen, wenn Gravitations- oder thermische Energieihre einzige Energiequelle ware!
Das Virial Theorem
Integriere Gleichung (2) nach Multiplikation mit 4πr3:
∫ M
0
4πr3 ∂P
∂mdm = −
∫ M
0
Gm
4πr44πr3dm
Rechte Seite entspricht der gesamten Gravitations-energie
Eg = −
∫ M
0
GM
rdm
Linke Seite durch partielle Integration losbar:
∫ M
0
4πr3 ∂P
∂mdm =
[
4πr3P]M
0−
∫ M
0
(
12πr2 ∂r
∂m
)
Pdm
Die rechte Seite dieses Ausdrucks wird zu∫
3P/ρdm =2Ei
so dass insgesamt das Ergebnis lautet:
Eg = −2Ei
Das ist das Virial-Theorem. Sehr zentral und wichtig!
Gesamtenergie (ohne nukleare Quellen):
W = Ei + Eg = −Ei = 12Eg
Die Leuchtkraft eines Sterns muss sich aber aus diesemReservoir speisen:
L = −dWdt
> 0 ⇒ L = −Eg
2= Ei
Star werden global heißer, weil sie Energie ver-lieren! Die Energie dafur nehmen sie aus demGravitationsreservoir
N.B.: Annahmen!Hydrostatisches Gleichgewicht, ideales Gas.
Weiße Zwerge verlieren Energie, werden aber kalter!Warum?
Energie-Erhaltung
dLr = 4πr2ρǫdr,
ǫ (erg/gs): spezifische Energie-Erzeugungsrate
Energiequellen fur ǫ:
• in einer stationaren Massenschale: ǫ = ǫn(ρ, T, ~X);nukleare Energieerzeugung;
• nicht-stationar: Wechselwirkung mit Nachbarschichtenuber PdV
(
ǫn −∂Lr
∂m
)
dt = dq = du + Pdv
∂Lr
∂m= ǫn −
∂u
∂t+
P
ρ2
∂ρ
∂t
= ǫn − cP∂T
∂t+
δ
ρ
∂P
∂t
ǫg: gravothermische Energie
ǫg = −cP∂T
∂t+
δ
ρ
∂P
∂t= −cPT
(
1
T
∂T
∂t−
∇ad
P
∂P
∂t
)
(3)
Energieverlust durch Plasma-Neutrinos: −ǫν.Insgesamt also Gleichung fur die Energieerhaltung/-erzeugung
∂Lr
∂m= ǫn + ǫg − ǫν. (4)
Globale Energieerhaltung
Die Anderung des gesamten Energiereservoirs ist iden-tisch mit dem Verlust an Energie durch Photonen (vonder Oberflache) und Neutrinos (aus dem Sterninnern):
W =d
dt(EG + Ei + En) = −(L + Lν),
Diese Gleichung erhalt man in der Tat durch Integra-tion von Gleichung (4) uber m.
Nukleare Zeitskala
τn := En/L
Nukleares Energiereservoir: Masse des Brennstoffs xEnergieausbeute [erg/g] des Brennstoffs
Sonne ist in der Phase der Wasserstofffusion, die eineEnergieausbeute von q = 6.3 · 1018 erg g−1 hat.
entsprechend einem gesamten Energievorrat von8.75 · 1051 erg.
⇒ τn ≈ 1011 yrs
τn ≫ τKH ≫ τhydr
Dies ist die fur die meisten Sterne in fast allen Phasenentscheidende Zeitskala, auf der sie sich entwickeln.∂Lr
∂m≈ ǫn ist eine sehr gute Naherung, und impliziert
auch ǫg ≈ 0, bzw. dass der Stern sich im thermischenGleichgewicht befindet. Außerdem herscht mechani-sches (hydrostatisches) Gleichgewicht, insgesamt dassogenannte vollstandige Gleichgewicht, in dem (in er-ster Naherung) alle Terme mit dt fehlen.
Energie-Transport
Die im Innern erzeugte Energie muss zur Oberflachetransportiert werden. Das geht nur entlang eines Tem-peraturgradienten, der in der Sonne
△T/△r ≈ 107/1011 = 10−4 (K/cm) betragt.
Der Energietransport kann durch Strahlung, Konvek-tion, oder Leitung stattfinden (Leitung i.A. unwichtig,außer im Fall von Elektronenentartung).
Formale Gleichung fur den Temperaturgradienten:
∂T
∂m= −
T
P
Gm
4πr4∇
Aufgabe: bestimme ∇ fur die oben erwahnten Falle!
Strahlungstransport
Abschwachung der Strahlungsintensitat I gemaß
dI = −Iκρdr ⇒ −d ln I
dr= κρ =:
1
l
Opazitat κ(T, ρ, ~X) (cm2/g).
Werte im Sonneninnern:ρ⊙ = 1.4g/cm3, κ⊙ ≈ 1cm2/g ⇒ l⊙ ≈ 1 cm!
Strahlungsdiffusion:
Wegen der kurzen freien Weglange, des geringen Tem-peraturgradienten und der damit verbunden nahezuperfekten Isotropie des Strahlungsfeldes findet radia-tiver Energiestransport als diffusiver Prozess statt.
Behandlung analog zur Teilchendiffusion:Diffusiver Fluss ~j von Teilchen ist
~j = −D~∇n = −1
3vlp~∇n
(D Diffusionskonstante; v Diffusionsgeschwindigkeit;lp freie Weglange und n Teilchendichte).
Benutzen U := aT 4 fur die Strahlungsdichte (stattTeilchendichte), l = 1/(κρ) fur die freie Weglangeder Photonen, und c statt v. In 1-dimensionaler For-mulierung reduziert sich ~∇U zu
∂U
∂r= 4aT 3∂T
∂r
und somit der radiative Energiefluss F (statt ~j)
F = −4ac
3
T 3
κρ
∂T
∂r,
oder F = −Krad∇T .
Krad = 4ac3
T 3
κρist die radiative Konduktivitat.
Mit Lr = 4πr2F ergibt sich
∂T
∂r= −
3
16πac
κρLr
r2T 3
oder in Lagrange-Formulierung
∂T
∂m= −
3
64acπ2
κLr
r4T 3(5)
Das Rosseland-Mittel der Opazitat
Gleichung (5) ist bisher nur fur monochromatischeStrahlung richtig. κ = κ(ν). Man mochte aber gerne
∂T
∂m= −
3
64acπ2
κLr
r4T 3
haben, wobei κ eine geeignete Mittelung κ(ν) uber νsein muss.
Dieses Mittel ist
1
κ:=
∫ ∞
01κν
∂Bν
∂Tdν
∫ ∞
0∂Bν
∂Tdν
wobei
Bν(T ) =2hν3
c2
(
exp
(
hν
kT
)
− 1
)−1
die Planck-Funktion fur den Energiedichte-Fluss einesSchwarzkorpers ist. (U = aT 4 = (4π/c)
∫
Bνdν).
κ heißt das Rosseland-Mittel der Opazitat, meist κR
oder auch nur κ genannt.
Es wird dominiert von den Frequenzbereichen, wo κν
am geringsten ist.
(Elektronen-) Leitung
Die freie Weglange von entarteten Elektronen ist sehrgroß, so dass sie effektiv Energie transportieren konnen.In diesem Fall lasst sich der gesamte Energiefluss alsSumme zweier Prozesse mit zwei Konduktivitaten schreiben:
F = Frad + Fcond = −(Krad + Kcond)∇T
Man fuhrt formal κcond ein:
Kcond =4ac
3
T 3
κcondρ,
und kann damit κ in Gleichung (5) ersetzen durch:
1
κ=
1
κrad
+1
κcond
Der Mechanismus mit der kleineren “Opazitat” erledigtden Energietransport!
Effektives ∇ in Transportgleichung:
∇ = ∇rad =3
16πacG
κLrP
mT 4
Stabilitat gegen Konvektion
Wird der Temperaturgradient in einer Schicht zu groß,setzt Konvektion ein. Zur Herleitung eines Stabilitatskriteriumsbetrachtet man folgendes (idealisiertes) Bild:
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
Der Temperaturunterschied DT = Te − Ts ist positiv,wenn Element heißer als Umgebung ist; DP = 0 (hy-drostatisches Gleichgewicht. Falls Dρ < 0 (IdealesGas), bewegt sich das Element nach oben. Bei Ver-schiebung um △r:
Dρ =
[(
∂ρ
∂r
)
e
−
(
∂ρ
∂r
)
s
]
△r
Das Stabilitatskriterium lautet daher(
∂ρ
∂r
)
e
−
(
∂ρ
∂r
)
s
> 0.
Ist es erfullt, wird das Element relativ zur Umgebungwahrender der Aufwartsbewegung schwerer und kehrtum.
Mit der Zustandsgleichung d ln ρ = αd lnP − δd lnT −ϕd lnµ, kann man das Kriterium umformen zu
(
δ
T
dT
dr
)
s
−
(
δ
T
dT
dr
)
e
−
(
ϕ
µ
dµ
dr
)
s
> 0
und nach Mulitplikation mit der Druckskalenhohe
HP := −dr
d lnP= −P
dr
dP=
P
ρg> 0 ⇒
(
d lnT
d lnP
)
s
<
(
d lnT
d lnP
)
e
+ϕ
δ
(
d lnµ
d lnP
)
s
∇s < ∇ad +ϕ
δ∇µ
Der konvektive Temperaturgradient
∇rad < ∇ad +ϕ
δ∇µ (6)
Diese Gleichung ist allgemein gultig und heißt dasLedoux-Kriterium fur dynamische Stabilitat. In chemischhomogenen Gebieten ist ∇µ = 0, und das Schwarzschild-Kriterium gilt.
Ist das Stabilitatskriterium verletzt, setzt Konvektionein und erledigt den Energietransport. Der sich tat-sachlich einstellende konvektive Temperaturgra-dient ∇con muss aus einer Konvektionstheorie berech-net werden.
In der Sternentwicklungstheorie wird meist dieMischungswegtheorie verwendet, die einen freien Para-meter, das Verhaltnis von Mischungsweg zu HP , enthalt:αMLT, das von der Große 1 ist und anderweitig “kalib-riert” werden muss.
Im Extremfall, wenn die konvektiven Elemente keineEnergie an die Umgebung wahrend der Bewegung abgeben,ergibt sich
∇con = ∇ad
was nur noch eine Funktion der Zustandsgleichung ist.
Allgemein gilt in konvektiven Gebieten
∇rad > ∇con > ∇ad
Die chemische Zusammensetung
Die chemische Zusammensetzung beeinflusst ρ, κ, ǫ.Sie kann sich durch nukleare Fusion, Diffusion, Kon-vektion und andere Mischungsprozesse andern.
Notation:
relative Massenanteile: Xi := mini
ρ,
∑
i Xi = 1;
speziell:Wasserstoff X, Helium Y , “Metalle” Z = 1 − X − Y .typische Werte:X ≈ 0.7 · · ·0.75; Y ≈ 0.24 · · ·0.30; Z ≈ 0.0001 · · ·0.04
Anderungen durch Kernreaktionen:
∂Xi
∂t=
mi
ρ[∑
j
rji −∑
k
rik]
rji impliziert, dass Isotop i aus Isotop j entsteht, undrik, dass i zur Bildung von k verbraucht wird.
Dabei entstehende Energie ist ǫij = 1ρrijeij. rij ist Zahl
der Reaktionen pro Sekunde eij Energie pro Reaktion;pro Teilchenmasse ist sie qij = eij/mi.
Im einfachsten Fall, der Umwandlung von H zu He,erhalten wir
∂X
∂t= −
ǫH
qH= −
∂Y
∂t,
eH,He ≈ 26.7 MeV/Reaktion = 4.72 · 10−5 erg undqH,He = 2.5 · 1019/4 = 6.44 · 10−18 erg/g.
Zusammenfassende Ubersicht
m ist die Lagrange-Koordinate;r, P, T, Lr sind die abhangigen Variablen;Xi sind die Elementhaufigkeiten;ρ, κ, ǫ, . . . sind physikalische Funktionen, die alle von
(P, T, ~X) abhangen.
Die vier zu losenden Strukturgleichungen lauten:
∂r
∂m=
1
4πr2ρ(7)
∂P
∂m= −
Gm
4πr4−
1
4πr2
∂2r
∂t2(8)
∂Lr
∂m= ǫn − ǫν − cP
∂T
∂t+
δ
ρ
∂P
∂t(9)
∂T
∂t= −
GmT
4πr4P∇ (10)
wobei ∇ von der Art des Energietransportes abhangt:
∇ = ∇rad =3
16πacG
κLrP
mT 4(11)
∇ = ∇con (≈ ∇ad) (12)
Fur die Zusammensetzung haben wir (schematisch)
∂Xi
∂t=
mi
ρ
∑
j
rji −∑
k
rik
(13)
wobei auch ein Mischungsterm auftreten kann, z.B.aufgrund von Konzentrations-Diffusion
∂Xi
∂t=
∂
∂m
[
(4πr2ρ)2D∂Xi
∂r
]
(14)
Losung der Aufbaugleichungen
• Wir haben I+4 Gleichungen fur die I Elemente(Isotope) plus die 4 abhangigen Variablen → Sys-tem ist also losbar!
• Gleichungen sind nicht-lineare partielle Differen-tialgleichungen in t und m (Mr). Benotigt werdennoch zusatzliche Randbedingungen bei Mr = 0und M (fur den raumlichen Teil) und Anfangswertebei t = 0 (fur den zeitlichen Teil). Sternentwick-lung ist also ein Anfangs- und Randwert-Problem.
• Ein Sternmodell ist die raumliche Losung fur dieStruktur zum Zeitpunkt t0 (r(Mr, t0), T (Mr, t0),. . . XI(Mr, t0)).
• Anfangswerte: notwendig fur alle Variablen furt = 0. Entweder aus vorherigem Modell, einemvereinfachten Modell, oder “gut geraten”.
• Ist das Anfangsmodell nahe genug an der Re-alitat, wird es sich uber τKH daran angleichen.
• Problem kann in raumliches und zeitliches Unter-problem geteilt werden:
Schritt 1 lose Gl. (7)–(10) fur t1 (Xi(Mr, t1) gegeben)
Schritt 2 lose Gl. (13) und (14) fur raumliche Strukturzwischen t1 und t2 = t1 +△t unter Benutzungvon ǫ(Mr, t1)
Schritt 3 andere Zusammensetzung:Xi(t2) = Xi(t1) +
(
∂Xi
∂t
)
t1△t → Schritt 1
Randbedingungen
im Zentrum: Mr = 0 → r(0) = 0, Lr(0) = 0
an der Oberflache: verschiedene Moglichkeiten
(1) “Null-Werte”:bei Mr = M : P (M) = 0, T (M) = 0;tiefes Innere dadurch einigermaßen realistisch berechen-bar, aber außere Schichten (Beobachtung!) falsch
(2) photospherische R.W.: Randwerte werden anPhotosphare genommen, meist beioptischer Tiefe τph = 2/3, wo T = Teff
Stefan-Boltzmann Gesetz:
L = 4πσR2T 4eff
Stellt die erste Randbedingung an der Photospharedar und verbindet 3 der 4 Variablen.
Die zweite Randbedingung (fur P(R,L)) ergibt sichaus einer Atmosphare, die im einfachsten Fall die graue,masselose Eddington-Atmosphare ist:
T 4(τ) =3
4T 4
eff(τ + 2/3)
Der Druck ergibt sich aus der Integration der Druck-gleichung, wobei der Radius durch die optische Tiefe
dτ = κρdr → τph =
∫ ∞
R
κρdr
ersetzt wird.
Fur ein gemitteltes κ und konstantes g ergibt sich z.B.Pph:
Pph =2
3
GM
R2
1
κ(15)
In der Praxis werden genauere Atmospharen berech-net.
Damit ist das System geschlossen und losbar.
Numerische Methoden
1. Integrator-Methoden (Runge-Kutta)
Integriere Gleichungen von Randwerten nach außenbzw. innen.
Problem: nur je zwei Randwerte verfugbar, die an-deren beiden mussen geraten werden.
Integrationen treffen sich in der Mitte; Ubereinstimmungnur, wenn Randwerte richtig geraten. ⇒ Iteration der“geratenen” Randwerte.
Vorteil: kein Startmodell notig; Genauigkeit kontrol-lierbar
Nachteil: funktioniert nur gut bei einfachen Struk-turen
Verwendung: fur “Ur-Modell” nutzlich (homogene Vor-und Hauptreihen-Modelle)
2. Relaxations-Methoden (Newton-Verfahren)
Lose Gleichungen auf raumlichem Gitter; relaxiere Git-terwerte aller Variablen, bis Gleichungen erfullt sind.Iterationsverfahren.
Fuhrt auf Matrix-Inversion zur Berechnung der Kor-rekturen.
Vorteil: “gutmutig”; funktioniert meistens
Nachteil: benotigt gute Startwerte; große Matrix (Losung:Henyey-Verfahren fur Blockmatrizen); Genauigkeit un-kontrolliert
Verwendung: meist verwendete Standardmethode
Einfache Sternmodelle
Homologie
fur chemisch homogenene (z.B. unentwickelte, Alter-0, Hauptreihen) Sterne.
Grundlegende Homologie-Annahme:
Zwei Sterne heißen zueinander homolog, wenn
bei m1
M1= m0
M0→ r1
R1= r0
R0
Daraus resultieren Skalierungsfunktionen:
r(
mM
)
= Rfr
(
mM
)
Lr
(
mM
)
= LfL
(
mM
)
P(
mM
)
= PcfP
(
mM
)
T(
mM
)
= TcfT
(
mM
)
wobei die fi unabhangig von M sind, nicht aber dieKonstanten (R, Pc, etc.), die auch von der chemischenZusammensetzung (µ) abhangen.
Einfache (Potenz-) Gesetze fur die physikalischen Funk-tionen:
P =R
µρT (16)
ǫ = ǫ0ρλT ν (17)
κ = κ0ρnT−s (18)
Damit erhalten wir im Fall der radiativen Strukturgle-ichungen einfache Skalierungsrelationen; z.B. fur denDruck (mit x := m/M):
dP
dm= PC
dfP
dx
dx
dm=
Pcx
fP
d ln fP
d lnx
1
M=
PcPM
PcmM
d ln fP
d lnx=
P
m
d ln fP
d lnx
Wenn wir das mit der Druckgleichung gleichsetzen,erhalten wir folgende Beziehung fur P und analogefur die anderen Variablen:
dP
dm=
P
m
d ln fP
d lnx= −
Gm
4πr4→
P
m∼
m
r4(19)
dr
dm=
r
m
d ln fr
d lnx=
1
4πr2ρ→
r
m∼
1
r2ρ(20)
dT
dm=
T
m
d ln fT
d lnx= −
3κ
64πac
Lr
r4T 3→
T
m∼
Lr
r4T 3(21)
dLr
dm=
Lr
m
d ln fL
d lnx= ǫ →
Lr
m∼ ǫ (22)
Aus (19) und (20) ergeben sich Ausdrucke fur P undρ als Funktionen von r and m. Durch Division undVerwendung der idealen Gasgleichung folgt dann
P
ρ∼
m
r∼
T
µ
(oder rT = µm) und mit (21) fur Lr
⇒ Lr ∼ µ4m3
Das gilt auch fur x = 1 oder m = M , so dass
L ∼ µ4M3,
Das ist die Masse–Leuchtkraft–Beziehung fur Haup-treihenstere. Sie hangt nicht von der Energieerzeu-gung ab, aber die Proportionalitat wird von der Opazitatbestimmt!
Da auch Lr ∼ mǫ ∼ mρλT ν gilt, erhalten wir auch(wieder fur x = 1, unter Benutzung von ρ ∼ m/r3 undT ∼ µm/r)
R ∼ µν−4
ν+3λMλ+ν−2
ν+3λ
Fur λ = 1 und ν ≈ 5 (pp-Ketten) ⇒
R ∼ µ0.125M0.5
Fur λ = 1 und ν ≈ 15 (CNO-Zyklus) ⇒
R ∼ µ0.61M0.78
Dies sind Masse–Radius Beziehungen fur die beidennuklearen Prozessmechanismen auf der Hauptreihe.Ein mittlerer Wert fur ν ist 13, was 0.75 fur den M-Exponent ergibt.
Damit ist R ∼ M3/4 (mittlerer Exponent), L ∼ M3,und
L ∼ R2T 4eff
⇒
logL = 8 logTeff + const,
was die Gleichung fur die Hauptreihe im Hertzsprung-Russell-Diagram ist; fur R=const. erhalt man
logL = 4 logTeff + const;
Linien konstanten Radius sind also flacher als die Haup-treihe (Radius der HR-Sterne nimmt mit Masse zu).
Da außerdem L ∼ M3 gilt, und
τnuc ∼ M/L,
folgt fur die Hauptreihen-Lebensdauer
→ τnuc ∼ M−2
Massereichere Sterne sind heller, leben aber deut-lich kurzer als massearme!
Zentralwerte auf der Hauptreihe:Setze λ = 1 und µ=const.
Pc ∼ P ∼ P (x)fP(x)
und Tc ∼ T ∼ T (x)fT(x)
Ebenso T ∼ MR, P ∼ M2
R4 , ρc ∼Pc
Tcund R ∼ M
ν−1
ν+3;
⇒
Tc ∼ M4
ν+3 (23)
Pc ∼ M−2(ν−5)
ν+3 (24)
ρc ∼ M−2(ν−3)
ν+3 (25)
Tc ∼ ρ− 2
ν−3
c (26)
Tc wachst mit M ;aber ρ fallt mit M fur ν > 3 (M > 0.8M⊙)!
Zwei unterschiedliche Arten von Sternen auf derHauptreihe:
M <∼1.5M⊙ M >
∼1.5M⊙
Teff niedrig hochKern radiativ konvektivHulle konvektiv radiativH-Fusion pp-Ketten CNO-Zyklusν > 10 < 7Strahlungsdruck niedrig hoch
Numerische und empirische Ergebnisse:
Theoretische und beobachtete M-L-Beziehung:
Theoretische und beobachtete M-R-Beziehung:
Die MikrophysikZustandsgleichung, Opazitat, nukleare Reaktionsraten, . . .
Zustandsgleichung
Ideales Gas:
P = nkBT =R
µρT
wobei ρ = nµmu; µ: Molekulargewicht, Teilchenmassepro mu.
Mehrere Komponenten mit Massenanteil Xi = ρi
ρ→
ni = ρXi
muµi
P = Pe +∑
i
Pi = (ne +∑
i
ni)kBT.
Vollstandig ionisierte Atome:
P = nkBT = R∑
i
Xi(1 + Zi)
µiρT =
R
µρT
µ :=(
∑
iXi(1+Zi)
µi
)−1
: mittleres Molekulargewicht
Neutrales Gas: µ =(
∑
iXi
µi
)−1
.
Strahlungsdruck
Prad =1
3U =
a
3T 4
(
a = 7.56 · 10−15 erg
cm3K4
)
β := Pgas
P.
(
∂β∂T
)
P= −4(1−β)
Tand
(
∂β∂P
)
T= (1−β)
T.
Ionisation
Boltzmann-Verteilung, angewandt auf Ionisationsstufen⇒ Saha-Gleichung
nr+1
nrPe =
ur+1
ur2(2πme)3/2
h3(kT )5/2 exp(−χr/kT ),
wobei nr: Teilchendichte im Ionisatinszustand r; χr
Ionisationsenergie; ur Zustandsfunktion; Pe = nekTElektronendruck (k = kB)
Weitere Defintionen und Relationen:
α :=
(
∂ ln ρ
∂ lnP
)
T
=1
β
δ := −
(
∂ ln ρ
∂ lnT
)
P
=4 − 3β
β
ϕ :=
(
∂ ln ρ
∂ lnµ
)
T,P
= 1
cP :=R
µ
[
3
2+
3(4 + β)(1 − β)
β2+
4 − 3β
β2
]
∇ad :=Rδ
βµcP
γad :=
(
d lnP
d ln ρ
)
ad
=1
α − δ∇ad
Fur β → 0, cP → ∞, ∇ad → 1/4 und γad → 4/3.
Fur β → 1, cP → 5R2µ
, ∇ad → 2/5, und γad → 5/3.
Weitere Großen in der Literatur, die sogenanntenGammas:
γad =: Γ1
∇ad =:Γ2 − 1
Γ2
Γ3 :=
(
d lnT
d ln ρ
)
ad
+ 1
Γ1
Γ3 − 1=
Γ2
Γ2 − 1
Ionisation von Wasserstoff und Helium ineiner stellaren Hulle. Im Bild (b) wird derentsprechende Verlauf von ∇ad gezeigt. Die Ab-senkung kommt vom Anstieg der spezifischenWarme cP . Da ∇ad kleiner wird, werden solcheZonen leicht konvektiv.
Elektronen-Entartung
Wichtig fur dichte Kerne von Sternen, z.B. Sonnenach Hauptreihe. Daraus werden spater die WeißenZwerge.
Bei nahezu vollstandiger Entartung (trotz T > 107 K)gilt:
1. pF ≪ mec (nicht relativistisch)
Pe = 1.0036 · 1013
(
ρ
µe
)5/3
Pe =2
3Ue
2. pF ≫ mec (relativistisch)
Pe = 1.2435 · 1015
(
ρ
µe
)4/3
Pe =1
3Ue
In solchen Fallen ist Pi ≪ Pe und der Elektronendruckstabilisiert Sterne.
Weitere Effekte:
1. Nicht-ideale Effekte (Coulomb-Abschirmung; van-der-Waals Krafte)
2. Kollektive Effekte wie Kristallisierung (Weiße Zw-erge)
3. Bei Kerndichten, Neutronisation (Neutronensterne)
In der Praxis:
Verwendung vorberechneter Tabellen mit Zustands-gleichung fur verschiedene Mischungen
Opazitat
Fur κ wichtige physikalische Effekte:
1. Elektronenstreuung: (Thomson-scattering)
κsc = 8π3
r2e
memu= 0.20(1 + X) cm2g−1
2. Comptonstreuung:T > 108: Impulsubertrag → κ < κsc
3. Frei-frei-Ubergange:κff ∝ ρT−7/2 (Kramers Formel)
4. Gebunden-frei-Ubergange:κbf ∝ Z(1 + X)ρT−7/2
Hauptquelle unter 6000 K: H−-Ion
5. Gebunden-gebunden-Ubergange:unter 106 K
6. e−-Leitung: κc ∝ ρ−2T 2
7. Molekule fur T < 104 K
8. Staubabsorption fur T < 3000 K
In der Praxis wieder Tabellenwerke von Spezialisten.
Beispiel: Rosseland-Opazitat fur “solare” Zusammenset-zung (X = 0.70, Y = 0.28, Z = 0.02); nur atomareProzesse
Zwei Tabellen mit atomarer, moleklarer und“conduktiver” Opazitat fur solare (links) und
metallarme (rechts) Zusammensetzung:
N.B.: weniger Metalle → niedrigere Opazitat → niedrigeres∇rad → hohere Oberflachentemperatur. Pop. II Sternesind i.A. heißer als Pop. I!
Nukleare Energie-Produktion
Massen-Defekt → Energie
Beispiel:4 1H (Protonen) : 4 · 1.0081mu
4He: 4.0089mu.Unterschied (0.7%) : 26.5 MeV ⇒
erlaubt Sonne 1011 Jahre zu leuchten.
Bindungsenergie:
EB := [(A − Z)mn + Zmp − Mnuc]c2
B.E. pro Nukleon f := EB/A (um 8 MeV). Maximum(8.4 MeV) wird erreicht bei 56Fe.
Praxis: auch hier wieder Verwendung nuklearer Reak-tionsraten, die aus Experimenten/theoretischen Rech-nungen stammen.
Haupt-Brennphasen in Sternen
Abfolge der Fusionsstufen: Wasserstoff → Helium →Kohlenstoff/Sauerstoff → Neon → Silizium → Eisen
Wasserstoff-Brennen
Die pp-Ketten fur die Fusion von Wasserstoff zu Helium
Energie pro beendeter Kette: 26.20 (ppI), 25.67 (ppII),19.20 MeV (ppIII).
Der CNO-Zyklus
• qCNO ≈ 25MeV
• Die e+ Reaktionen geschehen nahezu instantan
• Prozessgeschwindigkeit bestimmt durch langsam-ste Reaktion: 14N(p, γ)15O.
• Im Gleichgewicht, ≈ C & O ⇒ 14N .
• und 12C/13C = 3 · · ·6 (solarer Wert: 85)
• Bei niedrigerem T (Sonnenzentrum) ist der CNO-Zyklus zu langsam, um wichtig zu sein. Allerdingskann die C → N-Transformation stattfinden.
• Mit zunehmender Temperatur (Entwicklung, Masse)wird der CNO-Zyklus dominant.
Helium-Brennen
Brenntemperatur: ≥ 108 K; Reaktionen
1. 3−α-Prozess: 2α(α, γ)12C; eigentlich zwei Schritte:α(α, γ)8Be und 8Be(α, γ)12C; q = 7.27 MeV.
2. 12C(α, γ)16O: unsichere Reaktionsrate; q = 7.6MeV
3. 16O(α, γ)20Ne: wichtig nur gegen Ende dieser Phase;q = 4.77 MeV
4. resultierende Zusammensetzung: C/O = 50/50. . . 20/80
Weitere Brennphasen:nur noch Schwerionen-Reaktionen
1. 12C +12 C (bei 6 − 7 · 108 K)
• viele Ausgangskanale:→24 Mg + γ (13.93 MeV) !→23 Na + p (2.238 MeV) !!→20 Ne + α (4.616 MeV) !!→23 Mg + n (-2.605 MeV) –→16 O + 2α (-0.114 MeV) !
• Beginn der komplizierten Nukleosynthese
• nukleare Netzwerke; zunehmend Annaherungan nukleares statistisches Gleichgewicht
2. 16O +16 O: (bei ≈ 1 · 109 K)
• ahnliche Ausgangskanale wie fur 12C +12 C:→32 S + γ (16.539 MeV)→31 P + p (7.676 MeV)→28 Si + α (9.593 MeV)→31 S + n (1.459 MeV)→24 Mg + 2α (-0.393 MeV)
• starke ν Energieverluste durch Plasma-Neutrinosin der Grße der nuklearen Energieerzeugung
3. Photo-Desintegration (T ≥ 8 · 108 K)
• ahnlich Ionsiation
• 20Ne + γ →16 O + α
• Produkte fruherer Phasen werden auch wiederzerstort
4. . . . danach nukleares statistisches Gleichgewicht,kontrolliert durch Emission und Absorption vonTeilchen und Photo-Desintegration um 56Fe (Max.in Bindungsenergie/Nukleon)
Typische Brennzeiten:
H : 1010 (Jahre)
He : 108
C : 104
... : ...
Si : Stunden
Welche Brennphasen konnen Sterne erreichen?
Braune Zwerge (M < 0.075M⊙) erreichen nichteinmal das H-Brennen:
Plasma Neutrino Emission
Stellare Plasmen emittieren Neutrinos, die den Sternohne wesentliche Wechselwirkung mit der Materie ver-lassen konnen und dadurch zu einem Energieverlust Lν
fuhren.
Prozesse:
1. Paarvernichtung: e− + e+ → ν + ν fur T > 109 K.
2. Photoneutrinos: γ + e− → e− + ν + ν(wie Compton-Streuung)
3. Plasmaneutrinos: γpl → ν + ν; Zerfall eines Plas-mazustands γpl.
4. Bremsstrahlung: inelastische Kern–e− Streuung
5. Synchroton-Neutrinos
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Bereiche in der ρ–T Ebene, in denen die
verschiedenen Neutrino-Prozesse wichtig
sind
