Thomas Röser Terme und Gleichungen

Thomas Röser

Terme undGleichungenStationenlernen Mathematik7. Klasse

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Thomas Röser

Zuordnungen – Prozentrechnung – rationale Zahlen –

Terme – geometrische Figuren – Stochastik

StationenlernenMathematik 7. Klasse

Bergedorfer Lernstationen

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1. Einleitung: Stationenlernen, was ist das?

Thomas Röser: Terme und Gleichungen© Persen Verlag

Vorwort

I – Theorie: Zum Stationenlernen


Unsere Gesellschaft wird seit geraumer Zeit durch Begriffe der Individualisierung gekennzeichnet: Ri-sikogesellschaft heißt es bei Ulrich Beck1, Multiop-tionsgesellschaft nennt sie Peter Gross2 und für Gerhard Schulze ist es eine Erlebnisgesellschaft3. Jeder Begriff beinhaltet einen anderen inhaltlichen Schwerpunkt, doch egal, wie wir diesen Prozess bezeichnen, die Individualisierung – hier zu verste-hen als Pluralisierung von Lebensstilen – schreitet voran. Damit wird die Identitäts- und Sinnfindung zu einer individuellen Leistung. Diese Veränderun-gen wirken sich zwangsläufig auch auf die Institu-tion Schule aus. Damit lässt sich vor allem eine Heterogenität von Lerngruppen hinsichtlich der Lernkultur, der Leistungsfähigkeit sowie der indivi-duellen Lernwege feststellen. Darüber hinaus legt beispielsweise das Schulgesetz Nordrhein-West-falen im § 1 fest, dass: „Jeder junge Mensch […] ohne Rücksicht auf seine wirtschaftliche Lage und Herkunft und sein Geschlecht ein Recht auf schuli-sche Bildung, Erziehung und individuelle Förde-rung“ hat. Das klingt nach einem hehren Ziel – die Frage ist nur, wie wir dieses Ziel erreichen können?

Ich möchte an dieser Stelle festhalten, dass es nach meiner Einschätzung nicht das pädagogische Allheilmittel gibt, welches wir nur einsetzen müss-ten und damit wären alle (pädagogischen) Pro-bleme gelöst – trotz alledem möchte ich an dieser Stelle die Methode des Stationenlernens präsen-tieren, da diese der Individualisierung Rechnung tragen kann.

Merkmale des Stationenlernens

„‚Lernen an Stationen’ bezeichnet die Arbeit mit ei-nem aus verschiedenen Stationen zusammenge-setzten Lernangebot, das eine übergeordnete Pro-

1 Vgl.: Beck, Ulrich: Risikogesellschaft – Auf dem Weg in eine andere Moderne. Berlin 1986.

2 Vgl.: Pongs, Armin; Gross, Peter: Die Multioptionsgesellschaft. In: Pongs, Armin (Hrsg.): In welcher Gesellschaft leben wir eigentlich? – Gesellschaftskonzepte im Vergleich, Band I. München 1999, S. 105–127.

3 Vgl.: Schulze, Gerhard: Die Erlebnisgesellschaft – Kultursoziologie der Gegenwart. Frankfurt/Main, New York 1992.

blematik differenziert entfaltet.“4 Schon an dieser Stelle wird offensichtlich, dass für diese Methode unterschiedliche Begriffe verwendet werden. Je-dem Terminus wohnt eine (mehr oder weniger) an-ders geartete organisatorische Struktur inne. In den meisten Fällen werden die Begriffe Lernen an Stationen und Stationenlernen synonym verwen-det. Hiervon werden die Lernstraße oder der Lern-zirkel unterschieden. Bei diesen beiden Varianten werden in der Regel eine festgelegte Reihenfolge sowie die Vollständigkeit des Durchlaufs aller Sta-tionen verlangt. Daraus ergibt sich zwangsläufig (rein organisatorisch) auch eine festgelegte Ar-beitszeit an der jeweiligen Station. Eine weitere Unterscheidung bietet die Lerntheke, an welcher sich die Schülerinnen und Schüler mit Material be-dienen können, um anschließend wieder (meist ei-genständig) an ihren regulären Plätzen zu arbei-ten.

Von diesen Formen soll das Lernen an Stationen bzw. das Stationenlernen abgegrenzt werden. Diese Unterrichtsmethode ist hier zu verstehen als ein unterrichtliches Verfahren, bei dem der unter-richtliche Gegenstand so aufgefächert wird, dass die einzelnen Stationen unabhängig voneinander bearbeitet werden können – die Schülerinnen und Schüler können die Reihenfolge der Stationen so-mit eigenständig bestimmen; sie allein entschei-den, wann sie welche Station bearbeiten wollen. Damit arbeiten die Lernenden weitgehend selbst-ständig und eigenverantwortlich (bei meist vorge-gebener Sozialform, welche sich aus der Aufga-benstellung ergeben sollte). Um der Heterogenität Rechung zu tragen, werden neben den Pflichtstati-onen, die von allen bearbeitet werden müssen, Zu-satzstationen angeboten, die nach individuellem Interesse und Leistungsvermögen ausgewählt werden können.

Aufgrund der Auffächerung des Gegenstandes in unterschiedliche Schwerpunkte und der Untertei-lung in Pflicht- und Zusatzstationen, bietet es sich an, bei der Konzeption der einzelnen Stationen un-terschiedliche Lernzugänge zu verwenden. Auch hier wäre eine weitere schülerspezifischere Diffe-renzierung denkbar. Folglich ist es möglich, einen

4 Lange, Dirk: Lernen an Stationen. In: Praxis Politik, Heft 3/2010, S. 4.

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inhaltlichen Schwerpunkt bspw. einmal über einen rein visuellen Text, zweitens mithilfe eines Bildes/einer Karikatur und drittens über ein akustisches Material anzubieten, und die Lernenden dürfen frei wählen, welchen Materialzugang sie verwenden möchten, jedoch unter der Prämisse, einen zu be-arbeiten.

Unter diesen Gesichtpunkten wird offensichtlich, dass das Stationenlernen eine Arbeitsform des of-fenen Unterrichtes ist.

Ursprung des Stationenlernens

Die Idee des Zirkulierens im Lernablauf stammt ur-sprünglich aus dem Sportbereich. Das „circuit trai-ning“, von Morgan und Adamson 1952 in England entwickelt, stellt im Sportbereich den Sportlern un-terschiedliche Übungsstationen zur Verfügung, welche sie der Reihe nach durchlaufen müssen. Der Begriff Lernen an Stationen wurde hingegen von Gabriele Faust-Siehl geprägt, die hierzu ihren gleichnamigen Aufsatz in der Zeitschrift „Grund-schule“ 1989 publizierte.1

Der Ablauf des Stationenlernens

Für die Gestaltung und Konzeption eines Statio-nenlernens ist es entscheidend, dass sich der un-terrichtliche Gegenstand in verschiedene Teilas-pekte aufschlüsseln lässt, die in ihrer zu bearbei-tenden Reihenfolge unabhängig voneinander sind. Damit darf jedoch die abschließende Bündelung nicht unterschlagen werden. Es bietet sich daher an, eine übergeordnete Problematik oder Frage-stellung an den Anfang zu stellen, welche zum Ab-schluss (dieser ist von der methodischen Reflexion zu unterscheiden) erneut aufgegriffen wird.

Der eigentliche Ablauf lässt sich in der Regel in vier Phasen unterteilen: 1. Die thematische und methodische Hinführung – hier wird den Schülerin-nen und Schülern einerseits eine inhaltliche Orien-tierung geboten und andererseits der Ablauf des Stationenlernens erklärt. Sinnvoll ist es an dieser Stelle gemeinsam mit den Lernenden die Vorteile, aber auch mögliche Schwierigkeiten der Methode zu besprechen. Hierauf folgt 2. ein knapper Über-blick über die eigentlichen Stationen – dieser Über-blick sollte ohne Hinweise der Lehrperson aus-kommen. Rein organisatorisch macht es daher Sinn, den jeweiligen Stationen feste (für die Ler-nenden nachvollziehbare) Plätze im Raum zuzu-

1 Vgl.: Faust-Siehl, Gabriele: Lernen an Stationen. In: Grundschule, Heft 3/1989. Braunschweig 1989, S. 22ff.

gestehen. 3. In der sich anschließenden Arbeits-phase erfolgt ein weitgehend selbstständiges Ler-nen an den Stationen. In dieser Phase können – je nach Zeit und Bedarf – Plenumsgespräche statt-finden. Zur weiteren Orientierung während der Arbeitsphase sollten zusätzliche Materialien, wie Laufzettel, Arbeitspässe, Fortschrittslisten o. Ä. verwendet werden. Diese erleichtern den Ablauf und geben den Lernenden eine individuelle Über-sicht über die bereits bearbeiteten und noch zur Verfügung stehenden Stationen. Bei einem sol-chen Laufzettel sollte auch eine Spalte für weitere Kommentare, welche später die Reflexion unter-stützen können, Platz finden. Darüber hinaus kann von den Schülerinnen und Schülern ein Arbeits-journal, ein Portfolio oder auch eine Dokumenten-mappe geführt werden, um Arbeitsergebnisse zu sichern und den Arbeitsprozess reflektierend zu begleiten. Ein zuvor ausgearbeitetes Hilfesystem kann den Ablauf zusätzlich unterstützen, indem Lernende an geeigneter Stelle Hilfe anbieten oder einfordern können. Am Ende schließt sich 4. eine Reflexionsphase (auf inhaltlicher und methodi-scher Ebene) an.

Die Rolle der Lehrkraft beim Stationenlernen

Als allererstes ist die Lehrperson – wie bei fast al-len anderen Unterrichtsmethoden auch – „Organi-sator und Berater von Lernprozessen“2. Sie stellt ein von den Lernenden zu bearbeitendes Material- und Aufgabenangebot zusammen. Der zentrale Unterschied liegt jedoch darin, dass sie sich wäh-rend des eigentlichen Arbeitsprozesses aus der frontalen Position des Darbietens zurückzieht. Die Lehrkraft regt vielmehr an, berät und unterstützt. Dies bietet dem Lehrer/der Lehrerin viel stärker die Möglichkeit, das Lerngeschehen zu beobachten und aus der Diagnose Rückschlüsse für die wei-tere Unterrichtsgestaltung sowie Anregungen für die individuelle Förderung zu geben. „Insgesamt agiert die Lehrperson somit eher im Hintergrund. Als ‚invisible hand‘ strukturiert sie das Lern-geschehen.“3

Vor- und Nachteile des Stationenlernens

Die Schülerinnen und Schüler übernehmen eine viel stärkere Verantwortung für ihren eigenen Lern-prozess und können somit (langfristig!) selbst-

2 Lange, Dirk: Lernen an Stationen. In: Praxis Politik, Heft 3/2010, S. 6.3 Ebenda.

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2. Besonderheiten des Stationenlernens im Fach Mathematik in der Klassenstufe 7


sicherer und eigenständiger im, aber auch außer-halb des Unterrichts agieren. Diese hohe Eigen-verantwortung bei zurückgenommener Anleitung durch die Lehrperson kann jedoch zu einer Über-forderung oder mangelnden Mitarbeit aufgrund der geringen Kontrolle führen. Beidem muss zielge-richtet begegnet werden, sei es durch die schon erwähnten Hilfestellungen oder durch eine (spä-tere) Kontrolle der Ergebnisse.

Eine Stärke des Stationenlernens besteht eindeu-tig in der Individualisierung des Unterrichtsgesche-hens – die Lernenden selbst bestimmen Zeitauf-wand und Abfolge der Stationen. Darüber hinaus können die unterschiedlichen Lerneingangskanäle sowie eine Differenzierung in Schwierigkeitsgrade als Ausgangspunkt des Lernprozesses genommen werden. Die Schülerinnen und Schüler können da-mit die ihnen gerade angemessen erscheinende Darstellungs- und Aufnahmeform erproben, erfah-ren und reflektieren. Damit kann eine heterogene Lerngruppe „inhalts- und lernzielgleich unterrichtet werden, ohne dass die Lernwege vereinheitlicht werden müssen.“1

Stationenlernen – Ein kurzes Fazit

Innerhalb der unterschiedlichen Fachdidaktiken herrscht seit Jahren ein Konsens darüber, dass sich das Lehr-Lern-Angebot der Schule verändern muss. Rein kognitive Wissensvermittlung im Sinne des „Nürnberger Trichters“ ist nicht gefragt und wi-derspricht allen aktuellen Erkenntnissen der Lern-psychologie. Eigenverantwortliches, selbstgestal-tetes und kooperatives Lernen sind die zentralen Ziele der Pädagogik des neuen Jahrtausends. Eine mögliche Variante, diesen Forderungen nachzu-kommen, bietet das Stationenlernen. Warum?

Stationenlernen ermöglicht u. a.:

1. Binnendifferenzierung und individuelle Förde-rung, indem unterschiedliche Schwierigkeits-grade angesetzt werden. Gleichzeitig können die Schülerinnen und Schüler auch ihre Kompe-tenzen im Bereich der Arbeitsorganisation aus-bauen.

2. einen Methoden- und Sozialformenwechsel, so-dass neben Fachkompetenzen auch Sozial-, Methoden- und Handlungskompetenzen geför-dert werden können.

1 Lange, Dirk: Lernen an Stationen. In: Praxis Politik, Heft 3/ 2010, S. 6.

Grundsätzlich – so behaupte ich – lässt sich Sta-tionenlernen in allen Unterrichtsfächern durchfüh-ren. Grundsätzlich eignen sich auch alle Klassen-stufen für Stationenlernen. Trotz alledem sollten – wie bei jeder Unterrichtskonzeption – immer die zu erwartenden Vorteile überwiegen; diese Aussage soll hingegen kein Plädoyer für eine Nichtdurch-führung eines Stationenlernens sein! D. h. jedoch, dass – wie bei jeder Unterrichtsvorbereitung – eine Bedingungsanalyse unerlässlich ist!

Stationenlernen benötigt – rein organisatorisch – als allererstes Platz: Es muss möglich sein, jeder Station einen festen (Arbeits-) Platz zuzuweisen. Die Lehrkraft benötigt darüber hinaus für die Vor-bereitung im ersten Moment mehr Zeit – sie muss alle notwendigen Materialien in ausreichender An-zahl zur Verfügung stellen und das heißt vor allem: Sie benötigt Zeit für das Kopieren! Für den weite-ren Ablauf ist es sinnvoll, Funktionsaufgaben an die Lernenden zu verteilen – so kann bspw. je eine Schülerin oder je ein Schüler für eine Station die Verantwortung übernehmen: Sie/er muss dafür Sorge tragen, dass immer ausreichend Materialien bereit liegen.

Wichtiger jedoch ist die Grundeinstellung der Schülerinnen und Schüler selbst: Viele Lernende wurden regelmäßig mit lehrerzentriertem Frontal-unterricht „unterhalten“ – die Reaktionen der Schü-lerinnen und Schüler werden sehr unterschiedlich sein. Eine Lerngruppe wird sich über mehr Eigen-verantwortung freuen, eine andere wird damit maßlos überfordert sein, eine dritte wird sich ver-weigern. Daher ist es unerlässlich, die Lernenden (schrittweise) an offenere Unterrichtsformen her-anzuführen. Sinnvoll ist es daher, mit kleineren Formen des offenen Unterrichts zu beginnen; dies muss nicht zwingend ausschließlich in einem be-stimmten Fachunterricht erfolgen – der Lernpro-zess einer Klasse sollte auch hier ganzheitlich ver-standen werden! Absprachen zwischen den Kolle-ginnen und Kollegen sind somit auch hier uner-lässlich – letztendlich kann im Gegenzug auch wieder das gesamte Kollegium davon profitieren.


Ein Stationenlernen im Mathematikunterricht muss sich an den Inhalten und dem Aufbau der Bildungs-standards im Fach Mathematik für den mittleren Bildungsabschluss orientieren. Das Einschlagen von individuellen Lösungswegen, das Analysieren

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von Lernergebnissen, das zielgerichtete Anwen-den von Formeln, Rechengesetzen und Rechenre-geln soll stets unter der Prämisse der Nutzbarkeit für das weitere Lernen und dem Einbezug in mög-lichst unterschiedliche kontextbezogene Situatio-nen gesehen werden. Der Schüler soll „auf diese Weise Mathematik als anregendes, nutzbringen-des und kreatives Betätigungsfeld erleben“1.

Dabei sind folgende sechs allgemeine mathemati-sche Kompetenzen Grundlage jeder Planung und unterrichtlichen Aufbereitung. Im Einzelnen han-deln es sich um:

� mathematisch argumentieren � Probleme mathematisch lösen � mathematisch modellieren � mathematische Darstellungen verwenden � mit symbolischen, formalen und technischen

Elementen der Mathematik umgehen � kommunizieren

Diese allgemeinmathematischen Kompetenzen gilt es inhaltsbezogen zu konkretisieren und mit ei-ner der fünf folgenden mathematischen Leitideen in Einklang zu bringen:

� Zahl � Messen � Raum und Form � funktionaler Zusammenhang � Daten und Zufall

Bezogen auf die Adressaten dieses Buches zum Stationenlernen – die Schüler der 7. Klasse – müs-sen folgende inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen Berücksichtigung finden:

� Die Vorstellung von rationalen Zahlen entspre-chend der Verwendungsnotwendigkeit

� Die sichere Anwendung der Grundrechenarten im Zahlbereich der rationalen Zahlen

� Die Umformungsübungen zu Termen und Glei-chungen (Term- und Äquivalenzumformungen)

� Das Nutzen von Rechengesetzen auch zum vorteilhaften Rechnen

1 Bildungsstandards Mathematik für den mittleren Bildungsab-schluss, Carl Link Verlag, S. 6.

� Das sachgerechte Verwenden von Prozent- und einfacher Zinsrechnung

� Das mathematische Lösen von Sachaufgaben und deren Kontrolle

� Das Beschreiben von Lösungswegen und deren Begründung

� Die Selbstformulierung mathematischer Prob-leme und deren sachgerechte Lösung

� Das Erfahren und Anwenden des Grundprinzips Messen, insbesondere der Winkelsummen

� Das Umrechnen von Größen und deren situati-onsgemäße Anwendung

� Die Konstruktion von Dreiecken � Das Berechnen von Flächeninhalt und Umfang

von Dreieck, Parallelogramm und Trapez � Das Beschreiben und Begründen von Eigen-

schaften und Beziehungen geometrischer Ob-jekte

� Das Zeichnen und Konstruieren geometrischer Figuren mit entsprechenden Hilfsmitteln, insbe-sondere Netze und Schrägbilder

� Das Untersuchen der Lösbarkeit von Konstrukti-onsaufgaben

� Das Auswerten von Darstellungen, statistischer Erhebungen

� Das Arbeiten mit dem Koordinatensystem � Das Erfassen von Daten und deren grafische

Darstellung � Das Interpretieren von Daten unter der Verwen-

dung von Kerngrößen � Das Bestimmen von einstufigen Zufallsexperi-

menten/Wahrscheinlichkeiten

Dabei muss sich der unterrichtliche Gegenstand jeweils in mehrere voneinander unabhängige Teil-aspekte aufgliedern lassen. Dies ist auch im Fach Mathematik möglich, obwohl häufig Themen auf den vorherigen aufbauen bzw. ohne Kenntnis der erarbeiteten Rechenregeln nicht lösbar sind. Inner-halb eines Themengebietes ist die Reihenfolge der strukturellen Erarbeitung in vielen Fragestellungen austauschbar und von daher effektiv mithilfe des Stationenlernens umzusetzen.

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II – Praxis: Materialbeiträge


II – Praxis: Materialbeiträge

In diesem Band werden sechs ausgearbeitete Sta-tionenlernen präsentiert. All diese Stationenlernen ergeben sich i. d. R. aus den Unterrichtsvorgaben für die Klassenstufe 7. Alle Stationenlernen sind so konzipiert, dass diese ohne weitere Vorbereitung im Unterricht der weiterführenden Schulen einge-setzt werden können – trotz alledem sollte eine ad-äquate Bedingungsanalyse niemals ausbleiben, denn letztendlich gleicht keine Lerngruppe einer anderen!

Die hier präsentierten Stationenlernen sind immer in Pflichtstationen (Station 1, 2, 3 …) und fakulta-tive Zusatzstationen (Zusatzstation A, B …) unter-teilt – die zu bearbeitende Reihenfolge ist durch die Schülerinnen und Schüler (!) frei wählbar. Die So-zialformen sind bewusst offen gehalten worden, d. h. i. d. R. finden sich auf den Aufgabenblättern keine konkreten Hinweise zur geforderten Grup-pengröße.

Somit können die Lernenden auch hier frei wählen, ob sie die Aufgaben alleine, mit einem Partner oder innerhalb einer Gruppe bearbeiten wollen – davon abgesehen sollte jedoch keine Gruppe größer als vier Personen sein, da eine größere Mitgliederzahl den Arbeitsprozess i. d. R. eher behindert. Einige wenige Stationen sind jedoch auch so konzipiert worden, dass mindestens eine Partnerarbeit sinn-voll ist.

Zur Bearbeitung sollte für jede Schülerin bzw. je-den Schüler ein Materialblatt bereitliegen – die Aufgabenblätter hingegen sind nur vor Ort (am Stationenarbeitsplatz) auszulegen. Die Laufzettel dienen als Übersicht für die Schülerinnen und Schüler – hier können diese abhaken, welche Sta-tionen sie wann bearbeitet haben und welche ih-nen somit noch fehlen, gleichzeitig erhalten sie hierbei einen kleinen inhaltlichen Überblick über alle Stationen – andererseits kann die Lehrkraft diese als erste Hinweise zur Arbeitsleistung der

Lernenden nutzen. Darüber hinaus können die Schülerinnen und Schüler auf ihrem Laufzettel auch weiterführende Hinweise und Kommentare zum Stationenlernen an sich, zur Arbeitsgestal-tung o. Ä. vermerken – nach meiner Erfahrung wird diese Möglichkeit eher selten genutzt, kann dann jedoch sehr aufschlussreich sein! Unverzichtbar für jedes Stationenlernen ist eine abschließende Bündelung zum Wiederholen und Bündeln der zentralen Lerninhalte – auch hierfür wird jeweils eine Idee, welche sich aus den einzelnen Statio-nen ergibt, präsentiert. Mithilfe dieser Bündelung sollen noch einmal einzelne Ergebnisse rekapitu-liert, angewendet und überprüft werden. In diesem Band werden die folgenden Stationenlernen prä-sentiert:

1. Zuordnung und Prozentrechnen2. Rationale Zahlen3. Terme und Gleichungen4. Geometrische Figuren5. Flächen und Körper6. Einführung in die Stochastik

Jedes dieser Stationenlernen beginnt mit einem Laufzettel.

Anschließend werden die jeweiligen Stationen (Pflichtstationen und Zusatzstationen) mit jeweils einem Aufgabenblatt sowie einem Materialblatt präsentiert. Zu guter Letzt wird das Stationenler-nen mit einem Aufgaben- und Materialblatt für die Bündelungsaufgabe abgerundet.

Sinnvoll ist es, wenn jede Station einen festen Platz im Raum erhält. Dies erleichtert es vor allem den Schülerinnen und Schülern, sich zu orientie-ren. Um dies noch mehr zu vereinfachen, haben sich Stationsschilder bewährt. Auf diesen sollte mindestens die Stationsnummer vermerkt werden.

Fakultativ könnte auch der Stationsname vermerkt werden.

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Terme und Gleichungen


Laufzettelzum Stationenlernen Terme und Gleichungen

Kommentare:

Station 1

Terme und Variablen

Station 2

Terme vereinfachenund ordnen

Station 3

Terme mit Klammern

Station 4

Gleichungen durch Umformen lösen I

Station 5

Gleichungen durch Umformen lösen II

Station 6

Sachaufgaben I: Gleichungen

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7

Station 1 Aufgabe

Terme und Variablen

Aufgabe:Übe den Umgang mit Termen und Variablen.

1. Setze die x-Werte (Werte der Variablen) in den Term 16x – 11 ein und berechne den Wert

des Terms. Übernimm die Tabelle in dein Heft.

2. Berechne die Terme für I) x = 1 und y = 2 sowie für II) x = –1 und y = –2 in deinem Heft und

achte auf die Regel „Punkt- vor Strichrechnung“.

3. Berechne den Wert des Terms und vervollständige die Tabelle. Übernimm diese in dein Heft.

Station 2 Aufgabe

Terme vereinfachen und ordnen

Aufgabe:Übe das Vereinfachen und Ordnen von Termen.

1. Ordne zuerst und fasse die Terme in deinem Heft zusammen.

2. Ordne zuerst und fasse die Terme in deinem Heft zusammen. Setze im zusammengefassten

Term, wo möglich die Werte x = –1, y = 1 und z = 0 ein und berechne den Wert des Terms.

3. Welche Terme sind gleichwertig? Ordne, vereinfache und vergleiche in deinem Heft.

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8

Station 3 Aufgabe

Terme mit Klammern

Aufgabe:Übe das Ausklammern/Ausmultiplizieren von Termen.

1. Klammere den größtmöglichen Faktor aus und schreibe anschließend als Klammerausdruck.

Übernimm die Tabelle in dein Heft.

2. Suche den größten gemeinsamen Teiler und klammere diesen aus. Schreibe die Aufgaben

in dein Heft.

3. Löse die Klammern in deinem Heft auf.

4. Suche den Fehler, beschreibe ihn und korrigiere in deinem Heft.

Station 4 Aufgabe


Aufgabe:Übe das Äquivalenzumformen von Gleichungen nach der Variablen x.

1. Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen in deinem Heft.


Mache zusätzlich eine Probe, indem du dein Ergebnis in die Gleichung für x einsetzt.

3. Bearbeite die folgende Anwendungsaufgabe in deinem Heft. Überlege dir eine Vorgehens-

weise und beschreibe schriftlich.

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Station 5 Aufgabe


Aufgabe:Übe das Äquivalenzumformen von schwierigeren Gleichungen nach der Variablen x.





Achte darauf, dass du zuerst die Klammern auflöst/ausmultiplizierst.

3. Suche dir einen Partner. Wer hat zuerst die richtige Lösung der drei Aufgaben?

Überprüft eure Lösungen mit einer Probe.

Station 6 Aufgabe


Aufgabe:Übe das Bearbeiten von Sachaufgaben.

Bearbeite die Sachaufgaben 1.–5. nach dem folgenden Schema:

� Gegeben ist jeweils ein Sachverhalt oder eine Frage. � Formuliere, wenn nötig, eine passende Frage. � Stelle eine Gleichung auf und löse diese nach x auf. � Formuliere einen Antwortsatz.

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Zusatzstation A Augabe

Ungleichungen

Aufgabe:Übe das Lösen von Ungleichungen.

1. Löse die folgenden Ungleichungen in deinem Heft. Mache eine Probe, indem du zwei

verschiedene Zahlen deiner Wahl für x einsetzt, die die Ungleichung erfüllen und gib L

in aufzählender Form an.

2. Löse die folgenden Ungleichungen in deinem Heft und gib L in aufzählender Form an.

Wie ändert sich die Lösungsmenge, wenn du die Vergleichsoperatoren vertauschst?

Aus ≤ wird ≥ usw.

3. Stelle für die folgenden Aufgaben in deinem Heft jeweils eine Ungleichung auf und gib L

in aufzählender Form an.

Zusatzstation B Aufgabe


Aufgabe:Übe das Vereinfachen von Produkttermen.

1. Vereinfache die folgenden Produktterme in deinem Heft.

2. Vereinfache die folgenden Produktterme in deinem Heft.

3. Welche Vereinfachung ist richtig, welche falsch?

Unterstreiche die Fehler auf dem Materialblatt und korrigiere die Fehler.

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11

Zusatzstation C Aufgabe

Sachaufgaben II

Aufgabe:Übe das Lösen von schwierigeren Sachaufgaben.

Bearbeite die Sachaufgaben 1.–5. nach dem folgenden Schema:

� Gegeben ist jeweils ein Sachverhalt oder eine Frage. � Formuliere, wenn nötig, eine passende Frage. � Stelle eine Gleichung auf und löse diese nach x auf. � Formuliere einen Antwortsatz.

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12Thomas Röser: Terme und Gleichungen© Persen Verlag

Station 1 Material

Terme und Variablen

Rechenausdrücke, wie z. B. 2 · 3 – 5, nennt man Terme. In einem Term kann anstatt einer

Zahl auch ein Buchstabe als Platzhalter stehen, den man als Unbekannte oder Variable

bezeichnet. Für diese Variable können Zahlen eingesetzt werden.

Zwischen Variablen sowie zwischen Zahlen und Variablen wird oft das „Malzeichen“ weg-

gelassen.

Beispiel: 2 · x + 3 = 2x + 3. x bedeutet 1x, also 1 · x. Soll nun für die Variable x der Wert –4

eingetragen werden erhält man: 2 · (–4) + 3 = –8 + 3 = –5.

Bemerkung: Ein Platzhalter ist meist ein Buchstabe aus dem Alphabet. Bei mehreren Platz-

haltern in einem Term werden nachfolgende Buchstaben gewählt.

1. Variable Term Wert des Terms

x 16x – 11

1 16 · (1) – 11 5

4

0,5

2,5

–9

4,6

–0,25

2. a) x – 4y b) –x + y c) –x + 3y d) 5 35

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e) 12x – 13y f) –3x –10y g) xx – yy h) 12,2 – (–x) + y

3.Term x = 3 x = –3 x = 2,5 x = – 1

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5

ms

0,5

2

4

16

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6x – 1

m

m Alphab

uchstaben

Varia

et. Bei mehre

gewäh


Station 2 Material

Terme vereinfachen und ordnen

Beim Vereinfachen von Termen werden verschiedene Variablen zunächst alphabetisch

geordnet, z. B. b + c + a geordnet: a + b + c.

Vielfache gleicher Variablen werden zusammengefasst, z. B.

a + c + b + c + a + b = a + a + b + b + c + c = 2a + 2b + 2c = 2 · (a + b + c) (Distributivgesetz).

Beispiel:0,5x + 7y + 2x – 3y – 6x + y = 0,5x + 2x – 6x + 7y – 3y + y (geordnet)

= –3,5x + 5y (zusammengefasst)

1. a) 7x + 6y – 3x – 2x + 3y

b) 13x + 5y – 6 – 21x + 3 – 5y

c) 11,65y + 3,45 – 4,7x – 5,1y + 34

d) 9,8z + 1,3y – 0,45z – 0,9y + 1,3x – 2,3z + y

e) 9,25z – 3,45y + 6 + 7,8y + 5 45

z

f) 4,5x + 5,5y – 3,5x – 6,7y – (–4z + 3y + 2z) + x

2. a) 4x + 2y + 2x – 3y b) 18

x + 38

y + 2x – 3y

c) 4,5x + 8 – 3,2x – 5,6y + 2,4x – 8,25 d) 2y + 2z + 2x – 0,4z – 0,8z – 1,2x

e) 120

x + 4,5y – 0,05x – 5y + 0,125x f) 4x – (5x + 2y + 1,3z – 11x – 1,75y – 0,25z)

3.

13a + 12b + 7a – b – 25a – 11b 0,6a – 0,9b + 0,8b – 0,5a

–2a – 1,8b1

10 a – 1

10 b –5a b

0,25b – 0,75a + 34

b + 0,75a 3c + 6b – 2,25c – 2a – 0,75c – 7,8b

) 120

x +

3,2x –

4,5y – 0,05x

5,6y

5

z + 3 z) + xf) 4,5

2

5z – 3,45y

x + 5,5y – 3

5,1y

– 0,45z – 0,9y + 1

6 + 7,8

+ 34

x – 2


Station 3 Material

Terme mit Klammern

Beim Ausklammern schreibt man gemeinsame Faktoren vor die Klammer, wobei der

größtmögliche Faktor bzw. größte gemeinsame Teiler ausgeklammert wird. Die restlichen

Glieder setzt man in die Klammer, z. B.: 6a – 3b = 3 · (2a – b).

Für das Ausmultiplizieren von Klammern gilt das bisher bekannte Distributivgesetz, z. B.:

3 · (4x – 5y) = 3 · 4x – 3 · 5y = 12x – 15y.

Beim Addieren und Subtrahieren gelten die Regeln der rationalen Zahlen, z. B.:

a + (b + c) = a + b + c; a – (b + c) = a – b – c; a – (b – c) = a – b + c

1. Term Zahl zum Ausklammern Klammerausdruck

a) 16x + 32y 16 16 · (x + 2y)

b) 33x – 11y 11

c) 14x + 8y 2

d) 21u – 14v + 28w 7

e) 10u + 100v + 1 000w

f) 5a + 60b – 50c + 10d

2. a) 12x + 4y b) 22x – 11y c) 25x – 30y

d) 27x + 9y – 18z e) 36u – 12v – 20w + 24z f) 2,5a + 5b – 17,5c

g) 10 14

m – 30 34

n + 20 12

o

3. a) 2 · (x + y + z) b) 7 · (a + 3b) c) 8 · (4x – 9)

d) (2u + 4,25v – 23

w) · 6 e) –2x + (3y – 2z) f) 5w – (–4x + 3y – 2z)

g) –a + (3b – 5c + 6d – 4a)

4. a) 7 · (2a – 4b) = 14a – 28b

b) (2x + y) · 5 = 10x + 10y

c) (4a – 2b) – (3a + 5b) = a + 3b

d) (21,25u + 0,6v) – (–10 34

u – 910

v + 3z) = 32u + 1,5v + 3z

a) 2 · (x

(2u + 4,2

+ y + z)

+ 20 12

o

b) 22x –

) 36u – 12v –

y

20w

2. a) 12x

d) 27

+ 4y

1 000w

– 50c + 10d

1

2

7

n Kla

z. B

mmera


Station 4 Material


Man spricht von einer Gleichung, wenn der Rechenausdruck auf beiden Seiten, denselben Wert

hat, z. B.: 3 · 10 = 50 – 20, denn 3 · 10 = 30 und 50 – 20 = 30. Doch wie verfahren wir, wenn anstatt

Zahlen Variablen eingesetzt sind, z. B. 3x = 33?

Die Vorgehensweise zur Lösung einer Gleichung nennen wir Äquivalenzumformung. Zuerst

werden, wenn nötig, Rechenausdrücke auf beiden Seiten zusammengefasst. Danach wird die

Gleichung schrittweise so lange umgeformt, bis die gesuchte Variable allein auf einer Seite steht.

Dabei muss man auf beiden Seiten der Gleichung denselben Term/dieselbe Zahl addieren oder

subtrahieren. Weiterhin muss man beide Seiten der Gleichung mit demselben Term/derselben

Zahl (außer Null) multiplizieren oder dividieren. Die Lösung(en) einer Gleichung fasst man in einer

Lösungsmenge L = { } zusammen.

Beispiel:

3x – 6 = 27 Es lassen sich keine Rechenausdrücke zusammenfassen,

also muss nun die Gleichung nach x aufgelöst werden.

3x – 6 + 6 = 27 + 6 Beide Seiten mit 6 addieren.

3x = 33

3x : 3 = 33 : 3 Beide Seiten durch 3 dividieren.

x = 11 Darstellung in der Lösungsmenge: L = {11}

3 · (11) – 6 = 27 Für die Probe den Wert von x in die Gleichung einsetzen.

1. a) x + 8 = 12 b) x – 9 = 11 c) x + 0,75 = 1

d) 15,8 – x = 6,3 e) 5x = 60 f) 9x = 117

g) x12

= 156 h) 14

x = 19

2. a) 2x + 5 = 15 b) 3x + 4 = 25 c) 10x + 3 = 8

d) 12x – 2 = 1 e) 4 + x = 22,5 f) 6x – 11 = 31

g) 11,1 = x – 9 h) 45

+ 2x = 2 25

3. In einer Kiste befinden sich 13 Minigolfbälle, die bis auf einen Ball alle gleich schwer sind.

Mit wie vielen Wiegevorgängen ist der leichtere Minigolfball spätestens herauszufinden?

g) x12

=

6,3

56

obe

x –

ngsm

Wert von x in

n.

enge: L = {

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1}

werden.

x 11

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Seiten mit 6 a

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ben Ter

eichung fas


Station 5 Material


Um Gleichungen durch Umformen zu lösen, werden zuerst Rechenausdrücke auf beiden Seiten

zusammengefasst und Klammern ausmultipliziert. Danach wird die Gleichung schrittweise um-

geformt, bis die gesuchte Variable allein auf einer Seite steht. Dabei muss man auf beiden Seiten

der Gleichung denselben Term/dieselbe Zahl addieren oder subtrahieren, multiplizieren oder

dividieren. Bei Klammern werden diese nach den bekannten Gesetzen/Regeln aufgelöst. Die

Lösung(en) einer Gleichung fasst man in einer Lösungsmenge L = { } zusammen.

Beispiel:

3 · (x + 12) = 116 – x Klammer ausmultiplizieren:

3x + 36 = 116 – x

3x + 36 + x = 116 – x + x Auf beiden Seiten x addieren

4x + 36 = 116

4x + 36 – 36 = 116 – 36 Beide Seiten mit 36 subtrahieren

4x = 80

4x : 4 = 80 : 4 Beide Seiten durch 4 dividieren,

x = 20 Darstellung in der Lösungsmenge: L = {20}

3 · (20 + 12) = 116 – 20 Für die Probe den Wert von x in die Gleichung einsetzen.

1. a) 2x + 6x = 16 b) 3x + 4x + 2 = 16

c) 5x – x + 4 – 2x + 3 = 19 – 2 d) 5x – 22 + 8x + 17 = 19x – 23 + 3x

e) 1,9x – 1 12

+ 2,1x = – 3,7 + 6x + 0,2

2. a) 2x + (x – 3) = 6 b) (–x + 3) · 5 = 25x

c) 5x – (4x + 22) = 0 d) (10 + 6x) · 4 = 12 · (–20 + 4x) – 8

e) x – (3 – 5x) + 7 12

= 15 12

– (2 – 3x) f) 6 · (2x – 12) = 8 + 2x

3. a) 3 · (11 + x) = 93 b) 5x – (–4x – 6) = – 4x + 32

c) 5 · (3x – 4) = 7 · (3 + 2x)

2x + (x

– 1

2x

22,1x

+ 3 = 1

= – 3,7

b

Wert von

b)

menge

n x in die G

L = {20

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e: L {20}

3 · (20

1. a) 2

12) = 116 –

Beid

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e Seiten m

Seite

Seite

36 su

addieren

bt h


Station 6 Material


Sachverhalt: Yvonne und Katrin haben zusammen 358 € gespart. Yvonne hat 18 € mehr gespart als Katrin.

Frage: Wie viel Geld haben sie jeweils gespart?

Rechnung: Die Summe, die Yvonne gespart hat, nennen wir x. Da Yvonne 18 € mehr gespart hat als Katrin, nennen wir die Summe von Katrin x – 18. Die Summe von Yvonne und die Summe von Katrin sind zusammen 358 €, also x + x – 18 = 358.2x – 18 = 358 aufgelöst ergibt x = 188.

Antwort: Yvonne hat 188 € gespart, Katrin hat 188 € – 18 € = 170 € gespart.

Bemerkung: Umgekehrt kann man auch Katrin x und Yvonne x + 18 setzen.

1. Ein Paket wiegt 850 g. Die Verpackung wiegt 45 g. Wie viel g wiegt der Paketinhalt?

2. Fabian will sich für 699,79 € einen neuen Laptop kaufen. 423 € hat er schon gespart.

3. In der Schule sagt Florian zu einer Mitschülerin: „Ich habe vom 8-fachen einer Zahl die Zahl 45

subtrahiert und als Ergebnis 59 erhalten“.

4. Eine Metallstab von 168 cm Länge wird so in vier Stücke zersägt, dass jedes Stück 4 cm

länger als das vorherige ist. Wie lang sind die einzelnen Stücke?

5. Ein Hase, ein Hamster und eine Maus kosten zusammen 60 €. Wie viel kostet jedes Tier,

wenn der Hamster 20 € billiger ist als der Hase und der Hase 25 € teurer als die Maus?

in Hase

wenn de

vorh

, ein Hamste

Hamste

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Zusatzstation A Material

Ungleichungen

In einer Ungleichung haben die Terme, im Gegensatz zu einer Gleichung, auf beiden Seiten

unterschiedliche Werte, der Lösungsgang hingegeben bleibt der gleiche. Wird eine Unglei-

chung mit einer negativen Zahl multipliziert oder dividiert, so wird das Ungleichheitszeichen

umgekehrt. „<“ oder „>“ bedeutet „kleiner“ bzw. „größer“, „≤“ oder „≥“ bedeutet „kleiner oder

gleich“ bzw. „größer oder gleich“.

Beispiel:

5x + 11 < 29 – 4x | –11

5x < 18 – 4x | +4x

9x < 18 | : 9

x < 2

Die Ungleichung ist für alle x erfüllt,

die kleiner 2 sind.

L = {1, 0, –1, –2 …}

2x – 5 ≥ 4x + 9 | +5

2x ≥ 4x + 14 | –4x

– 2x ≥ 14 | : (–2)

x ≤ –7 (Ungleichheitszeichen umgedreht)

Die Ungleichung ist für alle x erfüllt, die kleiner

–7 sind und für –7 selbst.

L = {–7, –8 , –9, –10 …}

Bemerkung: Die Lösungsmenge wird hier in aufzählender Form mit ganzen Zahlen angege-

ben.

1. a) 3x + 4 > 13 b) 5x – 11 ≥ 14

c) 10,5x – 4 < 59 d) 34

x + 16 ≤ 28

e) – 3x + 3 < 5x + 27 f) 11x – (2x – 20) ≥ 11x – 8

g) (3 – 5x) + (11 + 6x) > 8 h) 5x – (7x – 10) ≤ – (21 + 10x) + 87

i) 5 – (8 – 8x) > 25 – (6 + 3x)

2. a) 8 · (6 + x) ≥ 32 b) –10 > (5 + x) · 5

c) 6x – 6 < (3x – 7) · 6 d) 13 12

– (3x + 1) + 12

≤ 8 · (x + 3)

e) (2x – 3) · 0,8 ≥ 0,6 · (2x + 4)

3. a) Subtrahierst du vom 3-fachen einer Zahl 18, so erhälst du eine negative Zahl.

b) Addierst du zu 13 eine Zahl, erhälst du mehr als 33.

c) Verdoppelst du eine Zahl, erhälst du mehr als 8.

8 · (6 + x

1 +

8 – 8x) > 25 –

6x) >

(6 +

f

b) 5x –

d) x + 1

)

11 ≥ 14

anzen ahlen ngerm m

kleiner

1. a) 3x

c) 10,

e) –

+ 4 > 13

4 <

ngsmenge wird hier in a

–

L =

7

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sind und fü

–7 –8

| : (–

Ungleichheit

ng ist fü

x

–2)

szeic


Zusatzstation B Material


Man kann Produktterme vereinfachen, indem Faktoren geordnet und zusammengefasst

werden.

Beispiel:

4 · x · y · x · y · 2 = 4 · 2 · x · x · y · y = 8 · x2 · y2 = 8x2y2 oder

(–4x)2 = (–4x) · (–4x) = (–4) · (–4) · x · x = 16 · x2 = 16x2

1. a) 3 · x · y · 4 · y · x b) (–5) · x · y · (–5) · y

c) (– 12 ) · m · o · 1

2 · o · n d) a · b · c · d · b · a · c · d

e) 5,5 · u · 6,3 · u · v · w · u · v

2. a) (–2y)2 b) (–xyz)2 c) (5,5ab)2 d) (– 23

x)2

e) (–6abcd)2 f) (–6x)3 g) (4uvw)3 h) (abcde)3

i) (–0,5mno)3 · m · n

3. a) (8abc)2 = 64a2b2c2

b) – (5xy)2 = 25x2y2

c) 0,5 · x · y · 0,7 · x · 2 · y = 0,7x2yx · y · 0,7 · x

y2

2 · y

b)

4uvw)

d) (– 2

i) (–

3. a) (8

abcd)2

0,5m 3 · m

b) (–xyz

f) (–6

(–5) · x

) a · b · c ·

y · (–5) · y

b


Zusatzstation C Material

Sachaufgaben II

Beispiel:

Sachverhalt: Ein Vater ist jetzt dreimal so alt wie sein 12-jähriger Sohn.

Frage: In wie vielen Jahren wird er doppelt so alt sein wie sein Sohn?

Rechnung: Der Vater ist dreimal so alt (36 Jahre), der Sohn ist 12 Jahre. Nach wie vielen Jahren bedeutet 36 + x = 12 + x und da der Vater dann doppelt so alt ist wie der Sohn wird das Alter vom Sohn in x Jahren mit 2 multipliziert oder das Alter vom Vater in x Jahren durch 2 dividiert.

Gleichung: (36 + x) = 2 · (12 + x). Auflösen liefert x = 12.

Antwort: In 12 Jahren wird der Vater doppelt so alt sein wie sein Sohn.

1. Für eine Klassenfahrt muss die Klasse 7b insgesamt 4 800 € zahlen. Durch Spenden gibt

ein Förderverein 250 € hinzu. Wie viel muss jeder der 25 Schüler noch zahlen?

2. In der Schule sagt Emma zu einem Mitschüler: „Wenn ich die Summe aus einer Zahl und 3

mit 9 multipliziere, erhalte ich als Ergebnis die Summe aus 83 und der Zahl“.

3. Die Grundstücke von Familie A, Familie B und Familie C haben zusammen eine Fläche von

2 000 m2. Familie A hat eine doppelt so große Fläche wie Familie B, die Fläche von Familie C

ist um 250 m2 kleiner als die Fläche von Familie A.

4. Ein Rechteck hat einen Umfang von 30 cm. Die eine Seite ist 4 cm länger als die andere.

Welche Seitenlängen hat das Dreieck?

5. Ein Vater ist jetzt dreimal so alt wie sein Sohn. Vor vier Jahren war der Vater viermal so alt

wie der Sohn. Wie alt sind beide jetzt?

Ein Rech

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Abschließende Bündelung des Stationenlernens Material

Aufgaben zur Wiederholung

Wiederholung der Stationen 1–6 sowie der Zusatzstationen A–C

1. Klammere den größten gemeinsamen Teiler/Faktor aus.

Term Zahl zum Ausklammern Klammerausdruck

a) 7a – 14b

b) 12x – 3y + 15z

c) 36u + 16v + 44w – 40x

d) 10m – (4n + 12o) + 20p

2. Löse nach x auf, überprüfe das Ergebnis mit einer Probe und stelle L dar.

a) 7x + 10 = 80 b) 2x – 6 = 12

c) 16 = 5x + 6 d) 2,5x + 3 = 15 12

e) 0 = 12

x – 9 + 25

x f) 1 + 10x = 8x + 9

g) 0,75x + 5,5 = 5 25

+ 45

x

3. Löse nach x auf, überprüfe das Ergebnis mit einer Probe und stelle L dar.

a) 7x – (2x – 5) = 55 b) –4 + (3x – 6) = 29

c) 11 – (x + 6) = –5 + 4x d) 2 · (7x + 3) = 5x – (x – 11)

e) 2 · (12 + 3x) = 7 · (6x – 3) + 9 f) 10 · ( 12

– 2x) = –5x + (x + 1)

g) 4,2x + 2 · (1,4x – 1,5) = – (3x – 7)

4. Erstelle eine Gleichung und löse nach x auf.

Sören denkt sich eine Zahl, addiert 9 zu ihr, multipliziert die erhaltene Summe mit 5,

subtrahiert anschließend noch 20 und erhält als Ergebnis die Zahl 50.

5. Erstelle eine Gleichung und löse nach x auf.

Bauer Fridolin hat Schweine und Hühner. Wie viele Tiere von jeder Sorte hat er,

wenn diese zusammen 23 Köpfe und 84 Beine haben?

Hinweis: Beachte, dass Schweine 4 Beine, Hühner 2 Beine haben.

6. Löse die Ungleichung in a) (gib L an), vereinfache die Produktterme in b), c), d).

a) –(2x + 1) · 9 + 7 · (4x – 3) ≥ (x – 9) · 2 + 12 b) (–16y)2

c) 10 · a · b · c · (– 14 ) · a · b · a d) (–9xyz)3

stelle

Sören d

btrahiert a

,4x

eine Gleichun

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x –

– 1,5)

g u

7)

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b) –4 + (3

d) 2

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x – 6

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8x +

3. Löse

a) 7x

c) 11

e)

ach x auf, ü

– (2x – 5) =

= 55

+ 45

x

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s mit

b

d)

er Probe un

) 2x – 6 =

d stelle L


Terme und Gleichungen – Lösungen

Station 1: Terme und Variablen

1. Variable Term Wert des Terms

x 16x – 11

1 16 · (1) – 11 5

4 16 · (4) – 11 53

0,5 16 · (0,5) – 11 –3

2,5 16 · (2,5) – 11 29

–9 16 · (–9) – 11 –155

4,6 16 · (4,6) – 11 62,6

–0,25 16 · (–0,25) – 11 –15

2. I) x = 1, y = 2

a) x – 4y = 1 – 4 · 2 = –7 b) –x + y = –1 + 2 = 1

c) –x + 3y = –1 + 3 · 2 = 5 d) 5 35

+ 7x – 7y = 5 35

+ 7 · 1 – 7 · 2 = –1,4

e) 12x – 13y = 12 · 1 – 13 · 2 = –14 f) –3x – 10y = –3 · 1 – 10 · 2 = –23

g) xx – yy = 1 · 1 – 2 · 2 = –3

h) 12,2 – (–x) + y = 12,2 – (–1) + 2 = 12,2 + 1 + 2 = 15,2

II) x = –1, y = –2

a) x – 4y = –1 – 4 · (–2) = –1 + 8 = 7

b) –x + y = – (–1) + (–2) = 1 – 2 = –1

c) –x + 3y = – (–1) + 3 · (–2) = 1 – 6 = –5

d) 5 35

+ 7x – 7y = 5 35

+ 7 · (–1) – 7 · –2) = 5 35

– 7 + 14 = 12,6

e) 12x – 13y = 12 · (–1) – 13 · (–2) = –12 + 26 = 14

f) –3x – 10y = –3 · (–1) – 10 · (–2) = 3 + 20 = 23

g) xx – yy = (–1) · (–1) – (–2) · (–2) = 1 – 4 = –3

h) 12,2 – (–x) + y = 12,2 – (– (–1)) + (–2) = 12,2 – 1 – 2 = 9,2

x +

c) –x +

5 35

+ 7x

2

– 4

y = – (–1) + (

y = – (–1) +

(–2) =

–2) =

2 = 12,2 +

7

) –3x

+ 2 = 15,2

+ 7x – 7

– 10y = –3

+ 2

= 5 5

· 1 –

+ 7 · 1 –

1 +

e)

g) xx

h) 12,

y

x – 13y = 12

– yy = 1 · 1

= –7

+ 3 · 2 = 5

1 – 13

16 ·

6 · (–0

) – 11

25) – 11

29

–1


3. Term x = 3 x = – 3 x = 2,5 x = – 3

5

7x – 27 · 3 – 2

= 19

7 · (–3) – 2

= –23

7 · 2,5 – 2

= 15,5

7 · (– 14 ) – 2

= –3,75

–3,5x + 7,5–3,5 · 3 + 7,5

= –3

–3,5 · (–3) + 7,5

= 18

–3,5 · 2,5 + 7,5

= –1,25

–3,5 · (– 14 ) + 7,5

= 8,375

–5 25

– x–5 2

5 – 3

= –8,4

–5 25

– (–3)

= –2,4

–5 25

– 2,5 =

–7,9

–5 25

– (– 14 )

= –5,15

–8,3 – 2,5x–8,3 – 2,5 · 3

= –15,8

–8,3 – 2,5 · (–3)

= –0,8

–8,3 – 2,5 · 2,5

= –14,55

–8,3 – 2,5 · (– 14 )

= –7,675

Station 2: Terme vereinfachen und ordnen

1. a) 7x + 6y – 3x – 2x + 3y = 7x – 3x – 2x + 6y + 3y = 2x + 9y

b) 13x + 5y – 6 – 21x + 3 – 5y = 13x – 21x + 5y – 5y – 6 + 3 = –8x – 3

c) 11,65y + 3,45 – 4,7x – 5,1y + 34

= –4,7x + 11,65y – 5,1y + 3,45 + 34

= –4,7x + 6,55y + 4,2

d) 9,8z + 1,3y – 0,45z – 0,9y + 1,3x – 2,3z + y = 1,3x + 1,3y – 0,9y + y + 9,8z – 0,45z – 2,3z

= 1,3x + 1,4y + 7,05z

e) 9,25z – 3,45y + 6 + 7,8y + 5 45

z = –3,45y + 7,8y + 9,25z + 5 45

z + 6 = 4,35y + 15,05z + 6

f) 4,5x + 5,5y – 3,5x – 6,7y – (–4z + 3y + 2z) + x = 4,5x + 5,5y – 3,5x – 6,7y + 4z – 3y – 2z + x

= 4,5x – 3,5x + x + 5,5y – 6,7y – 3y + 4z – 2z = 2x – 4,2y + 2z

2. a) 4x + 2y + 2x – 3y = 4x + 2x + 2y – 3y = 6x – y

einsetzen: 6 · (–1) – 1 = –6 – 1 = –7

b) 18

x + 38

y + 2x – 3y = 18

x + 2x + 38

y – 3y = 178 x – 21

8 y einsetzen: 17

8 · (–1) – 21

8 · 1 = – 19

4 c) 4,5x + 8 – 3,2x – 5,6y + 2,4x – 8,25 = 4,5x – 3,2x + 2,4x – 5,6y + 8 – 8,25 = 3,7x – 5,6y – 0,25

einsetzen: 3,7 · (–1) – 5,6 · 1 – 0,25 = –9,55

d) 2y + 2z + 2x – 0,4z – 0,8z – 1,2x = 2x – 1,2x + 2y + 2z – 0,4 z – 0,8z = 0,8x + 2y + 0,8z

einsetzen: 0,8 · (–1) + 2 · 1 + 0,8*0 = 1,2

e) 120 x + 4,5y – 0,05x – 5y + 0,125x = 1

20 x – 0,05x + 0,125x + 4,5y – 5y = 0,125x – 0,5 y

einsetzen: 0,125 · (–1) – 0,5 · 1 = –0,625

f) 4x – (5x + 2y + 1,3z – 11x – 1,75y – 0,25z) = 4x – 5x – 2y – 1,3z + 11x + 1,75y + 0,25z

= 4x – 5x + 11x – 2y + 1,75y – 1,3z + 0,25z = 10x – 0,25y – 1,05z

einsetzen: 10 · (–1) – 0,25 · 1 – 1,05 · 0 = –10,25

c) 4,5x

einsetze

2y + 2

2x –17 · (–etzen

8 – 3,2x – 5,

n: 3 7

) – 1 =

3y =

) – 28

y – 3y

2y – 3y = 6x –

= –73

+ x = 4,5

– 2z = 2x – 4

y

,25z + 55

x + 5,5y –

2y + 2

4 z + 6

5x

= –4

y + 9

4 3

7x + 6,55y +

– 0,45z – 2– 0,9

2

f) 4

= 4

2. a) 4

z – 3,45y

x + 5,5y – 3

,5x – 3,5x +

5,1y

5z – 0,9y +

y + 7,05z

+ 6 + 7,8y + 5 4

6

13x – 21x

+ 34

= –4,7x +

3x – 2,3z

+ 6y +

+ 5y –

11,65

3y = 2x + 9y

5y – 6 +

,5

5


3. 13a + 12b + 7a – b – 25a – 11b = –5a; 0,6a – 0,9b + 0,8b – 0,5a = 110 a – 1

10 b –2a – 1,8b = 3c + 6b – 2,25c – 2a – 0,75c – 7,8b; b = 0,25b – 0,75a + 3

4 b + 0,75a

Station 3: Terme mit Klammern


a) 16x + 32y 16 16 · (x + 2y)

b) 33x – 11y 11 11 · (3x – y)

c) 14x + 8y 2 2 · (7x + 4y)

d) 21u – 14v + 28w 7 7 · (3u – 2v + 4w)

e) 10u + 100v + 1000w 10 10 · (u + 10v + 100w)

f) 5a + 60b – 50c + 10d 5 5 · (a + 12b – 10c + 2d)

2. a) 12x + 4y = 4 · (3x + y)

b) 22x – 11y = 11 · (2x – y)

c) 25x – 30y = 5 · (5x – 6y)

d) 27x + 9y – 18z = 9 · (3x + y – 2z)

e) 36u – 12v – 20w + 24z = 4 · (9u – 3v – 5w + 6z)

f) 2,5a + 5b – 17,5c = 2,5 · (a+ 2b – 7c)

g) 10 14

m – 30 34

n + 20 12

o = 10,25 · (m – 3n + 2o)

3. a) 2 · (x + y + z) = 2x + 2y + 2z

b) 7 · (a + 3b) = 7a + 21b

c) 8 · (4x – 9) = 32x – 72

d) (2u + 4,25v – 23

w) · 6 = 12u + 25,5v – 4w

e) –2x + (3y – 2z) = –2x +3y – 2z

f) 5w – (–4x + 3y – 2z) = 5w + 4x – 3y + 2z

g) –a + (3b – 5c + 6d – 4a) = – 5a + 3b – 5c + 6d

4. a) 7 · (2a – 4b) = 14a – 28b

b) (2x +y) · 5 = 10x + 5y

c) (4a – 2b) – (3a + 5b) = a – 7b

d) (21,25u + 0,6v) – (–10 34

u – 910

v + 3z) = 32u + 1,5v – 3z

(2u +

e) –2x + (3

5w – (–

– 9) = 32x

4,25v – 23

w)

y – 2z

a + 21b

– 72

6 =

5 · ( 3n + 2o)

)

g) 10

3. a) 2

a + 5b – 17

14

m – 30 34

)

9 · (3x + y –

20w + 24z = 4 · (

c = 2,5

2z)

5

2 ·

7 · (3u –

10 · (u + 10v

· (a + 12b


Station 4: Gleichungen durch Umformen lösen I

1. a) x + 8 = 12 � x = 4; L = {4} b) x – 9 = 11 � x = 20; L = {20}

c) x + 0,75 = 1 � x = 0,25; L = {0,25} d) 15,8 – x = 6,3 � x = 9,5; L = {9,5}

e) 5x = 60 � x = 12; L = {12} f) 9x = 117 � x = 13; L = {13}

g) x12

= 156 � x = 1 872; L = {1 872} h) 14

x = 19 � x = 76; L = {76}

2. a) 2x + 5 = 15 � 2x = 10 � x = 5; L = {5}; Probe: 2 · 5 + 5 = 15

b) 3x + 4 = 25 � 3x = 21 � x = 7; L = {7}; Probe: 3 · 7 + 4 = 25

c) 10x + 3 = 8 � 10x = 5 � x = 0,5; L = {0,5}; Probe: 10 · 0,5 + 3 = 8

d) 12x – 2 = 1 � 12x = 3 � x = 0,25; L = {0,25}; Probe: 12 · 0,25 – 2 = 1

e) 4 + x = 22,5 � x = 18,5; L = {18,5}; Probe: 4 + 18,5 = 22,5

f) 6x – 11 = 31 � 6x = 42 � x = 7; L = {7} ; Probe: 6 · 7 – 11 = 31

g) 11,1 = x – 9 � x = 20,1; L = {20,1}; Probe: 11,1 = 20,1 – 9

h) 45

+ 2x = 2 25

� 2x = 85

� x = 45

; L = { 45 }; Probe: 4

5 + 2 · 4

5 = 2 2

5

3. Wähle 12 Bälle (6 Bälle auf jeder Seite) aus und wiege sie. Sind sie gleich schwer, ist der

13. Ball der leichtere Ball. Ist dies nicht der Fall siehst du auf welcher Seite der leichtere Ball

liegt. Nimm die leichtere Seite und teile die 6 Bälle zum Auswiegen in 2 mal 3 Bälle. Du siehst

auf welcher Seite der leichtere Ball liegt. Nimm von der leichteren Seite je einen Ball und

wiege aus. Bei gleichem Gewicht ist der dritte Ball der leichtere, ansonsten siehst du es auf

der Waage. Nach spätestens 3 Wiegevorgängen hast du den leichteren Ball gefunden.

Station 5: Gleichungen durch Umformen lösen II

1. a) 2x + 6x = 16 � 8x = 16 � x = 2; L = {2}; Probe: 2 · 2 + 6 · 2 = 16; 16 = 16

b) 3x + 4x + 2 = 16 � 7x = 14 � x = 2; L = {2}; Probe: 3 · 2 + 4 · 2 + 2 = 16; 16 = 16

c) 5x – x + 4 – 2x + 3 = 19 – 2 � 2x + 7 = 17 � 2x = 10 � x = 5; L = {5};

Probe: 5 · 5 – 5 + 4 – 2 · 5 + 3 = 19 – 2; 17 = 17

d) 5x – 22 + 8x + 17 = 19x – 23 + 3x � 13x – 5 = 22x – 23 � 18 = 9x � 2 = x; L = {2};

Probe: 5 · 2 – 22 + 8 · 2 + 17 = 19 · 2 – 23 + 3 · 2; 21 = 21

e) 1,9x – 1 12

+ 2,1x = –3,7 + 6x + 0,2 � 4x – 1,5 = 6x – 3,5 � 2 = 2x � 1 = x; L = {1};

Probe: 1,9 · 1 – 1 12

+ 2,1 · 1 = –3,7 + 6 · 1 + 0,2; 2,5 = 2,5

2. a) 2x + (x – 3) = 6 � 3x – 3 = 6 � 3x = 9 � x = 3; L = {3};

Probe: 2 · 3 + (3 – 3) = 6; 6 = 6

b) (–x + 3) · 5 = 25x � –5x + 15 = 25x � 15 = 30x � x = 12

; L = { 12 };

Probe: (– 12

+ 3) · 5 = 25 · 12

; 12,5 = 12,5

c) 5x – (4x + 22) = 0 � x – 22 = 0 � x = 22; L = {22};

Probe: 5 · 22 – (4 · 22 + 22) = 0; 0 = 0

Prob

d) 5x – 22

Probe:

= 1

x + 4 – 2x +

e: 5 · 5 – 5 + 4

+ 8x +

= 16

6� 7

3 = 19

h Umform

2; L = {2};

x =

n hast

en lösen

leichte

du den leic

eren S

, anso

htere

Seite

n 2 m

eite je eine

ere ansonsten si

h schwer, ist d

der leichtere

3 Bälle. Du

n Ba

wieg

r

ll

der

Station

1

s. Bei g

aage. Nach

st d

ere Seite u

ite der leichtere B

leichem Gewich

päteste

er Seite) au

es nicht der F

d teile die 6

lieg

{ 45 };

und w

all si

20,1

be: 4 + 2 ·

ege

11 = 31

– 9 4 = 2 2

5


d) (10 + 6x) · 4 = 12 · (–20 + 4x) – 8 � 40 + 24x = –248 + 48x � 288 = 24x � x = 12; L = {12};

Probe: (10 + 6 · 12) · 4 = 12 · (–20 + 4 · 12) – 8; 328 = 328

e) x – (3 – 5x) + 7 12

= 15 12

– (2 – 3x) � 6x + 4,5 = 13,5 + 3x � 3x = 9 � x = 3; L = {3};

Probe: 3 – (3 – 5 · 3) + 7 12

= 15 12

– (2 – 3 · 3); 22,5 = 22,5

f) 6 · (2x – 12) = 8 + 2x � 12x – 72 = 8 + 2x � 10x = 80 � x = 8; L = {8};

Probe: 6 · (2 · 8 – 12) = 8 + 2 · 8; 24 = 24

3. a) 3 · (11 + x) = 93 � 33 + 3x = 93 � 3x = 60 � x = 20; L = {20};

Probe: 3 · (11 + 20) = 3 · 31 = 93

b) 5x – (–4x – 6) = –4x + 32 � 9x + 6 = –4x + 32 � 13x = 26 � x = 2; L = {2};

Probe: 5 · 2 – (–4 · 2 – 6) = –4 · 2 + 32; 24 = 24

c) 5 · (3x – 4) = 7 · (3 + 2x) � 15x – 20 = 21 + 14x � x = 41; L = {41};

Probe: 5 · (3 · 41 – 4) = 7 · (3 + 2 · 41); 595 = 595

Station 6: Sachaufgaben I: Gleichungen

1. Frage: Wie viel g wiegt der Paketinhalt?

Rechnung: 45 g + x = 850 g | – 45 g

x = 805 g

Antwort: Der Paketinhalt wiegt 805 g.

2. Frage: Wie viel muss Fabian noch sparen, um sich den Laptop leisten zu können?

Rechnung: 423 € + x = 699,79 € | – 423 €

x = 276,79 €

Antwort: Fabian muss noch 276,79 € sparen.

3. Frage: Welche Zahl hatte Florian sich ausgedacht?

Rechnung: 8x – 45 = 59 | + 45

8x = 104 | : 8

x = 13

Antwort: Florian hatte sich die Zahl 13 ausgedacht.

4. Frage: Wie lang sind die einzelnen Stücke?

Überlegung: 1 Stück: x

2 Stück: x + 4 (4 cm länger als Stück 1)

3 Stück: x + 4 + 4 = x + 8 (8 cm länger als Stück 1)

4 Stück: x + 4 + 4 + 4 = x + 12 (12 cm länger als Stück 1)

echnu

twor

Welc

ng: x – 45

8x =

mu

he Za

= 5

n

79 € | – 4

276,79 € s

sparen, um s

€

ch den 2. Frage

Rechn

A

: Wi

ng:

g

= 850 g

= 805 g

Der Paketinhalt w

der Paketinh

– 45

unge

alt?

L = {2

};


Rechnung: x + x + 4 + x + 8 + x + 12 = 168

4x + 24 = 168 | – 24

4x = 144 | : 4

x = 36

Antwort: Das erste Stück ist 36 cm, das zweite 40 cm, das dritte 44 cm und das vierte

48 cm lang.

5. Frage: Wie viel kostet jedes Tier, wenn der Hamster 20 € billiger ist als der Hase und

der Hase 25 € teurer als die Maus?

Überlegung: Hase: x

Hamster: x – 20 (20 € billiger als Hase)

Maus: x – 25 (25 € billiger als Hase)

Rechnung: x + x – 20 + x – 25 = 60

3x – 45 = 60 | + 45

3x = 105 | : 3

x = 35

Antwort: Der Hase kostet 35 €, ein Hamster 15 € und eine Maus 10 €.

Zusatzstation A: Ungleichungen

1. a) 3x + 4 > 13 � 3x > 9 � x > 3; L = {4,5,6,7 …}

Probe 1: x = 4; 4 > 3 Probe 2: x = 10; 10 > 3

b) 5x – 11 ≥ 14 � 5x ≥ 25 � x ≥ 5; L = {5,6,7,8 …}

Probe 1: x = 5; 5 = 5 Probe 2: x = 12; 12 > 5

c) 10,5x – 4 < 59 � 10,5x < 63 � x < 6; L = {5,4,3,2 …}

Probe 1: x = 5; 5 < 6 Probe 2: x = 1; 1 < 6

d) 34

x + 16 ≤ 28 �34

x ≤ 12 � x ≤ 16; L = {16,15,14,13 …}

Probe 1: x = 16; 16 = 16 Probe 2: x = 10; 10 < 16

e) –3x + 3 < 5x + 27 � –24 < 8x � x > –3 ; L = {–2,–1,0,1 …}

Probe 1: x = –2; –2 > –3 Probe 2: x = 0; 0 > –3

f) 11x – (2x – 20) ≥ 11x – 8 � 9x + 20 ≥ 11x – 8 � 28 ≥ 2x � x ≤ 14; L = {14,13,12,11 …}

Probe 1: x = 14; 14 = 14 Probe 2: x = 11; 11 < 14

g) (3 – 5x) + (11 + 6x) > 8 � 14 + x > 8 � x > –6; L = {–5,–4,–3,–2 …}

Probe 1: x = –5; –5 > –6 Probe 2: –2 > –6

h) 5x – (7x – 10) ≤ – (21 + 10x) + 87 � –2x + 10 ≤ 66 – 10x � 8x ≤ 56 � x ≤ 7; L = {7,6,5,4 …}

Probe 1: x = 7; 7 = 7 Probe 2: x = 3; 3 < 7

i) 5 – (8 – 8x) > 25 – (6 + 3x) � –3 + 8x > 19 – 3x � 11x > 22 � x > 2; L = {3,4,5,6 …}

Probe 1: x = 3; 3 > 2 Probe 2: x = 8; 8 > 2

e) –3x +

Probe 1

11x – (2

28 �

be 1: = 16;

3 < 5x + 27 �

: x = –

< 6

�34

x ≤

6 = 1

5; L

� x < 6; L = {5

16

Probe

6,7,8 …}

Probe 2: x

,4,3

2: x = 10; 10 > 3

0 €.

b) 5x

Pro

c) 10

> 13

obe 1: x = 4

– 11 ≥ 14 �

1

ngleichu

� 3x > 9 � x > 3

4 > 3

ein

ngen

Hams er 15 € und


2. a) 8 · (6 + x) ≥ 32 � 48 + 8x ≥ 32 � 8x ≥ –16 � x ≥ –2; L = {–2,–1,0,1 …}

b) –10 > (5 + x) · 5 � –10 > 25 + 5x � x < –7; L = {–8,–9,–10,–11 …}

c) 6x – 6 < (3x – 7) · 6 � 6x – 6 < 18x – 42 � 36 < 12x � x > 3; L = {4,5,6,7 …}

d) 13 12

– (3x + 1) + 12

≤ 8 · (x + 3) � –3x + 13 ≤ 8x + 24 � –11 ≤ 11x � x ≥ –1;

L = {–1,0,1,2 …}

e) (2x – 3) · 0,8 ≥ 0,6 · (2x + 4) � 1,6x – 2,4 ≥ 1,2x + 2,4 � 0,4x ≥ 4,8 � x ≥ 12;

L = {12,13,14,15 ...}

Nach dem Vertauschen der Vergleichsoperatoren:

a) 8 · (6 + x) ≤ 32 � 48 + 8x ≤ 32 � 8x ≤ –16 � x ≤ –2; L = {–2,–3,–4,–5 …}

b) –10 < (5 + x) · 5 � –10 < 25 + 5x � x > –7; L = {–6,–5,–4,–3 …}

c) 6x – 6 > (3x – 7) · 6 � 6x – 6 > 18x – 42 � 36 > 12x � x < 3; L = {2,1,0,–1 …}

d) 13 12

– (3x + 1) + 12

≥ 8 · (x + 3) � –3x + 13 ≥ 8x + 24 � –11 ≥ 11x � x ≤ –1;

L = {–1,–2,–3,–4 …}

e) (2x – 3) · 0,8 ≤ 0,6 · (2x + 4) � 1,6x – 2,4 ≤ 1,2x + 2,4 � 0,4x ≤ 4,8 � x ≤ 12;

L = {12,11,10,9 …}

3. a) 3x –18 < 0 � 3x < 18 � x < 6 L = {5, 4, 3, 2 …}

b) 13 + x > 33 � x > 20 L = {21, 22, 23, 24 …}

c) 2x > 8 � x > 4 L = {5, 6, 7, 8 …}

Zusatzstation B: Produktterme vereinfachen1. a) 3 · x · y · 4 · y · x = 12x2y2

b) (–5) · x · y · (–5) · y = 25xy2

c) (– 12

) · m · o · 12

· o · n = -0,25mno2

d) a · b · c · d · b · a · c · d = a2b2c2d2

e) 5,5 · u · 6,3 · u · v · w · u · v = 34,65u3v2w

2. a) (–2y)2 = 4y2 b) (–xyz)2 = x2y2z2 c) (5,5ab)2 = 30,25a2b2

d) (– 23

x)2 = 49

x2 e) (–6abcd)2 = 36a2b2c2d2 f) (–6x)3 = – 216x3

g) (4uvw)3 = 64u3v3w3 h) (abcde)3 = a3b3c3d3e3

i) (–0,5mno)3 · m · n = -0,125 m4n4o3

3. a) Richtig, jeder Ausdruck in der Klammer wird quadriert.

b) Falsch, das Minus vor der Klammer wird nicht quadriert und bleibt daher erhalten.

Nur die Ausdrücke in der Klammer werden quadriert. –(5xy)2 = –25x2y2

c) Falsch, denn auch y muss quadriert werden, da es in dem Ausdruck zweimal vorkommt.

0,5 · x · y · 0,7 · x · 2 · y = 0,7x2y2

,5 ·

(–2y)2 =

(– 2

2· b · a

u · 6,3 · u · v

· o · n =

· c · d

w · u

me ve

no2

nfachen

7, 8 …

24 …

…}

2

satzs1. a) 3 ·

b)

� x >

tation B

8� x <

x > 20

> 4

6

– 2,4 ≤ ,2x + 2,4 �

� –11 ≥ 11

0,4x ≤

–5 …}

{2,1,0,–1 …

x� x ≤ –1


Zusatzstation C: Sachaufgaben II

1. Frage: Wie viel muss jeder der 25 Schüler noch zahlen?

Rechnung: 25 · x = 4 800 – 250

25x = 4 550 | : 25

x = 182

Antwort: Jeder Schüler muss noch 182 € zahlen.

2. Frage: Welche Zahl hat Emma sich ausgedacht?

Rechnung: 9 · (x + 3) = x + 83 | Klammer auflösen

9x + 27 = x + 83 | - x | - 27

8x = 56

x = 7

Antwort: Emma hat sich die Zahl 7 ausgedacht.

3. Frage: Wie groß sind die Grundstücke der einzelnen Familien?

Überlegung: A: x

B: 12

x (Hälfte von A)

C: x – 250 (250 m2 weniger als A)

Rechnung: x + 12

x + x – 250 = 2 000 | x zusammenfassen | + 250

2,5x = 2 250 | : 2,5

x = 900

Antwort: Familie A hat 900 m2 Fläche, Familie B 450 m2 und Familie C 650 m2.

4. Frage: Welche Seitenlängen hat das Rechteck?

Überlegung: Seite a: x

Seite b: x + 4 (b ist z. B. um 4 cm länger als a)

Rechnung: 2x + 2 · (x+4) = 30 | Klammer auflösen

2x + 2x + 8 = 30 | x zusammenfassen | – 8

4x = 22 | : 4

x = 5,5

Antwort: Das Rechteck hat die Seitenlängen a = 5,5 cm und b = 9,5 cm

(oder umgekehrt).

twor

Sei

ng: 2x + 2

2x + 2x

4x =

x

e b: x

· (x+4

+ 8

F

gen hat das Re

z. B

, Familie B 4

echt

0 m2 un

n | + 250

Antw

4. Frage

Ü

x =

ort: Fa

0 (25

2x + x – 250

2,5x = 2 250

00

lfte von A)

m2 weniger a

2 000

stücke er einzelnen Famil


5. Frage: Wie alt sind beide jetzt?

Überlegung: Alter heute: Alter vor vier Jahren:

Vater : 3x 3x – 4 x = 3 · 12 = 36 Jahre

Sohn: x 4 · (x – 4) x = 12 Jahre

Rechnung: 3x – 4 = 4 · (x – 4) | Klammer auflösen

3x – 4 = 4x – 16 | – 3x | + 16

12 = x

Antwort: Heute ist der Vater 36 Jahre und der Sohn 12 Jahre.

Abschließende Bündelung des Stationenlernens


7a – 14b 7 7 · (a – 2b)

12x – 3y + 15z 3 3 · (4x – y + 5z)

36u + 16v + 44w – 40x 4 4 · (9u + 4v + 11w – 10x)

10m – (4n + 12o) + 20p 2 2 · (5m – 2n – 6o + 10p)

2. a) 7x + 10 = 80 � 7x = 70 � x = 10; L = {10}; Probe: 7 · 10 + 10 = 80; 80 = 80

b) 2x – 6 = 12 � 2x = 18 � x = 9; L = {9}; Probe: 2 · 9 – 6 = 12; 12 = 12

c) 16 = 5x + 6 � 10 = 5x � x = 2; L = {2}; Probe: 16 = 5 · 2 + 6; 16 = 16

d) 2,5x + 3 = 15 12

� 2,5x = 12,5 � x = 5; L = {5}; Probe: 2,5 · 5 + 3 = 15,5; 15,5 = 15,5

e) 0 = 12

x – 9 + 25

x � 9 = 910

x � x = 10; L = {10}; Probe: 0 = 12

· 10 – 9 + 25

· 10; 0 = 0

f) 1 + 10x = 8x + 9 � 2x = 8 � x = 4; L= {4}; Probe: 1 + 10 · 4 = 8 · 4 + 9; 41 = 41

g) 0,75x + 5,5 = 5 25

+ 45

x � 0,1 = 0,05x � x = 2; L = {2};

Probe: 0,75 · 2 + 5,5 = 5 25

+ 45

· 2; 7 = 7

3. a) 7x – (2x – 5) = 55 � 5x + 5 = 55 � x = 10; L = {10};

Probe: 7 · 10 – (2 · 10 – 5) = 55; 70 – 15 = 55; 55 = 55

b) –4 + (3x – 6) = 29 � –10 + 3x = 29 � 3x = 39 � x = 13; L = {13};

Probe: –4 + (3 · 13 – 6) = 29; –4 + 33 = 29; 29 = 29

c) 11 – (x + 6) = – 5 + 4x � 5 – x = –5 + 4x � 10 = 5x � x = 2; L = {2};

Probe: 11 – (2 + 6) = –5 + 4 · 2; 3 = 3

d) 2 · (7x + 3) = 5x – (x – 11) � 14x + 6 = 4x + 11 � 10x = 5 � x = 0,5; L = {0,5};

Probe: 2 · (7 · 0,5 + 3) = 5 · 0,5 – (0,5 – 11); 13 = 13

e) 2 · (12 + 3x) = 7 · (6x – 3) + 9 � 24 + 6x = 42x – 12 � 36 = 36x � x = 1; L = {1};

Probe: 2 · (12 + 3 · 1) = 7 · (6 · 1 – 3 ) + 9; 30 = 30

7x –

Probe:

–4 + (3x

P

2

(2x – 5) = 55

7 · 10 –

5 x

+ 5,5 =

� 5

� x = 1

x = 4; L= {4

= 0,05x� x =

· 2;

{5}; Pro

= {10}; Probe

Prob

5 · 2 +

be: 2,5 · 5

0 = 1

2; 12

; 16 =

3 =

; 80 =

= 12

+ 6; 16 = 16

– 2

80 10

12

10x)

10p)

d) 2

e) 0 =

f) 1 +

g)

5x + 6

x + 3 = 15 12

12

x – 9 + 2

� x

= 18 � x =

� 10 = 5x� x =

� 2,5

= 10; L = {10

; L =

P

4 ·

Klammera

7 · (a – 2

(4


f) 10 · ( 12

– 2x) = – 5x + (x + 1) � 5 – 20x = –4x + 1 � 4 = 16x � x = 0,25; L = {0,25};

Probe: 10 · (0,5 – 2 · 0,25) = –5 · 0,25 + (0,25 + 1); 0 = 0

g) 4,2x + 2 · (1,4x – 1,5) = – (3x – 7) � 7x – 3 = –3x + 7 � 10x = 10 � x = 1; L = {1};

Probe: 4,2 · 1 + 2 · (1,4 · 1 – 1,5) = –(3 · 1 – 7); 4 = 4

4. Frage: Welche Zahl x hatte er sich ausgedacht?

Überlegung: Eine gedachte Zahl addiert mit 9 (x + 9), dessen Summe mit 5 multipliziert

5 · (x + 9), anschließend 20 subtrahiert 5 · (x + 9) – 20 und als Ergebnis 50

erhalten, ergibt die Gleichung 5 · (x + 9) – 20 = 50.

Rechnung: 5 · (x + 9) – 20 = 50 | Klammer auflösen

5x + 45 – 20 = 50 | Zusammenfassen | – 25

5x = 25 | : 5

x = 5.

Antwort: Sören hatte sich die Zahl 5 gedacht.

5. Frage: Wie viele Tiere von jeder Sorte hat er, wenn diese zusammen 23 Köpfe und

84 Beine haben?

Überlegung: Schweine: 4x (4 Beine multipliziert mit der Anzahl der Schweine)

Hühner: 2 · (23 – x) (2 Beine multipliziert mit der Gesamtanzahl der Tiere

(23 Köpfe = 23 Tiere) minus die Anzahl der Schweine)

Rechnung: 4x + 2 · (23 – x ) = 84

4x + 46 – 2x = 84

2x = 38

x = 19

Antwort: Bauer Fridolin hat 19 Schweine und 4 Hühner.

6. a) – (2x + 1) · 9 + 7 · (4x – 3) ≥ (x – 9) · 2 +12

– 18 x – 9 + 28x – 21 ≥ 2x – 6

10x – 30 ≥ 2x – 6

– 24 ≥ – 8x

x ≥ 3

L = {3,4,5,6…}

b) (– 16y)2 = (– 16y) · (– 16y)

= (– 16) · (– 16) · y · y

= 256y2

c) 10 · a · b · c · (– 14 ) · a · b · a = –2 1

2 a3b2c

d) (–9xyz)3 = –729x3y3z3

L

9 +

– 18 x – 9 +

10

7 · (4x

28x –

x

19 Schweine

– 9)

und

nus d

hl d

esamt

e Anzahl d

der Schweine)

zahl der Tie

er S

mit de

e und

Antw

ung: 4x

4x

2x

x

er: 2 · (23 –

+ 2 · (23 – x )

6 – 2

(4 Bein

x) (2 Bein

Sorte

e mu

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Thomas Röser Terme und Gleichungen