TM I

Aufgabe 1.1

Gegeben sind die Spaltenvektoren

a =

3

−1

7

, b =

2

6

−2

, c =

−3

5

cz

, d =

3

4

0

.

Man berechne

a) die Summe a + b ,

b) das Skalarprodukt a · b ,

c) die Koordinate cz fur den Fall, dass a ⊥ c ist,

d) das Kreuzprodukt a × b ,

e) das Spatprodukt(

a b c)

, wenn cz = 4 gesetzt wird,

f) die Betrage von a und d.

Aufgabe 1.2

Fur ein beliebiges Dreieck, gegeben durch die Seiten a und b sowie den von diesen

eingeschlossenen Winkel γ, laßt sich die dritte Seite bekanntlich nach dem Cosinus-Satz

c2 = a2 + b2 − 2 ab cos γ

berechnen. Man leite diesen entsprechend

c2 = ‖−→c ‖2 = −→c ·−→c = . . .

auf vektoriellem Wege her.

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Aufgabe 1.3

Welchen Bedingungen mussen die Vektoren −→u und −→v genugen, damit sie dieRelationen

a) ‖−→u + −→v ‖ > ‖−→u −−→v ‖ ,

b) ‖−→u + −→v ‖ = ‖−→u −−→v ‖ ,

c) ‖−→u + −→v ‖ < ‖−→u −−→v ‖ ,

erfullen (Herleitung)?

Aufgabe 1.4

Betrachtet wird eine (schiefe) Ebene im E3. Diese sei durch den Normalenein-heitsvektor n sowie den Punkt P mit Ortsvektor rP festgelegt. Gesucht wird eineGleichung vom Typ

z = f(x, y) ,

welche die Ebene mithilfe von kartesischen Koordinaten beschreibt. Es sei

n =1

3

−2

1

2

, rP =

1

1

−1

.

Aufgabe 1.5

Im E2 seien die Eckpunkte A, B, C eines Dreiecks durch die Ortsvektoren

a =

(

0

1

)

, b =

(

6

0

)

, c =

(

4

5

)

gegeben. Gesucht ist die Flache des Dreiecks.

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Aufgabe 2.1

Auf einen Leitungsmast wirken vier Krafte F1, F2, F3 und F4 in der horizontalenEbene:

Gesucht ist die auf den Mast wirkende resultierende Kraft nach Betrag und Rich-tung.

Aufgabe 2.2

Ein Schiff wird von drei Schleppern gezogen. Schlepper 1 und 2 ziehen mit der KraftF1 = 8,78kN bzw. F2 = 7,93 kN. Mit welcher Kraft F3 und welchem Winkel αmuss Schlepper 3 ziehen, damit am Schiff eine resultierende Kraft R = 15 kN inx-Richtung wirkt?

Aufgabe 2.3

Am Lasthaken eines Krans ziehen zwei Seile mit den Kraften F1 = 7,8kN undF2 = 10,2 kN. Die zugehorigen Winkel betragen α = 30° und β = 50°.

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a) Welchen Betrag hat die auf den Haken ausgeubte Zugkraft?

b) Wirkt diese in lotrechter Richtung?

Aufgabe 2.4

Eine Last Q = 12 kN soll durch ein Seil gehalten werden, dessen Tragfahigkeit mit25 kN angegeben wird. Wie groß darf der Winkel α sein, damit das Seil nicht reißt?

Aufgabe 2.5

Eine Lampe der Eigengewichtskraft G = 120 N soll an zwei Seilen 1 und 2 soaufgehangt werden, dass die Maße a = h = 2,20m eingehalten werden, und dieKraft im Seil 1 den Wert S1 = 100 N annimmt. Wie groß ist ℓ?

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Aufgabe 3.1

Zwei Krafte F1 = 15 N und F2 = 30 N liegen in der x, y-Ebene und greifen an denPunkten(

x1

y1

)

=

(

1,7

3,2

)

m und

(

x2

y2

)

=

(

3,9

2,5

)

m

an. Man berechne das resultierende Moment, wenn beide Krafte im Ursprung 0zusammengefaßt werden sollen.

Aufgabe 3.2

Die an einem Rahmen angreifenden Krafte F1 = F2 = F und F3 = 2F sind imPunkt P zusammenzufassen.

Wie groß ist das resultierende Moment?

Aufgabe 3.3

Die an einem Rahmen unter dem Winkel α angreifende Kraft ist in den Punkt Azu verschieben.

Welches Moment entsteht dabei?

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Aufgabe 3.4

Welches Moment erzeugen die Krafte F1, F2, F3 bezuglich Punkt P

Aufgabe 3.5

An einem Quader greifen die Krafte F1 = F3 = F , F2 = F4 = 3F und F5 = Fin der gezeigten Weise an. Die angreifenden Krafte sind im Ursprung 0 sowie imPunkt P zusammmenzufassen.

Man berechne (jeweils) den resultierenden Kraftvektor und den zugehorigen Mo-mentenvektor.

Aufgabe 3.6

Ein Radfahrer ubt auf die Tretkurbel seines Fahrrades die Kraft F aus. Dabeiwird eine gleichformige (d.h. unbeschleunigte) Bewegung vorausgesetzt, so daßdas Problem als (quasi-)statisch angesehen werden kann. Gesucht ist

a) das Moment MTret an der Tretkurbelwelle,

b) die Zugkraft Z in der Kette,

c) das auf das Hinterrad wirkende Moment MHR ,

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d) die Vortriebskraft FVor.

gegeben: F, d1, d2, ℓ1, ℓ2

Aufgabe 3.7

Ein Kragbalken wird durch die Krafte F1 = 2F und F2 = 3F wie folgt belastet:

Gesucht sind alle Lagerreaktionen in Lager A.

gegeben: F, ℓ

Aufgabe 3.8

Mit einem Hakenschlussel soll auf eine Wellenmutter das Moment Fℓ aufgebrachtwerden.

Welche Reaktionskrafte treten an den Stellen A und B auf? Die Beruhrung in Bsei als reibungsfrei betrachtet.

gegeben: F, d, ℓ

Aufgabe 3.9

Ein Guterwagen steht auf einer Rampe an einem (gut gefetteten) Prellbock. Welche

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Krafte wirken auf Rader und Puffer?

gegeben: G, h, ℓ, α

Aufgabe 3.10

Fur das folgende System berechne man die Lagerreaktionen an den Lagern A undB sowie die Zwischenreaktionen am Gelenk G:

gegeben: F, a

Aufgabe 3.11

Fur das folgende System berechne man die Lagerreaktionen an den Lagern A undB sowie die Zwischenreaktionen am Gelenk G:

gegeben: F, a

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Aufgabe 3.12

Eine in A drehbare Falltur mit Eigengewichtskraft G und Lange ℓ wird durch einSeil gehalten.

Man ermittle die Seilkraft S in Abhangigkeit des Winkels α, d.h. S = S(α).

Aufgabe 3.13

Fur das folgende System berechne man die Lagerreaktionen in A, B und C sowiedie Stabkraft S.

gegeben: F, ℓ, α

Aufgabe 3.14

Die gezeigte Robervalsche Waage ist gewissermaßen die”Basiskonstruktion“ aller

Kaufmannswaagen, die nach dem Abgleichprinzip funktionieren.

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Es seien die Masse mG des aufgelegten Gewichtes sowie die Langen a, b, sW, sG

gegeben. Zu berechnen sind samtliche Lager- und Zwischenreaktionen sowie dieMasse des Wagegutes mW .

In der Praxis sind aber die Langen sW und sG fur gewohnlich nicht bekannt,und es muß allgemein von sW 6= sG ausgegangen werden. Warum laßt sich dieseKonstruktion aber dennoch als Waage verwenden?

Aufgabe 3.15

Auf den dargestellten Grubenausbau wirken vier Einzelkrafte F1 = F4 = 15 kN,F2 = 40 kN, F3 = 50 kN. Es ist a = 1,2 m.

Man berechne die Lager- und Gelenkreaktionen.

Aufgabe 3.16

Gegeben ist die folgende Bruckenkonstruktion:

Man berechne Lager- und Stabkrafte fur gegebenes F, a.

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Aufgabe 3.17

Man ermittle Lager- und Stabkrafte fur das nachfolgend gezeigte Fachwerk. AlleStabe haben die Lange a.

Hinweis: sin[60°] =√

32 , cos[60°] = 1

2

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Aufgabe 4.1

Ein umklappbares Stauwehr (Hohe h, Breite b, Masse m) wird von einem Stab(Eigengewicht vernachlassigbar) gestutzt.

Man berechne die Lagerreaktionen an A sowie die Stabkraft S.

Aufgabe 4.2

Ein Balken auf zwei Stutzen mit Festlager bei x = 0 und Loslager bei x = ℓ wirddurch die Streckenlast

q(x) = q0

[

a4

(x

ℓ

)4

+ a3

(x

ℓ

)3

+ a2

(x

ℓ

)2

+ a1

(x

ℓ

)

+ a0

]

, ∀ x ∈ [0, ℓ ]

belastet. Man berechne die Lagerreaktionen sowie den Schwerpunkt der Strecken-last.

gegeben: q0 = 20 N/m, ℓ = 12 ma0 = 30, a1 = −53, a2 = 200, a3 = −177, a4 = 26

0 2 4 6 8 10 12x @mD

200

400

600

800

q@N�mD

Aufgabe 4.3

Auf einem Speicherboden sei die Flachenlast durch

p(x, y) = p1 cos[

ax

ℓ+ b

]

sin[

cy

L+ d

]

+ p0 fur ∀ x ∈ [0, ℓ ] , y ∈ [0, L ]

auf der Rechteckflache A = ℓL gegeben. Man berechne die Gesamtlast sowie dieLage des Schwerpunktes.

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gegeben: p0 = 10 kN/m2, p1 = 3 kN/m2, ℓ = 20 m, L = 30 ma = 3 , b = 1 , c = −3,6 , d = −1

0

10

20

x @mD

0

10

20

30

y @mD

8

10

12

p @kN�m^2D

0

10

x @mD

Aufgabe 4.4

Fur den gegebenen Querschnitt berechne man die Koordinate yS des Flachen-schwerpunktes.

gegeben: a, b, c, d

Aufgabe 4.5

Fur den gegebenen Querschnitt berechne man die Koordinate xS des Flachen-schwerpunktes.

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(Die Langenangaben sind – wie in techn. Zeichnungen ublich – in mm gegeben.)

Aufgabe 4.6

Man berechne die Lage des Schwerpunktes fur den gezeigten Korper, welcher be-reichsweise aus Stahl(St) bzw. Aluminium(Al) zusammengesetzt ist.

gegeben: St = 7,6 · 103 kg/m3, Al = 2,66 · 103 kg/m3

Aufgabe 4.7

Man berechne die Schwerpunktskoordinate zS fur gezeigte Halbkugel:

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Aufgabe 5.1

Der am Seil hangende Korper K3 hat die Gewichtskraft G. Demgegenuber seiendie Gewichtskrafte von K1 und K2 vernachlassigbar.

Welchen Wert muß der Haftungskoeffizient µ0 fur gebenes α mindestens aufweisen,damit Gleichgewicht herrscht?

Aufgabe 5.2

Ein PKW steht mit angezogener Handbremse auf einer schiefen Ebene mit 30%Gefalle. Wie groß muß der Haftungskoeffizient µ0 sein, damit der Wagen nicht insRutschen kommt? Die Handbremse wirkt dabei – wie allgemein ublich – auf dieHinterrader.

Ab welchen Winkel α⋆ erfolgt (theoretisch) die”Rolle ruckwarts“? Wie groß mußte

µ0 dazu sein? Ist das ein realistischer Wert?

gegeben: G = 7,5 kN, a = 2,2 m, b = 1,6 m, h = 0,7 m

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Aufgabe 5.3

Wie weit (ℓ = ?) kann ein Mann der Gewichtskraft G die demgegenuber praktischgewichtslose Leiter hinaufsteigen? Welchen Einfluß hat die Gewichtskraft G aufdas Ergebnis?

gegeben: G, L, α, µ0,1, µ0,2

Aufgabe 5.4

Zwei Klotze mit jeweils der Gewichtskraft G sind in der gezeigten Weise uber ein(naherungsweise) gewichtsloses Seil miteinander verbunden:

Bis zu welchem Winkel α bleiben die beiden Klotze in Ruhe?

gegeben: G, µ0

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Aufgabe 5.5

Gegeben sei folgende Bremskonstruktion:

a) Man ermittle das Bremsmoment bei Rechts- und Linkslauf.

b) Wie ist das Maß b zu wahlen, damit das Bremsmoment fur beide Drehrich-tungen gleich groß ist (Begrundung)?

c) Fur welches Maß b frißt sich die Bremse fest? Bei welcher Drehrichtung trittdas auf?

gegeben: F, ℓ, a, b, d, µ

Aufgabe 5.6

Ein Zugmittelgetriebe mit Flachriemen ubertragt im Arbeitstrum die Kraft A =890 N. Der Umschlingungswinkel ist mit α = 160° angegeben; der Haftungskoeffi-zient betragt µ0 = 0,3.

a) Fur den Grenzfall der Haftung berechne man die Kraft L im Leertrum.

b) Die Kraft im Arbeitstrum wird auf A⋆ = 1100 N erhoht. Die Kraft L imLeertrum soll hingegen gleich bleiben. Auf welchen Wert α⋆ muß der Um-schlingungswinkel nun mithilfe der Spannrolle gebracht werden?

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Aufgabe 5.7

Bei einer Feuerwehrubung wird eine Person (Masse m) abgeseilt. Das Seil lauftdabei in der gezeigten Weise um ein Gelander:

Mit welcher Kraft F muß am anderen Seilende gegengehalten werden, wenn derVorgang mit konstanter Geschwindigkeit erfolgen soll?

gegeben: m, µ

Aufgabe 5.8

Man ermittle das maximale Moment (MR)max bzw. (ML)max, das mit der gezeigtenBandbremse gehalten werden kann.

In welchem Verhaltnis stehen (MR)max und (ML)max?

gegeben: F, ℓ, r, µ0 = 0,4

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Aufgabe 5.9

Betrachtet sei die nachfolgend dargestellte Bandbremse:

a) Man ermittle das Bremsmoment bei Rechts- und Linkslauf.

b) Welche Bedingung muß gelten, damit das Bremsmoment fur beide Drehrich-tungen gleich groß ist?

c) Kann sich diese Bremse festfressen?

gegeben: F, ℓ, a, b, d, µ

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Aufgabe 6.1

Fur das folgende System die Normalkraft in den drei Staben zu berechnen.

gegeben: m1, m2, ℓ1, ℓ2, ℓ3, α

Aufgabe 6.2

Fur die folgenden Rahmentragwerke sind die Schnittgroßen zu ermitteln und gra-phisch darzustellen.

a)

b)

gegeben: F, ℓ

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Aufgabe 6.3

Man bestimme die Schnittgroßen fur die folgenden Systeme:

a)

gegeben: F, ℓ, α

b)

gegeben: q0, ℓ

c)

gegeben: q0, ℓ

d)

gegeben: q0, ℓ