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Theorie du consommateur
Classiques: les biens ont une utilite ou une valeur d’usage et unevaleur d’echange. Paradoxe de l’eau et du diamand.
Smith A. (1776), An Inquiry into the Nature and Causes of the Wealthof Nations
1705: machine a vapeur, debut de la revolution industrielle.
Marginalistes
Gossen H. (1854), Entwickelung der Gesetze des menschlichen Verkehrsund der daraus fliessenden Regeln fur menschliches Handeln
1) Premiere loi de Gossen: l’utilite marginale est decroissante:
Utilite additive directe. Exemple:
u = a1 ln q1 + a2 ln q2 + . . .+ am ln qm∂u∂qi
= ai
qi> 0 ; ∂2u
∂q2i
= − ai
q2i
< 0
2) Deuxieme loi de Gossen: une personne maximise son utilite lorsqu’el-le distribue l’argent dont elle dispose, pour l’achat des differents biens,
de maniere a obtenir la meme satisfaction avec le dernier atome de mon-naie depense pour chaque bien. Nous verrons ci-dessous l’interpretationde cette loi.
Edgeworth et Pareto proposent une fonction d’utilite ou l’utilite margin-ale d’un bien depend aussi de la quantite consommee d’autres biens.
Edgeworth F. (1881), Mathematical Psychics
Pareto V. (1909), Manuel d’economie politique
Walras L. (1874), Elements d’economie politique pure
On a alors:
u = f(q1, q2, . . . , qm)
Par exemple:
u = qa11 qa2
2 . . . qamm
On peut exprimer mathematiquement la decision du consommateur dela maniere suivante:
max u = f(q1, q2, . . . , qm)
S.C. y = p1q1 + p2q2 + . . .+ pmqm
En utilisant les vecteurs q = [qi] et p = [pi] ; i = 1, 2, . . . ,m , on peutecrire:
max u = f(q) S.C. y = pT q
Le lagrangien est:
L = f(q1, q2, . . . , qm) + λ(y − ∑
pjqj)
ou y est le revenu du consommateur.
Les conditions de premier ordre sont:{ ∂L
∂qi= ∂u
∂qi− λpi = 0 i = 1, 2, . . . ,m
∂L∂λ = y −
∑
pjqj = 0
En prenant deux equations quelconques i et j, on a:∂u∂qi
/pi = λ ; ∂u∂qj
/pj = λ
∂u∂q1
1p1
= ∂u∂q2
1p2
= . . . = ∂u∂qm
1pm
= λ
C’est la deuxieme loi de Gossen. En effet:∂L∗
∂y = ∂u∗
∂y = λ est l’utilite marginale du revenu. L’utilite marginale dechaque bien, ponderee par son prix, doit etre egale a l’utilite marginaledu revenu.
La condition de deuxieme ordre pour un maximum est:
xTHx ≤ 0 S.C. ( ∂u∂q )T x = 0 ou
∂u∂q = [ ∂u∂qi
] (i = 1, 2, . . . ,m) et
H =[
∂2u∂qi∂qj
]
(i, j = 1, 2, . . . ,m)
est la matrice hessienne de la fonction d’utilite. Il s’agit d’une matricesymetrique (theoreme de Young). Si la fonction d’utilite est additive di-recte, alors la matrice hessienne est une matrice diagonale avec les vari-ations de l’utilite marginale sur la diagonale. Toutes ces valeurs etantnegatives selon l’hypothese de l’utilite marginale decroissante, la ma-trice hessienne est une matrice definie negative et alors la condition dedeuxieme ordre est satisfaite (xTHx < 0 pour tout x et alors aussipour ( ∂u∂q )T x = 0). La premiere loi de Gossen permet de satisfaire lacondition de deuxieme ordre lorsque l’utilite est additive directe. Dansle cas general, la condition ci-dessus peut etre verifiee en calculant lesdeterminants suivants:
|HBi | =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
f11 f12 . . . f1i −p1
f21 f22 . . . f2i −p2
. . . . . . . . . . . . . . .
fi1 fi2 . . . fii −pi−p1 −p2 . . . −pi 0
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
i = 2, 3, . . . ,m avec fij = ∂2u∂qi∂qj
Il faut que:
|HB2 | > 0 ; |HB
3 | < 0 ; . . . (−1)m|HBm | > 0
Si la fonction d’utilite est strictement quasi-concave, alors cette condi-tion est satisfaite. Une fonction est strictement quasi-concave si pourtout q1 6= q2, on a:
f [λq1 + (1 − λ)q2] > min {f [q1], f [q2]}0 < λ < 1
avec qi = [qi1, qi2, . . . , q
im]
Si
|HB2 | > 0 ; |HB
3 | < 0 ; . . . (−1)m|HBm | > 0
avec
|HBi | =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
f11 f12 . . . f1i f1
f21 f22 . . . f2i f2
. . . . . . . . . . . . . . .
fi1 fi2 . . . fii fi
f1 f2 . . . fi 0
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
i = 2, 3, . . . ,m
alors la fonction est strictement quasi-concave. Comme fi = λpi, lacondition de deuxieme ordre est satisfaite.
Les courbes de niveau d’une fonction quasi-concave (avec ∂u/∂qi > 0)sont convexes.
Utilite cardinale et utilite ordinale
Les premiers marginalistes pensaient que l’utilite pouvait etre mesuree,comme la temperature. On dit qu’il s’agit d’une grandeur cardinale. Ons’est ensuite rendu compte que la demande ne changeait pas lorsqu’oneffectuait une transformation monotone croissante (ou positive) de la
fonction d’utilite. En effet, soit
U = F (u) avec F ′ > 0
Exemples U = lnu ; U = u2 ; U =√u
Le lagrangien sera alors:
L = F (u) + µ(y − pT q)
Les conditions de premier ordre sont:{ ∂L
∂qi= F ′ ∂u
∂qi− µpi = 0 i = 1, 2, . . . ,m
∂L∂µ = y − pT q = 0
En prenant deux equations quelconques i et j, on a:F ′ ∂u
∂qi
F ′ ∂u∂qj
= pi
pj
et alors les conditions de premier ordre sont identiques car F ′ disparaıt.
Une transformation monotone continue laisse inchangee la courbed’indifference. En effet, on a:
dU = F ′ ∂u∂q1
dq1 + F ′ ∂u∂q2
dq2 + . . .+ F ′ ∂u∂qm
dqm = 0
La pente de la courbe d’indifference (cas de deux biens) est:
dq2dq1
= − F ′ ∂u∂q1
F ′ ∂u∂q2
et elle est invariante par rapport a une transformation
monotone croissante de la fonction d’utilite.
Par contre, les utilites marginales changent:
∂U∂qi
= F ′ ∂u∂qi
; µ = F ′λ
Exemple: si u = qa11 qa2
2 (avec ai > 1), on a des utilites marginales crois-santes. Par contre, si l’on prend la transformation monotone croissanteU = lnu = a1 ln q1 + a2 ln q2, l’utilite marginale devient decroissante,comme voulu par la premiere loi de Gossen.
Pareto et d’autres economistes ont alors presente la theorie du con-sommateur en partant directement des courbes d’indifference. Cescourbes ne permettent qu’un classement des complexes de biens [com-plexes preferes, complexes indifferents (sur la courbe), et complexespas preferes]. Comme il y a plusieurs fonctions d’utilite qui donnent lameme courbe d’indifference, l’utilite n’est qu’une mesure ordinale quipermet le classement des complexes de biens. La pente de la courbed’indifference (sans le signe negatif) est appelee le taux marginal de sub-stitution:
TMS = − dq2dq1
=∂u∂q1∂u∂q2
Une courbe d’indifference convexe implique un taux marginal de substi-tution decroissant.
Le mathematicien Volterra fit remarquer a Pareto que si l’on commenceavec la notion de courbes d’indifference il faut que certaines conditionssoient satisfaites pour pouvoir remonter a la fonction d’utilite (lorsque lenombre de biens est superieur a 2). Par exemple, l’equation
q2q3dq1 + q1q3dq2 + q1q2dq3 = 0
est integrable car u = q1q2q3 donne cette equation. Par contre;
dq1 + q3dq2 + 2q2dq3 = 0
n’est pas integrale. L’equation:
f1dq1 + f2dq2 + f3dq3 = 0
est integrable lorsque:
f1(∂f2∂q3
− ∂f3∂q1
) + f2(∂f3∂q1
− ∂f1∂q3
) + f3(∂f1∂q2
− ∂f2∂q3
) = 0
On peut montrer que si l’effet de substitution est symetrique alors il estpossible de remonter a la fonction d’utilite.
Theorie des choix
La fonction d’utilite ou la courbe d’indifference ne servent qu’a exprimerles preferences des consommateurs. On a alors propose une theorie deschoix sans aucune reference aux anciennes notions d’utilite ou de courbed’indifference.
Soient deux ensembles non vides X et Y . Par exemple, X pourraientetre les montagnes valaisannes et Y les montagnes bernoises. On peutprendre des elements de X (par exemple le Cervin) et de Y (par exem-ple l’Eiger) et former l’ensemble {x, y} ou x ∈ X et y ∈ Y . Lorsquel’ordre joue un role, on dit que (x, y) est une paire ordonnee. Un ensem-ble de paires ordonnees est appele une relation binaire. Soit R unerelation binaire entre les elements de l’ensemble X et ceux de l’ensembleY . Si deux elements quelconques x et y satisfont a la relation binaire onecrit x R y.
Souvent l’ensemble Y est le meme que l’ensemble X. On parle alorsde relation binaire sur l’ensemble X. Lorsque la relation binaire surl’ensemble X satisfait aux deux axiomes suivants (x, y, z ∈ X):
(1) reflexivite: xRx pour tout x ∈ X
(2) transitivite: xRy et yRz =⇒ xRz
on dit qu’on a un preordre.
La relation ≥ est une relation reflexive tandis que > ne l’ait pas. La re-lation ≥ est une relation transitive. La relation “au moins aussi difficileque (AAD)” est reflexive mais peut ne pas etre transitive si un alpinisteconsidere que Cervin AAD Dent Blanche et Dent Blanche AAD Dommais Cervin pas AAD Dom. La relation binaire q1 � q2 (q1“prefere ouindifferent a” q2 ou q2 “pas prefere a q1”) est reflexive mais peut ne pasetre transitive si le consommateur classe trois paniers (A, B et C) de lamaniere suivante: A � B ; B � C mais A pas � C.
Le preordre est complet lorsque l’axiome suivant est satisfait:
(3) xRy ou yRx (ou les deux)
Il faut que tous les cas puissent etre classes dans l’une ou l’autre de cesrelations. Par exemple, si tous preferent A a B on peut ecrire que, pourla societe, A � B. Par contre, si entre A et C les opinions divergent,on ne sait pas si, pour la societe A � C ou le contraire. Dans ce cas lepreodre n’est pas complet.
Ces trois axiomes sont suffisants pour representer les preferences du con-sommateur. Neanmoins, il est beaucoup plus pratique d’ajouter l’axiomede continuite suivant:
(4) quel que soit qo ∈ X, l’ensemble {q ∈ X|qo � q} et l’ensemble{q ∈ X|q � qo} sont fermes dans X.
car on peut representer les relations de preference par une fonctiond’utilite.
Un ensemble est ferme s’il contient ses points limites. Par exemplea ≤ x ≤ b est un ensemble ferme tandis que a < x < b est un en-semble ouvert. Dans le cas du consommateur, cela signifie qu’il doit secomporter de maniere rationnelle aussi pour de petites variations desquantites.
L’utilite est ici une fonction definie sur X avec la propriete que
u(q1) ≥ u(q2) si et seulement si q1 � q2
Elle ne sert donc qu’a exprimer les preferences sans les mesurer (utiliteordinale).
Dans la plupart des cas, cette hypothese est theoriquement acceptable,
comme vous pouvez le voir par les cas speciaux ou elle n’est pas satis-faite.
Soit l’ordre lexicographique, defini de la maniere suivante:
q1 � q2 si q11 > q21
ou bien q11 = q21 et q12 ≥ q22
ou q1 et q2 sont les quantites des deux biens des complexes q1 et q2.C’est comme dans le classement des noms par ordre alphabetique, oncommence a regarder la quantite du premier bien et on passe ensuiteau deuxieme bien seulement si celle du premier bien est identique. Onmentionne parfois les preferences d’un alcoolique pour illustrer ce cas (lepremier bien etant le vin).
Nous ferons normalement l’hypothese que la fonction d’utilite est con-tinument differenciable meme si dans ce cas on elimine la possibilitede stricte complementarite. Il ne faut pas utiliser le lagrangien pourresoudre ce cas special. Il suffit de prendre la contrainte budgetaire etle rapport entre les deux biens.
Exemple: max u = min(H, 0.5G) ou H est un habit de ski et G un
gant. Si les prix sont pH = 500 et pG = 50 et le revenu 600, la solu-tion s’obtient en prenant le lien entre habit et gant (H = 0.5G) et lacontrainte budgetaire:
50G+ 500H = 50G+ 500(0.5G) = 600
G = 2 ; H = 1
Si les conditions de premier ordre conduisent a des quantites negatives,alors il faut preciser explicitement que qi ≥ 0. Dans ce cas il faut utiliserles conditions de Kuhn-Tucker:{ ∂u
∂qi− λpi ≤ 0 i = 1, 2, . . . ,m
y − ∑
pjqj ≥ 0
Si l’egalite ne peut pas etre atteinte alors qi = 0. On peut alors ecrire:{
[ ∂u∂qi− λpi]qi = 0 i = 1, 2, . . . ,m
[y −∑
pjqj ]λ = 0
Si ∂u∂qi
− λpi < 0 alors qi = 0. En d’autres termes, un bien n’est pasachete si son utilite marginale, ponderee par son prix, est inferieure al’utilite marginale du revenu [ ∂u∂qi
1pi< λ].
La fonction de demande
On peut normalement resoudre les conditions de premier ordre{ ∂L
∂qi= ∂u
∂qi− λpi = 0 i = 1, 2, . . . ,m
∂L∂λ = y − ∑
pjqj = 0
et trouver la fonction de demande:
qi = φi(p1, p2, . . . , pm, y)
Elle depend donc des prix de tous les biens et du revenu du consomma-teur. Il s’agit d’une fonction homogene de degre zero par rapport auxprix et au revenu (pas d’illusion monetaire). On peut alors utiliser letheoreme d’Euler sur les fonctions homogenes de degre s. Soit
y = f(x1, x2, . . . , xm)
γsy = f(γx1, γx2, . . . , γxm)
Si z = γsy ; vi = γxi on a:
z = f(v1, v2, . . . , vm)dzdγ =
∑
fvi
dvi
dγ
sγs−1y =∑
fvixi
Lorsque γ = 1 on obtient le theoreme d’Euler:∑
fxixi = sy
Ici s = 0 et alors:∂qi
∂p1p1 + ∂qi
∂p2p2 + . . .+ ∂qi
∂pmpm + ∂qi
∂y y = 0
En utilisant les elasticites-prix et les elasticites-revenu:
εij = ∂qi
∂pj
pj
qi; ηi = ∂qi
∂yyqi
on a:∑
j εij + ηi = 0
La contrainte budgetaire permet d’obtenir deux autres relations entre leselasticites. La relation d’agregation de Cournot est obtenue en prenantles derivees par rapport au prix:∑
j ωjεji = −ωiou ωi = piqi/y est la part du revenu consacre au bien i.
La propriete d’agregation d’Engel est obtenue en prenant la derivee parrapport au revenu:∑
j ωjηj = 1
Statique comparative
Quels sont les effets sur la demande d’une variation du revenu ou desprix? Engel a trouve que lorsque le revenu augmente, la part con-sacree aux biens alimentaires diminue. On a alors une elasticite-revenuinferieure a 1:
dω1
dy =yp1
dq1dy −p1q1
y2 < 0
η1 < 1
La loi d’Engel est verifiee dans tous les pays et a toutes les epoques.
Si l’utilite est une fonction homothetique [U = F (u) avec F ′ > 0 etu une fonction homogene de degre 1] alors l’elasticite-revenu est egalea l’unite. En effet, le taux marginal de substitution ne depend que durapport des quantites et la courbe d’Engel est une droite.
L’effet d’une variation des prix est plus difficile a determiner car unehausse des prix correspond a une baisse du revenu reel. Il faut alorseliminer cet effet de revenu. En differenciant les conditions de premierordre on obtient:
f11dq1 + . . .+ f1mdqm − p1dλ− λdp1 = 0
f21dq1 + . . .+ f2mdqm − p2dλ− λdp2 = 0
. . .
fm1dq1 + . . .+ fmmdqm − pmdλ− λdpm = 0
p1dq1 + q1dp1 + . . .+ qmdpm = dy
ou fij = ∂2u∂qi∂qj
Sous forme matricielle on a:
f11 f12 . . . f1m −p1
f21 f22 . . . f2m −p2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
fm1 fm2 . . . fmm −pm−p1 −p2 . . . −pm 0
dq1
dq2
. . .
dqm
dλ
=
λ 0 . . . 0 0
0 λ . . . 0 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 . . . λ 0
q1 q2 . . . qm −1
dp1
dp2
. . .
dpm
dy
[
H −p−pT 0
] [
dq
dλ
]
=
[
λI 0
qT −1
] [
dp
dy
]
ou H est la matrice hessienne, I la matrice unitaire, dq = [dqi] et dp =[dpi] , i = 1, . . . ,m.
Pour connaıtre l’effet d’une variation des prix sur les quantites achetees,il suffit de premultiplier ce systeme par la premiere matrice a gauche.Les conditions de deuxieme ordre pour un maximum sous contraintenous disent que cette matrice est non singuliere. Si son inverse est:
[HB ]−1 =
[
H −p−pT 0
]−1
=
[ 1λK −b−bT c
]
on a:
[
dq
dλ
]
=
[ 1λK −b−bT c
] [
λI 0
qT −1
] [
dp
dy
]
[
dq
dλ
]
=
[
K − bqT b
−λbT + cqT −c
] [
dp
dy
]
En prenant uniquement le vecteur des variations des quantites on peutecrire:
dq = [K − bqT ]dp+ b dy = Kdp+ b(dy − qT dp)
Ceci est une generalisation de l’equation de Slutsky. La deuxieme partieest appelee l’effet de revenu d’une variation des prix. En effet, l’effet dela variation du revenu sur la quantite achetee du bien est:∂q∂y = b
Si l’on veut obtenir l’effet pur d’une variation du prix il faut eliminercet effet de revenu. Slutsky a alors imagine de compenser le consom-mateur de maniere qu’il puisse toujours acheter les memes quantites debiens. Il faut alors que son revenu augmente de dy = qT dp. Dans ce cas,le deuxieme terme disparaıt et l’effet pur est donne par la matrice K.Quelles sont les proprietes de cette matrice?
Comme [HB ][HB ]−1 = I, on a:1λHK + pbT = I ; −Hb− pc = 0
− 1λ p
TK = 0 ; pT b = 1
H et HB sont des matrices symetriques. Par consequent [HB ]−1 et K lesont aussi. D’autre part, K est une matrice singuliere car Kp = 0. Enpremultipliant par K la premiere equation ci-dessus on obtient:1λKHK +KpbT = K
et sa transposee est:1λKHK + bpTK = K
Comme pTK = 0, on a:1λKHK = K
Etudions les proprietes de la forme quadratique:
zTKz = zTKHKz = xTHx
avec x = Kz. Les conditions de deuxieme ordre nous disent quexTHx ≤ 0 sous la contrainte ( ∂u∂q )T x = 0. D’autre part, Kp=0 et Kest de rang m-1. Par consequent, x =0 seulement si z = αp ou α est une
constante quelconque. La matrice K est donc une matrice semi-definienegative. Par consequent:
Kii < 0
Si le prix du bien i augmente la quantite consommee diminue meme sil’on compense le consommateur afin qu’il puisse continuer a acheter lameme quantite. Le consommateur substitue une partie de ce bien parun autre meilleur marche. La matrice K est alors appelee la matrice del’effet de substitution.
Si uniquement le prix pj varie on obtient l’effet suivant sur la quantiteqi:∂qi
∂pj= Kij − ∂qi
∂y qj
Kij est l’effet pur ou effet de substitution et le reste l’effet de revenud’une variation du prix. C’est l’equation de Slutsky. On peut l’exprimeren utilisant les elasticites:
εij = ξij − ωjηi
Si, pour i 6= j, l’elasticite-prix pure ξij est positive on dit que i et j sontdeux biens substituts purs. Par contre, si εij > 0 on dit que les deux
biens sont des substituts bruts. Lorsque l’elasticite est negative on parlede biens complementaires (purs ou bruts). Par exemple, si u = q1q2 lesdeux biens sont des substituts purs mais ε12 = 0 (independants bruts).
L’approche duale
La maximisation de l’utilite sous la contrainte budgetaire permet detrouver le point sur la droite du budget dont l’utilite est la plus elevee.Si l’on cherche a minimiser les depenses necessaires pour atteindre ceniveau d’utilite on trouve le meme point. Cette approche duale est sou-vent utilisee dans l’analyse du cout de la vie car on cherche precisementle budget minimum pour garder le meme niveau de satisfaction. Leprobleme est alors:
min C =∑
j pjqj S.C. f(q) = u∗
La fonction:
C(p, u∗) = min pT q S.C. f(q) = u∗
est appelee la fonction de cout ou de depense.
La derivee de cette fonction par rapport au prix du bien donne directe-ment l’effet de substitution (car l’utilite est constante, comme dansl’interpretation de Hicks-Allen):∂C∂pi
= (qi)u=u∗ [qi = hi(p, u∗)]
Soit l’expression suivante:
ψ(p) = C(p, u∗) − pT q∗
ou q∗ est la quantite qui maximise l’utilite. Cette expression n’est ja-mais positive et son maximum est obtenu lorsque p est le vecteur desprix qui a conduit a la solution q∗. Dans ce cas ψ(p∗) = 0. On obtientalors:∂ψ∗
∂pi= ∂C
∂pi− q∗i = 0 =⇒ ∂C
∂pi− q∗i = 0
Cette demande est celle d’un consommateur qui a ete compense par labaisse du pouvoir d’achat (lorsque les prix augmentent). On parle alorsde demande compensee ou demande hicksienne tandis que la fonction dedemande usuelle est appelee la demande marshallienne.
En utilisant l’equation de Slutsky:∂qi
∂pi= ( ∂qi
∂pi)u=u∗ − ∂qi
∂y qi
on peut dire que la demande compensee a une pente plus forte que lademande marshallienne [| ∂pi
∂qi| < |( ∂pi
∂qi)u=u∗ |], sauf dans le cas des biens
inferieurs.
Exemple: u = q1q2
La demande marshallienne est:
q1 = y2p1
; q2 = y2p2
; u∗ = y2
4p1p2
La demande hicksienne est:
q1 =√
u∗p2p1
; q2 =√
u∗p1p2
La fonction de cout:
C = 2√p1p2u∗
donne directement la demande hicksienne en prenant la derivee par rap-port au prix:
∂C∂p1
=√
u∗p2p1
; ∂C∂p2
=√
u∗p1p2
La derivee de la demande hicksienne donne l’effet de substitution:∂q1∂p1
= − 12
√
u∗p2p31
= − 12
√
y2p24p41p2
= − y4p21
et ceci correspond au terme K11 dans l’equation de Slutsky:
K11 = ∂q1∂p1
+ ∂q1∂y q1 = − y
2p21+ 1
2p1
y2p1
= − y4p21
.
La fonction de cout est une fonction homogene de degre 1. On peutmontrer qu’elle est concave.
Si l’on introduit les quantites optimales dans la fonction d’utilite on ob-tient la fonction d’utilite indirecte, definie ainsi:
v(p, y) = max u(q)
Ci-dessus on a deja calcule la fonction d’utilite indirecte correspondant a
la fonction directe u = q1q2. En effet v = u∗ = y2
4p1p2.
L’utilite indirecte permet d’obtenir la demande marshallienne en util-isant l’identite de Roy:
−∂v∂pi∂v∂y
= qi(p, y)
Cette identite peut etre demontree de la maniere suivante. En prenantla definition de la fonction d’utilite indirecte, on peut ecrire:
v(p, y) ≡ u∗ = f(q∗) ≡ f [φ1(p, y), ..., φm(p, y)]
La derivee par rapport au prix pi est:∂v∂pi
=∑
j f∗
j∂qj
∂pi
En utilisant les conditions de premier ordre (fi = λpi) et la relation
d’agregation de Cournot (qi +∑
j pj∂qj
∂pi= 0) on obtient:
∂v∂pi
= λ(∑
pj∂qj
∂pi)
= −λqiLa derivee par rapport a y est:∂v∂y =
∑
j f∗
j∂qj
∂y
et elle devient, en procedant de la meme maniere que ci-dessus:∂v∂y = λ(
∑
j pj∂qj
∂y )
= λ
Nous avons ainsi demontre que le multiplicateur de Lagrange est effec-tivement egal a l’utilite marginale du revenu. En definitive on obtient:∂v∂pi
= − ∂v∂y qi
On peut alors ecrire:
qi = φi(p, y) =−
∂v(p,y)∂pi
∂v(p,y)∂y
Exemple:
Si v = y2
4p1p2on a:
q1 =y2/4p21p22y/4p1p2
= y2p1
qui est la demande marshallienne lorsque u = q1q2.
Le surplus du consommateur
La proposition de Dupuit de mesurer l’utilite d’un bien par la surfacesous la fonction de demande a ete etudiee par Marshall qui indiqua unerestriction importante pour son utilisation. Il faut que l’utilite marginaledu revenu soit constante. En effet, si le consommateur doit payer pluscher les premieres unites, il aura moins d’argent pour acheter les autres.Comme la part du revenu consacre a chaque bien est peu importante,Marshall juge acceptable cette restriction. On peut comprendre la re-striction imposee par Marshall en utilisant l’identite de Roy:
qi(p, y) =−
∂v∂pi∂v∂y
= − 1λ∂v∂pi
Si le prix pi passe de p1i a poi la variation du surplus est:
S =∫ po
i
p1iqidpi =
∫
− 1λ∂v∂pi
dpi
Si l’utilite marginale du revenu est constante, on peut ecrire:
S = 1λ | − v(p, y)|p
oi
p1i
= 1λ [v(p1, y) − v(po, y)]
Le surplus represente la variation de l’utilite du consommateur. L’utilitemarginale du revenu “transforme” cette utilite en valeur monetaire cal-
culable.
Si l’utilite marginale du revenu varie, on peut calculer le “vrai” surplusde la maniere suivante. Si le prix baisse (de poi a p1
i ), l’utilite du con-sommateur augmente. Quelle somme faut-il lui prendre pour que sonutilite ne change pas? En utilisant la fonction de cout, on peut ecrire:
CV = C(po, uo) − C(p1, uo)
On l’appelle la variation compensee. Graphiquement, la variation com-pensee est la surface sous la fonction de demande compensee tandis quele surplus est la surface sous la fonction de demande marshallienne.
On pourrait aussi prendre le niveau de satisfaction dans la nouvelle sit-uation comme point de comparaison. Par exemple, si le gouvernementveut empecher que le prix du lait baisse de poi a p1
i , quelle somme doit-ildonner au consommateur afin que son niveau d’utilite soit celui obtenuavec une baisse du prix? Cette somme est la variation equivalente:
EV = C(po, u1) − C(p1, u1)
Pour des biens normaux, EV > CV .
Exemple: u = q1q2 → C(p, u∗) = 2√p1p2u∗
Si y = 24 , po1 = 2 , po2 = 0.5, on a uo = 144 et C(2, 0.5, 144) = 24 = y.
Si le prix p1 baisse de 2 a 0.5 on a:
S =∫ 2
0.5y
2p1dp1 = 16.6
CV = C(2, 0.5, 144) − C(0.5, 0.5, 144) = 24 − 12 = 12
EV = C(2, 0.5, 576) − C(0.5, 0.5, 576) = 48 − 24 = 24
La fonction d’utilite indirecte monnaie-metrique
Pour des valeurs donnees des prix, la fonction de cout varie selon lesvaleurs de l’utilite. On l’appelle la fonction d’utilite directe monnaie-metrique, c’est-a-dire mesuree en termes de monnaie (en francs). Sil’on prend la fonction d’utilite indirecte v(po, y), la fonction de coutC(p1, uo) devient:
C(p1, uo) = C[p1, v(po, y)] = µ(p1, po, y)
On l’appelle la fonction d’utilite indirecte monnaie-metrique. Elle in-dique le revenu necessaire pour que le consommateur ait la meme utilitelorsque les prix sont p1 que celle qu’il avait avec les prix po.
Exemple
Soit la fonction d’utilite u = q1q2, le revenu y et les prix p = [p1 p2].La fonction de cout est C(p, u) = 2
√p1p2u et l’utilite indirecte v(p, y) =
y2/4p1p2. La fonction d’utilite indirecte monnaie-metrique est alors:
µ(p1, po, y) = 2√
p11p12y
2
4po1p
o2
Si po1 = 1 , po2 = 2 , y = 24, alors qo1 = 12 , qo2 = 6 et l’utilite est 72.
Lorsque les prix sont p11 = 2 , p1
2 = 4, on trouve µ = 48. En effet, on a
multiplie par 2 les prix et alors le revenu doit doubler pour que l’utilitereste la meme.
On peut exprimer les variations compensee et equivalente en prenantl’utilite indirecte monnaie-metrique. Supposons que le consommateurdispose d’un revenu de yo lorsque les prix sont po et de y1 lorsqu’ilssont de p1. La variation de bien-etre peut etre calculee en prenant ladifference des fonctions d’utilite indirecte v(p1, y1) − v(po, yo). Cettedifference peut etre exprimee en termes monetaires en prenant la fonc-tion d’utilite indirecte monnaie-metrique. Les variations compensee etequivalente sont alors:
CV = µ(p1, p1, y1) − µ(p1, po, yo)
= y1 − C(p1, uo)
EV = µ(po, p1, y1) − µ(po, po, yo)
= C(po, u1) − yo
Lorsqu’on examine la variation de bien-etre due a une modification desprix, le revenu ne change pas et alors: y1 = C(p1, u1) = yo = C(po, uo).Par consequent:
CV = C(po, uo) − C(p1, uo)
EV = C(po, u1) − C(p1, u1)
comme indique precedemment.
Variation compensee
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
123456789
101112131415
q1
q2
•S1•So
CV
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..........................
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..........................
..........................
..........................
Variation equivalente
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
123456789
101112131415
q1
q2
•S1•So
EV
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....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
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Theorie de la preference revelee
Plutot que de demander aux consommateurs quelles sont ses preferences,Samuelson suggera d’observer son comportement afin de tirer des ren-seignements sur ses preferences.
Supposons que le consommateur achete les quantites q1 = [q11 , q12 , .., q
1m]T
(vecteur-colonne) lorsque les prix sont p1 = [p11, p
12, . . . , p
1m]
(vecteur-ligne). Sa depense est p1q1. Prenons maintenant un autre com-plexe q2 qui ne coute pas plus cher que q1 [p1q2 ≤ p1q1]. Le consomma-teur pouvait acheter ce complexe et il ne l’a pas fait. On dira alors qu’ilprefere q1 a q2. On ecrira:
q1 R© q2 q1 6= q2
c’est-a-dire “q1 revele prefere a q2” ou q2 “pas revele prefere a” q1. Parcontre, si un complexe q3 est plus cher [p1q3 > p1q1], on ne peut riendire car on ne sait pas si le consommateur ne le prefere pas ou s’il n’apas assez d’argent pour l’acheter.
Toujours en observant le consommateur, supposons que quelques joursplus tard il achete le complexe q2 et les prix sont p2. Si son comporte-ment est rationnel et si ses gouts n’ont pas change, il ne doit pas reveler
qu’il prefere q2 a q1. L’axiome faible de la preference revelee dira que:
q1 R© q2 =⇒ q2 pas R© q1
La relation doit etre asymetrique comme dans le cas de >.
Si cet axiome est satisfait, le consommateur a achete q2 car il est main-tenant meilleur marche que q1 [p2q2 < p2q1].
Samuelson a reussi a deduire l’homogeneite de degre zero de la fonc-tion de demande et le signe negatif de l’effet de substitution en utilisantuniquement cet axiome.
Prenons deux vecteurs de prix p1 et p2 qui ont les memes elements ex-ceptes les premiers prix. En d’autres termes, c’est uniquement le prix dupremier bien qui a change (p1
i = p2i i = 2, . . . ,m ; p1
1 6= p21). Supposons
que le consommateur achete le complexe q1 lorsque les prix sont p1 et q2
lorsqu’ils sont p2. Lorsque les prix sont p1, le consommateur aurait aussipu acheter le complexe q2 car le cout est le meme (p1q1 = p1q2). Il aalors revele qu’il prefere q1 a q2 (q1 R© q2). L’axiome faible nous dit quep2q2 < p2q1. Comme p1q1 − p1q2 = 0, on a:
[p1q1 − p1q2] + p2q2 − p2q1 < 0
(p2 − p1)(q2 − q1) < 0
(p21 − p1
1)(q21 − q11) < 0 → ∆p1∆q1 < 0
L’homogeneite de degre zero peut etre demontree en multipliant les prixet le revenu par une constante γ. Soit p2 = γp1 ; y2 = γy1. On a:
p2q2 = y2 = γy1 = γp1q1
Comme p2 = γp1, on peut ecrire:
γp1q2 = γp1q1 → p1q2 = p1q1
Supposons que q1 6= q2. Selon l’axiome faible, q1 R© q2 car le cout est lememe et le consommateur a achete q1. On a alors:
p2q1 > p2q2
γp1q1 > γp1q2
p1q1 > p1q2
et ceci est une contradiction car p1q1 = p1q2. Par consequent, q1 = q2 etalors la quantite achetee ne change pas.
Samuelson n’a pas reussi a montrer la symetrie de l’effet de substitution.Dans ce cas, on aurait pu faire le lien avec les preferences provenant
d’une fonction d’utilite.
Houthakker a montre qu’il fallait un axiome plus fort qui ne se limitaitpas a la comparaison entre deux complexes. L’axiome fort est le suivant:
q1 R© q2 R© q3 . . . qn−1 R© qn → qn pas R© q1
Il ne faut pas qu’il y ait un cycle. Cette condition est similaire a unecondition d’acyclicite introduite par von Neumann et Morgenstern.
Exemple:
p1 = [ 3 2 1 ] ; p2 = [ 1 3 1 ]
p3 = [ 10 6 8 ]
q1 = [ 2 15 10 ]T
; q2 = [ 3 9 15 ]T
q3 = [ 12 5 6 ]T
On a:
p1q1 = 46 ; p1q2 = 42 ; p1q3 = 52 → q1 R© q2
p2q1 = 57 ; p2q2 = 45 ; p2q3 = 33 → q2 R© q3
p3q1 = 190 ; p3q2 = 204 ; p3q3 = 198 → q3 R© q1
L’axiome faible est satisfait tandis que l’axiome fort ne l’ait pas car
q1 R© q2 R© q3 → q1 R© q3.
Si l’on accepte des courbes d’indifference avec une partie droite (courbeconvexe au lieu de strictement convexe) alors le consommateur peutchoisir des valeurs differentes sur cette partie droite sans qu’il y ait con-tradiction. Dans ce cas, il suffit de prendre un axiome generalise de lapreference revelee (GARP).
On dit que:
1) q1 est directement revele prefere a q2 (q1 R©D q2) si p1q1 ≥ p1q2
2) q1 R© qn → q1 R©D q2 . . . R©D qn
Un ensemble de donnees satisfait GARP si q1 R© qn → pnq1 ≥ pnqn.
Un ensemble de donnees est conforme a la maximisation de l’utilite si etseulement si il satisfait GARP.
Dans une analyse de donnees avec GARP, il faut naturellement tenircompte du pouvoir du test. En effet, si le revenu augmente, tous lescomplexes de biens qui se trouvent sur la nouvelle contrainte budgetairesont souvent conformes a la maximisation de l’utilite. Le pouvoir dutest est nul.
Le modele de Lancaster
La theorie du consommateur a ete developpee au XIX siecle lorsqueles biens achetes etaient peu nombreux. Aujourd’hui le consommateura le choix entre plusieurs milliers de biens. Ceci posait des problemesaux economistes qui devaient calculer des indices de prix car les bienschangeaient d’une annee a l’autre. Il y avait deux possibilites: soit ig-norer les differences et considerer qu’il s’agit d’un meme bien, soit con-siderer que les deux biens etaient totalement differents. Cette solutionn’etait pas satisfaisante car dans le premier cas on peut confondre unchangement de qualite par une hausse de prix et dans le deuxieme casil est impossible de calculer la hausse des prix. On a alors construitdes indices “hedonistes” ou l’on considere qu’un bien possede un cer-tain nombre de caracteristiques. Par exemple, la difference entre unevoiture X et une autre voiture XL n’est peut-etre qu’un probleme depeinture metallique. Si l’on tient compte de ce cout supplementaire, onpeut calculer la hausse du prix du modele actuel par rapport au modelede l’annee passee.
Lancaster s’est inspire de cette notion de caracteristiques pour develop-
per une nouvelle theorie du consommateur. Les biens possedent descaracteristiques objectives (chassis, moteur, carrosserie, etc. pour unevoiture; vitamines, proteines, etc. pour la nourriture). Les individus ontdes preferences subjectives pour ces caracteristiques. Les preferencespour les biens sont indirectes car les biens possedent les caracteristiquesdans des proportions variables. Lancaster suppose qu’il y a un lienlineaire entre bien et caracteristiques:
zi =∑mj=1 bijqj i = 1, 2, . . . , r
ou zi est la caracteristique i et bij est une constante. La matrice B =[bij ] est appelee la matrice de la technologie de la consommation. Leprobleme du consommateur est alors le suivant:
max u = (z) S.C. z = Bq ; q ≥ 0 ; pq ≤ y
Il s’agit d’un probleme de programmation non-lineaire.
Le modele de Lancaster est utilise pour analyser les changements dequalite. Dans tous les autres cas, on continue a utiliser le modele tra-ditionnel.
Le modele intertemporel
Theoriquement, il est facile de generaliser le modele du consommateuren introduisant plusieurs periodes. La fonction d’utilite deviendrait:
u(q11, . . . , qm1; q12, . . . , qm2; . . . ; q1T , . . . , qmT )
ou le premier indice indique le bien, le deuxieme la periode et T est lenombre total de periodes. La contrainte serait:∑Tt=1
∑mj=1 pjtqjt =
∑Tt=1
∑mj=1 pjtq
ojt
ou qojt sont les ressources du consommateur. Les prix et les ressourcesfuturs sont naturellement des valeurs anticipees. Le prix d’un memebien a deux epoques differentes permet de calculer le facteur d’escompteou d’interet, specifique pour chaque bien.
En maximisant l’utilite sous cette contrainte on obtient les quantitesque le consommateur planifie de consommer pendant toutes les periodes.Ce modele est peu realiste si on l’applique a un nombre arbitraire debiens. La vie du consommateur devient impossible s’il doit planifier lenombre de lacets de souliers qu’il pense acheter dans 20 ans. On sup-pose alors qu’il procede en deux etapes. Dans une premiere etape il se
limite a prevoir la consommation dans chaque periode (ct =∑
pitqit).Ensuite, il repartit cette somme entre les differents biens qu’il penseacheter. Cette deuxieme etape correspond au modele statique qu’on avu [max u = f(q1, . . . , qm) S.C.
∑
piqi = c]. La premiere etape estalors:
max V = f(c1, c2, . . . , cT ) S.C.∑
tct
(1+r1)...(1+rt−1) =∑
tyt
(1+r1)...(1+rt−1)
ou rt sont les taux d’interet (r0 = 0) et yt les revenus du consommateur.
Les conditions de premier ordre sont:
∂L∂cj
= ∂v∂cj
− λ(1+r1)(1+r2)...(1+rj−1) = 0
∂L∂λ =
∑ yt
(1+r1)(1+r2)...(1+rt−1)
−∑ ct
(1+r1)(1+r2)...(1+rt−1) = 0
(j = 1, 2, . . . , T )
De ces conditions on tire:
δj =∂v
∂cj∂v
∂cj+1
− 1 = rj j = 1, 2, . . . , T − 1
Les taux de preference pour le temps (δj) doivent etre egaux aux tauxd’interet.
On fait souvent l’hypothese que l’utilite est additive par rapport autemps:
v(c1, c2, . . . , cT ) =∑Tt=0
u(ct)(1+ρt)t
ou u(ct) est la fonction d’utilite “instantanee” et ρt est le taux d’escom-pte subjectif.
Si ce taux subjectif n’est pas constant, le consommateur ne va pas suivrele plan qu’il avait prepare. En effet, Strotz a montre que, meme lorsquetoutes les anticipations restent les memes, le consommateur trouve queson plan n’est plus optimal lorsqu’il le reexamine quelque temps plustard. On fait alors l’hypothese que le taux est constant et on ecrit:
v =∑Tt=0(
11+ρ )tu(ct)
D’autre part, on prefere souvent travailler avec un temps continu etalors on a:
v =∫ T
t=0e−ρtu(ct)dt
De nombreuses enquetes aupres des consommateurs revelent que cet es-
compte “exponentiel” ne correspond pas a la realite. Les periodes loin-taines sont escomptees a un taux plus bas que les periodes recentes.Un escompte “hyperbolique” du type φ(t) = (1 + αt)−ρ/α donne demeilleurs resultats. On obtient l’escompte exponentiel lorsque α → 0(φ(t) = e−ρt). Dans ce qui suit, on va neanmoins continuer a utiliserl’escompte exponentiel.
La variation des actifs du consommateur (at) est representee par lerevenu recu, y compris l’interet sur les actifs, moins les depenses. Ona alors:
a = ra+ y − c
Si l’on suppose que le consommateur desire garder un actif a la fin de laperiode, le probleme devient:
max∫ T
oe−ρtu(ct) dt+ e−ρT u(aT )
S.C. a = ra+ y − c
C’est un probleme de calcul des variations. Il existe une methode sim-ilaire a celle de Lagrange pour resoudre ce probleme. C’est la methodede Pontryagin qui utilise la valeur courante de l’hamiltonien:
Hc = u(ct) + λ[ra+ y − c]
ou λ est une variable auxiliaire appelee la costate. Les conditions depremier ordre sont:∂Hc
∂c = ∂u∂c − λ = 0
λ = ρλ− λr = (ρ− r)λ
Il faut aussi satisfaire la condition de transversalite:
λ(T ) = ∂u(aT )∂aT
En eliminant λ on trouve:
[c u′′(c)u′(c) ] cc = ρ− r
Cette expression est appelee l’equation d’Euler. Si le temps est discret,il faut utiliser la programmation dynamique et le principe d’optimalitede Bellman. Le probleme devient:
max V =∑
t(1
1+ρ )tu(ct)
S.C. at+1 = (1 + r)at + yt − ct
Supposons que nous sommes arrives au temps to > 0. Le principed’optimalite de Bellman dit que, quel que soit l’etat initial, si les
premieres decisions sont celles du plan optimal, alors les decisions suc-cessives sont obtenues en cherchant le plan optimal pour le problemecommencant en to avec l’etat du systeme resultant des decisions prece-dentes (l’actif au temps to depend des decisions precedentes).
Soit
W (a, to) = max∑Tt=to
( 11+ρ )t−tou(ct)
En utilisant successivement le principe de Bellman, on peut ecrire:
W (at, to) = maxto
[u(cto ) +W (ato+1, to+1)]
Si l’on utilise la valeur courante de cette fonction:
W c(ato , to)(1 + ρ)to
on a:
W c(ato , to) = maxto
[u(cto )+1
1+ρWc(ato+1, to+1)]
Cette expression est tres pratique lorsqu’on introduit explicitementl’incertitude sous la forme de valeurs esperees. On a:
W c(ato , to) = maxto
[u(cto )+
( 11+ρ )Eto{W c(ato+1, to+1)}]
ou les anticipations sont celles de la periode to. Cette maximisation esteffectuee sous la contrainte
ato+1 = (1 + r)ato + yto − ctoLes conditions de premier ordre sont:∂u∂cto
= λ(to)
λ(to) = 11+ρEto{λ(to + 1)(1 + r)}
Cette derniere relation est appelee l’equation d’Euler, comme dans le cascontinu.
Choix en situation d’incertitude
Le consommateur doit souvent faire des choix sans connaıtre les conse-quences de sa decision. Par exemple, il decide de prendre une assurancecontre le vol sans savoir si on lui vole quelque chose; il achete des actionssans savoir si elles vont augmenter ou baisser, etc.
Von Neumann et Morgenstern ont propose un modele pour expliquerle comportement de l’individu en cas de risque ou d’incertitude. Enprenant une serie d’axiomes, ils arrivent a la conclusion que l’individumaximise l’utilite esperee.
Lorsqu’il y a incertitude, il faut considerer les etats de la nature (volou pas vol, etc.). D’autre part, il faut toujours associer un bien a l’etatde la nature dans laquelle ce bien est disponible. On parle alors d’unbien contingent ou d’une perspective. Il s’agit d’un complexe de biendote d’une probabilite pi. On ecrira xi = [xij ] j = 1, 2, . . . m ; i =1, 2, . . . , N . N est le nombre d’etats de la nature et m le nombre de bi-ens.
Von Neumann et Morgenstern supposent que les preferences du con-sommateur dependent uniquement des utilites elementaires u(xi) et des
probabilites avec lesquelles les vecteurs xi se realisent. Les evenementsqui determinent les probabilites pi n’ont aucune influence sur lespreferences du consommateur.
Prenons le cas ou le complexe de biens ne comprend que 2 valeurs: lasomme nette que l’on peut gagner avec un billet de loterie et le montantperdu si l’on ne gagne pas. On ecrira la perspective q de la maniere sui-vante: q = (x1, p1;x2, p2) ou xi (i = 1, 2) est le bien et pi sa probabilite.Supposons qu’avec la loterie A, la probabilite de gagner 10’000 francsest de 0.2% et le prix du billet est de 100 francs. On representera cetteperspective en utilisant le vecteur q = (9’900 , 0.002; -100 , 0.998). Sile consommateur prefere la loterie B, decrite par le vecteur r, ou il y aune probabilite de 0.1% de gagner 30’000 francs et le prix du billet est lememe, on ecrira r � q avec r = (29’900 , 0.001 ; -100 , 0.999).
Les axiomes proposes par von Neumann et Morgenstern sont les sui-vants:
1) Rationalite: les preferences constituent un preordre complet
2) Continuite: pour toute perspective q, r, s avec q � r et r � s , il ex-iste une probabilite p telle que la perspective (q , p ; s , 1-p), composee
des deux perspectives q et s, est indifferente a la perspective r.
Si ces deux axiomes sont satisfaits, on peut representer les preferences al’aide d’une fonction d’utilite V(q).
3) Independance: si q � r alors (q, p; s, 1 − p) � (r, p; s, 1 − p).
Si l’on melange de la meme maniere les deux perspectives q et r
avec une perspective s quelconque, alors la perspective contenant q
doit toujours etre preferee a celle contenant r. Les preferences sontindependantes de la perspective s. Cet axiome d’independance permetde representer les preferences de la maniere suivante:
V (q) =∑
piu(xi)
ou u(xi) designe l’utilite du bien xi. Les preferences du consommateurpour la perspective q sont representees par l’utilite esperee
∑
piu(xi).
L’axiome 3) implique que la fonction d’utilite a une forme lineaire dansles probabilites.
Les choix du consommateur sont obtenus en maximisant l’utilite esperee.
Exemple
La fortune d’un consommateur est constituee par sa maison dont la
valeur est W . Il y a une probabilite p que la maison brule et que laperte soit de L. Le cout d’une assurance contre l’incendie est ax ou aest la prime unitaire et x le montant assure. Ce montant est obtenu enmaximisant l’utilite esperee:
E(u) = pu[W − L+ x− ax] + (1 − p)u[W − ax]
La condition de premier ordre est:dE(u)dx = pu′[W − L+ x(1 − a)](1 − a) + (1 − p)u′[W − ax](−a) = 0
ou l’apostrophe designe la premiere derivee de la fonction d’utilite. Onobtient:u′ [W−L+x(1−a)]
u′ [W−ax] = 1−pp
a1−a
La valeur esperee de la fortune du consommateur est:
E(W ) = p[W − L+ x− ax] + (1 − p)[W − ax]
Le profit espere de la compagnie d’assurances est:
−p(1 − a)x+ (1 − p)ax
S’il y a concurrence le profit sera nul et alors la prime sera a = p.
Si le consommateur est averse au risque, sa fonction d’utilite est concave
et alors u′′(W ) < 0. Avec une prime a = p le consommateur s’assuretotalement (x = L) car:
u′[W − L+ x(1 − a)] = u′[W − ax]
et alors x = L.
Si un consommateur est averse au risque, alors u[E(W )] > E(u). S’ilaime le risque l’inegalite est renversee et s’il est neutre il y a egalite.
Un consommateur qui a une fonction d’utilite convexe aime le risque. Sisa fonction est lineaire il est neutre vis-a-vis du risque.
Une mesure du degre absolu d’aversion vis-a-vis du risque est donneepar l’expression suivante:
− u′′(W )u′(W ) = − d ln u′(W )
dW
Le degre relatif d’aversion au risque est donne par l’expression:
− u′′(W )Wu′(W ) = − d ln u′(W )
dW W
On suppose souvent que le degre d’aversion vis-a-vis du risque estdecroissant par rapport a la fortune du consommateur. La fonctiond’utilite u = ln (W + 1) satisfait cette condition.
On utilise parfois les deux fonctions suivantes:
u(W ) = − 1α e
−αW ; u(W ) = W 1−γ
1−γ
La premiere a un degre absolu d’aversion au risque constant (α) tandisque la deuxieme a un degre relatif d’aversion au risque constant (γ).
Ces resultats sont invariants par rapport a une transformation monotonelineaire (ou affine) de la fonction d’utilite. Dans un certain sens, l’utilitevon Neumann-Morgenstern est une utilite “cardinale”.
L’axiome d’independance, qui ne tient pas compte de la distribution desprobabilites, a ete critique par Allais. Allais critique la pertinence de latheorie de l’utilite esperee en prenant un exemple ou le comportementdes individus n’est pas conforme a la theorie. On doit choisir entre lesdeux perspectives suivantes:
s1 : 100 millions certains
r1 : 500 millions avec probabilite 0.10
100 millions avec probabilite 0.89
0 avec probabilite 0.01
Beaucoup d’individus preferent 100 millions certains:
(100, 1) � (500, 0.1; 100, 0.89; 0, 0.01)
Par contre, si l’on doit choisir entre:
s2 : 100 millions avec probabilite 0.11
0 avec probabilite 0.89
r2 : 500 millions avec probabilite 0.1
0 avec probabilite 0.9
la plupart des individus prefere r2 car les probabilites sont presque lesmemes mais r2 permet de gagner cinq fois plus que s2.
Ces choix ne sont pas compatibles avec la theorie de l’utilite esperee. Onparle de l’effet de certitude ou du paradoxe de la consequence commune.En effet, ces perspectives sont du type suivant:
s = (x2, p;x1, 1 − p) r = (q, p;x1, 1 − p)
avec q = (x3 , λ ; 0, 1 - λ ) (0 < λ < 1). En developpant la deuxiemeperspective, on obtient r = [x3, λp; 0, (1 − λ)p;x1, (1 − p)].
La consequence commune est x1 . Selon l’axiome d’independance, leschoix ne dependent pas de la valeur de x1. Le paradoxe d’Allais montreque ceci n’est pas le cas. On obtient ses valeurs en mettant x2 = 100 ,
x3 = 500 , p = 0.11 et λ = 1011 . Dans le premier cas x1=100 et dans le
deuxieme x1=0. Lorsque x1=100 s � r et lorsque x1=0 r � s.
On peut representer les preferences de l’individu en utilisant le trian-gle des probabilites. La pente de la courbe d’indifference depend del’aversion au risque de l’individu. Elle sera forte lorsque celle-ci seragrande. Par convention, la somme la plus elevee se trouve en haut etla plus basse a droite. Par consequent, l’utilite augmente lorsqu’on sedeplace vers la gauche (voir graphique).
L’axiome d’independance implique que les courbes d’indifference sontdes droites paralleles (droites traitillees) car sur les axes il y a les proba-bilites.
Dans l’exemple ci-dessus, r1 � s1 et r2 � s2. Si la pente est plus forte,on aurait s1 � r1 et s2 � r2. Il est impossible d’avoir s1 � r1 etr2 � s2 comme trouve avec le paradoxe d’Allais.
Il convient de noter que l’on passe de s1 a s2 et de r1 a r2 en diminu-ant de 0.89 la probabilite de gagner 100 millions et en augmentant dansla meme mesure la probabilite de ne rien gagner. Graphiquement, lespoints r1 et s1 se deplacent de maniere parallele a r2 , s2 (droite con-
tinue). Par consequent, si r1 � s1 alors r2 � s2.
De nombreuses experiences confirment l’importance du paradoxed’Allais. MacCrimmon trouve qu’environ un tiers des 36 hommesd’affaires interviewes donne les reponses prevues par Allais. Le pour-centage s’eleve a 44% dans l’experience de Conlisk avec 236 individuset a plus de 80% dans celle de Kahneman et Tversky avec 72 etudiants.Cette derniere experience est tres interessante car les sommes proposeesne correspondaient qu’a environ un mois de salaire.
Un autre paradoxe, aussi propose par Allais, est celui du rapport com-mun. On a les deux perspectives suivantes:
s∗1 : 100 millions certains
r∗1 : 500 millions avec probabilite 0.8
0 avec probabilite 0.2
La plupart des individus preferent s∗1 (s∗1
� r∗1). D’autre part, si l’on
doit choisir entre les deux perspectives suivantes:
s∗2 : 100 millions avec probabilite 0.05
0 avec probabilite 0.95
r∗2 : 500 millions avec probabilite 0.04
0 avec probabilite 0.96
on prefere r∗2 (r∗2� s∗
2). Il s’agit ici de perspectives de la forme suivante:
s∗ = (x2, p; 0, 1 − p) r∗ = (x3, λp; 0, 1 − λp)
Il y a un rapport commun λ entre les deux probabilites. On obtientl’exemple ci-dessus lorsque x2=100, x3=500 et λ = 0.8. Dans le premiercas p=1 et dans le deuxieme p=0.05.
Comme on peut le voir dans le graphique ci-dessus, la theorie de l’utiliteesperee implique que si r∗
2� s∗
2alors r∗
1� s∗
1et non pas comme indique
dans l’exemple propose. Les preferences ne doivent pas dependre de lavaleur de p.
On passe de s∗1
a s∗2
en divisant par 20 la probabilite de gagner 100millions et de r∗
1a r∗
2en divisant par 20 la probabilite de gagner 500
millions. Graphiquement, les points r∗1
et s∗1
se deplacent de maniereparallele a r∗
2, s∗
2(droite pointillee). Par consequent, si r∗
1� s∗
1alors
r∗2� s∗
2.
Ce deuxieme paradoxe aussi a ete confirme par de nombreuses experien-
ces. MacCrimmon et Larsson trouvent qu’une majorite des 18 etudiantsinterroges ont un comportement qui n’est pas conforme a la theorie del’utilite esperee. Toutefois, lorsque la somme proposee etait reduite, lesincoherences diminuent. Kahneman et Tversky obtiennent des resultatsencore plus frappants. Le 82% des 72 etudiants interroges preferent s∗
1
lorsque x2=3000 , x3=4000 (lires israeliennes). Dans le deuxieme cas,65% preferent r∗
2lorsque p=0.25.
Toutes ces experimentations sont basees sur des questions hypothetiquescar on ne peut pas payer des sommes aussi importantes. Les indi-vidus n’ont alors aucune incitation a repondre selon leurs preferencesveritables. Il y aura un certain nombre de choix aleatoires. Toutefois,un pourcentage significatif des reponses confirment les affirmations despartisans des paradoxes. Par ailleurs, des experiences effectuees dans despays ou le taux de change permettait de payer des sommes correspon-dant a plusieurs mois de salaire montrent qu’il n’y a pas de differencesfondamentales entres les deux types d’experimentation.
Le caractere peu realiste de la theorie de l’utilite esperee a ete recem-ment illustre par Rabin. Dans la theorie de l’utilite esperee, l’aversion
au risque est le resultat de la concavite de la fonction d’utilite. Ceci sig-nifie que si un individu a de l’aversion au risque dans le cas de petitsmontants en jeu, alors l’utilite marginale doit fortement diminuer. Parconsequent, cet individu doit aussi rejeter des jeux tres favorables avecdes montants eleves.
Si un individu refuse le jeu ou la probabilite de gagner 125 $ est lameme que celle de perdre 100 $ (lorsque sa fortune initiale est inferieurea 300’000 $) alors il doit refuser de participer a un jeu ayant les memesprobabilites (50%) mais avec une perte de 600 $ et un gain de 36 mil-liards de dollars (a partir d’une fortune initiale de 290’000 $) !
On peut tenir compte des resultats des differentes experiences sur lespreferences des individus en situation d’incertitude en supposant queles courbes d’indifference ne soient pas des droites paralleles. Il suffit desupposer que les preferences soient representees par la fonction suivante:
V (q) =∑
π(pi)u(xi)
ou les probabilites sont ponderees selon l’expression π(pi). Lattimore,Backer et Witte proposent la formule suivante:
π(pi) =αpβ
i
αpβi+∑
k 6=ipβ
k
Lorsque α = β = 1 on retrouve le modele de l’utilite esperee. Enprenant 57 individus, les auteurs trouvent que les valeurs de α et β sontinferieures a 1. Les individus cherchent le risque lorsque la probabiliteest faible et l’evitent lorsqu’elle est forte. D’autre part, la theorie del’utilite esperee n’est la meilleure explication que dans 20% des cas.
Un autre paradoxe qui intrigue les chercheurs est le renversement despreferences. Lichtenstein et Slovic proposent aux participants de choisirentre les perspectives (4 , 0.99 ; -1 , 0.01) et (16, 0.33 ; -2 , 0.67). Lapremiere est appelee le P-bet, car dans ce pari la probabilite est treselevee, et la deuxieme le $-bet car la somme que l’on peut gagner estplus elevee. En general, les individus preferent le P-bet. Ensuite, apresquelques autres questions, on demande aux participants d’indiquer leprix de vente minimum de ces billets. On obtient alors des sommes pluselevees pour le $-bet. Le 73% des participants preferent le P-bet maisexigent un prix plus eleve pour le $-bet. Il y a donc un renversementsurprenant des preferences entre la premiere et la deuxieme question.
On constate le meme phenomene lorsque les choix sont reels et non pashypothetiques. Le renversement des preferences obtenu par Grether etPlott est de 70%. Avec des sommes plus elevees, Pommerehne, Schnei-der et Zweifel ne trouvent que 45% des participants qui preferent le P-bet mais exigent un prix plus eleve pour le $-bet. Par contre Bohmn’observe aucun renversement mais, dans son experience, il s’agit defaire des choix entre deux voitures d’occasion.
En permettant les achats et les ventes des deux types de paris (P-bet et$ bet), Knez et Smith obtiennent une reduction du nombre de renverse-ment de preferences (de 60% a 40%). Par ailleurs, il arrive souvent queles achats et les ventes effectues ne soient pas conformes aux reponsesdonnees precedemment.
Cox et Grether utilisent plusieurs methodes pour determiner les prefe-rences des individus, en particulier l’enchere au deuxieme prix etl’enchere anglaise. Lorsque l’experience est repetee plusieurs fois avec lesmemes participants, le nombre de renversement de preferences diminue,surtout avec ces dernieres methodes et des incitations monetaires.
Le renversement des preferences montre que les reponses dependent
de comment la question est formulee. Un exemple classique est celuipresente par Tversky et Kahneman. On prevoit qu’une nouvelle mal-adie va causer 600 deces aux Etats-Unis. Plusieurs programmes de luttecontre cette maladie sont proposes:
A: 200 personnes sauvees
B: 600 personnes sauvees, probabilite 1/3;
0 personnes sauvees, probabilite 2/3
C: 400 personnes decedees
D: 600 personnes decedees, probabilite 2/3;
0 personnes decedees, probabilite 1/3
On obtient en general que A � B et D � C. La formulation en termesde personnes sauvees ne donne pas le meme resultat que celle en termede personnes decedees. Un probleme similaire est aussi rencontre danscertains sondages.
En economie, on peut rencontrer un probleme de ce type lorsque lesgains et les pertes sont evalues selon des criteres differents.
La theorie de la perspective
Kahneman et Tversky proposent une nouvelle theorie pour expliquerle comportement de l’individu en cas de risque ou incertitude. Leurtheorie de la perspective comprend une etape preliminaire ou l’individusimplifie et reformule les perspectives de maniere a faciliter le choix. Ils’agit ensuite de choisir un point de reference a partir duquel les gainset les pertes sont evalues. Par exemple, le point de reference peut etrela fortune actuelle de l’individu. Dans ce cas, le choix de la perspectivedependra de la variation de la fortune et non pas de la fortune finale.
Les resultats des perspectives sont evalues en utilisant une fonctiond’utilite centree autour du point de reference. Cette fonction est con-cave en cas de gains et convexe en cas de pertes. Tversky et Kahnemanproposent la fonction suivante:
u(x) =
{
xα pour x ≥ 0
−λ(−x)β pour x < 0
ou x est la variation de la fortune, λ le coefficient d’aversion au risque, αet β deux parametres inferieurs a l’unite.
L’utilite esperee de la perspective q sera:
V (q) = π(p)u(x1) + π(1 − p)u(x2)
ou la ponderation des probabilites est donnee par l’expression suivante:
π(p) = pγ
(pγ +(1−p)γ )1/γ
Benartzi et Thaler utilisent cette theorie pour expliquer le rende-ment excessif des actions par rapport a celui des obligations. Mehra etPrescott trouvent une difference de six points de pourcentage entre lesdeux rendements et ceci implique que l’indice relatif d’aversion au risqueest superieur a 30. Or, les estimations de cet indice donnent des valeursproches de l’unite. Il y a par consequent une enigme que la theorie del’utilite esperee n’arrive pas a expliquer. Dans le cas d’une fonctiond’utilite iso-elastique, un indice relatif d’aversion au risque de 30 signi-fie que l’individu est indifferent, par exemple, entre (100’000, 0.5; 50’000, 0.5) et une somme certaine de 51209 francs. Par contre, avec un indicede 1 la somme certaine est de 70711 francs et elle est plus vraisemblableque celle de 51209 francs.
Les gains et les pertes d’un investissement en actions dependent de lalongueur de la periode consideree. Plus la periode est longue, moinsil y aura de risque de perte par rapport a l’investissement initial. En
prenant des echantillons de rendement mensuel des actions et des obli-gations americaines, Benartzi et Thaler trouvent qu’une evaluation an-nuelle des deux types d’investissement donne la meme utilite selon lemodele de Tversky et Kahneman (avec γ = 0.61 pour les gains etγ = 0.69 pour les pertes, α = β = 0.88 et λ = 2.255). Une analysea court terme associee a une forte aversion des pertes conduirait a unrendement excessif des actions.
