Thermische Turbomaschinen || Das Verhalten unter geänderten Betriebsbedingungen

11 Das Verhalten unter geanderten Betriebsbedingungen

11.1 Das Verhalten des Gitters und del' Stufe

Die Betrachtung des Verhaltens eines Gitters gegebener Geometrie ist der naheliegende Ausgangspunkt zur Untersuchung des Verhaltens einel' Turbomaschinenstufe untel' geanderten Betriebsbedingungen. Es seien hI> PI> CI> <Xl bzw. hz, Pz, C2 , <Xz Enthalpie, Druck, Stromungsgeschwindigkeit und Stromungswinkel (gegen Gitterfront) in einer Kontrollflache vor dem Gitter (Index 1) und nach dem Gitter (Index 2). Stets lassen sich die Verluste im Gitter kennzeichnen durch einen Wirkungsgrad 17, dessen genauere Definition an dieser Stelle offengelassen werden kann, da die grundlegenden Zusammenhange davon nicht beriihrt werden. - Die Uberlegungen konnen iibrigens auch ebensogut iibertragen werden auf andere Verlustcharakteristika, wie Gleitzahlen und dgl. - AuBel' den Verlusten sind die Ablenkungseigenschajten eines Gitters maBgebend, also del' Abstromwinkel <Xz. Um die Anzahl del' Variablen auf ein MindestmaB zu bringen, zieht man die dimensionslose Darstellung heran. Nach den AusfUhrungen Bd. I, Abschn. 3.9 sind die maBgebenden Variablen Mach-Zahl M, Reynolds-Zahl Be und Turbulenzgrad Tu. Da im FaIle des Gitters die Zustromrichtung willkiirlich eingestellt werden kann, laBt sich sein Verhalten erschopfend beschreiben durch zwei Relationen del' Art

11.1(1)

Dabei kann offengelassen werden, nach welcher Konvention M und Be gebildet werden. Diese Relationen konnen in mannigfacher Weise andel'S dargestellt werden. Mit den

Definitionen del' Normalenthalpie j und der kritischen Geschwindigkeit c*

11.1(2)

vgl. auch Gl. 1.6(5) und 3.6(11) in Bd. I, laBt sich eine lVlach-Zahl

j1* c/c* 11.1(3)

bilden, und es gilt auch fiir die beiden Kontrollebenen

11.1( 4)

Damit ergibt sich z. B. fUr ein Beschleunigungsgitter die Energiegleichung

c2 [ c2

] { c2 ( C2) [ (P )" -1 ] } ; = f) --t + 11hs = 17 --t + jO - --t 1 - P: -,,- , 11.1(5)

was mit Hilfe del' Definitionen Gl. 11.1(2) und (3) auch in die Form

M~2 = 1) {Mt2 + (: +~ - Mt2) [1- (::r:1]) 11.1(6)

tibergefUhrt werden kann. Mit Gl. 11.1(5) ist 17 implizite definiert; Mt und M~ sind die mit cI und C2 gebildeten j11*. - Wenn mit 11 und 12 die Schaufelhohen in den beiden

W. Traupel, Thermische Turbomaschinen© Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1982

2 11 Das Verhalten unter geanderten Betriebsbedingungen

Kontrollflachen bezeichnet werden, lautet die Kontinuitatsgleichung

woraus ( '0 C~) 1 .

1 . . 1 . J - - PI 1 sm (%:1 V 2 1 sm (%:1 hP1 1 sm (%:1 2

C2 = c1 v112 sin (%:2 = c1 j1P212 sin (%:2 = C1-(-'0--c""i-)--1--'-J -""2 P2 2 sm (%:2

Dies wiederum geht mit den gegebenen Definitionen uber in

M* = M* (x + 1) - (x - 1) M!J2 (PI) 11 sin (%:1 2 1 (x + 1) - (x - 1) Mr2 P2 12 sin(%:2 .

11.1(7)

11.1(8)

11.1(9)

In den GIn. 11.1(1) wahle man nun als maBgebende Mach-Zahl Mi (beim Beschleunigungsgitter also von allfalligen lokalen Spitzenwerten abgesehen del' groBte Wert). Fur eine gegebene vVertegruppe (%:v Mi, Ee, Tu liefern die genannten Beziehungen 'rJ und (%:2' Die GIn. 11.1(6) und (9) stell en dann ein System von Bestimmungsgleichungen fUr P2/P1 und Mt dar. Daraus folgt, daB man anstatt M!J ebensogut P2/P1 als unabhangige Variable wahlen kann. 1m Unterschallbereich ist auch Mi als unabhangige Variable brauchbar, wahrend bei ..L11!J > 1 und sperrendem Gitter einem ganzen Bereich von Werten M!J oder p~l1)l einfestes Mi entspricht. Es ist somit anstelle del' GIn. 11.1(1) auch die Darstellung

'rJ = 'rJ((%:v P2/Pl' Be, Tu), (%:2 = (%:2((%:1' P2/PV Be, Tu) 11.1(10) moglich.

Wie aus den AusfUhrungen Bd. I, Abschn. 3.6 hervorgeht, konnen anstatt MachZahlen stets auch Crocco-Zahlen verwendet werden, die gegeben sind durch

-V2-:O Cmax = J 11.1(11)

Das fuhrt auf die Darstellungsweise

'rJ = 'rJ((%:1' C, Be, Tu), 11.1(12)

Obwohl hier von del' Vorstellung des Beschleunigungsgitters ausgegangen wurde, gel ten diese Uberlegungen allgemein.

In del' uberwiegenden Mehrzahl del' FaIle liegen in thermischen Turbomaschinen die Reynolds-Zahlen so hoch, daB ihr EinfluB gering wird odeI' uberhaupt verschwindet. Das gleiche gilt vom Turbulenzgrad. Somit bleibt dann praktisch fur ein gegebenes Gitter noch eine zweiparametrige Schar ahnlichkeitstheoretisch unterscheidbarer Stromungszustande ubrig, wobei del' eine Parameter (%:1 ist, wahrend fUr den anderen je nach Darstellungsweise eine Mach-Zahl, eine Crocco-Zahl odeI' das Druckverhaltnis gewahlt werden kann. Die in Bd. I gemachten Angaben entsprechen del' hier angegebenen Struktur del' GesetzmaBigkeit. Fiir die Turbinengitter ist das in Abschn. 8.4e aufgezeigt. Die fUr Axialverdichter gultigen Setzungen G1. 8.5(32)-(34) mit den zugehorigen Diagrammen implizieren ebenfalls einen sol chen Zusammenhang. Das gleiche gilt fUr die GIn. 8.6(23) und (64) und die zugehorigen Diagramme, die fUr den Radialverdichter gelten. - AIle diese Angaben sind abel' nicht streng und allgemeingultig. Sehr genaue Unterlagen diesel' 'Art konnen im Einzelfall nul' empirisch fUr die jeweils vorliegende besondere Geometrie beschafft werden.

Aus diesen Uberlegungen HiBt sich eine allgemeine SchluBfolgerung uber das Verhalten einer Turbomaschinenstufe ziehen. Die Effekte von Reynolds-Zahl und Turbulenz mogen als vernachlassigbar betrachtet werden. Dann existieren fur Leit- und Laufrad je eine zweiparametrige Schar ahnlichkeitstheoretisch unterscheidbarer Stromungszustande. Weiter kann die Umfangsgeschwindigkeit gewahlt werden, genauer gesagt ein aus ihr gebildetes dimensionsloses Charakteristikum wie eine Mach-Zahl odeI' eine Crocco-Zah1.

11.2 Die Charakteristik del' Turbinenstufe 3

Die damit gegebenen 5 Variablen sind abel' nicht alle voneinander unabhangig. Aus dem Abstromwinkel des ersten Schaufelkranzes und del' (dimensionslosen) Umfangsgeschwindigkeit ist kinematisch del' Zustromwinkel zum zweiten Rad gegeben, und auBerdem besteht die Bedingung, daB beide Rader den gleichen Massenstrom verarbeiten. Diese beiden Beziehungen bewirken, daB nul' noch 3 Variable willkiirlich wahlbar sind, woraus folgt:

Bei verschwindendem Einflnf3 von Reynolds-Zahl nnd Tnrbnlenzgrad ist die Schar der ahnlichkeitstheoretisch unterscheidbaren Betriebsznstande einer Tnrbomaschinenstnfe dreiparametrig.

Diese vollstandige dreiparametrige Stufencharakteristik 1 wird abel' in del' Praxis selten benotigt. Geht namlich del' betrachteten Stufe keine weitere voraus, so wird del' Zustromwinkel normalerweise unveranderlich sein, womit ein Parameter bereits festliegt. Wenn abel' del' Stufe eine vorausgeht, so sind die Stromungszustande in beiden einander zugeordnet. Del' Abstromwinkel del' vorausgehenden Stufe variiert gesetzmaBig mit dem in ihr herrschenden Stromungszustand. Er ist zugleich del' Zustromwinkel zur nachsten Stufe, womit diesel' dem Stromungszustand so zugeordnet ist, daB er nicht mehr frei gewahlt werden kann (man denke an den Grenzfall del' Repetierbedingungen). In beiden Fallen scheidet also del' Zustromwinkel als unabhangige Variable aus, so daB praktisch nur noch eine z10eiparametrige Schar ahnlichkeitstheoretisch unterscheidbarer Betriebszustande iibrigbleibt. Eine Ausnahme bilden z.B. Radialverdichterstufen mit beliebig einstellbarem Vordrall.

11.2 Die Charakteristik del' Turbinenstufe

Die dimensionslose Darstellung del' Gleichungen, die das Verhalten einer Turbinenstufe beschreiben, wird am einfachsten mit Hilfe del' Crocco-Zahlen

10 W -V2jO ' 11.2(1)

wobei 2 2

'0-' co_ u Co J = Jo + 2" - u _ 1 Povo + 2" . 11.2(2)

Die Indices 0, 1, 2 verweisen stets auf die Kontrollflachen VOl' Leitrad, VOl' Laufrad und nach Laufrad. Wenn alsdann die Ringquerschnitte mit Q bezeichnet werden, gehen Energiegleichung 11.1(5) und Kontinuitatsgleichung 11.1(8) fill' das Leitrad sinngemaB in die folgende Form iiber:

Ci = r/ {(I - C5) [ 1 - (~J~ 1] + C5}, 11. 2(3)

11.2( 4)

Die kinematischen Relationen, welche die relative Zustromgeschwindigkeit zum Laufrad nach Betrag und Richtung festlegen, lauten

11.2(5)

. fJ C1 • sm 1 = WI sln(\:I' 11.2(6)

1 Hier ist stets die Stufencharakteristik vom ersten del' zwei unter 9.2 unterschiedenen Typen gemeint, also die Beschreibung des Verhaltens einer Stufe vollstandig gegebener Geometrie.


Bei der Aufstellung der Laufradgleichungen ist zu beachten, daB die Orocco-Zahlen samtlich mit der Totalenthalpie vor der Stufe gebildet werden und nicht etwa mit derjenigen der Relativstromung vor dem Laufrad, was eine gewisse formale Anderung nach sich zieht. Es ist

. c5 .+c5 Jo +2 Jo 2 1

. +wr - . + c5 - cr + wi -1 - q + Wi - A. h 2 Jo 2

11.2(7)

Damit lassen sich Energiegleichung und Kontinuitatsgleichlmg flIT das Laufrad schreiben

W~ = ~' {(1 - A Wi) [1 - (~:r:I] + A(Wi + V~ - Vr)} ,

Die Absolutstromung am Laufradaustritt ist gegeben durch

C~ = W~ + U~ - 2W2 V2 cos /32'

. W2 • /3 SIn tX2 =C s1n 2'

z

Dazu sind die folgenden Beziehungen beizufiigen:

r/ =f~(tXo, PI/PO)' tXI =f,,(tXo' PI/PO)'

r/' =f~'(/31'P2/Pl)' /32 =fp(/31'P2/PI)'

ki = f~(tXo, PI/PO)'

le2 = f~' (/31' P2/PI) .

11.2(8)

11.2(9)

11.2(10)

11.2(11)

11.2(12)

11.2(13)

Die Funktionalzusammenhange f'l ergeben sich, wo keine besonderen MeBergebnisse vorliegen, aus den Angaben Bd. I, 8.4e. Die Funktionenf" undf,8 folgen aus gittertheoretischen Untersuchungen. Bei Mach-Zahlen am Gitteraustritt bis etwa 0,5 ist fiir Turbinengitter der Abstromwinkel in der Regel konstant, also insbesondere auch yom Zustromwinkel fast unabhangig. Diese Unabhangigkeit yom Zustromwinkel bleibt auch bei hoheren Mach-Zahlen erhalten, doch wird dann der EinfluB des Druckverhaltnisses deutlich, vor allem im Uberschallgebiet, wo die Strahlablenkung auftritt. Die Funktionen f" und f,8 lassen sich also gemaB den Ausfiihrungen in den Abschn. 6.9, 10 und 13 gewinnen. - Uber die Faktoren le in der Kontinuitatsgleichung gibt Abschn. 8.4c AufschluB. Es folgt daraus, daB sie im allgemeinen in komplizierter 'Weise mit dem Stromungszustand zusammenhangen, doch diirfte es in der Regel geniigend genau sein, sie konstant zu setzen, mindestens solange nicht Querschnittsversperrungen durch AblOsungen eintreten, die nur empirisch ermittelt werden konnten. An sich ware noch eine Beziehung iiber leo anzugeben, die aber bei der ersten Stufe zur Angabe einer Konstanten degeneriert und bei den nachfolgenden jeweils die le2-Beziehung der vorausgehenden Stufe ist.

Ein Betriebszustand einer Stufe kann nun gegeben werden durch 0.:0 ' P2/PO und V2 ,

womit auch VI bekannt ist. Mit einem versuchsweise gewahlten Wert PI/PO liefern alsdann die GIn. 11.2(3) und (4) iterativ Co und C1 und hierauf 11.2(5), (6) und (7) W1' /31 und A. Da auch PZ/PI mit PI/PO gewahlt ist, hat man somit aus 11.2(8) W2• Nun ist 11.2(9) als Kontrollgleichung heranzuziehen und die Rechnung mit geandertem PI/PO zu wiederholen bis 11.2(9) erfiillt ist. SchlieBlich liefern 11.2(10) und (11) die Strommlgsbedingungen am Austritt. - Das vollstandige Feld der moglichen Betriebszustande entsteht durch systematische Variation von 0.:0 ' P2/PO und V2. Aus den im vorangehenden Abschnitt erwahnten Griinden, wird dies aber hochst selten von Interesse sein, sondern man wird

11.2 Die Charakteristik der Turbinenstufe 5

sich entweder ein festes tXo geben (erste Stufe), oder tXo ist durch

_ Vi (Po) (1 - Cr) koQo + cot tXo - -C - 1 _ C2 k Q. - cot /32 1 PI 0 1 1 SIn tX1

11.2(14)

festgelegt. Diese Gleichung folgt aus der Kontinuitatsbedingung 11.2(4) und den kinematischen Bedingungen am Austritt der vorhergehenden Stufe, auf die durch das Zeichen + verwiesen wird. Vi wird mit dem jO der betrachteten Stufe gebildet.

Die zusammenfassende Darstellung der Ergebnisse solcher Berechnungen erfolgt in der Regel zweckmaBig unter Verwendung iiblicher dimensionsloser KenngroBen, also

Damit konnen auch

v = 1/V21p, 11.2(17)

berechnet werden. Die Leistungszahl ist gegeben durch

A = 2 ~2 [Cr - C~ + W~ - Wr + Vr - V~], 2

11.2(18)

der isentrope aerodynamische Wirkungsgrad durch

Llh cr- c~ + '/D~ - '/Dr + ui - n~ 1]sa = Llh = 2Llh

8 8

Cr - C5 + W~ - Wr + Vr - V~

(1 - C5) [1 - (~:)Y] 11.2(19)

Wenn die Spaltverluste nicht in die Radwirkungsgrade eingeschlossen werden und ein allfalliger Radreibungsverlust einen merklichen Betrag annimmt, ist er noch nicht identisch mit dem aIle Verluste umfassenden isentropen Stufenwirkungsgrad 1]8' sondern dieser ergibt sich aus

11. 2(20)

wobei die Spaltverluste C;p und C;~ und der Radreibungsverlust CR nach den Unterlagen Abschn. 8.4c bestimmt werden konnen. - SchlieBlich laBt sich auch der Reaktionsgrad angeben, der aus

zu berechnen ist.

r = (1 - Cr) [1 - (P2/P1)"-,:l]

(1 - C5) [1 - (P2!PO)" " 1 ]

11.2(21)

Abb. 11.2.1 zeigt ein Beispiel einer solchen Charakteristik einer Turbinenstufe mit kleinem Reaktionsgrad £iir einen festen Zustromwinkel von tX = 90 0 , und zwar in zwei Darstellungsarten, namlich unter Verwendung del' Variablen cp und 1p einerseits und der Variablen f1, und v anderseits. Der Vorteil, der damit verbunden ist, auf solche Kennzahlen zuriickzugehen anstatt, was naheliegend scheinen konnte, unmittelbar P2/PO anzugeben besteht darin, daB so Scharen von verhaltnismaBig dicht beieinanderliegenden Kurven erhalten werden. Oft ist del' Bereich der praktisch interessierenden V2 so klein, daB man die,Kurvenscharen durch je eine Kurve ersetzen kann. Man hat dann eine einparametrige Darstellung der Stufencharakteristik VOl' sich, die in vielen Fallen geniigt.

DaB eine eindimensionale Theorie, wie sie hier durchge£iihrt wurde, die Zusammenhange hinreichend genau wiedergibt zeigt Borel [1]. Man muB nur die Geschwindigkeitsdreiecke im Enler-Radins bilden (vgl. Abschn. 5.4); dieser ist geniigend genau der Radius des Kreises, der die Ringflache halbiert.

6

1,0

Oft

&

~

0, z I I I

o


O,g &= 7Jsi OJ ~ " _~~IS

ural :::::::::-. '\ AI p, .\

I I juz-o

OJ a~ 0,& OJ '/1--

0

zo s

0/1 as ; 1

0,3 I 0,&

~

3

l~ 0'2::l.. o,~ Z

0,1 0,2

o 1,0

OL-__ -L ____ ~--~L---~--~O O,z OJ at 0.8 1,0 1.Z

'1-

Abb.11.2.1. Beispiel einer zweiparametrigen Turbinenstufencharakteristik. Zustromwinkel LXo = 90°. Zwei Darstellungsformen, links unter Verwendung:Von~,u und P, rechts unter Verwendung von cp und 1J!

11.3 Das Kegelgesetz

Bei einer mehrstufigen Schaufelung hangt der Massenstrom m in bestimmter Weise ab vom Eintrittszustand p"" v"" vom Gegendruck Pw (vgl. Abb. 11.3.1), wie iibrigens auch von der Drehzahl. Dieser Zusammenhang kann naherungsweise beschrieben werden durch das nachfolgend hergeleitete "Kegelgesetz".

Abb. 11.3.1. Zur Festlegtmg der Bezeichnungen

Mit der Definition ft = k2cn2/"V2ilh8 der Schluck-Zahl der Stufe (Stufengefalle ilhs )

nimmt fUr eine beliebige Stufe die Kontinuitatsgleichung die Form

11.3(1)

an, wobei durch Einfiihrung des Beaufschlagungsverhaltnisses s selbst die Teilbeaufschlagung mitumfaBt ist. Die Quadrierung dieser Gleichung liefert

in2 ilhs 2ft2.Q~S2 = v~ . 11.3(2)

Wenn ilp die Druckabsenkung in der Stufe ist, gilt auch ilhs ~ v ilp. Dies wird in Gl. 11.3(2) eingesetzt, womit vorausgesetzt ist, daB .die relative Druckanderung pro Stufe

11.3 Das KegeIgesetz 7

klein sei; damit ist auch die Vereinfachung V 2 R:; v zulassig, und die Gleichung geht liber in

in2 LJp 2p,2[J~e2 = v' 11.3(3)

Wenn weiter die Zustandsanderung durch die ganze Schaufelung durch eine Poly trope angenahert wird, folgt

11.3(4)

somit

11.3(5)

wobei abkurzend n = p/p", LJ n = LJp/p" gesetzt ist. Fur jede Stufe gilt eine Gleichung der Art 11.3(5), womit aus der Summation aIler

dieser Gleichungen folgt

11.3(6)

Da kleine Druckanderungen vorausgesetzt sind, kann die rechts stehende Summe durch ein Integral ersetzt werden, d. h. man setzt

1 lIn [ n+lj-L: n11: Ll n R:; J n11: dn = --- 1 - n---:n- , nO) n + 1 0)

11.3(7)

wo nw = POl/PIX' Damit schreibt sich 11.3(6)

rii2 1 n POI [ n+l] 2 L: f1,2[J~e2 = n + 1 v" 1 - n(J)1t . 11.3(8)

Stets laBt sich ein Mittelwert ji finden derart, daB diese Gleichung in der Form

rii2 1 n PIX [ (pw)n+l] 2ji2 L: Q~e2 = n + 1 v: 1 - PIX n 11.3(9)

dargestellt werden kann. Nun ist fl eine sehr wenig variable GroBe, besonders wenn kleine relative Druckanderung in den Stufen vorausgesetzt wird, d.h. auch kleines U2 • Abb. 11.3.2 zeigt typische Verlaufe von fl/flo in Funktion von '11/'110 (Index 0 der Auslegungswert) nach [2-4]. Daher ist die Unsicherheit in der Schatzung von ii nicht sehr groB.

1.1 \

-

0,90 ,5

1\ t:-..

'S;;, ~ ~ ~

I,D

V V

/' ro ~0,5 , f32 ~ 21'

V - r-:--.... ro ~0,15, /32 =22'_

" 1'. r-- --..:: r-J. 1 "I 1

-3" I---±-r-t-ro =0,15, fJ2=38'

1.5 2,0 '1'/'1'0-

Abb.11.3.2. Typischer VerI auf der Schluckzahl fh in Funktion del' Laufzahl v. Index ° bezeichnet Auslegungspunkt. Es ist '1'0 = 0,5 fiir Reaktionsgrad 0,15 und '1'0 = 0,65 fUr Reaktionsgrad 0,5. Kurvenverlauf hangt etwas von WinkeIgebung ab, vgl. die heiden Beispiele mit Reaktion 0,15. AbfalI der Kurve i32 = 38° gegen

linkes Ende bedingt durch Stromungsablosung an Laufschaufel-Saugseite


Eine Gleichung der Art 11.3(9) gilt offenbar fUr jeden Betriebszustand. Greift man irgendeinen ausgezeichneten Betriebszustand heraus - z. B. den Auslegungszustand -und charakterisiert ihn durch Index 0, so kann man Gl. 11.3(9) durch die entsprechende, fiir Zustand ° formulierte Gleichung dividieren, wobei der links stehende Summenausdruck sich herauskurzt, da er ja nur Konstruktionsdaten der Schaufelung enthiHt. So folgt

[ n+l] ( m )2 = fJ,2p"Vrxo 1 - (Pw/pSTI

. 2 n+l ' mo /1oPaova 1 - (Pwo/Pexo)n-

11.3(10)

wobei vorausgesetzt ist, daB fUr beide Betriebszustande der gleiche Polytropenexponent gesetzt werden dude. Diese Gleichung laBt auch die Darstellung

In'l

~ = # ~VPIXOV"'O V 1- (Pw/p,..)+ . - n+l

mo /10 PaO p",v", 1 - (PWO/PIXO)n-11.3(11)

zu, wobei beachtenswert ist, daB

PIXOVIXO jao P",Vex = j", beim idealen Dampf, 11.3(12)

p",ov",o Tao PIXVIX = T"

beim idealen Gas. 11.3(13)

Gl. 11.3(11) formuliert das "Kegelgesetz", was nachfolgend noch genauer analysiert werde. Zunachst stellt Abb. 11.3.3 die Funktion

11.3(14)

fiir verschiedene n dar und ebenso die Ableitung de/d(pw/pcJ. Fur n = 1 wird ein Kreis erhalten. Der in Gl. 11.3(11) erscheinende Wurzelausdruck

11.3(15)

~ ~ o

~ ~ I;::,.. n=1.0

w n = 7,0

U --= ~ ~ / 1.4 ~~I/ /,1.6

I--

~ ~ t-

~ +-~

--

I-t--f-- , ~

--, ,

0.8

0.2

f-- - 1.6~ ~ ~

'\ 1\

V I.6

f---- ~ \\ I--1--- I-I--t- 1--t--\

I--+-- _ ...

f-- f-- .. I

i

-I

-2

o ~ o 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 X= (:rt-:rtk)/(f -:rtk)-

Abb. 11.3.3. Ellipsenfunktion e(x) und ihre Ableitung de/dx. Mit nk = 0 wird x = n

11.3 Das Kegelgesetz 9

geht aus e durch eine Verzerrung der Abszisse hervor, wobei im FaIle n = 1 aus dem Kreis eine Ellipse wird. E heiBt deshalb auch Ellipsen!aktor, denn es ist weithin ublich, den tatsachlichen Verlauf durch die Ellipse anzunahern.

Wenn man in G1. 11.3(11) das POI-V", festhalt - also z.B. beim Gas die Eintrittstemperatur - und von der in der Regel geringfUgigen Korrektur ii/ iio absieht, bleibt ein Gesetz der Form

. . PiX E m=mo-PaO

11.3(16)

ubrig, das graphisch gemaB Abb. 11.3.4 dargestellt werden kann. Die Flache, die den Zusammenhang des Massenstromes mit Ein- und Austrittsdruck veranschaulicht, ist demgemaB ein Kegel.

Abb· 11.3.4. Darstellung des Kegelgesetzes fUr groBe Stufenzahl

pw

In der angegebenen Form gilt das Kegelgesetz herleitungsgemaB nur fUr sehr groBe - streng genommen unendlich groBe - Stufenzah1. Fur einen anderen ExtremfaIl, namlich eine einzelne Miindung, laBt sich das DurchfluBgesetz gasdynamisch leicht angeben. Wenn die Zustromgeschwindigkeit vor der Mundung vernachlassigbar klein ist, gilt mit ! als Miindungsquerschnitt und mit den Druckwerten Po< und Pw vor und nach Mundung

11.3(17)

Denken wir uns diese Gleichung noch fur den durch Index 0 gekennzeichneten Auslegungspunkt angeschrieben, so ergibt sich durch Division

111, = ~ VPaoVao -1/ (Pw/Po}t - (Pw/P(',)~ rho PIXO PIXVIX ~ n+l .

(PwO/PaO)n - (PwO/PaO) n 11.3(18)

Dieses Geset.z gilt nur bis zur Erreichung del' kritischen Geschwindigkeit, also nur fur

Pw > (_2 _)n~l. 11.3(19) PIX - n + 1

Bei einer Absenkung von Pw/p", unter diesen Wert nimmt der Massenstrom nicht weiter zu. Der Aufbau der G1. 11.3(18) ist offensichtlich dem der G1. 11.3(11) analog, der zweite


Wurzelausdruck, del' aus den Druckverhaltnissen Pro/p", gebildet ist, kann wieder als Ellipsenfaktor E bezeichnet werden, denn er beschreibt eine Kurve, die gelegentlich Bendemann-Ellipse genannt wird, obwohl sie keine genaue Ellipse ist. Fiir einen Festwert des Produktes PIXVIX gibt G1. 11.3(18) einen Zusammenhang zwischen dem Massenstrom m und den Drucken PIX und Pro, wie er durch Abb. l1.3.5a veranschaulicht wird.

pw a

pw

I I I

b

: f/d.

I I I / 1--- ..-/ I ...... .7'- ..... _

x: ////,///., ---

0'---

Abb.l1.3.5. Darstellung des Kegelgesetzes. a) Einzelne Miindung; b) kleine Zahl von Miindungel1 hintereil1al1dergeschaltet, auch Turbine mit wenigcl1 Stufen

Damit laBt sich sogleich auch qualitativ angeben, welche Struktur ein berichtigtes Kegelgesetz fur eine endliche Stufenzahl aufweisen muB. In diesem FaU liegt ja eine Hintereinanderschaltung einer endlichen Zahl von DurchfluBquerschnitten VOl'. Deshalb ist ein Verhalten zu erwarten, das zwischen dem nach Abb. 11.3.4 und nach Abb. l1.3.5a liegt, also etwa del' Abb. 11.3.5 b entspricht. Es existiert also ein von Null verschiedener Wert des kritischen Druckverhaltnisses Pro/p,,, del' stets unter dem nach G1. 11.3(19) liegt und sich mit zunehmender Stufenzahl immel' mehr dem Wert Null nahert. Sinkt Pro bei festem PIX so weit ab, daB n = Pro/Pc< unter den kl'itischen Wert nk falIt, so steigt der Massenstrom nicht mehr weitel' an. Die Vorausbestimmung von nk ist schon mehrfach versucht worden, vgl. etwa [5, 6J, doch ist sie nicht in strenger und allgemeiner Weise moglich, da nk von den Besonderheiten del' Schaufelung abhangt. Abb. 11.3.6 gibt indessen eine gute Naherung HiI' nk, die auf del' Durchrechnung einer gl'oBeren Anzahl von Fallen beruht. MaBgebend war dabei die Abstufung del' Querschnitte del' aufeinanderfolgenden Schaufelkranze, die aus del' Annahme hervorging, daB im Auslegungspnnkt aIle Stufen mit identischen Geschwindigkeitsdreiecken arbeiten. Die Kurven fiir u = 1,333 konnen bei Gas odeI' HeiBdampf verarbeitenden Maschinen verwendet werden, die Kurven u = 1,1 bei NaBdampfturbinen. Deutlich ist del' EinfluB des Reaktionsgrades (exakt im Enler-Radis), fiir den 0, 0,1 und 0,5 als typische Werte angegeben wurden. 1m Diagramm ist z die Stufenzahl nnd iII die hochste Mach-Zahl in del' letzten Stufe im Anslegungszutand, also bei kleiner Reaktion Austritt Leitrad, bei 50 % Reaktion Austl'itt Laufrad. Del' Parameter JJ[ erweist sich offensichtlich als sehr wesentlich, was fruher anscheinend unbeachtet geblieben ist.

Aus dem kritischell Druckverhaltllis. n" ergibt sich die folgellde Verallgemeinel'nng del' Relationen 11.3(14) und (15):

e =V1 - (n - nk)n;l, 1- n"

E 11.3(20)

11.3 Das KegeJgesetz

0.6 x=J,333 r=O X =1,333 r = 0,7

~~-

z=1 z =1

x=J,333 r = 0,5

I- 2 r-t- 3r-t--- i-- - rL t-I--

t-:L r--. t--- :---~ r--- r-~ r-2:. r-- 5 r--r--J::--. t-- r--- r--- t10 10 ~ t-- b r----t-t- j-'-:.'.... t--t--

0.4

0.2

o

z=1

1--

--r--. ~ t--------- t---------

r---r--r-r-- r4-- r---z r--r-;o r-t-- t-t--

X=1,7 r=O x =7,1 r=0,7 x=7) r=0,5 z = 1 I

z =1 t--------- t---------0.6 I

t-- j--l-I-rL t-- t--f-. 2 -- ........... -J... ...... t-- I---- 3t-- ...........

'- r--.......... .......... 5 r---... r--...... r---.

........ r--......

r----. r----. r---- r<-~ :::::".. .......... 10 t-..... I----r12-.

r--.. r---t-- r--

0.4

0.2

z=1 r---::r-t-r-r--- rZ ........ r---.... .......... r-.....

~ ~ .......... ........... '-r-- 5

io---~ --r-o 0.4 0.6 0.8 1.0 0.4 0.6 0.8 1.0 0.4 0.6 0.8 1.0

M-

11

Abb.11.3.6. Kritisches Druckverhaltnis n", in Funktion des Reaktionsgrades r, der Stufenzahl z und der

maBgebenden gri.iJ3ten Mach-Zahl it

Diese Gleichungen gel ten fur n > n"" wahrend fUr n < n", die Funktion e den Wert 1 beibehalt und die Funktion E den in n", erreichten Wert. Es tritt also offensichtlich lediglich die GroBe (n - nk)/(l - nk) an die Stelle von n, weshalb in Abb. 11.3.3 auch dieser verallgemeinerte Ausdruck als Abszisse angegeben ist; mit nk = 0 wird er wieder mit n identisch.

Die Verallgemeinerung der Gl. 11.3(11) lautet also

11.3(21)

mit E nach Gl. 11.3(20), wahrend 11.3(12), (13) und bei entsprechenden Vereinfachungen 11.3(16) unverandert bleiben.

Wenn eine Maschine mit konstantem Gegendruck Pw betrieben wird, ergibt sich ihr Durch£luBverhalten bei konstantgehaltenem Eintrittswert P aV a (d. h. praktisch bei konstanter Eintrittsenthalpie) aus der Schnittkurve der Ebene Pw = const mit der Kegel£lache. So ergibt sich ein Zusammenhang, der in Abb. 11.3.7 dargestellten Art. Diagramm a

pa

Pa=Pw

a

<' ,.-" " " " " " " " ~"------------------+m o

pa

/

/ /

/

/ /

"

// /

/ /

/ /

b ~/' ~

~ ~

~ ,-" ;.-,-,-

'/ '/

'/

o,L---------------------m Abb.11.3.7. DurchfluBgesetz bei konstantem Gegendruck. a) KegeIgesetz nach Abb. l1.3.5b;

b) KegeIgesetz nach Abb. 11.3.4.


entspricht dem allgemeinen Fall, wahrend im Grenzfall verschwindend kleinen Druckverhaltnissen 'TCk eine Kurve der Form b entsteht, die eine Hyperbel ist, wenn die e-Funktion durch einen Kreis approximiert wird. Sehr haufig kann also der Massenstrom einfach proportional dem Eintrittsdruck gesetzt werden, ohne daB ein EinfluB des Gegendruckes spiirbar wird. - 1m Sonderfall des idealen Gases lautet Gl. 11.3(21) auch

m _ii PIXVTIXOE mo - fio P IXO T IX '

11.3(22)

d. h. also, der Massenstrom ist unter sonst unveranderten Bedingungen umgekehrt proportional der Wurzel aus der absoluten Eintrittstemperatur.

Die Diagramme Abb. 11.3.4, 5 und 7 vernachlassigen aIle den EinfluB des Korrekturfaktors ii/iio. Wenn man Eintrittszustand und Austrittsdruck unverandert laBt, kann del' Massenstrom grundsatzlich noch durch die Drehzahl n beeinfluBt werden. Dies findet seinen Ausdruck in der genannten Korrektur, die auBerordentlich kompliziert, wenn auch meist nicht sehr groB ist. Nimmt man aber z. B. den Grenzfall Pro = PIX' so liefert das Gesetz ni = 0, wahrend in Wirklichkeit durch eine Ventilatorwirkung del' Schaufelung ein MassendurchfluB zustandekommt. Die Ventilatorwirkung ist naturgemaB stark abhangig von der Gestalt der Schaufelung. Wenn auch dieser Grenzfall selten interessiert, so werden starke Abweichungen yom einfachen Kegelgesetz schon erscheinen, wenn man sich ihm nahert. Hier ist die Grenze der Giiltigkeit eines universellen DurchfluBgesetzes zu sehen. Uber gemessene Abweichungen vgl. etwa [7J.

In die Bildung von ji geht an sich die ganze Kompliziertheit des Problems ein. Folgende Uberlegung liefert indessen eine Naherung, die wohl immer dann geniigt, wenn iiberhaupt die Bedingungen gegeben sind, die eine Anwendung eines universellen DurchfluBgesetzes erlauben. Wie der Ubergang von Gl. 11.3(8) zu (9) zeigt, handelt es sich um die Bildung del' Summe del' GroBen 1/ fl2Q~S2. Da aber die ersten Stufen die kleinsten DurchfluBquerschnitte aufweisen, tragen sie zu diesel' Summe weitaus am meisten bei, vorab die erste Stufe. Zudem andert sich fl am Eintrittsende von Stufe zu Stufe nur wenig. Daher ist es hinreichend genau, fUr ji den fl-Wert der ersten Stufe einzusetzen. Wenn Index 1 auf diese verweist, ist

11.3(23)

die Laufzahl in einem yom Auslegungszustand ° abweichenden Betriebszustand. Fiir diese liefert die Stufencharakteristik das zugehorige fl, das als Naherung fiir Ii verwendet wird.

Das Kegelgesetz wurde auf empirischem Wege durch Stodola [8] gefunden. SpateI' folgte seine theoretische Begriindung durch Flugel [9], del' bei seiner Herleitung allerdings noch das ideale Gas voraussetzte.

11.4 Gesamtcharakteristik einer Turbinenschaufelung

Wahrend in die Herleitung des Kegelgesetzes vereinfachende Annahmen eingehen, kommen die nachfolgenden Ausfiihrungen mit einem Minimum an einschrankenden Voraussetzungen aus. Eine umfassende Darstellung des Betriebsverhaltens einer Turbinenschaufelung gegebener Geometrie muB dimensionslose Variable verwenden, damit deren Anzahl moglichst klein wird. Um die maBgebenden Variablen aufzufinden, wird zunachst untetsucht, unter welchen Bedingungen zwei Betriebszustande in einer gegebenen Schaufelung ahnlich sind.

Ahnlichkeit zweier Stromungsfelder ist definitionsgemaB dann gegeben, wenn sich die beiden Geschwindigkeitsfelder nur um einen ortsunabhangigen Faktor unterscheiden. Bei einem bestimmten gas- odeI' dampfformigen Fluid gehen dann (unter Voraussetzung eines

11.4 Gesamtcharakteristik einer Turbinenschaufelung 13

konstanten Isentropenexponenten) auch die beiden Druckfelder durch einen konstanten Faktor ineinander tiber, denn ware es nicht so, dann ware die Kontinuitatsgleichung verletzt. Daraus folgt aber bereits, daB Gleichheit des Druckverhaltnisses II = Pc"/Pw eine Bedingung daftir ist, daB zwei Betriebszustande in einer Schaufelung gegebener Geometrie ahnlich sind. Damit ist auch Gleichheit der Mach-Zahlen beider Stromungszustande ftir jeden herausgegriffenen Raumpunkt gesichert. Wenn I und II zwei ahnliche Betriebszustande sind, gilt also

III =IIIl· 11.4(1)

Ahnlichkeitstheoretisch ware weiter die Gleichheit der Reynolds-Zahlen zu fordern. Da ihr EinfluB aber meist klein ist oder tiberhaupt verschwindet, moge von dieser Bedingung abgesehen werden. Gegebenenfalls ware also nachtraglich eine Korrektur beizuftigen zur Berticksichtigung des Einflusses der Reynolds-Zahl.

Um eine weitere Ahnlichkeitsbedingung zu finden, mogen die Verhaltnisse im ersten Leitrad untersucht werden. Dort gilt

cr = '[iJh' + C~] 2 'f} B 2' 11.4(2)

oder mit Co = AC1 auch 2

52 (1 - A2 ') - 'iJh' 2 'YJ - 'f} 8·

Nun sind aber A und 'YJ' fUr ahnliche Betriebszustande sicher gleich, so daB man auch setzen kann

c1=BViJh;,

mit einem fUr beide Zustande gleichen B. Weiter gilt

iJh; = x x 1 Povo [1 - (::r:-l] = jo [1 - (::r:-l] , und da PI/PO fur ahnliche Betriebszustande gleich ist, folgt

c1 = 0 Vjo = 0 Vj",

mit gleichem 0 fur die Zustande I und II. Es ist daher auch

ClI Vj"'I ClII = j",Il·

Nun muG aber auch gefordert werden

11.4(3}

11.4(4)

11.4(5)

11.4(6)

wn/wm = ClI/Cm, 11.4(7)

was aus kinematischen Grunden (Geschwindigkeitsdreiecke) nur moglich ist mit

Un _ ClI - Vj"'I 11.4(8) UlII - ClII - j ",II '

fur eine gegebene Maschine also

11.4(9)

wenn n die Drehzahl bedeutet. Die Normalenthalpie ji ist gegeben durch

jl =j", - iJh' =j", - 'f}; iJh; =j",{l - 'f};lJfe), 11.4(10}


wo 'Fe del' Ausdruck in del' eckigen Klammer del' G1. 11.4(4) ist und 'f)~ fiir ahnliche Betriebszustande gleich sind. Somit folgt

jn j"I(l - 'f);'Fe) j"I jm = j<XII(l - 'f);'Fe) = j"n·

11.4(11)

Nun kann fiir das erste Laufrad die gleiche Untersuchung durchgefiihrt werden, wie fiir das erste Leitrad. Man findet, daB die Drehzahlen im Verhaltnis Yjufjm stehen miissen. Wegen 11.4(11) fiihrt das wieder auf die Bedingung 11.4(9) zuriick, und das gleiche findet man, wenn man von Sehaufelkranz zu Schaufelkranz weitersehreitet. Demnaeh ist 11.4(9) die einzige Bedingung, die neb en 11.4(1) noeh gestellt werden muB. Man kann diese Bedingung aueh sehreiben

11.4(12)

und hat mit n/Yj" die zweite maBgebende Variable neben II aufgefunden. Es mag ii.berrasehen, daB sie nieht dimensionslos ist. Das beruht darauf, daB eine Sehaufelung mit festen Absolutabmessungen vorausgesetzt wurde, wie ja aueh im Ubergang von G1. 11.4(8) auf (9) zum Ausdruek kommt. In konsequenter Durehfiihrung muB eine Ahnlichkeitstheorie abel' aIle geometriseh ahnliehen Sehaufelungen zugleieh mitumfassen. Das laBt sieh leieht dadurch erreiehen, daB man die Variable n!yjex noeh dureh ihren Wert im Auslegungspunkt dividiert, del' dureh Index 0 gekennzeiehnet werde. So ergibt sieh

n* = :0 V~:O 11.4(13)

als zweite maBgebende Variable. Von II und n* miissen also Schaufelungswirkungsgrad und MassendurehfluB ab

hangen, wobei allerdings fiir den letzteren noeh ein dimensionsloses MaB gefunden werden muB. Ahnlichkeitstheoretiseh ware z.B. das Verhaltnis von ni zum kritischen Massenstrom im Eintrittsquerschnitt Qex beim statisehen Zustand Pc" v" ein Charakteristikum diesel' Art. Dieses Verhaltnis ware mit aex als Schallgesehwindigkeit

m m m

~1 ~C< Q x Y(x - l)jex x - Jex

Q"e"ax Q"eIX yxPxv"

Ansehaulicher und zweckmaBiger ist es, diese Variable noch dureh ihren Wert im Auslegungspunkt zu dividieren, was auf die DurchfluBgroBe

11.4(14)

fiihrt. So kann schlieBlich das Verhalten einer Turbinenschaufelung gekennzeichnet werden

dureh zwei Relationen del' Form

1} =f(II, n*), ([> = F(II, n*). 11.4(15), (16)

Del' Wirkungsgrad 'f) kann dabei naeh irgendeiner Konvention gebildet werden; er kann z. B. Stutzenveriuste mitumfassen odeI' nieht. Die Struktur del' dureh diese beiden Gleiehungen gegebenen Zusammenhange wird dadureh nieht beriihrt. Selbstverstandlieh muB die genaue Definition des Wirkungsgrades im Einzelfalle angegeben werden.

G1. 11.4(16) kann offensiehtlieh aueh in del' Form

~ = Pex Vj~o F(II, n*) mo PexO JIX

11.4(17)

11.4 Gesamtcharakteristik einer Turbinenschaufelung 15

geschrieben werden. Der Vergleich mit dem Kegelgesetz in seiner verallgemeinerten Form Gl. 11.3(21) zeigt, daB unter den Bedingungen der Giiltigkeit jenes Gesetzes gilt

-tP =.!!:....E.

flo 11.4(18)

Der Ellipsenfaktor E ist von II abhangig, wahrend die Abhangigkeit von n* in Ii steckt. Hier werden Bedeutung und Charakter der tP-Funktion deutlich. tP ist der - gegebenenfalls unter Wegfall der einschrankenden Voraussetzungen des Kegelgesetzes verallgemeinerte - Ellipsenfaktor, einschlieBlich der Drehzahlkorrektur.

Gl. 11.4(15) stellt einen Zusammenhang dar, wie er etwa durch die Kurvenschar Abb. 11.4.1 gegeben ist. Anstelle der Variablen II k6nnen auch davon abgeleitete Gr6Ben verwendet werden, wie etwa

II-1 x = IIo - l'

Abb. 11.4.1. Gesamte Wirkungsgradcharak. teristik einer Turbinenschaufelung.

11.4(19)

1m durch 0 gekennzeichneten Auslegungspunkt hat x stets den Wer(1. Fur drei aus Stufen des gleichen Typs gebildete Schaufelungen, die fur IIo = 4,8 und 20 ausgelegt sind, zeigt Abb. 11.4.2 den inneren isentropen Stufenwirkungsgrad in Funktion von n* und x. Die Verwendung von x statt II hat hier offensichtlich den Vorteil, daB die Interpolation zwischen den drei Fallen erleichtert ist

IIo=4

0.9 ~ ~ ~

~ r\ r\ '\ ~ IA K! 1\ '\ N4 1\

'1//1 \ ~ ~ ~\

h rl I , 1\ 1\

0.8

t ~

0.7

II!. rl 1\ 1\ \ Xi0,2 0," 0,6 0.6'

0.8 1,2 1,6' 0

IIo=B

~ -~ t-.... ~ ~ " " '1~ ijh r \ \ '\ ;{*

'l/IJ \ 1\\ h rll \ \ \ 1\

i III 'I 1\ \ \ , x-

10,2 0,1" ~6'

0.4 0.8 1,2 1.6' 0

!l.l~_ no Via-

Tlo=20

A R' "" ~ ~ ~ ~ [\\ IdJ '(f \ 1\ '\ 1,4

lill 1\ \ \ 1\\ I~ rtl -'1 \!1 \

1III 'I 1\ ~\ x 12 0." 0,6'

0.8 1.2 1,6'

Abb.11.4.2. Beispiel von Gesamtcharakteristiken von drei Turbinenschaufelungen, die aufgrund derselben Stufencharakteristik fiir drei verschiedene Druckverhii.ltnisse JIo ausgelegt sind; 'YJi umfaBt Stutzenverluste


AbschlieBend sei bemerkt, daB im FaIle des idealen Gases

11.4(20), (21)

Bei del' Herleitung ist del' ideale Dampf vorausgesetzt. Da sich die Zustandsanderungen abel' von del' Isentrope nicht aIlzuweit entfernen, gelten die Gleichungen mit hinreichender Naherung auch fur aIlgemeinere FaIle, z.B. NaBdampf.

11.5 Nachrechnung von Betriebszustanden von Turbinen

a) Eindirnensionale Verfahren

Es sei hier zunachst eine Untersuchung vorausgeschickt, die fur das Verstandnis des Vorgehens bei del' N achrechnung von Betriebszustanden in Turbinenschaufelungen wesentlich ist. Das DurchfluBverhalten del' in Abb. 11.5.1 schematisch wiedergegebenen Schaufe-

p

Abb. 11.5.1. Zur Veranschaulichung der Verschiebung des Druckes in Funktion des Massenstromes an den verschiedenen Stellen

einer Schaufelung

lung wird wenigstens angenahert durch das Kegelgesetz beschrieben. Das gilt fUr die gesamte von Querschnitt iX bis Querschnitt w reichende Schaufelung, abel' ebenso naturlich auch z.B. fUr das Teilstuck zwischen iX' und w odeI' jenes zwischen iX U und w. Bleiben etwa Eintrittsenthalpie und Gegendruck unverandert, so ergibt sich das DurchfluBverhalten del' drei Schaufelungen iXW, iX' W und iX U w durch Schnitt ihrer jeweiligen Kegel mit del' Ebene Pro = const,alsodurchdie drei in Abb. 11.5.1 angegebenen hyperbelartigen Kurven. Wenn nun die Gerade adem Auslegungszustand entspricht, die Gerade b einem verminderten Massenstrom, so lehrt das Diagramm, daB

PIX p",o -; ~ -,-, P: cv P:o

If~ I" p", PaO PiX PaO

Das bedeutet, daB die ersten Stufen mit fast unveranderten Druckverhaltnissen und Geschwindigkeitsdreiecken arbeiten, wahrend sich die ganzen Veranderungen auf die letzten Stufen konzentrieren.

Die Nachrechnung eines geanderten Betriebszustandes lauft nun darauf hinaus, daB eine groBe Anzahl von Unbekannten - Geschwindigkeiten und Zustandsgri::iBen - aus

11.5 Nachrechnung von Betriebszustanden von Turbinen 17

einem System von der entsprechenden Anzahl Gleichungen zu bestimmen ist. Da dieses hochgradig nichtlinear ist, laBt es sich nur iterativ lOsen. SoIl diese Rechnung stabil sein und mit kleinem Aufwand auskommen, so muD sie nach der oben angefUhrten Uberlegung mit der letzten Stufe beginnen, da ja die GesamtlOsung auf kleinste Verschiebungen der Variablen der ersten Stufen auBerst empfindlich reagiert. Bedingungen, die man sich fur die erste Stufe geben wurde, kannten auch leicht physikalisch inkompatibel sein, ohne daB dies von vornherein erkennbar ware. Die Rechnung kann basierend auf Stufencharakteristiken, Stufe fUr Stufe erfolgen odeI' abel' Rad fUr Rad, was das universeller anwendbare, wenn auch aufwendigere Verfahren ist.

Die N achrechnung eines Betriebszustandes anhand von Stufencharakteristiken basiert auf den gleichen Grundlagen, die in Bd. I, Abschn. 9.2-4 bereits fur die Auslegungsrechnung gegeben wurden. Die Stufencharakteristik gibt die poly trope Druckzahl 'ljJP' den polytropen Stufenwirkungsgrad 'Y}p und die charakteristische Austrittsgeschwindigkeit q2 in Funktion del' Durchsatzzahl T wieder und zwar fUr Repet'ierbeding~tngen, d. h. sie ist eine einparametrige Charakteristik, vgl. Abb. 11.5.2. Die Definitionen sind

1 Po y 'ljJp - 2" J v dp - u2 '

U p,

5

3

~2

/' (

I

" Cfz '--- --/

/" /

/v

11.5(1)

'T}p //

r---~/ / V--

V'/ ~v

1pp

7.0

0,8

0,6

0,2

Abb. 11.5.2. Beispiel einer Repetierstufencharakteristik fiir Stufe kleinen Reaktionsgrades. Wenn Stufenbelastung unter den Wert im Auslegungspunkt (1pp = 2) absinkt, steigt Wirkungsgrad zunachst noch an, um erst bei ganz kleiner Stufenbelastung wieder 00,2 0,3 A/, 0,5 0,6 0,7 0,8 0

kleiner zu werden 'P-

wobei hier offengelassen werden kann, auf welchen Radius ~~ bezogen wird. In Abschn. 9.2 wurde del' N abenradius gewahlt, weil man diesen aus baulichen Grunden entweder konstanthalten odeI' in einfacher Weise variieren wird. Fur die N achrechnungsaufgabe ist abel' auch del' Euler-Radius (Definition Gl. 5.4(12), annahernd del' Radius des Kreises, del' die Ringflache halbiert) praktisch, da sich bei diesel' Darstellung die Charakteristiken del' Stufen eines Typs fUr verschiedene Schaufellangenverhaltnisse nur wenig unterscheiden.

Da nun eine Stufe im allgemeinen nicht unter Repetierbedingungen arbeiten wird, ist eine naherungsweise Berichtigung del' Charakteristiken natig. Die betrachtete Stufe mage mit Index i, die vorausgehende mit i-I gekennzeichnet werden. Dann lauten die maBgebenden Gleichungen:

- Ti - Ti-l T = Ti - --2---1", 11.5(2), (3)

11.5(4), (5), (6)

11.5(7), (8)

n = [1- ~PY]n~l, Ji-l

11.5(9), (10)


Pi-l Pi

n x - 1 ji-l

Vi-l =----, X Pi-l

mVi-l 'Pi-l = n .

~':2(i-l)ui-l

11.5(11), (12)

11.5(13)

Die Pi' Pi-I> VI, vi-l sind jeweils Werte am Austritt der durch den Index benannten Stufe, n ist der Polytropenexponent, r der Reaktionsgrad, n das StufendruckverhiUtnis, wahrend

. x J =--IPv, x-

11.5(14)

die Normalenthalpie bedeutet, die fiir das ide ale Gas mit cpT identisch wird. - Das durch G1. 11.5(3) bestimmte cp kennzeichnet einen maBgebenden mittleren 'P-Wert, der etwa mittleren Bedingungen zwischen Leit- und Laufradaustrittsebene entspricht. Das Zusatzglied in G1. 11.5(8) zur Berechnung von y beriicksichtigt die Veranderung des Stufengefalles durch den Unterschied der Austrittsgeschwindigkeiten der Stufen i und i-I. Mit G1. 11.5(3) und (8) ist die oben genannte Berichtigung gegeniiber dem Repetierverhalten gegeben. Die Funktionen f 1Jl , f'1' fq stellen die Stufencharakteristik dar, wie sie etwa durch Abb. 11.5.2 veranschaulicht wird; im allgemeinen unterscheidet sie sich etwas von Stufe zu Stufe. - Der Austrittszustand, der MaEsenstrom und die samtlichen Ui

sind gegeben. Das Rechenverfahren verwendet die angegebenen Gleichungen in der Reihenfolge der Numerierung, wobei aus jeder Gleichung die links stehende GroBe bestimmt wird. Bei der ersten Durchrechnung der Stufe i wird dabei 'Pi-l = 'Pi gesetzt. Am Ende des Rechnungsganges wird aus 11.5( 13) ein verbessertes 'Pi-l gefunden, womit die Rechnung wiederholt wird usw. bis geniigende Ubereinstimmung erzielt ist. So kann ausgehend vom Zustand am Austrittsende die Rechnung von Stufe zu Stufe weiterschreiten, bis sie schlieBlich den Zustand vor der ersten Stufe liefert.

Wo die durch G1. 11.5(3) und (8) gegebenen Naherungen nicht mehr geniigen - Stufen uneinheitlicher Geometrie, hohere Mach-Zahlen - muB zur radweisen Nachrechmmg iibergegangen werden. Nachfolgend wird der Satz der dann zu benutzenden Gleichungen angegeben, wiederum in der Reihenfolge ihrer Verwendung mit der aus jeder Gleichung zu bestimmenden GroBe auf der linken Seite. Des besseren Verstandnisses wegen sind die drei Kontrollebenen der betrachteten Stufe wie iiblich mit 0, 1, 2 numeriert; bei der Durchrechnung einer mehrstufigen Schaufelung ware eine durchlaufende Numerierung der Kontrollebenen samtlicher Stufen notwendig.

iJh" =~ [~~ 8 2 rj"

rj" =f~'(f3I> n"),

Ah' 1 [Ci 2] LJ 8 ="""2 ;r - Co ,

[ iJh" _" n" = 1 - JIB ]"-1,

x-I ji V -----

I - X PI'

Llh' = ~ (ci - c5),

11.5(15)

11.5(16), (17)

11.5(18), (19)

11.5(20), (21)

11.5(22)

11.5(23), (24)

11.5(25), (26), (27)

11.5(28), (29)

11.5 Nachrechnung von Betriebszustiinden von Turbinen

PI Po = n"

[ L1h'] " n' = 1 - joS ><=1,

mvo Wo = ,

kcPo sin Po

. Wo . {3 SIn lXo =-sIn 0' Co

19

11.5(30), (31)

11.5(32), (33)

11.5(34)

11.5(35), (36)

11.5(37), (38), (39)

Uber die Iterationsreehnung ist im einzelnen folgendes zu bemerken. Sie beginnt damit, daB in Gl. 11.5(15) ungefahre Werte von k2 und {32 eingesetzt werden, und aueh 'Y)" und WI miissen in 11.5(16) und (17) zunaehst gesehatzt werden. Dann lauft die Reehnung bis Gl. 11.5(27), womit diese GraBen genauer bestimmt werden. Unterwegs werden in 11.5(22) leI und IXI gebraucht. Dafiir werden ebenfalls Naherungswerte eingesetzt, die wahrend del' ganzen Laufradreehnung unverandert gelassen werden. 1st diese abgeschlossen, so schlieBt die Leitradreehnung an, fiir die co' 17', leo und Po (del' relative Abstramwinkel des vorausgehenden Laufrades) angenommen werden. Erst wenn die Reehnung bei 11.5(39) angelangt ist und nun insbesondere genauere IXI und klliefert, wird auf 11.5(22) zuriickgegangen, ohne daB jedoeh noehmals auf die Laufradreehnung gegriffen wird. Wiederum bleiben leo und Po in 11.5(34) wahrend del' Leitraditeration fest und werden erst bei del' Bereehnung des vorausgehenden Laufrades verbessert. AIle diese erst nachtraglich verbesserten Werte werden gespeiehert. Alsdann wird die ganze Reehnung vom letzten Rade aus beginnend erneut durchgefUhrt unter Verwendung diesel' gespeieherten Werte.

Bei del' Darstellung des Reehenverfahrens sind zunaehst frei endigende Sehaufeln vorausgesetzt worden, wobei die Spaltverluste in die Radwirkungsgrade 'Y)' und 17" einzusehlieBen sind. Bei Sehaufelkranzen mit Labyrinthdichtungen ware dies nieht sinnvoll, so daB noeh eine Korrektur del' Zustandsanderung beizufUgen ist, die folgendermaBen gesehehen kann. Es ist

11.5(40)

das isentrope Stufengefalle. Mit den Spaltverlustzahlen C;p, C;~ und del' Verlustzahl CR

fiir die Radreibung sind dann

jl* = jI - (C;p + C;) L1hs,

j2* = j2 - (C;~ + C;) L1hs

die korrigierten Werte del' Enthalpien. Die spezifisehen Volumina werden

u - 1 jl* VI' =---

U PI

11.5(41)

11.5( 42)

11.5( 43), (44)

Gl. 11.5(44) tritt an die Stelle von 11.5(21), wahrend 11.5(33) ersetzt wird dureh die fUr die vorausgehende Stufe formulierte Gl. 11.5(43). In 11.5(18) ist das korrigierte j2* zu verwenden, in 11.5(19) das so entstehende jv aus dem erst nach del' Bereehnung von n" das korrigierte jl* naeh 11.5(41) zu bilden ist; analog ist das Vorgehen fiir das Leitrad. Bei del' ersten Durehreehnung sind die L1hs noeh nieht bekannt, so daB fUr die Korrekturen erste Naherungen einzufUhren sind. Schon bei del' zweiten Durehreehnung liegen


abel' die Llhs so genau VOl', daB auch die Korrekturen als vollig genau gelten konnen. Die samtIichen empirischen Eingaben konnen: etwa nach den Unterlagen Bd. I, Abschn. 8.4 beschafft werden, sofel'll nicht fur die gegebene Schaufelung empirische Daten vorIiegen. Verwendet man etwa diese Unterlagen nach 8.4, dann sind die Relationen 11.5(25) und (37) zu ersetzen durch

11" = 1 - C~'(f3I) - Z(f3I) (:~r,

11' = 1 - C~(c.:o) - z(c.:o) (~: r, 11.5(25')

11.5(39')

wobei die Co die Verluste kennzeichnen, wie sie bei Gittel'll auftreten willden, die den Zustromwinkeln angepaBt waren, wahrend das Zusatzglied (z z.B. nach Abb. 8.4.21) den Verlust durch Falschanstromung wiedergibt. Diese Setzungen implizieren in del' Tat Zusammenhange del' mit 11.5(25) und (39) angedeuteten Art, da ja (wl lw2) und (cO/cl ) von n" und n' abhangen.

Selbstverstandlich lassen sich die in dies em Abschnitt angegebenen Berechnungsverfahren auch so abwandeln, daB nul' mit dimensionslosen GroBen gearbeitet wird, vgl. etwa [1]. Man gewinnt abel' auch so nicht unmittelbar jene Darstellungsform, die interessieren wird, da die Rechnungen mit dem Austrittszustand beginnen, wahrend die maBgebenden dimensionslosen Charakteristika wie n* und W, Gl. 11.4(13) und (14), mit dem Eintrittszustand gebildet werden. Die gewunschte dimensionslose Endform laBt sich indessen auch aus den angegebenen, mit dimensionsbehafteten GroBen arbeitenden Verfahren gewinnen, selbst wenn nicht nul' einzelne Betriebszustande bestimmt werden sollen, sondel'll die Gesamtcharakteristik del' Schaufelung. Die zweiparametrige Schar del' ahnIichkeitstheoretisch unterscheidbaren Betriebszustande, die diese Gesamtcharakteristik bildet, wird erhalten, wenn man z.B. bei festgehaltenem Austrittszustand m und U w (Umfangsgeschwindigkeit am Austritt) unabhangig voneinander variiert. Fur jedes Wertepaar u w , ni hat man sogleich auch die dimensionslosen '¥erte U 'IIwIVjw, rpw und die Rechnung liefert die J,Jjw, II = PlXlpw, 1/. Davon ausgehend lassen sich die durch 11.4(13) und (14) definierten n* und W berechnen, und zwar gilt, wie leicht zu verifizieren

n* = U w Vjwo Vjw jao . .., UwO Jw Je< Jwo

11.5(45)

11.5(46)

Da die mit Index 0 versehenen AuslegungsgroBen samtlich bekannt sind, erhalt man aus del' Rechnung die n* und W und hat damit faktisch schon die ganze Information, was man sich anhand del' Abb. 11.5.3 vergegenwartigen kann. Dort sind uber rpw aufgetragen die GroBen II, 1], W und n*, wobei U Kurvenparameter ist; dem hoheren Index von U entspricht del' groBere Wert. Einem Festwert von n* entsprechen die Schnittpunkte A, B, C. Unter diesen findet man im Diagramm die zugehorigen II, 1] und W, so daB man also fur das fest gewahlte n* die 1/ und Win Funktion von II auftragen kann. Wiederholt man dies fur mehrere n *, so findet man die Gesamtcharakteristik, wie sie durch Gl. 11.4(15) und (16) wiedergegeben ist. Aus solchen Rechnungen laBt sich stets nur ein begrenzter Ausschnitt aus einer Gesamtcharakteristik bestimmen, da bei Betriebszustanden, die sehr weit yom N ol'malpunkt entfernt sind, VOl' allem in del' letzten Stufe Stromungsbedingungen henschen, fUr die man keine Unterlagen besitzt (Gitterunterlagen odeI' Stufencharakteristik). Es gibt Betriebszustande, wo die letzte Stufe als Geblase arbeitet. Beispiele von W-Funktionen, die von Borel [1] fur eine 50 %-Reaktionsschaufelung durch reihenweise Rechnung bestimmt wurde, zeigt Abb. 11.5.4. Als Abszisse ist

11.5 Nachrechnung von Betriebszustanden von Turbinen

Abb. 11.5.3. Zur Ubertragung der Ergebnisse einer mit der letzten Stufe beginnenden Durchrechnung einer Schau-

felung in die endgiiltige Darstellung

1.2 E

7.7

I,D

t 0,9 OS

0,8

0,7

0,6

Il 'YJ <P n*

0,6 0,7 0,8 Pw/p,,-

0,9

Abb.11.5.4. Dureh radweise Nachreclmung naeh [1] bereehnete DurehfluBfunktion <Pflir einstufige und dreistufige Schaufehmg ,

21

dort II-I = Pro/PIX aufgetragen, um den Vergleich mit dem Kegelgesetz zu erleichtern. Es zeigt sich, daB die E-Funktion nach G1. 11.3(20) von den beiden Linien n* = 1 so wenig abweicht, daB der Unterschied zeichnel'isch kaum darstellbal' ist. Lediglich an einem Ende ist er immerhin erkennbar, vg1. die Eintragung E in Abb. 11.5.4. Die Schaufelung hat Repetierstufenchal'akter. - Rechnerisch bestimmte Gesamtcharakteristiken sind mehrfach angegeben worden, vg1. etwa [6, 10]. Leider wurde aber in del' Regel mit Ansatzen liber die Gittereigenschaften unter geanderten Betl'iebsbedingungen geal'beitet, die nicht voll befl'iedigen konnten (Bel'echnung eines sog. StoBverlustes aus einer StoBkomponente del' Zustromgeschwindigkeit).


b) Zweidimen8ionale Verfahren

Es kann sich als wiinschenswert erweisen, die Nachrechnung von Betriebszustanden zu verfeinern, indem man zur zweidimensionalen Rechnung ubergeht. Theorien der rotationssymmetrischen Stromung, die dies erlauben, existieren in groBer Zahl. Da das Ziel der Untersuchung hier nur die Bestimmung integraler GroBen - Wirkungsgrad und Massenstrom - ist, genugt es praktisch immer, sich auf relativ einfache Rechenverfahren zu stutzen, z. B. wie nachfolgend skizziert.

Abb. 11.5.5 zeigt die Disposition mit den eingetragenen Kontrollebenen. Es ist angenommen, daB ein Diffusor vorgesehen sei. Es sei P die Stokessche Stromfunktion, die so normiert wird, daB sie von Obis 1 lauft. Man nimmt die P-Linien vorerst so an, daB

Abb. 11.5.5. Disposition und Kontrollflachen zur Durchfiihrung del' zweidimensionalen Nachrechnung einer Tur binenschaufel ung

aIle Kontrollflachen in Ringquerschnitte gleicher GroBe eingeteilt werden. Fur die mittlere Flache P = 0,5 wird der Betriebszustand zunachst eindimensional nachgerechnet, wie oben dargelegt. In del' Ebene x ist der Totalzustand P~, h~ in Funktion von P gegeben, und ebenso ist in der Austrittsebene des Diffusors ein konstanter statischer Druck Pi! vorgeschrieben. Die Schaufelung ist dadurch gegeben, daB in den Kontrollflachen am Leitradaustritt der absolute Stromungswinkel und am Laufradaustritt der relative Stromungswinkel in Funktion von r vorgegeben sind. Die Stromungswinkel seien hier als Winkel in der radialen Projektion aufgefaBt; sie liegen also nicht in den Stromflachen. Weiter seien B die Neigungswinkel wie in Abb. 11.5.5 dargesteIlt, und es wird angenommen, daB B vom Illllen- zum AuBenrand stetig wachst in einer Weise, die hinreichend genau ein fUr allemal festgehalten werden kann.

In den Kontrollebenen am Leitradaustritt, die durch Index i gekennzeichnet seien, wird die radiale Gleichgewichtsbedingung zweckmaBig in der durch Gl. 7.3(9") gegebenen Form benutzt und lautet dann mit Cw Cn Cz als Umfangskomponente, Radialkomponente und Axialkom ponente

C~i _ C . [OCr _ OCz] + C . (OCu) = (OhO) _ T. (08) . 11.5(47) r z. OZ 01' i u. 01' i or i • or i

Wenn man beachtet, daB

11.5( 48)

die in 11.5(47) auftretenden Ableitungen ocu/or und ocr/oz bildet und einsetzt, erhalt man

dCzi [1 t2 ] + C;i cot2 Xi [( 8cz) t + (0 tan B) ] Czi dr + co Xi r - Czi 8Z i an Bi Czi ---rsz- i

11.5(49)

11.5 Nachrechnung von Betriebszustanden von Turbinen 23

In den durch j gekennzeichneten Kontrollebenen am Laufradaustritt benutzt man die radiale Bewegungsgleichung zweckmaBig in der Form

c~i _ C . (OCr) _ C . (~~) _ ~ dPi Z1 0 f1 0 - d' r Z i r i (li r

11.5(50)

oder mit Einfiihrung von 11.5(48)

C~i [(OCz) (0 tan e) ] [dCZi d tan ei ] 1 dpi -;; - czi 7iZ i tan ei + czi OZ i - czi tan ei dr tan ei + czi dr = e; dr .

11.5(51)

Die wesentliche Schwierigkeit des Problems besteht darin, daB in den beiden Differentialgleichungen 11.5(49) und (51) die Ableitungen ocz/oz und 0 tan e/OZ auftreten. In Gl. 11.5(49) ist dies deshalb nicht von entscheidender Bedeutung, weil diese Glieder am Leitradaustritt stark zuriicktreten gegen c~Jr = c~ cot2 air. Deshalb geniigt es hier, den ganzen Ausdruck, der Ableitungen nach z enthalt, als Nebenglied summarisch zu behandeln und z.B. einfach den Wert einzusetzen, der sich aus der eindimensionalen Losung in P = 0,5 ergibt. Am Laufradaustritt liegen die Bedingungen ungiinstiger, da hier links gerade das Glied mit den Ableitungen nach Z dominieren kann. Ein mogliches Vorgehen ist z. B. das folgende.

Man nimmt in erster Naherung in allen Laufradaustrittsebenen P = const an. Aus Gl. 11.5(49) berechnet man fiir die Kontrollebene 1 den Verlauf cz1(r) durch numerische Integration, ausgehend vom Wert cii in P = 0,5. Dabei ist dh~/dr durch die Bedingungen in Ebene a gegeben, wahrend dsi/dr zunachst geschatzt wird. Mit cz1(r) sind die Eintrittsdreiecke des ersten Rades gegeben, ebenso vermoge der Energiegleichung des Leitrades auch Pl(r), so daB mit dem bekannten Austrittsdruck auch die Austrittsdreiecke und del' Verlauf del' Totalenthalpie hg(r) gerechnet werden konnen. Von hier aus kann in gleicher Weise weitergeschritten werden zur Ebene 3 usw. bis zur Austrittsebene w. Der Druckumsatz im Diffusor wird beschrieben durch

X [(PA)"-l] c~ ---PwVw - " - 1 =A.D-, X - 1 Pw 2

11.5(52)

und es ist zu priifen, ob dies mit sinnvollen Werten des Umsetzungsgrades A.D erfiillbar ist. Bei del' nunmehr vorliegenden Naherungslosung wurde die Kontinuitatsbedingung

noch nicht herangezogen. Ware die eindimensionale AusgangslOsung streng richtig, so wiirde die Kontrolle erweisen, daB Kontinuitat erfiillt ist. 1m allgemeinen sind hier geringfiigige Korrekturen notwendig. Aus den Geschwindigkeitsdreiecken ergeben sich auch die genaueren Verluste und damit die Entropieverteilung s(r), die beim nachsten Rechnungsgang zu verwenden sind. Weiter liefem die Verteilungen cz(r) ein neues Meridianstromlinienbild, das stiickweise z. B. durch Polynomansatze dargestellt werden kann. Damit konnen nun die Ableitungen nach z, insbesondere die 0 tan ej8z in den Laufradaustrittsebenen bestimmt werden. Hierauf liefert die numerische Integration von 11.5(51), ausgehend von del' Linie P = 0,5 neue Verteilungen des statischen Druckes in dies en Ebenen; mit diesen wird die ganze Rechnung wiederholt usw.

Kovergenzschwierigkeiten konnen sich einstellen infolge del' iterativen Bestimmung der p(r) in den Laufradaustrittsebenen. Man kann dies in folgender Weise vermeiden. Beim rechnerischen Ubergang von Ebene 1 zur Ebene 3 wird in Ebene 2 gesetzt

p2(r) - p~ =Kr - r*, p~ r*

11.5(53)

wo Zeichen * die Werte in P = 0,5 kennzeichnet. Man laBt K einige Werte durchlaufen, fiihrt die Rechnung durch wie angegeben, berechnet aus 11.5(51) p2(r) und bildet den mittleren quadratischen Fehler gegeniiber 11.5(53). Das K, das diesen zu einem Minimum


macht, liefert die beste Naherung. So kann von Stufe zu Stufe weitergeschritten werden, und man ersetzt an diesem kritischen Punkt das Iterieren durch Interpolieren.

1m allgemeinen werden Ein- und Austrittsdruck am Ende diesel' Rechnung nicht genau den urspriinglichen Werten entsprechen, doch kann man z.B. PA auf den Sollwert bringen und aIle anderen Druckwerte wie auch den Massenstrom proportional umrechnen.

11.6 Die Charakteristik der Verdichterstufe

Das dimensionslose Charakteristikum des Arbeitsumsatzes in einer Verdichterstufe ist nach del' Eulerschen Momentengleichung gegeben durch

aa A - u~ = Cn2 - UlCnl = 1 - Cn2 cot fJ2 - UICnl cot IXI· 11.6(1)

Da cp = k2Cn2, hat diesel' Zusammenhang die Form

cp [ UlCnl ] A = 1 - k cot fJ2 + -C-- cot IXI = 1 - Acp, 2 n2

11.6(2)

wobei offensichtlich A vom Betriebszustand nur wenig abhangen wird, da aus Kontinuitatsgriinden Cnl/Cn2 nicht aIlzustark variieren kann und auch die Abstromwinkel fJ2 bzw. IXI del' betreffenden Schaufelkranze sich nul' wenig andern. J e flacher die WinkellXl und fJ2' vgl. Abb. 11.6.1, desto groBer cot IXI und cot fJ2' somit del' Abfall von}, mit wachsendem cp. 1m Grenzfall fJ2 = IXI = 90 0 ware A = const = 1. Da Druckerzeugung und spezifischer Arbeitsumsatz durch den Stufenwirkungsgrad miteinander verkniipft sind und diesel' bei Entfernung vom Auslegungspunkt abnimmt, fallt del' Druck bei wachsendem cp stets von einem bestimmten Wert an abo So entstehen die Kennlinien, wie sie z.B. im Bd. I, Abb. 8.6.20, 9.12.1 und 9.16.1 und 2 dargestellt sind.

Urn einen qualitativen Uberblick zu gewinnen, sei del' Einfachheit halber 7c2 = 1 gesetzt. AuBerdem sei beim Axialverdichter Cnl = Cn2 angenommen und beim Radialverdichter IXI = 90 0 , d.h. Zustromung ohne Vordrall. Dann gibt die Formel

11.6(3)

beide FaIle richtig wieder, da ja beim Radialverdichter cot IXI = o. Somit ist auch

Abb.11.6.1. Geschwindigkeitsdreiecke einer Verdichterstufe

I-A 11.6(4)

4 I-----_\__- +---l-----Ic~--l 70' f I

3 I----J-+--f-- ------I>~Y'---I---I50' ~

~ ~2 +----\---1----''''-'-''1----+------1 3~'

~ "I radial J I -,--,~Lj----+----j

OL-_L-_L-~~~_~

o 0,2 0,4 0,6 0,8 1.0 A-

Abb.11.6.2. Fur die Steilheit der Kennlinien maBgebende GroBe (1 - },l/A

11.6 Die Charakteristik der Verdichterstufe 25

wenn wir die Abstromwinkel als praktisch fest betrachten. Ein MaB fUr die Steilheit der Kennlinie ist offenbar die GroBe

i-A 11.6(5)

die im Auslegungspunkt gebildet sei. Was in der Tat interessiert, ist die relative Abhangigkeit des spezifischen Arbeitsumsatzes (als MaB fiir die Druckerzeugung) yom DurchfluB, d.h. man muB mit cpjA multiplizieren um eine MaBzahl zu bekommen, die den Vergleich verschiedener FaIle erlaubt. In Abb. 11.6.2 ist die GroBe (1 - A)jA dargestellt und fur den Radialverdichter noch der Bereich von Laufschaufelaustrittswinkeln /32S der den A-Werten etwa zugeordnet ist. Beim Axialverdichter ist unter A der Wert im EulerRadius (ungefahr mittlerer Radius) zu verstehen. Das Diagramm zeigt, daB aus rein kinematischen Grunden die Kennlinien beim Axialverdichter steiler verlaufen als beim radialen. Den Zusammenhang zwischen spezifischem Arbeitsumsatz und Druckerzeugung vermittelt der Stufenwirkungsgrad. Fallt also dieser mit zunehmender Entfernung yom Auslegungspunkt rasch ab, - wie dies vor allem bei hoheren Mach-Zahlen der Fall ist -so tragt dies zu einem steilen Verlauf der Kennlinie bei. So erhalten selbst Radialverdichterstufen mit 90o -Radern bei sehr hohen Mach-Zahlen steile Charakteristiken, obwohl (1 - A)jA dort sehr klein ist.

Zur dimensionslosen Darstellung der Gleichungen, die das Verhalten einer Stufe beschreiben, dienen zweckmaBig wieder Crocco-Zahlen

11.6(6)

wobei

11.6(7)

Die Indices 1, 2, 3 beziehen sich auf Eintritt Laufrad, Austritt Laufrad, Austritt Diffusor (Leitl'ad) und die D sind die Ringquerschnitte, gegebenenfalls noch multipliziert mit den Cosinus del' Neigungen del' Meridianstl'omflachen gegen die Lote auf die Kontrollflachen. Die Gleichungen lauten dann

WI = CI + UI - 2C1U1 cos (X1o

. /3 C1 · SIn 1 = W SIn (Xl'

1

(~:r~l -1 = 1}~(WI + U~- Ur) - W~,

W2 = (PI) (1 + w2 _ W2 + U2 _ U2) k1D1 s~n /31, WI P2 1 2 2 1 k2D2 sm /32

. W 2 • /3 sm (X2 =C sm 2'

2

11.6(8)

11.6(9)

11.6(10)

11.6(11)

11.6(12)

11.6(13)

11.6(14)

11.6(15)

Die Gleichungen 11.6(8), (9), (12), (13) sind kinematische Beziehungen, 11.6(10) und (14) sind die Energiegleichungen von Laufl'ad und Diffusol', 11.6(11) und (15) die entspl'echen-


den Kontinuitatsgleichungen. Die Diffusorwirkungsgrade 17'n und r;~ entsprechen den Definitionen Bd. I, Gl. 5.3(5) und (10). Die empirischen Eingaben werden durch die folgenden symbolischen Beziehungen wiedergegeben:

1]~ =j~'(f3l> M l ),

17'n =j~(IX2' M 2),

f32 =jp(f3l, M l ),

IX3 =fx(IX2' M 2),

k2 =f~'(f3l,Ml)'

lc3 = j~ (IX2' M 2)'

11.6(16)

11.6(17)

Die VersperrungsgraBe kl ist entweder identisch mit k3 einer vorausgehenden Stufe oder kann, wenn eine solche fehlt, in Funktion von IXI und JYIl dargestellt werden; oft ist aber dann kl = 1 genugend. Ml und M2 sind die mit den lokalen Schallgeschwindigkeiten gebildeten Mach-Zahlen, also

WI -V-2-M l =- = WI ---, a l x- 1

11.6(18)

c2 V 2 )J!f2 = a2 = C2 (x - 1) (1 + Wr - W~ + V~ - Vr)'

11.6(19)

Die durch Gl. 11.6(16) und (17) dargestellten Zusammenhange kannen z. B. aus Gitteruntersuchungen gewonnen werden, gegebenenfalls auch aus allgemeinen Unterlagen, wie sie in Bd. I, Abschn. 8.5 und 6 angegeben sind. Beim Radialrad reprasentiert die f32-GIeichung die Angabe iiber den Minderleistungsfaktor.

Als Charakteristika von Betriebszustanden sind JYIach-Zahlen anschaulicher als CroccoZahlen. Insbesondere ist

11.6(20)

eine zweckmaBige Angabe; es ist

V;-=-I V2 = JYI" -2-' 11.6(21)

Mit

c = °n1V2 1 sin IXI

11.6(22)

kannen also M", Onl, IXI als die unabhangigen Variablen betrachtet werden, die einen Betriebszustand einer Stufe ahnlichkeitstheoretisch definieren. Sind sie gewahIt, so bestimmen die GIn. 11.6(8) und (9) WI und f3I> hierauf 11.6(16) und (18) 1]~, f32, k2 und schlieBlich 11.6(10) und (11) iterativ W2 und (P2/Pl)' Alsdann liefern in gleicher Weise 11.6(12) und (13) C2 und IX2' 11.6(17) und (19) r;'n, IXs, k3 und 11.6(14) und (15) iterativ C3 und (P3/P2)' Damit sind auch das Stufendruckverhaltnis (P3/Pl) und ebenso solche GraBen wie del' isentrope aerodynamische Stufenwirkungsgrad

",-I

(P3/Pl)-"'- - 1 11.6(23)

odeI' die isentrope Druckzahl

-~- __ P3"_1 A 7 1 [( ) ,,-1 ]

'/fJs - u~ -2V~ PI 11.6(24)

bekannt. Wo die Spaltverluste nicht in die Radwirkungsgrade eingeschlossen werden (RadJ-alverdichter mit Deckscheiben) und Radreibungsverluste einen nennenswerten Betrag haben, ist 17sa noch nicht identisch mit dem aIle VerIuste umfassenden isentropen Stufenwirkungsgrad 178' Jener ist vielmehr gegeben durch

1 _ 1 r' r" r I r - - - + C,S]I + C,S]I + C,R T c,,, 1]s r;sa

11.6(25)

11.6 Die Charakteristik der Verdichterstufe 27

wo i;R der Radreibungsverlust ist und i;r der beim Radialverdichter auftretende Verlust durch Riickstromung aus dem Diffusorraum ins Laufrad, der in Bd. I, Abschn. 8.6d erwahnt ist. Auch die charakteristischen Geschwindigkeiten

11.6(26)

die allenfalls bei der Benutzung einer Stufencharakteristik gebraucht werden, sind bekannt. - Die Einfiihrung der zusatzlichen Verluste als nachtragliche Korrektur nach Gl. 11.6(25) ist an sich nur eine Naherung, da ja eigentlich schon die Zustande in den Punkten 1 und 2 berichtigt werden miiBten, doch ist diese Feinheit im Rahmen der Genauigkeitsgrenzen einer solchen Untersuchung wohl stets vernachlassigbar.

Die systematische Variation der Parameter M u, Onl und (Xl liefert schlieBlich die vollstandige dreiparametrige Stufencharakteristik. In der Regel ist abel' (Xl fest, oder es variiert gesetzmaBig, z.B. mit Onl, so daB eine zweiparametrige Charakteristik iibrigbleibt. Als Variable, die den DurchfluB kennzeichnen, konnen auch GroBen wie

_ k2 W2 sin (J2

CfJ = U ' 2

11.6(27), (28)

_ nWI VI (P2!PI) CfJI = Q2~t2 = CfJ V 2 = CfJ 1 + Wi - W~ + U~ - Ui

11. 6(29)

eingefiihrt werden. Abb. 11.6.3 zeigt zwei Darstellungsformen einer Stufencharakteristik. Die Verwendung solcher Durchsatzzahlen wie CfJI und CfJe als Abszisse hat den Vorteil, daB keine Iteration notwendig ist, da man den Eintrittszustand kennen wird. Die zunachst wenig naheliegend scheinende Definition 11.6(29) ist bei der Radialverdichterstufe zweckmaBig, weil dort VOl' aHem die Radaustrittsbreite und damit Q 2 eine typische KonstruktionsgroBe ist. Haufig werden solche Kennliniendiagramme auch dimensionsbehaftet dargestellt, wobei als Abszisse del' Massenstrom erscheint und als Kurvenparameter die Drehzahl, doch miissen solche Angaben auf einen normierten Eintrittszustand bezogen werden.

Selbstverstandlich konnen je nach den gegebenen Bedingungen auch anders definierte GroBen herangezogen werden. Fiir einstufige Radialverdichter bevorzugt VOl' aHem das amerikanische Schrifttum Werte, die mit dem Totalzustand am Eintritt und dem statischen

35

3,0

1.5

0,2

I / 1)5=0,182

Mu=1,75L 2 / a //0,83 \ V. ,,/'1--<\ J b

1,025 [L. 0,84 I /

II / I V / / I /1/:1 a9/i ! /7

an;f tf I / r /7

I ( 1,/'//

"7 ,-" 0,80

.---~--,----,---,a9

0,8 t ~-~-t-----+--+----"rl 0,7 .:::

L-_-L_~ __ L-_~0,6

.---,----,---,---.0,9

\ 0,8 t ----+----=~-_j0'7 ,;:: l

0,4 0,6 0,8 I.D 1.2 1,1, 0,20 0,21, 0,28 0,32 0,360,6 'Pe-

I I 0,3 0,4 0,5 0,6

'PI-

Abb. 11.6.3. Beispiel einer Charakteristik einer Radialverdichterstufe mit 90° Laufschaufelaustrittswinkel. Links: Druckverhaltnis. Rechts: Druckzahl in Funktion des Durchflusses und der l\:1ach-Zahl. a Stabilitats

grenze, b Sperrgrenze


Austrittsdruck gebildet sind, d. h. es wird z. B. P3/p~ angegeben und entsprechend

ts _llh~ts) j~ [(P3)%:-1 1 1p() ----- - " -1

- u~ - u~ P~ , 11.6(30)

llh(ts) llh(ts) J'O [(P )%-1 ] (ts) = 8 _ __ s _ _ --.!. .2 " _ 1 'Y/8 - hO hO - - - - 0 •

3 - 1 a a PI 11.6(31)

AIle diese GroBen, wie iibrigens auch solche, die auf die Poly trope bezogen sind, lassen sich aus den Ergebnissen der angegebenen Rechnung leicht gewinnen.

Typisch fiir Verdichterstufencharakteristiken ist die Tatsache, daB gewisse Grenzen auftreten, so vor all em die Stabilitatsgrenze. Zwei Effekte sind in dies em Zusammenhang zu beachten. Das Pumpen (surge) ist ein Betriebszustand, bei dem Forderstrom und Druckerzeugung periodisch pulsieren. Bei der rotierenden Abreif3stromung (rotating stall) wird hingegen der quasirotationssymmetrische Charakter del' Stromung gestort: In einem Rad oder Schaufelkranz treten an einer odeI' mehreren Stellen des Umfanges AblOsungsgebiete auf, die ihre Lage stetig verandern, indem sie (vom ruhenden Beobachter aus gesehen) etwa mit del' halben Umfangsgeschwindigkeit del' Maschine umlaufen, und zwar im gleichen Drehsinn wie diese. - Beide Erscheinungen treten bei verminderter DurchfluBmenge auf, und zwar sind folgende Arten des Verhaltens einer Verdichterstufe moglich: 1. Wird bei konstanter Drehzahl del' Massenstrom immer mehr vermindert, so wird

schlieBlich eine Grenze erreicht, wo das Pumpen einsetzt. Rotierende AbreiBstromung tritt nicht auf.

2. Wird del' Massenstrom wie oben vermindert, so erscheint bei Unterschreitung eines bestimmten Wertes die rotierende AbreiBstromung, wahrend die Maschine noch stetig arbeitet. Bei noch weiterer Absenkung des Massenstromes wird eine zweite Grenze erreicht, wo die Pulsation, also das Pumpen anfangt.

3. Wird del' Massenstrom bei konstanter Drehzahl vermindert, so setzen bei einem gewissen Grenzwert die rotierende AbreiBstromung und das Pumpen gleichzeitig ein. Del' Begriff del' Stabilitatsgrenze solI hier so definiert werden, daB sie bei fester Dreh

zahl die kleinste DurchfluBmenge kennzeichnet, bei del' die nicht pulsierende, quasirotationssymmetrische Stromung noch aufrechterhalten bleibt. Sie ist die technisch wichtige Grenze, da beide Vorgange die Betriebssicherheit gefahrden und daher im Dauerbetrieb nicht zugelassen werden konnen. In der dimensionslosen Darstellung einer Stufencharakteristik erscheint die Stabilitatsgrenze a (Abb. 11.6.3) bei jedem Mu bei einem bestimmten Wert del' Durchsatzzahl, also z.B. CPl'

Daneben existiert bei Verdichterstufen, die mit hoher Mach-Zahl a,rbeiten, auch eine obere Grenze fiir den DurchfluB, die Sperrgrenze odeI' Stopjgrenze b (Abb. 11.6.3). Sie liegt dort, wo im engsten Querschnitt die Schallgeschwindigkeit erreicht wird odeI' allgemein gasdynamisch eine Steigerung des Massenstromes nicht mehr moglich ist (bei supersonischer Zustromung ist die Grenze nicht die Schallgeschwindigkeit). Die maBgebende Engstelle ist beim Axialverdichter iiblicherweise del' Laufradeintritt, beim Radialverdichter del' Diffusoreintritt mit Ausnahme des Falles des schaufellosen Diffusors.

Wahrend die Bestimmung der Stabilitatsgrenze auf rein empirischen Angaben beruht (vgl. Abschn. 11.11), laBt sich die Sperrgrenze gasdynamisch exakt berechnen. Sie geht aus del' Untersuchung del' Bedingungen am Eintritt in den betreffenden Schaufelkranz bzw. in den Diffusorkanal beim Radialverdichter hervor. In die oben angegebenen Rechnungen geht sie durch die Beziehung ein, die durch GIn. 11.6(16) und (17) angedeutet sind. Fiir Wertepaare M 1 , (31 und .1V12 , (32' die gasdynamisch unmaglich sind, liefern jene Relationen keine Lasung, womit auch die Rechnung nicht mehr durchfiihrbar ist.

Das Verfahren zur Nachrechnung einer Verdichterstufe ist hier in eindimensionalet" Form angegeben worden. Wo notig, kann man daran eine Berechnung del' rotationssymmetrischen Stromung anschlieBen, wozu es viele Verfahren gibt. Beim Axialverdichter kann es zweckmaBig sein, im interessierenden Bereich die rotationssymmetrische Stro-

11. 7 Die Charakteristik des mehrstufigen Verdichters 29

mung in del' Repetierstufe nachzurechnen wie unter 7.8 gezeigt. Aus den so erhaltenen Zustromwinkelverteilungen langs r lassen sich fUr die Radwirkungsgrade integrale lYIittelwerte bilden, die zusammen mit den Geschwindigkeitsdreiecken in einem Bezugsradius die korrekten Verluste liefern. Diese Mittelwerte lassen sich oft mit guter Naherung auch verwenden, wenn keine Repetierbedingungen gegeben sind. - Solche Untersuchungen zeigen iibrigens in del' Regel, daB die Stabilitatsgrenze urn so weiter yom Auslegungspunkt entfernt liegt, je hOher del' Reaktionsgrad und je kleiner Y = DsIDN.

11.7 Die Charakteristik des mehrstufigen Verdichters

Die dimensionslosen Variablen, die den Betriebszustand eines Verdichters ahnlichkeitstheoretisch beschreiben, miissen offenbar die gleichen sein, wie fUr die Turbine, denn die unter 11.4 durchgefiihrten Uberlegungen lassen sich in sinngemaBer Weise ohne weiteres auf den Verdichter iibertragen. Es sind dies das Druckverhaltnis, das hier zweckmaBig durch II = Pw/Pa festgelegt wird, die durch Gl. 11.4(13) definierte Drehzahlvariable n* und die durch 11.4(14) definierte Durchfhlf3variable <P. - Beim idealen Gas, das bei del' Mehrzahl del' Verdichter vorliegt, nehmen die Definitionsgleichungen von n* und <P die Formen 11.4(20) und (21) an. -

Das GeEamtverhalten eines Verdichters konnte also in del' durch die Gin. 11.4(15) und (16) angedeuteten Weise wiedergegeben werden, nur ware diese Darstellung im Hinblick auf seine Zweckbestimmung nicht naheliegend. Anschaulich ist es, die Druckerzeugung in Funktion von DurchfluB und Drehzahl anzugeben; die iibliche Darstellungsweise ist also

II = F(<P, n*), 1) =f(<P, n*). 11.7(1), (2)

1m Einzelfalle muB hier natiirlich angegeben werden, wie del' vVirkungsgrad 1] definiert ist. Auch das Druckverhaltnis II kann an sich noch verschieden festgelegt werden; es kann z. B. Druckanderungen in den Stutzen mitumfassen odeI' nicht. An del' Struktur del' Zusammenhange andern s01che Festlegungen nichts.

Die so entstehende Gesamtcharakteristik hat die gleiche Gestalt wie die Stufencharakteristik. Abb. 11.7.1 und 2 zeigen typische Beispiele solcher Kennliniendiagramme. Insbesondere erscheinen in ihnen wieder die Grenzen, Stabilitatsgrenze und Sperrgrenze, die letztere allerdings nicht in allen Fallen, wie ja auch nicht in allen Stufenchara.kteristiken. Urn zu einem Verstandnis del' Lage diesel' Grenzen zu gelangen und auch zu erkennen, wo innerhalb des Stufenverbandes sie erreicht werden, sei anhand Abb. 11.7.3 eine grundsatzliche Uberlegung angestellt. Vorausgesetzt wird del' Ubersichtlichkeit halber ein Axialverdichter, des sen Stufen so genau unter Repetierbedingungen arbeiten mogen, daB ihre Stufencharakteristiken als identisch betrachtet werden diirfen. Die maBgebende Umfangsgeschwindigkeit sei fUr aIle Stufen gleich. 1m Diagramm oben rechts ist das Verhaltnis des ortlichen Ringquerschnittes Q zum Eintrittsquerschnitt Q IX in Funktion des axialen Stromungsweges angegeben. Aus Kontinuitatsgriinden ist dies im Auslegungspunkt offenbar gleich dem Verhaltnis del' spezifischen Volumina v und Va an den betreffenden Stellen. Die Durchsatzzahl im Auslegungspunkt sei To, diejenige an del' Stabilitatsgrenze del' einzelnen Stufe Ts. Die zugehorigen Druckzahlen seien 'lPo und 'IPs.

Die Diagramme stell en den Verlauf del' Durchsatzzahl T in Funktion des Stromungsweges dar, wobei insbesondere del' Anfangspunkt jeder Kurve links dem vVert Ta am Eintritt entspricht, del' Punkt am andel'en Ende dem Austrittswert Tw. Wenn nun das Druckverhaltnis II kleiner ist als im Auslegungspunkt, nimmt v langs des Weges weniger ab, d.h. T wird zunehmen miissen, da die Abnahme des Ringquerschnittes dem Auslegungspunkt angepaBt ist. Das Umgekehrte tritt ein, wenn II iiber dem Auslegungswert IIo liegt. Del' Fall II < IIo ist also gekennzeichnet durch eine ansteigende, del' Fall II> IIo dutch eine abfallende T-Kurve, wahrend bei II = IIo und nur dann T = const


IT

'0

Ab b. 11. 7.1. Typische Gesamtcharakteristik eines mehrstufigen industriellen Radialverdichters mit

ruckwartsgekrummten Schaufeln

x IT IT-I

X=--ITo-I

0.5

o '0 0.5 1.0

Abb. 11. 7 .2. TypischeGesamtcharakteristik eines mehrstufigen Axialverdichters. a Stabilitatsgrenze, b Pump

grenze, c Sperrgrenze

OL---------------~

A

5 ~s~=·==-==-===-==-===·~·~

13

II ~o~------------~~

10

~s

~o

W ex Sfromungsweg -

(J)

A

(J)

Abb.11.7.3. Zur Veranschaulichung del' Lage del' Betriebszustande in den verschicdcnen Stllicn cines Axialverdichters unter geanderten Betriebsbedinglmgen. qJs Durchsatzzahl an Stabilitatsgrenze

del' Einzelstufe

11. 7 Die Charakteristik des mehrstufigen Verdiohters 31

wird. - Der kleinste Wert der Drehzahlvariablen n*, bei dem das Auslegungsdruckverhiiltnis IIo eben noch erreichbar ist, betragt offenbar

n* = V"Po/"Ps , 11.7(3)

denn wenn alle Stufen mit der Durchsatzzahl 'Ps durchstromt werden, arbeiten sie aIle mit "Ps und erzeugen somit bei der angegebenen Drehzahl gerade das Druckverhaltnis IIo.Davon ausgehend konnen nun die verschiedenen Stromungszustande diskutiert werden.

Fall n* < V "Po/"Ps: AIle 'P-Kurven steigen an, da stets II < IIo. Kurve 1 entspricht 'P", < 'Ps, d.h. die ersten Stufen arbeiten im instabilen Bereich. Mit 'P", = 'Ps, Kurve 2, wird die Instabilitat eben vermieden. Die Kurve lauft steiler, weil die Druckerzeugung kleiner ist als bei Kurve 1. Noch steiler laufen die Kurven 3 und 4, bei denen 'Po< > 'Ps. Bei hinreichend groBem Durchsatz kann 'Pw derart groB werden, daB in der letzten Stufe Schallgeschwindigkeit erreicht wird (Sperrgrenze!). Oder die letzten Stufen konnen auch in einem Bereich arbeiten, wo ihre "P negativ werden, d. h. sie arbeiten mit Expansion. Das kann so weit gehen, daB Pro = P"" d.h. es resultiert keine Druckerzeugung mehr. In beiden Fallen ist eine weitere Steigerung des Durchflusses nicht mehr moglich. Dieser Fall kann Z. B. bei Kurve 4 vorliegen, obwohl dort immer noch 'P'" < 'Po.

Fall n* = V "Po/"Ps: 1st 'P'" = 'Ps, Kurve 5, so wird dieser Wert in allen Stufen eingehalten, also sind aIle Stufen an der Stabilitatsgrenze, und es entsteht II = IIo. Mit 'P'" > 'Ps wird II kleiner, so daB ansteigende 'P-Kurven 6, 7, 8 entstehen. Kurve 7 entspricht 'PIX = 'Po. Bei 'P'" > 'Po erreicht man schlieBlich einen Fall - Z. B. Kurve 8 - wo 'Pro so groB wird, daB dort Schallgeschwindigkeit (Punkt A) erreicht wird, d.h. man stoBt an die Sperrgrenze.

Fall n* = 1: Mit 'P'" = CPo entsteht cp = const, II = IIo, d.h. es liegt der Normalpunkt vor, Kurve 11. Senkt man CP'" ab, so wird II> IIo, womit man abfallende 'P-Kurven erhalt. Kurve 10 liegt noch ganz im stabilen Bereich, wogegen bei Kurve 9 die letzten Stufen bereits im instabilen Gebiet arbeiten. Mit CP'" > CPo wird II < IIo, d.h. die cp-Kurven steigen an, Kurven 12 und 13. Bei der letzteren sei am Ende die Schallgeschwindigkeit erreicht (Punkt A) und damit die Sperrgrenze.

Fall n* > 1: Mit CP'" = CPo wird II > IIo, womit eine abfallende cp-Kurve entsteht, die aber im gezeigten Beispiel (Kurve 16) noch im stabilen Bereich bleibt. Sobald man aber CP'" absenkt, also noch groBeres II erzeugt, fallen die cp-Kurven so stark ab, daB sie mit der letzten Stufe beginnend ins instabile Gebiet reichen (Kurven 14 und 15). Weiter existiert ein Wert CP'" > CPo, dessen zugeordnetes "P die Bedingung "P = "PO/n*2 erfiillt. Dann entsteht gerade wieder II = IIo, also die Kurve 17. Bei noch groBerem CP'" wird II < IIo, womit man eine ansteigende Kurve erhalt. Bei Kurve 18 ist angenommen, daB am Ende - Punkt A - gerade wieder die Schallgeschwindigkeit erreicht sei. - Die cp-Werte, die dem Grenzpunkt A (Sperrgrenze) entsprechen, liegen mit zunehmenden n* immer tiefer, da ja der ganze Geschwindigkeitspegel ansteigt.

Als Gesamtergebnis dieser Untersuchung ergibt sich also das Folgende:

n* < V"Po/"Ps Instabilitat geht von erster Stufe aus,

n* = V"Po/"Ps aIle Stufen gleichzeitig an Stabilitatsgrenze,

n* > V"Po/"Ps Instabilitat geht von letzter Stufe aus.

Aus diesein Grunde hat die Stabilitatsgrenze a (Abb. 11.7.2) einen Knickpunkt bei B. Dort kommen aIle Stufen gleichzeitig an die Stabilitatsgrenze; dariiber ist es die letzte, darunter die erste Stufe, welche die Instabilitat einleitet.

Exakt gelten diese Zusammenhange nur unter den einfachen Voraussetzungen, die ihnen zugrundeliegen. Unter allgemeinen Bedingungen werden die Erscheinungen einfach etwas


verwischter, ohne ihren Charakter abel' zu verandern. Insbesondere gibt es keinen scharf ausgepragten Eckpunkt B. Die Drehzahl, bei del' etwa aIle Stufen gleichzeitig an die Stabilitatsgrenze kommen, ist die tiefste Drehzahl, bei del' das Auslegungsdruckverhaltnis flo eben noch erreicht werden kann. Abb. 11. 7.4 veranschaulicht die besonderen Bedin-

-----co

Abb. 11. 7.4. Situation bei Axialverdichtern groBen Druckverhaltnisses, wo bei stark verminderter Drehzahl innerhalb der durch das DurchfluBgesetz gegebenen Grenzen kein stabiler

Betriebszustand mehr moglich ist

gungen, die eintreten, wenn ein fur hohes Druckverhaltnis ausgelegter Axialverdichter mit stark reduzierter Drehzahl betrieben wird. Kurve 1 entspricht dem kleinsten DurchfluB, bei dem Instabilitat eben noch vermieden wird. Sie schneidet abel' weiter hinten die DurchfluBgrenze. Diese kann identisch sein mit del' Sperrgrenze del' Schaufelung odeI' sie kann auch dadurch bedingt sein, daB das anschlieBende Verbrauchssystem beim erzeugten Druck keinen hoheren DurchfluB zuIaBt. In beiden Fallen ist del' Betriebszustand unmoglich. Del' groBte mogliche DurchfluB entspricht del' Kurve 2, die abel' die strichpunktiert angegebene Stabilitatsgrenze schneidet. Demnach ist unter dies en Bedingungen uberhaupt kein regularer Betriebszustand (wedel' Pump en noch rotierendes AbreiBen) moglich. - In Abb. 11.7.2 schneidet die Sperrgrenze c die Stabilitatsgrenze a, was den geschilderten Bedingungen entspricht. - In del' Tat stellt das Anfahren von Axialverdichtern solche Probleme. Bei lVIaschinen, die fUr nicht allzuhohe Druckverhaltnisse ausge1egt sind (GroBenordnung 5) und diese Erscheinung sich auf sehr niedrige Drehzahlen beschrankt, kann man beim Anfahren die rotierende AbreiBstromung zulassen, weil del' Beanspruchungspege1 niedrig ist. Die fUr hohe Druckverhaltnisse ausgelegten Verdichter moderner Gasturbinen lassen sich indessen so nicht betreiben, sondern es sind Regeleingriffe notwendig, die s01che Betriebszustande vermeiden, namlich Leitschaufelverstellung und Abblasung zwischen einze1nen Stufen.

In Abb. 11. 7.2 ist noch die Pumpgrenze b eingetragen, die im oberen Teil mit del' Stabilitatsgrenze identisch ist, unten abel' nach links von ihr abweicht. Zwischen den Kurven a und b liegt das Gebiet des rotierenden AbreiBens bei stetiger Forderung. Nach unten verliert sich die Pumpgrenze schlieBlich, da del' Stromungszustand allgemein so unruhig wird, daB ein deutliches Einsetzen des Pumpens nicht mehr beobachtet werden kann.

Die grundlegenden Zusammenhange, die hier aus dem Verlauf del' DurchfluBquerschnitte Q und del' spezifischen Volumina hergeleitet wurden, gelten an sich in genau gleicher Weise auch fUr den Radialverdichter. Dort liegen abel', VOl' aIlem bei industriellen lVIaschinen, Stabilitatsgrenze und Sperrgrenze einze1ner Stufen dank del' flachen Charakteristik so viel gunstiger, daB ein wesentlich weiterer Betriebsbereich entsteht. Oft liegt die Sperrgrenze auBerhalb des betrieblich uberhaupt in Frage kommenden Gebietes. So entstehen Gesamtcharakteristiken von dem in Abb. 11.7.1 dargestellten Typ. Haufig sind Pumpgrenze und Stabilitatsgrenze im ganzen Bereich identisch, wie dargestellt.

11.8 Der Vorgang des Pumpens, die Pumpgrenze

In Abb. 11.8.1 moge die stark ausgezogene Kurve die Kennlinie eines Verdichters fUr einen gegebenen Eintrittszustand des Fluides darstellen, und zwar dimensionsbehaftet, so daB die Abszisse del' lVIassenstrom m, die Ordinate del' Austrittsdruck p ist. Die Kenn-

11.8 Der Vorgang des Pumpens, die Pumpgrenze 33

p 5 4 J

o

Abb.11.8.1. 1m ganzen Bereiche stetige Verdichterkennlinie (iudustrielle Radialverdichter mit riickwarts gekriimmten Schaufeln)

linie ist nach links fortgesetzt in das Gebiet, wo die stetige, quasirotationssymmetrische Stromung in der Maschine normalerweise gestort ist, wobei selbst negativer Massenstrom, d. h. Riickstromung mit einbezogen ist. Es ist ein stetiger Verlauf diesel' Kennlinie vorausgesetzt, wie er typisch ist fUr gewisse industrielle Radialverdichter, VOl' allem solche mit schaufellosen Diffusoren. - Das Verbrauchersystem kann man sich stets ersetzt denken durch ein Volumen V und ein dies em nachgeschaltetes Drosselorgan, wie im Schema links veranschaulicht. Einer festen Stellung dieses Drosselorgans entspricht dann ein bestimmter Zusammenhang zwischen dem Druck p im Verbrauchersystem und dem DurchfluB in durch das Drosselorgan. Die Kurven 1-5 stellen solche Verbrauchercharakteristiken (Drosselkurven) dar, sind also verschiedenen Drosselstellungen zugeordnet. Stationare Betriebszustande werden stets durch Schnittpunkte zwischen der Verdichterkennlinie und einer Drosselkurve wiedergegeben.

Nun werde zunachst von del' Voraussetzung ausgegangen, das Volumen V sei sehr groB. Die Schnittpunkte del' Drosselkurven 1 und 2 entsprechen unabhangig von V Betriebszustanden mit stetigem DurchfluB, was indessen fUr den Schnittpunkt A zwischen Kennlinie und Drosselkurve 3 nicht mehr gilt. Denn falIt durch eine zufallige kleine Storung del' Massenstrom etwas unter den Beharrungswert, so vermag del' Verdichter den Druck nicht mehr zu erzeugen, der abel' im Verbrauchersystem des groBen Volumens wegen immer noch herrscht. Die Forderung bricht daher zusammen und del' Betriebszustand springt momentan auf den durch Punkt B dargestellten (Riickstromung!). Nun entleert sich das Verbrauchersystem, womit sich del' Betriebszustand allmahlich von B nach C verschiebt. Da dort del' Druck augenblicklich immer nocb die Tendenz hat, abzufallen, springt del' Betriebszustand erneut :und zwar in den Punkt D. Nun wird mehr gefordert als durch das Drosselorgan abstromt, womit del' Druck steigt, bis Punkt A erreicht ist und del' Zyklus von neuem beginnt.

Die andere Extremannahme besteht darin, ein vernachlassigbar kleines Volumen V vorauszusetzen. Dann steUt sich jederzeit verzogerungsfrei del' Beharrungszustand ein. Jeder Schnittpunkt zwischen del' Verdichterkennlinie und einer Drosselkurve entspricht darum einem moglichen stetigen Forderzustand, sofern nur die Steigung del' Drosselkurve im Schnittpunkt steiler ist, als die del' Kennlinie. Denn dann wird jede voriibergehende kleine Abweichung yom Beharrungszustand sogleich wieder riickgangig gemacht. Also auch Betriebszustande wie del' Schnitt del' Drosselkurve 5 mit Kennlinie sind dann moglich. Das sind iibrigens die typischen Bedingungen in hydraulischen Anlagen, sofern dort alle windkesselartigen Elemente fehIen und somit praktisch keine Volumenelastizitat besteht.

Weitaus am kompliziertesten ist del' Fall eines Volumens V von maBiger GroBe, wo eine solche quasistatischeBetrachtungsweise nicht mehr geniigt. Del' Vorgang muB dann


durch eine Differentialgleichung beschrieben werden. Dies ist mehrfach durchgefiihrt worden, sehr friih schon von Bidard [10], spater z. B. von Taylor [11] und in sehr allgemeiner und strenger Form von Horvath [12]. Es ergibt sich, daB mit technisch sinnvollen Annahmen iiber V der Grenzpunkt der stetigen Forderung ganz wenig links von A zu liegen kommt, z. B. nach A' (iibrigens spielt dabei nicht nur das Volumen eine Rolle, sondern auch die Struktur des Systems, das als akustischer Resonator wirken kann). Es stellt sich dann ein Pumpzyklus wie etwa A'EFA' ein, eine Darstellung, die hier allerdings nur halbschematischen Charakter hat, weil zufolge der dynamischen Effekte der zeitliche Verlauf der Drucke an verschiedenen Stellen stark unterschiedlich ist.

Eine Untersuchung von Greitzer [34] laBt die Voraussetzung fallen, daB die stationare Kennlinie auch dem instationaren Vorgang zugrundegelegt werden diirfe und kann theoretisch Aussagen dariiber machen, ob Pump en oder rotierendes AbreiBen eintritt.

Das fiir die Praxis wichtige Ergebnis ist aber, daB solche Grenzpunkte wie A' stets sehr nahe bei A liegen, so daB einfach das relative Maximum der Kennlinie als Pumpgrenze betrachtet werden kann mit einer ganz kleinen Sicherheitsreserve. Die Pumpgrenze ist hier also nicht durch ein besonderes Stromungsphanomen gekennzeichnet. Vielmehr liegt sie dort, wo die Verluste mit abnehmendem Forderstrom so stark zunehmen, daB die Kennlinie waagerecht wird.

Wahrend bei [10 -12] nur eine Kennlinie eingefiihrt wird, die das Verhalten des gesamten Verdichters kennzeichnet, fiihrt Yamaguchi [35] eine verfeinerte Untersuchung durch, bei der die Kennlinie jeder Stufe eingefiihrt wird. Die Stufen werden dabei durch Trennflachen angenahert, und die Dynamik der Zwischenraume wird in die Rechnung einbezogen, d. h. del' Verdichter selbst wird als ein akustisches System betrachtet. Dabei ergibt sich, daB bei erhohter Drehzahl - d. h. in dem Gebiet, wo nach der Untersuchung in 11. 7 die Stabilitatsgrenze in den letzten Stufen iiberschritten wird - das Gesamtsystem instabil werden kann, obwohl es nach der einfachen Uberlegung noch stabil sein sollte, d.h. in Punkten rechts von A in Abb. 11.8.1.

Abb. 11.8.2 zeigt eine gebrochene Kennlinie, bestehend aus zwei nicht ineinander iibergehenden Kurvenasten a und b, wobei a den regularen Betriebszustanden entspricht. Solche Kennlinien sind typisch fiir Axialverdichter oder auch fiir Radialverdichter mit geschaufelten (odeI' sonstwie in Einzelkanale unterteilten) Diffusoren, bei denen die Zustromgeschwindigkeiten zum Diffusor die GroBenordnung der Schallgeschwindigkeit erreichen. Das Abbrechen des regularen Kurvenastes bei A ist beim Radialverdichter verursacht durch den Zusammenbruch des Druckumsatzes im Diffusor. Beim Axialverdichter entsteht es durch ein rotierendes AbreiBen, das sich iiber die volle Schaufelhohe erstreckt.

Kurven 1 und 2 sind wiederum zwei Drosselkurven. Bei Kurve 2 wird offensichtlich das Pumpen eingeleitet und zwar unabhangig vom Volumen des Verbrauchersystems. Bei sehr groBem Volumen entsteht ein Pumpzyklus del' Art ABCDA, bei kleinem etwa

p 2 b

B

o Abb.11.8.2. Aus zwei nicht zusammenhangenden .Asten bestehende Verdichterkennlinie (z.B. Axialverdichter)

11.9 Rotierende AbreiBstromung 35

AEF A. An del' Pumpgrenze andert sich nichts, doch wird die Pumpfrequenz urn so hoher, je kleiner das Volumen. Nur bei verschwindend kleinem Volumen V springt del' Betriebszustand auf einen neuen Beharrungspunkt, den Schnittpunkt del' Drossellinie 2 mit dem Kurvenast b.

In [13] und [14] wird iiber Versuche an einem einstufigen Radialverdichter berichtet, bei denen auch im regularen Bereich unabhangig yom Betriebszustand eine standige Oszillation des Forderstromes beobachtet wurde, die etwa ± 8 % betrug und eine Frequenz von rd. 10 S-1 aufwies. Die Autoren fiihren dies auf eine akustische Schwingung des Systems zuriick, auBern abel' die Vermutung, daB solche Schwingungen in del' Praxis die Regel seien. AHerdings gelang es nicht, eine solche selbsterregte Schwingung aus del' gemessenen Kennlinie theoretisch zu erklaren. Es wird gefolgert, daB die effektive Pumpgrenze urn den Amplitudenwert des Forderstromes weiter links liege als allgemein angenom men wird; wird sie bei diesel' Pendelung einmal zufallig leicht iiberschritten, so setzt das Pumpen ein. Demnach wiirde eine genaue Voraussage del' Pumpgrenze eine Berechnung diesel' akustischen Schwingung verlangen. AHerdings scheint ihre Amplitude VOl' aHem von del' Drosselcharakteristik abzuhangen. Trifft dies abel' zu, so laBt sich empirisch ebensogut eine Aussage iiber den Mittelwert des Massenstromes an del' Pumpgrenze machen, wie iiber den effektiven Minimalwert. Diesel' Mittelwert ist es, dertechnisch interessiert. - Uber Stabilitatskriterien vgl. die Ausfiihrungen unter 11.11.

11.9 Rotierende Abrei6stromung

Das rotierende AbreiBen ist anscheinend durch Whittle erstmals an Vorsatzlaufern von Radialverdichtern entdeckt worden, ist abel' VOl' aHem beim Axialverdichter von Bedeutung. Die naheliegendste Erklarung, die fiir das Phanomen gegeben werden kann, ist die folgende (vgl. auch [15]). Steigert man den AnsteHwinkel, mit dem man ein gegebenes Verzogerungsgitter anstromt, so setzt irgendwo die AblOsung ein. Die Querschnittsversperrung durch die so entstehenden Totwassergebiete hat zur Folge, daB die Stromung schon VOl' dem Gitter ausweicht. 1m Beispiel Abb. 11.9.1 wird also das Profil1 durch dieses Ausweichen noch ungiinstiger angestromt, wahrend die Zustromrichtung zum Profil2 wieder giinstiger wird. Folglich wird jetzt Profil1 ablOsen, wahrend Profil 2 wieder regular zu arbeiten beginnt. So wandert die AblOsung, indem sie von Schaufel zu Schaufel fortschreitet. - Theoretische Ansatze zur Vorausberechnung einer solchen Storung an einem einzelnen Schaufelkranz sind mehrfach versucht worden, vgl. [15-18]. Sie zeigen, daB mehrere Mechanismen existieren, die auf solche umlaufende Storungen fiihren, so daB also die Erklarung nach Abb. 11.9.1 wedel' zwingend noch erschopfend ist. Keine del' Theorien befriedigt abel' quantitativ. Sie vermogen auch die Umlaufgeschwindigkeit nicht korrekt vorauszuberechnen, die etwa die Halfte del' Umfangsgeschwindigkeit betragt. Die Betrachtung eines einzelnen Schaufelkranzes, an den zwei unendliche Halbraume anschlieBen, idealisiert den Vorgang offenbar zu sehr.

Abb. 11.9.1. Zur Erklarung des rotierenden AbreiBens


Praktisch tritt das rotierende AbreiBen in zwei Formen auf. In einem FaIle bilden sich gleichabstandig am Umfang mehrere AblOsezelIen, die sich nur uber einen Teil del' SchaufelMhe erstrecken, die TeilablOsung (Abb. 11.9.2a). Bei ihrem Einsetzen fallt del' Forderdruck nul' wenig odeI' gar nicht abo Meist liegen die Zellen auBen, wie dargestellt, selten innen. Bei del' zweiten Form entsteht nur eine AblOsezelIe, die sich uber die volle Schaufelhohe erstreckt, die Vollablosung (Abb.11.9.2 b). Dabei fa lIt del' Forderdruck stark abo -

Abb.11.9.2. Konfiguration del' Zellen beim rotierenden AbreiJ3en: a) Mehrere Zellen, Teilablosung; b) eine Zelle, VollablOstmg

Abb. 11. 9.3 zeigt mogliche Arten des Verhaltens. 1m FaIle a tritt an del' Stabilitatsgrenze A die TeilablOsung auf, verbunden mit einem leichten Druckabfall auf B. Vermindert man den Massenstrom m weiter und gelangt so nach C, so erfolgt del' U mschlag zur VolIablOsung mit Druckabfall auf D. Steigt m wieder an, so bewegt man sich zunachst weiterhin auf Kurvenast c (VolIablOsung). Erst in E springt del' Zustand zuriick zur TeilablOsung, d.h. Kurve b. - Bei del' Situation nach Abb. 11.9.3b tritt an del' Stabilitatsgrenze A sogleich die VolIablOsung auf, verb un den mit starkem Druckabfall auf B. Wird m wieder erhoht, so verschwindet das rotierende AbreiBen im Punkt C, wobei del' Betriebszustand wieder regular wird (Kurve a). - Diese Diagramme haben stets zur Voraussetzung, daB ein verschwindend kleines Verbrauchervolumen anschlieBe, odeI' andere, regular arbeitende Stufen.

Durch Day et al. [19] ist ein einfaches Gedankenmodell vorgeschlagen worden, das zu einem besseren Verstandnis diesel' Zusammenhange fuhren sol12. Vereinfachend wird Inkompressibilitiit des Fluids vorausgesetzt und angenommen, daB sich eine in del' ersten Stufe bildende Abiosungszelle unverandert durch aIle Stufen fortsetze. Abb. 11.9.4 veranschaulicht die Verhaltnisse in einer vierstufigen Schaufelung, oben in schematischer Abwicklung die Stufen 1-4 und die AbreiBzeIle a in einer augenblicklichen Lage, unten den Verlauf der Drucke. Da in der AbreiBzeIle ein sehr kleiner Durchsatz auf tritt, staut sich an ihrem Anfang praktisch verlustfrei ein statischer Druck Po; auf, der nahezu gleich dem Totaldruck p~ vor der Schaufelung ist. Innerhalb der AbreiBzeIle steigt del' Druck bis zum Austritt auf POP Mit ~lm als Umfangsgeschwindigkeit im Mittelkreis und z als Stufenzahl wird nun die folgende Druckzahl definiert:

, Pw- PIX 1p =

ze~t~ 11.9(1)

Dabei ist um fiir aIle Stufen gleich angenommen. 1st LIp der statische Druckanstieg pro Stufe in der AblOsungszeIle, so ist offenbar 1p' = Llp/eu;. Die grundlegende Hypothese del' ModeIlvorsteIlung besteht nun darin, unabhangig yom Typ del' Schaufelullg im FaIle der reilablOsung den Festwert 1p' = 0,17, bei VoIlablOsung 1p' = 0,11 zu setzen. Das wird durch die von den Verfassern analysierten Versuche mit hinreichend geringer Streuung bestatigt.

2 Unsere Darstellung weicht von del' in der Originalal'beit etwas ab, was die Substanz der Theorie nicht verandert.

Pm Pm

A

c

0 m 0 a

Abb.l1.9.3

11.9 Rotierende AbreiBstromung

A

/ ; l / /

c /

B [

m b

Abb.l1.9.4

I 1

I 1

1

_I 1

I 1

1

I p E

pi p[

37

23';

a

Abb. 11.9.3. Instabilitatsverhalten bei rotierendem AbreiBen. a) Zuerst Teilablosung, dann Ubergang zur Vollablosung; b) sogleich Vollablosung

Abb. 11.9.4. Schematische Darstellung einer durch aile Stufen hindurchgehenden Ablosezelle und zugehOriger Veriauf der maBgebenden Drucke

Del' Druck p' im regular durchstromten Schaufelungsteil wird einen Verlauf nehmen, wie in Abb. 11.9.4 ebenfalls dargestellt, vgl. die Eintragung p: am Eintritt. Er wird sich stromabwarts sehr rasch dem Totwasserdruck p angleichen (gemeint sind immer uber den Umfang gemittelte Drucke). Die AblOsezellen diktieren also den Druckverlauf, und die Durchsatzgeschwindigkeit im regular durchstromten Teil stellt sich so ein, daB dort eben die Druckerzeugung entsteht, die dem Wert 'ljJ' entspricht. 1st Q del' Ringquerschnitt, L/Q del' durch die Abiosezellen versperrte Anteil, so ergibt sich aus der Durchsatzgeschwindigkeit, die durch die Druckerzeugung gegeben ist mit del' Kontinuitatsgleichung del' regular durchstromte Querschnitt Q - L/Q. - Wird bei VollablOsung del' Massenstrom immer weiter vermindert, so wird L/Q immer groBer, bis schlieBlich bei Nulldurchsatz del' ganze Querschnitt zum Ablosungsgebiet geworden ist. Del' Vorgang ist dann dem Ventilationsvorgang in einer nicht beaufschlagten Turbinenschaufelung vergleichbar. Daraus wird ubrigens auch plausibel, daB 'ljJ' von der Geometrie der Schaufelung einigermaBen unabhangig ist, denn das trifft ja auch naherungsweise zu fur die Ventilationsverluste.

Weiter fiihrt die Theorie die VersperrungsgroBe

A =L/QjQ 11.9(2)

ein und bestimmt aus den Versuchsergebnissen einen kritischen Wert A = 0,3. Steigt A uber diesen Wert, so tritt Vollablosung ein, £alIt es unter ihn, so springt del' Zustand zuruck auf TeilablOsung odeI' gar auf regulare Stromung.

Damit lassen sich nun die Vorgange im Verdichter verfolgen, vgl. Abb. 11.9.5. Wird im FaIle a bei del' Drosselkurve 1 die Stabilitatsgrenze A erreicht, so tritt rotierendes AbreiBen auf und 'ljJ' fallt mindestens auf den Wert 0,17. 1st dort BD/OD < 0,3, so bleibt es zunachst,bei TeilablOsung mit mehreren Zellen. Erst wenn cp = 1nv/Qurn weitel' absinkt und del' Punkt E erreicht wil'd, wo ED = 0,3 OD, erfolgt del' Umschlag zur VolIablOsung. Del' Druck fallt langs del' Drosselkurve 2 zum Punkt F. Wird del' DurchfluB wieder erhoht, so verschwindet die VollablOsung im Punkte G, wo GI = 0,3 HI. Del' Betl'iebszustand springt im angegebenen Beispiel auf den Punkt K del' l'egulal'en Kennlinie zuriick, doch ist auch del' Fall moglich, wo man wieder auf die TeilablOsung zuriickkommt.


"1" 2 2 I 3

0)7 C c c 0.11 H G F

00 o o a b c

Abb.11.9.5. Zur theoretischen Voraussage des zu erwartenden Abliisungsverhaltens

Wird im FaIle b die Stabilitatsgrenze A auf der Drosselkurve 1 erreicht, so tritt sofort Vollablosung ein, d.h. der Betriebszustand springt nach E, da BD/CD > 0,3 und der teilabgeloste Zustand sich daher nicht halten kann. Wenn der DurchfluB wieder erhoht wird, verschwindet die Ab16sung im Punkte F, wo FH = 0,3 GH und man gelangt langs der Drosselkurve 2 auf Punkt I zuriick.

1m FaIle c schlieBlich hat die regular durchstromte Schaufelung an der Stabilitatsgrenze 'IjJ < 0,17. Dann erscheint dort die Teilablosung ohne Druckabfall, und dieser Zustand bleibt bei weiterer Mengenreduktion erhalten bis Punkt B, wo BA = 0,3 CA. Hier tritt die Vollablosung auf, womit der Druck auf Punkt D fallt. Bei anschlieBender Erhohung des Massenstromes bleibt dieser Zustand bestehen bis E, wo EG = 0,3 FG. Von dort gelangt man zuriick zum Punkt H, der im gezeigten Beispiel auf der regularen Kennlinie liegt, aber auch links von A liegen kann, wo man im Gebiet rotierender Teilablosung ist.

Das einfache Gedankenmodell liefert nicht nur zwanglos die Erklarung der fiir den Vorgang des rotierenden AbreiBens so typischen Hysteresis, sondern ist ganz allgemein mit den experimentellen Beobachtungen der Verfasser in guter Ubereinstimmung. Die Experimente wurden indessen ausschlieBlich an Versuchseinheiten mit maximal 4 Stufen durchgefiihrt, in denen die Bedingung del' Inkompressibilitat praktisch erfiillt war. Del' Vergleich mit den Erfahrungen an ausgefiihrten Maschinen laBt doch deutliche Unterschiede des Verhaltens in Erscheinung treten. Diese werden verstandlich, wenn man den EinfluB der Kompressibilitat beachtet. Lauft eine Maschine mit verminderter Drehzahl und treten nun Ab16sezellen auf, so diktieren diese del' ungestorten Stromung eine Druckerzeugung, die nicht geniigt, um eine Volumenabnahme zu bewirken, die del' Abnahme des Ringquerschnittes stromabwarts entspricht. Da aber die Durchtrittsgeschwindigkeit in del' ungestorten Stromung festliegt, muB diese einen immer groBeren Anteil des Ringquerschnittes in Anspruch nehmen. So entsteht eine Situation, wie sie in Abb. 11.9.6 schematisch dargestellt ist. Das Ablosegebiet wird stromabwarts zunehmend verdrangt und verschwindet im gezeigten Beispiel von Stufe 5 ab ganz. Dieses Verhalten entspricht genau del' Beobachtung, z. B. Simon [20].

Es leuchtet ein, daB in einer AbreiBzelle, die in solcher Weise stromabwarts allmahlich zum Verschwinden gebracht wird, mindestens im Mittel nicht del' gleiche 'IjJ'-Wert auftritt wie im einfachen Grundfall, auf den sich das Gedankenmodell stiitzt; 'IjJ' konnte wesentlich groBer sein. Dann ware im von del' Ablosung betroffenen Schaufelungsteil die Sit-qation nach Abb. l1.9.5c auch bei groBerem 'IjJ' moglich odeI' auch ein Fall, del' ein Mittelding von c und a darstellt, namlich eine von A nach links stetig abfallende Kurve, wie ebenfalls beobachtet. - Wenn man nun beachtet, daB noch ein regular arbeitender Schaufelungsteil nachfolgt (in Abb. 11.9.6 von Stufe 5 an), so kann fiir die ganze Schaufelung eine Kennlinie entstehen, die trotz rotierenden AbreiBens in den erst en Stufen immer noch nach links ansteigt.

11.10 Berechnung von Kennfeldern mehrstufiger Verdichter 39

An dem Gedankenmodell mag zunachst auch storen, daB es die sprunghaften "Obergange stets langs Drossellinien annimmt, was verschwindendes Volumen des Verbrauchersystems vorauszusetzen scheint. Es ist aber zu berucksichtigen, daB etwa im Beispiel Abb.11.9.6 die Druck-Mengenstrom-Relation am Eintritt in Stufe 5 fiir die Stufengruppe 1-4 die Rolle der Drosselkurve ubernimmt. An jener Stelle reagiert der Druck verzogerungsfrei auf Anderungen des Durchflusses.

Beachtet man diese Erganzungen, so ist das vorgeschlagene Gedankenmodell durchaus mit einem Verhalten kompatibel, wie es bei genugend stark verminderter Drehzahl beobachtet wird, vgl. Abb. 11.9.7. An der Drosselkurve 1 wird die Stabilitatsgrenze A erreicht und es setzt rotierende Teilablosung mit z.B. 3 Zellen ein. Bei weiterer Mengenreduktion steigt die Zellenzahl bei B auf 4, bei 0 auf 5, alles bei einer nach links ansteigenden Gesamtkennlinie. Bei D erfolgt der Umbruch zur Vollablosung mit einer einzigen Zelle, womit die Druckerzeugung zusammenbricht. Bei verschwindend kleinem Verbrauchervolumen ist E der neue Betriebspunkt. Unter technischen Bedingungen jedoch wird in D der Pumpzyklus einsetzen.

231, 567

Abb. 11.9.6. Ablosezelle, die stromabwarts von der regularen Stromlmg

zunehmend verdrangt wird

II 2

b

o Abb. 11.9.7. Typischer Verlauf einer Kennlinie eines mehrstufigen Axialverdichters bei stark verminderter Drehzahl

11.10 Berechnung von Kennfeldern mehrstufiger Verdichter

Die Berechnung einzelner Betriebszustande und damit gegebenenfalls auch eines ganzen Kennfeldes eines mehrstufigen Verdichters kann aufgrund von Stufencharakteristiken erfolgen. Beim Radialverdichter kann das unter 9.17 angegebene Rechenverfahren ebensogut fur die N achrechnung eines geanderten Betriebszustandes benutzt werden, wie fur die Auslegung. Beim Axialverdichter ist ein analoges Verfahren moglich, wie nachfolgend aufgezeigt. Es moge sogleich das ideale Gas vorausgesetzt werden, da dies fast allen praktischen Anwendungsfallen entspricht.

Die grundlegenden Definitionen der KenngroBe einer Stufe sind

11.10(1)

wobei Inde4 i auf die Kontrollebenen 1-3 verweist. Die Umfangsgeschwindigkeit u kann nach irgendeiner Konvention gebildet werden.

Die Ci sind Geschwindigkeiten im Euler-Radius, auf den sich auch die Stromungswinkel beziehen. Abb. 11.10.1 veranschaulicht die Stufencharakteristik, die Repetierbedingungen vorausgesetzt, was die einparametrige Darstellung ermoglicht. Dementsprechend ist im Rechenverfahren eine. Erganzung notwendig, welche die Abweichung gegenuber den

40

o


'Ps Po Abb.l1.10.1. Repetierstufencharakteristik eines

Axialverdichters

Repetierbedingungen kennzeichnet. Die Zustandsanderung in einer Stufe wird durch die folgenden Gleichungen bestimmt, wobei Zeichen + auf die vorhergehende Stufe verweist:

_ mRT! _ u+cpt CPI - PluQI - U '

Y = u2 [1pp(P) + rJp(p) q~(CPl) -; q~(CP3)] ,

n (_" n - 1 = rJp cp) " - 1 '

Ps = PI [rJp(CP~CpTI + 1 ]n~l, y

Ts = TI + () , rJp cP Cp

mRTs CPs = PsuQs '

- [rcps + (1 - r) CPI] cot {32 + CPI cot £Xl

cP = cot (32 + cot £Xl •

11.10(2)

11.10(3)

11.10(4)

11.10(5)

11.10(6)

11.10(7)

11.10(8)

GIn. 11.10(2) und (7) sind die Kontinuitatsbedingungen. In 11.10(3) und (4) sind die y und rJp aus der Charakteristik fur den durch 11.10(8) gegebenen Wert p der Durchsatzzahl einzusetzen. Damit und mit dem aus ql und qs gebildeten Zusatzglied in 11.10(3) ist die Abweichung gegenuber den Repetierbedingungen berucksichtigt. GIn. 11.10(4)-(6) schlieBlich legen die Zustandsanderung fest. Die Berechnung der verschiedenen GraBen erfolgt in der angegebenen Reihenfolge, wobei fUr die erste Durchrechnung zunachst mit (jJ = CPs = CPI begonnen wird, worauf iterativ genauere Werte erhalten werden, 1pp und 11p sind fUr cP = (jJ der Stufencharakteristik zu entnehmen. . Zu diesen Relationen sind noch diejenigen beizufUgen, welche die Zustandsanderungen

in den Stutzen festlegen. Wenn PE, T E die ZustandsgraBen vor Eintrittsstutzen bezeichnen, PA den Austrittsdruck, rJe und AD Einlaufwirkungsgrad und Diffusorumsetzungsgrad und wenn schlieBlich Index lund z auf die erste und letzte Stufe verweisen, so lauten die Gleichungen

11.10(9)

11.10(10)

[ q2 U2 ] " P -P A ~+1><=1 A - 3z D2c T .

p 3z 11.10(11)

11.11 Abschatzung der Stabilitat,sgrenze 41

Gin. 11.10(9) und (10) legen, zusammen mit 11.10(2) und der Stufeneharakteristik die Bedingungen vor dem ersten Laufrad bei gegebenen ni, PE, TE iterativ fest. Die Charakteristiken del' einzelnen Stufen werden im allgemeinen nicht identiseh sein, selbst wenn diese bis auf die SehaufelhOhe gleiehartig ausgebildet sind, denn 'lfJlJ und 'f}p werden dureh das SchaufelHtngenverhaltnis beeinfluBt. Dies kann berucksiehtigt werden, indem man z.B. die Koeffizienten del' Polynome, durch die man 'lfJp und 'f}p wiedergibt, yom Schaufellangenverhaltnis abhangen laBt. In weiterer Ausgestaltung des Verfahrens konnen so auch weitere Effekte berucksichtigt werden wie etwa derjenige der Mach-Zahl. Auch die Behandlung von Sehaufelungen, die sich aus versehiedenartigen Stufen aufbauen, bereitet keine Schwierigkeiten.

In Abb. 11.10.1 mag auffallen, daB die Kurven links von der Stabilitatsgrenze CPs gestrichelt weitergefUhrt sind. Solehe Fortsetzungen sind aus numerisehen Grunden notwendig, damit die Rechnung nieht versagt, wenn im Laufe von Iterationen del' Wert CPs zufallig unterschritten werden sollte.

Eine detaillierte Nachrechnung eines Betriebszustandes in einem Axialverdiehter entsteht dureh ein radweises Vorgehen, wobei mit del' ersten Stufe beginnend die ganze Schaufelung nach dem unter 11.6 angegebenen Verfahren naehgerechnet wird. Noch weiter gehen Methoden, die fUr jeden Betriebszustand die raumliche Stromung bestimmen. Ein weniger aufwendiges Verfahren besteht darin, wie unter 11.6 erwahnt, aus einer Untersuchung del' rotationssymmetrischen Stromung in der Repetierstufe verbesserte Unterlagen uber die mittleren Radwirkungsgrade zu gewinnen und diese in einer eindimensionalen Rechnung zu verwenden. Sehr komplizierte Rechnungen rechtfertigen sieh nur, wo die empirischen Eingaben uber die Verluste die hohe Genauigkeit wirklich erwarten lassen.

Systematisehe Durchreehnungen ganzer Kennfelder fiir verschiedene Varianten von Sehaufelungen (z.B. versehiedene Reaktionsgrade) sind schon mehrfaeh durchgefUhrt worden, z.B. Dittie et al. [21]. Solche Untersuchungen zeigen, welche Auslegungsarten in den verschiedenen Anwendungen zweckmaBig sind.

11.11 Abschatzung del' Stabilitatsgl'enze

Unter der Stabilitatsgrenze wird die Grenze verstanden, von del' an abwarts die regulare quasirotationssymmetrische Stromung nicht mehr erhalten bleibt. Exakte Kriterien zur Bestimmung diesel' Grenze besitzen wir nieht, weshalb es sich stets nul' um eine Absehatzung handelt.

Bei del' Axialverdichterstufe hat man urspriinglich, beeinfluBt dureh die Tragfli.igeltheorie, VOl' allem den Auftriebsbeiwert als Kriterium benutzt. SpateI' wurden andere Kriterien in groBerer Zahl vorgesehlagen, von denen sieh die beiden naehfolgenden am ehesten bewahrt haben: a) Ablosung an einem Sehaufelgitter tritt ein von dem Zustromwinkel ab, bei dem del'

Profilverlust das Doppelte seines Optimalwertes erreieht. b) Ablosung tritt bei einem kritischen Wert des Diffusionsfaktors ein, del' fUr Lauf- und

Leitrad definiert ist dureh

11.11(1)

wobei Ll1vu und Llcu die Anderungen del' Umfangskomponenten, s die Sehnenlange, t die Teilung bedeuten. Ais auBerster erreichbarer Wert von D wird 0,6 angegeben, auBer an del' Laufschaufelspitze, wo die Grenze etwa hei 0,4 liegt, vgl. [22].

Die Beurteilung del' Stabilitat verlangt indessen, daB die Stufe als Ganzes hetrachtet werde. In Abh. 11.11.1 sind in den Diagrammen links die Kennlinien dargestellt fur ein-


05

OS 'Pmax ~ ~ 5

01,

03

t 02 05

'~

~ '" ~ ~ ~~Ol "-

"" ~ '...03

O~~ ~0 '\

a O~/ '\ 09

;>.

OS 'Pmax 5

01,

03

~ ~ ........

"" 1fo

"' ~=Ol '" l"::: vO,S ~

"'\ y~-b '\

0202 03 01, OS 05 07 OB 02 03 01, OS 05 07 OB lfn- <p-

Abb. 11.11.1. Kennlinien der einzelnen Stufenelemente und gesamte Stufencharakteristik von Axialverclichterstufen

zelne Stufenelemente, die den Werten lJf = 0,1 ... 0,9 del' Stokesschen Stromfunktion entsprechen. Es entspricht lJf = OdeI' Innenwand, lJf = 1 del' AuBenwand; lJf = 0,1 und 0,9 sind hier gewahlt, urn die unmittelbar wandnahen Schichten auszuschlieBen. Die Stufenelemente konnen dann naherungsweise fur sich betrachtet werden, d. h. gegenseitige Impuls- und Energieubertragung wird nicht berucksichtigt. Aufgetragen ist fUr jedes Stufenelement'lfJ = LJhs /U*2 in Funktion von qn = c2n/u*, wobei u* die Umfangsgeschwindigkeit in einem ausgezeichneten Radius ist, z. B. im mittleren. Fur jedes Stufenelement laBt sich aufgrund del' Gitterdaten (bei den auBeren auch del' Randverluste) die entsprechende Kennlinie rechnen, wobei jeweils bei irgendeinem qn ein Maximum erreicht wird, d. h. die Kurve hat eine waagrechte Tangente. Bei irgendeiner del' Kurven liegt dieses Maximum am tiefsten, in den beiden gezeigten Beispielen fUr lJf = 0,9, also fur das auBerste Stufenelement. Das ist in del' Tat del' haufigste Fall, da auBen die Verluste bei Falschanstromung besonders stark ansteigen, einerseits del' hoheren Mach-Zahl wegen, anderseits weil auch del' Grenzwert D" tiefer liegt. Es sei 'lfJo die Druckzahl fliT den Auslegungszustand, 'lfJrnax del' Hochstwert, del' im ,kritischen' Stufenelement erreicht werden kann. - Vereinfachend ist hier 'lfJ fUr aIle Stufenelemente gleich angenommen. Das wird nahezu zutreffen mussen, wenn auch nicht genau; das wesentliche Ergebnis del' Uberlegungen wird dadurch nicht beruhrt. - Aus del' Schar del' Kennlinien del' einzelnen Stufenelemente laBt sich auch die in Abb. 11.11.1 rechts dargestellte Stufencharakteristik 'lfJ = f( cp) gewinnen, denn aus den q1P die den einzelnen lJf entsprechen, ergibt sich das integrale cp.

Ein hoheres 'lfJ als das 'lfJrnax des ungunstigsten Stufenelementes laBt sich unter den gegebenen Voraussetzungen nicht en>eichen, und dies legt praktisch die Stabilitatsgrenze fest. Versucht man im FaIle Abb. 1l.1l.1a, cp unter den 'Vert abzusenken, del' dem Punkt S entspricht, so ist dies nur in ganz geringem AusmaB moglich, indem man sich auf dem gestrichelten Ast del' Kurve 'lfJ = 0,9 nach links bewegt. Auf den andel'en Kurven bewegt man sich dabei wegen des abfallenden 'lfJ nach l'echts und kommt so sehr l'asch an die Gl'enze, wo eine weitel'e Absenkung von cp unmoglich wil'd. Dies ist angedeutet durch das ganz kleine Kul'venstiick links von S in Abb. 1l.11.1a. - 1m Beispiel Abb. 11.11.1 b liegen die Vel'haltnisse qualitativ gleich, wahl'end quantitativ Untel'schiede bestehen, die sich aus dem anderen Vel'lauf der Kennlinien del' einzelnen Stufenelemente

11.11 Abschatzung der Stabilitatsgrenze 43

ergeben. Im Auslegungspunkt ist hier iibrigens qn fiir aIle Stufenelemente gleich angenommen, wie es derWirbelfluBstromung entspricht. - Stets erhalt man so eine Stufenkennlinie, die im hochsten Punkt S noch eine nach rechts abfallende Tangente besitzt, was auch durch die Messung in del' Regel bestatigt wird. AIle bei [19] angegebenen gemessenen Kennlinien zeigen dies, abel' auch die MeBergebnisse von Smith [36], die zu den maBgebendsten gehoren diirften, haben zumeist diesen Charakter. DaB auch andere FaIle moglich sind, wird verstiindlich aus del' Tatsache, daB vereinfachende Annahmen gemacht wurden (Stufenelemente voneinander unabhangig, alle'lfJ gleich), wenn man noch beachtet, daB schon im FaIle b eine sehr flache Tangente entsteht. Bei ausgefUhrten Maschinen scheint die Tangente im Punkt S so gut wie immer nach rechts abzufallen.

Wenn man nun abel' ein cp erzwingt, das kleiner ist als es mit den gegebenen Kennlinien kompatibel ware, dann ist keine reguliire Losung mehr moglich, und dies ist das Einsetzen del' Instabilitat. Die Stufenelemente, die noch nicht an ihrer Grenze angelangt sind, haben die Tendenz, dem kritischen Stufenelement eine Druckerhohung aufzuzwingen, die groBer ist als dort erzeugt werden kann. Deshalb bricht dort die Stromung zusammen. In einem Teil des Querschnittes geht del' DurchfluB praktisch auf Null, und del' in diesem Teil sich einstellende Druckanstieg wird del' DurchfluBstromung aufgezwungen. Die Durchtrittsgeschwindigkeit stellt sich so ein, wie es gemiiB del' Kennlinie dem Druckanstieg entspricht. Das ist abel' genau del' Mechanismus, del' nach [19] fiir das rotierende AbreiBen kennzeichnend ist, und del' unter 11.9 beschrieben wurde. - Tritt die Instabilitat in den letzten Stufen ein, so ist das Auftreten des rotierenden AbreiBens dadurch behindert, daB die vorausgehenden Stufen das tangentiale Ausweichen del' Stromung nur begrenzt zulassen. Dann werden die Seitenwandgrenzschichten sehr dick, so daB sie eigentlich AblOsungsgebiete sind, wahrend in del' Mitte das Fluid mit groBer Axialgeschwindigkeit und dementsprechend reduzierter Druckerzeugung durchstromt.

Die rechneri8che Ab8chatzung einer Stabilitat8grenze kann demnach etwa wie folgt geschehen. Man hat fUr verschiedene Werte des Durchflusses die Geschwindigkeitsdreiecke langs des Radius zu bestimmen. DafUr existieren bekanntlich Verfahren in groBerer Zahl. Das einfache Vorgehen nach Abschn. 7.7 diirfte in vielen Fallen schon geniigen, da j a auch die Genauigkeit del' empirischen Unterlagen begrenzt ist. Die wandnachsten Geschwindigkeitsdreiecke, die verwendbar sind, miissen Stellen reichlich auBerhalb del' Verdrangungsdicken del' Seitenwandgrenzschichten (vgl. Angaben unter 8.5) zugeordnet sein. Die durch die Anstellwinkelfehler Lli vergroBerten Verluste sind zu berechnen wie unter 8.5. angegeben, d. h. es ist nach 8.5(33)

CDP = [1 + (~Ln XRXlYlCO 11.11(2)

mit n ~ 3,0 fUr Lli > 0 (BruststoB) und n ~ 2,6 fUr Lli < 0 (RiickenstoB). Riel' ist Llia del' Anstellwinkelfehler, bei dem del' Verlust das Doppelte seines Optimalwertes erreicht. Angaben dariiber finden sich in Abschn. 8.5; sie entstammen allerdings Gitterversuchen, so daB ihre Ubertragung besonders auf wandnahe Stufenelemente unsicher ist. Mit geeigneten L1ia laBt sich die Empirie in die Theorie einfUhren. - Fiir das kritische Stufenelement (das auBerste odeI' das innerste) erhalt man so die Kennlinie 'lfJ = f(qn). Wo ihre Tangente waagrecht ist, liegt die Stabilitatsgrenze. Rechenverfahren del' raumlichen Stromung, in die Verlustunterlagen integriert sind, miissen iibrigens bei Unterschreitung del' Stabilitatsgrenze von selbst versagen, da eine rotationssymmetrische Losung nicht mehr existiert.

Grundsa~zlich diirfte diese Abschiitzung del' Stabilitiitsgrenze auf del' sicheren Seite liegen. Das gilt auch in dem Gebiet, wo die Grenze in den letzten Stufen iiberschritten wird und eher die verdickten Seitenwandgrenzschichten als das rotierende AbreiBen zu erwarten ist; die Stabilitiitsgrenze ist dann zugleich die Pumpgrenze. In [35] wird sie durch eine akustische Untersuchung bestimmt. Das dort erhaltene Ergebnis kann man sich anhand del' Abb. 11.11.2 plausibel machen. Es ist hier ein 6stufiger Verdichter an-

44 11 Das Vel'halten unter geanderten Betl'iebsbedingungen

'I' VI 5 4

a 'P

b c

Abb. 11.11.2. Lage del' Betriebspunkte del' vel'schiedenen Stufen eines 6-stufigen Axialverdichtel's auf del' Stufcnkennlinie. a) Beharrungspunkt; b) gleiche Abweichung in allen Stufen (statisch); c) ungleiche Abwei

chungen (akustisch)

genommen, dessen Stufen siimtlich die gleichen Kennlinien 'IfJ = f( cp) haben magen. Die Betriebspunkte del' einzelnen Stufen sind durch die Nummern 1-6 angegeben. Ausgehend yom Betriebszustand a magen, wie unter b dargestellt, aIle Punkte urn den gleichen Betrag nach links verschoben werden, wie es del' iiblichen statischen Betrachtungsweise entspricht. Dabei wird offensichtlich L'IfJ groBer als im Zustand a, was Stabilitiit bedeutet. Anders bei einer dynamischen (akustischen) Betrachtungsweise. Nimmt man etwa an, daB die Starung bei Stufe 6 beginnt und sich nur mit endlicher Geschwindigkeit fortpflanzt, so daB z. B. wie unter c gezeigt, in einem Zeitpunkt erst die Betriebszustiinde del' Stufen 6, 5, 4 verschoben sind, so ist augenblicklich L'IfJ kleiner als im FaIle a l womit das Pumpen eingeleitet werden kann (in einem Fall del' statisch noch stabil wiire). SchlieBt man abel' nach dem angegebenen Verfahren Punkte links des Gipfels del' Stufenkennlinie aus, so sind solche Fane ohnehin vermieden.

Da im Bereich, wo die letzten Stufen an die Stabilitiitsgrenze kommen Instabilitiit zugleich das Pumpen bedeutet, kann man dort mit Vorteil von einem empirischen Befund von Snter' und Spiiti [23] Gebrauch machen, del' nul' HiI' die Pumpgrenze gilt. Man bestimmt fUr eine Drehzahl nahe del' N ormaldrehzahl eine mittlere poly trope Druckzahl gem~iB

1 Pro

1pp = Ln*2 J v dp, PIX

11.11(3)

fUr denjenigen Zustand, wo die Stabilitiitsgrenze erreicht wird. Dann liegt die Pumpgrenze bei allen Drehzahlen dort, wo 1Pp diesen gleichen Wert erreicht.

Das Problem del' Berechnung del' Stabilitiitsgrenze wird dadurch zusiitzlich erschwert, daB bei vielen Verdichtel'll schon im Auslegungspunkt die Seitenwandgrenzschichten sich gegen den Austritt hin stark verdicken, was man indessen wie unter 7.14 beschrieben vermeiden kann. Diese unzweckmiiBige Auslegung macht ganz allgemein jede rechnerische Untersuchung fragwiirdig, und man liegt daher auch mit del' angegebenen Methode nicht notwendig auf del' sicheren Seite.

Es sei hier noch erwiihnt, daB eine Uberschreitung des doppelten Profilverlustes nach del' negativen Seite (groBe cp) zwar keine Instabilitiit, abel' AblOsung an del' Druckseite hervorruft. Tritt dies in starkem MaBe auf, VOl' allem an del' Schaufelspitze odeI' liings des ganzen Schaufelblattes, so kann ein Flattern del' Schaufeln hervorgerufen werden, was zu Ermiidungsbriichen fiihrt.

Bei del' Radialverdichter8t'4e ist das Problem del' Stabilitiitsgrenze besonders kompliziert gelagert. Zuniichst stellt sich die Frage, wo innerhalb del' Stufe die kritischen Stromungsbedingungen henschen. Bei Riidel'll mit 45° Schaufelaustrittswinkel haben WI und C2 die gleiche GroBenordnung. Bei 90o -Riidel'll ist C2 wesentlich groBer als WI> besonders wenn WI im Euler-Radius bestimmt wird. Umgekehrt ist bei Riidel'll mit extrem kleinem

11.11 Abschatzung del' Stabilitatsgrenze 45

Austrittswinkel WI > c2 • Ferner ist folgender Zusammenhang zu beachten. Wenn ein Rad mit stark verminderter Drehzahllauft, ist die V olumenabnahme nicht annahernd so groB wie im Rechnungspunkt. Liegt dabei IXZ noch im normalen Bereich, so ist folglich PI schon sehr stark vermindert, d.h. man hat noch gunstige Anstromung des Diffusors, wahrend der Anstromwinkelfehler beim Laufrad schon groB ist. Umgekehrt liegen die Verhaltnisse bei stark erhohter Drehzahl. Nun ist der labilisierende EinfluB eines Stromungselementes um so groBer, je groBer der Anstromwinkelfehler und die umzusetzende kinetische Energie, woraus sich folgende Situation ergibt.

Bei Radern mit extrem kleinem Schaufelaustrittswinkel (z. B. 30°) ist normalerweise das Laufrad maBgebend, bei 900 -Radern der Diffusor. Weiter tritt bei verminderter Drehzahl der EinfluB des Laufrades starker in Erscheinung, bei erhohter derjenige des Diffusors.

Leider ist nun uber das Stabilitatsverhalten eines Laufrades nur sehr wenig Gesichertes bekannt. Nach Rodgers [28] liefert am ehesten das Verhaltnis W2/WI ein brauchbares Kriterium, was allerdings nul' aus del' Beobachtung ganzer Stufen erschlossen worden ist. Hierbei ist WI im Radius des Kreises zu bilden, der die Ringflache halbiert (also praktisch Euler-Radius) wahrend w2 den ausgemischten Zustand kennzeichnet. Abb. 11.11.3 zeigt die GroBenordnung des Grenzwertes, der offensichtlich stark streut. - Wenn nur das Laufrad in den kritischen Bereich kommt, ist ein Zusammenbruch del' Druckerzeugung nicht zu erwarten. Vielmehr wird das ohnehin vorhandene Totwasser mit weiter DurchfluBverminderung rasch anwachsen, so daB effektiv gar nicht mehr starker verzogert wird. Das fiihrt zu einer Ausflachung del' Kennlinie, was im Zusammenwirken mit dem Verbrauchersystem das Pump en zur Folge hat. Es ist anzunehmen, daB die stetigen Kennlinien ohne sprunghafte Ubergange, die fur viele Industrieverdichter typisch sind, dann entstehen, wenn das Laufrad del' dominierende Teil ist, denn das Zentrifugalfeld hat die Tendenz, selbst die stark abgelOste Laufradstromung zu stabilisieren.

Das Stabilitatsproblem des schaufellosen Diffusors ist schon mehrfach untersucht worden. Del' ZustromwinkellXz R:> 14° (ausgemischter Zustand) wird etwa als unterste Grenze angegeben, vgl. Dean [26]. Eine grenzschichttheoretische Behandlung des Problems geben Senoo et al. [30, 31]. Dabei wird berucksichtigt, daB am Eintritt in den Diffusor im allgemeinen asymmetrische Stromungsbedingungen (relativ zur Mittelebene) herrschen. Der radiale Druckgradient bewirkt, daB sich in den Grenzschichten eine Scherstromung einstellt. Bei genugend kleinem Stromungswinkel entsteht so ein Ruckstromen in den wandnahen Zonen. Damit ist die Stabilitatsgrenze gegeben, denn das Ruckstromen fiihrt zum rotierenden AbreiBen. Abb. 11.11.4 stellt auszugsweise Rechenergebnisse aus [31] dar. Es ist 1X2S der absolute Laufrad-Abstromwinkel del' ausgemischten Stromung an del' Stabilitatsgrenze, ]J;Iz die auf diese Stromung bezogene Mach-Zahl. Weiter ist Cn2 del' Mittelwert del' Radialkomponente am Radaustritt und LlCn2 del' Unterschied del' Radialkomponente an beiden Diffusorwanden. Die GroBe LlCn2/Cn2 kennzeichnet also die Verzerrung des

1,0

0,8

t 0.6

~ "- 0/. I~

0.2

0.300 60° 90° (32S-

Abb.11.11.3. Ungcfahre Grenze des Verzogerungsverhaltnisses 102/101 in Funktion des Schaufelaustrittswinkels f32S' N ach [28]

X

1.2 0.3

t 0.2 t 0.8 '" ~

:Z' 0,1, - ~ 0.1 " lJ

.."

0. 0" 10° 20" 3~' 10' 20° 3~'

CilS- azs-~-

Abb. 11.11.4. Zustromwinkel !X 2S an del' Stabilitatsgrenze cines ungeschaufelten parallelwandigen Diffusors. Nach [31]


Geschwindigkeitsprofils an Diffusoreintritt und ist offensichtlich ein wesentlicher Parameter. Das linke Diagramm gilt fUr LJcn2/Cn2 = 0, das rechte fUr M2 = 0. Ein einfaches Addieren der Effekte ist iibrigens bei der komplizierten Struktur der Grenzschichtgleichungen nicht streng richtig. Man erkennt, daB die Angabe 14° fiir nicht extrem gelagerte FaIle etwa die richtige GroBenordnung trifft. Es handelt sich hier zwar urn theoretische Ergebnisse, die nicht aus Maschinenversuchen stammen, doch zeigen Stichproben eine gute Ubereinstimmung mit der Beobachtung; die Werte liegen eher etwas zu ungiinstig. Die Angaben nach [28] hingegen sind zu optimistisch und in ihrer Tendenz unplausibel.

a

b

.!!. =01, t .

Abb. 11.11.5. Zur Wahl des SaugseitenFlankenwinkels IXS bei geschaufelten

Diffusoren

Beim Kanaldiffusor (geschaufelt oder anders gebildete Kanale) ist die Druckerhohung zwischen Radaustritt und Stelle h (Abb.l1.11.5) der begrenzende Faktor. Als kennzeichnende GroBe wird im angelsachsischen Schrittum der Riickgewinnfaktor benutzt, der durch

C Ph - P2 p2h = 0

P2 - P2 11.11(4)

definiert ist. Dabei sind Ph und P2 die statischen Driicke in h und am Radaustritt, pg ist der zugehorige Totaldruck. Thermodynamisch sinnvoller ist der Umsetzungsgrad

A _ LJhs2h _ 2cpT2 [(ph/p2)~ - 1] D2h - (;2/2 - c2 .

2 2 11.11(5)

Dabei bezieht sich c2 auf den ausgemischten Zustand. Beide GroBen unterscheiden sich nur wenig, vgl. die AusfUhrungen in Bd. I, 8.6. Nach [13] bricht die Druckerzeugung im Diffusor zusammen, wenn im Laufe der Schwankungen der Stromung Cp2h momentan den Wert 0,4-0,45 erreicht, denn das fiihrt im Querschnitt h auf einen Versperrungsfaktor von etwa 0,85, was den Diffusor zum Versagen bringt. Bei Mach-Zahlen von der GroBenordnung 1 bedeutet dies AD2h R::; 0,45-0,5. 1m zeitlichen Mittel kann man als kritischen Wert, bei dem die Stabilitatsgrenze erreicht wird, etwa AD2h R::; 0,3-0,35 setzen, was in guter Ubereinstimmung ist mit den Angaben in [26].

Diese Betrachtungsweise geht von der Vorstellung aus, daB es gleichgiiltig sei wie die Dru.ckerhohung von P2 auf Ph zustandekommt, was indessen nach den Ergebnissen von Reeves [29] nicht zutrifft. Aus diesen geht ein maBgebender EinfluB des Saugseitenflankenwinkels IXs (Abb. 11.11.5) hervor. DaB. dieser Winkel bei fest gewahlten Querschnittsverhaltnissen noch beeinfluBt werden kann, zeigt die Gegeniiberstellung von Abb. 11.11.5a und b. In beiden Fallen ist hit = 0,4, so daB beide Anordnungen insbesondere die gleiche Sperrgrenze aufweisen, trotzdem hat Anordnung b dank der kleinen Schaufelzahl den

Literatur zu Kap. 11 47

kleineren Flankenwinkel. Nun sei mmax der Massenstrom an der Sperrgrenze, nis derjenige an der Stabilitii:tsgrenze, tX2 der absolute Laufradabstromwinkel der ausgemischten Stromung 3 im Auslegungspunkt, M2 die zugehorige Mach-Zahl an Diffusorschaufel-Vorderkante. Dann kann nach [29] die GroBe

. . mmax - rns

die fiir eine gegebene Konfiguration direkt die Stabilitatsgrenze liefert und ein MaB fUr den verfiigbaren Regelbereich ist, gemaB Abb. 11.11.6 in Funktion von tXs - tX2 und M2 dargestellt werden. Das Diagramm faBt MeBergebnisse an einer Anzahl durchaus verschieden konzipierter Maschinen zusammen, deckt allerdings nicht den Mach-Zahlbereich iiblicher industrieller Verdichter. Man erkennt, daB die giinstigste Winkeldifferenz tXs - tX2

durchwegs etwa bei _3° liegt.

Abb. 11.11.6. Fordermengenbereich (nimax -ms)/1nmax in Funktion des Flankenwinkels

iXs und der Mach-Zahl. Nach [29]

0,28

0,24

0,20

d 0, 16 E

"EO ::s. 0,12

"rr 008 ;; . 1 0,04

1 Mz=0,8~ V o[ ./ V

1 V -700

~ _ ·1.D5~

uJ/

~8' I

-6'

I ~

.-- ~ '\ ,/'" -~ ,,""-.,1'

/' --- - "" ~ [\ '" 1\1

1\ -4' -2' 0' 2' lX5-lXZ-

Das bedeutet, daB Cp2h odeI' AD2h allein als Stabilitatskriterium nicht ausreichen. Dean [26] bemerkt ja auch, daB bei einzelnen Kompressoren kritische Cp2h-Werte bis herab auf 0,2 festgestellt wurden. Das wird verstandlich, wel1ll dort tXs unzweckmaBig gewahlt war. Del' angegebene Richtwert AD2h ~ 0,3-0,35 setzt also zweckmaBiges tXs

voraus. Eine Erweiterung des stabilen Betriebszustandes laBt sich nach Pampreen [32] bei

geeigneter Anordnung erreichen, wenn del' Diffusor als Tandem-Kreisgitter ausgebildet wird. Das diirfte darauf beruhen, daB eine Verschlechterung del' Grenzschichtbedingungen am Eintritt sich nur auf die erste Schaufelreihe auswirkt, nicht auf den ganzen Diffusor.

Literatur zu Kap. 11

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Thermische Turbomaschinen || Das Verhalten unter geänderten Betriebsbedingungen