Thomas Rottmann Das kindliche Verständnis der ?· 1.3.1 Das ägyptische Verdopplungsverfahren zur Multiplikation…

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    18-Sep-2018

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<ul><li><p>texte zur mathematischen forschung und lehre 48</p><p>Thomas Rottmann</p><p>Das kindliche Verstndnisder Begriffe</p><p>die Hlfte" und das Doppelte"</p><p>Theoretische Grundlegung undempirische Untersuchung</p><p>Verlag Franzbecker</p></li><li><p>Inhaltsverzeichnis</p><p>Inhaltsverzeichnis</p><p>Einleitung : :..; 1</p><p>1 Zur Bedeutung der Begriffe die Hlfte" und das Doppelte" 5</p><p>1.1 Arithmetische Grundlagen eines mathematisch korrekten Begriffsverstndnisses ....6</p><p>1.2 Verwendung der Bezeichnungen in der Alltagssprache 14</p><p>1.3 Halbieren und Verdoppeln in der Geschichte der Mathematik 17</p><p>1.3.1 Das gyptische Verdopplungsverfahren zur Multiplikation und Division 17</p><p>1.3.2 Verdoppeln und Halbieren als eigenstndige Rechenoperationen 19</p><p>1.4 Hlfte und Doppeltes als Themen des Mathematikunterrichts 21</p><p>1.4.1 Die Einfhrung der Begriffe im Mathematikunterricht des ersten Schuljahres 22</p><p>1.4.2 Die rechnerische Nutzung des Halbierens und Verdoppeins 27</p><p>1.4.3 Die Hlfte" als besondereBruchzahl 33</p><p>2 Die Hlfte" und das Doppelte" als Gegenstand empirischer</p><p>Forschung 36</p><p>2.1 Die Beziehungen des Teils zum Ganzen- Studien in der Tradition Piagets 37</p><p>2.1.1 Das Teil-Ganzes-Schema 37</p><p>2.1.2 Die Studien Piagets mit Bezug zum Halbieren und Verdoppeln 39</p><p>2.1.3 Conservation and the Notion of .Half "-Eine Studie in der Tradition Piagets 46</p><p>2.1.4 Konsequenzen fr die eigene Studie 49</p><p>2.2 Das Zerlegen in gleiche Teile als Grundlage eines elementaren</p><p>Bruchzahlverstndnisses 51</p><p>2.2.1 Studien aufbauend auf dem SOLO- Entwicklungsmodell 52</p><p>2.2.2 Weitere Studien zu einem elementarenBruchzahlverstndnis 56</p><p>2.2.3 Konsequenzen fr die eigene'rStudie 73</p><p>2.3 Das Doppelte" im Sinne von Addition und Multiplikation 77</p><p>2.3.1 Verdoppeln als Addition zweier gleicher Summanden 78</p><p>2.3.2 Verdoppeln als Spezialfall der Multiplikation 82</p><p>2.3.3 Konsequenzen frdieeigene Studie 87</p><p>2.4 Vorkenntnisse von Schulanfngern zum Halbieren und Verdoppeln 87</p></li><li><p>II Inhaltsverzeichnis</p><p>3 Einflsse der guten Gestalt" auf die visuelle Wahrnehmung 94</p><p>3.1 Die Gesetze der Strukturierung des Wahrnehmungsfeldes in der</p><p>Gestaltpsychologie 95</p><p>3.2 Die Wahrnehmung einer Symmetrie 102</p><p>4 Typenbildung und Theoriegenerierung 107</p><p>4.1 Forschungsmethode und Theoriegenerierung 107</p><p>4.2 Empirisch begrndete Typenbildung 109</p><p>4.2.1 Erarbeitung von Vergleichsdimensionen 111</p><p>4.2.2 Gruppierung der Flle und Analyse empirischer Regelmigkeiten 120</p><p>4.2.3 Analyse inhaltlicher Sinnzusammenhnge und Typenbildung 123</p><p>4.2.4 Charakterisierung der gebildeten Typen 126</p><p>5 Die empirische Untersuchung 129</p><p>5.1 Das Forschungsinteresse 129</p><p>5.2 Das Design der Untersuchung 132</p><p>5.2. l . Die Konzeption der Interviews 132</p><p>5.2.2 Die Dokumentation der empirischen Daten 135</p><p>5.3 Die Durchfhrung der Untersuchung., 136</p><p>5.3.1 Die Versuchspersonen 136</p><p>5.3.2 Durchfhrung der Interviews 138</p><p>6 Die Auswahl der Aufgaben 140</p><p>6.1 Das Schema zur Konstruktion der Aufgabenstellungen 140</p><p>6.2 Die Aufgaben in den Interviews :..' 144</p><p>7 Das Kategorienschema zur Kodierung des Datenmaterials 153</p><p>7.1 Das Kategorienschema fr Aufgabenbearbeitungen zur Hlfte" 154</p><p>7.2 Das Kategorienschema fr Aufgabenbearbeitungen zum Doppelten" 164</p><p>8 Die Hlfte" - Individuelles und idealtypisches</p><p>Begriffsverstndnis 172</p><p>8.1 Varianten in der Lsung einer Aufgabe 173</p><p>8.2 Einzelfallanalyse Robert, Test 2 .''. 181</p><p>8.3. Einzelfallanalyse Lisa- Mano, Test 4 191</p></li><li><p>Inhaltsverzeichnis III</p><p>8.4 Einzelfallanalyse Franziska, Test 3 202</p><p>8.5 Einzelfallanalyse Simon, Test 3 211</p><p>8.6 Idealtypisches Begriffsverstndnis 214</p><p>8.6.1 Idealtypus Mathematisch korrektes Halbieren" 215</p><p>8.6.2 Idealtypus Zerlegen in genau zwei Teile" 217</p><p>8.6.3 Idealtypus Zerlegen in gleiche Teile" 219</p><p>8.6.4 Abweichungen von den beschriebenenldealtypen 220</p><p>8.6.5 Zusammenfassende bersicht ber das Datenmaterial 222</p><p>8.7 Entwicklungsverlufe im kindlichen Begriffsverstndnis 226</p><p>8.7.1 Hypothesen zum Verlauf der Begriffsentwicklung 227</p><p>8.7.2 Die Beurteilung des Entwicklungsstandes - ein Beispiel 230</p><p>8.7.3 Empirische Entwicklungsverlufe 233</p><p>8.7.4 Modell zur Entwicklung desBegriffsverstndnisses 246</p><p>9 Das Doppelte" - Individuelles und idealtypisches</p><p>Begriffsverstndnis 250</p><p>9.1 Varianten in der Lsung einer Aufgabe 250</p><p>9.2 Einzelfallanalyse Florian, Test 2 259</p><p>9.3 Einzelfallanalyse Benjamin, Test 2 263</p><p>9.4 Einzelfallanalyse Lisa-Mano, Test 3 271</p><p>9.5 Einzelfallanalyse Naomi, Test 3 280</p><p>9.6 Idealtypisches Begriffsverstndnis 289</p><p>9.6.1 Idealtypus Mathematisch korrektes Verdoppeln" 290</p><p>9.6.2 Idealtypus Erzeugen des Doppelten innerhalb der Vorgabe" 291</p><p>9.6.3 Idealtypus Erzeugen des Doppelten mit Erweitern der Vorgabe" 293</p><p>9.6.4 Idealtypus das DoppeltealsgrererTeil" 295</p><p>9.6.5 Abweichungen von den beschriebenenldealtypen 297</p><p>9.6.6 Zusammenfassende bersicht ber das Datenmaterial 299</p><p>9.7 Entwicklungsverlufe im kindlichen Begriffsverstndnis 303</p><p>9.7.1 Hypothesen zum Verlauf der Begriffsentwicklung 303</p><p>9.7.2 Die Beurteilung des Entwicklungsstandes - ein Beispiel 307</p><p>9.7.3 Empirische Entwicklungsverlufe 311</p><p>9.7.4 Model] zur Entwicklung desBegriffsverstndnisses 322</p></li><li><p>IV Inhaltsverzeichnis</p><p>10 Ergnzende Auswertungen und Zusammenfassung der</p><p>Ergebnisse 328</p><p>10.1 Einflussfaktoren auf die kindlichen Bearbeitungen 328</p><p>10.1.1 Art und Gestalt" der verwendetenQuantitten 328</p><p>10.1.2 Die Art der sprachlichen Formulierung 332</p><p>10.1.3 Verfgbarkeit des Materials und Handlungsmglichkeit am Material 343</p><p>10.1.4 Bekanntheitsgrad des verwendetenMaterials 345</p><p>10.1.5 Aufgaben zum Halbieren bei ungerader Elementanzahl 346</p><p>10.2 Arithmetische Kompetenzen beim Halbieren und Verdoppeln 348</p><p>10.3 Die Hlfte" als Operation des Unterteilens 351</p><p>10.4 Zusammenhnge im kindlichen Verstndnis der Begriffe die Hlfte"</p><p>und das Doppelte" 353</p><p>10.5 Mgliche Klippen" im Lernprozess 359</p><p>10.6 Fazit 361</p><p>11. Resmee und didaktische Folgerungen 365</p><p>Literatur 372</p></li></ul>

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