19 Temperatur- und Kiihlungsprobleme

19.1 Grundgesetze der Warmeleitung und des Warmeilberganges

Wenn in einem festen Karpel' eine beliebige Temperaturverteilung herrscht, findet eine Warmeleitung statt, die in jedem Punkt gekennzeichnet ist durch einen Wii,rme­stromdichtevektor (pro Zeiteinheit durch die Einheit del' Flache geleitete Warmemenge) mit den drei Komponenten qv Q2' Q3' fUr die allgemein qi geschrieben werde. Nach dem Fourierschen Wdrmeleitnngsgesetz ist

8T qi = -A-,

8Xi 19.1(1)

wo A die Warmeleitfahigkeit ist und Xi fiir die drei Koordinaten Xv x2' X3 steht. Mit (l als Dichte und c als spezifischer Warmekapazitat ist die innere Energie eines Raum­elementes dX1 dX2 dX3 gegeben durch (lcT dX1 dX2 dx3, womit die Energiebilanz des Ele­mentes

(lc 8T dXl dX2 dX3 = - J; - {[A 8T + ~ (A 8T) dXi] - A 88T} dXj clXk 8t i 8Xi 8Xi 8Xi Xi

wird. Hierbei ist jeweils j =1= i, k =1= i. Aus dieser Gleichung folgt unmittelbar

ec 8T = J; ~ (A 8~), 8t i 8Xi 8Xi

19.1(2)

womit die allgemeine Warmeleitungsgleichung HiI' den warmequellenfreien isotropen Karpel' gefunden ist. 'Venn A mit hinreichender Naherung unabhangig von del' Temperatur ist und wenn die als Temperatnrleitzahl bezeichnete Gruppe a = Alec eingefiihrt wird, geht Gl. 19.1(2) libel' in

8T = ~ ~ 82T =a\J2T 8t I]c i 8xi .

Bei stationarcm Temperaturfeld und konstantem }, gilt also insbesondere

J; 8T = ° 8Xi

odeI' '\j2T = 0,

woran bemerkenswert ist, daB hier kein Stofhvert mehr auftritt.

19.1(3)

19.1(4)

Das Temperaturfeld in einem Karpel' wird daher aufgefunden durch Lasen del' par­tiellen Diffel'entialgleichungen 19.1(2), (3) odeI' (4) mit den Grenzbedingungen und gege­benenfalls Anfangsbedingungen des jeweiligen Falles. Als Grenzbedingung wird entweder die Oberflachentempel'atur des Karpel's gegeben odeI' abel' - haufiger -eine Wiirme­ubergangsbedingnng an del' OberfHiche. 1st T' die Fluidtemperatur, ex die Warmeiibergangs­zahl und n die nach innen gerichtete Flachennormale (Abb. 19.1.1), so ist die in den Karpel' eindringendEl Warmestromdichte q

q = ex(T' - T).

Da ferner nach dem Warmeleitungsansatz

8T q=-A-" , on

19.1(5)

19.1(6)

W. Traupel, Thermische Turbomaschinen© Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1982

316 19 Temperatur- und Kiihlungsprobleme

folgt

:~ = - ~ (T' - T). 19.1(7)

Dies ist die Grenzbedingung, die in allen Punkten der OberfHiche erfiillt sein muB.

Abb. 19.1.1. Warmestromdichte q an der Oberflache eines Ki:irpers

Ausgehend von der Differentialgleichung 19.1(3) und der Grenzbedingung 19.1(7) ergibt sich durch Dimensionsbefreiung auch das Ahnlichlceitsgesetz der Wiirmeleitung bei kon­stanten Stoffwerten. Es sei 1 eine charakteristische Lange des Systems, To eine charakte­ristische Temperaturdifferenz. Dann werde gesetzt

folglich

Mit den Definitionen

T T' {} P' {}' -P'

0 0

8 1 8 8 8Xi =T 8Xi ' 8n

rxl B- T ,

X - Xi i=T'

1 8 T8N'

konnen dann die GIn. 19.1(3) und (7) folgendermaBen dargestellt werden:

8{} ~ 82{} 88N{} = _ B({}' _ {}). 8r: = f 8X7'

19.1(8)

19.1(9)

19.1(3'), (7')

Damit ist die dimensionslose Formulierung des Problems gewonnen. Als maBgebender Parameter tritt B auf, die sog. Biot-Zahl. Sollen zwei Warmeleitungsvorgange ahnlich sein, so ist auBer geometrischer Ahnlichkeit und Ahnlichkeit der Anfangsbedingungen GIeichheit der Biot-Zahlen erforderlich. AuBerdem muB die allfallige zeitliche Variation auBerer Bedingungen ahnlich verlaufen, d. h. {} und B miissen in Funktion von r: den gleichen Verlauf nehmen. Wenn man also die zeitliche Anderung auBerer Bedingungen durch eine charakteristische Zeit to kennzeichnet (z. B. Periode bei periodischen Vorgangen oder Zeit des Anstieges von T' bei einem Anheizvorgang), so muB der mit to gebildete Zeitparameter

_ A aio Fo = ecl2 to = 7,2 , 19.1(10)

die sog. FO'twier-Zahl, fiir beide FaIle gleich sein. Daraus folgt insbesondere, daB die Durchwarmzeiten geometrisch ahnlicher Korper aus gleichem Werkstoff proportional dem Quadrat der Abmessungen sind.

In der Theorie des Warmeiiberganges wird gezeigt, daB sich aus der Warmeiibergangs­zahl, ahnlichkeitstheoretisch die folgenden dimensionslosen KenngroBen bilden lassen:

rxl Nu-y' 19.1(11)

Nu wird als Nusselt-Zahl, St als Stanton-Zahl bezeichnet. Der Akzent verweist auf die Eigenschaften des Fluid.s (nicht des Korpers) woraus auch der Unterschied zwischen B

19.1 Grundgesetze der Warmeleitung und des Warmeiiberganges 317

und Nu deutlich wird. Die Bezugsgeschwindigkeit wist die gleiche, mit der Reynolds­Zahl Re = wlfv'gebildet wird. Wenn noch die Prandtl-Zahl Pr = 'fJc~fA' eingefiihrt wird, liiBt sich das Gesetz des Warmeiiberganges bei erzwungener St1'omung fiir einen Korper gegebener Geometrie in einer der folgenden Formen schreiben:

Nu = ({J (Re, Pr), St = 1Jl (Re, Pr). 19.1(12)

Hier kennzeichnen ({J und 1Jl die betreffenden Funktionalzusammenhange. Praktisch kommen zu Re und Pr oft noch zusatzliche Parameter hinzu, wie Rauhigkeit, Vorturbu­lenzgrad, EinfluB temperaturabhangiger Stoffwerte. Die beiden Formen G1. 19.1(12) sind einander aquivalent. Die Verwendung der Stanton-Zahl fiihrt meist auf den iibersicht­licheren theoretischen Formalismus.

Bei jreier Konvektion ist nur die Nusselt-Zahl brauchbar. Unabhangige Variable ist dann anstelle der Reynolds-Zahl die Grashoj-Zahl Gr, deren Definition

_ jl3{3(T' - T) Gr = 2

'II 19.1(13)

lautet. Hier ist j die Feldkraft pro Masseneinheit, im Schwerefeld also g, im Zentrifugal­feld die Zentrifugalbeschleunigung. Beim idealen Gase wird die Warmeausdehnungszahl {3 = 1fT. Das Warmeiibergangsgesetz lautet hier

Nu = rp (Gr, Pr) 19.1(14) mit rp als Funktionalzeichen.

Bemerkenswerterweise hat schon Helmholtz [1] erkannt, daB der allgemeinere Fall der temperaturabhangigen Warmeleitfahigkeit (G1. 19.1(2)) mathematisch auf den ein­facheren Formalismus zuriickgefiihrt werden kann, der bei konstantem A gilt. Es werde gesetzt

A(T) = Ao({J(T) ,

wo Ao der Temperatur To zugeordnet ist. Weiter wird die Temperaturfunktion

eingefiihrt. Dann ist

Da ferner

folgt

also

_ T

T = J ((J(T) dT T.

8T dT 8T ec 8T ec-=ec---=--, 8t dT 8t ({J 8t

8T A 82T ---:2;-8t - nc . 8x~

I::; t t

in genauer Analogie zu 19.1(3). Ebenso ist

An die Stelle der Warmeiibergangszahl IX tritt der umgerechnete Wert

T'-T IX = IX -=_,---::;-

T'-T

19.1(15)

19.1(16)

19.1(17)

19.1(18)

19.1(19)

19.1(20)

19.1(21)

318 19 Temperatur- und Kuhlungsprobleme

Damit ergibt sich

oT = _ ~(P' _ P). on Ao

19.1(22)

Die GIn. 19.1(19) und (22) entsprechen genau den Formen 19.1(3) und (7). Die Dimensions­befreiung fuhrt auf

19.1(23)

:: = -B(i)' - iJ). 19.1(24)

In dem (in Funktion von iJ anzugebenden) Faktor rp in del' Differentialgleichung tritt del' Unterschied gegenuber den'l Fall konstanter WarmeleiWi,higkeit in Erscheinung.

19.2 Empirische Dllterlagen fiber Warmelibergallg 1

Empirische Unterlagen iiber den Warmeubergang an Schaufeln und meridionalen Begrenzungswanden wurden bereits in Bd. I unter Abschn. 8.4 angegeben. Fur einige andere Konfigurationen mogen anschlieBend die experimentell gefundenen Werte zu­sammengefaBt werden.

Del' geracle Kanal (Abb. 19.2.1a) kann in del' Regel hinreichend genau auf das Rohr kreisfOrmigen Querschnittes zuruckgefUhrt werden durch den Begriff des hydraulischen Durchmessers, del' definiert ist durch

19.2(1)

wo f del' KanalquerschniU, U sein Umfang ist. Das gilt insbesondere auch fUr den Spalt­kanal, del' durch zwei Ebenen im Abstand h begrenzt ist (Abb. 19.2.1b); die Ausdehnung senkrecht zur Bildebene ist praktisch unendlich. Unter diesen Bedingungen ist D" = 2h. Mit del' Kanallange L, del' mittleren Dichte e und del' Rohrwiderstandszahl 1jJ (oft auch mit A bezeichnet) wird dann del' Druckabfall

c

L -LJp = 1jJ - !L c2 19.2(2)

D" 2

a

l -1-------1---1&-----­

I (.... -x-...j t

b

TV

.,~--7'

-tr1 -------e

Abb.19.2.1. Durchstromte Kanale verschiedener Anordnung

1 Die Angaben dieses Abschnittcs entstammen groBteils einer umfassenden Ubersicht, die O. Frei anlaBlich cines Kurses uber "Temperatur und Festigkeit in Stromungsmaschinen" an der ETH Zurich 1975 gegeben hat.

19.2 Empirische Unterlagen tiber Warmeiibergang 319

Das "P des hydraulisch glatten Rohres in ausgebildeter turbulenter Stromung, das "Po benannt werde, ist del' Abb. 19.2.2 zu entnehmen. Die Stanton-Zahl kann daraus vermoge del' Reynoldsschen Analogie bestimmt werden durch die Gleichung

0,05 0,01,.

1 0,03

;;:0,02

0,01 J 2'10

I

I ~ i

Sto = "PolS 1 + f(pj<) V"Po/ S

--- i -1--1-

t::--:..--.. I

l-I--'-r-I 2 4- 6 8 105 2

Re--Abb. 19.2.2. Reibungsbeiwert lfJo des glatten Rohres in Funktion der Reynolds-Zahl

19.2(3)

Die Funktion f(Pr) ist nach Deissler [2] durch Abb. S.4.23, Bd. I, gegeben. Fiiri Fr = 0,7 wird f(Pr) = - 2, 7S. Beziehungen, die Sto direkt, also ohne Bezugnahme auf "Po angeben, existieren in groBer Zahl. Sehr bekannt ist diejenige von Kraussold [3], die im Ergebnis mit Gl. 19.2(3) recht gut iibereinstimmt und

Sto = 0,024Re-o,2Pr-o,67 19.2(4)

geschrieben werden kann.

Diese Relationen beriicksichtigen nicht den EinfluB del' Anlaufstrecke. Er kann nach Ha~lsen [4] naherungsweise erfaBt werden durch

[ 1 (Dl )3/2] St(x) ~ Sto 1 + 3;;!- , 19.2(5)

wobei x del' laufende Weg ist (Abb. 19.2.1). Ebenso kann del' EinfluB del' Rauhigkeit naherungsweise beriicksichtigt werden durch

19.2(6)

wo "P del' effektive Wert "Po del' flir hydraulisch glatte Wand ist, vgl. [5-8]. Fiir gekru1nmte Kanale kreisformigen Querschnittes (Abb. 19.2.1c) lassen sich Wider­

standszahlen gemaB [9-11] angebcn zu

wo Index 0 auf den Wert des geraden Kanals verweist.

( 'r )2 Y == Be -:- ' r"

19.2(7)

19.2(S)

Beim rotierenden Kanallassen sich folgende Angaben machen, die auf [9-11] beruhen. Bildet die Kanalachse mit der Drehachse einen rechten Winkel (Abb. 16.2.1d), so liegt VOl' aHem die kritische Reynolds-Zahl Re" hoher als beim ruhenden Kanal. Es ist etwa

Re" ~ 8674 (wDlw)o,3 bei kreisformigem Querschnitt,

Re" ~ 63200 (walw) + 2000 bei quadratischem Querschnitt von Seitenlange a.

320 19 Temperatur- und Kiihlungsprobleme

Stets ist hier w die Relativgeschwindigkeit. 1m turbulenten Bereich ist dann

{ [(WD)2 ]O,282} "P = 0,942 + 0,058 w h Be "Po' 19.2(9)

St = 1,045Stoyo,o5 [1 + 0,0607 y-O,2], y = Be (D:f, 19.2(10)

wo stets Index 0 auf den ruhenden geraden Kanal verweist. Liegt die Kanalachse parallel zur Drehachse (Abb. 16.2.1e), so liegt St ebenfalls iiber dem Grundwert Sto, im Extrem­fall bis um einen Faktor 2.

Uber den Warmeiibergang an urn8trornten Korpern geben in einfachen Fallen die fUr die ebene Platte giiltigen Unterlagen einen geniigenden Anhaltspunkt, vgl. dariiber die Angaben in Bd. I, Abschn. 8.4. MaBgebende Fluidtemperatur ist dabei stets die adiabate Wandtemperatur

2

T -T + P 1/3~ ad- r 2 ' cp 19.2( 11)

wobei w stets die Geschwindigkeit relativ zum angestromten Hindernis ist. Tad ist also nahezu gleich der Totaltemperatur. An gerundeten angestromten Kanten (z.B. Schaufel­eintrittskante) konnen die Ergebnisse fiir den querangestromten Zylinder verwendet wer­den. Die Grenzschicht stromt dort laminar. Unter Verwendung der Angaben Abb. 19.2.3, laBt sich im Bereich cp = ± 60° setzen, vgl. [12, 13]

rxD NU-T' Be wID,

v Nu =f(cp) g(Pr) h V Be, 19.2(12)

wobei die Funktionen f, g, h in Abb. 19.2.3 dargestellt sind. h hangt von der Variablen Tu V Be ab, wobei Tu der Turbulenzgrad der Zustromung ist.

1,0 I---I--

5

""'-0,8

"" 1

.,

r--- _--1, I H- I

...J-' '/'

./ I

r------

r----

.~ "l ___ I-

/ J I

r--0,2

20' 1,0' 60' 00 I, 8 r--- Pr--

2,0

1,8

t 1,6

.<::? 1, I,

1,2

---0--11;" rp (i:'\

I " / ./

V

1/ /'

I L / I

V I

J If

V I I 10 20 30 1,0

Tufiie---Abb. Hl.:2.3. Zur Bercchnung des Warmetiberganges am quer angestriimten Zylinder

Fiir den Turbomaschinenbau ist der Warmeiibergang an rotierenden Scheiben, die in ein Gehause eingeschlossen sind, naturgemaB bedeutsam. Dariiber existiert eine groBere Zahl von Veroffentlichungen. Die nachfolgenden Angaben stiitzen sich auf [14], was den praktischen Gegebenheiten etwa am besten entsprechen diirfte. Abb. 19.2.4 zeigt die vorausgesetzte Anordnung. Es ist Be = wr/v der ortliche Wert der Reynolds-Zahl. 1m Radius r 0' wo der Kiihlluftstrom senkrecht auf die Scheibe auftrifft, ist

19.2(13)

wobei vorausgesetzt ist, daB die Kiihlluft durch einen Ringspalt zugefiihrt wird. Hohere Werte erzielt man, wenn man die Luft durch einzelne Locher einblast. Wo die Luft langs

19.2 Empirische Unterlagen libel' Warmelibergang 321

der Stirnflache nach auBen stromt, ist

8, ~ O,lR,"" Pr-O'o [( ~ f: ~l r 19.2(14)

(Bezeichnungen vgl. Abb. 19.2.4). Diese Formel liefert fiir r -+ ro unendliche Werte, ist also dort ungiiltig und durch Formel 19.2(13) zu ersetzen. Der Ubergang zwischen beiden Formeln liegt dort, wo beide den gleichen Wert ergeben. - Stromt die Luft langs der Stirnflache nach innen, so ist

1- -St = 4,2 ' 10- 6 ReO,3 Pr-O,6 1'0 ~ (

1' )2

JO'6

d l' 2--

Abb. 19.2.4. Anordnung einer gekiihlten Scheibe, a) Stromung von innen nach auBen; b) Stromung

von au Ben nach innen a

1'0 1'0

19.2(15)

b

Der gegeniiber Gl. 19.2(14) stark veri.inderte, eigentiimliche Charakter dieses Gesetzes (posi­tiver Exponent von Re) hangt damit zusammen, daB unter dem EinfluB der Fliehkraft kalte Luftteilchen in unmittelbarer Nahe der Scheibenoberflache nach auBen zentrifugiert werden (entgegen del' allgemeinen Stromungsrichtung) und die Scheibe wegen der so ent­stehenden Luftumwalzung vor allem mit wannerer Luft in Berii.hrung kommt. Die "\Virk­samkeit der Kiihlung wird damit beeintrachtigt.

Die Abschatzung von w, mit dem auch die Stanton-Zahl gemaB St = IX/ecpw gebildet ist, bereitet insofern eine gewisse Schwierigkeit, als die Kiihlluft in Umfangsrichtung von del' Scheibe mitgeschleppt wird, was die Relativgeschwindigkeit beeinfluBt. Unter prak­tischen Bedingungen ist aber hinreichend genau 10 ~ /'OJ, urn so me hI' als die MeBwerte stark streuen. An del' Einblasestelle ist w die Resultierende aus wr und del' Austritts­geschwindigkeit aus del' Lufteinblaseoffnung. Die Stoffwerte sind fUr die mittlere Kiihl­lufttemperatur im Radius l' einzusetzen.

Uber den Warmeiibergang in Labyrinthdichtungen finden sich in [15-18] umfangreiche MeBergebnisse. Es zeigt sich dabei, daB del' Warmeiibergang fast nul' durch die Spalt­stromung bestimmt wird, wahrend die Umfangsgeschwindigkeit ohne wesentlichen Ein­fluB ist. Abb. 19.2.5 zeigt die verschiedenen Anordnungen und gibt die Bezeichnungen. Wenn w die purchfluBgeschwindigkeit im Spalt ist, lauten die Definitionen

Re 2ws/v, Nu _ 2IXS/A. 19.2(16)

Die Stoffwerte beziehen sich auf die Kammermitte. Unter IX wird der Mittelwert iiber die Teilung verstanden. Nachstehend werden fii.r die verschiedenen Konfigurationen und Bedingungen die empirischen Formeln angegeben:

322

Rotor a

19 Temperatur- und Kiihlungsprobleme

Rotor b

Rotor c

Abb.19.2.5. Labyrinthanordnungen. a) Halblabyrinth, Kamme auf Statorseite; b) Kammnut-Labyrinth, Kamme auf Statorseite; c) Doppellabyrinth

Halblabyrinth (Abb. 19.2.5a)

Spaltseitig, 1,53 < t/b < 10

Nu = 0,041Reo,8 (s/b)-0,05

Spaltseitig, t/o > 10

( S )-0,05 [ ( t )] Nu = 0,041Reo,8 ~ exp -0,004 ~ - 10

Kammerwand: Nu = 0,043Reo,8 (s/b)-O,l (l/b)-0,2

Kammnut-Labyrinth, Kamme statorseitig (Abb. 19.2.5b)

Rotorseitig:

Kammerwand:

5000 < Re < 6000 s/o, o/s < 0,17

Nu = 0,98Reo.6 (b/S)O,16

5000 < Re < 6000 sib, 0,17 < b/s < 0,24

Nu = 0,74Reo,6

6000 s/b < Re < 5.105, b/s < 0,17

Nu = 0,41Reo.7 (b/S)0,26

6000 s/b < Re < 5.105, 0,17 < b/s < 0,24

Nu = 0,26Reo,7

Nu = 1,125Reo,65 (b/s)0.35 (S/t)O.l (OR/t)0.32

Doppellabyrinth (Abb. 19.2.5c)

Nu = 0,135Reo,8 (s/0)0,05 (t/b)-0.5

Alles dies gilt fiir PI' = 0,7. W"iirmetibergang bei freier Konvektion hat bei Gasturbinen in folgendem Zusammen­

hang eine gewisse Bedeutung. GemaB Abb. 19.2.6 ist eine Schaufel gebildet aus Schaufel­blatt 1, FuBplatte 2, Zwischensteg 3 und FuB 4. Bei gektihlter Lauferscheibe fiillt die Temperatur im Zwischensteg von auBen nach innen stark ab, so daB die FuBbefestigung im Gebiet maBiger Temperatur liegt und dementsprechend hoch beansprucht werden kann. W"enn nun die Zwischenraumc zwischen den Stegen geschlossene Totraume sind, stellt sich dort unter dem EinfluB des Fliehkraftfeldes eine intensive freie Konvektion ein. Nun existiert zwar tiber freie Konvektion ein umfangreiches Versuchsmaterial, doch reich en

19.2 Empirische Unterlagen iiber Warmeiibergang

Abb. 19.2.6. Laufschaufelbefestigung mit Zwischen­steg zur Herabsetzung der Temperatur in der

FuBpartie

323

die Messungen auch nicht annahernd in den Bereich del' hohen Grashof-Zahlen hinauf, die hier del' groBen Zentrifugalbeschleunigung wegen auftreten. Man muB daher urn zwei bis drei Zehnerpotenzen extrapolieren, was die Ergebnisse recht unsicher macht. Mit den Bezeichnungen nach Abb. 19.2.6 magen folgende Definitionen eingefiihrt werden. Es sei q die mittlere Warmestromdichte, die den Totraum radial nach innen durchquert. Dann wird eine Warmeiibergangszahl definiert durch

- q tX =T - T .

1 2 19.2(17)

Mit Trn = (TI + T 2 )/2 und del' Feldbeschleunigung rrnw2 ergeben sich dann fUr Nu und Gr die Ausdriicke

tXh Nu T'

Unter Verwendung von [19] laBt sich dann setzen

Nu i":::j 0,069G1'O,333 P1'O,407,

also mit Pr = 0,7 insbesondere

Nu i":::j 0,060 GrO,333 ,

19.2(18)

19.2(19)

19.2(20)

wobei von del' Tatsache Gebrauch gemacht ist, daB bei hohem Gr (und dam it starker Turbulenz) Nu von den geometrischen Proportionen des Hohll'aumes kaum mehr abhangt. Die Stoffwerte beziehen sich auf T rn- - Del' gleiche vVarmetranspol't wiil'de auftreten, wenn del' Hohll'allm durch einen festen Karpel' mit einer Wal'meleitfahigkeit .lea erfiillt ware. Diese aquivalente Warmeleitfahigkeit ist offen bar

19.2(21)

Man findet eine GraBenordnung, die etwa die Halfte des .Ie des Schaufelwel'kstoffes ist. Aus allen Kol'relationsbeziehungen dieses Abschnittes lassen sich die Wiinneiibe1'gangs­

zahlen gewinnen gemaB

odeI' 19.2(22)

wobei als Bezugsgeschwindigkeitw und Bezugslange 1 stets die gleichen Werte zu ver­wenden sind, mit den en die Reynolds-Zahl gebildet wil'd.

Erganzend sei hier noch kurz del' Kontaktwiderstand erwahnt, del' sich an del' Beriih­rungsflache zwischen zwei Karpern einstellt, wenn Wal'me von einen auf den andern iiber­trag en wird. Es seien Tfl und T/2 die Temperaturen del' beiden einander beriihrenden Oberflachen (Tfl > T/2 ) und q die auf del' Bel'iihrungsflache senkl'echt stehende Kompo­nente del' 'Varmestl'omdichte. Dann ist

19.2(23)

324 19 Telllperatur- und Kiihlungsproblellle

womit eine Kontaktwiderstandszahl Re definiert ist. Es seien Al und A2 die Warmeleit­fahigkeiten del' beiden Werkstoffe, A die Warmeleitung des umgebenden Fluids (z.B. Gas), kl und k2 die mittleren Rauhigkeitshohen del' beiden Oberflachen, dB die Bruchfestigkeit des duktileren del' beiden Werkstoffe und p die Flachenpressung. Nach [20] laBt sich alsdann del' Kontaktwiderstand durch folgende Formel bestimmen. Man setze

., __ 2AI A2 , k-= __ kl + k2 • /L 19.2(24)

Al + A2 2 Dann ist

~ = 0,7 . 104 pJ: + ~. Re dB k

19.2(25)

Riel' sind die kin m, die A in W/mC einzusetzen und Re wird in Cm2/W erhalten. Diese Formel beruht auf del' Vorstellung, daB die Warmelibertragung einerseits durch den Kontakt del' Rauhigkeitserhebungen, anderseits durch das in den mikroskopischen Zwischenraumen eingeschlossene Fluid erfolgt.

19.3 Warmeiibergang an Schaufeln

In Bd. I, Abschn. 8.4, finden sich bereits Angaben libel' den globalen Warmeiibergang an einem Schaufelblatt. Bei del' Bestimmung del' Temperaturverteilung in einer geklihlten Schaufel wird abel' die Verteilung del' vVarmeiibergangszahl an del' Berandung des Schau­felprofils benotigt. Diese laBt sich grundsatzlich grenzschichttheoretisch berechnen, wobei allerdings die im gegenwartigen Stande del' TheOl'ie erreichbare Genauigkeit noch nicht voll befriedigt. Nachfolgend geben wir die Theorie von 1J1ay [21] an, die sich auf die grundlegende Arbeit von Eckert [22] stlitzt. Dabei beschranken wir uns auf die Beschrei­bung des Rechenverfahrens und verweisen flir die Herleitung auf die Originalliteratur.

Die Bezeichnungen sind die folgenden (vgl. Abb. 19.3.1). Wie in del' Grenzschicht­theorie iiblich, bezeichne U die Geschwindigkeit am Rande del' Grenzschicht beim Uber­gang in die ungestorte Stromung. U I und U 2 sind die iiber die Teilung gemittelten Ge­schwindigkeiten VOl' und nach dem Gitter. Mit s als Sehnenlange flihren wir die folgenden Reynolds-Zahlen ein:

ReI UIs, Re2 U2s 19.3(1) YI Y2

Aus del' laufenden Bogenkoordinate ;1;, die vom vorderen Staupunkt E aus flir Saug- und Druckseite getrennt positiv gerechnet wird, bilden wir die dimensionslose Koordinate ~ = xis und ebenso aus del' Impulsmangeldicke b und del' Temperaturmangeldicke bt die dimensionslosen GroBen

e --- bls, Weiter sei

W UIUI ,

t T-To,,,

19.3(2)

19.3(3)

19.3( 4)

wobei an del' betrachteten Stelle ~ die Temperatur in beliebigem Wandabstand T, die­jenige an del' Grenze del' Temperaturgrenzschicht Too ist.

Abb. 19.3.1. Schaufelprofil, zur Theorie des Wiirllleiiberganges an Schaufeln

19.3 Warrneubergang an Schaufeln 325

Die Berechnung der 'Varmeubergangszahl geht aus von der als bekannt vorauszu­setzenden Geschwindigkeitsverteilung am Profil, da hiervon die Grenzschichtentwicklung abhangt. Es ist also W(;) und damit dWjd; an jeder Stelle gegeben. Saug- und Druckseite teilt man je in eine Anzahl von Abschnitten Llx ein, womit auch die LI; und die ;-Werte ;}> ;2' '" in den Punkten 1, 2, ... festliegen (vg1. Abb. 19.3.1). Zuerst wird der larninare Teil der Grenzschicht bestimmt. 1m Staupunkt E ist die relative Impulsverlustdicke

0,2923

Fiir; = ;1 wahlt man versuchsweise einige 8(;1)' berechnet zu jedem den Wert

K = 8 2(;1) ReI d; I~l' entnimmt der Abb. 19.3.2 ~* und zr und gewinnt hieraus

d8 I (1 - ~*) z; d; Cl = 8(;1) WEe1 '

19.3(5)

19.3(6)

19.3(7)

Damit geht man ins Diagramm Abb. 19.3.3 und tragt ausgehend von 8(;1) eine Gerade mit del' Neigung nach G1. 19.3(7) ein. Kommt der Schnittpunkt A in die Mitte des Inter­valls von Obis ;1 zu liegen, so war 8(;1) richtig gewahlt. In gleicher Weise wird weiter­geschritten, indent man 8(;2) annimmt, die Gln. 19.3(6) und (7) fur; = ;2 formuliert und die Annahme 8(;2) so lange verandert, bis der Schnittpunkt B in die Mitte zwischen ;1 und ;2 zu liegen kommt. So kann Schritt fUr Schritt weitergefahren werden, auBersten-

2, 'f I I I

1,(;

z=z;1 d(~~mJ jm ~ p-

t---Jr ~ O} f:::::: p <= t--t-0.8

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t--- Q~ t- --- --I--

0,

!- - r--r-

0, h- r-~

t---l' ["'--., zf 3 ""r-.< t-!. r--b< V

2 V v

0, 1 l-I--

0

!.= j.= 1= p-

Aty;

~~ ~~/

/ '/

/'" IJ~ h

II J

jJ~

/

V r-.. r--

f-1---

f= ;='

I 1/

/ '/

I II

/

t--

I, 1//

/ / I

r-..

o,S6'

1,6'

at J 0.9 "Q..

0,2

o

-0,2

a'f -0,08 -0,06' -0,09 -0,02 0 0,02 0,0'f 0,00 0,08 0,10

f(-

Abb. 19.3.2. MaBgebende Funktionen zur Berechnung des lokalen ~Warmeiiberganges an Schaufeln

326 19 Tcmperatur- und Kiihlungsprobleme

falls bis dort, wo die Laminarab16sung zu erwarten ist, was gekennzeichnet ist durch die Werte K = -0,0681, fJ* = 0,1988. Bei del' in Turbinen vorhandenen hohen Vorturbulenz erfolgt abel' del' Ubergang zur turbulenten Grenzschichtstromung regelmaBig schon friiher, nach Hodge [23] etwa bei U (jjv f':::; 250, vgl. die Ausfiihrungen in Bd. I, Abschn. 3.13. Dem­nach ist mit dem Umschlag zu rechnen, wo

e = 250~ Us

19.3(8)

erreicht ist. - 1st diese Rechnung fUr den laminaren Teil del' Grenzschicht durchgefiihrt, so kennt man an jeder Stelle; gemaB Abb. 19.3.2 die GroBen Z und At und hat damit auch

~1

19.3(9)

Abb. 19.3.3. Zur Integration der Grenzschicht­gIeichung durch Differenzenrechnung und An­

wen dung der Sekantenmethode

1m vorderen Staupunkt E, also in ; = ° ist

St(O) = 0,4956 VRe! dW I . Re2 Pr d; 0

19.3(10)

Die Stanton-Zahl im turbulenten Teil del' Grenzschicht laBt sich naherungsweise berechnen, indem man den Wert bestimmt, del' fUr eine ebene Platte gelten wflrde an del' Stelle, an del' die entsprechenden Verhaltnisse herrschen. So findet man

St(;) = 0,0296 (:J).8 (Re2;)-o,';!. Pr- O,67. 19.3(11)

Damit wird die Warmeiibergangszahl an jeder Stelle del' Schaufelkontur

IX = (!2Cp U2St(;) , 19.3(12)

wo Sl{;} je nach Ort gegeben ist durch die Gin. 19.3(9), (10) und (11). Abb. 19.3.4 zeigt ein Beispiel eines Rechenergebnisses. Leider ist die Genauigkeit sol­

cher Rechnungen bis heute nicht vollig befriedigend. Das gilt nicht etwa nur daIm, wenn man sich im turbulenten Teil mit del' Naherung begniigt, die fUr die ebene Platte giiltige Relation zu verwenden, sondern auch verfeinerte Theorien vermogen nicht voll zu befrie­dige!l. Die Theorie von Patankar und Spalding [24] bietet ihrer Stl'uktur nach die Moglich­keit, hohere Genauigkeit zu el'reichen, doch erfordert dies die Eingabe empirischel' Unter­lagen, die noch nicht vorliegen. Bei diesel' Lage del' Dinge sei etwa folgendes Vol'gehen empfohlen. In unmittelbarer Nahe des vorderen Staupunktes ist das Resultat zur Beriick­sichtigung del' starken Vorturbulenz nach Gl. 19.2(12) und Abb. 19.2.3 zu bel'ichtigen. Weiter vergleiche man das Integralmittel von St mit den Angaben in Bd. I, Abschn. 8.4;

19.4 Strenge L6sungen der Warmeleitungsgleichung 327

liegt es wesentlich unter dem dort angegebenen Mittelwert, so ist del' gefundene Verlauf St(~) entsprechend umzurechnen, weil sonst die Gefahr besteht, daB del' Warmeiibergang unterschatzt wird.

1200 W/rnZ"C

1000

r 800

~coo

/;00

200

r--

Sougseile Oruclrseile

1 1 1 :1

V~ 1 I \ V r--I /" V \]\/

0,8 O} 0 42 WI -6-

Abb, 19.3.4. Beispiel eines gerechneten Verlaufes der Warmeiibergangszahl ex. Nach jl1ay [21]

19.4 Strenge Losungen der Warmeleitungsgleichung

Strenge Lasungen del' 'Varmeleitungsgleichung sind naturgemaB nur fUr Karpel' ein­facher Geometrie maglich. Sie sind in groBer Zahl bekannt, vgl. insbesondere das um­fassende 'Verk von Oars law und Jaeger [25]. Die nachfolgenden Angaben beziehen sich samtlich auf eindirnensionale Falle, d. h. auf solche, bei den en die Temperatur nur von einer Koordinate abhangt.

a) Stationiire TernperatnrJelder

Das einfachste stationare Temperaturfeld entsteht in del' ebenen Platte, deren beide Grenzflachen auf den Temperaturen Tl und T2 gehalten werden; del' Temperaturverlauf iiber del' Plattendicke ist dabei naheliegenderweise linear. Beim Hohlzylinder, der an seinem Innenradius ri die Temperatur Ti und an seinem AuBem'adius ra die Temperatur Ta auf­weist, ist der Temperaturverlauf langs des Radius gegeben durch

In (r'alr) T =Ta + (Ti - Ta)l-( -I')' n ra rt

Bei der Hohlkugel lautet die entsprechende Formel

b) I nsiationare ElernentarlOsungen

19.4(1)

19.4(2)

Zunachst sei hier eine Funktion r(t) eingefiihrt, die folgendermaBen definiert werde: Der Funktionswert ist 0 fUr t < 0 und 1 fUr t > 0, springt also in t = 0 um den Betrag 1 (vgl. Abb. 19.4.1). - Nun sei ein einfacher Karper (Platte, Zylinder oder Kugel) mit einem Fluid in Beriihrung, dessen zeitlicher Temperaturverlauf gegeben sei durch

328 19 Temperatur- und Kiihlungsprobleme

T' = T*r(t), wobei die Warmeiibergangszahl IX sei. Bis t = 0 herrsche auch im Karpel' die Temperatur Null. Alsdann stellt sich im Karpel' eine raum-zeitliche Temperatur­verteilung ein, die nachfolgend angegeben wird.

Bei del' Platte von del' Dicke h (Abb. 19.4.2), die wir uns unendlich ausgedehnt denken, lautet die Differentialgleichung

aT A. a2T -=---2' at (!C ax 19.4(3)

y

r

x

o t

Abb. 19.4.1. Verlauf der Fnnktion T(t) Abb. 19.4.2. Ebene Platte, Bezeiehnungen

Mit

x 2x h' 19.4( 4)

lautet dann die Lasung T =T*g(X B i) , , , 19.4(5)

co 2 sin Jl' g = 1 - L: +. · exp (-Jl7i) cos (JliX),

i=l Jli sm Jli cos Jli 19.4(6)

Die Eigenwerte Jli sind die Lasungen del' Gleichung

Jl cot Jl = B' 19.4(7)

Fur i < 0 wird g = o. - In del' Mittelebene (X = 0) ist bei den gegebenen Annahmen die Warmestromdichte stets Null. Daher gibt die Lasung auch zugleich den Temperatur­verlauf wieder fUr den Fall del' Platte von del' Dicke h/2, die auf del' einen Seite warme­isoliert ist. Das ist oft eine gute Naherung fiir die Verhaltnisse an einer Gehausewand.

Beim Zylinder unendlicher axialer Ausdehnung lautet die Differentialgleichung

Es sei mit R als Zylinderradius

Dann lautet die Lasung fiir i > 0

A. i =-R2t.

(!C •

T =T*g(X B i) , , ,

Q = 1 - ~ ~ J 1(Vi) (2 ) J ( X) ry ..:.." 2 J2( J2) exp -Vii 0 V'i . i=l Vi 0 Vi) + l(Vi

Die Eigenwerte Vi sind die Wurzeln del' Gleichung

vJ1(v) = BJo(v) ,

wobei mit J die Bessel-Funktionen bezeichnet sind.

19.4(8)

19.4(9)

19.4(10)

19.4(11)

19.4(12)

19.4 Strenge Losungen der Warmeleitungsgleichung 329

Bei del' K ugellautet die Differentialgleichung, wenn T nur von r abhangt,

8T A 1 8 ( 98T) at = (]C 72 8r r~ 8r . 19.4(13)

Die Lasung kann wiederum durch die Gin. 19.4(9) und (10) abel' hier

dargestellt werden, wobei

19.4(14)

Die Eigenwerte OJi sind die Losungen del' GIeichung

1- B cot OJ = .

OJ 19.4(15)

KurvenmaBige odeI' tabellarische Angaben uber die hier auftretenden Funktionen e finden sich an vielen Stellen del' Literatur, z.B. [26-28].

c) Allgemeinere instationare Losungen

Ausgehend von den angegebenen Elementarlosungen, die einen zeitlichen Verlauf der Fluidtemperatur gemaB del' Sprungfunktion T(t) voraussetzen, kann auch jeweils die Lasung fUr beliebigen Verlauf del' Fluidtemperatur aufgefunden werden. Es sei

T' =f(T) , 19.4(16)

d. h. wir fUhren sogleich die dimensionslose Zeitvariable T ein. Denken wir uns in irgend­einem Zeitpunkt To einen unendlich kleinen Sprung dT' del' Fluidtemperatur, so wird dadurch im Karpel' ein raum-zeitlicher Temperaturverlauf erzeugt, del' durch

dT = dT' e(X, B, T - To) 19.4(17)

beschrieben wird. Hierbei ist zu beachten, daB e = 0 fUr T < To. Wegen des linearen Charakters del' Warmeleitungsgleichung ist abel' jede beliebige

Uberlagerung von Losungen wieder eine Lasung. Deshalb kann aus Gl. 19.4(17) sogleich die Losung fUr den allgemeinen, durch Gl. 19.4(16) gegebenen Temperaturverlauf erhalten werden, wenn man diesen gemaB Abb. 19.4.3 durch eine Treppenkurve ersetzt denkt und zum Differentiellen iibergeht. Fur den einzelnen Schritt laBt sich dann setzen

19.4(18)

wobei del' Punkt die Ableitung nach T bedeutet. Die Uberlagerung aller Elementarlosungen liefert damit offensichtlich

T

T = I e(x, B, T - To)/(TO) dTo· 19.4(19) a

Mit den angegebenen Funktionen e ist damit die Temperaturverteilung im Karpel' fUr das allgemeine Gesetz 19.4(16) in jedem Zeitpunkt bekannt. Den Ausdruck 19.4(19) nennt man Duhamelsches Integral.

T'

Abb. 19.4.3. Zur Bildung des Duhamelschen Integrals

330 19 Temperatur- und Kiihlungsprobleme

Abb. 19.4.4-6 zeigen drei Beispiele von so bestimmten Temperaturverlaufen fur einen Zylinder von 0,5 m Durchmesser mit folgenden Daten: (! = 7,86.103 kgjm3 ,

c = 500 JjkgOC, A = 29 Wjm °C, IX = 1160 Wjm 2°C. Damit wird B = 10. Der zeitliche

600 O()

500 T'

\

-:..---~

K:"r-TOberfliiche -f--

( / V TMiIte

100

V V

V

200

o 10 30 30 '10 50 60 70 80 90 min 100 Zeit

Abb. 19.4.4. Temperaturverlauf in der Mitte und an der OberfUiche eines zylindrischen Rotors, wenn im Zeit­punkt 0 die Gastemperatur pliitzIich um 500 0 e springt

600 °C

500

a ! 011 zo

100

1/1

r:

1/ VI V

/

V K" "Taberffiiche

V V-TMilte

/ V

V / ,

V J 10 30 30 M 50 60

Zeit

J..--I----70 80 90 min 100

Abb. 19.4.0. Temperaturverlauf in der Mitte und an der Oberflache eines zylindrischen Rotors, wenn die Gas­temperatur im Veri auf von 15 min linear um 500 0 e steigt

600

°C

500

'100

zoo

100

o

~ T' --"- ....

~ ~ Taberfliiche V I-'"""

L L

~ L /--TMilte

L

~ V L V 1/ V V l--

10 20 30 '10 50 60 70 80 90 min 100 Zeit

Abb. 19.4.6. Temperaturverlauf in der Mitte und an der Oberflache eines zylindrischen Rotors, wenn die Gas­temperatur im Veri auf von 60 min linear um 500 0 e steigt

19.5 Quasistationare Berechnung instational'er Tempemtul'vel'teilungen 331

Verlauf del' Fluidtemperatur T' ist aus den drei Diagrammen zu erkennen, ebenso die Temperatur T, an del' OberfUiche und die Temperatur To in del' Achse. Del' £iiI' die Warme­spannungen maBgebende graBte Unterschied T, - To ist offensichtlich nicht sehr stark verschieden, ob man nun T' schlagartig odeI' im Verlauf von 15 min von 0 auf 500°C steigert. Erst im FaIle von Abb. 19.4.6, wo diese Temperatursteigerung sich uber 60 min erstreckt, wird del' graBte Temperaturunterschied im Korper wesentlich kleineI'. 1m Hin­blick auf Rotoren ist abel' 0,5 m noch ein kleiner Durchmesser. Bei graBeren Rotoren waren die entsprechenden Zeiten im Verhaltnis del' Quadrate del' Durchmesser umzu­rechnen, woraus man sieht, daB sehr lange Anfahrzeiten notwendig werden, wenn die Warmespannungen wirksam reduziert werden sollen.

19.5 Quasistationare Berechnung instationarer Temperaturverteilungen

Gegeben sei ein Karpel' in dem eindimensionale Temperaturverteilung angenommen werden dar£. Seine beiden Oberflachen PI und P 2 magen in einem gegebenen Zeitpunktt Temperaturen Tfl und T'2 aufweisen und mit Medien in Beruhrung stehen, deren Tempe­raturen T~ und T; seien. Die Warmeubergangszahlen seien IXI und IX2' was auf Warme­stromdichten ql und q2 an den beiden Oberflachen £iihrt. Nun mage folgender Vorgang betrachtet werden. Die Gestalt del' Temperaturkurve im Karpel' (Abb. 19.5.1) sei zeitlich konstant; mithin sind auch ql und q2 unveranderlich, da sie ja durch die Neigungen del' Temperaturkurve an den beiden Oberflachen gegeben sind. Die Temperaturkurve muB sich abel' im allgemeinen als Ganzes mit del' Zeit verschieben, da ja Warme zugefuhrt odeI' entzogen wird. Damit ein solcher quasistationarer Vorgang uberhaupt maglich sei, muB die Temperaturverteilung offenbar die Bedingung

aT a\l2T = - = const at 19.5(1)

erfullen. Nun sei '1' die mittlere Temperatur des Karpel's. Dann laBt sich £iiI' den quasi­stationaren Vorgang setzen

Tfl - if = kllql + k 12q2, I T'2 - if = k21ql + k22q2.

19.5(2)

Die lcii sind dabei durch Karpergeometrie und Leitfahigkeit gegeben, denn gibt man sich die fl, dann sind die Neigungen Abb. 19.5.1 festgelegt, folglich wegen G1. 19.5(1) abel' auch die Kurvengestalt und dam it auch die in 19.5(2) links stehenden Temperaturdifferenzen.

Del' Grundgedanke del' Theorie besteht nun darin, einen beliebigen instationaren Vor­gang durch eine Aufeinanderfolge solcher quasistationarer Vorgange anzunahern. In jedem Zeitpunkt gelten dann die GIn. 19.5(2) mit nunmehr zeitlich variablen ql und q2.

T/

Tj

Abb. 19.5.1. Zur Herleitung del' Theol'ie der quasistationaren Berechnung instationarer Tem- f1

pel'aturverteilungen

332 19 Temperatur- und Kiihlungsprobleme

Diese Annaherung ist in erstaunlich weitem Bereich brauchbar und hat gegeniiber der unter 19.4 gezeigten Methode des Duhamelschen Integrals den Vorteil, zeitlich variable Warmeiibergangszahlen zuzulassen. - Da nun

ql = 1X1(T; - Tfl) = 1X1[T~ - T - (Tfl - T)],

erhalt man unter Verwendung von 19.5(2) die erste der folgenden Gleichungen; die zweite folgt in Analogie dazu.

ql = IXI(T~ - T - kllql - k12q2) '

q2 = 1X2(T; - T - k21ql - k22q2)·

Diese Gleichungen, nach ql und qz aufgelost, liefern

1X1(T; - T) (1 + 1X2k22) - IXIIX2kdT; - T) ~= ,

(1 + 1X1kn ) (1 + IXzkzz) - IXIIXZklZkzl 19.5(3)

19.5(4)

Damit sind fUr ql und q2 Ausdriicke gefunden, welche die Oberflachentemperaturen nicht mehr enthalten.

Die Energiebilanzgleichung des Vorganges lautet mit rn als Korpermasse

dT rneTt = FIql Fzqz·

Mit T = AtleclzlaBt sich dies in der Form

dT e[2 -d - ~ (F1ql + Fzqz) = 0

T ",Tn

19.5(5)

19.5(6)

schreiben. Wenn man hier noch ql und q2 nach 19.5(3) und (4) einsetzt, erhalt man fol­gendes. Man setzt

19.5(7)

v = el2 [1X1(1 + 1X2k22) T~ - 1X11X2k12T;] FI + [1X2(1 + 1X1kll) T; - IXIIX2k21T~] F 2. 19.5(8) Arn (1 + 1X1kn ) (1 + IXzkzz ) - 1X11X2klZk21

Dann ist dT -dT + 1t(T) T - V(T) = 0 19.5(9)

die Differentialgleichung des Vorganges, deren Losung

T = exp [- j U(T') dT'] {T(O) + j v(T')exp [/1£(T") dT"] dT'} 19.5(10)

lautet. Es ist T" der von 0 bis T' laufende, T' der von 0 bis T laufende Wert des dimensions­losen Zeitparameters, T(O) die mittlere Temperatur in T = O. Man beachte, daB die Rech­nung mit beliebig zeitlich variablen lXI, 1X2' T~, T~ moglich ist.

Wenn die GIn. 19.5(2) noch in der Form

Tfl = T + kl1ql + k12q2'

T f2 = T + 7c21ql + 7c22Q2 ) 19.5(11)

19.5 Quasistationare Berechnung instationarer Temperaturverteilungen 333

dargestellt werden, laBt sich der Rechnungsgang uberblicken: Aus Geometrie und Warme­leiWihigkeit des, Korpers bestimmen sich die kii ; diese Ausdrucke werden nachfolgend fur die in Frage kommenden Falle angegeben. Gegeben sind IXl> ~, T~, T~ in Funktion der Zeit. Alsdann berechnet man aus 19.5(7) und (8) u(r) und v(r), aus (10) T, aus 19.5(3) und (4) ql und q2' aus 19.5(11) Tfl und Tf2' alles in Funktion von r. - AnschlieBend folgen die erganzenden Angaben fur die Korper, fiir welche die Methode bevorzugt anzu­wenden ist.

Beim Vollzylinder ist dessen Radius R gegebenermaBen die Bezugslange 1. Es ist hier nur eine Oberflache vorhanden und der Karper ist nur mit einem Fluid in Beruhrung. Dementsprechend fallen alle GroBen mit Index 2 aus der Theorie weg, und der Index 1 kann fallengelassen werden. Es ist also k n = k, k12 = k21 = k22 = 0, IXI = IX, IX2 = 0, Fl = F, F2 = O. Weiter ist

A r = (!CR2 t, 19.5(12)

(!12F _ 2R Am - A • 19.5(13)

Die Lasung der Gl. 19.5(1) lautet fUr die gegebene Geometrie

T f - T =2!r (R2 - r2), 19.5(14)

woraus durch Mittelung

19.5(15)

Somit ist

19.5(16)

Bei der ebenen Platte mit Dicke h ist 1 = h und Fl = F2 = F. Das Koordinatensystem werde so gelegt, daB x = 0 an der Oberflache 1 und x = han der Oberflache 2. Es ist dann

19.5(17)

19.5(18)

Die Lasung der Gl. 19.5(1) fuhrt auf

19.5(19)

Fur das Integralmittel ergeben sich folgende Darstellungen:

- h (ql q2) - h (q2 ql) Tfl - T = 1- "3 - 6' T f2 - T = T "3 - 6 . 19.5(20)

Somit ist

19.5(21)

Beim Hohlzylinder mit Innenradius r l und AuBenradius r2 werden die Relationen natur­gemaB etwas komplizierter. Die Bezugslange sei 1 = (r2 - 1'1)' DemgemaB ist

19.5(22)

Ferner werde gesetzt 19.5(23)

334

Dann ist

19 Temperatur- und Kiihlungsprobleme

2(Y-1)2 r1

P - 1 T' 2Y(Y - 1)2 r 1

P - 1 T' Ais Lasung von 19.5(1) erhalt man

T - T =~ [Y2ql + YQ21 _ ~ Ql + YQ2 ( 2 - 1)] /1 A. P _ 1 n y 2 P - 1 Y .

19.5(24)

19.5(25)

Die GIn. 19.5(2) geben damit die korrekten Temperaturdifferenzen, wenn man setzt

r 1 [ Y4 In Y PI] kn = T (P _ 1)2 - 2( y2 - 1) - 4"" ' 19.5(26)

r 1 [ Y3 ln Y P Y] lel2 =T (P - 1)2 - 2(P - 1) - 4"" ' 19.5(27)

19.5(28)

1'1 [ Y In Y y2 Y ] k22 =T (Y2 - 1)2 - 2(Y2 - If + 4"" . 19.5(29)

Damit sind flir diese drei FaIle die samtlichen benatigten Beziehungen zusammengestellt.

Fur jeden Zeitpunkt erhalt man auBer T und del' Oberflachentemperatur auch den Temperaturverlauf. Die einseitig isolierte Platte oder del' innen oder auBen isolierte Hohl­zylinder sind eingeschlossen, denn man hat nur an del' isolierten Flache IX = a zu setzen. -­Man beachte, daB die Produkte cdc stets dimensionslos sind und den Aufbau von Biot­Zahlen haben. Auch 'u hat die Struktur einer Biot-Zahl, wahrend bei v noch die Temperatur als Faktor hinzukommt.

Urn die Genauigkeit dieses Naherungsverfahrens zu priifen, sei hier ein Vergleich vor­genommen mit don strengen Lasungon, die man fUr Platte und Zylinder erhalt, wenn dio Fluidtemperatur gemaB del' Sprungfunktion r variiert, vgl. Abschn. 19.4. Im Augenblick des Sprunges ist man von quasistationaren Verhiiltnissen sehr we it entfernt, so daB ein groBer :B~ehler entstehen muB. Das Verfahren wird also an einem Beispiel kontrolliert, das fUr seine Anwendung ungiinstige Vontussetzungen bietet. Trotzdem zeigt Abb. 19.5.2, daB, abgesehen yom Sprung del' Oberflachentemperatur in t = 0, eino durchaus brauch­bare Naherung entsteht. Die ausgezogenen Kurven zeigen die Ergebnisse nach vorlie­gender Theorie, die gestrichelten die exakten Temperaturverlaufe. U m eine bessere Vor­stellung zu geben, sei folgendes erwahnt. Eine Wandung von 100 mm Dicke aus StahlguB mit}, = 35 W/m °0 hat bei einer Warmeubergangszahl IX = 2000 W/m2 °0 eine Biot-Zahl B = 5,71. Ein vollor zylindrischer Trommellaufer von 1000 mm Durchmesser und glei­chem A.-Wert hat bei iX, = 1000 W 1m2 °0 eine Biot-Zahl B = 14,3. - Bei sehr groBen Biot-Zahlen wachsen die Fehler, wahrend sie anderseits geringer werden, ,venn sich die Fluidtemperaturen nur stetig und verhaltnismaBig langsam andel'll. Del' Vergleich mit exakten Rechnungen hat z. B. gezeigt, daB diese einfache Methode (die zeitlich variierende IX zulaBt!) bei Anfahrvorgangen von Dampfturbinen erstaunlich genaue Resultate liefert.

'Verden solche Berechnungen fUr Rotor und Stator durchgefiihrt, um die Veranderun­gen del' vVarmedehnungen und damit del' Spiele zu untersuchen, dann muB man nati.irlich beachten, daB die Zeitvariablen T fUr verschiedene Teile nicht direkt vergleichbar sind. Es ist dann zweokmaBig, auf die "echte" Zeit zuruokzugehen.

JiJndrcs und Balm [29] haben qualitative Uberlegungen angestellt iiber die optimale Weise des Anfahrens von Dampfturbinen. Sie gehen dabei von einer sehr vereinfachten Modellvorstellung aus, indem sie nur die Warmekapazitat del' Bauteile berucksichtigen,

19.5 Quasistationare Berechnung instationarer Temperaturverteilungen 335

Platte

t 1 10:>

0=1 ~

0=1

3 ~ 5 00 1 2 3 02.,;_ 02.,;_

1 10:>

t ;:::.:::::;::- --=

~ I

I 8=5

10 15 20 02.,;_

t ...-::-

t .....-: /.

10:> / 0=10 ~ .;:

~ I

8=10 I.

00 25 50 75 100 8 2.,;_

Zylinder

r ;0:>

t v= I

~--~

8=20

Abb.19.5.2. Beispiele quasistationar berechneter Temperaturkurven (ausgezogen) und Vergleich mit exakter Lasung (gestrichelt). Zeitlicher VerI auf von Fluidtemperatur entspricht del' Funktion T(t) mit Temperatur­sprung LlTin t = O. Es ist iJ = TjLlT. & Mittelwert, {}j Wert an Oberflaehe. Bei B = 1 ist del' exakte VcrlauUt

vom angenaherten zcichnerisch nicht unterscheidbar

also nul' mit mittleren Temperaturen derselben rechnen, ohne auf die Warmeleitvorgange einzugehen. Die Ausfiihrungen dieses Abschnittes erlauben es indessen, genauere Aus­sagen zu machen und den Anwendungsbereich jener alteren Untersuchungen zu erweitern, denn die Differentialgleichung 19.5(9) hat die gleiche mathematische Struktur wie die­jenige, die dort verwendet wird. Man hat nur konstante ()(,. und damit konstantes u voraus­zusetzen und anzunehmen, daB der Karper nur mit einem Fluid in Beriihrung sei. Andert dieses seine Temperatur gemaB der Sprungfunktion, d. h. springt die Fluidtemperatur in T = 0 um T* (vgl. Abb. 19.5.3a), so lautet die Lasung

T = T* [1 - exp (-UT)]. 19.5(30)

Variiert T' proportional gemaB T' = T**T (Abb. 19.5.3b), so wird die Lasung

if = T** {T - ~ [1 - exp (-tlT)]} . 19.5(31)

336 19 Tempemtur- und Kii.hlungspl'obleme

r'

a c

Abb.19.5.3. Anstieg del' Mitteltemperatur Tin einem Korpel' bei Veranderung del' Fluidtempel'atur. a) Plotz­lichel' Sprung del' Fluidtempemtur; b) Fluidtempemtur mit Zeit linear ansteigend; c) Fluidtempemtur springt

zunachst urn T* und steigt dann weiter linear an

Die Temperaturdifferenz T' - T ist offenbar maBgebend flir den auf den Korper uber­tragenen Warmestrom, mithin abel' auch flir die im Korper auftretenden Temperatur­differenzen und Warmespannungen. Ein optimaler Anfahrvorgang ist dann gegeben, wenn diese GroBe zeitlich konstant ist. Das ist durch geeignete Uberlagerung del' Losungen GIn. 19.5(30) und (31) erreichbar (vgl. Abb. 19.5.3c). Man braucht nur die Temperatur­parameter T* und T** gemaB

T* = T**/u

aufeinander abzustimmen. Dann bleibt ubrig

T = T**T.

19.5(32)

19.5(33)

Demnach ist es zweckmaBig, die Fluidtemperatur sofort sprunghaft zu erhohen und an­schlieBend weiter allmahlich ansteigen zu lassen, und zwar gemaB del' Abstimmung, die durch 19.5(32) gegeben ist.

Die hier gegebene Methode liefert auch die asymptotisch sich einstellende stationiire Temperatnrverteilnng, und zwal' in strenger \Veise, wenn die Geometrie des Korpers den einfachen Voraussetzungen entspricht. Das ist bedeutsam fUr gekuhlte Konstruktions­teile von Gastul'binen, die mit zwei Fluidstromen verschiedener Temperatur in Bel'uhl'ung stehen. Es genugt in diesem FaIle, in del' Differentialgleichung zu setzen dT/elT = O. Dann bleibt T = v/,u, worauf 19.5(3) und (4) (h und Q2' 1\"J.5(11) Tfl und T/2 und 19.5(19) bzw. (25) die Temperaturverteilungen liefern.

19.6 Eindimel1sionale Warmeleitul1g in Staben, Seheibell und Sehalell

Die in diesem Abschnitt angegebene Theorie dient VOl' aIlem del' Berechnung del' Tempel'aturverteilung in Schaufeln ohne Innenkiihlung und in Radscheiben. Dabei ist vel'einfachend vorausgesetzt, daB die Temperaturunterschiede innerhalb eines Quer­schnittes (also in einem Schaufelschnitt bzw. in einem Zylinderschnitt im FaIle del' Scheibe) vernachlassigbar seien. Del' Unterschied gegenuber den in den vorausgehenden Abschnitten behandelten eindimensionalen Problemen besteht darin, daB del' Korper langs del' Erstreckung langs del' die Temperaturverteilung zu rechnen ist, im Warme­kontakt mit einem Fluid steht.

Abb. 19.6.1 zeigt die Disposition. Del' schraffiert angedeutete Korper steht auf beiden Seiten mit je einem Fluid in Beriihl'ung, deren Temperaturen T', T" und Warmeubergangs­zahlen IX' und IX" im aIlgemeinen Funktionen des Ortes x und del' Zeit t sein konnen. Ein Element dx in x bietet zu beiden Seiten Flachen U'dx und U" dx dar, die nicht notwendig gleich sein mussen; sie sind es z. B. nicht, wenn del' Korper eine Rotations-

19.6 Eindimensionale Warmeleitung in Staben, Scheiben und Schalen 337

schale ist. Der Fall der Schaufel ergibt sich in naheliegender Vereinfachung, denn dort gibt es nur ein Fluid, das den stabfarmigen Karper am ganzen Umfang umgibt. Karper, die mit mehr als zwei Fluidstramen in Beriihrung stehen, lassen sich genau gleich behan­deln, doch diirfte der Fall selten sein.

r

T(O)=To /'

T", /'

0 I I

-I 0 I

2

IX~ rl, ul

I I I i-I i i+1

Nummer

xx+dx x

I I I

Abb. 19.6.1. Zur Herleitung der Differentialgleichung der eindirnensionalen Wiirrneleitung

Die Energiebilanz eines Abschnittes zwischen x und x + dx lautet

A [faT] - A [faT] + cx'(T' - T) U'dx + cx"(T" - T) U" dx = eef dx aT, ax x+dx ax x at

was nach Division durch A dx und nach EinHihrung der Abkiirzungen

'U' (3 ' =cx_ - A '

(3 " =rx"U" - A '

in die folgende Form gebracht werden kann:

A a ---ec

f a2T + df aT _ ((3' + (3") T + (3'T' + (3"T" = L aT. ~ ~~ am

19.6(1)

19.6(2)

Die (3 haben den Aufbau von Biot-Zahlen und aIle GIieder der GIeichung haben offensicht­lich die Dimension einer Temperatur. - Dieser Differentialgleichung sind Hir die beiden Enden noch Grenzbedingungen beizuHigen. Zu diesem Zweck sei angenommen, daB der Karper beidseitig mit warmeiibertragenden Systemen in Verbindung stehe, die in Abb. 19.6.1 durch Rechtecke angedeutet sind und zur Herleitung eines allgemeinen Formalismus nicht genauer spezifiziert werden miissen. Es geniigt, daB die beiden fiir die Warmestrame maBgebenden Temperaturgradienten in der Form

aTI = T(O) - T IX ,

ax x~O L", aT! = Tw - T(l) ax x~l Lw

19.6(3)

dargestellt werden kannen. Hier sind T", und T w gegebene (u. U. zeitlich variierende) Temperaturen, die in den AnschluBsystemen hergestellt werden, wahrend die La und Lw Konstanten von der Dimension einer Lange sind. 1st etwa der Endquerschnitt in x = l mit einem Fluid mit Temperatur T w und Warmeiibergangszahl CX w in Beriihrung, so ist Lw = A/CXw. Komplizierter wird die Bestimmung der L bei warmeleitenden AnschluB­systemen, vgl. die Ausfiihrungen unter 19.7. Die GIn. 19.6(3) erlauben die Darstellung

aT! T(O) = To; + La-a ' x x~O aT! T(l) = Tw - Lw -a'. .

X .l·~l 19.6(4)

338 19 Temperatur- und Kiihlungsprobleme

Daraus ist zu erkennen, daB die angegebene Form fast immer anwendbar ist, denn wird etwa die Temperatur in einem Endquerschnitt direkt vorgeschrieben, so bedeutet dies lediglich, daB die betreffende Konstante L Null ist. Nul' del' Fall, wo man direkt den Gradienten vorschreiben wiirde, ist so nicht darstellbar, doch kommt er in unseren An­wendungsfallen kaum VOl'. - Fiigt man zu del' Differentialgleichung 19.6(2) und den Grenzbedingungen 19.6(4) noch eine Anfangsbedingung bei, so ist das instationare Problem mathematisch eindeutig formuliert. 1m stationaren FaIle ist lediglich in Gl. 19.6(2) rechts Null zu setzen, und die Anfangsbedingung entfallt.

Die Los~tng kann nul' in einfachen Sonderfallen geschlossen erfolgen. Sonst wird man sich heute del' Differenzenrechnung bedienen, wozu man den Karpel' einteilt in n gleiche Koordinatenintervalle Llx (vgl. Abb. 19.6.1). Die Ableitungen im Aufpunkt i sind dann gegeben durch

8T Ti+1 - T i- 1 8x 2L1x

82T Ti+1 - 2Ti + T i- 1 8x2 = Llx2

19.6(5)

Weiter mage die zeitliche Ableitung im gleichen Aufpunkt ersetzt werden durch

8T LlTi m=--;;:U' 19.6(6)

WO LlTi die Anderung von Ti im kleinen Zeitintervall LIt ist. Wenn man die Ausdriicke 19.6(5) und (6) in 19.6(2) einfiihrt und ordnet, erhalt man folgende Differenzengleichung, die fiir jeden Punkt von i = 0 bis n gilt:

fLIT· PiT i-1 - QiTi + RiT i+1 + Si =; LIt t,

R- _ fi + _1_ df I t - LI x 2 2L1 x dx i'

19.6(7)

Stellt man diese GIeichung fiir die beiden Endpunkte i = 0 und i = n auf, so erscheinen darin auch ideelle Temperaturen T -1 und T n -f - 1 in den Punkten i = -1 und i = n + 1, die dem Karpel' nicht angeharen (vgl. Abb. 19.6.1). Diese treten abel' auch in den GIn. 19.6(4) auf, wenn man diese wie folgt als Differenzengleichungen schreibt:

T1 - T-1 To =T,,+L,,~-, T = T _ L Tn+1 - T n - 1

n W W 2L1x 19.6(8)

Durch Auf16sen diesel' Gleichungen nach T -1 und Tn+ 1 erhalt man fiir diese ideellen Tem­peraturen Ausdrllcke, die nul' reelle Temperaturen enthalten. - Nun denke man sich die Gleichungen del' Form 19.6(7) angeschrieben fUr allei von 0 bis n. In den GIeichungen fiir i = 0 und i = n ersetze man die T -1 und Tn+1 durch die Ausdriicke nach 19.6(8). Die Gleichung fiir i = 0 enthalt dann von den Ti nur To und T 1, wahrend in del' Gleichung fUr i = n nul' T n- 1 und Tn auftl'cten. Mithin entsteht insgesamt ein Gleichungssystem, dessen Struktur schematisch in Abb. 19.6.2a dargestellt ist. Damit laBt sich das Lasungs­verfahren erkennen.

1m instationaren Falle hat man lediglich ausgehend von einem gegebenen Temperatur­verIauf aus jeder del' Gleichungen LlTi zu berechnen, erhalt damit die geanderten Ti nach dem Zeitintervall LIt, rechnet erneut die Temperatul'anderungen LlTi usw. 1m Hin­blick auf die numerische Stabilitat des Verfahrens darf LIt nicht zu groB gewahlt werden,

19.G Eindimensionale Wiirmeleitung in Stiiben, Scheib en und Schalen 339

sondern muB del' Bedingung

genugen.

• • • • • • • • • = •

• • • • • • • • • • • • • • • •

• • • • • • • • • • • == • • • • == •

• • == • • • == • a b

Abb. 19.6.2. Struktur des Gleichungssystems fiir eindimensionale Warmeleitung

1m stationiiTen Falle sind aIle LlTi = O. ZweekmiWig werden die siimtliehen Si in 19.6(7) auf die reehte Seite genommen. Man hat dann ein simultanes System von Bestimmungs­gleiehungen fur die Ti in ublieher Darstellung VOl' sieh, und zwar hat es wiederum den in Abb. 19.6.2a angegebenen Aufbau. Aus del' ersten Gleiehung des Systems kann man To ausdrueken und in die zweite einsetzen, worauf dort als Unbekannte nul' noeh Tl und T2 auftreten. Das Gleiehungssystem gewinnt damit die Form naeh Abb. 19.6.2b, wobei bemerkenswert ist, daB die unter del' gestriehelten Linie angedeuteten Gleiehungen noeh nieht herangezogen werden muBten. Von hier aus kann das gleiehe Eliminationsverfahren weitergefuhrt werden, bis sehlieBlieh nul' noeh ein System von zwei Gleiehungen mit zwei Unbekannten ubrigbleibt, das leieht gelOst werden kann. Ausgehend von den nun bekann­ten Tn- 1 und Tn geht man dureh die Eliminationsgleiehungen zuriiek und erhiilt so sehlieB­lieh aIle T i . Es ist das gleiehe Reehenverfahren, das bereits unter 17.7 zur Bereehnung der Spannungsverteilung in Seheiben angegeben wurde. Es kommt ohne Iterationen aus und hat den V orteil daB del' Reehenaufwand nur proportional del' Zahl del' Aufpunkte ansteigt, nicht etwa progressiv.

Es kann wunschenswert sein, in verschicdenen Bereichen des Karpel'S verschiedene Koordinatendifferenzen Llx zu verwenden, was einen gewissen Kunstgriff erfordert. Del' gleiche Kunstgriff kann angewandt werden, wenn etwa del' Querschnitt artlich so stark variiert, daB man mit einer Unstetigkeit des Querschnittes reehnen kann, odeI' wenn zwei Teile mit verschiedener Wiirmeleitfiihigkeit aneinanderstoBen (z.B. VerschweiBung). In Abb. 19.(i.3 ist dies sehematisch dargestellt. Es st.oBen zwei Teile a und b mit den Wiinne-

Abb. 19.6.3. Ubergang bei einer Diskontinuitiit des Querscimittes und der Warmeleitfiihigkeit ..

x

340 19 Temperatur- und Kiihlungsprobleme

leitfahigkeiten Aa und Ab zusammen. Die Koordinatenintervalle sind Llxa und LlXb, und an der Sprungstelle haben die beiden Teile die Quersehnitte fa und fb' Die Stetigkeit des Warmestromes an der Ubergangsstelle kann hinreiehend genau ausgesproehen werden dureh

was aueh in der Form

AafaT. _ [Aafa + Adb] T. + Adb T. = 0 AX ,-1 Llx Llx ' Llx HI LJa a b b

19.6(9)

dargestellt werden kann. Die G1. 19.6(7), fiir den Punkt i - 1 formuliert, enthalt die Unbekannten T i- 2 , Ti-l> T i. Fur Punkt i formuliert man nur 19.6(9) mit den Unbekannten Ti-l> T i, Ti+l' Fur Punkt i + 1 enthalt G1. 19.6(7) Ti, Ti+1 und T i+2' Somit behalt das Gleiehungssystem aueh bei diesem Ubergang die dureh Abb.19.6.2 veransehauliehte Struktur bei, und seine Auflasung begegnet keiner Sehwierigkeit.

Sollte etwa an einem Ende direkt die Temperatur gegeben sein anstatt einer Bedingung der Form 19.6(4), dann faUt einfaeh die Gleiehung fUr diesen Aufpunkt weg, ohne daB sieh an der Struktur des Gleiehungssystems etwas andert.

19.7 Eindimensionale Temllel'atUl'vel'teilung in Schaufeln und Laufl'adscheiben

Die in Absehn. 19.6 gegebenen Grundlagen magen hier angewandt werden auf Schau­feln und die sie tragenden Radseheiben. Als Ausgangspunkt diene der einfaehste Fall, die Sehaufel konstanten Quersehnittes, die einer konstanten wirksamen Gastemperatur T' ausgesetzt sei und an der Schaufelwurzel (Nabe) auf einer tieferen Temperatur TN ge­halten werde (vg1. Abb. 19.7.1). Die allgemeine Differentialgleiehung 19.6(2) schreibt sieh dabei im stationaren Falle

19.7(1)

Die Grenzbedingungen sind

T(oo) = T'. 19.7(2)

Die zweite dieser Gleiehungen besagt, daB sieh T asymptotiseh dem Wert T' nahert, was mit groBer Genauigkeit zutrifft und auf die einfaehste Lasung fUhrt. Sie lautet

T =T' - (T' - TN)exp(-x V1XA~)' 19.7(3)

Abb. 19.7.2 zeigt einen so ermittelten Temperaturverlauf in einer Sehaufel von 5 em

x

1- -------

~ l I

u 10 ~

Abb.19.7.1. SchaufelkonstantenQuerschnittes

6 em

r !-3

Z T'

0 500 600

Abb. 19.7.2. Beispiel fUr den Verlauf der Schaufeltemperatur T bei konstanter Gas­

temperatur T'. Sehaufelsehnenliinge 5 em

19.7 Eindimensionale Temperaturverteilung in Schaufeln und Laufradscheiben 341

Sehnenlange, wobei die Temperatur an del' Schaufelwurzel zu 500 °0, diejenige des Gases zu 700°0 angenommen ist. Wie man erkennt, hat sich bereits 3 cm iiber dem SchaufelfuB die Schaufeltemperatur del' Gastemperatur auf 7 °0 genahert. Eine wirksame Kiihlung des Schaufelblattes yom FuB her ist also unmoglich; hierzu miiBte del' Exponent in 19.7(3) klein, d. h. die Schaufel miiBte kurz und von gedrungener Gestalt sein, was hochstens bei ausgesprochenen Kleingasturbinen erreichbar ware.

Del' Temperaturgradient am SchaufelfuB, also in x = 0, ergibt sich aus 19.7(3) zu

dTI = (T' _ TN) l/IXU. dx 0 ~ Ai

19.7(4)

Del' Warmestrom Q, del' in die FuBplatte insgesamt eintritt, ist

19.7(5)

Hier ist IXp die Warmeiibergangszahl an del' FuBplatte, i p die gesamte FuBplattenflache (also i p = bt, wenn t die Teilung an del' FuBplatte ist). Wenn man in diesel' Gleichung die Temperaturdifferenz T' - TN aus 19. 7( 4) ausdriickt, erhalt sie die Form

Q = fA dTI [1 + IXp(fp - i)J . dx 0 YIXAfU

19.7(6)

Del' Faktor VOl' del' eckigen Klammer ist offenbar del' Warmestrom, del' aus dem Schaufel­blatt allein stammt; del' dimensionslose Klammerausdruck gibt also die VergroBerung des Warmestromes durch die konvektive \i'Varmeiibertragung an die FuBplatte. Die For­mel 19.7(6) gilt streng nul' fiir konstanten Schaufelquerschnitt und konstante Gastempe­ratur, kann abel' auch unter allgemeineren Voraussetzungen naherungsweise iibernommen werden, da die lokalen Bedingungen an del' Schaufelwurzel von denen in groBerer Ent­fernung nur wenig beeinfluBt werden. Wenn (dTjdx)p del' Mittelwert des Temperatur­gradienten an del' FuBplatte selbst ist, gilt auch

. (dT) Q =Afp dx p. 19.7(7)

Die Gleichsetzung del' Ausdriicke 19.7(6) und (7) liefert

IXp(fp - i)l dTI Y IXAfU dx 10 •

19.7(8)

Von hier aus kann auch die Grenzbedingung an SchaufelfiiBen gewonnen werden. Abb. 19.7.3a und b zeigen Beispiele von Anordnungen. 1m Beispiel a ist ein Trommeh'otor vorausgesetzt, del' an den Flachen zwischen den Schaufelkranzen mit Kiihlluft in Bel'iih­rung steht. Del' Warmestrom verlauft dann wie durch die Pfeile angedeutet, und das Innere des Rotors nimmt am Warmeleitungsvorgang praktisch nicht teil. Sind T A und T B

die Temperaturen in A und B, so ist

19.7(9)

die fiir die Warmeableitung maBgebende Temperatur. 1m Beispiel Abb. 19.7.3b wird die Warme radial in die Scheibe eingeleitet. Es sei r del' Radius, in dem die Temperatur langs des Umfanges als ausgeglichen betrachtet werden darf, und zwar solI del' Wert mit T bezeichnet werden. Wie die Anordnung im einzelnen auch aussehe, so kann stets gesetzt werden

19.7(10)

342 19 Temperatur- und Kiihlungsprobleme

x x

a b

Abb.19.7.3. Zur Formulierung der Grenzbedingungen am SchaufelfuB. a) Hammerkopfbefestigung; b) axial eingeschobener FuB

vgl. die Abbildung. Del' Koeffizient ]{ bestimmt sich dabei wie folgt. Fur die gegebene geometrische Konfiguration ermittelt man das zweidimensionale stationare Temperatur-feld fUr beliebig gewahlte TN und T nach den unter 19.8 und 19.9 beschriebenen Ver­fahren odeI' auch nach dem Verfahren del' elektrischen Analogie, vgl. etwa [30]. Damit kennt man auch (dT/dx)p und kann folglich K aus 19.7(10) berechnen. Aus 19.7(10) und (8) folgt

TN-if _iN[l+lXp(fp-fN)]dT/ K Llr - fp YIXA.!NU N dx o·

19.7(11)

Die GraBen fund U wurden hier noch mit dem Index N versehen, um anzudeuten, daB bei variablem Schaufelquerschnitt die Werte an del' Nabe einzusetzen sind. Wenn man nun mit del' ersten del' Gln. 19.6(8) vergleicht und beachtet, daB T(O) hier TN ist und T die Rolle von T(X ubernimmt, folgt sogleich

L(X = K Llr iN [1 + IXrifp - fN) J' fp Y IXAfNU N

19.7(12)

womit die Grenzbedingung an del' Schaufelwurzel so formulierbar ist, wie unter 19.6 angegeben. Man beachte, daB die genaue Wahl von Ll1' nicht maBgebend ist, da bei gege­benen Absolutmessungen des FuBes ]{Llr praktisch von Ll1' nicht abhangt. 1st abel' ein­mal K bestimmt, so muB Ll1' stets im gleichen Verhaltnis zu den FuBabmessungen stehen wie in del' Konfiguration, die zur Berechnung von ]{ diente.

Eine Partie zwischen rN und r wie in Abb. 19.7.3b kann auch ersetzt werden durch einen gedachten zusammenhangenden Ring, del' eine verminderte Warmeleitfahigkeit A'" hatte. Die Temperaturverteilung in einem solchen ware gegeben durch

T = T - (T _ if) In (rN/1') , N N In (rN/1') 19.7(13)

so daB del' Gradient in 1'N den Wert

dTI T N - if d1' N = rN In (rN/r)

19.7(14)

hatte. Aus del' Bedingung

A'" dTI = A (dT) dr IN dx p

19.7(15)

19.7 Eindimensionale Temperaturverteilung in Schaufeln und Laufradscheiben

folgt durch Einsetzen del' Ausdl'iicke 19.7(10) und (14)

A* = A rN In (rN/r) . K Llr

343

19.7(16)

Diese Dal'stellungsweise wil'd zweckmaBig herangezogen, wenn die seitlichen Begrenzungs­flachen diesel' Zone mit KiihIluft in Beriihl'ung stehen, denn dann kann die eindimensio­nale Berechnung del' Temperatur genau gleich erfolgen wie in deriibrigen Scheibe, nur mit geanderter Leitfahigkeit.

Obwohl die Theorie gemaB ihren Grundvoraussetzungen zunachst eindimensional ist, kann sie im FaIle del' Scheibe doch so erganzt werden, daB sie ohne Komplikation ihrer mathematischen Struktur auch die Temperaturverteilung iiber del' Scheibendicke nahe­rungsweise erfaBt. Es wird angenommen, diese Temperaturverteilung sei stets diejenige, die sich einstellen wiirde in einer ebenen Platte, die beidseitig gleichen Fluidtemperaturen und Warmeiibergangszahlen ausgesetzt ist und auch die gleiche Dicke h besitzt wie die Scheibe (lokal). Wenn wir die Warmestromdichte q positiv rechnen in Richtung del' z-Achse (Abb. 19.7.4), wil'd sie

, (" ') [ 1 z ] q=q + q -g 2+7i-'

Abb. 19.7.4. Zur HerIeitung der quasizweidimen­sionalen Warmeleitung in einer Scheibe

T'

19.7(17)

T"

z

Wenn im Rahmen diesel' Theol'ie T die Tempel'atur in del' Mittelebene bedeutet und T* die lokale Temperatur, folgt hieraus

T* = T - 2. [q' + L z + q" - q' Z2] - Aa 2 2h' 19.7(lS)

mithin fUr die Oberflachentemperaturen

T, = T + ~ (3q' + qU), a,

'T;' = T - S~ (q' + 3g"). a

19.7(19)

Hier ist Aa die Warmeleitfahigkeit in axialer Richtung, die sich in Kranzpartien, wo man mit einer ideellen Leitfahigkeit },* l'echnet, von diesel' letztel'en untel'scheiden wird. Bei axial eingeschobenen SchaufelfiiBen ist sie gleich del' ,l'eeIlen' Leitfahigkeit. - Mit den Warmeiibel'gangszahlen a' und aU zu beiden Seiten ist auch

Die Gleichsetzung liefert

T ' -T' g' j- ---" a

T " =Tu +L I " . a

T' - g', = T + !!- (3q' + qU) a S}'a

TU + :L = T - ~ ( , + 3qU) aU SAa q .

19.7(20)

344 19 Temperatur- und Kiihlungsprobleme

Diese Gleichungen konnen in folgender Weise nach q' und q" aufgelost werden. Man setzt

~ 1 M 1 h A = SA.a + --;;: , B SA.a + 77' ' C SA.a ' 19.7(21)

Dann ist

q' = - ; (T - T') - ~ (T - T"), q" =~ (T - T") + ~ (T - T'). 19.7(22)

Da in der urspriinglichen Form der Theorie die Warmestromdichten -rx'(T - T') und rx"(T - T") sind, zeigt sich, daB man nur in 19.6(2) die Ausdriicke fUr die f3 zu ersetzen hat durch

f3 " = A + C U NA. '

19.7(23)

wobei hier A. die radiale Warmeleitfahigkeit ist. Alles iibrige bleibt unverandert. Hat man so nach dem eindimensionalen Verfahren T(x) bestimmt, so liefern 19.7(22) q' und q" und 19.7(lS) und (19) die Temperaturverteilung iiber der Scheibendicke.

,­I

\ I \ , I I

-----r-t-\ I \ I I I \ I \ I

~ i

--------+---Abb.19.7.5. Beispiel: Berechnung einer Scheibe mit Schaufeln

Damit konnen nun kompliziertere zusammengesetzte FaIle behandelt werden, wie etwa der in Abb. 19.7.5 dargestellte. Es handelt sich um eine gekiihlte Scheibe mit unge­kiihlten Schaufeln. Die SchaufelfiiBe weisen verlangerte Halsstiicke auf, um die Warme­iibertragung von der Schaufel auf die Scheibe herabzusetzen. Das Bild zeigt die KiihIluft­fiihrung, die Bezeichnungen und die Numerierung der Aufpunkte. Es ist angenommen, daB die Deckplatten mit KiihIluft in Beriihrung stehen. Nachfolgend werden die fiir den dargestellten Sektor giiltigen Gleichungen angegeben fiir aIle ,abnormalen' Aufpunkte, und zwar sogleich fUr den instationaren Fall:

Pu,nkt 1:

19.7(24)

19.7 Eindimensionale Temperaturverteilung in Schaufeln und Laufradscheiben 345

Pnnkt p:

19.7(25)

P1tnkt q:

19.7(26)

Punkt r:

f .Ie Tr - TI'-l + (1- _ f ) (T _ T') =11 Tr+l - Tr _ (!CfhN L1Tr 19.7(27) F L1 X2 IXp F r k hw 2 L1 t .

P1mkt r + 1:

f .Ie Tr+2 - Tr+1 + (1-- f ) (T' _ T ) =11 TI'+! - Tr + (!cfhN L1Tr+1 19.7(28) N L1x4 IXp N g r+1 hN 2 L1t'

P1lnkt 8:

f ' Ts - T s- 1 (1- f (T' T 1-;-' Ts - TS+1 .fh L1Ts - SF' L1X4 + IXp - S) II - s) = A hs + (!CJ 'NTt·

Pnnkt 8 + 1: , Ts - TS+1 (T T') A hs =lXp 8+1- k'

Dabei gelten folgende Bezeichnungen:

1 IF,IN,ls T~, T~ IX, IXp

gesamter Querschnitt (Teilung X Breite); Querschnitt des FuBteiles F, des Schaufelblattes an Nabe und Spitze; Tempel'aturen von Gas und Kiihlluft; Wiil'meiibel'gangszahlen an l'adialen Fliichen bzw. an ,Platten' (wie in Gl.19.7(5)); Wiirmeleitfiihigkeit del' Schaufel, des Rotors, ideelle Wiil'meleitzahl.

19.7(29)

19.7(30)

AIle GraBen, bei denen nichts weiteres angegeben ist, gelten stets fiir den Punkt, fliT den die betreffende Gleichung angeschl'ieben ist.

Von del' Richtigkeit del' Gln. 19.7(27) und (28) iibel'zeugt man sich, indem man (27) von (28) subtrahiel't. AIle Gleichungen fiir die ,normalen' Aufpunkte haben die Form 19.6(7) und sind nicht weiter angegeben. Die quasizweidimensionale Behandlung untel' Vel'wendung del' Beziehungen 19.7(18)-(23) entspl'icht im instationiil'en FaIle genau del' Theol'ie nach Abschn. 19.5 und ist mit gleichel' Niihel'ung bl'auchbar wie jene. - Del' stationiire Fall el'gibt sich, indem man die L1T Null setzt. Von dem so entstehenden Gleichungssystem enthiilt die erste Gleichung, d.h. 19.7(24) zwei Unbekannte, die letzte, Gl. 19.7(30) ebenfalls, aIle anderen drei. Man hat also wiederum ein Gleichungssystem del' in Abb. 19.6.2 veranschaulichten Art VOl' sich und kann die gleiche Lasungsmethode benutzen. Dabei ist To als bekannt vorausgesetzt. Die Genauigkeit diesel' Eingabe ist iibl'igens nicht kritisch, da das Rechenergebnis nicht sehr empfindlich darauf l'eagiert. Natigenfalls kann abel' diese Temperatur freigegeben und eine Gl'enzbedingung des Typs Gl. 19.6(8) gesetzt werden, ohne daB die Struktur des Gleichungssystems sich veriindert.

Es ist beachtlich, daB eine so komplizierte Anordnung nach einem Verfahren nach­gerechnet werden kann, das ohne Iteration auskommt. Das gilt allel'dings nur unter del' Voraussetzung, daB del' Verlauf del' Kiihllufttempel'atur gegeben werden kann, was hach­stens niihel'ungsweise zutrifft. Genauer miiBte man dies en zugleich mit del' Tempel'atul'­vel'teilung in den Bauteilen bel'echnen. 1st in del' Kiihlluftmassenstl'om, so lautet die Bilanzgleichung z.B. fiir ein Wegstiick dx, wenn nur von del' Scheibe aus Wiirme auf die Luft iibertl'agen wil'd

. d' 'd dTI.; IXU T T' mcp TI.; = IXU(Tf - Tx,) x.'. -d = -. - ( f - k)' X lncp

19.7(31)

346 19 Temperatur- und Kiihlungsprobleme

Solche Beziehungen waren also als Differenzengleichungen dem Gleichungssystem beizu­fiigen, das dann aber seine einfache Struktur verliert. Man kann daher so vorgehen, daB man mit angenommenen Kiihllufttemperaturen die Temperaturverteilung im Rotor­system bestimmt, damit neue Kiihllufttemperaturen berechnet usw.

Haufig findet man auch die Anordnung, bei der die Zwischenraume zwischen den ver­langerten Halsstiicken F (Abb. 19.7.5) Totraume sind, also nicht von Kiihlluft durch­stromt. Der konvektive Warmeiibergang in den Totraumen kann dann beriicksichtigt werden, indem man den Halsstiicken eine ideelle Warmeleitfahigkeit

,1* = A + rxlFf ___ IF I

19.7(32)

zuordnet. Hier ist IF die Lange des Halsstiickes und rx die gemaB Gl. 19.2(17) definierte Warmeiibergangszahl. Abb. 19.7.6 zeigt eine Konstruktion der Firma Sulzer, bei der die SchaufelfiiBe verlangerte Halsstiicke aufweisen. In der ersten Stufe sind die Zwischen­raume von der Kiihlluft durchstromt, die in die gekiihlten Schaufeln eintritt, in der zwei­ten Stufe sind sie Totraume.

Abb. 19.7.6. Gasturbinenlaufer von Sulzer. SchaufelfiiBe besitzen verlangerte H alsstiicke zur Verminderung der Warmeiibertragung

Bei Trommelrotoren ist es oft zweckmaBig, die gesamte Erhohung der Warmeiiber­tragung durch die Schaufeln zu beriicksichtigen, indem man an einer glatt gedachten Trommeloberflache mit einer erhohten, ideellen Warmeiibergangszahl rx* rechnet. 1st IN der Nabenquerschnitt der Schaufel, IR die Oberflache des gedachten glatten Rotors pro eine Schaufel, ;X die Warmeiibergangszahl an der Rotoroberflache, TR die Rotortemperatur und T' die wirksame Fluidtemperatur, so wird unter Verwendung von 19.7(4) mit TR R:::i TN

Q = UR - IN) a(T' - T R) + INA ~~Io = [UR - IN) a + INA V;/~] (T' - T R)·

Da anderseits rx* definiert ist durch

Q =IRrx*(T' - T R ),

folgt durch Gleichsetzung

rx* = (l-t)a+ Vrxy:u. 19.7(33)

Man beachte, daB rx hier die Warmeiibergangszahl an der Schaufeloberflache ist.

19.8 Zweidimensionale Temperaturverteilung 347

19.8 Zweidimensionale Temperaturverteilung

Der Fall, wo eine zweidimensionale Naherung der Temperaturverteilung geniigt, ist sehr haufig. Die grundlegende Differentialgleichung lautet dann in den verschiedenen Koordinatensystemen wie folgt:

Oartesi8che Koordinaten x, y:

Polarkoordinaten r, {}: 8T [82T 1 8T 1 82T] fit = a 8r2 + r 8r + 1=2 8{}2 •

Zylinderkoordinaten z, r, {}, Temperatur nur von z und r abhangig:

8T = a [82T + 82T -J,.. ~ 8T] . 8t 8z2 8r2' r 8r

1st ~ irgendeine Koordinate, so ist im Rahmen der Differenzenrechnung

THI - 2Ti + T i - I LI~2

19.8(1)

19.8(2)

19.8(3)

19.8( 4)

Wenn man die samtlichen Ableitunngen 19.8(1)-(3) in dieser Weise ausdriickt und ordnet nach den diskreten Temperaturen, erhalt man fiir die drei Koordinatensysteme (vgl. Abb. 19.8.1 und 2):

Oartesische Koordinaten:

dT·· a { (LlX)2 [(LlX)2] (LlX)2 } dtt) = LlX2 Ti-I,i + Lly Ti,i-I - 2 1 + tJy Tij + tJy Ti,i+l + Ti+l,i .

19.8(5) Polarkoordinaten:

+ r:;;2 Ti,HI + [1 + :~] Ti+I,i}' 19.8(6)

Zylinderkoordinaten, T = j(z, r):

dTii a {tJr2 [tJr] [tJr2] at = tJr2 tJ Z2 Ti-I,i + 1 - 2ri Ti,i-I - 2 1 + tJ Z2 Ti,i +

19.8(7)

Zu diesen Gleichungen sind die jeweiligen Grenzbedingungen an den Korperoberflachen bei­zufiigen. Es sei ~ irgendeine Koordinate, auf deren Richtung die Korperoberflache im Punkt n senkrecht steht (Abb. 19.8.3a). Dann lautet die Grenzbedingung in diesem Punkt

/X(T - T') = -A 8T I = -A Tn+! - T n- I 19.8(8) n n 8~ n 2tJ~'

wo Tn+! die ideele Temperatur im Aufpunkt n + 1 auBerhalb des Korpers ist und T~ die Fluidtemperatur in n. Nach Tn+! aufgelOst, lautet 19.8(8)

2/X tJ~ , Tn+1 = T n- I - -A- (Tn - Tn)· 19.8(9)

348 19 Temperatur- und Kiihlungsprobleme

y

0 0 a 0 a

0 a a 0 0

iJ+1

a 0 0 0 0

i-/,j i,j i + /,j

0 r 0 0 0

Liy i,j-I

lLi!:r 0 0 0

X ri

a b

Abb. Hl.8.l. Koordinatenraster zur zweidimensionalen Berechnung von Temperaturverteilungen. a) Cartesi­sche Koordinaten; b) Polarkoordinaten

7'

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 a 0

i,j+1

7'i a a 0 0 a 0

i-I,j i,j i+1,j 0 r a 0 0 0

I Lir i,j-/ I LLi~ 0 0 0 0

/) If}

I /

/

z Abb. 19.8.2. Punkteraster bei Zylinderkoordinaten, wenn T nicht vom Azimuthwinkel {} abhangig

r

a

Abb.19.8.3. a) Zur Formulierung der Grenzbedingungen; b) Ubergang zwischen zwei Gebieten verschiedener Maschenweite

19.8 Zweidimensionale Temperaturverteilung 349

In den beiden Grenzfallen del' isolierten Oberflache und del' unendlichen Warmeiibergangs­zahl erhalt man:

Isoliert: 1X = 0, somit Tn-'rl = Tn-I>

1X = CXl, hierbei Tn = T~.

1m letzteren FaIle muB T n+ 1 nicht eingefiihrt werden, da fiir Tn keine Gleichung benotigt wird.

Wenn man nun die Differenzengleichungen - also je nach Fall 19.8(5), (6) odeI' (7) -fiir aIle Aufpunkte aufstellt und in den Gleichungen del' Randpunkte (sofern dort T nicht vorgeschrieben ist) die Tn+l durch 19.8(9) ausdriickt, erhalt man ein Gleichungssystem, das nur noch reelle Temperaturen enthalt und die Grenzbedingungen einschlieBt. 1m in­stationaren Fall gewinnt man ausgehend von einem bekannten Anfangszustand die dTii/dt in allen Aufpunkten und hat gemaB

19.8(10)

die Temperaturen in einem um Lit spateren Zeitpunkt. Von hier aus kann in gleicher 'Weise weitergefahren werden. Die Bedingung dafiir, daB diese Rechnung stabil ist, lautet

05 1 Lit < ~ 1 l'

-+-Llx2 Ll y2

19.8(11)

Die Koordinatendifferenzen Llx, Lly sind gegebenenfalls durch Liz, Llr, rLl{} zu ersetzen. 1m stationaren Palle lauft die Rechnung darauf hinaus, in den Differenzengleichungen

19.8(5), (6) odeI' (7) den in geschweifter Klammer geschriebenen Ausdruck Null zu setzen. Wenn hierbei die Grenzbedingungen eingefiihrt werden wie angegeben, entsteht ein in­homogenes Gleichungssystem mit ebensovielen Gleichungen wie Unbekannten. Es hat diagonale Bandstruktur, da, in del' Gleichung jedes Punktes nul' \iVerte in den unmittelbar benachbarten Punkten auftreten. Die Losung erfolgt im allgemeinen zweckmaBig nach del' GauB-Seidel-Methode, vgl. etwa [31, 32].

Auch bei del' Berechnung zweidimensionaler Temperaturfelder kann es zweckmaf3ig sein, wie unter 19.7 erklart, Bereiche mit lokal komplizierter Temperaturverteilung (z. B. Zonen mit SchaufelfiiBen) vereinfacht zu behandeln, indem man dort mit ideellen ver­minderten Warmeleitzahlen rechnet. So seien z. B. bei einem Rotor imBereich del' Schaufel­fiiBe die ideellen Warmeleitzahlen in z-Richtung und r-Richtung Az und }'r' Dann sei

19.8(12)

Es ist leicht zu priifen, daB dann die Differenzengleichung 19.8(7) iibergeht in

19.8(1;3)

Ein besonderes Problem entsteht noch, wo eine solche Zone mit ideellen Warmeleitzahlen an den iibrigen Korper anschlieBt odeI' ganz allgemein auch dort, wo Zonen mit verschie­dener Maschenweite aneinander angrenzen. Abb. 19.8.3b veranschaulicht eine solcheSitua­tion. Die Bel~eiche I und II mogen mit Radienintervallen Llr] und Llrn behandelt werden; auBerdem solI in II mit ideellen Warmeleitzahlen gerechnet werden. AuBel' den mit Krei­sen angegebenen Aufpunkten sind noch weitere mit Kreuzen gekennzeichnet. In diesen werden ideelle Temperaturen eingefiihrt, genau wie bei del' Behandlung von Grenzbedin­gungen an Oberflachen. Dann schreibt sich z.B. die Bedingung del' Kontinuitat del'

350 1~ Temperatur- und Kiihlungsprobleme

radialen Warmestromdichte im Punkt 1

Ts - T5 Llt'I

19.8(14)

wobei Ts und T7 ideelle Temperaturen sind. Fur den gleichen Punkt 1 muB nun die Differenzengleichung zweimal formuliert werden, namlich je fUr die Korper I und II, da del' Punkt ja beiden angehort. Mit del' Numerierung del' Zustandspunkte nach Abb, 19.8.3b lauten diese Gleichungen:

dTl a {LlrJ [LlrI] [LlrJ] dt = LlrJ LlZ2 T4 + 1 - 2rl T5 - 2 1 + LlZ2 Tl +

19.8(15)

dT1 a {LlrJI [LlrII] [ LlrJI] dt = LlrJI Az LlZ2 T4 + Ar 1 - 2rl T7 - 2 Ar + A z LlZ2 Tl +

[ LlrII] Llr1I} + Ar 1 + 2r 1 T 6 + A z LI Z2 T 2 . 19.8(16)

Wenn man diese beiden Gleichungen je nach den ideellen Temperaturen T3 und T7 auf­lost, die so erhaltenen Ausdrucke in 19.8(14) einsetzt und die so entstehende Relation wiederum nach dT1/dt auflost, findet man eine Gleichung, die dT1/dt durch T 1, T 2 , T 4 , T 5, Ts ausgedruckt, also keine ide ellen Temperaturen mehr enthalt. 1m stational' en Fall ist dT1/dt = 0 zu setzen, womit die dem Punkte 1 zugeordnete Bestimmungsgleichung inner­halb des gesamten Gleichungssystems vorliegt. Stets ist man wieder in del' gleichen Situation wie in "regularen" Punkten, und das Problem des Anschlusses der Zonen anein­ander ist somit gelost.

Bei einem Randpunkt wie Punkt 10 (Abb. 19.8.3b), kann gleich vorgegangen werden, nUl' enthalt die entstehende Gleichung zunachst noch die ideelle Temperatur T 13 . Diese abel' kann eliminiert werden durch die zu H).8(9) analoge Gleichung

T T 4iX I<jZ (T T' ) 13 = 11 + A(1 + A z ) 10 - 10' 19.8(17)

Hier ist }, durch den Mittelwel't AU + Az )/2 ersetzt, eine Vel'einfachung, die zulassig ist, da je effektiv ohnehin nicht zwei getl'ennte Zonen vorliegen.

Somit laBt sich also das fUr die Warmeleitungsrechnung benotigte Maschennetz in erheblichem MaGe den besonderen Bedingungen des jeweiligen Problems anpassen, da die Maschenweiten variiert und gegebenenfalls auch unterschiedliche Warmeleitzahlen beruck­sichtigt werden konnen. Abb. 19.8.4 veranschaulicht dies am Beispiel eines kegligen rrrommelrotors. Die gestrichelte Linie grenzt die Zone ab, innerhalb welcher mit ideellen Warmeleitzahlen gerechnet wird zur Berucksichtigung del' SchaufelfuBe. Die Begrenzung des Korpers muI3 dnrch eine gestufte Kontur angenahert werden, eine Situation, die sehr

--- _I. t- .-

-1-- _.

I

, .

I

I I : i

! i I I I ,

. LL . __ . ..Ll . i i.-.ll_~.~ -'-- --- I

Abb. 19.8.4. Kegliger Trommelrotor mit lVIascheneinteilung

19.8 Zweidimensionale Temperaturverteilung 351

haufig ist. Da die Oberflache eines solchen Stufenkorpers stets etwas groBer ist als die des wirklichen, muB man in del' Regel die Warmeiibergangszahlen etwas anpassen. 1m Bei­spiel Abb. 19.8.4 entsteht dieses Problem an del' Mantel£lache. Man kann z.B. nur die zylin­drischen Ersatz£lachen fiir die Warmeiibertragung in Rechnung setzen odeI' abel' - wohl richtiger - auch die ringfOrmigen Stirn£lachenstiicke, dann abel' mit einer reduzierten Warmeiibergangszahl; ihre Verkleinerung miiBte umgekehrt proportional del' Flachenver­groBerung sein. - An geschaufelten Ober£lachen ist wiederum eine ideelle Warmeiiber­gangszahl !X * gemaB Gl. 19.7. (33) einzusetzen.

In diesem Abschnitt wurde angenommen, daB die Fluidtemperaturen, denen del' Korper ausgesetzt ist, gegeben seien. Das ist z. B. nicht ohne weiteres del' Fall bei kleinen Kiihl- odeI' Sperrluftstromen, da del' Verlauf del' Fluidtemperatur dann selbst von den Temperaturverteilungen in den Korpern abhangt, mit denen das Fluid in Beriihrung ist. Es sei in del' Massenstrom des Fluids, das zwischen zwei Korpern a und b stromt. Beim Weiterschreiten urn ein kleines Wegintervall andere sich die Fluid-Totaltemperatur von T~ auf T~+l' Es iiberstreiche dabei an beiden Korpern die Flachenstiicke LlFa und LlFb, wobei !Xa und !Xb die zugehorigen Warmeiibergangszahlen seien. Abb. 19.8.5 zeigt die Disposition. Daun gilt offenbar

T ' T' LIP a!Xa (T T' T T' LlFb !Xb' , HI - i = 2' ai - i + ai-"-I - i+1) + -2-' ---(Tbi - Ti - TbHI - Ti+I)' mcp , , n~cp ,

Abb. 19.8.5. Zur Bestimmung del' gegenseitigen \Veehselwirkung zwischen Fluidtemperatur und Temperaturverteilungen in den angrenzenden

Karpel'll

19.8(18)

Fiir jcdes Wegstiick LI'; des betl'effellden Fluidstl'omes gilt eine dcrartige Gleichung. Diese sind den Gleichungssystemen del' Korper a und b beizufiigen. So entsteht schlieBlich ein Gesamtgleichungssystem, das den Vorgang beschreibt. Die Korper a und b konnen also nicht mehr getrennt behandelt wcrden, sondern sie sind libel' die Gleichungen des Typs 19.8(18) miteinander gekoppelt.

Ein Verfahren, das die Wechselwirkungen zwischen den Temperaturverteilungen im Korper und im Fluid von vornherein mit umfaBt, gibt Benni [33]. Nicht nur del' Kol'pel', sondern auch del' vom Fluid durchstromte Raum wil'd dabei in Zellen eingeteilt, die durch Maschen getl'ennt sind. Fur jede Zelle wil'd die Warmebilanz aufgestellt, wobei die Wal'me­iibel'tragung durch die Maschen hindurch el'folgen kann durch vVarmeleitung, Warme­i.'lbergang und dil'ektcn Ubertl'itt von Fluid. Das Verfahl'en ist damit auBel'ol'dentlich anpassungsfahig. Allerdings ist auch hiel' die geometrische Gestalt del' Zellen gegeben durch das Kool'dinatensystem, womit Korper beliebigel' Geometrie" nur durch Stufen-korpel' angynahert werden konnen wie im Beispiel Abb. 19.8.4. -

Abb. 19.8.6 zeigt Temperaturverteilungen in einem zwei£lutigen MD-Dampfturbinen­laufer, oben 2 h nach Kaltstal'tbeginn, unten im stationaren Zustand. 1m erst en FaIle sind die Temperaturgradienten vOl'wiegend radial, im stationaren Zustand axial. In Laufer­mitte wird ein kleiner Strom nicht zwischeniiberhitzten Dampfes zugefiihl't, um die Temperatur ortlich abzusenken.

352 19 Temperatur- und Kiihlungsprobleme

R 6 5 I,

3 2 7 0

200·e 250 300 350 1,00 450 R 6

5 I,

Abb. 19.8.G. Beispiel gerechneter Temperaturverteilungen im Rotor einer MD-Dampfturbine; oben 2 h nach Kaltstartbeginn, unten im stationaren Zustand

19.9 Verfahl'en del' finiten Elemente

In del' l~egel ist die Geometrie del' Bauteile so kompliziert, daB einfache Koordinaten­systeme sich ihnen nul' unvollkommen anpassen. Deshalb muB die AuBenkontur meist teilweise durch Stufenformen angenahert werden wie im Beispiel Abb. 19.8.4. Das hat dazu gefiihrt, auch fiir \iVarmeleitungsl'echnungen auf das Verfahren del' finiten Elemente zuriickzugreifen, vgl. [31,34]. Gibt man diesen dreieckige Gestalt, wie auch bei Festig­keitsuntersuchungen, dann laBt sich die Elementeinteilung auch einer komplizierten Karpergeometrie gut anpassen. Die Theorie sei hier am Beispiel del' ebenen Warmeleitung durchgefiihrt. Das Problem werde zunachst stational' behandelt, wobei abel' eine im Karpel' stetig verteilte Warmequellstal'ke c (Wal'meentwicklung pro Zeit- und Volumen­einheit) eingefiihrt werde, weil davon ausgehend del' Ubergang zum instationaren Fall leicht maglich ist. Die Diffel'entialgleichung lautet dann

!!.- (A OT) +!!.- (A OT) + e = 0, ox ox oy oy wahrend die Gl'enzbedingung an del' AuBenkontur in del' Form

A oT + !X(T - T') = 0 on geschl'ieben werden kann mit a/an als Ableitung nach del' auHeren Normalen.

19.9(1)

19.9(2)

In del' Variationsrechnung wird gezeigt, daB die Aufgabe, Gl. 19.9(1) mit del' Grenz­bedingung 19.9(2) zu IOsen, mit del' folgenden aquivalent ist. Das Funktionale X sei defi­niert durch

1 [(oT)2 (oT)2] . . . [T2 ] X = 2" ~f A ox + oy dx dy + J) eT dx dy + j IX 2" - T'T ds. 19.9(3)

Die Doppelintegrale sind iiber das ganze Flachengebiet G des Karpel'S zu erstrecken, das Einfachintegral iiber die Begrenzungskurve C, Abb. 19.9.1. Sucht man nun diejenige Ver­teilung T(J.:, y), die X zu einem Minimum macht, so erfiillt diese, wie aus del' Eulerschen Bedingung del' Variationsrechnung hervorgeht 19.9(1) und (2), vgl. etwa [35]. Anschaulich

19.9 Verfahren der finiten Elemente 353

bedeutet dies, daB sich del' Warmestrom so verteilt, wie er den geringsten Widerstand findet.

Y

Yk Yi, I-L----->;l---K

Yj

:r;

Abb. 19.9.1. Einteilung eines Korpers in dreieckige Felder

Wird nun del' Karpel' gemaB Abb. 19.9.1 in dreieckige Felder eingeteilt, so wird das Temperaturfeld reprasentiert durch die samtlichen Temperaturen Ti in den Knoten­punkten dieses Netzes. X ist dann Funktion aIler diesel' T i . Die Variationsbedingung !5X = 0, welche die Lasung des Problems festlegt, lautet daher

i = 1, 2, ... , i ... N, 19.9(4)

wo N die Zahl del' Knotenpunkte sei. Urn diese Gleichungen explizite zu erhalten, mage ein Element i, j, k herausgegriffen werden, Abb. 19.9.1. Innerhalb dieses Elementesdarf die Temperaturverteilung als linear betrachtet werden, d.h. es ist

1 T = 2L1 [(ai + bix + CiY) Ti + (ai + bix + ciY) Ti + (ak + bkx + CkY) T k], 19.9(5)

wo 1

2L1 = 1 1

das Doppelte del' Dreiecksflache ist. Fur die Koeffizienten findet man

19.9(6)

19.9(7)

ai' bi etc. durch zyklische Vertauschung. Nun sei Xe del' Auteil von X, del' auf das betrach­tete Element entfaIlt, des sen Eckpunkte samtlich im Inneren des Karpel'S (nicht auf 0) liegen magep.. Fur 8Xe /8Ti erhalt man den Ausdruck

8Xe [8T 8 (8T) 8T 8 (8T)] 8T 8Ti = f fA 8x 8Ti 8x + 8y 8Ti 8y dx dy + f f e 8Ti dx dy, 19.9(8)

wobei die Doppelintegrale uber die Dreiecksflache zu erstrecken sind. Hier sind aIle

354 19 Temperatur- und Kiihlungsprobleme

Ableitungen bis auf 8T/8Ti konstant, womit sich mit 19.9(5) ergibt

8Xe )'bi 8Ti = (2L1)2 (biTi + bjTj + bkTk) J J dx dy +

),c· e + (2L1)2 (ciTi + cjTj + CkTk) J J dx dy + 2L1 J J (ai + bix + ciY) dx dy.

Nun ist aber J J dxdy =LI,

und aus der Bedeutung von ai' bi, ci laBt sich verifizieren, daB

dx dy LI J J (ai + bix + CiY)"l11 = 3·

Damit kann 19.9(9) in die folgende Form iibergefiihrt werden. Setzt man

), Sij = 4LI (bib j - CiCj) ,

so ist

19.9(9)

19.9(10)

19.9(11)

19.9(12)

19.9(13)

Nun werde ein Punkt i herausgegriffen, und es soll8X/8Ti gebildet werden, weil dieser Aus­druck nach G1. 19.9(4) gleich Null zu setzen ist. Es ist

19.9(14)

3 2

a b

Abb.19.9.2. Zur Berechnung von Temperaturfeldern mit finiten Elementen. a) Aufpunkt im Innern; b) Aufpunkt am Rande

Die X8 sind die Xe der samtlichen Dreieckselemente, die den Punkt i umgeben, d. h. also derjenigen, die in Abb. 19.9.2a dargestellt sind. Die dort in Kreisen geschriebenen Num­mel'll sind die e und es seien ),8, e", LIS die auf das jeweilige finite Element bezogenen Werte. Eine Verschiebung von Ti allein andert nur die Verhaltnisse in diesen unmittelbar an­scMieBenden Dreiecksflachen, so daB diese den einzigen Beitrag zu 8X/8Ti liefel'll, wie durch G1. 19.9(14) ausgesagt wird. Nun muB nur 19.9(13) in (14) eingesetzt werden, worauf mit 19.9(4)

19.9(15)

19.9 Verfahren der finiten Elemente 355

Bei del' Situation nach Abb. 19.9.2a mit 6 angrenzenden Elementen und del' angegebenen Punktenumerierung lautet diese Gleichung z. B. :

(Sti + Sri + ... + S~i) Ti + (S~l + Stl) Tl + (St2 + Sr2) T2 + ...

... + (St6 + S~6) T6 + ~ (e1,11 + e2,12 + '" + e6,16) = O. 19.9(16)

Hier ist angenommen worden, daB Punkt i im Inneren des Karpel's liege. Liegt er auf dessen Berandung, so ist bei del' Bildung von Xe und seiner Ableitung noch del' Beitrag des Integrals libel' C beizufUgen, vgl. Gl. 19.9(3). Flir den Streckenzug 1-i-4 (Abb. 19.9.2b), ist diesel' Beitrag

A. [(T1 + Ti)2 T~i(Tl + T i )] + A. [(Ti + T4)2 T;4(Ti + T 4 )] iXli L181i 8 - 2 iXi4 L18i4 8 - 2 '

wobei iXli, iXi4' T~i' T;4 NIittelwerte tiber die betreffenden Strccken sind. Dies ist nach T abzuleiten, womit

a~i {j iX [~2 - T'T] dS} = iXli ~Sli [Tl t Ti _ T~i] + iXi4 ~Si4 [Ti ~ T4 - Ti4]' 19.9(17)

Dies ist in del' fUr Punkt i aufgestellten Gleichung des Typs 1£1.9(16) noch beizufUgen. Bei del' Situation nach Abb. 19.9.2b ergibt sich mit del' angegebenen Numel'ierung auf diese Weise

[S~. + S'l:-. + S? + iXli ,1s1i iXi4 ,1s';4] T. + [S~ + iXH ,1s1i] T + ~~ tt n 4 + 4 t tl 4 1

[S l S.,] T [S2 S') ] T [S" iXi4 L1S i4 ] T + i2 + 72 2 + i3 +i3 3 + i4 + 4' 4 +

So erhalt man also fUr jeden Knotenpunkt eine lineare Gleichung, welche die Temperaturen im betrachteten Punkt selbst und in allen direkt umliegenden Knotenpunkten enthalt. Sie hat fUr Punkte im Kal'perinneren den Aufbau Gl. 19.9(16) fUr solche auf del' Berandung den Aufbau Gl. 19.9(18), enthalt dann also in einem Starungsglied auch Fluidtempera­turen. 1m stationiiren, qttellenfreien Falle fallen in diesen Gleichungen die Gliedel'

1 )' e ,Ie -3 "'-' e LI

• e

weg. Das Gleichungssystem ist trotzdem inhomogen, da es ja Starungsglieder mit den Fluidtemperaturen enthalt. Seine Auflasung liefert die stationare Temperaturverteilung.

Den instationaren Fall gewinnt man ausgehend von den Quellgliedern, denn man kann in jedem Augenblick das Temperaturfeld auffassen als ein gedachtes stationares Feld, das bestimmt ware durch eine Warmequellenverteilung, die mit dem wirklichen instatio­naren Feld durch

aT e = -I]c­at 19.9(19)

zusammenhangt. In del' Tat ist del' rechts stehende Ausdruck die Warme, die pro Zeit­und Raumeinheit aus dem Volumenelement austritt. Mit rj1 aT jot wird fiir ein finites Element mit den Ecken i, j, k

19.9(20)

356 19 Temperatur- und Kuhlungsprobleme

Bei del' Situation nach Abb. 19.9.2a wiirde also z.B. in 19.9(16) del' Ausdruck

(!C' .. ... ... - 9 [(Ti + Tl + T z) Lli + (Ti + T z + T 3 ) Ll2 + ... + (Ti + T6 + T 1) Ll6]

an die Stelle des Quellgliedes treten. Man kann dies auch auf die andere Seite del' Glei­chung nehmen und schreiben

Fuhrt man diesen Schritt mit den fiir samtliche Knoten giHtigen Gleichungen durch und sind in einem Zeitpunkt t alle Kn~tentemperaturen T j bekannt, so hat man ein System von linearen Gleichungen fUr alle T j VOl' sich. Nach seiner Auflosung liefert

19.9(21)

alle Temperaturen fUr den Zeitpunkt t + Lit, und so kann weitergeschritten werden. Es lassen sich also nach dem Verfahren del' finiten Elemente auch instationare Temperatur­verteilungen berechnen, doch ist die Rechnung ungleich aufwendiger als bei den unter 19.8 beschriebenen Verfahren, da bei jedem Zeitschritt ein System simultaner Gleichungen gelOst werden muB.

19.10 Gekiihlte Gasturbinen

Del' Gasturbinenbau war von Anfang an bestrebt, durch geeignete konstruktive MaB­nahmen zu vermeiden, daB die groBen Bauteile - also die Rotoren und Gehauseteile -die volle Temperatur des HeiBgases annehmen. Das war nicht nul' dadurch geboten, daB groBe Teile aus hochlegierten Werkstoffen unverhaltnismaBig teuer sind, sondel'll die warmfestesten W"erkstoffe erlauben die Herstellung groBer Stiicke uberhaupt nicht. Man erkannte auch sogleich, daB folgendes Grundprinzip beachtet werden muB. Wenn moglich, sollte ein Bauteil nicht einerseits mit dem HeiBgas, anderseits mit dem Kiihlmittel in Beruhrung sein, denn so entstehen groBe Warmespannungen; auBerdem gelingt es bei groBen Abmessungen so oft nicht, die Temperatur del' gasberuhrten Oberflache genugend tief zu halten. Man muB vielmehr die Beruhrung mit dem HeiBgas uberhaupt vermeiden. Solche Bauteile wie Rotoren und Leitschaufeltrager muss en also vollstandig in Kuhlluft eingehullt werden, d. h. sie sind nicht eigentlich gekuhlt, sondel'll geschutzt. - Allerdings ist dieses Prinzip nicht durchweg anwendbar, denn man braucht zur GasfUhrung stets auch Bauteile, die mit dem Gasstrom direkt in Beruhrung stehen. Diese sind abel' dunn­wandig und leicht, konnen also aus hochlegiertem Werkstoff gefertigt werden, und dank del' kleillell vVandstarken bleiben auch die Temperaturen del' gasberiihrten Oberflachen genugend tief.

Von ausschlaggebender Bedeutung waren naturgemaB von Anfang an die Scha·nfeln. Sie waren zunachst ungekuhlt, obwohl schon in ganz fruhen Studien uber Gasturbinen die Schaufelkuhlung vorgeschlagen wird. Die Grunde dafiir waren hauptsachlich die fol­genden. Es standen keine rationellen Verfahren zur Fertigung gekiihlter Schaufeln zur Verfugung und ebensowenig besaH man Unterlagen iiber den Warmeubergang, die eine zuverlassige Auslegung solcher Schaufeln ermoglicht hatten. Auch fUr die Gesamtaus­legung solcher Turbinen hatte man noch keine Grundlage. AuHerdem schien gegen die Schaufelkuhlung zu sprechen, daB die Erhohung des thermischen Wirkungsgrades nur verhaltnismaBig klein bleibt. Erst die Notwendigkeit einer drastischen Steigerung del' Leistungsausbeute des Gasturbinenprozesses lieB die Schaufelkuhlung dringend werden. So wurde sie zunachst bei Flugtriebwerken eingefiihrt, spateI' auch bei industriellen Gas­turbinen. Del' entscheidende Durchbruch kam zustande durch die Entwicklung del' Teclmik

19.10 Gekiihlte Gasturbinen 357

des Prdzis'ions(j1l8se8, die es erlaubt, die au Berst kompliziel'ten Kanalsysteme innerhalb einer gekiihlten Schaufel rationell herzustellen und die sich auch fUr die in Frage kommen­den Werkstofftypen eignet.

Die heute iibliche Technik del' Schaufelkiihlung ist die Innenkuhlung dnrch Luft. Sie entspricht also nicht dem eingangs erwahnten Prinzip, den Korper VOl' del' Einwirkung des HeiBgases zu schiitzen.

Abb. 19.10.1 Abb.19.10.2 Abb. 19.10.3

Abb. 19.10.1. Gekuhlte Leitschaufel (Sulzer). Rippen in Kuhlkanal erhOhen Warmeubergang

Abb.19.10.2. Gekuhlte Laufschaufel (BBe). Schlanke Schaufel ermoglicht hohen Warmeubergang bei ein­facher Durchstromung

Abb.19.10.8. Gekuhlte LeitschaufeI (KWU). Aus innerem Hohlkorper gelangt Luft zunachst zur Profilnase und von dart durch enge Spaltraume zur Hinterkante

Abb. 19.10.1-3 stellen typische Beispiele geklihlter Schaufeln dar. Beim Leitrad Abb. 19.10.1 stromt ein Teilstrom del' Luft durch einen engen Kanal in del' Eintritts­kante, urn diese intensiv zu kiihlen. Alsdann tritt diesel' Strom durch eine innere Partie del' geschlitzten Austrittskante in das Gas iiber. Ein zweiter Strom wird durch den Kanal A nach innen, durch den Kanal B (dessen Wan de zu VergroBerung des Warme­iiberganges Rippen aufweisen) wieder nach auBen geleitet und tritt schlieBlich durch die auBere Partie del' geschlitzten Austrittskante ins Gas iiber. Diese komplizierten Stromungs­wege sind deshalb gewahlt, dam it die Stromungsquerschnitte klein, die Geschwindig­keiten und mithin die Warmeiibergangszahlen also groB ausfallen. - 1m Beispiel del' Laufschaufel Abb. 19.10.2 stromt ebenfalls ein Teilstrom durch die Eintrittskante und verlaBt die frei endigende Schaufel an ihrer Spitze. Auch del' Rest stromt nach auBen und verlaBt die Schaufel langs del' ganzen Austrittskante. Die StromungsfUhrung kann hier einfacher sein, weil die Schaufel schlank ist, was auf kleine Kiihlluftquerschnitte fiihrt. - Bei del' Leitschaufel Abb. 19.10.3 gelangt die Luft zuerst in einen zentralen Raum, von dem aus sie durch Locher gegen die Innenseite der Profilnase geblasen wird, was einen auBerst intensiven Warmeiibergang ergibt. Alsdann stromt die Kiihlluft durch den engen Spaltraum zwischen del' Schaufelflache und del' Wandung des Innenraumes zur geschlitzten Hinterkante. Wiederum werden so groBe Stromungsgeschwindigkeiten erzielt.

358 1!J Temperatlll'- und Kiihlungsprobleme

Manchmal ist. die Schaufelkflhlung auch bereichsweise als Filmkuhlung ausgebildet., so im Beispiel der Laufschaufel von Sulzer, Abb. 19.10.4, wo del' Luftanst.riU druckseitig etwas vor del' Aust.rit.tskante liegt. (damit. diese dunn gehalten werden kann), so daB uber das kurze Stuck ein kuhlender Film besteht. Dber die Filmkiihlung besteht. eine umfang­reiche Literatur, vgl. etwa [36-42].

Abb. 1!J.10.4. Gekiihlte Laufschaufel mit Deckplatte und verliingertem FuB (Sulzer)

Eine Gesamtanordnung im FaIle einer Gasturbine mit Trommelrotor (BBC) zeigt Abb. 19.10.5. Vom Verdichter kommend, gelangt die KiihIluft durch Bohrungen 1 und eine eingedreht.e Nut 2 an die Peripherie del' Laufertrommel 3, um alsdann im Spahmum zwischen den Warmest.ausegment.en 4 und del' Laufertrommel 3 gegen das Austrit.tsende zu st.r6men. Ein Teil wird abgezweigt. und dem erst.en Laufschaufelkranz 5 zugefilhrt. Die SchaufelfLiBe weisen Durchbrechungen auf, wodurch zugleich die eigentliche Befestigungs-

Abb. 19.10.5. Kiihlluftfiihrung bei einer Gasturbine mit Trommelrotor (BBe)

19.10 Gekiihlte Gasturbinen 359

partie 6 auf verhaltnismaBig tiefer Temperatur bleibt. Die restliche Kiihlluft stromt unter den Warmestausegmenten 7 durch den Spaltraum 8 weiter, kiihlt die SchaufelfuBpartien del' weiteren Stufen und tritt durch enge Spalte zwischen den einzelnen Segmenten 7 unterwegs in den Gasstrom iiber, bis zum SchluB die ganze Rotorkiihlluft dem Gasstrom beigemischt ist. Ein weiterer kleiner Kiihlluftstrom durchquert die Labyrinthdichtung 9, schiitzt die Rotorstirnflache vor dem HeiBgas, dem er anschlieBend beigemischt wird. Die Rotortrommel ist also vollstandig in Kiihlluft eingehiillt, weshalb ihreTemperatur 500°C nirgends iiberschreitet.

Die Kiihlluft fiir die erste Leitschaufel 10 stammt unmittelbar aus dem Raum 11, der den Leitschaufeltrager 12 umgibt. Sie gelangt durch die Offnungen 13 und 14 in die Leitschaufeln, urn aus deren Hinterkanten in den Gasstrom iiberzutreten. Der Leitschaufel­trager ist seinerseits durch Warmestausegmente 15 und 16 gegen den HeiBgasstrom geschiitzt. Diese weisen Kanale 17 und 18 auf, die in Umfangsrichtung durchstromt werden und zu diesem Zweck am Umfang Ein- und Austrittsoffnungen besitzen, die mit entsprechenden Kiihlluftraumen in Verbindung stehen. Del' durch einen Blechmantel 19 begrenzte Raum 20 nimmt die austretende Kilhlluft auf, worauf sie durch die Bohrungen 21 in den Raum 22 und von bier aus in den Gasstrom vor dem erst en Leitrad gelangt, also an del' Expansion in der Turbine teilnimmt.

Abb. 19.10.6 veranschaulicht die Kiihlluftfiihrung in einer Gasturbine mit Scheiben­laufer (Sulzer). Die durch Bohrungen 1 eingefiihrte Kiihlluft gelangt durch den Spalt­raum zwischen Radscheibe 2 und Deckscheibe 3 nach auBen und von hier teilweise in die Laufschaufeln 4. Die Deckscheibe 3 wird auf ihrer AuBenseite noch von Kiihlluft ilberstrichen, die durch die Labyrinthdichtung 5 tritt. Ein weiterer Teil del' Kiihlluft stromt unter den SchaufelfiiBen des ersten Laufrades in den Spaltraum 6 und gelangt hier teilweise radial nach auBen, teilweise durch die Labyrinthdichtung 7 des Zwischenbodens VOl' das zweite Laufrad, um dort dem Gasstrom beigemischt zu werden. Die Hinterseite des zweiten Laufrades wird durch einen besonderen, von hinten zugefiihrten Kiihlluft­strom bestrichen. - Der Schaufeltrager 8 wird durch die Leitradringe 9 und 10 und die Zwischenringe 11 und 12 gegen den Gasstrom abgeschirmt. Den Leitschaufeln wird durch

Abb. 19.10.6. KuhIIufWihrung bei einer Gasturbine mit Scheibenrotor (Sulzer)

360 19 Temperatur. und Kiihlungsprobleme

die Bohrungen 13 und 14 Klihlluft zugefilhrt. Durch die Labyrinthdichtung an del' Lauf­schaufeIspitze tritt Klihlluft, die teils aus del' Schaufelspitze a,ustritt, teils durch die Kanale 14 zugefilhrt wird.

Del' Gedanke, auch die Schaufelflachen VOl' del' Beriihrung mit dem HeiBgas zu schlitzen, filhrt zur Ejfusionskuhhtng, bei del' Klihlluft durch eine por6se Mantelflache aus del' Schaufel austritt und diese somit einhlillt (Abb. 19.10.7). Eines del' Probleme ist dabei die Dosierung del' Klihlluft-Massenstl'omdichte langs des Umfanges, die naturgemaB empfindlich von del' Druckverteilung am Profil abhangt, vgl. etwa [43].

Abb.19.10.7. Grundsatzlicher Aufbau einerSchaufel mit Effusionskiihlung. 1 Tragkorper, 2 porose Raut

Schon frlih ist auch die Fremdkflhlung del' Schaufeln vorgeschlagen worden, an sich mit beliebigen Kiihlfliissigkeiten, VOl' allem abel' mit Wasser, vgl. [21, 44]. Friedri,ch [44] berichtet libel' eine wassergeklihlte Versuchsmaschine. Nachdem die Luftklihlung so ver­bessert werden konnte, daB selbst Gastemperaturen libel' 1000 °C beherrscht werden k6nnen, ist das Interesse an del' Wasserklihlung zunachst in den Hintergrund getreten, doch wurde del' Gedanke neuerdings wieder aufgegriffen, da man beabsichtigt, mit del' Gastemperatur auf 1600-1S00°C zu gehen (im Zusammenhang mit Gas-Dampfturbinen­anlagen), vgl. [45].

Ein Hauptproblem del' mit hoher Temperatur arbeitenden Gasturbine ist das del' Korro8ion del' Schaufeln, VOl' allem durch die im Brennstoff enthaltene Asche, die als besonders schadliche Bestandteile Verbindungen von Natrium und Vanadium enthalt. Die Technik del' Platierung del' Schaufeln mit geeigneten Uberziigen wie auch die del' Behandlung des Brennstoffes (Auswaschung del' Natriumsalze, Zusatze zur Bekampfung derVanadiumkorrosion) hat in neuerer Zeit wesentliche Fortschritte gemacht. Deshalb werden heute Gasturbinen auch bei aschereicheren Brennstoffen mit Hochsttemperaturen betl'ieben, die zunachst nur bei Verbrennung hinreichend sauberer Bl'ennstoffe beherrscht werden konnten. Allerdings ist dann eine starkere Verschmutzung in Kauf zu nehmen. Klassifiziert man die hauptsachlichsten Brennstoffe gemaB ihrer Eignung fill' die Gas­turbine, so ergibt sich folgende absteigende Reihenfolge: Erdgas, destilliertes 01, Rob)!, Schwerol. Andere gasformige Brennstoffe als El'dgas haben gegenwartig noch keine gl'oBe Bedeutung, diirften abel' in Zukunft im Rahmen del' Kohlevel'edelung als Gasturbinen­brennstoffe mehr und mehr Anwendung finden. - Sollte es gelingen, bei sehr hoher Gastemperatur durch Fl'emdkiihlung del' Schaufeln (z.B. Wasserklihlung) del'en Ober­flachentemperatur relativ tief zu halten (z.B. etwa auf 550°C) dann ware das Korrosions­problem weitgehend eliminiel't.

Bei den Untersuchungen libel' die Wassel'klihlung wil'd abel' namentlich auch an die Verbl'ennung von Kohle gedacht. Eine M6glichkeit wlirde dal'in bestehen, die Kohle im FlieBbettverfahl'en zu vel'bl'ennen, das entstehende Verbl'ennungsgas in einem Elektro­filter vom Flugstaub zu reinigen und dann del' Gasturbine zuzufiihl'en.

Bei del' Gestaltung del' Hochtempel'aturturbinen sind natul'gemaB die Eigenschaften del' Werkstoffe von entscheidender Bedeutung. Dieses Wissensgebiet ist so weitlaufig geworden, daB del' Konstl'ukteul' stets den Spezialisten konsultiel'en muB. Eine ein­flihl'ende Ubel'sicht gibt H ornbogen [46], wahl'end in dem Sammelwerk [47] die Entwick­lungen auf dem Gebiet del' Hochtempel'atul'werkstoffe dargestellt sind.

19.11 Berechnung gekiihlter Systeme 361

19.11 Berechllullg gekiihlter Systeme

Die gekiihlten Systeme, auf die sich die nachfolgenden AusfUhrungen beziehen, sind vor allem die Schaufeln, aber auch die von Kiihlkaniilen durchsetzten Partien von rotierenden und stillstehenden Konstruktionsgruppen. Stets dringt also an gewissen OberfHichen Warme ein, die abgefUhrt werden muB durch den Kiihlluftstrom.

Zur Herleitung des Rechenverfahrens mage die Zustandsanderung langs eines un end­lich kleinen Wegstiickes eines Kiihlkanals betrachtet werden. An del' betrachteten Stelle sei in del' Kiihlluftmassenstrom, f del' Kanalquerschnitt, p del' Druck, T die Temperatur, e die Dichte, w die Geschwindigkeit del' Kiihlluft, Tw die Kanalwandtemperatur. Das Kanalstiick habe die Oberflache dF, erstrecke sich von einem Radius r zum Radius r + dr und rotiere mit del' Winkelgeschwindigkeit w. Pro Zeiteinheit wird dem Kiihlluft­strom die Warmemenge

. [ W2] l1W [ W2] dQ = iX T - T - - dF = _P St T - T - - dF w 2c f W 2c 1) P

19.11(1)

zugefiihrt, wobei die Warmeiibergangszahl iX, die mit ihr gebildete Stanton-Zahl St und die Wandtemperatur Tw Mittelwerte iiber den Umfang sind. - Gegebenenfalls ist diese Formel zu verallgemeinern, wo etwa ein Kanal durch Flachen dFl und dF2 begrenzt ist, die Temperaturen T wl und Tw2 besitzen und wobei Stl und St2 die zugeharigen Stanton­Zahlen sind. - Als maBgebende Kiihllufttemperatur ist die Totaltemperatur eingesetzt. Aus 19.11(1) ergibt sich sogleich die pro Masseneinheit zugefiihrte Warmemenge

[ W2]dF dq = cpSt T w - T - 2cp T' 19.11(2)

wahrend die spezifische Arbeit des Fliehkraftfeldes

da = (v 2r dr 19.11(3)

ist. Die durch Reibung dissipierte Energie sei (102/2) dC, wobei dC del' dadurch definierte Verlustkoeffizient des Kanalstiickes ist.

MaBgebend fUr die Zustandsanderung sind die nachfolgenden vier Gleichungen, von den en die erste die Energiegleichung, die zweite die Hauptgleichung del' Thermodynamik, die dritte die Kontinuitatsgleichung, die vierte die thermische Zustandsgleichung dar­stellt, wahrend die kalorische Zustandsgleichung mit del' Setzung dh = cp dT eingefUhrt ist.

m W = ef'

19.11(4)

19.11 (5)

19.11(6), (7)

1m allgemeinen wird nun f langs des Weges variieren, und es kann auch eine Teilmenge d/1L abgezweigt und in den Gasstrom iibergefUhrt werden (dl1L ist also negativ). Deshalb laBt sich aus del' Kontinuitatsgleichung 19.11(6) unter Beachtung del' Gasgleichung 19.11(7) auch die d~fferentielle Form

dw drh df dp dT -=------+-1IJ l1L f P T

19.11(8)

bringen. Damit geht del' Satz del' maBgebenden GIeichungen, geordnet nach den Differen-

362 19 Temperatur- und Kiihlungsprobleme

tialen dT und dp iiber in

RT [ W2] dF w2 C dT - - dlJ = C St T - T - -. - + - dC

p p ]J W 2c]J f 2 19.11(10)

mRT W=--.

pf 19.11(11)

Anhand des Konstruktionsentwurfes ist nun ein Kiihlluftstromungsplan aufzustellen, wie in Abb. 19.11.1a angegeben. Die einzelnen Stromungswege werden dabei in Teilstiicke eingeteilt. Auf diese wird das obige Gleichungssystem angewandt, indem man zu endlichen Differenzen iibergeht. ZweckmaBig wahlt man dabei die dimensionslose Darstellung, indem man wie folgt vorgeht. Druck und Temperatur konnen dimensionslos gemacht werden durch geeignete Bezugswerte Po' To (z. B. die vVerte der Kiihlluft vor Eintritt in den Rotor; beziiglich des Uberganges auf T I , Abb. 19.11.1a vgl. die Ausfiihrungen in Bd. I, Ab­schn. 9.8), d.h. man setzt

o

3

2

a

P n -. Po

b

19.11(12)

Abb.19.11.1. a) Kiihlluftstromungsplan; b) Verhaltnisse bei gleiehzeitiger Abzweigung von IGihlluft

Ferner sei

W2 _~ = _1_ [inRTofJ]2. cpTo cpTo fpon

19.11(13)

Wenn man nun 19.11(9) und (10) durch cpTo dividiert, ist man auf folgendes gefiihrt. Mit

erhalt man

W 2 W2 x - 1 fJ an -- 1 + --:0-- ' a I2 - , a22 -----, 19.11 (14)

'U' n x n

an Ll fJ - a l2 Ll n = bl ,

Ll fJ - a22 Ll n = b2.

19.11(15)

19.11(16)

19.11(17)

19.11(18)

19.11 Berechnung gekuhlter Systeme ~163

Die Differentic1le sind hier sogleich durch endliche Differenzen el'setzt. Dementspl'echend beziehen sich die ilP, ili, .(l1h und ill' auf den ganzen Abschnitt zwischen den Punkten i und i + 1, Abb. 19.11.1b und C ist die Widerstandszahl dieses Abschnittes. Das Glei­chungssystem 19.11(17), (18) hat die Losungen

19.11(19)

Bei del' Bildung del' a und b sind Mittelwerte del' Temperatur- und Druckvariablen zu verwenden, namlich

19.11(20)

und mit diesen ist auch W2 zu bilden. - Die Differenzenrechnung, die in Richtung del' Stromung von Abschnitt zu Abschnitt fortschreitet, beginnt mit {} ~ {}i, n ~ ni , bereehnet aus 19.11(13) W2 , aus 19.11(14)-(16) die a und b, aus 19.11(19) il{} und il n und sehlieB­lich aus 19.11(20) verbesserte {} und n, mit denen die Rechnung wiederholt wird. Mehr als eine Iteration diirfte in Anbetracht del' Genauigkeit del' Kenntni'3 von St und C kaum sinnvoll sein. Damit erhalt man schlieBlich

IJi+ 1 = {}i + 11 {}, 19.11(21)

womit del' Ausgangspunkt fiir den folgenden Absehnitt gefunden ist. - Del' gesamte Gang del' Rechnung laBt sich nun wie folgt beschreiben: 1. Festlegung des Kiihlluftstromungsplanes und seiner Diskretisierung. - Wo langs eines

Stromungsweges stetig Kiihlluft abgezweigt wird, ist es zweckmaBig, die ideellen Abzweigungspunkte in die Mitte del' Absehnitte zu legen, wie in Abb. 19.11.1 ange­deutet.

2. Abschatzung del' {}w und del' Kiihlluftmassenstrome del' einzelnen Abschnitte durch vorbereitende Rechnung.

3. Abschnittweise Berechnung del' Zustandsanderung del' Kiihlluft wie angegeben, fort­schreitend in Richtung del' Stromung. Diese Rechnung liefert die/} und n beim Uber­tritt in die Gasstromung. Die dort erhaltenen n sollten den tatsachlichen Druckwerten im Gasstrom entsprechen. 1st dies nicht der Fall, so ist auf die Massenstrome zuriick­zugreifen und die Rechnung zu wiederholen, bis Ubereinstimmung hergestellt ist.

4. Damit stehen die Unterlagen bereit zur Berechnung der Temperaturverteilung in den Konstruktionsteilen gemaB den Abschn. 19.6-9. Daraus ergeben sich genauere {}w,

mit denen die Rechnung zu wiederholen ist. Die Empirie geht in diese Rechnung ein in Form der St- und C-Werte. Unterlagen

dariiber finden sich unter 19.2. - Fiir ein Kanalstiick von del' Lange E und dem hydrau­lischen Durchmesser D" ware z. B. C = "PEl D". - Insbesondere bei del' komplizierten Geo­metrie der Kanalsysteme gekiihlter Schaufeln wird man abel' auf den Versuch zuriick­greifen miissen. - Selbstverstandlich ist das Rechenverfahren je nach den besonderen Gegebenheiten abzuwandeln, insbesondere ist w = 0 bei stillstehenden Teilen. - Abb. 19.11.2 gibt ein Beispiel einer Temperaturverteilung in einem Schnitt einer gekiihlten Gasturbinenschaufel.

Es ist iiblich, bei sol chen Rechnungen die Bestimmung der Temperaturverteilung in einem Schnitt als ebenes Problem aufzufassen, d. h. man vernachlassigt den EinfluB del' iiber den Querschnitt ungleichmaBigen Langsleitung auf die Temperaturverteilung. Dieser Effekt hat die Tendenz, die Temperaturen auszugleichen. Seine Vernachlassigung ist also ein Fehler, der auf del' sicheren Seite liegt. - Oft ist es wiinschenswert, Hir eine gekuhlte Schaufel die ideelle Warmeubergangszahl iXi zu kennen, welche den gleichen Warmestrom in die Rotoroberflache gibt wie die Schaufel. Sind Tg und TN die wirksame (adiabatische) Gastemperatur und die Nabentemperatur, iN del' Schaufelquerschnitt an der Nabe, so

364 19 Temperatur- und Kiihlnngsprobleme

61,0

Abb. 19.11.2. Isothermen (Temperaturen in °C) in einer gekiihlten GasturbinenlaufschanfeI von Sulzer

ist dieser Warmestrom 19.11(22)

Es seien weiter (Xg' (Xk die vVarmeiibergangszahlen von Gas und KiihIluft, Ug, Uk die Um­fange, an denen diese Warmetibergangszahlen wirksam sind, T die mittlere Temperatur des Schaufelschnittes, dann ist

(Xi ~ if - TN l/((XgUg + (XkU,,,) A . Tg- TN iN

19.11(23)

AIle diese GroBen sind in del' Nahe des Nabenschnittes, d.h. etwa eine halbe Sehnenlange von diesem entfernt, zu bilden.

19.12 Temperaturkenngro8en gekiihlter Schaufeln

Die Wirksamkeit del' Ktihlung einer Schaufel kann gekennzeichnet werden durch gewisse TemperaturkenngroBen. Es sei Tg die Gastemperatur, T j die mittlere Temperatur del' Schaufeloberflache, T j die hochste Temperatur del' Schaufeloberflache, TOk die Kiihl­luft-Eintrittstemperatur, T(Lk del' kalorimetrische Mittelwert del' KiihIluft-Austritts­temperatur, Tak die hochste KiihIluft-Austrittstemperatur. AIle Fluidtemperaturen sind adiabatische Werte, praktisch also mit hinreichender Naherung Totaltemperaturen. Tg ist ein Mittelwert iiber die Schaufelhohe. Dann sind die folgenden Verhaltnisse sinnvolle Charakteristika :

__ Tg - T j

'Yj =T T' (f - Ok

19.12(1)

Die 1} und 'Yj konnen als Effektivitaten der Kuhl1tng bezeichnet werden, denn sie waren 1 im idealen GrenzfaIl, wo die Schaufeloberflachentemperatur gleich del' Temperatur del' verfiigbaren KiihIluft ware. ZweckmaBig werden noch die folgenden dimensionslosen Temperaturvariablen eingefiihrt

{j _ T al.- - T Ok ak = T T '

(J - Ok 19.12(2)

d. h. die Temperaturen werden dimensionslos gemacht, indem man die Ubertemperaturen iiber KiihIlufteintritt dividiert durch die gesamte Temperaturspanne zwischen Gas und KiihIluft (also andel's als in Abschn. 19.11). Mit diesen Setzungen gehen die GIn. 19.12(1)

iibel' in

19.12 Temperaturkenngro13en gekiihlter Schaufeln

if = 1 - 711, If, - lfak

1 - {},

365

19.12(3)

Daraus ergibt sich sofort del' Zusammenhang zwischen 7: und ij, der in den Formen

1 - if - iJak 7: = ---=-----'-'Y) , 19.12(4)

geschrieben werden kann. Wesentliche Zusammenhange erkennt man nun ausgehend von del' Tatsache, daB del'

in die Schaufeloberflache eindringende Warmestrom gleich del' pro Zeiteinheit von del' Kiihlluft aufgenommenen Warmemenge ist. Es seien l die SchaufelhOhe, t die mittlere Schaufelteilung, WI die relative Zustromgeschwindigkeit des Gases zur Schaufel, mg del' Gasmassenstrom pro Schaufelkanal, 1n del' Kiihlluftmassenstrom pro Schaufel, U del' iiber die Hohe gemittelte Umfang des Schaufelprofils, Cpg, Cpk die spezifischen Warmekapazi­taten von Gas und Kiihlluft, iX die mittlere Warmeiibergangszahl an del' Schaufeloberflache und St die mit ihr gebildete Stanton-Zahl. Mit

- S- cpgmu S­iX = Cpll(!IWI t = l . fJ t

t sm I

wird dann die in die Schaufel pro Zeiteinheit eindringende Warme

Q = cp~ 1nll St Ul(T - T ), tl sm fJI g f

und die Gleichsetzung mit del' Warmeaufnahme del' Kiihlluft liefert

. - . U& -m'kcp",(T,tk - T Ok ) = mgcp[J -'-fJ- (T g - T f )· t SIn I

19.12(5)

19.12(6)

19.12(7)

Wenn man hier noch 1nk/1ng = f-l und cpu/cp/.; = y setzt und die Temperaturvariablen nach Gl. 19.12(2) einsetzt, erhalt man

was auch in die Form

aufgelOst werden kann.

yUSt 1 - BI f-l = t sin fJ -=-{}

I ak

yUSt 1 - {}ak t sin fJI (1 -+ 7:) {}ak'

- 1 {}(tk=tsinfJI (1 -+ 7:)

yUSt f-l -+ 1

19.12(8)

19.12(9)

Diese Gleichung erlaubt es, auf einfache Weise einen Uberblick dariiber zu gowinnen, wie sich die Wirksamkeit del' Schaufelkiihlung verandert, wenn man die Kiihlluftmenge variiert. "\iVenn ;Xu' ;X"" Ji'g, Ji\ die mittleren Warmeiibergangszahlen und Oberflachen auf del' Gas- und Kiihlluftseite sind, so ist das Temperaturverhaltnis 7: offenbar proportional ;XrJJi'g/;Xl.;F'k' Nun sei 7:0 del' Wert von T fUr eine bestimmte relative Kiihlluftmenge f-lo, fiir welche die Verhaltnisse vollstandig bekannt seien; man kennt also insbesondere auch {}akO und 170' Dann ist offenbar fUr eine geanderte Kiihlluftmenge f-l

-iXkO

7:=7:0-=-' iXk

19.12(10)

und da die Warmeilbergangszahl luftseitig praktisch proportional dem Kilhlluftmassen­strom ist, auch

19.12(11)

366 19 'fempemtur- und Kiihlungsprobleme

Damit hat man abel' aus 19.12(9) B-ak fiir den geanderten Massenstrom und mit 19.12(4) rj. Abb. 19.12.1a zeigt ein Beispiel so erhaltener Rechenergebnisse. In Abb. 19.12.1 b sind durch Kurvenbander die typischen GroBenordnungen von rj fUr Innenkiihlung und Effu­sionskiihlung dargesteHt, wie sie aus Messungen hervorgehen. Die Effusionskiihlung erweist sich als bedeutend wirksamer, doch stehen ihr groBere technische Schwierigkeiten ent­gegen.

Aus del' Uberlegung, daB die Temperaturdifferenzen innerhalb del' Schaufel proportio­nal dem Warmestrom sind, ergibt sich, wie leicht zu verifizieren

a

- 17 (- ) '/7 = 17 - =- 170 - 170 • 170

flO ,---,----r---,---,----,----, \ Sf = 0,0035 I sin /3, = 0, 9 I-'---f-----+ U If =3, 1 I 'Y = 1,15

/Lo = 0,02 I tfo = 0,40

0,01 0, 02 /L-

0,03 0 b

19.12(12)

0,01 0,02 /L-

Abb. 19.1:2.1. Effektivitat 1j und Temperaturverhiiltnis Hal< von gekiihlten Schaufeln in Funktion del' relativen IGihlluftmenge fl. a) Rechnungswerte; b) Bereich del' empirischen Werte

19.13 Warmedelmungen

Die W'armedehnungen sind VOl' aHem deshalb bedeutsam, weil ihre Unterschiede ma13-gebend sind fiir die vorzusehenden Spiele. Bei hochbeanspruchten Teilen wie Rotoren und Schaufeln sind auch die Dehnungen durch mechanische Beanspruchungen nicht ver­nachlassigbar, so daB man es praktisch stets mit Gesamtdehnungen zu tun hat. Erfolgt die Festigkeitsrechnung nach dem Verfahren del' finiten Elemente, so liefert die Rechnung sogleich die Verschiebung del' verschiedenen Knotenpunkte, so daB keine weitere Unter­suchung notig ist. Werden nach klassischen Methoden Spannungen berechnet, so ergeben sich die Wal'medehnungen wie folgt. AHgemein sei T die Ubertempel'atur iiber del' Um­gebungstemperatur, bei welcher del' Bauteil dehnungsfrei ist und fJ del' Mittelwert del' linearen Warmeausdehnungszahl zwischen 0 und T.

Die Rad-ialdehn1tngen ora und 01\ am Au13enradius ra. und Innenradius 'ri eines Rotations­korpel's sind dann

or = r [aHa - y(ara + aaa) -.L fJT J ~ r [a,?a + fJT J a a E I arQaE a' 19.13(1)

~ . = ,[alii - y(ari + aad + fJT.J ~ . r a'ii + fJT'J ur, r, E t rQ r'l ]iJ , . 19.13(2)

Die vereinfachte Naherung ist sehr oft geniigend, da meist die Tangentialspannung gegeniiher den anderen Spannungen weit iiherwiegt. Nach diesen Formeln konnen prak­tisch auch die Radialdehnungen von Leitschaufeltragern berechnet werden, auch wo deren Kreissymmetrie durch einen Trennflansch gestort ist.

19.13 Warmedelmungen 367

Zur Berechnung del' Langsdehmmg von Schallfe1n ist eine Koordinate x einzufuhren, die vom Fixpunkt (Auflageflache) an del' Schaufelbefestigung bis zum Schaufelende lauft und dabei von 0 bis 1 variiert (1 ist im allgemeinen nicht identisch mit del' Schaufelblatt­Hinge, da ein Teil des SchaufelfuBes mit dazugehOren kann). Es sei T(x) die Mitteltempe­ratur des Querschnittes an del' Stelle x. Dann ist die Verschiebung (Jl des Schaufelendes gegenuber dem Fixpunkt

l

01 = J (3T(x) dx. 19.13(3) o

Die Axia1verschieb'ung 02 einer urspriinglich im Abstand 2 von Fixpunkt A (Abb. 19.13.1) liegenden achsnormalen SchnittfHiche Seines Rotationskorpers ist

z 02 = J (3T(C) dC, 19.13( 4)

o

Abb. 19.13.1. Beispiele von Rotorformen. a) Volle Trommel; b) aus Scheiben gebildete Tlommel; c) Scheibenrotor

wo C die von 0 bis 2 laufende Koordinate ist. Del' Mittelwel't (3T ist gegeben durch den im Querschnitt C gebildeten Ausdruck

r" 2 J (3Tr dr

(3T = ~:2 '2' r - r 19.13(5)

Hier sind r' und r" del' innere und auBere Radius des ,wirksamen Teiles' des Querschnittes in C. Wie diesel' zu bestimmen ist, geht aus den Beispielen Abb. 19.13.1 hervor. Dort ist in die Kont,uren del' drei gezeigten Laufer schraffiert jener Teilkorper eingetragen, del' fur die Langsdehnung des Ganzen maBgebend ist. Die strenge Losung dieses Problems wul'de die vollstandige Bel'echnung del' Verformung erfol'dern, doch ist die Festlegung solche1' Teilkorper auf Grund del' Anschauung hinreichend genan moglich.

In analoger Weise laBt sich die Langsdehnung quasikl'eissymmetrischer Gehanseteile be1'echnen. Fur die im Schnitt S' e1'scheinende Schnittflache f (Abb. 19.13.2) laBt sich

368

definieren

19 Temperatur- und Kfthlungspl'obleme

L-; -----l I I.. z -----.;.!

A S

I I

------1-I

Abb. 19.13.2. Zul' Berechnung del' Wal'medehnung von Gehauseteilen

19.13(6)

d. h. f3T ist libel' die ganze Fliiche f zu mitteln. Die gleiche Definition liiBt sich ubernehmen fill' einen nicht ebenen Schnitt S". Das Element ds erfiihrt dann die Liingsiinderung f3T ds,

- -die zur Verschiebung in z-Richtung den Beitrag f3T cos y ds = f3T dC liefert. Daher kann auch in diesem Fane die Verschiebungeiner Ebene S nach Gl. 19.13(4) berechnet werden.

19.14 Die Brennkammer

Die Brennkammern del' Gasturbinen gehoren naturgemiiB zu denjenigen Bauelementen, die besonders schwierigen Temperaturbedingungen unterworfen sind. Leider ist es nicht moglich, die Proportionen von Brennkammern auf Grund einfacher naturgesetzlicher Zusammenhiinge zu bestimmen. Es war von Anfang an naheliegend, ein Belastungs-kr'iter'i7~rn einzufiihren. 1st Q die pro Zeiteinheit freigesetzte Wiirmemenge, p del' Druck, V das Brennkammervolumen, so ist

B =Q/pV 19.14(1)

ein MaB fill' die Brennkammernbelastung. B hat die Dimension S-l. In del' Tat hiingt diese GroBe unmittelbar zusammen mit del' Verweilzeit eines Luftteilchens im Brenn­raum und wird urn so groBer, je kurzer diese Verweilzeit ist. Rein chemisch sind abel' die Reaktionszeiten derart kurz, daB man auf B-Werte kiime, die urn Zehnerpotenzen libel' den Werten liegen, die tatsiichlich vorzusehen sind. Del' Ablauf del' Verbrennung wird el1so durch andere Vorgiinge bestimmt. VOl' aHem muB del' Brennstoff in del' Luft so verteilt werden, daB jedes Brennstoffteilchen in seiner Umgebung den notwendigen Sauerstoff findet, d. h. del' Vorgang del' JII isclillng wird von maBgebender Bedeutung sein. Handelt es sich um einen flussigen Brennstoff, so wird an del' Oberfliiche des einzelnen Tropfens die Verdampfung einsetzen, und del' Brennstoffdampf muG in die Luft hinaus­diffundieren, urn den Sauerstoff zu finden. Oft wird ein Teil des Kohlenstoffes schlieBlich als Kohlepartikel ubl'igbleiben und verhiiltnismiiBig langsam wegbrennen, da del' Sauer­stoff durch die entstehenden Verbrennungsprodukte hindurch an die Partikeloberfliiche diffundieren muG. Die Feinheit del' Zerstiiubung wil'd also wesentlich sein.

Daraus geht hel'vol', daB del' Ablauf del' Vel'brennung maBgebend bestimmt wird durch Stromungsvorgiinge, die sich einel' Berechnung entziehen. Deshalb verfilgen wir nicht uber theoretische Grundlagen, die uns die Bemessung einer Brennkammer erlauben wlirden, sondern wir sind auf die Empil'ie angewiesen. AHe Brennkammerberechnungen haben daher den Charakter grober Niiherungen, die GroBenordnungen liefern und Grenzen abstecken so11en.

19.14 Die Brennkammer 369

In Absehn. 18.6 sind bereits einige typisehe Beispiele von Brennkammern gezeigt. Hin­siehtlieh del' Stromungs!uhrung lassen sieh zwei Grundformen unterseheiden, die in Abb. 19.14.1a und b einander gegeniibergestellt sind. Variante a ist die Gleichstrombrenn­kammer, bei del' Luft und Verbrennungsgas in gleieher Riehtung stromen. Sie ist bei Flugtriebwerken allgemein im Gebraueh, z. T. abel' auch bei statiol1l1ren Anlagen. Bei Variante b, del' Gegenstrombrennkammer, stromt die Luft entgegen del' Stromungsrichtung des Gases zum Brennkammerkopf. Sie hat den Vorteil del' guten Zuganglichkeit und ist daher bei stationaren Anlagen die haufigste Bauform.

Abb. 19.14.1. a) Gleichstrombrermkammer; b) Gegenstrombrennkammer

-1/------.::. a ==:J( -

~----------:: -b -

~------------Bei industriellen Gasturbinen findet man haufig die Einzelbrennkammer (Abb. 18.6.1),

d. h. eine Gasturbogruppe besitzt eine einzige Brennkammer groBer Abmessung. GroBere Verbreitung haben abel' auch hier Anordnungen, bei denen melu-ere Brennkammern par­allel angeordnet sind. 1m Beispiel Abb. 18.6.3 sind es zwei. Klassisch geworden ist die urspriinglich vom Flugtriebwerk iibernommene Anordnung, bei del' eine groBere Zahl kleiner Brennkammern (Beispiel Abb. 18.6.4) kreisfOrmig urn die Masehine herum ange­ordnet ist. Die Ringbrennkammer (Abb. 18.6.5), welehe die Maschinenachse ringformig umgibt, hat sich im Flugtriebwerksbau allgemein durchgesetzt und findet auch im indu­striellen Gasturbinenbau Eingang (Abb. 14.1.4).

Ein wesentliches Charakteristikum einer Anordnung ist die gesamte Anzahl del' Brenn­stoffdiisen. 1st nur eine einzige vorhanden wie bei del' klassischen Einzelbrennkammer, so entstehen entsprechend groBe Mischwege. Die Langserstreckung des benotigten Brenn­raumes ist abel' diesem Misehweg etwa proportional. Daher bringt eine Aufteilung in mehrere Diisen eine Verkiirzung des Brennraumes. Man beachte etwa, wie kurz die Brenn­kammer nach Abb. 18.6.3 bemessen ist, weil sie mehrere Diisen aufweist. - Das zeigt, daB die Brennkammerbelastung B nach Gl. 19.14(1) - die ja unter sonst gleiehen Bedin­gungen urn so groBer ausfallen wird, je groBer die Zahl del' Diisen - nieht ohne weiteres das sinnvollste Beurteilungskriterium einer Bl'ennkammer ist. Nach del' durehgefiihrten Uberlegung wiirde die Bezugnahme auf den Stirnquersehnitt A des Brennraumes eher auf ein universelles Kriterium fiihren als die Bezugnahme auf V, d.h. die Belastungskennzahl ware

B' = Q/pA. 19.14(2)

Sie hat die Dimension m/s und ist ja in del' Tat ein MaB fiir die Durchtrittsgesehwindigkeit dureh die Brennkammer. Noeh einfaeher und anschaulieher ist es daher, direkt eine solche Durehtrittsgesehwindigkeit zu definiel'en. 1st ni' del' Primarluftstrom - also die Luft­menge, die unmittelbar dem eigentlichen Bl'ennraum zugefiihrt wird - und 12 die Diehte del' Luft VOl' Brennkammer, so kann

19.14(3)

als Charakteristikum verwendet werden. Typische Werte von tV liegen in del' Regel zwi­schen 10 und 40 m/s, wahrend Bin auBerordentlieh weiten Grenzen variiert, etwa zwischen 100 und 1500 S-1.

370 19 Tempemtur- und Kiihlungsproblcme

Die groBe Einzelbrennkammer besitzt den Vorteil del' groBeren Unempfindlichkeit gegen die Wahl des Brennstoffes. Insbesondere ist mit groBerer Sicherheit vermeidbar, daB Brennstofftropfen an die Wand gelangen und dort Koks bilden, del' dann verbrennt und zur Zerstorung del' Wand fiihrt. Wo nur eine Diise vorgesehen ist, entfallt auch das Problem del' gleichrnaBigen Verteilung des Brennstoffes, das bei del' Mehrdiisenanordnung auftritt. Die langeren Stromungswege und del' notwendig asymmetrische Eintrittsstutzen del' Turbine erschweren anderseits die Probleme beim Ubergang zu sehr hoher Temperatur. Die Aufteilung in mehrere Brennstoffdiisen (mehrere Brennkammern odeI' Ringbrenn­kammel') fiihrt auf das Verteilungsproblem und ist hinsichtlich Brennstoffwahl heikler, gibt abel' kompakte symmetrische Bauformen, die den Ubergang zu hoher Temperatur erleichtern.

Fiihrt man Brennstoff in eine Parallelstromung ein, so darf ihre Geschwindigkeit nur wenige m/s betragen, wenn die Flamme nicht ausgeblasen werden solI. Die GroBen­ordnung von tv, die auf annehmbare Proportionen fiihrt, liegt also bereits zu hoch. Des­halb miissen die Brennkammern stets so gestaltet sein, daB Totwassergebiete entstehen, welche die Flamme stabilisieren. Ein viel verwendetes Verfahren besteht darin, del' Ver­brennungsluft Dl'all zu el'teilen. Da im Zentrum einer sol chen Dl'allstromung Untel'druck herrscht, stellt sich dort eine Riickstromung heiBen Gases ein, wie in Abb. 19.14.2 an­gedentet. Dadurch wird die Verbrennnng anfrechtel'halten bei Durchsatzgeschwindig­keiten, die weit iiber del' natiirlichen Flammenausbl'eitungsgeschwindigkeit liegen.

---l---------r 2 -- 3 -----~

-

Abb.19.14.2. Zoneneinteiiung einer Brennkammer. 1 Primarzone, 2 Sekundarzone, 3 Mischzone

vVie in Abb. 19.14.2 angegeben, pflegt man eine Brennkammer einzuteilen in Primar­zone, Sekundal'zone und Mischzone. Die Verbl'ennung erfolgt zum weitaus groBten Teil in del' Primarzone. Es ist vorausgesetzt, daB nul' die durch den Drallkorper zentral ein­gefiihrte Luft als Verbrennungsluft zur Verfiigung stehe, nicht auch die den Wanden entlangstromenden Luftfilme, die del' Kiihlung dienen. Del' bei fliissigen Brennstoffen infolge del' Kohlenstoffpartikel gelb strahlende Flammenkorper erfiillt im wesentlichen die Primarzone, wahrend in del' Sekundarzone nur noch verhaltnismaBig schwache Nach­reaktionen stattfinden. Diese Zoneneinteilung ist offensichtlich nicht scharf und bis zu einem gewissen MaBe willkiirlich. In del' Mischzone schlieBlich wird die restliche Luft dem Gase beigemischt, derart, daB his Eintritt Turbinenleitrad ein moglichst vollstandiger Temperaturausgleich stattfindet. Es sei To die Temperatur del' Luft VOl' Brennkammer, 'if' die Mischtemperatur VOl' Leitrad und LlT die groBte Temperaturdifferenz im Querschnitt VOl' dem Leitrad. Dann ist LlTI(T ~ To) ein Charakteristikum fiir den Grad del' Aus­mischung. Werte von 0,1 bis 0,2 gelten als normal; del' untere ist extrem giinstig, abel' aucl} hohere Werte kommen VOl'.

Die Maximaltemperatur T rn del' Flamme selbst hat man dureh die Bemessung des Pri marluftstromes ni' in del' Hand. Man wahlt etwa T rn R:; 1800~ 2 000 K. Die Bestimmung von '11i' kann folgcndcl'maBen erfolgen. Es sei x del' Verbl'ennnngsgasgehalt cines Gemisehes stoehiometrisehen Vel'brennungsgases mit Luft, f3(x) die zur El'zeugung dieses Gas-

19.14 Die Brennkammer 371

gemisches notige Brennstoffmenge pro Masseneinheit Luft, h(T, x) die Enthalpie des Gases bei del' Temperatur T und m del' ganze zur Verfiigung stehende Luft-Massenstrom. Die Brennkammer ist auszulegen fUr in und eine vorgeschriebene Temperatur T (Tempe­raturen und Enthalpien sind hier strenggenommen auf den Totalzustand zu beziehen). Nach den Ausfiihrungen in Bd. I, Abschn. 2.4 muB dann offenbar gelten

in'{[l -\- ,8(x')] h(Tm' x') - h(To, On = ni{[l -\- ,8(x)] h(T,x) - h(To' O)}, 19.14(4)

wobei sich die linke Seite del' Gleichung auf das Gas in del' Flammenzone bei T m bezieht, die rechte auf den schlieBlich zu erreichenden Mischzustand. Mit der gegebenen Anfangs-temperatur To und den Temperaturen Tm und T lassen sich nach Bd. I, Abschn. 2.4, die x' und x bestimmen, ebenso aIle h und,8. Damit ist 19.14(4) eine Bestimmungsgleichung fiir ni'. Die Sekundarluftmenge folgt aus ni" = n~ -Tn '. Mit einem angenommenen Wert des Druckabfalles zwischen del' Luft vor Brennkammer und dem 1nneren des Brenn­raumes liefert die Durch£luBgleichung aus den ni' und ni" die vorzusehenden Durch£luB­querschnitte. Del' DruckabfaIl muB so gewahlt werden, daB eine giinstige Konfiguration entsteht. - Es ist eine grundlegende Bedingung, die Brennkammer baulich so zu gestalten, daB diese Querschnitte im Betriebe unbedingt eingehalten werden. Es muB also vermieden werden, daB sie sich durch mogliches Verziehen einzelner Blecheinsatze verandern konnen, odeI' daB Asymmetrien entstehen, die zu ortlichen Ubel'hitzungen fiihren.

Fiir die Lebensdauer del' Brennkammer ist die Beherrschnng del' Wandtemperaturen maBgebend. An einer gegebenen Stelle der Brennkammer seien Tw die Wandtemperatur, Ta und Ti die Lufttemperaturen auf der AuBen- und 1nnenseite del' "\V"and, D del' Brenn­raumdurchmesser und Dt del' Dnrchmesser des Flammenkorpers (vgl. Abb.19.14.2). Weiter seien iX-a, iX-i die beidseitigen Warmeiibergangszahlen, d = 5,77 .10-8 Wjm 2 K4 die Strahlungszahl des schwarzen Korpers, lOt das Emissionsverhaltnis Flamme-Wand und lOw dasjenige zwischen Brennraumwand und AuBenwand. Dann gilt folgende Warmeiiber­tragungsgleichung:

r;; cta(Tin, - T·,t) = iX-a(Tw - Ta) -\- !Xi(Tw - T i ) -\- cwd(Tt - T~). 19.14(5)

Das links stehende Glied ist die Einstrahlung des Flammenkorpers auf die Wand; es ist etwa DtfD ~ 0,8. Rechts stehen die auBere und innere Warmeiibertragung an die Luft und als drittes Glied del' Strahlungsaustausch zwischen Brennraumwand und AuBen­wand, wobei vereinfachend die AuBenwandtemperatur gleich Ta gesetzt ist, was in An­betracht del' Kleinheit dieses Gliedes geniigt. Ta ist strenggenommen nicht gleich del' Temperatur To, mit del' die Luft dem Verbrennungssystem zur Verfiigung gesteIlt wird infolge der Warmeiibertragung von der Brennraumwand an die Luft, doch ist del' Unter­schied meist nur klein. Unterlagen zur Bestimmung von !Xit finden sich unter 19.2. Uber !Xi und den Verlauf von Ti vgl. die Literatur iiber Filmkiihlung, z. B. [36]. Erhebliche Unsicherheit besteht beziiglich Ct. Eine untere Schranke ist gegeben durch die reine Gas­strahlung, iiber die Messungen vorliegen, vgl. etwa [48, 49]. Die obere Schranke ist die Strahlung des schwarzen Korpers, also lOt = 1. Leuchtende Flammen liegen zwischen beiden Grenzen, vgl. [50]. Genauere Unterlagen konnen nur empirisch erhalten werden, d.h. man rechnet einen gegebenen Brennkammertyp nach, miBt Tw und bestimmt lOt so, daB Ubereinstimmung hergestellt wird. - Fiihrt man aIles dies ein, so ist 19.14(5) eine Bestimmungsgleichung fiir Tw'

Bei berippten Wandelementen, etwa nach Abb. 18.6.1 ist die Gleichung entsprechend abzuwande1n. 1st P; die 1nnen£lache, P a die AuBen£lache ohne Rippen, P,. die Rippen­£lache, und 'Y)r del' Rippenwirkungsgrad (del' die Warmeiibertragung durch die Rippe zu derjenigen in einer Rippe unendlicher Leitfahigkeit ins Verhaltnis setzt), so gilt

Dt (T.t T+ _B'a -\- 1}rP ,. (T T T D lOt (J m -. w) - Pi !Xa w - it) -\- !Xi(T w - i) . 19.14(6)

372 19 Temperatur- und Kiihlungsprobleme

Hier ist die Strahlung an die AuBenwand sogleich vernachHissigt. Uber t7T finden sich an vielen Stellen Unterlagen, etwa [28, 51 J.

AuBerhalb del' Zone del' leuchtenden Flamme ist 8f gleich dem 8y del' Gasstrahlung. In del' Mischzone ist die Innentemperatur gleich del' Temperatur des Gaskorpers, und die Gleichung lautet dort

19.14(7)

Die genauere Rechnung miiBte allgemein so erfolgen, daB man den Stromungsweg in Intervalle einteilt und schrittweise die Temperaturanderungen infolge del' Warmeiiber­tragung berechnet, was insbesondere bei del' Gegenstrombrennkammer auf eine kompli­ziertere Iteration fiihrt. Dabei bleibt die Temperatur im Flammenkorper unter dem theoretischen Maximum Tim da ja schon wahrend del' Verbrennung Warme nach auBen iibertragen wird. Gerade bei modernen Konstruktionen mit ihren kurzen Stromungswegen und hochbelasteten Brennraumen sind abel' diese Effekte klein, so daB eine Komplikation del' Rechnung selten notig sein diirfte.

Da aIle Warmeiibergangszahlen proportional (!W sind, miissen die Kiihlluftgeschwindig­keiten hinreichend groB gewahlt werden, woraus sich die Bemessung del' Querschnitte del' luftfUhrenden Ringkanale ergibt. Wahlt man die durch 19.14(3) definierte charakte­ristische Geschwindigkeit w klein, was auf groBen Brennraumquerschnitt fUhrt, so wird die Breite dieser Ringkanale klein, mithin auch ihr hydraulischer Durchmesser, womit die Druckabfalle zunehmen. Bei schwach belasteten Brennkammern ist es also schwieriger, die Wande hinreichend zu kiihlen als bei hoher belasteten, urn so mehr als auch 8f groBer wird.

Del' Forderung, einen vollstandigen Ausbrand zu erzielen, die schon im Hinblick auf Abgasvorschriften erfiillt werden muB, ist mit groBen Brennkammern leichter zu geniigen als mit kleinen, besonders bei schlechten Brennstoffen. Die groBen Verweilzeiten fiihren abel' anderseits auch zu erhohter NOx-Bildung, die ebenfalls vermieden werden muB. Ein­fUhrung von Wasserdampf hemmt die NOx-Bildung, ist abel' nicht in allen Fallen moglich. Hohe Flammentemperatur begiinstigt die NOx-Bildung. Deshalb ist eine moglichst gleich­maBige Flammentemperatur (Vermeidung heiBer Punkte) von nicht iiber 2000 K anzu­streben, was mit Luftzerstaubung des Brennstoffes bessel' gelingt als mit Druckzerstau­bung.

Fiir jeden Brennstoff existieren gewisse Grenzen, innerhalb welcher das Massenver­haltnis Luft/Brennstoff liegen muB, damit die Ziindung gesichert ist. Diese Ziindgrenzen sind auch temperaturabhangig. Die Stromungsflihrung in del' Brennkammer muB sicher­stellen, daB insbesondere auch bei Leerlauf noch eine Zone bestehen bleibt, innerhalb del' das Mischungsverhaltnis unter del' oberen Ziindgrenze bleibt, was durch die Schaffung des schon erwahnten Totwassergebietes gelingt. Trotzdem ist del' Ausbrand bei kleiner Last oft wesentlich schlechter als bei Vollast. Man kennzeichnet dies en durch den Aus­brandwirkungsgrad 'Y}A' Bei Vollast liegt diesel' heute in del' Regel iiber 0,99, kann also VOl' aHem bei stationaren Anlagen praktisch 1 gesetzt werden. Fiir seine Abhangigkeit von del' Belastung gibt Munzberg [52] eine empirische Relation an. Es sei

rn Q ~~ 1J1,8 e(ToilOO) V . 19.14(8)

Dann gilt log (1 -IIA) = A + Blog Q. 19.14(9)

B variiert in den angegebenen Beispielen zwischen 1,34 und 1,94, so daB 1,6 als Mittelwert gegeben werden kann. Hingegen variiert A in weitesten Grenzen, was verstandlich ist, wenn man beachtet, wie auBerordentlich verschieden die Brennkammervolumen fUr eine gegebene Leistung je nach Bauad a,usfallen.

Literatur zu Kap. 19 373

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