257

Topografie (Manual de TOPOGRAFIE)

  • Upload
    sergiu

  • View
    1.157

  • Download
    109

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Manual de TOPOGRAFIE

Citation preview

RALUCA MANEA DANIELA IORDAN

MARIANA CĂTĂLINA CĂLIN

GHID DE REZOLVARE

A PROBLEMELOR DE TOPOGRAFIE

Bucureşti 2007

Editura Cartea Universitară

Str. Hiramului, nr.11, sector 3, Bucureşti Telefon: 021 589 1055 e-mail: [email protected], www.carteauniversitara.ro © Copyright Editura Cartea Universitară 2007 Editură acreditată de Ministerul Educaţiei şi Cercetării prin Consiliul Naţional al Cercetării Ştiinţifice din Învăţământul Superior.

Descrierea CIP a Bibliotecii Naţionale a României

MANEA, RALUCA

Ghid de rezolvare a problemelor de topografie / Raluca Manea, Daniela Iordan, Mariana Cătălina Călin. - Bucureşti : Cartea Universitară, 2007 Bibliogr. ISBN 978-973-731-564-9 I. Iordan, Daniela II. Călin, Mariana Cătălina 528.425

3

CUPRINS

1. MĂSURĂTORILE TERESTRE - NOŢIUNI GENERALE ................

1.1 Obiectul şi ramurile măsurătorilor terestre ...................... 1.2 Suprafeţe terestre .......................................................... 1.3 Suprafeţe de proiecţie..................................................... 1.4 Elementele topografice ale terenului...............................

1.4.1 Elementele topografice ale terenului în plan vertical......................................................... 1.4.2 Elementele topografice ale terenului în plan orizontal.......................................................

1.5 Unităţi de măsură............................................................ 1.6 Tipuri de coordonate ce definesc punctul şi legătura dintre ele.............................................................

1.6.1 Transformarea din coordonate rectangulare în coordonate polare ............................................... 1.6.2 Transformarea din coordonate polare în coordonate rectangulare ....................................

1.7 Scara planurilor şi hărţilor ............................................... 1.7.1 Scara numerică............................................... 1.7.2 Scara grafică...................................................

1.8 Probleme rezolvate ......................................................... 1.9 Probleme propuse spre rezolvare ...................................

2. ELEMENTELE PLANURILOR ŞI HĂRŢILOR ................................

2.1 Caroiajul geografic .......................................................... 2.2 Caroiajul rectangular ....................................................... 2.3 Semne convenţionale ..................................................... 2.4 Reprezentarea formelor de relief prin curbe de nivel ...... 2.5 Problemă rezolvată .........................................................

3.INSTRUMENTE PENTRU MĂSURAREA UNGHIURILOR .............

3.1 Teodolitul – generalităţi ................................................... 3.2 Schema generală a teodolitului .......................................

4

3.3 Axele teodolitului ............................................................. 3.4 Părţile componente ale teodolitului .................................

3.4.1 Luneta ............................................................ 3.4.2 Cercurile teodolitului........................................ 3.4.3 Dispozitive de citire unghiulară ....................... 3.4.4 Nivelele teodolitului .........................................

3.5 Instalarea aparatului în staţie .......................................... 3.5.1 Centrarea ........................................................ 3.5.2 Calarea ........................................................... 3.5.3 Vizarea............................................................

3.6 Tahimetre electronice...................................................... 3.6.1 Principii utilizate la măsurarea electro – optică a distanţelor .................................... 3.6.2 Prezentarea generală a unei staţii totale.........

4. MĂSURAREA UNGHIURILOR ......................................................

4.1 Măsurarea unghiurilor orizontale..................................... 4.1.1 Măsurarea unghiurilor orizontale prin metoda diferenţelor de citiri (simplă) ....................... 4.1.2 Măsurarea unghiurilor orizontale prin metoda turului de orizont................................... 4.1.3 Măsurarea unghiurilor orizontale prin metoda repetiţiei ............................................... 4.1.4 Măsurarea unghiurilor orizontale prin metoda reiteraţiei ..............................................

4.2 Măsurarea unghiurilor verticale ....................................... 4.3 Probleme propuse spre rezolvare

5. ÎNDESIREA REŢELELOR DE TRIANGULAŢIE............................. 5.1 Intersecţia înainte............................................................ 5.2 Intersecţia înapoi – rezolvarea Pothenot......................... 5.3 Intersecţia înapoi – rezolvarea Collins ............................ 5.4 Intersecţia înapoi - metoda punctelor duble – rezolvarea Hnsen ..................................................... 5.5 Intersecţia înapoi – rezolvarea Cassini – Martinian.........

5

5.6 Intersecţia liniară............................................................. 5.7 Probleme rezolvate .........................................................

6. TRANSMITEREA LA SOL A PUNCTELOR DE TRIANGULAŢIE ŞI ÎNDESIRE................................................

6.1 Transmiterea la sol a unui punct staţionabil .................... 6.2 Transmiterea la sol a unui punct nestaţionabil ............... 6.3 Probleme rezolvate .........................................................

7. METODA DRUMUIRII ....................................................................

7.1 Definiţii şi clasificări ......................................................... 7.2 Proiectarea reţelelor de drumuire.................................... 7.3 Operaţii de teren ............................................................ 7.4 Drumuirea sprijinită la capete pe puncte de coordonate cunoscute şi laturi cu orientări cunoscute ............................. 7.5 Drumuirea în circuit închis pe punctul de plecare ........... 7.6 Drumuirea cu punct nodal ...............................................

8. PROBLEME REZOLVATE - DRUMUIREA PLANIMETRICĂ......... 8.1 Drumuirea planimetrică sprijinită la capete pe puncte de coordonate cunoscute..................................... 8.2 Drumuirea planimetrică în circuit închis .......................... 8.3 Drumuirea planimetrică cu punct nodal...........................

9. RIDICAREA PLANIMETRICĂ A DETALIILOR TOPOGRAFICE

9.1 Metoda coordonatelor polare .......................................... 9.2 Metoda coordonatelor rectangulare (terenuri cu panta mai mică de 5g) ........................................................... 9.3 Rdicarea detaliilor prin intersecţie liniară......................... 9.4 Ridicarea detaliilor prin intersecţie unghiulară................. 9.5 Probleme rezolvate .........................................................

10 NIVELMENT.................................................................................. 10.1 Nivelmentul geometric...................................................

6

10.1.1 Nivelmentul geometric de mijloc ................... 10.1.2 Nivelmentul geometric de capăt....................

10.2 Metoda radierii de nivelment geometric de mijloc ......... 10.2.1 Metoda cotei punctului de plecare ................ 10.2.2 Metoda cotei de la punct la punct ................. 10.2.3 Metoda cotei planului de vizare.....................

10.3 Nivelment trigonometric ................................................ 10.4 Probleme rezolvate .......................................................

11. DRUMUIRI DE NIVELMENT GEOMETRIC ................................ 11.1 Drumuirea de nivelment geometric de mijloc sprijinită la capete .................................................. 11.2 Drumuirea de nivelment geometric de mijloc în circuit închis ...................................................................... 11.3 Drumuirea de nivelment geometric de mijloc cu punct nodal.......................................................................

12. PROBLEME REZOLVATE - DRUMUIRI DE NIVELMENT GEOMETRIC ....................................................

12.1 Drumuire de nivelment geometric sprijinită la capete.... 12.2 Drumuire de nivelment geometric în circuit închis......... 12.3 Drumuire de nivelment geometric cu punct nodal ......... 12.4 Drumuire de nivelment geometric pe bandă .................

BIBLIOGRAFIE ..................................................................................

7

1. MĂSURĂTORILE TERESTRE - NOŢIUNI GENERALE 1.1 Obiectul şi ramurile măsurătorilor terestre Topografia face parte dintr-un grup de ştiinţe şi tehnici numite

la modul general măsurători terestre, care se ocupă de studiul – determinarea formelor şi dimensiunilor Pământului în ansamblul său, sau pe porţiuni de teren – precum şi de reprezentarea acestora pe hărţi şi planuri.

Măsurătorile terestre au evoluat alături de alte ştiinţe ca: matematica, fizica, astronomia, mecanica cerească şi electronica, care au permis dezvoltarea instrumentelor de măsurare precum şi a metodelor de prelucrare a măsurătorilor.

- Evoluţia ştiinţifică a matematicii a permis dezvoltarea metodelor de prelucrare şi interpretare a

rezultatelor măsurătorilor; - Fizica şi electronica au oferit deschideri noi în domeniul aparaturii utilizate la efectuarea

măsurătorilor. Măsurătorile terestre au o importanţă deosebită atât în dezvoltarea ştiinţifică cât şi în cea economică.

Ramurile mari ale măsurătorilor terestre sunt: • geodezia; • topografia; • cadastrul; • fotogrammetria; Geodezia – este ştiinţa care studiază forma şi dimensiunea

Pământului, câmpul gravitaţional în sistem tridimensional, în funcţie de timp. În 1880, Helmert defineşte geodezia ca fiind: „Ştiinţa măsurării şi reprezentării Pământului”. În cadrul acesteia există o serie de subramuri cum ar fi: astronomia geodezică, geodezia marină, geodezia inerţială, geodezia diferenţială.

Topografia – este acea ştiinţă ce se ocupă cu măsurarea şi reprezentarea suprafeţelor relativ mici de teren, fără a ţine seama de

8

curbura Pământului. Denumirea derivă din cuvintele greceşti topos = loc şi grapheim = a descrie. Prin măsurătorile topografice se stabilesc poziţiile relative dintre diverse obiecte din teren şi reprezentarea acestora pe planuri şi hărţi.

Cadastrul – este sistemul unitar şi obligatoriu de evidenţă tehnică, economică şi juridică, prin care se realizează identificarea, înregistrarea, descrierea şi reprezentarea pe hărţi şi planuri cadastrale a tuturor terenurilor, precum şi a celorlalte bunuri imobile de pe întreg teritoriul ţării, indiferent de destinaţia lor şi de proprietar.

Fotogrametria – cuprinde procedee pentru determinarea şi reprezentarea suprafeţelor de teren pe baza unor fotografii speciale numite fotograme obţinute prin fotografierea terenului din avioane echipate adecvat. Caracteristica principală a acestei ramuri este aceea că nu execută măsurători pe teren ci pe imaginea fotografică a acestuia. Fotogrametria nu se aplică independent de alte discipline la întocmirea planurilor şi hărţilor, ci împreună cu topografia, sprijinindu-se amândouă pe reţeaua geodezică.

1.2 Suprafeţe terestre Din punctul de vedere al măsurătorilor terestre, se definesc

următoarele trei suprafeţe (figura 1.1): • suprafaţa topografică; • geoidul; • elipsoidul.

Figura 1.1 Suprafeţe terestre

9

Suprafaţa topografică – este suprafaţa terenului natural, cu

toate caracteristicile lui, aşa cum va fi reprezentat pe hărţi şi planuri. Are forma neregulată şi nu este geometrizată (nu are o formă matematică ce poate fi descrisă prin relaţii matematice).

Geoidul – este o suprafaţă echipotenţială particulară a câmpului gravitaţional terestru, asimilată cu suprafaţa liniştită a mărilor şi oceanelor considerată prelungită pe sub mări şi oceane. Are o formă uşor ondulată, fiind denumită suprafaţa de nivel zero şi constituie originea în măsurarea altitudinilor punctelor de pe suprafaţa topografică a Pământului. Are o formă neregulată şi nu este matematizat. Are proprietatea că în orice punct al său este perpendicular pe verticala VV, respectiv pe direcţia acceleraţiei gravitaţionale, indicată de regulă de firul cu plumb.

Elipsoidul de revoluţie – este suprafaţa geometrică cea mai apropiată de geoid rezultată prin rotirea unei elipse în jurul axei mici 2b, iar axa mică este paralelă cu axa globului terestru.

De-a lungul timpului mai mulţi matematicieni şi geodezi au calculat diverşi elipsoizi în încercarea de-a găsi parametrii optimi.

La ora actuală la noi în ţară se foloseşte elipsoidul Krasovski care are următorii parametri:

a = 6 378 245 m – semiaxa mare b = 6 356 863 m – semiaxa mică

f = 3.298

1=

a

ba - turtirea

Corespondenţa punctelor de pe suprafaţa topografică pe elipsoid se face prin proiectarea punctului aflat pe suprafaţa terestră pe elipsoid prin intermediul normalei NN la elipsoid, iar punctul capătă coordonate geografice.

Coordonatele geografice sunt latitudinea şi longitudinea. Latitudinea – BP este unghiul format de normala la elipsoid cu

planul ecuatorului. Putem vorbi de latitudine nordică sau sudică în funcţie de poziţia punctului într-una din cele două emisfere. Pe ecuator latitudinea este zero.

10

Longitudinea – LP este unghiul diedru dintre meridianul geodezic ce trece prin punct şi meridianul de origine al elipsoidului de referinţă. Meridianul de origine zero este ales convenţional cel ce trece prin observatorul astronomic de la Greenwich, de lângă Londra.

Sistemul de coordonate geografice are două familii de linii de coordonate:

Lat=const – familia paralelelor Long=const – familia meridianelor Pentru România avem: Latitudinea medie 46oN Longitudinea medie 25o E Greenwich

Figura 1.2 Elipsoidul de revoluţie

1.3 Suprafeţe de proiecţie Prin intermediul sistemelor de proiecţie se face trecerea –

prin procedee matematice – de la suprafaţa topografică la suprafaţa

11

plană care este suportul hărţii sau planului topografic. Se ştie că o suprafaţă curbă (gen elipsoid, geoid) nu poate fi transpusă pe plan fără deformarea suprafeţelor sau unghiurilor.

Pentru România sunt adoptate două sisteme de proiecţie: ►Proiecţia stereografică 1970 – STEREO ,70 – cu plan

secant unic în centrul geometric al teritoriului, respectiv zona oraşului Făgăraş. Direcţia nord geografic se alfă pe axa X, iar axa Y este paralelă cu direcţia ecuatorului.

►Proiecţia Gauss – proiecţie internaţională, cilindrică, conformă, transversală – aceasta presupune divizarea elipsoidului în 36 de fuse de 6o fiecare. Acestea se desfăşoară de-a lungul meridianului axial, pe un cilindru imaginar.

1.4 Elementele topografice ale terenului Pentru a fi reprezentate pe planuri şi hărţi elementele ce sunt

măsurate pe teren, este necesar să descompunem terenul în elemente liniare şi unghiulare măsurabile. Această operaţiune se numeşte geometrizarea terenului şi constă în alegerea punctelor caracteristice de pe teren în aşa fel încât prin unirea lor linia frântă care rezultă să dea cât mai exact forma terenului. Precizia hărţilor şi planurilor depinde de această operaţiune.

1.4.1 Elementele topografice ale terenului în plan vertical Secţionând terenul în plan vertical vom avea următoarele

elemente liniare şi unghiulare: � aliniamentul AB – o linie sinuoasă, ce urmăreşte linia

terenului natural, şi rezultă din intersecţia terenului cu planul vertical; � distanţa înclinată LAB – este linia dreaptă ce uneşte

puntele A şi B; � distanţa redusă la orizont DAB – este proiecţia în plan

orizontal a distanţei înclinate şi este distanţa ce o vom reprezenta pe hărţi şi planuri;

12

� unghiul de pantă αAB – este unghiul făcut de linia terenului natural cu proiecţia sa în plan orizontal, este un unghi vertical;

� unghiul zenital ZAB – este unghiul făcut de verticala locului cu linia naturală a terenului şi este tot un unghi vertical;

� cotele punctelor A şi B – HA şi HB – sunt distanţele pe verticală de la planul de nivel zero la planurile orizontale ce trec prin punctele A şi B;

Figura 1.3 Elementele topografice ale terenului în plan vertical 1.4.2 Elementele topografice ale terenului în plan

orizontal � unghiul orizontal ωAB – este unghiul diedru dintre planele

verticale ce trec prin două aliniamente AB şi AC; � distanţa redusă la orizont DAB – definită mai sus; � orientarea topografică θAB – este unghiul orizontal făcut de

direcţia nord geografic şi direcţia AB măsurat în sensul acelor de ceas, de la nord spre aliniamentul dat;

În mod convenţional se defineşte orientarea directă θAB şi orientarea inversă θBA. Cele două orientări diferă cu 200g, adică:

θBA = θAB ± 200g În funcţie de poziţia punctelor în cele patru cadrane vom avea

două situaţii: dacă θAB<200g atunci θBA = θAB + 200g

13

dacă θAC> 200g atunci θCA = θAC - 200g

Figura 1.4 Definirea orientării

1.5 Unităţi de măsură � Pentru lungimi – se foloseşte metrul (m) cu multiplii şi

submultiplii săi. � Pentru suprafeţe – se foloseşte metrul pătrat (m2 ) cu

multiplii şi submultiplii. Cel mai uzual multiplu este hectometrul pătrat sau hectarul (ha). 1ha = 10 000 m2.

� Pentru unghiuri – se foloseşte gradaţia centesimală, sexagesimală sau radiani. În topografie în mod uzual se foloseşte gradaţia centesimală.

Trecerea din sistemul sexagesimal în cel centesimal se face prin următoarea corespondenţă:

La cercul de 360o sexagesimale corespund 400g centesimale 1o = 60′ 1g = 100c 1′ = 60′′ 1c = 100cc

14

Notaţiile sunt g – pentru grad c – pentru minute cc – pentru secunde

1.6 Tipuri de coordonate ce definesc punctul şi legătura dintre ele

Un punct pe suprafaţa terestră poate fi definit de trei tipuri de

coordonate: � coordonate geografice BA şi LA – latitudine şi longitudine � coordonate rectangulare X ,Y,H � coordonate polare D şi θ - distanţa redusă la orizont şi

orientarea 1.6.1 Transformarea din coordonate rectangulare în

coordonate polare Dacă avem două puncte 1 şi 2 definite de coordonatele

rectangulare X1 şi Y1, respectiv X2 şi Y2 le putem raporta într-un sistem de axe, sistemul STEREO 70 prin raportare carteziană.

Se observă că se formează triunghiul dreptunghic 122′ în care ipotenuza este distanţa redusă la orizont D12 iar catetele sunt diferenţa de coordonate pe X şi pe Y. Aceste diferenţe se numesc coordonate relative şi se pot exprima astfel:

ΔX12 = X2 – X1 şi ΔY12 = Y2 – Y1 Tot aici se poate defini şi unghiul dintre axa X şi distanţa D12

ca fiind orientarea θ12 conform definiţiei enunţate la paragraful 1.4.2

15

Figura 1.5 Calculul coordonatelor polare

Din acest triunghi dreptunghic putem calcula D12 şi θ12

2

12

2

1212YXD Δ+Δ=

12

12

12

12

12

XX

YY

X

Ytg

−=

Δ

Δ=θ sau

12

12

12

XX

YYarctg

Generalizând relaţiile putem scrie

( ) ( )22

ijijijYYXXD −+−=

ij

ij

ijXX

YYarctg

Notă!! Când calculăm orientarea trebuie să facem reducerea la primul cadran în funcţie de semnele numitorului şi numărătorului astfel:

16

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

400

200

200

X

Yarctg

X

Yarctg

X

Yarctg

X

Yarctg

g

g

g

Δ

Δ−=

+

Δ

Δ+=

Δ

Δ−=

+

Δ

Δ=

+

+

θ

θ

θ

θ

În concluzie, combinaţia de semne indică cadranul în care se află orientarea fapt pentru care nu se va face un semn din cele două ce rezultă din diferenţele de Y şi X.

Fiecare din cele patru situaţii reprezintă poziţia orientării într-unul din cele patru cadrane ale cercului topografic.

1.6.2 Transformarea din coordonate polare în coordonate rectangulare

Coordonatele relative ΔX12 si ΔY12 se pot calcula cu relaţiile:

121212

121212

sin

cos

θ

θ

DY

DX

Astfel coordonata X sau Y a unui punct poate fi calculată funcţie de coordonata altui punct şi coordonata relativă:

X2=X1+D12cosθ12 Y2=Y1+D12sinθ12

ijijij

ijijij

DYY

DXX

θ

θ

sin

cos

+=

+=

17

1.7 Scara hărţilor şi planurilor 1.7.1 Scara numerică – este raportul constant dintre distanţa ″d″ de pe plan dintre două puncte şi distanţa orizontală ″D″ dintre aceleaşi două puncte din teren, ambele fiind exprimate în aceleaşi unităţi de măsură. Relaţia matematică de exprimare a scării numerice este

D

d

n=

1, unde n este numitorul scării, iar d şi D sunt

distanţele enunţate mai sus Valorile scărilor numerice sunt STAS, astfel că putem avea următoarele tipuri de scări:

5000000

1,...,

500

1,

50

1,

5

1

10*5

1

2500000

1,...,

250

1,

25

1

10*5,2

1

2000000

1,...,

200

1,

20

1,

2

1

10*2

1

1000000

1,...,

100

1,

10

1

10

1

n

n

n

n

Precizia grafică a planurilor şi hărţilor Dacă eroarea de citire sau de raportare a unui punct pe plan sau hartă este de 0.2 – 0.3 mm, valoarea corespunzătoare a acesteia în teren se numeşte precizie grafică. Precizia grafică este direct proporţională cu numitorul scării numerice şi se calculează cu relaţia

nP

e

g

1=± de unde neP

g*±=

Unde: - Pg este precizia grafică;

18

- e este eroarea de citire 0.2 – 0.3 mm; - n este numitorul scării. De exemplu, pentru un plan la scara 1: 2 000 Pg = e*n = 0.3 mm * 2000 = 600 mm =0.6 m. Această precizie duce la concluzia că cel mai mic detaliu reprezentat pe plan va avea dimensiunea de 0.6 m. Problemele ce se pot rezolva cu ajutorul scării numerice sunt următoarele:

1. Se dau n şi d şi se cere să se calculeze D; dnD *=

2. Se dau n şi D şi se cere să se calculeze d; n

Dd =

3. Se dau d şi D şi se cere să se calculeze n; d

Dn =

Exemplu numeric

Problema 1 Pe un plan la scara 1/2000 s-a măsurat o distanţă de 20cm.

Ce valoare are această distanţă pe teren?

d = 20cm, 2000

11=

n

Se cere: D

Conform relaţiei numerice pentru scară: D

d

n=

1, rezultă D =

d*n sau D = 20cm * 2000 = 40000cm = 400m

Problema 2

Cât reprezintă pe un plan la scara 1/1000 distanţa din teren de 150m?

19

D=150m, 1000

11=

n

Se cere: d

Conform relaţiei numerice pentru scară: D

d

n=

1, rezultă

==

n

Dd cm

cmm15

1000

15000

1000

150==

Problema 3 Ce scară are planul pentru care distanţa din teren de 500m are pe plan 100cm? D=500m, d=100cm

Se cere: n

Conform relaţiei numerice pentru scară: D

d

n=

1,

Rezultă n = 500100

50000

100

500===

cm

cm

cm

m

d

D, deci scara

este 1/500 Concluzii Deoarece scara numerică este o egalitate de două rapoarte

ce conţin patru termeni: 1, n, d, D se va putea calcula oricare din cele trei necunoscute funcţie de celelalte două.

Atenţie! D şi d se exprimă în aceiaşi unitate de măsură. Cu cât numitorul este mai mic, scara este mai mare. Adică,

scara 1/200 este mai mare decât scara 1/10 000. 1.7.2 Scara grafică – este reprezentarea grafică a scării

numerice. După modul de construcţie al scării grafice, se deosebesc două tipuri: scara grafică liniară cu talon şi scara grafică transversală.

20

Scara grafică liniară cu talon - se va desena pe planuri şi hărţi printr-o linie divizată, în cm având înscris în dreptul fiecărei diviziuni valoarea distanţei din teren corespunzătoare scării planului.

Scara grafică asigură o precizie de 10

1din bază.

Mod de utilizare: se ia în compas distanţa de pe hartă, dintre două puncte 1 şi 2 şi se aşează compasul pe scară, astfel încât un vârf al compasului să coincidă cu un număr întreg de baze, iar celălalt vârf al compasului să cadă în interiorul talonului. Distanţa este egală cu numărul întreg de baze la care se adaugă partea fracţională citită pe talon.

Figura 1.6 Scara grafică liniară

Exemplu: pentru scara numerică de 1 : 1000 s-a construit scara grafică din figura 1.6. Distanţa măsurată este: 30 m + n*1 m = 30 m + 7*1 m= 37 m

Unde n este numărul de fracţiuni de la zero al scării până la intersecţia cu vârful compasului. Valoarea unei diviziuni este egală cu 1 m.

21

Scara grafică transversală – asigură o precizie de 100

1 din

bază, deoarece talonul este împărţit în 10 unităţi pe orizontală şi în 10

părţi pe verticală, astfel că o unitate de pe orizontală reprezintă 10

1din

bază, iar o unitate pe verticală reprezintă 10

1 dintr-o unitate de pe

orizontală. Mod de utilizare: se ia în compas distanţa de pe hartă, între

două puncte 1 şi 2 şi se aşează pe scara grafică, astfel încât un vârf al compasului să corespundă cu o diviziune întreagă din bază, iar celălalt vârf să cadă în interiorul talonului scării transversale. Se deplasează compasul astfel ca un vârf să rămână tot timpul pe o valoare întreagă din bază, iar celălalt să fie în talon, până când vârful din talon atinge intersecţia a două linii ce marchează diviziunile lui. Mişcarea compasului se face astfel încât vârfurile lui să fie tot timpul pe aceaşi linie orizontală. Distanţa este egală cu numărul întreg de baze la care se adaugă partea fracţionară citită pe talon.

Figura 1.7 Scara grafică transversală

Exemplu: pentru scara numerică de 1:10 000 s-a construit

scara grafică transversală din figura 1.7. Dacă baza este egală cu 2

22

cm, distanţa citită cu ajutorul acestei scări este: D12 = 600 m + 150 m = 750 m, unde 600 m corespund numărului de baze întregi iar 150 din citirea pe talon.

1.8 Problemă rezolvată

Se dau punctele 1, 2, 3, 4 prin coordonate rectangulare în sistem Stereografic 1970

Pct. X (m) Y (m) 1 1033 2012

2 1145 2037

3 1072 2091

4 1021 2084

Se cere să se rezolve următoarele probleme:

1. Să se reprezinte punctele la scara 1: 2000; 2. Să se calculeze distanţele D12, D23, D34, D41;

3. Să se calculeze orientările θ12, θ23, θ34, θ41; 4. Să se reprezinte pe desen orientările calculate; 5. Să se reducă la scara 1 : 5000 distanţa D12 şi la scara 1 :

2500 distanţa D34; 6. Să se calculeze coordonatele punctului 5 aflat la distanţa D35

= 17.26m şi θ35 = 114.2514. Rezolvare 1 Reprezentarea la scara 1 : 2000 a punctelor date Pentru reprezentarea la scară a punctelor se vor parcurge următoarele etape: ►trasarea axelor de coordonate X şi Y; ►stabilirea coordonateleor punctului de origine. Pentru axa X se va pleca din origine cu o coordonată cu valoare mai mică decât cel mai mic X din inventarul de coordonate. Xmin = 1021m, în originea axei X

23

vom alege 1020 sau 1000. Pentru axa Y se va alege o valoare mai mică decât cel mai mic Y din inventarul de coordonate dat. Ymin = 2012m, în originea axei Y vom alege 2010 sau 2000. ►divizarea axelor din cm în cm. ►raportarea punctelor prin coordonatele date.

Figura 1.8 Reprezentarea punctelor date la scara 1:2000

2. Calculul distanţelor din coordonate cu relaţia

22 )()(ijijijYYXXD −+−=

24

mD 756.1141316925112)20122037()10331145( 2222

12==+=−+−=

mD 802.9082455473)20372091()11451072(2222

23==+=−+−=

mD 478.512650751)20912084()10721021( 2222

34==+=−+−=

mD 993.7253287212)20842012()10211033( 2222

41==+=−+−=

3. Calculul orientărilor din coordonate cu relaţia

ij

ij

ijXX

YYarctg

=θ cu reducerea la cadran în funcţie de

combinaţia de semne

IV cadranul 400

III cadranul 200

II cadranul 200

I cadranul

ij

ijg

ij

ij

ijg

ij

ij

ijg

ij

ij

ij

ij

X

Yarctg

X

Yarctg

X

Yarctg

X

Yarctg

Δ

Δ−=

+

Δ

Δ+=

Δ

Δ−=

+

Δ

Δ=

+

+

θ

θ

θ

θ

9811.139811.1322321.0112

25

112

25

12=

+

+=

+

+=

+

+=

+

+= arctgarctgarctgθ

25

4542.159

5458.402005458.4073972.073

54

73

54

23

23

=

−=

+

=

+

=

+

=

+

=

θ

θ arctgarctgarctg

6836.208

6836.82006836.8137255.051

7

51

7

34

34

=

+=

−=

−=

−=

−=

θ

θ arctgarctgarctg

5137.310

4863.894004863.89612

72

41

41

=

−=

+

−=

+

−=

+

−=

θ

θ arctgarctg

4. Reprezentarea orientărilor pe plan

26

Figura 1.9 Reprezentarea orientărilor pe plan

5. Reducerea la scară a distanţelor D12 şi D34

m

d

756.1145000

1=

mmmmmmm

d 239.225000

114756

5000

756.114≈===

m

d

478.512500

1=

27

mmmmmmm

d 216.202500

51478

2500

478.51≈===

6. Calculul coordonatelor punctului 5 se face cu relaţiile

ijDXXijij

θcos+=

ijijijDYY θsin+=

X5 = X3 + D35cosθ35

Y5 = Y3 + D35sinθ35 X5 = 1072m + 17.26mcos114.2514 = 1072m + 17.26m (-0.22199) X5 = 1072m – 3.831m = 1068.169m Y5 = 2091m + 17.26msin114.2514 = 2091m + 17.26m 0.97504 Y5 = 2091m + 16.829m = 2107.829m

1.9 Probleme propuse spre rezolvare PROBLEMA 1 Se dau punctele 1, 2, 3, 4, 5 prin coordonate rectangulare în sistem Stereografic 1970

Pct. X (m) Y (m) 1 3256 5487

2 3385 5405

3 3462 5525

4 3208 5562

5 3174 5486

Se cere să se rezolve următoarele probleme:

1.Să se reprezinte punctele pe format A4 la o scară aleasă convenabil; 2.Să se calculeze distanţele D12, D23, D34, D45, D51;

3.Să se calculeze orientările θ12, θ23, θ34, θ45, θ51 ;

28

4.Să se reprezinte pe desen orientările calculate; 5.Să se reducă la scara 1 : 1000 distanţa D12 şi la scara 1 : 2500 distanţa D45; 6.Să se calculeze coordonatele punctului 6 aflat la distanţa D46 =

22.26m şi θ46 = 204.2514. PROBLEMA 2

Se dau punctele 1, 2, 3, 4, prin coordonate rectangulare în sistem Stereografic 1970

Pct. X (m) Y (m) 1 4356 1487 2 4385 1505 3 4462 1525 4 4208 1462

Se cere să se rezolve următoarele probleme: 1.Să se reprezinte punctele pe format A4 la o scară aleasă convenabil; 2.Să se calculeze distanţele D12, D23, D34, D41;

3.Să se calculeze orientările θ12, θ23, θ34, θ41. 4.Să se reprezinte pe desen orientările calculate; 5.Să se reducă la scara 1 : 500 distanţa D12 şi la scara 1 : 2000 distanţa D43; 6.Să se calculeze coordonatele punctului 5 aflat la distanţa

D45 = 22.26m şi θ45 = 123.3214. PROBLEMA 3

Pe un plan la scara 1: 5000 s-a măsurat distanţa de 23 mm. Să se calculeze cât reprezintă această distanţă pe teren.

29

PR5OBLEMA 4

Să se calculeze cât reprezintă pe un plan la scara 1 : 2500 distanţa de 75,23 m măsurată pe teren. PROBLEMA 5

Se dă distanţa de 50 m pe teren. Să se calculeze scara planului pe care această distanţă a fost reprezentată cu mărimea de 10 cm.

30

2. ELEMENTELE PLANURILOR ŞI HĂRŢILOR � Planul topografic – este o reprezentare grafică convenţională a unor porţiuni restrânse ale suprafeţei topografice, proiectate pe un plan orizontal, micşorată la o anumită scară care prin detaliile pe care le conţine redă în mod fidel suprafaţa topografică respectivă, fără să se ţină seama de curbura Pământului. � Harta – este o reprezentare grafică convenţională, micşorată la o anumită scară, în care este reprezentată întreaga suprafaţă a Pământului sau porţiuni din ea şi în construcţia căreia se ţine seama de curbura Pământului.

Planurile şi hărţile se clasifică în funcţie de scară astfel: Planuri topografice � planul topografic de bază al ţării este tipărit în trei culori

şi realizat într-un singur sistem de proiecţie la scările: 1/2000, 1/5000, 1/10 000;

� planul topografic special se realizează pentru diverse cerinţe economice şi poate fi realizat la scări ce variază între 1/100 până la 1/1000.

Hărţile sunt reprezentările grafice realizate la scara 1/25 000 şi mai mici.

� hărţi la scări mici – 1/25 000 până la 1/100 000;

� hărţi de ansamblu – sunt realizate la scări medii 1/200 000 până la 1/1 000 000;

� hărţi geografice – sunt realizate la scări mici începând cu 1/1 000 000 şi mai mici.

2.1 Caroiajul geografic Caroiajul geografic al unei foi de plan sau hartă este format

din meridiane şi paralele. În colţurile caroiajului geografic care mărgineşte foaia de plan sau hartă sunt înscrise valorile coordonatelor geografice (latitudinea şi longitudinea). Paralelele sunt

31

numerotate începând de la Ecuator, iar meridianele începând cu meridianul Greenwich.

Intervalele dintre meridianele şi paralelele care delimitează foaia de hartă sunt împărţite pe verticală în minute de latitudine şi pe orizontală în minute de longitudine. Baza pentru caroiajul geografic este o linie de 0.1mm grosime. Minutele de latitudine sau longitudine sunt reprezentate prin spaţii alternant negre şi albe de grosime 0.5 mm.

Pe o foaie de plan scara 1 : 25 000 caroiajul geografic este ca în figura 2.1.

Figura 2.1 Caroiajul geografic

2.2 Caroiajul rectangular Caroiajul rectangular este format din drepte trasate paralel la

axele de coordonate rectangulare plane ale sistemului adoptat. Aceste paralele formează o reţea de pătrate cu latura de 1 km sau multipli de kilometri, denumită şi reţea kilometrică.

Pe planuri şi hărţi liniile caroiajului rectangular nu sunt paralele cu liniile caroiajului geografic.

Pe un plan la scara 1 : 25 000 caroiajul rectangular se prezintă ca în figura 2.2.

32

Figura 2.2 Caroiajul rectangular

În sistemul de proiecţie Stereografic 1970 coordonata X se

citeşte pe verticală, iar coordonata Y se citeşte pe orizontală. 2.3 Semne convenţionale Detaliile de planimetrie şi altimetrie care se reprezintă pe

planuri şi hărţi se exprimă grafic prin semne convenţionale. Semnele convenţionale trebuie să fie cât mai generalizate şi să reprezinte detaliul cât mai sugestiv. Acestea sunt cuprinse în atlase de semne convenţionale editate pentru diferite scări ale planurilor şi hărţilor. În majoritatea cazurilor, forma semnelor convenţionale este aceeaşi pentru diferite scări, doar dimensiunile de desenare diferă de la o scară la alta.

În funcţie de detaliile ce le reprezintă, semnele convenţionale se pot grupa în două categorii:

- semne convenţionale pentru planimetrie; - semne convenţionale pentru altimetrie.

Semne convenţionale pentru planimetrie

33

1. Semne convenţionale de contur

Acestea sunt semnele care se folosesc pentru reprezentarea pe hartă a detaliilor ce pot fi reprezentate la scara planului sau hărţii prin conturul lor (lacuri, păduri, mlaştini, clădiri, etc.). Ele nu arată poziţia reală a unui obiect din interiorul conturului şi nici dimensiunile lui liniare (figura 2.3).

Figura 2.3 Semne convenţionale de contur

2. Semne convenţionale de scară

Acestea sunt semnele care se folosesc pentru reprezentarea detaliilor de dimensiuni reduse care nu pot fi reprezentate la scară (puncte geodezice, stâlpi de iluminat, etc.). Acestea indică precis poziţia detaliului din teren prin centrul lor sau axa lor de simetrie (figura 2.4).

Figura 2.4 Semne convenţionale de scară

3. Semne convenţionale explicative

34

Semnele convenţionale explicative sunt inscripţiile şi notările

convenţionale care se fac pe hartă sau plan, pentru a da o caracteristică mai deplină detaliilor topografice. Ele sunt folosite întotdeauna în combinaţie cu primele două categorii de semne convenţionale (figura 2.5).

Figura 2.5 Semne convenţionale explicative

Semne convenţionale pentru altimetrie Relieful este un element important din conţinutul unui plan

sau al unei hărţi. Relieful este totalitatea neregularităţilor concave şi convexe de pe suprafaţa topografică a pământului.

Reprezentarea reliefului se poate face prin mai multe metode: - metoda curbelor de nivel; - metoda planului cotat; - metoda profilelor; - metoda haşurilor; - metoda planurilor în relief; Metoda curbelor de nivel Curba de nivel este proiecţia în plan orizontal a liniei ce

35

uneşte puncte de aceeaşi cotă de pe suprafaţa topografică. Curbele de nivel se obţin prin secţionarea formei de relief cu suprafeţe de nivel perpendiculare pe direcţia gravitaţiei. Pe suprafeţe mici, suprafeţele de nivel pot fi asimilate cu suprafeţe orizontale. Pentru o rprezentare riguroasă a reliefului se va alege o distanţă constantă numită echidistanţă „E” în funcţie de scara planului. Echidistanţa este distanţa pe verticală dintre suprafaţele de nivel generatoare de curbe de nivel. Aceasta este o mărime constantă şi depinde de precizia dorită, de accidentaţia terenului şi de scara planului sau hărţii. Mărimea echidistanţei este o valoare metrică: 1m, 2 m, 5 m, 10 m, 20 m, etc. Clasificarea curbelor de nivel se poate face după cum urmează (figura 2.6):

- curbe de nivel normale trasate la distanţa egală cu E; - curbe de nivel principale trasate la distanţa egală cu 5E; - curbe de nivel ajutătoare trasate la distanşa egală cu E/2; - curbe de nivel accidentale trasate la distanţa egală cu E/4.

Figura 2.6 Curbe de nivel

36

Curbele de nivel normale se trasează pe plan sau hartă cu o linie subţire, continuă la echidistanţa E uniformă pentru întregul plan sau hartă.

Curbele de nivel principale sunt curbe de nivel normale îngroşate, ce se trasează la valori de cote rotunde. De obicei fiecare a 5 – a curbă se consideră principală pentru echidistanţele de 1 m, 2 m, 5 m, 10 m, 20 m. Curbele de nivel ajutătoare se trasează pe plan sau hartă prin linii punctate la o echidistanţă egală cu E/2. Acestea sunt folosite în cazul terenurilor plane pentru a da o imagine mai sugestivă a reliefului, deoarece curbele de nivel normale sunt prea rare la un teren plan. Curbele de nivel accidentale sunt curbe de nivel ce se trasează la o echidistanţă egală cu E/4 prin linii punctate mai scurte decât cele ajutătoare. Ele sunt utilizate numai dacă relieful nu poate fi reprezentat prin curbe de nivel normale şi ajutătoare.

2.4 Reprezentarea formelor de relief prin curbe de nivel Varietatea mare a neregularităţilor prezentate de suprafaţa

terestră poate fi reprezentată, prin simplificare, la un număr redus de forme caracteristice de relief care se pot grupa în: şesuri, înălţimi şi depresiuni. Şesurile sunt suprafeţe plane, cu diferenţe de nivel mici, lipsite de ridicături sau adâncituri prea mari. Dacă şesul este la înălţimi cuprinse între 0 şi 200 m faţă de nivelul mării, se numeşte câmpie, iar dacă înălţimea este mai mare de 200 m, forma de relief respectivă se numeşte podiş. Principalele forme tip de înălţimi sunt: mamelonul, dealul şi şeaua. Mamelonul (figura 2.7) este forma de relief cu înălţimea cuprinsă între 50 -150 m faţă de terenul pe care se află, cu vârf rotunjit şi cu pante relativ simetrice. Acesta se reprezintă pe planuri şi hărţi prin curbe de nivel închise, valorile cotelor crescând de la exterior spre interior.

37

Figura 2.7 Reprezentarea mamelonului prin curbe de nivel Dealul (figura 2.8) este o formă de nivel cu doi versanţi ce se unesc de-a lungul unei linii de pantă numită creastă sau linie de separare a apelor.

Figura 2.8 Reprezentarea dealului prin curbe de nivel

Această formă de relief se reprezintă pe planuri sau hărţi prin

curbe de nivel alungite, având convexitatea orientată în sensul de coborâre a liniei de separare a apelor, marcată prin bergsrichturi. Curbele de nivel au o întoarcere retunjită pe linia de creastă pe care o

38

intersectează în unghi drept. Elementele caracteristice ale acestei forme de relief sunt: vârful, linia de creastă şi piciorul crestei.

Şeaua (figura 2.9) este o formă de relief complexă formată din două dealuri racordate printr-o creastă mai joasă. Gâtul şeii „G” formează originea a două văi dispuse transversal pe linia de creastă. Elementele caracteristice ale acesteia sunt: vârfurile, liniile de crestă şi gâtul şeii.

Figura 2.9 Şeaua reprezentată prin curbe de nivel

Principalele forme tip de adâncimi sunt: căldarea sau pâlnia, valea şi bazinul hidografic.

Căldarea sau pâlnia (figura 2.10) este o depresiune închisă din toate părţile şi este forma de relief opusă mamelonului. Ea se reprezintă prin curbe de nivel închise ale căror valori descresc de la exterior spre interior.

39

Figura 2.10 Căldarea reprezentată prin curbe de nivel

Valea (figura 2.11) este o depresiune formată din doi versanţi

care se unesc pe linia de strângere a apelor numită talveg. Ea este o formă concavă opusă dealului. Valea se reprezintă prin curbe de nivel deschise, alungite, care au concavitatea orientată în sensul de curgere a apelor. Valorile cotelor descresc de la exterori spre interior. Elementele caracteristice sunt: originea văii, firul văii (talveg), gura văii şi cei doi versanţi.

Figura 2.11 Valea reprezentată prin curbe de nivel

40

Bazinul hidrografic (figura 2.12) este o formă de relief

complexă închisă din trei părţi de linia de despărţire a apelor şi deschisă pe o singură parte. Acesta reuneşte de regulă mai multe forme simple de relief.

Figura 2.12 Bazinul hidrografic reprezentat prin curbe de nivel

2.5 Problemă rezolvată

Se dă secţiunea de plan la scara 1 : 25 000

41

Figura 2.13 Secţiunea de plan la scara 1:25 000 Se cere să se rezolve următoarele probleme

1. Să se calculeze coordonatele geografice, latitudinea şi longitudinea punctelor A şi B aflate pe foaia de plan;

2. Să se calculeze coordonatele rectangulare X şi Y ale punctelor A şi B;

3. Să se calculeze distanţa dintre punctele A şi B; 4. Să se calculeze cotele punctelor A şi B; 5. Să se calculeze panta dreptei AB.

Rezolvare

1.Calculul coordonatelor geografice latitudinea (ϕ) şi longitudinea

(λ) punctelor A şi B. Determinarea coordonatelor geografice se face cu ajutorul

caroiajului geografic trasat pe laturile exterioare ale foii de plan.

42

Etapele sunt următoarele: ►Din punctul A de pe plan se vor duce perpendiculare pe caroiajul geografic. ►Se măsoară lungimea unui minut de latitudine şi lungimea unui minut de longitudine. Pe planul 1 : 25 000 lungimea unui minut de latitudine este 74 mm, iar a unui minut de longitudine este de 52 mm. ►Se citesc cele mai apropiate valori de latitudine şi longitudine şi apoi prin interpolare se determină secundele de latitudine şi longitudine. Pentru aceasta se vor măsura distanţele de pe plan de la valoarea latitudinii şi longitudinii citite pentru punctul A până la piciorul perpendicularelor duse din punct pe caroiaj. Dacă d1 este distanţa citită pe latitudine şi d2 este distanţa citită pe longitudine vom avea următoarele valori:

ϕA = 45o58' + ΔϕA

λA = 24o18' + ΔλA

Figura 2.14 Calculul coordonatelor geografice ale punctului A

Calculul creşterilor de coodonate ΔϕA şi ΔλA se face astfel:

43

60".................74 mm

ΔϕA................d1

mm

d

A

74

*601

"

=Δϕ

60".................52 mm

ΔλA................d2

mm

d

A

52

"*602

=Δλ

2.Calculul coordonatelor rectanagulare Pentru determinarea coordonatelor rectanagulare se va folosi

caroiajul rectangular. Măsurând pe plan lungimea laturii unui carou se observă că aceasta este de 4 cm. Deoarece planul este la scara 1 : 25 000 rezultă că mărimea laturii unui carou pe teren este de 1 000m sau 1 km. Aşadar creşterile de coordonate sunt în metri.

Etapele de calcul sunt următoarele: ►Din punct se duc perpendiculare pe laturile caroului în

care se încadrează acesta;

►Se măsoară creşterile de coordonate Δx şi Δy în mm din colţul caroului în care se încadrează punctul până la perpendiculare duse din punct;

►Se transformă creşterile de coordonate conform scării planului:

ΔXm = 25 * Δxmm

ΔYm = 25 * Δymm Se va înmulţi cu 25 deoarece la scara 1:25000 1mm pe plan

reprezintă 25m pe teren.. ►Se calculează coordonatele punctului A

XA = 5091000m + ΔXm

YA = 5285000m + ΔYm

44

Dacă Δxmm = 31mm ⇒ ΔXm = 0.031m * 25000 = 775 m

Δymm = 23mm ⇒ ΔYm = 0.023m * 25000 = 575 m XA = 5092000m + 775m = 5092775m = 5092.775km YA = 5286000m + 575m = 5286575m = 5286.575km

Figura 2.15 Calculul coordonatelor rectangulare ale punctului A

3.Calculul distanţei dintre punctele A şi B 3.1 Calculul distanţei din teren din distanţa măsurată pe plan Se măsoară pe plan distanţa dintre puncte dAB în mm şi se calculează DAB în m în funcţie de scara planului. DAB = dAB*n, unde n = 25 000 în exemplul dat

Dacă dAB = 126mm ⇒ DAB = 0.126m * 25000 = 3150 m 3.2 Calculul distanţei din coordonatele rectangulare determinate pe plan la punctul 2

( ) ( )22

BABAABYYXXD −+−=

45

4.Calculul cotelor punctelor A şi B 4.1 Calculul cotei prunctului aflat pe o curbă de nivel

Dacă punctul se află pe o curbă de nivel cota acestuia este identică cu cota curbei pe care se află punctul. De exemplu punctul A se află pe curba de nivel de cotă 36m, astfel încât cota punctului A va fi 36m (figura 2.16).

Figura 2.16 Calculul cotelor punctelor A şi B

4.2 Calculul cotei punctului aflat între două curbe de nivel

Dacă punctul se află între două curbe de nivel cota acestuia se va calcula prin interpolare. Se va trasa distanţa cea mai scurtă ce trece prin punctul dat şi uneşte cele două curbe de nivel numită linia

46

de cea mai mare pantă. Se măsoară d1 dintre curbele de nivel (figura 2.16) şi se măsoară şi distanţa d2. de la una din curbe (de obicei cea cu cota cea mai mică) până la punct. Cota punctului B este HB = 35 m + ΔH ΔH se va calcula prin interpolare astfel: d1.............................E d2........................... ΔH Unde E este echidistanţa curbelor de nivel. În exemplul dat E = 1m

1

2

d

EdH =Δ

ATENŢIE ! Distanţele d1 şi d2 se măsoară în aceleaşi unităţi de măsură, de regulă în mm, iar E se dă în m. Astfel ΔH se va calcula în m.

5.Calculul pantei dreptei AB Dacă secţionăm terenul natural cu un plan vertical ce trece prin

punctele A şi B obţinem aliniamentul AB. Unind punctele A şi B cu o dreaptă obţiem distanţa înclinată LAB, iar proiecţia acesteia în plan orizontal este distanţa DAB. Unghiul vertical dintre LAB şi DAB este unghiul de pantă α. Panta terenului este tangenta unghiului α.

AB

AB

AB

D

Htgp

Δ== α de obicei panta se calculează în procente.

100*100*%

AB

AB

AB

D

Htgp

Δ== α

47

Figura 2.17 Calculul pantei dreptei AB

În exemplul dat dacă cota punctului A este 36m a punctului B este 35,45m şi distanţa DAB=75,56m, panta va fi calculată astfel:

%73.0100*56.75

45.3536100*% =

=

=

AB

BA

D

HHp

Altfel spus, la o distanţă orizontală de 100m avem o diferenţă de nivel de 0.73m.

48

3.INSTRUMENTE PENTRU MĂSURAREA UNGHIURILOR

3.1Teodolitul - generalităţi Teodolitul este un instrument topografic utilizat la măsurarea pe teren a direcţiilor unghiurilare orizontale şi verticale. Teodolitul mai poate măsura şi distanţe folosind mira printr-o metoda indirectă de măsurare.

Clsificarea teodolitelor se poate face după mai multe criterii: - după modul de evoluţie în timp; - după gradul de precizie oferit la determinarea direcţiilor

unghiulare; - după firma constructoare.

Clasificarea teodolitelor după modul de evoluţie în timp: • Teodolite clasice, care au fost construite la începutul

secolului al XVIII-lea. Erau instrumente voluminoase şi greoaie, cu lunete lungi şi diametre ale limburilor destul de mari pentru a asigura precizia necesară. Pe teren era necesar să fie rectificate des. Sistemul constructiv, cu părţile componente la vedere, conducea rapid la ancrasarea câmpului vizual şi a axelor.

• Teodolite moderne (optice) au aproape acelaşi principiu constructiv, dar conţin sisteme optice interioare care permit realizarea citirilor la cele două cercuri prin intermediul unui microscop de lectură al cărui ocular se află alături de ocularul lunetei. Datorită acestui sistem de construcţie teodolitele moderne se mai numesc şi teodolite optice. Teodolitele moderne au apărut la începutul anilor 1920 şi sunt perfecţionate în continuu până astăzi. Deosebirea de teodolitele clasice constă în faptul că sunt superioare acestora şi că sunt realizate compact, iar părţile lor componente (limburile de cristal, prismele de lectură, indecşii, etc.) sunt acoperite de o carcasă de protecţie.

• Teodolite electronice (ultramoderne) au apărut odată cu deceniul 7 al secolului trecut şi s-au perfecţionat rapid. Ele conţin un microprocesor care serveşte la afişarea pe un display asemănător

49

cu cel întâlnit la microcalculatoare (format din cristale lichide) a rezultatelor măsurătorilor, precum şi a unei serii de elemente calculate automat (lungimea înclinată, diferenţa de nivel, distanţa orizontală, orientarea, coordonatele, etc.) Telemetrul electro-optic completat cu funcţiunile unui teodolit a condus la staţia totală electronică, dotată cu afişaj digital automat al valorilor măsurate, cu posibilitatea de înregistrare automată în memorii externe, precum şi cu „tracking”, care oferă avantajul de a afişa direcţiile orizontale la fiecare secundă şi o nouă valoare a distanţei la fiecare 3 secunde, existând astfel posibilitatea de a deplasa reflectorul mobil fără a întrerupe vizarea. Realizarea carnetului electronic de teren permite cuplarea la PC şi la plotter. Clasificarea teodolitelor după precizie. Luând drept criteriu de clasificare cea mai mică diviziune t a dispozitivului de citire a unghiurilor, teodolitele (doar cele moderne şi electronice) sunt:

• De precizie slabă (de şantier), pentru care t≥10c (de exemplu Theo 080 şi Theo 120 –Carl Zeiss Jena, Zeiss Th 5, Kern DK1, etc).

• De precizie medie (de şantier), pentru care 20cc ≤t<10c (de exemplu Theo 020 şi Theo 030 Carl Zeiss Jena; Wild T16, Kern K1A şi K1S, Zeiss Th4, Sokkisha T60E, TS20A şi DT6, etc.)

• De precizie (geodezice), pentru care 2cc ≤ t <20cc. • De înaltă precizie (astronomice), pentru care t ≤1cc.

Clasificarea teodolitelor după firma producătoare.

În ultimii ani, firme europene de mare tradiţie şi-au reconsiderat activitatea de producţie (Carl Zeiss Jena şi Zeiss –din Zeiss). Firmele elveţiene Kern şi Wild au fuzionat formând concernul Leica. Pe de altă parte firmele japoneze Sokkisha, Topcon şi Nikon s-au impus pe piaţă oferind instrumente deosebit de performante.

50

3.2 Schema generală a teodolitului

Părţile componente ale unui teodolit (fig.3.1) sunt următoarele:

Figura 3.1 Schema generală a teodolitului

1. luneta topografică modernă, care serveşte la vizarea punctelor de pe teren. Mărirea lunetei este cuprinsă între 18x şi 41x la teodolitele moderne.

2. ocularul lunetei. 3. obiectivul lunetei.

51

4. manşonul (şurubul) de focusare a imaginii. 5. colimatorul, cu care se asigură vizarea aproximativă.

6+7. Cercul vertical, care serveşte la măsurarea unghiurilor de pantă α sau zenitale Z.

6. alidada verticală sau braţul purtător de indecşi de citire.

7. limbul vertical sau cercul vertical gradat, solidar cu luneta.

8. furcile de susţinere pe care se sprijină luneta; în interiorul lor se află un sistem de prisme care preiau şi centralizează citirile de la cele două cercuri, vertical şi orizontal; furca 8a susţine, de asemenea, cercul vertical.

9. lagărele furcilor, care permit mişcarea de rotaţie a fuselor lunetei şi respectiv a lunetei în plan vertical; această mişcare este marcată printr-o săgeată şi prin şuruburile 10 şi 11; lagărele materializează, de asemenea, axa secundară OO .

10. şurubul de mişcare fină a lunetei în plan vertical. 11. şurubul de blocare a mişcării lunetei în plan vertical. 12. şi 13. Cercul orizontal, alcătuit din două platouri

concentrice: 12. cercul alidad, care are în acelaşi timp o funcţiune

mecanică (poartă întreaga suprastructură a teodolitului) şi o funcţiune la măsurarea unghiurilor, fiind prevăzut cu doi indecşi de citire I1 şi I2 diametral opuşi.

13. limbul orizontal (cercul orizontal gradat) ;seamănă cu un raportor de cristal, împărţit în 400g şi rămâne fix (imobil) în timpul operaţiunii de măsurare.

14. prisme diametral opuse, care preiau citirile de la cele două cercuri; ele se află în interiorul furcilor şi formează un ansamblu care dirijează razele luminoase de la cercurile gradate spre dispozitivul de citire 15.

15. dispozitivul de citire a unghiurilor, care poate fi un microscop la teodolitele moderne, sau un afişaj de tip display la instrumentele electronice.

52

16. fiola de sticlă a nivelei torice, are forma unei porţiuni de tor şi este aproape în întregime plină cu un lichid extrem de fluid şi practic necongelabil (amestec de eter şi alcool); după etanşarea tubului-fiolă, în aceasta rămâne o bulă de vapori ai lichidului, numită impropriu bulă de aer; aceasta se autodetaşează întotdeauna în partea cea mai înaltă a fiolei, iar planul tangent la suprafaţa ei superioară, adică din punctul cel mai înalt, sau centrul bulei, este orizontal; tangenta în centrul fiolei în formă de tor, NN , se numeşte directricea nivelei; fiola are, în partea ei superioară, o serie de trăsături gravate echidistant şi simetrice faţă de centrul ei (24).

17. carcasa metalică de protecţie a nivelei torice. 18. articulaţia nivelei torice. 19. şuruburile de rectificare ale nivelei torice.

Nivela torică serveşte la calarea fină (precisă) a teodolitului. 20. nivela sferică, ce serveşte la calarea aproximativă

(provizorie) a instrumentului; este mai puţin precisă decât nivela torică; la partea superioară, fiola are forma unei calote sferice, axa

SSVV fiind normala în centrul acestei calote; fiola de sticlă are

gravat, în jurul punctului central, un cerc pentru calare. 21. carcasa metalică de protecţie a nivelei sferice,

prevăzută cu 3 şuruburi de rectificare 22,23,24 ambaza, cu un triplu rol:

a) de suport al teodolitului; b) de intermediar între corpul teodolitului şi trepied; c) de element pentru calare.

22. partea superioară a ambazei, pe care este fixat corpul (suprastructura) instrumentului.

23. şuruburile de calare, în număr de 3, întrucât orice plan este definit de 3 puncte; ele servesc la operaţiunea de calare, parte componentă a punerii în staţie.

24. placa de tensiune, care serveşte la fixarea teodolitului pe trepied.

25. trepiedul cu picioare culisante, care serveşte la operaţiunea de centrare, componentă a punerii în staţie; trepiedul

53

este confecţionat din lemn, dar partea superioară şi saboţii sunt din metal; la instrumentele Sokkisha, trepiezii sunt realizaţi în întregime din aluminiu.

26. şurubul de prindere a teodolitului de trepied, prevăzut cu un cârlig pentru agăţarea firului cu plumb şi cu un orificiu care permite centrarea optică.

27. şurubul de prindere a teodolitului de ambază. 28. clema repetitoare, pentru orientarea limbului; permite

introducerea unei anumite citiri dorite pe o direcţie din teren. 29. şurubul de mişcare fină a suprastructurii în plan

orizontal. 30. şurubul de blocare a mişcării alidadei, in plan

orizontal; 31. oglinda orientabilă de luminare a limburilor pentru

efectuarea citirilor.

3.3 Axele teodolitului Axele teodolitului sunt următoarele:

Figura 3.2 Axele teodolitului

54

• VV -axa principală de rotaţie, verticală în timpul utilizării aparatului.

• OO -axa secundară (axa fuselor lunetei), orizontală în timpul măsurării unghiurilor. Este axa de rotaţie a lunetei în plan vertical.

• ro -axa de vizare a lunetei. Cele trei axe de mai sus sunt concurente în centrul de vizare (C.V.) al lunetei.

• v

Cv

C -axa cercului vertical, perpendiculară pe axa

secundară OO . •

OC

OC -axa cercului orizontal, perpendiculară prin

construcţie pe axa principală VV. • NN - axa (directricea) nivelei torice. •

SSVV - axa nivelei sferice.

În afară de cele două perpendicularităţi menţionate mai sus, poziţiile reciproce de paralelism şi de perpendicularitate care rezultă din figura 3.2 se obţin efectuând verificări şi rectificări periodice ale instrumentului, înainte de fiecare campanie de măsurători.

3.4 Părţile componente ale teodolitului

3.4.1 Luneta

Luneta teodolitului este dispozitivul care serveşte la vizarea semnalelor pe teren, iar la teodolitele tahimetre serveşte şi la măsurarea indirectă a distanţelor. Ea are trei axe:

- XX axa geometrică; - O1O2 axa optică care uneşte centrul optic al

obiectivului cu centrul optic al ocularului; - rO1 axa de vizare care uneşte centrul reticulului

cu centrul optic al obiectivului.

55

Din punct de vedere geometric cele trei axe trebuie să coincidă. Obiectivul lunetei este un sistem optic şi are rolul de-a forma

imagina obiectelor vizate. Distanţa focală a acestora este cuprinsă între 100 – 700 mm. Ocularul lunetei are rol de-a mări imaginea formată de obiectiv (asemeni unei lupe). Distanţa focală este cuprinsă între 8 – 10 mm. Reticulul lunetei este format dintr-o placă de sticlă pe care sunt gravate foarte fin firele reticulare. Notăm intersecţia firelor reticulare cu r şi de aici derivă axa de vizare a lunetei rO care este dată de punctul r şi centrul optic al obiectivului. Pe lângă firele reticulare reticulul mai are trăsături reticulare scurte, simetric aşezate faţă de firul reticular orizontal numite fire stadimetrice, deoarece servesc la determinarea stadimetrică a distanţelor. De cele mai multe ori firul reticular vertical este jumătate fir simplu, iar cealaltă jumătate este un fir dublu, fapt ce ajută la diverse moduri de punctare a obiectului vizat pe teren.

Figura 3.3 Diverse tipuri de fire reticulare

Mărirea lunetei M este raportul dintre unghiul sub care se vede un obiect vizat prin lunetă şi unghiul sub care se vede acelaşi obiect cu ochiul liber. Reglarea lunetei se face în două etape succesive: - se clarifică firele reticulare privind prin ocularul îndreptat spre un fond alb şi rotind din ocular până avem o imagine clară a acestora; - se clarifică imaginea semnalului vizat prin îndreptarea lunetei spre acesta şi acţionarea manşonului de focusare până la obţinerea unei imaginii clare.

56

3.4.2 Cercurile teodolitului Cercul orizontal poate avea mai multe grade de libertate, fapt

ce conduce la clasificarea teodolitelor după acest criteriu: - teodolite simple – cele la care limbul este fix pe ambază; - teodolite repetitoare – cele la care limbul se poate roti concomitent cu alidada în jurul axei VV. Limbul nu se poate independent de alidadă. - teodolite reiteratoare – limbul se roteşte independent de alidadă, proprietate ce permite introducerea de origini diferite la măsurarea direcţiilor.

La teodolitele optico-mecanice cercurile sunt de sticlă cu gradaţii foarte fine (cca 1μm) şi permit citirea centralizată într-un singur microscop. Cea mai mică diviziune a cercului gradat poate avea următoarele valori:

� pentru sistemul sexagesimal: 10, (1/2)0, (1/3)0, (1/6)0; � pentru sistemul centesimal: 1g, (1/2)g, (1/4)g, (1/5)g, (1/10)g.

Cercul orizontal Acesta serveşte la măsurarea direcţiilor unghiulare orizontale. Părţile sale componente sunt: � limbul cu diametrul între 70mm – 250mm funcţie de

precizia aparatului; � alidada pe care se sprijină suprastructura teodolitului şi se

află şi indicii de citire. La măsurarea unghiurilor orizontale limbul trebuie să fie fix şi orizontal, iar alidada împreună cu indicii de citire se va roti în jurul axei VV. Cercul vertical Acesta serveşte la măsurarea unghiurilor verticale. El este gradat asemeni cercului orizontal şi trebuie să îndeplinească următoarele condiţii: � să fie centric cu axa orizontală a teodolitului OO;

57

� linia de 0 – 200g să se afle în acelaşi plan cu axa de vizare rO a lunetei; � indicii de citire să se afle riguros într-un plan orizontal sau vertical. 3.4.3 Dispozitive de citire unghiulară

Microscopul optic cu scăriţă

Figura 3.4 Dispozitivul de citire unghiulară – Scăriţa Teodolitele optico-mecanice de precizie medie folosesc în cea mai mare parte ca dispozitiv de citire unghiulară microscopul cu scăriţă. Acesta permite citirea centralizată a unghiurilor orizontale şi verticale. Principiul acestuia este prezentat în fig 3.4

Direcţia unghiulară citită pentru Hz (direcţia unghiulară orizontală) este: 303,2600 (trei sute grade, douăzeci şi şase minute).

Direcţia unghiulară citită pentru V (unghiul zenital) este: 99,1300 (nouăzecişi nouă de grade şi treisprezece minute). Pentru a înţelege principiul de citire trebuie să calculăm precizia

58

P=n

a

Unde: a este valoarea unei diviziuni de pe cercul gradat; n este numărul de diviziuni al scăriţei Dacă calculăm precizia obţinem următoarea relaţie

c

cg

n

ap 1

100

100

100

1====

Cu alte cuvinte cea mai mică diviziune a scăriţei reprezintă un

minut. Când citim va trebui să citim gradele ce intersectează scăriţa,

zecile de minute cu valoarea cea mai mică ce încadrează valoarea de grad şi unităţile de minut ce rezultă de la intersecţia valorii de grad cu scăriţa.

Din punct de vedere constructiv, scăriţa este egală cu dimensiunea unui interval de pe cerc, cea ce face ca aceasta să nu fie niciodată intersectată de două valori de grad. Singura situaţie când se poate întâmpla acest lucru este atunci când o diviziune este peste zero al scăriţei şi cealaltă peste 10. În acest caz valoarea ce o citim este cea care intersectează zero al scăriţei. Principiul de citire unghiulară este acelaşi pentru unghiul Hz şi V.

3.4.4 Nivelele teodolitului

Teodolitul are două nivele: nivela sferică şi nivela torică. Acestea sunt utilizate la calarea instrumentului. - Nivela sferică va fi utilizată la calarea aproximativă; - Nivela torică va fi utilizată la calarea fină.

Nivela torică

Nivela torică este o fiolă de sticlă umplută incomplet cu eter sau alcool, care prin vaporizare formează o bulă de gaz, denumită

59

bulă de aer curbată după o rază de cubură „r”. Părţile constructive ale nivelei torice sunt prezentate în figura 3.5:

a)

b)

Figura 3.5 Nivela torică: a)secţiune, b)vedere de sus Componentele nivelei torice sunt următoarele: 1 – montura metalică; 2 – fiola de sticlă; 3 – fereastră; 4 – şurub de rectificare; 5 – suport; 6 – articulaţia; 7 – reperii nivelei; 8 – gradaţiile nivelei la 2 mm; 9 – bula de aer; Elementele caracteristice nivelei torice sunt (figura 3.6):

60

Figura 3.6 Elementele nivelei torice

► mm planul meridian al torului; ► M' – centrul bulei de aer; ► M – punctul mijlociu al torului; ► NN – directricea nivelei torice (tangenta în punctul M la tor); ► d = MM' deplasarea bulei de aer; ► α unghiul de înclinare al directricei; ► r raza de curbură a torului; ► C centrul de curbură al torului; ► a = 2 mm mărimea unei diviziuni de pe fiolă;

Principiul nivelei torice este: pentru acceaşi nivelă unghiul de înclinare α al fiolei este direct proporţional cu deplasarea bulei de aer.

Sensibilitatea nivelei torice este unghiul de înclinare τ al fiolei, înclinare care este corespunzătoare unei deplasări a bulei de aer egală cu o gradaţie a de 2 mm. Cu cât unghiul τ este mai mic, cu atât sensibilitatea nivelei este mai mare. În mod curent sensibilitatea nivelei torice se exprimă în secunde sexagesimale ale unghiului la centru corespunzător unei diviziuni a nivelei.

s = τ'' = ( a / r )ρ'' = 4'' 105 / r

Sensibilitatea nivelei torice este direct proporţională cu raza

de curbură, pentru o sensibilitate mare avem rază de curbură mare.

61

Nivela sferică Nivela sferică este formată dintr-o fiolă de sticlă de formă

cilindrică având partea superioară sub forma unei calote sferice. Raza de curbură la nivelele sferice este cuprinsă între: 0,5 – 3 m. Fiola este umplută cu eter sau alcool şi este închisă ermetic. Este montată într-o cutie de protecţie metalică care este prinsă de suport cu trei şuruburi. Partea cea mai de sus a calotei sferice reprezintă punctul central al nivelei prin care trece axa VsVs care este perpendiculara la planul tangent în punctul central al nivelei. Gradaţiile nivelei sunt cercuri concentrice cu centrul şi distanţate între ele la 2 mm.

Figura 3.7 Nivela sferică

3.5 Instalarea aparatului în staţie

Instalarea aparatului în staţie se realizează prin trei operaţii succesive: –centrare –calare –punere la punct a lunetei

62

Figura 3.8 Instalarea aparatului în staţie

3.5.1 Centrarea. Este procedeul topografic prin care aparatul este instalat deasupra punctului matematic al staţiei. Acest lucru se poate realiza cu firul cu plumb, cu sistemul optic de centrare sau cu fasciculul laser. Primul procedeu nu este recomandat deoarece nu oferă o precizie prea bună (cca 2-3 cm) şi totodată este anevoios de realizat datorită condiţiilor de lucru (balans al firului cu plumb la intensificări ale vântului). Centrarea cu sistemul optic se realizează în două etape:

– în prima etapă se instalează trepiedul aproximativ deasupra punctului de staţie, astfel încât să fie cât mai orizontal şi la o înălţime convenabilă (de regulă trepiedul trebuie să fie la nivelul pieptului operatorului). – în a doua etapă se prinde aparatul pe măsuţa trepiedului şi se fixează unul din picioarele trepiedului. Se priveşte prin sistemul optic de centrare şi se manevrează celelalte două picioare ale trepiedului până când punctul marcat în centrul sistemului optic de centrare corespunde cu punctul matematic al staţiei. 3.5.2 Calarea. Este procedeul topografic de orizontalizare a aparatului. Calarea se execută în două etape: – calarea aproximativă – cu ajutorul nivelei sferice; – calarea fină – din cele trei şuruburi de calare şi nivela torică.

63

Calarea aproximativă se face prin orizontalizarea nivelei sferice din picioarele trepiedului astfel: – se aduce nivela sferică pe direcţia unuia din picioarele trepiedului şi se manevrează aceasta (culisând pe verticală) până se aduce nivela sferică în cerculeţul reper sau se trimite aceasta pe direcţia altui picior al trepiedului. Dacă nivela intră în reper calarea aproximativă s-a terminat, dacă nu se roteşte aparatul până când nivela ajunge pe direcţia piciorului pe care a „fugit” la etapa anterioară şi se acţionează din acel picior. Se repetă aceste manevre până când se calează nivela sferică.

Calarea fină se face din cele trei şuruburi de calare cu ajutorul nivelei torice în două poziţii succesive.

Poziţia 1 Poziţia 2

Figura 3.9 Calarea teodolitului – poziţia I –se aduce nivela torică paralel cu două şuruburi de

calare şi se rotesc cele două şuruburi concomitent şi antagonic până când nivela torică intră între repere; – poziţia II –se roteşte nivela cu 90° şi se acţionează din al treilea şurub de calare până când se aduce nivela între repere. Se verifică calarea rotind nivela cu 180° faţă de prima poziţie caz în care aceasta trebuie să rămână calată, dacă nu se reiau operaţiile anterioare până când nu mai există nici o deplasare a nivelei torice faţă de poziţia centrală. După terminarea calării se

64

verifică centrarea, iar în cazul în care s-a stricat centrarea se poate translata aparatul pe măsuţa trepiedului.

3.5.3 Vizarea se face în trei etape (timpi) 1. Vizarea aproximativă, care se face cu mişcările lunetei

deblocate, prin suprapunerea colimatorului (5 –fig.3.1) pe semnalul topografic din teren, după care se blochează mişcările generale în plan orizontal şi vertical.

2. Punerea la punct a imaginii din lunetă. Se începe prin clarificarea imaginii reticulului prin intermediul ocularului, respectiv ajustarea ocularului la posibilităţile vizuale ale operatorului, până ce imaginea firelor reticulare apare foarte clară şi atât de neagră pe cât este posibil. Apoi se realizează focusarea imaginii semnalului topografic din teren, acţionând asupra şurubului sau inelului de focusare.

3. Vizarea definitivă (punctarea) –fig.3.10 –constă în aducerea centrului r al reticulului pe semnalul vizat S acţionând asupra şuruburilor de mişcare fină în plan orizontal şi vertical (29 şi 10 în fig.3.1).

Figura 3.10 Vizarea semnalelor

65

Poziţiile lunetei (poziţiile teodolitului sau ale cercului vertical) au fost alese prin convenţie după cum urmează: -poziţia I, în care cercul vertical se află la stânga lunetei (respectiv la stânga operatorului care vizează prin lunetă); pentru a diminua o eroare de construcţie, prin convenţie s-a stabilit ca în poziţia I sensul de rotaţie în plan orizontal al alidadei şi al lunetei să fie sensul acelor de ceasornic. -poziţia a II-a în care cercul vertical este situat în dreapta lunetei; în acest caz s-a convenit ca sensul de rotaţie în plan orizontal al alidadei şi al lunetei să fie în sensul trigonometric.

3.6 Tahimetre electronice 3.6.1 Principii utilizate la măsurarea electro – optică a

distanţelor

Principiul de bază al tahimetrelor electronice este acela că toate aparatele emit o undă electromagnetică de la un emiţător spre un reflector, care după reflexie ajunge la un receptor şi apoi este prelucrată. Preponderent se folosesc unde electromagnetice cu lungimea de undă 0,5 μm – 1,0 μm. Se pot formula trei principii de măsurare, două dintre ele folosesc unda emisă ca şi semnal pe care se fac măsurătorile, iar al treilea principiu modulează unda emisă suprapunând acesteia un alt semnal pe care se execută măsurătoarea. Pot fi astfel enumerate următoarele procedee: � procedeul cu impulsuri – la care emiţătorul emite în intervale foarte scurte de timp semnale, iar fascicolul serveşte şi la măsurarea distanţei; � procedeul prin interferenţă – semnalul emis este folosit şi ca semnal pe care se face măsurătoarea; � procedeul fazic – semnalului continuu emis i se modulează un semnal pe care se face măsurătoarea. În prezent cel mai des utilizat procedeu este cel fazic.

66

Procedeul cu impulsuri Măsurarea distanţei se bazează pe determinarea timpului de propagare conform figurii 3.11. Dacă se măsoară timpul t al unui impuls, care străbate distanţa emiţător – reflector şi înapoi, atunci se poate obţine direct distanţa căutată D conform relaţiei următoare:

tn

cD

2

0=

unde: c0 – este viteza luminii în vid = 299 792 m/s, n – indicele de refracţie al atmosferei

Dacă calculăm viteza de propagare a semnalului n

c

c0

= , rezultă:

2

ctD =

Figura 3.11 Principiul măsurării distanţei

Măsurarea timpului de propagare se realizează cu ajutorul unui contor electronic, prezentat în figura 3.12.

67

Figura 3.12 Măsurarea timpului de propagare

La emiterea impulsului, o mică parte a acestuia este deviată pe receptor, care pune în funcţiune contorul. Contorul înregistrează atâta timp, până când semnalul reflectat de reflector stopează înregistrarea. Viteza luminii având o valoare foarte mare se pun condiţii deosebite la precizia cu care trebuie măsurat timpul de propagare. Pornind de la relaţia de calcul a distanţei, având t = 2D/c, rezultă precizia măsurării timpului st la o precizie pentru măsurarea distanţei sD, dată a priori:

Dts

cs

2=

Dacă trebuie măsurată cu o precizie de ±5mm, rezultă precizia de măsurare a timpului de propagare st= 0,33*10-10s = 0,033ns. Este de remarcat faptul, că cerinţele de precizie foarte ridicată pentru măsurarea timpului de propagare sunt independente de distanţă. Pentru a răspunde la cerinţele de precizie foarte ridicate pentru măsurarea timpului de propagare, la instrumentele geodezice se folosesc două procedee: procedeul digital şi procedeul analog – digital. La aparatele cu măsurare digitală a timpului de propagare, se folosesc oscilatoare cu frecvenţă foarte mare: 300MHz. Impulsul emis porneşte oscilatorul, care contorizează tactul până când impulsul reflectat de reflector închide contorizarea. Oscilaţiile contorizate pe

68

durata timpului de propagare corespund distanţei parcurse de undă. Cu această tehnică a frecvenţei ridicate se ajunge la o rezoluţie în domeniul decimetric. Prin măsurători repetate şi efectuarea mediilor, creşte potenţialul de precizie până la domeniul milimetric. Măsurarea analog – digitală a timpului este executată cu un oscilator cu o frecvenţă de 15MHz. Pe durata timpului de propagare este contorizat numărul n al oscilaţiilor complete. Nu sunt măsurate fracţiunile dintr-o oscilaţie. Dacă frecvenţa este de 15MHz, rezultă că rezoluţia în m pentru măsurarea distanţei este de 10m, care trebuie evident îmbunătăţită. Acest procedeu analog – digital permite o rezoluţie în domeniul milimetric deja de la o singură măsurătoare. Şi la acest procedeu, pentru creşterea rezoluţiei, sunt generate şi prelucrate un număr mare de impulsuri într-un interval de timp. Frecvenţa de generare a acetor impulsuri este şi ea limitată. Pentru a efectua o măsurătoare univocă, este necesar ca impulsul emis să fie recepţionat şi prelucrat, înainte de emiterea unui nou impuls.

Avantajele procedeului cu impulsuri sunt: � pot fi realizate măsurători univoce, cu rezoluţii foarte mari, în intervale de timp scurte; � pot fi măsurate distanţe mari întrucât impulsurile au o energie destul de ridicată; � există posibilitatea măsurării unor distanţe reduse fără receptor special, chiar spre obiecte inaccesibile din teren; Dezavantajele procedeului cu impulsuri sunt: �din motive de securitate, energia impulsului nu poate fi mărită peste limita admisă de măsurători; � sunt necesare realizări tehnice deosebite, pentru a putea cuprinde efectul perturbator al parametrilor atmosferici asupra impulsului. Procedeul cu interferenţă Acest procedeu presupune suprapunerea a două unde luminoase de aceeaşi lungime de undă. Generarea celor două unde luminoase este realizată cu un laser, a cărui radiaţie coerentă (cu

69

frecvenţă constantă şi faze egale) este descompusă de un interferometru în două raze de aceeaşi intensitate. Dacă aceste două raze parcurg drumuri optice diferite şi ulterior sunt suprapuse, ele se vor amplifica sau diminua funcţie de diferenţa de fază dintre ele. Dacă ambele semnale sunt de aceeaşi fază se obţine cea mai mare amplificare, iar dacă sunt defazate cu λ/2 ele se anulează. Diferenţa de fază depinde de drumul optic parcurs de cele două raze. Dacă ambele raze sunt dirijate spre un fotodetector şi se variază continuu drumul optic al uneia dintre raze, fotodetectorul va înregistra o serie de alternanţe întunecat – luminos. Numărul acestor alternanţe, reprezintă o măsură pentru variaţia distanţei. Acest procedeu este utilizat la interferometrul Michelson. Aici lumina coerentă de lungime de undă λ emisă de un laser este descompusă de un interferometru în două radiaţii, una dintre ele fiind dirijată spre un reflector fix în spaţiu, iar cealaltă spre unul mobil. Razele reflectate sunt recepţionate de acelaşi interferometru unde sunt suprapuse şi dirijate spre un fotodetector figura 3.13.

Figura 3.13 Principiul măsurării distanţei cu interferenţă

Presupunem, pentru început, că cele două semnale

luminoase care ajung la fotodetector au aceeaşi fază. Fotodetectorul va oferi o tensiune maximă, corespunzătoare luminozităţii maxime obţinute din suprapunerea celor două semnale. Dacă reflectorul mobil se va deplasa cu o valoare de λ/4, al doilea semnal va parcurge un drum optic mai lung cu λ/2. Compunerea celor două semnale în fotodetector va genera o anulare a semnalului compus, întrucât cele două semnale sunt defazate cu λ/2. La o nouă deplasare a reflectorului mobil cu λ/4, va apare din nou un maxim de luminozitate deci şi de tensiune. Dacă aceste variaţii de maxime N sunt

70

contorizate, rezultă pentru deplasarea totală a reflectorului mobil distanţa dată de

2

λND =

Rezoluţia acestui procedeu este de λ/2. La o lungime de

undă de 0,6μm vom avea o rezoluţie de 0,3μm. Chiar şi această rezoluţie poate fi mărită prin interpolare electronică.

Acest procedeu oferă o rezoluţie superioară care poate fi mărită până la 0,1μm, însă numai pentru distanţe foarte scurte, întrucât parametrii atmosferici influenţează rezultatul. La o distanţă de 50m se poate atinge o precizie de 5*10-7.

Avantajele procedeului interferometric sunt: � este metoda cea mai precisă pentru determinarea

distanţelor; � are rezoluţia cea mai ridicată pentru măsurarea

distanţelor. Dezavantajele acestei metode sunt următoarele: � aparatura bazată pe această tehnică este foarte

costisitoare, iar măsurătoarea este foarte laborioasă; � procedeul poate fi aplicat numai dacă reflectorul mobil se

deplasează riguros în lungul axei optice a laserului; � procedeul se poate aplica raţional numai pentru lungimi

de 50m. � pentru realizarea interferenţei sunt necesare reglaje de

precizie deosebit de ridicate; � prin acest procedeu nu se obţin informaţii referitoare la

direcţia de deplasare a reflectorului mobil. În concluzie, procedeul interferometric îşi găseşte aplicaţie

mai mult în laboratoarele de etalonare şi calibrare şi mai puţin în practica geodezică.

Procedeul fazic La acest procedeu, o undă purtătoare este modulată cu un

semnal sinusoidal ce serveşte la măsurarea distanţelor. Frecvenţa de

71

modulare este a priori fixată şi se consideră stabilă, astfel încât lungimea de undă a semnalului modulat va fi:

f

c=λ

Unda modulată este emisă spre un reflector, care reflectă

semnalul înapoi la un receptor. După parcurgerea distanţei dus – întors, unda va fi defazată faţă de cea emisă (figura 3.14). Dublul distanţei va fi dat de un multiplu de N lungimi de undă λ a undei modulate şi diferenţa de fază Δλ

2D = Nλ + Δλ sau 22

λλ Δ+= ND

Figura 3.14 Principiul măsurării distanţei fazic În continuare trebuie determinate fracţiunile de lungimi de

undă Δλ şi numărul total de lungimi de undă N. Într-o primă fază se determină fracţiunea de lungime de undă

Δλ prin măsurarea diferenţei de fază dintre semnalul emis şi cel reflectat.

Semnalul emis este de forma: YA = A*sinωt

Semnalul recepţionat este:

72

YR = A*sin(ωt + ϕ2D)

Semnalul recepţionat este defazat faţă de cel emis cu valoarea :

ϕ2D = N*2π+Δϕ

2π corespunde unei lungimi de undă complete. Detectorul de fază poate determina din diferenţa de fază ϕ2D doar componenta Δϕ. Cu aceasta se poate calcula Δλ cu relaţia:

λπ

ϕλ

2

Δ=Δ

Prin determinarea fracţiunii de lungime de undă Δλ,

măsurătoarea nu este însă univocă, întrucât numărul de lungimi de undă N rămâne necunoscut. Un rezultat univoc ar pute fi obţinut doar dacă lungimea de undă ar fi mai mare decât dublul distanţei de măsurat. Rezoluţia la procedeul fazic fiind însă doar în limita de 1:5 000 până la 1:10 000 din lungimea de undă, rezultă o precizie foarte scăzută. La o lungime de undă de 10 km, precizia de determinare a distanţei ar fi limitată la 1÷2 m, şi în consecinţă ar fi posibilă doar determinarea unei distanţe aproximative. Dacă se doreşte o precizie superioară trebuie lucrat practic cu două lungimi de undă, una pentru determinarea valorii aproximative şi alta pentru măsurătoarea de precizie. Măsurătoarea de precizie cu o lungime de undă scurtă λ1 ar oferi prin rezoluţia Δλ1 rezultatul dorit. Valoarea Δλ2 al măsurătorii grosiere cu lungimea de undă λ2 (cu λ2> 2D) serveşte în această situaţie doar la determinarea numărului întreg de lungimi de undă N pentru λ1. Pentru distanţa căutată vom putea scrie relaţiile:

2D = Nλ1 + Δλ1 şi 2D≅ Δλ2

de unde rezultă:

73

1

12

λ

λλ Δ−Δ=N

Pentru N se va rotunji rezultatul la un număr întreg. La aparatele moderne compunerea măsurătorii grosiere şi a

celei fine este realizată de un microprocesor. Pentru determinarea diferenţei de fază sunt utilizate în

prezent trei tehnici diferite: - măsurarea analogică a fazei, - măsurarea fazei cu frecvenţă de modulaţie variabilă; - măsurarea digitală a fazei. Avantajele procedeului fazic sunt: � este un procedeu bine testat, utilizat astăzi la foarte multe

tahimetre electronice; � procedeul nu este sensibil la întreruperea temporară a

undei. Dezavantajele metodei sunt: � o măsurătoare univocă nu este posibilă cu un singur

semnal, deci cu o singură lungime de undă; � este procedeul ce necesită o optică complexă şi

sofisticată, � alimentarea cu energie necesită baterii puternice şi

durabile. 3.6.2 Prezentarea generală a unei staţii totale Tahimetrele electronice sunt instrumentele geodezice cel mai

des utilizate în măsurătorile terestre. Evoluţia lor, din punct de vedere electronic, a condus la denumirea de staţie totală care presupune atât o măsurare a elementelor caracteristice pentru un tahimetru clasic, cât şi o serie de controale şi calcule diret pe teren, cum ar fi: stocarea automată a datelor, calcule prin programe specifice a orientării, coordonatelor, elementelor de trasat etc.

74

Componentele principale ale unei staţii totale sunt: teodolitul, telemetrul, tastatura şi afişajul şi microprocesorul. Teodolitul este electronic. Constructiv, teodolitele electronice au forma, elementele componente şi axele asemănătoare teodolitelor clasice, diferenţele cele mai importante apărând la construcţia cercurilor gradate şi la dispozitivele de efectuare a lecturilor. Dispozitivele de citire generează impulsuri care sunt transformate de un microprocesor în semnale codificate ce sunt transmise către echipamente periferice. Pe afişaj vor apărea valorile direcţiilor sau unghiurilor măsurate. Se poate introduce orice lectură (inclusiv valoarea zero) pe direcţia origine. Înregistrarea citirilor se face pe suporţi magnetici, fie pe o dischetă introdusă în aparat. Erorile care afectează măsurătorile au, în general, acelaşi caracter (sistematic sau întâmplător), aceleaşi surse de provenienţă şi aceleaşi moduri de determinare şi eliminare ca la teodolitele clasice. Diferenţa constă în faptul că microprocesorul poate efectua automat medierea lecturilor corespunzătoare ambelor poziţii ale lunetei şi poate semnala eventualele erori de punctare. Telemetrul este de tip electrooptic şi este încorporat în teodolit. Toate corecţiile ce se aduc distanţelor măsurate şi care pot fi evaluate cu ajutorul unor relaţii matematice, sunt aplicate automat Tastatura şi afişajul asigură comunicarea operator – instrument în efectuarea măsurătorilor şi controlul acestora. Tastatura este din ce în ce mai simplificată, evitându-se tastele multifuncţionale, aplicând tehnica meniurilor. Ecranul de afişare este cu cristale lichide, în sistem alfanumeric, cu tendinţe de mărire pentru a permite afişarea simultană a tuturor informaţiilor (date măsurate, comenzi executate, corecţii aplicate etc.) Microprocesorul este componenta cea mai importantă a staţiei totale, având funcţii multiple. Prin intermediul programelor existente în memoria acestuia ce acţionează asupra perifericelor şi în memoria de date. Există posibilitatea cuplării cu carnete electronice de teren pentru facilitarea stocării datelor şi utilizarea în prelucrare a

75

unor date mai vechi precum şi a unor programe de calcul specifice măsurătorilor topografice.

Dintre cele mai utilizate staţii totale de la noi din ţară se pot enumera produsele firmei WILD-Leica, Topcon, Pentax care s-au impus pe piaţă datorită caracteristicilor lor.

Staţii totale produse de firma Topcon Staţiile totale produse de firma Topcon din seria GPT –

3000(L)N sunt staţii totale cu impulsuri laser, având posibilitatea de a efectua măsurători fără prismă până la distanţa de 250m (GPT – 3000N) şi până la distanţa de 1200m (GPT – 3000NL). Softul incorporate este variat având funcţii complete necesare pentru memorarea datelor şi calculelor specifice operaţiilor de ridicare şi trasare pe teren a elementelor caracteristice lucrărilor topo-cadastrale executate.

a) b)

76

Figura 3.15 Staţii totale firma Topcon: a - GPT – 3000(L)N; b)GPT – 7000 Windows CE

Staţia totală GPT – Windows CE oferă posibilitatea efectuării

măsurătorilor fără prismă pentru distanţe până la 250m şi cu o prismă pentru distanţe până la 3000m. Prezintă avantajul că are instalat programul Windows CE Net oferind legătura permanentă cu informaţiile de pe Internet.

Staţii totale produse de firma Leica Staţiile totale ale firmei Leica din gama TPS400 şi TPS800 au

o memorie a datelor de minim 10 000 măsurători oferind avantajul executării lucrărilor de intindere mare în timp relatic scurt. Manevrarea pe teren este rapidă şi precisă cu ajutorul sistemului laser de centrare şi afişarea digitală a nivelei torice. Şuruburile de mişcare micrometrică pe orizontală au posibilitate de rotaţie infinită oferind rapiditate şi precizie la măsurare.

Măsurarea unghiurilor se face cu o deviaţie standard cuprinsă între 3" şi 7" la gama TPS 400 şi între 2" şi 5" la gama TPS800. distanţa maximă măsurată cu o prismă este de 3500m într-un timp mai mic de 1 secundă.

Softul de transfer al datelor oferă posibilitatea afişării simultane pe monitorul calculatorului atât a datelor preluate din staţia totală cât şi a hard disk-ului calculatorului pentru o operare rapidă asupra fişierelor din ambele sensuri.

77

a) b) Figura 3.16 Staţii totale produse de firma Leica: a) TPS400,

b)TPS800 Staţii totale produse de firma Pentax

a) b)

Figura 3.17 Staţii totale produse de firma Pentax: a) Pentax V -200; b) Pentax R- 300

78

Staţiile totale produse de firma Pentax au o capacitate de memorare a punctelor de 6000 puncte pentru gama V-200 şi 20 000 de puncte pentru gama R – 300.

Performanţele se remarcă prin distanţa măsurată cu o prismă este de 1000m şi 1400m pentru gama V-200 şi de 3500m pentru cele din gama R-300 şi precizia de măsurare a unghiurilor de 1", 2".

Prin softul incorporat oferă posibilităţi de prelucrare a datelor direct pe teren pentru problemele uzuale apărute cum ar fi: calcul de retrointersecţii, calcul de drumuiri, calcul de suprafeţe, trasări de puncte pe aliniament ş.a.m.d.

79

4.MĂSURAREA UNGHIURILOR 4.1 Măsurarea unghiurilor orizontale

Măsurarea unghiurilor orizontale se face prin mai multe metode, cele mai utilizate fiind: metoda diferenţelor de citiri, metoda cu zero în coincidenţă, iar în cazul când se măsoară mai multe unghiuri din aceiaşi staţie, metoda în tur de orizont. Pentru control şi pentru eliminarea anumitor erori instrumentale măsurătorile se fac în ambele poziţii ale lunetei. 4.1.1 Măsurarea unghiurilor orizontale prin metoda diferenţelor de citiri (simplă)

Procedeul se practică atunci când urmează a se măsura un singur unghi din staţie. Se procedează astfel:

–se instalează instrumentul în staţie (centrare, calare) şi se vizează cu luneta în poziţia I câtre punctul A. După punctare se execută citirea la cercul orizontal a direcţiei unghiulare orizontale către A; –se deblochează aparatul, se roteşte în sens topografic (orar), se vizează şi punctează semnalul din punctul B, se citeşte la cercul orizontal direcţia unghiulară orizontală către B; În figura 4.1 s-au folosit următoarele notaţii:

-V –punctul de staţie al aparatului -C1 – direcţia unghiulară orizontală citită din punctul de staţie

către punctul A; -C2 – direcţia unghiulară orizontală citită din punctul de staţie

către punctul B; -ω – unghiul orizontal dintre cele două direcţii calculat ca

diferenţă dintre acestea două.

80

Figura 4.1 Metoda simplă de măsurare a unghiurilor

orizontale Pentru control se recomandă să se repete măsurarea şi în

poziţia a doua a lunetei. În acest caz se va viza întâi punctul B apoi rotind în sens

antiorar se va viza punctul A, efectuând citiri către fiecare punct. Diferenţa citirilor reprezintă unghiul ω″. Dacă Δω=ω″ - ω′

≤ T , T= 2eω , eω este eroarea de citire a unei direcţii într-o singură poziţie a lunetei, atunci valoarea unghiului orizontal se calculează ca medie aritmetică a celor două valori.

2

```

ωω

ω

+=

Direcţii orizontale

măsurate PS PV

Poziţia I Poziţia a II a

Media Unghiul ω

A 98,75 298,76 98,7550 V B 165,85 365,84 165,8450

67,0900

81

4.1.2 Măsurarea unghiurilor orizontale prin metoda în tur de orizont Metoda se utilizează atunci când se doreşte măsurarea mai

multor unghiuri dintr-un singur punct de staţie, dar şi atunci când se măsoară un singur unghi din staţie (cazul drumuirilor).

Figura 4.2 Metoda turului de orizont

Această metodă presupune instalarea aparatului în staţie

(centrare, calare), iar apoi măsurarea direcţiilor orizontale prin vizare cu aparatul către punctele A,B,C şi D. Obligatoriu la această metodă este ca după citirea direcţiilor orizontale către punctele A,B,C şi D turul de orizont să se încheie cu o nouă citire spre punctul de început (A).

După terminarea măsurătorilor pe teren se verifică eroarea de neînchidere în tur de orizont care reprezintă diferenţa dintre citirile direcţiei orizontale către punctul cu care s-au început şi s-au terminat măsurătorile.

i

A

f

ATO cce −= , eTO ≤ TTO Eroarea trebuie să se înscrie în toleranţa permisă în tur de

orizont care se calculează cu formula: npTTO

= , unde p reprezintă precizia de citire a teodolitului, iar n numărul de direcţii

82

vizate. Dacă eroarea nu se înscrie în toleranţă măsurătorile se reiau. Pe baza erorii se poate face compensarea turului de orizont.

Atât datele din teren cât şi cele rezultate prin compensare se vor trece într-un tabel:

Direcţii orizontale măsurate

PS PV

Poziţia I

Poziţia a II a

Media Corecţii Direcţii compensate

Unghiul orizontal

A 85,26 285,25 85,2550 - 85,2550

B 126,33 326,33 126,33 25CC 126,3325 41,0775

C 210,56 10,57 210,5650 50CC 210,5700 84,2375

D 327,85 127,84 327,8450 75CC 327,8525 117,2825

S

A 85,25 285,24 85,2450 100CC 85,2550 157,4025

Compensarea turului de orizont

1. Calculul corecţiei: TOTO

ec −=

2 Calculul corecţiei unitare: n

ck

TO

TO=

3 Repartizarea corecţiei unitare măsurătorilor efectuate, în progresie aritmetică începând cu punctul B 4. Calculul direcţiilor compensate prin însumarea algebrică a mediilor valorilor măsurate cu corecţia acordată 5.Verificarea compensării: compensarea este corectă dacă valoarea măsurată către punctul A este identică cu cea compensată către A 6.Calculul unghiurilor orizontale între direcţiile măsurate

4.1.3 Măsurarea unghiurilor orizontale prin metoda repetiţiei

Această metodă se aplică la măsurarea cu precizie a unghiurilor orizontale. Metoda presupune măsurarea unui unghi de mai multe ori, având de fiecare dată ca origine de citire valoarea unghiului obţinută în determinarea precedentă.

83

Pentru măsurarea repetată a unghiului orizontal ωAB vom proceda astfel: � se vizează punctul A şi se efectuează citirea CA; � se vizează punctul B şi se efectuează citirea CB după care se blochează mişcarea înregistratoare şi se roteşte aparatul înapoi către A; � cu viza pe A se deblochează mişcarea înregistratoare şi se vizează din nou B efectuând citirea C'

B după care se blochează mişcarea înregistratoare şi se roteşte aparatul înapoi către A; � cu viza pe A se deblochează mişcarea înregistratoare şi se vizează din nou B efectuând citirea C"

B şi operaţiile se pot repeta de n ori; În final se calculează n valori pentru unghiul orizontal ca diferenţă de citiri, iar valoarea definitivă a unghiului ωAB va fi media aritmetică a celor n valori calculate.

4.1.4 Măsurarea unghiurilor orizontale prin metoda

reiteraţiei se aplică atunci când vrem să eliminăm erorile de divizare ale limbului şi constă în efectuarea mai multor serii cu origini diferite. Intervalul dintre originile seriilor se calculează cu relaţia:

mn

I

g

*

400= unde n este numărul de serii, iar m este numărul

dispozitivelor de citire

4.2 Măsurarea unghiurilor verticale Unghiurile verticale se vor citi direct în aparat, fără a fi

calculate prin diferenţă de direcţii cum am făcut la unghiurile orizontale. Modul de lucru pe teren � instalăm aparatul în punctul A; � măsurăm înălţimea "I" a aparatului care este distanţa pe verticală de la ţăruşul punctului de staţie până în axa orizontală a aparatului;

84

� vizăm pe mira instalată în punctul B astfel încât firul reticular orizontal să se proiecteze pe miră la diviziunea corespunzătoare înălţimii aparatului; � citim în aparat valoarea unghiului vertical indicată de cadranul notat cu V, aceasta este valoarea unghiului zenital "z" dacă diametrul de 0g – 200g este dispus în acelaşi plan cu axa de vizare rO. Se recomandă să se efectueze citiri în ambele poziţii ale lunetei, astfel: Poziţia I: Z1=C1 Poziţia aIIa: Z2=400g – C2

gCCZZ

Z 20022

2121+

=

+

=

Unghiul de pantă α poate fi calculat în funcţie de unghiul zenital mediu: α = 100g – Z sau α1 = 100g – C1 α2 = C2 – 300g

gcc

20022

1221−

=

+

=

αα

α

Figura 4.3 Măsurarea unghiurilor verticale

85

4.3 Probleme propuse spre rezolvare 1.Se dau direcţiile unghiulare orizontale măsurate dintr-un punct de staţie prin metoda turului de orizont cu un aparat de precizie p = 1c

Direcţii unghiulare orizontale măsurate

PS PV

Poziţia I Poziţia II 1 27.25 227.24 2 78.49 278.48 3 145.66 345.67 4 254.98 54.99 5 321.74 121.75

S

1 27.24 227.23

Se cere să se compenseze turul de orizont şi să se calculeze unghiurile orizontale dintre direcţiile măsurate.

2.Se dau direcţiile unghiulare orizontale măsurate dintr-un punct de staţie prin metoda turului de orizont cu un aparat de precizie p = 10cc

Direcţii unghiulare orizontale măsurate

PS PV

Poziţia I Poziţia II 1 265.3470 65.3460 2 355.4780 155.4790 3 89.2360 289.2350 4 123.6540 323.6540 5 197.9930 397.9940

S

1 265.3480 65.3470

Se cere să se compenseze turul de orizont şi să se calculeze unghiurile orizontale dintre direcţiile măsurate.

86

5. ÎNDESIREA REŢELELOR DE TRIANGULAŢIE Pentru determinarea punctelor geodezice de ordin inferior vom aplica metoda intersecţiilor. Acestea sunt de 4 tipuri: ► intersecţia înainte ► intersecţia înapoi ► intersecţia laterală ► intersecţia liniară Toate au o caracteristică comună şi anume aceea că von determina un punct nou cu ajutorul mai multor puncte vechi. Se folosesc mai multe puncte vechi, deoarece se doreşte calculul punctului nou din mai multe combinaţii. Erorile ce apar în calculul coordonatelor punctelor vechi se transmit şi calculelor coordonatelor punctului nou, P, astfel încât nu vom obţine un singur punct , ci 3 puncte ce formează un triunghi de eroare al intersecţiei. Cu cât aria acestui triunghi este mai mică, cu atât determinările sunt mai bune dar niciodată aria acestuia nu va fi zero. Dacă valorile coordonatelor punctului P sunt sensibil apropiate vom lua o valoare medie pentru valoarea finală a punctului P.

5.1 Intersecţia înainte Se dau trei puncte vechi: 1(X1,Y1), 2(X2,Y2), 3(X3,Y3) Se cer coordonatele punctului nou P(Xp,Yp) Se măsoară direcţii unghiulare orizontale din punctele vechi către punctul nou şi celelalte puncte vechi. De exemplu din punctul 1 către punctul P şi punctul 2, ş.a.m.d.

87

Figura 5.1 Principiul intersecţiei înainte

Etape de calcul Calculul coordonatelor punctului P se poate face pe cale trigonometrică sau analitică. Rezolvarea trigonometrică

1.Calculul unghiurilor orizontale ca diferenţe dintre direcţiile unghiulare orizontale măsurate α, β 2.Calculul unghiului interior „a”

a = 200 – (α+ β) 3.Calculul distanţei dintre punctele vechi

2

21

2

2112)()( YYXXD −+−=

4.Se aplică teorema sinusului pentru calculul distanţelor dintre punctele vechi şi punctul nou

88

a

DD

a

DD

DD

a

D

P

P

PP

sin

sin

sin

sin

sinsinsin

12

2

12

1

2112

β

α

αβ

=

=

==

1. Calculul orientărilor

G

P

P

XX

YYarctg

2001221

212

121

12

12

12

±=

−=

+=

−=

θθ

βθθ

αθθ

θ

2. Calculul coordonatelor absolute

XP=X1+D1Pcos θ1P YP=Y1+D1Psinθ1P Sau XP=X2+D2Pcos θ2P YP=Y2+D2Psinθ2P

Dacă între coordonatele punctului P sunt diferenţe la

centimentri se va lua ca valoare finală media aritmetică a celor două valori.

Rezolvarea analitică

1. Calculul unghiurilor orizontale ca diferenţe dintre direcţiile unghiulare orizontale măsurate α, β

2. Calculul orientărilor:

89

G

P

P

XX

YYarctg

2001221

212

121

12

12

12

±=

−=

+=

−=

θθ

βθθ

αθθ

θ

3. Se scriu ecuaţiile dreptelor 1P şi 2P

2

2

2

1

1

1

XX

YYtg

XX

YYtg

P

p

P

P

Pp

=

=

θ

θ

Din cele două ecuaţii se va forma un sistem de două ecuaţii cu două necunoscute: XP şi YP. Rezolvănd acest sistem se obţin relaţiile următoare

PPP

PPP

PP

PP

P

tgXXY

sau

tgXXY

tgtg

YYtgXtgXX

22

11

21

122211

)(

)(

θ

θ

θθ

θθ

−=

−=

−+−=

Se vor calcula două valori pentru YP în final luând media aritmetică a celor două valori.

Pentru control se va calcula punctul P şi din altă combinaţie, de exemplu triunghiul 23P.

90

5.2 Intersecţia înapoi – rezolvarea POTHENOT

Se dau coordonatele punctelor vechi 1, 2, 3, 4 şi direcţiile unghiulare orizontale măsurate din punctul nou P către punctele vechi

Figura 5.2 Schema vizelor la intersecţia înapoi

Se cere să se calculeze coordonatele punctului P Rezolvare

1.Calculul unghiurilor orizontale α, β, γ din diferenţa direcţiilor unghiulare orizontale

2.Calculul orientării θ1

Pentru rezolvare se face un artificiu de calcul, notând cu θ1 orientarea dreptei 1P. Ducem apoi paralele prin punctele 2 şi 3 la direcţia 1P se

91

constată că orientarea dreptei 2P, notată cu θ2 este θ1 + α, iar θ3

este θ1 + β. De aici se scriu ecuaţiile dreptelor 1P, 2P şi 3P

( )

( )βθθ

αθθ

θθ

+=

=

+=

=

=

=

1

3

3

3

1

2

2

2

1

1

1

1

tgXX

YYtg

tgXX

YYtg

tgXX

YYtg

P

P

P

P

P

P

P

P

P

Rezolvând acest sistem de trei ecuaţii cu trei necunoscute se ajunge la relaţia

( ) ( )( ) ( )

233112

233112

1

YYctgXXctgXX

XXctgYYctgYYtg

+−−+−

−+−+−

=

βα

βαθ

3.Calculul orientărilor θ2 şi θ3

θ2 = θ1 + α

θ3 = θ1 + β 4. Calculul coordonatelor punctului P prin intersecţie înainte din triunghiul 12P

Aplicând rezolvarea analitică se porneşte de la faptul că θ1 =θ1P iar

θ2 =θ2P Scriem ecuaţiile

2

2

2

1

1

1

XX

YYtg

XX

YYtg

P

P

P

P

P

P

=

=

θ

θ

şi obţinem

PP

PP

P

tgtg

tgXtgXYYX

21

221112

θθ

θθ

−+−

=

92

PPPtgXXYY

111

` )( θ−+=

PPPtgXXYY

222

`` )( θ−+=

Dacă pentru YP se obţin 2 valori ce diferă între ele mm,

valoarea finală va fi media aritmetică a celor două.

Verificarea calculelor se poate face şi din altă combinaţie de puncte, de exemplu din punctele 2, 3, 4.

1.Calculul unghiurilor orizontale α, β, din diferenţa direcţiilor unghiulare orizontale

2.Calculul orientării θ1

( )

( )βθθ

αθθ

θθ

+=

=

+=

=

=

=

1

4

4

4

1

3

3

3

1

2

2

2

tgXX

YYtg

tgXX

YYtg

tgXX

YYtg

P

P

P

P

P

p

P

P

P

( ) ( )( ) ( )

344223

344223

1

YYctgXXctgXX

XXctgYYctgYYtg

+−−+−

−+−+−

=

βα

βαθ

3.Calculul orientărilor θ2 şi θ3

θ2 = θ1 + α

θ3 = θ1 + β 4. Calculul coordonatelor punctului P prin intersecţie înainte din triunghiul 23P

Aplicând rezolvarea analitică se porneşte de la faptul că θ1 =θ2P iar

θ2 =θ3P

93

Scriem ecuaţiile

3

3

3

2

2

2

XX

YYtg

XX

YYtg

P

P

P

P

P

P

=

=

θ

θ

şi obţinem

PP

PP

P

tgtg

tgXtgXYYX

32

332223

θθ

θθ

−+−

=

PPPtgXXYY

222

` )( θ−+=

PPPtgXXYY

333

`` )( θ−+=

5.3 Intersecţia înapoi – rezolvarea Collins

Se dau trei puncte vechi: 1(X1,Y1), 2(X2,Y2), 3(X3,Y3) Se cer coordonatele punctului nou P(Xp,Yp) Se măsoară direcţii unghiulare orizontale din punctul P către

punctele 1,2,3

94

Figura 5.3 Principiul intersecţiei înapoi – rezolvarea Collins

Etape de calcul

Pentru rezolvare s-a construit un cerc ce trece prin punctele

1, P şi 3 şi s-a obţinut punctul C prin prelungirea dreptei P2 până la intersecţia cu cercul.

Ca urmare a acestui artificiu rezolvarea se va face în două etape: în prima se vor calcula coordonatele punctului C din triunghiul 13C, prin metoda intersecţiei înainte, în a doua parte se vor calcula coordonatele punctului P din triunghiul 1CP sau 3CP tot prin intersecţie înainte.

Etapa I

95

1.Calculăm unghiurile α şi β din diferenţa direcţiilor unghiulare măsurate în P către 1,2,3. Aceste unghiuri le regăsim în punctul 3 unghiul α, iar în 1 unghiul β deoarece sunt unghiuri cu vârful pe cerc şi subântind acelaşi arc de cerc.

2.Calculăm unghiul „a” din vârful triunghiului 13C

a = 200 – (α + β )

3.Calculăm distanţa D13

2

31

2

3113)()( YYXXD −+−=

4.Aplicăm teorema sinusului în triunghiul 13C

a

DD

a

DD

DD

a

D

C

C

CC

sin

sin

sin

sin

sinsinsin

13

3

13

1

3113

β

α

βα

=

=

==

5.Calculăm orientările

g

C

C

XX

YYarctg

2001331

313

131

13

13

13

±=

+=

−=

−=

θθ

αθθ

βθθ

θ

6.Calculăm coordonatele punctului C XC=X1+D1Ccos θ1C

96

YC=Y1+D1Csinθ1C Sau XC=X3+D3Ccos θ3C YC=Y3+D3Csinθ3C

Etapa a II a

1. Calculăm orientările θC2 şi θC3

2. Calculăm unghiul γ = θC2 - θC3 3. Calculăm unghiul ν = 200 – ( β+ γ) 4. Calculăm P prin intersecţie înainte din triunghiul C3P

CCPCPP

PPP

PCP

CPCPC

P

YtgXXY

sau

YtgXXY

tgtg

YYtgXtgXX

+−=

+−=

−+−

=

θ

θ

θθ

θθ

)(

)(333

3

333

5.4 Intersecţia înapoi – metoda punctelor duble – rezolvarea Hansen

Se dau punctele vechi 1 şi 2 definite de coordonatele X,Y Se cer coordonatele punctului nou P Se măsoară direcţii unghiulare orizontale din punctele P şi Q

către punctele vechi şi către punctul nou. Din P se măsoară către 1, 2 şi Q, iar din Q către P, 1, 2. De asemenea se va măsura şi distanţa DPQ.

Deoarece este o situaţie limită, cu numai două puncte vechi, pentru rezolvare se va mai materializa pe teren încă un punct nou, Q, respectând următoarele condiţii: distanţa DPQ să fie aproximativ paralelă cu distanţa DAB, iar ca mărime DPQ ≈ 30%DAB.

97

Figura 5.4 Principiul intersecţiei înapoi – rezolvarea Hansen

Etape de calcul

1.Calculăm unghiurile orizontale din punctele noi ca diferenţă a direcţiilor unghiulare orizontale măsurate: α, β, γ, δ 2.În triunghiul 1PQ calculăm unghiul a = 200 – (α +β+γ)

98

a

DD

a

DD

DD

a

D

PQ

Q

PQ

P

QPPQ

sin

)sin(

sin

sin

)sin(sinsin

1

1

11

βα

γ

βαγ

+

=

=

+

==

3.În triunghiul 2PQ calculăm unghiul b = 200 – (δ +β+γ)

b

DD

b

DD

DD

b

D

PQ

P

PQ

Q

PQPQ

sin

)sin(

sin

sin

)sin(sinsin

2

2

22

δγ

β

δγβ

+

=

=

+

==

4.În triughiul 12P aplicăm teorema sinusului pentru a calcula unghiurile c şi d

αsinsinsin

1221D

c

D

d

DPP==

2

21

2

2112)()( YYXXD −+−=

12

1

12

2

sinarcsin

sinarcsin

D

Dd

D

Dc

P

P

α

α

=

=

5.Calculăm orientările

99

d

c

XX

YYarctg

P

P

−=

+=

=

212

121

12

12

12

θθ

θθ

θ

6.Calculăm coordonatele punctului P XP=X1+D1Pcosθ1P

YP=Y1+D1Psinθ1P Sau XP=X2+D2Pcosθ2P

YP=Y2+D1Psinθ2P

Pentru verificare se vor calcula şi coordonatele punctului Q şi se

va verfica mărimea distanţei dintre P şi Q din coordonate cu mărimea acesteia de pe teren.

5.5 Intersecţia înapoi – rezolvarea Cassini - Martinian

Se dau: trei puncte vechi 1,2,3 prin coordonate (X, Y) Se cer coordonatele punctului nou P Se măsoară: direcţii unghiulare orizontale din punctul P către

punctele 1, 2 şi 3

100

Figura 5.5 Principiul intersecţiei înapoi – rezolvarea Cassini-Martinian

Etape de calcule ►Pentru rezolvare se construiesc două cercuri.secante

C(O1) ce trece prin punctele 1, P, 2 şi C(O2) ce trece prin 2, P, 3. ► ducem diametrul ce trece prin punctele 2 şi O1 şi găsim

punctul M la intersecţia acestuia cu cercul; ► ducem diametrul ce trece prin punctele 2 şi O2 şi găsim

punctul N la intersecţia acestuia cu cercul; ► triunghiurile 2PM şi 2PN sunt dretunghice în P deoarece

2M şi 2N sunt diametre ale cercurilor; Din toate aceste considerente rezultă că punctele M,P şi N

sunt coliniare. Aceste construcţii grafice ne conduc la etapa următoare în care determinăm coordonatele punctelor M şi N.

1.În triunghiul 1M2, unghiul din punctul 1 este drept deoarece

2M este diametru, iar unghiul din punctul M este egal cu α deoarece subântinde arcul 12 acelaşi ce este subântins de unghiul 1P2.

2. Analog în triunghiul 23N unghiul din punctul 3 este drept deaorece 2N este diametru, iar unghiul 2N3 este egal cu β deaorece

101

subântinde arcul 23, acelaşi ce este subântins de unghiul 2P3. Astfel în cele două triunghiuri mai sus amintite vom calcula punctele M şi N prin intersecţie înainte.

Etapa I Calculul punctului M 1. Calculăm a = 100 – α

2 Calculăm 2

21

2

2112)()( YYXXD −+−=

3 α

α

tg

DD

D

Dtg

M

M

12

1

1

12=⇒=

4 2

1

2

122 MMDDD +=

5 Calculăm orientările

a

XX

YYarctg

M

g

m

−=

+=

=

212

1

12

12

12

10012

θθ

θθ

θ

6 Calculăm coordonatele punctului M

XM=X1+D1Mcosθ1M YM=Y1+D1Msinθ1M

Sau XM=X2+D2Mcosθ2M YM=Y2+D2Msinθ2M

Etapa a II a Calculul punctului N 1 b=100 – β

102

2 2

32

2

3223)()( YYXXD −+−=

3 β

βtg

DD

D

Dtg

N

N

23

3

3

23=⇒=

4 2

3

2

232 NDDD

N

+=

5 g

N

N b

XX

YYarctg

100323

232

23

23

23

−=

+=

=

θθ

θθ

θ

6 Calculăm coordonatele punctului N

XN=X2+D2Ncosθ2N YN=Y2+D2Nsinθ2N

Sau XN=X3+D3Ncosθ3N YN=Y3+D3Nsinθ3N

Etapa a III a Calculul punctului P

1 Calculăm orientările

d

accd

c

MP

GG

MMN

−=

++−=−=

+=

22

2

)(200100

θθ

α

θθ

2 Calculăm distanţele

103

2

2

2

2

22

2

2sinsin

PMMP

MP

M

P

DDD

cDDD

Dc

−=

=⇒=

3 Calculăm coordonatele punctului P XP=XM+DMPcosθMN YP=YM+DMPsinθMN

Sau XP=X2+D2Pcosθ2P YP=Y2+D2Psinθ2P

5.6 INTERSECŢIA LINIARĂ

Se dau coordonatele punctelor vechi A, B şi distanţele măsurate pe teren DA1, DA2, DB1, D12, DAB

Figura 5.6 Schema vizelor la intersecţia liniară

104

Se cere să se calculeze coordonatele punctelor noi 1 şi 2 prin metoda intersecţiei liniare. Rezolvare 1.Calculul distanţei DAB şi a orientării θAB

22 )()(BABAABYYXXD −+−=

AB

AB

AB

XX

YYarctg

2.Calculul unghiurilor α, β În triunghiul A1B aplicăm teorema cosinusului

αcos21

22

1

2

1 ABAABABDDDDD −+=

ABA

AABA

DD

DDD

1

2

1

22

1

2cos

−+

α = arccosα În triunghiul A12 aplicăm teorema cosinusului

βcos221

2

2

2

1

2

12 AAAADDDDD −+=

21

2

12

2

2

2

1

2cos

AA

AA

DD

DDD −+

β = arccosβ 3.Calculul orientărilor

θA1 = θAB - α θA2 = θA1 + β 4.Calculul factorului de scară

măă

AB

coord

AB

D

Dq =

105

5.Calculul coordonatelor punctelor 1 şi 2

X1 = XA + qDA1cosθA1 Y1 = YA + qDA1sinθA1 X2 = XA + qDA2cosθA2 Y2 = YA + qDA2sinθA2 6.Verificarea coordonatelor

q

DD

coord

Bmăă

B

1

1=

q

DD

coord

măă 12

12=

Concluzii

La determinarea coordonatelor punctelor de îndesire

executantul este cel care va alege metoda cea mai adecvată. Fiecare dintre metodele de îndesire prezentate au avantaje şi dezavantaje. Indifferent însă de metoda aleasă se recomandă a se ţine seama de câteva principii generale: ►toate punctele inaccesibile precum: antene, turnuri, paratrăsnete, semnale aeriene, etc., vor fi determinate prin intersecţie înainte; ►dacă suntem în zone cu puncte inaccesibile, dar cu vizibilitate, punctele noi se vor determina prin intersecţie înapoi; ►intersecţia înainte prezintă facilităţi la calcule precum şi la măsurători; ►intersecţia înapoi prezintă avantajul măsurătorilor rapid constând numai în determinarea direcţiilor unghiulare orizontale;

106

5.7 Probleme rezolvate

PROBLEMA 1 INTERSECŢIA ÎNAINTE

Se dau coordonatele rectangulare ale punctelor vechi 1, 2, 3 în sistem Stereografic 1970 şi direcţiile unghiulare orizontale măsurate din punctele vechi

Nr. Pct. X(m) Y(m) 1 510.187 1014.323 2 394.904 1093.823 3 511.535 1178.355

PS PV Direcţii unghiulare orizontale

3 75.2620 P 96.7718

1

2 137.3516 1 102.4540 P 150.7121

2

3 180.8145 2 225.7400 P 258.2935

3

1 285.2899

107

Figura 5.7 Principiul intersecţiei înainte

Se cere să se calculeze prin procedeul intersecţiei înainte coordonatele rectangulare ale punctului nou P Rezolvare Rezolvarea trigonometrică Rezolvarea în triunghiul 12P 1. Calculul unghiurilor orizontale din diferenţa direcţiilor unghiulare orizontale măsurate. α1 = 137.3516 – 96.7718 = 40.5798

α2 = 150.7121 – 102.4540 = 48.2581

β1 = 200 – (α1 + α2) = 200 – (40.5798 + 48.2581) = 111.1621

108

2. Calculul distanţei D12

mD

D

037.14042.19610

5.79283.115)323.1014823.1093()904.394187.510(

12

2222

12

==

+=−+−=

3. Aplicarea teoremei sinusului în triunghiul 12P pentru calculul distanţelor DP1 şi DP2

1

2

2

1

1

12

sinsinsin ααβ

PPDDD

==

mD

D 773.971621.111sin

2581.48sin*037.140

sin

sin

1

212===

β

αP1

mD

D 638.841621.111sin

5798.40sin*037.140

sin

sin

1

112===

β

αP2

4. Calculul orientărilor

5662.1614338.382004338.3868960.0

283.115

5.79

187.510904.394

323.1014823.1093

12

12

12

12

=−=

+=

+=

+=

−=

=

arctg

arctgarctgXX

YYarctg

θ

θ

9864.1205798.405662.1611121

=−=−= αθθP

8243.98243.4092581.485662.361

2212==+=+= αθθ

P

5. Calculul coordonatelor punctului P

mmm

mmDXPP

536.478651.31187.510

9864.120cos773.97187.510cos111

=−=

+=+=

`

P

`

P

X

X θ

mmmY

mmDYY

P

PPP

831.1106508.92323.1014

9864.120sin773.97323.1014sin

`

111

`

=+=

+=+= θ

mmmX

mmDXX

P

PPP

536.478632.83904.394

8243.9cos638.84904.394cos

``

222

``

=+=

+=+= θ

109

mmmY

mmDYY

P

PPP

832.1106009.13823.1093

8243.9sin638.84823.1093sin

``

222

``

=+=

+=+= θ

Valorile finale ale coordonatelor punctului P se vor calcula ca medie aritmetică între perechile de coordonate obţinute mai sus. Acest calcul este permis deoarece diferenţa dintre coordonate este de 1mm pentru coordonata Y şi de 0 mm pentru X.

mmY

mX

P

P

832.11068315.1106

536.478

==

=

Rezolvarea analitică

1. Calculul unghiurilor orizontale din diferenţa direcţiilor unghiulare orizontale măsurate.

α1 = 137.3516 – 96.7718 = 40.5798

α2 = 150.7121 – 102.4540 = 48.2581

β1 = 200 – (α1 + α2) = 200 – (40.5798 + 48.2581) = 111.1621 2. Calculul orientărilor

5662.1614338.382004338.3868960.0

283.115

5.79

187.510904.394

323.1014823.1093

12

12

12

12

=−=

+=

+=

+=

−=

=

arctg

arctgarctgXX

YYarctg

θ

θ

9864.1205798.405662.1611121

=−=−= αθθP

8243.98243.4092581.485662.3612212

==+=+= αθθP

3. Scrierea ecuaţiilor dreptelor 1P şi 2P

110

2

2

2

1

1

1

XX

YYtg

XX

YYtg

P

P

P

P

P

P

=

=

θ

θ

Aceste două ecuaţii formează un sistem de două ecuaţii cu două necunoscute: XP şi YP. Dezvoltându-le după XP se obţine următoarea relaţie de calcul

PP

PP

P

tgtg

tgXtgXYYX

21

221112

θθ

θθ

−+−

=

pentru obţinerea valorii XP vom face următoarele calcule intermediare

tgθ1P = tg120.9864 = - 2.9227983

tgθ2P = tg9.8243 = 0.15555

tgθ1P - tgθ2P = - 3.0783549 Y2 – Y1 = 79.5m

X1tgθ1P = - 1491.1737m

X2tgθ2P = 61.4273m

mmmmm

XP

535.4780783549.3

101.1473

0783549.3

4273.611737.14915.79=

=

−−

=

mtgXXYYPPP

835.1106)9227983.2)(652.31(323.1014)(111

`=−−+=−+= θ

mtgXXYYPPP

832.110615555.0*631.83823.1093)(222

``=+=−+= θ

Deoarece pentru YP s-au obţinut 2 valori ce diferă între ele cu 3mm, valoarea finală va fi media aritmetică a celor două.

Yp = 1106.834m

111

Verificarea calculului se poate face şi prin determinarea coordonatelor din altă combinaţie de puncte. Pentru exemplificare se vor determina coordonatele din triunghiul 1P3.

Calculul coordonatelor punctului P din triunghiul 1P3 prin metoda trigonometrică

1.Calculul unghiurilor α5, α6 şi β3

α5 = 285.2899 – 258.2935 = 26.9964

α6 = 96.7718 – 75.2620 = 21.5098

β3 = 200 – (26.9964 + 21.5098) = 151.4938

2.Calculul distanţei D13

mD

D

037.164

314.26908)355.1178323.1014()535.511187.510(

13

22

13

=

=−+−=

3.Calculul distanţelor din teorma sinusului în triunghiul 13P

6

3

5

1

3

13

sinsinsin ααβ

PPDDD

==

mD

DP

773.974938.151sin

9964.26sin037.164

sin

sin

3

513

1===

β

α

Ca o primă verificare se poate observa că distanţa calculată în această variantă este identică cu cea calculată în triunghiul 12P.

mD

DP

768.784938.151sin

5098.21sin037.164

sin

sin

3

613

3===

β

α

4.Calculul orientărilor

4768.9968546.121348.1

032.164

13=

+

+== arctgartgθ

9866.1205098.214768.996131

=+=+= αθθP

112

4804.2729964.264768.2995313

=−=−= αθθP

5.Calculul coordonatelor

mmm

mmDXPP

536.478651.31187.510

9866.120cos773.97187.510cos111

=−=

+=+=

`

P

`

P

X

X θ

mmmY

mmDYY

P

PPP

832.1106508.92323.1014

9866.120sin773.97323.1014sin

`

111

`

=+=

+=+= θ

mDXXPPP

536.4784804.272cos535.511cos333

``=+=+= θ

mDYYPPp 832.11064804.272sin768.78355.1178sin

333

``=+=+= θ

Se observă egalitatea celor două perechi de coordonate calculate. Din cele trei variante prezentate au rezultat trei perechi de coodonate:

Varianta 1

mY

mX

P

P

832.1106

536.478

=

=

Varianta 2

mY

mX

P

P

834.1106

535.478

=

=

Varianta 3

mY

mX

P

P

832.1106

536.478

=

=

Media aritmetică a celor trei variante conduce la valorile finale

113

mY

mX

P

P

833.1106

536.478

=

=

PROBLEMA 2 INTERSECŢIA ÎNAPOI REZOLVAREA POTHENOT

Se dau coordonatele punctelor vechi 1, 2, 3, 4 şi direcţiile unghiulare orizontale măsurate din punctul nou P către punctele vechi

Nr. Pct. X(m) Y(m) 1 692.063 1380.671 2 665.931 1497.469 3 571.856 1548.895 4 542.240 1366.724

PS PV Direcţii unghiulare orizontale

1 47.5280 2 122.4252 3 184.6113

P

4 332.6947

114

Figura 5.8 Schema vizelor la intersecţia înapoi

Se cere să se calculeze coordonatele punctului P Rezolvare

1.Calculul unghiurilor orizontale α, β, γ din diferenţa direcţiilor unghiulare orizontale α = 122.4552 – 47.5280 = 74.8972

β = 184.6113 – 47.5280 = 137.0833

γ = 332.6947 – 47.5280 = 285.1667

2.Calculul orientării θ1 ( ) ( )

( ) ( )233112

233112

1

YYctgXXctgXX

XXctgYYctgYYtg

+−−+−

−+−+−

=

βα

βαθ

ctgα = 0.41610

ctgβ = -0.65875

115

46182.048589.141

342208.65

426.51186361.79873525.10

075.9484756.110599648.48

1

+=

+=

−−−

−+=θtg

4568.1725431.27200

5431.2746182.0

1

1

=−=

+=

+=

θ

θ arctg

3.Calculul orientărilor θ2 şi θ3

θ2 = θ1 + α = 172.4568 + 74.8972 = 247.3540

θ3 = θ1 + β = 172.4568 + 137.0833 = 309.5401 4. Calculul coordonatelor punctului P prin intersecţie înainte din triunghiul 12P

Aplicând rezolvarea analitică se porneşte de la faptul că θ1 =θ1P iar

θ2 =θ2P Scriem ecuaţiile

2

2

2

1

1

1

XX

YYtg

XX

YYtg

P

P

P

P

P

P

=

=

θ

θ

şi obţinem

PP

PP

P

tgtg

tgXtgXYYX

21

221112

θθ

θθ

−+−

=

mXP

145.5903819664.1

56028.815

3819664.1

798.11674975.61260853.319=

−=

+−−=

mtgXXYYPPP

738.1427)(111

`=−+= θ

mtgXXYYPPP

735.1427)(222

``=−+= θ

Deoarece pentru YP s-au obţinut 2 valori ce diferă între ele cu

3mm, valoarea finală va fi media aritmetică a celor două.

116

Yp = 1427.736m

Verificarea calculelor se poate face şi din altă combinaţie de puncte, de exemplu din punctele 2, 3, 4.

1.Calculul unghiurilor orizontale α, β, din diferenţa direcţiilor unghiulare orizontale

α = 184.6113 - 122.4552 = 62.1861

β = 332.6947 – 122.4552 = 210.2695

2.Calculul orientării θ1

( ) ( )( ) ( )

344223

344223

1

YYctgXXctgXX

XXctgYYctgYYtg

+−−+−

−+−+−

=

βα

βαθ

ctgα = 0.6753344

ctgβ = 6.1452666

92014.075309.878

57663.808

171.18211417.760532084.63

616.2946288.803729747.34

1==

++−

−+=θtg

3538.4792014.01

== arctgθ

3.Calculul orientărilor θ2 şi θ3

θ2 = θ1 + α = 47.3538 + 62.1861 = 109.5399

θ3 = θ1 + β = 47.3538 + 210.2695 = 257.6233 4. Calculul coordonatelor punctului P prin intersecţie înainte din triunghiul 23P

Aplicând rezolvarea analitică se porneşte de la faptul că θ1 =θ2P iar

θ2 =θ3P Scriem ecuaţiile

117

3

3

3

2

2

2

XX

YYtg

XX

YYtg

P

P

P

P

P

P

=

=

θ

θ

şi obţinem

PP

PP

P

tgtg

tgXtgXYYX

32

332223

θθ

θθ

−+−

=

mXP

148.5905433475.7

6971.4451

5433475.7

5209.378775018.612426.51==

++=

mtgXXYYPPP

738.1427)(222

`=−+= θ

mtgXXYYPPP

740.1427)(333

``=−+= θ

Deoarece pentru YP s-au obţinut 2 valori ce diferă între ele cu 3mm, valoarea finală va fi media aritmetică a celor două. Yp = 1427.739m Valorile finale ale coordonatelor ca medii din cele două combinaţii efectuate sunt: Coordonate Combinaţia I Combinaţia II Valori medii

XP 590.145 590.148 590.147 YP 1427.736 1427.739 1427.738

PROBLEMA 3 INTERSECŢIA ÎNAPOI – REZOLVAREA COLLINS

Se dau coordonatele rectangulare ale punctelor vechi 1, 2, 3 în sistem Stereografic 1970 şi direcţiile unghiulare orizontale măsurate din punctul nou P

Nr. Pct. X(m) Y(m) 1 719.255 841.219 2 739.257 909.842 3 715.914 1036.361

118

PS PV Direcţii unghiulare orizontale 1 156.2420 2 184.5886

P

3 235.8468

Se cere să se calculeze prin procedeul intersecţiei înapoi rezolvarea Collins coordonatele rectangulare ale punctului nou P

Figura 5.9 Intersecţia înapoi rezolvarea Collins

Rezolvare

Etapa I – calculul coordonatelor punctului C obţinut prin prelungirea direcţiei P2 până la intersecţia cu cercul construit prin punctele 1, P şi 3

1.Calculul unghiurilor α, β din diferenţa direcţiilor unghiulare măsurate din P

119

α = 184.5886 – 156.2420 = 28.3466

β = 235.8468 – 184.5886 = 51.2582

γ = 200 – (28.3466 + 51.2582) = 120.3952 2.Calculul distanţei D13

mD

D

170.195562.38091

142,195341.3)361.1036219.841()914.715255.719(

13

2222

13

==

+=−+−=

3.Calculul distanţelor din teorema sinusului aplicată în triunghiul 13C

βαγ sinsinsin

3113 CCDDD

==

mD

DC

566.883952.120sin

3466.28sin170.195

sin

sin13

1===

γ

α

mD

DC

249.1483952.120sin

2582.51sin170.195

sin

sin13

3===

γ

β

4.Calculul orientărilor

0898.1019101.982009101.98

408261.58341.3

142.195

255.719914.715

219.841361.1036

13

13

=−=

+=

+=

+=

−=

θ

θ arctgarctgarctg

4364.3293466.280898.301

8316.49

313

131

=+=+=

=−=

αθθ

βθθ

C

C

5.Calculul coordonatelor

mDXXCCC

046.7828316.49cos566.88255.719cos111

`=+=+= θ

mDYYCCC

678.9038316.49sin564.88219.841sin111

`=+=+= θ

120

mDXXCCC

046.7824364.329cos249.148914.715cos333

``=+=+= θ

mDYYCCC

679.9034364.329sin249.148361.1036sin333

``=+=+= θ

Din cele două perechi de coordonate calculate se va face media aritmetică şi se obţin următoarele valori XC = 782.046m YC = 903.678m

Etapa II calculul coordonatelor punctului P

1.Calculul unghiurilor a şi b din triunghiul CP3

8918.1901082.92001082.9

14405.0789.42

164.6

046.782257.739

678.903842.909

2

2

=−=

+=

+=

+

+=

−=

C

Carctgarctgarctgarctg

θ

θ

4555.614363.1298918.19032

=−=−=CC

a θθ

b = 200 – (a + β) = 87.2863 2. Calculul orientărilor

4363.3295637.704005637.70

0063358.2132.66

682.132

914.715046.782

361.1036678.903

3

3

=−=

+

−=

+

−=

+

−=

−=

C

Carctgarctgarctg

θ

θ

θCP = θC2 deoarece punctele C, 2 şi P sunt coliniare

θ3P = θ3C – b = 242.1500

121

3.Calculul distanţelor din teorema sinusului în triunghiul CP3

a

D

b

DDPCPC

sinsinsin

33==

β

D3C = 148.249m

mbD

DC

CP546.201

2582.51sin

2863.87sin249.148

sin

sin3

===

β

maD

DC

P079.169

2582.51sin

4554.61sin249.148

sin

sin3

3===

β

4.Calculul coordonatelor punctului P

mmDXX CPCPCp 559.5828918.190cos546.201046.782cos`

=+=+= θ

mmDYYCPCPCP

415.9328918.190sin546.201678.903sin`

=+=+= θ

mmDXXPPP

560.5821500.242cos079.169914.715cos333

``=+=+= θ

mmDYYPPP

417.9321500.242sin079.169361.1036sin333

``=+=+= θ

Deoarece este diferenţă de mm între perechile de coordonate calculate se vor calcula valorile finale prin media aritmetică se vor obţine valorile finale:

XP = 582.560m Yp = 932.416m

122

PROBLEMA 4 INTERSECŢIA ÎNAPOI – REZOLVAREA CASSINI MARTINIAN

Se dau coordonatele rectangulare ale punctelor vechi 1, 2, 3 în sistem Stereografic 1970 şi direcţiile unghiulare orizontale măsurate din punctul nou P

Pct. X(m) Y(m) 1 108,965 393,127 2 128,572 464,564 3 143,657 551,362

PS PV Direcţii unghiulare

orizontale 1 120.4568 2 187.6871

P

3 241.9089

Se cer coordonatele punctului P

123

Figura 5.10 Intersecţia înapoi – rezolvarea Cassini – Martinian

Rezolvare

Calculul unghiurilor α şi β

α = 187.6871 – 120.4568 = 67.2303

β = 241.9089 – 187.6871 = 54.2218 Etapa I – calculul coordonatelor punctului M

1.Calculul unghiului a a = 100 – α = 32,7697 2.Calculul distanţei D12

( ) ( ) mD 079.74127.393564.464965.108572.12822

12=−+−=

124

3.Calculul distanţei D1M

mtg

DDM

899.4112

1==

α

4.Calculul distanţei D2M

mDDDMM

107.852

1

2

122=+=

5.Calculul orientărilor

1772.250

100

9469.826434437.3

212

121

12

=−=

+=

=

+

+=

a

arctg

M

g

M

θθ

θθ

θ

6.Calculul coordonatelor punctului M XM=X1+D1Mcosθ1M= 68,560m YM=Y1+D1Msinθ1M= 404,217m Sau XM=X2+D2Mcosθ2M=68,560m YM=Y2+D2Msinθ2M=404,217m Etapa a II a – calculul coordonatelor punctului N 1.Calculul unghiului b b= 100 – β= 45,7782 2.Calculul distanţei D23 D23= 88,099m 3.Calculul distanţei D3N

D3N=77,126m 4.Calculul distanţei D2N

125

2

3

2

232 NDDD

N

+= = 117,089m

5.Calculul orientărilor

0453.189100

8235.134

0453.897539277.5

323

232

23

23

23

=−=

=+=

=

+

+

=

=

g

N

N b

arctgXX

YYarctg

θθ

θθ

θ

6.Calculul coordonatelor punctului N XN=X2+D2Ncosθ2N=67,670m YN=Y2+D2Nsinθ2N=564,568m Sau XN=X3+D3Ncosθ3N=67,670m YN=Y3+D3Nsinθ3N=564,568m Etapa a III a – calculul coordonatelor punctului P 1. Calculul orientările

3534.200

8238.49)(200100

3533.1001761.501772.50

22

2

=−=

=++−=−=

=+=+=

d

accd

c

MP

GG

MMN

θθ

α

θθ

2. Calculul distanţelelor

mDDD

mcDDD

Dc

PMMP

MP

M

P

013.60

346.60sinsin

2

2

2

2

22

2

2

=−=

==⇒=

3. Calculul coordonatelor punctului P XP=XM+DMPcosθMN=68,227m

126

YP=YM+DMPsinθMN=464,229m Sau XP=X2+D2Pcosθ2P=68,227m YP=Y2+D2Psinθ2P=464,229m Valorile finale ale coordonatelor sunt media valorilor obţinute din cele două variante de calcul

XP = 68,227m YP= 464,229m

PROBLEMA 5 INTERSECŢIA ÎNAPOI – REZOLVAREA HANSEN Se dau coordonatele rectangulare ale punctelor vechi 1, 2 în sistem Stereografic 1970, direcţiile unghiulare orizontale măsurate din punctele noi P şi Q şi distanţa DPQ=96.458m

Nr. Pct. X(m) Y(m) 1 794.627 154.202 2 824.106 419.708

PS PV Direcţii unghiulare orizontale

1 32.1420 2 130.5985

P

Q 166.0510 P 120.3318 1 161.7511

Q

2 262.6109

Se cere să se calculeze prin procedeul intersecţiei înapoi rezolvarea Hansen coordonatele rectangulare ale punctelor noi P şi Q.

127

Figura 5.11 Intersecţia înapoi rezolvarea Hansen

Rezolvare

1.Calculul unghiurilor orizontale αi şi βi din triunghiurile 1PQ şi 2PQ

α1 = 130.5985 – 32.1420 = 98.4565

α2 = 166.0510 – 130.5985 = 35.4525

α3 = 161.7511 – 120.3318 = 41.4193

β1 = 200 – (α1 + α2 + α3) = 24.6717

α4 = 262.6109 – 161.7511 = 100.8598

β2 = 200 – (α2 + α3 + α4) = 22.2684 2.Teorema sinusului în triunghiul 1PQ pentru aflarea distanţelor

( )21

1

3

1

1sinsinsin αααβ +

==QPPQ DDD

mD

DPQ

P 591.1546717.24sin

4193.41sin458.96

sin

sin

1

3

1===

β

α

128

( )m

DD

PQ

Q 879.2196717.24sin

9090.133sin458.96

sin

sin

1

21

1==

+

=

β

αα

3.Teorema sinusului în triunghiul 2PQ pentru aflarea distanţelor

( )43

2

2

2

2sinsinsin αααβ +

==PQPQ DDD

( )m

DD

PQ

P 641.2212684.22sin

2791.142sin458.96

sin

sin

2

43

2==

+

=

β

αα

mD

DPQ

Q 766.1482684.22sin

4525.35sin458.96

sin

sin

2

2

2===

β

α

4.Calculul distanţei D12 din coordonate

( ) ( ) mD 137.267447.71362202.154708.419627.794106.82422

12==−+−=

5.Calculul unghiului b din triunghiul 12P

( )1

21

1

12

sinsinsin βα +

==

a

D

b

DDPP

57852.0sin

sin

12

11==

D

Db

b = arcsin0.57852 = 39.2743 6. Calculul unghiului a din triunghiul 12P

a = 200 – (b + β1 + α1) = 37.5975 7.Calculul orientărilor

9607.92479.29

506.265

12== arctgθ

θ1Q = θ12 + a = 130.5580

θ2Q = θ21 – (b + β2) = 231.4180

θ1P = θ1Q + β1 = 155.2297

θ2P = θ21 – b = 253.6864

129

8. Calculul coordonatelor absolute ale punctelor P şi Q

mDXXPPP

713.6762297.155cos591.154627.794cos111

`=+=+= θ

mDYYPPP

176.2542297.155sin591.154202.154sin111

`=+=+= θ

mDXXPPP

715.6766864.253cos641.221106.824cos222

``=+=+= θ

mDYY Ppp 176.2546864.253sin641.221708.419sin222

``=+=+= θ

XP = 676.714m YP = 254.176m

mDXX QQQ 090.6935580.130cos879.219627.794cos111

`=+=+= θ

mDYY QQQ 233.3495580.130sin879.219202.154sin111

`=+=+= θ

mDXX QQQ 092.6934180.231cos766.148106.824cos222

``=+=+= θ

mDYY QQQ 234.3494180.231sin766.148708.419sin222

``=+=+= θ

XQ = 693.091m YQ = 349.233m 9.Verificarea coordonatelor prin calculul distanţei dintre P şi Q din coordonatele calculate

( ) ( ) mDPQ 457.960393.9304233.349176.254091.693714.67622

==−+−=

130

PROBLEMA 6 INTERSECŢIA LINIARĂ

Se dau coordonatele punctelor vechi A, B şi distanţele măsurate pe teren DA1 = 113.417m, DA2 = 134.325m, DB1 = 101.437m, D12 = 91.488m, DAB = 200.554m

Pct. X(m) Y(m) A 160.461 173.124 B 168.249 373.524

Figura 5.12 Schema vizelor la intersecţia liniară

Se cere să se calculeze coordonatele punctelor noi 1 şi 2 prin metoda intersecţiei liniare. Rezolvare 1.Calculul distanţei DAB şi a orientării θAB

131

mD

D

AB

AB

551.200813.40220

4.200788.7)124.173524.373()461.160249.168( 2222

==

+=−+−=

5272.9773189.25788.7

4.200

788.7

4.200=

+

+=

+

+=

+

+= arctgarctgarctg

ABθ

2.Calculul unghiurilor α, β În triunghiul A1B aplicăm teorema cosinusului

αcos21

22

1

2

1 ABAABABDDDDD −+=

9407117.0785.45491

655.42794

2cos

1

2

1

22

1==

−+

=

ABA

AABA

DD

DDDα

α = arccos0.9407117 = 22.0317 În triunghiul A12 aplicăm teorema cosinusului

βcos221

2

2

2

1

2

12 AAAADDDDD −+=

73964.0477.30469

567.22536

2cos

21

2

12

2

2

2

1==

−+

=

AA

AA

DD

DDDβ

β = arccos0.73964 =46.9988 3.Calculul orientărilor θA1 = θAB - α = 97.5272 – 22.0317 = 75.4955 θA2 = θA1 + β = 75.4955 + 46.9988 = 122.4943 4.Calculul factorului de scară

99998504.0554.200

551.200===

măă

AB

coord

AB

D

Dq

5.Calculul coordonatelor punctelor 1 şi 2 X1 = XA + qDA1cosθA1 = 203.046m Y1 = YA + qDA1sinθA1 = 278.240m

132

X2 = XA + qDA2cosθA2 = 113.981m

Y2 = YA + qDA2sinθA2 = 299.149m

6.Verificarea coordonatelor

mq

DD

coord

Bmăă

B440.101

99998504.0

439.1011

1===

mq

DD

coord

măă488.91

99998504.0

486.9112

12===

133

6 TRANSMITEREA LA SOL A PUNCTELOR DE TRIANGULAŢIE ŞI ÎNDESIRE

6.1 Transmiterea la sol a unui punct staţionabil Se dau: punctul P situat pe construcţie, şi punctele A, B de

coordonate cunoscute Se cer coordonatele punctelor 1,2,3 Se măsoară direcţii unghiulare orizontale din P către A, 1,2,3,

B, din 1 către P şi 2, din 2 către 1,P şi 3, din 3 către 2 şi P. De asemenea se vor măsura distanţele dintre punctele 12 şi 23.

Punctele 1,2,3 sunt materializate la sol astfel încât să formeze 2 triunghiuri aproximativ echilaterale cu punctul P.

Figura 6.1 Transmiterea la sol a unui punct staţionabil

Etapa de calcule 1. Se calculează unghiurile orizontale din punctul P prin

diferenţa direcţiilor măsurate: ε1, ε2, ε3, ε4 2. Se calculează unghiurile orizontale din triunghiurile 12P şi

23P:α1, α2, α3, α4

134

3. Se compensează unghiurile orizontale 4. Se aplică teorema sinusului pentru calculul distanţelor

2

11

2

2

21

1

1

2

2

1

2

1

sin

sin

sin

sin

sinsinsin

ε

α

ε

α

ααε

dD

dD

DDd

P

P

PP

=

=

==

3

32

3

3

42

2

3

3

4

2

3

2

sin

sin

sin

sin

sinsinsin

ε

α

ε

α

ααε

dD

dD

DDd

P

P

PP

=

=

==

5. Calculul orientărilor

)(

)(

3213

212

11

εεεθθ

εεθθ

εθθ

θ

θ

++−=

+−=

−=

=

=

PAP

PAP

PAP

PB

PBPB

pA

PAPA

XX

YYarctg

XX

YYarctg

6. Calculul coordonatelor punctelor noi X1=XP+DP1cosθP1 Y1=YP+DP1sin θP1 X2=XP+DP2cosθP2 Y2=YP+DP2sin θP2 X3=XP+DP3cosθP3 Y3=YP+DP3sin θP3

135

7. Verificare Se calculează distanţele între punctele 12 şi 23 din

coordonatele calculate, iar rezultatul trebuie să fie identic cu distanţele măsurate iniţial între aceste puncte.

6.2 Transmiterea la sol a unui punct nestaţionabil

Se dau: punctul P situat pe construcţie, şi punctele A, B de

coordonate cunoscute Se cer coordonatele punctelor 1,2,3 Se măsoară direcţii unghiulare orizontale din 1 către A, P şi

2, din 2 către 1,A,P,B şi 3, din 3 către 2, P, B. De asemenea se vor măsura distanţele dintre punctele 12 şi 23. Punctele 1,2,3 sunt materializate la sol astfel încât să formeze 2 triunghiuri aproximativ echilaterale cu punctul P, iar punctul P nu poate fi staţionat.

Figura 6.2 Transmiterea la sol a unui punct nestaţionabil

Etapa de calcule

136

1.Calculăm unghiurile orizontale αi din triunghiurile 12P şi 23P 2. Calculăm unghiurile β tot din triunghiurile 12P şi 23P β1=200-(α1+α2) β2=200-(α3+α4)

3. În triunghiul 12P calculăm D1P şi D2P

1

11

2

1

21

1

1

2

1

1

2

1

sin

sin

sin

sin

sinsinsin

β

α

β

α

αβα

dD

dD

DdD

P

P

PP

=

=

==

4. În triunghiul 23P calculăm distanţele D2P şi D3P

2

32

3

2

42

2

3

3

2

2

4

2

sin

sin

sin

sin

sinsinsin

β

α

β

α

αβα

dD

dD

DdD

P

P

PP

=

=

==

5.Calculăm distanţele DAP şi DPB

22

22

)()(

)()(

PBPBBP

PAPAAP

YYXXD

YYXXD

−+−=

−+−=

6. În triunghiurile AP2 şi P2B calculăm unghiurile ε

137

PB

P

AP

P

AP

PPAP

D

D

D

D

D

DDD

22

2

12

1

12

1

1

2

1

sinarcsin

sinarcsin

sinsin

sinsin

γε

γε

γε

εγ

=

=⇒=⇒=

7.Calculăm unghiurile δ1 şi δ2 δ1=200-(ε1+γ1) δ2=200-(ε2+γ2)

8.Calculul orientărilor

)(

)(

213

12

111

βδθθ

δθθ

βδθθ

θ

θ

+−=

−=

−−=

=

=

PAP

PAP

PAP

PB

PB

PB

PA

PA

PA

XX

YYarctg

XX

YYarctg

9.Calculul coordonatelor X1=XP+DP1cosθP1 Y1=YP+DP1sinθP1 X2=XP+DP2cosθP2 Y2=YP+DP2sinθP2 X3=XP+DP3cosθP3 Y3=YP+DP3sinθP3

10.Verificare Se vor calcula distanţele dintre punctele 12 şi 23 cu ajutorul coordonatelor obţinute la punctul 9 şi se vor compara cu cele măsurate pe teren.

138

6.3 Probleme rezolvate PROBLEMA 1 TRANSMITEREA LA SOL A PUNCTELOR STAŢIONABILE

Se dau direcţiile unghiulare orizontale măsurate din punctul P aflat pe o clădire către două puncte vechi şi către punctele noi materializate la sol, precum şi coordonatele rectangulare ale punctelor vechi A, P, B

Figura 6.3 Transmiterea la sol a punctului P

Nr. Pct. X(m) Y(m)

A 2660.112 2693.511 P 2687.086 2878.308 B 2628.079 3047.073

139

PS PV Direcţii unghiulare orizontale B 25.1730 3 82.4128 2 117.2258 1 148.3405

P

A 194.5326

PS PV Direcţii unghiulare orizontale P 87.9000 1 2 179.6871 1 120.3042 P 197.4024

2

3 275.0171 2 210.9020 3 P 298.4743

Se cere să se calculeze coordonatele punctelor noi 1, 2, 3 Rezolvare 1.Calculul unghiurilor orizontale

α = 179.6871 – 87.9000 = 91.7871

β = 197.4024 – 120.3042 = 77.0982

γ = 275.0171 – 197.4024 = 77.6147

δ = 298.4743 – 210.9020 = 87.5723

ε1 = 194.5326 – 148.3405 = 46.1921

ε2 = 148.3405 – 117.2258 = 31.1147

ε3 = 117.2258 – 82.4128 = 34.8130

ε4 = 82.4128 – 25.1730 = 57.2398

140

2.Calculul distanţelor D1P, D2P, D3P prin teorema sinusului în triunghiurile 12P şi 23P Triunghiul 12P

αβε sinsinsin

21

2

12 PPDDD

==

mD

DP

956.257sin

sin

2

12

1==

ε

β

mD

DP

307.273sin

sin

2

12

2==

ε

α

Triunghiul 23P

γδε sinsinsin

32

3

23 PPDDD

==

mD

DP

307.273sin

sin

3

23

2==

ε

δ

mD

DP

552.261sin

sin

3

23

3==

ε

γ

3.Calculul orientărilor

7727.2907727.908509305.6974.26

797.184=

−=

−=

−= arctgarctg

PAθ

4130.1215870.788600844.2007.59

765.168=

+=

+=

+= arctgarctg

PBθ

5806.244)(43211=+++=−= εεεθεθθ

PBPAP

4658.213)(21212=−=+−= εθεεθθ

PPAP

6528.178)(323213=−=++−= εθεεεθθ

PPAP

4.Calculul coordonatelor punctelor noi

X1 = XP + DP1cosθP1 = 2489.835m

141

Y1 = YP + DP1sinθP1 = 2712.075m X2 = XP + DP2cosθP2 = 2419.870m Y2 = YP + DP2sinθP2 = 2820.928m X3 = XP + DP3cosθP3 = 2440.101m Y3 = YP + DP3sinθP3 = 2964.377m 5.Verificarea coordonatelor

( ) ( ) mD 399.129075.2712928.2820835.2489870.241922

12=−+−=

( ) ( ) mD 869.144377.2964928.2820101.2440870.241922

23=−+−=

Se observă că valoarea distanţelor din coordonatele noi calculate este aceeaşi cu distanţele măsurate pe teren.

PROBLEMA 2 TRANSMITEREA LA SOL A PUNCTELOR NESTAŢIONABILE

Se dau coordonatele punctelor A, B,P, direcţiile unghiulare

orizontale măsurate pe teren şi distanţele între punctele 12 şi 23.

Pct. X Y P 7416,629 6057,881 A 5782,607 5543,156 B 7674,871 7687,489

142

Pct staţie

Pct.vizat Direcţie unghiulară orizontală

1 P 120,4375 2 182,5833 2 1 316,4718 A 352,1196 P 1.6147 B 51.5518 3 78.2633 3 2 247.1566 P 315.5261

D12=197.847m, D23=192.418m Se cer coordonatele punctelor 1,2,3

Rezolvare

1.Calculul unghiurilor orizontale α1=182.5833-120.435=62.1458 α2=1.6147-316.4718=85.1429 α3=78.2633-1.6147=76.6486 α4=315.5261-247.1566=68.3695 β1=200-(α1+α2)=52.7113 β2=200-(α3+α4)=54.9819

2.Calculul distanţelor În triunghiul 12P calculăm D1P

şi D2P

md

D

DdD

P

PP

324.261sin

sin

sinsinsin

1

21

1

1

2

1

1

2

1

==

==

β

α

αβα

143

md

DP

503.222sin

sin

1

11

2==

β

α

În triunghiul 23P calculăm distanţele D2P şi D3P

md

D

md

D

DdD

P

P

PP

271.236sin

sin

504.222sin

sin

sinsinsin

2

32

3

2

42

2

3

3

2

2

4

2

==

==

==

β

α

β

α

αβα

3.Calculul distanţelor DAP şi DPB

mYYXXD

mYYXXD

PBPBBP

PAPAAP

943.1649)()(

178.1713)()(

22

22

=−+−=

=−+−=

4.Calculul unghiurilor ε În triunghiurile AP2 şi P2B calculăm unghiurile ε

9371.496147.15518.51

4951.491196.3526147.1

0738.6sin

arcsin

8080.5sin

arcsinsin

sinsinsin

2

1

22

2

12

1

12

1

1

2

1

=−=

=−=

==

==⇒=⇒=

γ

γ

γε

γε

γε

εγ

PB

P

AP

P

AP

PPAP

D

D

D

D

D

DDD

5.Calculul unghiurilor δ1 şi δ2 δ1=200-(ε1+γ1)=144.6969 δ2=200-(ε2+γ2)=143.9891

144

6.Calculul orientărilor

7486.19)(

7305.74

4418.127)(

9947.89

4274.219

213

12

111

=+−=

=−=

=−−=

=

−=

=

−=

βδθθ

δθθ

βδθθ

θ

θ

PAP

PAP

PAP

PB

PB

PB

PA

PA

PA

XX

YYarctg

XX

YYarctg

7.Calculul coordonatelor X1=XP+DP1cosθP1=7307.440m

Y1=YP+DP1sinθP1=6295.300m

X2=XP+DP2cosθP2=7502.647m

Y2=YP+DP2sinθP2=6263.085m

X3=XP+DP3cosθP3=7641.622m

Y3=YP+DP3sinθP3=6130.005m

8.Verificarea coordonatelor prin calculul distanţelor d1=197.847m

d2=192.417m

145

7 METODA DRUMUIRII

7.1 Definiţii şi clasificări Drumuirea este o metodă de îndesire a reţelei geodezice în vederea determinării coordonatelor punctelor de detaliu din teren. Drumuirea este o linie poligonală frântă, în care poziţia reciprocă a punctelor este determinată prin măsurarea distanţelor dintre punctele de frângere şi prin măsurarea unghiurilor în punctele de frângere ale traseului poligonal. Clasificarea drumuirilor se poate face:

1. În funcţie de numărul punctelor de sprijin - drumuire sprijnită la capete pe puncte de coordonate

cunoscute – 2 puncte de coordonate cunoscute (figura 7.1);

- drumuire sprijinită la capete pe puncte de coordonate cunoscute şi orientări – 4 puncte de coordonate cunoscute (figura 7.2);

- drumuire cu punct nodal – câte două puncte de coordonate cunoscute la capătul fiecărei drumuiri şi un punct de sprijin pentru viză din punctul nodal (figura 7.3);

- drumuire în vânt – un punct sau două de coordonate cunoscute aflate la unul din capetele drumuirii (figura 7.4).

Figura 7.1 Drumuire sprijinită la capete pe două puncte de

coordonate

146

Figura 7.2 Drumuire sprijinită la capete pe două puncte de

coordonate cunoscute şi orientări

Figura 7.3 Drumuire cu punct nodal

Figura 7.4 Drumuire în vânt

2. În funcţie de forma traseului poligonal

147

- drumuiri întinse – se porneşte din două puncte de coordonate cunoscute şi se opreşte pe alte două puncte de coordonate cunoscute (figura 8.5);

- drumuiri în circuit închis – se porneşte din minim două puncte de coordonate cunoscute şi se închide traseul pe aceleaşi două puncte (figura 8.6);

Figura 7.5 Drumuirea întinsă

Figura 7.6 Drumuire în circuit închis

7.2 Proiectarea reţelelor de drumuire Proiectarea reţelelor de drumuire se va face în funcţie de

următoarele criterii: ►traseul drumuirilor se va alege de regulă de-a lungul

148

arterelor de circulaţie, în lungul cursurilor de apă, de-a lungul canalelor, digurilor, etc., deoarece laturile şi punctele de drumuire trebuie să fie accesibile;

►punctele de drumuire se fixează în zone ferite de distrugere astfel încât instalarea aparatului în staţie să fie făcută cu uşurinţă; ►între punctele de drumuire alăturate trebuie să fie vizibilitate astfel încât să se poată efectua măsurarea distanţelor şi a unghiurilor fără dificultate; ►punctele de drumuire trebuie să fie alese cât mai aproape de punctele de detaliu ce urmează a fi măsurate.

Figura 7.7 Proiectarea reţelelor de drumuire

Distanţa dintre punctele de drumuire se determină în funcţie

de condiţiile concrete din teren, de gradul de acoperire cu vegetaţie şi de tipul de aparat cu care se vor face determinările. În cazul în care se vor efectua măsurătorile cu aparatură clasică ( teodolit ) distanţa medie se recomandă a fi între 100 – 150 m, distanţa minimă fiind între 40 – 50 m, iar cea maximă 2000 – 3000 m.

149

Atât unei laturi de drumuire cât şi lungimea totală a traseului poligonal sunt dependente de situaţia concretă din teren. Astfel, în intravilan lungimea traseului va fi mai mică decât în extravilan unde vizibilitatea este mai mare.

7.3 Operaţii de teren Operaţiile de teren care se efectuează într – o drumuire sunt: - marcarea punctelor de drumuire; - întocmirea schiţei de reperaj şi descriere a punctelor; - măsurarea laturilor de drumuire; - măsurarea unghiurilor verticale. - măsurarea unghiurilor orizontale;

Marcarea punctelor de drumuire

Se face de regulă cu ţăruşi metalici sau de lemn în funcţie de locul unde se efectuează măsurătorile (intravilan sau extravilan).

Întocmirea schiţei de reperaj şi descrierea topografică a punctelor Pentru identificarea ulterioară a punctelor de drumuire este necesar să se întocmească o schiţă de reperaj şi de descriere a punctelor.

Fiecare punct nou de drumuire trebuie să fie reperat prin trei distanţe către puncte fixe din teren.

Măsurarea laturilor de drumuire

Dacă măsurătorile se efectuează cu aparate clasice (teodolit) distanţele se vor măsura cu panglica, dus – întors, toleranţa admisă între cele două determinări fiind:

LT 003,0±=

150

Dacă măsurătorile se efectuează cu staţii totale distanţele se vor măsura tot dus – întors, eroarea de măsurare admisă fiind în funcţie de precizia instrumentului folosit (de regulă nu trebuie să fie mai mare de 2 – 3 pe, unde pe este precizia de măsurare a instrumentelor).

Distanţa finală între punctele A şi B este dată de relaţia

2

BAAB

AB

LLL

+

=

Măsurarea unghiurilor verticale

Unghiurile verticale se măsoară în fiecare punct de staţie în

ambele poziţii ale lunetei, atât spre punctul din spate cât şi spre punctul din faţă. Dacă vizarea se face la înălţimea aparatului (figura 7.8 a) înainte şi înapoi, unghiul va fi media aritmetică a determinărilor, luând ca sens al unghiului cel de parcurgere a drumuirii.

Dacă vizarea se face la înălţimi diferite (figura 7.8 b), nu se va mai face media decât la diferenţele de nivel.

a) b) Figura 7.8 Măsurarea unghiurilor verticale: a) la înălţimea aparatului,

b) la înălţime oarecare În prima situaţie unghiul este

151

⎣ ⎦

2

BAABαα

α

+

=

În a doua situaţie diferenţa de nivel este

2

*

*

,

,

BAAB

AB

ABBABA

BAABAB

hhh

sitgdh

sitgdh

δδδ

αδ

αδ

+

=

+−=

−+=

Măsurarea unghiurilor orizontale

Unghiurile orizontale între laturile drumuirii se determină ca diferenţă a direcţiilor unghiulare orizontale măsurate în fiecare punct de staţie prin metoda seriilor. 7.4 Drumuirea sprijinită la capete pe puncte de coordonate cunoscute şi laturi cu orientări cunoscute

Figura 7.9 Drumuire sprijinită la capete pe puncte de coordonate cunoscute şi orientări cunoscute

Se dau coordonatele punctelor vechi: A, B, C,D (Xi, Yi, Hi)

152

Se cer: coordonatele punctelor noi: 1, 2 (Xj, Yj, Hj) Etapa de teren În prima etapă se face marcarea punctelor de drumuire cu

ţăruşi metalici sau de lemn. Fiecare punct nou marcat va fi însoţit de o schiţă de reperaj şi o descriere topografică. Schiţa va conţine minim trei distanţe de la punctul nou spre reperi stabili de pe teren, iar fişa va conţine date despre tipul materializării, coordonatele punctului, numărul punctului şi alte date descriptive despre punct.

În fiecare staţie de drumuire se vor măsura direcţii unghiulare orizontale, distanţe şi unghiuri verticale. Ca regulă de măsurare putem stabili ca prim punct în măsurare să fie punctul de drumuire din spate (staţia anterioară sau punctul de orientare), iar al doilea să fie punctul de drumuire următor.

De exemplu în staţia A procedăm astfel: ►instalăm aparatul(centrăm, calăm, punem la punct luneta)

deasupra punctului de staţie; ► măsurăm direcţiile unghiulare orizontale în ambele poziţii

ale lunetei, prin metoda seriilor către punctele: B, 1; ► măsurăm unghiurile verticale către punctele B, şi 1; ► măsurăm distanţele între laturile de drumuire. Se

recomandă măsurarea cu panglica sau electro – optic. Distanţele se vor măsura dus – întors, eroarea de măsurare fiind în funcţie de precizia instrumentului utilizat, astfel:

- pentru măsurarea cu panglica toleranţa admisă va fi:

LT 003.0±= - pentru măsurarea electro – optică eroarea de măsurare să

nu depăşească 2 – 3pc, unde pc este precizia de măsurare a instrumentului.

Etapa de calcule 1.Calculul orientărilor laturilor de sprijin

153

CD

CD

CD

AB

AB

AB

XX

YYarctg

XX

YYarctg

=

=

θ

θ

2.Calculul orientărilor provizorii între punctele de drumuire

ccCD

C

A

AABA

ωθθ

ωθθ

ωθθ

ωθθ

+=

+=

+=

+=

`

4

`

2

`

21

`

2

1

`

1

`

12

`

1

3.Calculul erorii orientării de drumuire

ncT

Te

eCDCD

=

−=

θ

θθ

θθθ

`

n

ck

ec

θ

θ

θθ

=

−=

Unde: eθ este eroarea, c este aproximaţia de citire a aparatului, cθ este corecţia totală, kθ este corecţia unitară, iar n este numărul de staţii de drumuire. 4.Calculul orientărilor definitive ale punctelor de drumuire

154

θ

θ

θ

θ

θθ

θθ

θθ

θθ

k

k

k

k

CDCD

CC

AA

4

3

2

`

`

22

`

1212

`

11

+=

+=

+=

+=

5. Calculul distanţelor reduse la orizont

CCC

AAA

zLD

zLD

zLD

222

121212

111

sin

sin

sin

=

=

=

6. Calculul coordonatelor relative provizorii

CCC

AAA

DX

DX

DX

22

`

2

1212

`

12

11

`

1

cos

cos

cos

θ

θ

θ

CCC

AAA

DY

DY

DY

22

`

2

1212

`

12

11

`

1

sin

sin

sin

θ

θ

θ

α

α

α

tgDH

tgDH

tgDH

CC

AA

2

`

2

12

`

12

1

`

1

7.Calculul erorii şi corecţiei coordonatelor relative

155

=

−=

−−Δ=

D

ck

ec

XXXe

x

x

xx

ACx)(`

=

−=

−−Δ=

D

ck

ec

YYYe

y

y

yy

ACy )(`

=

−=

−−Δ=

D

ck

ec

HHHe

h

h

hh

ACh)(`

Erorile pe x şi pe y trebuie să se înscrie în toleranţă

DyxD Teee ≤+=22

)5000

003.0(∑

∑ +±=ij

ijD

DDT pentru intravilan şi terenuri

cu panta <50

)1733

0045.0(∑

∑ +±=ij

ijD

DDT pentru extravilan şi

terenuri cu panta >50

∑=kmh

DT 2,0

8. Calculul coordonatelor relative compensate

156

CxCC

x

AxAA

DkXX

DkXX

DkXX

2

`

22

12

`

1212

1

`

11

+Δ=Δ

+Δ=Δ

+Δ=Δ

CyCC

y

AyAA

DkYY

DkYY

DkYY

2

`

22

12

`

1212

1

`

11

+Δ=Δ

+Δ=Δ

+Δ=Δ

ChCC

h

AhAA

DkHH

DkHH

DkHH

2

`

22

12

`

1212

1

`

11

+Δ=Δ

+Δ=Δ

+Δ=Δ

Verificare

AC

AC

AC

HHH

YYY

XXX

−=Δ

−=Δ∑

−=Δ∑

9. Calculul coordonatelor absolute ale punctelor de drumuire

CC

AA

XXX

XXX

XXX

22

1212

11

Δ+=

Δ+=

Δ+=

CC

AA

YYY

YYY

YYY

22

1212

11

Δ+=

Δ+=

Δ+=

157

CC

AA

HHH

HHH

HHH

22

1212

11

Δ+=

Δ+=

Δ+=

Verificarea calculului coordontelor punctului C se face prin compararea coordonatelor determinate prin

calcul cu cele date iniţial. ATENŢIE! Explicaţiile de mai sus sunt pentru două staţii noi (punctele 1 şi 2), dar algoritmul de calcul este acelaşi indiferent de numărul de staţii noi. 7.5 Drumuirea în circuit închis pe punctul de plecare

Figura 7.10 Drumuirea în circuit închis

Se dau coordonatele punctelor vechi: A, B, (Xi, Yi, Hi) Se cer: coordonatele punctelor noi: 1, 2 (Xj, Yj, Hj)

158

Se măsoară: direcţii unghiulare orizontale, unghiuri verticale şi lungimile laturilor de drumuire Etapa de calcule 1.Calculul unghiurilor orizontale 1.1Calculul unghiurilor interioare Suma unghiurilor într-un poligon teoretic trebuie să fie: ∑ −= )2(*200 n

gω unde n este numărul unghiurilor

poligonului În exemplul dat n = 6 deci ∑ =−=

g800)26(*200ω

Suma unhiurilor interioare măsurate în poligon este: ∑ +++++=

⋅⋅⋅⋅

54321ωωωωωωω A

Eroarea de neânchidere pe unghiuri este ∑ ∑−=

ωωωe

Corecţia este

ωωec −=

Corecţia unitară va fi

n

ck

ω

ω=

Unghiurile interioare compensate sunt

ωωω k+=

⋅ Verificarea compensării ∑ ∑ ∑=+

ωωω

k

1.2Calculul unghiurilor exterioare Suma teoretică a unghiurilor exterioare trebuie să fie ∑ += )2(*200 n

Compensarea acestora se face după algoritmul prezentat la punctul 1.1.

159

2.Calculul orientării laturii de sprijin

AB

AB

AB

XX

YYarctg

3.Calculul orientării laturilor de drumuire 3.1 Calculul orientărilor utilizând unghiurile interioare 400

1−+=

AABAωθθ

1112

ωθθ −=A

22123ωθθ −=

.......................

5545ωθθ −=

A

3.2 Calculul orientărilor folosind unghiurile exterioare 400

1−+=

AABAωθθ

1112

ωθθ +=A

22123ωθθ +=

.......................

5545ωθθ +=

A

4.Calcul distanţe reduse la orizont Dij = Lij * sinz 5.Calcul coordonate relative şi compensarea lor 5.1 Calcul coordonate relative provizorii

111cos

AAADX θ=Δ

121212

cosθDX =Δ⋅

232323

cosθDX =Δ⋅

343434

cosθDX =Δ⋅

454545

cosθDX =Δ⋅

AAA

DX555

cosθ=Δ⋅

160

111sin

AAADY θ=Δ

121212sinθDY =Δ

232323sinθDY =Δ

343434sinθDY =Δ

454545sinθDY =Δ

AAADY

555sinθ=Δ

111 AAAtgDH α=Δ

121212αtgDH =Δ

232323αtgDH =Δ

343434αtgDH =Δ

454545αtgDH =Δ

AAAtgDH

555α=Δ

5.2Calcul erori, corecţii

=Δ=

=Δ=

=Δ=

0

0

0

He

Ye

Xe

h

y

x

Eroarea totală pe X şi Y este: 22

yxeee +=

hh

Te

Te

Toleranţele se calculează cu relaţiile:

)5000

003.0(∑

∑ +±=ij

ij

DDT pentru intravilan şi terenuri

cu panta <50

161

)1733

0045.0(∑

∑ +±=ij

ij

DDT pentru extravilan şi

terenuri cu panta >50

∑±=kmh

DT 2,0

Dacă erorile sunt înscrise în toleranţe se calculează corecţiile

hh

yy

xx

ec

ec

ec

−=

−=

−=

Corecţiile unitare sunt

=

=

=

ij

hh

ij

y

y

ij

x

x

D

ck

D

ck

D

ck

5.3 Calcul coordonate relative compensate

AxAA

x

x

x

x

AxAA

DkXX

DkXX

DkXX

DkXX

DkXX

DkXX

5

`

55

45

`

4545

34

`

3434

23

`

2323

12

`

1212

1

`

11

+Δ=Δ

+Δ=Δ

+Δ=Δ

+Δ=Δ

+Δ=Δ

+Δ=Δ

162

AyAA

y

y

y

y

AyAA

DkYY

DkYY

DkYY

DkYY

DkYY

DkYY

5

`

55

45

`

4545

34

`

3434

23

`

2323

12

`

1212

1

`

11

+Δ=Δ

+Δ=Δ

+Δ=Δ

+Δ=Δ

+Δ=Δ

+Δ=Δ

AhAA

h

h

h

h

AhAA

DkHH

DkHH

DkHH

DkHH

DkHH

DkHH

5

`

55

45

`

4545

34

`

3434

23

`

2323

12

`

1212

1

`

11

+Δ=Δ

+Δ=Δ

+Δ=Δ

+Δ=Δ

+Δ=Δ

+Δ=Δ

6.Calculul coordonatelor absolute ale punctelor de drumuire

AA

AA

XXX

XXX

XXX

XXX

XXX

XXX

55

4545

3434

2323

1212

11

Δ+=

Δ+=

Δ+=

Δ+=

Δ+=

Δ+=

163

AA

AA

YYY

YYY

YYY

YYY

YYY

YYY

55

4545

3434

2323

1212

11

Δ+=

Δ+=

Δ+=

Δ+=

Δ+=

Δ+=

AA

AA

HHH

HHH

HHH

HHH

HHH

HHH

55

4545

3434

2323

1212

11

Δ+=

Δ+=

Δ+=

Δ+=

Δ+=

Δ+=

Verificarea calculului coordontelor punctuluiAC se face prin compararea coordonatelor determinate

prin calcul cu cele date iniţial. ATENŢIE! Explicaţiile de mai sus sunt pentru 5 staţii noi ( punctele 1, 2, 3, 4, 5) dar algoritmul de calcul este acelaşi indiferent de numărul de staţii noi. 7.6 Drumuirea cu punct nodal Se dau coordonatele punctelor vechi: A, B, C, D, E, F (Xi, Yi, Hi) Se cer: coordonatele punctelor noi: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (Xj, Yj, Hj) Se măsoară: direcţii unghiulare orizontale, unghiuri verticale şi lungimile laturilor de drumuire

164

Figura 7.11 Drumuirea cu punct nodal Etapa de calcule 1.Calculul orientărilor laturilor de sprijin

EF

EF

EF

CD

CD

CD

AB

AB

AB

XX

YYarctg

XX

YYarctg

XX

YYarctg

=

=

=

θ

θ

θ

2.Calculul orientărilor provizorii ale laturilor de drumuire Drumuirea 1

AABAωθθ +=

1

1112ωθθ −=

⋅⋅

A

2212ωθθ −=

⋅⋅

N

[ ] [ ]12

1

NNNSωθθ −=

⋅⋅

165

Drumuirea 2

CCDCωθθ +=

3

3334ωθθ −=

⋅⋅

C

4434ωθθ −=

⋅⋅

N

[ ] [ ]24

2

NNNSωθθ −=

⋅⋅

Drumuirea 3

EEFEωθθ −=

5

5556ωθθ −=

⋅⋅

E

66567ωθθ −=

⋅⋅

7767ωθθ −=

⋅⋅

N

[ ] [ ]37

3

NNNSωθθ −=

⋅⋅

3.Calculul orientării ponderate [ ] [ ] [ ]

321

3

3

2

2

1

1

ppp

pppNSNSNS

NS

++

++

=

⋅⋅⋅

θθθθ

Unde

250.04

11

1

1===

n

p n1 este numărul de staţii în drumuirea 1

250.04

11

2

2===

n

p n2 este numărul de staţii în drumuirea 2

200.05

11

3

3===

n

p n3 este numărul de staţii în drumuirea 3

4.Calculul erorilor şi corecţiilor orientărilor Drumuirea 1

166

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ][ ]

1

1

1

11

11

n

ck

ec

eNSNS

θ

θ

θθ

θθθ

=

−=

−=

Drumuirea 2 [ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ][ ]

2

2

2

22

22

n

ck

ec

eNSNS

θ

θ

θθ

θθθ

=

−=

−=

Drumuirea 3 [ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ][ ]

3

3

3

33

23

n

ck

ec

eNSNS

θ

θ

θθ

θθθ

=

−=

−=

5.Calculul orientărilor compensate Drumuirea 1

[ ]111 θ

θθ kAA+=

⋅ [ ]1

12122

θθθ k+=

⋅ [ ]1

223

θθθ k

NN+=

⋅ [ ] [ ]11

θθ kNSNS+=

Drumuirea 2 [ ]2

33 θθθ kCC+=

⋅ [ ]2

34342

θθθ k+=

⋅ [ ]2

443

θθθ k

NN+=

⋅ [ ] [ ]22

θθ kNSNS

+=⋅

167

Drumuirea 3 [ ]3

55 θθθ kEE+=

⋅ [ ]3

56562

θθθ k+=

⋅ [ ]3

67673

θθθ k+=

⋅ [ ]3

56562

θθθ k+=

⋅ [ ] [ ]33`

θθ kNSNS

+=

5.Calculul coordonatelor relative provizorii Drumuirea 1

111cos

AAADX θ=Δ

121212cosθDX =Δ

NNNDX

222cosθ=Δ

[ ]∑ ∑=Δ

ijijDX θcos

1

111sin

AAADY θ=Δ

121212sinθDY =Δ

NNNDY

222sinθ=Δ

⋅ [ ]

∑ ∑=Δ⋅

ijijDY θsin

1

111 AAAtgDH α=Δ

121212αtgDH =Δ

NNNtgDH

222α=Δ

⋅ [ ]

∑ ∑=Δ⋅

ijijtgDH α

1

Drumuirea 2

333cos

CCCDX θ=

168

343434cosθDX =

NNNDX

444cosθ=

[ ]∑ ∑=Δ

ijijDX θcos

2

333sin

CCCDY θ=

343434sinθDY =

NNNDY

444sinθ=

[ ]∑ ∑=Δ

ijijDY θsin

2

333 CCCtgDH α=Δ

343434αtgDH =Δ

NNNtgDH

444α=Δ

[ ]∑ ∑=Δ

ijijtgDH α

2

Drumuirea 3

555cos

EEEDX θ=

565656cosθDX =

676767cosθDX =

NNNDX

777cosθ=

[ ]∑ ∑=Δ

ijijDX θcos

3

555sin

EEEDY θ=

565656sinθDY =

676767sinθDY =

NNNDY

777sinθ=

169

[ ]∑ ∑=Δ

ijijDY θsin

3

555 EEEtgDH α=Δ

565656αtgDH =Δ

676767αtgDH =Δ

NNNtgDH

777α=Δ

[ ]∑ ∑=Δ

ijijtgDH α

3

6.Calculul coordonatelor provizorii ale punctului N [ ] [ ]

∑⋅⋅

Δ+=11

XXXAN

[ ] [ ]∑

⋅⋅

Δ+=11

YYYAN

[ ] [ ]∑

⋅⋅

Δ+=11

HHHAN

[ ] [ ]

∑⋅⋅

Δ+=22

XXXCN

[ ] [ ]∑

⋅⋅

Δ+=22

YYYCN

[ ] [ ]∑

⋅⋅

Δ+=22

HHHAN

[ ] [ ]

∑⋅⋅

Δ+=33

XXXEN

[ ] [ ]∑

⋅⋅

Δ+=33

YYYEN

[ ] [ ]∑

⋅⋅

Δ+=33

HHHAN

7.Calculul coordonatelor medii ponderate ale punctului N

[ ] [ ] [ ]

321

3

3

2

2

1

1

ppp

pXpXpXX NNN

N

++

++

=

⋅⋅⋅

[ ] [ ] [ ]

321

3

3

2

2

1

1

ppp

pYpYpYY NNN

N

++

++

=

⋅⋅⋅

170

[ ] [ ] [ ]

321

3

3

2

2

1

1

ppp

pHpHpHH NNN

N

++

++

=

⋅⋅⋅

∑=

1

1

1

Dp

∑=

2

2

1

Dp

∑=

3

3

1

Dp

8.Calculul erorilor şi corecţiilor [ ] [ ]

NNXXXe −=

⋅ 11 [ ] [ ]

NNXXXe −=

⋅ 22 [ ] [ ]

NNXXXe −=

⋅ 33 [ ] [ ]11

xXec −=

[ ] [ ]22

xXec −=

[ ] [ ]33

xXec −=

[ ][ ]

∑=

1

1

1

D

ck

x

X

[ ][ ]

∑=

2

2

2

D

ck

x

X

[ ][ ]

∑=

3

3

3

D

ck

x

X

[ ] [ ]NNYYYe −=

⋅ 11 [ ] [ ]

NNYYYe −=

⋅ 22 [ ] [ ]

NNYYYe −=

⋅ 33

171

[ ] [ ]11

yyec −=

[ ] [ ]22

yyec −=

[ ] [ ]33

yyec −=

[ ][ ]

∑=

1

1

1

D

ck

y

y

[ ][ ]

∑=

2

2

2

D

ck

y

y

[ ][ ]

∑=

3

3

3

D

ck

y

y

[ ] [ ]NNH

HHe −=

⋅ 11 [ ] [ ]

NNHHHe −=

⋅ 22 [ ] [ ]

NNHHHe −=

⋅ 33 [ ] [ ]11

HHec −=

[ ] [ ]22

HHec −=

[ ] [ ]33

HHec −=

[ ][ ]

∑=

1

1

1

D

ck

H

H

[ ][ ]

∑=

2

2

2

D

ck

H

H

[ ][ ]

∑=

3

3

3

D

ck

H

H

9.Calculul coordonatelor relative compensate Drumuirea 1

[ ]1

1

11 AxAADkXX +Δ=Δ

172

[ ]12

1

1212DkXX

x+Δ=Δ

⋅ [ ]

NxNNDkXX

2

1

22+Δ=Δ

⋅ [ ]

1

1

11 AyAA DkYY +Δ=Δ⋅

[ ]12

1

1212DkYY y+Δ=Δ

[ ]NyNN DkYY

2

1

22+Δ=Δ

[ ]1

1

11 AHAADkHH +Δ=Δ

⋅ [ ]

12

1

1212DkHH

H+Δ=Δ

⋅ [ ]

NHNNDkHH

2

1

22+Δ=Δ

Drumuirea 2 [ ]

3

2

33 CxCCDkXX +Δ=Δ

⋅ [ ]

34

2

3434DkXX

x+Δ=Δ

⋅ [ ]

NxNNDkXX

4

2

44+Δ=Δ

⋅ [ ]

3

2

33 CyCC DkYY +Δ=Δ⋅

[ ]34

2

3434DkYY

y+Δ=Δ

[ ]NyNN DkYY

4

2

44+Δ=Δ

[ ]3

2

33 CHCCDkHH +Δ=Δ

⋅ [ ]

34

2

3434DkHH

H+Δ=Δ

⋅ [ ]

NHNNDkHH

4

2

44+Δ=Δ

Drumuirea 3

[ ]5

3

55 ExEEDkXX +Δ=Δ

⋅ [ ]

56

3

5656DkXX

x+Δ=Δ

⋅ [ ]

67

3

6767DkXX

x+Δ=Δ

⋅ [ ]

NxNNDkXX

7

3

77+Δ=Δ

⋅ [ ]

5

3

55 EyEE DkYY +Δ=Δ⋅

173

[ ]56

3

5656DkYY

y+Δ=Δ

[ ]67

3

6767DkYY

y+Δ=Δ

[ ]NyNN DkYY

7

3

77+Δ=Δ

[ ]5

3

55 EHEEDkHH +Δ=Δ

[ ]56

3

5656DkHH

H+Δ=Δ

[ ]67

3

6767DkHH

H+Δ=Δ

[ ]NHNN

DkHH7

3

77+Δ=Δ

10.Calculul coordonatelor absolute

Drumuirea 1

11 AAXXX Δ+=

1212XXX Δ+=

NNXXX

22Δ+=

11 AAYYY Δ+=

1212YYY Δ+=

NNYYY22

Δ+=

11 AAHHH Δ+=

1212HHH Δ+=

NNHHH

22Δ+=

Drumuirea 2

33 CCXXX Δ+=

3434XXX Δ+=

NNXXX

44Δ+=

33 CCYYY Δ+=

3434YYY Δ+=

NNYYY44

Δ+=

174

33 CCHHH Δ+=

3434HHH Δ+=

NNHHH

44Δ+=

Drumuirea 3

55 EEXXX Δ+=

5656XXX Δ+=

6767XXX Δ+=

NNXXX

77Δ+=

55 EEYYY Δ+=

5656YYY Δ+=

6767YYY Δ+=

NNYYY77

Δ+=

55 EEHHH Δ+=

5656HHH Δ+=

6767HHH Δ+=

NNHHH

77Δ+=

175

8 PROBLEME REZOLVATE - DRUMUIREA PLANIMETRICĂ

8.1 Drumuirea planimetrică sprijinită la capete pe puncte de coordonate cunoscute şi orientări

Se dau:

1.Coordonatele planimetrice ale punctelelor de sprijin: Nr. Pct. X(m) Y(m)

A 160,380 195,498 B 222,156 134,429 C 140,580 550,804 D 112,860 667,546

2.Distanţele între laturile de drumuire măsurate cu panglica:

662.111

264.134

882.84

837.119

316.81

4

34

23

12

1

=

=

=

=

=

C

A

L

L

L

L

L

3.Unghiurile orizontale interiore

2575.283

0967.77

0238.293

0302.101

5747.286

4817.123

4

3

2

1

=

=

=

=

=

=

C

A

ω

ω

ω

ω

ω

ω

4.Unghiurile zenitale

176

42.100

85.99

65.100

37.99

45.99

4

34

23

12

1

=

=

=

=

=

C

A

z

z

z

z

z

Se cere să se calculeze coordonatele punctelor noi de drumuire 1, 2, 3, 4

Figura 8.1 Drumuirea planimetrică sprijinită la capete pe puncte de

coordonate cunoscute Rezolvare

1. Calculul orientărilor punctelor de sprijin

8415.114

3664.350

=

=

=

=

CD

CD

CD

AB

AB

AB

XX

YYarctg

XX

YYarctg

θ

θ

177

2. Calculul orientărilor provizorii între punctele de drumuire

8310.1148310.5142575.283535.231

5735.315735.4310967.774768.354

4768.1544768.5540238.2934530.261

4530.614530.4610302.1014228.360

4228.1604228.5605747.2868481.273

8481.738481.4734817.1233664.350

`

4

`

4

`

43

`

4

3

`

32

`

34

2

`

21

`

23

1

`

1

`

12

`

1

==+=+=

==+=+=

==+=+=

==+=+=

==+=+=

==+=+=

ccCD

C

A

AABA

ωθθ

ωθθ

ωθθ

ωθθ

ωθθ

ωθθ

3. Calculul erorii orientării de drumuire

cc

cc

cc

cc

CDCD

n

ck

ec

e

0017.06

105

105

1058415.1148310.114`

===

=−=

−=−=−=

θ

θ

θθ

θθθ

Unde n este numărul de staţii de drumuire 4. Calculul orientărilor definitive ale punctelor de drumuire

8415.1140105.08310.1146

5820.310085.05735.315

4836.1540068.04768.1544

4581.610051.04530.613

4262.1600034.04228.1602

8498.730017.08481.73

`

`

44

`

3434

`

2323

1

1212

`

!1

=+=+=

=+=+=

=+=+=

=+=+=

=+=+=

=+=+=

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θθ

θθ

θθ

θθ

θθ

θθ

k

k

k

k

k

k

CDCD

CC

AA

5. Calculul distanţelor reduse la orizont

178

mzLD

mzLD

mzLD

mzLD

mzLD

CC

AA

659.11142.100sin662.111sin

263.13485.99sin264.134sin

877.8465.100sin882.84sin

831.11937.99sin837.119sin

313.8145.99sin316.81sin

44

3434

2323

1212

11

===

===

===

===

===

6. Calculul coordonatelor relative provizorii

mDX

mDX

mDX

mDX

mDX

CCC

AAA

198.98cos

384.101cos

304.48cos

415.97cos

469.32cos

44

`

4

3434

`

34

2323

`

23

1212

`

12

11

`

1

==Δ

−==Δ

==Δ

−==Δ

==Δ

θ

θ

θ

θ

θ

mDY

mDY

mDY

mDY

mDY

CCC

AAA

148.53sin

022.88sin

791.69sin

784.69sin

549.74sin

44

`

4

3434

`

34

2323

`

23

1212

`

12

11

`

1

==Δ

==Δ

==Δ

==Δ

==Δ

θ

θ

θ

θ

θ

7. Calculul erorii şi corecţiei coordonatelor relative

00005263.0943.531

028.0

028.0

028.0)800.19(828.19)(

==

∑=

=−=

−=−−−=−−Δ∑=

D

ck

mec

mXXXe

x

x

xx

ACx

179

000022558.0943.531

012.0

012.0

012.0306.355294.355)(

==

∑=

=−=

−=−=−−Δ∑=

D

ck

mec

mYYYe

y

y

yy

ACy

8. Calculul coordonatelor relative compensate

mDkXX

mDkXX

mDkXX

mDkXX

mDkXX

CxCC

x

x

x

AxAA

204.98006.0198.98

376.101008.0384.101

308.48004.0304.48

409.97006.0415.97

473.32004.0469.32

4

`

44

34

`

3434

23

`

2323

12

`

1212

1

`

11

=+=+Δ=Δ

−=+−=+Δ=Δ

=+=+Δ=Δ

−=+−=+Δ=Δ

=+=+Δ=Δ

mDkYY

mDkYY

mDkYY

mDkYY

mDkYY

CyCC

y

y

y

AyAA

150.53002.0148.53

025.88003.0022.88

793.69002.0791.69

787.69003.0784.69

551.74002.0549.74

4

`

44

34

`

3434

23

`

2323

12

`

1212

1

`

!1

=+=+Δ=Δ

=+=+Δ=Δ

=+=+Δ=Δ

=+=+Δ=Δ

=+=+Δ=Δ

Verificare

AC

AC

YYY

XXX

−=Δ∑

−=Δ∑

9. Calculul coordonatelor absolute ale punctelor de drumuire

180

mXXX

mXXX

mXXX

mXXX

mXXX

CC

AA

580.140204.98376.42

376.42376.101752.143

752.143308.48444.95

444.95409.97853.192

853.192473.32380.160

44

3434

2323

1212

11

=+=Δ+=

=−=Δ+=

=+=Δ+=

=−=Δ+=

=+=Δ+=

mYYY

mYYY

mYYY

mYYY

mYYY

CC

AA

804.550150.53654.497

654.497025.88629.409

629.409793.69836.339

836.339787.69049.270

049.270551.74498.195

44

3434

2323

1212

11

=+=Δ+=

=+=Δ+=

=+=Δ+=

=+=Δ+=

=+=Δ+=

8.2 Drumuirea planimetrică în circuit închis

Se dau coordonatele punctelor de sprijin A, B, distanţele reduse la orizont ale laturilor de drumuire şi direcţiile unghiulare orizontale măsurate pe teren

181

Figura 8.2 Drumuirea planimetrică în circuit închis

Nr. Pct. X(m) Y(m)

A 1010 2012

B 1090 1835

PS PV Direcţii

unghiulare orizontale

Distanţe reduse la orizont (m)

B 125.4318 A 1 200.6548 85.058

A 399.9950 1 2 223.4300 104.390

1 225.0350 2 3 157.4550 111.310

2 350.4950 3 4 172.3550 90.443

4 3 370.7500

182

5 286.9050 82.153

4 90.1050 5 B 291.7800 58.034

5 295.6050 A B 124.8520

Se cere să se calculeze coordonatele punctelor noi de drumuire 1, 2, 3, 4, 5 Rezolvare 1.Calculul unghiurilor orizontale exterioare măsurate în punctele de staţie

2230.754318.1256548.200`

=−=A

ω

4350.2239950.3994300.6239950.3994300.2231

=−=−=ω

4200.3320350.2254550.5570350.2254550.1572

=−=−=ω

8600.2214950.3503550.5724950.3503550.1723

=−=−=ω

1550.3167500.3709050.6867500.3709050.2864

=−=−=ω

6750.2011050.907800.2915

=−=ω

2470.2296050.2958250.5246050.2958520.124``

=−=−=A

ω

2.Calculul orientării laturii de sprijin AB

0243.3279757.72400

9757.722125.280

177

=−=

+

−=

+

−=

+

−=

AB

ABarctgarctg

θ

θ

3.Transmiterea orientărilor

2473.22473.4022230.750243.3271

==+=+=⋅⋅

AABAωθθ

6823.256823.4254350.2232473.2021112

==+=+=⋅⋅

ωθθA

183

1023.1581023.5584200.3326823.22522123

==+=+=⋅⋅

ωθθ

9623.1799623.5798600.2211023.35833234

==+=+=⋅⋅

ωθθ

1173.2961173.6961550.3169623.37944345

==+=+=⋅⋅

ωθθ

7923.2976750.2011173.965545

=+=+=⋅⋅

ωθθA

0393.3272470.2297923.975

=+=+=⋅⋅⋅⋅

AAABωθθ

4. Calculul erorii şi corecţiilor

cc

cc

cc

k

c

217

150

150

−=

=

−=

θ

θ

5.Calculul orientărilor compensate

2453.2212473.21

=−=cc

6781.25426823.2512

=−=

cc

θ

0960.158631023.15823

=−=cc

θ

9539.179849623.17934

=−=cc

θ

1068.2961051173.29645

=−=

cc

θ

7787.2971367923.2975

=−=

cc

0243.3271500393.327 =−=

cc

ABθ

6.Calculul coordonatelor relative provizorii

mXA

005.852453.2cos058.851

==Δ⋅

mX 013.916781.25cos390.10412

==Δ⋅

mX 055.880960.158cos310.11123

−==Δ⋅

mX 996.859539.179cos443.9034

−==Δ⋅

mX 021.51068.296cos153.8245

−==Δ⋅

cc

ABABe 1500150.00243.3270393.327 ==−=−=

θθθ

184

mXA

024.27787.297cos034.585

−==Δ⋅

mYA

999.22453.2sin058.851

==Δ⋅

mY 973.406781.25sin390.10412

==Δ⋅

mY 090.680960.158sin310.11123

==Δ⋅

mY 011.289539.179sin443.9034

==Δ⋅

mY 999.811068.296sin153.8245

−==Δ⋅

mYA

999.577787.297sin034.585

−==Δ⋅

7.Calculul erorii şi corecţiilor coordonatelor

∑ −=Δ⋅

mX 078.0

0001411398.0388.531

075.0

075.0

075.0

−=

=

−=

=

y

y

y

k

mc

me

8.Calculul coordonatelor relative compensate

mXA

017.85012.0005.851

=+=Δ

mX 028.96015.0013.9612

=+=Δ

mX 039.88016.0055.8823

−=+−=Δ

00014678.0388.531

078.0

388.531

078.0

078.0

==

=

=

−=

x

x

x

k

mD

mc

me

∑ =Δ⋅

mY 075.0

185

mX 982.85014.0996.8534

−=+−=Δ

mX 009.5012.0021.545

−=+−=Δ

mXA

015.2009.0024.25

−=+−=Δ

Verificare 0=Δ∑ X

mYA

987.2012.0999.21

=−=Δ

mY 958.40015.0973.4012

=−=Δ

mY 998.27013.0011.2834

=−=Δ

mY 011.82012.0999.8145

−=−−=Δ

mYA

007.58008.0999.575

−=−−=Δ

Verificare 0=Δ∑ Y

9.Calculul coordonatelor absolute

X1 = XA + ΔXA1 = 1010 + 85.017 = 1095.017m

X2 = X1 + ΔX12 = 1095.017 + 96.028 = 1191.045m

X3 = X2 + ΔX23 = 1191.045 – 88.055 = 1103.006m

X4 = X3 + ΔX34 = 1103.006 – 85.982 = 1017.024m

X5 = X4 + ΔX45 = 1017.024 – 5.009 = 1012.015m

Verificare XA = X5 + ΔX5A = 1012.015 - 2.015 = 1010m

Y1 = YA + ΔYA1 = 2012 + 2.987 = 2014.987m

Y2 = Y1 + ΔY12 = 2014.987 + 40.958 = 2055.945m

Y3 = Y2 + ΔY23 = 2055.945 + 68.075 = 2124.020m

Y4 = Y3 + ΔY34 = 2124.020 + 27.998 = 2152.018m

Y5 = Y4 + ΔY45 = 2152.018 - 82.011 = 2070.007m

Verificare YA = Y5 + ΔY5A = 2070.007 – 58.007 = 2012m

mY 075.68015.0090.6823

=−=Δ

186

8.3 Drumuirea planimetrică cu punct nodal

Se dau punctelor vechi de sprijin, unghiurile orizontale şi distanţele reduse la orizont măsurate într-o drumuire cu punct nodal.

Figura 8.3 Drumuire planimetrică cu punct nodal

Nr.pct. X (m) Y (m) A 6020.454 7734.262 B 4389.447 7498.874 C 6388.565 8390.504 D 8324.414 7824.731 E 6258.181 7704.289 F 7604.883 6272.923

187

Se cere să se calculeze coordonatele punctelor noi de staţie N, 1, 2, 3, 4 Rezolvare 1.Calculul orientărilor laturilor de sprijin

1247.2091247.914432.0007.1631

388.235=

=

=

= arctgarctgAB

θ

PS PV Direcţii unghiulare orizontale

Unghi orizontal

Distanţe orizontale

(m) B 75.3250 A 1 364.2656

288.9406 152.979

A 125.5680 1 2 354.0673

228.4993 169.009

1 356.9860 2 N 247.1567

290.1707 177.777

2 255.4550 N S 6.9266

151.4716

D 123.3690 C 3 3.8041

280.4351 155.544

C 278.8990 3 N 48.1643

169.2653 282.413

3 36.1220 N S 101.2791

65.1571

F 56.6330 E 4 255.5788

198.9458 188.654

E 205.6540 4 N 105.6244

299.9704 202.154

4 129.4550 N S 350.6788

221.2238

188

8982.3811017.1829226.0849.1935

773.565=

+

−=

+

−=

+

−= arctgarctg

CDθ

0604.3489395.510628677.1702.1346

366.1431=

+

−=

+

−=

+

−= arctgarctg

EFθ

2.Transmiterea orientărilor Drumuirea 1

0653.989406.2881247.2091

=+=+=⋅

AABAωθθ

5660.694993.2280653.2981112

=−=−=

⋅⋅

ωθθA

3953.3791707.2905660.2692212

=−=−=

⋅⋅

ωθθN

[ ] [ ]

9237.274716.1513953.1791

2

1=−=−=

⋅⋅

NNNSωθθ

Drumuirea 2

3333.2624351.2808982.3813

=+=+=⋅

CCDCωθθ

0680.2932653.1693333.62333

=−=−=

⋅⋅

ωθθCN

[ ] [ ]

9109.271571.650680.932

3

2=−=−=

⋅⋅

NNNSωθθ

Drumuirea 3

1146.1499458.1980604.3484

=−=−=

EEFEωθθ

1442.499704.2991146.349444

=−=−=

⋅⋅

ωθθEN

[ ] [ ]

9204.272238.2211442.2493

4

3=−=−=

⋅⋅

NNNSωθθ

2.Calculul orientării ponderate

[ ] [ ] [ ]

321

3

3

2

2

1

1

ppp

pppNSNSNS

NS

++

++

=

⋅⋅⋅

θθθθ

Unde

250.04

11

1

1===

np n1 este numărul de staţii în drumuirea 1

333.03

11

2

2===

np n2 este numărul de staţii în drumuirea 2

189

333.03

11

3

3===

np n3 este numărul de staţii în drumuirea 3

9178.27916.0

572748.25

333.0333.0250.0

9204.27*333.09109.27*333.09237.27*25.0==

++

++=

NSθ

3.Calculul erorilor şi corecţiilor orientărilor Drumuirea 1

[ ] [ ]

[ ]

[ ] cc

cc

cc

NSNS

k

c

e

154

59

59

599178.279237.27

1

1

11

−=

=

−=

=−=−=

θ

θ

θθθ

Drumuirea 2 [ ] [ ]

[ ]

[ ] cc

cc

cc

NSNS

k

c

e

233

69

69

699178.279109.27

2

2

22

==

=

−=−=−=

θ

θ

θθθ

Drumuirea 3 [ ] [ ]

[ ]

[ ] cc

cc

cc

NSNS

k

c

e

93

26

26

269178.279204.27

3

3

23

−=

=

−=

=−=−=

θ

θ

θθθ

4.Calculul orientărilor compensate Drumuirea 1

0638.98150653.981

=−=

cc

5630.6930560.6912

=−=

cc

θ

3908.379453953.3792

=−=

cc

9178.27599237.27 =−=

cc

NSθ

Drumuirea 2

190

3356.262233333.2623

=+=cc

0726.293460680.2933

=+=cc

9178.27699109.27 =+=cc

NSθ

Drumuirea 3

1137.14991146.1494

=−=

cc

1424.49181442.494

=−=

cc

9178.27269204.27 =−=cc

NSθ

5.Calculul coordonatelor relative provizorii Drumuirea 1

mDXAAA

652.40638.98cos979.152cos111

===Δ⋅

θ

mDX 760.775630.69cos009.169cos121212

===Δ⋅

θ

mDXNNN

542.1683908.379cos777.177cos222

===Δ⋅

θ

[ ]∑ =Δ

mX 954.2501

mDYAAA

908.1520638.98sin979.152sin111

===Δ⋅

θ

mDY 058.1505630.69sin009.169sin121212

===Δ⋅

θ

mDYNNN

551.563908.379sin777.177sin222

−===Δ⋅

θ

[ ]∑ =Δ

mY 415.2461

[ ] [ ]

∑ =+=Δ+=⋅⋅

mXXXAN

408.6271954.250454.602011

[ ] [ ]∑ =+=Δ+=

⋅⋅

mYYYAN

677.7980415.246262.773411

Drumuirea 2

mDXCCC

749.863356.262cos544.155cos333

−===⋅

θ

mDXNNN

670.300726.293cos413.282cos333

−===

θ

191

[ ]∑ −=Δ

mX 419.1172

mDYCCC

106.1293356.62sin544.155sin333

−===

θ

mDYNN

742.2800726.293sin413.282sin333

−===

θ

[ ]∑ −=Δ

mY 848.4092

[ ] [ ]

∑ =−=Δ+=⋅⋅

mXXXCN

146.6271419.117565.638822

[ ] [ ]∑ =−=Δ+=

⋅⋅

mYYYCN

656.7980848.409504.839022

Drumuirea 3

mDXEEE

528.1311137.149cos654.188cos444

−===

θ

mDXNNN

857.1441424.49cos154.202cos444

===

θ

[ ]∑ =Δ

mX 329.133

mDYEEE

243.1351137.149sin654.188sin444

===

θ

mDYNNN

006.1411424.49sin154.202sin444

===

θ

[ ]∑ =Δ

mY 249.2763

[ ] [ ]

∑ =+=Δ+=⋅⋅

mXXXEN

510.6271329.13181.625833

[ ] [ ]∑ =+=Δ+=

⋅⋅

mYYYEN

538.7980249.276289.770433

6.Calculul coordonatelor medii ponderate ale punctului N [ ] [ ] [ ]

321

3

3

2

2

1

1

ppp

pXpXpXX NNN

N

++

++

=

⋅⋅⋅

[ ] [ ] [ ]

321

3

3

2

2

1

1

ppp

pYpYpYY NNN

N

++

++

=

⋅⋅⋅

192

0020009.0765.499

11

1

1===

∑Dp

0022833.0957.437

11

2

2===

∑Dp

0025588.0808.390

11

3

3===

∑Dp

mXN

424.6271006843.0

915353.42==

mYN

618.7980006843.0

611369.54==

7.Calculul erorilor şi corecţiilor

[ ] [ ]mXXe

NNX016.0424.6271408.6271

11−=−=−=

[ ] [ ]mXXe

NNX278.0424.6271146.6271

22−=−=−=

[ ] [ ]mXXe

NNX086.0424.6271510.6271

33=−=−=

[ ]mc

X016.0

1=

[ ]mc

X278.0

2=

[ ]mc

X086.0

3−=

[ ]000032015.0

765.499

016.01==

Xk

[ ]00063476.0

957.437

278.02==

Xk

[ ]00022005.0

808.390

086.03−=

=X

k

[ ] [ ]mYYe

NNY059.0618.7980677.7980

11=−=−=

[ ] [ ]mYYe

NNY038.0618.7980656.7980

22=−=−=

[ ] [ ]mYYe

NNY080.0618.7980538.7980

33−=−=−=

[ ]mc

Y059.0

1−=

193

[ ]mc

Y038.0

2−=

[ ]mc

Y080.0

3=

[ ]00011805.0

765.499

059.01−=

=Y

k

[ ]000086766.0

957.437

038.02−=

=Y

k

[ ]000086766.0

957.437

038.02−=

=Y

k

[ ]00020470.0

808.390

080.03==

Yk

8.Calculul coordonatelor relative compensate Drumuirea 1

[ ]mDkXX

AxAA657.4005.0652.4

1

1

11=+=+Δ=Δ

[ ]mDkXX

x765.77005.0760.77

12

1

1212=+=+Δ=Δ

[ ]mDkXX

NxNN548.168006.0542.168

2

1

22=+=+Δ=Δ

[ ]mDkYY

AyAA 890.152018.0908.1521

1

11=−=+Δ=Δ

[ ]mDkYY

y038.150020.0058.150

12

1

1212=−=+Δ=Δ

[ ]mDkYY

NyNN 572.56021.0551.562

1

22−=−−=+Δ=Δ

Drumuirea 2 [ ]

mDkXXCxCC

650.86099.0749.863

2

33−=+−=+Δ=Δ

[ ]mDkXX

NxNN491.30179.0370.30

3

2

33−=+−=+Δ=Δ

[ ]mDkYY CyCC 119.129013.0106.129

3

2

33−=−−=+Δ=Δ

[ ]mDkYY

NyNN 767.280025.0742.2803

2

33−=−−=+Δ=Δ

Drumuirea 3 [ ]

mDkXXExEE

570.131042.0528.1314

3

44−=−−=+Δ=Δ

194

[ ]mDkXX

NxNN813.144044.0857.144

4

3

44=−=+Δ=Δ

[ ]mDkYY EyEE 282.135039.0243.135

4

3

44=+=+Δ=Δ

[ ]mDkYY

NyNN 047.141041.0006.1414

3

44=+=+Δ=Δ

9.Calculul coordonatelor absolute

Drumuirea 1

mXXXAA

111.6025657.4454.602011

=+=Δ+=

mXXX 876.6102765.77111.60251212

=+=Δ+=

mXXXNN

424.6271548.168876.610222

=+=Δ+=

mYYYAA

152.7887890.152262.773411

=+=Δ+=

mYYY 190.8037038.150152.78871212

=+=Δ+=

mYYYNN

618.7980572.56190.803722

=−=Δ+=

Drumuirea 2

mXXXCC

915.6301650.86565.638833

=−=Δ+=

mXXXNN

424.6271491.30915.630133

=−=Δ+=

mYYYCC

385.8261119.129504.839033

=−=Δ+=

mYYYNN

618.7980767.280385.826133

=−=Δ+=

Drumuirea 3

mXXXEE

611.6126570.131181.625844

=−=Δ+=

mXXXNN

424.6271813.144611.612644

=+=Δ+=

mYYYEE

571.7839282.135289.770444

=+=Δ+=

mYYYNN

618.7980047.141571.783944

=+=Δ+=

195

9.RIDICAREA PLANIMETRICĂ A DETALIILOR TOPOGRAFICE 9.1.Metoda coordonatelor polare Se dau: coordonatele punctelor de drumuire: 1, 2, 3, 4 Se măsoară: distanţele înclinate din punctele de drumuire către punctele radiate, direcţiile unghiulare orizontale şi unghiurile verticale Se cere să se calculeze coordonatele X, Y, H ale punctelor radiate: 201, 202, 203, 301, 302, 303

Figura 9.1 Metoda coordonatelor polare

Etape de calcul 1.Calculul distanţelor orizontale

ijijijLD αcos=

Unde: Lij este distanţa înclinată măsurată între punctul de drumuire şi punctul radiat;

αij este unghiul vertical(unghi de pantă) măsurat între punctul de drumuire şi punctul radiat.

196

De exemplu: 201220122012

cos−−−

= αLD

2.Calculul unghiului de orientare al staţiei 2

2

22

2

3322

1122

⋅⋅⋅

⋅⋅

+

=

−=

−=

ααα

θα

θα

dir

dir

3.Calculul unghiului de orientare al staţiei 3

2

33

3

4433

2233

⋅⋅⋅

⋅⋅

+

=

−=

−=

ααα

θα

θα

dir

dir

4.Calculul orientărilor punctelor radiate

jj

ii

dir

dir

+=

+=

33

22

αθ

αθ

De exemplu:

30133013

20122012

dir

dir

+=

+=

αθ

αθ

5.Calculul creşterilor de coordonate

iii

iii

iii

tgDH

DY

DX

−−−

−−−

−−−

222

222

222

sin

cos

α

θ

θ

197

jjj

jjj

jjj

tgDH

DY

DX

−−−

−−−

−−−

333

333

333

sin

cos

α

θ

θ

De exemplu

301330133013

301330133013

301330133013

201220122012

201220122012

201220122012

sin

cos

sin

cos

−−−

−−−

−−−

−−−

−−−

−−−

α

θ

θ

α

θ

θ

tgDH

DY

DX

tgDH

DY

DX

6.Calculul coordonatelor absolute

jj

jj

jj

ii

ii

ii

HHH

YYY

XXX

HHH

YYY

XXX

Δ+=

Δ+=

Δ+=

Δ+=

Δ+=

Δ+=

33

33

33

22

22

22

De exemplu

20122201

20122201

20122201

Δ+=

Δ+=

Δ+=

HHH

YYY

XXX

20133301

20133301

20133301

Δ+=

Δ+=

Δ+=

HHH

YYY

XXX

198

Concluzie: Coordonatele punctelor radiate se determină în funcţie de coordonatele punctului de staţie din care a fost măsurat punctul respectiv. 9.2.Metoda coordonatelor rectangulare (terenuri cu panta mai mică de 5g) Se dau: coordonatele punctelor de drumuire 1, 2, 3 Se cer: coordonatele X şi Y ale punctelor radiate A şi B, puncte aflate pe colţurile unei clădiri. Se măsoară cu panglica distanţele D1, D2, D3. Latura AB este paralelă cu latura 23, astfel încât vom duce perpendiculare din punctele A şi B pe latura 23 obţinând punctele A1 şi B1. Distanţa D1 este măsurată de la punctul 2 la punctul A1, D2 este lungimea perpendicularei AA1, iar D3 este lungimea laturii AB.

Figura 9.2 Metoda coordonatelor rectangulare

Etapa de calcul

199

1.Calculul orientării laturii 23

23

23

32

XX

YYarctg

=−

θ

2.Calculul coordonatelor punctului A1

32112

32112

sin

cos

−−

−−

θ

θ

DY

DX

A

A

1221

1221

AA

AA

YYY

XXX

Δ+=

Δ+=

3.Calculul coordonatelor punctului A

g

AAA 100121−=

−−

θθ

121

121

sin

cos

AAAA

AAAA

DY

DX

−−

−−

θ

θ

11

11

AAAA

AAAA

YYY

XXX

Δ+=

Δ+=

4.Calculul coordonatelor punctului B

BABA

BABA

BA

DY

DX

−−

−−

−−

=

θ

θ

θθ

sin

cos

3

3

32

BAAB

BAAB

YYY

XXX

Δ+=

Δ+=

9.3.Rdicarea detaliilor prin intersecţie liniară

Se dau: coordonatele punctelor de drumuire 1, 2, 3 Se cer: coordonatele punctului radiat A (X, Y) Se măsoară: distanţele D1 şi D2 cu panglica, electronic sau stadimetric

200

Figura 9.3 Metoda intersecţiei liniare

Etapa de calcul 1.Calculul orientării laturii de sprijin 23

23

23

32

XX

YYarctg

=−

θ

2.Calculul distanţei D3 din coordonate

2

32

2

32323)()( YYXXDD −+−==

3.Calculul unghiurilor α şi β în triunghiul 2A3 aplicând teorema cosinusului

α

β

cos2

cos2

31

2

1

2

3

2

2

23

2

2

2

3

2

1

DDDDD

DDDDD

−+=

−+=

201

31

2

2

2

3

2

1

23

2

1

2

3

2

2

2arccos

2arccos

DD

DDD

DD

DDD

−+

=

−+

=

α

β

4.Calculul orientărilor laturilor 2A şi 3A

βθθ

αθθ

+=

−=

−−

−−

233

322

A

A

5.Calculul coordonatelor punctului A

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]AA

AA

AA

AA

DYY

DXX

DYY

DXX

+=

+=

+=

+=

323

2

323

2

212

1

212

1

sin

cos

sin

cos

θ

θ

θ

θ

Valorile finale ale coordonatelor punctului A se vor calcula ca

medie aritmetică între cele două perechi de coordonate obţinute mai sus, în cazul în care nu sunt diferenţe mai mari de câţiva cm între ele.

[ ] [ ]

[ ] [ ]

2

2

21

21

AA

A

AA

A

YYY

XXX

+

=

+

=

9.4.Ridicarea detaliilor prin intersecţie unghiulară Se dau: coordonatele punctelor de drumuire 1, 2, 3 Se cer coordonatele punctului radiat A (X, Y) Se măsoară: direcţii unghiulare orizontale din punctul 2 către 3 şi A,

iar din 3 către 2 şi A pentru a determina unghiurile orizontale α şi β.

202

Figura 9.4 Metoda intersecţiei unghiulare

Etapa de calcul 1.Calculul orientării laturii 23

23

23

32

XX

YYarctg

=−

θ

2.Calculul unghiurilor α şi β din diferenţa direcţiilor unghiulare orizontale măsurate

α = dir23 – dir2A

β = dir3A – dir32 3.Calculul orientărilor laturilor 2A şi 3A

βθθ

αθθ

+=

−=

−−

−−

233

322

A

A

4.Calculul coordonatelor punctului A folosind relaţiile de la intersecţia înainte procedeul analitic

203

AA

AA

A

tgtg

tgXtgXYYX

−−

−−

−+−

=

32

332223

θθ

θθ

[ ]

[ ]

[ ] [ ]

2

)(

)(

21

333

2

222

1

AA

A

AAA

AAA

YYY

tgXXYY

tgXXYY

+

=

−+=

−+=

θ

θ

9.5 Probleme rezolvate PROBLEMA 1 CALCULUL COORDONATELOR PUNCTELOR RADIATE PRIN METODA COORDONATELOR POLARE

Se dau direcţiile unghiularea orizontale şi distanţele măsurate dintr – o drumuire în circuit închis către punctele radiate, colţurile unei clădiri.

Figura 9.5 Schema radierii punctelor

204

PS PV Distanţe orizontale

Direcţii unghiulare orizontale

3 - 25.7343

201 60.518 56.7489

202 79.043 59.3177

2

203 79.122 76.4283

301 30.135 70.4625

302 45.225 84.4198

303 50.459 147.3352

3

2 - 167.5333

A - 21.1713

501 45.740 92.1330

5

502 51.131 165.5070

Coordonatele punctelor de drumuire din care s-a efectuat măsurarea punctelor radiate sunt:

Pct. X (m) Y (m) 2 1251.701 2400.239

3 1163.769 2466.989

5 1072.717 2410.909

Orientările laturilor de drumuire sunt:

θ21 = 225.6660

θ23 = 158.0972

θ5A = 297.7895 Se cere să se calculeze coordonatele punctelor radiate prin metoda coordonatelor polare

205

Rezolvare 1.Calculul orientărilor dintre punctele de drumuire şi punctele radiate

θ2 -201 = θ2-3 + (dir2-201 – dir2-3) = 158.0972 + (56.7489 – 25.7343)=189.1118

θ2 -202 = θ2-3 + (dir2-202 – dir2-3) = 158.0972 + (59.3177 – 25.7343)=191.6806

θ2 -203 = θ2-3 + (dir2-203 – dir2-3) = 158.0972 + (76.4283 – 25.7343)=208.7912

θ3 -301 = θ3-2 - (dir3-2 – dir3-301) = 358.0972 - (167.5333 – 70.4625)=261.0264

θ3 -302 = θ3-2 - (dir3-2 – dir3-302) = 358.0972 - (167.5333 – 84.4198)=274.9837

θ3 -303 = θ3-2 - (dir3-2 – dir3-303) = 358.0972 - (167.5333 – 147.3352)=337.8991

θ5 -501 = θ5-A + (dir5-501 – dir5-A) = 297.7895 + (92.1330 –21.1713)= 368.7512

θ5 -502 = θ5-A + (dir5-502 – dir5-A) = 297.7895 + (165.5070 –21.1713)= 42.1252 2.Calculul coordonatelor punctelor radiate

X201 = X2 + D2-201cosθ2 -201 = 1192.066m

Y201 = Y2 + D2-201sinθ2 -201 = 2410.539m

X202 = X2 + D2-202cosθ2 -202 = 1173.333m

Y202 = Y2 + D2-202sinθ2 -202= 2410.539m

X203 = X2 + D2-203cosθ2 -203 = 1173.332m

Y203 = Y2 + D2-203sinθ2 -203 = 2389.348m

X301 = X3 + D3-301cosθ3 -301 = 1146.452m

206

Y301 = Y3 + D3-301sinθ3 -301 = 2442.327m

X302 = X3 + D3-302cosθ3 -302 = 1146.452m

Y302 = Y3 + D3-302sinθ3 -302 = 2425.211m

X303 = X3 + D3-303cosθ3 -303 = 1192.065m

Y303 = Y3 + D3-303sinθ3 -303= 2425.210m

X501 = X5 + D5-501cosθ5 -501 = 1113.056m

Y501 = Y5 + D5-501sinθ5 -501 = 2389.348m

X502 = X5 + D5-502cosθ5 -502 = 1113.056m

Y502 = Y5 + D5-502sinθ5 -502 = 2442.327m Observaţie!

Coordonatele fiecărui punct radiat se calculează din coordonatele punctului de staţie din care a fost măsurat. Relaţiile generale de calcul sunt:

XPR = XPS + DPS-PRcosθPS-PR

YPR = YPS + DPS-PRsinθPS-PR

207

10 NIVELMENT Nivelmentul sau altimetria reprezintă acea parte din topografie care se ocupă cu studiul instrumentelor şi metodelor de determinare a altitudinii punctelor de pe suprafaţa topografică şi reprezentarea în plan a reliefului terenului. Prin aceste determinări se va afla şi cea de-a treia coordonată a unui punct: H. Cotele se determină faţă de suprafaţa de nivel zero, sau faţă de o suprafaţă de referinţă aleasă arbitrar. Tot prin determinări nivelitice vom afla şi diferenţele de nivel dintre două puncte A şi B: ΔHA-B. Diferenţa de nivel este o distanţă pe verticală dintre două puncte prin care trec două suprafeţe de nivel. În funcţie de aparatura utilizată şi de metodele de lucru adoptate, nivelmentul se poate clasifica în: - nivelment geometric; - nivelment trigonometric; - nivelment hidrostatic; - nivelment barometric.

10.1 Nivelmentul geometric

Principiul acestuia constă în faptul că axa de vizare este orizontală. Măsurătorile se execută cu nivela şi mira.

În funcţie de poziţia instrumentului faţă de punctele măsurate nivelmentul geometric se clasifică în:

►nivelment geometric de mijloc; ►nivelment geometric de capăt

10.1.1 Nivelmentul geometric de mijloc

Se dau: HA – cota punctului A Se măsoară: cA şi cB – citirile pe mira instalată în punctele A

şi B

208

Se cer: HB – cota punctului B şi ΔHAB – diferenţa de nivel între punctele A şi B

Figura 10.1 Principiul nivelmentului geometric de mijloc

Modul de lucru pe teren

Se instalează nivela la jumătatea distanţei distanţei dintre punctele A şi B, se orizontalizează şi se efectuează citiri pe mirele aşezate în punctele A şi B( cA şi cB).

Modul de calcul a cotei şi diferenţei de nivel Principiul nivelmentului geometric, cel al vizei orizontale

conduce la raţionamentul că planul de vizare al instrumentului este paralel cu planul de referinţă. De aici rezultă faptul că dreptele cuprinse între paralele sunt egale, adică: CA+HA=CB+HB

209

Deoarece HA este cota punctului cunoscut rezultă: HB=HA+(CA-CB) Dar se poate observa că: ΔHAB= CA-CB HB=HA+ΔHAB Trebuie făcută menţiunea că diferenţa de nivel poate fi pozitivă sau negativă în funcţie de poziţia punctului A faţă de B, astfel: Dacă A este mai jos decât B, CA>CB ⇒ΔHAB >0 A este mai sus decât B, CA< CB ⇒ΔHAB < 0 Tot aici se pot defini următoarele elemente: porteee – distanţa dintre aparat şi miră niveleu – distanţa dintre cele două mire

10.1.2 Nivelmentul geometric de capăt Se dau: HA – cota punctului A Se măsoară: I şi cB – înălţimea aparatului în A şi citirea pe mira instalată în punctul B Se cer: HB – cota punctului B şi ΔHAB – diferenţa de nivel între punctele A şi B

210

Figura 10.2 Principiul nivelmentului geometric de capăt

Modul de lucru pe teren

Se instalează nivela deasupra punctului A, se orizontalizează şi se măsoară înălţimea I a aparatului apoi se efectuează citirea pe mira aşezată în punctul B( cB).

Modul de calcul a cotei şi diferenţei de nivel Principiul nivelmentului geometric, cel al vizei orizontale

conduce la raţionamentul că planul de vizare al instrumentului este paralel cu planul de referinţă. De aici rezultă faptul că dreptele cuprinse între paralele sunt egale, adică: I+HA=CB+HB Deoarece HA este cota punctului cunoscut rezultă: HB=HA+(I-CB) Dar se poate observa că: ΔHAB= I-CB

211

HB=HA+ΔHAB

Acest procedeu nu se recomandă decât în situaţii speciale, cum ar fi la verificare şi rectificarea instrumentelor de nivelment sau dacă terenul nu permite efectuarea nivelmentului geometric de mijloc. Metoda nu oferă precizie deoarece măsurătorile sunt influenţate de erorile reziduale de înclinare ale axei de vizare a instrumentului.

10.2 Metoda radierii de nivelment geometric de mijloc

Se aplică în cazul în care vrem să determinăm cotele mai multor puncte dintr-un singur punct de staţie.

Se dau: cota reperului RN1

Se măsoară: citirile pe miră în punctul cunoscut şi în cele necunoscute

Se calculează: cotele punctelor necunoscute

Modul de lucru pe teren

Se instalează aparatul la mijlocul distanţei dintre punctul cunoscut şi cel mai îndepărtat punct necunoscut. Modul de calcul al diferenţelor de nivel şi cotelor Pentru determinarea cotelor punctelor noi există trei modalităţi de calcul a cotelor: ►metoda cotei punctului de plecare ►metoda cotei de la punct la punct ►metoda cotei planului de vizare

10.2.1 Metoda cotei punctului de plecare

212

Presupune determinarea diferenţelor de nivel şi a cotelor în funcţie de primul punct astfel: 1. Calculul diferenţelor de nivel

ΔHRN1-1=CRN1 – C1

ΔHRN1-2=CRN1 – C2 ΔHRN1-3=CRN1 – C3

2. Calculul cotelor H1 = HRN1+ΔHRN1-1 H2 = HRN1+ΔHRN1-2 H3 = HRN1+ΔHRN1-3

Figura 10.3 Metoda radierii prin nivelment geometric de mijloc – metoda punctului de capăt

10.2.2 Metoda cotei de la punct la punct Presupune determinarea diferenţelor de nivel şi a cotelor din punct în punct astfel: 1. Calculul diferenţelor de nivel

213

ΔHRN1-1 = CRN1 – C1

ΔH1-2 = C1 – C2 ΔH2-3 = C2 – C3

2. Calculul cotelor

H1 = HRN1+ΔHRN1-1 H2 = H1+ΔH1-2 H3 = H2+ΔH2-3

Figura 10.4 Metoda radierii prin nivelment geometric de mijloc –

metoda de la punct la punct

10.2.3 Metoda cotei planului de vizare

Presupune determinarea cotelor în funcţie de cota planului de vizare astfel: 1. Calculul cotei planului de vizare

ΔHpv = HRN1 + CRN1

2. Calculul cotelor

214

H1 = Hpv - C1 H2 = Hpv – C2

H3 = Hpv – C3

Figura 10.5 Metoda radierii prin nivelment geometric de mijloc –

metoda cotei planului de vizare Concluzii

Se observă că rezultate sunt aceleaşi, indiferent de metoda aleasă. Se recomandă calculul cotelor cu una din metodele prezentate şi verificarea acestora cu una din celelalte două neutilizate.

10.3 Nivelment trigonometric

Metoda se caracterizează prin faptul că se vor determina diferenţe de nivel prin măsurarea distanţei dintre puncte şi a unghiului vertical. Instrumentul utilizat este teodolitul cu ajutorul căruia se vor măsura unghiurile verticale şi distanţele. Distanţele pot fi determinate şi prin calcul din coordonate dacă acestea au fost determinate anterior. Principiul nivelmentului trigonometric constă în determinarea diferenţei de nivel funcţie de distanţa orizontală şi unghiul vertical.

215

În cadrul acestei metode se disting două cazuri: ►viza ascendentă; ►viza descendentă.

Viza ascendentă Se dau: cota punctului de staţie HA Se măsoară: unghiul vertical, înălţimea aparatului, distanţa dintre punctul de staţie şi punctul nou; Se calculează: cota punctului nou HB Modul de lucru pe teren

Se instalează teodolitul deasupra punctului de cotă cunoscută A (se centrează, se calează), se măsoară înălţimea I a aparatului şi apoi se vizează semnalul aflat pe punctul nou B. se citeşte unghiul vertical (zenital z, sau de pantă α). Modul de calcul

ΔHAB +s = DAB tgα + I sau

ΔHAB +s = DAB ctgz + I rezultă

ΔHAB = DABtgα + I - s= DAB ctgz + I – s

HB = HA + ΔHAB

216

Figura 10.6 Nivelment trigonometric cu viză ascendentă

Viza descendentă Se dau: cota punctului de staţie HA Se măsoară: unghiul vertical, înălţimea aparatului, distanţa dintre punctul de staţie şi punctul nou; Se calculează: cota punctului nou HB Modul de lucru pe teren

Se instalează teodolitul deasupra punctului de cotă cunoscută A (se centrează, se calează), se măsoară înălţimea I a aparatului şi apoi se vizează semnalul aflat pe punctul nou B. se citeşte unghiul vertical ( zenital z, sau de pantă α). Modul de calcul

ΔHAB +I = DAB tgα + s sau

ΔHAB +I = DAB ctgz + s

217

Unghiul de pantă este negativ, iar unghiul zenital este mai

mare de 100g, fapt ce conduce la valori negative pentru tangentă şi cotangentă.

ΔHAB = DABtgα - I+ s= DAB ctgz - I + s HB = HA + ΔHAB

Dacă punctul B poate fi vizat la înălţimea aparatului termenii: ″I-s″ şi ″s-I″ devin zero, iar calculele se vor efectua după relaţiile: ΔHAB = DAB ctgz = DABtgα viza ascendentă ΔHAB = -DAB ctgz = -DABtgα viza descendentă

Figura 10.7 Nivelment trigonometric cu viză descendentă

218

10.4 Probleme rezolvate PROBLEMA 1 NIVELMENT GEOMETRIC DE MIJLOC 1. Se dau: HA = 50,25m Se măsoară: cA=1,074m şi cB=0,852m Se cer: HB – cota punctului B şi ΔHAB – diferenţa de nivel între punctele A şi B ΔHAB= CA-CB=1,074 – 0,852=0,222 HB=HA+ΔHAB = 50,25 + 0,222= 50,472 2.Se dau: HA = 89,26m Se măsoară: cA=1,158m şi cB=1,863m Se cer: HB – cota punctului B şi ΔHAB – diferenţa de nivel între punctele A şi B ΔHAB= CA-CB=1,158 – 1,863= -0,705 HB=HA+ΔHAB =89,26 + (-0,705)= 88,555 PROBLEMA 2 NIVELMENT GEOMETRIC DE CAPĂT

1.Se dau: HA = 50,25m Se măsoară: I=1,50m şi cB=0,852m Se cer: HB – cota punctului B şi ΔHAB – diferenţa de nivel între punctele A şi B ΔHAB= CA-CB=1,50 – 0,852=0,648 HB=HA+ΔHAB = 50,25 + 0,648= 50,898 2.Se dau: HA = 89,26m Se măsoară: I=1,40m şi cB=1,863m

219

Se cer: HB – cota punctului B şi ΔHAB – diferenţa de nivel între punctele A şi B

ΔHAB= I-CB=1,40 – 1,863= -0,463m

HB=HA+ΔHAB =89,26 + (-0,463)= 88,797m

PROBLEMA 3 METODA RADIERII DE NIVELMENT GEOMETRIC DE MIJLOC Se dau HRN1 = 50.35m Se măsoară: CRN1= 1.023m, C1=1.489m, C2=0.589m, C3=1.756m Se cer: H1, H2, H3 prin cele trei metode enunţate mai sus. 1.Metoda cotei punctului de plecare

ΔHRN1-1=CRN1 – C1= 1.023-1.489= - 0,466m

ΔHRN1-2=CRN1 – C2= 1.023 –0.589 = 0,434m

ΔHRN1-3=CRN1 – C3 = 1.023 – 1.756 = -0,733m

H1 = HRN1+ΔHRN1-1= 50.35 – 0.466 = 49,884m

H2 = HRN1+ΔHRN1-2= 50.35 +0,434 = 50,784m

H3 = HRN1+ΔHRN1-3= 50.35 – 0,733 = 49,617m 2.Metoda cotei de la punct la punct

ΔHRN1-1 = CRN1 – C1=1.023-1.489= - 0,466m

ΔH1-2 = C1 – C2= 1,489 – 0,589 = 0,900m

ΔH2-3 = C2 – C3= 0,589 – 1,756 = -1,167m

H1 = HRN1+ΔHRN1-1= 50.35 – 0.466 = 49,884m

H2 = H1+ΔH1-2 = 49,884 +0,900 = 50,784m

H3 = H2+ΔH2-3 = 50,784 – 1,167 = 49,617m

220

3. Metoda planului de vizare

ΔHpv = HRN1 + CRN1=50,35 +1,023 = 51,373m

H1 = Hpv - C1= 51,373 – 1,489 = 49,884m H2 = Hpv – C2 = 51,373 – 0,589 = 50,784m H3 = Hpv – C3 = 51,373 – 1,756 = 49,617m

PROBLEMA 4 NIVELMENT TRIGONOMETRIC 1.Nivelment trigonometric viză ascendentă Se dau: HA= 45.75m, z = 75,32g, XA= 312m, YA= 567m, XB= 328m, YB= 559m, I =1.50m, s = 4,00m Se cere: HB Rezolvare

α = 100 – z = 100 – 75,32 = 24,68g

D mYYXXBABA

888.1732064256)()( 22==+=−+−=

tgα= 0,40833, ctgz = 0,40833

ΔHAB +s = DAB tgα + I sau

ΔHAB +s = DAB ctgz + I rezultă

ΔHAB = DABtgα + I- s=17,888*0,40833+1,50-4,00=4,804m

HB = HA + ΔHAB= 45,75 +4,804=50,554m 2. Nivelment trigonometric viză descendentă Se dau: HA= 45.75m, z = 125,42g, XA= 312m, YA= 567m, XB= 328m, YB= 559m,

221

I =1.50m, s = 4,00m Se cere: HB Rezolvare

α = 100 – z = 100 – 125,42 = - 25,42g

D mYYXXBABA

888.1732064256)()( 22==+=−+−=

tgα= - 0,42196, ctgz = - 0,42196

ΔHAB = -DABtgα - I+ s= -DAB ctgz - I + s= 17,888*(-0,42196) –1,50 +4,00= -5,048

HB = HA + ΔHAB= 45,75-5,048=40,702m

222

11.DRUMUIRI DE NIVELMENT GEOMETRIC

11.1 Drumuirea de nivelment geometric de mijloc sprijinită la capete Se dau cotele reperilor HR1, HR2 şi citirile pe miră

Citiri pe miră Citiri medii PS PV

Înapoi Înainte Înapoi Înainte

R1 CS

CmR1 Cj

CR1

S1

1

CS

Cm1 Cj

C1

1

CS

Cm1 Cj

1C

S2

2

CS

Cm2 Cj

2C

2

CS

Cm Cj

2C

S3

3

CS

Cm Cj

C3

3

CS

Cm Cj

3C

S4

R2

CS

Cm Cj

CR2

∑ a ∑b

223

Verificare:12 RR

HHba −=−∑∑

eh = )(12 ∑∑ −−− baHHRR

Figura 11.1 Drumuire de nivelment geometric sprijinită la capete

Se cere să se calculeze cotele punctelor 1, 2, 3 Modul de lucru pe teren

Pentru determinarea cotelor punctelor de drumuire se va executa nivelment geometric de mijloc. Se vor face staţii la mijlocul distanţei dintre două puncte de drumuire şi se vor executa citiri pe miră la cele trei fire reticulare: cs, cj şi cm. Este necesar să se efectueze citiri la toate trei firele pentru a avea controlul citirii de mijloc:

2

js

m

cc

c

+

=

Punctele citite sunt de două tipuri: puncte înapoi şi puncte înainte. Punctul care este înapoi într-o staţie va fi punct înainte pentru staţia următoare.

224

Pentru eliminarea erorilor de divizare ale mirelor se recomandă să se lucreze cu două mire, iar numărul niveleurilor să fie par, astfel încât mira care stă pe punctul de pornire să fie şi pe punctul de închidere. Rezolvare

1.Calculul diferenţelor de nivel relative dintre punctele de drumuire

11

`

11CCH

RR−=Δ

21

`

21CCH −=Δ

32

`

32CCH −=Δ

23

`

23 RRCCH −=Δ

Verificare

∑ ∑∑ −=Δ baH`

2.Calculul erorii şi corecţiilor

∑ ∑∑

=

−=

−−Δ=⋅

D

ck

ec

baHe

h

h

hh

h)(

3.Calculul diferenţelor de nivel compensate

11111DkHH

hRR+Δ=Δ

−−

22121DkHH

h+Δ=Δ

−−

33232DkHH

h+Δ=Δ

−−

42323DkHH

hRR+Δ=Δ

−−

Verificare

12 RRHHH −=Δ∑

225

4.Calculul cotelor absolute

1111 −

Δ+=RR

HHH

2112 −

Δ+= HHH

3223 −

Δ+= HHH

2332 RRHHH

Δ+=

Verificare HR2 calculat prin transmiterea cotelor este egal cu HR2 cunoscut din datele problemei. 11.2 Drumuirea de nivelment geometric de mijloc în circuit închis Se dau: cota reperului HR1 şi citirile pe miră

Citiri pe miră Citiri medii PS PV

Înapoi Înainte Înapoi Înainte

R1

CS

CmR1

Cj

CR1

S1

1

CS

Cm1

Cj

C1

1

CS

Cm1

Cj

1C

S2

2

CS

Cm2

Cj

2C

2

CS

Cm2

Cj

2C

S3

3

CS

Cm3

Cj

C3

S4

3

CS

Cm3

Cj

3C

226

4

CS

Cm4

Cj

C4

4 CS

Cm3

Cj

4C

S5

R1 CS

CmR1

Cj

CR1

∑ a ∑b

Verificare: 011=−=−∑∑ RR

HHba

eh = )( ∑∑ − ba

Se cere să se calculeze cotele punctelor 1, 2, 3, 4 Rezolvare 1.Calculul diferenţelor de nivel provizorii dintre punctele de drumuire

11

`

11ccH

RR−=Δ

21

`

21ccH −=Δ

32

`

32ccH −=Δ

43

`

43ccH −=Δ

14

`

14 RRccH −=Δ

Verificare

∑ ∑∑ −=Δ baH`

2.Calculul erorii şi corecţiilor

227

=

−=

Δ=⋅

D

ck

ec

He

h

h

hh

h

3.Calculul diferenţelor de nivel compensate

11111DkHH

hRR+Δ=Δ

−−

22121DkHH

h+Δ=Δ

−−

33232DkHH

h+Δ=Δ

−−

44343DkHH

h+Δ=Δ

−−

51414DkHH

hRR+Δ=Δ

−−

Verificare

110

RRHHH −==Δ∑

D1, D2, D3, D4, D5 sunt lungimile nivleelor 4.Calculul cotelor absolute

1111 −

Δ+=RR

HHH

2112 −

Δ+= HHH

3223 −

Δ+= HHH

4334 −

Δ+= HHH

1441 RRHHH

Δ+=

Verificare HR1 calculat prin transmiterea cotelor este egal cu HR1 cunoscut din datele problemei. 11.3 Drumuirea de nivelment geometric de mijloc cu punct nodal Se dă drumuirea de nivelment geometric cu punct nodal formată din trei drumuiri ce au ca reperi cunoscuţi R1, R2, R3

228

Carnet de teren drumuirea 1

Citiri pe miră Citiri medii PS PV

Înapoi Înainte Înapoi Înainte R1 CS

CmR1 Cj

CR1

S1

1

CS

Cm1 Cj

C1

1 CS

Cm1 Cj

1C

S2

2

CS

Cm2 Cj

2C

2 CS

Cm2 Cj

2C

S3

N

CS

CmN Cj

CN

∑a ∑b

Carnet de teren drumuirea 2

Citiri pe miră Citiri medii PS PV Înapoi Înainte Înapoi Înainte

R2 CS

CmR2 Cj

CR2

S4

3

CS

Cm3 Cj

C3

229

3 CS

Cm3 Cj

3C

S5

4

CS

Cm4 Cj

4C

4 CS

Cm4 Cj

4C

S6

5

CS

Cm4 Cj

5C

5 CS

Cm5 Cj

5C

S7

N

CS

CmN Cj

NC

∑a ∑b

Carnet de teren drumuirea 3

Citiri pe miră Citiri medii PS PV

Înapoi Înainte Înapoi Înainte R3 CS

CmR3 Cj

CR3

S8

6

CS

Cm6 Cj

C6

S9 6 CS

Cm6 Cj

6C

230

7

CS

Cm7 Cj

7C

7 CS

Cm7 Cj

7C

S10

8

CS

Cm7 Cj

8C

8 CS

Cm8 Cj

8C

S11

N

CS

CmN Cj

NC

∑a ∑b

Se cere să se calculeze cotele punctelor 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, N Rezolvare 1.Calcul diferenţe de nivel provizorii Drumuirea 1

11

`

11ccH

RR−=Δ

21

`

21ccH −=Δ

NNccH −=Δ

− 2

`

2

Verificare [ ]

∑ ∑∑ −=Δ baH1`

Drumuirea 2

32

`

32ccH

RR−=Δ

43

`

43ccH −=Δ

231

54

`

54ccH −=Δ

NNccH −=Δ

− 5

`

5

Verificare [ ]

∑ ∑∑ −=Δ⋅

baH2

Drumuirea 3

63

`

63ccH

RR−=Δ

76

`

76ccH −=Δ

87

`

87ccH −=Δ

NNccH −=Δ

− 8

`

8

Verificare [ ]

∑ ∑∑ −=Δ⋅

baH3

2.Calcul cota provizorie punctul N [ ] [ ]

∑⋅

Δ+=1

1

1HHH

RN

[ ] [ ]∑

Δ+=2

2

2HHH

RN

[ ] [ ]∑

Δ+=3

3

3HHH

RN

Valorile determinate trebuie să se încadreze în toleranţă

[ ]∑±= kmDmmTh

20

3.Calcul cotă ponderată punctul N

[ ] [ ] [ ]

321

3

3

2

2

1

1

ppp

HpHpHpH NNN

N

++

++

=

⋅⋅⋅

[ ]∑

=

11

1

Dp

[ ]∑

=

22

1

Dp

232

[ ]∑

=

33

1

Dp

4.Calculul erorilor şi corecţiilor [ ] [ ]

NNhHHe −=

11

[ ] [ ]NNh

HHe −=

22

[ ] [ ]NNh

HHe −=

33

[ ]∑=

kmDT

Te

ih

hh

σ*3

Undei

σ este abaterea standard pe un kilometru de dublu

nivelment care depinde de aparatul cu care se lucrează, având valori cuprinse între 3 – 7 mm. Dacă eroarea se înscrie în toleranţă vom trece la calculul corecţiilor.

[ ] [ ]11

hhec −=

[ ] [ ]22

hhec −=

[ ] [ ]33

hhec −=

[ ][ ]

[ ]∑

=

1

1

1

D

ck

h

h

[ ][ ]

[ ]∑

=

2

2

2

D

ck

h

h

[ ][ ]

[ ]∑

=

3

3

3

D

ck

h

h

5.Calcul diferenţe de nivel compensate Drumuirea 1

[ ]11

1

1111 −

−−

+Δ=ΔRhRR

DkHH

233

[ ]21

1

2121 −

−−

+Δ=Δ DkHHh

[ ]NhNN

DkHH−

−−

+Δ=Δ2

1

22

Drumuirea 2 [ ]

32

2

3232 −

−−

+Δ=ΔRhRR

DkHH [ ]

43

2

4343 −

−−

+Δ=Δ DkHHh

[ ]

54

2

5454 −

−−

+Δ=Δ DkHHh

[ ]

NhNNDkHH

−−

+Δ=Δ5

2

55

Drumuirea 3 [ ]

63

3

6363 −

−−

+Δ=ΔRhRR

DkHH [ ]

76

3

7676 −

−−

+Δ=Δ DkHHh

[ ]

87

3

8787 −

−−

+Δ=Δ DkHHh

[ ]

NhNNDkHH

−−

+Δ=Δ8

3

88

6.Calculul cotelor punctelor noi Drumuirea 1

1111 −

Δ+=RR

HHH

2112 −

Δ+= HHH

NNHHH

Δ+=22

Drumuirea 2

3223 −

Δ+=RR

HHH

4334 −

Δ+= HHH

5445 −

Δ+= HHH

NNHHH

Δ+=55

Drumuirea 3

6336 −

Δ+=RR

HHH

7667 −

Δ+= HHH

8778 −

Δ+= HHH

NNHHH

Δ+=88

234

12 PROBLEME REZOLVATE - DRUMUIRI DE NIVELMENT GEOMETRIC

12.1 Drumuire de nivelment geometric sprijinită la capete

Se dau cotele reperilor HR1, HR2 şi citirile pe miră HR1 = 91.20m, HR2 = 90.80m

Citiri pe miră Citiri medii Distanţe (m) PS PV

Înapoi Înainte Înapoi Înainte Portee Niveleu

R1 1.432 1.298 1.164

1.298

26.8

S1

1

1.918 1.786 1.654

1.786

26.4

53.2

1

1.829 1.699 1.569

1.699

26.0

S2

2

1.324 1.214 1.104

1.214

22.0

48

2

1.518 1.386 1.254

1.386

26.4

S3

3

1.785 1.654 1.523

1.654

26.2

52.6

3

1.710 1.580 1.450

1.580

26.0

S4

R2

1.819 1.686 1.553

1.686

26.6

52.6

963.5=∑ a 340.6=∑b

mba 377.0340.6963.5 −=−=−∑∑

235

HR2 – HR1 = 90.80 – 91.20 = -0.400m eh = 0.400 – 0.377 = 0.023m

mD 40.206=∑

Figura 12.1 Drumuire de nivelment geometric sprijinită la capete

Se cere să se calculeze cotele punctelor 1, 2, 3 şi să se deseneze profilul longitudinal prin punctele R1, 1, 2, 3, R2 Rezolvare Etapa I – calculul cotelor punctelor noi 1.Calculul diferenţelor de nivel relative dintre punctele de drumuire

mHR

488.0786.1298.1`

11−=−=Δ

mH 485.0214.1699.1`

21=−=Δ

mH 268.0654.1386.1`

32−=−=Δ

mHR

106.0686.1580.1`

23−=−=Δ

Verificare

377.0377.0

`

−=−

−=Δ∑ ∑∑ baH

2.Calculul erorii şi corecţiilor

236

00011143.040.206

023.0

023.0

023.0

−=

==

−=

=

∑D

ck

mc

me

h

h

h

h

3.Calculul diferenţelor de nivel compensate

mHR

494.0006.0488.011

−=−−=Δ−

mH 480.0005.0485.021

=−=Δ−

mH 274,0006.0268.032

−=−−=Δ−

mHR

112.0006.0106.023

−=−−=Δ−

Verificare

12400.0

RRHHH −=−=Δ∑

4.Calculul cotelor absolute

mHHHRR

706.90494.020.911111

=−=Δ+=−

mHHH 186.91480.0706.902112

=+=Δ+=−

mHHH 912.90274.0186.913223

=−=Δ+=−

mHHHRR

80.90112.0912.902332

=−=Δ+=−

Verificare HR2 calculat prin transmiterea cotelor este egal cu HR2 cunoscut din datele problemei. Etapa II – întocmirea profilului longitudinal Pentru întocmirea profilului longitudinal se vor parcurge etapele următoare: ►se desenează cele două axe pentru D şi H perpendiculare una pe cealaltă; ►se aleg scările de reprezentare pe distanţe şi cote, de regulă scara cotelor este de 10 până la 100 de ori mai mare decât cea a

237

distanţelor. În exemplul dat scara distanţelor este 1:2000, iar cea a cotelor 1:10. ►se reprezintă punctele pe axa distanţelor reducând distanţele la scara aleasă. De exemplu distanţa de 53.2m dintre punctele R1 şi 1 va reprezenta la scara 1:2000 2.7cm ş.a.m.d. ►se alege cota de referinţă ca fiind o valoare mai mică decât cea mai mică cotă de reprezentat. În exemplul dat vom alege valoarea de 90.60m. ►se reprezintă punctele în profil; ►se calculează pantele prin relaţia

100*%

AB

AB

AB

D

Hp

Δ=

De exemplu

%9.0100*2.53

2.91706.90%

11=

=−R

p

Profilul longitudinal rezultat poate fi urmărit în figura 12.2.

238

Figura 12.2 Profilul longitudinal

12.2 Drumuire de nivelment geometric în circuit închis Se dau cota reperului HR1 şi citirile pe miră HR1 = 75.35m

Citiri pe miră Citiri medii Distanţe (m) PS PV

Înapoi Înainte Înapoi Înainte Portee Niveleu R1

1.356 1.616 1.876

1.616

52.0

S1

1

0.972 1.234 1.497

1.234

52.5

104.5

239

1

1.233

1.456

1.679

1.456

44.6

S2

2

0.947

1.172

1.398

1.172

45.1

89.7

2

0.858

1.165

1.473

1.165

61.5

S3

3

1.362

1.667

1.972

1.667

61.0

122.5

3

1.029

1.354

1.679

1.354

65.0

S4

4

1.235

1.555

1.876

1.555

64.1

129.1

4 1.364

1.624

1.875

1.624

51.1

S5

R1 1.347

1.596

1.849

1.596

50.2

101.3

215.7=∑ a 224.7=∑b

mba 009.0224.7215.7 −=−=−∑∑

HR1 – HR1 =0 eh = - 0.009m

mD 10.547=∑

Se cere să se calculeze cotele punctelor 1, 2, 3,4

Rezolvare

240

1.Calculul diferenţelor de nivel provizorii dintre punctele de drumuire

mHR

382.0234.1616.1`

11=−=Δ

mH 284.0172.1456.1`

21=−=Δ

mH 502.0667.1165.1`

32−=−=Δ

mH 201.0555.1354.1`

43−=−=Δ

mHR

028.0596.1624.1`

14=−=Δ

Verificare

009.0009.0

`

−=−

−=Δ∑ ∑∑ baH

2.Calculul erorii şi corecţiilor

mmm

mm

D

ck

mc

me

h

h

h

h

016.01.547

9000016.0

10.547

009.0

009.0

009.0

=====

+=

−=

3.Calculul diferenţelor de nivel compensate

mHR

384.0002.0382.011

=+=Δ−

mH 285.0001.0284.021

=+=Δ−

mH 500.0002.0502.032

−=+−=Δ−

mH 199.0002.0201.043

−=+−=Δ−

mHR

030.0002.0028.014

=+=Δ−

Verificare

110

RRHHH −==Δ∑

4.Calculul cotelor absolute

mHHHRR

734.75384.035.751111

=+=Δ+=−

mHHH 019.76285.0734.752112

=+=Δ+=−

241

mHHH 519.75500.0019.763223

=−=Δ+=−

mHHH 320.75199.0519.754334

=−=Δ+=−

mHHHRR

350.75030.0320.751441

=+=Δ+=−

Verificare HR1 calculat prin transmiterea cotelor este egal cu HR1 cunoscut din datele problemei. 12.3 Drumuire de nivelment geometric cu punct nodal

Se dă drumuirea de nivelment geometric cu punct nodal formată din trei drumuiri ce au ca reperi cunoscuţi R1, R2, R3 Carnet de teren drumuirea 1

Citiri pe miră Citiri medii Distanţe PS PV Înapoi Înainte Înapoi Înainte Portee Niveleu

R1 2.160 1.859 1.560

1.859

60.0

S1

1 1.030 0.729 0.428

0.729

60.2

120.2

1 1.200 0.949 0.699

0.949

50.1

S2

2 2.396 2.144 1.892

2.144

50.4

100.5

2 1.772 1.521 1.270

1.521

50.2

S3

N 1.413 1.163 0.913

1.163

50.0

100.2

329.4=∑a 036.4=∑b

HR1=120.350m

mba 293.0=−∑∑

242

[ ]mD 9.320

1=∑

Carnet de teren drumuirea 2

Citiri pe miră Citiri medii Distanţe PS PV Înapoi Înainte Înapoi Înainte Portee Niveleu

R2 1.435 1.318 1.200

1.318

23.5

S4

3 2.005 1.892 1.779

1.892

22.6

46.1

3 2.372 2.120 1.870

2.120

50.2

S5

4 2.857 2.608 2.358

2.608

49.9

100.1

4 1.790 1.541 1.290

1.541

50.0

S6

5 2.840 2.589 2.338

2.589

50.2

100.2

5 1.910 1.658 1.406

1.658

50.4

S7

N 1.196 0.944 0.892

0.944

30.4

80.8

637.6=∑a 033.8=∑b

HR2=122.046m

mba 396.1−=−∑∑

[ ]mD 20.327

2=∑

Carnet de teren drumuirea 3

243

Citiri pe miră Citiri medii Distanţe PS PV Înapoi Înainte Înapoi Înainte Portee Niveleu

R3 1.302 1.002 0.702

1.002

60.0

S8

6 1.886 1.586 1.286

1.586

60.0

120.0

6 1.892 1.714 1.536

1.714

35.6

S9

7 2.385 2.208 2.030

2.208

35.5

71.1

7 1.789 1.693 1.598

1.693

19.1

S10

8 1.495 1.402 1.309

1.402

18.6

37.7

8 1.833 1.550 1.268

1.550

56.5

S11

N 1.474 1.194 0.915

1.194

55.9

112.4

959.5=∑a 390.6=∑b

HR3=121.071m

mba 431.0−=−∑∑

[ ]mD 20.341

3=∑

244

Se cere să se calculeze cotele punctelor 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, N Rezolvare 1.Calcul diferenţe de nivel provizorii Drumuirea 1

mHR

130.1729.0859.1`

11=−=Δ

mH 195.1144.2949.0`

21−=−=Δ

mHN

358.0163.1521.1`

2=−=Δ

Verificare [ ]

293.0293.0

1`

=

−=Δ∑ ∑∑ baH

Drumuirea 2

mHR

574.0892.1318.1`

32−=−=Δ

mH 488.0608.2120.2`

43−=−=Δ

mH 048.1589.2541.1`

54−=−=Δ

mHN

714.0944.0658.1`

5=−=Δ

Verificare [ ]

396.1396.1

2

−=−

−=Δ∑ ∑∑⋅

baH

Drumuirea 3

mHR

0584586.1002.1`

63−=−=Δ

mH 494.0208.2714.1`

76−=−=Δ

mH 291.0402.1693.1`

87=−=Δ

mHN

356.0194.1550.1`

8=−=Δ

Verificare

245

[ ]

431.0431.0

3

−=−

−=Δ∑ ∑∑⋅

baH

2.Calcul cota provizorie punctul N

[ ] [ ]∑ =+=Δ+=

mHHHRN

643.120293.035.1201

1

1

[ ] [ ]∑ =−=Δ+=

mHHHRN

650.120396.1046.1222

2

2

[ ] [ ]∑ =−=Δ+=

mHHHRN

640.120431.0071.1213

3

3

3.Calcul cotă ponderată punctul N

[ ] [ ] [ ]

321

3

3

2

2

1

1

ppp

HpHpHpH NNN

N

++

++

=

⋅⋅⋅

[ ]0031.0

9.320

11

11===

∑Dp

[ ]0031.0

2.327

11

22===

∑Dp

[ ]0029.0

2.341

11

33===

∑Dp

mHN

644.1200091.0

0978643.1==

4.Calculul erorilor şi corecţiilor

[ ] [ ]mHHe

NNh001.0644.120643.120

11−=−=−=

[ ] [ ]mHHe

NNh006.0644.120650.120

22=−=−=

[ ] [ ]mHHe

NNh004.0644.120640.120

33−=−=−=

[ ] [ ]

mechh

001.011=−=

[ ] [ ]mec

hh006.0

22−=−=

[ ] [ ]mec

hh004.0

33=−=

246

[ ][ ]

[ ] 000003.09.320

001.0

1

1

1===

∑D

ck

h

h

[ ][ ]

[ ] 000015.02.327

006.0

2

2

2−=

==

∑D

ck

h

h

[ ][ ]

[ ] 000012.02.341

004.0

3

3

3===

∑D

ck

h

h

5.Calcul diferenţe de nivel compensate Drumuirea 1

mHR

131.1001.0130.111

=+=Δ−

mH 195.10195.121

−=+−=Δ−

mHN

358.00358.02

=+=Δ−

mHN

358.00358.02

=+=Δ−

Drumuirea 2

mHR

575.0001.0574.032

−=−−=Δ−

mH 490.0002.0488.043

−=−−=Δ−

mH 050.1002.0048.154

−=−−=Δ−

mHN

713.0001.0714.05

=−=Δ−

Drumuirea 3

mHR

582.0002.0584.063

−=+−=Δ−

mH 493.0001.0494.076

−=+−=Δ−

mH 291.0000.0291.087

=+=Δ−

mHN

357.0001.0356.08

=+=Δ−

247

6.Calculul cotelor punctelor noi Drumuirea 1

mHHHRR

481.121131.135.1201111

=+=Δ+=−

mHHH 286.120195.1481.1212112

=−=Δ+=−

mHHHNN

644.120358.0286.12022

=+=Δ+=−

Drumuirea 2

mHHHRR

471.121575.0046.1223223

=−=Δ+=−

mHHH 981.120490.0471.1214334

=−=Δ+=−

mHHH 931.119050.1981.1205445

=−=Δ+=−

mHHHNN

644.120713.0931.11955

=+=Δ+=−

Drumuirea 3

mHHHRR

489.120582.0071.1216336

=−=Δ+=−

mHHH 996.119493.0489.1207667

=−=Δ+=−

mHHH 287.120291.0996.1198778

=+=Δ+=−

mHHHNN

644.120357.0287.12088

=+=Δ+=−

12.4 Drumuire de nivelment geometric pe bandă

Se dau măsurătorile efectuate într-o drumuire de nivelment

geometric pe bandă. Aceasta a fost realizată în scopul întocmirii profilelor longitudinale şi transversale. Măsurătorile pentru profile au fost executate din 10 în 10 m. Cotele reperilor R1, R2 sunt: HR1 = 75.320m, HR2 = 74.771m

248

Citiri pe miră Distanţe PS PV Înapoi Intermediare Înainte Portee Niveleu

R1 1.490 1.298 1.106

38.4

1.1 1.784 1.2 1.792 1.3 1.881 1 1.786

1.4 1.882 1.5 1.790 1.6 1.780 2.1 1.635 2.2 1.642 2.3 1.753 2 1.637

2.4 1.750 2.5 1.643 2.6 1.636 3.1 1.748 3.2 1.752 3.3 1.860 3 1.755

3.4 1.863 3.5 1.755 3.6 1.747

S1

4 1.940 1.755 1.570

37.0

75.4

249

Citiri pe miră Distanţe PS PV Înapoi Intermediare Înainte Portee Niveleu

4 1.650

1.448

1.246

40.4

4.1 1.450

4.2 1.475

4.3 1.570

4.4 1.572

4.5 1.470

4.6 1.452

5.1 1.582

5.2 1.598

5.3 1.604

5 1.587

5.4 1.607

5.5 1.594

5.6 1.586

S2

6 2.115

1.925

1.735

38.0

78.4

6 2.415

2.205

1.995

42.0

S3

7 2.233

2.034

1.835

39.8

81.8

7 2.145

1.935

1.725

42.0

S4

R2 1.936

1.733

1.530

40.6

82.6

886.6=∑ a 447.7=∑b

mD 20.318=∑

250

Verificare mba 561.0447.7886.6 −=−=−∑∑

HR2 – HR1 = 75.32 – 74.771 = -0.549m eh = 0.561 – 0.549 = -0.012m Se cere să se calculeze cotele punctelor măsurate şi să se întocmească profilele longitudinale şi transversale Rezolvare A.Calculul cotelor punctelor de drumuire 1.Calculul diferenţelor de nivel relative dintre punctele de drumuire

mHR

457.0755.1298.1`

41−=−=Δ

mH 477.0925.1448.1`

64−=−=Δ

mH 171.0034.2205.2`

76=−=Δ

mHR

202.0733.1935.1`

27=−=Δ

Verificare

561.0561.0

`

−=−

−=Δ∑ ∑∑ baH

2.Calculul erorii şi corecţiilor

( )

000037712.020.318

012.0

012.0

012.012

===

=

−=−−Δ=

∑⋅

D

ck

mc

mHHHe

h

h

h

h

3.Calculul diferenţelor de nivel compensate

mHR

454.0003.0457.041

−=+−=Δ−

mH 474.0003.0477.064

−=+−=Δ−

251

mH 174.0003.0171.076

=+=Δ−

mHR

205.0003.0202.027

=+=Δ−

Verificare

12549.0

RRHHH −=−=Δ∑

4.Calculul cotelor absolute

mHHHRR

866.74454.0320.754114

=−=Δ+=−

mHHH 392.74474.0866.746446

=−=Δ+=−

mHHH 566.74174.0392.747667

=+=Δ+=−

mHHHRR

771.74205.0566.742772

=+=Δ+=−

Verificare HR2 calculat prin transmiterea cotelor este egal cu HR2 cunoscut din datele problemei. B.Calculul punctelor intermediare 1.Staţia S1 se calculează cota planului de vizare şi apoi cotelor punctelor intermediare Hpv = HR1 + cR1 = 75.32 + 1.298 = 76.618m H1.1 = Hpv – c1.1 = 76.618 – 1.784 = 74.834m H1.2 = Hpv – c1.2 = 76.618 – 1.792 = 74.826m H1.3 = Hpv – c1.3 = 76.618 – 1.881 = 74.737m H1 = Hpv – c1 = 76.618 – 1.786 = 74.832m H1.4 = Hpv – c1.4 = 76.618 – 1.882 = 74.736m H1.5 = Hpv – c1.5 = 76.618 – 1.790 = 74.828m H1.6 = Hpv – c1.6 = 76.618 – 1.780 = 74.838m H2.1 = Hpv – c2.1 = 76.618 – 1.635 = 74.983m H2.2 = Hpv – c2.2 = 76.618 – 1.642 = 74.976m H2.3 = Hpv – c2.3 = 76.618 – 1.753 = 74.865m H2 = Hpv – c2 = 76.618 – 1.637 = 74.981m

252

H2.4 = Hpv – c2.4 = 76.618 – 1.750 = 74.868m H2.5 = Hpv – c2.5 = 76.618 – 1.643 = 74.975m H2.6 = Hpv – c2.6 = 76.618 – 1.636 = 74.982m H3.1 = Hpv – c3.1 = 76.618 – 1.748 = 74.870m H3.2 = Hpv – c3.1 = 76.618 – 1.752 = 74.866m H3.3 = Hpv – c3.3 = 76.618 – 1.860 = 74.758m H3 = Hpv – c3 = 76.618 – 1.755 = 74.863m H3.4 = Hpv – c3.4 = 76.618 – 1.863 = 74.755m H3.5 = Hpv – c3.5 = 76.618 – 1.755 = 74.863m H3.6 = Hpv – c3.6 = 76.618 – 1.747 = 74.871m 2.Staţia S2 se calculează cota planului de vizare şi apoi cotelor punctelor intermediare Hpv = H4 + c4 = 74.866 + 1.448 = 76.314m H4.1 = Hpv – c4.1 = 76.314 – 1.450 = 74.864m H4.2 = Hpv – c4.1 = 76.314 – 1.475 = 74.839m H4.3 = Hpv – c4.3 = 76.314 – 1.570 = 74.744m H4.4 = Hpv – c4.4 = 76.314 – 1.572 = 74.742m H4.5 = Hpv – c4.5 = 76.314 – 1.470 = 74.844m H4.6 = Hpv – c4.6 = 76.314 – 1.452 = 74.862m H5.1 = Hpv – c5.1 = 76.314 – 1.582 = 74.732m H5.2 = Hpv – c5.2 = 76.314 – 1.598 = 74.716m H5.3 = Hpv – c5.3 = 76.314 – 1.604 = 74.710m H5 = Hpv – c5 = 76.314 – 1.587 = 74.727m H5.4 = Hpv – c5.4 = 76.314 – 1.607 = 74.707m H5.5 = Hpv – c5.5 = 76.314 – 1.594 = 74.720m H5.6 = Hpv – c5.6 = 76.314 – 1.586 = 74.728m C.Întocmirea profilelor longitudinale şi transversale Pentru întocmirea profilului longitudinal se vor parcurge etapele următoare:

253

►se desenează cele două axe pentru D şi H perpendiculare una pe cealaltă; ►se aleg scările de reprezentare pe distanţe şi cote, de regulă scara cotelor este de 10 până la 100 de ori mai mare decât cea a distanţelor. În exemplul dat scara distanţelor este 1:500, iar cea a cotelor 1:10. ►se reprezintă punctele pe axa distanţelor reducând distanţele la scara aleasă. De exemplu distanţa de 10m dintre punctele 1 şi 2 va reprezenta la scara 1:500 2cm ş.a.m.d. ►se alege cota de referinţă ca fiind o valoare mai mică decât cea mai mică cotă de reprezentat. În exemplul dat vom alege valoarea de 74.60m. ►se reprezintă punctele în profil; ►se calculează pantele prin relaţia

100*%

AB

AB

AB

D

Hp

Δ=

Profilul longitudinal rezultat poate fi urmărit în figura 12.3.

254

Figura 12.3 Profil longitudinal

Pentru întocmirea profilului transversal se vor parcurge etapele următoare: ►se desenează cele două axe pentru D şi H perpendiculare una pe cealaltă; ►se aleg scările de reprezentare pe distanţe şi cote, de regulă scara cotelor este egală cu cea a distanţelor. În exemplul dat scara distanţelor este 1:50, iar cea a cotelor 1:10 deoarece 1:50 ar fi prea mare deoarece diferenţa dintre cote este mică. ►se reprezintă punctele pe axa distanţelor reducând distanţele la scara aleasă. De exemplu distanţa de 10m dintre punctele 1 şi 2 va reprezenta la scara 1:500, 2cm ş.a.m.d.

255

►se alege cota de referinţă ca fiind o valoare mai mică decât cea mai mică cotă de reprezentat. În exemplul dat vom alege valoarea de 74.60m. ►se reprezintă punctele în profil; ►se calculează pantele prin relaţia

100*%

AB

AB

AB

D

Hp

Δ=

Profilul transversal rezultat poate fi urmărit în figura 12.4. Se pot face profile transversale prin punctele 1, 2, 3, 4, 5. Exemplul dat este prin punctul 1.

Figura 12.4 Profil transversal

256

BIBLIOGRAFIE

1 Atudorei M. Măsurători geodezice prin unde – Institutul de Construcţii, Bucureşti, 1981

2 Dragomir P. Topografie generală – Institutul de Construcţii, Bucureşti, 1992

3 Dragomir P., Mihăilescu D., Tămâioagă Gh., Ţurcanu R.

Topografie inginerească – Editura Conspress, Bucureşti, 2000

4 Fotescu N. Teoria erorilor de măsurare şi metoda celor mai mici pătrate – Institutul de Construcţii, Bucureşti, 1978

5 Fotescu N., Săvulescu C. Îndrumător pentru lucrări practice la teoria erorilor - Institutul de Construcţii, Bucureşti, 1988

6 Ghiţău D. Geodezie şi gravimetrie – Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1983

7 Ilieş A., Vasilca D. Măsurători terestre – fundamente vol.III - Editura Matrix Rom, Bucureşti, 2002

8 Ionescu P., Rădulescu M. Topografie generală şi inginerească - – Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1975

9 Manea R. Topografie – Editura Cartea Universitară, Bucureşti, 2007

10 Manea R. Caiet de lucrări practice de topografie - Editura Cartea Universitară, Bucureşti, 2007

11 Marcu C-tin. Măsurători terestre – fundamente vol.III- Editura Matrix Rom, Bucureşti, 2002

257

12 Neamţu M., Ulea E., s.a. Instrumente topografice şi geodezice – Editura Tehnică, Bucureşti, 1982

13 Neamţu M., Taub M. Topografie vol. I şi II – Institutul de Construcţii, Bucureşti, 1979

14 Neuner J. Sisteme de poziţionare globală – Editura Matrix Rom, Bucureşti, 2000

15 Neuner J., Badea Gh. Măsurători terestre – fundamente vol.I - Editura Matrix Rom, Bucureşti, 2002

16 Nistor Gh. Geodezie aplicată în studiul construcţiilor – Editura Gheorghe Asachi, Iaşi, 1993

17 Nistor Gh. Teoria prelucrării măsurătorilor geodezice - – Editura Gheorghe Asachi, Iaşi, 1996

18 Onose D., ş.a. Măsurători terestre – fundamente vol. I - Editura Matrix Rom, Bucureşti, 2002

19 Onose D. Topografie – Editura Matrix Rom, Bucureşti, 2004

20 Păunescu C. Curs de geodezie – topografie vol.III – Editura Universităţii din Bucureşti, Bucureşti, 2004

21 Păunescu C., Paicu G. Curs de geodezie – topografie vol.II – Editura Universităţii din Bucureşti, Bucureşti, 2001

22 Posescu M. Topografie - Editura Matrix Rom, Bucureşti, 1999