I

402 6. Optik

6. Optik

6.1. Einführung Die Optik ist die Lehre vom Licht und befaßt sich mit den Erscheinungen, die durch unser Sinnesorgan Auge wahrgenommen werden. Die Gliederung der Optik in ihre historisch gewachsenen Teilgebiete ist in Bild 6-1 sche­matisch dargestel1t Die Auffassung über das Wesen des Lichtes änderte sich mehrmals im Lauf der Zeit. Von Newton wurde 1672 eine Korpuskulartheorie entwickelt. Ihr zufolge sendet eine LichtquelJe kleine Korpuskeln aus, die sich mit großer Geschwindigkeit geradlinig fortbewegen, bis sie entweder direkt oder nach der Reflexion an Gegenständen ins Auge gelangen und dort Sinnesreize auslösen. Mit seiner Korpuskular­theorie war Newton in der Lage, die Reflexion und Brechung von Licht zu erklären. Die Phänomene der Beugung und Interferenz des Lichtes konnt~n nur mit der zuerst von Huygens (1678) entwickelten Wellentheorie des Lichtes erklärt werden die später durch die Arbeiten von Young (1802) erhärtet wur­de. War man zunächst noch der Meinung, daß es sich um elastische Longitudinalwellen in einem das Weltall erfüllenden "Äther" han­delte, so wurde nach der Entdeckung der Polarisation des Lichtes durch Malüs (1808) von Fresnel (1815) der Schluß gezogen, daß das Licht eine transversale Welle darstellt.

Die alur der Lichtwellen al elektromagne­tische Trans ,ersalwellen wurde chließhch von Maxwell (1865) erkannt. Die Maxwellschen Gleichungen haben elektromagneti che Wellen als Lö ung die sich mit Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ausbreiten. E gelang, alle Ge­setze der Optik aus den Grundgleichungen der Elektrodynamik herzuleiten, so daß die Optik zu einem Teilgebiet der Elektrodyna­mik wurde. Bild 6-2 zeigt die Einordnung des sichtbaren Lichtes in das Gesamtspektrum der elektro­magnetischen Wellen. Da ichtbare Spektrum liegt im WellenJängenbereich J. = 380 nm bis ). = 780 nm. Die Wellenlänge A. ist mit der Frequenz f und der Lichtgeschwindigkeitc durch c = A.jverknüpft (Ab chn. 5.2.1). Mit der Vakuumlichtgeschwindigkeit Co = 299 792,458 km/s ergeben sich Frequenzen des sichtbaren Lichts im Bereich j= 3,84' 10 14 Hz bis 7,89' 10 14 Hz. Unser Auge ist demnach in einem Frequenzintervall von einer Oktave empfmdlich. Nachdem Ende des 19. Jahrhunderts die Wel­lentheorie des Lichtes etabliert war wurden um die Jahrhundertwende Experimente be­kannt, die mit der Wellentheorie nicht inter­pretierbar waren. Diese Schwierigkeiten tre­ten immer dann auf, wenn Licht und Materie in Wechselwirkung treten, z. B. bei der Ab­sorption und Emission von Licht. Einen Aus­weg fand Einstein (1905) mit der Einführung seiner Lichtquantenhypothese. Danach soll Licht aus einzelnen Lichtquanten bestehen

Physikalische Optik

Quantenelektrodynamik

I I

klassische Optik Quantenoptik

Welleneigenschatten Korpuskulareigenschaften

I I I

geometrische Optik Wellenoptik

Gegenstände> Wellenlänge Gegenstände - Wellenlänge

I I LichtS1rahlen elektromagnetische Dualismus

Transversalwellen I Welle - Teilchen Lichtquanten

I I I I I I I I I

I I I l,ntetferenz I I I Reflexion Brechung Beugung l Polarisation I l Emission 1 I Spektrallinien J Absorption (Compton) Raman

Blld 6-1. Strukturblld physlkalrsche Opak.

I Streuung

A. in m fin Hz

r-- 104

~ 104

- 105

- 103 Langwellen

- 106 Mittelwellen - 102

- 107 Kurzwellen - 10 1

- 108 Ultrakurzwellen - 100

- 109

- 10-1

f--- 1010

- 10-2 Mikro wellen r-- 1011

- 10-3

f-- 1012

- 10-4

r-- 1013

- 10- 5 Infrarot f-- 1014

~ - 10-6

sichtbaJes Licht t-- 1015

t - 10-7

f-- 1016 Ultraviolett - 10-8

t-- 1017 -- 10-9 Röntgenstrahlu n9

f-- 1018

- 10-10

~trahlung f-- 10 19

r-- 10- 11

f-- 1020

f-- 10-12

Bild 6-2. Wellenlängen 1 und Frequenzen/im Spek­trum der elektromagnetischen Wellen.

die Energie in ganzen Paketen d. h. quanten­haft mit Materie austauschen. Je nach Experi­ment wurde deshalb Licht entweder als Teil­chenstrom oder al elektromagneti che Welle interpretiert. Die e Zweigleisigkeit der Be-chreibung wurde mit dem Begriff Welle-Teil­

chen-Dualismus belegt. Er t in der Quanten­optik bzw. Quantenelektrodynamik wurde eine theoretische Beschreibung gefunden, die bei­de Aspekte vereinigt.

6.2. Geometrische Optik 6.2.1. Licbtstrahlen Die geometrische Optik oder Strahlenoptik fußt auf der Prämis e: Lichtstrahlen breiten ich im homogenen Medium geradlinig au .

Der Begriff der Strahlen stammt au der

6.2. Geometrische Optik 403

Korpuskulartheorie wo der Weg einer Kor­puskel durch einen geraden Strahl be chrie­ben wird. Auch in der Wellentheorie hat der Lichtstrahl eine sinnvolle Bedeutung' er ent-pricht der Normalen auf einer Wellenfläche.

Bild 6-3 a zeigt eine punktförmige Lichtquelle mit konzentrischen kugelförmigen Wellenflä­ehen. Die eingezeichneten Strahlen die von der Lichtquelle ausgehen, stehen senkrecht auf den Wellen flächen. Die Ge amtheit aBer Strahlen die von der Blende begrenzt wer­den, nennt man ein Strahlenbündel. Wenn die Strahlen - wie in diesem Fall - von einem Punkt au gehen bzw. ich in einem Punkt chneiden, ist das Bündel homozentrisch.

Bei ebenen Wellen die z. B. von Lasern au -gesandt werden oder in großer Entfernung von Lichtquellen vorliegen, sind die Strahlen parallel (Bild 6-3 b). Der Pfeilrichtung an den Strahlen kommt keine besondere Bedeutung zu, denn der Lichtweg ist grund ätzlich um­kehrbar. Lichtstrahlen die sich durchkreuzen, beeinf1u en sich gegen eitig nicht. Ein trahl verläuft al 0 immer 0, als ob keine anderen Strahlen vorhanden wären. Die geometri che Optik ist brauchbar 0-

lange die Dimension der Gegenstände Lin-

a)

b)

..

Bild 6-3. Strahlen- und Wellenj1ächen: a) Homozen­,risches Strahlenbündel und Kugelwellen b) paralle­les Strahlenbündel und ebene Wellen.

404 6. Optik

en, Spiegel, Blenden u w. groß sind gegen­über der Wellenlänge de Lichtes. Sind dage­gen die Abme ungen in der Größenordnung der Wellenlänge, dann werden Beugungsef­fekte wirk am, die mit der Wellenoptik er­klärt werden müssen (Bild 6-1).

6.2.2. Reflexion des Lichtes 6.2.2.1. Reflexion an ebenen Flächen

Fällt ein Lichtstrahl nach Bild 6-4 auf eine piegelnde Fläche so wird der Strahl reflek­

tiert. Die ormale zur Fläche durch den Auf­treffpunkt wird als Einfallslot bezeichnet. Es gilt das ReJlexionsgesetz:

Einfallender Strahl reflektierter Strahl und Einfallslot liegen in einer Ebene; der Ein­fallswinkel e und der Reflexionswinkel er sind gleich: er =-e

Lot

Spiegel

Bild 6-4. ReJ1exionsgesetz: Der Einfallswinkel E ist gleich dem Reflexionswinkel Er'

Das Reflexion gesetz da von Euklid 300 v. ehr. gefunden wurde i t theoretisch leicht erklärbar. In Newtons Korpuskulartheorie folgt diese 'Gesetzmäßigkeit aus dem elasti­schen StoB eines leichten Teilchens an einer chweren Wand. Im Wellenbild ergibt sich

da Reflexionsgesetz zwanglos aus der Kon­truktion Huygensscher Elementarwellen an

der Auftreffstelle (Ab chn. 5.2.4.3).

Beispiel

6.2-1: Zwei ebene Spiegel bilden nach Bild 6-5 einen Winkelspiegel mit dem Öffnungswinkel y. Ein

--------~~----------~-c A

Bild 6-5. Strahlengang im Winkelspiegel (zu Bei­spiel 6.2-1).

Lichtstrahl der enkrecht zur gemeinsamen Kante verläuft, wird durch beide Spiegel reflektiert. Wie groß ist der Ablenkungswinkel b? Was ergibt sich speziell für y = 45 ° und y = 90 ° ?

Lö ung:

Die Winkelsumme im Dreieck ABC beträgt

(90° - a)+ (90° - ß) + y= 180°.

Im Dreieck ABD gilt

2a+2ß+(1800-«5)= 180°.

(l)

(2)

Au (l) und (2) folgt b = 2 y. Für y = 45 ° ist der Ablenkwinkel fJ = 90 0. Ein solcher Winkelspiegel wird in der Geodäsie benutzt, um senkrechte Rich­tungen zu bestimmen. Für y = 90 ° wird der Ab1en­kungswinkel 15=180°, d.h., der einfallende und der reflektierte Strahl sind parallel.

Aus einem 90°-Winkel piegel wird ein Tripel­spiegel, wenn man noch eine dritte spiegelnde Fläche senkrecht zu den beiden vorhandenen aufbringt. (Die Flächen toBen aneinander wie bei einer Würfelecke. Ein Lichtstrahl der in einen Tripelspiegel fällt, wird stets so reflektiert, daß der reflektierte Strahl parallel zum einfallenden verläuft. Außer als Rück­strahler an Fahrzeugen wird der Tripelspiegel bei der optischen Entfernungsmes ung einge-etzt. Dabei wird ein Lichtpuls von einem

Sender ausgestrahlt an einem Tripelspiegel reflektiert und mit einem Detektor, der un­mittelbar beim Sender steht, nachgewiesen. Die Entfernung zwi chen Sender und Tripel-piegel ergibt sich aus der Laufzeit des Licht­

pulses und der Lichtgeschwindigkeit.

BUdentstehung beim Spiegel

Befindet sich ein Gegenstand vor einem Spiegel 0 kann ein Beobachter, der in den Spiegel blickt ein Bild des Gegenstandes sehen. In Bild 6-6 fällt das Licht einer punkt­förmigen Lichtquelle L auf einen ebenen Spiegel. Jeder Lichtstrahl wird nach dem Reflexionsgesetz reflektiert. Die ge trlchelten Verlängerungen der Strahlen treffen sich hin­ter dem Spiegel im Punkt L'. Für einen Beob­achter cheinen alle Strahlen vom Punkt L' herzukommen. L' ist daher das Bild der Lichtquelle L.

Gegen tandspunkt L und Bildpunkt L' lie­gen auf einer Normalen zur Spiegelfläche und haben den gleichen Abstand vom Spiegel.

Auge

B Ud 6-6. SpiegeibiJd einer punktformigen Lichtquel­le L in einem Spiegel.

Es handelt sich in die em Fall um ein virtuel­les oder scheinbare Bild weil ich nicht die Strahlen selbst sondern nur ihre Verlängerun­gen chneiden. Ein virtuelles Bild kann im Gegensatz zu einem reellen Bild bei dem sich die Strahlen wirkJich schneiden, nicht auf einem Schirm sichtbar gemacht werden.

Zur Übung

Ü 6.2-1: Leiten Sie das Reflexionsgesetz her mit Hilfe der Huygensschen Elementarwellen (Abs~hn. 5.2.4.3). Hinweis: Wenn eine ebene Welle auf emen Spiegel fal1t, werden an den Schnittpunkten der Wellenflächen mit der Spiegelebene Kugelwellen ausgesandt deren Einhüllende die neue Wellenfront bildet. Ü 6.2-2: Ein Winkelspiegel hat den ÖIT~ng wi':lkel Y= 72°, Konstruieren Sie sämtliche BIlder el~er

punktfOrmigen Lichtquelle, die innerhalb des SpIe­gel teht Wie viele Bilder ergeben sich?

6.2. Geometrische Optik. 405

6.2.2.2. Reflexion an gekrümmten Flächen

Wenn ein Lichtstrahl auf eine gekrümmte piegelnde Fläche fällt, so ist nach dem Refle­

xionsgesetz der Einfallswinkel gleich dem Au fall winkel. Die gekrümmte Fläche wird im Auf treffpunkt des Lichtstrahls durch ihre Tangentialebene ersetzt, das Einfallslot ist die Normale durch den Beruhrpunkt.

älJt Licht gemäß BiJd 6-7 parallel zur opti­schen Achse (Rotation symmetrieachse) auf einen Parabolspiegel, 0 schneiden sich alle Strahlen in einem Punkt, dem Brennpunkt F. Sitzt dagegen im Brennpunkt eine punktför­mige Lichtquelle. 0 verlassen wegen der Um­kehrbarkeit des Strahlengangs alle Strahlen als paralleles Lichtbündel den Parabolspiegel. Parabolspiegel werden bei Scheinwerfern be­nutzt, um eine möglichst gute Bündelung des Lichtes zu erhalten. Selbst bei geometrisch ideaJer Paraboloid form sind bei einem Schein­werfer nicht alle Strahlen paraBel weil die Lichtquelle (Lampenwendel) nicht punktför­mlg i t, ondem eine endliche Au dehnung hat.

Bild 6-7. Strahlengang bei einem Parabolspiegel mit Brennpunkt F.

Für die Praxis sind sphärische Hohl- oder Konkav piegel von größerer Bedeutung al die Parabol piegel. Ein phäri cher Hohl piegel i t eine innen er piegelte KugeJkaloue. Fällt en prechend Bild 6- a ein Lichtbü, d 1 par­allel zu opti chen Ach e C auf d n Hohl-piegel, 0 können ich infolge der anderen

Krümmung erhältni e nicht alle trahten in einem Punkt treffen wie beim Parabol piegel.

406 6. Optik

Die Reflexion eines achsenparal1el einfallen­den Strahl erkennt man in der oberen Hälfte von Bild 6-8 a. Das Einfallslot ist die Verbin­dung zwi chen Au ftre ffp unkt A und Kreis­mittelpunkt C. In der unteren Hälfte von Bild 6- a fällt ein achsenparallele Lichtbündel auf den Spiegel. Die Einhüllende aller reflek­tierten Strahlen ist eine geschlos ene Kurve die Katakaustik. In Bild 6-8 b ist das Photo einer Katakaustik wiedergegeben. Hierbei wurde ein innen verspiegelter Ring mit paral­lelem Licht beleuchtet.

Bild 6.8. Katakaustik beim Hohlspiegel: a) Entste­hung b) Photographie.

Bei der Betrachtung von Bild 6-8 a faUt auf daß diejenigen Strahlen die nahe der opti­schen Achse verlaufen, in einem Punkt F' ge­sammelt werden. Diese achsennahen Strahlen werden als Paraxialstrahlen bezeichnet Die Reflexion eines Strahls der parallel zur opti­schen Achse es auf einen Hohlspiegel mit dem Krümmung radius r fällt, j t noch eID­mal in Bild 6-9 au führlich dargestellt

c s

~--f'---H

~-----r------+~

Bild 6-9. Reflexion eines paraxialen Strahis parallel zur optischen Achse es am HohlspiegeL.

Der Abstand f' de Brennpunktes F vom Scheitel S beträgtf' = r - CE Die Strecke CF im gleichschenk­ligen Dreieck CFA ist CF = r/2 cos c. Damit ergibt sich für die Brennweite f' des Hohlspiegels f' = r (l - 1/2 cos c).

Bei paraxialen Strahlen ist der Winkel e sehr klein und cos e ~ I. Im Rahmen dieser Vereinfachung gilt - unabhängig vom Abstand, den der Strahl von der optischen Achse hat -

r /' =- .

2

Bildeotstebung beim Hohlspiegel

(6-1)

In Bild 6-10 befindet sich ein Objekt 0 auf der optischen Achse es. Der Lichtpunkt sen­det in alle Raumrichtungen Lichtstrahlen aus. Diejenigen Strahlen, die auf den Hohlspiegel treffen, werden dort reflektiert und vereinigen sich alle wieder im Punkt 0'. Diesen Punkt 0' bezeichnet man als Bild des Gegenstandes O.

Um. die Lage des Bildpunktes zu finden, genügt es zweI au gewählte Strahlen, die von 0 ausgehen, zu verfolgen. Der Schnittpunkt dieser beiden Strahlen ist der Bildpunkt Ein solcher Strahl verläuft in Bil~ 6-10 auf der optischen Achse. Er wird am Scheitel S reflektiert und läuft auf der optischen

6.2. Geometrische Optik. 407

y

p

s y -~----~-=~~--~~---------+--

1----- f'--.,. t-----8'-----4 ...

~--------r-----_4~

1-----------8-----------~

Bild 6-10. Abbildung eines Punktes 0 auf der opti­schen Achse es eines Hohlspiegels (r < 0).

Achse wieder zurück. Der zweite Strahl wird am Punkt A reflektiert und schneidet die optische Achse in 0'. Der Zusammenhang zwischen der Gegenslandsweile a und der Bildweite a' ergibt sich aus einer kleinen Rechnung: Für die beiden Dreiecke OCA und CO'A gilt nach dem Sinussatz

sin E sin e OC CO' ---------= --= --=--sin(180° - '1') sm rp OA O'A

Dabei kann geschrieben werden

OC=a-r=a-2J' und

OC' = r - a' = 2f' -a'.

Für paraxiale Strahlen gilt näherungsweise OA ~ a und 0' A ~ a'. Damit ergibt sich

a-2f' 2J'-a'

a a'

Nach kurzer Umformung erhält man die Ab­bildungsgleichung des Hohlspiegels:

1 1 1 -+-=­a a' I'

(6-2) :

Liegt ein Gegenstandspunkt P nicht auf der optischen Achse, so liegt auch sein Bildpunkt P' außerhalb. Allerdings gilt für den Zusam­menhang von Gegenstandsweite a und Bild­weite a' auch in diesem Fall die Abbildungs­gleichung (6-2), fall nur paraxiale Strahlen an der Abbildung beteiligt sind. Die Lage des Bildpunktes läßt sich nach Bild 6-11 ehr ein­fach zeichnerisch konstruieren. Ein von P aus­gehender Strahl, der parallel zur opti chen Ach e verläuft, geht nach der Reflexion durch den Brennpunkt F'. Ein zweiter Strahl der ,:,on P aus durch .F' geht wird nach er RefleXIon

z

Bild 6-11. Abbildung eines ausgedehnten Gegenstan­des durch einen Hohlspiegel mit Paraxialslrahlen.

achsenparalleJ. Am chnittpunkt der beiden reflektierten Strahlen liegt der Bildpunkt P'. Der Zusammenhang zwischen Gegenstands­größe y und Bi/dgröße y' ist anhand von Bild 6-11 zu erkennen. Im z, y-Koordinatensystem erhalten alle Größen ein Vorzeichen. Die posi­tive y-Richtung wei t nach oben die positive z-Richtung nach rechts. (Weitere Hinwei e auf die in der technischen Optik übliche Vorzei­chenkonvention s. Abschn. 6.2.3.3.) In den Dreiecken ABF und FO'P' gilt näherungsweise für paraxiale Strahlen

- y' y tan a= =-

a' -I' f' Mit Hilfe der Abbildungsgleichung (6-2) folgt unmittelbar für den Abbildungsmaßstab oder die Lareralvergrößerung

(6-3) I y' a' ß'=-=---

y a

Durch Umformung von GI. (6-2 ergibt ich die Beziehung

La' = al' .

a- I' (6-4)

Setzt man GI. (6-4) in (6-3) em 0 folgt für den Abbildung maß tab

ß'= f' I' - a

6-5 )

E ergeben sich für I a I > 1/' I reelle umge­kehrte Bilder. Für I a I < If' I gilt a' > O ~ dies

408 6. Optik

bedeutet daß das Bild rechts hinter dem Spie­gel liegt. Das Bild ist virtuell, aufrecht und stets größer als der Gegenstand.

Beispiel

6.2-2: Vor einem Hohlspiegel mitf' = - 5 cm steht im Abstand a = - 2,5 cm ein y = I crn großer Gegen­stand. Wo liegt das Bild, und wie groß ist es?

Lö ung:

ach GI. (6-4 ist die Bildweite

, af' (-2,5' (- 5) a = -- = cm=5cm

a-f' -2,5 + 5 .

Der Abbildung maßstab ist

, y' a' Sem p =-=--= =2. Y a 25cm

Al 0 ist die BiJdgröße y' = 2 cm; das Bild steht auf­recht hinter dem Spiegel, es ist virtuelL - Eine zeichnerische Lösung ist in Bild 6-12 wiedergege­ben. Bei genauem Abme en stellt man fest, daß das zeichneri ehe Ergebni vom rechneri chen etwas ab­weicht Dies liegt an den rechneri chen Vereinfa­chungen für paraxiale Strahlen. Die Abbildungs­gleichung gilt um 0 b er je kleiner die Gegen-tandsgröße y im Vergleich zur Brennweite fist.

P' ----------,.\--- - - --- :::::; ,.,.----.-------~:::..,..---::::"", -- y'

0 '

I-----f'---.,...---

Bild 6-12. Abbildung eines Gegenstandes innerhalb der Brennweite beim Hohlspiegel (zu Beispiel 6.2-2).

Beim phäri chen Wölb- oder Konvexspiegel i t die Außen eite einer Kugelkalotte verspie­gelt Die für den Hohl piegel abgeleiteten Gleichungen (6-2) bis (6-5 gelten unverän­dert auch für den Wölbspiegel lediglich die Brennweite ändert das Vorzeichen:

r 1'=2' mit r> O. (6-6)

Die bedeutet daß der Brennpunkt auf der dem Gegen tand abgewandten Seite des Spie­gel liegt. Da Bild i t beim Wölbspiegel immer vjrtuell aufrecht und verkJeinert Der Wölb piegel wird gern al Rück piegel bei

Kraftfahrzeugen benutzt. r gibt zwar ein erkleinerte Bild der Umwelt wieder erzeugt

aber ein groß Gesichtsfeld.

Beispiel

6.2-3: Vor einem Konvexspiegel mit der Brenn­weite f' = 5 cm teht im Abstand a = - 10 cm ein y = 2 cm großer Gegen tand. Wo liegt da Bild, und wie groß ist es?

Lösung:

ach GI. 6-4) i l die Bildweite

af' -10' 5 a' = = cm = 3 33 cm

a-f' -15 ' .

Der Abbildung maßstab beträgt

y' d 3,33 P' = - = - - = - = 0,333.

y a 10

Also ist die Bildgröße y' = 0,666 cm. Eine zeichne­. Ti ehe Lösung zeigt Bild 6-13.

y

o

~--------a--------~~---

Bild 6-13. Bildkonstruktion beim Wölbspiegel (zu Beispiel 6.2-3).

Zur Vbung

Ü 6.2-3: Auf einen Hohl- bzw. Wölbspiegel gege­bener Brennweite feHlt schief zur opti ehen Achse ein paraxialer Strahl. Konstruieren Sie einen Weg nach der Reflexion.

Ü 6.2-4: Konstruieren Sie den Bildpunkt eines par­allelen Lichtbündels, das chief zur opti chen Ach e auf einen Hohl- bzw. Wölbspiegel gegebener Brenn­weite fäUl.

Ü 6.2-5: Auf der optischen Achse eine Hohlspie­gels befindet sich im Abstand a = 5 f' (t 1') vom Scheitel eine punktförmige Lichtquelle. Welchen Ab tand I hat das Bild von der Lichtquelle?

Ü 6.2-6: Der Mond erscheint von der Erde aus unter einem Winkel von 31'. Wie groß ist der Durchmes-er eine Bilde, da vom 200-Zo11-Spiegel der Mt.­

Palomar-Sternwarte (Kalifomien) entworfen wird? Wo entsteht das Bild? Die Brennweite des Spiegel beträgt f' = - l6 m.

Ü 6.2-7: Bezeichnet man beim Hohlspiegel den Ab­stand des Gegenstande om Brennpunkt mit z und den de Bildes mit z' so gilt stet z z' = /,2. Bewei­sen Sie die e Abbildung. gleichung nach Newton.

6.2.3. Brechung des Lichtes

6.2.3.1. Brechung an ebenen Grenzflächen

Fällt ein Lichtstrahl chräg auf eine Grenz­fläche zwj chen zwei verschiedenen Werk tof­fen, 0 wird die Richtung de Strahls an der Grenzfläche geändert der Strahl wird gebro­chen. Bild 6-14 zeigt eine Prinzipskizze dieses Vorgang owie ein Photo der Lichtbrechung eine La erstrahls an der Grenzfläche Luft -Plexigla. Zunächst gibt e an jeder Grenz­fläche auch einen mehr oder weniger inten­siven reflektierten Strahl, wobei nach dem Reflexionsgesetz Einfall winkel e und Refle-

a)

/ /

/

/ /

/

;'

Bild 6-14. Brechung eines LichtstrahIs an einer ebe­nen Grenzfläche. a) Prin::ipskiz::e, b) Brechung an der Grenzj7iiche Luft - Plexiglas.

6.2. Geometrische Optik 409

xionswinkel er gleich ind. Der gebrochene Strahl liegt in einer Ebene mit den beiden anderen Strahlen und dem Lot auf der Grenz­fläche. Der Breehungswinkel el ist kleiner al der infall winkel e, wenn die Brechung om opti eh dünneren ins optisch dichtere Medium erfolgt. ach dem Satz von der Umkehrbar­~.eit des Lichtweg erfolgt die Brechung beim Ubergang vom opti ch dichteren in opti ch dünnere Medium 0 daß der Strahl om Lot \ eg gebrochen wird. Der Zu ammenhang zwi chen Einfall winkel e und Brechung win­kel e' wurde von dem holländi chen Mathe-matiker Sne/lius W. S ELL VO RAY 1591 bi 1626) im Jahr 1620 gefunden. ach Sne/Uus i t da Verhältnis zwi chen dem Sinu de Ei.nfall winkel e und dem inu de Brechungswinkel c' eine Konstante, die von der Natur der beiden Stoffe abhängt:

m e . = kon tant. m e'

(6-7)

Eine Erklärung de Brechung gesetze mit Hilfe on ewtons Korpuskulartheorie verlangt, daß die Kor­

puskeln, wenn ie z. B. on Luft in Gla eindringen eine Geschwindigkeits teigerung erfahren da nur dann die Brechung zum Lot hin erfolgt. Die Kor­pu kularthe<>rie kam päte tens dann zu all, a) man gelernt hatte Lichtge chwindigkeiten zu me -en. Es ergab ich dabei daß die Lichtg chwin­

digkeit in Materie tet kleiner ist aJ die Lichlge­chwindigkeit Co = 299 729,458 km/ im Vakuum; ie i t in Glas kleiner al in LufL

Die Brechung de ichte an Grenzflächen i 1

Z\ anglo erklärbar mit der Wellentheorie on Huygel1 . Bild 6-15 zeigt eine ebene Welle die auf eine Grenzfläche zuläuft. Die Pha enge-chwlndigkeit im oberen Medium beträgt e,

im unteren c' mit c' < e. Die Chnitlpunkte der ebenen Wellenflächen mit der Grenz­fläche ind Zentren Huygensscher Elementar­wellen, deren Einhüllende die neue WeIlen­front und damit die neue Laufrichtung ergibt Rech ind die we entliehen Punkte und

trecken ohne die Wel1ent1ächen noch einmal gezeichnet. Trifft eine Wellenfront im Pun t C auf die Grenzfläche. 0 ergeht noch die Zett t = ABIe, bi auch da rechte nde der \ ellenfront am Punkt B die Grenzfläche trifft. Inz\ i ehen hat die Kugeh eHe, die \'on

410 6. Optik

Bild ~15. Brechung einer ebenen Welle an einer Grenzfläche.

C ausging den Weg CD = c' t zurückgelegt. Für die Dreiecke ABC und BCD gilt

AB tc sine=-=- und

CB CB

CD c' t . I Sine =--=-. CB CB

Damit ergibt sich

SInB c --=-sin e' c'

(6-8)

Das Verhältnis der Sinus-Werte von Ein­falls- und Brechungswinkel ist gleich dem Verhältnis der Lichtgeschwindigkeiten In

den benachbarten Gebieten.

Der Quotient zwischen der Lichtgeschwindig­keit Co im Vakuum und der Lichtgeschwin­digkeit c in Materie wird üblicherweise als Brechzahl oder Brechungsindex n des betref­fenden Materials bezeichnet:

Co n=-.

c (6-9) I

Mit Hilfe des Brechungsindex nimmt GI. (6-8) die Form des Snelliusschen Brechungsgesetzes an:

sin e n' . = - = konstant.

SIn B' n (6-10)

Das Brechungsgesetz kann auch umgeformt werden zu

n sin e = n' sin c' = konstant. (6-11)

Das Produkt aus Brechungsindex und Si­nus des Winkels zwischen Lichtstrahl und Lot bleibt bei einer Brechung konstant.

Diese Invariante der Brechung heißt nach E. ARBE (1840 bis 1905) di e numerische Apertur. Sie lautet

AN = n sin e. (6-12) i

Das Brechungsgesetz kann also auch so for­muliert werden:

Bei der Brechung eines Lichtstrahls bleibt seine numerische Apertur konstant.

In Tabelle 6-1 sind die Brechzahlen eimger Stoffe zusammengestellt.

Tabelle 6-1. Brechzahl n elmger Stoffe für gelbes Na-Licht (Wellenlänge). = 589 nm) bei der Temperatur f). = 20°C und dem Druck p = 1013 mbar.

Festkörper n Flüssigkeiten n und Gase

Eis 1,310 Luft 1,0003 Flußspat 1,434 Kohlendioxid 1,0045 Quarzglas 1,459 Wasser 1,333 BOfhon BK 1 1,510 Ethylalkohol 1,362 Flintglas F 3 1,613 Benzol 1,501 Caesiumiodid 1,790 Schwefel-Bariumoxid 1,980 kohlenstoff 1,628 Diamant 2,417 Methyleniodid 1,742

Besonders häufig ist der Fall, daß ein Licht­strahl an der Grenzfläche zwischen Luft und einem dichteren Medium gebrochen wird. Mit guter Näherung kann der Brechungsindex von Luft n = 1 gesetzt werden. Dann gilt das verei nfachte Brechungsgesetz

~mc

= n' sin c' . (6-13)

Beispiel

6.24: Das Photo Bild 6- 14b zeigt die Brechung eines roten LaserstrahIs der Wellenlänge J.. = 633 nm an der Grenzfläche Luft - Plexiglas. Wie groß ist der Brechung index von Plexiglas?

Lösung:

sm e sin 40 0

n' = - -= . = 1,49. sin e' sm 25 50

Der Brechungsindex ist keine Konstante, son­dern hängt von der Wellenlänge (Farbe) des Licht ab. Im Fall normaler Dispersion (Ab chn. 5.2.4.4) nimmt mit steigender Wel­lenlänge der Brechungsindex ab. Bisher wurde vorausgesetzt, daß ein Licht­strahl vom optisch dünneren ins optisch dich­tere Medium eindringt. Bei umgekehrtem Strahlengang, wie er in Bild 6-16 gezeigt ist, gehört zum Strahl 1 mit dem Einfallswinkel Gl

der reflektierte Strahl Ir und der gebrochene . I ' mit dem Brechungswinkel CI, wobei CI > Gl

i t. Mit zunehmendem Winkel C steigt Cf

ver tärkt an, bis für den Strahl 2 beim Ein­faH winkel Cg der Brech ungswinkel c2 = 90 0

wird. Man nennt Cg den Grenzwinkel der Total­reflexion. Für c > Cg (Strahl 3) gibt es keinen gebrochenen Strahl mehr, sondern nur noch den reflektierten Strahl 3r. Die ganze Strah­lung leistung des einfallenden Strahls ist im reflektierten Strahl vorhanden ; das Licht wird total reflektiert Bild 6-16 b zeigt einen gebro­chenen, Bild 6-16 c einen total reflektierten Laser trahl an der Grenzfläche Plexiglas- Luft F ür den Grenzwinkel der Totalreflexion gilt n' sin 90 0 = 11 in CI! oder

n' Slll Gg =-.

n (6-14)

Hierbei ist n der Brechungsindex des optisch dichteren, n' der des dünneren Mediums. Ist da dünnere Medium Luft (mit n' ~ 1), so gilt

. 1 sm Gg =-'

n

Beispiel

(6-15)

6.2-5: Im Halbleiter GaP (Ausgangsmaterial für Leuchtdioden) ist der Brechungsindex n = 33. Wie groß i t der Grenzwinkel der Totalreflexion?

6.2. Geometrische Optik. 41 J

Bild 6-16. Totalreflexion. a) Prinzip, b) gebrochener (e < csJ und c) total reflektierter Laserstrahl (e > Eg).

412 6. Optik

Lösung:

sin eg = 1In = 1/3,3 = 0,3 liefert eg = 17,6 0• Von den

Lichtstrahlen, die im Innem des Kristalls erzeugt werden, können also nur diejenigen den Kristall verlassen, die innerhalb eines schlanken Kegels von eg = 17,6 0 Öffnungswinkel auf die Kristalloberflä­ehe auftreffen. Alle anderen werden total reflektiert.

Ein Beispiel für die technische Ausnutzung der Totalreflexion in der heutigen Zeit ist die Übertragung von Daten auf Lichtwellenleitern (optische Nachrichtentechnik). Bild 6-17 zeigt das Prinzip einer Stufenindexfaser. Der Bre­chungsindex nimmt von nl im Kern stufen­förmig ab auf n2 im Mantel und n = 1 in der umgebenden Luft Typische Abmessungen ei­ner solchen Glasfaser sind: 50 Ilm Kerndurch­messer 125 p.m Manteldurchmesser. Ein Licht-

a)

b)

, \ \ \ \ \ \ \

I

Kern n,

Mantel n2

Luft n = 1

n n,

I

n -= 1

r Bild 6-17. Prinzip eines Lichtwellen/eiters (Stufenin­dexfaser). a) Aufbau, b} Verlauf der Brechzahl n iiber dem Radius r.

strahl, der unter dem Winkel .90 auf die Stirn­fläche der Faser fällt, wird zum Lot hin gebrochen und trifft schließlich unter dem Winkel e = 90 0

- .9 1 auf die Grenzfläche zwi­schen Kern und Mantel. Er kann dort nur total reflektiert werden, wenn e> eg ist mit sin eg = n2lnl' Der Eintrittswinkel .90 des Lichtstrahis kann also nicht beliebig groß werden, sonst ist im Innern di.e Totalreflexion nicht mehr gegeben (gestrichelt gezeichneter Strahl in Bild 6-17). Der maximale Aufnah­mewinkel .90, ma}D unter dem Licht in die Faser eingekoppelt werden kann, bestimmt sich aus der Beziehung

sin .90•max = V nr - n~ = AN;

Die Größe AN ist die numerische Apertur der Faser (GI. (6-12))..

Für eine typische Nachrichtenfaser aus Quarz­glas, bei der der Kern mit 13,5% Ge02 do­tiert ist, gelten bei A = 850 nm die Werte nl = 1,474 und n2 = 1,453. Mit diesen ergeben sich die numerische Apertur AN = 0,248 und der maximale Einkoppelwinkel BO,max = 14,4 o.

Eine solche Glasfaser kann also nur Strahlen weiterleiten, die unter diesem verhältnismäßig "schlanken" Winkel auf die Stirnfläche fallen. Ändert sich der Brechungsindex nicht sprung­haft, sondern kontinuierlich, so ergeben sich gekrümmte Lichtstrahlen. Bild 6-18 zeigt als Beispiel hierfür einen Laserstrahl in einer Küvette mit Salzwasser. Die Salzkonzentra­tion und damit auch der Brechungsindex nehmen kontinuierlich von unten nach oben ab. Gekrümmte Lichtstrahlen treten auch auf, wenn infolge von Temperatur- und Dichte­gradienten in der Luft der Brechungsindex

Bild 6-18. Gekrümmter Lichtstrahl bei kontimJier­lieh variierendem Brechungsindex.

ich stetig ändert (Luftspiegelung, Fata Mor­gana). Ein spezieller Lichtwellenleiter ist die Gra­diemenjase" die schematisch in Bild 6-19 dar­gestellt ist. Bei ihr ändert sich der Brechungs­index kontinuierlich von nl in der Mitte auf n2 im Mantel. Die Gradientenfaser hat gegen­über der Stufenindexfaser den Vorteil daß Lichtpulse die unter ver chiedenen Winkeln 80 in die Faser eingekoppelt werden nahezu dieselbe Laufzeit haben bi ie am anderen Ende der Faser ankommen. So hat beispiels­weise der in Bild 6-19 gezeichnete Strahl einen größeren Weg zurückzulegen als ein Strahl, der exakt auf der Symmetrieachse läuft. Er befindet sich aber häufig in Gebieten mit kleinerem Brechungsindex, läuft dort also

a)

Mantel nz

___ Luft n = 1

b) n

n=l

r

6.2. Geometrische Optik 413

schneller und kompen iert so seinen Umweg. Da Laufzeitdifferenzen verschiedener Moden die Übertragung kapazität beschränken kann auf der Gradientenfaser eine höhere Daten­rate übertragen werden als auf der Stufen­indexfaser.

Zur Übung

() 6.2-8: Ein Licht traW raUt auf einen GlasWÜTfel mit dem Brechungsindex n = 1 5. Der Strahl trifft genau die Mitte einer WürfeLfläche unter dem Ein­fallswinkel 600

• Die Einfallsebene ist parallel zu einer Würfelfläche. Berechnen und zeichnen Sie den weite­ren Weg des Licht trahls.

Ü 6.2-9: Durchquert ein Lichtstrahl eine planparal­lele Platte, 0 i t der durchgehende Strahl parallel zum einfallenden, jedoch seitlich versetzt. Wie groß ist der Strahlversatz x in Abhängigkeit von der Plattendicke d, dem Brechungsindex n' und dem Einfall winkel e?

Ü 6.2-10: Wie groß ist der Grenzwinkel der Total­reflexion für Plexiglas an Luft? Der Brechungsindex kann aus Bild 6-16 b entnommen werden.

6.2.3.2. Brechung an einem Prisma

In der Optik versteht man unter einem Pri ma meist einen drei kantigen Glaskörper gemäß Bild 6-20. Zwei ebene polierte Flächen ind um den brechenden Winkel cx gegeneinander geneigt ie schneiden ich in der brechenden Kante K. Im folgenden wird tets vorau ge-etzt daß Lichtstrahlen im H auptsclznilt ver­

laufen, d. h. in einer Ebene die enkrecht zur brechenden Kante teht. Das Pri ma mit dem Brechung index n ei umgeben von einem Medium mit dem Brechung index n'. In Bild 6-20 fällt ein Strahl unter dem Ein-

K

Bild 6-19. Lichtwellen/eiter mit kontinuierlich ver­änderlichem Brechungsindex n (Gradientenfaser). a} Aufbau, b) Verlauf der Brechzahl n über dem Radius r. Bild 6-20. Strahlenverlauf in einem Pr; ma.

414 6. Optik

fall winkel Gl auf die linke Pri menfläche und verläßt nach zweimaliger Brechung die rechte Pri menfläche unter dem Ausfall winkel Gl' Der Ablenkung winkel {) läßt ich aus elemen­taren geometri cben ätzen b timmen: {) = GI

+ G2 - ':L Mit Hilfe de Brechung ge etze n' in GI = n in GI und n' in e2 = n in G2 sowie der Beziehung GI + G2 = Ci läßt sich der Ablen­kung winkel {) für beliebige Einfallswinkel Gi berechnen:

{) = Gi- :x +

+ are sin [ sin '" -V ( :,r -sin' "-

-co :xsin,,]. (6-16)

Beispie.

6.2-6: Für ein Prisma mit dem Brechungsindex n = 1,5 und dem brechenden Winkel CI = 60 ° sollen der Austrittswinkel e2 und der Ablenkungswinkel {j

als Funktion des Einfallswinkels e[ dargestellt wer­den. Die Umgebung sei Luft mit n' = I.

Lösung:

Gl. (6-16) sollte am besten mit einem programmier­baren Rechner ausgewertet werden. Bild 6-21 zeigt das Ergebnis. Der Ablenkwinkel {j zeigt ein Mini­mum beim Einfallswinkel Ei min = 48,6 0. Der zuge­hörige AusfaJ]swinkel beträgt ebenfalls Eimin = 486°. Der Strahl durchläuft das Prisma also ymmetrisch. Dieses Ergebnis kami allgemein mit

Hilfe der Differentialrechnung bewiesen werden:

Bei einem Prisma ist die Strahlablenkung minimal, wenn Ei ntritts- und Austrittswin­kel gleich sind.

Für symmetrischen Durchgang gelten Cl = c2 = ~ ({) + a) und GI = C2 = ~ rJ.. Mit Hilfe des Brechungsgesetzes ergibt sich sofort der mini­male Ablenkwinkel

5: . = 2 arc sin -- sm -- - rJ. ( n . Cl.. )

UmlD n' 2 . (6-17)

Für Beispiel 6.2-6 erhält man {)min = 37 2 0•

Aus Bild 6-21 folgt ferner, daß für Eintritts­winkel GI < 27,9 0 kein austretender Strahl

90~------~------------------r90 , Grad \ Grad

\\

\ ........... e'2 .......

60 ()

...... , ...... , ' ..

............ -.... -......

60 \)N

CI:)

-" c: .~

UI

a;J

30 in :I «

O~~~~~~~~~~~~~~O

o 30 60 Grad 90 Einfallswinkel s',

Bild 6-21. Ablenkwinkelfl und Ausrrittwinkel E'z in Abhängigkeit vom Einfallswinkel eJ bei der Brechung eines Lichtstrahls an einem Prisma; Brechungsindex n = 1,5, Prismenwinkel Ci. = 60°.

beobachtet wird weil an der zweiten brechen­den Fläche Totalreflexion auftritt. Au der Bedingung in C2,g = n' / n folgt für den Grenz­winkel an der Eintrittsfläche

'I.> = are sin [ ;, sin ( IX - are sin ::)] .

. (6-1~ ---------------------

Für Bei piel 6.2-6 ergibt sicb in Übereinstim­mung mit Bild 6-21 cl.g = 27,9°.

Bei einem Prisma mit kleinem brechendem Winkel cx und symmetrischem StrahlenduIch­gang gilt für den minimalen Ablenkwinkel näh erungsweise

(6-19~ L-______________________________ __

Da der Ablenkwinkel {) vom Brechungsindex abhängt, wird kurzweIliges Licht bei nonna­ler Dispersion stärker g.ebrochen als langwelli­ge Licht. Ein Prisma bietet daher die Mög­lichkeit, Lichtstrahlen verschiedener Wellen­länge räumlich zu trennen, also spektral zu zerlegen. Diese Eigen chaft wird au genutzt beim Prismenspektromeler (Ab chn. 6.4.1. 7).

Pri men haben in der Optik vielfaltige An­wendungen. Meist werden sie anstelle von Spiegeln benutzt um Lichtstrahlen umzu1en­ken, wobei die Totalreflexion an einer Pris-