texte zur mathematischen forschung und lehre 48

Thomas Rottmann

Das kindliche Verständnisder Begriffe

„die Hälfte" und „das Doppelte"

Theoretische Grundlegung undempirische Untersuchung

Verlag Franzbecker

Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis

Einleitung : :..; 1

1 Zur Bedeutung der Begriffe „die Hälfte" und „das Doppelte" 5

1.1 Arithmetische Grundlagen eines mathematisch korrekten Begriffsverständnisses ....6

1.2 Verwendung der Bezeichnungen in der Alltagssprache 14

1.3 Halbieren und Verdoppeln in der Geschichte der Mathematik 17

1.3.1 Das ägyptische Verdopplungsverfahren zur Multiplikation und Division 17

1.3.2 Verdoppeln und Halbieren als eigenständige Rechenoperationen 19

1.4 Hälfte und Doppeltes als Themen des Mathematikunterrichts 21

1.4.1 Die Einführung der Begriffe im Mathematikunterricht des ersten Schuljahres 22

1.4.2 Die rechnerische Nutzung des Halbierens und Verdoppeins 27

1.4.3 „Die Hälfte" als besondereBruchzahl 33

2 „Die Hälfte" und „das Doppelte" als Gegenstand empirischer

Forschung 36

2.1 Die Beziehungen des Teils zum Ganzen- Studien in der Tradition Piagets 37

2.1.1 Das Teil-Ganzes-Schema 37

2.1.2 Die Studien Piagets mit Bezug zum Halbieren und Verdoppeln 39

2.1.3 „Conservation and the Notion of .Half "-Eine Studie in der Tradition Piagets 46

2.1.4 Konsequenzen für die eigene Studie 49

2.2 Das Zerlegen in gleiche Teile als Grundlage eines elementaren

Bruchzahlverständnisses 51

2.2.1 Studien aufbauend auf dem SOLO- Entwicklungsmodell 52

2.2.2 Weitere Studien zu einem elementarenBruchzahlverständnis 56

2.2.3 Konsequenzen für die eigene'rStudie 73

2.3 „Das Doppelte" im Sinne von Addition und Multiplikation 77

2.3.1 Verdoppeln als Addition zweier gleicher Summanden 78

2.3.2 Verdoppeln als Spezialfall der Multiplikation 82

2.3.3 Konsequenzen fürdieeigene Studie 87

2.4 Vorkenntnisse von Schulanfängern zum Halbieren und Verdoppeln 87

II Inhaltsverzeichnis

3 Einflüsse der „guten Gestalt" auf die visuelle Wahrnehmung 94

3.1 Die Gesetze der Strukturierung des Wahrnehmungsfeldes in der

Gestaltpsychologie 95

3.2 Die Wahrnehmung einer Symmetrie 102

4 Typenbildung und Theoriegenerierung 107

4.1 Forschungsmethode und Theoriegenerierung 107

4.2 Empirisch begründete Typenbildung 109

4.2.1 Erarbeitung von Vergleichsdimensionen 111

4.2.2 Gruppierung der Fälle und Analyse empirischer Regelmäßigkeiten 120

4.2.3 Analyse inhaltlicher Sinnzusammenhänge und Typenbildung 123

4.2.4 Charakterisierung der gebildeten Typen 126

5 Die empirische Untersuchung 129

5.1 Das Forschungsinteresse 129

5.2 Das Design der Untersuchung 132

5.2. l . Die Konzeption der Interviews 132

5.2.2 Die Dokumentation der empirischen Daten 135

5.3 Die Durchführung der Untersuchung., 136

5.3.1 Die Versuchspersonen 136

5.3.2 Durchführung der Interviews 138

6 Die Auswahl der Aufgaben 140

6.1 Das Schema zur Konstruktion der Aufgabenstellungen 140

6.2 Die Aufgaben in den Interviews :..' 144

7 Das Kategorienschema zur Kodierung des Datenmaterials 153

7.1 Das Kategorienschema für Aufgabenbearbeitungen zur „Hälfte" 154

7.2 Das Kategorienschema für Aufgabenbearbeitungen zum „Doppelten" 164

8 „Die Hälfte" - Individuelles und idealtypisches

Begriffsverständnis 172

8.1 Varianten in der Lösung einer Aufgabe 173

8.2 Einzelfallanalyse Robert, Test 2 .''. 181

8.3. Einzelfallanalyse Lisa- Mano, Test 4 191

Inhaltsverzeichnis III

8.4 Einzelfallanalyse Franziska, Test 3 202

8.5 Einzelfallanalyse Simon, Test 3 211

8.6 Idealtypisches Begriffsverständnis 214

8.6.1 Idealtypus „Mathematisch korrektes Halbieren" 215

8.6.2 Idealtypus „Zerlegen in genau zwei Teile" 217

8.6.3 Idealtypus „Zerlegen in gleiche Teile" 219

8.6.4 Abweichungen von den beschriebenenldealtypen 220

8.6.5 Zusammenfassende Übersicht über das Datenmaterial 222

8.7 Entwicklungsverläufe im kindlichen Begriffsverständnis 226

8.7.1 Hypothesen zum Verlauf der Begriffsentwicklung 227

8.7.2 Die Beurteilung des Entwicklungsstandes - ein Beispiel 230

8.7.3 Empirische Entwicklungsverläufe 233

8.7.4 Modell zur Entwicklung desBegriffsverständnisses 246

9 „Das Doppelte" - Individuelles und idealtypisches

Begriffsverständnis 250

9.1 Varianten in der Lösung einer Aufgabe 250

9.2 Einzelfallanalyse Florian, Test 2 259

9.3 Einzelfallanalyse Benjamin, Test 2 263

9.4 Einzelfallanalyse Lisa-Mano, Test 3 271

9.5 Einzelfallanalyse Naomi, Test 3 280

9.6 Idealtypisches Begriffsverständnis 289

9.6.1 Idealtypus „Mathematisch korrektes Verdoppeln" 290

9.6.2 Idealtypus „Erzeugen des Doppelten innerhalb der Vorgabe" 291

9.6.3 Idealtypus „Erzeugen des Doppelten mit Erweitern der Vorgabe" 293

9.6.4 Idealtypus „das DoppeltealsgrößererTeil" 295

9.6.5 Abweichungen von den beschriebenenldealtypen 297

9.6.6 Zusammenfassende Übersicht über das Datenmaterial 299

9.7 Entwicklungsverläufe im kindlichen Begriffsverständnis 303

9.7.1 Hypothesen zum Verlauf der Begriffsentwicklung 303

9.7.2 Die Beurteilung des Entwicklungsstandes - ein Beispiel 307

9.7.3 Empirische Entwicklungsverläufe 311

9.7.4 Model] zur Entwicklung desBegriffsverständnisses 322

IV Inhaltsverzeichnis

10 Ergänzende Auswertungen und Zusammenfassung der

Ergebnisse 328

10.1 Einflussfaktoren auf die kindlichen Bearbeitungen 328

10.1.1 Art und „Gestalt" der verwendetenQuantitäten 328

10.1.2 Die Art der sprachlichen Formulierung 332

10.1.3 Verfügbarkeit des Materials und Handlungsmöglichkeit am Material 343

10.1.4 Bekanntheitsgrad des verwendetenMaterials 345

10.1.5 Aufgaben zum Halbieren bei ungerader Elementanzahl 346

10.2 Arithmetische Kompetenzen beim Halbieren und Verdoppeln 348

10.3 „Die Hälfte" als Operation des Unterteilens 351

10.4 Zusammenhänge im kindlichen Verständnis der Begriffe „die Hälfte"

und „das Doppelte" 353

10.5 Mögliche „Klippen" im Lernprozess 359

10.6 Fazit 361

11. Resümee und didaktische Folgerungen 365

Literatur 372