Torsions-Querschnittswerte für rechteckige Hohlprofile nach EN 10210-2:2006 und EN 10219-2:2006

21© Ernst & Sohn Verlag für Architektur und technische Wissenschaften GmbH & Co. KG, Berlin · Stahlbau 76 (2007), Heft 1

Die neu erschienenen Normen EN 10210-2:2006 und EN 10219-2:2006enthalten für die rechteckigen Hohlprofile das Torsionsträgheits-moment und das Torsionswiderstandsmoment, welche zur Be-rechnung der Verformungen und Spannungen aus der primärenTorsion (St. Venant-Torsion) benötigt werden und ausreichendsind. Im vorliegenden Beitrag werden darüber hinaus jene weite-ren Querschnittswerte angegeben, die zur Berechnung der Wölb-normal- und Wölbschubspannungen aus der sekundären Torsionerforderlich sind. Diese Spannungen sind nicht vernachlässigbar,treten aber im wesentlichen nur an bestimmten Störstellen auf.Wie stets bei geschlossenen Querschnitten, müssen die sekun-dären Schubverformungen berücksichtigt werden.

Torsional cross-section values for hollow rectangular profilesaccording to EN 10210-2:2006 and EN 10219-2:2006. The new Euro-pean Standards EN 10210-2:2006 and EN 10219-2:2006 contain thenecessary cross-section values for calculation of primary torsion(St. Venant-torsion). In the following paper all cross-section va-lues for secondary torsion are additionally given, so that calcula-tion of normal and shear stresses of the warping torsion is pos-sible. These stresses cannot be neglected, but occur only at cer-tain points of disturbance. For hollow sections it is always necess-ary to take into consideration the shear deformations of warpingtorsion.

1 Einleitung

Dünnwandige, geschlossene Querschnitte zeigen sowohlbei der primären als auch sekundären Torsion ein grund-sätzlich anderes Tragverhalten als offene Querschnitte. Beider primären Torsion ist dies hinlänglich bekannt und un-mittelbar einsichtig. Bei der sekundären Torsion (Wölb-krafttorsion) dagegen bestehen erhebliche Defizite, einer-seits, was das Verständnis des Tragverhaltens anbelangt,andererseits fehlen fertige Formeln zur Bestimmung dererforderlichen Querschnittswerte, was zumindest für ein-fache Fälle möglich ist. Darüber hinaus bleibt oft dort, wodie Theorie der Wölbkrafttorsion behandelt wird, die Not-wendigkeit der Mitberücksichtigung derWölbschubverfor-mungen unbeachtet, mit der Folge, daß die dann erhalte-nen Ergebnisse unbrauchbar sind. Diese Schubverformun-gen können nicht ohne Kenntnis des sekundären Torsions-trägheitsmoments ITs rechnerisch erfaßt werden, welchesbei geschlossenen dünnwandigen Querschnitten stets we-

sentlich kleiner als das primäre TorsionsträgheitsmomentIT ist. Dagegen liegt bei offenen Querschnitten i. d. R. derumgekehrte Sachverhalt vor, so daß dort die sekundärenSchubverformungen für übliche Stabschlankheiten vernach-lässigt werden können.

Ganz allgemein ist darauf hinzuweisen, daß die viel-fach aufgestellte Behauptung, die Wölbschub- und Wölb-normalspannungen seien bei geschlossenen Querschnit-ten überhaupt klein und deshalb vernachlässigbar, allge-mein nicht zutreffend ist. Richtig dagegen ist, daß dieseSpannungen statisch nicht notwendig, das heißt, nur ausVerträglichkeitsgründen vorhanden sind. Solche „Zwän-gungsspannungen“ sind aber jedenfalls bei stabilitätsge-fährdeten Bauteilen (Beulen) und bei Betriebsfestigkeits-nachweisen sowie bei nicht duktilem Werkstoff (ggf.Schweißnähte) von Bedeutung.

Eine wesentliche Erleichterung bei der Berechnungder Wölbkrafttorsion geschlossener Querschnitte ist da-durch gegeben, daß das Wölbmoment Mw und das sekun-däre Torsionsmoment MTs i. d. R. nur lokal an „Störstel-len“ auftreten und von da aus rasch abklingen. In ersterLinie liegen solche Störstellen dort vor, wo ein Einzeltor-sionsmoment (eingeprägt oder als Auflagergröße) vorhan-den ist und wo kein frei verwölbares Stabende vorliegt. InAbschnitt 5 wird hierzu ein Beispiel behandelt.

Im vorliegenden Beitrag werden sowohl für die warm-gefertigten, rechteckigen Hohlprofile nach EN 10210-2:2006[1] als auch die kaltgefertigten nach EN 10219-2:2006 [2]alle für die primäre und sekundäre Torsion erforderlichenQuerschnittswerte bestimmt und in Tabellen zusammen-gestellt; dabei wird die Rundung an den Ecken des Quer-schnitts genau berücksichtigt (Bild 1).

2 Torsions-Querschnittswerte für rechteckige Hohlprofilegemäß Bild 1

Bild 1 zeigt den realen Querschnitt mit Abmessungen; dieDicke t ist konstant. Für alle Berechnungen dieses Ab-schnittes wird t << h, b angenommen, das heißt, daß dieSchubspannungen aus der primären Torsion über dieDicke t jeweils als konstant angesehen werden. Das glei-che folgt dann auch für die Schub- und Normalspannun-gen der sekundären Torsion. Damit genügt die Betrach-tung des idealisierten Querschnitts, von dem ein Viertel inBild 2 dargestellt ist.

Torsions-Querschnittswerte für rechteckige Hohlprofilenach EN 10210-2:2006 und EN 10219-2:2006

Helmut Rubin

Fachthemen

DOI: 10.1002/stab.200710004

Nach den Bredtschen Formeln für dünnwandige, ge-schlossene Querschnitte erhält man für die primäre Torsion:

(1)

(2)

mit

Am = hb – (4 – p)r2, eingeschlossene Fläche (3)

(4)

U = 2 [h + b – (4 – p)r], Umfang (5)

Für die zugehörige Schubverzerrung gp = tp/G erhält manaus vorstehenden Gleichungen

(6)

wobei gp, ebenso wie tp, über den Umfang konstant ist.

g JpmA

U= ¢2

IAU

t primäres TorsionsträgheitsmomentTm= 42

, ( )

¢ =JM

GIVerdrillungTp

T,

t pTp

m

M

A tkons t über Umfang=

2, tan

22

H. Rubin · Torsions-Querschnittswerte für rechteckige Hohlprofile nach EN 10210-2:2006 und EN 10219-2:2006

Stahlbau 76 (2007), Heft 1

2.1 Längsverschiebung u

Die Längsverschiebung u (Verwölbung) ergibt sich aus zweiAnteilen:1. aus der Kinematik der Drehung um den Querschnitts-mittelpunkt (= Schubmittelpunkt), wobei die Wandung un-verzerrt bleibt,2. aus der konstanten Schubverzerrung nach Gl. (6).

Diese Längsverschiebung verläuft bezüglich beiderSymmetrieachsen des Querschnitts antimetrisch, so daßan den Stellen 0 und 3 (siehe Bild 2) u0 = u3 = 0 geltenmuß.

Die Vektoren des Drehwinkels J, des TorsionsmomentsMTp und derVerschiebung u seien jeweils positiv, wenn sievom Querschnitt weg weisen, also in Richtung der Stab-achse x.

Mit den Bezeichnungen von Bild 2 erhält man fürdie einzelnen Abschnitte folgende Längsverschiebun-gen:

Abschnitt 0-1

(7)

(8)

(9)

Abschnitt 2-3

(10)

(11)

(12)

Abschnitt 1-2

(13)

mit

(14)

(15)

(16)

Aus Gl. (13) erhält man mit ds = r dx

(17)

wobei L sin r = b_

eingesetzt wurde.

u u r L r d

u r L b r

s p

p

= + - ¢ + +[ ]= + - ¢ + + - ¢ +[ ]

-Ú1

1

J x g x

J g r x J xr

x

( cos )

( )( ) ( sin )

r = arctan bh

x r= -sr

L h b= +2 2

u u r L dss p

s

= + - ¢ + +[ ]Ú1

0

J x g( cos )

mit h h r= -2

Stelle u b hp222: = ¢ -Ê

ËÁˆ¯̃J g

u b dz b zz p

z

p= - ¢ +ÊËÁ

ˆ¯̃ = ¢ -Ê

ËÁˆ¯̃Ú J g J g

2 2

0

mit b b r= -2

Stelle u h bp121: = - ¢ +Ê

ËÁˆ¯̃J g

u h dy h yy p

y

p= - ¢ +ÊËÁ

ˆ¯̃ = - ¢ +Ê

ËÁˆ¯̃Ú J g J g

2 20

Bild 1. Realer Querschnitt, AbmessungenFig. 1. Real section, sizes

Bild 2. Idealisierter Viertelquerschnitt, geometrische GrößenFig. 2. Idealized quater-section, geometrical properties

23



(18)

wobei

(vgl. Bild 2) eingesetzt wurden.Das Gleichsetzen von u2 nach Gl. (11) und Gl. (18)

liefert nach entsprechender Umformung eine Bestätigungvon Gl. (6).

2.2 Einheitsverwölbung ww

Den Verlauf der Einheitsverwölbung w erhält man aus vor-stehenden Formeln durch Einsetzen von J¢ = –1, also aus

(19)

Als „Einheitsverzerrung“ g0 wird gemäß Gl. (6) definiert:

(20)

so daß mit g0 ein positiver Wert vorliegt.Damit ergeben sich folgende Formeln für w:

Abschnitt 0-1

(21)

w0 = 0, w1 = w¢y b_

(22)

w w w gy y yy mit h= ¢ ¢ = -2 0

gg

J0 2= -- ¢

=p mAU

wJ

=- ¢u

sin cos , cosx r r p2 2 4

= = + + =L h und r h b U

u u r h b r

u U r

p

p

2 1

1

2

4 2

= + - ¢ + - ¢ +ÈÎÍ

˘˚̇

= + - ¢ +ÊËÁ

ˆ¯̃

( ) ( )J g p J

J g p

Stelle mit222x p r= - : Abschnitt 1-2

ws = c0 + c1x + c2 sin x (23)

mit

c1 = (r – g0)r, c0 = w1 + r b_

+ c1r, c2 = L r (24)

An der Stelle

(25)

tritt

max w = c0 + c1x* + c2 sin x* (26)

auf. Es muß die Bedingung

erfüllt sein; dies ist für h ≥ b stets der Fall.

Abschnitt 2-3

(27)

w2 = w¢z h_

, w3 = 0 (28)

Kontrolle:

(29)

Für das Profil 300 ¥ 200 ¥ 16 (kaltgefertigt) mit h = 28,4 cm,b = 18,4 cm, t = 1,6 cm und r = 4 cm ist in Bild 3 oben dergenaue Verlauf von w im Viertelquerschnitt gemäß Bild 2mit den Ordinaten w1, max w und w2 angegeben.

w x w x p rs mit( )2 2 2 2= = -

w w w gz z zz mit b= ¢ ¢ = -0 2

x p r* £ -2

x* arccos= -ÊËÁ

ˆ¯̃

cc

1

2

Bild 3. Verlauf von w und S für Viertelquerschnitt gemäß Bild 2, Rechteck-Profil 300 ¥ 200 ¥ 16 (kaltgefertigt)Fig. 3. Curve of w and S for quater-section according to fig. 2, rectangular profile 300 ¥ 200 ¥ 16 (cold formed)

!

24



Gleichgewicht der Kraftkomponenten parallel zur Stab-achse für ein Stabelement der Länge dx, wobei ein beliebi-ger Teilquerschnitt betrachtet werden kann. Wird der Teil-querschnitt so gewählt, daß er gemäß Bild 2 von der Stelle 0bis zu einer allgemeinen Stelle im Bereich des Viertelquer-schnitts reicht, so führt die erwähnte Gleichgewichtsbedin-gung (nach Kürzen von MTs/Iw) zu:

S = S0 – DS (39)

mit

(40)

wobei s_

die Umfangskoordinate, beginnend an der Stelle 0,ist.

Für die einzelnen Abschnitte erhält man:

Abschnitt 0-1allgemeine Stelle y:

(41)

(42)

Abschnitt 1-2allgemeine Stelle s bzw. x:

(43)

Mit der Vereinbarung

(44)

erhält man:

DSs = DS*1 + f(x) (45)

mit

DS*1 = DS1 – f(x1) (46)

(47)

Abschnitt 2-3

(48)

mit

(49)

allgemeine Stelle z:

(50)

Die Unbekannte S0 wird aus der Bedingung bestimmt, daßdas resultierende Moment aus den Schubspannungen tsnach Gl. (37) gleich MTs sein muß. Mit dem allgemeinenHebelarm r

_und der Umfangskoordinate s

_erhält man:

D D DS S t dz S tzz z

z

z= - = - ¢Ú3

0

321

2w w

DS ht23 212

= w

Stelle S S t dz S Sz

h

3 3 2

0

2 23: D D D D= + = +Ú w

Stelle S S f222 1 2 2: ( ),*D D= + = -x x p r

f rt d rt c c cs( ) cosx w x x x x= = + -ÊËÁ

ˆ¯̃Ú 0 1

22

12

D D DS S t ds S rt ds s

s

s= + = + = -Ú Ú1

0

1 1

1

w w x x rx

x

,

Stelle S bt1 121 1: D = w

DS t dy tyy y

y

y= = ¢Ú w w0

212

DS t dss

= Ú w0

2.3 Wölbträgheitsmoment Iww

Die allgemeine Formel lautet:

(30)

Im vorliegenden Fall erhält man für die drei Abschnittedes Viertelquerschnitts:

Abschnitt 0-1

(31)

Abschnitt 2-3

(32)

Abschnitt 1-2

(33)

mit

(34)

Für den ganzen Querschnitt ergibt sich dann:

Iw = 4(Iw,01 + Iw,12 + Iw,23) (35)

Die (über die Dicke t konstanten) Wölbnormalspannungenberechnen sich aus dem Wölbmoment Mw mit der Formel:

(36)

Der Verlauf von s ist ähnlich dem von w, also wieder anti-metrisch zu den Symmetrieachsen des Querschnitt; max sergibt sich aus max w nach Gl. (26) im Bereich 1-2, also imBereich der Rundung.

2.4 Statisches Wölbflächenmoment S

Für die Schubspannungen der Wölbkrafttorsion (sekundäreTorsion) lautet die allgemeine Formel:

(37)

mit

(38)

Bei konstanter Wanddicke t haben die Schubspannungents einen ähnlichen Verlauf wie das statische Wölbflächen-moment S; beide verlaufen symmetrisch zu den beidenSymmetrieachsen des Querschnitts. Gl. (37) beinhaltet das

MdMdxTs = w

tw

sTsM

ISt

=

s ww

w= M

I

x r x p r1 2 2= - = -,

I tds trd

rt c c c c c c c

c c c

s

s

swx

x

x

x

w w x

x x x x x

x x x

,

( ) cos

sin ( sin )

122

0

2

02

0 12

12 3

0 1 2

1 2 22

2

1

2

1

2

13

2

2 14

2 2

= =

= + + - +ÈÎÍ

+

+ + - ˘˚̇

Ú Ú

I tdz htz

h

w w w,232

0221

3= =Ú

I tdy bty

b

w w w,012

0121

3= =Ú

I dAA

w w= Ú 2

25



2.5 Sekundäres Torsionsträgheitsmoment ITs

ITs wird aus der Gleichsetzung der inneren Arbeit derSchubspannungen ts und der äußeren Arbeit von MTsund zugehöriger Verdrillung MTs/(GITs) erhalten, wobeiein Stabelement der Länge dx betrachtet wird. Für einenHohlquerschnitt mit konstanter Wanddicke t gilt allge-mein:

(60)

Für den Viertelquerschnitt erhält man:

(61)

Abschnitt 0-1

(62)

Abschnitt 1-2

(63)

Abschnitt 2-3

(64)

Gl. (60) führt dann zu der Formel:

(65)

3 Sonderfall: quadratische Hohlprofile

Der Sonderfall der quadratischen Hohlprofile ist in denFormeln des vorigen Abschnitts enthalten. Während qua-dratische Querschnitte ohne Rundungen an den Eckenwölbfrei sind und deshalb keine Wölbkrafttorsion aufwei-sen, sind die Querschnitte mit Rundungen nicht wölbfrei,können jedoch als wölbarm angesehen werden.

II t

K K KTs =+ +

w2

01 12 234( )

S dz S S dz S tz dz

S S S S h K

z

h

z

h

z

h2

0

02

0

32

2

0

32

3 23 232

23

12

23

15

Ú Ú Ú= - = + ¢ÊËÁ

ˆ¯̃

= + +ÊËÁ

ˆ¯̃ =

( )D

D D

w

S rd S S rd S f rd

S r S r t c c c

r t c c c

s s2

02

12

12

12

02

13

2

3 202

0 1

1

2

1

2

1

2

1

2

22 1

216

13

14

120

x

x

x

x

x

x

x

x

x x x x

p x x x

x

Ú Ú Ú= - = -[ ]

= ( ) + + -ÈÎÍ

˘˚̇

+

+ + +

( ) ( )

sin

*

* *

D

cc

c c c c c c c

c K

12 2 3

0 1 2 1 0 12

2

22

12

2 2 2

14

2 21

2

x x

x x x x x

x xx

x

ÊËÁ

ˆ¯̃

È

ÎÍ -

- + + - - +

+ + ˘˚̇

=

( ) cos ( ) sin

( sin )

S dy S S dy S ty dy

S S S S b K

y

b

y

b

y

b2

0

02

0

02

2

0

02

0 1 12

01

12

23

15

Ú Ú Ú= - = - ¢ÊËÁ

ˆ¯̃

= - +ÊËÁ

ˆ¯̃ =

( )D

D D

w

S ds S dy S rd S dzU

y

b

s z

h2

0

42

0

2 2

01

2/

Ú Ú ÚÚ= + +xx

x

II t

S ds

Ts U=

Úw2

2

0

(51)

und damit

(52)

Nach Einsetzen von Gl. (39) ergibt sich:

(53)

und daraus

(54)

Für den Viertelquerschnitt erhält man:

(55)

Abschnitt 0-1

(56)

Abschnitt 1-2

(57)

Abschnitt 2-3

(58)

Gemäß Gl. (54) erhält man

(59)

Die endgültigen Werte S werden mit Gl. (39) berechnet.Für das Profil 300 ¥ 200 ¥ 16 ist in Bild 3 unten der genaueVerlauf von S mit den Ordinaten S0, S1, S2 und S3 angege-ben.

SI J J J

Am0

01 12 2342

= + + +w ( )

D D

D D

S bdz b S h tz dz

S S b h J

z

h

z

h

2 212

13 2

0

32

0

3 23 23

Ú Ú= - ¢Ê

ËÁÁ

ˆ

¯˜̃

= -ÊËÁ

ˆ¯̃ =

w

D D

D

S r L rd S f r L rd

S Ur r t c c c

r Lt c c

s( cos ) ( ) ( cos )

sin

sin

(

*

*

+ = +( ) +

= + + -ÈÎÍ

˘˚̇

+

+ + -ÊËÁ

ˆ¯̃

+È

ÎÍÍ

+

Ú Úx x x x x

x x x

x x x

x

x

x

x

x

x1

2

1

2

1

2

1

13

02

13

2

20 1

2

14

12

16

22

cc c c J0 1 2 1214

2 21

2

+ - + ˘˚̇

=x x x xx

x

)cos ( sin )

D DS h dy ty h dy S bh Jy

b b

y

0 0

21 012

12 2

16Ú Ú= ¢ = =w

D D D

D

Srds S hdy S r L rd

S b dz

U

y

b

s

z

h

0

4

0

0

2

2

1

2/

( cos )Ú Ú Ú

Ú

= + + +

+

x xx

x

SA

I Srdsm

U

0

0

12

= +Ê

ËÁÁ

ˆ

¯˜̃Úw D

Srds S rds Srds S A Srds IU U U

m

U

0

0

0 0

0

0

2Ú Ú Ú Ú= - = - =D D w

Srds IU

=Ú w0

M trdsMI

SrdsTs s

UTs

U

= =Ú Útw0 0

26



Die Verläufe von w und S unterscheiden sich grund-sätzlich von denen der rechteckigen Profile. Die Diagona-len der Querschnitte sind jetzt auch Symmetrieachsen, zudenen w antimetrisch und S symmetrisch verlaufen muß.

Als Beispiel wird das Profil 250 ¥ 250 ¥ 16 (kaltgefer-tigt) gewählt, das die gleiche Wanddicke, den gleichen Ra-dius r, den gleichen Umfang und die gleiche Querschnitts-fläche wie das Profil 300 ¥ 200 ¥ 16 aufweist. Bild 4 zeigtim selben Maßstab wie Bild 3 die Verläufe von w und S, dieBeträge der Ordinaten sind deutlich kleiner, max S trittjetzt nicht mehr an der Stelle 0, sondern in der Mitte derRundung, also bei x = 0, auf.

4 Profiltabellen für Torsions-Querschnittswerte von rechtecki-gen Hohlprofilen nach EN 10210-2:2006 und EN 10219-2:2006

Die warmgefertigten Profile nach EN 10210-2:2006 unter-scheiden sich von den kaltgefertigten nach EN 10219-2:2006in der Geometrie der Rundungen (Innenradius ri undAußenradius ra) wie folgt:

warmgefertigt:

ri = 1,0 t, ra = 1,5 t

kaltgefertigt:

t £ 6 mm: ri = 1,0 t, ra = 2,0 t Æ r = 1,5 t6 mm < t £ 10 mm: ri = 1,5 t, ra = 2,5 t Æ r = 2,0 t10 mm < t: ri = 2,0 t, ra = 3,0 t Æ r = 2,5 t

Im letzteren Fall entspricht die Querschnittsgeometrie ge-nau jener von Bild 1, während im ersteren Fall die Dickeim Rundungsbereich veränderlich ist und in Rundungs-mitte den Wert (0,5 + ÷–––

0,5)t = 1,207 t annimmt. DieseDickenzunahme wird vernachlässigt und auch hier einQuerschnitt gemäß Bild 1 mit konstanter Dicke t und mitr = (ri + ra)/2 = 1,25 t angenommen. Bild 5 zeigt maßstäb-lich für eine Rundung die wirkliche (ausgezogen) und dierechnerische Geometrie (gestrichelt).

Zum Vergleich: Die wirkliche Querschnittsfläche beträgt

Aw = [2(h + b) – 1,25(4 – p)t]t (66)

und die rechnerische

Ar = [2(h + b) – 2,5(4 – p)t]t (67)

Beispiel: Profil 300 ¥ 200 ¥ 16 (warmgefertigt)

Aw = 147 cm2, Ar = 144 cm2, Fehler –2 %

In den Profiltabellen von EN 10210-2:2006 und EN 10219-2:2006 wird als Torsionsträgheitsmoment

(68)

angegeben, mit IT nach Gl. (4). Für das Torsionswiderstandsmoment wird in diesen

Normen folgende Formel verwendet:

(69)

Mit dem Zusatzterm Ut3/3 bzw. t soll die (lineare) Verän-derlichkeit von tp über die Dicke t berücksichtigt werden.Diese wurden bisher im Beitrag nicht berücksichtigt undwerden bei den Bredtschen Formeln auch generell ver-nachlässigt. Genauere Untersuchungen, die hier aus Platz-gründen nicht ausgeführt werden sollen, haben ergeben,

CI

A U ttt

m=

+2 /

I I Utt T= + 13

3

Bild 4. Verlauf von w und S für Viertelquerschnitt gemäß Bild 2, Quadrat-Profil 250 ¥ 250 ¥ 16 (kaltgefertigt)Fig. 4. Curve of w and S for quater-section according to fig. 2, square profile 250 ¥ 250 ¥ 16 (cold formed)

Bild 5. Wirklicher und rechnerischer Querschnitt im Run-dungsbereich eines warmgefertigten ProfilsFig. 5. Real and idealized section in the round-edged regionof a hot formed profile

27



Aus Gl. (71) ergibt sich für den Sonderfall Kreisring:

(77)

was genau mit Gl. (75) übereinstimmt.

Querschnittswerte der ProfiltabellenTabellen 1 und 2 enthalten folgende Querschnittswerte:I*

T Torsionsträgheitsmoment nach Gl. (70)W*

T Torsionswiderstandsmoment nach Gl. (71)Iw Wölbträgheitsmoment nach Gl. (35)ITs sekundäres Torsionsträgheitsmoment nach

Gl. (65)w1, max w, w2 Wölbordinaten nach Gln. (22), (26), (28),

vgl. Bild 3 oben, max w im Bereich derRundung

S0, S1, S2, S3 Wölbflächenmomente nach Gln. (39), (42),(47), (48), (59), vgl. Bild 3 unten, größterBetrag: S0 (mit wenigen Ausnahmen)

Die Wölbordinaten werden zur Berechnung der Wölbnor-malspannungen nach Gl. (36), die Wölbflächenmomentezur Berechnung der sekundären Schubspannungen nachGl. (37) benötigt. Beide Spannungen werden als über dieDicke konstant angenommen. Dagegen ist die primäremaximale Schubspannung nach Gl. (72) am äußeren Randdes Querschnitts vorhanden, aber über den Umfang kon-stant. In der Mitte der Wandung beträgt die primäre Schub-spannung

(78)

sie ist ebenfalls konstant über den Umfang.

5 Beispiel: Schnittgrößen und Spannungen für ein einfachesSystem, Vergleich der Ergebnisse für die Profile 300 ¥¥ 200 ¥¥ 16 und 250 ¥¥ 250 ¥¥ 16 (kaltgefertigt)

Bild 6 zeigt zwei äquivalente Systeme mit gleichen Schnitt-größen und Spannungen. Unter der Annahme � >> b, h istdie Wölbkrafttorsion unabhängig von �; sie klingt, wie an-gegeben, von der Stelle x = 0 aus mit dem Faktor f = e–x/�0

rasch ab, wobei �0 nur querschnittsabhängig ist.In Tabelle 3 sind alle interessierenden Querschnitts-

werte, Schnittgrößen und Spannungen (für MT = 100 kNm),getrennt für die beiden Querschnitte, zusammengestellt.

Die Ergebnisse zeigen, daß die Wölbschub- und Wölb-normalspannungen für das rechteckige Profil nicht ver-nachlässigbar, für das quadratische Profil dagegen deutlichkleiner und je nach Genauigkeitsansprüchen eher vernach-lässigbar sind. Interessant ist, daß relativ zum Torsionsmo-ment die Schubspannungen der sekundären Torsion we-sentlich größer sind als jene der primären Torsion, dasheißt, aus MTs << MTp darf nicht geschlossen werden, daßdie ts gegenüber den tp vernachlässigbar sind.

Da alle quadratischen Profile in etwa geometrisch ähn-lich sind, können die entsprechenden Schnittgrößen undSpannungen in Tabelle 3 als repräsentativ angesehen wer-den. Die Herleitung der in Tabelle 1 verwendeten Formelnkann aus [3] entnommen werden. Dort sind auch für wei-tere Last- und Lagerungsfälle die Schnittgrößen angegeben.

t pTp

T

mM

IAU

=*

,2

WIrr

tI

r tTT T** *

=+

=+2

2 2 2

2pp

daß, wenn der genannte Effekt berücksichtigt werden soll,die Zusatzterme Ut3/4 bzw. t/2 lauten müssen. Die so er-haltenen Größen werden mit * gekennzeichnet; deren For-meln lauten dann:

(70)

und

(71)

Diese Werte werden auch in den Tabellen 1 und 2 angege-ben.

Die Formel

(72)

liefert dann die Schubspannung am äußeren Rand desQuerschnitts, wobei tp auch wieder konstant über den Um-fang ist.

Die Schubspannung in der Mittelachse der Wandungerhält man, wenn in Gl. (71) derTerm t/2 weggelassen wird.

Beispiel: Profil 300 ¥ 200 ¥ 16, kaltgefertigt mit r = 4 cm

Wird mit IT und WT gerechnet, so gilt

(73)

was mit Gl. (1), also der 1. Bredtschen Formel identisch ist. Zum Vergleich sei ein I-Querschnitt mit Biegung um

die starke Achse betrachtet. Dort entspricht dem Zusatz-term in Gl. (70) das Eigenträgheitsmoment eines Gurtes,während der Verwendung von WT dort die Spannungs-ermittlung in Gurtmitte und der Verwendung von W*

T dieSpannungsermittlung am äußeren Gurtrand entspricht.

Übergang zum Sonderfall KreisringNachfolgend soll die Richtigkeit der Gln. (70) und (71)auch durch Übergang zum Kreisring bestätigt werden, beidem genaue Formeln für IT und WT bei beliebiger Wand-dicke t vorliegen.

Diese lauten:

(74)

(75)

mit ra = r + t/2 und ri = r – t/2

Mit h = b = 2r erhält man nach Gl. (3) Am = pr2 und nachGl. (5) U = 2pr.

Aus Gl. (4) und Gl. (70) ergibt sich damit:

(76)

was für beliebige t genau mit Gl. (74) übereinstimmt.

Ir

rt rt rt r t

T* ( )= + = +

ÊËÁ

ˆ¯̃

42

14

2 24

2 23 2

2pp

p p

WIrTT

a=

I r rT a i= -( )p2

4 4

WI

A UA tT

T

mm= =

22

/

I cm I cm größer

W cm W cm kleinerT T

T T

= == =19104 19193 0 5

1628 1531 6

4 4

3 3

, , , %

, , %

*

*

t pTp

T

M

W=

*

WI

A U tTT

m

**

/ /=

+2 2

I I UtT T* = + 1

43

28



Tabelle 1. Torsions-Querschnittswerte von rechteckigen Hohlprofilen nach EN 10210-2:2006Table 1. Torsional cross-section values for hollow rectangular profiles according to EN 10210-2:2006

H ¥ B t I*T W*

T Iw ITs w1 max w w2 S0 S1 S2 S3mm mm cm4 cm3 cm6 cm4 cm2 cm4

50 ¥ 30 2,6 12,1 6,29 0,983 0,767 0,605 0,876 0,861 0,218 0,136 0,033 –0,1963,2 14,2 7,34 1,13 0,930 0,538 0,850 0,830 0,256 0,175 0,026 –0,2314,0 16,5 8,54 1,28 1,13 0,452 0,810 0,782 0,298 0,226 0,010 –0,2715,0 18,8 9,72 1,38 1,33 0,351 0,752 0,713 0,338 0,283 -0,020 –0,309

60 ¥ 40 2,6 25,9 10,6 2,14 1,02 0,85 1,17 1,15 0,356 0,187 0,048 –0,3343,2 30,8 12,5 2,52 1,25 0,77 1,15 1,13 0,422 0,244 0,041 –0,4004,0 36,6 14,8 2,96 1,55 0,68 1,12 1,09 0,500 0,322 0,022 –0,4795,0 42,8 17,2 3,36 1,89 0,58 1,07 1,03 0,582 0,419 -0,018 –0,5656,3 49,2 19,7 3,66 2,25 0,455 0,989 0,936 0,664 0,535 -0,090 –0,650

80 ¥ 40 3,2 46,1 17,0 15,1 5,12 1,85 2,48 2,45 1,22 0,80 0,34 –1,014,0 55,1 20,2 17,8 6,30 1,66 2,42 2,38 1,47 1,03 0,36 –1,215,0 64,8 23,8 20,5 7,67 1,43 2,33 2,27 1,73 1,33 0,34 –1,446,3 75,2 27,6 22,8 9,21 1,14 2,19 2,12 2,01 1,69 0,25 –1,688,0 84,9 31,2 23,8 10,7 0,77 1,99 1,88 2,26 2,08 0,07 –1,89

90 ¥ 50 3,2 80,8 24,7 26,6 6,41 2,39 3,07 3,04 1,74 0,99 0,43 –1,494,0 97,4 29,7 31,8 7,95 2,19 3,01 2,97 2,09 1,30 0,45 –1,815,0 116 35,3 37,4 9,80 1,96 2,93 2,87 2,50 1,70 0,43 –2,176,3 137 41,5 43,1 12,0 1,67 2,81 2,73 2,96 2,22 0,34 –2,588,0 159 48,1 47,7 14,5 1,31 2,62 2,51 3,43 2,85 0,11 –3,01

100 ¥ 50 3,2 93,4 27,6 48,1 10,1 3,14 3,95 3,92 2,47 1,49 0,76 –2,034,0 113 33,2 57,6 12,5 2,90 3,88 3,83 2,99 1,94 0,83 –2,465,0 135 39,5 67,8 15,4 2,60 3,78 3,71 3,58 2,52 0,87 –2,966,3 159 46,7 78,5 18,9 2,22 3,63 3,54 4,25 3,27 0,81 –3,538,0 185 54,3 87,5 22,8 1,75 3,40 3,29 4,95 4,19 0,60 –4,14

100 ¥ 60 3,2 128 33,7 42,5 7,65 2,90 3,64 3,61 2,32 1,19 0,52 –2,054,0 156 40,7 51,3 9,53 2,70 3,59 3,55 2,82 1,57 0,55 –2,505,0 187 48,8 61,1 11,8 2,47 3,52 3,46 3,39 2,08 0,54 –3,036,3 224 58,1 71,8 14,7 2,17 3,41 3,33 4,05 2,75 0,43 –3,668,0 264 68,3 82,1 18,1 1,81 3,24 3,13 4,77 3,61 0,16 –4,34

120 ¥ 60 4,0 201 49,4 149 21,8 4,46 5,68 5,62 5,30 3,25 1,60 –4,365,0 242 59,3 177 26,9 4,10 5,56 5,49 6,41 4,23 1,75 –5,296,3 289 70,9 209 33,3 3,64 5,40 5,30 7,70 5,53 1,79 –6,398,0 343 83,8 241 41,0 3,05 5,16 5,02 9,16 7,21 1,62 –7,6310,0 393 96,0 264 48,5 2,38 4,83 4,65 10,5 9,0 1,1 –8,8

120 ¥ 80 4,0 330 67,6 110 12,5 3,68 4,73 4,69 4,55 2,12 0,77 –4,215,0 401 81,8 133 15,7 3,43 4,68 4,63 5,52 2,84 0,78 –5,156,3 486 98,7 160 19,7 3,12 4,60 4,53 6,67 3,82 0,68 –6,318,0 585 118 189 24,7 2,73 4,46 4,36 8,00 5,16 0,35 –7,6710,0 685 138 215 30,2 2,32 4,27 4,12 9,32 6,71 –0,28 –9,04

140 ¥ 80 4,0 410 79,5 306 28,9 6,05 7,40 7,35 8,29 4,29 2,12 –7,135,0 499 96,3 370 36,0 5,68 7,31 7,24 10,1 5,6 2,4 –8,76,3 606 116 446 45,0 5,22 7,17 7,07 12,3 7,5 2,5 –10,78,0 731 140 530 56,3 4,63 6,97 6,83 14,8 10,0 2,3 –13,010,0 859 164 608 68,7 3,97 6,68 6,49 17,4 12,9 1,7 –15,4

150 ¥ 100 4,0 660 108 343 24,5 6,07 7,44 7,39 9,11 3,89 1,72 –8,345,0 806 132 418 30,6 5,75 7,39 7,33 11,1 5,2 1,9 –10,36,3 986 161 509 38,6 5,34 7,31 7,23 13,6 7,0 1,9 –12,78,0 1201 195 616 48,8 4,83 7,18 7,06 16,5 9,5 1,6 –15,610,0 1428 231 722 60,4 4,27 6,97 6,81 19,5 12,6 0,9 –18,712,5 1672 269 821 73,7 3,62 6,67 6,44 22,8 16,4 –0,7 –22,1

160 ¥ 80 4,0 493 91,3 653 52,0 8,6 10,3 10,2 13,0 7,3 4,3 –10,65,0 600 111 791 64,6 8,1 10,1 10,1 15,8 9,5 4,9 –13,06,3 729 134 954 80,7 7,46 9,95 9,83 19,3 12,5 5,4 –15,98,0 881 162 1138 101 6,65 9,67 9,51 23,5 16,5 5,7 –19,410,0 1037 190 1310 123 5,73 9,30 9,08 27,7 21,2 5,4 –23,012,5 1198 219 1455 147 4,60 8,78 8,49 32,0 26,8 4,1 –26,7

29



Tabelle 1. Torsions-Querschnittswerte von rechteckigen Hohlprofilen nach EN 10210-2:2006Table 1. Torsional cross-section values for hollow rectangular profiles according to EN 10210-2:2006(Fortsetzung)

H ¥ B t I*T W*


180 ¥ 100 4,0 852 131 1131 64,5 10,7 12,6 12,5 18,2 9,0 5,3 –15,45,0 1042 160 1380 80,5 10,2 12,4 12,3 22,3 11,8 6,1 –19,06,3 1275 195 1682 101 9,6 12,3 12,2 27,4 15,6 6,8 –23,48,0 1558 237 2038 127 8,8 12,0 11,9 33,5 20,9 7,2 –28,910,0 1858 282 2396 157 7,9 11,7 11,5 40,0 27,2 6,9 –34,712,5 2183 331 2748 191 6,7 11,2 10,9 47,0 35,2 5,5 –41,1

200 ¥ 100 4,0 983 146 2040 102 14,1 16,2 16,1 25,9 13,8 8,9 –21,05,0 1203 178 2490 127 13,4 16,1 15,9 31,7 17,9 10,5 –25,96,3 1474 218 3037 159 12,6 15,8 15,7 39,0 23,5 12,0 –32,08,0 1802 266 3684 200 11,6 15,5 15,3 47,8 31,1 13,3 –39,410,0 2151 316 4342 246 10,4 15,1 14,9 57,2 40,3 13,9 –47,412,5 2533 372 4999 300 9,0 14,5 14,2 67,6 51,9 13,1 –56,216,0 2965 434 5597 364 7,0 13,6 13,1 79,3 67,0 9,5 –66,2

200 ¥ 120 6,3 2027 266 2685 120 11,6 14,6 14,4 36,7 18,7 8,2 –32,38,0 2492 326 3283 152 10,8 14,4 14,2 45,1 25,2 8,8 –40,010,0 2996 390 3912 189 9,9 14,1 13,9 54,2 33,2 8,6 –48,512,5 3560 462 4574 233 8,7 13,7 13,4 64,4 43,6 7,1 –58,1

250 ¥ 150 6,3 4052 426 8409 236 19,2 23,0 22,8 73,3 34,6 17,8 –64,18,0 5017 526 10381 299 18,1 22,7 22,5 90,8 46,6 20,2 –79,910,0 6084 636 12525 372 16,9 22,4 22,2 110 62 21 –9812,5 7314 762 14922 462 15,4 22,0 21,6 132 81 21 –11814,2 8085 840 16363 521 14,4 21,6 21,2 146 95 19 –13216,0 8844 917 17714 581 13,4 21,3 20,8 160 109 17 –145

260 ¥ 180 6,3 5808 539 7742 176 17,5 21,3 21,2 71,8 28,1 12,7 –66,68,0 7218 668 9612 224 16,6 21,2 21,0 89,0 38,5 14,1 –83,510,0 8792 810 11682 281 15,6 21,0 20,8 108 52 15 –10312,5 10630 976 14060 351 14,3 20,8 20,5 130 69 13 –12514,2 11800 1080 15536 398 13,5 20,6 20,2 144 82 11 –14016,0 12967 1184 16965 447 12,7 20,3 19,9 158 95 8 –155

300 ¥ 200 6,3 8474 698 17640 308 25,5 29,9 29,7 117 46 24 –1068,0 10558 867 21956 392 24,3 29,8 29,6 146 62 27 –13310,0 12900 1056 26775 490 23,0 29,6 29,3 178 83 30 –16412,5 15661 1278 32386 612 21,4 29,3 28,9 215 111 30 –20114,2 17435 1419 35926 695 20,4 29,0 28,6 240 131 29 –22516,0 19221 1561 39418 781 19,3 28,7 28,2 264 152 26 –250

350 ¥ 250 6,3 15212 1033 31715 378 31,6 36,7 36,6 171 57 30 –1598,0 19022 1288 39661 482 30,3 36,7 36,5 213 78 35 –20010,0 23345 1576 48663 604 28,9 36,6 36,4 261 105 39 –24712,5 28508 1918 59367 757 27,2 36,5 36,2 317 142 41 –30514,2 31866 2140 66280 862 26,1 36,3 35,9 354 168 41 –34316,0 35288 2364 73261 972 25,0 36,1 35,7 391 197 38 –381

400 ¥ 200 8,0 15730 1168 130553 1629 56,2 64,8 64,5 414 220 143 –33710,0 19249 1427 159356 2030 53,7 64,2 63,8 507 286 167 –41412,5 23420 1732 193056 2524 50,6 63,4 62,8 619 372 191 –50814,2 26111 1928 214464 2854 48,5 62,8 62,1 691 432 204 –56816,0 28834 2126 235760 3199 46,3 62,1 61,3 765 498 213 –630

450 ¥ 250 8,0 27077 1669 225114 2019 69,7 78,9 78,6 579 270 175 –48810,0 33273 2047 276201 2520 67,1 78,4 78,0 712 352 206 –60312,5 40698 2497 336971 3143 64,0 77,7 77,2 872 460 237 –74214,2 45545 2790 376275 3564 61,8 77,2 76,6 977 537 254 –83416,0 50501 3088 416057 4005 59,6 76,7 75,9 1084 621 267 –929

500 ¥ 300 10,0 52437 2766 436004 2993 80,1 92,4 92,0 948 417 245 –82412,5 64365 3387 534347 3740 76,9 91,8 91,3 1164 548 284 –101714,2 72208 3794 598645 4246 74,7 91,4 90,8 1306 642 305 –114616,0 80278 4212 664389 4779 72,5 90,9 90,2 1452 745 322 –127920,0 97349 5090 801595 5953 67,6 89,7 88,7 1761 984 344 –1563

30



Tabelle 2. Torsions-Querschnittswerte von rechteckigen Hohlprofilen nach EN 10219-2:2006Table 2. Torsional cross-section values for hollow rectangular profiles according to EN 10219-2:2006

H ¥ B t I*T W*


40 ¥ 20 2,0 3,45 2,52 0,275 0,395 0,380 0,598 0,585 0,0904 0,0676 0,0182 –0,07552,5 4,05 2,96 0,313 0,477 0,315 0,571 0,554 0,106 0,086 0,015 –0,0893,0 4,54 3,32 0,337 0,546 0,252 0,541 0,518 0,119 0,104 0,009 –0,100

50 ¥ 30 2,0 9,76 5,08 0,799 0,600 0,638 0,895 0,882 0,175 0,104 0,029 –0,1562,5 11,7 6,08 0,948 0,744 0,572 0,874 0,856 0,209 0,138 0,025 –0,1893,0 13,5 6,98 1,07 0,879 0,509 0,849 0,826 0,240 0,171 0,017 –0,2194,0 16,5 8,47 1,24 1,12 0,390 0,789 0,753 0,290 0,235 –0,011 –0,267

60 ¥ 40 2,0 20,7 8,44 1,71 0,791 0,88 1,18 1,17 0,282 0,142 0,041 –0,2642,5 25,1 10,2 2,07 0,990 0,81 1,17 1,15 0,341 0,190 0,038 –0,3233,0 29,2 11,8 2,39 1,18 0,74 1,15 1,13 0,396 0,240 0,029 –0,3784,0 36,6 14,7 2,91 1,55 0,62 1,10 1,07 0,490 0,342 –0,006 –0,4775,0 42,7 17,1 3,26 1,87 0,50 1,04 0,99 0,566 0,440 –0,060 –0,556

70 ¥ 50 2,0 37,4 12,6 3,12 0,976 1,11 1,47 1,46 0,414 0,181 0,056 –0,3972,5 45,7 15,3 3,81 1,23 1,03 1,46 1,45 0,503 0,244 0,054 –0,4893,0 53,6 17,9 4,44 1,48 0,96 1,45 1,43 0,586 0,312 0,045 –0,5774,0 68,0 22,6 5,57 1,97 0,83 1,41 1,38 0,736 0,454 0,006 –0,7415,0 80,6 26,6 6,45 2,43 0,71 1,36 1,32 0,864 0,598 –0,059 –0,884

80 ¥ 40 2,0 30,9 11,4 10,2 3,27 2,07 2,56 2,54 0,808 0,477 0,252 –0,6642,5 37,6 13,8 12,3 4,06 1,93 2,53 2,50 0,984 0,623 0,282 –0,8123,0 43,8 16,1 14,3 4,84 1,79 2,49 2,45 1,15 0,77 0,30 –0,954,0 55,1 20,2 17,6 6,31 1,52 2,39 2,34 1,45 1,08 0,29 –1,215,0 64,8 23,7 20,0 7,63 1,26 2,28 2,21 1,70 1,38 0,24 –1,42

80 ¥ 60 2,0 61,2 17,6 5,12 1,16 1,34 1,76 1,75 0,569 0,221 0,072 –0,5572,5 75,0 21,5 6,28 1,46 1,26 1,75 1,74 0,694 0,301 0,073 –0,6893,0 88,3 25,2 7,39 1,76 1,18 1,75 1,73 0,812 0,388 0,066 –0,8174,0 113 32,0 9,42 2,37 1,03 1,73 1,70 1,03 0,57 0,03 –1,065,0 135 38,1 11,2 2,96 0,90 1,69 1,65 1,22 0,77 –0,05 –1,28

90 ¥ 50 2,0 53,3 16,4 17,7 4,06 2,60 3,14 3,12 1,14 0,59 0,31 –0,972,5 65,3 20,0 21,6 5,06 2,46 3,11 3,08 1,39 0,77 0,35 –1,193,0 76,6 23,4 25,2 6,06 2,32 3,07 3,04 1,63 0,97 0,37 –1,404,0 97,6 29,6 31,7 8,00 2,05 2,99 2,94 2,07 1,38 0,37 –1,805,0 116 35,1 37,0 9,82 1,79 2,90 2,82 2,46 1,79 0,31 –2,16

100 ¥ 40 2,5 50,5 17,5 37,4 9,11 3,16 4,04 4,01 1,93 1,34 0,79 –1,473,0 59,0 20,4 43,4 10,8 2,95 3,98 3,94 2,26 1,64 0,87 –1,724,0 74,4 25,7 53,7 14,1 2,52 3,84 3,78 2,87 2,26 0,98 –2,195,0 87,7 30,2 61,8 17,0 2,10 3,69 3,61 3,39 2,87 1,01 –2,60

100 ¥ 50 2,5 75,4 22,3 38,9 7,98 3,23 4,01 3,97 1,97 1,17 0,62 –1,623,0 88,5 26,1 45,5 9,53 3,06 3,96 3,92 2,32 1,45 0,68 –1,914,0 113 33,1 57,3 12,6 2,71 3,86 3,80 2,96 2,04 0,73 –2,465,0 135 39,4 67,1 15,4 2,38 3,74 3,66 3,53 2,64 0,71 –2,956,0 154 44,9 74,8 18,0 2,05 3,61 3,50 4,03 3,23 0,62 –3,386,3 158 45,8 71,6 18,2 1,44 3,40 3,23 3,97 3,55 0,11 –3,37

100 ¥ 60 2,5 103 27,1 34,2 6,03 2,97 3,68 3,65 1,85 0,92 0,42 –1,633,0 122 31,8 40,2 7,23 2,83 3,65 3,61 2,18 1,16 0,45 –1,934,0 156 40,7 51,2 9,60 2,55 3,58 3,53 2,79 1,67 0,46 –2,505,0 188 48,6 60,7 11,9 2,29 3,50 3,42 3,35 2,20 0,40 –3,036,0 216 55,8 68,6 14,1 2,04 3,40 3,30 3,84 2,74 0,27 –3,506,3 223 57,1 67,2 14,5 1,57 3,24 3,08 3,81 3,11 -0,22 –3,54

100 ¥ 80 2,5 166 36,7 14,0 1,91 1,69 2,34 2,33 1,16 0,42 0,12 –1,193,0 196 43,3 16,6 2,32 1,60 2,35 2,33 1,37 0,55 0,12 –1,424,0 254 55,7 21,6 3,15 1,43 2,35 2,33 1,75 0,83 0,09 –1,865,0 307 67,1 26,2 4,01 1,27 2,34 2,31 2,09 1,14 0,02 –2,296,0 357 77,6 30,3 4,87 1,13 2,31 2,27 2,40 1,45 –0,10 –2,686,3 371 79,9 30,9 5,26 0,88 2,27 2,19 2,38 1,70 –0,42 –2,78

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H ¥ B t I*T W*


120 ¥ 60 2,5 133 32,7 98,8 13,8 4,87 5,82 5,78 3,47 1,95 1,14 -2,843,0 156 38,5 116 16,5 4,66 5,77 5,72 4,09 2,42 1,28 –3,364,0 201 49,3 148 21,9 4,24 5,66 5,59 5,27 3,40 1,46 –4,355,0 242 59,2 176 27,1 3,83 5,53 5,44 6,35 4,43 1,53 –5,276,0 279 68,1 200 32,0 3,42 5,39 5,27 7,32 5,48 1,48 –6,116,3 289 69,9 198 33,0 2,67 5,18 4,99 7,35 6,15 0,73 –6,228,0 338 81,9 217 39,0 1,87 4,78 4,52 8,50 7,75 0,01 –7,22

120 ¥ 80 3,0 255 52,3 85,0 9,47 3,81 4,78 4,75 3,50 1,56 0,62 -3,224,0 331 67,5 110 12,7 3,52 4,74 4,69 4,52 2,27 0,66 –4,225,0 402 81,6 132 15,8 3,23 4,68 4,61 5,46 3,04 0,60 –5,166,0 468 94,7 153 19,0 2,97 4,60 4,52 6,33 3,84 0,46 –6,056,3 487 97,7 155 20,0 2,47 4,50 4,35 6,38 4,50 –0,18 –6,258,0 583 116 177 24,6 1,99 4,24 4,03 7,51 5,92 –1,00 –7,45

140 ¥ 80 4,0 411 79,4 306 29,1 5,82 7,40 7,33 8,24 4,52 1,95 –7,145,0 500 96,2 370 36,2 5,40 7,30 7,20 10,0 6,0 2,1 –8,76,0 583 112 427 43,2 4,99 7,18 7,06 11,7 7,5 2,0 –10,26,3 608 116 435 45,5 4,22 7,02 6,83 11,8 8,6 1,1 –10,68,0 730 138 502 55,9 3,44 6,67 6,40 14,1 11,3 0,1 –12,7

150 ¥ 100 4,0 661 108 344 24,7 5,86 7,46 7,40 9,06 4,13 1,56 –8,365,0 808 132 419 30,9 5,49 7,40 7,33 11,0 5,5 1,6 –10,36,0 948 154 489 37,1 5,14 7,33 7,23 12,9 7,0 1,5 –12,16,3 991 160 504 39,5 4,46 7,25 7,09 13,1 8,3 0,6 –12,78,0 1204 193 598 49,6 3,81 7,00 6,77 15,8 11,2 –0,5 –15,410,0 1422 227 677 60,0 3,10 6,63 6,29 18,3 14,5 –2,4 –18,212,0 1567 250 629 62,5 1,71 5,65 4,99 18,9 17,5 –7,3 –18,912,5 1600 255 622 63,0 1,53 5,49 4,77 19,1 17,9 –8,0 –19,1

160 ¥ 80 4,0 494 91 653 52,3 8,3 10,3 10,2 12,9 7,6 4,0 –10,65,0 601 111 789 65,0 7,7 10,1 10,0 15,7 10,0 4,5 –13,06,0 701 129 914 77,4 7,16 9,95 9,81 18,4 12,4 4,8 –15,26,3 731 133 933 81,4 6,11 9,75 9,52 18,8 14,1 3,5 –15,88,0 881 160 1086 100 5,00 9,31 9,00 22,5 18,5 2,6 –19,010,0 1027 187 1198 118 3,74 8,72 8,29 25,9 23,1 0,8 –22,012,0 1106 202 1046 116 1,01 7,30 6,53 25,8 25,6 –5,0 –22,212,5 1123 205 1022 116 0,63 7,06 6,25 25,9 25,8 –5,7 –22,3

180 ¥ 100 4,0 854 131 1132 64,9 10,4 12,6 12,5 18,2 9,4 5,0 –15,55,0 1044 160 1380 81,0 9,8 12,4 12,3 22,2 12,4 5,6 –19,06,0 1226 187 1612 96,9 9,3 12,3 12,1 26,1 15,5 6,0 –22,46,3 1282 194 1664 103 8,2 12,1 11,9 26,8 17,9 4,5 –23,48,0 1563 236 1985 128 7,1 11,8 11,4 32,4 23,9 3,5 –28,610,0 1855 278 2273 156 5,9 11,2 10,8 38,1 30,8 1,2 –33,812,0 2066 309 2218 168 3,24 9,92 9,10 40,2 37,5 –6,7 –36,212,5 2114 316 2216 170 2,90 9,70 8,83 40,8 38,6 -7,9 –36,8

200 ¥ 100 4,0 985 146 2041 102 13,7 16,2 16,1 25,8 14,3 8,5 –21,15,0 1206 178 2489 128 12,9 16,0 15,9 31,6 18,6 9,8 –25,96,0 1416 209 2910 153 12,2 15,8 15,7 37,1 23,2 10,8 –30,66,3 1482 217 3006 161 10,9 15,7 15,4 38,2 26,5 9,0 –31,98,0 1808 264 3598 202 9,4 15,2 14,8 46,4 35,1 8,5 –39,010,0 2150 313 4143 245 7,8 14,6 14,1 54,8 45,1 6,4 –46,312,0 2407 349 4131 267 4,3 13,1 12,2 58,5 54,9 –3,4 –50,112,5 2466 357 4144 272 3,9 12,8 11,9 59,6 56,6 –4,8 –51,1

200 ¥ 120 4,0 1345 177 1788 77,1 12,5 14,8 14,7 24,2 11,2 5,9 –21,15,0 1651 217 2190 96,4 11,9 14,7 14,6 29,6 14,8 6,7 –26,16,0 1946 255 2573 116 11,3 14,6 14,5 34,9 18,6 7,2 –30,96,3 2039 265 2673 123 10,2 14,5 14,3 35,9 21,7 5,6 –32,38,0 2505 324 3238 155 9,1 14,2 13,9 43,8 29,3 4,5 –39,910,0 3002 386 3789 191 7,8 13,7 13,3 52,1 38,4 1,9 –47,912,0 3411 436 3933 216 5,2 12,5 11,7 56,5 49,0 –8,1 –53,012,5 3505 448 3976 221 4,9 12,3 11,4 57,8 51,0 –9,6 –54,2

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H ¥ B t I*T W*


250 ¥ 150 5,0 3284 346 6820 188 19,5 23,1 23,0 59,0 27,3 14,5 –51,66,0 3884 408 8054 226 18,8 23,0 22,8 69,8 34,3 16,1 –61,36,3 4076 426 8411 240 17,3 23,0 22,7 72,2 39,8 13,8 –64,38,0 5047 525 10333 305 15,8 22,6 22,3 88,9 54,0 13,5 –80,010,0 6115 633 12352 379 14,2 22,2 21,7 107 72 11 –9712,0 7078 725 13593 445 10,7 21,0 20,1 120 95 –4 –11112,5 7303 748 13898 461 10,3 20,8 19,8 123 99 –6 –11516,0 8690 888 15242 548 7,3 19,0 17,6 143 127 –26 –134

260 ¥ 180 5,0 4694 436 6259 140 17,8 21,4 21,3 57,8 22,1 10,4 –53,56,3 5843 538 7778 180 15,9 21,5 21,3 70,6 33,4 9,4 –67,18,0 7263 666 9635 230 14,6 21,3 21,0 87,0 46,1 8,5 –84,010,0 8844 807 11645 289 13,2 21,0 20,6 105 62 5 –10312,0 10317 931 13149 348 10,4 20,3 19,5 118 84 –9 –12012,5 10663 962 13504 361 10,0 20,1 19,3 122 89 –12 –12416,0 12864 1155 15354 442 7,8 18,7 17,6 143 117 –32 –148

300 ¥ 100 6,0 2402 318 19805 595 28,3 35,4 35,2 120 87 60 –866,3 2514 331 20536 627 25,4 35,0 34,7 124 97 57 –908,0 3077 405 24806 782 22,2 34,2 33,8 152 126 65 –11010,0 3675 484 29006 951 18,5 33,0 32,5 182 159 71 –13212,0 4167 547 30600 1067 10,3 30,7 29,8 201 193 56 –14812,5 4280 562 31037 1094 9,2 30,3 29,4 206 199 55 –15216,0 4916 652 31896 1216 1,5 27,2 25,9 232 232 39 –172

300 ¥ 150 6,0 4987 493 23247 518 30,7 36,4 36,2 130 72 43 –1076,3 5233 514 24271 549 28,6 36,3 35,9 135 82 40 –1128,0 6487 635 29865 695 26,3 35,8 35,3 168 110 44 –13910,0 7872 768 35806 861 23,7 35,0 34,4 203 143 46 –16912,0 9142 884 39843 1014 18,2 33,4 32,3 229 187 27 –19512,5 9439 913 40837 1050 17,5 33,1 32,0 236 195 24 –20116,0 11302 1091 45820 1263 12,5 30,8 29,2 278 251 0 –238

300 ¥ 200 6,0 8113 667 16887 295 25,0 30,0 29,8 111 46 22 –1026,3 8522 697 17712 314 23,4 30,1 29,9 116 53 19 –1078,0 10622 865 22013 401 21,8 29,9 29,6 143 73 20 –13410,0 12979 1053 26743 503 20,0 29,6 29,1 174 99 17 –16512,0 15223 1222 30615 608 16,3 28,8 28,0 197 135 -2 –19312,5 15753 1264 31537 632 15,8 28,6 27,7 204 142 -5 –20016,0 19193 1531 36831 786 12,8 27,2 25,8 244 190 -32 –242

350 ¥ 250 6,0 14552 986 30347 362 31,0 36,9 36,7 162 57 28 –1526,3 15289 1032 31900 386 29,3 37,1 36,9 168 68 25 –1608,0 19131 1286 39903 494 27,6 37,1 36,8 209 93 27 –20210,0 23490 1573 48912 622 25,6 37,0 36,6 255 127 25 –24912,0 27733 1839 57170 762 21,5 36,6 35,9 292 177 3 –29612,5 28746 1904 59123 794 21,0 36,5 35,7 302 187 0 –30716,0 35461 2335 71311 1012 17,8 35,3 34,1 366 256 –32 –379

400 ¥ 200 8,0 15815 1166 130557 1653 51,5 64,7 64,1 409 245 124 –33712,5 23576 1718 188608 2568 39,2 61,9 60,6 598 444 112 –50316,0 28892 2096 223866 3205 32,3 59,4 57,5 725 591 84 –615

400 ¥ 300 8,0 31173 1787 65274 585 33,2 44,3 44,0 287 115 35 –28210,0 38396 2193 80465 738 31,1 44,3 43,9 351 156 34 –35012,0 45508 2576 95244 912 26,6 44,4 43,7 404 222 12 –41912,5 47216 2670 98737 952 26,1 44,3 43,6 418 235 8 –43516,0 58687 3298 121448 1230 22,5 43,5 42,5 510 327 –27 –544

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Literatur

[1] EN 10210-2:2006: Warmgefertigte Hohlprofile für den Stahl-bau aus unlegierten Baustählen und aus Feinkornbaustählen –Teil 2: Grenzabmaße, Masse und statische Werte, 2006.

[2] EN 10219-2:2006: Kaltgefertigte geschweißte Hohlprofile fürden Stahlbau aus unlegierten Baustählen und aus Feinkorn-baustählen – Teil 2: Grenzabmaße, Masse und statische Werte,2006.

[3] Rubin, H.: Wölbkrafttorsion von Durchlaufträgern mitkonstantem Querschnitt unter Berücksichtigung sekundärerSchubverformungen. Stahlbau 74 (2005), H. 11, S. 826–842.

Autor dieses Beitrages:O. Univ.-Prof. Dr.-Ing. Helmut Rubin, Institut für Baustatik, Technische Universität Wien, Karlsplatz 13, A –1040 Wien

Tabelle 3. Querschnittswerte, Schnittgrößen und Spannun-gen für Systeme gemäß Bild 6 mit Profil 300 ¥ 200 ¥ 16 und250 ¥ 250 ¥ 16 (kaltgefertigt)Table 3. Cross-section values, stress resultants and stressesfor systems of fig. 6 with profile 300 ¥ 200 ¥ 16 and 250 ¥ 250 ¥ 16 (cold formed)

Rechteckprofil Quadratprofil300 ¥ 200 ¥ 16 250 ¥ 250 ¥ 16

Querschnittswerte nach Tabelle 2 gerechnet

I*T 19193 cm4 21117 cm4

W*T 1531 cm3 1611 cm3

Iw 36831 cm6 1224 cm6

ITs 786 cm4 116 cm4

max w 27,2 cm2 4,79 cm2

max S 244 cm4 26,8 cm4

Hilfswerte

0,0394 0,00547

0,113 m 0,0525 m

Schnittgrößen an der Stelle x = 0 für MT = 100 kNm

MTp = (1 – k)MT 96,06 kNm 99,45 kNm

MTs = kMT 3,94 kNm 0,55 kNm

Mw = k�0MT 0,443 kNm2 0,0287 kNm2

Spannungen an der Stelle x = 0

6,27 kN/cm2 6,17 kN/cm2

1,63 kN/cm2 0,75 kN/cm2

3,27 kN/cm2 1,12 kN/cm2

Schubspannung im Bereich ohne Wölbkrafttorsion

6,53 kN/cm2 6,21 kN/cm2

k =+

11 I IT Ts

* /

l 02 6= =EI

GII

IT T

w w

k k* *

,

t pTp

T

M

W=

*

max maxtw

sTsM

I tS=

max maxs ww

w= M

I

t0 = M

WT

T*

Bild 6. Zwei äquivalente Systeme mit Schnittgrößen MT, Mwund MTsFig. 6. Two aquivalent systems with stress resultants MT,Mw and MTs

Documents

Torsions-Querschnittswerte für rechteckige Hohlprofile nach EN 10210-2:2006 und EN 10219-2:2006